問題31 (東洋大＋福岡大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)(2)(4)(5)の別解: 微積分を用いた体系的解法
- 模範解答が運動量保存則やエネルギー保存則を自明のものとして適用するのに対し、別解では運動方程式を時間および位置で積分することで、これらの保存則が成立する物理的根拠を数学的に導出します。
- 設問(1)(2)(4)(5)の別解: 微積分を用いた体系的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理法則の体系的理解: 「公式だから当てはめる」のではなく、ニュートンの運動方程式という根本原理から保存則が導かれる過程を理解することで、物理学の論理構造を深く把握できます。
- 適用範囲の判断: 内力のみが働く系で運動量が保存される理由や、保存力が仕事をする系でエネルギーが保存される理由を、数式を通じて厳密に理解できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「運動量保存則と力学的エネルギー保存則の融合」です。ばねによる分裂、壁との衝突、そして再接触後の相互作用という一連のプロセスを通じて、保存則の適用条件と相対運動の理解が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 運動量保存則: 水平方向の外力が働かない（または無視できる）場合、系全体の運動量の総和は保存されます。
- 力学的エネルギー保存則: 摩擦や非保存力が仕事をしない場合、系全体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋弾性エネルギー）は保存されます。
- 力積と運動量の関係: 物体が受ける力積は、その物体の運動量の変化に等しいです。
- 相対運動と重心速度: 2物体が相互作用する場合、重心速度や相対速度に着目すると現象が見やすくなります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、糸が切れる前後の変化に着目し、AとBを一体の系として保存則を適用します。
- (3)では、B単独の運動に着目し、壁との衝突による運動量の変化から力積を求めます。
- (4)以降では、再びAとBが相互作用するため、系全体での保存則を連立させて解きます。特に(4)では「最も縮んだ＝相対速度 \(0\)」という条件を利用します。
問(1)
思考の道筋とポイント
糸が切れた直後の現象を扱います。
水平面はなめらかで摩擦がなく、水平方向の外力は働きません。
系全体（物体Aと物体B）に着目すると、内力（ばねの弾性力）のみが作用して分裂するため、運動量保存則が成立します。
この設問における重要なポイント
- 系全体で見る: AとBを一つの系として捉えます。
- 外力の有無: 水平方向には外力が働いていないため、全運動量は保存されます。
- 状態の変化:
- 前: AとBは一体となって速さ \(v\) で右へ進んでいます。
- 後: Aは静止し、Bはある速さで右へ進んでいます。
具体的な解説と立式
右向きを正の向きとします。
求めるBの速さを \(v_{\text{B}}\) とします。
分裂前の全運動量と、分裂後の全運動量の和が等しいという式（運動量保存則）を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{分裂前の全運動量}) &= (\text{分裂後の全運動量}) \\[2.0ex]
2m \cdot v + m \cdot v &= 2m \cdot 0 + m \cdot v_{\text{B}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動量保存則: \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v’_1 + m_2 v’_2\)
立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
3mv &= m v_{\text{B}} \\[2.0ex]
v_{\text{B}} &= 3v
\end{aligned}
$$
AとBが一緒に動いていた勢い（運動量）の合計は、糸が切れてバラバラになっても変わりません。
Aが急に止まってしまったので、その分の勢いを全てBが引き継ぐことになります。
AはBの2倍の質量を持っていたので、その分の勢いが加わって、Bは元の速さの3倍ものスピードで飛び出していくことになります。
Bの速さは \(3v\) です。
質量 \(2m\) のAが持っていた運動量 \(2mv\) が、質量 \(m\) のBに移ったため、Bの速度は \(2v\) だけ増加し、元の \(v\) と合わせて \(3v\) になったと解釈でき、妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
糸が切れる瞬間（初め）と、Aが静止してBがばねから離れた瞬間（終わり）の間で、力学的エネルギー保存則を適用します。
水平面はなめらかなので摩擦によるエネルギー損失はありません。
この設問における重要なポイント
- 状態の比較:
- 初め: AとBは速さ \(v\)、ばねは縮み \(x\) の状態。
- 終わり: Aは速さ \(0\)、Bは速さ \(3v\)、ばねは自然長（縮み \(0\)）の状態。
- エネルギーの内訳: 運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの総和を考えます。
具体的な解説と立式
はじめのばねの縮みを \(x\) とします。
（初めの全エネルギー）=（終わりの全エネルギー）の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\left( \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}kx^2 \right) &= \left( \frac{1}{2}(2m) \cdot 0^2 + \frac{1}{2}m (3v)^2 + 0 \right)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K_{\text{前}} + U_{\text{前}} = K_{\text{後}} + U_{\text{後}}\)
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
- 弾性エネルギー: \(U = \frac{1}{2}kx^2\)
左辺を整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 &= \frac{9}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
\(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}kx^2 &= \frac{9}{2}mv^2 – \frac{3}{2}mv^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}kx^2 &= 3mv^2 \\[2.0ex]
x^2 &= \frac{6m}{k}v^2
\end{aligned}
$$
\(x > 0\) より、
$$
\begin{aligned}
x &= \sqrt{\frac{6m}{k}v^2} \\[2.0ex]
&= v \sqrt{\frac{6m}{k}}
\end{aligned}
$$
最初にばねに蓄えられていたエネルギーが解放され、Bを加速させるエネルギーに使われました。
「最初の運動エネルギー ＋ ばねのエネルギー」が、「最後のBのすごい速さの運動エネルギー」に変わったという計算です。
ばねの縮み \(x\) は \(v \sqrt{\frac{6m}{k}}\) です。
ばね定数 \(k\) が大きい（硬い）ほど縮み \(x\) は小さくて済み、質量 \(m\) や速度 \(v\) が大きいほど大きなエネルギーが必要なため \(x\) は大きくなるという傾向は、物理的直感と一致します。
問(3)
思考の道筋とポイント
Bが壁と衝突する現象を扱います。
「弾性衝突」という言葉から、反発係数が \(1\) であること、つまり速さが変わらずに向きだけが逆になることを読み取ります。
力積は「運動量の変化」に等しいことを利用して計算します。
この設問における重要なポイント
- 速度の符号: 右向きを正とすると、衝突前の速度は \(+3v\)、衝突後の速度は \(-3v\) です。
- 力積の定義: \((\text{力積}) = (\text{後の運動量}) – (\text{前の運動量})\)
- 作用・反作用: Bが壁から受けた力積と、Bが壁に与えた力積は、大きさは同じで向きが逆です。
具体的な解説と立式
右向きを正とします。
衝突前のBの速度: \(3v\)
衝突後のBの速度: \(-3v\) （弾性衝突なので速さは変わらない）
Bが壁から受けた力積 \(I\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I &= (\text{衝突後の運動量}) – (\text{衝突前の運動量}) \\[2.0ex]
I &= m(-3v) – m(3v)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動量と力積の関係: \(m\vec{v}’ – m\vec{v} = \vec{I}\)
$$
\begin{aligned}
I &= -3mv – 3mv \\[2.0ex]
&= -6mv
\end{aligned}
$$
これは「Bが壁から受けた力積」です。
問われているのは「Bが壁に与えた力積の大きさ」なので、作用・反作用の法則より大きさは \(6mv\) です。
ボールを壁に投げつけたときを想像してください。ボールは壁から「あっち行け！」と押し返されます。これが壁から受けた力積です。
逆に、壁もボールから「どいて！」と押されます。これが壁に与えた力積です。
速さ \(3v\) で来て、速さ \(3v\) で跳ね返ったので、変化の幅は \(3v – (-3v) = 6v\) 分です。これに質量を掛けたものが力積の大きさになります。
力積の大きさは \(6mv\) です。
単に運動量を止めるだけでなく、逆向きに同じ速さで打ち返す必要があるため、止めるのに必要な力積 \(3mv\) の2倍の \(6mv\) が必要になるのは妥当です。
問(4)
思考の道筋とポイント
壁で跳ね返ったB（左向きに速さ \(3v\)）が、静止しているAに追いつき、ばねを縮めていく過程です。
「ばねが最も縮んだとき」という物理的状況をどう解釈するかが鍵です。
最も縮んだ瞬間、AとBの相対速度は \(0\) になります。つまり、両者は同じ速度で動いています。
この設問における重要なポイント
- 座標系の再設定: 模範解答や問題の図の矢印に従い、ここからは左向きを正として考えます。
- Aの初速度: \(0\)
- Bの初速度: \(3v\) （左向き）
- 最も縮んだ状態: \(v_{\text{A}} = v_{\text{B}} = u\) （共通の速度）となります。
- 運動量保存則: 水平方向の外力はないため、衝突後の系（A+B）でも運動量は保存されます。
具体的な解説と立式
左向きを正とします。
最も縮んだときのAとBの共通の速度を \(u\) とします。
再接触直前（Bが壁から戻ってきた直後）と、最も縮んだ瞬間で運動量保存則を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{接触前の全運動量}) &= (\text{最も縮んだ時の全運動量}) \\[2.0ex]
2m \cdot 0 + m \cdot 3v &= 2m \cdot u + m \cdot u
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動量保存則: \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)u\)
$$
\begin{aligned}
3mv &= 3mu \\[2.0ex]
u &= v
\end{aligned}
$$
速いBが止まっているAに後ろからぶつかって（ばね越しに押して）、Aを加速させ、自分は減速します。
Bの方が速いうちはばねが縮み続けますが、Aの速さがBに追いついた瞬間、ばねの縮みは最大になります。
このとき、二人は仲良く同じ速さ \(v\) で動いています。
Bの速さは \(v\) です。
運動量の総和 \(3mv\) を、合計質量 \(3m\) で分け合う形になるため、平均速度のような形で \(v\) になるのは直感的に妥当です。
問(5)
思考の道筋とポイント
ばねが最も縮んだ後、再びばねが伸びていき、Bがばねから離れる瞬間のAの速さを求めます。
このとき、ばねは自然長に戻っているので、弾性エネルギーは \(0\) です。
運動量保存則と力学的エネルギー保存則の2つの式を連立させて解きます。
この設問における重要なポイント
- 未知数が2つ: 離れた後のAの速度 \(u_{\text{A}}\) とBの速度 \(u_{\text{B}}\) が未知数です。
- 式が2つ: 運動量保存則とエネルギー保存則の2本が必要です。
- 座標系: 引き続き左向きを正とします。
具体的な解説と立式
離れた後のAの速度を \(u_{\text{A}}\)、Bの速度を \(u_{\text{B}}\) とします。
1. 運動量保存則
$$
\begin{aligned}
(\text{接触前の全運動量}) &= (\text{離れた後の全運動量}) \\[2.0ex]
m \cdot 3v &= 2m u_{\text{A}} + m u_{\text{B}} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
2. 力学的エネルギー保存則
$$
\begin{aligned}
(\text{接触前の全エネルギー}) &= (\text{離れた後の全エネルギー}) \\[2.0ex]
\frac{1}{2}m (3v)^2 &= \frac{1}{2}(2m) u_{\text{A}}^2 + \frac{1}{2}m u_{\text{B}}^2 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動量保存則
- 力学的エネルギー保存則
式③より \(m\) を消去して整理します。
$$
\begin{aligned}
3v &= 2u_{\text{A}} + u_{\text{B}} \\[2.0ex]
u_{\text{B}} &= 3v – 2u_{\text{A}} \quad \cdots ③’
\end{aligned}
$$
式④より \(\frac{1}{2}m\) を消去して整理します。
$$
\begin{aligned}
9v^2 &= 2u_{\text{A}}^2 + u_{\text{B}}^2 \quad \cdots ④’
\end{aligned}
$$
式③’を式④’に代入します。
$$
\begin{aligned}
9v^2 &= 2u_{\text{A}}^2 + (3v – 2u_{\text{A}})^2 \\[2.0ex]
9v^2 &= 2u_{\text{A}}^2 + (9v^2 – 12v u_{\text{A}} + 4u_{\text{A}}^2) \\[2.0ex]
0 &= 6u_{\text{A}}^2 – 12v u_{\text{A}} \\[2.0ex]
0 &= 6u_{\text{A}}(u_{\text{A}} – 2v)
\end{aligned}
$$
これより、\(u_{\text{A}} = 0\) または \(u_{\text{A}} = 2v\) です。
\(u_{\text{A}} = 0\) は衝突前（Aが静止していた状態）に対応するため、衝突後の解として \(u_{\text{A}} = 2v\) を採用します。
エネルギーと運動量の両方が保存されるという条件は非常に厳しく、衝突前と衝突後の2つの状態しか許されません。
計算の結果、Aは止まっていた状態から速さ \(2v\) まで加速されたことが分かりました。
Aの速さは \(2v\) です。
このとき、式③’より \(u_{\text{B}} = 3v – 2(2v) = -v\) となり、Bは右向きに速さ \(v\) で動くことになります。
重いA（\(2m\)）が軽いB（\(m\)）に押されて動き出すので、Bの初速 \(3v\) よりは遅い \(2v\) になるのは妥当です。
問(6)
思考の道筋とポイント
問(5)の計算過程で得られたBの速度 \(u_{\text{B}}\) の符号を確認します。
左向きを正として計算していました。
この設問における重要なポイント
- 速度の符号と向きの対応:
- 正の値 \(\rightarrow\) 左向き
- 負の値 \(\rightarrow\) 右向き
具体的な解説と立式
問(5)の計算過程より、Bの速度 \(u_{\text{B}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
u_{\text{B}} &= 3v – 2u_{\text{A}} \\[2.0ex]
&= 3v – 2(2v) \\[2.0ex]
&= -v
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 速度の定義と座標系
上記の通り、\(u_{\text{B}} = -v\) となります。
計算結果がマイナスになったので、最初に決めた「左向き」とは逆、つまり「右向き」に動くことになります。
軽いBが重いAにぶつかって跳ね返されたイメージです。
Bは右へ動きます。
軽い物体が重い物体に弾性衝突すると跳ね返される（速度が逆転する）のは一般的な物理現象として妥当です。
思考の道筋とポイント
運動方程式を出発点とし、それを積分することで保存則を導きます。
これにより、なぜ運動量が保存するのか、なぜエネルギーが保存するのかを根本から理解します。
この設問における重要なポイント
- 内力の相殺: 作用・反作用の法則により、系内部で及ぼし合う力は和をとると消えます。
- 積分の意味: 時間積分は力積（運動量の変化）を与え、空間積分は仕事（エネルギーの変化）を与えます。
具体的な解説と立式
右向きを \(x\) 軸正方向とします。
時刻 \(t\) におけるA、Bの速度を \(v_{\text{A}}(t), v_{\text{B}}(t)\)、位置を \(x_{\text{A}}(t), x_{\text{B}}(t)\) とします。
ばねが及ぼす力を \(F(t)\) とします（作用・反作用の法則より、AとBには逆向きで同じ大きさの力が働きます）。
1. 運動方程式の立式
$$
\begin{aligned}
\text{A}: \quad 2m \frac{dv_{\text{A}}}{dt} &= -F(t) \quad \cdots ① \\[2.0ex]
\text{B}: \quad m \frac{dv_{\text{B}}}{dt} &= F(t) \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
※ \(F(t)\) はばねの伸び縮みに依存する力ですが、ここでは内力として相殺されることに注目します。
2. 運動量保存則の導出（時間積分）
式①と式②を辺々加えます。
$$
\begin{aligned}
2m \frac{dv_{\text{A}}}{dt} + m \frac{dv_{\text{B}}}{dt} &= 0 \\[2.0ex]
\frac{d}{dt}(2m v_{\text{A}} + m v_{\text{B}}) &= 0
\end{aligned}
$$
これを時間 \(t\) で積分すると、全運動量が定数であることが示されます。
$$
\begin{aligned}
2m v_{\text{A}} + m v_{\text{B}} &= \text{一定}
\end{aligned}
$$
これより、問(1)の式 \(2mv + mv = 2m \cdot 0 + m v_{\text{B}}\) が導かれます。
3. エネルギー保存則の導出（空間積分）
式①に \(v_{\text{A}} = \frac{dx_{\text{A}}}{dt}\)、式②に \(v_{\text{B}} = \frac{dx_{\text{B}}}{dt}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
2m v_{\text{A}} \frac{dv_{\text{A}}}{dt} &= -F(t) v_{\text{A}} \\[2.0ex]
m v_{\text{B}} \frac{dv_{\text{B}}}{dt} &= F(t) v_{\text{B}}
\end{aligned}
$$
左辺は \(\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)\) の形に変形できます。2式を辺々加えます。
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}2m v_{\text{A}}^2\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v_{\text{B}}^2\right) &= F(t) (v_{\text{B}} – v_{\text{A}}) \\[2.0ex]
&= F(t) \frac{d}{dt}(x_{\text{B}} – x_{\text{A}})
\end{aligned}
$$
ここで、ばねの自然長からの縮みを \(x\) とすると、\(x = L_0 – (x_{\text{B}} – x_{\text{A}})\) （\(L_0\)は自然長）のような関係があり、弾性力は \(F(t) = kx\) です。
右辺の積分はばねの弾性エネルギーの変化に対応します。
$$
\begin{aligned}
\int F(t) d(x_{\text{B}} – x_{\text{A}}) &= -\int kx dx \\[2.0ex]
&= -\frac{1}{2}kx^2
\end{aligned}
$$
整理すると、以下の量が保存されることが導かれます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(2m)v_{\text{A}}^2 + \frac{1}{2}m v_{\text{B}}^2 + \frac{1}{2}kx^2 &= \text{一定}
\end{aligned}
$$
これより、問(2)以降で使用するエネルギー保存則が導かれます。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 微分の定義: \(v = \frac{dx}{dt}, a = \frac{dv}{dt}\)
- 積分の基本原理
上記の導出過程自体が計算過程となります。
問(1)への適用:
$$
\begin{aligned}
3mv &= m v_{\text{B}} \\[2.0ex]
v_{\text{B}} &= 3v
\end{aligned}
$$
運動方程式という「力の法則」を足し合わせたり、速度を掛けて積分したりすることで、運動量やエネルギーといった「保存する量」を作り出すことができました。
これは、保存則が魔法のルールではなく、運動方程式から必然的に導かれる結果であることを示しています。
運動方程式を積分操作することで、運動量保存則と力学的エネルギー保存則が自然に導出されました。これにより、これらの法則が独立したものではなく、ニュートン力学の帰結であることが確認できます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 系の選択と保存則の適用範囲
- 核心: 複数の物体が相互作用する場合、「どの範囲を一つの系とみなすか」が保存則適用の鍵です。この問題では、AとBを一つの系とみなすことで、内力（ばねの弾性力）のみが働く状況を作り出し、運動量保存則を適用可能にしています。
- 理解のポイント:
- A+B系: 水平方向の外力がないため、糸が切れる際や再接触時の衝突において、系全体の運動量は保存されます。
- B単独系: 壁との衝突では、壁からの外力（力積）を受けるため、運動量は保存されません。
- 相対運動とエネルギーの分配
- 核心: 2物体がばねを介して運動する場合、エネルギーは「重心運動エネルギー」と「相対運動エネルギー（ばねの弾性エネルギー含む）」に分配されます。
- 理解のポイント:
- 最も縮む瞬間: 相対速度が \(0\) になり、相対運動エネルギーが全てばねの弾性エネルギーに変換される瞬間です。このとき、2物体は重心速度（共通の速度）で動いています。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 2物体の弾性衝突: 質量が異なる2物体の衝突では、速度の交換は起こらず、運動量保存則と反発係数の式（またはエネルギー保存則）を連立して解く必要があります。
- ばねを含む衝突: 直接の衝突ではなく、ばねを介した相互作用でも、最も縮んだ瞬間の扱いは「完全非弾性衝突（合体）」と同じく、速度が等しくなる点に着目します。
- 初見の問題での着眼点:
- 外力の有無を確認する: 水平方向に外力がなければ運動量保存則、摩擦などがなければエネルギー保存則が使えます。
- 「最も〜」の条件を翻訳する: 「最も縮んだ」「最も伸びた」という言葉を見たら、即座に 「相対速度が \(0\)」 すなわち 「2物体の速度が等しい \((v_{\text{A}} = v_{\text{B}})\)」 と数式化しましょう。
- 現象の区切りを見極める: 「糸が切れる」「壁に当たる」「ばねに触れる」「ばねから離れる」といったイベントごとに区切って、それぞれの区間で保存則を立てます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量保存則の適用ミス:
- 誤解: 壁との衝突でも運動量が保存されると勘違いしてしまう。
- 対策: 「外力」があるかどうかを常にチェックしましょう。壁は固定されており、無限の質量を持つとみなせるため、壁を含めた系でない限り運動量は保存されません。
- エネルギー保存則における質量の取り違え:
- 誤解: \( \frac{1}{2}mv^2 \) の \(m\) に、誤って相手の質量や合計質量を代入してしまう。
- 対策: 各項を書くたびに「これはAのエネルギー、質量は \(2m\)」「これはB、質量は \(m\)」と指差し確認を行いましょう。特に \(2m\) という係数は計算ミスを誘発しやすいので注意が必要です。
- 速度の符号と向きの混乱:
- 誤解: 計算結果のマイナス符号を見落としたり、図の矢印と逆の結果が出た時に混乱する。
- 対策: 最初に「どちらを正とするか」を大きく書き出し、計算結果の符号がその定義に基づいて何を意味するか（正なら定義通り、負なら逆向き）を冷静に翻訳する癖をつけましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)(4)での公式選択（運動量保存則）:
- 選定理由: 「衝突」や「分裂」といった瞬間的な現象、あるいは内力のみが働く過程では、時間的な力の変化を追うのが難しいため、運動方程式よりも運動量保存則が適しています。
- 適用根拠: 水平方向の外力がゼロであるため、運動量の総和が不変であることが保証されています。
- 問(2)(5)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
- 選定理由: 「速さ」と「位置（ばねの縮み）」の関係を問われており、摩擦などの非保存力が仕事をしないため。
- 適用根拠: 運動方程式を空間積分した形であるエネルギー保存則を使えば、力の複雑な時間変化を気にせず、始状態と終状態の比較だけで解けるため、最短ルートとなります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 係数の処理（特に \(1/2\) と \(2m\)）:
- テクニック: エネルギー保存則の式には全ての項に \(1/2\) が含まれることが多いです。立式したらすぐに両辺を2倍して分数を消去しましょう。また、質量 \(2m\) は単なる変数 \(M\) と置くよりも、そのまま \(2m\) として扱い、\(m\) を約分する方がミスが減ります。
- 次元確認（ディメンションチェック）:
- テクニック: 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。例えば問(2)の答え \(x = v \sqrt{6m/k}\) なら、左辺は長さ \([L]\)、右辺は \([L][T]^{-1} \cdot \sqrt{[M] / ([M][T]^{-2})} = [L]\) となり、次元が一致しているため、計算ミスの可能性が低いと判断できます。
- 極端なケースでの検算:
- テクニック: 問(5)で \(u_{\text{A}}\) を求める際、もし \(m_{\text{A}} = m_{\text{B}}\) （同じ質量）だったらどうなるか想像します。弾性衝突なら速度が交換され、静止していたAはBの速度 \(3v\) を受け取るはずです。実際の式に当てはめて整合性を確認する習慣は強力です。
問題32 (センター試験)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 運動方程式と等加速度直線運動の公式を用いた解法
- 模範解答がエネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）で解くのに対し、別解では物体に働く摩擦力から加速度を求め、速度と変位の関係式を用いて解きます。
- 設問(2)の別解: 微積分を用いた体系的解法
- 運動量保存則やエネルギー保存則を自明なものとして扱うのではなく、ニュートンの運動方程式を時間および位置で積分することで、これらの保存則が成立する根拠を数学的に導出します。
- 設問(1)の別解: 運動方程式と等加速度直線運動の公式を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 運動方程式の解法: 「力」が運動を変化させるという因果関係を直接的に扱えるため、現象のプロセスを詳細に追うことができます。
- 微積分の解法: 物理法則の体系的なつながり（運動方程式 \(\to\) 保存則）を理解することで、公式の暗記ではなく本質的な理解を深めることができます。特に、内力が相殺されて運動量保存則が導かれる過程は、多体系の理解に不可欠です。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「保存則の適用条件と相互作用する物体の運動」です。台が固定されている場合と自由に動く場合の違いを通じて、エネルギー保存則と運動量保存則の使い分けを学びます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 仕事とエネルギーの関係: 非保存力（摩擦力など）が仕事をする場合、力学的エネルギーはその分だけ変化します。
- 運動量保存則: 水平方向に外力が働かない系では、水平方向の全運動量は保存されます。
- 力学的エネルギー保存則: 摩擦や空気抵抗がなく、保存力のみが仕事をする（または垂直抗力のように仕事をしない力が働く）場合、力学的エネルギーは保存されます。
- 作用・反作用の法則: 2物体間で及ぼし合う力（内力）は、大きさ等しく逆向きです。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、摩擦力がした仕事の分だけ力学的エネルギーが減少することを利用します。
- (2)では、台も動くため、水平方向の運動量保存則と、系全体の力学的エネルギー保存則を連立して解きます。
問(1)
思考の道筋とポイント
台は固定されています。
小物体Pは点Aから点Bまでなめらかな斜面を滑り降り、点Bから点Cまで摩擦のある水平面を滑って停止します。
「Aでの位置エネルギー」が「Bでの運動エネルギー」に変わり、それが「BC間で摩擦による仕事（熱エネルギー）」として消費されてなくなると考えます。
この設問における重要なポイント
- エネルギーの収支: （初めの力学的エネルギー） \(-\) （摩擦力がした仕事の大きさ） \(=\) （終わりの力学的エネルギー）
- 摩擦力の向き: 運動方向と逆向きに働くため、負の仕事をします。
- 状態の変化:
- 点A: 速さ \(0\)、高さ \(h\)
- 点C: 速さ \(0\)、高さ \(0\) （基準面）
具体的な解説と立式
点Bの高さを重力による位置エネルギーの基準とします。
BC間でPに働く動摩擦力の大きさ \(f\) は、動摩擦係数を \(\mu\)、垂直抗力を \(N\)、重力加速度を \(g\) として、
$$
\begin{aligned}
N &= mg \\[2.0ex]
f &= \mu N \\[2.0ex]
&= \mu mg
\end{aligned}
$$
です。
点Aから点Cまでのエネルギーの変化について式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{点Cでの力学的エネ}) – (\text{点Aでの力学的エネ}) &= (\text{動摩擦力がした仕事}) \\[2.0ex]
0 – mgh &= -f \times l \\[2.0ex]
-mgh &= -(\mu mg) l
\end{aligned}
$$
あるいは、「失った位置エネルギーが摩擦の仕事に変わった」と考えて、大きさだけで立式してもよいでしょう。
$$
\begin{aligned}
mgh &= (\mu mg) l
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 動摩擦力: \(f = \mu N\)
- 仕事とエネルギーの関係: \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)
- 重力の位置エネルギー: \(U = mgh\)
立てた式を \(\mu\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgh &= \mu mgl \\[2.0ex]
\mu &= \frac{mgh}{mgl} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{l}
\end{aligned}
$$
高いところにあった物体が持っていたエネルギー（位置エネルギー）が、滑り降りることでスピード（運動エネルギー）に変わり、最後はザラザラした床との摩擦によって熱（摩擦熱）になって消えてしまいました。
「最初に持っていたエネルギー」＝「摩擦で消費されたエネルギー」という関係式を作って計算しました。
動摩擦係数 \(\mu = \frac{h}{l}\) です。
高さ \(h\) が高いほど（エネルギーが大きいほど）止まるのに必要な摩擦係数は大きくなり、距離 \(l\) が長いほど（摩擦が弱くても止まれるので）摩擦係数は小さくて済む、という関係になっており妥当です。また、単位（次元）も長さ割る長さで無次元となり、係数として正しいです。
思考の道筋とポイント
エネルギー保存則を使わず、力から加速度を求め、運動の法則に従って解く方法です。
BC間でのPの運動方程式を立て、等加速度直線運動の公式を利用します。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式: 進行方向を正として、摩擦力（負の向き）による加速度を求めます。
- 運動の公式: 初速度 \(v_{\text{B}}\)（点Bでの速さ）と停止するまでの距離 \(l\) の関係を使います。
具体的な解説と立式
まず、点Bでの速さ \(v_{\text{B}}\) を求めます。AB間はなめらかなのでエネルギー保存則より、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_{\text{B}}^2 &= mgh \\[2.0ex]
v_{\text{B}}^2 &= 2gh \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、BC間での運動を考えます。進行方向を正とします。
動摩擦力は \(-\mu mg\) なので、加速度を \(a\) とすると運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
ma &= -\mu mg \\[2.0ex]
a &= -\mu g
\end{aligned}
$$
初速度 \(v_{\text{B}}\)、加速度 \(-\mu g\)、変位 \(l\) で停止（速さ \(0\)）したので、等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) より、
$$
\begin{aligned}
0^2 – v_{\text{B}}^2 &= 2(-\mu g)l \\[2.0ex]
v_{\text{B}}^2 &= 2\mu gl
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 等加速度直線運動の公式: \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)
式③を代入します。
$$
\begin{aligned}
2gh &= 2\mu gl \\[2.0ex]
\mu &= \frac{h}{l}
\end{aligned}
$$
「力」が原因で「減速」するという因果関係を計算しました。
まず坂を下りてどれくらいのスピードが出たかを計算し、次に摩擦ブレーキでどれくらいの距離で止まるかを計算式に当てはめました。
メインの解法と同じ結果 \(\mu = \frac{h}{l}\) が得られました。
問(2)(ア)
思考の道筋とポイント
今度は台がなめらかな床の上で自由に動きます。
Pが斜面を滑り降りるとき、台はPから力を受けて左側に動き出します。
水平方向には外力（壁からの力や床からの摩擦）がないため、Pと台を合わせた系全体の運動量は保存されます。
また、すべての面がなめらか（摩擦なし）なので、力学的エネルギーも保存されます。
この設問における重要なポイント
- 運動量保存則（水平方向）:
- 初め: Pも台も静止しているので全運動量は \(0\)。
- 後: Pは速度 \(v\)、台は速度 \(V\) で動く。
- 力学的エネルギー保存則:
- 初め: Pの位置エネルギーのみ。
- 後: Pの運動エネルギー ＋ 台の運動エネルギー。
- 速度の向き: 問題文で「右向きを正」と指定されています。
具体的な解説と立式
1. 運動量保存則（水平方向）
右向きを正とします。
$$
\begin{aligned}
(\text{初めの全運動量}) &= (\text{後の全運動量}) \\[2.0ex]
0 &= mv + MV \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. 力学的エネルギー保存則
点Bの高さを基準とします。
$$
\begin{aligned}
(\text{初めの全エネルギー}) &= (\text{後の全エネルギー}) \\[2.0ex]
mgh &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動量保存則: \(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\)
- 力学的エネルギー保存則: \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\)
ここでは関係式を書くだけでよいため、計算はありません。
Pが滑り降りると、台を後ろ（左）に蹴るような形になるので、台は左へ動き出します。
外から邪魔する力がないので、「運動量の合計はゼロのまま」というルール（運動量保存則）と、「エネルギーの合計は変わらない」というルール（エネルギー保存則）の2つが成り立ちます。これらを式にしました。
式①と②が得られました。
①式より \(V = -\frac{m}{M}v\) となり、\(v > 0\) なら \(V < 0\) （左向き）となることが確認でき、物理的直感と一致します。
\(0 = mv + MV\)
\(mgh = \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2\)
問(2)(イ)
思考の道筋とポイント
(ア)で立てた2つの式を連立方程式として解き、\(v\) と \(V\) を求めます。
未知数は \(v\) と \(V\) の2つ、式も2つなので解くことができます。
この設問における重要なポイント
- 計算の手順: 式①を変形して \(V\) を \(v\) で表し、それを式②に代入して \(v\) を求めます。
- 符号の扱い: \(v\) は右向き正、\(V\) は計算結果として符号を含めて求めます。
具体的な解説と立式
式① \(0 = mv + MV\) より、
$$
\begin{aligned}
MV &= -mv \\[2.0ex]
V &= -\frac{m}{M}v \quad \cdots ①’
\end{aligned}
$$
これを式②に代入します。
使用した物理公式
- 連立方程式の解法
式②に式①’を代入します。
$$
\begin{aligned}
mgh &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\left( -\frac{m}{M}v \right)^2 \\[2.0ex]
mgh &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M \cdot \frac{m^2}{M^2}v^2 \\[2.0ex]
mgh &= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \frac{m^2}{M}v^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割り、2倍します。
$$
\begin{aligned}
2gh &= v^2 + \frac{m}{M}v^2 \\[2.0ex]
2gh &= \left( 1 + \frac{m}{M} \right) v^2 \\[2.0ex]
2gh &= \frac{M + m}{M} v^2
\end{aligned}
$$
\(v^2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2Mgh}{M + m}
\end{aligned}
$$
Pは右向きに動くので \(v > 0\) です。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m}}
\end{aligned}
$$
求めた \(v\) を式①’に代入して \(V\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V &= -\frac{m}{M} \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m}} \\[2.0ex]
&= -\sqrt{\frac{m^2}{M^2} \cdot \frac{2Mgh}{M + m}} \\[2.0ex]
&= -\sqrt{\frac{2m^2gh}{M(M + m)}}
\end{aligned}
$$
（※根号の外に係数を出したままでも正解です）
2つの式を組み合わせて、パズルを解くように速度を計算しました。
台が動く分だけ、Pのスピードは台が固定されているとき（\(v = \sqrt{2gh}\)）よりも少し遅くなります（分母に \(M+m\) があるため）。その代わり、台もエネルギーを持って動いています。
\(v = \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m}}\)、\(V = -\frac{m}{M}v\) です。
もし \(M\) が非常に大きい（\(M \gg m\)）場合、\(v \approx \sqrt{2gh}\)、\(V \approx 0\) となり、台が固定されている場合の結果に近づきます。これは物理的に妥当です。
\(v = \displaystyle \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m}}\)
\(V = -m \displaystyle \sqrt{\frac{2gh}{M(M + m)}}\) （または \(-\displaystyle \frac{m}{M} \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m}}\)）
問(2)(ウ)
思考の道筋とポイント
Pが点Bを通過した後、摩擦のある面上を滑り、やがて台に対して停止します。
このとき、Pと台の間には摩擦力が働きますが、これは系内部の力（内力）です。
水平方向の外力は依然として働いていないため、運動量保存則はずっと成立し続けます。
この設問における重要なポイント
- 内力と外力: Pと台の間の摩擦力は内力であり、系の全運動量を変化させません。
- 最終状態: 「台に対して停止した」とは、Pと台が一体となって同じ速度で動いている状態を指します。
- 全運動量の保存: 最初（スタート時）の全運動量は \(0\) でした。
具体的な解説と立式
Pと台が一体となったときの共通の速度を \(u\) とします。
最初（点Aにあるとき）から最後（一体となって動くとき）まで、水平方向の運動量保存則を適用します。
$$
\begin{aligned}
(\text{初めの全運動量}) &= (\text{最後の全運動量}) \\[2.0ex]
0 &= (m + M)u
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動量保存則
$$
\begin{aligned}
(m + M)u &= 0 \\[2.0ex]
u &= 0
\end{aligned}
$$
したがって、Pも台も静止します。
Pと台の間で摩擦力が働いてブレーキがかかりますが、これは「身内同士の押し合い」なので、2つを合わせた全体の勢い（運動量）を変えることはできません。
最初の勢いの合計がゼロだったので、最終的に一緒になったときの勢いの合計もゼロでなければなりません。つまり、両方とも止まります。
選択肢を見ると、④がこの状況（外力が働かないため静止する）を正しく説明しています。
正解は④です。
①②③は、いずれも何らかの速度を持って動くとしていますが、これは運動量保存則（初期運動量ゼロ）に矛盾します。
思考の道筋とポイント
運動量保存則やエネルギー保存則は、天から降ってきたルールではなく、運動方程式から数学的に導かれる定理です。
2つの物体の運動方程式を立て、それを積分することで、これらの保存則を導出します。
この設問における重要なポイント
- 作用・反作用: Pが台を押す力と、台がPを押す力は、逆向きで同じ大きさです。
- 積分の役割:
- 運動方程式の時間積分 \(\to\) 運動量保存則
- 運動方程式の空間積分（速度を掛けて時間積分） \(\to\) エネルギー保存則
具体的な解説と立式
水平右向きを \(x\) 軸正方向とします。
時刻 \(t\) におけるPの水平速度を \(v_x(t)\)、台の水平速度を \(V(t)\) とします。
Pと台の間で及ぼし合う水平方向の力（垂直抗力の水平成分など）を \(F(t)\) とします。Pが受ける力を \(F(t)\) とすると、台が受ける力は作用・反作用により \(-F(t)\) です。
1. 運動量保存則の導出
それぞれの運動方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_x}{dt} &= F(t) \quad \cdots ④ \\[2.0ex]
M \frac{dV}{dt} &= -F(t) \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
2式を辺々加えます。内力 \(F(t)\) が消去されます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_x}{dt} + M \frac{dV}{dt} &= 0 \\[2.0ex]
\frac{d}{dt}(mv_x + MV) &= 0
\end{aligned}
$$
これを時間積分すると、全運動量が定数であることが示されます。
$$
\begin{aligned}
mv_x + MV &= \text{一定}
\end{aligned}
$$
初期状態ですべて静止していたなら、定数は \(0\) となり、\(mv + MV = 0\) が導かれます。
2. エネルギー保存則の導出
エネルギーについては、垂直方向の運動も含めたベクトルで考える必要がありますが、ここでは簡略化して説明します。
Pの速度ベクトルを \(\vec{v}\)、台の速度ベクトルを \(\vec{V}\)（水平成分のみ）とします。
Pには重力 \(m\vec{g}\) と台からの抗力 \(\vec{N}\) が働き、台にはPからの抗力 \(-\vec{N}\) が働きます（床からの垂直抗力は仕事をしないので省略）。
運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
m \frac{d\vec{v}}{dt} &= m\vec{g} + \vec{N} \\[2.0ex]
M \frac{d\vec{V}}{dt} &= -\vec{N}
\end{aligned}
$$
それぞれの式に速度ベクトルとの内積をとります（仕事率を計算）。
$$
\begin{aligned}
m \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} &= m\vec{g} \cdot \vec{v} + \vec{N} \cdot \vec{v} \\[2.0ex]
M \vec{V} \cdot \frac{d\vec{V}}{dt} &= -\vec{N} \cdot \vec{V}
\end{aligned}
$$
左辺は \(\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)\) の形になります。2式を加えます。
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 \right) &= m\vec{g} \cdot \vec{v} + \vec{N} \cdot (\vec{v} – \vec{V})
\end{aligned}
$$
ここで、\(m\vec{g} \cdot \vec{v}\) は重力の仕事率であり、ポテンシャルエネルギーの時間変化 \(-\frac{d}{dt}(mgh)\) に対応します。
また、\(\vec{v} – \vec{V}\) は台に対するPの相対速度です。なめらかな面では抗力 \(\vec{N}\)（垂直抗力）は相対速度と垂直であるため、仕事率は \(0\) になります（\(\vec{N} \cdot (\vec{v} – \vec{V}) = 0\)）。
よって、
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 + mgh \right) &= 0
\end{aligned}
$$
となり、力学的エネルギー保存則が導かれます。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 微分の定義: \(v = \frac{dx}{dt}, a = \frac{dv}{dt}\)
- 積分の基本原理
- 仕事率: \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\)
上記の導出過程自体が計算過程となります。
設問(2)への適用:
$$
\begin{aligned}
mv + MV &= 0 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 + 0 &= mgh
\end{aligned}
$$
「作用・反作用の法則」のおかげで、2つの物体をまとめて考えると、お互いに押し合う力はプラスマイナスゼロになって消えてしまいます。
これを数式（運動方程式）で書くと、運動量の合計が変わらないこと（保存則）が自然と導き出されます。
保存則は魔法ではなく、運動方程式の変形バージョンに過ぎないことが分かります。
微積分を用いることで、設問(2)で用いた2つの保存則が、ニュートンの運動方程式から厳密に導出されることが確認できました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 系の選択と保存則の適用範囲
- 核心: 複数の物体が相互作用する場合、「どの範囲を一つの系とみなすか」が保存則適用の鍵です。
- 理解のポイント:
- P単独系: 台が固定されている場合、Pは台から垂直抗力（外力）を受けますが、仕事をするのは重力と摩擦力だけです。
- P+台系: 台が動く場合、Pと台の間の力は内力となり、水平方向の外力がなくなるため、系全体の運動量が保存されます。
- 仕事とエネルギーの関係
- 核心: 「エネルギーの変化量」は「非保存力がした仕事」に等しいという原理です。
- 理解のポイント:
- 摩擦がある場合: 力学的エネルギーは保存せず、摩擦力のした仕事（負の値）の分だけ減少します。
- 摩擦がない場合: 保存力（重力や弾性力）のみが仕事をするため、力学的エネルギーは保存されます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 動く台上の物体の運動: 斜面を滑り降りる、あるいは斜面を登る問題では、必ず「水平方向の運動量保存則」と「エネルギー保存則」の連立になります。
- 摩擦のある面上での停止: 「初めのエネルギー \(=\) 摩擦力の仕事」あるいは「運動方程式 \(\to\) 等加速度運動」のどちらでも解けるようにしておくと検算になります。
- 初見の問題での着眼点:
- 台が固定されているか動くか: 固定されていればP単独の問題、動くなら2物体の連成運動（運動量保存則）です。
- 摩擦の有無: 摩擦があればエネルギーは保存しません。仕事の計算が必要です。
- 最終状態の予測: 「台に対して停止」＝「相対速度 \(0\)」＝「一体となって動く」と翻訳します。初期運動量が \(0\) なら、最終的に全体も止まります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量保存則の適用ミス:
- 誤解: 台が固定されている時や、床に摩擦がある時にも運動量保存則を使ってしまう。
- 対策: 必ず「水平方向に外力が働いていないか？」をチェックしましょう。固定された台からの抗力や、床からの摩擦は外力です。
- 相対速度とエネルギー:
- 誤解: エネルギー保存則の式で、速度に相対速度を使ってしまう。
- 対策: 運動エネルギー \( \frac{1}{2}mv^2 \) の \(v\) は、必ず「静止している床から見た速度（対地速度）」を使います。相対速度を使うとエネルギー保存則は成り立ちません（慣性力が仕事をするため複雑になります）。
- 符号の取り扱い:
- 誤解: \(V\) を左向きと決めつけて \(V > 0\) と置き、式を \(0 = mv – MV\) と立ててしまう。
- 対策: 未知の速度はとりあえず正の向き（\(+V\)）と置き、計算結果の符号で向きを判断するのが最も安全です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)での公式選択（仕事とエネルギー）:
- 選定理由: 「速さ」と「距離」の関係を問われており、時間の情報が不要であるため。
- 適用根拠: 運動方程式から加速度を求めて積分する（別解）よりも、エネルギーの収支だけで立式する方が計算ステップが少なく、ミスが減ります。
- 問(2)での公式選択（運動量保存則＋エネルギー保存則）:
- 選定理由: 未知数が2つ（\(v, V\)）あるため、独立した式が2本必要です。外力がない（運動量保存）かつ摩擦がない（エネルギー保存）という条件が揃っているため、このペアが最適です。
- 適用根拠: 運動方程式を立てると、垂直抗力 \(N\) や水平分力 \(N_x\) が未知数として現れ、変数が多すぎて解くのが困難になります。保存則なら力を介さずに解けます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
- テクニック: 答えが出たら単位を確認します。
- \(\mu = h/l\) \(\to\) [L]/[L] で無次元（OK）。
- \(v = \sqrt{\dots gh}\) \(\to\) \(\sqrt{[L][T]^{-2} \cdot [L]} = [L][T]^{-1}\) で速度の次元（OK）。
- テクニック: 答えが出たら単位を確認します。
- 極端なケースでの検算:
- テクニック: \(M \to \infty\) （台が巨大）とすると、\(v \to \sqrt{2gh}\)、\(V \to 0\) となり、台固定の結果と一致します。逆に \(M \to 0\) （台が軽い）とすると、\(v \to 0\) となり、台だけがすっ飛んでいく（エネルギーを全部持っていく）極限になります。
- 連立方程式の消去手順:
- テクニック: \(v\) と \(V\) の連立では、まず簡単な1次式（運動量保存則）を変形して代入するのが鉄則です。2次式（エネルギー保存則）をいじると計算が複雑化します。
[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。 【引用】https://makoto-physics-school.com […]
問題33 (東京電機大＋大阪公立大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解1: 弾性衝突（反発係数の式）を用いた解法
- 模範解答がエネルギー保存則の2次方程式を解くのに対し、別解では「エネルギー保存則が成立する相互作用＝弾性衝突」とみなし、反発係数 \(e=1\) の式と運動量保存則を連立させて解きます。計算量が大幅に減ります。
- 設問(1)(2)の別解2: 重心系（重心速度）を用いた解法
- 重心速度が一定であることを利用し、重心から見た相対速度で現象を解析します。
- 設問(1)(2)の別解3: 微積分を用いた体系的解法
- 運動方程式を積分して保存則を導出します。
- 設問(2)の別解1: 弾性衝突（反発係数の式）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 弾性衝突の解法: エネルギー保存則の計算（2乗の項）を回避でき、計算ミスを減らせる実戦的なテクニックです。
- 重心系の解法: 2物体問題の本質（重心運動＋相対運動）を可視化でき、複雑な運動を単純化して捉える視点を養えます。
- 微積分の解法: 物理法則の根源的な理解を促します。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「動く台上の物体の運動と保存則」です。小物体Pが曲面を持つ台に乗り上げ、再び降りてくる過程における、運動量とエネルギーの保存則の適用が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 運動量保存則: 水平方向に外力が働かない系では、水平方向の全運動量は保存されます。
- 力学的エネルギー保存則: 摩擦や非保存力が仕事をしない場合、系全体の力学的エネルギーは保存されます。
- 相対速度と最高点: 台上の最高点に達した瞬間、Pの台に対する相対速度（鉛直成分）は \(0\) になり、水平方向の速度は台と一致します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、最高点での速度条件（Pと台の速度が等しい）を利用し、運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解きます。
- (2)では、Pが台から離れた後の状態について、再び保存則を適用して解きます。
問(1)(ア)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
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