「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 4】Step2

Step 2

41 力のつり合い

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の物体が連なった系の力のつり合い」です。複数の物体が糸やばねで繋がれている場合、どの物体に着目して力のつり合いを考えるかがポイントになります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
複数の物体が繋がった問題では、はたらく力が最も単純な物体から考えるのが定石です。この問題では、一番下のおもりBがそれに該当します。おもりBにはたらく力は、自身の重力と、それを支える糸の張力のみです。物体は静止しているので、これらの力がつり合っていると考えます。

この設問における重要なポイント

• 複数の物体が連なっている場合、末端の物体から考えるのがセオリー。
• 「静止」というキーワードから、力のつり合いの式を立てる。
• おもりBにはたらく力を正確に特定する（重力と張力）。

具体的な解説と立式
おもりBに着目します。

おもりBには、鉛直下向きに重力（大きさ \(3.0 \text{ N}\)）と、鉛直上向きに糸の張力（大きさを \(T\) とする）がはたらいています。

おもりBは静止しているので、これらの力はつり合っています。鉛直上向きを正とすると、力のつり合いの式は以下のようになります。
$$ T – 3.0 = 0 $$

立式したつり合いの式を \(T\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
T – 3.0 &= 0 \\[2.0ex]
T &= 3.0 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

おもりBが宙に浮いて静止しているのは、糸が上に引っ張る力（張力）と、地球が下に引っ張る力（重力）がちょうど釣り合っているからです。おもりBの重さは \(3.0 \text{ N}\) なので、糸がそれを支えるために引く力も同じく \(3.0 \text{ N}\) となります。

AB間の糸の張力の大きさは \(3.0 \text{ N}\) です。この張力は、おもりBの重さのみを支えているため、その大きさがBの重力に等しくなるのは物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ばねの伸びを求めるには、フックの法則 \(F=kx\) を使います。そのためには、まずばねの弾性力 \(F\) の大きさを知る必要があります。ばねはおもりAに直接つながっているので、おもりAにはたらく力のつり合いを考えることで、弾性力 \(F\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• おもりAにはたらく力をすべて洗い出すこと（ばねの弾性力、A自身の重力、糸の張力）。
• おもりAを引く糸の張力は、(1)で求めた値と同じである。
• ばねの弾性力は、その下にあるすべての物体の重さの合計を支えている。
• フックの法則 \(F=kx\) を正しく適用する。

具体的な解説と立式
おもりAに着目します。

おもりAには、鉛直上向きにばねの弾性力（大きさを \(F\) とする）、鉛直下向きに自身の重力（大きさ \(2.0 \text{ N}\)）、そして鉛直下向きに糸がおもりAを引く張力（大きさ \(T\)）がはたらいています。

おもりAは静止しているので、これらの力はつり合っています。鉛直上向きを正とすると、力のつり合いの式は以下のようになります。
$$ F – T – 2.0 = 0 \quad \cdots ① $$
(1)で求めた \(T = 3.0 \text{ N}\) をこの式に代入することで、弾性力 \(F\) を求めることができます。

次に、ばねの自然長からの伸びを \(x\) とすると、フックの法則より弾性力 \(F\) は次のように表せます。
$$ F = kx \quad \cdots ② $$
問題文より、ばね定数 \(k = 25 \text{ N/m}\) です。①で求めた \(F\) の値を②に代入して、\(x\) を計算します。

まず、式①から弾性力 \(F\) を求めます。(1)より \(T=3.0 \text{ N}\) なので、
$$
\begin{aligned}
F – 3.0 – 2.0 &= 0 \\[2.0ex]
F &= 5.0 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(F\) の値をフックの法則の式②に代入して、伸び \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
5.0 &= 25x \\[2.0ex]
x &= \frac{5.0}{25} \\[2.0ex]
&= 0.20 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

ばねがどれだけ伸びているかを知るには、ばねがどれくらいの力で引っ張られているかを知る必要があります。ばねは、その下につながっているおもりAとおもりBの両方を支えています。Aの重さが \(2.0 \text{ N}\)、Bの重さが \(3.0 \text{ N}\) なので、ばねは合計で \(2.0 + 3.0 = 5.0 \text{ N}\) の力で下に引っ張られています。

ばねの伸びは、この力（弾性力）をばねの硬さ（ばね定数）で割ることで計算できます。したがって、伸びは \(5.0 \text{ N} \div 25 \text{ N/m} = 0.20 \text{ m}\) となります。

ばねの自然長からの伸びは \(0.20 \text{ m}\) です。ばねは、その下にある物体全体の重さ（\(2.0 \text{ N} + 3.0 \text{ N} = 5.0 \text{ N}\)）を支えるため、弾性力は \(5.0 \text{ N}\) となります。この力とばね定数から計算した伸びの値は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連結された物体系における力のつり合い:
  • 核心: 複数の物体が繋がって静止している系を扱う問題。核心は、系を構成する「個々の物体」に着目して力のつり合いを考えるか、あるいは系「全体を一体」とみなして考えるか、という2つの視点を使い分ける能力です。
  • 理解のポイント:
    • 個別に考える視点: 1つ1つの物体にはたらく力を図示し、それぞれについて力のつり合いの式を立てる方法。物体間にはたらく内力（この問題では糸の張力）を求めたい場合に必須のアプローチです。
    • 一体とみなす視点: 連結された物体全体を1つのかたまりと見なす方法。このとき、物体間にはたらく内力（張力など）はかたまりの内部で完結するため、考えなくてよくなります。系全体に作用する外力（この問題ではばねの弾性力と全体の重力）の関係を知りたい場合に非常に有効です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平面上で連結された物体: 床の上に置かれた複数の物体を、糸でつないだり、直接接触させて押したり引いたりする問題。考え方は同じで、個別に考えるか、一体とみなすかを使い分けます。
  • 滑車を介した問題: 滑車を挟んで2つの物体が糸でつながれている場合。それぞれの物体について力のつり合い（または運動方程式）を立てて解きます。
  • エレベーター内の物体: 加速・減速するエレベーターの中で物体が吊るされている場合。これは力のつり合いではなく、運動方程式を考える問題へと発展します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. どこから解き始めるか？: 複数の物体が連なっている場合、はたらく力が最も少ない「末端」の物体から考えるのが鉄則です。この問題では、一番下のおもりBから考えると、すぐに糸の張力が求まります。
  2. 何を求めたいか？: 求めたい量が「内力」（物体間の力、例：張力）か「外力」（系全体にかかる力、例：ばねの力）かを見極めます。内力を求めるには個別に考える必要がありますが、外力だけなら一体とみなす方が速い場合があります。
  3. 一体化できるかの判断: 複数の物体が同じ運動状態（この場合は静止）にあるとき、それらを一体とみなすことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ばねの弾性力の計算ミス:
  • 誤解: (2)でばねの弾性力を求めるときに、すぐ上にあるおもりAの重さ（\(2.0 \text{ N}\)）だけを考えてしまう。
  • 対策: ばねが「何を支えているか」を常に自問する癖をつけること。このばねは、その下にある物体「すべて」、つまりおもりAとおもりBの両方を支えています。したがって、ばねの弾性力は、AとBの重さの合計（\(2.0 \text{ N} + 3.0 \text{ N}\)）とつり合います。
• 張力の向きの誤解:
  • 誤解: おもりAにはたらく張力を、おもりBを支えているからという理由で上向きだと勘違いする。
  • 対策: 張力は常に「糸が物体を引く」方向にはたらきます。おもりAにとって、糸は下側に接続されているので、張力はAを「下向き」に引きます。逆におもりBにとっては、糸は上側にあるので、張力はBを「上向き」に引きます。
• 着目物体の混同:
  • 誤解: おもりAのつり合いを考えている式に、おもりBの重力を直接書き込んでしまう。
  • 対策: 必ず「着目物体にはたらく力だけ」を考える原則を徹底する。おもりAに直接はたらくのは「Aの重力」「ばねの弾性力」「糸の張力」の3つです。Bの重力は、糸の張力という形で間接的におもりAに影響を与えています。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式:
  • 選定理由: 問題文に「つるした」とあり、図からも系全体が静止していることがわかります。物理学において、静止している物体の加速度はゼロです。ニュートンの運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) に \(a=0\) を代入すると、合力 \(F_{\text{合力}}\) は \(0\) となります。これが力のつり合いの条件であり、この問題で使うべき中心的な法則です。
  • 適用根拠: この法則を、(1)ではおもりBという単一の物体に、(2)ではおもりAという単一の物体、あるいはAとBを一体とみなした系に適用します。それぞれの着目対象について、はたらく力をすべてリストアップし、力のベクトル和がゼロになるように立式します。
• フックの法則 (\(F = kx\)):
  • 選定理由: (2)で「ばねの伸び」を求めるように指示されています。ばねの「弾性力」と「伸び（縮み）」、そして「ばね定数」という3つの量を関係づける法則はフックの法則以外にありません。
  • 適用根拠: まず力のつり合いの式を用いて、ばねにはたらく弾性力 \(F\) の大きさを特定します。次に、その \(F\) の値と問題文で与えられたばね定数 \(k\) をフックの法則に代入することで、未知数である伸び \(x\) を算出します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: ばね定数が \(25 \text{ N/m}\) とメートル基準で与えられています。力の単位もニュートン[N]なので、計算して得られる伸び \(x\) の単位はメートル[m]になります。もし問題がセンチメートル[cm]で答えを要求していたら、最後に単位換算を忘れないように注意が必要です。
• 段階的な計算の徹底: この問題は、(1)で張力 \(T\) を求め、(2)でその \(T\) を使って弾性力 \(F\) を求め、最後に \(F\) を使って伸び \(x\) を求める、という連鎖的な構造になっています。前のステップの計算結果が次のステップの入力になるため、各段階での計算を慎重に行うことが重要です。

• 別解による検算: (2)の弾性力 \(F\) を求める際に、「おもりAに個別で着目する方法」と「AとBを一体とみなす方法」の2通りで計算し、結果が一致するかを確認する習慣をつけると非常に強力です。\(F = T + 2.0 = 3.0 + 2.0 = 5.0 \text{ N}\) と、\(F = W_A + W_B = 2.0 + 3.0 = 5.0 \text{ N}\) が一致することを確認できれば、計算ミスや考え方の間違いをほぼ確実に防げます。

42 3力のつり合い

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「3つの力が1点でつり合う状況の解析」です。複数の力が1点にはたらいて静止している場合、それらの力はつり合っていると考え、数式で表現します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
3つのばねばかりが接続された点が静止しているため、この点にはたらく3つの張力がつり合っています。未知の力が2つ（ばねBとCの張力）あるため、2つの独立した方程式を立てる必要があります。これは、力を直交する2つの方向（水平と鉛直）に分解し、それぞれの方向で力のつり合いの式を立てることで解決できます。

この問題で最も重要なのは、力を分解するための座標軸を適切に設定し、斜め向きの力（ばねBの力）が軸となす角度を正確に求めることです。

この設問における重要なポイント

• 力のつり合いの条件：水平方向の力の和が0、かつ、鉛直方向の力の和が0。
• 座標軸の設定：ばねAとCがそれぞれ鉛直、水平方向を向いているため、水平方向をx軸、鉛直方向をy軸とすると計算がしやすい。
• 角度の特定：図に与えられた角度の情報から、力Bが座標軸となす角度を正確に導き出す。

具体的な解説と立式
ばねばかりA, B, Cが引く力の大きさを、それぞれ \(F_A, F_B, F_C\) とします。問題文より、\(F_A = 3.0 \text{ N}\) です。

水平右向きをx軸の正方向、鉛直上向きをy軸の正方向とします。

各力は、ばねばかりの接続点に以下のようにはたらきます。

• 力 \(F_A\): y軸の正方向。大きさ \(3.0 \text{ N}\)。
• 力 \(F_C\): x軸の正方向。大きさは未知。
• 力 \(F_B\): 斜め左下方向。大きさは未知。

次に、力 \(F_B\) がx軸、y軸となす角を求めます。

図より、力 \(F_A\)（y軸正方向）と力 \(F_B\) のなす角は \(120^\circ\) です。したがって、力 \(F_B\) とy軸負方向とのなす角は \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) となります。

y軸とx軸は直交しているので、力 \(F_B\) がx軸負方向となす角は \(90^\circ – 60^\circ = 30^\circ\) です。

これを用いて、力 \(F_B\) をx成分とy成分に分解します。

• x成分: \(-F_B \cos 30^\circ\)
• y成分: \(-F_B \sin 30^\circ\)

接続点にはたらく力のつり合いを考えます。

y軸方向（鉛直方向）の力のつり合い:
$$ F_A – F_B \sin 30^\circ = 0 $$
$$ 3.0 – F_B \sin 30^\circ = 0 \quad \cdots ① $$

x軸方向（水平方向）の力のつり合い:
$$ F_C – F_B \cos 30^\circ = 0 \quad \cdots ② $$

まず、式①から \(F_B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
3.0 – F_B \sin 30^\circ &= 0 \\[2.0ex]
3.0 &= F_B \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]
F_B &= 3.0 \times 2 \\[2.0ex]
&= 6.0 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
次に、求めた \(F_B = 6.0 \text{ N}\) を式②に代入して \(F_C\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
F_C – F_B \cos 30^\circ &= 0 \\[2.0ex]
F_C &= F_B \cos 30^\circ \\[2.0ex]
&= 6.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]
&= 3.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F_C &\approx 3.0 \times 1.73 \\[2.0ex]
&= 5.19
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(F_C \approx 5.2 \text{ [N]}\) となります。

3つの力が引っ張り合って動かないので、力のバランスが取れています。このバランスを「縦方向」と「横方向」に分けて考えます。

• 縦のバランス: ばねAが上に引く力（\(3.0 \text{ N}\)）と、ばねBが斜め下に引く力のうち「下向きの成分」が等しくなっています。この関係から、ばねBが引く力 \(F_B\) の大きさがわかります。
• 横のバランス: ばねCが右に引く力（\(F_C\)）と、ばねBが斜め下に引く力のうち「左向きの成分」が等しくなっています。上で求めた \(F_B\) を使うと、ばねCが引く力 \(F_C\) の大きさが計算できます。

ばねばかりBの目盛りは \(6.0 \text{ N}\)、ばねばかりCの目盛りは約 \(5.2 \text{ N}\) です。計算過程で角度の特定、力の分解、つり合いの式の立式が正しく行われていることを確認します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと成分分解:
  • 核心: 1点にはたらく複数の力がつり合っている（合力がゼロ）という状況を、数式で処理する能力が核心です。そのためには、力を互いに直交する2つの成分に分解し、「各方向の力の和がゼロになる」という条件式を立てるのが最も基本的かつ汎用的なアプローチです。
  • 理解のポイント:
    • なぜ分解するのか？: 力はベクトル量であり、向きが異なると単純な足し算・引き算ができません。そこで、全ての力を共通の「ものさし」（座標軸）に沿った成分に分解することで、各方向ごとにスカラー（ただの数値）として扱うことができ、簡単な代数計算に持ち込めます。
    • 座標軸の選び方: 計算を楽にするために、できるだけ多くの力が座標軸と重なるように軸を設定するのがセオリーです。この問題では、力Aと力Cが直交しているため、これらをそのままy軸、x軸とすることで、分解する力が力Bの一つだけで済み、計算が非常に楽になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 天井から2本の糸で物体を吊るす問題: 物体にはたらく重力と、2本の糸の張力の3つがつり合う問題。本問と全く同じ構造です。
  • 壁と床に立てかけた棒のつり合い: 棒にはたらく重力、床からの垂直抗力と摩擦力、壁からの垂直抗力など、複数の力がつり合う問題。力のつり合いだけでなく、力のモーメントのつり合いも考える必要がありますが、力の成分分解という点では共通しています。
  • 静電気力のつり合い: 2つの固定された点電荷の間に、もう1つの点電荷を糸で吊るす問題。重力、張力、そして2つのクーロン力がつり合う状況を考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 着目点を決める: まず、どの点（または物体）の力のつり合いを考えるのかを明確にします。この問題では「3つのばねばかりの接続点」です。
  2. 力の図示: 着目点にはたらく力をすべて矢印で描き出します。力の向きと、分かっている角度を正確に記入します。
  3. 座標軸の設定: 最も計算が楽になるように座標軸を設定します。迷ったら水平・鉛直で問題ありません。
  4. 角度の計算: 各力が座標軸となす角を、図形的な知識（錯角、同位角、三角形の内角の和など）を使って慎重に求めます。ここが一番の間違いやすいポイントです。
  5. 立式と計算: 各力を成分分解し、x方向、y方向それぞれのつり合いの式を立てて連立方程式を解きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の分解における角度の間違い:
  • 誤解: 力Bがx軸となす角を、図に示された \(120^\circ\) や \(90^\circ\) から安易に判断して間違える。例えば、\(120^\circ – 90^\circ = 30^\circ\) をy軸との角度と勘違いするなど。
  • 対策: 必ず大きな図を描き、補助線を引いて角度を一つ一つ確認する。力Bとy軸正方向がなす角が \(120^\circ\) なので、力Bとy軸負方向がなす角は \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\)。よって、x軸負方向となす角は \(90^\circ – 60^\circ = 30^\circ\) である、というように論理的に角度を導出する癖をつける。
• \(\sin\) と \(\cos\) の混同:
  • 誤解: x成分を \(\sin\)、y成分を \(\cos\) と機械的に覚えていて間違える。
  • 対策: 「角度 \(\theta\) を挟む辺が \(\cos\theta\)」というルールを適用する。この問題では、力Bとx軸負方向のなす角を \(30^\circ\) としたので、x成分が \(\cos 30^\circ\) を使う方になります。
• 力の向き（符号）のミス:
  • 誤解: 力Bの成分を分解する際に、両方とも正の値として式を立ててしまう。
  • 対策: 座標軸の正の向きを最初に決め、それと逆向きの成分には必ずマイナス符号をつけることを徹底する。力Bは左下を向いているので、x成分もy成分も負になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (x方向の力の和 = 0, y方向の力の和 = 0):
  • 選定理由: 問題文に「力がつり合った」と明記されています。これは、接続点の加速度がゼロであることを意味し、ニュートンの運動法則 \(ma=F_{\text{合力}}\) から、接続点にはたらく合力がゼロであると結論付けられます。このベクトル方程式を、計算可能な2つのスカラー方程式に変換したものが、成分ごとのつり合いの式です。
  • 適用根拠: 3つの力ベクトルを直接足し合わせるのは困難です。しかし、ベクトルは互いに直交する成分に分解できるという性質を持っています。x方向の運動はx方向の力のみで決まり、y方向の運動はy方向の力のみで決まる（運動の独立性）ため、各方向で独立して力のつり合いを考えることができます。
• ラミの定理（別解）:
  • 選定理由: 「3つの力」「1点」「つり合い」というキーワードが揃ったときに適用できる特殊な公式です。力を分解する手間を省き、よりエレガントに解きたい場合に選択します。
  • 適用根拠: この定理は、力のつり合いのベクトル方程式 \(\vec{F_A} + \vec{F_B} + \vec{F_C} = \vec{0}\) を、ベクトル三角形の正弦定理を用いて表現し直したものです。数学的には力の分解と同じことを行っていますが、見通しが良くなる場合があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の解法戦略: この問題では、y方向のつり合いの式①には未知数が \(F_B\) のみ、x方向の式②には \(F_B\) と \(F_C\) の2つが含まれています。したがって、まず式①から \(F_B\) を確定させ、その結果を式②に代入して \(F_C\) を求める、という手順が最も効率的です。常に未知数が少ない式から手をつけることを意識しましょう。
• 有効数字の扱い: 問題文の \(3.0 \text{ N}\) は有効数字2桁です。計算途中で \(F_C = 3.0\sqrt{3}\) となっても、最後に \(\sqrt{3} \approx 1.73\) を代入して \(5.19\) と計算し、これを有効数字2桁に四捨五入して \(5.2\) と答える必要があります。
• 概算による検算: \(F_B = 6.0 \text{ N}\), \(F_C = 3.0\sqrt{3} \approx 5.2 \text{ N}\) と求まりました。力Bは力A(\(3.0 \text{ N}\))のちょうど2倍、力Cは力Aの \(\sqrt{3}\) 倍になっています。これは、3つの力がなす角度が \(90^\circ, 120^\circ, 150^\circ\) という特別な関係（\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形が隠れている）から来ています。このような関係性に気づくと、計算結果に自信を持つことができます。

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43 力のつり合いと作用・反作用