今回の問題
wave06【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「定常波の腹における単振動」です。定常波は波形が進まない波ですが、各媒質はその場で単振動をしています。特に振幅が最大となる「腹」の点の動きに注目し、その時間変化を追跡します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 定常波の性質: 定常波の各点は、その場所で決まった振幅で単振動します。腹は振幅が最大になる点です。
- 単振動の周期性: 単振動は周期的な運動であり、1周期(\(T\))の間に変位は「\(A \rightarrow 0 \rightarrow -A \rightarrow 0 \rightarrow A\)」のように変化します。各区間には\(T/4\)の時間がかかります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、位置O（腹）の単振動の振幅\(A\)と周期\(T\)を読み取ります。
- 「ある時刻の変位が\(-15\) cm」という初期条件が、単振動のどの状態（位相）に対応するかを特定します。
- 経過時間 \(0.30\) s が、周期 \(0.40\) s の何倍にあたるかを計算します。
- 初期状態から、計算した時間だけ経過した後の単振動の状態を考え、そのときの変位を求めます。
位置Oにおいて、ある時刻の変位が\(-15\) cmのとき、その\(0.30\) s後の変位は何cmか。
思考の道筋とポイント
この問題は、定常波の腹である位置Oの媒質が、単振動していることに着目します。まず、与えられた情報から、この単振動の振幅と周期を把握します。次に、「変位が\(-15\) cm」という初期状態が、単振動のどの位置（最下点）であるかを理解します。最後に、経過時間\(0.30\) sが周期\(0.40\) sの何分のいくつに相当するかを計算し、最下点からその時間だけ経過した後の位置を特定することがゴールです。
この設問における重要なポイント
- 定常波の腹は、その場で単振動を行っている。
- 単振動の周期は、波全体の周期と等しい。
- 初期条件（時刻と変位）から、単振動のサイクルのどの時点からスタートするかを正確に把握する。
- 経過時間が周期の何倍かを考えることで、後の変位を予測できる。
具体的な解説と立式
まず、位置Oにおける単振動のパラメータを整理します。
- 振幅 \(A\): 問題文より、腹の位置における振幅は \(15\) cmです。よって \(A = 15\) cm。
- 周期 \(T\): 振動の周期は \(0.40\) sです。よって \(T = 0.40\) s。
次に、初期条件を考えます。
ある時刻を\(t=0\)とすると、そのときの変位は \(y(0) = -15\) cm です。
これは振幅\(A\)を用いて \(y(0) = -A\) と表せるので、この媒質は単振動の負の方向の折り返し点（最下点）にいることがわかります。
求めたいのは、この時刻から \(\Delta t = 0.30\) s 後の変位です。
この経過時間 \(\Delta t\) が、周期 \(T\) の何倍に相当するかを計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta t}{T} &= \frac{0.30}{0.40} \\[2.0ex]&= \frac{3}{4}
\end{aligned}
$$
したがって、\(\Delta t = \displaystyle\frac{3}{4}T\) です。
最下点から \(\displaystyle\frac{3}{4}\) 周期後の位置を考えます。単振動の1サイクルは以下のようになります。
- スタート (\(t=0\)): 最下点 (変位 \(-A\))
- \(\displaystyle\frac{1}{4}T\) 後: 振動中心 (変位 \(0\))
- \(\displaystyle\frac{2}{4}T = \displaystyle\frac{1}{2}T\) 後: 最高点 (変位 \(+A\))
- \(\displaystyle\frac{3}{4}T\) 後: 振動中心 (変位 \(0\))
よって、\(0.30\) s (\(=\frac{3}{4}T\)) 後の変位は \(0\) cm となります。
使用した物理公式
- 単振動の周期性（概念的な理解）
（参考：数式で解く場合）
単振動の変位の式: \(y(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)\)
初期条件 \(y(0)=-A\) より、\(y(t) = -A\cos(\omega t)\) と表せる。
角振動数\(\omega\)は、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{T} \\[2.0ex]&= \frac{2\pi}{0.40} \\[2.0ex]&= 5\pi
\end{aligned}
$$
よって、変位の式は \(y(t) = -15 \cos(5\pi t)\) となる。
\(t=0.30\) s を代入すると、
$$
\begin{aligned}
y(0.30) &= -15 \cos(5\pi \times 0.30) \\[2.0ex]&= -15 \cos(1.5\pi) \\[2.0ex]&= -15 \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) \\[2.0ex]&= -15 \times 0 \\[2.0ex]&= 0
\end{aligned}
$$
経過時間の周期に対する割合を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta t}{T} &= \frac{0.30 \text{ s}}{0.40 \text{ s}} \\[2.0ex]&= \frac{3}{4}
\end{aligned}
$$
この結果から、単振動の動きを追跡します。
- 初期状態: 変位 \(-15\) cm (最下点)
- \(1/4\)周期後: 変位 \(0\) cm (振動中心)
- \(2/4\)周期後: 変位 \(+15\) cm (最高点)
- \(3/4\)周期後: 変位 \(0\) cm (振動中心)
したがって、\(0.30\) s 後の変位は \(0\) cm です。
位置Oは、上下に15 cmの幅で揺れるブランコのような動きをしています。1往復するのに0.40秒かかります。
スタート地点は、一番下の「-15 cm」の位置です。
- 0.10秒後（周期の1/4後）には、真ん中の「0 cm」を通過します。
- 0.20秒後（周期の1/2後）には、一番上の「+15 cm」に到達します。
- 0.30秒後（周期の3/4後）には、再び真ん中の「0 cm」を通過します。
問題で聞かれているのは0.30秒後なので、答えは「0 cm」です。
定常波の腹における単振動の周期性を利用して、変位が\(-15\) cmの状態から\(3/4\)周期後の変位を求めると\(0\) cmとなる。これは物理的に妥当な結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 定常波の各点の単振動:
- 核心: この問題のすべては、「定常波の各点（節を除く）は、その場で決まった振幅と周期で単振動を行っている」という一点を理解しているかどうかにかかっています。波形全体は進みませんが、媒質は動いています。
- 理解のポイント: 特に「腹」は、その定常波の中で最も大きな振幅で単振動する点です。この問題は、波の問題に見せかけて、本質的には「単振動の周期的な運動を追跡する」問題なのです。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 初期条件が異なる場合: 「ある時刻の変位が\(0\) cmで、正の向きに動いていた」というような初期条件の問題。この場合は、振動中心からスタートして\(3/4\)周期後の位置（この場合は最下点 \(-15\) cm）を答えることになります。
- 腹以外の点の振動: 「腹と節の中点ではどうか？」という問題。この場合、振幅が腹の振幅とは異なる値（例えば\(A/\sqrt{2}\)など、位置によって決まる値）になるだけで、周期は同じです。考え方のプロセスは全く同じです。
- \(y-t\)グラフを描く問題: 位置Oの単振動の様子を\(y-t\)グラフで描かせる問題。この問題の条件なら、\(t=0\)で\(y=-15\)から始まるcosカーブ（のマイナス版）を描くことになります。
- 初見の問題での着眼点:
- 現象の分離: 「定常波」という言葉に惑わされず、問われているのが「位置O」という一点の「時間変化」であることを見抜きます。これにより、問題を「単振動」の問題として捉え直すことができます。
- 単振動のパラメータを抽出: 問題文から、その単振動の「振幅\(A\)」と「周期\(T\)」を抜き出します。
- 初期位相の特定: 「ある時刻の変位が〜」という記述から、単振動のサイクルのどこからスタートするか（初期位相）を確定させます。最下点なのか、最高点なのか、中心なのか、それ以外なのか。
- 時間の割合を計算: 経過時間が周期の何倍かを計算します。この割合が、単振動のサイクルをどれだけ進むかに対応します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 定常波は「静止している」という誤解:
- 誤解: 定常波という名前から、波全体が止まっていると勘違いし、媒質も動かないと思ってしまう。
- 対策: 「波形が」進まないのであって、「媒質が」動かないわけではない、と明確に区別しましょう。節だけが不動点で、それ以外の点はすべて振動しています。
- 時間の割合の計算ミス:
- 誤解: \(0.30 / 0.40\) を \(3/4\) と正しく計算できても、その意味を捉え違える。例えば、\(1/4\)周期後の位置を答えてしまう。
- 対策: 単振動のサイクル図（円運動の射影など）を頭に思い浮かべるか、簡単な図を描きましょう。「最下点→中心→最高点→中心→最下点」と指で追いながら、「1/4、2/4、3/4」と数えることで、ミスを防げます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 単振動の周期性の利用（概念的アプローチ）:
- 選定理由: この問題のように、経過時間が周期の簡単な分数（\(1/4, 1/2, 3/4\)など）で表せる場合、数式を立てるよりも概念的に解く方が速く、直感的で間違いが少ないです。
- 適用根拠: 単振動の定義そのものが「同じ運動を周期的に繰り返す」ことです。その運動の中でも、折り返し点（最大変位）と中心点（変位ゼロ）は特に重要なポイントであり、これらの間を移動するのにかかる時間は常に周期の\(1/4\)となります。この対称性を利用しています。
- 単振動の式 \(y(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)\) の利用（数式的アプローチ）:
- 選定理由: 経過時間が周期の簡単な分数でない場合や、より厳密な証明が求められる場合に強力なツールとなります。
- 適用根拠: この式は、単振動という物理現象を数学的に完全に記述したものです。振幅\(A\)、角振動数\(\omega(=2\pi/T)\)、初期位相\(\phi_0\)を決めれば、任意の時刻\(t\)における変位\(y\)を計算できます。初期条件から\(\phi_0\)を決定し、求めたい時刻を代入するという、汎用性の高い方法です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 簡単な図を描く: 単振動の動きを追跡する際、横軸に時間、縦軸に変位をとった簡単なグラフを描いてみましょう。\(t=0\)で\(y=-15\)に点を打ち、そこからcosカーブを描いて\(t=0.30\)の点のy座標を読み取る、という視覚的な確認が有効です。
- 周期の倍数で考える: 経過時間が周期より長い場合でも、周期の整数倍は無視できます。例えば、\(1.10\) s後を問われたら、\(1.10 = 2 \times 0.40 + 0.30\) なので、結局は\(0.30\) s後と同じ変位になります。このように、時間を周期で割った「余り」の部分だけを考えればよいと意識すると、計算が楽になります。
- 単位の統一: この問題では単位はcmで統一されていますが、もし振幅が[m]、変位が[cm]で問われるような場合は、計算前に単位を揃えることが鉄則です。
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