「良問の風」攻略ガイド（66〜70問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題66 (防衛大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、理想気体の状態方程式、内部エネルギー、断熱変化、そして異なる状態にある気体の混合という、熱力学の重要な要素を組み合わせたものです。各ステップでの気体の状態変化を正確に追跡し、適切な物理法則を適用することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「理想気体の状態変化」と「熱力学の法則」を総合的に扱います。具体的には、状態方程式の適用、内部エネルギーの計算、断熱過程の解析、そして異なる状態の気体の混合（エネルギー保存）が含まれます。

問(1)

思考の道筋とポイント
容器Aの初期状態の圧力、体積、温度が与えられているので、これらと気体定数 \(R\) を用いて理想気体の状態方程式から物質量 \(n_A\) を求めます。
物質量 \(n_A\) と温度 \(T\) が分かれば、単原子分子の理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使って内部エネルギー \(U_A\) を計算できます。あるいは、\(n_ART = pV\) の関係を用いれば、\(U_A = \frac{3}{2}pV\) と直接 \(p, V\) で表すことも可能です。
この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を正確に適用すること。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギーの公式 \(U=\frac{3}{2}nRT\) (または \(U=\frac{3}{2}PV\)) を理解し、正しく使用すること。
• 問題文で与えられた文字を使って答えを表現すること。

具体的な解説と立式
容器Aの初期状態は、圧力 \(p\)、体積 \(V\)、絶対温度 \(T\) です。
このときの物質量を \(n_A\) とすると、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、
$$
\begin{aligned}
p V &= n_A R T \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
この式から物質量 \(n_A\) が求まります。

単原子分子の理想気体の内部エネルギー \(U_A\) は、公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) で与えられます。
したがって、
$$
\begin{aligned}
U_A &= \frac{3}{2} n_A R T
\end{aligned}
$$
ここで、式①の関係 \(n_A R T = pV\) を用いると、内部エネルギー \(U_A\) は \(p\) と \(V\) を用いても表せます。

物質量 \(n_A\) の計算:
式① \(pV = n_A R T\) を \(n_A\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
n_A &= \frac{pV}{RT}
\end{aligned}
$$

内部エネルギー \(U_A\) の計算:
内部エネルギーの公式 \(U_A = \frac{3}{2} n_A R T\) において、式①から \(n_A R T = pV\) であるため、これを代入すると、
$$
\begin{aligned}
U_A &= \frac{3}{2} pV
\end{aligned}
$$

気体の状態を表す基本的な法則である状態方程式 \(PV=nRT\) を使います。容器Aについて、はじめの圧力は \(p\)、体積は \(V\)、温度は \(T\) と与えられています。これらの値を状態方程式に代入すると \(pV = n_A RT\) となります。この式から、物質量 \(n_A\) は \(n_A = \frac{pV}{RT}\) と計算できます。
次に、単原子分子の理想気体が持つエネルギー（内部エネルギー）は、\(U = \frac{3}{2}nRT\) という公式で表されます。先ほど \(n_A RT\) が \(pV\) と等しいことがわかったので、これを代入すると、容器Aの内部エネルギー \(U_A\) は \(U_A = \frac{3}{2} (n_A RT) = \frac{3}{2}pV\) と簡単に表すことができます。

容器A内の初期の物質量は \(n_A = \frac{pV}{RT}\)、内部エネルギーは \(U_A = \frac{3}{2}pV\) です。
これらは問題文で与えられた基本的な物理量 \(p, V, R, T\) を用いて表されており、物理的な次元もそれぞれ物質量、エネルギーとして正しくなっています。

問(2)

思考の道筋とポイント
これは容器A内の気体に対する断熱圧縮の過程です。初期状態 (\(p, V, T\)) から、最終状態 (\(p_A’, V/8, T_A’\)) へ変化します。
まず、断熱変化の関係式 \(P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}\) (ここで \(\gamma = 5/3\)) を用いて、圧縮後の圧力 \(p_A’\) を求めます。
次に、圧縮後の圧力 \(p_A’\) と体積 \(V/8\)、そして物質量 \(n_A\) (これは圧縮前後で変化しません) を用いて、理想気体の状態方程式から圧縮後の温度 \(T_A’\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 断熱変化の公式（ポアソンの法則 \(PV^{\gamma}=\text{一定}\)）を正しく選択し、適用すること。
• 比熱比 \(\gamma\) が単原子分子理想気体の場合は \(5/3\) であることを理解していること（問題文にも与えられています）。
• 指数計算（特に分数乗）を正確に行うこと。例えば、\(8^{\frac{5}{3}}\) の計算。
• 状態方程式は常に成り立つ基本法則であるため、圧力・体積・物質量が分かれば温度が求まる、という関係を理解していること。

具体的な解説と立式
容器A内の気体の初期状態を \(p, V\) とします。断熱圧縮後の状態を \(p_A’, V/8\) とします。
物質量 \(n_A\) はこの過程で変化しません。
単原子分子の理想気体の断熱変化では、比熱比 \(\gamma = 5/3\) を用いて \(PV^{\frac{5}{3}}=\text{一定}\) が成り立ちます。
したがって、
$$
\begin{aligned}
p V^{\frac{5}{3}} &= p_A’ \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{5}{3}} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
この式から圧縮後の圧力 \(p_A’\) を求めます。

次に、圧縮後の温度 \(T_A’\) を求めます。
圧縮後の状態において、理想気体の状態方程式 \(P’ V’ = n_A R T’\) が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
p_A’ \left(\frac{V}{8}\right) &= n_A R T_A’ \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
ここで \(n_A = \frac{pV}{RT}\) (問(1)の結果) です。

圧力 \(p_A’\) の計算:
式② \(p V^{\frac{5}{3}} = p_A’ \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{5}{3}}\) より、
$$
\begin{aligned}
p V^{\frac{5}{3}} &= p_A’ \frac{V^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{5}{3}}}
\end{aligned}
$$
両辺の \(V^{\frac{5}{3}}\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
p &= p_A’ \frac{1}{8^{\frac{5}{3}}}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
p_A’ &= p \cdot 8^{\frac{5}{3}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(8^{\frac{5}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^5 = (2)^5 = 32\) です。
したがって、
$$
\begin{aligned}
p_A’ &= 32p
\end{aligned}
$$

温度 \(T_A’\) の計算:
式③ \(p_A’ \left(\frac{V}{8}\right) = n_A R T_A’\) に、\(p_A’=32p\) と \(n_A = \frac{pV}{RT}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
(32p) \left(\frac{V}{8}\right) &= \left(\frac{pV}{RT}\right) R T_A’ \\[2.0ex]
4pV &= \frac{pV}{T} T_A’
\end{aligned}
$$
両辺を \(pV\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
4 &= \frac{T_A’}{T}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
T_A’ &= 4T
\end{aligned}
$$

気体を外部と熱のやり取りなしに（断熱的に）ギュッと圧縮すると、圧力と体積の間には \(PV^{\frac{5}{3}} = \text{一定}\) という特別な関係が成り立ちます。はじめの状態は圧力 \(p\)、体積 \(V\) でした。体積を \(V/8\) にしたときの新しい圧力を \(p_A’\) とすると、\(p V^{\frac{5}{3}} = p_A’ (V/8)^{\frac{5}{3}}\) という式ができます。これを \(p_A’\) について解くと、\(p_A’ = p \times 8^{\frac{5}{3}}\) となります。\(8^{\frac{5}{3}}\) というのは、まず \(8\) の \(1/3\) 乗（つまり3乗すると8になる数、これは2です）を計算し、その結果を \(5\) 乗します。\(2^5 = 32\) なので、\(p_A’ = 32p\) となります。
次に温度を求めます。新しい圧力 \(32p\) と新しい体積 \(V/8\)、そして変わらない物質量 \(n_A = pV/(RT)\) を使って、状態方程式 \(P’V’ = n_A R T’\) に代入します。計算すると \( (32p)(V/8) = (pV/RT) R T_A’ \) となり、これを整理すると \(4pV = (pV/T)T_A’\) となって \(T_A’ = 4T\) が求まります。

断熱圧縮後の容器A内の気体の圧力は \(p_A’ = 32p\)、温度は \(T_A’ = 4T\) です。
断熱圧縮を行うと、外部から気体に対して仕事がされるため、気体の内部エネルギーが増加し、結果として温度が上昇します (\(T_A’ = 4T > T\))。また、体積が減少し温度が上昇するため、圧力は大幅に増加します (\(p_A’ = 32p > p\))。これらの結果は物理的に見て妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
弁を開ける直前の各容器の状態を明確にします。
容器A: 体積 \(V/8\), 圧力 \(32p\), 温度 \(4T\), 物質量 \(n_A\)。
容器B: 体積 \(V\), 圧力 \(2p\), 温度 \(T\)。物質量 \(n_B\) は状態方程式から求めます。
弁を開けると、AとBの気体が混合し、最終的に一つの系として平衡状態に達します。このとき、全体の体積は \(V_{\text{全}} = V/8 + V\) となります。全体の物質量は \(n_{\text{全}} = n_A + n_B\) で保存されます。
器材は熱を伝えない材料でできており、ピストンも固定されているため、この混合の過程は、AとBを合わせた系全体として見ると断熱的であり、外部との仕事のやり取りもありません。したがって、系全体の内部エネルギーは保存されます。
内部エネルギー保存則: \(U_{A,\text{前}} + U_{B,\text{前}} = U_{\text{全},\text{後}}\)。この関係式から最終温度 \(T”\) を求めます。
最後に、全体の体積 \(V_{\text{全}}\)、全体の物質量 \(n_{\text{全}}\)、そして求めた最終温度 \(T”\) を用いて、理想気体の状態方程式から最終的な共通圧力 \(p”\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 複数の異なる状態の気体が混合する際の、内部エネルギー保存則の正しい適用。
• 各気体の物質量を正確に計算し、全体の物質量を把握すること。
• 混合後の全体の体積を正しく計算すること。
• 計算手順として、まず内部エネルギー保存から最終温度を求め、その後に状態方程式で最終圧力を求めるという流れを理解すること。

具体的な解説と立式
弁を開ける直前の状態を確認します。
容器A: 体積 \(V_A’ = V/8\), 温度 \(T_A’ = 4T\), 物質量 \(n_A = \frac{pV}{RT}\)。
Aの内部エネルギーは \(U_{A,\text{前}} = \frac{3}{2}n_A R T_A’\)。

容器B: 体積 \(V_B = V\), 圧力 \(P_B = 2p\), 温度 \(T_B = T\)。
物質量 \(n_B\) は状態方程式 \(P_B V_B = n_B R T_B\) より、
$$
\begin{aligned}
(2p)V &= n_B R T
\end{aligned}
$$
Bの内部エネルギーは \(U_{B,\text{前}} = \frac{3}{2}n_B R T_B\)。

弁を開放すると、AとBの気体は混合します。
全体の体積 \(V_{\text{全}} = V_A’ + V_B\)。
全体の物質量 \(n_{\text{全}} = n_A + n_B\)。

系全体の内部エネルギーは保存されるので、弁を開ける前の内部エネルギーの和と、弁を開けた後の全体の内部エネルギーは等しくなります。
弁を開放し、十分時間が経過した後の全体の温度を \(T”\) とすると、全体の内部エネルギー \(U_{\text{全,後}}\) は、\(U_{\text{全,後}} = \frac{3}{2} n_{\text{全}} R T”\) と表せます。
内部エネルギー保存則より、
$$
\begin{aligned}
U_{A,\text{前}} + U_{B,\text{前}} &= U_{\text{全,後}} \\[2.0ex]
\frac{3}{2}n_A R T_A’ + \frac{3}{2}n_B R T_B &= \frac{3}{2} (n_A + n_B) R T” \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
この式から \(T”\) を求めます。

その後、最終的な圧力 \(p”\) は、全体に対する状態方程式 \(p” V_{\text{全}} = n_{\text{全}} R T”\) から求めます。

まず、各物質量を求めます。
$$
\begin{aligned}
n_A &= \frac{pV}{RT} \\
n_B &= \frac{2pV}{RT}
\end{aligned}
$$
よって、全体の物質量は、
$$
\begin{aligned}
n_{\text{全}} &= n_A + n_B = \frac{pV}{RT} + \frac{2pV}{RT} = \frac{3pV}{RT}
\end{aligned}
$$
全体の体積は、
$$
\begin{aligned}
V_{\text{全}} &= \frac{V}{8} + V = \frac{9V}{8}
\end{aligned}
$$

最終温度 \(T”\) の計算:
式⑤の両辺から \(\frac{3}{2}R\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
n_A T_A’ + n_B T_B &= (n_A + n_B) T”
\end{aligned}
$$
値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{pV}{RT}\right) (4T) + \left(\frac{2pV}{RT}\right) (T) &= \left(\frac{3pV}{RT}\right) T”
\end{aligned}
$$
両辺に \(\frac{RT}{pV}\) を掛けて整理すると、
$$
\begin{aligned}
4T + 2T &= 3 T” \\[2.0ex]
6T &= 3 T”
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
T” &= 2T
\end{aligned}
$$

最終圧力 \(p”\) の計算:
全体に対する状態方程式 \(p” V_{\text{全}} = n_{\text{全}} R T”\) を用います。
$$
\begin{aligned}
p” \left(\frac{9V}{8}\right) &= \left(\frac{3pV}{RT}\right) R (2T)
\end{aligned}
$$
右辺の \(R\) と \(T\) が約分され、
$$
\begin{aligned}
p” \left(\frac{9V}{8}\right) &= (3pV) \cdot 2 \\[2.0ex]
p” \left(\frac{9V}{8}\right) &= 6pV
\end{aligned}
$$
\(p”\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
p” &= 6p \cdot \frac{8}{9} \\[2.0ex]
p” &= \frac{16}{3} p
\end{aligned}
$$

弁を開けると、AとBの気体が混ざり合います。このとき、器材は熱を通さないので、全体のエネルギーは変わりません。
エネルギー保存の式を立てて計算すると、最終的な温度 \(T”\) は \(2T\) となります。これは、高温(\(4T\))のAの気体と低温(\(T\))のBの気体が混ざり合った結果です。
次に、最終的な圧力を求めます。混ざり合った後の全体の体積は、Aの体積 \(V/8\) とBの体積 \(V\) を合わせた \(9V/8\) です。全体の物質量は \(n_A\) と \(n_B\) の和です。これらの全体の体積、全体の物質量、そして先ほど求めた最終温度 \(2T\) を、状態方程式 \(p” V_{\text{全}} = n_{\text{全}} R T”\) に代入します。
これを計算すると、最終的な圧力 \(p”\) は \(\frac{16}{3}p\) となります。

弁を開放し、十分に時間が経過した後の容器内の気体の最終的な温度は \(T” = 2T\)、圧力は \(p” = \frac{16}{3}p\) です。
混合前の温度は、容器Aが \(4T\)、容器Bが \(T\) でした。混合後の温度 \(2T\) はこれらの間の値であり、物質量や初期の内部エネルギーを考慮した結果として妥当な範囲にあります。
圧力については、混合前は容器Aが \(32p\)、容器Bが \(2p\) でした。最終的に体積 \(9V/8\) で圧力 \(\frac{16}{3}p \approx 5.33p\) となりました。高圧だったAの気体が膨張し、低圧だったBの気体が圧縮されたような形で圧力が均一化されたと見なせます。計算結果は妥当と考えられます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 核心: 気体のマクロな状態（圧力、体積、温度、物質量）を関連付ける最も基本的な法則です。
  • 理解のポイント: この問題の全ての設問において、物質量を求めたり、状態変化後の未知数を特定したりするための基盤となります。熱力学の問題を解く上での出発点です。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV\)):
  • 核心: 気体の熱的なエネルギー状態を表す重要な量です。理想気体の場合、内部エネルギーは温度のみに依存します。
  • 理解のポイント: 問(1)での初期エネルギー計算、そして問(3)での「内部エネルギー保存則」を立式する際に不可欠です。\(nRT\) と \(PV\) の二つの表現を使い分ける能力が問われます。
• ポアソンの法則 (断熱変化 \(PV^{\gamma}=\text{一定}\), \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\)):
  • 核心: 外部との熱の授受なしに気体の体積や圧力が変化する「断熱過程」を記述するための重要な関係式です。
  • 理解のポイント: 問(2)の断熱圧縮を解くための鍵です。単原子分子理想気体の場合、比熱比 \(\gamma = 5/3\) となることを理解し、指数計算を正確に行う必要があります。
• 内部エネルギー保存則 (断熱系での混合):
  • 核心: 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) の応用です。系全体が外部から断熱されており(\(Q=0\))、かつ外部への仕事も行われない場合(\(W=0\))、系全体の内部エネルギーの総和は保存されます(\(\Delta U=0\))。
  • 理解のポイント: 問(3)で弁を開放した後の最終温度を決定する鍵となります。「断熱容器」と「ピストン固定」という条件からこの法則の適用を見抜くことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンによる気体の圧縮・膨張: 特に断熱変化や等温変化が絡む問題。ピストンが動くことで気体が仕事をしたりされたりする状況。
  • 連結された容器間の気体の混合: 複数の容器がコックや弁で繋がれており、それらの開閉によって気体が移動したり混合したりする問題。本問の問(3)が典型例です。
  • 断熱壁で仕切られた系内部での状態変化: 一つの断熱容器が可動式の仕切りで二分され、片方の気体がもう片方を圧縮するような問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 過程の種類の特定: 問題文中の記述（「断熱的に」「ゆっくりと（等温を示唆）」「ピストン固定（定積）」など）から、各操作がどのような熱力学的過程に対応するのかを正確に読み取ることが第一歩です。
  2. 保存される量の特定: 各過程や操作の前後で、何が一定に保たれるのか（物質量、体積、圧力、温度）、あるいは何が保存されるのか（エネルギー、特に内部エネルギー）を見極めます。
  3. 状態量の整理: 各容器、各気体について、操作の各段階における \(P, V, n, T\) の値を整理し、未知数を明確にします。図を書いて整理するのも有効です。
  4. 適切な法則の選択と立式: 特定した過程や保存量に応じて、状態方程式、内部エネルギーの式、ポアソンの法則、熱力学第一法則などを適切に選択し、数式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 断熱変化と等温変化の混同:
  • 誤解: \(PV^{\gamma}=\text{一定}\)（断熱）と \(PV=\text{一定}\)（等温）の使い分けを誤る。
  • 対策: 「断熱」は熱の出入りがない変化で、温度は変化します。「等温」は温度が一定の変化です。問題文のキーワードを正確に読み取り、対応する法則を正しく選択する訓練をしましょう。
• 内部エネルギー計算時の変数の選択ミス:
  • 誤解: 問(3)のように複数の気体が絡み、温度も異なる場合、内部エネルギーを計算する際に、どの気体のどの時点の物質量や温度を用いるべきか混乱する。
  • 対策: エネルギー保存を考える際は、保存則が成り立つ範囲（系全体か部分か）と時間（操作の前後）を明確にしましょう。混合前は各容器の状態で個別に計算し、混合後は系全体の状態で計算します。
• 混合後の全体の体積や物質量の計算ミス:
  • 誤解: 問(3)で、混合後の全体の体積を \(V/8 + V\) ではなく、単純に \(V+V\) などと誤解する。
  • 対策: 混合後の状態を図に描き、どの空間に気体が存在できるかを視覚的に確認する。体積や物質量は単純なスカラー量なので、足し合わせるだけですが、どの値を足すのかを慎重に確認しましょう。
• 指数の計算間違い:
  • 誤解: \(8^{5/3}\) のような計算を、\(8 \times 5/3\) のように誤って計算してしまう。
  • 対策: 指数法則を正しく理解する。\(a^{m/n} = (a^{1/n})^m\) のように、まずn乗根を計算してからm乗すると計算しやすいことが多いです。\(8^{5/3} = (8^{1/3})^5 = 2^5 = 32\)。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 選定理由: 問題に登場する気体が「理想気体」であり、その平衡状態における物理量（P, V, n, T）の関係を記述する必要があるため、必須の法則です。
  • 適用根拠: 各設問で、気体が静止している（平衡状態にある）場面で適用します。状態変化の前後でそれぞれ成り立ちます。
• 内部エネルギーの式 (\(U=\frac{3}{2}nRT\)):
  • 選定理由: 問題文に「単原子分子の理想気体」と明記されており、その内部エネルギーを定量的に計算する必要があるためです。
  • 適用根拠: 問(1)での初期エネルギーの計算や、問(3)で内部エネルギー保存則を立式する際に、エネルギーを具体的な物理量で表現するために用います。
• ポアソンの法則 (\(PV^{\gamma}=\text{一定}\)):
  • 選定理由: 問(2)の過程が「断熱圧縮」と明確に指定されているため。これは、理想気体の断熱過程を記述する専用の法則です。
  • 適用根拠: 熱の出入りがないという条件(\(Q=0\))下での、圧力、体積、温度の関係を求める場面。
• 内部エネルギー保存則 (\(\Delta U=0\)):
  • 選定理由: 問(3)の混合過程が、系全体として外部とのエネルギーのやり取りがないと判断できるため、熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q-W\)) を適用します。
  • 適用根拠: 「器材は熱を伝えない」(\(Q=0\))、「ピストンを固定したまま」(\(W=0\))という問題文の条件から、\(\Delta U = 0 – 0 = 0\) が導かれ、内部エネルギーが保存されると結論できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の取り扱い:
  • 特に注意すべき点: \(8^{5/3}\) や \(8^{2/3}\) のような分数乗の計算。
  • 日頃の練習: 底を素因数分解する（\(8=2^3\)）、指数法則（\((a^m)^n = a^{mn}\)）を正確に適用する練習を積む。\(8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^{3 \times 5/3} = 2^5 = 32\)。
• 変数の代入ミス:
  • 特に注意すべき点: この問題のように多くの物理量（特に圧力 \(p, p_A’, p”\) や温度 \(T, T_A’, T”\) など）が登場する場合、どの段階のどの量を代入しているのかを混同しやすい。
  • 日頃の練習: 状態変化の前後で物理量にダッシュ（’）や添え字をつけ、明確に区別する。式を立てる際は、まず文字式のまま進め、最後に値を代入するとミスが減ります。
• \(nRT=PV\) の関係式の活用:
  • 特に注意すべき点: 問(3)の内部エネルギー保存の計算で、\(n_A, n_B\) を \(pV/(RT)\) の形で代入すると式が複雑に見えることがあります。
  • 日頃の練習: 模範解答のように、\(n_A R T_A’ = (n_A R T) \frac{T_A’}{T} = (pV) \frac{4T}{T} = 4pV\) のように、\(nRT=PV\) の関係をブロックとして捉えて置き換える練習をすると、計算が大幅に簡略化できる場合があります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(2) 圧力・温度: 断熱「圧縮」なので、外部から仕事をされ、内部エネルギーが増加します。したがって、温度は上昇するはず (\(T_A’=4T > T\))。また、体積が減少し温度が上昇するので、圧力も大幅に上昇するはず (\(p_A’=32p > p\))。計算結果は物理的な直感と一致します。
  • 問(3) 温度: 高温の気体(\(4T\))と低温の気体(\(T\))が混ざるので、最終的な温度は両者の間の値になるはずです。計算結果の \(T”=2T\) は \(T < 2T < 4T\) を満たしており、妥当です。
  • 問(3) 圧力: 混合後の圧力 \(p” = 16/3 p \approx 5.33p\) は、混合前の圧力 \(32p\) と \(2p\) の間の値になっています。これも物理的に妥当な結果です。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし容器Bが真空だったら（\(n_B=0, P_B=0\))どうなるか？問(3)の内部エネルギー保存則は \(U_{A,\text{前}} = U_{\text{全,後}}\) となり、\(\frac{3}{2}(32p)(V/8) = \frac{3}{2} p” (9V/8)\) から \(4pV = p”(9V/8)\)、よって \(p” = 32p/9\) となります。これは断熱自由膨張に似た状況です。
  • もしAとBが最初から全く同じ状態（例えば \(p, V, T\)）だったらどうなるか？弁を開けても何も変わらないはずです。計算してみると、\(n_A=n_B\), \(T_A=T_B=T\) なので、\(T” = \frac{n_A T + n_A T}{n_A+n_A} = T\) となり、確かに温度は変化しません。このように、簡単な状況で式を検証する習慣は有効です。

問題67 (京都府立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ピストンで仕切られた二つの気体室の一方を加熱したときの、それぞれの気体の状態変化やエネルギーのやり取りを考察するものです。断熱変化、熱力学第一法則、理想気体の状態方程式といった基本的な知識を組み合わせて解く必要があります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、連結された系における理想気体の状態変化、特に一方への加熱が他方に及ぼす影響（断熱圧縮）、そして系全体のエネルギー収支を扱う熱力学の応用問題です。

問(1)

思考の道筋とポイント
容器Aは、ピストンとシリンダー壁（Bと接するピストンを除く）が断熱材でできています。Bが加熱されピストンが動く際、AはBからピストンを介して仕事をされますが、A自体に熱の出入りはありません。したがって、Aの状態変化は断熱変化と考えることができます。
断熱変化において、気体が外部からされた仕事は、その気体の内部エネルギーの増加に等しくなります (\(\Delta U = W_{\text{された}}\), \(Q=0\))。
Aの初期温度は \(T_0\)、最終温度は \(T_1\)、物質量は \(n_A=1 \, \text{mol}\)です。
この設問における重要なポイント

• 容器Aの変化が断熱変化であることを見抜く。
• 断熱変化における「された仕事」と「内部エネルギーの変化」の関係 (\(W_{\text{された}} = \Delta U\)) を正しく理解し適用する。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使用する。

具体的な解説と立式
容器Aは断熱材で囲まれており、外部との熱のやり取りはありません (\(Q_A=0\))。Bからピストンを介して仕事をされることで状態が変化します。したがって、Aの変化は断熱変化です。
熱力学第一法則 \(\Delta U_A = Q_A + W_A\) (ここで \(W_A\) はAがされた仕事) において、\(Q_A=0\) なので、
$$
\begin{aligned}
W_A &= \Delta U_A
\end{aligned}
$$
Aの内部エネルギーの変化 \(\Delta U_A\) は、最終状態の内部エネルギー \(U_{A1}\) から初期状態の内部エネルギー \(U_{A0}\) を引いたものです。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_A &= U_{A1} – U_{A0}
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
U_{A0} &= \frac{3}{2} n_A R T_0 \\[2.0ex]
U_{A1} &= \frac{3}{2} n_A R T_1
\end{aligned}
$$
したがって、Aが受けた仕事 \(W_A\) は、これらを代入して求められます。

$$
\begin{aligned}
W_A &= \Delta U_A \\[2.0ex]
&= U_{A1} – U_{A0} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} n_A R T_1 – \frac{3}{2} n_A R T_0
\end{aligned}
$$
ここで \(n_A=1 \, \text{mol}\) なので、
$$
\begin{aligned}
W_A &= \frac{3}{2} R T_1 – \frac{3}{2} R T_0 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} R (T_1 – T_0)
\end{aligned}
$$

部屋Aは断熱された箱のようなものです。隣の部屋Bが膨らむことでピストンが押され、部屋Aは縮みます。このとき、Aは外部から熱をもらったり奪われたりしません。したがって、AがBに押されてされた仕事は、そのままAの内部のエネルギーの増加（あるいは減少）になります。内部エネルギーは温度で表せるので、Aの温度変化 (\(T_1 – T_0\)) から内部エネルギーの変化を計算し、それがAがされた仕事に等しいと考えます。単原子分子で物質量が1モルなので、内部エネルギーの変化は \(\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\) となります。これがAのされた仕事です。

A内の気体が受けた仕事は \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0) \, [\text{J}]\) です。
問題文では、Aの体積はもとの体積の半分になったとあり、これは圧縮されたことを意味します。断熱圧縮の場合、通常温度は上昇するため \(T_1 > T_0\) と考えられます。このとき \(W_A > 0\) となり、Aが正の仕事を受けた（仕事をされた）という結果と整合します。

問(2)

思考の道筋とポイント
Aの初期状態（圧力 \(P_{A0}\), 体積 \(V_0\), 温度 \(T_0\), 物質量 \(n_A=1 \, \text{mol}\)）と最終状態（圧力 \(P_{A1}\), 体積 \(V_0/2\), 温度 \(T_1\), 物質量 \(n_A=1 \, \text{mol}\)）それぞれについて理想気体の状態方程式を立てます。
これら2つの状態方程式から、初期圧力 \(P_{A0}\) と最終圧力 \(P_{A1}\) をそれぞれ \(R, T_0, T_1, V_0\) を用いて表し、その比 \(P_{A1}/P_{A0}\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を各状態で正しく適用すること。
• 求める量が圧力の「比」であることに注意し、式を変形して比を計算すること。
• 文字式の計算を正確に行うこと。

具体的な解説と立式
Aの初期状態における圧力 \(P_{A0}\)、体積を \(V_0\) とすると、温度 \(T_0\)、物質量 \(n_A=1 \, \text{mol}\)なので、状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
P_{A0} V_0 &= 1 \cdot R T_0 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
Aの最終状態における圧力 \(P_{A1}\)、体積 \(V_{A1}=V_0/2\)、温度 \(T_1\)、物質量 \(n_A=1 \, \text{mol}\)なので、状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
P_{A1} \left(\frac{V_0}{2}\right) &= 1 \cdot R T_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
求めたいのは、圧力の比 \(P_{A1}/P_{A0}\) です。

式①から \(P_{A0}\) を、式②から \(P_{A1}\) をそれぞれ \(V_0\) を用いて表します。
$$
\begin{aligned}
P_{A0} &= \frac{RT_0}{V_0}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
P_{A1} &= \frac{RT_1}{V_0/2} \\[2.0ex]
&= \frac{2RT_1}{V_0}
\end{aligned}
$$
したがって、圧力の比は、
$$
\begin{aligned}
\frac{P_{A1}}{P_{A0}} &= \frac{\displaystyle\frac{2RT_1}{V_0}}{\displaystyle\frac{RT_0}{V_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{2T_1}{T_0}
\end{aligned}
$$

部屋Aの最初の状態の圧力、体積、温度の関係は \(P_{A0}V_0 = RT_0\) です（物質量は1モルなので \(n=1\)）。最後の状態では、体積が \(V_0/2\) に、温度が \(T_1\) になったので、圧力 \(P_{A1}\) との関係は \(P_{A1}(V_0/2) = RT_1\) です。
最初の式から \(P_{A0} = RT_0/V_0\)、最後の式から \(P_{A1} = 2RT_1/V_0\) と書けます。
これらの比 \(P_{A1}/P_{A0}\) を計算すると、\((2RT_1/V_0) \div (RT_0/V_0)\) となり、\(R\) と \(V_0\) が約分されて \(2T_1/T_0\) が残ります。

変化後のA内の気体の圧力は、最初の状態の \(\frac{2T_1}{T_0}\) 倍になりました。
Aは体積が半分に圧縮され、温度が \(T_0\) から \(T_1\) に変化しました。理想気体の状態方程式 \(P = nRT/V\) から、圧力は温度に比例し体積に反比例します。したがって、変化後の圧力と最初の圧力の比は \((T_1/(V_0/2)) / (T_0/V_0) = (2T_1/V_0) / (T_0/V_0) = 2T_1/T_0\) となり、計算結果と一致します。
Aは断熱圧縮されたため、一般に \(T_1 > T_0\) となります。この場合、\(2T_1/T_0 > 2\) となり、体積が半分になったことによる圧力2倍よりもさらに圧力が上昇することを示しており、断熱圧縮の性質（温度上昇も伴う）と整合しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
ピストンはなめらかに動くため、変化の過程が「ゆっくり」であれば、常にAとBの圧力は釣り合っています。したがって、最終状態においても容器Aの圧力 \(P_{A1}\) と容器Bの圧力 \(P_{B1}\) は等しくなります。これを \(P_1\) とおきます。
Bの最終状態（圧力 \(P_1\), 体積 \(V_{B1}\), 求める温度 \(T_{B1}\), 物質量 \(n_B=1 \, \text{mol}\)）について理想気体の状態方程式を立て、\(P_1\) と \(V_{B1}\) を他の既知の量で表現して代入し、\(T_{B1}\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• ピストンが自由に動ける場合の、両側の気体の圧力が等しくなるという力学的平衡条件。
• 系全体の体積が保存されることから、一方の体積変化が他方の体積変化を決定するという関係。
• 理想気体の状態方程式を的確に適用すること。

具体的な解説と立式
最終状態において、ピストンは力のつり合いの位置で静止しているため、容器A内の圧力 \(P_{A1}\) と容器B内の圧力 \(P_{B1}\) は等しくなります。これを \(P_1\) とおきます。
$$
\begin{aligned}
P_{A1} &= P_{B1} \\[2.0ex]
&= P_1
\end{aligned}
$$
また、シリンダー全体の体積は初期状態から変化しないため、
$$
\begin{aligned}
V_{A1} + V_{B1} &= V_{A0} + V_{B0}
\end{aligned}
$$
容器Bの最終状態について、理想気体の状態方程式を立てると、
$$
\begin{aligned}
P_1 V_{B1} &= n_B R T_{B1} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
この式を \(T_{B1}\) について解くために、\(P_1\) と \(V_{B1}\) を求めます。

まず、最終圧力 \(P_1\) を求めます。問(2)の計算過程より、
$$
\begin{aligned}
P_1 &= P_{A1} \\[2.0ex]
&= \frac{2RT_1}{V_0}
\end{aligned}
$$
次に、Bの最終体積 \(V_{B1}\) を求めます。初期状態は \(V_{A0}=V_0, V_{B0}=V_0\)、最終状態は \(V_{A1}=V_0/2\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{B1} &= (V_{A0} + V_{B0}) – V_{A1} \\[2.0ex]
&= (V_0 + V_0) – \frac{V_0}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{3V_0}{2}
\end{aligned}
$$
これらの \(P_1\) と \(V_{B1}\) を、式③に代入します。物質量は \(n_B=1 \, \text{mol}\) です。
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{2RT_1}{V_0}\right) \left(\frac{3V_0}{2}\right) &= 1 \cdot R T_{B1}
\end{aligned}
$$
左辺を計算すると、\(V_0\) と \(2\) が約分され、
$$
\begin{aligned}
3RT_1 &= R T_{B1}
\end{aligned}
$$
両辺を \(R\) で割ると (\(R \neq 0\))、
$$
\begin{aligned}
T_{B1} &= 3T_1
\end{aligned}
$$

ピストンが最終的に止まったとき、部屋Aと部屋Bの圧力は同じ \(P_1\) になっています。部屋Aの圧力 \(P_1\) は、(2)の結果を使うと \(P_1 = (RT_0/V_0) \times (2T_1/T_0) = 2RT_1/V_0\) と計算できます。
部屋全体の体積は、最初AとBが \(V_0\) ずつだったので \(2V_0\) です。最後にAの体積が \(V_0/2\) になったので、Bの体積は残りの \(2V_0 – V_0/2 = 3V_0/2\) になります。
部屋Bについて、最後の状態での圧力 \(P_1\)、体積 \(3V_0/2\)、物質量1モル、そして求めたい温度 \(T_{B1}\) の間で状態方程式 \(P_1 V_{B1} = RT_{B1}\) が成り立ちます。ここに \(P_1 = 2RT_1/V_0\) と \(V_{B1} = 3V_0/2\) を入れると、\((2RT_1/V_0) \times (3V_0/2) = RT_{B1}\) となります。左辺を計算すると \(3RT_1\) なので、\(3RT_1 = RT_{B1}\)。つまり \(T_{B1} = 3T_1\) となります。

変化後のB内の気体の温度は \(T_{B1} = 3T_1 \, [\text{K}]\) です。
容器Bは外部から加熱され、体積も \(V_0\) から \(3V_0/2\) へと膨張しています。Aの最終温度が \(T_1\) であり、\(T_1\) は \(T_0\) より高いと予想される（Aは断熱圧縮されたため）ので、\(3T_1\) は初期温度 \(T_0\) や \(T_1\) よりもさらに高い温度となります。これはBが熱を吸収し、かつ外部（A）に仕事をしつつも温度が大幅に上昇したことを示しており、物理的にあり得る状況です。

問(4)

思考の道筋とポイント
Bの内部エネルギーの変化 \(\Delta U_B\) は、最終状態の内部エネルギー \(U_{B1}\) から初期状態の内部エネルギー \(U_{B0}\) を引くことで計算できます。
Bの初期温度は \(T_0\)、最終温度は \(T_{B1}\) (設問(3)で計算済み)、物質量は \(n_B=1 \, \text{mol}\)です。単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使用します。
この設問における重要なポイント

• 内部エネルギー変化の定義 (\(\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}\)) を理解していること。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式を正しく適用できること。
• 前の設問で得た結果（この場合は \(T_{B1}\)）を正確に用いること。

具体的な解説と立式
容器Bの内部エネルギーの増加量 \(\Delta U_B\) は、最終状態の内部エネルギー \(U_{B1}\) から初期状態の内部エネルギー \(U_{B0}\) を引いたものです。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= U_{B1} – U_{B0}
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
U_{B0} &= \frac{3}{2} n_B R T_0 \\[2.0ex]
U_{B1} &= \frac{3}{2} n_B R T_{B1}
\end{aligned}
$$
これらを代入して \(\Delta U_B\) を求めます。

$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= \frac{3}{2} n_B R T_{B1} – \frac{3}{2} n_B R T_0
\end{aligned}
$$
ここで \(n_B=1 \, \text{mol}\) と、問(3)の結果 \(T_{B1} = 3T_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= \frac{3}{2} R (3T_1) – \frac{3}{2} R T_0 \\[2.0ex]
&= \frac{9}{2} R T_1 – \frac{3}{2} R T_0 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} R (3T_1 – T_0)
\end{aligned}
$$

部屋Bの内部エネルギーがどれだけ増えたかを計算します。内部エネルギーは温度によって決まります。最初の温度は \(T_0\)、最後の温度は (3) で求めた \(T_{B1}=3T_1\) でした。物質量は1モルです。
最初の内部エネルギーは \(U_{B0} = \frac{3}{2}RT_0\)。
最後の内部エネルギーは \(U_{B1} = \frac{3}{2}R(3T_1) = \frac{9}{2}RT_1\)。
したがって、内部エネルギーの増加量は、最後のエネルギーから最初のエネルギーを引いて、\(\Delta U_B = \frac{9}{2}RT_1 – \frac{3}{2}RT_0 = \frac{3}{2}R(3T_1 – T_0)\) となります。

B内の気体の内部エネルギーの増加量は \(\Delta U_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0) \, [\text{J}]\) です。
Bは外部から加熱された結果、温度が \(T_0\) から \(3T_1\) に上昇しました。Aの断熱圧縮により \(T_1 > T_0\) と考えられるため、\(3T_1\) は \(T_0\) より大きくなり、したがって \(\Delta U_B > 0\)、つまり内部エネルギーは増加します。これは物理的に妥当な結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
Bについての熱力学第一法則 \(\Delta U_B = Q_B + W_{B,\text{された}}\) を用います。ここで \(Q_B\) が求めたいBが吸収した熱量です。
\(\Delta U_B\) は設問(4)で計算済みです。
\(W_{B,\text{された}}\) は、気体Bがピストンからされた仕事です。Bは体積が \(V_0\) から \(3V_0/2\) へと増加（膨張）しているため、実際には外部（ピストンを介してA）に対して仕事をしています。
Bが外部にした仕事 \(W_{B,\text{した}}\) の大きさは、気体Aがピストンからされた仕事 \(W_A\) (設問(1)で計算) に等しくなります。これは、ピストンがなめらかに動き、ピストン自体にエネルギーが蓄えられないと仮定した場合、Bがピストンを押す力がAを圧縮する力として伝わるためです。
したがって、\(W_{B,\text{した}} = W_A\)。よって、Bがされた仕事は \(W_{B,\text{された}} = -W_{B,\text{した}} = -W_A\)。
これらを熱力学第一法則の式に代入して \(Q_B\) を求めます。すなわち、\(Q_B = \Delta U_B – W_{B,\text{された}} = \Delta U_B + W_A\)。
この設問における重要なポイント

• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\) (または \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)) を正しく適用すること。
• 「された仕事」と「した仕事」の符号と関係性を正確に理解すること。特に、ピストンを介して二つの気体が互いに及ぼしあう仕事の大きさが等しいこと。
• 前の設問で得た結果（\(\Delta U_B\) と \(W_A\)）を正しく用いること。

具体的な解説と立式
容器Bが吸収した熱量を \(Q_B\) とします。容器Bがされた仕事を \(W_{B,\text{された}}\) とすると、熱力学第一法則は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= Q_B + W_{B,\text{された}}
\end{aligned}
$$
Bは膨張しているので、外部（ピストン）に対して仕事をしています。このBが外部にした仕事 \(W_{B,\text{した}}\) の大きさは、Aが受けた仕事 \(W_A\) に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
W_{B,\text{した}} &= W_A
\end{aligned}
$$
Bが「された」仕事は、Bが「した」仕事の符号を逆にしたものなので、
$$
\begin{aligned}
W_{B,\text{された}} &= -W_{B,\text{した}} \\[2.0ex]
&= -W_A
\end{aligned}
$$
これを熱力学第一法則の式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= Q_B – W_A
\end{aligned}
$$
よって、Bが吸収した熱量 \(Q_B\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_B &= \Delta U_B + W_A
\end{aligned}
$$

\(Q_B = \Delta U_B + W_A\) に、設問(4)で求めた \(\Delta U_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0)\) と、設問(1)で求めた \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_B &= \frac{3}{2}R(3T_1-T_0) + \frac{3}{2}R(T_1-T_0)
\end{aligned}
$$
共通因数 \(\frac{3}{2}R\) でくくると、
$$
\begin{aligned}
Q_B &= \frac{3}{2}R \left\{ (3T_1-T_0) + (T_1-T_0) \right\} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}R (3T_1 – T_0 + T_1 – T_0) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}R (4T_1 – 2T_0) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}R \cdot 2 (2T_1 – T_0) \\[2.0ex]
&= 3R (2T_1 – T_0)
\end{aligned}
$$

部屋Bが外部からどれだけ熱をもらったか (\(Q_B\)) を知るためには、熱力学の基本的なルール「（部屋Bの）エネルギーの増え方 (\(\Delta U_B\)) は、（部屋Bが）もらった熱 (\(Q_B\)) と （部屋Bが）された仕事 (\(W_{B,\text{された}}\)) の合計だよ」という式を使います。
部屋Bのエネルギーの増え方 (\(\Delta U_B\)) は、(4)で \(\frac{3}{2}R(3T_1-T_0)\) と計算しました。
次に、部屋Bが「された」仕事を考えます。部屋Bは実際には膨らんでピストンを押しているので、外部に仕事を「して」います。その「した」仕事の大きさは、隣の部屋Aがピストンに押されて縮むときに「された」仕事 (これは(1)で \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) と計算しました) と同じ大きさです。
なので、Bが「した」仕事は \(W_A\) です。ということは、Bが「された」仕事は、符号が逆になって \(-W_A\) となります。
熱力学のルールに当てはめると、\(\Delta U_B = Q_B + (-W_A)\) となります。
この式を \(Q_B\) について解くと、\(Q_B = \Delta U_B + W_A\) となります。
この式に、これまでに計算した \(\Delta U_B\) と \(W_A\) の値を代入すると、
\(Q_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0) + \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\)
これを計算すると、\(Q_B = 3R(2T_1-T_0)\) となります。

B内の気体が外部から吸収した熱量は \(Q_B = 3R(2T_1-T_0) \, [\text{J}]\) です。
Bは外部から加熱されていると問題文に記述されているので、\(Q_B > 0\) であると予想されます。Aの断熱圧縮により \(T_1 > T_0\) と考えられるため、\(2T_1 – T_0 = T_1 + (T_1 – T_0)\) は \(T_1 > 0\) かつ \(T_1-T_0 >0\) より正となります。したがって \(Q_B > 0\) であり、Bが熱を吸収したという結果と整合します。
仕事の扱いは重要で、Bがした仕事がAがされた仕事に等しいという点がポイントです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\)):
  • 核心: エネルギー保存の法則であり、この問題の全ての設問を貫く最も中心的な法則です。
  • 理解のポイント:
    1. 個々の気体への適用: 気体A（断熱変化 \(Q_A=0\)）や気体B（加熱され仕事をする変化）それぞれに対して適用し、仕事や熱量を求めます。
    2. 系全体への適用: 気体AとBを合わせた系全体に適用することで、内部での仕事のやり取りを相殺し、外部とのエネルギーのやり取り（この場合は熱の吸収のみ）と系全体の内部エネルギー変化の関係をシンプルに捉えることができます（問(5)別解）。
• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 核心: 気体の状態量（圧力、体積、温度、物質量）を関連付ける基本法則です。
  • 理解のポイント: 状態変化の前後で各気体の状態量を特定し、未知数を求めるために不可欠です。特に、圧力比や温度を求める際に活用されます。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT\)):
  • 核心: 気体の熱的なエネルギー状態を表し、温度変化から内部エネルギーの変化を計算する際に使用されます。
  • 理解のポイント: 熱力学第一法則の \(\Delta U\) を具体的な物理量で表現するための重要な式です。
• 力学的平衡と仕事の伝達:
  • 核心: なめらかに動くピストンを介して、両側の気体の圧力は常に等しく（準静的過程）、一方の気体がする仕事はもう一方の気体がされる仕事に等しくなります。
  • 理解のポイント: これにより、気体AとBの状態が独立ではなく、相互に関連していることを理解できます。問(3)で圧力が等しいことを利用し、問(5)で仕事の関係を利用する場面で重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンで連結された複数の部屋にある気体の状態変化を扱う問題。
  • 一方の気体に熱を加えたり、仕事を加えたりしたときに、もう一方の気体や系全体がどのように変化するかを問う問題。
  • 断熱壁や透熱壁といった、壁の熱的な性質が異なる条件が組み合わさった問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の設定と境界条件の把握: シリンダー、ピストン、壁が「断熱」か「透熱」か。ピストンは「固定」か「可動」か。外部との熱のやり取りはあるのか、仕事はあるのか。これらの条件が適用すべき法則を決定します。
  2. 各気体の状態変化の種類の特定: 各操作において、それぞれの気体が断熱変化、等温変化、定積変化、定圧変化のどれに近いか、あるいはそれらの複合かを判断します。「ゆっくり」などの記述もヒントになります。本問ではAが断熱変化、Bが加熱されながらの膨張（定圧でも定積でもない）となります。
  3. 力学的平衡条件: ピストンが「なめらかに動く」場合、変化が「ゆっくり」であれば、ピストンの両側の圧力は常につり合っている（等しい）と考えられます。これがAとBの状態を結びつける重要な鍵です。
  4. エネルギー保存則の適用範囲: 熱力学第一法則を、個々の気体（Aのみ、Bのみ）について考えるのか、系全体（A+B）について考えるのかを明確にします。問(5)のように、系全体で考えると見通しが良くなることが多々あります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号と向きの誤解:
  • 誤解: \(W_{\text{された}}\) と \(W_{\text{した}}\) の区別、および熱力学第一法則への代入時の符号ミス。特に、AがBから仕事を「される」場合、BはAに仕事を「する」ことになり、その大きさは等しくなります。
  • 対策: 熱力学第一法則を記述する際に、仕事の定義（「された」か「した」か）を一貫して用いること。図を描いて、仕事や熱のエネルギーがどの部分からどの部分へ移動しているのかを矢印で視覚的に追うと効果的です。
• 断熱変化の条件の見落とし:
  • 誤解: 問(1)でAの変化が断熱的であることを見抜けないと、仕事の計算が複雑になったり、誤った方針に進んだりする。
  • 対策: 問題文の「断熱」「熱を通しやすい」などの条件を注意深く読み取り、それぞれの部分での熱の出入り (\(Q\)) を正しく評価する。Aは断熱材で囲まれ、Bからの加熱は直接Aに伝わらないため、Aの変化は断熱的と判断します。
• 体積変化の計算ミス:
  • 誤解: ピストンが移動した後の各部屋の体積を正しく計算できない。
  • 対策: シリンダー全体が閉じられているため、全体の体積が一定であること（\(V_A + V_B = 2V_0\)) を利用します。一方の体積が分かれば、もう一方の体積は自動的に決まります。
• 熱力学第一法則の適用対象の混同:
  • 誤解: ある気体について考えているのか、系全体について考えているのかを明確に区別しないと、\(Q\) や \(W\) の解釈を誤る。
  • 対策: 式を立てる際に、「気体Aについて」「系全体(A+B)について」などと主語を明確にする習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 選定理由: 平衡状態にある理想気体の圧力、体積、物質量、温度の関係は常にこの式で記述されるため、状態量を求める基本として選択します。
  • 適用根拠: 変化の初期状態と最終状態は、それぞれ平衡状態にあると見なせるため、各状態でこの法則が成り立ちます。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q+W_{\text{された}}\)):
  • 選定理由: エネルギー保存則の観点から、気体の内部エネルギー変化と、外部との熱のやり取りや仕事のやり取りを関連付けるために選択します。
  • 適用根拠: 気体の状態が変化し、エネルギーの出入りがある全ての過程で適用できる普遍的な法則です。
• 問(1)でAについて \(Q_A=0\) と判断する理由:
  • 選定理由: Aを囲む壁（ピストン含む）が断熱材であり、Bからの熱はBの壁を通して外部（熱源）から供給され、直接Aに熱として伝わる経路がないためです。
  • 適用根拠: Aの状態変化は、Bからピストンを介して仕事をされることによってのみ引き起こされると判断できるため、Aのプロセスは断熱的であると結論できます。
• 問(5)で \(W_{B,\text{した}} = W_{A,\text{された}}\) と判断する理由:
  • 選定理由: なめらかに動くピストンを介してBがAを押すとき、ピストン自体にエネルギーが蓄積されたり摩擦で失われたりしない限り、Bがピストンにする仕事のエネルギーがそのままAがピストンからされる仕事のエネルギーとして伝達されるという、仕事の伝達の考え方に基づきます。
  • 適用根拠: 作用・反作用の法則によりピストンに及ぼす力は常に等しく、ピストンの移動距離は共通であるため、仕事の大きさは等しくなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底確認:
  • 特に注意すべき点: 仕事の符号（された仕事は正、した仕事は負として第一法則に入れるか、あるいは \(W_{した}\) を正として \(\Delta U = Q – W_{した}\) の形を使うか、定義を一貫させる）。熱量の符号（吸収は正、放出は負）。
  • 日頃の練習: 自分で一貫したルールを決め、常にそのルールに従って立式する。例えば、「された仕事」を常に正として \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\) に統一するなど。
• 添え字の管理:
  • 特に注意すべき点: \(T_0, T_1, T_{B1}\) や \(P_0, P_{A1}\) など、どの物理量がどの状態（初期/最終）のどの気体（A/B）のものなのかを、添え字を正確に用いて区別する。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、初期状態を添え字「0」、最終状態を「1」、気体Aを「A」、気体Bを「B」のように、自分でルールを決めて物理量を整理する習慣をつける。
• 文字式の整理と共通因数:
  • 特に注意すべき点: 計算過程で式が長くなりがち。
  • 日頃の練習: 計算過程では、できるだけ共通因数でくくったり、式を簡潔な形に保ったりすることで、見通しを良くし、ミスを減らす。例えば、この問題では \(\frac{3}{2}R\) が頻出します。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(1) 仕事 \(W_A\): Aは圧縮されたので仕事をされたはず (\(W_A>0\))。そのためには \(T_1>T_0\) (断熱圧縮による温度上昇) である必要があり、物理的に妥当。
  • 問(2) 圧力比: Aは断熱圧縮されたので、体積減少以上に圧力が上昇するはず (\(P_{A1}/P_{A0} > V_0/(V_0/2) = 2\))。そのためには \(T_1/T_0 > 1\) である必要があり、妥当。
  • 問(3) 温度 \(T_{B1}\): Bは加熱されたので温度が上昇するはず (\(T_{B1}>T_0\))。\(T_1>T_0\) なので \(3T_1 > T_0\) となり、妥当。
  • 問(5) 熱量 \(Q_B\): Bは外部から加熱されたので熱を吸収するはず (\(Q_B > 0\))。\(T_1>T_0\) なので \(2T_1-T_0 > 0\) となり、妥当。
• エネルギーの流れの追跡:
  • 問(5)の別解で見たように、外部からBに供給された熱エネルギー \(Q_B\) が、Aの内部エネルギー増加 \(\Delta U_A\) とBの内部エネルギー増加 \(\Delta U_B\) に分配された (\(Q_B = \Delta U_A + \Delta U_B\)) というエネルギー収支が成り立っているかを確認する。この視点は、系のエネルギー保存を理解する上で非常に重要です。
• 極端な条件を考える（思考実験）:
  • もしBを全く加熱しなかったら (\(Q_B=0\))、ピストンは動かず何も変化しないはず。このとき \(T_1=T_0\) となり、全ての設問の答えが0または1倍となり、変化がないことと一致するか確認する。
    • (1) \(W_A = \frac{3}{2}R(T_0-T_0) = 0\)。OK。
    • (2) \(P_{A1}/P_{A0} = 2T_0/T_0 = 2\) となり、これはおかしい。これは、\(T_1=T_0\) という仮定が、体積変化を伴う場合にはあり得ないことを示唆している。正しくは、加熱がなければ体積変化もなく、\(V_{A1}=V_0\)。このとき状態方程式から \(T_1=T_0\) となり、矛盾なく全てが変化しないことがわかる。このように、思考実験は前提条件の妥当性チェックにも使える。

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問題68 (東海大+名古屋大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねにつながれたピストンによってシリンダー内に封じられた理想気体をヒーターで加熱する際の、気体の圧力、体積、温度の変化、気体がする仕事、そして気体に加えられた熱量などを考察する熱力学の問題です。ピストンには大気圧とばねの力が作用するため、気体の圧力は体積変化に伴って変化します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、ばねにつながれたピストンによってシリンダー内に封じられた理想気体をヒーターで加熱する際の、気体の圧力、体積、温度の変化、気体がする仕事、そして気体に加えられた熱量などを考察する熱力学の問題です。ピストンには大気圧とばねの力が作用するため、気体の圧力は体積変化に伴って変化します。

問(1)