未来の得点力へ！高校物理 問題演習「L字型物体の重心の計算」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体の重心」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

L字型針金の重心の位置

思考の道筋とポイント
L字型のような複合的な図形の重心は、図形を単純な部分（この場合は2本の棒）に分割し、それぞれの部分の重心を合成することで求めます。針金は一様なので、質量は長さに比例します。したがって、重心の公式における「質量」を「長さ」に置き換えて計算することができます。座標系をうまく設定し、各部分の長さと重心座標を正確に把握することが、計算をスムーズに進める鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 物体を、重心が分かりやすい単純な部分に分割する。
• 一様な物体では、質量の代わりに長さ（1次元）や面積（2次元）を重みとして重心計算ができる。
• 重心の公式をx座標、y座標それぞれに適用する。

具体的な解説と立式
1. 座標系の設定と各部分の情報整理
計算の基準となる座標系を、折り曲げ点Cを原点(0, 0)とし、辺CBをx軸、辺ACをy軸と設定します。
針金全体を、辺ACと辺CBの2つの部分に分けて考えます。

• 部分1（辺AC）:
  • 長さ \(l_1 = 40\) cm
  • 重心の位置（中点）: (\(x_1, y_1\)) = (\(0, 20\))
• 部分2（辺CB）:
  • 長さ \(l_2 = 100 – 40 = 60\) cm
  • 重心の位置（中点）: (\(x_2, y_2\)) = (\(30, 0\))

全体の重心の座標を \((x_G, y_G)\) とすると、重心の公式は質量の代わりに長さを用いて、
$$ x_G = \frac{l_1 x_1 + l_2 x_2}{l_1 + l_2} \quad \cdots ① $$
$$ y_G = \frac{l_1 y_1 + l_2 y_2}{l_1 + l_2} \quad \cdots ② $$
と表せます。

重心のx座標 \(x_G\) の計算:
式①に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
x_G &= \frac{40 \times 0 + 60 \times 30}{40 + 60} \\[2.0ex]&= \frac{0 + 1800}{100} \\[2.0ex]&= 18 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$

重心のy座標 \(y_G\) の計算:
式②に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
y_G &= \frac{40 \times 20 + 60 \times 0}{40 + 60} \\[2.0ex]&= \frac{800 + 0}{100} \\[2.0ex]&= 8 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$
したがって、重心の座標は (18 cm, 8 cm) となります。これは、辺ACからの距離が18 cm、辺CBからの距離が8 cmであることを意味します。

L字の針金を、40cmの辺と60cmの辺の2つに分けます。それぞれの辺の重心は、その真ん中です。全体の重心は、この2つの重心の「重みつき平均」で求められます。「重み」には質量の代わりに長さを使います。

• x方向の重心： \(\frac{(40\text{cm} \times 0\text{cm}) + (60\text{cm} \times 30\text{cm})}{40\text{cm} + 60\text{cm}} = 18\) cm
• y方向の重心： \(\frac{(40\text{cm} \times 20\text{cm}) + (60\text{cm} \times 0\text{cm})}{40\text{cm} + 60\text{cm}} = 8\) cm

重心の位置は、辺ACから18 cm、辺CBから8 cmの点です。60 cmの辺の方が40 cmの辺より重い（長い）ので、重心が60 cmの辺に近い位置（x座標がy座標より大きい）に来るのは妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 合成重心の公式:
  • 核心: この問題は、複数の部分から構成される物体の重心を求めるための「合成重心の公式」を理解し、正しく適用できるかにかかっています。
  • 理解のポイント: 全体の重心は、各部分の重心の位置を、それぞれの質量で重みづけして平均（加重平均）した点になります。特に、物体が「一様」である場合は、質量の代わりに長さ（1次元）や面積（2次元）を重みとして使うことができる、という点が計算を簡略化する上で非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • L字型の板: 針金（1次元）ではなく、板（2次元）の場合。考え方は同じですが、重みとして「長さ」の代わりに「面積」を用います。各長方形部分の面積とその重心（対角線の交点）を求め、公式を適用します。
  • くり抜かれた板: 前の問題で扱ったような、穴の開いた物体の重心。これは「マイナス法」で解きますが、考え方の根底は同じ重心の公式です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系を設定する: まず、計算の基準となる原点と座標軸を決めます。L字型の場合、角を原点に置くのが最も計算が楽になります。
  2. 単純な図形に分割する: 複雑な形状を、重心が分かりやすい単純な図形（この場合は2本の直線）に分割します。
  3. 各部分の「重み」と「重心座標」を整理する: 分割した各部分について、「重み（質量、長さ、面積など）」と「重心の座標」を表にまとめると、後の計算での代入ミスを防げます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 質量の代わりに長さを使えることを見落とす:
  • 誤解: 針金の線密度（単位長さあたりの質量）を\(\rho\)などと文字で置いて計算を始めてしまい、式が不必要に複雑になる。
  • 対策: 「一様な」というキーワードを見たら、質量の比は長さや面積の比に等しいので、最初から長さや面積を重みとして使ってよい、と判断しましょう。
• 単純平均と加重平均の混同:
  • 誤解: 全体の重心を、各部分の重心座標の単純な平均（例: \(x_G = (x_1+x_2)/2\)）で計算してしまう。
  • 対策: 重心は「重さ」の中心なので、重い（長い、広い）部分の方に引き寄せられます。したがって、必ず質量（またはそれに比例する量）で重みづけした「加重平均」を計算する必要があります。
• 座標の取り違え:
  • 誤解: \(x_G\)の計算にy座標の値を、\(y_G\)の計算にx座標の値を使ってしまう。
  • 対策: x座標とy座標の計算は、それぞれ独立して行います。計算式を立てる際に、どの座標を使っているかを指差し確認するなど、慎重に行いましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重心の公式 \(x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\):
  • 選定理由: これは「重心」という物理量を定義する、まさにそのものです。
  • 適用根拠: この公式は、力のモーメントのつり合いから導かれます。もし、全体の重心Gを支点として物体を支えたとすると、各部分にはたらく重力(\(m_1 g, m_2 g\))によるモーメントがつり合うはずです。G点まわりのモーメントを考えると、\(m_1 g (x_G – x_1) = m_2 g (x_2 – x_G)\) となります。この式を\(x_G\)について解くと、重心の公式が得られます。このように、重心の公式は力のモーメントのつり合いという、より基本的な物理法則に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を統一する: この問題ではcmのまま計算しましたが、mに直して計算しても同じ結果が得られます。途中で単位が混在しないように、どちらかに統一して計算しましょう。
• 表を作成して整理する:
  

  部分	長さ(重み)	重心x座標	重心y座標
  AC	40	0	20
  CB	60	30	0

  このような表を作ると、どの数値をどの計算に使うかが一目瞭然になり、代入ミスを防げます。

• 物理的な直感で検算する: 60cmの辺の方が40cmの辺より重いので、重心は2つの辺の中点(\((15, 10)\))よりも、60cmの辺側に寄るはずです。計算結果(18, 8)は、x座標が15より大きく、y座標が10より小さくなっているので、この直感と一致します。

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