「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第24章】基本問題415～424

基本問題

415 電池の接続

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「内部抵抗を持つ電池の直列接続と並列接続」です。電池を複数組み合わせる際に、回路全体の起電力と内部抵抗がどのように変化するかを理解し、流れる電流を計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電池2個を直列に接続した場合の回路です。この回路は、より強力な一つの電池（合成起電力、合成内部抵抗を持つ）に外部抵抗を接続した、単純な直列回路と見なすことができます。

• 合成起電力: 同じ向きに直列接続されているので、起電力は足し算されます。
• 合成内部抵抗: 内部抵抗も直列接続なので、足し算されます。
• 回路全体の抵抗: 外部抵抗と合成内部抵抗の和になります。

これらの値を用いて、キルヒホッフの第二法則「起電力の和 = 電圧降下の和」を適用します。
この設問における重要なポイント

• 直列接続された電池の合成起電力: \(E_{\text{合成}} = E_1 + E_2\)。
• 直列接続された電池の合成内部抵抗: \(r_{\text{合成}} = r_1 + r_2\)。
• 回路全体の電圧降下は、外部抵抗とすべての内部抵抗で生じる。

具体的な解説と立式
電池2個を直列に接続すると、回路全体は一つのループになります。このループにキルヒホッフの第二法則を適用します。

• 起電力の和: 1.5Vの電池が2個、同じ向きに接続されているので、合成起電力は \(1.5 + 1.5 = 3.0\)V。
• 電圧降下の和: 回路には、外部抵抗1.0Ωと、2個の内部抵抗0.50Ωが直列に接続されています。回路全体を流れる電流を\(I_1\)とすると、各抵抗での電圧降下の和は \(1.0 \times I_1 + 0.50 \times I_1 + 0.50 \times I_1\)。

したがって、「起電力の和 = 電圧降下の和」より、以下の関係式が成り立ちます。
$$ 1.5 + 1.5 = (1.0 \times I_1) + (0.50 \times I_1) + (0.50 \times I_1) $$

上記で立式した式を整理して \(I_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
3.0 &= (1.0 + 0.50 + 0.50) I_1 \\[2.0ex] 3.0 &= 2.0 I_1 \\[2.0ex] I_1 &= \frac{3.0}{2.0} \\[2.0ex] &= 1.5 \, \text{A}
\end{aligned}
$$

電池を2つ直列につなぐと、パワー（起電力）も内部の通りにくさ（内部抵抗）も2倍になります。つまり、この回路は「3.0Vの電池」と「1.0Ωの内部抵抗」を持つ一つの大きな電池と見なせます。
この大きな電池に、外付けで1.0Ωの抵抗をつないだのと同じです。
回路全体の通りにくさ（合成抵抗）は、内部の1.0Ωと外部の1.0Ωを合わせて2.0Ω。
全体のパワーが3.0Vなので、オームの法則から、流れる電流は \(3.0 \div 2.0 = 1.5\)A と計算できます。

直列接続により、電池1個の場合よりも大きな電流を流せることがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
電池2個を並列に接続した場合の回路です。この場合、回路は分岐を持つため、少し複雑になります。外部抵抗を流れる電流を\(I_2\)とします。この電流は、2つの電池から供給されます。電池は同じ性能なので、電流は均等に分かれ、各電池からは \(\frac{I_2}{2}\) の電流が流れ出すと考えられます。
キルヒホッフの第二法則を適用するために、閉じたループを一つ選びます。例えば、「上の電池、外部抵抗、下の電池の接続線」を通る外周のループを考えます。このループには、電源は1つ（上の電池）、抵抗は2つ（外部抵抗と上の電池の内部抵抗）が含まれます。
この設問における重要なポイント

• 同じ電池の並列接続では、回路に供給される電圧は電池1個分の起電力と考える。
• 回路全体の電流\(I_2\)は、各電池に \(\frac{I_2}{2}\) ずつ分かれて流れる。
• ループを一つ選び、電圧則を適用する。

具体的な解説と立式
外部抵抗1.0Ωを流れる電流を\(I_2\)とします。2つの電池は同じものなので、この電流は2つの電池から半分ずつ供給されると考えられます。つまり、各電池を流れる電流は \(\frac{I_2}{2}\) です。

ここで、上の電池と外部抵抗を含む閉回路（図の点線で囲まれた外周の上半分）に着目し、キルヒホッフの第二法則を適用します。

• 起電力の和: このループに含まれる電源は上の電池1個のみなので、1.5V。
• 電圧降下の和:
  • 外部抵抗1.0Ωには、電流\(I_2\)が流れるので、電圧降下は \(1.0 \times I_2\)。
  • 上の電池の内部抵抗0.50Ωには、電流 \(\frac{I_2}{2}\) が流れるので、電圧降下は \(0.50 \times \frac{I_2}{2}\)。

したがって、「起電力の和 = 電圧降下の和」より、以下の関係式が成り立ちます。
$$ 1.5 = (1.0 \times I_2) + \left(0.50 \times \frac{I_2}{2}\right) $$

上記で立式した式を整理して \(I_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
1.5 &= 1.0 I_2 + 0.25 I_2 \\[2.0ex] 1.5 &= 1.25 I_2 \\[2.0ex] I_2 &= \frac{1.5}{1.25} \\[2.0ex] &= \frac{150}{125} \\[2.0ex] &= \frac{6}{5} \\[2.0ex] &= 1.2 \, \text{A}
\end{aligned}
$$

電池を2つ並列につなぐと、全体のパワー（起電力）は1個分と変わりませんが、電流を分担して供給できるので、内部の通りにくさ（内部抵抗）が実質的に半分になります。つまり、この回路は「1.5Vの電池」と「0.25Ωの内部抵抗」を持つ一つの電池と見なせます。
この電池に、外付けで1.0Ωの抵抗をつないだのと同じです。
回路全体の通りにくさ（合成抵抗）は、内部の0.25Ωと外部の1.0Ωを合わせて1.25Ω。
全体のパワーが1.5Vなので、オームの法則から、流れる電流は \(1.5 \div 1.25 = 1.2\)A と計算できます。

並列接続の場合、外部抵抗に流れる電流は1.2Aとなりました。これは(1)の直列接続の場合(1.5A)よりも小さい値です。この問題の条件下では、直列接続の方がより大きな電流を外部抵抗に供給できることがわかります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電池の合成（等価電源）:
  • 核心: この問題の根幹は、複数の電池の組み合わせを、あたかも一つの電池（等価電源）であるかのように見なして、その合成された起電力と内部抵抗を求めることができるか、という点にあります。この考え方を用いることで、複雑に見える回路を単純な直流回路に置き換えて考えることができます。
  • 理解のポイント:
    • 直列接続:
      • 合成起電力: \(E_{\text{合成}} = E_1 + E_2 + \dots\) （向きが同じ場合）
      • 合成内部抵抗: \(r_{\text{合成}} = r_1 + r_2 + \dots\)
      • イメージ: パワーも内部抵抗も単純に足し算される。
    • 並列接続（同一性能の電池N個の場合）:
      • 合成起電力: \(E_{\text{合成}} = E_1\) （1個分と変わらない）
      • 合成内部抵抗: \(r_{\text{合成}} = \frac{r_1}{N}\)
      • イメージ: パワーは変わらないが、電流を分担するため通りやすさ（内部抵抗の逆数）がN倍になり、内部抵抗は1/Nになる。
• キルヒホッフの法則の適用:
  • 核心: 電池の合成という考え方が難しい場合でも、キルヒホッフの法則はどんな回路にも適用できる万能なツールです。特に(2)の並列接続のように回路が分岐を持つ場合、ループを一つ正しく選び、電圧則を適用することで機械的に解を導くことができます。
  • 理解のポイント:
    • (1)の直列回路も、もちろんキルヒホッフの法則で解けます。\(E_1+E_2 = I_1 R + I_1 r_1 + I_1 r_2\) という式は、まさに法則そのものです。
    • (2)の並列回路では、外側のループ（電池1個＋外部抵抗）に着目するのが定石です。このとき、ループ内の電池の内部抵抗には、その電池自身を流れる電流（\(\frac{I_2}{2}\)）を掛ける、という点に注意が必要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆向きの直列接続: 起電力\(E_1, E_2\) (\(E_1 > E_2\)) の電池を逆向きに直列接続した場合。合成起電力は差で与えられ \(E_{\text{合成}} = E_1 – E_2\)、内部抵抗は和 \(r_{\text{合成}} = r_1 + r_2\) となります。
  • 性能の異なる電池の並列接続: これは高校範囲では難問ですが、キルヒホッフの法則を使えば原理的に解くことができます。各電池から流れ出す電流を\(I_A, I_B\)と未知数で置き、電流則と2つのループに対する電圧則で連立方程式を立てます。
  • 最大電力を取り出す問題: 本問の回路に接続する外部抵抗\(R\)を可変にしたとき、\(R\)で消費される電力が最大になる条件を問う問題。合成された電池の内部抵抗\(r_{\text{合成}}\)と、外部抵抗\(R\)が等しくなるとき（\(R=r_{\text{合成}}\)）に電力は最大になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続方法の確認: まず、電池が直列につながっているか、並列につながっているかを図から正確に読み取ります。
  2. 向きの確認: 直列の場合、すべての電池が同じ向きか、逆向きのものが含まれていないかを確認します。
  3. 単純化（等価電源）を試みる: まず、電池群を一つの等価電源と見なせないか考えます。合成起電力と合成内部抵抗が簡単に計算できれば、回路全体が単純な直列回路になり、計算が非常に楽になります。
  4. 単純化が難しいならキルヒホッフの法則: 性能の異なる電池の並列接続など、単純化が難しい場合は、基本に立ち返り、未知電流を設定してキルヒホッフの法則で連立方程式を立てる方針に切り替えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 並列接続の起電力:
  • 誤解: 並列接続でも起電力を足し算してしまい、\(E_{\text{合成}} = 1.5 + 1.5 = 3.0\)V と考えてしまう。
  • 対策: 並列接続は、電圧（電位差）を増やすためのものではなく、電流の供給能力を高めたり、電池を長持ちさせたりするための接続方法であると理解しましょう。並列に接続された電池の両端の電位差は、どの電池で見ても同じなので、全体の起電力は1個分と変わりません。
• 並列接続の内部抵抗:
  • 誤解: 並列接続でも内部抵抗を足し算してしまう。
  • 対策: 抵抗の並列接続の公式 \(\frac{1}{r_{\text{合成}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\) を適用します。同じ抵抗\(r\)が2個なら \(r_{\text{合成}} = r/2\) となります。電流の通り道が2本に増えるので、全体として通りやすく（抵抗が小さく）なるとイメージしましょう。
• キルヒホッフの法則適用時の電流の選択ミス:
  • 誤解: (2)の電圧則の式を立てる際に、内部抵抗での電圧降下を \(0.50 \times I_2\) と計算してしまう。
  • 対策: 電圧降下は、その抵抗自身を流れる電流で計算しなければなりません。外部抵抗には回路全体の電流\(I_2\)が流れますが、分岐した先の内部抵抗には、その枝路を流れる電流（\(\frac{I_2}{2}\)）しか流れません。ループをたどる際は、各部品をどの電流が流れているかを常に意識することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等価電源（電池の合成）の考え方:
  • 選定理由: この考え方は、回路をより単純な形にモデル化し、見通しを良くするための強力なツールです。特に直列接続や、同一性能の電池の並列接続では、この方法が最も早く直感的に問題を解くことができます。
  • 適用根拠: 複数の電池の組み合わせであっても、その全体をブラックボックスと見れば、外部から見たその性質は、ある一つの起電力と内部抵抗を持つ「等価電源」として表現できる、というテブナンの定理（大学範囲）の考えに基づいています。高校物理では、その簡単なケースとして直列・並列接続を扱います。
• キルヒホッフの法則の選択:
  • 選定理由: (2)の模範解答では、等価電源の考え方ではなく、キルヒホッフの法則が用いられています。これは、分岐を含む回路の解析における最も基本的で、どんな状況にも適用できる普遍的な解法だからです。
  • 適用根拠: 電荷量保存則（第一法則）とエネルギー保存則（第二法則）は、物理学の根幹をなす法則であり、どのような電気回路にも例外なく適用できます。そのため、どのような複雑な問題に遭遇しても、この法則に立ち返れば必ず解けるという安心感があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図の描き直し: 問題で与えられた図が複雑に見える場合、自分で分かりやすいように回路図を描き直すのが有効です。
  • (1)なら、2つの電池と2つの抵抗が輪になっているだけの単純な図を描く。
  • (2)なら、電池2つが並列につながり、そこから1本の線が出て外部抵抗につながる図を描く。

  視覚的に構造を単純化することで、立式ミスを防ぎます。

• 小数の計算: 1.25 のような小数での割り算は、分数に直す（\(1.25 = \frac{5}{4}\)）か、あるいは分母分子を100倍して整数にする（\(\frac{1.5}{1.25} = \frac{150}{125}\)）と、計算ミスが減り、約分もしやすくなります。
• 物理的な妥当性の確認:
  • (1)と(2)の結果を比較してみましょう。直列(1.5A)の方が並列(1.2A)より大きな電流が流れました。これはなぜでしょうか？
  • 直列: \(I_1 = \frac{2E}{R+2r} = \frac{3.0}{1.0+1.0} = 1.5\)A
  • 並列: \(I_2 = \frac{E}{R+r/2} = \frac{1.5}{1.0+0.25} = 1.2\)A

  この問題では、外部抵抗\(R=1.0\)Ωが内部抵抗\(r=0.5\)Ωより大きいため、起電力を大きくする直列接続の方が有利でした。逆に、もし外部抵抗が非常に小さい場合は、内部抵抗を小さくできる並列接続の方が大きな電流を流せることもあります。このように、得られた結果を比較し、その理由を考察する癖をつけると、物理への理解が深まります。

416 電池の起電力と内部抵抗の測定

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電池の電流-電圧特性グラフからの起電力と内部抵抗の読み取り」です。内部抵抗を持つ電池の振る舞いを表すグラフを正しく解釈し、そこから電池の基本性能である起電力(\(E\))と内部抵抗(\(r\))を特定する手法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1), (2)

思考の道筋とポイント
電池の端子電圧\(V\)と電流\(I\)の関係式 \(V = E – rI\) は、\(V\)を縦軸、\(I\)を横軸にとると、\(V\)切片が\(E\)、傾きが\(-r\)の一次関数（直線）となります。したがって、グラフからこれらの値を読み取ることで、起電力\(E\)と内部抵抗\(r\)を求めることができます。
ここでは、計算の精度を高めるため、グラフ上の読み取りやすい2点の座標を式に代入して連立方程式を解く方法をとります。
この設問における重要なポイント

• 端子電圧の式: \(V = E – rI\)。
• グラフ上の点はすべてこの関係式を満たす。
• 読み取りやすい2点の座標を使って連立方程式を解く。

具体的な解説と立式
グラフ上の読み取りやすい2点として、点B(1.0, 1.6)と点F(3.0, 0)を選びます。これらの座標の値を、端子電圧の式 \(V = E – rI\) にそれぞれ代入します。

• 点B (I=1.0, V=1.6) を代入:
  $$ 1.6 = E – r \times 1.0 \quad \cdots ① $$
• 点F (I=3.0, V=0) を代入:
  $$ 0 = E – r \times 3.0 \quad \cdots ② $$

これで、未知数\(E\)と\(r\)に関する連立一次方程式が2本得られました。

連立方程式①, ②を解きます。
②より、
$$ E = 3.0r $$
これを①に代入します。
$$
\begin{aligned}
1.6 &= 3.0r – 1.0r \\[2.0ex] 1.6 &= 2.0r \\[2.0ex] r &= \frac{1.6}{2.0} \\[2.0ex] &= 0.80 \, \text{Ω}
\end{aligned}
$$
求まった\(r\)を \(E=3.0r\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
E &= 3.0 \times 0.80 \\[2.0ex] &= 2.4 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
したがって、起電力\(E\)は2.4V、内部抵抗\(r\)は0.80Ωです。

電池の性能（起電力\(E\)と内部抵抗\(r\)）を知るための実験結果が、図2のグラフです。このグラフ上の点はすべて、\(V = E – rI\) という関係式を満たしています。これは、中学数学で習った直線の式 \(y = b + ax\) と同じ形です（\(V\)が\(y\)、\(I\)が\(x\)、\(E\)が切片\(b\)、\(-r\)が傾き\(a\)に対応）。
直線の式を求めるには、通る2点の座標が分かれば十分です。グラフから読みやすいB点とF点の座標をこの式に代入して、連立方程式を解けば、未知数である\(E\)と\(r\)が求まります。

電池の起電力は2.4V、内部抵抗は0.80Ωと求まりました。グラフ上の他の点、例えばC(1.5, 1.2)を代入しても \(1.2 = 2.4 – 0.80 \times 1.5 = 2.4 – 1.2 = 1.2\) となり、式が成り立っていることから、結果は妥当であると確認できます。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(R=r\) の状態が、グラフ上のどの点に対応するかを探す問題です。この回路では、端子電圧\(V\)は外部抵抗\(R\)にかかる電圧でもあるため、オームの法則 \(V=RI\) も同時に成り立っています。
したがって、\(R=r\) のときは \(V=rI\) となります。この関係式と、電池の特性式 \(V=E-rI\) を連立させて、そのときの電流\(I\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 回路では常に \(V=E-rI\) と \(V=RI\) が同時に成り立つ。
• \(R=r\) の条件を代入して、そのときの \(I\) を求める。

具体的な解説と立式
2つの関係式、
$$ V = E – rI \quad \cdots (a) $$
$$ V = RI \quad \cdots (b) $$
が常に成り立っています。
(a)と(b)から、
$$
\begin{aligned}
E – rI &= RI \\[2.0ex] E &= (R+r)I \\[2.0ex] I &= \frac{E}{R+r}
\end{aligned}
$$
ここで、条件 \(R=r\) を代入すると、
$$ I = \frac{E}{r+r} = \frac{E}{2r} $$

(1), (2)で求めた \(E=2.4\)V, \(r=0.80\)Ω を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{2.4}{2 \times 0.80} \\[2.0ex] &= \frac{2.4}{1.6} \\[2.0ex] &= \frac{24}{16} \\[2.0ex] &= 1.5 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
電流が1.5Aとなるのは、グラフ上で点Cです。

外部抵抗\(R\)と内部抵抗\(r\)の値が等しくなる特別な状態を探す問題です。このとき、電池が生み出す全電圧\(E\)は、外部抵抗\(R\)と内部抵抗\(r\)でちょうど半分ずつ分け合われることになります。つまり、端子電圧\(V\)は起電力\(E\)の半分、\(V=E/2\)となります。
\(E=2.4\)Vなので、\(V=1.2\)Vです。グラフで\(V=1.2\)Vとなる点を探すと、それは点C(I=1.5A)であることがわかります。

\(R=r\)の状態は、外部で消費される電力が最大になる重要な状態です。このとき、電流は1.5A、電圧は1.2Vとなります。

問(4)

思考の道筋とポイント
電池をショート（短絡）させるということは、外部抵抗が0 (\(R=0\)) の状態で接続することと同じです。このとき、端子電圧は \(V=RI=0 \times I = 0\)V となります。
したがって、グラフ上で \(V=0\) となる点を探せば、それがショートしたときの電流（短絡電流）です。
この設問における重要なポイント

• ショート（短絡） \(\Leftrightarrow\) 外部抵抗 \(R=0\)。
• \(R=0\) のとき、端子電圧 \(V=0\)。
• グラフの横軸切点が短絡電流を表す。

具体的な解説と立式
端子電圧の式 \(V=E-rI\) に、\(V=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
0 &= E – rI \\[2.0ex] rI &= E \\[2.0ex] I &= \frac{E}{r}
\end{aligned}
$$
これが短絡電流の式です。

(1), (2)で求めた \(E=2.4\)V, \(r=0.80\)Ω を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{2.4}{0.80} \\[2.0ex] &= \frac{24}{8} \\[2.0ex] &= 3.0 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
これは、グラフ上の点Fの座標(3.0, 0)の電流値と一致します。

電池をショートさせるというのは、抵抗が全くない導線でプラスとマイナスをつなぐ、最も危険な状態です。このとき、電気の流れを邪魔するのは電池の中の内部抵抗\(r\)だけになります。したがって、オームの法則から、流れる電流は \(I = E/r\) となります。また、グラフで言うと、外部の電圧が0 (\(V=0\)) の状態なので、横軸との交点を見ればOKです。

短絡電流は3.0Aと求まりました。これは、この電池から取り出すことができる最大の電流値です。

問(5)

思考の道筋とポイント
状態Bにおける外部抵抗\(R_B\)の値と、そこで消費される電力\(P_B\)を求めます。
まず、グラフから状態Bのときの電圧\(V_B\)と電流\(I_B\)の値を正確に読み取ります。
次に、オームの法則 \(V=RI\) を用いて抵抗値 \(R_B = V_B/I_B\) を計算します。
最後に、電力の公式 \(P=IV\) を用いて消費電力 \(P_B = I_B V_B\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• グラフから状態Bの座標（\(I_B, V_B\)）を読み取る。
• オームの法則 \(R=V/I\) で抵抗値を計算。
• 電力の公式 \(P=IV\) で消費電力を計算。

具体的な解説と立式
グラフより、状態Bの座標は (I=1.0A, V=1.6V) です。

• 抵抗値 \(R_B\):
  オームの法則 \(V_B = R_B I_B\) より、
  $$ R_B = \frac{V_B}{I_B} $$
• 消費電力 \(P_B\):
  電力の公式 \(P=IV\) より、
  $$ P_B = I_B V_B $$

読み取った値を代入します。

• 抵抗値 \(R_B\):
  $$
  \begin{aligned}
  R_B &= \frac{1.6}{1.0} \\[2.0ex] &= 1.6 \, \text{Ω}
  \end{aligned}
  $$
• 消費電力 \(P_B\):
  $$
  \begin{aligned}
  P_B &= 1.0 \times 1.6 \\[2.0ex] &= 1.6 \, \text{W}
  \end{aligned}
  $$

グラフのB点に注目する問題です。グラフの縦軸と横軸から、B点では「電流が1.0A、電圧が1.6V」であることが読み取れます。
抵抗の値は、オームの法則から「電圧 ÷ 電流」で計算できます。
消費電力は、単純に「電圧 × 電流」で計算できます。

状態Bは、外部に1.6Ωの抵抗を接続した状態であり、そのとき抵抗では1.6Wの電力が消費されていることがわかりました。

問(6)

思考の道筋とポイント
状態Bにおいて、内部抵抗\(r\)で生じる電圧降下\(V_r\)と、消費電力\(P_r\)を求めます。
状態Bでは電流が \(I_B=1.0\)A 流れているので、内部抵抗\(r=0.80\)Ωによる電圧降下はオームの法則から計算できます。
消費電力も同様に、内部抵抗\(r\)とそこを流れる電流\(I_B\)を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 注目しているのが「内部抵抗」であることを明確にする。
• 内部抵抗を流れる電流も、外部抵抗と同じ\(I_B\)である。

具体的な解説と立式
状態Bにおいて、電流は \(I_B=1.0\)A、内部抵抗は \(r=0.80\)Ω です。

• 内部抵抗による電圧降下 \(V_r\):
  オームの法則より、
  $$ V_r = r I_B $$
• 内部抵抗での消費電力 \(P_r\):
  電力の公式 \(P=I^2r\) を用いるのが簡単です。
  $$ P_r = I_B^2 r $$

値を代入します。

• 電圧降下 \(V_r\):
  $$
  \begin{aligned}
  V_r &= 0.80 \times 1.0 \\[2.0ex] &= 0.80 \, \text{V}
  \end{aligned}
  $$
• 消費電力 \(P_r\):
  $$
  \begin{aligned}
  P_r &= (1.0)^2 \times 0.80 \\[2.0ex] &= 0.80 \, \text{W}
  \end{aligned}
  $$

電池の「内部」で起きていることを調べる問題です。状態Bでは1.0Aの電流が流れていますが、この電流は電池の内部も通過します。
電池の内部抵抗は0.80Ωなので、ここで「電圧のロス（電圧降下）」と「エネルギーのロス（消費電力）」が発生します。これらをオームの法則と電力の公式で計算します。

内部抵抗による電圧降下は0.80V、消費電力は0.80Wと求まりました。
ここで、エネルギー保存則が成り立っているか検算してみましょう。

• 電源が供給する全電力: \(P_{\text{供給}} = I_B E = 1.0 \times 2.4 = 2.4\)W。
• 外部と内部での消費電力の和: \(P_B + P_r = 1.6 + 0.80 = 2.4\)W。

両者は一致しており、計算の正しさが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 端子電圧の式 \(V = E – rI\) とそのグラフ的解釈:
  • 核心: この問題の根幹は、内部抵抗を持つ電池の振る舞いを表す最重要式 \(V = E – rI\) を理解し、それを一次関数のグラフとして解釈できるかという点にあります。
  • 理解のポイント:
    • \(V = E – rI\) の意味: 電池の端子から取り出せる電圧（端子電圧\(V\)）は、電池本来の能力（起電力\(E\)）から、内部抵抗\(r\)で消費される電圧降下（\(rI\)）を差し引いたものである。
    • グラフとの対応:
      • 縦軸切片 (\(I=0\)): 電流が流れていないとき、内部での電圧降下は0。よって端子電圧は起電力に等しい (\(V=E\))。
      • 傾き: グラフの傾き \(\frac{\Delta V}{\Delta I}\) は、式の係数から \(-r\) に等しい。グラフが右下がりなのは、電流を多く取り出すほど内部でのロスが増え、端子電圧が下がることを意味する。
      • 横軸切片 (\(V=0\)): 端子電圧が0になる状態、つまり電池をショートさせた状態。このときの電流が短絡電流 \(I = E/r\)。
• オームの法則 \(V=RI\) との連立:
  • 核心: 回路が動作しているとき、電池の端子電圧\(V\)は、同時に外部抵抗\(R\)にかかる電圧でもあります。したがって、電池の特性を表す \(V=E-rI\) と、外部回路の性質を表す \(V=RI\) が常に同時に成り立っている、という視点が重要です。
  • 理解のポイント: グラフ上の直線上の点は、すべて \(V=E-rI\) を満たします。そして、その各点（A, B, C…）は、それぞれ異なる外部抵抗\(R\)を接続したときの動作状態を表しており、その点においては \(V=RI\) も満たされています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 外部抵抗Rでの消費電力が最大の点: (3)で求めた \(R=r\) の状態（点C）は、外部抵抗での消費電力 \(P=IV\) が最大になる点です。グラフ上で \(P=IV\) が最大となる点を求めさせる問題は頻出です。
  • グラフの交点問題: 豆電球のような非線形抵抗の特性曲線と、電池の特性直線 \(V=E-rI\) を同じグラフに描き、その交点として回路の動作点を求める問題。本問の考え方を応用できます。
  • 電池の効率: 電池の効率\(\eta\)は、電源が供給する全電力(\(EI\))のうち、外部で有効に使われた電力(\(VI\))の割合、\(\eta = \frac{VI}{EI} = \frac{V}{E}\)で与えられます。グラフの各点について、効率を計算させる問題などに応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. V-I図か、I-V図か: まず、グラフの縦軸と横軸がそれぞれ何を表しているかを確認します。縦軸がV、横軸がIなら、切片が\(E\)、傾きが\(-r\)と直感的に対応します。
  2. 読み取りやすい格子点を探す: グラフから値を読み取る際は、できるだけ目盛りの線上に正確に乗っている点（格子点）を2点探します。これにより、計算の誤差を最小限に抑えられます。
  3. 問われている物理量と式の関係を整理:
     • 起電力\(E\), 内部抵抗\(r\) \(\rightarrow\) \(V=E-rI\) を使う。
     • 外部抵抗\(R\) \(\rightarrow\) \(V=RI\) を使う。
     • 消費電力\(P\) \(\rightarrow\) \(P=IV, P=I^2R, P=V^2/R\) のどれが使いやすいか考える。
  4. 「ショート」「開放」の意味を理解: 「ショート（短絡）」は\(R=0\)、\(V=0\)の状態。「開放」は\(R \rightarrow \infty\)、\(I=0\)の状態。これらがグラフのどの点に対応するかを即座に判断できるようにします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 傾きと内部抵抗の符号:
  • 誤解: グラフの傾きがそのまま内部抵抗\(r\)だと勘違いしてしまう。
  • 対策: \(V = E – rI\) の式を、数学の \(y = b + ax\) と比較し、傾き\(a\)に相当するのは\(-r\)であることを明確に意識します。グラフは右下がりなので傾きは負であり、抵抗\(r\)は正の値なので、\(r = -(\text{傾き})\) となります。
• 有効数字の処理:
  • 誤解: グラフから読み取った値や計算結果の有効数字を考慮しない。
  • 対策: 問題文に「有効数字2桁で表せ」という指示がある場合、それに従う必要があります。グラフの読み取りは通常、最小目盛りの1/10まで読み取りますが、本問では格子点が明確なので、1.0A, 1.6Vのように読み取れます。計算結果も、\(E=2.4\)V, \(r=0.80\)Ω のように、指示された桁数に合わせることを忘れないようにしましょう。
• 消費電力の計算対象の混同:
  • 誤解: (6)で内部抵抗での消費電力を問われているのに、外部抵抗での消費電力と同じように計算してしまう。
  • 対策: 問題文をよく読み、「どの部品の」「どの物理量」を問われているのかを正確に把握します。(5)は外部抵抗\(R\)について、(6)は内部抵抗\(r\)について問われています。計算に使う抵抗値も、\(R_B=1.6\)Ωと\(r=0.80\)Ωで明確に区別する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 端子電圧の式 \(V=E-rI\):
  • 選定理由: この式は、内部抵抗を持つ電池の振る舞いを記述する、この問題の出発点となる最重要公式です。実験で測定される端子電圧\(V\)と電流\(I\)の関係を、電池の内部パラメータである\(E\)と\(r\)に結びつける唯一の式です。
  • 適用根拠: この式は、電池を含んだ閉回路に対するキルヒホッフの第二法則（エネルギー保存則） \(E = V + rI\) を変形したものです。したがって、どのような外部抵抗を接続しても、この電池自身の特性として常に成り立ちます。
• 電力の公式の使い分け \(P=IV\) vs \(P=I^2R\):
  • 選定理由: (5), (6)の別解で示したように、消費電力の計算には複数の公式が使えます。
  • 適用根拠:
    • \(P=IV\): 電圧と電流が直接分かっている場合に最も計算が簡単な公式。抵抗値が不明な部品（豆電球など）や、抵抗値を計算する手間を省きたい場合に有効。
    • \(P=I^2R\): 電流と抵抗値が分かっている場合に有効。特に、直列回路のように電流が共通な場合に、各部品の消費電力を比較しやすい。

    どちらを使っても結果は同じですが、その場の状況で最も計算が楽な公式を選択する判断力が求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの情報を表にまとめる: グラフから読み取った情報を、以下のような簡単な表にまとめると、思考が整理され、計算ミスが減ります。
  

  状態	電流 I [A]	電圧 V [V]	外部抵抗 R=V/I [Ω]
  A	0.5	2.0	4.0
  B	1.0	1.6	1.6
  C	1.5	1.2	0.80
  F	3.0	0	0

• 連立方程式の確実な処理: (1), (2)を連立方程式で解く場合、加減法が有効です。\(1.6 = E – 1.0r\)\(0 = E – 3.0r\)上の式から下の式を引くと、\(1.6 = 2.0r\) となり、Eが消去されてrがすぐに求まります。
• エネルギー保存則による検算: (5), (6)で求めた値を使い、エネルギーが保存しているかを確認する。
  • 電源の供給電力: \(P_{\text{供給}} = EI_B = 2.4 \times 1.0 = 2.4\) W
  • 消費電力の和: \(P_B + P_r = 1.6 + 0.80 = 2.4\) W

  供給電力と消費電力の和が一致することを確認できれば、計算が正しいという強い確信が得られます。

417 電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直流回路における消費電力と、その最大値問題」です。特に、回路の一部分の消費電力が、抵抗値の変化によってどのように変わるかを分析し、最大となる条件を求めることが中心となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)

思考の道筋とポイント
回路「全体」の消費電力が与えられている点がポイントです。したがって、回路全体の電圧（電源電圧）、回路全体の抵抗（合成抵抗）、回路全体の消費電力の関係式を立てるのが最も直接的な解法です。電力の公式のうち、電圧と抵抗で表される \(P = \displaystyle\frac{V^2}{R}\) を使うと、電流を計算する必要がなく、一手で解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 直列回路の合成抵抗は、各抵抗値の和で計算できる。
• 回路全体について考えるときは、電圧、抵抗、電力もすべて「全体」の値を用いる。
• 3つの電力公式 \(P=IV, P=I^2R, P=\displaystyle\frac{V^2}{R}\) のうち、問題で与えられている量（今回は電圧\(V\)と電力\(P\)）から求めたい量（抵抗\(R\)）を最も簡単に計算できる式を選ぶ。

具体的な解説と立式
可変抵抗の抵抗値を \(R_{\text{ア}}\) [Ω] とします。この抵抗と \(4.0\) Ωの抵抗は直列に接続されているため、回路全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) はその和となります。
$$ R_{\text{全体}} = R_{\text{ア}} + 4.0 $$
電源の電圧は \(V=20\) V、回路全体の消費電力は \(P_{\text{全体}}=20\) W です。これらの関係を、電力の公式 \(P = \displaystyle\frac{V^2}{R}\) に当てはめます。
$$ P_{\text{全体}} = \frac{V^2}{R_{\text{全体}}} $$
したがって、立式は以下のようになります。
$$ 20 = \frac{20^2}{R_{\text{ア}} + 4.0} $$

上記で立式した方程式を \(R_{\text{ア}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
20 &= \frac{20^2}{R_{\text{ア}} + 4.0} \\[2.0ex] R_{\text{ア}} + 4.0 &= \frac{400}{20} \\[2.0ex] R_{\text{ア}} + 4.0 &= 20 \\[2.0ex] R_{\text{ア}} &= 20 – 4.0 \\[2.0ex] R_{\text{ア}} &= 16
\end{aligned}
$$

この問題は「家全体で20Wの電力を使っているとき、調整できる抵抗（可変抵抗）の値はいくつですか？」と聞いています。電源は20Vです。物理の公式「電力 = (電圧 × 電圧) ÷ 抵抗」を使うと、回路全体の抵抗がわかります。実際に計算すると、全体の抵抗は20Ωです。この20Ωは、可変抵抗と、もともとあった4.0Ωの抵抗を足した値なので、引き算をすれば可変抵抗の値は \(20 – 4.0 = 16\)Ω だとわかります。

回路全体の消費電力が20Wのとき、可変抵抗の抵抗値は \(16\) Ωとなります。抵抗値は正の値であり、物理的に妥当な結果です。

問(イ)

思考の道筋とポイント
この設問の核心は、「可変抵抗での」消費電力が最大になる条件を求めることです。(ア)とは違い、回路全体ではなく一部分に着目している点が重要です。
まず、可変抵抗の消費電力 \(P\) を、その抵抗値 \(R\) の関数として表現することが第一歩です。直列回路なので、まず回路全体を流れる電流 \(I\) を \(R\) を用いて表し、次に電力の公式 \(P=I^2R\) を使って \(P\) を \(R\) の関数で表します。
その結果得られる \(P(R) = \displaystyle\frac{E^2 R}{(R+r)^2}\) という分数関数が、どのような \(R\) の値のときに最大になるか、という数学の問題に帰着します。模範解答では、この式を巧みに変形して、分母が最小になる条件から答えを導いています。
この設問における重要なポイント

• 注目すべきは「可変抵抗での」消費電力であること。
• 消費電力 \(P\) を、変化させる抵抗値 \(R\) のみの関数として立式すること。
• \(P=I^2R\) の式において、電流 \(I\) も \(R\) の値によって変化することに注意する。（\(P\) は単純に \(R\) に比例するわけではない）
• 分数関数の最大値を求めるための、数学的な式変形の技術。

具体的な解説と立式
可変抵抗の抵抗値を \(R\) [Ω]、固定抵抗の値を \(r=4.0\) [Ω]、電源電圧を \(E=20\) V とします。
まず、回路全体を流れる電流 \(I\) をオームの法則から求めます。
$$ I = \frac{E}{R+r} \quad \cdots ① $$
次に、可変抵抗 \(R\) で消費される電力 \(P\) を、公式 \(P=I^2R\) を用いて計算します。①を代入すると、
$$ P = \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2} \quad \cdots ② $$
この式が最大となる条件を探します。このままでは分かりにくいので、分母と分子を \(R\) で割ります（\(R>0\) なので問題ありません）。
$$ P = \frac{E^2}{\frac{(R+r)^2}{R}} = \frac{E^2}{\frac{R^2+2Rr+r^2}{R}} = \frac{E^2}{R + 2r + \frac{r^2}{R}} $$
この式から、\(P\) が最大になるのは、分母の \(R + 2r + \frac{r^2}{R}\) が最小になるときだとわかります。
模範解答では、②の式を別の形で変形しています。分母と分子を \(\sqrt{R}\) で割る（分母は \((\sqrt{R})^2=R\) で割るのと同じ）と、
$$ P = \frac{E^2}{\left( \frac{R+r}{\sqrt{R}} \right)^2} = \frac{E^2}{\left( \sqrt{R} + \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2} \quad \cdots ③ $$
この分母の \( \left( \sqrt{R} + \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2 \) が最小になる条件を考えます。ここで、数学公式 \((a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab\) を利用します。

式③の分母の項に、\(a=\sqrt{R}\), \(b=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{R}}\) として数学公式を適用します。
$$
\begin{aligned}
\left( \sqrt{R} + \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2 &= \left( \sqrt{R} – \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2 + 4 \cdot \sqrt{R} \cdot \frac{r}{\sqrt{R}} \\[2.0ex] &= \left( \sqrt{R} – \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2 + 4r
\end{aligned}
$$
この式において、\(r\) は定数（\(4.0\)Ω）です。第1項の \( \left( \sqrt{R} – \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2 \) は、実数の2乗なので必ず0以上になります (\(\ge 0\))。
したがって、この分母の式が最小値をとるのは、\( \left( \sqrt{R} – \frac{r}{\sqrt{R}} \right)^2 = 0 \) となるときです。
この条件は、
$$ \sqrt{R} – \frac{r}{\sqrt{R}} = 0 $$
$$ \sqrt{R} = \frac{r}{\sqrt{R}} $$
両辺に \(\sqrt{R}\) を掛けて、
$$ R = r $$
となるときです。
よって、消費電力 \(P\) は、可変抵抗の値 \(R\) が固定抵抗の値 \(r\) と等しくなるときに最大となります。
$$ R = r = 4.0 \, [Ω] $$

「可変抵抗で使われる電力を最大にするには、抵抗値をいくらにすればよいか？」という問題です。抵抗値を小さくしすぎると、電流はたくさん流れますが抵抗自体が小さいので電力はあまり大きくならず、逆に抵抗値を大きくしすぎると、今度は電流が流れにくくなってやはり電力は小さくなってしまいます。
つまり、ちょうど良い「頃合い」の値があるはずです。この関係を数式で表し、数学のテクニックを使って「山のてっぺん」を探すと、可変抵抗の値が、もう一方の固定抵抗の値と全く同じ \(4.0\)Ω になったときに、電力が最大になることがわかります。

可変抵抗での消費電力が最大になるのは、その抵抗値が直列接続された固定抵抗の値と等しい \(4.0\) Ωのときである、という結果が得られました。これは「内部抵抗と外部抵抗が等しいときに外部抵抗での消費電力が最大になる」という、物理学でよく知られた重要な結果と一致しており、妥当なものです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 消費電力の公式の使い分け:
  • 核心: 消費電力の公式 \(P=IV=I^2R=\displaystyle\frac{V^2}{R}\) は3つの形がありますが、これらは等価ではありません。状況に応じて最も計算が簡単になる、あるいは物理的な考察がしやすくなる式を選択する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • (ア)のように回路「全体」を考える場合: 電源電圧\(V\)が一定なので、\(P_{\text{全体}} = \displaystyle\frac{V^2}{R_{\text{全体}}}\) を使うのが最も効率的です。
    • (イ)のように直列回路の「一部分」を考える場合: 回路のどの部分でも電流\(I\)が共通なので、\(P=I^2R\) を出発点として立式するのが基本です。ここで重要なのは、その電流\(I\)自体が可変抵抗\(R\)の値によって変化する (\(I = E/(R+r)\)) ため、単純に\(P\)が\(R\)に比例するわけではない、という点を理解することです。
• 外部抵抗での消費電力最大条件:
  • 核心: 「起電力\(E\)、内部抵抗\(r\)の電源に対し、外部抵抗\(R\)での消費電力が最大になるのは \(R=r\) のときである」という物理法則を理解し、応用できることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • この法則は、単なる公式として暗記するだけでなく、「なぜそうなるのか」を理解しておくことが応用力を高めます。抵抗\(R\)が小さすぎると電流は大きいが\(R\)自体が小さいため電力が伸びず、\(R\)が大きすぎると今度は電流が小さくなりすぎて電力が落ち込む、というトレードオフの関係から、最適な「頃合い」が存在するという物理的イメージを持つことが大切です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電池と豆電球の問題: 「電池に豆電球を1個つなぐより、2個直列につないだ方が電池が長持ちするのはなぜか」といった問題は、本質的に同じ考え方を使います。回路全体の抵抗が増えることで電流が減り、電池からの総供給電力が小さくなるためです。
  • 最大仕事率の問題: 機械的な系において、ある力がする仕事率（パワー）が最大になる条件を求める問題も、数学的には類似の構造を持つことがあります。
  • インピーダンスマッチング: 交流回路において、電源から負荷へ最も効率よく電力を伝送するためには、電源の内部インピーダンスと負荷のインピーダンスを整合させる必要があります。これは、直流回路における本問の法則を交流に拡張したもので、全く同じ考え方に基づいています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「全体の電力」か「一部の電力」か？: 問題が問うている消費電力が、回路全体のものなのか、それとも特定の抵抗でのものなのかを最初に明確にします。これにより、どの電力公式を主軸に考えるべきかの方針が立ちます。
  2. 何が変数で、何が定数か？: (イ)のように抵抗値が変化する場合、その変化に伴って電流や各部の電圧も変化します。どの物理量が定数（電源電圧など）で、どの物理量が変数（可変抵抗\(R\)、電流\(I\)など）なのかを正確に把握することが、正しい立式の第一歩です。
  3. 「内部抵抗モデル」は使えないか？: 回路が「電源＋固定抵抗＋可変抵抗」という直列構成になっている場合、(イ)の別解3のように「電源＋固定抵抗」を「内部抵抗を持つ電池」とみなすことで、計算を大幅に簡略化できないか検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(P=I^2R\) の単純な比例関係の誤解:
  • 誤解: (イ)で、消費電力 \(P=I^2R\) の式を見て、「\(P\)は\(R\)に比例するから、\(R\)が大きければ大きいほど電力は大きくなる」と考えてしまう。
  • 対策: \(I\)も\(R\)の関数であることを常に意識します。\(P(R) = (I(R))^2 R\) のように、全ての変数を独立変数\(R\)で表現し直す癖をつけましょう。\(I = E/(R+r)\) を代入すれば、\(P\)が単純な比例関係ではないことが一目瞭然となります。
• 最大値を求める際の数学的処理ミス:
  • 誤解: \(P = \displaystyle\frac{E^2 R}{(R+r)^2}\) の最大値を求める際に、どう変形してよいかわからなくなる。あるいは、相加・相乗平均の関係を適用する際に、適用条件（正の数であること）を確認せずに使ってしまう。
  • 対策: 最大・最小問題には複数のアプローチがあることを知っておくと心に余裕ができます。
    1. 平方完成に似た代数変形（模範解答）
    2. 相加・相乗平均（別解1）
    3. 微分法（別解2）

    のいずれかの方法を確実にマスターしておきましょう。特に相加・相乗平均は、分母か分子に「\(x + a/x\)」の形を見つけたら適用を試みる、というパターンを覚えておくと有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ア)での \(P = V^2/R\) の選択:
  • 選定理由: 問題文で与えられているのは回路全体の電圧\(V\)と電力\(P\)であり、求めたいのは全体の抵抗\(R_{\text{全体}}\)に含まれる未知の抵抗値です。この3つの量（\(P, V, R\)）を直接結びつける公式が \(P = V^2/R\) であり、電流\(I\)を介さずに済むため、最も計算が少ない選択肢となります。
  • 適用根拠: この公式はオームの法則 \(V=IR\) と電力の基本形 \(P=IV\) から導出される (\(P=IV = I(IR) = I^2R\), \(P=IV = (V/R)V = V^2/R\)) ため、オームの法則が成り立つあらゆる回路部分に適用できます。今回は回路全体に適用しています。
• (イ)での \(P = I^2R\) の選択:
  • 選定理由: (イ)では、可変抵抗\(R\)と固定抵抗\(r\)が直列に接続されています。直列回路の最も重要な特徴は「電流がどこでも等しい」ことです。したがって、電流\(I\)を基準に考えるのが最も自然です。可変抵抗での消費電力は、この共通の電流\(I\)を用いて \(P=I^2R\) と表すのが、物理的状況を最も素直に反映した立式となります。
  • 適用根拠: この式を立てた後、電流\(I\)が\(R\)に依存すること(\(I=E/(R+r)\))を考慮して代入することで、消費電力\(P\)を独立変数\(R\)のみの関数として表現できます。これにより、数学的な最大値問題として解析することが可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  (イ)の計算では、\(E=20\), \(r=4.0\) といった数値を最初から代入すると、式が複雑になり、物理的な意味も見失いがちです。\(P = \displaystyle\frac{E^2 R}{(R+r)^2}\) のように、最後まで文字式のまま計算を進め、最大値の条件が \(R=r\) であると導き出してから、最後に \(r=4.0\) を代入するのが最も安全で、見通しの良い方法です。
• 分数関数の変形パターンの習得:
  \(P = \displaystyle\frac{E^2 R}{(R+r)^2}\) のような形の関数の最大値を求めるテクニックは頻出です。
  1. 分母・分子を\(R\)で割り、分母に「\(R + 1/R\)」の形を作る。
  2. 分母・分子を\(\sqrt{R}\)で割り、分母に「\((\sqrt{R} + 1/\sqrt{R})^2\)」の形を作る。

  このどちらかの変形パターンを覚えておき、機械的に実行できるように練習しておくと、試験本番で迷うことがなくなります。

• 物理法則による検算:
  (イ)で \(R=4.0\)Ω という答えが出たとき、「これは内部抵抗と外部抵抗が等しいという、あの法則通りの結果だな」と確認する癖をつけましょう。もし計算結果が大きく異なっていれば、どこかで計算ミスを犯した可能性が高いと気づくことができます。物理法則の知識を、計算結果の妥当性をチェックする「検算ツール」として活用することが重要です。

418 ホイートストンブリッジ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホイートストンブリッジの原理とその応用」です。未知の抵抗値を精密に測定するためのこの回路の、平衡（バランス）条件と、平衡が崩れたときに電流がどちらに流れるかを理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「スイッチSを閉じても検流計Gに電流は流れなかった」という記述が、この問題を解くための最大のヒントです。これは、点Cと点Dの電位が等しい、すなわちホイートストンブリッジが「平衡状態（バランスがとれた状態）」にあることを意味します。この平衡条件を満たすための4つの抵抗の関係式に、与えられた数値を代入するだけで答えが求まります。
この設問における重要なポイント

• 検流計に電流が流れない \(\iff\) 点Cと点Dの電位が等しい (\(V_C = V_D\))。
• ホイートストンブリッジの平衡条件式: \(\displaystyle\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x}\)。
• この式は「対辺の抵抗の積が等しい」(\(R_1 R_x = R_2 R_3\)) と覚えてもよい。

具体的な解説と立式
問題文より、スイッチSを閉じても検流計Gに電流が流れないため、点Cと点Dは等電位です。したがって、ホイートストンブリッジの平衡条件が成り立ちます。
$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} $$
この式に、与えられた抵抗値 \(R_1=10\) Ω, \(R_2=30\) Ω, \(R_3=20\) Ω を代入します。
$$ \frac{10}{30} = \frac{20}{R_x} $$

上記で立式した方程式を \(R_x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{10}{30} &= \frac{20}{R_x} \\[2.0ex] \frac{1}{3} &= \frac{20}{R_x} \\[2.0ex] R_x &= 20 \times 3 \\[2.0ex] R_x &= 60
\end{aligned}
$$

ホイートストンブリッジは、天秤のようなものです。4つの抵抗が特定のバランスをとっているとき、真ん中の検流計には電流が流れません。この問題では「電流が流れなかった」とあるので、まさに天秤が釣り合っている状態です。
釣り合いの条件は「向かい合う抵抗同士を掛け算した値が等しくなる」という簡単な式 (\(R_1 \times R_x = R_2 \times R_3\)) で表せます。これにわかっている3つの抵抗の値を当てはめて計算すると、未知の抵抗\(R_x\)の値がわかります。

抵抗\(R_x\)の抵抗値は \(60\) Ωとなります。これはホイートストンブリッジの基本的な公式の適用であり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた平衡状態から、\(R_x\)を「より抵抗値の大きな抵抗」に取りかえたことで、ブリッジの平衡が崩れます。これにより、点Cと点Dの間に電位差が生じ、検流計に電流が流れます。電流の向きを知るためには、CとDのどちらの電位が高くなったかを判断する必要があります。
電位の高低は、A点からC点までの電圧降下と、A点からD点までの電圧降下の大きさを比較することで判断できます。
この設問における重要なポイント

• 電流は電位の高い点から低い点へ流れる。
• 抵抗による電圧降下は \(V=IR\)。
• 2つの並列な経路（A→C→B と A→D→B）があり、それぞれの経路にかかる電圧は等しい（電源電圧）。
• \(R_x\)を大きくすると、A→D→Bの経路の合成抵抗が大きくなり、こちらの経路を流れる電流が小さくなる。

具体的な解説と立式
まず、平衡がとれていた状態 (\(R_x = 60\) Ω) では、点Cと点Dの電位は等しかった (\(V_C = V_D\))。
ここで、\(R_x\) をより大きな値（例えば \(R_x’ > 60\) Ω）に取りかえます。
この変更は、A→D→B という経路にのみ影響します。A→C→B の経路には何の変化もありません。

点Cの電位 \(V_C\) は、A点の電位を基準(\(V_A\))とすると、抵抗\(R_1\)による電圧降下の分だけ低くなります。
$$ V_C = V_A – I_{ACB} R_1 $$
ここで \(I_{ACB}\) はA→C→Bの経路を流れる電流です。

同様に、点Dの電位 \(V_D\) は、抵抗\(R_3\)による電圧降下の分だけ低くなります。
$$ V_D = V_A – I_{ADB} R_3 $$
ここで \(I_{ADB}\) はA→D→Bの経路を流れる電流です。

\(R_x\) を大きくすると、A→D→Bの経路の合成抵抗 (\(R_3+R_x’\)) が大きくなるため、オームの法則により、こちらの経路を流れる電流 \(I_{ADB}\) は小さくなります。
一方、A→C→Bの経路の電流 \(I_{ACB}\) は変化しません。

平衡状態では \(I_{ACB}R_1 = I_{ADB}R_3\) でした。
\(R_x\)を大きくした後は、\(I_{ADB}\) が減少するため、電圧降下 \(I_{ADB}R_3\) は元の値より小さくなります。
$$ I_{ADB}R_3 (\text{変更後}) < I_{ADB}R_3 (\text{平衡時}) $$ したがって、 $$ I_{ACB}R_1 > I_{ADB}R_3 (\text{変更後}) $$
これは、A点からの電圧降下が、C点までの方がD点までよりも大きいことを意味します。
電圧降下が大きいということは、電位がより低いということです。
よって、\(V_C < V_D\) となります。
電流は電位の高い方から低い方へ流れるので、検流計Gには D → C の向きに電流が流れます。

この設問は定性的な判断が主であり、具体的な数値計算は不要です。上記の論理的な思考プロセスが計算過程に相当します。

天秤が釣り合っている状態から、片方のお皿（\(R_x\)側）を重くした（抵抗を大きくした）と想像してください。すると、天秤は傾きます。この「傾き」が電位の差です。
抵抗\(R_x\)を大きくすると、A→D→Bのルートは電流が流れにくくなります。その結果、A点からD点までの「電圧の落ち込み」が小さくなります。一方、A→C→Bのルートは何も変わらないので、「電圧の落ち込み」も元のままです。
Aという同じ高さからスタートして、Dの方がCよりも電圧の落ち込みが小さい、ということは、D点の方がC点よりも電位が高い（標高が高い）位置にある、ということです。電流は水と同じで高い方から低い方へ流れるので、DからCへ向かって電流が流れます。

抵抗\(R_x\)を大きくすると、点Dの電位が点Cの電位よりも高くなるため、検流計にはD→Cの向きに電流が流れる。この結論は、抵抗値の変化と電位の関係を正しく考察した結果であり、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホイートストンブリッジの平衡条件:
  • 核心: この問題の根幹は、ホイートストンブリッジが平衡状態にある（検流計に電流が流れない）ための条件 \(\displaystyle\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x}\) （あるいは \(R_1 R_x = R_2 R_3\)）を正しく理解し、適用できることです。
  • 理解のポイント:
    • この条件は、点Cと点Dの電位が等しくなる (\(V_C = V_D\)) ことから導かれます。
    • A点からC点への電圧降下 (\(V_{AC}\)) とA点からD点への電圧降下 (\(V_{AD}\)) が等しくなる条件、と捉えることもできます。\(V_{AC} = I_{ACB}R_1\), \(V_{AD} = I_{ADB}R_3\) であり、また \(V_{CB} = I_{ACB}R_2\), \(V_{DB} = I_{ADB}R_x\) です。\(V_C=V_D\) のとき、\(V_{AC}=V_{AD}\) かつ \(V_{CB}=V_{DB}\) となり、これらの比をとることで平衡条件式が導出されます。
• 電流と電位の関係:
  • 核心: 「電流は必ず電位の高い点から低い点へ流れる」という、電気回路における最も基本的な原則を理解していることが、(2)を解く上で不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • ブリッジの平衡が崩れると、\(V_C\) と \(V_D\) の間に電位差が生じます。どちらの電位が高くなるかを判断することが、電流の向きを決定する全てです。
    • 電位の高低は、基準点（例えばA点やB点）からの電圧降下の大小を比較することで判断できます。抵抗値が大きいほど、あるいは電流が大きいほど、電圧降下は大きくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • メートルブリッジ（すべり抵抗線式ブリッジ）: 一様な抵抗線上の接点を動かして平衡点を探す問題です。抵抗線の長さが抵抗値に比例することを利用すれば、本質的にホイートストンブリッジと全く同じ問題として解くことができます。
  • ひずみゲージ: 抵抗体が伸び縮みすることで抵抗値がわずかに変化するセンサー（ひずみゲージ）をブリッジ回路に組み込み、その抵抗変化を電圧変化として検出する装置です。平衡がわずかに崩れたときの電圧差を求める問題などに応用されます。
  • 回路中の断線・短絡問題: ブリッジ回路の一部が断線（抵抗が無限大になる）したり、短絡（抵抗がゼロになる）したりした場合に、各部に流れる電流や電位がどうなるかを問う問題。平衡が大きく崩れた極端な例として考えることができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. ブリッジ回路の形を見抜く: 4つの抵抗がひし形に配置され、その対角線に電源と検流計（または単なる導線）が接続されている形を見たら、まずホイートストンブリッジを疑います。
  2. 平衡しているか？: 問題文に「検流計に電流が流れない」「C点とD点の電位が等しい」などの記述があれば、即座に平衡条件を適用します。
  3. 平衡が崩れている場合は？: (2)のように平衡が崩れている場合は、まず「どの抵抗が変化したか」を特定します。次に、その変化によって「どちらの経路の電流が、どう変化するか」を考え、最終的に「C点とD点の電位は、どちらが高くなるか」を判断するという思考の流れをたどります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 平衡条件式の誤記憶:
  • 誤解: \(\displaystyle\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_x}\) のように、分数の分子・分母の組み合わせを間違えて覚えてしまう。
  • 対策: 「対辺の抵抗の積が等しい」、すなわち \(R_1 R_x = R_2 R_3\) の形で覚えるのが最も間違いが少ないです。ひし形の図で、向かい合う抵抗同士を掛け算すると覚えましょう。あるいは、図の「左側の抵抗の比 (\(R_1/R_2\)) = 右側の抵抗の比 (\(R_3/R_x\))」のように、図と関連付けて覚えるのが有効です。
• 電位の高低判断の混乱:
  • 誤解: (2)で、\(R_x\)を大きくしたからD側の電位が下がる、と直感的に間違えてしまう。
  • 対策: 「電圧降下」という概念を正確に使いましょう。基準点Aからの「電圧降下」が大きいほど、その点の「電位」は低くなります。\(R_x\)を大きくすると、A→D→Bの経路の電流が小さくなるため、AからDまでの電圧降下 \(V_{AD}=I_{ADB}R_3\) は「小さく」なります。したがって、D点の電位は（C点に比べて相対的に）「高く」なります。この「電圧降下」と「電位」の関係を混同しないように注意が必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での平衡条件式の選定:
  • 選定理由: 問題の状況が「検流計に電流が流れない」という、ホイートストンブリッジの最も特徴的な状態（平衡状態）そのものであるため、この状態を記述する専用の公式である平衡条件式を使うのが最も直接的かつ効率的です。
  • 適用根拠: この公式は、キルヒホッフの法則をブリッジ回路に適用し、「検流計を流れる電流がゼロ」という条件で式を解いた結果と等価です。したがって、この条件が満たされている限り、公式を無条件に適用することが物理的に正当化されます。
• (2)での電位比較によるアプローチ:
  • 選定理由: 電流の向きを問う問題は、突き詰めれば「2点間の電位のどちらが高いか」という問題に帰着します。したがって、各点の電位を比較するというアプローチが、問題の核心に最も直接的に迫る方法となります。
  • 適用根拠: 電流が電位の高い方から低い方へ流れるのは、電場中の正電荷が受ける力の向きに対応する、電磁気学の基本原則です。また、抵抗による電圧降下はオームの法則から導かれる基本的な関係です。これらの普遍的な法則に基づいて論理を展開するため、あらゆる状況で適用できる信頼性の高い思考法です。別解のように数式で具体的に計算すれば、その論理の正しさを定量的に証明することも可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の変形は慎重に:
  (1)の計算 \( \displaystyle\frac{10}{30} = \frac{20}{R_x} \) から \(R_x\) を求める際に、焦って計算ミスをしないように注意しましょう。まず \(\displaystyle\frac{1}{3} = \frac{20}{R_x}\) と約分し、たすき掛けの要領で \(1 \times R_x = 3 \times 20\) と変形すれば、ミスを減らせます。
• 定性的な思考を重視する:
  (2)は、数値を一切使わなくても解ける問題です。
  1. \(R_x\) が増える \(\rightarrow\) ADB側の抵抗が増える
  2. \(\rightarrow\) ADB側を流れる電流が減る
  3. \(\rightarrow\) AからDまでの電圧降下 (\(I_{ADB}R_3\)) が減る
  4. \(\rightarrow\) D点の電位が（相対的に）上がる
  5. \(\rightarrow\) 電流は D から C へ流れる

  このような言葉による連鎖的な思考（因果関係の連鎖）を頭の中でスムーズに組み立てられるように練習することが、応用力を高め、計算に頼らない素早い解法につながります。

• 図への書き込み:
  (2)を考える際に、図に直接、電位の高低を書き込むと分かりやすくなります。例えば、平衡が崩れた後、D点の電位が高くなったと判断したら、Dの近くに「高」、Cの近くに「低」と書き込み、矢印をDからCへ引くことで、視覚的に答えを確認できます。これにより、思考の混乱を防ぎ、ケアレスミスを減らすことができます。

419 ホイートストンブリッジ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「メートルブリッジの原理と計算」です。これはホイートストンブリッジの応用であり、抵抗線の長さの比を利用して未知の抵抗や回路全体の特性を調べる問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア), (イ)

思考の道筋とポイント
設問(ア)と(イ)は、スイッチSをa側に倒し、ブリッジが平衡状態にあるときのことを問うています。
(ア)は、ホイートストンブリッジの平衡問題そのものです。「検流計Gに電流が流れない」という条件から、平衡条件式を立てます。この回路は「メートルブリッジ」と呼ばれるもので、抵抗線の抵抗値が長さに比例することを利用して、抵抗の比を長さの比で置き換えるのがポイントです。
(イ)は、(ア)で\(R_x\)が求まった後の計算です。回路全体を流れる電流（電流計の読み）が分かっているので、これを利用します。回路は、上側の枝（\(R\)と\(R_x\)の直列）と下側の枝（抵抗線AB）の並列接続と見なせます。キルヒホッフの電流則（全電流 = 上の電流 + 下の電流）と、オームの法則を組み合わせることで、抵抗線ABの抵抗値を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• (ア) 平衡条件: \(\displaystyle\frac{R}{R_x} = \frac{R_{\text{AP}}}{R_{\text{PB}}}\)。
• (ア) 抵抗と長さの比例関係: \(\displaystyle\frac{R_{\text{AP}}}{R_{\text{PB}}} = \frac{\text{長さAP}}{\text{長さPB}}\)。
• (イ) 回路の構造: 上の枝と下の枝の並列回路。並列部分にかかる電圧は等しい（電源電圧\(V\)）。
• (イ) キルヒホッフの第1法則: 全電流 \(I\) は、各枝を流れる電流 \(I_1, I_2\) の和に等しい (\(I = I_1 + I_2\))。

具体的な解説と立式
(ア) 求める抵抗を \(R_x\) [\(\Omega\)] とします。検流計に電流が流れないので、ホイートストンブリッジの平衡条件が成り立ちます。抵抗線の抵抗は長さに比例するため、抵抗の比は長さの比で表せます。
$$ \frac{R}{R_x} = \frac{R_{\text{AP}}}{R_{\text{PB}}} = \frac{\text{長さAP}}{\text{長さPB}} $$
問題文より、\(R=5.0 \, \Omega\), AP \( = 25 \, \text{cm}\), PB \( = 100 \, \text{cm} – 25 \, \text{cm} = 75 \, \text{cm}\) です。
$$ \frac{5.0}{R_x} = \frac{25}{75} $$
(イ) 抵抗線ABの抵抗値を \(r_{\text{AB}}\) [\(\Omega\)] とします。回路全体を流れる電流 \(I=0.30 \, \text{A}\) は、点aで上側の枝を流れる電流 \(I_1\) と下側の枝を流れる電流 \(I_2\) に分かれます。
キルヒホッフの第1法則より、
$$ I = I_1 + I_2 \quad \cdots ① $$
上側の枝には、抵抗 \(R\) と \(R_x\) が直列に接続されており、かかる電圧は電源電圧 \(V=2.0 \, \text{V}\) です。オームの法則より、
$$ I_1 = \frac{V}{R+R_x} \quad \cdots ② $$
下側の枝（抵抗線AB）にも電圧 \(V=2.0 \, \text{V}\) がかかっているので、
$$ I_2 = \frac{V}{r_{\text{AB}}} \quad \cdots ③ $$

(ア) の計算:
$$
\begin{aligned}
\frac{5.0}{R_x} &= \frac{25}{75} \\[2.0ex] \frac{5.0}{R_x} &= \frac{1}{3} \\[2.0ex] R_x &= 5.0 \times 3 \\[2.0ex] R_x &= 15 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
(イ) の計算:
まず、(ア)の結果 \(R_x=15 \, \Omega\) を用いて、②式から \(I_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \frac{2.0}{5.0+15} \\[2.0ex] &= \frac{2.0}{20} \\[2.0ex] &= 0.10 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$
次に、この結果と \(I=0.30 \, \text{A}\) を①式に代入して \(I_2\) を求めます。
$$ 0.30 = 0.10 + I_2 $$
$$ I_2 = 0.20 \, [\text{A}] $$
最後に、この \(I_2\) を③式に代入して \(r_{\text{AB}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0.20 &= \frac{2.0}{r_{\text{AB}}} \\[2.0ex] r_{\text{AB}} &= \frac{2.0}{0.20} \\[2.0ex] &= 10 \, [\Omega] \end{aligned}
$$

(ア)は、天秤が釣り合っている状態です。左の皿（\(R\)）と右の皿（\(R_x\)）の重さの比が、天秤の腕の長さの比（APとPB）と同じになります。長さが\(25 \, \text{cm}\)と\(75 \, \text{cm}\)で\(1:3\)なので、抵抗の比も\(1:3\)です。\(R\)が\(5.0 \, \Omega\)なので、\(R_x\)はその\(3\)倍の\(15 \, \Omega\)だとわかります。
(イ)は、回路全体で\(0.30 \, \text{A}\)の電流が流れている、という情報を使います。この電流は、上の道（\(R\)と\(R_x\)）と下の道（抵抗線AB）に分かれて流れます。上の道は通りにくさ（抵抗）がわかっているので、流れる電流が\(0.10 \, \text{A}\)だと計算できます。全体の電流が\(0.30 \, \text{A}\)なので、残りの \(0.30 – 0.10 = 0.20 \, \text{A}\) が下の道を流れているはずです。下の道には\(2.0 \, \text{V}\)の電圧がかかっているので、オームの法則から、下の道の通りにくさ（抵抗）は \(2.0 \, \text{V} / 0.20 \, \text{A} = 10 \, \Omega\) だと計算できます。

(ア) \(R_x\)の抵抗値は \(15 \, \Omega\)、(イ) 抵抗線ABの抵抗値は \(10 \, \Omega\)となります。どちらも物理的に妥当な値です。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
スイッチSをb側に倒すと、回路の接続が根本的に変わります。図をよく見ると、抵抗\(R\)と抵抗線AP部分(\(r_{\text{A}}\))が並列に接続され、それとは別に、抵抗\(R_x\)と抵抗線PB部分(\(r_{\text{B}}\))が並列に接続されています。そして、この「左側の並列ブロック」と「右側の並列ブロック」が直列に接続された回路になっています。
この新しい回路の全体の合成抵抗を求め、オームの法則を適用すれば、電流計が示す全体の電流を計算できます。
この設問における重要なポイント

• スイッチ切り替え後の回路の接続形態を正確に把握すること。
• 並列部分の合成抵抗の計算と、直列部分の合成抵抗の計算を段階的に行うこと。
• 抵抗線は一様なので、AP\( = 50 \, \text{cm}\)なら、その抵抗値は全抵抗の半分になる。

具体的な解説と立式
スイッチをb側に倒し、Pを中央（AP\( = 50 \, \text{cm}\)）に移動させます。
抵抗線ABの全抵抗は(イ)より \(r_{\text{AB}}=10 \, \Omega\)です。Pが中央にあるので、AP間の抵抗 \(r_{\text{A}}\) とPB間の抵抗 \(r_{\text{B}}\) は、
$$
\begin{aligned}
r_{\text{A}} &= r_{\text{B}} \\[2.0ex] &= \frac{10}{2} \\[2.0ex] &= 5.0 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
このとき、回路は図2のように、\(R\)と\(r_{\text{A}}\)の並列部分と、\(R_x\)と\(r_{\text{B}}\)の並列部分が直列につながったものと見なせます。
左側の並列部分の合成抵抗を \(R_A\) とすると、
$$ \frac{1}{R_A} = \frac{1}{R} + \frac{1}{r_{\text{A}}} $$
右側の並列部分の合成抵抗を \(R_B\) とすると、
$$ \frac{1}{R_B} = \frac{1}{R_x} + \frac{1}{r_{\text{B}}} $$
回路全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) は、\(R_A\) と \(R_B\) の直列合成なので、
$$ R_{\text{全体}} = R_A + R_B $$
求める電流 \(I_0\) は、オームの法則より、
$$ I_0 = \frac{V}{R_{\text{全体}}} $$

各値を代入して、\(R_A\) と \(R_B\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R_A} &= \frac{1}{5.0} + \frac{1}{5.0} \\[2.0ex] &= \frac{2}{5.0}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
R_A &= \frac{5.0}{2} \\[2.0ex] &= 2.5 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R_B} &= \frac{1}{15} + \frac{1}{5.0} \\[2.0ex] &= \frac{1}{15} + \frac{3}{15} \\[2.0ex] &= \frac{4}{15}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
R_B &= \frac{15}{4} \\[2.0ex] &= 3.75 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
次に、全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
R_{\text{全体}} &= R_A + R_B \\[2.0ex] &= 2.5 + 3.75 \\[2.0ex] &= 6.25 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
最後に、全体の電流 \(I_0\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \frac{2.0}{6.25} \\[2.0ex] &= \frac{2}{25/4} \\[2.0ex] &= \frac{8}{25} \\[2.0ex] &= \frac{32}{100} \\[2.0ex] &= 0.32 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$

スイッチを切り替えたことで、回路は「左のブロック」と「右のブロック」が直列につながった形に変わりました。
まず「左のブロック」の通りにくさ（合成抵抗）を計算します。これは\(5.0 \, \Omega\)の抵抗が\(2\)つ並列なので、合成抵抗は半分の\(2.5 \, \Omega\)です。
次に「右のブロック」の通りにくさを計算します。これは\(15 \, \Omega\)と\(5.0 \, \Omega\)の並列なので、計算すると\(3.75 \, \Omega\)になります。
回路全体としては、\(2.5 \, \Omega\)と\(3.75 \, \Omega\)が直列につながっているので、全体の通りにくさは足し算して \(2.5 + 3.75 = 6.25 \, \Omega\) です。
全体の電圧は\(2.0 \, \text{V}\)なので、オームの法則から、流れる電流は \(2.0 \, \text{V} / 6.25 \, \Omega = 0.32 \, \text{A}\) となります。

電流計の読みは \(0.32 \, \text{A}\) となります。回路の合成抵抗が \(6.25 \, \Omega\)となり、(ア)(イ)の状況での合成抵抗 \(20/3 \approx 6.67 \, \Omega\) と近い値になっていることから、電流値も \(0.30 \, \text{A}\) に近い \(0.32 \, \text{A}\) という妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• メートルブリッジの原理:
  • 核心: この問題は、ホイートストンブリッジの一種である「メートルブリッジ」を扱っています。その核心は、一様な抵抗線の抵抗値が長さに比例するという性質を利用して、抵抗の比を長さの比に置き換える点にあります。
  • 理解のポイント:
    • (ア)の平衡条件 \(\displaystyle\frac{R}{R_x} = \frac{R_{\text{AP}}}{R_{\text{PB}}}\) が、長さの比 \(\displaystyle\frac{AP}{PB}\) で計算できるのはこの原理に基づいています。この置き換えができることが、メートルブリッジの存在意義そのものです。
• 回路の接続形態の読解力:
  • 核心: スイッチSの切り替えによって、回路のトポロジー（接続の仕方）が根本的に変わることを正確に読み取る能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • Sがa側（平衡状態）: 回路は「上の枝（\(R\)と\(R_x\)の直列）」と「下の枝（抵抗線AB）」の並列接続です。検流計Gは、この二つの枝をつなぐ「橋」の役割をしています。
    • Sがb側（(ウ)の状態）: 回路は「左のブロック（\(R\)と\(r_A\)の並列）」と「右のブロック（\(R_x\)と\(r_B\)の並列）」の直列接続に変わります。この接続関係の変化を見抜けるかどうかが(ウ)を解く鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電位差計（ポテンショメータ）: 抵抗線上の電圧降下を利用して、未知の起電力や電圧を精密に測定する装置です。抵抗線の長さと電位が比例することを利用する点で、メートルブリッジと共通の物理原理に基づいています。
  • 複雑な合成抵抗問題: 一見して直列か並列かわからない複雑な回路でも、スイッチの切り替えや一部の断線・短絡によって、より単純な接続（直列・並列の組み合わせ）に変化することがあります。本問の(ウ)のように、変化後の回路図を自分で描き直し、接続関係を整理するスキルが応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「検流計に電流が流れない」を探す: この一文があれば、即座にホイートストンブリッジの平衡条件を適用します。抵抗線の場合は、抵抗比を長さの比に置き換えます。
  2. スイッチの役割を特定する: スイッチが回路のどこにあり、倒すことでどの部分がどのように接続されるのかを、指でなぞるなどして確実に確認します。特に(ウ)のように回路構造が大きく変わる場合は、簡単な図を自分で描き直すのが最も確実です。
  3. 電流計・電圧計の位置を確認する: 電流計が「回路全体」の電流を測っているのか、それとも「特定の枝」の電流を測っているのかで、立てるべき式が変わります。本問の電流計は、電池の直後にあり、回路全体の電流を測定しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• (ウ)の回路接続の誤解:
  • 誤解: スイッチをb側に倒しても、\(R\)と\(R_x\)が直列、\(r_A\)と\(r_B\)が直列で、それらが並列になっている、と(ア)(イ)の状況を引きずって考えてしまう。
  • 対策: スイッチ切り替え後は、電流の流れを最初から追い直すことが不可欠です。電池から出た電流がa点で合流し、\(R\)と\(r_A\)に分流する。その後P点で合流し、\(R_x\)と\(r_B\)に分流し、b点で合流して電池に戻る、という流れを丁寧に追跡します。これにより、「(\(R\)と\(r_A\)の並列)」と「(\(R_x\)と\(r_B\)の並列)」が直列になっている、という正しい接続形態を把握できます。
• 抵抗と長さの比例関係の適用ミス:
  • 誤解: 抵抗線の全長が\(1.00 \, \text{m}\)、全抵抗が\(10 \, \Omega\)であることから、AP間の抵抗を計算する際に、単位を間違える（例: \(25 \, \text{cm}\)を\(0.25 \, \text{m}\)に直さずに計算するなど）。
  • 対策: 抵抗線の抵抗値は、\((\text{全体の抵抗}) \times \frac{(\text{部分の長さ})}{(\text{全体の長さ})}\) で計算できます。このとき、分子と分母の長さの単位が揃ってさえいれば（cmとcm、mとm）、計算は可能です。例えば、AP間の抵抗は \(10 \,[\Omega] \times \frac{25 \,[\text{cm}]}{100 \,[\text{cm}]} = 2.5 \,[\Omega]\) と計算できます。単位換算で混乱するより、比で考える方が安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ア)での平衡条件の適用:
  • 選定理由: 「検流計に電流が流れない」という、メートルブリッジ（ホイートストンブリッジ）の最も特徴的な状況が与えられているため、この状況を記述する専用の公式である平衡条件式を用いるのが最も合理的です。
  • 適用根拠: この公式は、点Pと点Oの電位が等しいという物理的条件を、抵抗値の関係に翻訳したものです。この条件が成立している限り、公式の適用は完全に正当化されます。
• (イ)でのキルヒホッフの法則の適用:
  • 選定理由: 回路全体の電流と、各枝に分流する電流の関係を扱う問題であるため、電流の分岐・合流に関する基本法則であるキルヒホッフの第1法則（電流則）を用いるのが最も自然なアプローチです。
  • 適用根拠: キルヒホッフの法則は、電荷量保存則（電流則）とエネルギー保存則（電圧則）を回路に適用したものであり、あらゆる定常電流回路で成り立つ普遍的な法則です。したがって、どのような状況でも安心して適用できます。
• (ウ)での合成抵抗の計算:
  • 選定理由: 回路全体の電流を求めるためには、まず回路全体の抵抗値を求める必要があります。回路が直列・並列の組み合わせで構成されているため、各部分の合成抵抗を段階的に計算し、最後に全体の合成抵抗を求めるという手順が最も体系的で分かりやすいです。
  • 適用根拠: 並列・直列合成抵抗の公式は、オームの法則とキルヒホッフの法則を、典型的な接続パターンに対して一般化したものです。回路の接続形態を正しく把握して適用すれば、全体の抵抗値を正確に求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 段階的な計算を徹底する:
  (ウ)のように複雑な回路では、いきなり一つの式で全体の合成抵抗を求めようとせず、
  1. 左の並列部分の合成抵抗 \(R_A\) を計算する。
  2. 右の並列部分の合成抵抗 \(R_B\) を計算する。
  3. 最後にそれらを足して全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) を求める。

  このように、問題を小さなステップに分割して一つずつ確実に計算していくことが、ミスを防ぐ上で非常に重要です。

• 分数計算を丁寧に行う:
  並列抵抗の計算では、逆数の和 (\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)) が頻出します。通分や、最後に逆数に戻す操作（\(R = \dots\) の形にする）でミスが起こりがちです。特に、\(R_B\) の計算 \(\frac{1}{15} + \frac{1}{5.0} = \frac{1+3}{15} = \frac{4}{15}\) から \(R_B = \frac{15}{4}\) とするところは、慌てずに丁寧に行いましょう。
• 単位と有効数字の確認:
  この問題では有効数字は厳密に問われていませんが、普段から意識する癖は大切です。与えられている数値が2桁または3桁なので、最終的な答えもそれに合わせるのが基本です。また、計算途中で中途半端に丸めず、分数や小数のまま最後まで計算を進めることが、精度を保つ上で重要です。\(R_B = 3.75\) のように、割り切れる小数はそのまま使って問題ありません。

420 電位差計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位差計の原理と計算」です。検流計に電流が流れない「ゼロ電流法」を用いて、電池の内部抵抗に影響されずに正確な起電力を測定する仕組みを理解することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題の核心的な条件は「検流計に電流が流れなかった」という点です。これは、電池E₁を含む下側の回路（経路2）には電流が一切流れていないことを意味します。したがって、電流計で測定された電流 \(I = 0.50 \, \text{A}\) は、電源E、抵抗R、抵抗線ABからなる上側の回路（経路1）のみを流れていることになります。この単純化された直列回路に対して、キルヒホッフの第2法則（電圧則）を適用すれば、未知の抵抗値 \(R_0\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 検流計の電流が \(0\) のとき、下側の分岐回路は電気的に切り離されている（断線している）と見なせる。
• 電流 \(I\) は、E、R、\(R_0\) のみで構成される単純な直列回路を流れる。
• 直列回路では、電源の起電力は、回路全体の各抵抗での電圧降下の和に等しい。

具体的な解説と立式
検流計に電流が流れないため、電流 \(I = 0.50 \, \text{A}\) は、電源E、抵抗R、抵抗線AB(\(R_0\))からなる上側の閉回路（経路1）のみを流れます。
この閉回路にキルヒホッフの第2法則を適用します。電源Eによる電圧の上昇（起電力）は、抵抗Rと抵抗線AB(\(R_0\))における電圧降下の和に等しくなります。
$$ E = RI + R_0 I $$
これを変形すると、
$$ E = (R + R_0)I $$

上記で立式した \(E = (R + R_0)I\) を \(R_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
R + R_0 &= \frac{E}{I} \\[2.0ex] R_0 &= \frac{E}{I} – R
\end{aligned}
$$
この式に、問題文で与えられた値 \(E=10 \, \text{V}\)、\(I=0.50 \, \text{A}\)、\(R=10 \, \Omega\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
R_0 &= \frac{10}{0.50} – 10 \\[2.0ex] &= 20 – 10 \\[2.0ex] &= 10 \, [\Omega] \end{aligned}
$$

「検流計に電流が流れない」というのは、下の道（経路2）が通行止めになっているのと同じです。なので、電流は上の道（経路1）だけを通ります。この道には、\(10 \, \text{V}\) の力で電流を送り出す電池Eと、行く手を阻む2つの抵抗（\(R\) と \(R_0\)）があります。オームの法則の応用で、「全体の電圧 \(=\) 全体の抵抗 \(\times\) 電流」が成り立ちます。全体の電圧は \(10 \, \text{V}\)、電流は \(0.50 \, \text{A}\) とわかっているので、全体の抵抗が \(10 \div 0.50 = 20 \, \Omega\) だと計算できます。このうち、抵抗Rが \(10 \, \Omega\) を占めているので、残りの抵抗線ABの抵抗 \(R_0\) は \(20 – 10 = 10 \, \Omega\) となります。

抵抗線ABの抵抗値 \(R_0\) は \(10 \, \Omega\) と求められました。これは問題の設定に対して妥当な値です。この結果は、次の設問(2)以降の計算の基礎となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
再び「検流計に電流が流れなかった」という条件に注目します。これは、接点P₁の電位と、電池E₁の負極側の電位が等しくなったことを意味します。このとき、A点とP₁点の間の電位差（電圧降下）\(V_1\) が、電池E₁の起電力 \(E_1\) とちょうど等しくなります。なぜなら、E₁から電流が流れ出ていないので、その内部抵抗 \(r_1\) による電圧降下（\(r_1 \times 0\)）は \(0\) だからです。
まず、この関係式 \(V_1 = E_1\) とオームの法則 \(V_1 = R_1 I\) を使って、AP₁間の抵抗値 \(R_1\) を求めます。次に、抵抗線ABは一様なので、抵抗値が長さに比例することを利用して、距離 \(l_1\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 検流計の電流が \(0\) となる条件は、AP₁間の電圧降下 \(V_1\) が、測定したい電池の起電力 \(E_1\) に等しくなること。(\(V_1 = E_1\))
• この測定方法（ゼロ電流法）の利点は、測定対象の電池の内部抵抗 \(r_1\) の影響を受けずに起電力を正確に測れる点にある。
• 一様な抵抗線では、部分の抵抗値と全体の抵抗値の比は、部分の長さと全体の長さの比に等しい。(\(\displaystyle\frac{R_1}{R_0} = \frac{l_1}{l_0}\))

具体的な解説と立式
検流計を含む下側の閉回路（経路2）に着目します。A点からP₁を経由してA点に戻るループを考えると、キルヒホッフの第2法則より、電位の変化の和は \(0\) になります。
A点からP₁への電位降下を \(V_1\) とします。P₁から電池E₁の負極、正極を通ってA点に戻ると、電位は \(E_1\) だけ上昇します。検流計の電流は \(0\) なので、電池E₁の内部抵抗 \(r_1\) による電圧降下は \(0\) です。
したがって、以下の式が成り立ちます。
$$ E_1 – V_1 = 0 $$
よって、
$$ V_1 = E_1 \quad \cdots ① $$
一方、AP₁間の抵抗値を \(R_1\) とすると、この部分の電圧降下 \(V_1\) はオームの法則より次のように表せます。
$$ V_1 = R_1 I \quad \cdots ② $$
①、②より、
$$ E_1 = R_1 I $$
また、抵抗線ABは一様なので、抵抗値は長さに比例します。全体の長さ \(l_0 = 100 \, \text{cm}\)、全体の抵抗 \(R_0 = 10 \, \Omega\) を使うと、AP₁間の長さ \(l_1\) と抵抗 \(R_1\) の間には以下の比例関係が成り立ちます。
$$ \frac{R_1}{R_0} = \frac{l_1}{l_0} $$

まず、\(E_1 = R_1 I\) の関係から \(R_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
R_1 &= \frac{E_1}{I} \\[2.0ex] &= \frac{1.5}{0.50} \\[2.0ex] &= 3.0 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
次に、抵抗と長さの比例式 \(\displaystyle\frac{R_1}{R_0} = \frac{l_1}{l_0}\) を \(l_1\) について解き、求めた \(R_1 = 3.0 \, \Omega\) と、(1)で求めた \(R_0 = 10 \, \Omega\)、および \(l_0 = 100 \, \text{cm}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
l_1 &= l_0 \times \frac{R_1}{R_0} \\[2.0ex] &= 100 \times \frac{3.0}{10} \\[2.0ex] &= 30 \, [\text{cm}] \end{aligned}
$$

下の回路の電池E₁は、A点とP₁点の間に「\(1.5 \, \text{V}\) の電圧を作ろう！」と頑張っています。一方、上の回路は、抵抗線AP₁の部分に「\(V_1\) の電圧」をかけています。この二つの電圧がちょうど綱引きで引き分けた状態になると、電流が流れなくなります。つまり、AP₁間の電圧 \(V_1\) が \(1.5 \, \text{V}\) になったということです。
上の回路には \(0.50 \, \text{A}\) の電流が流れているので、オームの法則から、\(1.5 \, \text{V}\) の電圧を生み出す抵抗値は \(1.5 \div 0.50 = 3.0 \, \Omega\) だとわかります。
抵抗線全体（\(100 \, \text{cm}\)）の抵抗は(1)で \(10 \, \Omega\) とわかっているので、\(3.0 \, \Omega\) という抵抗値は、全体の \(3.0/10 = 30\%\) にあたります。したがって、長さも全体の \(30\%\) である \(100 \, \text{cm} \times 0.3 = 30 \, \text{cm}\) となります。

AP₁間の距離 \(l_1\) は \(30 \, \text{cm}\) と求められました。これは抵抗線ABの全長 \(100 \, \text{cm}\) の中に収まる物理的に妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電池をE₁からE₂に交換しても、電位差計の基本的な構造は変わりません。主回路（E, R, \(R_0\)）には依然として同じ電流 \(I = 0.50 \, \text{A}\) が流れています。
検流計に電流が流れない条件は、今度は「AP₂間の電圧降下 \(V_2\) が、電池E₂の起電力 \(E_2\) に等しい」ことになります。
(2)と同様の考え方で、\(E_1\) が長さ \(l_1\) に対応し、\(E_2\) が長さ \(l_2\) に対応することから、起電力と長さの間に比例関係が成り立つことを利用するのが最も簡潔です。
この設問における重要なポイント

• 主回路の電流 \(I\) は、測定対象の電池を交換しても変化しない。
• ゼロ電流法の釣り合い条件 \(E = V = (RI)\) において、\(I\) が一定なので、起電力 \(E\) は対応する部分の抵抗 \(R\) に比例する。(\(E \propto R\))
• 一様な抵抗線なので抵抗 \(R\) は長さ \(l\) に比例する。(\(R \propto l\))
• 以上のことから、測定される起電力 \(E\) は、釣り合いがとれる抵抗線の長さ \(l\) に正比例する。(\(E \propto l\))

具体的な解説と立式
設問(2)と同様に、検流計に電流が流れないとき、以下の関係が成り立ちます。
電池E₁の場合:
$$ E_1 = R_1 I $$
ここで \(R_1\) はAP₁間の抵抗値です。
電池E₂の場合:
$$ E_2 = R_2 I $$
ここで \(R_2\) はAP₂間の抵抗値です。

上の2式の比をとると、電流 \(I\) が消去できます。
$$ \frac{E_2}{E_1} = \frac{R_2}{R_1} $$
抵抗線は一様なので、抵抗値は長さに比例します。
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} $$
したがって、起電力と長さの間に次の比例関係が成り立ちます。
$$ \frac{E_2}{E_1} = \frac{l_2}{l_1} $$

立式した比例式 \( \displaystyle\frac{E_2}{E_1} = \frac{l_2}{l_1} \) を \(E_2\) について解きます。
$$ E_2 = E_1 \times \frac{l_2}{l_1} $$
この式に、与えられた値 \(E_1 = 1.5 \, \text{V}\)、\(l_2 = 10 \, \text{cm}\) と、(2)で求めた \(l_1 = 30 \, \text{cm}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= 1.5 \times \frac{10}{30} \\[2.0ex] &= 1.5 \times \frac{1}{3} \\[2.0ex] &= 0.50 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$

この電位差計は、電池の「電圧」を抵抗線の「長さ」という物差しで測る装置です。(2)の結果から、「\(1.5 \, \text{V}\) という電圧は、長さ \(30 \, \text{cm}\) に相当する」という対応関係がわかりました。
今回は、長さが \(10 \, \text{cm}\) のところで釣り合ったので、その場所が相当する電圧を求めればよいわけです。長さが \(30 \, \text{cm}\) から \(10 \, \text{cm}\) へと \(\frac{1}{3}\) になったのですから、対応する電圧も \(\frac{1}{3}\) になるはずです。
したがって、求める電圧は \(1.5 \, \text{V} \times \frac{1}{3} = 0.50 \, \text{V}\) となります。

電池E₂の起電力は \(0.50 \, \text{V}\) と求められました。起電力と長さの比例関係を用いることで、非常に簡潔に計算できます。これが電位差計が精密な電圧測定に用いられる理由の一つです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ゼロ電流法の原理:
  • 核心: この問題の根幹は、「検流計に電流が流れない」という条件が何を意味するかを物理的に理解することです。これは、検流計が接続されている2点間の電位が完全に等しい状態（電位差が0）を意味します。
  • 理解のポイント:
    • 理想的な電圧測定: 通常の電圧計は内部抵抗が有限なため、測定したい部分に接続するとわずかに電流が流れ、測定対象の回路の状態を乱してしまいます。しかし、電位差計のゼロ電流法では、測定対象の電池（E₁やE₂）から電流を一切引き出さない（内部抵抗による電圧降下 \(Ir\) が \(0\) になる）ため、電池の「起電力」そのものを極めて正確に測定できます。
    • 電位の綱引き: 検流計が0を示す状態は、主回路が抵抗線AP間に作る電位差と、副回路の電池が作ろうとする起電力が、ちょうど釣り合って「綱引き」をしている状態とイメージできます。この釣り合いの条件式（例: \(V_{AP_1} = E_1\)）を立てることが、全ての計算の出発点となります。
• 一様な抵抗線の性質:
  • 核心: 「抵抗線ABが長さ \(100 \, \text{cm}\) の一様な抵抗線」という記述は、抵抗線のどの部分を取っても、その抵抗値が長さに厳密に比例することを保証しています。
  • 理解のポイント:
    • 抵抗と長さの比例関係: この性質により、\(\displaystyle\frac{R_1}{R_0} = \frac{l_1}{l_0}\) のような比例式を立てることができ、直接測定が難しい抵抗値の比を、測定が容易な長さの比に置き換えることが可能になります。
    • 電位の直線的変化: 抵抗線に一定の電流を流すと、電位はA点からB点に向かって直線的に（一次関数的に）減少していきます。このため、抵抗線は「電圧を長さに変換する物差し」として機能し、接点の位置（長さ）から電圧を読み取ることができるのです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホイートストンブリッジ: 未知の抵抗値を測定するホイートストンブリッジも、検流計の電流が0になる「平衡条件」を利用する点で、電位差計と共通の原理に基づいています。ブリッジの平衡条件（たすき掛けの抵抗の積が等しい）は、まさに「検流計の両端の電位が等しい」ことから導かれます。
  • 内部抵抗の測定: 電位差計を少し応用すると、電池の内部抵抗を測定することもできます。まず起電力を測定し、次にその電池に外部抵抗を接続して電流を流したときの端子電圧を測定します。この二つの値の差から、内部抵抗による電圧降下を計算し、内部抵抗を求めることができます。
  • 熱電対の起電力測定: 温度差によって微小な起電力を生じる熱電対の起電力を精密に測定する際にも、電位差計が用いられます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「検流計」または「ガルバノメーター」の文字を探す: 回路図にこれらの素子があり、「電流が0になった」「針が振れなかった」という記述があれば、それは「ゼロ電流法」の問題であると即座に判断します。
  2. 回路を2つに分解する: ゼロ電流法の問題は、必ず「主回路（電源側）」と「副回路（測定対象側）」に分かれています。まず、電流が流れている主回路はどのような構成か（直列か、並列か）を把握します。次に、電流が流れていない副回路のどの部分の電位差が、主回路のどの部分の電位差と釣り合っているのかを特定します。
  3. 「一様」という言葉に注目: 抵抗線や導線について「一様」という言葉があれば、それは「抵抗値は長さに比例する」というヒントです。長さの比と抵抗の比を相互に変換できることを念頭に置きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 主回路の電流計算の誤り:
  • 誤解: 測定対象の電池（E₁など）を接続すると、主回路を流れる電流 \(I\) も変化するのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 検流計に電流が流れない限り、副回路は主回路から電気的に完全に独立しています。したがって、主回路を流れる電流 \(I\) は、電源E、抵抗R、抵抗線AB(\(R_0\))のみで決まり、副回路に何を接続しても（あるいは何も接続しなくても）一定である、と理解することが重要です。
• 内部抵抗の扱い:
  • 誤解: 釣り合いの条件を考える際に、測定対象の電池の内部抵抗 \(r_1\) を式に含めてしまう（例: \(V_1 = E_1 – I_1 r_1\) のように考えてしまう）。
  • 対策: 「検流計の電流が0」であることの意味を再確認します。副回路には電流が流れていない（\(I_1=0\)）ので、内部抵抗による電圧降下 \(I_1 r_1\) は必ず \(0\) になります。したがって、端子電圧は起電力に等しくなります。これがゼロ電流法の最大の利点であることを常に意識しましょう。
• 電位差の取り方の混乱:
  • 誤解: 釣り合いの条件で、どの部分の電位差を比較すればよいかわからなくなる。
  • 対策: 回路図のA点のように、主回路と副回路で共通の接続点（電位の基準点）を見つけます。釣り合いの条件は、この基準点からもう一方の接続点（P₁など）までの、主回路側を通ったときの電位差と、副回路側を通ったときの電位差が等しくなる、と考えるのが基本です。必ず、電池のプラス・マイナスの向きを確認し、電位が上がるのか下がるのかを正確に追跡します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第2法則（電圧則）:
  • 選定理由: (1)では、閉じた回路（主回路）における抵抗と電流、起電力の関係を調べる必要がありました。このような閉回路全体の電圧の関係を記述する普遍的な法則がキルヒホッフの第2法則です。
  • 適用根拠: 「閉回路を一周すると電位は元の高さに戻る」というエネルギー保存則の電気回路における表現であり、どんな複雑な回路にも適用できる基本法則です。特に、複数の抵抗と電源が含まれる回路では、この法則を用いることで方程式を立てることができます。
• 抵抗と長さの比例関係 (\(R \propto l\)):
  • 選定理由: (2)では、計算で求めた抵抗値 \(R_1\) を、問題で問われている長さ \(l_1\) に変換する必要がありました。この変換を可能にするのが、「一様な抵抗線」という条件から導かれるこの比例関係です。
  • 適用根拠: 「一様」とは、材質や断面積がどこでも同じであることを意味します。抵抗値は \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\)（\(\rho\): 抵抗率, \(l\): 長さ, \(S\): 断面積）で表されるため、\(\rho\) と \(S\) が一定ならば、抵抗値 \(R\) は長さ \(l\) にのみ比例します。この物理的な背景があるため、抵抗の比を長さの比で置き換える操作が正当化されます。
• 起電力と長さの比例関係 (\(E \propto l\)):
  • 選定理由: (3)では、(2)の結果を利用して、より効率的に \(E_2\) を求めるためにこの関係を選びました。
  • 適用根拠: 釣り合いの条件は \(E = V_{AP} = R_{AP} I\) です。この電位差計では主回路の電流 \(I\) が一定です。また、一様な抵抗線なので \(R_{AP}\) は長さ \(l_{AP}\) に比例します。したがって、\(E \propto R_{AP} \propto l_{AP}\) という関係が成り立ちます。この論理的な連鎖により、起電力と長さの単純な比例式を立てることができ、計算を大幅に簡略化できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を意識した立式: (2)の別解のように電位勾配を計算する場合、単位は [V/cm] や [V/m] になります。計算の各段階で単位を書き添えることで、自分が今何を計算しているのか（電圧か、抵抗か、長さか、電位勾配か）を明確に意識でき、混乱を防げます。
• 比例式の活用: (3)のように「〜を〜に変えたら、〜はどうなるか」という形式の問題では、比例式を立てるのが最も安全で速い方法です。\( \displaystyle\frac{E_2}{E_1} = \frac{l_2}{l_1} \) のように、変化前と変化後の量の比を取ることで、共通の定数（この場合は電流 \(I\) や抵抗線の比例定数）が自動的に消去され、計算がシンプルになりミスが減ります。
• 有効数字の確認: この問題では \(0.50 \, \text{A}\) や \(1.5 \, \text{V}\) など、有効数字2桁で与えられている数値が多いです。最終的な答えも、特に指示がなければ有効数字2桁で答えるのが適切です。計算途中で割り切れない場合は3桁程度まで残しておき、最後に四捨五入すると誤差が少なくなります。今回の問題では全て割り切れるため、その心配は不要です。
• 検算の習慣: (2)で求めた \(l_1 = 30 \, \text{cm}\) を使って、AP₁間の電圧降下を逆算してみましょう。\(R_1 = R_0 \times \displaystyle\frac{l_1}{l_0} = 10 \times \frac{30}{100} = 3.0 \, \Omega\)。\(V_1 = R_1 I = 3.0 \times 0.50 = 1.5 \, \text{V}\)。これは電池E₁の起電力 \(1.5 \, \text{V}\) と一致します。このように簡単な検算を挟むことで、計算ミスをその場で発見できます。

421 電流－電圧特性曲線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「非線形抵抗を含む回路の解析」です。通常の抵抗（線形抵抗）のように電圧と電流が比例しない素子（この問題では電球）が含まれる回路の動作点を、グラフを用いて求める方法を理解することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図2は、3つの同一の電球が直列に接続された単純な回路です。直列接続なので、回路のどの部分を流れる電流も同じ値 \(I\) となります。また、3つの電球は全く同じものなので、それぞれにかかる電圧も等しくなります。電源の起電力は \(12 \, \text{V}\) で、他に抵抗はないため、この \(12 \, \text{V}\) が3つの電球に均等に分配されると考えられます。これにより、電球1個あたりの電圧を計算し、その電圧に対応する電流を図1のグラフから読み取ります。
この設問における重要なポイント

• 直列回路では、電流はどこでも同じ。
• 同一の素子を直列に接続した場合、全体の電圧は素子の数で均等に分割される。
• 電球の動作（流れる電流）は、図1のグラフによって決まる。

具体的な解説と立式
図2の回路では、3つの同じ電球が直列に接続されています。電源の起電力は \(12 \, \text{V}\) で、電池の内部抵抗や他の抵抗は存在しません。
したがって、電源電圧 \(12 \, \text{V}\) は、3つの電球に等しく分配されます。
電球1個あたりにかかる電圧を \(V_1\) とすると、
$$ V_1 = \frac{12}{3} $$

電球1個あたりにかかる電圧 \(V_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{12}{3} \\[2.0ex] &= 4.0 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$
次に、この電圧 \(V_1 = 4.0 \, \text{V}\) のときに電球に流れる電流 \(I\) を、図1のグラフから読み取ります。
グラフの横軸（電圧）が \(4.0 \, \text{V}\) の点を探し、そこから真上に線を延ばして特性曲線との交点を見つけます。その交点の縦軸（電流）の値を読み取ると、\(0.50 \, \text{A}\) となっています。
したがって、回路に流れる電流 \(I\) は \(0.50 \, \text{A}\) です。

3人の同じ人が、\(12\)個のケーキを分けるようなものです。公平に分けると、1人あたり \(12 \div 3 = 4\) 個のケーキをもらえます。この問題では、3つの同じ電球が \(12 \, \text{V}\) の電圧を分け合っているので、1個の電球には \(4.0 \, \text{V}\) の電圧がかかります。
あとは、図1の「電球の性能カタログ」を見て、「電圧が \(4.0 \, \text{V}\) のとき、電流はいくつ流れますか？」という問いに答えるだけです。グラフを見ると、\(4.0 \, \text{V}\) のとき、電流は \(0.50 \, \text{A}\) となっているので、これが答えになります。

回路に流れる電流 \(I\) は \(0.50 \, \text{A}\) と求められました。グラフから値を正確に読み取ることができれば、簡単な計算で解ける問題です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図3は、抵抗と電球が混在した並直列回路であり、(1)のように単純には解けません。このような非線形抵抗を含む回路を解くための定石が「グラフィカル解析」です。
方針は、電球1個にかかる電圧を \(V\)、流れる電流を \(I\) として、この \(V\) と \(I\) が満たすべき関係式を2つ見つけることです。
1つ目の関係式は、電球自身の特性である図1のグラフそのものです。
2つ目の関係式は、キルヒホッフの法則を用いて、回路の構造から導かれる \(V\) と \(I\) の関係式です。この式は直線の方程式になるため、「負荷線」と呼ばれます。
この2つの関係（曲線と直線）を同じグラフ上に描き、その交点が、この回路で実際に実現する電圧 \(V\) と電流 \(I\) の値（動作点）となります。
この設問における重要なポイント

• 非線形抵抗を含む回路では、素子の特性（グラフ）と回路の条件（キルヒホッフの法則から導く式）の連立方程式を解く。
• 解法は、グラフの交点を見つけるグラフィカル解析が基本。
• 回路の構造を正しく把握し、キルヒホッフの法則を適用して、電球の電圧 \(V\) と電流 \(I\) の関係式（負荷線）を導出する。

具体的な解説と立式
図3の回路において、電球1個に流れる電流を \(I\)、かかる電圧を \(V\) とします。
2つの電球は並列に接続されているので、それぞれにかかる電圧は等しく \(V\) です。
電流計を流れる電流 \(I_A\) は、2つの電球に流れる電流の和となります。
$$ I_A = 2I $$
この電流 \(I_A = 2I\) が、\(10 \, \Omega\) の抵抗を流れます。
ここで、電源、\(10 \, \Omega\) の抵抗、電球の並列部分を含む閉回路に、キルヒホッフの第2法則を適用します。
電源の起電力 \(8.0 \, \text{V}\) は、\(10 \, \Omega\) の抵抗での電圧降下と、電球1個にかかる電圧 \(V\) の和に等しくなります。
\(10 \, \Omega\) の抵抗での電圧降下は、オームの法則より \(10 \times I_A = 10 \times (2I) = 20I\) です。
したがって、キルヒホッフの第2法則より、
$$ 8.0 = 20I + V \quad \cdots ① $$
この式①が、回路が電球に課す条件（負荷線）を表します。
一方、電球の \(V\) と \(I\) は、図1の特性曲線の関係も同時に満たさなければなりません。

式①を、グラフに描きやすいように \(I\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
20I &= 8.0 – V \\[2.0ex] I &= \frac{8.0 – V}{20} \\[2.0ex] I &= -\frac{1}{20}V + \frac{8.0}{20} \\[2.0ex] I &= -0.05V + 0.40
\end{aligned}
$$
この直線（負荷線）を図1のグラフに重ねて描きます。直線を描くには2点あれば十分です。

• \(V=0\) のとき（縦軸との切片）: \(I = 0.40 \, \text{A}\)。点 \((0, 0.40)\) を通る。
• \(I=0\) のとき（横軸との切片）:
  $$
  \begin{aligned}
  0 &= -0.05V + 0.40 \\[2.0ex] 0.05V &= 0.40 \\[2.0ex] V &= 8.0 \, [\text{V}] \end{aligned}
  $$
  点 \((8.0, 0)\) を通る。

この2点を結ぶ直線をグラフに描くと、電球の特性曲線と点 \((V, I) = (2.0, 0.30)\) で交わることが読み取れます。

（計算で確認：\(V=2.0\) を負荷線の式に代入すると \(I = -0.05 \times 2.0 + 0.40 = -0.10 + 0.40 = 0.30\)。これはグラフの曲線上の点と一致する。）

したがって、この回路が動作するときの電球1個あたりの電流は \(I = 0.30 \, \text{A}\) です。
問題で問われているのは、電流計を流れる電流 \(I_A\) なので、
$$
\begin{aligned}
I_A &= 2I \\[2.0ex] &= 2 \times 0.30 \\[2.0ex] &= 0.60 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$

この問題は、電球君の「気分（特性グラフ）」と、回路君からの「要求（キルヒホッフの法則）」の2つを同時に満たす点を探すゲームです。
まず、回路君の要求を数式にしてみます。電池の \(8.0 \, \text{V}\) は、\(10 \, \Omega\) の抵抗と電球で分け合われます。抵抗には電球2個分の電流 \(2I\) が流れるので、抵抗での電圧は \(10 \times 2I = 20I\)。電球の電圧は \(V\)。よって、回路君の要求は「\(8.0 = 20I + V\)」という関係式になります。
この要求は、グラフに描くと直線になります（これを負荷線と呼びます）。
一方、電球君の気分は、図1のぐにゃっと曲がった曲線で表されています。
この2つのグラフを重ねて、交わったところが、両者が納得する唯一の動作ポイントです。グラフから交点を読み取ると、電圧 \(V=2.0 \, \text{V}\)、電流 \(I=0.30 \, \text{A}\) の点だとわかります。
これは電球1個分の電流なので、電流計が測る全体の電流は、その2倍の \(0.60 \, \text{A}\) となります。

電流計を流れる電流 \(I_A\) は \(0.60 \, \text{A}\) と求められました。非線形抵抗を含む回路では、このようにグラフを用いて解くのが標準的な手法であり、その手順を正確に実行できるかが問われています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 非線形抵抗とグラフィカル解析:
  • 核心: この問題の根幹は、電圧と電流が比例しない「非線形抵抗」（この場合は電球）の振る舞いを理解し、それを含む回路を解析する手法を学ぶことです。オームの法則 \(V=RI\) のような単純な代数計算だけでは解けず、グラフを用いた解析が必須となります。
  • 理解のポイント:
    • 特性曲線: 図1のグラフは、電球という部品が持つ「個性」や「ルール」そのものです。電球は、この曲線上の(電圧, 電流)の組み合わせでしか動作できません。
    • 負荷線: 回路の他の部分（電源や他の抵抗）が、その部品（電球）に対して課す「外部条件」や「制約」を数式にしたものが負荷線です。これはキルヒホッフの法則から導かれます。
    • 動作点: 回路が実際に安定して動作する状態（動作点）は、部品の「個性」と外部からの「制約」の両方を同時に満たす点でなければなりません。これが、特性曲線と負荷線の「交点」を探す物理的な意味です。
• 合成特性曲線の考え方:
  • 核心: 複数の素子からなる回路の一部を、あたかも1つの新しい素子（ブラックボックス）と見なして、その全体の特性（合成特性曲線）を考えることができます。
  • 理解のポイント:
    • 直列合成: 電流は共通で、電圧が各素子の電圧の和になります。(\(I_{\text{合成}}=I, V_{\text{合成}}=V_1+V_2+\dots\))
    • 並列合成: 電圧は共通で、電流が各素子の電流の和になります。(\(V_{\text{合成}}=V, I_{\text{合成}}=I_1+I_2+\dots\))

    この考え方を用いることで、複雑な回路をより単純な要素の組み合わせとして段階的に分析することが可能になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ダイオードを含む回路: ダイオードは、順方向には電流を流しやすく、逆方向にはほとんど流さないという、極端な非線形特性を持つ素子です。ダイオードを含む回路の解析も、本質的にこの問題と同じグラフィカル解析を用います。
  • トランジスタの動作点解析: トランジスタの増幅回路なども、トランジスタ自身の非線形な特性曲線と、外部回路が作る負荷線との交点として動作点を決定します。大学レベルの電子回路の基礎となる考え方です。
  • モーターや発電機の動作: モーターの回転数とトルク、発電機の負荷と出力電圧の関係なども、非線形な特性を持つことが多く、同様のグラフィカルなアプローチで最適な動作条件を探ることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの有無を確認: 問題文に電流-電圧特性のグラフが与えられていたら、それは「グラフィカル解析を使う」という強いヒントです。
  2. 線形か非線形かを見分ける: グラフが原点を通る直線なら「線形抵抗（オームの法則に従う）」、曲線なら「非線形抵抗」です。非線形抵抗が含まれていれば、代数計算だけで解こうとせず、グラフの利用を前提に思考を切り替えます。
  3. 「何に着目するか」を決める:
     • 方法A（模範解答）: 回路中の「非線形素子1個」に着目し、その素子の電圧\(V\)と電流\(I\)に関する負荷線を導く。
     • 方法B（別解）: 回路の「一部（例：並列部分）」を合成して1つの素子と見なし、その合成素子の電圧\(V_{\text{合成}}\)と電流\(I_{\text{合成}}\)に関する負荷線を導く。

     どちらの方法でも解けますが、回路の構造によって計算しやすい方が異なります。両方の視点を持っておくと有利です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 負荷線の式の変数の混同:
  • 誤解: (2)で、負荷線を立てる際に、電球1個の電流\(I\)と回路全体を流れる電流\(I_A\)を取り違えてしまう。（例: \(8.0 = 10I + V\) のような誤った式を立てる）
  • 対策: キルヒホッフの法則を適用する際は、回路図に各部分を流れる電流を明確に書き込むことが重要です。\(10\,\Omega\)の抵抗を流れるのは\(I_A=2I\)であり、電球にかかる電圧が\(V\)である、という対応関係を一つ一つ確認しながら立式する癖をつけましょう。
• グラフの読み取りミス:
  • 誤解: グラフの目盛りを読み間違えたり、交点の座標を不正確に読んでしまったりする。
  • 対策: グラフの1目盛りがいくつを表しているのかを最初に確認します。交点を見つけたら、その座標が負荷線の式を満たしているか、簡単な代入計算で検算する習慣をつけると、読み取りミスを大幅に減らせます。（例：交点が(2.0, 0.30)だと思ったら、\(I = -0.05V + 0.40\) に \(V=2.0\) を代入し、\(I=0.30\) となるか確認する）
• 合成特性曲線の作り方の混同:
  • 誤解: 直列接続なのに電流を足したり、並列接続なのに電圧を足したりして、合成グラフを間違って作ってしまう。
  • 対策: 「直列は電流が共通、並列は電圧が共通」という大原則に立ち返ります。
    • 直列: 電流\(I\)は同じ → 縦軸はそのまま。電圧\(V\)が足される → 横軸をn倍する。
    • 並列: 電圧\(V\)は同じ → 横軸はそのまま。電流\(I\)が足される → 縦軸をn倍する。

    このルールを明確に覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第2法則（電圧則）:
  • 選定理由: (2)で負荷線を導出するために使用しました。負荷線とは、対象の素子（電球）以外の回路部分が、その素子の両端にどのような電圧と電流の関係を強いるかを表す式です。電源と他の抵抗を含む閉回路の電圧関係を記述するには、キルヒホッフの第2法則が最も直接的で普遍的な法則です。
  • 適用根拠: この法則はエネルギー保存則に基づいているため、相手が線形抵抗であろうと非線形抵抗であろうと、どんな素子が含まれていても常に成り立ちます。したがって、未知の振る舞いをする素子を含む回路の外部条件を記述するのに最適な法則と言えます。
• グラフィカル解析（グラフの交点）:
  • 選定理由: 非線形抵抗を含む回路では、\(V\)と\(I\)の関係が複雑な関数（またはグラフ）で与えられるため、一般的な連立方程式のように代数的には解けません。このような場合、一方の式（特性曲線）と、もう一方の式（負荷線）をグラフに図示し、その交点として視覚的に解を求めるグラフィカル解析が唯一かつ最適な解法となります。
  • 適用根拠: 交点は、両方のグラフ（＝両方の数式）が同時に成り立つ点です。これは、物理的には、素子が自身の特性を満たし、かつ、回路全体の制約条件も満たしている、唯一の安定した動作状態を表します。したがって、交点を求めることは、連立方程式の解を求めることと数学的・物理的に等価です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 負荷線の2点を正確にプロットする: 負荷線は直線なので、2点さえ決めれば描けます。計算が最も簡単な「縦軸との切片（V=0の点）」と「横軸との切片（I=0の点）」を求めるのが定石です。この2点をグラフ用紙に正確にプロットし、定規を使って丁寧に直線を引くことが、正確な交点を見つけるための第一歩です。
• 変数の定義を明確にする: (2)のように複数の電流が登場する場合、計算を始める前に「電球1個の電流を\(I\)とする」「電流計の値を\(I_A\)とする」のように、自分で使う変数が何を表すのかを明確に定義しましょう。これにより、立式や最終的な答えを出す段階での混同を防げます。
• グラフの交点の検算: 前述の通り、グラフから読み取った交点の座標 \((V_0, I_0)\) を、負荷線の式に代入して等式が成り立つか検算する癖をつけましょう。もし成り立たなければ、グラフの読み取りが不正確か、負荷線の式自体が間違っているかのどちらかです。この一手間が、ケアレスミスによる失点を劇的に減らします。

422 コンデンサーを含む回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーを含む直流回路の過渡現象」です。スイッチを入れた直後と、十分時間が経過した後のコンデンサーの振る舞いの違いを理解し、回路の状態を正しく分析することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「Sを閉じた瞬間」という言葉が鍵です。初め、コンデンサーに電荷は蓄えられていないので、その両端の電位差は \(0 \, \text{V}\) です。電位差が \(0\) の二点間は、電気的には導線でつながっているのと同じ状態と見なすことができます。したがって、コンデンサーCをただの導線に置き換えた等価回路を考えます。
この等価回路では、抵抗 \(R_1\) と抵抗 \(R_2\) が並列に接続され、その全体に電池Eの電圧 \(15 \, \text{V}\) がかかっている状態になります。それぞれの抵抗に流れる電流は、オームの法則を使って個別に計算できます。
この設問における重要なポイント

• スイッチ投入直後、電荷のないコンデンサーは「導線（ショート）」と見なせる。
• 回路図を、コンデンサーを導線に置き換えた等価回路に描き直すと分かりやすい。
• 並列接続では、各抵抗にかかる電圧は等しい。

具体的な解説と立式
スイッチSを閉じた瞬間、コンデンサーCには電荷が蓄えられていないため、その両端の電圧は \(0 \, \text{V}\) です。これは、コンデンサーの部分を導線で短絡（ショート）したものと等価です。
このとき、抵抗 \(R_1\) と抵抗 \(R_2\) は並列接続となり、どちらの抵抗にも電池の電圧 \(E = 15 \, \text{V}\) がかかります。
したがって、オームの法則 \(I = V/R\) より、それぞれの抵抗を流れる電流 \(I_1\), \(I_2\) は次のように立式できます。
$$ I_1 = \frac{E}{R_1} $$
$$ I_2 = \frac{E}{R_2} $$

上記で立式した式に、\(E=15 \, \text{V}\), \(R_1=10 \, \Omega\), \(R_2=20 \, \Omega\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \frac{15}{10} \\[2.0ex] &= 1.5 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
I_2 &= \frac{15}{20} \\[2.0ex] &= 0.75 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$

スイッチを入れた瞬間、空っぽのコンデンサーは「どうぞ電流さん、お通りください」と道を全開にします。つまり、ただの電線と同じになります。その結果、回路は \(R_1\) と \(R_2\) という2つの抵抗が並列につながっているだけの単純な形になります。
並列なので、どちらの抵抗にも電池の \(15 \, \text{V}\) がまるごとかかります。あとはオームの法則で計算するだけです。
\(R_1\) に流れる電流は \(15 \, \text{V} \div 10 \, \Omega = 1.5 \, \text{A}\)。
\(R_2\) に流れる電流は \(15 \, \text{V} \div 20 \, \Omega = 0.75 \, \text{A}\)。

\(I_1 = 1.5 \, \text{A}\)、\(I_2 = 0.75 \, \text{A}\) と求められました。コンデンサーのスイッチ投入直後の振る舞いを「導線」と見なせるかがポイントです。

問(2)

思考の道筋とポイント
「十分時間がたった」という記述が重要です。直流回路で十分時間が経つと、コンデンサーの充電が完了します。充電が完了したコンデンサーは、それ以上電荷を蓄えることができず、電流を流さなくなります。したがって、コンデンサーが接続されている枝（この場合は抵抗 \(R_2\) を含む枝）は、電気的に「断線」しているのと同じ状態と見なせます。
このとき、抵抗 \(R_2\) には電流が流れなくなります。(\(I_2′ = 0 \, \text{A}\))
コンデンサーの両端の電圧は、それが接続されている2点間の電位差に等しくなります。\(R_2\) に電流が流れないので、\(R_2\) での電圧降下は \(0 \, \text{V}\) です。その結果、コンデンサーの両端には、抵抗 \(R_1\) の両端の電圧、すなわち電池の電圧 \(E\) がそのままかかることになります。
コンデンサーの電圧がわかれば、公式 \(Q=CV\) を使って電気量を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 十分時間が経過した後、コンデンサーは「断線（オープン）」と見なせる。
• 断線している部分には電流は流れない。
• コンデンサーの電圧は、それが接続されている2点間の電位差に等しい。

具体的な解説と立式
Sを閉じて十分時間がたつと、コンデンサーCの充電が完了し、定常状態になります。このとき、コンデンサーには電流が流れ込まなくなるため、抵抗 \(R_2\) を含む枝を流れる電流は \(0\) になります。
$$ I_2′ = 0 \, [\text{A}] $$
\(R_2\) に電流が流れないので、\(R_2\) の両端の電位差 \(V_2\) はオームの法則より、
$$ V_2 = R_2 \times I_2′ = 20 \times 0 = 0 \, [\text{V}] $$
コンデンサーCは抵抗 \(R_2\) と並列に接続されているため、コンデンサーの両端の電位差 \(V_C\) は、\(R_2\) の両端の電位差 \(V_2\) と、それが接続されている2点間の電位差に等しくなります。
回路全体を見ると、コンデンサーと \(R_2\) の並列部分は、電池Eと抵抗 \(R_1\) が接続されている2点間に接続されています。この2点間の電位差は電池の電圧 \(E\) に等しいです。
したがって、コンデンサーにかかる電圧 \(V_C\) は、
$$ V_C = E = 15 \, [\text{V}] $$
コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q\) は、基本公式 \(Q=CV\) より、
$$ Q = C V_C $$

まず、\(I_2’\) は \(0 \, \text{A}\) です。
次に、電気量 \(Q\) を計算します。コンデンサーにかかる電圧は \(V_C = 15 \, \text{V}\) です。
電気容量 \(C\) は \(8.0 \, \mu\text{F} = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\) なので、
$$
\begin{aligned}
Q &= C V_C \\[2.0ex] &= (8.0 \times 10^{-6}) \times 15 \\[2.0ex] &= 120 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 1.2 \times 10^{-4} \, [\text{C}] \end{aligned}
$$

十分時間がたつと、コンデンサーはお腹がいっぱいになり、もう電流を食べなくなります。つまり、コンデンサーがある道は「通行止め」になります。このため、\(R_2\) にも電流は流れなくなり、\(I_2′ = 0 \, \text{A}\) です。
\(R_2\) に電流が流れないということは、\(R_2\) はただの電線と同じ（電圧が \(0\)）になります。その結果、コンデンサーの両端には、電池の電圧 \(15 \, \text{V}\) が直接かかることになります。
コンデンサーの電気量を求める公式 \(Q=CV\) に、\(C = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)、\(V = 15 \, \text{V}\) を代入して、電気量 \(Q\) を計算します。

\(I_2′ = 0 \, \text{A}\)、\(Q = 1.2 \times 10^{-4} \, \text{C}\) と求められました。十分時間が経過したコンデンサーを「断線」と見なせるかがポイントです。単位の \(\mu\) (マイクロ) を \(10^{-6}\) に正しく変換することも重要です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「Sを開いた直後」を考えます。スイッチを操作した直後では、コンデンサーに蓄えられた電荷 \(Q\) は瞬間的には変化できません。そのため、コンデンサーの電圧 \(V_C = Q/C\) も直前の値を保ちます。
(2)の時点で、コンデンサーには \(15 \, \text{V}\) の電圧がかかっています。したがって、Sを開いた直後、このコンデンサーは「起電力が \(15 \, \text{V}\) の電池」と見なすことができます。
Sが開かれると、元の電池Eは回路から切り離されます。残った回路は、電圧 \(15 \, \text{V}\) のコンデンサー（電池と見なす）と、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) が直列に接続された閉回路となります。この閉回路にオームの法則を適用して、流れる電流を求めます。
この設問における重要なポイント

• スイッチ操作の直後、コンデンサーの電圧は直前の値を保つ。
• 充電されたコンデンサーは、電源として振る舞うことができる。
• 回路の接続がどう変わったかを正確に把握し、新しい等価回路を考える。

具体的な解説と立式
Sを開く直前、(2)の結果よりコンデンサーの電圧は \(V_C = 15 \, \text{V}\) です。
Sを開いた直後、コンデンサーの電圧はこの値を保ちます。
Sが開かれると、電池Eは回路から切り離され、コンデンサーC、抵抗 \(R_1\)、抵抗 \(R_2\) からなる新しい閉回路が形成されます。この回路では、\(R_1\) と \(R_2\) は直列接続になっています。
コンデンサーが電源となり、蓄えた電荷を放電し始めます。このとき、コンデンサーを起電力 \(V_C = 15 \, \text{V}\) の電池と見なすことができます。
この閉回路の合成抵抗 \(R_{\text{合成}}\) は、\(R_1\) と \(R_2\) の直列接続なので、
$$ R_{\text{合成}} = R_1 + R_2 $$
この回路に流れる電流 \(I_2”\) は、オームの法則より、
$$ I_2” = \frac{V_C}{R_{\text{合成}}} $$
この電流は \(R_1\) と \(R_2\) の両方に流れます。

まず、合成抵抗 \(R_{\text{合成}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
R_{\text{合成}} &= R_1 + R_2 \\[2.0ex] &= 10 + 20 \\[2.0ex] &= 30 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
次に、この回路を流れる電流 \(I_2”\) を計算します。電源の電圧はコンデンサーの電圧 \(V_C = 15 \, \text{V}\) です。
$$
\begin{aligned}
I_2” &= \frac{V_C}{R_{\text{合成}}} \\[2.0ex] &= \frac{15}{30} \\[2.0ex] &= 0.50 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$

スイッチSを開くと、元の大きな電池Eはさようなら。今度は、(2)でたっぷり充電されたコンデンサーが主役になり、「私が電池だ！」と宣言します。その電圧は、直前まで蓄えていた \(15 \, \text{V}\) です。
残された回路は、この \(15 \, \text{V}\) のコンデンサー電池と、\(R_1\) と \(R_2\) が手をつないだ（直列）だけのシンプルな輪っかになります。
この輪っか全体の抵抗は \(10 \, \Omega + 20 \, \Omega = 30 \, \Omega\) です。
したがって、オームの法則により、この輪っかを流れる電流は \(15 \, \text{V} \div 30 \, \Omega = 0.50 \, \text{A}\) となります。この電流が \(R_2\) に流れる電流 \(I_2”\) です。

\(I_2” = 0.50 \, \text{A}\) と求められました。スイッチ操作直後のコンデンサーを「電圧一定の電池」と見なし、回路がどのように変化したかを正しく把握することができれば、問題を解くことができます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの過渡応答（時間変化）:
  • 核心: この問題の根幹は、コンデンサーが直流回路において「時間をかけて変化する素子」であることを理解することです。その振る舞いは、スイッチを操作した「直後」と「十分時間が経過した後」で全く異なります。この2つの極端な状態を正しくモデル化できるかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • t=0 の状態（スイッチON直後）: 電荷が \(0\) (\(Q=0\)) のコンデンサーは、電圧も \(0\) (\(V=Q/C=0\)) です。電圧が \(0\) ということは、電気的な高低差がない、つまり「導線（ショート回路）」と等価です。電流はコンデンサーを素通りするように流れます。
    • t=∞ の状態（十分時間経過後）: 充電が完了すると、コンデンサーの両端の電圧が、回路のその部分の電圧と釣り合い、電流の流れ込みが止まります。つまり、「断線（オープン回路）」と等価です。
    • t=t₀ の状態（スイッチ操作直後）: コンデンサーの電荷 \(Q\) は、物理的に物体を移動させる必要があるため、瞬間的には変化できません（電荷の連続性）。したがって、電圧 \(V=Q/C\) も直前の値を保ちます。このとき、コンデンサーは電圧が一定の「電池」のように振る舞います。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コイルを含む回路（LCR回路）: コイル（インダクター）はコンデンサーと対照的な振る舞いをします。スイッチON直後は電流の変化を妨げるため「断線」のように、十分時間経過後はただの「導線」のように振る舞います。コンデンサーとコイルのこの双対的な性質を理解すると、同様の問題に応用できます。
  • 時定数を含む過渡現象: この問題は過渡現象の「最初」と「最後」だけを扱っていますが、その間の任意の時刻における電流や電圧の変化を問う問題もあります。その場合、\(RC\)回路の時定数 \(\tau = RC\) という概念が登場し、電流や電圧が \(e^{-t/\tau}\) の形で指数関数的に変化する様子を分析します。
  • 交流回路: 交流回路では、コンデンサーやコイルは常に充放電や誘導を繰り返すため、単なる抵抗とは異なる「リアクタンス」という形で電流の流れを妨げます。直流での振る舞いの理解は、交流回路の理解の基礎となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 時間に関するキーワードを探す: 「スイッチを閉じた直後」「瞬間」「十分時間が経過したとき」「定常状態になった後」「スイッチを開いた直後」といった言葉に最大限の注意を払います。これらの言葉が、コンデンサーを「導線」「断線」「電池」のどれにモデル化すべきかを決定します。
  2. 等価回路を描き直す: 各状態（直後、十分時間後）に応じて、コンデンサーを「導線」や「断線」に置き換えた、単純化された回路図（等価回路）を必ず自分の手で描きましょう。回路の接続関係（直列・並列）が明確になり、計算ミスを防げます。
  3. 状態変化の前後で不変な量を見抜く: (3)のようにスイッチを操作する問題では、「操作の直前と直後でコンデンサーの電圧（電荷）は変わらない」という法則が極めて重要です。変化の前後で何が保存され、何が変化するのかを意識することが解法の鍵です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「直後」と「十分時間後」の混同:
  • 誤解: どのタイミングでコンデンサーが「導線」になり、どのタイミングで「断線」になるのかを混同してしまう。
  • 対策: 「充電」という物理現象をイメージするのが有効です。
    • 直後: 空っぽの容器（コンデンサー）に水を注ぐイメージ。最初は勢いよく水（電流）が流れ込む → 「導線」。
    • 十分時間後: 容器が満杯になったイメージ。もう水は入らない → 「断線」。

    このイメージを定着させましょう。

• コンデンサーの電圧の誤認:
  • 誤解: (2)で、十分時間が経過した後のコンデンサーの電圧を、電池の電圧ではなく、何か別の値だと考えてしまう。
  • 対策: コンデンサーの電圧は、それが接続されている2点間の電位差です。十分時間が経過すると、\(R_2\)には電流が流れないため、\(R_2\)による電圧降下は \(0\) です。したがって、\(R_2\)の両端の電位は等しく、コンデンサーの両端は、結果的に電池の両端に直接つながっているのと同じ状態になります。等価回路を描いて電位を丁寧に追跡することが重要です。
• (3)の回路構成の誤り:
  • 誤解: スイッチSを開いた後も、電池Eが回路に影響を与え続けると考えてしまう。
  • 対策: スイッチが開いた部分は、物理的に回路が切断されたことを意味します。回路図から電池EとスイッチSの部分を完全に消し去り、残った部品（C, \(R_1\), \(R_2\)）だけでどのような閉回路が形成されるかを冷静に描き直すことが不可欠です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等価回路への置き換え:
  • 選定理由: (1)と(2)では、コンデンサーを「導線」や「断線」に置き換えました。これは、過渡現象の極端な状態（t=0, t=∞）におけるコンデンサーの物理的振る舞いを、より単純で計算しやすい電気素子にモデル化する操作です。これにより、複雑な過渡現象の問題を、単純な定常電流の回路問題に帰着させることができます。
  • 適用根拠: \(V=Q/C\) という基本関係から、\(Q=0\) ならば \(V=0\)（導線と等価）、\(I=dQ/dt=0\) ならば電流が流れない（断線と等価）という物理的性質に基づいています。
• コンデンサーの電圧不変の法則:
  • 選定理由: (3)では、スイッチを開いた直後のコンデンサーを「起電力が直前と同じ電池」と見なしました。これは、回路の急な変化に対してコンデンサーの電荷（と電圧）がすぐには追従できないという性質を利用するためです。
  • 適用根拠: 電荷は物理的な担い手（電子）の移動によって蓄積されるため、その量を瞬間的に変えることはできません（無限大の電流が必要になる）。この「電荷の連続性」により、スイッチ操作の前後で \(Q\) が一定と見なせ、結果として電圧 \(V=Q/C\) も一定と見なせるのです。この法則により、変化後の初期状態を正確に設定することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の換算を徹底する: (2)の電気量計算では、電気容量が \(\mu\text{F}\) (マイクロファラド) で与えられています。計算時には必ず基本単位である \(\text{F}\) (ファラド) に変換する（\(8.0 \, \mu\text{F} = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)）ことを忘れないようにしましょう。計算の冒頭で単位換算を済ませてしまうのが安全です。
• 回路図をステップごとに描き直す: この問題のように、(1)→(2)→(3)と回路の状態が変化していく問題では、各設問に対応する等価回路図を横着せずに必ず描くことが、ミスを防ぐ最も確実な方法です。頭の中だけで考えず、手を動かして視覚化することで、接続関係の勘違いを防げます。
• 電流の向きを明確にする: (3)ではコンデンサーが放電します。コンデンサーのどちらの極板が正でどちらが負だったか（(2)の充電状態で決まる）を確認し、放電電流がどちらの向きに流れるかを回路図に矢印で明記しましょう。これにより、キルヒホッフの法則を適用する際の符号ミスを防げます。

423 不純物半導体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、物質の電気的な性質（導体、不導体、半導体）と、特に不純物半導体の基本的な仕組みに関する知識を問う、典型的な空所補充問題です。別解を考案する性質の問題ではないため、各用語の物理的な意味を正確に理解し、文脈に沿って正しく当てはめることに焦点を当てて解説を作成します。

この問題のテーマは「導体・不導体・半導体の分類と不純物半導体の原理」です。物質の電気伝導性が、内部の電荷の担い手（キャリア）の有無や種類によってどのように決まるかを理解することが中心となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「金属など」とあり、「結晶中を自由に動きまわる[ 2 ]が存在する」と続くことから、電気をよく通す物質の分類名を問われています。電気伝導性が高い物質の総称は「導体」です。
この設問における重要なポイント

• 電気伝導性の高さで物質を分類する際の基本的な用語を覚えていること。
• 金属は導体の代表例である。

具体的な解説と立式
問題文の「金属など」という例示と、後述される「電気をよく伝える」という性質から、空所[ 1 ]は「導体」であることがわかります。

(計算は不要)

電気を通すか通さないかで物質をグループ分けするときの名前を答える問題です。金属のように電気をよく通すグループの名前は「導体」です。

文脈に最も適した用語は「導体」です。

問(2)

思考の道筋とポイント
空所[ 1 ]の導体において、電流の担い手となる「自由に動きまわる」粒子は何かを問われています。金属などの導体では、原子から離れて結晶内を自由に移動できる電子が存在し、これが電流の正体です。これらの電子を「自由電子」と呼びます。
この設問における重要なポイント

• 導体における電流の担い手（キャリア）は自由電子である。

具体的な解説と立式
導体である金属の内部では、最外殻の電子（価電子）が原子の束縛から離れ、結晶全体を自由に動き回っています。これらの電子が「自由電子」であり、電圧をかけると一斉に移動することで電流が生じます。したがって、空所[ 2 ]は「自由電子」です。

(計算は不要)

金属の中で電気を運ぶ「運び屋」は誰か、という問題です。金属原子から飛び出して、結晶の中を自由に動き回れるようになっている電子、その名も「自由電子」がその正体です。

文脈に最も適した用語は「自由電子」です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「ガラスなど」という例と、「[ 2 ]は存在しない」という記述から、導体とは対照的に電気を通しにくい物質の分類名を問われています。電気伝導性が極めて低い物質の総称は「不導体」または「絶縁体」です。
この設問における重要なポイント

• 電気を通しにくい物質は「不導体」または「絶縁体」と呼ばれる。
• ガラスやプラスチックは不導体の代表例である。

具体的な解説と立式
問題文の「ガラスなど」という例示と、導体とは対照的に自由電子が存在しないという性質から、空所[ 3 ]は「不導体」であることがわかります。「絶縁体」や「誘電体」もほぼ同義で使われます。

(計算は不要)

導体の反対で、電気をほとんど通さない物質のグループ名です。ガラスやゴム、プラスチックなどがこの仲間で、名前は「不導体」または「絶縁体」です。

文脈に最も適した用語は「不導体」です。解答にあるように「絶縁体」「誘電体」も正解です。

問(4)

思考の道筋とポイント
「[ 1 ]と[ 3 ]の中間にある物質」と定義されているので、導体と不導体の中間的な電気的性質を持つ物質の名称を答えます。これは「半導体」の定義そのものです。
この設問における重要なポイント

• 半導体は、導体と不導体の中間の電気抵抗率を持つ。

具体的な解説と立式
導体と不導体の中間の電気的性質を持つ物質は「半導体」と呼ばれます。代表的な物質として、問題文にも後で登場するGe（ゲルマニウム）やSi（ケイ素）があります。したがって、空所[ 4 ]は「半導体」です。

(計算は不要)

「導体」と「不導体」のちょうど中間に位置する、どっちつかずの性質を持つ物質グループの名前です。その名も「半導体」です。

定義そのものであるため、「半導体」が正解です。

問(5)

思考の道筋とポイント
「GeやSiなどの4価原子の結晶中にSbなどの5価の原子を不純物として混ぜたもの」という記述は、n型半導体の作り方を説明しています。4価の原子と共有結合をすると、5価の原子の価電子は1個余ります。この余った電子は束縛が緩く、結晶内を自由に動ける「自由電子」となり、電流の担い手となります。負の電荷を持つ電子（negative）がキャリアとなるため、「n型半導体」と呼ばれます。
この設問における重要なポイント

• 4価の半導体 ＋ 5価の不純物 → 自由電子が余る → n型半導体。
• n型半導体のキャリアは「自由電子」である。

具体的な解説と立式
4価のSiの結晶に5価のSbを混ぜると、Sbの5個の価電子のうち4個は周りのSi原子と共有結合をしますが、1個の電子が余ります。この余剰な電子がキャリアとなります。負の電荷 (negative charge) を持つ電子がキャリアなので、このタイプの半導体は「n型半導体」と呼ばれます。したがって、空所[ 5 ]は「n」です。

(計算は不要)

4人組で手をつなぐ（共有結合）グループ（Si結晶）に、手が5本ある人（5価のSb）が混ざる状況です。4本の手は周りとつなげますが、1本の手が余ってしまいます。この余った手（電子）が自由に動き回れるようになり、電気を運ぶ役割をします。マイナス（negative）の電気を持つ電子が主役なので、「n型」半導体と呼びます。

文脈からn型半導体の説明であることがわかり、空所[ 5 ]は「n」が正解です。

問(6)

思考の道筋とポイント
「4価の原子中にInなどの3価の原子を少量混入」という記述は、p型半導体の作り方を説明しています。4価の原子と共有結合をするには、3価の原子は価電子が1個不足します。この電子の抜けた穴（空席）を「ホール（正孔）」と呼びます。このホールは、周りの電子が移動してきて埋められると、もともと電子がいた場所に新たなホールができます。見かけ上、正の電荷を持つホールが移動しているように見え、これが電流の担い手となります。正の電荷（positive）がキャリアのように振る舞うため、「p型半導体」と呼ばれます。
この設問における重要なポイント

• 4価の半導体 ＋ 3価の不純物 → 電子の空席（ホール）ができる → p型半導体。
• p型半導体のキャリアは「ホール（正孔）」である。

具体的な解説と立式
4価のSiの結晶に3価のInを混ぜると、共有結合を完成させるのに電子が1つ足りない場所、すなわち電子の空席ができます。これが「ホール（正孔）」です。このホールは正 (positive) の電荷を持つ粒子のように振る舞い、キャリアとなります。そのため、このタイプの半導体は「p型半導体」と呼ばれます。したがって、空所[ 6 ]は「p」です。

(計算は不要)

今度は4人組のグループに、手が3本しかない人（3価のIn）が混ざる状況です。周りと手をつなごうとすると、1本手が足りない「空席」ができてしまいます。この空席に隣の人が手を移動させると、その人がいた場所が新たな空席になります。まるで「空席」が動いているようです。この空席は、マイナスの電子がいない場所なので、プラス（positive）の性質を持つと考えられ、「ホール（正孔）」と呼ばれます。プラスが主役なので、「p型」半導体と呼びます。

文脈からp型半導体の説明であることがわかり、空所[ 6 ]は「p」が正解です。

問(7)

思考の道筋とポイント
空所[ 6 ]のp型半導体において、電流を流す役目をするものは何かを問われています。前問の解説の通り、p型半導体では電子が1つ不足してできた電子の空席が、見かけ上、正の電荷を持って動き回り、電流の担い手となります。この電子の空席のことを「ホール」または「正孔」と呼びます。
この設問における重要なポイント

• p型半導体において、キャリアとして振る舞う電子の空席を「ホール（正孔）」と呼ぶ。

具体的な解説と立式
p型半導体では、3価の原子を混入することで生じる電子の不足部分、すなわち「ホール（正孔）」が、キャリアとして電流を担います。電場をかけると、周りの共有結合の電子が次々とこのホールに落ち込み、結果としてホールが電場と同じ向きに移動していくように見えます。したがって、空所[ 7 ]は「ホール（正孔）」です。

(計算は不要)

p型半導体で電気を運ぶ「運び屋」の正体は誰か、という問題です。それは、電子が足りなくてできた「空席」そのものです。この空席は「ホール」または「正孔」と呼ばれ、プラスの電気を持つ粒子のように振る舞います。

文脈に最も適した用語は「ホール（正孔）」です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物質の電気伝導性とキャリア:
  • 核心: この問題の根幹は、物質が電気を通すかどうかが、その内部に存在する「キャリア（電荷の担い手）」の量と種類によって決まる、という大原則を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 導体: キャリアである「自由電子」が金属原子の数に匹敵するほど大量に存在する。だから電気をよく通す。
    • 不導体: 原子に電子が強く束縛されており、キャリアがほとんど存在しない。だから電気をほとんど通さない。
    • 半導体: 純粋な状態ではキャリアが少ないが、不純物を加える操作（ドーピング）によって、キャリアの種類（電子かホールか）と量を意図的に制御できる。これが半導体が電子部品の材料として極めて重要な理由です。
• 不純物半導体のメカニズム:
  • 核心: 半導体の性質を劇的に変える「ドーピング」の仕組みを、原子の価電子レベルで理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 基準は4価: Si（ケイ素）やGe（ゲルマニウム）などの4価の原子が作る安定した共有結合の結晶が土台となります。
    • n型 (negative): 4価の結晶に5価の原子（例: P, As, Sb）を混ぜると、価電子が1個「余り」、これが負のキャリアである「自由電子」となる。
    • p型 (positive): 4価の結晶に3価の原子（例: B, Al, In）を混ぜると、価電子が1個「不足」し、これが正のキャリアのように振る舞う「ホール（正孔）」となる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • pn接合ダイオード: n型半導体とp型半導体を接合して作られるダイオードの整流作用（一方向にしか電流を流さない性質）の原理を問う問題。それぞれのキャリア（電子とホール）が接合面でどのように振る舞うかを理解する必要があります。
  • トランジスタ: pnp型やnpn型のように半導体を3層に重ねたトランジスタの増幅作用やスイッチング作用を問う問題。キャリアの動きをさらに複雑にした応用例です。
  • 発光ダイオード(LED)や太陽電池: 電子とホールが再結合する際に光を放出したり（LED）、光エネルギーによって電子とホールの対が生成されたりする（太陽電池）現象。キャリアのエネルギー状態（エネルギーバンド）に関する理解が求められます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 価数に注目: 問題文に出てくる原子（Si, Ge, P, B, Inなど）が何族の元素か、つまり価電子がいくつあるかを把握することが第一歩です。周期表の14族（4価）、15族（5価）、13族（3価）が中心となります。
  2. 「余る」か「足りない」か: 基準となる半導体（通常は4価）に対して、混ぜる不純物の価電子が「多い（余る）」のか「少ない（足りない）」のかを判断します。
     • 「余る」→ 電子がキャリア → n型
     • 「足りない」→ ホールがキャリア → p型
  3. キャリアと名称の対応: 「電子」→ 負 (negative) → n型、「ホール」→ 正 (positive) → p型、という対応関係をしっかり覚えておけば、n型とp型の区別で間違うことはありません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ホール（正孔）の概念の誤解:
  • 誤解: ホールが「陽子」や「陽イオン」のような、実際に存在するプラスの粒子だと勘違いしてしまう。
  • 対策: ホールはあくまで「電子の抜けた穴（空席）」であることを明確に理解することが重要です。コンサートホールの椅子取りゲームのように、観客（電子）が次々と空席（ホール）に移動していくと、結果的に空席が逆方向に移動していくように見えます。この「見かけ上の動き」をする空席がホールです。実体は電子の集団的な動きですが、正の電荷を持つ粒子が動いていると考えると物理現象を簡潔に記述できるのです。
• n型とp型の混同:
  • 誤解: どちらが電子でどちらがホールだったか、あるいはどちらが5価でどちらが3価だったかを混同してしまう。
  • 対策: 語呂合わせや理屈で覚えるのが有効です。
    • 理屈: nはnegative（負）の頭文字 → キャリアは負の電子。pはpositive（正）の頭文字 → キャリアは正のホール。
    • 価数: 「5価は4価より1つ多い → 電子が余る → n型」「3価は4価より1つ少ない → 電子が足りない（穴があく）→ p型」と、数の大小で覚える。
• キャリアと電流の向き:
  • 誤解: 電子の動く向きと電流の向きの関係を忘れてしまう。
  • 対策: 「電流の向きは、正の電荷が動く向き」という定義を再確認します。
    • n型: キャリアは負の電子。電子が動く向きと「逆向き」が電流の向き。
    • p型: キャリアは正のホール。ホールが動く向きと「同じ向き」が電流の向き。

    この基本定義は常に意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• この問題は知識問題であり、公式の選択はありませんが、用語の背後にある論理を理解することが重要です。
• 「導体」「不導体」「半導体」という分類の論理:
  • 選定理由: 物質の電気的性質を議論するための最も基本的な枠組みです。この分類は、物質内部の「キャリアの密度」という物理量に基づいています。
  • 適用根拠: 物質に電場をかけたときに電流が流れるかどうかは、ひとえに動ける電荷（キャリア）が存在するかどうかにかかっています。キャリアが豊富なら導体、ほぼゼロなら不導体、その中間で制御可能なのが半導体、という非常に明快な物理的理由に基づいた分類です。
• 「n型」「p型」という命名の論理:
  • 選定理由: 不純物を加えた半導体の性質を、その主要なキャリア（多数キャリア）の電気的符号によって特徴づけるための命名法です。
  • 適用根拠: 電流の正体は電荷の流れですが、その電荷が正か負かによって、磁場から受ける力（ホール効果）などが異なります。キャリアの符号を区別することは物理的に重要であり、n (negative) と p (positive) という命名は、その本質を的確に表しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題は計算を含まないため、知識の正確な記憶と整理が最も重要です。
• 表形式での整理: 以下のような簡単な表を自分で作成し、知識を整理・記憶するのが非常に有効です。
  

  種類	基準半導体	不純物(例)	価電子の関係	主要キャリア	名称の由来
  n型	4価(Si, Ge)	5価(P, As)	1個余る	電子	negative
  p型	4価(Si, Ge)	3価(B, In)	1個不足	ホール	positive

• 周期表との関連付け: 13族、14族、15族の元素を周期表で確認し、「真ん中の14族が基準。左の13族を混ぜるとp型、右の15族を混ぜるとn型」と、位置関係で覚えるのも有効な記憶術です。
• 用語の言い換え: 「ホール」を「正孔」や「電子の空席」、「キャリア」を「電荷の担い手」など、複数の表現に慣れておくと、問題文の表現が変わっても戸惑わなくなります。

424 ダイオードを含む回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「非線形抵抗（ダイオード）を含む回路のグラフィカル解析」です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア) 回路に流れる電流

思考の道筋とポイント
この回路は、非線形素子であるダイオードを含んでいるため、単純なオームの法則だけでは解けません。このような回路を解く定石が「グラフィカル解析」です。
ダイオードにかかる電圧を\(V\)、流れる電流を\(I\)とすると、この\(V\)と\(I\)は2つの条件を同時に満たす必要があります。

1. ダイオードの特性: \(V\)と\(I\)は、与えられたグラフの曲線上の点でなければならない。
2. 回路の制約: \(V\)と\(I\)は、キルヒホッフの法則から導かれる関係式を満たさなければならない。

この2番目の条件式をグラフに直線として描き（これを「負荷線」と呼びます）、曲線との交点を見つけることで、回路で実際に成立する\(V\)と\(I\)の組（動作点）を求めます。
この設問における重要なポイント

• 非線形素子を含む回路は、グラフィカル解析で解く。
• キルヒホッフの法則を用いて、回路の制約条件（負荷線）を立式する。
• グラフの単位（[V]と[mA]）と、式の単位を合わせる必要がある。

具体的な解説と立式
ダイオードにかかる電圧を \(V \, \text{[V]}\)、回路に流れる電流を \(I \, \text{[mA]}\) とします。
抵抗\(R\)にかかる電圧を \(V’ \, \text{[V]}\) とすると、オームの法則より \(V’ = R \times (\text{電流[A]})\) となります。電流 \(I\) の単位は[mA]なので、[A]に変換すると \(I \times 10^{-3} \, \text{[A]}\) です。
$$
\begin{aligned}
V’ &= R \times (I \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= (1.5 \times 10^3) \times (I \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 1.5 I \, [\text{V}] \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、回路全体でキルヒホッフの第2法則を適用します。電源電圧\(E\)は、ダイオードの電圧\(V\)と抵抗の電圧\(V’\)の和に等しくなります。
$$ E = V + V’ $$
この式に \(E=1.5 \, \text{V}\) と式①を代入すると、
$$ 1.5 = V + 1.5I \quad \cdots ② $$
この式②が、ダイオードの電圧\(V\)と電流\(I\)の関係を表す負荷線の方程式です。

式②をグラフに描きやすいように \(I\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1.5I &= 1.5 – V \\[2.0ex] I &= \frac{1.5 – V}{1.5} \\[2.0ex] I &= 1.0 – \frac{V}{1.5}
\end{aligned}
$$
この直線（負荷線）をグラフに描くため、2点を求めます。

• \(V=0\) のとき（縦軸との切片）: \(I = 1.0 \, \text{[mA]}\)。点 \((0, 1.0)\) を通る。
• \(I=0\) のとき（横軸との切片）: \(0 = 1.0 – V/1.5 \rightarrow V = 1.5 \, \text{[V]}\)。点 \((1.5, 0)\) を通る。

この2点を結ぶ直線をダイオードの特性グラフに重ねて描くと、曲線との交点ができます。グラフから交点の座標を読み取ると、
\(V = 0.60 \, \text{V}\), \(I = 0.60 \, \text{mA}\)
となります。

したがって、回路に流れる電流は \(0.60 \, \text{mA}\) です。

この問題は、気難しいダイオード君の「気分（特性グラフ）」と、回路君からの「要求（キルヒホッフの法則）」を両方満たす点を探すゲームです。
まず、回路君の要求を数式にします。電池の \(1.5 \, \text{V}\) は、ダイオード君と抵抗君で分け合います。つまり「\(1.5 = (\text{ダイオードの電圧}) + (\text{抵抗の電圧})\)」です。これをグラフの変数 \(V\) と \(I\) で表すと、「\(1.5 = V + 1.5I\)」という関係になります。
この要求は、グラフに描くと直線（負荷線）になります。一方、ダイオード君の気分は、与えられたグラフの急カーブです。
この直線とカーブを重ねて、交わったところが、両者が納得する唯一の動作ポイントです。グラフから交点を読み取ると、電流 \(I\) は \(0.60 \, \text{mA}\) だとわかります。

回路に流れる電流は \(0.60 \, \text{mA}\) と求められました。この値は、ダイオードの電圧が \(0.60 \, \text{V}\) のときの値でもあります。単位の扱いに注意して負荷線を正しく導出し、グラフから正確に交点を読み取ることができれば正解に至ります。

問(イ) 抵抗に加わる電圧

思考の道筋とポイント
(ア)で回路に流れる電流 \(I\) が \(0.60 \, \text{mA}\) であることがわかりました。この電流が抵抗\(R\)にも流れるので、オームの法則を用いて抵抗にかかる電圧 \(V’\) を計算します。主たる解法では、(ア)の立式過程で用いた式① \(V’ = 1.5I\) をそのまま利用するのが最も効率的です。
この設問における重要なポイント

• 回路の動作点が決まれば、各素子の電圧や電流は一意に定まる。
• 単位の扱いに注意する。

具体的な解説と立式
(ア)の「具体的な解説と立式」で導出した式①を用います。
$$ V’ = 1.5I $$
ここで、\(I\) は[mA]単位の電流値、\(V’\) は[V]単位の電圧値です。

(ア)で求めた \(I = 0.60 \, \text{mA}\) を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
V’ &= 1.5 \times 0.60 \\[2.0ex] &= 0.90 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$

(ア)で、この回路には \(0.60 \, \text{mA}\) の電流が流れることがわかりました。この電流が \(R=1.5 \times 10^3 \, \Omega\) の抵抗を通るときに、どれくらいの電圧がかかるかを計算します。
(ア)の計算途中に出てきた便利な関係式 \(V’ = 1.5I\) を使うのが近道です。\(I=0.60\) を代入すれば、\(V’ = 1.5 \times 0.60 = 0.90 \, \text{V}\) とすぐに計算できます。

抵抗に加わる電圧は \(0.90 \, \text{V}\) と求められました。
ちなみに、ダイオードにかかる電圧は(ア)のグラフから \(0.60 \, \text{V}\) と読み取れており、抵抗の電圧 \(0.90 \, \text{V}\) と足すと \(0.60 + 0.90 = 1.5 \, \text{V}\) となり、電源電圧と一致します。キルヒホッフの法則が成り立っていることが確認でき、結果は妥当です。

問(ウ) ダイオードの消費電力

思考の道筋とポイント
電力は「電圧 \(\times\) 電流」で計算できます。ここではダイオードの消費電力が問われているので、ダイオードにかかる電圧と、ダイオードを流れる電流を掛け合わせます。これらの値は、(ア)のグラフィカル解析で既に求まっています。単位が[mW]で問われていることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 消費電力 \(P\) は \(P=VI\) で計算される。
• 単位の換算: \(1 \, \text{mW} = 10^{-3} \, \text{W}\)。

具体的な解説と立式
ダイオードの消費電力を \(P \, \text{[mW]}\) とします。
(ア)の結果より、ダイオードにかかる電圧は \(V = 0.60 \, \text{V}\)、流れる電流は \(I = 0.60 \, \text{mA}\) です。
電力の公式は \(P = VI\) です。ここで、電圧の単位を[V]、電流の単位を[mA]のまま計算すると、電力の単位は[mW]となります。
(\(P \, \text{[W]} = V \, \text{[V]} \times I \, \text{[A]} = V \, \text{[V]} \times (I \, \text{[mA]} \times 10^{-3}) = (V \times I) \times 10^{-3} \, \text{[W]} = (V \times I) \, \text{[mW]}\))

したがって、
$$ P \, \text{[mW]} = V \, \text{[V]} \times I \, \text{[mA]} $$

上記の関係式に、\(V = 0.60 \, \text{V}\) と \(I = 0.60 \, \text{mA}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
P &= 0.60 \times 0.60 \\[2.0ex] &= 0.36 \, [\text{mW}] \end{aligned}
$$

ダイオードがどれだけ電気を消費しているか（仕事をしているか）を計算します。電力は、電圧と電流の掛け算で求められます。
(ア)で、ダイオードには \(0.60 \, \text{V}\) の電圧がかかり、\(0.60 \, \text{mA}\) の電流が流れていることがわかっています。
この2つを掛け合わせるだけで、\(0.60 \times 0.60 = 0.36\) となります。単位も[V]と[mA]を掛けると都合よく[mW]になるので、答えは \(0.36 \, \text{mW}\) です。

ダイオードの消費電力は \(0.36 \, \text{mW}\) と求められました。各設問が密接に関連しており、(ア)で求めた動作点の値がすべての計算の基礎となっていることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 非線形素子とグラフィカル解析:
  • 核心: この問題の根幹は、電球やダイオードのように電圧と電流が単純な比例関係にない「非線形素子」を含む回路の解析方法をマスターすることです。このような回路では、代数計算だけでは解が求まらず、グラフを用いた「グラフィカル解析」が必須のテクニックとなります。
  • 理解のポイント:
    • 特性曲線: 与えられたグラフは、その素子（ダイオード）が従うべき物理法則そのものです。ダイオードは、この曲線上の(電圧, 電流)の組み合わせでしか動作できません。
    • 負荷線: 回路の他の部分（この問題では電池と抵抗）が、着目している素子（ダイオード）に課す「外部からの制約」を数式にしたものが負荷線です。これはキルヒホッフの法則から導かれます。
    • 動作点: 回路が実際に安定して動作する状態（動作点）は、素子自身のルール（特性曲線）と、外部からの制約（負荷線）の両方を同時に満たす点でなければなりません。これが、グラフ上で「特性曲線と負荷線の交点」を探す物理的な意味です。
• 単位系の整合性:
  • 核心: 物理計算において、異なる単位（[V], [\(\Omega\)], [mA]）を扱う際には、式の各項の単位が揃っているか常に意識することが極めて重要です。
  • 理解のポイント:
    • SI単位系への統一: 最も安全な方法は、すべての量を基本単位（[V], [\(\Omega\)], [A]）に変換してから計算することです。
    • 混合単位での計算: 慣れてくれば、模範解答のように[V]と[mA]を混在させたまま立式することも可能です。ただし、その場合は「\(R \times I_{\text{[mA]}}\)」がどのような単位になるかを正確に把握（この場合は \(10^3 \Omega \times 10^{-3} \text{A}\) のように打ち消し合う）する必要があります。単位の扱いには細心の注意が求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電球やサーミスタを含む回路: 電球や、温度によって抵抗値が変化するサーミスタなども非線形素子です。これらの素子の特性グラフが与えられた場合、本問と全く同じグラフィカル解析の手法で解くことができます。
  • トランジスタの増幅回路: トランジスタの動作点を決めるときにも、トランジスタの静特性曲線と負荷線の交点を求めるという、同様のアプローチが用いられます。これは電子回路設計の基本です。
  • 複数の非線形素子を含む回路: 例えば、ダイオードが2個直列になっている場合などは、まず2個のダイオードの「合成特性曲線」を描き、それと負荷線との交点を求める、という応用的な解き方ができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの存在を確認: 問題文に素子の電流-電圧特性グラフがあれば、それは「グラフィカル解析を使え」という明確な指示です。
  2. グラフの軸の単位をチェック: 縦軸と横軸の単位が何か（[A]か[mA]か、など）を最初に確認します。これが計算の前提条件となります。
  3. 負荷線を立てる: 着目する非線形素子（この場合はダイオード）の電圧を\(V\)、電流を\(I\)とおき、キルヒホッフの法則を使って、回路の他の部分との関係式を導きます。この式が負荷線となります。
  4. 交点を探す: 負荷線（直線）を描くために、切片などの計算しやすい2点を求め、グラフ用紙にプロットします。特性曲線との交点が、求める動作点（電圧と電流）です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス:
  • 誤解: 電流の単位が[mA]であることを見落とし、\(V’=RI\) の計算で \(I\) にそのまま数値を代入してしまう。（例: \(V’ = (1.5 \times 10^3) \times 0.60\) としてしまう）
  • 対策: 計算を始める前に、式の各変数がどの単位で扱われているかを明確に意識することが最も重要です。模範解答のように「\(V’ = 1.5I\)」という便利な関係式を使う場合は、「この式のIは[mA]、V’は[V]である」という注釈を自分の中でつけておきましょう。自信がなければ、(イ)の別解のように、すべてSI基本単位に直してから計算するのが最も安全です。
• 負荷線の式の導出ミス:
  • 誤解: キルヒホッフの法則を適用する際の符号を間違えたり、抵抗での電圧降下の計算を間違えたりする。
  • 対策: 回路図に、電流の向き、各素子にかかる電圧（\(V\), \(V’\)など）を書き込み、電圧則（電源の電圧上昇 = 各抵抗での電圧降下の和）を丁寧に立式します。\(E = V + V’\) という関係を視覚的に確認しながら進めましょう。
• グラフの読み取り精度:
  • 誤解: 交点の座標を大雑把に読んでしまい、有効数字の桁数が足りなくなったり、誤差が大きくなったりする。
  • 対策: グラフの1目盛りがいくつを表すのかを正確に把握し、交点が目盛り線の何割の位置にあるかを慎重に読み取ります。また、読み取った値が負荷線の式を（近似的に）満たすか検算する癖をつけると、大きな読み間違いを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第2法則:
  • 選定理由: 負荷線を導出するために選択しました。負荷線とは、ダイオードという「部品」に対して、回路の「外部」が課す電圧と電流の制約条件です。回路全体の電圧の関係を記述する最も普遍的な法則がキルヒホッフの第2法則であり、これを用いることで外部の制約を数式化できます。
  • 適用根拠: この法則はエネルギー保存則が電気回路に現れたものであり、相手が線形抵抗（オームの法則に従う）か非線形抵抗（ダイオードなど）かに関わらず、どんな回路にも適用できます。そのため、未知の振る舞いをする素子と既知の素子が混在する回路を解析するのに最適な法則です。
• グラフィカル解析（グラフの交点）:
  • 選定理由: ダイオードの特性は複雑な曲線であり、簡単な数式で表せません。そのため、回路の制約（負荷線）との連立方程式を、代数的に（計算で）解くことは困難です。このような場合、両者の関係をグラフに描き、その交点として視覚的に解を求める「グラフィカル解析」が、唯一かつ最も強力な解法となります。
  • 適用根拠: グラフの交点は、ダイオードの特性曲線と負荷線の両方に属する点です。これは物理的に、ダイオードが自身のルールを満たし、かつ、回路からの制約も満たしている、唯一の安定した動作状態を意味します。したがって、交点を求めることは、連立方程式の解を求めることと完全に等価です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を意識した立式戦略:
  • 戦略1（模範解答）: グラフの単位[mA]を活かす。\(V’ = R \times (I_{\text{[mA]}} \times 10^{-3})\) のように、単位換算を式に組み込んで係数を単純化する（\(V’ = 1.5 I_{\text{[mA]}}\)）。計算は楽になるが、単位の理解が前提。
  • 戦略2（安全策）: 全てSI単位に直す。\(I_{\text{[A]}} = I_{\text{[mA]}} \times 10^{-3}\) として、負荷線を \(1.5 = V + (1.5 \times 10^3) I_{\text{[A]}}\) のように立てる。立式は少し複雑になるが、単位の混乱は起きない。

  自分に合った戦略を選び、一貫して使うことが重要です。

• 負荷線の切片を利用する: 負荷線（直線）を描く際は、計算が簡単な2点、すなわち縦軸切片（\(V=0\)のときの\(I\)）と横軸切片（\(I=0\)のときの\(V\)）を求めてプロットするのが最も速く正確です。
• 検算の習慣化: (イ)の結論で述べたように、求めたダイオードの電圧と抵抗の電圧を足し合わせ、電源電圧と一致するかを確認する検算は非常に有効です。\(V_{\text{ダイオード}} + V_{\text{抵抗}} = 0.60 \, \text{V} + 0.90 \, \text{V} = 1.5 \, \text{V} = E\)。この一手間が、ケアレスミスを劇的に減らします。

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共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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