「良問の風」攻略ガイド（71〜75問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題71 (山形大＋山梨大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、\(x\)軸の正方向に進む正弦波のグラフが与えられ、波の基本的な性質（振幅、波長、速さ、振動数、周期）や、特定の時間・位置における媒質の変位、速度について考察する問題です。特に、時間経過による波形の移動と、速さの条件から波の速さを特定する部分がポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「波のグラフの読解と基本性質」に関する典型的な問題です。波のグラフの読み取り、波の基本式 \(v=f\lambda\)、波の周期性と媒質の単振動の理解が求められます。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、問題のグラフから直接読み取れる振幅\(A\)と波長\(\lambda\)を求めます。次に、\(t=0\,[\text{s}]\)の波形（実線）が\(10\,[\text{s}]\)かけて\(t=10\,[\text{s}]\)の波形（点線）に移動したと考えます。波は周期的に繰り返しているため、この\(10\,[\text{s}]\)間に波が進んだ距離には複数の可能性があります。グラフの位相のずれから、波は\((n+1/4)\)波長（\(n\)は0以上の整数）だけ進んだと考えられます。それぞれの可能性について速さを計算し、問題文で与えられた速さの条件（\(3 \,[\text{cm/s}] < v < 15 \,[\text{cm/s}]\)）を満たすものを特定します。速さが決まれば、基本公式\(v=f\lambda\)と\(T=1/f\)を用いて振動数\(f\)と周期\(T\)を算出します。
この設問における重要なポイント

• 波形グラフから振幅と波長を正確に読み取ること。
• 波の進行距離の候補を複数考え（波の周期性を考慮して \(d, d+\lambda, d+2\lambda, \dots\) のように）、与えられた条件（速さの範囲）で絞り込むこと。
• 波の基本式\(v=f\lambda\)および\(T=1/f\)を正しく適用すること。

具体的な解説と立式
問題のグラフから、波の振幅\(A\)は最大変位の大きさなので\(A=1\,[\text{cm}]\)。
波長\(\lambda\)は、グラフ上で同じ位相の点（例えば山から次の山まで）の距離なので、\(x=20\,[\text{cm}]\)の山から\(x=100\,[\text{cm}]\)の山までを読むと\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)。

次に、波の速さ\(v\)を求めます。\(t=0\,[\text{s}]\)の波形（実線）が\(10\,[\text{s}]\)後に点線の波形になったと考えます。実線は\(x=20\)で山、点線は\(x=0\)で山となっており、位相が\(1/4\)波長ずれています。波は\(x\)軸正方向に進むので、実線の波形が点線の波形になるには、\((n+1/4)\)波長（\(n=0, 1, 2, \dots\)）だけ進んだと考えられます。
進んだ距離\(d\)は、
$$d = \left(n + \frac{1}{4}\right)\lambda = \left(n + \frac{1}{4}\right) \times 80 = 80n + 20 \quad [\text{cm}]$$
それぞれの速さ \(v = \displaystyle\frac{d}{10\,[\text{s}]}\) は、
\(n=0\) のとき \(d=20\,[\text{cm}]\)、よって \(v = \displaystyle\frac{20}{10} = 2\,[\text{cm/s}]\)。
\(n=1\) のとき \(d=100\,[\text{cm}]\)、よって \(v = \displaystyle\frac{100}{10} = 10\,[\text{cm/s}]\)。
\(n=2\) のとき \(d=180\,[\text{cm}]\)、よって \(v = \displaystyle\frac{180}{10} = 18\,[\text{cm/s}]\)。

問題の条件より、速さ\(v\)は\(3 \,[\text{cm/s}] < v < 15 \,[\text{cm/s}]\)なので、これを満たすのは\(v=10\,[\text{cm/s}]\)。

振動数\(f\)は\(v=f\lambda\)より、
$$f = \frac{v}{\lambda}$$
周期\(T\)は\(T=1/f\)または\(T=\lambda/v\)より、
$$T = \frac{1}{f} = \frac{\lambda}{v}$$

振幅: \(A = 1 \,[\text{cm}]\) (グラフより読み取り)

波長: \(\lambda = 80 \,[\text{cm}]\) (グラフより読み取り)

可能な速さ\(v\)の候補を計算します:

• \(n=0\) のとき: \(d = 20 \,[\text{cm}]\)。 \(v = \displaystyle\frac{20 \,[\text{cm}]}{10 \,[\text{s}]} = 2 \,[\text{cm/s}]\)。
• \(n=1\) のとき: \(d = 80 \times 1 + 20 = 100 \,[\text{cm}]\)。 \(v = \displaystyle\frac{100 \,[\text{cm}]}{10 \,[\text{s}]} = 10 \,[\text{cm/s}]\)。
• \(n=2\) のとき: \(d = 80 \times 2 + 20 = 180 \,[\text{cm}]\)。 \(v = \displaystyle\frac{180 \,[\text{cm}]}{10 \,[\text{s}]} = 18 \,[\text{cm/s}]\)。

与えられた条件 \(3 \,[\text{cm/s}] < v < 15 \,[\text{cm/s}]\) を満たすのは、\(v = 10 \,[\text{cm/s}]\)。

振動数\(f\)を求めます:
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda} \\[2.0ex]
&= \frac{10 \,[\text{cm/s}]}{80 \,[\text{cm}]} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{8} \,[\text{Hz}] \\[2.0ex]
&= 0.125 \,[\text{Hz}]
\end{aligned}
$$
周期\(T\)を求めます:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{f} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{1/8 \,[\text{Hz}]} \\[2.0ex]
&= 8 \,[\text{s}]
\end{aligned}
$$

まず、グラフを見て、波の高さ（振幅）が\(1\,[\text{cm}]\)、波一つ分の長さ（波長）が\(80\,[\text{cm}]\)であることを読み取ります。
次に、実線の波（0秒後）が点線の波（10秒後）に変わったことに注目します。波は右に進むので、10秒間でどれだけ進んだかを考えます。グラフの形から、波は\(1/4\)波長（\(20\,[\text{cm}]\)）分だけ進んだように見えますが、波は繰り返しているので、実際には\(1\)周と\(1/4\)波長（\(100\,[\text{cm}]\)）進んだのかもしれないし、\(2\)周と\(1/4\)波長（\(180\,[\text{cm}]\)）進んだのかもしれません。
もし進んだ距離が\(20\,[\text{cm}]\)なら速さは\(20/10 = 2\,[\text{cm/s}]\)。
もし\(100\,[\text{cm}]\)なら速さは\(100/10 = 10\,[\text{cm/s}]\)。
もし\(180\,[\text{cm}]\)なら速さは\(180/10 = 18\,[\text{cm/s}]\)。
問題に「速さは\(3\,[\text{cm/s}]\)より速く\(15\,[\text{cm/s}]\)より遅い」とあるので、当てはまるのは\(10\,[\text{cm/s}]\)です。
速さが\(10\,[\text{cm/s}]\)と分かれば、振動数\(f\)は公式\(v=f\lambda\)から\(f = v/\lambda = 10/80 = 0.125\,[\text{Hz}]\)。周期\(T\)は公式\(T=1/f\)から\(T = 1/0.125 = 8\,[\text{s}]\)と求まります。

波の振幅\(A=1\,[\text{cm}]\)、波長\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)、速さ\(v=10\,[\text{cm/s}]\)、振動数\(f=0.125\,[\text{Hz}]\)、周期\(T=8\,[\text{s}]\)。
これらの値は物理的に妥当であり、特に速さが与えられた条件を満たすように複数の可能性から一つに定まった点が重要です。単位もそれぞれ物理量として適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では、\(t=0\,[\text{s}]\)のときの波形（実線グラフ）について、特定の位置\(x=220\,[\text{cm}]\)における変位\(y\)を求めます。波は波長\(\lambda\)ごとに同じ形を繰り返すという「空間的な周期性」を利用します。具体的には、\(x=220\,[\text{cm}]\)という位置が、波長の整数倍だけ移動したときにグラフのどの位置と等価になるかを考え、その等価な位置での変位をグラフから読み取ります。
この設問における重要なポイント

• 波の空間的な周期性（\(1\lambda\)ごとに同じ位相、同じ変位になる）を理解し、適用すること。
• 対象となる位置を、グラフで読み取れる範囲（\(0 \le x < \lambda\)）の等価な位置に正しく変換すること。

具体的な解説と立式
\(t=0\,[\text{s}]\)のときの波形（実線グラフ）について考えます。波は波長\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)ごとに同じ形を繰り返します。
位置\(x=220\,[\text{cm}]\)について、この位置が\(1\)波長\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)の何倍の位置に対応するかを調べます。
$$220\,[\text{cm}] = 2 \times 80\,[\text{cm}] + 60\,[\text{cm}]$$
したがって、\(x=220\,[\text{cm}]\)は、\(2\)波長分離れた\(x=60\,[\text{cm}]\)の点と同じ状態です。
よって、\(x=220\,[\text{cm}]\)の点の変位は、\(x=60\,[\text{cm}]\)の点の変位と同じになります。
\(t=0\,[\text{s}]\)のグラフ（実線）で\(x=60\,[\text{cm}]\)の位置を見ると、波の谷にあたり、変位は\(y=-1\,[\text{cm}]\)です。

与えられた位置\(x=220\,[\text{cm}]\)と波長\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)から、
$$220 \div 80 = 2 \text{ 余り } 60$$
この計算は、\(220\,[\text{cm}] = 2 \times 80\,[\text{cm}] + 60\,[\text{cm}]\)を意味します。
よって、\(x=220\,[\text{cm}]\)での変位は、\(t=0\,[\text{s}]\)の波形の\(x=60\,[\text{cm}]\)での変位と同じになります。
問題のグラフ（実線）より、\(x=60\,[\text{cm}]\)のとき\(y=-1\,[\text{cm}]\)。

\(t=0\)の時の波の形について考えます。波は\(80\,[\text{cm}]\)進むごとに同じ形が繰り返されます。\(x=220\,[\text{cm}]\)という場所がどんな状態かを知りたいのですが、\(220\)を\(80\)で割ると、\(220 = 2 \times 80 + 60\)となります。これは、\(x=220\,[\text{cm}]\)の場所は、\(x=60\,[\text{cm}]\)の場所と波の形としては全く同じ状態だということです（\(2\)波長分だけ離れているだけ）。そこで、\(t=0\)のグラフ（実線）で\(x=60\,[\text{cm}]\)の場所を見ると、ちょうど波の谷になっていて、変位は\(y=-1\,[\text{cm}]\)です。

\(t=0\,[\text{s}]\)、\(x=220\,[\text{cm}]\)における変位は\(y=-1\,[\text{cm}]\)。
この結果は振幅\(A=1\,[\text{cm}]\)の範囲内であり、波の空間的な周期性を正しく利用して求めることができました。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問では、特定の位置\(x=100\,[\text{cm}]\)における、特定の時刻\(t=6\,[\text{s}]\)での変位\(y\)を求めます。まず、\(t=0\,[\text{s}]\)における\(x=100\,[\text{cm}]\)の点の状態を把握します。次に、その点の媒質が周期\(T=8\,[\text{s}]\)で単振動すると考え、\(t=6\,[\text{s}]\)がどの位相に相当するかを計算し、変位を決定します。
この設問における重要なポイント

• 特定点の媒質の振動を時間追跡できること（単振動の位相の変化を理解していること）。
• 波の周期\(T\)と経過時間\(t\)の関係（\(t/T\)）を正しく評価すること。

具体的な解説と立式
まず、\(x=100\,[\text{cm}]\)の位置が\(t=0\,[\text{s}]\)でどのような状態かを確認します。
グラフ（実線）より、\(t=0\,[\text{s}]\)で\(x=100\,[\text{cm}]\)は山であり、変位は\(y=1\,[\text{cm}]\)。
つまり、\(x=100\,[\text{cm}]\)の媒質は、時刻\(t=0\,[\text{s}]\)に振幅の正の端（山、\(y=A=1\,[\text{cm}]\)）にいます。

この媒質の振動の周期は波の周期\(T=8\,[\text{s}]\)と同じです。求めたいのは\(t=6\,[\text{s}]\)での変位です。
経過時間\(t=6\,[\text{s}]\)が、周期\(T=8\,[\text{s}]\)の何倍かを考えます。
$$\frac{t}{T} = \frac{6\,[\text{s}]}{8\,[\text{s}]} = \frac{3}{4}$$
時刻\(t=0\)で\(y=A\)(山)の状態から単振動を始める媒質が、\(\frac{3}{4}T\)経過した後の変位は、振動中心である\(y=0\,[\text{cm}]\)となります。

1. \(x=100\,[\text{cm}]\)の初期状態の特定:

グラフ（実線）から\(t=0\,[\text{s}], x=100\,[\text{cm}]\)で\(y=1\,[\text{cm}]\) (山)。

2. 経過時間の周期に対する割合の計算:

周期\(T=8\,[\text{s}]\)、経過時間\(t=6\,[\text{s}]\)。
\(\displaystyle\frac{t}{T} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)。

3. 変位の決定:

\(t=0\)で山(\(y=A\))の状態から\(\frac{3}{4}T\)後の変位は\(y=0\)。
したがって、\(y=0\,[\text{cm}]\)。

\(x=100\,[\text{cm}]\)の場所の、\(6\)秒後の揺れ具合（変位）を知りたいですね。
まず、\(0\)秒のとき、\(x=100\,[\text{cm}]\)はグラフ（実線）から「山」(\(y=1\,[\text{cm}]\))です。
この「山」の状態から\(6\)秒後を考えます。波の揺れの周期は\(8\)秒でした。
\(6\)秒というのは、周期\(8\)秒の\(6/8 = 3/4\)にあたります。
「山」からスタートして、\(1/4\)周期で真ん中(\(y=0\))、\(2/4\)周期で「谷」、そして\(3/4\)周期でまた真ん中(\(y=0\))に戻ってきます。
ですから、\(6\)秒後の変位は\(y=0\,[\text{cm}]\)です。

\(x=100\,[\text{cm}]\)、\(t=6\,[\text{s}]\)での変位は\(y=0\,[\text{cm}]\)。
媒質の単振動の周期的な変化を正しく追跡することで、妥当な結果が得られました。

問(4)

思考の道筋とポイント
この設問では、\(t=0\,[\text{s}]\)のときの波形（実線グラフ）について、図の範囲（\(0 \le x \le 150 \,[\text{cm}]\)）で、媒質の速度に関する条件を満たす位置を探します。

1. 媒質の速度が\(0\)の位置: 媒質が単振動をするとき、速度が\(0\)になるのは振動の端、つまり変位が最大または最小となるときです。波形でいうと、これは「山」または「谷」の位置に対応します。グラフからこれらの位置を読み取ります。
2. 媒質の速度が\(+y\)方向で最大の位置: 媒質の速度が最大になるのは、振動の中心、つまり変位\(y=0\,[\text{cm}]\)の位置です。さらに、その速度の向きが\(+y\)方向（上向き）であるものを探します。波は\(x\)軸の正方向に進んでいるので、\(y=0\)の点で、これから波の山がやってくるような位置（波形が下り坂になっている点）の媒質が\(+y\)方向に動きます。

この設問における重要なポイント

• 媒質の速度が\(0\)になるのは、単振動の変位の端（波の山・谷）であることを理解している。
• 媒質の速度が最大になるのは、単振動の変位\(0\)の点（振動中心）であることを理解している。
• 波の進行方向と波形グラフの傾きから、媒質の振動の向き（速度の向き）を正しく判断できること。

具体的な解説と立式
\(t=0\,[\text{s}]\)の波形（実線グラフ）について、図の範囲\(0 \le x \le 150 \,[\text{cm}]\)で考えます。

媒質の速度が\(0\)の位置:

媒質が単振動をするとき、速度が\(0\)になるのは変位が最大または最小のとき、つまり振動の端です。これは波形でいうと「山」または「谷」の位置に対応します。
グラフ（実線）から、図の範囲で山と谷の位置を読み取ると、
山となっている位置: \(x=20\,[\text{cm}]\), \(x=100\,[\text{cm}]\)
谷となっている位置: \(x=60\,[\text{cm}]\), \(x=140\,[\text{cm}]\)
よって、媒質の速度が\(0\)の位置は\(x=20, 60, 100, 140\,[\text{cm}]\)。

媒質の速度が\(+y\)方向で最大の位置:

媒質の速度が最大になるのは、振動の中心、つまり変位\(y=0\,[\text{cm}]\)の位置です。
さらに、その速度の向きが\(+y\)方向であるものを探します。波は\(x\)軸の正方向に進んでいます。
\(y=0\)となる位置で、波形が「下り坂」（グラフの傾きが負）になっている点では、これから波の山がやってくるので、媒質は\(+y\)方向に動きます。
グラフ（実線）から\(y=0\)となる位置で、波形が下り坂になっている点を探します。

• \(x=40\,[\text{cm}]\): \(y=0\)。この点の右側は谷に向かっており、波形は下り坂。よって媒質は\(+y\)方向に動き、速度は最大。
• \(x=120\,[\text{cm}]\): \(y=0\)。この点の右側は谷に向かっており、波形は下り坂。よって媒質は\(+y\)方向に動き、速度は最大。

したがって、図の範囲\(0 \le x \le 150 \,[\text{cm}]\)では、媒質の速度が\(+y\)方向で最大となるのは\(x=40\,[\text{cm}]\)と\(x=120\,[\text{cm}]\)です。

媒質の速度が\(0\)の位置の特定:

グラフ（実線、\(0 \le x \le 150 \,[\text{cm}]\)）から山と谷の\(x\)座標を読み取ります。
山: \(x=20\,[\text{cm}]\), \(x=100\,[\text{cm}]\)。
谷: \(x=60\,[\text{cm}]\), \(x=140\,[\text{cm}]\)。
これらの位置で媒質の速度は\(0\)です。

媒質の速度が\(+y\)方向で最大の位置の特定:

グラフ（実線、\(0 \le x \le 150 \,[\text{cm}]\)）から\(y=0\)となり、かつその点で波形が下り坂（傾きが負）となっている\(x\)座標を読み取ります。
\(x=40\,[\text{cm}]\): \(y=0\)。\(x=20\)(山)と\(x=60\)(谷)の間にあり、傾きは負。
\(x=120\,[\text{cm}]\): \(y=0\)。\(x=100\)(山)と\(x=140\)(谷)の間にあり、傾きは負。
これらの位置で媒質の速度は\(+y\)方向で最大です。

\(0\)秒の時の波の形（実線グラフ）を見て考えます。
まず、媒質の速さが\(0\)になる場所：
これは、ブランコで一番高いところに来て一瞬止まるのと同じで、波の「山」のてっぺんや「谷」の底です。グラフで\(0\,[\text{cm}]\)から\(150\,[\text{cm}]\)の間を探すと、
山は\(x=20\,[\text{cm}]\)と\(x=100\,[\text{cm}]\)。
谷は\(x=60\,[\text{cm}]\)と\(x=140\,[\text{cm}]\)。
これらの場所では、媒質の上下の動きが一瞬止まります。

次に、媒質の速さが\(+y\)方向（上向き）に最大になる場所：
速さが最大になるのは、ブランコが一番低いところ（真ん中）を通過するときと同じで、波の変位が\(y=0\,[\text{cm}]\)の場所です。
さらに「上向き」に動いている点を探します。波は右に進んでいます。
\(y=0\)で、かつ波形が「下り坂」になっている場所を探します。なぜなら、下り坂の場所にいる媒質は、これから右からやってくる山によって上に持ち上げられるからです。
グラフを見ると、
\(x=40\,[\text{cm}]\)は\(y=0\)で、山の\(x=20\)から谷の\(x=60\)へ向かう途中の下り坂です。なので、ここは上向きに速度最大。
\(x=120\,[\text{cm}]\)も\(y=0\)で、山の\(x=100\)から谷の\(x=140\)へ向かう途中の下り坂です。なので、ここも上向きに速度最大。
となります。

\(t=0\,[\text{s}]\)において、
媒質の速度が\(0\)の位置は、\(x=20, 60, 100, 140\,[\text{cm}]\)。
媒質の速度が\(+y\)方向で最大の速度の位置は、\(x=40, 120\,[\text{cm}]\)。
これらは、波における媒質の単振動の基本的な性質と、波の進行方向からくる位相の関係を正しく反映しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
この設問では、特定の位置\(x=500\,[\text{cm}]\)における、特定の時刻\(t=20\,[\text{s}]\)での変位\(y\)を求めます。これは問(2)と問(3)の考え方を組み合わせたものです。

1. 位置の周期性を利用: まず、\(x=500\,[\text{cm}]\)という位置が、波長\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)の周期性を考えると、\(t=0\,[\text{s}]\)においてグラフ上のどの位置（\(0 \le x’ < \lambda\)）と等価であるかを特定します。
2. 時間の周期性を利用: 次に、時刻\(t=20\,[\text{s}]\)が、波の周期\(T=8\,[\text{s}]\)の周期性を考えると、実質的にどの時間経過（\(0 \le t’ < T\)）と同じであるかを特定します。
3. 変位の決定: ステップ1で特定した\(t=0\,[\text{s}]\)での状態から、ステップ2で特定した実質的な時間だけ経過したときに、その媒質がどのような変位になるかを、単振動の周期的な変化を元に考えます。

この設問における重要なポイント

• 波の空間的周期性\(y(x,t) = y(x+n\lambda, t)\)を用いて、遠くの位置を基準範囲内の位置に換算すること。
• 波の時間的周期性\(y(x,t) = y(x, t+mT)\)を用いて、未来の時刻を基準周期内の時刻に換算すること（\(n, m\)は整数）。
• 換算後の初期状態と経過時間から、単振動の変位を正確に求めること。

具体的な解説と立式
まず、位置\(x=500\,[\text{cm}]\)について、波長\(\lambda=80\,[\text{cm}]\)を用いて基準化します。
\(500 \div 80 = 6\)余り\(20\)。
なので、\(x=500\,[\text{cm}] = 6\lambda + 20\,[\text{cm}]\)。
これは、\(x=500\,[\text{cm}]\)の点の振る舞いは、\(x=20\,[\text{cm}]\)の点の振る舞いと同じであることを意味します。
\(t=0\,[\text{s}]\)において、グラフ（実線）から\(x=20\,[\text{cm}]\)の点は山であり、変位は\(y=1\,[\text{cm}]\)。

次に、時間\(t=20\,[\text{s}]\)について、周期\(T=8\,[\text{s}]\)を用いて基準化します。
\(20 \div 8 = 2\)余り\(4\)。
なので、\(t=20\,[\text{s}] = 2T + 4\,[\text{s}]\)。
これは、\(t=20\,[\text{s}]\)後の状態は、\(t=0\,[\text{s}]\)の状態から\(4\,[\text{s}]\)だけ時間が経過した状態と同じであることを意味します。

したがって、この問題は「\(t=0\,[\text{s}]\)で山(\(y=1\,[\text{cm}]\))の状態にある媒質が、\(4\,[\text{s}]\)後にどのような変位になるか」という問いに帰着されます。
経過時間\(4\,[\text{s}]\)は、周期\(T=8\,[\text{s}]\)の\(\displaystyle\frac{4\,[\text{s}]}{8\,[\text{s}]} = \frac{1}{2}\)倍です。つまり、\(\frac{1}{2}T\)だけ時間が経過します。
\(t=0\)で\(y=A\)(山)の状態から単振動を始める媒質が、\(\frac{1}{2}T\)経過した後の変位は、反対側の谷(\(y=-A\))になるので、変位は\(y=-1\,[\text{cm}]\)。

1. 位置の換算:

\(x=500\,[\text{cm}]\)。 \(\lambda=80\,[\text{cm}]\)。
\(500 \div 80 = 6\)余り\(20\)。
よって、\(x=500\,[\text{cm}]\)は\(x=20\,[\text{cm}]\)と等価な振る舞いをします。
\(t=0\,[\text{s}]\)で\(x=20\,[\text{cm}]\)は山(\(y=1\,[\text{cm}]\))。

2. 時間の換算:

\(t=20\,[\text{s}]\)。 \(T=8\,[\text{s}]\)。
\(20 \div 8 = 2\)余り\(4\)。
よって、\(t=20\,[\text{s}]\)後の状態は、\(t=0\,[\text{s}]\)の状態から\(4\,[\text{s}]\)後の状態と同じ。

3. 変位の計算:

\(t=0\)で山(\(y=1\,[\text{cm}]\))の媒質が、\(4\,[\text{s}]\)後（これは周期\(T=8\,[\text{s}]\)の\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}T\)に相当）の変位を求めます。
単振動において、山(\(y=A\))の状態から\(\frac{1}{2}T\)後は谷(\(y=-A\))になります。
振幅\(A=1\,[\text{cm}]\)なので、変位は\(y = -1\,[\text{cm}]\)。

\(x=500\,[\text{cm}]\)という遠い場所の、\(20\)秒後という未来の揺れ具合（変位）を知りたい問題です。
まず場所について：波は\(80\,[\text{cm}]\)ごとに同じ形が繰り返されます。\(500\)を\(80\)で割ると\(500 = 6 \times 80 + 20\)なので、\(x=500\,[\text{cm}]\)の場所は、\(x=20\,[\text{cm}]\)の場所と全く同じように揺れます。\(0\)秒のとき、\(x=20\,[\text{cm}]\)はグラフ（実線）から「山」(\(y=1\,[\text{cm}]\))です。
次に時間について：波の揺れの周期は\(8\)秒です。\(20\)秒後というのは、\(8\)秒たったら元に戻り、また\(8\)秒（合計\(16\)秒）たっても元に戻るので、実質的には\(20 – 16 = 4\)秒後と同じ状態です。
つまり、この問題は「\(0\)秒のとき山(\(y=1\,[\text{cm}]\))だった点が、\(4\)秒後にはどうなっているか？」という問題に言い換えられます。
\(4\)秒というのは、周期\(8\)秒のちょうど半分(\(1/2\)周期)です。
「山」からスタートして\(1/2\)周期後は、反対側の「谷」になります。
ですから、変位は\(y=-1\,[\text{cm}]\)です。

\(x=500\,[\text{cm}]\)、\(t=20\,[\text{s}]\)での変位は\(y=-1\,[\text{cm}]\)。
波の空間的な周期性（波長ごと）と時間的な周期性（周期ごと）を正しく組み合わせて考えることで、複雑に見える問題も単純化して解くことができました。答えは振幅の範囲内であり、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本特性の網羅的理解:
  • 核心: この問題は、振幅\(A\)、波長\(\lambda\)、速さ\(v\)、振動数\(f\)、周期\(T\)といった波を表す基本的な物理量の定義と、それらの間の関係式(\(v=f\lambda\), \(T=1/f\))を正確に理解し、使いこなせるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    1. グラフからの読解: \(y-x\)グラフから、振幅（波の高さ）と波長（波1つ分の長さ）を視覚的に読み取る能力が全ての出発点です。
    2. 基本式の適用: 読み取った情報と与えられた条件を、波の基本式に当てはめて未知の量を計算する、基本的な計算力が求められます。
    3. 物理量間の連関: 1つの量（例えば速さ\(v\)）が分かれば、他の量（振動数\(f\)、周期\(T\)）が芋づる式に求まるという、物理量同士の繋がりを意識することが重要です。
• 波の周期性（空間的・時間的）:
  • 核心: 波という現象が、空間的にも時間的にも同じパターンを繰り返すという性質を理解し、応用できることが鍵となります。
  • 理解のポイント:
    1. 空間的周期性: 「位置\(x\)と\(x+\lambda\)は同じ状態」という性質を利用して、グラフの範囲外の遠い場所の状態を、グラフ内の見慣れた場所の状態に置き換えて考えることができます（問2, 5）。
    2. 時間的周期性: 「時刻\(t\)と\(t+T\)は同じ状態」という性質を利用して、遠い未来の状態を、1周期内の短い時間の変化に置き換えて考えることができます（問5）。
• 媒質の単振動と波形の移動の関係:
  • 核心: 波は「波形」というパターンが移動していく現象であると同時に、各場所の「媒質」がその場で単振動する現象でもあります。この2つの見方を自由に行き来できることが、応用力を高めます。
  • 理解のポイント:
    1. 媒質の速度: 媒質の速度が0になるのは振動の端（山・谷）、最大になるのは振動の中心（変位0）であるという、単振動の基本知識が不可欠です（問4）。
    2. 進行方向と振動方向: 波の進行方向と、ある瞬間の波形の傾きから、各媒質が次にどちらの方向に動くかを判断する能力が求められます（問4）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)グラフが与えられる問題: ある一点の媒質の時間変化のグラフから、波長や速さを求める問題。\(y-x\)グラフとの相互変換が問われます。
  • 波の式を扱う問題: \(y = A\sin(\omega t – kx)\)のような式が与えられたり、逆にグラフから式を立てさせられたりする問題。本問の別解のアプローチが直接役立ちます。
  • 定常波の問題: 入射波と反射波が重なり合ってできる定常波。腹や節の位置を考える上で、進行波の位相の理解が基礎となります。
  • ドップラー効果の問題: 波源や観測者が動くことで振動数が変化する現象。波の基本（速さ、波長）の理解が前提となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの種類の確認: まず、与えられたグラフが\(y-x\)グラフ（ある瞬間のスナップショット）なのか、\(y-t\)グラフ（ある場所の定点観測）なのかを明確に区別する。
  2. 条件の絞り込み: 本問の「速さの範囲」のように、解を一つに特定するための制約条件を見落とさない。これは物理の問題で頻出するパターンです。
  3. 基準点の選択: どの点（例えば、山、谷、原点など）の動きに注目すると、計算や思考が最も楽になるかを見極める。
  4. 解法アプローチの選択: 媒質の単振動を追うか、波形全体の移動を考えるか、あるいは波の式を立てるか、問題に応じて最も効率的なアプローチを選択する視点を持つ。本問の別解のように、複数の解法を知っていると有利です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の速さと媒質の速さの混同:
  • 誤解: 波が進む速さ\(v\)と、媒質が振動する速さ\(v_y\)をごちゃ混ぜにしてしまう。
  • 対策: 波の速さ\(v\)は波形が進む速さで（通常は）一定。媒質の速さ\(v_y\)は単振動の速度であり、山や谷で0、振動中心で最大と、常に変化していることを明確に区別する。
• 波の移動距離の候補の見落とし:
  • 誤解: 問(1)で、2つの波形の間の移動距離を、見た目で最も近い距離（\(1/4\)波長）だけだと決めつけてしまう。
  • 対策: 波は周期的に繰り返すため、移動距離は「\(d_0 + n\lambda\)」（\(d_0\)は最短移動距離、\(n\)は整数）と、複数の可能性を常に念頭に置く習慣をつける。
• 媒質の速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: 波が右に進むから、媒質も右に動くと勘違いする。あるいは、波形の傾きと速度の向きの関係を直感で間違える。
  • 対策: 「少し未来の波形」を頭の中（または実際に）描いてみるのが最も確実。「波が右に進むなら、ある点の媒質の動きは、その少し左の点の現在の動きと同じ」と考える。例えば、\(y=0\)で傾きが負（下り坂）の点では、その少し左は\(y>0\)なので、この点は次に上に動く（\(+y\)方向）と判断できる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v=f\lambda\), \(T=1/f\):
  • 選定理由: これらは波の最も基本的な性質（速さ、空間的周期性、時間的周期性）を結びつける普遍的な関係式だからです。
  • 適用根拠: 問題で波の基本量（\(v, f, \lambda, T\)）のうち、いずれかが問われ、他の量が既知または導出可能な場合に必ず使用します。
• 波の周期性（剰余計算）:
  • 選定理由: 遠い位置や未来の時刻の状態を知りたいが、グラフは限られた範囲しか描かれていない、という問題を解決するためです。
  • 適用根拠: 問題で与えられた\(x\)が\(\lambda\)より大きい、または\(t\)が\(T\)より大きい場合、周期性を利用して問題を「グラフの範囲内」「1周期以内」の単純な状況に変換するために適用します。
• 波の式 \(y(x,t) = A\cos(\dots)\):
  • 選定理由: 波の運動を、時間と空間の変数を含む一つの数式で完全に記述するためです。
  • 適用根拠: 周期性を利用した段階的な思考が難しい、あるいはより厳密な計算が求められる場合に選択します。特に、任意の\(x\), \(t\)における変位、速度、加速度を求めたい場合に強力なツールとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 変位\(y\)の正負、媒質の速度\(v_y\)の向き（\(+y\)か\(-y\)か）は物理的に重要な意味を持ちます。特に問(4)のような問題では、符号の判断が直接得点に影響します。
  • 日頃の練習: グラフに小さな矢印を書き込むなどして、媒質の動きを視覚化する癖をつける。
• 単位の統一と確認:
  • 特に注意すべき点: この問題ではcmとsで統一されていましたが、問題によってはmとcmが混在することがあります。計算前に単位を揃えることを徹底する。
  • 日頃の練習: 計算の最終結果だけでなく、途中式にも単位を書き込む習慣をつけると、次元の間違いに気づきやすくなります。
• 剰余計算の正確性:
  • 特に注意すべき点: 問(2)や問(5)での「\(220 \div 80 = 2\) 余り \(60\)」のような計算。商と余りを混同したり、計算を間違えたりしないように慎重に行う。
  • 日頃の練習: 暗算に頼らず、筆算や電卓（もし許可されていれば）で検算する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 速さ\(v\): 計算で求まった\(v=10\,[\text{cm/s}]\)は、問題文の条件\(3 < v < 15\)を満たしているか？（Yes）
  • (2), (3), (5) 変位\(y\): 求まった変位（\(-1\,[\text{cm}]\), \(0\,[\text{cm}]\), \(-1\,[\text{cm}]\)）は、振幅\(A=1\,[\text{cm}]\)の範囲内（\(-1 \le y \le 1\)）に収まっているか？（Yes）これを超えていたら明らかな計算ミスです。
  • (4) 媒質の速度が0の位置: 求まった位置（\(x=20, 60, 100, 140\)）は、グラフの山と谷の位置と一致しているか？（Yes）
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし\(t=8\,[\text{s}]\)（ちょうど1周期後）だったら、波形は\(t=0\)の実線と完全に重なるはず。このとき、問(3)で\(t=8\)を代入すると、\(x=100\)の点は山から出発して1周期後なので、再び山(\(y=1\))に戻る。これは直感と一致します。
  • もし\(t=4\,[\text{s}]\)（半周期後）だったら、波形は\(t=0\)の実線を上下反転させた形になるはず。このとき、問(3)で\(t=4\)を代入すると、\(x=100\)の点は山から出発して半周期後なので、谷(\(y=-1\))になる。これも直感と一致します。
• 別解による検算:
  • 問(3)や問(5)では、複数のアプローチで同じ答えが得られました。これは、計算の正しさを裏付ける強力な証拠となります。一つの解法で答えが出ても、時間があれば別の視点から見直す習慣は非常に有効です。

問題72 (九州工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、\(x\) 軸の正方向に進む縦波に関するものです。\(x=0\) の点の媒質の変位の時間変化 (\(y-t\) グラフ) から波の基本量を求め、ある時刻の波形 (\(y-x\) グラフ、横波表示) を描き、特定の位置の媒質の振動の様子や、縦波特有の「密」な部分について考察します。縦波の変位の向き（\(+x\) 方向を正）と、横波表示の関係を正確に理解することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「縦波の性質」と「波のグラフの解釈」がテーマです。\(y-t\) グラフ（ある一点の媒質の時間の振動の様子）と \(y-x\) グラフ（ある瞬間の波の形）の関係を正しく理解し、相互に変換できるかがポイントになります。また、縦波における媒質の変位と「疎密」の関係も重要な考察点です。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問では、波の基本的なパラメータである周期 \(T\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) を求めます。まず、与えられた \(x=0\) の媒質の \(y-t\) グラフから周期 \(T\) を直接読み取ります。次に、関係式 \(f=1/T\) を用いて振動数 \(f\) を計算し、最後に波の基本式 \(v=f\lambda\) (または \(\lambda=vT\)) を用いて波長 \(\lambda\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 与えられたグラフが、ある一点の振動の様子を示す \(y-t\) グラフであることを正しく認識する。
• グラフの横軸から、1回の振動にかかる時間（周期 \(T\)）を正確に読み取る。横軸の単位 (\(\times 10^{-2} \, \text{s}\)) に注意する。
• 波の基本公式 \(f=1/T\) と \(v=f\lambda\) を正しく適用する。

具体的な解説と立式
問題の図は \(x=0\) における媒質の変位 \(y\) と時間 \(t\) の関係を示す \(y-t\) グラフです。このグラフから、媒質が1回振動して元の状態に戻るまでの時間、すなわち周期 \(T\) を読み取ります。グラフは \(t=0\) から始まり、山と谷を1回ずつ経て \(t=8 \times 10^{-2} \, \text{s}\) で1サイクルが完了しています。
$$
\begin{aligned}
T &= 8.0 \times 10^{-2} \, \text{s}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) は周期 \(T\) の逆数なので、
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{T}
\end{aligned}
$$
波長 \(\lambda\) は、波の速さ \(v\) と周期 \(T\) を用いて、波の基本式から求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= vT
\end{aligned}
$$
問題文より、波の速さは \(v = 100 \, \text{cm/s}\) です。

周期 \(T\) はグラフから直接読み取ります。
$$
\begin{aligned}
T &= 8.0 \times 10^{-2} \, \text{s}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{8.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex]
&= \frac{100}{8.0} \\[2.0ex]
&= 12.5 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$
波長 \(\lambda\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= vT \\[2.0ex]
&= 100 \, \text{cm/s} \times (8.0 \times 10^{-2} \, \text{s}) \\[2.0ex]
&= 8.0 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$

まず、問題の図（\(x=0\)の点の揺れ方を示すグラフ）を見ます。このグラフの横軸は時間です。波が一回揺れて元に戻るまでの時間、つまり「周期 \(T\)」をグラフから読み取ると、\(8 \times 10^{-2}\) 秒です。次に、「振動数 \(f\)」は1秒間に何回揺れるかを表し、周期の逆数なので、\(f = 1/T = 12.5\) ヘルツです。最後に、「波長 \(\lambda\)」は波1つ分の長さです。波は1周期の時間 \(T\) で1波長 \(\lambda\) だけ進むので、速さ \(v=100 \, \text{cm/s}\) を使って、\(\lambda = v \times T = 100 \times (8 \times 10^{-2}) = 8.0 \, \text{cm}\) と計算できます。

この波の周期は \(T = 8.0 \times 10^{-2} \, \text{s}\)、振動数は \(f = 12.5 \, \text{Hz}\)、波長は \(\lambda = 8.0 \, \text{cm}\) となります。これらの値は、与えられた情報から基本的な物理法則に基づいて導出されており、互いに整合性が取れています。

問(2)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t=0\) における波の形（\(y-x\) グラフ）を描きます。これは、与えられた \(x=0\) の点の時間変化のグラフ (\(y-t\) グラフ) から空間的な波の形を推測する作業です。\(x=0, t=0\) での初期条件（変位と速度の向き）を \(y-t\) グラフから読み取り、波が \(+x\) 方向に進むことを考慮して、\(y-x\) グラフの形を決定します。波の式を立てて \(t=0\) を代入するのが一つの方法です。
この設問における重要なポイント

• \(y-t\) グラフ（特定点の時間変化）と \(y-x\) グラフ（特定時刻の空間的な波の形）の違いと関係を正確に理解すること。
• 波の進行方向を考慮して、\(y-x\) グラフの形を決定すること。
• 縦波の変位を「横波表示」で描く際の意味を理解していること。

具体的な解説と立式
\(x=0\) の \(y-t\) グラフから、\(t=0\) で \(y=0\) であり、その直後に \(y>0\) となることがわかります。この振動は \(y(0,t) = A\sin(\omega t)\) の形で表せます（ここで \(A=2 \, \text{mm}\), \(\omega = 2\pi/T = 25\pi \, \text{rad/s}\)）。
波は \(x\) 軸の正方向に速さ \(v\) で進むので、時刻 \(t\)、位置 \(x\) における変位 \(y(x,t)\) は、\(x=0\) での振動が時間 \(x/v\) だけ遅れて伝わったものと考えられます。
$$
\begin{aligned}
y(x,t) &= y\left(0, t – \frac{x}{v}\right) \\[2.0ex]
&= A\sin\left(\omega\left(t – \frac{x}{v}\right)\right) \\[2.0ex]
&= A\sin(\omega t – kx)
\end{aligned}
$$
ここで波数 \(k = \omega/v = 2\pi/\lambda\) です。
時刻 \(t=0\) での波形は、この式に \(t=0\) を代入して得られます。
$$
\begin{aligned}
y(x,0) &= A\sin(-kx) \\[2.0ex]
&= -A\sin(kx)
\end{aligned}
$$
問(1)より \(A=2 \, \text{mm}\), \(\lambda=8.0 \, \text{cm}\) なので \(k = 2\pi/8.0 = \pi/4 \, \text{rad/cm}\) です。したがって、
$$
\begin{aligned}
y(x,0) &= -2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) \, [\text{mm}]
\end{aligned}
$$
この関数のグラフを \(0 \le x \le 12 \, \text{cm}\) の範囲で描きます。

\(y(x,0) = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\) のグラフを描くために、主要な点の値を計算します。

• \(x=0 \, \text{cm}\): \(y = -2\sin(0) = 0 \, \text{mm}\)
• \(x=2 \, \text{cm}\): \(y = -2\sin(\pi/2) = -2 \, \text{mm}\)
• \(x=4 \, \text{cm}\): \(y = -2\sin(\pi) = 0 \, \text{mm}\)
• \(x=6 \, \text{cm}\): \(y = -2\sin(3\pi/2) = 2 \, \text{mm}\)
• \(x=8 \, \text{cm}\): \(y = -2\sin(2\pi) = 0 \, \text{mm}\)
• \(x=12 \, \text{cm}\): \(y = -2\sin(3\pi) = 0 \, \text{mm}\)

これらの点を滑らかに結ぶことで、波形グラフが得られます。

時刻 \(0\) 秒の瞬間の、波全体の形（\(y-x\)グラフ）を描きましょう。\(x=0\) の点は \(0\) 秒の瞬間に変位 \(0\) で、この直後にプラスの方向に動きます。波は右（\(+x\)方向）に進んでいるので、\(x=0\) の点の少し右側（\(x>0\)）の点は、\(x=0\) の点よりも少し前の動きをしています。\(y-t\) グラフで \(t=0\) より少し前の時刻を見ると変位は負なので、\(x>0\) の領域では変位は負になります。これを続けていくと、\(y-x\) グラフは \(y-t\) グラフを左右反転させたような形になります。具体的には \(y = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\) という形のグラフになります。

時刻 \(t=0\) での波形を示す \(y-x\) グラフは、\(y = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\) で表される、振幅 \(2 \, \text{mm}\)、波長 \(8.0 \, \text{cm}\) の正弦波（の符号を反転させた形）となります。このグラフは、\(x=0\) における初期条件と波の進行方向から論理的に導かれます。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(x=4 \, \text{cm}\) の位置にある媒質の振動の様子を \(y-t\) グラフとして描きます。\(x=4 \, \text{cm}\) という位置が、基準となる \(x=0\) から波長 \(\lambda\) のどれだけの距離にあるかを確認します。\(4 \, \text{cm} = \lambda/2\) であることから、半波長離れた二つの点の振動は「逆位相」になることを利用します。
この設問における重要なポイント

• 異なる位置にある媒質の振動の「位相差」を正しく理解していること。
• 特に、半波長 (\(\lambda/2\)) 離れた点では振動が逆位相になることを把握している。

具体的な解説と立式
問(1)で計算した波長は \(\lambda = 8.0 \, \text{cm}\) です。したがって、\(x=4 \, \text{cm}\) は、\(x=0\) の位置から \(\lambda/2\) (半波長) だけ離れた位置にあります。
波が進行するとき、半波長離れた2点の媒質の振動は互いに逆位相になります。これは、一方の変位が \(y\) ならば、もう一方の変位は \(-y\) となる関係を意味します。
したがって、\(x=4 \, \text{cm}\) の媒質の \(y-t\) グラフは、\(x=0\) の媒質の \(y-t\) グラフ（問題図の実線）を、\(t\) 軸（\(y=0\) の線）に関して対称に（つまり上下を反転させて）描いたものになります。

\(x=0\) の \(y-t\) グラフ（問題図の実線）を上下反転させて \(x=4 \, \text{cm}\) の \(y-t\) グラフ（点線）を描きます。

• \(t=0\): \(x=0\) で \(y=0\)。\(x=4\) でも \(y=0\)。
• \(t=2 \times 10^{-2} \, \text{s}\): \(x=0\) で \(y=2 \, \text{mm}\)。\(x=4\) では \(y=-2 \, \text{mm}\)。
• \(t=4 \times 10^{-2} \, \text{s}\): \(x=0\) で \(y=0\)。\(x=4\) でも \(y=0\)。
• \(t=6 \times 10^{-2} \, \text{s}\): \(x=0\) で \(y=-2 \, \text{mm}\)。\(x=4\) では \(y=2 \, \text{mm}\)。

これらの点を結んでグラフを描きます。

\(x=4 \, \text{cm}\) の場所の揺れ方を考えます。波長は \(8.0 \, \text{cm}\) だったので、\(x=4 \, \text{cm}\) は \(x=0\) からちょうど半波長分離れた場所です。波の世界では、半波長分離れた場所の揺れは、元の場所と動きが常に正反対（逆位相）になります。ですから、問題の図に描かれている実線（\(x=0\) の揺れ）を、上下ひっくり返した点線を描けば、それが \(x=4 \, \text{cm}\) の場所の揺れ方になります。

\(x=4 \, \text{cm}\) の媒質の振動グラフは、\(x=0\) のグラフと逆位相の関係にあるため、実線を \(t\) 軸に関して対称に折り返した形となります。これは波の性質を正しく反映しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
\(x=0\) の点の「負の \(x\) 方向の速さが最大になる時刻」を求めます。変位 \(y\) は \(+x\) 方向を正とするため、これは「変位 \(y\) が負の方向への速さが最大になる」のと同じ意味です。媒質の速さが最大になるのは振動の中心（変位 \(y=0\)）を通過するときであり、そのうち速度の向きが負の \(y\) 方向になる瞬間を \(y-t\) グラフから読み取ります。
この設問における重要なポイント

• 媒質の速さが最大となるのは振動中心 (\(y=0\)) であることを理解している。
• \(y-t\) グラフにおいて、傾きが媒質の速度に対応することを理解している。

具体的な解説と立式
媒質の速さが最大になるのは、変位 \(y=0\) のときです。
そのうち、速度の向きが負の \(y\) 方向であるのは、\(y=0\) の点を通過した直後に \(y\) が負の値をとる（グラフが \(y=0\) の線を上から下へ横切る）ときです。
問題図の \(x=0\) の \(y-t\) グラフ（実線）を見ると、この条件を満たすのは、山から谷へ向かう途中で \(t\) 軸を横切る点です。
グラフから、該当する時刻は \(t = 4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) と、その1周期後の \(t = (4+8) \times 10^{-2} = 12 \times 10^{-2} \, \text{s}\) です。

問題図の \(x=0\) の \(y-t\) グラフ（実線）から、以下の条件を満たす時刻 \(t\) を読み取ります。

1. 変位 \(y=0\) であること。
2. その時刻のグラフの傾きが負であること。

グラフから、これらの条件を満たすのは、

• \(t = 4 \times 10^{-2} \, \text{s}\)
• \(t = 12 \times 10^{-2} \, \text{s}\)

となります。

\(x=0\) の点が、「負の \(x\) 方向へ最も速く動く」のはいつかを考えます。これは「グラフで見て、下向きへの速さが最大になる」のと同じ意味です。振動する物体は、真ん中（\(y=0\)）を通過するときに最も速くなります。問題のグラフで、\(y=0\) の点を下向きに通過する時刻を探すと、\(4 \times 10^{-2}\) 秒と \(12 \times 10^{-2}\) 秒の2点が見つかります。

\(x=0\) の点の負の \(x\) 方向の速さが最大になる時刻は、\(t = 4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) および \(t = 12 \times 10^{-2} \, \text{s}\) となります。これは、媒質の単振動の性質とグラフの読み取りから妥当な結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t=0\) において、媒質の密度が最大となる点（「密」な点）を特定します。縦波における「密」とは、媒質が通常よりも集まっている状態です。これを \(y-x\) グラフ（横波表示）から判断します。「密」な点は、変位 \(y=0\) であり、かつその点でグラフの傾き \(dy/dx\) が負となる点に対応します。
この設問における重要なポイント

• 縦波における「密」の物理的な意味を理解していること。
• \(y-x\) グラフ（横波表示）から「密」な点を特定する方法（\(y=0\) かつ \(dy/dx < 0\)）を習得していること。

具体的な解説と立式
問(2)で作成した \(t=0\) での \(y-x\) グラフ（\(y(x,0) = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\)）上で、「密」の条件（\(y=0\) かつ \(dy/dx < 0\)）を満たす \(x\) の値を探します。
まず、\(y=0\) となるのは、\(x = 0, 4, 8, 12, \dots \, \text{cm}\) です。
次に、これらの点での傾き \(dy/dx\) を調べます。
$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}\left(-2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\right) \\[2.0ex]
&= -2 \cdot \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) \\[2.0ex]
&= -\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)
\end{aligned}
$$
この傾きが負 (\(dy/dx < 0\)) となる条件は、\(\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) > 0\) です。

• \(x=0\): \(\cos(0) = 1 > 0\)。よって密。
• \(x=4\): \(\cos(\pi) = -1 < 0\)。よって疎。
• \(x=8\): \(\cos(2\pi) = 1 > 0\)。よって密。
• \(x=12\): \(\cos(3\pi) = -1 < 0\)。よって疎。

指定された範囲 \(0 \le x \le 12 \, \text{cm}\) 内で密な点は \(x=0 \, \text{cm}\) と \(x=8 \, \text{cm}\) です。

上記の「具体的な解説と立式」に記載の通り、\(y=0\) となる各点での \(dy/dx\) の符号を計算・評価します。その結果、\(x=0, 8 \, \text{cm}\) が密な点であると特定されます。

時刻 \(0\) 秒のときに、媒質の密度が一番高くなっている「密」な場所を探します。横波表示のグラフでは、変位 \(y\) が \(0\) で、かつグラフの線が右肩下がりになっている点が「密」の中心になります。これは、その点の左側の媒質が右に、右側の媒質が左にズレてきて、その点に集まってくるイメージです。問(2)のグラフを見ると、\(x=0\) と \(x=8 \, \text{cm}\) の点がこの条件に当てはまります。

\(t=0\) で、媒質の密度が最大の点（密な点）は、\(x=0 \, \text{cm}\) と \(x=8 \, \text{cm}\) となります。これは、縦波の「密」の定義とグラフの形状から正しく導かれています。

問(6)

思考の道筋とポイント
\(x=4 \, \text{cm}\) の位置で、媒質の密度が最大になる時刻（「密」になる時刻）を求めます。まず、\(t=0\) における \(x=4 \, \text{cm}\) の点の状態（疎か密か）を確認します。問(5)で「疎」であると判断されました。ある点の疎密の状態は周期的に変化し、「疎」から次に「密」になるまでには半周期 \(T/2\) かかることを利用します。
この設問における重要なポイント

• 特定の位置における媒質の疎密の状態が、時間とともに周期的に変化することを理解していること。
• 「疎」の状態から「密」の状態へ変化するのに要する時間は、周期の半分 (\(T/2\)) であること。

具体的な解説と立式
問(5)の考察から、\(t=0\) のとき \(x=4 \, \text{cm}\) の点は「疎」です。
ある固定された位置の媒質の疎密の状態は、半周期 \(T/2\) ごとに「疎」と「密」が入れ替わります。
周期 \(T = 8 \times 10^{-2} \, \text{s}\) なので、半周期は \(T/2 = 4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) です。
\(x=4 \, \text{cm}\) の点は、\(t=0\) で「疎」であるため、
最初に「密」になるのは、\(t = 0 + T/2 = 4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) の時刻です。
その後は、1周期 \(T\) ごとに再び「密」な状態が訪れます。次に「密」になるのは、
\(t = (4 \times 10^{-2}) + T = (4 \times 10^{-2}) + (8 \times 10^{-2}) = 12 \times 10^{-2} \, \text{s}\) の時刻です。
図に示された時間範囲内では、この2つの時刻が該当します。

1. \(t=0\) における \(x=4 \, \text{cm}\) の状態を確認: 問(5)より「疎」。
2. 疎から密への変化にかかる時間: \(T/2 = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{s}\)。
3. 最初に密になる時刻 \(t_1\): \(t_1 = 0 + T/2 = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{s}\)。
4. 次に密になる時刻 \(t_2\): \(t_2 = t_1 + T = 4.0 \times 10^{-2} + 8.0 \times 10^{-2} = 12.0 \times 10^{-2} \, \text{s}\)。

\(x=4 \, \text{cm}\) の場所が「密」になるのはいつかを考えます。\(0\) 秒のとき、この場所は「疎」（密度が薄い状態）でした。「疎」から次に「密」になるまでには、周期の半分の時間 (\(T/2 = 4 \times 10^{-2}\) 秒) がかかります。したがって、最初に密になるのは \(t = 4 \times 10^{-2}\) 秒です。その次にまた密になるのは、そこからさらに1周期後なので、\(t = (4+8) \times 10^{-2} = 12 \times 10^{-2}\) 秒となります。

\(x=4 \, \text{cm}\) で媒質の密度が最大になる時刻は、\(t = 4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) と \(t = 12 \times 10^{-2} \, \text{s}\) となります。これは、疎密の状態が半周期ごとに反転するという物理的な考察と一致しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本パラメータと関係式:
  • 核心: この問題の全ての設問は、周期 \(T\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)、速さ \(v\) という波の基本的な4つの物理量と、それらを結びつける関係式 \(f=1/T\) および \(v=f\lambda\) の理解に基づいています。これらは横波・縦波を問わず、あらゆる波現象を記述するための出発点です。
  • 理解のポイント:
    1. グラフからの読み取り: \(y-t\) グラフからは時間的な情報である周期 \(T\) を、\(y-x\) グラフからは空間的な情報である波長 \(\lambda\) を読み取る、という基本を徹底します。
    2. 時間と振動数の変換: \(f=1/T\) は、時間的な性質（周期）を振動の頻度（振動数）に変換する関係式です。
    3. 時間と空間の橋渡し: \(v=f\lambda\) は、波の速さ \(v\) を介して、時間的性質（\(f\) または \(T\)）と空間的性質（\(\lambda\)）を結びつける最も重要な関係式です。
• グラフの的確な解釈 (\(y-t\) グラフ \(\Leftrightarrow\) \(y-x\) グラフ):
  • 核心: 波の問題では、特定の「場所」の時間変化を追う \(y-t\) グラフと、特定の「瞬間」の空間的な形を写し取る \(y-x\) グラフという、2種類のグラフが登場します。この2つは全く異なる情報を持ちながら、波の伝播という現象を通じて密接に関連しています。両者の違いを明確に区別し、相互に変換できる能力が、この問題の核心的なスキルです。
  • 理解のポイント:
    1. グラフの軸の確認: 横軸が時間 \(t\) なら「ある一点の振動のビデオ」、位置 \(x\) なら「波全体の瞬間写真」とイメージします。
    2. グラフの傾きの意味: \(y-t\) グラフの傾きは媒質の「振動速度 \(v_y\)\)」を表し、\(y-x\) グラフの傾きは波形の「空間的な傾き \(dy/dx\)\)」を表すことを区別します。
    3. 変換の物理イメージ: 「\(+x\) 方向に進む波」とは、「位置 \(x\) の現在の動きは、原点の \(x/v\) だけ過去の動きと同じ」ということです。この物理イメージを持つことで、機械的な暗記に頼らずグラフを変換できます。
• 縦波の変位と疎密の関係:
  • 核心: 縦波の最大の特徴は、媒質の振動によって「疎密」が生じる点です。この物理現象と、グラフ上での表現（特に横波表示）を結びつけることが重要です。
  • 理解のポイント:
    1. 変位の定義: 媒質の変位 \(y\) がどちらの向きを正としているか（本問では \(+x\) 方向）を正確に把握します。
    2. 疎密の定義: 「密」は媒質が集まる状態、「疎」は媒質が離れる状態であるという物理的な意味を理解します。
    3. グラフとの対応: 横波表示の \(y-x\) グラフにおいて、「密」は変位 \(y=0\) かつ傾き \(dy/dx < 0\) の点、「疎」は変位 \(y=0\) かつ傾き \(dy/dx > 0\) の点に対応することを、変位の矢印を描くなどして納得した上で適用します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 音波の問題: 音波は縦波の代表例です。気柱の共鳴（定常波）、うなり、ドップラー効果など、音波に関するあらゆる問題の基礎として、本問の理解は不可欠です。
  • 横波の問題: \(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの相互変換や位相の考え方は、光や弦を伝わる波など、横波の問題でも全く同じように適用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まず最初に、与えられたグラフの横軸が時間 \(t\) なのか位置 \(x\) なのかを絶対に確認する。これが全ての思考の出発点です。
  2. 波の進行方向を把握する: 問題文から波が進む向き（\(+x\) か \(-x\) か）を読み取る。これはグラフの変換や位相差の判断に必須の情報です。
  3. 基準点（\(x=0, t=0\)）の状態を特定する: グラフから、基準となる点・時刻での変位 \(y\) と、その後の変化の傾向（速度の向き）を正確に読み取る。ここから波全体の様子を組み立てていきます。
  4. 「位相」という言葉に翻訳する: 「半波長離れている」\(\rightarrow\)「逆位相」、「1波長離れている」\(\rightarrow\)「同位相」、「\(T/4\) 遅れている」\(\rightarrow\)「位相が \(\pi/2\) 遅れている」のように、距離や時間の関係を「位相」という統一的な概念で捉えることができると、より複雑な問題にも対応しやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの混同:
  • 誤解: グラフの形が似ているため、\(y-t\) グラフをそのまま波形（\(y-x\) グラフ）だと思ってしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、必ずグラフの横軸の文字（\(t\) か \(x\) か）を指差し確認する習慣をつける。
• 縦波の疎密の判断ミス:
  • 誤解: 横波表示のグラフの「山」が密、「谷」が疎であると勘違いしてしまう。
  • 対策: 「密」は媒質が集まる場所であり、変位が \(0\) の点であると正しく覚える。さらに、その点でのグラフの傾きが負（右肩下がり）であることをセットで理解する。自信がなければ、変位の矢印を自分で描いてみて、媒質が集まるか離れるか視覚的に確認する。
• 媒質の速度と波の速度の混同:
  • 誤解: 波の速さ \(v\) と、媒質の一点が振動する速さ \(v_y\) を同じものだと考えてしまう。
  • 対策: 波の速さ \(v\) は波形全体が移動する速さで一定である一方、媒質の速さ \(v_y\) は各点が単振動するときの速さであり、時間とともに変化することを明確に区別する。
• グラフの変換方向の間違い:
  • 誤解: \(+x\) 方向に進む波の \(y-x\) グラフを作成する際に、\(y-t\) グラフをそのまま同じ向きで描いてしまう。
  • 対策: 「\(+x\) 方向の波形は、\(y-t\) グラフの時間を遡った（\(-t\) 方向の）形になる」というルールを覚えるか、毎回「\(x>0\) の点は \(x=0\) より過去の動きをしているはず」と物理的な意味を考えて導出する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(f=1/T\), \(v=f\lambda\):
  • 選定理由: これらは波の基本的な物理量（時間的性質である \(T, f\) と空間的性質である \(\lambda\)）と伝播速度 \(v\) を結びつける、波の分野における最も基本的な関係式だからです。
  • 適用根拠: 問題でこれらの基本量のいずれかが問われ、他の量が既知またはグラフから読み取れる場合に適用します。
• 波の式 \(y(x,t) = A\sin(\omega t – kx)\):
  • 選定理由: グラフの形状や特定の点の振動を、数学的な関数として厳密に扱いたい場合に用います。
  • 適用根拠: \(x=0\) での振動の様子が分かっており、波が歪みなく一定速度で伝播するという条件があるため、この一般形を適用できます。特に、\(t=0\) での波形を求める問(2)や、媒質の速度を計算する別解などで有効です。
• 半波長 (\(\lambda/2\)) 離れた点の逆位相:
  • 選定理由: 2点間の振動の関係を、波の式を立てずに簡易的に求めたい場合に非常に有効な性質です。
  • 適用根拠: 2点間の距離が波長のちょうど半分であるという幾何学的な条件が満たされているため、この物理的な性質を直接適用できます。
• 縦波の「密」の条件 (\(y=0\) かつ \(dy/dx < 0\)):
  • 選定理由: 「密度が最大」という物理的な状態を、横波表示されたグラフの数学的な特徴に変換するための「翻訳ルール」です。
  • 適用根拠: 縦波の媒質の動きを分析した結果、媒質が集まる場所（密）は、この幾何学的な条件を満たす点に対応することが分かっているため、この条件を適用して密な点を特定します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位とスケールの確認:
  • 特に注意すべき点: グラフの軸に書かれている単位（[mm], [cm], [s]）と、スケールファクター（\(\times 10^{-2}\)）を見落とさないこと。計算の最初に、全ての値を基本単位（例: m, s）に揃えるか、あるいは最後まで単位を意識して計算を進めるかを決めると良い。
  • 日頃の練習: 問題文や図に出てくる数値には、必ず単位も含めて丸で囲む癖をつける。
• 符号のミスを防ぐ:
  • 特に注意すべき点: 波の式（例: \(\omega t – kx\) のマイナス）、グラフの傾きの正負、媒質の速度の向きなど、符号が物理的な意味を持つ場面が多い。
  • 日頃の練習: 式を立てる際には、なぜその符号になるのか（例: \(+x\) 方向に進むから \(t-x/v\) の形になる）を口に出して説明しながら解く。
• 三角関数の値の正確な把握:
  • 特に注意すべき点: \(x=2, 4, 6, \dots\) のような値を \(y = -A\sin(\frac{\pi}{4}x)\) に代入する際、\(\sin(\pi/2)\), \(\sin(\pi)\), \(\sin(3\pi/2)\) などの値を素早く正確に計算できるようにしておく。
  • 日頃の練習: 単位円を頭に思い浮かべ、角度と三角関数の値（特に符号）の関係を常に意識する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 波長 \(\lambda\): 計算した波長 \(\lambda = 8.0 \, \text{cm}\) は、常識的なスケールの値か？（例えば、これが数kmや数nmだったら、何か計算ミスを疑う）。
  • (2) \(y-x\) グラフ: \(x=0\) でのグラフの振る舞い（\(y=0\) で傾きが負）は、\(y-t\) グラフの \(t=0\) での振る舞い（\(y=0\) で傾きが正）と、波が \(+x\) 方向に進むという条件から考えて、矛盾がないか？（\(+x\) 方向の波形は \(y-t\) グラフの時間を遡った形になるので、整合性がある）。
  • (4) 速度最大の時刻: 求めた時刻 \(t=4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) は、\(y-t\) グラフ上で確かに変位がゼロになる点か？ 周期 \(T=8 \times 10^{-2} \, \text{s}\) の半分であり、物理的に妥当なタイミングである。
  • (5) 密な点: \(x=0, 8 \, \text{cm}\) はちょうど1波長分離れている。密な点が波長ごとに現れるのは物理的に正しい。
• 異なる設問間の整合性の確認:
  • 問(3)で描いた \(x=4 \, \text{cm}\) の \(y-t\) グラフは、\(t=0\) で \(y=0\) から始まり、負の方向に動いている。これは、問(2)で描いた \(t=0\) の \(y-x\) グラフにおいて、\(x=4 \, \text{cm}\) の点が \(y=0\) であり、波が右に進むことでこの点は次に負の変位を持つ（谷が近づいてくる）ことと一致しているか？ \(\rightarrow\) 一致している。
  • 問(6)で求めた「\(x=4 \, \text{cm}\) が密になる時刻」\(t=4 \times 10^{-2} \, \text{s}\) は、問(4)で求めた「\(x=0\) が負の最大速度になる時刻」と一致している。これは、\(x=4 \, \text{cm}\) の振動が \(x=0\) より \(T/2\) 遅れていることを考えると、物理的に説明可能か？（少し複雑だが、位相を考えると説明可能であり、矛盾はない）。

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問(1)