「物理重要問題集2026」徹底解説（88〜90問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題88 エコーロケーションのしくみ (20 帯広畜産大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「エコーロケーション（反響定位）とドップラー効果」です。
コウモリが超音波を発し、その反射波を利用して物体までの距離や速度を測定する仕組みを、物理的なモデルとして解析します。
前半は波の基本性質（反射・干渉）を扱い、後半は動く物体（昆虫）に対するドップラー効果とうなりを扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
下線部の語句「超音波」と「回折」の意味を問う知識問題です。
物理用語の定義を正確に記述します。

この設問における重要なポイント

• 超音波: 人間の可聴域（約20Hz〜20000Hz）を超える高い振動数の音波。
• 回折: 波が障害物の背後や隙間の向こう側に回り込んで伝わる現象。波長が長いほど顕著。

具体的な解説と立式
① 超音波: 人間の耳には聞こえない、振動数が高い（約20000Hz以上）音波のことです。
② 回折: 波が障害物の後ろ側に回り込んで伝わる現象のことです。

なし

① 超音波は「超高い音」です。人間には聞こえませんが、コウモリやイルカは使えます。
② 回折は「波の回り込み」です。壁の向こうの声が聞こえるのは、音が壁を回り込んでくるからです。

超音波は医療用エコーや洗浄機などに利用されており、指向性が高い（回折しにくい）という性質とも合致します。回折は波特有の現象であり、粒子には見られない性質です。

問(2)

思考の道筋とポイント
波の基本式を用いて、周期 \(T\) と波長 \(\lambda\) を求めます。
振動数 \(f\) と音速 \(V\) が与えられています。

この設問における重要なポイント

• 周期と振動数の関係: \(T = \frac{1}{f}\)。
• 波の基本式: \(V = f\lambda\)。

具体的な解説と立式
周期 \(T\) は振動数 \(f\) の逆数です。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{f} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
波長 \(\lambda\) は、波の基本式 \(V = f\lambda\) より求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{V}{f} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①、②そのものが答えです。

周期は「1回振動するのにかかる時間」、波長は「波1個分の長さ」です。
1秒間に \(f\) 回振動して \(V\) [m] 進むので、波1個の長さは \(V/f\) [m] になります。

単位を確認すると、\(T\) は [s]、\(\lambda\) は [m/s] / [1/s] = [m] となり、物理量の次元として正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
エコーロケーションの基本原理です。
往復にかかった時間 \(t\) から距離 \(D\) を求めます。
「往復」であることを忘れないようにします。

この設問における重要なポイント

• 往復距離: 音波が進んだ距離は \(2D\) です。
• 等速運動: 音速 \(V\) は一定です。

具体的な解説と立式
音波はコウモリから崖まで行き、反射して戻ってくるので、往復距離は \(2D\) です。
速さ \(V\) で時間 \(t\) かかったので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
2D &= Vt \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式③を \(D\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
D &= \frac{Vt}{2}
\end{aligned}
$$

「速さ×時間」で計算できるのは「往復の道のり」です。
崖までの距離はその半分なので、2で割ります。

時間が2倍かかれば距離も2倍になるという比例関係が成り立っており、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
反射波が弱まった理由を問われています。
図2を見ると、昆虫の表面で反射する波と、崖の表面で反射する波の2つが存在します。
これら2つの波が干渉し、弱め合ったと考えられます。
問題文に「昆虫の表面と崖の表面で、反射のしかたに違いはなかった」とあるので、位相のずれ（固定端か自由端か）は両者で同じであり、考慮する必要がありません（相対的な位相差は経路差のみで決まります）。

この設問における重要なポイント

• 経路差: 昆虫の厚さ \(d\) の往復分、つまり \(2d\) が経路差となります。
• 干渉条件: 同位相の波源からの波が弱め合う条件は、経路差が半波長の奇数倍になることです。

具体的な解説と立式
昆虫の表面で反射した波と、崖の表面で反射した波が重なり合います。
崖からの反射波は、昆虫からの反射波に比べて、昆虫の厚さ \(d\) の往復分だけ余分に距離を進んでいます。
この経路差によって位相がずれ、逆位相となって重なり合ったため、波が弱め合いました。

なし（記述問題）

昆虫の背中で跳ね返る音と、その奥の崖で跳ね返る音の2つが戻ってきます。
この2つの音のタイミング（位相）がちょうど「山と谷」の関係にズレてしまったため、お互いに打ち消し合って音が小さくなりました。

薄膜干渉などと同様の現象であり、波の重ね合わせの原理に基づいた妥当な説明です。

問(5)

思考の道筋とポイント
弱め合いの条件式を立てて \(d\) を求めます。
「振動数を \(f\) から徐々に低下させると、振動数が \(f_0\) のとき反射波が最も弱まった」
「\(f_0\) より低くすると反射波が弱まることはなかった」
この記述は、\(f_0\) のときが「最も次数の低い（\(m=0\)）弱め合いの条件」を満たしていることを意味します。
つまり、経路差が半波長のちょうど1倍（\(\lambda/2\)）になったということです。

この設問における重要なポイント

• 経路差: \(2d\)。
• 弱め合いの条件: \(2d = (m + \frac{1}{2})\lambda\)。
• 条件の特定: \(f\) を下げていく（\(\lambda\) を長くしていく）と最初に弱まる点なので、最も長い波長 \(\lambda_0\) で条件を満たします。これは \(m=0\) に対応します。

具体的な解説と立式
振動数 \(f_0\) のときの波長を \(\lambda_0\) とします。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{V}{f_0}
\end{aligned}
$$
経路差 \(2d\) が半波長の奇数倍のとき弱め合います。
$$
\begin{aligned}
2d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_0 \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
振動数を下げていく（波長を長くしていく）過程で、\(f_0\) で初めて（そしてそれ以降はない）弱まったということは、このとき波長が最大であり、右辺の係数が最小（\(m=0\)）であることを意味します。
よって、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
2d &= \frac{1}{2} \lambda_0 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

式④に \(\lambda_0 = V/f_0\) を代入して \(d\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2d &= \frac{1}{2} \cdot \frac{V}{f_0} \\[2.0ex] d &= \frac{V}{4f_0}
\end{aligned}
$$

往復のズレ（\(2d\)）が、ちょうど波1個分の半分（半波長）になったとき、波は打ち消し合います。
一番低い振動数（一番長い波長）でそれが起きたので、ズレの距離は「半波長そのもの」です。
ここから厚さ \(d\) を計算します。

\(d = V/(4f_0)\) は波長の1/4です。往復で半波長になるので、干渉条件を満たしており正しいです。

問(6)

思考の道筋とポイント
図3の設定に移ります。コウモリも昆虫も動いています。
時間 \(\Delta t\) 内にコウモリが発した波の総数を求めます。
振動数 \(f\) は「1秒あたりの波の数」です。

この設問における重要なポイント

• 波の総数: \(N = f \times t\)。
• 音源の運動: 音源が動いても、発する振動数（1秒間に出す波の数）自体は変わりません（観測される振動数は変わりますが、ここでは「発した数」を聞かれています）。

具体的な解説と立式
コウモリは振動数 \(f\) で超音波を発しています。
これは1秒間に \(f\) 個の波を出すことを意味します。
時間 \(\Delta t\) の間に発する波の総数 \(N\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
N &= f \Delta t \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

式⑤そのものが答えです。

1秒に \(f\) 回振動するなら、\(\Delta t\) 秒では \(f \times \Delta t\) 回振動します。

単純な比例関係であり、次元も [1/s] × [s] = [無次元（個数）] となり正しいです。

問(7)

思考の道筋とポイント
発せられた波の列（波連）が空間中でどのくらいの長さ \(L\) になっているかを求めます。
図bを参照します。
波の先頭は時間 \(\Delta t\) の間に音速 \(V\) で進みます。
波の最後尾は、コウモリが時間 \(\Delta t\) の間に進んだ位置から発せられます。

この設問における重要なポイント

• 先頭の位置: \(V \Delta t\) 進んだ地点。
• 最後尾の位置: コウモリが \(v \Delta t\) 進んだ地点。
• 波の長さ: (先頭の位置) – (最後尾の位置)。

具体的な解説と立式
時刻 \(t=0\) に発射された波の先頭は、時刻 \(t=\Delta t\) には距離 \(V \Delta t\) だけ進んでいます。
一方、時刻 \(t=\Delta t\) に発射される波の最後尾は、その瞬間のコウモリの位置から出ます。
コウモリは速さ \(v\) で飛んでいるので、時刻 \(t=\Delta t\) には \(v \Delta t\) だけ進んでいます。
したがって、空間中に存在する波の長さ \(L\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
L &= V \Delta t – v \Delta t \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$

式⑥を整理します。
$$
\begin{aligned}
L &= (V – v) \Delta t
\end{aligned}
$$

波の先頭は音速で逃げていきますが、コウモリも後ろから追いかけながら波を出し続けます。
そのため、波全体の長さは「音速で進んだ距離」から「コウモリが進んだ距離」を引いたものになります。ドップラー効果で波長が縮む原因そのものです。

\(v=0\) なら \(V \Delta t\) となり、静止音源の場合と一致します。\(v\) が大きくなると \(L\) は短くなり、波が圧縮される様子を表しています。

問(8)

思考の道筋とポイント
コウモリの発した超音波の波長 \(\lambda’\) を求めます。
問(6)で求めた「波の総数」が、問(7)で求めた「波の長さ」の中に詰まっています。
波長は「波1個分の長さ」です。

この設問における重要なポイント

• 波長の定義: \(\lambda = \frac{\text{波全体の長さ}}{\text{波の総数}}\)。

具体的な解説と立式
長さ \(L\) の中に \(N\) 個の波が含まれているので、1個あたりの長さ（波長 \(\lambda’\)）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{L}{N} \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$

式⑦に問(6)(7)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{(V – v) \Delta t}{f \Delta t} \\[2.0ex] &= \frac{V – v}{f}
\end{aligned}
$$

全体の長さを個数で割れば、1個分の長さが出ます。
これがドップラー効果によって縮んだ新しい波長です。

公式 \(\lambda’ = \frac{V-v}{f}\) と一致します。\(v\) が大きくなると波長が短くなるという物理的直感とも合致します。

問(9)

思考の道筋とポイント
昆虫が受ける振動数 \(f’\) を求めます。
コウモリ（音源）は速さ \(v\) で近づき、昆虫（観測者）は速さ \(w\) で近づいています。
ドップラー効果の公式を適用します。

この設問における重要なポイント

• 音源の速度: \(v\)（近づく向き）。
• 観測者の速度: \(w\)（近づく向き）。
• 公式の符号: 近づく場合、分子はプラス（観測者）、分母はマイナス（音源）。

具体的な解説と立式
音源（コウモリ）が速さ \(v\) で近づき、観測者（昆虫）が速さ \(w\) で近づく場合のドップラー効果の式より、昆虫が観測する振動数 \(f’\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f’ &= \frac{V – (-w)}{V – v} f \quad (\text{観測者は近づくので分子は } V+w) \\[2.0ex] &= \frac{V + w}{V – v} f \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$

式⑧そのものが答えです。

コウモリが追いかけてくるので波長が縮み（分母が小さくなる）、昆虫も迎えに行くので相対的な波の速さが速くなります（分子が大きくなる）。
ダブルの効果で振動数は高くなります。

\(f’ > f\) となり、互いに近づく場合の振動数上昇と一致します。\(v=w=0\) なら \(f’=f\) となり、静止時の結果に戻ります。

問(10)

思考の道筋とポイント
コウモリが聞くうなりの回数を求めます。
うなりは、コウモリが発している音の振動数 \(f\) と、昆虫から反射して戻ってきた音の振動数 \(f”\) の差です。
まず、反射音の振動数 \(f”\) を求めます。
昆虫は振動数 \(f’\)（問9の結果）を受け取り、それをそのまま反射します（動く音源となります）。

この設問における重要なポイント

• 反射の扱い: 昆虫は「動く観測者」として \(f’\) を受け取り、「動く音源」として \(f’\) を再放射します。
• 音源（昆虫）: 速さ \(w\) で近づく。
• 観測者（コウモリ）: 速さ \(v\) で近づく。
• うなりの回数: \(|f” – f|\)。

具体的な解説と立式
ステップ1: 反射音の振動数 \(f”\) の導出
昆虫（音源）は速さ \(w\) で近づき、コウモリ（観測者）は速さ \(v\) で近づきます。
発振振動数は \(f’\) です。
$$
\begin{aligned}
f” &= \frac{V – (-v)}{V – w} f’ \quad (\text{観測者は近づくので分子は } V+v) \\[2.0ex] &= \frac{V + v}{V – w} f’ \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
これに問(9)の \(f’\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f” &= \frac{V + v}{V – w} \cdot \frac{V + w}{V – v} f
\end{aligned}
$$
ステップ2: うなりの回数 \(n\) の導出
うなりの回数は振動数の差の絶対値です。\(f” > f\) なので、
$$
\begin{aligned}
n &= f” – f \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$

式⑩に \(f”\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \left( \frac{V + v}{V – w} \cdot \frac{V + w}{V – v} – 1 \right) f \\[2.0ex] &= \frac{(V + v)(V + w) – (V – w)(V – v)}{(V – w)(V – v)} f \\[2.0ex] &= \frac{(V^2 + Vw + Vv + vw) – (V^2 – Vv – Vw + vw)}{(V – w)(V – v)} f \\[2.0ex] &= \frac{2Vv + 2Vw}{(V – w)(V – v)} f \\[2.0ex] &= \frac{2V(v + w)}{(V – v)(V – w)} f
\end{aligned}
$$

戻ってきた音 \(f”\) は、行きと帰りの両方でドップラー効果を受けて、かなり高い音になっています。
元の音 \(f\) との差を計算すると、うなりの回数が求まります。
分母分子を展開して整理する計算力が問われます。

\(v, w\) が正なら \(n > 0\) となり、うなりが生じます。\(v=w=0\) なら \(n=0\) でうなりなし。物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果と相対速度
  • 核心: 音源や観測者の運動によって、波の「波長（空間的な間隔）」や「相対的な波の速さ」が変化し、結果として観測される振動数が変化する現象です。
  • 理解のポイント:
    • 音源が動く時: 波長 \(\lambda\) が変化します（縮むか伸びる）。音速 \(V\) は変わりません。
    • 観測者が動く時: 相対的な音速 \(V’\) が変化します。波長 \(\lambda\) は変わりません。
    • 公式の本質: \(f’ = \frac{V-v_{\text{観}}}{V-v_{\text{音}}}f_0\) という公式は、上記の2つの効果を統合したものです。
• 波の反射と干渉
  • 核心: 異なる経路を通った波が重なり合うとき、その経路差によって強め合ったり弱め合ったりする現象です。
  • 理解のポイント:
    • 経路差: 幾何学的な距離の差です。今回は昆虫の厚さの往復分 \(2d\) です。
    • 位相差: 反射による位相の反転（固定端反射）の有無を確認する必要があります。今回は「反射のしかたに違いはない」ため、経路差のみで決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 風がある場合のドップラー効果: 風速 \(w\) がある場合、音速を \(V\) ではなく \(V+w\)（風向き成分を加算）として公式に適用します。
  • 斜め方向の運動: 音源や観測者の速度ベクトルを、「音源と観測者を結ぶ直線方向」に分解して、その成分のみを公式に代入します。
  • 薄膜干渉: 光の干渉問題でも、厚さ \(d\) の膜による反射光の干渉は頻出です。経路差 \(2nd\)（\(n\)は屈折率）と反射による位相変化をセットで考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 速度ベクトルの作図: 登場する全ての物体（音源、観測者、反射板）の速度ベクトルを矢印で描き込みます。
  2. 正の向きの定義: 「音源から観測者に向かう向き」を正として、各速度の符号（\(+\) か \(-\) か）を慎重に決定します。
  3. 反射板の処理: 反射板が動いている場合は、「観測者として遠ざかっているか？」「音源として近づいているか？」を個別に判定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反射板が動く時の符号ミス:
  • 誤解: 「反射板が右に動いているから、常にプラス（またはマイナス）」と機械的に符号を決めてしまう。
  • 対策: 反射板は「受け取る時」と「出す時」で役割が変わります。
    • 受け取る時（観測者）: 音源から逃げているなら \(V-u\)。
    • 出す時（音源）: 観測者から逃げているなら \(V+u\)（分母）。
    • このように、各ステップで「近づく（振動数UP）」「遠ざかる（振動数DOWN）」を物理的に確認してください。
• 干渉条件の取り違え:
  • 誤解: 「強め合い＝整数倍」と丸暗記して、反射による位相の反転を考慮し忘れる。
  • 対策: 必ず「反射による位相変化」を確認します。固定端反射が1回あれば条件が逆転します。今回は「違いはない」のでそのまま適用できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ドップラー効果の公式（メイン解法）:
  • 選定理由: 等速直線運動の問題であり、公式を適用するのが最も速く、計算ミスも少ないため。
  • 適用根拠: 音源と観測者の速度が一定であり、媒質が一様であるため、公式の前提条件を完全に満たしています。
• 相対速度法（別解）:
  • 選定理由: 公式を忘れてしまった場合や、式の意味を確認したい場合に有効です。
  • 適用根拠: 波の相対速度と波長の関係から、振動数の比が速度の比になることは物理的に自明です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 極限的なケースでの検算:
  • 意識: 求めた式が物理的に妥当かを確認する習慣を持つ。
  • 実践: 例えば \(v=w=0\)（動かない）とした時、振動数は \(f\) に戻るか？ \(v \to V\)（音速で移動）とした時、分母が \(0\) になり振動数が発散する（衝撃波）か？などを確認します。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 意識: 文字式の計算結果が正しい次元を持っているか確認する。
  • 実践: 振動数の答えなら、係数は無次元（速度÷速度）になっているはずです。もし \(\frac{V^2}{V-v}\) のようになっていたら、速度の次元が残ってしまうので間違いだと気づけます。

問題89 光の屈折 (17 法政大 改)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光ファイバーにおける全反射と光の伝播」です。
屈折率の異なる2つの媒質（コアとクラッド）を用いて光を閉じ込め、遠くまで伝送する光ファイバーの原理を、幾何光学の法則（屈折の法則、全反射の条件）を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
左端面（空気と媒質1の境界）での屈折を考えます。
入射角は \(\theta\) です。
屈折角を幾何学的に特定する必要があります。図aを見ると、媒質1の中での光線と法線のなす角（屈折角）は、直角三角形の幾何学的関係から \(90^\circ – \alpha\) であることがわかります。

この設問における重要なポイント

• 屈折の法則: \(1 \cdot \sin \theta = n_1 \cdot \sin(\text{屈折角})\)。空気の屈折率は1です。
• 角度の関係: 屈折角は \(90^\circ – \alpha\) です。

具体的な解説と立式
空気（屈折率 \(1\)）から媒質1（屈折率 \(n_1\)）への入射において、入射角は \(\theta\)、屈折角は \(90^\circ – \alpha\) です。
屈折の法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
1 \cdot \sin \theta &= n_1 \sin(90^\circ – \alpha) \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

式①を変形します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta &= n_1 \cos \alpha
\end{aligned}
$$
\(\cos \alpha\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\cos \alpha &= \frac{\sin \theta}{n_1}
\end{aligned}
$$

空気からガラス（媒質1）に入るとき、光は折れ曲がります。その曲がり具合を決めるのが屈折の法則です。
図を見ると、ガラスの中での角度は \(\alpha\) を使って \(90^\circ – \alpha\) と書けます。これを使って式を立て、整理するだけです。

\(\sin \theta\) は最大1なので、\(\cos \alpha\) も妥当な範囲に収まります。\(n_1\) が大きいほど \(\cos \alpha\) は小さくなり、\(\alpha\) は大きくなります（光線が寝てくる）。これは物理的に正しい挙動です。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質1と媒質2の境界（点A）での全反射条件を考えます。
ここでの入射角は \(\alpha\) です。
全反射が起こるためには、入射角 \(\alpha\) が臨界角 \(\alpha_0\) より大きくなければなりません（\(\alpha > \alpha_0\)）。
臨界角 \(\alpha_0\) は、屈折角が \(90^\circ\) になるときの入射角です。

この設問における重要なポイント

• 臨界角の定義: \(n_1 \sin \alpha_0 = n_2 \sin 90^\circ\)。
• 全反射の条件: \(\sin \alpha > \sin \alpha_0\)（\(0 < \alpha < 90^\circ\) の範囲で \(\sin\) は単調増加なので）。
• 変数の変換: 条件式を \(\alpha\) から \(\theta\)（\(\sin \theta\)）に変換します。これには問(1)の結果と \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) を使います。

具体的な解説と立式
まず、臨界角 \(\alpha_0\) を求めます。媒質1から媒質2への屈折において、屈折角が \(90^\circ\) となるとき、
$$
\begin{aligned}
n_1 \sin \alpha_0 &= n_2 \sin 90^\circ
\end{aligned}
$$
これより、
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha_0 &= \frac{n_2}{n_1} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
全反射する条件は、入射角 \(\alpha\) が臨界角 \(\alpha_0\) より大きいこと、すなわち \(\sin \alpha > \sin \alpha_0\) です。
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha &> \frac{n_2}{n_1} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、この条件を \(\sin \theta\) で表すために、\(\sin \alpha\) を \(\sin \theta\) に変換します。
問(1)より \(\cos \alpha = \frac{\sin \theta}{n_1}\) なので、
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha &= \sqrt{1 – \cos^2 \alpha} \\[2.0ex] &= \sqrt{1 – \left( \frac{\sin \theta}{n_1} \right)^2} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

式④を式③に代入して不等式を解きます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{1 – \frac{\sin^2 \theta}{n_1^2}} &> \frac{n_2}{n_1}
\end{aligned}
$$
両辺は正なので、2乗しても大小関係は変わりません。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{\sin^2 \theta}{n_1^2} &> \frac{n_2^2}{n_1^2}
\end{aligned}
$$
移項して整理します。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{n_2^2}{n_1^2} &> \frac{\sin^2 \theta}{n_1^2} \\[2.0ex] \frac{n_1^2 – n_2^2}{n_1^2} &> \frac{\sin^2 \theta}{n_1^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(n_1^2\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
n_1^2 – n_2^2 &> \sin^2 \theta
\end{aligned}
$$
\(\sin \theta > 0\)（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）より、平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta &< \sqrt{n_1^2 – n_2^2}
\end{aligned}
$$
また、問題文より \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) なので \(\sin \theta > 0\) です。
よって求める条件は
$$
\begin{aligned}
0 &< \sin \theta < \sqrt{n_1^2 – n_2^2}
\end{aligned}
$$

ファイバーの中で光が外に漏れないようにするには、壁（境界面）に浅い角度で当たる必要があります（入射角 \(\alpha\) を大きくする）。
そのためには、最初に入射する角度 \(\theta\) を小さくして、あまり急角度で光を入れないようにする必要があります。
計算の結果、\(\sin \theta\) がある値より小さければよいことがわかりました。

\(n_1\) が \(n_2\) に比べて大きいほど、右辺は大きくなり、許容される \(\theta\) の範囲が広がります。これはコアとクラッドの屈折率差が大きいほど光を閉じ込めやすいという光ファイバーの特性と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
「\(0^\circ < \theta < 90^\circ\) のすべての入射角 \(\theta\) に対して全反射を起こさせる」ための条件を求めます。
これは、問(2)で求めた不等式が、\(0 < \sin \theta < 1\) の範囲のすべての値に対して常に成り立つ条件を問うています。

この設問における重要なポイント

• 条件の包含関係: 「任意の \(\theta\) で全反射」 \(\iff\) 「\(\sin \theta\) の取りうる最大値（\(=1\)）であっても、全反射条件を満たす」。
• 不等式の成立条件: \(x < A\) が \(0 < x < 1\) のすべてで成り立つためには、\(1 \le A\) であればよい。

具体的な解説と立式
問(2)の条件は \(\sin \theta < \sqrt{n_1^2 – n_2^2}\) でした。
入射角 \(\theta\) は \(0^\circ\) から \(90^\circ\) まで変化しうるので、\(\sin \theta\) は \(0\) から \(1\) 未満の値をとり得ます（極限的には1）。
どのような \(\theta\) でもこの条件が破られないためには、右辺の閾値 \(\sqrt{n_1^2 – n_2^2}\) が、\(\sin \theta\) の最大値である \(1\) 以上であればよいことになります。
$$
\begin{aligned}
1 &\le \sqrt{n_1^2 – n_2^2} \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
（※厳密には \(\sin \theta < 1\) なので、右辺が1より大きければ確実ですが、右辺が1ちょうどの場合も \(\sin \theta < 1\) なので条件を満たします。よって等号を含みます。）

式⑤がそのまま答えとなります。

どんな角度で光を入れても全反射してほしいなら、一番厳しい条件（\(\theta\) が \(90^\circ\) に近いとき）でも全反射するように設計すればよいです。
計算した条件式の上限値が1以上なら、\(\sin \theta\) は決してその上限を超えられないので、常に全反射します。

\(\sqrt{n_1^2 – n_2^2} \ge 1\) は \(n_1^2 – n_2^2 \ge 1\)、つまり \(n_1^2 \ge n_2^2 + 1\) を意味します。コアの屈折率 \(n_1\) がクラッド \(n_2\) に対して十分に大きければ、どんな角度で光を入れても閉じ込められるということです。

問(4)

思考の道筋とポイント
光がファイバーの左端から右端まで進む時間を求めます。
光はジグザグに進むので、実際の経路長は全長 \(L\) よりも長くなります。
「速度の軸方向成分」を使って計算する方法（模範解答）と、「実際の経路長」を使って計算する方法（別解）があります。ここでは模範解答のアプローチをとります。

この設問における重要なポイント

• 媒質中の光速: \(v_1 = c/n_1\)。
• 速度の分解: 光の速度ベクトル \(\vec{v}_1\) を、ファイバーの軸方向（水平方向）と垂直方向に分解します。
• 軸方向の速度成分: \(v_{1\parallel} = v_1 \sin \alpha\)（図c参照。角度に注意）。
• 所要時間: \(t = \frac{\text{軸方向の距離}}{\text{軸方向の速さ}}\)。

具体的な解説と立式
媒質1の中での光の速さ \(v_1\) は、真空中の光速 \(c\) と屈折率 \(n_1\) を用いて次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \frac{c}{n_1} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
図cを参照します。光線は軸に対して角度 \(90^\circ – \alpha\) で進んでいます。
光が進む速度の、ファイバー軸方向（水平方向）の成分 \(v_{1\parallel}\) は、
$$
\begin{aligned}
v_{1\parallel} &= v_1 \cos(90^\circ – \alpha) \\[2.0ex] &= v_1 \sin \alpha \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
ファイバーの全長 \(L\) を、この軸方向速度 \(v_{1\parallel}\) で進むと考えればよいので、所要時間 \(t\) は
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{L}{v_{1\parallel}} \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sin \alpha\) を \(\theta\) で表す必要があります。問(2)の式④を用います。
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha &= \frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 \theta}}{n_1} \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$

式⑥、⑨を式⑦に代入して \(v_{1\parallel}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_{1\parallel} &= \frac{c}{n_1} \cdot \frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 \theta}}{n_1} \\[2.0ex] &= \frac{c \sqrt{n_1^2 – \sin^2 \theta}}{n_1^2}
\end{aligned}
$$
これを式⑧に代入して \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{L}{\frac{c \sqrt{n_1^2 – \sin^2 \theta}}{n_1^2}} \\[2.0ex] &= \frac{n_1^2 L}{c \sqrt{n_1^2 – \sin^2 \theta}}
\end{aligned}
$$

光は斜めに進むので、まっすぐ進むより遅くゴールに着きます。
「ゴールに向かう方向のスピード」だけを取り出して計算すれば、全長 \(L\) をそのスピードで割るだけで時間が求まります。
光のスピードは屈折率で遅くなり、さらに斜めに進む分だけ軸方向には遅くなるので、その両方を考慮して計算します。

\(\theta = 0\)（垂直入射）のとき、\(\sin \theta = 0\) となり、\(t = \frac{n_1^2 L}{c n_1} = \frac{n_1 L}{c}\) となります。これは距離 \(L\) を速さ \(c/n_1\) で直進する時間と一致し、妥当です。
\(\theta\) が大きくなると分母が小さくなり、時間は長くなります。ジグザグが増えるのでこれも妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則（スネルの法則）
  • 核心: 異なる媒質の境界面で光が折れ曲がる際、入射角と屈折角の正弦（sin）の比は、媒質の屈折率の逆比に等しくなります。
  • 理解のポイント:
    • 式の形: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の形で覚えるのが最も間違いが少ないです。
    • 物理的意味: 屈折率が大きい媒質ほど光速が遅くなり、光線は法線に近づくように折れ曲がります。
• 全反射と臨界角
  • 核心: 屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ光が進む際、入射角がある角度（臨界角）を超えると、光が境界面ですべて反射されます。
  • 理解のポイント:
    • 条件: \(n_{\text{大}} \sin \theta_c = n_{\text{小}} \sin 90^\circ\) より、\(\sin \theta_c = n_{\text{小}} / n_{\text{大}}\)。
    • 不等式: 全反射する条件は「入射角 \(>\) 臨界角」です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光ファイバーの曲げ: ファイバーが曲がっている場合、入射角が変化するため、全反射条件が厳しくなります。幾何学的な作図が鍵となります。
  • 多層膜: 屈折率が異なる層が重なっている場合、各界面で屈折の法則を繰り返し適用します。\(n \sin \theta = \text{一定}\) という保存則が使えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 角度の定義を確認: 入射角は「法線とのなす角」か「界面とのなす角」か？図をよく見て確認します。
  2. 屈折率の大小関係: どっちからどっちへ進むのか？全反射は「密（\(n\)大）\(\to\) 疎（\(n\)小）」でしか起きません。
  3. 幾何学的関係の利用: 直角三角形を見つけ、\(\sin, \cos\) の関係や三平方の定理を使って、必要な角度や長さを求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の取り違え:
  • 誤解: 界面とのなす角をそのまま公式の \(\theta\) に代入してしまう。
  • 対策: 必ず「法線」を引き、法線とのなす角を \(\theta\) として立式します。本問のように \(\alpha\) が法線との角でない場合は、\(90^\circ – \alpha\) などに変換します。
• 全反射条件の不等号:
  • 誤解: 「入射角 \(<\) 臨界角」と逆にしてしまう。
  • 対策: 「入射角が大きくなりすぎて、屈折光が外に出られなくなった状態」が全反射だとイメージします。つまり、入射角は臨界角より「大きい」必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度分解法（メイン解法）:
  • 選定理由: 「軸方向の距離 \(L\)」が与えられているため、それに対応する「軸方向の速度成分」を求めるのが最も直接的だからです。
  • 適用根拠: 速度ベクトルを直交成分に分解しても、各成分ごとの移動距離と時間の関係は独立に成り立ちます。
• 光路長法（別解）:
  • 選定理由: 速度の分解が直感的に分かりにくい場合や、幾何学的な「道のり」をイメージしたい場合に有効です。
  • 適用根拠: 「時間＝道のり÷速さ」という小学校以来の基本公式に基づいているため、物理的な意味が明確です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の相互関係:
  • 意識: \(\sin\) と \(\cos\) の変換（\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)）は頻出です。
  • 実践: ルートの中身が負にならないか（\(1 – \sin^2 \theta \ge 0\)）などを確認し、物理的にあり得ない値になっていないかチェックします。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 意識: 時間 \(t\) の答えの次元が \([T]\) になっているか確認する。
  • 実践: 答えが \(\frac{n_1^2 L}{c \dots}\) なら、\(\frac{[1] \cdot [L]}{[L/T]} = [T]\) となり正しいです。もし \(c\) が分子にあったら間違いです。

問題90 プリズムによる光の進路 (25 関西学院大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「プリズムにおける光の屈折と全反射」です。異なる屈折率を持つ媒質の境界面で光がどのように進むか、屈折の法則と全反射の条件を用いて追跡します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図2のように、光はプリズム1の面ABEDに垂直に入射します。
垂直入射なので、光は屈折せずに直進し、斜面ACFDに到達します。
ここで「屈折して外に出る」か「全反射するか」を判定します。

この設問における重要なポイント

• 垂直入射: 面に対して垂直（入射角 \(0^\circ\)）に入射する光は、そのまま直進します。
• 入射角の特定: 直角二等辺三角形の幾何学的性質から、斜面への入射角が \(45^\circ\) であることを見抜きます。
• 全反射の条件: 屈折の法則を適用した結果、\(\sin r > 1\) となれば全反射が起こります。

具体的な解説と立式
プリズム1の屈折率を \(n_1 = 1.6\)、空気の屈折率を \(n_0 = 1.0\) とします。
面ABEDに垂直に入射した光は直進し、面ACFD（斜面）に入射角 \(i = 45^\circ\) で到達します。
屈折角を \(\theta_1\) と仮定し、面ACFDにおける屈折の法則を立式します。
$$
\begin{aligned}
n_1 \sin 45^\circ &= n_0 \sin \theta_1
\end{aligned}
$$

上式に値を代入して \(\sin \theta_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
1.6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} &= 1.0 \times \sin \theta_1 \\[2.0ex] \sin \theta_1 &= 1.6 \times 0.71 \\[2.0ex] &= 1.136
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sin \theta_1 = 1.136 > 1\) となります。
\(\sin \theta\) の値は必ず \(1\) 以下でなければならないため、これを満たす \(\theta_1\) は存在しません。
したがって、光は面ACFDで全反射します。

全反射の法則（反射の法則）により、反射角は入射角と同じ \(45^\circ\) です。
図1のプリズム形状（断面は直角二等辺三角形）を考えると、斜面で \(45^\circ\) で反射した光は、底面BCFEに対して垂直（入射角 \(0^\circ\)）に入射することになります。
底面への入射角が \(0^\circ\) なので、光は屈折せずにそのまま空気中へ直進して出ていきます。

プリズムに入った光は、斜めの壁にぶつかります。
計算してみると、光が外に出ようとする角度が限界を超えてしまっていることがわかります。
そのため、光は壁ですべて跳ね返されます（全反射）。
跳ね返った光は真下に向かい、底面を突き抜けてまっすぐ出ていきます。
この経路を表している図は②です。

計算結果 \(\sin \theta_1 > 1\) は全反射を示唆しており、物理的に妥当です。
光路は「直進 \(\rightarrow\) 斜面で全反射 \(\rightarrow\) 直進して底面から出射」となります。
これに該当する選択肢は②です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図3のように、光は斜面ACFDに対して、底面BCに平行な方向から入射します。
光はまず斜面ACFDで屈折してプリズム内に入り、次に面ABED（垂直な面）に内側から当たります。
2回の屈折（または反射）を順に追跡する必要があります。
また、境界面では透過（屈折）だけでなく反射も起こるため、反射光の経路も考慮します。

この設問における重要なポイント

• 入射角の特定: 幾何学的な図を描き、最初の入射角が \(45^\circ\) であることを確認します。
• 屈折角の計算: 1回目の屈折後の角度 \(\theta_2\) を求めます。このとき、光が法線に近づくため、プリズム内では「左下」方向に進むことを見抜きます。
• 次の入射角の導出: 三角形の内角の関係などを使い、2回目の面への入射角 \(\theta_3\) を \(\theta_2\) を用いて表します。
• 加法定理の利用: \(\sin(45^\circ – \theta_2)\) などの形になるため、加法定理を用いて値を評価します。
• 反射光の考慮: 各境界面では屈折だけでなく反射も起こります。特に、最初の面での表面反射と、2番目の面での内部反射を考慮します。

具体的な解説と立式
ステップ1: 空気からプリズムへの屈折（面ACFD）
入射角は \(45^\circ\) です。屈折角を \(\theta_2\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
1.0 \sin 45^\circ &= 1.6 \sin \theta_2
\end{aligned}
$$
また、この面では反射も起こります。入射角 \(45^\circ\) で反射した光はプリズムに入らず、空気中を鉛直上向きに進みます（選択肢⑨に対応）。

ステップ2: プリズム内部の幾何学
面ACFDの法線（内向き）は左下を向いています。入射光（左向き）は法線より上側にあります。
屈折光は法線に近づくため、入射光より下側、つまり「左下」に進みます。
面ACFDの法線と面ABEDの法線は \(45^\circ\) の角をなします。
幾何学的な考察により、面ABEDへの入射角 \(\theta_3\) は次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
\theta_3 &= 45^\circ – \theta_2
\end{aligned}
$$

ステップ3: プリズムから空気への屈折（面ABED）
面ABEDからの出射角（屈折角）を \(\theta_4\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
1.6 \sin \theta_3 &= 1.0 \sin \theta_4
\end{aligned}
$$
また、この面での内部反射も考慮します。反射光は右下（底面方向）へ進みます。先に底面に当たる場合は、入射角が約 \(71^\circ\) で臨界角（約 \(39^\circ\)）より大きいため全反射しますが、その光は斜面ACFDに約 \(26^\circ\) で当たるので全反射せず、大部分は斜面から右向き（入射光と逆向き）に出ていきます。一方、底面より先に斜面ACFDに当たる場合は、入射角が約 \(64^\circ\) なので全反射します。斜面ACFDで反射した光は底面に約 \(19^\circ\) の小さな入射角で当たるため、底面から出射します（選択肢⑬に対応）。

まず、ステップ1の式から \(\sin \theta_2\) と \(\cos \theta_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_2 &= \frac{1}{1.6} \sin 45^\circ \\[2.0ex] &= \frac{1}{1.6\sqrt{2}}
\end{aligned}
$$
\(\cos \theta_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\cos \theta_2 &= \sqrt{1 – \sin^2 \theta_2} \\[2.0ex] &= \sqrt{1 – \frac{1}{(1.6\sqrt{2})^2}} \\[2.0ex] &= \sqrt{1 – \frac{1}{5.12}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{4.12}{5.12}}
\end{aligned}
$$
次に、ステップ3の式に \(\theta_3 = 45^\circ – \theta_2\) を代入し、\(\sin \theta_4\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_4 &= 1.6 \sin(45^\circ – \theta_2) \\[2.0ex] &= 1.6 (\sin 45^\circ \cos \theta_2 – \cos 45^\circ \sin \theta_2) \\[2.0ex] &= 1.6 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta_2 – \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta_2 \right) \\[2.0ex] &= \frac{1.6}{\sqrt{2}} (\cos \theta_2 – \sin \theta_2)
\end{aligned}
$$
ここで値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_4 &= \frac{1.6}{\sqrt{2}} \left( \sqrt{\frac{4.12}{5.12}} – \frac{1}{1.6\sqrt{2}} \right) \\[2.0ex] &= \frac{1.6}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{4.12}}{\sqrt{5.12}} – \frac{1.6}{\sqrt{2}} \frac{1}{1.6\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= \frac{1.6}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{4.12}}{1.6\sqrt{2}} – \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{4.12}}{2} – 0.5
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{4.12}\) の値を評価します。
\(\sqrt{4} = 2\) なので、\(\sqrt{4.12}\) は \(2\) よりわずかに大きい値（約 \(2.03\)）です。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_4 &\approx \frac{2.03}{2} – 0.5 \\[2.0ex] &\approx 1.015 – 0.5 \\[2.0ex] &= 0.515
\end{aligned}
$$
\(\sin \theta_4 < 1\) なので、全反射せずに屈折して外に出ます。 また、\(\sin \theta_4 > 0\) なので、\(\theta_4\) は正の値です。
これは、法線に対して下側（図の矢印の向き）に屈折して出ていくことを意味します（選択肢⑪に対応）。

光はまず斜面からプリズムに入ります。このとき、光は法線に近づくように曲がるため、プリズム内では少し下向き（左下）に進みます。
次に、縦の壁（面ABED）に内側から当たります。
計算してみると、この壁に当たる角度はそれほどきつくないため、全反射せずに外に出られることがわかります。
光は法線から遠ざかるように曲がるため、さらに下向きに折れ曲がって出ていきます。
この経路（屈折光）を表している図は⑪です。
また、境界面では光の一部が反射します。
最初の斜面での表面反射光は上向きに進みます（⑨）。
2番目の垂直面での内部反射光は右下に進みます。先に斜面に当たった光は、きつい角度で当たるのでいったん全反射し、そのあと底面にゆるい角度で当たるため、底面から出ます（⑬）。なお、先に底面に当たった光は全反射したあと斜面にゆるい角度で当たるので、大部分は斜面から右向きに出ていきます。
これらすべてが「起こりうる」現象です。

\(\sin \theta_4 \approx 0.5\) という結果から、出射角 \(\theta_4\) は \(30^\circ\) 程度と推測されます。
光線は水平から入り、プリズム内で少し下向きになり、最後により大きく下向きに屈折して出ます。
これは物理的直感とも一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
図5のように、プリズム1（\(n_1=1.6\)）とプリズム2（\(n_2=1.2\)）を接合します。
光はプリズム1の面ABEDに垂直に入射し、直進して境界面（斜面）に到達します。
ここで屈折してプリズム2に入り、さらにプリズム2の外面（空気との境界）で屈折して外に出ます。

この設問における重要なポイント

• 境界面での屈折: プリズム1からプリズム2への屈折を考えます。入射角は \(45^\circ\) です。
• プリズム2内部の幾何学: プリズム2も直角二等辺三角形なので、境界面での屈折角 \(\theta_5\) と次の面への入射角 \(\theta_6\) の関係を見抜きます。
• 最終面での屈折: プリズム2から空気への屈折を計算します。
• 境界面での反射: 境界面では透過だけでなく反射も起こるため、反射光の経路も考慮します。

具体的な解説と立式
ステップ1: プリズム1からプリズム2への屈折
入射角 \(45^\circ\)、屈折角 \(\theta_5\) とします。
$$
\begin{aligned}
1.6 \sin 45^\circ &= 1.2 \sin \theta_5
\end{aligned}
$$
また、この境界面では反射も起こります。反射光は下向きに進み、底面から出射します（選択肢⑯に対応）。

ステップ2: プリズム2内部の幾何学
境界面の法線と、プリズム2の出口面（面B’C’F’E’）の法線は \(45^\circ\) の角をなします。
幾何学的な関係より、出口面への入射角 \(\theta_6\) は次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
\theta_6 &= \theta_5 – 45^\circ
\end{aligned}
$$

ステップ3: プリズム2から空気への屈折
出射角を \(\theta_7\) とします。
$$
\begin{aligned}
1.2 \sin \theta_6 &= 1.0 \sin \theta_7
\end{aligned}
$$

まず、ステップ1より \(\sin \theta_5\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_5 &= \frac{1.6}{1.2} \sin 45^\circ \\[2.0ex] &= \frac{4}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= \frac{4}{3\sqrt{2}}
\end{aligned}
$$
\(\frac{4}{3\sqrt{2}} \approx \frac{4}{4.24} < 1\) なので屈折します。 また、\(\sin 45^\circ = \frac{3}{3\sqrt{2}}\) なので、\(\sin \theta_5 > \sin 45^\circ\) であり、\(\theta_5 > 45^\circ\) です。

次に、\(\cos \theta_5\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\cos \theta_5 &= \sqrt{1 – \sin^2 \theta_5} \\[2.0ex] &= \sqrt{1 – \frac{16}{18}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2}{18}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
ステップ3の式に \(\theta_6 = \theta_5 – 45^\circ\) を代入し、\(\sin \theta_7\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_7 &= 1.2 \sin(\theta_5 – 45^\circ) \\[2.0ex] &= 1.2 (\sin \theta_5 \cos 45^\circ – \cos \theta_5 \sin 45^\circ) \\[2.0ex] &= 1.2 \left( \frac{4}{3\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} – \frac{1}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\[2.0ex] &= 1.2 \left( \frac{4}{6} – \frac{1}{3\sqrt{2}} \right) \\[2.0ex] &= 1.2 \left( \frac{2}{3} – \frac{\sqrt{2}}{6} \right) \\[2.0ex] &= 0.8 – 0.2\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_7 &\approx 0.8 – 0.2 \times 1.41 \\[2.0ex] &= 0.8 – 0.282 \\[2.0ex] &= 0.518
\end{aligned}
$$
\(\sin \theta_7 < 1\) なので全反射せずに出射します。 \(\sin \theta_7 > 0\) なので、\(\theta_7\) は正の角度を持ちます。
これは、法線に対して下側に屈折して出ていくことを意味します（選択肢⑱に対応）。

プリズム1からプリズム2へ進むとき、屈折率が \(1.6 \to 1.2\) と小さくなるので、光は法線から離れる方向に曲がります。
その後、プリズム2の中を進み、右側の壁に当たります。
計算の結果、ここでも全反射せずに外に出られることがわかります。
光はさらに下向きに曲がって空気中へ出ていきます。
この経路（透過光）に対応する図は⑱です。
また、境界面では反射も起こるため、反射光の経路を示す⑯も正解に含まれます。

計算結果が正の値で \(1\) より小さいことから、光は途切れることなく通過し、下向きに曲がることが確認できました。

問(4)

思考の道筋とポイント
プリズム2の屈折率が \(n_2 = 1.1\) に変わりました。
問(3)と同様に、プリズム1からプリズム2への境界面での屈折をまず検討します。
ここで全反射が起こるかどうかが最大の分岐点です。

この設問における重要なポイント

• 境界面での全反射判定: \(n_1=1.6\) から \(n_2=1.1\) への入射（入射角 \(45^\circ\)）で全反射するかどうかを確認します。
• 全反射後の光路: もし全反射した場合、光はプリズム1内部に戻ります。その後の経路（底面への入射など）を追跡します。

具体的な解説と立式
プリズム1からプリズム2への境界面における屈折の法則を立式します。
屈折角を \(\theta_8\) とします。
$$
\begin{aligned}
1.6 \sin 45^\circ &= 1.1 \sin \theta_8
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
1.6 \times 0.71 &\approx 1.1 \sin \theta_8 \\[2.0ex] 1.136 &\approx 1.1 \sin \theta_8 \\[2.0ex] \sin \theta_8 &\approx \frac{1.136}{1.1} > 1
\end{aligned}
$$
\(\sin \theta_8 > 1\) となるため、屈折光は存在せず、境界面で全反射します。

全反射した光は、反射の法則により入射角と同じ \(45^\circ\) で反射します。
斜面で \(45^\circ\) で反射した光は、真下（底面方向）に向かいます。
プリズム1の底面に対して垂直（入射角 \(0^\circ\)）に入射するため、屈折せずにそのまま空気中へ直進して出ていきます。

プリズム2の素材が変わって、光を受け入れにくくなりました（屈折率が小さくなった）。
計算してみると、境界面での曲がり具合が限界を超えてしまい、光はプリズム2に入れずにはじき返されます（全反射）。
はじき返された光は、問(1)のときと同じように真下に向かい、底面を突き抜けて出ていきます。
この様子を表している図は⑯です。
透過光（⑱）は存在しません。

\(\sin \theta > 1\) により全反射が確定しました。
光路は「直進 \(\rightarrow\) 境界面で全反射 \(\rightarrow\) 直進して底面から出射」です。
これは選択肢⑯の図と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則（スネルの法則）と全反射の条件
  • 核心: 異なる媒質の境界面において、光の進む方向は「屈折率の比」と「入射角」によって厳密に決定され、特定の条件（\(\sin r > 1\)）を満たすと透過光が消滅し全反射が起こります。
  • 理解のポイント:
    • 法則の式: \(n_1 \sin i = n_2 \sin r\) が基本です。
    • 全反射の境界: 屈折角 \(r\) が \(90^\circ\) に達する瞬間が臨界点であり、これを超えると光は外に出られなくなります。
    • 可逆性: 光の経路は逆向きに進んでも同じ軌跡をたどります（光路可逆の原理）。
• 幾何光学における角度の追跡
  • 核心: プリズムのような多面体では、ある面での屈折角や反射角が、次の面への入射角を決定するため、図形的な角度計算（三角形の内角の和や法線の関係）が物理法則と同じくらい重要です。
  • 理解のポイント:
    • 法線の作図: 境界面に対して垂直な線（法線）を必ず引き、すべての角度は「法線とのなす角」で定義されます。
    • 偏角: 光が直進方向からどれだけ曲げられたか（\(\delta = |i – r|\)）を意識すると、光路図の妥当性を判断しやすくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光ファイバーの伝送原理: 屈折率の大きいコアから小さいクラッドへの全反射を利用して光を閉じ込める問題。本問の「プリズム内での全反射」と同じ原理です。
  • 蜃気楼や逃げ水: 屈折率が連続的に変化する媒質中での光の湾曲。微小な層ごとの屈折の法則の積み重ね（あるいはフェルマーの原理）として理解できます。
  • 分散（プリズムによるスペクトル分解）: 屈折率 \(n\) が波長によって異なることを利用する問題。本問の \(n\) が波長依存性を持つケースです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 法線の徹底的な作図: どんなに複雑な形状でも、光が当たる点にまず「法線」を引き、入射角を正確に把握することから始めます。
  2. 全反射チェックの習慣化: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ進むときは、計算する前に「全反射するかもしれない」と疑い、必ず \(\sin r\) の値を確認するか、臨界角と比較します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 入射角の定義ミス:
  • 誤解: 境界面と光線のなす角を「入射角」として計算してしまう。
  • 対策: 入射角、反射角、屈折角はすべて「法線（面に垂直な線）」とのなす角です。図を描く際は、まず法線を点線で引き、法線基準で角度を測る癖をつけましょう。
• 全反射の計算結果への困惑:
  • 誤解: \(\sin r = 1.13\) のような値が出たとき、「計算ミスをした」と思い込んでしまう。
  • 対策: \(\sin r > 1\) は計算ミスではなく、「屈折光が存在しない＝全反射する」という物理的な結論を示しています。自信を持って「全反射」と判定しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則（スネルの法則） \(n_1 \sin i = n_2 \sin r\):
  • 選定理由: 幾何光学における最も基本的かつ汎用性の高い法則であり、入射角と屈折角の関係を定量的に求める唯一の手段だからです。
  • 適用根拠: 2つの等方的な媒質の平坦な境界面における光の振る舞いを記述するため、本問のすべての面で適用可能です。
• 臨界角による判定（別解アプローチ）:
  • 選定理由: 複数の設問で同じ媒質の組み合わせが登場する場合、一度臨界角 \(\theta_{\text{臨}}\) を求めておけば、あとは大小比較だけで瞬時に全反射判定ができ、計算時間を短縮できるからです。
  • 適用根拠: 全反射は \(n_{\text{大}} \to n_{\text{小}}\) の進行でのみ発生し、入射角 \(i > \theta_{\text{臨}}\) がその必要十分条件であるため。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似値の把握と活用:
  • 意識: ルートを含む計算結果の大きさを直感的に把握する。
  • 実践: \(\sqrt{2} \approx 1.41\), \(\sqrt{3} \approx 1.73\) などの基本定数を暗記し、\(\sin \theta = \frac{\sqrt{4.12}}{2} – 0.5\) のような式が出たときに、それが \(1\) より大きいか小さいか、正か負かを即座に見積もれるようにしておきます。
• 図形的整合性のチェック:
  • 意識: 計算結果が描いた図と矛盾していないか確認する。
  • 実践: \(n_1 > n_2\) ならば屈折角は入射角より大きくなる（法線から遠ざかる）はずです。計算した角度がこの定性的な振る舞いと一致しているか、矢印の向きを目視で確認します。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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