「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 15】Step 2

Step 2

223 波のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波形グラフの解釈と媒質の単振動」です。与えられた波形グラフ（\(y-x\)グラフ）と波の移動情報から、波の基本的な物理量を計算し、それを用いて特定の媒質の未来の運動を予測する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の5つの基本量（波長、振幅、速さ、周期、振動数）を求める問題です。まず、与えられた\(y-x\)グラフから直接読み取れる「空間的」な情報である「波長」と「振幅」を確定させます。次に、問題文の「山PがQまで移動した」という「時間的」な情報から、波の「速さ」を計算します。最後に、これらの物理量を波の基本式に代入して、残りの「周期」と「振動数」を計算するという手順で進めます。
この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda\): 1波長分の長さ。グラフの同じ位相の点（例：山と隣の山）の間の距離。
• 振幅 \(A\): 振動の中心（\(y=0\)）からの最大の変位。
• 速さ \(v\): 波形（位相）が単位時間あたりに進む距離。
• 周期 \(T\): 媒質が1回振動するのにかかる時間。波が1波長進むのにかかる時間でもあります。
• 振動数 \(f\): 媒質が1秒あたりに振動する回数。\(f=1/T\) の関係があります。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda\) と 振幅 \(A\)
\(y-x\)グラフから直接読み取ります。
グラフで、山（例えば\(x=0 \text{ m}\)）から次の山（\(x=8.0 \text{ m}\)）までの距離が1波長なので、
$$ \lambda = 8.0 \text{ [m]} $$
振幅は振動の中心からの最大の変位なので、グラフの山の高さから、
$$ A = 0.20 \text{ [m]} $$

速さ \(v\)
波の山P（\(x_{\text{P}}=8.0 \text{ m}\)）が、山Q（\(x_{\text{Q}}=10.0 \text{ m}\)）まで \(\Delta t = 0.50 \text{ s}\) かけて移動したとあります。この間の移動距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = x_{\text{Q}} – x_{\text{P}} = 10.0 – 8.0 = 2.0 \text{ [m]} $$
したがって、速さ \(v\) は次式で求められます。
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

周期 \(T\)
波の基本式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を \(T\) について解くと、
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$

振動数 \(f\)
周期 \(T\) と振動数 \(f\) の間には逆数の関係があります。
$$ f = \frac{1}{T} $$

速さ \(v\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2.0}{0.50} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
周期 \(T\) の計算:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{8.0}{4.0} \\[2.0ex]&= 2.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{2.0} \\[2.0ex]&= 0.50 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

「波長」は波一つ分の長さなので、グラフの山から次の山までで \(8.0 \text{ m}\) です。「振幅」は波の揺れの高さで、グラフから \(0.20 \text{ m}\) と読み取れます。
波の「速さ」は、「進んだ距離 ÷ かかった時間」です。山がPからQまで \(2.0 \text{ m}\) を \(0.50\) 秒で進んだので、速さは \(2.0 \div 0.50 = 4.0 \text{ m/s}\) です。
「周期」は、波が1波長（\(8.0 \text{ m}\)）進むのにかかる時間なので、「距離 ÷ 速さ」で \(8.0 \div 4.0 = 2.0\) 秒です。
「振動数」は、1秒間に何回振動するかを表し、周期の逆数なので \(1 \div 2.0 = 0.50 \text{ Hz}\) となります。

求めた値は、波長 \(8.0 \text{ m}\)、振幅 \(0.20 \text{ m}\)、速さ \(4.0 \text{ m/s}\)、周期 \(2.0 \text{ s}\)、振動数 \(0.50 \text{ Hz}\) です。グラフと問題文から論理的に導出されており、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
特定の媒質（原点O）の運動に着目し、その状態が変化するまでの時間を求める問題です。重要なのは、「波が進む」ことと「媒質がその場で振動する」ことを区別して考えることです。
まず、\(t=0\)（実線の状態）での原点Oの媒質の状態をグラフから読み取ります。次に、その状態から「初めて谷になる」までには、単振動の周期のうちどれくらいの時間がかかるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 媒質は波と共に進行方向へ移動するのではなく、その場で上下に単振動する。
• 媒質の単振動の1周期は、波の周期\(T\)と等しい。
• 媒質が「山」の状態から「谷」の状態へ移動するには、単振動の半周期 (\(T/2\)) の時間がかかる。

具体的な解説と立式
1. 原点Oの初期状態の確認
\(t=0\) の \(y-x\) グラフ（実線）を見ると、原点O（\(x=0\)）の媒質は変位が \(y = +0.20 \text{ m}\) となっており、正の向きに最大変位、つまり「山」の状態にあります。

2. 状態変化にかかる時間の考察
原点Oの媒質は、この「山」の状態から単振動を開始します。1回の単振動（周期\(T\)）で、「山 \(\rightarrow\) 振動中心 \(\rightarrow\) 谷 \(\rightarrow\) 振動中心 \(\rightarrow\) 山」という運動をします。
問題で問われているのは、「山」の状態から「初めて谷になる」までの時間です。これは、単振動の運動のちょうど半分、つまり半周期分の時間に相当します。
したがって、求める時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{T}{2} $$
(1)で求めた周期 \(T=2.0 \text{ s}\) を代入して計算します。

$$
\begin{aligned}
t &= \frac{2.0}{2} \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

まず、スタート時点での原点Oの様子を見ます。グラフから、原点Oは「山」のてっぺんにいることがわかります。
この後、原点Oの媒質は上下に揺れる運動（単振動）をします。山のてっぺんから谷の底まで移動するのは、ちょうど1往復の半分の運動です。
(1)で計算したように、1往復にかかる時間（周期）は \(2.0\) 秒なので、その半分の \(1.0\) 秒後に初めて谷になります。

原点Oの媒質は\(t=0\)で山の状態にあり、半周期後に初めて谷の状態になる、という考え方で時間を求めました。媒質の運動を正しく単振動として捉えており、物理的に正しい解法です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の二重性（伝播と振動）の理解:
  • 核心: この問題は、波という現象が持つ二つの側面、すなわち「波形が空間を伝播していく側面」と「各点の媒質がその場で単振動する側面」を明確に区別し、両者を正しく結びつけられるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • (1) 伝播する波として分析: 波長\(\lambda\)、速さ\(v\)は、波形全体が空間を移動していく様子を捉える量です。\(y-x\)グラフと波の移動情報から求めます。
    • (2) 振動する媒質として分析: 原点Oの媒質が「谷になる」のはいつか、という問いは、波形全体の移動ではなく、\(x=0\)という一点の上下運動（単振動）に焦点を当てて考えます。
    • 周期\(T\)が両者をつなぐ: 周期\(T\)（および振動数\(f\)）は、波が1波長\(\lambda\)進む時間であり、同時に媒質が1回振動する時間でもあります。この周期\(T\)が、波の伝播と媒質の振動という二つの側面を結びつける重要な鍵となります。
• 波の基本公式の体系的運用:
  • 核心: 波の5つの基本量（\(A, \lambda, v, T, f\)）を、定義と基本公式（\(v=\Delta x/\Delta t\), \(v=\lambda/T\), \(f=1/T\)）を用いて、与えられた情報から未知の量を連鎖的に導出する能力。
  • 理解のポイント:
    1. グラフから直接読み取る: \(y-x\)グラフから\(A, \lambda\)を確定。
    2. 移動情報から計算する: \(\Delta x, \Delta t\)から\(v\)を確定。
    3. 基本式で変換する: \(v, \lambda\)から\(T\)を、\(T\)から\(f\)を導出する。

    この一連の流れをスムーズに実行できることが求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)グラフが与えられる問題: ある一点の媒質の振動の様子（\(y-t\)グラフ）が与えられ、そこから周期\(T\)と振幅\(A\)を読み取り、波の速さ\(v\)などの情報と組み合わせて波長\(\lambda\)や波形（\(y-x\)グラフ）を決定する逆パターンの問題。
  • 任意の点の未来を予測する問題: (2)のように原点Oだけでなく、「\(x=2.0 \text{ m}\)の媒質が初めて山になるのは何秒後か」といった問題。この場合、まず\(x=2.0 \text{ m}\)の位相が原点Oの位相からどれだけずれているかを考え、その位相の波が到達するまでの時間と、到達してから山になるまでの時間を足し合わせる必要があります。
  • 波の式を扱う問題: \(y(x, t) = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) のような波の式を決定したり、式から各物理量を読み取ったりする問題。本問の知識は、この式を構成する各パラメータを求めるための基礎となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられた情報の種類を分類: 問題文とグラフから得られる情報を「空間情報（\(y-x\)グラフ、位置など）」と「時間情報（移動時間、周期など）」に分類して整理します。
  2. 何が問われているかを明確にする: 問いが「波全体の性質（\(\lambda, v\)など）」についてなのか、「特定点の媒質の運動（\(t\)秒後の変位など）」についてなのかを区別します。
  3. (2)のような問いの解法パターン: 「点Xの媒質がYの状態になるのはいつか」という問いに対しては、以下の2ステップで考えます。
     • ステップ1: \(t=0\)の瞬間に、点Xの媒質はどのような状態（変位、速度の向き）にあるか？
     • ステップ2: その状態からYの状態になるまで、単振動の周期\(T\)を基準にどれくらいの時間がかかるか？（例: 山→谷なら\(T/2\)、山→中心なら\(T/4\)）

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の速さと媒質の速さの混同:
  • 誤解: 波の速さ\(v=4.0 \text{ m/s}\)を、媒質が上下に動く速さと勘違いする。
  • 対策: 波の速さ\(v\)は波形が水平に進む速さ、媒質の速さは各点がその場で上下に振動する速さであり、全くの別物であることを常に意識する。媒質の速さは常に変化しており、振動中心で最大、端で0になります。
• 波の移動と媒質の移動の混同:
  • 誤解: (2)で「原点Oの媒質が谷になる」時間を求めるのに、最も近い谷（\(x=4.0 \text{ m}\)）が原点Oに到達するまでの時間を計算してしまう。（\(t = \Delta x / v = 4.0 / 4.0 = 1.0 \text{ s}\)となり、偶然答えは一致するが、考え方が根本的に違う）
  • 対策: この問題では偶然答えが合いますが、例えば「原点Oが初めて振動中心（\(y=0\)）に戻るのはいつか」という問いの場合、この考え方では解けません。あくまで「原点Oの媒質がその場で単振動する」というモデルで考えることが重要です。「山にいる媒質は、\(T/4\)秒後に中心に、\(T/2\)秒後に谷に、\(3T/4\)秒後に中心に、\(T\)秒後に山に戻る」という振動のサイクルを理解することが本質です。
• 周期と時間の関係のミス:
  • 誤解: (2)で、山から谷への移動時間を1周期\(T\)と勘違いしてしまう。
  • 対策: 単振動の動きを具体的にイメージする。「山→谷」は往復運動の「片道」であり、半周期(\(T/2\))に相当することをしっかり理解する。図を描いて確認するのも有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速さの定義式 (\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で速さを求めるために使用。問題文に「山PがQまで移動した」という、特定の位相が「距離\(\Delta x\)を時間\(\Delta t\)で移動した」という情報が直接与えられているため、速さの定義式をそのまま適用するのが最も合理的です。
  • 適用根拠: 波の速さとは、波の特定の位相（山、谷など）が進む速さのことです。問題文の情報は、まさにこの位相の移動を記述しているため、定義式が完全に適合します。
• 波の基本式 (\(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\)):
  • 選定理由: (1)で周期\(T\)を求めるために使用。この時点で、速さ\(v\)と波長\(\lambda\)が既知となっています。これら3つの基本量を結びつけるこの公式を使えば、未知数である\(T\)を算出できます。
  • 適用根拠: この式は「波が1周期\(T\)の時間で1波長\(\lambda\)の距離を進む」という、波の根源的な性質を表したものです。したがって、どんな正弦波にも普遍的に適用できます。この式は、波の空間的性質（\(\lambda\)）と時間的性質（\(T\)）を、運動（\(v\)）を介して結びつける重要な関係式です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 問題文とグラフの単位（m, s）を最初に確認し、計算結果の単位もそれに合わせる。特に、cmとmが混在する問題では注意が必要です。
• 小数の割り算: (1)の速さの計算 \(2.0 / 0.50\) は、分母分子を100倍して \(200 / 50 = 4\) と整数に直して計算するとミスが減ります。
• グラフの読み取り精度: グラフから波長や振幅を読み取る際は、軸の目盛りを注意深く確認する。特に、1目盛りが1ではない場合や、原点から始まっていない場合に注意が必要です。
• 物理量の関係性の再確認: (1)で全ての量を計算した後、「振動数0.50Hz」は「1秒間に0.5回振動する」という意味で、「周期2.0s」は「1回の振動に2秒かかる」という意味。両者が逆数の関係にあり、意味的にも矛盾がないことを確認する癖をつけると、検算になります。

224 波のグラフと媒質の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(y-t\)グラフと\(y-x\)グラフの相互変換」です。ある一点の媒質の振動の様子（\(y-t\)グラフ）と波の速さが与えられた条件から、波全体の性質（波長など）を求め、ある瞬間の波の形（\(y-x\)グラフ）や、別の点の振動の様子（\(y-t\)グラフ）を復元する、総合的な理解力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の基本量（周期、振幅、波長）を求める問題です。まず、与えられた原点Oの\(y-t\)グラフから、直接読み取れる「時間的」な情報である「周期」と「振幅」を確定させます。次に、問題文で与えられた波の速さ\(v\)と、グラフから読み取った周期\(T\)を波の基本式 \(v = \lambda/T\) に代入して、残りの「空間的」な情報である「波長」を計算します。
この設問における重要なポイント

• \(y-t\)グラフは、ある一点（ここでは原点\(x=0\)）の媒質の単振動の様子を表す。
• 周期 \(T\): グラフが1回振動して元の形に戻るまでの時間。
• 振幅 \(A\): 振動の中心からの最大の変位。
• 波長 \(\lambda\): 波の速さ\(v\)と周期\(T\)から、\(\lambda = vT\) で計算できる。

具体的な解説と立式
周期 \(T\) と 振幅 \(A\)
与えられた原点Oの\(y-t\)グラフから直接読み取ります。
グラフは、\(t=0\)から始まり、\(t=8.0 \text{ s}\)でちょうど1回の振動を終えています。したがって、周期は、
$$ T = 8.0 \text{ [s]} $$
振幅は振動の最大変位なので、グラフの最大値から、
$$ A = 0.20 \text{ [m]} $$

波長 \(\lambda\)
波の速さ\(v\)、周期\(T\)、波長\(\lambda\)の間には、\(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) の関係があります。これを\(\lambda\)について解くと、
$$ \lambda = vT $$
問題文より \(v=5.0 \text{ m/s}\)、グラフから読み取った \(T=8.0 \text{ s}\) を代入して波長を計算します。

$$
\begin{aligned}
\lambda &= vT \\[2.0ex]&= 5.0 \times 8.0 \\[2.0ex]&= 40 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

「周期」は、グラフの1回の揺れにかかる時間なので、図から\(8.0\)秒と読み取れます。「振幅」は揺れの大きさ（高さ）で、\(0.20 \text{ m}\)です。
「波長」は、波が1周期の間に進む距離のことです。速さが\(5.0 \text{ m/s}\)で、周期が\(8.0\)秒なので、波長は「速さ × 時間」で \(5.0 \times 8.0 = 40 \text{ m}\) と計算できます。

求めた値は、周期 \(8.0 \text{ s}\)、振幅 \(0.20 \text{ m}\)、波長 \(40 \text{ m}\) です。与えられたグラフと情報から論理的に導出されており、妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(t=0\)の瞬間の波形（\(y-x\)グラフ）を描く問題です。これは、\(y-t\)グラフという「時間の情報」から、\(y-x\)グラフという「空間の情報」への変換作業です。波がx軸負の向きに伝わることを利用して、原点(\(x=0\))の振動の様子から、他の点(\(x>0\))の\(t=0\)での変位を決定していきます。
この設問における重要なポイント

• \(y-x\)グラフは、ある時刻における空間全体の波の「スナップショット」である。
• 波が負の向きに速さ\(v\)で進むとき、位置\(x\)での現象は、原点での現象より時間 \(x/v\) だけ「早く」起こる。
• 逆に言えば、\(t=0\)の瞬間の位置\(x\)での変位は、原点が時刻 \(t=x/v\) になったときの変位と同じになる。

具体的な解説と立式
波はx軸負の向きに速さ\(v=5.0 \text{ m/s}\)で進みます。このとき、\(t=0\)における位置\(x\)の変位 \(y(x,0)\) は、原点\(x=0\)が時刻 \(t’ = x/v\) のときに示す変位 \(y(0, t’)\) と等しくなります。
この関係 \(y(x,0) = y(0, x/v)\) を使って、\(y-x\)グラフ上の各点の変位を求めていきます。

• \(x=0 \text{ m}\)の点: \(t’=0/5.0=0 \text{ s}\)。\(y-t\)グラフより、\(y(0,0)=0 \text{ m}\)。
• \(x=10 \text{ m}\)の点: \(t’=10/5.0=2.0 \text{ s}\)。\(y-t\)グラフより、\(y(0,2.0)=0.20 \text{ m}\)（山）。
• \(x=20 \text{ m}\)の点: \(t’=20/5.0=4.0 \text{ s}\)。\(y-t\)グラフより、\(y(0,4.0)=0 \text{ m}\)。
• \(x=30 \text{ m}\)の点: \(t’=30/5.0=6.0 \text{ s}\)。\(y-t\)グラフより、\(y(0,6.0)=-0.20 \text{ m}\)（谷）。
• \(x=40 \text{ m}\)の点: \(t’=40/5.0=8.0 \text{ s}\)。\(y-t\)グラフより、\(y(0,8.0)=0 \text{ m}\)。

これらの点をプロットし、滑らかな正弦波で結ぶことで、\(t=0\)の波形（\(y-x\)グラフ）が完成します。

上記で示した各点の計算過程が該当します。

\(t=0\)の瞬間の、波全体の「写真」を撮ることを考えます。波は左（負の向き）へ秒速\(5.0 \text{ m}\)で進んでいます。
ある場所（例えば\(x=10 \text{ m}\)）の\(t=0\)での波の高さは、波が\(10 \text{ m}\)進むのにかかる時間（\(10 \div 5.0 = 2.0\)秒）だけ未来の、原点の波の高さと同じになります。
与えられた原点のグラフを見ると、\(2.0\)秒後には山のてっぺん（\(y=0.20 \text{ m}\)）にいます。なので、\(t=0\)のとき\(x=10 \text{ m}\)の場所は山になっています。
同様に、\(x=20 \text{ m}\)の場所は\(20 \div 5.0 = 4.0\)秒後の原点の高さ（\(y=0\)）に、\(x=30 \text{ m}\)の場所は\(30 \div 5.0 = 6.0\)秒後の原点の高さ（谷、\(y=-0.20 \text{ m}\)）に対応します。これを繋げると波全体の形が描けます。

作成した\(y-x\)グラフは、\(x=0\)で\(y=0\)であり、波が負の向きに進むことから、その直後の原点の媒質の動きは正の向きになるはずです。作成したグラフを少し左にずらすと、原点の変位は正になるため、すべての条件と矛盾しません。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(x=10 \text{ m}\)の点の媒質の振動の様子（\(y-t\)グラフ）を描く問題です。これは、(2)で作成した\(y-x\)グラフという「空間の情報」から、特定の点の「時間の情報」への再変換です。まず、\(t=0\)における\(x=10 \text{ m}\)の点の初期状態（初期変位と初動の向き）を(2)のグラフから読み取ります。そして、その初期状態から始まる周期\(T\)の単振動のグラフを描きます。
この設問における重要なポイント

• \(y-t\)グラフは、ある一点の媒質の単振動の記録である。
• グラフを描くには、初期状態（\(t=0\)での変位と初動の向き）の特定が不可欠。
• 初動の向きは、\(y-x\)グラフと波の進行方向から判断する。

具体的な解説と立式
1. \(x=10 \text{ m}\)の点の初期状態の確認
(2)で作成した\(t=0\)の\(y-x\)グラフを見ると、\(x=10 \text{ m}\)の点の媒質は変位が \(y = +0.20 \text{ m}\) となっており、「山」の状態にあります。

2. 初動の向きの判断
波はx軸の負の向きに進んでいます。\(t=0\)の波形を、微小時間後に少しだけ左にずらした波形を想像します。すると、\(x=10 \text{ m}\)という固定された位置で観測すると、波の山の少し右側の部分がやってくることになり、変位は減少します。
したがって、\(x=10 \text{ m}\)の媒質は、\(t=0\)の直後にy軸の負の向きに動き始めます。

3. \(y-t\)グラフの作成
以上の初期条件「\(t=0\)で山の状態（\(y=0.20 \text{ m}\)）から始まり、負の向きに動き出す」と、(1)で求めた周期\(T=8.0 \text{ s}\)を満たす単振動のグラフを描きます。これは、cos型のカーブになります。

この設問は作図が中心であり、数値計算は不要です。

(2)で描いた波の形のスナップショットを見ると、\(t=0\)のとき、\(x=10 \text{ m}\)の場所は「山」のてっぺんにいます。これがスタート地点です。
この後、波全体が左に動いていくので、\(x=10 \text{ m}\)の場所の媒質は、山の頂上から下り坂を下るように、下向きに動き始めます。
したがって、「山のてっぺんからスタートし、周期\(8.0\)秒で1往復する」ような波線グラフを描けばよいことになります。

\(x=10 \text{ m}\)の点の初期状態を\(y-x\)グラフから正しく読み取り、cos型の\(y-t\)グラフを描きました。これは物理的に正しい手順です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(y-t\)グラフと\(y-x\)グラフの相互変換能力:
  • 核心: この問題の核心は、波の「時間的側面」を表す\(y-t\)グラフと、「空間的側面」を表す\(y-x\)グラフが、それぞれ独立した情報ではなく、波の伝播という物理現象を通じて相互に変換可能であることを深く理解しているか、という点にあります。
  • 理解のポイント:
    • \(y-t\)グラフ \(\rightarrow\) \(y-x\)グラフへの変換（問2）: 原点(\(x=0\))の過去から未来までの振動の記録（\(y-t\)グラフ）と波の進行方向・速さを組み合わせることで、ある一瞬の空間全体の波の形（\(y-x\)グラフ）を復元できます。
    • \(y-x\)グラフ \(\rightarrow\) \(y-t\)グラフへの変換（問3）: ある一瞬の空間全体の波の形（\(y-x\)グラフ）から、特定の点(\(x=10\))の初期状態（変位と初動）を読み取り、その後の振動の記録（\(y-t\)グラフ）を予測できます。

    この双方向の変換を自由自在に行えることが、波の深い理解につながります。

• 波の伝播と位相のずれの概念:
  • 核心: 波が伝わるということは、各点の媒質の振動のタイミング（位相）が少しずつずれているということです。この「位相のずれ」を、時間と空間の座標を用いて定量的に扱えることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 波が負の向きに進む場合、位置\(x\)（\(x>0\)）の振動は、原点\(x=0\)の振動よりも時間的に「遅れて」います。
    • しかし、\(t=0\)の瞬間の波形を考えるとき、位置\(x\)の変位は、原点が時間\(t=x/v\)だけ「未来」の時刻にとる変位と同じになります。この一見逆説的な関係（「空間的に先 \(\leftrightarrow\) 時間的に過去」または「空間的に後 \(\leftrightarrow\) 時間的に未来」）を正しく理解することが、グラフ変換の鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 波の式を求める問題: 本問で求めた\(y-x\)グラフや\(y-t\)グラフの情報を元に、波の一般式 \(y(x, t) = A\sin(\omega t \pm kx + \phi)\) の各パラメータ（\(A, \omega, k, \phi\)）を決定する問題。本問はその前段階の演習として最適です。
  • 2点間の位相差を問う問題: 2つの異なる点（例: \(x=0\)と\(x=10\)）の振動の位相がどれだけずれているかを問う問題。\(y-t\)グラフを2つ描いて比較したり、波長と距離の関係から計算したりします。
  • 進行方向が逆の場合: もし波がx軸「正」の向きに進む場合、(2)の\(y-x\)グラフは左右反転した形になります。進行方向によってグラフの形がどう変わるかを考察する問題は頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられたグラフの軸を絶対確認: まず、与えられたグラフが\(y-t\)グラフ（一点の時間変化）なのか、\(y-x\)グラフ（一瞬の空間分布）なのかを厳密に区別します。
  2. グラフから直接読み取れる情報を全て抜き出す:
     • \(y-t\)グラフなら \(\rightarrow\) 周期\(T\)、振幅\(A\)、初期変位\(y(0,0)\)、初動の向き。
     • \(y-x\)グラフなら \(\rightarrow\) 波長\(\lambda\)、振幅\(A\)。
  3. グラフ変換の際の思考法:
     • \(y-t\)から\(y-x\)へ: 「\(t=0\)の瞬間の、位置\(x\)の変位は？ \(\rightarrow\) それは、波が\(x\)から原点まで来るのにかかる時間だけ、原点の振動を巻き戻した（or 先送りした）ものと同じ」と考えます。
     • \(y-x\)から\(y-t\)へ: 「位置\(x\)の点の、時刻\(t\)での変位は？ \(\rightarrow\) まず\(t=0\)のときの変位と初動を\(y-x\)グラフから読み取り、そこから始まる周期\(T\)の単振動を描く」と考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-t\)グラフと\(y-x\)グラフの形の混同:
  • 誤解: (2)で\(t=0\)の波形を描く際に、与えられた\(y-t\)グラフの形をそのまま\(y-x\)グラフとして描いてしまう。
  • 対策: 2つのグラフは全くの別物であることを常に意識する。\(y-t\)グラフは「時間の波」、\(y-x\)グラフは「空間の波」であり、両者は波の速さ\(v\)を介して初めて関係づけられる、と理解する。
• 波の進行方向とグラフの形の関係のミス:
  • 誤解: (2)で、波が負の向きに進むのに、\(y-t\)グラフを単純に左右反転させて\(y-x\)グラフを描いてしまう。
  • 対策: 「波が負の向きに進む」\(\rightarrow\)「位置\(x\)の揺れは原点より遅れる」\(\rightarrow\)「\(t=0\)の\(x\)の変位は、原点の未来(\(t=x/v\))の変位と同じ」という論理を丁寧にたどる。直感に頼らず、論理でグラフを構築する癖をつける。
• 媒質の初動の向きの判断ミス:
  • 誤解: (3)で\(x=10 \text{ m}\)の点の初動を考える際、(2)で描いた\(y-x\)グラフの\(x=10 \text{ m}\)が山の頂上なので、動きが止まっていると勘違いする。あるいは、進行方向（左）に動くと勘違いする。
  • 対策: 媒質の運動は上下方向の単振動であると徹底する。山の頂点にいる媒質は、次の瞬間には必ず振動中心に向かって動き出す。どちら向きに動き出すかは、波形全体がどちらにずれるかで判断する。「波形を少しずらして、定点のy座標の変化を見る」というテクニックが最も確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(\lambda = vT\)):
  • 選定理由: (1)で波長\(\lambda\)を求めるために使用。この時点で、問題文から速さ\(v\)が、\(y-t\)グラフから周期\(T\)が与えられており、未知数は\(\lambda\)のみです。これら3者を結びつけるこの公式が唯一の選択肢となります。
  • 適用根拠: この式は「波は速さ\(v\)で進み、1周期\(T\)の時間でちょうど1波長\(\lambda\)分の距離を進む」という、波の運動の定義そのものを表しています。空間的な量(\(\lambda\))を、運動の量(\(v\))と時間的な量(\(T\))から導出するための、物理学の基本的な思考法を体現しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの読み取り: 周期や振幅をグラフから読み取る際は、軸の単位（[s], [m]）を必ず確認する。1サイクルの終わりがどこか、最大値がどこかを慎重に見極める。
• 単純な掛け算: (1)の波長の計算 \(5.0 \times 8.0\) は簡単な計算ですが、油断せずに実行する。有効数字も考慮し、\(5.0\)(2桁) \(\times\) \(8.0\)(2桁) なので、答えも2桁の \(40\) とするのが適切です。
• 作図の丁寧さ: (2), (3)の作図問題では、特徴的な点（山、谷、ゼロクロス点）の位置を正確にプロットすることが重要です。
  • (2)では、\(x=0, 10, 20, 30, 40\) [m] の各点が、\(y-t\)グラフの \(t=0, 2, 4, 6, 8\) [s] に対応することを明確にしてからプロットする。
  • (3)では、\(t=0\)で山、\(t=T/2=4.0\)で谷、\(t=T=8.0\)で山、というキーポイントを押さえてから滑らかな曲線で結ぶ。
• 自己矛盾のチェック: (2)で描いた\(y-x\)グラフと(3)で描いた\(y-t\)グラフに矛盾がないか確認する。(2)のグラフから\(x=10\)の初期状態を読み取ると、(3)のグラフの\(t=0\)の状態と一致するはず。このようなチェックでミスを発見できます。

225 縦波のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示グラフの解釈」です。与えられた縦波の横波表示グラフ（\(y-x\)グラフ）と振動数の情報から、波の基本量を計算し、媒質の速さや密度といった縦波特有の性質を読み解き、特定の点の振動の様子（\(y-t\)グラフ）を予測する総合的な能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の4つの基本量（波長、振幅、周期、速さ）を求める問題です。まず、与えられた\(y-x\)グラフから「空間的」な情報である「波長」と「振幅」を読み取ります。次に、問題文で与えられた「時間的」な情報である「振動数」から「周期」を計算します。最後に、これらの物理量を波の基本式 \(v = f\lambda\) に当てはめて「速さ」を導出します。
この設問における重要なポイント

• \(y-x\)グラフから波長\(\lambda\)と振幅\(A\)を読み取る。
• 振動数\(f\)と周期\(T\)は逆数の関係にある (\(T=1/f\))。
• 速さ\(v\)、振動数\(f\)、波長\(\lambda\)は \(v=f\lambda\) の関係で結ばれる。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda\) と 振幅 \(A\)
与えられた\(y-x\)グラフから直接読み取ります。
グラフは、\(x=0\)から\(x=20 \text{ m}\)でちょうど1波長分となっているため、
$$ \lambda = 20 \text{ [m]} $$
振幅は振動の中心からの最大の変位なので、グラフの最大値から、
$$ A = 0.01 \text{ [m]} = 1.0 \times 10^{-2} \text{ [m]} $$

周期 \(T\)
問題文より振動数 \(f=5.0 \text{ Hz}\) が与えられています。周期\(T\)と振動数\(f\)は逆数の関係にあるため、
$$ T = \frac{1}{f} $$

速さ \(v\)
波の基本式 \(v = f\lambda\) を用いて計算します。
$$ v = f\lambda $$

周期 \(T\) の計算:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{5.0} \\[2.0ex]&= 0.20 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
速さ \(v\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= 5.0 \times 20 \\[2.0ex]&= 100 \text{ [m/s]} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「波長」は波一つ分の長さなので、グラフから\(20 \text{ m}\)と読み取れます。「振幅」は揺れの大きさで、\(0.01 \text{ m}\)です。
「周期」は、1回の揺れにかかる時間です。振動数が\(5.0 \text{ Hz}\)（1秒間に5回揺れる）なので、周期は \(1 \div 5.0 = 0.20\)秒です。
「速さ」は、「振動数 × 波長」で計算できるので、\(5.0 \times 20 = 100 \text{ m/s}\)となります。

求めた値は、波長 \(20 \text{ m}\)、振幅 \(1.0 \times 10^{-2} \text{ m}\)、周期 \(0.20 \text{ s}\)、速さ \(1.0 \times 10^2 \text{ m/s}\) です。与えられた情報から論理的に導出されており、妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質の「振動の速さ」が最大となる位置を特定する問題です。波の各点の媒質は単振動をしていることを思い出しましょう。単振動において、物体の速さが最大になるのは、振動の中心を通過するときです。この問題では、横波表示の変位\(y\)が0になる点が振動の中心に対応します。
この設問における重要なポイント

• 媒質の運動は単振動である。
• 単振動において、速さは変位が0の点（振動の中心）で最大となる。
• 横波表示グラフで変位\(y=0\)となる点を探す。

具体的な解説と立式
媒質の各点は、それぞれのつり合いの位置を中心に単振動をしています。単振動において、物体の速さは振動の中心（変位が0の位置）で最大となります。
与えられた\(y-x\)グラフは、\(t=0\)における各点の変位を表しています。したがって、このグラフ上で変位\(y=0\)となっている点を探せばよいことになります。
グラフから、\(y=0\)となるのは \(x=0, 10, 20, \dots\) です。
問題で指定された範囲 \(0 \le x \le 15\) の中で、この条件を満たすのは、
$$ x = 0 \text{ [m]}, 10 \text{ [m]} $$
です。

この設問はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

媒質の速さは、ブランコが一番下の位置を通過するときに最も速くなるのと同じで、振動の真ん中（変位\(y=0\)）で最大になります。グラフを見て、高さが0になっている場所を探します。指定された範囲（0から15mまで）では、\(x=0 \text{ m}\) と \(x=10 \text{ m}\) の2箇所が該当します。

媒質の速さが最大になるのは変位が0の点である、という単振動の基本性質から、グラフ上で\(y=0\)となる点を正しく特定しました。

問(3)

思考の道筋とポイント
媒質の「密度」が最大となる位置を特定する問題です。これは縦波の「密部」を探す問題です。縦波の横波表示グラフにおいて、媒質の疎密はグラフの「傾き」と関連しています。媒質が圧縮されて最も密度が高くなる「密部」は、グラフの傾きが負で最小（最も急な下り坂）になる点に対応します。
この設問における重要なポイント

• 縦波の「密部」とは、媒質の密度が最大になる点のこと。
• 横波表示グラフにおいて、密部はグラフの傾きが負で最小になる点に対応する。

具体的な解説と立式
縦波の横波表示では、y軸の値は媒質のx軸方向の変位を表します。
媒質の密度が最大になる「密部」とは、前後の媒質がその点に向かって集まってくる場所です。
これを横波表示グラフで考えると、その点より少し手前(\(x\)が小さい側)の媒質は正の変位（右向きにずれる）を持ち、少し先(\(x\)が大きい側)の媒質は負の変位（左向きにずれる）を持つような場所です。
このような状況は、グラフの傾きが負になる領域で起こります。特に、媒質の圧縮の度合いが最も大きいのは、グラフの傾きが負で最小（最も急な下り坂）になる点です。
与えられたグラフを見ると、

• \(x=5\)（山）や\(x=15\)（谷）では傾きは0。
• \(x=0, 10, 20\)では傾きの絶対値が最大。
• \(x=10\)では傾きは負で、その絶対値が最大です。

グラフの \(x=5\) から \(x=15\) の区間を見ると、傾きは常に負であり、その傾きが最も急になるのは中心の \(x=10 \text{ m}\) です。
したがって、指定された範囲 \(0 \le x \le 15\) で密度が最大となるのは \(x=10 \text{ m}\) です。

この設問はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

縦波の横波表示では、「坂道の傾き」が「混み具合」を表します。「下り坂」の部分は媒質が圧縮されてギュウギュウな状態（密）に対応します。問題のグラフで、指定された範囲（0から15mまで）で最も急な「下り坂」になっているのは \(x=10 \text{ m}\) の点です。したがって、ここが最も密度が最大（密）な点となります。

縦波の密部が横波表示グラフの傾きが負で最小の点に対応するという関係性に基づき、\(x=10 \text{ m}\) が答えであると結論付けました。これは物理的に正しい解釈です。

問(4)

思考の道筋とポイント
\(x=10 \text{ m}\) の点の媒質の振動の様子（\(y-t\)グラフ）を描く問題です。\(y-t\)グラフを描くには、まず\(t=0\)における初期状態（初期変位と初動の向き）を正確に把握することが第一歩です。これを元に、(1)で求めた周期\(T\)の単振動としてグラフを描きます。
この設問における重要なポイント

• \(y-t\)グラフは、ある一点の媒質の単振動の記録である。
• グラフを描くには、初期状態（\(t=0\)での変位と初動の向き）の特定が不可欠。
• 初動の向きは、\(y-x\)グラフと波の進行方向から判断する。

具体的な解説と立式
1. \(x=10 \text{ m}\)の点の初期状態の確認
\(t=0\)の\(y-x\)グラフを見ると、\(x=10 \text{ m}\)の点の媒質の変位は \(y=0\) です。

2. 初動の向きの判断
問題文より、波はx軸の正の向きに進んでいます。\(t=0\)の波形を、微小時間後に少しだけ右にずらした波形を想像します。すると、\(x=10 \text{ m}\)という固定された位置で観測すると、波の山の部分がやってくることになり、変位は正の値に変化します。
したがって、\(x=10 \text{ m}\)の媒質は、\(t=0\)の直後にy軸の正の向きに動き始めます。

3. \(y-t\)グラフの作成
以上の初期条件「\(t=0\)で変位\(y=0\)から始まり、正の向きに動き出す」と、(1)で求めた周期\(T=0.20 \text{ s}\)を満たす単振動のグラフを描きます。これは、sin型のカーブになります。

この設問は作図が中心であり、数値計算は不要です。

まず、スタート地点（\(t=0\)）での\(x=10 \text{ m}\)の様子を見ます。\(y-x\)グラフから、高さは\(y=0\)です。
次に、どちらに動き出すかを調べます。波は右に進むので、ほんの少しだけ時間が経った後の波形を想像してみましょう（元の波を少し右にずらす）。すると、\(x=10 \text{ m}\)の場所の波は、少し上に上がっていることがわかります。つまり、y軸のプラスの方向に動き始めます。
したがって、「\(t=0\)で\(y=0\)から始まり、上に動き出し、周期\(0.20\)秒で1往復する」ような波線グラフ（sinカーブ）を描けばよいことになります。

\(x=10 \text{ m}\)の点の初期状態を\(y-x\)グラフから正しく読み取り、sin型の\(y-t\)グラフを描きました。これは物理的に正しい手順です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示グラフの二重の解読法:
  • 核心: この問題の最大の鍵は、縦波を表現した横波グラフが持つ「二重の意味」を正確に理解し、問われている物理量に応じて解読法を切り替える能力です。
  • 理解のポイント:
    • y座標 \(\rightarrow\) 媒質の「変位」と「速さ」: グラフのy座標そのものは、媒質が元の位置からx軸方向にどれだけ「ずれたか」という変位を表します。媒質の運動は単振動なので、この変位から速さの状態（変位0で速さ最大、変位最大で速さ0）を判断できます。(問2)
    • グラフの傾き \(\rightarrow\) 媒質の「密度（疎密）」: グラフの接線の傾きは、隣り合う媒質との「間隔の変化」を表し、結果として密度の状態を示します。傾きが負で最小（最も急な下り坂）なら最も密度が高い「密部」、傾きが正で最大（最も急な上り坂）なら最も密度が低い「疎部」となります。(問3)

    この2つの意味を混同せず、自在に使い分けることが核心です。

• 波の伝播と媒質の振動の連携:
  • 核心: 波全体の情報（\(y-x\)グラフ）と、一点の媒質の情報（\(y-t\)グラフ）を、波の進行という現象を通じて相互に変換できること。
  • 理解のポイント: (4)では、\(t=0\)の波形グラフ(\(y-x\)グラフ)から\(x=10 \text{ m}\)という一点の初期状態（変位と初動の向き）を読み取り、そこから未来の振動の様子(\(y-t\)グラフ)を予測します。この変換能力は、波の理解度を測る上で非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 音波の圧力変化: 音波は縦波であり、媒質の「密」な点で圧力は最大、「疎」な点で圧力は最小となります。本問の(3)の考え方は、音波の圧力変化を問う問題に直接応用できます。変位のグラフと圧力変化のグラフは位相がずれることを理解するのがポイントです。
  • 縦波の定常波: 縦波でも定常波は生じます。変位が最大になる「腹」と、全く動かない「節」が存在します。さらに、密度変化が最大になる点と、常に密度が一定の点も存在し、それぞれ変位の腹・節とは位置がずれます。
  • 波の式との関連付け: 本問で得られた情報から、波の式 \(y(x, t) = A\sin(\omega t – kx + \phi)\) を立てる問題。\(A, \omega=2\pi/T, k=2\pi/\lambda\) を計算し、初期条件から位相\(\phi\)を決定します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「縦波」というキーワードをチェック: 問題文に「縦波」とあれば、即座に「横波表示」であると判断し、「y軸は変位」「傾きは疎密」という二重の意味を念頭に置きます。
  2. 問われている物理量で思考を切り替える:
     • 「速さ」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「単振動モデル（変位\(y\)の値）」に切り替える。
     • 「密度」「疎密」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「グラフの傾き」モードに切り替える。
  3. 媒質の動きを問われたら: (4)のように特定の点の時間変化を問われたら、まず\(t=0\)の\(y-x\)グラフからその点の「初期変位」と「初動の向き」の2つを特定することから始めます。初動の向きは「微小時間後の波形をずらして描く」のが鉄則です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位と密度の混同:
  • 誤解: (3)で「密度が最大」の点を探す際、変位が最大（山）や最小（谷）の点を選んでしまう。
  • 対策: 「密」とは媒質がぎゅっと集まった状態であり、変位の大きさとは無関係です。「密度は傾き」と強く意識する。山の頂上や谷の底は傾きが0なので、密度は周囲と同じ（疎でも密でもない）です。
• 速さとグラフの傾きの混同:
  • 誤解: (2)で「速さが最大」の点を探す際に、グラフの傾きが最も急な点（\(x=10\)など）を選んでしまう。
  • 対策: \(y-x\)グラフの傾きはあくまで「密度」の状態を表し、「速さ」ではありません。速さは媒質の「単振動」の性質から考え、「変位が0の点で速さ最大」というルールを適用します。
• 初動の向きの判断ミス:
  • 誤解: (4)で\(x=10 \text{ m}\)の点の初動を考える際、グラフが下り坂だから下向き（負の向き）に動くと勘違いする。
  • 対策: 媒質の動きは、あくまで波形全体が進行方向にずれることで決まります。波が右（正の向き）に進むので、\(x=10 \text{ m}\)の点には、その少し左にあった山の部分がやってきます。したがって、媒質は上（正の向き）に動きます。「波形をずらして、定点のy座標の変化を見る」という操作を必ず行うようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 周期と振動数の関係 (\(T = 1/f\)):
  • 選定理由: (1)で周期\(T\)を求めるために使用。問題文で振動数\(f\)が与えられており、周期\(T\)を求める最も直接的な関係式だからです。
  • 適用根拠: 振動数は「1秒あたりの振動回数」、周期は「1回の振動にかかる時間」であり、両者は定義からして逆数の関係にあります。これはあらゆる周期的現象に共通する普遍的な関係です。
• 波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: (1)で速さ\(v\)を求めるために使用。この時点で、振動数\(f\)が与えられ、波長\(\lambda\)がグラフから読み取れています。これら3つの基本量を結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: この式は「波は1秒間に\(f\)回振動し、1回の振動で\(\lambda\)の距離を進む。よって1秒間に進む距離（速さ）は\(v=f\lambda\)となる」という波の運動の定義そのものです。
• 縦波の密度の解釈（傾きとの関係）:
  • 選定理由: (3)で密度最大の位置を特定するために、この物理モデル（解釈）を用います。
  • 適用根拠: 媒質が集まって「密」になるのは、ある点の手前の媒質がその点に向かって（正の向きに）変位し、先の媒質もその点に向かって（負の向きに）変位するときです。これは横波表示グラフで、y座標が正から負に減少する「下り坂」に対応します。圧縮の度合いが最大になるのは、この下り坂が最も急な点、つまり傾きが負で最小の点となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と有効数字: 振幅を \(0.01 \text{ m}\) から \(1.0 \times 10^{-2} \text{ m}\) へ、速さを \(100 \text{ m/s}\) から \(1.0 \times 10^2 \text{ m/s}\) へと、問題文の有効数字（5.0Hzは2桁）に合わせて表現する意識が大切です。
• グラフの読み取り: 波長を読み取る際に、1つの波がどこからどこまでかを正確に見る。\(x=0\)から\(x=20\)までが1サイクルであることを確認します。
• 作図の初期条件: (4)で\(y-t\)グラフを描く前に、必ず「初期変位 \(y(0)\) = ?」「初動の向きは正 or 負？」の2点をメモする癖をつける。
  • \(t=0\)の\(y-x\)グラフより、\(x=10\)では\(y=0\)。
  • 波は右に進むので、\(x=10\)の媒質は次に山が来て上に動く \(\rightarrow\) 初動は正。
  • よって「原点から正の向きに始まるsin型」と確定してから描くことで、ミスを防ぎます。
• 周期の確認: (4)でグラフを描き終えたら、1サイクルが(1)で求めた周期 \(T=0.20 \text{ s}\) になっているかを必ず確認します。

226 縦波のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示グラフの解釈」です。縦波の媒質の変位を横波の形で表現したグラフから、媒質の「疎密」の状態と「速度」の状態を正しく読み解く能力が問われます。特に、波の進行方向が負である点に注意が必要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問い：最も疎な点はどこか

思考の道筋とポイント
縦波における媒質の「疎密」を、与えられた横波表示グラフから読み取る問題です。鍵となるのは、グラフの「傾き」が疎密に対応するという関係性です。媒質の間隔が最も広がっている「疎」な点は、グラフの傾きが正で最大になる点に対応します。
この設問における重要なポイント

• 横波表示の変位\(y\)は、縦波の進行方向（x軸方向）の変位を表す。
• 最も疎な点（疎部） \(\rightarrow\) グラフの傾きが正で最大。
• 最も密な点（密部） \(\rightarrow\) グラフの傾きが負で最小（最も急な下り坂）。

具体的な解説と立式
縦波の横波表示では、y軸の値は媒質のx軸方向の変位を表します。
媒質が最も引き伸ばされて密度が低くなる「最も疎な点」は、横波表示グラフの傾きが正で最大になる点です。

与えられたグラフ上の各点について傾きを見ると、

• A点、C点（山と谷）: 傾きは0。
• B点: 傾きは負で最小（最も急な下り坂）。
• D点: 傾きは正で最大（最も急な上り坂）。

以上より、最も疎な点はD点です。

この設話はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

横波表示のグラフでは、「坂道の傾き」が縦波の「混み具合」を表していると考えることができます。「上り坂」の部分は媒質が引き伸ばされてスカスカな状態（疎）、「下り坂」の部分は媒質が圧縮されてギュウギュウな状態（密）に対応します。問題のグラフで、AからDの中で最も急な「上り坂」になっているのはD点です。したがって、D点が最も疎な点となります。

横波表示グラフの傾きが正で最大になる点が、縦波の最も疎な部分に対応するという関係性に基づき、最も疎な点はDであると結論付けました。これは物理的に正しい解釈です。ちなみに、最も密な点は傾きが負で最小となるB点です。

問い：x軸の負の向きの速度が最大の点はどこか

思考の道筋とポイント
媒質の速度が「x軸の負の向き」に最大となる点を特定する問題です。まず、媒質の速さが最大になる条件（変位が0）から候補となる点を絞り込みます。次に、その候補点について、速度の向きを判断します。波の進行方向が「x軸の負の向き」であることに注意して、「微小時間後の波形」を描くことで、各点の媒質が次にどちらへ動くかを視覚的に判断します。
この設問における重要なポイント

• 媒質の速度は、変位が0の点（振動の中心）で最大値をとる。
• 速度の向きは、波の進行方向に波形を少しずらして判断する。
• 横波表示におけるy軸の負の向きへの動きが、縦波におけるx軸の負の向きへの動きに対応する。

具体的な解説と立式
媒質の各点は、それぞれのつり合いの位置を中心に単振動をしています。単振動において、物体の速さは振動の中心（変位が0の位置）を通過するときに最大となります。
与えられたグラフで、変位\(y=0\)となっているのはB点とD点です。したがって、このどちらかで速度が最大になります。

次に、これらの点の速度の向きを調べます。問題文より、波はx軸の負の向きに進んでいます。したがって、微小時間後の波形は、現在の波形（実線）を少しだけ左にずらした波形（破線）として描くことができます。

• B点に注目: 微小時間後、Bの位置での変位は負の値になります。これは、B点の媒質がy軸の負の向き（すなわち、縦波でいうx軸の負の向き）に動き出すことを意味します。
• D点に注目: 微小時間後、Dの位置での変位は正の値になります。これは、D点の媒質がy軸の正の向き（すなわち、縦波でいうx軸の正の向き）に動き出すことを意味します。

問題では「x軸の負の向きの速度が最大」となる点を問われているため、条件を満たすのはB点です。

この設問はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

媒質の速さは、振動の真ん中（変位\(y=0\)）で最大になります。グラフを見ると、B点とD点が該当します。
次に、どちらが「x軸の負の向き」に動くかを調べます。このグラフでは、y軸の負の向きの動きが、x軸の負の向きの動きを表します。波全体が少し左にずれたときの様子を想像すると、B点の媒質は下に（y軸の負の向きに）動くことがわかります。一方、D点の媒質は上に動きます。したがって、x軸の負の向きに最大の速度を持つのはB点です。

媒質の速度が最大になる条件（変位0）と、速度の向きを判断する方法（微小時間後の波形）を組み合わせ、B点が答えであると導きました。波の進行方向が負である点を正しく考慮できており、論理プロセスは物理的に正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示グラフの二重解読法:
  • 核心: この問題は、縦波を表現した横波グラフが持つ「二重の意味」を正確に理解し、問われている物理量に応じて解読法を切り替える能力を試すものです。
  • 理解のポイント:
    • y座標 \(\rightarrow\) 媒質の「変位」と「速さ」: グラフのy座標そのものは、媒質が元の位置からx軸方向にどれだけ「ずれたか」という変位を表します。媒質の運動は単振動なので、この変位から速さの状態（変位0で速さ最大、変位最大で速さ0）を判断できます。
    • グラフの傾き \(\rightarrow\) 媒質の「密度（疎密）」: グラフの接線の傾きは、隣り合う媒質との「間隔の変化」を表し、結果として密度の状態を示します。傾きが正で最大なら最も疎、負で最小なら最も密となります。

    この2つの意味を混同せず、自在に使い分けることが核心です。

• 波の進行方向と媒質の振動方向の関係:
  • 核心: 媒質の振動方向は、波の進行方向に依存します。この関係を正しく把握するためには、「微小時間後の波形をずらして描く」という普遍的なテクニックを確実に実行できることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 波が右に進む場合、ある点の媒質の動きは、その点の左側の波形がやってくることで決まります。
    • 波が左に進む場合（本問）、ある点の媒質の動きは、その点の右側の波形がやってくることで決まります。この違いを明確に意識することが、速度の向きを正しく判断する鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 音波の性質: 音波は縦波の代表例です。媒質の「密」な点で圧力は最大、「疎」な点で圧力は最小になるため、本問の疎密の考え方は音波の圧力変化を問う問題に直接応用できます。
  • 縦波の定常波: 縦波が反射してできる定常波では、変位が最大になる「腹」と全く動かない「節」に加え、密度変化が最大になる点と常に密度が一定の点も存在します。これらの位置関係を考察する問題に応用できます。
  • 波の式との関連付け: グラフの情報から、波の式 \(y(x, t) = A\sin(\omega t + kx + \phi)\) を立てる問題。進行方向が負なので、\(kx\)の符号が正になる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「縦波」と「進行方向」を最優先で確認: 問題文に「縦波」とあれば、横波表示の二重の意味を意識します。次に「進行方向が正か負か」を絶対に確認します。これが媒質の動きを判断する上で決定的に重要です。
  2. 問われている物理量で思考を切り替える:
     • 「疎・密」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「グラフの傾き」モードに切り替える。（進行方向は無関係）
     • 「速度・速さ」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「単振動モデル（変位\(y\)の値）」と「進行方向」の組み合わせに切り替える。
  3. 媒質の動きは必ず作図で確認: 速度の向きを判断する際は、頭の中だけで考えず、必ず「微小時間後の波形を進行方向にずらして描く」という作図を行う。これにより、進行方向が負の場合のケアレスミスを確実に防げます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位と密度の混同:
  • 誤解: 「最も疎な点」を問われ、変位が最大（山）のA点や最小（谷）のC点を選んでしまう。
  • 対策: 「疎」は媒質の間隔が広い状態であり、変位の大きさとは無関係です。「疎密は傾き」と強く意識する。山の頂上や谷の底は傾きが0なので、密度は周囲と同じ（疎でも密でもない）です。
• 進行方向の無視・勘違い:
  • 誤解: 速度の向きを判断する際に、波が常に右に進むものと無意識に思い込み、B点を「正の向き」、D点を「負の向き」と判断してしまう。
  • 対策: 問題文の「x軸の負の向きに」という記述に必ず印をつける。そして、「波が左に進むのだから、ある点には右側の波形がやってくる」という物理現象を正確にイメージする。
• 速度の向きとグラフの傾きの混同:
  • 誤解: B点が下り坂だから負の向きに動く、D点が上り坂だから正の向きに動く、とグラフの傾きから速度の向きを判断してしまう。
  • 対策: 媒質の速度の向きは、グラフの傾きとは直接関係ありません。あくまで「波形全体がどちらにずれるか」で決まります。この2つの概念は明確に分離して考える必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 縦波の疎密の解釈（傾きとの関係）:
  • 選定理由: 「最も疎な点」を特定するために、この物理モデル（解釈）を用います。
  • 適用根拠: 媒質が引き伸ばされて「疎」になるのは、ある点の手前の媒質がその点から離れる向き（負の向き）に変位し、先の媒質もその点から離れる向き（正の向き）に変位するときです。これは横波表示グラフで、y座標が負から正に増加する「上り坂」に対応します。引き伸ばしの度合いが最大になるのは、この上り坂が最も急な点、つまり傾きが正で最大の点となります。
• 単振動における速度と変位の関係:
  • 選定理由: 「速度が最大」の点を特定するために、この物理モデルを用います。
  • 適用根拠: 波の媒質の運動は、復元力による単振動とみなせます。単振動において、エネルギー保存則から考えても、変位が0（位置エネルギーが0）のときに運動エネルギー、すなわち速さが最大になることは明らかです。この普遍的な性質を波の媒質に適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図を怠らない: この問題は計算がなく、物理モデルの正しい理解と適用が全てです。特に速度の向きを判断する際は、必ずフリーハンドで良いので「微小時間後の波形」を描く。
  1. 元の波形（実線）を描く。
  2. 進行方向（左）に少しずらした波形（破線）を描く。
  3. B点やD点に注目し、実線から破線へy座標がどう変化したか（上がったか、下がったか）を見る。

  この一手間が、正解への確実な道筋となります。

• 指差し確認: グラフ上で指を使い、「波が左に進むから、CがBの位置に、BがAの位置にやってくる…」と波形をなぞることで、媒質の動きを直感的に捉える練習も有効です。
• 結論の言語化: 「B点は変位0で速さ最大。波が左に進むから、右隣の谷(C)が近づいてくるので、Bは下(負)に動く。よってx軸負の向きに速度最大」のように、自分の思考プロセスを言葉にして整理することで、論理の飛躍や間違いがないかを確認できます。

227 波の重ね合わせ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の重ね合わせの原理」です。互いに逆向きに進む2つのパルス波が重なり合うときに、どのような波形が観測されるかを作図する問題です。波の基本的な性質である「波の独立性」と「重ね合わせの原理」を正しく理解し、作図に適用できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問い：2つのパルス波がそれぞれ矢印の向きに3目盛り進んだときの合成波の波形を作図せよ。

思考の道筋とポイント
2つの波が重なるときの合成波の形を求める、作図問題です。「重ね合わせの原理」を正しく適用できるかが鍵となります。波は互いの形を変えずに進む「波の独立性」も重要な前提です。作図を丁寧に行うために、まずそれぞれの波が3目盛り進んだ後の波形を補助線として描き、その上で変位の足し算を行うというステップを踏むのが確実です。
この設問における重要なポイント

• 波の独立性: 波は互いに干渉せず、それぞれの形と速さを保ったまま進む。
• 重ね合わせの原理: 合成波の変位 \(y_{\text{合成}} = y_1 + y_2\)。
• 作図の2ステップ法: ①各波を移動させる → ②各位置で変位を足し合わせる。

具体的な解説と立式
ステップ1：各パルス波を3目盛り進ませる
まず、2つのパルス波がそれぞれ独立に、指定された向きに3目盛り進んだ場合の波形を考えます。これらを補助線として破線などで描くと分かりやすくなります。

• 右に進む波（山型）: 図の左側にある、変位が正の台形のパルス波を、右に3目盛り平行移動させます。
• 左に進む波（谷型）: 図の右側にある、変位が負の台形のパルス波を、左に3目盛り平行移動させます。

ステップ2：重ね合わせの原理を用いて合成波を描く
次に、ステップ1で描いた2つの移動後の波を重ね合わせます。ある位置における合成波の変位は、その位置での2つの波の変位の和になります。
$$ y_{\text{合成}} = y_{\text{右向きの波}} + y_{\text{左向きの波}} $$
グラフの各目盛りの位置で、2つの波の変位（y座標）を足し算していきます。

• 波が重なっていない領域: 合成波の形は、そこに存在する一方の波の形と一致します。
• 波が重なっている領域:
  • 例えば、中央の位置（位置=0）では、右に進んだ波の変位が+2目盛り、左に進んだ波の変位が-2目盛りになっています。この位置での合成波の変位は、\(+2 + (-2) = 0\)目盛りとなります。
  • このように、重なっている領域のすべての点で変位の和を計算し、点をプロットしていきます。

最後に、プロットした点を結んで、合成波の波形を完成させます。

この問題は作図が中心であり、数値計算は不要です。各位置での変位の足し算が計算に相当します。

この問題は、2つの波のお神輿がすれ違うときの、地面の揺れ方を描くようなものです。

1. 未来の姿を想像する: まず、右に進むお神輿と左に進むお神輿が、それぞれ3マス分進んだ後の位置を、薄い線で描いてみましょう。
2. 変位を足し算する: 次に、2つのお神輿が重なっている部分で、地面の揺れ（変位）を足し算します。
   • ある場所で、右のお神輿が地面を上に2マス持ち上げ、左のお神輿が下に2マス引き下げているなら、その場所の地面は結局、動きません (2 – 2 = 0)。
   • お神輿が1つしかない場所は、そのお神輿の揺れがそのまま現れます。
3. 点を結んで完成: 計算した点の位置を線で結ぶと、すれ違いの瞬間の合成波の形が完成します。

波の独立性と重ね合わせの原理に基づき、2つのパルス波をそれぞれ移動させた後、各点での変位を足し合わせることで合成波を作図しました。特に、正の変位と負の変位が重なる部分では、互いに打ち消し合って変位が小さくなる様子が正しく表現されていることが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の重ね合わせの原理:
  • 核心: この問題の核心は、物理学における最も基本的な原理の一つである「重ね合わせの原理」を、作図という形で具体的に適用できるかという点に尽きます。
  • 理解のポイント:
    • 変位の代数和: ある点における合成波の変位は、個々の波の変位を単純に足し合わせたもの（代数和）になります。山（正の変位）と谷（負の変位）が重なれば、変位は打ち消し合います。
    • ベクトル和としての理解: より厳密には、変位はベクトル量なのでベクトル和ですが、この問題のように変位がy軸方向に限定されている場合は、y座標の正負を考慮した代数和として扱うことができます。
• 波の独立性:
  • 核心: 重ね合わせの原理が成り立つ前提として、「波は互いに影響を与えずにすり抜ける」という波の独立性を理解していることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 形は変わらない: 2つのパルス波は、重なっている間は合成された形に見えますが、通り過ぎた後は何事もなかったかのように元の形のまま進み続けます。
    • 作図への応用: この性質があるからこそ、作図の第一段階として「それぞれの波を独立に、形を変えずに平行移動させる」という操作が正当化されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 定在波の作図: 定在波は、逆向きに進む同じ形の連続波（正弦波）が常に重なり合った状態です。本問の考え方を応用し、ある瞬間の入射波と反射波を描き、それらを重ね合わせることで定在波の波形を描くことができます。
  • 波の干渉: 2つの点波源から生じる波が強め合ったり弱め合ったりする「干渉」も、重ね合わせの原理による現象です。各点での2つの波の位相（山か谷か）を考え、変位を足し合わせることで干渉の様子を理解できます。
  • 連続的な時間の変化: 「この後、1秒後、2秒後、3秒後の合成波の形をそれぞれ描け」といった、時間変化を追う問題。本問の作図を各時刻について繰り返し行うことで対応できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各波の進行方向と速さを確認: まず、それぞれの波がどちらの向きに、どれだけの速さ（今回は「3目盛り」という距離）で進むのかを正確に把握します。
  2. 作図の2ステップを徹底:
     • ステップ1（移動）: 必ず、移動後の各波の波形を補助線（破線など）で描く。このステップを省略して頭の中だけでやろうとすると、特に複雑な波形の場合にミスが起こりやすくなります。
     • ステップ2（合成）: 補助線として描いた2つの波を見ながら、各位置で変位の和を計算します。特に、波形の角（折れ点）や頂点など、特徴的な点の合成後の位置を先にプロットすると、全体の形を捉えやすくなります。
  3. 重なっていない部分から描く: 合成波を描く際、まず波が重なっていない領域（元の波形がそのまま現れる部分）を先に描いてしまうと、考えるべき範囲が限定され、心理的に楽になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 移動させる距離の間違い:
  • 誤解: 問題文の「3目盛り」を読み間違えたり、数え間違えたりして、異なる距離だけ波を移動させてしまう。
  • 対策: 問題文の数値を指差し確認し、グラフ上で実際に1, 2, 3とマスを数えながら波を移動させる。
• 変位の足し算のミス:
  • 誤解: 正の変位と負の変位を足し合わせる際に、単純に絶対値を足してしまう。例えば、変位+2と-1が重なる点を、変位+3や-3としてしまう。
  • 対策: 変位は符号を含めて計算することを徹底する。「\(y = y_1 + y_2\)」という式を頭に浮かべ、機械的に足し算を実行する。
• 波形が変化すると思い込む:
  • 誤解: 波が重なると、互いにぶつかって形が変わったり、消滅したりするのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 「波は幽霊のようなもので、互いにすり抜ける」という「波の独立性」のイメージを強く持つ。重ね合わせは、あくまでその瞬間の「見た目」であり、個々の波自体が変化しているわけではないことを理解する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の重ね合わせの原理 (\(y = y_1 + y_2\)):
  • 選定理由: この問題は「合成波の波形を作図せよ」という問いであり、これはまさに重ね合わせの原理そのものを問うています。したがって、この原理を解法の中心に据えるのは必然です。
  • 適用根拠: この原理は、波を記述する波動方程式が線形性を持つことに由来します。高校物理の範囲では、これは「波は互いに邪魔をせず、変位だけが足し算される」という、実験的に確かめられた基本的な性質として扱います。2つ以上の波が共存する状況を考える際には、必ずこの原理が基本となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図の丁寧さが全て: この問題には数値計算ミスは存在せず、「作図ミス」が唯一の失敗パターンです。
  • 補助線を活用する: 移動後の2つの波を、必ず異なる色や線種（破線など）で描く。これにより、どの線とどの線を足し合わせるのかが明確になり、混乱を防げます。
  • 特徴的な点をプロットする: 波形の角や頂点など、位置と変位が明確に読み取れる点について、移動後の座標と合成後の座標をリストアップしてから作図するのも有効です。例：
    • 右に進む波の左端：(-5, 0) \(\rightarrow\) (-2, 0)
    • 左に進む波の右端：(5, 0) \(\rightarrow\) (2, 0)
    • 位置0での変位：右の波は+2、左の波は-2 \(\rightarrow\) 合成波は(0, 0)

    このようにキーとなる点をいくつか押さえてから線で結ぶと、正確な形が描けます。

• 最終チェック: 完成した合成波の形が、物理的に不自然でないかを確認する。例えば、元の波が滑らかな線でできているのに、合成波が不自然に尖ったり途切れたりしていないか、といった直感的なチェックも有効です。

228 定在波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定在波の性質（振動数、腹と節の位置）」です。互いに逆向きに進む2つの進行波が重なり合って生じる定在波について、その振動数や、特徴的な点である「腹」と「節」の位置を特定する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
定在波の腹の部分での媒質の振動数を求める問題です。定在波の各点は、腹であれ節の近くであれ、すべて同じ振動数で振動します。そして、その振動数は、定在波を構成している元の2つの進行波の振動数と等しくなります。したがって、この問題は「進行波の振動数を求めよ」という問いに帰着します。進行波の速さは与えられており、波長はグラフから読み取れるので、波の基本式 \(v = f\lambda\) を使って振動数を計算します。
この設問における重要なポイント

• 定在波のすべての点の振動数は等しく、元の進行波の振動数に等しい。
• \(y-x\)グラフから進行波の波長\(\lambda\)を読み取る。
• 波の基本式 \(v = f\lambda\) を用いて振動数\(f\)を計算する。

具体的な解説と立式
定在波の腹における媒質の振動数\(f\)は、元の進行波の振動数と等しいです。
まず、図から進行波（実線または破線）の波長\(\lambda\)を読み取ります。例えば実線の波を見ると、\(x=0\)から\(x=8.0 \text{ m}\)まででちょうど1波長分となっています。
$$ \lambda = 8.0 \text{ [m]} $$
問題文より、この波の速さは \(v = 2.0 \text{ m/s}\) です。
波の速さ\(v\)、振動数\(f\)、波長\(\lambda\)の関係式（波の基本式）は、
$$ v = f\lambda $$
この式を\(f\)について解き、値を代入して計算します。

波の基本式 \(v = f\lambda\) を \(f\) について解くと、
$$ f = \frac{v}{\lambda} $$
この式に \(v = 2.0 \text{ m/s}\), \(\lambda = 8.0 \text{ m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{2.0}{8.0} \\[2.0ex]&= 0.25 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

定在波の揺れの速さ（振動数）は、それを構成する元の波の振動数と同じです。そこで、元の波の振動数を求めます。まず、グラフから波1つ分の長さである「波長」を読み取ると、\(8.0 \text{ m}\)です。波の「速さ」は問題文から \(2.0 \text{ m/s}\) です。波の基本公式 \(v = f\lambda\) を使うと、振動数\(f\)は「速さ ÷ 波長」で計算できるので、\(2.0 \div 8.0 = 0.25 \text{ Hz}\) となります。

定在波の腹の振動数は \(0.25 \text{ Hz}\) となります。定在波の振動数は場所によらず一定で、元の波の振動数と等しいという基本事項を正しく適用できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
定在波の「節」と「腹」の位置を特定する問題です。重ね合わせの原理に基づき、与えられた瞬間の2つの波（実線と破線）の変位を足し合わせることで、節と腹を直接見つけることができます。

• 腹: 2つの波が強め合う点。この瞬間では、変位が同じ値になる点（山と山、谷と谷が重なる、あるいは両方とも変位0で同じ傾きを持つ点）。
• 節: 2つの波が打ち消し合う点。この瞬間では、変位の大きさが等しく符号が逆の点。

この設問における重要なポイント

• 腹: 2つの波が同位相で重なり、合成波の振幅が最大になる点。
• 節: 2つの波が逆位相で重なり、合成波の振幅が常に0になる点。
• 節と腹は、波長の \(\lambda/4\) ずつ交互に並ぶ。

具体的な解説と立式
与えられた \(t=0\) のグラフ上で、実線の波の変位を \(y_1\)、破線の波の変位を \(y_2\) として、重ね合わせを考えます。

腹の位置の特定:
腹は、2つの波が強め合う点です。

• \(x=0, 8.0 \text{ m}\): \(y_1=0, y_2=0\)。この後、実線は正に、破線も正に変位するため、強め合って大きく振動します。よって腹です。
• \(x=4.0, 12.0 \text{ m}\): \(y_1\)と\(y_2\)が共に谷の底で重なっています。変位の和が最大（負の向きに）になるため、腹です。

したがって、指定された範囲の腹の位置は \(x = 0, 4.0, 8.0, 12.0 \text{ m}\) です。

節の位置の特定:
節は、2つの波が打ち消し合う点です。

• \(x=2.0, 10.0 \text{ m}\): 実線が山の頂上、破線が谷の底で重なっています。変位の和は0になります。
• \(x=6.0 \text{ m}\): 実線が谷の底、破線が山の頂上で重なっています。変位の和は0になります。

これらの点は、時間が経過しても常に変位の和が0であり続けるため、全く振動しません。よって節です。
したがって、指定された範囲の節の位置は \(x = 2.0, 6.0, 10.0 \text{ m}\) です。

この設問はグラフの読み取りが中心であり、計算は不要です。

定在波の腹と節を探します。

• 腹（最も大きく揺れる点）: 2つの波が協力し合う場所です。グラフを見ると、\(x=4.0, 12.0\) では谷と谷が重なり、\(x=0, 8.0\) ではこれから山と山が重なろうとしています。これらの点が腹です。
• 節（全く揺れない点）: 2つの波が打ち消し合う場所です。グラフを見ると、\(x=2.0, 6.0, 10.0\) では、山と谷がちょうど重なって変位を0にしています。これらの点が節です。

グラフから直接、重ね合わせの原理を適用して腹と節の位置を特定しました。腹の間隔は \(4.0 \text{ m}\)、節の間隔も \(4.0 \text{ m}\) であり、これは波長 \(\lambda=8.0 \text{ m}\) の半分 (\(\lambda/2\)) と一致します。また、腹と節は \(\lambda/4 = 2.0 \text{ m}\) ずつ交互に並んでおり、定在波の性質と完全に一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定在波の振動数:
  • 核心: 定在波は、波形が止まって見えるだけで、その媒質は激しく振動しています。その振動数は、定在波を構成している元の進行波の振動数と全く同じである、という事実を理解していることが重要です。
  • 理解のポイント: 定在波は2つの進行波の重ね合わせの結果生じる現象です。元の波が1秒間に\(f\)回振動するなら、それによって引き起こされる媒質の振動も1秒間に\(f\)回となります。したがって、定在波の振動数を問われたら、元の進行波の振動数を求めればよい、と即座に思考を切り替えることが鍵です。
• 定在波の腹と節の定義と位置関係:
  • 核心: 定在波の最も重要な特徴である「腹」と「節」の物理的な意味と、それらが空間的にどのように配置されるかを理解していることが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 腹（Antinode）: 2つの波が常に強め合う（同位相で重なる）ことで、振幅が最大になる点。
    • 節（Node）: 2つの波が常に打ち消し合う（逆位相で重なる）ことで、全く振動しない（振幅が0の）点。
    • 空間的配置: 腹と節は、元の波の波長の4分の1 (\(\lambda/4\)) の間隔で交互に並びます。その結果、腹と腹の間隔、節と節の間隔はともに波長の半分 (\(\lambda/2\)) となります。この幾何学的な規則性を知っていると、検算や予測に役立ちます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弦の振動・気柱の共鳴: ギターの弦や管楽器の音は、特定の境界条件（両端が節、開端が腹など）を満たす定在波しか存在できません。本問で学んだ腹と節の位置関係の知識は、弦の長さや管の長さと、生じる音の波長（音程）との関係を導く際に不可欠です。
  • 反射による定在波: 1つの波が壁で反射して自分自身と重なり合うことで定在波ができる問題。反射端が固定端ならそこは「節」に、自由端なら「腹」になるという境界条件から、定在波全体の腹と節の位置を決定します。
  • 異なる瞬間の波形からの分析: 本問とは異なる時刻の、2つの進行波の波形が与えられた場合でも、重ね合わせの原理を適用すれば、同じように腹と節の位置を特定できます。腹と節の位置は時間によらず一定である、という定在波の性質も重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「定在波」というキーワードに注目: 問題文に「定在波」とあれば、思考を「腹」と「節」の概念に集中させます。
  2. 元の進行波の情報を確定させる: 定在波の性質はすべて、それを構成する元の進行波の性質（特に波長\(\lambda\)と振動数\(f\)）で決まります。まずはグラフや問題文から、これらの値を確定させることが最優先です。
  3. 腹と節の位置特定の戦略:
     • 静的な方法（グラフの重ね合わせ）: 与えられた瞬間のグラフで、2つの波が同位相（山と山、谷と谷など）で重なる点を探して「腹」を、逆位相（山と谷）で重なる点を探して「節」を特定する。
     • 動的な方法（波を進める）: 2つの波を微小時間だけ進めてみる。強め合う点（腹）と打ち消し合う点（節）がより明確になる場合があります。
     • 幾何学的な方法: 1つの腹（または節）の位置が分かれば、そこから\(\lambda/2\)間隔で他の腹（または節）が、\(\lambda/4\)間隔で隣の節（または腹）が存在すると予測できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 定在波は振動しないという誤解:
  • 誤解: 「定在波」という名前から、波全体が全く動かないと勘違いし、(1)で振動数を0と答えてしまう。
  • 対策: 定在波は「波形の位置が進行しない」だけで、媒質自体は場所によって激しく振動していることを理解する。特に腹では振幅が2倍になって振動します。動かないのは「節」だけです。
• 波長と腹・節の間隔の混同:
  • 誤解: (2)で腹と腹の間隔や節と節の間隔を、波長\(\lambda\)そのものである \(8.0 \text{ m}\) と答えてしまう。
  • 対策: 定在波の「ループ1つ分」の見た目の長さが、波長の半分\(\lambda/2\)であることを視覚的に覚える。波長\(\lambda\)はあくまで元の進行波の長さの単位であり、定在波の腹や節の間隔とは異なることを明確に区別する。
• 腹と節の取り違え:
  • 誤解: (2)で、2つの波が打ち消し合っている点（\(x=2.0, 6.0, 10.0\)）を腹、強め合っている点（\(x=0, 4.0, 8.0, 12.0\)）を節と逆にとらえてしまう。
  • 対策: 「腹」は振動が最大、「節」は振動がゼロ、という定義に立ち返る。重ね合わせの原理を適用し、合成変位が最大になるのが腹、常にゼロになるのが節、と論理的に判断する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: (1)で振動数\(f\)を求めるために使用。定在波の振動数は元の進行波の振動数と等しく、その進行波の速さ\(v\)と波長\(\lambda\)が既知であるため、これら3者を結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: この式は進行波に関する普遍的な法則です。定在波の問題であっても、その根源である進行波の性質を分析する際には、この式が基本となります。
• 重ね合わせの原理 (\(y = y_1 + y_2\)):
  • 選定理由: (2)で腹と節の位置を特定するために、この原理を（作図的に）適用します。腹と節は、2つの波の重ね合わせの結果として定義される概念だからです。
  • 適用根拠: 2つの波が共存する領域での物理現象を記述するための基本原理です。
    • \(y_1\)と\(y_2\)が常に同じ符号で重なる（強め合う）点が腹。
    • \(y_1\)と\(y_2\)が常に逆の符号で重なる（打ち消し合う）点が節。

    この原理に基づいてグラフを読み解くことで、腹と節の位置を特定できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの読み取り: (1)で波長\(\lambda\)を読み取る際、1つの波がどこからどこまでかを正確に見る。\(x=0\)から\(x=8.0\)までが1サイクルであることを確認します。
• 割り算のケアレスミス: (1)の \(f = 2.0/8.0\) の計算で、\(4.0\)と答えるような単純なミスをしないように注意する。\(1/4 = 0.25\) であることを落ち着いて計算する。
• リストアップによる整理: (2)で腹と節の位置を探す際、混乱しないようにリストアップしていくのが有効です。
  • 腹の候補：\(y_1\)と\(y_2\)が同位相の点は… \(x=0, 4.0, 8.0, 12.0\)
  • 節の候補：\(y_1\)と\(y_2\)が逆位相の点は… \(x=2.0, 6.0, 10.0\)

  このように書き出すことで、抜け漏れや混同を防げます。

• 幾何学的性質による検算: (2)で腹と節の位置を求めた後、それらが\(\lambda/4 = 8.0/4 = 2.0 \text{ m}\) 間隔で交互に並んでいるか、腹と腹（節と節）の間隔が\(\lambda/2 = 4.0 \text{ m}\)になっているかを確認する。この規則性が成り立っていれば、答えが正しい可能性が高いと判断できます。

229 反射波の図示

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「固定端反射・自由端反射と重ね合わせの原理」です。時間とともに進行する入射波が、性質の異なる境界（固定端・自由端）でどのように反射し、後続の入射波と重なり合ってどのような波形（合成波）を形成するかを、作図によって理解する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問い：固定端と自由端の場合について、\(\frac{1}{4}T\)後、\(\frac{1}{2}T\)後に観察される波形をそれぞれ図示せよ。

思考の道筋とポイント
この問題は、単に静的な波を重ねるのではなく、時間とともに進行・反射していく波を追跡し、特定の瞬間の合成波を描く、動的な思考が求められます。核心は、①各時刻の入射波の形を正しく把握すること、②反射のルールを正しく適用して反射波を描くこと、③重ね合わせの原理を忠実に実行すること、の3点です。作図の際には、まず入射波と反射波を補助線として描き、その上で合成波を描くとミスが少なくなります。
この設問における重要なポイント

• 固定端反射 \(\rightarrow\) 位相がπ反転する \(\rightarrow\) 作図上は「反射点を中心とした点対称」。
• 自由端反射 \(\rightarrow\) 位相は変化しない \(\rightarrow\) 作図上は「反射面を軸とした線対称」。
• 観察される波（合成波） = その瞬間の「入射波」 + その瞬間の「反射波」。

具体的な解説と立式
【固定端の場合】

• \(t=\frac{1}{4}T\) の作図
  1. 入射波の確認: 問題の図より、\(t=\frac{1}{4}T\) の入射波の形を確認します。波は \(\frac{1}{4}\) 周期進み、壁には入射波の谷の底が到達しています。
  2. 反射波の作図: この入射波を、反射点（原点）について点対称に変換したものが反射波となります。壁に到達した谷は、反射して山になります。
  3. 合成波の作図: 入射波（谷）と反射波（山）の変位を各点で足し合わせます。壁（\(x=0\)）では、入射波の変位と反射波の変位が常に打ち消し合い、合成波の変位は0になります。
• \(t=\frac{1}{2}T\) の作図
  1. 入射波の確認: 問題の図より、\(t=\frac{1}{2}T\) の入射波の形を確認します。波は \(\frac{1}{2}\) 周期進み、壁には入射波の変位が0の部分が到達しています。
  2. 反射波の作図: この入射波を、反射点について点対称に変換します。
  3. 合成波の作図: 入射波と反射波の変位を足し合わせます。

【自由端の場合】

• \(t=\frac{1}{4}T\) の作図
  1. 入射波の確認: 固定端の場合と同様、\(t=\frac{1}{4}T\) の入射波の形を確認します。壁には谷の底が到達しています。
  2. 反射波の作図: この入射波を、反射面（y軸）について線対称に変換したものが反射波となります。壁に到達した谷は、反射しても谷のままです。
  3. 合成波の作図: 入射波（谷）と反射波（谷）の変位を各点で足し合わせます。壁（\(x=0\)）では、入射波の変位と反射波の変位が常に等しく、合成波の変位は入射波の2倍（負の向きに最大）になります。
• \(t=\frac{1}{2}T\) の作図
  1. 入射波の確認: 固定端の場合と同様、\(t=\frac{1}{2}T\) の入射波の形を確認します。
  2. 反射波の作図: この入射波を、反射面について線対称に変換します。
  3. 合成波の作図: 入射波と反射波の変位を足し合わせます。

この問題は作図が中心であり、数値計算は不要です。

ステップ1: その時刻の「入射波」を正しく描く
問題に描かれている、各時刻の入射波の形を解答欄に（補助線として）写します。

ステップ2: その時刻の「反射波」をルールに従って描く

• 固定端（端が固定）の場合: ステップ1で描いた入射波を、壁の点で「くるっと180度ひっくり返し」て反射波を描きます（点対称）。谷は山になって跳ね返ります。
• 自由端（端が自由）の場合: ステップ1で描いた入射波を、壁の線を鏡として「パタンと折り返し」て反射波を描きます（線対称）。谷は谷のまま跳ね返ります。

ステップ3: 2つの波を足し算して「観察される波」を描く
ステップ1の入射波とステップ2の反射波の高さを、場所ごとに足し算して、最終的に観察される波を描きます。

作図の結果、固定端では壁が常に変位0の「節」となり、自由端では壁が常に振動が最大の「腹」となることが確認できます。これは定在波の基本的な性質と一致しており、作図が正しいことを示しています。各時刻で入射波と反射波が変化しても、この境界の性質は保たれます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射の2つのタイプ（自由端・固定端）の物理的意味と作図法:
  • 核心: 波の反射を理解する上で最も重要なのは、「自由端反射」と「固定端反射」という2つの基本的なパターンを明確に区別し、それぞれの物理的な意味（位相の変化）と、それに対応する作図法（対称性）をセットで理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 自由端反射: 境界が自由に動けるため、波は「そのままの形（同位相）」で跳ね返る。作図上は、境界線を対称軸とする線対称（鏡映）で反射波を描く。
    • 固定端反射: 境界が動けないため、波は「上下逆の形（逆位相）」で跳ね返る。作図上は、境界点を中心とする点対称（180°回転）で反射波を描く。

    この「物理現象 \(\leftrightarrow\) 作図法」の対応関係が全てです。

• 波の重ね合わせの原理と定在波の形成:
  • 核心: 実際に観測される波は、入射波と反射波が独立に存在し、その変位が単純に足し合わされたものである、という「重ね合わせの原理」を理解すること。この原理によって、進行しない波「定在波」が生まれます。
  • 理解のポイント:
    • 合成波の作図: グラフ上の各点について、入射波のy座標と反射波のy座標を地道に足し算することで、合成波（観察される波）を描くことができます。
    • 境界点の運命: 重ね合わせの結果、自由端では常に強め合って「腹」に、固定端では常に打ち消し合って「節」になる、という結論が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弦の振動: ギターの弦のように両端が固定されている場合、両端が「固定端」として振る舞い、定在波の「節」となります。
  • 気柱の共鳴: 笛などの管楽器では、閉じている端は「固定端（節）」、開いている端は「自由端（腹）」として扱います。この境界条件によって、どのような波長の音（固有振動）が生じるかが決まります。
  • 光の干渉（薄膜など）: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際にも、位相が変化する（固定端反射に相当）かしない（自由端反射に相当）かが重要になります。屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ向かう際の反射は固定端反射、その逆は自由端反射に対応します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 境界の条件を最優先で確認: 問題文を読み、境界が「自由端」なのか「固定端」なのかを最初に特定します。これが全ての出発点です。
  2. 反射波の作図を正確に行う:
     • 自由端なら「線対称」、固定端なら「点対称」のルールに従い、まず反射波を丁寧に描きます。入射波を境界の向こう側へ延長して描くと、対称な波形を作りやすいです。
  3. 重ね合わせは特徴的な点から: 合成波を描く際は、全ての点を足すのではなく、まず山、谷、変位0の点など、特徴的な点の合成後の位置をプロットし、それらを滑らかに結ぶと効率的です。
  4. 境界点の振る舞いを予測する: 作図する前に、「自由端だから腹になるはず」「固定端だから節になるはず」と結論を予測しておくと、作図ミスに気づきやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 自由端と固定端のルールの混同:
  • 誤解: 自由端なのに点対称で描いてしまう、あるいはその逆。最も基本的なミスです。
  • 対策: 「固定端は動けない→逆向きに力が働く→位相が反転する」という物理的なイメージと、「自由端は自由に動ける→そのまま跳ね返る→位相は同じ」というイメージをしっかり持つ。言葉の響きから「自由＝線対称」「固定＝点対称」と機械的に覚えるのも一つの手です。
• 反射波の進行方向の間違い:
  • 誤解: 反射波を作図する際、入射波と同じ向きに進む波として描いてしまう。
  • 対策: 反射波は必ず入射波と「逆向き」に進むことを常に意識する。作図した反射波に、入射波と逆向きの進行方向を示す矢印を書き込む習慣をつけると良いでしょう。
• 重ね合わせの計算ミス:
  • 誤解: 入射波と反射波の変位を足し合わせる際に、符号を間違えたり、大きさを目分量で誤ったりする。
  • 対策: 特に固定端反射の場合、一方が正の変位、もう一方が負の変位になるので、符号に注意して足し算（実際は引き算）を行う。方眼紙のように目盛りがあれば、正確に値を読み取って計算する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 反射の法則（自由端・固定端）:
  • 選定理由: この問題は、まさにこの法則の理解度を問うています。法則そのものが解法の指針となります。
  • 適用根拠: これらの法則は、波の連続性や運動方程式を境界条件の下で解くことによって数学的に導かれますが、高校物理では物理現象の観察結果に基づく経験則として学びます。「境界で媒質がどう動けるか」という物理的な制約が、反射波の位相（形）を決定するという因果関係を理解することが重要です。
• 波の重ね合わせの原理:
  • 選定理由: 「観察される波」は、複数の波（ここでは入射波と反射波）が共存した結果どう見えるか、という問いなので、重ね合わせの原理を適用するのが唯一の方法です。
  • 適用根拠: この原理は、波を記述する波動方程式が線形（波の変位に対して1次の項しかない）であることに由来します。これにより、複数の解（個々の波）を足し合わせたものもまた解になる、という性質が保証されます。高校物理では、波は互いに影響を与えずにすり抜け、変位だけが足し算される、という直感的なモデルとして理解します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図の正確性: この問題は計算がない分、作図の正確さが全てです。
  • 補助線の活用: 入射波を境界の向こう側に破線で延長して描く。自由端反射なら、それをそのまま実線で折り返す。固定端反射なら、延長した破線を上下反転させてから実線で折り返す。このように段階的に作図するとミスが減ります。
  • 定規やコンパスの利用: フリーハンドで描くと歪みやすいので、定規などを使って特徴的な点の位置を正確に移すと、より正しい作図ができます。
• 合成波のプロット: 合成波を描く際は、x軸上のいくつかの点（特に山、谷、ゼロクロス点）を選び、それぞれの点で \(y_{\text{入}}\) と \(y_{\text{反}}\) の値を読み取り、和を計算してプロットする。点をいくつか打ってから滑らかに結ぶことで、正確な合成波形が得られます。
• 結論の再確認: 作図後、境界点が本当に「腹（振幅最大）」や「節（振幅ゼロ）」になっているかを必ず目で見て確認する。もしそうなっていなければ、作図の過程（対称性の適用や重ね合わせ）でミスがあった証拠です。

230 波のグラフと反射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「パルス波の伝播と固定端反射」です。\(y-x\)グラフ（波形）と\(y-t\)グラフ（媒質の振動）の関係を理解し、反射のルールを正しく適用できるかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(x=8.0 \, \text{m}\) という「特定の場所」を固定し、そこに時間の経過とともに波がどのように通過していくかを追跡する問題です。これは、\(y-x\)グラフ（空間のグラフ）の情報を、\(y-t\)グラフ（時間のグラフ）に変換する操作に相当します。波の速さと\(t=0\)での位置関係から、各点が観測点に到達する時刻を正確に計算することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 波の速さ \(v\) は、波形が平行移動する速さです。
• ある点 \(x_0\) に、\(t=0\) で \(x\) の位置にあった波の部分が到達するのにかかる時間 \(\Delta t\) は、移動距離 \(\Delta x = x_0 – x\) を使って \(\Delta t = \displaystyle\frac{\Delta x}{v}\) で計算できます。
• \(y-t\)グラフは、ある一点の媒質の変位が時間とともにどう変化するか（単振動の様子）を表します。

具体的な解説と立式
問題の図から、\(t=0\) における波の各特徴点の位置を読み取ります。

• 波の先端：\(x_{\text{先端}} = 6.0 \, \text{m}\)
• 山Q（変位 \(y=0.1 \, \text{m}\)）：\(x_{\text{Q}} = 4.0 \, \text{m}\)
• 谷P（変位 \(y=-0.1 \, \text{m}\)）：\(x_{\text{P}} = 2.0 \, \text{m}\)
• 波の後端：\(x_{\text{後端}} = 1.0 \, \text{m}\)

波は速さ \(v=1.0 \, \text{m/s}\) で \(x\) 軸の正の向きに進むので、これらの各点が観測点 \(x_0 = 8.0 \, \text{m}\) に到達する時刻を計算します。
ある点 \(x\) が \(x_0\) に到達する時刻 \(t\) は、
$$ t = \frac{x_0 – x}{v} $$
で求められます。

各点が \(x_0 = 8.0 \, \text{m}\) に到達する時刻は以下の式で計算できます。

• 先端が到達する時刻 \(t_{\text{先端}}\):
  $$ t_{\text{先端}} = \frac{8.0 – x_{\text{先端}}}{v} $$
• 山Qが到達する時刻 \(t_{\text{Q}}\):
  $$ t_{\text{Q}} = \frac{8.0 – x_{\text{Q}}}{v} $$
• 谷Pが到達する時刻 \(t_{\text{P}}\):
  $$ t_{\text{P}} = \frac{8.0 – x_{\text{P}}}{v} $$
• 後端が到達する時刻 \(t_{\text{後端}}\):
  $$ t_{\text{後端}} = \frac{8.0 – x_{\text{後端}}}{v} $$

各値を代入して、それぞれの到達時刻を計算します。
先端の到達時刻:
$$
\begin{aligned}
t_{\text{先端}} &= \frac{8.0 – 6.0}{1.0} \\[2.0ex]&= 2.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$
この時刻に \(x=8.0 \, \text{m}\) の媒質は動き始めます。

山Qの到達時刻:
$$
\begin{aligned}
t_{\text{Q}} &= \frac{8.0 – 4.0}{1.0} \\[2.0ex]&= 4.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$
この時刻に媒質の変位は最大 \(y=0.1 \, \text{m}\) となります。

谷Pの到達時刻:
$$
\begin{aligned}
t_{\text{P}} &= \frac{8.0 – 2.0}{1.0} \\[2.0ex]&= 6.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$
この時刻に媒質の変位は最小 \(y=-0.1 \, \text{m}\) となります。

後端の到達時刻:
$$
\begin{aligned}
t_{\text{後端}} &= \frac{8.0 – 1.0}{1.0} \\[2.0ex]&= 7.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$
この時刻に媒質の振動は終了します。

\(x=8.0 \, \text{m}\) の地点で波が通り過ぎるのを観察すると考えます。波は秒速 \(1.0 \, \text{m}\) でこちらに向かってきます。

• 波の先頭は \(x=6.0 \, \text{m}\) にいるので、あと \(2.0 \, \text{m}\) の距離です。よって、\(2.0\) 秒後に到着します。
• 山のてっぺんQは \(x=4.0 \, \text{m}\) にいるので、あと \(4.0 \, \text{m}\) の距離です。よって、\(4.0\) 秒後に到着します。
• 谷の底Pは \(x=2.0 \, \text{m}\) にいるので、あと \(6.0 \, \text{m}\) の距離です。よって、\(6.0\) 秒後に到着します。
• 波の最後尾は \(x=1.0 \, \text{m}\) にいるので、あと \(7.0 \, \text{m}\) の距離です。よって、\(7.0\) 秒後に到着します。

これらの時刻と、その時の変位（山は \(+0.1 \, \text{m}\)、谷は \(-0.1 \, \text{m}\)）を時間軸に沿ってプロットすれば、\(y-t\)グラフが完成します。

計算結果から、\(x=8.0 \, \text{m}\) の媒質の振動は \(t=2.0 \, \text{s}\) に始まり、\(t=4.0 \, \text{s}\) に変位が最大（\(y=0.1 \, \text{m}\)）、\(t=6.0 \, \text{s}\) に変位が最小（\(y=-0.1 \, \text{m}\)）となり、\(t=7.0 \, \text{s}\) に振動を終えることがわかります。\(t=2.0 \, \text{s}\) から \(t=7.0 \, \text{s}\) の間の波形は、元の \(y-x\) グラフの形を左右反転させたものになります。これらの点を結んでグラフを作成します。

問(2)

思考の道筋とポイント
固定端反射の問題は、「作図法」で考えると視覚的に理解しやすく、間違いがありません。

1. まず、壁がないと仮定して、入射波がそのまま進み続けた場合の「仮想的な波」を考えます。
2. 次に、指定された時刻 \(t=12 \, \text{s}\) において、この仮想的な波がどの位置にあるかを描きます。
3. 最後に、固定端反射のルール（上下反転＆折り返し）を適用します。仮想的な波のうち、壁の向こう側にはみ出した部分を、壁を軸にして上下に反転させ、さらに壁の位置で折り返して現実の空間に戻します。これが求める反射波の波形となります。

この設問における重要なポイント

• 固定端反射: 波形は上下反転（位相が\(\pi\)ずれる）し、進行方向が逆になる。
• 反射波の作図法: 壁の向こう側に進む仮想的な波を考え、壁を越えた部分を上下反転させて折り返す。
• 波の前後の入れ替わり: 入射波で先に壁に到達した部分が、反射波でも先行する。

具体的な解説と立式
ステップ1：\(t=12 \, \text{s}\) における「仮想的な波」の位置を求める
波は速さ \(v=1.0 \, \text{m/s}\) で進むので、\(12 \, \text{s}\) の間に進む距離は \(1.0 \times 12 = 12 \, \text{m}\) です。
\(t=0\) で位置 \(x\) にあった波の部分は、\(t=12 \, \text{s}\) には、壁がなければ \(x’ = x + 12\) の位置に移動します。
\(t=0\) での各特徴点の位置から、\(t=12 \, \text{s}\) での仮想的な位置 \(x’\) を求めます。

• 仮想的な先端の位置: \(x’_{\text{先端}} = 6.0 + 12 = 18 \, \text{m}\)
• 仮想的な山Qの位置: \(x’_{\text{Q}} = 4.0 + 12 = 16 \, \text{m}\)
• 仮想的な谷Pの位置: \(x’_{\text{P}} = 2.0 + 12 = 14 \, \text{m}\)
• 仮想的な後端の位置: \(x’_{\text{後端}} = 1.0 + 12 = 13 \, \text{m}\)

ステップ2：固定端反射のルールを適用して反射波の位置を求める
固定端は \(x_{\text{壁}} = 10 \, \text{m}\) にあります。仮想的な波の \(x’ > 10\) の部分が反射波となります。
反射波の位置 \(x_{\text{反射}}\) は、仮想的な位置 \(x’\) を使って次のように計算できます。
$$ x_{\text{反射}} = x_{\text{壁}} – (x’ – x_{\text{壁}}) = 2x_{\text{壁}} – x’ $$
今回は \(x_{\text{壁}} = 10\) なので、\(x_{\text{反射}} = 20 – x’\) となります。
また、固定端反射なので、変位 \(y\) は \(-y\) になります。

ステップ2の式を使い、各特徴点の反射後の位置を計算します。

反射波の先端（元の先端が反射したもの）の位置:
$$
\begin{aligned}
x_{\text{反射, 先端}} &= 20 – x’_{\text{先端}} \\[2.0ex]&= 20 – 18 \\[2.0ex]&= 2.0 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
反射したQ（谷になる）の位置と変位:
$$
\begin{aligned}
x_{\text{反射, Q}} &= 20 – x’_{\text{Q}} \\[2.0ex]&= 20 – 16 \\[2.0ex]&= 4.0 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
変位は元の \(y=0.1 \, \text{m}\) から反転して \(y=-0.1 \, \text{m}\) となります。

反射したP（山になる）の位置と変位:
$$
\begin{aligned}
x_{\text{反射, P}} &= 20 – x’_{\text{P}} \\[2.0ex]&= 20 – 14 \\[2.0ex]&= 6.0 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
変位は元の \(y=-0.1 \, \text{m}\) から反転して \(y=0.1 \, \text{m}\) となります。

反射波の後端（元の後端が反射したもの）の位置:
$$
\begin{aligned}
x_{\text{反射, 後端}} &= 20 – x’_{\text{後端}} \\[2.0ex]&= 20 – 13 \\[2.0ex]&= 7.0 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

もし壁がなければ、波は12秒間で12m進みます。例えば、\(t=0\)で\(x=4.0 \, \text{m}\)にいた山Qは、\(x=16 \, \text{m}\)まで進んでいるはずです。
実際には\(x=10 \, \text{m}\)に壁があります。壁の向こう側(\(x>10 \, \text{m}\))に進んだ部分は、上下ひっくり返って、壁を鏡として反射するように戻ってきます。

• \(x=16 \, \text{m}\)にいるはずだった山Qは、壁から\(16-10=6 \, \text{m}\)だけはみ出しています。なので、壁から手前に\(6 \, \text{m}\)戻った位置、つまり\(x=10-6=4 \, \text{m}\)の場所に、谷になって現れます。
• 同様に、\(x=14 \, \text{m}\)にいるはずだった谷Pは、壁から\(4 \, \text{m}\)はみ出しています。なので、壁から手前に\(4 \, \text{m}\)戻った\(x=10-4=6 \, \text{m}\)の場所に、山になって現れます。

これらの点を結ぶと、求める反射波の形が描けます。

以上の計算から、\(t=12 \, \text{s}\)における反射波は、\(x=2.0 \, \text{m}\)を先端、\(x=7.0 \, \text{m}\)を後端とし、その間に\(x=4.0 \, \text{m}\)で変位\(-0.1 \, \text{m}\)の谷、\(x=6.0 \, \text{m}\)で変位\(0.1 \, \text{m}\)の山を持つ波形となることがわかります。
入射波では山Qが谷Pより先行していましたが、反射波では谷(反射したQ)が山(反射したP)より先行する（x座標が小さい）形になっており、物理的に正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの相互変換:
  • 核心: 波の運動を理解する上で、空間的な波形（\(y-x\)グラフ）と時間的な振動（\(y-t\)グラフ）という2つの異なる視点を自由に行き来できることが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\)グラフは、ある瞬間の「スナップ写真」です。横軸は「場所」を表します。
    • \(y-t\)グラフは、ある場所での「定点観測ビデオ」です。横軸は「時間」を表します。
    • この2つは、波の速さ \(v\) を介して \(t = \displaystyle\frac{\Delta x}{v}\) の関係で結ばれており、一方からもう一方を導き出すことができます。
• 波の反射の法則:
  • 核心: 波が媒質の境界（固定端や自由端）でどのように振る舞うかを正確に理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 固定端反射: 進行方向が反転し、変位の向きも反転（山⇔谷）します。位相が\(\pi\)ずれる、と表現されます。
    • 自由端反射: 進行方向は反転しますが、変位の向きはそのまま（山は山のまま、谷は谷のまま）です。位相は変化しません。
    • 本問は固定端反射なので、上下反転が起こります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 自由端反射の問題: 壁が固定端ではなく自由端の場合、反射波は上下反転せずに折り返されます。作図法では、仮想波をそのまま折り返すだけです。
  • 透過波を伴う問題: 媒質が異なる境界（例：細い弦と太い弦の接続点）では、波の一部が反射し、一部が透過します。反射のルールに加えて、透過波の速さや波長がどうなるかを考える必要があります。
  • 重ね合わせの原理: 入射波と反射波が重なっている領域の波形を問う問題。それぞれの波の変位を、場所ごとに足し合わせることで合成波の波形を求めます。特に、定常波（定在波）の形成は重要なテーマです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: まず、与えられたグラフが \(y-x\) グラフ（波形）なのか \(y-t\) グラフ（振動）なのかを絶対に確認します。
  2. 波の基本情報を整理: 問題文とグラフから、速さ \(v\)、進行方向、波長 \(\lambda\)（またはパルス波の長さ）、振幅 \(A\) を読み取ります。
  3. 反射・透過の条件を確認: 境界の種類（固定端、自由端、媒質の変化）を特定し、どの反射・透過のルールが適用されるかを判断します。
  4. 「作図法」の活用: 反射波の波形を問われたら、まず「仮想的な波」を描く作図法を試みます。これは計算ミスを防ぎ、視覚的に理解する上で非常に強力なツールです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの混同:
  • 誤解: (1)で \(y-t\) グラフを描く際に、与えられた \(y-x\) グラフをそのまま描いてしまう。
  • 対策: \(y-t\) グラフは、\(x=8.0 \, \text{m}\) という一点の動きを時間の流れに沿ってプロットしたものであることを意識します。波が正の向きに進む場合、\(y-x\) グラフで \(x\) が小さい側の形から順に現れるため、\(y-t\) グラフは元の \(y-x\) グラフを左右反転させたような形になります。
• 固定端反射と自由端反射の混同:
  • 誤解: (2)で固定端反射なのに、波形を上下反転させずにそのまま折り返してしまう（自由端反射と間違える）。
  • 対策: 「固定端＝ガッチリ固定されて動けない→逆向きに押し返される→上下反転」「自由端＝自由に動ける→そのままの形で跳ね返る→上下反転なし」とイメージで覚える。
• 反射波の前後関係の誤り:
  • 誤解: (2)で、反射後の波の形は上下反転させられても、入射波と同じく「山が先で谷が後」だと考えてしまう。
  • 対策: 壁に先に到達した部分が、反射後も先に進む（先行する）ことを常に意識します。今回の例では、山Qが先に壁に到達するので、反射後は谷（反射したQ）が山（反射したP）よりも先行します。作図法を使えば、この前後関係は自動的に正しく描かれます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(x = vt\)):
  • 選定理由: (1)と(2)の両方で、波が特定の時間でどれだけ進むか、または特定の距離を進むのにどれだけ時間がかかるかを計算する基本となるため。これは波の運動の定義そのものです。
  • 適用根拠:
    • (1)では、観測点 \(x_0\) と波の各部分の初期位置 \(x\) との距離 \(\Delta x = x_0 – x\) を、速さ \(v\) で進むのにかかる時間 \(t = \Delta x / v\) を計算するために使用します。
    • (2)では、\(t=12 \, \text{s}\) という時間で波が進む距離 \(d = vt = 12 \, \text{m}\) を計算し、仮想的な波の位置を決定するために使用します。
• 反射波の作図法の関係式 (\(x_{\text{反射}} = 2x_{\text{壁}} – x’\)):
  • 選定理由: (2)で、計算によって厳密に反射波の位置を求めるために使用します。これは作図法を数式で表現したものです。
  • 適用根拠: 壁の位置 \(x_{\text{壁}}\) を基準として、仮想的な波の位置 \(x’\) が壁からどれだけはみ出しているか（\(x’ – x_{\text{壁}}\)）を考えます。反射波は、壁から同じ距離だけ手前側（\(x_{\text{壁}} – (x’ – x_{\text{壁}})\)）に現れるため、この式が導かれます。この公式を知らなくても、平易な説明で述べたような考え方で十分解くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の読み取り: グラフから \(x\) 座標を読み取る際は、目盛りの単位をしっかり確認します。特に、山や谷の頂点だけでなく、波の先端や後端の座標も正確に読み取ることが重要です。
• 距離の計算: (1)で \(x=8.0 \, \text{m}\) までの距離を計算するとき、\(8.0 – 6.0\)、\(8.0 – 4.0\) のように、引き算を丁寧に行います。単純な計算ほど油断しやすいので注意が必要です。
• 作図の丁寧さ: (2)を作図法で解く場合、フリーハンドではなく定規を使って、距離関係が正確になるように描くことがミスを防ぎます。特に、壁からの距離が等しくなるように折り返す点を正確にプロットすることが重要です。
• 符号の確認: 固定端反射では変位の符号（\(y\) の正負）が反転します。計算や作図の最後に、山が谷に、谷が山になっているかを必ず確認する癖をつけましょう。

231 縦波の定在波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の定在波における変位と疎密の関係」です。定在波の「変位の節・腹」と「圧力（疎密）の節・腹」の関係を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「ばねの疎密の変化は最大」という日本語を、定在波の物理概念に正しく翻訳することです。ばねが最も密になったり疎になったりする場所は、圧力の変化が最も大きい場所、すなわち「圧力の腹」と呼ばれます。

そして、縦波の定在波における最も重要な知識は、「変位の節」と「圧力の腹」が同じ位置に存在する、という関係です。したがって、この問題は「変位の節の位置はどこか？」という問題と等価になります。この視点に立てれば、あとは定在波の節の性質を使って解くだけです。
この設問における重要なポイント

• 疎密の変化が最大 \(\iff\) 圧力の腹
• 変位の節 \(\iff\) 圧力の腹
• したがって、求める場所は「変位の節」の位置である。
• 固定端は、媒質が動けないため、必ず「変位の節」となる。
• 定在波において、隣り合う節と節の間隔は、進行波の波長の半分（\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)）である。

具体的な解説と立式
問題で求められているのは、「ばねの疎密の変化が最大」になる位置です。これは、媒質の圧力変化が最大となる「圧力の腹」の位置を意味します。

縦波の定在波では、媒質の変位が常に0である「変位の節」において、周囲の媒質がその点に向かって集まったり（密）、その点から離れたり（疎）する運動が最も激しくなるため、圧力の変化が最大となります。つまり、「変位の節」と「圧力の腹」は同じ位置にあります。
したがって、この問題は「変位の節」の位置を求める問題に帰着します。

定在波は、ばねの右端から発生した進行波（波長 \(\lambda=L\)）と、それが固定端 \(x=0\) で反射した反射波との重ね合わせによって生じます。
固定端 \(x=0\) は、定義上、媒質が変位できない点なので、必ず「変位の節」になります。

定在波では、隣り合う節と節の間隔は、もとになった進行波の波長の半分 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) です。
進行波の波長は \(L\) なので、節と節の間隔は \(\displaystyle\frac{L}{2}\) となります。

最初の節が \(x=0\) にあるので、他の節はそこから \(\displaystyle\frac{L}{2}\) の整数倍だけ離れた位置に存在します。
したがって、変位の節の位置 \(x\) は、0以上の整数 \(m\) を用いて次のように表せます。
$$ x = m \times \frac{L}{2} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を整理します。
求める位置 \(x\) は変位の節の位置であり、一般式は
$$ x = m \cdot \frac{\lambda}{2} \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
で与えられます。
問題文より、進行波の波長は \(\lambda = L\) です。これを代入すると、
$$
\begin{aligned}
x &= m \cdot \frac{L}{2} \\[2.0ex]&= \frac{mL}{2} \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
となります。

「疎密の変化が一番大きい場所」を探します。これは、一見するとばねが激しく動く場所のように思えますが、実は逆で、ばねが全く動かない「節」と呼ばれる場所で起こります。
なぜなら、「節」は動かない壁のような役割を果たし、その両側のばねが交互に節に向かって押し寄せたり（最も密な状態）、節から離れていったり（最も疎な状態）するからです。その結果、節の部分が最も強く圧縮されたり引き伸ばされたりします。
固定端(\(x=0\))は動けないので、必ず「節」になります。そして、定在波では、「節」は波長の半分 (\(L/2\)) ごとに現れるというルールがあります。
したがって、\(x=0\) から始まって、\(L/2\) ずつ離れた場所、つまり \(x=0, \displaystyle\frac{L}{2}, L, \displaystyle\frac{3L}{2}, \dots\) がすべて疎密の変化が最大になる場所です。

求めた位置 \(x = \displaystyle\frac{mL}{2}\) は、定在波における変位の節の位置を表しています。

• \(m=0\) のとき \(x=0\) (固定端)
• \(m=1\) のとき \(x=L/2\)
• \(m=2\) のとき \(x=L\)

となり、これらは半波長間隔で正しく並んでいます。これらの位置では、媒質の変位は常に0ですが、半周期ごとに「最も密な状態」と「最も疎な状態」を繰り返すため、疎密の変化が最大となります。これは物理的に妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の定在波における変位と圧力の関係:
  • 核心: 縦波の定在波では、媒質の振動の様子（変位）と、媒質の密度の変化（疎密・圧力）の様子が空間的にずれている、という点を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 変位の節 ＝ 圧力の腹: 媒質が全く動かない点（変位の節）では、その両側から媒質が集まったり離れたりするため、疎密の変化が最も激しくなります（圧力の腹）。
    • 変位の腹 ＝ 圧力の節: 媒質が最も大きく振動する点（変位の腹）では、周囲の媒質も同じように動くため、密度は常に一定に保たれ、疎密の変化は起こりません（圧力の節）。
  • この問題は「疎密の変化が最大」の場所を問うているので、それは「圧力の腹」であり、すなわち「変位の節」の位置を求めればよい、という論理展開が鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 気柱の共鳴: 管楽器のように、管の中の空気の振動（縦波）を考える問題。この問題と全く同じ原理が適用されます。
    • 閉管: 管の閉じている端は空気が動けないので「固定端」と同じく「変位の節」になります。
    • 開管: 管の開いている端は、外の広い空間とつながっているため、空気の振動が最も自由に行われます。これは「自由端」に相当し、「変位の腹」になります。
  • 「変位が最大」の位置を問う問題: もし問題が「ばねの振動が最も激しい場所はどこか」と問うていれば、それは「変位の腹」の位置を求めることになります。変位の腹は、節と節の中間に存在します。
  • 自由端で反射する縦波の定在波: ばねの端が固定されず、自由に動ける場合（自由端）。自由端は「変位の腹」となるため、定在波の腹の位置から考えていくことになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波の種類を特定: まず、問題が「横波」か「縦波」かを確認します。縦波の場合、変位と圧力（疎密）の2つの見方があることを思い出します。
  2. 問われている物理量を確認: 問題文が「変位（振動）」について聞いているのか、「疎密（圧力）」について聞いているのかを正確に読み取ります。「疎密の変化が最大」は「圧力の腹」と翻訳します。
  3. 境界条件を確認: 端が「固定端」なのか「自由端」なのかを把握します。これが定在波の節・腹の位置を決める出発点になります。
     • 固定端 → 変位の節
     • 自由端 → 変位の腹
  4. 節と腹の間隔を適用: 節と節、腹と腹の間隔は半波長 (\(\lambda/2\))、節と隣の腹の間隔は1/4波長 (\(\lambda/4\)) であることを利用して、一般式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位の腹と圧力の腹の混同:
  • 誤解: 「疎密の変化が最大」と聞いて、ばねが最も大きく動く「変位の腹」の位置を答えてしまう。
  • 対策: 「変位」と「圧力（疎密）」の関係は逆になる、と強く意識します。「節で密になる」と具体的なイメージで覚えるのが効果的です。動かない壁（節）に物がぶつかって圧縮される（密になる）様子を想像すると良いでしょう。
• 波長と節の間隔の混同:
  • 誤解: 節と節の間隔を、波長 \(\lambda\) そのものだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 定在波の図を自分で描いてみるのが一番です。波が一つうねる間に、節が2つ（始点と終点）含まれていることから、節の間隔が波長の半分 (\(\lambda/2\)) であることを視覚的に確認します。
• 固定端と自由端の条件の混同:
  • 誤解: 固定端を変位の腹、あるいは自由端を変位の節として考えてしまう。
  • 対策: 言葉の定義に立ち返ります。「固定」されているのだから動けない→変位は0→変位の節。「自由」なのだから最も大きく動ける→変位は最大→変位の腹。このように論理的に結びつけて覚えます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位の節 ＝ 圧力の腹:
  • 選定理由: この問題は、一見すると複雑な「疎密」について問うていますが、この関係式を用いることで、より単純で考えやすい「変位の節」の問題に変換できます。物理現象の異なる側面を結びつける、非常に重要な概念的法則です。
  • 適用根拠: 縦波の媒質の運動を力学的に考察することから導かれます。変位が0の点では、その両側の媒質が逆位相で振動するため、媒質が集中（密）したり拡散（疎）したりする度合いが最大になります。
• 定在波の節の間隔 (\(\Delta x = \lambda/2\)):
  • 選定理由: 一つの節の位置が分かれば、この関係式を使って他のすべての節の位置を機械的に導き出すことができるため。
  • 適用根拠: 定在波は、\(y = A \sin(kx – \omega t) + A \sin(kx + \omega t)\) のような進行波と反射波の重ね合わせで表されます。三角関数の和積の公式を使って変形すると、\(y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)\) となります。変位が常に0になる節の位置は、空間的な振動を表す \(\sin(kx)\) が0になる場所、つまり \(kx = m\pi\) (mは整数) を満たす \(x\) です。\(k=2\pi/\lambda\) なので、\(x = m\lambda/2\) となり、節の間隔が \(\lambda/2\) であることが数学的に示されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 一般式の立式: \(x = m \cdot (\lambda/2)\) のように、整数 \(m\) を使った一般式で表現する問題では、\(m\) の始まる値に注意します。今回は原点が節なので \(m=0\) から始まりますが、問題によっては \(m=1\) から始める方が自然な場合もあります。問題文の指示（例: \(m=0, 1, 2, \dots\)）をよく確認します。
• 文字の代入ミス: 問題で与えられた波長が \(L\) なので、公式の \(\lambda\) を \(L\) に正しく置き換えます。記号の混同はケアレスミスの元です。
• 具体的な値での検算: 式を立てた後、\(m=0, 1, 2\) などを代入してみて、物理的な状況と合っているかを確認します。\(m=0 \to x=0\) (固定端)、\(m=1 \to x=L/2\)、\(m=2 \to x=L\) となり、図のイメージと一致することを確かめることで、式の妥当性を確認できます。

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