「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 15】Step1 & 例題

Step1

① 波の基本式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の基本式の適用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、波の性質を表す最も基本的な関係式である \(v=f\lambda\) を正しく使えるかを確認するものです。問題文には「波長 \(\lambda = 0.50\)\(\text{m}\)」と「速さ \(v = 340\)\(\text{m/s}\)」が与えられており、求めたいのは「振動数 \(f\)」です。これら3つの量をつなぐ公式は \(v=f\lambda\) しかありません。この公式を \(f\) について解き、数値を代入するだけで答えを導くことができます。計算の際には、与えられた数値の有効数字が2桁（\(0.50\) と \(340\)）であることから、最終的な答えも有効数字2桁で表現することを忘れないようにしましょう。

この設問における重要なポイント

• 波の基本式: \(v = f\lambda\)
  • \(v\): 波の速さ [\(\text{m/s}\)]。波が1秒間に進む距離。
  • \(f\): 振動数 [\(\text{Hz}\)]。波の源（波源）が1秒間に振動する回数。
  • \(\lambda\): 波長 [\(\text{m}\)]。波一つ分の長さ。
• この式は、「波は1秒間に \(f\) 回振動し、1回の振動で波は \(\lambda\)[\(\text{m}\)] 進む。したがって、波が1秒間に進む距離（速さ \(v\)）は、\(f\) と \(\lambda\) の積で表される」という物理的な意味を持っています。このイメージを理解しておくと、公式を忘れにくくなります。

具体的な解説と立式
問題文から、波長 \(\lambda\) と速さ \(v\) が以下のように与えられています。
$$ \lambda = 0.50 \, \text{m} $$
$$ v = 340 \, \text{m/s} $$
求めたいのは、振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)] です。
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、次の基本式が成り立ちます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ① $$
この式を、求める振動数 \(f\) について解くと、次のようになります。
$$ f = \displaystyle\frac{v}{\lambda} \quad \cdots ② $$
この②式に、与えられた数値を代入することで、振動数 \(f\) を計算できます。

②式に、\(v = 340\)\(\text{m/s}\)、\(\lambda = 0.50\)\(\text{m}\) を代入して \(f\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f &= \displaystyle\frac{340}{0.50} \\[2.0ex]&= 680
\end{aligned}
$$
問題文で与えられている数値「\(0.50\)」と「\(340\)」は、どちらも有効数字が2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で表す必要があります。
$$
\begin{aligned}
f &= 680 \\[2.0ex]&= 6.8 \times 10^2 \, \text{[Hz]}
\end{aligned}
$$
よって、求める振動数は \(6.8 \times 10^2\)\(\text{Hz}\) です。

波の速さ、振動数、波長の関係は、「速さ = 振動数 × 波長」というシンプルな掛け算の式で表せます。これは、例えば「時速 = 1時間に進む歩数 × 1歩の長さ」と考えるのと似ています。
今回は「振動数」を知りたいので、式を割り算の形に変形して「振動数 = 速さ ÷ 波長」とします。
あとは、問題文にある「速さ \(340\)\(\text{m/s}\)」と「波長 \(0.50\)\(\text{m}\)」をこの式にあてはめて、\(340 \div 0.50\) を計算するだけです。
小数で割るのが難しければ、\(0.50\) は分数の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) と同じなので、「\(\displaystyle\frac{1}{2}\) で割る」ことは「\(2\) を掛ける」ことと同じです。つまり、\(340 \times 2 = 680\) と簡単に計算できます。
最後に、問題の数字が「\(0.50\)」のように2桁の細かさで書かれているので、答えも「\(680\)」ではなく「\(6.8 \times 10^2\)」と2桁の形で書くのが物理のルールです。

② 波の基本式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の速さ・波長・周期の関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題では「波長 \(\lambda = 7.0\)\(\text{m}\)」と「周期 \(T = 2.0\)\(\text{s}\)」が与えられており、求めたいのは「速さ \(v\)」です。これらの3つの物理量 \(v\), \(\lambda\), \(T\) を直接結びつける公式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を使うのが最も効率的です。この公式は、「波が1周期（\(T\)秒）の時間で1波長（\(\lambda\)メートル）進む」という波の定義そのものから導かれる、非常に重要な関係式です。計算にあたっては、与えられた数値が \(7.0\)\(\text{m}\) と \(2.0\)\(\text{s}\) で、いずれも有効数字が2桁であるため、最終的な答えも有効数字2桁で表現する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 波の速さ \(v\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\) の関係: \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\)
  • この式は「速さ = 距離 ÷ 時間」という日常的な感覚と一致します。波に特有の「時間」として周期 \(T\)、「距離」として波長 \(\lambda\) を当てはめたものと理解しましょう。
• 振動数 \(f\) と周期 \(T\) の関係: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)
  • 周期 \(T\) は「1回の振動にかかる時間」、振動数 \(f\) は「1秒間に振動する回数」であり、互いに逆数の関係にあります。
• 波の基本式: \(v = f\lambda\)
  • 上記の2つの式を組み合わせると、\(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T} = \lambda \times \displaystyle\frac{1}{T} = \lambda f = f\lambda\) となり、波の基本要素に関するすべての関係式が一つにつながっていることがわかります。

具体的な解説と立式
問題文から、波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) が以下のように与えられています。
$$ \lambda = 7.0 \, \text{m} $$
$$ T = 2.0 \, \text{s} $$
求めたいのは、波の伝わる速さ \(v\) [\(\text{m/s}\)] です。
波は、1周期 \(T\) の時間でちょうど1波長 \(\lambda\) だけ進むという性質があります。
速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」で求められるので、波の速さ \(v\) は次の式で表されます。
$$ v = \displaystyle\frac{\lambda}{T} \quad \cdots ① $$
この①式に、与えられた数値を代入することで、速さ \(v\) を計算できます。

①式に、\(\lambda = 7.0\)\(\text{m}\)、\(T = 2.0\)\(\text{s}\) を代入して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{7.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 3.5
\end{aligned}
$$
与えられた数値の有効数字は2桁なので、計算結果の \(3.5\) はそのまま有効数字2桁の答えとして適切です。
よって、求める速さは \(3.5\)\(\text{m/s}\) です。

「速さ」を求めるには、おなじみの「距離 ÷ 時間」を使います。
波の世界では、これに対応する特別なペアがあります。

• 時間 → 周期 \(T\)（波が1回ブルンと震えるのにかかる時間）
• 距離 → 波長 \(\lambda\)（その1回のブルンで波が進む距離）

問題文には「周期が\(2.0\)\(\text{s}\)」「波長が\(7.0\)\(\text{m}\)」とあるので、これは「波が\(2.0\)秒かけて\(7.0\)\(\text{m}\)進む」ということを意味しています。
したがって、速さは \(7.0 \div 2.0 = 3.5\)\(\text{m/s}\) と、単純な割り算で計算できます。

③ 波の要素

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「y-xグラフとy-tグラフの読み取り」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

図1のグラフについて

思考の道筋とポイント
図1は、縦軸が変位 \(y\)、横軸が位置 \(x\) を表す「y-xグラフ」です。これは、ある瞬間の波の形を写した「スナップ写真」と考えることができます。このグラフからは、波の空間的な情報である「波長」と「振幅」を読み取ることができます。
・波長 \(\lambda\): 波1つ分の長さです。グラフ上で同じ形が繰り返されるまでの横軸の長さに相当します。例えば、「山から隣の山まで」の距離です。
・振幅 \(A\): 媒質の振動の中心から、最も大きく変位した位置までの距離です。グラフの縦軸の最大値（または最小値の絶対値）にあたります。

この設問における重要なポイント

• y-xグラフ: ある時刻 \(t\) における、各位置 \(x\) での媒質の変位 \(y\) を表します。波の「空間的」な広がりを示します。
• 波長 \(\lambda\): グラフ上で同じ位相の点（例: 山と隣の山、谷と隣の谷）の間の距離です。
• 振幅 \(A\): 変位 \(y\) の最大値です。グラフの山の高さ、または谷の深さ（の絶対値）です。

具体的な解説と立式
この問題はグラフの読み取りが中心であり、複雑な立式は不要です。

1. 波長 \(\lambda\) の読み取り:
   図1のグラフを見ると、波は \(x=0\) で変位 \(y=0\) の状態から始まり、山と谷を経て、再び \(x=20\)\(\text{cm}\) で変位 \(y=0\) に戻り、1つのサイクルを終えています。したがって、波長 \(\lambda\) はこの長さになります。
   $$ \lambda = 20 \, \text{cm} $$
   別の見方として、最初の山が \(x=10\)\(\text{cm}\)、次の山が \(x=30\)\(\text{cm}\) にあることから、その差 \(30 – 10 = 20\)\(\text{cm}\) を波長としても読み取れます。
2. 振幅 \(A\) の読み取り:
   グラフの縦軸を見ると、変位 \(y\) の最大値は \(2.0\)\(\text{cm}\) です。これが振幅 \(A\) にあたります。
   $$ A = 2.0 \, \text{cm} $$

この問題には計算過程はありません。グラフからの読み取りが解答プロセスとなります。

• 波長: グラフの1サイクルの長さから \(\lambda = 20\)\(\text{cm}\)。
• 振幅: グラフの変位の最大値から \(A = 2.0\)\(\text{cm}\)。

図1は波の「スナップ写真」だと思ってください。横軸は「場所」を表しています。

• 波長: 波の「1セット分」の長さです。グラフで、波の形がひと回りして元に戻るまでの長さを探します。例えば、\(x=0\) からスタートして、山を越え、谷を越えて、再び真ん中に戻ってくる \(x=20\) までが1セットです。なので、波長は \(20\)\(\text{cm}\) です。「山から次の山まで」の距離を見てもよく、\(x=10\) の山から \(x=30\) の山までなので、\(30-10=20\)\(\text{cm}\) と分かります。
• 振幅: 波の「揺れの大きさ」です。中心線（\(y=0\)）から、一番高い山（または一番深い谷）までの高さのことです。グラフから、山の高さは \(2.0\)\(\text{cm}\) なので、これが振幅です。

図2のグラフについて

思考の道筋とポイント
図2は、縦軸が変位 \(y\)、横軸が時間 \(t\) を表す「y-tグラフ」です。これは、ある一点（特定の場所）にいる媒質が、時間とともにどのように振動するかを記録した「ビデオ」と考えることができます。このグラフからは、波の時間的な情報である「周期」と「振幅」を読み取ることができます。
・周期 \(T\): 媒質が1回振動するのにかかる時間です。グラフ上で同じ形が繰り返されるまでの横軸の長さに相当します。
・振動数 \(f\): 1秒間に媒質が振動する回数です。周期 \(T\) が分かれば、その逆数をとることで \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) として計算できます。

この設問における重要なポイント

• y-tグラフ: ある位置 \(x\) における、媒質の変位 \(y\) の時間変化を表します。波の「時間的」な変化を示します。
• 周期 \(T\): グラフ上で同じ位相の点（例: 山と隣の山）の間の時間間隔です。
• 振動数 \(f\): 周期の逆数であり、\(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) の関係が成り立ちます。単位はヘルツ [\(\text{Hz}\)] です。

具体的な解説と立式

1. 周期 \(T\) の読み取り:
   図2のグラフを見ると、媒質は \(t=0\) で変位 \(y=0\) の状態から振動を始め、山と谷を経て、再び \(t=4.0\)\(\text{s}\) で変位 \(y=0\) に戻り、1回の振動を終えています。したがって、周期 \(T\) はこの時間になります。
   $$ T = 4.0 \, \text{s} $$
2. 振動数 \(f\) の計算:
   周期 \(T\) と振動数 \(f\) には \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) の関係があります。この式に読み取った周期を代入して、振動数を求めます。
   $$ f = \displaystyle\frac{1}{T} \quad \cdots ① $$

まず、グラフから周期を読み取ります。
$$ T = 4.0 \, \text{s} $$
次に、①式にこの値を代入して、振動数 \(f\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \displaystyle\frac{1}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.25 \, \text{[Hz]}
\end{aligned}
$$

図2は、波の上の「ある一点」が上下に揺れる様子を時間で追いかけた記録です。横軸は「時間」を表しています。

• 周期: 1回の上下運動にかかる時間です。グラフで、波の形がひと回りするのにかかる時間を見つけます。\(t=0\) からスタートして、元の位置に戻ってくる \(t=4.0\) までが1セットなので、周期は \(4.0\)\(\text{s}\) です。「山から次の山まで」の時間を見てもよく、\(t=1.0\) の山から \(t=5.0\) の山までなので、\(5.0-1.0=4.0\)\(\text{s}\) と分かります。
• 振動数: 「1秒間に何回揺れるか」ということです。計算では、「\(4.0\)秒で1回」揺れることが分かったので、1秒あたりでは \(1 \div 4.0 = 0.25\) 回揺れることになります。よって、振動数は \(0.25\)\(\text{Hz}\) です。

④ 正弦波の位相

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、正弦波における同位相・逆位相の点の特定です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
「位相」とは、波の上での各点の「振動の状態」を表す量です。具体的には、媒質の「変位（\(y\)座標）」と「振動の向き（速度の向き）」の組み合わせで決まります。この問題では、まず基準となる点Pの振動の状態を正確に把握し、それと各点A〜Fの状態を比較することが核心となります。

• 同位相とは、振動の状態がまったく同じ点のことです。つまり、「変位」と「速度」が両方とも等しい点を探します。波形の上では、1波長 \(\lambda\) だけ離れるごとに同じ状態が繰り返されます。
• 逆位相とは、振動の状態が正反対になる点のことです。つまり、「変位」は符号が逆で、「速度」も向きが逆になる点を探します。波形の上では、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の奇数倍だけ離れた位置に現れます。

速度の向きを判断するには、「もし波が少しだけ進行方向に進んだら、その点は次にどちらに動くか？」を考えるのが最も確実です。

この設問における重要なポイント

• 同位相: 2つの点の変位と速度が常に等しい状態。位相差が \(2n\pi\) (\(n\)は整数) であり、波形上では距離が1波長 \(\lambda\) の整数倍だけ離れている。
• 逆位相: 2つの点の変位は常に符号が逆で、速度も常に逆向きになる状態。位相差が \((2n+1)\pi\) (\(n\)は整数) であり、波形上では距離が半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の奇数倍（\(\displaystyle\frac{1}{2}\lambda, \displaystyle\frac{3}{2}\lambda, \dots\)）だけ離れている。
• 速度の向きの判断方法:
  1. 波の進行方向を仮定する（この問題では\(x\)軸正の向きと仮定）。
  2. 現在の波形を、進行方向に少しだけ平行移動させた「未来の波形」をイメージする。
  3. 注目している点の\(x\)座標で、現在の\(y\)座標と「未来の」\(y\)座標を比較する。
  4. 未来の\(y\)座標が大きければ速度は上向き、小さければ下向きと判断できる。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、グラフから各点の物理的な状態を読み取ります。波は\(x\)軸正の向きに進んでいるものとして考えます。（仮に左向きに進むとしても、各点の相対的な位相関係は変わらないため、結論は同じになります。）

1. 基準点Pの振動状態の分析

• 変位: グラフから、点Pの\(y\)座標は正です。変位は「正」。
• 速度: 波が右に進むと仮定し、波形を少し右にずらした未来の波形を考えます。点Pの\(x\)座標における未来の\(y\)座標は、現在の\(y\)座標よりも小さくなります。したがって、点Pの速度の向きは「下向き」です。
• まとめ: 点Pの状態は「変位：正、速度：下向き」。

2. 各点A〜Fの振動状態の分析
同様に、各点の変位と速度の向きを調べます。

• 点A: 変位：正、速度：下向き
• 点B: 変位：負。未来の波形では\(y\)座標が大きくなる（0に近づく）ため、速度：上向き。
• 点C (谷): 変位：負。未来の波形では\(y\)座標が大きくなるため、速度：上向き。
• 点D: 変位：正、速度：下向き
• 点E (山): 変位：正。未来の波形では\(y\)座標が小さくなるため、速度：下向き。
• 点F: 変位：負。未来の波形では\(y\)座標が大きくなる（0に近づく）ため、速度：上向き。

3. 同位相・逆位相の点の特定

• 同位相の点: 点P「変位：正、速度：下向き」と全く同じ状態の点を探します。
  • 上の分析から、点Aと点Dが候補となります。
  • 同位相の点は1波長 \(\lambda\) の整数倍離れています。グラフの形から、点Pと1波長分離れているのは点Dです。
  • したがって、同位相の点はDです。
• 逆位相の点: 点P「変位：正、速度：下向き」と正反対の状態、つまり「変位：負、速度：上向き」の点を探します。
  • 上の分析から、点Bと点Fがこの条件に一致します。
  • グラフの形からも、点Bは点Pから半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の位置に、点Fは1.5波長 \(\displaystyle\frac{3}{2}\lambda\) の位置にあり、どちらも逆位相の関係です。
  • したがって、逆位相の点はBとFです。

この問題には計算過程はありません。以下の思考プロセスが解答を導きます。

1. 波が右に進むと仮定し、各点の速度の向きを判断する。
   • 点Pの状態: 変位(＋), 速度(↓)
   • 点Aの状態: 変位(＋), 速度(↓)
   • 点Bの状態: 変位(－), 速度(↑)
   • 点Cの状態: 変位(－), 速度(↑)
   • 点Dの状態: 変位(＋), 速度(↓)
   • 点Eの状態: 変位(＋), 速度(↓)
   • 点Fの状態: 変位(－), 速度(↑)
2. 同位相の点を特定する：点Pと同じ「変位(＋), 速度(↓)」の点で、1波長分離れている点を探す。
   • 該当するのは点D。
3. 逆位相の点を特定する：点Pと逆の「変位(－), 速度(↑)」の点を探す。
   • 該当するのは点Bと点F。

波の動きを人の動きに例えてみましょう。

• 同位相を探すのは、「自分と全く同じ動きをしている人」を探すのと同じです。点Pは「プラスの高さの坂を、下向きに滑っている」状態です。グラフの中で同じ状況の人を探すと、点Dが同じようにプラスの高さの坂を下っています。これが同位相です。
• 逆位相を探すのは、「自分と全く反対の動きをしている人」を探すのと同じです。点Pの反対は、「マイナスの高さの谷を、上向きに駆け上がっている」状態です。グラフの中でこの状況の人を探すと、点Bと点Fが谷から上向きに動いています。これが逆位相です。
• 距離で考えても分かります。Pから波1つ分進んだDが同位相。Pから波半分だけ進んだBや、波1.5個分進んだFが逆位相になります。

⑤ 縦波の横波表示

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、縦波の横波表示とその解釈です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
縦波は、媒質が波の進行方向と同じ向きに振動する波です。そのままだと波の形が分かりにくいため、進行方向（\(x\)軸）と垂直な方向（\(y\)軸）に変位の大きさをプロットし直したものが「横波表示」です。
この変換ルールを正確に理解することが第一歩です。ルールは「\(x\)軸正の向きへの変位を\(y\)軸の正の向きに、\(x\)軸負の向きへの変位を\(y\)軸の負の向きに」とります。
このルールに基づいて、まず各媒質が元の位置からどちらにどれだけずれているか（変位）を把握します。
次に、「密」な場所は媒質が左右から集まってくる場所、「疎」な場所は媒質が左右へ去っていく場所であると理解し、変位の様子から密な点を特定します。各点の変位を矢印で描いてみることで、どこが密になるか視覚的に理解できます。

この設問における重要なポイント

• 横波表示のルール:
  • \(y > 0\): 媒質はつり合いの位置から\(x\)軸正の向きに変位している。
  • \(y < 0\): 媒質はつり合いの位置から\(x\)軸負の向きに変位している。
  • \(y = 0\): 媒質はつり合いの位置にあり、変位が0である。
• 密部の見つけ方:
  • ある点を境に、手前（\(x\)が小さい側）の媒質は右（正方向）に変位し、奥（\(x\)が大きい側）の媒質は左（負方向）に変位している場所。
  • 横波表示グラフでは、\(y\)座標が正から負に変わる点（傾きが負で\(x\)軸を横切る点）が密部の中心に対応する。
• 疎部の見つけ方:
  • ある点を境に、手前（\(x\)が小さい側）の媒質は左（負方向）に変位し、奥（\(x\)が大きい側）の媒質は右（正方向）に変位している場所。
  • 横波表示グラフでは、\(y\)座標が負から正に変わる点（傾きが正で\(x\)軸を横切る点）が疎部の中心に対応する。

具体的な解説と立式
この問題は、グラフを解釈して作図と点の特定を行うもので、計算式は用いません。

問1：各点の変位の図示
横波表示のルールに従って、各点の変位を解釈し、\(x\)軸上での実際の位置（●）を求めます。

• 点0 (\(x=0\)): \(y=0\)なので、変位は0。つり合いの位置から動かない。
• 点1 (\(x=1\)): \(y>0\)なので、\(x\)軸正の向き（右向き）に変位する。
• 点2 (\(x=2\)): \(y=0\)なので、変位は0。つり合いの位置から動かない。
• 点3 (\(x=3\)): \(y<0\)なので、\(x\)軸負の向き（左向き）に変位する。
• 点4 (\(x=4\)): \(y=0\)なので、変位は0。つり合いの位置から動かない。
• 点5 (\(x=5\)): \(y>0\)なので、\(x\)軸正の向き（右向き）に変位する。
• 点6 (\(x=6\)): \(y=0\)なので、変位は0。つり合いの位置から動かない。

これらの変位を、各点のつり合いの位置（\(x\)軸上の0〜6）から矢印で示すと、模範解答の図のようになります。

問2：最も密になっている点の特定
媒質の密度の変化は、各点の変位の様子から判断します。

• 点2の周辺: 点2より手前にある点1の媒質は、右に変位します（\(y>0\)）。点2より奥にある点3の媒質は、左に変位します（\(y<0\)）。つまり、点2に向かって両側から媒質が集まってきます。したがって、点2は媒質が最も密になっている点です。
• 点4の周辺: 点4より手前にある点3の媒質は、左に変位します（\(y<0\)）。点4より奥にある点5の媒質は、右に変位します（\(y>0\)）。つまり、点4からは両側へ媒質が離れていきます。したがって、点4は媒質が最も疎になっている点です。
• 点6の周辺: 点6より手前にある点5の媒質は、右に変位します（\(y>0\)）。グラフの周期性から、点6より奥にある媒質は左に変位することがわかります。したがって、点6にも両側から媒質が集まってくるため、密な点となります。

以上より、最も密になっている点は2と6です。

この問題には計算過程はありません。グラフの読み取りと物理的な解釈が解答プロセスとなります。

• 変位の向きの判断
  • 点1, 5: \(y>0 \rightarrow\) 右向きに変位
  • 点3: \(y<0 \rightarrow\) 左向きに変位
  • 点0, 2, 4, 6: \(y=0 \rightarrow\) 変位なし
• 密な点の特定
  • 点2の近傍: 左側の媒質は右へ、右側の媒質は左へ変位する。 \(\rightarrow\) 媒質が集まる \(\rightarrow\) 密
  • 点4の近傍: 左側の媒質は左へ、右側の媒質は右へ変位する。 \(\rightarrow\) 媒質が離れる \(\rightarrow\) 疎
  • 点6の近傍: 左側の媒質は右へ、右側の媒質は左へ変位する。 \(\rightarrow\) 媒質が集まる \(\rightarrow\) 密
• 結論: 最も密な点は2と6。

このグラフは、縦波の「渋滞情報」を分かりやすく見せるためのものです。

• \(y\)軸のプラスは「前に進め」、マイナスは「後ろに下がれ」という指示だと考えましょう。
• 変位の図示: 各点に立っている人が、この指示に従って動いた後の位置を●でプロットします。例えば、点1の人は「前に進め」なので、少し右に動きます。点3の人は「後ろに下がれ」なので、少し左に動きます。点2や点4の人は「動くな」なので、その場にいます。
• 密な点（渋滞点）の探し方: 渋滞はどこで起きるでしょうか？
  • 点2を見てみましょう。点2の前の人（点1あたり）は「前に進め」で点2に近づいてきます。点2の後ろの人（点3あたり）は「後ろに下がれ」で、これも点2に近づいてきます。両側から人が集まってくるので、点2はぎゅうぎゅう詰めの「密」な点になります。
  • 点4を見てみましょう。点4の前の人（点3あたり）は「後ろに下がれ」で点4から離れます。点4の後ろの人（点5あたり）は「前に進め」で、これも点4から離れます。両側で人が去っていくので、点4はガラガラの「疎」な点になります。
  • 同じように考えると、点6も両側から媒質が集まる「密」な点だと分かります。

⑥ 波の重ね合わせ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の重ね合わせの原理」を用いた作図です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

以降の解説では、グラフの横軸を\(x\)軸、縦軸を\(y\)軸とし、方眼1マスを1として座標を読み取ります。

問(1)

思考の道筋とポイント
複数の波が同じ場所を通過するとき、その点の実際の変位は、個々の波が作る変位を単純に足し合わせたものになります。これが「重ね合わせの原理」です。この問題は作図問題なので、闇雲に描くのではなく、\(x\)軸上の区切りの良い点（この場合はグラフの頂点や\(x\)軸との交点）をいくつか選び、それぞれの点で変位の和を正確に計算することが重要です。計算した点をプロットし、最後にそれらを結ぶことで、正確な合成波を描くことができます。

この設問における重要なポイント

• 重ね合わせの原理: 合成波の変位 \(y\) は、各波の変位 \(y_A\), \(y_B\) の和で与えられます。$$ y = y_A + y_B $$
• 変位の符号: グラフの上向き（\(y\)軸正方向）の変位を正、下向き（\(y\)軸負方向）の変位を負として計算します。
• 作図のコツ: 方眼のマス目を利用して、\(x=0, 2, 4, \dots\) といった特徴的な点ごとに変位の和を計算し、点を打っていくと間違いがありません。

具体的な解説と立式
図(1)について、\(x\)軸上の特徴的な点における波Aの変位 \(y_A\) と波Bの変位 \(y_B\) を読み取り、その和 \(y\) を求めます。

• \(x=0\): \(y_A = 0\), \(y_B = 0\)。したがって、合成波の変位は \(y = 0 + 0 = 0\)。
• \(x=2\): \(y_A = +4\), \(y_B = +2\)。したがって、合成波の変位は \(y = 4 + 2 = +6\)。
• \(x=4\): \(y_A = 0\), \(y_B = 0\)。したがって、合成波の変位は \(y = 0 + 0 = 0\)。
• \(x=6\): \(y_A = -4\), \(y_B = -2\)。したがって、合成波の変位は \(y = -4 + (-2) = -6\)。
• \(x=8\): \(y_A = 0\), \(y_B = 0\)。したがって、合成波の変位は \(y = 0 + 0 = 0\)。

これらの点をプロットし、直線で結ぶことで合成波が完成します。

各特徴的な点における合成波の変位を計算します。

• \(x=0\): \(y = y_A + y_B = 0 + 0 = 0\)
• \(x=2\): \(y = y_A + y_B = (+4) + (+2) = +6\)
• \(x=4\): \(y = y_A + y_B = 0 + 0 = 0\)
• \(x=6\): \(y = y_A + y_B = (-4) + (-2) = -6\)
• \(x=8\): \(y = y_A + y_B = 0 + 0 = 0\)

よって、合成波は点 (0, 0), (2, 6), (4, 0), (6, -6), (8, 0) を通る波形となります。

波の合成は、単純な「高さの足し算」です。方眼紙のマス目を使って考えましょう。
例えば \(x=2\) の場所を見てください。

• 波Aは、基準の線から「上に4マス」の高さにあります。(\(+4\))
• 波Bは、基準の線から「上に2マス」の高さにあります。(\(+2\))
• この二つを足し算すると、\(+4 + 2 = +6\) なので、合成した波は「上に6マス」の高さになります。

この作業を \(x=0, 2, 4, 6, 8\) の各点で行い、見つけた点を線で結ぶだけで、合成波が描けます。

問(2)

思考の道筋とポイント
図(2)でも、重ね合わせの原理を適用するという方針は全く同じです。波の形が図(1)と異なりますが、やることは変わりません。各特徴的な点で、波Aと波Bの変位（高さ）をそれぞれ読み取り、足し合わせるだけです。

この設問における重要なポイント

• 重ね合わせの原理: 合成波の変位 \(y\) は、各波の変位 \(y_A\), \(y_B\) の和で与えられます。$$ y = y_A + y_B $$
• 変位の符号: グラフの上向きを正、下向きを負として扱います。
• 作図のコツ: 波形が複雑に見えても、焦らずに \(x\) 座標を一つずつ決めて、その点での変位の和を計算していくことが確実な方法です。

具体的な解説と立式
図(2)について、\(x\)軸上の特徴的な点における波Aの変位 \(y_A\) と波Bの変位 \(y_B\) を読み取り、その和 \(y\) を求めます。

• \(x=0\): \(y_A = 0\), \(y_B = 0\)。したがって、合成波の変位は \(y = 0 + 0 = 0\)。
• \(x=2\): \(y_A = +4\), \(y_B = -2\)。したがって、合成波の変位は \(y = 4 + (-2) = +2\)。
• \(x=4\): \(y_A = 0\), \(y_B = 0\)。したがって、合成波の変位は \(y = 0 + 0 = 0\)。
• \(x=6\): \(y_A = -4\), \(y_B = +2\)。したがって、合成波の変位は \(y = -4 + 2 = -2\)。
• \(x=8\): \(y_A = 0\), \(y_B = 0\)。したがって、合成波の変位は \(y = 0 + 0 = 0\)。

これらの点をプロットし、直線で結ぶことで合成波が完成します。

各特徴的な点における合成波の変位を計算します。

• \(x=0\): \(y = y_A + y_B = 0 + 0 = 0\)
• \(x=2\): \(y = y_A + y_B = (+4) + (-2) = +2\)
• \(x=4\): \(y = y_A + y_B = 0 + 0 = 0\)
• \(x=6\): \(y = y_A + y_B = (-4) + (+2) = -2\)
• \(x=8\): \(y = y_A + y_B = 0 + 0 = 0\)

よって、合成波は点 (0, 0), (2, 2), (4, 0), (6, -2), (8, 0) を通る波形となります。

図(1)と全く同じです。各場所での「高さの足し算」をしましょう。
例えば \(x=6\) の場所を見てください。

• 波Aは、基準の線から「下に4マス」の高さにあります。(\(-4\))
• 波Bは、基準の線から「上に2マス」の高さにあります。(\(+2\))
• この二つを足し算すると、\(-4 + 2 = -2\) なので、合成した波は「下に2マス」の高さになります。

このように、一つ一つの点で足し算を実行し、できた点を結べば、どんな形の波でも合成できます。

⑦ 定在波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定在波（定常波）の成立条件と基本用語」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題文は、定在波（定常波）という現象の定義そのものを説明しています。したがって、定在波に関する基本的な知識を正確に思い出すことができれば、すべての空欄を埋めることができます。
まず、定在波が「逆向きに進む、性質の等しい2つの波」の重ね合わせによって生じることを理解します。次に、定在波の最大の特徴である、全く振動しない「節」と、最も大きく振動する「腹」の存在を思い出します。これらの知識を元に、問題文の流れに沿って各空欄がどの物理現象や用語に対応するかを一つずつ当てはめていきます。

この設問における重要なポイント

• 定在波の成立条件: 振幅、波長（または周期、振動数）が等しい2つの波が、互いに逆向きに同じ速さで進むこと。
• 定在波（定常波）: 波形が進行せず、その場で振動しているように見える波。エネルギーの輸送は伴わない。
• 腹（はら）: 定在波において、最も大きく振動する（振幅が最大の）点。元の波の振幅を \(A\) とすると、腹の振幅は \(2A\) となる。
• 節（ふし）: 定在波において、全く振動しない（振幅が0の）点。常に変位が0のままである。
• 定在波の振幅: 進行波と異なり、定在波の振幅は場所によって異なる。節では0、腹では最大値をとる。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、定在波に関する基本的な用語の定義を理解しているかを問うものです。

• 空欄①, ②: 定在波が生成されるための条件を問われています。2つの波が重なり合ったとき、常に変位が0になる点（節）や、常に大きく振動する点（腹）ができるためには、元になる2つの波の性質が揃っている必要があります。具体的には、波の「振幅」と「波長」が等しいことが条件となります。波の基本式 \(v=f\lambda\) と周期と振動数の関係 \(T=1/f\) を考えると、速さ \(v\) が同じで波長 \(\lambda\) が等しければ、振動数 \(f\) と周期 \(T\) も自動的に等しくなります。したがって、空欄には「振幅」と、「波長」（または周期、振動数）が入ります。順序は問いません。
• 空欄③: 「場所によって決まった一定の ③ で振動する」という記述は、各点の振動の最大変位を指しています。これは物理用語で「振幅」と呼ばれます。進行波ではすべての点の振幅は同じですが、定在波では場所によって振幅が異なるのが大きな特徴です。
• 空欄④: 「見かけ上は進まない波」という表現は、まさに「定在波」（または定常波）の定義そのものです。波形が左右に移動せず、その場で振動しているように見えることからこの名前がついています。
• 空欄⑤: 「最も大きな振幅で振動する点」は、定在波における「腹」の定義です。
• 空欄⑥: 「全く振動しない点」は、定在波における「節」の定義です。

この問題は知識を問うものであり、計算過程はありません。各空欄の解答の根拠は以下の通りです。

• ①, ②: 定在波の成立条件より、「振幅」と「波長」（または周期、振動数）。
• ③: 各点の最大変位を表す用語なので「振幅」。
• ④: 進まない波の名称なので「定在（定常）」。
• ⑤: 振幅が最大の点の名称なので「腹」。
• ⑥: 全く振動しない点の名称なので「節」。

定在波を「二人で回す大縄跳び」に例えてみましょう。

• 定在波ができるまで: 二人が息を合わせて、同じ大きさ（①振幅）、同じ長さ（②波長）の波を縄に送り込むと、縄全体がその場で上下に大きく揺れているように見えます。これが④定在波です。
• 腹と節: このとき、縄の真ん中あたりはものすごく大きく揺れます。この場所が⑤腹です。一方、二人が持っている縄の端はほとんど動きません。もし途中に全く動かない点があれば、そこが⑥節です。
• 場所による振幅の違い: 縄の場所によって、揺れの大きさ（③振幅）が違うことがわかります。腹では最大、節ではゼロになります。

⑧ 反射と位相

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、波の反射における位相の変化（固定端反射と自由端反射）です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、波の反射に関する基本的な知識を問うものです。「固定端反射」と「自由端反射」という2種類の反射現象について、それぞれの特徴を正確に理解しているかがポイントです。

• 固定端反射: ロープの端を壁に固く結びつけた場合をイメージします。波が壁にぶつかると、上下がひっくり返って反射します。
• 自由端反射: ロープの端を、摩擦のないポールに通した軽いリングに結びつけた場合をイメージします。波が端に到達すると、リングは自由に動けるため、波はひっくり返らずにそのままの形で反射します。

これらの物理的なイメージと、「位相」という専門用語を結びつけて考えることが重要です。

この設問における重要なポイント

• 固定端反射:
  • 波形: 上下反転する（山⇔谷）。
  • 位相: \(\pi\) (180°) ずれる。
  • 反射点の状態: 常に変位が0（節になる）。
• 自由端反射:
  • 波形: 上下反転しない（山⇔山、谷⇔谷）。
  • 位相: ずれない（位相差0、同位相）。
  • 反射点の状態: 常に変位が最大（腹になる）。
• 位相と波長の関係: 位相が \(2\pi\) ずれると、波形は1波長 \(\lambda\) 分ずれることに相当します。したがって、位相が \(\pi\) ずれることは、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) 分のずれに相当します。

具体的な解説と立式
この問題は用語の定義を問うものであり、計算式は用いません。

1. 固定端反射について（空欄①, ②, ③）

• 物理的背景: 固定端では、反射点で媒質の変位が常に0でなければなりません。そのためには、入射波と反射波が常に打ち消し合う必要があります。入射波が山（変位が正）で到達した瞬間、反射波は谷（変位が負）でなければならず、その逆も同様です。
• 空欄①, ②: この「上下反転」という性質から、入射波の「山」は反射して「谷」になります（①）。逆に、入射波の「谷」は反射して「山」になります（②）。
• 空欄③: 波形が上下反転することは、位相が \(\pi\) (180°) ずれることを意味します。位相 \(\pi\) のずれは、波長に換算すると「半」波長（\(\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\)）分に相当します（③）。

2. 自由端反射について（空欄④, ⑤, ⑥）

• 物理的背景: 自由端では、媒質は自由に動くことができます。入射波が山で到達すると、媒質は大きく上に持ち上げられ、その動きがそのまま反射波となって返っていきます。
• 空欄④, ⑤: この「上下反転しない」という性質から、入射波の「山」は反射しても「山」のままです（④）。同様に、入射波の「谷」は反射しても「谷」のままです（⑤）。
• 空欄⑥: 波形がそのまま返ってくることは、位相が全くずれない（位相差が0）ことを意味します。したがって、入射波と反射波の位相は「同じ」です（⑥）。

この問題は知識を問うものであり、計算過程はありません。各空欄の解答の根拠は以下の通りです。

• ①: 固定端反射では山は谷になる。
• ②: 固定端反射では谷は山になる。
• ③: 位相が \(\pi\) ずれるので、半波長分ずれる。
• ④: 自由端反射では山は山のまま。
• ⑤: 自由端反射では谷は谷のまま。
• ⑥: 位相がずれないので、同じである。

波の反射を、壁にボールを投げることに例えてみましょう。

• 固定端反射（ひっくり返る反射）: あなたが「上向きスピン」をかけたボールを壁に投げたとします。壁に当たった後、ボールが「下向きスピン」になって跳ね返ってくるのが固定端反射です。「山」が「谷」になるイメージです。
• 自由端反射（そのままの反射）: 今度は、壁がフニャフニャのトランポリンだとします。「上向きスピン」のボールを投げると、トランポリンがその勢いをそのまま受け止めて、ボールは「上向きスピン」のまま跳ね返ってきます。これが自由端反射です。「山」が「山」のまま返ってくるイメージです。
• 位相のずれ: 「ひっくり返る」ことを物理では「位相が\(\pi\)ずれる」とか「半波長ずれる」と言います。「そのまま」のことは「位相が同じ」と言います。

例題

例題45 波の要素の読み取り

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波形グラフの解釈と波の基本要素の計算」です。与えられた波形グラフ（\(y-x\)グラフ）と波の移動情報から、振幅、波長、速さ、周期、振動数といった波の基本的な物理量を求め、それらを用いて未来の波形や特定点の媒質の振動の様子（\(y-t\)グラフ）を考察する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の5つの基本量（振幅、波長、速さ、周期、振動数）を求める問題です。まず、与えられた \(y-x\) グラフから直接読み取れる「振幅」と「波長」を確定させます。次に、問題文の「\(t=4.0 \text{ s}\) に波形は実線から破線の位置に初めて移った」という情報から、波の「速さ」を計算します。最後に、求めた速さと波長を波の基本式 \(v = \lambda/T\) に適用して「周期」を、周期と振動数の関係式 \(f = 1/T\) から「振動数」を計算するという手順で進めます。
この設問における重要なポイント

• 振幅 \(A\): 振動の中心からの最大の変位。
• 波長 \(\lambda\): 1波長分の長さ。グラフの同じ位相の点（例：山と隣の山）の間の距離。
• 速さ \(v\): 波形（位相）が単位時間あたりに進む距離。
• 周期 \(T\): 媒質が1回振動するのにかかる時間。波が1波長進むのにかかる時間でもあります。
• 振動数 \(f\): 媒質が1秒あたりに振動する回数。\(f=1/T\) の関係があります。

具体的な解説と立式
与えられた \(y-x\) グラフと問題文の情報から、各物理量を順に求めていきます。

振幅 \(A\) と 波長 \(\lambda\)
\(t=0\) の波形グラフ（実線）から直接読み取ります。
振幅は振動の最大変位なので、グラフの最大値から \(A = 2.0 \text{ [m]}\) です。
波長は1つの波が繰り返される長さです。グラフより、\(x=0 \text{ m}\) から \(x=12.0 \text{ m}\) でちょうど1波長分となっているため、\(\lambda = 12.0 \text{ [m]}\) です。

速さ \(v\)
時刻 \(t=0 \text{ s}\) の実線の波形が、時刻 \(t=4.0 \text{ s}\) には破線の波形の位置に「初めて」移ったとあります。
グラフで同じ位相の点、例えば実線上の原点 \(x=0\) に注目すると、破線では \(x=3.0 \text{ m}\) の位置に対応しています。
つまり、波は \(\Delta t = 4.0 \text{ s}\) の間に \(\Delta x = 3.0 \text{ m}\) だけx軸正の向きに進んでいます。
したがって、速さ \(v\) は次式で求められます。
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
周期 \(T\)
波の基本式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を \(T\) について解くと、
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$
この式に、求めた \(\lambda\) と \(v\) の値を代入して周期 \(T\) を計算します。

振動数 \(f\)
周期 \(T\) と振動数 \(f\) の間には逆数の関係があります。
$$ f = \frac{1}{T} $$

速さ \(v\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{3.0}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.75 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
周期 \(T\) の計算:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{12.0}{0.75} \\[2.0ex]&= \frac{12.0}{3/4} \\[2.0ex]&= 12.0 \times \frac{4}{3} \\[2.0ex]&= 16 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{16} \\[2.0ex]&= 0.0625 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
問題の解答の有効数字に合わせて \(f \approx 6.3 \times 10^{-2} \text{ [Hz]}\) とします。

「振幅」は波の高さの半分、「波長」は波一つ分の長さなので、グラフからそれぞれ \(2.0 \text{ m}\) と \(12.0 \text{ m}\) と読み取れます。
波の「速さ」は、「進んだ距離 ÷ かかった時間」で求めます。グラフを見ると、波は \(4.0\) 秒で \(3.0 \text{ m}\) 進んでいるので、速さは \(3.0 \div 4.0 = 0.75 \text{ m/s}\) です。
「周期」は、波が1波長（\(12.0 \text{ m}\)）進むのにかかる時間のことです。速さが \(0.75 \text{ m/s}\) なので、時間は「距離 ÷ 速さ」で \(12.0 \div 0.75 = 16\) 秒と計算できます。
「振動数」は、1秒間に何回振動するかを表し、周期の逆数になります。したがって、\(1 \div 16 = 0.0625 \text{ Hz}\) となります。

求めた値は、振幅 \(A=2.0 \text{ m}\)、波長 \(\lambda=12.0 \text{ m}\)、速さ \(v=0.75 \text{ m/s}\)、周期 \(T=16 \text{ s}\)、振動数 \(f \approx 6.3 \times 10^{-2} \text{ Hz}\) です。グラフと問題文から論理的に導出されており、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(t=28 \text{ s}\) という未来の時刻における波形を描く問題です。波は周期的に同じ形を繰り返すという性質を利用します。まず、\(28 \text{ s}\) という時間が、(1)で求めた周期 \(T=16 \text{ s}\) の整数倍とどれだけの余り時間に分解できるかを考えます。\(28 \text{ s} = 1 \times T + 12 \text{ s}\) となるため、波形は \(T\) 秒後には元に戻ることから、実質的に \(12 \text{ s}\) 後の波形を描けばよいことになります。波が \(12 \text{ s}\) で進む距離を計算し、\(t=0\) の波形をその分だけ平行移動させることで解答を得ます。
この設問における重要なポイント

• 波形の周期性: 波は1周期 \(T\) ごとに同じ波形に戻る。
• 波の移動距離: 距離 = 速さ × 時間 (\(\Delta x = v \Delta t\))

具体的な解説と立式
(1)より、この波の周期は \(T=16 \text{ s}\) です。
求めたいのは時刻 \(t=28 \text{ s}\) の波形ですが、この時間は
$$ 28 \text{ s} = 16 \text{ s} + 12 \text{ s} = T + 12 \text{ s} $$
と分解できます。
波は周期 \(T\) ごとに元の波形に戻るため、\(t=28 \text{ s}\) の波形は \(t=12 \text{ s}\) の波形と同じです。
そこで、波が \(t=0\) から \(\Delta t = 12 \text{ s}\) の間に進む距離 \(\Delta x\) を計算します。波の速さは \(v=0.75 \text{ m/s}\) なので、
$$ \Delta x = v \Delta t $$
この \(\Delta x\) の分だけ、\(t=0\) の波形をx軸の正の向きに平行移動させたものが求める波形となります。

波が進む距離 \(\Delta x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 0.75 \times 12 \\[2.0ex]&= \frac{3}{4} \times 12 \\[2.0ex]&= 9.0 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
したがって、\(t=0\) の波形（実線）をx軸の正の向きに \(9.0 \text{ m}\) 平行移動させます。
例えば、\(t=0\) で \(x=3.0 \text{ m}\) にあった山は、\(x=3.0+9.0=12.0 \text{ m}\) の位置に移動します。同様に、\(x=0 \text{ m}\) にあった原点は \(x=9.0 \text{ m}\) に移動します。

波の周期は \(16\) 秒なので、\(16\) 秒経つと波は元の形にそっくり戻ります。今知りたいのは \(28\) 秒後の形ですが、\(28 = 16 + 12\) なので、\(28\) 秒後の形は実質的に \(12\) 秒後の形と同じです。波の速さは \(0.75 \text{ m/s}\) なので、\(12\) 秒間では \(0.75 \times 12 = 9.0 \text{ m}\) 進みます。よって、元のグラフを右（x軸正の向き）に \(9.0 \text{ m}\) ずらしたグラフが答えになります。

\(t=28 \text{ s}\) の波形は、\(t=0\) の波形をx軸正方向に \(9.0 \text{ m}\) 平行移動したものです。この波形は、\(t=0\) で \(x=3.0 \text{ m}\) にあった山が \(x=12.0 \text{ m}\) に移動した波形となり、物理的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
特定の位置（\(x=6.0 \text{ m}\)）の媒質の時間変化（\(y-t\)グラフ）を特定する問題です。\(y-t\)グラフの形を決定づけるのは、(a)初期変位（\(t=0\) での \(y\) の値）、(b)初動の向き（\(t=0\) の直後に \(y\) が増加するか減少するか）、(c)振動の周期、の3つの要素です。
まず、\(t=0\) の \(y-x\) グラフから \(x=6.0 \text{ m}\) の点の初期変位を読み取ります。次に、波の進行方向（x軸正の向き）を手がかりに、その点の媒質の初動の向きを「微小時間後の波形を考える」方法で判断します。最後に、(1)で求めた周期 \(T\) と一致するかを確認し、これらの条件をすべて満たすグラフを選択肢から選びます。
この設問における重要なポイント

• \(y-x\)グラフ（波形）と \(y-t\)グラフ（単振動）の関係を理解すること。
• 媒質の振動方向の判断方法：波の進行方向に波形を少しだけずらして描き、定点のy座標の変化を見る。

具体的な解説と立式
1. 初期変位の確認
\(t=0\) の \(y-x\) グラフ（実線）を見ると、\(x=6.0 \text{ m}\) の点では、変位 \(y=0\) です。

2. 初動の向きの判断
波はx軸の正の向きに進んでいます。この波の微小時間 \(\Delta t\) が経過した後の波形を想像します（元の波形を少しだけ右にずらした波形を考える）。
\(x=6.0 \text{ m}\) の位置に注目すると、ずらした後の波形では変位 \(y\) は正の値になっています。
これは、\(x=6.0 \text{ m}\) の媒質が、\(t=0\) の直後にy軸の正の向きに動き出すことを意味します。

3. 周期の確認
媒質が1回振動する周期は、波の周期 \(T\) と同じです。(1)より \(T=16 \text{ s}\) です。

4. グラフの選択
以上の3つの条件「\(t=0\) で \(y=0\), その直後に \(y\) は増加, 周期は \(16 \text{ s}\)」を満たす \(y-t\) グラフを選択肢から探します。

• (ア): \(t=0\) で \(y=0\)。\(t\) がわずかに増加すると \(y>0\) となり、初動の向きが正しい。グラフの1周期も \(16 \text{ s}\) となっており、全ての条件を満たします。
• (イ): \(t=0\) で \(y=0\) ですが、その後 \(y<0\) となり、初動の向きが逆です。
• (ウ): \(t=0\) で \(y\) が最大値となっており、初期変位が異なります。
• (エ): \(t=0\) で \(y\) が最小値となっており、初期変位が異なります。

したがって、正しいグラフは(ア)です。

この設問はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

\(x=6.0 \text{ m}\) の場所での揺れ方（\(y-t\)グラフ）を選ぶ問題です。
まず、スタート地点（\(t=0\)）を確認します。元の波の形（\(y-x\)グラフ）を見ると、\(x=6.0 \text{ m}\) の場所は高さ \(y=0\) です。
次に、どちらに動き出すかを調べます。波は右に進むので、ほんの少しだけ時間が経った後の波形を想像してみましょう（元の波を少し右にずらす）。すると、\(x=6.0 \text{ m}\) の場所の波は、少し上に上がっていることがわかります。つまり、y軸のプラスの方向に動き始めます。
最後に、揺れの1往復にかかる時間（周期）は(1)で求めた \(16\) 秒です。
「\(t=0\)で\(y=0\)から始まり、上に動き出し、周期が\(16\)秒」という条件に合うグラフは(ア)しかありません。

\(x=6.0 \text{ m}\) の媒質は、\(t=0\) で変位 \(y=0\) の位置からy軸正の向きに単振動を始め、その周期は \(16 \text{ s}\) です。これは、数式で表すと \(y(t) = A \sin(\frac{2\pi}{T}t)\) の形の振動であり、選択肢(ア)のグラフと完全に一致します。判断は正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本要素とその関係性の理解:
  • 核心: この問題は、波を記述するための5つの基本量（振幅\(A\)、波長\(\lambda\)、速さ\(v\)、周期\(T\)、振動数\(f\)）の定義を理解し、それらを相互に結びつける2つの基本公式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) と \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) を使いこなせるかが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 空間的な情報（\(y-x\)グラフ）: 振幅\(A\)と波長\(\lambda\)は、ある瞬間の波の「形」を写し取った\(y-x\)グラフから直接読み取れます。
    • 時間的な情報（問題文）: 速さ\(v\)は、波形がどれだけの時間でどれだけ移動したかという「動き」の情報から \(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) で計算されます。
    • 空間と時間の橋渡し: 周期\(T\)と振動数\(f\)は、空間情報（\(\lambda\)）と時間情報（\(v\)）を \(v = \lambda/T\) の式で結びつけることで初めて導出されます。この関係式が、波の空間的側面と時間的側面をつなぐ架け橋となっています。
• 波の伝播と媒質の振動の関係:
  • 核心: 波が伝わる（エネルギーと位相が伝播する）現象と、各点の媒質がその場で単振動する現象とを明確に区別して理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 波は進むが、媒質は進まない: 波はx軸方向に進みますが、\(x=6.0 \text{ m}\) の媒質自体はy軸方向に上下に振動するだけです。
    • 「微小時間後の波形」による振動方向の判断: 波の進行方向に波形をわずかに平行移動させることで、任意の点の媒質が次にどちらに動くかを視覚的に判断できます。これは、\(y-x\)グラフから\(y-t\)グラフの情報を引き出すための極めて重要なテクニックです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)グラフから波の要素を求める問題: 逆に、ある一点の媒質の振動の様子（\(y-t\)グラフ）が与えられ、そこから周期\(T\)と振幅\(A\)を読み取り、波の速さ\(v\)などの情報と組み合わせて波長\(\lambda\)や波形（\(y-x\)グラフ）を決定する問題。
  • 波の式を扱う問題: \(y(x, t) = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) のような波の式が与えられ、式中の係数と物理量（\(A, T, \lambda\)）を対応させて値を読み取ったり、特定の\(x\)や\(t\)を代入して変位を計算したりする問題。
  • 波の重ね合わせ（干渉・定常波）: 2つの波が同じ領域を伝わるとき、各点の変位がどうなるかを問う問題。本問の知識は、その前提となる1つの波の性質を理解する上で不可欠です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を絶対確認: まず、与えられたグラフが「波形」を表す\(y-x\)グラフなのか、ある点の「振動」を表す\(y-t\)グラフなのかを厳密に区別します。これを間違えると全てが崩壊します。
  2. 与えられた情報を整理: 問題文から「波の進行方向（正or負）」「波の移動距離と時間」「初期時刻（\(t=0\)）の波形」といった情報を漏れなくリストアップします。
  3. 直接読み取れる量から攻める: グラフから直接読み取れる量（\(y-x\)グラフなら\(A, \lambda\)、\(y-t\)グラフなら\(A, T\)）を最初に確定させます。これらが他の量を計算する土台となります。
  4. 媒質の動きを問われたら: (3)のように特定点の媒質の動きを問われたら、即座に「微小時間後の波形」を描くことを連想します。初期変位と初動の向きの2点を押さえれば、選択肢はほぼ絞り込めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長と移動距離の混同:
  • 誤解: (1)で速さを計算する際に、移動距離を波長\(\lambda=12.0 \text{ m}\)と勘違いし、\(v = 12.0 / 4.0 = 3.0 \text{ m/s}\) と計算してしまう。
  • 対策: 問題文を正確に読む。「\(t=4.0 \text{ s}\)に実線から破線に初めて移った」とあるので、移動距離は波の先端（例えば\(x=0\)の点）がどこまで進んだか（\(x=3.0 \text{ m}\)）で判断します。波長はあくまで波の「形」の長さであり、特定の時間で進んだ距離ではありません。
• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの混同:
  • 誤解: (3)で\(x=6.0 \text{ m}\)の媒質の動きを考える際、\(y-x\)グラフの\(x=6.0 \text{ m}\)から右側の形（サインカーブが上がっていく形）を見て、(ア)のグラフを直感的に選んでしまう。
  • 対策: \(y-x\)グラフは「空間」の切り抜き、\(y-t\)グラフは「時間」の記録であることを常に意識する。両者をつなぐには、「波が進む」という物理現象を介した論理的な変換（微小時間後の波形を考えるなど）が必須であると心得る。
• 媒質の振動方向の判断ミス:
  • 誤解: (3)で、波が右に進むから、\(x=6.0 \text{ m}\)の媒質も右に動くと勘違いする。あるいは、山の左側の斜面にある点は必ず上に、右側の斜面にある点は必ず下に動くと機械的に覚えてしまう。
  • 対策: 「波の進行方向に少しずらす」という普遍的な方法を身につける。この方法なら、波が左に進む場合でも、谷の近くの点でも、どんな状況でも確実に対応できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速さの定義式 (\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で速さを求めるために使用。問題文に「時間\(\Delta t = 4.0 \text{ s}\)」と「その間に進んだ距離\(\Delta x = 3.0 \text{ m}\)」という、速さの定義に直結する情報が与えられているため、これが最も直接的な選択肢となります。
  • 適用根拠: 波の速さとは、波の特定の位相（例えば山や谷）が進む速さのことです。問題文の情報は、まさにこの位相の移動を記述しているため、定義式をそのまま適用できます。
• 波の基本式 (\(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\)):
  • 選定理由: (1)で周期\(T\)を求めるために使用。この時点で、速さ\(v\)と波長\(\lambda\)が既に分かっています。未知数が周期\(T\)のみであるため、この式を使えば\(T\)を計算できます。
  • 適用根拠: この式は、「波が1周期\(T\)の時間で1波長\(\lambda\)の距離を進む」という波の根源的な性質を表したものです。したがって、どんな正弦波にも普遍的に適用できます。この式を \(T = \lambda/v\) と変形して使うことで、空間的な量(\(\lambda\))と運動の量(\(v\))から時間的な量(\(T\))を導出するという、物理学の重要な思考プロセスを体現しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 計算の前後で必ず単位を確認する。例えば、周期の単位は[s]、振動数の単位は[Hz]であることを意識するだけで、\(f=1/T\)の関係を間違えにくくなります。
• 分数の計算: (1)の周期の計算で \(12.0 / 0.75\) が出てきます。\(0.75 = 3/4\) のように分数に直すと、\(12.0 \times (4/3) = 16\) と暗算でも確実に行えます。小数計算に固執せず、分数に変換するテクニックは非常に有効です。
• 周期性を利用した時間の簡略化: (2)で\(t=28 \text{ s}\)を扱う際、いきなり \(0.75 \times 28\) を計算するのではなく、まず周期 \(T=16 \text{ s}\) で割って余りを考える（\(28 = 1 \times 16 + 12\)）ことで、計算対象を \(12 \text{ s}\) に減らすことができます。これにより、計算が楽になり、ミスも減ります。
• 作図による検算: (2)で波形を \(9.0 \text{ m}\) 移動させた後、元の波形の山（\(x=3.0 \text{ m}\)）が、移動後の波形の山（\(x=12.0 \text{ m}\)）に正しく移っているかなど、特徴的な点が対応しているかを目で確認することで、移動距離の計算ミスに気づくことができます。

例題46 縦波のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示の解釈と、媒質の運動（疎密・速度）の分析」です。縦波の媒質の変位や疎密といった目に見えにくい現象を、視覚的に分かりやすい横波の形で表現したグラフを正しく読み解く能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
縦波における媒質の「疎密」を、与えられた横波表示グラフから読み取る問題です。横波表示におけるy軸が「x軸方向の変位」を表していることを正しく理解し、媒質が元の位置からどのようにずれているかを考えることで、媒質間の間隔が最も広がっている「疎」な点を見つけ出すことが目標です。鍵となるのは、グラフの「傾き」が疎密に対応するという関係性です。
この設問における重要なポイント

• 横波表示の変位\(y\)は、縦波の進行方向（x軸方向）の変位を表す。
• 横波表示グラフの傾き \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) が、媒質の疎密の度合いに対応する。
• 最も疎な点（疎部） \(\rightarrow\) グラフの傾きが正で最大。
• 最も密な点（密部） \(\rightarrow\) グラフの傾きが負で最小（最も急な下り坂）。

具体的な解説と立式
縦波の横波表示では、y軸の値は媒質のx軸方向の変位を表します。\(y>0\) はx軸正方向への変位、\(y<0\) はx軸負方向への変位を意味します。

ある点\(x\)の媒質は\(y(x)\)だけ変位し、そのすぐ隣の点\(x+\Delta x\)の媒質は\(y(x+\Delta x)\)だけ変位します。これらの媒質間の間隔が、元の間隔\(\Delta x\)からどれだけ変化するかは、変位の差 \(y(x+\Delta x) – y(x)\) によって決まります。この差が大きいほど、媒質の間隔は引き伸ばされて「疎」になります。

微小な区間を考えると、この変位の差はグラフの傾き \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) に比例します。したがって、グラフの傾きが正で最大になる点が、媒質が最も引き伸ばされた「最も疎な点」となります。

与えられたグラフ上の各点について傾きを見ると、

• a点、c点（谷と山）: 傾きは0。
• b点: 傾きは正で最大（最も急な上り坂）。
• d点: 傾きは負で最小（最も急な下り坂）。

以上より、最も疎な点はb点です。

この設問はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

横波表示のグラフでは、「坂道の傾き」が縦波の「混み具合」を表していると考えることができます。「上り坂」の部分は媒質が引き伸ばされてスカスカな状態（疎）、「下り坂」の部分は媒質が圧縮されてギュウギュウな状態（密）に対応します。問題のグラフで、aからdの中で最も急な「上り坂」になっているのはb点です。したがって、b点が最も疎な点となります。

横波表示グラフの傾きが正で最大になる点が、縦波の最も疎な部分に対応するという関係性に基づき、最も疎な点はbであると結論付けました。これは物理的に正しい解釈です。ちなみに、最も密な点は傾きが負で最小となるd点です。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質の速度が「x軸の正の向き」に最大となる点を特定する問題です。媒質の運動は単振動であるため、速度が最大になるのは振動の中心（変位が0）です。この条件からまず候補となる点を絞り込みます。次に、その候補点について、速度の向きを判断します。波の進行方向が分かっているので、「微小時間後の波形」を描くことで、各点の媒質が次にどちらへ動くかを視覚的に判断するのが最も確実な方法です。
この設問における重要なポイント

• 媒質の速度は、変位が0の点（振動の中心）で最大値をとる。
• 速度の向きは、波の進行方向に波形を少しずらして判断する。
• 横波表示におけるy軸の正の向きへの動きが、縦波におけるx軸の正の向きへの動きに対応する。

具体的な解説と立式
媒質の各点は、それぞれのつり合いの位置を中心に単振動をしています。単振動において、物体の速さは振動の中心（変位が0の位置）を通過するときに最大となります。
与えられたグラフで、変位\(y=0\)となっているのはb点とd点です。したがって、このどちらかで速度が最大になります。

次に、これらの点の速度の向きを調べます。問題文より、波はx軸の正の向きに進んでいます。したがって、微小時間後の波形は、現在の波形（実線）を少しだけ右にずらした波形（破線）として描くことができます。

• b点に注目: 微小時間後、bの位置での変位は負の値になります。これは、b点の媒質がy軸の負の向き（すなわち、縦波でいうx軸の負の向き）に動き出すことを意味します。
• d点に注目: 微小時間後、dの位置での変位は正の値になります。これは、d点の媒質がy軸の正の向き（すなわち、縦波でいうx軸の正の向き）に動き出すことを意味します。

問題では「x軸の正の向きの速度が最大」となる点を問われているため、条件を満たすのはd点です。

この設問はグラフの形状から判断するため、計算は不要です。

媒質の速さは、ブランコが一番下の位置を通過するときに最も速くなるのと同じで、振動の真ん中（変位\(y=0\)）で最大になります。グラフを見ると、b点とd点が該当します。
次に、どちらが「x軸の正の向き」に動くかを調べます。このグラフでは、y軸の正の向きの動きが、x軸の正の向きの動きを表します。波全体が少し右にずれたときの様子を想像すると、d点の媒質は上に（y軸の正の向きに）動くことがわかります。一方、b点の媒質は下に動きます。したがって、x軸の正の向きに最大の速度を持つのはd点です。

媒質の速度が最大になる条件（変位0）と、速度の向きを判断する方法（微小時間後の波形）を組み合わせ、d点が答えであると導きました。この論理プロセスは物理的に正しく、確実な方法です。

問(3)

思考の道筋とポイント
b点の媒質の変位と速度の時間変化をグラフにする問題です。このような問題では、まず\(t=0\)における初期状態（初期変位と初動の向き）を正確に把握することが第一歩です。これを元に、周期\(T\)の単振動として変位の\(y-t\)グラフを描きます。次に、描いた\(y-t\)グラフと単振動における変位と速度の関係（位相が\(\pi/2\)ずれることなど）を利用して、速度の\(v-t\)グラフを作成します。
この設問における重要なポイント

• \(y-t\)グラフを描くには、初期変位（\(t=0\)での\(y\)の値）と初動の向き（\(t=0\)直後の\(y\)の変化）を特定することが不可欠。
• 速度\(v\)は変位\(y\)の時間微分であり、\(v-t\)グラフは\(y-t\)グラフの各点での接線の傾きを表す。
• 単振動では、変位が0のとき速さは最大、変位が最大のとき速さは0になる。

具体的な解説と立式
変位のグラフ (\(y-t\)グラフ) の作成
1. 初期変位の確認: \(t=0\)の波形グラフより、b点の変位は \(y=0\) です。
2. 初動の向きの判断: (2)の考察と同様に、波をx軸正の向きに少し進めると、b点の媒質の変位は負になります。したがって、b点の媒質は\(t=0\)の直後にy軸の負の向き（x軸の負の向き）に動き始めます。
3. グラフの形状: 以上の条件「\(t=0\)で\(y=0\)から始まり、負の方向へ向かう」を満たす周期\(T\)のグラフを描きます。これは、-sin型のカーブ（\(y = -A\sin(\omega t)\)の形）になります。

速度のグラフ (\(v-t\)グラフ) の作成
1. 初期速度の確認: \(t=0\)において、b点は振動の中心（\(y=0\)）を負の向きに通過します。したがって、速度は負の向きで最大値をとります。つまり、\(v = -V_{\text{最大}}\) です。
2. 時間変化の考察:

• \(t=0\)で速度は負の最大値。
• 変位が負の最大値になる \(t=T/4\) で、媒質は一瞬静止するため速度は \(v=0\) となります。
• 再び振動中心に戻る \(t=T/2\) で、今度は正の向きに速度が最大となります。

3. グラフの形状: 以上の条件を満たすグラフは、-cos型のカーブ（\(v = -V_{\text{最大}}\cos(\omega t)\)の形）になります。

この設問はグラフの形状を描くものであり、具体的な計算は不要です。

変位のグラフ: まず、b点の動きを追いかけます。スタート（\(t=0\)）のとき、b点は振動の真ん中（\(y=0\)）にいます。波が少し右に進むと、b点は下に動くことがわかっているので、グラフは原点から下向きに始まる波線（-sinカーブ）になります。
速度のグラフ: 動き始めの瞬間（\(t=0\)）、b点は真ん中を通過するので最も速く、下向き（負の向き）に動いているので、速度は「マイナスの最大値」からスタートします。その後、一番下で一瞬止まり（速度0）、今度は上向きに加速していきます。この動きをグラフにすると、一番下の値からスタートする波線（-cosカーブ）になります。

b点の初期条件（初期変位\(y=0\)、初動の向きが負）から、変位の\(y-t\)グラフは-sin型、速度の\(v-t\)グラフは-cos型と決定しました。これは単振動における変位と速度の位相関係（速度が変位より\(\pi/2\)進む）と完全に一致しており、物理的に正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示の二重の意味:
  • 核心: この問題の最大の鍵は、横波表示グラフの「y軸の値」と「グラフの傾き」が、それぞれ縦波の異なる物理量を表していることを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • y軸の値 \(\rightarrow\) 変位: グラフのy座標そのものは、媒質が元の位置からx軸方向にどれだけ「ずれたか」という変位を表します。\(y=0\)が振動の中心、\(y=\pm A\)が振動の端です。
    • グラフの傾き \(\rightarrow\) 疎密: グラフの接線の傾き \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) は、隣り合う媒質との「間隔の変化」を表し、結果として疎密の状態を示します。傾きが正で最大なら最も疎、負で最小なら最も密となります。この2つの意味を混同しないことが、(1)と(2)を正しく解くための絶対条件です。
• 媒質の単振動と速度:
  • 核心: 波の各点の媒質は、その場で単振動を行っているという事実です。したがって、媒質の速度は単振動の速度変化のルールに従います。
  • 理解のポイント:
    • 速度最大 \(\leftrightarrow\) 変位ゼロ: 媒質の速さは、振動の中心（横波表示で\(y=0\)の点）を通過するときに最大になります。
    • 速度ゼロ \(\leftrightarrow\) 変位最大: 媒質の速さは、振動の端（横波表示で\(y=\pm A\)の点、つまり山や谷）で一瞬ゼロになります。
    • 速度の向き: 速度の向きは、波の進行方向から「微小時間後の波形」を描くことで判断します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 縦波の定常波: 縦波が反射して定常波ができる問題。定常波の「腹」は媒質の振動が最も激しい点（速度変化大）、「節」は全く動かない点に対応します。横波表示で考えると、腹は変位が最大になる点、節は変位が常に0の点として扱えます。
  • 音波の問題: 音波は縦波の代表例です。空気の圧力変化と媒質の変位の関係を問う問題では、媒質が最も「密」な点で圧力は最大に、最も「疎」な点で圧力は最小になる、という関係性が重要になります。本問の疎密の考え方が直接応用できます。
  • 波の式からの分析: \(y(x, t) = A\sin(\omega t – kx)\) のような式が与えられ、特定の点\(x\)の速度 \(v = \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t}\) や、疎密に関わる \(\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}\) を計算させる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「縦波」というキーワードを確認: 問題文に「縦波」とあったら、即座に「横波表示」の可能性を疑い、y軸が「変位」を表していることを強く意識します。
  2. 問われている物理量で思考を切り替える:
     • 「疎・密」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「グラフの傾き」モードに切り替える。
     • 「速度・速さ」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「単振動」モードに切り替える。（変位0で速さ最大、変位最大で速さ0）
     • 「変位」を問われたら \(\rightarrow\) 思考を「y軸の値」モードに切り替える。
  3. 媒質の動きを問われたら: 速度の向きや初動を問われたら、条件反射で「微小時間後の波形」を描く。これは横波・縦波問わず普遍的なテクニックです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位と疎密の混同:
  • 誤解: (1)で「最も疎な点」を問われ、グラフの山（変位が正で最大）のc点を選んでしまう。
  • 対策: 「疎」は媒質の間隔が広い状態であり、変位の大きさではない、と明確に区別する。「疎密は傾き」と呪文のように覚えておく。山の頂上（c点）や谷の底（a点）は、傾きが0なので、疎でも密でもなく、密度は元の状態と同じです。
• 速度とグラフの傾きの混同:
  • 誤解: (2)で「速度が最大」の点を探すときに、グラフの傾きが最大であるb点を選んでしまう。
  • 対策: \(y-x\)グラフの傾きは「疎密」であり、「速度」ではないことを徹底する。速度はあくまで媒質の「単振動」の性質から考えます。\(y-t\)グラフであれば傾きは速度を表しますが、\(y-x\)グラフでは違う、という区別が重要です。
• 速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: (3)でb点の初動を考える際、b点が上り坂の途中にあるから、という理由で上向き（正の向き）に動くと勘違いする。
  • 対策: 媒質の動きは、波全体の動きによって決まります。波が右に進むなら、b点の位置には、その少し左にあった谷の部分がやってきます。したがって、b点は下に動きます。「波形が自分を通過していく様子」をイメージするか、機械的に「微小時間後の波形をずらして描く」方法を徹底することが有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 単振動の変位と速度の関係（定性的理解）:
  • 選定理由: (2)と(3)で媒質の速度を考える際に、その背景にある物理法則として使用します。これは公式というより物理モデルの理解です。
  • 適用根拠: 波の媒質の運動は、外力（隣の媒質からの力）が変位に比例する復元力として働くため、単振動となります。したがって、単振動の一般的な性質（中心で速さ最大、端で速さ0）をそのまま適用することができます。
• \(y-t\)グラフと\(v-t\)グラフの関係（\(v = \displaystyle\frac{dy}{dt}\)）:
  • 選定理由: (3)の別解で示されているように、\(y-t\)グラフから\(v-t\)グラフを導出する際の論理的根拠となります。
  • 適用根拠: 速度の定義は、変位の時間変化率（時間微分）です。これをグラフで解釈すると、「\(y-t\)グラフの各点における接線の傾きが、その時刻の速度\(v\)を与える」ということになります。この関係を用いることで、一方のグラフからもう一方のグラフを論理的に描くことができます。例えば、\(y-t\)グラフの山や谷（傾き0）が\(v-t\)グラフのゼロ点に対応し、\(y-t\)グラフの傾きが最も急な点（変曲点）が\(v-t\)グラフの山や谷に対応します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図を丁寧に行う: この問題は計算がほぼなく、作図やグラフの読解が中心です。「微小時間後の波形」を描く際は、元の波形とずらした波形を明確に区別できる色や線種（実線と破線など）で描くことがミスを防ぎます。
• 初期条件のリストアップ: (3)でグラフを描く際は、思考の出発点となる初期条件を書き出す習慣をつける。
  • 「b点について、\(t=0\)で \(y=0\), \(v\)は負で最大」

  このように箇条書きにするだけで、描くべきグラフの形が明確になり、勘違いを防げます。

• 変位と速度のグラフの対応関係チェック: (3)で2つのグラフを描き終えたら、検算として対応関係を確認する。
  • 変位グラフの山・谷（\(y=\pm A\)）の時刻で、速度グラフはちゃんと0になっているか？
  • 変位グラフが0の時刻で、速度グラフはちゃんと最大値または最小値になっているか？
  • 変位グラフが上り坂（傾き正）の区間で、速度グラフはちゃんと正の値になっているか？

  これらのチェックを行うことで、グラフの位相のずれなどのミスを発見できます。

例題47 定在波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「進行波の基本性質と、反射によって生じる定在波の分析」です。前半では与えられた波形グラフと波の移動情報から進行波の基本的な物理量を計算し、後半ではその波が壁で反射して定在波（定常波）をつくる際の性質について考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
進行波の4つの基本量（波長、振幅、速さ、振動数）を求める問題です。まず、与えられた\(y-x\)グラフという「空間的な情報」から波長と振幅を読み取ります。次に、問題文にある「波の山の移動」という「時間変化の情報」から速さを計算します。最後に、これらの物理量を波の基本式 \(v = f\lambda\) に当てはめて、振動数を導出します。
この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda\): 1波長分の長さ。グラフの山と隣の山との距離などから読み取る。
• 振幅 \(A\): 振動の中心からの最大の変位。グラフの山の高さで決まる。
• 速さ \(v\): 波形が単位時間あたりに進む距離。\(v = \displaystyle\frac{\text{移動距離}}{\text{かかった時間}}\) で計算する。
• 振動数 \(f\): 1秒あたりの振動回数。波の基本式 \(v = f\lambda\) から計算する。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda\) と 振幅 \(A\)
与えられた\(y-x\)グラフから直接読み取ります。
グラフの1つの波の繰り返しパターンを見ると、例えば \(x=5 \text{ cm}\) から \(x=25 \text{ cm}\) までが1波長分です。
$$ \lambda = 25 – 5 = 20 \text{ [cm]} $$
振幅は振動の中心（\(y=0\)）からの最大の変位なので、グラフの山の高さから読み取ります。
$$ A = 10 \text{ [cm]} $$

速さ \(v\)
波の山A（\(x=25 \text{ cm}\)）が、\(\Delta t = 0.050 \text{ s}\) 後に山B（\(x=20 \text{ cm}\)）まで進んだとあります。波はx軸の負の向きに進んでおり、その移動距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = 25 – 20 = 5.0 \text{ [cm]} $$
したがって、速さ \(v\) は次式で求められます。
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

振動数 \(f\)
波の基本式 \(v = f\lambda\) を \(f\) について解くと、
$$ f = \frac{v}{\lambda} $$
この式に、求めた \(v\) と \(\lambda\) の値を代入して振動数 \(f\) を計算します。

速さ \(v\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{5.0}{0.050} \\[2.0ex]&= 100 \text{ [cm/s]} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^2 \text{ [cm/s]}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1.0 \times 10^2}{20} \\[2.0ex]&= 5.0 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

「波長」は波一つ分の長さなので、グラフの \(x=5\) から \(x=25\) までで \(20 \text{ cm}\) です。「振幅」は波の揺れの大きさ（高さ）で、グラフから \(10 \text{ cm}\) と読み取れます。
波の「速さ」は、「進んだ距離 ÷ かかった時間」です。山Aから山Bまで \(5.0 \text{ cm}\) を \(0.050\) 秒で進んだので、速さは \(5.0 \div 0.050 = 100 \text{ cm/s}\) です。
「振動数」は、速さを波長で割ることで求められます。\(100 \div 20 = 5.0 \text{ Hz}\) となります。

求めた値は、波長 \(20 \text{ cm}\)、振幅 \(10 \text{ cm}\)、速さ \(1.0 \times 10^2 \text{ cm/s}\)、振動数 \(5.0 \text{ Hz}\) です。グラフと問題文から論理的に導出されており、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
定在波ができたときの「媒質の振動の振幅の最大値」を求める問題です。これは、定在波の「腹」における振幅を問うているのと同じです。定在波は、入射波と反射波という2つの波が重なり合ってできます。腹の位置では、2つの波が常に強め合う（山と山、谷と谷が重なる）ため、振幅は元の進行波の振幅の2倍になります。
この設問における重要なポイント

• 定在波は、逆向きに進む同じ振幅・波長の波の重ね合わせで生じる。
• 腹: 媒質の振動が最大になる点。その振幅は進行波の振幅の2倍 (\(2A\))。
• 節: 媒質が全く振動しない点。その振幅は0。

具体的な解説と立式
定在波は、振幅 \(A\) の入射波と、壁で反射した振幅 \(A\) の反射波が重なり合うことで生じます。
媒質の振動の振幅が最大になる点（腹）では、入射波と反射波が常に同位相で重なり、互いに強め合います。
したがって、腹における振幅 \(A_{\text{腹}}\) は、元の進行波の振幅 \(A\) の2倍になります。
$$ A_{\text{腹}} = A + A = 2A $$
(1)で求めた進行波の振幅 \(A=10 \text{ cm}\) を代入して計算します。

$$
\begin{aligned}
A_{\text{腹}} &= 2 \times 10 \\[2.0ex]&= 20 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$

定在波では、場所によって揺れの大きさが異なります。最も大きく揺れる場所を「腹」と呼びます。腹の揺れの大きさ（振幅）は、元の波の振幅のちょうど2倍になります。元の波の振幅は \(10 \text{ cm}\) だったので、腹の振幅は \(2 \times 10 = 20 \text{ cm}\) となります。

定在波の腹の振幅は進行波の振幅の2倍であるという基本性質から、\(20 \text{ cm}\) という答えを導きました。これは定在波の基本的な性質として正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
定在波の「節と節の間隔」を求める問題です。節とは、媒質が全く振動しない点のことです。この節が、定在波に沿ってどのような間隔で並んでいるかを問われています。定在波の節と節の間隔は、元の進行波の波長のちょうど半分になる、という基本性質を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 節: 媒質が全く振動しない点。入射波と反射波が常に逆位相で打ち消し合う。
• 節と節の間隔は、進行波の波長の半分 (\(\lambda/2\))。
• 腹と腹の間隔も、同じく \(\lambda/2\)。
• 隣り合う節と腹の間隔は、\(\lambda/4\)。

具体的な解説と立式
定在波において、全く振動しない点である節は、等間隔で並んでいます。その間隔は、定在波を作る元の進行波の波長 \(\lambda\) の半分に等しくなります。
$$ (\text{節と節の間隔}) = \frac{\lambda}{2} $$
(1)で求めた波長 \(\lambda = 20 \text{ cm}\) をこの式に代入して計算します。

$$
\begin{aligned}
(\text{節と節の間隔}) &= \frac{20}{2} \\[2.0ex]&= 10 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$

定在波には、全く揺れない「節」という点がいくつも並んでいます。この節から隣の節までの距離は、元の波の波長のちょうど半分になります。元の波の波長は \(20 \text{ cm}\) だったので、節と節の間隔は \(20 \div 2 = 10 \text{ cm}\) となります。

定在波の節の間隔は進行波の波長の半分であるという基本性質から、\(10 \text{ cm}\) という答えを導きました。これは定在波の基本的な性質として正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 進行波の基本パラメータと関係式:
  • 核心: まず、波の運動を記述する基本的な4つの量（波長\(\lambda\)、振幅\(A\)、速さ\(v\)、振動数\(f\)）を定義から正しく理解し、それらを結びつける普遍的な関係式 \(v = f\lambda\) を使いこなすことが全ての土台となります。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\)グラフからは空間的な情報（\(\lambda, A\)）が、波の移動の記述からは時間的な情報（\(v\)）が得られます。
    • \(v = f\lambda\) は、空間と時間を結びつけ、一方から他方を導出するための重要な架け橋です。
• 定在波の基本構造:
  • 核心: 定在波が「逆向きに進む同じ波の重ね合わせ」によって生じるという原理と、その結果として現れる「腹」と「節」の性質を理解していることが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 腹（振動の最大点）: 振幅が元の進行波の2倍 (\(2A\)) になる。これは2つの波が常に強め合う（同位相で重なる）ためです。
    • 節（不動点）: 振幅が常に0になる。これは2つの波が常に打ち消し合う（逆位相で重なる）ためです。
    • 空間的周期性: 節と節（または腹と腹）の間隔は、元の進行波の波長の半分 (\(\lambda/2\)) となります。これは定在波の最も重要な幾何学的特徴です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弦の振動（ギターなど）: 両端が固定された弦の振動は、定在波の典型例です。弦の長さ\(L\)と波長\(\lambda\)の間に \(L = n \cdot \frac{\lambda}{2}\) (nは自然数) という関係が成り立ちます。本問の知識が直接的に応用されます。
  • 気柱の共鳴（笛や管楽器）: 開管や閉管の中の空気の振動も定在波です。開口端が「腹」、閉口端が「節」になるという境界条件を考慮して、管の長さと波長の関係を考えます。
  • 自由端・固定端反射: 問題文では「壁で反射」としか書かれていませんが、反射端が固定端か自由端かによって、反射点に「節」ができるか「腹」ができるかが決まります。この条件から定在波全体の節と腹の位置を特定する問題に応用できます。（固定端反射→節、自由端反射→腹）
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「進行波」か「定在波」かを見極める: 問題が進行波の性質を問うているのか(1)、定在波の性質を問うているのか(2)(3)を明確に区別します。
  2. 定在波の問題だと判断したら:
     • まず、その定在波を作っている「元の進行波」の性質（特に波長\(\lambda\)と振幅\(A\)）を確定させます。定在波の性質は全て元の進行波のパラメータで決まります。
     • 問われているのが「腹」に関すること（振幅の最大値など）か、「節」に関すること（不動点、節の間隔など）かを把握します。
     • 「腹の振幅は\(2A\)」「節の間隔は\(\lambda/2\)」という2大ルールを即座に思い出します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長と節の間隔の混同:
  • 誤解: (3)で節と節の間隔を問われ、波長\(\lambda\)そのものである \(20 \text{ cm}\) と答えてしまう。
  • 対策: 定在波の「見た目の繰り返し単位（ループ1つ分）」の長さが\(\lambda/2\)であることを視覚的に覚えておく。波長\(\lambda\)は、あくまで元の進行波の長さの単位であり、定在波の節の間隔とは異なることを明確に区別する。
• 振幅の定義の混同:
  • 誤解: (2)で「振幅の最大値」を問われ、振幅\(A=10 \text{ cm}\)と答えてしまう。あるいは、腹の振動の最大変位（上端から下端まで）である \(4A = 40 \text{ cm}\) と答えてしまう。
  • 対策: 「振幅」とは常に「振動の中心からの最大変位」を意味することを徹底する。定在波の腹では、媒質は振幅\(2A\)で単振動します。したがって、振動の中心からの最大変位は\(2A\)です。
• 単位の換算ミス:
  • 誤解: 問題全体がcm単位で与えられているのに、途中でmに換算しようとして計算ミスをする、あるいはその逆。
  • 対策: 問題で与えられている単位系（この場合はcm, s）を最後まで一貫して使うのが最も安全です。速さが[cm/s]、波長が[cm]であれば、振動数はそのまま[Hz]で計算できます。無理にSI単位系（m, s）に変換する必要はありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: (1)で振動数\(f\)を求めるために使用。この時点で、速さ\(v\)と波長\(\lambda\)が既知であり、未知数は\(f\)のみです。この3つの基本量を結びつける唯一の公式であるため、これを選択します。
  • 適用根拠: この式は「波が1秒間に\(f\)回振動しながら、1回の振動で\(\lambda\)の距離を進むので、1秒間に進む距離（速さ）は\(v=f\lambda\)となる」という、波の運動の定義そのものを表しています。あらゆる波に適用できる基本中の基本の法則です。
• 定在波の腹の振幅 (\(A_{\text{腹}} = 2A\)) と節の間隔 (\(d = \lambda/2\)):
  • 選定理由: (2)と(3)は、それぞれ定在波の腹の振幅と節の間隔という、定義そのものを問う問題です。したがって、これらの定義式を直接適用します。
  • 適用根拠: これらの公式は、逆向きに進む2つの波 \(y_1 = A\sin(\omega t – kx)\) と \(y_2 = A\sin(\omega t + kx)\) を三角関数の和積公式を用いて合成した結果 \(y = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\sin(\omega t)\) から導かれます。
    • 振幅部分 \(2A\cos(kx)\) が場所\(x\)によって変化し、その最大値が\(2A\)であることが「腹の振幅」の根拠です。
    • 振幅部分が0になる条件 \(\cos(kx)=0\) から節の位置が \(kx = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots\) と決まり、その間隔が\(\lambda/2\)になることが「節の間隔」の根拠です。高校物理では、この導出過程よりも結果を知識として使うことが主となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の意識: (1)の速さの計算で \(5.0/0.050\) は、有効数字2桁÷2桁なので、答えも2桁の \(1.0 \times 10^2\) と表現するのが適切です。計算の最終結果だけでなく、問題文で与えられた数値の有効数字を常に意識する癖をつけましょう。
• 指数の計算: \(100\) を \(1.0 \times 10^2\) のように指数形式で扱うことに慣れておく。特に、より複雑な計算になった場合に、桁数のミスを防ぐのに役立ちます。

• 単純な割り算の確認: (1)の \(100/20\) や (3)の \(20/2\) のような簡単な計算ほど、焦って間違うことがあります。一呼吸おいて、あるいは指差し確認して、ケアレスミスを防ぎましょう。
• 問題文の数値をマークする: 問題文を読む際に、\(0.050\text{s}\) や、図中の \(A(25\text{cm})\), \(B(20\text{cm})\) といった具体的な数値に丸をつけたり下線を引いたりする癖をつけると、計算に必要な値を素早く正確にピックアップでき、読み間違いを防げます。

例題48 波の反射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由端反射と固定端反射の違い」と、それによって生じる「定在波」の性質です。波が性質の異なる媒質の境界でどのように反射し、入射波と反射波がどのように重なり合うかを、作図を通して理解することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 境界が自由端の場合

思考の道筋とポイント
自由端反射のルールを正しく適用して反射波を作図することが第一歩です。自由端反射は物理的に「波の位相が変わらずに跳ね返る」現象であり、作図上は「境界線を対称軸として線対称な波を描く」ことに対応します。作図した反射波と元の入射波を、重ね合わせの原理に従って各点で足し合わせることで、観察される波（合成波）を描きます。最後に、境界点での合成波の振幅がどうなるかに着目し、腹か節かを判断します。
この設問における重要なポイント

• 自由端反射 \(\rightarrow\) 位相変化なし \(\rightarrow\) 作図上は「線対称」。
• 観察される波（合成波）の変位 = 入射波の変位 + 反射波の変位。
• 境界が「腹」になる \(\leftrightarrow\) 境界で入射波と反射波が強め合い、振幅が最大になる。

具体的な解説と立式
1. 反射波の作図
自由端反射では、反射波は入射波を境界線（反射面）で折り返した、線対称な形になります。あたかも境界の向こう側から、入射波と左右対称な波がやってくるように見えます。

2. 観察される波（合成波）の作図
観察される波は、入射波と反射波の重ね合わせによって生じます。ある位置\(x\)における合成波の変位 \(y_{\text{合成}}(x)\) は、同じ位置での入射波の変位 \(y_{\text{入}}(x)\) と反射波の変位 \(y_{\text{反}}(x)\) の和となります。
$$ y_{\text{合成}}(x) = y_{\text{入}}(x) + y_{\text{反}}(x) $$
グラフ上の各点で、入射波のy座標と反射波のy座標を足し合わせることで、合成波の点をプロットし、滑らかに結びます。

3. 境界点の状態判断
境界点では、線対称の性質から、入射波の変位と反射波の変位は常に等しくなります。したがって、境界点での合成波の変位は、入射波の変位の2倍となり、振幅が最大になります。このように、定在波において振幅が最大になる点を「腹」と呼びます。

この設問は作図が中心であり、数値計算は不要です。

「自由端」とは、ロープの端が壁のリングにゆるく繋がれているような、自由に動ける端のことです。波の「山」がこの端に到達すると、媒質をぐいっと持ち上げた後、そのまま「山」の形で跳ね返ります。
反射波の描き方: 壁を鏡だと思って、入射波が鏡に映った形を描きます（線対称）。
観察される波の描き方: 「入射波」と今描いた「反射波」のグラフを足し算します。
境界の判定: 壁の位置では、入射波の変位と反射波の変位が常に同じなので、足し合わせると揺れが最も大きくなります。このような場所を「腹」と呼びます。

自由端反射のルールに従い、反射波と合成波を作図しました。境界では入射波と反射波が強め合い、振幅が最大になるため、境界は定在波の「腹」となります。これは物理的に正しい結論です。

問(2) 境界が固定端の場合

思考の道筋とポイント
固定端反射のルールを適用して反射波を作図します。固定端反射は物理的に「波の位相がπ（180°）反転して跳ね返る」現象で、作図上は「境界点を中心に180°回転させた点対称な波を描く」ことに対応します。その後は(1)と同様に、入射波と反射波を重ね合わせて合成波を描き、境界点での合成波の振幅から腹か節かを判断します。
この設問における重要なポイント

• 固定端反射 \(\rightarrow\) 位相がπ反転 \(\rightarrow\) 作図上は「点対称」。
• 観察される波（合成波）の変位 = 入射波の変位 + 反射波の変位。
• 境界が「節」になる \(\leftrightarrow\) 境界で入射波と反射波が打ち消し合い、振幅が常に0になる。

具体的な解説と立式
1. 反射波の作図
固定端反射では、反射波は入射波を境界点（反射点）を中心に180°回転させた、点対称な形になります。入射波の山は谷に、谷は山になって跳ね返ります。

2. 観察される波（合成波）の作図
(1)と同様に、重ね合わせの原理に従い、入射波と反射波の変位を各点で足し合わせます。
$$ y_{\text{合成}}(x) = y_{\text{入}}(x) + y_{\text{反}}(x) $$

3. 境界点の状態判断
境界点では、点対称の性質から、入射波の変位と反射波の変位は常に符号が逆で大きさが等しくなります。したがって、境界点での合成波の変位は常に0になります。このように、定在波において全く振動しない点を「節」と呼びます。

この設問は作図が中心であり、数値計算は不要です。

「固定端」とは、ロープの端が壁に固く結び付けられているような、動けない端のことです。波の「山」がこの端に到達すると、媒質を持ち上げようとしますが端は動けないため、反動で逆に引き下げる力が働き、「谷」として跳ね返ります。
反射波の描き方: 壁の点を中心にして、入射波をぐるっと180度ひっくり返した形を描きます（点対称）。
観察される波の描き方: 「入射波」と今描いた「反射波」のグラフを足し算します。
境界の判定: 壁の位置では、入射波の変位と反射波の変位が常にプラスマイナス逆なので、足し合わせると常に0になり、全く揺れません。このような場所を「節」と呼びます。

固定端反射のルールに従い、反射波と合成波を作図しました。境界では入射波と反射波が打ち消し合い、振幅が常に0になるため、境界は定在波の「節」となります。これは物理的に正しい結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射の2つのタイプ（自由端・固定端）の物理的意味と作図法:
  • 核心: 波の反射を理解する上で最も重要なのは、「自由端反射」と「固定端反射」という2つの基本的なパターンを明確に区別し、それぞれの物理的な意味（位相の変化）と、それに対応する作図法（対称性）をセットで理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 自由端反射: 境界が自由に動けるため、波は「そのままの形（同位相）」で跳ね返る。作図上は、境界線を対称軸とする線対称（鏡映）で反射波を描く。
    • 固定端反射: 境界が動けないため、波は「上下逆の形（逆位相）」で跳ね返る。作図上は、境界点を中心とする点対称（180°回転）で反射波を描く。

    この「物理現象 \(\leftrightarrow\) 作図法」の対応関係が全てです。

• 波の重ね合わせの原理と定在波の形成:
  • 核心: 実際に観測される波は、入射波と反射波が独立に存在し、その変位が単純に足し合わされたものである、という「重ね合わせの原理」を理解すること。この原理によって、進行しない波「定在波」が生まれます。
  • 理解のポイント:
    • 合成波の作図: グラフ上の各点について、入射波のy座標と反射波のy座標を地道に足し算することで、合成波（観察される波）を描くことができます。
    • 境界点の運命: 重ね合わせの結果、自由端では常に強め合って「腹」に、固定端では常に打ち消し合って「節」になる、という結論が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弦の振動: ギターの弦のように両端が固定されている場合、両端が「固定端」として振る舞い、定在波の「節」となります。
  • 気柱の共鳴: 笛などの管楽器では、閉じている端は「固定端（節）」、開いている端は「自由端（腹）」として扱います。この境界条件によって、どのような波長の音（固有振動）が生じるかが決まります。
  • 光の干渉（薄膜など）: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際にも、位相が変化する（固定端反射に相当）かしない（自由端反射に相当）かが重要になります。屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ向かう際の反射は固定端反射、その逆は自由端反射に対応します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 境界の条件を最優先で確認: 問題文を読み、境界が「自由端」なのか「固定端」なのかを最初に特定します。これが全ての出発点です。
  2. 反射波の作図を正確に行う:
     • 自由端なら「線対称」、固定端なら「点対称」のルールに従い、まず反射波を丁寧に描きます。入射波を境界の向こう側へ延長して描くと、対称な波形を作りやすいです。
  3. 重ね合わせは特徴的な点から: 合成波を描く際は、全ての点を足すのではなく、まず山、谷、変位0の点など、特徴的な点の合成後の位置をプロットし、それらを滑らかに結ぶと効率的です。
  4. 境界点の振る舞いを予測する: 作図する前に、「自由端だから腹になるはず」「固定端だから節になるはず」と結論を予測しておくと、作図ミスに気づきやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 自由端と固定端のルールの混同:
  • 誤解: 自由端なのに点対称で描いてしまう、あるいはその逆。最も基本的なミスです。
  • 対策: 「固定端は動けない→逆向きに力が働く→位相が反転する」という物理的なイメージと、「自由端は自由に動ける→そのまま跳ね返る→位相は同じ」というイメージをしっかり持つ。言葉の響きから「自由＝線対称」「固定＝点対称」と機械的に覚えるのも一つの手です。
• 反射波の進行方向の間違い:
  • 誤解: 反射波を作図する際、入射波と同じ向きに進む波として描いてしまう。
  • 対策: 反射波は必ず入射波と「逆向き」に進むことを常に意識する。作図した反射波に、入射波と逆向きの進行方向を示す矢印を書き込む習慣をつけると良いでしょう。
• 重ね合わせの計算ミス:
  • 誤解: 入射波と反射波の変位を足し合わせる際に、符号を間違えたり、大きさを目分量で誤ったりする。
  • 対策: 特に固定端反射の場合、一方が正の変位、もう一方が負の変位になるので、符号に注意して足し算（実際は引き算）を行う。方眼紙のように目盛りがあれば、正確に値を読み取って計算する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 反射の法則（自由端・固定端）:
  • 選定理由: この問題は、まさにこの法則の理解度を問うています。法則そのものが解法の指針となります。
  • 適用根拠: これらの法則は、波の連続性や運動方程式を境界条件の下で解くことによって数学的に導かれますが、高校物理では物理現象の観察結果に基づく経験則として学びます。「境界で媒質がどう動けるか」という物理的な制約が、反射波の位相（形）を決定するという因果関係を理解することが重要です。
• 波の重ね合わせの原理:
  • 選定理由: 「観察される波」は、複数の波（ここでは入射波と反射波）が共存した結果どう見えるか、という問いなので、重ね合わせの原理を適用するのが唯一の方法です。
  • 適用根拠: この原理は、波を記述する波動方程式が線形（波の変位に対して1次の項しかない）であることに由来します。これにより、複数の解（個々の波）を足し合わせたものもまた解になる、という性質が保証されます。高校物理では、波は互いに影響を与えずにすり抜け、変位だけが足し算される、という直感的なモデルとして理解します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図の正確性: この問題は計算がない分、作図の正確さが全てです。
  • 補助線の活用: 入射波を境界の向こう側に破線で延長して描く。自由端反射なら、それをそのまま実線で折り返す。固定端反射なら、延長した破線を上下反転させてから実線で折り返す。このように段階的に作図するとミスが減ります。
  • 定規やコンパスの利用: フリーハンドで描くと歪みやすいので、定規などを使って特徴的な点の位置を正確に移すと、より正しい作図ができます。
• 合成波のプロット: 合成波を描く際は、x軸上のいくつかの点（特に山、谷、ゼロクロス点）を選び、それぞれの点で \(y_{\text{入}}\) と \(y_{\text{反}}\) の値を読み取り、和を計算してプロットする。点をいくつか打ってから滑らかに結ぶことで、正確な合成波形が得られます。
• 結論の再確認: 作図後、境界点が本当に「腹（振幅最大）」や「節（振幅ゼロ）」になっているかを必ず目で見て確認する。もしそうなっていなければ、作図の過程（対称性の適用や重ね合わせ）でミスがあった証拠です。

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