問題71 (山形大＋山梨大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)〜(5)の一括別解: 微積分を用いた体系的解法（波動関数による解法）
- 模範解答が「波形の平行移動」や「周期性」といった幾何学的・直感的な性質を利用して解くのに対し、別解では波の変位を表す関数 \(y(x,t)\) を数式として決定し、代入や微分（速度の導出）によって機械的に解きます。
- 設問(1)〜(5)の一括別解: 微積分を用いた体系的解法（波動関数による解法）
- 上記の別解が有益である理由
- 波動関数: 「波」を数式で表現することで、グラフが読み取りにくい中途半端な位置や時刻でも正確に変位を計算できます。
- 微分による速度導出: 媒質の速度が「変位の時間微分」であることを理解すれば、速度が最大になる位置や向きを、暗記ではなく数学的に導出できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「正弦波のグラフの読み取りと波の要素」です。波のグラフ（\(y-x\) 図）から情報を読み取り、時間経過に伴う波形の変化や媒質の運動を理解する力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の基本式: \(v = f\lambda = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) の関係が成り立ちます。
- 波のグラフの意味: \(y-x\) グラフはある瞬間の波の形（写真）を表し、\(y-t\) グラフはある一点の媒質の揺れ方（ムービー）を表します。
- 周期性: 正弦波は、空間的には波長 \(\lambda\) ごとに、時間的には周期 \(T\) ごとに同じ状態を繰り返します。
- 媒質の速度: 媒質は波とともに移動せず、その場で単振動します。振動の端で速度は \(0\)、振動の中心で速度は最大になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、グラフから振幅と波長を読み取り、2つの時刻の波形のずれから速さを絞り込みます。
- (2)(3)(5)では、波長 \(\lambda\) や周期 \(T\) の整数倍を引くことで、既知の状態（\(t=0\) のグラフ）に帰着させて変位を求めます。
- (4)では、媒質の単振動の性質に着目するか、微小時間後の波形を描いて判断します。
問(1)
思考の道筋とポイント
グラフから直接読み取れる情報（振幅、波長）と、時間経過による波の移動距離から計算できる情報（速さ、周期、振動数）があります。
特に速さについては、波の周期性により複数の可能性（候補）が出てくるため、問題文の条件「\(3\,\text{cm}/\text{s}\) より速く \(15\,\text{cm}/\text{s}\) より遅い」を使って一つに絞り込む必要があります。
この設問における重要なポイント
- 振幅 \(A\): 山の高さ（または谷の深さ）です。
- 波長 \(\lambda\): 山から山、または谷から谷までの距離です。あるいは「上がって下がって戻る」1セットの長さです。
- 波の移動: \(10\,\text{s}\) 間に波形がどれだけ平行移動したかを考えます。波は \(x\) 軸正方向に進んでいることに注意します。
具体的な解説と立式
グラフ（実線）より、振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) を読み取ります。
$$
\begin{aligned}
A &= 1\,\text{cm} \\[2.0ex]
\lambda &= 80\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
次に速さ \(v\) を求めます。
時刻 \(t=0\,\text{s}\) の実線の波形が、\(t=10\,\text{s}\) 後に点線の波形になりました。
実線の山（例えば \(x=20\,\text{cm}\)）に着目すると、これが \(x\) 軸正方向に進んで点線の山（例えば \(x=40\,\text{cm}\)）に重なったと考えられます。
最短の移動距離は \(40 – 20 = 20\,\text{cm}\) ですが、波は1波長 \(\lambda = 80\,\text{cm}\) 進んでも同じ形になるため、一般に移動距離 \(\Delta x\) は整数 \(n\) (\(n=0, 1, 2, \dots\)) を用いて次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 20 + n\lambda \\[2.0ex]
&= 20 + 80n \quad [\text{cm}]
\end{aligned}
$$
この移動に \(10\,\text{s}\) かかったので、速さ \(v\) の候補は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{\Delta x}{10} \\[2.0ex]
&= \frac{20 + 80n}{10} \\[2.0ex]
&= 2 + 8n \quad [\text{cm}/\text{s}]
\end{aligned}
$$
ここで、問題文の条件 \(3 < v < 15\) を満たす \(n\) を探します。
- \(n=0\) のとき: \(v = 2\,\text{cm}/\text{s}\) （不適）
- \(n=1\) のとき: \(v = 10\,\text{cm}/\text{s}\) （適する）
- \(n=2\) のとき: \(v = 18\,\text{cm}/\text{s}\) （不適）
よって、速さは \(v = 10\,\text{cm}/\text{s}\) に決まります。
これを用いて、振動数 \(f\) と周期 \(T\) を計算します。
波の基本式 \(v = f\lambda\) より、
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda}
\end{aligned}
$$
また、周期 \(T\) は振動数の逆数です。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{f}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
- 周期と振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{1}{f}\)
- 速さの定義: \(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
速さ \(v = 10\,\text{cm}/\text{s}\) と波長 \(\lambda = 80\,\text{cm}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{10}{80} \\[2.0ex]
&= 0.125\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{0.125} \\[2.0ex]
&= 8\,\text{s}
\end{aligned}
$$
（または \(T = \displaystyle\frac{\lambda}{v} = \frac{80}{10} = 8\,\text{s}\)）
グラフの縦軸の最大値が振幅、横軸の「波1つ分の長さ」が波長です。
速さを決める際、波の写真は「同じ形が繰り返される」ため、少し動いたのか、ぐるっと一周してさらに動いたのか、写真だけでは区別がつきません。そこで「速さはこの範囲だよ」というヒントを使って、正しい移動距離を特定しました。今回は「波1つ分(\(80\,\text{cm}\))と \(20\,\text{cm}\) 進んだ」と考えると速さが遅すぎて条件に合わず、「波1つ分(\(80\,\text{cm}\))と \(20\,\text{cm}\) 進んだ」と考えるのも速すぎてダメでした。結局、「\(20\,\text{cm}\) だけ進んだ」ケースが \(2\,\text{cm}/\text{s}\)、「\(100\,\text{cm}\) 進んだ」ケースが \(10\,\text{cm}/\text{s}\) となり、条件に合うのは後者でした。
振幅 \(1\,\text{cm}\)、波長 \(80\,\text{cm}\)、速さ \(10\,\text{cm}/\text{s}\)、振動数 \(0.125\,\text{Hz}\)、周期 \(8\,\text{s}\)。
速さが条件 \(3 < v < 15\) を満たしていることを確認しました。単位も適切です。
問(2)
思考の道筋とポイント
\(t=0\,\text{s}\) における遠くの点 \(x=220\,\text{cm}\) の変位を求めます。
正弦波は波長 \(\lambda\) ごとに同じ波形を繰り返す性質（空間的な周期性）を利用します。
この設問における重要なポイント
- 空間的な周期性: \(y(x) = y(x – n\lambda)\) （\(n\) は整数）
- \(x=220\,\text{cm}\) から波長 \(\lambda=80\,\text{cm}\) を何回引けるかを考え、グラフに描かれている範囲（\(0 \le x \le 150\)）内の対応する位置を見つけます。
具体的な解説と立式
求める変位を \(y\) とします。
位置 \(x = 220\,\text{cm}\) は、波長 \(\lambda = 80\,\text{cm}\) を用いて以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
220 &= 2 \times 80 + 60 \\[2.0ex]
&= 2\lambda + 60
\end{aligned}
$$
波は1波長ごとに同じ形を繰り返すので、\(x=220\,\text{cm}\) の変位は、そこから \(2\lambda\) だけ手前（原点側）にある \(x=60\,\text{cm}\) の変位と等しくなります。
$$
\begin{aligned}
y(220) &= y(60)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の空間周期性: \(y(x) = y(x \pm \lambda)\)
\(t=0\) のグラフ（実線）において、\(x=60\,\text{cm}\) の変位を読み取ります。
グラフより、\(x=60\,\text{cm}\) は谷の底になっているので、
$$
\begin{aligned}
y &= -1\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
波は金太郎飴のように、どこまで行っても同じパターン（長さ \(80\,\text{cm}\) のセット）の繰り返しです。
\(220\,\text{cm}\) 先の様子を知りたければ、\(80\,\text{cm}\) のセットを2回分（\(160\,\text{cm}\)）取り除いた残り、つまり \(60\,\text{cm}\) 地点の様子を見れば同じことになります。グラフを見ると \(60\,\text{cm}\) 地点は一番低い「谷」になっています。
変位は \(-1\,\text{cm}\)。振幅の範囲内であり、グラフの谷の位置と整合します。
問(3)
思考の道筋とポイント
ある位置 \(x=100\,\text{cm}\) における、未来の時刻 \(t=6\,\text{s}\) の変位を求めます。
今度は時間的な周期性（周期 \(T\) ごとに同じ状態に戻る）を利用するか、あるいは波形を平行移動させて考えます。
この設問における重要なポイント
- 時間的な周期性: \(y(t) = y(t – nT)\)
- \(t=0\) で \(x=100\,\text{cm}\) は「山」の状態です。そこから \(6\,\text{s}\) 経過したときの状態を考えます。周期は \(T=8\,\text{s}\) です。
具体的な解説と立式
方法1: 時間経過で追う
\(x=100\,\text{cm}\) は \(t=0\) において変位 \(y=1\,\text{cm}\)（山）です。
時刻 \(t=6\,\text{s}\) は、周期 \(T=8\,\text{s}\) を用いて表すと、
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{6}{8}T \\[2.0ex]
&= \frac{3}{4}T
\end{aligned}
$$
つまり、\(3/4\) 周期後の状態を求めればよいことになります。
媒質の振動は「山 \(\to\) 振動中心(下り) \(\to\) 谷 \(\to\) 振動中心(上り) \(\to\) 山」という1サイクルを \(T\) で行います。
それぞれのステップは \(1/4\) 周期（\(T/4\)）かかります。
山の状態から \(3/4\) 周期経過すると、
- \(T/4\) 後: 振動中心（変位 \(0\)）
- \(2T/4\) 後: 谷（変位 \(-1\)）
- \(3T/4\) 後: 振動中心（変位 \(0\)）
となります。
方法2: 波形の平行移動
波の速さは \(v=10\,\text{cm}/\text{s}\) なので、\(t=6\,\text{s}\) の間に波は距離 \(\Delta x\) だけ進みます。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= v t \\[2.0ex]
&= 10 \times 6 \\[2.0ex]
&= 60\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
波は右（\(x\) 正方向）に進むので、\(t=6\,\text{s}\) に \(x=100\,\text{cm}\) にある波形は、\(t=0\) のときに \(60\,\text{cm}\) 左（\(x = 100 – 60 = 40\,\text{cm}\)）にあった波形です。
$$
\begin{aligned}
y(x=100, t=6) &= y(x=40, t=0)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の進む距離: \(\Delta x = vt\)
- 波形の平行移動: \(y(x, t) = y(x-vt, 0)\)
方法2を採用してグラフを読み取ります。
\(t=0\) のグラフ（実線）において、\(x=40\,\text{cm}\) の変位は \(0\,\text{cm}\) です。
（\(x=20\) が山、\(x=60\) が谷なので、その中間の \(x=40\) は \(0\) です）
よって、
$$
\begin{aligned}
y &= 0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
波は \(1\) 秒間に \(10\,\text{cm}\) 進むので、\(6\) 秒後には \(60\,\text{cm}\) 進んでいます。
今、\(100\,\text{cm}\) 地点にどんな波が来ているかを知りたければ、\(60\,\text{cm}\) 手前の \(40\,\text{cm}\) 地点にあった波が到着していると考えればよいです。最初のグラフで \(40\,\text{cm}\) 地点を見ると、高さは \(0\) でした。だから答えは \(0\) です。
変位は \(0\,\text{cm}\)。山の位置から \(3/4\) 周期経過して平衡点に戻るという考察とも一致します。
問(4)
思考の道筋とポイント
媒質（波を伝える物質）の運動に関する問題です。
波形が動く速さ（波の速さ \(v\)）と、媒質がその場で振動する速さ（媒質の速度 \(u\)）を区別する必要があります。
媒質は \(y\) 軸方向に単振動しています。
この設問における重要なポイント
- 媒質の速度が \(0\): 単振動の折り返し点、つまり「山」と「谷」の位置です。
- 媒質の速度が \(+y\) 方向で最大: 単振動の中心（変位 \(y=0\)）であり、かつこれから「山」に向かう（変位が増加する）位置です。
具体的な解説と立式
1. 媒質の速度が \(0\) の位置
単振動において速度が \(0\) になるのは、変位が最大（振幅 \(A\) または \(-A\)）となる瞬間です。
グラフ（実線 \(t=0\)）より、山または谷になっている位置を探します。
$$
\begin{aligned}
x &= 20, 60, 100, 140 \quad [\text{cm}]
\end{aligned}
$$
2. \(+y\) 方向で最大の速度の位置
速度の大きさ（速さ）が最大になるのは、振動の中心、つまり変位 \(y=0\) の位置です。
グラフより、\(y=0\) となるのは \(x=0, 40, 80, 120\) です。
このうち、速度の向きが \(+y\) 方向（上向き）であるものを絞り込みます。
波は \(x\) 軸正方向（右）に進んでいます。
微小時間 \(\Delta t\) 後の波形を想像して（あるいは少し右にずらした波形を描いて）考えます。
- \(x=0\) 付近: 波形は右上がり。波が右にずれると、グラフは下がります（\(y\) が負になる）。よって速度は下向き（\(-y\) 方向）。
- \(x=40\) 付近: 波形は右下がり。波が右にずれると、グラフは上がります（\(y\) が正になる）。よって速度は上向き（\(+y\) 方向）。
- \(x=80\) 付近: 右上がり。速度は下向き。
- \(x=120\) 付近: 右下がり。速度は上向き。
したがって、求める位置は \(x=40, 120\) です。
使用した物理公式
- 波の進行と媒質の変位変化の関係
上記の考察により、
速度 \(0\) の位置: \(20, 60, 100, 140\,\text{cm}\)
\(+y\) 方向で速度最大の位置: \(40, 120\,\text{cm}\)
媒質はその場で上下に振動しています。ブランコに例えると、一番高いところ（山）と一番低いところ（谷）では一瞬止まります。これが「速度 \(0\)」の場所です。
逆に、真ん中を通過するときが一番速くなります。その中でも「これから上に上がるぞ」という場所を探します。波全体を少し右にスライドさせてみると、元々 \(0\) だった場所が上になるか下になるかで判断できます。
速度 \(0\) は変位最大点、速度最大は変位 \(0\) 点に対応しており、物理的に妥当です。
問(5)
思考の道筋とポイント
遠い位置 \(x=500\,\text{cm}\) かつ未来の時刻 \(t=20\,\text{s}\) における変位を求めます。
(2)の空間周期性と(3)の時間周期性を組み合わせて解きます。
この設問における重要なポイント
- 位置の還元: \(x = 500\) を波長 \(\lambda=80\) で割り、グラフ内の位置に対応させます。
- 時刻の還元: \(t = 20\) を周期 \(T=8\) で割り、位相のずれを計算します。
具体的な解説と立式
まず、位置 \(x=500\,\text{cm}\) の位相（波の状態）を、\(t=0\) における近くの位置に還元します。
$$
\begin{aligned}
500 &= 6 \times 80 + 20 \\[2.0ex]
&= 6\lambda + 20
\end{aligned}
$$
よって、\(x=500\) は \(x=20\) と同じ振動状態にあります。
\(t=0\) において、\(x=20\) は「山」（変位 \(y=1\)）です。
次に、時刻 \(t=20\,\text{s}\) における変化を考えます。
周期は \(T=8\,\text{s}\) なので、
$$
\begin{aligned}
20 &= 2 \times 8 + 4 \\[2.0ex]
&= 2T + \frac{1}{2}T
\end{aligned}
$$
つまり、\(2\) 周期と半分（\(0.5\) 周期）が経過しています。
\(2\) 周期後は元の状態（山）と同じですが、さらに \(0.5\) 周期経過すると、位相は \(\pi\)（180度）進み、山は谷に変わります。
したがって、求める変位は「谷」の深さになります。
使用した物理公式
- 空間周期性: \(x \to x – n\lambda\)
- 時間周期性: \(t \to t – mT\)
- 半周期のずれ: \(t \to t + T/2\) で変位の符号が反転（\(y \to -y\)）
\(t=0\) での \(x=20\) の変位は \(1\,\text{cm}\)。
その \(2.5\) 周期後は、変位の符号が逆転するので、
$$
\begin{aligned}
y &= -1\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
まず場所について：\(500\,\text{cm}\) 先は、\(80\,\text{cm}\) のパターンを6回繰り返した後の \(20\,\text{cm}\) 地点と同じです。つまり「山」の場所です。
次に時間について：\(20\) 秒経過すると、\(8\) 秒周期の波は2回振動して元に戻り、さらに \(4\) 秒（半周期）経ちます。山だった場所から半周期経つと、ちょうど逆の「谷」になります。だから答えは \(-1\,\text{cm}\) です。
変位は \(-1\,\text{cm}\)。計算のロジックに矛盾はありません。
思考の道筋とポイント
波のグラフや周期性ごとのパズル的な解法ではなく、波そのものを表す数式（波動関数）を定義し、すべての設問を計算のみで解く方法です。
正弦波の一般式 \(y(x,t) = A \sin \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}(vt – x + \delta)\) などを設定し、初期条件から定数を決定します。
この設問における重要なポイント
- 波動関数の決定: 振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\)（または速さ \(v\)）を用いて、\(y\) を \(x\) と \(t\) の関数として表します。
- 媒質の速度: 変位 \(y\) を時間 \(t\) で偏微分することで、媒質の速度 \(u = \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t}\) が得られます。
具体的な解説と立式
1. 波動関数の決定
\(x\) 軸正方向に進む正弦波の一般式は以下のように書けます。
$$
\begin{aligned}
y(x, t) &= A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} + \phi_{\text{初期}} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、(1)の結果より \(A=1\), \(\lambda=80\), \(T=8\) です。
\(t=0\) のグラフ（実線）を見ると、\(x=0\) で \(y=0\) であり、\(x\) が増えると \(y\) は正の値をとります（立ち上がり）。
\(t=0\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
y(x, 0) &= 1 \cdot \sin 2\pi \left( – \frac{x}{80} + \phi_{\text{初期}} \right)
\end{aligned}
$$
\(x=0\) で \(y=0\) となるには、\(\sin(2\pi \phi_{\text{初期}}) = 0\) より \(\phi_{\text{初期}} = 0, 0.5, \dots\) です。
また、\(x\) が少し増えたとき（例えば \(x=20\)）に \(y=1\)（山）となる必要があります。
\(\phi_{\text{初期}} = 0\) だと \(\sin(- \text{正の値})\) となり負になってしまうため不適です。
\(\phi_{\text{初期}} = 0.5\) とすると、\(\sin(\pi – \theta) = \sin \theta\) なので正になり適します。
あるいは、もっと単純に \(t=0\) で原点から正弦波が始まっている（\(y = A \sin \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}x\)）形に見えますが、波は右に進むため、式は \(y = A \sin \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}(vt – x)\) の形になります。
これを確認すると、\(t=0\) で \(y = A \sin(-\displaystyle\frac{2\pi x}{\lambda}) = -A \sin \displaystyle\frac{2\pi x}{\lambda}\) となり、グラフ（\(x>0\) で正）と逆符号になります。
したがって、初期位相を調整するか、cos型にするか、あるいは符号を反転させる必要があります。
グラフは \(x=0\) で \(0\)、\(x=20\) で \(1\) なので、\(t=0\) での波形は \(y = \sin \displaystyle\frac{2\pi x}{80}\) です。
これを「\(x\) 軸正方向に速さ \(v\) で進む波」にするには、\(x\) を \((x – vt)\) に置き換えます。
$$
\begin{aligned}
y(x, t) &= \sin \frac{2\pi (x – vt)}{80} \\[2.0ex]
&= \sin \frac{2\pi (x – 10t)}{80} \\[2.0ex]
&= \sin \frac{\pi (x – 10t)}{40}
\end{aligned}
$$
検算: \(t=0\) で \(y = \sin \displaystyle\frac{\pi x}{40}\)。\(x=20\) で \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{2} = 1\)。OK。
\(t\) が増えると \((x-10t)\) は小さくなるので、波形全体が右（\(x\)大の方向）にずれる。OK。
よって、波動関数は以下のように確定します。
$$
\begin{aligned}
y(x, t) &= \sin \left( \frac{\pi x}{40} – \frac{\pi t}{4} \right) \quad [\text{cm}]
\end{aligned}
$$
2. 各設問の計算
(2) \(t=0, x=220\)
$$
\begin{aligned}
y(220, 0) &= \sin \left( \frac{220\pi}{40} – 0 \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( \frac{11\pi}{2} \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( 5\pi + \frac{\pi}{2} \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) \\[2.0ex]
&= -1\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
(3) \(x=100, t=6\)
$$
\begin{aligned}
y(100, 6) &= \sin \left( \frac{100\pi}{40} – \frac{6\pi}{4} \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( \frac{5\pi}{2} – \frac{3\pi}{2} \right) \\[2.0ex]
&= \sin (\pi) \\[2.0ex]
&= 0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
(4) 媒質の速度
媒質の速度 \(u(x,t)\) は \(y\) を \(t\) で偏微分して求めます。
$$
\begin{aligned}
u(x, t) &= \frac{\partial y}{\partial t} \\[2.0ex]
&= \frac{\partial}{\partial t} \sin \left( \frac{\pi x}{40} – \frac{\pi t}{4} \right) \\[2.0ex]
&= \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cos \left( \frac{\pi x}{40} – \frac{\pi t}{4} \right)
\end{aligned}
$$
\(t=0\) において、
$$
\begin{aligned}
u(x, 0) &= -\frac{\pi}{4} \cos \left( \frac{\pi x}{40} \right)
\end{aligned}
$$
- 速度が \(0\) になる条件: \(\cos(\dots) = 0\)
$$
\begin{aligned}
\frac{\pi x}{40} &= \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \dots \\[2.0ex]
x &= 20, 60, 100, 140 \dots
\end{aligned}
$$ - 速度が \(+y\) 方向（正）で最大になる条件:
係数が負（\(-\pi/4\)）なので、\(\cos(\dots) = -1\) となる場所です。
$$
\begin{aligned}
\frac{\pi x}{40} &= \pi, 3\pi, \dots \\[2.0ex]
x &= 40, 120, \dots
\end{aligned}
$$
(5) \(x=500, t=20\)
$$
\begin{aligned}
y(500, 20) &= \sin \left( \frac{500\pi}{40} – \frac{20\pi}{4} \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( \frac{25\pi}{2} – 5\pi \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( 12.5\pi – 5\pi \right) \\[2.0ex]
&= \sin (7.5\pi) \\[2.0ex]
&= \sin \left( 7\pi + \frac{\pi}{2} \right) \\[2.0ex]
&= \sin \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) \\[2.0ex]
&= -1\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波動関数: \(y(x, t) = A \sin \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}(x – vt)\)
- 媒質の速度: \(u = \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t}\)
- 三角関数の微分: \((\sin ax)’ = a \cos ax\)
上記解説内で詳細に記述しました。三角関数の周期性 \(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin \theta\) を利用して引数を簡単にしています。
波の形を \(y = \sin(\dots)\) という一つの数式で表してしまえば、あとは「いつ(\(t\))」「どこで(\(x\))」の値を代入するだけで、機械的に答えが出ます。
また、媒質の速度は「位置の変化の勢い」なので、数式を時間で微分することで求められます。これにより、グラフの傾きなどを目で見て悩むことなく、計算だけで速度の向きや大きさが分かります。
すべての設問において、模範解答（幾何学的解法）と完全に一致する結果が得られました。
特に(4)の速度の向きの判定において、微分を用いることで符号のミスなく確実に導出できる点が強力です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 波の二重性（空間と時間）の理解
- 核心: 波は「ある瞬間の写真（\(y-x\) グラフ）」と「ある一点のムービー（\(y-t\) グラフ）」という2つの側面を持ちます。これらを結びつけるのが「波の速さ \(v\)」であり、基本式 \(v = f\lambda = \lambda/T\) です。
- 理解のポイント:
- 空間周期性: 波形は波長 \(\lambda\) ごとに同じ形を繰り返します（\(x \to x \pm \lambda\)）。
- 時間周期性: 各点の媒質は周期 \(T\) ごとに同じ運動を繰り返します（\(t \to t \pm T\)）。
- この2つの周期性を自在に行き来することで、遠くの場所や未来の時刻の状態を、手元の既知の情報（\(t=0\) のグラフ）に還元できます。
- 媒質の運動と波の伝播の区別
- 核心: 「波形が右へ進む」ことと、「媒質がその場で上下する」ことは全く別の運動です。
- 理解のポイント:
- 媒質の速度 \(u\) は、波の速さ \(v\) とは無関係に、単振動のエネルギーによって決まります。
- 媒質の速度の向きは、波形を少しだけ進行方向にずらして（未来の波形を描いて）、変位がどう変化するかを見ることで判断できます。あるいは、別解のように微分を用いて \(u = \partial y / \partial t\) と計算することで厳密に求められます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 逆向きに進む波: 問題文が「\(x\) 軸の負方向に進む」となっていたら、波形を左にずらすか、波動関数の \(x-vt\) を \(x+vt\) に変えるだけで対応できます。
- \(y-t\) グラフが与えられる問題: 今回は \(y-x\) グラフでしたが、縦軸が変位、横軸が時間のグラフが与えられた場合も、周期 \(T\) を読み取り、\(v = \lambda/T\) から波長を求めるなど、手順は同様です。
- 定常波の問題: 進行波が壁で反射して定常波ができる問題でも、基本となるのは入射波と反射波の重ね合わせです。それぞれの波の式（またはグラフの移動）を考える基礎力はこの問題で養われます。
- 初見の問題での着眼点:
- グラフの軸を確認する: 横軸が位置 \(x\) なのか時間 \(t\) なのかを真っ先に確認します。これで読み取れるのが波長 \(\lambda\) なのか周期 \(T\) なのかが決まります。
- 「速さ」の条件を見逃さない: 波の写真は周期性を持つため、速さが一意に決まりません。必ず問題文に「\(3 < v < 15\)」のような絞り込み条件があるはずです。
- 遠くの点・未来の点は「引き算」で戻す: \(x=500\) や \(t=20\) といった大きな値が出たら、まともに追跡せず、波長 \(\lambda\) や周期 \(T\) の整数倍を引いて、\(t=0\) のグラフの範囲内に引き戻します。
- 解法の選択:
- グラフの形状が単純（正弦波）で、特定の位置・時刻を問われている \(\rightarrow\) 周期性を利用した幾何学的解法（最速）。
- 複雑な干渉や、媒質の速度・加速度の関数形を問われている \(\rightarrow\) 波動関数を用いた微積分アプローチ（確実）。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 波の速さと媒質の速度の混同:
- 誤解: 「波の速さが \(10\,\text{cm}/\text{s}\) だから、媒質も \(10\,\text{cm}/\text{s}\) で動いている」と思い込む。
- 対策: 波の速さ \(v\) は「形が伝わる速さ（等速）」、媒質の速度 \(u\) は「物体が揺れる速さ（単振動、刻々変化する）」と明確に区別します。単位は同じでも別物です。
- 周期性の引き算ミス:
- 誤解: \(x=220\) の変位を求める際、\(220 \div 80 = 2.75\) だから…と計算し、余りの処理（\(0.75\lambda\) 先なのか手前なのか）で混乱する。
- 対策: 「\(220 = 2 \times 80 + 60\)」のように、「整数倍 \(+\) 余り」の形に式を書き出し、「\(2\) 波長分は無視して、残り \(60\,\text{cm}\) の場所を見る」と言語化して確認しましょう。
- 媒質の速度の向きの判定ミス:
- 誤解: 「山（高いところ）にいるから速度は上向きだろう」といった直感で答える。
- 対策: 必ず「少し未来の波形」を点線で書き込みます。現在の点から未来の波形に向かって矢印を引き、その向き（上か下か）を目で見て確認するのが最も確実です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)での公式選択（\(v = \Delta x / \Delta t\) の拡張）:
- 選定理由: 単純な「距離 \(\div\) 時間」では、波の周期性（波が1つ分進んだのか2つ分進んだのか不明）を考慮できません。
- 適用根拠: \(\Delta x = \text{見かけのずれ} + n\lambda\) と置くことで、全ての可能性を網羅し、与えられた不等式条件で絞り込む論理的な手順を踏むためです。
- 問(4)でのアプローチ選択（微小変位 vs 微分）:
- 選定理由: 模範解答では「微小時間後の波形を描く」方法を採用しています。これは視覚的に分かりやすく、計算ミスも少ないため、センター試験（共通テスト）レベルでは最適です。
- 適用根拠: 一方、別解の「微分」は、速度の定義 \(u = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta y / \Delta t\) そのものであり、より本質的です。記述式試験で論理の厳密さが求められる場合や、速度の最大値を数値で求めよ（\(A\omega\)）といった問題には微分が有効です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位の確認（ディメンションチェック）:
- 答えが出たら、単位を確認します。波長は \([\text{L}]\)（cm）、周期は \([\text{T}]\)（s）、速さは \([\text{L}][\text{T}]^{-1}\)（cm/s）。特に振動数 \(f\)（Hz）と周期 \(T\)（s）の逆数関係は間違えやすいので注意。
- 位相のズレの検算:
- \(t=20\) の変位を求める際、\(20 = 2T + 0.5T\) と計算しました。ここで「\(0.5T\)（半周期）ずれると符号が反転する（山 \(\to\) 谷）」という性質を使いましたが、不安なら「\(0.5\) 周期 \(\to\) 位相が \(\pi\) 進む \(\to \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta\)」と三角関数の公式で裏付けを取る癖をつけましょう。
- 「0」と「最大」の対応関係の暗記:
- 単振動において、「変位最大（端） \(\leftrightarrow\) 速度0」、「変位0（中心） \(\leftrightarrow\) 速度最大」という対応関係は、いちいち考えなくても即答できるレベルまで反射神経を鍛えておくと、ケアレスミスが減り、解答速度が上がります。
問題72 (九州工大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)〜(6)の一括別解: 微積分を用いた体系的解法（波動関数による解法）
- 模範解答がグラフの読み取りや幾何学的な考察（波形の平行移動、疎密の定義）で解くのに対し、別解では波の変位を表す関数 \(y(x,t)\) を定義し、それを微分することで速度や密度変化を導出します。
- 設問(1)〜(6)の一括別解: 微積分を用いた体系的解法（波動関数による解法）
- 上記の別解が有益である理由
- 波動関数: 波の情報を一つの数式に集約することで、複雑な条件（特定の位置・時刻）でも代入だけで機械的に値を求められます。
- 密度の数学的定義: 縦波の「疎密」を、変位の空間微分（体積ひずみ）として捉えることで、グラフの傾きと密度の関係を論理的に理解できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「縦波の横波表示と媒質の運動」です。縦波特有の「変位の向き」や「疎密」の概念を、グラフを通して正しく理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 縦波の横波表示: 実際の媒質の変位は \(x\) 軸方向（波の進行方向と同じ）ですが、グラフ上では \(y\) 軸方向（横）に表示されています。\(y>0\) は \(+x\) 方向への変位、\(y<0\) は \(-x\) 方向への変位を表します。
- 波の基本式: \(v = f\lambda = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) の関係が成り立ちます。
- 媒質の速度: \(y-t\) グラフの接線の傾きが媒質の速度を表します。
- 疎密の判定: \(y-x\) グラフにおいて、傾きが右下がり（負）の場所が「密」、右上がり（正）の場所が「疎」となります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、与えられた \(y-t\) グラフから周期を読み取り、波の速さと合わせて波長などを計算します。
- (2)(3)では、波の進行方向を考慮して、時間変化のグラフ（\(y-t\)）と空間分布のグラフ（\(y-x\)）を相互に変換します。
- (4)では、単振動の速度変化に着目して時刻を特定します。
- (5)(6)では、縦波の疎密の条件（変位の集まり具合）から位置や時刻を特定します。
問(1)
思考の道筋とポイント
与えられたグラフは \(x=0\) における \(y-t\) グラフ（ある一点の時間変化）です。ここから周期 \(T\) を読み取ります。
その後、問題文で与えられた波の速さ \(v\) を用いて、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) を計算します。
この設問における重要なポイント
- グラフの横軸: 時間 \(t\) （単位は \(10^{-2}\,\text{s}\)）であることに注意します。
- 周期 \(T\): 波が1回振動するのにかかる時間です。グラフのサインカーブ1つ分の長さです。
具体的な解説と立式
グラフより、媒質が1回振動して元の状態に戻るまでの時間（周期）\(T\) を読み取ります。
$$
\begin{aligned}
T &= 8 \times 10^{-2}\,\text{s}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) は周期の逆数です。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{T}
\end{aligned}
$$
波長 \(\lambda\) は、波の速さ \(v\) と周期 \(T\) の関係式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) （または \(v = f\lambda\)）から求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= vT
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 振動数と周期: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)
- 波の基本式: \(\lambda = vT\)
周期は読み取り通りです。
$$
\begin{aligned}
T &= 8.0 \times 10^{-2}\,\text{s}
\end{aligned}
$$
振動数を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{8.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex]
&= \frac{100}{8} \\[2.0ex]
&= 12.5\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$
波長を計算します。速さ \(v = 100\,\text{cm}/\text{s}\) です。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 100 \times (8.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]
&= 8.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
グラフの横軸を見ると、波が「行って帰って」の1セットが終わるのが目盛り \(8\) のところです。単位が \(10^{-2}\,\text{s}\) なので、周期は \(0.08\,\text{s}\) です。
1秒間に何回振動するか（振動数）は、\(1 \div 0.08\) で計算できます。
また、波は1秒で \(100\,\text{cm}\) 進むので、1回の振動（\(0.08\,\text{s}\)）の間に進む距離（波長）は \(100 \times 0.08\) で求まります。
周期 \(8.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\)、振動数 \(12.5\,\text{Hz}\)、波長 \(8.0\,\text{cm}\)。
数値は常識的な範囲内であり、単位も整合しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
\(t=0\) における波形（\(y-x\) グラフ）を描きます。
\(y-t\) グラフ（時間変化）から \(y-x\) グラフ（空間分布）への変換には、「波の進行方向」を考慮する必要があります。
波は \(x\) 軸の正方向に進んでいます。
この設問における重要なポイント
- \(t=0\) の状態: 与えられた \(y-t\) グラフより、\(x=0\) の点では \(t=0\) で \(y=0\) です。
- 直後の変化: \(y-t\) グラフを見ると、\(t\) が少し増えると \(y\) は正（上）に変化しています。
- 波の移動: 波は右（\(+x\) 方向）に進むので、「少し時間が経ってから \(x=0\) に来る波」は、現在は「\(x=0\) より左（\(-x\) 側）」にあります。
- つまり、\(x=0\) の左側には「山（\(y>0\)）」があり、右側には「谷（\(y<0\)）」があるはずです。
具体的な解説と立式
\(t=0\) において、\(x=0\) での変位は \(y=0\) です。
\(y-t\) グラフより、\(x=0\) の媒質は直後に \(y>0\) となります。
これは、\(x=0\) のすぐ左側（上流）に \(y>0\) の部分（山）があり、それが右に進んで \(x=0\) に到達しようとしていることを意味します。
逆に、\(x=0\) のすぐ右側（下流）には、\(x=0\) を通過し終えた \(y<0\) の部分（谷）があるはずです。
したがって、\(t=0\) の波形は、原点 \(x=0\) を通り、\(x\) が増えるにつれて \(y\) が負になる（右下がりの）サインカーブとなります。
波長は(1)より \(\lambda = 8\,\text{cm}\) なので、\(x=4\,\text{cm}\) で \(0\) に戻り、\(x=8\,\text{cm}\) で1波長完了します。
振幅はグラフより \(2\,\text{mm}\) です。
使用した物理公式
- 波の進行による波形の平行移動
描くべきグラフの特徴:
- \(x=0\) で \(y=0\)
- \(0 < x < 4\) で \(y < 0\) （谷、最小値は \(x=2\) で \(-2\,\text{mm}\)）
- \(x=4\) で \(y=0\)
- \(4 < x < 8\) で \(y > 0\) （山、最大値は \(x=6\) で \(+2\,\text{mm}\)）
- \(x=8\) で \(y=0\)
- \(8 < x < 12\) で \(y < 0\) （谷、最小値は \(x=10\) で \(-2\,\text{mm}\)）
- \(x=12\) で \(y=0\)
\(x=0\) に立って波を見ていると、今は変位ゼロですが、次の瞬間に「上（プラス）」に持ち上げられます。波は左から右へ流れてくるので、これは「左側に山がある」ということです。
逆に、自分の右側には「さっき通り過ぎた谷」があるはずです。
よって、\(x=0\) から右側（グラフの描画範囲）を見ると、まずは谷（マイナス）から始まる波形になります。
原点から右下がりに始まる正弦波（\(-\sin\) 型）を描きます。波長 \(8\,\text{cm}\) なので、\(12\,\text{cm}\) の範囲には \(1.5\) 波長分が入ります。
問(3)
思考の道筋とポイント
\(x=4\,\text{cm}\) の媒質の振動グラフ（\(y-t\) グラフ）を描きます。
\(x=0\) のグラフ（問題図）との位相差（タイミングのずれ）を考えます。
この設問における重要なポイント
- 距離と波長の関係: \(x=4\,\text{cm}\) は、\(x=0\) からちょうど半波長（\(\lambda/2 = 4\,\text{cm}\)）離れた点です。
- 逆位相: 半波長離れた2点は、常に逆の動き（逆位相）をします。一方が山なら他方は谷、一方が上がれば他方は下がります。
具体的な解説と立式
\(x=4\,\text{cm}\) は \(x=0\) から \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) だけ下流にあります。
したがって、\(x=4\,\text{cm}\) の振動は、\(x=0\) の振動に対して半周期（\(T/2\)）遅れます。
あるいは、半波長離れているため「逆位相」であると考えてもよいです。
逆位相とは、変位の符号が常に反転している状態（\(y \to -y\)）です。
よって、問題図の \(y-t\) グラフを上下反転させたグラフを描けばよいことになります。
使用した物理公式
- 逆位相の条件: 距離差 \(= (n + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)
描くべきグラフの特徴:
- \(t=0\) で \(y=0\)
- \(t\) が増えると \(y < 0\) になる（問題図とは逆）。
- \(t=2\) で \(y=-2\)（谷）
- \(t=6\) で \(y=+2\)（山）
- \(t=10\) で \(y=-2\)（谷）
（単位は \(10^{-2}\,\text{s}\)）
\(4\,\text{cm}\) という距離は、ちょうど波の長さの半分です。
波の半分だけ離れた場所では、動きが完全に「あべこべ」になります。
\(x=0\) が上がるとき、\(x=4\) は下がります。
だから、元のグラフを鏡に映したように上下ひっくり返して描けば正解です。
元のグラフを上下反転させた点線を描きます。
問(4)
思考の道筋とポイント
\(x=0\) の媒質の速度に関する問題です。
「負の \(x\) 方向の速さが最大」とは、「速度 \(v\) が負の値で、その絶対値が最大（つまり最小値）」であることを意味します。
\(y-t\) グラフにおいて、媒質の速度はグラフの接線の傾きで表されます。
この設問における重要なポイント
- 媒質の速度 \(v_y = \displaystyle\frac{dy}{dt}\): \(y-t\) グラフの傾きです。
- 負の速さ最大: グラフが右下がりで、最も急な傾きになっている瞬間を探します。
- 単振動の性質: 変位 \(y=0\)（振動中心）のとき速さは最大になります。
具体的な解説と立式
媒質の速度 \(v_y\) は \(y-t\) グラフの傾きに対応します。
「負の \(x\) 方向の速さが最大」になるのは、傾きが負で最も急になるときです。
単振動において速さが最大になるのは変位 \(y=0\) のときなので、グラフが横軸（\(t\) 軸）と交わる点に注目します。
グラフより、\(y=0\) となる時刻は \(t=0, 4, 8, 12 \dots (\times 10^{-2}\,\text{s})\) です。
それぞれの点での傾きを確認します。
- \(t=0, 8\): グラフは右上がり（傾き正）。これは正の向きの速さが最大です。
- \(t=4, 12\): グラフは右下がり（傾き負）。ここで負の向きの速さが最大になります。
使用した物理公式
- 媒質の速度: \(v_y = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\) （グラフの傾き）
グラフの読み取りにより、該当する時刻は \(4 \times 10^{-2}\,\text{s}\) と \(12 \times 10^{-2}\,\text{s}\) です。
グラフの線がジェットコースターのレールだと想像してください。
「負の方向の速さが最大」というのは、「一番勢いよく下っているところ」です。
山の頂上や谷底では一瞬止まります。一番速いのは真ん中（\(y=0\)）を通過するときです。
その中で「下り坂」になっているのは、\(t=4\) と \(t=12\) のところです。
\(t=4 \times 10^{-2}\,\text{s}\) と \(12 \times 10^{-2}\,\text{s}\)。単振動の平衡点通過時であり妥当です。
問(5)
思考の道筋とポイント
縦波における「密度」の問題です。
\(t=0\) の波形（問(2)で描いた \(y-x\) グラフ）を用いて、媒質が密集している場所（密）を探します。
この設問における重要なポイント
- 縦波の変位: \(y>0\) は右（\(+x\)）へのずれ、\(y<0\) は左（\(-x\)）へのずれを表します。
- 密の条件: 周囲の媒質が集まってくる場所です。つまり、左側の媒質が右へ動き（\(y>0\)）、右側の媒質が左へ動く（\(y<0\)）場所です。
- グラフでの判定: \(y-x\) グラフにおいて、\(y\) が正から負に変わる点、すなわち「傾きが右下がりの最大」となる点が「密」です。逆に右上がりは「疎」です。
具体的な解説と立式
問(2)で描いた \(t=0\) の \(y-x\) グラフを見ます。
このグラフは、原点から右下がりに始まる正弦波です。
「密」になるのは、グラフの傾きが負で最大になる点です。
グラフ上で傾きが負の最大になるのは、\(y=0\) を横切って下がっていく点です。
問(2)のグラフにおいて、
- \(x=0\): 傾きは負の最大（密）。
- \(x=4\): 傾きは正の最大（疎）。
- \(x=8\): 傾きは負の最大（密）。
- \(x=12\): 傾きは正の最大（疎）。
したがって、密度の最大点は \(x=0\,\text{cm}\) と \(x=8\,\text{cm}\) です。
使用した物理公式
- 縦波の疎密判定: \(y-x\) グラフの傾きが負の最大 \(\rightarrow\) 密
グラフの形状（\(-\sin\) 型）より、\(x=0, 8\) で傾きが負の最大となります。
縦波のグラフで「密（ギュウギュウ詰め）」な場所を探すには、「矢印」を描くと分かりやすいです。
グラフの \(y\) がプラスなら右矢印、マイナスなら左矢印を \(x\) 軸上に描きます。
\(x=0\) の地点を見ると、左側（\(x<0\)）は山（プラス）なので右矢印 \(\rightarrow\)、右側（\(x>0\)）は谷（マイナス）なので左矢印 \(\leftarrow\) です。
\(\rightarrow x \leftarrow\) となるので、両側から押されてギュウギュウになります。これが「密」です。
同じ状態になっているのは \(x=8\) です。
\(x=0\,\text{cm}\) と \(8\,\text{cm}\)。波長 \(8\,\text{cm}\) ごとに同じ状態が現れるので整合します。
問(6)
思考の道筋とポイント
\(x=4\,\text{cm}\) の地点で、媒質の密度が最大（密）になる時刻を求めます。
波の移動を利用して考えます。
この設問における重要なポイント
- 状態の移動: 波形（疎密の状態）は速さ \(v\) で \(+x\) 方向に移動します。
- \(t=0\) での状態: 問(5)より、\(t=0\) では \(x=0\) が「密」、\(x=4\) は「疎」です。
- 密の到達: \(x=0\) にあった「密」の状態が、右に移動して \(x=4\) に到達する時刻を求めます。
具体的な解説と立式
\(t=0\) において、\(x=0\,\text{cm}\) の地点に「密」の状態があります。
この「密」の状態は、波の速さ \(v = 100\,\text{cm}/\text{s}\) で \(x\) 軸正方向に進みます。
\(x=4\,\text{cm}\) の地点にこの「密」が到達するのにかかる時間 \(t_1\) は、
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \frac{\text{距離}}{\text{速さ}} \\[2.0ex]
&= \frac{4}{100} \\[2.0ex]
&= 0.04\,\text{s} \\[2.0ex]
&= 4 \times 10^{-2}\,\text{s}
\end{aligned}
$$
次に「密」が来るのは、1周期 \(T = 8 \times 10^{-2}\,\text{s}\) 後です。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= t_1 + T \\[2.0ex]
&= 4 \times 10^{-2} + 8 \times 10^{-2} \\[2.0ex]
&= 12 \times 10^{-2}\,\text{s}
\end{aligned}
$$
図に示された時間は \(0\) から \(12 \times 10^{-2}\,\text{s}\) なので、この2つが答えになります。
使用した物理公式
- 等速直線運動: \(t = \displaystyle\frac{x}{v}\)
上記の通り、\(t = 4 \times 10^{-2}\,\text{s}\) と \(12 \times 10^{-2}\,\text{s}\) です。
\(t=0\) のとき、\(x=0\) が「密」でした。この「密」の塊は波に乗って右へ進みます。
\(4\,\text{cm}\) 先の \(x=4\) に着くのは何秒後でしょうか？
速さは \(100\,\text{cm}/\text{s}\) なので、\(0.04\) 秒かかります。
波は繰り返しやってくるので、その1周期後（\(0.08\) 秒後）にもまた次の「密」が来ます。
足し算すると \(0.12\) 秒後です。
\(4 \times 10^{-2}\,\text{s}\) と \(12 \times 10^{-2}\,\text{s}\)。
ちなみに、これは問(4)の「\(x=0\) で速さが負の最大になる時刻」と同じです。進行波において、変位 \(0\) で速度が負の最大になる位相は「密」に対応するため、物理的にも整合しています。
思考の道筋とポイント
波のグラフを読み取る代わりに、波の変位 \(y\) を位置 \(x\) と時刻 \(t\) の関数（波動関数）として定義し、計算によって全ての問いに答えます。
特に「疎密」の判定において、微積分を用いると非常に明快になります。
この設問における重要なポイント
- 波動関数の設定: \(x=0\) でのグラフが \(y \propto \sin(\omega t)\) 型であることを利用し、進行波の式を作ります。
- 速度と密度: 媒質の速度は \(u = \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t}\)、密度の変化（体積ひずみ）は \(-\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}\) に比例します。
具体的な解説と立式
1. 波動関数の決定
問題のグラフより、\(x=0\) における変位 \(y(0,t)\) は、振幅 \(A=2\,\text{mm}\)、周期 \(T=8 \times 10^{-2}\,\text{s}\) の正弦波です。
\(t=0\) で \(0\) から立ち上がっているので、サイン型です。
$$
\begin{aligned}
y(0, t) &= A \sin \left( \frac{2\pi}{T}t \right)
\end{aligned}
$$
この波は \(+x\) 方向に速さ \(v\) で進むので、位置 \(x\) での時刻 \(t\) の変位は、時刻が \(x/v\) だけ遅れるとして、\(t\) を \((t – x/v)\) に置き換えます。
$$
\begin{aligned}
y(x, t) &= A \sin \frac{2\pi}{T} \left( t – \frac{x}{v} \right) \\[2.0ex]
&= A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、\(A=2\), \(T=8\times 10^{-2}\), \(\lambda=8\) です。
2. 各設問の計算
(2) \(t=0\) の波形
\(t=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y(x, 0) &= A \sin 2\pi \left( 0 – \frac{x}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= -A \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right)
\end{aligned}
$$
これは原点から右下がりに始まる正弦波（\(-\sin\) 型）を表します。
(3) \(x=4\) の振動
\(x=4\)（つまり \(x=\lambda/2\)）を代入します。
$$
\begin{aligned}
y(4, t) &= A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{1}{2} \right) \\[2.0ex]
&= A \sin \left( \frac{2\pi t}{T} – \pi \right) \\[2.0ex]
&= -A \sin \left( \frac{2\pi t}{T} \right)
\end{aligned}
$$
これは \(x=0\) のグラフ（\(+A \sin\)）を上下反転させた形（\(-A \sin\)）です。
(4) \(x=0\) での速度
媒質の速度 \(u\) は \(y\) の時間偏微分です。
$$
\begin{aligned}
u(x, t) &= \frac{\partial y}{\partial t} \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi A}{T} \cos 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)
\end{aligned}
$$
\(x=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
u(0, t) &= \frac{2\pi A}{T} \cos \left( \frac{2\pi t}{T} \right)
\end{aligned}
$$
これが「負の最大」になるのは、\(\cos = -1\) のときです。
$$
\begin{aligned}
\frac{2\pi t}{T} &= \pi, 3\pi, \dots \\[2.0ex]
t &= \frac{T}{2}, \frac{3T}{2}
\end{aligned}
$$
\(T=8 \times 10^{-2}\) なので、\(t = 4 \times 10^{-2}, 12 \times 10^{-2}\,\text{s}\)。
(5) \(t=0\) で密度最大
縦波の密度変化 \(\Delta \rho\) は、変位の空間偏微分（体積ひずみ）の負に比例します。
（媒質が圧縮されると密度が上がる \(\Leftrightarrow\) \(x\) が増えると \(y\) が減る場所）
$$
\begin{aligned}
\Delta \rho &\propto -\frac{\partial y}{\partial x} \\[2.0ex]
-\frac{\partial y}{\partial x} &= – A \cdot \left( -\frac{2\pi}{\lambda} \right) \cos 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi A}{\lambda} \cos 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)
\end{aligned}
$$
これが最大になるのは、\(\cos = 1\) のときです。
\(t=0\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\cos \left( -\frac{2\pi x}{\lambda} \right) &= \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= 1 \\[2.0ex]
\frac{2\pi x}{\lambda} &= 0, 2\pi, 4\pi \dots \\[2.0ex]
x &= 0, \lambda, 2\lambda \dots
\end{aligned}
$$
\(\lambda=8\) なので、\(x = 0, 8\,\text{cm}\)。
(6) \(x=4\) で密度最大
密度変化の式で \(x=4\)（つまり \(x=\lambda/2\)）とし、最大値（\(\cos=1\)）になる条件を探します。
$$
\begin{aligned}
\cos 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{1}{2} \right) &= 1 \\[2.0ex]
\cos \left( \frac{2\pi t}{T} – \pi \right) &= 1 \\[2.0ex]
-\cos \left( \frac{2\pi t}{T} \right) &= 1 \\[2.0ex]
\cos \left( \frac{2\pi t}{T} \right) &= -1
\end{aligned}
$$
これは(4)の条件と同じです。
よって、\(t = 4 \times 10^{-2}, 12 \times 10^{-2}\,\text{s}\)。
使用した物理公式
- 波動関数: \(y(x, t) = A \sin \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}(x – vt)\)
- 媒質の速度: \(u = \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t}\)
- 三角関数の微分: \((\sin ax)’ = a \cos ax\)
三角関数の微分公式 \((\sin \theta)’ = \cos \theta\) および合成関数の微分則を使用しました。
密度の条件 \(\Delta \rho \propto -\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}\) は、微小部分 \(\Delta x\) が \(y(x+\Delta x) – y(x)\) だけ伸び縮みすることから導かれます。
波の式を作ってしまえば、あとは「微分」という数学のツールを使うだけで、速度も密度も自動的に計算できます。
特に「密度」は、グラフの傾きを目で見て判断するよりも、数式で計算した方が間違いがありません。
「密度最大」の条件と「速度が負の最大」の条件が、計算の結果として同じ式（\(\cos = -1\)）になることも、数式を使うとはっきりと分かります。
全ての設問において、模範解答と完全に一致する結果が得られました。
微積分を用いることで、物理的な直感（グラフの読み取り）を数学的な厳密さで裏付けることができます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 縦波の横波表示の解読
- 核心: 縦波は媒質の振動方向と波の進行方向が一致しているため、そのままではグラフにしにくい波です。そこで、変位を90度回転させて横波のように表示します。
- 理解のポイント:
- \(y>0\)（グラフの上） \(\leftrightarrow\) \(+x\) 方向（右）への変位
- \(y<0\)（グラフの下） \(\leftrightarrow\) \(-x\) 方向（左）への変位
- この対応関係を常に頭に置き、グラフ上の「山」は「右にずれている」、「谷」は「左にずれている」と翻訳しながら読むことが不可欠です。
- 疎密とグラフの傾きの関係
- 核心: 縦波において、媒質が集まる「密」と、離散する「疎」は、変位の空間変化率（グラフの傾き）で決まります。
- 理解のポイント:
- 密: 周囲から媒質が集まる場所 \(\leftrightarrow\) 左側が右へ(\(y>0\))、右側が左へ(\(y<0\))動く \(\leftrightarrow\) グラフが右下がり（傾き負）。
- 疎: 周囲へ媒質が逃げる場所 \(\leftrightarrow\) 左側が左へ(\(y<0\))、右側が右へ(\(y>0\))動く \(\leftrightarrow\) グラフが右上がり（傾き正）。
- 傾きが急なほど、密度変化（疎密の度合い）は大きくなります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 音波の干渉（クインケ管など）: 音波は縦波なので、疎密の位置関係が重要になります。特に「密」と「疎」で圧力がどう変わるか（密は高圧、疎は低圧）を問われることがあります。
- 気柱の共鳴: 開口端補正や定常波の腹・節の位置を考える際、変位の腹（大きく揺れる）は圧力の節（密度変化なし）、変位の節（動かない）は圧力の腹（密度変化最大）という対応関係が鍵になります。
- 初見の問題での着眼点:
- グラフの軸を確認する: \(y-t\)（時間変化）なのか \(y-x\)（空間分布）なのか。これを取り違えると全ての考察が逆になります。
- 波の進行方向を確認する: 「\(+x\) 方向に進む」のか「\(-x\) 方向に進む」のか。これによって、\(y-t\) グラフから \(y-x\) グラフへの変換ルール（未来の波形が左にあるか右にあるか）が変わります。
- 「速度」か「密度」か:
- 速度を問われたら \(\rightarrow\) \(y-t\) グラフの傾き（時間微分）。
- 密度を問われたら \(\rightarrow\) \(y-x\) グラフの傾き（空間微分）。
- この「傾きを見る」という視点を持てば、計算しなくても瞬時に最大・最小の位置を特定できます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- \(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの混同:
- 誤解: \(y-t\) グラフを見て「右下がりの場所だから密だ」と判断してしまう。
- 対策: 疎密は「場所による違い」なので、必ず \(y-x\) グラフ（波形）で判断します。\(y-t\) グラフしか与えられていない場合は、まず問(2)のように \(y-x\) グラフを描き起こしてから疎密を考えましょう。
- 変位の向きと速度の向きの混同:
- 誤解: 「グラフで \(y>0\)（山）にあるから、速度もプラスだろう」と思い込む。
- 対策: 単振動では、端（山・谷）で速度は \(0\) です。速度が最大になるのは中心（\(y=0\)）を通るときです。位置と速度の位相は \(\pi/2\) ずれていることを意識しましょう。
- 「密」の定義の勘違い:
- 誤解: 「山が密で谷が疎」あるいはその逆だと思い込む。
- 対策: 山や谷は「変位が最大」の場所であり、隣との距離は変わりません（密度変化なし）。密や疎になるのは、変位が \(0\) の場所（グラフが軸と交わる点）です。必ず「矢印」を描いて、媒質が集まっているか確認する癖をつけましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)でのグラフ変換の思考プロセス:
- 選定理由: 公式 \(y(x,t) = A\sin\dots\) に代入するのも手ですが、試験場では「少し未来の波形」を考える直感的な方法が速くてミスが少ないです。
- 適用根拠: 波が右に進むなら、\(x=0\) の「少し未来」の状態は、現在 \(x<0\) にある波形と同じです。\(y-t\) グラフで \(t\) が少し進むと \(y\) が上がるなら、\(x=0\) の左側には山があるはずだ、というロジックで波形を決定します。
- 問(5)での「傾き」による判定:
- 選定理由: 疎密を数式で計算するのは手間がかかります。
- 適用根拠: 縦波の定義（\(+y \to\) 右、\(-y \to\) 左）に戻れば、「右下がり \(\to\) 密」という視覚的なルールが導けます。これを一度理解しておけば、以降はグラフを見るだけで瞬殺できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位の確認（\(10^{-2}\) の処理）:
- グラフの軸に \(\times 10^{-2}\) などの倍率が書かれている場合、計算の最後までこれを引きずるのを忘れがちです。\(T=8\) ではなく \(T=0.08\) として計算するか、最後に必ず単位を復元するようメモを残しましょう。
- 逆位相の作図:
- 問(3)のように「半波長ずれた点」のグラフを描くときは、頭の中で反転させるのではなく、元のグラフの主要な点（山、谷、0点）をプロットし、それらを滑らかに結ぶ方が確実です。
- 矢印による可視化:
- 縦波の問題では、面倒くさがらずにグラフの \(x\) 軸上に「変位を表す矢印」を書き込みましょう。特に「密」な場所は矢印の先がぶつかり合う場所、「疎」な場所は矢印のお尻が向き合う場所として一目瞭然になります。
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問題73 (東京理科大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解1: ドップラー効果を用いた解法
- 模範解答が「波の山と観測者の相対的な位置関係（追いつき算）」で解くのに対し、別解1では観測者が動くことによる「見かけの振動数（ドップラー効果）」を計算し、その逆数として周期を求めます。
- 設問(3)(4)の一括別解: 微積分を用いた体系的解法（波動関数の合成）
- 模範解答が「腹と腹の間隔は半波長」といった定常波の幾何学的性質を利用して解くのに対し、別解2では2つの進行波の式 \(y_1, y_2\) を設定して和を取り、合成波の式 \(y = y_1 + y_2\) を導出します。その振幅項を解析することで、腹や節の位置を数学的に特定します。
- 設問(2)の別解1: ドップラー効果を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- ドップラー効果: 「観測者が動く」という状況はドップラー効果そのものであり、公式として定着している知識を活用できるため、計算が速く確実です。
- 波動関数の合成: 定常波の腹や節の位置が「なぜ半波長ごとなのか」「なぜ自由端は腹になるのか」を、三角関数の加法定理から原理的に導出できます。これにより、複雑な境界条件や位相差がある場合にも対応できる応用力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「波の干渉と定常波」です。互いに逆向きに進む2つの波が重なり合って定常波ができる様子や、観測者が動く場合の見かけの周期の変化を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の基本式: \(v = f\lambda = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\)
- 相対速度: 動く観測者から見た波の速さは、相対速度 \(v’ = v – u\) となります。
- 定常波の性質:
- 腹（振幅最大）と節（振幅0）が交互に並びます。
- 腹と腹（または節と節）の間隔は半波長 \(\lambda/2\) です。
- 腹と節の間隔は \(\lambda/4\) です。
- 同位相の波源の中点は「腹」になります。
- 自由端反射では、反射点は「腹」になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、波の基本式から速さを求めます。
- (2)では、観測者が動くため、相対速度を考えるか、ドップラー効果の式を用います。
- (3)では、定常波の腹の位置を数え上げます。中点が腹であることを基準にします。
- (4)では、反射波との合成による定常波を考え、自由端（腹）からの距離で節の位置を特定します。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
まずは2週間、無料でこの続きを読んでみませんか？
