「重要問題集」徹底解説（61〜65問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題61 (佐賀大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねで連結された2つの物体が、水平でなめらかな床の上で振動する「二体問題」を扱っています。特に、2物体の運動を「重心の運動」と「相対運動」に分けて考えることがテーマとなっています。
この問題の核心は、系全体に外力がはたらかないため「運動量保存則」が成り立つこと、そして保存力である弾性力のみが仕事をするため「力学的エネルギー保存則」が成り立つことを理解し、これらを連立して解くことです。また、後半では相対座標を用いることで、複雑な二体問題が見かけ上、単一の物体の単振動（換算質量を持つ物体の運動）として扱えることを示しています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された2物体の運動」と「単振動」です。重心運動と相対運動という2つの視点から問題を解き明かしていきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 運動量保存則: 2物体を一つの「系」とみなしたとき、水平方向には外力がはたらかないため、系の全運動量は常に保存されます。
2. 力学的エネルギー保存則: 系にはたらく力は内力である弾性力のみで、非保存力（摩擦など）ははたらかないため、系の力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）は常に保存されます。
3. 重心: 系の重心は、外力がはたらかない限り、静止し続けるか等速直線運動を続けます。今回は初速0なので、重心は動きません。
4. 相対運動と換算質量: 2物体の相対運動に着目すると、その運動は質量が「換算質量 \(M = \frac{m_A m_B}{m_A+m_B}\)」である単一の物体が、同じばね定数\(k\)のばねで単振動する運動と等価になります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、与えられた初期条件から、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて、特定の瞬間の速度を求めます（問1, 2）。
2. 次に、重心の定義式と、各物体にはたらく力を考えて運動方程式を立てます（問3, 4）。
3. 2つの運動方程式から、相対運動に関する運動方程式を導き、それを単振動の基本形式と比較することで、換算質量と角振動数を求めます（問5）。
4. 最後に、相対運動が単振動であることと、重心が静止していることを利用して、各物体の位置を時刻の関数として表現します（問6）。

問(1)

思考の道筋とポイント
ばねの弾性エネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) を用います。ここで \(x\) は「ばねの自然の長さからの伸びまたは縮み」です。

この設問における重要なポイント

• 弾性エネルギーの公式を正しく理解していること。
• ばねの「伸び」を正しく計算すること。

具体的な解説と立式

• ばねの自然の長さ: \(l\)
• 引き伸ばされたときの長さ: \(L\)

したがって、ばねの伸びは \(L-l\) です。
弾性エネルギーの公式に、ばねの伸び \(x = L-l\) を代入します。
$$U = \frac{1}{2}k(L-l)^2$$

この設問は公式に代入するだけであり、これ以上の計算はありません。

ばねを伸ばしたり縮めたりすると、エネルギーが蓄えられます。そのエネルギーの大きさは、公式「(1/2) × ばね定数 × (伸びまたは縮み)²」で計算できます。ここでは、ばねがどれだけ伸びているかを計算し、公式に当てはめます。

弾性エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}k(L-l)^2\) です。これは公式通りの基本的な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
手をはなしてから、ばねが自然の長さに戻るまでの運動を考えます。この過程で、2物体からなる系には水平方向の外力がはたらかないので「運動量保存則」が、また保存力である弾性力しか仕事をしないので「力学的エネルギー保存則」が成り立ちます。この2つの保存則を連立して、2物体の速度を求めます。

この設問における重要なポイント

• 系全体で運動量と力学的エネルギーが保存されることを理解する。
• 初状態（手をはなす直前）と終状態（自然長に戻った瞬間）のそれぞれの物理量を正しく設定する。

具体的な解説と立式

• 初状態:
  • 速度: \(v_A = 0\), \(v_B = 0\)
  • 全運動量: \(P_i = m_A(0) + m_B(0) = 0\)
  • 力学的エネルギー: \(E_i = \frac{1}{2}k(L-l)^2\) （運動エネルギーは0）
• 終状態（ばねが自然長に戻った瞬間）:
  • 速度: \(v_A\), \(v_B\)
  • ばねの伸び: 0
  • 全運動量: \(P_f = m_A v_A + m_B v_B\)
  • 力学的エネルギー: \(E_f = \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2\) （弾性エネルギーは0）

保存則の式を立てます。

• 運動量保存則 (\(P_i = P_f\)):
  $$0 = m_A v_A + m_B v_B \quad \cdots ①$$
• 力学的エネルギー保存則 (\(E_i = E_f\)):
  $$\frac{1}{2}k(L-l)^2 = \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2 \quad \cdots ②$$

未知数が \(v_A\) と \(v_B\) の2つなので、連立方程式を解きます。
まず、式①から \(v_B\) を \(v_A\) で表します。
$$v_B = -\frac{m_A}{m_B}v_A \quad \cdots ③$$
次に、これを式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
k(L-l)^2 &= m_A v_A^2 + m_B v_B^2 \\[2.0ex]
k(L-l)^2 &= m_A v_A^2 + m_B \left(-\frac{m_A}{m_B}v_A\right)^2 \\[2.0ex]
k(L-l)^2 &= m_A v_A^2 + m_B \frac{m_A^2}{m_B^2}v_A^2 \\[2.0ex]
k(L-l)^2 &= m_A v_A^2 + \frac{m_A^2}{m_B}v_A^2 \\[2.0ex]
k(L-l)^2 &= m_A\left(1 + \frac{m_A}{m_B}\right)v_A^2 \\[2.0ex]
k(L-l)^2 &= m_A\left(\frac{m_B+m_A}{m_B}\right)v_A^2
\end{aligned}
$$
\(v_A^2\) について解くと、
$$v_A^2 = \frac{m_B k(L-l)^2}{m_A(m_A+m_B)}$$
ばねが自然長に戻る瞬間、物体Aは右向き（正の向き）に動くので \(v_A > 0\) です。したがって、
$$v_A = \sqrt{\frac{m_B k(L-l)^2}{m_A(m_A+m_B)}} = (L-l)\sqrt{\frac{m_B k}{m_A(m_A+m_B)}}$$
この結果を式③に代入して \(v_B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_B &= -\frac{m_A}{m_B}v_A \\[2.0ex]
&= -\frac{m_A}{m_B} \left( (L-l)\sqrt{\frac{m_B k}{m_A(m_A+m_B)}} \right) \\[2.0ex]
&= -(L-l) \frac{m_A}{m_B} \sqrt{\frac{m_B k}{m_A(m_A+m_B)}} \\[2.0ex]
&= -(L-l) \sqrt{\frac{m_A^2}{m_B^2} \frac{m_B k}{m_A(m_A+m_B)}} \\[2.0ex]
&= -(L-l) \sqrt{\frac{m_A k}{m_B(m_A+m_B)}}
\end{aligned}
$$
別解: エネルギーの分配則を利用
具体的な解説と立式
この現象は、静止していた物体が内力によって分裂する「分裂」と同じモデルと見なせます。このとき、解放されたエネルギー（今回は弾性エネルギー）は、各物体の運動エネルギーとして、質量の逆比に分配されます。
解放されるエネルギーは \(E = \displaystyle\frac{1}{2}k(L-l)^2\) です。
物体AとBの運動エネルギーの比は、
$$K_A : K_B = \frac{1}{m_A} : \frac{1}{m_B} = m_B : m_A$$
したがって、物体Aが得る運動エネルギー \(K_A\) は、
$$\frac{1}{2}m_A v_A^2 = E \times \frac{m_B}{m_A+m_B}$$
同様に、物体Bが得る運動エネルギー \(K_B\) は、
$$\frac{1}{2}m_B v_B^2 = E \times \frac{m_A}{m_A+m_B}$$

\(K_A\) の式から \(v_A\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m_A v_A^2 &= \frac{1}{2}k(L-l)^2 \frac{m_B}{m_A+m_B} \\[2.0ex]
m_A v_A^2 &= k(L-l)^2 \frac{m_B}{m_A+m_B} \\[2.0ex]
v_A^2 &= \frac{m_B k(L-l)^2}{m_A(m_A+m_B)}
\end{aligned}
$$
\(v_A > 0\) なので、
$$v_A = (L-l)\sqrt{\frac{m_B k}{m_A(m_A+m_B)}}$$
同様に \(K_B\) の式から \(v_B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m_B v_B^2 &= \frac{1}{2}k(L-l)^2 \frac{m_A}{m_A+m_B} \\[2.0ex]
m_B v_B^2 &= k(L-l)^2 \frac{m_A}{m_A+m_B} \\[2.0ex]
v_B^2 &= \frac{m_A k(L-l)^2}{m_B(m_A+m_B)}
\end{aligned}
$$
物体Bは左向き（負の向き）に動くので \(v_B < 0\) です。
$$v_B = -(L-l)\sqrt{\frac{m_A k}{m_B(m_A+m_B)}}$$

初めにばねが持っていた弾性エネルギーが、2つの物体の運動エネルギーに変わります。これがエネルギー保存則です。また、全体としては外から力を受けていないので、2つの物体の運動量を合計したものは常にゼロのままです。これが運動量保存則です。この2つのルールを連立方程式として解くことで、それぞれの物体の速度がわかります。

ばねが自然長に戻ったときの速度は、
\(v_A = (L-l)\sqrt{\displaystyle\frac{m_B k}{m_A(m_A+m_B)}}\), \(v_B = -(L-l)\sqrt{\displaystyle\frac{m_A k}{m_B(m_A+m_B)}}\)
となります。\(v_A\) が正、\(v_B\) が負となり、それぞれが内側に向かって動くという物理的な状況と一致しています。また、質量の逆比で速度が分配されていることもわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
重心の座標の定義式を書くだけの問題です。

この設問における重要なポイント

• 2物体の重心の座標の公式を正しく覚えていること。

具体的な解説と立式
質量 \(m_A\), \(m_B\) の物体がそれぞれ位置 \(x_A\), \(x_B\) にあるとき、その重心の座標 \(x_G\) は、
$$x_G = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B}$$

この設問は定義式を記述するものであり、これ以上の計算はありません。

2つの物体の「真ん中」にあたる重心の位置は、それぞれの物体の「質量 × 位置」を足し合わせて、全体の質量で割ることで計算できます。これは公式そのものです。

重心の座標は \(x_G = \displaystyle\frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B}\) です。これは重心の定義そのものです。

問(4)

思考の道筋とポイント
物体Aと物体B、それぞれについて運動方程式を立てます。各物体にはたらく力は、ばねからの弾性力のみです。

この設問における重要なポイント

• 物体AとBを別々の物体として考える。
• ばねの伸びが \(X\) のとき、ばねが物体を引く力の大きさは \(kX\)。
• 物体Aにはたらく力は右向き（正）、物体Bにはたらく力は左向き（負）であることに注意する。

具体的な解説と立式
ばねの伸びが \(X\) のとき、ばねは両端の物体を大きさ \(kX\) の力で引きます。

• 物体Aについて:
  • はたらく力: ばねから右向き（正の向き）に大きさ \(kX\) の力を受ける。
  • 運動方程式: \(m_A a_A = kX\)
• 物体Bについて:
  • はたらく力: ばねから左向き（負の向き）に大きさ \(kX\) の力を受ける。
  • 運動方程式: \(m_B a_B = -kX\)

この設問は運動方程式を立てるものであり、これ以上の計算はありません。

物体Aと物体Bは、それぞればねに引っ張られて運動します。ニュートンの法則 \(ma=F\) に従って、それぞれの物体について「質量 × 加速度 = 力」という式を立てます。このとき、ばねが物体を引く力の向きに注意が必要です。

運動方程式は、Aについては \(m_A a_A = kX\)、Bについては \(m_B a_B = -kX\) となります。2物体にはたらく力の大きさが等しく、向きが逆になっていることが確認できます。

問(5)

思考の道筋とポイント
問(4)で立てた2つの運動方程式を用いて、相対加速度 \(a = a_B – a_A\) とばねの伸び \(X\) の関係式を導きます。その式を、単振動の基本形式 \(Ma=-kX\) と比較することで、質量に相当する \(M\)（換算質量）と角振動数 \(\omega\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 問(4)の結果から \(a_A\) と \(a_B\) を求め、\(a = a_B – a_A\) に代入する。
• 得られた式を \(Ma=-kX\) の形に整理する。

具体的な解説と立式
問(4)の結果から、
$$a_A = \frac{kX}{m_A}$$
$$a_B = -\frac{kX}{m_B}$$
これらを相対加速度の定義式 \(a = a_B – a_A\) に代入します。
$$a = \left(-\frac{kX}{m_B}\right) – \left(\frac{kX}{m_A}\right)$$

上の式を整理して、\(Ma=-kX\) の形を目指します。
$$
\begin{aligned}
a &= -\left(\frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B}\right)kX \\[2.0ex]
a &= -\left(\frac{m_A+m_B}{m_A m_B}\right)kX
\end{aligned}
$$
この式の両辺に \(\displaystyle\frac{m_A m_B}{m_A+m_B}\) を掛けると、
$$\left(\frac{m_A m_B}{m_A+m_B}\right)a = -kX$$
この式を \(Ma=-kX\) と比較すると、質量に相当する \(M\) は、
$$M = \frac{m_A m_B}{m_A+m_B}$$
この \(M\) は換算質量と呼ばれます。
次に、角振動数 \(\omega\) を求めます。単振動の式 \(a = -\omega^2 X\) と、導出した \(a = -\left(\displaystyle\frac{m_A+m_B}{m_A m_B}\right)kX\) を比較します。
$$\omega^2 = \frac{k(m_A+m_B)}{m_A m_B}$$
これは \(\omega^2 = k/M\) とも書けます。したがって、角振動数 \(\omega\) は、
$$\omega = \sqrt{\frac{k(m_A+m_B)}{m_A m_B}}$$

2つの物体の動きを直接追いかけるのは大変なので、代わりに「2つの物体がどれだけ離れたり近づいたりするか」という相対的な動きに注目します。それぞれの運動方程式を組み合わせることで、この相対的な動きが、あたかも「換算質量」という特別な質量を持つ1つの物体が単振動しているかのように記述できることがわかります。この見方から、振動の周期などを計算できます。

質量に相当する \(M\) は換算質量 \(\displaystyle\frac{m_A m_B}{m_A+m_B}\) であり、角振動数 \(\omega\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{k(m_A+m_B)}{m_A m_B}}\) です。これは二体問題における既知の重要な結果です。

問(6)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) の関数として、ばねの伸び \(X\) と物体Aの位置 \(x_A\) を求めます。

• \(X(t)\): 相対運動が角振動数 \(\omega\) の単振動であることから求めます。初期条件（\(t=0\) で \(X=0\)）と振幅を考慮します。
• \(x_A(t)\): 重心が静止していること（\(x_G\)が一定）と、\(X\) と \(x_A\), \(x_B\) の関係式を連立して求めます。

この設問における重要なポイント

• 相対運動は、振幅 \(A = L-l\)、角振動数 \(\omega\) の単振動。
• \(t=0\) で \(X=0\) であり、その後 \(X\) は負（縮む）になるので、\(X(t) = -A\sin(\omega t)\) の形になる。
• 重心は初めの位置から動かない。

具体的な解説と立式
1. \(X(t)\) を求める
相対運動は単振動であり、その方程式は \(X(t) = A\cos(\omega t + \phi)\) または \(A\sin(\omega t + \phi)\) と書けます。

• 振幅: 手をはなしたときの伸びが \(L-l\) なので、振幅は \(A = L-l\)。
• 初期条件: \(t=0\) でばねは自然長なので \(X(0)=0\)。この瞬間、物体は内側に向かって動いているので、ばねは縮み始めます（\(X\) は負になる）。

\(X(0)=0\) を満たすのは \(\sin\) 型です。また、\(t>0\) で \(X<0\) となるためには、係数が負である必要があります。
したがって、
$$X(t) = -(L-l)\sin(\omega t)$$
2. \(x_A(t)\) を求める
重心 \(x_G\) は動きません。任意の時刻 \(t\) において、
$$x_G = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A+m_B} \quad \cdots ④$$
また、ばねの伸びの定義から、
$$X = x_B – x_A – l \quad \cdots ⑤$$
式④から \(x_B\) を、式⑤から \(X\) を使って \(x_A\) を求めます。
式④より: \(x_B = \displaystyle\frac{(m_A+m_B)x_G – m_A x_A}{m_B}\)
これを式⑤に代入します。
$$X = \frac{(m_A+m_B)x_G – m_A x_A}{m_B} – x_A – l$$

この式を \(x_A\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m_B X &= (m_A+m_B)x_G – m_A x_A – m_B x_A – m_B l \\[2.0ex]
m_B X &= (m_A+m_B)x_G – (m_A+m_B)x_A – m_B l \\[2.0ex]
(m_A+m_B)x_A &= (m_A+m_B)x_G – m_B X – m_B l \\[2.0ex]
x_A &= x_G – \frac{m_B}{m_A+m_B}(X+l)
\end{aligned}
$$
ここに \(X(t) = -(L-l)\sin(\omega t)\) を代入します。
$$x_A(t) = x_G – \frac{m_B}{m_A+m_B}\{l – (L-l)\sin(\omega t)\}$$

ばねの伸び縮み \(X\) は、単純なサインカーブを描きます。振幅は最初の伸び \(L-l\) で、\(t=0\) で伸びがゼロになることから、\(X = -(L-l)\sin(\omega t)\) となります。
一方、物体Aの位置を知るには、もう一つの情報が必要です。それは「全体の重心は動かない」という事実です。重心の位置を表す式と、ばねの伸びを表す式を連立方程式として解くことで、物体Aの位置 \(x_A\) を時刻の関数として求めることができます。

時刻 \(t\) の関数として、
\(X(t) = -(L-l)\sin(\omega t)\)
\(x_A(t) = x_G – \displaystyle\frac{m_B}{m_A+m_B}\{l – (L-l)\sin(\omega t)\}\)
となります。\(t=0\) で \(X=0\)、\(x_A = x_G – \frac{m_B l}{m_A+m_B}\) となり、物理的な状況と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則:
  • 核心: 2物体を一つの系として見たとき、水平方向には外力が作用しないため、系の全運動量は常に保存されます。特に、初めに系全体が静止していた場合、全運動量は常にゼロです (\(m_A \vec{v_A} + m_B \vec{v_B} = \vec{0}\))。
  • 理解のポイント: この法則は、2物体の速度の関係を縛る強力な条件式を与えます。(2)では、この法則があるからこそ、2つの未知数（\(v_A, v_B\)）を求めることができます。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 系にはたらく力は、保存力であるばねの弾性力（内力）のみです。摩擦などの非保存力が仕事をしないため、系の力学的エネルギー（2物体の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和）は常に保存されます。
  • 理解のポイント: (2)で運動量保存則と連立して速度を求める際に不可欠です。初めの弾性エネルギーが、運動の過程で2物体の運動エネルギーに変換されていく様子を定量的に記述します。
• 相対運動と換算質量:
  • 核心: 2物体の相対運動（一方から見たもう一方の運動）だけを取り出すと、その運動は、質量が「換算質量 \(M = \frac{m_A m_B}{m_A+m_B}\)」である単一の物体が、同じばねで単振動する運動と数学的に等価になります。
  • 理解のポイント: (5)で導出するこの考え方は、二体問題を単体問題に帰着させるための非常に強力なテクニックです。複雑に見える2物体の運動も、「重心の運動（この場合は静止）」と「換算質量による単振動」という2つの単純な運動の重ね合わせとして理解できることを示しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 天体の二体問題: 2つの星が互いの万有引力によって運動する問題。万有引力も内力なので、運動量と（角運動量も）保存されます。相対運動を考えることで、惑星の軌道問題を解くことができます。
  • 衝突問題: 2物体の衝突も、内力のみがはたらく短時間の現象とみなせば、運動量保存則が適用できます。
  • 台の上での物体の運動: なめらかな床の上の台の上で、物体がばねや摩擦で運動する問題。水平方向には外力がないため、台と物体の系で運動量保存則が成り立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系全体に外力ははたらくか？: まず、考察する系（この場合は2物体）を定め、その系に対して外力がはたらかない方向（この場合は水平方向）を見つけます。その方向では運動量保存則が使えます。
  2. 非保存力は仕事をするか？: 摩擦や空気抵抗など、エネルギーを散逸させる非保存力が仕事をしていないかを確認します。していなければ、力学的エネルギー保存則が使えます。
  3. 重心の運動はどうなるか？: 外力がはたらかない場合、重心は等速直線運動をします。特に初速がゼロなら、重心は動きません。これは運動を拘束する強力な条件になります。
  4. 相対座標は有効か？: 2つの物体が相互作用しながら運動している場合、重心座標と相対座標を導入することで、問題が「重心の運動」と「相対運動」に分離され、見通しが良くなることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 保存則の適用範囲の誤解:
  • 誤解: 2つの物体を別々に考え、それぞれの物体でエネルギー保存則を立てようとしてしまう。
  • 対策: エネルギー保存則や運動量保存則は、複数の物体を含む「系」全体に対して適用する法則です。ばねの弾性力は、物体Aにとっては仕事をする力ですが、系全体で見れば内力です。個々の物体に対しては、運動方程式（\(ma=F\)）を立てるのが基本です。
• 換算質量の意味の誤解:
  • 誤解: 換算質量\(M\)を、2つの質量の合計や平均のようなものだと考えてしまう。
  • 対策: 換算質量は、あくまで「相対運動」を記述する際に現れる、計算上の便宜的な質量です。実際の物体の質量とは異なります。\(M = (1/m_A + 1/m_B)^{-1}\) という形から、質量の「逆数の和の逆数」であり、2つの質量のどちらよりも小さい値になることを理解しておきましょう。
• 単振動の初期位相の決定ミス:
  • 誤解: (6)で、\(t=0\)で\(X=0\)だからといって、安易に \(X(t) = (L-l)\sin(\omega t)\) と置いてしまう。
  • 対策: 単振動の式を立てるときは、\(t=0\)での位置だけでなく、その後の運動の向き（速度の符号）も考慮する必要があります。\(t=0\)で\(X=0\)の後、ばねは縮む（\(X\)が負になる）ので、グラフは原点を通って負の方向に下がるサインカーブ、すなわち \(-\sin\) 型になると判断します。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 重心と相対座標の図示: 2つの物体A, Bとは別に、重心Gの位置と、相対座標の原点（例えばA）を図に描き加えると、\(x_A, x_B, x_G, X\) の関係性が視覚的に整理しやすくなります。
  • エネルギーのやり取りのイメージ: 運動の過程で、「ばねの弾性エネルギー」と「Aの運動エネルギー」「Bの運動エネルギー」の間で、エネルギーがどのように移り変わっていくかをイメージします。両端で運動エネルギーが0になり弾性エネルギーが最大に、中心で弾性エネルギーが0になり運動エネルギーが最大になる様子を捉えます。
  • 時間変化のグラフ: (6)のように、\(X\)や\(x_A\)の時間変化をグラフに描いてみることは、運動の全体像を把握する上で非常に有効です。\(X\)が単純な単振動であるのに対し、\(x_A\)は単振動と等速直線運動（重心の運動、この場合は静止）の重ね合わせになっていることがわかります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量保存則と力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: (2)で2つの未知数（\(v_A, v_B\)）を求める必要があるため、2つの独立した方程式が必要です。系に外力がなく、非保存力が仕事をしないという条件から、この2つの保存則が最も強力なツールとして選ばれます。
  • 適用根拠: ニュートンの第2法則（運動方程式）と第3法則（作用・反作用の法則）から導かれる普遍的な法則です。
• 運動方程式 (\(m_A a_A = kX\), etc.):
  • 選定理由: (5)で相対運動の性質を調べるため。各物体の加速度を力の源泉（ばねの伸び\(X\)）と結びつけ、それらを組み合わせることで相対加速度の式を導出できます。
  • 適用根拠: 個々の物体の運動のダイナミクスを記述するための基本法則。
• 単振動の式 (\(Ma=-kX\)):
  • 選定理由: (5), (6)で相対運動の周期的性質（角振動数）や時間変化を記述するため。この形に帰着させることで、単振動に関する豊富な知識（周期、変位の式など）を応用できます。
  • 適用根拠: 2物体の運動方程式から数学的に導出された、相対運動が満たすべき方程式。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 初期エネルギー:
   • 戦略: 弾性エネルギーの公式を適用。
   • フロー: \(U = \frac{1}{2}k(\text{伸び})^2 = \frac{1}{2}k(L-l)^2\)。
2. (2) 自然長での速度:
   • 戦略: ①運動量保存則、②力学的エネルギー保存則を連立。
   • フロー: \(m_A v_A + m_B v_B = 0\) と \(\frac{1}{2}k(L-l)^2 = \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2\) を解き、\(v_A, v_B\) を求める。
3. (3) 重心座標:
   • 戦略: 重心の定義式を記述。
   • フロー: \(x_G = (m_A x_A + m_B x_B) / (m_A+m_B)\)。
4. (4) 運動方程式:
   • 戦略: 各物体にはたらく弾性力を特定し、\(ma=F\)を立てる。
   • フロー: A: \(m_A a_A = kX\), B: \(m_B a_B = -kX\)。
5. (5) 相対運動の解析:
   • 戦略: (4)から\(a_A, a_B\)を求め、\(a=a_B-a_A\)に代入。\(Ma=-kX\)の形に整理する。
   • フロー: \(a = -(\frac{k}{m_A}+\frac{k}{m_B})X\) \(\rightarrow\) \(M = (1/m_A+1/m_B)^{-1}\)。\(a=-\omega^2 X\) と比較し \(\omega\) を求める。
6. (6) 位置の時間関数:
   • 戦略: ①相対運動\(X\)を単振動の式で表す。②重心が不変であることと\(X\)の定義式を連立し、\(x_A\)を求める。
   • フロー: \(X(t) = -(L-l)\sin(\omega t)\)。\(x_A = x_G – \frac{m_B}{m_A+m_B}(X+l)\) に代入する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認: 速度、加速度、力の向きを座標軸の正負と照らし合わせ、符号を慎重に扱いましょう。(2)や(4)で力の向きを間違えると、以降の計算がすべてずれてしまいます。
• 文字式の整理: (2)や(5)のように、多くの文字を含む計算では、共通因数でくくる、分数を整理するなど、式をできるだけシンプルな形に保ちながら計算を進めることが重要です。特に換算質量の部分は、\(\frac{1}{M} = \frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_B}\) の形で覚えておくと計算が楽になる場合があります。
• 連立方程式の処理: (2)や(6)のように、複数の未知数を含む連立方程式を解く際には、どの変数を消去し、どの変数で表すか、という見通しを立ててから計算を始めるとスムーズです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 対称性の確認: もし \(m_A = m_B = m\) ならどうなるか？
  • (2)の速度は \(v_A = (L-l)\sqrt{k/2m}\), \(v_B = -(L-l)\sqrt{k/2m}\) となり、速さが等しく向きが逆になります。
  • (5)の換算質量は \(M = m/2\)、角振動数は \(\omega = \sqrt{2k/m}\) となります。
  • このように、物理的に対称な状況を設定して検算することで、式の妥当性を確認できます。
• 極端な場合を考える: もし \(m_B\) が非常に大きい（壁のようなもの）ならどうなるか？
  • \(M = \frac{m_A m_B}{m_A+m_B} \approx \frac{m_A m_B}{m_B} = m_A\)。
  • \(\omega = \sqrt{\frac{k(m_A+m_B)}{m_A m_B}} \approx \sqrt{\frac{k m_B}{m_A m_B}} = \sqrt{k/m_A}\)。
  • これは、質量\(m_A\)の物体が壁につながれたばねで単振動する状況と一致し、結果が妥当であることがわかります。

問題62 (東北大改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、地球の周りを回る円運動と、地球を貫くトンネル内での単振動、そして万有引力による位置エネルギーと仕事の関係をテーマにしています。万有引力に関する様々な側面を総合的に問う問題です。
この問題の核心は、万有引力の法則を正しく理解し、運動の状況に応じて適切に適用することです。特に、地球内部での万有引力の変化（ガウスの法則の応用）と、力が変化する場合の仕事や位置エネルギーの計算が重要なポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「万有引力」とその応用です。円運動、単振動、仕事とエネルギーといった複数の分野にまたがる総合的な理解が求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 万有引力の法則: 2つの質点間に働く引力の大きさは、質量の積に比例し、距離の2乗に反比例します (\(F = G\frac{Mm}{r^2}\))。
2. 円運動の運動方程式: 円運動する物体には、中心に向かう向心力が必要です。運動方程式は \(m\frac{v^2}{r} = F_{向心力}\) となります。
3. 単振動: 物体にはたらく復元力が、つりあいの位置からの変位に比例するとき（\(F=-Kx\)）、物体は単振動します。
4. 仕事とエネルギー: 万有引力は保存力であり、位置エネルギーを定義できます。万有引力がする仕事は、位置エネルギーの変化として計算できます (\(W = -\Delta U\))。また、力が距離によって変化する場合、その仕事は \(F-r\) グラフの面積で求めることができます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、地球の外部での万有引力を考え、円運動の運動方程式を立てて速さや周期を求めます（(1)）。
2. 次に、地球の内部での万有引力の特殊な性質を理解し、それが復元力となって単振動を引き起こすことを示します（(2)）。
3. 最後に、万有引力がする仕事を、位置エネルギーの定義、または力が距離によって変化することを利用して計算し、仕事と運動エネルギーの関係から速さを求めます（(3)）。

問(1a)

思考の道筋とポイント
万有引力の法則の公式 \(F = G\frac{M_1 M_2}{r^2}\) を適用します。ここで、2物体間の距離 \(r\) が地球の中心から小球までの距離であることに注意します。

この設問における重要なポイント

• 万有引力は、物体の中心間の距離で計算する。
• 地球の中心から小球までの距離は \(R+h\)。

具体的な解説と立式

• 地球の質量: \(M\)
• 小球の質量: \(m\)
• 中心間の距離: \(r = R+h\)

万有引力の法則より、力の大きさ \(F_1\) は、
$$F_1 = G\frac{Mm}{(R+h)^2}$$

公式に代入するだけであり、これ以上の計算はありません。

万有引力の大きさは、公式「万有引力定数 × (質量1) × (質量2) ÷ (中心間距離)²」で計算できます。地球の中心から小球までの距離は、地球の半径\(R\)と高さ\(h\)を足した \(R+h\) になります。

万有引力の大きさは \(F_1 = G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\) です。これは公式通りの基本的な結果です。

問(1b)

思考の道筋とポイント
小球は、(1a)で求めた万有引力 \(F_1\) を向心力として円運動しています。円運動の運動方程式を立てて、速さ \(V\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 円運動の向心力は、万有引力によって供給される。
• 円運動の運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = F\) を正しく立てる。

具体的な解説と立式

• 小球の質量: \(m\)
• 速さ: \(V\)
• 円運動の半径: \(r = R+h\)
• 向心力: \(F_1 = G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\)

円運動の運動方程式は、
$$m\frac{V^2}{R+h} = G\frac{Mm}{(R+h)^2}$$

この式を \(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{V^2}{R+h} &= G\frac{M}{(R+h)^2} \\[2.0ex]
V^2 &= \frac{GM}{R+h}
\end{aligned}
$$
\(V>0\) なので、
$$V = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$$

小球が円を描いて飛び去らずに回り続けられるのは、地球が万有引力で常に中心方向に引っ張っているからです。この「円運動に必要な力（向心力）」と「万有引力」が等しいという式を立てることで、小球の速さを計算できます。

速さは \(V = \sqrt{\displaystyle\frac{GM}{R+h}}\) です。これは人工衛星の速さ（第一宇宙速度）の一般式であり、軌道半径が大きいほど速さが遅くなるという、物理的に妥当な結果です。

問(1c)

思考の道筋とポイント
周期とは、円軌道を1周するのにかかる時間のことです。距離（円周）を速さで割ることで求められます。

この設問における重要なポイント

• 周期の定義: \(T = (\text{円周の長さ}) / (\text{速さ})\)
• 円周の長さは \(2\pi r = 2\pi(R+h)\)。

具体的な解説と立式

• 円周の長さ: \(2\pi(R+h)\)
• 速さ: \(V = \sqrt{\displaystyle\frac{GM}{R+h}}\)

周期 \(T_1\) は、
$$T_1 = \frac{2\pi(R+h)}{V}$$

この式に(1b)で求めた \(V\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= \frac{2\pi(R+h)}{\sqrt{\frac{GM}{R+h}}} \\[2.0ex]
&= 2\pi(R+h) \sqrt{\frac{R+h}{GM}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}
\end{aligned}
$$

周期は1周する時間のことです。円周の長さを、(1b)で求めた速さで割れば、1周にかかる時間が計算できます。

周期は \(T_1 = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{(R+h)^3}{GM}}\) です。この \(T_1^2 \propto (R+h)^3\) という関係は、ケプラーの第3法則として知られており、妥当な結果です。

問(2a)

思考の道筋とポイント
地球の密度が一様であることを利用して、地球全体の質量 \(M\) と、半径 \(r\) の球内部の質量 \(M’\) をそれぞれ密度 \(\rho\) を用いて表し、その比を計算します。

この設問における重要なポイント

• 地球の密度 \(\rho\) は一定。
• 質量 = 密度 × 体積
• 球の体積の公式: \(V = \frac{4}{3}\pi (\text{半径})^3\)

具体的な解説と立式
地球の密度を \(\rho\) とします。

• 地球全体の質量 \(M\) と体積 \(V_{total}\):
  $$M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \quad \cdots ①$$
• 半径 \(r\) の球内部の質量 \(M’\) と体積 \(V’\):
  $$M’ = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \quad \cdots ②$$

式②を式①で割ることで、密度\(\rho\)を消去します。
$$
\begin{aligned}
\frac{M’}{M} &= \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3} \\[2.0ex]
\frac{M’}{M} &= \frac{r^3}{R^3}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$M’ = M\frac{r^3}{R^3}$$

地球の密度はどこでも同じなので、「質量」は「体積」に比例します。また、球の「体積」は「半径の3乗」に比例します。したがって、「質量」は「半径の3乗」に比例することになります。この比例関係を使って、地球全体の質量\(M\)から、内部の小さい球の質量\(M’\)を計算します。

\(M’ = M\displaystyle\frac{r^3}{R^3}\) が示されました。これは問題文で与えられた関係式そのものです。

問(2b)

思考の道筋とポイント
地球内部(\(r<R\))での万有引力は、半径\(r\)の球の質量\(M’\)が中心に集まったものとして計算できる、という問題文の指示に従います。

この設問における重要なポイント

• 地球内部では、自分より内側にある質量からの引力のみを考えればよい。
• 万有引力の公式 \(F = G\frac{M’m}{r^2}\) に、(2a)で求めた\(M’\)を代入する。

具体的な解説と立式
地球の中心から距離\(r\)の位置にある小球にはたらく万有引力 \(F_2\) は、質量 \(M’\) の物体から受ける引力に等しいので、
$$F_2 = G\frac{M’m}{r^2}$$
ここに、(2a)で求めた \(M’ = M\displaystyle\frac{r^3}{R^3}\) を代入します。
$$F_2 = G\frac{(M\frac{r^3}{R^3})m}{r^2}$$

この式を整理します。
$$
\begin{aligned}
F_2 &= G\frac{Mm}{r^2}\frac{r^3}{R^3} \\[2.0ex]
&= \frac{GMm}{R^3}r
\end{aligned}
$$

地球の内部にいるとき、万有引力は外側にいるときとは少し違った振る舞いをします。自分より外側の地殻からの引力は、うまく打ち消し合ってゼロになります。そのため、自分より内側にある部分の質量だけを考えればよくなります。(2a)で計算した内側の質量を使って、万有引力の公式を適用します。

地球内部での万有引力は \(F_2 = \displaystyle\frac{GMm}{R^3}r\) となります。これは、力が中心からの距離\(r\)に比例することを示しています。これはフックの法則 \(F=kx\) と同じ形であり、小球が単振動することを示唆しています。

問(2c)

思考の道筋とポイント
(2b)で求めた万有引力 \(F_2\) が復元力となって、小球は単振動します。運動方程式を立て、単振動の基本形式 \(ma = -Kx\) と比較して角振動数を求め、周期を計算します。

この設問における重要なポイント

• 地球内部での万有引力が復元力となる。
• 運動方程式を立て、\(a = -\omega^2 r\) の形に変形する。

具体的な解説と立式
地球の中心を原点とし、中心から離れる向きを正とすると、万有引力（復元力）は常に中心向き（負の向き）にはたらくので、その大きさは \(F_2 = \displaystyle\frac{GMm}{R^3}r\) です。
運動方程式 \(ma=F\) は、
$$ma = -\frac{GMm}{R^3}r$$

この式を加速度 \(a\) について解きます。
$$a = -\frac{GM}{R^3}r$$
これは単振動の加速度の式 \(a = -\omega^2 r\) と同じ形です。係数を比較すると、
$$\omega^2 = \frac{GM}{R^3}$$
$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$$
したがって、周期 \(T_2\) は、
$$T_2 = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

(2b)で、地球の中心に近づくほど引かれる力が弱まり、中心からの距離に比例することがわかりました。これは、ばねが自然長からの距離に比例した力で引き戻すのと同じ形です。したがって、トンネル内の小球は、ばねにつながれたおもりのように単振動します。その周期を、運動方程式から計算します。

周期は \(T_2 = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R^3}{GM}}\) です。これは、地表すれすれを飛ぶ人工衛星の周期（(1c)で\(h=0\)とした場合）と一致します。これは偶然ではなく、地球内部の単振動と地表の円運動が同じ周期を持つという、よく知られた興味深い事実です。

問(3a)

思考の道筋とポイント
万有引力がする仕事は、位置エネルギーの変化で計算するのが簡単です。万有引力による位置エネルギーの公式 \(U = -G\frac{Mm}{r}\) を用いて、始点Hと終点Aでの位置エネルギーを求め、その差から仕事を計算します。

この設問における重要なポイント

• 保存力がする仕事: \(W = – \Delta U = U_{始点} – U_{終点}\)
• 万有引力による位置エネルギーの公式: \(U(r) = -G\frac{Mm}{r}\)

具体的な解説と立式

• 始点H: 地球中心からの距離は \(r_H = R+h\)。
  位置エネルギー: \(U_H = -G\frac{Mm}{R+h}\)
• 終点A: 地球中心からの距離は \(r_A = R\)。
  位置エネルギー: \(U_A = -G\frac{Mm}{R}\)

万有引力がする仕事 \(W_1\) は、
$$W_1 = U_H – U_A$$

$$
\begin{aligned}
W_1 &= \left(-G\frac{Mm}{R+h}\right) – \left(-G\frac{Mm}{R}\right) \\[2.0ex]
&= GMm\left(\frac{1}{R} – \frac{1}{R+h}\right) \\[2.0ex]
&= GMm\left(\frac{(R+h)-R}{R(R+h)}\right) \\[2.0ex]
&= \frac{GMmh}{R(R+h)}
\end{aligned}
$$

万有引力のような保存力がする仕事は、「（スタート地点の）位置エネルギー – （ゴール地点の）位置エネルギー」で計算できます。それぞれの地点での位置エネルギーを公式から求め、引き算をします。

仕事 \(W_1\) は \(\displaystyle\frac{GMmh}{R(R+h)}\) です。物体が引力の向きに移動しているので、仕事は正の値となり、妥当です。

問(3b)

思考の道筋とポイント
点A（地表）から中心Oまで落下する間に万有引力がする仕事を求めます。この区間では、万有引力の大きさが距離\(r\)に比例して変化します（\(F_2 = \frac{GMm}{R^3}r\)）。力が一定でないため、仕事の計算には積分、または \(F-r\) グラフの面積を利用します。

この設問における重要なポイント

• 地球内部では、万有引力は \(F_2 \propto r\) と変化する。
• 力が変化する場合の仕事は、\(F-r\) グラフの面積に等しい。

具体的な解説と立式
仕事 \(W_2\) は、\(r=R\) から \(r=0\) までの間に力 \(F_2\) がする仕事です。
\(F-r\) グラフを考えると、\(F_2\) は \(r\) に比例する直線なので、グラフは原点を通る直線になります。
仕事 \(W_2\) は、このグラフの \(r=0\) から \(r=R\) までの面積（三角形の面積）に等しくなります。

• 底辺: \(R\)
• 高さ（\(r=R\)での力）: \(F_2(R) = \frac{GMm}{R^3}R = \frac{GMm}{R^2}\)

したがって、仕事 \(W_2\) は、
$$W_2 = \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ})$$

$$
\begin{aligned}
W_2 &= \frac{1}{2} \times R \times \frac{GMm}{R^2} \\[2.0ex]
&= \frac{GMm}{2R}
\end{aligned}
$$

地表から中心に向かうとき、万有引力は一定ではなく、中心に近づくにつれて弱くなっていきます。このように力が変化する場合、仕事は単純な「力×距離」では計算できません。力の大きさをグラフに描くと三角形になるので、その面積を求めることで、仕事の大きさを計算します。

仕事 \(W_2\) は \(\displaystyle\frac{GMm}{2R}\) です。これも引力の向きへの移動なので、仕事は正となり妥当です。

問(3c)

思考の道筋とポイント
点Hから中心Oまでの全区間について、「仕事と運動エネルギーの関係」を考えます。小球には万有引力のみが仕事をするので、全仕事は \(W_1 + W_2\) です。これが運動エネルギーの変化に等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 仕事と運動エネルギーの関係: \(\Delta K = W_{total}\)
• 初めの状態（点H）では速さ0。
• 全仕事は、(3a)と(3b)で求めた仕事の和。

具体的な解説と立式

• 初めの運動エネルギー: \(K_H = 0\)
• 終わりの運動エネルギー: \(K_O = \frac{1}{2}mv^2\)
• 全仕事: \(W_{total} = W_1 + W_2\)

仕事と運動エネルギーの関係より、
$$\frac{1}{2}mv^2 – 0 = W_1 + W_2$$

この式に \(W_1, W_2\) を代入し、\(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{GMmh}{R(R+h)} + \frac{GMm}{2R} \\[2.0ex]
\frac{1}{2}v^2 &= \frac{GMh}{R(R+h)} + \frac{GM}{2R} \\[2.0ex]
v^2 &= \frac{2GMh}{R(R+h)} + \frac{GM}{R} \\[2.0ex]
v^2 &= \frac{GM}{R}\left(\frac{2h}{R+h} + 1\right) \\[2.0ex]
v^2 &= \frac{GM}{R}\left(\frac{2h + (R+h)}{R+h}\right) \\[2.0ex]
v^2 &= \frac{GM(R+3h)}{R(R+h)}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$v = \sqrt{\frac{GM(R+3h)}{R(R+h)}}$$

物体がされた仕事の分だけ、物体の運動エネルギーは増加します。スタート（点H）からゴール（中心O）までに万有引力がした仕事の合計は、(3a)と(3b)で計算しました。この仕事の合計が、中心Oでの運動エネルギーに等しい、という式を立てて速さ\(v\)を求めます。

速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{GM(R+3h)}{R(R+h)}}\) です。\(h=0\) の場合、\(v=\sqrt{GM/R}\) となり、これは地表からトンネルに飛び込んだ場合の速さとして妥当な値です。

問(3d)

思考の道筋とポイント
地球内部(\(r<R\))での万有引力による位置エネルギーを求めます。位置エネルギーは、基準点（無限遠）からその点まで、外力が万有引力に逆らってする仕事に等しいです。しかし、この計算は高校範囲では複雑なので、ここでは「保存力がする仕事は位置エネルギーの減少分に等しい」という関係を利用します。

この設問における重要なポイント

• \(U(r) – U_A = -W_{A \rightarrow r}\)
• \(W_{A \rightarrow r}\) は、地表Aから距離\(r\)の点まで万有引力がする仕事。
• この仕事は、\(F_2-r\)グラフの面積（台形の面積）で計算できる。

具体的な解説と立式
地表A(\(r=R\))での位置エネルギーは \(U_A = -G\displaystyle\frac{Mm}{R}\) です。
中心から距離\(r\)の点での位置エネルギーを \(U(r)\) とします。
この2点間の位置エネルギーの差は、その間に万有引力がした仕事 \(W_{A \rightarrow r}\) の符号を逆にしたものに等しいです。
$$U(r) – U_A = -W_{A \rightarrow r}$$
仕事 \(W_{A \rightarrow r}\) は、(3b)と同様に \(F_2-r\) グラフの面積から求めます。これは、\(r\) から \(R\) までの区間の面積（台形）です。

• 上底（\(r\)での力）: \(F_2(r) = \frac{GMm}{R^3}r\)
• 下底（\(R\)での力）: \(F_2(R) = \frac{GMm}{R^2}\)
• 高さ: \(R-r\)

$$W_{A \rightarrow r} = \frac{1}{2}\left(\frac{GMm}{R^3}r + \frac{GMm}{R^2}\right)(R-r)$$
したがって、
$$U(r) = U_A – W_{A \rightarrow r}$$

この式を整理します。
$$
\begin{aligned}
W_{A \rightarrow r} &= \frac{GMm}{2R^3}(r+R)(R-r) \\[2.0ex]
&= \frac{GMm}{2R^3}(R^2-r^2)
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
U(r) &= U_A – W_{A \rightarrow r} \\[2.0ex]
&= -G\frac{Mm}{R} – \frac{GMm}{2R^3}(R^2-r^2) \\[2.0ex]
&= -G\frac{Mm}{R} – \frac{GMm}{2R} + \frac{GMm}{2R^3}r^2 \\[2.0ex]
&= -\frac{3GMm}{2R} + \frac{GMm}{2R^3}r^2 \\[2.0ex]
&= \frac{GMm}{2R^3}(r^2 – 3R^2)
\end{aligned}
$$

位置エネルギーは、「その場所まで物体を運ぶのに必要な仕事」のようなものです。地表Aでの位置エネルギーはわかっているので、そこから中心に向かって距離\(r\)の場所まで移動する間に、万有引力がどれだけ仕事をするかを計算します。その仕事の分だけ、位置エネルギーが変化します。

位置エネルギーは \(U(r) = \displaystyle\frac{GMm}{2R^3}(r^2 – 3R^2)\) です。

• \(r=R\)（地表）を代入すると、\(U(R) = \frac{GMm}{2R^3}(R^2 – 3R^2) = -G\frac{Mm}{R}\) となり、地表での位置エネルギーの公式と一致します。
• \(r=0\)（中心）を代入すると、\(U(0) = -\frac{3GMm}{2R}\) となり、地表より低いエネルギー値となります。これは物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力の法則:
  • 核心: 2つの質点（または球対称の物体）が及ぼしあう引力は、質量の積に比例し、中心間距離の2乗に反比例します (\(F = G\frac{Mm}{r^2}\))。これは地球の「外側」での運動（(1)や(3a)）を考える際の基本です。
  • 理解のポイント: この法則が、円運動の向心力や、位置エネルギーの源泉となります。
• 地球内部での万有引力（ガウスの法則の帰結）:
  • 核心: 地球内部（中心からの距離\(r<R\)）では、小球にはたらく万有引力は、小球より内側にある質量（半径\(r\)の球）だけを考えればよく、その大きさは中心からの距離\(r\)に比例します (\(F_2 = \frac{GMm}{R^3}r\))。
  • 理解のポイント: この性質が、トンネル内の運動が単振動になる理由です。力が\(r\)に比例するため、復元力として働き、運動方程式が \(ma = -Kr\) の形になります。この法則は問題文で与えられていますが、非常に重要な概念です。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則）:
  • 核心: 万有引力は保存力なので、力学的エネルギー（運動エネルギー＋万有引力による位置エネルギー）は保存されます。また、より一般的に、万有引力がした仕事は物体の運動エネルギーを変化させます (\(\Delta K = W\))。
  • 理解のポイント: (3)のように、力が距離によって複雑に変化する区間（地球の外側と内側）をまたいで運動を解析する場合、各区間で力がした仕事を計算し、それらを足し合わせることで、全体のエネルギー変化を追うことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 人工衛星のエネルギー問題: 衛星が円運動から楕円運動に移る、あるいは別の円軌道に移る際に必要なエネルギーを問う問題。各軌道での力学的エネルギーを計算し、その差を考えます。
  • 惑星探査機のスイングバイ: 惑星の引力を利用して探査機を加速・減速させる問題。惑星との相対運動におけるエネルギー保存を考えます。
  • 一様な電荷を持つ球内外の電場: 万有引力とクーロン力は同じ逆2乗則に従うため、一様に帯電した球が作る電場も、球の外側では \(1/r^2\) に、内側では \(r\) に比例します。この問題の考え方は、電磁気学にも直接応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体はどこにあるか？（球の外か内か）: 万有引力の法則は、物体が引力源となる球の外にあるか内にあるかで、力の形が劇的に変わります。まず、この位置関係を明確にすることが第一歩です。
  2. 運動の形は何か？（円運動か、単振動か、落下か）:
     • 一定の軌道半径で周回 \(\rightarrow\) 円運動の運動方程式
     • 中心に向かって往復 \(\rightarrow\) 単振動の可能性を疑い、復元力が変位に比例するか確認
     • ある点から別の点へ移動 \(\rightarrow\) 仕事とエネルギーの関係
  3. エネルギーと仕事のどちらで考えるか？:
     • 位置エネルギーの式が簡単に書ける区間なら、\(W = -\Delta U\) が便利。
     • 力が距離に比例するなど、\(F-r\)グラフの面積が簡単に求まる場合は、グラフから仕事を直接計算するのも有効な手段です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 万有引力の距離\(r\)の扱い:
  • 誤解: (1a)で、距離を地表からの高さ\(h\)としてしまう (\(F \propto 1/h^2\))。
  • 対策: 万有引力は、常に2物体の「中心間」の距離で計算します。図を描いて、地球の中心Oから小球までの距離が \(R+h\) であることを視覚的に確認しましょう。
• 地球内部での力の形の誤解:
  • 誤解: 地球のトンネル内でも、万有引力は \(1/r^2\) に比例すると思い込んでしまう。
  • 対策: 「自分より外側の殻からの引力は打ち消しあう」という特殊なルールをしっかり記憶しましょう。これにより、内部では \(F \propto r\) という、ばねのような復元力になることを理解するのが鍵です。
• 仕事の計算方法:
  • 誤解: (3b)のように力が一定でない区間で、安易に「力×距離」で仕事を計算してしまう。
  • 対策: 力が距離の関数として与えられている場合、仕事は積分（高校範囲ではグラフの面積）で求めるのが原則です。\(F-r\)グラフを描いて、仕事がどの部分の面積に対応するかを考える習慣をつけましょう。
• 位置エネルギーの符号:
  • 誤解: 万有引力による位置エネルギーのマイナス符号を忘れる、または意味を理解していない。
  • 対策: 位置エネルギーの基準は無限遠点(\(U=0\))です。万有引力は引力なので、そこから有限の距離に物体を近づけると、引力に引かれてエネルギー状態は低く（安定に）なります。したがって、位置エネルギーは必ず負の値をとると理解しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 力のベクトル図: (1b)の円運動では、中心に向かう万有引力のベクトルを描くことで、向心力の役割が明確になります。
• \(F-r\)グラフの活用: この問題のように、力が距離によって変化する場合、横軸に距離\(r\)、縦軸に力\(F\)をとったグラフを描くことは非常に有効です。
  • 地球の外側(\(r>R\))では \(F \propto 1/r^2\) の曲線、内側(\(r<R\))では \(F \propto r\) の直線となります。
  • (3b)の仕事\(W_2\)は、このグラフの三角形の面積として一目でわかります。
• \(U-r\)グラフ（ポテンシャル曲線）のイメージ: 横軸に距離\(r\)、縦軸に位置エネルギー\(U\)をとったグラフをイメージすると、運動の様子がより深く理解できます。
  • \(r>R\)では \(U \propto -1/r\)、\(r<R\)では \(U \propto r^2 + C\) の放物線状になります。
  • 物体は、このポテンシャル曲線上を、力学的エネルギー一定の水平線を保ちながら転がるボールのように運動します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の運動方程式:
  • 選定理由: (1b)で、小球が「円運動」という特定の運動形態をとっているため。この方程式は、円運動を維持するための力の条件を記述します。
  • 適用根拠: 物体が一定の速さで円軌道を描いているという物理的状況。
• 運動方程式 (\(ma=-Kr\)) からの周期計算:
  • 選定理由: (2c)で「周期」を求めるため。周期は運動の時間スケールであり、運動の時間変化を記述する運動方程式から導出するのが基本です。
  • 適用根拠: 地球内部での万有引力が \(F \propto r\) の復元力となり、運動が単振動になるという物理的状況。
• 仕事とエネルギーの関係:
  • 選定理由: (3)で、始点と終点が決まっている運動での「速さ」を求めるため。運動の途中経過を追う必要がなく、始点と終点の状態と、その間にされた仕事だけで計算できるため、非常に強力です。
  • 適用根拠: 運動方程式を積分したものであり、力が変化する場合でも適用できる普遍的な法則。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 地球外の円運動:
   • 戦略: ①万有引力の公式を適用 → ②円運動の運動方程式を立て、①を代入して速さ\(V\)を求める → ③周期の定義から\(T_1\)を求める。
   • フロー: \(F_1 = G\frac{Mm}{(R+h)^2}\) \(\rightarrow\) \(m\frac{V^2}{R+h}=F_1\) \(\rightarrow\) \(V\)を解く \(\rightarrow\) \(T_1 = 2\pi(R+h)/V\)。
2. (2) 地球内の単振動:
   • 戦略: ①密度の関係から\(M’\)を導出 → ②地球内部での万有引力\(F_2\)を計算 → ③運動方程式を立て、\(a=-\omega^2 r\)の形から周期\(T_2\)を求める。
   • フロー: \(M’ = M(r/R)^3\) \(\rightarrow\) \(F_2 = G\frac{M’m}{r^2} = \frac{GMm}{R^3}r\) \(\rightarrow\) \(ma=-F_2\) \(\rightarrow\) \(\omega\)を求め\(T_2=2\pi/\omega\)。
3. (3) 落下運動とエネルギー:
   • 戦略: ①区間H\(\rightarrow\)Aの仕事を位置エネルギーの差から計算(\(W_1\)) → ②区間A\(\rightarrow\)Oの仕事を\(F-r\)グラフの面積から計算(\(W_2\)) → ③仕事とエネルギーの関係から速さ\(v\)を求める → ④位置エネルギーの定義から\(U(r)\)を計算する。
   • フロー: \(W_1 = U_H-U_A\) \(\rightarrow\) \(W_2 = \int_R^0 (-F_2) dr\) (面積計算) \(\rightarrow\) \(\frac{1}{2}mv^2 = W_1+W_2\) \(\rightarrow\) \(U(r) = U_A – \int_R^r F_2 dr\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• Rとrとhの区別: 半径や距離を表す文字が複数出てくるので、どの文字が何を表しているかを常に意識しましょう。特に、万有引力や位置エネルギーの公式で使う距離は、必ず「中心から」の距離\(r\)です。
• 指数の計算: \(r^2\)や\(r^3\)、\(R^2\)や\(R^3\)など、指数の計算を間違えないように慎重に行いましょう。特に(2a)や(2b)の約分で注意が必要です。
• 積分と面積: (3b)や(3d)の仕事や位置エネルギーの計算は、実質的に積分計算です。力が距離に比例するなら面積は三角形、一定なら長方形、とグラフの形をイメージすることで、計算ミスを減らせます。
• 結果の検算: (3d)で求めた\(U(r)\)に\(r=R\)を代入して、地表での位置エネルギー\(-GMm/R\)と一致するかを確認する、といったセルフチェックは非常に有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2c) 周期\(T_2\): 地球内部のトンネルを往復する周期が、地表すれすれの円軌道を周回する周期\(T_1(h=0)\)と一致するという結果は、一見不思議ですが物理的に正しいです。これは、単振動と円運動が射影の関係にあることを示唆しています。
  • (3d) 位置エネルギー\(U(r)\): 地球の中心(\(r=0\))で位置エネルギーが最小値(\(-\frac{3GMm}{2R}\))をとり、地表(\(r=R\))に向かって放物線状に増加する、という結果は、中心に向かうほど引力が強くなる（ただし\(r\)に比例）という状況と整合しています。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (1b)の速さ\(V\)の式で\(h=0\)とすると、\(V=\sqrt{GM/R}\)となり、これは地表での第一宇宙速度の式と一致します。
  • (3a)の仕事\(W_1\)で、もし\(h\)が非常に小さい(\(h \ll R\))場合、\(R(R+h) \approx R^2\)となり、\(W_1 \approx \frac{GMm}{R^2}h = (mg)h\)となります（\(g=GM/R^2\)は地表の重力加速度）。これは、地表付近では力が一定とみなせる場合の「仕事＝力×距離」の式と一致し、結果の妥当性を示しています。

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問題63 (東北大)