未来の得点力へ！高校物理 問題演習「波の屈折：不変なものと変化するもの」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の屈折」です。波がある媒質から別の媒質へ進む際に、速さ、波長、振動数といった物理量がどのように変化するか（あるいはしないか）を問う、基本的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
媒質IIでの速さ\(v_2\)を求めます。媒質Iでの速さ\(v_1\)と、媒質Iに対する媒質IIの屈折率\(n_{12}\)が与えられているので、屈折率の定義式 \(n_{12} = v_1/v_2\) を利用して\(v_2\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• 屈折率の定義式 \(n_{12} = \displaystyle\frac{v_1}{v_2}\) を正しく使えること。
• 屈折率が1より大きい媒質では、波の速さは遅くなることを理解していると検算に役立つ。

具体的な解説と立式
媒質Iに対する媒質IIの屈折率\(n_{12}\)は、媒質Iでの速さ\(v_1\)と媒質IIでの速さ\(v_2\)の比で定義されます。
$$ n_{12} = \frac{v_1}{v_2} $$
この式を\(v_2\)について解くと、
$$ v_2 = \frac{v_1}{n_{12}} $$
となります。

与えられた値を代入します。
\(v_1 = 330\) m/s, \(n_{12} = 1.50\)
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \frac{330}{1.50} \\[2.0ex]&= 220 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

媒質IIでの速さを求めるには、媒質Iでの速さを屈折率で割ります。\(330 \div 1.50\) を計算すると \(220\) になるので、答えは \(220\) m/s です。

媒質IIでの速さは \(220\) m/s となります。屈折率が1.50(>1)なので、速さが遅くなるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質Iでの波長\(\lambda_1\)を求めます。媒質Iでの速さ\(v_1\)と振動数\(f_1\)が与えられているので、波の基本式 \(v_1 = f_1 \lambda_1\) を利用して\(\lambda_1\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式 \(v=f\lambda\) を正しく使えること。

具体的な解説と立式
波の基本式 \(v=f\lambda\) を媒質Iに適用します。
$$ v_1 = f_1 \lambda_1 $$
この式を\(\lambda_1\)について解くと、
$$ \lambda_1 = \frac{v_1}{f_1} $$
となります。

与えられた値を代入します。
\(v_1 = 330\) m/s, \(f_1 = 550\) Hz
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= \frac{330}{550} \\[2.0ex]&= \frac{33}{55} \\[2.0ex]&= \frac{3}{5} \\[2.0ex]&= 0.60 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

媒質Iでの波長は、速さを振動数で割ることで求められます。\(330 \div 550\) を計算すると \(0.60\) になるので、答えは \(0.60\) m です。

媒質Iでの波長は \(0.60\) m となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
媒質IIでの振動数\(f_2\)を求めます。これは波の屈折における最も基本的な法則を問う知識問題です。波が異なる媒質に進んでも、振動数は変化しません。
この設問における重要なポイント

• 波が屈折しても、振動数は不変である。

具体的な解説と立式
波が媒質Iから媒質IIへ屈折して進むとき、振動数は変化しません。これは、媒質の境界で波が滑らかにつながるためには、単位時間あたりに境界を通過する波の数が同じでなければならないためです。
したがって、媒質IIでの振動数\(f_2\)は、媒質Iでの振動数\(f_1\)と等しくなります。
$$ f_2 = f_1 $$

与えられた媒質Iでの振動数は \(f_1 = 550\) Hz なので、
$$ f_2 = 550 \text{ [Hz]} $$
となります。

波が違う物質に進んでも、1秒間に揺れる回数（振動数）は変わりません。元の振動数が 550 Hz なので、媒質IIでも 550 Hz のままです。

媒質IIでの振動数は \(550\) Hz です。

問(4)

思考の道筋とポイント
媒質IIでの波長\(\lambda_2\)を求めます。これまでの設問で、媒質IIでの速さ\(v_2\)と振動数\(f_2\)がわかっているので、波の基本式 \(v_2 = f_2 \lambda_2\) を利用して\(\lambda_2\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• これまでの設問で求めた値を正しく利用すること。
• 別解として、屈折率と波長の関係式 \(n_{12} = \lambda_1 / \lambda_2\) を使うこともできる。

具体的な解説と立式
波の基本式 \(v=f\lambda\) を媒質IIに適用します。
$$ v_2 = f_2 \lambda_2 $$
この式を\(\lambda_2\)について解くと、
$$ \lambda_2 = \frac{v_2}{f_2} $$
となります。

(1)と(3)で求めた値を代入します。
\(v_2 = 220\) m/s, \(f_2 = 550\) Hz
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{220}{550} \\[2.0ex]&= \frac{22}{55} \\[2.0ex]&= \frac{2}{5} \\[2.0ex]&= 0.40 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

媒質IIでの波長は、媒質IIでの速さを振動数で割ることで求められます。(1)で求めた速さ 220 m/s を、(3)で求めた振動数 550 Hz で割ります。\(220 \div 550\) を計算すると \(0.40\) になるので、答えは \(0.40\) m です。

媒質IIでの波長は \(0.40\) m となります。速さが \(2/3\) 倍になったので、振動数が一定なら波長も \(2/3\) 倍 (\(0.60 \times 2/3 = 0.40\)) になるはずであり、結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折における物理量の変化:
  • 核心: この問題のすべては、波が異なる媒質に進む（屈折する）際に、「どの物理量が変化し、どの物理量が変化しないか」を正確に理解しているかにかかっています。
  • 理解のポイント:
    1. 不変な量：振動数 \(f\)
       • 理由: 振動数は波を送り出す「波源」の性質で決まります。媒質の境界を1秒間に通過する波の数は、境界の前後で変わるはずがないため、振動数は一定に保たれます。
    2. 変化する量：速さ \(v\) と 波長 \(\lambda\)
       • 理由: 波の速さは、波が伝わる「媒質」の性質で決まります。媒質が変われば速さも変わります。そして、波の基本式 \(v=f\lambda\) において\(f\)が一定なので、\(v\)が変われば\(\lambda\)もそれに比例して変わります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光の屈折: 光が空気中から水中やガラス中に入るときの問題。考え方は全く同じです。真空中の光速\(c\)と媒質中の光速\(v\)から屈折率\(n=c/v\)を定義します。
  • 屈折の法則: 入射角\(\theta_1\)と屈折角\(\theta_2\)が関わる問題。屈折率の定義に加えて、屈折の法則 \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) や、それを速さで表した \(\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}\) を使います。
  • 逆の屈折: 媒質IIから媒質Iに進む場合。媒質IIに対する媒質Iの屈折率\(n_{21}\)は、\(n_{12}\)の逆数(\(n_{21} = 1/n_{12}\))になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 情報の整理: 問題文から与えられている数値を、どの媒質のどの物理量（\(v_1, f_1, n_{12}\)など）かを明確に区別して書き出します。
  2. 不変量を確認: 「屈折だから振動数は一定」という事実をまず思い出します。これにより、(3)のような問題は即答でき、他の計算の基盤にもなります。
  3. 屈折率の定義式を立てる: \(n_{12} = v_1/v_2 = \lambda_1/\lambda_2\) という関係式を書き出し、どの部分を使えば問われている量が計算できるかを見定めます。
  4. 波の基本式を併用する: \(v=f\lambda\) は常に成り立つ万能の式です。屈折率の式だけでは解けない場合、この式と連立させることで答えにたどり着けます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動数が変化するという誤解:
  • 誤解: 最も多い間違いです。速さが変わるのだから、振動数も変わるだろうと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「振動数は波源が決める。媒質は変えられない」と覚えましょう。1秒間に10個の波が境界にやってきたら、1秒間に10個の波が境界から出ていくはずです。数が変わったら波が消えたり生まれたりすることになり、おかしいですよね。
• 屈折率の定義式の分子・分母の混同:
  • 誤解: \(n_{12}\)を\(v_2/v_1\)と間違えてしまう。
  • 対策: 屈折率が大きいほど「進みにくい（速さが遅い）」とイメージで覚えましょう。\(n_{12} > 1\) ならば \(v_2 < v_1\) となるはずなので、\(n_{12}=v_1/v_2\)でなければならない、と確認できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(n_{12} = v_1/v_2 = \lambda_1/\lambda_2\) の関係:
  • 選定理由: これは屈折現象を定量的に扱うための定義式そのものです。
  • 適用根拠: \(n_{12}=v_1/v_2\)は屈折率の定義です。ここに、波の基本式を適用します。媒質Iでは\(v_1=f_1\lambda_1\)、媒質IIでは\(v_2=f_2\lambda_2\)です。屈折の際、振動数は不変なので\(f_1=f_2=f\)です。したがって、
    $$ n_{12} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{f\lambda_1}{f\lambda_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} $$
    となり、速さの比が波長の比に等しいことが導かれます。このように、複数の基本法則が組み合わさって一つの便利な関係式ができています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 計算を始める前に、すべての量の単位が基本単位（m, s, Hz）に揃っているかを確認しましょう。
• 簡単な分数に直す: \(1.50\)のような小数は、計算ミスを誘発しやすいです。\(3/2\)のような分数に直してから計算すると、約分などが使えて楽になり、間違いも減ります。
• 検算を行う: (4)の\(\lambda_2\)を求める際、メインの解法(\(\lambda_2 = v_2/f_2\))で計算した後、別解(\(\lambda_2 = \lambda_1/n_{12}\))でも計算してみましょう。同じ答えになれば、(1)と(2)の計算も正しかった可能性が高いと確認できます。

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