学校B：高校2年生特進1学期単元テスト解説

\(t_1\) を求める。

$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 \sin\theta – g t_1 \\
g t_1 &= v_0 \sin\theta \\
t_1 &= \frac{v_0 \sin\theta}{g}
\end{aligned}
$$

これで \(t_1\) が出た。次にこの \(t_1\) を \(y = v_0 \sin\theta \cdot t – \displaystyle\frac{1}{2}g t^2\) に代入して \(h\) を求める。

$$
\begin{aligned}
h &= v_0 \sin\theta \cdot t_1 – \displaystyle\frac{1}{2}g t_1^2 \\
&= v_0 \sin\theta \cdot \displaystyle\frac{v_0 \sin\theta}{g} – \displaystyle\frac{1}{2}g \left(\displaystyle\frac{v_0 \sin\theta}{g}\right)^2 \\
&= \displaystyle\frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} – \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} \\
&= \displaystyle\frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}
\end{aligned}
$$

最後の引き算で \(1 – \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}\) となるところで分母の2が出てくる。ここで分母を1のままにしてしまうミスが多発します。

\(t_2\) を求める。

$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 \sin\theta \cdot t_2 – \displaystyle\frac{1}{2}g t_2^2 \\
0 &= t_2 \left(v_0 \sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}g t_2\right)
\end{aligned}
$$

\(t_2 > 0\)（投げた瞬間ではない）なので括弧の中=0。

$$
\begin{aligned}
v_0 \sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}g t_2 &= 0 \\
\displaystyle\frac{1}{2}g t_2 &= v_0 \sin\theta \\
t_2 &= \displaystyle\frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
\end{aligned}
$$

これは \(t_1\) の2倍。対称性が確認できた。

次に \(l\) を求める。

$$
\begin{aligned}
l &= v_0 \cos\theta \cdot t_2 \\
&= v_0 \cos\theta \cdot \displaystyle\frac{2 v_0 \sin\theta}{g} \\
&= \displaystyle\frac{2 v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g} \\
&= \displaystyle\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}
\end{aligned}
$$

最後の変形は問題文のヒント \(2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\) を使った。(3)で「最遠角」を求めるためにこの形にする必要がある。

①: \(S\sin\theta = ma\)、②: \(S\cos\theta = mg\)

①÷② で \(S\) を消す。

$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{S\sin\theta}{S\cos\theta} &= \displaystyle\frac{ma}{mg} \\
\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= \displaystyle\frac{a}{g} \\
\tan\theta &= \displaystyle\frac{a}{g}
\end{aligned}
$$

質量 \(m\) も消えるので、おもりの重さに関係なく傾き角が決まる。

(2)で立てたつりあい式から \(S\) を直接出す。

$$
\begin{aligned}
S\sin\theta &= ma \\
S\cos\theta &= mg
\end{aligned}
$$

両辺を2乗して足す。

$$
\begin{aligned}
(S\sin\theta)^2 + (S\cos\theta)^2 &= (ma)^2 + (mg)^2 \\
S^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) &= m^2(a^2 + g^2) \\
S^2 &= m^2(g^2 + a^2) \\
S &= m\sqrt{g^2 + a^2}
\end{aligned}
$$

ここで \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使った。2乗して足すと角度が消えるのは三角関数の頻出技。

②から \(S\) を求める。

$$
\begin{aligned}
S\cos\theta &= mg \\
S &= \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}
\end{aligned}
$$

次に①に代入。半径は \(r = l\sin\theta\)。

$$
\begin{aligned}
mr\omega^2 &= S\sin\theta \\
m(l\sin\theta)\omega^2 &= \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta} \cdot \sin\theta \\
ml\sin\theta \cdot \omega^2 &= \displaystyle\frac{mg\sin\theta}{\cos\theta}
\end{aligned}
$$

両辺を \(ml\sin\theta\) で割る。

$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \displaystyle\frac{g}{l\cos\theta} \\
\omega &= \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}
\end{aligned}
$$

周期に変換。

$$
\begin{aligned}
T &= \displaystyle\frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \cdot \sqrt{\displaystyle\frac{l\cos\theta}{g}}
\end{aligned}
$$

最後の変形では \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{g/(l\cos\theta)}} = \sqrt{l\cos\theta/g}\) を使った。分数の中の分数に慣れていないと、ここで詰む。

アから。

$$
\begin{aligned}
kx_0 – mg &= 0 \\
x_0 &= \displaystyle\frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$

イ。エネルギー保存則を、つりあいの位置を運動エネルギー最大点、最下点を運動エネルギー0の点として書く。

$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 &= \displaystyle\frac{1}{2}kA^2 \\
mv^2 &= kA^2 \\
A^2 &= \displaystyle\frac{mv^2}{k} \\
A &= v\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}
\end{aligned}
$$

両辺を平方根する時、\(v > 0\) なので絶対値は不要。

エから。(イ) の \(A = v\sqrt{m/k}\) と (ア) の \(x_0 = mg/k\) を、\(A = x_0\) に入れる。

$$
\begin{aligned}
v\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} &= \displaystyle\frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$

両辺を \(\sqrt{m/k}\) で割って \(v\) を出す。

$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{mg}{k} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{m/k}} \\
&= \displaystyle\frac{mg}{k} \cdot \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}} \\
&= \displaystyle\frac{mg}{k} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} \\
&= \displaystyle\frac{mg \sqrt{k}}{k\sqrt{m}} \\
&= g \cdot \displaystyle\frac{m}{k} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} \\
&= g \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k}} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} \\
&= g \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{k}} \\
&= g\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}
\end{aligned}
$$

ルート計算は 「\(\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}\)」 をうまく使うのがコツ。

オ。

$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{3}{4}T &= \displaystyle\frac{3}{4} \cdot 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} \\
&= \displaystyle\frac{6\pi}{4}\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} \\
&= \displaystyle\frac{3\pi}{2}\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}
\end{aligned}
$$

①に \(x_A = L\) を入れる。

$$
\begin{aligned}
L &= v_0 \cos\theta \cdot t \\
t &= \displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta}
\end{aligned}
$$

②にこの \(t\) を代入。

$$
\begin{aligned}
y_A &= v_0 \sin\theta \cdot \displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta} – \displaystyle\frac{1}{2}g \left(\displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta}\right)^2
\end{aligned}
$$

第1項は \(v_0\) が約分で消えて、\(\sin\theta/\cos\theta = \tan\theta\)。

$$
\begin{aligned}
v_0 \sin\theta \cdot \displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta} &= L \cdot \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = L\tan\theta
\end{aligned}
$$

第2項は分数の2乗を展開。

$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}g \left(\displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta}\right)^2 &= \displaystyle\frac{1}{2}g \cdot \displaystyle\frac{L^2}{v_0^2 \cos^2\theta} = \displaystyle\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}
\end{aligned}
$$

合わせて。

$$
\begin{aligned}
y_A &= L\tan\theta – \displaystyle\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}
\end{aligned}
$$

\(y_A = y_B\) を書き下す。

$$
\begin{aligned}
v_0\sin\theta \cdot t – \displaystyle\frac{1}{2}g t^2 &= h – \displaystyle\frac{1}{2}g t^2
\end{aligned}
$$

両辺に \(\displaystyle\frac{1}{2}g t^2\) があるので、加えて消す。

$$
\begin{aligned}
v_0\sin\theta \cdot t &= h
\end{aligned}
$$

ここに (1) の \(t = \displaystyle\frac{L}{v_0\cos\theta}\) を代入。

$$
\begin{aligned}
v_0\sin\theta \cdot \displaystyle\frac{L}{v_0\cos\theta} &= h \\
L \cdot \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= h \\
L\tan\theta &= h \\
\tan\theta &= \displaystyle\frac{h}{L}
\end{aligned}
$$