無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「一様でない棒の重さと重心」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつり合いと力のモーメント」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

丸太の重さと重心の位置を求める

思考の道筋とポイント
この問題では、「丸太の重さ」と「重心の位置」という2つの未知数を求める必要があります。未知数が2つあるため、独立した方程式が2本必要になります。幸い、問題文には「端Aを持ち上げる」と「端Bを持ち上げる」という2つの異なる状況が与えられています。それぞれの状況で、物体が回転し始める直前の「力のモーメントのつり合い」を考えることで、2本の方程式を立てることができます。これを連立させて解くのが基本的な方針です。

この設問における重要なポイント

• 未知数が2つなので、2つの独立した条件から連立方程式を立てる。
• 「わずかに持ち上げる」状況では、持ち上げていない方の端が回転の支点となる。
• 支点のまわりの力のモーメントのつり合いを考えることで、支点にはたらく力（垂直抗力）を計算から除外でき、式が簡単になる。

具体的な解説と立式
丸太の重さを\(W\)、端Aから重心Gまでの距離を\(x\)とします。

1. 端Aを持ち上げる場合
このとき、丸太は端Bを支点として回転し始めます。B点のまわりの力のモーメントのつり合いを考えます。

• 持ち上げる力\(F_A\)によるモーメント（反時計回り）: \(F_A \times L\)
• 重力\(W\)によるモーメント（時計回り）: \(W \times (L-x)\)

つり合いの式は、
$$ F_A L = W(L-x) \quad \cdots ① $$

2. 端Bを持ち上げる場合
このとき、丸太は端Aを支点として回転し始めます。A点のまわりの力のモーメントのつり合いを考えます。

• 持ち上げる力\(F_B\)によるモーメント（反時計回り）: \(F_B \times L\)
• 重力\(W\)によるモーメント（時計回り）: \(W \times x\)

つり合いの式は、
$$ F_B L = Wx \quad \cdots ② $$

式①と②の連立方程式を解きます。

重さ\(W\)を求める:
式①を展開します: \(F_A L = WL – Wx\)。
この式に、式②の \(Wx = F_B L\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F_A L &= WL – F_B L \\[2.0ex]F_A L + F_B L &= WL \\[2.0ex](F_A + F_B)L &= WL
\end{aligned}
$$
\(L \neq 0\) なので、両辺を\(L\)で割ると、
$$ W = F_A + F_B $$

重心の位置\(x\)を求める:
上で求めた \(W = F_A + F_B\) を、式②に代入します。
$$ F_B L = (F_A + F_B)x $$
これを\(x\)について解くと、
$$ x = \frac{F_B L}{F_A + F_B} $$

この問題は「てこの原理」で解けます。丸太の重さを\(W\)、重心の位置を端Aからの距離\(x\)とします。

1. Aを持ち上げる時、Bが支点になります。力のモーメントのつり合いから「\(F_A \times L = W \times (L-x)\)」という式が成り立ちます。
2. Bを持ち上げる時、Aが支点になります。同様に「\(F_B \times L = W \times x\)」という式が成り立ちます。

この2つの式をうまく組み合わせると、重さ\(W\)は\(F_A + F_B\)に、重心の位置\(x\)は \(\frac{F_B L}{F_A + F_B}\) になることが計算できます。

丸太の重さは \(F_A + F_B\)、重心の位置は端Aから \(\displaystyle\frac{F_B L}{F_A + F_B}\) の点です。重さの式は、両端を持ち上げる力の和が全体の重さに対応するという直感と一致します。また、もし丸太が均一で\(F_A=F_B\)なら、重心の位置は \(x = \frac{F_A L}{2F_A} = \frac{L}{2}\) となり、ちょうど真ん中に来ることが確認でき、結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のモーメントのつり合い:
  • 核心: この問題は、物体が回転しない条件、すなわち「力のモーメントのつり合い」を正しく立式し、応用できるかにかかっています。
  • 理解のポイント: 物体が静止している場合、力のつり合い（\(\sum F = 0\)）だけでなく、モーメントのつり合い（\(\sum M = 0\)）も同時に成り立っています。特に、複数の力がはたらく剛体の問題では、モーメントのつり合いを考えることで、未知の力を消去し、計算を簡略化できる場合が多く、非常に強力なツールとなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • はしごのつり合い: 壁に立てかけたはしごが滑らない条件を求める問題。はしごにはたらく重力、垂直抗力、摩擦力のモーメントのつり合いを考えます。
  • シーソーのつり合い: 異なる重さの人が乗ったシーソーがつり合うための位置を求める問題。
  • 看板のつり下げ: 壁から突き出た棒で看板を吊るし、それをワイヤーで支える問題。棒にはたらく力のモーメントのつり合いから、ワイヤーの張力などを求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 未知数を確認する: まず、問題で求められているものが何か（この問題では重さ\(W\)と重心の位置\(x\)）を確認し、未知数が2つあることを把握します。
  2. 方程式の数を考える: 未知数が2つなので、独立した方程式が2本必要だと考えます。問題文に「Aを持ち上げる」「Bを持ち上げる」という2つの状況が与えられているので、それぞれから1本ずつ式を立てる方針を固めます。
  3. 戦略的に支点を選ぶ: モーメントのつり合いを考える際、どこを支点にすると計算が楽になるかを考えます。基本は「未知の力がはたらく点」や「力が集中する点」を支点に選ぶことです。この問題では、持ち上げていない方の端を支点に選ぶのが最善手です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力のつり合いだけで解こうとする:
  • 誤解: Aを持ち上げるのに必要な力\(F_A\)が、重さ\(W\)の半分だと考えてしまう（\(F_A = W/2\)）。
  • 対策: これは重心が真ん中にある場合のみ成り立ちます。重心が偏っている剛体では、支点からの距離が異なるため、モーメントを考える必要があります。力のつり合いの式（\(F_A + N_B = W\)、\(N_B\)はB点の垂直抗力）だけでは、未知数が多くて解けません。
• うでの長さを間違える:
  • 誤解: (1)でB点を支点としたとき、重力\(W\)のうでの長さを\(x\)としてしまう。
  • 対策: うでの長さは「支点からの距離」です。必ず図を描き、支点がどこで、各力がどこにはたらいているかを確認し、支点からの距離を正しく測りましょう。B点から重心までの距離は \(L-x\) です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のモーメントのつり合い:
  • 選定理由: この問題は、大きさのある物体（剛体）が回転せずに静止している（あるいは、まさに回転し始めようとしている）状況を扱っています。このような剛体の静止問題を解くための基本法則が、力のつり合いとモーメントのつり合いです。
  • 適用根拠: 力のつり合いの式だけでは、支点にはたらく未知の垂直抗力が式に入ってきてしまい、未知数が3つ（\(W, x, N\)）になってしまいます。しかし、モーメントのつり合いでは、支点をうまく選ぶことで、その点にはたらく未知の力を計算から意図的に排除できます。これにより、未知数が2つ（\(W, x\)）の方程式を立てることが可能になり、問題を解くことができます。このように、モーメントのつり合いは、不要な情報を消去し、問題を簡潔にするための戦略的なツールとして選ばれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式は加減法で: この問題のように、\(Wx\) と \(-Wx\) のように符号が逆の項がある場合、2つの式を足し合わせる（加減法）ことで、その項をきれいに消去できます。代入法よりも計算が楽になることが多いです。
• 文字式の整理は慎重に: \(F_A L + F_B L = (F_A + F_B)L\) のように、共通因数でくくる操作を丁寧に行いましょう。
• 物理的な意味で検算する: 計算結果が出たら、それが直感に合うか考えます。「重さは両端の力の和」「重心は重い方に寄る」といった物理的な感覚と、導出した式が一致するかを確認することで、計算ミスの発見につながります。

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