「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅰ 章 6】発展例題～発展問題172

発展例題

発展例題12 ばねと力学的エネルギー保存の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直ばね振り子における力学的エネルギー保存」です。重力と弾性力の両方が関わる状況でのエネルギーのやり取りを正確に追跡することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が手を離れてから最下点に達するまでの運動を考えます。この間、物体に働く力は保存力である重力と弾性力のみです。したがって、系全体の力学的エネルギーは保存されます。はじめの状態（手を離した瞬間）と、最下点に達した状態とで、力学的エネルギーが等しいという式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギーの内訳は、(1)重力による位置エネルギー、(2)弾性力による位置エネルギー、(3)運動エネルギーの3つ。
• エネルギーの基準点を明確にする。ここでは、はじめの物体の位置（ばねが自然長）を重力による位置エネルギーの基準（高さ\(0\)）とし、このときのばねの長さを弾性力による位置エネルギーの基準（自然長、伸び\(0\)）とする。
• はじめの状態: 速さ \(v=0\)。
• 最下点: 速さ \(v=0\)。

具体的な解説と立式
はじめの物体の位置を基準点とします。

• 重力による位置エネルギーの基準: はじめの高さ
• 弾性力による位置エネルギーの基準: ばねの自然長

はじめの状態（図(b)）と最下点（図(c)）での力学的エネルギーをそれぞれ考えます。

• はじめの力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
  • 物体は基準の高さにあるので、重力による位置エネルギーは \(U_g = 0\)。
  • ばねは自然長なので、弾性力による位置エネルギーは \(U_s = 0\)。
  • 物体は静かに放されるので、運動エネルギーは \(K = 0\)。
  • よって、\(E_{\text{初}} = 0 + 0 + 0 = 0\)。
• 最下点での力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • 物体は基準から \(x_0\) だけ下がっているので、重力による位置エネルギーは \(U_g = -mgx_0\)。
  • ばねは \(x_0\) だけ縮んでいるので、弾性力による位置エネルギーは \(U_s = \frac{1}{2}kx_0^2\)。
  • 最下点では一瞬静止するので、運動エネルギーは \(K = 0\)。
  • よって、\(E_{\text{後}} = -mgx_0 + \frac{1}{2}kx_0^2 + 0\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ 0 = -mgx_0 + \frac{1}{2}kx_0^2 $$

上記で立てた式を \(x_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}kx_0^2 – mgx_0 &= 0 \\[2.0ex] \left(\frac{1}{2}kx_0 – mg\right)x_0 &= 0
\end{aligned}
$$
この方程式の解は、
$$ x_0 = 0 \quad \text{または} \quad \frac{1}{2}kx_0 – mg = 0 $$
したがって、
$$ x_0 = 0, \quad \frac{2mg}{k} $$
\(x_0=0\) は、物体がまだ動き出していない、はじめの位置を表します。求めるのは振動の最下点なので、\(x_0 > 0\) です。
よって、求める距離は \(x_0 = \displaystyle\frac{2mg}{k}\) となります。

物体が一番下まで落ちる間に、失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が、すべてばねを縮めるための「ばねのエネルギー（弾性エネルギー）」に変わった、と考えます。はじめの位置と一番下の位置では、どちらも速さがゼロなので、運動エネルギーは考えなくてOKです。「失った高さのエネルギー = 得たばねのエネルギー」というエネルギーの収支計算をすることで、どれだけ縮んだかを計算できます。

最下点までの距離は \(x_0 = \displaystyle\frac{2mg}{k}\) と求まりました。
この値は、力のつりあいの位置（\(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\)）のちょうど2倍の距離になっています。これは、物体が自然長の位置から運動を始め、つりあいの位置を振動の中心として単振動することを示唆しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体の速さが最大になる点を考えます。力学的エネルギーが保存される系では、運動エネルギーが最大になるとき、位置エネルギー（重力と弾性力の合計）が最小になります。
(1)と同様に、はじめの状態と、距離 \(x\) だけ下がって速さが \(v\) になった状態とで力学的エネルギー保存則を立てます。そして、運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) が最大となる \(x\) の条件を求めます。
この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーが最大 ⇔ 速さが最大。
• 力学的エネルギー \(E = K + U_g + U_s\) は一定。
• \(K\) が最大になるのは、ポテンシャルエネルギーの和 \(U = U_g + U_s\) が最小になるとき。

具体的な解説と立式
はじめの状態（図(b)）と、はじめの高さから距離 \(x\) だけ下がり、速さが \(v\) となった任意の状態との間で、力学的エネルギー保存則を立てます。基準点は(1)と同じです。

• はじめの力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\): \(E_{\text{初}} = 0\)
• 距離 \(x\) 下がった点の力学的エネルギー \(E(x)\):
  • 重力による位置エネルギー: \(U_g = -mgx\)
  • 弾性力による位置エネルギー: \(U_s = \frac{1}{2}kx^2\)
  • 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
  • よって、\(E(x) = -mgx + \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2\)

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E(x)\) より、
$$ 0 = -mgx + \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 $$
この式を運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) について整理します。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = mgx – \frac{1}{2}kx^2 $$
速さ \(v\) が最大になるのは、右辺の \(x\) の2次関数が最大値をとるときです。

右辺を \(f(x) = mgx – \frac{1}{2}kx^2\) とおき、この関数の最大値を求めます。
2次関数を平方完成します。
$$
\begin{aligned}
f(x) &= -\frac{1}{2}k \left( x^2 – \frac{2mg}{k}x \right) \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}k \left\{ \left( x – \frac{mg}{k} \right)^2 – \left( \frac{mg}{k} \right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}k \left( x – \frac{mg}{k} \right)^2 + \frac{1}{2}k \frac{m^2g^2}{k^2} \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}k \left( x – \frac{mg}{k} \right)^2 + \frac{m^2g^2}{2k}
\end{aligned}
$$
この式から、\(f(x)\) は \(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\) のときに最大値をとることがわかります。
したがって、物体の速さが最大になるのは、はじめの高さから \(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\) だけ下がったところです。

物体が落ちていくとき、はじめは重力がばねの力より大きいので、物体はどんどん加速します。しかし、落ちるにつれてばねが縮み、ばねが押し返す力（弾性力）が強くなっていきます。やがて、下向きの重力と、上向きのばねの力がちょうど釣り合う点に達します。この「力のつりあい点」が、一番スピードが乗っている場所です。この点を過ぎると、今度はばねの力の方が重力より強くなるので、物体はブレーキがかかり始め、減速していきます。

速さが最大になる位置は \(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\) と求まりました。
この位置は、物体に働く重力 \(mg\) と弾性力 \(kx\) がつりあう位置（\(mg=kx\)）です。加速度が \(0\) になる点であり、物理的に速さが最大になる点として妥当です。また、(1)で求めた最下点 \(x_0 = \displaystyle\frac{2mg}{k}\) のちょうど半分の位置であり、振動の中心に対応しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則の適用
  • 核心: この問題の根幹は、重力と弾性力という2種類の保存力が同時に働く系において、「力学的エネルギーの総和が一定に保たれる」という法則を正しく適用できるかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの構成要素を特定する: 力学的エネルギーが「運動エネルギー \(K\)」「重力による位置エネルギー \(U_g\)」「弾性力による位置エネルギー \(U_s\)」の3つの和であることを理解し、それぞれの式を正しく立てることが出発点です。
    • 基準点を明確にする: \(U_g\) と \(U_s\) は基準の取り方によって値が変わります。計算を始める前に、「どこを重力位置エネルギーの高さ\(0\)とするか」「どこをばねの自然長（伸び縮み\(0\)）とするか」を自分で明確に設定することが不可欠です。一度決めた基準は、一連の計算の最後まで変えてはいけません。
    • 2つの状態を比較する: エネルギー保存則は、運動の「前」と「後」など、2つの異なる時点の状態を等号で結ぶことで力を発揮します。問題文から、比較すべき2つの状態（例：手を離した瞬間と最下点）を的確に選び出すことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面上のばね振り子: 物体が斜面に置かれ、ばねが斜面に沿って取り付けられている問題。この場合、重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解して考えます。力学的エネルギーを考える際は、高さの変化を斜面に沿った距離から計算する必要があります（\(h = L\sin\theta\)）。
  • 振り子の運動: 糸で吊るされたおもりの運動。これは、張力が常に運動方向と垂直で仕事をしないため、力学的エネルギーが保存される典型例です。弾性エネルギーの代わりに、糸の長さという束縛条件の下で重力位置エネルギーと運動エネルギーの変換を考えます。
  • 衝突と力学的エネルギー: 物体がばねに衝突する問題など。衝突直前と、ばねが最も縮んだ瞬間とで力学的エネルギー保存則を立てることが多いです。ただし、物体同士が衝突して一体となるような「非弾性衝突」では、衝突の前後で力学的エネルギーは保存されないため注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 働く力をすべてリストアップする: まず、物体にどのような力が働いているか（重力、弾性力、張力、摩擦力など）を考えます。
  2. 非保存力の有無を確認する: リストアップした力の中に、摩擦力や空気抵抗、あるいは人が加える力など、「非保存力」が含まれているかを確認します。
  3. エネルギー保存則が使える区間を見極める:
     • 非保存力が仕事をしない（または働かない）区間では、力学的エネルギー保存則が使えます。
     • 非保存力が仕事をする区間では、「（後の力学的エネルギー）-（前の力学的エネルギー）=（非保存力がした仕事）」という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式を使う必要があります。
  4. 単振動の可能性を疑う: ばねや振り子のように、物体が特定の点の周りを行ったり来たりする運動の場合、「これは単振動ではないか？」と疑ってみるのが有効な着眼点です。もし単振動であれば、力のつりあいの位置が振動の中心になることや、周期の公式など、単振動特有の性質を利用して問題を解くことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 弾性エネルギーの式を間違える:
  • 誤解: ばねの伸びや縮みが \(x\) のときの弾性エネルギーを \(kx\) や \(kx^2\) と間違えてしまう。
  • 対策: 弾性エネルギーの公式は \(\frac{1}{2}kx^2\) であることを正確に覚えましょう。\(kx\) は弾性力の大きさです。グラフ（F-x図）を考えたとき、弾性エネルギーは力と変位のグラフが作る三角形の面積に相当することをイメージすると、\(\frac{1}{2}\) がつく理由を忘れにくくなります。
• 重力位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 基準点より下にある物体の位置エネルギーを、正の値で計算してしまう。
  • 対策: 最初に設定した基準点（高さ\(0\)）を常に意識しましょう。基準点より \(h\) だけ高い場所の位置エネルギーは \(+mgh\)、基準点より \(h\) だけ低い場所の位置エネルギーは \(-mgh\) です。図に基準線を引いておくと、符号ミスを防ぎやすくなります。
• 速さが最大になる点を最下点だと勘違いする:
  • 誤解: 物体が一番下まで落ちたときが、一番速いと考えてしまう。
  • 対策: 速さが最大になるのは「加速度が \(0\) になる点」、すなわち「働く力の合力が \(0\) になる点（力のつりあい点）」です。鉛直ばね振り子の場合、最下点では上向きの弾性力が重力より大きくなっているため、上向きの加速度が生じており、すでに減速が始まっています。加速と減速の境目である「力のつりあい点」が速度のピークであると理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「最下点までの距離」です。この運動では、重力と弾性力という保存力しか仕事をしていないため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。この法則を使えば、運動の途中経過（時間や加速度）を一切考えることなく、始点と終点の2つの状態を結びつけて距離を直接計算できるため、最も効率的です。
  • 適用根拠: 始点（\(x=0\)）と終点（最下点 \(x=x_0\)）では、どちらも速さが \(0\) であるという明確な条件があります。これにより、力学的エネルギーの式から運動エネルギーの項が消え、位置エネルギー（重力と弾性力）だけの関係式となり、計算が非常にシンプルになります。
• (2)での公式選択（力学的エネルギー保存則と2次関数の最大値）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さが最大になる位置」です。まず、任意の点 \(x\) での速さ \(v\) を知るために、(1)と同様に力学的エネルギー保存則を適用します。これにより、速さ \(v\)（あるいは運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\)）を位置 \(x\) の関数として表すことができます。
  • 適用根拠: 速さが最大になるということは、運動エネルギーが最大になるということです。エネルギー保存則から導かれた \(\frac{1}{2}mv^2 = mgx – \frac{1}{2}kx^2\) という関係式において、左辺が最大になる条件は、右辺の \(x\) の2次関数が最大値をとる条件と同じです。したがって、数学的な手法（平方完成）を用いて最大値を求めるのが論理的な流れとなります。
• 別解でのアプローチ選択（単振動モデル）:
  • 選定理由: この運動が「復元力」（つりあいの位置からの変位に比例する力）による単振動であることを見抜けば、単振動の一般的な性質を利用できます。特に「速さが最大になるのは振動の中心」「振動の中心は力のつりあい点」という性質は、エネルギー計算よりも物理的に直観的で、計算も簡単です。
  • 適用根拠: 物体に働く合力 \(F\) を計算すると、つりあいの位置からの変位を \(x’\) として \(F = -kx’\) と表せます。この形は単振動の条件そのものです。この物理的な事実が、単振動モデルを適用する根拠となります。このアプローチは、エネルギー保存則とは全く異なる視点から同じ結論に至ることを示しており、物理理解を深める上で非常に有益です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • 最初から数値を代入せず、\(m, g, k, x_0\) などの文字を使って式を立て、整理しましょう。(1)の \((\frac{1}{2}kx_0 – mg)x_0 = 0\) のように、因数分解などの代数的な処理がしやすくなり、計算ミスが減ります。また、答えの \(x_0 = \frac{2mg}{k}\) が物理的に妥当な次元（単位）を持っているかの確認も容易になります。
• 平方完成は丁寧に行う:
  • (2)の計算で出てくる平方完成は、符号ミスが起こりやすいポイントです。\(f(x) = mgx – \frac{1}{2}kx^2\) のように、まずは \(x^2\) の係数（\(-\frac{1}{2}k\)）で全体をくくり出すところから、一段階ずつ丁寧に変形する癖をつけましょう。
• 物理的な意味を考えながら検算する:
  • (1)で求めた最下点 \(x_0 = \frac{2mg}{k}\) と、(2)で求めた速さ最大の位置 \(x = \frac{mg}{k}\) の関係を見てみましょう。最下点が速さ最大位置のちょうど2倍になっています。これは、物体が \(x=0\)（上端）から \(x=\frac{mg}{k}\)（中心）まで運動し、さらに同じ距離だけ進んで \(x=\frac{2mg}{k}\)（下端）に達するという、単振動の対称性を表しており、計算結果が自己矛盾していないことを示しています。
• 単位の確認:
  • 例えば、\(x = \frac{mg}{k}\) の単位を確認してみます。\(mg\) の単位は力の単位 \(\text{N}\)（ニュートン）、ばね定数 \(k\) の単位は \(\text{N/m}\) です。したがって、\(\frac{[\text{N}]}{[\text{N/m}]} = [\text{m}]\) となり、確かに距離の単位になっています。このような簡単な単位チェックで、式の形の間違いに気づくことがあります。

発展例題13 摩擦のある斜面上の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦のある斜面における、非保存力が仕事をする場合のエネルギーと運動の解析」です。動摩擦力が仕事をするため力学的エネルギーが保存されず、「力学的エネルギーの変化量 = 非保存力がした仕事」という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式を使いこなすことが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が斜面を上る運動では、非保存力である動摩擦力が仕事をします。そのため、力学的エネルギーは保存されません。このような場合は、「（後の力学的エネルギー）-（前の力学的エネルギー）=（動摩擦力がした仕事）」という関係式を立てて解きます。
この設問における重要なポイント

• 動摩擦力は常に運動の向きと逆向きに働くため、その仕事は負の値になる。
• エネルギー計算のために、基準点を明確に設定する（ここでは斜面下端を高さの基準とする）。
• 最高点に達した瞬間、物体の速さは \(0\) になる。

具体的な解説と立式
まず、物体に働く力を考え、動摩擦力の大きさを求めます。

• 斜面に垂直な方向の力のつりあいより、垂直抗力 \(N\) は重力の垂直成分とつりあいます。
  $$ N = mg\cos\theta $$
• したがって、動摩擦力 \(F’\) の大きさは、
  $$ F’ = \mu’N $$
  $$ F’ = \mu’mg\cos\theta $$

次に、エネルギーと仕事の関係を考えます。斜面下端を重力による位置エネルギーの基準（高さ\(0\)）とします。

• 始点（下端）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
  • 位置エネルギーは \(0\)。運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv_0^2\)。
    $$ E_{\text{初}} = \frac{1}{2}mv_0^2 $$
• 終点（最高点）の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • 最高点の高さは \(h = l\sin\theta\)。速さは \(0\)。
    $$ E_{\text{後}} = mgh $$
    $$ E_{\text{後}} = mgl\sin\theta $$
• 動摩擦力がした仕事 \(W\):
  • 動摩擦力 \(F’\) は運動の向きと逆向きに働くので、仕事は負になります。
    $$ W = -F’ \times (\text{距離}) $$
    $$ W = -(\mu’mg\cos\theta) \cdot l $$

エネルギーと仕事の関係式 \(E_{\text{後}} – E_{\text{初}} = W\) より、
$$ (mgl\sin\theta) – \left(\frac{1}{2}mv_0^2\right) = -\mu’mgl\cos\theta $$

上記で立てた式を \(l\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgl\sin\theta – \frac{1}{2}mv_0^2 &= -\mu’mgl\cos\theta \\[2.0ex] mgl\sin\theta + \mu’mgl\cos\theta &= \frac{1}{2}mv_0^2
\end{aligned}
$$
左辺を \(mgl\) でくくり、
$$ mgl(\sin\theta + \mu’\cos\theta) = \frac{1}{2}mv_0^2 $$
両辺から \(m\) を消去し、\(l\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
gl(\sin\theta + \mu’\cos\theta) &= \frac{1}{2}v_0^2 \\[2.0ex] l &= \frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)}
\end{aligned}
$$

物体が最初に持っていた運動エネルギー（スピードのエネルギー）は、坂を上るにつれて2つのものに姿を変えていきます。一つは「高さのエネルギー（位置エネルギー）」、もう一つは摩擦によって失われる「熱エネルギー」です。最初に持っていたエネルギーが、この2つのエネルギーに完全に使い果たされたとき、物体はストップします。このエネルギーの収支を計算することで、止まるまでに進んだ距離を求めることができます。

移動した距離は \(l = \displaystyle\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)}\) と求まりました。
もし摩擦がなければ（\(\mu’=0\)）、\(l = \displaystyle\frac{v_0^2}{2g\sin\theta}\) となります。これは、力学的エネルギー保存則（\(\frac{1}{2}mv_0^2 = mgl\sin\theta\)）から導かれる結果と一致しており、妥当な式であることがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体が最高点から下端まですべりおりる運動を考えます。この問題は、模範解答のように「往復」で考える方法と、「下りだけ」で考える方法があります。ここでは模範解答に沿って、往復の運動全体でエネルギーと仕事の関係を考えます。始点は「下端を上り始めるとき」、終点は「下端にすべりおりてきたとき」です。
この設問における重要なポイント

• 始点と終点はどちらも斜面下端なので、重力による位置エネルギーは変化しない。
• 動摩擦力は上りのときも下りのときも運動と逆向きに働き、常に負の仕事をする。
• 往復で動摩擦力がする仕事の総量は、片道の仕事の2倍になる。

具体的な解説と立式
斜面下端を位置エネルギーの基準とします。

• 始点（下端、上り始め）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
  $$ E_{\text{初}} = \frac{1}{2}mv_0^2 $$
• 終点（下端、下り終わり）の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  $$ E_{\text{後}} = \frac{1}{2}mv^2 $$
• 往復で動摩擦力がした仕事 \(W_{\text{往復}}\):
  • 上りの仕事は(1)で求めた通り \(W_{\text{上り}} = -\mu’mgl\cos\theta\)。
  • 下りのときも、同じ大きさの動摩擦力が同じ距離 \(l\) だけ働くので、仕事は \(W_{\text{下り}} = -\mu’mgl\cos\theta\)。
  • したがって、往復での仕事の合計は、
    $$ W_{\text{往復}} = W_{\text{上り}} + W_{\text{下り}} $$
    $$ W_{\text{往復}} = -2\mu’mgl\cos\theta $$

エネルギーと仕事の関係式 \(E_{\text{後}} – E_{\text{初}} = W_{\text{往復}}\) より、
$$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -2\mu’mgl\cos\theta $$

上記で立てた式に、(1)で求めた \(l = \displaystyle\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)}\) を代入します。
$$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -2\mu’mg\cos\theta \cdot \frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)} $$
両辺を \(\frac{1}{2}m\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
v^2 – v_0^2 &= -2\mu’g\cos\theta \cdot \frac{v_0^2}{g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)} \\[2.0ex] v^2 &= v_0^2 – \frac{2\mu’g\cos\theta \cdot v_0^2}{g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)} \\[2.0ex] v^2 &= v_0^2 \left( 1 – \frac{2\mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta} \right) \\[2.0ex] v^2 &= v_0^2 \left( \frac{\sin\theta + \mu’\cos\theta – 2\mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta} \right) \\[2.0ex] v^2 &= v_0^2 \left( \frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta} \right)
\end{aligned}
$$
したがって、速さ \(v\) は、
$$ v = \sqrt{\frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}} v_0 $$

最初に持っていた運動エネルギー \(E_{\text{初}}\) は、坂を上って下りてくる間に、摩擦によって熱エネルギーとして一部が失われます。その失われた分だけ、戻ってきたときの運動エネルギー \(E_{\text{後}}\) は小さくなります。つまり、「戻ってきたときのエネルギー = 最初のエネルギー – 往復で摩擦に奪われたエネルギー」という計算をしています。

下端に達したときの速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}} v_0\) と求まりました。
摩擦があるので、戻ってきたときの速さ \(v\) は、行き（\(v_0\)）よりも小さくなるはずです。式の根号の中は、分子が \(\sin\theta – \mu’\cos\theta\)、分母が \(\sin\theta + \mu’\cos\theta\) なので、必ず1より小さくなります。したがって、\(v < v_0\) となり、物理的に妥当な結果です。また、物体がすべりおりるためには、重力の斜面成分が最大静止摩擦力（ここでは動摩擦力）より大きい必要があります（\(mg\sin\theta > \mu’mg\cos\theta\)、つまり \(\tan\theta > \mu’\)）。この条件は、根号の中が正になる条件と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギーと仕事の関係（非保存力が仕事をする場合）
  • 核心: この問題の根幹は、動摩擦力という「非保存力」が仕事をするため、力学的エネルギーが保存されない状況を正しく扱う能力です。基本法則である力学的エネルギー保存則が使えない代わりに、より一般的な「（力学的エネルギーの変化量）=（非保存力がした仕事）」という関係式を適用することが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー保存則の限界を知る: まず、「摩擦や空気抵抗がある場合、力学的エネルギーは保存されない」という大原則を理解することが出発点です。
    • エネルギーの”収支”を考える: 失われた力学的エネルギーは、摩擦によって熱エネルギーなどに変わります。動摩擦力がした仕事（常に負の値）は、この失われたエネルギー量を表します。したがって、「後のエネルギー」は「前のエネルギー」から「摩擦に奪われた分」を引いたものになります。これを数式にしたのが \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\) です。
    • 式の各項を正確に立てる:
      1. 始点と終点を決め、それぞれの運動エネルギーと位置エネルギーを計算する。
      2. 始点から終点までの間に、動摩擦力がした仕事を計算する（力の大きさと移動距離、そして仕事が負であることに注意）。
      3. これらを関係式に代入して方程式を立てる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦のある水平面とばねの運動: 粗い水平面上の物体がばねに衝突したり、ばねにつながれて振動したりする問題。この場合、力学的エネルギーは「運動エネルギー」と「弾性エネルギー」の和になり、動摩擦力がした仕事の分だけ減少していきます。
  • 空気抵抗を受けながらの物体の運動: ボールを投げ上げたり、雨滴が落下したりする際に空気抵抗が働く問題。空気抵抗も非保存力なので、動摩擦力と全く同じように「エネルギーと仕事の関係」で扱います。
  • 粗い面と滑らかな面が組み合わさったコース: 例えば、滑らかな曲面を滑り降りた後、粗い水平面を進むような問題。この場合、運動の区間ごとにエネルギー保存則が使えるか、仕事とエネルギーの関係を使うかを見極める必要があります。滑らかな区間ではエネルギーは保存され、粗い区間ではその仕事の分だけエネルギーが減少します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず力をすべて図示し、分類する: 問題を読んだら、物体に働く力（重力、垂直抗力、動摩擦力など）をすべて書き出します。そして、それらを「保存力（重力、弾性力）」と「非保存力（動摩擦力、空気抵抗など）」に分類します。
  2. エネルギー保存の可否を判断する: 非保存力が仕事をしているか？ → YESなら「エネルギーと仕事の関係」を使います。→ NO（または仕事の合計がゼロ）なら「力学的エネルギー保存則」が使えます。この最初の判断が解法の分かれ道です。
  3. 仕事の正負と大きさを計算する: 非保存力が仕事をする場合、その仕事 \(W\) を計算します。特に動摩擦力は、常に運動の向きと逆向きに働くため、その仕事は必ず負（\(W = -(\text{力の大きさ}) \times (\text{距離})\)）になることを強く意識します。
  4. 比較する2つの時点（始点と終点）を明確にする: エネルギーの関係式を立てるには、比較対象となる運動の「始点」と「終点」を問題文から正確に読み取ることが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力の仕事の符号ミス:
  • 誤解: 仕事を計算するときに、力の大きさと距離を単純に掛けてしまい、正の値にしてしまう。
  • 対策: 動摩擦力は「常に物体の運動方向と逆向きに働く力」であることを徹底しましょう。力が移動方向と逆向きの場合、その仕事は必ず負になります。この問題では、物体が斜面を上るときも下るときも、動摩擦力は常に運動を妨げる向きに働くため、どちらの場合も仕事は負です。
• 往復運動での仕事の扱い:
  • 誤解: 物体が元の位置に戻ってくる往復運動では、動摩擦力のした仕事の合計はゼロになると考えてしまう。
  • 対策: 仕事は経路に依存します。動摩擦力は、行き（上り）の道のりでもエネルギーを奪い（負の仕事）、帰り（下り）の道のりでもエネルギーを奪います（負の仕事）。したがって、往復での仕事はゼロになるどころか、片道の仕事の2倍（\( -2\mu’mgl\cos\theta \)）になります。
• 力の分解におけるsinとcosの混同:
  • 誤解: 斜面上の重力の分解で、平行成分と垂直成分に使う三角関数を間違える。
  • 対策: 毎回、角度 \(\theta\) を含む直角三角形を図に描き、三角関数の定義（\(\sin\theta = \text{対辺}/\text{斜辺}\), \(\cos\theta = \text{底辺}/\text{斜辺}\)）に立ち返って確認する癖をつけましょう。斜面に「平行な成分が \(mg\sin\theta\)」、「垂直な成分が \(mg\cos\theta\)」となることを、図から確実に導出できるようにすることが根本的な対策です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（エネルギーと仕事の関係）:
  • 選定理由: 問題文に「摩擦」というキーワードがある時点で、力学的エネルギーが保存しない可能性を考えます。動摩擦力が仕事をするため、力学的エネルギー保存則は適用できません。そこで、これを包含するより一般的な法則である「エネルギーと仕事の関係（\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)）」を選択するのが論理的です。この公式の最大の利点は、運動の途中経過（加速度など）を一切考慮せず、始点と終点の状態だけで立式できるため、距離や速さを求める問題に非常に強いことです。
  • 適用根拠: 物体に働く力のうち、重力は保存力なのでその仕事は位置エネルギー \(\Delta U_g\) としてエネルギーの項に含めます。垂直抗力は常に運動方向と垂直なので仕事をしません。動摩擦力は仕事をする非保存力です。この力の分類こそが、「（運動エネルギーと重力位置エネルギーの変化）=（動摩擦力がした仕事）」という関係式を適用する直接的な根拠となります。
• 別解でのアプローチ選択（運動方程式と等加速度運動の公式）:
  • 選定理由: 力学のあらゆる問題は、基本に立ち返れば運動方程式 \(ma=F\) から解くことができます。これは、運動の「原因」である力から、運動の「様子」である加速度を求め、その後の変化を追跡していくアプローチです。エネルギー計算が苦手な場合や、運動の途中経過（かかる時間など）も知りたい場合に有効な選択肢です。
  • 適用根拠: 斜面上を運動する間、物体に働く力（重力の斜面成分、動摩擦力）は一定です。したがって、加速度も一定となります。この「加速度が一定である」という事実が、「等加速度直線運動の公式（\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) など）」を適用できる根拠となります。ただし、上りと下りでは動摩擦力の向きが逆になるため、加速度の値は異なります。そのため、上りの運動と下りの運動を、それぞれ別の等加速度直線運動として分けて考える必要があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 複雑な分数の計算は慎重に:
  • (2)の計算のように、求めた文字式をさらに代入する場面では、式が非常に複雑になります。一気に暗算しようとせず、まずは代入した形をそのまま書き出し、約分できる項（\(2g\)など）を一つずつ消していくなど、段階を踏んで整理しましょう。
  • \(v^2 = v_0^2 ( 1 – \dots )\) のように共通因数でくくったり、通分（\(1 – \frac{A}{B} = \frac{B-A}{B}\)）したりする際は、符号ミスに特に注意が必要です。
• 極端な条件で検算する:
  • 計算結果が正しいか不安なときは、物理的に分かりやすい極端な条件を代入してみるのが有効です。
  • もし摩擦がなかったら（\(\mu’ = 0\)）:
    • (1)の答えは \(l = \frac{v_0^2}{2g\sin\theta}\) となり、エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv_0^2 = mgl\sin\theta\) の結果と一致します。
    • (2)の答えは \(v = \sqrt{\frac{\sin\theta}{\sin\theta}}v_0 = v_0\) となり、エネルギーが保存されるので行きと帰りで速さが同じ、という直観に合います。
  • このように、簡単な状況で答えが妥当な値になるかを確認することで、計算ミスを発見できることがあります。
• 物理的な大小関係を吟味する:
  • (2)で求めた速さ \(v\) は、摩擦でエネルギーを失っているため、初速 \(v_0\) より小さくなるはずです。計算結果の \(v = \sqrt{\frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}} v_0\) を見ると、根号の中の分数は（分子）<（分母）なので、必ず1より小さくなります。したがって \(v < v_0\) となり、結果が物理的に妥当であることが確認できます。

発展問題

167 仕事率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一定速度で物体を引き上げる際の仕事率の計算」です。仕事率の定義と、運動状態（この場合は等速直線運動）に応じた力のつりあいの考え方を正確に結びつけることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「一定の速さ」なので、物体に働く力はつりあっています。摩擦がない場合、斜面に平行な方向では、引き上げる力と重力の斜面成分の2つの力が働きます。これらがつりあうことから、引き上げる力の大きさを求め、仕事率の公式に適用します。
この設問における重要なポイント

• 一定の速さ ⇒ 加速度 \(0\) ⇒ 力のつりあい。
• 引き上げる力は、重力の斜面下向き成分と大きさが等しい。

具体的な解説と立式
物体に働く力は、重力 \(mg\)、斜面からの垂直抗力 \(N\)、そして引き上げる力 \(F\) です。
斜面に沿った方向の力のつりあいを考えます。

• 重力の斜面下向きの成分: \(mg\sin30^\circ\)
• 引き上げる力: \(F\)（斜面上向き）

力のつりあいの式は、（斜面上向きの力の和）=（斜面下向きの力の和）より、
$$ F = mg\sin30^\circ $$
この力 \(F\) がする仕事の仕事率 \(P\) は、公式 \(P=Fv\) を用いて、
$$ P = Fv $$
$$ P = (mg\sin30^\circ)v $$

\(\sin30^\circ = \frac{1}{2}\) なので、引き上げる力 \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= mg \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mg
\end{aligned}
$$
これを仕事率の式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
P &= \left(\frac{1}{2}mg\right)v \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mgv
\end{aligned}
$$

物体を一定の速さで坂道に沿って引き上げるには、物体が坂道を自然に滑り落ちようとする力と、ちょうど同じ大きさの力で引っ張り続ける必要があります。この「滑り落ちようとする力」の大きさを計算し、それに速さを掛けることで、仕事のペース（仕事率）がわかります。

仕事率は \(\frac{1}{2}mgv\) と求まりました。力の大きさと速さに比例する妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)と同様に力のつりあいを考えますが、今度は運動を妨げる向きに動摩擦力が加わります。したがって、引き上げる力は、重力の斜面成分と動摩擦力の「両方の力」を合わせたものとつりあう必要があります。
この設問における重要なポイント

• 動摩擦力は、運動の向き（斜面上向き）と逆向き（斜面下向き）に働く。
• 引き上げる力は、重力の斜面成分と動摩擦力の和に等しい。
• 動摩擦力を求めるには、まず斜面に垂直な方向の力のつりあいから垂直抗力を求める必要がある。

具体的な解説と立式
物体に働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、引き上げる力 \(F’\)、動摩擦力 \(f’\) です。
まず、斜面に垂直な方向の力のつりあいから、垂直抗力 \(N\) を求めます。
$$ N = mg\cos30^\circ $$
次に、この \(N\) を使って動摩擦力 \(f’\) の大きさを求めます。
$$ f’ = \mu’N $$
$$ f’ = \mu’mg\cos30^\circ $$
最後に、斜面に平行な方向の力のつりあいを考えます。

• 斜面下向きの力の和: \(mg\sin30^\circ + f’\)
• 引き上げる力: \(F’\)（斜面上向き）

力のつりあいの式より、
$$ F’ = mg\sin30^\circ + f’ $$
$$ F’ = mg\sin30^\circ + \mu’mg\cos30^\circ $$
この力 \(F’\) がする仕事の仕事率 \(P’\) は、
$$ P’ = F’v $$

\(\sin30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) を代入して、引き上げる力 \(F’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
F’ &= mg \times \frac{1}{2} + \mu’mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mg + \frac{\sqrt{3}}{2}\mu’mg \\[2.0ex] &= \frac{1+\sqrt{3}\mu’}{2}mg
\end{aligned}
$$
これを仕事率の式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
P’ &= \left(\frac{1+\sqrt{3}\mu’}{2}mg\right)v \\[2.0ex] &= \frac{1+\sqrt{3}\mu’}{2}mgv
\end{aligned}
$$

今度は、物体が滑り落ちようとする力に加えて、斜面とのザラザラした摩擦も邪魔をしてきます。そのため、(1)の時よりも強い力で引っ張らなければ、一定の速さを保てません。この「滑り落ちようとする力」と「摩擦力」の合計と同じ大きさの力で引き上げ、その力に速さを掛けることで仕事率を計算します。

仕事率は \(\frac{1+\sqrt{3}\mu’}{2}mgv\) と求まりました。この式は、(1)の仕事率 \(\frac{1}{2}mgv\) に、摩擦に逆らって仕事をするための仕事率 \(\frac{\sqrt{3}\mu’}{2}mgv\) が加わった形になっており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあいと仕事率の公式の連携
  • 核心: この問題の根幹は、2つの異なる物理概念を正しく結びつける能力にあります。まず、「一定の速さ」という運動状態から「力のつりあい」を導き、それを用いて仕事率を計算したい「引き上げる力」の大きさを求めます。次に、その力の大きさと速さを使って、仕事率の公式「\(P=Fv\)」を適用します。
  • 理解のポイント:
    • 運動状態の読解: 「一定の速さ」という言葉は、物理学では「加速度が\(0\)」を意味します。運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) に \(a=0\) を代入すると \(F_{\text{合力}}=0\) となり、これが「力のつりあい」の条件そのものです。この論理的なつながりを理解することが第一歩です。
    • 仕事率の定義: 仕事率 \(P=Fv\) は、ある特定の力 \(F\) が、物体を速さ \(v\) で動かすときに、どれくらいのペースで仕事をしているか（エネルギーを供給しているか）を表す量です。この問題では「引き上げる力」の仕事率が問われているため、\(F\) には「引き上げる力」の大きさを代入する必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーターの引き上げ: エレベーターを一定の速さ \(v\) で引き上げるモーターの仕事率を求める問題。この場合、モーターの引き上げる力（張力）は重力 \(mg\) とつりあうため、仕事率は \(P=mgv\) となります。
  • 物体の終端速度: 空気抵抗を受けながら落下する物体が、やがて一定の速さ（終端速度） \(v\) に達する問題。このとき、重力と空気抵抗がつりあっています。重力がする仕事率は \(P_g = mgv\) であり、これは空気抵抗によって熱に変わるエネルギーの発生率と等しくなります。
  • 乗り物のエンジン: 自動車やボートが、空気抵抗や水の抵抗を受けながら一定の速さで走行する問題。エンジンの推進力と全体の抵抗力がつりあうため、エンジンの仕事率は \(P = (\text{抵抗力}) \times v\) と計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動状態は何か？: まず問題文から「一定の速さ」「静止している」「加速している」など、物体の運動状態を把握します。
     • 「一定の速さ」「静止」 → 力のつりあい を考える。
     • 「加速している」 → 運動方程式 \(ma=F\) を考える。
  2. どの力の仕事率か？: 問題がどの力の仕事率を尋ねているのかを正確に特定します（例：「引き上げる力」「エンジン」「重力」など）。
  3. 力を求める: 運動状態に応じた法則（力のつりあい or 運動方程式）を立て、仕事率を計算したい力の大きさを求めます。斜面上の問題では、力の分解が不可欠です。
  4. 公式 \(P=Fv\) を適用する: 求めた力の大きさと、与えられた速さを公式に代入します。このとき、力の向きと速度の向きが同じであることを確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「一定の速さ」の条件を見落とす:
  • 誤解: 力が働いているのだから、物体は加速するはずだと考えてしまう。
  • 対策: 「一定の速さ」は物理における超重要キーワードです。これを見たら、「加速度\(0\)」そして「力のつりあい」と機械的に連想できるように訓練しましょう。「引き上げる力」は、物体を加速させるためではなく、重力や摩擦力といった「運動を妨げる力」を打ち消して、現状の速さを維持するためだけに働いている、と理解することが重要です。
• 仕事率の計算に使う力を間違える:
  • 誤解: 仕事率を求めるときに、とりあえず重力 \(mg\) を使って \(P=mgv\) などと計算してしまう。
  • 対策: 仕事率は「”誰が”した仕事のペースか」が重要です。この問題で問われているのは「引き上げる力」の仕事率なので、\(P=Fv\) の \(F\) には「引き上げる力」の大きさを代入しなければなりません。重力や垂直抗力など、他の力の仕事率を計算しているわけではないことを常に意識しましょう。
• 力の分解のミス（sinとcosの混同）:
  • 誤解: 重力の斜面平行成分を \(mg\cos\theta\)、垂直成分を \(mg\sin\theta\) と取り違えてしまう。
  • 対策: これは非常に多いミスです。毎回、角度 \(30^\circ\) を含む直角三角形を図の中に描き、三角関数の定義に立ち返って確認する癖をつけましょう。斜辺が \(mg\) のとき、平行成分（角度の対辺）は \(mg\sin30^\circ\)、垂直成分（角度の底辺）は \(mg\cos30^\circ\) となることを、図から確実に導けるようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの選択:
  • 選定理由: 問題文に「一定の速さで」と明確に記述されています。これは、運動状態が変化しない、すなわち加速度が \(a=0\) であることを意味します。物理学の基本法則である運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) において \(a=0\) であるため、物体に働く合力 \(F_{\text{合力}}\) は必然的に \(0\) となります。これが「力のつりあい」の式を選択する、直接的かつ唯一の論理的な根拠です。
  • 適用根拠: 物体に働くすべての力をベクトルとして図示し、それらのベクトル和がゼロになるという条件を、計算しやすい座標軸（この場合は斜面に平行・垂直な方向）に沿って成分ごとに立式します。
• 仕事率の公式 \(P=Fv\) の選択:
  • 選定理由: 求めたい物理量が「仕事率」です。仕事率の定義は単位時間あたりの仕事 \(P = W/t\) ですが、力が一定で速さも一定の運動では、仕事 \(W\) は \(Fs\)（\(s\)は距離）、距離 \(s\) は \(vt\) と表せるため、\(P = \frac{F(vt)}{t} = Fv\) と変形できます。この公式は、力と速さが分かっている場合に仕事率を直接計算できる最も便利な形です。
  • 適用根拠: 「力のつりあい」の式を解くことで、仕事率を求めたい「引き上げる力 \(F\)」の大きさを、与えられた物理量（\(m, g, \mu’\)など）で表すことができます。速さ \(v\) も問題文で与えられています。したがって、求めた \(F\) と与えられた \(v\) をこの公式に代入することが、答えに至る最も合理的な手順となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値を正確に:
  • \(\sin30^\circ = 1/2\)、\(\cos30^\circ = \sqrt{3}/2\) といった基本的な三角関数の値は、瞬時に、かつ正確に出てくるように徹底的に練習しておきましょう。少しでも不安なら、単位円や辺の比が \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形を素早く描いて確認する癖をつけると確実です。
• 文字式のまま整理してから代入する:
  • (2)で引き上げる力 \(F’\) を求める際、いきなり \(F’ = mg \times 0.5 + \mu’mg \times 0.866 \dots\) のように計算を始めるのではなく、まずは \(F’ = mg\sin30^\circ + \mu’mg\cos30^\circ\) のように、文字と記号のまま式を立てましょう。式全体の構造が分かりやすくなり、検算もしやすくなります。
• 共通因数でくくる習慣をつける:
  • (2)の計算過程で \(F’ = \frac{1}{2}mg + \frac{\sqrt{3}}{2}\mu’mg\) という式が出てきたら、すぐに共通の項（この場合は \(\frac{1}{2}mg\)）でくくり、\(F’ = \frac{mg}{2}(1+\sqrt{3}\mu’)\) と整理する癖をつけましょう。式が簡潔になり、その後の計算（\(v\) を掛けるなど）が楽になり、ミスも減ります。
• 単位による検算:
  • 仕事率の単位はワット[W]で、これは[J/s]に等しいです。計算結果の \(mgv\) の単位を検証してみましょう。\((\text{質量}) \times (\text{重力加速度}) \times (\text{速さ})\) なので、単位は \([\text{kg}] \cdot [\text{m/s}^2] \cdot [\text{m/s}] = [\text{N}] \cdot [\text{m/s}] = [\text{J/s}] = [\text{W}]\) となり、正しく仕事率の単位になっていることが確認できます。
• 物理的な大小関係を吟味する:
  • (2)の答え（摩擦あり）は、(1)の答え（摩擦なし）よりも大きくなるはずです。実際に式を比較すると、(2)の答えは \(\frac{1+\sqrt{3}\mu’}{2}mgv = \frac{1}{2}mgv + \frac{\sqrt{3}\mu’}{2}mgv\) となり、(1)の答えに摩擦に抗するための仕事率が加わった形になっています。このことから、計算結果が物理的に妥当であると判断できます。

168 弾性体のエネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直ばね振り子の運動とエネルギー」です。物体を「ゆっくり」下げる場合と「急に」放す場合の違いを、力のつりあいや力学的エネルギー保存則を用いて解析する、典型的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題文の「ゆっくりと下げ」という記述が最大のヒントです。これは、物体が常に力のつりあいを保ったまま、きわめて遅い速度で動いている（準静的過程）と解釈します。したがって、任意の位置 \(x\) において、物体に働く鉛直方向の力はつりあっています。
この設問における重要なポイント

• 「ゆっくり」 ⇒ 各瞬間で力のつりあいが成立。
• 物体に働く力は、重力（下向き）、弾性力（上向き）、垂直抗力（上向き）の3つ。

具体的な解説と立式
任意の位置 \(x\) (\(x \ge 0\))で、物体に働く力は以下の通りです。

• 重力: \(mg\)（下向き、正の向き）
• ばねの弾性力: \(kx\)（上向き、負の向き）
• 板からの垂直抗力: \(N\)（上向き、負の向き）

鉛直方向の力のつりあいの式は、（上向きの力の和）=（下向きの力の和）より、
$$ kx + N = mg $$
この式を \(N\) について整理すると、
$$ N = mg – kx $$
これは、\(N\) が \(x\) の1次関数であることを示しています。

• \(x=0\) のとき、\(N = mg\)。
• \(x\) が増加すると、\(N\) は傾き \(-k\) で線形に減少します。
• \(N=0\) となるのは、\(mg-kx=0\) より \(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\) のときです。
• 板が物体から離れる（\(x > \displaystyle\frac{mg}{k}\)）と、垂直抗力は働かないので \(N=0\) です。

これらの関係をグラフにすると、\(x=0\) で \(N=mg\)、\(x=\displaystyle\frac{mg}{k}\) で \(N=0\) となる直線を描き、それ以降は \(N=0\) となります。

立式で得られた \(N = mg – kx\) の関係に基づき、グラフを作成します。これは模範解答の図2に示される通りです。

物体を板で支えているとき、物体の重さ（\(mg\)）を「ばね」と「板」で分担して支えています。はじめ（\(x=0\)）はばねが全く手伝ってくれないので、板がすべての重さを支えます（\(N=mg\)）。板を下げてばねが伸びるにつれて、ばねが手伝ってくれる分が大きくなるので、板が支えるべき力（垂直抗力 \(N\)）はだんだん小さくなっていきます。

垂直抗力 \(N\) と位置 \(x\) の関係は \(N=mg-kx\) であり、これをグラフで示すことができます。

問(2)

思考の道筋とポイント
「板が物体からはなれる」とは、物理的には「板が物体を押す必要がなくなる」瞬間、すなわち垂直抗力 \(N\) が \(0\) になる瞬間を指します。(1)で導いた \(N\) と \(x\) の関係式に \(N=0\) を代入することで、そのときの \(x\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 板が離れる条件は、垂直抗力 \(N=0\)。

具体的な解説と立式
(1)で立てた力のつりあいの式 \(kx + N = mg\) において、\(N=0\) となる \(x\) を求めます。
$$ kx + 0 = mg $$

$$
\begin{aligned}
kx &= mg \\[2.0ex] x &= \frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$

板が離れる瞬間とは、ばねの力だけで物体の重さをちょうど支えられるようになったときです。つまり、上向きのばねの力（\(kx\)）と下向きの重力（\(mg\)）が釣り合ったときなので、そのときのばねの伸び \(x\) を計算します。

板が離れる位置は \(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\) と求まりました。これは、重力と弾性力がつりあう点であり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「板を急に取り去った」場合、物体は \(x=0\) の位置から運動を開始します。この運動中、物体に働く力は保存力である重力と弾性力のみなので、力学的エネルギーは保存されます。運動の始点（\(x=0\)）と、ばねの伸びが最大になる点（最下点）で力学的エネルギー保存則を立てます。
この設問における重要なポイント

• 「急に取り去る」⇒ 力学的エネルギーが保存される運動の開始。
• 始点（\(x=0\)）では、速さ \(v=0\)。
• 終点（伸びが最大 \(x=x_1\)）でも、速さ \(v=0\)。
• 位置エネルギーの基準点を明確にする（ここでは \(x=0\) の位置）。

具体的な解説と立式
\(x=0\) の位置を重力による位置エネルギーの基準（\(U_g=0\)）とします。ばねは自然長なので、弾性力による位置エネルギーも \(U_s=0\) です。

• はじめの状態（\(x=0\)）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
  • 速さは \(0\) なので運動エネルギー \(K=0\)。
  • \(U_g=0\), \(U_s=0\)。
  • よって、\(E_{\text{初}} = 0\)。
• 伸びが最大（\(x=x_1\)）の状態の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • 最下点では一瞬静止するので運動エネルギー \(K=0\)。
  • 基準より \(x_1\) だけ下にあるので、重力による位置エネルギーは \(U_g = -mgx_1\)。
  • ばねは \(x_1\) 伸びているので、弾性力による位置エネルギーは \(U_s = \frac{1}{2}kx_1^2\)。
  • よって、\(E_{\text{後}} = -mgx_1 + \frac{1}{2}kx_1^2\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ 0 = -mgx_1 + \frac{1}{2}kx_1^2 $$

上記で立てた式を \(x_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}kx_1^2 – mgx_1 &= 0 \\[2.0ex] x_1 \left(\frac{1}{2}kx_1 – mg\right) &= 0
\end{aligned}
$$
\(x_1=0\) は運動の始点を表すので、求める解ではありません。したがって、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}kx_1 – mg &= 0 \\[2.0ex] x_1 &= \frac{2mg}{k}
\end{aligned}
$$

スタート地点（\(x=0\)）では、運動エネルギーも位置エネルギーもゼロです。物体が一番下まで落ちたとき、速さは再びゼロになります。この間に、物体が「高さ」を失ったことで得られるエネルギー（重力位置エネルギー）が、すべて「ばねを伸ばす」ためのエネルギー（弾性エネルギー）に変換されます。このエネルギーの収支が釣り合う点を探すことで、ばねが最も伸びた位置がわかります。

ばねの伸びが最大となる位置は \(x_1 = \displaystyle\frac{2mg}{k}\) と求まりました。これは、力のつりあいの位置 \(x=\displaystyle\frac{mg}{k}\) のちょうど2倍の距離であり、単振動の下端点として物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
物体の速さが最大になるのは、運動エネルギーが最大になるときです。力学的エネルギーが保存される系では、運動エネルギーが最大になるのは、位置エネルギー（重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーの和）が最小になるときです。
また、物理的に考えると、速さが最大になるのは加速度が \(0\) になる点、すなわち物体に働く合力が \(0\) になる点です。これは、重力と弾性力がつりあう点に他なりません。
この設問における重要なポイント

• 速さが最大 ⇔ 運動エネルギーが最大 ⇔ 合力が \(0\)（力のつりあい点）。
• 力のつりあい点では、\(mg = kx\)。

具体的な解説と立式
まず、速さが最大になる位置 \(x_2\) を求めます。これは、力のつりあいの位置なので、
$$ mg = kx_2 $$
次に、この位置での速さ \(v\) を求めるために、運動の始点（\(x=0\)）とこの点（\(x=x_2\)）で力学的エネルギー保存則を立てます。

• はじめの状態（\(x=0\)）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\): \(E_{\text{初}} = 0\)
• 速さが最大（\(x=x_2\)）の状態の力学的エネルギー \(E(x_2)\):
  • 運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv^2\)。
  • 重力による位置エネルギーは \(-mgx_2\)。
  • 弾性力による位置エネルギーは \(\frac{1}{2}kx_2^2\)。
  • よって、\(E(x_2) = \frac{1}{2}mv^2 – mgx_2 + \frac{1}{2}kx_2^2\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E(x_2)\) より、
$$ 0 = \frac{1}{2}mv^2 – mgx_2 + \frac{1}{2}kx_2^2 $$

まず、速さが最大になる位置 \(x_2\) を求めます。
$$ x_2 = \frac{mg}{k} $$
次に、この \(x_2\) をエネルギー保存則の式に代入して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= mgx_2 – \frac{1}{2}kx_2^2 \\[2.0ex] &= mg\left(\frac{mg}{k}\right) – \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{m^2g^2}{k} – \frac{1}{2}k\frac{m^2g^2}{k^2} \\[2.0ex] &= \frac{m^2g^2}{k} – \frac{m^2g^2}{2k} \\[2.0ex] &= \frac{m^2g^2}{2k}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
mv^2 &= \frac{m^2g^2}{k} \\[2.0ex] v^2 &= \frac{mg^2}{k}
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{m}{k}}g $$

物体が落ちていくとき、最初は重力がばねの力より強いので加速していきます。しかし、ばねが伸びるにつれて上向きに引く力が強くなり、やがて重力とばねの力がぴったり釣り合う点に達します。ここが加速と減速の境目であり、スピードが最も速くなる点です。まずこの釣り合いの位置を計算し、次にスタート地点からそこまで運動する間のエネルギーの変化を計算して、速さを求めます。

速さが最大になる位置は \(x = \displaystyle\frac{mg}{k}\)、そのときの速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}g\) と求まりました。速さが最大になる位置が力のつりあいの点であること、また(3)で求めた最下点の中間点であることから、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 状況に応じた物理法則の使い分け
  • 核心: この問題の根幹は、「ゆっくり」と「急に」という言葉で表現される物理状況の違いを正確に読み取り、それぞれに適した物理法則（「力のつりあい」と「力学的エネルギー保存則」）を使い分ける能力です。
  • 理解のポイント:
    • 「ゆっくり」下げる場合: これは、各瞬間において物体に働く力が常につりあっている「準静的過程」とみなします。板が物体を押す力（垂直抗力）という外力が仕事をするため、物体とばねからなる系の力学的エネルギーは保存しません。したがって、力のつりあいの式を立てて解析します。
    • 「急に」放す場合: 板が離れた瞬間からは、物体に働く力は保存力である重力と弾性力のみになります。非保存力が仕事をしないため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。運動の始点と終点のエネルギーを比較することで、運動の様子を解析できます。
    • このように、一つの問題の中に異なる物理法則が適用される場面が混在しており、その境界線を見極めることが最重要ポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 床に置かれたばねの上に物体を乗せる: 天井から吊るす代わりに、床に置かれたばねの上に物体を「ゆっくり」乗せていく場合や、「急に」落とす場合。重力と弾性力の向きが変わるだけで、考え方は全く同じです。
  • 斜面上のばね振り子: 物体が斜面にあり、ばねが斜面に沿って取り付けられている問題。この場合、力のつりあいやエネルギーを考える際に、重力を斜面に平行な成分（\(mg\sin\theta\)）と垂直な成分（\(mg\cos\theta\)）に分解する必要があります。振動の中心は \(kx = mg\sin\theta\) となる点です。
  • ばね付きの台車と衝突: 滑らかな水平面上で、静止しているばね付きの台車に別の物体が衝突する問題。衝突の瞬間は運動量保存則を考え、衝突後に一体となって振動する運動は力学的エネルギー保存則で解析します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. プロセスの違いを読み取る: 問題文中の「ゆっくり」「静かに」と「急に」「衝突」「放す」といった言葉に最大限注意を払います。これが解法選択の最大のヒントです。
  2. エネルギーの基準点を設定する: 重力位置エネルギーと弾性エネルギーの両方が関わるため、計算を始める前に「どこを重力位置エネルギーの高さ\(0\)とするか」「どこをばねの自然長とするか」を明確に図に書き込み、座標軸を設定します。
  3. 運動の「始点」と「終点（あるいは特徴的な点）」を特定する: エネルギー保存則を使う場合、比較すべき2つの状態を問題文から正確に選び出します。「手を放した瞬間」「伸びが最大になる点（最下点）」「速さが最大になる点」など、それぞれの点で速さやエネルギーがどうなるかを整理します。
  4. 単振動の可能性を常に疑う: ばねにつながれた物体の運動は、多くの場合、単振動としてモデル化できます。「力のつりあいの点が振動の中心になる」という事実を知っていると、速さ最大点や振動の端点を、エネルギー計算なしに予測でき、検算にも役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「つりあいの位置」と「最下点」の混同:
  • 誤解: (3)でばねの伸びが最大になる位置を、(2)で求めた力のつりあいの位置（\(mg/k\)）だと勘違いしてしまう。
  • 対策: この2つは明確に異なります。「つりあいの位置」は、力が釣り合って加速度が\(0\)になる点（速さが最大になる点）です。「最下点」は、\(x=0\)から運動を始めた物体が、慣性によってつりあいの位置を通り過ぎ、速さが一瞬\(0\)になる運動の端点です。単振動で言えば、前者は「振動の中心」、後者は「振動の下端」であり、全く別の場所です。
• 重力位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 座標軸を下向き正にとったため、基準点より下にある物体の位置エネルギーを、正の値 \(mgx\) で計算してしまう。
  • 対策: 座標 \(x\) の増加と、物理量である「高さ」の増減を混同しないようにしましょう。最初に設定した基準点（\(x=0\)）を常に意識し、そこより低い位置にあれば、高さは負になります。したがって、位置エネルギーは \(mg \times (\text{負の高さ})\) となり、必ず \(-mgx\) のように負の値になります。
• (1)と(3)の状況設定の混同:
  • 誤解: (1)の力のつりあいの式を、(3)の運動の途中で使おうとしてしまう。
  • 対策: (1)の力のつりあいの式には、板からの垂直抗力 \(N\) が含まれています。一方、(3)の運動では板は存在しないため、垂直抗力は働きません。したがって、(1)の式は(3)の状況には適用できません。問題の設問ごとに、物理的な状況がどう変化したかを正確に把握することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1), (2)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 「ゆっくり」というキーワードは、物理的に「加速度がほぼ\(0\)の状態を保ちながら動く」と解釈します。運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) において \(a=0\) なので、必然的に \(F_{\text{合力}}=0\) となります。これは「力のつりあい」の条件そのものであり、これ以外の法則を選択する理由がありません。
  • 適用根拠: 物体に働くすべての力（重力、弾性力、垂直抗力）を特定し、それらのベクトル和がゼロになるという条件から立式します。
• (3)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 「急に取り去った」後は、物体に働く力は保存力である重力と弾性力のみです。非保存力（この場合は垂直抗力や空気抵抗）が仕事をしないため、力学的エネルギー保存則が厳密に成り立ちます。この法則は、運動の途中経過を問わず、始点と終点の状態だけで関係式を立てられるため、最下点の位置を求めるのに最も適しています。
  • 適用根拠: 運動の始点（\(x=0\)）と終点（最下点）では、どちらも速さが \(0\) であるという明確な条件があります。これにより、力学的エネルギーの式から運動エネルギーの項が消え、位置エネルギーだけの関係式となり、計算が非常にシンプルになります。
• (4)での公式選択（力のつりあい & エネルギー保存則）:
  • 選定理由: これは2段階の思考が必要です。まず「速さが最大になる位置」を特定します。物理的に、速度が最大値をとる点は加速度が\(0\)になる点なので、「力のつりあい」の条件（この場合は重力と弾性力のつりあい）を用いて位置を決定します。次に、その特定した位置での「速さ」を求めるために、運動の始点とその点との間で「力学的エネルギー保存則」を適用するのが最も合理的です。
  • 適用根拠: 「力のつりあい」を適用する根拠は「加速度が\(0\)」であること。「エネルギー保存則」を適用する根拠は(3)と同じく「保存力のみが仕事をする」ことです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• エネルギーの項をリストアップする:
  • 力学的エネルギーを立式する際は、「\(K=\frac{1}{2}mv^2\)」「\(U_g=mgh\)」「\(U_s=\frac{1}{2}kx^2\)」の3つの項を常に書き出し、それぞれの状態において各項がゼロになるのか、それとも値を持つのかを一つずつチェックする癖をつけましょう。特に、重力位置エネルギー \(U_g\) を忘れがちなので注意が必要です。
• 二次方程式の解を吟味する:
  • (3)の計算で \(x_1(\frac{1}{2}kx_1 – mg) = 0\) という二次方程式が出てきます。数学的な解は \(x_1=0\) と \(x_1=2mg/k\) の2つですが、それぞれが物理的に何を意味するかを考えましょう。\(x_1=0\) は運動の「始点」であり、問題で問われている「伸びが最大となる位置」ではありません。このように、得られた解が問題の条件に合致するかを吟味することで、正しい答えを選択できます。
• 別解（単振動）による検算:
  • もし単振動の性質を理解していれば、非常に強力な検算ツールになります。
  • (4)で求めた速さ最大の位置（\(mg/k\)）が、単振動の「中心」になっているか？
  • (3)で求めた最下点（\(2mg/k\)）が、「中心」から「振幅（\(mg/k\)）」だけ下に行った位置になっているか？
  • このように、異なるアプローチから得られる結果が相互に矛盾しないかを確認することで、計算の信頼性を大幅に高めることができます。

169 動摩擦力と仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動摩擦力が仕事をする場合の、ばね振り子のエネルギー解析」です。非保存力である動摩擦力が働くため、力学的エネルギーは保存しません。したがって、「力学的エネルギーの変化量 = 非保存力がした仕事」という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式を正しく適用することが目的となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
弾性エネルギーの公式 \(U_s = \frac{1}{2}kx^2\) を用います。位置Pは、ばねが自然の長さから \(l\) だけ伸びた位置なので、\(x=l\) を代入します。
この設問における重要なポイント

• 弾性エネルギーは、自然長からの伸び（または縮み）の2乗に比例する。

具体的な解説と立式
ばね定数 \(k\) のばねが、自然長から \(l\) だけ伸びているので、蓄えられている弾性エネルギー \(U_P\) は、
$$ U_P = \frac{1}{2}kl^2 $$

これ以上の計算はありません。

伸ばされたばねは、元に戻ろうとするエネルギーを蓄えています。そのエネルギーの量は、ばねの硬さ（ばね定数 \(k\)）と、伸ばした長さ（\(l\)）によって決まります。公式にこれらの値を入れるだけで計算できます。

位置Pで蓄えられている弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}kl^2\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体がPからRへ移動する間、非保存力である動摩擦力が仕事をするため、力学的エネルギーは保存しません。そこで、「（後の力学的エネルギー）-（前の力学的エネルギー）=（動摩擦力がした仕事）」という関係式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 水平面上なので、重力による位置エネルギーの変化は考えなくてよい。力学的エネルギーは運動エネルギーと弾性エネルギーの和になる。
• 動摩擦力の大きさは \(\mu N = \mu mg\) で一定。
• PからRへの移動中、動摩擦力は常に運動と逆向き（負の向き）に働くため、その仕事は負になる。

具体的な解説と立式
始点を位置P（座標 \(l\)）、終点を任意の位置R（座標 \(x\)）として、エネルギーと仕事の関係を考えます。

• 始点Pでの力学的エネルギー \(E_P\):
  • 静かに放すので運動エネルギーは \(0\)。弾性エネルギーは(1)より \(\frac{1}{2}kl^2\)。
    $$ E_P = 0 + \frac{1}{2}kl^2 $$
    $$ E_P = \frac{1}{2}kl^2 $$
• 終点Rでの力学的エネルギー \(E_R\):
  • 運動エネルギーを \(K\) とする。弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}kx^2\)。
    $$ E_R = K + \frac{1}{2}kx^2 $$
• 動摩擦力がした仕事 \(W\):
  • 動摩擦力の大きさは \(f = \mu N = \mu mg\)。
  • PからRへの移動距離は \(l-x\)。
  • 動摩擦力は運動と逆向きに働くので、仕事は負。
    $$ W = -f \times (\text{距離}) $$
    $$ W = -\mu mg(l-x) $$

エネルギーと仕事の関係式 \(E_R – E_P = W\) より、
$$ \left(K + \frac{1}{2}kx^2\right) – \left(\frac{1}{2}kl^2\right) = -\mu mg(l-x) $$

上記で立てた式を運動エネルギー \(K\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2}kl^2 – \frac{1}{2}kx^2 – \mu mg(l-x) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}k(l^2 – x^2) – \mu mg(l-x)
\end{aligned}
$$

物体がPからRまで動く間に、最初にばねが持っていたエネルギーの一部が、摩擦によって熱として奪われます。残ったエネルギーが、R地点での「ばねのエネルギー」と「物体の運動エネルギー」に分け与えられます。このエネルギーの収支計算から、運動エネルギーを求めることができます。

任意の位置 \(x\) での運動エネルギーは \(K = \frac{1}{2}k(l^2 – x^2) – \mu mg(l-x)\) と表せました。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体が位置Qで静止するということは、その位置で運動エネルギーが \(0\) になるということです。(2)で求めた運動エネルギー \(K\) の式に、\(K=0\) を代入します。このとき、Qの座標が \(s\) であることから、\(x=s\) を代入して方程式を解きます。
この設問における重要なポイント

• 静止する条件は、運動エネルギー \(K=0\)。
• Qの座標は \(s\) である。ただし、図から \(s\) は負の値であると推測される。

具体的な解説と立式
(2)で求めた運動エネルギーの式
$$ K = \frac{1}{2}k(l^2 – x^2) – \mu mg(l-x) $$
において、位置Q（座標 \(x=s\)）で静止する（\(K=0\)）ので、
$$ 0 = \frac{1}{2}k(l^2 – s^2) – \mu mg(l-s) $$
この方程式を \(s\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
0 &= \frac{1}{2}k(l-s)(l+s) – \mu mg(l-s)
\end{aligned}
$$
両辺を共通因数 \((l-s)\) でくくります。物体はPから動くので \(s \neq l\) であり、\(l-s \neq 0\) です。
$$
\begin{aligned}
0 &= (l-s) \left\{ \frac{1}{2}k(l+s) – \mu mg \right\}
\end{aligned}
$$
\(l-s \neq 0\) なので、中括弧の中が \(0\) になる必要があります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}k(l+s) – \mu mg &= 0 \\[2.0ex] \frac{1}{2}k(l+s) &= \mu mg \\[2.0ex] l+s &= \frac{2\mu mg}{k} \\[2.0ex] s &= \frac{2\mu mg}{k} – l
\end{aligned}
$$

(2)で、いつでも使える運動エネルギーの計算式を作りました。物体が止まる場所を知りたいので、この式の運動エネルギーに「0」を代入します。すると、「物体が止まることができる場所」を求めるための方程式ができます。これを解けば、Qの座標がわかります。

静止する位置Qの座標は \(s = \displaystyle\frac{2\mu mg}{k} – l\) と求まりました。
物体は原点Oを通り過ぎて負の領域で止まるので、\(s<0\) となるはずです。これは \(\frac{2\mu mg}{k} < l\) という条件を意味し、摩擦がそれほど大きくない場合に物体が原点を越えて運動することを示しており、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
物体の速さが最大になるのは、運動エネルギー \(K\) が最大になるときです。(2)で求めた運動エネルギー \(K\) は位置 \(x\) の関数なので、この \(x\) の2次関数が最大値をとる条件を数学的に求めます。
この設問における重要なポイント

• 速さが最大 ⇔ 運動エネルギーが最大。
• 運動エネルギーを \(x\) の2次関数とみて、平方完成により頂点の座標を求める。

具体的な解説と立式
(2)で求めた運動エネルギーの式を \(x\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
K(x) &= \frac{1}{2}k(l^2 – x^2) – \mu mg(l-x) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}kl^2 – \frac{1}{2}kx^2 – \mu mgl + \mu mgx \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}kx^2 + \mu mgx + \left(\frac{1}{2}kl^2 – \mu mgl\right)
\end{aligned}
$$
これは \(x\) についての2次関数です。この関数が最大値をとる \(x\) を求めます。

上記の2次関数を平方完成します。
$$
\begin{aligned}
K(x) &= -\frac{1}{2}k \left( x^2 – \frac{2\mu mg}{k}x \right) + \left(\frac{1}{2}kl^2 – \mu mgl\right) \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}k \left\{ \left(x – \frac{\mu mg}{k}\right)^2 – \left(\frac{\mu mg}{k}\right)^2 \right\} + \left(\frac{1}{2}kl^2 – \mu mgl\right) \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}k \left(x – \frac{\mu mg}{k}\right)^2 + \frac{1}{2}k \frac{\mu^2 m^2 g^2}{k^2} + \left(\frac{1}{2}kl^2 – \mu mgl\right) \\[2.0ex] &= -\frac{1}{2}k \left(x – \frac{\mu mg}{k}\right)^2 + \frac{\mu^2 m^2 g^2}{2k} + \frac{1}{2}kl^2 – \mu mgl
\end{aligned}
$$
この式から、\(K(x)\) は \(x = \displaystyle\frac{\mu mg}{k}\) のときに最大値をとることがわかります。
したがって、この位置で物体の速さは最大になります。

(2)で作った運動エネルギーの計算式は、場所（\(x\)）を入れるとその場所での運動エネルギーが出てくる便利な式です。この式は数学の2次関数と同じ形をしているので、グラフにすると山なりの形になります。山の頂上が運動エネルギーが一番大きい場所、つまりスピードが一番速い場所に対応します。数学の「平方完成」というテクニックを使って、この山の頂上の位置（\(x\)座標）を計算します。

速さが最大となる位置は \(x = \displaystyle\frac{\mu mg}{k}\) と求まりました。この位置は、ばねの弾性力と動摩擦力がつりあう点であり、物理的に妥当な結果です（別解参照）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギーと仕事の関係（非保存力が仕事をする場合）
  • 核心: この問題の根幹は、動摩擦力という「非保存力」が仕事をするため、力学的エネルギーが保存されない状況を正しく扱う能力です。基本法則である力学的エネルギー保存則が使えない代わりに、より一般的な「（力学的エネルギーの変化量）=（非保存力がした仕事）」という関係式を適用することが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー保存則の限界を知る: まず、「摩擦や空気抵抗がある場合、力学的エネルギーは保存されない」という大原則を理解することが出発点です。
    • エネルギーの”収支”を考える: 失われた力学的エネルギーは、摩擦によって熱エネルギーなどに変わります。動摩擦力がした仕事（常に負の値）は、この失われたエネルギー量を表します。したがって、「後のエネルギー」は「前のエネルギー」から「摩擦に奪われた分」を引いたものになります。これを数式にしたのが \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\) です。
    • 式の各項を正確に立てる:
      1. 始点と終点を決め、それぞれの運動エネルギーと弾性エネルギーを計算する（今回は水平運動なので重力位置エネルギーは変化しない）。
      2. 始点から終点までの間に、動摩擦力がした仕事を計算する（力の大きさと移動距離、そして仕事が負であることに注意）。
      3. これらを関係式に代入して方程式を立てる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦のある斜面上のばね振り子: 重力による位置エネルギーの変化も考慮に入れる必要がある問題。動摩擦力の大きさを求める際に、垂直抗力が \(mg\) ではなく \(mg\cos\theta\) になる点にも注意が必要です。
  • 粗い水平面上でばねにつながれた物体の往復運動（減衰振動）: 物体は往復するたびにエネルギーを失い、最終的には力のつりあう範囲内のどこかで静止します。どこで止まるかを考える問題などに応用されます。
  • 粗い面と滑らかな面が組み合わさったコース: 例えば、滑らかな面でばねによって打ち出された物体が、粗い水平面を進むような問題。区間ごとにエネルギー保存則が使えるか、仕事とエネルギーの関係を使うかを見極める必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず非保存力（摩擦）の有無を確認する: 問題文に「摩擦」「粗い面」といったキーワードがあれば、力学的エネルギーは保存しないと判断し、「エネルギーと仕事の関係」を使う方針を立てます。
  2. 始点と終点を明確に設定する: エネルギーの関係式を立てるには、比較対象となる運動の「始点」と「終点」を問題文から正確に読み取ることが重要です。この問題では、(2)は「Pと任意のR」、(3)は「PとQ」が対応します。
  3. 動摩擦力の仕事の計算を丁寧に行う:
     • 力の大きさ: 垂直抗力 \(N\) を正しく求め、\(f=\mu N\) を計算する。
     • 移動距離: 始点から終点までの純粋な移動距離を計算する（座標そのものではないことに注意）。
     • 符号: 動摩擦力は常に運動と逆向きなので、仕事は必ず負になる。
  4. 速さ最大点を問われたら「力のつりあい」を疑う: エネルギーの式が複雑な場合でも、「速さが最大になる点では、物体に働く合力がゼロになる」という物理原則を使えば、簡単な力のつりあいの式から答えを導けることが多いです。これは非常に強力なテクニックです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力の仕事の符号ミス:
  • 誤解: 仕事を計算するときに、力の大きさと距離を単純に掛けてしまい、正の値にしてしまう。
  • 対策: 動摩擦力は「常に物体の運動方向と逆向きに働く力」であることを徹底しましょう。力が移動方向と逆向きの場合、その仕事は必ず負になります。この問題では、物体が左向きに動いているので、動摩擦力は右向きに働き、その仕事は負です。
• 動摩擦力の仕事の「移動距離」の計算ミス:
  • 誤解: P（座標\(l\)）からR（座標\(x\)）までの移動距離を、\(l+x\) や \(x\) などと間違えてしまう。
  • 対策: 座標と距離を混同しないようにしましょう。移動距離は、2点間の座標の差の絶対値です。この場合は \(l-x\) となります。図を描いて視覚的に確認する癖をつけると良いでしょう。
• 速さが最大になる点を原点Oだと勘違いする:
  • 誤解: ばねが自然長に戻ったときが一番速いと考えてしまう。
  • 対策: もし摩擦がなければ、その通りです。しかし、この問題では運動中ずっと右向きの動摩擦力が働いています。そのため、左向きの弾性力がこの右向きの動摩擦力とつりあう、原点よりも右側の地点（\(x>0\)）で速さが最大になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（弾性エネルギーの公式）:
  • 選定理由: 設問が「ばねにたくわえられている弾性エネルギー」を直接問うています。これは、ばねの伸びとばね定数から一意に決まる物理量であり、その定義式である \(U_s = \frac{1}{2}kx^2\) を適用するのが必然です。
  • 適用根拠: 問題の条件から、ばねの伸びが \(l\) であることが分かっているので、\(x=l\) を公式に代入します。
• (2), (3)での公式選択（エネルギーと仕事の関係）:
  • 選定理由: 問題の状況に「動摩擦力」が含まれているため、力学的エネルギー保存則は適用できません。運動の途中経過（加速度など）を考えずに、始点と終点の状態（位置と速さ）を結びつけたいので、運動方程式よりも「エネルギーと仕事の関係（\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)）」を用いるのが最も効率的です。
  • 適用根拠: 物体に働く力のうち、弾性力は保存力なのでその仕事は弾性エネルギー \(\Delta U_s\) としてエネルギーの項に含めます。垂直抗力と重力は仕事をしません。動摩擦力は仕事をする非保存力です。この力の分類こそが、「（運動エネルギーと弾性エネルギーの変化）=（動摩擦力がした仕事）」という関係式を適用する直接的な根拠となります。
• (4)での公式選択（エネルギーの式の最大値 or 力のつりあい）:
  • 模範解答のアプローチ（エネルギーの式の最大値）: (2)で運動エネルギー \(K\) を位置 \(x\) の関数として導出しました。「速さが最大」は「\(K\) が最大」と同義なので、この問題を「関数 \(K(x)\) の最大値を求める数学の問題」として捉え直すことができます。\(K(x)\) が \(x\) の2次関数であるため、数学的な手法（平方完成）を用いて頂点を求めるのが論理的な流れです。
  • 別解のアプローチ（力のつりあい）: 物理的な視点に立つと、「速さが最大になる点」は「加速度が \(0\) になる点」であり、それはすなわち「物体に働く合力が \(0\) になる点」です。この物理的な洞察に基づき、力のつりあいの式を立てるのが最も本質的で、多くの場合計算も簡単なアプローチとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 因数分解を意識する:
  • (2)で得られた \(K = \frac{1}{2}k(l^2 – x^2) – \mu mg(l-x)\) という式は、\(l^2-x^2 = (l-x)(l+x)\) と因数分解できます。これにより、(3)で \(K=0\) としたときに \((l-s)\) という共通因数でくくり出すことができ、計算が非常に楽になります。複雑な式ほど、因数分解できないか疑う癖をつけましょう。
• 平方完成は丁寧に行う:
  • (4)の計算で出てくる平方完成は、係数に分数やマイナスが含まれ、計算ミスが起こりやすいポイントです。\(K(x) = -\frac{1}{2}kx^2 + \mu mgx + (\dots)\) のように、まずは \(x\) の項を整理し、\(x^2\) の係数（\(-\frac{1}{2}k\)）で慎重にくくり出すなど、一段階ずつ丁寧に変形する癖をつけましょう。
• 物理的にありえない解を捨てる:
  • (3)で方程式を解くと、数学的には \(s=l\) という解も出てきます。しかし、これは「物体が位置Pから全く動かなかった」ことを意味し、問題の状況（動き出してQで静止）と矛盾します。このように、得られた数学的な解が、問題の物理的な条件を満たしているかを常に吟味する習慣が重要です。
• 極端な条件で検算する:
  • 計算結果が正しいか不安なときは、物理的に分かりやすい極端な条件、例えば「摩擦がなかったら（\(\mu = 0\)）」を代入してみるのが有効です。
  • (3)の答えは \(s = -l\) となり、エネルギーが保存されるので対称な位置で折り返すという直観に合います。
  • (4)の答えは \(x = 0\) となり、摩擦がなければ力のつりあい点（弾性力が0になる点）は原点であるという事実と一致します。
  • このように、簡単な状況で答えが妥当な値になるかを確認することで、計算ミスを発見できることがあります。

170 連結された物体と摩擦

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された物体における、非保存力が仕事をする場合のエネルギー解析」です。物体AとBを一つの「系」として捉え、動摩擦力という非保存力が系全体にする仕事を考慮しながら、エネルギーの変化を追跡することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとBを一つの「系」とみなし、系全体のエネルギー変化を考えます。この運動では、非保存力である動摩擦力が仕事をするため、力学的エネルギーは保存しません。そこで、「（後の力学的エネルギー）-（前の力学的エネルギー）=（動摩擦力がした仕事）」という関係式を、運動開始からばね衝突直前までの区間で適用します。
この設問における重要なポイント

• AとBは一体となって運動するため、速さの大きさは常に等しい。
• 系に仕事をする非保存力は、物体Aに働く動摩擦力のみである。
• エネルギーの基準点を明確に設定する。ここでは、Bの最初の高さを重力による位置エネルギーの基準とする。

具体的な解説と立式
始点を「静かに放した瞬間」、終点を「Aがばねに衝突する直前」とします。Bの最初の高さを位置エネルギーの基準（高さ\(0\)）とします。

• 始点での系の力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\):
  • A, Bともに静止しているので運動エネルギーは \(0\)。
  • Bは基準の高さにあるので位置エネルギーは \(0\)。
  • ばねは自然長なので弾性エネルギーは \(0\)。
  • よって、\(E_{\text{前}} = 0\)。
• 終点での系の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • A, Bの速さを \(v\) とすると、運動エネルギーの和は \(\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv^2\)。
  • Bは距離 \(D\) だけ落下しているので、位置エネルギーは \(-mgD\)。
  • よって、\(E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(M+m)v^2 – mgD\)。
• 動摩擦力がした仕事 \(W\):
  • Aに働く垂直抗力は \(Mg\) なので、動摩擦力の大きさは \(\mu Mg\)。
  • Aは距離 \(D\) を移動し、動摩擦力は運動と逆向きに働くので、仕事は負。
    $$ W = -(\mu Mg) \times D $$
    $$ W = -\mu MgD $$

エネルギーと仕事の関係式 \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W\) より、
$$ \left(\frac{1}{2}(M+m)v^2 – mgD\right) – 0 = -\mu MgD $$

まず、AとBの運動エネルギーの和 \(\frac{1}{2}(M+m)v^2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(M+m)v^2 &= mgD – \mu MgD \\[2.0ex] &= (m-\mu M)gD
\end{aligned}
$$
次に、この結果を使って速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2(m-\mu M)gD}{M+m}
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{2(m-\mu M)gD}{M+m}} $$

この運動のエネルギー源は、おもりBが下に落ちることで生み出される「位置エネルギー」です。このエネルギーは、(1)AとBが動くための「運動エネルギー」と、(2)Aと床との摩擦で失われる「熱エネルギー」の2つに分配されます。「Bが生み出した全エネルギー = AとBが得た運動エネルギー + 摩擦で失われた熱エネルギー」というエネルギーの収支計算をすることで、運動エネルギーの和と速さが求まります。

運動エネルギーの和は \((m-\mu M)gD\)、速さは \(\sqrt{\frac{2(m-\mu M)gD}{M+m}}\) と求まりました。物体が動き出すためには、Bを引く力（重力 \(mg\)）がAを妨げる力（動摩擦力 \(\mu Mg\)）より大きい必要があるので、\(m > \mu M\) となります。このとき、運動エネルギーは正の値となり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ばねの弾性エネルギーの変化を求めるには、運動の全区間、つまり「静かに放した瞬間」から「ばねを \(x\) だけ縮めて完全に停止した瞬間」までを一気に考えるのが効率的です。この全区間を通して、エネルギーと仕事の関係式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 始点（運動開始時）と終点（最終停止時）では、系の運動エネルギーはどちらも \(0\) である。
• Bが失った位置エネルギーの総量が、摩擦によって失われた熱エネルギーと、最終的にばねに蓄えられた弾性エネルギーの和に等しい。

具体的な解説と立式
始点を「静かに放した瞬間」、終点を「最終的に停止した瞬間」とします。Bの最初の高さを位置エネルギーの基準とします。

• 始点での系の力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\):
  • すべてのエネルギーが \(0\) なので、\(E_{\text{前}} = 0\)。
• 終点での系の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • A, Bともに静止しているので運動エネルギーは \(0\)。
  • Bは合計で \(D+x\) だけ落下しているので、位置エネルギーは \(-mg(D+x)\)。
  • ばねは \(x\) だけ縮んでいるので、弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}kx^2\)。
  • よって、\(E_{\text{後}} = \frac{1}{2}kx^2 – mg(D+x)\)。
• 動摩擦力がした仕事 \(W\):
  • 動摩擦力 \(\mu Mg\) が、全移動距離 \(D+x\) にわたって働く。
    $$ W = -\mu Mg(D+x) $$

エネルギーと仕事の関係式 \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W\) より、
$$ \left(\frac{1}{2}kx^2 – mg(D+x)\right) – 0 = -\mu Mg(D+x) $$
求めたいのは「ばねの弾性力による位置エネルギーの変化」です。衝突前は \(0\)、停止時は \(\frac{1}{2}kx^2\) なので、変化量は \(\frac{1}{2}kx^2\) そのものです。

上記で立てた式を、ばねの弾性エネルギー \(\frac{1}{2}kx^2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}kx^2 &= mg(D+x) – \mu Mg(D+x) \\[2.0ex] &= (m-\mu M)g(D+x)
\end{aligned}
$$

Bが最初から最後まで落ちることで生み出した「位置エネルギー」の総額が、最終的に2つのものに姿を変えました。一つは、Aが床をこすったことで発生した「熱エネルギー」の総額。もう一つは、最後にばねを押し縮めるために使われた「ばねの弾性エネルギー」です。この壮大なスケールでのエネルギー収支を考えることで、ばねに蓄えられたエネルギーを計算できます。

ばねの弾性力による位置エネルギーの変化（＝最終的に蓄えられた弾性エネルギー）は、\((m-\mu M)g(D+x)\) と求まりました。この式の物理的な意味を考えると、\((m-\mu M)g\) は系を動かす「正味の力」（Bの重力から摩擦力を引いたもの）であり、\(D+x\) はその力が働いた全移動距離です。つまり、ばねのエネルギーは「系を動かす正味の力が、全区間にわたってした仕事」に等しいという、仕事とエネルギーの原理そのものを表しており、非常に理にかなった結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連結された系におけるエネルギーと仕事の関係
  • 核心: この問題の根幹は、複数の物体が連結された「系」全体を一つの対象とみなし、その系に対して非保存力（動摩擦力）が仕事をする場合のエネルギー収支を正しく計算できるかどうかにあります。力学的エネルギー保存則が使えない代わりに、より一般的な「（系の力学的エネルギーの変化量）=（非保存力がした仕事）」という関係式を適用することが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 「系」で考えるメリット: 物体AとBを一つの系とみなすことで、両者をつなぐ糸の張力は「内力」となり、系の外部から仕事をしないため、考慮する必要がなくなります。これにより、立式が非常にシンプルになります。
    • 系のエネルギーの内訳: 系の力学的エネルギーは、構成要素すべてのエネルギーの総和です。この問題では「Aの運動エネルギー」「Bの運動エネルギー」「Bの重力による位置エネルギー」「ばねの弾性エネルギー」が関係します。これらのうち、どのエネルギーが変化したかを正確に把握する必要があります。
    • 非保存力の仕事: 系に対して仕事をする非保存力は、Aに働く動摩擦力のみです。この動摩擦力がした仕事の分だけ、系全体の力学的エネルギーが減少し、熱エネルギーに変わります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦のある斜面上の連結物体: 物体Aが斜面上にある場合。Aに働く重力の斜面成分も運動を妨げる力として考慮する必要があります。また、動摩擦力を計算する際の垂直抗力が \(Mg\) ではなく \(Mg\cos\theta\) になります。
  • 動滑車を含む連結物体: 動滑車が使われると、AとBの移動距離や速さの関係が \(1:1\) ではなくなります（例：Aが \(x\) 動くとBは \(2x\) 動く）。この「束縛条件」を正しく見抜き、エネルギーの式に反映させることが鍵となります。
  • 衝突を含む連結系の運動: ばねの代わりに、Aが別の物体に衝突するような問題。衝突の前後では「運動量保存則」を使い、衝突後の運動では「エネルギーと仕事の関係」を使うなど、複数の法則を段階的に適用する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「系」を定義する: どの物体を一つのグループ（系）として扱うかを最初に決めます。連結されている物体はまとめて系とみなすのが基本です。
  2. 系に働く力を分類する: 系に働く力をすべてリストアップし、「内力（張力など）」と「外力（重力、垂直抗力、摩擦力など）」に分けます。さらに外力を「保存力（重力、弾性力）」と「非保存力（摩擦力など）」に分類します。
  3. エネルギー収支の区間を決める: どの時点からどの時点までのエネルギー変化を追うかを決めます。問題によっては、(2)のように運動の全区間（最初から最後まで）を一気に考えた方が、途中の速さなどが消去されて計算が楽になる場合があります。
  4. エネルギーの各項をリストアップする: 始点と終点それぞれについて、系のエネルギー（\(K_A, K_B, U_{g,B}, U_s\) など）の値を一つずつ丁寧に確認し、式に代入します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 系のエネルギーの構成要素を漏らしてしまう:
  • 誤解: 物体Aの運動エネルギーだけを考えたり、物体Bの位置エネルギーを忘れたりしてしまう。
  • 対策: 「系」のエネルギーを考えるときは、必ず「系を構成する全ての物体の」「全ての種類のエネルギー」を書き出してチェックする癖をつけましょう。例えば、「\(E_{系} = K_A + K_B + U_{g,B} + U_s\)」のようにテンプレートを書いておき、各項がゼロか否かを確認していくと、漏れを防げます。
• 動摩擦力の仕事の計算ミス:
  • 誤解: 動摩擦力を計算する際の垂直抗力に、Bの質量 \(m\) も含めて \( (M+m)g \) と考えてしまう。
  • 対策: 動摩擦力は物体Aと水平面の間で働いています。したがって、垂直抗力はAに働く鉛直方向の力のつりあいから \(N=Mg\) と正しく求める必要があります。Bの重力はAの垂直抗力には影響しません。
• エネルギーと仕事の関係式の符号ミス:
  • 誤解: \(\Delta E = W\) の右辺 \(W\)（動摩擦力の仕事）を正の値にしてしまう。また、位置エネルギーの減少（\(-mgD\)）を正の値として扱ってしまう。
  • 対策: 最初に位置エネルギーの基準点（高さ\(0\)）を決めたら、それより低い位置のエネルギーは必ず負の値になるというルールを徹底します。また、動摩擦力は常にエネルギーを系から奪う（熱に変える）役割なので、その仕事は必ず負の値になります。\(E_{後} – E_{前} = (\text{負の値})\) という式の構造を常に意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（エネルギーと仕事の関係）:
  • 選定理由: 問題文に「粗い水平面」とあるため、動摩擦力が仕事をし、系全体の力学的エネルギーは保存しません。運動の途中経過（加速度や時間）を問わず、始点と終点の状態（速さや位置）を結びつけたいので、運動方程式よりも「エネルギーと仕事の関係（\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)）」を用いるのが最も効率的です。
  • 適用根拠: 系をA+Bと定義すると、張力は内力となり無視できます。系に働く外力のうち、重力は保存力（位置エネルギーとして扱う）、垂直抗力は仕事をしない、動摩擦力は仕事をする非保存力です。この力の分類こそが、「（系の力学的エネルギーの変化）=（動摩擦力がした仕事）」という関係式を適用する直接的な根拠となります。
• (2)で全区間を考える理由:
  • 選定理由: 求めたいのは最終的なばねのエネルギーです。運動の始点（静止）と終点（静止）では、系の運動エネルギーがどちらもゼロになります。この2点間でエネルギー収支を考えれば、途中の運動エネルギー（速さ）を一切計算せずに済むため、立式と計算が最もシンプルになります。
  • 適用根拠: エネルギーと仕事の関係は、どのような区間を選んでも成り立ちます。したがって、計算が最も簡単になるように、始点と終点を賢く選ぶことが問題解決のテクニックとなります。
• 別解でのアプローチ選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 力学のあらゆる問題は、基本に立ち返れば運動方程式 \(ma=F\) から解くことができます。特に、力が一定で等加速度運動をする区間では有効なアプローチです。
  • 適用根拠: ばねに衝突するまでの区間では、系に働く力（Bの重力とAの動摩擦力）は一定です。したがって、系全体の加速度も一定となり、「等加速度直線運動の公式（\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) など）」を適用できることが、この解法を用いる根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数でくくる:
  • (1)の \(mgD – \mu MgD\) は \( (m-\mu M)gD \) とくくる。
  • (2)の \(mg(D+x) – \mu Mg(D+x)\) は \( (m-\mu M)g(D+x) \) とくくる。
  • このように、計算の早い段階で共通因数で整理する癖をつけると、式が簡潔になり、見通しが良くなって計算ミスが減ります。
• 物理的な意味を考えながら検算する:
  • (1)で、物体が動き出すためには、Bを引く力（重力 \(mg\)）がAを妨げる力（最大静止摩擦力、ここでは動摩擦力 \(\mu Mg\)）より大きい必要があります。つまり \(m > \mu M\) です。このとき、計算結果である運動エネルギーの和 \((m-\mu M)gD\) は正の値となり、物理的に妥当であることが確認できます。
  • (2)で求めた弾性エネルギー \((m-\mu M)g(D+x)\) は、「系を動かす正味の力 \((m-\mu M)g\)」が「その力が働いた全移動距離 \((D+x)\)」だけした仕事に等しい、という仕事の原理の形になっています。この物理的な解釈ができると、式の形が正しいかどうかの確信が持てます。
• エネルギーの収支を図で描く:
  • 特に複雑な系では、エネルギーの変換を図式化すると有効です。
  • (2)の場合、「始状態：Bの位置エネルギー」→「終状態：ばねの弾性エネルギー」＋「途中：摩擦による熱エネルギー」のように、エネルギーの流れを矢印で描くと、どのエネルギーがどこへ移ったかが明確になり、立式のミスを防げます。

171 動摩擦力と仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦のある斜面上の連結物体の運動解析」です。物体AとBを一つの「系」として捉え、非保存力である動摩擦力が系全体にする仕事を考慮しながら、エネルギーの変化を追跡することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
AとB全体を一つの「系」とみなし、この系の力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) を、定義通り \(\Delta E = (\text{後の力学的エネルギー}) – (\text{前の力学的エネルギー})\) で計算します。
この設問における重要なポイント

• 系の力学的エネルギーは、AとB両方の運動エネルギーと位置エネルギーの総和である。
• AとBは一体で動くため、速さは等しい。
• 位置エネルギーの基準点を明確にする。ここでは、運動開始時のAとBそれぞれの高さを基準とする。

具体的な解説と立式
運動開始時のAとBの位置を、それぞれの重力による位置エネルギーの基準（高さ\(0\)）とします。

• 前の力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\):
  • A, Bともに静止しているので運動エネルギーは \(0\)。
  • A, Bともに基準の高さにあるので位置エネルギーは \(0\)。
  • よって、\(E_{\text{前}} = 0\)。
• 後の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • A, Bの速さはともに \(v\) なので、運動エネルギーの和は \(\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv^2\)。
  • Aは斜面に沿って \(l\) すべりおりるので、鉛直方向には \(l\sin\theta\) だけ下がる。よって、Aの位置エネルギーは \(-Mgl\sin\theta\)。
  • Bは \(l\) だけ上昇するので、Bの位置エネルギーは \(+mgl\)。
  • よって、\(E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(M+m)v^2 – Mgl\sin\theta + mgl\)。

力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta E &= E_{\text{後}} – E_{\text{前}} \\[2.0ex] &= \left( \frac{1}{2}(M+m)v^2 – Mgl\sin\theta + mgl \right) – 0
\end{aligned}
$$

上記で立てた式を整理します。
$$ \Delta E = \frac{1}{2}(M+m)v^2 + (m – M\sin\theta)gl $$

AとBというグループ全体の「エネルギー収支報告書」を作成します。運動の前後を比べて、グループ全体の運動エネルギーと位置エネルギーが、合計でどれだけ増えたり減ったりしたかを計算します。Aの位置エネルギーは減り、Bの位置エネルギーは増え、両方の運動エネルギーが増えるので、それらをすべて足し合わせます。

A, B全体の力学的エネルギーの変化量は \(\frac{1}{2}(M+m)v^2 + (m – M\sin\theta)gl\) と求まりました。各項が運動エネルギーの変化、Bの位置エネルギーの変化、Aの位置エネルギーの変化に対応しており、定義通りの正しい式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この運動では、非保存力である動摩擦力が仕事をするため、系の力学的エネルギーは保存しません。力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) は、動摩擦力がした仕事 \(W\) に等しくなります。この関係式 \(\Delta E = W\) を用いて、速さ \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• エネルギーと仕事の関係式 \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\) を適用する。
• Aに働く動摩擦力の大きさを、垂直抗力から正しく計算する。
• 動摩擦力は運動と逆向きに働くため、その仕事は負の値になる。

具体的な解説と立式
まず、動摩擦力がした仕事 \(W\) を計算します。

• Aに働く斜面に垂直な方向の力のつりあいより、垂直抗力 \(N\) は、
  $$ N = Mg\cos\theta $$
• 動摩擦力 \(f’\) の大きさは、
  $$ f’ = \mu’N $$
  $$ f’ = \mu’Mg\cos\theta $$
• Aは距離 \(l\) をすべりおり、動摩擦力は運動と逆向き（斜面上向き）に働くので、仕事 \(W\) は、
  $$ W = -f’l $$
  $$ W = -\mu’Mgl\cos\theta $$

次に、エネルギーと仕事の関係式 \(\Delta E = W\) に、(1)で求めた \(\Delta E\) と上記の \(W\) を代入します。
$$ \frac{1}{2}(M+m)v^2 + (m – M\sin\theta)gl = -\mu’Mgl\cos\theta $$

上記で立てた式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(M+m)v^2 &= – (m – M\sin\theta)gl – \mu’Mgl\cos\theta \\[2.0ex] &= -mgl + Mgl\sin\theta – \mu’Mgl\cos\theta \\[2.0ex] &= (M\sin\theta – m – \mu’M\cos\theta)gl
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2(M\sin\theta – m – \mu’M\cos\theta)gl}{M+m}
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{2(M\sin\theta – m – \mu’M\cos\theta)gl}{M+m}} $$

(1)で計算した「エネルギーの全体の増減額」は、実は「摩擦によって系から奪われたエネルギー」とぴったり等しくなります。摩擦がどれくらいのエネルギーを奪ったかを計算し、(1)の結果とイコールで結ぶことで、未知数である速さ \(v\) を求めることができます。

速さ \(v\) が求まりました。物体Aが下にすべり始めるためには、Aを下に引く力（\(Mg\sin\theta\)）が、上に引く力（Bの重力 \(mg\) と動摩擦力 \(\mu’Mg\cos\theta\)）の和より大きくなければなりません。この条件 \(Mg\sin\theta > mg + \mu’Mg\cos\theta\) は、計算結果の根号の中が正になる条件と一致しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体A「のみ」の力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E_A\) を考えます。Aの力学的エネルギーを変化させるのは、Aに働く非保存力（この場合は、ひもの張力と動摩擦力）がする仕事です。これらの仕事の符号を調べることで、\(\Delta E_A\) の符号を判断します。
この設問における重要なポイント

• A単体で考える場合、張力は外力として仕事をする非保存力とみなす。
• 仕事の符号は、力の向きと運動の向きの関係で決まる。

具体的な解説と立式
物体Aの力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E_A\) は、Aに対して張力と動摩擦力がした仕事の和に等しくなります。
$$ \Delta E_A = W_{\text{張力}} + W_{\text{動摩擦力}} $$

• 物体Aは、斜面に沿って下向きに距離 \(l\) だけ運動します。
• ひもの張力は、Aを斜面に沿って上向きに引きます。力の向きと運動の向きが逆なので、張力がする仕事 \(W_{\text{張力}}\) は負です。
• 動摩擦力も、Aの運動を妨げる向き、すなわち斜面に沿って上向きに働きます。力の向きと運動の向きが逆なので、動摩擦力がする仕事 \(W_{\text{動摩擦力}}\) も負です。

したがって、
$$ \Delta E_A = (\text{負の値}) + (\text{負の値}) $$
となり、\(\Delta E_A\) は負になります。

定性的な判断であるため、具体的な計算は不要です。

物体Aの身になって考えてみましょう。Aが坂道を下ろうとしているのに、ひもは「行くな！」と上に引っ張り、摩擦も「行くな！」と進行方向に逆らって邪魔をします。Aにとって、エネルギーをくれる力は一つもなく、エネルギーを奪う力（負の仕事をする力）が2つも働いています。したがって、Aが持っている力学的エネルギー（位置エネルギー＋運動エネルギー）は、運動の前後で比べると必ず減少します。

物体Aには、運動方向と逆向きに張力と動摩擦力が働き、どちらも負の仕事をするため、Aの力学的エネルギーは減少します。よって、\(\Delta E_A\) は負です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連結された系におけるエネルギーと仕事の関係
  • 核心: この問題の根幹は、複数の物体が連結された「系」全体を一つの対象とみなし、その系に対して非保存力（動摩擦力）が仕事をする場合のエネルギー収支を正しく計算できるかどうかにあります。力学的エネルギー保存則が使えない代わりに、より一般的な「（系の力学的エネルギーの変化量）=（非保存力がした仕事）」という関係式を適用することが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 「系」で考えるメリット: 物体AとBを一つの系とみなすことで、両者をつなぐ糸の張力は「内力」となり、系の外部から仕事をしないため、考慮する必要がなくなります。これにより、立式が非常にシンプルになります。
    • 系のエネルギーの内訳: 系の力学的エネルギーは、構成要素すべてのエネルギーの総和です。この問題では「Aの運動エネルギー」「Bの運動エネルギー」「Aの重力による位置エネルギー」「Bの重力による位置エネルギー」が関係します。これらのうち、どのエネルギーが変化したかを正確に把握する必要があります。
    • (3)における「系」と「個」の視点の切り替え: (1)(2)ではAとBを「系」として扱いますが、(3)ではA「のみ」のエネルギー変化が問われます。この場合、Aにとって張力は仕事をする「外力」とみなさなければなりません。この視点の切り替えが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦のある水平面上の連結物体: 前の問題(170)のように、物体Aが水平面上にある場合。Aの重力による位置エネルギーの変化がなくなります。
  • 動滑車を含む連結物体: 動滑車が使われると、AとBの移動距離や速さの関係が \(1:1\) ではなくなります（例：Aが \(l\) 動くとBは \(2l\) 動く）。この「束縛条件」を正しく見抜き、エネルギーの式（特に位置エネルギーの変化や仕事の計算）に反映させることが鍵となります。
  • 複数の斜面や水平面が組み合わさったコース: 連結された物体が、途中で傾斜角が変わる斜面や水平面を進む問題。区間ごとに動摩擦力の大きさが変わるため、それぞれの区間で非保存力がした仕事を計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「系」を定義する: どの物体を一つのグループ（系）として扱うかを最初に決めます。連結されている物体はまとめて系とみなすのが基本です。
  2. エネルギー収支の区間を決める: どの時点からどの時点までのエネルギー変化を追うかを決めます。
  3. エネルギーの各項をリストアップする: 始点と終点それぞれについて、系のエネルギー（\(K_A, K_B, U_{g,A}, U_{g,B}\) など）の値を一つずつ丁寧に確認し、式に代入します。特に位置エネルギーの基準点と、そこからの高さの変化（正負を含む）に注意します。
  4. 非保存力の仕事を計算する: 系に対して仕事をする非保存力（この場合は動摩擦力）を特定し、その仕事 \(W\) を計算します。力の大きさと移動距離、そして符号（運動と逆向きなら負）を正確に求めます。
  5. \(\Delta E = W\) を立式する: (1)のように \(\Delta E\) を求める問題なら定義通り計算し、(2)のように速さなどを求める問題なら \(\Delta E = W\) の関係式を立てて解きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• A単体のエネルギー変化と、系全体のエネルギー変化の混同:
  • 誤解: (3)でAのエネルギー変化を考える際に、(1)(2)と同じように張力を無視してしまう。
  • 対策: 誰のエネルギーを考えているのかを常に明確にしましょう。「AとB全体（系）」で考えるときは、張力は内力なので仕事は相殺され無視できます。しかし、「Aのみ」で考えるときは、張力はAを引っ張る外力であり、仕事をする非保存力として扱わなければなりません。この区別が極めて重要です。
• 位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: Aが下がる位置エネルギーの変化と、Bが上がる位置エネルギーの変化の符号を両方とも正、あるいは両方とも負にしてしまう。
  • 対策: 最初に設定した基準点を常に意識しましょう。基準点より下がる物体の位置エネルギーは減少し（変化量は負）、上がる物体の位置エネルギーは増加します（変化量は正）。Aは下がり、Bは上がるので、\(\Delta U_A = -Mgl\sin\theta\)、\(\Delta U_B = +mgl\) となります。
• 動摩擦力の計算ミス:
  • 誤解: 斜面上の物体の垂直抗力を、常に \(Mg\) だと思ってしまう。
  • 対策: 斜面上の物体に働く垂直抗力は、重力の斜面に垂直な成分とつりあいます。したがって、必ず \(N=Mg\cos\theta\) となります。この \(N\) を使って動摩擦力 \(f’=\mu’N\) を計算する手順を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力学的エネルギーの定義式）:
  • 選定理由: 問題が「A, B全体の力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) を求めよ」と直接的に指示しています。したがって、その定義である \(\Delta E = E_{\text{後}} – E_{\text{前}}\) に従って、始状態と終状態の各エネルギーを計算し、差を求めるのが最も素直なアプローチです。
  • 適用根拠: 系の力学的エネルギーは、構成要素であるAとBの運動エネルギーと位置エネルギーの総和として定義されます。この定義に基づいて、\(E_{\text{前}}\) と \(E_{\text{後}}\) をそれぞれ計算します。
• (2)での公式選択（エネルギーと仕事の関係）:
  • 選定理由: (1)で求めた力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) は、ゼロではありません。これは、非保存力である動摩擦力が仕事をしたためです。この物理的な因果関係を結びつける法則が「エネルギーと仕事の関係 \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)」です。この式を用いることで、\(\Delta E\) に含まれる未知数 \(v\) を求めることができます。
  • 適用根拠: 系に働く外力のうち、重力は保存力（位置エネルギーとして \(\Delta E\) に含まれる）、張力は内力、垂直抗力は仕事をしない、そして動摩擦力は仕事をする非保存力です。この力の分類こそが、\(\Delta E = W_{\text{動摩擦力}}\) という関係式を適用する直接的な根拠となります。
• (3)での公式選択（仕事の定義と符号）:
  • 選定理由: A「のみ」の力学的エネルギーの変化 \(\Delta E_A\) の符号を問われています。Aのエネルギーを変化させる要因は、Aに働く非保存力（張力と動摩擦力）がする仕事です。したがって、これらの仕事の符号を調べることで、\(\Delta E_A\) の符号を定性的に判断できます。
  • 適用根拠: 仕事の定義によれば、力の向きと運動の向きが逆の場合、その仕事は負になります。Aの運動方向（斜面下向き）に対して、張力も動摩擦力も逆向き（斜面上向き）に働くため、両者の仕事はともに負となります。その結果、\(\Delta E_A\) も負になると結論付けられます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数でくくる:
  • (1)の \(mgl – Mgl\sin\theta\) は \( (m-M\sin\theta)gl \) とくくる。
  • (2)の式変形でも、\(gl\) などの共通項で整理する癖をつけると、式が簡潔になり見通しが良くなります。
• 物理的な意味を考えながら検算する:
  • (2)で、物体Aが下にすべり始めるためには、Aを下に引く力（重力の斜面成分 \(Mg\sin\theta\)）が、Aを上に引く力（Bの重力 \(mg\) と最大静止摩擦力）の和より大きい必要があります。計算結果の根号の中が正になる条件（\(M\sin\theta > m + \mu’M\cos\theta\)）が、この物理的な条件と一致しているかを確認することで、式の妥当性を検証できます。
• (3)の理由説明の論理構成を明確にする:
  • 理由を記述する際は、論理的なステップを明確にしましょう。
    1. 「Aの力学的エネルギーの変化 \(\Delta E_A\) は、Aに働く非保存力の仕事の和に等しい」
    2. 「Aに働く非保存力は、張力と動摩擦力である」
    3. 「張力は、Aの運動方向と逆向きなので、負の仕事をする」
    4. 「動摩擦力も、Aの運動方向と逆向きなので、負の仕事をする」
    5. 「したがって、負の仕事と負の仕事の和である \(\Delta E_A\) は負である」
  • このように段階を踏んで説明することで、減点のない完全な解答になります。

172 棒におもりをつけた振り子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された剛体振り子の力学的エネルギー保存」です。複数の物体が一体となって運動する系において、系全体のエネルギーがどのように変化（この場合は保存）するかを解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
おもりAとB、そして棒を一つの「系」と考えます。棒がAとBに及ぼす力（内力）は、常に棒に沿った方向であり、AとBの変位の方向とは必ずしも一致しませんが、系全体で見るとその仕事の和は0になります。仕事をする外力は保存力である重力のみなので、系全体の力学的エネルギーは保存されます。
この設問における重要なポイント

• AとBは棒でつながれているため、速さの大きさは常に等しい。
• 位置エネルギーの基準を回転中心Oの高さとする。
• はじめの状態: Bは高さ \(+R\)、Aは高さ \(-R\)。速さは \(0\)。
• 水平になった状態: A, Bともに高さ \(0\)。速さは \(v\)。

具体的な解説と立式
点Oの高さを重力による位置エネルギーの基準（高さ\(0\)）とします。

• はじめの力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\):
  • Aの位置エネルギー: \(-mgR\)
  • Bの位置エネルギー: \(+MgR\)
  • A, Bの運動エネルギー: ともに \(0\)
  • よって、\(E_{\text{前}} = MgR – mgR\)。
• 水平になったときの力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  • A, Bの位置エネルギー: ともに \(0\)
  • A, Bの速さはともに \(v\) なので、運動エネルギーの和は \(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2\)。
  • よって、\(E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(M+m)v^2\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ MgR – mgR = \frac{1}{2}(M+m)v^2 $$

上記で立てた式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
(M-m)gR &= \frac{1}{2}(M+m)v^2 \\[2.0ex] v^2 &= \frac{2(M-m)gR}{M+m}
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{2(M-m)gR}{M+m}} $$

この振り子が動くエネルギーは、重いおもりBが下がることで生み出されます。ただし、同時に軽いおもりAは上に上がらなければならないので、エネルギーの一部はAを持ち上げるために使われます。Bが下がって得たエネルギーから、Aが上がって使ったエネルギーを差し引いた「差額分」が、AとB両方の運動エネルギー（スピード）に変わります。このエネルギーの収支計算をしています。

振り子が水平になったときのおもりBの速さは \(v = \sqrt{\frac{2(M-m)gR}{M+m}}\) と求まりました。\(M>m\) なので根号の中は正となり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)と同様に、はじめの状態（Bが真上）と、Bが最下点に来た状態で力学的エネルギー保存則を立てます。Bが最下点に来たとき、Aは真上の最高点に来ることに注意します。
この設問における重要なポイント

• はじめの状態は(1)と同じ。
• Bが最下点に来た状態: Bは高さ \(-R\)、Aは高さ \(+R\)。速さは \(v’\)。

具体的な解説と立式
点Oの高さを位置エネルギーの基準とします。

• はじめの力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\): (1)と同じく、\(E_{\text{前}} = MgR – mgR\)。
• Bが最下点に来たときの力学的エネルギー \(E’_{\text{後}}\):
  • Aの位置エネルギー: \(+mgR\)
  • Bの位置エネルギー: \(-MgR\)
  • A, Bの速さはともに \(v’\) なので、運動エネルギーの和は \(\frac{1}{2}(M+m)v’^2\)。
  • よって、\(E’_{\text{後}} = \frac{1}{2}(M+m)v’^2 – MgR + mgR\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{前}} = E’_{\text{後}}\) より、
$$ MgR – mgR = \frac{1}{2}(M+m)v’^2 – MgR + mgR $$

上記で立てた式を \(v’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
(M-m)gR &= \frac{1}{2}(M+m)v’^2 – (M-m)gR \\[2.0ex] 2(M-m)gR &= \frac{1}{2}(M+m)v’^2 \\[2.0ex] v’^2 &= \frac{4(M-m)gR}{M+m}
\end{aligned}
$$
\(v’>0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v’ &= \sqrt{\frac{4(M-m)gR}{M+m}} \\[2.0ex] &= 2\sqrt{\frac{(M-m)gR}{M+m}}
\end{aligned}
$$

Bが一番上から一番下まで \(2R\) の高さだけ落ちる間に、Aは一番下から一番上まで \(2R\) の高さだけ上がります。この間にBが得た位置エネルギーからAが使った位置エネルギーを差し引いた、莫大な「差額分」が、すべてAとBの運動エネルギーに変わります。

おもりBが最下点に来たときの速さは \(v’ = 2\sqrt{\frac{(M-m)gR}{M+m}}\) と求まりました。
(1)で求めた速さ \(v\) と比較すると、\(v’^2 = 2v^2\) となっており、\(v’ = \sqrt{2}v\) であることがわかります。これは、水平位置から最下点まで落ちる間に増加する運動エネルギーが、最高点から水平位置まで落ちる間に得た運動エネルギーと等しいことを意味しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連結された系における力学的エネルギー保存則
  • 核心: この問題の根幹は、複数の物体が連結された「系」全体を一つの対象とみなし、その系全体の力学的エネルギーが保存されることを用いて運動を解析する能力です。
  • 理解のポイント:
    • 「系」で考える視点: 物体AとBを一つの系とみなすことで、両者をつなぐ棒が及ぼす力は「内力」となり、仕事の総和が0になるため考慮する必要がなくなります。これにより、立式が非常にシンプルになります。
    • 系のエネルギーは各要素の和: 系の力学的エネルギーは、構成要素であるAとBそれぞれの運動エネルギーと位置エネルギーを、単純に足し合わせたものです（\(E_{系} = K_A + K_B + U_A + U_B\)）。
    • 束縛条件の利用: 「軽くてまっすぐな棒」で繋がれているため、AとBは常に一体となって回転します。回転中心Oからの距離が等しいので、AとBの速さの大きさは常に等しくなります。この条件があるからこそ、速さを一つの変数 \(v\) で表すことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • アトウッドの器械: なめらかな滑車にかけられた糸の両端に、質量の異なるおもりをつけた装置。これも、2つのおもりを一つの系とみなして力学的エネルギー保存則を適用する典型例です。
  • 動滑車を含む連結物体: 動滑車が使われると、おもり同士の速さや移動距離の関係が \(1:1\) ではなくなります（例：一方が \(v\) で動くと他方は \(v/2\) で動く）。この「束縛条件」を正しく見抜き、運動エネルギーの式（\(\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2\)）に反映させることが鍵となります。
  • 摩擦のある連結物体: 前の問題(171)のように、系の一部に摩擦力が働く場合。この場合は力学的エネルギーが保存しないため、「系のエネルギー変化 = 摩擦がした仕事」という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「系」を定義する: どの物体を一つのグループ（系）として扱うかを最初に決めます。連結されている物体はまとめて系とみなすのが基本です。
  2. 系に働く力を分類し、エネルギー保存の可否を判断する: 系に働く力を「内力」と「外力」に分け、さらに外力を「保存力」と「非保存力」に分類します。非保存力が仕事をしなければ、力学的エネルギー保存則が使えます。
  3. エネルギーの基準点を設定する: 計算が最も簡単になるように、位置エネルギーの基準点を設定します。回転運動や振り子運動では、回転中心や最下点を基準に取ることが多いです。
  4. 始点と終点のエネルギーをリストアップする: 運動の「前」と「後」の状態について、系を構成する各物体の運動エネルギーと位置エネルギーを、漏れなく、かつ符号に注意して書き出します。表を作成するとミスを防ぎやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 系のエネルギーの構成要素を漏らしてしまう:
  • 誤解: 重いおもりBのエネルギー変化だけを考えてしまい、軽いおもりAの運動エネルギーや位置エネルギーの変化を忘れてしまう。
  • 対策: 「系」のエネルギーを考えるときは、必ず「系を構成する全ての物体の」「全ての種類のエネルギー」を書き出してチェックする癖をつけましょう。例えば、「\(E_{系} = K_A + K_B + U_A + U_B\)」のようにテンプレートを書いておき、各項がゼロか否か、正か負かを確認していくと、漏れを防げます。
• 位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 基準点Oより下にあるおもりAの位置エネルギーを、正の値 \(mgR\) で計算してしまう。
  • 対策: 最初に設定した基準点（高さ\(0\)）を常に意識しましょう。基準点より上にあれば位置エネルギーは正、下にあれば負です。はじめの状態ではBが上（\(+MgR\)）、Aが下（\(-mgR\)）です。この正負の区別が計算結果を大きく左右します。
• 速さが同じであることを見落とす:
  • 誤解: AとBの速さを別々の変数 \(v_A, v_B\) と置いてしまい、未知数が増えて式が解けなくなる。
  • 対策: 「剛体棒」というキーワードは、「形状が変化しない」ことを意味します。したがって、AとBは常に一体となって同じ角速度で回転します。回転中心Oからの距離が等しいので、速さの大きさも常に等しくなります。この束縛条件を正しく利用することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さ」であり、運動の途中経過（加速度や時間、棒からの力など）は問われていません。系に働く力を分析すると、仕事をする外力は保存力である重力のみです（棒が及ぼす力は内力であり、仕事の総和は0）。このような状況で、運動の始点と終点の状態を結びつけて速さを求めるには、力学的エネルギー保存則が最も強力かつ効率的なツールです。
  • 適用根拠: 非保存力（摩擦や空気抵抗など）が仕事をしないこと、そして系全体で考えれば内力の仕事の総和が0になることが、力学的エネルギー保存則を適用する直接的な根拠となります。
• 別解でのアプローチ選択（仕事と運動エネルギーの関係）:
  • 選定理由: 力学的エネルギー保存則は、より根源的な法則である「仕事と運動エネルギーの関係（\(\Delta K = W\)）」の特別な場合に相当します。仕事をする力が保存力（\(W_{保存力}\)）のみの場合、\(W_{保存力} = -\Delta U\) と書き換えられるため、\(\Delta K = -\Delta U → \Delta K + \Delta U = 0 → \Delta E = 0\) となります。この根源的な法則から出発することで、エネルギー保存則がなぜ成り立つのかをより深く理解できます。
  • 適用根拠: 系の運動エネルギーを変化させるのは、外力がした仕事である、という物理学の普遍的な法則に基づいています。この問題では、仕事をする外力は重力のみなので、「系の運動エネルギーの変化量 = 重力がした仕事の総和」すなわち \(\Delta K_{系} = W_{重力,A} + W_{重力,B}\) と立式できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数でくくる習慣をつける:
  • \(MgR – mgR\) はすぐに \((M-m)gR\) とまとめる。
  • \(\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv^2\) はすぐに \(\frac{1}{2}(M+m)v^2\) とまとめる。
  • 計算の早い段階で共通因数で整理する癖をつけると、式が簡潔になり、見通しが良くなってその後の移項や割り算のミスが減ります。
• エネルギーの表を作成して検算する:
  • 複雑な系では、始状態と終状態について、各物体の各エネルギー（K, U）を表形式でまとめると、項の漏れや符号ミスを視覚的にチェックできます。

  	始状態	終状態(1)	終状態(2)
  \(K_A\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}mv^2\)	\(\frac{1}{2}mv’^2\)
  \(K_B\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}Mv^2\)	\(\frac{1}{2}Mv’^2\)
  \(U_A\)	\(-mgR\)	\(0\)	\(+mgR\)
  \(U_B\)	\(+MgR\)	\(0\)	\(-MgR\)
  合計 E	\((M-m)gR\)	\(\frac{1}{2}(M+m)v^2\)	\(\frac{1}{2}(M+m)v’^2 – (M-m)gR\)

  • この表を作成し、\(E_{始} = E_{終}\) の式を立てれば、ミスを大幅に減らすことができます。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • 問題の条件として \(M>m\) が与えられています。これにより、計算結果の \((M-m)\) の項は常に正になります。したがって、根号の中が正となり、速さが実数として求まることが保証されます。もし \(m>M\) であれば、そもそもBが真上にある状態から自発的に動き出すことはなく、この運動は起こりません。このような物理的な考察と計算結果が一致することを確認するのも良い検算方法です。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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