「重要問題集」徹底解説（26〜30問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題26 (北海道大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねで打ち出された小球が、固定された、あるいは自由に動く斜面台を上る運動を扱います。力学的エネルギー保存則、運動方程式、非慣性系における運動、運動量保存則など、力学の重要概念が複合的に問われる総合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、前半の「台固定」パートと後半の「台自由」パートに大別されます。

• 前半 (問1): 台が固定されているため、小球の運動のみを考えます。「力学的エネルギー保存則」と「運動方程式」を基本に解き進めます。
• 後半 (問2): 台が自由に動ける「2体問題」です。問題の誘導に従い、床から見た「静止系」での台の運動と、加速する台から見た「非慣性系」での小球の運動を組み合わせて解きます。非慣性系では「慣性力」の導入が鍵となります。

問(1) ア: ばね定数

思考の道筋とポイント
小球がばねから打ち出され、最高点Bに達するまでの一連の運動を考えます。この過程で仕事をする非保存力（摩擦や空気抵抗）はないため、系全体の力学的エネルギーは保存されます。ばねを縮めた初期状態と、最高点Bに達した最終状態とで力学的エネルギー保存則の式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則が適用できる条件を判断する。
• エネルギーの基準点（ここでは床の高さ）を明確にする。
• 各状態におけるエネルギー（運動エネルギー、位置エネルギー、弾性エネルギー）を正しく記述する。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を、ばねを \(\displaystyle\frac{h}{4}\) 縮めた状態（初状態）と、小球が最高点Bに達した状態（終状態）との間で適用します。床の高さを位置エネルギーの基準（\(U=0\)）とします。

• 初状態: 小球は静止しているので運動エネルギーは0。床の高さなので位置エネルギーは0。ばねは \(\displaystyle\frac{h}{4}\) 縮んでいるので、弾性エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}k(\frac{h}{4})^2\)。
• 終状態: 最高点Bで速さが0になったので運動エネルギーは0。高さ\(h\)の点にいるので位置エネルギーは\(mgh\)。ばねは小球から離れているので弾性エネルギーは0。

したがって、力学的エネルギー保存則の式は以下のようになります。
$$(\text{初状態のエネルギー}) = (\text{終状態のエネルギー})$$
$$0 + 0 + \frac{1}{2}k\left(\frac{h}{4}\right)^2 = 0 + mgh + 0$$

立式した \(\displaystyle\frac{1}{2}k\left(\frac{h}{4}\right)^2 = mgh\) を \(k\) について解きます。
$$\frac{1}{2}k \frac{h^2}{16} = mgh$$
$$\frac{kh^2}{32} = mgh$$
両辺を \(h\) で割り（\(h \neq 0\)）、\(k\) について整理します。
$$k = \frac{32mg}{h}$$

「エネルギーは形を変えるだけで、全体の量は変わらない」というのが力学的エネルギー保存則です。最初、ばねが持っていた「バネのエネルギー」が、最終的に小球の「高さのエネルギー（位置エネルギー）」にすべて変換された、と考えます。この関係を数式にして、ばねの硬さ（ばね定数\(k\)）を求めます。

ばね定数は \(k = \displaystyle\frac{32mg}{h}\) です。単位も[N/m]となり、物理的に妥当です。

問(1) イ: 点Aでの小球の速さ

思考の道筋とポイント
小球が点Aを通過する瞬間と、最高点Bに達した瞬間との間で、再び力学的エネルギー保存則を適用します。点Aは床の高さにあるため、位置エネルギーは0です。

この設問における重要なポイント

• 考察する2つの状態を適切に選ぶ。ここでは点Aと点Bが適しています。
• 力学的エネルギー保存則を正しく立式する。

具体的な解説と立式
点Aを通過するときの小球の速さを \(v_A\) とします。点Aと最高点Bとの間で力学的エネルギー保存則を立てます。

• 点Aの状態: 速さは \(v_A\)、高さは0。エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_A^2 + 0\)。
• 点Bの状態: 速さは0、高さは\(h\)。エネルギーは \(0 + mgh\)。

したがって、力学的エネルギー保存則の式は、
$$\frac{1}{2}mv_A^2 + 0 = 0 + mgh$$

立式した \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_A^2 = mgh\) を \(v_A\) について解きます。
両辺の \(m\) を消去します。
$$\frac{1}{2}v_A^2 = gh$$
$$v_A^2 = 2gh$$
速さ \(v_A\) は正なので、
$$v_A = \sqrt{2gh}$$

点Aで小球が持っていた「速さのエネルギー（運動エネルギー）」が、坂を上るにつれて「高さのエネルギー（位置エネルギー）」に変換され、頂点Bで運動エネルギーが0になった、と考えます。このエネルギーの変換を式にして、点Aでの速さを求めます。

点Aでの速さは \(v_A = \sqrt{2gh}\) です。これは、高さ\(h\)から物体を自由落下させたときに地面に達する速さと同じであり、エネルギー保存則から導かれる典型的な結果です。

問(1) ウ、エ、あ、オ

思考の道筋とポイント
小球が台の斜面を運動している間の運動を解析します。働く力は「重力」と「垂直抗力」のみです。力を斜面に平行・垂直に分解し、運動方程式と力のつりあいの式を立てます。斜面上の運動は等加速度運動になるため、運動学の公式を用いて時間などを求めます。

この設問における重要なポイント

• 力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解する。
• 運動方向（斜面平行）には運動方程式、運動しない方向（斜面垂直）には力のつりあいの式を立てる。
• 等加速度運動の公式を適切に選択して用いる。

具体的な解説と立式
(ウ) 加速度の大きさ
小球に働く重力 \(mg\) を、斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解します。運動方向（斜面を上る向き）と逆向きに \(mg\sin\theta\) が働くため、斜面を上る向きを正とすると、運動方程式は \(ma = -mg\sin\theta\)。よって加速度は \(a = -g\sin\theta\)。
加速度の大きさは、この絶対値なので \(|a| = g\sin\theta\)。

(エ) 点AからBまでかかる時間
初速度 \(v_A = \sqrt{2gh}\)、加速度 \(a = -g\sin\theta\) で、終速度が0になるまでの時間 \(t_1\) を、等加速度運動の公式 \(v = v_0 + at\) を用いて求めます。
$$0 = \sqrt{2gh} + (-g\sin\theta)t_1$$

(あ) 垂直抗力の向き
垂直抗力は面が物体を垂直に押す力です。図2で斜面から小球を垂直に押し上げる向きは ② です。

(オ) 垂直抗力の大きさ
斜面に垂直な方向では、力がつり合っています。垂直抗力を \(N_1\) とすると、重力の垂直成分とつりあうので、
$$N_1 = mg\cos\theta$$

(エ)の計算:
$$g\sin\theta \cdot t_1 = \sqrt{2gh}$$
$$t_1 = \frac{\sqrt{2gh}}{g\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta}\sqrt{\frac{2gh}{g^2}} = \frac{1}{\sin\theta}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

(ウ) 坂を上るボールが遅くなるのは、重力が引き戻すからです。この力から加速度がわかります。(エ) 初めの速さと加速度がわかれば、公式で止まるまでの時間が計算できます。(あ,オ) 小球は斜面にめり込まないので、垂直方向の力はつり合っています。このつりあいから垂直抗力が求まります。

(ウ) \(g\sin\theta\)、(エ) \(\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\sqrt{\frac{2h}{g}}\)、(あ) ②、(オ) \(mg\cos\theta\)。これらは斜面上の運動における基本的な結果です。

問(2) カ、い、キ: 2体問題の運動方程式

思考の道筋とポイント
ここからは台が自由に動ける2体問題です。問題の誘導に従い、台の運動は静止系（床）から、小球の運動は加速系（台）から考えます。

この設問における重要なポイント

• (カ) 作用・反作用の法則を元に、台を動かす力を特定し、静止系で運動方程式を立てる。
• (い,キ) 加速系（台）から小球を見る。慣性力を導入し、小球に働くすべての力をx軸（斜面）方向に分解して運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
(カ) 台の水平方向の運動方程式
台を動かす水平力は、小球から受ける垂直抗力\(N\)の反作用の水平成分です。この反作用は、台を右向きに \(N\sin\theta\) の力で押します。台の加速度を右向きに\(\beta\)とすると、運動方程式は、
$$M\beta = N\sin\theta$$

(い) 慣性力の向き
台は右向きに加速度\(\beta\)で運動しているので、台の上から小球を見ると、逆向き、すなわち「左向き」に慣性力が働きます。図2の選択肢では ③ です。

(キ) 台から見た小球のx軸方向の運動方程式
台から見た小球に働く力（重力、垂直抗力、慣性力）をx軸方向（斜面上向きが正）に分解します。

• 重力のx成分: \(-mg\sin\theta\)
• 慣性力\(m\beta\)（左向き）のx成分: \(-m\beta\cos\theta\)

台から見た小球のx軸方向の加速度を\(\alpha\)とすると、運動方程式は、
$$m\alpha = -mg\sin\theta – m\beta\cos\theta$$

（立式のみが問われているため、計算過程はありません）

(カ) \(M\beta = N\sin\theta\)、(い) ③、(キ) \(m\alpha = -mg\sin\theta – m\beta\cos\theta\)。これらは2体問題を解くための連立方程式の一部となります。

問(2) ク: 台から見た小球のx軸方向の加速度

思考の道筋とポイント
未知数\(\alpha, \beta, N\)に対して、方程式がまだ足りません。台から見た小球のy軸方向（斜面に垂直な方向）の力のつりあいを考え、もう一つ式を立てます。これまでに得た3つの式を連立させて、\(\alpha\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• y軸方向（斜面に垂直）の力のつりあいの式を立てる。
• 3つの連立方程式を解く。ここでは\(N\)と\(\beta\)を消去することが目標。

具体的な解説と立式
まず、台から見た小球のy軸方向（斜面に垂直上向きが正）の力のつりあいの式を立てます。
$$N + m\beta\sin\theta – mg\cos\theta = 0 \quad \rightarrow \quad N = mg\cos\theta – m\beta\sin\theta$$
これと(カ) \(M\beta = N\sin\theta\)、(キ) \(m\alpha = -mg\sin\theta – m\beta\cos\theta\) を連立させます。
まず\(N\)を消去して\(\beta\)を求めます。
$$M\beta = (mg\cos\theta – m\beta\sin\theta)\sin\theta = mg\sin\theta\cos\theta – m\beta\sin^2\theta$$
$$\beta(M+m\sin^2\theta) = mg\sin\theta\cos\theta \quad \rightarrow \quad \beta = \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$$
次に、この\(\beta\)を(キ)の式を\(\alpha\)について解いた \(\alpha = -g\sin\theta – \beta\cos\theta\) に代入します。
$$\alpha = -g\sin\theta – \left( \frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta} \right)\cos\theta$$

\(\alpha\)の式を通分して整理します。
$$\alpha = -g\sin\theta \left( 1 + \frac{m\cos^2\theta}{M+m\sin^2\theta} \right)$$
$$\alpha = -g\sin\theta \left( \frac{M+m\sin^2\theta+m\cos^2\theta}{M+m\sin^2\theta} \right)$$
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を用いて、
$$\alpha = -g\sin\theta \left( \frac{M+m}{M+m\sin^2\theta} \right) = -\frac{(M+m)g\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}$$

小球と台、両方の運動を記述する式を3つ立てました。これらは未知数（\(\alpha, \beta, N\)）を含む連立方程式です。数学の計算と同じように、一つの式を代入して文字を消去していくことで、最終的に求めたい加速度\(\alpha\)を計算します。計算は複雑ですが、\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を使うと式がきれいになるのがポイントです。

台から見た小球の加速度は \(\alpha = -\displaystyle\frac{(M+m)g\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}\) です。負号は斜面を減速して上ることを意味します。もし台の質量\(M\)が非常に大きいと、\(\alpha \approx -g\sin\theta\) となり、台が固定されている場合の結果に近づき、物理的に妥当です。

問(2) ケ: 小球が到達する最高点の高さ

思考の道筋とポイント
台の上から見た小球の運動は、初速度\(v_A\)、加速度\(\alpha\)の等加速度直線運動です。最高点では、台から見た小球の速度は0になります。この条件を使って、等加速度運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) から、斜面を上る距離を求め、その距離から高さを計算します。

この設問における重要なポイント

• 台から見た相対運動として捉える。台に対する初速度は、床に対する初速度\(v_A\)と同じです。
• 最高点では「相対速度」が0になる。
• 斜面上の距離と高さの関係 (\(高さ = 距離 \times \sin\theta\)) を使う。

具体的な解説と立式
台から見た小球の運動を考えます。

• 初速度: \(v_0 = v_A = \sqrt{2gh}\)
• 終速度: \(v = 0\)
• 加速度: \(\alpha = -\displaystyle\frac{(M+m)g\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}\)
• 移動距離: \(s\) （斜面に沿った距離）

等加速度運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2\alpha s\) を用います。
$$0^2 – (\sqrt{2gh})^2 = 2\alpha s$$
求めたいのは最高点の高さ\(h’\)であり、\(h’ = s \cdot \sin\theta\) の関係があるので、\(s = \displaystyle\frac{h’}{\sin\theta}\)。
$$-2gh = 2\alpha \frac{h’}{\sin\theta}$$
これを\(h’\)について解くと、
$$h’ = -\frac{gh\sin\theta}{\alpha}$$

立式した \(h’ = -\displaystyle\frac{gh\sin\theta}{\alpha}\) に、(ク)で求めた\(\alpha\)を代入します。
$$h’ = -gh\sin\theta \div \left( -\frac{(M+m)g\sin\theta}{M+m\sin^2\theta} \right)$$
$$h’ = gh\sin\theta \times \frac{M+m\sin^2\theta}{(M+m)g\sin\theta}$$
\(gh\sin\theta\) が約分されて、
$$h’ = \frac{M+m\sin^2\theta}{M+m}h$$

台の上からボールの運動を見ると、これもただの等加速度運動です。初めの速さと、減速の度合い（加速度\(\alpha\)）が分かっているので、「後の速さの2乗 – 初めの速さの2乗 = 2 × 加速度 × 距離」の公式から、坂をどれだけ上ったかが計算できます。最後に、その距離を高さに変換すれば、答えが求まります。

最高点の高さは \(h’ = \displaystyle\frac{M+m\sin^2\theta}{M+m}h\) です。
分母分子を比較すると、\(M+m\sin^2\theta < M+m\) なので、\(h’ < h\) となります。これは、小球のエネルギーの一部が台を動かすエネルギーに使われたため、元の高さ\(h\)までは到達できないという直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 摩擦や空気抵抗のような非保存力が仕事をしない限り、運動エネルギーと位置エネルギー（重力・弾性力）の和は一定に保たれるという法則です。問(1)のア、イで、ばねが縮んだ状態、点Aを通過する状態、最高点Bに達した状態の関係性を解き明かす鍵となります。
  • 理解のポイント:
    1. 適用条件の確認: 問題文から「なめらか」「空気抵抗は無視」などのキーワードを読み取り、この法則が使えるか判断します。
    2. 状態の選定: どの2つの状態でエネルギーを比較するかを戦略的に選びます。未知数が少なく、情報が多い状態を選ぶのがコツです。
    3. エネルギーの種類の列挙: 各状態で、運動エネルギー、重力の位置エネルギー、弾性エネルギーがそれぞれ存在するか、0になるかを正確に把握します。
• 運動方程式 (\(ma=F\)) と力の分解:
  • 核心: 物体の運動状態の変化（加速度）と、それに作用する力とを結びつける基本法則です。問(1)のウ、オ、そして問(2)のカ、キ、クの導出において中心的な役割を果たします。
  • 理解のポイント: この問題のように斜面が関わる場合、力を「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解することが定石です。運動する方向（平行方向）と、運動しない方向（垂直方向、力のつりあい）に分けて考えることで、立式が容易になります。
• 非慣性系と慣性力:
  • 核心: 加速する座標系（この問題では動く台）から物体の運動を観測する際に導入される「見かけの力」です。問(2)の「台に乗った座標系から見る」という視点変更で必須となります。
  • 理解のポイント:
    1. 導入のメリット: 床から見ると複雑な運動（小球も台も動く）が、台から見ると「斜面を上るだけの一次元運動」として単純化できます。
    2. 慣性力のルール: 向きは「観測系の加速度と逆向き」、大きさは「観測される物体の質量 \(m\) × 観測系の加速度 \(\beta\)」です。これを忘れずに加えることで、非慣性系でも運動方程式が立てられます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばね付きの振り子や衝突: ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに変換され、さらに別の物体との相互作用に発展する問題。エネルギー保存則と運動量保存則を段階的に適用します。
  • 動く斜面上の物体: 前の問題（25.）と同様、台と物体が相互作用する2体問題。静止系と加速系の両方からアプローチできるスキルが求められます。
  • 単振動との融合: 斜面上の運動が、特定の条件下で単振動になる問題。力の復元性（\(F=-kx\)の形）を見抜くことが鍵になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の設定: 「台が固定されている」のか「自由に動ける」のかで、考えるべき対象（小球だけか、小球と台の両方か）が根本的に変わります。まずこの区別を明確にします。
  2. エネルギーは保存されるか？: 問題文に「なめらか」「抵抗は無視」とあれば、力学的エネルギー保存則が有力な武器になります。「ばね」が出てきたら、弾性エネルギーを考慮したエネルギー保存則をまず疑います。
  3. 視点はどこか？: 「床から見る（静止系）」のか「台から見る（加速系）」のか。問題に誘導があればそれに従い、なければどちらが考えやすいかを判断します。「相対運動」を問われたり、運動が複雑だったりする場合は、加速系（慣性力）の視点が有効なことが多いです。
  4. 連立方程式の構造を見抜く: 問(2)のように、未知数（\(\alpha, \beta, N\)）と、それらを結ぶ方程式（運動方程式やつりあいの式）が複数出てくる場合、どの式を組み合わせればどの未知数が消去できるか、という計算の見通しを立てることが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギー保存則の適用範囲:
  • 誤解: 問(2)の台が動く場合でも、安易に小球だけの力学的エネルギー保存則を立ててしまう。
  • 対策: 台が動く場合、小球が台を押すことで台に仕事をします（台の運動エネルギーが増加する）。このため、小球単体の力学的エネルギーは保存されません。「小球と台を合わせた系全体のエネルギー」は保存されますが、垂直抗力のような内力がする仕事の計算が複雑になるため、この問題では運動方程式で解くのが賢明です。
• 加速度の符号:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、力の向きと加速度の正の向きを混同し、符号を間違える。特に問(1)ウや問(2)キで、減速する運動の加速度を正としてしまう。
  • 対策: 最初に「どちらの向きを正とするか」を座標軸で明確に定義し、すべての力と加速度をその座標軸に従って正負の符号付きで記述する習慣をつける。
• 慣性力の分解ミス:
  • 誤解: 問(2)キ、クで、水平方向の慣性力 \(m\beta\) を斜面方向と垂直方向に分解する際、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) を取り違える。
  • 対策: 必ず図を描き、慣性力のベクトルと斜面がなす角度が\(\theta\)であることを確認し、分解先の成分が辺となる直角三角形をイメージする。斜面方向が\(\cos\theta\)、垂直方向が\(\sin\theta\)となることを丁寧に確認する。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 問(2)クの導出のように、3つの文字式を連立させる際に、代入ミスや移項ミス、符号ミスを犯す。
  • 対策: どの式をどの式に代入するのか、どの文字を消去したいのか、という目的を明確にする。計算過程を省略せず、一行ずつ丁寧に書き下す。特に、マイナス符号の分配法則には細心の注意を払う。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • エネルギーの推移図: 問(1)で、ばねの弾性エネルギー \(\rightarrow\) 点Aでの運動エネルギー \(\rightarrow\) 点Bでの位置エネルギー、というエネルギーの形態変化を流れ図のようにイメージすると、力学的エネルギー保存則の立式がスムーズになります。
  • 力の分解図: 問(1)オや問(2)キ、クで、重力や慣性力を斜面に平行・垂直な成分に分解する図は必須です。矢印の始点を小球にそろえ、破線で力の分解を示すと、どの力がどの方向に関与するかが一目瞭然になります。
  • 作用・反作用の図: 問(2)カで、小球が台を押す力（反作用）を図示することが重要です。「小球に働く垂直抗力\(N\)」と「台に働く反作用\(N\)」を、それぞれ別の物体のフリーボディダイアグラムとして描くと、混同を防げます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸の明記: 特に問(2)では、床から見た静止系の座標軸と、台に乗った加速系の座標軸（x, y軸）が異なります。自分が今どちらの座標系で考えているのか、図に明確に描き込むことが混乱を防ぎます。
  • 選択肢との照合: 問(1)あ、問(2)いのように、力の向きを選択肢から選ぶ問題では、自分の描いた力の矢印がどの選択肢に対応するかを慎重に確認します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 「ばね」「高さの変化」「速さ」といったキーワードがあり、かつ「なめらか」で非保存力が仕事をしないため。エネルギーというスカラー量で扱えるため、ベクトルの分解が不要で計算が楽なことが多い。
  • 適用根拠: 問(1)の状況設定が、この法則の適用条件を完全に満たしている。
• 運動方程式 \(ma=F\):
  • 選定理由: 「加速度」や「力（垂直抗力）」そのものを求めたい場合。
  • 適用根拠: 問(1)ウ、オでは加速度と力を、問(2)では台と小球の間の力学的関係を記述するために必要不可欠。エネルギー保存則だけでは、途中の力や加速度は分からない。
• 等加速度運動の公式 (\(v=v_0+at\), \(v^2-v_0^2=2ax\)):
  • 選定理由: 運動方程式を解いて加速度が一定値だと分かった後、時間、距離、速度の関係を知りたい場合。
  • 適用根拠: 問(1)エでは「時間」を、問(2)ケでは「距離」を求めるために、それぞれ最適な公式を選択して適用する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【問(1) 台固定】
   • ア, イ (エネルギー): 初状態（ばね圧縮）と終状態（点B）、および中間状態（点A）の間で力学的エネルギー保存則を立式。
   • ウ, オ (力): 斜面上の小球に働く力を図示・分解。斜面平行方向で運動方程式、垂直方向で力のつりあいの式を立式。
   • エ (運動学): イとウの結果（初速度と加速度）を使い、等加速度運動の公式で時間を計算。
2. 【問(2) 台自由】
   • カ (台の運動): 静止系で考える。台に働く水平力（小球からの反作用）を特定し、運動方程式 \(M\beta = F_x\) を立式。
   • い, キ (小球の相対運動): 加速系（台）で考える。慣性力を導入し、小球に働く全力をx軸（斜面）方向に分解して運動方程式 \(m\alpha = F’_x\) を立式。
   • ク (連立計算): 未知数\(\alpha, \beta, N\)を求めるため、追加の式として「小球のy軸方向の力のつりあい」を立式。得られた3式を連立させて解き、\(\alpha\)を求める。
   • ケ (最高点): \(\alpha\)が求まったので、台から見た小球の運動は等加速度運動として扱える。初速度\(v_A\)と終速度0、加速度\(\alpha\)を使い、等加速度運動の公式で斜面の移動距離を求め、高さを計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 問題文で与えられた単位（kg, m, s, rad）と、求める量の単位（N/m, m/s, Nなど）が対応しているか意識する。次元解析は検算の基本です。
• 分数の整理: 問(2)ク、ケの計算では、複雑な分数式が出てきます。通分や約分を慎重に行う。特に、分母に分数が入る繁分数の整理は、分母分子に同じ数を掛けるなど、手順を確立しておく。
• 三角関数の公式: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) は、複雑な式を劇的に簡単にする魔法の公式です。三角関数を含む計算では、常にこの公式が使えないかアンテナを張っておく。
• 代入は最後に: 問(2)ク、ケのように、複数のステップを経て最終結果を出す問題では、具体的な式（長い式）の代入はできるだけ後回しにし、まずは文字のまま計算を進める方が、見通しが良くなり、計算ミスも減らせます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (ク) 加速度\(\alpha\): もし台の質量\(M\)が無限大なら、台は動かないはず。このとき、\(\alpha\)の式で \(M \rightarrow \infty\) の極限をとると、\(\alpha \rightarrow -g\sin\theta\) となり、問(1)ウの結果と一致します。これは、解の妥当性を示す強力な証拠です。
  • (ケ) 高さ\(h’\): \(h’ = \displaystyle\frac{M+m\sin^2\theta}{M+m}h\) という結果について考えます。
    • \(\sin^2\theta \le 1\) なので、分子 \(\le\) 分母です。したがって \(h’ \le h\) となり、元の高さには到達できないことがわかります。これは、エネルギーの一部が台の運動に使われたと考えると当然の結果です。
    • もし \(m=0\) なら、\(h’=h\)。小球がなければ台は動かず、エネルギーのロスもないので当然です。
    • もし \(M \rightarrow \infty\) なら、\(h’ \rightarrow h\)。台が動かないので、これも問(1)の状況と同じになります。
• 条件を変えて思考実験:
  • もし \(\theta=90^\circ\) ならどうなるか？ 台は水平方向に動けず、小球は真上に上がって落ちるだけです。このとき \(\sin90^\circ=1\) なので、\(h’ = \displaystyle\frac{M+m}{M+m}h = h\)。台が動かないので、元の高さまで戻れるという結果になり、これも妥当です。
  • このような思考実験は、式の正しさを多角的に検証し、物理現象への深い理解につながります。

問題27 (関西学院大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、滑車を介して糸で結ばれた2つの小物体（BとC）と、それらが乗っている斜面台（A）の運動を扱います。問題は大きく3つのパート〔A〕, 〔B〕, 〔C〕に分かれており、それぞれ台の運動条件が異なります。力学の様々な法則を複合的に適用する必要がある総合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、複数の物体が糸で連結された「連結体の運動」をテーマとしています。各パートで状況設定が異なり、それぞれに適したアプローチが求められます。

• 〔A〕 台固定: 最も基本的な設定です。BとCは一体となって同じ大きさの加速度で運動します。それぞれの物体について運動方程式を立て、連立して解くのが定石です。
• 〔B〕 台が等加速度運動: 台Aが加速度運動するため、台Aの上からBとCの運動を見ると「非慣性系」での考察となります。BとCは台Aに対して静止しているので、慣性力を考慮した上で「力のつりあい」を考えます。
• 〔C〕 すべてが自由に運動: 最も複雑な設定です。この場合も「非慣性系」のアプローチが有効ですが、系全体に水平方向の外力が働かないため、「運動量保存則（重心則）」が強力なツールとなります。

〔A〕(1) 小物体Cは上昇するか、下降するか。

思考の道筋とポイント
小物体BとCが動き出す原因となる力を比較します。Cを下に引く力はCの重力\(mg\)です。一方、Bを斜面下向きに引く力はBの重力の斜面成分\(mg\sin\theta\)です。これら2つの力の大きさを比較し、どちらが勝つかで全体の運動方向が決まります。

この設問における重要なポイント

• 系全体を動かそうとする力を特定する。
• 力の大きさを比較する。\(\sin\theta\)の値の範囲を考慮する。

具体的な解説と立式
小物体Cには、鉛直下向きに重力\(mg\)が働きます。これがCを下降させようとする力です。
小物体Bには、斜面下向きに重力の成分\(mg\sin\theta\)が働きます。これがBを滑り落とさせ、結果的にCを上昇させようとする力です。
ここで、\(\theta\)は斜面の角度なので \(0 < \theta < 90^\circ\) であり、したがって \(0 < \sin\theta < 1\) です。
よって、\(mg\sin\theta < mg\) となります。
Cを下降させようとする力(\(mg\))の方が、Cを上昇させようとする力(\(mg\sin\theta\))よりも大きいため、Cは下降し、Bは斜面を上昇します。

（定性的な比較のため、計算過程はありません）

Cを下に引っ張る力は、Cの重さ\(mg\)まるごとです。一方、Bが坂を滑り落ちようとする力は、Bの重さの一部（\(mg\sin\theta\)）だけです。\(mg\)と\(mg\sin\theta\)を比べると、必ず\(mg\)の方が大きいので、CがBを引っ張り上げる形で、Cは下に、Bは坂を上に動きます。

小物体Cは下降します。

〔A〕(2),(3) 加速度と張力

思考の道筋とポイント
小物体BとCは糸で繋がれているため、一体となって運動し、加速度の大きさは等しくなります。BとCそれぞれについて運動方程式を立て、連立させて加速度\(a\)と張力\(T\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 連結された物体の加速度の大きさは等しい。
• 各物体について、運動方向を正として運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
BとCの加速度の大きさを\(a\)、糸の張力の大きさを\(T\)とします。それぞれの運動方向を正とします。

• 小物体Cの運動方程式 (鉛直下向き正):
  $$ma = mg – T \quad \cdots ①$$
• 小物体Bの運動方程式 (斜面上向き正):
  $$ma = T – mg\sin\theta \quad \cdots ②$$

(2) 加速度 a の計算:
①式と②式の両辺をそれぞれ足し合わせることで、\(T\)を消去します。
$$2ma = (mg – T) + (T – mg\sin\theta) = mg(1 – \sin\theta)$$
$$a = \frac{g}{2}(1 – \sin\theta)$$
(3) 張力 T の計算:
求めた\(a\)を②式に代入します。
$$m \left\{ \frac{g}{2}(1 – \sin\theta) \right\} = T – mg\sin\theta$$
$$T = \frac{mg}{2}(1 – \sin\theta) + mg\sin\theta = \frac{mg – mg\sin\theta + 2mg\sin\theta}{2}$$
$$T = \frac{mg(1 + \sin\theta)}{2}$$

BとC、それぞれの物体について運動のルール（運動方程式）を立てます。この2つの式を足し算すると、やっかいな張力\(T\)が消えて、加速度\(a\)が簡単に計算できます。次に、求まった\(a\)を元の式のどちらかに代入すれば、張力\(T\)も計算できます。

(2) 加速度の大きさは \(a = \displaystyle\frac{g}{2}(1 – \sin\theta)\) です。(3) 糸の張力の大きさは \(T = \displaystyle\frac{mg}{2}(1 + \sin\theta)\) です。

〔A〕(4) 糸が台Aを押す力の水平成分

思考の道筋とポイント
滑車は、小物体Bからの糸と小物体Cからの糸の2本に引かれています。これらの力の合力が、滑車が糸から受ける力です。作用・反作用の法則により、滑車が台Aを押す力は、この合力と大きさが等しく向きが反対になります。この力の水平成分を求めます。

この設問における重要なポイント

• 滑車に働く2つの張力をベクトルとして考える。
• 2つの張力ベクトルの合力の水平成分を計算する。

具体的な解説と立式
滑車が糸から受ける力は、斜面下向きの張力\(T\)と鉛直下向きの張力\(T\)の合力です。台Aが滑車から受ける力（押される力）は、この合力の反作用です。求めたいのは、この押される力の水平成分の大きさです。これは、滑車を引く2つの張力の合力の水平成分の大きさに等しくなります。

• 張力1（Bから）の水平成分: \(T\cos\theta\)（左向き）
• 張力2（Cから）の水平成分: 0

したがって、求める力の水平成分の大きさは \(T\cos\theta\) となります。これに(3)で求めた\(T\)を代入します。
$$(\text{水平成分の大きさ}) = T\cos\theta = \frac{mg}{2}(1 + \sin\theta)\cos\theta$$

（上記で計算済み）

求める力の水平成分の大きさは \(\displaystyle\frac{mg}{2}(1 + \sin\theta)\cos\theta\) です。

〔B〕 台Aの運動

思考の道筋とポイント
台Aを右向きに加速度\(\alpha\)で運動させると、BとCが台上で静止した、という状況です。これは、台Aと同じ加速度で運動する観測者（非慣性系）から見ると、BとCに働く力（実在力＋慣性力）が完全につり合っていることを意味します。

この設問における重要なポイント

• (1) Bが静止するために必要な慣性力の向きから、台の加速度の向きを特定する。
• (2) 非慣性系でBとCの力のつりあいを考え、連立させて加速度\(\alpha\)を求める。
• (3) Bの斜面に垂直な方向の力のつりあいから抗力\(N_B\)を求める。
• (4) A,B,Cを一体とみなし、系全体の運動方程式から引く力\(F\)を求める。

具体的な解説と立式
(1) 台Aを引く力の向き
〔A〕ではBは斜面を上ろうとしました。Bを静止させるには、Bに斜面下向きの力を加える必要があります。これを水平方向の慣性力で実現するには、Bに「水平左向き」の慣性力を働かせる必要があります。慣性力の向きは台の加速度と逆なので、台Aは「水平右向き」に加速させる必要があります。よって、引く力の向きはQです。

(2) 台Aの加速度の大きさ
台A上の観測者から見ると、B, Cには左向きに大きさ\(m\alpha\)の慣性力が働きます。B, Cは静止しているので、力がつり合っています。糸の張力を\(T\)とします。

• Cの鉛直方向のつりあい: \(T = mg \quad \cdots ③\)
• Bの斜面方向のつりあい: \(T = mg\sin\theta + m\alpha\cos\theta \quad \cdots ④\)

③を④に代入すると、\(mg = mg\sin\theta + m\alpha\cos\theta\)。これを解いて、
$$\alpha = \frac{g(1-\sin\theta)}{\cos\theta}$$

(3) 小物体Bが台Aから受ける抗力の大きさ
Bの斜面に垂直な方向の力のつりあいを考えます。お手本の図cおよび解答の立式に従うと、慣性力の垂直成分は斜面から離れる向きに\(m\alpha\sin\theta\)として扱われます。
$$N_B – mg\cos\theta + m\alpha\sin\theta = 0$$
$$N_B = mg\cos\theta – m\alpha\sin\theta$$
これに求めた\(\alpha\)を代入します。
$$N_B = mg\cos\theta – m \left\{ \frac{g(1-\sin\theta)}{\cos\theta} \right\} \sin\theta = \frac{mg(1-\sin\theta)}{\cos\theta}$$

(4) 台Aを引く力の大きさを求めよ。
A, B, Cを一つの系（全質量 \(M+2m\)）と見なします。この系全体が加速度\(\alpha\)で運動しているので、運動方程式より、引く力\(F\)は、
$$F = (M+2m)\alpha = (M+2m)\frac{g(1-\sin\theta)}{\cos\theta}$$

別解：[B](3) 静止系での力のつりあい

思考の道筋とポイント
小物体Bの運動を、床から見た静止系で考えます。Bは台Aとともに水平右向きに加速度\(\alpha\)で運動しています。したがって、Bに働くすべての実在力（重力、張力、抗力）の合力は、水平右向きに\(m\alpha\)となります。特に、鉛直方向には運動していないため、鉛直方向の力の成分はつり合っています。このつりあいの式を利用します。

この設問における重要なポイント

• 静止系で運動方程式（または力のつりあい）を立てる。
• 各力を水平・鉛直方向に分解する。
• 鉛直方向の加速度が0であることに着目する。

具体的な解説と立式
床から見た小物体Bに働く力は、重力\(mg\)、糸の張力\(T\)、台からの抗力\(N_B\)の3つです。これらの力を鉛直方向に分解し、力のつりあいを考えます。上向きを正とします。

• 張力\(T\)の鉛直成分: \(T\sin\theta\)
• 抗力\(N_B\)の鉛直成分: \(N_B\cos\theta\)
• 重力\(mg\): \(-mg\)

鉛直方向の加速度は0なので、力のつりあいの式は、
$$T\sin\theta + N_B\cos\theta – mg = 0$$
ここで、[B](2)の考察から、張力\(T\)は\(mg\)に等しいことがわかっています。これを代入します。
$$mg\sin\theta + N_B\cos\theta = mg$$

立式した式を\(N_B\)について解きます。
$$N_B\cos\theta = mg – mg\sin\theta = mg(1-\sin\theta)$$
$$N_B = \frac{mg(1-\sin\theta)}{\cos\theta}$$

この別解でも、抗力の大きさは \(N_B = \displaystyle\frac{mg(1-\sin\theta)}{\cos\theta}\) となり、非慣性系で考えた結果と一致します。異なる視点から同じ結論に至ることで、解の確からしさを高めることができます。

〔C〕 台Aが自由に動ける場合

思考の道筋とポイント
台A、B、C、壁Dからなる系全体を考えます。水平方向には外力が働かないため、「水平方向の運動量保存則（重心則）」が成り立ちます。また、BとCの運動は台Aの上から「非慣性系」で考えることで、関係式を立てやすくなります。

この設問における重要なポイント

• (1) 水平方向の運動量保存則（重心則）を用いて、加速度の比を求める。
• (2) 非慣性系でBとCの運動方程式を立て、(1)の結果と連立させて加速度\(a_C\)を求める。

具体的な解説と立式
(1) 加速度の大きさの比 \(\displaystyle\frac{a_C}{a_A}\)
系全体の重心の水平位置は変化しないので、重心の水平加速度は0です。各物体の水平方向の加速度（右向き正）は、台A:\(-a_A\)、C:\(-a_A\)、B:\(-a_A + a_C\cos\theta\)。
重心則 \(\sum m_i a_{ix} = 0\) より、
$$M(-a_A) + m(-a_A + a_C\cos\theta) + m(-a_A) = 0$$
$$-(M+2m)a_A + ma_C\cos\theta = 0$$
$$\frac{a_C}{a_A} = \frac{M+2m}{m\cos\theta}$$

(2) \(a_C\) の大きさ
台A（左向き加速度\(a_A\)）の上から見ると、B,Cには右向きに慣性力\(ma_A\)が働きます。

• Cの運動方程式 (下向き正): \(ma_C = mg – T \quad \cdots ⑤\)
• Bの運動方程式 (上向き正): \(ma_C = T – mg\sin\theta + ma_A\cos\theta \quad \cdots ⑥\)

⑤+⑥より、\(2ma_C = mg(1-\sin\theta) + ma_A\cos\theta\)。
ここに(1)の関係式 \(a_A = \displaystyle\frac{m\cos\theta}{M+2m}a_C\) を代入します。
$$2ma_C = mg(1-\sin\theta) + m \left( \frac{m\cos\theta}{M+2m}a_C \right) \cos\theta$$

\(a_C\)について解きます。
$$a_C \left( 2m – \frac{m^2\cos^2\theta}{M+2m} \right) = mg(1-\sin\theta)$$
$$a_C \left( \frac{2m(M+2m) – m^2\cos^2\theta}{M+2m} \right) = mg(1-\sin\theta)$$
$$a_C = \frac{(M+2m)mg(1-\sin\theta)}{2m(M+2m) – m^2\cos^2\theta} = \frac{(M+2m)g(1-\sin\theta)}{2(M+2m) – m\cos^2\theta}$$
模範解答の \(2M+m(4-\cos^2\theta)\) とは分母が異なりますが、これは \(2(M+2m) – m\cos^2\theta = 2M+4m-m\cos^2\theta = 2M+m(4-\cos^2\theta)\) となり、同値です。

別解：[C](1) 重心の変位を用いた解法

思考の道筋とポイント
重心の「加速度」が0であることを利用する代わりに、これを積分した「変位」で考えることもできます。運動開始から時間\(t\)後の各物体の水平変位を考え、重心の水平位置が変化しない（全質量のモーメントの和が0）という式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 重心位置不変の法則を変位で表現する。
• 各物体の変位を、それぞれの加速度を用いて正しく表す。

具体的な解説と立式
運動開始から時間\(t\)後の各物体の変位を考えます。左向きを正とします。

• 台Aの変位: \(x_A = \displaystyle\frac{1}{2}a_A t^2\)
• 小物体Cの変位: \(x_C = x_A = \displaystyle\frac{1}{2}a_A t^2\)
• 小物体Bの変位: 床から見たBの水平加速度（左向き正）は \(a_{Bx} = a_A – a_C\cos\theta\)。よって変位は \(x_B = \displaystyle\frac{1}{2}(a_A – a_C\cos\theta)t^2\)。

重心位置不変の法則 \(\sum m_i x_i = 0\) より、
$$M(x_A) + m(x_B) + m(x_C) = 0$$
$$M\left(\frac{1}{2}a_A t^2\right) + m\left(\frac{1}{2}(a_A – a_C\cos\theta)t^2\right) + m\left(\frac{1}{2}a_A t^2\right) = 0$$

両辺から \(\displaystyle\frac{1}{2}t^2\) を消去します。
$$Ma_A + m(a_A – a_C\cos\theta) + ma_A = 0$$
$$(M+2m)a_A – ma_C\cos\theta = 0$$
これは本文の解法で得られた式と完全に一致します。したがって、加速度の比も同じ結果となります。
$$\frac{a_C}{a_A} = \frac{M+2m}{m\cos\theta}$$

重心則を加速度で考えても変位で考えても、本質的には同じであり、当然同じ結果が得られます。問題に応じて、より直感的に立式しやすい方を選ぶと良いでしょう。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 核心: 物体の運動（加速度）とそれに働く力とを結びつける、力学の最重要法則です。この問題のほぼ全ての設問で、運動方程式を立てることが解法の出発点となります。
  • 理解のポイント:
    1. 着目物体の明確化: どの物体についての式を立てるのかを明確にします（Bか、Cか、Aか、あるいは系全体か）。
    2. 力の完全な列挙: 着目物体に働く力を、重力、張力、抗力、慣性力など、漏れなくダブりなくすべて図示します。
    3. 座標軸と力の分解: 運動の方向に合わせて座標軸を設定し、力をその成分に分解する技術が不可欠です。
• 非慣性系と慣性力:
  • 核心: 加速する座標系（観測者）から物体の運動を見る際に導入される「見かけの力」です。〔B〕と〔C〕で、動く台Aの上からBやCの運動を考える際に中心的な役割を果たします。
  • 理解のポイント:
    1. 導入のメリット: 複雑な2体・3体の運動も、非慣性系から見ることで「静止（力のつりあい）」や「単純な直線運動」として捉え直すことができ、立式が容易になります。
    2. 慣性力のルール: 向きは「観測系の加速度と逆向き」、大きさは「観測される物体の質量 \(m\) × 観測系の加速度 \(\alpha\)」です。これを忘れずに加えることが、非慣性系で運動方程式を正しく立てるための絶対条件です。
• 運動量保存則（重心則）:
  • 核心: ある系に外力が働かない（または外力の合力が0の）方向では、その系の全運動量は一定に保たれるという法則です。〔C〕(1)のように、水平方向に外力が働かない状況で、複数の物体の運動の関係性を知る上で極めて強力なツールとなります。
  • 理解のポイント: この法則は、物体間の相互作用（内力）がどんなに複雑であっても、系全体の運動の拘束条件を与えてくれます。加速度の関係（\(\sum m_i a_i = 0\)）や変位の関係（\(\sum m_i x_i = 0\)）として利用できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内の連結体: 上下に加速するエレベーター内で、滑車を介して繋がれた物体の運動。慣性力（見かけの重力）を考慮した上で、〔A〕と同様の連結体の運動方程式を立てます。
  • 動く台の上での相対運動: なめらかな床の上の台車の上で、人が歩いたり物体が滑ったりする問題。運動量保存則と、相対速度・相対加速度の概念が鍵となります。
  • 複数の物体が絡む複雑な系: 3つ以上の物体が相互作用する問題では、個々の運動方程式だけでは解けないことが多いです。運動量保存則やエネルギー保存則といった「保存則」を組み合わせることで、解への突破口が開けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 拘束条件の確認: 「台が固定」「一定の力で引く」「自由に動く」「壁がある」など、問題文中の条件が、各物体の運動をどのように制約しているか（例：加速度が0、加速度が一定、特定の方向に動けないなど）を最初に整理します。
  2. どの視点で見るか？:
     • 静止系（床）: すべての力が実在力なので直感的ですが、運動の軌道が複雑になることがあります。
     • 加速系（動く台）: 運動が単純に見えることが多いですが、慣性力を忘れずに導入する必要があります。〔B〕のように「止まったままになった」という記述があれば、非慣性系での「力のつりあい」を考えるのが定石です。
  3. 保存則は使えないか？:
     • 運動量保存則: 系全体に外力が働かない方向はないか？（〔C〕の水平方向）
     • エネルギー保存則: 非保存力（摩擦など）が仕事をしないか？（この問題では張力が仕事をするため、個々の物体の力学的エネルギーは保存されないことに注意）

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力\(T\)の扱い:
  • 誤解: 1本の糸で繋がれた物体でも、働く張力の大きさが異なると考えてしまう。
  • 対策: 「軽くて伸びない糸」の場合、糸のどの部分でも張力の大きさは等しい、と覚える。Bを引く力とCを引く力は同じ\(T\)として立式します。
• 慣性力の向きと作用点:
  • 誤解: 慣性力の向きを加速度と同じ向きにしてしまう。また、系内のすべての物体に慣性力が働くことを見落とす（例：〔B〕でBにだけ慣性力を考え、Cを忘れる）。
  • 対策: 慣性力は「観測系の加速度と逆向き」に「観測されるすべての物体」に働くと覚える。図を描く際に、慣性力を点線の矢印で描き加える習慣をつけると、忘れにくくなります。
• 力の分解のミス:
  • 誤解: 水平方向の慣性力を斜面方向の成分に分解する際、\(\cos\theta\)と\(\sin\theta\)を取り違える。
  • 対策: 必ず大きな図を描き、分解したいベクトルと座標軸がなす角度を正確に特定する。直角三角形のどの辺がどの三角関数に対応するか、落ち着いて確認する。
• 運動量保存則の適用条件:
  • 誤解: 〔A〕や〔B〕のように、系に水平方向の外力（固定する力や引く力）が働いているのに、運動量保存則を使おうとしてしまう。
  • 対策: 運動量保存則は「外力の合力が0の方向」にのみ適用できる、という大原則を常に意識する。適用前に「この方向に外力は働いていないか？」と自問する癖をつける。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • フリーボディダイアグラム（力の矢印図）: 各物体（A, B, C）を個別に抜き出し、それに働く力をすべて矢印で描き込む。これがすべての基本です。特に、張力、抗力、慣性力など、目に見えない力を正確に図示することが重要です。
  • 座標軸の明記: 静止系で考えるのか、非慣性系で考えるのか。斜面に平行・垂直な座標軸か、水平・鉛直な座標軸か。自分が今どの座標軸で考えているのかを図に明記することで、力の分解や符号のミスを防ぎます。
  • 作用・反作用のペアを意識した図: 滑車が糸から受ける力と、糸が滑車を引く力。BがAから受ける抗力と、AがBから受ける抗力。これらをペアとして意識し、異なる物体に働く力であることを図で明確に区別する。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • お手本の図の解読: この問題のように、解答に力の分解図が示されている場合、その図が何を意味しているのかを正確に読み解くことが求められます。[B](3)のように、物理的な分解と図の表現が直感と異なる場合もあるため、図の表現を尊重し、それに沿って立式する能力も必要です。
  • ベクトル和の図示: [A](4)の滑車に働く力のように、複数の力の合力を考える際は、ベクトルの平行四辺形や三角形を描いて、合力の向きと大きさを視覚的に捉えることが有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(ma=F\):
  • 選定理由: 物体の「加速度」と「力」の関係性を記述する、力学の根幹をなす法則だから。
  • 適用根拠: 〔A〕では運動している物体の加速度を、〔B〕では静止している物体の力のつりあいを、〔C〕では複雑に運動する物体の関係性を記述するために、すべてのパートで必要となります。
• 力のつりあいの式 (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: 物体が「静止している」または「等速直線運動している」場合。
  • 適用根拠: 〔B〕で、加速する台の上から見るとBとCは「静止」しているため、慣性力を加えた上でこの式を適用します。また、〔A〕や〔B〕のBの運動で、斜面に垂直な方向には動かないため、その方向の力のつりあいを考えます。
• 運動量保存則 / 重心則:
  • 選定理由: 複数の物体が相互作用している系で、外力が働かない方向がある場合。
  • 適用根拠: 〔C〕では、系全体に水平方向の外力が働かないため、この法則が適用できます。これにより、個々の運動方程式を複雑に解くことなく、加速度の間の関係式を一つ、簡単に見つけ出すことができます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 〔A〕 台固定:
   • (1) Cの運動方向: BとCを動かそうとする力の大きさを比較。
   • (2),(3) 加速度と張力: BとCそれぞれに運動方程式を立て、連立して解く。
   • (4) 台が受ける力: 滑車に働く2つの張力のベクトル和を考え、その水平成分を計算。
2. 〔B〕 台が等加速度運動:
   • (1) 加速方向: Bが斜面上で静止するために必要な慣性力の向きから、台の加速度の向きを逆算。
   • (2) 加速度: 非慣性系（台の上）から見る。BとCは静止しているので、力のつりあいを考える。Bの斜面方向とCの鉛直方向のつりあいの式を連立し、加速度\(\alpha\)を求める。
   • (3) 抗力: Bの斜面に垂直な方向の力のつりあいの式を立て、\(\alpha\)を代入して抗力\(N_B\)を求める。（別解：静止系での鉛直方向の力のつりあいからも可能）
   • (4) 引く力: A, B, Cを一つの系とみなし、系全体の運動方程式 \(F = (M+2m)\alpha\) を立てる。
3. 〔C〕 台が自由運動:
   • (1) 加速度の比: 系全体に水平方向の外力がないため、重心則（水平方向の運動量保存）を適用し、\(a_A\)と\(a_C\)の関係式を導く。（別解：重心の変位からも可能）
   • (2) 加速度\(a_C\): 非慣性系（台の上）から見る。BとCそれぞれに運動方程式を立てる。得られた2式と、(1)で求めた比の関係式を連立させて、\(a_C\)を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の戦略:
  • 特に注意すべき点: 未知数と式の数が多くなると、やみくもに計算を始めても迷子になりやすい。
  • 日頃の練習: まずどの文字を消去したいか（例えば、問われいない張力\(T\)や抗力\(N\)）を決め、そのための最適な式の組み合わせ（足す、引く、代入する）を考えてから計算を始める。
• 三角関数の計算:
  • 特に注意すべき点: \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) は頻出。この公式を見逃すと、式が不必要に複雑なままになります。
  • 日頃の練習: 計算の最終段階で、三角関数が残っていたら、この公式が使えないか常に確認する癖をつける。
• 検算の習慣:
  • 特に注意すべき点: 複雑な計算の後は、ミスをしている可能性が高い。
  • 日頃の練習: 得られた答えについて、極端な場合を考えてみる（例：\(\theta=0^\circ, 90^\circ\)、\(M \rightarrow \infty\)など）。もし、その極端な状況での物理的に妥当な結果（例：〔A〕の結果と一致する、加速度が0になるなど）と合致すれば、計算が合っている可能性が高いです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 〔B〕(2) 加速度\(\alpha\): \(\alpha = \displaystyle\frac{g(1-\sin\theta)}{\cos\theta}\)。もし\(\theta \rightarrow 90^\circ\)なら、\(\cos\theta \rightarrow 0\)で分母が0に近づき、\(\alpha \rightarrow \infty\)となる。これは、BとCがほぼ同じ高さでつり合うため、Bを静止させるには無限に大きな加速度が必要になるという物理的状況を反映しており、妥当です。
  • 〔C〕(2) 加速度\(a_C\): もし台の質量\(M\)が無限に大きい（\(M \rightarrow \infty\)）なら、台は動かないはずです。このとき、\(a_C\)の式の分母分子を\(M\)で割って極限をとると、\(a_C \rightarrow \displaystyle\frac{g(1-\sin\theta)}{2}\) となり、これは台固定の場合〔A〕(2)の結果と一致します。この一致は、解の正しさを強く支持します。
• 別解による検証:
  • [B](3)では、非慣性系で考えた結果と、静止系で考えた結果が一致しました。このように、一つの問題を複数の視点から解き、同じ答えが得られることを確認するのは、最も確実な検算方法の一つです。物理への深い理解にもつながります。

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問題28 (愛知工大)