「重要問題集」徹底解説（76〜80問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題76 (弘前大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ピストンと物体を用いた熱機関のサイクルに関する問題です。各状態変化（定積変化、定圧変化）を正しく見抜き、力のつり合いと熱力学の法則を適用することが求められます。
この問題の核心は、サイクルを構成する各過程を正確に分析し、仕事と熱量を計算して、最終的に熱効率を求めることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学サイクル」です。特に、複数の状態変化を組み合わせた熱機関の仕事と効率を分析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力のつり合い: ピストンが静止しているか、ゆっくり動く場合、各瞬間でピストンにはたらく力はつり合っています。これにより、気体の圧力が決まります。大気圧の考慮を忘れないことが重要です。
2. 状態変化の特定: 問題文の記述から、サイクルを構成する各過程が、定積変化、定圧変化のいずれに該当するかを正確に特定します。
3. 熱力学第一法則: 気体のエネルギー収支（吸収した熱\(Q\)、内部エネルギーの変化\(\Delta U\)、外部にした仕事\(W\)）を記述する基本法則 \(Q = \Delta U + W\) を用います。
4. 熱効率の定義: 熱機関が吸収した熱量全体のうち、どれだけを有効な仕事に変換できたかを示す割合 \(e = \displaystyle\frac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}}\) を計算します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、各状態（初期、状態1、状態2、下降時）における気体の圧力、体積、温度を、与えられた物理量を用いて表現します。
2. 次に、各過程（初期→1、1→2）について、状態変化の種類を特定し、問われている物理量（温度、熱量）を計算します。
3. サイクル全体のp-V図を描き、熱機関が1サイクルで外部にした正味の仕事\(W\)を求めます。
4. 最後に、吸収した熱量の総和\(Q_{\text{吸収}}\)を求め、熱効率を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
状態1は、物体を乗せた後に加熱され、「ピストンが動きだした」瞬間です。このとき、気体の圧力は、上から押す大気圧とピストンおよび物体の重力の合力とつり合っています。初期状態から状態1までは、ピストンの高さが変わらないため、体積は一定です。したがって、この過程は「定積変化」であり、シャルルの法則が適用できます。

この設問における重要なポイント

• 「動きだした」瞬間は、力がつり合った状態とみなせること。
• 初期状態から状態1への変化が定積変化であること。
• 力のつり合いの式を立てる際、大気圧による力を忘れないこと。

具体的な解説と立式
状態1の圧力を\(P_1\)、温度を\(T_1\)とします。
初期状態から状態1までは体積が一定(\(V_0 = Sh_0\))の定積変化なので、シャルルの法則が成り立ちます。
$$\frac{P_0}{T_0} = \frac{P_1}{T_1} \quad \cdots ①$$
また、状態1ではピストンにはたらく力がつり合っています。ピストンにはたらく力は、

• 気体が下から押す力: \(P_1 S\) (上向き)
• 大気圧が上から押す力: \(P_0 S\) (下向き)
• ピストンと物体の重力: \((M+M_0)g\) (下向き)

よって、力のつり合いの式は、
$$P_1 S = P_0 S + (M+M_0)g \quad \cdots ②$$

まず式②から\(P_1\)を求めます。両辺を\(S\)で割ると、
$$P_1 = P_0 + \frac{(M+M_0)g}{S}$$
次に、式①を\(T_1\)について解き、この\(P_1\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= \frac{P_1}{P_0} T_0 \\[2.0ex]
&= \frac{P_0 + \frac{(M+M_0)g}{S}}{P_0} T_0 \\[2.0ex]
&= \left(\frac{P_0}{P_0} + \frac{(M+M_0)g}{P_0 S}\right) T_0 \\[2.0ex]
&= \left(1 + \frac{(M+M_0)g}{P_0 S}\right) T_0
\end{aligned}
$$

まず、状態1でピストンがどんな力で押されているかを考え、力のつり合いから圧力\(P_1\)を求めます。次に、体積が変わらないまま温められたので、「圧力と絶対温度は比例する」というシャルルの法則を使って、圧力の変化から温度\(T_1\)を計算します。

状態1の温度は \(T_1 = \left(1 + \displaystyle\frac{(M+M_0)g}{P_0 S}\right) T_0\) です。物体を乗せたことでピストンにかかる下向きの力が増え、それとつりあうために気体の圧力\(P_1\)が\(P_0\)より大きくなります。定積変化では圧力と温度は比例するため、温度も\(T_0\)より高くなるという、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
初期状態から状態1までに気体に与えられた熱量\(Q_{01}\)を求めます。この過程は定積変化なので、気体の体積は変化せず、気体が外部にする仕事は0です。したがって、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) より、与えられた熱量はすべて内部エネルギーの増加に使われます。

この設問における重要なポイント

• 定積変化では、気体がする仕事は \(W=0\) である。
• 熱力学第一法則 \(Q = \Delta U\) を適用する。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) で計算する。

具体的な解説と立式
初期状態から状態1への変化は定積変化なので、仕事\(W_{01}=0\)です。
熱力学第一法則より、吸収した熱量\(Q_{01}\)は内部エネルギーの変化\(\Delta U_{01}\)に等しくなります。
$$Q_{01} = \Delta U_{01}$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化は、
$$\Delta U_{01} = \frac{3}{2}nR(T_1 – T_0) \quad \cdots ③$$
ここで、\(n\)と\(R\)は与えられていないため、初期状態の理想気体の状態方程式 \(P_0 V_0 = nRT_0\) を用いて消去します。体積は\(V_0 = Sh_0\)なので、
$$P_0 S h_0 = nRT_0$$

式③に、(1)で求めた \(T_1 = \displaystyle\frac{P_1}{P_0}T_0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{01} &= \frac{3}{2}nR \left(\frac{P_1}{P_0}T_0 – T_0\right) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}nR T_0 \left(\frac{P_1}{P_0} – 1\right)
\end{aligned}
$$
ここに、状態方程式 \(nRT_0 = P_0 S h_0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{01} &= \frac{3}{2}(P_0 S h_0) \left(\frac{P_1 – P_0}{P_0}\right) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}S h_0 (P_1 – P_0)
\end{aligned}
$$
さらに、(1)の力のつり合いの式② \(P_1 S = P_0 S + (M+M_0)g\) より、\(P_1 S – P_0 S = (M+M_0)g\)、すなわち \((P_1 – P_0)S = (M+M_0)g\) の関係を使います。
$$
\begin{aligned}
Q_{01} &= \frac{3}{2}h_0 \cdot S(P_1 – P_0) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}h_0 (M+M_0)g
\end{aligned}
$$

体積が変わらないまま気体を温めた場合、加えた熱はすべて気体の内部のエネルギー（温度）を上げるために使われます。内部エネルギーの変化量は、温度の変化量に比例します。状態方程式をうまく使うことで、問題で与えられていない気体の物質量などを消去し、与えられた量だけで熱量を表すことができます。

吸収した熱量は \(Q_{01} = \displaystyle\frac{3}{2}(M+M_0)gh_0\) です。これは、乗せた物体とピストンの質量が大きいほど、また初期の高さ\(h_0\)が大きいほど、多くの熱が必要になることを示しており、直感に合っています。

問(3)

思考の道筋とポイント
状態2の温度\(T_2\)を求めます。状態1から状態2への変化は、ピストンがゆっくり上昇する「定圧変化」です。このとき、気体の圧力は\(P_1\)で一定に保たれています。体積と絶対温度が比例するというシャルルの法則が適用できます。

この設問における重要なポイント

• 状態1から状態2への変化が定圧変化であること。
• 定圧変化では、シャルルの法則 \(\frac{V}{T} = \text{一定}\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
状態1から状態2への変化は圧力\(P_1\)の定圧変化です。シャルルの法則より、
$$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \cdots ④$$
ここで、各状態の体積は、

• 状態1の体積: \(V_1 = Sh_0\)
• 状態2の体積: \(V_2 = Sh\)

です。

式④を\(T_2\)について解き、体積の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= \frac{V_2}{V_1} T_1 \\[2.0ex]
&= \frac{Sh}{Sh_0} T_1 \\[2.0ex]
&= \frac{h}{h_0} T_1
\end{aligned}
$$
ここに(1)で求めた\(T_1\)を代入すると、
$$T_2 = \frac{h}{h_0} \left(1 + \frac{(M+M_0)g}{P_0 S}\right) T_0$$

一定の圧力で気体を温めると、気体は膨張します。このとき、「体積と絶対温度は比例する」というシャルルの法則が成り立ちます。体積が\(Sh_0\)から\(Sh\)に変化したので、その比率を使って温度\(T_2\)を計算します。

状態2の温度は \(T_2 = \displaystyle\frac{h}{h_0} T_1 = \frac{h}{h_0} \left(1 + \frac{(M+M_0)g}{P_0 S}\right) T_0\) です。\(h > h_0\) なので、\(T_2 > T_1\) となり、定圧で加熱して膨張させた結果、温度が上昇するという物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
状態1から状態2までに気体に与えられた熱量\(Q_{12}\)を求めます。この過程は定圧変化なので、吸収熱量は定圧モル比熱\(C_p\)を用いて \(Q = nC_p \Delta T\) と計算できます。

この設問における重要なポイント

• 定圧変化における吸収熱量の公式 \(Q = nC_p \Delta T\) を使う。
• 単原子分子理想気体の定圧モル比熱は \(C_p = \frac{5}{2}R\) である。
• 状態方程式を用いて、与えられていない文字(\(n, R\))を消去する。

具体的な解説と立式
状態1から状態2への定圧変化で吸収した熱量\(Q_{12}\)は、
$$Q_{12} = nC_p(T_2 – T_1)$$
単原子分子理想気体なので、定圧モル比熱は \(C_p = \frac{5}{2}R\) です。
$$Q_{12} = \frac{5}{2}nR(T_2 – T_1) \quad \cdots ⑤$$
ここで、定圧変化(\(P=P_1\))における状態方程式を考えると、\(P_1 V = nRT\) より、変化の前後で \(P_1(V_2 – V_1) = nR(T_2 – T_1)\) が成り立ちます。
これを⑤に代入すると、
$$Q_{12} = \frac{5}{2}P_1(V_2 – V_1)$$

\(P_1\), \(V_1\), \(V_2\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{12} &= \frac{5}{2}P_1(Sh – Sh_0) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}P_1 S (h – h_0)
\end{aligned}
$$
ここに、(1)の力のつり合いの式②から得られる \(P_1 S = P_0 S + (M+M_0)g\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{12} &= \frac{5}{2} (P_0 S + (M+M_0)g) (h – h_0)
\end{aligned}
$$

一定の圧力で気体を温めるときの熱量は、「定圧モル比熱」という値を使って計算できます。熱力学第一法則（\(Q = \Delta U + W\)）を使って、内部エネルギーの変化と仕事の両方を計算して足し合わせても同じ結果になりますが、定圧モル比熱を使うとより直接的に計算できます。

吸収した熱量は \(Q_{12} = \displaystyle\frac{5}{2}(P_0 S + (M+M_0)g)(h-h_0)\) です。この熱量は、気体を膨張させる仕事と、内部エネルギーを増加させる（温度を上げる）ことの両方に使われています。

問(5)

思考の道筋とポイント
この熱機関のサイクル全体のp-V図を描きます。各状態変化がp-V図上でどのような線になるかを考え、それをつなぎ合わせます。

• 定積変化 → Vが一定（垂直な線）
• 定圧変化 → Pが一定（水平な線）

この設問における重要なポイント

• サイクルを構成するすべての過程を正しく把握すること。
• 物体を降ろした後の圧力\(P_3\)を力のつり合いから求めること。

具体的な解説と立式
サイクルは以下の4つの主要な過程から構成されます。

1. 初期状態 → 状態1: 定積加熱。体積は \(V_0 = Sh_0\) で一定。圧力は \(P_0\) から \(P_1 = P_0 + \frac{(M+M_0)g}{S}\) へ上昇。
2. 状態1 → 状態2: 定圧膨張。圧力は \(P_1\) で一定。体積は \(V_0 = Sh_0\) から \(V_2 = Sh\) へ増加。
3. 状態2 → 下降終: 物体を降ろすと、まずピストンが動かずに圧力だけが下がる定積冷却が起こり、その後、ゆっくり下降する定圧冷却が起こる。
   • 物体を降ろした直後、圧力は \(P_1\) から、ピストンと大気圧だけを支える圧力 \(P_3\) に下がる。力のつり合いは \(P_3 S = P_0 S + M_0 g\)、よって \(P_3 = P_0 + \frac{M_0 g}{S}\)。この間、体積は \(V_2 = Sh\) で一定。
   • その後、圧力\(P_3\)のまま、体積が \(V_2 = Sh\) から \(V_0 = Sh_0\) へ減少する。
4. 下降終 → 初期状態: 定積冷却。体積は \(V_0 = Sh_0\) で一定。外部と熱平衡になるまで冷やされ、圧力は \(P_3\) から \(P_0\) へ下降。

これらの過程をp-V図に描くと、図は4つの角を持つ長方形になります。

• 角1: (状態1) \((Sh_0, P_1)\)
• 角2: (状態2) \((Sh, P_1)\)
• 角3: (下降開始点) \((Sh, P_3)\)
• 角4: (下降終点) \((Sh_0, P_3)\)

この長方形のサイクルが熱機関の動作を表します。（厳密には初期状態と下降終点の間にも状態変化がありますが、仕事や熱効率の計算ではこの長方形部分が重要になります）

（p-V図は、縦軸に\(P\)、横軸に\(V\)をとり、\(V=Sh_0\)と\(V=Sh\)を底辺、\(P=P_3\)と\(P=P_1\)を高さとする長方形を描き、時計回りの矢印を記入する）

p-V図は、縦軸が圧力、横軸が体積の長方形となります。この図から、サイクル全体で気体が外部にする仕事や、熱の吸収・放出の過程を視覚的に理解することができます。

問(6)

思考の道筋とポイント
1サイクルで熱機関が外部にした正味の仕事\(W\)を求めます。これは、p-V図でサイクルが囲む面積に等しくなります。(5)で描いたp-V図は長方形なので、その面積を計算します。

この設問における重要なポイント

• サイクル全体の仕事はp-V図の面積に等しい。
• 長方形の面積は（縦の長さ）×（横の長さ）で計算できる。

具体的な解説と立式
仕事\(W\)は、p-V図の長方形の面積です。
$$W = (\text{圧力差}) \times (\text{体積差})$$
ここで、

• 圧力差: \(P_1 – P_3\)
• 体積差: \(V_2 – V_1\)

なので、
$$W = (P_1 – P_3)(V_2 – V_1)$$

各差を計算します。
$$
\begin{aligned}
P_1 – P_3 &= \left(P_0 + \frac{(M+M_0)g}{S}\right) – \left(P_0 + \frac{M_0 g}{S}\right) \\[2.0ex]
&= \frac{Mg}{S}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_2 – V_1 &= Sh – Sh_0 \\[2.0ex]
&= S(h-h_0)
\end{aligned}
$$
したがって、仕事\(W\)は、
$$
\begin{aligned}
W &= \left(\frac{Mg}{S}\right) \cdot S(h-h_0) \\[2.0ex]
&= Mg(h-h_0)
\end{aligned}
$$

気体が1周して元の状態に戻るとき、外部にした「正味の」仕事は、p-Vグラフが囲むループの面積になります。今回はきれいな長方形なので、単純に「たて×よこ」で面積（仕事）を計算できます。

仕事は \(W = Mg(h-h_0)\) です。これは、質量\(M\)の物体を重力に逆らって高さ\((h-h_0)\)だけ持ち上げるのに必要な仕事と等しくなります。この熱機関は、熱エネルギーを使って物体を持ち上げる装置として機能していることがわかります。

問(7)

思考の道筋とポイント
このサイクルの熱効率\(e\)を求めます。熱効率は、吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{吸収}}\) に対する、外部にした正味の仕事 \(W\) の割合で定義されます。
$$e = \frac{W}{Q_{\text{吸収}}}$$
このサイクルで熱を吸収する過程は、温度が上昇する「初期状態→状態1」と「状態1→状態2」の2つです。

この設問における重要なポイント

• 熱効率の定義式を正しく使う。
• サイクルの中で、どの過程が吸熱過程であるかを正しく特定する。

具体的な解説と立式
熱効率\(e\)の定義式は、
$$e = \frac{W}{Q_{\text{吸収}}} = \frac{W}{Q_{01} + Q_{12}}$$
ここに、(2), (4), (6)で求めた \(Q_{01}\), \(Q_{12}\), \(W\) の値を代入します。

分子と分母にそれぞれ値を代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{Mg(h-h_0)}{Q_{01} + Q_{12}} \\[2.0ex]
&= \frac{Mg(h-h_0)}{\frac{3}{2}(M+M_0)gh_0 + \frac{5}{2}(P_0 S + (M+M_0)g)(h-h_0)}
\end{aligned}
$$
分母分子に2を掛けて整理すると、
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{2Mg(h-h_0)}{3(M+M_0)gh_0 + 5(P_0 S + (M+M_0)g)(h-h_0)}
\end{aligned}
$$

熱効率は「燃費」のようなものです。「使った燃料（吸収した熱）のうち、どれだけが有効な働き（仕事）になったか」という割合です。仕事は(6)で、吸収した熱は(2)と(4)の合計なので、それらの比を計算します。

得られた式は複雑ですが、熱機関の効率が、物体の質量や動かす高さ、気体の初期状態など、様々な要因に依存することを示しています。

問(8)

思考の道筋とポイント
(7)で求めた熱効率の式に、与えられた具体的な値 \(M=2M_0\), \(M_0=\frac{P_0S}{g}\), \(h=2h_0\) を代入して、熱効率の値を計算します。

この設問における重要なポイント

• 複雑な式へ、間違えずに値を代入し、丁寧に計算を進めること。

具体的な解説と立式
(7)で求めた \(W\), \(Q_{01}\), \(Q_{12}\) の式に、与えられた値を代入していきます。

• \(M=2M_0\)
• \(M_0 g = P_0 S\) (与式を変形)
• \(h=2h_0\) なので \(h-h_0 = h_0\)

これらの関係を使って、\(W\), \(Q_{01}\), \(Q_{12}\)を\(P_0, S, h_0\)で表します。

まず、仕事\(W\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= Mg(h-h_0) \\[2.0ex]
&= (2M_0)g(2h_0 – h_0) \\[2.0ex]
&= 2M_0 g h_0
\end{aligned}
$$
\(M_0 g = P_0 S\) を使うと、\(W = 2(P_0 S)h_0 = 2P_0 S h_0\)。

次に、吸熱量\(Q_{01}\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{01} &= \frac{3}{2}(M+M_0)gh_0 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}(2M_0+M_0)gh_0 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}(3M_0)gh_0 \\[2.0ex]
&= \frac{9}{2}M_0 g h_0
\end{aligned}
$$
\(M_0 g = P_0 S\) を使うと、\(Q_{01} = \frac{9}{2}P_0 S h_0\)。

次に、吸熱量\(Q_{12}\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{12} &= \frac{5}{2}(P_0 S + (M+M_0)g)(h-h_0) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}(P_0 S + (2M_0+M_0)g)(2h_0-h_0) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}(P_0 S + 3M_0 g)h_0
\end{aligned}
$$
\(M_0 g = P_0 S\) を使うと、
$$
\begin{aligned}
Q_{12} &= \frac{5}{2}(P_0 S + 3(P_0 S))h_0 \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}(4P_0 S)h_0 \\[2.0ex]
&= 10 P_0 S h_0
\end{aligned}
$$
最後に、熱効率\(e\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{W}{Q_{01} + Q_{12}} \\[2.0ex]
&= \frac{2P_0 S h_0}{\frac{9}{2}P_0 S h_0 + 10 P_0 S h_0} \\[2.0ex]
&= \frac{2P_0 S h_0}{(\frac{9}{2} + \frac{20}{2})P_0 S h_0} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{\frac{29}{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{4}{29}
\end{aligned}
$$

(7)で導いた仕事と熱量の式に、問題で指定された「もしも」の値を一つずつ代入していきます。文字がたくさんありますが、うまく関係式を使うことで、最終的にはすべての文字が消去され、きれいな分数の答えが出てきます。

この条件での熱効率は \(\displaystyle\frac{4}{29}\) です。これは約13.8%であり、一般的な熱機関の効率として現実的な範囲の値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと圧力決定:
  • 核心: ピストンが静止している、または「ゆっくり」と動く（準静的過程）場合、各瞬間でピストンに働く力はつり合っています。この問題では、気体の圧力は、上から押す「大気圧」と「ピストンや物体の重さ」の合力によって決まります。
  • 理解のポイント: 状態によってピストンの上に乗っている物体の有無が変わるため、圧力が一定ではない点に注意が必要です。各状態（初期、1、2、下降時）で、力のつり合いの式を正しく立てることが、全ての計算の出発点となります。
• 状態変化の特定と法則の適用:
  • 核心: 問題文の記述から、サイクルを構成する各過程がどの状態変化（定積、定圧）に当たるかを正確に読み取ることが極めて重要です。
  • 理解のポイント:
    • 初期→1: 「ピストンが動きだした」とあるので、それまでは高さ\(h_0\)で一定。これは「定積変化」です。
    • 1→2: 「ゆっくりとピストンは上昇」し、その間ピストンの上の物体は変わらないので圧力は一定。これは「定圧変化」です。
    • 2→下降→初期: 物体を降ろすことで圧力が下がり、その後冷却されて元の状態に戻ります。この過程も定圧と定積の組み合わせでモデル化できます。

    特定した状態変化に応じて、シャルルの法則や熱力学第一法則の適切な形を適用します。

• 熱効率の定義と計算:
  • 核心: 熱効率は、1サイクルでエンジンが外部にした正味の仕事 \(W\) を、そのサイクルで吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{吸収}}\) で割ったものです (\(e = W/Q_{\text{吸収}}\))。
  • 理解のポイント:
    • 仕事\(W\): p-V図でサイクルが囲む面積に等しく、膨張時の仕事と圧縮時の仕事の差として計算されます。
    • 吸収熱量\(Q_{\text{吸収}}\): サイクルの中で、気体が外部から熱を与えられた過程（この問題では初期→1と1→2）の熱量を合計します。放出した熱量は計算に含めません。

    この2つの量を正確に計算することが、熱効率を求める鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スターリングエンジン、オットーサイクルなど: 異なる状態変化（定積、定圧、断熱、等温）を組み合わせた、より複雑な熱力学サイクルの問題。基本的な考え方は同じで、各過程を分析し、p-V図を描き、仕事と熱量を計算します。
  • 横向きのシリンダーとばね: ピストンがばねでつながれている問題。この場合、気体の圧力はばねの弾性力にも依存し、\(P = P_0 + kx/S\) のように変位の関数になります。
  • 熱のやり取りがある2つのシリンダー: 2つのシリンダーが連結され、熱の移動がある問題。それぞれの気体について状態方程式と熱力学第一法則を立て、連立して解く必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 状態の特定: まず、問題文で定義されている「初期状態」「状態1」「状態2」などの各状態について、圧力(P)、体積(V)、温度(T)がどうなっているか、あるいはどう表現できるかを整理します。
  2. 過程の特定: 次に、状態間の変化が「定積」「定圧」「等温」「断熱」のどれにあたるかを、問題文の「ピストンを固定して」「ゆっくりと」「温度を一定に保ち」「急激に」といったキーワードから判断します。
  3. p-V図の作成: 特定した状態と過程をもとに、p-V図を必ず描きましょう。サイクルがどのような形になるかを視覚化することで、仕事の計算（面積）や吸熱・放熱過程の判断が容易になります。
  4. 文字の消去戦略: 問題で与えられていない文字（この問題では\(n, R\)）は、最終的な答えには含まれないはずです。状態方程式 \(PV=nRT\) を利用して、これらの文字を既知の量（\(P_0, V_0, T_0\)など）で置き換える方針を立てて計算を進めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 大気圧の考慮漏れ:
  • 誤解: ピストンにかかる力を考える際に、ピストンや物体の重さだけを考えてしまい、大気圧による力 \(P_0 S\) を忘れる。
  • 対策: シリンダーが「大気中で」と明記されている場合は、必ず大気圧がピストンの外側から力を及ぼしていることを意識しましょう。力のつり合いの図を描く際に、大気圧の力も矢印で書き込む習慣をつけると防げます。
• 仕事の計算での圧力の混同:
  • 誤解: 状態1→2の定圧変化の仕事や熱量を計算する際に、初期圧力\(P_0\)を誤って使ってしまう。
  • 対策: 各過程でどの圧力が一定に保たれているのかを明確に区別しましょう。状態1→2では、物体を乗せた後の圧力\(P_1\)が基準となります。
• 熱効率の分母のミス:
  • 誤解: 熱効率を計算する際に、吸収した熱量と放出した熱量の差（正味の熱量、これは仕事\(W\)に等しい）を分母にしてしまう。
  • 対策: 熱効率の定義は「投入したエネルギー（吸収熱）に対して、どれだけ有効な仕事を取り出せたか」です。分母は必ず「吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{吸収}}\)」であることを徹底しましょう。
• 絶対温度（K）の使用:
  • 誤解: シャルルの法則や状態方程式で、セルシウス温度（℃）をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 熱力学の計算では、温度は必ず絶対温度（K）を用いる、と肝に銘じましょう。この問題では最初から\(T_0\)[K]と与えられていますが、℃で与えられた場合は必ず変換が必要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力のつり合いの図: 各状態（初期、1、2、下降時）について、ピストンに働くすべての力（気体の圧力、大気圧、重力）を矢印で図示します。力の大きさが状態によってどう変わるか（例：状態1では物体の重力\(Mg\)が加わる）を視覚的に理解することが、圧力の計算ミスを防ぎます。
  • p-V図: この問題のサイクルは、p-V図上では長方形として描かれます。この図を描くことで、
    • サイクル全体の仕事\(W\)が長方形の面積であること。
    • 右向きの矢印（膨張）の過程で仕事が正、左向きの矢印（圧縮）の過程で仕事が負であること。
    • 吸熱過程（初期→1→2）と放熱過程（2→下降→初期）が明確に区別できること。

    が直感的に理解できます。

• 図を描く際に注意すべき点:
  • 軸と座標の明記: p-V図を描く際は、縦軸に圧力\(P\)、横軸に体積\(V\)を明記します。さらに、各頂点の座標（例：状態1は\((Sh_0, P_1)\)）を書き込むと、面積計算などが非常にやりやすくなります。
  • サイクルの向き: サイクルが時計回りか反時計回りかは重要です。時計回りのサイクルは外部に正の仕事をし（熱機関）、反時計回りのサイクルは外部から仕事をされる（冷凍機・ヒートポンプ）ことを意味します。この問題は時計回りです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• シャルルの法則 (\(V/T=\text{一定}\) or \(P/T=\text{一定}\)):
  • 選定理由: 状態変化が「定圧」または「定積」と特定できた場合に、2つの状態の温度と体積（または圧力）を関係づける最も簡単な法則だからです。
  • 適用根拠: 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) で、\(P\)と\(n,R\)が一定（定圧）、または\(V\)と\(n,R\)が一定（定積）という条件。
• 熱力学第一法則 (\(Q = \Delta U + W\)):
  • 選定理由: 「与えられた熱量」を問われた際の基本法則です。特に、定積変化（\(W=0\)）では \(Q=\Delta U\)、断熱変化（\(Q=0\)）では \(\Delta U = -W\) のように、過程を特定することで式が単純化され、強力なツールとなります。
  • 適用根拠: エネルギー保存則。
• 定圧モル比熱 (\(Q=nC_p\Delta T\)):
  • 選定理由: (4)のように「定圧変化」で「与えられた熱量」を求めたい場合に、\(\Delta U\)と\(W\)を別々に計算する手間を省ける、非常に効率的な公式だからです。
  • 適用根拠: 定圧変化という条件下での熱力学第一法則を、あらかじめ使いやすい形にまとめたもの。
• 仕事 \(W\) = p-V図の面積:
  • 選定理由: (6)のように「サイクル全体がした仕事」を求めたい場合に、最も直感的で計算しやすい方法だからです。各過程の仕事を足し引きするよりも、図形の面積として一気に計算できます。
  • 適用根拠: 仕事の定義 \(W = \int P dV\) を図形的に解釈したもの。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 状態1の温度 \(T_1\):
   • 戦略: ①力のつり合いから圧力\(P_1\)を求める → ②定積変化なのでシャルルの法則を使い\(T_1\)を求める。
   • フロー: \(P_1 S = P_0 S + (M+M_0)g\) \(\rightarrow\) \(P_1\)を求める \(\rightarrow\) \(\frac{P_0}{T_0} = \frac{P_1}{T_1}\) に代入し\(T_1\)を求める。
2. (2) 熱量 \(Q_{01}\):
   • 戦略: 定積変化(\(W=0\))なので、熱力学第一法則より \(Q_{01} = \Delta U_{01}\)。\(\Delta U_{01} = \frac{3}{2}nR(T_1-T_0)\) を計算する。
   • フロー: \(T_1\)を代入し、\(nRT_0 = P_0Sh_0\) を使って文字を消去する。
3. (3) 状態2の温度 \(T_2\):
   • 戦略: 定圧変化なのでシャルルの法則を使い\(T_2\)を求める。
   • フロー: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\) \(\rightarrow\) \(V_1=Sh_0, V_2=Sh\) を代入し\(T_2\)を求める。
4. (4) 熱量 \(Q_{12}\):
   • 戦略: 定圧変化なので \(Q_{12} = nC_p(T_2-T_1)\) を計算する。
   • フロー: \(C_p=\frac{5}{2}R\) と \(T_2, T_1\) を代入し、状態方程式を使って文字を消去する。
5. (5) p-V図:
   • 戦略: 各状態の(P, V)座標を特定し、過程の種類（定積・定圧）に応じて線で結ぶ。
6. (6) 仕事 \(W\):
   • 戦略: p-V図が囲む長方形の面積を計算する。
   • フロー: \(W = (\text{圧力差}) \times (\text{体積差}) = (P_1-P_3)(V_2-V_1)\) を計算する。
7. (7) 熱効率 \(e\):
   • 戦略: \(e = \frac{W}{Q_{01}+Q_{12}}\) の定義式に、(2), (4), (6)の結果を代入する。
8. (8) 数値計算:
   • 戦略: (7)の式に与えられた条件を代入し、数値を求める。
   • フロー: \(M_0 g = P_0 S\) などの関係式をうまく使い、文字を消去していく。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• • 関係式の活用: (8)の計算では、与えられた条件を \(M_0 g = P_0 S\) のように変形して使うと、式が劇的に簡単になります。複雑な文字式は、関係式を使って積極的に簡単な形に整理しながら進めましょう。

–

• 単位系の統一: この問題では[Pa], [m]などSI単位系で与えられていますが、常に単位系が揃っているかを確認する習慣をつけましょう。
• 分数の整理: (7)や(8)のように分数が複雑になる場合は、分母と分子を別々に計算し、最後に組み合わせるとミスが減ります。
• 結果の物理的意味の確認: (6)で仕事が \(Mg(h-h_0)\) となったように、計算結果が物理的に意味のある形（この場合は物体を持ち上げる仕事）になっているかを確認することで、計算の妥当性を検証できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 各状態の圧力: \(P_1 > P_3 > P_0\) という大小関係は、ピストンの上に乗っているものの重さ（物体＋ピストン > ピストンのみ > なし（大気圧のみ））と直感的に一致します。
  • 仕事 \(W\): \(W=Mg(h-h_0)\) という結果は、この熱機関が「熱を消費して、質量Mの物体を高さ\(h-h_0\)だけ持ち上げる」という目的を果たしていることを明確に示しています。
  • 熱効率 \(e\): (8)で求めた熱効率 \(4/29\) は1より小さい正の値であり、エネルギー保存則（第一種永久機関の否定）と、すべての熱を仕事に変えることはできない（第二種永久機関の否定）という熱力学の基本原則に矛盾しません。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし物体を乗せなかったら(\(M=0\))、仕事\(W=0\)となり、熱効率も0になります。これは、持ち上げるべき対象がなければ仕事は発生しないという自明な結果と一致し、式の妥当性を裏付けます。

問題77 (東京大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、半透膜で仕切られた2種類の単原子分子理想気体の振る舞いを、気体分子運動論と熱力学の法則を用いて分析する問題です。
[A]では気体分子運動論を用いて圧力や内部エネルギーを微視的な視点から導出し、[B]では断熱変化、[C]では定圧・定積変化といった熱力学的な過程を扱います。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体分子運動論」と「熱力学」の融合です。特に、半透膜によって気体の運動範囲が異なる点が特徴的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 気体分子運動論: 圧力や温度といった宏観的な物理量を、気体分子の運動という微視的なモデルから導出します。力積と運動量の関係が基本となります。
2. 半透膜の理解: 気体Xは通過できるが気体Yは通過できないという半透膜の性質を正しく理解し、それぞれの気体が運動できる体積を正確に把握することが重要です。
3. 熱力学第一法則: \(Q = \Delta U + W\) は、断熱変化([B])や加熱過程([C])におけるエネルギーの収支を計算する上で中心的な役割を果たします。
4. 状態方程式: 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) は、P, V, Tの関係を結びつけ、未知の物理量を消去したり、変化量を計算したりする際に繰り返し用いられます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. [A]では、気体分子運動論の基本に立ち返り、1分子の運動から圧力や力を導出します。気体XとYが占める体積の違いに注意します。
2. [B]では、系全体を一つの熱力学系とみなし、断熱変化の条件(\(Q=0\))と熱力学第一法則を適用します。微小変化における状態方程式の扱いがポイントです。
3. [C]では、気体XとYがそれぞれ異なる状態変化（定圧変化と定積変化）をすることを認識し、それぞれの過程で吸収する熱量を計算して合計します。

[A] 問(1)

思考の道筋とポイント
気体分子運動論の基本的な考え方を用いて、ピストンが気体Xから受ける力の平均\(F_1\)を求めます。手順は以下の通りです。

1. 気体Xの分子1個がピストンに1回衝突するときの力積を計算する。
2. その分子が単位時間あたりに何回ピストンに衝突するかを計算する。
3. 1と2から、分子1個がピストンに及ぼす力の平均を求める。
4. 全分子(\(N_A\)個)について合計し、全体の力の平均\(F_1\)を求める。

この設問における重要なポイント

• 気体Xは膜を通過できるため、運動している体積は領域1と2を合わせた\(V_1+V_2\)である。
• ピストンとの衝突は弾性衝突であり、速度のz成分のみが反転する。
• 作用・反作用の法則から、分子が受ける力積とピストンが受ける力積は等しい大きさで逆向きである。

具体的な解説と立式

1. 1回の衝突による力積:
   気体Xの分子1個（質量\(m_x\)）が速度のz成分\(v_z\)でピストンに衝突すると、弾性衝突後、速度のz成分は\(-v_z\)になります。このとき、分子が受ける力積\(I_x\)は、
   $$
   \begin{aligned}
   I_x &= m_x(-v_z) – m_x v_z \\[2.0ex]
   &= -2m_x v_z
   \end{aligned}
   $$
   作用・反作用の法則より、ピストンが分子1個から受ける力積\(I_p\)は、
   $$
   \begin{aligned}
   I_p &= -I_x \\[2.0ex]
   &= 2m_x v_z
   \end{aligned}
   $$
2. 単位時間あたりの衝突回数:
   この分子が次に同じピストンに衝突するまでの時間間隔\(\Delta t_c\)は、往復距離 \(2(V_1+V_2)/S\) を速さ \(v_z\) で割ることで求められます。
   $$\Delta t_c = \frac{2(V_1+V_2)}{v_z S}$$
   よって、単位時間あたりにこの分子がピストンに衝突する回数\(f_c\)は、
   $$f_c = \frac{1}{\Delta t_c} = \frac{v_z S}{2(V_1+V_2)}$$
3. 分子1個が及ぼす力の平均:
   分子1個がピストンに及ぼす力の平均\(f\)は、単位時間あたりに与える力積の大きさに等しいので、
   $$
   \begin{aligned}
   f &= I_p \times f_c \\[2.0ex]
   &= (2m_x v_z) \times \frac{v_z S}{2(V_1+V_2)} \\[2.0ex]
   &= \frac{m_x v_z^2 S}{V_1+V_2}
   \end{aligned}
   $$
4. 全分子による力の平均:
   気体Xは1mol (\(N_A\)個)存在し、各分子の速度のz成分の2乗の平均を\(\overline{v_z^2}\)とすると、ピストンが受ける力の平均\(F_1\)は、
   $$
   \begin{aligned}
   F_1 &= N_A \times \bar{f} \\[2.0ex]
   &= N_A \frac{m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2}
   \end{aligned}
   $$

上記の立式プロセスがそのまま計算過程となります。
$$F_1 = \frac{N_A m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2}$$

ピストンが受ける力は、たくさんの分子が次々とぶつかってくる衝撃の平均です。まず、分子1個が1回ぶつかる衝撃の大きさ（力積）を計算します。次に、その分子が1秒間に何回ぶつかってくるかを計算します。この2つを掛け合わせると、分子1個あたりの平均の力が出ます。最後に、それを全分子の数だけ合計することで、全体の力を求めます。

求める力の平均は \(F_1 = \displaystyle\frac{N_A m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2}\) です。これは気体分子運動論における圧力の導出過程そのものであり、物理的に妥当なものです。

[A] 問(2)

思考の道筋とポイント
シリンダーの底面が受ける力の平均\(F_2\)は、気体Xから受ける力と気体Yから受ける力の合計です。それぞれの気体について、(1)と同様の考え方で力を計算し、足し合わせます。

この設問における重要なポイント

• 底面は気体Xと気体Yの両方から力を受ける。
• 気体Xは体積\(V_1+V_2\)の空間を運動する。
• 気体Yは膜を通過できず、体積\(V_2\)の空間（領域2）のみを運動する。

具体的な解説と立式
底面が受ける力の平均\(F_2\)は、気体Xによる力\(F_{2,X}\)と気体Yによる力\(F_{2,Y}\)の和で表せます。
$$F_2 = F_{2,X} + F_{2,Y}$$

• 気体Xによる力 \(F_{2,X}\):
  (1)のピストンが受ける力\(F_1\)と全く同じ状況です。
  $$F_{2,X} = \frac{N_A m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2}$$
• 気体Yによる力 \(F_{2,Y}\):
  気体Yは体積\(V_2\)の領域2に閉じ込められています。したがって、(1)の計算で体積を\(V_2\)に置き換えることで求められます。
  $$F_{2,Y} = \frac{N_A m_y \overline{w_z^2} S}{V_2}$$

よって、合計の力\(F_2\)は、
$$F_2 = \frac{N_A m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2} + \frac{N_A m_y \overline{w_z^2} S}{V_2}$$

$$
\begin{aligned}
F_2 &= F_{2,X} + F_{2,Y} \\[2.0ex]
&= \frac{N_A m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2} + \frac{N_A m_y \overline{w_z^2} S}{V_2} \\[2.0ex]
&= N_A S \left( \frac{m_x \overline{v_z^2}}{V_1+V_2} + \frac{m_y \overline{w_z^2}}{V_2} \right)
\end{aligned}
$$

シリンダーの底は、部屋全体を自由に飛び回る気体Xと、領域2という限られた空間だけを飛び回る気体Yの両方から押されています。それぞれの気体が底を押す力を別々に計算し、それらを単純に足し合わせることで、底が受ける合計の力が求まります。

求める力の平均は \(F_2 = \displaystyle\frac{N_A m_x \overline{v_z^2} S}{V_1+V_2} + \frac{N_A m_y \overline{w_z^2} S}{V_2}\) です。これは、気体Xの分圧による力と気体Yの分圧による力の和となっており、ドルトンの分圧の法則の考え方と一致しています。

[A] 問(3)

思考の道筋とポイント
(1)と(2)で求めた力の平均\(F_1, F_2\)を断面積\(S\)で割ることで、圧力\(p_1, p_2\)を求めます。その後、問題文で与えられた条件「一方向あたりの平均運動エネルギーが\(\frac{1}{2}kT\)」と、ボルツマン定数と気体定数の関係式\(k=R/N_A\)を用いて、式を\(R, T\)で書き換えます。

この設問における重要なポイント

• 圧力の定義 \(p = F/S\)。
• エネルギー等分配則の一形態: \(\frac{1}{2}m\overline{v_z^2} = \frac{1}{2}kT\)。
• ボルツマン定数と気体定数の関係: \(k = R/N_A\)。

具体的な解説と立式
まず、圧力\(p_1, p_2\)を力の式から求めます。
$$p_1 = \frac{F_1}{S} = \frac{N_A m_x \overline{v_z^2}}{V_1+V_2}$$
$$p_2 = \frac{F_2}{S} = \frac{N_A m_x \overline{v_z^2}}{V_1+V_2} + \frac{N_A m_y \overline{w_z^2}}{V_2}$$
次に、与えられた条件 \(\frac{1}{2}m\overline{v_z^2} = \frac{1}{2}kT\) より、\(m_x \overline{v_z^2} = kT\) および \(m_y \overline{w_z^2} = kT\) が成り立ちます。
さらに、\(k = R/N_A\) の関係を用いると、
$$m_x \overline{v_z^2} = \frac{R}{N_A}T \quad \text{および} \quad m_y \overline{w_z^2} = \frac{R}{N_A}T$$
これらの関係を圧力の式に代入します。

\(p_1\)の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
p_1 &= \frac{N_A}{V_1+V_2} (m_x \overline{v_z^2}) \\[2.0ex]
&= \frac{N_A}{V_1+V_2} \left(\frac{R}{N_A}T\right) \\[2.0ex]
&= \frac{RT}{V_1+V_2}
\end{aligned}
$$
\(p_2\)の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
p_2 &= \frac{N_A m_x \overline{v_z^2}}{V_1+V_2} + \frac{N_A m_y \overline{w_z^2}}{V_2} \\[2.0ex]
&= \frac{RT}{V_1+V_2} + \frac{N_A}{V_2} \left(\frac{R}{N_A}T\right) \\[2.0ex]
&= \frac{RT}{V_1+V_2} + \frac{RT}{V_2}
\end{aligned}
$$

(1)と(2)で求めた力の式は、分子の速さというミクロな量を含んでいます。これを、私たちが測定しやすい温度\(T\)というマクロな量に書き換える作業です。「分子1個の平均運動エネルギーは、気体の絶対温度だけで決まる」という重要な関係式を使います。

圧力は \(p_1 = \displaystyle\frac{RT}{V_1+V_2}\), \(p_2 = \displaystyle\frac{RT}{V_1+V_2} + \frac{RT}{V_2}\) となります。
\(p_1\)は、1molの気体Xが体積\(V_1+V_2\)を占めているときの状態方程式そのものです。
\(p_2\)は、気体Xの分圧(\(p_1\))と、1molの気体Yが体積\(V_2\)を占めているときの圧力(\(\frac{RT}{V_2}\))の和になっており、ドルトンの分圧の法則と完全に一致します。

[A] 問(4)

思考の道筋とポイント
気体Xと気体Yの内部エネルギーの合計\(U\)を求めます。どちらも1molの単原子分子理想気体であり、温度はともに\(T\)です。内部エネルギーは状態量であり、単純にそれぞれの気体の内部エネルギーを足し合わせることで求められます。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式は \(U = \frac{3}{2}nRT\)。
• 内部エネルギーは加法性を持ち、系の全内部エネルギーは各成分の内部エネルギーの和である。

具体的な解説と立式
気体X (1mol) の内部エネルギー\(U_X\)は、
$$U_X = \frac{3}{2} \times 1 \times RT$$
気体Y (1mol) の内部エネルギー\(U_Y\)も同様に、
$$U_Y = \frac{3}{2} \times 1 \times RT$$
系全体の内部エネルギー\(U\)はこれらの和です。
$$U = U_X + U_Y$$

$$
\begin{aligned}
U &= U_X + U_Y \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}RT + \frac{3}{2}RT \\[2.0ex]
&= 3RT
\end{aligned}
$$

気体の内部エネルギーは、その気体の種類（単原子分子かなど）、物質量（何molか）、そして温度だけで決まります。この問題では、気体XとYはどちらも1molの単原子分子で、同じ温度\(T\)です。したがって、それぞれの内部エネルギーを計算し、単純に足し算します。

内部エネルギーの合計は \(U=3RT\) です。これは、合計2molの単原子分子理想気体の内部エネルギーの式と一致しており、妥当な結果です。
別解: 分子運動論からの導出
思考の道筋とポイント
内部エネルギーは、全分子の運動エネルギーの総和です。気体分子の運動の等方性（x, y, z方向の運動は対等）を利用して、z方向の運動エネルギーから全運動エネルギーを求め、合計します。

この設問における重要なポイント

• 内部エネルギーは全分子の運動エネルギーの合計である。
• 運動の等方性: \(\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_z^2}\)。

具体的な解説と立式
気体Xの1分子の平均運動エネルギーは \(\frac{1}{2}m_x\overline{v^2}\) です。等方性より \(\overline{v^2} = 3\overline{v_z^2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m_x\overline{v^2} &= \frac{1}{2}m_x(3\overline{v_z^2}) \\[2.0ex]
&= 3 \left(\frac{1}{2}m_x\overline{v_z^2}\right)
\end{aligned}
$$
(3)の条件 \(\frac{1}{2}m_x\overline{v_z^2} = \frac{1}{2}kT\) を使うと、1分子の平均運動エネルギーは \(\frac{3}{2}kT\) となります。
気体X (1mol, \(N_A\)個) の内部エネルギー\(U_X\)は、
$$
\begin{aligned}
U_X &= N_A \times \left(\frac{3}{2}kT\right) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}N_A k T
\end{aligned}
$$
気体Yについても同様に \(U_Y = \frac{3}{2}N_A k T\) です。
よって、全内部エネルギー\(U\)は、
$$
\begin{aligned}
U &= U_X + U_Y \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}N_A k T + \frac{3}{2}N_A k T \\[2.0ex]
&= 3N_A k T
\end{aligned}
$$

\(R = N_A k\) の関係を用いて、\(U\)を\(R, T\)で表します。
$$
\begin{aligned}
U &= 3(N_A k)T \\[2.0ex]
&= 3RT
\end{aligned}
$$

\(U=3RT\) となり、宏観的な公式から求めた結果と完全に一致します。これにより、気体分子運動論と熱力学の法則が整合的であることが確認できます。

[B] 問(1)

思考の道筋とポイント
ピストンをゆっくり押し下げる過程は断熱変化(\(Q=0\))です。このとき、外部からされた仕事はすべて内部エネルギーの増加になります。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\) を用いて、温度変化\(\Delta T\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化なので \(Q=0\)。
• 熱力学第一法則は \(\Delta U = W_{\text{された}}\) となる。
• 内部エネルギーの変化\(\Delta U\)は、(A)(4)の結果から \(\Delta U = 3R\Delta T\)。
• 気体にされた仕事\(W_{\text{された}}\)は、ピストンが気体Xにした仕事であり、\(p_1 \Delta V_1\)で近似できる。

具体的な解説と立式
この過程は断熱変化なので、熱の出入りはありません(\(Q=0\))。
熱力学第一法則より、
$$\Delta U = W_{\text{された}}$$
内部エネルギーの変化\(\Delta U\)は、(A)(4)の結果 \(U=3RT\) を用いて、
$$\Delta U = 3R\Delta T$$
外部からされた仕事\(W_{\text{された}}\)は、ピストンが領域1の気体Xを圧縮した仕事です。圧力の変化が微小なので、この間の圧力をほぼ\(p_1\)とみなすと、
$$W_{\text{された}} \approx p_1 \Delta V_1$$
よって、熱力学第一法則は、
$$3R\Delta T = p_1 \Delta V_1$$

上の式を\(\Delta T\)について解きます。
$$\Delta T = \frac{p_1 \Delta V_1}{3R}$$

断熱材でできた容器の中の気体を押して縮めると、外部からした仕事の分だけ気体のエネルギーが増え、温度が上がります。この「仕事がそっくりそのまま内部エネルギーの増加になる」という関係を式にして、温度の変化量を計算します。

温度変化は \(\Delta T = \displaystyle\frac{p_1 \Delta V_1}{3R}\) となります。圧縮（\(\Delta V_1 > 0\)）によって温度が上昇（\(\Delta T > 0\)）するという、断熱圧縮の性質と一致する妥当な結果です。

[B] 問(2)

思考の道筋とポイント
気体X全体（領域1と2を合わせた系）について、変化の前後で状態方程式を立て、その差をとることで、微小変化量の関係式を導きます。

この設問における重要なポイント

• 気体Xは、圧力\(p_1\)、体積\(V_1+V_2\)の系として扱う。
• 変化後の圧力は\(p_1+\Delta p_1\)、体積は\((V_1-\Delta V_1)+V_2\)。
• 微小量の2次以上の項(\(\Delta p_1 \Delta V_1\))は無視する。

具体的な解説と立式
気体X (1mol) について、状態方程式を立てます。

• 変化前:
  $$p_1(V_1+V_2) = RT \quad \cdots ①$$
• 変化後:
  $$(p_1+\Delta p_1)(V_1-\Delta V_1+V_2) = R(T+\Delta T) \quad \cdots ②$$

式②の左辺を展開し、微小量の積 \(\Delta p_1 \Delta V_1\) を無視すると、
$$p_1(V_1+V_2) – p_1\Delta V_1 + \Delta p_1(V_1+V_2) \approx R(T+\Delta T)$$
この式から式①を辺々引くと、
$$-p_1\Delta V_1 + \Delta p_1(V_1+V_2) = R\Delta T$$

上式に、(1)で求めた \(\Delta T = \displaystyle\frac{p_1 \Delta V_1}{3R}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
-p_1\Delta V_1 + \Delta p_1(V_1+V_2) &= R \left(\frac{p_1 \Delta V_1}{3R}\right) \\[2.0ex]
-p_1\Delta V_1 + \Delta p_1(V_1+V_2) &= \frac{1}{3}p_1\Delta V_1
\end{aligned}
$$
\(\Delta p_1(V_1+V_2)\)について整理します。
$$
\begin{aligned}
\Delta p_1(V_1+V_2) &= \frac{1}{3}p_1\Delta V_1 + p_1\Delta V_1 \\[2.0ex]
\Delta p_1(V_1+V_2) &= \frac{4}{3}p_1\Delta V_1
\end{aligned}
$$
両辺を\(p_1(V_1+V_2)\)で割ると、
$$\frac{\Delta p_1}{p_1} = \frac{4}{3}\frac{\Delta V_1}{V_1+V_2}$$
したがって、アに入る数は \(\displaystyle\frac{4}{3}\) です。

状態方程式は変化の前後で常に成り立ちます。変化前の式と変化後の式を立てて、それらの引き算をすることで、圧力や体積の「変化量」の間の関係式を導き出すことができます。

アに入る数は \(\displaystyle\frac{4}{3}\) です。これは、この系における気体Xの断熱変化が、有効な比熱比\(\gamma = \frac{4}{3}\)を持つ気体のポアソンの法則 \(PV^{4/3}=\text{一定}\) に従うことを示唆しています。

[C] 問(1)

思考の道筋とポイント
おもりを乗せた後、気体を加熱するとピストンがゆっくり押し上がります。この過程では、ピストンの上のおもりは変わらないため、気体Xの圧力は\(p_1\)で一定に保たれます（定圧変化）。一方、気体Yは領域2に閉じ込められたままなので、体積は\(V_2\)で一定です（定積変化）。
系全体の温度は常に均一なので、気体X全体（領域1と2を合わせたもの）について、定圧変化のシャルルの法則を適用します。

この設問における重要なポイント

• 気体Xの過程は定圧変化である。
• 気体Xの体積は、はじめ \(V_1+V_2\)、あと \(2V_1+V_2\) となる。
• 定圧変化なので、シャルルの法則 \(\frac{V}{T}=\text{一定}\) が適用できる。

具体的な解説と立式
気体Xは圧力\(p_1\)の定圧変化をします。変化後の温度を\(T’\)とします。
シャルルの法則より、
$$\frac{V_{\text{X,前}}}{T} = \frac{V_{\text{X,後}}}{T’}$$
ここで、気体Xの体積は、

• 変化前: \(V_{\text{X,前}} = V_1+V_2\)
• 変化後: 領域1の体積が\(2V_1\)になるので、\(V_{\text{X,後}} = 2V_1+V_2\)

よって、
$$\frac{V_1+V_2}{T} = \frac{2V_1+V_2}{T’}$$

上式を\(T’\)について解きます。
$$T’ = \frac{2V_1+V_2}{V_1+V_2}T$$

気体Xは一定の圧力で温められ、膨張します。このとき、「体積と絶対温度は比例する」というシャルルの法則が使えます。体積がどれだけ増えたかの比率を計算し、元の温度に掛けることで、変化後の温度がわかります。

変化後の温度は \(T’ = \displaystyle\frac{2V_1+V_2}{V_1+V_2}T\) です。分子が分母より大きいので \(T’ > T\) となり、加熱によって温度が上昇するという物理的に正しい結果です。

[C] 問(2)

思考の道筋とポイント
系が吸収した熱量の合計は、気体Xが吸収した熱量\(Q_X\)と、気体Yが吸収した熱量\(Q_Y\)の和です。それぞれの気体がどのような変化をしたかに注意して、熱量を計算します。

この設問における重要なポイント

• 気体X (1mol) は定圧変化をするので、吸収熱量は \(Q_X = nC_p\Delta T’\)。
• 気体Y (1mol) は定積変化をするので、吸収熱量は \(Q_Y = nC_v\Delta T’\)。
• 単原子分子理想気体なので、\(C_p = \frac{5}{2}R\), \(C_v = \frac{3}{2}R\)。

具体的な解説と立式
この過程での温度変化\(\Delta T’\)は、
$$\Delta T’ = T’ – T$$
気体Xが吸収した熱量\(Q_X\)は、
$$Q_X = 1 \times C_p \times \Delta T’ = \frac{5}{2}R\Delta T’$$
気体Yが吸収した熱量\(Q_Y\)は、
$$Q_Y = 1 \times C_v \times \Delta T’ = \frac{3}{2}R\Delta T’$$
したがって、吸収した熱量の合計\(Q_{total}\)は、
$$
\begin{aligned}
Q_{total} &= Q_X + Q_Y \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2}R\Delta T’ + \frac{3}{2}R\Delta T’ \\[2.0ex]
&= 4R\Delta T’
\end{aligned}
$$

まず、温度変化\(\Delta T’\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta T’ &= T’ – T \\[2.0ex]
&= \frac{2V_1+V_2}{V_1+V_2}T – T \\[2.0ex]
&= \left(\frac{2V_1+V_2 – (V_1+V_2)}{V_1+V_2}\right)T \\[2.0ex]
&= \frac{V_1}{V_1+V_2}T
\end{aligned}
$$
この\(\Delta T’\)を\(Q_{total}\)の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{total} &= 4R\Delta T’ \\[2.0ex]
&= 4R \left(\frac{V_1}{V_1+V_2}T\right) \\[2.0ex]
&= \frac{4RV_1 T}{V_1+V_2}
\end{aligned}
$$

気体Xと気体Yは、同じだけ温度が上がりますが、変化の仕方が異なります。Xは膨張しながら（定圧で）温まり、Yは閉じ込められたまま（定積で）温まります。膨張するXの方がより多くの熱を必要とします。それぞれの熱量を計算し、足し合わせることで、系全体が吸収した熱が求まります。

吸収した熱量の合計は \(\displaystyle\frac{4RV_1 T}{V_1+V_2}\) です。すべての物理量が問題文で与えられたもので表現されており、妥当な結果です。
別解: 熱力学第一法則からの導出
思考の道筋とポイント
系全体（気体XとY）を一つのシステムとみなし、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) を適用します。内部エネルギーの変化\(\Delta U\)と、系がした仕事\(W\)をそれぞれ計算して合計します。

この設問における重要なポイント

• 系全体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U = 3R\Delta T’\)。
• 仕事をするのは気体Xのみであり、定圧変化の仕事 \(W = p_1 \Delta V_X\)。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則より、
$$Q_{total} = \Delta U + W$$

• 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\):
  系全体は2molの単原子分子理想気体なので、\(U=3RT\)。
  $$\Delta U = 3R\Delta T’$$
• 系がした仕事 \(W\):
  仕事をするのは、領域1の体積が\(V_1\)から\(2V_1\)に膨張した気体Xのみです。これは圧力\(p_1\)の定圧変化なので、
  $$
  \begin{aligned}
  W &= p_1 \Delta V_1 \\[2.0ex]
  &= p_1 (2V_1 – V_1) \\[2.0ex]
  &= p_1 V_1
  \end{aligned}
  $$

よって、吸収した熱量は、
$$Q_{total} = 3R\Delta T’ + p_1 V_1$$

\(\Delta T’ = \displaystyle\frac{V_1}{V_1+V_2}T\) と、(A)(3)で求めた \(p_1 = \displaystyle\frac{RT}{V_1+V_2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{total} &= 3R\left(\frac{V_1}{V_1+V_2}T\right) + \left(\frac{RT}{V_1+V_2}\right)V_1 \\[2.0ex]
&= \frac{3RV_1 T}{V_1+V_2} + \frac{RV_1 T}{V_1+V_2} \\[2.0ex]
&= \frac{4RV_1 T}{V_1+V_2}
\end{aligned}
$$

モル比熱を用いた計算結果と完全に一致します。これにより、異なるアプローチでも同じ結論に至ることが確認でき、解答の信頼性が高まります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気体分子運動論:
  • 核心: 圧力や内部エネルギーといった宏観的な物理量を、多数の分子の力学的な運動（衝突）の平均として捉える考え方です。特に[A]パートでは、この微視的な視点からの導出が求められます。
  • 理解のポイント: 「力積＝運動量の変化」と「力の平均＝単位時間あたりの力積」という2つの基本原理から、圧力の式 \(p = \frac{N m \overline{v^2}}{3V}\) などが導出されるプロセスを理解することが重要です。
• 半透膜の役割と分圧:
  • 核心: この問題の最大の特徴は、気体Xは通過できるがYは通過できない「半透膜」の存在です。これにより、気体XとYが運動できる体積が異なります。
  • 理解のポイント:
    • 気体X: 領域1と2を合わせた体積\((V_1+V_2)\)を自由に運動できる。
    • 気体Y: 領域2の体積\((V_2)\)に閉じ込められている。

    この体積の違いを正しく認識することが、圧力や力を計算する上での鍵となります。底面が受ける圧力\(p_2\)が、気体Xの分圧と気体Yの分圧の和になる点は、ドルトンの分圧の法則の具体的な現れです。

• 熱力学第一法則 (\(Q = \Delta U + W\)):
  • 核心: エネルギー保存則を熱現象に拡張したもので、[B]の断熱変化や[C]の加熱過程を解析する際の基本法則です。
  • 理解のポイント: 過程に応じて \(Q, \Delta U, W\) のいずれかが0になったり、特別な式で表せたりします。例えば、断熱変化([B])では\(Q=0\)なので\(\Delta U = -W\)（された仕事は\(W_{\text{された}}\)）、定積変化では\(W=0\)なので\(Q=\Delta U\)となります。
• 理想気体の状態方程式と内部エネルギー:
  • 核心: 状態方程式\(PV=nRT\)はP,V,Tの関係を結びつけ、内部エネルギーの式\(U=\frac{3}{2}nRT\)は系のエネルギー状態を記述します。これらは、微視的な分子運動論と宏観的な熱力学とを結びつける橋渡しの役割も担います。
  • 理解のポイント: 問題で与えられていない物理量（例: \(n, R, k\)）を消去したり、異なる物理量の間に関係をつけたりするために、これらの式を自在に活用する能力が求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 混合気体の問題: 複数の気体が混ざっている場合、各気体の分圧の和が全圧になる（ドルトンの分圧の法則）という考え方は、本問の(2)(3)と共通しています。
  • ポアソンの法則を用いる断熱変化: 本問の[B]は微小な断熱変化でしたが、有限の変化を扱う問題ではポアソンの法則(\(PV^\gamma = \text{一定}\))が用いられます。本問の結果は、この法則の微小変化バージョンと見なせます。
  • 異なる変化をする連結系: 本問の[C]のように、連結された2つの系（気体XとY）が、一方は定圧、もう一方は定積といった異なる変化をする問題。それぞれの系について法則を適用し、共通の変数（ここでは温度）でつなぐアプローチが有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の定義と境界の確認: まず、どの気体がどの空間を動けるのかを正確に把握します。半透膜や仕切りがある場合は、その性質（何を透過し、何をしないか）が最重要情報です。
  2. 微視的か宏観的か: 問いが「分子の運動から」求めよ、といった微視的なアプローチを要求しているのか、それとも「熱量」「仕事」といった宏観的な量を問うているのかを見極めます。前者なら分子運動論、後者なら熱力学の法則が主役です。
  3. 状態変化の特定: 各過程が「定積」「定圧」「等温」「断熱」のどれに当たるかを、問題文のキーワード（「固定され」「ゆっくり押し上げ」「温度を保ち」「熱のやりとりはなく」など）から判断します。
  4. 保存量・共通量の発見: 複数の気体が登場する場合、何が共通しているか（この問題では温度T）、何が保存されているか（各気体の物質量n）を見つけることが、立式のヒントになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 気体Xの体積の誤認:
  • 誤解: 気体Xが領域1にしか存在しないと勘違いし、その体積を\(V_1\)として計算してしまう。
  • 対策: 半透膜の定義を正確に読み取り、「気体Xは膜を通過できる」ことから、その運動空間は\(V_1+V_2\)全体であると正しく認識しましょう。図にそれぞれの気体の活動範囲を書き込むと効果的です。
• 微小変化の計算ミス:
  • 誤解: [B]パートで状態方程式の差分をとる際に、展開や微小量の積の無視を誤る。
  • 対策: \((p_1+\Delta p_1)(V_1-\Delta V_1)\)のような積は、焦らず丁寧に展開し、\(\Delta p_1 \Delta V_1\)のような「微小量×微小量」の項は、他の項に比べて十分に小さいとして0と近似する、という手順を確実に踏みましょう。
• 仕事の主体と対象の混同:
  • 誤解: [C]パートで、気体Yも仕事をしたと考えてしまう。
  • 対策: 仕事は「体積変化」を伴う場合にのみ発生します。気体Yは体積\(V_2\)のまま変化しない（定積変化）ため、仕事をしません。仕事をするのは、体積が変化した気体Xのみです。
• 内部エネルギーの計算:
  • 誤解: (4)で、気体XとYが異なる空間にいるため、内部エネルギーの合計をためらってしまう。
  • 対策: 内部エネルギーは、気体の種類、物質量、温度で決まる「状態量」です。気体がどこにあろうと、これらの量が同じなら内部エネルギーは同じです。したがって、単純にそれぞれの内部エネルギーを足し合わせればOKです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 分子の運動イメージ: 気体Xの分子（例：青い玉）がシリンダー全体を自由に飛び回り、気体Yの分子（例：赤い玉）が膜に阻まれて領域2の中だけで飛び回っている様子をイメージします。これにより、体積の違いが直感的に理解できます。
  • 力のつり合いの図: ピストンや底面に働く力を、力の種類（気体Xによる力、気体Yによる力）ごとに色分けして矢印で描くと、どの力がどの圧力に対応するのかが明確になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 系の境界を明確にする: 状態方程式や熱力学第一法則を適用する際、「今、どの範囲を一つの系として考えているか」を意識することが重要です。例えば、「気体X全体」「気体Y」「領域1」「系全体（X+Y）」など、対象とする系を点線で囲むなどして図示すると、混乱を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 気体分子運動論:
  • 選定理由: [A]のように「分子の運動」というミクロな情報から「力」や「圧力」というマクロな量を導出するよう求められているため。
  • 適用根拠: 気体を多数の粒子の集まりとみなし、その力学的な振る舞いを統計的に平均するという物理モデル。
• 熱力学第一法則:
  • 選定理由: [B]の「断熱変化」、[C]の「加熱」のように、熱の出入りや仕事を伴うエネルギー変化を解析する必要があるため。
  • 適用根拠: エネルギー保存則。
• 状態方程式の差分:
  • 選定理由: [B]のように、微小な状態変化における各変化量（\(\Delta p, \Delta V, \Delta T\)）の間の関係式を導出したい場合、変化前後の状態方程式の差をとるのが定石だからです。
  • 適用根拠: 変化の前後で状態方程式が常に成立していること。
• モル比熱の公式 (\(Q=nC\Delta T\)):
  • 選定理由: [C]のように、過程が「定圧」または「定積」と明確に分かっており、その際の吸収熱量を計算したい場合に、\(\Delta U\)と\(W\)を別々に計算するより効率的だからです。
  • 適用根拠: それぞれ定圧過程、定積過程に特化した熱力学第一法則の表現形式。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. [A] 分子運動論:
   • (1) 力\(F_1\): (気体Xの力積) \(\times\) (衝突頻度) \(\times\) (分子数) \(\rightarrow\) \(F_1\)を求める。
   • (2) 力\(F_2\): (気体Xによる力) + (気体Yによる力) \(\rightarrow\) それぞれの運動体積に注意して計算し、合計する。
   • (3) 圧力\(p_1, p_2\): (1)(2)の結果を\(S\)で割る \(\rightarrow\) \(\frac{1}{2}m\overline{v_z^2}=\frac{1}{2}kT\)と\(k=R/N_A\)を代入し、\(R,T\)で表す。
   • (4) 内部エネルギー\(U\): \(U = U_X+U_Y = \frac{3}{2}RT + \frac{3}{2}RT\) を計算する。
2. [B] 断熱変化:
   • (1) 温度変化\(\Delta T\): 熱力学第一法則 \(\Delta U = W_{\text{された}}\) \(\rightarrow\) \(\Delta U=3R\Delta T\), \(W_{\text{された}}=p_1\Delta V_1\) を代入し\(\Delta T\)を求める。
   • (2) 圧力変化\(\Delta p_1\): 気体Xの状態方程式の差分をとる \(\rightarrow\) (1)の結果を代入し、\(\Delta p_1\)と\(\Delta V_1\)の関係を導く。
3. [C] 加熱過程:
   • (1) 温度\(T’\): 気体Xの定圧変化にシャルルの法則 \(\frac{V}{T}=\text{一定}\) を適用し\(T’\)を求める。
   • (2) 吸収熱量\(Q_{total}\): (気体Xの定圧熱量 \(Q_X\)) + (気体Yの定積熱量 \(Q_Y\)) \(\rightarrow\) \(Q_X=C_p\Delta T’\), \(Q_Y=C_v\Delta T’\) を計算し、合計する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 添字の厳密な区別: \(m_x, m_y\), \(v_z, w_z\), \(V_1, V_2\), \(p_1, p_2\) など、添字が非常に多い問題です。どの文字がどの物理量を表しているのか、常に意識して混同しないようにしましょう。
• 体積の再確認: 計算の各段階で、「今考えている気体の体積は何か？」を自問自答する癖をつけましょう。特に気体Xの体積は間違いやすいポイントです。
• 段階的な代入: (A)(3)や[C](2)のように、複数の結果を組み合わせて最終的な答えを導く問題では、一度に代入しようとせず、一つずつ段階的に式を単純化していくと、計算ミスが減り見通しが良くなります。
• 別解による検算: (A)(4)や[C](2)のように、別のアプローチで同じ結果が導ける場合は、強力な検算手段になります。時間があれば試してみる価値はあります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • [A](3) 圧力の式: \(p_1\)が気体Xの状態方程式、\(p_2\)が気体XとYの分圧の和になっていることを確認します。これは物理的に非常に理にかなった結果です。
  • [A](4) 内部エネルギーの式: \(U=3RT\)は、合計2molの単原子分子理想気体の内部エネルギーの式と一致します。これも妥当です。
  • [B](1) \(\Delta T\)の符号: 圧縮(\(\Delta V_1>0\))によって温度が上昇(\(\Delta T>0\))するという結果は、断熱圧縮の基本的な性質と一致します。
  • [C](1) \(T’\)の大小関係: \(T’ = \frac{2V_1+V_2}{V_1+V_2}T\) で、分数が1より大きいので\(T’>T\)となります。加熱によって温度が上がるという直感と一致します。
• 既知の法則との関連付け:
  • [B](2)の結果は、ポアソンの法則 \(PV^\gamma = \text{一定}\) を微小変化に適用したものと解釈できます。この系の有効な比熱比が\(\gamma=4/3\)であることが示唆されており、より深い理解につながります。

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問題78 (香川大)