46 つながれたばねの弾性力
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、ばねの弾性力と伸びの関係（フックの法則）を基本に、ばねの直列接続と並列接続における力のつり合いと全体の伸びを考察する問題です。物理の基本法則を正しく理解し、グラフから情報を読み取って応用する力が試されます。
この問題の核心は、まずグラフからばね1本あたりのばね定数を求め、次に「直列接続」と「並列接続」で力の伝わり方や分担のされ方がどう違うかを理解し、それぞれの状況で力のつり合いの式を立てることです。
- ばねの弾性力\(F\)と伸び\(x\)の関係を示すグラフ
- ばねは2つ用意されている
- つり下げる物体の重さ: \(W = 3.0 \text{ N}\)
- 接続方法: (ア) 直列接続, (イ) 並列接続
- (1) (ア), (イ)のそれぞれの場合で、物体が自然の長さの位置から下がる距離（全体の伸び）。
- (2) (ア), (イ)のそれぞれの場合で、全体を1つのばねとみなした場合の合成ばね定数。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「ばねの直列接続と並列接続」です。同じばねでも、つなぎ方によって全体の硬さ（ばね定数）や伸び方が変わることを理解することが重要です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- グラフの読み取り: 与えられた\(F-x\)グラフから、ばね定数\(k\)を正しく求めること。
- フックの法則: 弾性力の大きさがばねの伸びに比例するという関係式 \(F=kx\) を用います。
- 力のつり合い: 物体が静止している状態では、重力と弾性力の合力がゼロになることを利用します。
- ばねの接続の特性:
- 直列接続: 各ばねに働く力の大きさは等しい。全体の伸びは各ばねの伸びの和になる。
- 並列接続: 各ばねの伸びは等しい。全体の力は各ばねの弾性力の和になる。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、与えられたグラフから、ばね1本あたりのばね定数\(k\)を計算します。これはすべての設問の基礎となります。
- (1)では、(ア)直列、(イ)並列のそれぞれの力の関係を考え、力のつり合いの式を立てて、全体の伸びを計算します。
- (2)では、(1)で求めた「全体の力（おもりの重さ）」と「全体の伸び」を用いて、フックの法則から合成ばね定数を計算します。
まず、すべての計算の基礎となる、ばね1本あたりのばね定数\(k\)をグラフから求めます。
グラフは原点を通る直線であり、フックの法則 \(F=kx\) が成り立っていることがわかります。グラフから読み取りやすい点として、例えば伸び \(x = 0.40 \text{ m}\) のとき、弾性力 \(F = 6.0 \text{ N}\) となっています。
$$ k = \displaystyle\frac{F}{x} = \displaystyle\frac{6.0}{0.40} = 15 \text{ [N/m]} $$
このばね定数 \(k=15 \text{ N/m}\) を用いて、各設問を解いていきます。
問(1) (ア) 直列接続
思考の道筋とポイント
ばねを直列につないだ場合、物体を支える力はどのように各ばねに伝わるかを考えます。下のばねは直接物体を支え、上のばねはその下のばねを支えています。軽いばねを考えているため、各ばねにはたらく力の大きさは等しく、物体の重さである \(3.0 \text{ N}\) になります。全体の伸びは、2本のばねそれぞれの伸びの合計となります。
この設問における重要なポイント
- 力のつり合い: 物体には、下向きに重力 \(3.0 \text{ N}\)、上向きに下のばねの弾性力がはたらき、つり合っています。
- 直列接続の力の特性: 上のばねと下のばねには、同じ大きさの力がはたらきます。
- 全体の伸びの計算: 全体の伸び \(X_{\text{ア}}\) は、上のばねの伸び \(x_{\text{上}}\) と下のばねの伸び \(x_{\text{下}}\) の和 (\(X_{\text{ア}} = x_{\text{上}} + x_{\text{下}}\)) で求められます。
具体的な解説と立式
物体にはたらく力のつり合いより、下のばねにはたらく弾性力の大きさ \(F_{\text{下}}\) は、物体の重さに等しくなります。
$$ F_{\text{下}} = 3.0 \text{ [N]} $$
また、下のばねは上のばねによって支えられているため、作用・反作用の法則から、上のばねが下のばねを引く力も \(3.0 \text{ N}\) です。したがって、上のばねにはたらく弾性力 \(F_{\text{上}}\) も同じ大きさになります。
$$ F_{\text{上}} = 3.0 \text{ [N]} $$
2本のばねは同じものなので、それぞれの伸びも等しくなります。1本のばねの伸びを \(x_1\) とすると、フックの法則より、
$$ 3.0 = k x_1 \quad \cdots ① $$
全体の伸び \(X_{\text{ア}}\) は、2本のばねの伸びの和なので、
$$ X_{\text{ア}} = x_1 + x_1 = 2x_1 \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- フックの法則: \(F=kx\)
まず、式①を用いて1本のばねの伸び \(x_1\) を計算します。ばね定数 \(k=15 \text{ N/m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
3.0 &= 15 \times x_1 \\[2.0ex]x_1 &= \displaystyle\frac{3.0}{15} \\[2.0ex]&= 0.20 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を用いて全体の伸び \(X_{\text{ア}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
X_{\text{ア}} &= 2 \times x_1 \\[2.0ex]&= 2 \times 0.20 \\[2.0ex]&= 0.40 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
ばねを縦に2本つなぐと、おもりの重さ(\(3.0 \text{ N}\))が、上のばねにも下のばねにも、そのままかかります。まず1本のばねがどれだけ伸びるかを計算し(\(0.20 \text{ m}\))、それが2本分なので、全体の伸びは2倍の \(0.40 \text{ m}\) になります。
(ア)の場合、物体は \(0.40 \text{ m}\) 下がります。
1本のばねに \(3.0 \text{ N}\) の力を加えたときの伸びが \(0.20 \text{ m}\) であり、直列接続ではそれが2本分なので、合計の伸びが \(0.40 \text{ m}\) となるのは物理的に妥当です。
問(1) (イ) 並列接続
思考の道筋とポイント
ばねを並列につないだ場合、2本のばねが協力して1つの物体を支えます。したがって、物体の重さ \(3.0 \text{ N}\) は、2本のばねに分担されます。同じばねなので、力は均等に半分ずつ分担されると考えられます。2本のばねの伸びは同じになります。
この設問における重要なポイント
- 力のつり合い: 物体には、下向きに重力 \(3.0 \text{ N}\)、上向きに2本のばねの弾性力の合計がはたらき、つり合っています。
- 並列接続の力の特性: 2本のばねにかかる力の合計が、物体の重さと等しくなります。同じばねなので、1本あたりにかかる力は重さの半分になります。
- 全体の伸びの計算: 2本のばねは同じだけ伸びるので、全体の伸びは1本のばねの伸びに等しくなります。
具体的な解説と立式
2本のばねが物体を支えるので、それぞれのばねにはたらく弾性力を \(F_1\), \(F_2\) とすると、力のつり合いの式は以下のようになります。
$$ F_1 + F_2 = 3.0 \text{ [N]} $$
2本は同じばねで、伸びも等しいため、\(F_1 = F_2\) です。したがって、1本のばねにはたらく力 \(F_1\) は、
$$ 2F_1 = 3.0 \quad \rightarrow \quad F_1 = 1.5 \text{ [N]} $$
このときのばねの伸びが、全体の伸び \(X_{\text{イ}}\) となります。フックの法則より、
$$ F_1 = k X_{\text{イ}} \quad \cdots ③ $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- フックの法則: \(F=kx\)
式③に \(F_1 = 1.5 \text{ N}\) と \(k=15 \text{ N/m}\) を代入して、全体の伸び \(X_{\text{イ}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
1.5 &= 15 \times X_{\text{イ}} \\[2.0ex]X_{\text{イ}} &= \displaystyle\frac{1.5}{15} \\[2.0ex]&= 0.10 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
ばねを横に2本並べると、おもりの重さ(\(3.0 \text{ N}\))を2本で分担して支えるので、1本あたりの負担は半分の \(1.5 \text{ N}\) になります。そのため、ばね1本の伸びも半分になり、全体の伸びは \(0.10 \text{ m}\) となります。
(イ)の場合、物体は \(0.10 \text{ m}\) 下がります。
直列接続の(ア)では1本あたり \(3.0 \text{ N}\) の力がかかったのに対し、並列接続の(イ)では \(1.5 \text{ N}\) と半分の力しかかかりません。したがって、伸びも(ア)の1本分(\(0.20 \text{ m}\))の半分である \(0.10 \text{ m}\) となり、結果は妥当です。
問(2) (ア) 直列接続
思考の道筋とポイント
合成ばね定数とは、ばね全体を「1本の仮想的なばね」とみなしたときのばね定数のことです。フックの法則 \(F = k_{\text{合成}} x_{\text{全体}}\) に、全体にかかる力（物体の重さ）と、(1)で求めた全体の伸びを代入して求めます。
この設問における重要なポイント
- 合成ばね定数の定義: 全体にかかる力 \(F_{\text{全体}}\) と全体の伸び \(X_{\text{全体}}\) の比で定義されます (\(k_{\text{合成}} = F_{\text{全体}} / X_{\text{全体}}\))。
- 全体にかかる力: 物体の重さ \(3.0 \text{ N}\) です。
- 全体の伸び: (1)(ア)で求めた \(0.40 \text{ m}\) を用います。
具体的な解説と立式
(ア)の直列接続における合成ばね定数を \(k’_{\text{ア}}\) とします。
全体を1つのばねとみなすと、このばねに \(F_{\text{全体}} = 3.0 \text{ N}\) の力を加えたとき、全体の伸びが \(X_{\text{ア}} = 0.40 \text{ m}\) となった、と考えることができます。
したがって、フックの法則は次のように立てられます。
$$ F_{\text{全体}} = k’_{\text{ア}} X_{\text{ア}} \quad \cdots ④ $$
使用した物理公式
- フックの法則（合成ばね）: \(F=kx\)
式④に \(F_{\text{全体}} = 3.0 \text{ N}\) と \(X_{\text{ア}} = 0.40 \text{ m}\) を代入して、\(k’_{\text{ア}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
3.0 &= k’_{\text{ア}} \times 0.40 \\[2.0ex]k’_{\text{ア}} &= \displaystyle\frac{3.0}{0.40} \\[2.0ex]&= 7.5 \text{ [N/m]}
\end{aligned}
$$
(1)で、全体の伸びが \(0.40 \text{ m}\) になることがわかりました。このばねの集まりを「ブラックボックス」として扱い、「\(3.0 \text{ N}\) の力で引っ張ったら \(0.40 \text{ m}\) 伸びる1本のばね」だと考えます。このブラックボックスばねのばね定数を、フックの法則を使って計算します。
(ア)の合成ばね定数は \(7.5 \text{ N/m}\) です。
元のばね定数 \(15 \text{ N/m}\) の半分になりました。直列に接続すると、同じ力でも伸びが大きくなる（柔らかくなる）ため、ばね定数が小さくなるのは妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
ばねの直列接続における合成ばね定数の公式を直接用いて計算します。同じばね定数\(k\)のばねを2本直列に接続した場合の合成ばね定数\(k’_{\text{ア}}\)は、公式で求めることができます。
この設問における重要なポイント
- 直列接続の合成ばね定数の公式: \(\displaystyle\frac{1}{k_{\text{合成}}} = \displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\) を用います。
具体的な解説と立式
ばね定数\(k\)のばね2本を直列に接続したときの合成ばね定数\(k’_{\text{ア}}\)は、次の公式で与えられます。
$$ \displaystyle\frac{1}{k’_{\text{ア}}} = \displaystyle\frac{1}{k} + \displaystyle\frac{1}{k} = \displaystyle\frac{2}{k} \quad \cdots ⑤ $$
使用した物理公式
- 直列接続における合成ばね定数の公式
式⑤を \(k’_{\text{ア}}\) について解き、\(k=15 \text{ N/m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
k’_{\text{ア}} &= \displaystyle\frac{k}{2} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{15}{2} \\[2.0ex]&= 7.5 \text{ [N/m]}
\end{aligned}
$$
ばねを直列につなぐと、合成ばね定数は元のばね定数の半分になる、という公式を知っていれば、元のばね定数 \(15 \text{ N/m}\) を2で割るだけで答えが求まります。
公式を用いても、\(7.5 \text{ N/m}\) という同じ結果が得られました。公式を覚えておくことで、より迅速に計算することができます。
問(2) (イ) 並列接続
思考の道筋とポイント
(ア)と同様に、全体を1つのばねとみなし、フックの法則 \(F = k_{\text{合成}} x_{\text{全体}}\) を用いて合成ばね定数を求めます。全体にかかる力は \(3.0 \text{ N}\)、全体の伸びは(1)(イ)で求めた値を使います。
この設問における重要なポイント
- 合成ばね定数の定義: \(k_{\text{合成}} = F_{\text{全体}} / X_{\text{全体}}\)
- 全体にかかる力: 物体の重さ \(3.0 \text{ N}\) です。
- 全体の伸び: (1)(イ)で求めた \(0.10 \text{ m}\) を用います。
具体的な解説と立式
(イ)の並列接続における合成ばね定数を \(k”_{\text{イ}}\) とします。
全体を1つのばねとみなすと、このばねに \(F_{\text{全体}} = 3.0 \text{ N}\) の力を加えたとき、全体の伸びが \(X_{\text{イ}} = 0.10 \text{ m}\) となった、と考えることができます。
したがって、フックの法則は次のように立てられます。
$$ F_{\text{全体}} = k”_{\text{イ}} X_{\text{イ}} \quad \cdots ⑥ $$
使用した物理公式
- フックの法則（合成ばね）: \(F=kx\)
式⑥に \(F_{\text{全体}} = 3.0 \text{ N}\) と \(X_{\text{イ}} = 0.10 \text{ m}\) を代入して、\(k”_{\text{イ}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
3.0 &= k”_{\text{イ}} \times 0.10 \\[2.0ex]k”_{\text{イ}} &= \displaystyle\frac{3.0}{0.10} \\[2.0ex]&= 30 \text{ [N/m]}
\end{aligned}
$$
(ア)の時と同じように考えます。(1)で全体の伸びが \(0.10 \text{ m}\) とわかっているので、「\(3.0 \text{ N}\) の力で引っ張ったら \(0.10 \text{ m}\) 伸びる1本のばね」のばね定数を計算します。
(イ)の合成ばね定数は \(30 \text{ N/m}\) です。
元のばね定数 \(15 \text{ N/m}\) の2倍になりました。並列に接続すると、同じだけ伸ばすのにより大きな力が必要になる（硬くなる）ため、ばね定数が大きくなるのは妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
ばねの並列接続における合成ばね定数の公式を直接用いて計算します。同じばね定数\(k\)のばねを2本並列に接続した場合の合成ばね定数\(k”_{\text{イ}}\)は、公式で求めることができます。
この設問における重要なポイント
- 並列接続の合成ばね定数の公式: \(k_{\text{合成}} = k_1 + k_2\) を用います。
具体的な解説と立式
ばね定数\(k\)のばね2本を並列に接続したときの合成ばね定数\(k”_{\text{イ}}\)は、次の公式で与えられます。
$$ k”_{\text{イ}} = k + k = 2k \quad \cdots ⑦ $$
使用した物理公式
- 並列接続における合成ばね定数の公式
式⑦に \(k=15 \text{ N/m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
k”_{\text{イ}} &= 2 \times 15 \\[2.0ex]&= 30 \text{ [N/m]}
\end{aligned}
$$
ばねを並列につなぐと、合成ばね定数は元のばね定数の2倍になる、という公式を知っていれば、元のばね定数 \(15 \text{ N/m}\) を2倍するだけで答えが求まります。
公式を用いても、\(30 \text{ N/m}\) という同じ結果が得られました。直列接続の場合と同様に、公式を理解していると素早く解くことができます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- フックの法則と力のつり合い:
- 核心: この問題の全ての設問は、「ばねの弾性力 \(F\) は伸び \(x\) に比例する (\(F=kx\))」というフックの法則と、「物体が静止しているとき、物体にはたらく力の合力はゼロである」という力のつり合いの法則、この2つの組み合わせで解くことができます。
- 理解のポイント: まずグラフからばね定数\(k\)を求めることが出発点です。その後、直列・並列それぞれの状況で、物体にはたらく重力と、ばね(群)が及ぼす弾性力がどのようにつり合っているかを正しく立式することが最も重要です。
- ばねの接続方法による特性の違い:
- 核心: ばねの接続方法によって、個々のばねへの力の配分と伸びの現れ方が根本的に異なります。
- 直列接続: 各ばねに「同じ力」がかかる。全体の伸びは「各ばねの伸びの和」になる。結果として、全体は柔らかくなる（合成ばね定数は小さくなる）。
- 並列接続: 各ばねに「同じ伸び」が生じる。全体の力は「各ばねの力の和」になる。結果として、全体は硬くなる（合成ばね定数は大きくなる）。
- 理解のポイント: この特性を物理的に理解していれば、力のつり合いの式を立てる際に間違いがなくなります。
- 核心: ばねの接続方法によって、個々のばねへの力の配分と伸びの現れ方が根本的に異なります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 異なるばね定数のばねの接続: ばね定数\(k_1\), \(k_2\)の異なるばねを直列・並列に接続する問題。力のつり合いや伸びの関係は同じですが、計算が少し複雑になります。
- 水平方向のばね接続: 床の上に置かれた物体を、左右からばねで引くような問題。これも力のつり合いで考え方は同じです。
- 斜面上のばね: 斜面上の物体をばねで支える問題。重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解する必要がありますが、力のつり合いを考える点は共通しています。
- 初見の問題での着眼点:
- まずはばね定数を求める: 問題文やグラフから、ばね定数\(k\)が与えられているか、求められるかを確認します。これが全ての計算の基礎になります。
- 力の図示を徹底する: 物体やばねの連結点にはたらく力を、ベクトル矢印ですべて描き出します。特に、重力、弾性力、張力などを漏れなく図示することが重要です。
- 接続方法を特定する: ばねが「直列」なのか「並列」なのかを明確に判断します。それによって、力の配分や伸びの計算方法が決まります。
- つり合いの式を立てる: 着目する物体や点について、力のつり合いの式を立てます。複数の物体がある場合は、それぞれについて式を立てることもあります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 直列接続での力の誤解:
- 誤解: 直列接続で、上のばねには「物体の重さ＋下のばねの重さ」、下のばねには「物体の重さ」がかかると考えてしまう。
- 対策: 問題文に「軽いばね」とある場合、ばね自体の重さは無視します。このとき、直列に連なる糸やばねのどの部分にも、同じ大きさの張力（弾性力）がはたらくと理解しましょう。一本のロープのどの部分を測っても張力が同じであることと同じです。
- 並列接続での力の誤解:
- 誤解: 並列接続でも、1本のばねに物体の重さ全体(\(3.0 \text{ N}\))がかかると勘違いしてしまう。
- 対策: 2本のばねが「協力して」物体を支えているイメージを持ちましょう。力のつり合いの式 \(F_{\text{弾性力の合計}} = W_{\text{重力}}\) を必ず立てる習慣をつけ、\(F_1 + F_2 = 3.0\) のように、力が分担されることを数式で確認します。
- 合成ばね定数の公式の混同:
- 誤解: 直列接続と並列接続の合成ばね定数の公式を逆に覚えてしまう。直列は \(k=k_1+k_2\)、並列は \(\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\) と間違えるミスが非常に多いです。
- 対策: 「直列につなぐと柔らかくなる（\(k\)は小さくなる）」「並列につなぐと硬くなる（\(k\)は大きくなる）」という物理的なイメージと公式を結びつけましょう。和の逆数をとる直列の公式は値が小さくなり、単純な和をとる並列の公式は値が大きくなる、と覚えれば混同を防げます。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力のつり合いの図: 物体を中心に、下向きに重力の矢印、上向きに弾性力の矢印を描きます。並列の場合は、上向きの矢印を2本描き、その合計が重力の矢印とつり合うことを視覚的に理解します。
- 直列接続のイメージ: 「鎖」をイメージすると分かりやすいです。鎖の一番下の輪にはおもりの重さがかかり、その上の輪は下の輪を支え、さらにその上の輪は…と、結局どの輪にも同じ重さが伝わっていきます。
- 並列接続のイメージ: 「2人で荷物を持つ」イメージです。1つの重い荷物を2人で持てば、1人あたりの負担は軽くなります。ばねも同様に、力を分担し合います。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 伸びを明確に描く: 自然長の状態と、おもりを吊るして伸びた状態の2つの図を並べて描くと、どの部分が「伸び」なのかが明確になります。
- 力の矢印の長さを意識する: つり合っている力は、同じ長さの矢印で描くように心がけると、力の関係性が直感的に理解しやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- フックの法則 (\(F=kx\)):
- 選定理由: 問題が「ばね」を扱っており、その「弾性力」と「伸び」の関係を記述する必要があるため。グラフが原点を通る直線であることからも、この法則の適用が妥当であると判断できます。
- 適用根拠: 弾性限界内でのばねの最も基本的な性質を表す法則です。
- 力のつり合いの式 (\(\sum F = 0\)):
- 選定理由: 物体が「つり下げた」結果、「静止している」状態を解析するため。静止、すなわち加速度がゼロの状態では、力の合力がゼロになるという物理法則を適用します。
- 適用根拠: ニュートンの運動法則の基本であり、静力学の問題を解く際の普遍的な原理です。
- 合成ばね定数の公式:
- 選定理由: (2)で「全体を1つのばねとみなした場合」の性質を問われているため。複数のばねを1つの等価なばねに置き換えて考える際に、この公式が直接的な解法を与えてくれます。
- 適用根拠: この公式は、フックの法則と力のつり合いの法則から導出されるものです。例えば直列の場合、全体の伸び \(X = x_1+x_2 = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2})\) と、合成ばねの定義 \(X = \frac{F}{k_{\text{合成}}}\) を比較することで、\(\frac{1}{k_{\text{合成}}} = \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\) が導かれます。公式は、この導出過程をショートカットするためのツールです。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 準備段階: グラフからばね定数\(k\)を計算する (\(k=15 \text{ N/m}\))。
- (1) 全体の伸びの計算:
- (ア) 直列: ①各ばねにかかる力は \(3.0 \text{ N}\) と判断 → ②フックの法則で1本の伸び \(x_1\) を計算 (\(3.0 = 15x_1\)) → ③全体の伸びは \(2x_1\) で計算。
- (イ) 並列: ①各ばねにかかる力は \(3.0/2 = 1.5 \text{ N}\) と判断 → ②フックの法則で1本の伸び（＝全体の伸び） \(X_{\text{イ}}\) を計算 (\(1.5 = 15X_{\text{イ}}\))。
- (2) 合成ばね定数の計算:
- 戦略A (定義から): ①全体にかかる力 \(F_{\text{全体}}=3.0 \text{ N}\) と、(1)で求めた全体の伸び \(X_{\text{全体}}\) を確認 → ②フックの法則 \(F_{\text{全体}} = k_{\text{合成}} X_{\text{全体}}\) に代入して \(k_{\text{合成}}\) を計算。
- 戦略B (公式から): ①接続方法（直列/並列）を確認 → ②対応する合成ばね定数の公式を選択 → ③元のばね定数\(k\)を代入して計算。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位を必ず書く: 計算の各段階で単位（[N], [m], [N/m]）を意識することで、物理的な意味を見失いにくくなります。例えば、ばね定数を求める際に \(N \div m\) を行うことを確認すれば、割り算の順序を間違えにくくなります。
- 小数点の計算を慎重に: この問題では \(3.0/15 = 0.2\), \(1.5/15 = 0.1\), \(3.0/0.40 = 7.5\) のように小数点の計算が頻出します。暗算に頼らず、筆算や分数の形 (\(3.0/0.40 = 30/4 = 15/2 = 7.5\)) に直すなど、確実な方法で計算しましょう。
- 公式の導出を一度は経験する: 合成ばね定数の公式を丸暗記するだけでなく、一度自分で導出してみることをお勧めします。なぜ直列では逆数の和、並列では単純な和になるのかを理解することで、公式を忘れにくくなり、混同することもなくなります。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- 伸びの比較: 直列(ア)の伸び \(0.40 \text{ m}\) は、並列(イ)の伸び \(0.10 \text{ m}\) より大きい。直列の方が柔らかく、よく伸びるはずなので、この大小関係は妥当です。
- ばね定数の比較: 直列(ア)の合成ばね定数 \(7.5 \text{ N/m}\) は、元のばね定数 \(15 \text{ N/m}\) より小さく、並列(イ)の合成ばね定数 \(30 \text{ N/m}\) は大きい。直列は柔らかく（\(k\)小）、並列は硬くなる（\(k\)大）という物理的直感と完全に一致しており、結果は妥当です。
- 別解との比較:
- (2)の合成ばね定数は、(1)の結果を使った定義からの計算と、公式を用いた計算の2通りの方法で求められました。両者で全く同じ答えが得られたことは、(1)の計算の正しさと、公式の適用の正しさを同時に裏付ける強力な証拠となります。
47 斜面上でのつり合い
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、なめらかな斜面上に置かれた物体に、重力、垂直抗力、そして水平方向の外力の3つの力がはたらき、静止している状態（力のつり合い）を分析する問題です。力を適切な方向に分解し、つり合いの式を立てる能力が問われます。
この問題の核心は、物体にはたらく3つの力を、どの方向の座標軸に沿って分解するかを適切に選択することです。模範解答のように「斜面に平行・垂直な方向」に分解する方法と、「水平・鉛直方向」に分解する方法の2通りがあり、どちらでも解くことができます。
- 斜面の傾斜角: \(30^\circ\)
- 斜面はなめらか（摩擦力はゼロ）
- 物体の重さ: \(W = 6.0 \text{ N}\)
- 物体に加える力: 水平方向
- 状態: 物体は静止している
- (1) 物体に加えた水平方向の力の大きさ \(F\)。
- (2) 物体が斜面から受ける力の大きさ（垂直抗力） \(N\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「3力のつり合い」です。物体が静止しているため、どの方向においても力の合力はゼロになります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力の図示: 物体にはたらく「重力」「垂直抗力」「水平方向の力」の3つを正確に図示します。
- 力の分解: 3つの力を、解析しやすい座標軸（①斜面に平行・垂直、または②水平・鉛直）に沿って分解します。
- 力のつり合い: 各座標軸の方向について、力の成分の和がゼロになるというつり合いの式を立てます。
- 三角比の利用: 力を分解する際に、角度の関係から三角比（\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\)）を正しく用います。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、物体にはたらく3つの力をすべて図示します。
- 次に、座標軸を設定し、各力をその座標軸の成分に分解します。
- 最後に、各軸方向の力のつり合いの式を連立させて、未知数である \(F\) と \(N\) を求めます。
問(1), (2)
思考の道筋とポイント
この問題は、(1)で水平方向の力\(F\)を、(2)で垂直抗力\(N\)を求める形式ですが、結局は2つの未知数(\(F\), \(N\))を含む連立方程式を解くことになります。力の分解方法によって、計算のしやすさが変わることがあります。ここでは、模範解答で採用されている「斜面に平行・垂直な方向」に分解する方法と、別解として「水平・鉛直方向」に分解する方法の2通りで解説します。
思考の道筋とポイント
斜面に平行な方向と、斜面に垂直な方向の2つの軸を設定します。この方法の利点は、垂直抗力\(N\)が初めから軸の方向を向いているため、分解する必要がないことです。重力\(W\)と水平な力\(F\)の2つを、この斜めの座標軸に沿って分解します。
この設問における重要なポイント
- 座標軸の設定: 斜面に沿って上向きを\(x\)軸、斜面に垂直で上向きを\(y\)軸とします。
- 力の分解:
- 重力\(W\): 斜面平行下向き成分 \(W \sin 30^\circ\)、斜面垂直下向き成分 \(W \cos 30^\circ\)
- 水平な力\(F\): 斜面平行上向き成分 \(F \cos 30^\circ\)、斜面垂直下向き成分 \(F \sin 30^\circ\)
- 垂直抗力\(N\): 分解不要（\(y\)軸の正の向き）
- 力のつり合いの立式:
- 斜面平行方向(\(x\)軸): \(F \cos 30^\circ – W \sin 30^\circ = 0\)
- 斜面垂直方向(\(y\)軸): \(N – W \cos 30^\circ – F \sin 30^\circ = 0\)
具体的な解説と立式
物体にはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(W=6.0 \text{ N}\)、斜面から垂直に受ける垂直抗力 \(N\)、そして水平方向に加えられた力 \(F\) の3つです。
これらの力を、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。
- 斜面に平行な方向の力のつり合い:水平な力\(F\)の斜面平行成分（斜面を押し上げる向き）は \(F \cos 30^\circ\)。重力\(W\)の斜面平行成分（斜面を滑り落ちる向き）は \(W \sin 30^\circ\)。これらがつり合っているので、
$$ F \cos 30^\circ – W \sin 30^\circ = 0 \quad \cdots ① $$ - 斜面に垂直な方向の力のつり合い:垂直抗力\(N\)は、斜面から離れる向きにはたらきます。重力\(W\)の斜面垂直成分（斜面を押し付ける向き）は \(W \cos 30^\circ\)。水平な力\(F\)の斜面垂直成分（これも斜面を押し付ける向き）は \(F \sin 30^\circ\)。
これらがつり合っているので、
$$ N – W \cos 30^\circ – F \sin 30^\circ = 0 \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
(1) 水平方向の力 \(F\) の計算
式①を \(F\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
F \cos 30^\circ &= W \sin 30^\circ \\[2.0ex]F &= W \displaystyle\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \\[2.0ex]&= W \tan 30^\circ
\end{aligned}
$$
与えられた値 \(W=6.0 \text{ N}\) と \(\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= 6.0 \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{6.0}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= 2.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
F &\approx 2.0 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 3.46 \\[2.0ex]&\approx 3.5 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
(2) 垂直抗力 \(N\) の計算
式②を \(N\) について解きます。
$$ N = W \cos 30^\circ + F \sin 30^\circ $$
この式に \(W=6.0 \text{ N}\) と、(1)で求めた \(F = 2.0\sqrt{3} \text{ N}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= 6.0 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} + (2.0\sqrt{3}) \times \displaystyle\frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 3.0\sqrt{3} + 1.0\sqrt{3} \\[2.0ex]&= 4.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
N &\approx 4.0 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 6.92 \\[2.0ex]&\approx 6.9 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
(1) 物体が斜面を滑り落ちようとする力（重力の分力）と、水平に押すことで斜面を駆け上がらせようとする力（水平な力の分力）が、ちょうどつり合っていると考えます。この関係から、水平な力\(F\)の大きさを計算します。
(2) 斜面が物体を支える力（垂直抗力）は、物体が斜面を垂直に押す力の合計とつり合っています。物体が斜面を押す力は、重力によるものと、水平な力によるものの2種類があり、その合計を計算することで垂直抗力\(N\)を求めます。
(1) 水平方向の力の大きさは \(3.5 \text{ N}\) です。
(2) 垂直抗力の大きさは \(6.9 \text{ N}\) です。
重力 \(6.0 \text{ N}\) よりも大きな垂直抗力がはたらいています。これは、水平方向の力\(F\)も斜面を押し付ける成分を持つため、垂直抗力が重力の成分だけでなく\(F\)の成分も支えなければならないからです。物理的に妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
水平方向と鉛直方向の2つの軸を設定します。この方法の利点は、重力\(W\)と水平な力\(F\)が初めから軸の方向を向いているため、分解する必要がないことです。斜めを向いている垂直抗力\(N\)のみを、水平・鉛直方向に分解します。
この設問における重要なポイント
- 座標軸の設定: 水平右向きを\(x\)軸、鉛直上向きを\(y\)軸とします。
- 力の分解:
- 垂直抗力\(N\): 水平左向き成分 \(N \sin 30^\circ\)、鉛直上向き成分 \(N \cos 30^\circ\)
- 水平な力\(F\): 分解不要（\(x\)軸の正の向き）
- 重力\(W\): 分解不要（\(y\)軸の負の向き）
- 力のつり合いの立式:
- 水平方向(\(x\)軸): \(F – N \sin 30^\circ = 0\)
- 鉛直方向(\(y\)軸): \(N \cos 30^\circ – W = 0\)
具体的な解説と立式
物体にはたらく3つの力を、水平方向と鉛直方向に分解します。
- 鉛直方向の力のつり合い:垂直抗力\(N\)の鉛直成分（上向き）は \(N \cos 30^\circ\)。重力\(W\)は下向きにはたらきます。これらがつり合っているので、
$$ N \cos 30^\circ – W = 0 \quad \cdots ③ $$ - 水平方向の力のつり合い:加えた力\(F\)は右向きにはたらきます。垂直抗力\(N\)の水平成分（左向き）は \(N \sin 30^\circ\)。これらがつり合っているので、
$$ F – N \sin 30^\circ = 0 \quad \cdots ④ $$
この解法では、まず鉛直方向のつり合いから\(N\)が求まり、その結果を使って水平方向のつり合いから\(F\)が求まる、という流れになります。設問の順番とは逆になりますが、物理的には全く問題ありません。
使用した物理公式
- 力のつり合い
(2) 垂直抗力 \(N\) の計算
まず式③を \(N\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
N \cos 30^\circ &= W \\[2.0ex]N &= \displaystyle\frac{W}{\cos 30^\circ}
\end{aligned}
$$
与えられた値 \(W=6.0 \text{ N}\) と \(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= \displaystyle\frac{6.0}{\sqrt{3}/2} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{12.0}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= 4.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
N &\approx 4.0 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 6.92 \\[2.0ex]&\approx 6.9 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
(1) 水平方向の力 \(F\) の計算
次に式④を \(F\) について解きます。
$$ F = N \sin 30^\circ $$
この式に、上で求めた \(N = 4.0\sqrt{3} \text{ N}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= (4.0\sqrt{3}) \times \displaystyle\frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 2.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
F &\approx 2.0 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 3.46 \\[2.0ex]&\approx 3.5 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
(2) まず、地球が物体を下に引く力（重力）と、斜面が物体を斜め上に押し返す力（垂直抗力）の「上向きの分力」が、ちょうどつり合っていると考えます。この関係から、垂直抗力\(N\)の大きさを計算します。
(1) 次に、外から水平に押す力と、斜面が押し返す力（垂直抗力）の「水平方向の分力」が、ちょうどつり合っていると考えます。(2)で求めた垂直抗力の値を使って、水平な力\(F\)の大きさを計算します。
(1) 水平方向の力の大きさは \(3.5 \text{ N}\) です。
(2) 垂直抗力の大きさは \(6.9 \text{ N}\) です。
解法1（斜面に平行・垂直に分解）と全く同じ結果が得られました。この問題の場合、鉛直方向のつり合いの式に未知数が\(N\)しか含まれないため、こちらの別解の方が計算の見通しが良いかもしれません。どちらの解法もマスターしておくことが重要です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力のつり合いと力の分解:
- 核心: 物体が静止しているため、どの方向についても力の合力はゼロになります（力のつり合い）。この問題を解く鍵は、物体にはたらく3つの力（重力、垂直抗力、水平力）を、互いに直交する2つの軸に沿って「分解」し、それぞれの軸方向で「つり合いの式」を立てることです。
- 理解のポイント: どの力を、どの方向に分解するかが重要です。この問題では2つのアプローチが考えられます。
- 斜面に平行・垂直な軸に分解する：垂直抗力\(N\)の分解が不要になる。
- 水平・鉛直な軸に分解する：重力\(W\)と水平力\(F\)の分解が不要になる。
どちらの方法でも同じ答えにたどり着きますが、計算のしやすさが異なります。両方の方法を理解することが、応用力を高める上で不可欠です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 摩擦のある斜面でのつり合い: この問題に「静止摩擦力」が加わります。摩擦力は斜面に平行な方向にはたらくため、「斜面に平行・垂直な軸」で分解する方が、摩擦力を分解せずに済むため、通常は計算が楽になります。
- 斜面上の物体を糸で引く問題: 水平な力の代わりに、糸の張力がはたらきます。糸が斜面と平行な場合もあれば、ある角度を持っている場合もあり、その都度、力を正しく分解する必要があります。
- 3つの力のつり合い（ラミの定理）: 3つの力\(F_1, F_2, F_3\)がつり合っているとき、それぞれの力の大きさと、他の2つの力がなす角の\(\sin\)との間には \(\frac{F_1}{\sin\theta_1} = \frac{F_2}{\sin\theta_2} = \frac{F_3}{\sin\theta_3}\) という関係（ラミの定理）が成り立ちます。これを使うと、力を分解せずに解くことも可能です（高校範囲外だが強力な検算ツール）。
- 初見の問題での着眼点:
- 力の図示を最優先: まず、物体にはたらく力をすべて（重力、垂直抗力、張力、摩擦力など）漏れなく図示します。これが全ての始まりです。
- 座標軸の選択: どの方向に座標軸を設定すれば、分解する力の数が最も少なくなるか、あるいは計算が最も簡単になるかを考えます。斜面の問題では「斜面に平行・垂直」か「水平・鉛直」の二択が基本です。
- 角度の特定: 力を分解する際に必要となる角度を、図形の錯角や同位角の関係から正確に特定します。ここを間違えると、以降の計算がすべて無駄になります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 力の分解における角度の間違い:
- 誤解: 重力や水平力を斜面に平行・垂直に分解する際、\(\sin\)と\(\cos\)を取り違える。例えば、重力の斜面平行成分を \(W\cos\theta\)、垂直成分を \(W\sin\theta\) と誤ってしまう。
- 対策: 必ず大きな図を描き、角度の関係を明確にしましょう。「斜面の角度\(\theta\)が、鉛直線と斜面に垂直な線のなす角に等しい」という幾何学的な関係をしっかり理解し、分解後の三角形で辺と角度の関係を確認する習慣をつけましょう。
- 垂直抗力と重力のつり合いに関する誤解:
- 誤解: 斜面上でも、垂直抗力\(N\)の大きさが重力の大きさ\(W\)やその成分\(W\cos\theta\)と等しいと安易に考えてしまう。
- 対策: 垂直抗力は「つり合いの結果として決まる力」であり、常に他の力の斜面垂直成分との合計とつり合います。この問題のように、重力以外の力（水平力\(F\)）も斜面を押す成分を持つ場合、\(N\)は単純に\(W\cos\theta\)とはなりません。必ず、斜面に垂直な方向の力のつり合いの式を立ててから\(N\)を求めるようにしましょう。
- 分解した力と元の力を二重に数える:
- 誤解: 例えば、重力\(W\)を\(W\sin\theta\)と\(W\cos\theta\)に分解した後、力のつり合いの式に\(W\)そのものも入れてしまう。
- 対策: 分解した後の成分（点線で描くと良い）は、元の力（実線）の「代理」です。力のつり合いを考えるときは、分解後の成分を使うなら元の力は無視し、元の力を使うなら成分は無視する、というルールを徹底しましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力のベクトル図（力の三角形）: 物体にはたらく3つの力、重力\(\vec{W}\)、水平力\(\vec{F}\)、垂直抗力\(\vec{N}\)はつり合っているので、ベクトル的に足し合わせるとゼロになります (\(\vec{W} + \vec{F} + \vec{N} = \vec{0}\))。これは、3つのベクトルを矢印の向きに沿ってつなぐと、閉じた三角形ができることを意味します。この「力の三角形」を描くと、辺の長さの比から三角比を用いて、力を分解せずに\(F\)と\(N\)を求めることができます。これは別解（水平・鉛直分解）と考え方が本質的に同じです。
- 座標軸の回転イメージ: 「斜面に平行・垂直に分解する」というのは、普段使っている水平・鉛直の座標軸を、斜面の角度だけ「ぐいっ」と回転させたものだとイメージします。そうすると、どの力がどのくらい傾いて見えるかが直感的に捉えやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\)):
- 選定理由: 問題文に「静止させた」とあるため。物体が静止している（加速度がゼロ）という物理的状況を数式で表現するための、最も直接的で基本的な法則です。
- 適用根拠: ニュートンの運動法則の基本原理（慣性の法則、運動の第二法則で\(a=0\)とした場合）であり、静力学の問題を解く上での大前提となります。
- 三角比 (\(\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta\)):
- 選定理由: 力を、直交する座標軸の成分に分解するために必要だから。ベクトルを成分に分ける操作は、本質的に直角三角形の辺の長さを求めることに等しく、そのために三角比という数学的ツールを用います。
- 適用根拠: 図形における辺と角度の関係を数式で表現する、数学的なツールです。物理法則そのものではありませんが、物理法則を適用するための計算に不可欠です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 解法1（斜面に平行・垂直に分解）
- 戦略: 垂直抗力\(N\)を分解せずに済むように、斜面に平行・垂直な軸を設定する。
- フロー: ①物体にはたらく3力を図示 → ②重力\(W\)と水平力\(F\)を斜面に平行・垂直な成分に分解 → ③斜面平行方向のつり合い式を立て、\(F\)を求める → ④斜面垂直方向のつり合い式を立て、③で求めた\(F\)を使って\(N\)を求める。
- 解法2（水平・鉛直に分解）
- 戦略: 重力\(W\)と水平力\(F\)を分解せずに済むように、水平・鉛直な軸を設定する。
- フロー: ①物体にはたらく3力を図示 → ②垂直抗力\(N\)を水平・鉛直成分に分解 → ③鉛直方向のつり合い式を立て、\(N\)を求める → ④水平方向のつり合い式を立て、③で求めた\(N\)を使って\(F\)を求める。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: (2)の計算で、解法1のように\(F\)の数値を代入すると計算が複雑になることがあります。\(F = W \tan 30^\circ\) のように文字式のまま代入すると、式が簡単になる場合があります。\(N = W \cos 30^\circ + (W \tan 30^\circ) \sin 30^\circ = W(\cos 30^\circ + \frac{\sin^2 30^\circ}{\cos 30^\circ}) = W \frac{\cos^2 30^\circ + \sin^2 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{W}{\cos 30^\circ}\)。これは別解で得られた式と一致し、計算ミスが減るだけでなく、解法間の関係性も見えてきます。
- 三角関数の値の正確性: \(\sin 30^\circ = 1/2\), \(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\), \(\tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}\) を正確に使いこなすことが必須です。
- 有理化のタイミング: 計算の途中で分母に\(\sqrt{3}\)が出てきても、すぐに有理化せず、最後まで計算を進めると約分などで消えることがあります。有理化は最後の手段と考えましょう。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- \(N > W\cos 30^\circ\): もし水平力\(F\)がなければ、垂直抗力は \(N = W\cos 30^\circ \approx 6.0 \times 0.866 = 5.2 \text{ N}\) となるはずです。計算結果の \(N \approx 6.9 \text{ N}\) はこれより大きく、水平力\(F\)が斜面を余分に押している効果が正しく反映されていると判断でき、妥当です。
- 極端な場合を考える: もし斜面の角度が\(0^\circ\)（水平）なら、滑り落ちる力はゼロなので\(F=0\)、\(N=W=6.0\text{ N}\)となるはずです。もし角度が\(90^\circ\)（鉛直な壁）なら、物体を支えるには無限大の水平力が必要になり、物理的に不可能になります。計算結果がこれらの極端なケースの間に収まっているかを確認するのも有効です。
- 別解との比較:
- 「斜面に平行・垂直な分解」と「水平・鉛直な分解」という、全く異なる2つのアプローチで計算した結果、\(F\)と\(N\)の値が完全に一致しました。これは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける非常に強力な証拠となります。
48 3力のつり合い
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、2本のひもで1つのおもりを吊り下げ、静止させたときの各ひもにはたらく張力の大きさを求める、力のつり合いの典型問題です。注目すべき点Cには、おもりが及ぼす下向きの力と、2本のひもがそれぞれ斜め上に引く張力の、合計3つの力がはたらいています。
この問題の核心は、斜めを向いた2つの張力を、分析しやすい水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向で力のつり合いの式を立てることです。
- おもりの質量: \(m = 5.0 \text{ kg}\)
- ひもACと水平線のなす角: \(45^\circ\)
- ひもBCと水平線のなす角: \(30^\circ\)
- 重力加速度: \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) （質量\(1.0 \text{ kg}\)の物体にはたらく重力が\(9.8 \text{ N}\)であることから）
- ひもACにはたらく張力の大きさ \(T_1\)
- ひもBCにはたらく張力の大きさ \(T_2\)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「力の分解とつり合い」です。物体（おもり）が静止しているため、おもりとひもの接続点Cにはたらく力の合力はゼロになります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力の図示: 接続点Cにはたらく3つの力（重力、張力\(T_1\)、張力\(T_2\)）を正確に図示します。
- 力の分解: 斜めを向いている2つの張力を、水平成分と鉛直成分に分解します。
- 力のつり合い: 水平方向と鉛直方向のそれぞれについて、力の成分の和がゼロになるというつり合いの式を立てます。
- 連立方程式の求解: 立てた2つのつり合いの式を、2つの未知数（\(T_1\), \(T_2\)）についての連立方程式として解きます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、おもりにはたらく重力の大きさを計算します。
- 次に、接続点Cにはたらく力をすべて図示し、張力\(T_1\)と\(T_2\)を水平・鉛直方向に分解します。
- 水平方向と鉛直方向の力のつり合いの式をそれぞれ立式します。
- 最後に、得られた連立方程式を解いて\(T_1\)と\(T_2\)を求めます。
問 ひもACとBCにはたらく力の大きさ
思考の道筋とポイント
おもりと2本のひもが接続している点Cに着目します。点Cは静止しているので、点Cにはたらく力はつり合っています。点Cには、①ひもACが引く張力 \(T_1\)、②ひもBCが引く張力 \(T_2\)、③おもりが引く力（これはおもりの重さに等しい）の3つがはたらいています。これらの力を水平・鉛直方向に分解し、つり合いの式を立てて連立方程式を解きます。
この設問における重要なポイント
- 着目点: 力のつり合いを考える中心として、3つの力が集まる接続点Cを選びます。
- 力の図示: 点Cから、ひもACの向きに\(T_1\)、ひもBCの向きに\(T_2\)、鉛直下向きに重力\(W\)の3つの力の矢印を描きます。
- 力の分解:
- 張力\(T_1\): 水平左向き成分 \(T_1 \cos 45^\circ\)、鉛直上向き成分 \(T_1 \sin 45^\circ\)
- 張力\(T_2\): 水平右向き成分 \(T_2 \cos 30^\circ\)、鉛直上向き成分 \(T_2 \sin 30^\circ\)
- 力のつり合いの立式:
- 水平方向: 右向きの力の合計と左向きの力の合計がつり合う。
- 鉛直方向: 上向きの力の合計と下向きの力の合計がつり合う。
具体的な解説と立式
まず、おもりにはたらく重力 \(W\) の大きさを計算します。
$$ W = mg = 5.0 \times 9.8 = 49 \text{ [N]} $$
接続点Cには、この重力\(W\)が鉛直下向きにはたらいています。
次に、張力\(T_1\)と\(T_2\)を水平・鉛直方向に分解し、力のつり合いを考えます。
- 水平方向の力のつり合い:左向きの力は \(T_1\) の水平成分 \(T_1 \cos 45^\circ\)。右向きの力は \(T_2\) の水平成分 \(T_2 \cos 30^\circ\)。
これらがつり合っているので、
$$ T_2 \cos 30^\circ – T_1 \cos 45^\circ = 0 \quad \cdots ① $$ - 鉛直方向の力のつり合い:上向きの力は、\(T_1\) の鉛直成分 \(T_1 \sin 45^\circ\) と \(T_2\) の鉛直成分 \(T_2 \sin 30^\circ\) の和。下向きの力は、重力 \(W=49 \text{ N}\)。
これらがつり合っているので、
$$ T_1 \sin 45^\circ + T_2 \sin 30^\circ – 49 = 0 \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- 重力: \(W=mg\)
式①と②を、\(T_1\)と\(T_2\)についての連立方程式として解きます。
まず、式①から \(T_2\) を \(T_1\) で表します。
$$
\begin{aligned}
T_2 \cos 30^\circ &= T_1 \cos 45^\circ \\[2.0ex]T_2 &= T_1 \displaystyle\frac{\cos 45^\circ}{\cos 30^\circ}
\end{aligned}
$$
三角関数の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= T_1 \displaystyle\frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} \\[2.0ex]&= T_1 \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \times \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= T_1 \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}} \\[2.0ex]&= T_1 \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、この式③を式②に代入して \(T_1\) を求めます。
$$ T_1 \sin 45^\circ + \left( T_1 \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \sin 30^\circ – 49 = 0 $$
三角関数の値を代入します。
$$ T_1 \left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \right) + T_1 \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right) = 49 $$
$$ T_1 \left( \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6} \right) = 49 $$
括弧の中を通分します。
$$ T_1 \left( \displaystyle\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6} \right) = 49 $$
\(T_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= \displaystyle\frac{49 \times 6}{3\sqrt{2} + \sqrt{6}} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{294}{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}
\end{aligned}
$$
分母を有理化します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= \displaystyle\frac{294}{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} \times \displaystyle\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{294\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{6(3-1)} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{294\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{12} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{49}{2}\sqrt{6}(\sqrt{3}-1) \\[2.0ex]&= 24.5\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{6} \approx 2.45\), \(\sqrt{3} \approx 1.73\) として数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &\approx 24.5 \times 2.45 \times (1.73 – 1) \\[2.0ex]&\approx 60.025 \times 0.73 \\[2.0ex]&\approx 43.818 \\[2.0ex]&\approx 44 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
次に、\(T_2\)を計算します。式③より \(T_2 = T_1 \frac{\sqrt{6}}{3}\) の関係と、上で求めた \(T_1 = 24.5\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)\) を使うと、
$$
\begin{aligned}
T_2 &= \left( 24.5\sqrt{6}(\sqrt{3}-1) \right) \times \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{24.5 \times 6 \times (\sqrt{3}-1)}{3} \\[2.0ex]&= 49(\sqrt{3}-1)
\end{aligned}
$$
数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &\approx 49 \times (1.73 – 1) \\[2.0ex]&= 49 \times 0.73 \\[2.0ex]&= 35.77 \\[2.0ex]&\approx 36 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
点Cには、おもりが真下に引く力と、2本のひもが斜め上に引く力がかかっています。点Cが動かないのは、ひもACが左に引く力と、ひもBCが右に引く力がちょうどつり合っているからです（水平方向のつり合い）。また、2本のひもが一緒に上に引く力の合計が、おもりが下に引く力とちょうどつり合っているからです（鉛直方向のつり合い）。この2つのつり合いの関係を連立方程式にして解くことで、それぞれのひもの張力の大きさを計算します。
ひもACにはたらく張力の大きさは約 \(44 \text{ N}\)、ひもBCにはたらく張力の大きさは約 \(36 \text{ N}\) です。
ひもACの方が水平線との角度が大きく（より垂直に近い）、ひもBCの方が角度が小さい（より水平に近い）です。一般に、より垂直に近いひもの方が、重さを支える負担が大きくなる傾向があります。しかしこの問題では、水平方向のつり合いも満たす必要があるため、一概には言えません。計算結果を見ると、\(T_1 > T_2\) となっており、角度の関係から直感的に推測される結果とは異なる場合があります。これは、両方のひもが協力して水平方向と鉛直方向の力の両方をつり合わせているためです。計算を正確に行うことが重要です。
思考の道筋とポイント
3つの力が1点でつり合っている場合、ラミの定理を用いると力を分解せずに解くことができます。各力と、その力が向かい合う他の2つの力の間の角度の\(\sin\)との比が等しくなる、という定理です。高校物理の範囲外ですが、検算に非常に有効です。
この設問における重要なポイント
- 3力の特定: 点Cにはたらく \(T_1\), \(T_2\), \(W\) の3力。
- 角度の特定:
- \(T_1\)と\(T_2\)のなす角: \(180^\circ – 45^\circ – 30^\circ = 105^\circ\)
- \(T_2\)と\(W\)のなす角: \(90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\)
- \(W\)と\(T_1\)のなす角: \(90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\)
- ラミの定理の立式: \(\displaystyle\frac{T_1}{\sin 120^\circ} = \displaystyle\frac{T_2}{\sin 135^\circ} = \displaystyle\frac{W}{\sin 105^\circ}\)
具体的な解説と立式
点Cにはたらく3つの力 \(T_1\), \(T_2\), \(W\) はつり合っているので、ラミの定理を適用できます。
それぞれの力の対角の角度を求めます。
- \(T_1\)の対角（\(T_2\)と\(W\)のなす角）: \(90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\)
- \(T_2\)の対角（\(T_1\)と\(W\)のなす角）: \(90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\)
- \(W\)の対角（\(T_1\)と\(T_2\)のなす角）: \(180^\circ – (45^\circ + 30^\circ) = 105^\circ\)
ラミの定理より、次の関係が成り立ちます。
$$ \displaystyle\frac{T_1}{\sin 120^\circ} = \displaystyle\frac{T_2}{\sin 135^\circ} = \displaystyle\frac{49}{\sin 105^\circ} \quad \cdots ④ $$
使用した物理公式
- ラミの定理
式④から、\(T_1\)と\(T_2\)をそれぞれ計算します。
$$ T_1 = 49 \times \displaystyle\frac{\sin 120^\circ}{\sin 105^\circ}, \quad T_2 = 49 \times \displaystyle\frac{\sin 135^\circ}{\sin 105^\circ} $$
ここで、加法定理より \(\sin 105^\circ = \sin(60^\circ+45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) を用います。
\(T_1\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= 49 \times \displaystyle\frac{\sin 120^\circ}{\sin 105^\circ} \\[2.0ex]&= 49 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} \\[2.0ex]&= 49 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \times \displaystyle\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} \\[2.0ex]&= 49 \times \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{49\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1}
\end{aligned}
$$
分母を有理化します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= \displaystyle\frac{49\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{49\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{3-1} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{49\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{2} \\[2.0ex]&= 24.5\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)
\end{aligned}
$$
これは、力の分解で得られた \(T_1\) の式と完全に一致します。
同様に\(T_2\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= 49 \times \displaystyle\frac{\sin 135^\circ}{\sin 105^\circ} \\[2.0ex]&= 49 \times \displaystyle\frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} \\[2.0ex]&= 49 \times \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \times \displaystyle\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{49 \times 2}{\sqrt{3}+1} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{98}{\sqrt{3}+1}
\end{aligned}
$$
分母を有理化します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= \displaystyle\frac{98(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{98(\sqrt{3}-1)}{2} \\[2.0ex]&= 49(\sqrt{3}-1)
\end{aligned}
$$
これも、力の分解で得られた \(T_2\) の式と完全に一致します。以降の数値計算は省略します。
ラミの定理を用いても、力の分解による解法と全く同じ結果が得られました。ラミの定理は加法定理など高校数学の発展的な内容を必要としますが、力のつり合いの問題を別の視点から解く強力なツールであり、検算に役立ちます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力のつり合いと力の分解:
- 核心: この問題は、静止した物体（接続点C）にはたらく複数の力がつり合っている状況を扱います。核心となる法則は「力のつり合い（合力がゼロ）」です。そして、この法則を適用するための必須テクニックが「力の分解」です。斜めを向いた力（張力）を、互いに直交する水平・鉛直方向に分解することで、各方向の力の和をゼロとする数式を立てることができます。
- 理解のポイント: 「水平方向の力の合計がゼロ」と「鉛直方向の力の合計がゼロ」という2つの独立した式を立て、これらを連立方程式として解く、という流れがこの種の問題の王道パターンです。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 壁と床に立てかけた棒のつり合い: 棒にはたらく重力、壁からの垂直抗力、床からの垂直抗力と摩擦力のつり合いを考えます。力のつり合いだけでなく、「力のモーメントのつり合い」も必要になることが多い発展的な問題です。
- 複数の物体が糸でつながれたつり合い: 複数の物体が複数の糸で結ばれている場合、それぞれの物体や接続点に着目して、力のつり合いの式を複数立てて解くことになります。
- ラミの定理の活用: 3つの力だけが1点にはたらいてつり合っている場合、ラミの定理（\(\frac{F_1}{\sin\theta_1} = \frac{F_2}{\sin\theta_2} = \frac{F_3}{\sin\theta_3}\)）を使うと、力を分解せずに解くことができます。高校範囲外ですが、知っていると検算に非常に便利です。
- 初見の問題での着眼点:
- 着目点を明確にする: どこにはたらく力のつり合いを考えるのかを最初に決めます。この問題では、3つの力が集まる「接続点C」が最適です。
- 力の種類と向きをすべて図示する: 着目点にはたらく力を、大きさや向きを考慮してベクトル矢印で描き出します。張力は常にひもが引く向き、重力は常に鉛直下向きです。
- 座標軸を設定する: ほとんどの場合、水平・鉛直方向に座標軸を取るのが最も簡単です。すべての力をこの座標軸に沿って分解します。
- 連立方程式を解く準備: 水平方向と鉛直方向で2本の式が立つので、未知数が2つまでなら解ける、という見通しを持ちましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 力の分解における角度の間違い:
- 誤解: 張力を分解する際に、水平線とのなす角を正しく使えず、\(\sin\)と\(\cos\)を取り違える。
- 対策: 必ず図を描き、分解したい力と座標軸で直角三角形を作ります。そして、与えられた角度がその三角形のどの角に対応するのか（錯角や同位角の関係）を明確に確認してから、三角比を適用しましょう。
- 連立方程式の計算ミス:
- 誤解: 2つの式を連立させて解く過程で、代入や移項、通分などで計算を間違える。特に、\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)などが含まれると計算が複雑になりがちです。
- 対策:
- まず一方の式から \(T_2 = (\text{係数}) \times T_1\) のように、一方の変数をもう一方で表す。
- それをもう一方の式に代入し、1つの変数だけの式にする。
- 三角関数の値（\(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\)など）を代入する前に、できるだけ文字式のまま整理すると、見通しが良くなることがあります。
- 分数の計算や有理化は、焦らず一行ずつ丁寧に行いましょう。
- 重力の計算忘れ:
- 誤解: 問題文の質量 \(5.0 \text{ kg}\) をそのまま力の大きさとして使ってしまう。
- 対策: 「質量(kg)」と「力の大きさ(N)」は異なる物理量であることを常に意識しましょう。力のつり合いに使うのは「力」なので、必ず質量に重力加速度 \(g\) を掛けて重力（力の大きさ）に変換する (\(W=mg\)) ことを忘れないようにしましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力の分解図: 点Cから生える2本の張力ベクトルのそれぞれから、水平・鉛直の座標軸に垂線を下ろし、分解された成分を点線の矢印で描きます。これにより、「左向きの力と右向きの力がつり合う」「上向きの力の合計と下向きの力がつり合う」という関係が視覚的に一目瞭然になります。
- 力のベクトル図（力の三角形）: 別解で示したラミの定理の考え方ですが、3つの力ベクトル \(\vec{T_1}, \vec{T_2}, \vec{W}\) をつなぎ合わせると、始点と終点が一致する閉じた三角形 (\(\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{W} = \vec{0}\)) が描けます。この三角形の辺の長さが力の大きさに対応しており、正弦定理を適用するとラミの定理そのものになります。この図を描くことで、力のつり合いをベクトル的な和がゼロであると直感的に理解できます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\)):
- 選定理由: 問題の状況が「静止」している、つまり加速度がゼロであるため。この物理的状況を記述する法則が力のつり合いの式です。ベクトルである力をスカラー量として扱うために、直交する2方向に分解してそれぞれの方向でつり合いを考えます。
- 適用根拠: ニュートンの運動法則（特に第一法則、または第二法則で\(a=0\)としたもの）であり、静力学における最も基本的な原理です。
- 重力の公式 (\(W=mg\)):
- 選定理由: 問題で与えられているのが「質量 \(m\)」であり、力のつり合いの式で必要なのは「力 \(W\)」であるため。質量を力に変換するためにこの公式を用います。
- 適用根拠: 地球上の物体が受ける重力の大きさを定義する基本的な式です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 準備: おもりの質量\(m\)から重力\(W\)を計算する (\(W=mg\))。
- 図示と分解:
- 戦略: 3つの力が集まる点Cに着目し、水平・鉛直方向に力を分解する。
- フロー: ①点Cにはたらく3力(\(T_1, T_2, W\))を図示 → ②\(T_1\)と\(T_2\)を水平・鉛直成分に分解。
- 立式:
- 戦略: 水平方向と鉛直方向で、それぞれ力のつり合いの式を立てる。
- フロー: ①水平方向のつり合い式 (\(T_{1x} = T_{2x}\)) を立てる → ②鉛直方向のつり合い式 (\(T_{1y} + T_{2y} = W\)) を立てる。
- 計算:
- 戦略: 2つの式を連立方程式として解く。
- フロー: ①水平の式から\(T_2\)を\(T_1\)で表す → ②それを鉛直の式に代入して\(T_1\)を求める → ③求まった\(T_1\)を使って\(T_2\)を求める。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま整理する: 模範解答の計算は複雑に見えますが、別解で示したように、\(T_2 = 49(\sqrt{3}-1)\) のように、よりシンプルな形で表現できることがあります。計算の途中で値を代入するのではなく、できるだけ文字や根号のまま計算を進め、最後にまとめて数値計算する方が、ミスが減り、見通しも良くなります。
- 三角関数の値を分数で扱う: \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) のように、小数ではなく分数の形で計算を進めることが、正確な計算の基本です。
- 検算: もし時間に余裕があれば、求めた\(T_1\)と\(T_2\)の値を、元のつり合いの式①と②の両方に代入してみて、式が成り立つかを確認する（検算する）習慣をつけると、計算ミスを大幅に減らせます。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- \(T_1+T_2 > W\): 2つの張力の大きさの単純な和 (\(44+36=80\text{ N}\)) は、重力 (\(49\text{ N}\)) よりも大きくなっています。これは、ひもが斜めになっているため、力のロスが生じている（力の鉛直成分しか重さを支えるのに寄与しない）ことを意味しており、物理的に妥当です。もし2本のひもが真上を向いていれば、\(T_1+T_2=49\text{ N}\) となるはずです。
- 角度との関係: ひもAC(\(45^\circ\))の方がひもBC(\(30^\circ\))よりも水平に近いため、水平方向のつり合いを保つためにより大きな張力が必要になるのでは？と一瞬考えがちですが、鉛直方向のつり合いも同時に満たす必要があります。結果として \(T_1 > T_2\) となりましたが、これは複雑な連立の結果であり、直感だけで判断するのは危険です。
- 別解との比較:
- 力の分解による解法と、ラミの定理による解法で、計算途中の文字式が完全に一致しました。これは、異なるアプローチでも同じ物理的関係を記述していることを示しており、計算の正しさを強力に裏付けています。
49 人と台にはたらく力
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、定滑車を介して、台に乗った人が自分自身と台を吊り上げようとする状況を扱います。一見複雑に見えますが、「人」と「台」という2つの物体に分けて、それぞれにはたらく力のつり合いを考えることができれば解決できます。
この問題の核心は、複数の物体が相互に力を及ぼし合っている系を、個々の物体に分解して分析する能力です。特に、「人が台を押す力」と「台が人を押す力」が作用・反作用の関係にあること、そして1本の綱にはたらく張力はどこでも等しいことを理解することが重要です。
- 滑車: なめらかに動く軽い定滑車
- 綱: 軽い綱
- 台の重さ: \(W_{\text{台}} = 200 \text{ N}\)
- 人の重さ: \(W_{\text{人}} = 500 \text{ N}\)
- (1) 人にはたらく力を図示すること。
- (2) 人が綱を引く力 \(T = 100 \text{ N}\) のとき、人が台を押す力 \(N\) の大きさ。
- (3) (2)のとき、地面が台を押す力 \(R\) の大きさ。
- (4) 台が地面から離れるために必要な、人が綱を引く力の最小値。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「複数物体系の力のつり合い」です。複数の物体が登場する場合、それぞれの物体に「着目」し、個別に力のつり合いの式を立てることが基本戦略となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 着目物体の分離: 「人」と「台」を別々の物体として考え、それぞれにはたらく力を図示します。
- 力の図示: 各物体にはたらく力（重力、張力、垂直抗力など）を漏れなく描き出します。
- 作用・反作用の法則: 「人が台を押す力」と「台が人を押す力」は、大きさが等しく向きが逆の関係にあります。
- 張力の性質: 1本の軽い綱にはたらく張力の大きさは、どの部分でも等しくなります。
- 力のつり合い: 各物体が静止している（つり合っている）ことから、鉛直方向の力のつり合いの式を立てます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、「人」と「台」それぞれにはたらく力をすべて特定し、図示します。
- 次に、「人」と「台」それぞれについて、鉛直方向の力のつり合いの式を立てます。これにより、2本の連立方程式が得られます。
- 各設問の条件をこの連立方程式に代入して、問われている力の大きさを計算します。
問(1) 人にはたらく力の図示
思考の道筋とポイント
「人」という物体に着目し、この人が何から力を受けているかを考えます。人は地球から重力で引かれ、自分の手で綱を上に引く反作用として綱から上に引かれ、足元では台から上に押されています。
この設問における重要なポイント
- 重力: 人自身の重さ \(W_{\text{人}}\) が、地球から鉛直下向きにはたらきます。
- 張力: 人が綱を下に引くので、その反作用として綱が人を上に引く張力 \(T\) がはたらきます。
- 垂直抗力: 人が台を足で押すので、その反作用として台が人を上に押す力（垂直抗力） \(N\) がはたらきます。
具体的な解説と立式
人にはたらく力は以下の3つです。
- 鉛直下向きに、重力 \(W_{\text{人}} = 500 \text{ N}\)。
- 鉛直上向きに、綱から受ける張力 \(T\)。
- 鉛直上向きに、台から受ける垂直抗力 \(N\)。
これらを矢印で図に描き入れます。
問(2) 人が台を押す力の大きさ
思考の道筋とポイント
人が綱を引く力 \(T=100 \text{ N}\) という条件が与えられています。問(1)で考えた「人にはたらく力のつり合い」の式を立て、この条件を代入すれば、人が台から受ける垂直抗力 \(N\) が求まります。作用・反作用の法則により、この \(N\) の大きさが、求める「人が台を押す力」の大きさに等しくなります。
この設問における重要なポイント
- 人についての力のつり合い: 人は静止しているので、人にはたらく上向きの力と下向きの力がつり合っています。
- 作用・反作用: 「人が台を押す力」の大きさは、「台が人を押す力（垂直抗力 \(N\)）」の大きさと等しいです。
具体的な解説と立式
人にはたらく力のつり合いを考えます。
上向きの力は、張力 \(T\) と台からの垂直抗力 \(N\) の和。
下向きの力は、人の重力 \(W_{\text{人}} = 500 \text{ N}\)。
力のつり合いの式は、
$$ T + N – 500 = 0 \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- 作用・反作用の法則
設問の条件 \(T = 100 \text{ N}\) を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
100 + N – 500 &= 0 \\[2.0ex]N – 400 &= 0 \\[2.0ex]N &= 400 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
台が人を押し上げる力（垂直抗力）が \(400 \text{ N}\) なので、作用・反作用の法則により、人が台を押す力も \(400 \text{ N}\) となります。
人の体重は \(500 \text{ N}\) です。このうち、綱を引くことで綱から上向きに \(100 \text{ N}\) の力を受けて、少し体が軽くなるような状態です。残りの体重 \(500 – 100 = 400 \text{ N}\) を足元の台が支えているので、人が台を押す力は \(400 \text{ N}\) になります。
人が綱を引く力の大きさが \(100 \text{ N}\) のとき、人が台を押す力の大きさは \(400 \text{ N}\) です。人が綱を引くことで、その分だけ台にかかる負担が減るのは直感的にも妥当です。
問(3) 地面が台を押す力の大きさ
思考の道筋とポイント
今度は「台」という物体に着目し、台にはたらく力のつり合いを考えます。台には、①台自身の重力、②綱から上向きに引かれる張力、③人から下向きに押される力、④地面から上向きに押される力の4つがはたらいています。
この設問における重要なポイント
- 台についての力のつり合い: 台は静止しているので、台にはたらく上向きの力と下向きの力がつり合っています。
- 人から受ける力: (2)で求めた「人が台を押す力 \(N=400 \text{ N}\)」が、台に下向きにはたらきます。
具体的な解説と立式
台にはたらく力のつり合いを考えます。
上向きの力は、綱からの張力 \(T\) と地面からの垂直抗力 \(R\) の和。
下向きの力は、台の重力 \(W_{\text{台}} = 200 \text{ N}\) と人から押される力 \(N\) の和。
力のつり合いの式は、
$$ T + R – W_{\text{台}} – N = 0 $$
$$ T + R – 200 – N = 0 \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
設問の条件 \(T = 100 \text{ N}\) と、(2)で求めた \(N = 400 \text{ N}\) を式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
100 + R – 200 – 400 &= 0 \\[2.0ex]R – 500 &= 0 \\[2.0ex]R &= 500 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
台には、もともと台自身の重さ \(200 \text{ N}\) がかかっています。さらに、(2)で計算したように人から \(400 \text{ N}\) の力で押されています。なので、下向きの力は合計 \(200 + 400 = 600 \text{ N}\) です。一方、綱が上向きに \(100 \text{ N}\) で引いてくれているので、地面が支えるべき力は \(600 – 100 = 500 \text{ N}\) となります。
思考の道筋とポイント
「人と台」を一つのシステム（かたまり）として考え、このシステム全体にはたらく外力（外部からの力）のつり合いを考えます。この方法では、人と台の間で及ぼしあう力（内力）\(N\)を考慮する必要がなくなり、計算が簡単になる場合があります。
この設問における重要なポイント
- システム全体への外力:
- 下向き: 人の重力 \(W_{\text{人}}\)、台の重力 \(W_{\text{台}}\)
- 上向き: 地面からの垂直抗力 \(R\)、綱からの張力 \(T\) が2か所（人が引く綱と、台を吊るす綱）
- システム全体の力のつり合い: 上向きの外力の合計と下向きの外力の合計がつり合います。
具体的な解説と立式
「人と台」を一体とみなします。このシステムにはたらく外力は以下の通りです。
- 上向きの力: 綱が人を引く張力 \(T\)、綱が台を引く張力 \(T\)、地面が台を押す垂直抗力 \(R\)。合計 \(2T+R\)。
- 下向きの力: 人の重力 \(W_{\text{人}}=500 \text{ N}\)、台の重力 \(W_{\text{台}}=200 \text{ N}\)。合計 \(700 \text{ N}\)。
力のつり合いの式は、
$$ 2T + R – (W_{\text{人}} + W_{\text{台}}) = 0 $$
$$ 2T + R – 700 = 0 \quad \cdots ③ $$
計算過程
設問の条件 \(T = 100 \text{ N}\) を式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
2 \times 100 + R – 700 &= 0 \\[2.0ex]200 + R – 700 &= 0 \\[2.0ex]R – 500 &= 0 \\[2.0ex]R &= 500 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
この方法では、(2)の結果を使わずに(3)が直接求まります。
地面が台を押す力の大きさは \(500 \text{ N}\) です。
もし人が綱を引かなければ(\(T=0\))、人は台を\(500\text{N}\)で押し、台は地面を\(200+500=700\text{N}\)で押すはずです。綱を\(100\text{N}\)で引くことで、地面への力が\(200\text{N}\)減っています。これは、人が引いた力\(T\)が滑車を介して台を上に引き上げる力\(T\)と合わせて、系全体として\(2T\)だけ上向きの力を生んでいるためです。\(700 – 2 \times 100 = 500\text{N}\)となり、結果は妥当です。
問(4) 台が地面から離れるとき
思考の道筋とポイント
「台が地面から離れる」という状況は、物理的には「地面が台を押す力（垂直抗力 \(R\)）がゼロになる」瞬間を指します。この条件 \(R=0\) を、これまで立ててきた力のつり合いの式に代入することで、その瞬間に人が綱を引く力 \(T\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント
- 離れる瞬間の条件: 地面からの垂直抗力 \(R=0\)。
- つり合いの式の利用: (2),(3)で立てた式①, ②（または別解の式③）に \(R=0\) を代入して解きます。
具体的な解説と立式
台が地面から離れる直前、地面からの垂直抗力 \(R\) は \(0\) になります。
この条件 \(R=0\) を、(3)の別解で導いた式③に代入するのが最も簡単です。
$$ 2T + R – 700 = 0 \quad \cdots ③ $$
ここに \(R=0\) を代入します。
使用した物理公式
- 力のつり合い
式③に \(R=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2T + 0 – 700 &= 0 \\[2.0ex]2T &= 700 \\[2.0ex]T &= 350 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
これは、台が離れる「直前」の張力の大きさです。したがって、台を離れさせるためには、この力より大きく引く必要があります。
人と台の合計の重さは \(500 + 200 = 700 \text{ N}\) です。この全体を浮かすには、上向きに \(700 \text{ N}\) の力が必要です。人が綱を引く力 \(T\) は、自分自身を上に引くと同時に、滑車を介して台も上に引きます。つまり、1の力で2か所を引く効果があり、全体としては \(2T\) の力で系を上に持ち上げようとします。この持ち上げる力 \(2T\) が、全体の重さ \(700 \text{ N}\) と等しくなるときに台が浮き始めます。
台が地面から離れるためには、人が綱を引く力の大きさを \(350 \text{ N}\) より大きくしなければなりません。
もし人が地面に立って台だけを引くなら、台の重さ \(200 \text{ N}\) より大きな力で引けば台は持ち上がります。しかし、この問題では人も一緒に持ち上げる必要があるため、より大きな力が必要となります。人の重さ \(500 \text{ N}\) と台の重さ \(200 \text{ N}\) の合計 \(700 \text{ N}\) の半分である \(350 \text{ N}\) という結果は、物理的に妥当です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 複数物体系における力のつり合い:
- 核心: この問題は、複数の物体（人と台）が互いに力を及ぼし合っている状況を扱います。核心は、それぞれの物体に「着目」し、個別に力のつり合いの式を立てることです。これにより、未知の力を連立方程式として解くことができます。
- 理解のポイント:
- 着目物体の分離: 「人」と「台」を別々の物体とみなし、それぞれにはたらく力を考える。
- 作用・反作用の法則: 「人が台を押す力」と「台が人を押す力」は、内力として大きさが等しく向きが逆であると正しく認識する。
- 張力の性質: 1本の軽い綱の張力はどこでも等しい。人が綱を引く力\(T\)と、綱が台を引く力\(T\)は同じ大きさである。
- 「系」としての一体化:
- 核心: 「人と台」を一つの「系（システム）」とみなすと、系内部で及ぼしあう力（内力、この問題では人と台の間の垂直抗力\(N\)）を無視して、系全体にはたらく「外力」のみで力のつり合いを考えることができます。
- 理解のポイント: この問題では、系全体にはたらく外力は、人の重力、台の重力、地面からの垂直抗力、そして綱からの張力（2か所）です。この考え方を使うと、内力\(N\)を消去した式が直接得られ、計算が簡略化される場合があります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 動滑車を含む問題: 動滑車を使うと、より小さな力で重い物体を持ち上げることができます。この場合、動滑車自体にはたらく力のつり合いも考える必要があります。
- エレベーター内の物体: 加速・減速するエレベーターの中で人が体重計に乗る問題など。この場合は力のつり合いではなく、運動方程式（\(ma=F\)）を立てることになりますが、「人」と「体重計」のように物体を分離して考えるアプローチは共通しています。
- 積み重なった物体の運動: 複数のブロックが積み重なっており、そのうちの一つを押す問題。各ブロックにはたらく垂直抗力や摩擦力を考え、それぞれのブロックについて運動方程式（または力のつり合い）を立てます。
- 初見の問題での着眼点:
- 物体を数える: 問題に登場する物体がいくつあるかを確認します（この問題では「人」と「台」）。
- 力をリストアップする: 各物体について、接触しているもの（綱、台、地面）と、離れていてもはたらく力（重力）をすべてリストアップします。
- 内力と外力を区別する: 物体間で及ぼしあう力（内力）と、系の外部から加わる力（外力）を意識します。問題を解く上で、どちらの視点（個別に考えるか、一体と考えるか）が有利かを見極めます。
- 「離れる」「滑り出す」の条件: 「物体が床から離れる瞬間」は「垂直抗力\(R=0\)」、「物体が滑り出す瞬間」は「静止摩擦力が最大摩擦力に達したとき」など、特定の物理的条件を数式に変換する能力が重要です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 作用・反作用の取り違え:
- 誤解: 「人が台を押す力」と「地面が台を押す力」など、無関係な力を作用・反作用と勘違いする。
- 対策: 作用・反作用の法則は、必ず「AがBに及ぼす力」と「BがAに及ぼす力」というペアで成り立ちます。主語と目的語を入れ替えて成り立つ関係であると覚えましょう。
- 張力の向きの誤解:
- 誤解: 人が綱を「下に」引くので、人にはたらく張力も下向きだと考えてしまう。
- 対策: 張力は常に綱が物体を「引く」向きにはたらきます。人が綱を引くとき、綱は人を引き返します。したがって、人にはたらく張力は上向きです。
- 「人と台を一体」と考える際の力の数え間違い:
- 誤解: 人と台を一体とみなしたとき、綱からの張力\(T\)を1回しか数えない。
- 対策: システム全体が「外部」から受ける力を数え上げます。この系は、「人が持つ綱」と「台を吊るす綱」の2か所で外部（滑車の向こう側）とつながっています。したがって、上向きの張力は\(2T\)としてはたらくと正しく数える必要があります。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 物体の分離図: 人と台を少し離して描き、それぞれに独立して力の矢印を書き込むと、思考が整理されます。特に、人と台の間にはたらく垂直抗力\(N\)を、人には上向き、台には下向きに、同じ大きさの矢印で描くことが重要です。
- ブラックボックス化: 「人と台」を一つの黒い箱（ブラックボックス）で囲むイメージを持つと、「一体として考える」アプローチが理解しやすくなります。この箱を貫いて出入りする矢印だけが「外力」であり、箱の中で完結する矢印は「内力」として無視できることが視覚的にわかります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(\sum F = 0\)):
- 選定理由: (1)〜(3)では物体が「静止」しており、(4)では「離れる直前」でつり合っている状態を考えるため。加速度がゼロの状況を記述する基本法則として選択します。
- 適用根拠: ニュートンの運動法則の基本であり、静力学の問題を解く際の普遍的な原理です。この問題では、複数の物体それぞれにこの法則を適用することがポイントです。
- 作用・反作用の法則:
- 選定理由: 人と台が互いに力を及ぼしあっているため。台が人を押す力\(N\)と、人が台を押す力\(N’\)の関係を明らかにするために必要です。この法則により、\(N=N’\)として、2つのつり合いの式を連携させることができます。
- 適用根拠: ニュートンの第三法則であり、相互作用する物体間の力の関係を規定する普遍的な法則です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 準備: 問題に登場する物体（人、台）と、それらにはたらく力（重力\(W\)、張力\(T\)、垂直抗力\(N, R\)）をすべて特定する。
- 立式:
- 戦略: 「人」と「台」それぞれについて、鉛直方向の力のつり合いの式を立てる。
- フロー: ①人についてのつり合い式 (\(T+N-W_{\text{人}}=0\)) を立てる。②台についてのつり合い式 (\(T+R-N-W_{\text{台}}=0\)) を立てる。
- (2)の計算:
- 戦略: \(T=100\) を人についての式①に代入し、\(N\)を求める。
- (3)の計算:
- 戦略: \(T=100\) と(2)で求めた\(N\)を、台についての式②に代入し、\(R\)を求める。
- (別解戦略): 人と台を一体とみなし、外力のつり合いの式 (\(2T+R – (W_{\text{人}}+W_{\text{台}})=0\)) を立て、\(T=100\) を代入して\(R\)を求める。
- (4)の計算:
- 戦略: 「台が離れる」条件 \(R=0\) を、連立方程式または一体とみなした式に代入し、\(T\)を求める。
- フロー: 一体とみなした式 \(2T+R-700=0\) に \(R=0\) を代入するのが最も速い。\(2T-700=0\) を解いて \(T=350\)。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 未知数を明確にする: この問題では、張力\(T\)、人と台の間の垂直抗力\(N\)、地面と台の間の垂直抗力\(R\)の3つが状況によって変わる変数（未知数）です。これらを文字で置いて式を立てることで、思考が整理されます。
- 式の足し算・引き算を活用する: (4)を解く際、式① (\(T+N=500\)) と式② (\(T+R-N=200\)) を辺々足し合わせると、内力\(N\)が消去され、\(2T+R=700\) という式③が直接得られます。これは「一体として考える」ことと数学的に等価であり、連立方程式を解くテクニックとして有効です。
- 単位の確認: すべての力はニュートン[N]で計算されていることを常に意識しましょう。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (2) \(N=400\text{ N}\): 人の重さ\(500\text{ N}\)より小さい。綱を引くことで体が軽くなったと感じる状態なので妥当。
- (3) \(R=500\text{ N}\): 人と台の合計の重さ\(700\text{ N}\)より小さい。綱が上向きに助けているので妥当。
- (4) \(T=350\text{ N}\): 人と台の合計の重さ\(700\text{ N}\)のちょうど半分。綱を引くことで\(2T\)の力で系全体を浮かせようとするので、\(2T=700\)となるのは物理的に理にかなっている。
- 別解との比較:
- (3)の地面からの垂直抗力\(R\)は、「人」「台」個別のつり合いから求めた結果と、「人と台を一体」とみなして求めた結果が一致しました。これは、異なる視点からアプローチしても同じ物理法則が成り立っていることを示しており、計算の正しさを裏付けます。
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