「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅴ 章 17】基本問題438～445

基本問題

438 静電気力と電場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷がつくる電場と静電気力の重ね合わせ」です。複数の電荷が存在する空間で、特定の点における電場の強さを求めたり、その点に置かれた電荷が受ける力を計算したりする手順をマスターします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
2つの点電荷の間にはたらく静電気力の大きさを求める問題です。クーロンの法則の公式をそのまま適用します。電荷の符号（プラス・マイナス）は力の向き（引力か斥力か）に関係しますが、ここでは「大きさ」を問われているので、電気量の絶対値を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• クーロンの法則の公式 \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を正確に覚えていること。
• 距離 \(r\) はメートル単位、電気量 \(q\) はクーロン単位で代入すること。
• 指数を含む計算（\(10^9\) や \(10^{-9}\) など）を正確に行うこと。

具体的な解説と立式
点Aにある電荷の電気量を \(q_A\)、点Bにある電荷の電気量を \(q_B\)、2点間の距離を \(r\) とします。
与えられた値は以下の通りです。

• 比例定数 \(k = 9.0 \times 10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)
• 電気量の大きさ \(|q_A| = |q_B| = 1.6 \times 10^{-9}\,\text{C}\)
• 距離 \(r = 1.00\,\text{m}\)

求める静電気力の大きさを \(F\) とすると、クーロンの法則より以下の式が成り立ちます。
$$ F = k \frac{|q_A q_B|}{r^2} $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{(1.6 \times 10^{-9}) \times (1.6 \times 10^{-9})}{1.00^2} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 1.6 \times 1.6 \times \frac{10^9 \times 10^{-9} \times 10^{-9}}{1} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 2.56 \times 10^{-9} \\[2.0ex] &= 23.04 \times 10^{-9} \\[2.0ex] &= 2.304 \times 10^{-8}\,\text{N}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$ F \approx 2.3 \times 10^{-8}\,\text{N} $$

電気を持った粒同士は、離れていても力を及ぼし合います。この力の大きさは、それぞれの電気の量が多いほど強く、距離が離れるほど急激に（距離の2乗で）弱くなります。公式に数字を当てはめて計算するだけの基本的な問題ですが、\(10^{-9}\) のような非常に小さい数の計算ミスに気をつけましょう。

静電気力の大きさは \(2.3 \times 10^{-8}\,\text{N}\) です。非常に小さな値ですが、原子レベルや微小な粒子の世界では支配的な力となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Cにおける電場を求めます。電場はベクトル（大きさと向きを持つ量）なので、Aが作る電場 \(\vec{E}_A\) とBが作る電場 \(\vec{E}_B\) をそれぞれ求め、それらを合成（ベクトル和）する必要があります。
AもBも負電荷であることに注意します。負電荷は「自分に向かって吸い込む向き」に電場を作ります。
この設問における重要なポイント

• 点電荷 \(Q\) から距離 \(r\) 離れた点の電場の強さは \(E = k \frac{|Q|}{r^2}\) で表される。
• 電場の向きのルール：正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向き。
• 点Cの位置：Aから \(0.40\,\text{m}\) なので、Bからは \(1.00 – 0.40 = 0.60\,\text{m}\) の距離にある。
• ベクトルの合成：一直線上のベクトルなので、向きを考慮して足し引きを行う。

具体的な解説と立式
まず、AとBそれぞれが点Cに作る電場の強さと向きを考えます。

1. Aによる電場 \(\vec{E}_A\)
   • 距離: \(r_A = 0.40\,\text{m}\)
   • 向き: Aは負電荷なので、点CからAに向かう向き（左向き、B→Aの向き）。
   • 強さ \(E_A\) の式:
     $$ E_A = k \frac{|q_A|}{r_A^2} $$
2. Bによる電場 \(\vec{E}_B\)
   • 距離: \(r_B = 1.00 – 0.40 = 0.60\,\text{m}\)
   • 向き: Bは負電荷なので、点CからBに向かう向き（右向き、A→Bの向き）。
   • 強さ \(E_B\) の式:
     $$ E_B = k \frac{|q_B|}{r_B^2} $$
3. 合成電場 \(\vec{E}\)
   • \(\vec{E}_A\)（左向き）と \(\vec{E}_B\)（右向き）は逆向きです。
   • 合成電場の大きさ \(E\) は、大きい方から小さい方を引いて求めます。向きは大きい方と同じです。

まず \(E_A\) と \(E_B\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_A &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{1.6 \times 10^{-9}}{0.40^2} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{1.6 \times 10^{-9}}{0.16} \\[2.0ex] &= 9.0 \times \frac{1.6}{0.16} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10 \\[2.0ex] &= 90\,\text{N/C} \quad (\text{B} \to \text{Aの向き})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
E_B &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{1.6 \times 10^{-9}}{0.60^2} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{1.6 \times 10^{-9}}{0.36} \\[2.0ex] &= 9.0 \times \frac{1.6}{0.36} \\[2.0ex] &= 9.0 \times \frac{160}{36} \\[2.0ex] &= \frac{1440}{36} \\[2.0ex] &= 40\,\text{N/C} \quad (\text{A} \to \text{Bの向き})
\end{aligned}
$$
\(E_A = 90\,\text{N/C}\)、\(E_B = 40\,\text{N/C}\) なので、\(E_A > E_B\) です。
したがって、合成電場の大きさ \(E\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
E &= E_A – E_B \\[2.0ex] &= 90 – 40 \\[2.0ex] &= 50\,\text{N/C}
\end{aligned}
$$
向きは、大きい \(E_A\) と同じ「B \(\to\) Aの向き」です。

「電場」とは、そこに電気を置いたときにどれくらい強い力を受けるかを表す「場の勢い」のようなものです。点Cには、Aによる「左向きに引っ張る場」と、Bによる「右向きに引っ張る場」の2つが重なっています。計算してみると、Aの方が距離が近いため影響力が強く（\(90\) 対 \(40\)）、綱引きの結果、左向き（Aの方向）の場が勝つことになります。

電場の強さは \(50\,\text{N/C}\)、向きは B \(\to\) A の向きです。距離が近いAの影響が支配的であるため、Aに向かう向きになるのは妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Cに置かれた小球が受ける静電気力を求めます。(2)ですでに点Cの電場を求めているので、これを利用するのが最も効率的です。
重要なのは、置かれた小球が「負電荷」であることです。正電荷は電場と同じ向きに力を受けますが、負電荷は電場と「逆向き」に力を受けます。
この設問における重要なポイント

• 電場 \(\vec{E}\) 中にある電荷 \(q\) が受ける力 \(\vec{F}\) の公式 \(\vec{F} = q\vec{E}\) を利用する。
• \(q < 0\)（負電荷）の場合、力 \(\vec{F}\) の向きは電場 \(\vec{E}\) と逆向きになる。
• 点Cに置く電荷の電気量の大きさ \(|q| = 1.6 \times 10^{-9}\,\text{C}\)。

具体的な解説と立式
点Cの電場の強さを \(E\)、置く電荷の電気量を \(q\) とします。
静電気力の大きさ \(F’\) は、電気量の絶対値と電場の強さの積で求められます。
$$ F’ = |q|E $$
向きについては、電場の向きが「B \(\to\) A（左向き）」であり、電荷 \(q\) が負であることから判断します。

(2)より \(E = 50\,\text{N/C}\) です。
$$
\begin{aligned}
F’ &= (1.6 \times 10^{-9}) \times 50 \\[2.0ex] &= 1.6 \times 50 \times 10^{-9} \\[2.0ex] &= 80 \times 10^{-9} \\[2.0ex] &= 8.0 \times 10^{-8}\,\text{N}
\end{aligned}
$$
向きの判定：
電場の向きは「左（B \(\to\) A）」です。
負電荷は電場と逆向きに力を受けるので、力の向きは「右（A \(\to\) B）」となります。

(2)で求めた「電場」は、「\(+1\,\text{C}\) の電荷を置いたら \(50\,\text{N}\) の力を左向きに受ける場所」という意味でした。ここにマイナスの電気を置くと、プラスの場合とは逆向き、つまり右向きに力を受けます。力の大きさは、電気量の大きさに比例するので、掛け算で求められます。

力の大きさは \(8.0 \times 10^{-8}\,\text{N}\)、向きは A \(\to\) B の向きです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• クーロンの法則と電場の定義の使い分け
  • 核心: この問題の根幹は、2つの電荷間に直接はたらく力（クーロン力）と、電荷が空間につくる場（電場）という2つの概念を正しく理解し、使い分けることです。
  • 理解のポイント:
    • 直接的な相互作用: (1)のように、2つの電荷が与えられたとき、それらの間に直接はたらく力を計算するのがクーロンの法則 \(F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) です。
    • 場を介した相互作用: (2)(3)のように、まず電荷が周囲の空間に「電場」という歪みを作り、その電場の中に置かれた別の電荷が力を受ける、という2段階のプロセスで考えるのが電場の概念です。電場 \(\vec{E}\) を先に求めておけば、どんな電荷 \(q\) を置いても \(\vec{F} = q\vec{E}\) で力が求まるため、汎用性が高くなります。
• ベクトルの重ね合わせ（合成）
  • 核心: 複数の電荷が存在する場合、ある点における電場や力は、個々の電荷が単独で作る電場や力の「ベクトル和」になるという原理です。
  • 理解のポイント:
    • 向きの重要性: 電場や力は大きさだけでなく向きを持つベクトル量です。単純な足し算ではなく、向きを考慮した合成が必要です。一直線上の場合は、正の向きを決めて符号付きで足し合わせるか、図を描いて矢印の向きを確認しながら大きい方から小さい方を引く操作を行います。
    • 独立性: Aが作る電場は、Bが存在するかどうかに関わらず計算できます。Bについても同様です。それぞれを独立に計算してから最後に合成するという手順が鉄則です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 平面上の点電荷の配置: 電荷が正三角形や正方形の頂点に配置されている場合。この場合、電場や力は一直線上ではなく平面上のベクトル合成になるため、\(x\) 成分と \(y\) 成分に分解して計算するか、図形的な性質（三平方の定理や三角比）を利用して合成します。
  • 複数の点電荷による電位: 電場（ベクトル）ではなく電位（スカラー）を求める問題。電位の場合は向きを考える必要がなく、単純な数値の足し算（正電荷は正の電位、負電荷は負の電位）になるため、計算が楽になります。電場と電位の違いを明確に区別することが鍵です。
  • 帯電体による電場: 点電荷ではなく、棒状や板状に電荷が分布している場合。積分を用いて微小電荷が作る電場を足し合わせるか、ガウスの法則を利用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷の符号と配置を確認する: まず図を描き、正電荷（湧き出し）か負電荷（吸い込み）かを確認して、電場の向きを矢印で書き込みます。
  2. 求める物理量を特定する: 「力」を求めたいのか、「電場」を求めたいのか、「電位」を求めたいのかを明確にします。それぞれ使う公式が異なります（\(F\), \(E\), \(V\)）。
  3. 対称性を利用する: 電荷の配置に対称性がある場合（例：等しい距離に等しい電荷がある）、電場の成分が打ち消し合ってゼロになる方向がないかを探します。これにより計算量を大幅に減らせます。
  4. 単位を確認する: 距離が \(\text{cm}\) で与えられている場合は必ず \(\text{m}\) に、電気量が \(\mu\text{C}\) で与えられている場合は \(\text{C}\) に換算してから計算に入ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場の向きと力の向きの混同:
  • 誤解: 電場の向きと、その場所に置いた電荷が受ける力の向きは常に同じだと思い込んでしまう。
  • 対策: 正電荷は電場と同じ向きに力を受けますが、負電荷は電場と「逆向き」に力を受けます。このルールを常に意識し、問題文で置かれた電荷の符号（プラスかマイナスか）を指差し確認しましょう。
• 距離の2乗の計算ミス:
  • 誤解: クーロンの法則や電場の公式の分母 \(r^2\) を、単に \(r\) として計算したり、2倍（\(2r\)）してしまったりする。
  • 対策: 公式を書くときに \(r^2\) を強調して書く、あるいは代入する際に \((0.40)^2\) のように括弧をつけて2乗であることを視覚的に明確にする習慣をつけましょう。
• 合成時の符号ミス:
  • 誤解: ベクトルの向きを考慮せず、単に大きさだけを足してしまう（\(90 + 40 = 130\) とするなど）。
  • 対策: 必ず図を描き、矢印の向きが逆であれば「引き算」、同じであれば「足し算」になることを視覚的に確認します。あるいは、別解のように座標軸を設定し、符号付きの成分計算を行うことで機械的にミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（クーロンの法則）:
  • 選定理由: 2つの点電荷の電気量 \(q_1, q_2\) と距離 \(r\) が与えられ、直接はたらく「力の大きさ」を求められているため。
  • 適用根拠: 点電荷間の静電気力を記述する法則はクーロンの法則 \(F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) です。ここでは大きさのみが必要なので、電気量の絶対値を用います。
• (2)での公式選択（点電荷の電場の式と重ね合わせ）:
  • 選定理由: 特定の点における「電場」を求められているため。
  • 適用根拠: 点電荷が作る電場の公式 \(E = k \frac{Q}{r^2}\) を用いて、個々の電荷が作る電場を計算します。その後、電場がベクトル量であることに基づき、重ね合わせの原理（ベクトル和）を適用して合成電場を求めます。
• (3)での公式選択（\(F=qE\)）:
  • 選定理由: すでにその点の「電場 \(E\)」が求まっており、そこに置かれた電荷が受ける「力 \(F\)」を知りたいため。
  • 適用根拠: 電場の定義そのものが「単位電荷あたりの静電気力」であるため、電荷 \(q\) を掛けるだけで力が求まります。別解のようにクーロンの法則から再度計算することも可能ですが、(2)の結果を利用する方が計算量が少なく、論理的にもスマートです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算を分離して行う:
  • \(9.0 \times 10^9 \times \frac{1.6 \times 10^{-9}}{0.40^2}\) のような計算では、係数部分（\(9.0, 1.6, 0.40\)）と \(10\) のべき乗部分（\(10^9, 10^{-9}\)）を分けて計算整理するとミスが減ります。特に \(10^9 \times 10^{-9} = 1\) となって消えるパターンは頻出です。
• 分数のまま計算を進める:
  • 割り算を早まって小数にするのではなく、分数の形のまま約分を行うと計算が楽になります。例えば \(0.40^2 = 0.16 = \frac{16}{100}\) と見て、分子の \(1.6\) と約分するなどの工夫が有効です。
• 物理的な直感で検算する:
  • (2)の結果について、点CはAからの距離が \(0.40\,\text{m}\)、Bからの距離が \(0.60\,\text{m}\) です。電荷の大きさは同じなので、距離が近いAの影響（左向きの電場）の方が強くなるはずです。計算結果が「左向き（B \(\to\) A）」になっているかを確認することで、明らかなミスを発見できます。
• 単位の確認:
  • 力の単位は \(\text{N}\)、電場の単位は \(\text{N/C}\)（または \(\text{V/m}\)）です。答えを書く前に単位が正しいか一瞬確認するだけで、ケアレスミスを防げます。

439 電気力線の本数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷がつくる電場と電気力線の定義」です。電磁気学の基礎となる「場」の概念と、それを視覚的に表す「電気力線」の関係を数式で理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点電荷 \(q\) を中心とする半径 \(r\) の球面上での電場の強さを求めます。点電荷がつくる電場の公式を適用するだけの基本的な問題ですが、電場の定義（\(+1\,\text{C}\) の電荷が受ける力）を意識することが大切です。
この設問における重要なポイント

• 電荷 \(q\) は正の点電荷である。
• 求める場所は、電荷から距離 \(r\) 離れた点である。
• クーロンの法則の比例定数は \(k\) である。

具体的な解説と立式
点電荷 \(q\) から距離 \(r\) 離れた点における電場の強さ \(E\) は、クーロンの法則より以下の式で表されます。
$$ E = k\frac{q}{r^2} $$

この問題では数値を代入する計算はなく、公式そのものが答えとなります。
$$ E = k\frac{q}{r^2} $$
単位は \(\text{N/C}\)（ニュートン毎クーロン）または \(\text{V/m}\)（ボルト毎メートル）ですが、問題文の指定に従い \(\text{N/C}\) とします。

電気のプラスの粒（点電荷）があると、その周りの空間は電気的な力が働く特別な空間（電場）になります。その力の強さは、粒からの距離が遠くなるほど弱くなります。具体的には、距離の2乗に反比例して弱くなるというルールがあります。このルールを式で書いたものが答えです。

電場の強さは \(k\frac{q}{r^2}\,\text{N/C}\) です。
距離 \(r\) が大きくなると分母が大きくなるため電場は小さくなり、電荷 \(q\) が大きくなると分子が大きくなるため電場は大きくなります。これは直感とも一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
「電気力線の総本数」を求める問題です。電気力線は目に見えない電場の様子を矢印で表したモデルですが、その本数には厳密な定義があります。「電場の強さが \(E\) の場所では、\(1\,\text{m}^2\) あたり \(E\) 本の線が通る」という定義を使います。球面上ではどこでも電場の強さが等しいので、単純な掛け算で総本数を求められます。
この設問における重要なポイント

• 電気力線の定義: 電場の強さ \(E\) ＝ 電気力線の密度（本/\(\text{m}^2\)）。
• 考える面: 点電荷を中心とする半径 \(r\) の球面。
• 球面の表面積: \(S = 4\pi r^2\)。
• 電気力線は球面を垂直に貫いている（点電荷から放射状に出ているため）。

具体的な解説と立式
まず、電気力線の総本数を \(N\) とします。
電気力線の定義より、電場の強さ \(E\) は、単位面積あたりの電気力線の本数に等しいです。
したがって、総本数 \(N\) は、「単位面積あたりの本数 \(E\)」に「球面の総面積 \(S\)」を掛けたものになります。
$$ N = E \times S $$
ここで、球の表面積の公式より、
$$ S = 4\pi r^2 $$
これらを組み合わせて立式します。

(1)の結果 \(E = k\frac{q}{r^2}\) と、表面積 \(S = 4\pi r^2\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
N &= \left( k\frac{q}{r^2} \right) \times (4\pi r^2) \\[2.0ex] &= 4\pi k q
\end{aligned}
$$
途中で \(r^2\) が約分されて消えることに注目してください。

「電場の強さ」という数値を、「\(1\,\text{m}^2\) という広さを通る線の本数」だと読み替えるのがこの問題のルールです。(1)で求めた電場の強さに、ボール（球面）全体の表面積を掛ければ、ボール全体から吹き出している線の合計本数が分かります。計算してみると、不思議なことに半径 \(r\) が消えてしまい、線の本数は距離に関係なく一定であることが分かります。

電気力線の総本数は \(4\pi k q\) 本です。
この結果に距離 \(r\) が含まれていないことは非常に重要です。これは、「点電荷から出た電気力線は、途中で消えたり増えたりせず、どこまでも伸びていく」ことを意味しており、電気力線の性質として妥当です。また、電荷 \(q\) に比例しており、電荷が多いほどたくさんの線が出るという直感とも一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場の定義と電気力線の関係
  • 核心: この問題の根幹は、「電場」という目に見えない空間の歪みを、「電気力線」という視覚的なモデルに変換する際の翻訳ルールを理解することです。そのルールとは、「電場の強さ \(E\) の数値が、そのまま \(1\,\text{m}^2\) あたりの電気力線の本数（密度）になる」という約束事です。
  • 理解のポイント:
    • 密度の概念: 電気力線は、電場が強い場所ほど「密」に（ぎっしりと）、弱い場所ほど「疎」に（スカスカに）描かれます。この「混み具合」を数学的に定義したのが \(E\) です。
    • 保存性: 点電荷から出た電気力線の総本数が距離 \(r\) によらず一定（\(4\pi k q\)）になるという結果は、電気力線が途中で消滅したり分裂したりせず、電荷から無限遠まで連続して伸びていることを示唆しています。これは、水流の保存則（湧き出し口から出た水の総量は、どこで測っても変わらない）と似た概念です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ガウスの法則に関連する問題: 平板コンデンサーの極板間の電場や、無限に長い直線電荷がつくる電場を求める問題。これらの問題でも、「閉じた面を貫く電気力線の総本数は、中の電荷量に比例する」という考え方が基礎になります。
  • 電束密度の問題: 大学入試の難問や大学物理では、誘電体中での電場を考える際に「電束密度 \(D = \varepsilon E\)」という概念が登場します。これも本問の「電気力線の密度」の概念を拡張したものです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性を見抜く: 今回の問題では「球対称」な電場を扱いました。電場の大きさが場所によって変わらず（球面上ならどこでも一定）、向きが面に垂直である場合、複雑な積分計算をせずに単純な掛け算（\(E \times S\)）で総本数を求められます。
  2. 定義に戻る: 「電気力線の本数を求めよ」と聞かれたら、迷わず「\(N = ES\)（電場×面積）」または「\(N = 4\pi k Q\)（ガウスの法則）」のどちらかを使います。特に、具体的な距離 \(r\) が与えられていない場合や、複雑な形状の場合は、後者のガウスの法則的アプローチ（総電荷量だけで決まる）が有効な場合が多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 面積の公式の取り違え:
  • 誤解: 球の表面積 \(S = 4\pi r^2\) と、球の体積 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) や円の面積 \(S = \pi r^2\) を混同してしまう。
  • 対策: 次元（単位）を確認しましょう。面積は \(r^2\)（長さの2乗）、体積は \(r^3\)（長さの3乗）です。また、球の表面積は「心配ある事情（\(4\pi r^2\)）」などの語呂合わせで確実に暗記しておきましょう。
• 電気力線の本数の単位:
  • 誤解: 電気力線の本数 \(N\) の単位を \(\text{N/C}\) や \(\text{V}\) と答えてしまう。
  • 対策: 求めるものは「本数」なので、単位は「本」です。ただし、物理量としての次元は \(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}\) です。解答欄には単に「本」と書くのが一般的ですが、何を聞かれているかを常に意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（点電荷の電場）:
  • 選定理由: 問題設定が「点電荷」がつくる電場であり、求める場所が電荷から距離 \(r\) の点であるため、クーロンの法則から導かれる点電荷の電場の公式 \(E = k\frac{q}{r^2}\) が唯一の選択肢です。
  • 適用根拠: 電荷が球状に分布している場合などでも、球の外側では点電荷と同じ式が使えますが、今回は純粋な点電荷なので、そのまま適用できます。
• 問(2)での公式選択（電気力線の定義）:
  • 選定理由: 「電気力線の総本数」を求める問題であり、手元には(1)で求めた「電場の強さ \(E\)」があります。電場の強さと電気力線の本数を結びつけるのは「定義（\(1\,\text{m}^2\) あたり \(E\) 本）」しかありません。
  • 適用根拠: 球面上では、電場の向きが常に面に垂直であり、かつ電場の大きさ \(E\) が一定であるため、微積分を使わずに単純な積 \(N = E \times S\) として計算できます。この「垂直かつ一定」という条件が、この公式を単純適用できる根拠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の約分を見逃さない:
  • 問(2)の計算 \(N = k\frac{q}{r^2} \times 4\pi r^2\) において、分母と分子にある \(r^2\) がきれいに約分されて消えます。このように、物理の計算では途中で変数が消えてシンプルな定数になることがよくあります。計算途中で展開しすぎず、約分のチャンスを待つ姿勢が大切です。
• 定数の係数を前に出す:
  • \(4\pi k q\) のように、定数（\(4, \pi, k\)）を前に、変数（\(q\)）を後ろに書くのが一般的です。また、\(\pi\) や \(k\) の書き忘れがないか、最後に指差し確認をしましょう。
• 単位の確認:
  • (1)の答えには \(\text{N/C}\)、(2)の答えには「本」という単位が必要です。特に記述式試験では、単位がないと減点対象になることがあるので、必ず最後に単位をチェックしてください。

440 金属板間の電場と電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場と導体の静電的性質」です。コンデンサーの極板間のような一様な電場における電位の分布と、電場の中に置かれた導体（金属板）の振る舞いを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
金属板AとBの間には一様な電場ができています。一様な電場では、電位は距離に比例して変化します。電池の電圧が \(10\,\text{V}\) で、極板間の距離が \(10\,\text{cm}\) なので、この空間での「電位の傾き具合」を考えれば、等電位線をどこに引けばよいかが分かります。
この設問における重要なポイント

• 金属板AとBの間隔は \(10\,\text{cm}\) である。
• 金属板間の電位差は \(10\,\text{V}\) である。
• 一様な電場なので、等電位線は等間隔に並ぶ。
• \(2\,\text{V}\) ごとの等電位線を描く必要がある。

具体的な解説と立式
まず、金属板間の距離 \(1\,\text{cm}\) あたり、電位が何 \(\text{V}\) 変化するか（電位の勾配）を \(k\) とします。
全体の電位差が \(10\,\text{V}\)、距離が \(10\,\text{cm}\) なので、以下の式が成り立ちます。
$$ k = \frac{10\,\text{V}}{10\,\text{cm}} $$
求められているのは \(2\,\text{V}\) ごとの等電位線なので、その間隔 \(x\) は以下の式で求められます。
$$ x = \frac{2\,\text{V}}{k} $$

まず \(k\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
k &= \frac{10}{10} \\[2.0ex] &= 1\,\text{V/cm}
\end{aligned}
$$
次に \(x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{2}{1} \\[2.0ex] &= 2\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
したがって、金属板A（高電位側）から \(2\,\text{cm}\) ごとに線を引けばよいことになります。
金属板の間隔は \(10\,\text{cm}\) なので、\(2\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 6\,\text{cm}, 8\,\text{cm}\) の位置に計4本の等電位線が引かれます。

\(10\,\text{cm}\) の距離で高さ（電位）が \(10\,\text{V}\) 変わる一定の坂道をイメージしてください。この坂道は \(1\,\text{cm}\) 進むごとに高さが \(1\,\text{V}\) 変わります。今回は「高さが \(2\,\text{V}\) 変わるごとの地点」に線を引くので、\(2\,\text{cm}\) 進むごとに線を引けばOKです。

金属板と平行に、\(2\,\text{cm}\) 間隔で4本の直線を引きます。これは、一様な電場において等電位面が電場に垂直な等間隔の平面になることと整合します。

問(2)

思考の道筋とポイント
グラフを描くためには、XからYまでの各領域（金属板Aの中、空間、金属板Bの中）での電位の様子を整理する必要があります。
1. 電位の基準: 金属板Bは接地されているので、電位は \(0\,\text{V}\) です。
2. 金属板Aの電位: 電池の電圧が \(10\,\text{V}\) なので、Aの電位は \(10\,\text{V}\) です。
3. 導体の性質: 金属板A、Bは導体なので、それぞれの内部は等電位です。つまり、厚さ \(1\,\text{cm}\) の間は電位が変化しません。
4. 空間の電位: 一様な電場なので、AからBに向かって電位は一定の割合で下がっていきます（グラフは直線）。
この設問における重要なポイント

• 金属板の厚さ \(1\,\text{cm}\) を無視しないこと。
• X点は金属板Aの外側表面（厚みの外側）にあるが、グラフの横軸はXからの距離ではなく位置を表しているため、図のX点の位置を原点や基準として考える。問題図の目盛りを見ると、X点は金属板Aの左端（外側表面）にある。
• 金属板Aの内部（幅 \(1\,\text{cm}\)）は \(10\,\text{V}\) 一定。
• 金属板Bの内部（幅 \(1\,\text{cm}\)）は \(0\,\text{V}\) 一定。
• その間の空間（幅 \(10\,\text{cm}\)）は \(10\,\text{V}\) から \(0\,\text{V}\) へ直線的に変化。

具体的な解説と立式
グラフの概形を決定する要素を書き出します。

• 区間 \(0 \le x \le 1\,\text{cm}\) （金属板A内部）:
  導体内部は等電位なので、電位 \(V\) は一定です。
  $$ V = 10\,\text{V} $$
• 区間 \(1\,\text{cm} \le x \le 11\,\text{cm}\) （極板間の空間）:
  一様な電場なので、電位は距離に対して一次関数的に減少します。始点は \((1\,\text{cm}, 10\,\text{V})\)、終点は \((11\,\text{cm}, 0\,\text{V})\) です。
• 区間 \(11\,\text{cm} \le x \le 12\,\text{cm}\) （金属板B内部）:
  導体内部は等電位であり、接地されているため \(0\,\text{V}\) です。
  $$ V = 0\,\text{V} $$

空間部分のグラフの傾き（変化の割合）を確認します。
$$
\begin{aligned}
\text{傾き} &= \frac{0\,\text{V} – 10\,\text{V}}{11\,\text{cm} – 1\,\text{cm}} \\[2.0ex] &= \frac{-10\,\text{V}}{10\,\text{cm}} \\[2.0ex] &= -1\,\text{V/cm}
\end{aligned}
$$
これに基づき、\(10\,\text{V}\) の平らな部分、右下がりの直線、\(0\,\text{V}\) の平らな部分をつなげます。

XからYへ歩いていくときの「電気的な高さ（電位）」の変化をグラフにします。
最初の \(1\,\text{cm}\)（金属板Aの中）は、平らな高台（\(10\,\text{V}\)）です。
そこから金属板を出ると、次の \(10\,\text{cm}\)（空間）は一定の急さの下り坂です。
最後の \(1\,\text{cm}\)（金属板Bの中）は、平らな地面（\(0\,\text{V}\)）です。
これらを折れ線グラフとして描きます。

グラフは台形のような形（左上がりの台形ではなく、左側が高く右側が低い形）になります。導体部分で電位が一定であること、空間で直線的に変化すること、接地点が0Vであることが全て反映されているか確認します。

問(3)

思考の道筋とポイント
次は「電場の強さ」のグラフです。電場の強さは、電位のグラフの「傾きの急さ」に対応します。
1. 金属板内部: 電位が一定（平ら）だったので、傾きはありません。つまり電場は \(0\) です。これは「静電場中の導体内部の電場は \(0\)」という基本性質とも一致します。
2. 空間部分: 電位のグラフは一定の傾きの直線でした。つまり、電場は一定の値（一様な電場）になります。
この設問における重要なポイント

• 導体内部の電場 \(E = 0\)。
• 一様な電場の公式 \(V = Ed\) における \(d\) は、極板間の距離（空間の距離）である \(10\,\text{cm}\) を使う。
• 単位を \(\text{cm}\) から \(\text{m}\) に換算して計算する（電場の単位が \(\text{V/m}\) なので）。

具体的な解説と立式
空間部分（\(1\,\text{cm} \le x \le 11\,\text{cm}\)）における電場の強さ \(E\) を求めます。
極板間の電位差を \(V\)、極板間の距離を \(d\) とすると、一様な電場の公式より、
$$ E = \frac{V}{d} $$
ここで、\(V = 10\,\text{V}\)、\(d = 10\,\text{cm} = 0.10\,\text{m}\) です。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{10}{0.10} \\[2.0ex] &= 100 \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^2\,\text{V/m}
\end{aligned}
$$
金属板内部（\(0 \le x < 1\,\text{cm}\) および \(11 < x \le 12\,\text{cm}\)）では、
$$ E = 0\,\text{V/m} $$

電場の強さは、(2)で描いた「坂道の急さ」のことです。
金属板の中（平らな場所）は、坂の急さがゼロなので、電場もゼロです。
金属板の間（下り坂）は、どこでも同じ急さなので、電場は一定の値になります。その値は、「高さの差 \(10\,\text{V}\)」を「水平距離 \(0.1\,\text{m}\)」で割れば求まります。

グラフは、金属板の位置で \(0\)、空間部分で \(1.0 \times 10^2\) となる「凸」の字のような形（矩形波のような形）になります。導体内部で電場がないこと、空間で一様であることが表現されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 一様な電場と電位の関係
  • 核心: この問題の根幹は、一様な電場（電場の強さ \(E\) が一定の空間）において、電位 \(V\) が距離 \(x\) に対して直線的に変化する（\(V = V_0 – Ex\)）という性質を理解することです。これは、重力場における「高さ」と「位置エネルギー」の関係（\(U = mgh\)）と全く同じ構造をしています。
  • 理解のポイント:
    • 電場は「坂の急さ」: 電場の強さ \(E\) は、電位のグラフ（\(V-x\) グラフ）における「傾きの大きさ」そのものです。坂が急であればあるほど、電場は強くなります。
    • 導体は「平地」: 静電場中の導体内部では、自由電子の移動によって電場が打ち消され \(0\) になります。電場（坂の急さ）が \(0\) ということは、電位（高さ）は変化せず一定（平地）になるということです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コンデンサーの極板間: 本問と全く同じ状況です。誘電体を挿入した場合などは、誘電体内部での電場の変化（弱まる）と電位の傾きの変化（緩やかになる）をグラフにする問題が頻出です。
  • 半導体のpn接合: 空乏層における電位分布や電場分布を考える際にも、ポアソン方程式（電位の2階微分が電荷密度に比例）の基礎として、この「電場＝電位の傾き」という概念が不可欠です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 導体を見つける: 問題図の中に「金属板」や「導体球」があれば、即座に「内部は電場ゼロ」「全体が等電位」という条件を書き込みましょう。これがグラフを描く際の強力なヒント（平らな部分）になります。
  2. 基準点（0V）を探す: 「接地（アース）」の記号があれば、そこが電位 \(0\,\text{V}\) の基準点です。そこから出発して、電場に逆らって進めば電位は上がり、電場に沿って進めば電位は下がります。
  3. グラフの対応関係: \(V-x\) グラフと \(E-x\) グラフを描く問題では、片方が描ければもう片方は「微分（傾き）」または「積分（面積）」の関係を使って導けることを思い出してください。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 導体の厚みの無視:
  • 誤解: 金属板の厚さ \(1\,\text{cm}\) を無視して、\(0 \sim 10\,\text{cm}\) の範囲だけでグラフを描いてしまう。
  • 対策: 問題文の「厚さ \(1\,\text{cm}\)」や図の目盛りを注意深く読み取りましょう。特にグラフ問題では、横軸の定義域（どこからどこまでか）を最初に確認することが重要です。
• 単位換算の忘れ:
  • 誤解: 距離 \(d = 10\,\text{cm}\) をそのまま計算に使ってしまい、電場 \(E = 10/10 = 1\,\text{V/m}\) と答えてしまう。
  • 対策: 電磁気学の公式（\(E=V/d\) など）は、基本的にSI単位系（\(\text{m}, \text{A}, \text{s}, \text{kg}\)）で成り立っています。計算前に必ず \(\text{cm} \to \text{m}\) の換算を行う癖をつけましょう。
• 電場の向きと符号:
  • 誤解: 電位のグラフの傾きが負（右下がり）なので、電場の値もマイナスにしてしまう。
  • 対策: 「電場の強さ」を聞かれた場合は大きさ（絶対値）を答えます。向きを聞かれた場合や、ベクトルとして扱う場合にのみ符号を考慮します。通常、電場のグラフの縦軸は「強さ（大きさ）」をとることが多いです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（等電位線の間隔）:
  • 選定理由: 一様な電場では電位の変化率が一定であるため、単純な比例計算（比の計算）で解くことができます。公式というよりは、一様な場の性質そのものを利用しています。
  • 適用根拠: 「一様な電場」という条件があるため、電位は距離の一次関数になります。したがって、「\(10\,\text{cm}\) で \(10\,\text{V}\) 変わるなら、\(2\,\text{V}\) 変わるには何 \(\text{cm}\) 必要か？」という線形な推論が正当化されます。
• 問(3)での公式選択（一様な電場の強さ）:
  • 選定理由: 一様な電場における電場 \(E\)、電位差 \(V\)、距離 \(d\) の関係式 \(V = Ed\) は、この単元の最も基本的な公式です。
  • 適用根拠: 空間部分では電場が一様であるため、この公式がそのまま適用できます。ただし、\(d\) には「電位差 \(V\) が生じている区間の距離（空間の幅）」を代入する必要があります。金属板の厚みを含めた距離を使わないように注意が必要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの概形を先にイメージする:
  • 計算を始める前に、「導体部分は平ら」「空間は斜め」といったグラフの形を頭の中で（あるいは余白に）描いておきましょう。計算結果がそのイメージと大きく異なれば、どこかでミスをしていると気づけます。
• 傾きの検算:
  • (2)で描いたグラフの傾きを計算して、(3)の答えと一致するか確認しましょう。例えば、グラフ上で \(10\,\text{cm}\) 進んで \(10\,\text{V}\) 下がっているなら、傾きは \(1\,\text{V/cm} = 100\,\text{V/m}\) です。これが(3)の計算結果と合っていれば、両方の設問が正解である可能性が高いです。
• 端点の確認:
  • グラフを描く際は、始点（X点）と終点（Y点）の値が正しいか必ず確認します。X点は \(10\,\text{V}\)、Y点は \(0\,\text{V}\) になっているか？ 接地されているのはどちらか？ といった境界条件のチェックは、ミスの防止に非常に有効です。

441 電場と仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電場における電位と仕事」です。等電位線で表された電場の様子を読み取り、電荷を移動させる際のエネルギーのやり取り（仕事）を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、図中の等電位線の値を読み取る必要があります。

• 点Dの電位は \(0\,\text{V}\) です。
• 左側の正電荷（＋）に近づくほど電位は高くなり、右側の負電荷（－）に近づくほど電位は低くなります。
• 等電位線は \(10\,\text{V}\) 間隔です。

これらをもとに、点Bがどの等電位線上にあるかを確認し、その電位 \(V_B\) を特定します。その後、\(U = qV\) の公式を使います。
この設問における重要なポイント

• 点D（中央）が \(0\,\text{V}\)。
• 負電荷側（右側）の等電位線は、Dから順に \(-10\,\text{V}, -20\,\text{V}, -30\,\text{V}, \dots\) となる。
• 点Bは、負電荷側へ3本目の等電位線上にある。

具体的な解説と立式
図より、点Dの電位は \(0\,\text{V}\) です。
点Bは負電荷の近くにあり、点Dから数えて負電荷側に3本目の等電位線上にあります。
等電位線の間隔は \(10\,\text{V}\) なので、点Bの電位 \(V_B\) は以下のようになります。
$$ V_B = -30\,\text{V} $$
求める位置エネルギー \(U_B\) は、電荷 \(q = 2.0\,\text{C}\) と電位 \(V_B\) を用いて立式します。
$$ U_B = q V_B $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
U_B &= 2.0 \times (-30) \\[2.0ex] &= -60\,\text{J}
\end{aligned}
$$

電気の世界での「高さ（電位）」を読み取る問題です。真ん中のD地点を高さゼロとすると、マイナスの電気がある右側は「穴（低い場所）」になっています。B地点は地下3階（\(-30\,\text{V}\)）に相当します。ここに \(2.0\,\text{C}\) の荷物を置いたときのエネルギーを計算します。

位置エネルギーは \(-60\,\text{J}\) です。負電荷の近く（電位が負の場所）に正電荷を置くと、位置エネルギーは負になります。これは、無限遠（基準）よりも安定な状態（引力に引かれている状態）であることを意味しており、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「外力が正の仕事をする」とはどういうことかを考えます。

• エネルギーの視点: 外力が正の仕事をすると、その分だけ物体のエネルギーが増えます。ここでは運動エネルギーの変化はない（ゆっくり運ぶ）ので、位置エネルギーが増加する、つまり「電位が高い場所へ運ぶ」ことを意味します。
• 力の視点: 正電荷 \(q\) は、電場の力（静電気力）によって電位の低い方へ引かれます。それに逆らって外力で無理やり電位の高い方へ運ぶとき、外力は移動方向と同じ向きに力を加えるため、正の仕事をします。

したがって、A→B→C→Dの経路の中で「電位が上がっている区間」を探します。
この設問における重要なポイント

• \(q > 0\) なので、電位 \(V\) が上がる \(\iff\) 位置エネルギー \(U\) が増える。
• 外力の仕事 \(W_{\text{外}} = \Delta U = q(V_{\text{後}} – V_{\text{前}})\)。
• 各点の電位を読み取る:
  • A: 正電荷側へ4本目 \(\to +40\,\text{V}\)
  • B: 負電荷側へ3本目 \(\to -30\,\text{V}\)
  • C: 負電荷側へ3本目 \(\to -30\,\text{V}\) （Bと同じ等電位線上）
  • D: \(0\,\text{V}\)

具体的な解説と立式
各区間の電位変化を確認します。

• A \(\to\) B: \(+40\,\text{V} \to -30\,\text{V}\) （下がる）
• B \(\to\) C: \(-30\,\text{V} \to -30\,\text{V}\) （変わらない）
• C \(\to\) D: \(-30\,\text{V} \to 0\,\text{V}\) （上がる）

よって、電位が上がる（外力が正の仕事をする）区間は C \(\to\) D です。

仕事 \(W\) の計算:
区間 C→D における電位差を用いて立式します。
$$ W = q(V_D – V_C) $$

各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= 2.0 \times \{0 – (-30)\} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 30 \\[2.0ex] &= 60\,\text{J}
\end{aligned}
$$

「外力が正の仕事をする」というのは、「持ち上げる」動作のことです。電気の世界では、電位が高い場所ほど「高い」場所です。
AからBへは下り坂なので、何もしなくても落ちていきます（外力は支えるために逆向きの力を出すので負の仕事）。
BからCへは平坦な道（等高線沿い）なので、仕事はゼロです。
CからDへは上り坂（\(-30\,\text{V}\) から \(0\,\text{V}\)）なので、外力が「よいしょ」と持ち上げる必要があります。だからこの区間が正解です。

区間は C→D、仕事は \(60\,\text{J}\) です。正電荷を負電荷から引き離す（引力に逆らう）方向への移動なので、外力が正の仕事をすることは物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「電場（静電気力）が正の仕事をする」とはどういうことかを考えます。

• エネルギーの視点: 電場が仕事をすると、その分だけ物体の位置エネルギーは減ります（重力が仕事をすると物体が落ちて位置エネルギーが減るのと同じ）。つまり、「電位が下がる場所へ運ぶ」ことを意味します。
• 力の視点: 正電荷は電場の力によって電位の低い方へ引かれます。移動方向がこの力の向きと同じなら、電場は正の仕事をします。

したがって、A→B→C→Dの経路の中で「電位が下がっている区間」を探します。
この設問における重要なポイント

• 電場が正の仕事をする \(\iff\) 位置エネルギー \(U\) が減る（電位 \(V\) が下がる）。
• 電場の仕事 \(W_{\text{電場}} = -\Delta U = q(V_{\text{前}} – V_{\text{後}})\)。
• 各点の電位: \(V_A = +40\,\text{V}\), \(V_B = -30\,\text{V}\)。

具体的な解説と立式
各区間の電位変化を再確認します。

• A \(\to\) B: \(+40\,\text{V} \to -30\,\text{V}\) （下がる）
• B \(\to\) C: \(-30\,\text{V} \to -30\,\text{V}\) （変わらない）
• C \(\to\) D: \(-30\,\text{V} \to 0\,\text{V}\) （上がる）

よって、電位が下がる（電場が正の仕事をする）区間は A \(\to\) B です。

仕事 \(W\) の計算:
区間 A→B における電位差を用いて立式します。始点と終点の順序に注意してください（減少量が正の仕事になります）。
$$ W = q(V_A – V_B) $$

各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= 2.0 \times \{40 – (-30)\} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 70 \\[2.0ex] &= 140 \\[2.0ex] &= 1.4 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

「電場が正の仕事をする」というのは、「滑り落ちる」動作のことです。重力がボールを落とすときに正の仕事をするのと同じです。
AからBへの移動は、高いところ（\(+40\,\text{V}\)）から低いところ（\(-30\,\text{V}\)）への移動なので、電気の力が自然に物体を動かしてくれます。

区間は A→B、仕事は \(1.4 \times 10^2\,\text{J}\) です。正電荷同士の反発力と、正負電荷間の引力の両方が、AからBへの移動を助ける向きに働くため、電場は正の仕事をします。

問(4)

思考の道筋とポイント
点D付近の電場の強さ \(E\) を求め、それを使って静電気力 \(F = qE\) を計算します。
電場の強さは「等電位線の混み具合（勾配）」で決まります。点D付近では等電位線が平行で等間隔とみなせるので、一様な電場の公式 \(E = V/d\) が使えます。

• 電位差 \(V\): 点Dを挟む2本の等電位線の電位差を見ます。図の点線で示された範囲です。
• 距離 \(d\): その2本の等電位線の間隔です。図に \(8.0\,\text{cm}\) とあります。

この設問における重要なポイント

• 点D付近の等電位線の間隔 \(d = 8.0\,\text{cm} = 8.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)。
• その間の電位差: 点D（\(0\,\text{V}\)）の左隣は \(+10\,\text{V}\)、右隣は \(-10\,\text{V}\)。よって電位差 \(V = 10 – (-10) = 20\,\text{V}\)。
• 電場の向き: 電位が高い方から低い方へ向かう。

具体的な解説と立式
まず、点D付近の電場の強さ \(E\) を求めます。
$$ E = \frac{\Delta V}{d} $$
ここで、\(\Delta V = 20\,\text{V}\)、\(d = 8.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\) です。

次に、静電気力の大きさ \(F\) を求めます。
$$ F = qE $$

静電気力の向きは、正電荷なので電場の向きと同じです。電場は電位の高い方（左）から低い方（右）へ向かいます。

まず \(E\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{20}{8.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{2000}{8.0} \\[2.0ex] &= 250\,\text{V/m}
\end{aligned}
$$
次に \(F\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= 2.0 \times 250 \\[2.0ex] &= 500 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^2\,\text{N}
\end{aligned}
$$

向きについて:
等電位線は点D付近で縦に走っています。電場はこれに垂直で、電位の高い左側（正電荷側）から低い右側（負電荷側）へ向かいます。つまり、点Dを通る等電位線に垂直で、負電荷に向かう向きです。

点Dの周りの「坂の急さ」を計算します。\(8\,\text{cm}\) 進む間に高さが \(20\,\text{V}\) 変わっているので、その傾き（電場）を求めます。その傾きの強さに、荷物の量（電気量）を掛ければ、荷物が転がり落ちようとする力（静電気力）が分かります。

大きさは \(5.0 \times 10^2\,\text{N}\)、向きはDを通る等電位線に垂直で負電荷に向かう向きです。計算値のオーダーも妥当であり、向きも正電荷が負電荷に引かれる方向と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位と仕事・エネルギーの関係
  • 核心: この問題の根幹は、「電位 \(V\)」という概念が、単なる数値ではなく「単位電荷あたりの位置エネルギー」であることを深く理解することです。重力場における「高さ」と全く同じ役割を果たしており、\(U = qV\) という式は \(U = mgh\) と完全に対応しています。
  • 理解のポイント:
    • 仕事の正負: 「外力が正の仕事をする」＝「エネルギーを注入して持ち上げる（電位を上げる）」、「電場が正の仕事をする」＝「自然に落ちてエネルギーを放出する（電位を下げる）」という直感的なイメージを持つことが重要です。
    • 等電位線と電場: 等電位線は地図の「等高線」と同じです。等高線が密な場所ほど坂が急（電場が強い）であり、物体は等高線に垂直に低い方へ転がり落ちようとします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 一様な電場中の移動: コンデンサー極板間などで電荷を斜めに移動させる問題。電位差 \(V = Ed\) を使って仕事を計算するパターンです。
  • 点電荷の周りの移動: 本問のように電位 \(V = kQ/r\) で計算するパターン。無限遠を基準（\(0\,\text{V}\)）とすることが多いです。
  • 保存力場の周回積分: A→B→C→Aのように一周して戻ってきたとき、静電気力のする仕事の総和は必ず \(0\) になります（位置エネルギーの変化がゼロだから）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電位の「高低」を色分けする: 問題用紙の図に、正電荷付近を赤（高い）、負電荷付近を青（低い）などで色塗りや矢印を書き込むと、直感的に「どちらに落ちるか」「どちらが登りか」が分かりやすくなります。
  2. 仕事の主語を確認する: 「外力が」なのか「静電気力（電場）が」なのかを必ずチェックします。これを取り違えると符号が逆になり、命取りになります。
     • 外力 \(\to\) 逆らう仕事（登り＝正）
     • 静電気力 \(\to\) 自然な仕事（下り＝正）
  3. 等電位線の数え間違い防止: 基準点（\(0\,\text{V}\)）から指でなぞりながら、「\(10, 20, 30…\)」と数値を書き込んでしまうのが確実です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号ミス:
  • 誤解: 「仕事＝力×距離」だから、とにかく正の値にしてしまう。あるいは、外力と静電気力の区別がつかなくなる。
  • 対策: \(W = q\Delta V\) の式を使うときは、必ず \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{後}} – V_{\text{前}})\)、\(W_{\text{電}} = q(V_{\text{前}} – V_{\text{後}})\) と定義に戻って立式しましょう。迷ったら「重い荷物を持ち上げる（外力が正）」イメージで検算します。
• 電位の読み取りミス:
  • 誤解: 等電位線の間隔を目分量で測ってしまい、どの線上に点があるかを間違える。
  • 対策: 図を拡大して見るつもりで、線一本一本を慎重に追跡します。特に、線が込み入っている場所では、隣の線と飛び移らないように注意が必要です。
• 電場の向きの勘違い:
  • 誤解: 電場の向きを「等電位線に沿った向き」と考えてしまう。
  • 対策: 「電場は常に等電位線に垂直」であり、「高い方から低い方へ向かう」ことを徹底しましょう。水が等高線に垂直に流れ落ちるのと同じです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（位置エネルギー）:
  • 選定理由: 電荷 \(q\) とその場所の電位 \(V\) が分かっている状態で、エネルギーを求める問題なので、定義式 \(U = qV\) を使うのが最短かつ確実です。
  • 適用根拠: 静電場における位置エネルギーの定義そのものです。
• 問(4)での公式選択（電場の強さ）:
  • 選定理由: 等電位線の間隔 \(d\) と電位差 \(V\) が与えられており、その局所的な領域での「傾き（電場）」を求める問題です。微小領域を一様な電場とみなして \(E = V/d\) を適用します。
  • 適用根拠: 問題文に「点D付近は、一様な電場とみなせる」という記述があるため、この近似式（一様な電場の公式）の使用が正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 電荷 \(q\) が負の場合（電子など）、話が全て逆転します（電位が高い方がエネルギーが低い）。計算の最後に「正電荷だから高い方がエネルギー大」「負電荷だから低い方がエネルギー大」と定性的なチェックを入れる癖をつけましょう。
• 単位の接頭辞:
  • \(\text{cm}\) を \(\text{m}\) に直す（\(\times 10^{-2}\)）、\(\mu\text{C}\) を \(\text{C}\) に直す（\(\times 10^{-6}\)）といった操作は、式に代入する前の段階でメモしておくとミスが減ります。
• 差の計算:
  • \(V_{\text{後}} – V_{\text{前}}\) の計算では、マイナスの値を引くとき（例: \(0 – (-30)\)）に符号ミスが起きやすいです。カッコを丁寧に書き、暗算せずに途中式を残しましょう。

442 点電荷のつくる電場と電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷による電場と電位の重ね合わせ」です。複数の点電荷が存在する空間において、ある点での電場（ベクトル）と電位（スカラー）をどのように合成するかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「無限遠から点Bに電荷を運ぶ仕事」を求める問題です。
まず、点Bには元々何もありませんでしたが、点Aに固定された電荷 \(+Q\) があるため、点Bには電位が生じています。
1. 点Aの電荷 \(+Q\) が点Bにつくる電位 \(V_B\) を求めます。
2. その電位 \(V_B\) の場所に、無限遠（電位 \(0\)）から新たな電荷 \(+Q\) を運んでくる仕事 \(W\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 点Aの座標は \((0, a)\)、点Bの座標は \((0, -a)\)。
• 2点間の距離 \(r\) は \(2a\) である。
• 電位の基準は無限遠（\(0\,\text{V}\)）。
• 仕事の公式 \(W = qV\) を使う。ここで \(q\) は運ぶ電荷 \(+Q\)、\(V\) は運び込む場所の電位 \(V_B\)。

具体的な解説と立式
まず、点Aにある電荷 \(+Q\) が、距離 \(r = 2a\) 離れた点Bにつくる電位 \(V_B\) を求めます。
$$ V_B = k\frac{Q}{2a} $$
次に、この電位 \(V_B\) の点Bに、無限遠から電荷 \(+Q\) を運ぶのに必要な仕事 \(W\) を求めます。
$$ W = (+Q) \times V_B $$

\(V_B\) の式を \(W\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= Q \times \left( k\frac{Q}{2a} \right) \\[2.0ex] &= k\frac{Q^2}{2a}
\end{aligned}
$$

点Aにプラスの電気がいるので、その周りは「電気的な高さ（電位）」が高くなっています。点Bもその影響で少し高くなっています。
そこに、遠くの低い場所（無限遠）から、別のプラスの電気を「よいしょ」と持ち上げて点Bまで運んでくるイメージです。
まず点Bの高さ（電位）を計算し、それに運ぶ荷物の重さ（電気量）を掛ければ、必要なエネルギー（仕事）が分かります。

仕事は \(k\frac{Q^2}{2a}\) です。同符号の電荷（プラスとプラス）を近づけるには、反発力に逆らって仕事をする必要があるので、正の値になるのは妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Cにおける合成電場を求めます。電場はベクトル（向きと大きさを持つ量）なので、単純な足し算ではなく、図を描いて矢印の合成を行う必要があります。
1. 点Aの電荷が点Cにつくる電場 \(\vec{E}_A\) と、点Bの電荷が点Cにつくる電場 \(\vec{E}_B\) をそれぞれ考えます。
2. 点A、Bから点Cまでの距離を求めます。三平方の定理を使います。
3. 電場の強さの公式 \(E = k\frac{Q}{r^2}\) でそれぞれの大きさを計算します。
4. 図を描いて、2つのベクトルの合成（ベクトル和）を計算します。対称性に注目すると計算が楽になります。
この設問における重要なポイント

• 点Cの座標は \((\sqrt{3}a, 0)\)。
• 距離 AC と BC は等しく、\(r = \sqrt{a^2 + (\sqrt{3}a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a\)。
• 三角形 AOC と BOC は、辺の比が \(1 : \sqrt{3} : 2\) の直角三角形（\(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）である。
• 電場 \(\vec{E}_A\) は AC 方向（右下向き）、\(\vec{E}_B\) は BC 方向（右上向き）。
• \(y\) 成分は打ち消し合い、\(x\) 成分だけが残る。

具体的な解説と立式
まず、各電荷から点Cまでの距離 \(r\) を求めます。
$$ r = \sqrt{a^2 + (\sqrt{3}a)^2} $$
$$ r = 2a $$
点A、点Bにある電荷はともに \(+Q\) なので、これらが点Cにつくる電場の強さ \(E_A, E_B\) は等しくなります。
$$ E_A = E_B = k\frac{Q}{(2a)^2} $$
$$ E_A = E_B = k\frac{Q}{4a^2} $$
次に、向きを考えます。
図を描くと、\(\vec{E}_A\) は \(x\) 軸に対して \(30^\circ\) 下向き、\(\vec{E}_B\) は \(x\) 軸に対して \(30^\circ\) 上向きです。
合成電場 \(\vec{E}\) の \(y\) 成分は、上下対称なので打ち消し合って \(0\) になります。
\(x\) 成分は、\(E_A \cos 30^\circ\) と \(E_B \cos 30^\circ\) の和になります。
$$ E = E_A \cos 30^\circ + E_B \cos 30^\circ $$

\(E_A = E_B\) なので、まとめて計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= 2 \times E_A \cos 30^\circ \\[2.0ex] &= 2 \times \left( k\frac{Q}{4a^2} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}kQ}{4a^2}
\end{aligned}
$$
向きは、\(x\) 成分が正で \(y\) 成分が \(0\) なので、\(x\) 軸の正の向きです。

点Cには、上（点A）からの電気の力と、下（点B）からの電気の力が働きます。
上からの力は「右下」へ押し出す力、下からの力は「右上」へ押し出す力です。
この2つの力を合わせると、「上」と「下」の成分はちょうど打ち消し合って消えてしまい、「右」へ押す成分だけが残ります。
それぞれの力の強さを計算し、角度（\(30^\circ\)）を考慮して「右向き成分」だけを足し合わせれば答えが出ます。

強さは \(\frac{\sqrt{3}kQ}{4a^2}\)、向きは \(x\) 軸の正の向きです。
2つの正電荷の中間地点から外側へ向かう方向（\(x\) 軸正方向）に電場ができるのは、反発力の向きとして直感的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Cと原点Oの電位を求めます。電位はスカラー（ただの数値）なので、向きを気にする必要はありません。それぞれの電荷がつくる電位を計算して、単純に足し算するだけです。
1. 点Cの電位: 点Aからの距離 \(2a\)、点Bからの距離 \(2a\) を使って計算し、足します。
2. 原点Oの電位: 点Aからの距離 \(a\)、点Bからの距離 \(a\) を使って計算し、足します。
この設問における重要なポイント

• 電位はスカラー和（単純な足し算）。
• 点Cまでの距離は \(2a\)。
• 原点Oまでの距離は \(a\)。

具体的な解説と立式
点Cの電位 \(V_C\):
点Aの電荷による電位 \(V_{AC}\) と、点Bの電荷による電位 \(V_{BC}\) は以下の通りです。
$$ V_{AC} = k\frac{Q}{2a} $$
$$ V_{BC} = k\frac{Q}{2a} $$
合成電位 \(V_C\) はこれらの和です。
$$ V_C = V_{AC} + V_{BC} $$

原点Oの電位 \(V_O\):
点Aの電荷による電位 \(V_{AO}\) と、点Bの電荷による電位 \(V_{BO}\) は以下の通りです。
$$ V_{AO} = k\frac{Q}{a} $$
$$ V_{BO} = k\frac{Q}{a} $$
合成電位 \(V_O\) はこれらの和です。
$$ V_O = V_{AO} + V_{BO} $$

点Cの電位:
$$
\begin{aligned}
V_C &= k\frac{Q}{2a} + k\frac{Q}{2a} \\[2.0ex] &= 2 \times k\frac{Q}{2a} \\[2.0ex] &= k\frac{Q}{a}
\end{aligned}
$$

原点Oの電位:
$$
\begin{aligned}
V_O &= k\frac{Q}{a} + k\frac{Q}{a} \\[2.0ex] &= 2k\frac{Q}{a}
\end{aligned}
$$

電位の計算は、電場の計算よりずっと簡単です。「高さ」を足し合わせるだけだからです。
点Cの高さは、「Aさんが作った高さ」と「Bさんが作った高さ」の合計です。
原点Oの高さも同様です。原点の方が電荷に近い（距離 \(a\)）ので、点C（距離 \(2a\)）よりも高い山になっているはずです。

点Cの電位は \(k\frac{Q}{a}\)、原点Oの電位は \(2k\frac{Q}{a}\) です。
電荷に近い原点Oの方が電位が高くなっている（\(2k\frac{Q}{a} > k\frac{Q}{a}\)）ので、結果は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重ね合わせの原理（電場と電位の違い）
  • 核心: この問題の根幹は、複数の電荷が存在する場において、それぞれの電荷が作る影響をどのように合成するかという「重ね合わせの原理」を正しく適用することです。特に、電場はベクトル和（向きを考慮した足し算）、電位はスカラー和（単なる数値の足し算）であるという決定的な違いを区別できるかが問われています。
  • 理解のポイント:
    • 電場（ベクトル）: 力の合成と同じです。矢印を描いて、平行四辺形の法則や成分分解を使って合成します。向きが重要です。
    • 電位（スカラー）: 高低差の合成と同じです。それぞれの電荷が作る「高さ」を単純に足し合わせます。向きという概念はありません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異符号の電荷（電気双極子）: 一方が \(+Q\)、他方が \(-Q\) の場合。電場の向きが変わるだけでなく、電位の計算では符号（マイナス）を考慮して足し合わせるため、打ち消し合う場所（電位ゼロの点）が現れます。
  • 正方形や正三角形の頂点配置: 3つ以上の電荷がある場合。電場の合成は複雑になりますが、対称性を利用して成分をキャンセルさせる考え方は共通です。電位は単純に項数が増えるだけです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性を探す: 電荷の配置や大きさが対称的であれば、電場の特定の成分（例えば \(y\) 成分）が打ち消し合ってゼロになることを予測できます。これにより計算量を大幅に減らせます。
  2. 距離の比を確認する: 直角三角形の辺の比（\(1:1:\sqrt{2}\) や \(1:2:\sqrt{3}\)）が隠れていることが多いです。これを見抜けば、角度（\(45^\circ\) や \(30^\circ\)）が分かり、成分分解が容易になります。
  3. 電位の基準: 「無限遠を基準」とするのが一般的ですが、問題によってはアース（接地）された点が基準（\(0\,\text{V}\)）になることもあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位のベクトル合成:
  • 誤解: 電位にも向きがあると思い込み、電場と同じように矢印を描いて合成しようとしてしまう。
  • 対策: 「電位＝高さ（スカラー）」、「電場＝坂の傾き（ベクトル）」というイメージを徹底しましょう。高さに「右向き」や「左向き」はありません。
• 距離の2乗忘れ:
  • 誤解: クーロンの法則や電場の公式で、分母の \(r^2\) を \(r\) にしてしまったり、逆に電位の公式で \(r\) を \(r^2\) にしてしまう。
  • 対策: 次元（単位）を確認しましょう。電場 \(E\) は力に近いので \(1/r^2\)、電位 \(V\) はエネルギーに近い（距離を掛けたもの）ので \(1/r\) です。
• 符号の扱い:
  • 誤解: 電位の計算で、負電荷の場合にマイナスを付け忘れる。
  • 対策: 電位の公式 \(V = kQ/r\) の \(Q\) には、符号を含めて代入します。正電荷なら山（プラス）、負電荷なら谷（マイナス）を作り、それらを足し合わせます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（仕事）:
  • 選定理由: 電位 \(V\) が定義されている場所へ電荷 \(q\) を運ぶ仕事なので、\(W = qV\) が最短ルートです。力 \(F\) を距離で積分する方法もありますが、計算が非常に困難です。
  • 適用根拠: 静電気力は保存力であり、仕事は経路によらず「電位差」だけで決まるため、この公式が適用できます。
• 問(2)での公式選択（電場の合成）:
  • 選定理由: 複数の点電荷による電場を求めるため、個々の電場を求めてベクトル合成する「重ね合わせの原理」を用います。
  • 適用根拠: 電場は線形性を持つため、個々の電荷が作る場を独立に計算して足し合わせることが物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算する:
  • 具体的な数値（\(k=9.0 \times 10^9\) など）が与えられていても、最後まで文字式（\(k, Q, a\)）のまま計算し、最後に代入する方がミスが減ります。また、次元解析（単位チェック）もしやすくなります。
• 図を描く:
  • 電場の合成では、必ず大きめの図を描き、矢印の長さや角度を視覚的に確認しましょう。「成分が打ち消し合う」様子を目で見ることが、計算ミスの早期発見につながります。
• 三角比の値:
  • \(\sin 30^\circ = 1/2\)、\(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\) などの値を間違えないように。図を描いて辺の比（\(1:2:\sqrt{3}\)）を確認するのが確実です。

443 電場と電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線上の2点電荷がつくる電場と電位」です。異符号の電荷が並んでいるとき、電場（ベクトル）が打ち消し合う場所と、電位（スカラー）が打ち消し合う場所がどこになるかを、数式と物理的直感の両面から理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電場が \(0\) になるためには、2つの条件が必要です。
1. 向きが逆であること: A（正電荷）がつくる電場は「右向き（\(+x\)方向）」または「左向き（\(-x\)方向）」、B（負電荷）がつくる電場は常にBに向かう向きです。これらが逆になる領域を探します。
2. 大きさが等しいこと: 電荷の大きさはAの方が大きい（\(2Q > Q\)）ため、Aから遠く、Bに近い場所でないとつり合いません。
この設問における重要なポイント

• Aは正電荷（\(+2Q\)）、Bは負電荷（\(-Q\)）。
• 電場の向き:
  • \(x < 0\): Aからは左（\(-x\)）、Bへは右（\(+x\)） \(\to\) 逆向き。
  • \(0 < x < a\): Aからは右（\(+x\)）、Bへは右（\(+x\)） \(\to\) 同じ向き。
  • \(a < x\): Aからは右（\(+x\)）、Bへは左（\(-x\)） \(\to\) 逆向き。
• 電場の強さ: 距離の2乗に反比例する。電荷が大きいAから遠く、電荷が小さいBに近い場所でつり合う可能性がある。

具体的な解説と立式
各領域について検討します。

• \(0 < x < a\) の領域:
  A（正）からの電場は右向き、B（負）への電場も右向きです。両方の電場が同じ向きなので、合成電場が \(0\) になることはありません。
• \(x < 0\) の領域:
  Aからの電場は左向き、Bへの電場は右向きで、向きは逆です。
  しかし、この領域は「電荷が大きいA（\(2Q\)）」に近く、「電荷が小さいB（\(Q\)）」から遠い場所です。
  クーロンの法則 \(E = k\frac{Q}{r^2}\) より、分子が大きく分母が小さいAの電場の方が、常にBの電場より大きくなります。したがって、打ち消し合うことはありません。
• \(a < x\) の領域:
  Aからの電場は右向き、Bへの電場は左向きで、向きは逆です。
  この領域は「電荷が大きいA」から遠く、「電荷が小さいB」に近い場所です。
  距離による減衰がAの電場に対して大きく効くため、ある地点でAの電場とBの電場の大きさが等しくなる可能性があります。

計算は不要で、定性的な考察により判断します。
上記の考察より、電場が \(0\) になる可能性があるのは \(a < x\) の領域のみです。

綱引きをイメージしてください。Aチームは20人（\(2Q\)）、Bチームは10人（\(Q\)）の力持ちです。
真ん中（\(0 < x < a\)）にいると、Aからは押され、Bからは引っ張られるので、右に飛ばされます。
Aの後ろ（\(x < 0\)）にいると、20人のAに近いのでAの押す力が圧倒的に強く、左に飛ばされます。
Bの後ろ（\(a < x\)）にいると、10人のBに近いのでBの引く力が強くなりますが、20人のAからも押されています。Bに十分近ければ、Bの引く力と遠くのAの押す力がちょうど釣り合う場所がありそうです。

電場が \(0\) となる点は \(a < x\) の範囲に存在します。
異符号の電荷の場合、電場が \(0\) になる点は、2つの電荷を結ぶ直線の外側で、かつ絶対値が小さい電荷（ここではB）の側に存在するという一般則とも一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で特定した \(a < x\) の領域において、Aがつくる電場の強さ \(E_A\) と、Bがつくる電場の強さ \(E_B\) が等しくなる条件式を立てて解きます。

• 点Pの座標を \(x\) とします。
• Aからの距離は \(x\) です（原点にあるため）。
• Bからの距離は \(x – a\) です（座標 \(a\) にあるため）。

この設問における重要なポイント

• 距離の定義: Aからは \(x\)、Bからは \(x-a\)。
• 電場の強さの条件: \(E_A – E_B = 0\) つまり \(E_A = E_B\)。
• 電荷の大きさ: Aは \(2Q\)、Bは \(Q\)（大きさなので絶対値を使う）。

具体的な解説と立式
電場が \(0\) になる点 \(x\) (\(x > a\)) において、Aによる電場の強さとBによる電場の強さが等しくなります。
Aによる電場の強さ \(E_A\) は以下の通りです。
$$ E_A = k\frac{2Q}{x^2} $$
Bによる電場の強さ \(E_B\) は以下の通りです。
$$ E_B = k\frac{Q}{(x-a)^2} $$
これらが等しいので、以下の等式が成り立ちます。
$$ k\frac{2Q}{x^2} = k\frac{Q}{(x-a)^2} $$

両辺の \(kQ\) を約分します。
$$ \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x-a)^2} $$
両辺の平方根をとります（\(x > a > 0\) なので、\(x\) も \(x-a\) も正です）。
$$ \frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x-a} $$
分母を払って整理します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2}(x-a) &= x \\[2.0ex] \sqrt{2}x – \sqrt{2}a &= x \\[2.0ex] (\sqrt{2} – 1)x &= \sqrt{2}a
\end{aligned}
$$
\(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} – 1}a \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1)}a \\[2.0ex] &= \frac{2 + \sqrt{2}}{2 – 1}a \\[2.0ex] &= (2 + \sqrt{2})a
\end{aligned}
$$

Aからの「押す力」とBからの「引く力」が釣り合う場所を計算で求めます。
力の強さは距離の2乗に反比例するので、「距離の比の2乗」が「電荷の大きさの比（\(2:1\)）」になればよいわけです。
計算すると、\(x = (2 + 1.41)a \approx 3.41a\) となり、Bの位置（\(a\)）よりもさらに右側にあることが分かります。

\(x = (2 + \sqrt{2})a\) です。
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) なので \(x \approx 3.41a\) となり、これは \(a < x\) の条件を満たしています。また、模範解答のように2次方程式として解いても同じ結果が得られますが、平方根をとる方法の方が計算が速いです。

問(3)

思考の道筋とポイント
電位が \(0\) になる点を求めます。電位はスカラー（向きのない量）なので、単純に足し算して \(0\) になる点を探します。

• Aがつくる電位 \(V_A = k\frac{2Q}{|x|}\)
• Bがつくる電位 \(V_B = k\frac{-Q}{|x-a|}\)
• 条件式: \(V_A + V_B = 0\)

電位は距離 \(r\) に反比例します（2乗ではない）。
正電荷の近くは電位が正（山）、負電荷の近くは電位が負（谷）になります。その境界線（高さゼロ）となる場所を探します。
\(x < 0\) の領域では、A（\(+2Q\)）に近いため常に正の電位が勝ちます。したがって、解は \(0 < x < a\) と \(a < x\) の2つの領域に存在する可能性があります。
この設問における重要なポイント

• 電位の合成: \(V = V_A + V_B = 0\)。
• 絶対値の扱い: 距離は常に正の値でなければならないため、\(|x|\) や \(|x-a|\) のように絶対値を意識する。
  • \(0 < x < a\) のとき: Aからの距離 \(x\)、Bからの距離 \(a-x\)。
  • \(a < x\) のとき: Aからの距離 \(x\)、Bからの距離 \(x-a\)。

具体的な解説と立式
電位の和が \(0\) になる条件式を立てます。
$$ k\frac{2Q}{|x|} + k\frac{-Q}{|x-a|} = 0 $$
共通因数の \(kQ\) で割り、項を移項すると以下のようになります。
$$ \frac{2}{|x|} = \frac{1}{|x-a|} $$
これは、「Aからの距離とBからの距離の比が \(2:1\) になる点」を意味しています。

ケース1: \(0 < x < a\) のとき
距離はそれぞれ \(x\) と \(a-x\) です。
$$ \frac{2}{x} = \frac{1}{a-x} $$

ケース2: \(a < x\) のとき
距離はそれぞれ \(x\) と \(x-a\) です。
$$ \frac{2}{x} = \frac{1}{x-a} $$

ケース1 (\(0 < x < a\)) の計算:
$$
\begin{aligned}
2(a-x) &= x \\[2.0ex] 2a – 2x &= x \\[2.0ex] 3x &= 2a \\[2.0ex] x &= \frac{2}{3}a
\end{aligned}
$$
これは \(0 < x < a\) を満たします。

ケース2 (\(a < x\)) の計算:
$$
\begin{aligned}
2(x-a) &= x \\[2.0ex] 2x – 2a &= x \\[2.0ex] x &= 2a
\end{aligned}
$$
これは \(a < x\) を満たします。

電位がゼロになる場所というのは、プラスの山（A）とマイナスの谷（B）の影響がちょうど打ち消し合って「海抜ゼロメートル」になる地点のことです。
Aの山はBの谷より2倍高い（電荷が2倍）ので、ゼロになる地点は「Aからの距離がBからの距離の2倍になる場所」です。
そのような場所は、AとBの間（内分点）に1つと、Bの外側（外分点）に1つあります。

求める座標は \(x = \frac{2}{3}a\) と \(x = 2a\) の2点です。
\(x = \frac{2}{3}a\) はAとBを \(2:1\) に内分する点、\(x = 2a\) はAとBを \(2:1\) に外分する点に対応しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場と電位のゼロ点の条件
  • 核心: この問題の根幹は、異符号の点電荷が作る場において、「電場（ベクトル）が打ち消し合う条件」と「電位（スカラー）が打ち消し合う条件」の違いを明確に理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 電場ゼロ: ベクトルの合成です。向きが逆で、かつ大きさが等しい必要があります。距離の2乗に反比例するため、電荷の大きさが異なると、ゼロになる点は1箇所しか存在しません（電荷の絶対値が小さい方の外側）。
    • 電位ゼロ: スカラーの和です。正の電位と負の電位の絶対値が等しい必要があります。距離の1乗に反比例するため、ゼロになる点は2箇所存在します（内分点と外分点）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 同符号の電荷の場合: 両方とも正電荷（\(+Q, +Q\)）の場合、電場がゼロになる点は中間に1箇所ありますが、電位がゼロになる点は（無限遠を除いて）存在しません。山と山が重なっても谷にはならないからです。
  • 平面上の電位ゼロ: 本問は直線上でしたが、平面上（\(xy\) 平面）で電位がゼロになる点の集合を求めると、「アポロニウスの円」になります。内分点と外分点を直径の両端とする円です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの概形を描く: \(E-x\) グラフや \(V-x\) グラフをラフに描いてみましょう。どこで軸と交わるか（ゼロになるか）が視覚的に分かります。特に \(V-x\) グラフは、正電荷付近で \(+\infty\)、負電荷付近で \(-\infty\) に発散する双曲線のような形になることをイメージしてください。
  2. 「近い・遠い」と「大きい・小さい」のバランス: 電場や電位が釣り合うには、「電荷が大きい方からは遠く、電荷が小さい方からは近く」なければなりません。この直感があれば、解の存在範囲（\(a < x\) など）を間違えることはありません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の混同:
  • 誤解: 電場がゼロの場所では電位もゼロになる、あるいはその逆だと思い込んでしまう。
  • 対策: 本問の結果を見てください。電場ゼロは \(x \approx 3.41a\)、電位ゼロは \(x = 0.67a, 2a\) であり、全く別の場所です。「坂が平らな場所（電場ゼロ）」と「海抜ゼロメートルの場所（電位ゼロ）」は違う、と覚えましょう。
  • 距離の取り方:
    • 誤解: 座標 \(x\) をそのまま距離として使ってしまう。
    • 対策: 距離は常に正の値です。点B（座標 \(a\)）からの距離は、\(x > a\) なら \(x-a\)、\(x < a\) なら \(a-x\)（または \(|x-a|\)）と書く癖をつけましょう。特に2乗しない電位の計算では符号ミスが命取りになります。
  • 2次方程式の解の吟味:
    • 誤解: 計算で出た解（例えば \(x = (2 \pm \sqrt{2})a\)）を両方とも答えにしてしまう。
    • 対策: 最初に立てた「存在範囲（\(a < x\)）」と照らし合わせる手順を必ず踏んでください。物理的にあり得ない解（例えば電荷の間の点など）を除外する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(2)での公式選択（電場のつり合い）:
  • 選定理由: 電場の大きさが等しいことを数式化するため、点電荷の電場の公式 \(E = kQ/r^2\) を用います。
  • 適用根拠: ベクトルの向きが逆であることは領域の選定で既に考慮済みなので、あとは「大きさ（絶対値）」が等しいというスカラーの等式として解くことができます。
• 問(3)での公式選択（電位の和）:
  • 選定理由: 電位の重ね合わせは単純な代数和なので、\(V = kQ/r\) を用いて \(V_A + V_B = 0\) を立式します。
  • 適用根拠: 電位はスカラー量であり、基準（無限遠）が共通であれば単純に加算できるためです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の利用:
  • 問(2)のように \(\frac{A}{x^2} = \frac{B}{(x-a)^2}\) という形の方程式は、展開して2次方程式の解の公式を使うよりも、両辺のルートを取って \(\frac{\sqrt{A}}{x} = \frac{\sqrt{B}}{x-a}\) と一次方程式にする方が圧倒的に速く、ミスも減ります。
  • 比の利用:
    • 問(3)のように \(k\) や \(Q\) が約分できる場合は、最初から「距離の比」の問題として処理する（別解のアプローチ）と計算量が激減します。検算用としても強力です。
  • 次元解析:
    • 答えが \(x = (\text{係数}) \times a\) の形になっているか確認しましょう。もし \(x = a^2\) のようになっていたら、長さの次元（単位）が合わないので間違いです。

444 金属板間の電場と仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場中の荷電粒子の運動」です。コンデンサーの極板間のような一様な電場における電位の分布、仕事、そして荷電粒子の加速運動を総合的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
金属板AとBの間には一様な電場ができています。一様な電場では、電場の強さ \(E\) は場所によらず一定であり、極板間の電位差 \(V\) と距離 \(d\) の関係式 \(V = Ed\) から求められます。
点Pも点Qも同じ一様な電場の中にあるので、電場の強さは等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 金属板間の電位差 \(V = 12\,\text{V}\)。
• 金属板間の距離 \(d = 6.0\,\text{cm} = 6.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)。
• 一様な電場なので、P点でもQ点でも電場の強さは同じ。

具体的な解説と立式
一様な電場の公式 \(E = \frac{V}{d}\) を用いて、電場の強さを求めます。
$$ E = \frac{12}{6.0 \times 10^{-2}} $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{12}{0.060} \\[2.0ex] &= \frac{1200}{6} \\[2.0ex] &= 200 \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^2\,\text{V/m}
\end{aligned}
$$
点P、点Qともにこの値になります。

金属板の間は、どこでも同じ強さの電気の力が働く空間（一様な電場）になっています。その強さは、「電圧（高さの差）」を「距離」で割ることで求められます。\(12\,\text{V}\) の電圧が \(6\,\text{cm}\) の幅にかかっているので、\(1\,\text{m}\) あたりに換算すると \(200\,\text{V}\) 分の強さになります。

ともに \(2.0 \times 10^2\,\text{V/m}\) です。単位の換算（\(\text{cm} \to \text{m}\)）を忘れずに行うことが重要です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Pの電位を求めます。電位の基準（\(0\,\text{V}\)）は接地されている金属板Bです。
一様な電場では、電位は距離に比例して変化します。基準点Bから点Pまでの距離 \(d_{PB}\) を使い、\(V = Ed\) の関係から電位を計算します。
この設問における重要なポイント

• 電位の基準は金属板B（\(0\,\text{V}\)）。
• 図より、AからPまでの距離は \(3.0\,\text{cm}\)。
• 全体の距離（AからB）は \(6.0\,\text{cm}\) なので、BからPまでの距離 \(d_{PB}\) は \(6.0 – 3.0 = 3.0\,\text{cm}\) となる。
• 電場はAからBに向かっているので、BからAに向かって電位は高くなります。

具体的な解説と立式
点Pの電位 \(V_P\) は、基準点B（\(0\,\text{V}\)）からの電位上昇分に等しいです。
BからPまでの距離 \(d_{PB}\) は以下のようになります。
$$ d_{PB} = 6.0\,\text{cm} – 3.0\,\text{cm} $$
$$ d_{PB} = 3.0\,\text{cm} $$
$$ d_{PB} = 3.0 \times 10^{-2}\,\text{m} $$
(1)で求めた電場 \(E = 2.0 \times 10^2\,\text{V/m}\) を用いて立式します。
$$ V_P = E \times d_{PB} $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
V_P &= (2.0 \times 10^2) \times (3.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 6.0\,\text{V}
\end{aligned}
$$

B地点が高さゼロ（\(0\,\text{V}\)）です。そこから電気の坂道を \(3.0\,\text{cm}\) だけ登ったところがP地点です。坂の急さ（電場）は \(200\,\text{V/m}\) なので、登った高さ（電位）は掛け算で求められます。

\(6.0\,\text{V}\) です。全体の電圧が \(12\,\text{V}\) で、P点はちょうど真ん中（\(6.0\,\text{cm}\) のうちの \(3.0\,\text{cm}\)）にあるので、電位も半分の \(6.0\,\text{V}\) になるのは直感的にも正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
PQ間の電位差と、どちらが高電位かを答えます。
まず点Qの電位 \(V_Q\) を(2)と同様に求め、\(V_P\) との差をとります。
電場はA（プラス）からB（マイナス）に向かっているので、電位はA側が高いです。PとQの位置関係から、どちらがAに近い（Bから遠い）かを判断すれば、高電位側が分かります。
この設問における重要なポイント

• 点Qは金属板Bから \(2.0\,\text{cm}\) の位置にある。
• \(d_{QB} = 2.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)。
• 電位が高いのは、電場の「上流」側。

具体的な解説と立式
まず、点Qの電位 \(V_Q\) を求めます。
$$ V_Q = E \times d_{QB} $$
次に、PQ間の電位差 \(V_{PQ}\) を求めます。
$$ V_{PQ} = |V_P – V_Q| $$
高電位の判定は、Bからの距離が大きい方（電場の上流側）を選びます。

\(V_Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_Q &= (2.0 \times 10^2) \times (2.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 4.0\,\text{V}
\end{aligned}
$$
電位差を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{PQ} &= |6.0 – 4.0| \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{V}
\end{aligned}
$$
\(V_P = 6.0\,\text{V}\)、\(V_Q = 4.0\,\text{V}\) なので、Pの方が高電位です。

Q地点はB地点から \(2.0\,\text{cm}\) 登ったところなので、高さは \(4.0\,\text{V}\) です。
P地点（\(6.0\,\text{V}\)）とQ地点（\(4.0\,\text{V}\)）の高さの差は \(2.0\,\text{V}\) です。
当然、より高いところまで登っているP地点の方が高電位です。

電位差は \(2.0\,\text{V}\)、高電位はPです。
PとQの距離は \(3.0 – 2.0 = 1.0\,\text{cm}\) なので、直接 \(V = Ed = 200 \times 0.01 = 2.0\,\text{V}\) と計算しても同じ結果になります。

問(4)

思考の道筋とポイント
負電荷を持つ粒子が、静電気力を受けてQからPへ運ばれるときの仕事を求めます。
「電場がする仕事」を問われています。

• 力の向き: 負電荷なので、電場（右向き）と逆向き（左向き）の力を受けます。
• 移動の向き: QからPへ、つまり左向きに移動します。
• 仕事の符号: 力の向きと移動の向きが同じなので、仕事は正になります。

仕事の大きさは、\(W = |qV_{PQ}|\) で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 粒子の電荷 \(q = -4.8 \times 10^{-19}\,\text{C}\)。
• 移動区間の電位差 \(V_{PQ} = 2.0\,\text{V}\)。
• 負電荷は電位の高い方へ引かれる（自然に動く）ため、電場は正の仕事をする。

具体的な解説と立式
電場がする仕事 \(W\) は、電荷の絶対値 \(|q|\) と移動する2点間の電位差 \(V_{PQ}\) の積で求められます（符号は物理的状況から判断します）。
$$ W = |q| \times V_{PQ} $$
負電荷が電位の高い方（P）へ移動するので、静電気力による位置エネルギーは減少し、その分が仕事として取り出されます（正の仕事）。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= |-4.8 \times 10^{-19}| \times 2.0 \\[2.0ex] &= 4.8 \times 10^{-19} \times 2.0 \\[2.0ex] &= 9.6 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

マイナスの電気を持った粒は、プラスの電気（A側、つまりP側）が好きなので、自然とそちらへ引っ張られます。
QからPへの移動は、この「引っ張られる力」に従って動くことになります。風に乗って進むようなものなので、電場（風）は粒子に対してプラスの仕事をします。その量は、電気の量と高さの差（電圧）を掛ければ分かります。

仕事は \(9.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。
電子のような微小な粒子が数ボルトの電位差で加速されるときのエネルギーとして、妥当なオーダーです。

問(5)

思考の道筋とポイント
電場がした仕事が、すべて粒子の運動エネルギーに変わります（エネルギー保存則、または仕事と運動エネルギーの関係）。
初速度は \(0\)（静かに出発）なので、Qでの運動エネルギーは \(0\)、Pでの運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv^2\) です。
これらが等しいとして方程式を立て、速さ \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 粒子の質量 \(m = 3.0 \times 10^{-20}\,\text{kg}\)。
• 電場がした仕事 \(W = 9.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\)。
• 重力は無視できる。

具体的な解説と立式
仕事と運動エネルギーの関係より、以下の式が成り立ちます。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = W $$
これを \(v\) について解きます。
$$ v = \sqrt{\frac{2W}{m}} $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{2 \times (9.6 \times 10^{-19})}{3.0 \times 10^{-20}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{19.2 \times 10^{-19}}{3.0 \times 10^{-20}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{6.4 \times 10^1} \\[2.0ex] &= \sqrt{64} \\[2.0ex] &= 8.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

(4)で計算したエネルギーが、すべてスピードアップに使われます。
「エネルギー \(=\) 運動エネルギー」という式を作って、スピード \(v\) を逆算します。ルートの計算が出てきますが、中身がきれいに \(64\) になるので、整数で答えが出ます。

速さは \(8.0\,\text{m/s}\) です。
質量が非常に小さいですが、電荷も小さいため、極端に光速に近づくようなことはなく、日常的な速度の範囲に収まっています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 一様な電場と電位・仕事の関係
  • 核心: この問題の根幹は、一様な電場（\(E\) が一定）という特殊な環境下において、電位 \(V\) が距離 \(d\) に比例して変化する（\(V=Ed\)）こと、そしてその電位差を利用して電場が荷電粒子にする仕事 \(W=qV\) を計算できることです。
  • 理解のポイント:
    • 重力場とのアナロジー: 一様な電場は、地表付近の一様な重力場と全く同じ構造をしています。「電場 \(E\) ⇔ 重力加速度 \(g\)」、「電位 \(V\) ⇔ 高さ \(h\)」、「電荷 \(q\) ⇔ 質量 \(m\)」と対応させると、\(V=Ed\) は \(gh=g \times h\)、\(W=qV\) は \(W=mgh\) に対応し、直感的に理解しやすくなります。
    • エネルギー保存則: 電場がした仕事は消えてなくなるのではなく、粒子の運動エネルギーに変換されます。このエネルギー収支の感覚を持つことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子銃やブラウン管: 電子を電圧 \(V\) で加速してビームにする装置。本問の(5)と全く同じ原理（\(eV = \frac{1}{2}mv^2\)）で速度が決まります。
  • 電場と磁場の複合問題: 加速された粒子が磁場に入射してローレンツ力を受ける問題。最初の加速段階で本問の知識を使います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「一様な電場」か確認する: 平行平板コンデンサーや金属板間であれば一様な電場です。点電荷の周り（\(E \propto 1/r^2\)）とは公式が違うので注意が必要です。
  2. 基準点（0V）を探す: 接地マーク（アース）があればそこが \(0\,\text{V}\) です。なければ、負極側を \(0\,\text{V}\) と仮定して相対的な電位差で考えるのが定石です。
  3. 電荷の符号をチェック: 正電荷なら電位の低い方へ「落ちる」、負電荷なら電位の高い方へ「登る」ように加速されます。力の向きと移動の向きが合っているか（仕事が正か負か）を常に意識しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 距離の取り違え:
  • 誤解: 公式 \(V=Ed\) の \(d\) に、常に極板間距離（\(6.0\,\text{cm}\)）を代入してしまう。
  • 対策: \(V\) が「どことどこの電位差」なのかを意識します。極板間の電圧なら極板間距離、P点の電位（基準点との差）なら基準点までの距離、PQ間の電位差ならPQ間の距離を使います。
• 仕事の符号ミス:
  • 誤解: \(W=qV\) の計算で、\(q\) にマイナスを入れ忘れたり、電位差 \(V\) の引く順序を間違えて、仕事が負になってしまう。
  • 対策: 計算結果の符号を物理的直感で検算します。「静電気力に引かれて加速したなら、仕事はプラス」「逆らって無理やり動かしたなら、仕事はマイナス（外力の仕事）」と判断するのが確実です。
• 単位換算忘れ:
  • 誤解: \(\text{cm}\) をそのまま計算に使ってしまう。
  • 対策: 電磁気学の公式（\(V=Ed\) など）は SI単位系（\(\text{m}, \text{kg}, \text{s}, \text{A}\)）で成立しています。問題文の \(\text{cm}\) を見たら、即座に \(\times 10^{-2}\,\text{m}\) と書き換える癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（一様な電場）:
  • 選定理由: 平行金属板間という設定から「一様な電場」であると判断し、\(V=Ed\)（変形して \(E=V/d\)）を選択します。
  • 適用根拠: 電場が一様であるため、電位の勾配（傾き）はどこでも一定であり、全体の電圧を全体の距離で割ることで電場が求まります。
• 問(5)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 「速さ」を求めたい場合、運動方程式から加速度を出して時間を積分するよりも、エネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）を使う方が、時間 \(t\) を経由せずに直接速さを求められるため効率的です。
  • 適用根拠: 重力を無視できるため、粒子に仕事をするのは静電気力のみです。静電気力は保存力なので、位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存される（あるいは静電気力の仕事が運動エネルギー変化になる）という法則が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の処理:
  • \(10^{-19}\) や \(10^{-20}\) といった極端な指数が出てくる計算では、指数部分だけを先にまとめて計算（例: \(\sqrt{10^{-19}/10^{-20}} = \sqrt{10^1}\)）し、係数部分と分けることでミスを減らせます。
• ルートの中身の確認:
  • 物理の問題（特に大学入試）では、ルートの中身がきれいに平方数になるように数値設定されていることが多いです。もし \(\sqrt{6.5}\) のように半端な数になったら、どこかで計算ミスをしていないか疑ってみましょう。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 速さ \(v\) を求めているのに、単位が \(\text{J}\)（エネルギー）になっていないか？ \(v = \sqrt{2qV/m}\) の次元を確認すると、\(\sqrt{(\text{C} \cdot \text{J/C}) / \text{kg}} = \sqrt{\text{J/kg}} = \sqrt{(\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2)/\text{kg}} = \sqrt{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{m/s}\) となり、正しいことが確認できます。

445 電場中での電子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場中の荷電粒子の運動」です。電位のグラフから電場の情報を読み取り、その中での電子の運動（加速）をエネルギーの観点から解析することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(V-x\) グラフが与えられています。このグラフは、位置 \(x\) と電位 \(V\) の関係を示しています。

• 電場の強さ: 一様な電場では、電場の強さ \(E\) は電位の勾配（傾きの大きさ）に等しいです。グラフは原点を通る直線なので、傾きは一定（一様な電場）です。
• 電場の向き: 電場は「電位が高い方から低い方へ」向かいます。グラフを見ると、\(x\) が増えるにつれて電位 \(V\) も上がっています。つまり、\(x\) 軸の正の向きに行くほど電位が高いです。

この設問における重要なポイント

• グラフの傾き \(=\) 電場の強さ \(E\)。
• 電位は \(x\) 軸正の向きに向かって高くなっている。
• 電場は電位が下がる向き（高い \(\to\) 低い）に向かう。

具体的な解説と立式
まず、電場の強さ \(E\) を求めます。グラフより、\(x = 0\) で \(V = 0\)、\(x = 8.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\) で \(V = 364\,\text{V}\) です。
$$ E = \frac{\Delta V}{\Delta x} $$
$$ E = \frac{364 – 0}{8.0 \times 10^{-2} – 0} $$
次に、向きを考えます。
\(x\) 軸の正の向きに進むと電位が上がっています。電場は電位が下がる向きなので、\(x\) 軸の負の向きとなります。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{364}{0.080} \\[2.0ex] &= \frac{36400}{8} \\[2.0ex] &= 4550 \\[2.0ex] &= 4.55 \times 10^3\,\text{V/m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(4.6 \times 10^3\,\text{V/m}\) となります。

グラフを見ると、右に行くほど「電気的な高さ（電位）」が上がっている坂道になっています。
坂の急さ（電場）は、「高さの変化」を「水平距離」で割れば求まります。
電気の世界では、ボールは高いところから低いところへ転がろうとします。この「転がそうとする力（電場）」の向きは、坂を下る向き、つまり左向き（\(x\) 軸の負の向き）です。

強さは \(4.6 \times 10^3\,\text{V/m}\)、向きは \(x\) 軸の負の向きです。
計算値のオーダーも妥当であり、電位の増減と電場の向きの関係も正しく捉えられています。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子は負の電荷を持っています。

• 電場の向き: (1)で求めた通り、\(x\) 軸の負の向き（左向き）です。
• 静電気力の向き: 負電荷は、電場と逆向きの力を受けます。つまり、\(x\) 軸の正の向き（右向き）に力を受けます。
• 運動: 点Pから静かに放すと、力の向きに加速されます。

この設問における重要なポイント

• 電子は負電荷（\(-e\)）。
• 負電荷は電位の高い方へ引かれる（加速される）。
• 点Aは \(x=0\)（低電位）、点Bは \(x=8.0 \times 10^{-2}\)（高電位）。

具体的な解説と立式
電子は負電荷を持つため、電場（\(x\) 軸負の向き）とは逆向き、すなわち \(x\) 軸正の向きに静電気力を受けます。
点Pから見て \(x\) 軸正の方向にあるのは点Bです。
したがって、電子は点Bに向かって加速され、到達します。
また、エネルギーの観点から言えば、負電荷は電位が高いほど位置エネルギーが低くなるため、より安定な（電位の高い）方へ自然に移動します。

計算は不要で、定性的な判断になります。

マイナスの電気を持った電子は、プラスの電気（電位が高い方）が好きです。
グラフを見ると、右側（Bの方）ほど電位が高いので、電子はBの方へ吸い寄せられていきます。

到達するのはBです。負電荷が電位の高い方へ動くという基本原理と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Pから点Bまでの運動における速さを求めます。

• 始点: 点P（\(x = 4.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)）。初速度 \(0\)。
• 終点: 点B（\(x = 8.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)）。速さ \(v\)。
• 保存則: 静電気力のみが仕事をするので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
  • 運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
  • 位置エネルギー \(U = qV\) （ここで \(q = -1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)）

この設問における重要なポイント

• 点Pの電位 \(V_P = 182\,\text{V}\)（グラフより読み取る）。
• 点Bの電位 \(V_B = 364\,\text{V}\)（グラフより読み取る）。
• 電子の質量 \(m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}\)。
• 電荷 \(q = -1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)。

具体的な解説と立式
点Pと点Bでのエネルギー保存則の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{Pでの運動エネルギー}) &+ (\text{Pでの位置エネルギー}) \\[2.0ex] = (\text{Bでの運動エネルギー}) &+ (\text{Bでの位置エネルギー})
\end{aligned}
$$
$$ 0 + qV_P = \frac{1}{2}mv^2 + qV_B $$
これを \(v\) について解きます。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = q(V_P – V_B) $$
$$ v^2 = \frac{2q(V_P – V_B)}{m} $$
ここで、\(q\) は負の値なので、\(V_P – V_B\)（負の値）と掛けて全体は正になります。
絶対値を用いて表記すると、
$$ v = \sqrt{\frac{2|q|(V_B – V_P)}{m}} $$

数値を代入して計算します。
\(V_B – V_P = 364 – 182 = 182\,\text{V}\) です。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{2 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 182}{9.1 \times 10^{-31}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 182}{9.1} \times \frac{10^{-19}}{10^{-31}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 20 \times 9.1}{9.1} \times 10^{12}} \quad (182 = 20 \times 9.1) \\[2.0ex] &= \sqrt{2 \times 1.6 \times 20 \times 10^{12}} \\[2.0ex] &= \sqrt{64 \times 10^{12}} \\[2.0ex] &= 8.0 \times 10^6\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

P地点とB地点でのエネルギーの貸し借りを計算します。
P地点での「位置エネルギー」が、B地点に行くまでに減った分だけ、「運動エネルギー（スピード）」に変わります。
減った位置エネルギーの量は、電気の量と電圧の差（\(182\,\text{V}\)）を掛ければ分かります。
そのエネルギーがすべてスピードに変わったとして計算します。

速さは \(8.0 \times 10^6\,\text{m/s}\) です。
電子の速さとして \(10^6 \sim 10^7\,\text{m/s}\) のオーダーは一般的であり、光速（\(3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)）を超えていないので妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位グラフと電場の関係
  • 核心: この問題の根幹は、\(V-x\) グラフ（電位の分布図）から、その空間の電場 \(E\)（力の場の強さ）を読み取る能力です。数学的には「電場は電位の傾き（微分）の大きさ」であり、向きは「下り坂の方向」であるという関係性を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 傾き＝強さ: グラフが急なほど、単位距離あたりの電位差が大きいため、電場は強くなります。
    • 下り＝向き: 水が高いところから低いところへ流れるように、正電荷は電位が高いところから低いところへ力を受けます。電場の向きはこの「正電荷が受ける力の向き」と定義されています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 非一様な電場: \(V-x\) グラフが曲線の場合。この場合、ある点での接線の傾きがその点での電場の強さになります。
  • 3次元空間: 等電位面が描かれている問題。等電位面に垂直で、電位が下がる向きに電気力線（電場）を描くことで、力の向きを判断します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: 縦軸が \(V\)（電位）、横軸が \(x\)（位置）であることを確認します。もし縦軸が \(E\)（電場）なら、面積が電位差になります（積分の関係）。
  2. 電荷の符号をチェック: 粒子が「電子（負電荷）」なのか「陽子（正電荷）」なのかを最初に見極めます。これを見落とすと、力の向きや到達点が逆になり、全滅する恐れがあります。
  3. エネルギーの収支: 「加速される（速くなる）」なら仕事はプラス、「減速される（遅くなる）」なら仕事はマイナスです。計算結果の符号が直感と合っているか常に確認しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場の向きの逆転:
  • 誤解: 「グラフが右上がりだから、電場も右向き（正の向き）」と短絡的に考えてしまう。
  • 対策: 「電場は電位の滑り台を下る向き」と覚えましょう。右上がり（登り坂）なら、滑り台を下るには左（負の向き）に行かなければなりません。
• 負電荷のエネルギー:
  • 誤解: \(U=qV\) の計算で、\(q\) のマイナスを忘れてしまう。あるいは、「高いところ（高電位）ほどエネルギーが高い」という重力の常識を負電荷にも適用してしまう。
  • 対策: 負電荷の場合、電位が高いほど位置エネルギー \(U=qV\) は低く（よりマイナスに）なります。つまり、負電荷にとっては「高電位＝安定（谷底）」です。
• 計算の桁ミス:
  • 誤解: \(10^{-19}\) や \(10^{-31}\) といった極小の数を扱う際、指数の計算を間違える。
  • 対策: 指数部分（\(10^n\)）だけをまとめて計算し、係数部分と分ける筆算スタイルを徹底しましょう。また、電子の速さは \(10^6 \sim 10^7\,\text{m/s}\) 程度になることが多いという相場観を持っておくと、検算に役立ちます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（電場の定義）:
  • 選定理由: 一様な電場における電位差と距離の関係式 \(V=Ed\)（または \(E=V/d\)）は、定義そのものです。グラフが直線であることから「一様」と判断し、この式を選びます。
  • 適用根拠: グラフの傾きが一定であるため、どの区間をとっても \(\Delta V / \Delta x\) は一定値（電場 \(E\)）になります。
• 問(3)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 時間 \(t\) や加速度 \(a\) を経由せずに、位置情報（電位）から直接「速さ」を求めたい場合、エネルギー保存則が最強のツールです。
  • 適用根拠: 重力の影響が無視でき、静電気力（保存力）のみが仕事をする系であるため、力学的エネルギー保存則が厳密に成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ルートの中の因数分解:
  • \(\sqrt{2 \times 1.6 \times 182 / 9.1 \dots}\) のような計算では、全部掛け算してから割るのではなく、\(182 = 2 \times 91 = 20 \times 9.1\) のように約分できる形を見つけることが最優先です。筆算を減らすことがミスを減らす近道です。
• 単位の確認:
  • グラフの横軸が \(\times 10^{-2}\,\text{m}\)（\(\text{cm}\) オーダー）になっていることに注意。これを \(\text{m}\) に直さずに計算すると、電場の値が100倍ズレてしまいます。軸のラベルは必ず指差し確認しましょう。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

1.1万+YouTube登録者

6プレミアムパック

14年指導歴

🎯高校物理の全6分野、プレミアムパックが完成しました。制作の記録を見る →

指導哲学を読む個別指導についてYouTubeチャンネル