「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅰ 章 5】発展例題～発展問題146

発展例題

発展例題10 円板の重心

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「切り抜かれた物体の重心計算」です。一様な物体から一部が取り除かれた後の重心を求める問題の典型例であり、重心の公式やモーメントのつり合いの考え方を正確に使いこなすことが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「切り抜く」という操作を物理的にどう捉えるかです。最も分かりやすいのは、「残りの部分」と「切り抜いた部分」を足し合わせると、「元の完全な円板」になるという関係を利用することです。それぞれの部分の「重さ」と「重心の位置」の関係を、重心の公式を使って立式します。
この設問における重要なポイント

• 物体は上下対称なので、求める重心は必ず中心線AB上にある。そのため、1次元（x軸）だけで考えればよい。
• 一様な円板なので、重さは面積に比例する。面積は半径の2乗に比例する。
• 元の円板の重心は中心O。切り抜いた円板の重心はその中心O’。
• 「残りの部分」と「切り抜いた部分」の合成重心が、元の円板の重心Oに一致する。

具体的な解説と立式
まず、各部分の重さを設定します。
一様な円板なので、重さは面積に比例します。

• 切り抜いた円板（半径 \(\displaystyle\frac{r}{2}\)）の面積は \(\pi \left(\displaystyle\frac{r}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{\pi r^2}{4}\)。
• 元の円板（半径 \(r\)）の面積は \(\pi r^2\)。

切り抜いた円板の重さを \(w\) とおくと、元の円板の重さは面積比から \(4w\) となります。
したがって、切り抜いた後の残りの板の重さは、
\((\text{残りの板の重さ}) = (\text{元の円板の重さ}) – (\text{切り抜いた円板の重さ}) = 4w – w = 3w\)
となります。

次に、座標軸を設定します。
図のように、点Oを原点(\(x=0\))とし、水平右向きにx軸をとります。

• 元の円板の重心の位置: \(x_0 = 0\)
• 切り抜いた円板の重心の位置: \(x_1 = \text{OO’} = \displaystyle\frac{r}{2}\)
• 求める、切り抜いた後の板の重心の位置を \(x_G\) とします。

「残りの部分（重さ \(3w\)、重心 \(x_G\)）」と「切り抜いた部分（重さ \(w\)、重心 \(x_1\)）」を合成すると、「元の円板（重さ \(4w\)、重心 \(x_0\)）」になるので、重心の公式を適用すると、
$$ x_0 = \frac{(3w) \times x_G + w \times x_1}{3w + w} $$
この関係式が成り立ちます。

上記で立てた式に、\(x_0=0\), \(x_1=\displaystyle\frac{r}{2}\) を代入して、\(x_G\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= \frac{3w \cdot x_G + w \cdot \frac{r}{2}}{4w}
\end{aligned}
$$
分母の \(4w\) は \(0\) ではないので、分子が \(0\) になります。
$$
\begin{aligned}
3w \cdot x_G + w \cdot \frac{r}{2} &= 0 \\[2.0ex] 3w \cdot x_G &= – w \cdot \frac{r}{2}
\end{aligned}
$$
両辺を \(3w\) で割ると（\(w \neq 0\)）、
$$
\begin{aligned}
x_G &= – \frac{w}{3w} \cdot \frac{r}{2} \\[2.0ex] x_G &= – \frac{r}{6}
\end{aligned}
$$
\(x_G\) が負の値になったので、重心は原点Oからx軸の負の向き、つまりAの向きにあることがわかります。

大きなピザ（元の円板）から、小さなピザ（切り抜いた円板）をくり抜いた残りの部分の「バランスが取れる点（重心）」を探す問題です。
まず、ピザの重さは面積で決まるので、小さいピザの重さを「1」とすると、大きいピザは「4」になります。ということは、残りの部分は「3」の重さです。
ここで逆転の発想をします。「残りの部分（重さ3）」と「小さいピザ（重さ1）」を合体させたら、元の「大きいピザ（重さ4）」に戻りますよね。
合体させたときの重心（つまり大きいピザの中心O）の位置は、それぞれの部品の重心の位置から計算できます。この関係を使って、未知数である「残りの部分の重心」を逆算する、という方法です。

求める重心の位置は \(x_G = -\displaystyle\frac{r}{6}\) と求まりました。
これは、元の円板の中心Oから、切り抜いた円板とは反対側（Aの向き）に \(\displaystyle\frac{r}{6}\) だけずれた位置にあることを意味します。重い部分が右側から取り除かれたので、重心が左側にずれるというのは直感的にも妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重心の概念と合成重心の公式
  • 核心: この問題の根幹は、「切り抜かれた物体」を、元の物体から部分を引いたものと捉えるのではなく、「残りの部分」と「切り抜かれた部分」を足し合わせると元の物体に戻る、という逆の視点で捉え直す能力です。この「合成」の考え方に、重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) を適用することが、問題を解くための直接的な手段となります。
  • 理解のポイント:
    • 質量の代わりに重さや面積比を使える: 「一様な」物体の場合、質量はその面積に比例します。そのため、わざわざ密度を掛けて質量を計算しなくても、面積の比をそのまま質量の比として重心の公式に用いることができます。この問題では、切り抜いた円板の重さを \(w\) とおくと、元の円板は \(4w\)、残りの部分は \(3w\) となり、この比率を使って計算を進めることができます。
    • 全体の重心は既知: 「残りの部分」と「切り抜かれた部分」の重心は未知または既知ですが、それらを合成した「元の完全な円板」の重心は、図形の中心Oであることは自明です。この既知の情報を等式の片側に置くことで、未知数である「残りの部分」の重心を求める方程式を立てることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 複数の図形の組み合わせ: L字型やT字型の板など、長方形や三角形といった単純な図形を複数組み合わせた物体の重心を求める問題。この場合は、各単純図形に物体を分割し、それぞれの重心と質量（面積）を求めてから、合成重心の公式を適用します。
  • 複数の切り抜きがある問題: 例えば、大きな正方形の板から、2つの異なる大きさの円を切り抜いた場合など。この場合も、「負の質量」の考え方が有効です。元の正方形（正の質量）と、2つの円（それぞれ負の質量）の3つの物体の合成重心を求めることで、複雑な計算を避けることができます。
  • 3次元の物体: 直方体から球をくり抜いたような3次元の物体の重心。考え方は2次元と全く同じですが、質量を面積ではなく体積に比例させて考えます。また、対称性によっては、x, y, zの3つの座標について重心計算が必要になる場合があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは対称性を探す: 物体が線対称や点対称な形状をしているかを確認します。対称軸や対称中心があれば、重心はその上にあることが確定するため、考える次元を減らすことができます（例: この問題ではABが対称軸なので、y座標は考えなくてよい）。
  2. 単純な図形に分割（または補完）できるか考える:
     • L字型の板なら、2つの長方形に「分割」します。
     • 円板の切り抜きなら、「元の円板」と「切り抜いた円板」に「分解」します。
  3. 各部分の「質量（面積 or 体積）」と「重心座標」を求める: 分割・分解した各々の単純な図形について、その質量（の比）と重心の座標を求めます。円や長方形なら中心、三角形なら中線の交点（頂点から対辺の中点までを2:1に内分する点）が重心です。
  4. どの方法で解くか判断する:
     • 分割した物体の合成なら → 通常の重心の公式を使う。
     • 切り抜いた物体なら → 「元に戻す」考え方（模範解答）か、「負の質量」の考え方（別解1）、あるいは「モーメントのつり合い」（別解2）を使う。どの方法でも解けますが、自分の理解しやすい方法を選択するのが良いでしょう。特に「負の質量」は応用範囲が広いため、マスターしておくと便利です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 質量の比を間違える:
  • 誤解: 半径が半分だから、質量（面積）も半分だと考えてしまう。
  • 対策: 面積は半径の「2乗」に比例し、体積は半径の「3乗」に比例することを常に意識しましょう。この問題では、半径が \(r\) と \(\displaystyle\frac{r}{2}\) なので、面積比は \(r^2 : (\displaystyle\frac{r}{2})^2 = 1 : \displaystyle\frac{1}{4} = 4:1\) となります。計算を始める前に、この質量比を正確に求めることが第一歩です。
• 重心の座標設定ミス:
  • 誤解: 全ての重心を原点からの距離として正の値で扱ってしまう。
  • 対策: 必ず座標軸を設定し、原点をどこに置くかを明確にしましょう。そして、各部分の重心が原点の右にあるのか左にあるのかを判断し、座標に正負の符号を正しく反映させることが重要です。この問題で \(x_G = \displaystyle\frac{r}{6}\) と答えてしまうと、全く逆の位置になってしまいます。
• 「残りの部分」の質量を使い忘れる:
  • 誤解: 重心の公式の分母を、元の物体の質量（\(4w\)）や、切り抜いた部分の質量（\(w\)）だけで計算してしまう。
  • 対策: 重心の公式は、あくまで「足し合わせる物体」の質量の総和で割る必要があります。模範解答のように「残りの部分（\(3w\)）」と「切り抜いた部分（\(w\)）」を合成するなら分母は \(3w+w\)。「負の質量」を使うなら「元の物体（\(4w\)）」と「負の質量の物体（\(-w\)）」を合成するので分母は \(4w-w\)。自分がどの物体を組み合わせているのかを常に意識することが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（重心の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは、複数の質量分布を持つ物体全体の「重心」という、まさにそのものズバリの物理量です。重心の定義から直接導かれる重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) を使うのが最も直接的で論理的な選択です。
  • 適用根拠: この問題は、連続的な質量分布を持つ板を扱っていますが、「残りの部分」と「切り抜いた部分」という2つの「かたまり」に分解して考えることができます。それぞれの「かたまり」の重心が分かっていれば、それらを質点とみなして、2つの質点系の重心を求める問題に単純化できます。これが、重心の公式を適用できる根拠です。
• アプローチ選択（モーメントのつり合い）:
  • 選定理由: 「重心」とは、定義上「重力の合力の作用点」です。つまり、物体をその点で支えれば、重力による力のモーメントがつり合って回転しない点です。この定義に立ち返れば、重心の問題を力のモーセントのつり合いの問題として解くことができるのは自然な発想です。
  • 適用根拠: 「残りの部分」と「切り抜いた部分」を合成して「元の物体」に戻したとき、その重心はO点になります。これは、O点を支点としたときに、2つの部分にはたらく重力によるモーメントが完全につり合っていることを意味します。この物理的な事実が、モーメントのつり合いの式を立てる根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • 最初から \(r\) に具体的な数値が与えられていても、まずは文字のまま計算を進めましょう。この問題のように、\(w\) や \(r\) といった文字は、計算の途中で約分されて消えることが多いです。\(x_G = -\displaystyle\frac{r}{6}\) という関係式を導いてから最後に数値を代入する方が、計算がシンプルになり、ミスを減らせます。
• 図を丁寧に描く:
  • フリーハンドでも良いので、問題の図を自分で描いてみましょう。そして、原点、座標軸、各部分の重心の位置（G, O, O’など）、そして各部分にはたらく重力（\(3w\), \(w\)など）を矢印で書き込みます。図で状況を視覚的に整理することで、座標の正負や腕の長さを直感的に把握しやすくなり、立式ミスを防げます。
• 簡単な比に直す:
  • 質量（面積）の比が \( \pi r^2 : \displaystyle\frac{\pi r^2}{4} \) のように複雑な形になったら、すぐに最も簡単な整数の比（\(4:1\)）に直しましょう。計算に使う数値がシンプルであるほど、計算ミスは減ります。
• 結果を吟味する:
  • 計算で出た答え \(x_G = -\displaystyle\frac{r}{6}\) が物理的に妥当か考えます。円板の右側を切り抜いたのだから、重心は左側（負の方向）にずれるはずです。もし答えが正の値になったら、どこかで符号のミスをした可能性が高いと判断できます。また、ずれの大きさ \(\displaystyle\frac{r}{6}\) は、円板の半径 \(r\) に比べて十分に小さい値であり、常識的な範囲内です。このような簡単なチェックだけでも、大きな間違いに気づくことができます。

発展例題11 剛体のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつり合いと、滑り出す条件・倒れる条件の比較」です。剛体が静止し続けるための条件（力のつり合い、モーメントのつり合い）を正しく立式し、さらに張力を大きくしていったときに「滑り出す」のと「倒れる」のどちらが先に起こるかを物理的に考察する能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が静止している、という条件は「力がつり合っている」かつ「力のモーメントがつり合っている」ことを意味します。まず、物体に働く力をすべて図示し、それぞれのつり合いの式を立てます。このとき、垂直抗力\(N\)の作用点が未知数であることに注意が必要です。力のモーメントを考える際の支点（回転軸）は、未知の力が多く集まる点（この場合は点B）に選ぶと、計算式が簡単になることが多いです。
この設問における重要なポイント

• 物体に働く力は、重力\(W\)、張力\(T\)、床からの垂直抗力\(N\)、床からの静止摩擦力\(F\)の4つ。
• 鉛直方向と水平方向で、それぞれ力がつり合っている。
• 任意の点のまわりで、力のモーメントがつり合っている。
• 垂直抗力\(N\)の作用点を、点Bから左向きに\(x\)の距離にある点とする。

具体的な解説と立式
物体に働く力は図のようになります。

• 鉛直方向の力のつり合いについて、\((\text{上向きの力の和}) = (\text{下向きの力の和})\) より、
  $$ N = W \quad \cdots ① $$
• 水平方向の力のつり合いについて、\((\text{右向きの力の和}) = (\text{左向きの力の和})\) より、
  $$ T = F \quad \cdots ② $$
• 点Bのまわりの力のモーメントのつり合いについて、\((\text{反時計回りのモーメントの和}) = (\text{時計回りのモーメントの和})\) を考えます。
  • 反時計回りのモーメント: 重力\(W\)によるもの。支点Bからの腕の長さは \(\displaystyle\frac{b}{2}\)。
  • 時計回りのモーメント: 張力\(T\)によるもの（腕の長さ\(a\)）と、垂直抗力\(N\)によるもの（腕の長さ\(x\)）。

  よって、つり合いの式は、
  $$ W \times \frac{b}{2} = T \times a + N \times x \quad \cdots ③ $$
  となります。

未知数\(x\)を求めるために、式③に式① (\(N=W\)) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W \frac{b}{2} &= Ta + Wx \\[2.0ex] Wx &= W \frac{b}{2} – Ta
\end{aligned}
$$
両辺を\(W\)で割ると、
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{b}{2} – \frac{T}{W}a
\end{aligned}
$$
と求まります。

箱が倒れも滑りもせずに静止している状態は、シーソーがバランスを保っているのと同じです。ここでは、箱の右下の角Bを支点と考えてみましょう。箱自身の重さ（重力）は、箱が倒れないように「反時計回り」に支えようとします。一方、引っ張る力（張力）は、箱を「時計回り」に倒そうとします。このままだと倒れてしまうので、床が箱を押し上げる力（垂直抗力）が、倒そうとする力に加勢してバランスを取っています。この3つの回転力がつり合うときの、床が押し上げる力の位置を計算する問題です。

垂直抗力の作用点の位置は、点Bから左向きに \(x = \displaystyle\frac{b}{2} – \displaystyle\frac{T}{W}a\) と求まりました。
この式から、張力\(T\)が\(0\)のときは \(x = \displaystyle\frac{b}{2}\) となり、作用点は重力の真下（重心の真下）にあることがわかります。そして、\(T\)が大きくなるにつれて\(x\)は小さくなり、作用点が回転軸である点Bに近づいていく様子が物理的に正しく表現されています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)の結果から、張力\(T\)を大きくしていくと、垂直抗力の作用点の位置\(x\)は小さくなることがわかります。つまり、作用点はどんどん右端の点Bに近づいていきます。「回転し始める」のは、この作用点がちょうど点Bに達した瞬間です。これ以上、作用点は右にずれられないため、物体は点Bを軸に回転を始めます。したがって、(1)で求めた式に \(x=0\) を代入すれば、回転し始めるときの張力\(T\)が求まります。
この設問における重要なポイント

• 物体が回転し始める（倒れる）直前の限界条件は、垂直抗力の作用点が回転軸の真上に来ること。
• この問題では、回転軸が点Bなので、限界条件は \(x=0\)。

具体的な解説と立式
(1)で求めた垂直抗力の作用点の位置の式
$$ x = \frac{b}{2} – \frac{T}{W}a $$
において、回転し始めるときは \(x=0\) となります。このときの張力を \(T_1\) とすると、
$$ 0 = \frac{b}{2} – \frac{T_1}{W}a $$
この式を \(T_1\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
\frac{T_1}{W}a &= \frac{b}{2} \\[2.0ex] T_1 &= \frac{b}{2a}W
\end{aligned}
$$
この張力\(T_1\)をこえたときに、直方体は回転を始めます。

(1)で、引っ張る力を強くすると、床からの支えの位置がどんどん右端（点B）に寄っていくことがわかりました。そして、ついに支えの位置が右端のB点に到達した瞬間、箱はこれ以上踏ん張ることができなくなり、B点を軸にしてコテンと倒れ始めます。この、倒れるか倒れないかのギリギリの瞬間の、引っ張る力の大きさを計算する問題です。

回転し始めるときの張力は \(T_1 = \displaystyle\frac{b}{2a}W\) と求まりました。この式は、直方体の幅\(b\)が広く、高さ\(a\)が低いほど、倒すのにより大きな力が必要であることを示しており、背が低く幅が広い物体は倒れにくいという日常的な感覚と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
この問題では、物体は「滑る前に倒れた」とされています。これは、「倒れるのに必要な張力」が、「滑り出すのに必要な張力」よりも小さかった、ということを意味します。それぞれの限界となる張力を計算し、大小関係を不等式で表すことで、静止摩擦係数\(\mu\)が満たすべき条件を導きます。
この設問における重要なポイント

• 物体が滑り出す条件は、静止摩擦力\(F\)が最大摩擦力\(\mu N\)に達したとき。
• 水平方向の力のつり合いから \(F=T\)、鉛直方向の力のつり合いから \(N=W\) である。
• したがって、張力\(T\)が \(\mu W\) をこえると滑り出す。
• (2)で求めた、倒れるときの張力は \(T_1 = \displaystyle\frac{b}{2a}W\)。
• 「滑る前に倒れる」という条件は、\(T_1 < \mu W\) と表せる。

具体的な解説と立式
物体が滑らないためには、静止摩擦力\(F\)が最大摩擦力\(\mu N\)を超えない、という条件が必要です。
$$ F \le \mu N $$
水平方向と鉛直方向の力のつり合いの式（\(F=T\), \(N=W\)）を代入すると、滑らないための張力\(T\)の条件は、
$$ T \le \mu W $$
となります。これは、張力\(T\)が\(\mu W\)をこえると滑り始めることを意味します。

問題では、張力が(2)で求めた \(T_1 = \displaystyle\frac{b}{2a}W\) に達したときに倒れました。そして、その瞬間まで滑らなかったので、この\(T_1\)という張力は、まだ滑り出すための条件を満たしていなかった、ということになります。つまり、倒れるときの張力\(T_1\)は、滑り始める張力\(\mu W\)よりも小さい必要があります。
$$ T_1 < \mu W $$
この不等式が、「滑る前に倒れる」ための条件です。

上記の不等式に \(T_1 = \displaystyle\frac{b}{2a}W\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{b}{2a}W &< \mu W
\end{aligned}
$$
両辺を正の値である\(W\)で割ると、
$$
\begin{aligned}
\frac{b}{2a} &< \mu \end{aligned} $$ したがって、求める条件は \(\mu > \displaystyle\frac{b}{2a}\) となります。

箱を引っ張るとき、「滑る」のと「倒れる」のは、どっちが先に起こるかの競争です。床がツルツル（摩擦が小さい）なら、すぐに滑ってしまうでしょう。逆に床がとてもザラザラ（摩擦が大きい）なら、滑る前にコテンと倒れるはずです。この問題では「倒れるのが先だった」という結果がわかっているので、そこから逆算して「床はどれくらいザラザラでなければならなかったか？」を計算します。「倒れるのに必要な力」が「滑り出すのに必要な力」より小さくなるための、ザラザラ具合（静止摩擦係数）の条件を求めるわけです。

静止摩擦係数の条件は \(\mu > \displaystyle\frac{b}{2a}\) と求まりました。
右辺の \(\displaystyle\frac{b}{2a}\) は、物体の形状（幅と高さの比）だけで決まる値です。この値は、背が高く幅が狭い（\(a\)が大きく\(b\)が小さい）物体ほど小さくなります。つまり、不安定で倒れやすい物体ほど、滑る前に倒れるための\(\mu\)の条件は緩くなる（小さな摩擦でも倒れる）ことを示しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件
  • 核心: この問題の根幹は、物体が静止し続けるための条件を完全に理解し、数式に落とし込む能力です。剛体が静止するためには、単に力がつり合うだけでは不十分で、回転しないための条件、すなわち「力のモーメントのつり合い」も同時に満たされなければなりません。この2つの条件を連立させて解くことが、剛体力学の基本中の基本です。
  • 理解のポイント:
    • 力のつり合い: 物体が並進運動（上下左右に動くこと）を始めないための条件です。鉛直方向と水平方向（あるいは直交する2方向）に分けて、\((\text{上向きの力の和}) = (\text{下向きの力の和})\)、\((\text{右向きの力の和}) = (\text{左向きの力の和})\)という式を立てます。
    • 力のモーメントのつり合い: 物体が回転運動を始めないための条件です。まず「支点」を任意に一つ決め、その点のまわりで \((\text{反時計回りのモーメントの和}) = (\text{時計回りのモーメントの和})\) という式を立てます。支点はどこに選んでも物理法則は成立しますが、未知の力が集中する点を選ぶと計算が楽になることが多いです。
• 限界条件の物理的解釈
  • 核心: 「倒れる直前」「滑り出す直前」といった限界状態が、物理的にどのような状況に対応するのかを正確に把握することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 倒れる直前: 物体を倒そうとする外力が大きくなると、床からの垂直抗力の作用点は、回転軸となる端点に向かって移動していきます。そして、作用点が端点に達した瞬間が「倒れる直前」の限界状態です。このとき、物体は回転軸となる一点でかろうじて支えられている状態になります。
    • 滑り出す直前: 物体を滑らせようとする外力が大きくなると、それに抵抗する静止摩擦力も大きくなります。そして、静止摩擦力がその最大値（最大摩擦力 \(\mu N\)）に達した瞬間が「滑り出す直前」の限界状態です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面上に置かれた剛体のつり合い: 重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解する必要があります。力のつり合いの式を立てる座標軸を、斜面に平行・垂直な方向に取ると見通しが良くなります。この場合も、「滑り出す条件」と「倒れる条件」の比較が問われることが多いです。
  • はしごのつり合い: 壁がなめらか（垂直抗力のみ）か粗い（摩擦力も働く）か、床が粗いか、といった条件を正確に読み取ることが重要です。はしごに人が登っていく場合、人のの位置によって重力がかかる場所が変わり、滑りやすさや倒れやすさが変化します。
  • 複数の物体が接触している問題: 例えば、箱を2つ重ねて置いた場合など。それぞれの物体について、力のつり合いとモーメントのつり合いを考える必要があります。物体間にはたらく力（作用・反作用）を忘れずに図示することが鍵となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 登場する物体にはたらく力を、作用点も意識しながらベクトル矢印で漏れなく書き込みます。重力、張力、垂直抗力、摩擦力など、考えられる力はすべてリストアップします。
  2. 座標軸と支点を設定する: 力のつり合いを考えるための座標軸（水平・鉛直など）と、モーメントのつり合いを考えるための支点を決めます。支点は、垂直抗力や摩擦力の作用点など、未知の力がはたらく点に選ぶと、その力のモーメントが0になり計算が簡単になります。
  3. つり合いの式を立てる: 「水平方向の力のつり合い」「鉛直方向の力のつり合い」「力のモーメントのつり合い」の3本の式を機械的に立てます。
  4. 限界条件を考える: 「〜し始めるとき」「〜する直前」という言葉に注目します。
     • 「倒れる」→ 垂直抗力の作用点が端点に移動する (\(x=0\))。
     • 「滑る」→ 静止摩擦力が最大摩擦力になる (\(F = \mu N\))。

     これらの条件を、つり合いの式に代入して方程式を解きます。

  5. 2つの限界条件を比較する: 「滑る前に倒れる」のか「倒れる前に滑る」のかを問われたら、それぞれの限界を引き起こす外力（この問題では張力\(T\)）の大きさを計算し、どちらがより小さい力で起こるかを比較します。小さい方の力で起こる現象が、実際に観測されることになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 垂直抗力の作用点を固定してしまう:
  • 誤解: 垂直抗力は、常に物体の底面の中心にはたらくと考えてしまう。
  • 対策: 剛体にはたらく垂直抗力の作用点は、力の加わり方によって移動します。特にモーメントが関わる問題では、作用点は未知数として扱うのが基本です。回転軸からの距離を\(x\)などと文字で置いて、モーメントのつり合いの式に含める必要があります。
• モーメントの腕の長さを間違える:
  • 誤解: 力の作用点から支点までの直線距離を腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 「腕の長さ」とは、支点から力の「作用線」（力を表す矢印を延長した直線）に下ろした垂線の長さです。必ず、支点と力の作用線の間の最短距離を考える癖をつけましょう。力を分解して、各成分の腕の長さを考える方法も有効です。
• 「滑る前に倒れる」条件の不等号の向きを間違える:
  • 誤解: \(T_{\text{滑}} < T_{\text{倒}}\) のように、言葉のイメージだけで不等式を立ててしまう。
  • 対策: 「AがBより先に起こる」とは、「Aを起こすのに必要な力（や条件）が、Bを起こすのに必要な力よりも小さい」ということです。この問題では、「倒れるのが先」なので、「倒れるのに必要な張力 \(T_1\)」が「滑り出すのに必要な張力（\(\mu W\)）」よりも小さい、つまり \(T_1 < \mu W\) となります。論理的に意味を考えて不等式を立てましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつり合いとモーメントのつり合い）:
  • 選定理由: 問題文に「直方体が静止しているとき」と明記されています。物体が「静止」している、すなわち動かず、回転もしていない状態を記述する物理法則は、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」の2つしかありません。したがって、これらの公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 未知数が、垂直抗力の作用点の位置\(x\)、垂直抗力\(N\)、静止摩擦力\(F\)の3つ（張力\(T\)と重力\(W\)は与えられた文字として扱う）であるのに対し、立てられる独立な式も「水平方向の力のつり合い」「鉛直方向の力のつり合い」「モーメントのつり合い」の3本です。これにより、未知数を求めるための連立方程式が構成できるため、これらの法則を適用する根拠となります。
• (3)での公式選択（最大摩擦力の公式）:
  • 選定理由: 「滑り出す」という現象について考察するためには、滑り出す限界条件を記述する物理法則が必要です。それが「静止摩擦力が最大摩擦力 \(\mu N\) に達する」という条件です。したがって、\(F_{\text{最大}} = \mu N\) という公式を用いることになります。
  • 適用根拠: 問題は「滑る前に倒れる」ための条件を問うています。これは、「倒れる」という現象が起こる張力 \(T_1\) の時点では、まだ「滑る」という現象は起こっていない、つまり静止摩擦力 \(F\) が最大摩擦力 \(\mu N\) には達していない (\(F < \mu N\)) ことを意味します。力のつり合いから \(F=T_1\) なので、\(T_1 < \mu N\) という不等式が成り立ちます。これが、最大摩擦力の概念をこの問題に適用する論理的な根拠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 支点を明確に宣言する:
  • 計算を始める前に、「点Bのまわりの力のモーメントのつり合いより」のように、自分がどこを支点に選んだのかを答案に明記する癖をつけましょう。これにより、自分自身の思考が整理され、腕の長さを計算する際の基準点が明確になり、ミスを防げます。
• モーメントの回転方向を矢印で図示する:
  • 慣れないうちは、図に描いた各力の矢印のそばに、それが支点のまわりにどちら向きの回転（時計回りか、反時計回りか）を生むかを示す、小さな回転矢印を書き加えると良いでしょう。これにより、モーメントのつり合いの式で、項を右辺と左辺のどちらに書くべきかが一目瞭然になります。
• 文字式のまま整理する:
  • (1)で求めた \(x = \displaystyle\frac{b}{2} – \displaystyle\frac{T}{W}a\) のように、できるだけ最後まで文字式のまま計算を進めましょう。この式は、\(T\)と\(x\)の関係を表す物理的に意味のある結果です。途中で数値を代入すると、このような関係性が見えにくくなり、(2)のような問いに応用しにくくなります。
• 概算による検算:
  • 例えば、\(a=1.0\,\text{m}\), \(b=0.4\,\text{m}\), \(W=100\,\text{N}\) のような具体的な数値を仮定して、答えを検算してみましょう。
    • (2) 倒れるときの張力: \(T_1 = \displaystyle\frac{0.4}{2 \times 1.0} \times 100 = 20\,\text{N}\)。妥当な値です。
    • (3) 条件: \(\mu > \displaystyle\frac{0.4}{2 \times 1.0} = 0.2\)。静止摩擦係数としてありえる値です。もし、\(\mu > 5\) のような非現実的な値が出たら、どこかで計算ミスをしている可能性が高いと疑うことができます。

発展問題

142 切り取った立方体の重心

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「切り抜かれた物体の重心計算と、その安定性の評価」です。重心の公式を正しく適用する計算能力と、物体が倒れる条件を重心の位置と関連付けて考察する物理的な思考力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
複雑な形状の物体Aの重心を直接求めるのは困難です。そこで、模範解答のように物体Aを単純な形状である2つの直方体 \(A_1\) と \(A_2\) に分割し、それぞれの重心を求めた後、重心の公式を用いて合成する方法を取ります。
この設問における重要なポイント

• 物体Aを、左側の縦長の直方体\(A_1\)と、右上の直方体\(A_2\)に分割する。
• 密度と奥行きが一定なので、質量比は断面積の比に等しい。
• 各直方体の重心は、その幾何学的な中心にある。
• 座標軸を適切に設定し、各部分の重心のx座標を正しく求める。

具体的な解説と立式
図1のように、Aの左下隅を原点とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。物体Aを、以下の2つの直方体に分割します。

• 直方体\(A_1\): 左側の部分。寸法は、横\((L-l)\)、高さ\(L\)、奥行き\(L\)。
• 直方体\(A_2\): 右上の部分。寸法は、横\(l\)、高さ\((L-l)\)、奥行き\(L\)。

密度と奥行き\(L\)が共通なので、質量は断面積に比例します。

• \(A_1\)の断面積: \(S_1 = L \times (L-l)\)
• \(A_2\)の断面積: \(S_2 = (L-l) \times l\)

よって、2つの部分の質量比は、
\(m_1 : m_2 = S_1 : S_2 = L(L-l) : l(L-l) = L : l\)
となります。

次に、各部分の重心のx座標を求めます。

• \(A_1\)の重心\(G_1\)のx座標: \(x_1 = \displaystyle\frac{L-l}{2}\)
• \(A_2\)の重心\(G_2\)のx座標:
  $$
  \begin{aligned}
  x_2 &= (L-l) + \frac{l}{2} \\[2.0ex] &= L – \frac{l}{2}
  \end{aligned}
  $$

これらを重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1+m_2}\) に代入します。質量の比 \(L:l\) を用いて、
$$ x_G = \frac{L \cdot x_1 + l \cdot x_2}{L+l} $$
となります。

上記の式に\(x_1, x_2\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
x_G &= \frac{L \cdot (\frac{L-l}{2}) + l \cdot (L – \frac{l}{2})}{L+l} \\[2.0ex] &= \frac{\frac{L(L-l)}{2} + \frac{l(2L-l)}{2}}{L+l} \\[2.0ex] &= \frac{L(L-l) + l(2L-l)}{2(L+l)} \\[2.0ex] &= \frac{L^2 – Ll + 2Ll – l^2}{2(L+l)} \\[2.0ex] &= \frac{L^2 + Ll – l^2}{2(L+l)}
\end{aligned}
$$

L字型のような複雑な形の物体の重心を求める問題です。まず、このL字型を、縦長の長方形と、その右上にくっついている小さな長方形の2つのパーツに分解します。それぞれのパーツの重さ（面積）と、それぞれの重心（中心）の位置は簡単にわかります。あとは、この2つのパーツを合体させたときの全体の重心を、天秤のつり合いを計算するような公式（重心の公式）に当てはめて計算すれば、答えが求まります。

物体Aの重心のx座標は、Aの左端から右に \(\displaystyle\frac{L^2 + Ll – l^2}{2(L+l)}\) の位置にあると求まりました。\(l=0\)（何も切り取らない）のとき、\(x_G = \displaystyle\frac{L^2}{2L} = \displaystyle\frac{L}{2}\) となり、元の立方体の重心と一致するため、この式は妥当であると考えられます。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体Aが倒れるのは、その重心が支持面である底面から外れるときです。Aを水平面に置いたとき、支持面はx軸上の \(0 \le x \le L-l\) の範囲です。\(l\)を大きくしていくと、Aの重心の位置も変化します。倒れる直前の限界状態は、Aの重心が支持面の右端、つまり回転軸となるAの右下の角の真上に来たときです。
この設問における重要なポイント

• 物体Aの支持面は、Aの底面である \(0 \le x \le L-l\)。
• \(l\)を大きくすると、Aの形状が変化し、重心の位置も変わる。
• 倒れる直前、Aの重心のx座標が、支持面の右端のx座標と一致する。
• このときの \(l\) を \(l_0\) とすると、重心のx座標は \(x_G = L-l_0\)。

具体的な解説と立式
物体Aが倒れる直前の、切り取る長さを \(l_0\) とします。
このとき、物体Aの重心のx座標 \(x_G\) は、Aの底面の右端のx座標 \(L-l_0\) に一致します。
$$ x_G = L-l_0 $$
一方、(1)で求めた重心の公式に \(l=l_0\) を代入すると、
$$ x_G = \frac{L^2+Ll_0-l_0^2}{2(L+l_0)} $$
これら2つの式が等しいとおくことで、\(l_0\) に関する方程式を立てます。
$$ \frac{L^2+Ll_0-l_0^2}{2(L+l_0)} = L-l_0 $$

この方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
L^2+Ll_0-l_0^2 &= 2(L-l_0)(L+l_0) \\[2.0ex] L^2+Ll_0-l_0^2 &= 2(L^2-l_0^2) \\[2.0ex] L^2+Ll_0-l_0^2 &= 2L^2-2l_0^2
\end{aligned}
$$
すべての項を左辺に集めて整理すると、\(l_0\) に関する二次方程式が得られます。
$$ l_0^2 + Ll_0 – L^2 = 0 $$
解の公式を用いて \(l_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
l_0 &= \frac{-L \pm \sqrt{L^2 – 4(1)(-L^2)}}{2(1)} \\[2.0ex] &= \frac{-L \pm \sqrt{L^2 + 4L^2}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{-L \pm \sqrt{5L^2}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{-L \pm L\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
$$
\(l_0\) は長さなので \(l_0 > 0\) です。したがって、
$$
\begin{aligned}
l_0 &= \frac{-L + L\sqrt{5}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{5}-1}{2}L
\end{aligned}
$$

L字型のブロックの、くり抜く正方形をどんどん大きくしていくと、いつかバランスを崩して右側にコテンと倒れてしまいます。この問題は、「どれくらい大きくしたら倒れるか？」を計算するものです。ブロックが倒れるのは、ブロック全体の重心（バランスの中心）が、ブロックが地面に接している部分（土台）の外側にはみ出した瞬間です。倒れるか倒れないかのギリギリの瞬間は、重心がちょうど土台の右端の真上に来たときです。(1)で計算した重心の位置の式を使って、この条件を満たすときの長さを求めます。

倒れるときの長さは \(l_0 = \displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}L\) と求まりました。
\(\sqrt{5} \approx 2.236\) なので、\(l_0 \approx \displaystyle\frac{1.236}{2}L \approx 0.618L\) となります。これは \(0 < l_0 < L\) を満たしており、物理的に妥当な値です。この比率は黄金比として知られています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重心の概念と重心の公式の応用
  • 核心: この問題の根幹は、複雑な形状を持つ物体の重心を、計算可能な単純な部分に分解し、重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) を用いて定量的に求める能力です。特に、模範解答のように物体を2つに「分割」する方法や、別解で示した「負の質量」を用いて「補完」する方法など、複数のアプローチを使いこなせることが重要になります。
  • 理解のポイント:
    • 質量と体積・面積の比例関係: 「密度が一様」という条件から、物体の質量はその体積に比例すると考えられます。さらにこの問題のように「奥行きが一定」な場合は、質量は断面積に比例すると考えて計算を簡略化できます。
    • 合成重心: 複数の部分からなる物体全体の重心は、各部分をその重心に質量が集中した質点とみなし、それらの質点系の重心を求める計算と同じになります。
• 剛体の安定性（倒れる条件）
  • 核心: 物体が静止し続けられるか、あるいは倒れてしまうかを決定づける物理的条件を理解することです。その条件とは、「物体の重心を通る鉛直線が、支持面（物体が地面と接している領域）の内部を通過するかどうか」です。
  • 理解のポイント:
    • 支持面: 物体が床と接している領域全体を指します。この問題の物体Aの場合、底面は \(0 \le x \le L-l\) の範囲です。
    • 限界状態: 物体が倒れるか倒れないかのギリギリの瞬間は、重心の真下に支持面の端点（この問題では回転軸となる右下の角）が来たときです。この状態を数式（\(x_G = L-l_0\)）で表現することが、設問(2)を解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 任意の形状の切り抜き: 円板から三角形を切り抜いた場合など、異なる図形の組み合わせでも考え方は同じです。「元の図形」＋「負の質量の切り抜き図形」として合成重心を求める方法が特に有効です。
  • 3次元物体の重心: 例えば、円錐の上部を切り取った円錐台の重心を求める問題。これも「大きな円錐」＋「負の質量の小さな円錐」として考えれば、同じ重心の公式で解くことができます（ただし、質量は体積に比例させる）。
  • 傾斜した物体の安定性: 物体を斜面に置いたとき、倒れるか滑るかを問う問題。倒れる条件は、重心を通る鉛直線が支持面の外に出ることであり、これは重力の作用線が支持面の端の外側を通ることと同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは座標軸を設定する: 計算の基準となる原点と座標軸を最初に決めます。物体の角や対称軸に設定すると計算が楽になります。
  2. 重心計算の戦略を立てる:
     • 物体を単純な図形に「分割」できるか？（模範解答のアプローチ）
     • 「元の単純な図形」から「切り抜かれた図形」を引く、と考えられないか？ → この場合、「負の質量」や「逆算法」が有効。（別解のアプローチ）
  3. 各部分の「質量（の比）」と「重心座標」を正確に求める: 質量は体積や面積に比例させます。各部分の重心座標は、設定した原点からの距離であることに注意し、符号も考慮します。
  4. 安定性の条件を数式化する: 「倒れる」という言葉を見たら、「重心の鉛直線が支持面の端を通る」という限界状態を思い浮かべます。そして、その状況を \(x_G = (\text{支持面の端の座標})\) のように数式で表現します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 分割した部分の重心座標の計算ミス:
  • 誤解: (1)で分割した物体\(A_2\)の重心のx座標を、\(A_2\)自体の幅 \(l\) の半分である \(\displaystyle\frac{l}{2}\) とだけ考えてしまう。
  • 対策: 重心の座標は、必ず設定した全体の原点（この場合はO点）からの距離で測る必要があります。したがって、\(A_2\)の重心のx座標は、\(A_1\)の幅である \(L-l\) を足した \(x_2 = (L-l) + \displaystyle\frac{l}{2}\) となります。図を描いて、原点からの距離を常に意識しましょう。
• 質量比の計算ミス:
  • 誤解: 分割した\(A_1\)と\(A_2\)の面積を、それぞれ \(L(L-l)\) と \(l^2\) のように、図の見た目の印象で間違えてしまう。
  • 対策: 分割した各部分の寸法（縦と横の長さ）を、文字式で正確に書き出してから面積を計算する癖をつけましょう。\(A_2\)の高さは \(L\) ではなく \(L-l\) である点に注意が必要です。
• 倒れる条件の立式ミス:
  • 誤解: 物体Aの支持面を \(0 \le x \le L\) と勘違いし、倒れるときの重心座標を \(x_G = L\) と置いてしまう。
  • 対策: 物体Aの形状をよく見て、実際に床と接している部分がどこからどこまでかを確認します。この問題では、底面は \(x=L-l\) までしかないので、回転軸となるのは右下の角、すなわち \(x=L-l\) の点です。したがって、限界条件は \(x_G = L-l\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（重心の公式）:
  • 選定理由: 求めたい物理量が「重心の位置」であり、問題の物体は複数の部分から構成されています。このような状況で重心を求めるための最も直接的で基本的な法則が、重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) です。
  • 適用根拠: 物体Aは連続体ですが、これを質量と重心が明確な2つの単純な物体（\(A_1\)と\(A_2\)）に分割できるため、これらを質点とみなして公式を適用することができます。物理的に独立した部分の情報を合成して全体の情報を得る、という考え方が根拠となります。
• (2)での公式選択（剛体が倒れる条件）:
  • 選定理由: 「倒れる」という剛体の安定性に関する現象を扱うため、その物理的な条件式が必要です。その条件は「重心が支持面から逸脱する」というものであり、これを数式で表現する必要があります。
  • 適用根拠: 物体が倒れる直前の限界状態では、物体にはたらく重力と、回転軸となる支持面の端点からの垂直抗力の2力のみがモーメントに関与し、それらがつり合っています（あるいは、つり合いが破れる瞬間）。これは、重力の作用線（重心を通る鉛直線）が、回転軸の真上を通過することと数学的に等価です。この物理的洞察が、\(x_G = L-l_0\) という等式を立てる論理的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の計算を丁寧に行う:
  • (1)の重心計算では、分数の足し算や分子の展開など、複数の項が出てきて複雑になりがちです。計算過程を省略せず、一行ずつ丁寧に書き下すことで、符号ミスや項の写し間違いを防ぎましょう。
• 極端な条件で検算する:
  • (1)で求めた重心の式 \(x_G = \displaystyle\frac{L^2 + Ll – l^2}{2(L+l)}\) がもっともらしいかを確認するために、\(l=0\)（何も切り取らない状態）を代入してみます。すると \(x_G = \displaystyle\frac{L^2}{2L} = \displaystyle\frac{L}{2}\) となり、元の立方体の重心の位置と一致するため、式が正しい可能性が高いと判断できます。
• 二次方程式の解を吟味する:
  • (2)で解の公式を使った後、2つの解（\(\displaystyle\frac{-L \pm L\sqrt{5}}{2}\)）が出てきます。ここで思考停止せず、問題の条件に合う方を選ぶ必要があります。\(l_0\) は長さを表すので、必ず正の値でなければなりません。したがって、正の値となる \(\displaystyle\frac{-L + L\sqrt{5}}{2}\) を選択します。物理的な意味を常に考えることが重要です。
• 図に情報を書き込む:
  • 問題用紙の余白に自分で図を描き、分割した部分、各部分の寸法、重心の位置、座標の値などを書き込みましょう。頭の中だけで処理しようとすると、\(x_2\)の座標のような間違いが起こりやすくなります。情報を視覚化することで、思考が整理され、ミスを減らすことができます。

143 斜面上の直方体のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の剛体のつり合いと転倒条件」です。斜面上に置かれた物体が静止し続けるための力のつり合いと、倒れ始める限界の角度を力のモーメントのつり合いから求める、典型的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体は静止しているので、物体に働くすべての力の合力は\(0\)です。斜面上の問題の定石通り、斜面に平行な方向と垂直な方向に分けて、力のつり合いの式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 物体に働く力は、重力\(mg\)、斜面からの垂直抗力\(N\)、斜面からの静止摩擦力\(F\)の3つ。
• 重力\(mg\)を、斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と、斜面に垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解する。
• 斜面に平行な方向と垂直な方向で、それぞれ力がつり合っている。

具体的な解説と立式
物体に働く力を図示し、重力を斜面に平行・垂直な成分に分解します。

• 斜面に平行な方向の力のつり合いについて、物体は重力の平行成分\(mg\sin\theta\)で斜面下向きに力を受けるので、静止摩擦力\(F\)はこれを支えるために斜面上向きにはたらきます。\((\text{斜面上向きの力の和}) = (\text{斜面下向きの力の和})\) より、
  $$ F = mg\sin\theta $$
• 斜面に垂直な方向の力のつり合いについて、物体は重力の垂直成分\(mg\cos\theta\)で斜面に押し付けられるので、垂直抗力\(N\)はこれを支えるために斜面に垂直上向きにはたらきます。\((\text{斜面に垂直上向きの力の和}) = (\text{斜面に垂直下向きの力の和})\) より、
  $$ N = mg\cos\theta $$

上記の立式がそのまま答えとなります。

斜めになった板の上に置かれた消しゴムをイメージしてください。消しゴムがずり落ちようとするのを、板との間の摩擦力が「がんばって」支えています。また、消しゴムが板にめり込んでいかないように、板が垂直に押し返しています。この「摩擦力」と「押し返す力（垂直抗力）」の大きさが、それぞれ重力のどの部分とつり合っているかを計算する問題です。

静止摩擦力は \(mg\sin\theta\)、垂直抗力は \(mg\cos\theta\) と求まりました。これは斜面上の物体にはたらく力の基本形であり、\(\theta=0\) のとき \(F=0\), \(N=mg\)、\(\theta=90^\circ\) のとき \(F=mg\), \(N=0\) となり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
力のモーメントは「力 × 腕の長さ」で定義されます。「腕の長さ」とは、回転の中心（この問題では点P）から、力の作用線（力を表す矢印が乗っている直線）へ下ろした垂線の長さです。重力の作用点は物体の中心（重心）であることに注意して、腕の長さを幾何学的に求めます。
この設問における重要なポイント

• 回転の中心は点P。
• 重力の作用点は、直方体の幾何学的な中心（重心）。
• 重心の位置は、底面の中央から高さ\(\displaystyle\frac{h}{2}\)の点。
• 点Pから、重力の各成分の作用線までの垂線の長さを正確に求める。

具体的な解説と立式
直方体の重心は、底辺の中央から垂直に\(\displaystyle\frac{h}{2}\)だけ上がった位置にあります。

• 重力の斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) について:
  • この力の作用線は、重心を通り斜面に平行な直線です。
  • 点Pからこの作用線までの垂線の長さ（腕の長さ）は、重心の高さに等しく \(\displaystyle\frac{h}{2}\) です。
  • この力は物体を点Pのまわりに反時計回りに回転させようとします。
  • モーメントの大きさ \(M_1\) は、
    $$
    \begin{aligned}
    M_1 &= (mg\sin\theta) \times \frac{h}{2} \\[2.0ex] &= \frac{mgh\sin\theta}{2}
    \end{aligned}
    $$
• 重力の斜面に垂直な成分 \(mg\cos\theta\) について:
  • この力の作用線は、重心を通り斜面に垂直な直線です。
  • 点Pからこの作用線までの垂線の長さ（腕の長さ）は、底辺の長さの半分に等しく \(\displaystyle\frac{l}{2}\) です。
  • この力は物体を点Pのまわりに時計回りに回転させようとします。
  • モーメントの大きさ \(M_2\) は、
    $$
    \begin{aligned}
    M_2 &= (mg\cos\theta) \times \frac{l}{2} \\[2.0ex] &= \frac{mgl\cos\theta}{2}
    \end{aligned}
    $$

上記の立式がそのまま答えとなります。

消しゴムを斜面に置いたとき、重力は消しゴムを回転させようとします。この回転力を計算する問題です。重力を「斜面に沿って滑らせる力」と「斜面に押し付ける力」の2つに分けて考えます。「滑らせる力」は、消しゴムの斜面上側の端を持ち上げて、斜面下側の角（点P）を支点に倒そうとします（反時計回り）。一方、「押し付ける力」は、消しゴムを斜面に押し戻して、倒れないように支えます（時計回り）。それぞれの回転力の大きさを計算します。

重力の平行成分によるモーメントは \(\displaystyle\frac{mgh\sin\theta}{2}\)、垂直成分によるモーメントは \(\displaystyle\frac{mgl\cos\theta}{2}\) と求まりました。

問(3)

思考の道筋とポイント
問題文に「斜面の傾斜角は直方体が静止できる最大角\(\theta\)」とあります。これは、物体が点Pを回転軸として、まさに倒れようとする限界の状態であることを意味します。このとき、点Pのまわりの力のモーメントはつり合っています。
この設問における重要なポイント

• 「静止できる最大角」=「倒れる直前」の状態。
• 倒れる直前は、点Pのまわりの力のモーメントがつり合っている。
• 垂直抗力\(N\)と静止摩擦力\(F\)は点Pにはたらくため、これらのモーメントは\(0\)。
• (2)で求めた、重力の2成分によるモーメントがつり合う。

具体的な解説と立式
点Pのまわりの力のモーメントのつり合いを考えます。
(2)で計算したように、重力の平行成分は反時計回りのモーメント \(M_1\) を、垂直成分は時計回りのモーメント \(M_2\) を作ります。
\((\text{反時計回りのモーメントの和}) = (\text{時計回りのモーメントの和})\) より、
$$ M_1 = M_2 $$
したがって、
$$ \frac{mgh\sin\theta}{2} = \frac{mgl\cos\theta}{2} $$

上記で立てた式を \(\tan\theta\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgh\sin\theta &= mgl\cos\theta
\end{aligned}
$$
両辺を \(mgh\cos\theta\) で割ると（\(m, g, h, \cos\theta\) は \(0\) ではない）、
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= \frac{l}{h} \\[2.0ex] \tan\theta &= \frac{l}{h}
\end{aligned}
$$

消しゴムが倒れるか倒れないかのギリギリの瀬戸際では、(2)で計算した「倒そうとする回転力」と「押し戻して支えようとする回転力」が、ちょうど同じ大きさになっています。この「回転力のつり合い」の式を解くことで、そのときの斜面の角度がどれくらいかを計算できます。

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{l}{h}\) という結果が得られました。これは、物体の底辺\(l\)が広く、高さ\(h\)が低いほど、\(\tan\theta\)が大きくなる、つまりより急な角度まで倒れないことを示しています。背が低くどっしりした物ほど倒れにくいという日常的な感覚と一致しており、妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
問題文には「直方体はすべり出さないものとし」とあります。これは、物体が倒れる限界角\(\theta\)に達したときでさえ、静止摩擦力\(F\)はまだ最大摩擦力\(\mu N\)に達していない（あるいは、ちょうど達した）ことを意味します。この条件を不等式で表します。
この設問における重要なポイント

• 物体が滑らない条件は、\(F \le \mu N\)。
• この問題では、倒れる角度\(\theta\)のときに滑らなかったので、そのときの\(F\)と\(N\)でこの不等式が成立する。

具体的な解説と立式
物体が滑り出さないための条件は、静止摩擦力\(F\)が最大摩擦力\(\mu N\)以下であることです。
$$ F \le \mu N $$
この不等式に、(1)で求めた \(F = mg\sin\theta\) と \(N = mg\cos\theta\) を代入します。
$$ mg\sin\theta \le \mu (mg\cos\theta) $$

上記で立てた不等式を\(\mu\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
mg\sin\theta &\le \mu mg\cos\theta
\end{aligned}
$$
両辺を \(mg\cos\theta\)（正の値）で割ると、
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &\le \mu \\[2.0ex] \tan\theta &\le \mu
\end{aligned}
$$
この式に、(3)で求めた \(\tan\theta = \displaystyle\frac{l}{h}\) を代入すると、
$$ \frac{l}{h} \le \mu $$
したがって、静止摩擦係数\(\mu\)は、\(\displaystyle\frac{l}{h}\)以上でなければなりません。

この消しゴムは、滑る前に倒れました。ということは、斜面と消しゴムの間の摩擦は、少なくとも「倒れるのに必要な角度」に耐えられるだけの強さがあった、ということです。この事実から、「では、摩擦の強さ（静止摩擦係数）は、最低でもどれくらいなければならなかったのか？」を計算する問題です。

静止摩擦係数の条件は \(\mu \ge \displaystyle\frac{l}{h}\) と求まりました。
これは、(3)の結果と合わせると \(\mu \ge \tan\theta\) となり、「滑り出す限界角のタンジェントが静止摩擦係数に等しい」という既知の事実と整合します。物体が倒れるためには、少なくとも滑らないだけの摩擦が必要であり、その条件が正しく導出されました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件（斜面バージョン）
  • 核心: この問題の根幹は、斜面上に置かれた物体が静止し続けるための条件を、斜面に合わせた座標系で正しく立式できるか、という点にあります。剛体のつり合いの基本である「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」を、重力を適切に分解した上で適用することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 力の分解: 斜面上の問題では、すべての力を「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解するのが定石です。特に重力\(mg\)を \(mg\sin\theta\) と \(mg\cos\theta\) に分解することが第一歩となります。
    • 力のつり合い: 分解した2つの方向それぞれで、力のつり合いの式を立てます。これにより、垂直抗力\(N\)と静止摩擦力\(F\)の大きさが決まります。
    • 力のモーメントのつり合い: 物体が倒れるかどうかの議論では、力のモーメントのつり合いが主役になります。特に「倒れる直前」という限界状態では、回転軸（この問題では点P）のまわりで、物体を倒そうとするモーメントと、それに抵抗するモーメントがちょうどつり合っています。
• 限界条件の物理的解釈
  • 核心: 「静止できる最大角\(\theta\)」という言葉が、物理的にどのような状態を指すのかを正確に理解することが重要です。これは、物体が「倒れる直前」であり、かつ「滑ってもいない」という2つの限界条件が関わる状態です。
  • 理解のポイント:
    • 倒れる限界: 傾斜角を大きくしていくと、重力による「物体を倒そうとするモーメント」が大きくなります。これがある点を超えると物体は倒れます。その限界点が「力のモーメントがつり合う」最大角です。このとき、垂直抗力の作用点は回転軸である点Pに移動しています。
    • 滑る限界: 傾斜角を大きくすると、斜面に平行な重力の成分 \(mg\sin\theta\) が大きくなり、それを支える静止摩擦力\(F\)も大きくなります。この静止摩擦力が最大摩擦力\(\mu N\)に達すると、物体は滑り出します。問題文の「すべり出さないものとし」という記述は、倒れる限界角の時点では、まだこの滑る限界には達していない (\(F \le \mu N\)) ことを意味します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平面上で力を受ける剛体（発展例題11）: 考える力の種類は似ていますが、座標系が水平・鉛直になります。この場合も「滑る条件」と「倒れる条件」の比較が問われます。
  • はしごのつり合い: 壁や床からの垂直抗力と摩擦力が登場します。人がはしごを登るにつれて、人の重さによるモーメントが変化し、滑り出す（または倒れる）条件が変わる問題が典型的です。
  • 重ねた物体のつり合い: 上の物体が下の物体から受ける力、下の物体が床から受ける力をそれぞれ考え、物体ごとに力のつり合いとモーメントのつり合いを立てる必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 物体にはたらく力を、作用点も含めてすべて図に書き込みます。重力は重心から、垂直抗力と摩擦力は接触面からはたらきます。
  2. 座標軸を設定し、力を分解する: 斜面の問題なら、斜面に平行・垂直な軸を設定し、重力をその2方向に分解します。
  3. 「力のつり合い」の式を立てる: 設定した座標軸の各方向について、力のつり合いの式を立てます。これは、物体が並進運動しない条件です。
  4. 「力のモーメントのつり合い」の式を立てる: 「倒れる」「回転する」といったキーワードがある場合、モーメントのつり合いを考えます。支点は、未知の力が多くはたらく点（この問題では点P）に選ぶと計算が楽になります。
  5. 限界条件を特定する:
     • 「倒れる直前」「最大角」→ モーメントがつり合う限界。あるいは、重心が回転軸の真上に来る。
     • 「滑る直前」「滑り出す」→ 静止摩擦力が最大摩擦力に達する (\(F = \mu N\))。
  6. 条件を比較する: もし「滑るか倒れるかどちらが先に起こるか」を問われたら、それぞれの限界条件を満たす傾斜角\(\theta\)（または外力）を計算し、より小さい方で起こる現象が答えとなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• モーメントの腕の長さを間違える:
  • 誤解: 重心の座標そのものを腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 「腕の長さ」は、支点から「力の作用線」に下ろした垂線の長さです。この問題では、重力を分解したことで、腕の長さがそれぞれ\(\displaystyle\frac{h}{2}\)と\(\displaystyle\frac{l}{2}\)であることが明確になります。力を分解して考えることは、腕の長さを正しく求める上でも有効です。
• モーメントの回転方向の勘違い:
  • 誤解: 図の見た目から、重力の平行成分が物体を時計回りに回すと錯覚してしまう。
  • 対策: 支点Pを釘で固定されている点だと想像してみましょう。その状態で、重心の位置に斜め下向きの力（重力の平行成分）を加えると、物体はP点を中心に反時計回りに持ち上がるように回転します。一つ一つの力について、具体的に回転する様子をイメージする癖をつけましょう。
• 「滑らない条件」と「倒れない条件」の混同:
  • 誤解: 物体が静止しているというだけで、静止摩擦力が常に最大摩擦力に等しいと考えてしまう。
  • 対策: 静止摩擦力\(F\)は、外力とつり合うために必要な大きさだけはたらく「調整可能」な力です。\(F=\mu N\)が成り立つのは、あくまで「滑り出す直前」という特別な瞬間だけです。同様に、モーメントのつり合いが破れるのが「倒れる」条件であり、これらは独立した現象として区別して考える必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつり合い）:
  • 選定理由: 問題文に「直方体は静止した」とあります。物体が（並進運動せずに）静止している状態を記述する法則は、力のつり合いの式です。
  • 適用根拠: 斜面上の物体を扱うため、力を斜面に平行・垂直な成分に分解して、それぞれの方向でつり合いを考えるのが最も合理的です。これにより、未知数である静止摩擦力\(F\)と垂直抗力\(N\)を、既知の量（\(m, g, \theta\)）で表すことができます。
• (3)での公式選択（力のモーメントのつり合い）:
  • 選定理由: 「静止できる最大角」という言葉は、物体が「回転し始める直前」の状態、つまり倒れるか倒れないかの限界を示唆しています。回転に関する物理法則は、力のモーメントのつり合いです。
  • 適用根拠: 限界状態では、物体を倒そうとするモーメント（この問題では重力の平行成分による反時計回りモーメント）と、それに抵抗するモーメント（重力の垂直成分による時計回りモーメント）がちょうどつり合っています。この物理的な状況が、モーメントのつり合いの式を立てる根拠となります。
• (4)での公式選択（最大摩擦力の条件）:
  • 選定理由: 「すべり出さない」ための「静止摩擦係数\(\mu\)」の条件を問われています。滑り出すかどうかを議論するための物理法則が、最大摩擦力の条件式 \(F \le \mu N\) です。
  • 適用根拠: 問題の状況（最大角\(\theta\)で静止している）において、物体は滑っていないという事実があります。これは、そのときにはたらいている静止摩擦力\(F\)が、最大摩擦力\(\mu N\)を超えていないことを意味します。この事実を不等式 \(F \le \mu N\) で表現し、(1)と(3)の結果を代入することで、\(\mu\)が満たすべき条件を導き出すことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 力を正確に図示し、分解する:
  • まずは大きな図を描き、重力、垂直抗力、静止摩擦力を書き込みます。次に、重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に正確に分解し、角度\(\theta\)の位置を間違えないように注意します。すべての計算はこの図に基づいて行われるため、最初の図示が最も重要です。
• 腕の長さを図から読み取る:
  • モーメントを計算する際は、支点Pから各力の作用線への垂線を図に描き入れ、その長さが図形のどの部分（\(\displaystyle\frac{l}{2}\)や\(\displaystyle\frac{h}{2}\)）に対応するのかを視覚的に確認しましょう。
• 三角関数の定義を再確認する:
  • (3)の計算で、\(\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta\) という関係を使います。基本的な三角関数の関係式は、計算の最終段階で式を簡潔にするためによく使われるので、いつでも引き出せるようにしておきましょう。
• 結果の物理的な意味を吟味する:
  • (3)で得られた \(\tan\theta = \displaystyle\frac{l}{h}\) は、物体がずんぐりむっくり（\(l\)が大きく\(h\)が小さい）なほど、倒れにくい（\(\theta\)が大きくなる）ことを示しています。
  • (4)で得られた \(\mu \ge \displaystyle\frac{l}{h}\) は、倒れにくい（\(l/h\)が大きい）物体ほど、滑らないためにはより大きな摩擦係数が必要であることを示しています。これらの結果が直感と合っているかを確認する癖をつけると、ケアレスミスを発見しやすくなります。

144 壁に立てかけたはじご

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「粗い床となめらかな壁に立てかけたはしごのつり合い」です。剛体のつり合い問題の典型例であり、人がはしごを登ることで変化する力のモーメントを考え、すべり出す直前の限界状態を正しく数式で表現する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「人が点Bをこえたところで、はしごがすべり始めた」という記述から、人が点Bに達した瞬間が、まさに「すべり出す直前」のつり合いの限界状態であると判断します。この状態のはしごに働く力をすべて図示し、力のつり合いと力のモーメントのつり合いの式を立てます。モーメントの支点は、未知の力である垂直抗力\(N\)と静止摩擦力\(F\)がはたらく点Dに選ぶと、これらのモーメントが0になり計算が簡単になります。
この設問における重要なポイント

• はしごに働く力は、はしごの重力\(mg\)、人の重力\(2mg\)、床からの垂直抗力\(N\)、壁からの垂直抗力\(R\)、床からの最大静止摩擦力\(F\)の5つ。
• 壁は「なめらか」なので、壁からの摩擦力は考えない。
• 鉛直方向の力のつり合いと、点Dを支点とした力のモーメントのつり合いを立式する。

具体的な解説と立式
人が点Bに達したときのはしごに働く力は、模範解答の図に示されている通りです。

• 鉛直方向の力のつり合いについて、\((\text{上向きの力の和}) = (\text{下向きの力の和})\) より、
  $$ N = mg + 2mg \quad \cdots ① $$
• 点Dのまわりの力のモーメントのつり合いについて、\((\text{反時計回りのモーメントの和}) = (\text{時計回りのモーメントの和})\) を考えます。
  • 反時計回りのモーメント: はしごの重力\(mg\)によるもの（腕の長さ \(\frac{L}{2}\cos\theta\)）と、人の重力\(2mg\)によるもの（腕の長さ \(\frac{3L}{4}\cos\theta\)）。
  • 時計回りのモーメント: 壁からの垂直抗力\(R\)によるもの。腕の長さは \(L\sin\theta\)。

  よって、つり合いの式は、
  $$ mg \times \frac{L}{2}\cos\theta + 2mg \times \frac{3L}{4}\cos\theta = R \times L\sin\theta \quad \cdots ② $$
  となります。

まず、式①から床からの垂直抗力\(N\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= 3mg
\end{aligned}
$$
次に、式②を整理して壁からの垂直抗力\(R\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\left( \frac{1}{2}mg + \frac{3}{2}mg \right) L\cos\theta &= R L\sin\theta \\[2.0ex] 2mgL\cos\theta &= R L\sin\theta
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\sin\theta\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{2mg\cos\theta}{\sin\theta} \\[2.0ex] &= \frac{2mg}{\tan\theta}
\end{aligned}
$$

はしごが滑る寸前の、ギリギリ静止している状態を考えます。まず、床がはしごを支える上向きの力（垂直抗力）は、単純に「はしごの重さ」と「人の重さ」の合計とつり合っています。次に、壁がはしごを水平に押す力（垂直抗力）を考えます。はしごの下の端を支点にしたシーソーを考えると、「はしごと人の重さ」がはしごを反時計回りに回そうとし、「壁が押す力」が時計回りに回そうとして、これらの回転力がちょうどつり合っています。このつり合いの式を解くことで、壁が押す力を計算できます。

床からの垂直抗力は\(N=3mg\)、壁からの垂直抗力は\(R=\displaystyle\frac{2mg}{\tan\theta}\)と求まりました。
はしごの角度\(\theta\)が小さい（はしごが寝ている）ほど、\(\tan\theta\)は小さくなり、壁が押す力\(R\)は大きくなります。これは、寝ているはしごほど壁に大きな力がかかり、滑りやすいという日常の感覚と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
人が点Bに達したとき、はしごは「すべり始めた」とあります。これは、その瞬間に床からの静止摩擦力\(F\)が最大摩擦力\(\mu N\)に達したことを意味します。この関係式 \(F = \mu N\) を用いて、静止摩擦係数\(\mu\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• すべり出す直前の条件は、\(F = \mu N\)。
• 水平方向の力のつり合いの式 \(F=R\) を利用する。
• (1)で求めた\(N\)と\(R\)の値を代入する。

具体的な解説と立式
まず、水平方向の力のつり合いについて、\((\text{右向きの力の和}) = (\text{左向きの力の和})\) より、
$$ R = F $$
次に、すべり出す直前の条件から、静止摩擦力\(F\)は最大摩擦力\(\mu N\)に等しくなります。
$$ F = \mu N $$
したがって、これら2式より、
$$ R = \mu N $$
この式を\(\mu\)について解くと、
$$ \mu = \frac{R}{N} $$
となります。

上記で立てた式に、(1)で求めた \(N=3mg\) と \(R=\displaystyle\frac{2mg}{\tan\theta}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\mu &= \frac{\frac{2mg}{\tan\theta}}{3mg} \\[2.0ex] &= \frac{2mg}{3mg\tan\theta} \\[2.0ex] &= \frac{2}{3\tan\theta}
\end{aligned}
$$

床のザラザラ具合（静止摩擦係数）が、はしごが滑るか滑らないかを決めています。滑るギリギリの瞬間では、摩擦力が限界の強さに達しています。この限界の摩擦力（最大摩擦力）は、「床がはしごを押し上げる力\(N\) × 静止摩擦係数\(\mu\)」で計算できます。一方で、この摩擦力は「壁がはしごを押す力\(R\)」とつり合っているはずです。この2つの関係式を使って、未知数である静止摩擦係数\(\mu\)を逆算します。

静止摩擦係数は \(\mu = \displaystyle\frac{2}{3\tan\theta}\) と求まりました。
この式は、はしごの角度\(\theta\)が小さい（はしごが寝ている）ほど、\(\tan\theta\)が小さくなり、滑らないために必要な静止摩擦係数\(\mu\)は大きくなることを示しています。これは、寝ているはしごの方が滑りやすいという日常の感覚と一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件
  • 核心: この問題の根幹は、はしごという剛体が静止している状態を、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」という2つの物理法則を用いて、正確に数式で表現する能力です。特に、人がはしご上の特定の位置にいるという、具体的な状況設定を式に反映させることが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 力のつり合い: はしごが上下左右に動き出さないための条件です。水平方向と鉛直方向に分けて、`（右向きの力の和）=（左向きの力の和）`、`（上向きの力の和）=（下向きの力の和）`という2本の式を立てます。
    • 力のモーメントのつり合い: はしごが回転して倒れ始めないための条件です。任意の1点を「支点」として定め、その点のまわりで `（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）` という式を立てます。
• 限界条件の物理的解釈
  • 核心: 「すべり始めた」という言葉が、物理的にどのような限界状態を指すのかを正確に把握することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • すべり出す直前: 物体を滑らせようとする力に対抗して働く静止摩擦力には限界があります。物体が「すべり始める直前」とは、この静止摩擦力が最大値（最大摩擦力 \(\mu N\)）に達した、ギリギリのつり合い状態を指します。この問題では、人が点Bに達した瞬間が、まさにこの限界状態に対応します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面上の剛体のつり合い（発展問題143）: 斜面上に置かれた物体が、滑るか倒れるかの条件を問う問題。重力を斜面に平行・垂直に分解する点が異なりますが、力のつり合いとモーメントのつり合い、そして限界条件を考えるという本質は同じです。
  • 棒にひもをつけて吊るす問題: 棒が水平やある角度を保って静止するときの、張力や壁からの力を求める問題。この場合も、力のつり合いとモーメントのつり合いが基本となります。
  • 看板やドアのつり合い: ちょうつがい（蝶番）で支えられた物体のつり合い。ちょうつがいが物体に及ぼす力は、水平成分と鉛直成分の2つの未知数として扱う必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: はしごにはたらく力を、作用点も含めて漏れなく図に書き込みます。重力（はしご自身と人）、接触点からの力（垂直抗力、摩擦力）をすべてリストアップします。特に「なめらかな壁」という条件から、壁からの摩擦力は0であることを見抜くのが第一歩です。
  2. つり合いの式を立てる準備をする: 水平方向、鉛直方向の力のつり合いの式を立てます。
  3. モーメントの支点を戦略的に選ぶ: モーメントのつり合いを考える際、支点はどこに選んでも構いませんが、計算を最も簡単にする点を選ぶのがセオリーです。床とのはしごの接点Dのように、未知の力（この場合は\(N\)と\(F\)）が最も多く集まる点を選ぶと、それらの力のモーメントが0になり、式が非常にシンプルになります。
  4. 限界条件を数式に反映させる: 「すべり始めた」という記述を見たら、即座に「静止摩擦力が最大摩擦力に等しい（\(F = \mu N\)）」という条件式を思い浮かべ、立式したつり合いの式と結びつけます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の図示ミス（特に摩擦力と垂直抗力）:
  • 誤解: 壁が「なめらか」なのに摩擦力を描いてしまう。床からの摩擦力の向きを間違える。壁からの垂直抗力の向きを間違える。
  • 対策: 「なめらか」という言葉は「摩擦がない」という意味だと覚えましょう。摩擦力は、物体が滑ろうとする向きとは「逆」にはたらきます（はしごは右に滑ろうとするので、摩擦力は左向き）。垂直抗力は、面が物体を「垂直に押す」力です（壁は右向きに、床は上向きに押す）。
• モーメントの回転方向の勘違い:
  • 誤解: 図の見た目や複雑さから、各力が物体をどちら向きに回転させるかを直感で判断して間違える。
  • 対策: 支点を釘で固定した点だと想像し、力の矢印の方向に物体を引っ張ったり押したりする様子を具体的にイメージしましょう。例えば、支点Dに対して、はしごの中間点を真下に引っぱる（重力）と、はしごは反時計回りに回転します。上端を右に押す（壁からの垂直抗力）と、時計回りに回転します。この一手間が符号ミスを防ぎます。
• モーメントの腕の長さを間違える:
  • 誤解: はしごに沿った距離（例: \(\displaystyle\frac{3L}{4}\)）をそのまま腕の長さとして使ってしまう。
  • 対策: 「腕の長さ」は、支点から力の「作用線」までの「最短距離（垂線の長さ）」です。はしごが傾いている場合、重力のような鉛直な力に対する腕の長さは、水平距離（\(\cos\theta\)を掛けたもの）になります。逆に、壁からの水平な力に対する腕の長さは、垂直距離（\(\sin\theta\)を掛けたもの）になります。図に直角三角形を描いて確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつり合いとモーメントのつり合い）:
  • 選定理由: 問題文に「はしごがすべり始めた」とあり、その直前は「静止」しています。剛体が静止している状態を記述する物理法則は、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」の2つです。未知数が複数（\(N, R, F\)）あるため、これらを組み合わせて連立方程式を立てる必要があります。
  • 適用根拠: 鉛直方向の力のつり合いからは、床からの垂直抗力\(N\)がすぐに求まります。残りの未知数（\(R, F\)）を求めるために、モーメントのつり合いの式を利用します。特に、未知の力が集中する点Dを支点に選ぶことで、\(N\)と\(F\)を計算から排除し、\(R\)を直接求めるための方程式を立てることができます。これが、この順序で公式を適用する論理的な理由です。
• (2)での公式選択（最大摩擦力の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのが「静止摩擦係数\(\mu\)」であり、問題の状況が「すべり始め」です。この2つを直接結びつける物理法則が、最大摩擦力の公式 \(F = \mu N\) です。
  • 適用根拠: 「すべり始める直前」という限界状態では、静止摩擦力がその最大値に達しているという物理的な事実があります。この事実を \(F = \mu N\) という等式で表現します。そして、(1)で求めた\(N\)の値と、水平方向の力のつり合い(\(F=R\))からわかる\(F\)の値をこの式に代入することで、未知数\(\mu\)を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 大きな図を描き、すべての情報を書き込む:
  • フリーハンドで構わないので、大きなはしごの図を描きましょう。そこに、すべての力（重力、垂直抗力、摩擦力）を作用点から矢印で描きます。さらに、モーメント計算に必要な腕の長さ（例: \(\frac{L}{2}\cos\theta\), \(L\sin\theta\)など）も図に書き込んでおくと、立式ミスを大幅に減らせます。
• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題のように、多くの物理量が文字で与えられている場合、最後まで文字式のまま計算を進めるのが基本です。計算の途中で \(mg\) や \(L\) などの共通項が約分されて消え、式がきれいになります。
• モーメントのつり合いの式は、項を整理してから代入する:
  • (1)の式②のように、\(R L\sin\theta = (\frac{1}{2}mg + \frac{3}{2}mg) L\cos\theta\) と、まずは右辺を \(2mgL\cos\theta\) と整理してから、次の計算に進みましょう。焦って一度に計算しようとすると、係数の計算ミスなどが起こりやすくなります。
• 結果を吟味する:
  • (2)で求めた \(\mu = \displaystyle\frac{2}{3\tan\theta}\) という結果を物理的に考えてみましょう。もしはしごを垂直に立てかけたら（\(\theta \rightarrow 90^\circ\)）、\(\tan\theta \rightarrow \infty\) となり、\(\mu \rightarrow 0\) となります。これは、垂直に立てれば摩擦がなくても滑らないという直感に合っています。逆に、はしごを寝かせると（\(\theta \rightarrow 0\)）、\(\tan\theta \rightarrow 0\) となり、\(\mu \rightarrow \infty\) となります。これは、滑らないためには無限大の摩擦が必要、つまり必ず滑る、という直感に合っています。このように、極端な状況を考えることで、式の妥当性を検証できます。

145 棒のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ひもと水平な力で支えられた棒のつり合い」です。剛体のつり合い問題の基本であり、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」という2つの条件を正しく立式し、それらを連立させて解く能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒が静止しているため、棒にはたらく力はつり合っています。棒にはたらく力は、ひもの張力\(T\)、重力\(Mg\)、水平な力\(F\)の3つです。これらの力を水平方向と鉛直方向に分けて、つり合いの式を立てます。斜めを向いている張力\(T\)を成分分解するのが定石です。
この設問における重要なポイント

• 棒にはたらく力は、張力\(T\)、重力\(Mg\)、力\(F\)の3つ。
• 張力\(T\)を水平成分\(T\cos\theta_1\)（左向き）と鉛直成分\(T\sin\theta_1\)（上向き）に分解する。
• 水平方向、鉛直方向それぞれで力がつり合っている。

具体的な解説と立式
棒にはたらく力を水平方向と鉛直方向に分けて、力のつり合いの式を立てます。

• 水平方向の力のつり合いについて、\((\text{右向きの力の和}) = (\text{左向きの力の和})\) より、
  $$ F = T\cos\theta_1 $$
• 鉛直方向の力のつり合いについて、\((\text{上向きの力の和}) = (\text{下向きの力の和})\) より、
  $$ T\sin\theta_1 = Mg $$

上記の立式がそのまま答えとなります。

棒が動かずに止まっているので、棒を右に引っぱる力と左に引っぱる力、上に引っぱる力と下に引っぱる力が、それぞれ同じ大きさでつり合っています。右向きの力は\(F\)、左向きの力はひもの張力の水平成分です。上向きの力はひもの張力の鉛直成分、下向きの力は棒の重さです。これらの関係を式にしたものが答えです。

水平方向のつり合いの式として \(T\cos\theta_1 = F\)、鉛直方向のつり合いの式として \(T\sin\theta_1 = Mg\) が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた2つのつり合いの式には、求めたい\(T\)と、与えられた文字\(F, M, g\)の他に、未知の角度\(\theta_1\)が含まれています。この\(\theta_1\)を消去するために、三角関数の基本的な関係式 \(\sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1 = 1\) を利用します。そのために、(1)の2式をそれぞれ2乗して足し合わせるのが定石です。
この設問における重要なポイント

• (1)で立てた2つの式を連立させて\(\theta_1\)を消去する。
• \(\sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1 = 1\) を利用する。

具体的な解説と立式
(1)で求めた2式を、それぞれ\(T\cos\theta_1\)と\(T\sin\theta_1\)について解いた形になっています。
$$ T\cos\theta_1 = F \quad \cdots ① $$
$$ T\sin\theta_1 = Mg \quad \cdots ② $$
これらの式の両辺をそれぞれ2乗します。
$$ T^2\cos^2\theta_1 = F^2 $$
$$ T^2\sin^2\theta_1 = (Mg)^2 $$
この2式を足し合わせると、
$$ T^2\cos^2\theta_1 + T^2\sin^2\theta_1 = F^2 + (Mg)^2 $$
となります。

$$
\begin{aligned}
T^2(\cos^2\theta_1 + \sin^2\theta_1) &= F^2 + (Mg)^2 \\[2.0ex] T^2(1) &= F^2 + (Mg)^2 \\[2.0ex] T^2 &= F^2 + (Mg)^2
\end{aligned}
$$
\(T>0\)なので、
$$
\begin{aligned}
T &= \sqrt{F^2 + (Mg)^2}
\end{aligned}
$$

(1)でわかった力のつり合いは、直角三角形の辺の長さの関係と見ることができます。水平方向の力が底辺、鉛直方向の力が高さ、そしてひもの張力\(T\)が斜辺に対応します。三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って、斜辺の長さである\(T\)を計算する問題です。

張力の大きさ\(T\)が、棒にはたらく水平方向の力\(F\)と鉛直方向の力\(Mg\)の合力の大きさに等しいことがわかります。これは、3つの力がつり合っていることから当然の結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
棒が回転せずに静止しているため、任意の点のまわりで力のモーメントがつり合っています。設問で「端Aのまわり」と指定されているので、点Aを支点としてモーメントのつり合いの式を立てます。点Aには張力\(T\)がはたらいていますが、支点自身にはたらく力のモーメントは0になるため、計算が簡単になります。
この設問における重要なポイント

• 支点は点A。
• 棒にはたらく力のうち、モーメントを持つのは重力\(Mg\)と力\(F\)の2つ。
• 腕の長さ（支点から力の作用線までの垂線の長さ）を、三角関数を使って正しく求める。

具体的な解説と立式
点Aを支点として、力のモーメントのつり合い \((\text{反時計回りのモーメントの和}) = (\text{時計回りのモーメントの和})\) を考えます。

• 反時計回りのモーメント: 水平な力\(F\)によるもの。
  • 作用点はB。腕の長さは、点Aから力\(F\)の作用線（Bを通る水平線）までの垂線の長さなので、\((L_1+L_2)\sin\theta_2\)。
• 時計回りのモーメント: 重力\(Mg\)によるもの。
  • 作用点はG。腕の長さは、点Aから重力\(Mg\)の作用線（Gを通る鉛直線）までの垂線の長さなので、\(L_1\cos\theta_2\)。

よって、つり合いの式は、
$$ F \times (L_1+L_2)\sin\theta_2 = Mg \times L_1\cos\theta_2 $$
となります。

設問では「つりあいの式を示せ」とあるので、上記の立式が答えとなります。模範解答のように移項して \(=0\) の形にしても構いません。

棒が回転しないのは、棒を回そうとする力（モーメント）がつり合っているからです。棒の端Aを画鋲で止めたと想像してください。右端を水平に引く力\(F\)は、棒を反時計回りに回そうとします。一方、棒の重さは、棒を時計回りに回そうとします。この2つの回転力が等しい大きさでつり合っている、という関係を式にしたものが答えです。

力のモーメントのつり合いの式として \(F(L_1+L_2)\sin\theta_2 = MgL_1\cos\theta_2\) が得られました。

問(4)

思考の道筋とポイント
これまでに立てた3つの基本式（水平・鉛直の力のつり合い、モーメントのつり合い）を連立させて、求めたい\(\tan\theta_1\)と\(\theta_2, L_1, L_2\)だけの関係式を導きます。具体的には、力のつり合いの式から得られる\(\displaystyle\frac{Mg}{F}\)と、モーメントのつり合いの式から得られる\(\displaystyle\frac{Mg}{F}\)が等しい、とおきます。
この設問における重要なポイント

• (1)の2式と(3)の式を連立させる。
• \(\displaystyle\frac{Mg}{F}\)を媒介として、2つの式をつなぐ。

具体的な解説と立式
(1)で立てた力のつり合いの式から、
$$ T\sin\theta_1 = Mg $$
$$ T\cos\theta_1 = F $$
この2式の両辺をそれぞれ割り算すると、
$$ \frac{T\sin\theta_1}{T\cos\theta_1} = \frac{Mg}{F} $$
よって、
$$ \tan\theta_1 = \frac{Mg}{F} \quad \cdots ④ $$
次に、(3)で立てたモーメントのつり合いの式から、\(\displaystyle\frac{Mg}{F}\)を求めます。
$$ F(L_1+L_2)\sin\theta_2 = MgL_1\cos\theta_2 $$
$$ \frac{Mg}{F} = \frac{(L_1+L_2)\sin\theta_2}{L_1\cos\theta_2} $$
この2つの式はどちらも\(\displaystyle\frac{Mg}{F}\)を表しているので、右辺同士が等しくなります。
$$ \tan\theta_1 = \frac{(L_1+L_2)\sin\theta_2}{L_1\cos\theta_2} $$

上式を整理します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta_1 &= \frac{L_1+L_2}{L_1} \cdot \frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2} \\[2.0ex] &= \frac{L_1+L_2}{L_1}\tan\theta_2
\end{aligned}
$$

これまでに立てた3つのつり合いの式は、いわば3つのヒントです。これらのヒントをうまく組み合わせて、問題で聞かれている\(\tan\theta_1\)と\(\tan\theta_2\)の関係式という「答え」を導き出すパズルです。ここでは、力の比\(\displaystyle\frac{Mg}{F}\)が2通りの方法で表せることを利用して、式をつないでいます。

\(\tan\theta_1 = \displaystyle\frac{L_1+L_2}{L_1}\tan\theta_2\) という関係式が得られました。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で導出した関係式に、与えられた具体的な角度 \(\theta_1=60^\circ\), \(\theta_2=30^\circ\) を代入し、長さの比 \(L_1:L_2\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• \(\tan60^\circ = \sqrt{3}\)
• \(\tan30^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)

具体的な解説と立式
(4)の式に、\(\theta_1=60^\circ\), \(\theta_2=30^\circ\) を代入します。
$$ \tan60^\circ = \frac{L_1+L_2}{L_1}\tan30^\circ $$

$$
\begin{aligned}
\sqrt{3} &= \frac{L_1+L_2}{L_1} \times \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
$$
両辺に\(\sqrt{3}\)を掛けると、
$$
\begin{aligned}
3 &= \frac{L_1+L_2}{L_1} \\[2.0ex] 3 &= 1 + \frac{L_2}{L_1} \\[2.0ex] \frac{L_2}{L_1} &= 2
\end{aligned}
$$
したがって、\(L_2 = 2L_1\) となり、比は \(L_1:L_2 = 1:2\) となります。

(4)で作った公式に、問題で指定された角度の数値（\(60^\circ\)と\(30^\circ\)）を当てはめて、あとは簡単な計算をするだけです。これにより、棒の重心の位置が、棒全体をどのくらいの比率で分けているかがわかります。

比 \(L_1:L_2\) は \(1:2\) と求まりました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件
  • 核心: この問題の根幹は、静止している剛体（棒）にはたらく複数の力を、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」という2つの基本法則を用いて、漏れなく数式に落とし込む能力です。これら複数の式を連立方程式として解くことで、未知の力や角度、長さの関係を明らかにすることができます。
  • 理解のポイント:
    • 力のつり合い: 物体がその場で動き出さない（並進しない）ための条件です。すべての力を水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向で `（右向きの力の和）=（左向きの力の和）`、`（上向きの力の和）=（下向きの力の和）` という式を立てます。
    • 力のモーメントのつり合い: 物体がその場で回転し始めないための条件です。まず「支点」を任意に一つ決め、その点のまわりで `（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）` という式を立てます。どの点を支点に選んでも物理法則は成立しますが、計算を簡単にするための戦略的な選択が重要になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけたはしごのつり合い（発展問題144）: 床からの垂直抗力と摩擦力、壁からの垂直抗力がはたらく問題。人が登る位置によってモーメントが変化する点が類似しています。
  • ちょうつがい（蝶番）で支えられた看板や扉: ちょうつがいが及ぼす力は、水平成分と鉛直成分の2つの未知の力として扱う必要がありますが、力のつり合いとモーメントのつり合いで解く基本は同じです。
  • 複数のひもで吊るされた物体: 複数の張力がはたらく場合でも、各張力を成分分解し、力のつり合いとモーメントのつり合いを立てることで解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 剛体にはたらく力を、作用点も意識しながらすべてベクトル矢印で書き込みます。重力は重心から、張力はひもの方向に、接触力は接触点から、といった基本ルールを守ります。
  2. 座標軸を設定し、力を分解する: 水平・鉛直の座標軸を決め、斜め方向の力（この問題では張力\(T\)）をすべて成分分解します。
  3. つり合いの式を機械的に立てる: 「水平方向の力のつり合い」「鉛直方向の力のつり合い」「力のモーメントのつり合い」の3本の式を、まずは機械的に立てることを目指します。これで、ほとんどの問題を解くための材料が揃います。
  4. モーメントの支点を戦略的に選ぶ: モーメントの式を立てる際、支点はどこでも良いですが、未知の力が最も多くはたらいている点（この問題では点A）を選ぶと、その力のモーメントが0になり、式がシンプルになることが多いです。
  5. 3力のつり合いの定理を検討する: （別解で示したように）剛体にはたらく力が3つだけでつり合っている場合、それらの力の作用線は必ず1点で交わります。この幾何学的な性質を使うと、代数計算をせずに図形問題として解ける場合があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• モーメントの腕の長さを間違える:
  • 誤解: 支点から力の作用点までの棒に沿った距離（例: \(L_1\)や\(L_1+L_2\)）を、そのまま腕の長さとして使ってしまう。
  • 対策: 「腕の長さ」とは、支点から力の「作用線」（力を表す矢印を延長した直線）に下ろした垂線の長さです。棒が傾いている場合、鉛直な力（重力）に対する腕の長さは水平距離（\(\cos\theta_2\)がつく）、水平な力（力\(F\)）に対する腕の長さは鉛直距離（\(\sin\theta_2\)がつく）になります。必ず図に垂線を描き、直角三角形を見つけて長さを計算する癖をつけましょう。
• 力の分解ミス:
  • 誤解: 張力\(T\)を分解する際、角度\(\theta_1\)の位置を勘違いして、\(\sin\)と\(\cos\)を逆にしてしまう。
  • 対策: 分解したい力（ベクトル）を対角線とする長方形を描き、角度\(\theta_1\)がどちらの軸となす角なのかを明確に確認します。「角に接している辺が\(\cos\)」と覚えると間違いが減ります。
• モーメントの回転方向の判断ミス:
  • 誤解: 図が複雑なため、力がどちら向きの回転を生むかを直感で判断して間違える。
  • 対策: 支点を指で押さえて、力の矢印の向きに棒がどう回転するかを実際にイメージしてみましょう。点Aを支点としたとき、点Gを真下に引けば時計回りに、点Bを右に引けば反時計回りに回転することがわかります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつり合い）:
  • 選定理由: 問題文に「つりあった」とあり、棒が静止していることがわかります。物体が並進運動をしない（動かない）状態を記述する基本法則が、力のつり合いの式です。
  • 適用根拠: 棒にはたらく力は水平・鉛直の両方向にあるため、それぞれの方向で独立してつり合いが成立しています。これにより、未知数を含む2本の方程式が得られます。
• (2)での公式選択（三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)）:
  • 選定理由: (1)で得られた2つの式から、角度\(\theta_1\)の情報を消去して、力の大きさだけの関係式を導きたい場合、この公式は\(\sin\)と\(\cos\)を同時に消去できる最も強力なツールです。
  • 適用根拠: (1)の式が \(T\cos\theta_1 = \dots\) と \(T\sin\theta_1 = \dots\) という形をしています。これらをそれぞれ2乗して足し合わせることで、左辺が \(T^2(\cos^2\theta_1 + \sin^2\theta_1)\) となり、公式を適用できる形を意図的に作り出すことができます。
• (3)での公式選択（力のモーメントのつり合い）:
  • 選定理由: 棒が静止している以上、回転運動もしていません。この状態を記述する、力のつり合いとは独立したもう一つの基本法則が、力のモーメントのつり合いの式です。
  • 適用根拠: 力のつり合いだけでは、力の作用点の位置（\(L_1, L_2\)など）に関する情報が式に含まれません。力の作用点の位置関係を問う問題（(4), (5)への布石）を解くためには、位置の情報を含むモーメントのつり合いの式を立てることが不可欠です。
• (4)でのアプローチ選択（式の連立）:
  • 選定理由: 求めたいのは角度と長さの比の関係式であり、力の大きさ（\(T, F, Mg\)）は不要な情報です。したがって、これまでに立てた3つの式から、これらの力の変数を消去することが目標となります。
  • 適用根拠: (1)の2式から、力の比 \(\displaystyle\frac{Mg}{F}\) を \(\tan\theta_1\) で表すことができます。同様に、(3)の式からも、同じ力の比 \(\displaystyle\frac{Mg}{F}\) を \(\theta_2, L_1, L_2\) で表すことができます。同じものを2通りで表現できたので、それらを等しいとおくことで、力の変数をすべて消去し、目的の関係式を導くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 大きな図を描き、情報をすべて書き込む:
  • フリーハンドで構わないので、問題の図を大きく描き写しましょう。そこに、力のベクトル、分解した成分、角度、そしてモーメント計算に必要な腕の長さをすべて書き込みます。情報を図に集約することで、頭の中だけで考えずに済み、立式ミスを劇的に減らせます。
• 腕の長さを慎重に計算する:
  • モーメントの計算で最も間違いやすいのが腕の長さです。支点から力の作用線に垂線を下ろし、そこにできる直角三角形に注目して、三角比を使って長さを求めるプロセスを省略しないようにしましょう。
• 連立方程式は目的を明確にする:
  • (4)のように複数の式を扱う場合、「どの変数を消去して、どの変数を残したいのか」を計算の前に明確に意識することが重要です。この問題では、\(T, F, Mg\)を消去して、\(\theta_1, \theta_2, L_1, L_2\)を残すのが目的でした。
• 三角関数の計算に慣れる:
  • \(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) のような基本的な関係式や、\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) の三角比の値は、スムーズに使えるように日頃から練習しておきましょう。
• 検算を行う:
  • (5)で比が \(L_1:L_2=1:2\) と求まったら、例えば \(L_1=1, L_2=2\) として(4)の式が成り立つかを確認します。
    • \(\tan60^\circ = \sqrt{3}\)
    • 右辺は \(\displaystyle\frac{1+2}{1}\tan30^\circ = 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)。左辺と右辺が一致するので、計算が正しいことが確認できます。

146 半円柱に立てかけた棒

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「曲面を含む剛体のつり合い」です。床だけでなく、半円柱という曲面からも力を受ける棒のつり合いを考えます。力のつり合い、力のモーメントのつり合いという基本法則に加え、幾何学的な考察（接点や腕の長さの計算）が重要になる問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒が床をすべらない、という条件は、床から棒にはたらく静止摩擦力\(F\)が、その限界値である最大静止摩擦力\(\mu N\)を超えない、ということです。この関係を不等式で表します。
この設問における重要なポイント

• 静止摩擦力\(F\)は、物体が滑り出さないように支える力。
• 最大静止摩擦力\(\mu N\)は、静止摩擦力が出せる力の最大値。
• したがって、静止している間は常に \(F \le \mu N\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
棒がすべらないためには、床から受ける静止摩擦力の大きさ\(F\)が、最大静止摩擦力\(\mu N\)以下でなければなりません。
$$ F \le \mu N $$

上記の立式がそのまま答えとなります。

床のザラザラ具合（摩擦）が、棒が滑らないように支えています。この支える力（静止摩擦力\(F\)）には限界があります。その限界の強さが「最大静止摩擦力\(\mu N\)」です。棒が滑らないためには、実際に働いている摩擦力が、この限界の強さを超えていなければよい、という当たり前の関係を式にしたものです。

棒がすべらないための条件式は \(F \le \mu N\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
棒にはたらく力は、重力\(mg\)、半円柱からの垂直抗力\(R\)、床からの垂直抗力\(N\)、床からの摩擦力\(F\)の4つです。これらのうち、未知の力である\(N\)と\(F\)がはたらく点Bを支点として力のモーメントのつり合いを考えると、これらの力のモーメントが0になり、式が簡単になります。
この設問における重要なポイント

• 支点は点B。
• 重力\(mg\)は、棒の中心にはたらき、反時計回りのモーメントを作る。
• 半円柱からの垂直抗力\(R\)は、接点Pを通り中心Oに向かう方向にはたらき、時計回りのモーメントを作る。
• 腕の長さを、三角比や図形の性質を使って正しく求める。

具体的な解説と立式
点Bを支点として、力のモーメントのつり合い \((\text{反時計回りのモーメントの和}) = (\text{時計回りのモーメントの和})\) を考えます。

• 反時計回りのモーメント: 重力\(mg\)によるもの。
  • 作用点は棒の中心。腕の長さは、点Bから重力の作用線（鉛直線）までの水平距離なので、\(\displaystyle\frac{L}{2}\cos60^\circ\)。
• 時計回りのモーメント: 半円柱からの垂直抗力\(R\)によるもの。
  • 作用点はP。力の方向はOPの方向。腕の長さは、点Bから作用線OPに下ろした垂線の長さBPです。
  • \(\triangle OPB\) を考えると、OPは半径、PBは接線の一部のため \(\angle OPB = 90^\circ\) です。また、幾何学的な関係から \(\angle POB = 30^\circ\) となります。
  • したがって、腕の長さは \(BP = OP \tan(\angle POB) = r\tan30^\circ = \displaystyle\frac{r}{\sqrt{3}}\)。

よって、つり合いの式は、
$$ mg \times \frac{L}{2}\cos60^\circ = R \times (r\tan30^\circ) $$
となります。

$$
\begin{aligned}
mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \frac{1}{2} &= R \cdot r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \\[2.0ex] \frac{mgL}{4} &= \frac{Rr}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
$$
これを\(R\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{\sqrt{3}mgL}{4r}
\end{aligned}
$$

棒が回転せずに静止している状態を、棒の下の端Bを支点にしたシーソーで考えます。棒の重さは、シーソーを反時計回りに回そうとします。一方、半円柱が棒を押し返す力は、シーソーを時計回りに回そうとします。この2つの回転力がちょうどつり合っている、という式を立てて、半円柱が押す力の大きさを計算します。

半円柱からの垂直抗力は \(R = \displaystyle\frac{\sqrt{3}mgL}{4r}\) と求まりました。棒が長い(\(L\)が大きい)ほど、また半円柱が小さい(\(r\)が小さい)ほど、大きな力で支える必要があることを示しており、直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
棒が並進運動をせずに静止しているため、水平方向と鉛直方向のそれぞれで力がつり合っています。棒にはたらくすべての力を成分分解し、つり合いの式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 棒にはたらくすべての力を、水平成分と鉛直成分に分解する。
• 垂直抗力\(R\)は、棒と垂直な方向にはたらく。棒が床と\(60^\circ\)の角をなすため、\(R\)は鉛直方向と\(60^\circ\)の角をなす。
• 水平方向、鉛直方向それぞれで力のつり合いの式を立てる。

具体的な解説と立式
棒にはたらく力を水平・鉛直に分解します。

• 重力\(mg\): 鉛直下向き。
• 床からの垂直抗力\(N\): 鉛直上向き。
• 床からの摩擦力\(F\): 水平左向き。
• 半円柱からの垂直抗力\(R\): 棒と垂直な方向。これは鉛直方向と\(60^\circ\)の角をなすので、水平成分は\(R\sin60^\circ\)、鉛直成分は\(R\cos60^\circ\)となります。

• 水平方向の力のつり合いについて、\((\text{右向きの力の和}) = (\text{左向きの力の和})\) より、
  $$ R\sin60^\circ = F $$
• 鉛直方向の力のつり合いについて、\((\text{上向きの力の和}) = (\text{下向きの力の和})\) より、
  $$ N + R\cos60^\circ = mg $$

まず、摩擦力\(F\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
F &= R\sin60^\circ \\[2.0ex] &= R \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$
この式に(2)で求めた\(R\)を代入すると、
$$
\begin{aligned}
F &= \left( \frac{\sqrt{3}mgL}{4r} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{3mgL}{8r}
\end{aligned}
$$
次に、垂直抗力\(N\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= mg – R\cos60^\circ \\[2.0ex] &= mg – R \times \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
この式に(2)で求めた\(R\)を代入すると、
$$
\begin{aligned}
N &= mg – \left( \frac{\sqrt{3}mgL}{4r} \right) \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= mg – \frac{\sqrt{3}mgL}{8r} \\[2.0ex] &= mg\left(1 – \frac{\sqrt{3}L}{8r}\right)
\end{aligned}
$$

棒が上下左右に動かないのは、力がつり合っているからです。右向きの力と左向きの力、上向きの力と下向きの力がそれぞれ同じ大きさになっています。半円柱が押す力は斜めなので、これを水平と鉛直に分解して考えます。「左向きの力（摩擦力）」と「右向きの力（半円柱の水平成分）」がつり合い、「上向きの力の合計（床の垂直抗力＋半円柱の鉛直成分）」と「下向きの力（重力）」がつり合う、という2つの式から答えを計算します。

摩擦力は \(F = \displaystyle\frac{3mgL}{8r}\)、垂直抗力は \(N = mg\left(1 – \displaystyle\frac{\sqrt{3}L}{8r}\right)\) と求まりました。\(L\)が大きくなると\(F\)は増え、\(N\)は減ることがわかります。これは、棒が長くなるほど、床に強く押し付けられなくなり、代わりに横に滑ろうとする力が強くなることを意味し、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
棒がすべらないためには、(1)で立てた条件 \(F \le \mu N\) を満たす必要があります。この不等式に(3)で求めた\(F\)と\(N\)を代入することで、\(L\)が満たすべき条件（上限）が求まります。
さらに、この問題設定が物理的に成立するためには、棒が半円柱に立てかけられている必要があります。棒の長さ\(L\)が短すぎると、床と\(60^\circ\)の角度を保ったまま半円柱に接することができません。この幾何学的な条件から、\(L\)の下限が求まります。
この設問における重要なポイント

• すべらない条件 \(F \le \mu N\) から\(L\)の上限を求める。
• 立てかけられる幾何学的条件から\(L\)の下限を求める。
• 垂直抗力\(N\)が正である (\(N>0\)) という条件も考慮する必要があるが、通常はすべらない条件のほうが厳しい。

具体的な解説と立式

• \(L\)の上限（すべらない条件）:
  (1)の条件式 \(F \le \mu N\) に、(3)の結果を代入します。
  $$ \frac{3mgL}{8r} \le \mu mg\left(1 – \frac{\sqrt{3}L}{8r}\right) $$
• \(L\)の下限（幾何学的条件）:
  棒が半円柱に立てかけられるためには、棒の長さ\(L\)は、少なくとも床の接点Bから半円柱との接点Pまでの長さよりは長くなければなりません。
  $$ L \ge BP $$
  (2)の考察から、\(BP = r\tan30^\circ = \displaystyle\frac{r}{\sqrt{3}}\) なので、
  $$ L \ge \frac{r}{\sqrt{3}} $$

まず、\(L\)の上限を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{3mgL}{8r} &\le \mu mg\left(1 – \frac{\sqrt{3}L}{8r}\right)
\end{aligned}
$$
両辺の\(mg\)を消去し、
$$
\begin{aligned}
\frac{3L}{8r} &\le \mu – \frac{\sqrt{3}\mu L}{8r} \\[2.0ex] \frac{3L}{8r} + \frac{\sqrt{3}\mu L}{8r} &\le \mu \\[2.0ex] \frac{L}{8r}(3 + \sqrt{3}\mu) &\le \mu \\[2.0ex] L &\le \frac{8r\mu}{3+\sqrt{3}\mu}
\end{aligned}
$$
下限は \(L \ge \displaystyle\frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}r\) です。
以上をまとめると、\(L\)の条件は、
$$ \frac{\sqrt{3}}{3}r \le L \le \frac{8r\mu}{3+\sqrt{3}\mu} $$
（模範解答の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}r\) は有理化すると \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}r\) となります。）

この問題は、「ちょうど良い長さの棒を選んでください」という問いです。棒が長すぎると、てこの原理で床を横に滑らせる力が強くなりすぎて、摩擦が負けて滑ってしまいます。これが棒の長さの上限を決めます。逆に、棒が短すぎると、そもそも半円柱に寄りかかることすらできません。これが棒の長さの下限を決めます。この「短すぎず、長すぎず」の範囲を計算で求める問題です。

棒の長さ\(L\)の条件は \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}r \le L \le \displaystyle\frac{8r\mu}{3+\sqrt{3}\mu}\) と求まりました。この範囲が存在するためには、下限値が上限値以下である必要があります。つまり、\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}r \le \displaystyle\frac{8r\mu}{3+\sqrt{3}\mu}\) が成り立たねばならず、これは\(\mu\)がある一定以上の値でなければならないことを示唆しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの条件（力のつり合いとモーメントのつり合い）
  • 核心: この問題の根幹は、静止している棒にはたらく複数の力を特定し、「力のつり合い」と「力のモーメントのつり合い」という2つの基本法則を適用して、未知の力を計算する能力です。特に、床だけでなく半円柱という「曲面」からも力を受ける点が特徴的です。
  • 理解のポイント:
    • 力のつり合い: 棒が上下左右に動き出さないための条件です。すべての力を水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向で力の総和がゼロになるように式を立てます。
    • 力のモーメントのつり合い: 棒が回転し始めないための条件です。任意の1点を「支点」として定め、その点のまわりで `（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）` という式を立てます。
    • 曲面からの垂直抗力: 半円柱のような曲面から受ける垂直抗力は、必ずその接点における法線方向にはたらきます。円（半円）の場合、法線は円の中心Oを通る直線になります。この性質を正しく理解し、力の向きを図示することが重要です。
• 限界条件の物理的解釈
  • 核心: 「棒がすべらないための条件」という言葉が、物理的にどのような不等式で表現されるのかを正確に把握することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • すべらない条件: 物体が滑り出さないのは、静止摩擦力が滑らせようとする力に対抗しているからです。この静止摩擦力には限界値（最大静止摩擦力 \(\mu N\)）があり、物体が静止し続けるためには、はたらいている静止摩擦力\(F\)がこの限界値を超えないこと、すなわち \(F \le \mu N\) という条件を満たす必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 球や円柱にはしごを立てかける問題: 接触面が曲面である点で本質的に同じ問題です。垂直抗力が円の中心を通ることを利用して解きます。
  • 複数の物体が接触してつり合う問題: 例えば、壁と床の間で球と棒がつり合っている場合など。それぞれの物体について、力のつり合いとモーメントのつり合いを考え、物体間にはたらく力（作用・反作用）を考慮して連立方程式を解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 剛体にはたらく力を、作用点も含めて漏れなく図に書き込みます。重力（重心から）、接触点からの力（垂直抗力、摩擦力）をすべてリストアップします。特に、曲面からの垂直抗力の向き（中心Oを通る）を間違えないようにします。
  2. モーメントの支点を戦略的に選ぶ: モーメントのつり合いを考える際、支点はどこに選んでも構いませんが、計算を最も簡単にする点を選ぶのがセオリーです。床との接点Bのように、未知の力（この場合は\(N\)と\(F\)）が最も多く集まる点を選ぶと、それらの力のモーメントが0になり、他の未知数を求める式がシンプルになります。
  3. 腕の長さを幾何学的に求める: 支点を決めたら、各力の作用線までの垂線の長さを計算します。図に補助線を引いて直角三角形を見つけ、三角比や図形の性質（接線と半径の関係など）を駆使する必要があります。この問題では、\(\triangle OPB\)が直角三角形になることを見抜くのが鍵です。
  4. 限界条件と物理的制約を考える:
     • 「すべらないため」→ \(F \le \mu N\) の不等式を立てる。
     • 「立てかけるため」→ そもそもその配置が可能か、幾何学的な条件（この問題では \(L \ge BP\)）も考慮する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 曲面からの垂直抗力の向きの間違い:
  • 誤解: 半円柱からの垂直抗力\(R\)が、棒に対して垂直ではなく、鉛直や水平方向にはたらくと勘違いしてしまう。
  • 対策: 垂直抗力は常に接触面に「垂直」です。相手が曲面の場合、その点での「接線」に対して垂直な方向、すなわち円の中心を通る方向にはたらくと覚えましょう。
• モーメントの腕の長さの計算ミス:
  • 誤解: (2)で、垂直抗力\(R\)の腕の長さを求める際に、図形的な関係を正しく読み取れない。
  • 対策: 図を大きく描き、わかっている角度や長さを書き込みましょう。この問題では、点Oから接点Pに引いた線（半径）と、棒AB（接線の一部）は直角に交わります。この性質から\(\triangle OPB\)が直角三角形であることを見抜くことが、腕の長さ\(BP\)を計算する上で非常に重要です。
• 力の分解における角度のミス:
  • 誤解: (3)で垂直抗力\(R\)を水平・鉛直成分に分解する際、どちらが\(\sin\)でどちらが\(\cos\)か混乱する。
  • 対策: 棒が水平面となす角が\(60^\circ\)なので、棒に垂直な直線（\(R\)の作用線）は、鉛直線となす角が\(60^\circ\)になります（二直線のなす角とその法線のなす角は等しい）。図に補助線（鉛直線）を描き、錯角などの関係から角度を特定する癖をつけましょう。
• (4)で幾何学的な下限条件を見落とす:
  • 誤解: すべらないための条件式だけを解いて、\(L\)の上限だけを答えてしまう。
  • 対策: 問題の物理的な状況をイメージすることが大切です。「角度\(60^\circ\)で立てかける」ためには、棒が短すぎると半円柱に届きません。この自明な幾何学的制約も、数式で表現して解に含める必要があることに注意しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（最大静止摩擦力の条件）:
  • 選定理由: 「棒がすべらないための条件式」を問われています。滑る・滑らないという現象を支配しているのは静止摩擦力とその限界値（最大静止摩擦力）の関係です。したがって、この関係を記述する \(F \le \mu N\) を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: この公式は、静止摩擦力という物理現象の定義そのものです。物体が静止している限り、はたらいている静止摩擦力\(F\)は、その物体と面の間で発揮できる最大の静止摩擦力\(\mu N\)を超えることはありません。この普遍的な物理法則が、この公式を適用する根拠となります。
• (2)での公式選択（力のモーメントのつり合い）:
  • 選定理由: 棒にはたらく未知の力（\(R, N, F\)）が複数あります。これらのうち、\(R\)を求めたいというのが設問の要求です。力のつり合いだけでは未知数が多すぎて解けないため、回転のつり合い（モーメント）の式を追加する必要があります。
  • 適用根拠: モーメントの支点を、求めたくない未知の力（\(N, F\)）が集中する点Bに選ぶことで、これらのモーメントを計算から排除し、求めたい\(R\)と既知の力（重力）だけの関係式を立てることができます。これは、連立方程式を解く上での極めて合理的な戦略です。
• (3)での公式選択（力のつり合い）:
  • 選定理由: (2)で未知数の一つである\(R\)が求まりました。残りの未知数\(F\)と\(N\)を求めるためには、まだ使っていない物理法則である「力のつり合い」を用いるのが自然な流れです。
  • 適用根拠: 棒にはたらく力は様々な方向を向いているため、水平方向と鉛直方向に分解して、それぞれの方向でつり合いの式を立てるのが最も系統的で間違いが少ない方法です。これにより、\(F\)と\(N\)に関する2本の連立方程式が得られます。
• (4)でのアプローチ選択（不等式への代入と幾何学的考察）:
  • 選定理由: 最終的に求めたいのは「すべらないための\(L\)の条件」です。これは、(1)で立てた条件式 \(F \le \mu N\) を\(L\)についての不等式に変換することを意味します。
  • 適用根拠: (3)で、\(F\)と\(N\)をそれぞれ\(L\)の関数として求めました。これらを(1)の不等式に代入することで、\(L\)だけが未知数となる不等式が得られ、これを解くことで\(L\)の上限が求まります。さらに、問題設定が成り立つための物理的・幾何学的な制約（この場合は棒が半円柱に届くための長さ）も考慮する必要があり、これが\(L\)の下限を決定します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 大きな図を描き、情報を集約する:
  • この問題は特に幾何学的な要素が強いので、大きな図を描くことが非常に有効です。力、角度、補助線、腕の長さなどをすべて図に書き込み、情報を視覚的に整理しましょう。
• 三角比の値を正確に使う:
  • \(\cos60^\circ = 1/2\), \(\sin60^\circ = \sqrt{3}/2\), \(\tan30^\circ = 1/\sqrt{3}\) といった基本的な三角比の値を正確に、かつ素早く使えるようにしておくことが重要です。
• 腕の長さの導出を丁寧に行う:
  • (2)の腕の長さ\(BP\)を求める過程は、この問題の鍵の一つです。なぜ\(\triangle OPB\)が直角三角形になるのか（半径と接線の関係）、なぜ\(\angle POB\)が\(30^\circ\)になるのか（錯角と三角形の内角の関係）を、一つ一つ論理的に追って確認しましょう。
• 不等式の計算を慎重に行う:
  • (4)で\(L\)に関する不等式を解く際、\(L\)を含む項を片側に集める移項の計算で符号ミスをしないように注意しましょう。特に、分数が絡む計算は焦らず丁寧に行うことが大切です。
• 結果の物理的な意味を吟味する:
  • (3)で求めた\(N\)の式 \(mg(1 – \frac{\sqrt{3}L}{8r})\) に注目すると、\(L\)が大きくなりすぎると\(N\)が0や負になってしまうことがわかります。これは、棒が長すぎると床から浮き上がってしまう（実際にはその前に滑るか倒れる）ことを示唆しており、物理的な限界が存在することに気づかせてくれます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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