「良問の風」攻略ガイド（31〜35問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題31 (東洋大 + 福岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、質量が異なる2つの物体AとBが、ばねと糸でつながれた状態から始まり、糸の切断、ばねからの分離、壁との弾性衝突、そして再度ばねを介した相互作用という、一連の運動プロセスを追っていくものです。各段階で、運動量保存則や力学的エネルギー保存則を適切に適用することが求められます。特に、どの「系」に対してどの保存則が成り立つのか、また「弾性衝突」や「ばねが最も縮む」といった条件が何を意味するのかを正確に捉えることが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、複数の物体が絡み合う運動において、**運動量保存則**と**力学的エネルギー保存則**を巧みに使い分ける能力を試すものです。それぞれの法則がどのような条件下で成立するのかを常に意識しながら解き進めましょう。
主な物理法則・概念は以下の通りです。

• 運動量保存則: 系に外力が働かない（あるいは内力のみが働く）場合、系の全運動量は保存されます。分裂や衝突現象の解析に不可欠です。
• 力学的エネルギー保存則: 保存力（重力、弾性力など）のみが仕事をする場合、系の力学的エネルギー（運動エネルギー + 位置エネルギー）は保存されます。
• 力積と運動量の関係: 物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化に等しくなります。衝突時の力の分析に用います。
• 弾性衝突: 力学的エネルギーが保存される衝突です。壁との衝突や、ばねを介した理想的な反発がこれに該当します。

全体的な戦略としては、各設問で記述される物理現象の「前」と「後」の状態を明確にし、その間でどの保存則が適用できるかを判断し、立式していくことになります。

問1

思考の道筋とポイント
糸が切れてからBがばねを離れるまでの「A、B、ばね」を一つの系として考えます。床は滑らかであり、糸が切れることやばねが伸びる力は内力であるため、この系の水平方向の運動量は保存されます。糸が切れる直前と、Bがばねから離れた瞬間（このときAは静止）の運動量を比較します。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則を適用する「系」の範囲を正しく捉えること（ここではA+B+ばね）。
• 「Aは静止した」という重要な条件を運動量保存の式に反映させること。
• 「軽いばね」なので、ばね自身の運動量は \(0\)として扱える点を理解しておくこと。

具体的な解説と立式
右向きを正の向きとします。
糸が切れる直前、A (質量 \(2m\)) と B (質量 \(m\)) は一体となって速さ \(v\) で運動しています。
このときの系の全運動量 \(P_{\text{初}}\) は、
$$ P_{\text{初}} = (2m)v + mv = 3mv $$
糸が切れ、Bがばねから離れた瞬間を考えます。このとき、Aは静止したので、Aの速度 \(v_{A\text{後}} = 0\)。Bの速さを \(v_B\) とします。
このときの系の全運動量 \(P_{\text{後}}\) は、
$$ P_{\text{後}} = (2m) \cdot 0 + m v_B = mv_B $$
運動量保存則 \(P_{\text{初}} = P_{\text{後}}\) より、
$$ 3mv = mv_B $$

運動量保存則の式 \(3mv = mv_B\) の両辺を \(m\) で割ります（質量 \(m\) は \(0\) ではないので割ることができます）。
$$ \frac{3mv}{m} = \frac{mv_B}{m} $$
$$ v_B = 3v $$

はじめ、AさんとBさんは質量合計 \(3m\) のグループとして、右向きに速さ \(v\) で進んでいました。このときの「運動の勢い（運動量）」は \( (2m+m)v = 3mv \) です。
糸が切れてばねが伸びきった後、Aさんは止まりました (\(v_A=0\))。Bさんだけが速さ \(v_B\) で右向きに進んでいます。このときの「運動の勢い」はBさんだけのものとなり、\(mv_B\) です。
外から水平方向の力が加わっていないので、グループ全体の「運動の勢い」は変化しません。
したがって、「はじめの勢い」＝「あとの勢い」なので、
$$ 3mv = mv_B $$
この式の両辺を \(m\) で割ると、\(v_B = 3v\) となります。

糸が切れ、ばねから離れたときのBの速さは \(3v \, \text{[m/s]}\) です。
Aが静止する代わりに、より質量の小さいBが大きな速さを持つことで、系全体の運動量が保存されたことがわかります。単位も \(\text{[m/s]}\) であり、速さの単位として適切です。

問2

思考の道筋とポイント
糸が切れる直前から、Bがばねを離れる（Aが静止する）までの過程に着目します。この間、働く力はばねの弾性力（保存力）であり、床は滑らかで摩擦はありません。したがって、「A、B、ばね」の系の力学的エネルギーは保存されます。はじめのばねの縮みを \(x\) として、エネルギー保存則を立式します。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則が適用できる条件（保存力のみが仕事をする）を理解していること。
• 運動エネルギー \( \frac{1}{2}mv^2 \) と弾性エネルギー \( \frac{1}{2}kx^2 \) の式を正しく運用すること。
• 問1で求めたBの速さ \(v_B = 3v\) を利用すること。
• Bがばねから離れたとき、ばねは自然長に戻っている（弾性エネルギーが0）と判断すること。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を適用します。
**初期状態（糸が切れる直前）:**
AとBは一体で速さ \(v\)。ばねの縮みは \(x\)。
運動エネルギー \(K_{\text{初}}\):
$$ K_{\text{初}} = \frac{1}{2}(2m+m)v^2 = \frac{3}{2}mv^2 $$
弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,初}}\):
$$ U_{\text{ばね,初}} = \frac{1}{2}kx^2 $$
全力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
$$ E_{\text{初}} = K_{\text{初}} + U_{\text{ばね,初}} = \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 $$
**最終状態（Bがばねから離れた瞬間）:**
Aは静止 (\(v_{A\text{後}}=0\))。Bは速さ \(v_B = 3v\)。ばねは自然長 (\(x_{\text{後}}=0\))。
運動エネルギー \(K_{\text{後}}\):
$$ K_{\text{後}} = \frac{1}{2}(2m)(0)^2 + \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}m(9v^2) = \frac{9}{2}mv^2 $$
弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,後}}\):
$$ U_{\text{ばね,後}} = \frac{1}{2}k(0)^2 = 0 $$
全力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
$$ E_{\text{後}} = K_{\text{後}} + U_{\text{ばね,後}} = \frac{9}{2}mv^2 $$
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{9}{2}mv^2 $$

力学的エネルギー保存則の式 \( \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{9}{2}mv^2 \) を \(x\) について解きます。
\(\frac{1}{2}kx^2\) の項を左辺に残し、他の項を右辺に移項します。
$$ \frac{1}{2}kx^2 = \frac{9}{2}mv^2 – \frac{3}{2}mv^2 $$
右辺の \(mv^2\) の項をまとめます。
$$ \frac{1}{2}kx^2 = \frac{9-3}{2}mv^2 = \frac{6}{2}mv^2 = 3mv^2 $$
両辺に \(2\) を掛けて、分母を払います。
$$ kx^2 = 6mv^2 $$
両辺を \(k\) で割ります（ばね定数 \(k\) は \(0\) ではない）。
$$ x^2 = \frac{6mv^2}{k} $$
\(x\) はばねの縮み（長さ）なので \(x > 0\) です。したがって、正の平方根を取ります。
$$ x = \sqrt{\frac{6mv^2}{k}} $$
\(v^2\) をルートの外に出すと、
$$ x = v\sqrt{\frac{6m}{k}} $$

エネルギーの観点から見てみましょう。
はじめ、AさんとBさんは一緒に速さ \(v\) で動いており（運動エネルギー）、ばねは \(x\) だけ縮んでエネルギーを蓄えています（弾性エネルギー）。
はじめの運動エネルギーは \( \frac{1}{2}(2m+m)v^2 = \frac{3}{2}mv^2 \)。
はじめの弾性エネルギーは \( \frac{1}{2}kx^2 \)。
なので、はじめの全体の力学的エネルギーは \( \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \) です。

その後、Aさんは止まり、Bさんは速さ \(3v\) で動きます。ばねは自然長に戻るので、弾性エネルギーは \(0\) です。
このときの運動エネルギーは、Bさんだけのものとなり \( \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{9}{2}mv^2 \)。
全体の力学的エネルギーは \( \frac{9}{2}mv^2 \) です。
摩擦などがなければ、全体の力学的エネルギーは保存されるので、「はじめのエネルギー」＝「あとのエネルギー」です。
$$ \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{9}{2}mv^2 $$
この式を \(x\) について解くと、まず \( \frac{1}{2}kx^2 = \frac{9}{2}mv^2 – \frac{3}{2}mv^2 = \frac{6}{2}mv^2 = 3mv^2 \)。
両辺を2倍して \( kx^2 = 6mv^2 \)。
\(k\) で割って \( x^2 = \frac{6mv^2}{k} \)。
\(x\) は長さなので正の値だから、\( x = \sqrt{\frac{6mv^2}{k}} = v\sqrt{\frac{6m}{k}} \) となります。

はじめのばねの縮みは \(x = v\sqrt{\frac{6m}{k}} \, \text{[m]}\) です。
この結果は、初期に蓄えられていた弾性エネルギーと運動エネルギーの一部が、最終的にBの運動エネルギーに変換されたことを示しています。単位は \(v \cdot \sqrt{m/k} \Rightarrow \text{[m/s]} \cdot \sqrt{\text{[kg]}/(\text{[N/m]})} = \text{[m/s]} \cdot \text{[s]} = \text{[m]}\) となり、長さの単位として適切です。

問3

思考の道筋とポイント
物体Bは壁と弾性衝突します。弾性衝突では、速さが変わらず進行方向が逆になります。Bが壁から受けた力積をまず計算し、次に作用・反作用の法則を用いてBが壁に与えた力積を求めます。「力積は運動量の変化に等しい」という関係を利用します。

この設問における重要なポイント

• 「弾性衝突」の特性（速さ不変、方向反転）を理解していること。
• 力積と運動量の関係 \( \vec{I} = \Delta \vec{p} = m\vec{v}_{\text{後}} – m\vec{v}_{\text{初}} \) を正しく適用すること。
• ベクトルの向きを考慮するため、座標軸の正の向きを設定し、速度の符号に注意すること。
• 「Bが壁から受ける力積」と「Bが壁に与える力積」は作用・反作用の関係にあることを理解すること。

具体的な解説と立式
問1より、Bは壁に向かって右向きに速さ \(3v\) で進みます。
右向きを正の向き (+) とします。
衝突前のBの速度: \( v_{\text{B,初}} = +3v \)
弾性衝突なので、Bは壁から跳ね返った後、左向きに同じ速さ \(3v\) で運動します。
衝突後のBの速度: \( v_{\text{B,後}} = -3v \) (左向きなので負号)

Bが壁から受けた力積 \(I_{\text{Bが受けた}}\) は、Bの運動量の変化に等しいです。
$$ I_{\text{Bが受けた}} = p_{\text{B,後}} – p_{\text{B,初}} = m v_{\text{B,後}} – m v_{\text{B,初}} $$
$$ I_{\text{Bが受けた}} = m(-3v) – m(+3v) = -3mv – 3mv = -6mv $$
この力積の向きは負、つまり左向きです。

Bが壁に与えた力積 \(I_{\text{Bが壁に与えた}}\) は、作用・反作用の法則により、Bが壁から受けた力積と大きさが等しく、向きが反対になります。
$$ I_{\text{Bが壁に与えた}} = – (I_{\text{Bが受けた}}) = – (-6mv) = +6mv $$
この力積の向きは正、つまり右向きです。
問われているのは「力積の大きさ」なので、この値の絶対値を取ります。
力積の大きさ \( = |+6mv| = 6mv \)。

1. **衝突前後のBの速度（右向きを正とする）:**
* 衝突前の速度 \(v_{\text{B,初}} = +3v\)
* 衝突後の速度 \(v_{\text{B,後}} = -3v\) (弾性衝突で向きが反転)
2. **Bが壁から受けた力積 \(I_{\text{Bが受けた}}\) の計算:**
$$ I_{\text{Bが受けた}} = m v_{\text{B,後}} – m v_{\text{B,初}} $$
値を代入します。
$$ I_{\text{Bが受けた}} = m(-3v) – m(3v) $$
計算します。
$$ I_{\text{Bが受けた}} = -3mv – 3mv = -6mv $$
(向きは左向き)
3. **Bが壁に与えた力積 \(I_{\text{Bが壁に与えた}}\) の計算:**
作用・反作用の法則より、\(I_{\text{Bが壁に与えた}} = -I_{\text{Bが受けた}}\)。
$$ I_{\text{Bが壁に与えた}} = -(-6mv) = 6mv $$
(向きは右向き)
4. **力積の大きさを求める:**
大きさは \(|6mv| = 6mv\)。

Bさんは壁に速さ \(3v\) で右向きにぶつかり、同じ速さ \(3v\) で左向きに跳ね返ります。
右向きをプラスの方向とします。
ぶつかる前のBさんの運動量は \( m \times (+3v) = +3mv \)。
跳ね返った後のBさんの運動量は \( m \times (-3v) = -3mv \) （左向きなのでマイナス）。
Bさんの運動量の変化は、「後の運動量」\(-\)「前の運動量」なので、
\( (-3mv) – (+3mv) = -6mv \)。
これが「Bさんが壁から受けた力積」です。マイナスなので、左向きに力積を受けたことを意味します。
問題で聞かれているのは「Bさんが壁に与えた力積」です。作用・反作用の法則から、Bさんが壁に与える力積は、壁から受けた力積と大きさが同じで向きが反対になります。
なので、Bさんが壁に与えた力積は \( -(-6mv) = +6mv \)。プラスなので右向きです。
その「大きさ」は \(6mv\) です。

Bが壁に与えた力積の大きさは \(6mv \, \text{[N} \cdot \text{s]}\) で、向きは右向きです。
Bの運動量が右向きから左向きへと \(6mv\) だけ変化したことを意味し、その反作用として壁が同量の力積を右向きに受けたことになります。単位は \(\text{[kg} \cdot \text{m/s]} = \text{[N} \cdot \text{s]}\) であり、力積の単位として適切です。

問4

思考の道筋とポイント
Bが壁から跳ね返り、今度は静止しているAのばねに左向きに接触します。「ばねが最も縮んだとき」とは、AとBが一体となって同じ速度で運動する瞬間を指します（Aに対するBの相対速度が0になる）。この接触からばね最収縮までの過程では、AとBからなる系に水平方向の外力は働かないため、運動量が保存されます。

この設問における重要なポイント

• 「ばねが最も縮んだとき」 \(\Leftrightarrow\) 「AとBの速度が一致する（一体となる）」という物理的状況を理解すること。
• 運動量保存則をAとBの系に適用すること。
• Bがばねに接触する前のAの速度は \(0\)、Bの速度は壁から跳ね返った後の速度（左向きに \(3v\)）であることを把握すること。
• ここでも座標軸の正の向きを設定することが重要。

具体的な解説と立式
左向きを正の向き (+) とします。
BがAのばねに接触する直前:
* Aの速度: \(v_{A\text{前}} = 0\) (静止している)
* Bの速度: \(v_{B\text{前}} = +3v\) (壁から跳ね返り、左向きに進む)
このときのAとBの系の全運動量 \(P_{\text{前}}\) は、
$$ P_{\text{前}} = (2m)v_{A\text{前}} + mv_{B\text{前}} = (2m) \cdot 0 + m(3v) = 3mv $$
ばねが最も縮んだとき、AとBは一体となって同じ速度 \(u\) (左向きを正とする) で運動します。
このときの系の全運動量 \(P_{\text{後}}\) は、
$$ P_{\text{後}} = (2m)u + mu = (2m+m)u = 3mu $$
運動量保存則 \(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\) より、
$$ 3mv = 3mu $$

運動量保存則の式 \(3mv = 3mu\) の両辺を \(3m\) で割ります (\(3m \neq 0\))。
$$ \frac{3mv}{3m} = \frac{3mu}{3m} $$
$$ u = v $$

Bさんが壁から跳ね返って、左向きに速さ \(3v\) で進んできます。Aさんは止まっています。
ここで、左向きをプラスの方向と決めましょう。
BさんがAさんのばねにぶつかり、ばねがギュッと一番縮んだ瞬間を考えます。このとき、AさんとBさんは一瞬だけ同じ速さ \(u\) で一緒に左へ動きます。
ぶつかる前の全体の「運動の勢い（運動量）」は、Bさんだけのものです（Aさんは止まっているので）。勢いは \(m \times (+3v) = 3mv\)。
ばねが一番縮んだときの全体の「運動の勢い」は、AさんとBさんが一体（質量 \(2m+m=3m\)）となって速さ \(u\) で動いているので、\( (3m)u \)。
全体の勢いは変わらないはずなので（運動量保存則）、
$$ 3mv = 3mu $$
この式の両辺を \(3m\) で割ると、\(u = v\) となります。これが、ばねが最も縮んだときのBさん（とAさん）の速さです。

ばねが最も縮んだときのBの速さ（およびAの速さ）は \(v \, \text{[m/s]}\) であり、向きは左向きです。
このとき、Bの運動エネルギーの一部がばねの弾性エネルギーに変換されています。これは完全非弾性衝突において、運動エネルギーが最大限内部エネルギー（ここでは弾性エネルギー）に変わる状況と類似しています。単位は \(\text{[m/s]}\) で、速さとして適切です。

問5

思考の道筋とポイント
BがAのばねに接触し、ばねを押し縮め、その後再びばねが伸びてBがばねから離れるまでの一連の過程を考えます。この全過程において、AとBおよびばねからなる系には水平方向の外力が働かないため運動量が保存されます。また、ばねの弾性力は保存力であり、床は滑らかで摩擦もないため、力学的エネルギーも保存されます。これは実質的に、質量 \(m\) の物体Bが、静止していた質量 \(2m\) の物体Aに（ばねを介して）弾性衝突するのと同じ状況とみなせます。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則と力学的エネルギー保存則の両方を連立させて解く必要があること。
• あるいは、この状況が弾性衝突と等価であると見なし、反発係数 \(e=1\) の関係式と運動量保存則を連立させることも可能であること。
• 衝突前のAの速度は \(0\)、Bの速度は壁から跳ね返った後の左向き \(3v\) であること。

具体的な解説と立式
左向きを正の向き (+) とします。
**接触前（BがAのばねに接触する直前）:**
* Aの速度: \(v_{A\text{前}} = 0\)
* Bの速度: \(v_{B\text{前}} = +3v\)
系の全運動量 \(P_{\text{前}}\):
$$ P_{\text{前}} = 2m \cdot 0 + m \cdot 3v = 3mv $$
系の全力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\) (この瞬間、ばねは自然長と考えることができます):
$$ E_{\text{前}} = \frac{1}{2}(2m)(0)^2 + \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{9}{2}mv^2 $$
**分離後（Bがばねから離れた直後）:**
Aの速さを \(u_A\)、Bの速さを \(u_B\) とします（ともに左向きを正として仮定）。
系の全運動量 \(P_{\text{後}}\):
$$ P_{\text{後}} = 2m u_A + m u_B $$
系の全力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) (ばねは自然長に戻っている):
$$ E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(2m)u_A^2 + \frac{1}{2}m u_B^2 = mu_A^2 + \frac{1}{2}mu_B^2 $$
**保存則の適用:**
1. 運動量保存則 (\(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\)):
$$ 3mv = 2mu_A + mu_B $$
両辺を \(m\) で割ると:
$$ 3v = 2u_A + u_B \quad \cdots ①’ $$
2. 力学的エネルギー保存則 (\(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\)):
$$ \frac{9}{2}mv^2 = mu_A^2 + \frac{1}{2}mu_B^2 $$
両辺に \(\frac{2}{m}\) を掛けると:
$$ 9v^2 = 2u_A^2 + u_B^2 \quad \cdots ② $$
①’ より \(u_B = 3v – 2u_A\)。これを②に代入します:
$$ 9v^2 = 2u_A^2 + (3v – 2u_A)^2 $$
$$ 9v^2 = 2u_A^2 + (9v^2 – 12vu_A + 4u_A^2) $$
$$ 9v^2 = 6u_A^2 – 12vu_A + 9v^2 $$
$$ 0 = 6u_A^2 – 12vu_A $$
$$ 6u_A (u_A – 2v) = 0 $$
この方程式の解は \(u_A = 0\) または \(u_A = 2v\) です。
\(u_A = 0\) は衝突前のAの状態、あるいはBがAをすり抜けた場合に対応しますが、ばねを介した相互作用があるため、Aは何らかの速度を持つはずです。したがって、物理的に意味のある解は \(u_A = 2v\) です。

1. **運動量保存則から式を立てる:**
$$ 3v = 2u_A + u_B \quad \cdots ①’ $$
2. **力学的エネルギー保存則から式を立てる:**
$$ 9v^2 = 2u_A^2 + u_B^2 \quad \cdots ② $$
3. **連立方程式を解く:**
①’ より \(u_B = 3v – 2u_A\) を導出し、これを②に代入します。
$$ 9v^2 = 2u_A^2 + (3v – 2u_A)^2 $$
右辺の \((3v – 2u_A)^2\) を展開します: \( (3v)^2 – 2(3v)(2u_A) + (2u_A)^2 = 9v^2 – 12vu_A + 4u_A^2 \)。
$$ 9v^2 = 2u_A^2 + 9v^2 – 12vu_A + 4u_A^2 $$
両辺の \(9v^2\) を相殺し、項をまとめます。
$$ 0 = 2u_A^2 – 12vu_A + 4u_A^2 $$
$$ 0 = 6u_A^2 – 12vu_A $$
共通因数 \(6u_A\) でくくり出します。
$$ 6u_A(u_A – 2v) = 0 $$
この方程式の解は、\(6u_A = 0 \Rightarrow u_A = 0\) または \(u_A – 2v = 0 \Rightarrow u_A = 2v\)。
物理的に、衝突後にAが速度を持つと考えられるため、\(u_A = 2v\) を採用します。

Bさんが左向きに \(3v\) の速さで、止まっているAさんにばねを介してぶつかります。これはボール同士がぶつかるのと似ていて、全体の「運動の勢い」と「運動エネルギー」が両方とも保存されます（弾性衝突のようなもの）。左向きをプラスとします。
ぶつかる前のAさんの速さは \(0\)、Bさんの速さは \(3v\)。
ばねから離れた後のAさんの速さを \(u_A\)、Bさんの速さを \(u_B\) とします。

「運動の勢い」の保存から: \( (2m \times 0) + (m \times 3v) = (2m \times u_A) + (m \times u_B) \)
これを整理すると \( 3v = 2u_A + u_B \) （式ア）

「運動エネルギー」の保存から: \( \frac{1}{2}(2m)(0)^2 + \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}(2m)u_A^2 + \frac{1}{2}mu_B^2 \)
これを整理すると \( 9v^2 = 2u_A^2 + u_B^2 \) （式イ）

式アから \( u_B = 3v – 2u_A \) と変形し、これを式イに代入します。
\( 9v^2 = 2u_A^2 + (3v – 2u_A)^2 \)
展開して整理すると、\( 9v^2 = 2u_A^2 + 9v^2 – 12vu_A + 4u_A^2 \)。
\( 0 = 6u_A^2 – 12vu_A \)。
\( 6u_A(u_A – 2v) = 0 \)。
Aさんはぶつかられて動くはずなので \(u_A \neq 0\)。よって \( u_A – 2v = 0 \)、つまり \( u_A = 2v \) です。

Bがばねから離れたときのAの速さは \(2v \, \text{[m/s]}\) で、向きは左向き（最初にBが進んできた向き）です。
この結果は、軽い物体が重い物体に弾性衝突した際に、重い物体が速度を得るという一般的な現象と一致します。単位も \(\text{[m/s]}\) で適切です。

問6

思考の道筋とポイント
問5でAの速度 \(u_A\) が求まりました。この結果を、問5で導出した運動量保存則の式 ①’ (\(3v = 2u_A + u_B\)) に代入することで、Bの速度 \(u_B\) を求めることができます。\(u_B\) の符号から、Bが動く向き（左向きを正としていた）を判断します。

この設問における重要なポイント

• 問5で立てた運動量保存則の式を再利用すること。
• 求まった \(u_A\) の値を正確に代入すること。
• 得られた \(u_B\) の符号が、設定した正の向きに対してどのような運動方向を意味するのかを正しく解釈すること。

具体的な解説と立式
問5において、左向きを正として運動量保存則から得られた式は、
$$ 3v = 2u_A + u_B \quad (①’) $$
また、問5で求めたAの速度は \(u_A = 2v\) (左向き) です。
これを①’に代入します。
$$ 3v = 2(2v) + u_B $$
$$ 3v = 4v + u_B $$
これを \(u_B\) について解くと、
$$ u_B = 3v – 4v $$
$$ u_B = -v $$
\(u_B\) が負の値となったので、これは最初に設定した正の向き（左向き）とは反対の向き、つまり**右向き**に運動することを意味します。その速さの大きさは \(|-v| = v\) です。

1. **問5の結果 \(u_A = 2v\) を使用します。** (左向きを正として \(+2v\))
2. **運動量保存則の式 \(3v = 2u_A + u_B\) に \(u_A = 2v\) を代入します。**
$$ 3v = 2(2v) + u_B $$
右辺の \(2(2v)\) を計算します。
$$ 3v = 4v + u_B $$
\(u_B\) について解くために、\(4v\) を左辺に移項します。
$$ u_B = 3v – 4v $$
計算します。
$$ u_B = -v $$
3. **向きの判断:**
計算結果 \(u_B = -v\) は、左向きを正としていた座標系において、Bが負の向きに速さ \(v\) で動くことを示します。したがって、Bは**右向き**に速さ \(v\) で動きます。

(5)で、Aさんの速さは左向きに \(2v\) (\(u_A = +2v\)) とわかりました。
「運動の勢い」の保存の式 \(3v = 2u_A + u_B\) を使って、Bさんの速さ \(u_B\) を求めます。
\(u_A = 2v\) を代入すると、
\( 3v = 2 \times (2v) + u_B \)
\( 3v = 4v + u_B \)
\( u_B = 3v – 4v = -v \)
ここで、左向きをプラスの方向としていたので、\(u_B\) がマイナス \( (-v) \) になったということは、Bさんは逆向き、つまり**右向き**に速さ \(v\) で動くということです。

ばねから離れたBは、速さ \(v \, \text{[m/s]}\) で右向きに動きます。
これは、軽い物体Bがより重い物体Aに弾性衝突（ばねを介して）した結果、B自身は跳ね返されるという物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則:
  • 本質: 外力が作用しない系では、相互作用の前後で系の全運動量は一定に保たれます。ベクトル量であることに注意が必要です。
  • 適用場面: 物体の分裂（(1)糸の切断）、衝突（(4)ばね最収縮時、(5)ばねを介したAとBの相互作用）。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 本質: 保存力（弾性力や重力など）のみが仕事をする場合、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定に保たれます。
  • 適用場面: ばねの伸縮が伴う運動（(2)糸切断後のばね伸長、(5)ばねを介したAとBの相互作用）。
• 力積と運動量の関係:
  • 本質: 物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化に等しい (\(\vec{I} = \Delta \vec{p}\))。
  • 適用場面: 壁との衝突 ((3)) における力の分析。
• 弾性衝突:
  • 本質: 力学的エネルギーが保存される衝突。反発係数 \(e=1\)。
  • 適用場面: 壁との衝突 ((3))、ばねを介したAとBの理想的な相互作用 ((5))。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用パターン:
  • 複数の物体がばねを介して連結・衝突する問題全般。
  • 分裂・合体を伴う運動（ロケットの推進、台車上の人の移動など）。
  • 床や壁との多段衝突。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の設定: どの物体群を一つの「系」と見なすか。
  2. 外力の確認: 設定した系に外部から力が働いているか（特に運動方向）。外力がなければ運動量保存則を疑う。
  3. 仕事をする力の種類: 系内部で仕事をする力が保存力のみか、非保存力（摩擦など）も関与するか。保存力のみなら力学的エネルギー保存則を疑う。
  4. 現象の特定: 「分裂」「合体」「弾性衝突」「非弾性衝突」「完全非弾性衝突」「ばねの最大圧縮」など、現象特有のキーワードに注目する。
  5. 座標軸の設定: 運動方向に対して正の向きを明確に定める。特にベクトル量を扱う運動量や力積では必須。
• 特に注意すべき点:
  • 「軽いばね」：ばね自身の質量や運動量を無視できる。
  • 「滑らかな水平面」：摩擦によるエネルギー損失がない。
  • 「Aは静止した」：特定の物体の最終速度が \(0\) という強力な条件。
  • 「ばねが最も縮んだ」：衝突する二物体の速度が一時的に等しくなる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量とエネルギーの混同:
  • 誤解: 運動量が保存すればエネルギーも保存する（またはその逆）。
  • 対策: それぞれの保存則が成立する条件を正確に理解する。非弾性衝突では運動量は保存するが力学的エネルギーは保存しない。
• 符号のミス:
  • 誤解: 速度や力積の向きを考慮せず、すべて正として計算してしまう。
  • 対策: 必ず座標軸を設定し、ベクトルの向きを符号で表現する習慣をつける。特に跳ね返りがある場合は注意。
• 作用・反作用の誤用:
  • 誤解: AがBに及ぼす力積と、BがAに及ぼす力積を同じ向きとしてしまう。
  • 対策: 作用・反作用の法則は「大きさが等しく向きが反対」であることを常に意識する (問3)。
• 「最も縮んだ」の解釈ミス:
  • 誤解: ばねが最も縮んだ後、物体が静止すると考える。
  • 対策: 「最も縮んだ」は相対速度が0になる瞬間であり、系全体は運動している場合がある (問4)。
• 方程式の解の選択ミス:
  • 誤解: 2次方程式の解が2つ出た場合、どちらでも良いと考える。
  • 対策: 各解が物理的にどのような状況に対応するかを吟味し、問題の文脈に合う方を選ぶ (問5)。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図の描き方:
  1. 状況変化図: 各イベントの「前」と「後」の状態を、物体、速度ベクトル、ばねの状態などを分けて描く。これにより、どの法則を適用すべきかが見えやすくなる。
  2. 運動量ベクトル図: 特に衝突や分裂の前後で、各物体の運動量ベクトルを矢印で図示し、それらのベクトル和が保存される様子を視覚化する。
  3. エネルギー収支図: 各状態での運動エネルギーと弾性エネルギーの値を棒グラフなどで示し、それらの和である力学的エネルギーがどのように変化（または保存）するかを追う。
• 図を描く際の注意点:
  • 速度、力の向きは矢印で正確に。長さで大きさを表現するのも有効。
  • 座標軸（正の向き）を必ず明記する。
  • ばねの自然長、縮み、伸びを区別して描く。
  • 質量や既知の速度などの情報を図に書き込む。
  • 複雑な現象も、単純化・モデル化して本質を捉える。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量保存則 \( \sum m\vec{v}_{\text{初}} = \sum m\vec{v}_{\text{後}} \):
  • 選択根拠: 系に働く外力が無視できる（または内力のみが働く）場合、運動の前後で運動量は不変。
  • 適用箇所: (1)糸が切れてAとBが分裂する過程、(4)AとBが一体となる「ばね最収縮時」、(5)AとBがばねを介して弾性的に相互作用する過程。これら全てで水平方向の外力は0。
• 力学的エネルギー保存則 \( E_{\text{初}} = E_{\text{後}} \):
  • 選択根拠: 保存力（弾性力、重力など）のみが仕事をする場合。非保存力（摩擦力など）が仕事をしない場合。
  • 適用箇所: (2)ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに変わる過程、(5)ばねを介したAとBの相互作用（弾性衝突と等価）。床は滑らか。
• 力積と運動量の関係 \( \vec{I} = \Delta \vec{p} \):
  • 選択根拠: 短い時間に力が作用する「衝突」で、力の詳細が不明でも運動量の変化から力積が評価できる。
  • 適用箇所: (3)Bと壁の衝突。Bの運動量変化から、Bが受けた力積、そしてBが壁に与えた力積を求める。
• 常に「なぜこの法則が今使えるのか？」という根拠を意識することで、公式の丸暗記ではない真の理解に繋がります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) Bの速度 \(v_B\): A+B+ばね系で運動量保存。初期状態 ((A+B)が\(v\)) \(\rightarrow\) 終状態 (A静止、Bが\(v_B\))。
2. (2) ばねの縮み \(x\): A+B+ばね系で力学的エネルギー保存。初期状態 (運動エネルギー + 弾性エネルギー\(\frac{1}{2}kx^2\)) \(\rightarrow\) 終状態 (Bの運動エネルギー、A静止、ばね自然長)。(1)の結果を利用。
3. (3) 壁への力積: B単独で運動量変化を計算 (\(\Delta p = I_{\text{壁からBへ}}\))。作用・反作用で \(I_{\text{Bから壁へ}}\) を求める。Bは弾性衝突で速度反転。
4. (4) ばね最収縮時の速度 \(u\): 壁から跳ね返ったBが静止したAに接触。A+B系で運動量保存。初期状態 (A静止、Bが\(3v\)) \(\rightarrow\) 終状態 (AとBが一体で速度\(u\))。「最も縮んだ」は相対速度0。
5. (5) ばね分離後のAの速度 \(u_A\): A+B系で運動量保存と力学的エネルギー保存（弾性衝突と等価）。初期状態 (A静止、Bが\(3v\)) \(\rightarrow\) 終状態 (Aが\(u_A\)、Bが\(u_B\))。2つの保存則を連立。
6. (6) ばね分離後のBの動き: (5)で得られた \(u_A\) を運動量保存則の式に代入し \(u_B\) を計算。符号から向きを判断。

このように、一連の物理現象をステップに分け、各ステップで適切な法則を選び、前の結果を次に繋げていく論理構成が重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の整合性チェック: 計算の各段階で、出てくる数値や式の単位が物理的に正しいか（例：速度なら[m/s]、エネルギーなら[J]）を確認する。
• 符号の厳密な扱い: 速度、運動量、力積などのベクトル量では、設定した座標軸の正負の向きを常に意識し、符号ミスを防ぐ。特に衝突による速度の反転に注意。
• 文字式の活用: できるだけ計算の最後まで文字式のまま進め、最後に数値を代入する。これにより、途中の物理的意味が見えやすくなり、ミスも発見しやすくなる。
• 式の展開・整理は丁寧に: 特に2次方程式などが出てくる場合、展開、移項、因数分解などの計算過程を省略せず、一つ一つ確認しながら行う。
• 検算の習慣:
  • 別の解法（例：(5)で反発係数の式を使う）で同じ結果が出るか確認する。
  • 極端な条件（例：質量の一方が非常に大きい、ばね定数が非常に小さいなど）を想定し、結果が直感に合うか確かめる。
• 日頃の練習: 複雑な計算を含む問題でも、時間をかけて丁寧に解く練習を積む。間違えた箇所は必ず原因を分析する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との照らし合わせ:
  • (1) \(v_B=3v\): Aが静止した分、軽いBが速くなるのは自然。
  • (2) \(x=v\sqrt{6m/k}\): \(v, m\) が大きいほど、\(k\) が小さいほど \(x\) が大きくなるのは妥当。
  • (3) \(I=6mv\): Bの運動方向が完全に反転するので、大きな力積が必要。
  • (4) \(u=v\): 質量 \(m\) の物体が \(3v\) で、質量 \(2m\) の静止物体に衝突し一体化。運動量 \(3mv\) を質量 \(3m\) で分けるので速度 \(v\) は妥当。
  • (5) \(u_A=2v\): 軽い物体B(\(m\))が重い物体A(\(2m\))に弾性衝突。AはBの初期運動量の一部を受け取り前進。
  • (6) Bは右へ動く (\(u_B=-v\)): 軽い物体が重い物体に弾性衝突した後、跳ね返されるのは自然な挙動。
• 単位の一貫性: 各解答の単位が求められる物理量の単位と一致しているか再確認する（本解説では各所で確認済み）。
• 既知の公式との比較（可能な場合）:
  • 問4は完全非弾性衝突の速度公式 \(V = (m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)\) と一致。
  • 問5、6は1次元弾性衝突の速度公式と結果が一致することを確認できる。
• これらの吟味を通じて、単に答えを出すだけでなく、物理現象としての理解を深めることができます。

問題32 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、質量\(M\)の台と質量\(m\)の小物体Pの運動を扱います。台の上面は摩擦のない曲面と摩擦のある水平面で構成されています。(1)では台を固定した場合の小物体の運動と摩擦について、(2)では台が自由に動ける場合の小物体と台の相互作用について、エネルギー保存則と運動量保存則を駆使して解析します。特に台が動く場合は、系全体の運動量とエネルギーに着目することがポイントです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、力学的エネルギー保存則と運動量保存則という、高校物理における根幹をなす二大法則を、様々な状況設定の中で的確に使い分ける能力を問うています。特に、(1)のように対象が一つ（小物体P）で非保存力（摩擦力）が関わる場合と、(2)のように複数の物体（小物体Pと台）が相互作用し合い、系全体で保存則を考える場合の違いを明確に意識することが大切です。

問(1)

思考の道筋とポイント
台が固定されているため、小物体Pの運動のみを考えます。Pが点Aから点Cまで運動する間のエネルギー変化に着目します。点AでのPの力学的エネルギー（位置エネルギー）が、点Bから点Cへ移動する間に動摩擦力によって仕事をされ、点Cで完全に失われる（運動エネルギーも位置エネルギーも\(0\)になる）と考えます。
この設問における重要なポイント

• 小物体Pのエネルギー変化のみを追跡する。
• 点Aでの初期エネルギーは位置エネルギー \(mgh\)。
• 区間BCで動摩擦力がする仕事は \(-\mu mg l\)。
• 点Cで停止するので最終的な運動エネルギーは\(0\)。
• 「仕事とエネルギーの関係」 \(E_{\text{初}} + W_{\text{非保存力}} = E_{\text{後}}\) を適用する。

具体的な解説と立式
点Aにおける小物体Pの力学的エネルギー \(E_A\) は、点Bを通る水平面を位置エネルギーの基準面とすると、初速度が\(0\)であるため、位置エネルギーのみとなります。
$$ E_A = mgh $$
小物体Pが区間BC（距離\(l\)）を滑る際、動摩擦力が働きます。水平面なので、垂直抗力 \(N\) は重力 \(mg\) に等しく \(N=mg\)。したがって、動摩擦力の大きさは \(f = \mu N = \mu mg\) です。
この動摩擦力がする仕事 \(W_{\text{摩擦}}\) は、運動方向と逆向きなので負となり、
$$ W_{\text{摩擦}} = – (\text{動摩擦力の大きさ}) \times (\text{距離}) = -\mu mg l $$
点Cで小物体Pは停止するので、点Cでの力学的エネルギー \(E_C\) は\(0\)です（運動エネルギー\(0\)、位置エネルギーも基準面で\(0\)）。
仕事とエネルギーの関係より \(E_A + W_{\text{摩擦}} = E_C\) となるので、
$$ mgh – \mu mg l = 0 $$

エネルギーに関する等式 \(mgh – \mu mg l = 0\) を変形すると、初期の位置エネルギーが摩擦によって失われたエネルギー（仕事の大きさ）に等しいことを示す、以下の式が得られます。
$$ mgh = \mu mg l $$
この式の両辺に共通する \(mg\) で割ります。
$$ h = \mu l $$
次に、両辺を距離 \(l\) で割ります。
$$ \mu = \frac{h}{l} $$

小物体Pが点Aで持っているのは、高さ \(h\) による位置エネルギー \(mgh\) です。このPが、摩擦のない曲面ABを滑り降り、摩擦のある面BCを距離 \(l\) だけ滑って点Cで止まります。この間に、動摩擦力がPのエネルギーを奪い去ります。結局、点Aでの位置エネルギー \(mgh\) が、すべてBC間の摩擦によって熱エネルギーなどに変わったということなので、「はじめのエネルギー = 失われたエネルギー」という式、\(mgh = \mu mg l\) が成り立ちます。この式から \(\mu\) を求めると、\(\mu = \displaystyle\frac{h}{l}\) となります。

BC間の水平面とPの間の動摩擦係数 \(\mu\) は \( \displaystyle \mu = \frac{h}{l} \) です。
これは無次元の量であり、動摩擦係数として適切です。\(h\) が大きい（初期エネルギーが大きい）ほど、または \(l\) が小さい（短い距離で止まる）ほど、\(\mu\) が大きくなるという関係は物理的に妥当です。

問(2) (ア)

思考の道筋とポイント
台が床の上を摩擦なく自由に動ける場合、小物体Pと台Mを一つの「系」として考えます。
1. Pが点Aから点Bへ移動する間、この系には水平方向の外力が働きません（床と台の間に摩擦がなく、Pと台が及し合う力は内力）。したがって、系の水平方向の総運動量は保存されます。初期状態（P放出前）ではPも台も静止しているので、全運動量は\(0\)です。
2. Pが点Aから点Bへ移動する間、Pと台の間には摩擦がありません（曲面AB）。系全体の力学的エネルギー（Pの位置エネルギー、Pの運動エネルギー、台の運動エネルギーの和）は保存されます。
この設問における重要なポイント

• 小物体Pと台Mを一つの「系」として捉えること。
• 運動量保存則はベクトル量なので、正の向きを設定し、速度の符号に注意する。初期の全運動量は\(0\)。
• 力学的エネルギー保存則を系全体で考える。初期エネルギーはPの位置エネルギーのみ。後のエネルギーはPと台の運動エネルギーの和。
• 問題文で定義されている速度 \(v, V\) は床から見た（絶対）速度である。

具体的な解説と立式
小物体Pと台Mを合わせた系を考えます。右向きを正の向きとします。

1. 水平方向の運動量保存則:

Pを放す前、Pも台も静止しているので、系の初期の全水平運動量 \(P_{\text{水平,初}}\) は\(0\)です。
Pが点Bに達したとき、Pの床に対する速度は \(v\)、台の床に対する速度は \(V\) です。このときの系の全水平運動量 \(P_{\text{水平,後}}\) は \(mv + MV\) です。
水平方向には外力が働かないため、運動量保存則より \(P_{\text{水平,初}} = P_{\text{水平,後}}\) なので、
$$ 0 = mv + MV \quad \cdots ① $$

2. 力学的エネルギー保存則:

Pを放す前（点Aにあるとき）、系の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\) はPの位置エネルギーのみです。
$$ E_{\text{初}} = mgh $$
Pが点Bに達したとき、系の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、Pの運動エネルギーと台の運動エネルギーの和です。
$$ E_{\text{後}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 $$
Pが摩擦のない曲面ABを滑り降りる間、系全体の力学的エネルギーは保存されるため \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) なので、
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 \quad \cdots ② $$

上記で立式した2つの式 ① と ② が、\(v\) と \(V\) が満たすべき関係式です。

台が動く場合、Pと台をセットで考えます。

1つ目の関係式（運動量の保存）：

はじめ、Pも台も止まっているので、全体の運動の勢い（運動量）は \(0\) です。PがB点に来たとき、全体の運動量は \(mv + MV\) です。Pと台の間には力が働きますが、これはグループ内部の力です。台と床の間には摩擦がないので、グループ全体としては横方向に外から力が加わっていません。なので、運動量は保存されます。つまり、\(0 = mv + MV\)。

2つ目の関係式（エネルギーの保存）：

はじめ、全体のエネルギーはPの位置エネルギー \(mgh\) だけです。PがB点に来たとき、全体のエネルギーはPの運動エネルギー \( \frac{1}{2}mv^2 \) と台の運動エネルギー \( \frac{1}{2}MV^2 \) の合計になります。Pが滑る曲面ABには摩擦がないので、全体の力学的エネルギーは保存されます。つまり、\(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2\)。

\(v\)と\(V\)が満たすべき関係式は以下の2つです。

1. 運動量保存則: \(0 = mv + MV\)
2. 力学的エネルギー保存則: \(mgh = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2\)

これらは、台も動く複雑な系において、基本的な保存則がどのように適用されるかを示す重要な式です。

問(2) (イ)

思考の道筋とポイント
(ア)で導出した2つの関係式 ① (\(0 = mv + MV\)) と ② (\(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2\)) を連立方程式として解き、未知数である \(v\) と \(V\) を、与えられた文字 \(h, m, M, g\) を用いて表します。
この設問における重要なポイント

• 連立方程式の解法（主に代入法）を正確に実行する計算能力。
• 式変形の過程で、符号や係数、特に二乗の扱いに注意すること。
• 最終的に求める \(v\) や \(V\) の物理的な意味（速度の向きなど）を考慮し、必要であれば平方根の符号を吟味する。

具体的な解説と立式
(ア)で得られた関係式を再掲します。
$$ 0 = mv + MV \quad \cdots ① $$
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 \quad \cdots ② $$
これらの連立方程式を解く方針として、まず式①から一方の変数（例：\(V\)）をもう一方の変数（例：\(v\)）で表し、それを式②に代入して変数を一つ消去します。

まず、式①を変形して \(V\) を \(v\) で表します。
$$ V = -\frac{m}{M}v \quad \cdots ③ $$
次に、この式③を式②に代入します。
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\left(-\frac{m}{M}v\right)^2 $$
この式を \(v\) について解いていきます。
$$
\begin{aligned}
mgh &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\left(\frac{m^2}{M^2}v^2\right) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{m^2}{M}v^2
\end{aligned}
$$
右辺を \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) でくくります。
$$
\begin{aligned}
mgh &= \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{M+m}{M}\right)
\end{aligned}
$$
両辺の \(m\) を消去し、\(v^2\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
gh &= \frac{1}{2}v^2 \left(\frac{M+m}{M}\right) \\[2.0ex]
v^2 &= 2gh \cdot \frac{M}{M+m} = \frac{2Mgh}{M+m}
\end{aligned}
$$
Pは点Bに達する際には右向きに動くと考えられるため \(v > 0\) です。したがって、
$$ v = \sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}} $$
この \(v\) の結果を式③に代入して \(V\) を求めます。
$$ V = -\frac{m}{M}v = -\frac{m}{M}\sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}} $$

(ア)で得た2つの式、\(0 = mv + MV\) と \(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2\) を使います。
1つ目の式から \(V = -\frac{m}{M}v\) となります。これを2つ目の式の \(V\) に代入します。すると、式の中の文字が \(v\) だけになるので、計算を進めて \(v\) を求めることができます。計算すると、\(v = \sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}\) となります。
次に \(V\) ですが、\(V = -\frac{m}{M}v\) だったので、求めた \(v\) を代入して \(V = -\frac{m}{M}\sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}\) となります。このマイナス符号は、台がPと反対の左向きに動くことを意味します。

Pの床に対する速度 \(v\) と台の床に対する速度 \(V\) はそれぞれ、
$$ v = \sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}} $$
$$ V = -\frac{m}{M}\sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}} $$
と表されます。
\(v\) は正の値でPが右向き、\(V\) は負の値で台が左向きに動くことを示しており、運動量保存則から直感的に理解できる結果です。
例えば、台が非常に重い (\(M \gg m\)) 場合を考えると、\(M+m \approx M\) となり、\(v \approx \sqrt{\frac{2Mgh}{M}} = \sqrt{2gh}\) となります。これは台が固定されている場合の結果と一致します。また、このとき \(V \approx 0\) となり、台はほとんど動かないことになり、これも物理的に妥当です。

問(2) (ウ)

思考の道筋とポイント
Pが点Bを通り過ぎ、台の摩擦がある水平面上で運動し、最終的に「台に対して停止」する状況を考えます。「台に対して停止」とは、Pと台が一体となって同じ速度で運動するようになることを意味します。
Pと台からなる系全体には、PがAを離れてからこの最終状態に至るまで、水平方向の外力は働いていません（床と台の間は摩擦なし、Pと台の間の摩擦力は内力）。したがって、系の全水平運動量は最初から最後まで保存されます。
初期状態（Pを放す前）の全運動量は\(0\)でした。したがって、Pが台に対して停止し一体となったときの全運動量も\(0\)でなければなりません。
この設問における重要なポイント

• 「台に対して停止」＝「Pと台の速度が等しくなる（一体化する）」と理解すること。
• 系全体の水平方向の運動量が、運動開始から最終状態まで一貫して保存されることを認識すること。
• 初期の全運動量が\(0\)であったため、最終的な一体となった系の全運動量も\(0\)になること。

具体的な解説と立式
小物体Pと台Mを合わせた系において、Pを放す前の初期状態では、Pも台も静止しており、系の全水平運動量は\(0\)でした。
Pが運動を開始し、やがて「台に対して停止」したとき、Pと台は一体となって、ある共通の最終速度 \(u_{\text{最終}}\) で運動すると考えられます。
この全過程を通じて、系全体としては水平方向の外力は働いていません。したがって、系の全水平運動量は保存されます。
初期の全水平運動量は\(0\)であったので、Pと台が一体となったときの全水平運動量も\(0\)でなければなりません。
$$ (\text{初期の全運動量}) = (\text{最終の全運動量}) $$
$$ 0 = (m+M)u_{\text{最終}} $$

運動量保存則の式 \(0 = (m+M)u_{\text{最終}}\) を解きます。
質量 \((m+M)\) は\(0\)ではないので、この式を満たすためには、
$$ u_{\text{最終}} = 0 $$
これは、Pが台に対して停止したとき、Pと台は一体となって、床に対しても静止することを意味します。これを踏まえて選択肢を吟味すると、④が正しいとわかります。

Pさんと台さんをひとまとめのグループとして考えます。一番はじめ、グループ全体の横方向の「運動の勢い（運動量）」は \(0\) でした。Pさんが台の上を滑ったり、摩擦でこすれたりしている間も、グループ全体としては横方向に外から力が加わっていないので、運動の勢いはずっと \(0\) のままです。「Pが台に対して停止した」とは、Pさんと台さんが一体になったということです。運動の勢いが \(0\) のまま変わらないのですから、一体になった後も、その速さは \(0\)、つまり止まっているはずです。

Pが台に対して停止したとき、台も床に対して停止します。これは、Pと台からなる系全体の初期運動量がゼロであり、かつ水平方向に外力が作用しないため、最終的にPと台が一体となったときの運動量もゼロでなければならないからです。したがって、選択肢④がこの結論と合致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 仕事とエネルギーの関係 & 運動量保存則の的確な使い分け:
  • 核心: この問題の成否は、「どの場面で、どの法則が使えて、どの法則が使えないのか」を正確に判断できるかにかかっています。特に「系」の設定と、それに伴う「外力」「内力」「非保存力の仕事」の有無を見抜くことが重要です。
  • 理解のポイント:
    1. 問(1) [台固定]: 考察対象は小物体Pのみ。動摩擦力が仕事をする（非保存力が働く）ため、力学的エネルギーは保存されません。したがって、「仕事とエネルギーの関係（\(E_{\text{初}} + W_{\text{非保存力}} = E_{\text{後}}\)）」を適用します。
    2. 問(2) [台可動]: 考察対象は小物体Pと台Mを合わせた「系」全体です。
       • 運動量保存則: 床と台の間に摩擦がないため、系には水平方向の「外力」が働きません。Pと台の間の力（垂直抗力や摩擦力）は「内力」なので、系全体の水平運動量は、運動の開始から終了まで一貫して保存されます。
       • 力学的エネルギー保存則: Pが摩擦のない曲面ABを滑る間は、系に非保存力の仕事がないため、系全体の力学的エネルギーは保存されます。しかし、Pが摩擦のある水平面を滑り始めると、内力である摩擦力が仕事をして熱を発生させるため、系全体の力学的エネルギーは保存されなくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 台上で物体が運動し、台も反作用で動く問題: 台車の上を人が歩く、ボートから人が飛び降りる、砲弾を発射する大砲など、作用・反作用で複数の物体が動く問題全般に応用できます。
  • 分裂・合体を含む運動: 宇宙空間でのロケットの切り離しや、衝突して一体となる物体など、質量が変化したり、物体がくっついたり離れたりする問題にも、運動量保存則の考え方がそのまま使えます。
  • 摩擦がある面とない面が組み合わさった運動: 運動のフェーズごとに適用すべき法則が変わる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の設定: まず「何を一つのグループ（系）として見るか」を決めます。台が固定されているか、自由に動けるかで、系の設定が根本的に変わります。
  2. 力の分析（内力か外力か）: 系を設定したら、その系に働く力をすべて書き出し、「系外部からの力（外力）」と「系内部の物体同士で及ぼし合う力（内力）」に分類します。運動量保存則が使えるかどうかは、外力の有無で決まります。
  3. エネルギーの分析（保存力か非保存力か）: 力が仕事をする場合、その力が「保存力（重力、弾性力など）」か「非保存力（摩擦力、空気抵抗など）」かを見極めます。力学的エネルギーが保存されるかどうかは、非保存力が仕事をするかで決まります。
  4. 速度の基準点: 「床に対する速度」なのか「台に対する速度」なのか、問題文を注意深く読み、速度の基準（座標系）を明確に意識することが極めて重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量保存則と力学的エネルギー保存則の適用条件の混同:
  • 誤解: 運動量が保存されるなら、力学的エネルギーも必ず保存される（またはその逆）と思い込んでしまう。
  • 対策: この2つの法則は独立しています。それぞれの保存条件（外力の有無、非保存力の仕事の有無）を個別に判断する癖をつけましょう。問(2)(ウ)のように、摩擦によって力学的エネルギーは失われるが、水平方向の運動量は保存される、という状況は頻出です。
• 「台に対して停止」の解釈ミス:
  • 誤解: 小物体Pが「床に対して」静止する(\(v=0\))と早合点してしまう。
  • 対策: 「○○に対して」という相対的な表現に注意します。「台に対して停止」とは、Pと台の相対速度が\(0\)になること、つまりPと台が一体となって同じ速度で動くことを意味します。
• 内力と外力の区別が曖昧:
  • 誤解: Pと台の間で働く摩擦力を「外力」とみなし、運動量保存則の適用をためらってしまう。
  • 対策: 「系」として設定した物体群の内部で及ぼし合う力は、すべて「内力」です。内力は系全体の運動量を変化させません。運動量保存則の適否は、あくまで「外力」の有無で判断します。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 問(2)(イ)のような文字式の連立方程式で、代入や展開の過程で符号や係数を間違える。
  • 対策: 途中式を省略せず、一行ずつ丁寧に進めることが最も確実です。特に、\((-\frac{m}{M}v)^2\) のような二乗の計算では、符号と係数の両方に注意が必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事とエネルギーの関係 \(E_{\text{初}} + W_{\text{非保存力}} = E_{\text{後}}\):
  • 選定理由: 問(1)のように、動摩擦力という「非保存力」が明らかに仕事をする状況で、運動の前後でのエネルギー変化を追跡するため。
  • 適用根拠: 力学的エネルギーが保存されない状況で、エネルギーの収支を定量的に記述するための最も基本的な法則だからです。
• 運動量保存則 \(P_{\text{初}} = P_{\text{後}}\):
  • 選定理由: 問(2)のように、複数の物体が相互作用する（力を及ぼし合う）系で、特定の方向に「外力」が働かない場合。
  • 適用根拠: 床が滑らかであるため、Pと台からなる系には水平方向の外力が作用しません。したがって、運動のどの段階であっても、系全体の水平運動量の合計は一定に保たれるという物理法則が適用できます。
• 力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\):
  • 選定理由: 問(2)(ア)のように、系に「非保存力」が仕事をしない区間での運動を解析するため。
  • 適用根拠: Pが滑る曲面ABには摩擦がなく、系内で仕事をする力は保存力である重力のみです。したがって、Pの位置エネルギーが、Pと台の運動エネルギーに過不足なく変換されるという法則が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 速度や運動量はベクトル量なので、設定した座標軸に対して向きを符号（プラス・マイナス）で表現します。問(2)(イ)で得られる台の速度\(V\)のマイナス符号は、「台が左向きに動く」という物理的に極めて重要な意味を持ちます。計算過程で符号を落とさないよう細心の注意を払う。
  • 日頃の練習: 式を立てる前に、必ず図を描いて座標軸の正の向きを明記する習慣をつける。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: \(m\)と\(M\)、\(v\)と\(V\)など、似た文字を混同しないように丁寧に書くことが基本です。問(2)(イ)の計算では、\(\left(1 + \frac{m}{M}\right)\) を \(\left(\frac{M+m}{M}\right)\) のように通分して整理するステップが、式を見通し良くする上で重要です。
  • 日頃の練習: 複雑な文字式でも、共通因数でくくる、通分するなど、式をよりシンプルな形に整理する練習を積む。
• 検算の習慣:
  • 特に注意すべき点: 計算が終わった後、得られた答えが物理的に妥当かを見直すことが非常に有効です。
  • 日頃の練習: 「もし台が無限に重かったら(\(M \to \infty\))どうなるか？」といった極端な場合を考えてみましょう。問(2)(イ)の答えで \(M \to \infty\) とすると、\(v \to \sqrt{2gh}\)（台固定時と同じ）、\(V \to 0\) となり、直感と一致します。このような簡単なチェックで、大きな計算ミスを発見できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 動摩擦係数\(\mu\): \(\mu = \displaystyle\frac{h}{l}\)。
    • 吟味の視点: \(h\) が大きい（＝初期エネルギーが大きい）ほど、または \(l\) が小さい（＝短い距離で止まる）ほど、摩擦が強い(\(\mu\)が大きい)ことを示しており、直感と一致します。
  • (2)(イ) 速度\(v, V\): \(V = -\frac{m}{M}v\)。
    • 吟味の視点: Pが右(\(v>0\))に動くと、台は左(\(V<0\))に動く。また、速度の大きさの比は質量の逆比 \(|V|/|v| = m/M\) となっており、運動量保存則の結果として完全に妥当です。
  • (2)(ウ) 最終状態: 全体が静止する。
    • 吟味の視点: 水平方向に外力がなく、初期運動量がゼロの系が、内部の摩擦力（エネルギーを散逸させる力）によって最終的に一体となる場合、その終着点は全体が静止した状態である、というのは物理的に極めて自然な結論です。
• 単位によるチェック:
  • \(\mu\)の単位: \(\mu = h/l\) は [長さ]/[長さ] なので、正しく無次元数になっています。
  • \(v\)の単位: \(v = \sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}\) のルートの中は、\(\displaystyle\frac{[\text{kg}][\text{m/s}^2][\text{m}]}{[\text{kg}]}\) となり、単位は \([\text{m}^2/\text{s}^2]\) です。したがって、ルートを外すと \([\text{m/s}]\) となり、速度の単位として正しいことが確認できます。

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問題33 (東京電機大+大阪公立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平で滑らかな床の上で、小物体Pと滑らかな曲面を持つ台が相互作用する状況を扱います。はじめPに初速を与えると、Pは台の曲面を上り、その反作用で台も動き出します。Pが最高点に達する瞬間や、再び床面に戻った後の速度など、運動の各段階における物理量を、運動量保存則と力学的エネルギー保存則を用いて解析していきます。台が動くため、2物体を一つの「系」として捉える視点が重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、複数の物体が相互作用しながら運動する系において、運動量保存則と力学的エネルギー保存則という物理学の基本法則をいかに適用するかを問うています。特に、台自身も運動するという点がポイントで、小物体と台を一つのシステムとして捉え、それぞれの法則が成り立つ条件を正確に判断することが求められます。

問(1)

(ア) 台の速さはいくらか。