【学校B：高2進学】1学期期末 全問解説 ─ 思考のクセ診断つき

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: まず絵にします。物体が右向きに動いている矢印を書き、同じ右向きに力の矢印を重ねる。二つが同じ向きだと一目でわかります。Step 2: 使う公式を選びます。「仕事」と言われたら\(W=Fx\)（力と移動が同じ向きのとき）。力と距離が両方与えられているので、これで解けます。Step 3: 式の意味を確認します。\(W=Fx\)は「強い力で・長い距離を押すほど、たくさん仕事をした」という素直な掛け算です。Step 4: 代入します。\(W=25\times3.0=75\)。Step 5: 妥当性チェック。単位は\(\text{N}\times\text{m}=\text{J}\)、力と移動が同じ向きなので符号はプラス。桁数も与えられた数値と揃って\(75 \, \text{J}\)で確定です。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。物体は右向きに\(4.0 \, \text{m}\)動く。力の矢印は左向き。二本の矢印が反対を向いているのが一目でわかります。Step 2: 公式を選びます。「仕事」なので\(W=Fx\)。ただし力と移動が逆向きなので符号に注意します。Step 3: 式の意味。移動の向きを正と決めると、逆向きの力は負の値\(-15 \, \text{N}\)。負の力を掛けると仕事も負になり、これは「動きを妨げる仕事」を表します。Step 4: 代入します。\(W=(-15)\times4.0=-60\)。Step 5: 妥当性チェック。力が動きにブレーキをかける向きなので仕事は負でつじつまが合う。大きさは\(60 \, \text{J}\)、単位は\(\text{J}\)。答えは\(-60 \, \text{J}\)です。

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一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。移動は水平右向きの矢印、力は鉛直上向きの矢印。二本が直角に交わっているのを確認します。Step 2: 公式を確認します。仕事は\(W=Fx\cos\theta\)。ここで\(\theta\)は力と移動のなす角です。Step 3: 式の意味。\(\cos\theta\)は「力のうち、移動方向にどれだけ効いているか」を表す割合。角度が\(90^\circ\)なら移動方向への効きはゼロです。Step 4: 代入します。\(\theta=90^\circ\)、\(\cos90^\circ=0\)なので\(W=10\times1.5\times0=0\)。Step 5: 妥当性チェック。力は移動を助けても妨げてもいない（真横を向いている）ので、仕事が\(0\)なのは自然です。答えは\(0 \, \text{J}\)。

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一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。\(30^\circ\)傾いた斜面を書き、物体が斜面に沿って\(0.20 \, \text{m}\)下る矢印と、真下を向く重力\(30 \, \text{N}\)の矢印を入れます。Step 2: 考え方を選びます。重力がする仕事は「真下に落ちた距離」だけで決まる、という性質を使います。Step 3: 落下距離を出します。斜面に沿って\(0.20 \, \text{m}\)進むと、真下には\(0.20\times\sin30^\circ=0.10 \, \text{m}\)落ちます（\(\sin30^\circ=0.50\)）。Step 4: 代入します。\(W=30\times0.10=3.0\)。別解として、力を斜面方向に分解し\(30\sin30^\circ=15 \, \text{N}\)、これに移動\(0.20\)を掛けて\(15\times0.20=3.0\)としても同じ答えになります。Step 5: 妥当性チェック。そのまま掛けた\(6.0\)より小さく、向きのずれの分だけ減っている。単位は\(\text{J}\)。答えは\(3.0 \, \text{J}\)です。

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一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 場面を整理します。\(5.0 \, \text{s}\)かけて\(90 \, \text{J}\)の仕事をした。「どれくらいのペースで仕事をしたか」を聞かれています。Step 2: 公式を選びます。仕事率は\(P=\displaystyle\frac{W}{t}\)（仕事÷時間）。Step 3: 式の意味。分子が仕事、分母が時間で、「1秒あたり何\(\text{J}\)働いたか」を表します。Step 4: 代入します。\(P=\displaystyle\frac{90}{5.0}=18\)。Step 5: 妥当性チェック。単位は\(\text{J}/\text{s}=\text{W}\)。\(90 \, \text{J}\)を\(5\)秒で割るのだから\(18\)前後で妥当。答えは\(18 \, \text{W}\)です。

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正しい思考プロセス

Step 1: 場面を整理します。\(2.0\times10^{4} \, \text{N}\)の力で\(30 \, \text{m}\)持ち上げ、それに\(15 \, \text{s}\)かかった。Step 2: 手順を決めます。仕事率は\(P=\displaystyle\frac{W}{t}\)なので、まず仕事\(W\)を作ってから時間で割る二段構え。Step 3: 一段目、仕事を出します。持ち上げる力と持ち上げた距離を掛けて\(W=2.0\times10^{4}\times30=6.0\times10^{5} \, \text{J}\)。Step 4: 二段目、時間で割ります。\(P=\displaystyle\frac{6.0\times10^{5}}{15}=4.0\times10^{4}\)。Step 5: 妥当性チェック。単位は\(\text{J}/\text{s}=\text{W}\)。桁は\(\displaystyle\frac{10^{5}}{10}\)くらいで\(10^{4}\)台、係数は\(\displaystyle\frac{6.0}{15}=0.4\)なので\(4.0\times10^{4}\)。つじつまが合います。

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正しい思考プロセス

Step 1: 場面を整理します。質量\(4.0 \, \text{kg}\)の物体が速さ\(2.0 \, \text{m}/\text{s}\)で動いている。その「動きの勢いが持つエネルギー」を求めます。Step 2: 公式を選びます。運動エネルギーは\(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。Step 3: 式の意味。速さが二乗で効くので、速さが2倍になるとエネルギーは4倍。だからスピードは危険、という直感ともつながります。Step 4: 代入します。まず\(v^2=2.0^2=4.0\)、次に\(K=\displaystyle\frac{1}{2}\times4.0\times4.0=8.0\)。Step 5: 妥当性チェック。単位は\(\text{kg}\times(\text{m}/\text{s})^2=\text{J}\)。\(\displaystyle\frac{1}{2}\)と二乗を両方使えているか最後に確認。答えは\(8.0 \, \text{J}\)です。

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Step 1: 場面を整理します。もともと\(20 \, \text{J}\)の運動エネルギーで動いている物体に、\(10 \, \text{J}\)の仕事をする（なめらかなので摩擦の損失はなし）。Step 2: 使う関係を選びます。「した仕事＝運動エネルギーの変化」。式で書くと\(W=K_{\text{後}}-K_{\text{前}}\)。Step 3: 式の意味。した仕事の分だけ運動エネルギーが増減する、という素直な足し算・引き算です。今回は正の仕事なので増えます。Step 4: 代入します。\(K_{\text{後}}=K_{\text{前}}+W=20+10=30\)。Step 5: 妥当性チェック。正の仕事をしたのだから運動エネルギーは増えるはず。\(30 \, \text{J}\)はもとの\(20 \, \text{J}\)より大きいのでつじつまが合います。

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Step 1: 場面を整理します。質量\(2.0 \, \text{kg}\)の物体が、基準の水平面から\(2.5 \, \text{m}\)の高さにある。Step 2: 公式を選びます。重力による位置エネルギーは\(U=mgh\)。質量・重力加速度・高さの三つを掛けます。Step 3: 式の意味。重い物ほど・高い所ほど、落ちたときに大きなエネルギーになる、という素直な掛け算です。Step 4: 代入します。\(U=2.0\times9.8\times2.5\)。まず\(2.0\times9.8=19.6\)、次に\(19.6\times2.5=49\)。Step 5: 妥当性チェック。単位は\(\text{kg}\times(\text{m}/\text{s}^2)\times\text{m}=\text{J}\)。\(\displaystyle\frac{1}{2}\)をつけていないか、\(g\)を掛け忘れていないかを確認。答えは\(49 \, \text{J}\)です。

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正しい思考プロセス

Step 1: 場面を整理します。自然長\(0.30 \, \text{m}\)のばねが、物体のせいで端から\(0.40 \, \text{m}\)の位置まで伸びている。Step 2: まず伸びを出します。伸び\(x\)は全体の長さから自然長を引いて\(x=0.40-0.30=0.10 \, \text{m}\)。Step 3: 公式を選びます。弾性力による位置エネルギーは\(U=\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)。\(x\)は今出した伸びを使います。Step 4: 代入します。まず\(x^2=0.10^2=0.010\)、次に\(U=\displaystyle\frac{1}{2}\times40\times0.010=0.20\)。Step 5: 妥当性チェック。自然長を引いたか、二乗したか、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)をつけたかの三点を確認。単位は\((\text{N}/\text{m})\times\text{m}^2=\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}\)。答えは\(0.20 \, \text{J}\)です。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。高さ\(1.40 \, \text{m}\)のOから高さ\(0.90 \, \text{m}\)のAへ、曲面にそって下りていく物体を描きます。Step 2: どの公式を使うか。重力の仕事は「重力の大きさ×下がった高さ」。道の形は無関係で、高さの差だけが効きます。下がった高さは\(1.40-0.90=0.50 \, \text{m}\)。Step 3: 式の意味。重力は下向き、物体も下がるので、力と移動の向きが同じ＝正の仕事。\(W_1=mg\times0.50\)。Step 4: 代入計算。\(W_1=2.0\times9.8\times0.50=9.8 \, \text{J}\)。外力は、ゆっくり＆摩擦なしから「仕事の合計\(=0\)」なので\(W_2=-W_1=-9.8 \, \text{J}\)。Step 5: 妥当性。外力は物体をそっと支えながら下ろす向き（上向き寄り）にはたらくのに、物体は下へ動く。力と移動が逆向き気味＝負の仕事、と符号が合っています。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。\(0.20 \, \text{m}\)伸びた状態のばねが、自然の長さまで縮んでいく様子を描きます。Step 2: どの量を使うか。伸びていたばねにたくわえられていた弾性エネルギー\(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)が、もどる間にそっくり弾性力の仕事として放出されます。Step 3: 式の意味。ばねは物体を縮む向きに引き、物体も同じ向きに動く＝正の仕事。その大きさはたくわえられていたエネルギーに等しい。Step 4: 代入計算。\(W_1=\displaystyle\frac{1}{2}\times40\times0.20^2=0.80 \, \text{J}\)。ゆっくりもどすので外力は\(W_2=-0.80 \, \text{J}\)。Step 5: 妥当性。外力は物体が飛び出さないよう引き止める向き（動きと逆向き）なので負の仕事、と符号が合います。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。上に自然の長さの点B、そこから\(a\)だけ下がったところにつりあいの点A。物体を点Bまで持ち上げて手をはなす図です。Step 2: 各点でエネルギーを3種類（運動・重力の位置・弾性力の位置）に分けて数え上げる。表の枠を先に作るのがコツ。Step 3: 式の意味を1マスずつ。点Bは速さ\(0\)・基準の高さ・自然の長さなので3つとも\(0\)。点Aは速さ\(v_{\text{A}}\)なので運動エネルギー\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{A}}{}^2\)、基準より\(a\)低いので重力の位置エネルギー\(-mga\)、\(a\)伸びているので弾性力の位置エネルギー\(\displaystyle\frac{1}{2}ka^2\)。Step 4: 保存の式。点Bの合計（全部ゼロ）＝点Aの合計、だから\(0=\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{A}}{}^2-mga+\displaystyle\frac{1}{2}ka^2\)。Step 5: 妥当性。物体は下がって速くなる（運動エネルギー増）一方、重力の位置エネルギーは減り、ばねの位置エネルギーは増える。増減が打ち消し合って合計が保たれる、という形になっています。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。定滑車の左右にP（床）とQ（高さ\(h\)）。はなすと重いQが下り、軽いPが上がる。状態1（前）と状態2（衝突の瞬間）の2枚を描きます。Step 2: 速さは共通\(v\)、と拘束条件を宣言。使う道具は力学的エネルギー保存です。Step 3: 表の各マスの意味。状態1は両方静止なので運動エネルギーゼロ、Qだけ高さ\(h\)で\(Mgh\)。状態2は両方が速さ\(v\)、Pが\(h\)上がって\(mgh\)、Qは床で\(0\)。Step 4: 保存の式。状態1の合計＝状態2の合計で\(Mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+mgh+\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2\)。これを\(v^2\)について解くと\(v=\sqrt{\displaystyle\frac{2(M-m)gh}{m+M}}\)。Step 5: 妥当性。もし\(M=m\)なら分子が\(0\)で\(v=0\)＝つり合って動かない、と現実に合います。\(M\)が\(m\)より大きいほど速くなるのも自然です。

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Step 1: 絵にします。高さ\(2.0 \, \text{m}\)のなめらかな斜面を下り、水平のあらい面に入って止まる物体を描きます。Step 2: どの考え方を使うか。「はじめの力学的エネルギー」から「終わりの力学的エネルギー」への目減り分＝摩擦がした仕事。Step 3: 式の意味。出発点は高さ\(2.0\)で速さ\(0\)なので、エネルギーは\(mgh\)。終点は水平面で速さ\(0\)なので、エネルギーは\(0\)。Step 4: 代入計算。はじめのエネルギー\(mgh=0.50\times9.8\times2.0=9.8 \, \text{J}\)。これが\(0\)になったので、失われた\(9.8 \, \text{J}\)が摩擦の仕事の大きさ。奪う向きなので\(W=-9.8 \, \text{J}\)。Step 5: 妥当性。摩擦が正の仕事をするなら物体は勝手に速くなるはずで、それはありえない。止まった＝エネルギーを奪われた、と負符号がぴったり合います。

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Step 1: 絵にします。半径\(0.80 \, \text{m}\)の円周上を\(2.0 \, \text{s}\)で1周する物体を描きます。Step 2: どの公式か。回転数は周期の逆数\(n=\displaystyle\frac{1}{T}\)、角速度は1周\(2\pi\)を周期で割った\(\omega=\displaystyle\frac{2\pi}{T}\)、速さは\(v=r\omega\)。Step 3: 式の意味。\(2.0\)秒で1周なら1秒では半周＝\(0.50\)周、これが回転数。1周\(2\pi\)を\(2.0\)秒で回るから1秒で\(1.0\pi\)、これが角速度。Step 4: 代入計算。\(n=\displaystyle\frac{1}{2.0}=0.50\)、\(\omega=\displaystyle\frac{2\pi}{2.0}=1.0\pi\)、\(v=0.80\times1.0\pi=0.80\pi\)。Step 5: 妥当性。半径\(0.80\)の円周は\(2\pi\times0.80=1.6\pi \, \text{m}\)。これを\(2.0\)秒で回るから速さは\(0.80\pi \, \text{m}/\text{s}\)。円周÷周期でも同じ答えになり、検算が合います。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。角速度\(4.0\)・速さ\(8.0\)で円周上を回る物体を描き、中心へ向かう加速度の矢印を書き込みます。Step 2: どの公式か。周期\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)、半径\(r=\displaystyle\frac{v}{\omega}\)、向心加速度\(a=\displaystyle\frac{v^2}{r}\)。Step 3: 式の意味。\(\omega=4.0\)だから1周\(2\pi\)を回るのに\(\displaystyle\frac{2\pi}{4.0}\)秒。半径は速さを角速度で割れば出る。加速度は速さの2乗を半径で割る。Step 4: 代入計算。\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{4.0}=0.50\pi\)、\(r=\displaystyle\frac{8.0}{4.0}=2.0\)、\(a=\displaystyle\frac{8.0^2}{2.0}=\displaystyle\frac{64}{2.0}=32\)。Step 5: 妥当性。\(a=r\omega^2=2.0\times4.0^2=2.0\times16=32\)と別式でも同じ。2通りで一致したので安心です。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。中心に糸の端、半径\(0.80\)の円周上を速さ\(4.0\)で回る物体。糸が物体を中心へ引く矢印（向心力）を書きます。Step 2: どの公式か。角速度\(\omega=\displaystyle\frac{v}{r}\)、向心加速度\(a=\displaystyle\frac{v^2}{r}\)、向心力は運動方程式\(F=ma\)。Step 3: 式の意味。円運動で物体は中心へ加速し続けている。その加速度を生む力が糸の張力＝向心力。だから\(F=ma\)で求まる。Step 4: 代入計算。\(\omega=\displaystyle\frac{4.0}{0.80}=5.0\)、\(a=\displaystyle\frac{4.0^2}{0.80}=\displaystyle\frac{16}{0.80}=20\)、\(F=0.20\times20=4.0\)。Step 5: 妥当性。\(F=\displaystyle\frac{mv^2}{r}=\displaystyle\frac{0.20\times16}{0.80}=4.0\)と直接式でも一致。向きは中心向き（糸が引く向き）で、円運動の常識どおりです。

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Step 1: 絵にします。回転台の上の物体を、物体と一緒に回る目線で描きます。この立場では物体は止まって見えます。Step 2: 立場を固定。「物体とともに回転する立場」なので、見かけの力＝遠心力を導入し、物体はつり合っていると考えます。Step 3: 力を数える。外向きに遠心力\(mr\omega^2\)、内向きに静止摩擦力\(F\)。物体は滑らず静止しているので、この2つがつり合います。Step 4: 式を立てて解く。\(F=mr\omega^2\)。Step 5: 妥当性。速く回す（\(\omega\)大）ほど、遠く（\(r\)大）ほど、外へ飛ばされそうになり、それを押さえる摩擦も大きく要る。\(\omega\)と\(r\)が増えると\(F\)も増える、と直感に合います。ある\(\omega\)を超えると摩擦の限界を超えて物体は滑り出す、という現象ともつながります。

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Step 1: 絵にします。中心O、真下に点A、真横に点B、上に点C。小球が点Aから\(v_0\)ですべり出し、円筒面にそって点Bを通る図です。Step 2: 速さは何で出すか。面はなめらか（摩擦なし）なので、A→Bは力学的エネルギー保存。A→Bで高さが\(r\)上がることに注目します。Step 3: 式の意味。エネルギー保存\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0{}^2=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+mgr\)から\(v^2=v_0{}^2-2gr\)。次に点Bでの向心方向は水平で、その向きの力は垂直抗力\(N\)だけ。だから向心力の式\(N=\displaystyle\frac{mv^2}{r}\)。Step 4: 代入計算。\(v=\sqrt{v_0{}^2-2gr}\)。これを向心力の式に入れて\(N=\displaystyle\frac{m(v_0{}^2-2gr)}{r}=m\left(\displaystyle\frac{v_0{}^2}{r}-2g\right)\)。Step 5: 妥当性。点Bまで上がると速さは初速より遅くなる（\(v \lt v_0\)）、と\(-2gr\)の符号が合っています。また初速が小さすぎると\(N\)が負になり、それは「点Bまで届かない」合図。式が物理の限界も教えてくれます。

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Step 1: 「点Aでの」＝物体が点Aにいる瞬間、と時刻を固定する。Step 2: その瞬間、静かに置いたので速さは \(0\) → 運動エネルギーは \(0\) と確認する。Step 3: 位置エネルギーを求める。基準は水平面BCなので高さは \(2.5 \, \text{m}\)、\(mgh=2.0\times9.8\times2.5\)。Step 4: 計算して \(49 \, \text{J}\) を得る。Step 5: 力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー \(=0+49=49 \, \text{J}\)。この \(49 \, \text{J}\) がこの後の問題で「もとの残高」として効いてくる、と意識しておく。

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Step 1: 使う法則を選ぶ。斜面がなめらか＝摩擦の熱損失なし、なので力学的エネルギー保存。Step 2: 保存の式を立てる。点Aの力学的エネルギー \(49 \, \text{J}\)＝水平面での力学的エネルギー。Step 3: 水平面は基準の高さなので位置エネルギーは \(0\)、力学的エネルギーは運動エネルギーだけ。\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=49\)。Step 4: \(m=2.0\) を代入して \(\displaystyle\frac{1}{2}\times2.0\times v^2=49\)、整理すると \(v^2=49\)。Step 5: \(v=\sqrt{49}=7.0 \, \text{m}/\text{s}\)。2乗して \(49\) に戻ることを確かめて完了。

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正しい思考プロセス

Step 1: 場面を絵にする。物体がばねに当たり、押し込み、いちばん縮んだところで折り返す。Step 2: その「いちばん縮んだ瞬間」に注目し、物体は一瞬止まる（速さ \(0\））と確認する → 運動エネルギーは \(0\)。Step 3: エネルギー保存を立てる。水平面での運動エネルギー \(49 \, \text{J}\) がすべて弾性エネルギーに移るので \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2=49\)。Step 4: \(k=50\) を代入して \(\displaystyle\frac{1}{2}\times50\times x^2=49\)、整理して \(x^2=1.96\)。Step 5: \(x=\sqrt{1.96}=1.4 \, \text{m}\)。\(1.4\) を2乗して \(1.96\) に戻ることを確かめて完了。

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Step 1: 仕事の符号のルールを思い出す。力と運動が同じ向きなら正、直角なら \(0\)、逆向きなら負。Step 2: おもりの運動を描く。糸が張ったまま円弧を描いて上がる。Step 3: 張力の向きを見る。糸に沿って円の中心を向く＝運動の向き（接線）とつねに直角 → 仕事は \(0\)。Step 4: 重力の向きを見る。真下向き。持ち上げているので運動は上向き成分をもち、重力とは逆向き → 負の仕事。Step 5: 「張力 \(=0\)、重力 \(=\) 負」の組合せ⑥を選ぶ。番号を覚えるのではなく、力ごとに角度で判定して組み立てる。

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Step 1: 何を確かめたいかを言葉にする。「最初の位置エネルギーが最下点で全部運動エネルギーになっているか」＝力学的エネルギー保存。Step 2: 式で書く。\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。Step 3: 両辺の \(m\) を消して整理する。\(gh=\displaystyle\frac{1}{2}v^2\) すなわち \(v^2=2gh\)。Step 4: この式は「\(v^2\) が \(h\) に比例」の形。比例を直線で見せるには横軸 \(h\)・縦軸 \(v^2\)。Step 5: よって横軸にとる変数は①初めの高さ。式を「\(y=(\)定数\()\times x\)」の形に直してから軸を決める。

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Step 1: アで整理した式 \(v^2=2gh\) を用意する。Step 2: 横軸を \(h\)（アで①）に決めたことを踏まえ、\(h\) に比例するのはどの量かを式で見る。左辺が \(v^2\) なので \(v^2\) が \(h\) に比例。Step 3: よって縦軸は速さの2乗＝⑤。Step 4: データで裏づける。\(h\) が \(0.05\to0.20\) と4倍のとき、\(v^2\) は \(0.96\to3.69\) とやはり約4倍。Step 5: 比例が確認できるので縦軸⑤で正しい。式の形と実データの両方で確かめる。

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Step 1: アイの結論を確認する。横軸 \(h\)、縦軸 \(v^2\)。Step 2: 両者の関係式 \(v^2=2gh\) を「\(y=(\)定数\()\times x\)」と読む。\(y=v^2\)、\(x=h\)、傾き \(2g\)。Step 3: この形は原点を通る直線（\(h=0\) なら \(v^2=0\)）で、傾きが正なので右上がり。Step 4: よってグラフの形は⑧原点を通り右上がりの直線。Step 5: 実測点がこの直線にきれいに乗れば、位置エネルギーが過不足なく運動エネルギーに変わった＝力学的エネルギー保存が成立、と結論できる。

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Step 1: 立場を決める。問題文の指定どおり「小球とともに回転する立場」に立つ。この立場では、実際の力（張力 \(S\)・重力 \(mg\)）に加えて、外向きの遠心力 \(mr\omega^2\) を描き込みます。

Step 2: 力を全部かき出す。糸の張力 \(S\)（糸に沿って上向き・鉛直から \(\theta\) 傾く）、重力 \(mg\)（真下）、遠心力 \(mr\omega^2\)（円の中心から外向き・水平）。この3つです。

Step 3: 張力を成分に分ける。鉛直となす角が \(\theta\) なので、鉛直成分は \(S\cos\theta\)（上向き）、水平成分は \(S\sin\theta\)（中心向き）。

Step 4: 水平方向のつり合い。中心向きの張力の水平成分と、外向きの遠心力がつり合うので \(S\sin\theta=mr\omega^2\)。

Step 5: 鉛直方向のつり合い。上向きの張力の鉛直成分が重力を支えるので \(S\cos\theta=mg\)。番号を覚えるのではなく、「立場を決める→力をかき出す→分解→水平・鉛直で並べる」の順番で毎回作れることが大事です。

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Step 1: 使う式をそろえる。§4.1の水平式 \(S\sin\theta=mr\omega^2\) と鉛直式 \(S\cos\theta=mg\)。

Step 2: \(S\) を求める。\(\omega\) を含まない鉛直式を選び、\(S\) について解いて \(S=\displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\)。

Step 3: \(\omega\) を出す準備として、水平式を鉛直式で割る。左辺は \(\displaystyle\frac{S\sin\theta}{S\cos\theta}=\tan\theta\)、右辺は \(\displaystyle\frac{mr\omega^2}{mg}=\displaystyle\frac{r\omega^2}{g}\)。共通の \(S\) と \(m\) が消えるのがねらいです。

Step 4: 等号でつなぐ。\(\tan\theta=\displaystyle\frac{r\omega^2}{g}\)。これを \(\omega^2\) について解いて \(\omega^2=\displaystyle\frac{g\tan\theta}{r}\)。

Step 5: 平方根をとる。\(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{g\tan\theta}{r}}\)。2乗のまま止めないことが最後の関門です。下のDC-09で1行ずつ追いましょう。

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一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 保存則を確認する。斜面もばねまでの床もなめらかなので、重力による位置エネルギーがまるごとばねのエネルギーに変わる。

Step 2: 高さ \(h\) の場面を式にする。\(mgh=\displaystyle\frac{1}{2}ka^2\)。

Step 3: 高さ \(2h\) の場面を式にする。縮みを \(d\) として \(mg(2h)=\displaystyle\frac{1}{2}kd^2\)。

Step 4: 2式を割って共通の \(m,g,h,k\) を消す。\(\displaystyle\frac{2h}{h}=\displaystyle\frac{d^2}{a^2}\)、すなわち \(2=\displaystyle\frac{d^2}{a^2}\)。

Step 5: \(d\) について解く。\(d^2=2a^2\) より \(d=\sqrt{2}\,a\)。②を選びます。「エネルギーは縮みの2乗に比例」を式で使えたかが分かれ道です。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: どんな力がはたらくかを確認する。あらい水平面上では、進行方向と逆向きに動摩擦力がはたらく。

Step 2: その力が一定か変化するかを判断する。動摩擦力 \(\mu’ N\) は速さによらず一定（面が水平なので垂直抗力 \(N\) も一定）。

Step 3: 力が一定なら加速度も一定、と結ぶ。運動方程式より、一定の力は一定の（負の）加速度を生む。

Step 4: 速さと時刻の関係を書く。等加速度運動なので \(v=v_0-(\text{一定})\times t\)、これは右下がりの直線。

Step 5: グラフを選ぶ。\(t=0\) で速さは \(0\) でない値からスタートし、まっすぐ減って \(0\) になる④。「一定の力→一定の加速度→速さは直線」の連鎖を絵で描けたかが勝負です。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: エネルギーの収支を立てる。はじめの重力による位置エネルギーが、すべて動摩擦力の仕事で消える。

Step 2: 高さ \(h\) の場面を式にする。摩擦力を \(\mu’ mg\)、距離を \(L\) として \(mgh=\mu’ mg\,L\)。ここから \(L=\displaystyle\frac{h}{\mu’}\)。

Step 3: 高さ \(2h\) の場面を式にする。距離を \(x\) として \(mg(2h)=\mu’ mg\,x\)、すなわち \(x=\displaystyle\frac{2h}{\mu’}\)。

Step 4: 2つを比べる。\(\displaystyle\frac{x}{L}=\displaystyle\frac{2h/\mu’}{h/\mu’}=2\)。距離は高さに比例しています。

Step 5: 距離を答える。\(x=2L\)。③を選びます。ばねの縮み（2乗比例＝§5.1）と摩擦の距離（1乗比例＝本問）を混同しないことが最大のポイントです。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 使う法則を決める。曲面はなめらか（摩擦なし）なので力学的エネルギー保存が使える。

Step 2: 高さの基準を決めて、出発点と点Aの高さを読む。出発点は \(h\)、点Aは \(r\)。

Step 3: 落差を出す。下がった高さは \(h-r\)。

Step 4: 保存則を書く。減った位置エネルギー \(mg(h-r)\) が運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) になる。\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mg(h-r)\)。

Step 5: \(v\) について解く。両辺の \(m\) を消して \(v^2=2g(h-r)\)、平方根をとって \(v=\sqrt{2g(h-r)}\)。⑤を選びます。「点Aは地面でなく高さ \(r\)」を図で確認できたかが決め手です。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: 条件を数式に翻訳する。「点Aで初めて面から離れる」＝点Aで垂直抗力 \(N=0\)。

Step 2: 点Aでの向心方向を確認する。点Aは円筒面の頂点で中心Oが真下なので、向心方向は鉛直下向き。

Step 3: 向心方向の運動方程式を書く。下向き（中心向き）にはたらく力は重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N\) で、\(mg+N=\displaystyle\frac{mv^2}{r}\)。

Step 4: 離れる条件 \(N=0\) を代入する。\(mg=\displaystyle\frac{mv^2}{r}\)。

Step 5: \(v\) について解く。両辺の \(m\) を消して \(v^2=gr\)、平方根をとって \(v=\sqrt{gr}\)。④を選びます。「離れる＝垂直抗力 \(0\)」の翻訳ができたかがすべてです。

この問題が教えてくれること ─ 一般化