【学校B：高2特進】1学期期末 全問解説 ─ 思考のクセ診断つき

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1: まず絵にします。物体が右向きに動いている矢印を書く。運動量も同じ右向きの矢印です。Step 2: 使う公式を選びます。「運動量」と言われたら\(p=mv\)。質量と速さが両方与えられているので、これで一発です。Step 3: 式の意味を確認します。\(p=mv\)は「重いほど・速いほど、止めにくさ（勢い）が大きい」という素直な掛け算です。Step 4: 代入します。\(p=0.60\times13=7.8\)。Step 5: 妥当性をチェック。単位は\(\text{kg}\times\text{m}/\text{s}=\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}\)、桁数は与えられた\(0.60\)と\(13\)がどちらも2桁なので答えも2桁。向きは速度と同じ右向き。これで「\(7.8 \, \text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}\)、右向き」と揃います。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。右向きに動く台車に、同じ右向きの力を一定時間押し続けるイメージ。Step 2: 公式を選びます。「力を、ある時間、加えたあとの速度」を聞かれているので、時間を含む関係\(mv=mv_0+Ft\)が主役です。Step 3: 式の意味。左辺が「あとの勢い」、右辺が「もとの勢い＋加えた勢い」。まさに勢いの足し算です。Step 4: 代入します。力積\(J=Ft=3.0\times0.60=1.8 \, \text{N}\cdot\text{s}\)、あとの運動量\(mv=1.5\times1.0+1.8=3.3 \, \text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}\)、速度\(v=3.3/1.5=2.2 \, \text{m}/\text{s}\)。Step 5: 妥当性チェック。押されたのだから初速\(1.0\)より速くなるはず。答え\(2.2\)は確かに大きい。向きも右向きのままでOK。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。右へ進むA（\(8.0\)）と左へ進むB（\(-7.0\)）が正面からぶつかる図。Step 2: 使う条件は2つ。1つ目は運動量保存（合計の勢いは衝突の前後で変わらない）、2つ目は反発係数の式（どれだけはねかえるか）。未知数が\(v_1’\)と\(v_2’\)の2つなので、式も2本必要です。Step 3: 式の意味。運動量保存は\(5.0\times8.0+7.0\times(-7.0)=5.0v_1’+7.0v_2’\)、左辺は\(40-49=-9\)。反発係数は\(e=-\displaystyle\frac{v_1′-v_2′}{8.0-(-7.0)}=0.36\)。Step 4: これを連立して解くと\(v_1’=-3.9\)、\(v_2’=1.5\)。Step 5: 妥当性。Aは右から来て左へはねかえされ（負）、Bは左から来て右へはねかえされる（正）。正面衝突で互いに向きが反転するのは自然。\(e=0.36\)は\(0\)と\(1\)の間で問題なし。

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Step 1: 絵にします。斜めに落ちてきた小球が床でVの字にはねる図を書き、入射側の速さを\(v\)、反射側の速さを\(v’\)とします。Step 2: 速度を2方向に分けます。床に平行な成分と、床に垂直な成分。なめらかな床なので平行成分は不変、垂直成分だけが\(e\)倍。Step 3: 式にします。平行成分の不変から\(v\cos45^\circ=v’\cos30^\circ\)。垂直成分の比が反発係数で\(e=\displaystyle\frac{v’\sin30^\circ}{v\sin45^\circ}\)。Step 4: 計算します。平行の式から\(v’\)と\(v\)の比を求め、\(e\)の式に入れると\(e=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\)。Step 5: 妥当性。反射角\(30^\circ\)が入射角\(45^\circ\)より小さい＝より寝た角度になる＝垂直成分が減っている、という向きと\(e \lt 1\)がぴったり合います。

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Step 1: 絵にします。点Oから右へ伸びたうでの先を上向きに押す図。Step 2: 公式を選びます。力がうでに垂直なので、モーメントはそのまま\(M=\)力\(\times\)うでの長さ。Step 3: 意味を確認。モーメントは「回す能力」で、力が大きいほど・支点から遠いほど大きくなります。ドアの取っ手が蝶番から遠い理由と同じです。Step 4: 代入します。\(M=20\times0.50=10\)。Step 5: 符号を決めます。Oの右側を上へ押すと反時計回り。反時計回りが正なので\(+10 \, \text{N}\cdot\text{m}\)。

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Step 1: 絵にします。点Oから右へ伸びたうでの先を、今度は下向きに引く図。Step 2: 公式は前問と同じ\(M=\)力\(\times\)うでの長さ。力がうでに垂直だからそのまま掛けられます。Step 3: 意味の確認。大きさの計算は前問と同じ形。違うのは力の向きだけ。Step 4: 代入します。\(M\)の大きさ\(=15\times0.60=9.0\)。Step 5: 符号を決めます。Oの右側を下へ引くと時計回り。反時計回りが正なので時計回りは負。したがって\(-9.0 \, \text{N}\cdot\text{m}\)。

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正しい思考プロセス

Step 1: 絵にします。うでの先に、うでとのなす角\(30^\circ\)で力\(40 \, \text{N}\)を加えた図。Step 2: 力を2つに分けます。うでに垂直な成分（回すのに効く）と、うでに沿う成分（回さない）。Step 3: 意味を確認。回転に効くのは垂直成分だけ。角度\(30^\circ\)がうでから測られているので、垂直成分は\(40\sin30^\circ\)。Step 4: 計算します。垂直成分\(=40\sin30^\circ=40\times0.5=20 \, \text{N}\)、モーメント\(M=20\times0.30=6.0\)。Step 5: 符号と妥当性。反時計回りに回すので\(+6.0 \, \text{N}\cdot\text{m}\)。分解せずに掛けた\(12\)より小さくなるのは、斜めの力の一部しか回転に効かないからで、方向として自然です。

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Step 1: 絵にします。棒の左端Aに軽いおもり、右端Bに重いおもり、その間\(1.20 \, \text{m}\)。Step 2: 重心の考え方を選びます。重心は「質量で重みづけした平均の位置」。Aを原点（\(0\)）、Bを\(1.20\)として位置を平均します。Step 3: 式にします。Aから測った重心の位置は\(x=\displaystyle\frac{1.5\times0+2.5\times1.20}{1.5+2.5}\)。Step 4: 計算します。分子は\(2.5\times1.20=3.0\)、分母は\(4.0\)、よって\(x=3.0/4.0=0.75\)。Step 5: 妥当性。中点\(0.60\)より右（B寄り）に来ている。Bのほうが重いので、重心がB側に寄るのは正しい方向です。

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Step 1: 絵にします。だ円の長軸の両端がPとQ、太陽が中心からずれた焦点にある図。長軸の両端では、惑星の速度が太陽からの直線に対してちょうど垂直になります。Step 2: 使う法則を選びます。「同じ軌道の中で場所によって速さがどう変わるか」なので、面積速度一定（第2法則）。Step 3: 式の意味。面積速度は「太陽から惑星への線が一定時間に掃く面積」で、長軸両端では\(\displaystyle\frac{1}{2}rv\)の形。これが等しいので\(r_\text{P}v_\text{P}=r_\text{Q}v_\text{Q}\)。Step 4: 代入します。\(3.0\times10=2.0\times v_\text{Q}\)、よって\(v_\text{Q}=30/2.0=15\)。Step 5: 妥当性。Qのほうが太陽に近い（\(2.0 \lt 3.0\)）ので速いはず。\(15 \gt 10\)で向きが正しい。

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Step 1: 状況を整理します。地球は長半径\(1.0\)・周期\(1.0\)。この地球を「ものさし」にして小惑星の周期を測ります。Step 2: 法則を選びます。別々の天体の周期を比べるので第3法則\(T^2=a^3\)。地球で\(1^2=1^3\)が成り立つので、この単位系では比例定数が\(1\)になり、そのまま\(T^2=a^3\)。Step 3: 意味を確認。太陽から遠い天体ほど、1周にかかる時間が急激に長くなる、という関係です。Step 4: 代入します。\(T^2=3.0^3=27\)、よって\(T=\sqrt{27}\)。ここで\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}=3\times1.7=5.1\)。Step 5: 妥当性。長半径が\(3\)倍でも周期はおよそ\(5\)倍と、距離以上に伸びている。遠いほど1周が長くなる関係と一致します。

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Step 1: 「はじめに」＝弾丸が刺さる直前の瞬間、と時刻を固定する。Step 2: その瞬間に動いているのは弾丸Bだけ（Aは静止）と主語を確認する。Step 3: 運動エネルギーの定義式に、Bの質量 \(m\)・速さ \(u_0\) を代入する。Step 4: \(\displaystyle\frac{1}{2}mu_0^2\) を得る。ここで大事なのは、この値がこの後の問題（失われるエネルギー）で「もとの残高」として効いてくるという意識だ。

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Step 1: 保存則を選ぶ。刺さる瞬間は外力（摩擦）が無視できるので運動量保存を選ぶ。Step 2: 衝突前の運動量を書く。Bが \(mu_0\)、Aは静止で \(0\)、合計 \(mu_0\)。Step 3: 衝突後の運動量を書く。一体の質量 \(M+m\) が速さ \(V\) なので \((M+m)V\)。Step 4: 等式 \(mu_0=(M+m)V\) を立てる。Step 5: \(V\) について解いて \(V=\displaystyle\frac{mu_0}{M+m}\)。分母が「両方の質量の和」になっているかを最後に必ず見直す。

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Step 1: 「失われた量」＝衝突前エネルギー − 衝突後エネルギー、と定義を書く。Step 2: \(\Delta E=\displaystyle\frac{1}{2}mu_0^2-\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)V^2\)。Step 3: \(V=\displaystyle\frac{mu_0}{M+m}\) を代入する。Step 4: \(\displaystyle\frac{1}{2}mu_0^2\) でくくり、括弧の中を通分して整理する。Step 5: 約分すると \(\displaystyle\frac{Mmu_0^2}{2(M+m)}\) に落ち着く。下のDC-09で1行ずつ確認しよう。

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Step 1: 力学的エネルギーが減ったという事実を、保存則の視点で「別の形に移った」と読み替える。Step 2: 現象を思い浮かべる。弾丸が物体にめり込む＝激しい変形と摩擦が起きている。Step 3: 変形や摩擦は、物質をつくる原子・分子を細かく揺らす＝熱の発生。Step 4: よって減った分は主に熱エネルギー（原子・分子の振動エネルギー）に変わった、と結論づける。「消えた」ではなく「移った」で答える。

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Step 1: 動摩擦力の公式「摩擦力＝動摩擦係数 × 垂直抗力」を思い出す。Step 2: 垂直抗力を求める。水平面で上下方向はつり合っているので、垂直抗力 \(N\) は一体の重さに等しく \(N=(M+m)g\)。Step 3: 公式に代入して \(f=\mu N=\mu(M+m)g\)。Step 4: 質量が「両方の和」になっているか、\(\mu\) が掛かっているかの2点を最後に確認する。

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Step 1: エネルギー収支を立てる。動き出しの運動エネルギーが、摩擦力のする仕事だけ減って最後にゼロ（静止）になる。Step 2: 左辺＝\(\displaystyle\frac{1}{2}(M+m)V^2\)、右辺＝\(\mu(M+m)g\cdot s\) と書き、等号で結ぶ。Step 3: 両辺の共通因数 \((M+m)\) を約分して消す。Step 4: \(s\) について解いて \(s=\displaystyle\frac{V^2}{2\mu g}\)。質量が答えに残らないことを確認する。下のDC-09で約分を確認しよう。

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Step 1: どの法則かを決める。「衝突の前後で運動量の合計は変わらない」＝運動量保存。Step 2: 衝突前の合計を書く。Aが \(mv_0\)、Bは静止で \(0\)、合計 \(mv_0\)。Step 3: 衝突後の合計を書く。Aが \(mv\)、Bが \(MV\)、合計 \(mv+MV\)。Step 4: 前＝後で \(mv_0=mv+MV\)。この形の選択肢⑤を選ぶ。番号を覚えるのではなく、「前の合計＝後の合計」という組み立てで毎回作れることが大事。

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Step 1: 相対速度の定義を確認する。「◯から見た△の速度＝△の速度 − ◯の速度」。Step 2: 基準と対象を特定する。基準はB、対象はA。Step 3: 定義に当てはめる。\(v’=(\text{Aの速度})-(\text{Bの速度})=v-V\)。Step 4: 選択肢③と照合する。順番を口に出して確認すると、逆向きの引っかけに引っかからない。

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Step 1: 反発係数の定義を書く。「衝突後の相対速度＝\(-e\)×衝突前の相対速度」。Step 2: 衝突前のBから見たAの相対速度を作る。Aが \(v_0\)、Bが \(0\) なので \(v_0-0=v_0\)。Step 3: 定義に代入する。\(v’=-e\times v_0=-ev_0\)。Step 4: マイナスがついているか、\(e\) が掛かっているかを確認して⑥を選ぶ。マイナスの意味（向きが逆転する）を言葉で言えると忘れない。

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Step 1: 使う式をそろえる。運動量保存 \(mv_0=mv+MV\) と、（イ）（ウ）から \(v-V=-ev_0\)。Step 2: 後者を \(V\) について解く。\(V=v+ev_0\)。Step 3: これを運動量保存に代入し、\(V\) を消す。Step 4: 右辺を \(v\) の項でまとめ、\(v\) について解く。Step 5: \(v=\displaystyle\frac{m-eM}{m+M}v_0\)。分子の符号と分母の \(m+M\) を最後に確認する。下のDC-09で連立を1行ずつ追おう。

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正しい思考プロセス

Step 1: 使う関係を確認する。\(V=v+ev_0\)。Step 2: （エ）の \(v=\displaystyle\frac{m-eM}{m+M}v_0\) を代入する。Step 3: 分母を \(m+M\) にそろえて、分子どうしを足す。Step 4: 分子 \((m-eM)+e(m+M)\) を展開すると \(-eM\) と \(+eM\) が消え、\(m+me=m(1+e)\)。Step 5: \(V=\displaystyle\frac{m(1+e)}{m+M}v_0\)。②を選ぶ。下のDC-09で変形を確認しよう。

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Step 1: 条件を数式に翻訳する。「Aが \(x\) 負の向きに進む」＝衝突後のAの速度 \(v \lt 0\)。Step 2: （エ）の式 \(v=\displaystyle\frac{m-eM}{m+M}v_0\) を用意する。Step 3: 符号を決める部分を切り分ける。分母 \(m+M \gt 0\)、\(v_0 \gt 0\) はどちらも正で不等号に影響しない。Step 4: よって \(v\) の符号は分子 \(m-eM\) の符号で決まる。Step 5: \(v \lt 0\) となるのは \(m-eM \lt 0\)、移項して \(m \lt eM\)。②を選ぶ。「符号を決めるのは分子だけ」と見抜けるかが勝負どころ。

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Step 1: 棒にはたらく力を全部かき出す。糸の張力 \(T\)（A端・水平と \(60^\circ\)）、重力 \(Mg\)（重心・真下）、引く力 \(F\)（B端・水平）。この3つだけです。

Step 2: 力を水平・鉛直に分解する。糸の張力は水平成分 \(T\cos60^\circ=\displaystyle\frac{1}{2}T\)、鉛直成分 \(T\sin60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}T\)。力Fは水平のみ、重力は鉛直のみ。

Step 3: 水平方向のつりあい。左向きの糸の水平成分と右向きの力Fがつり合うので \(F=\displaystyle\frac{1}{2}T\)。

Step 4: 鉛直方向のつりあい。上向きの糸の鉛直成分が重力を支えるので \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}T=Mg\)。

Step 5: モーメントのつりあい。回転軸を重心にとると、重力は軸を通るのでうでが \(0\)、式から消えます。残るのは糸（A端・重心からの距離 \(a\)）と力F（B端・重心からの距離 \(b\)）。両者が重心まわりで逆回りにつり合うので \(Ta=Fb\)。なぜ重心を軸に選ぶと楽か──重力という「一番うっとうしい未知でない既知の力」を式から追い出せて、知りたい \(T\) と \(F\) の関係だけが残るからです。

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Step 1: 鉛直のつりあい \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}T=Mg\) を \(T\) について解く。両辺に \(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\) を掛けて \(T=\displaystyle\frac{2Mg}{\sqrt{3}}\)。

Step 2: 水平のつりあい \(F=\displaystyle\frac{1}{2}T\) に \(T\) を代入。\(F=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{2Mg}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{Mg}{\sqrt{3}}\)。

Step 3: モーメント式 \(Ta=Fb\) を比の形に直す。\(\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{T}{F}\)。

Step 4: \(T\) と \(F\) の比を計算。\(\displaystyle\frac{T}{F}=\displaystyle\frac{2Mg/\sqrt{3}}{Mg/\sqrt{3}}=2\)。よって \(\displaystyle\frac{b}{a}=2\)。棒の右半分（B端側）が左半分（A端側）の2倍の長さ、と物理的な意味まで読み取れると完璧です。

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Step 1: 万有引力の法則を思い出す。2物体の質量を \(M\)、\(m\)、中心間距離を \(r\) とすると、力は \(G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)。

Step 2: 登場する量を確認する。地球の質量 \(M\)、衛星の質量 \(m\)、中心からの距離 \(r\)、定数 \(G\)。すべてこの問題の記号でそろっています。

Step 3: そのまま代入して \(G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)。この力が次の設問で「円運動を続けさせている向心力の正体」になります。

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Step 1: 視点を決める。地上（外）から静止衛星の円運動を眺める視点をとる。この視点では見かけの力（遠心力）は使わない。

Step 2: 向心方向の運動方程式 \(ma=F\) を用意する。加速度は中心向きで大きさ \(\displaystyle\frac{v^2}{r}\)、質量は \(m\)。

Step 3: 力の正体を入れる。中心を向く力は万有引力 \(G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\) ただ1つ。

Step 4: 等式にまとめて \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)。左辺は「回すのに必要な力」、右辺は「実際にそれを供給している力」で、両者が一致しているから円運動が保たれます。

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Step 1: 静止衛星の定義を思い出す。地上からいつも同じ真上に見える＝地球の自転と歩調が完全に合っている。

Step 2: よって衛星が1周する時間（公転周期）は、地球が1回転する時間（自転周期）と等しく \(T\)。なぜ公転周期＝自転周期か──もし少しでもずれていたら、衛星は空をゆっくり移動していき「静止」して見えないからです。

Step 3: 速さ＝距離÷時間を使う。1周の距離は円周 \(2\pi r\)、それにかかる時間は \(T\)。よって \(v=\displaystyle\frac{2\pi r}{T}\)。

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Step 1: §5.2の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\) を整理する。両辺を \(m\) で割り、両辺に \(r\) を掛けると \(v^2=\displaystyle\frac{GM}{r}\)。衛星の質量 \(m\) が消えるのがポイントです。

Step 2: §5.3の \(v=\displaystyle\frac{2\pi r}{T}\) を2乗して \(v^2=\displaystyle\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}\)。

Step 3: 2つの \(v^2\) を等しいと置く。\(\displaystyle\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}=\displaystyle\frac{GM}{r}\)。これで未知数が \(r\) だけになりました。

Step 4: \(r\) について解く。両辺に \(r\) を掛けて \(\displaystyle\frac{4\pi^2 r^3}{T^2}=GM\)、さらに整理して \(r^3=\displaystyle\frac{GMT^2}{4\pi^2}\)。

Step 5: 最後に三乗根をとって \(r=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{GMT^2}{4\pi^2}}\)。これがケプラーの第3法則「周期の2乗は半径の3乗に比例」の正体でもあります。

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