「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第20章】応用問題

353 ヤングの実験

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、光の波動性を示す代表的な現象である「ヤングの干渉実験」を扱います。特に、スリットの一方に屈折率の異なる媒質（薄膜）を挿入したときの干渉縞の変化を考察することで、光路差と干渉条件についての深い理解が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの干渉実験における光路差と干渉条件」です。特に、スリットの一部に薄膜を挿入した際の干渉縞の変化を正しく理解することが求められます。

問(1) スクリーン上の点Pにおける光路差

思考の道筋とポイント
スリットS₁とS₂からスクリーン上の点Pに到達する2つの光の「光路差」を求めます。問題の条件 \(l \gg d\) および \(l \gg x\) を用いて、幾何学的な経路差 \(S_2P – S_1P\) を近似計算することが鍵となります。空気中（屈折率1.0）では、経路差と光路差は等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 経路差の近似: \(l \gg d\) のとき、S₁とS₂から点Pに向かう光はほぼ平行とみなせます。このとき、2つの光の経路差は \(d\sin\theta\) と表せます（\(\theta\)は点Pの方向角）。
• 角度の近似: \(l \gg x\) のとき、角度\(\theta\)は非常に小さいため、\(\sin\theta \approx \tan\theta\) という近似が成り立ちます。
• 光路差と経路差: 空気中なので、光路差 = 経路差となります。

具体的な解説と立式
スリットS₁、S₂からスクリーン上の点Pまでの経路をそれぞれ\(S_1P\)、\(S_2P\)とします。このときの経路差は \(S_2P – S_1P\) です。
点Pの方向を、スリットの中心から見た角度\(\theta\)で表します。
条件 \(l \gg d\) より、2つの光線は平行とみなせるため、経路差は図のように \(d\sin\theta\) と近似できます。
$$ S_2P – S_1P \approx d\sin\theta \quad \cdots ① $$
また、条件 \(l \gg x\) より、角度\(\theta\)は非常に小さいので、\(\sin\theta\) は \(\tan\theta\) で近似できます。
図より、\(\tan\theta = \displaystyle\frac{x}{l}\) なので、
$$ \sin\theta \approx \tan\theta = \frac{x}{l} \quad \cdots ② $$
空気の屈折率は1.0なので、光路差は経路差に等しくなります。①、②より、求める光路差は
$$ \text{光路差} = d\sin\theta \approx d \cdot \frac{x}{l} $$

上記の立式より、光路差は次のように計算されます。
$$ \text{光路差} = \frac{dx}{l} \text{ [m]} $$
これは、この後の設問で繰り返し使用する基本的な関係式です。

2つのスリットからスクリーン上のある一点までの「距離の差」を求めます。スクリーンがスリットから非常に遠く、スリットの間隔がとても狭いので、複雑な計算をしなくても、簡単な三角形の辺の比の関係（三角比）を使って、この距離の差を「\(d \times x \div l\)」というシンプルな形で表すことができます。

スクリーン上の点Pにおける光路差は \(\displaystyle\frac{dx}{l}\) [m] です。この式は、点Pが中心Oから離れるほど（\(x\)が大きくなるほど）、光路差も大きくなることを示しており、物理的に妥当です。

問(2) 干渉縞の明線の間隔 \(\Delta x\)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた光路差を使い、光が強め合う「明線」の条件を考えます。明線がどの位置\(x\)に現れるかを式で表し、隣り合う明線の位置の差を計算することで、明線の間隔\(\Delta x\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 明線の条件: 2つの光の光路差が、波長\(\lambda\)の整数倍になるとき、光は同位相で重なり強め合います。すなわち、光路差 = \(m\lambda\) （ここで\(m=0, 1, 2, \dots\)は整数で、干渉の次数と呼ばれます）。
• 間隔の計算: \(m\)番目の明線の位置を\(x_m\)、その隣の\((m+1)\)番目の明線の位置を\(x_{m+1}\)として、その差 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) を計算します。

具体的な解説と立式
(1)で求めた光路差 \(\displaystyle\frac{dx}{l}\) が、明線の条件を満たすとき、
$$ \frac{dx}{l} = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ③ $$
この式を\(x\)について解くと、\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)がわかります。
$$ x_m = m \frac{l\lambda}{d} $$
明線の間隔\(\Delta x\)は、隣り合う明線の位置の差なので、\((m+1)\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)と\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)の差として求められます。
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m $$

\(m\)番目と\((m+1)\)番目の明線の位置は、それぞれ
$$ x_m = m \frac{l\lambda}{d} $$
$$ x_{m+1} = (m+1) \frac{l\lambda}{d} $$
よって、明線の間隔\(\Delta x\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \\[2.0ex] &= (m+1) \frac{l\lambda}{d} – m \frac{l\lambda}{d} \\[2.0ex] &= \left( (m+1) – m \right) \frac{l\lambda}{d} \\[2.0ex] &= \frac{l\lambda}{d} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

明るい線が現れる場所は、(1)で求めた「距離の差」が、光の波長のちょうど1倍, 2倍, 3倍, …になる点です。この条件から、明るい線が現れる位置を計算できます。その結果、明るい線はスクリーン上に等間隔で並ぶことがわかり、その「間隔」を計算します。

明線の間隔は \(\Delta x = \displaystyle\frac{l\lambda}{d}\) [m] です。この式は、波長\(\lambda\)が長いほど、またスリット間隔\(d\)が狭いほど、干渉縞の間隔が広がることを示しており、実験結果とも一致する妥当な結論です。

問(3) 薄膜を置いたときの中央明線のずれの方向と大きさ \(x_0\)

思考の道筋とポイント
スリットS₁の前に屈折率\(n\)の薄膜を置くと、S₁を通る光は空気中を進む場合に比べて光路長が変化します。この変化により、光路差が0となる「中央明線」の位置が、もとの原点Oからずれます。新しい中央明線の位置をO’（座標\(x_0\)）とし、S₁からO’への光路長とS₂からO’への光路長が等しくなる、という条件から\(x_0\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 光路長の変化: 厚さ\(a\)、屈折率\(n\)の媒質中の光路長は\(na\)です。一方、空気中（屈折率1.0）の同じ厚さ\(a\)の部分の光路長は\(1 \times a\)です。したがって、薄膜を置くことでS₁を通る光の光路長は、\(na – a = (n-1)a\)だけ長くなります。
• 中央明線の定義: 中央明線とは、2つのスリットからの光路差が0になる点です。

具体的な解説と立式
新しい中央明線の位置をO’、その座標を\(x_0\)とします。
中央明線の条件は、S₁からO’への光路長とS₂からO’への光路長が等しくなることです。
S₁からO’への光路長は、経路S₁O’のうち、厚さ\(a\)の部分が薄膜に置き換わったものと考えます。
光路長(S₁ \(\rightarrow\) O’) = (経路長 S₁O’ – \(a\)) \(\times 1.0 + na\) = S₁O’ + \((n-1)a\)
S₂からO’への光路長は、すべて空気中なので経路長S₂O’に等しいです。
光路長(S₂ \(\rightarrow\) O’) = 経路長 S₂O’
中央明線の条件より、
$$ \text{光路長(S₁ }\rightarrow\text{ O’)} = \text{光路長(S₂ }\rightarrow\text{ O’)} $$
$$ S_1O’ + (n-1)a = S_2O’ $$
これを変形すると、O’における経路差がわかります。
$$ S_2O’ – S_1O’ = (n-1)a \quad \cdots ④ $$
一方、(1)で求めた近似式より、座標\(x_0\)の点における経路差は \(\displaystyle\frac{dx_0}{l}\) と表せます。
$$ S_2O’ – S_1O’ = \frac{dx_0}{l} \quad \cdots ⑤ $$
④と⑤から、\(x_0\)を求める式が得られます。

④式と⑤式を等しいとおきます。
$$ \frac{dx_0}{l} = (n-1)a $$
この式を\(x_0\)について解くと、
$$ x_0 = \frac{(n-1)al}{d} \text{ [m]} $$
屈折率\(n\)は1より大きいので、\((n-1) > 0\)となり、\(x_0 > 0\)です。これは、中央明線がスクリーン上向き（\(x\)の正の方向）にずれることを意味します。

S₁の前にガラス板のような薄膜を置くと、S₁を通る光は少し「足止め」を食らうような状態になります（専門的には位相が遅れます）。この遅れを取り戻すように、2つの光のスタートラインを揃えるため、中央の明るい線は、もともとS₁に近かった側、つまりスクリーン上方に移動します。その移動距離を計算します。

中央明線は、上向きに \(\displaystyle\frac{(n-1)al}{d}\) [m] ずれます。
S₁を通る光の光路長が増加したため、S₁からの幾何学的な経路のほうが短くなる上方へ移動してその増加分を打ち消すことで、全体の光路差が0になるという結果は物理的に妥当です。

問(4) (3)の条件を満たす薄膜の厚さ \(a\)

思考の道筋とポイント
問題文の「(3)の位置のずれは干渉縞の間隔の2倍であった」という条件を数式で表現します。(3)で求めたずれの大きさ\(x_0\)と、(2)で求めた明線間隔\(\Delta x\)の関係式を立て、未知数である薄膜の厚さ\(a\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 問題文の条件の立式: \(x_0 = 2 \Delta x\)
• 代入と計算: (2), (3)で求めた式を代入し、\(a\)について解きます。

具体的な解説と立式
問題文の条件は、
$$ x_0 = 2 \Delta x $$
(2)で求めた \(\Delta x = \displaystyle\frac{l\lambda}{d}\) と、(3)で求めた \(x_0 = \displaystyle\frac{(n-1)al}{d}\) をこの式に代入します。
$$ \frac{(n-1)al}{d} = 2 \times \frac{l\lambda}{d} \quad \cdots ⑦ $$

⑦式の両辺に \(\displaystyle\frac{d}{l}\) を掛けると、\(d\)と\(l\)が消去できます。
$$ (n-1)a = 2\lambda $$
この式を\(a\)について解きます。
$$ a = \frac{2\lambda}{n-1} $$
与えられた数値 \(\lambda = 4.0 \times 10^{-7}\) [m]、\(n = 1.2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{2 \times (4.0 \times 10^{-7})}{1.2 – 1} \\[2.0ex] &= \frac{8.0 \times 10^{-7}}{0.2} \\[2.0ex] &= \frac{8.0}{0.2} \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 40 \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^{-6} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

(2)で計算した「明るい線の間隔」と、(3)で計算した「中央の線がずれた距離」を使います。問題文に「ずれた距離が、間隔のちょうど2倍だった」と書かれているので、その通りに数式を立てます。すると、薄膜の厚さ\(a\)だけが分からない方程式になるので、それを解いて答えを求めます。

薄膜の厚さは \(a = 4.0 \times 10^{-6}\) [m] です。計算過程に問題はなく、物理的に妥当な値です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差の近似式 \(\displaystyle\frac{dx}{l}\):
  • 核心: ヤングの干渉実験において、スクリーンがスリットから十分に遠い(\(l \gg d, l \gg x\))という条件下では、2つのスリットからの光の経路差は \(\displaystyle\frac{dx}{l}\) という非常にシンプルな形で近似できること。これが干渉縞の位置を計算するすべての出発点となります。
  • 理解のポイント: この近似は、三平方の定理を使って厳密な経路差を計算し、二項定理で近似することで導出されますが、結果として「経路差はスクリーン上の座標\(x\)に比例する」という関係を覚えておくことが重要です。
• 光路長と位相の変化:
  • 核心: 光が屈折率\(n\)の媒質中を距離\(d\)進むとき、その「光学的距離」である光路長は\(nd\)となります。これは、真空中を進む光に比べて位相がどれだけ余分に変化するか（遅れるか）を表す量です。
  • 理解のポイント: この問題では、S₁の前に薄膜を置くことで、S₁を通る光の光路長だけが \((n-1)a\) 増加します。この「追加の光路差」が、干渉縞全体をずらす原因となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 回折格子: 多数のスリット（回折格子）による干渉でも、基本的な光路差の考え方(\(d\sin\theta\))と干渉条件(\(d\sin\theta = m\lambda\))は全く同じです。
  • 薄膜の干渉: シャボン玉や水に浮いた油膜が色づいて見える現象。この場合は、膜の表面で反射する光と裏面で反射する光の干渉を考えます。光路差の計算方法は異なりますが、「光路長」と「位相の変化（固定端反射）」を考慮する点で本質は同じです。
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いたときに見える同心円状の干渉縞。レンズとガラスの間の空気層の厚さが場所によって変わるため、干渉条件が変化します。これも光路差の応用問題です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 近似条件の確認: まず問題文で「\(l \gg d\)」のような近似が使えるかを確認します。これが使えるなら、光路差の計算は \(\displaystyle\frac{dx}{l}\) で済みます。
  2. 光路が変化する要因の特定: この問題では「薄膜の挿入」が光路を変化させる要因でした。他の問題では「光源をずらす」「装置全体を水に沈める」などのパターンがあります。どの部分の光路長がどう変化するのかを正確に把握することが第一歩です。
  3. 「中央明線」の定義を思い出す: 中央明線とは「光路差が0になる点」です。この定義に立ち返れば、どんな複雑な状況でも、立式の方針がぶれることはありません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 経路差と光路差の混同:
  • 誤解: 薄膜を置いた後も、幾何学的な経路差 \(S_2P – S_1P\) だけで干渉条件を考えてしまう。
  • 対策: 「干渉は位相で決まる」と常に意識すること。媒質が異なれば、同じ距離でも位相の変化量が異なります。そのため、必ず「光路長（= 屈折率 × 経路長）」で比較する習慣をつけましょう。
• 光路長の変化分の符号ミス:
  • 誤解: 薄膜を置いたことで光路長が \((n-1)a\) 変化することを、全体の光路差の式に足すのか引くのかで混乱する。
  • 対策: (別解で示したように)全体の光路差を一つの式で立てるのが有効です。例えば「(S₂からの光路長) – (S₁からの光路長)」と決めたら、S₁側の光路長は \(S_1P + (n-1)a\) となるので、全体の光路差は \((S_2P) – (S_1P + (n-1)a) = \frac{dx}{l} – (n-1)a\) となり、符号ミスが防げます。
• ずれの方向の間違い:
  • 誤解: S₁側に薄膜を置いたのに、中央明線が下（S₂側）にずれると考えてしまう。
  • 対策: 「光は遅れた分を取り戻そうとする」とイメージしましょう。S₁の光が薄膜で遅れるので、幾何学的な距離が短い側（スクリーン上方）へ移動することで、S₂の光と同時にゴール（位相が揃う）できるようになります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 波面の移動イメージ: スリットS₁とS₂から同位相で出た波の「波面」がスクリーンに向かって進む様子をイメージします。S₁の前に薄膜があると、S₁から出た波面だけが進むのが遅くなります。その結果、スクリーンに到達する頃には、S₁側の波面がS₂側の波面より遅れた状態になります。この「波面のズレ」を補正するために、干渉縞全体がスクリーン上方に移動する、と捉えることができます。
  • 光路差のグラフ化: 横軸にスクリーン上の位置\(x\)、縦軸に光路差をとったグラフを考えます。薄膜がない場合、光路差は \(\frac{dx}{l}\) なので、原点を通る直線になります。薄膜をS₁側に置くと、光路差は \(\frac{dx}{l} – (n-1)a\) となり、グラフ全体が縦軸の負の方向に \((n-1)a\) だけ平行移動します。このグラフが横軸と交わる点（光路差=0）が新しい中央明線の位置\(x_0\)であり、グラフからずれの方向と大きさが一目瞭然となります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 光路差の作図: \(l \gg d\) の近似を使う場合、S₁からS₂Pに垂線を下ろし、その足までの距離が経路差 \(d\sin\theta\) になるという標準的な作図を正確に描けるようにしましょう。
  • 薄膜の影響の図示: 薄膜がある場合、S₁から出る光の波長が短くなる（\(\lambda’ = \lambda/n\)）かのように図示すると、位相の遅れを視覚的に理解しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路差の近似式 \(\Delta L \approx \displaystyle\frac{dx}{l}\):
  • 選定理由: ヤングの実験のように、スクリーンが遠いという典型的な設定における経路差を、複雑な平方根の計算なしに求めるための、最も強力で基本的な公式だからです。
  • 適用根拠: \(l \gg d, l \gg x\) という条件が問題文で与えられている（または読み取れる）ため、この近似は十分な精度を持ちます。この条件がない場合は、三平方の定理で厳密に計算する必要があります。
• 光路長 \(L = nd\):
  • 選定理由: 異なる媒質中の光の進みを、真空中の進みと等価な「ものさし」で比較するための、普遍的な概念だからです。干渉は位相の揃い具合で決まるため、幾何学的な距離ではなく、位相の変化量を表す光路長で考えなければなりません。
  • 適用根拠: 光の位相が、媒質中では屈折率\(n\)に比例して速く変化するという実験事実に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 基本の光路差:
   • 戦略: 近似公式を適用する。
   • フロー: ①経路差 \(\approx d\sin\theta\) → ②\(\sin\theta \approx \tan\theta = x/l\) → ③光路差 = 経路差 = \(\displaystyle\frac{dx}{l}\)。
2. (2) 明線間隔:
   • 戦略: 明線条件を立て、隣り合う次数の差をとる。
   • フロー: ①光路差 = \(m\lambda\) として \(x_m\) を求める → ②\(x_{m+1}\) を求める → ③\(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) を計算。
3. (3) 中央明線のずれ:
   • 戦略: 「新しい中央明線では、S₁からとS₂からの光路長が等しい」という定義から立式する。
   • フロー: ①S₁側の光路長を「経路長 + 薄膜による増加分」で表す → ②S₂側の光路長と等しいとおく → ③式を整理すると「経路差 = 薄膜による増加分」という関係が導かれる → ④経路差に近似式を代入して\(x_0\)を解く。
4. (4) 厚さの計算:
   • 戦略: 問題文の条件を素直に数式にする。
   • フロー: ①\(x_0 = 2\Delta x\) と立式 → ②(2)と(3)の結果を代入 → ③\(a\)について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま進める: (4)の計算のように、途中で数値を代入すると計算が煩雑になります。まずは \(x_0 = 2\Delta x\) のように文字式のまま関係を整理し、\((n-1)a = 2\lambda\) というシンプルな関係式を導いてから、最後に数値を代入しましょう。これにより、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が[m]になっているかを確認する癖をつけましょう。
• 分数の計算: (4)の最後の計算 \(\displaystyle\frac{8.0 \times 10^{-7}}{0.2}\) では、分母を \(2 \times 10^{-1}\) と考えて、\(\displaystyle\frac{8.0}{2} \times \frac{10^{-7}}{10^{-1}} = 4.0 \times 10^{-6}\) のように、指数部分と係数部分を分けて計算すると確実です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) ずれの方向: S₁側に薄膜（屈折率\(n>1\)）を置くと、S₁の光の位相が遅れます。これを補償するには、幾何学的な経路が短いS₁側に中央明線がずれる必要があります。スクリーン上方（\(x>0\)）にずれるという結果は妥当です。
  • (3) ずれの大きさ: ずれの大きさ \(x_0 = \displaystyle\frac{(n-1)al}{d}\) は、薄膜の厚さ\(a\)や屈折率\(n\)が大きいほど大きくなることを示しています。これは、光の遅れが大きいほど、より大きくずれて補償する必要があるという直観に合致します。
  • (4) 厚さa: 計算結果が極端に大きい、または小さい値になっていないかを確認します。\(10^{-6}\) m = 1 \(\mu\)m オーダーは、光の波長（サブミクロン）に対して物理的に妥当な厚さです。
• 別解との比較:
  • (3)の主たる解法（中央明線の定義から直接求める）と別解（一般式を立ててから求める）は、アプローチが異なりますが、同じ結果に至りました。これは、どちらの考え方も正しく、計算も正確であることを裏付けています。問題に応じて、より考えやすい方のアプローチを選択できると理想的です。

354 回折格子

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、多数のスリットからなる「回折格子」による光の干渉を扱います。特に、光が回折格子に斜めに入射する場合の干渉条件を正しく立式できるかが問われます。ヤングの実験との違いは、スリットの数が多いことと、スクリーンではなく角度で干渉を考える点ですが、光路差を計算する基本的な考え方は共通しています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子における光の干渉」です。特に、光が斜めに入射する場合の光路差の扱いが最大のポイントです。

問(1) 垂直入射のときの明線の条件式

思考の道筋とポイント
入射光が回折格子に垂直に当たる(\(\theta_0=0\))、最も基本的な状況です。このとき、すべてのスリットに光は同位相で到達します。したがって、光路差は回折格子を通過した後にのみ生じます。隣り合うスリットから角度\(\theta\)の方向へ進む光の光路差を幾何学的に求め、明線の条件式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 垂直入射: \(\theta_0=0\)なので、入射前の光路差は0です。
• 回折後の光路差: 隣り合うスリットから角度\(\theta\)の方向へ進む光の光路差は、ヤングの実験と同様に\(d\sin\theta\)と表せます。
• 明線の条件: 光路差が波長の整数倍(\(m\lambda\))になることです。

具体的な解説と立式
入射光が回折格子に垂直に入射するため、各スリットに光が到達する時点では位相が揃っています（入射前の光路差は0）。
回折格子を通過した後、角度\(\theta\)の方向に進む隣り合う光について考えます。図を描くと、2つの光の経路差（光路差）は\(d\sin\theta\)となることがわかります。
光が強め合う明線の条件は、この光路差が波長\(\lambda\)の整数\(m\)倍になることなので、
$$ d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) $$
この式を\(\sin\theta\)について解くと、求める関係式が得られます。

上記の式を\(\sin\theta\)について解きます。
$$ \sin\theta = \frac{m\lambda}{d} $$

たくさんのすき間（スリット）がある板に、まっすぐ正面から光を当てます。すき間を通った光は様々な方向に広がりますが、特定の方向では光が強く見えます（明線）。これは、隣のすき間から来た光との「距離の差」が、波長のちょうど1倍、2倍、…になっているためです。この条件を数式で表します。

垂直入射の場合、明線ができる方向\(\theta\)は \(\sin\theta = \displaystyle\frac{m\lambda}{d}\) で与えられます。これは回折格子の最も基本的な公式です。\(m=0\)のとき\(\theta=0\)となり、これは回折格子の正面に最も明るい中央の明線ができることを意味し、物理的に妥当です。

問(2) 斜め入射のときの明線の条件式

思考の道筋とポイント
この問題の核心部分です。光が角度\(\theta_0\)で斜めに入射する場合、回折格子に到達する前の段階で、すでに隣り合う光には経路差が生じています。全体の光路差は、「回折後の経路差」と「入射前の経路差」の差（または和）として考える必要があります。波面を基準に考えるのが最も明快です。

この設問における重要なポイント

• 入射前の経路差: 図1や解説図のように、入射光の波面を考えると、隣り合うスリットに到達する光には\(d\sin\theta_0\)の経路差が生じています。
• 回折後の経路差: 回折後、角度\(\theta\)の方向に進む光には\(d\sin\theta\)の経路差が生じます。
• 全体の光路差: 一方の光（光B）は、もう一方の光（光A）に比べて、入射前は\(d\sin\theta_0\)だけ余分に進む必要があり、回折後は\(d\sin\theta\)だけ短い距離を進みます。したがって、全体の経路差は \(d\sin\theta – d\sin\theta_0\) となります。

具体的な解説と立式
解説の図のように、入射前の波面と回折後の波面を考えます。
隣り合うスリットに向かう光Aと光Bを比較します。
光Bは光Aに比べて、回折格子に到達するまでに \(d\sin\theta_0\) だけ長い距離を進む必要があります。
一方、回折格子を通過した後、角度\(\theta\)の方向の波面に到達するまでには、光Bは光Aに比べて \(d\sin\theta\) だけ短い距離を進みます。
波面上の位相は等しいので、2つの光の間の全体の光路差は、これらの差で与えられます。
$$ \text{光路差} = d\sin\theta – d\sin\theta_0 $$
明線ができる条件は、この光路差が波長の整数倍になることなので、
$$ d\sin\theta – d\sin\theta_0 = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) $$
この式を\(\sin\theta\)について解くと、求める関係式が得られます。

上記の式を\(\sin\theta\)について解きます。
$$ d\sin\theta = d\sin\theta_0 + m\lambda $$
$$ \sin\theta = \sin\theta_0 + \frac{m\lambda}{d} $$

今度は、光を斜めから当てます。すると、すき間に光が届く前の段階で、すでにお隣さんとの間には「距離の差」が生まれています。すき間を通った後にも、進む方向によって新たな「距離の差」が生まれます。この「入射前の差」と「回折後の差」を合わせたものが、全体の距離の差になります。この全体の差が波長の整数倍になるという条件を数式にします。

斜め入射の場合の明線の条件は \(\sin\theta = \sin\theta_0 + \displaystyle\frac{m\lambda}{d}\) となります。この式は、垂直入射の式 \(\sin\theta = \displaystyle\frac{m\lambda}{d}\) に \(\sin\theta_0\) の項が加わった形をしており、入射角\(\theta_0\)の影響が干渉縞全体をシフトさせる効果を持つことがわかります。

問(3) (2)における\(m=0\)の明線と入射光のなす角

思考の道筋とポイント
(2)で導いた一般式に、\(m=0\)という条件を代入します。\(m=0\)は「0次光」や「中央明線」と呼ばれる、光路差が0になる特別な明線を指します。得られた結果から、\(m=0\)の明線が進む方向\(\theta\)と、入射光の方向\(\theta_0\)の関係を読み取ります。

この設問における重要なポイント

• \(m=0\)の代入: (2)の式に\(m=0\)を代入するだけです。
• 物理的解釈: 得られた \(\sin\theta = \sin\theta_0\) という関係が、物理的に何を意味するのかを考えます。

具体的な解説と立式
(2)で求めた式に\(m=0\)を代入します。
$$ \sin\theta = \sin\theta_0 + \frac{0 \cdot \lambda}{d} $$
$$ \sin\theta = \sin\theta_0 $$
角度の範囲を考えると、これは \(\theta = \theta_0\) を意味します。
これは、\(m=0\)の明線が、入射光がそのまま直進した方向（入射角と回折角が等しい）に現れることを示しています。
したがって、入射光の進行方向と\(m=0\)の明線ができる方向とのなす角は0°です。

立式と同時に計算は完了しています。
\(\theta = \theta_0\) より、なす角は \(\theta – \theta_0 = 0^\circ\) です。

(2)で作った数式で、もし整数\(m\)が0だったらどうなるか、を考えます。計算すると、明線ができる角度\(\theta\)と、光を入射させた角度\(\theta_0\)が等しくなります。これは、入射した光が全く曲がらずにまっすぐ進んだ方向に、一番明るい線（\(m=0\)の明線）ができる、ということを意味しています。つまり、両者のなす角は0度です。

\(m=0\)の明線は、入射光を反射するかのように、入射角と等しい角度で直進する方向に生じます。これは、光路差が0になる、物理的に最も自然な結果であり、妥当です。

問(4) 具体的な条件下での明線の様子

思考の道筋とポイント
与えられた具体的な数値 \(\theta_0 = 30^\circ\), \(\lambda = 0.4d\) を(2)の条件式に代入し、明線がどの角度\(\theta\)に現れるかを計算します。回折角\(\theta\)は物理的に \(-90^\circ < \theta < 90^\circ\) の範囲に限られるため、\(\sin\theta\) の値は \(-1 < \sin\theta < 1\) の範囲になければなりません。この条件を満たす整数\(m\)の値をすべて見つけ出し、それぞれの\(m\)に対応する\(\sin\theta\)の値を計算して、明線の分布がどのようになるかを判断します。

この設問における重要なポイント

• 数値の代入: (2)の式に \(\theta_0 = 30^\circ\), \(\lambda = 0.4d\) を代入します。
• \(\sin\theta\)の範囲: \(-1 < \sin\theta < 1\) という物理的な制約から、条件を満たす整数\(m\)の範囲を決定します。
• 明線の分布: 求めた\(m\)の値に対応する\(\sin\theta\)の値を計算し、\(\theta>0\)（上方）と\(\theta<0\)（下方）にそれぞれ何本の明線が現れるかを確認します。

具体的な解説と立式
(2)の式に与えられた値を代入します。
$$ \sin\theta = \sin30^\circ + \frac{m(0.4d)}{d} $$
$$ \sin\theta = 0.5 + 0.4m $$
物理的に、回折角\(\theta\)は \(-90^\circ\) から \(+90^\circ\) の範囲しか取り得ないため、\(\sin\theta\) は以下の範囲を満たす必要があります。
$$ -1 < \sin\theta < 1 $$
したがって、整数\(m\)が満たすべき不等式は、
$$ -1 < 0.5 + 0.4m < 1 $$

まず、整数\(m\)の範囲を求めます。
$$ -1 < 0.5 + 0.4m < 1 $$
不等式の各辺から0.5を引きます。
$$ -1.5 < 0.4m < 0.5 $$
各辺を0.4で割ります。
$$ \frac{-1.5}{0.4} < m < \frac{0.5}{0.4} $$
$$ -3.75 < m < 1.25 $$
この範囲に含まれる整数\(m\)は、-3, -2, -1, 0, 1 の5つです。
次に、これらの\(m\)の値に対して\(\sin\theta\)を計算します。

• \(m=1\): \(\sin\theta = 0.5 + 0.4(1) = 0.9\)
• \(m=0\): \(\sin\theta = 0.5 + 0.4(0) = 0.5\) (\(\theta=30^\circ\))
• \(m=-1\): \(\sin\theta = 0.5 + 0.4(-1) = 0.1\)
• \(m=-2\): \(\sin\theta = 0.5 + 0.4(-2) = -0.3\)
• \(m=-3\): \(\sin\theta = 0.5 + 0.4(-3) = -0.7\)

\(\sin\theta > 0\) となるのは \(m=1, 0, -1\) の3本です。
\(\sin\theta < 0\) となるのは \(m=-2, -3\) の2本です。 入射光の方向(\(\theta_0=30^\circ\))に1本(\(m=0\))、それより上方(\(\theta > 30^\circ\))に1本(\(m=1\))、下方(\(\theta < 30^\circ\))に3本(\(m=-1, -2, -3\))の明線が現れます。
図2を見ると、入射光に対して非対称な分布で、上方より下方に多くの明線が現れているのは(ア)です。

(2)で作った数式に、問題で指定された「入射角30度」「波長はすき間隔の0.4倍」という具体的な数字を入れてみます。すると、明線ができる角度\(\theta\)を計算できる式ができます。ただし、角度\(\theta\)は-90度から90度までしかありえないので、この条件に合う整数\(m\)を探します。見つかった\(m\)のそれぞれについて角度を計算すると、光が直進する方向に1本、それより上側に1本、下側に3本の明線ができることがわかります。この様子に最も合う図を選びます。

条件を満たす整数\(m\)は-3から1までの5つであり、明線は合計5本観測されます。その分布は入射方向に対して非対称であり、(ア)の図がこの状況を正しく表しています。計算結果と図の対応も妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜め入射時の光路差の一般式:
  • 核心: 回折格子に光が斜めに入射する場合、全体の光路差は、回折格子を通過した後に生じる光路差(\(d\sin\theta\))から、入射する前に生じていた光路差(\(d\sin\theta_0\))を引いたもの、すなわち \(d(\sin\theta – \sin\theta_0)\) で与えられること。これがこの問題で最も重要な概念です。
  • 理解のポイント: なぜ引き算になるのかを、波面を使って幾何学的に理解することが不可欠です。一方の光が「入射前に長く、回折後に短い」経路を通るため、その差が全体の光路差となります。この関係式さえ立てられれば、あとは明線条件 \((\text{光路差}) = m\lambda\) に当てはめるだけです。
• 干渉次数\(m\)の物理的意味と範囲:
  • 核心: 干渉の次数を表す整数\(m\)は、光路差が波長の何倍かを示す数です。\(m=0\)は光路差が0（直進光）、\(m=\pm 1\)は光路差が\(\pm\lambda\)（1次回折光）を意味します。
  • 理解のポイント: 物理的に観測可能な回折角\(\theta\)は \(-90^\circ < \theta < 90^\circ\) の範囲に限られるため、\(\sin\theta\) の値も \(-1 < \sin\theta < 1\) となります。この制約によって、条件を満たす整数\(m\)の個数が決まり、観測される明線の本数が決定されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • X線の結晶回折（ブラッグの反射）: 結晶格子を一種の立体的な回折格子とみなし、X線が原子の層で反射される際の干渉を考えます。光路差の式は \(2d\sin\theta = m\lambda\) となりますが、入射前の光路差と反射後の光路差を足し合わせるという考え方は本問と共通しています。
  • CDやDVDの虹色: CDの記録面にある微細な溝が回折格子として働き、白色光が当てられると波長ごとに異なる角度に回折されるため、虹色に見えます。これも斜め入射の回折格子の応用例です。
  • アンテナアレイ: 複数のアンテナを並べて電波を送受信する技術。各アンテナからの電波の位相を制御することで、特定の方向に強い電波（ビーム）を形成します。これは、本問の逆問題（特定の方向に明線を作るにはどうすればよいか）と考えることができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 入射角\(\theta_0\)の有無: まず、光が垂直に入射しているか(\(\theta_0=0\))、斜めに入射しているか(\(\theta_0 \neq 0\))を確認します。これが光路差の式を決定する最初の分岐点です。
  2. 波面を描く: 特に斜め入射の場合は、頭の中だけで考えずに、必ず入射前の波面と回折後の波面を図に描き込みましょう。これにより、\(d\sin\theta_0\) と \(d\sin\theta\) の関係が視覚的に明確になり、符号のミスを防げます。
  3. \(\sin\theta\)の範囲を意識する: 明線の本数を問われたら、必ず \(-1 < \sin\theta < 1\) の条件を使い、可能な整数\(m\)の範囲を絞り込む、という手順を思い出しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差の式の符号ミス:
  • 誤解: 斜め入射の光路差を \(d(\sin\theta + \sin\theta_0)\) のように、足し算にしてしまう。
  • 対策: 「基準となる光線（例：光A）に対して、もう一方の光線（光B）の経路がどうなっているか」という視点で考えます。光Bは「入射前は長く(\(+\))、回折後は短い(\(-\))」ので、全体の光路差は \(d\sin\theta – d\sin\theta_0\) となります。常に図を描いて確認する癖をつけましょう。
• \(m=0\)は常に\(\theta=0\)だという思い込み:
  • 誤解: 垂直入射の場合に \(m=0\) が \(\theta=0\) に対応することから、斜め入射でも \(m=0\) の明線は常に正面(\(\theta=0\))にできると考えてしまう。
  • 対策: \(m=0\) は「光路差が0」を意味する、と定義に立ち返ること。斜め入射の場合、光路差が0になるのは \(d\sin\theta – d\sin\theta_0 = 0\)、すなわち \(\theta=\theta_0\) のときです。これは光が直進する方向であり、必ずしも正面ではありません。
• 整数\(m\)の範囲の限定忘れ:
  • 誤解: (4)で \(\sin\theta = 0.5 + 0.4m\) という式を立てた後、\(m\)に際限なく整数を代入してしまい、何本明線ができるか分からなくなる。
  • 対策: 「\(\sin\theta\)は1を超えられないし、-1より小さくもなれない」という物理的な大前提を常に念頭に置くこと。この制約条件を不等式として解くことが、明線の本数を正しく求めるための鍵です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 波面の平行移動イメージ: 入射光の波面が、進行方向に対して垂直な平面であり、それが平行に移動してくるイメージを持ちます。この波面が回折格子に斜めにぶつかることで、各スリットに到達するタイミングがずれる（＝入射前の光路差が生じる）と理解できます。回折後も同様に、広がっていく波の波面を考えることで、回折後の光路差を視覚化できます。
  • 解説図の完全な理解: この問題の解説に示されている図は、斜め入射の光路差を理解するための最も標準的で優れた図です。入射前の経路差 \(d\sin\theta_0\) と回折後の経路差 \(d\sin\theta\) が、それぞれどの直角三角形の辺に対応するのかを、自分で何も見ずに描けるようになるまで練習することが重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度の定義を明確に: \(\theta_0\) と \(\theta\) は、どちらも「回折格子の法線」を基準とした角度です。図を描く際は、まず法線（格子面に垂直な線）を基準線として引くことが大切です。
  • 波面は進行方向と垂直に: 入射波面は入射光の進行方向と垂直に、回折後の波面は回折光の進行方向と垂直に描く、という基本ルールを徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 回折格子の干渉条件 \(d(\sin\theta – \sin\theta_0) = m\lambda\)**:
  • 選定理由: これは、回折格子に光が斜めに入射するという、本問の状況を記述するための最も一般的な基本公式だからです。
  • 適用根拠: ホイヘンスの原理に基づき、各スリットから出る素元波が、特定の方向で同位相で重なり合う（強め合う）条件を、幾何学的な光路差を用いて表現したものです。この式は、光の波動性に基づく普遍的な法則です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 垂直入射:
   • 戦略: 斜め入射の一般式で \(\theta_0=0\) とするか、基本に立ち返り回折後の光路差のみ考える。
   • フロー: ①光路差 = \(d\sin\theta\) → ②明線条件より \(d\sin\theta = m\lambda\) → ③\(\sin\theta\)について解く。
2. (2) 斜め入射:
   • 戦略: 入射前と回折後の両方の経路差を考慮し、全体の光路差を求める。
   • フロー: ①入射前の経路差 \(d\sin\theta_0\) を特定 → ②回折後の経路差 \(d\sin\theta\) を特定 → ③全体の光路差 = \(d\sin\theta – d\sin\theta_0\) を立式 → ④明線条件を適用し、\(\sin\theta\)について解く。
3. (3) \(m=0\)の明線:
   • 戦略: (2)の一般式に\(m=0\)を代入し、結果を解釈する。
   • フロー: ①\(\sin\theta = \sin\theta_0 + 0\) → ②\(\theta = \theta_0\) を導く → ③なす角は0°と結論づける。
4. (4) 具体的な計算:
   • 戦略: 一般式に数値を代入し、\(\sin\theta\)の物理的制約から可能な整数\(m\)の範囲を求める。
   • フロー: ①\(\sin\theta = \sin30^\circ + \frac{m(0.4d)}{d}\) を計算 → ②\(-1 < \sin\theta < 1\) の不等式を立てる → ③不等式を解いて\(m\)の範囲を決定 → ④各\(m\)に対する\(\sin\theta\)の値を求め、明線の分布を判断する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値を正確に: \(\sin30^\circ = 0.5\) のような基本的な三角関数の値は、素早く正確に使えるようにしておきましょう。
• 不等式の計算を丁寧に: (4)で \( -1.5 < 0.4m < 0.5 \) のような不等式を解く際に、割り算の計算ミスや符号の反転ミスをしないように注意が必要です。特に負の数で割る場合は不等号の向きが変わることを忘れないようにしましょう（この問題では発生しませんが）。
• 整数\(m\)の数え上げ: \( -3.75 < m < 1.25 \) の範囲にある整数をリストアップする際、-3, -2, -1, 0, 1 と、端の数を含めて漏れなく数え上げましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2)の式: \(\theta_0=0\) を代入すると、(1)の垂直入射の式 \(\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}\) に戻ることを確認します。これにより、(2)の式がより一般的な式であることが検証できます。
  • (4)の明線の分布: 光を斜め(\(\theta_0=30^\circ\))に入射させているので、干渉縞のパターン全体が、垂直入射のときと比べてずれるはずです。\(m=0\)の光が\(\theta=30^\circ\)の方向に出るなど、非対称な分布になるのは物理的に妥当です。もし対称な分布になったら、計算ミスを疑うべきです。
  • 本数の確認: \(\lambda\)が\(d\)に比べて大きいほど、\(\frac{\lambda}{d}\)の値が大きくなり、\(\sin\theta\)が-1から1の範囲に収まる整数\(m\)の個数は少なくなります。つまり、波長が長いほど、観測される明線の本数は少なくなる、という関係も吟味のポイントになります。

355 マイケルソン干渉計

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、光の干渉を精密に測定する装置「マイケルソン干渉計」がテーマです。一つの光源からの光を二つの経路に分け、再び合成することで干渉縞を作り出します。一方の経路の長さを精密に動かすことで、干渉縞がどのように変化するかを観測し、光の波長などを測定します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「マイケルソン干渉計における光路差と干渉条件」です。

問(1) 波長\(\lambda\)を\(\Delta L\)で表せ。

思考の道筋とポイント
鏡Bを動かしたときの光の強度の変化に着目します。BをHに\(\Delta L\)近づけると最大、初めの位置から\(\Delta L\)遠ざけると最小になった、という情報が鍵です。隣り合う「最大」と「最小」では、光路差が半波長(\(\lambda/2\))だけ異なっていることを利用します。

この設問における重要なポイント

• 光路差の変化: 鏡Bを距離\(x\)だけ動かすと、光は往復するため、光路長は\(2x\)だけ変化します。
• 最大と最小の条件: 強度が最大（強め合い）の点と、隣の最小（弱め合い）の点とでは、光路差が\(\lambda/2\)だけ異なります。
• Bの移動距離: 強度が最大になった位置と最小になった位置とでは、鏡Bは\(\Delta L + \Delta L = 2\Delta L\)だけ動いています。

具体的な解説と立式
鏡Aを通る光の往復距離は\(2L_A\)、鏡Bを通る光の往復距離は\(2L_B\)です。
したがって、2つの光の光路差は \(2(L_B – L_A)\) です。

問題文より、Bを\(\Delta L\)だけHに近づけた位置（Hからの距離 \(L_B-\Delta L\)）で、光の強度は最大になりました。
このときの光路差は \(2\{(L_B-\Delta L) – L_A\}\) です。
また、Bを\(\Delta L\)だけHから遠ざけた位置（Hからの距離 \(L_B+\Delta L\)）で、光の強度は最小になりました。
このときの光路差は \(2\{(L_B+\Delta L) – L_A\}\) です。

強度が最大となる光路差と、隣り合う最小となる光路差の差は\(\lambda/2\)なので、
$$ 2\{(L_B+\Delta L) – L_A\} – 2\{(L_B-\Delta L) – L_A\} = \frac{\lambda}{2} $$

上記で立てた式の左辺を計算します。
$$
\begin{aligned}
&2(L_B+\Delta L – L_A) – 2(L_B-\Delta L – L_A) \\[2.0ex] &= 2(L_B – L_A + \Delta L – L_B + L_A + \Delta L) \\[2.0ex] &= 2(2\Delta L) \\[2.0ex] &= 4\Delta L
\end{aligned}
$$
したがって、次の関係が成り立ちます。
$$ 4\Delta L = \frac{\lambda}{2} $$
これを\(\lambda\)について解くと、
$$ \lambda = 8\Delta L $$

鏡を動かすと、明るくなったり暗くなったりします。一番明るい場所と、その隣の一番暗い場所とでは、光の「往復距離の差」が、波長の半分だけ違っています。問題文から、一番明るい場所と一番暗い場所の「鏡の位置の差」は\(2\Delta L\)だとわかります。鏡の位置が\(2\Delta L\)違うと、光の往復距離の差は\(4\Delta L\)になります。この\(4\Delta L\)が波長の半分に等しい、という式を立てて波長を計算します。

波長\(\lambda\)は\(8\Delta L\)と表せます。鏡のわずかな動き\(\Delta L\)を測定することで、目に見えない光の波長を求められるのが干渉計の原理であり、妥当な結果です。

問(2) \(L_B – L_A\)を入と\(\Delta\lambda\)で表せ。

思考の道筋とポイント
「波長\(\lambda\)のとき」と「波長\(\lambda+\Delta\lambda\)のとき」の2つの状況について、それぞれ強め合い（最大強度）の条件式を立てます。この2つの式を連立させて、未知数である干渉の次数\(m\)を消去し、\(L_B-L_A\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 状況1 (波長\(\lambda\)): Bを\(\Delta L\)だけHに近づけた位置(\(L_B-\Delta L\))で強度が最大になる。
• 状況2 (波長\(\lambda+\Delta\lambda\)): 初期の位置(\(L_B\))で強度が最大になる。
• 次数m: 2つの状況で、対応する干渉の次数\(m\)は同じであると考えます。

具体的な解説と立式
状況1について、強め合いの条件式を立てます。
光路差が波長の整数\(m\)倍になるとき強度が最大になるので、
$$ 2\{(L_B-\Delta L) – L_A\} = m\lambda \quad \cdots ① $$
状況2について、同様に強め合いの条件式を立てます。
$$ 2(L_B – L_A) = m(\lambda+\Delta\lambda) \quad \cdots ② $$
①式を変形すると、
$$ 2(L_B – L_A) = m\lambda + 2\Delta L $$
ここで、(1)の結果 \(\lambda = 8\Delta L\) より \(2\Delta L = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) なので、
$$ 2(L_B – L_A) = m\lambda + \frac{\lambda}{4} = \left(m+\frac{1}{4}\right)\lambda \quad \cdots ③ $$
②と③はどちらも\(2(L_B-L_A)\)を表しているので、等しいとおきます。
$$ \left(m+\frac{1}{4}\right)\lambda = m(\lambda+\Delta\lambda) $$

まず、次数\(m\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
m\lambda + \frac{\lambda}{4} &= m\lambda + m\Delta\lambda \\[2.0ex] \frac{\lambda}{4} &= m\Delta\lambda \\[2.0ex] m &= \frac{\lambda}{4\Delta\lambda}
\end{aligned}
$$
次に、この\(m\)を②式に代入して\(L_B-L_A\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
L_B – L_A &= \frac{1}{2} m(\lambda+\Delta\lambda) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \left(\frac{\lambda}{4\Delta\lambda}\right) (\lambda+\Delta\lambda) \\[2.0ex] &= \frac{\lambda}{8\Delta\lambda}(\lambda+\Delta\lambda) \\[2.0ex] &= \frac{\lambda^2}{8\Delta\lambda} + \frac{\lambda\Delta\lambda}{8\Delta\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{\lambda^2}{8\Delta\lambda} + \frac{\lambda}{8} \\[2.0ex] &= \frac{\lambda}{8}\left(\frac{\lambda}{\Delta\lambda} + 1\right)
\end{aligned}
$$

「元の波長の光では、鏡を\(\Delta L\)動かすと一番明るくなった」という情報と、「少しだけ波長を変えた光では、鏡を動かさなくても一番明るかった」という2つの情報を数式にします。これらの数式を組み合わせる（連立方程式を解く）ことで、2つの鏡の腕の長さの初期の差\(L_B-L_A\)を計算することができます。

初期の腕の長さの差は \(L_B – L_A = \displaystyle\frac{\lambda}{8}\left(1+\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\right)\) と表せます。波長に関する情報から、巨視的な長さの差が求められることを示す式です。

問(3) 比 \(\displaystyle\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\) を求めよ。

思考の道筋とポイント
鏡Bを初期位置\(L_B\)から\(L_A\)まで動かす間に、光の強さが250回最小になったという情報を数式化します。この情報から、(2)で導入した干渉の次数\(m\)の値を特定し、(2)の計算過程で得られた関係式に代入することで、\(\displaystyle\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\)の値を求めます。

この設問における重要なポイント

• 経路差の変化: Bを\(L_B\)から\(L_A\)まで動かすと、経路差は\(2(L_B-L_A)\)から0まで変化します。変化量は\(2(L_B-L_A)\)です。
• 最小値の回数: 弱め合い（最小値）の条件は、光路差 = \((k+1/2)\lambda\)（\(k\)は0以上の整数）です。経路差が\(2(L_B-L_A)\)から0に減少する間に、この条件を満たす点が250個あったことを意味します。
• 次数mの特定: 上記の条件から、初期状態の経路差\(2(L_B-L_A)\)がどの範囲にあるべきかを絞り込み、(2)で求めた式と照らし合わせることで、整数\(m\)の値をただ一つに決定します。

具体的な解説と立式
鏡Bを初期位置\(L_B\)から\(L_A\)まで動かすと、光路差は \(2(L_B-L_A)\) から 0 まで連続的に減少します。
この間に、光の強さが250回最小になった、すなわち弱め合いの条件を満たしたことになります。
弱め合いの条件は、光路差が \((k+\frac{1}{2})\lambda\) （\(k=0, 1, 2, \dots\)）となるときです。
経路差が0に近づく過程で、\(k=249, 248, \dots, 1, 0\) に対応する最小値を250回通過したことになります。
したがって、初期の光路差 \(2(L_B-L_A)\) は、250番目の最小値（\(k=249\)）の光路差よりは大きく、251番目の最小値（\(k=250\)）の光路差以下である必要があります。
$$ \left(249+\frac{1}{2}\right)\lambda < 2(L_B-L_A) \le \left(250+\frac{1}{2}\right)\lambda $$
$$ 249.5\lambda < 2(L_B-L_A) \le 250.5\lambda $$
ここで、(2)の計算過程で得られた式③ \(2(L_B-L_A) = \left(m+\frac{1}{4}\right)\lambda\) を代入します。
$$ 249.5\lambda < \left(m+\frac{1}{4}\right)\lambda \le 250.5\lambda $$
両辺を\(\lambda\)で割り、\(m\)についての不等式を解きます。
$$ 249.5 < m+0.25 \le 250.5 $$
$$ 249.25 < m \le 250.25 $$
\(m\)は整数なので、この条件を満たす\(m\)は \(m=250\) しかありません。

(2)の計算過程で、\(m\)と\(\lambda, \Delta\lambda\)の関係式 \(m = \displaystyle\frac{\lambda}{4\Delta\lambda}\) を導出しています。
この式に、上で特定した \(m=250\) を代入します。
$$ 250 = \frac{\lambda}{4\Delta\lambda} $$
この式を \(\displaystyle\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\) について解くと、
$$ \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = 250 \times 4 = 1000 $$

鏡をスタート地点からゴール地点まで動かす間に、光が250回暗くなった、という情報を使います。この「250回」という回数から、スタート地点での光の「ズレ具合」（専門的には干渉の次数\(m\)）が、ちょうど「250」に相当することが分かります。(2)の計算では、この「ズレ具合\(m\)」と波長に関する量の関係式をすでに求めているので、そこに\(m=250\)を代入すれば、答えが求まります。

比 \(\displaystyle\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\) の値は1000です。これは、元の波長\(\lambda\)に対して、波長の変化\(\Delta\lambda\)が1000分の1と非常に小さいことを意味します。干渉計が非常に精密な測定を可能にすることを示す、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差と干渉条件の精密な適用:
  • 核心: マイケルソン干渉計の光路差は、2つの腕の長さの差の2倍、すなわち \(2(L_B-L_A)\) で与えられます。この光路差が、強め合いの条件 \(m\lambda\) や弱め合いの条件 \((m+1/2)\lambda\) を満たすことで、干渉が起こります。この基本を様々な状況（鏡を動かす、波長を変える）に的確に適用することが全ての鍵です。
  • 理解のポイント: 鏡を\(\Delta L\)動かすと、光は往復するので光路差は\(2\Delta L\)変化します。この「2倍」を忘れないことが極めて重要です。
• 干渉の次数\(m\)の物理的意味:
  • 核心: 次数\(m\)は、単なる計算上の整数ではなく、「光路差が波長の何倍か」を示す物理量です。異なる条件下でも、同じ強め合い（または弱め合い）の状態を議論している場合は、この次数\(m\)が同じ値として扱えることがあります（問2）。また、干渉縞の移動回数から、この次数を特定することもできます（問3）。
  • 理解のポイント: \(m\)は非常に大きな整数になることもあり、初期状態の光路差が波長の何千倍にもなる状況を表します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 薄膜の干渉: 膜の厚さを変えたり、入射する光の波長を変えたりしたときの干渉条件の変化を問う問題。光路差の計算方法は異なりますが、条件式を立てて連立させる思考プロセスは共通しています。
  • ニュートンリング: レンズを押し込んで空気層の厚さを変えたときに、中心の暗点が広がったり、リングが移動したりする回数を数える問題。これも干渉の次数の変化を数える問題であり、本問(3)と考え方が似ています。
  • ドップラー効果との融合: 鏡Bを一定の速さで動かした場合、反射光の波長がドップラー効果で変化します。これにより、検出器で観測される光はうなりを生じます。このうなりの振動数を問う問題は、発展的な応用例です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 光路差の式を確定させる: まず、どの経路とどの経路の差を考えるのかを明確にし、光路差の式（この問題では\(2(L_B-L_A)\)）を立てます。往復経路の「2倍」を忘れないように注意します。
  2. 変化するパラメータを特定する: 問題文で何が変化しているのか（鏡の位置\(L_B\)、波長\(\lambda\)など）を正確に把握します。
  3. 「最大」「最小」「N回」の意味を数式に変換する: 「最大」なら光路差=\(m\lambda\)、「最小」なら光路差=\((m+1/2)\lambda\)、「N回変化した」なら経路差の変化量が\(N \times \lambda/2\)（最大・最小の変化）や\(N \times \lambda\)（同じ状態の変化）に対応する、といったように、日本語の表現を物理の数式に翻訳する作業が重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差の「2倍」忘れ:
  • 誤解: 光路差を\(L_B-L_A\)、鏡を\(\Delta L\)動かしたときの光路差の変化を\(\Delta L\)としてしまう。
  • 対策: 干渉計の図をしっかり見て、光が鏡で反射して「往復」していることを常に意識しましょう。「往復なので2倍」と口に出して確認する習慣をつけると効果的です。
• 最大・最小と鏡の移動距離の関係の混同:
  • 誤解: 強度が最大から隣の最小に変わるとき、鏡の移動距離が\(\lambda/2\)だと勘違いする。
  • 対策: 段階的に考えましょう。①最大と最小の光路差の差は\(\lambda/2\)。②光路差が\(\lambda/2\)変化するには、鏡は\(\lambda/4\)動く必要がある。この「光路差」と「鏡の移動距離」の2段階の思考を徹底しましょう。
• 次数\(m\)の扱いの混乱:
  • 誤解: (3)で最小値が250回観測されたからといって、安易に\(m=250\)としてしまう。
  • 対策: (3)の解説のように、観測回数はあくまで「変化の回数」であり、初期状態の次数そのものではありません。経路差の変化量の範囲に、弱め合いの条件が何回含まれるか、という不等式を立てて厳密に次数を特定する、という論理的な手順を踏むことが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 腕の長さを引き伸ばすイメージ: マイケルソン干渉計は、鏡Aを半透鏡Hに対して対称な位置A’に移動させ、2つの光が平行な鏡A’とBの間を往復して干渉する「等価な空気層」の問題として考えることができます。このモデルでは、光路差は空気層の厚さの2倍、すなわち\(2(L_B-L_{A’})\)となり、薄膜の干渉と同じように扱えます。
  • 光の強度変化のグラフ: 横軸に鏡Bの位置\(L_B\)、縦軸に検出される光の強度をとったグラフをイメージします。グラフはコサインカーブの2乗のような形になり、周期的に最大・最小を繰り返します。このグラフ上で、最大値と最小値の間隔が\(\lambda/4\)に対応することを視覚的に理解すると、(1)のような問題が直感的に解けるようになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路差 = \(2(L_B-L_A)\):
  • 選定理由: 問題の幾何学的な配置から、2つの光がたどる経路の長さの差を計算するための直接的な表現だからです。光が往復運動することから「2倍」という係数が付きます。
  • 適用根拠: 問題設定そのものがこの式の根拠となります。
• 強め合い: 光路差 = \(m\lambda\):
  • 選定理由: 2つの波が山と山、谷と谷を重ね合わせて振幅が最大になる条件を記述する、波動の干渉における最も基本的な公式だからです。
  • 適用根拠: 波の重ね合わせの原理に基づき、位相差が\(2\pi\)の整数倍になるときに同位相で重なり合うという、普遍的な物理法則に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 波長の決定:
   • 戦略: 隣り合う最大点と最小点の光路差が\(\lambda/2\)違うことを利用する。
   • フロー: ①最大点と最小点の鏡の位置の差は\(2\Delta L\) → ②対応する光路差の変化は\(2 \times (2\Delta L) = 4\Delta L\) → ③\(4\Delta L = \lambda/2\)と立式 → ④\(\lambda\)を解く。
2. (2) 腕の長さの差の決定:
   • 戦略: 2つの異なる条件（波長\(\lambda\), 波長\(\lambda+\Delta\lambda\)）で強め合いの式を立て、連立させる。
   • フロー: ①各条件で光路差を計算し、\(m\lambda\)または\(m(\lambda+\Delta\lambda)\)と等しいとおく → ②2式を連立して次数\(m\)を\(\lambda, \Delta\lambda\)で表す → ③\(m\)を元の式のいずれかに代入して\(L_B-L_A\)を求める。
3. (3) 比の計算:
   • 戦略: 最小値の観測回数から、初期状態の次数\(m\)を特定する。
   • フロー: ①Bの移動による光路差の変化量を求める(\(2(L_B-L_A)\)) → ②この変化の間に最小値が250回現れる条件を不等式で表現する → ③(2)の結果を代入し、不等式を解いて整数\(m\)の値を決定する → ④\(m\)と\(\lambda, \Delta\lambda\)の関係式に\(m\)の値を代入し、比を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (2)や(3)のように複数のステップを踏む問題では、途中で数値を代入せず、最後まで文字式のまま計算を進めることが重要です。特に(2)で\(m\)を求めてから\(L_B-L_A\)を求める過程は、文字計算に慣れる良い練習になります。
• 分数の整理: (2)の最終的な答えの形 \(\displaystyle\frac{\lambda}{8}\left(1+\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\right)\) のように、共通の因子でくくりだして式をきれいに整理する癖をつけましょう。見通しが良くなり、検算もしやすくなります。
• 不等式の扱いに注意: (3)で次数\(m\)を絞り込む際の不等式の計算は、特に丁寧に行いましょう。不等号の向きや、範囲に含まれる整数の数え上げでミスをしないように注意が必要です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1)の\(\lambda\): \(\lambda = 8\Delta L\) という関係は、鏡の移動量\(\Delta L\)が波長\(\lambda\)の1/8という非常に小さいスケールであることを示しています。これは干渉計の精度の高さを反映しており、妥当です。
  • (3)の比: \(\lambda/\Delta\lambda = 1000\) という結果は、波長の変化\(\Delta\lambda\)が元の波長\(\lambda\)に比べて非常に小さいことを意味します。問(2)で「波長を\(\lambda\)から少しずつ大きくしていく」という記述と整合性がとれており、妥当な結果です。
• 各設問の関連性の確認:
  • この問題は、(1)で得た関係を(2)で使い、(2)で得た関係を(3)で使うという、連鎖的な構造になっています。前の設問の答えが、次の設問の重要な手がかりになっていることを意識すると、問題全体の流れが掴みやすくなります。もし(3)が解けなければ、(1)や(2)の解釈や計算に間違いがないか遡って確認する、という姿勢が大切です。

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共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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