「良問の風」攻略ガイド（66〜70問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題66 (防衛大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、理想気体の状態方程式、内部エネルギー、断熱変化、そして異なる状態にある気体の混合という、熱力学の重要な要素を組み合わせたものです。各ステップでの気体の状態変化を正確に追跡し、適切な物理法則を適用することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「理想気体の状態変化」と「熱力学の法則」を総合的に扱います。具体的には、状態方程式の適用、内部エネルギーの計算、断熱過程の解析、そして異なる状態の気体の混合（エネルギー保存）が含まれます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)
  • 気体の圧力、体積、物質量、温度というマクロな状態量間の関係を示す基本法則です。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)
  • 理想気体の内部エネルギーは温度と物質量のみに依存し、単原子分子の場合はこの形で与えられます。\(nRT=PV\) を用いれば \(U=\frac{3}{2}PV\) とも表せます。
• ポアソンの法則 (断熱変化): \(PV^{\gamma} = \text{一定}\) および \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\)
  • 熱の出入りなしに気体の状態が変化する断熱過程において、圧力・体積・温度間に成り立つ関係式です。単原子分子の理想気体の場合、比熱比 \(\gamma = C_p/C_V = (\frac{5}{2}R)/(\frac{3}{2}R) = 5/3\) となります。
• 熱力学第一法則と内部エネルギー保存: \(\Delta U = Q – W\)
  • 系の内部エネルギー変化 \(\Delta U\) は、系に加えられた熱 \(Q\) と系が外部にした仕事 \(W\) の差に等しいという法則です。特に、断熱系 (\(Q=0\)) で外部との仕事のやり取りもない場合 (\(W=0\))、系の内部エネルギーは保存されます (\(\Delta U=0\))。設問(3)の混合過程でこの考え方を用います。

全体的な戦略としては、まず各初期状態を分析し、次に容器Aの断熱圧縮を扱い、最後に弁を開放した後の系全体のエネルギー保存と状態方程式を用いて最終状態を求めます。

問1

思考の道筋とポイント
容器Aの初期状態の圧力、体積、温度が与えられているので、これらと気体定数 \(R\) を用いて理想気体の状態方程式から物質量 \(n_A\) を求めます。
物質量 \(n_A\) と温度 \(T\) が分かれば、単原子分子の理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使って内部エネルギー \(U_A\) を計算できます。あるいは、\(n_ART = pV\) の関係を用いれば、\(U_A = \frac{3}{2}pV\) と直接 \(p, V\) で表すことも可能です。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を正確に適用すること。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギーの公式 \(U=\frac{3}{2}nRT\) (または \(U=\frac{3}{2}PV\)) を理解し、正しく使用すること。
• 問題文で与えられた文字を使って答えを表現すること。

具体的な解説と立式
容器Aの初期状態は、圧力 \(P_A = p\)、体積 \(V_A = V\)、絶対温度 \(T_A = T\) です。
このときの物質量を \(n_A\) とすると、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、
$$p V = n_A R T \quad \cdots ①$$
この式から物質量 \(n_A\) が求まります。

単原子分子の理想気体の内部エネルギー \(U_A\) は、公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) で与えられます。
したがって、
$$U_A = \frac{3}{2} n_A R T$$
ここで、式①の関係 \(n_A R T = pV\) を用いると、内部エネルギー \(U_A\) は \(p\) と \(V\) を用いても表せます。

物質量 \(n_A\) の計算:
式① \(pV = n_A R T\) を \(n_A\) について解くと、
$$n_A = \frac{pV}{RT}$$

内部エネルギー \(U_A\) の計算:
内部エネルギーの公式 \(U_A = \frac{3}{2} n_A R T\) において、式①から \(n_A R T = pV\) であるため、これを代入すると、
$$U_A = \frac{3}{2} pV$$

(物質量) 気体の状態を表す基本的な法則である状態方程式 \(PV=nRT\) を使います。容器Aについて、はじめの圧力は \(p\)、体積は \(V\)、温度は \(T\) と与えられています。これらの値を状態方程式に代入すると \(pV = n_A RT\) となります。この式から、物質量 \(n_A\) は \(n_A = \frac{pV}{RT}\) と計算できます。
(内部エネルギー) 単原子分子の理想気体が持つエネルギー（内部エネルギー）は、\(U = \frac{3}{2}nRT\) という公式で表されます。先ほど \(n_A RT\) が \(pV\) と等しいことがわかったので、これを代入すると、容器Aの内部エネルギー \(U_A\) は \(U_A = \frac{3}{2} (n_A RT) = \frac{3}{2}pV\) と簡単に表すことができます。

容器A内の初期の物質量は \(n_A = \frac{pV}{RT}\)、内部エネルギーは \(U_A = \frac{3}{2}pV\) です。
これらは問題文で与えられた基本的な物理量 \(p, V, R, T\) を用いて表されており、物理的な次元もそれぞれ物質量、エネルギーとして正しくなっています。

問2

思考の道筋とポイント
これは容器A内の気体に対する断熱圧縮の過程です。初期状態 (\(P_1=p, V_1=V, T_1=T\)) から、最終状態 (\(P_2=p_A’, V_2=V/8, T_2=T_A’\)) へ変化します。
断熱変化の関係式 \(P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}\) (ここで \(\gamma = 5/3\)) を用いて、圧縮後の圧力 \(p_A’\) を求めます。
圧縮後の圧力 \(p_A’\) と体積 \(V/8\)、そして物質量 \(n_A\) (これは圧縮前後で変化しません) を用いて、理想気体の状態方程式から圧縮後の温度 \(T_A’\) を求めることができます。
あるいは、断熱変化のもう一つの関係式 \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}\) を用いれば、温度 \(T_A’\) を直接計算することも可能です。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化の公式（ポアソンの法則 \(PV^{\gamma}=\text{一定}\) や \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\)）を正しく選択し、適用すること。
• 比熱比 \(\gamma\) が単原子分子理想気体の場合は \(5/3\) であることを理解していること（問題文にも与えられています）。
• 指数計算（特に分数乗）を正確に行うこと。例えば、\((1/8)^{\frac{5}{3}}\) や \(8^{\frac{5}{3}}\) の計算。
• 状態方程式は常に成り立つ基本法則であるため、圧力・体積・物質量が分かれば温度が求まる、という関係を理解していること。

具体的な解説と立式
容器A内の気体の初期状態を \(P_1=p, V_1=V, T_1=T\) とします。
断熱圧縮後の状態を \(P_2=p_A’, V_2=V/8, T_2=T_A’\) とします。
物質量 \(n_A\) はこの過程で変化しません。
単原子分子の理想気体の断熱変化では、比熱比 \(\gamma = 5/3\) を用いて \(PV^{\frac{5}{3}}=\text{一定}\) が成り立ちます。
したがって、
$$P_1 V_1^{\frac{5}{3}} = P_2 V_2^{\frac{5}{3}}$$
$$p V^{\frac{5}{3}} = p_A’ \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{5}{3}} \quad \cdots ②$$
この式から圧縮後の圧力 \(p_A’\) を求めます。

次に、圧縮後の温度 \(T_A’\) を求めます。これには2つの方法が考えられます。
方法A: 状態方程式を用いる
圧縮後の状態において、理想気体の状態方程式 \(P_2 V_2 = n_A R T_2\) が成り立ちます。
$$p_A’ \left(\frac{V}{8}\right) = n_A R T_A’ \quad \cdots ③$$
ここで \(n_A = \frac{pV}{RT}\) (設問(1)の結果) です。

方法B: 断熱変化の法則 \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\) を用いる
\(\gamma-1 = 5/3 – 1 = 2/3\) なので、\(TV^{\frac{2}{3}}=\text{一定}\) が成り立ちます。
$$T_1 V_1^{\frac{2}{3}} = T_2 V_2^{\frac{2}{3}}$$
$$T V^{\frac{2}{3}} = T_A’ \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{2}{3}} \quad \cdots ④$$
この式から \(T_A’\) を直接求めることができます。

圧力 \(p_A’\) の計算:
式② \(p V^{\frac{5}{3}} = p_A’ \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{5}{3}}\) より、
$$p V^{\frac{5}{3}} = p_A’ \frac{V^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{5}{3}}}$$
両辺の \(V^{\frac{5}{3}}\) を消去すると (\(V \neq 0\))、
$$p = p_A’ \frac{1}{8^{\frac{5}{3}}}$$
よって、
$$p_A’ = p \cdot 8^{\frac{5}{3}}$$
ここで、\(8^{\frac{5}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^5 = (2)^5 = 32\) です。
したがって、
$$p_A’ = 32p$$

温度 \(T_A’\) の計算:
方法A: 状態方程式 (式③) を用いる
\(p_A’ \left(\frac{V}{8}\right) = n_A R T_A’\) に、\(p_A’=32p\) と \(n_A = \frac{pV}{RT}\) を代入します。
$$(32p) \left(\frac{V}{8}\right) = \left(\frac{pV}{RT}\right) R T_A’$$
$$4pV = \frac{pV}{T} T_A’$$
両辺を \(pV\) で割ると (\(p,V \neq 0\))、
$$4 = \frac{T_A’}{T}$$
したがって、
$$T_A’ = 4T$$

方法B: 断熱変化の法則 (式④) を用いる
\(T V^{\frac{2}{3}} = T_A’ \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{2}{3}}\) より、
$$T V^{\frac{2}{3}} = T_A’ \frac{V^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$$
両辺の \(V^{\frac{2}{3}}\) を消去すると、
$$T = T_A’ \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$$
よって、
$$T_A’ = T \cdot 8^{\frac{2}{3}}$$
ここで、\(8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (2)^2 = 4\) です。
したがって、
$$T_A’ = 4T$$

(圧力) 気体を外部と熱のやり取りなしに（断熱的に）ギュッと圧縮すると、圧力と体積の間には \(PV^{\frac{5}{3}} = \text{一定}\) という特別な関係が成り立ちます。はじめの状態は圧力 \(p\)、体積 \(V\) でした。体積を \(V/8\) にしたときの新しい圧力を \(p_A’\) とすると、\(p V^{\frac{5}{3}} = p_A’ (V/8)^{\frac{5}{3}}\) という式ができます。これを \(p_A’\) について解くと、\(p_A’ = p \times 8^{\frac{5}{3}}\) となります。\(8^{\frac{5}{3}}\) というのは、まず \(8\) の \(1/3\) 乗（つまり3乗すると8になる数、これは2です）を計算し、その結果を \(5\) 乗します。\(2^5 = 32\) なので、\(p_A’ = 32p\) となります。
(温度) 温度を求めるには、２つのやり方があります。１つは、新しい圧力 \(32p\) と新しい体積 \(V/8\)、そして変わらない物質量 \(n_A = pV/(RT)\) を使って、状態方程式 \(P’V’ = n_A R T’\) に代入する方法です。計算すると \( (32p)(V/8) = (pV/RT) R T_A’ \) となり、これを整理すると \(4pV = (pV/T)T_A’\) となって \(T_A’ = 4T\) が求まります。
もう１つの方法は、断熱変化の別の公式 \(TV^{\frac{2}{3}} = \text{一定}\) を使う方法です。はじめの状態 \(T, V\) と後の状態 \(T_A’, V/8\) をこの式に入れると \(T V^{\frac{2}{3}} = T_A’ (V/8)^{\frac{2}{3}}\) となります。これを \(T_A’\) について解くと \(T_A’ = T \times 8^{\frac{2}{3}}\) となります。\(8^{\frac{2}{3}}\) は、\(8\) の \(1/3\) 乗（2）を計算し、その結果を \(2\) 乗するので \(2^2 = 4\) です。よって \(T_A’ = 4T\) と、同じ結果が得られます。

断熱圧縮後の容器A内の気体の圧力は \(p_A’ = 32p\)、温度は \(T_A’ = 4T\) です。
断熱圧縮を行うと、外部から気体に対して仕事がされるため、気体の内部エネルギーが増加し、結果として温度が上昇します (\(T_A’ = 4T > T_A = T\))。また、体積が減少し温度が上昇するため、圧力は大幅に増加します (\(p_A’ = 32p > P_A = p\))。これらの結果は物理的に見て妥当です。
また、ポアソンの法則の指数計算も正しく行われています。\(V_2/V_1 = 1/8\) なので、\(P_2/P_1 = (V_1/V_2)^{\gamma} = 8^{5/3} = 32\)。\(T_2/T_1 = (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 8^{2/3} = 4\)。

問3

思考の道筋とポイント
弁を開ける直前の各容器の状態を明確にします。
容器A: 体積 \(V_A’ = V/8\), 圧力 \(p_A’ = 32p\), 温度 \(T_A’ = 4T\), 物質量 \(n_A = pV/(RT)\)。
容器B: 体積 \(V_B = V\), 圧力 \(P_B = 2p\), 温度 \(T_B = T\)。物質量 \(n_B\) は状態方程式 \(P_B V_B = n_B R T_B\) から求めます。
弁を開けると、AとBの気体が混合し、最終的に一つの系として平衡状態に達します。このとき、全体の体積は \(V_{\text{全}} = V_A’ + V_B = V/8 + V = 9V/8\) となります。
全体の物質量は \(n_{\text{全}} = n_A + n_B\) で保存されます。
器材は熱を伝えない材料でできており、ピストンも固定されている（外部への仕事なし）、弁の開閉自体も仕事とはみなさないため、この混合・平衡化の過程は、AとBを合わせた系全体として見ると断熱的であり、外部との仕事のやり取りもありません。したがって、系全体の内部エネルギーは保存されます。
内部エネルギー保存則: \(U_{A,\text{前}} + U_{B,\text{前}} = U_{\text{全},\text{後}}\)。ここで \(U_{A,\text{前}}\) は \(T_A’\) でのAの内部エネルギー、\(U_{B,\text{前}}\) は \(T_B\) でのBの内部エネルギー、\(U_{\text{全},\text{後}}\) は最終的な共通温度を \(T”\) としたときの全体の内部エネルギーです。
この関係式から最終温度 \(T”\) を求めます。
最後に、全体の体積 \(V_{\text{全}}\)、全体の物質量 \(n_{\text{全}}\)、そして求めた最終温度 \(T”\) を用いて、理想気体の状態方程式から最終的な共通圧力 \(p”\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 複数の異なる状態の気体が混合する際の、内部エネルギー保存則の正しい適用。
• 各気体の物質量を正確に計算し、全体の物質量を把握すること。
• 混合後の全体の体積を正しく計算すること。
• 計算手順として、まず内部エネルギー保存から最終温度を求め、その後に状態方程式で最終圧力を求めるという流れを理解すること。

具体的な解説と立式
弁を開ける直前の状態を確認します。
容器A: 体積 \(V_A’ = V/8\), 圧力 \(p_A’ = 32p\), 温度 \(T_A’ = 4T\)。
物質量 \(n_A = \frac{pV}{RT}\) (設問(1)より)。
Aの内部エネルギー \(U_{A,\text{前}} = \frac{3}{2}n_A R T_A’ = \frac{3}{2} \left(\frac{pV}{RT}\right) R (4T) = 6pV\)。

容器B: 体積 \(V_B = V\), 圧力 \(P_B = 2p\), 温度 \(T_B = T\)。
物質量 \(n_B\) は状態方程式 \(P_B V_B = n_B R T_B\) より、
$$(2p)V = n_B R T$$
よって、
$$n_B = \frac{2pV}{RT}$$
Bの内部エネルギー \(U_{B,\text{前}} = \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2} \left(\frac{2pV}{RT}\right) R T = 3pV\)。

弁を開放すると、AとBの気体は混合します。
全体の体積 \(V_{\text{全}} = V_A’ + V_B = \frac{V}{8} + V = \frac{9V}{8}\)。
全体の物質量 \(n_{\text{全}} = n_A + n_B = \frac{pV}{RT} + \frac{2pV}{RT} = \frac{3pV}{RT}\)。

系全体の内部エネルギーは保存されるので、弁を開ける前の内部エネルギーの和と、弁を開けた後の全体の内部エネルギーは等しくなります。
弁を開ける前の内部エネルギーの和は、
$$U_{\text{全,前}} = U_{A,\text{前}} + U_{B,\text{前}} = 6pV + 3pV = 9pV$$
弁を開放し、十分時間が経過した後の全体の温度を \(T”\) とすると、全体の内部エネルギー \(U_{\text{全,後}}\) は、
$$U_{\text{全,後}} = \frac{3}{2} n_{\text{全}} R T”$$
内部エネルギー保存則 \(U_{\text{全,前}} = U_{\text{全,後}}\) より、
$$9pV = \frac{3}{2} n_{\text{全}} R T” \quad \cdots ⑤$$
この式から \(T”\) を求めます。

その後、最終的な圧力 \(p”\) は、全体に対する状態方程式 \(p” V_{\text{全}} = n_{\text{全}} R T”\) から求めます。

最終温度 \(T”\) の計算:
式⑤に \(n_{\text{全}} = \frac{3pV}{RT}\) を代入します。
$$9pV = \frac{3}{2} \left(\frac{3pV}{RT}\right) R T”$$
$$9pV = \frac{9pV}{2T} T”$$
両辺の \(9pV\) を消去すると (\(p,V \neq 0\))、
$$1 = \frac{1}{2T} T”$$
したがって、
$$T” = 2T$$

最終圧力 \(p”\) の計算:
全体に対する状態方程式 \(p” V_{\text{全}} = n_{\text{全}} R T”\) を用います。
\(V_{\text{全}} = \frac{9V}{8}\), \(n_{\text{全}} = \frac{3pV}{RT}\), そして上で求めた \(T” = 2T\) を代入します。
$$p” \left(\frac{9V}{8}\right) = \left(\frac{3pV}{RT}\right) R (2T)$$
右辺の \(R\) と \(T\) が約分され、
$$p” \left(\frac{9V}{8}\right) = (3pV) \cdot 2$$
$$p” \left(\frac{9V}{8}\right) = 6pV$$
\(V\) を両辺から消去し (\(V \neq 0\))、\(p”\) について解くと、
$$p” = 6p \cdot \frac{8}{9}$$
$$p” = \frac{48}{9} p = \frac{16}{3} p$$

(温度) 弁を開ける前、Aの部屋の気体のエネルギーは \(6pV\)、Bの部屋の気体のエネルギーは \(3pV\) でした（これらの計算は上の「具体的な解説と立式」を見てください）。なので、2つの部屋のエネルギーを合わせると \(6pV + 3pV = 9pV\) です。
弁を開けると、AとBの気体が混ざり合います。このとき、器材は熱を通さないので、全体のエネルギーは変わりません。混ざった後の全体の物質量は \(n_{\text{全}} = n_A + n_B = \frac{pV}{RT} + \frac{2pV}{RT} = \frac{3pV}{RT}\) です。混ざった後の全体の温度を \(T”\) とすると、その時の全体のエネルギーは \(U_{\text{全,後}} = \frac{3}{2} n_{\text{全}} R T” = \frac{3}{2} \left(\frac{3pV}{RT}\right) R T” = \frac{9pV}{2T} T”\) と書けます。
全体のエネルギーは変わらないはずなので、\(9pV = \frac{9pV}{2T} T”\) という式が成り立ちます。この式を \(T”\) について解くと、\(T” = 2T\) となります。
(圧力) 最後に、混ざり合って均一になった気体の圧力を求めます。このとき、全体の体積はAの体積 \(V/8\) とBの体積 \(V\) を合わせた \(V/8 + V = 9V/8\) です。全体の物質量は \(n_{\text{全}} = 3pV/(RT)\)、全体の温度は上で求めた \(T”=2T\) です。これらを状態方程式 \(p” V_{\text{全}} = n_{\text{全}} R T”\) に代入します。
\(p” \left(\frac{9V}{8}\right) = \left(\frac{3pV}{RT}\right) R (2T)\)。
右辺は \(R\) と \(T\) が打ち消しあって \( (3pV) \times 2 = 6pV \) となります。
したがって、\(p” \left(\frac{9V}{8}\right) = 6pV\)。この式を \(p”\) について解くと、\(p” = 6p \times \frac{8}{9} = \frac{16}{3}p\) となります。

弁を開放し、十分に時間が経過した後の容器内の気体の最終的な温度は \(T” = 2T\)、圧力は \(p” = \frac{16}{3}p \approx 5.33p\) です。
混合前の温度は、容器Aが \(T_A’ = 4T\)、容器Bが \(T_B = T\) でした。混合後の温度 \(T” = 2T\) はこれらの間の値であり、物質量や初期の内部エネルギーを考慮した結果として妥当な範囲にあります。
圧力については、混合前は容器Aが \(p_A’ = 32p\) (体積 \(V/8\))、容器Bが \(P_B = 2p\) (体積 \(V\)) でした。最終的に体積 \(9V/8\) で圧力 \(p” = \frac{16}{3}p \approx 5.33p\) となりました。高圧だったAの気体が膨張し、低圧だったBの気体が圧縮されたような形で圧力が均一化されたと見なせます。それぞれの初期状態から大きく変化しており、計算結果の妥当性を直感だけで判断するのは難しいですが、一連の計算過程と適用した法則が正しければ、この結果も正しいと言えます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体のマクロな状態（圧力、体積、温度、物質量）を関連付ける最も基本的な法則であり、各設問で物質量を求めたり、状態変化後の未知数を求めるために使用されます。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV\)): 気体の熱的なエネルギー状態を表す重要な量です。特に、断熱変化では外部との熱のやり取りがないため内部エネルギーの変化が仕事に直結し、また、断熱的な混合では系全体の内部エネルギーが保存されるという形で用いられます。
• ポアソンの法則 (断熱変化 \(PV^{\gamma}=\text{一定}\), \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\)): 設問(2)のような、外部との熱の授受なしに気体の体積や圧力が変化する「断熱過程」を記述するための重要な関係式です。単原子分子理想気体の場合、比熱比 \(\gamma = 5/3\) となることを理解しておく必要があります。
• 内部エネルギー保存則 (断熱系での混合): 設問(3)で弁を開放する際、系全体（容器A+容器B）が外部から断熱されており、かつ外部への仕事も行われない場合、系全体の内部エネルギーの総和は混合の前後で保存されます。これが混合後の最終温度を決定する鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンによって気体が圧縮されたり膨張したりする問題（特に断熱変化や等温変化）。
  • 複数の容器がコックや弁で繋がれており、それらの開閉によって気体が移動したり混合したりする問題。
  • 断熱壁で仕切られた系内部での熱の移動や状態変化を伴う問題。
• 初見の問題でどこに着目すべきか:
  1. 過程の種類の特定: 問題文中の記述（「断熱的に」「ゆっくりと（等温を示唆）」「ピストン固定（定積）」など）から、各操作がどのような熱力学的過程に対応するのかを正確に読み取ることが第一歩です。
  2. 保存される量の特定: 各過程や操作の前後で、何が一定に保たれるのか（物質量、体積、圧力、温度）、あるいは何が保存されるのか（エネルギー、特に内部エネルギー）を見極めます。
  3. 状態量の整理: 各容器、各気体について、操作の各段階における \(P, V, n, T\) の値を整理し、未知数を明確にします。図を書いて整理するのも有効です。
  4. 適切な法則の選択と立式: 特定した過程や保存量に応じて、状態方程式、内部エネルギーの式、ポアソンの法則、熱力学第一法則などを適切に選択し、数式を立てます。
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • 「なめらかに動くピストン」という記述は、通常、ピストンの内外の圧力が釣り合っている状態を示唆しますが、本問のように「ピストンを動かし」「ピストンを固定し」といった操作が加わる場合は、その指示に従います。
  • 「熱を伝えない材料」や「断熱変化」というキーワードは、\(Q=0\) を意味し、内部エネルギー変化が仕事のみによるか、あるいは内部エネルギーが保存されるヒントになります。
  • 比熱比 \(\gamma\) の値は、気体が単原子分子か二原子分子かなどで異なるため、問題文をよく確認する必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 断熱変化と等温変化の混同: \(PV^{\gamma}=\text{一定}\)（断熱）と \(PV=\text{一定}\)（等温）の使い分けを誤る。温度変化の有無が大きな違いです。
• 比熱比 \(\gamma\) の値の記憶違いや誤用: 単原子分子の場合は \(\gamma=5/3\)、二原子分子の場合は（振動を考慮しないなら）\(\gamma=7/5\) です。
• 内部エネルギー計算時の変数の選択ミス: 設問(3)のように複数の気体が絡み、温度も異なる場合、内部エネルギーを計算する際に、どの気体のどの時点の物質量や温度を用いるべきか混乱しがちです。エネルギー保存を考える際は、保存則が成り立つ範囲（系全体か部分か）と時間（操作の前後）を明確にしましょう。
• 混合後の全体の体積や物質量の計算ミス: 単純な足し算ですが、焦ると間違えることがあります。設問(3)では \(V_{\text{全}} = V/8 + V\)、\(n_{\text{全}} = n_A + n_B\)。
• 指数の計算間違い: \(8^{5/3}\) のような計算は、\( (8^{1/3})^5 \) のように段階を踏んで計算すると間違いにくいです。

対策:

• 各熱力学的過程の定義と、それに対応する数式（状態方程式、ポアソンの法則など）を正確に理解し、セットで記憶する。
• 問題の状況を図に描き、各状態での \(P,V,n,T\) を書き込んで整理する習慣をつける。
• エネルギー保存則を適用する際は、「どの範囲のエネルギーが」「どの過程の前後で」保存されるのかを言葉で確認する。
• 計算は丁寧に、特に指数計算や分数計算は慎重に行う。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だったイメージ・図:
  • (1) 静止したピストンと容器A、そして隣の容器Bの初期状態の図。
  • (2) ピストンが容器Aの気体を押し縮めていく様子。体積が減り、圧力と温度が上昇するイメージ。
  • (3) 弁が開かれ、高温高圧の容器Aの気体（体積は小さい）と、低温で圧力も相対的に低い容器Bの気体（体積は大きい）が、2つの容器の合計体積 (\(9V/8\)) の中で混ざり合い、最終的に均一な温度・圧力になる拡散・平衡化のイメージ。模範解答に示されているような、各段階の概略図 は非常に有効です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 状態変化の前後を比較できるように、変化する量（体積、圧力計の針など）を意識して描く。
  • 断熱壁やピストンの固定・可動などの条件を図中に記号などで示す。
  • 混合過程では、最終的に系全体が均一な状態になることを示す。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(PV=nRT\): 全ての平衡状態にある理想気体について、圧力・体積・物質量・温度の関係を示す普遍的な法則だから選択します。
• \(U=\frac{3}{2}nRT\): 問題文に「単原子分子の理想気体」と明記されており、その内部エネルギーを表す正しい形式だから選択します。
• \(PV^{\gamma}=\text{一定}\): 設問(2)で「断熱変化」と明確に指定されているため、理想気体の断熱過程を表すポアソンの法則の一つを選びます。\(\gamma=5/3\) は単原子分子理想気体という条件から決まります。
• 内部エネルギー保存 (設問(3)): 「器材は熱を伝えない」「ピストンを固定したまま弁を開けて」という条件から、AとBを合わせた系全体は外部との熱のやり取りがなく (\(Q=0\))、外部に対する仕事もしていない (\(W=0\)) と考えられるため、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q-W\) より \(\Delta U=0\)、すなわち内部エネルギーが保存されると判断し適用します。

「なぜこの公式を使うのか？」「この公式が成り立つための条件は何か？」を自問自答する習慣が、論理的な思考力を養います。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 設問(1) 初期状態分析:
   1. 容器Aの \(P,V,T\) から状態方程式を用いて \(n_A\) を算出。
   2. \(n_A, R, T\) (または \(P,V\)) から内部エネルギーの公式を用いて \(U_A\) を算出。
2. 設問(2) 断熱圧縮:
   1. 容器Aの初期状態 (\(P,V\)) と圧縮後の体積 (\(V/8\)) を用い、\(PV^{\gamma}=\text{一定}\) の関係から圧縮後の圧力 \(p_A’\) を算出。
   2. 容器Aの圧縮後の状態 (\(p_A’, V/8\)) と物質量 \(n_A\) を用い、状態方程式から圧縮後の温度 \(T_A’\) を算出。(または \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\) を直接利用)
3. 設問(3) 混合と平衡化:
   1. 容器Bの初期状態 (\(2P,V,T\)) から状態方程式を用いて物質量 \(n_B\) を算出。
   2. 弁開放前の容器Aの内部エネルギー \(U_{A,\text{前}}\) (状態 \(p_A’, V/8, T_A’\)) と容器Bの内部エネルギー \(U_{B,\text{前}}\) (状態 \(2P,V,T\)) をそれぞれ計算。
   3. 内部エネルギー保存則: \(U_{A,\text{前}} + U_{B,\text{前}} = U_{\text{全},\text{後}}\) を立式。ここで \(U_{\text{全},\text{後}}\) は、全体の物質量 \(n_{\text{全}}=n_A+n_B\) と最終温度 \(T”\) を用いて \(\frac{3}{2}n_{\text{全}}RT”\) と表す。
   4. 上記の式から最終温度 \(T”\) を算出。
   5. 最終的な全体の体積 \(V_{\text{全}}=V/8+V\)、全体の物質量 \(n_{\text{全}}\)、最終温度 \(T”\) を用い、状態方程式から最終圧力 \(p”\) を算出。

各ステップで何を求め、そのためにどの情報とどの法則が必要なのかを明確にしながら、論理的に計算を進めていくことが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の取り扱い: \(8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^{3 \times 5/3} = 2^5 = 32\) のように、底を素因数分解したり、指数法則を正確に適用したりする。
• 分数の計算: 体積の和 \(V/8 + V = 9V/8\) や、圧力の計算での分数の乗除など、基本的な計算を丁寧に行う。
• 変数の代入ミス: 多くの物理量（特に圧力 \(p, p_A’, p”\) や温度 \(T, T_A’, T”\) など）が登場するため、どの段階のどの量を代入しているのかを常に意識し、混同しないように注意する。文字式のまま計算を進め、最後に値を代入するのも有効な手段です。
• \(nRT=PV\) の関係式の活用: 設問(1)で \(n_A RT = pV\) や、容器Bについて \(n_B RT = 2pV\) といった関係を導いておくと、内部エネルギーの計算や後の設問での代入がスムーズになることがあります。模範解答でもこの関係が利用されています。

日頃の練習:

• 途中式を省略せずに丁寧に書く習慣をつけ、計算過程を見直せるようにします。
• 間違えた場合は、どこで間違えたのかを特定し、同じミスを繰り返さないように対策を練ります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性の確認:
  • (2) 断熱圧縮なので、温度は上昇し (\(T_A’=4T > T\))、圧力も上昇する (\(p_A’=32p > p\)) はず。結果と一致。
  • (3) 混合後の温度 \(T”=2T\) は、混合前の温度 \(T_A’=4T\) と \(T_B=T\) の間の値になっています。これは、高温の気体と低温の気体が混ざって中間の温度に落ち着くという直感と合致します（ただし、物質量も影響するので単純な平均にはなりません）。
  • (3) 混合後の圧力 \(p” = 16/3 p \approx 5.33p\)。混合前はAが高圧 (\(32p\))、Bが比較的低圧 (\(2p\)) でした。最終的に均一な圧力になるため、中間の値に落ち着くはずです。具体的な値の妥当性は計算によりますが、極端におかしな値（例えば \(32p\) より大きい、\(2p\) より小さいなど）になっていないか確認します。
• 極端な条件での思考実験: 例えば、もし容器Bが真空だったら（\(n_B=0, P_B=0\))、Aの気体が断熱自由膨張する形に近くなるはず（ただし体積変化が限定的）。あるいは、もしAとBが最初から全く同じ状態だったら、弁を開けても何も変わらないはず、など。
• エネルギーの流れの確認: 断熱圧縮では外部から仕事がされて内部エネルギーが増加。断熱混合では、高温の気体から低温の気体へエネルギーが移動し、全体として均一な温度（エネルギー分布）に達するが、系全体の総エネルギーは変わらない。
• 模範解答との比較: 自分の導いた答えや計算プロセスが、模範解答 と一致するかどうかを丁寧に確認します。途中の式の立て方や変数の置き換え方が異なっていても、最終的な結果が合えば問題ありませんが、なぜそのような解き方をしているのかを理解することも学習になります。

問題67 (京都府立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ピストンで仕切られた二つの気体室の一方を加熱したときの、それぞれの気体の状態変化やエネルギーのやり取りを考察するものです。断熱変化、熱力学第一法則、理想気体の状態方程式といった基本的な知識を組み合わせて解く必要があります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、連結された系における理想気体の状態変化、特に一方への加熱が他方に及ぼす影響（断熱圧縮）、そして系全体のエネルギー収支を扱う熱力学の応用問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)
  • 各気体の状態 (圧力、体積、温度、物質量) を関連付ける基本式です。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)
  • 気体の内部エネルギーは温度と物質量に依存し、この式で与えられます。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\) (または \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\))
  • エネルギー保存の法則を熱現象に適用したもので、内部エネルギーの変化、系に入った熱、系がされた仕事の関係を示します。
• 断熱変化: \(Q=0\) の変化。気体が外部と熱のやりとりをせずに行う状態変化で、このとき \(W_{\text{された}} = \Delta U\) となります。設問(1)のAの変化がこれに該当します。
• 準静的過程: 「ゆっくりと」という記述は、変化の過程で系が常に平衡状態に近いことを示唆します。これにより、ピストンを介してAとBの圧力が釣り合っている（または変化中もほぼ釣り合っている）と考えることができます。

全体的な戦略としては、まず初期状態の各物理量を整理し、次にAの断熱変化における仕事、Aの圧力変化、Bの最終温度、Bの内部エネルギー変化、最後にBが吸収した熱量の順に、熱力学第一法則や状態方程式を適用して解いていきます。

問1

思考の道筋とポイント
容器Aは、ピストンとシリンダー壁（Bと接するピストンを除く）が断熱材でできています。Bが加熱されピストンが動く際、AはBからピストンを介して仕事をされますが、A自体に熱の出入りはありません。したがって、Aの状態変化は断熱変化と考えることができます。
断熱変化において、気体が外部からされた仕事は、その気体の内部エネルギーの増加に等しくなります (\(\Delta U = W_{\text{された}}\), \(Q=0\))。
Aの初期温度は \(T_0\)、最終温度は \(T_1\)、物質量は \(n_A=1\) molです。

この設問における重要なポイント

• 容器Aの変化が断熱変化であることを見抜く。
• 断熱変化における「された仕事」と「内部エネルギーの変化」の関係 (\(W_{\text{された}} = \Delta U\)) を正しく理解し適用する。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使用する。

具体的な解説と立式
容器Aは断熱材で囲まれており、外部との熱のやり取りはありません (\(Q_A=0\))。Bからピストンを介して仕事をされることで状態が変化します。したがって、Aの変化は断熱変化です。
熱力学第一法則 \(\Delta U_A = Q_A + W_A\) (ここで \(W_A\) はAがされた仕事) において、\(Q_A=0\) なので、
$$W_A = \Delta U_A$$
Aの初期の内部エネルギー \(U_{A0}\) は、初期温度 \(T_0\)、物質量 \(n_A=1\) molなので、
$$U_{A0} = \frac{3}{2} n_A R T_0 = \frac{3}{2} R T_0$$
Aの最終の内部エネルギー \(U_{A1}\) は、最終温度 \(T_1\)、物質量 \(n_A=1\) molなので、
$$U_{A1} = \frac{3}{2} n_A R T_1 = \frac{3}{2} R T_1$$
したがって、Aが受けた仕事 \(W_A\) は、
$$W_A = U_{A1} – U_{A0}$$

$$W_A = \frac{3}{2} R T_1 – \frac{3}{2} R T_0$$
$$W_A = \frac{3}{2} R (T_1 – T_0)$$

部屋Aは断熱された箱のようなものです。隣の部屋Bが膨らむことでピストンが押され、部屋Aは縮みます。このとき、Aは外部から熱をもらったり奪われたりしません。したがって、AがBに押されてされた仕事は、そのままAの内部のエネルギーの増加（あるいは減少）になります。内部エネルギーは温度で表せるので、Aの温度変化 (\(T_1 – T_0\)) から内部エネルギーの変化を計算し、それがAがされた仕事に等しいと考えます。単原子分子で物質量が1モルなので、内部エネルギーの変化は \(\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\) となります。これがAのされた仕事です。

A内の気体が受けた仕事は \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) [J] です。
問題文では、Aの体積はもとの体積の半分になったとあり、これは圧縮されたことを意味します。断熱圧縮の場合、通常温度は上昇するため \(T_1 > T_0\) と考えられます。このとき \(W_A > 0\) となり、Aが正の仕事を受けた（仕事をされた）という結果と整合します。

問2

思考の道筋とポイント
Aの初期状態（圧力 \(P_{A0}\), 体積 \(V_0\), 温度 \(T_0\), 物質量 \(n_A=1\) mol）と最終状態（圧力 \(P_{A1}\), 体積 \(V_0/2\), 温度 \(T_1\), 物質量 \(n_A=1\) mol）それぞれについて理想気体の状態方程式を立てます。
これら2つの状態方程式から、初期圧力 \(P_{A0}\) と最終圧力 \(P_{A1}\) をそれぞれ \(R, T_0, T_1, V_0\) を用いて表し、その比 \(P_{A1}/P_{A0}\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を各状態で正しく適用すること。
• 求める量が圧力の「比」であることに注意し、式を変形して比を計算すること。
• 文字式の計算を正確に行うこと。

具体的な解説と立式
Aの初期状態における圧力 \(P_{A0}\)、体積を \(V_0\) とすると、温度 \(T_0\)、物質量 \(n_A=1\) molなので、状態方程式は、
$$P_{A0} V_0 = 1 \cdot R T_0 \quad \cdots ①$$
Aの最終状態における圧力 \(P_{A1}\)、体積 \(V_{A1}=V_0/2\)、温度 \(T_1\)、物質量 \(n_A=1\) molなので、状態方程式は、
$$P_{A1} \left(\frac{V_0}{2}\right) = 1 \cdot R T_1 \quad \cdots ②$$
求めたいのは、圧力の比 \(P_{A1}/P_{A0}\) です。

式①から \(P_{A0} = \frac{RT_0}{V_0}\)。
式②から \(P_{A1} = \frac{RT_1}{V_0/2} = \frac{2RT_1}{V_0}\)。
したがって、圧力の比は、
$$\frac{P_{A1}}{P_{A0}} = \frac{\frac{2RT_1}{V_0}}{\frac{RT_0}{V_0}}$$
分母と分子に \(V_0/R\) を掛けて整理すると、
$$\frac{P_{A1}}{P_{A0}} = \frac{2T_1}{T_0}$$

部屋Aの最初の状態の圧力、体積、温度の関係は \(P_{A0}V_0 = RT_0\) です（物質量は1モルなので \(n=1\)）。最後の状態では、体積が \(V_0/2\) に、温度が \(T_1\) になったので、圧力 \(P_{A1}\) との関係は \(P_{A1}(V_0/2) = RT_1\) です。
最初の式から \(P_{A0} = RT_0/V_0\)、最後の式から \(P_{A1} = 2RT_1/V_0\) と書けます。
これらの比 \(P_{A1}/P_{A0}\) を計算すると、\((2RT_1/V_0) \div (RT_0/V_0)\) となり、\(R\) と \(V_0\) が約分されて \(2T_1/T_0\) が残ります。

変化後のA内の気体の圧力は、最初の状態の \(\frac{2T_1}{T_0}\) 倍になりました。
Aは体積が半分に圧縮され、温度が \(T_0\) から \(T_1\) に変化しました。理想気体の状態方程式 \(P = nRT/V\) から、圧力は温度に比例し体積に反比例します。したがって、変化後の圧力と最初の圧力の比は \((T_1/(V_0/2)) / (T_0/V_0) = (2T_1/V_0) / (T_0/V_0) = 2T_1/T_0\) となり、計算結果と一致します。
Aは断熱圧縮されたため、一般に \(T_1 > T_0\) となります。この場合、\(2T_1/T_0 > 2\) となり、体積が半分になったことによる圧力2倍よりもさらに圧力が上昇することを示しており、断熱圧縮の性質（温度上昇も伴う）と整合しています。

問3

思考の道筋とポイント
ピストンはなめらかに動くため、変化の過程が「ゆっくり」であれば、常にAとBの圧力は釣り合っています。したがって、最終状態においても容器Aの圧力 \(P_{A1}\) と容器Bの圧力 \(P_{B1}\) は等しくなります。これを \(P_1\) とおきます。
最終状態のAの圧力 \(P_{A1}\) は、設問(2)で求めた関係 \(P_{A1} = P_{A0} \frac{2T_1}{T_0}\) を用います。また、初期状態Aについて \(P_{A0}V_0 = RT_0\) でしたから、\(P_{A0} = RT_0/V_0\) です。これらを組み合わせると \(P_{A1}\) が \(R, T_0, T_1, V_0\) で表せます。
Bの最終体積 \(V_{B1}\) を求めます。シリンダー全体の体積は、初期にAとBがそれぞれ \(V_0\) の体積を占めていたので \(2V_0\) です。最終状態ではAの体積が \(V_0/2\) になったので、Bの体積は \(V_{B1} = 2V_0 – V_0/2 = 3V_0/2\) となります。
Bの最終状態（圧力 \(P_1\), 体積 \(V_{B1}\), 求める温度 \(T_{B1}\), 物質量 \(n_B=1\) mol）について理想気体の状態方程式を立て、\(P_1\) と \(V_{B1}\) の具体的な表現を代入して \(T_{B1}\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• ピストンが自由に動ける場合の、両側の気体の圧力が等しくなるという力学的平衡条件。
• 系全体の体積が保存されることから、一方の体積変化が他方の体積変化を決定するという関係。
• 理想気体の状態方程式を的確に適用すること。

具体的な解説と立式
最終状態において、ピストンは力のつり合いの位置で静止しているため、容器A内の圧力 \(P_{A1}\) と容器B内の圧力 \(P_{B1}\) は等しくなります。これを \(P_1\) とおきます。
$$P_{A1} = P_{B1} = P_1$$
設問(2)より、\(P_{A1} = P_{A0} \frac{2T_1}{T_0}\) でした。また、初期状態Aについて \(P_{A0}V_0 = RT_0\) なので \(P_{A0} = \frac{RT_0}{V_0}\) です。
よって、最終的な圧力 \(P_1\) は、
$$P_1 = P_{A1} = \left(\frac{RT_0}{V_0}\right) \frac{2T_1}{T_0} = \frac{2RT_1}{V_0}$$
次に、Bの最終体積 \(V_{B1}\) を考えます。シリンダー全体の初期体積は \(V_{A0} + V_{B0} = V_0 + V_0 = 2V_0\) です。この全体の体積は変化しません。
最終状態でのAの体積は \(V_{A1} = V_0/2\) なので、Bの最終体積 \(V_{B1}\) は、
$$V_{B1} = (\text{全体の体積}) – V_{A1} = 2V_0 – \frac{V_0}{2} = \frac{4V_0 – V_0}{2} = \frac{3V_0}{2}$$
容器Bの最終状態（圧力 \(P_1\), 体積 \(V_{B1}\), 求める温度を \(T_{B1}\), 物質量 \(n_B=1\) mol）について、理想気体の状態方程式を立てると、
$$P_1 V_{B1} = n_B R T_{B1}$$
$$P_1 V_{B1} = 1 \cdot R T_{B1} \quad \cdots ③$$
この式に上で求めた \(P_1\) と \(V_{B1}\) を代入して \(T_{B1}\) を求めます。

式③に \(P_1 = \frac{2RT_1}{V_0}\) と \(V_{B1} = \frac{3V_0}{2}\) を代入します。
$$\left(\frac{2RT_1}{V_0}\right) \left(\frac{3V_0}{2}\right) = R T_{B1}$$
左辺を計算すると、\(V_0\) と \(2\) が約分され、
$$3RT_1 = R T_{B1}$$
両辺を \(R\) で割ると (\(R \neq 0\))、
$$T_{B1} = 3T_1$$

ピストンが最終的に止まったとき、部屋Aと部屋Bの圧力は同じ \(P_1\) になっています。部屋Aの圧力 \(P_1\) は、(2)の結果を使うと \(P_1 = (RT_0/V_0) \times (2T_1/T_0) = 2RT_1/V_0\) と計算できます。
部屋全体の体積は、最初AとBが \(V_0\) ずつだったので \(2V_0\) です。最後にAの体積が \(V_0/2\) になったので、Bの体積は残りの \(2V_0 – V_0/2 = 3V_0/2\) になります。
部屋Bについて、最後の状態での圧力 \(P_1\)、体積 \(3V_0/2\)、物質量1モル、そして求めたい温度 \(T_{B1}\) の間で状態方程式 \(P_1 V_{B1} = RT_{B1}\) が成り立ちます。ここに \(P_1 = 2RT_1/V_0\) と \(V_{B1} = 3V_0/2\) を入れると、\((2RT_1/V_0) \times (3V_0/2) = RT_{B1}\) となります。左辺を計算すると \(3RT_1\) なので、\(3RT_1 = RT_{B1}\)。つまり \(T_{B1} = 3T_1\) となります。

変化後のB内の気体の温度は \(T_{B1} = 3T_1\) [K] です。
容器Bは外部から加熱され、体積も \(V_0\) から \(3V_0/2\) へと膨張しています。Aの最終温度が \(T_1\) であり、\(T_1\) は \(T_0\) より高いと予想される（Aは断熱圧縮されたため）ので、\(3T_1\) は初期温度 \(T_0\) や \(T_1\) よりもさらに高い温度となります。これはBが熱を吸収し、かつ外部（A）に仕事をしつつも温度が大幅に上昇したことを示しており、物理的にあり得る状況です。

問4

思考の道筋とポイント
Bの内部エネルギーの変化 \(\Delta U_B\) は、最終状態の内部エネルギー \(U_{B1}\) から初期状態の内部エネルギー \(U_{B0}\) を引くことで計算できます。
Bの初期温度は \(T_0\)、最終温度は \(T_{B1}\) (設問(3)で計算済み)、物質量は \(n_B=1\) molです。単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使用します。

この設問における重要なポイント

• 内部エネルギー変化の定義 (\(\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}\)) を理解していること。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式を正しく適用できること。
• 前の設問で得た結果（この場合は \(T_{B1}\)）を正確に用いること。

具体的な解説と立式
容器Bの内部エネルギーの増加量 \(\Delta U_B\) は、最終状態の内部エネルギー \(U_{B1}\) から初期状態の内部エネルギー \(U_{B0}\) を引いたものです。
Bの初期状態では、温度 \(T_0\)、物質量 \(n_B=1\) molなので、初期の内部エネルギー \(U_{B0}\) は、
$$U_{B0} = \frac{3}{2} n_B R T_0 = \frac{3}{2} R T_0$$
Bの最終状態では、温度 \(T_{B1} = 3T_1\) (設問(3)の結果)、物質量 \(n_B=1\) molなので、最終の内部エネルギー \(U_{B1}\) は、
$$U_{B1} = \frac{3}{2} n_B R T_{B1} = \frac{3}{2} R (3T_1) = \frac{9}{2} R T_1$$
したがって、内部エネルギーの増加量 \(\Delta U_B\) は、
$$\Delta U_B = U_{B1} – U_{B0}$$

$$\Delta U_B = \frac{9}{2} R T_1 – \frac{3}{2} R T_0$$
$$\Delta U_B = \frac{3}{2} R (3T_1 – T_0)$$

部屋Bの内部エネルギーがどれだけ増えたかを計算します。内部エネルギーは温度によって決まります。最初の温度は \(T_0\)、最後の温度は (3) で求めた \(T_{B1}=3T_1\) でした。物質量は1モルです。
最初の内部エネルギーは \(U_{B0} = \frac{3}{2}RT_0\)。
最後の内部エネルギーは \(U_{B1} = \frac{3}{2}R(3T_1) = \frac{9}{2}RT_1\)。
したがって、内部エネルギーの増加量は、最後のエネルギーから最初のエネルギーを引いて、\(\Delta U_B = \frac{9}{2}RT_1 – \frac{3}{2}RT_0 = \frac{3}{2}R(3T_1 – T_0)\) となります。

B内の気体の内部エネルギーの増加量は \(\Delta U_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0)\) [J] です。
Bは外部から加熱された結果、温度が \(T_0\) から \(3T_1\) に上昇しました。Aの断熱圧縮により \(T_1 > T_0\) と考えられるため、\(3T_1\) は \(T_0\) より大きくなり、したがって \(\Delta U_B > 0\)、つまり内部エネルギーは増加します。これは物理的に妥当な結果です。

問5

思考の道筋とポイント
Bについての熱力学第一法則 \(\Delta U_B = Q_B + W_{B,\text{された}}\) を用います。ここで \(Q_B\) が求めたいBが吸収した熱量です。
\(\Delta U_B\) は設問(4)で計算済みです。
\(W_{B,\text{された}}\) は、気体Bがピストンからされた仕事です。Bは体積が \(V_0\) から \(3V_0/2\) へと増加（膨張）しているため、実際には外部（ピストンを介してA）に対して仕事をしています。
Bが外部にした仕事 \(W_{B,\text{した}}\) の大きさは、気体Aがピストンからされた仕事 \(W_A\) (設問(1)で計算) に等しくなります。これは、ピストンがなめらかに動き、ピストン自体にエネルギーが蓄えられないと仮定した場合、Bがピストンを押す力がAを圧縮する力として伝わるためです。（作用・反作用と仕事の関係）
したがって、\(W_{B,\text{した}} = W_A\)。よって、Bがされた仕事は \(W_{B,\text{された}} = -W_{B,\text{した}} = -W_A\)。
これらを熱力学第一法則の式に代入して \(Q_B\) を求めます。すなわち、\(Q_B = \Delta U_B – W_{B,\text{された}} = \Delta U_B + W_A\)。

この設問における重要なポイント

• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\) (または \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)) を正しく適用すること。
• 「された仕事」と「した仕事」の符号と関係性を正確に理解すること。特に、ピストンを介して二つの気体が互いに及ぼしあう仕事の大きさが等しいこと。
• 前の設問で得た結果（\(\Delta U_B\) と \(W_A\)）を正しく用いること。

具体的な解説と立式
容器Bが吸収した熱量を \(Q_B\) とします。容器Bがされた仕事を \(W_{B,\text{された}}\) とすると、熱力学第一法則は、
$$\Delta U_B = Q_B + W_{B,\text{された}}$$
ここで、\(\Delta U_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0)\) は設問(4)で求めました。

次に、Bがされた仕事 \(W_{B,\text{された}}\) を考えます。
ピストンはAとBの間で力を及ぼし合っており、なめらかに動きます。Bは体積が \(V_0\) から \(3V_0/2\) まで膨張しているので、Bは外部（ピストン）に対して仕事をしています。このBが外部にした仕事 \(W_{B,\text{した}}\) の大きさは、ピストンがAを \(V_0\) から \(V_0/2\) まで圧縮する際にAが受けた仕事 \(W_A\) (設問(1)で計算) に等しくなります。
これは、ピストンに働く力のつり合い（準静的過程と仮定）と、ピストンの移動距離が共通であることから、仕事の大きさが等しくなると考えられます。
Aが受けた仕事は \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) でした。これがBがAに対してした仕事です。
したがって、Bが外部にした仕事 \(W_{B,\text{した}}\) は、この \(W_A\) に等しいです。
$$W_{B,\text{した}} = W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)$$
Bが「された」仕事は、Bが「した」仕事の符号を逆にしたものなので、
$$W_{B,\text{された}} = -W_{B,\text{した}} = -W_A = -\frac{3}{2}R(T_1-T_0)$$
これを熱力学第一法則の式 \(\Delta U_B = Q_B + W_{B,\text{された}}\) に代入すると、
$$\Delta U_B = Q_B – W_A$$
よって、Bが吸収した熱量 \(Q_B\) は、
$$Q_B = \Delta U_B + W_A$$

\(Q_B = \Delta U_B + W_A\) に、設問(4)で求めた \(\Delta U_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0)\) と、設問(1)で求めた \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) を代入します。
$$Q_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0) + \frac{3}{2}R(T_1-T_0)$$
共通因数 \(\frac{3}{2}R\) でくくると、
$$Q_B = \frac{3}{2}R \left\{ (3T_1-T_0) + (T_1-T_0) \right\}$$
$$Q_B = \frac{3}{2}R (3T_1 – T_0 + T_1 – T_0)$$
$$Q_B = \frac{3}{2}R (4T_1 – 2T_0)$$
$$Q_B = \frac{3}{2}R \cdot 2 (2T_1 – T_0)$$
$$Q_B = 3R (2T_1 – T_0)$$

部屋Bが外部からどれだけ熱をもらったか (\(Q_B\)) を知るためには、熱力学の基本的なルール「（部屋Bの）エネルギーの増え方 (\(\Delta U_B\)) は、（部屋Bが）もらった熱 (\(Q_B\)) と （部屋Bが）された仕事 (\(W_{B,\text{された}}\)) の合計だよ」という式を使います。
部屋Bのエネルギーの増え方 (\(\Delta U_B\)) は、(4)で \(\frac{3}{2}R(3T_1-T_0)\) と計算しました。
次に、部屋Bが「された」仕事を考えます。部屋Bは実際には膨らんでピストンを押しているので、外部に仕事を「して」います。その「した」仕事の大きさは、隣の部屋Aがピストンに押されて縮むときに「された」仕事 (これは(1)で \(W_A = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) と計算しました) と同じ大きさです。
なので、Bが「した」仕事は \(W_A\) です。ということは、Bが「された」仕事は、符号が逆になって \(-W_A\) となります。
熱力学のルールに当てはめると、\(\Delta U_B = Q_B + (-W_A)\) となります。
この式を \(Q_B\) について解くと、\(Q_B = \Delta U_B + W_A\) となります。
この式に、これまでに計算した \(\Delta U_B\) と \(W_A\) の値を代入すると、
\(Q_B = \frac{3}{2}R(3T_1-T_0) + \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\)
これを計算すると、\(Q_B = 3R(2T_1-T_0)\) となります。

B内の気体が外部から吸収した熱量は \(Q_B = 3R(2T_1-T_0)\) [J] です。
Bは外部から加熱されていると問題文に記述されているので、\(Q_B > 0\) であると予想されます。Aの断熱圧縮により \(T_1 > T_0\) と考えられるため、\(2T_1 – T_0 = T_1 + (T_1 – T_0)\) は \(T_1 > 0\) かつ \(T_1-T_0 >0\) より正となります。したがって \(Q_B > 0\) であり、Bが熱を吸収したという結果と整合します。
仕事の扱いは重要で、Bがした仕事がAがされた仕事に等しいという点がポイントです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 全ての設問で、気体の状態量（圧力、体積、温度、物質量）を関連付けるために用いられる基本法則です。
• 単原子分子の理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT\)): 気体の熱的なエネルギー状態を表し、温度変化から内部エネルギーの変化を計算する際に使用されます。特に断熱変化や熱力学第一法則と密接に関連します。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\)): エネルギー保存の法則であり、内部エネルギーの変化が、系に加えられた熱と系がされた仕事の和に等しいことを示します。各気体（AおよびB）に対して、この法則を適用して未知の量（仕事や熱量）を求めます。
• 断熱変化 (\(Q=0\)): 設問(1)における容器Aの変化がこれに該当します。断熱材で囲まれ外部との熱のやり取りがない場合、気体がされる仕事はすべて内部エネルギーの増加につながります (\(W_{\text{された}} = \Delta U\))。
• 仕事の概念とピストンを介した仕事の伝達: 設問(1)と(5)で重要です。なめらかに動くピストンを介して一方の気体がする仕事は、もう一方の気体がされる仕事に（大きさとして）等しくなります。符号の向きに注意が必要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンで連結された複数の部屋にある気体の状態変化を扱う問題。
  • 一方の気体に熱を加えたり、仕事を加えたりしたときに、もう一方の気体や系全体がどのように変化するかを問う問題。
  • 断熱壁や透熱壁といった、壁の熱的な性質が異なる条件が組み合わさった問題。
• 初見の問題でどこに着目すべきか:
  1. 系の設定と境界条件の把握: シリンダー、ピストン、壁が断熱か透熱か。ピストンは固定か可動か。外部との熱のやり取りはあるのか、仕事はあるのか。
  2. 各気体の状態変化の種類の特定: 各操作において、それぞれの気体が断熱変化、等温変化、定積変化、定圧変化のどれに近いか、あるいはそれらの複合かを判断します。「ゆっくり」などの記述もヒントになります。
  3. 力学的平衡条件: ピストンが自由に動ける（なめらかに動く）場合、変化がゆっくりであれば、ピストンの両側の圧力は常につり合っている（等しい）と考えられます。
  4. エネルギー保存則の適用範囲: 熱力学第一法則を、個々の気体（Aのみ、Bのみ）について考えるのか、系全体（A+B）について考えるのかを明確にします。
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • 「ゆっくりと熱した」という記述は、準静的過程を示唆し、これにより変化の途中でピストン両側の圧力がほぼ等しいと仮定できる場合があります。
  • 設問(1)でAの変化を断熱変化と見なす根拠は、Aが断熱材で囲まれ、Bからの加熱はBの壁を通じて行われ、Aには直接熱が伝わらないためです。Aの状態変化は、Bからピストンを介して仕事をされることによって起こります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号と向きの誤解: \(W_{\text{された}}\) と \(W_{\text{した}}\) の区別、および熱力学第一法則への代入時の符号ミス。特に、AがBから仕事を「される」場合、BはAに仕事を「する」ことになり、その大きさは等しくなります。
• 断熱変化の条件の見落とし: 設問(1)でAの変化が断熱的であることを見抜けないと、仕事の計算が複雑になったり、誤った方針に進んだりする可能性があります。
• 体積変化の計算ミス: ピストンが移動した後の各部屋の体積を正しく計算すること。全体の体積が一定であること（\(V_A + V_B = 2V_0\)) を利用します。
• 熱力学第一法則の適用対象の混同: ある気体について考えているのか、系全体について考えているのかを明確に区別しないと、\(Q\) や \(W\) の解釈を誤ることがあります。

対策:

• 熱力学第一法則を記述する際に、仕事の定義（「された」か「した」か）を一貫して用いる。
• 図を描いて、仕事や熱のエネルギーがどの部分からどの部分へ移動しているのかを視覚的に追う。
• 問題文の「断熱」「熱を通しやすい」などの条件を注意深く読み取り、それぞれの部分での熱の出入り (\(Q\)) を正しく評価する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だったイメージ・図:
  • 初期状態と最終状態のピストンの位置、各部屋の体積を示した図。模範解答に示されている図 はこの変化をよく表しています。
  • Bが加熱されて膨張し、その力でピストンがAを圧縮していく一連の動きのイメージ。
  • Aは断熱的に圧縮されるので温度が上昇するイメージ。
  • Bは熱を吸収し、膨張して外部（A）に仕事をしながらも、最終的には初期より高温になるイメージ。
  • 熱力学第一法則を考える際に、各気体に対して熱 \(Q\) の出入り、仕事 \(W\) の出入りを矢印で図示すると、符号の理解にも繋がります。
• 図を描く際の注意すべき点:
  • 初期状態と最終状態の \(P, V, T, n\) の値を各部屋について明記する。
  • ピストンの移動方向と、それによる体積変化を明確に示す。
  • 熱が供給される場所（Bの右端）や、断熱されている部分を区別して描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(PV=nRT\): 平衡状態にある理想気体の圧力、体積、物質量、温度の関係は常にこの式で記述されるため、状態量を求める基本として選択します。
• \(U=\frac{3}{2}nRT\): 「単原子分子理想気体」と指定されているため、その内部エネルギーを計算する正しい公式として選択します。
• \(\Delta U = Q+W_{\text{された}}\) (熱力学第一法則): エネルギー保存則の観点から、気体の内部エネルギー変化と、外部との熱のやり取りや仕事のやり取りを関連付けるために選択します。
• 設問(1)でAについて \(Q_A=0\): Aを囲む壁（ピストン含むがBとの境界ではない部分）が断熱材であり、Bからの熱はBの壁を通して外部（熱源）から供給され、直接Aに熱として伝わる経路がないため、Aのプロセスは断熱的であると判断します。
• 設問(5)で \(W_{B,\text{した}} = W_{A,\text{された}}\): なめらかに動くピストンを介してBがAを押すとき、ピストン自体にエネルギーが蓄積されたり摩擦で失われたりしない限り、Bがピストンにする仕事のエネルギーがそのままAがピストンからされる仕事のエネルギーとして伝達されるという、仕事の伝達の考え方に基づきます。

各物理法則が適用できる条件（例：理想気体、単原子分子、断熱過程、準静的過程など）を常に意識し、問題文の記述と照らし合わせながら公式を選定する訓練が重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 初期状態の把握: \(P_0, V_0, T_0, n=1\) の関係を明確にする。
2. 設問(1) Aの仕事: Aは断熱変化 \(\Rightarrow\) \(Q_A=0\)。熱力学第一法則より \(W_A (\text{された}) = \Delta U_A\)。 \(U_A=\frac{3}{2}nRT\) を用い、\(T_0 \rightarrow T_1\) の変化から \(\Delta U_A\) を計算。
3. 設問(2) Aの圧力比: Aの初期状態と最終状態それぞれで状態方程式を立式。\(P_{A1}/P_{A0}\) を計算。
4. 設問(3) Bの最終温度: 最終状態で \(P_{A1}=P_{B1}\) (力学的平衡)。\(P_{A1}\) を(2)の結果から導出。\(V_{B1}\) を全体の体積保存から導出。Bの最終状態について状態方程式を立て、\(T_{B1}\) を計算。
5. 設問(4) Bの内部エネルギー変化: \(U_B=\frac{3}{2}nRT\) を用い、Bの温度変化 \(T_0 \rightarrow T_{B1}\) から \(\Delta U_B\) を計算。
6. 設問(5) Bの吸収熱量: Bについて熱力学第一法則 \(\Delta U_B = Q_B + W_{B,\text{された}}\) を適用。\(W_{B,\text{された}} = -W_{A,\text{された}}\) (\(W_{A,\text{された}}\) は(1)の結果) の関係を用い、\(Q_B\) を計算。

各設問が独立しているわけではなく、前の設問の結果を次の設問で利用することが多い（特に \(T_1, P_{A1}, T_{B1}, W_A, \Delta U_B\) など）ため、計算の正確性と結果の引き継ぎが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底確認: 仕事の符号（された仕事は正、した仕事は負として第一法則に入れるか、あるいは \(W_{した}\) を正として \(\Delta U = Q – W_{した}\) の形を使うか、定義を一貫させる）。熱量の符号（吸収は正、放出は負）。
• 添え字の管理: \(T_0, T_1, T_{B1}\) や \(P_0, P_{A1}\) など、どの物理量がどの状態（初期/最終）のどの気体（A/B）のものなのかを、添え字を正確に用いて区別する。
• 文字式の整理と共通因数: 計算過程では、できるだけ共通因数でくくったり、式を簡潔な形に保ったりすることで、見通しを良くし、ミスを減らす。例えば、\(\frac{3}{2}R\) は頻出する。
• 代入の正確性: 前の設問で導出した数式や値を次の設問で用いる際に、写し間違えたり、誤った値を代入したりしないように細心の注意を払う。
• 単位の一貫性（特に数値計算の場合）: 本問は文字式中心だが、具体的な数値を扱う場合は、全ての物理量の単位が基本単位（SI単位系など）に揃っているかを確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な現象との整合性:
  • • (1) Aは圧縮されたので仕事をされたはず (\(W_A>0\))。そのためには \(T_1>T_0\) (断熱圧縮による温度上昇) が前提。
    • (2) Aは断熱圧縮されたので、体積減少以上に圧力が上昇するはず (\(P_{A1}/P_{A0} > V_0/(V_0/2) = 2\))。そのためには \(T_1/T_0 > 1\)。
    • (3) Bは加熱されたので温度が上昇するはず (\(T_{B1}>T_0\))。
    • (4) Bの温度が上昇したので内部エネルギーも増加するはず (\(\Delta U_B > 0\))。
    • (5) Bは外部から加熱されたので熱を吸収するはず (\(Q_B > 0\))。

  これらの定性的な予想と、計算結果の式の符号や大小関係が一致するかどうかを確認する。

• エネルギーの流れの追跡: Bが吸収した熱エネルギー \(Q_B\) が、B自身の内部エネルギー増加 \(\Delta U_B\) と、Bが外部（A）にした仕事 \(W_A\) に分配された (\(Q_B = \Delta U_B + W_A\)) というエネルギー収支が成り立っているかを確認する。
• 極端な条件を考える（思考実験）: 例えば、もしBを全く加熱しなかったら (\(Q_B=0\))、ピストンは動かず何も変化しないはず。もしAの断熱変化で \(T_1=T_0\) だったら（これはあり得ないが仮に）、\(W_A=0\) となり、Bも仕事をせず熱のやり取りもなければ何も変わらない…など、単純なケースで式の妥当性をチェックする。
• 模範解答の解法との比較・検討: 自分の解法と模範解答のプロセスを比較し、異なる点があればなぜそのような違いが生じたのか、どちらの解法がより本質的かなどを考えることで、理解が深まる。

問題68 (東海大+名古屋大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねにつながれたピストンによってシリンダー内に封じられた理想気体をヒーターで加熱する際の、気体の圧力、体積、温度の変化、気体がする仕事、そして気体に加えられた熱量などを考察する熱力学の問題です。ピストンには大気圧とばねの力が作用するため、気体の圧力は体積変化に伴って変化します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、熱力学の分野、特に理想気体の状態変化とエネルギー保存（熱力学第一法則）を扱います。ピストンがばねと大気圧の影響を受けながら動くため、気体の圧力は一定ではありません。問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 力のつりあい: ピストンにはたらく力を考え、そのつりあいから気体の圧力を求めます。
• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)
• 仕事の定義: 気体が外部にする仕事は、\(P-V\)グラフ上の面積として求められます。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W\)

全体的な戦略としては、まず初期状態を把握し、次にピストンの移動に伴う圧力変化をモデル化します。そして、特定の状態における物理量を計算し、仕事や熱量をエネルギーの観点から求めていきます。気体が「ゆっくり膨張」することから、準静的過程として扱い、各瞬間の力のつりあいや状態方程式が適用できると考えます。

問1

思考の道筋とポイント
加熱前の気体の状態を考えます。ばねは自然長なので、ばねによる力ははたらきません。ピストンには気体の圧力による力と大気圧による力が作用し、これらがつり合っていることから初期圧力を求め、状態方程式を用いて初期温度を導き出します。

この設問における重要なポイント

• ばねが自然長のとき、ばねの弾性力は0であること。
• ピストンの静止状態から、力のつりあいを考えること。
• 理想気体の状態方程式を正しく適用すること。

具体的な解説と立式
加熱前の気体の圧力を \(P_{\text{初}}\)、体積を \(V_{\text{初}}\)、温度を \(T_0\) とします。
問題文より、\(V_{\text{初}} = V_0\)。
加熱前、ばねは自然の長さなので、ばねからの力は \(0\) です。
ピストンにはたらく力は、内側から気体がピストンを押す力 \(P_{\text{初}}S\) と、外側から大気圧がピストンを押す力 \(P_0 S\) です。ピストンは静止しているので、これらの力はつり合っています。
$$ P_{\text{初}}S = P_0 S $$
したがって、加熱前の気体の圧力は \(P_{\text{初}} = P_0\) です。
これらの値を理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) に適用すると、
$$ P_0 V_0 = n R T_0 $$

上記の状態方程式 \(P_0 V_0 = n R T_0\) から \(T_0\) について解くと、
$$ T_0 = \frac{P_0 V_0}{nR} $$

最初の状態では、ばねは伸びも縮みもしていないので、ばねはピストンに力を加えていません。ピストンは、中の気体に押される力と、外の大気に押される力で止まっています。つまり、中の気体の圧力は外の大気圧 \(P_0\) と同じです。体積は \(V_0\) なので、これらの情報を使って気体の基本ルール \(P_0 V_0 = nRT_0\) から温度 \(T_0\) を計算します。

加熱前の気体の温度は \(T_0 = \frac{P_0 V_0}{nR}\) [K] です。これは状態方程式の基本的な使い方です。単位を確認すると、圧力[Pa] \(\times\) 体積[m³] \( / \) (物質量[mol] \(\times\) 気体定数[J/(mol·K)]) は、[J] \( / \) [J/K] \( = \) [K] となり、正しく温度の単位となっています。

問2

思考の道筋とポイント
ピストンが初期位置から \(x\) だけ移動したとき、ばねは \(x\) だけ伸び、弾性力を及ぼします。ピストンにはたらく力（気体の圧力、大気圧、ばねの弾性力）のつり合いを考え、気体の圧力 \(P\) を \(x\) の関数で表します。次に、体積 \(V\) とピストンの移動距離 \(x\) の関係式 \(V = V_0 + Sx\) を用い、\(x\) を \(V\) で表して代入することで \(P\) を \(V\) の関数として表します。

この設問における重要なポイント

• ピストンにはたらく全ての力を正しく把握し、図示すること。
• ばねの弾性力の大きさと向き（\(kx\)、気体の膨張方向と逆向き）。
• 力のつり合いの式を正確に立てること。
• 体積 \(V\) とピストンの変位 \(x\) の関係を正しく理解すること。

具体的な解説と立式
ピストンが距離 \(x\) だけ右に移動したとき、気体の圧力を \(P\) とします。ピストンにはたらく力は、

• 気体がピストンを押す力: \(PS\) (右向き)
• 大気圧がピストンを押す力: \(P_0 S\) (左向き)
• ばねがピストンを引く力（弾性力）: \(kx\) (左向き、ばねは \(x\) だけ伸びている)

気体はゆっくり膨張しているので、これらの力はつり合っています。
$$ PS = P_0 S + kx $$
この式から \(P\) を \(x\) の関数 \(P(x)\) として求めます。

次に、そのときの気体の体積 \(V\) は、初期体積 \(V_0\) に断面積 \(S\) のピストンが \(x\) 移動した分の体積 \(Sx\) を加えたものなので、
$$ V = V_0 + Sx $$
この式を \(x\) について解き、\(P(x)\) の式に代入することで \(P\) を \(V\) の関数 \(P(V)\) として求めます。

1. \(P(x)\) の導出:
力のつりあいの式 \(PS = P_0 S + kx\) の両辺を \(S\) で割ると、
$$ P = P_0 + \frac{k}{S}x $$

2. \(P(V)\) の導出:
体積の式 \(V = V_0 + Sx\) より、\(Sx = V – V_0\)、よって \(x = \frac{V – V_0}{S}\)。
これを \(P(x)\) の式に代入すると、
$$ P = P_0 + \frac{k}{S} \left( \frac{V – V_0}{S} \right) $$
$$ P = P_0 + \frac{k}{S^2}(V – V_0) $$

ピストンが \(x\) だけ動くと、ばねがその分伸びて、ピストンを \(kx\) の力で引っ張ります。大気も \(P_0S\) の力でピストンを押しています。これらの力と、中の気体がピストンを押す力 \(PS\) がつり合うので、\(PS = P_0S + kx\) という式が成り立ちます。この式を \(P\) について解けば、\(P\) が \(x\) でどう表されるかが分かります。
また、体積 \(V\) は、最初の体積 \(V_0\) にピストンが動いたことで増えた体積 \(Sx\) を足したものなので、\(V = V_0 + Sx\) です。この式を使って \(x\) を \(V\) で表し、先ほどの \(P\) の式に代入すれば、\(P\) が \(V\) でどう表されるかが分かります。

ピストン移動距離 \(x\) のときの気体の圧力は \(P(x) = P_0 + \frac{k}{S}x\) [Pa]、体積 \(V\) のときの気体の圧力は \(P(V) = P_0 + \frac{k}{S^2}(V – V_0)\) [Pa] です。
\(x=0\) (すなわち \(V=V_0\)) のとき、\(P = P_0\) となり、初期状態と一致します。また、\(x\) や \(V\) が増加すると \(P\) も直線的に増加することがわかります。これは、気体が膨張するほどばねの伸びが大きくなり、より強い力で気体を押し返すため、気体の圧力も高まる必要があることを意味しており、物理的に妥当です。

問3

思考の道筋とポイント
気体の体積が \(2V_0\) になったときの圧力を、問2で求めた \(P(V)\) の関係式から計算します。その後、この圧力 \(P_1\)、体積 \(2V_0\)、物質量 \(n\)、気体定数 \(R\) を用いて、理想気体の状態方程式から温度 \(T_1\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 問2で得られた圧力と体積の関係式を正しく利用すること。
• 理想気体の状態方程式を再び適用すること。
• どの状態の物理量を用いているかを明確に意識すること（始状態か終状態か）。

具体的な解説と立式
体積が \(V_1 = 2V_0\) になったときの気体の圧力を \(P_1\)、温度を \(T_1\) とします。
問2で求めた \(P(V) = P_0 + \frac{k}{S^2}(V – V_0)\) の式に \(V = 2V_0\) を代入すると、
$$ P_1 = P_0 + \frac{k}{S^2}(2V_0 – V_0) $$
$$ P_1 = P_0 + \frac{k V_0}{S^2} $$
次に、この状態 \((P_1, 2V_0, T_1)\) での理想気体の状態方程式は、
$$ P_1 (2V_0) = n R T_1 $$

\(P_1\) の式を状態方程式に代入し、\(T_1\) について解きます。
$$ T_1 = \frac{P_1 (2V_0)}{nR} $$
$$ T_1 = \frac{\left(P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\right) 2V_0}{nR} $$
模範解答の形に合わせると、
$$ T_1 = \frac{2V_0 \left(P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\right)}{nR} = \frac{2V_0 \left(\frac{P_0 S^2 + kV_0}{S^2}\right)}{nR} = \frac{2V_0 (P_0 S^2 + kV_0)}{nRS^2} $$

体積が \(2V_0\) になったときの気体の圧力を、まず(2)で見つけた \(P\) と \(V\) の関係式を使って計算します。このときの圧力を \(P_1\) とします。そして、圧力 \(P_1\)、体積 \(2V_0\) のときの温度 \(T_1\) を、気体の基本ルール \(P_1 \times (2V_0) = nRT_1\) から求めます。

体積が2倍になったときの気体の温度は \(T_1 = \frac{2V_0(P_0 S^2 + kV_0)}{nRS^2}\) [K] です。この温度は、初期圧力 \(P_0\) だけでなく、ばね定数 \(k\) や初期体積 \(V_0\)、ピストンの断面積 \(S\) にも依存していることがわかります。ばねの影響で、単純に体積が2倍になったからといって温度も比例して変化するわけではない点がポイントです。

問4

思考の道筋とポイント
気体がした仕事 \(W\) は、\(P-V\)グラフで囲まれた面積で表されます。問2より、圧力 \(P\) は体積 \(V\) の1次関数であるため、\(P-V\)グラフは直線（右上がりの線分）となります。体積が \(V_0\) から \(2V_0\) に変化する間の仕事は、この線分と \(V\)軸、および \(V=V_0\)、\(V=2V_0\) の線で囲まれる台形の面積として計算できます。
始状態は \((V_0, P_0)\)、終状態は \((2V_0, P_1)\) です。ここで \(P_1 = P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\) です。

この設問における重要なポイント

• 圧力が一定でない場合の仕事の計算方法（\(P-V\)グラフの面積）を理解していること。
• 今回の変化が \(P-V\)グラフ上で直線になることを認識すること。
• 台形の面積公式を正しく適用すること。
• あるいは、仕事が「大気圧にする仕事」と「ばねにする仕事」の和であると理解し、それぞれ計算できること。

具体的な解説と立式
仕事 \(W\) は、\(P-V\)グラフにおいて、変化の経路と \(V\)軸で囲まれた面積で与えられます。
初期状態: 体積 \(V_0\)、圧力 \(P_0\)
最終状態: 体積 \(2V_0\)、圧力 \(P_1 = P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\) （問3で計算）
この変化は \(P-V\)グラフ上で直線をなすため、仕事は台形の面積として求められます。
台形の面積 \(W\) は、(上底 + 下底) × 高さ / 2 ですが、この場合は2つの圧力値 \(P_0\) と \(P_1\) が平行な辺、体積変化 \((2V_0 – V_0) = V_0\) が高さに相当します。
$$ W = \frac{1}{2} (P_0 + P_1) (2V_0 – V_0) $$
$$ W = \frac{1}{2} (P_0 + P_1) V_0 $$
別解（エネルギーの観点、模範解答の別解に相当）:
気体がした仕事は、ピストンを \(x_{\text{終}} = V_0/S\) だけ動かすのに使われます。この仕事は、大気圧に逆らってする仕事 \(W_{\text{大気}}\) と、ばねを伸ばす仕事 \(W_{\text{ばね}}\) の和です。
\(W_{\text{大気}} = P_0 S x_{\text{終}} = P_0 S \frac{V_0}{S} = P_0V_0\)
\(W_{\text{ばね}} = \frac{1}{2} k x_{\text{終}}^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{V_0}{S}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{k V_0^2}{S^2}\)
よって、\(W = W_{\text{大気}} + W_{\text{ばね}} = P_0 V_0 + \frac{k V_0^2}{2S^2}\)。

\(P_1 = P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\) を台形の面積の式に代入します。
$$ W = \frac{1}{2} \left( P_0 + \left(P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\right) \right) V_0 $$
$$ W = \frac{1}{2} \left( 2P_0 + \frac{kV_0}{S^2} \right) V_0 $$
$$ W = P_0 V_0 + \frac{1}{2} \frac{kV_0^2}{S^2} $$
これは模範解答の \( W = \left(P_0 + \frac{kV_0}{2S^2}\right)V_0 \) と同じ形です。

気体がする仕事は、圧力ー体積グラフ（\(P-V\)グラフ）を描いたときの、グラフの線と横軸（体積軸）で囲まれた部分の面積です。この問題では、圧力が体積の増加とともにまっすぐ増えていくので、グラフは斜めの直線になります。したがって、仕事は台形の面積として計算できます。台形の面積は「（はじめの圧力＋おわりの圧力）÷ 2 ×（体積の変化量）」で求められます。

気体がした仕事は \(W = \left(P_0 + \frac{kV_0}{2S^2}\right)V_0\) [J] です。仕事が正の値となるのは、気体が膨張して外部（大気とばね）に仕事をしたことを意味します。この仕事の大きさは、初期圧力 \(P_0\)、初期体積 \(V_0\)、ばね定数 \(k\)、ピストン断面積 \(S\) に依存します。

問5

思考の道筋とポイント
気体に加えられた熱量 \(Q\) は、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を用いて求めます。ここで、\(\Delta U\) は気体の内部エネルギーの変化、\(W\) は気体がした仕事（問4で計算済み）です。気体は単原子分子理想気体なので、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は \(\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = \frac{3}{2}nR(T_1 – T_0)\) または \(\Delta U = \frac{3}{2}(P_1(2V_0) – P_0V_0)\) として計算できます。

この設問における重要なポイント

• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を正しく理解し、適用すること（\(W\) は気体が外部にした仕事）。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの式 \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\) を使えること。
• 内部エネルギー変化を、始状態と終状態の物理量から計算すること。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則より、気体に加えられた熱量を \(Q\) とすると、
$$ Q = \Delta U + W $$
ここで、\(\Delta U\) は内部エネルギーの変化、\(W\) は気体がした仕事です。
単原子分子理想気体の内部エネルギー変化は、
$$ \Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = \frac{3}{2}P_1(2V_0) – \frac{3}{2}P_0V_0 = \frac{3}{2}(2P_1V_0 – P_0V_0) $$
ここに、\(P_1 = P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\) （問3より）と \(W = P_0 V_0 + \frac{kV_0^2}{2S^2}\) （問4より）を代入します。

1. 内部エネルギー変化 \(\Delta U\) の計算:
$$ \Delta U = \frac{3}{2} \left( 2 \left(P_0 + \frac{kV_0}{S^2}\right) V_0 – P_0 V_0 \right) $$
$$ \Delta U = \frac{3}{2} \left( 2P_0 V_0 + \frac{2kV_0^2}{S^2} – P_0 V_0 \right) $$
$$ \Delta U = \frac{3}{2} \left( P_0 V_0 + \frac{2kV_0^2}{S^2} \right) $$
$$ \Delta U = \frac{3}{2} P_0 V_0 + \frac{3kV_0^2}{S^2} $$

2. 熱量 \(Q\) の計算:
$$ Q = \Delta U + W $$
$$ Q = \left( \frac{3}{2} P_0 V_0 + \frac{3kV_0^2}{S^2} \right) + \left( P_0 V_0 + \frac{kV_0^2}{2S^2} \right) $$
\(P_0 V_0\) の項をまとめると: \( \left(\frac{3}{2} + 1\right)P_0 V_0 = \frac{5}{2}P_0 V_0 \)
\(\frac{kV_0^2}{S^2}\) の項をまとめると: \( \left(3 + \frac{1}{2}\right)\frac{kV_0^2}{S^2} = \frac{7}{2}\frac{kV_0^2}{S^2} \)
よって、
$$ Q = \frac{5}{2}P_0 V_0 + \frac{7}{2}\frac{kV_0^2}{S^2} $$
これは、模範解答の \( Q = \left(\frac{5}{2}P_0 + \frac{7kV_0}{2S^2}\right)V_0 \) と同じ形です。

気体に加えた熱 \(Q\) は、気体の「元気のもと（内部エネルギー \(\Delta U\)）」を増やし、かつ気体が「外にする仕事 \(W\)」に使われます。これが \(Q = \Delta U + W\) という関係です。
仕事 \(W\) は(4)で計算しました。内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、単原子の理想気体の場合、「\(\frac{3}{2} \times (\text{最後の圧力と体積の積} – \text{最初の圧力と体積の積})\)」で計算できます。これらを足し合わせれば、加えた熱量 \(Q\) が求まります。

気体に加えた熱量は \(Q = \left(\frac{5}{2}P_0 + \frac{7kV_0}{2S^2}\right)V_0\) [J] です。ヒーターによって熱が加えられているので、\(Q\) は正の値となり、物理的に妥当です。加えられた熱エネルギーが、気体の内部エネルギーの増加（温度上昇）と、気体が外部（大気やばね）に対して行う仕事の両方に分配されていることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい: ピストンがゆっくり動く（準静的過程）場合、ピストンにはたらく力（気体の圧力による力、大気圧による力、ばねの弾性力）がつり合っていると考えることが基本です。
  • 本質的理解ポイント: 「ゆっくり」という条件が、加速度を無視できる（\(ma \approx 0\)）、つまり力のつり合いがほぼ成立しているとみなせる根拠となります。
• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体の圧力、体積、温度、物質量の関係を示す基本法則です。
  • 本質的理解ポイント: 理想気体というモデルの適用範囲と、準静的過程においてこの方程式が各瞬間の状態を表すことを理解することが重要です。
• 仕事の定義（\(P-V\)グラフ）: 気体が外部にする仕事は、圧力が体積変化の途中で変わる場合、\(W = \int P dV\) で計算されます。これは \(P-V\) グラフ上の面積に相当します。
  • 本質的理解ポイント: なぜ \(P\Delta V\) だけで計算できないのか、なぜグラフの面積が仕事になるのかを微小変化の積み重ねとして理解することが大切です。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)): エネルギー保存則の熱現象への適用です。
  • 本質的理解ポイント: 各項の符号の定義（\(Q\) は吸収が正、\(W\) は気体がする仕事が正）と、これがエネルギー保存を表していることを確実に押さえる必要があります。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT\)): 内部エネルギーが温度のみに依存すること、そしてその具体的な形を理解していることが必要です。
  • 本質的理解ポイント: なぜ \(\frac{3}{2}\) なのか（並進運動の自由度3に対応）を知っておくと理解が深まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンがばねではなく、重りによって圧力を受けている場合。
  • シリンダーが鉛直に置かれ、ピストンの重さも考慮に入れる必要がある場合。
  • 加熱ではなく冷却する場合、または断熱変化や等温変化を伴う場合。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の分析: ピストンや境界にはたらく力を図示し、力のつりあいを考える。
  2. 状態変化の種類: 等温、定圧、定積、断熱、あるいは圧力が体積の関数として変化する過程など、どのような変化かを把握する。
  3. エネルギーの流れ: 熱の出入り（\(Q\)）、仕事のやり取り（\(W\)）、内部エネルギーの変化（\(\Delta U\)）を熱力学第一法則で結びつける。
  4. \(P-V\)グラフの活用: 変化の過程を \(P-V\) グラフで表現すると、仕事の計算や変化の概要を把握しやすくなる。
• ヒント・注意点:
  • 変数が複数ある場合は、どの変数を消去してどの変数を残すか、方針を立てて式変形を行う。
  • 「断熱材でできている」という記述はシリンダー壁面からの熱の出入りがないことを意味しますが、ヒーターからの加熱はあるため、過程全体が断熱変化ではないことに注意が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の計算: 圧力が一定でない場合に、安易に \(W = P \Delta V\) で計算してしまう誤り。必ず \(P-V\) グラフの面積で考える。
• ばねの力の扱い: ばねの伸び \(x\) の原点を正しく設定すること（自然長からの変化量）。
• 熱力学第一法則の符号: \(W\) を「気体がされた仕事」と混同すると符号が逆転する。
• 内部エネルギーの式: 単原子分子か二原子分子か（またはそれ以外か）で係数が変わる点を見落とす。
• 力のつり合いの適用: 「ゆっくり」という条件を見落とし、力のつり合いを考えずに状態方程式だけで解こうとしてしまう。

対策: 図を描き、\(P-V\)グラフを描く習慣をつけ、公式の意味を理解し、各物理量の定義と符号の規約を正確に覚える。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効だった図:
  1. ピストンにはたらく力を矢印で示した図（力のつり合いを考える上で必須）。
  2. \(P-V\)グラフ（特に問4の仕事の計算では、台形が明確にイメージできる）。
• 図を描く際の注意点: 力の作用点、座標軸（特に \(x\) の向き）の定義、変化の前後で何が変わるかを明確にする。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい: 「ゆっくりとした変化」という条件は、加速度がほぼ \(0\) であること (\(a \approx 0\)) を意味し、その結果、ピストンにはたらく合力もほぼ \(0\) (\(\sum F \approx 0\)) と考えられるため、力のつりあいの式を適用できます。
• 状態方程式 \(PV=nRT\): 理想気体であり、各瞬間で平衡状態に近い（準静的過程）とみなせるため適用可能。
• 仕事 \(W = \int P dV\): 気体の圧力が変化しながら体積が変わる場合の普遍的な仕事の定義。
• 内部エネルギー \(U = \frac{3}{2}nRT\): 「単原子分子理想気体」という指定からこの形が適用される。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\): エネルギー保存則であり、閉鎖系における熱、仕事、内部エネルギー変化の関係を記述する普遍的な法則。

これらの公式がなぜこの場面で使えるのか、その条件は何かを常に意識することが重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 初期状態の特定 (\(P_0, V_0\) から状態方程式で \(T_0\) を求める)。
2. 過程における物理法則の適用 (力のつり合いから \(P(x)\)、\(P(V)\) を導く)。
3. 特定状態への適用 (\(V=2V_0\) を \(P(V)\) に代入して \(P_1\) を求め、状態方程式から \(T_1\) を求める)。
4. 過程量の計算（仕事 \(W\) を \(P-V\) グラフの面積から計算）。
5. エネルギー保存則の適用 (\(\Delta U\) を計算し、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) から \(Q\) を求める)。

この論理の流れを意識しましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の丁寧な扱い: 多くの物理定数や変数が文字で与えられるため、式の変形や代入を丁寧に行う。添え字の混同に注意。
• 単位の確認: 各計算ステップで単位が物理的に正しいかを確認する。
• 分数の計算: 通分や約分を正確に行う。
• 式の整理: 計算結果をできるだけ簡単な形に整理する。

日頃の練習: 途中式を丁寧に書き、検算し、間違いを分析する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 温度 \(T_0, T_1\) が正であること。
  • 圧力 \(P_1\) が \(P_0\) より大きいこと（ばねの反発力のため）。
  • 仕事 \(W\) が正であること（気体が膨張）。
  • 熱量 \(Q\) が正であること（ヒーターで加熱）。
• 特定のパラメータの影響:
  • もし \(k=0\) (ばねなし) なら、圧力は常に \(P_0\) (定圧変化)。この場合、\(P_1=P_0\)、\(W=P_0V_0\)、\(T_1=2T_0\)、\(\Delta U = \frac{3}{2}P_0V_0\)、\(Q=\frac{5}{2}P_0V_0\) となる。今回の結果の式に \(k=0\) を代入すると、これらと一致するか確認する。
• 単位の一貫性: 計算の各段階で単位が物理的に意味のあるものになっているかを確認する。

問題69 (筑波大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水中に浮かぶ（あるいは沈む）一端を閉じた円筒と、その内部に閉じ込められた気体に関する問題です。円筒にはたらく力のつりあい、特に浮力の扱い、そして内部気体の状態変化（等温変化・断熱変化）がポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、浮力、気体の圧力、そして力のつりあいという流体静力学の基本的な概念に加えて、気体の状態変化（等温変化・断熱変化）という熱力学の要素も含む複合的な問題です。特に、円筒内部に閉じ込められた気体の体積と圧力が外部条件によってどのように変化し、それが円筒全体の力のつり合いにどう影響するかを考える必要があります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 力のつりあい: 静止している物体にはたらく合力は0である。
• アルキメデスの原理（浮力）: 流体中の物体は、その物体が押しのけた流体の重さに等しい大きさの浮力を受ける。
• 静水圧: 深さ \(x\) の水中における圧力は \(P_0 + \rho gx\) で与えられる（\(P_0\)は水面での圧力）。
• ボイルの法則（等温変化）: 温度が一定のとき、一定量の気体の圧力 \(P\) と体積 \(V\) の積は一定である (\(PV = \text{一定}\))。
• 断熱変化: 気体が外部と熱のやり取りなしに状態変化する場合。\(P-V\)グラフ上での等温変化との違いを理解することが重要。

全体的な戦略としては、まず各状況で円筒にはたらく力を図示し、力のつりあいの式を立てます。次に、気体の状態変化の種類に応じて適切な法則を適用し、未知数を求めていきます。

問1

思考の道筋とポイント
図1の状態で円筒は静止しており、鉛直方向の力がつり合っています。円筒にはたらく力は、下向きに重力 \(Mg\) と外力 \(F\)、上向きに浮力 \(F_{\text{浮力1}}\) です。浮力は、円筒が水中に沈んでいる部分（この場合は内部気体の体積と同じ \(Sd\)）が押しのけた水の重さに等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 円筒にはたらく全ての力を正しく特定し、図示すること。
• 浮力の計算において、水に沈んでいる部分の体積を正確に把握すること（ここでは \(Sd\)）。
• 力のつりあいの式を正しく立式すること。

具体的な解説と立式
図1において、円筒にはたらく鉛直方向の力は以下の通りです。

• 重力: \(Mg\) (鉛直下向き)
• 外力: \(F\) (鉛直下向き)
• 浮力: \(F_{\text{浮力1}}\) (鉛直上向き)

円筒が水に浸かっている部分の体積は、内部の気体が占める部分の体積に等しく \(V_1 = Sd\) です。
アルキメデスの原理より、浮力の大きさは、
$$ F_{\text{浮力1}} = \rho V_1 g = \rho (Sd) g $$
円筒は静止しているので、鉛直方向の力のつりあいから、
$$ F + Mg = F_{\text{浮力1}} $$
$$ F + Mg = \rho Sdg $$

上記の力のつりあいの式から \(F\) について解くと、
$$ F = \rho Sdg – Mg $$
整理して、
$$ F = (\rho Sd – M)g $$

円筒は水中で静止しているので、下向きの力と上向きの力がつり合っています。下向きの力は、円筒の重さ \(Mg\) と手で押さえる外力 \(F\) の合計です。上向きの力は、水が円筒を押し上げる浮力です。浮力の大きさは、円筒が水に沈んでいる部分（体積 \(Sd\)）の水の重さ、つまり \(\rho Sdg\) です。したがって、「\(F + Mg = \rho Sdg\)」という式が成り立ち、これを \(F\) について解きます。

図1の状態における外力の大きさは \(F = (\rho Sd – M)g\) です。この式は、浮力 \(\rho Sdg\) が重力 \(Mg\) より大きいときには下向きの外力が必要であり、逆に小さいときには（問題設定とは異なりますが理論上は）上向きの支えが必要になることを示しています。

問2

思考の道筋とポイント
図2では、円筒は外力なしで静止しています。この状態でも鉛直方向の力はつり合っており、はたらく力は下向きの重力 \(Mg\) と上向きの浮力 \(F_{\text{浮力2}}\) のみです。内部気体の高さが \(\frac{1}{2}d\) となっているので、円筒が水中に沈んでいる部分の体積は \(S \cdot \frac{1}{2}d\) となります。

この設問における重要なポイント

• 外力がない状態での力のつりあいを考えること。
• 浮力の計算で用いる体積が、図2の状態（気体の高さ \(\frac{1}{2}d\)）に基づいていること。

具体的な解説と立式
図2において、円筒にはたらく鉛直方向の力は以下の通りです。

• 重力: \(Mg\) (鉛直下向き)
• 浮力: \(F_{\text{浮力2}}\) (鉛直上向き)

円筒が水に浸かっている部分の体積は、内部の気体が占める部分の体積に等しく \(V_2 = S \cdot \frac{1}{2}d\) です。
アルキメデスの原理より、浮力の大きさは、
$$ F_{\text{浮力2}} = \rho V_2 g = \rho \left(S \cdot \frac{1}{2}d\right) g $$
円筒は外力なしで静止しているので、鉛直方向の力のつりあいから、
$$ Mg = F_{\text{浮力2}} $$
$$ Mg = \rho S \frac{1}{2}d g $$

上記の力のつりあいの式から \(M\) について解くと、両辺の \(g\) が消去されて、
$$ M = \rho S \frac{1}{2}d $$
すなわち、
$$ M = \frac{1}{2}\rho Sd $$

図2では、円筒は手で押さえなくても水中で静止しています。これは、下向きの円筒の重さ \(Mg\) と、上向きの浮力がちょうどつり合っているからです。このときの円筒が水に沈んでいる部分の体積は、中の気体の高さが \(\frac{1}{2}d\) なので、\(S \times \frac{1}{2}d\) です。したがって、浮力は \(\rho (S \frac{1}{2}d) g\) となります。「\(Mg = \rho S \frac{1}{2}d g\)」という式から \(M\) を求めます。

円筒の質量 \(M\) は \(M = \frac{1}{2}\rho Sd\) です。この質量は、水の密度 \(\rho\)、円筒の断面積 \(S\)、そして図1での気体の初期高さの半分に比例することがわかります。この条件のとき、円筒は特定の深さで浮力と重力がつり合って静止できることを意味します。

問3

思考の道筋とポイント
円筒内部の気体が図1の状態から図2の状態へ等温変化すると仮定します。このとき、ボイルの法則 (\(P_1V_1 = P_2V_2\)) が成り立ちます。まず、図1と図2の各状態における気体の圧力と体積を特定します。気体の圧力は、その気体が接している円筒内部の水面における外部の水の圧力と等しくなります。この水面の位置から、大気圧 \(P_0\) と水深による圧力を考慮して気体の圧力を求めます。

この設問における重要なポイント

• 等温変化の条件からボイルの法則を適用すること。
• 各状態（図1、図2）における気体の圧力と体積を正確に求めること。
  • 気体の圧力は、円筒内部の水面の深さにおける静水圧から決まる。
• 水深の基準（大気圧 \(P_0\) がかかる水面）を明確にすること。

具体的な解説と立式
図1における気体の状態 (状態1):

• 体積: \(V_{\text{気体1}} = Sd\)
• 圧力 \(P_{\text{気体1}}\): 円筒の上端は水面（大気圧 \(P_0\)）に一致しています。円筒内部の水面は、この円筒上端から \(d\) だけ下にあります。したがって、内部気体の圧力は、深さ \(d\) の水の圧力に等しく、
  $$ P_{\text{気体1}} = P_0 + \rho gd $$

図2における気体の状態 (状態2):

• 体積: \(V_{\text{気体2}} = S \cdot \frac{1}{2}d\)
• 圧力 \(P_{\text{気体2}}\): 円筒の上端は、大気圧 \(P_0\) の水面から深さ \(h\) の位置にあります。円筒内部の水面は、この円筒上端からさらに \(\frac{1}{2}d\) だけ下にあります。したがって、大気圧 \(P_0\) の水面からの総深さは \(h + \frac{1}{2}d\) となります。よって、内部気体の圧力は、
  $$ P_{\text{気体2}} = P_0 + \rho g \left(h + \frac{1}{2}d\right) $$

気体の変化が等温変化なので、ボイルの法則 \(P_{\text{気体1}}V_{\text{気体1}} = P_{\text{気体2}}V_{\text{気体2}}\) を適用します。
$$ (P_0 + \rho gd)(Sd) = \left(P_0 + \rho g \left(h + \frac{1}{2}d\right)\right) \left(S \cdot \frac{1}{2}d\right) $$

ボイルの法則の式から \(h\) を求めます。両辺の \(S (\neq 0)\) と \(d (\neq 0)\) で共通部分を処理します。
まず、両辺の \(S\) を消去します。
$$ (P_0 + \rho gd)d = \left(P_0 + \rho g h + \frac{1}{2}\rho g d\right) \frac{1}{2}d $$
次に、両辺を \(\frac{1}{2}d\) で割ると（\(d \neq 0\) なので）、
$$ 2(P_0 + \rho gd) = P_0 + \rho g h + \frac{1}{2}\rho g d $$
展開して整理します。
$$ 2P_0 + 2\rho gd = P_0 + \rho g h + \frac{1}{2}\rho g d $$
\(h\) について解くために、\(\rho g h\) の項を左辺に、それ以外を右辺に集めます（あるいは模範解答のように \(\rho g h\) を右辺に残します）。
$$ \rho g h = 2P_0 – P_0 + 2\rho gd – \frac{1}{2}\rho g d $$
$$ \rho g h = P_0 + \left(2 – \frac{1}{2}\right)\rho g d $$
$$ \rho g h = P_0 + \frac{3}{2}\rho g d $$
最後に両辺を \(\rho g\) で割ると、
$$ h = \frac{P_0}{\rho g} + \frac{3}{2}d $$

気体の温度が変わらないとき、気体の「圧力×体積」の値は一定です。
状態1（図1）では、体積は \(Sd\)、圧力は外の水面の圧力 \(P_0\) と水深 \(d\) 分の圧力 \(\rho gd\) を足した \(P_0+\rho gd\) です。
状態2（図2）では、体積は \(S \cdot \frac{1}{2}d\)、圧力は外の水面の圧力 \(P_0\) と水深 \((h+\frac{1}{2}d)\) 分の圧力 \(\rho g(h+\frac{1}{2}d)\) を足した \(P_0+\rho g(h+\frac{1}{2}d)\) です。
「状態1の圧力×体積 = 状態2の圧力×体積」という式を立てて、未知数 \(h\) について解きます。

円筒が静止できる深さ \(h\) は \(h = \frac{P_0}{\rho g} + \frac{3}{2}d\) です。この式は、大気圧 \(P_0\) が高いほど、また初期の気体の高さ \(d\) が大きいほど、円筒をより深く（\(h\) を大きく）沈める必要があることを示しています。逆に水の密度 \(\rho\) や重力加速度 \(g\) が大きいと、\(h\) は小さくなる傾向があります（\(\frac{P_0}{\rho g}\) の項より）。

問4

思考の道筋とポイント
円筒が外力なしで静止するためには、問2で確立した力のつり合いの条件（重力と浮力が等しい）が満たされる必要があります。この条件は、円筒内部の気体の高さが \(\frac{1}{2}d\)（すなわち体積が \(S \cdot \frac{1}{2}d\)）であることを意味します。この最終的な気体の体積は、変化が等温であろうと断熱であろうと、円筒がその深さで静止するための条件として共通です。
気体の変化が断熱変化の場合、同じ体積まで圧縮したときの圧力は、等温変化の場合よりも高くなります。これは、断熱圧縮では気体の温度が上昇するためです。\(P-V\)グラフで考えると、断熱変化の曲線は等温変化の曲線よりも傾きが急になります。
内部気体の圧力が高いということは、それとつり合う外部の水の圧力も高い必要があり、そのためには円筒がより深い位置にある必要があります。

この設問における重要なポイント

• 円筒が静止するための条件（浮力と重力のつり合い）は、気体の体積が特定の値（\(S \cdot \frac{1}{2}d\)）になることを意味し、これは変化の種類（等温か断熱か）によらないこと。
• 同じ体積変化（圧縮）でも、断熱変化の方が等温変化よりも最終的な圧力が高くなることの理解。
  • これは、断熱圧縮では外部にした仕事の分だけ内部エネルギーが増加し（あるいは外部からされた仕事が全て内部エネルギー増加に使われ）、温度が上昇するため。
• 気体の圧力が高いほど、それとつりあうためにはより深い水深が必要になること。

具体的な解説と立式
円筒が静止するための条件は、問2より \(Mg = \rho (S \cdot \frac{1}{2}d)g\)、すなわち気体の高さが \(\frac{1}{2}d\) (体積 \(V_{\text{気体2}} = S \cdot \frac{1}{2}d\)) であることです。この体積になるまで気体を圧縮することを考えます。

初期状態（図1）の気体の圧力と体積は \(P_{\text{気体1}} = P_0 + \rho gd\), \(V_{\text{気体1}} = Sd\) です。
最終状態（図2）の気体の体積は \(V_{\text{気体2}} = S \cdot \frac{1}{2}d\) です。

等温変化の場合の最終圧力を \(P_{\text{気体2, 等温}}\)、断熱変化の場合の最終圧力を \(P_{\text{気体2, 断熱}}\) とします。
気体を \(V_{\text{気体1}}\) から \(V_{\text{気体2}}\) へ圧縮するとき、断熱圧縮では気体の温度が上昇します。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を考えると、同じ体積 \(V_{\text{気体2}}\) で温度が高い方が圧力も高くなります。したがって、
$$ P_{\text{気体2, 断熱}} > P_{\text{気体2, 等温}} $$
これは、\(P-V\)グラフにおいて、断熱圧縮の曲線（\(PV^\gamma = \text{一定}\)、\(\gamma > 1\)）が等温圧縮の曲線（\(PV = \text{一定}\)）よりも同じ体積においては圧力が高くなる（傾きがより急峻である）ことからも理解できます。模範解答の図にあるように、同じ体積まで圧縮した場合、断熱線は等温線の上側に位置します。

円筒内部の気体の圧力は、外部の水の圧力とつり合っており、\(P_{\text{気体}} = P_0 + \rho g (h_{\text{対応する深さ}} + \frac{1}{2}d)\) の形をしています。
したがって、\(P_{\text{気体2, 断熱}} > P_{\text{気体2, 等温}}\) であることから、
$$ P_0 + \rho g \left(h_{\text{断熱}} + \frac{1}{2}d\right) > P_0 + \rho g \left(h_{\text{等温}} + \frac{1}{2}d\right) $$
この不等式が成り立つためには、
$$ h_{\text{断熱}} + \frac{1}{2}d > h_{\text{等温}} + \frac{1}{2}d $$
よって、
$$ h_{\text{断熱}} > h_{\text{等温}} $$

定性的な比較であり、上記の説明が計算過程に相当します。
より具体的に数式で示すなら、
等温変化では \(P_{\text{気体2, 等温}} = P_{\text{気体1}} \frac{V_{\text{気体1}}}{V_{\text{気体2}}}\)。
断熱変化では \(P_{\text{気体2, 断熱}} = P_{\text{気体1}} \left(\frac{V_{\text{気体1}}}{V_{\text{気体2}}}\right)^\gamma\)。
ここで \(\gamma > 1\) であり、\( \frac{V_{\text{気体1}}}{V_{\text{気体2}}} = \frac{Sd}{S \cdot \frac{1}{2}d} = 2 > 1 \) なので、
$$ \left(\frac{V_{\text{気体1}}}{V_{\text{気体2}}}\right)^\gamma > \frac{V_{\text{気体1}}}{V_{\text{気体2}}} $$
したがって、\(P_{\text{気体2, 断熱}} > P_{\text{気体2, 等温}}\) となります。

円筒が水中で止まるためには、中の気体の体積は同じ（高さが \(\frac{1}{2}d\)）になる必要があります。
気体をぎゅっと縮めるとき、熱が逃げないように（断熱）縮めると、気体は温まります。温まると、同じ体積でも圧力は高くなります。これは、熱を逃がしながら（等温）縮める場合と比べて、圧力が強くなるということです。
中の気体の圧力が高いということは、外から水によってもっと強く押さえつけられている、つまり、もっと水深が深い場所にあるということを意味します。
したがって、断熱変化のときの深さ \(h\) は、等温変化のときの深さ \(h\) よりも大きくなります。

円筒内の気体の変化が断熱変化とみなせる場合、円筒が静止できる深さ \(h\) は、(3)で求めた等温変化の場合の値より大きいです。この理由は、断熱圧縮によって気体の温度が上昇し、結果として同じ体積でも圧力が等温圧縮時より高くなるため、より大きな外部圧力（すなわち、より深い水深）とつりあうことになるからです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい: 物体が静止している状況では、常にはたらく力の合力がゼロになることを利用します。
  • 本質的理解ポイント: どのような力がどの方向にはたらいているかを正確に把握し、作図する能力が求められます。
• 浮力 (アルキメデスの原理): 流体中の物体が受ける上向きの力で、その大きさは物体が押しのけた流体の重さに等しい (\(F_{\text{浮力}} = \rho Vg\))。
  • 本質的理解ポイント: 式中の \(V\) は「物体が流体中に沈んでいる部分の体積」であり、これを間違えると以降の計算が全てずれてしまいます。
• 静水圧: 液面からの深さ \(x\) における圧力は、液面での圧力に \(\rho gx\) を加えたものとなります。
  • 本質的理解ポイント: 圧力はスカラー量ですが、それが面に及ぼす力は面に垂直です。円筒内部の気体の圧力は、接している内部液面の位置での外部水圧とつり合います。
• ボイルの法則 (等温変化): 気体の温度が一定ならば、圧力 \(P\) と体積 \(V\) の積は一定 (\(PV = \text{一定}\))。
  • 本質的理解ポイント: 「等温変化」という条件が明示されているか、あるいはそうみなせる状況（ゆっくりとした変化で外部と熱平衡を保つなど）であるかを確認します。
• 断熱変化と等温変化の比較: 同じ体積変化でも、断熱過程と等温過程では圧力の変化が異なります。断熱圧縮では温度が上昇するため、等温圧縮よりも圧力が著しく高くなります。
  • 本質的理解ポイント: \(P-V\)グラフ上で、断熱曲線は等温曲線よりも傾きが急であること、そしてその物理的背景（内部エネルギーの変化の有無）を理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • U字管を用いた液柱の問題（圧力のつりあい）。
  • 水中に沈めたコップやガラス管内の閉じ込められた空気の問題。
  • 温度変化を伴う気球の浮上・沈降の問題（浮力と気体の状態方程式の組み合わせ）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 静力学的側面: まず、物体にはたらく力を全てリストアップし、力のつりあいを考える。浮力と静水圧の正確な計算が鍵。
  2. 熱力学的側面: 閉じ込められた気体がある場合、その状態変化の種類（等温、定圧、定積、断熱など）を特定し、適切な状態方程式や法則を適用する。
  3. 状態の遷移: 複数の状態（図1、図2など）が関わる場合、各状態での物理量を明確にし、状態間の変化を追う。
• ヒント・注意点:
  • 「円筒の厚さ無視」「気体の質量無視」などの条件は、計算を簡略化するための重要な指示なので見落とさない。
  • 圧力を考える際、どの面にかかる圧力か、どの深さでの圧力かを常に明確にする。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力の計算での体積の誤り: 円筒全体の体積ではなく、水に沈んでいる部分（この問題では内部気体の体積に等しい）を使う。
• 気体圧力の基準の誤り: 円筒内部の気体の圧力を、単純に大気圧 \(P_0\) としたり、円筒の最上部での外部水圧と誤認したりする。正しくは、気体が接している内部の液面における外部水圧とつり合うと考える。
• 深さの混同: 圧力を計算する際の「深さ」が、どの面を基準にした深さなのかを曖昧にすると、\(P_0 + \rho gx\) の \(x\) を間違える。
• (4)の断熱変化の考察不足: なぜ深さが大きくなるのかの物理的根拠（断熱圧縮による温度上昇と圧力増加）を明確に説明できない。単に「傾きが急だから」だけでなく、それが圧力と深さにどう繋がるかを理解する。

対策: 問題文を丁寧に読み、図を正確に描いて物理現象をイメージする。各物理量の定義に立ち返り、どの法則がどの条件下で適用できるのかを常に確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効だった図:
  1. 各状態（図1、図2）での円筒にはたらく力のベクトル図。力の種類、向き、作用点を明記する。
  2. 円筒と水面の関係、内部気体の高さ、水深（\(d, h, h+\frac{1}{2}d\)など）を示した概略図。
  3. (4)の考察に役立つ、等温変化と断熱変化の \(P-V\)グラフの概略図（模範解答の図が参考になる）。
• 図を描く際の注意点: 力を描く際は、つり合っているならベクトルの長さのバランスも意識する。水深や長さを表す記号が図のどの部分に対応するのかを明確にする。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい: 物体が「静止」しているという記述から、合力がゼロであるという基本原則を適用。
• 浮力 \(\rho Vg\): 物体が「水中にある」という状況から、アルキメデスの原理の適用を考える。
• 静水圧 \(P_0 + \rho gx\): 「水深」と「圧力」の関係を議論する際に必須。基準圧力を \(P_0\) としている。
• ボイルの法則 \(PV=\text{一定}\): 「等温変化」という指定があるため、この法則を選択。
• 断熱変化と等温変化の性質の比較: (4)では、\(P-V\)グラフの特性や、断熱圧縮に伴う温度上昇という物理的性質に基づいて大小比較を行う。

各公式が持つ意味と、それが適用できる前提条件を常に意識することが、正しい公式選択につながります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状態の把握と図示: 問題文を読み解き、図1・図2の状況を正確に把握する。必要に応じて力を図示する。
2. 問1 (外力): 図1で力のつりあいを考え、浮力を計算し、外力 \(F\) を求める。
3. 問2 (質量): 図2で力のつりあい（外力なし）を考え、浮力を計算し、質量 \(M\) を求める。
4. 問3 (深さ \(h\)、等温): 図1と図2の気体の \(P, V\) をそれぞれ水深と体積から表現し、等温変化の条件（ボイルの法則）を適用して \(h\) を解く。
5. 問4 (深さ \(h\)、断熱): 円筒静止の条件（気体体積が \(S \cdot \frac{1}{2}d\)）は同じ。断熱圧縮時の圧力が等温圧縮時より高いことを利用し、それが深さ \(h\) にどう影響するかを考察する。

段階を踏んで、各段階で必要な情報を整理し、適切な法則を適用していく論理的な流れを意識しましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の明確化: 多くの記号（\(P_0, \rho, S, d, g, M, h, F\) など）が出てくるので、どの文字が何を表すのかを常に意識する。添え字（例: \(P_1, P_2\)）も有効活用する。
• 単位のチェック（概念として）: この問題は文字式なので直接的な単位計算は少ないが、例えば圧力を求める式が密度の項と長さの項の積になっているかなど、次元が合っているかを意識すると間違いに気づきやすい。
• 代数計算の丁寧さ: 式の展開、整理、移項などの基本的な計算を焦らず正確に行う。特に(3)のような複雑な式の変形では注意が必要。

日頃から途中式を省略せずに書く癖をつけ、計算過程を見直す習慣をつけることが大切です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直観との照らし合わせ:
  • (1) 外力 \(F\): 浮力が重力より大きければ、それを抑えるために下向きの力が必要なのは直観に合うか。
  • (3) 深さ \(h\): 大気圧 \(P_0\) が非常に大きい状況を想像すると、気体を圧縮するためには相当深く沈める必要がありそう（\(h\) が \(P_0\) に比例する項を持つ）。
  • (4) 断熱変化: 気体を圧縮すると熱くなるイメージがあれば、圧力が等温より高くなり、より深いところでないとつりあわない、という結論の方向性が妥当だと感じられるか。
• 極端な場合を考える: 例えば、もし \(P_0=0\) であったら \(h=\frac{3}{2}d\) となるが、これは物理的にどのような状況に対応するか考えてみる（大気がない状態での実験）。
• 依存関係の確認: 各答えが、問題で与えられたどの物理量にどのように依存しているかを確認し、それが物理的に説明できるか考える。

問題70 (防衛大+大分大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、(1)で理想気体の状態方程式を密度を用いて表現し直し、(2)では熱気球を題材として、浮力と力のつり合い、そして気体の状態変化（圧力一定下での温度と密度の関係）を考察する問題です。熱気球の浮沈の原理を物理的に理解することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、(1)でまず理想気体の状態方程式を密度を用いて表し変えることから始まり、(2)ではその応用として熱気球の浮沈の原理を扱います。熱気球の問題では、アルキメデスの原理に基づく浮力と、気球全体の重力（構造物の重さ＋内部の空気の重さ）とのつり合いが基本となります。また、内部の空気の圧力は常に外部の空気の圧力と等しいという条件や、内部の空気を加熱することで密度を変化させる点が重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV=nRT\) および、それを変形した \(P=a\rho T\)。
• 力のつりあい: 物体が静止または浮上し始める瞬間には、物体にはたらく合力は0と考える。
• アルキメデスの原理（浮力）: 流体中の物体は、その物体が押しのけた流体の体積 \(V\) と流体の密度 \(\rho_{\text{流体}}\) を用いて、\(F_{\text{浮力}} = \rho_{\text{流体}}Vg\) と表される浮力を受ける。
• 質量の計算: 気体の質量は、密度と体積の積 (\(m = \rho V\)) で与えられる。

全体的な戦略としては、(1)で状態方程式の変形を行い、(2)では各状況に応じて「内外の圧力相等」と「力のつり合い」の二つの原則を適用して未知数を解決していきます。

問1

思考の道筋とポイント
理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を出発点とします。物質量 \(n\) を気体の全質量 \(m\) とモル質量 \(m_0\) を用いて \(n = m/m_0\) と表し、また気体の密度 \(\rho = m/V\) の関係を用いることで、与えられた \(P=a\rho T\) の形に変形し、係数 \(a\) を特定します。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) の理解。
• 物質量 \(n\)、質量 \(m\)、モル質量 \(m_0\) の関係 (\(n=m/m_0\))。
• 密度 \(\rho\)、質量 \(m\)、体積 \(V\) の関係 (\(\rho=m/V\))。

具体的な解説と立式
理想気体の状態方程式は、
$$ PV = nRT $$
気体の質量を \(m\)、モル質量を \(m_0\) とすると、物質量 \(n\) は \(n = \frac{m}{m_0}\) と表せます。これを状態方程式に代入すると、
$$ PV = \frac{m}{m_0}RT $$
両辺を体積 \(V\) で割ると、
$$ P = \frac{m}{V} \frac{R}{m_0} T $$
ここで、気体の密度 \(\rho\) は \(\rho = \frac{m}{V}\) で定義されるので、これを代入すると、
$$ P = \rho \frac{R}{m_0} T $$
問題で与えられている関係式 \(P = a\rho T\) とこの式を比較することで、定数 \(a\) が求まります。
$$ a = \frac{R}{m_0} $$

上記の導出過程がそのまま計算手順となります。

1. 状態方程式: \(PV=nRT\)
2. \(n = m/m_0\) を代入: \(PV = (m/m_0)RT\)
3. 両辺を \(V\) で割り、\(m/V = \rho\) を利用: \(P = (m/V)(R/m_0)T = \rho(R/m_0)T\)
4. \(P=a\rho T\) と比較して、\(a = R/m_0\) を得る。

気体の基本法則 \(PV=nRT\) からスタートします。\(n\) は気体の量を表し、全体の質量 \(m\) を1モルあたりの質量 \(m_0\) で割ったものです。また、密度 \(\rho\) は質量 \(m\) を体積 \(V\) で割ったものです。これらの関係を使って、\(PV=nRT\) の式を \(P\) についての式に変形していくと、\(P = (\text{何か}) \times \rho \times T\) という形になります。この「何か」が \(a\) にあたります。

定数 \(a\) は \(a = \frac{R}{m_0}\) です。ここで \(R\) は気体定数、\(m_0\) は1モルの気体の質量（モル質量）です。この \(a\) は気体の種類によって決まる定数で、単位は [J/(kg·K)]（もし \(m_0\) が kg/mol の場合）となり、\(P=a\rho T\) の式の次元の一致を確認できます。

問2 (ア)

思考の道筋とポイント
熱気球の内部空気は下部が開口しているため、常に外部の空気と圧力が等しくなります。地表では外気の圧力が \(P_0\) なので、内部空気の圧力も \(P_0\) です。内部空気と地表の外気、それぞれについて \(P=a\rho T\) の関係式を立て、圧力が等しいことから内部空気の密度 \(\rho\) を導きます。

この設問における重要なポイント

• 熱気球の内部圧力と外部圧力が等しいという条件。
• (1)で導いた \(P=a\rho T\) の関係を内外の空気に適用すること。

具体的な解説と立式
地表において、

• 内部空気: 圧力 \(P_0\)、温度 \(T\)、密度 \(\rho\)この関係は (1) より、\(P_0 = a\rho T \quad \cdots ①\)
• 外気: 圧力 \(P_0\)、温度 \(T_0\)、密度 \(\rho_0\)この関係は (1) より、\(P_0 = a\rho_0 T_0 \quad \cdots ②\)

式①と式②はともに左辺が \(P_0\) で等しいので、右辺同士も等しくなります。
$$ a\rho T = a\rho_0 T_0 $$
定数 \(a\) は0ではないので、両辺を \(a\) で割ると、
$$ \rho T = \rho_0 T_0 $$

上記の関係式 \(\rho T = \rho_0 T_0\) から \(\rho\) について解くと、
$$ \rho = \frac{\rho_0 T_0}{T} $$
または、模範解答の形式に合わせて、
$$ \rho = \frac{T_0}{T}\rho_0 $$

熱気球の中の空気と外の空気は、風船の口が開いているため、圧力が同じ \(P_0\) です。(1)で見つけた関係式 \(P=a\rho T\) を、中の空気と外の空気にそれぞれ当てはめます。中の空気は「\(P_0 = a \times \rho \times T\)」、外の空気は「\(P_0 = a \times \rho_0 \times T_0\)」となります。これら二つの式はどちらも \(P_0\) に等しいので、「\(a\rho T = a\rho_0 T_0\)」という関係が得られます。ここから \(\rho\) を求めます。

内部空気の密度は \(\rho = \frac{T_0}{T}\rho_0\) [kg/m³] です。この式は、内部空気の温度 \(T\) を地表の外気の温度 \(T_0\) よりも高くすると (\(T > T_0\))、内部空気の密度 \(\rho\) が地表の外気の密度 \(\rho_0\) よりも小さくなる (\(\rho < \rho_0\)) ことを示しています。これにより浮力が相対的に大きくなり、熱気球が浮く原理につながります。

問2 (イ)

思考の道筋とポイント
気球が地表から浮上し始める瞬間は、気球全体にはたらく鉛直上向きの浮力が、気球全体の重力（構造物 \(M\) の重力 + 内部空気の重力）とちょうどつり合う（あるいはわずかに上回る）ときです。浮力は周囲の空気（地表の外気、密度 \(\rho_0\)）によって生じます。内部空気の質量は、その密度 \(\rho_1\)（温度 \(T_1\) のときの密度）と体積 \(V\) から求まり、\(\rho_1\) は(ア)と同様の関係式から温度 \(T_1\) で表すことができます。

この設問における重要なポイント

• 浮上開始の条件は、浮力と全体の重力がつり合うこと。
• 浮力の計算には、外部の空気の密度 \(\rho_0\) を用いること。
• 全体の重力には、構造物の質量 \(M\) と内部空気の質量が含まれること。
• 内部空気の密度は温度に依存し、(ア)の関係が使えること。

具体的な解説と立式
浮上し始める瞬間の力のつり合いを考えます。

• 浮力 \(F_{\text{浮}}\): 気球の体積は \(V\)、地表の外気の密度は \(\rho_0\) なので、
  $$ F_{\text{浮}} = \rho_0 V g $$
• 気球全体の重力 \(W_{\text{全}}\): 構造物の質量 \(M\) と、温度 \(T_1\) のときの内部空気の質量 \(m_1\) の和による重力。
  $$ W_{\text{全}} = (M + m_1)g $$

内部空気の質量 \(m_1\) は、その密度を \(\rho_1\) とすると \(m_1 = \rho_1 V\)。
(ア)と同様に、地表では圧力が \(P_0\) で一定なので、\(\rho_1 T_1 = \rho_0 T_0\) の関係が成り立ちます。よって、
$$ \rho_1 = \frac{T_0}{T_1}\rho_0 $$
したがって、\(m_1 = \left(\frac{T_0}{T_1}\rho_0\right)V\)。

力のつり合い \(F_{\text{浮}} = W_{\text{全}}\) より、
$$ \rho_0 V g = \left(M + \frac{T_0}{T_1}\rho_0 V\right)g $$

力のつりあいの式の両辺から \(g\) を消去します。
$$ \rho_0 V = M + \frac{T_0}{T_1}\rho_0 V $$
\(T_1\) を含む項を整理します。
$$ \frac{T_0}{T_1}\rho_0 V = \rho_0 V – M $$
\(T_1\) について解くと、
$$ T_1 = \frac{T_0 \rho_0 V}{\rho_0 V – M} $$
模範解答の形に合わせると、
$$ T_1 = \frac{\rho_0 V}{\rho_0 V – M} T_0 $$

気球がちょうど浮き始めるのは、上向きの浮力と、下向きの「気球の材料の重さ＋中の空気の重さ」が等しくなるときです。浮力は「外の空気の密度 \(\rho_0 \times\) 気球の体積 \(V \times g\)」です。中の空気の重さは「中の空気の密度 \(\rho_1 \times\) 気球の体積 \(V \times g\)」ですが、この \(\rho_1\) は温度 \(T_1\) によって決まり、(ア)で見たように \(\rho_1 = (\rho_0 T_0)/T_1\) となります。これらの力を等しいとおいて式を立て、\(T_1\) について解きます。

気球が浮上し始める温度は \(T_1 = \frac{\rho_0 V}{\rho_0 V – M} T_0\) [K] です。
この式は、浮上するためには分母が正、すなわち \(\rho_0 V > M\) である必要があることを示しています。これは「気球が押しのける外気の質量（これが最大浮力を生む）が、気球の構造物の質量よりも大きくなければならない」という物理的に妥当な条件です。構造物 \(M\) が重いほど、あるいは体積 \(V\) が小さいほど、より高い温度 \(T_1\) に加熱する必要があることがわかります。

問2 (ウ)

思考の道筋とポイント
気球がある高度で静止している状況を考えます。ここでも「内部空気の圧力 = 外部空気の圧力」と「浮力 = 全体の重力」という二つの原則が成り立ちます。
まず、内部空気の密度 \(\rho’\) を求めます。この高度での外部（周囲）の空気の圧力は \(\beta P_0\)、内部空気の温度は \(\alpha T_0\) と与えられています。\(P=a\rho T\) の関係と、地表での外気の状態（\(P_0 = a\rho_0 T_0\)）を比較することで \(\rho’\) を求めます。
次に、この高度での外気の密度 \(\rho_0’\) を求めます。気球が静止しているので、浮力（\(\rho_0’Vg\) で計算）と気球全体の重力（構造物 \(M\) の重力＋内部空気の質量 \(\rho’V\) の重力）がつり合っています。この力のつり合いから \(\rho_0’\) を導きます。

この設問における重要なポイント

• 高空でも内外の圧力は等しい（\(\beta P_0\)）。
• 内部空気の温度は指定された \(\alpha T_0\)。
• 浮力計算には、その高度での「外気の密度 \(\rho_0’\)」を用いる。
• 力のつり合いは、その高度での物理量を用いて考える。

具体的な解説と立式
1. 内部空気の密度 \(\rho’\) の計算:
ある高度において、

• 内部空気: 圧力 \(\beta P_0\)、温度 \(\alpha T_0\)、密度 \(\rho’\)この関係は (1) より、\(\beta P_0 = a \rho’ (\alpha T_0) \quad \cdots ③\)

地表での外気の式は、
$$ P_0 = a \rho_0 T_0 \quad \cdots ② $$
式③を式②で辺々割ると、
$$ \frac{\beta P_0}{P_0} = \frac{a \rho’ \alpha T_0}{a \rho_0 T_0} $$
$$ \beta = \frac{\rho’ \alpha}{\rho_0} $$
これを \(\rho’\) について解くと、
$$ \rho’ = \frac{\beta}{\alpha}\rho_0 $$

2. その高度での外気の密度 \(\rho_0’\) の計算:
気球はこの高度で静止しているので、力のつり合いを考えます。

• 浮力 \(F_{\text{浮}}’\): 周囲の（高度の）外気の密度を \(\rho_0’\) とすると、
  $$ F_{\text{浮}}’ = \rho_0′ V g $$
• 気球全体の重力 \(W_{\text{全}}’\): 構造物の質量 \(M\) と、内部空気の質量 \(m’ = \rho’V\) の和による重力。
  $$ W_{\text{全}}’ = (M + \rho’V)g $$

力のつり合い \(F_{\text{浮}}’ = W_{\text{全}}’\) より、
$$ \rho_0′ V g = (M + \rho’V)g $$
両辺の \(g\) を消去し、\(V\) で割ると、
$$ \rho_0′ = \frac{M}{V} + \rho’ $$
先に求めた \(\rho’ = \frac{\beta}{\alpha}\rho_0\) を代入すると、
$$ \rho_0′ = \frac{M}{V} + \frac{\beta}{\alpha}\rho_0 $$

\(\rho’\) の計算:

1. 内部空気（高度）: \(\beta P_0 = a \rho’ (\alpha T_0)\)
2. 外気（地表）: \(P_0 = a \rho_0 T_0\)
3. 上記2式から \(a\) を消去（例: 1式目/2式目）: \(\beta = \frac{\rho’\alpha}{\rho_0}\)
4. \(\rho’\) について解く: \(\rho’ = \frac{\beta}{\alpha}\rho_0\)

\(\rho_0’\) の計算:

1. 力のつり合い（高度）: \(\rho_0’Vg = Mg + \rho’Vg\)
2. 両辺を \(Vg\) で割る: \(\rho_0′ = \frac{M}{V} + \rho’\)
3. 上で求めた \(\rho’\) を代入: \(\rho_0′ = \frac{M}{V} + \frac{\beta}{\alpha}\rho_0\)

（内部空気の密度 \(\rho’\)）
高いところでは、外の空気の圧力は \(\beta P_0\) です。中の空気の圧力もこれと同じになります。中の空気の温度は \(\alpha T_0\) です。これらの情報と、(1)で見つけた関係式 \(P=a\rho T\) を使います。地表での外の空気（圧力 \(P_0\)、密度 \(\rho_0\)、温度 \(T_0\)）との関係と比べることで、中の空気の密度 \(\rho’\) が計算できます。

（外気の密度 \(\rho_0’\)）
高いところで気球が止まっているので、ここでも浮力と全体の重さがつり合っています。浮力は「その高さでの外の空気の密度 \(\rho_0′ \times\) 気球の体積 \(V \times g\)」です。全体の重さは「気球の材料の重さ \(Mg\) + 中の空気（密度 \(\rho’\)）の重さ \(\rho’Vg\)」です。これらが等しいという式から、その高さでの外の空気の密度 \(\rho_0’\) が求まります。

ある高度で静止したときの内部空気の密度は \(\rho’ = \frac{\beta}{\alpha}\rho_0\) [kg/m³]、その高度での外気の密度は \(\rho_0′ = \frac{M}{V} + \frac{\beta}{\alpha}\rho_0\) [kg/m³] です。
\(\rho’\) は、高空での圧力低下 (\(\beta < 1\)) と内部の高温 (\(\alpha > 1\)) の両方の影響を受けます。
\(\rho_0’\) は、その高度で気球を浮かせるために必要な周囲の空気の密度です。気球の構造物の「平均密度」\(M/V\) と、そのときの内部空気の密度 \(\rho’\) の和として表されており、物理的に意味のある形になっています。通常、高度が上がると外気の密度は低下するので、\(\rho_0′ < \rho_0\) となることが期待されます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)) とその変形 (\(P=a\rho T\)): 気体の状態量（圧力、体積、温度、物質量、密度）を関連付ける基本法則です。
  • 本質的理解ポイント: \(a=R/m_0\) は気体の種類に依存する定数です。
• 力のつりあい: 静止している物体（熱気球）にはたらく力の総和はゼロです。
  • 本質的理解ポイント: 一つの物体に着目し、はたらく全ての力をリストアップしてベクトル和を考えます。
• アルキメデスの原理（浮力）: 流体中の物体は、それが押しのけた流体の重さに等しい浮力を受けます (\(F_{\text{浮力}} = \rho_{\text{流体}}Vg\))。
  • 本質的理解ポイント: 浮力の計算に用いる密度は「周囲の流体の密度」であり、物体の密度ではありません。
• 圧力の連続性（開口部を持つ気球）: 熱気球の内部の空気は外部の空気と圧力的にほぼ等しい状態にあります。
  • 本質的理解ポイント: これにより、内外の圧力に関する条件式を立てることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 液体に浮く物体のつり合い（密度と体積の関係）。
  • 高空での物理現象（大気圧や密度の変化）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の特定と図示: 物体にはたらく力を正確に把握し、図で示す。特に浮力と重力の扱いに注意。
  2. 圧力条件の確認: 気体の圧力はどのように決まるのか（外部と等しいか、閉じ込められているか）。
  3. 密度・質量・体積の関係: \(m=\rho V\) を適切に使い分ける。浮力計算での密度と、内部気体の質量計算での密度を区別する。
  4. 状態変化の条件の読解: 加熱、冷却、等温、断熱などのキーワードから適切な物理法則を選択する。
• ヒント・注意点:
  • 熱気球問題では、内部空気の質量も気球全体の重さに含めることを忘れないようにしましょう。
  • 浮力計算に使う「流体の密度」は、その場所（地表か上空か）での「周囲の流体の密度」であることに常に注意が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力計算での密度の混同: 浮力の式 \(F_B = \rho Vg\) の \(\rho\) に、気球「内部」の空気の密度を用いてしまう。正しくは気球「外部」の空気の密度です。
• 全体の重力の計算漏れ: 熱気球全体の重力を考える際に、構造物 \(M\) の重さだけでなく、内部の空気の重さも加える必要があることを見落とす。
• 圧力条件の誤解: 内外の圧力が等しいという条件を見落とすか、あるいは間違った圧力で考えてしまう。
• 物理量の混同: 異なる場所や状態での密度や温度を区別せずに同じ文字で扱ってしまい、混乱する。添え字を有効に使いましょう。

対策: 問題文の条件を丁寧に読み取り、各物理量がどの状態・どの対象を指すのかを明確に意識する。図を描いて力の関係や圧力の関係を視覚的に整理することが有効です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効だった図:
  1. 熱気球にはたらく力（浮力、構造物の重力、内部空気の重力）を明示した力のつり合いの図。
  2. 熱気球の概略図に、内外の圧力、温度、密度などの情報を書き込んだもの。
• 図を描く際の注意点: 力のベクトルは作用点と向きを正確に。浮力が「周囲の流体」から受ける力であることを意識する。密度が場所（地表、高空）や状態（内部、外部）によって異なることを念頭に置く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(PV=nRT\) や \(P=a\rho T\): 気体の状態を記述する基本法則。
• 力のつりあい: 物体が「静止」している、または「浮上し始める（＝速度ゼロ、つり合いが破れる直前）」という記述から適用。
• 浮力 \(\rho_{\text{流体}}Vg\): 物体が流体中にあるという状況から適用。

それぞれの公式が成り立つための条件（例えば、状態方程式なら平衡状態の気体、力のつりあいなら静止や等速直線運動）を常に意識しましょう。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問(1): 状態方程式 \(PV=nRT\) に \(n=m/m_0\) と \(\rho=m/V\) を代入し、\(P=a\rho T\) の形に整理して \(a\) を求める。
2. 問(2)(ア): 地表での内外圧力 (\(P_0\)) が等しいこと、および \(P=a\rho T\) の関係を用いて、内部空気の密度 \(\rho\) を求める。
3. 問(2)(イ): 浮上開始時の力のつり合い（浮力 = 構造物重力 + 内部空気重力）を立式。内部空気の質量を密度と体積で表し、その密度を温度 \(T_1\) と(ア)の関係で表現し、\(T_1\) を解く。
4. 問(2)(ウ):
   • まず内部空気の密度 \(\rho’\) を、高空での内外圧力 (\(\beta P_0\)) が等しいこと、内部温度が \(\alpha T_0\) であること、そして \(P=a\rho T\) の関係（地表外気との比較）から求める。
   • 次に高空での外気の密度 \(\rho_0’\) を、高空での力のつり合い（浮力 = 構造物重力 + 内部空気重力）から求める。浮力は \(\rho_0’Vg\)、内部空気の質量は \(\rho’V\) を用いる。

複雑に見える問題も、一つ一つのステップに分解し、それぞれのステップでどの物理法則が適用できるかを考えることで解決の糸口が見えてきます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 添え字の正確な使用: \(\rho, \rho_0, \rho’, \rho_0′, T, T_0, T_1, \alpha T_0\) など、多くの物理量記号が出てきます。どの記号がどの状態や場所の量を指すのかを混同しないよう、添え字を正確に使い分けましょう。
• 丁寧な代数計算: 式の移項、代入、整理といった基本的な計算を焦らず、一つ一つ確認しながら進めることが大切です。特に分数や複数の文字を含む式の扱いは慎重に。
• 関係式の活用: (1)で求めた \(a\) の定義や、(2)(ア)で導いた \(\rho T = \rho_0 T_0\) のような関係式を、以降の設問でうまく活用することで、計算の見通しが良くなったり、簡略化できたりする場合があります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な意味の確認:
  • (イ) \(T_1\): 式の分母が \(\rho_0 V – M\) となっています。もし \(M \ge \rho_0 V\) であれば、\(T_1\) が負になるか無限大に発散します。これは「気球が押しのける外気の質量 \(\rho_0 V\) が、構造物の質量 \(M\) 以下では、どんなに加熱しても浮上できない」という物理的な状況に対応しており、式の妥当性を示唆します。
  • (ウ) \(\rho_0’\): 高度が上がると通常、外気の密度は地表より小さくなります。得られた \(\rho_0’\) の式が、そのような傾向を示すか（例えば、\(M/V\) が比較的小さく、\(\beta/\alpha\) が1よりかなり小さい場合など）を大まかに評価してみることも有効です。
• 単位の一貫性: 各式の両辺で単位が物理的に一致しているかを確認する習慣は、基本的ながら重要なチェックポイントです。
• 極端な条件での検討: 例えば、もし構造物の質量 \(M\) がゼロだったらどうなるか、あるいは内部をとてつもない高温にしたらどうなるか、といった極端なケースを想定して、得られた式が直感的な振る舞いと合致するかを考えてみるのも良いでしょう。

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