「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第24章】基本例題～基本問題414

基本例題

基本例題78 電流計の分流器, 電圧計の倍率器

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流計・電圧計の測定範囲の拡大（分流器と倍率器）」です。手持ちの測定器の能力を超える大きな電流や電圧を、どのように工夫して測定するかを問う問題であり、電気回路の基本法則を実践的に応用する力が試されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
最大 \(30\,\text{mA}\) までしか測定できない電流計で \(300\,\text{mA}\) という大きな電流を測定するためには、電流計本体に流れる電流を \(30\,\text{mA}\) に抑え、残りの電流を別の経路に逃がしてあげる必要があります。この「別の経路」となる抵抗が「分流器」です。電流の通り道を分けるためには、電流計に対して抵抗を「並列」に接続します。そして、並列に接続された部分では両端にかかる電圧が等しくなる、という物理法則を利用して立式します。
この設問における重要なポイント

• 電流計の測定範囲を広げるには、分流器を「並列」に接続する。
• 測定したい全体の電流 \(I_{\text{全体}}\) のうち、電流計には最大目盛り \(I_{\text{A}}\) が流れ、残りの \(I_{\text{分流器}} = I_{\text{全体}} – I_{\text{A}}\) が分流器に流れる。
• 並列接続なので、電流計にかかる電圧と分流器にかかる電圧は等しい。(\(V_{\text{電流計}} = V_{\text{分流器}}\))
• 計算時には単位の換算（mAをAに）に注意する。

具体的な解説と立式
測定したい最大電流は \(300\,\text{mA}\)、電流計の最大目盛りは \(30\,\text{mA}\) です。
電流計に流すことができる電流の上限が \(30\,\text{mA}\) なので、残りの電流を分流器となる抵抗 \(R\) に流す必要があります。キルヒホッフの第1法則（電流則）より、抵抗 \(R\) に流すべき電流 \(I_R\) は、
$$ I_R = 300\,\text{mA} – 30\,\text{mA} = 270\,\text{mA} $$
となります。
このように電流を分岐させるためには、抵抗 \(R\) を電流計に「並列」に接続します。したがって、(ア)は「並」となります。

次に、抵抗 \(R\) の値を求めます。並列に接続された電流計と抵抗 \(R\) の両端の電圧は等しくなります。電流計の内部抵抗を \(r_A = 9.0\,\Omega\)、電流計に流れる電流を \(I_A = 30\,\text{mA}\) とすると、オームの法則 \(V=IR\) を用いて以下の関係式が立てられます。

(\(\text{抵抗Rにかかる電圧}\)) = (\(\text{電流計にかかる電圧}\))
$$ R \times I_R = r_A \times I_A $$
数値を代入する準備をします。

\(I_R = 270\,\text{mA} = 270 \times 10^{-3}\,\text{A}\)

\(r_A = 9.0\,\Omega\)

\(I_A = 30\,\text{mA} = 30 \times 10^{-3}\,\text{A}\)

したがって、立てるべき式は以下のようになります。
$$ R \times (270 \times 10^{-3}) = 9.0 \times (30 \times 10^{-3}) $$

上記で立式した方程式を \(R\) について解きます。
$$ R \times (270 \times 10^{-3}) = 9.0 \times (30 \times 10^{-3}) $$
両辺にある \(10^{-3}\) を消去すると、式は簡単になります。
$$ R \times 270 = 9.0 \times 30 $$
この式を \(R\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{9.0 \times 30}{270} \\[2.0ex] &= \frac{9.0}{9} \\[2.0ex] &= 1.0
\end{aligned}
$$
したがって、接続する抵抗の値は \(1.0\,\Omega\) となります。

最大 \(30\,\text{mA}\) しか通れない細い道（電流計）に、\(300\,\text{mA}\) という大量の交通量（電流）を流したい、という状況です。道がパンクしないように、横に新しい道（分流器）を作って、交通を分散させる必要があります。これが「並列接続」です。
このとき、元の道には限界の \(30\,\text{mA}\) を流し、残りの \(270\,\text{mA}\) は新しい道に流します。電気の世界のルールでは、並列に接続した道の「通りにくさ（抵抗）」と「交通量（電流）」を掛け算した値（これが電圧にあたります）は、どちらの道でも同じになります。このルールを使って、ちょうど \(270\,\text{mA}\) が流れるような新しい道の「通りにくさ（抵抗値）」を計算するのです。

電流計と並列に \(1.0\,\Omega\) の抵抗（分流器）を接続すればよい。
電流計の内部抵抗が \(9.0\,\Omega\) であるのに対し、分流器の抵抗は \(1.0\,\Omega\) となりました。抵抗が小さい方により多くの電流が流れるため、\(30\,\text{mA}\) に対して \(270\,\text{mA}\) という9倍の電流を流す分流器の抵抗が、電流計の内部抵抗の \(1/9\) である \(1.0\,\Omega\) となったのは、物理的に非常に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
最大 \(5.0\,\text{V}\) までしか測定できない電圧計で \(30\,\text{V}\) という大きな電圧を測定するためには、電圧計本体にかかる電圧を \(5.0\,\text{V}\) に抑え、残りの電圧を別の抵抗に負担してもらう必要があります。この「肩代わり」をしてくれる抵抗が「倍率器」です。電圧を分担（分圧）させるためには、電圧計に対して抵抗を「直列」に接続します。そして、直列に接続された部分では流れる電流がどこでも等しくなる、という物理法則を利用して立式します。
この設問における重要なポイント

• 電圧計の測定範囲を広げるには、倍率器を「直列」に接続する。
• 測定したい全体の電圧 \(V_{\text{全体}}\) のうち、電圧計には最大目盛り \(V_{\text{V}}\) がかかり、残りの \(V_{\text{倍率器}} = V_{\text{全体}} – V_{\text{V}}\) が倍率器にかかる。
• 直列接続なので、電圧計を流れる電流と倍率器を流れる電流は等しい。(\(I_{\text{電圧計}} = I_{\text{倍率器}}\))
• 計算時には単位の換算（kΩをΩに）に注意するか、単位系を揃えて計算する。

具体的な解説と立式
測定したい最大電圧は \(30\,\text{V}\)、電圧計の最大目盛りは \(5.0\,\text{V}\) です。
電圧計にかかることができる電圧の上限が \(5.0\,\text{V}\) なので、残りの電圧を倍率器となる抵抗 \(R’\) に負担させる必要があります。キルヒホッフの第2法則（電圧則）より、抵抗 \(R’\) にかかるべき電圧 \(V_{R’}\) は、
$$ V_{R’} = 30\,\text{V} – 5.0\,\text{V} = 25\,\text{V} $$
となります。
このように電圧を分圧するためには、抵抗 \(R’\) を電圧計に「直列」に接続します。したがって、(ウ)は「直」となります。

次に、抵抗 \(R’\) の値を求めます。直列に接続された電圧計と抵抗 \(R’\) には、同じ大きさの電流 \(I\) が流れます。電圧計の内部抵抗を \(r_V = 3.0\,\text{k}\Omega\)、電圧計にかかる電圧を \(V_V = 5.0\,\text{V}\) とすると、オームの法則 \(I=V/R\) を用いて以下の関係式が立てられます。

(\(\text{電圧計を流れる電流}\)) = (\(\text{抵抗R’を流れる電流}\))
$$ \frac{V_V}{r_V} = \frac{V_{R’}}{R’} $$
この式では、抵抗の単位を kΩ、電圧の単位を V に揃えて計算を進めます。

\(V_V = 5.0\,\text{V}\)

\(r_V = 3.0\,\text{k}\Omega\)

\(V_{R’} = 25\,\text{V}\)

したがって、立てるべき式は以下のようになります。
$$ \frac{5.0}{3.0} = \frac{25}{R’} $$

上記で立式した方程式を \(R’\) について解きます。
$$ \frac{5.0}{3.0} = \frac{25}{R’} $$
この式を \(R’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
5.0 \times R’ &= 25 \times 3.0 \\[2.0ex] R’ &= \frac{25 \times 3.0}{5.0} \\[2.0ex] R’ &= 5.0 \times 3.0 \\[2.0ex] R’ &= 15
\end{aligned}
$$
単位は kΩ で計算したので、抵抗値は \(15\,\text{k}\Omega\) となります。

最大 \(5.0\,\text{V}\) しか測れない電圧計で、\(30\,\text{V}\) という大きな電圧を測りたい状況です。これは、一人（電圧計）では支えきれない重い荷物を、仲間（倍率器）と協力して縦一列に並んで支えるようなものです。これが「直列接続」です。
このとき、先頭の電圧計が \(5.0\,\text{V}\) 分の電圧を負担し、残りの \(25\,\text{V}\) は後ろにいる仲間（倍率器）が負担します。電気の世界のルールでは、直列に接続した部品には、すべて同じ量の電流が流れます。この「電流が等しい」というルールを使って、ちょうど \(25\,\text{V}\) を負担してくれるような仲間の「抵抗の大きさ」を計算するのです。

電圧計と直列に \(15\,\text{k}\Omega\) の抵抗（倍率器）を接続すればよい。
電圧計（内部抵抗 \(3.0\,\text{k}\Omega\)）と倍率器（抵抗 \(R’\)）は直列に接続されており、かかる電圧の比は抵抗値の比に等しくなります。電圧の比は \(V_V : V_{R’} = 5.0 : 25 = 1 : 5\) です。したがって、抵抗値の比も \(r_V : R’ = 1 : 5\) となるはずです。\(r_V = 3.0\,\text{k}\Omega\) なので、\(R’ = 3.0 \times 5 = 15\,\text{k}\Omega\) となり、計算結果と一致します。これは物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 測定器の役割と限界の理解:
  • 核心: この問題の根幹は、「電流計は電流を測るために回路に直列に割り込ませるもの」「電圧計は電位差を測るために回路に並列にまたがせるもの」という大原則と、それぞれの測定器が持つ「最大目盛り」という限界を理解することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 電流計: 理想的な電流計は内部抵抗が \(0\,\Omega\) ですが、現実には内部抵抗 \(r_A\) を持ちます。最大目盛り \(I_A\) を超える電流を流すと壊れてしまいます。
    • 電圧計: 理想的な電圧計は内部抵抗が無限大ですが、現実には有限の（しかし非常に大きい）内部抵抗 \(r_V\) を持ちます。最大目盛り \(V_V\) を超える電圧をかけると壊れてしまいます。
• 分流器と倍率器の基本原理:
  • 核心: 測定器の限界を超える電流や電圧を測定するための「分流器」と「倍率器」の接続方法と、その際の回路法則の適用が核心です。
  • 理解のポイント:
    • 分流器（電流計用）: 大きな電流を測定したい場合、電流計に流れる電流を最大目盛りに抑え、余った電流をバイパスさせる必要があります。電流を「分ける」ので、抵抗（分流器）を並列に接続します。このとき、並列部分の電圧が等しいという法則を使って計算します。
    • 倍率器（電圧計用）: 大きな電圧を測定したい場合、電圧計にかかる電圧を最大目盛りに抑え、余った電圧を他の抵抗に負担させる必要があります。電圧を「分担」するので、抵抗（倍率器）を直列に接続します。このとき、直列部分の電流が等しいという法則を使って計算します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 「N倍の測定範囲」問題: 「電流計の測定範囲をN倍にするには？」「電圧計の測定範囲をN倍にするには？」という形式の問題です。
    • 電流計の場合: 全体電流 \(NI_A\) のうち、\(I_A\) が電流計に、\((N-1)I_A\) が分流器に流れます。電圧が等しいので \(r_A I_A = R (N-1)I_A\)。よって分流器の抵抗は \(R = \displaystyle\frac{r_A}{N-1}\) となります。
    • 電圧計の場合: 全体電圧 \(NV_V\) のうち、\(V_V\) が電圧計に、\((N-1)V_V\) が倍率器にかかります。電流が等しいので \(\displaystyle\frac{V_V}{r_V} = \displaystyle\frac{(N-1)V_V}{R’}\)。よって倍率器の抵抗は \(R’ = (N-1)r_V\) となります。この公式を覚えておくと検算や即答に役立ちます。
  • テスターの内部構造: 複数の抵抗をスイッチで切り替えることで、一台で様々な範囲の電流・電圧・抵抗を測定できる「テスター」の回路設計問題も、この問題の応用です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何を測定したいのか？: 電流か、電圧か。まずこれを明確にします。
  2. どう接続するか？: 電流なら「並列接続（分流）」、電圧なら「直列接続（分圧）」と、接続方法を即座に判断します。
  3. どの物理法則を使うか？: 並列なら「電圧が等しい」、直列なら「電流が等しい」という、それぞれの接続方法に対応するキーとなる法則を選択します。
  4. 単位の統一: mAとA、kΩとΩが混在している場合がほとんどです。計算前に単位をSI基本単位（A, V, Ω）に揃えるか、あるいは（問(2)のように）kΩとVで計算を進めるなど、単位系を意識して計算戦略を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 分流器と倍率器の接続方法の混同:
  • 誤解: 電流計に直列に抵抗をつないだり、電圧計に並列につないだりしてしまう。
  • 対策: 「電流を分ける→並列」「電圧を分ける→直列」と、言葉の意味と接続方法をセットで記憶しましょう。「分流」という漢字が「流れを分ける」ことを示唆しているので、並列接続を連想しやすくなります。「倍率」は電圧を分圧して測定範囲を広げるイメージから、直列接続を連想すると良いでしょう。
• 電流と電圧の関係式の選択ミス:
  • 誤解: 並列接続なのに「電流が等しい」としたり、直列接続なのに「電圧が等しい」としてしまう。
  • 対策: 回路図を必ず描く癖をつけましょう。
    • 並列回路では、分岐点で電流が分かれるのが一目瞭然なので、「電流は異なる（和が一定）」「電圧は共通」と視覚的に理解できます。
    • 直列回路では、電流の通り道が一本道であることから「電流は共通」「電圧は各抵抗で分担される」と視覚的に理解できます。
• 単位換算のミス:
  • 誤解: \(30\,\text{mA}\) を \(30\,\text{A}\) として計算したり、\(3.0\,\text{k}\Omega\) を \(3.0\,\Omega\) として計算してしまう。
  • 対策: プレフィックス（接頭辞）の意味を正確に覚えることが基本です。「m（ミリ）」は \(10^{-3}\)、「k（キロ）」は \(10^3\) です。計算を始める前に、問題文中の数値をすべてSI基本単位（A, V, Ω）に書き直す一手間を惜しまないことが、確実な対策になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 分流器（並列接続）における電圧等価の法則:
  • 選定理由: (1)では、未知数である分流器の抵抗 \(R\) を求める必要がありました。既知の量は電流計の内部抵抗 \(r_A\) と、各々に流れる電流 \(I_A, I_R\) です。これらの量（\(R, I, r\)）を一つの式で結びつけることができるのがオームの法則 \(V=IR\) です。そして、並列接続という条件が「電圧が等しい」という関係性を提供してくれるため、\(V_R = V_A \rightarrow R I_R = r_A I_A\) という方程式を立てることが、未知数を求めるための最も直接的なルートとなります。
  • 適用根拠: キルヒホッフの第2法則（電圧則）が物理的な根拠です。電流計を通るループと分流器を通るループを考えると、どちらの経路も同じ2点間を結んでいるため、その電位差は等しくなければなりません。
• 倍率器（直列接続）における電流等価の法則:
  • 選定理由: (2)では、未知数である倍率器の抵抗 \(R’\) を求める必要がありました。既知の量は電圧計の内部抵抗 \(r_V\) と、各々にかかる電圧 \(V_V, V_{R’}\) です。これらの量（\(R, V, r\)）を結びつけるには、やはりオームの法則 \(I=V/R\) が有効です。そして、直列接続という条件が「電流が等しい」という関係性を提供してくれるため、\(I_V = I_{R’} \rightarrow \displaystyle\frac{V_V}{r_V} = \displaystyle\frac{V_{R’}}{R’}\) という方程式を立てることが、未知数を求めるための最も合理的な方法です。
  • 適用根拠: キルヒホッフの第1法則（電流則）が物理的な根拠です。直列回路では電流の分岐・合流がないため、回路のどの点をとっても流れる電流は同じでなければなりません。これは電荷の保存則に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を揃える儀式: 計算を始める前に、問題文に出てくる数値をすべてSI基本単位（A, V, Ω）に変換して書き出すことを習慣にしましょう。例えば、\(30\,\text{mA} \rightarrow 30 \times 10^{-3}\,\text{A}\)、\(3.0\,\text{k}\Omega \rightarrow 3.0 \times 10^3\,\Omega\) のように、機械的に変換する一手間がケアレスミスを防ぎます。
• 比の関係を活用する:
  • (1)の分流器では、電圧が等しい (\(V=IR\)) ので、電流と抵抗は反比例の関係 (\(I \propto 1/R\)) にあります。電流の比が \(I_A : I_R = 30 : 270 = 1 : 9\) なので、抵抗の比は \(r_A : R = 9 : 1\) となります。\(r_A = 9.0\,\Omega\) なので、\(R = 1.0\,\Omega\) と暗算レベルで検算できます。
  • (2)の倍率器では、電流が等しい (\(I=V/R\)) ので、電圧と抵抗は比例の関係 (\(V \propto R\)) にあります。電圧の比が \(V_V : V_{R’} = 5.0 : 25 = 1 : 5\) なので、抵抗の比も \(r_V : R’ = 1 : 5\) となります。\(r_V = 3.0\,\text{k}\Omega\) なので、\(R’ = 3.0 \times 5 = 15\,\text{k}\Omega\) と、こちらも簡単に検算できます。
• 方程式の整理: (2)の計算 \(\displaystyle\frac{5.0}{3.0} = \displaystyle\frac{25}{R’}\) のような分数の式では、いきなり割り算をせず、まず両辺に分母を掛けて \(5.0 \times R’ = 25 \times 3.0\) のように整数の形に直してから、最後に割り算を実行すると計算ミスが減ります。

基本例題79 キルヒホッフの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「キルヒホッフの法則を用いた直流回路の解析」です。複数の電源を含む複雑な回路において、各部分を流れる電流を求めるための基本的な手法を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
キルヒホッフの法則を用いて回路に関する式を立てる基本問題です。まず、回路の分岐点である点Pに着目し、キルヒホッフの第一法則（電流則）を適用して、抵抗 \(R_1\) を流れる電流を \(I\) と \(I’\) で表します。次に、指定された閉回路 \(E_1 R_3 R_1 E_1\) について、第二法則（電圧則）を適用します。電圧則を適用する際は、ループをたどる向きを自分で決め、起電力と電圧降下の符号をルールに従って正確に判断することが重要です。
この設問における重要なポイント

• 電流則の適用: 点Pに流入する電流は \(I\) と \(I’\) なので、点Pから流出する \(R_1\) を流れる電流は \(I+I’\) となる。
• 電圧則の適用: 「起電力の和 = 電圧降下の和」という関係式を立てる。
• 符号のルール:
  • ループをたどる向きと起電力の向き（負極→正極）が同じなら起電力は正。
  • ループをたどる向きと電流の向きが同じなら電圧降下は正。

具体的な解説と立式
まず、点Pにおいてキルヒホッフの第一法則（電流則）を適用します。
問題文の定義より、抵抗 \(R_2\) から電流 \(I’\) が、抵抗 \(R_3\) から電流 \(I\) が点Pに流入します。したがって、点Pから抵抗 \(R_1\) へ流出する電流は、これらの和である \(I+I’\) となります。（注：解説図では\(I+I’\)の矢印の向きが逆になっていますが、法則に従いPから左へ流れると考えます）

次に、閉回路 \(E_1 \rightarrow Q \rightarrow R_3 \rightarrow P \rightarrow R_1 \rightarrow E_1\) を反時計回りにたどり、キルヒホッフの第二法則（電圧則）「起電力の和 = 電圧降下の和」を適用します。

• 起電力の和: ループ内にある電源は \(E_1\) のみです。ループをたどる向きは \(E_1\) の起電力の向き（負極から正極）と一致するため、起電力の和は \(+E_1\) です。
• 電圧降下の和:
  • 抵抗 \(R_3\): ループはQからPへたどります。これは電流 \(I\) の向きと一致するため、電圧降下は \(+R_3 I\) です。
  • 抵抗 \(R_1\): ループはPから \(E_1\) の負極へたどります。これは電流 \(I+I’\) の向きと一致するため、電圧降下は \(+R_1(I+I’)\) です。

以上のことから、以下の関係式が成り立ちます。
$$ E_1 = R_3 I + R_1(I+I’) $$

上記で立式した \(E_1 = R_3 I + R_1(I+I’)\) に、問題文で与えられた値を代入します。
\(E_1 = 12.0\) [V], \(R_1 = 3.0\) [Ω], \(R_3 = x\) [Ω] なので、
$$
\begin{aligned}
12.0 &= xI + 3.0(I+I’) \\[2.0ex] &= xI + 3.0I + 3.0I’ \\[2.0ex] &= (3.0+x)I + 3.0I’
\end{aligned}
$$
これが求める関係式です。

電池 \(E_1\) が回路に供給する「高さ12.0Vのエネルギー」が、2つの抵抗 \(R_1\) と \(R_3\) でどのように消費されるかを考える問題です。
まず、合流地点Pでは、\(R_2\) からの電流 \(I’\) と \(R_3\) からの電流 \(I\) が合わさって、\(R_1\) には \(I+I’\) という太い川のように電流が流れます。
次に、電池 \(E_1\) が作った12.0Vの「電圧の坂」は、抵抗 \(R_3\) の坂と抵抗 \(R_1\) の坂の合計の高さと等しくなります。それぞれの坂の高さ（電圧降下）は「抵抗値 × 電流」で計算できるので、\(12.0 = (R_3\text{での電圧}) + (R_1\text{での電圧})\) という式を立てます。

得られた関係式 \(12.0 = (3.0+x)I + 3.0I’\) は、未知数 \(I\) と \(I’\) を含む一次方程式です。回路には未知の電流が2つあるため、この時点では解を一つに決めることはできません。次の設問で別の関係式を立て、連立方程式を解く必要があります。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)と同様に、キルヒホッフの第二法則（電圧則）を適用します。今回は、電源 \(E_2\) を含む右側の閉回路 \(P \rightarrow R_2 \rightarrow E_2 \rightarrow Q \rightarrow R_3 \rightarrow P\) に着目します。このループには2つの抵抗と1つの電源が含まれています。ループをたどる向き（例えば時計回り）を決め、各素子を通過する際の起電力と電圧降下の符号を、(1)と同じルールに従って慎重に決定することが重要です。特に、電流や起電力の向きがループをたどる向きと逆になる場合の符号の扱いに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 着目する閉回路を正しく選ぶ。
• ループをたどる向きと、各素子の電流・起電力の向きを比較し、符号を正確に判断する。
• (1)で設定した電流 \(I, I’\) の定義を一貫して使用する。

具体的な解説と立式
閉回路 \(P \rightarrow R_2 \rightarrow E_2 \rightarrow Q \rightarrow R_3 \rightarrow P\) を時計回りにたどり、キルヒホッフの第二法則「起電力の和 = 電圧降下の和」を適用します。

• 起電力の和: ループ内にある電源は \(E_2\) のみです。ループは \(E_2\) を正極から負極の向きにたどります。これは起電力の向きと逆なので、起電力の和は \(-E_2\) です。
• 電圧降下の和:
  • 抵抗 \(R_2\): ループはPから右へたどります。これは電流 \(I’\) の向き（左向き）と逆なので、電圧降下は \(-R_2 I’\) です。
  • 抵抗 \(R_3\): ループはQからPへたどります。これは電流 \(I\) の向き（左向き）と一致するため、電圧降下は \(+R_3 I\) です。

以上のことから、以下の関係式が成り立ちます。
$$ -E_2 = -R_2 I’ + R_3 I $$

上記で立式した \(-E_2 = -R_2 I’ + R_3 I\) の両辺に \(-1\) を掛けて整理します。
$$ E_2 = R_2 I’ – R_3 I $$
この式に、問題文で与えられた値を代入します。
\(E_2 = 6.0\) [V], \(R_2 = 6.0\) [Ω], \(R_3 = x\) [Ω] なので、
$$ 6.0 = 6.0I’ – xI $$
これが求める関係式です。

今度は、回路の右側にある小さなループで電圧の「つじつま合わせ」をします。このループを時計回りに一周旅行すると、出発点に戻るので、全体の電位（標高）の変化はゼロになるはずです。
P地点から出発します。
1. \(R_2\) を右へ：電流と逆行するので、坂を上る。電位は \(6.0 \times I’\) 上がる。
2. \(E_2\) を上から下へ：電池のプラスからマイナスへ行くので、崖を飛び降りるイメージ。電位は \(6.0\)V 下がる。
3. \(R_3\) を左へ：電流と同じ向きなので、坂を下る。電位は \(x \times I\) 下がる。
この「上がる、下がる、下がる」をすべて合計すると、元の高さに戻るのでゼロになります。これを式にすると、求める関係式が得られます。

(1)で得られた式とは独立な、もう一つの関係式 \(6.0 = 6.0I’ – xI\) が得られました。これで未知数 \(I, I’\) の数と式の数が同じになったため、(3)で連立方程式を解くことができます。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)と(2)で導出した2つの未知数 \(I, I’\) を含む連立一次方程式を解き、\(I\) を \(x\) の関数として表す問題です。数学的な計算が中心となります。目標は \(I\) を求めることなので、\(I’\) を消去する方針で式を変形します。加減法、代入法のどちらでも解けますが、ここでは係数を揃えやすい加減法を用いるのが効率的です。
この設問における重要なポイント

• 解くべき連立方程式を明確に書き出す。
• 消去したい変数（今回は \(I’\)）の係数を揃える。
• 加減法を正確に実行し、計算ミスに注意する。

具体的な解説と立式
(1), (2)で得られた2つの関係式を再掲します。
$$ 12.0 = (3.0+x)I + 3.0I’ \quad \cdots ① $$
$$ 6.0 = 6.0I’ – xI \quad \cdots ② $$
未知数 \(I’\) を消去するために、①式の両辺を2倍して \(I’\) の係数を \(6.0\) に揃えます。
$$ 2 \times ①: \quad 24.0 = 2(3.0+x)I + 6.0I’ \quad \cdots ①’ $$
これで \(I’\) の係数が②式と等しくなったので、①’式から②式を引きます。
$$ (①’) – (②) $$

上記の方針に従って計算を実行します。
$$
\begin{aligned}
24.0 – 6.0 &= (2(3.0+x)I + 6.0I’) – (6.0I’ – xI) \\[2.0ex] 18.0 &= (6.0+2x)I + 6.0I’ – 6.0I’ + xI \\[2.0ex] 18.0 &= (6.0+2x+x)I \\[2.0ex] 18.0 &= (6.0+3x)I
\end{aligned}
$$
この式を \(I\) について解きます。
$$ I = \frac{18.0}{6.0+3x} $$
分母と分子を共通因数である \(3.0\) で割って、式を簡単にします。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{18.0 \div 3.0}{(6.0+3x) \div 3.0} \\[2.0ex] &= \frac{6.0}{2.0+x}
\end{aligned}
$$

(1)と(2)で、分からない文字が2つ（\(I\) と \(I’\)）入った式を2本手に入れました。これは、数学で習った連立方程式そのものです。
私たちの目的は \(I\) の正体を知ることなので、邪魔な \(I’\) を消すことにします。
式①を2倍すると、\(I’\) のお供の数字が式②と同じ「6.0」になります。この状態で上の式から下の式を引き算すると、\(6.0I’ – 6.0I’\) となって \(I’\) がきれいに消えてくれます。
残った式を「\(I=\dots\)」の形に整理すれば、答えにたどり着きます。

抵抗 \(R_3\) を流れる電流 \(I\) は、\(I = \displaystyle\frac{6.0}{x+2.0}\) [A] と表せました。この結果は物理的に妥当か吟味します。\(x\) は可変抵抗 \(R_3\) の抵抗値なので、\(x \ge 0\) です。

• もし \(x\) が非常に大きい（\(x \rightarrow \infty\)）なら、分母が無限大に近づくので \(I \rightarrow 0\) となります。これは、\(R_3\) の抵抗が大きすぎると電流が流れにくくなるという直感と一致します。
• もし \(x=0\)（\(R_3\) がただの導線）なら、\(I = \frac{6.0}{2.0} = 3.0\) [A] となります。

このように、得られた結果は物理的に妥当な振る舞いを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• キルヒホッフの法則（第一法則・第二法則）:
  • 核心: この問題の根幹は、複数の電源を含む複雑な回路を解析するための普遍的なルールであるキルヒホッフの法則を、いかに正確に適用できるかという点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 第一法則（電流則）: 「分岐点に流入する電流の和は、流出する電流の和に等しい」という法則です。これは「電荷が途中で消えたり増えたりしない」という電荷量保存則の現れです。本問では点Pにおける電流の関係を導くのに使います。
    • 第二法則（電圧則）: 「任意の閉回路（ループ）を一周すると、起電力の和と電圧降下の和は等しい」という法則です。これは「ループを一周して出発点に戻れば、電気的な高さ（電位）も元に戻る」というエネルギー保存則の現れです。この法則を用いて未知数の数だけ方程式を立てることが、問題解決の鍵となります。
• 電位の概念（別解の核心）:
  • 核心: キルヒホッフの第二法則を、より根源的な「電位」の概念から理解することです。回路の任意の点の電位は、基準点を定めれば一意に決まります。
  • 理解のポイント:
    • 「ループを一周すると電位が元に戻る（電位差が0）」というのが電圧則の本質です。
    • 別解で用いた「2点間の電位差は、計算する経路によらず一定である」という考え方は、ループを意識せずとも関係式を立てられる強力なアプローチであり、電圧則の物理的意味を深く理解することに繋がります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホイートストンブリッジ: 検流計に電流が流れるか否かを問う問題。検流計を含むループで電圧則を立てるか、あるいはブリッジの両端の点の電位をそれぞれ計算し、比較することで解くことができます。
  • コンデンサーを含む直流回路: 十分に時間が経過した定常状態では、コンデンサー部分は断線と見なせます（電流が流れない）。その状態でキルヒホッフの法則を適用して回路の各電流を求め、それを使ってコンデンサーの両端の電位差（=蓄えられる電圧）を計算する問題に応用できます。
  • 内部抵抗を持つ電池: 電池を「理想的な電源と、それと直列につながった小さな抵抗」の組み合わせだと考えます。電圧則を適用する際に、この内部抵抗による電圧降下 \(rI\) も忘れずに式に含めることがポイントです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 未知数の設定: まず、未知の電流を文字で置きます。電流則（第一法則）を活用すれば、最小限の未知数（本問では \(I\) と \(I’\) の2つ）で回路の全ての電流を表すことができます。
  2. 方程式の計画: 未知数がN個あれば、独立した方程式がN本必要です。電圧則（第二法則）を異なるループに適用して、必要な数だけ方程式を立てる計画を立てます。
  3. ループの選択: 電圧則を適用するループは、なるべく素子の数が少ない単純なものを選ぶと、立式や計算が楽になります。回路内の全ての素子が、少なくとも1つのループに含まれるように選びましょう。
  4. 電位法の活用: 回路が複雑でループを追うのが難しい場合や、特定の2点間の電位差を求めたい場合は、回路のどこか1点を基準（アース、電位0V）に設定し、各点の電位を計算していく「電位法」が非常に有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧則における符号のミス:
  • 誤解: 起電力は常にプラス、抵抗での電圧降下は常にマイナス、と機械的に符号を決めてしまう。
  • 対策: 符号は「ループをたどる向き」と「電流や起電力の向き」の相対的な関係で決まる、という原則を徹底します。
    • ルールを儀式化: 式を立てる前に「ループの向き：時計回り」などと紙に書き出し、各素子を通過する際に「向きは同じ→プラス」「向きは逆→マイナス」と一つ一つ指差し確認する癖をつけましょう。
    • 電位のイメージ: 「坂を上るか、下るか」で考えます。電流と同じ向きに抵抗を渡る→坂を下る（電位降下）。電池の負極から正極へ渡る→坂を上る（電位上昇）。このイメージを持つと、符号ミスが激減します。
• 最初に仮定した電流の向き:
  • 誤解: 最初に仮定した電流の向きがもし間違っていたら、計算全体が間違いになるのではないかと不安になる。
  • 対策: 電流の向きは、最初にどちら向きに仮定しても全く問題ありません。計算を進めて、もし電流の値がマイナス（例: \(I = -2.0\) A）になったら、それは「最初に仮定した向きとは逆向きに、2.0Aの電流が流れている」ことを意味するだけです。値の大きさは正しいので、慌てずに結果を解釈しましょう。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 物理法則の立式さえできれば、あとはただの計算だと油断してしまう。
  • 対策: キルヒホッフの法則の問題は、立式後の連立方程式の計算が本番です。立式した式に番号を振り、加減法や代入法などの方針を明確にしてから、途中式を省略せずに丁寧に計算を進めることが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの法則の選択:
  • 選定理由: 回路に電源が複数あったり、抵抗の接続が単純な直列・並列でなかったりする場合、中学校で習うオームの法則だけでは解くことができません。このような「複雑な回路」を解析するための、より普遍的で強力なツールがキルヒホッフの法則です。
  • 適用根拠: 第一法則は電荷量保存則、第二法則はエネルギー保存則という、物理学の根幹をなす法則に基づいています。したがって、どんなに複雑な直流回路であっても、これらの法則は必ず成り立ちます。この普遍性こそが、この法則を安心して適用できる根拠です。
• 電位法の選択（別解）:
  • 選定理由: ループ則が「電位差の和がゼロ」という間接的な見方なのに対し、電位法は「各点の電位そのもの」という直接的な物理量に着目します。回路の特定の点の電位や、2点間の電位差を求めたい場合に、より直感的でミスが少ないアプローチとなり得ます。
  • 適用根拠: 静電場が保存力であるため、電位は経路によらず場所だけで決まる物理量です。この性質により、どの経路で計算しても同じ点の電位は同じ値になるため、複数の経路で計算した電位を等しいとおくことで方程式を立てるという操作が正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 立式の整理整頓: (1), (2)で立てた式は、すぐに \(( … )I + ( … )I’ = (\text{定数})\) のように、変数を左辺に、定数を右辺にまとめて整理する癖をつけましょう。こうすることで、連立方程式として全体像が見やすくなり、計算方針を立てやすくなります。
• 単位の省略と意識: 計算途中では、\(V\)や\(Ω\)などの単位は書かずに数値だけの計算に集中すると、式がスッキリしてミスが減ります。ただし、自分が今何の物理量を計算しているのかは常に意識し、最終的な答えには必ず適切な単位を付けましょう。
• 約分を意識する: (3)の最後のように、\(I = \displaystyle\frac{18.0}{6.0+3x}\) という形になったら、すぐに約分できないか確認する習慣をつけましょう。分母・分子の共通因数（この場合は3.0）を見つけることで、式が簡潔になり、その後の検算もしやすくなります。
• 物理的な吟味による検算: (3)の結論で示したように、得られた結果の文字（今回は \(x\)）に極端な値（\(x=0\) や \(x \rightarrow \infty\)）を代入してみて、結果が物理的な直感に合うかを確かめるのは非常に有効な検算方法です。「抵抗を無限大にしたら電流が0に近づく」といった妥当な振る舞いが確認できれば、計算が合っている可能性は高いと言えます。

基本例題80 電池から供給される電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「内部抵抗を持つ電源から供給される電力と、その最大値問題」です。電池が作る電力のすべてが外部の抵抗で使われるわけではなく、電池内部でも一部が消費されることを理解し、外部で消費される電力が最大になる条件を導出することが目標です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
内部抵抗 \(r\) を持つ電源に外部抵抗 \(R\) を接続した、最も基本的な直流回路です。キルヒホッフの第二法則（電圧則）を適用して、回路に流れる電流 \(I\) を求めます。電源の起電力 \(E\) が、外部抵抗 \(R\) での電圧降下と内部抵抗 \(r\) での電圧降下の合計に等しい、という関係を立式します。
この設問における重要なポイント

• 内部抵抗 \(r\) は、電源と直列に接続された抵抗として扱う。
• 閉回路全体で「起電力の和 = 電圧降下の和」を適用する。

具体的な解説と立式
回路全体（閉回路）にキルヒホッフの第二法則を適用します。電流は時計回りに流れます。この向きにループをたどると、

• 起電力の和: 電源 \(E\) を負極から正極へ通過するので、\(+E\)。
• 電圧降下の和: 外部抵抗 \(R\) と内部抵抗 \(r\) をどちらも電流 \(I\) と同じ向きに通過するので、電圧降下はそれぞれ \(RI\) と \(rI\)。合計は \(RI+rI\)。

したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$ E = RI + rI $$

上記で立式した \(E = RI + rI\) を \(I\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
E &= (R+r)I \\[2.0ex] I &= \frac{E}{R+r}
\end{aligned}
$$

電池が持つ \(E\) というエネルギーは、回路を一周する間にすべて使い切られます。このエネルギーは、外側の抵抗 \(R\) を通過するときと、電池の中にある内部抵抗 \(r\) を通過するとき、の2箇所で消費されます。したがって、「電池のエネルギー \(E\) = \(R\)での消費分 + \(r\)での消費分」という関係が成り立ちます。これを数式で表して \(I\) について解けばOKです。

電流 \(I\) は \(\displaystyle\frac{E}{R+r}\) と表せます。これは、回路全体の抵抗が \(R+r\) であるとみなしたときのオームの法則の形をしており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
可変抵抗器 \(R\) にかかる電圧 \(V\) を求める問題です。抵抗 \(R\) の部分にオームの法則を適用します。抵抗値は \(R\)、そこを流れる電流は(1)で求めた \(I\) なので、これらをオームの法則の式に代入します。
この設問における重要なポイント

• 回路の一部分だけに着目し、オームの法則 \(V=RI\) を適用する。
• (1)で求めた電流 \(I\) の結果を利用する。

具体的な解説と立式
可変抵抗器 \(R\) の部分にオームの法則を適用します。
$$ V = RI $$
この式に、(1)で求めた \(I = \displaystyle\frac{E}{R+r}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
V &= R \times I \\[2.0ex] &= R \left( \frac{E}{R+r} \right) \\[2.0ex] &= \frac{R}{R+r}E
\end{aligned}
$$

可変抵抗器 \(R\) にかかる電圧、つまり \(R\) の両端の「標高差」を知りたい問題です。標高差は「抵抗値 × そこを流れる電流」で計算できます。(1)で電流の大きさがわかっているので、それを抵抗値 \(R\) に掛けるだけで答えが出ます。

電圧 \(V\) は \(\displaystyle\frac{R}{R+r}E\) と表せます。この電圧は「端子電圧」とも呼ばれ、電池の起電力 \(E\) よりも \(Ir\) だけ小さくなっています（\(V = E – Ir\)）。これは、起電力の一部が内部抵抗で消費されてしまうため、電池の端子から取り出せる電圧は \(E\) より小さくなることを示しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「全回路で消費される電力」\(P_0\) を求めます。これは、電源が回路全体に供給する電力に等しく、電池の「仕事率」と考えることができます。電力の公式 \(P=IV\) を、回路全体、すなわち電源に着目して適用します。電源が供給する電流は \(I\)、電源の起電力（電圧）は \(E\) です。
この設問における重要なポイント

• 「全回路で消費される電力」は「電源が供給する電力」と等しい。
• 電源が供給する電力は \(P_0 = IE\) で計算される。

具体的な解説と立式
電源が供給する電力 \(P_0\) は、電力の公式 \(P=IV\) より、電流 \(I\) と起電力 \(E\) の積で与えられます。
$$ P_0 = IE $$
この式に、(1)で求めた \(I = \displaystyle\frac{E}{R+r}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
P_0 &= I E \\[2.0ex] &= \left( \frac{E}{R+r} \right) E \\[2.0ex] &= \frac{E^2}{R+r}
\end{aligned}
$$

電池が1秒あたりに生み出すエネルギーの総量（仕事率）を求める問題です。これは「電流 × 電圧」で計算できます。今、回路全体を考えているので、電流は(1)で求めた \(I\)、電圧は電池そのものの能力である起電力 \(E\) を使います。

全消費電力 \(P_0\) は \(\displaystyle\frac{E^2}{R+r}\) と表せます。この電力は、外部抵抗 \(R\) と内部抵抗 \(r\) の両方で消費される熱エネルギーの合計に等しくなります。

問(4)

思考の道筋とポイント
可変抵抗器 \(R\) だけで消費される電力 \(P_1\) を求めます。抵抗で消費される電力を求めるには、\(P=IV\), \(P=I^2R\), \(P=\displaystyle\frac{V^2}{R}\) の3つの公式があります。今回は、(1)で電流 \(I\) を求めているので、\(P_1 = I^2R\) を使うのが最も計算が簡単です。
この設問における重要なポイント

• 抵抗での消費電力の公式 \(P=I^2R\) を選択する。
• (1)で求めた電流 \(I\) の結果を利用する。

具体的な解説と立式
可変抵抗器 \(R\) での消費電力 \(P_1\) は、電力の公式 \(P=I^2R\) を用いて計算します。
$$ P_1 = I^2 R $$
この式に、(1)で求めた \(I = \displaystyle\frac{E}{R+r}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
P_1 &= I^2 R \\[2.0ex] &= \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 R \\[2.0ex] &= \frac{E^2 R}{(R+r)^2}
\end{aligned}
$$

外側の抵抗 \(R\) だけで消費されるエネルギー（1秒あたり）を求める問題です。抵抗で消費される電力は「電流の2乗 × 抵抗値」で計算するのが便利です。(1)で求めた電流 \(I\) を2乗して、抵抗値 \(R\) を掛ければOKです。

可変抵抗器での消費電力 \(P_1\) は \(\displaystyle\frac{E^2 R}{(R+r)^2}\) と表せます。この式は、次の設問(5)で最大値を求めるための出発点となります。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で求めた \(P_1\) を、可変抵抗の抵抗値 \(R\) の関数とみて、その最大値を求める問題です。\(P_1\) の式は \(R\) の分数関数になっており、このままでは最大値を求めにくいです。そこで、式を変形して考えやすくします。模範解答では、分母分子を \(R\) で割り、分母に \(R\) を集めることで、相加・相乗平均の関係が利用できる形に変形しています。
この設問における重要なポイント

• \(P_1\) が最大になるのは、式の分母が最小になるときである、と考える。
• 分母の式を、相加・相乗平均の関係が適用できる形に変形する。
• 相加・相乗平均の関係: \(a>0, b>0\) のとき \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)。等号成立は \(a=b\) のとき。

具体的な解説と立式
(4)で求めた \(P_1\) の式を変形します。
$$ P_1 = \frac{E^2 R}{(R+r)^2} $$
この式の分母分子を \(R\) で割ります。（\(R>0\) なので問題ありません）
$$ P_1 = \frac{E^2}{\frac{(R+r)^2}{R}} $$
分母を変形します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(R+r)^2}{R} &= \frac{R^2 + 2Rr + r^2}{R} \\[2.0ex] &= R + 2r + \frac{r^2}{R} \\[2.0ex] &= \left( R + \frac{r^2}{R} \right) + 2r
\end{aligned}
$$
よって、\(P_1\) は以下のように表せます。
$$ P_1 = \frac{E^2}{\left( R + \frac{r^2}{R} \right) + 2r} $$
\(E\) と \(r\) は定数なので、\(P_1\) が最大になるのは、分母の \(\left( R + \frac{r^2}{R} \right) + 2r\) が最小になるとき、すなわち \(R + \frac{r^2}{R}\) が最小になるときです。

ここで、\(R>0, \frac{r^2}{R}>0\) なので、相加・相乗平均の関係を用いることができます。
$$ R + \frac{r^2}{R} \ge 2\sqrt{R \cdot \frac{r^2}{R}} $$
右辺を計算すると、
$$
\begin{aligned}
2\sqrt{R \cdot \frac{r^2}{R}} &= 2\sqrt{r^2} \\[2.0ex] &= 2r
\end{aligned}
$$
よって、\(R + \frac{r^2}{R} \ge 2r\) となります。
等号が成立するのは、\(R = \frac{r^2}{R}\)、すなわち \(R^2 = r^2\)、\(R>0, r>0\) より \(R=r\) のときです。

\(R + \frac{r^2}{R}\) の最小値は \(2r\) であり、それは \(R=r\) のときに実現します。
このときの \(P_1\) の最大値は、
$$
\begin{aligned}
P_{1, \text{最大}} &= \frac{E^2}{(\text{分母の最小値})} \\[2.0ex] &= \frac{E^2}{(2r) + 2r} \\[2.0ex] &= \frac{E^2}{4r}
\end{aligned}
$$
したがって、\(R=r\) のときに最大値 \(\displaystyle\frac{E^2}{4r}\) をとります。

外側の抵抗 \(R\) で消費される電力が、いつ一番大きくなるか？という問題です。\(R\) が小さすぎると電流はたくさん流れますが、抵抗自体が小さいので電力は小さくなります。逆に \(R\) が大きすぎると、電流が流れにくくなってしまい、やはり電力は小さくなります。ちょうど良いバランスの点があるはずです。
この「ちょうど良いバランス」を探すために、数学のテクニック「相加・相乗平均」を使います。式をうまく変形すると、分母が一番小さくなるとき、つまり \(R\) と \(r\) が等しくなるときに、電力が最大になることがわかります。

可変抵抗器での消費電力は、外部抵抗 \(R\) と内部抵抗 \(r\) の値が等しくなったとき (\(R=r\)) に最大となることがわかりました。これは「インピーダンスマッチング」として知られる非常に重要な結果です。電池から最大の電力を取り出したい場合、接続する機器の抵抗値を電池の内部抵抗値に合わせればよい、ということを示しています。

問(6)

思考の道筋とポイント
\(P_0 – P_1\) が何を意味するかを問う問題です。\(P_0\) は「電源が供給する全電力」、\(P_1\) は「外部抵抗で消費される電力」です。エネルギー保存則の観点から、これらの差は「回路の残りの部分で消費される電力」を意味するはずです。回路の残りの部分は内部抵抗 \(r\) しかないため、この差は内部抵抗で消費される電力（ジュール熱）であると推測できます。これを数式で確認します。
この設問における重要なポイント

• \(P_0\) と \(P_1\) の物理的な意味を理解する。
• エネルギー保存則を念頭に置く。
• キルヒホッフの法則の式をエネルギー（電力）の観点で変形する。

具体的な解説と立式
(1)で立てたキルヒホッフの第二法則の式から出発します。
$$ E = RI + rI $$
この式は電圧（単位電荷あたりのエネルギー）に関する関係式です。両辺に電流 \(I\) を掛けると、電力（単位時間あたりのエネルギー、仕事率）に関する関係式になります。
$$ IE = (RI)I + (rI)I $$
$$ IE = I^2 R + I^2 r $$
ここで、各項が何を表しているかを確認します。

• \(IE\): (3)で求めた通り、電源が供給する全電力 \(P_0\)。
• \(I^2 R\): (4)で求めた通り、外部抵抗 \(R\) で消費される電力 \(P_1\)。
• \(I^2 r\): 内部抵抗 \(r\) で消費される電力。

したがって、上の式は以下のように書き換えられます。
$$ P_0 = P_1 + I^2 r $$
この式を移項すると、
$$ P_0 – P_1 = I^2 r $$

上記の立式で計算は完了しています。\(P_0 – P_1\) は \(I^2 r\) に等しく、これは内部抵抗 \(r\) で消費される電力を表します。

電池が作った全エネルギー \(P_0\) のうち、外側の抵抗 \(R\) が使った分が \(P_1\) です。では、残りの \(P_0 – P_1\) はどこへ行ったのでしょうか？エネルギーは消えないので、回路のどこかで使われているはずです。回路には \(R\) の他に、電池の中の内部抵抗 \(r\) しかありません。したがって、この差額分は、内部抵抗 \(r\) が熱として消費した電力ということになります。

\(P_0 – P_1\) は、内部抵抗 \(r\) で消費される電力を意味します。これは、電池が仕事をすると、電池自身も少し熱くなる現象に対応しており、エネルギー保存則から考えても妥当な結論です。15字以内でまとめます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギー保存則の電力表現:
  • 核心: この問題の根幹は、電池が作るエネルギー（電力）が、回路のどこでどのように消費されるかを理解することにあります。キルヒホッフの第二法則 \(E = RI + rI\) は電圧の関係式ですが、両辺に電流 \(I\) を掛けることで得られる \(IE = I^2R + I^2r\) という電力の関係式こそが、この問題の核心です。
  • 理解のポイント:
    • \(P_0 = IE\) (供給): 電源が1秒あたりに生み出す全エネルギー。
    • \(P_1 = I^2R\) (外部消費): 外部の抵抗（負荷）で熱や光、仕事などに変換される有効なエネルギー。
    • \(P_r = I^2r\) (内部消費): 電池の内部抵抗で熱として失われる、いわば「ロス」のエネルギー。
    • 保存則: 「供給された全電力 \(P_0\)」は、「外部での消費電力 \(P_1\)」と「内部での消費電力 \(P_r\)」の和に等しい (\(P_0 = P_1 + P_r\))。このエネルギー収支を常に意識することが重要です。
• 最大電力供給の条件:
  • 核心: 「外部抵抗で消費される電力 \(P_1\) が最大になるのは、外部抵抗と内部抵抗が等しいとき (\(R=r\)) である」という結論。これは「インピーダンスマッチング」と呼ばれる、電気・電子工学における非常に重要な概念の基礎です。
  • 理解のポイント:
    • \(R\) が小さすぎると、大電流が流れるが抵抗が小さいため \(P_1=I^2R\) は小さい。
    • \(R\) が大きすぎると、抵抗は大きいが電流が小さくなるため \(P_1=I^2R\) は小さい。
    • このトレードオフの最適点が \(R=r\) にある、という物理的イメージを持つことが大切です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 効率を問う問題: 電池の「効率 \(\eta\)」は、供給した全電力のうち、外部で有効に使われた電力の割合で定義されます。\(\eta = \displaystyle\frac{P_1}{P_0} = \displaystyle\frac{I^2R}{IE} = \displaystyle\frac{IR}{E}\)。これに \(I=\displaystyle\frac{E}{R+r}\) を代入すると \(\eta = \displaystyle\frac{R}{R+r}\) となります。最大の電力を取り出す条件 (\(R=r\)) では、効率は \(\eta = \displaystyle\frac{r}{r+r} = 0.5\)、つまり50%にしかならない、という興味深い事実を問う問題に応用できます。
  • グラフ問題: 横軸に外部抵抗 \(R\)、縦軸に消費電力 \(P_1\) や電流 \(I\) をとったグラフの概形を描かせる、あるいは読み取らせる問題。\(P_1\) が \(R=r\) で最大値をとる山形のグラフになることを理解しているかが問われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何を最大化したいか？: 問題が「外部での消費電力」を最大にしたいのか、それとも「効率」を最大にしたいのかを正確に読み取ります。両者の答えは異なります（効率が最大になるのは \(R \rightarrow \infty\) のとき）。
  2. 変数は何か？: この問題では外部抵抗 \(R\) が変数でした。問題によっては起電力 \(E\) や内部抵抗 \(r\) が変わる場合もあります。どの物理量が変数で、どれが定数かを明確に区別することが第一歩です。
  3. 最大値問題の数学的ツール選択:
     • 相加・相乗平均: 式が「\(x + \frac{a}{x}\)」の形に変形できそうな場合に有効。最も計算が楽なことが多い。
     • 微分法: 最も汎用性が高く、どんな関数にも適用できる最終手段。計算は少し煩雑になることがある。
     • 判別式: 式が変数の2次方程式の形に整理できる場合に使えるエレガントな解法。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 起電力と端子電圧の混同:
  • 誤解: 電池から取り出せる電圧は常に起電力 \(E\) であると勘違いし、\(P_1 = \displaystyle\frac{E^2}{R}\) のように計算してしまう。
  • 対策: 電流が流れているとき、電池の端子間の電圧（端子電圧 \(V\)）は、内部抵抗での電圧降下 \(Ir\) の分だけ起電力 \(E\) より必ず小さくなる (\(V = E-Ir\)) ことを常に意識します。\(E\) は電池の能力の最大値、\(V\) は実際に外部で使える電圧、と区別しましょう。
• 最大電力と最大電流の混同:
  • 誤解: 電力を最大にするには、とにかく電流を最大にすればよいと考えてしまう。
  • 対策: 電流 \(I\) が最大になるのは、(1)の式からわかるように外部抵抗がゼロ (\(R=0\)) のときです（短絡・ショート）。しかし、このとき外部での消費電力は \(P_1 = I^2 \times 0 = 0\) となり、最大ではありません。電力は電流と抵抗の両方に依存することを理解し、安易な結論に飛びつかないようにしましょう。
• 相加・相乗平均の適用条件の無視:
  • 誤解: どんな場合でも \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) が使えると思い込んでいる。
  • 対策: 相加・相乗平均の関係が使えるのは、対象となる項が両方とも正である（\(a>0, b>0\)）場合に限られます。本問では \(R>0\) なので適用できましたが、この条件を確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電力の公式の使い分け:
  • 選定理由: 電力には \(P=IV\), \(P=I^2R\), \(P=\displaystyle\frac{V^2}{R}\) の3つの形があります。どれを使っても同じ結果になりますが、計算のしやすさが異なります。
  • 適用根拠:
    • (3)で \(P_0\) を求める際、電源の起電力 \(E\) と電流 \(I\) が分かっていたので \(P_0=IE\) を選択するのが最も直接的でした。
    • (4)で \(P_1\) を求める際、回路に流れる電流 \(I\) が共通で、抵抗値が \(R\) であることから \(P_1=I^2R\) を選択するのが最も計算が簡単でした。もし(2)で求めた電圧 \(V\) を使うと \(P_1 = \displaystyle\frac{V^2}{R}\) となり、計算が少し複雑になります。このように、「どの物理量が分かっていて、どの物理量を求めたいか」に応じて最適な公式を選択する思考が重要です。
• 相加・相乗平均の選択:
  • 選定理由: (5)で \(P_1\) の最大値を求める際に、この手法が選ばれました。その理由は、\(P_1\) の式を逆数にしたり、分母分子を \(R\) で割ったりすることで、分母に「\(R + \frac{r^2}{R}\)」という「変数＋定数/変数」の形を作り出せることを見抜いたからです。この形は相加・相乗平均を適用する典型的なパターンです。
  • 適用根拠: このパターンを見抜ければ、微分などの複雑な計算を回避し、最小値とその条件を素早く求めることができます。最大・最小問題に遭遇したら、まずこの形に変形できないかを試すのは、有効な戦略です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数関数の変形戦略: (5)のような分数関数の最大・最小問題では、「変数を分母か分子のどちらか一方に集める」のが定石です。
  1. \(P_1 = \displaystyle\frac{E^2 R}{(R+r)^2}\) のように分母と分子両方に変数 \(R\) があると扱いにくい。
  2. 分母分子を \(R\) で割り、\(P_1 = \displaystyle\frac{E^2}{R+2r+r^2/R}\) のように変数を分母に集める。
  3. こうすることで、「\(P_1\) が最大 ⇔ 分母が最小」という、より単純な問題に置き換えることができます。
• 文字定数の明確化: 計算中は \(E\) や \(r\) もただの文字に見えますが、これらは定数（固定された値）であり、変数は \(R\) だけである、ということを常に意識しましょう。微分する際も、\(E\) や \(r\) は数字の2や3と同じように扱うことで、計算ミスを防げます。
• 平方完成の応用: (5)の分母の変形は、平方完成の考え方にも似ています。
  \(R + \displaystyle\frac{r^2}{R} = (\sqrt{R})^2 + \left(\displaystyle\frac{r}{\sqrt{R}}\right)^2 = \left(\sqrt{R} – \displaystyle\frac{r}{\sqrt{R}}\right)^2 + 2\sqrt{R}\cdot\displaystyle\frac{r}{\sqrt{R}} = \left(\sqrt{R} – \displaystyle\frac{r}{\sqrt{R}}\right)^2 + 2r\)。
  \((\text{実数})^2 \ge 0\) なので、この式の最小値は \(2r\) であり、それは \(\sqrt{R} – \displaystyle\frac{r}{\sqrt{R}} = 0\)、つまり \(R=r\) のときに実現します。この変形は相加・相乗平均の証明そのものであり、理解を深めるのに役立ちます。

基本例題81 ホイートストンブリッジ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホイートストンブリッジの動作原理と電位の計算」です。未知の抵抗値を精密に測定するのに用いられるホイートストンブリッジについて、平衡条件を正しく理解しているか、また、回路の各点の電位を正確に計算できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「検流計Gの針が振れない」という条件は、ホイートストンブリッジが「平衡状態」にあることを意味します。これは、点Aと点Bの電位が等しい（\(V_A = V_B\)）ということです。このとき、対角にある抵抗の積が等しくなる、という有名な公式 \(R_1 R_x = R_2 R_3\) が成り立ちます。この公式に既知の抵抗値を代入して \(R_x\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 「Gの針が振れない」 \(\Leftrightarrow\) 「点Aと点Bの電位が等しい」 \(\Leftrightarrow\) 「ブリッジが平衡している」。
• 平衡条件の公式: \(R_1 R_x = R_2 R_3\)。

具体的な解説と立式
ホイートストンブリッジが平衡状態にあるため、平衡条件の公式を適用します。
$$ R_1 R_x = R_2 R_3 $$
この式を、求めたい \(R_x\) について解きます。
$$ R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} $$

上記で立式した式に、問題文で与えられた値を代入します。
\(R_1 = 2\) [kΩ], \(R_2 = 4\) [kΩ], \(R_3 = 4\) [kΩ] なので、
$$
\begin{aligned}
R_x &= \frac{4 \times 4}{2} \\[2.0ex] &= \frac{16}{2} \\[2.0ex] &= 8 \, [\text{kΩ}] \end{aligned}
$$

ホイートストンブリッジには、「たすき掛けした抵抗の値の積が等しくなるとき、真ん中の橋（検流計）には電流が流れない」という便利な性質があります。つまり、「\(R_1 \times R_x = R_2 \times R_3\)」が成り立つときに、検流計の針はピタッと止まります。この公式にわかっている数値を当てはめて、残りの \(R_x\) を計算するだけです。

未知の抵抗値 \(R_x\) は 8 kΩ であると求まりました。ホイートストンブリッジは、このように既知の抵抗値とのバランスをとることで、未知の抵抗値を精密に測定するために利用されます。

問(2)(a)

思考の道筋とポイント
スイッチSが開いているため、回路は2つの独立した枝路に分かれます。

• 上の枝路: \(R_1\) と \(R_3\) の直列回路
• 下の枝路: \(R_2\) と \(R_x\) の直列回路

「点Bに対する点Aの電位」とは、電位差 \(V_{AB} = V_A – V_B\) のことです。これを求めるために、まず基準点（アース）に対する点Aの電位 \(V_A\) と点Bの電位 \(V_B\) をそれぞれ計算します。
図から、点Dがアース（接地）されているため、点Dの電位は0Vです。また、電池の負極も点Dに接続されているため、電池の正極側、すなわち点Cの電位は3Vとなります。
この設問における重要なポイント

• アースされている点Dの電位を基準(0V)とする。
• 点Aの電位は、点Dから抵抗 \(R_3\) を経由して求める。
• 点Bの電位は、点Dから抵抗 \(R_x\) を経由して求める。
• 各枝路に流れる電流を、オームの法則を用いて計算する。

具体的な解説と立式
1. 各枝路の電流を求める

• 上の枝路 (C→A→D):
  合成抵抗は \(R_1 + R_3 = 2 + 4 = 6\) kΩ。この枝路にかかる電圧は \(V_{CD} = V_C – V_D = 3 – 0 = 3\) V。
  したがって、流れる電流 \(I_1\) は、
  $$ I_1 = \frac{V_{CD}}{R_1+R_3} $$
• 下の枝路 (C→B→D):
  \(R_x = 2\) kΩ なので、合成抵抗は \(R_2 + R_x = 4 + 2 = 6\) kΩ。この枝路にも電圧 3V がかかる。
  したがって、流れる電流 \(I_2\) は、
  $$ I_2 = \frac{V_{CD}}{R_2+R_x} $$

2. 点Aと点Bの電位を求める

• 点Aの電位 \(V_A\):
  点Aの電位は、基準点D(0V)から見て、抵抗 \(R_3\) の分だけ電位が高い場所です。電流 \(I_1\) がAからDの向きに流れているので、Aの方がDより電位が高くなります。その電位差はオームの法則より \(R_3 I_1\) です。
  $$ V_A = V_D + R_3 I_1 $$
• 点Bの電位 \(V_B\):
  同様に、点Bの電位は、基準点D(0V)から見て、抵抗 \(R_x\) の分だけ電位が高い場所です。
  $$ V_B = V_D + R_x I_2 $$

3. 点Bに対する点Aの電位を求める
$$ V = V_A – V_B $$

1. 電流の計算
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \frac{3}{(2+4) \times 10^3} \\[2.0ex] &= \frac{3}{6 \times 10^3} \\[2.0ex] &= 0.5 \times 10^{-3} \, \text{A}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
I_2 &= \frac{3}{(4+2) \times 10^3} \\[2.0ex] &= \frac{3}{6 \times 10^3} \\[2.0ex] &= 0.5 \times 10^{-3} \, \text{A}
\end{aligned}
$$
2. 電位の計算
$$
\begin{aligned}
V_A &= 0 + (4 \times 10^3) \times (0.5 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 2 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_B &= 0 + (2 \times 10^3) \times (0.5 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 1 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
3. 電位差の計算
$$
\begin{aligned}
V &= V_A – V_B \\[2.0ex] &= 2 – 1 \\[2.0ex] &= 1 \, \text{V}
\end{aligned}
$$

スイッチが開いているので、回路は単に2本の道（上の道と下の道）に分かれています。地面Dを標高0mとすると、スタート地点Cは電池のおかげで標高3mになります。

• A地点の標高: 上の道（C→A→D）を考えます。C(3m)とD(0m)の標高差3mを、2kΩと4kΩの抵抗で分け合います。A地点は、D地点から4kΩの抵抗を登った場所なので、その標高を計算します。
• B地点の標高: 下の道（C→B→D）を考えます。同様に、C(3m)とD(0m)の標高差3mを、4kΩと2kΩの抵抗で分け合います。B地点は、D地点から2kΩの抵抗を登った場所なので、その標高を計算します。

最後に、A地点の標高からB地点の標高を引き算すれば、Bに対するAの高さ（電位）がわかります。

点Bに対する点Aの電位は 1V となりました。これは点Aが点Bよりも1Vだけ電位が高いことを意味します。もしこの状態でスイッチSを閉じれば、電位の高いAから低いBへ向かって電流が流れることになります。

問(2)(b)

思考の道筋とポイント
「抵抗が断線した」という状況は、その部分の抵抗値が無限大 (\(R_x \rightarrow \infty\)) になったと解釈できます。このとき、下の枝路 (C→B→D) には電流が流れなくなります (\(I_2 = 0\))。
点Aの電位 \(V_A\) は(a)と条件が変わらないので同じ値です。
点Bの電位 \(V_B\) は、電流が流れなくなったことで状況が変化します。電流が0なので、抵抗 \(R_2\) での電圧降下は \(R_2 I_2 = 0\) となります。
この設問における重要なポイント

• 「断線」 \(\Leftrightarrow\) 抵抗値が無限大 \(\Leftrightarrow\) その枝路の電流が0。
• 電流が0のとき、抵抗による電圧降下は0になる。
• 電圧降下が0ということは、その抵抗の両端の電位は等しい。

具体的な解説と立式

• 点Aの電位 \(V_A\):
  上の枝路の状況は(a)から変わらないため、\(V_A = 2\) V のままです。
• 点Bの電位 \(V_B\):
  \(R_x\) が断線したため、下の枝路を流れる電流 \(I_2\) は0になります。
  $$ I_2 = 0 $$
  このとき、抵抗 \(R_2\) での電圧降下は \(R_2 I_2 = 0\) V です。
  電圧降下が0ということは、点Cと点Bの電位は等しくなります。点Cの電位は電池の正極の電位なので 3V です。
  $$ V_B = V_C = 3 \, \text{V} $$
• 点Bに対する点Aの電位 \(V’\):
  $$ V’ = V_A – V_B $$

$$
\begin{aligned}
V’ &= V_A – V_B \\[2.0ex] &= 2 – 3 \\[2.0ex] &= -1 \, \text{V}
\end{aligned}
$$

下の道の \(R_x\) の部分で橋が落ちてしまい、道が途切れた（断線した）状況です。

• A地点の標高: 上の道は無事なので、(a)と同じで標高2mです。
• B地点の標高: 下の道は電流が全く流れなくなります。電流が流れないということは、抵抗 \(R_2\) はただの平坦な道と同じになり、坂（電圧降下）がなくなります。したがって、B地点の標高は、スタート地点Cと同じ標高3mになります。

最後に、A地点の標高(2m)からB地点の標高(3m)を引き算すると、-1Vとなります。

点Bに対する点Aの電位は -1V となりました。これは点Aが点Bよりも1Vだけ電位が低いことを意味します。断線によって下の枝路の電位分布が大きく変化した結果、(a)とは電位の大小関係が逆転しました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位の概念と基準点:
  • 核心: この問題の根幹は、回路の各点の「電位（電気的な高さ）」を正確に計算できるか、という点に尽きます。特に、アース（接地）記号がある場合、その点を電位の基準点（0V）と定めることが、問題を解く上での絶対的な出発点となります。
  • 理解のポイント:
    • 基準点の設定: アースがあればそこが0V。なければ、電池の負極など、自分で基準点を決めると考えやすくなります。
    • 電位の計算: ある点の電位は、基準点からその点まで、回路の経路に沿って電位の変化（上昇・下降）を足し算していくことで求められます。
    • 電位差: 「点Bに対する点Aの電位」と問われたら、それは電位差 \(V_{AB} = V_A – V_B\) を計算することを意味します。どちらからどちらを引くのかを間違えないように注意が必要です。
• ホイートストンブリッジの平衡条件:
  • 核心: (1)で用いた「検流計に電流が流れない \(\Leftrightarrow\) \(V_A = V_B\) \(\Leftrightarrow\) \(R_1 R_x = R_2 R_3\)」という一連の同値関係は、ホイートストンブリッジを扱う上での最重要知識です。
  • 理解のポイント:
    • この条件が成り立つのは、C点からD点への電圧降下が、上の枝路（C→A→D）と下の枝路（C→B→D）で、A点とB点において全く同じ割合で生じているからです。つまり、\(R_1\)と\(R_2\)の抵抗比、\(R_3\)と\(R_x\)の抵抗比が等しい（\(\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x}\)）ことが本質です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • メートルブリッジ: ホイートストンブリッジの原理を、一様な抵抗線を使って実現した装置です。抵抗線の長さが抵抗値に比例することを利用して、抵抗線のどの位置で平衡がとれるかを問う問題に応用できます。
  • コンデンサーを含むブリッジ回路: 抵抗の代わりにコンデンサーを配置したブリッジ回路。直流定常状態ではコンデンサーに電流は流れませんが、各点の電位は抵抗の場合と同様に計算できます。これにより、各コンデンサーにかかる電圧や蓄えられる電気量を求める問題に応用できます。
  • 不平衡なブリッジ回路: (2)のように平衡していないブリッジで、検流計に流れる電流の向きや大きさを問う問題。A点とB点の電位を計算し、電位の高い方から低い方へ電流が流れる、と考えます。電流の大きさを求めるには、キルヒホッフの法則を用いて連立方程式を解く必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. アースを探す: まず回路図全体を見て、アース記号がないかを確認します。アースがあれば、そこが電位0Vの絶対的な基準です。
  2. 電源の向きと電位の確定: アースと電源の位置関係から、回路の主要な点の電位を確定させます。本問では「D点が0V」→「C点が3V」と確定できました。
  3. 回路の構造分析: スイッチが開いているか閉じているかで、回路の構造が大きく変わります。(2)のようにスイッチが開いていれば、2つの独立した直列回路と見なせます。
  4. 分圧の利用を検討: (2)の別解のように、直列回路の電位を求める際には、電流を計算せずに分圧の考え方が使えないか検討します。計算を大幅に簡略化できる可能性があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位と電圧（電位差）の混同:
  • 誤解: 「電圧」と「電位」を同じものだと思ってしまう。
  • 対策: 「電位」は基準点からの「高さ」そのものを表すスカラー量（例: A地点の標高は2m）です。一方、「電圧」または「電位差」は2点間の「高さの差」（例: AとBの標高差は1m）を表します。この区別を明確に意識することが重要です。
• 単位「kΩ」の扱い:
  • 誤解: 計算の途中で \(k\)（キロ、\(10^3\)）を忘れてしまい、2Ωや4Ωとして計算してしまう。
  • 対策:
    • 比で考える: (1)の平衡条件や(2)の分圧の計算では、抵抗の「比」が重要なので、すべての抵抗が同じkΩ単位であれば、kを無視して「2, 4, 8」のような比で計算しても結果は同じになります。
    • 電流計算では必須: (2)の主たる解法のように、オームの法則で具体的な電流値[A]を計算する場合は、必ず \(2 \times 10^3\) ΩのようにSI単位に直して計算する必要があります。
• 「断線」の解釈ミス:
  • 誤解: 「断線」を「抵抗値が0（ショート）」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「断線」は電流が流れる道が完全に途切れることなので、「抵抗値が無限大 (\(R \rightarrow \infty\))」と正しく解釈します。その結果、その枝路には電流が流れなくなります (\(I=0\))。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平衡条件の公式 \(R_1 R_x = R_2 R_3\):
  • 選定理由: (1)では「検流計に電流が流れない」という、ホイートストンブリッジの最も特徴的な状況が与えられました。この状況に特化した、最も強力で簡単な公式が平衡条件の式です。
  • 適用根拠: この公式は、より基本的な法則である「\(V_A = V_B\)」から導出されます。\(V_A = V_C – R_1 I_1\), \(V_B = V_C – R_2 I_2\) などと電位を計算し、それらを等しいとおいて整理することで、この公式を導くことができます。つまり、この公式はキルヒホッフの法則やオームの法則を、ブリッジ回路の平衡時に使いやすくまとめたものと言えます。
• 分圧の公式（別解）:
  • 選定理由: (2)では、回路が単純な2つの直列回路に分離していました。直列回路において、全体の電圧が各抵抗にどのように分配されるかを知りたい場合、分圧の公式は最も直接的で効率的なアプローチです。
  • 適用根拠: 分圧の公式はオームの法則から簡単に導出できます。直列回路では電流 \(I\) が一定なので、各抵抗にかかる電圧は \(V_1=R_1 I, V_2=R_2 I\) となり、電圧の比は抵抗の比 (\(V_1:V_2 = R_1:R_2\)) に等しくなります。この基本的な性質を利用しているため、安心して適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への書き込み: 問題を解き始める前に、図に情報を書き込むことを習慣にしましょう。
  1. アースに「0V」と書き込む。
  2. 電源の正極側に「+3V」など、確定した電位を書き込む。
  3. 計算で求めた各点の電位（\(V_A=2V, V_B=1V\)など）も、その都度書き込んでいく。

  こうすることで、回路全体の電位分布が視覚的に把握でき、思考が整理されてミスが減ります。

• 単位を揃えてから計算: kΩ, mΩ, MΩ など、異なるオーダーの抵抗が混在する問題では、計算を始める前にすべての抵抗値をΩ単位に統一する（例: \(2 \times 10^3\) Ω）のが最も安全です。
• 電位差の符号確認: 「Bに対するAの電位」を求めた後、結果の符号が物理的な状況と合っているか確認します。例えば(a)で結果が「+1V」と出たら、「これはAがBより1V高いという意味だな」と解釈します。もしスイッチを閉じたらA→Bに電流が流れるはずだ、というように、次の展開を予測することで、計算ミスに気づきやすくなります。

基本例題82 電流 – 電圧特性曲線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「非線形素子を含む回路のグラフを用いた解析」です。通常の抵抗（オームの法則に従う線形素子）とは異なり、電圧と電流が比例しない「非線形素子」である電球を含む回路の動作点を、グラフを用いて求める手法を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電球と20Ωの抵抗が直列に接続された回路全体に、キルヒホッフの第二法則（電圧則）を適用します。電源の起電力（6.0V）が、電球にかかる電圧 \(V\) と、20Ωの抵抗にかかる電圧の和に等しい、という関係を立式します。20Ωの抵抗にかかる電圧は、オームの法則から \(20I\) と表せます。
この設問における重要なポイント

• 回路は電球と抵抗の単純な直列回路である。
• キルヒホッフの第二法則: 「起電力 = 電圧降下の和」。
• 20Ωの抵抗での電圧降下はオームの法則 \(V=RI\) で計算する。

具体的な解説と立式
回路全体にキルヒホッフの第二法則を適用します。
電源の起電力は 6.0V です。
回路の電圧降下は、電球での電圧降下 \(V\) と、20Ωの抵抗での電圧降下の合計です。
20Ωの抵抗を流れる電流は、直列回路なので回路全体を流れる電流 \(I\) に等しく、その両端の電圧はオームの法則より \(20I\) となります。
したがって、「起電力 = 電圧降下の和」より、以下の関係式が成り立ちます。
$$ 6.0 = V + 20I $$

この設問では、関係式を立てるだけで計算は不要です。この式は、後でグラフに描く直線の方程式となります。

電池が供給する6.0Vという「高さ」は、回路の2つの部品、電球と抵抗で分け合って消費されます。電球が消費する高さが \(V\)、抵抗が消費する高さが \(20 \times I\) なので、この2つを足し合わせると、元の高さである6.0Vになる、という単純な足し算の式を立てます。

得られた関係式 \(6.0 = V + 20I\) は、電球にかかる電圧 \(V\) と電流 \(I\) が満たさなければならない、回路全体から決まる制約条件を表しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
この問題の核心部分です。回路を流れる電流 \(I\) と電球にかかる電圧 \(V\) は、以下の2つの条件を同時に満たす必要があります。

1. 電球の特性: \(V\) と \(I\) の関係は、与えられたグラフ（曲線）の上の点でなければならない。
2. 回路の制約: \(V\) と \(I\) の関係は、(1)で求めた方程式 \(6.0 = V + 20I\) を満たさなければならない。

この2つを同時に満たす点、すなわち「動作点」は、グラフ上で曲線と直線が交わる点です。(1)で求めた式をグラフに描き加え、交点の座標を読み取ります。直線を描くには、切片（\(V\)軸との交点と\(I\)軸との交点）を求めると簡単です。
この設問における重要なポイント

• 回路の動作点は、素子の特性（グラフ）と回路の制約（方程式）の交点である。
• 直線 \(6.0 = V + 20I\) をグラフに描く。
  • \(I=0\) のとき \(V=6.0\)V （V切片）。
  • \(V=0\) のとき \(I = 6.0/20 = 0.30\)A （I切片）。
• グラフの交点の座標を正確に読み取る。

具体的な解説と立式
(1)で求めた関係式 \(6.0 = V + 20I\) を、グラフの縦軸である \(I\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
I &= -\frac{1}{20}V + \frac{6.0}{20} \\[2.0ex] &= -0.05V + 0.30
\end{aligned}
$$
これは、縦軸切片が 0.30A、横軸切片が 6.0V の直線を表します。
この直線を、問題で与えられた電球の特性曲線グラフに描き加えます。

グラフを描き、曲線と直線の交点を読み取ります。
模範解答の図bに示されているように、直線と曲線は明らかに1点で交わります。
その交点の座標は、

• 横軸（電圧）: \(V = 2.0\) V
• 縦軸（電流）: \(I = 0.20\) A

です。これが、この回路で実際に実現する電圧と電流の値です。

電球は「気分屋」で、かかる電圧によって抵抗値が変わるため、単純な計算では答えが出ません。そこで、グラフを使います。
まず、電球の「気分」を表したのが、問題に与えられているグニャっとした曲線です。電球は、この曲線上のどこかの状態でしか動作できません。
一方、(1)で立てた式は、この回路全体が電球に課している「ルール」を表す直線です。
電球は「自分の気分」と「回路のルール」の両方を同時に満たさなければなりません。したがって、その動作点は、グラフ上で「曲線」と「直線」が交わる一点に決まります。その交差点の座標を読み取れば、それが答えです。

グラフの交点を読み取ることで、電球にかかる電圧は \(V=2.0\)V、回路に流れる電流は \(I=0.20\)A であることがわかりました。この方法は、オームの法則が使えない非線形素子を含む回路を解析するための非常に強力な手法です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた電圧 \(V\) と電流 \(I\) の値を用いて、電球と抵抗で消費される電力をそれぞれ計算します。電力の公式 \(P=IV\) や \(P=I^2R\) を適切に使い分けます。

• 電球の消費電力 \(P_1\): 電球にかかる電圧 \(V\) と流れる電流 \(I\) が両方わかっているので、\(P_1 = IV\) を使うのが最も簡単です。
• 抵抗の消費電力 \(P_2\): 抵抗値が 20Ω とわかっており、流れる電流も \(I\) なので、\(P_2 = I^2R\) を使うのが確実です。

この設問における重要なポイント

• (2)で求めた \(V\) と \(I\) の値を正確に使う。
• 電球と抵抗、それぞれについて適切な電力の公式を選択する。

具体的な解説と立式

• 電球の消費電力 \(P_1\):
  電力の公式 \(P=IV\) を用います。
  $$ P_1 = I V $$
• 抵抗の消費電力 \(P_2\):
  電力の公式 \(P=I^2R\) を用います。抵抗値は \(R=20\)Ω です。
  $$ P_2 = I^2 R $$

(2)で求めた \(V=2.0\)V, \(I=0.20\)A を代入します。

• 電球の消費電力 \(P_1\):
  $$
  \begin{aligned}
  P_1 &= 0.20 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 0.40 \, \text{W}
  \end{aligned}
  $$
• 抵抗の消費電力 \(P_2\):
  $$
  \begin{aligned}
  P_2 &= (0.20)^2 \times 20 \\[2.0ex] &= 0.04 \times 20 \\[2.0ex] &= 0.80 \, \text{W}
  \end{aligned}
  $$

(2)で電圧と電流がわかったので、あとはそれぞれの部品が消費する電力を計算するだけです。電力は「電圧 × 電流」あるいは「電流の2乗 × 抵抗値」で計算できます。
電球については、電圧も電流もわかっているので \(P_1 = 2.0 \times 0.20\) で計算します。
抵抗については、抵抗値が20Ωとわかっているので \(P_2 = (0.20)^2 \times 20\) で計算するのが簡単です。

電球での消費電力は \(P_1 = 0.40\)W、抵抗での消費電力は \(P_2 = 0.80\)W と求まりました。
ここで検算をしてみましょう。回路全体で消費される電力は \(P_1 + P_2 = 0.40 + 0.80 = 1.20\)W です。
一方、電源が供給する電力は \(P_0 = I E = 0.20 \times 6.0 = 1.20\)W です。
両者が一致したことから、計算結果は妥当であると確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• グラフを用いた連立方程式の解法:
  • 核心: この問題の根幹は、性質が異なる2つの要素（電球と回路）が共存するときの動作点（実際に実現する電圧と電流）は、それぞれの関係式を表すグラフの交点として求められる、という解法の考え方そのものです。
  • 理解のポイント:
    • 電球の特性（非線形）: 電球にかかる電圧\(V\)と流れる電流\(I\)の関係は、物理法則（オームの法則など）だけでは式にできず、実験結果である特性曲線（グラフ）によってのみ与えられます。これは電球の「個性」や「仕様」です。
    • 回路の制約（線形）: 一方、キルヒホッフの法則から導かれる \(6.0 = V + 20I\) という式は、電球がどのような部品であれ、この回路に接続されている以上必ず満たさなければならない「外部からの制約」です。この関係は直線（ロードライン）で表せます。
    • 交点の物理的意味: 回路が実際に動作する状態は、電球の「個性」と回路の「制約」を同時に満たす唯一の状態です。したがって、グラフ上の交点がその動作点を一意に決定します。
• エネルギー保存則（キルヒホッフの第二法則）:
  • 核心: (1)で立てた \(6.0 = V + 20I\) という式は、キルヒホッフの第二法則の現れです。これは「電源が供給するエネルギーは、回路の各部品で消費されるエネルギーの和に等しい」という、より根源的なエネルギー保存則に基づいています。
  • 理解のポイント: この式は、電球の特性とは独立に、回路の構成（電源6.0V、抵抗20Ω）だけで決まる普遍的な関係式です。この法則の理解が、グラフを描くための直線の方程式を導く出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ダイオードを含む回路: ダイオードも、電流が特定の方向にしか流れず、電圧と電流の関係が非線形である代表的な素子です。ダイオードの電流-電圧特性グラフと、回路から導かれる直線との交点を求める問題は、本問と全く同じ考え方で解くことができます。
  • トランジスタの動作点: トランジスタの増幅回路など、より複雑な回路でも、トランジスタの特性曲線群と、回路の制約が作る直線（負荷線）との交点から、回路の動作点（バイアス点）を決定します。本問は、その最も基本的な考え方を学ぶ問題と言えます。
  • モーター（電動機）を含む回路: モーターも、回転数によって逆起電力が変化するため、単純な抵抗としては扱えません。モーターの特性と回路の制約から動作点を求めるような問題にも、このグラフ的解法のアプローチは応用可能です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 非線形素子の特定: 問題文や図に、オームの法則に従わない素子（電球、ダイオードなど）や、その特性を示すグラフがないかを確認します。これらがあれば、グラフ的解法を使う可能性が高いと判断します。
  2. 回路方程式の立式: 非線形素子を「電圧\(V\)、電流\(I\)のブラックボックス」と見なして、回路の他の部分についてキルヒホッフの法則を適用し、\(V\)と\(I\)の関係式（直線の方程式）を立てます。
  3. グラフへのプロット: 立てた直線の方程式を、与えられた特性グラフに重ねて描きます。直線を描く際は、\(V\)軸切片（\(I=0\)の点）と\(I\)軸切片（\(V=0\)の点）の2点を求め、それらを結ぶのが最も簡単で確実です。
  4. 交点の読解: 曲線と直線の交点の座標を、グラフの目盛りから慎重に読み取ります。これが回路の動作点となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電球を通常の抵抗と見なすミス:
  • 誤解: 電球の抵抗値を、グラフのある一点から \(R=V/I\) で計算し、その値を固定の抵抗値として回路計算を進めてしまう。
  • 対策: 電球の抵抗は電圧によって変化する（非線形である）ことを常に念頭に置きます。グラフが曲線であること自体が、「抵抗値は一定ではない」というメッセージです。特定の状況（動作点）が定まるまでは、抵抗値を一つの数値として扱うことはできません。
• グラフの軸の混同:
  • 誤解: 縦軸が電圧、横軸が電流であると勘違いして、直線の式をプロットしてしまう。
  • 対策: グラフを扱う際は、まず「縦軸は何（単位は何か）」「横軸は何（単位は何か）」を指差し確認する癖をつけましょう。本問では縦軸が電流[A]、横軸が電圧[V]です。
• 直線の描き間違い:
  • 誤解: \(6.0 = V + 20I\) の式から、切片の計算を間違える。例えば、\(I\)切片を6.0/20ではなく、6.0としてしまう。
  • 対策: 直線を描くための2点を求めるときは、必ず代入計算を丁寧に行います。「\(I=0\)のとき、\(6.0=V\)。よってV切片は(6.0, 0)」「\(V=0\)のとき、\(6.0=20I\), \(I=0.30\)。よってI切片は(0, 0.30)」のように、座標の形でメモすると間違いが減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの法則の選択:
  • 選定理由: (1)で\(V\)と\(I\)の関係式を立てるために、この法則が選ばれました。電球の性質が未知であっても、回路の他の部分（電源と抵抗）の関係はキルヒホッフの法則という普遍的な法則に従います。この法則を用いることで、電球の特性とは独立した、回路全体が課す制約条件を導き出すことができます。
  • 適用根拠: エネルギー保存則は、回路にどのような素子が含まれていても必ず成り立ちます。したがって、非線形素子を含む回路であっても、キルヒホッフの第二法則を適用することは完全に正当化されます。
• 電力の公式 \(P=IV\) と \(P=I^2R\) の使い分け:
  • 選定理由: (3)で電球の電力\(P_1\)を求めるには\(P=IV\)が、抵抗の電力\(P_2\)を求めるには\(P=I^2R\)が適していました。
  • 適用根拠:
    • 電球\(P_1\): 電球の抵抗値は動作点によって変わるため、安易に\(R\)を使うのは危険です。一方、動作点の電圧\(V\)と電流\(I\)はグラフから直接読み取れる最も確実な値なので、これらを使う \(P_1=IV\) が最も適切です。
    • 抵抗\(P_2\): 抵抗は抵抗値\(R=20\)Ωが不変であると保証されています。回路に流れる電流\(I\)も分かっているので、\(P_2=I^2R\) を使うのが最も直接的で計算ミスが少ない方法です。もちろん \(V_2 = 20I = 20 \times 0.20 = 4.0\)V を計算してから \(P_2=IV_2 = 0.20 \times 4.0 = 0.80\)W と計算することも可能ですが、一手間増えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの目盛りを丁寧に読む: グラフから値を読み取る問題では、これが最も重要なスキルです。
  • 最小目盛りの確認: 1目盛りがいくつを表しているのかを最初に確認します。本問では電圧軸も電流軸も、大きな目盛りの間に5つの区切りがあるので、1目盛りがそれぞれ0.2V、0.02Aであることがわかります。
  • 定規の活用: フリーハンドで交点から軸に垂線を下ろすのではなく、定規などを当てて正確に目盛りを読むように心がけましょう。
• 単位の確認: 電力[W]を計算する際、電圧[V]と電流[A]の単位が基本単位になっていることを確認します。もし電流が[mA]で与えられていたら、必ず[A]に直してから（\(10^{-3}\)を掛けてから）計算します。
• エネルギー保存則による検算: (3)の結論で示したように、各部品の消費電力の和が、電源の供給電力と一致するかどうかを確認するのは、非常に有効な検算方法です。
  • \(P_1 + P_2 = 0.40 + 0.80 = 1.20\) W
  • \(P_0 = IE = 0.20 \times 6.0 = 1.20\) W

  これらが一致すれば、(2)で読み取った値や(3)の計算が正しい可能性が非常に高いと判断できます。

基本問題

410 オームの法則と抵抗率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由電子の運動モデルに基づくオームの法則と抵抗率の導出」です。電流の正体である自由電子のミクロな運動に着目し、それがマクロな物理法則であるオームの法則や、物質の性質である抵抗率にどのようにつながるのかを、数式を通して理解することを目的としています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
空欄(ア)は、電流\(I\)をミクロな量（\(e, n, v, S\)）で表す問題です。電流の定義「単位時間あたりに断面を通過する電気量」に立ち返って考えます。
1秒間に導体の断面を通過する自由電子の数を求め、その数に電子1個あたりの電気量\(e\)を掛けることで、1秒間に通過する総電気量、すなわち電流\(I\)を導出します。
この設問における重要なポイント

• 電流 \(I\) [A] = 1秒間に断面を通過する電気量 [C]。
• 1秒間に電子が進む距離は \(v \times 1\text{s} = v\) [m]。
• 断面積\(S\)、長さ\(v\)の円柱に含まれる電子の数が、1秒間に断面を通過する電子の数に等しい。

具体的な解説と立式
1秒間に、電子は速さ\(v\)で\(v\)[m]進みます。したがって、ある断面を1秒間に通過する電子は、その断面から上流側\(v\)[m]までの円柱領域に含まれていた電子たちです。
この円柱の体積は \(V_{\text{円柱}} = S v\) [m\(^3\)] です。
単位体積あたりの自由電子の数は\(n\)なので、この円柱に含まれる自由電子の総数は、
$$ (\text{電子の数}) = n V_{\text{円柱}} = nSv $$
電子1個の電気量の大きさは\(e\)なので、1秒間に断面を通過する電気量の総量、すなわち電流\(I\)は、
$$ I = e \times (\text{電子の数}) $$
となります。電子の電気量は\(-e\)ですが、電流の向きは正の電荷の移動の向きと定義されており、電子の移動の向きとは逆になります。ここでは電流の大きさ\(I\)を問われているので、正の値で答えます。

$$
\begin{aligned}
I &= e \times (nSv) \\[2.0ex] &= enSv
\end{aligned}
$$
解答欄の記号に合わせて \(I=envS\) となります。

電流とは、電子の粒が川のように流れることです。川のある地点で「1秒間に何リットルの水が通ったか」を測るのと同じように、導線の断面で「1秒間にどれだけの電気量が通ったか」を測るのが電流です。
まず、1秒間に断面を通り過ぎる電子の数を数えます。電子は秒速\(v\)で進むので、断面の手前\(v\)メートルの範囲にいる電子たちが、この1秒で全員通り過ぎます。この範囲の体積は「断面積\(S\) × 長さ\(v\)」です。この体積に、1m\(^3\)あたりの電子の数\(n\)を掛ければ、通り過ぎる電子の総数 \(nSv\) がわかります。
最後に、電子1個の電気量\(e\)を掛ければ、総電気量、つまり電流 \(I=enSv\) が求まります。

電流\(I\)は、電子の電気量\(e\)、数密度\(n\)、速さ\(v\)、導体の断面積\(S\)のすべてに比例するという、物理的に妥当な結果が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
(イ) 導体に電圧\(V\)をかけたときの内部の電場の大きさを問う問題です。長さ\(l\)の導体に一様な電場が生じると考え、電場と電位の関係式 \(V=Ed\) を用います。
(ウ) 電場から力を受ける電子が、抵抗力とつりあって等速直線運動するときの速さ\(v\)を求める問題です。まず、電場から受ける静電気力の大きさを求め、それが問題文で与えられた抵抗力\(kv\)と等しい、という力のつりあいの式を立てます。
(エ) (ア)と(ウ)で得られた関係式を組み合わせて、電流\(I\)をマクロな量である電圧\(V\)で表す問題です。
この設問における重要なポイント

• 一様な電場と電位差の関係: \(V=El\)。
• 電荷が電場から受ける力: \(F=qE\)。電子の場合は \(F=eE\)。
• 力のつりあい: 静電気力 = 抵抗力。

具体的な解説と立式

• (イ) 電場の大きさ
  長さ\(l\)の導体の両端に電圧\(V\)がかかっているため、内部には一様な電場\(E_{\text{電場}}\)が生じます。電位と電場の関係式 \(V=Ed\) より、
  $$ E_{\text{電場}} = \frac{V}{l} $$
• (ウ) 電子の速さ
  自由電子（電気量\(-e\)）が電場\(E_{\text{電場}}\)から受ける静電気力の大きさ\(F_{\text{静電気}}\)は、
  $$ F_{\text{静電気}} = eE_{\text{電場}} = e\frac{V}{l} $$
  問題文の仮定より、この静電気力と抵抗力\(F_{\text{抵抗}}=kv\)がつりあって、電子は一定の速さ\(v\)で運動します。
  $$ F_{\text{静電気}} = F_{\text{抵抗}} $$
  $$ e\frac{V}{l} = kv $$
  この式を\(v\)について解きます。
• (エ) 電流の式
  (ア)で求めた電流の公式 \(I=enSv\) に、(ウ)で求めた\(v\)の式を代入します。
  $$ I = enS v $$

(ウ)の\(v\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
kv &= e\frac{V}{l} \\[2.0ex] v &= \frac{eV}{kl}
\end{aligned}
$$
(エ)の\(I\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
I &= enS v \\[2.0ex] &= enS \left( \frac{eV}{kl} \right) \\[2.0ex] &= \frac{e^2nS}{kl}V
\end{aligned}
$$
解答欄の記号に合わせて \(I = \frac{e^2nVS}{kl}\) となります。

(イ) 導線の両端に電圧\(V\)をかけると、導線の中に「電気の坂道」ができます。この坂道の傾きが電場です。高さ\(V\)の坂が、水平距離\(l\)にわたって続いているので、傾きは \(V/l\) です。
(ウ) 電子は、この坂道を転がり落ちようとする力（静電気力）を受けます。しかし、導体の中は陽イオンの障害物でいっぱいで、進むほど邪魔されます（抵抗力）。やがて、坂道を下ろうとする力と、邪魔される力がつりあい、電子は一定のスピード\(v\)で滑り降りるようになります。この「力のつりあい」の式を立てて、速さ\(v\)を求めます。
(エ) (ア)で求めた電流の式は、電子の速さ\(v\)を使って書かれていました。この\(v\)に、(ウ)で求めた「電圧で決まる速さ」の式を代入することで、電流を電圧の式で表すことができます。

(エ)で得られた \(I = \left(\frac{e^2nS}{kl}\right)V\) という式は、電流\(I\)が電圧\(V\)に比例することを示しています。これはまさにオームの法則であり、ミクロな電子の運動モデルから、マクロな法則が導出されたことを意味します。

問(3)

思考の道筋とポイント
(オ) (2)で導出した\(I\)と\(V\)の関係式を、オームの法則 \(V=RI\) の形（あるいは \(I = \frac{1}{R}V\) の形）に整理し、抵抗\(R\)に相当する部分を抜き出します。
(カ) (オ)で求めた抵抗\(R\)の式と、抵抗率\(\rho\)を用いた公式 \(R=\rho\frac{l}{S}\) を比較することで、抵抗率\(\rho\)に相当する部分を特定します。
この設問における重要なポイント

• オームの法則: \(R = \frac{V}{I}\)。
• 抵抗率の公式: \(\rho = R\frac{S}{l}\)。

具体的な解説と立式

• (オ) 電気抵抗 R
  (エ)で求めた \(I = \frac{e^2nS}{kl}V\) を、オームの法則の \(R=\frac{V}{I}\) の形に変形します。
  $$ \frac{V}{I} = \frac{kl}{e^2nS} $$
  したがって、抵抗\(R\)は、
  $$ R = \frac{kl}{e^2nS} $$
• (カ) 抵抗率 \(\rho\)
  抵抗率の公式 \(R=\rho\frac{l}{S}\) と、(オ)で求めた\(R\)の式を比較します。
  $$ \rho\frac{l}{S} = \frac{kl}{e^2nS} $$
  この式を\(\rho\)について解きます。

(カ)の\(\rho\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\rho\frac{l}{S} &= \frac{kl}{e^2nS} \\[2.0ex] \rho &= \frac{kl}{e^2nS} \times \frac{S}{l} \\[2.0ex] \rho &= \frac{k}{e^2n}
\end{aligned}
$$

(オ) オームの法則によれば、抵抗\(R\)は \(V/I\) で計算できます。(エ)で \(I\) を \(V\) の式で表したので、この式を \(V/I = \dots\) の形に整理すれば、抵抗\(R\)の正体がわかります。
(カ) 一方で、抵抗\(R\)は、物質の種類と形で決まる「抵抗率\(\rho\)」を使って \(R=\rho \frac{l}{S}\) とも書けます。これら2つの\(R\)の表現は、見た目は違えど同じものを指しているはずです。両者を並べて見比べる（比較する）ことで、抵抗率\(\rho\)の正体をミクロな量で表すことができます。

抵抗\(R\)は導体の長さ\(l\)に比例し、断面積\(S\)に反比例するという、よく知られた関係が導出できました。また、抵抗率\(\rho\)は、電子の数密度\(n\)や抵抗力の係数\(k\)といった、物質固有のミクロな量だけで決まることが示されました。

問(4)

思考の道筋とポイント
空欄(キ)は、温度\(T\)[℃]における抵抗率\(\rho\)を、0℃のときの抵抗率\(\rho_0\)と温度係数\(\alpha\)を用いて表す問題です。これは公式として知っておくべき内容です。抵抗（や抵抗率）は、一般に温度が上がると大きくなり、その関係は近似的に一次関数で表されます。
この設問における重要なポイント

• 抵抗率の温度変化の公式: \(\rho = \rho_0(1+\alpha T)\)。

具体的な解説と立式
金属の抵抗率の温度依存性は、基準となる温度（ここでは0℃）での抵抗率\(\rho_0\)と、温度係数\(\alpha\)を用いて、
$$ \rho = \rho_0(1+\alpha T) $$
と表されます。したがって、空欄(キ)に入るのは \(1+\alpha T\) です。

公式そのものであるため、計算は不要です。

金属は、温度が上がると中の陽イオンの熱振動が激しくなり、電子が通りにくくなります。つまり、抵抗率が大きくなります。この温度と抵抗率の関係を表す近似式が \(\rho = \rho_0(1+\alpha T)\) です。\(T\)が温度、\(\alpha\)が温度による変化の度合いを表す係数です。

この式は、温度が0℃のとき \(\rho=\rho_0\) となり、温度の上昇にほぼ比例して抵抗率が増加することを示しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
(ク) まず、マクロな視点から、\(t\)秒間に発生するジュール熱の公式を考えます。電力\(P=IV\)に時間\(t\)を掛けることで、ジュール熱 \(Q=Pt=IVt\) が得られます。
(ケ), (コ), (サ) 次に、このジュール熱をミクロな視点から導出します。ジュール熱の正体は、電場が導体内の全自由電子にした仕事の総和です。

• (ケ) 1個の電子にはたらく静電気力の大きさを求めます。
• (コ) \(t\)秒間に電子が進む距離を求めます。
• (サ) 導体内の全自由電子の数を求めます。

最後に、これらを掛け合わせることで、全電子がされる仕事の総和を計算し、それが(ク)と一致することを確認します。
この設問における重要なポイント

• ジュール熱の公式: \(Q=IVt\)。
• 仕事の定義: (仕事) = (力) × (距離)。
• ミクロな解釈: ジュール熱 = (1個の電子がされる仕事) × (電子の総数)。

具体的な解説と立式

• (ク) ジュール熱（マクロな公式）
  消費電力が \(P=IV\) なので、\(t\)秒間に発生するジュール熱\(Q\)は、
  $$ Q = Pt = IVt $$
• (ケ) 1個の電子にはたらく静電気力
  (2)で求めたように、電場は \(E_{\text{電場}}=\frac{V}{l}\) なので、電子1個が受ける静電気力の大きさは、
  $$ F_{\text{静電気}} = eE_{\text{電場}} = e\frac{V}{l} $$
• (コ) \(t\)秒間に電子が進む距離
  電子は一定の速さ\(v\)で運動しているので、\(t\)秒間に進む距離は、
  $$ (\text{距離}) = vt $$
• (サ) 導体内の全自由電子の数
  導体の体積は \(Sl\) です。単位体積あたりの電子の数は\(n\)なので、導体内の全電子数は、
  $$ (\text{総数}) = n \times (\text{体積}) = nSl $$
• ジュール熱の導出（ミクロな計算）
  問題文の指示に従い、ジュール熱\(Q\)を「全自由電子がされる仕事の大きさ」として計算します。
  $$ Q = (\text{ケ}) \times (\text{コ}) \times (\text{サ}) $$

ジュール熱\(Q\)をミクロな量から計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= (\text{ケ}) \times (\text{コ}) \times (\text{サ}) \\[2.0ex] &= \left(e\frac{V}{l}\right) \times (vt) \times (nSl) \\[2.0ex] &= (enSv) V t
\end{aligned}
$$
ここで、(ア)の結果 \(I=enSv\) を用いると、
$$ Q = I V t $$
これは、最初に考えたマクロな公式と一致します。

(ク) ジュール熱は、電気製品が熱を出す現象のことです。その熱量は「電力×時間」で計算でき、電力は「電圧×電流」なので、結局 \(Q=IVt\) となります。
(ケ, コ, サ) このジュール熱を、電子の視点から見てみます。熱の正体は、電場が電子を無理やり引っ張って動かす「仕事」のエネルギーです。
(ケ) まず、電子1個を引っ張る力の大きさを求めます。
(コ) 次に、その力で\(t\)秒間に引っ張った距離を求めます。
(サ) 最後に、導線の中にいる電子の総数を求めます。
「1個あたりの仕事（力×距離）」に「電子の総数」を掛ければ、電場がした仕事の合計、つまりジュール熱が計算できるはずです。実際に計算してみると、ちゃんと \(IVt\) と同じ答えになります。

ジュール熱というマクロな現象が、電場が個々の電子にする仕事の積み重ねである、というミクロなモデルによって見事に説明できることが示されました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ミクロとマクロの橋渡し:
  • 核心: この問題の根幹は、目に見えない自由電子のミクロな運動（速さ\(v\)、数密度\(n\)など）が、我々が測定できるマクロな物理量（電流\(I\)、電圧\(V\)、抵抗\(R\)）とどのようにつながっているかを、数式で体系的に理解することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 電流の正体 (ア): \(I=enSv\) は、マクロな量\(I\)をミクロな量で表現する最初のステップです。
    • オームの法則の導出 (イ〜エ): 「電圧\(V\) → 電場\(E\) → 電子への力\(F\) → 電子の速さ\(v\) → 電流\(I\)」という一連の因果関係を数式で追うことで、結果的に\(I \propto V\)というオームの法則がミクロなモデルから導かれます。
    • 抵抗率の正体 (オ, カ): 導出されたオームの法則と、実験式\(R=\rho\frac{l}{S}\)を比較することで、抵抗率\(\rho\)というマクロな物質の性質が、電子の数密度\(n\)や動きにくさ\(k\)といったミクロなパラメータで決まっていることが明らかになります。
• ジュール熱のエネルギー論的解釈:
  • 核心: ジュール熱\(Q=IVt\)というマクロな現象が、ミクロな視点では「電場が導体中の全自由電子にした仕事の総和」に等しい、というエネルギーの観点からの理解です。
  • 理解のポイント:
    • 電源がした仕事（回路に供給したエネルギー）は、最終的に導体内の無数の電子に分配されます。
    • 電場からエネルギーを受け取った電子は、すぐに陽イオンと衝突してそのエネルギーを失い、陽イオンの熱振動を激しくさせます。これがジュール熱の正体です。
    • \(Q = (\text{電子1個への力}) \times (\text{移動距離}) \times (\text{電子の総数})\) という計算は、このエネルギー変換のプロセスを数式で表現したものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール効果: 磁場中の導体に電流を流すと、ローレンツ力によって電子が偏り、電流の向きと磁場の向きの両方に垂直な方向に電位差（ホール電圧）が生じる現象。電子にはたらく「静電気力」と「ローレンツ力」のつりあいを考える点で、本問の(2)と考え方が共通しています。
  • 半導体中のキャリア: 金属の自由電子の代わりに、半導体中の電子と正孔（ホール）の運動を考える問題。キャリアの数密度や移動度が異なるだけで、電流や抵抗率を導出する基本的な考え方は本問のモデルを応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. ミクロかマクロか: 問題で問われている量が、電子1個の運動に関するミクロな量（速さ、力など）か、導体全体に関するマクロな量（電流、抵抗など）かを見極めます。
  2. 因果関係の連鎖を意識: 「電圧→電場→力→速さ→電流」という論理の流れを常に念頭に置きます。空欄補充問題では、前後の文脈から、この連鎖のどの部分を問われているのかを判断します。
  3. 定義に立ち返る: 電流、電場、仕事など、基本的な物理量の定義を正確に理解していることが、各式を立てる上での大前提となります。特に(1)の電流の導出は、定義そのものから出発します。
  4. 次元（単位）の確認: 式変形に詰まったら、各物理量の単位（次元）が合っているかを確認するのも有効な手段です。例えば、(カ)で抵抗率\(\rho\)を求める際、得られた式の単位が[Ω·m]になっているかを確認することで、検算ができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の公式 \(I=enSv\) の丸暗記:
  • 誤解: 公式の形だけを覚えていて、なぜその形になるのか（1秒間に断面積Sを通過する体積vS内の電子を考える）を理解していない。
  • 対策: (1)の導出過程を、必ず自分で一度は再現できるようにしておきましょう。この導出を理解していれば、例えば「電子の速さが場所によって違う」といった応用問題にも対応できるようになります。
• 電気量\(e\)の符号の扱い:
  • 誤解: 電子の電荷は\(-e\)なので、力の計算などで符号を混乱させてしまう。
  • 対策: まずは力の「大きさ」を計算し、向きは別途考える、と分けるのが安全です。静電気力の大きさは\(F=eE\)であり、向きは電場と逆向き。電流の向きは電子の運動と逆向き、といったように、「大きさと向き」をセットで、しかし別々に考える癖をつけましょう。
• 文字の混同:
  • 誤解: 電場を表す\(E\)と、電気素量\(e\)や起電力\(E\)を混同してしまう。
  • 対策: 問題を解く際に、自分で文字の定義をメモする習慣をつけましょう。「\(E\): 電場[V/m], \(e\): 電気素量[C]」のように区別を明確に意識することが、ケアレスミスを防ぎます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいモデルの選択:
  • 選定理由: (2)では、電子の速さ\(v\)を求めるために「静電気力と抵抗力がつりあう」というモデルが採用されました。なぜ加速し続けないのか？という疑問に対する、最も単純で分かりやすい答えがこのモデルです。
  • 適用根拠: 実際の電子の運動はもっと複雑ですが、無数の衝突を繰り返した結果、全体としては平均的に一定の速さで流れている（ドリフトしている）と見なせます。この平均的な状態を「力がつりあって等速運動している」と近似するのが、このモデルの物理的な根拠です。高校物理では、この単純化されたモデルがオームの法則を説明する上で非常に有効です。
• 仕事とエネルギーの観点の選択:
  • 選定理由: (5)でジュール熱をミクロな視点から説明するために、「電場が電子にする仕事」というエネルギーの観点が選ばれました。
  • 適用根拠: 「エネルギー保存則」は物理学で最も強力な法則の一つです。マクロな世界で観測されるエネルギーの消費（ジュール熱）は、ミクロな世界でのエネルギーの移動（仕事）の結果であるはずだ、という物理的な洞察に基づいています。この視点を用いることで、異なる階層の現象を一つの法則で結びつけて説明することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理能力: この問題は数値計算がなく、すべて文字式での計算です。分数の計算や、特定の文字について式を解くといった、基本的な代数計算の能力が直接問われます。
  • (エ)や(オ)のように、複数の式を代入・整理する際は、一度にやろうとせず、一段階ずつ丁寧に行いましょう。
  • 分母に分数が入るような形になったら、逆数を掛ける形に直してから整理するとミスが減ります。
• 目的意識を持った式変形: (3)のように、ある数式を特定の形（例: \(V=RI\)）に変形するときは、ゴールを意識することが重要です。\(I = (\dots)V\) という形が得られたら、「\(R\)は\(V/I\)だから、この\((\dots)\)の部分の逆数が\(R\)だな」というように、常に目的と現在地を確認しながら変形を進めましょう。
• 単位から関係式を類推: 例えば(イ)で電場\(E\)の単位が[V/m]であることを知っていれば、電圧[V]と長さ[m]を使って \(E=V/l\) という形になるだろう、と類推できます。これは答えそのものではありませんが、立式の際の強力なヒントになります。

411 電流計・電圧計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流計と電圧計の内部抵抗が測定値に与える影響の考察」です。理想的な測定器ではない、内部抵抗を持つ現実の電流計・電圧計を用いたときに、どちらの接続方法がより正確な測定値に近い結果を与えるかを、誤差の観点から定量的に評価することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

図1の回路の分析

思考の道筋とポイント
図1の回路では、電流計は抵抗Rと直列に、電圧計はその両端（Rと電流計の合成抵抗）と並列に接続されています。

• 電流計の読み \(I_1\): 電流計は抵抗Rを流れる電流そのものを測定しています。したがって、\(I_1\)は抵抗Rを流れる真の電流\(I_R\)と等しくなります。
• 電圧計の読み \(V_1\): 電圧計は、抵抗Rの両端の電圧\(V_R\)と、電流計の内部抵抗\(r_A\)による電圧降下\(V_A\)の和を測定してしまいます。

この結果、測定値から計算される抵抗値 \(R_1 = V_1/I_1\) が、真の値\(R\)からどれだけずれるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 電流計の読みは正確 (\(I_1 = I_R\))。
• 電圧計の読みは、電流計の内部抵抗による電圧降下分だけ、真の値より大きくなる (\(V_1 = V_R + V_A\))。

具体的な解説と立式
抵抗Rを流れる電流を\(I_R\)、Rの両端の電圧を\(V_R\)とします。真の抵抗値は \(R = V_R/I_R\) です。
電流計の内部抵抗を\(r_A\)、電圧計の内部抵抗を\(r_V\)とします。
問題文より、\(R=2.0\)Ω, \(r_A=2.0\)Ω, \(r_V=2.0\)kΩ \(=2000\)Ω です。

図1において、

• 電流計が測定する電流 \(I_1\) は、抵抗Rを流れる電流\(I_R\)そのものです。
  $$ I_1 = I_R $$
• 電圧計が測定する電圧 \(V_1\) は、抵抗Rの電圧\(V_R\)と電流計の電圧\(V_A\)の和です。
  $$ V_1 = V_R + V_A $$
  ここで、\(V_R = I_R R\) であり、\(V_A = I_R r_A\) なので、
  $$
  \begin{aligned}
  V_1 &= I_R R + I_R r_A \\[2.0ex] &= I_R (R+r_A)
  \end{aligned}
  $$

したがって、この測定から得られる抵抗値\(R_1\)は、
$$
\begin{aligned}
R_1 &= \frac{V_1}{I_1} \\[2.0ex] &= \frac{I_R(R+r_A)}{I_R} \\[2.0ex] &= R+r_A
\end{aligned}
$$

測定される抵抗値\(R_1\)に、与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
R_1 &= R + r_A \\[2.0ex] &= 2.0 + 2.0 \\[2.0ex] &= 4.0 \, [Ω] \end{aligned}
$$
真の値は2.0Ωであるのに対し、測定値は4.0Ωとなり、誤差は \(4.0 – 2.0 = 2.0\)Ω です。相対誤差は \(\frac{2.0}{2.0} \times 100 = 100\%\) と非常に大きくなります。

図2の回路の分析

思考の道筋とポイント
図2の回路では、電圧計は抵抗Rと並列に、電流計はその両方（Rと電圧計の並列回路）と直列に接続されています。

• 電圧計の読み \(V_2\): 電圧計は抵抗Rの両端に直接接続されているため、Rにかかる電圧\(V_R\)を正確に測定できます。
• 電流計の読み \(I_2\): 電流計は、抵抗Rを流れる電流\(I_R\)と、電圧計の内部を流れる電流\(I_V\)の和を測定してしまいます。

この結果、測定値から計算される抵抗値 \(R_2 = V_2/I_2\) が、真の値\(R\)からどれだけずれるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 電圧計の読みは正確 (\(V_2 = V_R\))。
• 電流計の読みは、電圧計に流れ込む電流の分だけ、真の値より大きくなる (\(I_2 = I_R + I_V\))。

具体的な解説と立式
図2において、

• 電圧計が測定する電圧 \(V_2\) は、抵抗Rの両端の電圧\(V_R\)そのものです。
  $$ V_2 = V_R $$
• 電流計が測定する電流 \(I_2\) は、抵抗Rを流れる電流\(I_R\)と電圧計を流れる電流\(I_V\)の和です。
  $$ I_2 = I_R + I_V $$
  ここで、\(I_R = \frac{V_R}{R}\) であり、電圧計にも電圧\(V_R\)がかかるので \(I_V = \frac{V_R}{r_V}\) です。
  $$
  \begin{aligned}
  I_2 &= \frac{V_R}{R} + \frac{V_R}{r_V} \\[2.0ex] &= V_R \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{r_V} \right)
  \end{aligned}
  $$

したがって、この測定から得られる抵抗値\(R_2\)は、
$$
\begin{aligned}
R_2 &= \frac{V_2}{I_2} \\[2.0ex] &= \frac{V_R}{V_R \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{r_V} \right)} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{r_V}}
\end{aligned}
$$
この式は、抵抗Rと電圧計の内部抵抗\(r_V\)の並列合成抵抗の式そのものです。

測定される抵抗値\(R_2\)に、与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
R_2 &= \frac{1}{\frac{1}{2.0} + \frac{1}{2000}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\frac{1000}{2000} + \frac{1}{2000}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\frac{1001}{2000}} \\[2.0ex] &= \frac{2000}{1001} \\[2.0ex] &\approx 1.998 \, [Ω] \end{aligned}
$$
真の値は2.0Ωであるのに対し、測定値は約1.998Ωとなり、誤差は \(2.0 – 1.998 = 0.002\)Ω と非常に小さいです。

結論と比較

• 図1の誤差: 測定値は \(R+r_A\)。真の値\(R\)に電流計の内部抵抗\(r_A\)がそのまま加算されてしまう。今回の場合、\(R=r_A=2.0\)Ωなので、誤差は100%にもなる。
• 図2の誤差: 測定値は\(R\)と\(r_V\)の並列合成抵抗。電圧計の内部抵抗\(r_V\)が測定対象の抵抗\(R\)に比べて非常に大きい（\(2000\)Ω vs \(2.0\)Ω）ため、合成抵抗の値は\(R\)の値に非常に近くなる。誤差は極めて小さい。

以上の考察から、測定対象の抵抗値が電流計の内部抵抗と同程度に小さく、電圧計の内部抵抗に比べて十分に小さい場合は、図2の回路の方が圧倒的に誤差が少なく、正確な測定に適していると言えます。

正確な抵抗値を知りたいのに、測定器自体が邪魔をしてしまいます。どちらのつなぎ方がマシか、という問題です。

• 図1: 電流は正しく測れますが、電圧を測るときに、間違えて隣の電流計の分の電圧まで足して測ってしまいます。今回は、測りたい抵抗と電流計の抵抗値が同じ2.0Ωなので、電圧が2倍に測定されてしまい、計算される抵抗値も2倍になってしまいます。これは大きな間違いです。
• 図2: 電圧は正しく測れますが、電流を測るときに、抵抗Rに行くべき電流の一部が電圧計に寄り道してしまい、その寄り道した分まで足して測ってしまいます。しかし、電圧計は内部抵抗が非常に大きい（2000Ω）ので、ほとんど電流は寄り道しません（抵抗Rの1000分の1程度）。したがって、電流の測定誤差はごくわずかです。

結果として、誤差が圧倒的に小さい図2の方が、より正確な測定方法と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 測定器の内部抵抗による系統誤差:
  • 核心: この問題の根幹は、測定という行為自体が、測定対象の状態を乱してしまうという物理学における普遍的な問題を理解することにあります。電流計や電圧計が持つ内部抵抗は、回路に接続されることで元の電流や電圧の分布を変化させ、原理的に避けられない誤差（系統誤差）を生み出します。
  • 理解のポイント:
    • 電流計の役割と誤差: 電流計は「流れをせき止める小さなダム（内部抵抗\(r_A\)）」です。直列に挿入すると、回路全体の抵抗がわずかに増加し、元の電流より少し小さい値を測定してしまいます。
    • 電圧計の役割と誤差: 電圧計は「本流から分岐する細い水路（内部抵抗\(r_V\)）」です。並列に接続すると、本来なかった場所に電流の抜け道を作ってしまい、元の電圧より少し小さい値を測定してしまいます。
    • 接続方法による誤差: どちらの誤差が測定結果（\(R=V/I\)）に大きく影響するかは、接続方法と測定対象の抵抗値\(R\)との兼ね合いで決まります。
• 誤差が最小となる接続法の選択原理:
  • 核心: 「測定対象の抵抗値\(R\)が、電流計の内部抵抗\(r_A\)や電圧計の内部抵抗\(r_V\)と比べて、大きいのか小さいのか」によって最適な接続方法が変わる、という選択原理を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 低抵抗の測定（本問のケース）: 測定対象の抵抗\(R\)が小さいとき（例: \(R \ll r_V\)）。図2の接続が有利です。なぜなら、電圧計への分岐電流が無視できるほど小さくなり、電流計の誤差が小さく抑えられるからです。
    • 高抵抗の測定（参考のケース）: 測定対象の抵抗\(R\)が大きいとき（例: \(R \gg r_A\)）。図1の接続が有利です。なぜなら、電圧計が測定する余分な電圧（\(I_R r_A\)）が、主役の電圧（\(I_R R\)）に比べて無視できるほど小さくなるからです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 誤差率を計算する問題: 「測定値の誤差率（\(\frac{|\text{測定値} – \text{真の値}|}{\text{真の値}}\)）が小さいのはどちらか」を具体的に計算させる問題。本問の解説のように、それぞれの回路で測定される抵抗値の式を導出し、数値を代入して評価します。
  • 倍率器・分流器: 電圧計の測定範囲を広げるための「倍率器（直列の高抵抗）」や、電流計の測定範囲を広げるための「分流器（並列の低抵抗）」の設計問題。これらも測定器の内部抵抗を考慮した回路計算であり、本質的な考え方は共通しています。
  • テスター（回路計）の内部構造: テスターが電圧を測るときは高抵抗な電圧計として、電流を測るときは低抵抗な電流計として動作する内部の切り替え回路を考察する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 測定対象の抵抗値\(R\)のオーダーを把握: 問題文から、測定したい抵抗\(R\)が「小さい抵抗」なのか「大きい抵抗」なのかをまず把握します。（例: 数Ωなら小さい、数kΩ以上なら大きい）
  2. 測定器の内部抵抗のオーダーを把握: 電流計の内部抵抗\(r_A\)は小さい値（数Ω以下）、電圧計の内部抵抗\(r_V\)は大きい値（数kΩ以上）であることを確認します。
  3. 誤差の発生源を特定:
     • 図1の回路（電圧計が外側）：「電圧計の読み\(V_1\)に、電流計の電圧降下\(I_R r_A\)が含まれてしまう」のが誤差の原因。
     • 図2の回路（電流計が外側）：「電流計の読み\(I_2\)に、電圧計への漏れ電流\(I_V\)が含まれてしまう」のが誤差の原因。
  4. 誤差の大小を比較検討: 測定対象の抵抗\(R\)と測定器の内部抵抗の大小関係を比較し、どちらの誤差が相対的に小さくなるかを判断します。「大きいもの（例: \(V_R\)）に小さいもの（例: \(V_A\)）を足す誤差」と、「大きいもの（例: \(I_R\)）に小さいもの（例: \(I_V\)）を足す誤差」のどちらがマシか、という視点で考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 理想的な測定器として考えてしまう:
  • 誤解: 電流計や電圧計は、ただ回路図記号として存在し、内部抵抗がないものとして計算してしまう。
  • 対策: 問題文に「内部抵抗」という言葉が出てきたら、それは理想的な測定器ではないという合図です。電流計は「抵抗\(r_A\)」、電圧計は「抵抗\(r_V\)」という部品として回路図を読み替える癖をつけましょう。
• どちらの誤差が大きいかの判断ミス:
  • 誤解: どちらの回路にも誤差があるため、直感的にどちらが良いか判断できず混乱する。
  • 対策: 定量的な比較が最も確実です。本問のように、測定される抵抗値の式（図1なら\(R+r_A\)、図2なら\(R\)と\(r_V\)の並列合成抵抗）を導出し、実際に値を代入してみるのが最も間違いのない方法です。この一手間を惜しまないことが重要です。
• 参考事項の一般化のしすぎ:
  • 誤解: 「低抵抗は図2、高抵抗は図1」という結論だけを丸暗記してしまう。
  • 対策: なぜそうなるのか、という理由（誤差の発生源）とセットで理解することが重要です。「低抵抗（例: 2Ω）だから、それより遥かに大きい電圧計（2000Ω）に流れ込む電流は無視できるほど小さい。だから図2が良い」というように、理由を説明できるようにしておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 測定値 \(R_{\text{測定}} = V_{\text{測定}} / I_{\text{測定}}\) の立式:
  • 選定理由: この問題の目的は、測定によって得られる抵抗値が真の値とどう違うかを評価することです。実験者が行う操作は「電圧計の値を電流計の値で割る」ことなので、この \(R_{\text{測定}} = V_{\text{測定}} / I_{\text{測定}}\) という式を立てることが、評価の出発点として最も論理的です。
  • 適用根拠: この式に、それぞれの回路で\(V_{\text{測定}}\)と\(I_{\text{測定}}\)が実際に何を意味するのか（例: \(V_1 = V_R+V_A\), \(I_2 = I_R+I_V\)）を、オームの法則やキルヒホッフの法則に基づいて代入していくことで、誤差の正体を明らかにすることができます。
• 並列合成抵抗の公式（図2の解析）:
  • 選定理由: 図2で測定される抵抗値\(R_2\)の式を導出した結果、それは偶然にも\(R\)と\(r_V\)の並列合成抵抗の式と一致しました。
  • 適用根拠: これは物理的に当然の結果です。図2の回路では、電流計から見ると、その先は「抵抗\(R\)と電圧計\(r_V\)が並列接続されたもの」に見えます。したがって、電流計が測る電流\(I_2\)と、その並列部分にかかる電圧\(V_2\)の関係は、まさに合成抵抗の定義そのものになります。この視点を持つと、計算の見通しが良くなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似計算の活用: 図2の抵抗値の計算で、\(\frac{2000}{1001}\) のように分母がキリの良い数字から少しだけずれている場合、近似計算のセンスが役立ちます。\(1001 \approx 1000\) と考えれば、\(R_2 \approx \frac{2000}{1000} = 2.0\)Ω となり、真の値に非常に近いことがすぐにわかります。
• 比を用いた思考: この問題は、究極的には抵抗の「比」が重要です。
  • 図1の誤差の大きさは、\(r_A\)と\(R\)の比（\(r_A/R = 2/2 = 1\)）で決まります。
  • 図2の誤差の大きさは、\(R\)と\(r_V\)の比（\(R/r_V = 2/2000 = 1/1000\)）で決まります。

  この比が0に近いほど誤差は小さいと判断できます。図1の比は1、図2の比は0.001なので、明らかに図2の方が誤差が小さいと、複雑な計算をせずとも判断できます。

• 文字式のまま考察する: 数値を代入する前に、文字式のまま誤差を評価する癖をつけると、物理的な見通しが良くなります。
  • 図1の測定値: \(R_1 = R+r_A\)。誤差は\(r_A\)。
  • 図2の測定値: \(R_2 = \frac{Rr_V}{R+r_V}\)。誤差は \(|R_2 – R| = \frac{R^2}{R+r_V}\)。

  \(r_A\) と \(\frac{R^2}{R+r_V}\) の大小を比較すれば、どちらの誤差が小さいかが一般的にわかります。

412 電流計の分流器, 電圧計の倍率器

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「分流器と倍率器による測定範囲の拡大」です。測定範囲が限られている電流計を、適切な抵抗と組み合わせることで、より大きな電流や電圧を測定できる「多機能測定器」に変えるための基本原理を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア), (イ)

思考の道筋とポイント
最大1.0Aまでしか測れない電流計で、3.0Aの電流を測定する方法を考えます。電流計が壊れないようにするには、電流計本体に流れる電流を1.0A以下に抑える必要があります。そこで、電流計に抵抗を並列に接続し、余分な電流をその抵抗に流す「分流」という手法を用います。これを分流器と呼びます。
測定したい電流3.0Aのうち、1.0Aを電流計に、残りの \(3.0 – 1.0 = 2.0\)A を並列に接続した抵抗\(R\)に流すことを考えます。
並列接続なので、電流計の両端の電圧と、抵抗\(R\)の両端の電圧は等しくなります。この電圧の関係式を立てて、抵抗値\(R\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 電流の測定範囲拡大 \(\rightarrow\) 抵抗を並列に接続（分流器）。
• キルヒホッフの電流則: \(I_{\text{全体}} = I_{\text{電流計}} + I_{\text{抵抗}}\)。
• 並列接続の性質: \(V_{\text{電流計}} = V_{\text{抵抗}}\)。

具体的な解説と立式
測定したい電流 3.0A が回路に流れてきたとき、電流計本体には最大定格である 1.0A を流します。
キルヒホッフの第一法則（電流則）より、残りの電流は並列に接続した抵抗\(R\)に流れなければなりません。抵抗\(R\)に流れる電流\(I_R\)は、
$$
\begin{aligned}
I_R &= 3.0 – 1.0 \\[2.0ex] &= 2.0 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
電流計と抵抗\(R\)は並列に接続されているため、両者にかかる電圧は等しくなります。

• 電流計にかかる電圧 \(V_A\): \(V_A = (\text{内部抵抗}) \times (\text{電流計の電流})\)
• 抵抗\(R\)にかかる電圧 \(V_R\): \(V_R = R \times I_R\)

これらの電圧が等しい (\(V_A = V_R\)) ので、
$$ (3.0) \times (1.0) = R \times (2.0) $$

上記で立式した \(3.0 \times 1.0 = R \times 2.0\) を \(R\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2.0 R &= 3.0 \\[2.0ex] R &= \frac{3.0}{2.0} \\[2.0ex] &= 1.5 \, [Ω] \end{aligned}
$$
接続方法は並列です。

1.0Aまでしか通れない細い道（電流計）で、3.0Aという大量の交通量（電流）をさばく問題です。このままではパンクしてしまうので、隣に新しいバイパス道路（抵抗R）を作って、余分な車（電流）をそちらに流します。
3.0Aのうち1.0Aを電流計に流すので、バイパスには残りの2.0Aが流れます。
このとき、「細い道」と「バイパス道路」の入口と出口は同じ地点なので、両方の道の「高低差（電圧）」は同じになるはずです。この「高低差が等しい」という条件から、バイパス道路の通りにくさ（抵抗値）を計算します。

1.5Ωの抵抗を並列に接続することで、3.0Aまでの電流測定が可能になります。分流器に用いる抵抗は、電流計の内部抵抗よりも小さい値になることが多く、より多くの電流をバイパスさせる役割を果たします。

問(ウ), (エ)

思考の道筋とポイント
最大1.0Aまで測れる電流計を使って、最大100Vの電圧を測定する方法を考えます。これは、この電流計を電圧計として利用するということです。
電圧を測定するには、測定したい部分に測定器を並列に接続しますが、この電流計をそのまま接続すると、内部抵抗が3.0Ωと非常に小さいため、大電流が流れて壊れてしまいます。
そこで、電流計に大きな抵抗\(R’\)を直列に接続し、回路全体を「内部抵抗の大きな電圧計」として作り変えます。これを倍率器と呼びます。
この自作の電圧計に最大測定値である100Vの電圧がかかったときに、電流計本体には最大定格である1.0Aの電流が流れるように、抵抗\(R’\)の値を設計します。
この設問における重要なポイント

• 電圧の測定範囲拡大 \(\rightarrow\) 抵抗を直列に接続（倍率器）。
• 回路全体を一つの電圧計とみなし、オームの法則を適用する。
• \(V_{\text{全体}} = (R_{\text{全体}}) \times I_{\text{最大}}\)。

具体的な解説と立式
電流計（内部抵抗3.0Ω）と抵抗\(R’\)を直列に接続します。この組み合わせ全体が、一つの電圧計として機能します。
この自作電圧計の合成抵抗 \(R_{\text{合成}}\) は、
$$ R_{\text{合成}} = 3.0 + R’ $$
この電圧計で最大100Vを測定したいので、両端に100Vの電圧がかかったときに、回路に流れる電流が電流計の最大定格である1.0Aになればよいと考えます。
回路全体にオームの法則 \(V=RI\) を適用すると、
$$ 100 = R_{\text{合成}} \times 1.0 $$
$$ 100 = (3.0 + R’) \times 1.0 $$

上記で立式した \(100 = (3.0 + R’) \times 1.0\) を \(R’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
100 &= 3.0 + R’ \\[2.0ex] R’ &= 100 – 3.0 \\[2.0ex] &= 97 \, [Ω] \end{aligned}
$$
接続方法は直列です。

今度は、最大1.0Aしか流せない電流計を使って、100Vという非常に高い「崖（電圧）」の高さを測る問題です。この電流計は通りやすすぎる（抵抗が小さい）ので、そのまま崖につなぐと滝のように電流が流れ込んで壊れてしまいます。
そこで、電流計の前に非常に通りにくい道（大きな抵抗\(R’\)）を直列につなぎ、崖の高さの大部分をこの新しい抵抗に負担させます。
「新しい抵抗」と「電流計」を合わせた全体の通りにくさが、ちょうど100Vの崖の高さで1.0Aの電流が流れる程度になるように、新しい抵抗の値を調整します。

97Ωの抵抗を直列に接続することで、100Vまでの電圧測定が可能になります。倍率器に用いる抵抗は、電流計の内部抵抗よりもはるかに大きい値となり、測定したい電圧の大部分を分圧する役割を担います。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 分流器と倍率器の設計原理:
  • 核心: この問題の根幹は、一つの測定器（電流計）を、抵抗との組み合わせ方（並列か直列か）によって、全く異なる二つの目的（大電流測定と高電圧測定）のために改造する、その設計原理を理解することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 分流器（電流測定範囲の拡大）:
      • 目的: 大電流の一部をバイパスさせる。
      • 接続: 並列。電流の「分岐路」を作るため。
      • キー法則: 並列なので電圧が等しい (\(V_A = V_R\))。この関係から抵抗値を求める。
      • 抵抗値: 電流計本体より小さい抵抗を使い、多くの電流を分流させる。
    • 倍率器（電圧測定範囲の拡大）:
      • 目的: 大電圧の大部分を肩代わりさせる。
      • 接続: 直列。電圧を「分圧」するため。
      • キー法則: 直列なので電流が等しい。回路全体を一つの大きな抵抗と見なし、オームの法則 (\(V_{\text{全体}} = R_{\text{全体}}I\)) を適用する。
      • 抵抗値: 電流計本体よりはるかに大きい抵抗を使い、電圧の大部分を負担させる。
• 測定器の理想と現実:
  • 核心: 電流計は内部抵抗が（理想はゼロだが）非常に小さく、電圧計は内部抵抗が（理想は無限大だが）非常に大きい、という測定器の基本的な性質を理解していることが、これらの回路を設計する上での大前提となります。
  • 理解のポイント:
    • 電流計は「電流を測る」ものだが、その性質（低抵抗）を利用して「電圧計」に作り変えることができる。この発想の転換が重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • N倍の測定範囲: 「測定範囲をN倍にするには？」という形式の問題。
    • 電流計: 全電流\(NI_A\)のうち、\(I_A\)を電流計に、\((N-1)I_A\)を分流器に流す。電圧が等しいことから \(r_A I_A = R (N-1)I_A\)。よって分流器の抵抗は \(R = \frac{r_A}{N-1}\)。
    • 電圧計: 全電圧\(NV_A\)を、電流計(\(V_A\))と倍率器(\((N-1)V_A\))で分圧する。電流が等しいので抵抗の比が電圧の比に等しい。よって倍率器の抵抗は \(R’ = (N-1)r_A\)。
  • テスター（回路計）の設計: 一つの電流計と複数の抵抗をスイッチで切り替えることで、様々なレンジの電流・電圧を測定できるテスターの内部回路を考察する問題。各レンジについて、分流器・倍率器の計算を繰り返し適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 目的の明確化: 「電流」の範囲を広げたいのか、「電圧」の範囲を広げたいのかを最初に確認します。
  2. 接続方法の決定:
     • 目的が「電流」なら、迷わず「並列接続（分流器）」。
     • 目的が「電圧」なら、迷わず「直列接続（倍率器）」。
  3. キーとなる法則の選択:
     • 並列（分流器）なら、「各枝路の電圧が等しい」という式を立てる。
     • 直列（倍率器）なら、「回路全体でオームの法則」を立てる。
  4. 電流・電圧の分配を考える:
     • 分流器: 測定したい最大電流から、電流計本体に流せる最大電流を引いた「余りの電流」が、分流抵抗に流れる。
     • 倍率器: 測定したい最大電圧がかかったときに、電流計本体には「最大定格電流」が流れる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 並列と直列の混同:
  • 誤解: 電流を測るのに直列、電圧を測るのに並列、と接続方法を逆さまに覚えてしまう。
  • 対策: 原理から理解するのが最も確実です。「電流を分ける」から「並列」、「電圧を分ける」から「直列」と、目的と接続方法をセットで覚えましょう。また、完成した回路図をイメージすることも有効です。電圧計は抵抗が大きく、直列につなぐと回路全体の電流をほとんど止めてしまうので不適切、といった具体的なイメージを持つと間違いが減ります。
• 分流器の電流計算ミス:
  • 誤解: 測定したい電流3.0Aが、そのまま分流抵抗にかかると勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ずキルヒホッフの電流則を意識します。分岐点に3.0Aが流入し、電流計に1.0Aが流出するなら、もう一方の分流抵抗には残りの2.0Aが流出する、という電流の分配を正確に計算することが不可欠です。
• 倍率器の電圧計算ミス:
  • 誤解: 測定したい電圧100Vが、倍率抵抗R’にそのままかかると勘違いしてしまう。
  • 対策: 100Vは、電流計と倍率抵抗を合わせた「回路全体」にかかる電圧です。オームの法則を適用する際は、抵抗も回路全体の合成抵抗（\(r_A+R’\)）を使わなければならない、という意識を強く持ちましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 分流器における「電圧一定」の選択:
  • 選定理由: 分流器は並列回路です。並列回路の最も基本的で強力な性質は「各枝路にかかる電圧が等しい」ことです。未知数である抵抗値\(R\)を求めるために、この最も確実な法則から方程式を立てるのが最も論理的です。
  • 適用根拠: 電位の概念から、並列回路の分岐点と合流点はそれぞれ同電位です。したがって、その間のどの経路をたどっても電位差（電圧）は同じになります。これはキルヒホッフの第二法則を適用しても導ける、普遍的な性質です。
• 倍率器における「回路全体のオームの法則」の選択:
  • 選定理由: 倍率器は、電流計と抵抗を一体化させて「新しい一つの電圧計」を作り出す操作です。したがって、この新しい測定器全体に対して、その性能（最大測定電圧100V、そのときに流れる電流1.0A）を規定するオームの法則 \(V=RI\) を適用するのが、最も状況を的確に表現した立式となります。
  • 適用根拠: どのような複雑な回路であっても、その2端子間の電圧とそこに流れる電流の関係は、オームの法則によって一つの合成抵抗で表現できます。この考え方は、電気回路における最も基本的なアプローチの一つです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描いて考える: この種の問題では、頭の中だけで考えずに、必ず簡単な回路図を描くことがミスを防ぐ鍵です。
  • 分流器なら、分岐点と、電流計と抵抗に電流が分かれていく様子を描く。
  • 倍率器なら、電流計と抵抗が直列につながり、その全体に電圧がかかっている様子を描く。

  図に電流値や抵抗値、電圧を書き込むことで、状況が視覚的に整理され、立式が容易になります。

• 単位の確認: 抵抗値がΩ、電流がA、電圧がVと、基本的なSI単位系で計算しているかを確認しましょう。もし問題でkΩやmAが使われていたら、計算前に単位を揃えるのが安全です。
• 逆算による検算:
  • (ア)で求めたR=1.5Ωが正しいか？ → 電流計の電圧は3.0V。抵抗Rの電圧は \(1.5 \times 2.0 = 3.0\)V。電圧が等しいのでOK。
  • (エ)で求めたR’=97Ωが正しいか？ → 合成抵抗は \(3.0+97=100\)Ω。100Vの電圧で流れる電流は \(100/100=1.0\)A。最大定格電流と一致するのでOK。

  このように、求めた値を元の条件に代入して矛盾がないかを確認する検算は非常に有効です。

413 直流回路と電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位の概念と基準点の理解」です。回路に電流が流れているときと流れていないときで、各点の電位がどのように変化するかを、基準点（アース）を基に正確に計算できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチSが開いているため、回路は閉じておらず、電流は流れません。

• 抵抗部分: 電流が流れていないので、どの抵抗においても電圧降下は0です。したがって、抵抗で接続されている点A, B, C, および接地点はすべて同じ電位（等電位）になります。
• 基準点: 接地点の電位は0Vと定義されています。
• 電源部分: 電流が流れていなくても、電源は常に50Vの電位差をその両端に作り続けています。

これらの情報から、各点の電位を特定します。
この設問における重要なポイント

• スイッチが開いている \(\rightarrow\) 回路に電流は流れない (\(I=0\))。
• \(I=0\) \(\rightarrow\) 抵抗での電圧降下は \(RI=0\)。
• 電圧降下が0 \(\rightarrow\) 抵抗の両端は等電位。
• 電源の両端には、常に起電力分の電位差がある。

具体的な解説と立式

1. 接地点の電位は0Vです。
2. スイッチが開いているため、回路に電流は流れません。したがって、10Ω, 20Ω, 30Ω, 50Ωのどの抵抗においても電圧降下は発生しません。
3. このため、抵抗や導線でつながっている点A, B, C, および接地点はすべて等電位となります。接地点が0Vなので、
   $$ V_A = V_B = V_C = 0 \, \text{V} $$
4. 電源は、点Aと点Dの間に50Vの電位差を作っています。A側が正極、D側が負極なので、D点の電位はA点の電位より50V低くなります。
   $$ V_D = V_A – 50 $$

$$
\begin{aligned}
V_D &= V_A – 50 \\[2.0ex] &= 0 – 50 \\[2.0ex] &= -50 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
よって、各点の電位は A: 0V, B: 0V, C: 0V, D: -50V となります。

スイッチが開いていると、電気が流れる道が途中で途切れているので、電流は全く流れません。
電流が流れないとき、抵抗はただの「導線」と同じになり、電気的な高さ（電位）はどこも下がりません。
接地点は標高0mの地面なので、そこから導線や抵抗でつながっているA, B, C地点はすべて同じ標高0mになります。
一方、電池は常にA地点をD地点より50m高くしようと働いています。A地点が標高0mなので、D地点はそれより50m低い、標高-50mということになります。

電流が流れない場合、抵抗は電位を変化させないという点がポイントです。電源のみが電位差を作り出す要因となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じると、A→B→C→D→Aという閉回路が完成し、電流が流れます。

1. 電流の計算: まず、回路全体の合成抵抗を求め、電源の電圧50Vとオームの法則を用いて、回路に流れる電流\(I\)を計算します。
2. 電圧降下の計算: 求めた電流\(I\)を用いて、各抵抗（20Ω, 30Ω, 50Ω）での電圧降下をそれぞれ計算します。10Ωの抵抗は、電流が流れるメインの経路から外れているため、電流は流れません。
3. 各点の電位の計算: 基準点であるB点の電位を0Vとして、そこから電流の向きに沿って、あるいは逆らって各点の電位を順に計算していきます。

この設問における重要なポイント

• 閉回路の合成抵抗は、直列抵抗の和で求める。
• 基準点（B=0V）から出発し、各点の電位を計算する。
• 電流の向きに抵抗を渡ると電位は下がり、逆向きに渡ると電位は上がる。

具体的な解説と立式
1. 回路に流れる電流 \(I\) を求める

スイッチを閉じると、電流はA→B→C→D→Aの経路を流れます。この経路上の抵抗は20Ω, 30Ω, 50Ωの直列接続です。10Ωの抵抗は、この閉回路に含まれていません（B点がアースに接続されているため、電流はそちらには流れません）。
回路の合成抵抗 \(R_{\text{合成}}\) は、
$$
\begin{aligned}
R_{\text{合成}} &= 20 + 30 + 50 \\[2.0ex] &= 100 \, Ω
\end{aligned}
$$
電源の電圧は50Vなので、オームの法則 \(V=RI\) より、回路を流れる電流 \(I\) は、
$$ 50 = R_{\text{合成}} \times I $$
2. 各抵抗での電圧降下を求める

• 20Ω抵抗(AB間)の電圧降下 \(V_{20}\): \(V_{20} = 20 \times I\)
• 30Ω抵抗(BC間)の電圧降下 \(V_{30}\): \(V_{30} = 30 \times I\)
• 50Ω抵抗(CD間)の電圧降下 \(V_{50}\): \(V_{50} = 50 \times I\)

3. 各点の電位を求める

基準点は接地点であり、B点が直接接続されているため \(V_B = 0\)V です。

• 点Aの電位 \(V_A\): AからBへ電流が流れるので、Aの方がBより電位が高い。その差は\(V_{20}\)。
  $$ V_A = V_B + V_{20} $$
• 点Cの電位 \(V_C\): BからCへ電流が流れるので、Cの方がBより電位が低い。その差は\(V_{30}\)。
  $$ V_C = V_B – V_{30} $$
• 点Dの電位 \(V_D\): CからDへ電流が流れるので、Dの方がCより電位が低い。その差は\(V_{50}\)。
  $$ V_D = V_C – V_{50} $$

1. 電流の計算
$$
\begin{aligned}
50 &= 100 \times I \\[2.0ex] I &= \frac{50}{100} \\[2.0ex] &= 0.50 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
2. 電圧降下の計算
$$ V_{20} = 20 \times 0.50 = 10 \, \text{V} $$
$$ V_{30} = 30 \times 0.50 = 15 \, \text{V} $$
$$ V_{50} = 50 \times 0.50 = 25 \, \text{V} $$
3. 電位の計算
$$
\begin{aligned}
V_A &= 0 + 10 \\[2.0ex] &= 10 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_C &= 0 – 15 \\[2.0ex] &= -15 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_D &= -15 – 25 \\[2.0ex] &= -40 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
よって、各点の電位は A: 10V, B: 0V, C: -15V, D: -40V となります。

スイッチを入れると、電気がA→B→C→D→Aのループをぐるぐる回り始めます。
まず、この一周の旅で電気がどれくらい流れにくいか（合成抵抗）を計算します。次に、オームの法則を使って、流れる電流の大きさを求めます。
電流の大きさがわかれば、各抵抗を通るたびにどれだけ電気的な高さ（電位）が下がるか（電圧降下）が計算できます。
B地点は地面（標高0m）なので、ここを基準に考えます。

• A地点: B地点より上流なので、その分だけ標高が高い。
• C地点: B地点より下流なので、その分だけ標高が低い。
• D地点: C地点よりさらに下流なので、もっと標高が低い。

このように、基準点からの「上り/下り」を計算していくことで、各地点の標高（電位）がわかります。

各点の電位が求まりました。検算として、電源の両端であるA点とD点の電位差を計算してみましょう。
\(V_A – V_D = 10 – (-40) = 50\)V。
これは電源の電圧と一致しており、計算が正しいことが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位の概念と基準点（アース）:
  • 核心: この問題の根幹は、回路の各点の「電位（電気的な高さ）」を、絶対的な基準点（アース=0V）から計算するという概念を徹底的に理解することです。電圧や電流といった相対的な量だけでなく、各点が持つ絶対的な電位を考えることで、複雑な回路も明快に解析できます。
  • 理解のポイント:
    • アースが全てを決める: 回路図にアース記号を見つけたら、それが電位計算の不動の出発点となります。
    • 電位は「標高」: 回路を地形図のようにイメージし、アースを「海抜0m」と見なします。電源は「ポンプ（高低差を作る装置）」、抵抗は「滝や急流（高低差を消費する場所）」、導線は「水平な水路」と考えると、各点の標高（電位）を直感的に理解しやすくなります。
• 電流と電圧降下の関係:
  • 核心: 電流が流れて初めて、抵抗の両端に電位差（電圧降下）が生じるという、オームの法則の基本的な意味を深く理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • スイッチOFF (1): 回路が切れている（電流\(I=0\)）場合、抵抗での電圧降下は\(V=RI=0\)です。したがって、抵抗は単なる導線と見なせ、抵抗でつながれた部分はすべて等電位になります。
    • スイッチON (2): 回路が閉じている（電流\(I \neq 0\)）場合、抵抗での電圧降下\(V=RI\)が生じます。電流が流れる向きに電位は必ず降下します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 多点アース: 回路の複数箇所がアースされている問題。アースされた点はすべて電位0Vで、導線でつながっていると見なせます。これにより、回路の接続構造が単純化されることがあります。
  • コンデンサーを含む直流回路: 十分に時間が経過した後のコンデンサーは、電流を流さない「断線」状態と見なせます。これは本問の(1)の状況に似ており、コンデンサーが接続された導線部分は等電位になります。この考え方で、コンデンサーの各極板の電位や電位差を求める問題に応用できます。
  • キルヒホッフの法則と電位: 複数の電源を含む複雑な回路で各点の電位を問う問題。まずキルヒホッフの法則で各枝路の電流を求め、その後、基準点から出発して電位を計算していく、という本問(2)と同じ手順で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. アースはどこか？: まず回路図全体を見渡し、アースの位置を特定します。そこが電位0Vの出発点です。
  2. 電流は流れているか？: スイッチの開閉やコンデンサーの有無などから、回路に定常電流が流れているかどうかを判断します。これが、抵抗を等電位と見なすか、電圧降下があると見なすかの分かれ目です。
  3. 電位の基準点を明確にする: アースがない問題でも、電池の負極などを自分で「0V」と仮定することで、同様に解くことができます。
  4. 電位を計算する経路を選ぶ: ある点の電位を求めたいとき、基準点からそこへ至る経路は複数ある場合があります。計算が最も簡単な経路を選びましょう。どの経路で計算しても、答えは同じになるはずです（ならなければ計算ミスの証拠）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電源の向きと電位の上下の混同:
  • 誤解: 電池記号の長い方が常に「上」で電位が高い、と思い込んでしまう。
  • 対策: 電池記号は、長い方が正極（電位が高い）、短い方が負極（電位が低い）です。回路図での上下左右の位置関係とは無関係です。本問では、A点が正極、D点が負極なので、\(V_A = V_D + 50\)V という関係になります。この関係を最初に正確に把握することが重要です。
• 電圧降下の符号ミス:
  • 誤解: 電位を計算していく際に、電圧降下分を足すべきか引くべきか混乱する。
  • 対策: 「電流は電位の高い方から低い方へ流れる」という大原則を常に念頭に置きます。
    • 電流と同じ向きに経路をたどる場合 → 電位は下がる（電圧降下分を引く）。
    • 電流と逆向きに経路をたどる場合 → 電位は上がる（電圧降下分を足す）。

    本問(2)で\(V_A\)を求める際は、基準Bから電流と逆行するので \(V_A = V_B + V_{20}\) と足し算になります。

• 10Ωの抵抗の扱い:
  • 誤解: (2)の計算で、10Ωの抵抗も合成抵抗に含めてしまう。
  • 対策: 電流が流れる経路（閉回路）を正確に特定することが重要です。B点がアース(0V)に接続されているため、A→Bと流れてきた電流は、わざわざ10Ωの抵抗を通ってアースに行く必要がなく、そのままC点に向かいます。したがって、10Ωの抵抗には電流が流れず、(2)の回路計算では無視できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位の逐次計算:
  • 選定理由: (2)では、基準点Bから出発し、A, C, Dと隣接する点の電位を順々に求めていく手法を取りました。これは、電位というものが「場所」の量であり、隣の場所との「高さの差（電位差）」が分かれば計算できる、という性質を最も素直に利用した方法です。
  • 適用根拠: この方法は、基準点さえ決まっていれば、どんなに複雑な回路でも機械的に各点の電位を決定できる、非常に汎用性の高いアプローチです。一つ一つの電位差（電圧降下）をオームの法則で正確に計算し、符号に注意して足し引きしていけば、必ず正しい答えにたどり着きます。
• 分圧の公式（別解）:
  • 選定理由: (2)の回路は、電源と複数の抵抗が直列に接続された単純な形をしています。このような場合、全体の電圧が各抵抗にどのように分配されるかを考える「分圧」の考え方が非常に有効です。
  • 適用根拠: 直列回路では電流が一定であるため、各抵抗での電圧降下 \(V=RI\) は抵抗値 \(R\) に直接比例します。したがって、全体の電圧を抵抗値の比で比例配分するという操作が物理的に正当化されます。この法則を知っていれば、電流の値を求めるステップを省略でき、より迅速に計算できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への書き込みの徹底: この問題は、図に情報を書き込むことで劇的に分かりやすくなります。
  1. まず、アースに「0V」と大きく書く。
  2. (1)では、A, B, Cにも「0V」、Dに「-50V」と書き込む。
  3. (2)では、電流の向き（反時計回り）を矢印で書き込む。計算した電圧降下「10V」「15V」「25V」を各抵抗の横にメモする。
  4. 基準のB点に「0V」と書き、そこから「+10V」でA点は「10V」、「-15V」でC点は「-15V」…と、計算結果を次々に図に反映させていく。
• 検算の習慣化: (2)の最後に、電源の両端であるA点とD点の電位差を計算し、それが電源の電圧50Vと一致するかを確認する。\(V_A – V_D = 10 – (-40) = 50\)V。この一手間が、計算ミスを発見し、確信を持って解答するための強力な武器になります。
• 符号の取り扱いに集中: 電位の計算は、単純な足し算と引き算ですが、それゆえに符号のミスが起こりがちです。「電流の向きと同じなら引く、逆なら足す」というルールを、計算のたびに指差し確認するくらいの慎重さで臨みましょう。

414 キルヒホッフの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「キルヒホッフの法則を用いた複雑な直流回路の解析」です。スイッチの開閉によって回路の構造が変化する状況や、複数の電源を含む回路において、各部分を流れる電流を正確に求める手法を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチSが開いているため、電源\(E_2\)と抵抗\(R_2\)を含む中央の枝路は回路として機能していません。したがって、電流は電源\(E_1\)、抵抗\(R_1\)、抵抗\(R_3\)からなる一つの閉回路のみを流れます。これは単純な直列回路と見なせます。
まず、この直列回路の合成抵抗を求め、オームの法則（またはキルヒホッフの第二法則）を適用して、回路に流れる電流\(I\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• スイッチが開いている部分は「断線」と同じで、電流は流れない。
• 回路は\(E_1, R_1, R_3\)の直列回路とみなせる。
• 直列回路の合成抵抗は各抵抗の和で与えられる。

具体的な解説と立式
スイッチSが開いているとき、電流が流れる閉回路は a→b→f→e→a のループのみです。このループには抵抗\(R_1\)と\(R_3\)が直列に接続されています。
回路全体の合成抵抗\(R_{\text{合成}}\)は、
$$ R_{\text{合成}} = R_1 + R_3 $$
この回路の電源は\(E_1\)のみなので、オームの法則 \(V=RI\) を回路全体に適用すると、
$$ E_1 = R_{\text{合成}} \times I $$

与えられた値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
R_{\text{合成}} &= 40 + 160 \\[2.0ex] &= 200 \, [Ω] \end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
12 &= 200 \times I \\[2.0ex] I &= \frac{12}{200} \\[2.0ex] &= \frac{6}{100} \\[2.0ex] &= 0.060 \, \text{A} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-2} \, \text{A}
\end{aligned}
$$

スイッチが開いているので、真ん中の道は通れません。電気は、外側をぐるっと一周するルートしか通れません。このルートには\(R_1\)と\(R_3\)という2つの抵抗が直列につながっています。全体の通りにくさ（合成抵抗）は、2つの抵抗の足し算で求まります。あとは、電源の電圧をこの全体の通りにくさで割れば、オームの法則から電流の大きさが計算できます。

抵抗\(R_1\)に流れる電流は \(6.0 \times 10^{-2}\) A と求まりました。これは直列回路なので、抵抗\(R_3\)に流れる電流も同じ値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
抵抗\(R_1\)と\(R_3\)で消費される電力の「和」を求めます。これは、(1)で考えた回路全体で消費される電力に等しいです。電力の計算には \(P=IV\), \(P=I^2R\), \(P=V^2/R\) の公式がありますが、回路全体の合成抵抗\(R_{\text{合成}}\)と、そこを流れる電流\(I\)がわかっているので、\(P = I^2 R_{\text{合成}}\) を使うのが最も簡単です。
この設問における重要なポイント

• 消費電力の和は、合成抵抗での消費電力と考えることができる。
• 電力の公式 \(P=I^2R\) を用いる。

具体的な解説と立式
抵抗\(R_1\)と\(R_3\)で消費される電力の和\(P\)は、回路全体の合成抵抗\(R_{\text{合成}}\)で消費される電力と等しくなります。
(1)で求めた電流 \(I = 6.0 \times 10^{-2}\) A と、合成抵抗 \(R_{\text{合成}} = 200\) Ω を、電力の公式 \(P=I^2R\) に代入します。
$$ P = I^2 R_{\text{合成}} $$

$$
\begin{aligned}
P &= (6.0 \times 10^{-2})^2 \times 200 \\[2.0ex] &= (36 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 72 \times 10^{-2} \\[2.0ex] &= 0.72 \, \text{W}
\end{aligned}
$$

(1)で考えた回路全体で、1秒あたりに消費されるエネルギー（電力）を求める問題です。電力は「電流の2乗 × 抵抗」で計算できます。回路全体を流れる電流と、回路全体の抵抗（合成抵抗）は(1)で求まっているので、それらの値を公式に当てはめれば答えが出ます。

消費電力の和は 0.72 W と求まりました。これは、電源が供給する電力 \(P_{\text{供給}} = IE_1 = (6.0 \times 10^{-2}) \times 12 = 0.72\) W と一致しており、エネルギー保存則が成り立っていることが確認できます。

問(3)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じると、2つの電源を含む複雑な回路になります。このような回路は、キルヒホッフの法則を用いて解くのが定石です。

1. 未知電流の設定: 各枝路を流れる電流を、向きを仮定して未知数として設定します（模範解答では \(I_1, I_2, I_3\)）。
2. 方程式の立式: 未知数が3つなので、独立した方程式を3本立てる必要があります。
   • 電流則（第一法則）: 分岐点（d点など）で、電流の流入・流出に関する式を1本立てる。
   • 電圧則（第二法則）: 独立した閉回路（ループ）を2つ選び、それぞれについて電圧則の式を立てる。
3. 連立方程式を解く: 立てた3本の連立一次方程式を解き、\(I_1, I_2, I_3\) の値を求めます。
4. 結果の解釈: 計算結果が負の値になった場合、最初に仮定した電流の向きとは逆向きに流れていることを意味します。

この設問における重要なポイント

• 未知電流は、向きを仮定して設定する。
• キルヒホッフの第一法則と第二法則を適用し、未知数の数だけ方程式を立てる。
• 計算結果の符号から、実際の電流の向きを判断する。

具体的な解説と立式
模範解答の図bのように、各抵抗を流れる電流を \(I_1, I_2, I_3\) とし、その向きを仮定します。

• \(I_1\): \(R_1\) を右向き (a→b)
• \(I_2\): \(R_2\) を右向き (c→d)
• \(I_3\): \(R_3\) を左向き (f→e)

1. キルヒホッフの第一法則（電流則）

分岐点dにおいて、流入する電流は \(I_1\) と \(I_2\)、流出する電流は \(I_3\) なので、
$$ I_1 + I_2 = I_3 \quad \cdots ① $$
2. キルヒホッフの第二法則（電圧則）

• 経路1 (a→b→f→e→a のループ):
  このループを時計回りにたどります。
  • 起電力: \(E_1\) を負極→正極の向きに通過するので \(+12\)V。
  • 電圧降下: \(R_1\) を電流\(I_1\)と同じ向きに通過するので \(+40I_1\)。\(R_3\) を電流\(I_3\)と同じ向きに通過するので \(+160I_3\)。

  $$ 12 = 40I_1 + 160I_3 \quad \cdots ② $$

• 経路2 (c→d→f→e→c のループ):
  このループを時計回りにたどります。
  • 起電力: \(E_2\) を負極→正極の向きに通過するので \(+24\)V。
  • 電圧降下: \(R_2\) を電流\(I_2\)と同じ向きに通過するので \(+40I_2\)。\(R_3\) を電流\(I_3\)と同じ向きに通過するので \(+160I_3\)。

  $$ 24 = 40I_2 + 160I_3 \quad \cdots ③ $$

①, ②, ③の連立方程式を解きます。
まず、②と③を整理します（両辺を40で割る）。
$$
\begin{aligned}
\text{②’}: 0.3 &= I_1 + 4I_3 \\[2.0ex] \text{③’}: 0.6 &= I_2 + 4I_3
\end{aligned}
$$
②’と③’から、\(4I_3 = 0.3 – I_1\) および \(4I_3 = 0.6 – I_2\) となるので、
$$
\begin{aligned}
0.3 – I_1 &= 0.6 – I_2 \\[2.0ex] I_2 &= I_1 + 0.3 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
①の \(I_3 = I_1 + I_2\) を②’に代入します。
$$
\begin{aligned}
0.3 &= I_1 + 4(I_1 + I_2) \\[2.0ex] 0.3 &= 5I_1 + 4I_2 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
⑤に④を代入して \(I_2\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
0.3 &= 5I_1 + 4(I_1 + 0.3) \\[2.0ex] 0.3 &= 5I_1 + 4I_1 + 1.2 \\[2.0ex] 0.3 &= 9I_1 + 1.2 \\[2.0ex] 9I_1 &= 0.3 – 1.2 \\[2.0ex] 9I_1 &= -0.9 \\[2.0ex] I_1 &= -0.10 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
求まった \(I_1\) を④、①に順次代入します。
$$
\begin{aligned}
I_2 &= -0.10 + 0.3 \\[2.0ex] &= 0.20 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
I_3 &= I_1 + I_2 \\[2.0ex] &= -0.10 + 0.20 \\[2.0ex] &= 0.10 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
結果の解釈

• \(I_1 = -0.10\) A: 大きさは 0.10A。符号が負なので、仮定した向き（a→b）とは逆向き、すなわち b→a の向き。
• \(I_2 = 0.20\) A: 大きさは 0.20A。符号が正なので、仮定した向き（c→d）と同じ。
• \(I_3 = 0.10\) A: 大きさは 0.10A。符号が正なので、仮定した向き（f→e）と同じ。

スイッチを閉じると、道が3本に分かれた複雑な交差点のような回路になります。このような場合は、魔法の道具「キルヒホッフの法則」を使います。
まず、各道を流れる電流を、向きも大きさも分からないので、とりあえず適当な向きに \(I_1, I_2, I_3\) と名前をつけます。
次に、法則に従って式を3本立てます。

1. 交差点(d点)での交通整理のルール：「入ってくる車の台数＝出ていく車の台数」（電流則）
2. 外側を一周するルートでの高低差のルール：「電池で上った高さ＝抵抗で下りた高さの合計」（電圧則）
3. 内側を一周するルートでの高低差のルール：「同上」（電圧則）

あとは、この3本の連立方程式を数学の力で解くだけです。もし答えがマイナスで出てきたら、それは最初に仮定した向きが逆だった、という意味です。

抵抗\(R_1\)に流れる電流の大きさは0.10Aで、向きはb→a。
抵抗\(R_2\)に流れる電流の向きはc→d。
抵抗\(R_3\)に流れる電流の向きはf→e。
\(E_2\) (24V) の方が \(E_1\) (12V) より強力なため、\(R_1\) には逆向きの電流が流れるという結果は、直感的にも妥当と考えられます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• キルヒホッフの法則の体系的な使い方:
  • 核心: この問題の根幹は、複数の電源と分岐を含む複雑な回路に対して、キルヒホッフの法則（第一法則・第二法則）を手順通りに適用し、未知数（電流）の数だけ独立した方程式を立てて解くという、一連の解法手順を遂行できるかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • ステップ1：未知数の設定: まず、各枝路を流れる電流を、向きを仮定して \(I_1, I_2, \dots\) と置く。
    • ステップ2：電流則（第一法則）: 回路内の分岐点を一つ選び、「流入する電流の和 = 流出する電流の和」の式を立てる。
    • ステップ3：電圧則（第二法則）: 回路内の独立したループを、未知の電流がすべて含まれるように選び、「起電力の和 = 電圧降下の和」の式を立てる。未知数がN個なら、電流則と合わせて合計N本の方程式が必要。
    • ステップ4：連立方程式を解く: 立てた方程式を、数学の知識を駆使して解く。
    • ステップ5：結果の解釈: 解が負になったら、仮定した向きが逆だったと判断する。
• 回路構造の変化の認識:
  • 核心: スイッチが開いているか閉じているかで、回路の接続の仕方が根本的に変わることを認識することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • スイッチOFF (1), (2): 中央の枝路は存在しないのと同じ。回路は単純な直列回路に単純化される。
    • スイッチON (3): すべての枝路が接続され、複数のループを持つ複雑な回路になる。単純な合成抵抗の考え方は使えず、キルヒホッフの法則の出番となる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路（不平衡）: ホイートストンブリッジが平衡していない状態で、検流計に流れる電流を求める問題。本問(3)と全く同じく、3つの未知電流を設定し、キルヒホッフの法則で連立方程式を立てて解きます。
  • コンデンサーを含む過渡現象: スイッチを入れた直後のコンデンサーは「導線（抵抗0）」、十分に時間が経過した後は「断線（抵抗無限大）」と見なせます。スイッチを入れた直後の各枝路の電流を求める問題は、キルヒホッフの法則の応用問題となります。
  • 閉回路が3つ以上ある回路: より複雑な回路でも、やることは同じです。未知電流の数をN個とし、電流則と電圧則を駆使して独立な方程式をN本立てれば、原理的には必ず解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の単純化は可能か？: まず、直列・並列の合成抵抗の考え方で単純化できないかを確認します。(1)のように単純化できる場合は、その方が圧倒的に早いです。
  2. 未知数はいくつ必要か？: 回路の分岐の数を見て、独立な未知電流がいくつ必要かを見積もります。電流則を使えば、未知数の数を最小限に抑えられます。
  3. ループの選び方: 電圧則を適用するループは、なるべく登場する素子が少なく、計算が簡単そうなものを選びます。どのループを選んでも最終的な答えは同じになりますが、計算の手間が変わってきます。
  4. 電位法の検討（別解）: 連立方程式を解くのが苦手な場合や、特定の点の電位を求めたい場合は、どこか1点を基準(0V)とし、未知の電位の数を数えます。未知電位の数が未知電流の数より少ない場合は、電位法で解いた方が計算が楽になることがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧則のループをたどる際の符号ミス:
  • 誤解: 起電力や電圧降下の符号を機械的に決めてしまい、ミスをする。
  • 対策: 「ループをたどる向き」と「電流・起電力の向き」の相対的な関係で符号が決まる、というルールを徹底します。
    • 起電力: ループの向きが、電池の負極→正極の向きと同じならプラス、逆ならマイナス。
    • 電圧降下: ループの向きが、仮定した電流の向きと同じならプラス、逆ならマイナス。

    このルールを、各素子を通過するたびに指差し確認するくらいの慎重さで適用しましょう。

• 仮定した電流の向きと計算結果の解釈:
  • 誤解: 計算結果がマイナスになったときにパニックになり、計算全体が間違っていると思い込んでしまう。
  • 対策: 計算結果のマイナス符号は、「最初に仮定した向きとは逆向きに、その大きさの電流が流れている」という物理的に正しい情報です。慌てずに、向きを逆にして解釈すれば、それが正解です。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 物理法則の立式に集中し、その後の数学的な計算を軽視してしまう。
  • 対策: キルヒホッフの法則の問題は、半分以上が連立方程式の計算です。式に番号を振り、どの式をどう変形してどの変数に代入するか、方針を明確にしてから計算を始めましょう。途中式を省略せず、丁寧に進めることが何よりの対策です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの法則の選択:
  • 選定理由: (3)の回路は、複数の電源を含み、抵抗の接続も単純な直列・並列ではありません。このような「複雑な回路」を解くための、唯一にして最強のツールがキルヒホッフの法則です。
  • 適用根拠: 第一法則は電荷量保存則、第二法則はエネルギー保存則という、物理学の大原則に基づいています。したがって、どんなに複雑に見える直流回路でも、これらの法則は必ず成り立ちます。この普遍性こそが、この法則を安心して適用できる根拠です。
• 電流則と電圧則の組み合わせ:
  • 選定理由: 未知数が3つ（\(I_1, I_2, I_3\)）あるため、独立した方程式が3本必要でした。電流則は分岐点に関する関係式、電圧則はループに関する関係式であり、これらは互いに独立な情報を提供してくれます。したがって、これらを組み合わせることで、未知数を解くために必要な数の連立方程式を過不足なく立てることができます。
  • 適用根拠: 電流則は「電荷の流れ込みと流れ出し」、電圧則は「ループ一周の電位の変化」という、回路の異なる側面を記述しています。これらの異なる側面からの制約条件をすべて満たす解が、回路の唯一の動作状態を決定します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の整理と代入の工夫: (3)の連立方程式を解く際、やみくもに代入すると式が複雑になります。
  1. まず、②式と③式のように、似た形の式がないか探す。
  2. これらの式から、共通項（例: \(160I_3\)）を消去するか、あるいは共通項について解いて（例: \(160I_3 = \dots\)）、式同士を繋ぐと、見通しが良くなることが多いです。
  3. 本解説の計算過程のように、先に\(I_2\)を\(I_1\)で表すなど、段階的に変数を消去していく計画を立てることが重要です。
• 単位の省略: 計算途中では、A（アンペア）やΩ（オーム）といった単位は省略し、数値だけの計算に集中すると、式がすっきりして見やすくなります。ただし、最終的な答えには必ず単位をつけましょう。
• 検算: 求まった電流値（\(I_1, I_2, I_3\)）を、使わなかった別のループ（例: a→b→d→c→aのループ）の電圧則の式に代入してみて、式が成り立つかを確認するのも有効な検算方法です。
  • a→b→d→c→aのループ（時計回り）: 起電力は \(E_1 – E_2 = 12 – 24 = -12\)V。電圧降下は \(40I_1 – 40I_2 = 40(-0.10) – 40(0.20) = -4 – 8 = -12\)V。両者が一致するので、計算は正しいと確信できます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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