学校H：高校2年生1学期期末考査解説

(1) 運動量が保存するのはどの系か（答え=エ）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: それぞれの選択肢で「何を系（着目するかたまり）にしているか」を丸で囲み、その丸の外から矢印（力）が入ってこないかを描く。エなら、ばねでつながれた2つの物体をまとめて1つの丸にする。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 使う原理は運動量保存則。選ぶ理由は「注目したい向き（ここでは水平）に、系の外からの力＝外力が働いていないか」を判定したいから。内力（ばねが互いを引く力、合体時に押し合う力）は作用反作用で打ち消し合い、系全体の運動量を変えない。

Step 3 式の意味を読む: 運動量保存則は「外力の力積がゼロなら系の運動量の総和は一定」。式で言えば、系にあるすべての物体の運動量 \(m\vec{v}\) を足し合わせたものが時間で変わらない、という意味だ（言葉で言えば「全部の運動量を足したものが変わらない」）。カギは左辺ではなく「外力ゼロ」という前提のほう。

Step 4 各選択肢を判定する: ア＝重力（外力）あり→保存しない。イ＝床の垂直抗力（外力）あり→保存しない。ウ＝外力の条件が満たされていない（または外力あり）→この設定では保存すると言い切れず誤り。エ＝ばねの力は2物体の間の内力だけ、水平外力なし→保存する。よって正しい文はエ。

Step 5 妥当性チェック: 「保存する」と判定したエで、もし水平に摩擦や外から押す手があったら保存は崩れる。今回はそれが無いことを確認できる。逆にア・イは外力の向き（重力は下、抗力は上）がはっきり言えるので、保存しない理由に矛盾がない。極端ケースで確認：ばね2物体を宇宙空間に置いても重心は動かない＝運動量の総和は初期値のまま、という直感とも一致する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 反発係数と力学的エネルギーの誤り探し（答え=ウ）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 4つの文を「定義の話（ア・イ）」「エネルギーの話（ウ）」「くっつく話（エ）」に仕分ける。誤り探しは、1つずつ独立に○×をつけるのが絵にあたる。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 反発係数の定義 \(e=\displaystyle\frac{v’}{v}\)（正面衝突で壁相手なら跳ね返る速さ／当たる速さ）と、力学的エネルギーは「保存＝変化しない／減る」ことはあっても「衝突で増える」ことはない、という2本を軸にする。

Step 3 式の意味を読む: 弾性衝突 \(e=1\) は「相対速度の大きさが衝突前後で変わらない」こと。相対速度が変わらなければ運動エネルギーの総和も変わらない。つまり \(e=1\) ↔ 力学的エネルギー保存（一定）であって、増加ではない。

Step 4 1つずつ判定: ア＝定義そのまま、正しい。イ＝\(0 \leq e \leq 1\)、正しい。ウ＝「増加する」が誤り（正しくは変化しない）。エ＝完全非弾性の説明として正しい。誤っている文はウ。

Step 5 妥当性チェック: もしウが正しければ「ぶつけるほどエネルギーが湧く」ことになり、永久機関ができてしまう。直感・エネルギー保存の大原則と矛盾するので、ウが誤りで確定。範囲 \(0 \leq e \leq 1\) の両端（\(e=1\) 弾性・\(e=0\) 完全非弾性）も一致している。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 合体衝突での運動量とエネルギー（答え=ア）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 大小2球が一直線で近づき、ぶつかって1つのかたまりになって進む図を描く。系＝2球をまとめて1つの丸で囲む。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 運動量については保存則（外力ゼロだから）。運動エネルギーについては「合体＝完全非弾性なので必ず一部が失われる」。この2本立てで判定する。

Step 3 式の意味を読む: 運動量は \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)V\) で総和が保たれる。一方、合体後の運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}(m_1+m_2)V^2\) は、衝突前の \(\displaystyle\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m_2 v_2^2\) より必ず小さい（\(e=0\) のとき失うエネルギーが最大）。

Step 4 判定: 運動量は保存する、運動エネルギーは変化する（減る）。この組み合わせはア。

Step 5 妥当性チェック: 極端ケースで確認。同じ質量・同じ速さで正面から合体すると、合体後は静止＝運動エネルギーは全部消えるが、運動量ももともと総和ゼロで前後とも0＝ちゃんと保存している。「エネルギーは消えても運動量は保存」という別会計の直感と一致。よってアで確定。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 直交する速度変化と力積（答え=\(1.4\times10^{2}\,\text{N}\cdot\text{s}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 打つ前の運動量を「右向き（水平）の矢印、大きさ \(mv=5.0\times20=100\)」、打った後を「上向き（鉛直）の矢印、大きさ \(100\)」で描く。2本は直角に交わる。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 使うのは力積と運動量の関係「力積 \(=\) 運動量の変化 \(=\vec{p}_{\text{後}}-\vec{p}_{\text{前}}\)」。ボールが受けた合計の力の効果を、途中の力の詳細なしに前後の運動量だけで出せるから、この関係を選ぶ。

Step 3 式の意味を読む: \(\vec{p}_{\text{後}}-\vec{p}_{\text{前}}\) は「後ろの矢印」に「前の矢印を逆向きにしたもの」を継ぎ足すこと。逆向きにした前の矢印（左向き100）と、後ろの矢印（上向き100）が直角。だから力積の大きさは直角三角形の斜辺 \(\sqrt{100^2+100^2}=100\sqrt{2}\)。

Step 4 代入して確かめる:

Step 5 妥当性チェック: 大きさ \(141\) は、片方向ぶんの \(100\) より大きく、まっすぐ跳ね返した場合の \(200\)（\(100+100\)）より小さい。90°の向き変えは「無変化(0)」と「正反対(200)」の中間なので \(141\) は妥当。単位も \(\text{N}\cdot\text{s}\) で力積として正しい。向きは、左下から右上へ45°（水平の逆向きと鉛直上の間）を向く。

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(2) 合体（完全非弾性）の運動量保存（答え=\(2.5\,\text{m}/\text{s}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: \(5.0\,\text{kg}\) が \(10\,\text{m}/\text{s}\) で右へ、\(15\,\text{kg}\) は静止。ぶつかって \(20\,\text{kg}\) の1つになり右へ \(v\) で進む図。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 水平に外力なし＋合体なので運動量保存だけを選ぶ。エネルギーは失われるので使わない。

Step 3 式の意味を読む: 「ぶつかる前の運動量の総和＝ぶつかった後の運動量」。左辺は動いている物体のみ、右辺は合体した質量×共通の速さ。

Step 4 代入して確かめる: \(5.0\times10 + 15\times0 = (5.0+15)v\)。\(50=20v\)、\(v=2.5\)。

Step 5 妥当性チェック: 重い相手（\(15\,\text{kg}\)）にぶつかって一体化したので、速さは元の \(10\,\text{m}/\text{s}\) よりぐっと下がるはず。\(2.5\,\text{m}/\text{s}\) は元の \(1/4\) で妥当。単位も \(\text{m}/\text{s}\)。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 正面衝突で片方が静止（答え=右向き \(1.5\,\text{m}/\text{s}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 右へ \(3.0\,\text{m}/\text{s}\) の \(\text{B}\)（\(1.0\,\text{kg}\)）が、静止した \(\text{A}\)（\(2.0\,\text{kg}\)）に正面衝突。衝突後 \(\text{B}\) は止まり、\(\text{A}\) が右へ \(v_{\text{A}}\)。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 水平外力なし→運動量保存。向きは「右を正」と最初に決める。

Step 3 式の意味を読む: 衝突前の総和（\(\text{B}\) の運動量のみ）＝衝突後の総和（\(\text{A}\) の運動量のみ）。

Step 4 代入して確かめる: \(1.0\times3.0 + 2.0\times0 = 1.0\times0 + 2.0\times v_{\text{A}}\)。\(3.0=2.0 v_{\text{A}}\)、\(v_{\text{A}}=1.5\)。正なので右向き。

Step 5 妥当性チェック: 重い \(\text{A}\) が軽い \(\text{B}\) に押されて動くので、\(\text{A}\) の速さは \(\text{B}\) の初速 \(3.0\) より小さいはず。\(1.5\,\text{m}/\text{s}\) は妥当。ちなみに反発係数を確かめると \(e=\displaystyle\frac{1.5-0}{3.0-0}=0.50\) で \(0 \leq e \leq 1\) に収まり、物理的にありうる衝突だと分かる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) 壁との反発係数（答え=\(0.60\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: \(5.0\,\text{m}/\text{s}\) で壁に向かい、\(3.0\,\text{m}/\text{s}\) で逆向きに跳ね返る図。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 壁相手なので反発係数の定義 \(e=\displaystyle\frac{\text{跳ね返る速さ}}{\text{当たる速さ}}\) を使う。壁は静止しているので相対速度の引き算は不要。

Step 3 式の意味を読む: \(e\) は「はね返りの勢いが元の何割か」。1に近いほどよく跳ね、0だとくっつく。

Step 4 代入して確かめる: \(e=\displaystyle\frac{3.0}{5.0}=0.60\)。

Step 5 妥当性チェック: \(0.60\) は \(0 \leq e \leq 1\) の範囲内で、跳ね返り後（3.0）が当たる前（5.0）より遅い＝エネルギーが減っている、という非弾性の直感と一致。もし1を超えたら計算ミス。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(5) 等速円運動の加速度（答え=\(4.9\,\text{m}/\text{s}^2\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 半径 \(2.0\,\text{m}\) の円周上を、\(4.0\,\text{s}\) で1周する点。加速度は常に中心を向く。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: 半径 \(r\) と周期 \(T\) が分かっているので、向心加速度を \(a=r\omega^2\) の形で使う。\(v\) は与えられていないので \(\omega\) 経由が最短。\(\omega=\displaystyle\frac{2\pi}{T}\) を代入する。

Step 3 式の意味を読む: \(a=r\omega^2=r\left(\displaystyle\frac{2\pi}{T}\right)^2\)。角速度 \(\omega\) は「1秒で何ラジアン回るか」。それを2乗して半径をかけると、中心へ引かれる加速度になる。

Step 4 代入して確かめる:

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{m}\times(\text{rad}/\text{s})^2=\text{m}/\text{s}^2\) で加速度として正しい。値 \(4.9\,\text{m}/\text{s}^2\) は重力加速度の半分ほどで、周期 \(4.0\,\text{s}\)（ゆっくり）・半径 \(2.0\,\text{m}\) の円運動としてありえない大きさではない。向きは常に中心向き。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(6) 等加速度で止まる車内の慣性力（答え=\(1.8\times10^{2}\,\text{N}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: \(30\,\text{m}/\text{s}\) の車が \(10\,\text{s}\) かけて止まる。車内の \(60\,\text{kg}\) の人は、減速中は進行方向へ引かれる（慣性力）。

Step 2 どの原理を選ぶか（＋なぜ）: まず等加速度から車の加速度 \(a=\displaystyle\frac{\text{速度変化}}{\text{時間}}\) を出す。次に、車内（加速する乗り物の中）から見た人にかかる見かけの力＝慣性力 \(f=ma\) を使う。

Step 3 式の意味を読む: 慣性力 \(f=ma\) は「乗り物が加速度 \(a\) で動くとき、中の人が逆向きに感じる見かけの力」。大きさは人の質量×乗り物の加速度。

Step 4 代入して確かめる:

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{kg}\times\text{m}/\text{s}^2=\text{N}\) で力として正しい。加速度 \(3.0\,\text{m}/\text{s}^2\) は重力加速度 \(9.8\,\text{m}/\text{s}^2\) の3割ほどなので、慣性力 \(180\,\text{N}\) も体重ぶんの力（約 \(60\times9.8=588\,\text{N}\)）の3割程度で、つじつまが合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 後ろトロッコの速さ ─ 何を「系」にとるか

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 蹴る前は「A＋先頭トロッコ（\(200 \, \text{kg}\)）」と「後ろトロッコ（\(150 \, \text{kg}\)）」がくっついて前へ \(6.0 \, \text{m}/\text{s}\)。蹴った後は前者が \(6.9 \, \text{m}/\text{s}\)、後者が \(v_{\text{後}}\)。前向きを正とする。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 蹴る力はA・トロッコ間の内力で、系の外から水平の力は働かない（床はなめらか）。だから「全体の運動量保存」を選ぶ。エネルギー保存は使えない（蹴る＝Aの筋力が仕事をするので力学的エネルギーは増える）。

Step 3 式の意味を読む: 「蹴る前の全運動量」＝「蹴った後の全運動量」。左辺は一体の \(350 \, \text{kg}\)、右辺は2つに分かれた運動量の和。

Step 4 代入して確かめる:

よって \(v_{\text{後}}=4.8 \, \text{m}/\text{s}\)（前向き）。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}\) で両辺一致。符号は正＝前向きで、元の \(6.0\) より遅い（後方へ蹴った反動でAのトロッコが加速し、その分後ろが減速）ので直感と合う。極端に見ると、もしAのトロッコが加速しなければ後ろも \(6.0\) のまま。加速した分だけ後ろが遅くなる、という関係が成り立っている。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) Aから後ろトロッコへの力積 ─ 「作用の相手」を正しく取る

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 後ろトロッコ（\(150 \, \text{kg}\)）は \(6.0 \, \text{m}/\text{s}\) から \(4.8 \, \text{m}/\text{s}\) へ。この速度変化を起こした唯一の水平の力が、Aの足による蹴り。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 「物体が受けた力積＝その物体の運動量変化」（力積・運動量定理）を選ぶ。後ろトロッコが受けた力積を知りたいので、後ろトロッコの運動量変化を見ればよい。作用反作用より、Aが与えた力積とトロッコが受けた力積は大きさが等しい。

Step 3 式の意味を読む: 力積 \(I=m v_{\text{後}} – m v_{\text{前}}\)。前より後が遅いので値は負、つまり進行方向と逆（後ろ向き）の力積。

Step 4 代入して確かめる:

大きさは \(180 = 1.8\times 10^{2} \, \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}\)（＝\(\text{N}\cdot\text{s}\)）でOK。符号が負＝後ろ向きで、「後ろへ蹴った反動で後ろトロッコが減速した」という現象と一致。作用反作用で見ると、後ろトロッコもAを前へ \(180\) の力積で押し返しており、そのおかげでAのトロッコが加速したと読める。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

衝突後の速さ ─ x成分とy成分を混ぜない

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 衝突前、Aはx正方向に \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\)（y成分0）、Bはy正方向に \(1.0 \, \text{m}/\text{s}\)（x成分0）。衝突後、Aはy正方向に \(v_{\text{A}}\)（x成分0）、Bはx正方向に \(v_{\text{B}}\)（y成分0）。矢印を十字に描く。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 外力が働かない衝突なので運動量保存。ただしベクトルなのでx成分・y成分それぞれで保存する。理由は、運動量保存が「向きも込めて」成り立つから。向きの異なる量は軸に分解して初めて足し引きできる。

Step 3 式の意味を読む: x方向の会計簿は「Aが持っていたx運動量が、衝突後Bへ渡る」。y方向の会計簿は「Bが持っていたy運動量が、衝突後Aへ渡る」。2つの軸は互いに干渉しない。

Step 4 代入して確かめる:

x成分（左辺＝衝突前、右辺＝衝突後。衝突後Aはx成分を持たない）:

y成分（衝突後Bはy成分を持たない）:

よってA \(1.5 \, \text{m}/\text{s}\)、B \(2.0 \, \text{m}/\text{s}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は両辺 \(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}\) で一致。x方向はAだけが運動量を持ち込みBだけが持ち去る、y方向はBだけが持ち込みAだけが持ち去る、という「きれいな受け渡し」になっており、直交の対称性と合う。値も正で向きの矛盾なし。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 衝突後の速さ ─ 保存式と反発係数の連立

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 同じ向き（右）に、前A \(2.0\)、後ろB \(8.0\)。Bが速いので追いつき追突。衝突後も両方右向きに \(v_{\text{A}},\,v_{\text{B}}\)。右向きを正とする。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 外力なし→運動量保存が1本。速さが2つ未知なので、もう1本として反発係数の定義式を使う。反発係数は「衝突後に離れる相対速度÷衝突前に近づく相対速度」。

Step 3 式の意味を読む: 運動量保存は「衝突前の全運動量＝衝突後の全運動量」。反発係数の式は「跳ね返りの勢い」を表し、\(v_{\text{A}}-v_{\text{B}}\)（後ろのBから見て前のAが離れていく速さ）が、近づく速さ \(8.0-2.0\) の \(0.50\) 倍になる、という意味。

Step 4 代入して確かめる:

したがって \(v_{\text{A}}=8.0 \, \text{m}/\text{s}\)、\(v_{\text{B}}=5.0 \, \text{m}/\text{s}\)。

Step 5 妥当性チェック: 衝突後は前のAが \(8.0\)、後ろのBが \(5.0\) で、Aが速い＝ちゃんと前へ離れていく（めり込まない）ので現実的。両方正で右向き。もし \(v_{\text{A}}\lt v_{\text{B}}\) なら後ろが前を追い越して通り抜ける不自然な結果になるので、\(v_{\text{A}}\gt v_{\text{B}}\) は良い符号。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 失われた力学的エネルギー ─ 「差」が消えた分

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 衝突前は速いB＋遅いA、衝突後はやや速いA＋遅くなったB。全体の運動エネルギーが衝突前後でどれだけ目減りしたかを見る。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 失われた力学的エネルギー＝（衝突前の運動エネルギーの和）−（衝突後の運動エネルギーの和）。高さ変化がないので位置エネルギーは無視でき、運動エネルギーだけ見ればよい。

Step 3 式の意味を読む: この差こそが、衝突の瞬間に熱・音・変形に変わって力学の世界から消えたエネルギー。\(e\lt 1\) だから必ず正になる。

Step 4 代入して確かめる:

失われた力学的エネルギーは \(9 \, \text{J}\)。

Step 5 妥当性チェック: 値が正なので「エネルギーが減った」という物理と一致（増えることはあり得ない）。もし \(e=1\) を代入して解いた別世界なら \(\Delta K=0\) になるはずで、\(e=0.50\) はそれより跳ね返りが弱いから正の目減りが出る、という関係とも整合する。単位は \(\text{J}\) でOK。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 壁に当たる直前の速さ \(v_1\) と \(V_1\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 床の上に台。小球が曲面を下りながら台を左へ押す。作用反作用で台は左へ、小球は右へ動き出す。壁に当たる直前、小球は右向きに速さ \(v_1\)、台は左向きに速さ \(V_1\)。この「逆向き」の絵が命。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 床はなめらか＝水平方向に外から力が働かない。だから床から見た水平方向の運動量は保存する（はじめ0なので、ずっと0）。さらに、曲面もなめらかで摩擦熱が出ない＝力学的エネルギーも保存する。使う武器はこの2本。

Step 3 式の意味を読む。 右向きを正とすると、運動量の合計は「小球 \(m v_1\)（右）」＋「台 \(-M V_1\)（左）」で、これが0。だから \(m v_1 = M V_1\)。エネルギーは、失った位置エネルギー \(mgh\) が、小球の運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\) と台の運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}MV_1^2\) に分かれる。

Step 4 代入して確かめる。 1本目から \(V_1=\displaystyle\frac{m}{M}v_1\)。これを2本目へ入れて \(v_1\) を求める。

Step 5 妥当性チェック（必ず全部やる）。 ①極端ケース：台がとても重い（\(M\) が \(m\) よりずっと大きい）と \(\displaystyle\frac{2M}{M+m}\) は 2 に近づき、\(v_1\to\sqrt{2gh}\)。これは「台が動かない＝固定」の答えに一致。物理的に完璧。②同時に \(V_1\to0\)（重い台はほとんど動かない）。③次元：ルートの中は \(gh\)＝（\(\text{m}/\text{s}^2\)）×（\(\text{m}\)）＝速さの2乗。単位も合う。④符号：\(v_1,V_1\) とも正で、絵の向き（右・左）と矛盾なし。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) はね返った直後の速さ \(v_2\)、\(V_2\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 衝突の相手は「壁」ではなく「壁を含む台」。小球（右向き \(v_1\)）と台（左向き \(V_1\)）がぶつかり、はね返って向きが入れ替わる。はね返り後は小球が左へ \(v_2\)、台が右へ \(V_2\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 床はなめらかなので、衝突の前後でも合計の運動量は0のまま保存。加えて反発係数の定義を相対速度で立てる。

Step 3 式の意味を読む。 右向きを正とする。運動量保存は、はね返り後も合計0だから \(-m v_2 + M V_2 = 0\)、つまり \(m v_2 = M V_2\)。反発係数は「離れる相対速度 ÷ 近づく相対速度」。

Step 4 代入して確かめる。 \(V_1=\displaystyle\frac{m}{M}v_1\)、\(V_2=\displaystyle\frac{m}{M}v_2\) を反発係数の式へ。

Step 5 妥当性チェック。 ①極端ケース：\(e=1\)（完全弾性）なら \(v_2=v_1,V_2=V_1\) で、速さがそっくりそのまま反転。エネルギーも減らない。正しい。②\(e=0\)（完全非弾性）なら \(v_2=V_2=0\)、小球と台がぴたっと同じ速度（合計0だから両方静止）。壁に張り付くイメージで納得。③\(0 \leq e \leq 1\) なので \(v_2 \leq v_1\)、はね返りで遅くなる。符号・向きも絵と一致。

(3) はね返り後に上がれる最高の高さ \(h_1\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 はね返った小球は台の曲面を左へ駆け上がる。上がるほど遅くなり、やがて小球は台に対して止まる。この「台と一緒に動く（相対的に静止）」瞬間が最高点。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 はね返り後も外力なしなので合計の運動量は0のまま。小球と台が共通の速度 \(u\) になった瞬間、\(m u + M u = (m+M)u = 0\) だから \(u=0\)。つまり最高点では小球も台も一瞬止まる。あとは力学的エネルギー保存。

Step 3 式の意味を読む。 はね返り直後の運動エネルギーの合計が、すべて位置エネルギー \(mgh_1\) に変わる（最高点では運動エネルギー0）。

Step 4 代入して確かめる。 \(v_2=e v_1,\ V_2=e V_1\) を入れ、(1)で分かった「\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}MV_1^2=mgh\)」を使う。

Step 5 妥当性チェック。 ①極端ケース：\(e=1\) なら \(h_1=h\)、エネルギーが減らないので元の高さまで戻る。完璧。②\(e=0\) なら \(h_1=0\)、はね返らず上がらない。納得。③\(0 \leq e \leq 1\) なので \(h_1 \leq h\)、必ず元より低い。④次元：\(e^2\) は無次元、\(h\) は長さ。\(h_1\) も長さで合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 円の半径 \(r\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 固定点から糸が斜めに垂れ、小球が水平円をえがく。固定点・小球・円の中心を結ぶと直角三角形。斜辺＝糸 \(l\)、鉛直から測る角＝\(\theta\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 ここは力ではなくただの三角比。鉛直を基準に \(\theta\) を測るので、水平方向（半径）は \(\sin\)、鉛直方向（高さ）は \(\cos\)。

Step 3 式の意味を読む。 半径は「斜辺 × \(\sin\)（対辺／斜辺）」。

Step 4 代入して確かめる。 文字のまま。数値代入は不要。

Step 5 妥当性チェック。 ①\(\theta=0\)（糸が真下）なら \(r=0\)、回っていない。正しい。②\(\theta\to90^\circ\)（糸が水平近く）なら \(r\to l\)、糸いっぱいに張り出す。納得。③長さの単位。合う。

(2) 糸の張力 \(T\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 小球は上下には動かない（水平面内を回るだけ）。だから鉛直方向は力がつり合っている。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 鉛直方向のつり合い。上向きは張力の鉛直成分 \(T\cos\theta\)、下向きは重力 \(mg\)。

Step 3 式の意味を読む。 上下がつり合うので、両者が等しい。

Step 4 代入して確かめる。 \(T\) について解く。

Step 5 妥当性チェック。 ①\(\theta=0\) なら \(T=mg\)、真下にぶら下がって静止した糸の張力に一致。②\(\theta\) が大きい（水平に近い）ほど \(\cos\theta\) は小さく \(T\) は大きくなる。傾けるほど糸がピンと張る、直感と一致。③\(\theta\to90^\circ\) で \(T\to\infty\)、水平に回すには無限の張力が要る（＝不可能）。物理的に正しい。④単位＝力。合う。

(3) 角速度 \(\omega\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 小球は水平円を等速で回る。中心へ向かう加速度をつくる力＝張力の水平成分。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 水平方向（中心向き）の運動方程式。向心力 ＝ \(mr\omega^2\)。担い手は \(T\sin\theta\)。

Step 3 式の意味を読む。

Step 4 代入して確かめる。 (2)の \(T=\displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) と(1)の \(r=l\sin\theta\) を入れる。

Step 5 妥当性チェック。 ①\(\theta\to90^\circ\) で \(\cos\theta\to0\)、\(\omega\to\infty\)。水平に近づけるには猛烈に速く回す必要がある。(2)で \(T\to\infty\) だったのと一致。②\(\theta\to0\) で \(\omega\to\sqrt{g/l}\)、これは長さ \(l\) の（小さく振れる）振り子の角振動数と同じで気持ちいい。③次元：\(g/l\) は（\(\text{m}/\text{s}^2\)）÷（\(\text{m}\)）＝\(1/\text{s}^2\)、ルートで \(1/\text{s}\)、角速度の単位。合う。④\(m\) が消える＝重い球も軽い球も同じ角度なら同じ速さで回る。振り子の等時性と同じ味わい。

(4) 周期 \(T_{\text{周期}}\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 1周＝角度 \(2\pi\) を回るのにかかる時間が周期。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 定義 \(T_{\text{周期}}=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)。新しい力の式は不要。(3)の結果を使うだけ。

Step 3 式の意味を読む。 \(\omega\) が大きい（速く回る）ほど周期は短い、の反比例。

Step 4 代入して確かめる。 (3)の \(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}\) を入れる。

Step 5 妥当性チェック。 ①\(\theta\to0\)（真下に近い小さな振れ）で \(T_{\text{周期}}\to2\pi\sqrt{l/g}\)、長さ \(l\) の単振り子の周期に一致。美しい。②\(\theta\) が大きいほど \(\cos\theta\) が小さく周期は短い＝速く回る。(3)で \(\omega\) が大きくなったのと一致。③次元：\(l/g\) は（\(\text{m}\)）÷（\(\text{m}/\text{s}^2\)）＝\(\text{s}^2\)、ルートで秒。時間の単位。合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 点 \(B\) での速さ \(v_B\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 最下点で水平に \(v_0\)。内面を上るほど遅くなる。点 \(B\) は最下点より \(r(1+\cos\theta)\) だけ高い。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 面はなめらか、垂直抗力は仕事をしない＝力学的エネルギー保存。最下点を高さの基準にする。

Step 3 式の意味を読む。 最下点の運動エネルギーが、点 \(B\) の運動エネルギーと位置エネルギーに分かれる。

Step 4 代入して確かめる。 \(v_B\) について解く。

Step 5 妥当性チェック。 ①最下点付近（\(\theta\to180^\circ\)、\(\cos\theta\to-1\)）で高さ \(r(1+\cos\theta)\to0\)、\(v_B\to v_0\)。出発点の速さに戻る。②最高点（\(\theta=0\)、高さ \(2r\)）で \(v_B=\sqrt{v_0^2-4gr}\)、いちばん遅い。③次元：\(gr\) は速さの2乗。ルートの中身が合う。④ルートの中が負なら「そこまで届かない」の合図。物理の警告灯として使える。

(2) 点 \(B\) で面から受ける垂直抗力 \(N_B\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 点 \(B\) は円の中心より上にある。内面は小球を中心へ向かって押す（垂直抗力 \(N_B\)、中心向き）。重力 \(mg\) は真下だが、その一部（\(mg\cos\theta\)）も中心を向く。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 向心方向（中心向き）の運動方程式。中心を向く力の合計 ＝ \(\displaystyle\frac{mv_B^2}{r}\)。担い手は \(N_B\) と \(mg\cos\theta\) の2つ、どちらも中心向き。

Step 3 式の意味を読む。

Step 4 代入して確かめる。 (1)の \(v_B^2=v_0^2-2gr(1+\cos\theta)\) を入れて \(N_B\) を出す。

Step 5 妥当性チェック。 ①最高点（\(\theta=0\)、\(\cos\theta=1\)）で \(N_B=\displaystyle\frac{mv_0^2}{r}-5mg\)。これが0になる条件が(3)の \(v_0^2=5gr\) とつながる（前触れ）。②\(N_B\) が負に出たら「面から離れている＝そこまで到達していない」の合図。③次元：\(\displaystyle\frac{mv_0^2}{r}\) は力、\(mg\) も力。合う。④\(\theta\) が大きい（下の方）ほど \(\cos\theta\) が小さく、引かれる量が減って \(N_B\) は大きい。下ほど強く押される、直感と一致。

(3) 最高点を通るための初速 \(v_0\) の最小値 \(v_{\text{最小}}\)

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 最高点（最下点の真上、高さ \(2r\)）。内面は小球を下（中心）へ押す。速すぎず遅すぎず、内面にギリギリ触れているのが限界の状態。

Step 2 どの原理・式を選ぶか。 「通れる限界」＝最高点で垂直抗力 \(N=0\)。このとき最高点の運動方程式は「重力だけが向心力」。速さの関係はここから。次に最下点から最高点までのエネルギー保存で \(v_0\) と結ぶ。

Step 3 式の意味を読む。 最高点で \(N=0\) だから、中心向き（下向き）の力は重力 \(mg\) だけ。それが向心力になる。

Step 4 代入して確かめる。 まず最高点の速さの2乗を出し、次にエネルギー保存（高さ \(2r\)）で \(v_0\) を出す。

Step 5 妥当性チェック。 ①誤答①の \(2\sqrt{gr}=\sqrt{4gr}\) より大きい。速さ0では足りず、もっと速くないと通れない、という物理と一致。②(2)で最高点（\(\theta=0\)）の \(N_B=\displaystyle\frac{mv_0^2}{r}-5mg\)。これを0とおくと \(v_0^2=5gr\)、まったく同じ答え。別ルートで一致＝正しさの裏付け。③次元：\(gr\) は速さの2乗、ルートで速さ。合う。④「鉛直円の頂点を通る最小の速さは \(\sqrt{5gr}\)」は定番の結論。覚えておくと検算が速い。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) おもりに働く慣性力 ─ 3力のつり合い図を描く

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 電車の中の人の視点に立つ。おもりは静止して見える。働く力は3つ。下向きに重力 \(mg\)、糸に沿って斜め上向きに張力 \(T\)、水平左向きに慣性力 \(f\)。糸は鉛直から \(30^\circ\) 傾く。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 中の人（非慣性系）から見るとおもりは静止＝力のつり合い。ただし非慣性系なので慣性力 \(f=ma\) を加える。慣性力を入れて初めて「静止」がつじつま合う。

Step 3 式の意味を読む: 水平方向のつり合いは「張力の水平成分＝慣性力」、鉛直方向は「張力の鉛直成分＝重力」。この2式で \(T\) を消すと、傾き \(30^\circ\) が \(f\) と \(mg\) の比を決める。

Step 4 代入して確かめる:

よって慣性力の大きさは \(f\approx 2.8 \, \text{N}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{N}\) でOK。傾きが \(30^\circ\)（比較的小さい）なので、水平の慣性力は重力 \(mg=4.9 \, \text{N}\) より小さい \(2.8 \, \text{N}\)。もし傾きが \(45^\circ\) なら \(f=mg\) と等しくなるはずで、\(30^\circ\lt 45^\circ\) だから \(f\lt mg\) は正しい大小関係。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 電車の加速度 ─ 慣性力から逆算する

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: おもりは電車と一緒に右へ加速度 \(a\) で動いている。中から見た慣性力 \(f\) は、この \(a\) と質量 \(m\) で決まる。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 慣性力の定義 \(f=ma\) を使う。(1)で \(f\) が出ているので、\(a\) について解くだけ。あるいは外から見て \(T\sin 30^\circ=ma\) と \(T\cos 30^\circ=mg\) を割って \(a=g\tan 30^\circ\) でも同じ。

Step 3 式の意味を読む: \(a=\displaystyle\frac{f}{m}\) は「慣性力を質量で割れば加速度」。\(a=g\tan 30^\circ\) は「加速度は重力加速度の \(\tan 30^\circ\) 倍」を意味し、\(m\) に依らない。

Step 4 代入して確かめる:

よって \(a\approx 5.6 \, \text{m}/\text{s}^2\)（\(=g\tan 30^\circ=\displaystyle\frac{9.8}{1.73}\) と一致）。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\displaystyle\frac{\text{N}}{\text{kg}}=\text{m}/\text{s}^2\) で加速度としてOK。\(a=5.6\) は \(g=9.8\) より小さく、傾き \(30^\circ\) が \(45^\circ\) 未満なので \(a\lt g\) は妥当（\(45^\circ\) なら \(a=g\)）。質量 \(m\) が答えに残らないのも「傾きは加速度だけで決まる」という物理と合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化