学校H：高校2年生2学期中間考査解説

(1) 第1法則 ─ 惑星の軌道の形（答え=②楕円）

得点率は100.0%。全員が選べた。だからこそ「選べた」のその先、つまり楕円のどこに太陽がいるかまで描けるかを確かめてほしい。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 2本のピンを板に刺し、輪にした糸をかけて鉛筆をぴんと張りながら一周させる。これが楕円の描き方で、2本のピンの位置が「焦点」だ。楕円上のどの点も「2つの焦点からの距離の和が一定」になっている。太陽はこのピンの片方にいる。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 第1法則は、ケプラーがティコ・ブラーエの長年の観測データ（特に火星の位置）を分析して見つけた「観測事実」だ。その後ニュートンが、距離の2乗に反比例する引力のもとでは、閉じた軌道は楕円（円を含む）になることを示した。つまり楕円は「たまたま」ではなく、万有引力の性質から出てくる形だ。

Step 3 法則の意味を読む: 太陽が焦点にいるので、惑星と太陽の距離は軌道上で変わる。いちばん近い点（近日点）といちばん遠い点（遠日点）は、楕円のいちばん長い直径（長軸）の両端にある。長軸の半分が「半長軸 \(a\)」で、これは近日点の距離と遠日点の距離の平均にあたる。

$$\begin{aligned}
a &= \displaystyle\frac{r_{\text{近}}+r_{\text{遠}}}{2}
\end{aligned}$$

Step 4 確かめる: 2本のピンを近づけていくと、楕円はだんだん丸くなり、ピンが重なった瞬間に円になる。このとき \(r_{\text{近}}\) と \(r_{\text{遠}}\) は等しくなり、半長軸 \(a\) は円の半径そのものになる。円は楕円の仲間の一員であり、円で成り立つ話は「楕円の法則の特別な場合」として必ず成り立つ。

Step 5 妥当性チェック: もし軌道が開いた曲線なら、惑星は一度しか見えないことになり、毎年同じ季節がめぐってくる事実と合わない。閉じた曲線で、しかも太陽が真ん中にない。この2条件を満たすのが「太陽を焦点とする楕円」であり、①③④は消える。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 第2法則 ─ 単位時間に描く面積の名前（答え=③面積速度）

得点率は96.8%。名前は言えた。次は「なぜ一定なのか」を説明できるかが勝負だ。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 太陽と惑星を線分で結び、ごく短い時間 \(\Delta t\) の間にその線分が通り過ぎる細い三角形を描く。太陽に近いところでは「太くて短い」三角形、遠いところでは「細くて長い」三角形になる。第2法則は、この2つの三角形の面積が等しいと言っている。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 第2法則の正体は「太陽のまわりの回転の勢いが変わらない」ことだ。万有引力はいつも太陽の方を向いている。つまり力の作用線が必ず太陽を通るので、太陽のまわりの力のモーメント（物体を回そうとする働き）は0になる。回そうとする働きが0なら、回転の勢いは増えも減りもしない。これは[2]で学ぶ「うでの長さ」「力のモーメント」とまったく同じ考え方だ。

Step 3 式の意味を読む: 三角形の面積は「底辺×高さ÷2」。近日点や遠日点では、速度の向きが線分にちょうど垂直なので、底辺を \(r\)、高さを \(v\Delta t\) と見られる。

$$\begin{aligned}
\Delta S &= \displaystyle\frac{1}{2} r \, v\Delta t \\
\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta t} &= \displaystyle\frac{1}{2} r v
\end{aligned}$$

この \(\displaystyle\frac{1}{2}rv\) が面積速度だ。線分に垂直でない場所では、速度のうち線分に垂直な成分だけが三角形の高さになる。

Step 4 確かめる: 近日点と遠日点で面積速度が等しいとおく。

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2} r_{\text{近}} v_{\text{近}} &= \displaystyle\frac{1}{2} r_{\text{遠}} v_{\text{遠}}
\end{aligned}$$

\(r_{\text{近}} \lt r_{\text{遠}}\) なので \(v_{\text{近}} \gt v_{\text{遠}}\)。太陽に近いほど速く、遠いほど遅い。これは[4](2)で使う式そのものだ。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{m}^2/\text{s}\)＝「面積÷時間」で、「速度」と名前がつく理由に合う。円軌道なら \(r\) が一定なので \(v\) も一定となり、等速円運動と矛盾しない。極端な例として、太陽のすぐそばをかすめる彗星は、近日点で猛スピードになり、遠くではゆっくり進む。観測される彗星の動きとも一致する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 第3法則 ─ \(T^n=ka^m\) の指数（答え=\(n=2\)、\(m=3\)）

得点率は \(n\)・\(m\) ともに91.9%。ここは「覚えている」から「自分で導ける」へ進める絶好の場所だ。導けるなら、2と3を入れ替える心配は二度となくなる。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: いちばん簡単な場合として、太陽（質量 \(M\)）のまわりを惑星（質量 \(m\)）が半径 \(r\) の円軌道で回る絵を描く。(1)で見たとおり、円は楕円の特別な場合で、半長軸 \(a\) は半径 \(r\) になる。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 円運動の運動方程式（中心向きの加速度×質量＝中心向きの力）と、万有引力の法則を組み合わせる。第3法則はもともと観測から見つかった法則だが、ニュートンの力学から導ける。導けるということは、指数は「覚えるもの」ではなく「出てくるもの」だということだ。

Step 3 式の意味を読む: 中心向きに必要な力（向心力）を、万有引力がちょうどまかなっている。さらに、一周の道のり \(2\pi r\) を周期 \(T\) で進むので、速さは \(v=\displaystyle\frac{2\pi r}{T}\) と書ける。

Step 4 代入して確かめる: 結果は \(T^2=ka^3\) の形で、比例定数は \(k=\displaystyle\frac{4\pi^2}{GM}\) になった。周期 \(T\) は2乗、半径（半長軸）は3乗。よって \(n=2\)、\(m=3\)。しかも \(k\) の中身は中心天体の質量 \(M\) だけで決まり、回っている側の質量 \(m\) は消えている。だから同じ太陽を回る惑星どうしなら、\(\displaystyle\frac{T^2}{a^3}\) はみな同じ値になる。楕円軌道でも、\(r\) を半長軸 \(a\) に置きかえて同じ関係が成り立つ（楕円の場合の証明は大学の範囲）。

Step 5 妥当性チェック: 単位を確かめる。\(v^2=\displaystyle\frac{GM}{r}\) から \(GM\) の単位は \(\text{m}^3/\text{s}^2\) なので、\(\displaystyle\frac{r^3}{GM}\) の単位は \(\text{s}^2\) となり、\(T^2\) と一致する。直感でも確かめる。周期は「道のり÷速さ」。道のりは \(r\) に比例して長くなり、速さは \(v^2=\displaystyle\frac{GM}{r}\) から外側ほど遅くなる。遠回りで1、遅くなる分で \(\displaystyle\frac{1}{2}\)、合わせて周期は \(r\) の \(\displaystyle\frac{3}{2}\) 乗で伸びる。両辺を2乗すれば \(T^2\) と \(r^3\) の比例になる。誤答パターン②の「比例」では、遅くなる分が抜けていたわけだ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) 万有引力の法則を発見した科学者（答え=ニュートン）

得点率は62.9%。[1]の中でここだけが大きく下がった。この試験には名称を正しく書くよう求める注意書きがあり、人物を取り違えた人に加えて、名前は分かっていたのに正しく書けなかった人もいたと考えられる。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 年表を「観測 → 規則 → 原因 → 定数の測定」の4段で描く。ティコ・ブラーエが惑星の位置を長年観測し、ケプラーがそのデータから3法則（規則）を見つけ、ニュートンが万有引力（原因）で3法則を説明し、のちにキャベンディッシュが \(G\) を測った。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 「法則を発見した」は「原因を説明する式を立てた」という意味。ニュートンは運動の法則（運動方程式）と万有引力の法則をセットで示し、地上でりんごが落ちることと、月が地球のまわりを回ることを同じ1つの力で説明した。「万有」とは「すべての物体どうしの間にある」という意味だ。

Step 3 式の意味を読む: 万有引力の法則は次の式で表される。

$$\begin{aligned}
F &= G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}
\end{aligned}$$

質量をもつ物体どうしは、質量の積に比例し、距離の2乗に反比例する力で引き合う。(1)の楕円軌道、(2)の面積速度一定（力がいつも相手を向く）、(3)の \(T^2=ka^3\)。ケプラーの3法則はすべてこの1本の式から出てくる。

Step 4 確かめる: (3)の導出で、まさにこの式を使って第3法則を出した。ケプラーの規則がニュートンの式から再現できたこと、それ自体が「万有引力の法則を見つけたのはニュートン」という答えの中身だ。

Step 5 妥当性チェック（書いた字の確認）: 力の単位 \(\text{N}\) は彼の名にちなんで「ニュートン」と読む。君は力の単位を書くたびに、この名前を書いている。答えを書いたら、力の単位の読みと同じつづりになっているかを照らし合わせれば、書き誤りはその場で見つかる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 質量だけを考え、大きさを考えない物体（答え=質点）

得点率は71.0%。(2)の剛体（85.5%）より低い。対になる2つの用語のうち、こちらで取り違えが起きやすかったと考えられる。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 遠くへ投げたボールの軌跡を描く。どこへ落ちるかを知りたいだけなら、ボールが回っているかどうかも、形が丸いか四角いかも関係ない。ボールを「1つの点」として描けば十分だ。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 運動方程式 \(ma=F\) が教えてくれるのは、物体全体の位置（正確には重心）がどう動くかだ。回転を問題にしないなら、大きさの情報は答えに一切影響しない。だから大きさを捨てて、質量だけを残す。これが質点という見方だ。

Step 3 意味を読む: 「大きさを無視する」は「回転を無視する」と同じ意味になる。点には「軸からの距離」がないので、物体を回す働き（力のモーメント）を考えようがない。質点の世界には、うでの長さも偶力も存在しない。

Step 4 確かめる: [1][3][4]で太陽や地球、月や衛星を扱ったとき、天体はすべて点として描いた。巨大な天体でも、公転の位置だけを問うなら質点で扱える。一方、同じ地球でも「自転」を問うなら、大きさを持つ物体として扱わなければならない。

Step 5 妥当性チェック: 質点で扱ってよいかの判定基準は「回転や形が答えに影響するか」。影響しないなら質点、影響するなら剛体（またはもっと細かい見方）。物体が大きいか小さいかで決まるのではない、という点を確認しておく。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 質量と大きさを考え、変形しない物体（答え=剛体）

得点率は85.5%。名前は多くの人が書けた。ここでは「なぜ変形しないと決めるのか」まで掘る。この理由が(5)の答えにそのまま効いてくる。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 机に置いた定規の端を指で押す場面を描く。本当は定規はごくわずかにたわんでいるが、目には見えないほど小さい。そのたわみを「0」と決めてしまうのが剛体という見方だ。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 変形まで考えると、どこがどれだけ伸び縮みするかを1つずつ計算しなければならず、つり合いの問題がとても解きにくくなる。変形が小さいならそれを無視し、「力がどこに働くか」だけに集中する。そうすると、剛体のつり合いは「①力の和が0」「②力のモーメントの和が0」という2つの条件だけで決まる。

Step 3 意味を読む: 変形しないことから、とても大事な性質が出てくる。剛体では、力をその作用線（力の矢印を前後にまっすぐ延ばした線）に沿ってずらしても、物体に与える効果は変わらない。棒の端を押しても、同じ作用線上の別の点を押しても、変形しないなら棒全体の動きは同じになるからだ。

Step 4 確かめる: 3つの見方を並べると関係がはっきりする。質点（大きさなし・回転なし）、剛体（大きさあり・回転あり・変形なし）、弾性体（大きさあり・変形あり）。右へ行くほど現実に近く、そのぶん計算が重くなる。問題を解くのに必要な最小限の見方を選ぶ、という考え方だ。

Step 5 妥当性チェック: 変形が答えに効く場面（ばねの伸び、ゴムの縮み）では剛体の見方は使えない。逆に、棒をつるす・ベビーカーが傾く、といった[5][8]の場面では変形は答えに効かないので、剛体で扱うのが正しい。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) その場で回転するのはどの2力か（答え=B）

得点率は91.9%。図を見て判断する力は、ほとんどの人が持っている。次はその判断を「条件」と「量」で説明できるようにする段階だ。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: A・B・Cの3つの図の横に、「力の和」と「力のモーメントの和」の2つの欄をつくる。1つの物体の動きを、この2つの欄で分けて考える準備だ。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 剛体の動きは「重心の移動」と「重心のまわりの回転」の2つに分けられる。移動を決めるのは力の和、回転を決めるのは力のモーメントの和。「その場で回る」とは「移動0・回転あり」なので、「力の和0・モーメントの和が0でない」組を探せばよい。

Step 3 式の意味を読む: 大きさ \(F\) の2力が逆向きで、作用線の間の距離が \(d\) のとき、2力のモーメントの和は \(Fd\) になる。しかもこの値は、どの点のまわりで計算しても変わらない。下で確かめよう。

Step 4 判定する: A＝力の和0、作用線が同じなので \(d=0\) となりモーメントも0。何も起きない（引っ張られるだけ）。B＝力の和0、モーメント \(Fd\) が残る。その場で回転する。C＝力の和が0でない（長いほうの力の向きに残る）、モーメントも0でない。回転しながら移動する。よって答えはB。

Step 5 妥当性チェック: 車のハンドルを両手で回すとき、右手を上へ、左手を下へ、同じくらいの力で動かす。ハンドルは横にずれず、その場で回る。片手だけで押すと、ハンドルは回るが、軸を横へ押す力も生まれてしまう。体の感覚とも判定が一致する。極端な場合として \(d\) を0に近づけると、Bは作用線がそろってAと同じになり、回転は消える。式 \(Fd\) とも合っている。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) その場で回転を起こす2力の組の名前（答え=偶力）

得点率は38.7%。(3)の図を91.9%が正しく選べたのに、その名前を書けたのは4割を切った。分かっているのに書けなかった人が多かった問題だ。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 1つの物体に、同じ長さで逆向きの平行な矢印を2本、作用線をずらして描く。これが偶力の絵で、(3)のBそのものだ。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 名前は「性質を表す字」から引き出す。性質は「2つで1組」＝偶、それが「力」。性質から字が決まるので、字を覚えるのではなく、性質を覚えれば名前は再生できる。

Step 3 意味を読む: 偶力の特徴は、力の和が0なのに、モーメント \(Fd\) が残ること。しかも(3)で確かめたとおり、\(Fd\) はどの点のまわりで計算しても同じだ。つまり偶力は「物体を移動させる働き」をまったく持たず、「回す働き」だけを持つ、純粋な回転のもとだ。

Step 4 確かめる: 作用反作用と並べて、違いを表で確かめる。

Step 5 妥当性チェック（書いた字の確認）: 書き終えたら「偶数の偶か？」と1回だけ照合する。意味の面でも、「2つで1組の力」と言いかえて(3)のBの説明として通じるかを確かめる。通じれば字も意味も正しい。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(5) 「うでの長さ」とは何の距離か（答え=B）

得点率は53.2%。約半数が、作用点までの距離（A）などと取り違えた可能性が高い。ここは[5][8]の計算の出来を直接左右する、[2]でいちばん重要な問題だ。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 回転軸Oのある棒を描き、Oから距離 \(r\) の点Pに、棒と角 \(\theta\) をなす向きの力 \(F\) を描く。次に、力の矢印を前後にまっすぐ延ばして作用線を点線で描き、Oからその点線へ垂線を下ろす。この垂線の長さ \(d\) がうでの長さだ。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 力のモーメント（物体を回す働き）は「力の大きさ×うでの長さ」。うでの長さが「作用線まで」の距離になる理由は、(2)で見た剛体の性質にある。剛体では、力を作用線に沿ってずらしても効果は変わらない。つまり作用点は作用線上のどこへでも動かせてしまい、「作用点までの距離」は1つに決まらない。どこへ動かしても変わらないのは、軸から作用線までのいちばん短い距離、つまり垂線の長さだけだ。

Step 3 式の意味を読む: 図の直角三角形から \(d=r\sin\theta\)。モーメントは次のように2通りに読める。

$$\begin{aligned}
M &= Fd \\
&= F\,r\sin\theta \\
&= r \times F\sin\theta
\end{aligned}$$

2行目は「力そのもの \(F\) × うでの長さ \(r\sin\theta\)」、3行目は「作用点までの距離 \(r\) × 力のうち棒に垂直な成分 \(F\sin\theta\)」。どちらも同じ値だ。Aを選んだ人は3行目の \(r\) だけを覚えていて、「力のほうを垂直成分にする」という半分を落としていた、とも言える。

Step 4 確かめる: 2つの極端な場合を入れてみる。\(\theta=90^\circ\)（棒に垂直に押す）なら \(d=r\) となり、うでの長さと作用点までの距離が一致する。教科書の図の多くがこの場合なので、AとBの区別がつきにくい。一方 \(\theta=0^\circ\)（棒に沿って軸の方へ押す）なら \(d=0\) で、モーメントは0。ドアノブを蝶番（ちょうつがい）に向かって押してもドアは開かない。このとき作用点までの距離 \(r\) は変わっていないのに回らない。Aの定義ではこの現象を説明できない。

Step 5 妥当性チェック: 単位は「力×距離」で \(\text{N}\cdot\text{m}\)。うでの長さは距離なので \(\text{m}\) であり、力の大きさ（Dの矢印が表す量）とは単位からして別物だと確認できる。直感でも確かめる。固いねじをスパナで回すとき、柄に垂直に力をかけるといちばん回しやすく、斜めに引くと回しにくい。作用線が軸に近づき、うでの長さが短くなるからだ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 月が受ける万有引力の大きさ

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 地球の中心と月の中心を結ぶ直線を引く。月は、この直線に沿って地球の中心の向きに引かれている。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 万有引力の法則。大きさは「\(G\) × 質量の積 ÷ 中心間距離の2乗」。地球も月も球なので、中心に全質量が集まった点とみなしてよい。だから距離は中心どうしの \(r\)。

Step 3 式の意味を読む。

$$\begin{aligned}
F &= G\displaystyle\frac{mM}{r^2}
\end{aligned}$$

分子は「どれだけ重い者どうしか」、分母は「どれだけ離れているか」。距離が2倍になると力は \(\displaystyle\frac{1}{4}\) に弱まる。

Step 4 代入して確かめる。 文字式のまま答える問題なので、数値代入は不要。

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(G\) の単位は \(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)。これに \(\text{kg}^2\) をかけて \(\text{m}^2\) で割ると \(\text{N}\)。力の単位。合う。②極端ケース：\(r\) を限りなく大きくすると \(F\) は \(0\) に近づく。遠く離れれば引き合わない。直感と一致。③作用反作用：地球も月から同じ大きさ \(G\displaystyle\frac{mM}{r^2}\) で引かれている。式が \(m\) と \(M\) について対称なのはそのため。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 周期 ─ 27.4％の壁は「\(v\) を出す1本の式」

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 月は半径 \(r\) の円の上を速さ \(v\) で回る。加速度は常に円の中心（地球）向きで大きさ \(\displaystyle\frac{v^2}{r}\)。その加速度をつくっている力は、地球向きの万有引力。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 中心向きの運動方程式「質量×向心加速度＝中心向きの力」。中心向きの力は(1)の万有引力そのもの。なぜこの式か：周期は「1周の長さ÷速さ」で決まるので、まず速さ \(v\) を知る必要がある。\(v\) を決めているのは、力と運動を結ぶ運動方程式しかない。

Step 3 式の意味を読む。

$$\begin{aligned}
m\displaystyle\frac{v^2}{r} &= G\displaystyle\frac{mM}{r^2}
\end{aligned}$$

左辺は「この速さで半径 \(r\) の円を回り続けるのに必要な中心向きの力」、右辺は「地球が実際に引いてくれる力」。両者がちょうど等しい速さのときだけ、月は同じ円を回り続けられる。速すぎれば外へふくらみ、遅すぎれば内へ落ちていく。

Step 4 代入して確かめる。 まず \(v\) を出し、それを周期の定義式に入れる。

$$\begin{aligned}
T &= 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{r^3}{GM}}
\end{aligned}$$

別ルート：角速度 \(\omega\) で書いた運動方程式 \(mr\omega^2=G\displaystyle\frac{mM}{r^2}\) から \(\omega^2=\displaystyle\frac{GM}{r^3}\) を出し、\(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) としても同じ答えになる。どちらでもよいが、出発点が運動方程式であることは変わらない。

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(GM\) の単位は \(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) に \(\text{kg}\) をかけて \(\text{m}^3/\text{s}^2\)。\(\displaystyle\frac{r^3}{GM}\) は \(\text{m}^3\) を \(\text{m}^3/\text{s}^2\) で割って \(\text{s}^2\)、ルートで \(\text{s}\)。時間の単位。合う（ルートの中を上下逆にすると \(1/\text{s}\) になってしまい、誤答パターン④はここで見抜ける）。②向き：\(r\) が大きいほど \(T\) は長い。太陽から遠い惑星ほど1年が長いのと一致。③\(m\) が消えた：同じ半径なら、重い衛星も軽い衛星も同じ周期で回る。宇宙ステーションの中で人が浮いて見えるのは、人とステーションが同じ周期で一緒に回っているから。④両辺を2乗すると \(T^2=\displaystyle\frac{4\pi^2}{GM}r^3\)。これがケプラーの第3法則そのもので、比例定数 \(\displaystyle\frac{4\pi^2}{GM}\) は中心の天体の質量 \(M\) だけで決まる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 運動エネルギー

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 月は速さ \(v\) で円を回っている。運動エネルギーは「速さだけ」で決まる量。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 運動エネルギーの定義 \(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) と、(2)で運動方程式から出した \(v^2=\displaystyle\frac{GM}{r}\)。なぜ \(v\) でなく \(v^2\) を使うか：定義式に入っているのが \(v^2\) なので、ルートを外した形をそのまま入れる方が速くて安全。

Step 3 式の意味を読む。 「速さを、地球の引く強さ \(GM\) と半径 \(r\) で言い換える」操作。

Step 4 代入して確かめる。

$$\begin{aligned}
K &= G\displaystyle\frac{mM}{2r}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(\text{kg}\) に \(v^2\) の単位 \(\text{m}^2/\text{s}^2\) をかけて \(\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2\)＝\(\text{J}\)。エネルギーの単位。合う。②正の値：運動エネルギーは必ず正。合う。③向き：\(r\) が小さいほど \(K\) は大きい＝内側の円ほど速く回る。水星が地球より速く公転するのと一致。この性質が(6)の答えそのものになる。④形の観察：\(K=\displaystyle\frac{1}{2}\times G\displaystyle\frac{mM}{r^2}\times r\)、つまり「万有引力×半径」のちょうど半分。誤答パターン②はこの「半分」を落としたもの。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) 力学的エネルギー（位置エネルギーの基準は無限遠）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 地球を中心にした深い「くぼみ（井戸）」を思い浮かべる。井戸のふち＝無限遠の高さを \(0\) とする。月はその井戸の内側の壁を、一定の深さで回り続けている。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー。運動エネルギーは(3)の \(K\)。位置エネルギーは、無限遠基準の万有引力の位置エネルギー \(U=-G\displaystyle\frac{mM}{r}\)。

Step 3 式の意味を読む。

$$\begin{aligned}
E &= K+U
\end{aligned}$$

\(K\) は正（井戸の中を走る勢い）、\(U\) は負（井戸の深さ）。足し算の結果が正か負かで、月が井戸から出られるかどうかが決まる。

Step 4 代入して確かめる。

$$\begin{aligned}
E &= -G\displaystyle\frac{mM}{2r}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(\text{J}\)。合う。②負の意味：\(E\) が負＝井戸のふちまで登りきるだけの勢いがない＝地球に捕まっている（束縛されている）。月が地球から離れていかないのと一致。地球の引力を振り切って無限遠へ行くには、少なくとも \(G\displaystyle\frac{mM}{2r}\) だけのエネルギーを外から加えて \(E\) を \(0\) 以上にする必要がある。③極端ケース：\(r\) を限りなく大きくすると \(E\) は \(0\) に近づく。井戸のふちに近いほど浅い。合う。④3つの量の比：(3)と並べると、\(K=G\displaystyle\frac{mM}{2r}\)、\(U=-G\displaystyle\frac{mM}{r}\)、\(E=-G\displaystyle\frac{mM}{2r}\)。比は \(K:U:E=1:(-2):(-1)\)。この比が(5)(6)の鍵になる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(5) 力学的エネルギーが減ったとき、半径は？

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 力学的エネルギーが少し減った後も、月は（別の）円を等速で回っている。前の円の半径を \(r\)、後の円の半径を \(r_{\text{後}}\) とする。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 円軌道なら、前でも後でも(4)の結果 \(E=-G\displaystyle\frac{mM}{2r}\) が成り立つ。なぜなら(4)の導出は「円を等速で回っている」ことしか使っていないから。つまり \(E\) と \(r\) は1対1で結ばれている。

Step 3 式の意味を読む。 \(E\) は負の数で、\(r\) が小さいほど大きな負の数（井戸の深い所）になる。「\(E\) が減る＝井戸の深い所へ移る」。

Step 4 代入して確かめる。 「減った」を不等号で書き、順に変形する。

したがって \(r_{\text{後}}\lt r\)、半径は小さくなる。答えはイ。

Step 5 妥当性チェック。 ①井戸の絵：エネルギーを失う＝井戸の深い所へ沈む＝地球に近づく。絵と一致。②逆向きの極端ケース：\(E\) を増やして \(0\) に近づけると \(r\) は限りなく大きくなり、\(E=0\) で無限遠まで逃げていく。(4)の「負＝束縛」の話とつながる。③「遅くなって落ちる」という物語は使っていない。式だけで結論が出たことを確認する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(6) そのとき速さは？ ─ 21.0％の逆説「エネルギーが減ったのに速くなる」

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 (5)で月は内側の円（半径 \(r_{\text{後}}\lt r\)）へ移った。内側の円でも等速円運動は続いている。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 道は2本ある。道A＝運動方程式：新しい円でも \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=G\displaystyle\frac{mM}{r^2}\) が成り立つので \(v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}\)。変わるのは \(r\) だけで、\(G\)・\(M\) は定数。道B＝エネルギーの比：(4)で見た \(K:U:E=1:(-2):(-1)\)、つまり \(K=-E\)、\(U=2E\)。2本の独立な道で同じ結論が出れば、直感の方を修正してよい。

Step 3 式の意味を読む。 道A：\(v\) は \(\sqrt{r}\) に反比例＝内側ほど速い。道B：\(K=-E\) なので、\(E\) が減れば（より負になれば）\(K\) は増える。

Step 4 代入して確かめる。 道Bで、エネルギーの出入りを帳簿のように追う。失った力学的エネルギーの大きさを \(W\)（\(W \gt 0\)）とする。

運動エネルギーが \(W\) 増えたので、速さは速くなる。道A（\(r\) が小さいほど \(v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}\) は大きい）とも一致。答えはア。

Step 5 妥当性チェック。 ①直感への翻訳：月は井戸の内側へ落ちた。物を落とせば速くなるのと同じで、落ちた分の位置エネルギーが運動エネルギーに変わる。抵抗などが奪うのは、その落ちた分の一部（半分）だけ。だから「エネルギーを失いながら速くなる」は矛盾しない。②現実との照合：低い軌道の人工衛星は、ごく薄い大気から抵抗を受けると、高度を下げながら速くなっていく。抵抗が「ブレーキ」なのに速くなる、という同じ逆説が実際に起こる。③2本の道の一致：運動方程式（道A）とエネルギーの比（道B）が同じ結論。独立な2つの確認が一致したので、直感の「遅くなる」の方を修正する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1)-① 円軌道の速さ \(v_0\)（得点率42.7％）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 地球の中心を中心に、半径 \(r\) の円をぐるぐる回る衛星。衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけで、それは常に地球の中心を向く。つまり、この万有引力が「円運動をさせるための中心向きの力（向心力）」の役を一人で担っている。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 等速円運動では、中心向きの加速度が \(\displaystyle\frac{v^2}{r}\)。だから中心向きの運動方程式「\(m \times\)（中心向きの加速度）＝（中心向きの力）」を立てる。力は万有引力 \(G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)。

Step 3 式の意味を読む。 左辺は「この速さで半径 \(r\) を回るのに必要な中心向きの力」、右辺は「地球が実際に引っぱってくれる力」。この2つがぴったり等しい速さのときだけ、衛星は円を描き続ける。

$$\begin{aligned}
m\displaystyle\frac{v_0^2}{r} &= G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。 両辺を \(m\) で割り、\(r\) を掛けて、ルートをとる。

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(G\) の単位は \(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)。これに \(M\)（\(\text{kg}\)）を掛け \(r\)（\(\text{m}\)）で割ると \(\text{N}\cdot\text{m}/\text{kg}\)。\(\text{N}\) は \(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2\) なので、全体は \(\text{m}^2/\text{s}^2\)＝速さの2乗。ルートをとれば速さ。合っている。②傾き：\(r\) が大きい（地球から遠い）ほど \(v_0\) は小さい。遠くの惑星ほどゆっくり回る、という天体の常識と一致。③\(m\) が残らない：落下運動で重さによらず同じように落ちるのと同じ理由。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1)-② 円軌道の周期 \(T_0\)（得点率34.7％）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 円周 \(2\pi r\) の道を、一定の速さ \(v_0\) で1周する。その時間が周期 \(T_0\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 等速なので「時間＝距離÷速さ」がそのまま使える。速さは①で求めた \(v_0\) を部品として使う。

Step 3 式の意味を読む。 \(T_0=\displaystyle\frac{2\pi r}{v_0}\)。半径が大きいと、①道が長くなり、②しかも速さが遅くなる。二重に周期が長くなるので、\(r\) の効き方は1乗より強くなるはずだ。

$$\begin{aligned}
T_0 &= \displaystyle\frac{2\pi r}{v_0}
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。 \(v_0=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}\) を入れ、外の \(r\) をルートの中へしまう。

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：①で見たとおり \(\displaystyle\frac{GM}{r}\) は \(\text{m}^2/\text{s}^2\)。だから \(\displaystyle\frac{r^3}{GM}\) は \(\text{m}^3\) を \(\text{m}^3/\text{s}^2\) で割ったもの＝\(\text{s}^2\)。ルートをとって \(\text{s}\)、時間になる。誤答パターン②の \(\displaystyle\frac{r^2}{GM}\) だと \(\text{s}^2/\text{m}\) になって時間にならない。②式を2乗すると \(T_0^2=\displaystyle\frac{4\pi^2}{GM}r^3\)。つまり「周期の2乗は半径の3乗に比例」＝ケプラーの第3法則そのもの。(4)でこの形が主役になる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 楕円軌道の遠地点Bでの速さ \(V\)（得点率69.4％）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 地球の中心から衛星へ線分を引く。ごく短い時間 \(\Delta t\) の間に衛星は \(v\Delta t\) だけ進み、線分は細い三角形をはらう。近地点Aでは、衛星の速度は線分に垂直だ。なぜなら、Aは地球にいちばん近い点で、その瞬間の衛星は地球に「近づいてもいないし遠ざかってもいない」。地球へ向かう成分が0＝速度は線分に垂直。遠地点Bも同じ理由（いちばん遠い点）で垂直になる。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 衛星にはたらく力は万有引力だけで、それは常に地球の中心を向く。この条件のもとで成り立つのがケプラーの第2法則＝面積速度一定。AとBの速さを結ぶにはこれを使う。エネルギー保存も成り立つが、それは(3)で使う。

Step 3 式の意味を読む。 Aでは、細い三角形の「底辺」が \(r\)、「高さ」が \(v\Delta t\)（速度が底辺に垂直だから、進んだ距離がそのまま高さになる）。面積は \(\displaystyle\frac{1}{2}r\cdot v\Delta t\)。これを \(\Delta t\) で割ったものが面積速度 \(\displaystyle\frac{1}{2}rv\)。Bでも同じく \(\displaystyle\frac{1}{2}RV\)。この2つが等しい。

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}rv &= \displaystyle\frac{1}{2}RV
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。 両辺に2を掛けて \(R\) で割る。

Step 5 妥当性チェック。 ①大小：\(R \gt r\) なので \(\displaystyle\frac{r}{R} \lt 1\)、つまり \(V \lt v\)。遠い点ほど遅い。直感どおり。②極端ケース：\(R=r\)（楕円がつぶれて円に戻る）なら \(V=v\)。円軌道では速さ一定なので正しい。③単位：\(\displaystyle\frac{r}{R}\) は長さ÷長さで単位なし。\(V\) と \(v\) は同じ単位。合っている。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 楕円軌道の近地点Aでの速さ \(v\)（得点率6.5％）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 加速した直後の衛星はAから外へふくらみながら遠ざかり、Bに着く。遠ざかる間、地球に引き戻されて少しずつ遅くなる（運動エネルギーが位置エネルギーに変わる）。Aで速さ \(v\)・距離 \(r\)、Bで速さ \(V\)・距離 \(R\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 加速が終わった後、衛星にはたらく力は万有引力だけ。万有引力は保存力なので、力学的エネルギー（運動エネルギー＋万有引力の位置エネルギー）が保存する。位置エネルギーは \(g\) が一定でない場面なので \(mgh\) ではなく \(-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) を使う。そして未知数2つに対して、(2)の面積速度の式と合わせて2本で解く。

Step 3 式の意味を読む。 左辺はAでのエネルギー、右辺はBでのエネルギー。AからBへ行くと、運動エネルギーは減り（遅くなる）、位置エネルギーは増える（\(-G\displaystyle\frac{Mm}{R}\) は \(-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) より0に近い）。その増減がぴったり打ち消し合う。

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2-G\displaystyle\frac{Mm}{r} &= \displaystyle\frac{1}{2}mV^2-G\displaystyle\frac{Mm}{R}
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。 (2)の \(V=\displaystyle\frac{r}{R}v\) を代入して \(v\) について解く。ポイントは2か所：①\(\displaystyle\frac{1}{r}-\displaystyle\frac{1}{R}\) の通分、②\(R^2-r^2=(R-r)(R+r)\) の因数分解。どちらにも \((R-r)\) が現れ、最後に約分で消える。

Step 5 妥当性チェック（必ず全部やる）。

①極端ケース1（楕円が円に戻る）：\(R=r\) とおくと \(v^2=\displaystyle\frac{2GMr}{r\cdot 2r}\)、つまり \(v^2=\displaystyle\frac{GM}{r}\)。これは(1)の \(v_0^2\) と一致。加速しなければ円のまま、という当たり前のことを式が言っている。

②大小（加速したか）：\(v^2\) を \(v_0^2\) で割ると \(\displaystyle\frac{2R}{r+R}\)。\(R \gt r\) なら分子 \(2R\) は分母 \(r+R\) より大きいので、この比は1より大きい。つまり \(v \gt v_0\)。「Aで加速した」という問題の設定と矛盾しない。

③極端ケース2（Bがとても遠い）：\(R\) を限りなく大きくすると \(\displaystyle\frac{2R}{r+R}\) は2に近づき、\(v\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{r}}\) に近づく。これは「二度と戻ってこない＝地球の引力をふり切る」ぎりぎりの速さ（第2宇宙速度と呼ばれる）。楕円がどこまでも細長くのびた先に、脱出がある。式が物理の景色とつながっている。

④単位：\(\displaystyle\frac{GMR}{r(r+R)}\) は \(\displaystyle\frac{GM}{r}\) に「長さ÷長さ」を掛けた形なので、\(\text{m}^2/\text{s}^2\)。ルートで速さ。合っている。

⑤対称性：(2)の \(V=\displaystyle\frac{r}{R}v\) に代入すると \(V=\sqrt{\displaystyle\frac{2GMr}{R(r+R)}}\)。\(v\) の式の \(r\) と \(R\) を入れかえた形になっている。AとBは「近い点と遠い点」というだけで立場は対等なので、この対称性は自然だ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) 楕円軌道の周期 \(T\)（得点率8.1％）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 楕円を描き、長い方の直径（長軸）をABとする。地球は長軸の上、Aに近い側の焦点にいる。Aは地球から \(r\)、Bは地球の反対側に \(R\)。だから長軸の全長は \(r+R\)、半長軸は

$$\begin{aligned}
a &= \displaystyle\frac{r+R}{2}
\end{aligned}$$

あわせて、もとの円軌道も描く。円は「長軸も短軸も直径 \(2r\)」の楕円なので、半長軸は \(r\)、周期は \(T_0\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 周期を問われ、しかも楕円の速さは場所によって変わる。こういうときの道具がケプラーの第3法則「\(T^2\) は \(a^3\) に比例」。比例定数は(1)-②で見たとおり \(\displaystyle\frac{4\pi^2}{GM}\) で、中心の天体（地球）だけで決まる。円軌道と楕円軌道は同じ地球のまわりを回っているので、同じ比例定数を共有する。だから2つの軌道を等号で結べる。

Step 3 式の意味を読む。 「周期の2乗÷半長軸の3乗」は、同じ中心天体のまわりならどの軌道でも同じ値。円軌道（半長軸 \(r\)、周期 \(T_0\)）と楕円軌道（半長軸 \(a\)、周期 \(T\)）で書くと、

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{T^2}{a^3} &= \displaystyle\frac{T_0^2}{r^3}
\end{aligned}$$

\(G\)、\(M\) を使わずに、比だけで \(T\) を出せる。これが「\(T_0\)、\(r\)、\(R\) で表せ」の意味だ。

Step 4 代入して確かめる。 \(T^2\) について解き、ルートをとってから \(a=\displaystyle\frac{r+R}{2}\) を入れる。

Step 5 妥当性チェック。 ①極端ケース：\(R=r\)（楕円が円に戻る）なら \(\displaystyle\frac{r+R}{2r}=1\) で \(T=T_0\)。正しい。②大小：\(R \gt r\) なら \(\displaystyle\frac{r+R}{2r} \gt 1\) なので \(T \gt T_0\)。加速して外へふくらんだ大きな軌道は、1周に時間がかかる。直感どおり。③単位：\(\displaystyle\frac{r+R}{2r}\) は長さ÷長さで単位なし。\(T\) は \(T_0\) と同じ時間の単位。合っている。④別ルートでの検算：(1)-②の \(T_0=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{r^3}{GM}}\) の \(r\) を \(a\) に置きかえた \(2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{a^3}{GM}}\) を \(T_0\) で割っても、同じ \(\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^{3/2}\) が出る。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 斜めの棒を鉛直な糸2本でつるす ─ \(60^\circ\) は答えに効くのか

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 棒にはたらく力は3本。左端に \(T_1\)（鉛直上向き）、右端に \(T_2\)（鉛直上向き）、中央の重心に重力 \(60 \, \text{N}\)（鉛直下向き）。糸が棒と \(60^\circ\) をなすので、棒は水平から \(30^\circ\) 傾いている。この傾きを \(\theta\) と置いておく。3本の力はすべて鉛直という点が最重要。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 未知の力は \(T_1\) と \(T_2\) の2つ。式は「力のつり合い」と「モーメントのつり合い」の2本。モーメントの支点は未知の力が作用している点にとる。左端を支点にすれば \(T_1\) のうでの長さが \(0\) になり、式から消える。残る未知数は \(T_2\) だけになり、1本の式で決まる。

Step 3 式の意味を読む: うでの長さは「支点から力の作用線までの距離」。力が鉛直なら作用線も鉛直なので、うでの長さは支点からの水平距離になる。左端から重心までの水平距離は \(0.40\cos\theta\)、左端から右端までは \(0.80\cos\theta\)。どちらにも同じ \(\cos\theta\) がつく。つまり「傾けると、すべてのうでが同じ割合で縮む」だけ。重心から見た左右の水平距離は \(0.40\cos\theta\) ずつで、比は1:1のまま。

Step 4 代入して確かめる:

よって \(T_1=30 \, \text{N}\)、\(T_2=30 \, \text{N}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は両辺とも \(\text{N}\cdot\text{m}\) で一致し、\(T_1+T_2=60\) も満たす。極端なケースで確かめよう。棒を水平に戻す（\(\theta=0^\circ\)）と、中央に重心がある棒を両端で支えるので、左右対称で \(30\) ずつなのは明らか。そこから棒を傾けても、すべてのうでが同じ割合で縮むだけなので配分は変わらない。重心の真上を通る鉛直線は、傾けても両端の糸のちょうど真ん中を通る。この直感とも一致する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 水平な棒を左端と途中の2本で支える ─ どちらの糸がどれだけ受け持つか

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 水平な棒に、左端で \(T_1\)（上向き）、左端から \(0.60 \, \text{m}\) の点で \(T_2\)（上向き）、左端から \(0.40 \, \text{m}\) の重心で \(60 \, \text{N}\)（下向き）。重心は2本の糸の間にあり、\(T_2\) の糸のほうが重心に近い（重心から \(T_1\) まで \(0.40\)、\(T_2\) まで \(0.20\)）。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: (1) と同じ方針で、未知の力 \(T_1\) が作用する左端を支点にとる。\(T_1\) がうで \(0\) で消え、\(T_2\) だけの式になる。その後、鉛直方向の力のつり合いで \(T_1\) を出す。

Step 3 式の意味を読む: 左端まわりで「\(T_2\) が棒を反時計回りに回そうとする働き」と「重力が時計回りに回そうとする働き」が打ち消し合う。棒は水平なので、うでの長さは棒に沿った距離そのものでよい（力が棒に垂直だから）。

Step 4 代入して確かめる:

よって \(T_1=20 \, \text{N}\)、\(T_2=40 \, \text{N}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{N}\)、合計 \(20+40=60\) で重さと一致。重心に近い \(T_2\) のほうが大きく、比は \(T_1:T_2=1:2\)。これは重心から各糸までの距離の比 \(0.40:0.20=2:1\) のちょうど逆。「近い支えほど多く受け持つ」という直感と合う。極端に見ると、\(T_2\) の糸を重心の真上（\(0.40\)）まで動かせば \(T_2=60\)、\(T_1=0\) となり、糸1本で支えられる。この連続的な変化の途中に今回の答えがある。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 糸1本とおもりで水平を保つ ─ 糸の位置は「全体の重心」の真上

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 水平な棒に、左端から \(x\) の点で \(T_1\)（上向き）、左端から \(0.40\) の重心で \(60 \, \text{N}\)（下向き）、右端（左端から \(0.80\)）で \(20 \, \text{N}\)（下向き）。未知は \(T_1\) と \(x\) の2つ。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: まず力のつり合いで \(T_1\) を決める（未知数が \(T_1\) だけの式なので）。次にモーメントのつり合いで \(x\) を決める。ここでも支点は未知の力 \(T_1\) が作用する糸の位置にとる。すると \(T_1\) が消え、\(x\) だけの式になる。

Step 3 式の意味を読む: 糸の位置を支点にすると、左側の棒の重心は支点から \(x-0.40\)、右側のおもりは支点から \(0.80-x\) の距離。「棒の重力が反時計回りに回そうとする働き」と「おもりが時計回りに回そうとする働き」が等しい、という1本の式になる。てこのつり合いそのものだ。

Step 4 代入して確かめる:

よって \(T_1=80 \, \text{N}\)、\(x=0.50 \, \text{m}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{N}\) と \(\text{m}\)。\(x\) は棒の重心 \(0.40\) とおもり \(0.80\) の間にあり、重い棒のほうに寄っている。重さの比は \(60:20=3:1\)、支点からの距離は \(0.10:0.30=1:3\) で、ちょうど逆比。極端なケースも見よう。おもりを \(0\) にすれば式は \(60\times(x-0.40)=0\) で \(x=0.40\)（棒の中央）に戻る。おもりをどんどん重くすれば \(x\) は右端 \(0.80\) に近づく。どちらも直感どおりだ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

L字の針金の重心 ─ 2本の棒の「重さつき平均」

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: L字の針金を、\(y\) 軸上の部分（長さ \(1.2\)）と \(x\) 軸上の部分（長さ \(2.4\)）の2本のまっすぐな棒に分ける。それぞれの重心は中点で、\(y\) 軸上の部分は \((0,\ 0.60)\)、\(x\) 軸上の部分は \((1.2,\ 0)\)。重さは長さに比例するので、比を \(1:2\) とおく（実際の重さを知らなくても、比だけで重心は決まる）。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 重心の座標は「部品ごとの重心座標を、部品の重さで重みづけした平均」。これは「全体の重さを重心1点に集めても、原点Oまわりのモーメントは部品ごとの合計と同じになる」という条件そのもの。[5] で支点を「消したいものの上」に選んだのと同じ発想で、原点Oを基準にとると、\(y\) 軸上の部分は \(x\) 座標が \(0\)、\(x\) 軸上の部分は \(y\) 座標が \(0\) なので、それぞれ片方の式から項が消えて計算が軽くなる。

Step 3 式の意味を読む: \(x_{\text{G}}=\displaystyle\frac{w_1x_1+w_2x_2}{w_1+w_2}\) は「重さの割合で座標を混ぜる」式。重い部品ほど重心を自分のほうへ引き寄せる。\(x\) と \(y\) は別々に計算してよい。

Step 4 代入して確かめる:

よって重心は \((0.80 \, \text{m},\ 0.20 \, \text{m})\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{m}\)。2つの中点 \((0,\ 0.60)\) と \((1.2,\ 0)\) を結ぶ線分を考えると、重心はこの線分を「重さの逆比」\(2:1\) に内分する点、つまり \(y\) 軸上の部分の中点から \(\displaystyle\frac{2}{3}\) 進んだ点になるはず。\(x\) は \(0\) から \(1.2\) の \(\displaystyle\frac{2}{3}\) で \(0.80\)、\(y\) は \(0.60\) から \(0\) へ \(\displaystyle\frac{2}{3}\) 進んで \(0.20\)。計算結果と一致する。重い \(x\) 軸側の中点に近いことも直感どおり。そしてこの点は針金の上にない。2本の部品の重心を結ぶ線分の上にあればよいので、L字の内側の空間に来るのが自然だ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

穴あき円盤の重心 ─ 面積比 \(16:1:15\) と引き算の見方

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 3つの物体を並べて描く。①もとの大円（重心O）、②切り取った小円（重心C、\(\text{OC}=\displaystyle\frac{3}{4}r\)）、③残りの穴あき円盤（重心G、未知）。ポイントは「③＋②＝①」、つまり残りに切り取った円をはめ戻せば、もとの大円に戻るという関係。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: まず質量の比を決める。一様な板なので質量は面積に比例する。大円の面積は \(\pi r^2\)、小円は \(\pi\left(\displaystyle\frac{r}{4}\right)^2=\displaystyle\frac{\pi r^2}{16}\)。比にすると大円 \(16\)、小円 \(1\)、残り \(16-1=15\)。次に「③＋②＝①」の重心の関係を、Oまわりのモーメントで書く。支点をOに選ぶのは、[5] と同じく消したいものの上に置くため。大円①の重心はOなので、Oまわりでは①の項が \(0\) になり、③と②だけの式になる。

Step 3 式の意味を読む: ③と②を合わせた物体（＝大円）の重心はOにある。だからOを支点にすると、③（質量 \(15\)、Oから距離 \(\text{OG}\)）と②（質量 \(1\)、Oから距離 \(\displaystyle\frac{3}{4}r\)）がOをはさんで反対側にあり、てこのようにつり合う。式は \(15\times\text{OG}=1\times\displaystyle\frac{3}{4}r\)。座標で書けば、穴を「質量 \(-1\) の円」とみて足し算に入れるのと同じ（これが「負の質量」の見方）。

Step 4 代入して確かめる:

よって \(\text{OG}=\displaystyle\frac{r}{20}\)（Cと反対側）。

Step 5 妥当性チェック: 単位は長さ（\(r\) と同じ）。向きはCと反対側で、「C側の重さが減ったので反対側へ寄る」という直感と合う。大きさも見よう。取り除いたのは全体の \(\displaystyle\frac{1}{16}\) と少しだけなので、重心のずれは半径の \(\displaystyle\frac{1}{20}\) という小さな値で自然。別の見方でも確かめられる。残り（\(15\)）と小円（\(1\)）の重心Oは、GとCを結ぶ線分を重さの逆比 \(1:15\) に内分する点（[6] で使った関係）。だから \(\text{OG}:\text{OC}=1:15\) で、\(\text{OG}=\displaystyle\frac{3}{4}r\times\displaystyle\frac{1}{15}=\displaystyle\frac{r}{20}\)。極端なケースでは、穴の半径を \(0\) に近づければ取り除く質量も \(0\) に近づき、\(\text{OG}\) も \(0\)（重心はOのまま）に戻る。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 前輪と後輪の垂直抗力の和 ─ 荷物の重さはどこへ行くか

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 上向きの力は、床が前輪を押す \(N_{\text{A}}\) と、後輪を押す \(N_{\text{B}}\) の2本だけ。下向きの力は、車体中央にかかるベビーカーの重力 \(Mg\) と、棒の先につるした荷物の重力 \(mg\) の2本（棒の質量は無視）。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: ベビーカーと荷物をひとまとめの物体と見て、鉛直方向の力のつり合いを立てる。止まっている＝上下に動き出さない＝上向きの合計と下向きの合計が等しい。ひとまとめにすれば、棒が荷物を支える力のような「中でやりとりする力」は打ち消し合って考えなくてよい。

Step 3 式の意味を読む: 和 \(N_{\text{A}}+N_{\text{B}}\) は、力がどこにかかっているかに関係しない。荷物を車輪の間に置いても、外にぶら下げても、和は同じ。位置が決めるのは配分（前輪と後輪の分け方）のほうで、それは (2)(3) でモーメントを使って扱う。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
N_{\text{A}}+N_{\text{B}} &= Mg+mg \\
&= (m+M)g
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{kg}\times\text{m}/\text{s}^2=\text{N}\) で力としてOK。極端な場合として荷物なし（\(m=0\)）なら \(Mg\) で、ベビーカーだけを置いたときの値に戻る。逆に荷物を床に直接置けば、床が荷物を直接支えるぶん車輪の和は \(Mg\) に戻る ─ どちらも直感と合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 倒れる直前の \(N_{\text{A}}\)・\(N_{\text{B}}\) ─ 浮く側の垂直抗力は0

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 荷物を重くしていくと、後輪Bを軸にして車体の前側が持ち上がる向きに回ろうとする。転倒の瞬間に床から離れるのは前輪A、床に残るのは後輪B。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: まず「倒れる直前」をことばから式に翻訳する ─ 前輪Aの垂直抗力 \(N_{\text{A}}=0\)。床は物体を押すことはできても引っぱることはできないので、垂直抗力は0より小さくなれない。0になった瞬間が限界。そのうえで (1) と同じ鉛直方向のつり合いから \(N_{\text{B}}\) を出す。

Step 3 式の意味を読む: 荷物が倒れる前（一般の質量 \(m\)）の \(N_{\text{A}}\) を後輪Bまわりのモーメントで書いてみると、荷物を重くするほど \(N_{\text{A}}\) が一直線に減っていくのが見える。下の計算過程を開いてほしい。\(N_{\text{A}}\) が減って0に届いた瞬間が「倒れる直前」で、それ以上荷物を重くすると式の上では \(N_{\text{A}}\) が負（床が前輪を引っぱる）になるが、床にはそれができない ─ だから回り始める。

Step 4 代入して確かめる: 倒れる直前は \(N_{\text{A}}=0\)。荷物は \(2m\) なので、鉛直方向のつり合いは次のとおり。

$$\begin{aligned}
N_{\text{A}}+N_{\text{B}} &= (2m+M)g \\
0+N_{\text{B}} &= (2m+M)g \\
N_{\text{B}} &= (2m+M)g
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{N}\) でOK。床に触れているのが後輪だけなら、後輪が全部の重さを受けるのは当然。さらに、上の計算過程の式で \(m\) を \(2m\)、\(N_{\text{A}}\) を0にすると \(Mg\times\displaystyle\frac{L}{2}=2mg\times\ell\cos\theta\) が出てくる ─ これがそのまま (3) の答えになり、(2) と (3) が同じ現象の2つの見方だとわかる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 後輪Bまわりのモーメントのつり合い ─ うでの長さは「水平距離」

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 後輪Bに支点の印をつけ、4つの力を描く。① 後輪の \(N_{\text{B}}\)（支点を通る）、② 前輪の \(N_{\text{A}}\)（倒れる直前なので0）、③ 車体の重力 \(Mg\)（車体中央・後輪Bから前側へ水平に \(\displaystyle\frac{L}{2}\)）、④ 荷物の重力 \(2mg\)（後輪Bから外側へ水平に \(\ell\cos\theta\)）。③ と ④ は支点をはさんで反対側にある。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 回り始める直前＝まだ回っていない＝力のモーメントのつり合い。支点を後輪Bにとる理由は、(2) で見たとおり未知の \(N_{\text{B}}\) のうでが0、\(N_{\text{A}}\) も0で、式が2つの重力だけになるから。設問もBまわりを指定している。

Step 3 式の意味を読む: 左辺 \(Mg\times\displaystyle\frac{L}{2}\) は「車体の重さが前輪を床に押しつけて、元に戻そうとするモーメント」、右辺 \(2mg\times\ell\cos\theta\) は「荷物が後ろへ倒そうとするモーメント」。倒れる直前はこの2つがちょうど等しい。うでの長さは、どちらも後輪Bから鉛直な作用線までの水平距離で測っている。

Step 4 代入して確かめる:

Step 5 妥当性チェック: 両辺とも（力）×（長さ）で単位は \(\text{N}\cdot\text{m}\) がそろっている。極端な場合: \(\theta=90^\circ\) なら右辺は0で、荷物がいくら重くても倒れない ─ 荷物が後輪の真上にあれば、その重さは後輪がまっすぐ受けるだけなので納得できる。\(\theta\) を0に近づける（棒を寝かせる）と右辺は最大になり、いちばん倒れやすい。また両辺に \(g\) があるので約分でき、倒れるかどうかは質量と長さの比だけで決まる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) 子どもが乗ったときに転倒する荷物の質量 ─ \(M\) を \(2M\) と見る

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 車体中央に下向きの力が2本並ぶ ─ ベビーカーの重力 \(Mg\) と子どもの重力 \(Mg\)。どちらも後輪Bから前側へ水平に \(\displaystyle\frac{L}{2}\) なので、まとめて「\(2Mg\) が \(\displaystyle\frac{L}{2}\) の位置」と見てよい。反対側には転倒する荷物の重力 \(m’g\) が、水平距離 \(\ell\cos\theta\) の位置にある。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: (3) と同じく、転倒直前は \(N_{\text{A}}=0\) で、後輪Bまわりのモーメントのつり合い。現象の型が (3) と同じなので、同じ式の形がそのまま使える。

Step 3 式の意味を読む: (3) の式は「車体側の質量 × \(\displaystyle\frac{L}{2}\) ＝ 荷物の質量 × \(\ell\cos\theta\)」という形。子どもが乗ると、変わるのは車体側の質量が \(M\) から \(2M\) になることだけ。式を一から作り直すより、「(3) の式のどの文字が置き換わるか」を見るほうが速く、間違いも少ない。

Step 4 代入して確かめる:

Step 5 妥当性チェック: \(\displaystyle\frac{L}{\ell}\) は長さ÷長さ、\(\cos\theta\) も単位なしなので、答えの単位は \(M\) と同じ \(\text{kg}\)。質量の答えとしてOK。また (3) で転倒した荷物 \(2m=\displaystyle\frac{LM}{2\ell\cos\theta}\) と比べると、\(m’\) はちょうど2倍。車体側の重さが2倍になれば、倒すのに必要な荷物も2倍 ─ モーメントのつり合いが比例の関係だから当然の結果で、直感とも合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(5) 荷物をつるしても転倒しにくい工夫 ─ 式のどの量を動かすか

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 後輪Bを支点に、2つのモーメントの綱引きを思い浮かべる。倒そうとする側は荷物の \(mg\times\ell\cos\theta\)、戻そうとする側は車体の \(Mg\times\displaystyle\frac{L}{2}\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: (3) の等式は「ちょうど倒れる境目」だった。倒れない条件は、戻そうとするモーメントが倒そうとするモーメント以上であること。

$$\begin{aligned}
Mg\times\displaystyle\frac{L}{2} &\geq mg\times\ell\cos\theta
\end{aligned}$$

「転倒しにくい工夫」とは、この不等式を成り立たせやすくすること ─ 左辺を大きくするか、右辺を小さくするかのどちらかだ。

Step 3 式の意味を読む: 不等式の文字1つずつに、ベビーカーの形のどこが対応しているかを当てはめる。

Step 4 代入して確かめる: 新しい数値は使わず、すでに出した結果で効き目を確かめる。(4) の答え \(\displaystyle\frac{LM}{\ell\cos\theta}\) を「倒れるのに必要な荷物の質量」と読むと、\(\theta\) を \(90^\circ\) に近づければ分母の \(\cos\theta\) が0に近づき、必要な荷物はどこまでも大きくなる（＝倒れない）。\(M\) を大きくすれば分子が増える ─ 実際 (4) では、車体側の質量が2倍になったことで、倒すのに必要な荷物が (3) の2倍になった。記述では「工夫 ＋ 式のどの量がどう変わるか ＋ だから倒れにくい」の3点をそろえて書くと、理由まで伝わる。

Step 5 妥当性チェック（日常の安全に戻す）: 実際のベビーカーで「荷物は持ち手にかけず、座席の下のかごへ」と言われることがあるのは、この式で説明できる。下のかごは前輪と後輪のあいだにあるので、そこに入れた荷物の重さは、後輪Bより前側＝戻す側のモーメントに加わる。同じ荷物でも、持ち手にかければ倒す力、かごに入れれば支える力になる ─ 置き場所1つで役割が逆転するのは、重さそのものではなくうでの長さと向きがモーメントを決めているからだ。そして (4) で見たとおり、いちばん危ないのは子どもを降ろす瞬間。持ち手に荷物をかけていたら、先に荷物を外してから子どもを抱き上げる、が物理から導かれる手順になる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化