力学範囲 1～5
1 \(v-t\)グラフ
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている \(v-t\) グラフの幾何学的性質（傾きと面積）を利用する解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 設問(a), (b)の別解: 等加速度直線運動の公式を用いる解法
- 模範解答がグラフの傾きと面積から直接求めるのに対し、別解では各区間を等加速度直線運動（または等速直線運動）とみなし、運動の公式を用いて計算します。
- 設問(a), (b)の別解: 等加速度直線運動の公式を用いる解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: \(v-t\) グラフの傾きが加速度、面積が変位を表すという幾何学的な意味が、運動の公式とどのように対応しているかを数式レベルで確認でき、理解が深まります。
- 思考の柔軟性向上: グラフから視覚的に解く方法と、数式を立てて代数的に解く方法の両方を経験することで、問題解決能力の幅が広がります。
- 解法の補完: グラフの読み取りや面積計算が苦手な場合でも、運動の公式を用いることで機械的に答えを導き出すことができます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「\(v-t\)グラフの解釈と応用」です。物体の運動の様子を視覚的に表現した \(v-t\) グラフから、加速度や移動距離、変位といった物理量を正しく読み取る能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- \(v-t\)グラフの傾き: グラフの傾きは、その時刻における加速度 \(a\) を表します (\(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\))。傾きが一定なら等加速度運動、傾きが \(0\) なら等速直線運動です。
- \(v-t\)グラフの面積: グラフと時間軸(\(t\)軸)で囲まれた部分の面積は、その時間内の変位 \(\Delta x\) を表します。\(t\) 軸より上側の面積は正の変位、下側の面積は負の変位を意味します。
- 走行距離（道のり）と変位の違い: 走行距離は物体が実際に動いた長さの合計であり、常に正の値です。一方、変位は位置の変化量であり、向きを持つため正負の値をとります。速度の向きが変わる（グラフが \(t\) 軸を横切る）場合、走行距離は各区間の面積の「絶対値の和」となります。
- 元の位置に戻る条件: 物体が元の位置（出発点）に戻るということは、出発してからの合計の変位が \(0\) になることを意味します。これは、\(v-t\) グラフにおいて、\(t\) 軸より上側の面積と下側の面積の和が \(0\) になる（つまり、面積の大きさが等しくなる）ことに対応します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (a), (b)ともに、まずグラフの各区間における傾きを計算し、加速度 \(a\) を求め、\(a-t\) グラフを作成します。
- 次に、\(4\) 秒間における \(v-t\) グラフの面積を計算します。このとき、速度の符号に注意し、走行距離（道のり）を求めます。
- 最後に、物体の変位が \(0\) となる時刻を探します。これは、\(t\) 軸の上側と下側の面積が互いに打ち消し合う時刻をグラフから読み取ることで求めます。
問(a)
思考の道筋とポイント
与えられた \(v-t\) グラフは、\(0 \le t \le 3\) の区間と \(t > 3\) の区間で傾きが異なる折れ線グラフです。それぞれの区間で傾きを計算して加速度を求め、\(a-t\) グラフを作成します。走行距離は \(v-t\) グラフの面積から、元の位置に戻る時刻は変位が \(0\) になる条件（正の面積と負の面積が等しくなる）から求めます。
この設問における重要なポイント
- \(v-t\) グラフの傾きが加速度である。
- \(v-t\) グラフの面積が変位である。
- \(0 \le t \le 4\) の区間では速度 \(v\) が常に \(0\) 以上なので、「走行距離」と「変位」は一致する。
- 元の位置に戻るためには、正の方向への変位（\(t\) 軸より上の面積）と同じ大きさだけ、負の方向への変位（\(t\) 軸より下の面積）が必要となる。
具体的な解説と立式
1. 加速度の時間変化（\(a-t\)グラフ）
- \(0 \le t \le 3\) の区間:
グラフの傾きから加速度 \(a_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{\Delta v}{\Delta t} \\[2.0ex]
&= \frac{6 – 0}{3 – 0}
\end{aligned}
$$ - \(t > 3\) の区間:
グラフは点 \((3, 6)\) と点 \((4, 0)\) を通るので、この区間の傾きから加速度 \(a_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a_2 &= \frac{\Delta v}{\Delta t} \\[2.0ex]
&= \frac{0 – 6}{4 – 3}
\end{aligned}
$$
この結果を元に \(a-t\) グラフを描くと、模範解答の左上の図のようになります。
2. \(4\) 秒間の走行距離 \(l\)
\(0 \le t \le 4\) の間、速度 \(v\) は常に正なので、走行距離 \(l\) は \(v-t\) グラフが \(t\) 軸と囲む三角形の面積に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
l &= \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times 4 \times 6
\end{aligned}
$$
3. 元の位置に戻る時刻
元の位置に戻るということは、変位が \(0\) になるということです。
まず、\(t=4 \, \text{s}\) までに進んだ距離（変位）は \(12 \, \text{m}\) です。
\(t=4 \, \text{s}\) 以降、物体は負の速度で運動し、出発点に向かって戻り始めます。
元の位置に戻るには、\(t=4 \, \text{s}\) 以降に負の方向へ \(12 \, \text{m}\) だけ進めばよいことになります。
\(t=4 \, \text{s}\) からの経過時間を \(T\) とします。この間の加速度は \(a_2 = -6 \, \text{m/s}^2\) で、\(t=4\) での初速度は \(0\) です。
\(t=4+T\) での速度は \(v(T) = 0 + a_2 T = -6T\)。
この間の変位（グラフの下側の三角形の面積）が \(-12 \, \text{m}\) となればよいので、面積の公式から立式します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \times T \times (-6T) &= -12
\end{aligned}
$$
この方程式を \(T\) について解き、時刻 \(t = 4+T\) を求めます。
使用した物理公式
- 加速度の定義: \(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
- \(v-t\)グラフの面積と変位の関係
- 加速度 \(a_1\):
$$
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{6 – 0}{3 – 0} \\[2.0ex]
&= 2 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$ - 加速度 \(a_2\):
$$
\begin{aligned}
a_2 &= \frac{0 – 6}{4 – 3} \\[2.0ex]
&= -6 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$ - 走行距離 \(l\):
$$
\begin{aligned}
l &= \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \\[2.0ex]
&= 12 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$ - 元の位置に戻る時刻:
立式した方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \times T \times (-6T) &= -12 \\[2.0ex]
-3T^2 &= -12 \\[2.0ex]
T^2 &= 4
\end{aligned}
$$
\(T>0\) より \(T=2 \, [\text{s}]\)。
したがって、元の位置に戻る時刻 \(t\) は、
$$
\begin{aligned}
t &= 4 + T \\[2.0ex]
&= 4 + 2 \\[2.0ex]
&= 6 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
(a)の運動は、まずアクセルを踏んで \(3\) 秒間加速し（坂を上る）、その後急ブレーキをかけて \(1\) 秒で停止（急な坂を下る）、さらにそのままバックで加速していく（坂を下り続ける）ようなイメージです。
- 加速度グラフ: 坂の傾きが加速度なので、最初のゆるやかな上り坂は「プラスの一定値」、次の急な下り坂は「マイナスの大きな一定値」となります。
- 走行距離: \(4\) 秒間で進んだ距離は、グラフの山（三角形）の面積を計算すればOKです。
- 元の位置に戻る時刻: \(4\) 秒で止まった後、バックし始めます。前に進んだ分（山の面積）と、バックで戻る分（谷の面積）が同じになれば、元の位置に戻ったことになります。山の面積は \(12\) だったので、谷の面積が \(12\) になる時間を計算すると、\(2\) 秒後だとわかります。よって、スタートから \(4+2=6\) 秒後となります。
- \(a-t\)グラフ: \(0 \le t \le 3\) で \(a=2 \, \text{m/s}^2\)、\(t > 3\) で \(a=-6 \, \text{m/s}^2\) となり、物理的に妥当です。
- 走行距離: \(l=12 \, \text{m}\)。
- 元の位置に戻る時刻: \(t=6 \, \text{s}\)。このとき、\(t\) 軸の上側と下側の面積の大きさが等しくなり、変位が \(0\) となるため、妥当な結果です。
加速度の時間変化: 模範解答の左上のグラフの通り。(\(0 \le t \le 3\) で \(a=2 \, \text{m/s}^2\)、\(t > 3\) で \(a=-6 \, \text{m/s}^2\))
\(4\) 秒間の走行距離: \(12 \, \text{m}\)
元の位置に戻る時刻: \(6 \, \text{s}\)
思考の道筋とポイント
\(v-t\)グラフの幾何学的性質を使わずに、運動の公式から各値を計算します。グラフが折れ線であることから、各区間は等加速度直線運動とみなせます。運動を \(0 \le t \le 3\)、\(3 \le t \le 4\)、\(t \ge 4\) の区間に分けて、それぞれの区間で公式を適用します。
この設問における重要なポイント
- 各区間を等加速度直線運動としてモデル化する。
- 区間ごとに初速度、時間、加速度を正しく設定する。
- 走行距離は各区間の移動距離の和、元の位置に戻る条件は全変位が \(0\) であることを利用する。
具体的な解説と立式
1. 加速度の計算
- \(0 \le t \le 3\) の区間:
初速度 \(v_0 = 0\)、\(t=3\) での速度 \(v=6\) なので、公式 \(v=v_0+at\) より加速度 \(a_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
6 &= 0 + a_1 \times 3
\end{aligned}
$$ - \(t > 3\) の区間:
\(t=3\) を新たな始点と考えると、初速度 \(v_0′ = 6\)。\(t=4\) での速度 \(v=0\) なので、経過時間 \(t’=1\) として加速度 \(a_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 6 + a_2 \times 1
\end{aligned}
$$
2. \(4\) 秒間の走行距離 \(l\)
- 区間1 (\(0 \le t \le 3\)):
初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a_1 = 2\)、時間 \(t=3\) なので、移動距離 \(x_1\) を公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) で求めます。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= 0 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2
\end{aligned}
$$ - 区間2 (\(3 \le t \le 4\)):
初速度 \(v_0′ = 6\)、加速度 \(a_2 = -6\)、時間 \(t’=1\) なので、移動距離 \(x_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
x_2 &= 6 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times 1^2
\end{aligned}
$$
総走行距離 \(l\) は \(l = x_1 + x_2\) となります。
3. 元の位置に戻る時刻
\(t=4\) の時点での変位は \(+12 \, \text{m}\) です。
\(t=4\) 以降の運動を考えます。\(t=4\) を新たな始点とすると、初速度 \(v_0” = 0\)、加速度は \(a_2 = -6 \, \text{m/s}^2\) のままです。
変位が \(-12 \, \text{m}\) となる時間 \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
-12 &= 0 \times T + \frac{1}{2} \times (-6) \times T^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等加速度直線運動の公式: \(v = v_0 + at\), \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
- 加速度 \(a_1\), \(a_2\):
$$
\begin{aligned}
3a_1 &= 6 \\[2.0ex]
a_1 &= 2 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
a_2 &= -6 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$ - 走行距離 \(l\):
$$
\begin{aligned}
x_1 &= 9 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
x_2 &= 6 – 3 \\[2.0ex]
&= 3 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l &= x_1 + x_2 \\[2.0ex]
&= 9 + 3 \\[2.0ex]
&= 12 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$ - 元の位置に戻る時刻:
$$
\begin{aligned}
-12 &= -3T^2 \\[2.0ex]
T^2 &= 4
\end{aligned}
$$
\(T>0\) より \(T=2 \, [\text{s}]\)。
したがって、元の位置に戻る時刻 \(t\) は、
$$
\begin{aligned}
t &= 4 + T \\[2.0ex]
&= 4 + 2 \\[2.0ex]
&= 6 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
この別解では、グラフの形に頼らず、数式だけで問題を解きます。運動をいくつかのステージに分け、「ステージ1は初速0、加速度2で3秒間」「ステージ2は初速6、加速度-6で1秒間」のように、それぞれのステージのスペックを書き出します。あとは、物理の公式にこれらの数値を当てはめていくだけで、各ステージで進んだ距離や、元の位置に戻るまでの時間を計算することができます。
主たる解法と全く同じ結果が得られました。これは、\(v-t\)グラフの傾きや面積が、等加速度直線運動の公式と数学的に等価であることを示しています。どちらの方法でも解けることを確認でき、理解が深まります。
加速度の時間変化: 模範解答の左上のグラフの通り。(\(0 \le t \le 3\) で \(a=2 \, \text{m/s}^2\)、\(t > 3\) で \(a=-6 \, \text{m/s}^2\))
\(4\) 秒間の走行距離: \(12 \, \text{m}\)
元の位置に戻る時刻: \(6 \, \text{s}\)
問(b)
思考の道筋とポイント
(a)と同様に \(v-t\) グラフを解釈しますが、(b)では速度が負になる区間があります。このため、「走行距離」と「変位」を明確に区別して考える必要があります。走行距離は進んだ道のりの総和（面積の絶対値の和）であり、変位は位置の変化（面積の符号付きの和）です。
この設問における重要なポイント
- \(0 \le t < 2\) では \(v<0\) (負の向きに運動)、\(t > 2\) では \(v>0\) (正の向きに運動) となり、\(t=2\) で運動の向きが変わる。
- 走行距離 \(l\) は、負の向きに進んだ距離と、正の向きに進んだ距離の合計。
- 元の位置に戻る条件は、(a)と同様に全変位が \(0\) となること。
具体的な解説と立式
1. 加速度の時間変化（\(a-t\)グラフ）
- \(0 \le t \le 3\) の区間:
グラフの傾きから加速度 \(a_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{\Delta v}{\Delta t} \\[2.0ex]
&= \frac{2 – (-4)}{3 – 0}
\end{aligned}
$$ - \(t \ge 3\) の区間:
グラフは水平なので傾きは \(0\) です。
$$
\begin{aligned}
a_2 &= 0 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$
これは等速直線運動を意味します。この結果を元に \(a-t\) グラフを描くと、模範解答の左下の図のようになります。
2. \(4\) 秒間の走行距離 \(l\)
走行距離は、\(t\) 軸より下の面積の絶対値と、上の面積の和です。
- \(0 \le t \le 2\) の区間（負の向きへの移動距離 \(l_1\)）:
\(t\) 軸より下の三角形の面積の絶対値を計算します。
$$
\begin{aligned}
l_1 &= \left| \frac{1}{2} \times 2 \times (-4) \right|
\end{aligned}
$$ - \(2 \le t \le 4\) の区間（正の向きへの移動距離 \(l_2\)）:
\(t\) 軸より上の台形の面積を計算します。この台形は、上底（\(t=3\)から\(t=4\)の幅）が \(1\)、下底（\(t=2\)から\(t=4\)の幅）が \(2\)、高さが \(2\) です。
$$
\begin{aligned}
l_2 &= \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 2
\end{aligned}
$$
\(4\) 秒間の総走行距離 \(l\) は、これらの和です。
$$
\begin{aligned}
l &= l_1 + l_2
\end{aligned}
$$
3. 元の位置に戻る時刻
まず、\(t=4 \, \text{s}\) 時点での変位 \(\Delta x_4\) を計算します。これは面積の符号付きの和です。
$$
\begin{aligned}
\Delta x_4 &= (\text{下の面積}) + (\text{上の面積}) \\[2.0ex]
&= (-4) + (3)
\end{aligned}
$$
\(t=4 \, \text{s}\) の時点で、物体は出発点より \(1 \, \text{m}\) だけ負の方向にいることがわかります。
\(t \ge 3\) では、物体は速度 \(v=2 \, \text{m/s}\) の等速直線運動をしています。
元の位置に戻るには、あと正の方向に \(1 \, \text{m}\) 進む必要があります。
この間に必要な時間 \(\Delta t\) は、距離と速さの関係から求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= \frac{\text{距離}}{\text{速さ}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
したがって、求める時刻 \(t\) は \(t = 4 + \Delta t\) となります。
使用した物理公式
- 加速度の定義: \(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
- \(v-t\)グラフの面積と変位・走行距離の関係
- 等速直線運動: 距離 = 速さ × 時間
- 加速度 \(a_1\):
$$
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{6}{3} \\[2.0ex]
&= 2 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$ - 走行距離 \(l\):
$$
\begin{aligned}
l_1 &= |-4| \\[2.0ex]
&= 4 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l_2 &= 3 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l &= 4 + 3 \\[2.0ex]
&= 7 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$ - 元の位置に戻る時刻:
$$
\begin{aligned}
\Delta x_4 &= -1 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= 0.5 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
t &= 4 + 0.5 \\[2.0ex]
&= 4.5 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
(b)の運動は、最初にバックでスタートし（負の速度）、だんだん減速して \(2\) 秒後に一瞬停止、そこからUターンして前進に切り替わり、\(3\) 秒後からは一定の速さで走り続ける、というイメージです。
- 加速度グラフ: 運動の向きは変わりますが、\(3\) 秒後までは速度の変化の割合（傾き）は一定なので、加速度はずっと同じプラスの一定値です。\(3\) 秒後からは速度が変わらないので加速度は \(0\) です。
- 走行距離: \(4\) 秒間の走行距離は、「バックで進んだ距離（下の三角形の面積）」と「前進した距離（上の台形の面積）」を足し合わせたものです。
- 元の位置に戻る時刻: まず \(4\) 秒の時点でどこにいるかを計算します。バックした距離が \(4 \, \text{m}\)、前進した距離が \(3 \, \text{m}\) なので、差し引きするとスタート地点より \(1 \, \text{m}\) 後ろにいます。そこから秒速 \(2 \, \text{m}\) で前進しているので、あと \(1 \, \text{m}\) 進むのに \(0.5\) 秒かかります。よって、スタートから \(4+0.5=4.5\) 秒後となります。
- \(a-t\)グラフ: \(0 \le t \le 3\) で \(a=2 \, \text{m/s}^2\)、\(t \ge 3\) で \(a=0 \, \text{m/s}^2\) となり、物理的に妥当です。
- 走行距離: \(l=7 \, \text{m}\)。変位 \(-1 \, \text{m}\) とは異なる値であり、正しく区別できています。
- 元の位置に戻る時刻: \(t=4.5 \, \text{s}\)。\(t=4\) 以降に正の方向に進むことで変位が \(0\) になるため、妥当な結果です。
加速度の時間変化: 模範解答の左下のグラフの通り。(\(0 \le t \le 3\) で \(a=2 \, \text{m/s}^2\)、\(t \ge 3\) で \(a=0 \, \text{m/s}^2\))
\(4\) 秒間の走行距離: \(7 \, \text{m}\)
元の位置に戻る時刻: \(4.5 \, \text{s}\)
思考の道筋とポイント
運動を \(0 \le t \le 2\)、\(2 \le t \le 3\)、\(3 \le t \le 4\) の3つの区間に分けて考えます。まず、\(0 \le t \le 3\) の区間全体で加速度を求め、それを利用して各区間の変位や移動距離を計算します。走行距離は各区間の移動距離の絶対値の和、元の位置に戻る条件は全変位が \(0\) となることを利用します。
この設問における重要なポイント
- 運動の向きが変わる時刻（\(t=2\)）を最初に特定し、そこで計算を区切る。
- 走行距離を計算する際は、負の変位の絶対値をとることを忘れない。
- \(t=4\) 以降は等速直線運動の公式を適用する。
具体的な解説と立式
1. 加速度と運動の転換点の計算
- \(0 \le t \le 3\) の区間:
初速度 \(v_0 = -4\)、\(t=3\) での速度 \(v=2\) なので、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2 &= -4 + a \times 3
\end{aligned}
$$ - 速度が \(0\) になる時刻 \(t_{\text{turn}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= -4 + 2 \times t_{\text{turn}}
\end{aligned}
$$
2. \(4\) 秒間の走行距離 \(l\)
- 区間1 (\(0 \le t \le 2\)):
初速度 \(v_0 = -4\)、加速度 \(a=2\)、時間 \(t=2\)。変位 \(x_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= (-4) \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2^2
\end{aligned}
$$
移動距離 \(l_1\) は \(|x_1|\) です。 - 区間2 (\(2 \le t \le 3\)):
初速度 \(v_0′ = 0\)、加速度 \(a=2\)、時間 \(t’=1\)。移動距離 \(l_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
l_2 &= 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 1^2
\end{aligned}
$$ - 区間3 (\(3 \le t \le 4\)):
等速直線運動。速度 \(v=2\)、時間 \(t”=1\)。移動距離 \(l_3\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
l_3 &= 2 \times 1
\end{aligned}
$$
総走行距離 \(l\) は \(l = l_1 + l_2 + l_3\) です。
3. 元の位置に戻る時刻
\(t=4\) の時点での変位 \(\Delta x_4\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x_4 &= x_1 + l_2 + l_3
\end{aligned}
$$
\(t=4\) 以降は、速度 \(v=2 \, \text{m/s}\) の等速直線運動をします。
変位が \(0\) になるためには、あと \(\Delta x = +1 \, \text{m}\) だけ進む必要があります。
必要な時間 \(\Delta t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= \frac{\Delta x}{v}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等加速度直線運動の公式: \(v = v_0 + at\), \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
- 等速直線運動の公式: \(x = vt\)
- 加速度と転換点:
$$
\begin{aligned}
3a &= 6 \\[2.0ex]
a &= 2 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
2t_{\text{turn}} &= 4 \\[2.0ex]
t_{\text{turn}} &= 2 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$ - 走行距離 \(l\):
$$
\begin{aligned}
x_1 &= -8 + 4 \\[2.0ex]
&= -4 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l_1 &= |x_1| \\[2.0ex]
&= 4 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l_2 &= 1 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l_3 &= 2 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
l &= l_1 + l_2 + l_3 \\[2.0ex]
&= 4 + 1 + 2 \\[2.0ex]
&= 7 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$ - 元の位置に戻る時刻:
$$
\begin{aligned}
\Delta x_4 &= (-4) + 1 + 2 \\[2.0ex]
&= -1 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= \frac{1}{2} \\[2.0ex]
&= 0.5 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
t &= 4 + \Delta t \\[2.0ex]
&= 4 + 0.5 \\[2.0ex]
&= 4.5 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
この別解でも、運動をステージに分けて考えます。「ステージ1は初速-4で加速」「ステージ2は静止状態から加速」「ステージ3は一定速度で進む」といった具合です。それぞれのステージで、公式を使って進んだ距離を計算します。走行距離は、バックで進んだ分も前進した分も全部足し算します。元の位置に戻る時刻は、4秒の時点でスタート地点からどれだけズレているかを計算し、そのズレを解消するのにあと何秒かかるかを計算します。
主たる解法と全く同じ結果が得られました。特に、運動の向きが変わる問題では、変位と走行距離の違いを意識しながら、各区間の運動を丁寧に追跡することが重要です。公式を用いる方法は、グラフの面積計算が複雑な場合に有効な手段となります。
加速度の時間変化: 模範解答の左下のグラフの通り。(\(0 \le t \le 3\) で \(a=2 \, \text{m/s}^2\)、\(t \ge 3\) で \(a=0 \, \text{m/s}^2\))
\(4\) 秒間の走行距離: \(7 \, \text{m}\)
元の位置に戻る時刻: \(4.5 \, \text{s}\)
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- \(v-t\)グラフの物理的意味の完全な理解:
- 核心: この問題の根幹は、\(v-t\)グラフという運動の視覚的表現が持つ2つの重要な幾何学的特徴、すなわち「傾き」と「面積」を、それぞれ「加速度」と「変位」という物理量に正確に翻訳できるかどうかにあります。
- 理解のポイント:
- 傾き \(\rightarrow\) 加速度: グラフの傾き (\(\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\)) は、速度が時間あたりにどれだけ変化するかを表しており、これはまさに加速度の定義そのものです。グラフが急なほど加速度が大きく、水平なら加速度はゼロ（等速）です。
- 面積 \(\rightarrow\) 変位: グラフの面積は、微小時間 \(\Delta t\) における移動距離 \(v \Delta t\) を足し合わせたもの（積分）に相当します。これが物体の位置の変化量、すなわち変位となります。\(t\) 軸より上側の面積は正の変位、下側は負の変位を表します。
- 「走行距離（道のり）」と「変位」の厳密な区別:
- 核心: 特に(b)のように運動の向きが変わる場合、「どれだけ動いたか（走行距離）」と「最終的にどこにいるか（変位）」は全く異なる量になります。この違いを理解し、グラフ上で正しく計算し分けることが極めて重要です。
- 理解のポイント:
- 走行距離: 物体が実際にたどった経路の全長です。グラフ上では、\(t\) 軸の上側と下側の面積の「絶対値の和」として計算されます。常に正の値です。
- 変位: 出発点から終点までの直線的な位置の変化です。グラフ上では、\(t\) 軸の上側（正）と下側（負）の面積を「符号を付けて足し合わせた和」として計算されます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- \(x-t\)グラフや\(a-t\)グラフとの相互変換: \(v-t\)グラフから\(a-t\)グラフを作成したように、逆に\(a-t\)グラフの面積から速度変化 \(\Delta v\) を求め、\(v-t\)グラフを描く問題。また、\(v-t\)グラフの面積から変位を計算し、\(x-t\)グラフを描く問題など、3つのグラフを行き来する問題は頻出です。
- 相対運動のグラフ問題: 2つの物体（A, B）の\(v-t\)グラフが与えられ、「Aから見たBの相対速度」のグラフを描いたり、「2物体が最も近づく（または離れる）時刻」や「追いつく時刻」を求めたりする問題。これらは、グラフの差を考えたり、面積の差が特定の距離になる時刻を求めたりすることで解けます。
- 仕事とエネルギーの関係: \(F-x\)グラフ（力と位置のグラフ）が与えられた場合、その面積が「仕事」を表します。これは \(v-t\) グラフの面積が変位を表すのと同様の関係であり、グラフの面積が物理的な意味を持つ代表例として応用できます。
- 初見の問題での着眼点:
- グラフの種類の確認: まず、与えられたグラフが \(v-t\), \(x-t\), \(a-t\) のどれなのかを最初に確認します。これにより、傾きと面積がそれぞれ何を意味するかが決まります。
- 時間軸との交点を探す: \(v-t\) グラフが \(t\) 軸と交わる点（\(v=0\) となる点）は、物体が「一瞬停止」し、「運動の向きを変える」重要なポイントです。走行距離を求める際には、この点で計算を区切る必要があります。
- 問われている量を明確にする: 問題が「変位」を問うているのか、「走行距離（道のり）」を問うているのかを正確に把握します。これにより、面積を符号付きで足すのか、絶対値で足すのかが決まります。
- 「元の位置に戻る」「追いつく」の言い換え: 「元の位置に戻る」は「全変位が \(0\)」、「AがBに追いつく」は「AとBの変位が等しくなる（または相対的な変位が初期位置の差に等しくなる）」と物理的に言い換えることで、グラフの面積をどう利用すればよいかが見えてきます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 走行距離と変位の混同:
- 誤解: 速度が負になる区間があるにもかかわらず、単純に \(t=4\) までのグラフの面積を計算してしまい、変位を走行距離として答えてしまう（(b)で \(-1 \, \text{m}\) を走行距離と勘違いするなど）。
- 対策: 問題文に「走行距離」や「道のり」とあったら、まず \(v-t\) グラフが \(t\) 軸を横切る点がないかを確認する癖をつけます。横切る点があれば、そこで計算を区切り、各区間の面積の「絶対値」を足し算することを徹底します。
- 面積計算のミス:
- 誤解: (b)の \(2 \le t \le 4\) のような台形の面積を、単純な長方形や三角形と勘違いして計算してしまう。
- 対策: 複雑な図形は、単純な三角形や長方形に分割して計算するのが安全です。(b)の台形なら、\(2 \le t \le 3\) の三角形と \(3 \le t \le 4\) の長方形に分けて、それぞれの面積を計算して足し合わせることで、ケアレスミスを防げます。
- 元の位置に戻る時刻の計算ミス:
- 誤解: (a)で、\(t=4\) 以降の面積を計算する際に、経過時間 \(T\) だけで考えてしまい、最終的な時刻を \(T=2\) と答えてしまう。
- 対策: 「\(t=4\) から \(T\) 秒後」のように、基準となる時刻を明確に意識することが重要です。求めた経過時間 \(T\) は、あくまで基準時刻からの時間なので、必ず最後に基準時刻（この場合は \(4 \, \text{s}\)）を足し合わせることを忘れないようにします。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 傾き \(= a\), 面積 \(= \Delta x\) の選択:
- 選定理由: この問題は \(v-t\) グラフそのものが与えられており、加速度や変位を求める最も直接的で効率的な方法が、グラフの幾何学的性質を利用することだからです。運動の公式（\(v=v_0+at\) など）をわざわざ使うのは、遠回りになります。
- 適用根拠: これらの関係は、加速度と速度、速度と変位がそれぞれ微積分で結びついていることに由来します (\(a = dv/dt\), \(v = dx/dt\))。高校物理では微積分を陽に使いませんが、傾きや面積という形でその本質を利用しています。グラフから情報を読み取ることは、運動の全体像を直感的に把握しながら解き進める上で非常に強力な手法です。
- 別解での運動公式の選択:
- 選定理由: グラフを使わない別のアプローチとして、運動を代数的に記述する方法が運動の公式です。\(v-t\) グラフが折れ線（＝各区間で傾きが一定）であることから、各区間は「等加速度直線運動」であると判断できます。したがって、等加速度直線運動の公式を適用することが正当化されます。
- 適用根拠: グラフ上の点の座標（時刻と速度）を、運動の公式における初期条件（\(t_0, v_0\)）と最終状態（\(t, v\)）に対応させることで、未知の量（\(a\) や \(\Delta x\)）を計算できます。これは、視覚的な情報を数式的な情報に変換して問題を解くアプローチです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 図形の分割: (b)の台形の面積計算のように、少しでも複雑な図形は、自分が計算しやすい単純な図形（三角形や長方形）に必ず分割しましょう。「上底+下底」の公式は便利ですが、どこが上底でどこが下底かを見誤るリスクもあります。分割して足し合わせる方が、時間は少しだけかかりますが確実です。
- 符号の確認を徹底: 面積を計算したら、それが正の変位なのか負の変位なのかを、必ず符号（\(+\) or \(-\)）を付けてメモする習慣をつけましょう。特に変位を計算する際には、この符号の付け忘れが致命的なミスにつながります。
- 単位を書き込む: 計算の途中や最終的な答えには、必ず \( \text{m/s}^2, \text{m}, \text{s} \) などの単位を書き込みましょう。これにより、自分が今何を計算しているのか（加速度なのか、距離なのか、時間なのか）を常に意識することができ、混同を防げます。
- 検算の習慣: 例えば、運動の公式で計算した距離が、グラフの面積から大まかに見積もった値と大きくずれていないかを確認するなど、異なるアプローチで簡単な検算を行うと、間違いに気づきやすくなります。
2 等加速度運動
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている解法（加速度を求めてから距離を計算する）を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 別解1: 平均の速さの公式 \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) を用いる解法
- 模範解答が2段階の計算を要するのに対し、別解では加速度を求めることなく、与えられた情報のみで1段階で直接移動距離を計算します。
- 別解2: \(v-t\)グラフの面積を利用する解法
- 模範解答が代数的な計算に終始するのに対し、別解では運動をグラフで視覚的に表現し、その幾何学的な性質（面積）から答えを導きます。
- 別解1: 平均の速さの公式 \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) を用いる解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 別解2は、別解1の公式が「台形の面積」として視覚的に理解できることを示しており、公式の丸暗記から脱却できます。
- 思考の柔軟性向上: 問題で与えられた物理量を見て、どの公式を使えば最も効率的かを判断する訓練になります。
- 解法の効率化: 別解1のように、問題の本質を捉えることで、より少ない計算ステップで簡潔に解に至る強力な手法を学ぶことができます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「等加速度直線運動の公式の基本的な応用」です。問題文で与えられた物理量を正しく整理し、数ある公式の中から適切なものを選択して適用する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 物理量の整理: 問題文中の「初速」「\(4\,\text{s}\)後」「速度が\(14\,\text{m/s}\)」といった言葉を、それぞれ初速度 \(v_0\)、時間 \(t\)、後の速度 \(v\) という物理量記号に正確に対応させること。
- 等加速度直線運動の公式: 以下の3つの基本公式を理解し、いつでも使える状態にしておくこと。
- \(v = v_0 + at\)
- \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)
- \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)
- 適切な公式の選択: 自分が知っている量（既知量）と、求めたい量（未知量）を明確にし、それらが含まれる公式を的確に選ぶこと。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から与えられている \(v_0, v, t\) を使って、まずは運動の加速度 \(a\) を公式 \(v = v_0 + at\) から求めます。
- 次に、求めた加速度 \(a\) と与えられている \(v_0, t\) を使って、移動距離 \(x\) を公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) から計算します。
思考の道筋とポイント
問題文から、初速度 \(v_0 = 2 \, \text{m/s}\)、時間 \(t = 4 \, \text{s}\)、後の速度 \(v = 14 \, \text{m/s}\) が与えられており、移動距離 \(x\) を求める問題です。
移動距離を計算する公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を使うためには、加速度 \(a\) の値が必要です。そこで、まずは速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) を用いて加速度 \(a\) を求め、その結果を使って移動距離 \(x\) を計算するという、2段階のプロセスで解を進めます。
この設問における重要なポイント
- 等加速度直線運動の公式 \(v=v_0+at\) と \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) を正しく適用する。
- 問題文の数値を各物理量に正確に対応させる (\(v_0=2\), \(v=14\), \(t=4\))。
- 最初に加速度を求め、次にその結果を利用して距離を求める、という手順を踏む。
具体的な解説と立式
まず、運動の加速度 \(a\) を求めます。
等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) に、問題文で与えられた \(v_0 = 2 \, \text{m/s}\), \(v = 14 \, \text{m/s}\), \(t = 4 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
14 &= 2 + a \times 4
\end{aligned}
$$
この方程式を解くことで、加速度 \(a\) が求まります。
次に、この加速度 \(a\) を用いて移動距離 \(x\) を求めます。
等加速度直線運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) に、\(v_0 = 2 \, \text{m/s}\), \(t = 4 \, \text{s}\) と、上で求めた \(a\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= 2 \times 4 + \frac{1}{2} \times a \times 4^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- \(v = v_0 + at\)
- \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)
まず、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
14 &= 2 + 4a \\[2.0ex]
4a &= 14 – 2 \\[2.0ex]
4a &= 12 \\[2.0ex]
a &= 3 \, [\text{m/s}^2]
\end{aligned}
$$
次に、この \(a=3\) を使って移動距離 \(x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 2 \times 4 + \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 \\[2.0ex]
&= 8 + \frac{1}{2} \times 3 \times 16 \\[2.0ex]
&= 8 + 24 \\[2.0ex]
&= 32 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
車が初速 \(2 \, \text{m/s}\) で走り出し、一定のペースで加速して \(4\) 秒後には \(14 \, \text{m/s}\) になりました。この \(4\) 秒間でどれだけ進んだでしょう？という問題です。
まず、「どれくらいの勢いで加速したか（加速度）」を計算します。\(4\) 秒間で速度が \(12 \, \text{m/s}\) 増えているので、\(1\) 秒あたり \(3 \, \text{m/s}\) ずつ速くなった、つまり加速度は \(3 \, \text{m/s}^2\) だとわかります。
次に、この加速ペースを元に、\(4\) 秒間の移動距離を計算します。物理の公式に当てはめて計算すると、答えは \(32 \, \text{m}\) となります。
移動距離は \(32 \, \text{m}\) と計算できました。
この運動の平均の速さは \(\frac{2+14}{2} = 8 \, \text{m/s}\) です。この平均の速さで \(4\) 秒間進んだと考えると、移動距離は \(8 \, \text{m/s} \times 4 \, \text{s} = 32 \, \text{m}\) となり、計算結果と一致します。よって、この答えは妥当であると言えます。
思考の道筋とポイント
この問題では、初速度 \(v_0\)、後の速度 \(v\)、時間 \(t\) がすべて与えられています。このような場合、加速度 \(a\) を求めなくても、移動距離 \(x\) を直接計算できる公式 \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) を利用するのが最も効率的です。この公式は、等加速度直線運動における「移動距離は平均の速さ×時間である」という関係を表しています。
この設問における重要なポイント
- 等加速度直線運動では、平均の速さが \(\frac{v_0+v}{2}\) で計算できることを知っている。
- 求める量 \(x\) と、与えられている量 \(v_0, v, t\) の関係を直接結びつける公式を選択する。
- この公式を使えば、1ステップで計算が完了する。
具体的な解説と立式
等加速度直線運動の公式の一つである \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) を用います。
この式に、問題文で与えられた \(v_0 = 2 \, \text{m/s}\), \(v = 14 \, \text{m/s}\), \(t = 4 \, \text{s}\) を直接代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{2 + 14}{2} \times 4
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- \(x = \frac{v_0+v}{2}t\)
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{16}{2} \times 4 \\[2.0ex]
&= 8 \times 4 \\[2.0ex]
&= 32 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
ずっと同じペースで加速し続ける運動の場合、移動距離は「平均の速さ × 時間」で計算できる、という便利な法則があります。
この問題での平均の速さは、最初の速さ \(2 \, \text{m/s}\) と最後の速さ \(14 \, \text{m/s}\) を足して \(2\) で割るだけで、\(8 \, \text{m/s}\) と簡単に求められます。
あとは、この平均の速さで \(4\) 秒間進んだと考えて、\(8 \times 4 = 32 \, \text{m}\) と、加速度をわざわざ求めなくても一発で答えを出すことができます。
主たる解法と全く同じ \(32 \, \text{m}\) という結果が得られました。この解法は、加速度 \(a\) を計算する必要がないため、計算の手間が少なく、計算ミスも起こしにくい非常に優れた方法です。問題の条件に応じて最適な公式を選択する良い練習になります。
思考の道筋とポイント
等加速度直線運動の様子を \(v-t\) グラフで視覚的に表現します。\(v-t\) グラフにおいて、グラフと時間軸で囲まれた部分の面積は、その間の移動距離を表します。この性質を利用して、移動距離を幾何学的に求めます。
この設問における重要なポイント
- \(v-t\) グラフにおいて、等加速度直線運動は直線で表される。
- グラフと時間軸で囲まれた部分の面積が移動距離を表す。
- 今回の運動のグラフは台形を描くため、台形の面積を計算すればよい。
具体的な解説と立式
運動の様子を \(v-t\) グラフに描きます。
- 横軸に時間 \(t\)、縦軸に速度 \(v\) をとります。
- \(t=0\) のとき \(v=2\) なので、点 \((0, 2)\) をとります。
- \(t=4\) のとき \(v=14\) なので、点 \((4, 14)\) をとります。
等加速度直線運動なので、この2点を直線で結びます。
移動距離 \(x\) は、この直線と \(t\) 軸、および \(t=0\) と \(t=4\) の線で囲まれた台形の面積に等しくなります。
台形の面積の公式に当てはめます。
- 上底: \(t=0\) のときの速度 \(v_0 = 2\)
- 下底: \(t=4\) のときの速度 \(v = 14\)
- 高さ: 時間 \(t = 4\)
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times (\text{高さ}) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times (2 + 14) \times 4
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- \(v-t\)グラフの面積と移動距離の関係
- 台形の面積の公式
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{1}{2} \times 16 \times 4 \\[2.0ex]
&= 8 \times 4 \\[2.0ex]
&= 32 \, [\text{m}]
\end{aligned}
$$
この車の運動を、速度と時間のグラフに描いてみます。スタート時（\(0\)秒）の速度は \(2\)、\(4\) 秒後の速度は \(14\) なので、グラフ上では右肩上がりの直線になります。
物理学の重要な法則として、「\(v-t\)グラフの下側の面積は、移動した距離と等しくなる」というものがあります。
今回のグラフの形は台形なので、小学校で習った台形の面積の公式「（上底＋下底）× 高さ ÷ ２」を使えば、移動距離を計算できます。計算すると、答えは \(32 \, \text{m}\) となります。
主たる解法や別解1と全く同じ \(32 \, \text{m}\) という結果が得られました。この解法は、別解1で用いた公式 \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) が、まさに台形の面積を計算していることを視覚的に示しています。公式を物理的なイメージと結びつけて理解する上で、非常に有効なアプローチです。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 等加速度直線運動の公式の選択と適用:
- 核心: この問題の根幹は、与えられた物理量（初速度、後の速度、時間）から、求めたい物理量（移動距離）を計算するために、複数ある等加速度直線運動の公式の中から最も適切なものを選択し、正しく適用する能力にあります。
- 理解のポイント:
- 3つの基本公式: \(v = v_0 + at\), \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\), \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) は、それぞれ時間 \(t\)、加速度 \(a\)、移動距離 \(x\)、初速度 \(v_0\)、後の速度 \(v\) の5つの物理量のうち4つを結びつけています。
- 状況に応じた選択: どの公式も重要ですが、問題によって使いやすさが異なります。例えば、時間が関係ない場合は \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) が、加速度を求めずに距離を計算したい場合は \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) が有効です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 鉛直投げ上げ・投げ下ろし: 地球の重力による運動は、加速度が重力加速度 \(g\) で一定の等加速度直線運動とみなせます。初速度の向きや座標軸の取り方に注意すれば、全く同じ公式で解くことができます。
- ブレーキをかける問題: 自動車がブレーキをかけて停止するまでの距離（制動距離）や時間を求める問題も、負の加速度を持つ等加速度直線運動として扱えます。
- 2物体のすれ違い・追いつき問題: 2つの物体がそれぞれ等加速度直線運動をする場合、それぞれの位置を時間の関数として式で表し、位置が等しくなる時刻を求める、といった連立方程式の問題に応用できます。
- 初見の問題での着眼点:
- 既知量と未知量の整理: まず、問題文から与えられている物理量（既知量）と、求めたい物理量（未知量）を \(v_0, v, a, t, x\) などの記号を使ってリストアップします。
- 公式の選択: 作成したリストを見て、未知量が1つだけで、他の量はすべて既知量であるような公式を探します。
- 最短ルートの検討: 模範解答のように2ステップで解くこともできますが、別解1のように1ステップで解ける公式がないかを常に検討する癖をつけると、計算が速く、正確になります。特に \(v_0, v, t, x\) の4つのうち3つが分かっている場合は、\(x = \frac{v_0+v}{2}t\) が非常に強力です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 公式の丸暗記による適用ミス:
- 誤解: 例えば、初速度が0の場合の公式 \(x = \frac{1}{2}at^2\) を、初速度がある場合にも誤って使ってしまう。
- 対策: 各公式の導出過程や意味を理解することが重要です。特に、\(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) は「初速度のまま進んだ距離」と「加速によって増えた距離」の和である、といった物理的な意味を理解しておくと、項を忘れるなどのミスが減ります。
- 符号のミス:
- 誤解: 加速方向と逆向きの初速度を持つ場合や、減速する場合に、速度や加速度の符号を正しく設定できずに計算を間違える。
- 対策: まず、座標軸の正の向きを自分で決めます（例：右向きを正）。そして、すべてのベクトル量（速度、加速度、変位）の向きが正の向きと同じか逆かを判断し、符号（\(+\) or \(-\)）を付けて式に代入する、という手順を徹底します。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 模範解答の \(v=v_0+at\) と \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) の選択:
- 選定理由: これらは等加速度直線運動の最も基本的な定義式から導かれる公式であり、どんな状況でも使える汎用性の高い組み合わせです。加速度 \(a\) は運動の性質を決定づける重要な量なので、まず \(a\) を求めてから他の量を計算する、という流れは論理的で分かりやすいです。
- 適用根拠: 問題文で与えられた \(v_0, v, t\) を使って \(a\) を求めることができ、求めた \(a\) と既知の \(v_0, t\) を使えば \(x\) が計算できる、という形で、未知数を一つずつ解消していくことができます。
- 別解1の \(x = \frac{v_0+v}{2}t\) の選択:
- 選定理由: この問題で求めたいのは \(x\) であり、与えられているのは \(v_0, v, t\) です。この公式は、これら4つの量を直接結びつけており、途中で加速度 \(a\) を計算する必要がありません。したがって、最も効率的で計算ミスのリスクが少ない解法となります。
- 適用根拠: 等加速度直線運動では、速度が時間に比例して直線的に変化するため、時間平均の速度は単純に最初と最後の速度の算術平均 \(\frac{v_0+v}{2}\) となります。移動距離は「平均の速さ×時間」で求められるため、この公式が成り立ちます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位を付けて立式する: \(14\,\text{[m/s]} = 2\,\text{[m/s]} + a \times 4\,\text{[s]}\) のように、計算の初期段階で単位を書き込むと、物理量の取り違えや、最終的な答えの単位の間違いを防ぐことができます。
- 代入前の式変形: いきなり数値を代入するのではなく、まず文字式のまま求めたい変数について解く癖をつけると、複雑な問題になったときに見通しが良くなります。例えば、\(a = \frac{v-v_0}{t}\) と変形してから数値を代入するなどです。
- 見積もりの習慣: 計算する前に、答えが大体どのくらいの値になるかを見積もる習慣をつけると、桁違いの計算ミスに気づきやすくなります。「速さが2から14に増えるのだから、平均の速さはその間のどこか。仮に10m/sだとして4秒なら40mくらいかな？」といった大雑把な見積もりでも有効です。
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3 等加速度運動
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている解法（時間を含まない公式 \(v^2-v_0^2=2ax\) を用いて距離を計算する）を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 別解1: \(v-t\)グラフの面積を利用する解法
- 模範解答が代数的な計算で解くのに対し、別解では運動をグラフで視覚的に表現し、その幾何学的な性質（面積）から答えを導きます。模範解答でも示唆されている方法を、より詳細に解説します。
- 別解2: 運動を2区間に分け、時間を含む公式 \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) を用いる解法
- 模範解答が時間を含まない公式で解くのに対し、別解では運動を折り返し時刻で「行き」と「帰り」に分け、それぞれの区間で時間と変位の公式を用いて距離を計算します。
- 別解1: \(v-t\)グラフの面積を利用する解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 別解1は、走行距離と変位の違いをグラフの面積（\(t\)軸の上側と下側）として視覚的に捉えることができ、理解が深まります。
- 思考の柔軟性向上: 1つの問題に対し、時間で区切って考える方法（別解2）、時間を使わずに解く方法（主たる解法）、グラフで解く方法（別解1）という複数のアプローチを学ぶことで、問題解決能力の幅が広がります。
- 解法の補完: どの公式を使えばよいか迷った場合でも、基本的な \(v-t\) グラフを描くことで、直感的に解法を見つけ出すことができます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「運動の向きが変わる等加速度直線運動」です。初速度と逆向きの加速度が与えられているため、物体は途中で一瞬停止し、運動の向きを変えます。この「折り返し」を正しく扱えるか、特に「変位」と「走行距離」の違いを理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 物理量の符号: 最初に座標軸の正の向き（例：初速度の向き）を決め、速度や加速度といったベクトル量を符号付きで扱うことが重要です。
- 折り返し点の条件: 物体が運動の向きを変える点（折り返し点）では、速度が一時的に \(0\) になります。この条件を使って、折り返し点までの時間や距離を計算できます。
- 変位と走行距離の区別:
- 変位: 位置の変化量であり、符号を持ちます。公式 \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) で直接計算できるのは変位です。
- 走行距離: 物体が実際に動いた道のりの合計で、常に正の値です。折り返しがある運動では、「行き」の距離と「帰り」の距離を別々に求めて足し合わせる必要があります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、公式 \(v = v_0 + at\) を用いて、速度が \(-12 \, \text{m/s}\) になるまでの時間を計算します。
- 次に、走行距離を求めるために、運動を「行き（初速度から速度が0になるまで）」と「帰り（速度0から最終速度まで）」の2段階に分けて考えます。
- 「行き」の距離と「帰り」の距離をそれぞれ計算し、それらを合計して総走行距離 \(l\) を求めます。
