「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅰ 章 5】基本例題～基本問題141

基本例題

基本例題16 力のつりあいとモーメント

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい（静止条件）」です。物体が静止し続けるための条件を正しく理解し、数式に落とし込むことが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒が静止しているということは、「上下に動かない」し「回転もしない」ということです。この設問では、まず「上下に動かない」という条件、すなわち「力のつりあい」に着目します。棒には、下向きにおもりAとBの重さが、上向きにばねの弾性力が働いています。これらの力がつりあっている（合計がゼロになっている）ことから、ばねの弾性力の大きさを求め、フックの法則を適用してばねの伸びを計算します。
この設問における重要なポイント

• 棒は静止しているので、鉛直方向の力の合計はゼロになる。
• 上向きの力は、ばねが棒を引く弾性力のみである。
• 下向きの力は、おもりAの重さとおもりBの重さの合計である。

具体的な解説と立式
ばねの伸びを \(x\,\text{m}\)、ばね定数を \(k = 2.5 \times 10^2\,\text{N/m}\) とします。
フックの法則より、ばねが棒を引く上向きの弾性力の大きさ \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= kx \\[2.0ex] &= (2.5 \times 10^2)x
\end{aligned}
$$
と表せます。

一方、棒に働く下向きの力は、おもりAの重さ \(W_A = 30\,\text{N}\) とおもりBの重さ \(W_B = 20\,\text{N}\) の和です。
棒にはたらく鉛直方向の力のつりあいは、「上向きの力の和」=「下向きの力の和」なので、以下の式が成り立ちます。
$$ (2.5 \times 10^2)x = 30 + 20 $$

上記で立てた力のつりあいの式を解いて、ばねの伸び \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
(2.5 \times 10^2)x &= 50 \\[2.0ex] 250x &= 50 \\[2.0ex] x &= \frac{50}{250} \\[2.0ex] x &= 0.20\,\text{m}
\end{aligned}
$$

棒を上に引っ張っている「ばねの力」と、下に引っ張っている「おもりAの力」と「おもりBの力」が、綱引きで引き分けている状態です。おもりA(\(30\,\text{N}\))とおもりB(\(20\,\text{N}\))が下向きに合計\(50\,\text{N}\)で引っ張っているので、ばねも上向きに\(50\,\text{N}\)の力で引っ張り返しているはずです。このばねは「\(1\,\text{m}\)伸ばすと\(2.5 \times 10^2 = 250\,\text{N}\)の力を出す」強さ（ばね定数）を持っているので、「\(50\,\text{N}\)の力を出すにはどれくらい伸ばせばよいか」を計算すれば答えが出ます。

ばねの伸びは \(0.20\,\text{m}\) と求まりました。これは物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
次に、棒が「回転しない」という条件、すなわち「力のモーメントのつりあい」を使います。回転の中心はどこに選んでも構いませんが、ここでは模範解答に沿って、ばねが接続されている点Oを選びます。点Oのまわりで、おもりAが棒を反時計回りに回そうとする作用と、おもりBが時計回りに回そうとする作用が打ち消し合って、つりあっていると考えます。
この設問における重要なポイント

• 棒は回転しないので、任意の点のまわりのモーメントの和はゼロになる。
• 力のモーメントは「力の大きさ × 回転の中心から力の作用線までの距離（腕の長さ）」で計算される。
• 点Oのまわりで考える場合、点Oに働くばねの弾性力は腕の長さがゼロなので、モーメントを持たない。

具体的な解説と立式
AOの長さを \(L\,\text{m}\) とします。棒の全長は \(1.0\,\text{m}\) なので、BOの長さは \((1.0 – L)\,\text{m}\) と表せます。
点Oのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• おもりAの重さ \(W_A = 30\,\text{N}\) は、点Oのまわりに反時計回りのモーメントを生みます。その大きさ \(M_A\) は、
  $$ M_A = 30 \times L $$
• おもりBの重さ \(W_B = 20\,\text{N}\) は、点Oのまわりに時計回りのモーメントを生みます。その大きさ \(M_B\) は、
  $$ M_B = 20 \times (1.0 – L) $$

力のモーメントのつりあいは、「反時計回りのモーメントの和」=「時計回りのモーメントの和」なので、以下の式が成り立ちます。
$$ 30 \times L = 20 \times (1.0 – L) $$

上記で立てたモーメントのつりあいの式を解いて、長さ \(L\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
30L &= 20(1.0 – L) \\[2.0ex] 30L &= 20 – 20L \\[2.0ex] 30L + 20L &= 20 \\[2.0ex] 50L &= 20 \\[2.0ex] L &= \frac{20}{50} \\[2.0ex] L &= 0.40\,\text{m}
\end{aligned}
$$

シーソーが釣り合うのと同じ原理です。点Oをシーソーの支点だと考えてください。左側に乗っているおもりAによる「下向きに回そうとする力（重さ \(30\,\text{N}\) × 支点からの距離 \(L\)）」と、右側に乗っているおもりBによる「下向きに回そうとする力（重さ \(20\,\text{N}\) × 支点からの距離 \((1.0-L)\)）」が等しくなれば、シーソーは回転せずに水平を保ちます。このつりあいの式を解くことで、支点の位置、つまりAOの長さ\(L\)を求めることができます。

AOの長さは \(0.40\,\text{m}\) と求まりました。重いおもりA(\(30\,\text{N}\))の方が、軽いおもりB(\(20\,\text{N}\))よりも支点Oに近い位置にあるため、つりあいが取れています。これは直感とも一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件
  • 核心: 物体が静止し続けるためには、2つの条件を同時に満たす必要があります。この問題は、その2つの条件を正しく理解し、立式できるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 物体が並進運動（上下左右に動くこと）をしないための条件です。「上向きの力の和」＝「下向きの力の和」かつ「右向きの力の和」＝「左向きの力の和」が成り立ちます。この問題では、鉛直方向の力のつりあいだけを考えれば十分です。
    • 力のモーメントのつりあい: 物体が回転運動をしないための条件です。任意の点のまわりで、「反時計回りのモーメントの和」＝「時計回りのモーメントの和」が成り立ちます。どの点を回転の中心に選んでもこの関係は成立するという点が非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • はしごを壁に立てかける問題: はしごに働く力（重力、壁からの垂直抗力と摩擦力、床からの垂直抗力と摩擦力）を図示し、「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」の2つの式を立てて解きます。
  • 看板や物体を複数のひもで吊るす問題: 各ひもの張力を未知数とし、同様につりあいの式を立てます。張力を水平・鉛直成分に分解する必要がある場合が多いです。
  • シーソーやてこの原理に関する問題: まさにこの問題の(2)が典型例です。どこを支点（回転の中心）と考えるかで、計算の複雑さが変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 静止している物体（この問題では棒）に着目し、それに働く力をすべてベクトル矢印で書き込みます。重力、張力、弾性力、垂直抗力、摩擦力など、接触しているものと離れて働く力（重力）を漏れなく見つけ出すのが第一歩です。
  2. 力のつりあいの式を立てる: 鉛直方向と水平方向に分けて、力のつりあいの式を立てます。未知数が多くてこの段階で解けなくても、後で使う重要な式になります。
  3. モーメントのつりあいの中心を選ぶ: どこを回転の中心にすれば計算が最も楽になるか考えます。基本戦略は、「未知の力が最も多く集まっている点」や「求めたい距離の基準点」を選ぶことです。そうすることで、その点に働く力のモーメントがゼロになり、式から消去できるためです。
  4. モーメントのつりあいの式を立てる: 選んだ点のまわりで、各力がどちら向きに物体を回そうとするか（時計回りか、反時計回りか）を判断し、腕の長さを正確に求めてモーメントのつりあいの式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• モーメントの腕の長さを間違える:
  • 誤解: 力の作用点までの距離をそのまま腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 腕の長さは、回転の中心から「力の作用線（力の向きに伸ばした直線）」へ下ろした垂線の長さです。力が斜めに働く場合は、力を分解するか、三角比を使って垂線の長さを正確に求める必要があります。この問題では全ての力が鉛直方向なので、水平距離がそのまま腕の長さになります。
• 回転の中心をどこに選べばよいか分からない:
  • 誤解: 回転の中心は、必ず物体の支点や中心でなければならないと考えてしまう。
  • 対策: 回転の中心は、計算上どこに選んでも物理的に問題ありません。静止している物体は、どの点のまわりでも回転していないからです。別解で示したように、点Aや点Bを回転の中心にしても同じ答えが出ます。計算を楽にするために戦略的に選ぶ、という意識を持ちましょう。
• 力のつりあいだけで解こうとしてしまう:
  • 誤解: (2)のような位置を問う問題で、力のつりあいだけで何とかならないかと考えてしまう。
  • 対策: 物体の「位置」や「長さ」に関する未知数を求めるには、力の「作用点の位置」が関係するモーメントのつりあいを考える必要があります。力のつりあいだけでは、力がどこに働いているかの情報が式に含まれないため、位置を決定することはできません。「力のつりあい」と「モーメントのつりあい」はセットで使う、と覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつりあい、フックの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「ばねの伸び」です。ばねの伸び \(x\) は、フックの法則 \(F=kx\) により、ばねの弾性力 \(F\) が分かれば求まります。その弾性力 \(F\) は、棒に働く未知の力の一つです。棒が静止しているという条件から、未知の力を求めるための最も基本的な法則が「力のつりあい」です。したがって、「力のつりあい → 弾性力 \(F\) を求める → フックの法則 → 伸び \(x\) を求める」という論理的な流れになります。
  • 適用根拠: 問題文に「静止した」と明記されているため、力のつりあいの法則を適用する根拠は明確です。また、ばねが登場しているので、その性質を記述するフックの法則を用いるのも自然な流れです。
• (2)での公式選択（力のモーメントのつりあい）:
  • 選定理由: 求めたいのは「AOの長さ」という、力の作用点の位置に関する情報です。力の作用点の位置情報を含む物理法則は「力のモーメントのつりあい」です。モーメントの定義（力×腕の長さ）に位置の情報が含まれているため、この法則を使えば位置に関する未知数を求めることができます。
  • 適用根拠: (1)と同様に、棒が「静止した」状態にあるため、回転もしていません。したがって、任意の点のまわりで力のモーメントがつりあっている、という法則を適用できます。模範解答では点Oを、別解では点Aや点Bを中心としていますが、いずれもこの法則を適用していることに変わりはありません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を意識する:
  • この問題では、長さは \(\text{m}\)、力は \(\text{N}\) に統一されています。もし問題で長さが \(\text{cm}\) で与えられていたら、計算前に \(\text{m}\) に直す癖をつけましょう。単位が混在すると、計算結果が大きくずれてしまいます。
• 式を整理してから代入する:
  • (2)の計算 \(30L = 20(1.0 – L)\) のように、まずは文字式のまま立てて、それを整理 \(50L = 20\) してから、最後に割り算 \(L = 20/50\) を行う方が、途中の計算ミスを減らせます。
• 図に情報を書き込む:
  • 問題の図に、力の大きさ、分かっている長さ、未知の長さ（\(L\)など）をすべて書き込みましょう。特にモーメントを考える際は、回転の中心、力の作用点、腕の長さを図で確認しながら立式すると、間違いが格段に減ります。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (2)で求めたAOの長さ \(L=0.40\,\text{m}\) は、棒の全長 \(1.0\,\text{m}\) の内側にあり、妥当な値です。もし計算結果が負になったり、\(1.0\,\text{m}\) を超えたりした場合は、どこかで符号や式を間違えた可能性が高いと判断できます。
  • また、重いおもり(\(30\,\text{N}\))と軽いおもり(\(20\,\text{N}\))のどちら側に支点Oが寄るべきかを直感的に考えてみましょう。重い方が支点に近い（腕が短い）はずなので、AOの長さは棒の半分の \(0.5\,\text{m}\) より短くなるはずです。計算結果 \(0.40\,\text{m}\) はこの予測と一致しており、答えの妥当性を裏付けています。

基本例題17 剛体のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦のある床に立てかけた棒のつりあい」です。剛体のつりあいの2つの条件（力のつりあい、力のモーメントのつりあい）と、静止摩擦力の条件を組み合わせて解く典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、棒に働く力をすべて正確に把握し、「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」という2つの条件を数式にすることです。
棒に働く力は、①重力 \(W\)、②壁からの垂直抗力 \(N_1\)、③床からの垂直抗力 \(N_2\)、④床からの静止摩擦力 \(F\) の4つです。
これらの力について、まず力のつりあいの式を水平・鉛直で立てます。しかし、未知数が \(N_1, N_2, F\) の3つあるのに対し、式は2本しかないので解けません。そこで、第3の式として「力のモーメントのつりあい」を考えます。
回転の中心はどこに選んでもよいですが、未知の力が最も多く集まっている点A（床との接点）を選ぶと、\(N_2\) と \(F\) のモーメントがゼロになり、計算が最も簡単になります。
この設問における重要なポイント

• 棒に働く4つの力（重力、垂直抗力2つ、静止摩擦力）をすべて図示する。
• 力のモーメントのつりあいを考える際、計算が楽になるように回転の中心を選ぶ（この場合は点A）。
• モーメントの腕の長さを、図と三角比を使って正しく求める。

具体的な解説と立式
棒に働く力は以下の通りです。

• 地球から受ける重力 \(W\)（鉛直下向き、棒の中心に作用）
• 壁から受ける垂直抗力 \(N_1\)（水平左向き、点Bに作用）
• 床から受ける垂直抗力 \(N_2\)（鉛直上向き、点Aに作用）
• 床から受ける静止摩擦力 \(F\)（水平右向き、点Aに作用）

まず、力のつりあいの式を立てます。

• 水平方向: （右向きの力の和）=（左向きの力の和）より、
  $$ F = N_1 \quad \cdots ① $$
• 鉛直方向: （上向きの力の和）=（下向きの力の和）より、
  $$ N_2 = W \quad \cdots ② $$

次に、点Aのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。点Aに働く \(N_2\) と \(F\) は腕の長さがゼロなので、モーメントはゼロです。

• 壁からの垂直抗力 \(N_1\) によるモーメント（反時計回り）:
  • 腕の長さは \(L\sin\theta\) なので、モーメントの大きさは \(N_1 \times L\sin\theta\)。
• 重力 \(W\) によるモーメント（時計回り）:
  • 腕の長さは \(\frac{L}{2}\cos\theta\) なので、モーメントの大きさは \(W \times \frac{L}{2}\cos\theta\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ N_1 \times L\sin\theta = W \times \frac{L}{2}\cos\theta \quad \cdots ③ $$

まず、式②から \(N_2\) がすぐに求まります。
$$ N_2 = W $$
次に、式③を \(N_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
N_1 L\sin\theta &= W \frac{L}{2}\cos\theta \\[2.0ex] N_1 \sin\theta &= \frac{W}{2}\cos\theta \\[2.0ex] N_1 &= \frac{W\cos\theta}{2\sin\theta} \\[2.0ex] N_1 &= \frac{W}{2\tan\theta}
\end{aligned}
$$

棒が倒れずに静止しているのは、いろいろな力が絶妙にバランスを取っているからです。(1)では、まず棒を支える上下の力のバランスを考えます。棒の重さ \(W\) をすべて床が垂直抗力 \(N_2\) で支えているので、\(N_2=W\) となります。次に、棒が回転しないためのバランス（モーメントのつりあい）を考えます。床の接点Aを支点としたシーソーを想像してください。棒の重さ \(W\) が棒を時計回りに倒そうとする作用と、壁が棒を押す力 \(N_1\) が棒を反時計回りに支えようとする作用が釣り合っています。この釣り合いの式を解くことで、壁が押す力 \(N_1\) の大きさがわかります。

壁から受ける垂直抗力の大きさは \(N_1 = \displaystyle\frac{W}{2\tan\theta}\)、床から受ける垂直抗力の大きさは \(N_2 = W\) と求まりました。
\(N_1\) の式から、角度 \(\theta\) が小さくなる（棒が寝てくる）と \(\tan\theta\) も小さくなるため、壁が押す力 \(N_1\) は大きくなることがわかります。これは直感とも一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
棒が倒れない（＝床の上をすべらない）ための条件を考えます。物体がすべり出すのを妨げているのは静止摩擦力 \(F\) です。しかし、静止摩擦力には限界があり、その最大値が最大静止摩擦力 \(\mu N_2\) です。したがって、棒がすべらないためには、実際に働いている静止摩擦力 \(F\) が、発揮できる最大の静止摩擦力 \(\mu N_2\) を超えなければよい、ということになります。この条件を不等式で表し、(1)で求めた結果を代入して解きます。
この設問における重要なポイント

• 棒がすべらない条件は、静止摩擦力 \(F\) が最大静止摩擦力 \(\mu N_2\) 以下であること。すなわち \(F \le \mu N_2\)。
• 静止摩擦力 \(F\) の大きさは、水平方向の力のつりあい (\(F=N_1\)) から求める。

具体的な解説と立式
棒が倒れないためには、点Aで棒がすべらなければよいです。
すべらないための条件は、静止摩擦力 \(F\) が最大静止摩擦力 \(\mu N_2\) 以下であることです。
$$ F \le \mu N_2 \quad \cdots ④ $$
ここで、(1)で立てた力のつりあいの式と、計算結果を用います。

• 水平方向の力のつりあい（式①）より、\(F = N_1\)。
• (1)の計算結果より、\(N_1 = \displaystyle\frac{W}{2\tan\theta}\)。
• (1)の計算結果より、\(N_2 = W\)。

これらの関係を、すべらない条件の式④に代入します。
$$ \frac{W}{2\tan\theta} \le \mu W $$

上記で立てた不等式を \(\tan\theta\) について解きます。
$$ \frac{W}{2\tan\theta} \le \mu W $$
両辺を \(W\) で割ります（\(W>0\) なので不等号の向きは変わりません）。
$$ \frac{1}{2\tan\theta} \le \mu $$
両辺に \(2\tan\theta\) を掛けます（\(\theta\) は鋭角なので \(\tan\theta > 0\) です。不等号の向きは変わりません）。
$$ 1 \le 2\mu\tan\theta $$
最後に、両辺を \(2\mu\) で割ります（\(\mu>0\) です）。
$$ \frac{1}{2\mu} \le \tan\theta $$
したがって、求める条件は、
$$ \tan\theta \ge \frac{1}{2\mu} $$

棒が壁に寄りかかると、壁を左に押します（力 \(N_1\)）。その反動で、床との接点では棒が右にすべろうとします。このすべりを食い止めているのが、床のザラザラ（静止摩擦力 \(F\)）です。しかし、このザラザラの力にも限界があります。棒の角度 \(\theta\) が小さくなりすぎると、壁を押す力 \(N_1\) が大きくなり、それに伴ってすべろうとする力 \(F\) も大きくなります。そして、ついに床のザラザラの限界を超えてしまい、棒はずるっとすべって倒れてしまいます。この問題では、「ザラザラの限界を超えないためには、角度 \(\theta\) はどれくらい以上でなければならないか？」を計算しています。

棒が倒れないための条件は \(\tan\theta \ge \displaystyle\frac{1}{2\mu}\) と求まりました。
この式は、静止摩擦係数 \(\mu\) が大きい（床がザラザラしている）ほど、右辺が小さくなることを示しています。つまり、より小さい角度 \(\theta\)（より寝かせた状態）でも倒れずに済む、ということです。これは私たちの日常経験とも一致しており、物理的に妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件と静止摩擦力の組み合わせ
  • 核心: この問題は、物体が静止し続けるための2つの条件（力のつりあい、モーメントのつりあい）と、物体がすべり出さないための条件（静止摩擦力）という、3つの異なる物理法則を正しく組み合わせて思考できるかを問うています。どれか一つでも欠けると解くことはできません。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 棒がその場で動かない（並進しない）ための条件です。水平方向と鉛直方向のそれぞれで、力の合計がゼロになります。
    • 力のモーメントのつりあい: 棒が回転しないための条件です。どの点を中心に考えても、時計回りのモーメントと反時計回りのモーメントが釣り合います。
    • 静止摩擦力の条件: 棒が床をすべらないための条件です。実際に働いている静止摩擦力 \(F\) は、その限界値である最大静止摩擦力 \(\mu N\) を超えることはできません (\(F \le \mu N\))。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁にも摩擦がある場合: 壁からの力として、垂直抗力に加えて摩擦力も考慮する必要があります。未知数が一つ増えますが、力のつりあいとモーメントのつりあいを立てるという基本方針は同じです。
  • 棒の途中に荷物が置かれている場合: 棒の重力に加えて、荷物の重力も考慮します。モーメントを計算する際に、それぞれの重力が働く位置（腕の長さ）が異なる点に注意が必要です。
  • 人がはしごを登っていく問題: 人の位置によって、人がはしごに及ぼす重力のモーメントが変わります。人がどこまで登るとはしごがすべるか、といった条件を問われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: これが最も重要です。重力、垂直抗力、摩擦力など、考えられる力をすべて、正しい作用点と向きで図に書き込みます。特に摩擦力の向きは、「もし摩擦がなかったら物体はどちらにすべるか？」を考えて、その動きを妨げる向きに設定します。
  2. 力のつりあいの式を立てる: 水平方向と鉛直方向に分けて、それぞれ「右向きの力の和＝左向きの力の和」「上向きの力の和＝下向きの力の和」の式を立てます。
  3. モーメントのつりあいの中心を選ぶ: 計算を最も簡単にするために、回転の中心を戦略的に選びます。セオリーは「未知の力や、考えたくない力が最も多く集まっている点」です。この問題では点Aがそれに該当します。
  4. 腕の長さを正確に求める: 選んだ回転中心から、各力の作用線（力の矢印を伸ばした直線）に下ろした垂線の長さを、図形と三角比を使って正確に計算します。
  5. 「すべる条件」を最後に適用する: (1)のようにつりあっている状態を問う問題では、静止摩擦力は未知数 \(F\) のまま扱います。(2)のように「すべらないための条件」を問われたときに、初めて \(F \le \mu N\) という不等式を適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静止摩擦力の向きを直感で間違える:
  • 誤解: 棒が壁に寄りかかっているから、下端は右にすべりそうだと直感的に考えて、摩擦力を右向きにしてしまう。
  • 対策: 摩擦力の向きを決めるときは、「もし摩擦がなかったら、この物体はどう動くか？」を考えます。この問題で床がツルツルだったら、棒は壁から受ける力 \(N_1\)（左向き）によって、全体が左に動きながら倒れます。つまり、下端Aは「左にすべろうとする」のです。したがって、それを妨げる静止摩擦力は「右向き」に働きます。
• つりあいの式にいきなり最大静止摩擦力を使う:
  • 誤解: (1)の力のつりあいの式を立てる段階で、静止摩擦力 \(F\) をいきなり \(\mu N_2\) で置き換えてしまう。
  • 対策: 静止摩擦力は、あくまで外力とつりあうだけの大きさしか働きません。つりあっている状態では、まだ限界に達しているとは限らないので、未知数 \(F\) として扱います。\(F \le \mu N_2\) は、(2)のように「すべり出す直前」や「すべらないための条件」を考えるときにのみ使う「条件式」であると区別しましょう。
• モーメントの腕の長さを間違える:
  • 誤解: 回転中心から力の作用点までの棒に沿った距離（例えば \(\frac{L}{2}\)）を、そのまま腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 腕の長さは、あくまで回転中心と力の作用線の「最短距離（垂線の長さ）」です。必ず図を描いて、直角三角形を見つけ、\(\sin\theta\) や \(\cos\theta\) を使って正しく長さを表現する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつりあい ＋ 力のモーメントのつりあい）:
  • 選定理由: 求めたい未知数は垂直抗力 \(N_1, N_2\) ですが、これらを求めるには静止摩擦力 \(F\) も含めた3つの未知数を解く必要があります。未知数が3つあるので、独立した方程式が3本必要になります。物理法則のうち、「力のつりあい」から水平方向と鉛直方向の2本の方程式が得られます。そして、物体が回転せずに静止していることから、「力のモーメントのつりあい」という3本目の独立した方程式を立てることができます。これにより、未知数3つに対して方程式3本が揃い、解くことが可能になります。
  • 適用根拠: 問題文に「立てかける」「静止している」とあることから、棒は並進も回転もしていないことがわかります。これが、力のつりあいとモーメントのつりあいの両方を適用できる明確な根拠となります。
• (2)での公式選択（静止摩擦力の条件式 \(F \le \mu N\)）:
  • 選定理由: 問われているのは「棒が倒れないための条件」です。この文脈での「倒れる」は「床をすべること」を意味します。物体がすべるかすべらないかを判定するための物理法則が、静止摩擦力の条件式 \(F \le \mu N\) です。したがって、この法則を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: (1)で求めた力のつりあいの結果（実際に働いている静止摩擦力 \(F\) の大きさ）を、この条件式に代入することで、物理的にすべらずに存在できるための \(\theta\) の条件を導き出すことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題のように、数値が与えられていない場合は必然的に文字式計算になります。計算の途中で式が複雑になっても、慌てずに整理しましょう。両辺で共通の文字（この問題では \(L\) や \(W\)）を約分できる場合が多く、最終的にはシンプルな形になることが多いです。
• 三角関数の扱いに慣れる:
  • モーメントの計算では三角関数が頻出します。特に、\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) の関係は、式を整理する際によく使います。スムーズに式変形できるよう練習しておきましょう。
• 不等式の変形ルールを徹底する:
  • (2)では不等式を扱います。両辺に正の数を掛けたり割ったりする場合は不等号の向きは変わりませんが、負の数を掛ける・割る場合は逆転します。この問題では \(\mu\) や \(\tan\theta\) は正の値なので向きは変わりませんが、常に意識する癖をつけましょう。
• 極端な場合を考えて検算する:
  • 求まった条件式 \(\tan\theta \ge \displaystyle\frac{1}{2\mu}\) が妥当かどうか、極端な状況を代入して考えてみましょう。
  • もし床がツルツルだったら？: \(\mu \to 0\) とすると、\(\frac{1}{2\mu} \to \infty\) となります。つまり \(\tan\theta\) が無限大にならねばならず、これは \(\theta \to 90^\circ\) を意味します。つまり、ほぼ垂直に立てないと無理、ということです。これは直感に合います。
  • もし床が非常にザラザラだったら？: \(\mu \to \infty\) とすると、\(\frac{1}{2\mu} \to 0\) となります。つまり \(\tan\theta \ge 0\) となり、どんなに小さい角度（\(\theta > 0\)）でも立てかけられることを意味します。これも直感に合います。このような吟味によって、答えの確からしさを確認できます。

基本問題

133 剛体にはたらく力の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体にはたらく力の合成」です。複数の力がはたらく物体を、あたかも一つの力がはたらいているかのように見なすための「合力」の求め方を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Aにはたらく力と点Bにはたらく力は、平行で同じ向き（鉛直下向き）です。このような場合、合力の大きさは2つの力の大きさの単純な和で求まります。合力の作用線は、線分ABを2つの力の大きさの逆比に内分する点を通ります。
この設問における重要なポイント

• 2力は平行かつ同方向。
• 合力の大きさは「和」。
• 作用線は力の大きさの「逆比」に「内分」する。

具体的な解説と立式

• 合力の大きさ \(F_{合}\)2つの力は同じ向きなので、合力の大きさは単純な和となります。
  $$
  \begin{aligned}
  F_{合} &= 20 + 40 \\[2.0ex] &= 60\,\text{N}
  \end{aligned}
  $$
  合力の向きは、元の2つの力と同じく鉛直下向きです。
• 合力の作用線作用線は、線分ABを力の大きさの逆比に内分する点を通ります。力の大きさの比は、A:B = \(20\,\text{N} : 40\,\text{N} = 1:2\)。したがって、作用線が内分する比は、この逆比である \(2:1\) となります。点Aからの距離を \(x\) とすると、線分AB(\(1.5\,\text{m}\))を \(2:1\) に内分する点の位置なので、
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 1.5 \times \frac{2}{2+1} \\[2.0ex] &= 1.5 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$

• 合力の大きさ:
  $$
  \begin{aligned}
  20 + 40 &= 60\,\text{N}
  \end{aligned}
  $$
• Aからの距離:
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 1.5 \times \frac{40}{20+40} \\[2.0ex] &= 1.5 \times \frac{40}{60} \\[2.0ex] &= 1.5 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$

長さ\(1.5\,\text{m}\)の軽い板の両端を、\(20\,\text{N}\)の力と\(40\,\text{N}\)の力で下に引っ張っている状況です。この板を、たった1点で上に押し上げて支えるとしたら、どこを支えればよいでしょうか？それが合力の作用点です。直感的に、重い方(\(40\,\text{N}\))の近くを支える必要があるとわかります。その正確な位置を「力の逆比」で計算します。全体の力は、もちろん2つの力の合計である\(60\,\text{N}\)です。

合力の大きさは \(60\,\text{N}\)、向きは鉛直下向き。作用線は点Aから \(1.0\,\text{m}\)（点Bから \(0.5\,\text{m}\)）の位置を通ります。
点Aからの距離と点Bからの距離の比は \(1.0 : 0.5 = 2:1\) となり、力の大きさの比 \(20:40=1:2\) の逆比になっていることが確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Aにはたらく力と点Bにはたらく力は、平行ですが逆向きです。このような場合、合力の大きさは2つの力の大きさの差で求まります。合力の作用線は、線分ABを2つの力の大きさの逆比に外分する点を通ります。
この設問における重要なポイント

• 2力は平行かつ逆方向。
• 合力の大きさは「差」。向きは大きい方の力と同じ。
• 作用線は力の大きさの「逆比」に「外分」する。

具体的な解説と立式

• 合力の大きさ \(F_{合}\)2つの力は逆向きなので、合力の大きさは大きさの差となります。
  $$
  \begin{aligned}
  F_{合} &= 50 – 20 \\[2.0ex] &= 30\,\text{N}
  \end{aligned}
  $$
  合力の向きは、大きい方の力（点Aにはたらく力）と同じく鉛直下向きです。
• 合力の作用線作用線は、線分ABを力の大きさの逆比に外分する点を通ります。力の大きさの比は、A:B = \(50\,\text{N} : 20\,\text{N} = 5:2\)。したがって、作用線が外分する比は、この逆比である \(2:5\) となります。外分点は、大きい方の力（Aの力）の外側にできます。点Aから左向きの距離を \(x\) とすると、作用点からAまでの距離とBまでの距離の比が \(2:5\) になります。
  $$ x : (x + 0.90) = 2:5 $$

• 合力の大きさ:
  $$
  \begin{aligned}
  50 – 20 &= 30\,\text{N}
  \end{aligned}
  $$
• Aからの距離:比例式を解きます。
  $$
  \begin{aligned}
  5x &= 2(x + 0.90) \\[2.0ex] 5x &= 2x + 1.8 \\[2.0ex] 3x &= 1.8 \\[2.0ex] x &= 0.60\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$
  作用線は、点Aから左に \(0.60\,\text{m}\) の位置を通ります。

棒のA点を下に\(50\,\text{N}\)、B点を上に\(20\,\text{N}\)で力を加えている状況です。これは、棒全体を下に引っ張りながら、反時計回りに回転させようとする作用に相当します。合力は、全体として下向きに \(50-20=30\,\text{N}\) の力となります。そして、その力が働く場所は、棒を反時計回りに回す効果を持つように、支点Aの左側になります。

合力の大きさは \(30\,\text{N}\)、向きは鉛直下向き。作用線は点Aから左に \(0.60\,\text{m}\) の位置を通ります。
作用点からAまでの距離は \(0.60\,\text{m}\)、Bまでの距離は \(0.60+0.90=1.5\,\text{m}\)。この距離の比は \(0.60:1.5 = 60:150 = 2:5\) となり、力の大きさの比 \(20:50=2:5\) の逆比（の絶対値）になっていることが確認できます。

問(3)

思考の道筋とポイント
平行な3つの力がはたらく場合、2段階で合成を行います。どの2力を先に選んでも最終的な結果は同じになります。模範解答では、同じ向きである点Aと点Cの力を先に合成し、その合力と点Bの力（逆向き）を合成しています。
この設問における重要なポイント

• 3つ以上の力は、2つずつ順番に合成する。
• どのペアから始めてもよい。計算しやすいペアを選ぶ。

具体的な解説と立式

• ステップ1: 点Aと点Cの力の合成
  • 2力は平行で同じ向き（上向き）。
  • 合力 \(F’_{AC}\) の大きさは、
    $$
    \begin{aligned}
    20 + 20 &= 40\,\text{N}
    \end{aligned}
    $$
    向きは上向き。
  • 作用点は、線分ACを力の大きさの逆比 \(20:20=1:1\) に内分する点。つまり、ACの中点M。
  • 点Aからの距離は、
    $$
    \begin{aligned}
    \frac{0.40+0.80}{2} &= 0.60\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$
• ステップ2: \(F’_{AC}\) と点Bの力の合成
  • \(F’_{AC}\)（大きさ\(40\,\text{N}\)、上向き）と、点Bの力（大きさ\(20\,\text{N}\)、下向き）は平行で逆向き。
  • 最終的な合力 \(F_{合}\) の大きさは、
    $$
    \begin{aligned}
    40 – 20 &= 20\,\text{N}
    \end{aligned}
    $$
    向きは大きい方、つまり上向き。
  • 作用線は、線分BMを力の大きさの逆比 \(20:40=1:2\) に外分する点N。
  • 外分点は大きい方の力(\(F’_{AC}\))の外側にできる。点Mは点Bから右に \(0.60-0.40=0.20\,\text{m}\) の位置にあるので、点NはMよりさらに右側。
  • 点NからBまでの距離を \(d_B\)、Mまでの距離を \(d_M\) とすると、\(d_B : d_M = 40:20 = 2:1\)。
  • \(d_B = d_M + 0.20\) なので、\((d_M+0.20):d_M = 2:1\)。
  • これを解くと \(d_M = 0.20\,\text{m}\)。
  • よって、点Nは点Mから右に \(0.20\,\text{m}\) の位置。
  • 点Aからの距離は、AからMまでが \(0.60\,\text{m}\) なので、\(0.60 + 0.20 = 0.80\,\text{m}\)。

• 合力の大きさ:上向きを正とすると、
  $$
  \begin{aligned}
  20 – 20 + 20 &= 20\,\text{N}
  \end{aligned}
  $$
• Aからの距離:上記の手順より \(0.80\,\text{m}\)。

3人がかりで物体を動かそうとしている状況です。まず、AさんとCさんが協力して物体を上に持ち上げていると考えます。この2人の力の中心は、ちょうど真ん中のM点です。次に、この「AとCの合体した力」と、邪魔をするBさんの力（下向き）を考えます。上向きの力が勝つので、全体としては上に持ち上がりますが、Bさんの邪魔のせいで、力の中心（合力の作用点）はM点から少しずれることになります。

合力の大きさは \(20\,\text{N}\)、向きは上向き。作用線は点Aから右に \(0.80\,\text{m}\) の位置を通ります。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Aにはたらく力と点Bにはたらく力は、平行ではありません。このような場合、2つの力の矢印の始点をそろえて合成する必要があります。そのためには、「力は作用線に沿って自由に移動できる」という性質を利用し、2つの作用線の交点までそれぞれの力を移動させ、そこで平行四辺形の法則を適用します。
この設問における重要なポイント

• 平行でない2力は、作用線の交点で合成する。
• 合成には「平行四辺形の法則」を用いる。
• 大きさは、三平方の定理や余弦定理で計算する。

具体的な解説と立式

• 合力の作用線
  • 点Aにはたらく力（上向き）の作用線は、点Aを通る鉛直線です。
  • 点Bにはたらく力（右向き）の作用線は、点Bを通る水平線です。
  • この2つの作用線を延長し、その交点に2つの力を移動させます。
• 合力の大きさと向き
  • 交点において、\(15\,\text{N}\)の力と\(20\,\text{N}\)の力は直角をなしています。
  • この2辺からなる長方形（平行四辺形）の対角線が、合力のベクトルになります。
  • 合力の大きさ \(F_{合}\) は、三平方の定理を用いて計算できます。
    $$ F_{合}^2 = 15^2 + 20^2 $$

• 合力の大きさ:
  $$
  \begin{aligned}
  F_{合}^2 &= 15^2 + 20^2 \\[2.0ex] &= 225 + 400 \\[2.0ex] &= 625 \\[2.0ex] F_{合} &= \sqrt{625} \\[2.0ex] &= 25\,\text{N}
  \end{aligned}
  $$

物体のある点を上に、別の点を右に引っ張っている状況です。物体は全体として、右上方向に動こうとします。この「右上方向」が合力の向きであり、その力の大きさを計算します。2つの力が直角なので、算数の三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って、斜辺の長さを求めるのと同じように計算できます。

合力の大きさは \(25\,\text{N}\) と求まりました。作用線は、元の2力の作用線の交点を通り、右斜め上を向きます。力の比が \(15:20=3:4\) なので、合力は \(3:4:5\) の直角三角形の斜辺に相当し、大きさが \(25\,\text{N}\) となるのは妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力の合成における3要素（大きさ・向き・作用線）の理解
  • 核心: この問題の根幹は、複数の力を一つの力（合力）にまとめる「力の合成」の操作を正しく行えるかどうかにあります。特に、力の「大きさ」と「向き」だけでなく、「作用線」の位置まで正確に求めることが剛体の問題を解く上で不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 力の分類: まず、合成したい力が「平行か、平行でないか」を判断することが第一歩です。これにより、用いるべき法則が決まります。
    • 平行な力の合成:
      • 同向きの場合: 合力の大きさは「和」、作用線は力の大きさの「逆比」に「内分」する点を通ります。
      • 逆向きの場合: 合力の大きさは「差」、作用線は力の大きさの「逆比」に「外分」する点を通ります。
    • 平行でない力の合成: 2つの力の「作用線」を延長し、その交点まで力を移動させてから「平行四辺形の法則」を適用します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 物体の重心を求める問題: 複数の質点にはたらく重力（平行で同向きの力）を合成する操作は、まさにその質点系の重心を求める計算と同じです。
  • 偶力にはたらくモーメント: (2)のように平行で逆向きの力で、もし大きさが等しい場合（例：\(50\,\text{N}\)と\(50\,\text{N}\)）、合力はゼロになりますが、物体を回転させる作用（力のモーメント）だけが残ります。これを「偶力」と呼び、ハンドルを回す操作などがこれにあたります。
  • 複数の力が斜めに働く場合: (4)の発展形で、複数の力がそれぞれ異なる斜めの角度ではたらく問題では、各力をx成分とy成分に分解し、成分ごとに足し合わせて合力ベクトルを求める「成分法」が非常に有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず力の関係を分類する: 図を見て、各力が「平行か」「平行でないか」を判断します。平行な場合はさらに「同向きか」「逆向きか」を確認します。
  2. 適切な合成法則を選択する: 分類に応じて、内分・外分・平行四辺形の法則のどれを使うかを決定します。
  3. 作用線の位置を正確に求める:
     • 内分・外分の場合、「力の大きさの逆比」というルールを徹底します。
     • 外分の場合、合力の作用点は必ず「大きい方の力の外側」にできることを覚えておきましょう。
  4. 別解としてモーメントの利用を検討する: 特に(3)のように平行な力が3つ以上ある場合、2段階で合成するよりも、「（元の力のモーメントの和）＝（合力のモーメント）」という関係式を立てる方が、計算が速く、間違いにくいことが多いです。この方法は非常に強力な武器になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内分・外分比を力の比と間違える:
  • 誤解: 力の比が \(F_A:F_B\) のとき、作用点が内分（外分）する比も \(F_A:F_B\) だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず「逆比」になると覚えましょう。力の比が \(F_A:F_B\) ならば、作用点からの距離の比は \(F_B:F_A\) です。シーソーで体重が重い人（力が大きい）が支点に近い（距離が短い）ことをイメージすると、この「逆比」の関係を忘れにくくなります。
• 外分点の位置を間違える:
  • 誤解: (2)のような逆向きの力の合成で、外分点が小さい方の力の外側にできると考えてしまう。
  • 対策: 合力の向きは「大きい方の力」と同じになります。合力が元の力と同じ回転効果（モーメント）を持つためには、作用点は必ず「大きい方の力の外側」に来なければなりません。
• 平行でない力の合成で、作用線を無視する:
  • 誤解: (4)で、点Aと点Bを単純に結んで対角線を作り、そこで力を合成してしまうなど、作用線の重要性を理解していない。
  • 対策: 剛体の問題を解く上では「作用線」が極めて重要です。「力は、その作用線に沿って自由に移動させることができる」というルールを使い、必ず「作用線の交点」を見つけて、そこで力を合成する、という手順を徹底してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)(3)での公式選択（平行な力の合成公式 or モーメント）:
  • 選定理由: 問題で与えられた力が「平行」であるという特徴から、平行な力の合成に特化した公式（内分・外分）を用いるのが最も直接的で効率的です。
  • 適用根拠: 力が平行であるという幾何学的な条件が、これらの公式を適用する根拠となります。
  • 別解（モーメント）の選定理由: 合力の定義は「元の複数の力と等価な回転効果（モーメント）と並進効果（力のベクトル和）を持つ単一の力」です。この定義に立ち返れば、モーメントの関係式 （元の力のモーメントの和）=（合力のモーメント） を立てて作用線を求めることができます。これは内分・外分公式の導出原理そのものであり、公式を忘れた場合や、3つ以上の力が働く場合に特に有効な、より根源的なアプローチです。
• (4)での公式選択（平行四辺形の法則）:
  • 選定理由: 力が「平行でない」ため、平行な力の合成公式は使えません。平行でないベクトルを合成するための最も基本的な作図法が「平行四辺形の法則」であるため、これを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 力がベクトル量であり、ベクトルの加算規則に従うことが適用根拠です。剛体の場合は、質点と異なり「作用線上を移動させて始点をそろえる」という操作が加わる点がポイントです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算を丁寧に行う:
  • 内分・外分点の計算では、比の取り扱いに注意しましょう。例えば「線分AB（長さ\(L\)）を \(m:n\) に内分する点」のAからの距離は \(L \times \displaystyle\frac{m}{m+n}\) です。この分数の形を間違えないようにしましょう。
• 外分点の比例式を確実に解く:
  • (2)のように、外分点の位置を未知数 \(x\) とおいて比例式 \(x : (x+L) = n:m\) を立てた場合、内項の積と外項の積 \((x+L)n = xm\) を正しく計算し、移項の際の符号ミスに注意しましょう。
• 三平方の定理の計算を工夫する:
  • (4)のような計算 \(\sqrt{15^2 + 20^2}\) では、まず各数値を共通の因数でくくり出すと計算が楽になります。\(15=5\times3\), \(20=5\times4\) なので、\(\sqrt{(5\times3)^2 + (5\times4)^2} = \sqrt{5^2 \times (3^2+4^2)} = 5\sqrt{9+16} = 5\sqrt{25} = 5\times5 = 25\) と暗算レベルで計算でき、ミスを減らせます。
• 図を大きく丁寧に描く:
  • 特に(3)や(4)のように複数のステップがある場合や、作用線が交わる場合は、図を大きく丁寧に描くことが状況把握の助けになり、ミスを防ぎます。作用線や補助線をしっかり描き込むことが大切です。
• モーメントの符号（回転方向）を確認する:
  • 別解でモーメント計算を使う場合、基準点に対して各力がどちら回りのモーメントを生むか（時計回りか、反時計回りか）を一つ一つ指で確認しながら、符号を決定しましょう。符号ミスが結果を大きく狂わせます。

134 棒のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい」です。物体が静止し続けるための条件である「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」を正しく立式し、問題を解決する能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒に働く力は、重力\(60\,\text{N}\)、張力\(T_1\)、張力\(T_2\)の3つです。棒は静止しているので、「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」が成り立ちます。モーメントのつりあいを考える際、棒の重心Gを回転の中心に選ぶと、重力のモーメントがゼロになり、計算が非常にシンプルになります。
この設問における重要なポイント

• 一様な棒なので、重力は棒の中点（重心G）に働く。
• 棒が傾いていても、力のモーメントを計算する際の「腕の長さ」は、回転の中心から力の作用線に下ろした垂線の長さである。
• 「力のつりあい」と「モーメントのつりあい」の2つの式を立てて連立させる。

具体的な解説と立式
棒に働く力は、重力 \(W=60\,\text{N}\)（重心G、鉛直下向き）、張力 \(T_1\)（左端、鉛直上向き）、張力 \(T_2\)（右端、鉛直上向き）の3つです。
まず、鉛直方向の力のつりあいを考えます。
（上向きの力の和）=（下向きの力の和）より、
$$ T_1 + T_2 = 60 \quad \cdots ① $$
次に、棒の重心Gのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。
棒の長さは \(0.80\,\text{m}\) なので、重心Gから両端までの距離は \(0.40\,\text{m}\) です。
張力 \(T_1\) と \(T_2\) の作用線までの腕の長さは、図1よりそれぞれ \(0.40 \times \sin{60^\circ}\,\text{m}\) となります。

• 張力 \(T_1\): 回転の中心Gの左側で上向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
• 張力 \(T_2\): 回転の中心Gの右側で上向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ T_2 \times (0.40 \sin{60^\circ}) = T_1 \times (0.40 \sin{60^\circ}) $$
この式から、\(T_1 = T_2\) であることがわかります。

式①に \(T_1 = T_2\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
T_1 + T_1 &= 60 \\[2.0ex] 2T_1 &= 60 \\[2.0ex] T_1 &= 30\,\text{N}
\end{aligned}
$$
したがって、\(T_2\) も、
$$ T_2 = 30\,\text{N} $$
となります。

長さ \(0.80\,\text{m}\) の重い板（重さ \(60\,\text{N}\)）を、両端から2本の糸でぶら下げて斜めに静止させています。板の重さはちょうど真ん中にかかっています。このとき、左右の糸がそれぞれどれくらいの力で引っ張っているかを計算します。まず、2本の糸が支える力の合計は、板の重さ \(60\,\text{N}\) と同じはずです。次に、板が回転しないように、真ん中を中心とした「てこの原理」を考えます。すると、左右の糸が同じ力で引っ張っていないと回転してしまうことがわかります。結果、2本の糸が \(30\,\text{N}\) ずつ、均等に力を分担していることがわかります。

張力 \(T_1\) と \(T_2\) はともに \(30\,\text{N}\) と求まりました。重心Gのまわりで考えたとき、\(T_1\) と \(T_2\) の腕の長さが等しいため、力の大きさも等しくなるというのは直感的にも妥当な結果です。また、2つの張力の和が重力 \(60\,\text{N}\) と等しくなっており、力のつりあいも満たしています。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問でも、棒に働く力は重力 \(60\,\text{N}\)、張力 \(T_1\)、張力 \(T_2\) の3つです。棒は水平に静止しています。力のつりあいの式と、力のモーメントのつりあいの式を立てて連立方程式を解きます。モーメントの計算では、棒が水平なので、回転の中心からの距離がそのまま腕の長さとなり、計算が簡単です。模範解答では、棒の左端を回転の中心に選んでいます。
この設問における重要なポイント

• 棒が水平なので、鉛直方向の力に対する腕の長さは、回転の中心からの水平距離に等しい。
• 棒の左端を回転の中心に選ぶと、\(T_1\) のモーメントが消え、\(T_2\) を直接求められる。

具体的な解説と立式
棒に働く力は、張力\(T_1\)（左端、上向き）、張力\(T_2\)（左端から\(0.60\,\text{m}\)の点、上向き）、重力\(W=60\,\text{N}\)（重心G、左端から\(0.40\,\text{m}\)の点、下向き）です。
まず、鉛直方向の力のつりあいを考えます。
（上向きの力の和）=（下向きの力の和）より、
$$ T_1 + T_2 = 60 \quad \cdots ③ $$
次に、棒の左端Aのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• 張力 \(T_1\): 作用点が回転の中心なので、モーメントは \(0\)。
• 重力 \(W=60\,\text{N}\): 回転の中心Aの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。腕の長さは \(0.40\,\text{m}\)。
• 張力 \(T_2\): 回転の中心Aの右側で上向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。腕の長さは \(0.60\,\text{m}\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ T_2 \times 0.60 = 60 \times 0.40 \quad \cdots ④ $$

まず、式④から \(T_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0.60 T_2 &= 24 \\[2.0ex] T_2 &= \frac{24}{0.60} \\[2.0ex] T_2 &= 40\,\text{N}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式③に代入して \(T_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_1 + 40 &= 60 \\[2.0ex] T_1 &= 60 – 40 \\[2.0ex] T_1 &= 20\,\text{N}
\end{aligned}
$$

今度は、重さ \(60\,\text{N}\) の板を水平に保つために、左端と、左端から \(0.60\,\text{m}\) の位置を糸で吊るしています。板の重さは真ん中（左端から \(0.40\,\text{m}\)）にかかります。この状況で、2本の糸がそれぞれどれくらいの力で引っ張っているかを考えます。左端を回転の中心として「てこの原理」を考えると、重さが板を下に回そうとする力と、右側の糸 \(T_2\) が上に引き上げようとする力がつりあっています。この式から \(T_2\) が \(40\,\text{N}\) だとわかります。板全体の重さが \(60\,\text{N}\) なので、残りの \(20\,\text{N}\) を左端の糸 \(T_1\) が支えている、という計算になります。

張力 \(T_1=20\,\text{N}\), \(T_2=40\,\text{N}\) と求まりました。重心G(\(0.40\,\text{m}\)地点)に近い方の糸 \(T_2\) (\(0.60\,\text{m}\)地点)の方が、遠い方の糸 \(T_1\) (左端)よりも大きな力を負担しています。これは、重い荷物を2人で運ぶとき、荷物に近い人の方が重く感じるのと同じで、直感的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問では、棒の右端に \(20\,\text{N}\) のおもりが吊るされています。棒に働く力は、棒自身の重力 \(60\,\text{N}\)、張力 \(T_1\)、そしておもりの重さ \(20\,\text{N}\) の4つです。未知数は張力 \(T_1\) と、その作用点の位置 \(x\) です。これまでと同様に、力のつりあいとモーメントのつりあいの式を立てて解きます。
この設問における重要なポイント

• 棒に働く力として、棒自身の重力とおもりの重力の両方を考慮する。
• 未知数が2つ（\(T_1\), \(x\)）なので、2本の式（力のつりあい、モーメントのつりあい）が必要。

具体的な解説と立式
棒に働く力は、張力 \(T_1\)（左端から \(x\) の点、上向き）、棒の重力 \(W=60\,\text{N}\)（重心G、左端から \(0.40\,\text{m}\) の点、下向き）、おもりの重力 \(20\,\text{N}\)（右端、下向き）です。
まず、鉛直方向の力のつりあいを考えます。
（上向きの力の和）=（下向きの力の和）より、
$$
\begin{aligned}
T_1 &= 60 + 20 \\[2.0ex] T_1 &= 80\,\text{N}
\end{aligned}
$$
次に、棒の左端Aのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• 張力 \(T_1\): 回転の中心Aの右側で上向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。腕の長さは \(x\)。
• 棒の重力 \(W=60\,\text{N}\): 回転の中心Aの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。腕の長さは \(0.40\,\text{m}\)。
• おもりの重力 \(20\,\text{N}\): 回転の中心Aの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。腕の長さは \(0.80\,\text{m}\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ T_1 \times x = (60 \times 0.40) + (20 \times 0.80) \quad \cdots ⑤ $$

まず、力のつりあいの式から \(T_1\) が \(80\,\text{N}\) であることがわかります。
この \(T_1=80\,\text{N}\) を式⑤に代入して \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
80 \times x &= (60 \times 0.40) + (20 \times 0.80) \\[2.0ex] 80x &= 24 + 16 \\[2.0ex] 80x &= 40 \\[2.0ex] x &= \frac{40}{80} \\[2.0ex] x &= 0.50\,\text{m}
\end{aligned}
$$

重さ \(60\,\text{N}\) の板の右端に、さらに \(20\,\text{N}\) のおもりをぶら下げました。この合計 \(80\,\text{N}\) の重さを、1本の糸で吊るして水平に支えます。まず、糸が支えるべき力 \(T_1\) は、当然ながら全体の重さの合計である \(80\,\text{N}\) になります。次に、どこを吊るせば板が回転せずに水平を保てるかを考えます。左端を回転の中心として「てこの原理」を考えると、2つの重さ（板自身の重さとおもりの重さ）が板を時計回りに回そうとします。それに対して、糸で吊るす力 \(T_1\) が反時計回りに回そうとする力がつりあう位置 \(x\) を探します。計算すると、その位置は左端から \(0.50\,\text{m}\) の場所だとわかります。

張力 \(T_1=80\,\text{N}\)、位置 \(x=0.50\,\text{m}\) と求まりました。\(T_1\) は棒とおもりの全重量に等しく、力のつりあいを満たしています。また、吊り上げる位置 \(x=0.50\,\text{m}\) は、棒の重心(\(0.40\,\text{m}\))とおもりの位置(\(0.80\,\text{m}\))の間であり、おもりのある右側に少し寄った位置になっています。これは、2つの下向きの力（\(60\,\text{N}\)と\(20\,\text{N}\)）の「重心」のような点を吊り上げていると考えることができ、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件の適用
  • 核心: この問題の根幹は、形や大きさを持つ物体（剛体）が静止し続けるための2つの条件、「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」を理解し、正しく立式できることです。物体が動かないためには、単に力がつりあっているだけでは不十分で、回転しないようにモーメントもつりあっている必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 物体が上下左右に動き出さないための条件です。「上向きの力の和＝下向きの力の和」のように、逆向きの力の大きさが等しいという式を立てます。これは、物体を一つの点（質点）とみなした場合のつりあいと同じ考え方です。
    • 力のモーメントのつりあい: 物体が回転し始めないための条件です。「反時計回りのモーメントの和＝時計回りのモーメントの和」という式を立てます。この式は、どの点を回転の中心として選んでも成り立ちます。この「回転の中心の任意性」が、剛体の問題を解く上での強力な道具となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • はしごのつりあい: 壁に立てかけたはしごが滑らない条件を考える問題。はしごに働く力（重力、壁からの垂直抗力と摩擦力、床からの垂直抗力と摩擦力）をすべて図示し、水平方向と鉛直方向の力のつりあい、そして適切な点を中心としたモーメントのつりあいを考えます。
  • ドアや看板のつりあい: 蝶番（ちょうつがい）で支えられたドアや、壁から突き出た看板のつりあい問題。蝶番が及ぼす力は向きが分からないことが多いので、蝶番を回転の中心に選んでモーメントの式を立てると、未知の力を消去できて計算が楽になります。
  • シーソーのつりあい: 複数の人やおもりが乗ったシーソーのつりあい。これも、支点を回転の中心としてモーメントのつりあいを考える典型的な問題です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 問題の物体（棒、はしごなど）に働く力を、作用点と向きがわかるようにすべて矢印で書き込みます。重力、張力、垂直抗力、摩擦力など、考えられる力を見落とさないことが最も重要です。特に、一様な棒の重力は、その中点（重心）に働くことを忘れないようにします。
  2. 回転の中心を戦略的に選ぶ: 力のモーメントのつりあいの式を立てる前に、「どこを回転の中心にすれば計算が最も楽になるか？」を考えます。基本戦略は以下の通りです。
     • 未知の力が働く点: 求めたい力ではない、未知の力が作用する点を中心に選ぶと、その力のモーメントがゼロになり、式から消去できます。
     • 複数の力が働く点: 多くの力が集中している点を中心に選ぶと、それらの力のモーメントがすべてゼロになり、式がシンプルになります。
  3. 腕の長さを正確に求める: モーメントの計算で最も間違いやすいのが「腕の長さ」です。腕の長さは、回転の中心から力の作用点までの単なる距離ではなく、「回転の中心から、力の作用線（力の矢印を延長した直線）に下ろした垂線の長さ」です。物体が傾いている場合は、三角関数（\(\sin\) や \(\cos\)）を使って正しく求める必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• モーメントの回転方向の判断ミス:
  • 誤解: 力が上向きなら反時計回り、下向きなら時計回り、のように単純に覚えてしまう。
  • 対策: 必ず「回転の中心（支点）」と「力の作用点」の位置関係で判断する癖をつけましょう。「もし、その力だけが働いたら、物体は支点のまわりでどっちに回るか？」とイメージするのが最も確実です。例えば、支点の右側にある点を上に引っ張れば反時計回り、下に押せば時計回りになります。
• 腕の長さを間違える:
  • 誤解: 物体が傾いているのに、回転の中心から力の作用点までの棒に沿った長さを腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 「腕の長さ＝回転の中心から力の作用線への垂線の長さ」という定義を徹底します。図に垂線を描き込み、三角形の辺の長さとして三角関数を用いて計算する練習をしましょう。
• 力のつりあいの式だけで解こうとする:
  • 誤解: 剛体の問題なのに、力のつりあいだけで解けると勘違いし、未知数が消せずに手が止まってしまう。
  • 対策: 「大きさのある物体が静止している」というキーワードを見たら、必ず「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」の2種類の式をセットで使うことを思い出しましょう。未知数が2つなら式も2本、未知数が3つなら式も3本（水平方向の力のつりあい、鉛直方向の力のつりあい、モーメントのつりあい）必要になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 物体が静止している（＝並進運動していない）という物理的な事実を数式で表現するためです。これはニュートンの運動の第一法則（慣性の法則）の現れであり、静止している物体に働く合力はゼロである、という基本法則に基づいています。
  • 適用根拠: 問題文に「静止させた」とあるため、棒は加速していません。したがって、棒に働く力の総和はゼロでなければならず、力のつりあいの式を適用できます。この問題では力がすべて鉛直方向なので、「上向きの力の和＝下向きの力の和」という形で適用します。
• 力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 物体が静止している（＝回転運動していない）というもう一つの物理的な事実を数式で表現するためです。力がつりあっていても、作用点が異なれば物体は回転してしまう可能性があります（例えば、棒の両端を逆向きに同じ力で押す場合）。物体が回転しないことを保証するのが、この法則です。
  • 適用根拠: 「静止させた」という記述は、棒が回転もしていないことを意味します。したがって、どの点のまわりでも力のモーメントはつりあっているはずであり、「反時計回りのモーメントの和＝時計回りのモーメントの和」という公式を適用できます。この法則のおかげで、力のつりあいだけでは解けない未知数（力の作用点の位置など）を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式を立ててから数値を代入する:
  • まずは \(T_2 \times L_2 = W \times L_W\) のように、文字式のままモーメントのつりあいの式を立てましょう。最初から \(T_2 \times 0.60 = 60 \times 0.40\) と数値を代入すると、どの数値がどの物理量に対応するのかが分かりにくくなり、検算が困難になります。
• 回転の中心とモーメントの向きを明記する:
  • 計算を始める前に、「棒の左端Aのまわりのモーメントを考える」のように、どこを回転の中心にするかを宣言する癖をつけましょう。さらに、各力について「\(W\): 時計回り」「\(T_2\): 反時計回り」のようにメモしておくと、立式での符号ミスを劇的に減らせます。
• 単位を書いて検算する:
  • モーメントの単位は \(\text{N}\cdot\text{m}\) です。計算結果の単位が合っているかを確認しましょう。例えば、\(T_1 \times x\) を計算しているのに、答えの単位が \(\text{N}\) になってしまったら、どこかで長さを掛け忘れている、あるいは割り忘れていることに気づけます。
• 概算による検算:
  • (2)で、重心(\(0.40\,\text{m}\))は、\(T_1\)(0m)と\(T_2\)(\(0.60\,\text{m}\))の間にあります。重心から\(T_1\)までの距離は\(0.40\)、\(T_2\)までの距離は\(0.20\)で、距離の比は \(2:1\) です。てこの原理より、支える力の比は距離の逆比になるので、\(T_1:T_2 = 1:2\) となるはずです。力の合計は \(60\,\text{N}\) なので、\(T_1=20\,\text{N}\), \(T_2=40\,\text{N}\) となり、計算結果と一致します。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (3)で、吊り上げる点 \(x\) は、棒の重心(\(0.40\,\text{m}\))とおもりの位置(\(0.80\,\text{m}\))の間にあるはずです。もし計算結果がこの範囲外（例えば \(x=0.3\,\text{m}\) や \(x=0.9\,\text{m}\)）になったら、モーメントの向きや腕の長さの計算が間違っている可能性が高いと判断できます。

135 針金の重心

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の部分からなる物体の重心計算」です。複雑な形状の物体でも、単純な形状のいくつかの部分に分割し、それぞれの重心を利用することで、全体の重心を求めることができる、という合成系の重心の考え方をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
複雑な形状であるL字型の針金の重心を直接求めるのは困難です。そこで、この針金を2つの単純な形状、すなわちx軸に沿った直線部分Aと、y軸に沿った直線部分Bに分割して考えます。
一様な直線であるAとBそれぞれの重心は、その中点にあります。また、質量は長さに比例するため、AとBの長さの比から質量比を求めることができます。
最終的に、この問題は「Aの重心位置にある質量\(m_A\)の質点」と「Bの重心位置にある質量\(m_B\)の質点」という、2つの質点からなる系全体の重心を求める問題に置き換えることができます。
この設問における重要なポイント

• 針金をx軸部分(A)とy軸部分(B)に分割する。
• AとBの長さの比から、質量比を求める。
• AとBそれぞれの重心座標（中点の座標）を正確に求める。
• 重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B}\) と \(y_G = \displaystyle\frac{m_A y_A + m_B y_B}{m_A + m_B}\) を正しく使う。

具体的な解説と立式
針金をx軸に沿った部分Aと、y軸に沿った部分Bに分けます。

• 部分A (x軸部分)
  • 長さ: \(L_A = 1.20\,\text{m}\)
  • 重心 \(G_A\): 一様な直線なので中点にあります。
    $$
    \begin{aligned}
    x_A &= \frac{1.20}{2} = 0.60\,\text{m} \\[2.0ex] y_A &= 0\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$
    よって、\(G_A\) の座標は \((0.60, 0)\) です。
• 部分B (y軸部分)
  • 長さ: 全体が \(1.80\,\text{m}\) なので、\(L_B = 1.80 – 1.20 = 0.60\,\text{m}\)
  • 重心 \(G_B\): 一様な直線なので中点にあります。
    $$
    \begin{aligned}
    x_B &= 0\,\text{m} \\[2.0ex] y_B &= \frac{0.60}{2} = 0.30\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$
    よって、\(G_B\) の座標は \((0, 0.30)\) です。

次に、質量を考えます。一様な針金なので、質量は長さに比例します。
長さの比は、\(L_A : L_B = 1.20 : 0.60 = 2 : 1\) です。
したがって、質量比も \(m_A : m_B = 2 : 1\) となります。
部分Aの質量を \(2m\)、部分Bの質量を \(m\) とおきます。

全体の重心Gのx座標 \(x_G\) とy座標 \(y_G\) は、重心の公式より、
$$ x_G = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B} $$
$$ y_G = \frac{m_A y_A + m_B y_B}{m_A + m_B} $$

求めた値を重心の公式に代入します。

• x座標の計算
  $$
  \begin{aligned}
  x_G &= \frac{(2m) \times 0.60 + m \times 0}{2m + m} \\[2.0ex] &= \frac{1.20m}{3m} \\[2.0ex] &= 0.40\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$
• y座標の計算
  $$
  \begin{aligned}
  y_G &= \frac{(2m) \times 0 + m \times 0.30}{2m + m} \\[2.0ex] &= \frac{0.30m}{3m} \\[2.0ex] &= 0.10\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$

L字型の針金の「重さの中心（重心）」を探す問題です。まず、このL字を2本のまっすぐな棒（横長の棒Aと縦長の棒B）に分解します。
横長の棒Aは長さが \(1.20\,\text{m}\) なので、その重さは \(1.20\) に比例すると考えます。この棒の重心（真ん中）は点 \((0.60, 0)\) にあります。
縦長の棒Bは長さが \(0.60\,\text{m}\) なので、その重さは \(0.60\) に比例します。この棒の重心は点 \((0, 0.30)\) にあります。
これで問題は、「重さの比が \(1.20 : 0.60 = 2:1\) のおもりが、点 \((0.60, 0)\) と点 \((0, 0.30)\) に置かれているときの、全体の重心はどこか？」という、シーソーのつりあいを考えるような簡単な問題に変わります。これを物理の公式で計算すると、答えが出ます。

重心の座標は \((0.40\,\text{m}, 0.10\,\text{m})\) と求まりました。
この点は、重い部分A（質量\(2m\)）の重心 \((0.60, 0)\) と、軽い部分B（質量\(m\)）の重心 \((0, 0.30)\) を結ぶ線分上にあります。そして、その線分を質量の逆比である \(m_B:m_A = 1:2\) に内分する点になっています。
重心の位置は、より質量の大きいx軸部分の方に引き寄せられています。\(x\)座標は \(0.40\,\text{m}\) であり、\(y\)座標は \(0.10\,\text{m}\) と、直感的に妥当な位置にあります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 合成系の重心の計算
  • 核心: この問題の根幹は、複雑な形状の物体を、重心位置が既知の単純な部分に分割し、それらを質点とみなして全体の重心を求める「合成」という考え方です。重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) を正しく適用できるかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 物体の分割: L字型という一つの物体を、x軸上の直線部分とy軸上の直線部分という2つの単純な物体に分割して考えるのが第一歩です。
    • 各部分の重心: 分割した各部分（この場合は一様な直線）の重心は、その図形的な中心（中点）にあることを理解している必要があります。
    • 質量比の決定: 「一様な太さ」という記述から、質量が長さに比例することを見抜き、各部分の長さの比を質量の比として用いることが重要です。これにより、未知の比例定数を計算の最終段階で消去できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 穴のあいた板の重心: 例えば、正方形の板から円形の部分をくり抜いたような物体の重心を求める問題。これは、「元の大きな正方形の板（正の質量）」と「くり抜かれた円形の部分（負の質量）」を合成すると考えます。重心の公式で、くり抜いた部分の質量をマイナスとして計算するのがコツです。
  • 複数の物体を組み合わせた系の重心: 例えば、大小2つの球体を棒でつないだ系の重心など。これも、各物体をその重心に質量が集中した質点とみなし、重心の公式を適用することで解くことができます。
  • 3次元物体の重心: 直方体や円柱などを組み合わせた立体の重心。考え方は2次元と全く同じで、x, y, zの各座標について、それぞれ重心の公式を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. どう分割すれば簡単になるか？: 与えられた図形を、自分が重心位置を知っている単純な図形（直線、長方形、三角形、円など）の組み合わせとして捉えられないか考えます。
  2. 各部分の「重み」はどうなるか？: 問題文から、物体の密度が一様かどうかを読み取ります。「一様な」という記述があれば、線なら長さ、板なら面積、立体なら体積を、質量の代わり（重み）として使うことができます。これにより計算が大幅に簡略化されます。
  3. 座標軸をどう設定するか？: 問題で座標軸が与えられていない場合は、計算が最も楽になるように自分で設定します。図形の頂点や対称軸を原点や座標軸に合わせるのが一般的です。
  4. 各部分の重心座標と質量（または重み）をリストアップする: 計算ミスを防ぐため、分割した各部分について、「部分A: 質量\(m_A\), 重心\((x_A, y_A)\)」「部分B: 質量\(m_B\), 重心\((x_B, y_B)\)」のように、情報を整理してから公式に代入する癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 各部分の重心座標の計算ミス:
  • 誤解: 例えば、x軸上の長さ\(1.20\,\text{m}\)の棒の重心座標を、端点の \((1.20, 0)\) と勘違いしてしまう。
  • 対策: 一様な直線の重心は「中点」であることを常に意識しましょう。始点と終点の座標を足して2で割る、と機械的に計算するのが確実です。この問題では、部分Aの重心のx座標は \((0+1.20)/2 = 0.60\) となります。
• 質量と長さ（面積）の関係の誤解:
  • 誤解: 密度が一様でない物体に対しても、安易に長さや面積を質量の代わりとして使ってしまう。
  • 対策: 質量が長さや面積に比例するのは、あくまで「一様な」物体の場合に限られることを肝に銘じましょう。もし密度が場所によって異なる場合は、問題文の指示に従って質量を正しく計算する必要があります。
• 全体の長さや質量を分母に使う際のミス:
  • 誤解: 重心の公式の分母 \(m_1+m_2+\dots\) を計算する際に、一部のパーツを足し忘れる。
  • 対策: 分割した全ての部分の質量（または重み）を足し合わせることを確認しましょう。この問題では、分母は \(2m+m=3m\) または \(1.20+0.60=1.80\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重心の公式の選択理由:
  • 選定理由: 求めたいのが、複数の部分から構成される「合成系」全体の重心だからです。この公式は、まさにそのような状況のために用意されたものです。各部分を、その重心位置に質量が集中した「質点」とみなし、それらの質点の平均的な位置を、質量で重み付けして求める、というのが公式の本質です。
  • 適用根拠: 問題のL字型針金は、x軸部分とy軸部分という2つの質点系とみなすことができます。それぞれの質量（に比例する量）と重心座標が分かっているので、この公式を適用するための条件がすべて整っています。x座標とy座標は独立に計算できるため、それぞれの方向について公式を適用します。
• (別解1)力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 「重心」という概念の物理的な定義に立ち返ったアプローチです。重心とは、「その点に全体の重力が作用すると考えてよい点」であり、結果として「その点のまわりでは、各部分に働く重力によるモーメントの合計がゼロになる」という性質を持ちます。この性質を利用して、未知数である重心座標を求めることができます。
  • 適用根拠: 物体が静止しているとき、任意の軸のまわりで力のモーメントはつりあっています。全体の重力が重心 \(G(x_G, y_G)\) に作用すると考えたときのモーメントは、各部分の重力がそれぞれの重心に作用するときのモーメントの和に等しい、という関係が成り立ちます。この等式をy軸まわり（腕の長さがx座標）とx軸まわり（腕の長さがy座標）で立てることで、\(x_G\) と \(y_G\) を求めることができます。これは、重心の公式の導出過程そのものであり、公式の成り立ちを理解する上で非常に重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報を整理してから計算する:
  • 上記「応用テクニック」でも述べたように、計算を始める前に、各部分の情報をリスト化しましょう。
    • 部分A: 長さ \(1.20\), 質量比 \(2\), 重心 \((0.60, 0)\)
    • 部分B: 長さ \(0.60\), 質量比 \(1\), 重心 \((0, 0.30)\)
  • このように整理することで、公式への代入ミスを防ぎ、見直しも容易になります。
• 分数の計算は丁寧に行う:
  • \(x_G = \displaystyle\frac{0.72}{1.80}\) のような小数を含む分数の計算では、まず分子と分母を100倍して \(\displaystyle\frac{72}{180}\) のように整数に直してから約分すると、計算ミスが減ります。\(180 = 18 \times 10\), \(72 = 18 \times 4\) のように共通の因数を見つけると、\(\displaystyle\frac{4}{10} = 0.4\) と素早く計算できます。
• 図を描いて結果を吟味する:
  • 計算で求めた重心の座標 \((0.40, 0.10)\) を、問題の図にプロットしてみましょう。その点が、x軸部分（重い）とy軸部分（軽い）の間にあり、かつ重い方のx軸部分にやや近い位置にあることを視覚的に確認します。もし、明らかに不自然な位置（例えば針金から外れた場所や、軽い方のy軸部分に近い場所）にあれば、計算ミスの可能性が高いと判断できます。

136 板の重心

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複雑な形状の板の重心計算」です。特に、物体の一部を「切り取る」あるいは「重ねる」といった、より応用的な状況での重心の求め方を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
切り取られて残ったL字型の板の重心を直接求めるのは難しいので、この板を2つの単純な長方形に分割して考えます。模範解答では、縦長の長方形ADEHと、横長の正方形HFGBに分割しています。
一様な板なので、質量は面積に比例します。それぞれの長方形の面積を求め、その比を質量の比とします。各長方形の重心はその図形的な中心（対角線の交点）にあるので、その座標を求めます。
最後に、この2つの部分を「質点」とみなし、重心の公式を使って全体の重心を計算します。
この設問における重要なポイント

• L字型の板を、計算しやすい2つの長方形に分割する。
• 一様な板なので、面積比を質量比として用いる。
• 各長方形の重心は、その中心（中点）にある。

具体的な解説と立式
残ったL字型の板を、長方形ADEHと正方形HFGBの2つに分けます。

• 部分A (長方形ADEH)
  • 面積: \(S_A = 1.0\,\text{m} \times 2.0\,\text{m} = 2.0\,\text{m}^2\)
  • 重心 \(G_A\): ADEHの中心なので、
    $$
    \begin{aligned}
    x_A &= \frac{1.0}{2} = 0.50\,\text{m} \\[2.0ex] y_A &= \frac{2.0}{2} = 1.0\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$
    よって、\(G_A\) の座標は \((0.50, 1.0)\) です。
• 部分B (正方形HFGB)
  • 面積: \(S_B = 1.0\,\text{m} \times 1.0\,\text{m} = 1.0\,\text{m}^2\)
  • 重心 \(G_B\): HFGBの中心なので、
    $$
    \begin{aligned}
    x_B &= 1.0 + \frac{1.0}{2} = 1.5\,\text{m} \\[2.0ex] y_B &= \frac{1.0}{2} = 0.50\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$
    よって、\(G_B\) の座標は \((1.5, 0.50)\) です。

一様な板なので、質量は面積に比例します。
面積比は \(S_A : S_B = 2.0 : 1.0 = 2 : 1\) なので、質量比も \(m_A : m_B = 2 : 1\) となります。
部分Aの質量を \(2m\)、部分Bの質量を \(m\) とおきます。

全体の重心Gの座標 \((x_G, y_G)\) は、重心の公式より、
$$ x_G = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B} $$
$$ y_G = \frac{m_A y_A + m_B y_B}{m_A + m_B} $$

• x座標の計算
  $$
  \begin{aligned}
  x_G &= \frac{(2m) \times 0.50 + m \times 1.5}{2m + m} \\[2.0ex] &= \frac{1.0m + 1.5m}{3m} \\[2.0ex] &= \frac{2.5m}{3m} \\[2.0ex] &\approx 0.833\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$
• y座標の計算
  $$
  \begin{aligned}
  y_G &= \frac{(2m) \times 1.0 + m \times 0.50}{2m + m} \\[2.0ex] &= \frac{2.0m + 0.50m}{3m} \\[2.0ex] &= \frac{2.5m}{3m} \\[2.0ex] &\approx 0.833\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$

有効数字2桁で答えると、\((0.83\,\text{m}, 0.83\,\text{m})\) となります。

L字型の板の「重さの中心（重心）」を探す問題です。このL字を、縦長の板と横長の板の2つに分解します。縦長の板は横長の板の2倍の面積なので、重さも2倍です。それぞれの板の重心（ど真ん中）の位置を求め、重さが「2」の点と「1」の点がつくるシーソーのつりあい点を計算する、というイメージです。

残った板の重心の座標は \((0.83\,\text{m}, 0.83\,\text{m})\) と求まりました。この点は、2つの部分の重心 \(G_A(0.50, 1.0)\) と \(G_B(1.5, 0.50)\) を結ぶ線分上にあり、質量の大きい \(G_A\) 側に寄っているため、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
切り取った板を別の場所に重ねた後の、全体の重心を求めます。模範解答では、最終的な形状を3つの部分（重なっていない2つの正方形と、2枚重なった正方形）に分割して考えています。
各部分の面積はすべて同じですが、重なった部分だけ質量が2倍になることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 最終的な形状を、重なりを考慮して単純な図形に分割する。
• 重なっている部分の質量（面積）を正しく評価する（この場合は2倍）。
• 3つの部分の重心を、重心の公式を用いて一度に計算する。

具体的な解説と立式
最終的な板を、3つの \(1.0\,\text{m} \times 1.0\,\text{m}\) の正方形領域に分割します。

• 部分C (正方形IDEF)
  • 面積: \(1.0\,\text{m}^2\)。質量を \(m\) とする。
  • 重心 \(G_C\): IDEFの中心なので、\((0.50, 1.5)\)。
• 部分D (正方形AIFH)
  • 面積: \(1.0\,\text{m}^2\)。板が2枚重なっているので、質量を \(2m\) とする。
  • 重心 \(G_D\): AIFHの中心なので、\((0.50, 0.50)\)。
• 部分E (正方形HFGB)
  • 面積: \(1.0\,\text{m}^2\)。質量を \(m\) とする。
  • 重心 \(G_E\): HFGBの中心なので、\((1.5, 0.50)\)。

全体の重心Gの座標 \((x_G, y_G)\) は、3つの部分に対する重心の公式より、
$$ x_G = \frac{m_C x_C + m_D x_D + m_E x_E}{m_C + m_D + m_E} $$
$$ y_G = \frac{m_C y_C + m_D y_D + m_E y_E}{m_C + m_D + m_E} $$

• x座標の計算
  $$
  \begin{aligned}
  x_G &= \frac{m \times 0.50 + (2m) \times 0.50 + m \times 1.5}{m + 2m + m} \\[2.0ex] &= \frac{0.50m + 1.0m + 1.5m}{4m} \\[2.0ex] &= \frac{3.0m}{4m} \\[2.0ex] &= 0.75\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$
• y座標の計算
  $$
  \begin{aligned}
  y_G &= \frac{m \times 1.5 + (2m) \times 0.50 + m \times 0.50}{m + 2m + m} \\[2.0ex] &= \frac{1.5m + 1.0m + 0.50m}{4m} \\[2.0ex] &= \frac{3.0m}{4m} \\[2.0ex] &= 0.75\,\text{m}
  \end{aligned}
  $$

(1)で切り取った板を、今度は左下の部分に重ねます。すると、3つの正方形でできた形になり、左下の部分だけが2枚重ねで重くなっています。この全体の「重さの中心」を探す問題です。3つの部分のそれぞれの重心と重さ（左下だけ重さ2倍）を使って、全体の重心を公式で計算します。

板全体の重心の座標は \((0.75\,\text{m}, 0.75\,\text{m})\) と求まりました。この点は、3つの部分の重心 \((0.50, 1.5)\), \((0.50, 0.50)\), \((1.5, 0.50)\) で作られる三角形の内部にあり、最も質量の大きい部分D \((0.50, 0.50)\) の方に引き寄せられています。物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 合成系および「くり抜き」物体の重心計算
  • 核心: この問題の根幹は、重心の公式を応用して、複数の部分からなる物体や、一部がくり抜かれた物体の重心を計算する能力です。(1)では「くり抜き」、(2)では「重ね合わせ」という、より実践的な状況設定がなされています。
  • 理解のポイント:
    • 物体の分割と合成: 複雑な形状を、重心が分かりやすい単純な図形（正方形など）の「足し算」や「引き算」で表現する柔軟な思考が求められます。
    • 質量と面積の比例関係: 「一様な厚さ」という条件から、質量を面積で代用して計算できることを見抜くのが重要です。これにより、具体的な質量が与えられていなくても問題を解くことができます。
    • 「負の質量」の概念: (1)の別解で用いる考え方で、「物体をくり抜く」という操作を、「負の質量を持つ物体を足し合わせる」と解釈するテクニックです。これをマスターすると、穴あき物体の問題を非常にスマートに解くことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円板から同心円または偏心円をくり抜いた物体の重心: 正方形と同様に、「元の大きな円板」から「くり抜いた小さな円板」を引く、という「負の質量」の考え方が非常に有効です。
  • 異なる材質の板を貼り合わせた物体の重心: 例えば、鉄板とアルミ板を貼り合わせた場合など。この場合は、面積だけでなく密度も考慮して、各部分の正しい質量比を求めてから重心の公式を適用する必要があります。
  • 複雑なL字型やT字型の部材の重心: 建設現場で使われる鋼材など、複雑な断面形状の重心を求める問題。これも、複数の長方形に分割して合成する考え方で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは「足し算」か「引き算」か戦略を立てる: 与えられた図形を見て、単純な図形を組み合わせて作る（足し算）のが楽か、単純な図形から一部をくり抜いて作る（引き算）のが楽か、最初に方針を立てます。元の形がシンプルなら「引き算」が有効なことが多いです。
  2. 各パーツの「重み」と「重心座標」をリストアップする: 計算ミスを防ぐために、分割（または引く）した各パーツについて、「面積（質量比）」「重心のx座標」「重心のy座標」を一覧表のように書き出してから計算を始めると確実です。
  3. 重ね合わせは質量の加算: (2)のように物体を重ねる場合は、その部分の質量（面積）が加算される（この場合は2倍になる）ことを忘れないようにします。
  4. 前の設問の結果が使えないか検討する: (2)の別解のように、(1)で求めた複雑な形状（L字板）の重心を、(2)を解くための一つのパーツとして利用できないか考える視点は、応用問題を解く上で非常に重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「負の質量」を用いる際の分母の計算ミス:
  • 誤解: 分子では \(m_1x_1 – m_2x_2\) と引き算するのに、分母は \(m_1+m_2\) と足してしまう。
  • 対策: 「負の質量 \(-m_2\) を持つ物体を足す」と一貫して考えましょう。重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1+m_2}\) に、\(m_2 \rightarrow -m_2\) を代入するので、分母も正しくは \(m_1 + (-m_2) = m_1 – m_2\) となります。
• 重ねた部分の質量（面積）の評価ミス:
  • 誤解: (2)で、3つの正方形領域をすべて同じ質量（面積）\(m\)として計算してしまう。
  • 対策: 図をよく見て、どの部分が何枚重なっているかを物理的に正しく把握することが重要です。「AIFHは2枚重ねだから質量2m」のように、図に質量を書き込むと間違いを防げます。
• 各部分の重心座標の原点からの計算ミス:
  • 誤解: 例えば、正方形HFGBの重心のx座標を、H点を基準に考えて \(1.0/2 = 0.5\,\text{m}\) と計算してしまう。
  • 対策: 全体の重心を求める際は、分割したすべてのパーツの重心座標を、必ず共通の原点Oから測る必要があります。HFGBのx座標の範囲は \(1.0\,\text{m}\) から \(2.0\,\text{m}\) なので、その中心は \((1.0+2.0)/2 = 1.5\,\text{m}\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)主たる解法での公式選択（分割・合成）:
  • 選定理由: 複雑な形状（L字型）を、重心が既知の単純な形状（長方形）の集まりとして扱うためです。これは、重心計算における最も基本的で普遍的なアプローチです。
  • 適用根拠: L字型の板は、物理的に2つの長方形が合わさったものと見なせます。それぞれの質量と重心が分かれば、それらを2つの質点とみなし、合成系の重心の公式を適用できます。
• (1)別解でのアプローチ選択（負の質量）:
  • 選定理由: 「くり抜く」という操作を、重心の公式の枠組みで統一的に扱うための、より洗練された思考法です。元の図形が単純な場合、この方が計算が簡単になることが多いです。
  • 適用根拠: 重心の定義は、力のモーメントのつりあいに基づいています。モーメントには重ね合わせの原理が成り立つため、全体のモーメントから一部のモーメントを引く操作は、物理的に妥当です。これを数式化したものが「負の質量」を用いた重心の公式となります。
• (2)主たる解法での公式選択（3分割）:
  • 選定理由: 最終的な形状を構成する最も基本的な単位（\(1 \times 1\)の正方形）に分割することで、状況を明確に把握し、確実に計算を進めるためです。
  • 適用根拠: 最終的な物体は、物理的に3つの領域（うち1つは質量2倍）から構成されています。これら3つを質点とみなし、3体系の重心の公式を適用するのは、自然で直接的な解法です。
• (2)別解でのアプローチ選択（(1)の結果利用）:
  • 選定理由: 計算の効率化と、問題の構造的理解を深めるためです。(2)の物体が「(1)の物体」と「追加の物体」の合成系であることを見抜くことで、より少ないパーツで計算を済ませることができます。
  • 適用根拠: (1)で求めたL字板の重心は、そのL字板全体の質量が集中している点とみなせます。したがって、(2)の計算では、このL字板を一つの「質点」として扱い、それに追加の「質点」を合成するという形で、2体系の重心の公式を適用することが可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報を表形式で整理する:
  • 各設問で、分割したパーツごとに「名称」「面積（質量比）」「x重心」「y重心」「面積 \(\times\) x重心」「面積 \(\times\) y重心」の列を持つ表を作成しましょう。最後に各列の合計を計算すれば、公式の分子と分母が自動的に求まり、代入ミスや計算ミスを大幅に減らせます。
• 分数のまま計算を進める習慣をつける:
  • (1)の重心座標は \(x_G = y_G = 2.5/3 \approx 0.833…\) と割り切れない小数です。(2)の別解でこの結果を使う際に、\(0.83\) のような丸めた値で計算すると誤差が生じます。\(x_G = \displaystyle\frac{5}{6}\) のように（模範解答の分割方法だと\(x_G = \displaystyle\frac{2.5}{3}\)）、分数のまま計算を進めることで、最終的な答えを正確に求めることができます。
• 対称性を活用する:
  • この問題では、(1)も(2)も、図形が直線 \(y=x\) に関して対称な構造になっています（(1)はL字型、(2)は3つの正方形の配置が対称）。そのため、計算する前から \(x_G = y_G\) となることが予測できます。このことに気づけば、片方の座標だけを計算し、もう一方は同じ値であるとして時間短縮が可能です。また、両方計算した場合の検算にも使えます。
• 図に重心をプロットして直感と照らし合わせる:
  • (1)で求めた重心 \((0.83, 0.83)\) は、元の中心 \((1.0, 1.0)\) から、くり抜いた部分 \((1.5, 1.5)\) とは反対の左下方向に移動しており、妥当です。
  • (2)で求めた重心 \((0.75, 0.75)\) は、L字板の重心 \((0.83, 0.83)\) と重ねた板の重心 \((0.5, 0.5)\) の間にあり、これも直感に合っています。計算結果を図に書き込んでみることで、大きな間違いに気づくことができます。

137 棒の重心の決定

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様でない剛体の重心と力のモーメントのつりあい」です。物体の重さや長さが分かっていても、太さが一様でないために重心が中心にない場合の取り扱いを学びます。力のモーメントのつりあいを応用して、未知である重心の位置を決定することが目標です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の最大のポイントは、「太さが一様でない」ため、重さ \(50\,\text{N}\) が棒の中点ではなく、未知の重心Gにかかる点です。
「端Aを少し持ち上げる」とき、棒は端Bを支点にして回転し始めようとします。この瞬間、棒はまだ静止しているので、力のモーメントのつりあいの式を立てることができます。未知の力である「床からの垂直抗力」は端Bに集中しています。そこで、この端Bを回転の中心に選べば、垂直抗力のモーメントがゼロになり、計算から除外できるため、非常に見通しが良くなります。
この設問における重要なポイント

• 「太さが一様でない」ため、重心は中点ではない。
• 端Aを持ち上げる瞬間、棒は端Bを支点として回転しようとする。
• 未知の垂直抗力が働く端Bを回転の中心に選ぶことで、計算を簡略化する。

具体的な解説と立式
端Aから棒の重心までの距離を \(x \,[\text{m}]\) とします。
端Aを \(20\,\text{N}\) の力で持ち上げる瞬間、棒に働く力は以下の3つです。

• 端Aに加える力: \(20\,\text{N}\)（上向き）
• 棒の重力: \(50\,\text{N}\)（重心G、下向き）
• 床からの垂直抗力: \(N_B\)（端B、上向き）

端Bのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• 持ち上げる力（\(20\,\text{N}\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Bの左側で上向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは棒の全長に等しく \(1.0\,\text{m}\)。
• 重力（\(50\,\text{N}\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Bの左側で下向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは、端Bから重心までの距離なので \((1.0 – x)\,\text{m}\)。
• 垂直抗力（\(N_B\)）によるモーメント:
  • 作用点が回転の中心なので、モーメントは \(0\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ 50 \times (1.0 – x) = 20 \times 1.0 $$

上記で立てた式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
50(1.0 – x) &= 20 \\[2.0ex] 50 – 50x &= 20 \\[2.0ex] 50 – 20 &= 50x \\[2.0ex] 30 &= 50x \\[2.0ex] x &= \frac{30}{50} \\[2.0ex] x &= 0.60\,\text{m}
\end{aligned}
$$

シーソーのような棒があり、その重さは \(50\,\text{N}\) ですが、どこが一番重いか（重心）は分かりません。左端Aを持ち上げるのに \(20\,\text{N}\) の力が必要だった、という情報から重心の位置を探します。Aを持ち上げる瞬間、棒は右端Bを支点にしてシーソーのように傾こうとします。このとき、「Aを持ち上げる力」が棒を時計回りに回そうとし、「棒の重さ」が反時計回りに回そうとして、ちょうどつりあっています。この「てこの原理」の式を立てることで、重心がAから \(0.60\,\text{m}\) の位置にあることがわかります。

棒の重心は端Aから \(0.60\,\text{m}\) のところにあると求まりました。これは棒の中点(\(0.50\,\text{m}\))よりも端B側に寄っていることを意味します。したがって、この棒はB側の方が重い（太いなど）ことが推測され、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度は端Bを持ち上げます。この瞬間、棒は端Aを支点として回転し始めようとします。したがって、床からの垂直抗力は端Aに集中します。(1)で求めた重心の位置（Aから \(0.60\,\text{m}\)）は、棒の物理的な性質なので変わりません。
(1)と同様に、未知の垂直抗力が働く端Aを回転の中心に選ぶことで、モーメントのつりあいの式だけで持ち上げる力 \(F\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 端Bを持ち上げる瞬間、棒は端Aを支点として回転しようとする。
• (1)で求めた重心の位置（Aから \(0.60\,\text{m}\)）を利用する。
• 未知の垂直抗力が働く端Aを回転の中心に選ぶ。

具体的な解説と立式
端Bを持ち上げるのに必要な力を \(F \,[\text{N}]\) とします。
この瞬間、棒に働く力は以下の3つです。

• 端Bに加える力: \(F\)（上向き）
• 棒の重力: \(50\,\text{N}\)（重心G、下向き）
• 床からの垂直抗力: \(N_A\)（端A、上向き）

端Aのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• 持ち上げる力（\(F\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Aの右側で上向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは \(1.0\,\text{m}\)。
• 重力（\(50\,\text{N}\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Aの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは(1)で求めた \(x=0.60\,\text{m}\)。
• 垂直抗力（\(N_A\)）によるモーメント:
  • 作用点が回転の中心なので、モーメントは \(0\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ F \times 1.0 = 50 \times 0.60 $$

$$
\begin{aligned}
F &= 50 \times 0.60 \\[2.0ex] F &= 30\,\text{N}
\end{aligned}
$$

(1)で、棒の重心がAから \(0.60\,\text{m}\) の位置にあることがわかりました。今度は、左端Aを支点にして、右端Bを持ち上げます。このとき、「棒の重さ」が時計回りに棒を回そうとし、「Bを持ち上げる力」が反時計回りに回そうとしてつりあいます。この「てこの原理」の式を立てれば、必要な力 \(F\) が計算できます。

端Bを持ち上げるのに必要な力は \(30\,\text{N}\) と求まりました。
(1)では、重心から遠い方の端Aを持ち上げるのに \(20\,\text{N}\) の力が必要でした。
(2)では、重心から近い方の端Bを持ち上げるのに \(30\,\text{N}\) の力が必要でした。
てこの原理で、支点から遠いほど小さな力で済むことを考えると、この結果は直感的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のモーメントのつりあいと「回転の中心の任意性」の戦略的活用
  • 核心: この問題の根幹は、剛体が静止するための条件の一つである「力のモーメントのつりあい」を正しく立式できることです。さらに、この法則を適用する際に「回転の中心はどこに選んでもよい」という重要な性質を理解し、計算が最も簡単になる点（この問題では未知の垂直抗力が働く点）を戦略的に選ぶ能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 「太さが一様でない」: このキーワードから、重力の作用点である「重心」が棒の中点にはなく、未知数であることを読み取る必要があります。
    • 「少し持ち上げる」瞬間のモデル化: この状態は、棒がもう一方の端を支点として回転し始める直前の「つりあい状態」とみなせます。そして、床からの垂直抗力はこの支点一点に集中していると考えるのがポイントです。
    • 未知の力の消去: 垂直抗力は未知数ですが、その作用点を回転の中心に選ぶことで、垂直抗力のモーメントがゼロ（腕の長さが0のため）になり、計算式から自然に消去されます。これがこの問題をスマートに解く最大の鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • はしごのつりあい: 壁に立てかけたはしごが滑らない条件を考える問題。壁や床から受ける垂直抗力や摩擦力など未知の力が多いため、はしごの下端や上端など、力が集中する点を回転の中心に選ぶのが定石です。
  • 蝶番で支えられた看板や扉のつりあい: 蝶番が及ぼす力は向きが分からず、水平・鉛直成分を持つ未知数です。蝶番そのものを回転の中心に選ぶことで、これらの未知な力を一切考慮せずにモーメントの式を立てることができます。
  • 人が乗った板のつりあい: 2つの支点で支えられた板の上を人が歩く問題。人がどの位置にいるときに板が傾くかなどを考える際も、どちらかの支点を回転の中心としてモーメントのつりあいを考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 物体に働く力を、作用点と向きがわかるようにすべて矢印で書き込みます。重力、加える力、垂直抗力、張力、摩擦力など、考えられる力を見落とさないことが第一歩です。
  2. 未知の力は何かを特定する: 問題を解く上で、どの力が未知数で、どの力が既知数かを整理します。特に、求めたい未知数と、計算の邪魔になる（消去したい）未知数を区別します。
  3. 回転の中心をどこに選ぶか決める: 「計算の邪魔になる未知の力」の作用点を回転の中心に選べないか、まず検討します。それができれば、計算は大幅に楽になります。
  4. 腕の長さを正確に求める: 回転の中心を決めたら、そこから各力の作用線（力の矢印を延長した直線）へ下ろした垂線の長さを慎重に求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 重心を棒の中点だと思い込むミス:
  • 誤解: 「長さ\(1.0\,\text{m}\)の棒」という情報から、反射的に重心を端から\(0.5\,\text{m}\)の位置だと仮定してしまう。
  • 対策: 問題文の「太さが一様でない」という記述を見落とさないこと。この一言があるだけで、重心の位置は未知数として文字（例: \(x\)）で置く必要が生じます。常に「一様かどうか」を確認する癖をつけましょう。
• モーメントの回転方向の判断ミス:
  • 誤解: 支点との位置関係を考慮せず、力の向きだけで回転方向を判断してしまう（例: 上向きは常に反時計回りなど）。
  • 対策: 必ず「支点（回転の中心）」を固定し、「もし、その力だけが働いたら、物体はどっちに回るか？」と頭の中でイメージする癖をつけましょう。支点の右側で下向きの力なら時計回り、支点の左側で下向きの力なら反時計回り、というように、支点との位置関係と力の向きのセットで判断します。
• 垂直抗力の扱い方がわからない:
  • 誤解: 垂直抗力も未知数なので、式が立てられずに手が止まってしまう。
  • 対策: 垂直抗力は「消去すべき未知数」と捉えましょう。そのために、「垂直抗力の作用点を回転の中心に選ぶ」というテクニックを使います。この定石を知っているかどうかで、問題を解くスピードと正確さが大きく変わります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 求めたい物理量（重心の位置、力）が、物体の「回転」に関わる要素だからです。また、問題の状況が「回転し始める直前の静止状態」であり、モーメントがつりあっているからです。
  • 適用根拠: 「少し持ち上げる」という記述は、角加速度がゼロの「つりあい状態」と解釈できます。剛体が静止（回転しない）しているとき、任意の点のまわりで力のモーメントはつりあう、という物理法則を適用できます。この法則が持つ「回転の中心を任意に選べる」という強力な性質を利用することで、未知の垂直抗力を計算から排除し、求めたい量だけを含むシンプルな方程式を導き出すことができます。
• 力のつりあいの選択理由（別解）:
  • 選定理由: 物体が静止している以上、回転運動だけでなく並進運動もしていないため、力のつりあいも同時に成立しているからです。これは剛体のつりあいを考える上でのもう一つの基本法則です。
  • 適用根拠: 棒は上下方向に加速していないので、「上向きの力の和＝下向きの力の和」という関係式が成り立ちます。この式だけでは重心の位置は分かりませんが、力のモーメントのつりあいの式と連立させることで、すべての未知数を決定することができます。主たる解法よりも手順は増えますが、物理法則を一つずつ着実に適用していく、より基本的なアプローチと言えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図に力を正確に書き込む:
  • 問題の図を自分で描き写し、力の作用点と向きを矢印で明確に書き込みましょう。特に、重心の位置を適当に（中点よりB寄りなど）描き、端Aからの距離を\(x\)と書き込むと、腕の長さ \((1.0-x)\) などが視覚的にわかりやすくなり、立式ミスを防げます。
• 回転の中心とモーメントの向きを宣言する:
  • 計算を始める前に、「端Bを回転の中心とする」と一言メモしましょう。そして、各力について「重力：反時計回り」「持ち上げる力：時計回り」のように、回転方向を判断した結果を書き出しておくと、立式の際の符号ミスを大幅に減らすことができます。
• 式を立ててから数値を代入する:
  • 例えば(1)では、まず \(W \times (L-x) = F_A \times L\) のように文字式で立ててから、\(W=50\), \(F_A=20\), \(L=1.0\) を代入する方が、式の物理的な意味が明確になり、検算もしやすくなります。
• 物理的な妥当性を吟味する:
  • (1)で求めた重心の位置 \(x=0.60\,\text{m}\) が、棒の長さ \(1.0\,\text{m}\) の範囲内にあるかを確認します。
  • (2)で求めた力 \(F=30\,\text{N}\) と、(1)の力 \(20\,\text{N}\) を比較します。重心(\(x=0.60\,\text{m}\))から遠い端A(\(x=0\))を持ち上げる方が、近い端B(\(x=1.0\,\text{m}\))を持ち上げるより小さな力で済む、という「てこの原理」の感覚と一致しているかを確認します。このような吟味で、大きな計算ミスに気づくことができます。

138 ばねでつるした棒

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばねでつるされた剛体のつりあい」です。複数のばねによって支えられた棒が静止するための条件を、力のつりあいと力のモーメントのつりあいを用いて解き明かします。棒の重さが与えられていない場合に、それをどう扱うかがポイントとなります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題では、棒の重さが与えられていません。このような場合、重力による力のモーメントを考えなくて済むように、棒の「重心」を回転の中心として選ぶのが定石です。
まず、棒が水平であるという条件から、3つのばねの伸びはすべて等しいことがわかります。これを \(x\) とおくと、フックの法則から各ばねの弾性力（上向きの張力）を \(kx, 5kx, 3kx\) と表すことができます。
次に、一様な棒なので重心は棒の中点にあります。この重心のまわりで、3つの弾性力がつくる力のモーメントがつりあっている、という式を立てます。この式には \(L_1\) と \(L_2\) が含まれるため、比を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 棒が水平なので、ばねA, B, Cの伸びは等しい。
• 弾性力の大きさの比は、ばね定数の比に等しく \(k:5k:3k = 1:5:3\) となる。
• 一様な棒なので、重心は棒の中点（Aから \(\displaystyle\frac{L_1+L_2}{2}\) の位置）にある。
• 未知の重力を消去するため、重心を回転の中心としてモーメントのつりあいを考える。

具体的な解説と立式
棒が水平なので、ばねA, B, Cの伸びは等しく、これを \(x\) とします。
フックの法則 \(F=kx\) より、各ばねの弾性力の大きさは、

• ばねA: \(F_A = kx\)
• ばねB: \(F_B = 5kx\)
• ばねC: \(F_C = 3kx\)

となり、すべて鉛直上向きに働きます。

棒は一様なので、重心Gは棒の中点にあります。棒の左端Aを原点とすると、重心Gの位置は \( \displaystyle\frac{L_1+L_2}{2} \) です。
この重心Gを回転の中心として、力のモーメントのつりあいを考えます。
各力の腕の長さを求めます。

• ばねAの腕の長さ: \(l_A = \displaystyle\frac{L_1+L_2}{2}\)
• ばねBの腕の長さ: \(l_B = \displaystyle\frac{L_1+L_2}{2} – L_1 = \frac{L_2-L_1}{2}\)
• ばねCの腕の長さ: \(l_C = (L_1+L_2) – \displaystyle\frac{L_1+L_2}{2} = \frac{L_1+L_2}{2}\)

モーメントの向きを判断します。

• ばねAの力 \(F_A\): 重心Gの左側で上向きに働くので、時計回り。
• ばねBの力 \(F_B\): 重心Gの左側で上向きに働くので、時計回り。（\(L_1 < \displaystyle\frac{L_1+L_2}{2}\) のため）
• ばねCの力 \(F_C\): 重心Gの右側で上向きに働くので、反時計回り。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$ F_C \times l_C = F_A \times l_A + F_B \times l_B $$
値を代入すると、
$$ 3kx \times \frac{L_1+L_2}{2} = kx \times \frac{L_1+L_2}{2} + 5kx \times \frac{L_2-L_1}{2} $$

上記で立てた式を整理します。両辺に共通する \(kx\) を消去し、両辺を2倍して分母を払います。
$$
\begin{aligned}
3(L_1+L_2) &= (L_1+L_2) + 5(L_2-L_1) \\[2.0ex] 3(L_1+L_2) – (L_1+L_2) &= 5(L_2-L_1) \\[2.0ex] 2(L_1+L_2) &= 5(L_2-L_1) \\[2.0ex] 2L_1 + 2L_2 &= 5L_2 – 5L_1 \\[2.0ex] 2L_1 + 5L_1 &= 5L_2 – 2L_2 \\[2.0ex] 7L_1 &= 3L_2
\end{aligned}
$$
したがって、長さの比は、
$$
\begin{aligned}
\frac{L_1}{L_2} &= \frac{3}{7}
\end{aligned}
$$
よって、\(L_1 : L_2 = 3 : 7\) となります。

3本の強さが違うばね（強さの比 \(1:5:3\)）で、一様な棒を水平に支えています。棒が水平なので、ばねの伸びは3本とも同じです。そのため、各ばねが棒を引っ張る力は、ばねの強さに比例し、力の比は \(1:5:3\) となります。
この棒は一様なので、重さはど真ん中にかかっています。この真ん中の点をシーソーの支点だと考えてみましょう。左側の2本のばね（AとB）が棒を時計回りに回そうとし、右側の1本のばね（C）が反時計回りに回そうとして、ちょうどつりあっています。この「てこの原理」の式を立てることで、距離の比 \(L_1 : L_2\) を求めることができます。

\(L_1 : L_2 = 3 : 7\) と求まりました。これは問題文の条件 \(L_1 < L_2\) を満たしています。
ばねAとCは重心から等距離にありますが、Cの力がAの3倍強いです。そのため、Cが生む反時計回りのモーメントの方が大きくなります。この差を埋めるために、最も強いばねBがAと同じ時計回り側に加勢することでつりあいを保っています。直感的に妥当な結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のモーメントのつりあいと未知数の消去
  • 核心: この問題の根幹は、剛体のつりあい条件、特に「力のモーメントのつりあい」を適用することです。さらに、問題文で与えられていない未知の物理量（この場合は棒の重力）を、計算からうまく消去する戦略的な思考が求められます。
  • 理解のポイント:
    • 棒が水平なことの意味: 3本のばねの「伸び」がすべて等しい、という重要な条件を導き出します。これにより、フックの法則 \(F=kx\) を通じて、3つの弾性力の大きさの比が、ばね定数の比 \(k:5k:3k\) と等しくなることがわかります。
    • 重心の任意性: 力のモーメントのつりあいは、どの点を回転の中心に選んでも成立します。
    • 未知数の消去: この問題では棒の重さ \(W\) が未知数です。この \(W\) が作用する点、すなわち「重心」を回転の中心に選ぶことで、重力のモーメントがゼロ（腕の長さが0）になり、計算式に \(W\) が現れなくなります。これが、この問題を最もエレガントに解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 複数の異なる力で支える物体のつりあい: 例えば、2人がかりで重さの偏った荷物を運ぶとき、それぞれの人がどれくらいの力を負担するかを考える問題。これも、荷物の重心のまわりのモーメントのつりあいを考えます。
  • 蝶番とワイヤーで支えられた看板: 蝶番が及ぼす力は未知ですが、ワイヤーの張力や看板の重さが分かっている場合。蝶番を回転の中心に選ぶことで、未知の力を消去してワイヤーの張力を求めることができます。
  • 密度が変化する棒のつりあい: 棒の密度が場所によって異なり、重心の位置が未知である場合。複数のつりあいの実験（例えば、異なる点で支える）から得られる複数のモーメントの式を連立させることで、重心の位置と全体の重さを決定することができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 棒に働く力（3つの弾性力、重力）を作用点とともに図に書き込みます。一様な棒なので、重力は中点に働くことを明記します。
  2. 未知数は何かを特定する: この問題では、棒の重さ \(W\) と、ばねの伸び \(x\) が未知数です。しかし、求めたいのは長さの比 \(L_1:L_2\) です。
  3. 未知数を消去できる回転中心を探す: 求めたい答えに関係ない未知数（この場合は \(W\)）を消去できないか考えます。\(W\) の作用点である重心を回転の中心に選べば、\(W\) のモーメントがゼロになることに気づくのが最大のポイントです。
  4. 腕の長さを正確に表現する: 回転の中心（重心）から各力の作用点までの距離を、求めたい \(L_1\) と \(L_2\) を使って正しく表現します。ここを間違えると、その後の計算がすべて無駄になってしまいます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ばねの弾性力をすべて同じだと考えてしまう:
  • 誤解: ばねが3本あるので、重さを3等分して支えていると勘違いしてしまう。
  • 対策: ばね定数が異なることを問題文から読み取ります。棒が水平であることから「伸びが等しい」のであり、「力が等しい」わけではありません。フックの法則 \(F=kx\) に従い、弾性力はばね定数に比例することを正しく理解しましょう。
• 腕の長さの計算ミス:
  • 誤解: 重心からばねBまでの腕の長さを、\(L_1\) や \(L_2\) そのものと勘違いしてしまう。
  • 対策: 図を丁寧に描き、各点の位置関係を明確にしましょう。重心Gの位置はAから \(\displaystyle\frac{L_1+L_2}{2}\)、Bの位置はAから \(L_1\) です。したがって、GからBまでの距離は、大きい方から小さい方を引いて \(\displaystyle\frac{L_1+L_2}{2} – L_1 = \frac{L_2-L_1}{2}\) となります。このような座標計算を慎重に行うことが重要です。
• 重心を回転の中心に選ぶという発想に至らない:
  • 誤解: 力のモーメントは、必ず物体の端を回転の中心にしなければならないと思い込んでいる。
  • 対策: 「回転の中心は任意に選べる」というモーメントの法則の最も重要な性質を常に意識しましょう。そして、「未知の力が働く点を中心に選ぶと計算が楽になる」という定石を覚えておきましょう。この問題では、未知の重力が働く重心が最適な選択肢です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 求めたいのが、力の作用点の位置関係（長さの比 \(L_1:L_2\)）であり、問題の状況が回転していない静止状態だからです。力の作用点の位置（腕の長さ）と力の大きさの関係を記述する法則は、力のモーメントのつりあい以外にありません。
  • 適用根拠: 棒は「静止させ」られており、回転していません。したがって、どの点のまわりでも力のモーメントはつりあっているはずです。この物理的な事実から、力のモーメントのつりあいの式を適用できます。特に、未知の重力 \(W\) を含む方程式を立てるのを避けるため、\(W\) の影響がゼロになる重心を回転の中心として選ぶ、という戦略的な理由が加わります。
• フックの法則の選択理由:
  • 選定理由: 棒を支えているのが「ばね」であり、その力を定量的に評価する必要があるからです。ばねの力をその性質（ばね定数と伸び）と結びつけるのがフックの法則です。
  • 適用根拠: 問題文に「ばね定数」が与えられており、棒が「水平」である（＝伸びが等しい）という条件があります。これらの情報から、各ばねの弾性力の大きさを、共通の伸び \(x\) を用いて \(kx, 5kx, 3kx\) と具体的に表現するために、フックの法則を適用します。これにより、力の比が明確になり、モーメントの計算を進めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因子で先に割ってしまう:
  • モーメントの式を立てると、\(3kx \times \displaystyle\frac{L_1+L_2}{2} = kx \times \frac{L_1+L_2}{2} + \dots\) のように、すべての項に共通の因子（この場合は \(kx\)）が含まれることがよくあります。計算を始める前に、まずこの共通因子で両辺を割ってしまうと、式がシンプルになり、計算ミスを大幅に減らすことができます。
• 分数をなくす操作を先に行う:
  • 式に分数（この場合は \(\displaystyle\frac{\dots}{2}\)）が含まれている場合、最初に両辺を整数倍（この場合は2倍）して分母を払ってしまうのが得策です。分数のまま計算を進めると、通分などで計算が複雑になりがちです。
• 文字式の整理は慎重に:
  • \(2(L_1+L_2) = 5(L_2-L_1)\) のような式を展開し、移項する際には、符号のミスに細心の注意を払いましょう。\(2L_1 + 5L_1 = 5L_2 – 2L_2\) のように、同じ文字の項を左右の辺に集める操作を、焦らず一行ずつ丁寧に行うことが重要です。
• 求めた比の妥当性を確認する:
  • 最終的に得られた比 \(L_1:L_2 = 3:7\) が、問題文の条件 \(L_1 < L_2\) を満たしているかを確認します。もし逆の比（\(7:3\)など）になってしまった場合は、モーメントの回転方向の判断や、腕の長さの計算で符号を間違えた可能性が高いと判断できます。

139 棒のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ちょうつがいで支えられた棒のつりあい」です。剛体のつりあいの2つの条件（力のつりあい、力のモーメントのつりあい）を正しく立式し、連立方程式として解く、静定問題の典型例です。特に、向きが未知であるちょうつがいからの力をどう扱うかがポイントになります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒に働く力をすべて見つけ出し、図に書き込みます。力を見つける際のポイントは、「接触している物体から受ける力」と「離れていても受ける力（重力など）」を漏れなくリストアップすることです。

• 重力 \(W\): 一様な棒なので、棒の幾何学的な中心（中点）に、鉛直下向きに働きます。
• 糸の張力 \(T\): 糸が棒を引く力で、糸の方向に沿って働きます。問題文より糸は水平なので、張力も水平（左向き）です。
• ちょうつがいから受ける力: 棒が壁から落ちないように、また壁にめり込まないように支える力です。どの方向を向いているか分からないため、水平成分 \(N\) と鉛直成分 \(F\) に分解して考えます。他の力が左や下を向いているので、つりあいを考えて \(N\) は右向き、\(F\) は上向きと仮定するのが自然です。

この設問における重要なポイント

• 一様な棒の重力は、その中点に作用する。
• 糸の張力は、糸が伸びている方向に沿って働く。
• ちょうつがいのように向きが分からない力は、水平成分と鉛直成分に分解して扱う。

具体的な解説と立式
棒が受ける力は以下の4つです。

1. 重力 \(W\): 棒の中点に、鉛直下向きに作用する。
2. 糸の張力 \(T\): 棒の右端に、水平左向きに作用する。
3. ちょうつがいから受ける力の水平成分 \(N\): ちょうつがいの点に作用する。張力 \(T\) とつりあうため、右向きと仮定する。
4. ちょうつがいから受ける力の鉛直成分 \(F\): ちょうつがいの点に作用する。重力 \(W\) とつりあうため、上向きと仮定する。

これらを図示すると、模範解答の図のようになります。

計算なし

棒が静止しているのは、いくつかの力が絶妙なバランスを保っているからです。まず、どんな力が働いているかをすべて探し出します。地球が棒を引く「重力」、糸が棒を引く「張力」、そして壁がちょうつがいを通して棒を支える「壁からの力」の3種類です。特に「壁からの力」は斜めを向いている可能性があるので、わかりやすくするために横向きの力 \(N\) と縦向きの力 \(F\) に分解して考えます。これらを矢印で図に描くのがこの設問の目的です。

棒に働く力は、重力 \(W\)、張力 \(T\)、ちょうつがいからの力（水平成分 \(N\)、鉛直成分 \(F\)）の3つ（分解すると4つ）であることが確認できました。これらの力の作用点と向きを正しく図示することが、次の設問以降の計算の基礎となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
棒は静止しているので、力のつりあいと力のモーメントのつりあいが成り立ちます。

• 力のつりあい: x軸（水平方向）とy軸（鉛直方向）のそれぞれの方向で、力のベクトル和がゼロになるという式を立てます。
• 力のモーメントのつりあい: 回転の中心をどこに選ぶかが重要です。この問題では、未知の力 \(N\) と \(F\) が集中している「ちょうつがい」を回転の中心に選ぶのが最も賢い選択です。なぜなら、ちょうつがいを回転の中心にすると、\(N\) と \(F\) の腕の長さがゼロになり、これらの力のモーメントが計算から消え、残りの \(T\) と \(W\) だけの関係式が得られるからです。

この設問における重要なポイント

• 水平方向と鉛直方向の力のつりあいを、それぞれ独立に立式する。
• 未知の力が集中している「ちょうつがい」を回転の中心に選び、モーメントの計算を簡略化する。
• 腕の長さ（回転の中心から力の作用線までの垂直距離）を、三角関数を使って正しく求める。

具体的な解説と立式

• 水平方向の力のつりあい
  （右向きの力の和）=（左向きの力の和）より、
  $$
  \begin{aligned}
  N &= T
  \end{aligned}
  $$
• 鉛直方向の力のつりあい
  （上向きの力の和）=（下向きの力の和）より、
  $$
  \begin{aligned}
  F &= W
  \end{aligned}
  $$
• ちょうつがいを回転の中心とした力のモーメントのつりあい
  ちょうつがいの点をOとします。
  • 張力 \(T\) によるモーメント:
    • O点の右側で左向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。
    • 腕の長さは、O点から張力 \(T\) の作用線（水平線）までの垂直距離なので、\(L\sin30^\circ\)。
  • 重力 \(W\) によるモーメント:
    • O点の右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
    • 腕の長さは、O点から重力 \(W\) の作用線（鉛直線）までの水平距離なので、\(\displaystyle\frac{L}{2}\cos30^\circ\)。

  （反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
  $$
  \begin{aligned}
  T \times L\sin30^\circ &= W \times \frac{L}{2}\cos30^\circ
  \end{aligned}
  $$

計算なし（立式のみ）

棒が動かない（静止している）ということは、「上下左右に動かない」し、「回転もしない」ということです。この2つの条件を数式にします。「左右に動かない」ことから横向きの力のバランスの式が、「上下に動かない」ことから縦向きの力のバランスの式が立てられます。さらに、「回転しない」ことから、ちょうつがいを回転の中心とした「てこの原理」のバランスの式を立てます。この3つの式を示すのがこの設問の目的です。

剛体のつりあいの基本である、水平方向の力のつりあい、鉛直方向の力のつりあい、そして力のモーメントのつりあいの3つの式を正しく立てることができました。これらの式が、次の設問で未知数を解くための道具となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で立てた3本の式を解いて、未知数 \(T, N, F\) を求めます。どの式から手をつけるかを見極めるのがポイントです。

1. 鉛直方向の力のつりあいの式 (\(F=W\)) は、未知数が \(F\) だけであり、すぐに解けます。
2. 力のモーメントのつりあいの式は、未知数が \(T\) だけなので、次にこれを解きます。
3. 最後に、水平方向の力のつりあいの式 (\(N=T\)) を使って、求めた \(T\) から \(N\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 3本の連立方程式を、最も簡単な式から順に解いていく。
• \(\sin30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) と \(\cos30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) の値を正確に代入する。

具体的な解説と立式
(2)で立てた3つの式を再掲します。
$$ N = T \quad \cdots ① $$
$$ F = W \quad \cdots ② $$
$$ T \times L\sin30^\circ = W \times \frac{L}{2}\cos30^\circ \quad \cdots ③ $$

• \(F\) の計算
  式②から、直ちに
  $$
  \begin{aligned}
  F &= W
  \end{aligned}
  $$
  と求まります。
• \(T\) の計算
  式③に三角関数の値を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  T \times L \cdot \frac{1}{2} &= W \times \frac{L}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
  \end{aligned}
  $$
  両辺の \(\displaystyle\frac{L}{2}\) を消去すると、
  $$
  \begin{aligned}
  T &= W \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] T &= \frac{\sqrt{3}}{2}W
  \end{aligned}
  $$
  と求まります。
• \(N\) の計算
  求めた \(T\) の値を式①に代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  N &= T \\[2.0ex] N &= \frac{\sqrt{3}}{2}W
  \end{aligned}
  $$
  と求まります。

(2)で立てた3つのバランスの式を解くだけです。まず、上下方向のバランスから、ちょうつがいが支える上向きの力 \(F\) は、棒の重さ \(W\) と同じ大きさだとすぐにわかります。次に、ちょうつがいを中心とした回転のバランス（てこの原理）の式を解くと、糸の張力 \(T\) が \(W\) の何倍かが計算できます。最後に、左右方向のバランスから、ちょうつがいが支える横向きの力 \(N\) は、張力 \(T\) と同じ大きさだとわかります。

\(T = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}W\), \(N = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}W\), \(F = W\) と求まりました。
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) なので、\(T=N \approx 0.866W\) となり、張力や水平力は重さ \(W\) よりも小さいことがわかります。一方、ちょうつがいが支える鉛直方向の力 \(F\) は、重さ \(W\) の全体を支えていることがわかります。これは、鉛直方向の力は重力 \(W\) とちょうつがいの力 \(F\) しかないため、当然の結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件の完全な適用
  • 核心: この問題の根幹は、静止している剛体（形や大きさのある物体）には「力のつりあい」と「力のモーメントのつりあい」という2つの条件が同時に成立していることを理解し、それらを連立方程式として正しく立式・計算できることです。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 物体が上下左右に動き出さないための条件です。すべての力を水平方向と鉛直方向に分解し、「右向きの力の和＝左向きの力の和」と「上向きの力の和＝下向きの力の和」という2本の式を立てます。ちょうつがいのように向きが分からない力は、あらかじめ水平成分と鉛直成分に分けておくと考えやすくなります。
    • 力のモーメントのつりあい: 物体が回転し始めないための条件です。「反時計回りのモーメントの和＝時計回りのモーメントの和」という式を立てます。この法則の最も強力な点は、回転の中心をどこに選んでもよいという「任意性」です。未知の力が集中している点（この問題ではちょうつがい）を回転の中心に選ぶことで、計算を劇的に簡略化できるという戦略が重要になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけたはしごのつりあい: はしごに働く力（重力、壁からの垂直抗力・摩擦力、床からの垂直抗力・摩擦力）を図示し、力のつりあい（水平・鉛直）とモーメントのつりあいを考えます。はしごが滑り始める条件など、より応用的な問題の基礎となります。
  • ドアや看板のつりあい: 蝶番（ちょうつがい）で支えられた物体。蝶番からの力は向きが未知なので、蝶番そのものを回転の中心に選んでモーメントの式を立て、未知の力を計算から消去するのが定石です。
  • クレーンや橋のトラス構造: 複数の部材が組み合わさった構造物。各部材や、部材同士をつなぐ接点に着目し、力のつりあいとモーメントのつりあいを繰り返し適用していくことで、全体の安定性を解析できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 重力、張力、垂直抗力、摩擦力など、接触しているものからも、離れているもの（重力）からも受ける力を、作用点とともにすべて図に描き込みます。特に、ちょうつがいのように向きが未知の力は、水平成分と鉛直成分に分解して描くのが基本です。
  2. 座標軸を設定する: 水平・鉛直方向など、力を分解する基準となる座標軸を明確に意識します。
  3. 回転の中心を戦略的に選ぶ: モーメントの式を立てる前に、「どの点を中心にすれば最も計算が楽になるか？」を考えます。最優先候補は、求めたい未知数”以外”の未知数が集中している点です。この問題では、未知の力 \(N\) と \(F\) が働く「ちょうつがい」がそれに当たります。
  4. 腕の長さを正確に求める: 回転の中心から各力の「作用線」へ下ろした垂線の長さを、図形と三角関数を使って慎重に計算します。
  5. 必要なだけ式を立てる: 未知数の数と式の数が合うように、力のつりあい（水平・鉛直）とモーメントのつりあいの式を立てます。2次元の静止問題では、通常この3本の式で解くことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ちょうつがいから受ける力の向きを誤解する:
  • 誤解: ちょうつがいからの力は、棒に沿った方向や、棒に垂直な方向など、特定の向きだと勘違いしてしまう。
  • 対策: ちょうつがいが及ぼす力は、原則として「向きが未知」であると認識しましょう。そのため、最初から水平成分 \(N\) と鉛直成分 \(F\) に分解して扱うのが最も安全で確実な方法です。これらの成分の向きは、他の力の向きから推測して仮定し、もし計算結果が負になれば逆向きだったと判断すればよいだけです。
• 腕の長さの計算ミス:
  • 誤解: 回転の中心から力の「作用点」までの棒に沿った距離を、腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 腕の長さは、回転の中心から力の「作用線（力を延長した直線）」への”垂線の長さ”である、という定義を徹底しましょう。図に垂線を描き込み、直角三角形を見つけて三角比で計算する練習を繰り返すことが重要です。
• モーメントの計算方法の混同:
  • 誤解: 「腕の長さ × 力」と「距離 × 力の垂直成分」の2つの計算方法を混同し、例えば「距離 × 力」や「腕の長さ × 力の垂直成分」のような誤った計算をしてしまう。
  • 対策: モーメントの計算方法は2種類あることを明確に区別しましょう。1. 力をそのままに、力の作用線への垂線の長さ（腕の長さ）を掛ける。2. 距離をそのままに、距離の方向に垂直な力の成分を掛ける。どちらか一方に決めて計算する癖をつけるとミスが減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい（水平・鉛直）の選択理由:
  • 選定理由: 物体が静止している、つまり「並進運動していない（加速していない）」という物理的な事実を数式化するためです。これはニュートンの運動法則の基本中の基本です。
  • 適用根拠: 問題文に「静止させた」とあるため、棒の加速度はゼロです。したがって、棒に働く力のベクトル和はゼロでなければなりません。計算を容易にするため、ベクトルを水平成分と鉛直成分に分解し、それぞれの方向で力の和がゼロになるという式を立てます。
• 力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 物体が静止している、つまり「回転運動していない（角加速していない）」というもう一つの物理的な事実を数式化するためです。力のつりあいだけでは、物体の回転については何も言えません。
  • 適用根拠: 棒は回転せずに静止しているので、どの点のまわりでも力のモーメントはつりあっています。この法則を用いることで、力の作用点の位置に関する情報を含んだ方程式を立てることができます。特に、未知の力が複数ある場合、力のつりあいの式だけでは解けないため、モーメントのつりあいの式が不可欠となります。
• ちょうつがいを回転の中心に選ぶ理由:
  • 選定理由: これは物理法則ではなく、計算を簡略化するための「戦略」です。
  • 適用根拠: 力のモーメントのつりあいは「任意の点」で成立します。ちょうつがいには未知の力 \(N\) と \(F\) が働いていますが、ちょうつがい自身を回転の中心に選ぶと、これらの力の腕の長さがゼロになります。モーメントは「腕の長さ × 力」なので、\(N\) と \(F\) のモーメントはゼロになり、式に現れなくなります。これにより、未知数が \(T\) だけのシンプルな方程式が得られ、簡単に解くことができるのです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 力の成分分解と腕の長さを図に明記する:
  • 自分で描いた図に、力の成分や、計算に使う腕の長さを具体的に書き込みましょう。例えば、重力の作用点からちょうつがいまでの水平距離に「\(\displaystyle\frac{L}{2}\cos30^\circ\)」と書き込むことで、立式時のミスを防げます。
• 三角関数の値を間違えない:
  • \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) の三角関数の値は瞬時に出てくるように習熟しておきましょう。特に、\(\sin\) と \(\cos\) を取り違えるミスが多いので注意が必要です。図を描いて「斜辺分の対辺が\(\sin\)…」と確認する癖をつけると安全です。
• 連立方程式は簡単なものから解く:
  • (2)で立てた3本の式を見て、どの式が最も単純かを見極めましょう。この問題では、\(F=W\) が最も簡単です。次に未知数が一つしか含まれていないモーメントの式を解き、最後に残った式を解く、というように、解く順番を考えることで計算がスムーズになります。
• 文字式で解いてから数値を代入する:
  • モーメントの式 \(T \times L\sin30^\circ = W \times \displaystyle\frac{L}{2}\cos30^\circ\) を解く際、すぐに \(\sin30^\circ = 1/2\) などを代入するのではなく、まず両辺の \(L\) を消去するなど、文字式のまま整理できるところは整理しましょう。これにより、式が簡潔になり、計算ミスが減ります。
• 極端な場合を考えて検算する:
  • もし角度が \(90^\circ\)（棒が垂直）だったらどうなるか？この場合、重力はちょうつがいの真下に働き、モーメントはゼロになります。つりあうためには張力 \(T\) もゼロになるはずです。立てたモーメントの式で \(\theta=90^\circ\) とすると、\(T \times L\sin90^\circ = W \times \displaystyle\frac{L}{2}\cos90^\circ \rightarrow T \times L = 0 \rightarrow T=0\) となり、式が正しいことが確認できます。

140 水平台にのせた棒のつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回転し始める瞬間のつりあい条件」です。棒が台の上で傾き始める二つの異なる状況を分析し、力のモーメントのつりあいを用いて、未知の物理量（棒の重さと重心の位置）を特定する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題文に「張力が \(15\,\text{N}\) よりも大きくなると、棒は点Aを回転軸として反時計まわりに回転し始めた」とあります。これは、張力がちょうど \(15\,\text{N}\) のときが、棒がA点を支点として浮き上がり始める直前の「つりあいの限界」状態であることを意味します。この瞬間、棒と台の接点はA点のみになり、台から受ける垂直抗力はA点に集中します。
この状況で、未知の力である垂直抗力を計算せずに済ませるため、その作用点であるA点を回転の中心として力のモーメントのつりあいを考えるのが最も賢明なアプローチです。
この設問における重要なポイント

• 回転し始める直前は、つりあいの状態とみなせる。
• 垂直抗力の作用点は、回転軸であるA点に集中している。
• A点を回転の中心に選ぶことで、垂直抗力のモーメントを計算から除外できる。

具体的な解説と立式
張力が \(15\,\text{N}\) のとき、棒に働く力は以下の通りです。

• 力の図示:
  • 糸の張力: \(15\,\text{N}\)（棒の右端、鉛直上向き）
  • 棒の重さ: \(W\)（点Aから右に \(x\) の位置、鉛直下向き）
  • 台からの垂直抗力: \(N_A\)（点A、鉛直上向き）

点Aのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• 張力（\(15\,\text{N}\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Aの右側で上向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは、Aから棒の右端までの距離なので \(1.50\,\text{m}\)。
• 重力（\(W\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Aの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは、Aから重心までの距離なので \(x\)。
• 垂直抗力（\(N_A\)）によるモーメント:
  • 作用点が回転の中心なので、腕の長さが \(0\)。モーメントは \(0\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$
\begin{aligned}
15 \times 1.50 &= W \times x
\end{aligned}
$$

棒の左端Aをシーソーの支点だと考えてみましょう。この支点を中心に、棒の右端を \(15\,\text{N}\) の力で持ち上げようとする「反時計回り」の回転力と、棒自身の重さ \(W\) が重心の位置（Aから \(x\) の距離）で棒を下に押さえつけようとする「時計回り」の回転力が、ちょうどつりあっている状態です。この「てこの原理」を式にしたものが答えとなります。

力の図示と、力のモーメントのつりあいの式を立てることができました。この式には未知数が \(W\) と \(x\) の2つ含まれているため、この式だけでは解けません。次の設問で、もう一つの条件から別の式を立てる必要があります。

問(2)

思考の道筋とポイント
「張力が \(10\,\text{N}\) よりも小さくなると、棒は点Bを回転軸として時計まわりに回転し始めた」とあります。これは、張力がちょうど \(10\,\text{N}\) のときが、棒がB点を支点として右端が沈み始める直前の「つりあいの限界」状態であることを意味します。この瞬間、台から受ける垂直抗力はB点に集中します。
(1)と同様に、未知の垂直抗力が作用するB点を回転の中心として力のモーメントのつりあいを考えます。
この設問における重要なポイント

• 垂直抗力の作用点は、回転軸であるB点に集中している。
• B点を回転の中心に選ぶ。
• 各力の腕の長さを、回転の中心であるB点から正しく測る。

具体的な解説と立式
張力が \(10\,\text{N}\) のとき、棒に働く力は以下の通りです。

• 力の図示:
  • 糸の張力: \(10\,\text{N}\)（棒の右端、鉛直上向き）
  • 棒の重さ: \(W\)（点Aから右に \(x\) の位置、鉛直下向き）
  • 台からの垂直抗力: \(N_B\)（点B、鉛直上向き）

点Bのまわりの力のモーメントのつりあいを考えます。

• 張力（\(10\,\text{N}\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Bの右側で上向きに働くので、反時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは、Bから棒の右端までの距離なので \(1.50 – 0.50 = 1.00\,\text{m}\)。
• 重力（\(W\)）によるモーメント:
  • 回転の中心Bの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは、Bから重心までの距離なので \(x – 0.50\,\text{m}\)。
• 垂直抗力（\(N_B\)）によるモーメント:
  • 作用点が回転の中心なので、モーメントは \(0\)。

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$
\begin{aligned}
10 \times 1.00 &= W \times (x – 0.50)
\end{aligned}
$$

今度は、台の右端Bをシーソーの支点だと考えてみましょう。この支点を中心に、棒の右端を \(10\,\text{N}\) の力で持ち上げようとする「反時計回り」の回転力と、棒自身の重さ \(W\) が重心の位置で棒を下に押さえつけようとする「時計回り」の回転力が、ちょうどつりあっている状態です。この「てこの原理」を式にしたものが答えとなります。

力の図示と、力のモーメントのつりあいの式を立てることができました。これで未知数 \(W\) と \(x\) を含む2本目の式が得られました。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)と(2)で立てた2本の式は、未知数が \(W\) と \(x\) の2つなので、連立方程式として解くことができます。式を展開して \(Wx\) という項が現れることに注目すると、代入法によってスムーズに解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 2本の式を連立方程式として解く。
• 式を展開し、\(Wx\) の項をうまく利用して代入法を用いる。

具体的な解説と立式
(1), (2)で立てた式を整理します。
(1)の式より、
$$
\begin{aligned}
15 \times 1.50 &= Wx \\[2.0ex] 22.5 &= Wx \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
(2)の式より、
$$
\begin{aligned}
10 \times 1.00 &= W(x – 0.50) \\[2.0ex] 10 &= Wx – 0.50W \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①を式②に代入して \(Wx\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
10 &= 22.5 – 0.50W
\end{aligned}
$$
この式を \(W\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0.50W &= 22.5 – 10 \\[2.0ex] 0.50W &= 12.5 \\[2.0ex] W &= \frac{12.5}{0.50} \\[2.0ex] W &= 25\,\text{N}
\end{aligned}
$$
次に、求めた \(W=25\,\text{N}\) を式①に代入して \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
22.5 &= 25 \times x \\[2.0ex] x &= \frac{22.5}{25} \\[2.0ex] x &= \frac{225}{250} \\[2.0ex] x &= \frac{9}{10} \\[2.0ex] x &= 0.90\,\text{m}
\end{aligned}
$$

(1)と(2)で立てた2つの「てこの原理」の式を、数学の連立方程式として解きます。すると、知りたかった棒の重さ \(W\) と、重心の位置 \(x\) が両方とも明らかになります。

棒の重さは \(W=25\,\text{N}\)、重心の位置は点Aから \(x=0.90\,\text{m}\) のところにあると求まりました。
重心の位置 \(x=0.90\,\text{m}\) は、台にのっている部分（\(0 \le x \le 0.50\)）ではなく、台から右側にはみ出た部分にあります。これは、張力がかかっていない状態では、棒は点Bを支点として時計回りに回転してしまう（右側が重い）ことを意味しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回転し始める瞬間のつりあい条件
  • 核心: この問題の根幹は、物体が特定の点を軸として回転し始める「直前」の状態を、「つりあいの限界状態」としてモデル化し、力のモーメントのつりあいの式を適用することです。特に、状況に応じて垂直抗力の作用点が移動し、最終的に回転軸となる一点に集中するという物理現象を正しく理解することが鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 垂直抗力の移動: 棒にかかる力のバランスが変わると、台から受ける垂直抗力の作用点も移動します。普段は面全体で支えていますが、傾き始める直前には、その回転軸となる一点だけで支えている状態になります。
    • 2つの限界状態: 「Aを軸に回転し始める（浮き上がる）限界」と「Bを軸に回転し始める（沈み込む）限界」という2つの異なるつりあい状態を考えることで、未知数が2つ（\(W, x\)）あっても解けるように、独立した2本の方程式を立てることができます。
    • 最適な回転中心の選択: 各限界状態において、未知の垂直抗力が作用している点（AまたはB）を回転の中心に選ぶことで、垂直抗力を計算から排除し、式を簡潔にするという戦略が極めて重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 荷物をのせた台車が転倒する条件: 台車の車輪が地面から浮き始める瞬間を考えます。このとき、地面についている方の車輪が回転軸となり、垂直抗力がそこに集中すると考えてモーメントのつりあいを立てます。
  • 本棚やタンスが地震で転倒する条件: 地震による水平方向の慣性力を考慮します。本棚が足元の角を軸として回転し始める瞬間を考え、その角を回転の中心としてモーセントのつりあいを立てることで、転倒しないための条件（底辺の広さや高さなど）を求めることができます。
  • 自動車がカーブで横転する条件: カーブを曲がる際の遠心力（慣性力）により、外側のタイヤに荷重が集中します。横転し始める瞬間は、外側のタイヤを回転軸として、車体の重心に働く重力と遠心力のモーメントがつりあう限界状態と考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「回転し始める」「浮き上がる」「倒れる」などのキーワードに注目する: これらの言葉は、つりあいが破れる限界状態を示唆しています。この直前の状態は「力のモーメントがつりあっている」と解釈できます。
  2. 回転軸はどこかを見極める: 物体がどの点を中心に回転し始めるのかを問題文から正確に読み取ります。その点が、その限界状態における唯一の支点（垂直抗力の作用点）となります。
  3. 未知数は何か、式は何本必要かを確認する: この問題では未知数が \(W\) と \(x\) の2つなので、2つの異なる状況（A軸回転とB軸回転）から式を2本立てる必要がある、と最初に方針を立てます。
  4. 各状況で最適な回転中心を選ぶ: それぞれの限界状態について、そのときの回転軸（垂直抗力の作用点）を回転の中心としてモーメントの式を立てる、という定石を適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 垂直抗力の作用点を固定してしまうミス:
  • 誤解: 垂直抗力は常に台の中央や、棒の重心の真下など、決まった点に働くと考えてしまう。
  • 対策: 垂直抗力は、物体を支えるために必要な力がかかる場所に自動的に作用する「受動的な力」であると理解しましょう。棒が傾こうとすれば、それを防ぐように作用点が移動します。特に「回転し始める」という状況では、回転軸となる端点に作用点が移動すると考えるのが鉄則です。
• 腕の長さの計算ミス:
  • 誤解: (2)の状況で、B点を回転の中心としたときの重心までの腕の長さを、A点からの距離である \(x\) のまま使ってしまう。
  • 対策: 腕の長さは、必ず「回転の中心から」力の作用点までの距離で測ることを徹底しましょう。図を描き、回転の中心（B点）、重心の位置（Aから\(x\)）、A点の位置関係を明確にし、B点から重心までの距離が \(x – 0.50\) となることを導き出します。
• 2つの状況で同じ力を図示してしまう:
  • 誤解: (1)の状況（A軸回転）と(2)の状況（B軸回転）で、垂直抗力の作用点が異なることを認識せず、混乱してしまう。
  • 対策: 設問ごとに、状況を正しく反映した力の図を別々に描くことが重要です。(1)では垂直抗力はA点に、(2)ではB点に作用することを明確に区別して図示しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: この問題は、棒が「回転し始める」という、まさに回転に関する現象を扱っているからです。また、未知数の一つが重心の「位置」\(x\) であり、力の作用点の位置情報を含むモーメントの式が不可欠だからです。
  • 適用根拠: 「回転し始める直前」は、まだ角加速度がゼロの「静止状態（つりあい状態）」とみなせます。したがって、剛体のつりあい条件である「力のモーメントのつりあい」を適用することができます。この法則が持つ「回転の中心を任意に選べる」という性質を利用し、各状況で最も計算が楽になる点（垂直抗力の作用点）を選ぶことで、問題を効率的に解くことができます。
• 連立方程式を立てる理由:
  • 選定理由: 未知数が \(W\) と \(x\) の2つあるため、これらを特定するには、独立した方程式が2本必要になるからです。これは物理学というよりは数学の要請です。
  • 適用根拠: 問題文には「張力が\(15\,\text{N}\)のときの限界状態」と「張力が\(10\,\text{N}\)のときの限界状態」という、物理的に異なる2つの状況が与えられています。それぞれの状況に対して力のモーメントのつりあいの式を立てることで、未知数 \(W, x\) を含む独立した2本の方程式が得られ、連立方程式として解くことが可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報を整理してから計算する:
  • (1)の状況: 回転軸はA点。張力\(15\,\text{N}\)（腕\(1.50\,\text{m}\)）、重力\(W\)（腕\(x\)）。
  • (2)の状況: 回転軸はB点。張力\(10\,\text{N}\)（腕\(1.00\,\text{m}\)）、重力\(W\)（腕\(x-0.50\,\text{m}\)）。
  • このように、各状況について「回転軸」「力」「腕の長さ」を箇条書きで整理してから立式すると、ミスが減ります。
• 連立方程式の解法を工夫する:
  • (1)の式が \(22.5 = Wx\)、(2)の式が \(10 = Wx – 0.50W\) となります。ここで、やみくもに \(x = 22.5/W\) として代入するよりも、\(Wx\) という「塊」をそのまま(2)の式に代入する方が、分数の計算を避けられ、計算が楽になります。式の形を見て、最も効率的な解法を選択する癖をつけましょう。
• 単位を確認する:
  • モーメントの単位は \([\text{N}\cdot\text{m}]\) です。式の各項がこの単位になっているかを確認しましょう。例えば、\(15 \times 1.50\) も \(Wx\) も、単位は \([\text{N}\cdot\text{m}]\) となっており、式の両辺で単位が一致しています。
• 結果を吟味する:
  • 求まった重心の位置 \(x=0.90\,\text{m}\) は、棒の全長 \(1.50\,\text{m}\) の範囲内にあり、物理的に妥当です。
  • この結果を使って、(1)のときの垂直抗力 \(N_A\) と(2)のときの垂直抗力 \(N_B\) を計算してみましょう。
    • (1) 力のつりあいより \(N_A + 15 = W = 25 \rightarrow N_A = 10\,\text{N}\)。
    • (2) 力のつりあいより \(N_B + 10 = W = 25 \rightarrow N_B = 15\,\text{N}\)。
  • どちらも正の値となり、棒が確かに台から上向きの力を受けていることが確認でき、矛盾はありません。

141 棒とおもりのつりあい

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「傾いた棒のつりあいと力のモーメント」です。床に一端を接した棒が、糸とおもりによって斜めに支えられて静止する状況を扱います。剛体のつりあいの条件、特に力のモーメントのつりあいを正しく立式できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒が静止しているため、任意の点のまわりで力のモーメントがつりあっています。この問題では、床との接点Aにおいて、未知の大きさである垂直抗力と摩擦力が働いています。これらの未知数を計算式に含めないために、点A自身を回転の中心として選ぶのが最も賢明な戦略です。
点Aを回転の中心とすると、棒を回転させようとする力は「重力 \(Mg\)」と「糸の張力 \(T\)」の2つだけになります。おもりのつりあいから張力 \(T\) は \(mg\) とわかるので、これら2つの力のモーメントのつりあいを考えます。モーメントの計算は「力の大きさ × 腕の長さ」で行います。
この設問における重要なポイント

• 棒に働く力は、重力、張力、床からの垂直抗力、床からの摩擦力の4つ。
• おもりのつりあいから、糸の張力 \(T\) の大きさは \(mg\) に等しい。
• 未知の力が集中する点Aを回転の中心に選ぶ。
• 点Aから重力と張力の作用線に下ろした垂線の長さ（腕の長さ）を、三角関数を用いて正確に求める。

具体的な解説と立式
棒に働く力は、重力 \(Mg\)、糸の張力 \(T\)、床からの垂直抗力、摩擦力です。
おもりは静止しているので、力のつりあいから糸の張力 \(T\) はおもりの重さ \(mg\) に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
T &= mg
\end{aligned}
$$
点Aを回転の中心として、力のモーメントのつりあいを考えます。

• 重力 \(Mg\) によるモーメント:
  • 回転の中心Aの右側で下向きに働くので、時計回りのモーメントを生む。
  • 腕の長さは、点Aから重力の作用線（棒の中点を通る鉛直線）に下ろした垂線の長さです。これは、棒の中点までの水平距離に等しく、\(\displaystyle\frac{L}{2}\cos\theta\) となります。
  • モーメントの大きさ: \(M_W = Mg \times \displaystyle\frac{L}{2}\cos\theta\)
• 張力 \(T=mg\) によるモーメント:
  • 回転の中心Aの右側で、棒を反時計回りに回転させる向きに働く。
  • 腕の長さは、点Aから張力の作用線に下ろした垂線の長さです。図形的考察より、この長さは \(L\cos2\theta\) となります。（模範解答の図2参照）
  • モーメントの大きさ: \(M_T = mg \times L\cos2\theta\)

（反時計回りのモーメントの和）=（時計回りのモーメントの和）より、
$$
\begin{aligned}
mg \times L\cos2\theta &= Mg \times \frac{L}{2}\cos\theta
\end{aligned}
$$

棒が斜めのまま静止しているのは、ちょうど「てこ」が釣り合っているからです。このてこの支点は、床と接しているA点です。棒自身の重さ \(Mg\) は、棒を時計回りに倒そうとします。一方、糸が引く力 \(mg\) は、棒を反時計回りに引き起こそうとします。この2つの回転させる力がちょうど等しくなっている、というバランスの式を立てるのがこの設問の目的です。

点Aを回転の中心として、力のモーメントのつりあいの式を立てることができました。この式には、求めたい \(m\) と与えられた \(M, \theta\) が含まれており、次の設問でこの式を解くことになります。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で導出した力のモーメントのつりあいの式を、求めたいおもりの質量 \(m\) について解きます。
この設問における重要なポイント

• (1)で立てた式を、\(m\) について整理する。
• 両辺に共通して含まれる物理量（\(g, L\)）を消去する。

具体的な解説と立式
(1)で立てた力のモーメントのつりあいの式を再掲します。
$$
\begin{aligned}
mgL\cos2\theta &= Mg\frac{L}{2}\cos\theta
\end{aligned}
$$

この式を \(m\) について解きます。
まず、両辺に共通して含まれる \(g\) と \(L\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
m \cos2\theta &= M \frac{\cos\theta}{2}
\end{aligned}
$$
次に、両辺を \(\cos2\theta\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{M\cos\theta}{2\cos2\theta}
\end{aligned}
$$

(1)で作った「てこの原理」のバランスの式を、数学の計算を使って「\(m = \dots\)」の形に変形するだけです。

おもりの質量 \(m\) を、\(M\) と \(\theta\) を用いて表すことができました。
例えば、棒が水平に近づく極限 (\(\theta \to 0\)) を考えると、\(\cos\theta \to 1\), \(\cos2\theta \to 1\) となるので、\(m \to \displaystyle\frac{M}{2}\) となります。これは、水平な棒の端を支えるには、重心にかかる重さの半分の力が必要であるという直感に一致し、妥当な結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 傾いた剛体に対する力のモーメントのつりあい
  • 核心: この問題の根幹は、斜めに置かれた剛体（棒）が静止している状態を、力のモーメントのつりあいを用いて数式化できることです。特に、モーメントの計算には「腕の長さを求める方法」と「力を分解する方法」の2種類があり、どちらも使いこなせることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 未知の力の消去: 床との接点Aには、大きさも向きも未知である垂直抗力と摩擦力が働いています。これらの複雑な力を計算から排除するために、点A自身を回転の中心として選ぶ、という戦略的な判断が最も重要です。
    • 幾何学的な考察: モーメントを計算するためには、腕の長さや力の成分を、角度 \(\theta\) を用いて三角関数で表現する必要があります。図形の中から直角三角形を見つけ出し、辺の長さや角度の関係を正確に把握する幾何学的な能力が問われます。
    • 2つの計算アプローチ:
      1. 腕の長さを求める方法: 回転の中心から、力の作用線（力を延長した直線）へ垂線を下ろし、その長さを腕の長さとして計算します。図形が複雑な場合に腕の長さを求めるのが難しいことがあります。
      2. 力を分解する方法: 力を、棒に平行な成分と垂直な成分に分解します。回転に寄与するのは垂直な成分だけなので、「作用点までの距離 × 力の垂直成分」でモーメントを計算します。角度の取り方を間違えやすいですが、腕の長さを求めるより簡単な場合もあります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけたはしごのつりあい: はしごに働く力を図示し、はしごの下端（床との接点）を回転の中心としてモーメントのつりあいを考えるのが定石です。壁からの垂直抗力や摩擦力、はしごの重力などが、はしごを回転させようとする力となります。
  • ロープで引かれる看板のつりあい: 壁に蝶番で取り付けられた看板を、斜め上のロープで支える問題。蝶番を回転の中心に選び、看板の重力とロープの張力のモーメントのつりあいを考えます。
  • 斜張橋のケーブルの張力計算: 橋げた（棒）が、主塔から斜めに張られた複数のケーブル（糸）で支えられている構造。橋げたの重さや、その上を通る車の重さによるモーメントと、各ケーブルの張力によるモーメントがつりあっていると考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示する: 棒に働く力（重力、張力、垂直抗力、摩擦力）を作用点とともにすべて描き込みます。
  2. 未知の力を特定し、消去戦略を立てる: 求めたい未知数（この場合は \(m\)）と、計算の邪魔になる未知数（垂直抗力、摩擦力）を区別します。邪魔な未知数が集中している点（点A）を回転の中心に選ぶ、という方針を立てます。
  3. モーメントの計算方法を選択する: 図を見て、「腕の長さを求める」のと「力を分解する」のと、どちらが簡単かを見極めます。両方試してみて、検算するのも有効です。
  4. 角度の関係を慎重に調べる: 錯角、同位角、直角三角形の性質などを駆使して、モーメントの計算に必要な角度をすべて \(\theta\) を用いて表現します。特に、糸と棒がなす角、重力と棒がなす角などを正確に求めることが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腕の長さを棒に沿った距離と勘違いする:
  • 誤解: 重力のモーメントを計算する際に、腕の長さを棒の中点までの距離 \(\displaystyle\frac{L}{2}\) としてしまう。
  • 対策: 腕の長さは、回転の中心から力の「作用線」への「垂線の長さ」であるという定義を徹底しましょう。必ず図に垂線を描き、直角三角形を作ってから長さを計算する癖をつけます。
• 力を分解する際の角度の取り違え:
  • 誤解: 重力 \(Mg\) を棒に垂直な成分に分解する際に、\(Mg\sin\theta\) としてしまう。
  • 対策: 力を分解するときは、必ず分解したいベクトルを対角線とする長方形を描き、その辺の長さを求めるイメージを持ちましょう。図を丁寧に描けば、棒と鉛直線のなす角が \(90^\circ-\theta\) ではなく \(\theta\) であることがわかり、垂直成分が \(Mg\cos\theta\) となることが導けます。
• 張力と棒のなす角の誤認:
  • 誤解: 糸と鉛直線のなす角が \(\theta\) なので、糸と棒のなす角も \(\theta\) だと早合点してしまう。
  • 対策: 図形を注意深く観察し、幾何学的な関係を正確に把握します。この問題では、糸の方向と棒の方向がなす角は、錯角などを利用して \(2\theta\) となることを見抜く必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のモーメントのつりあいの選択理由:
  • 選定理由: この問題は、棒が回転せずに「静止」している状態を扱っており、力の作用点の「位置」が重要な要素となっているからです。力のつりあいだけでは、力の作用点の位置に関する情報が得られないため、モーメントのつりあいを考える必要があります。
  • 適用根拠: 棒は静止しており、角加速度はゼロです。したがって、剛体のつりあいの条件である「力のモーメントのつりあい」を適用できます。特に、床からの垂直抗力と摩擦力という2つの未知の力が点Aに集中しているため、点Aを回転の中心に選ぶことで、これらの未知数を計算から排除し、求めたい \(m\) と既知の \(M, \theta\) だけの関係式を導くことができる、という戦略的な理由が大きいです。
• おもりの力のつりあいの選択理由:
  • 選定理由: 棒を引く糸の張力 \(T\) の大きさを決定するためです。
  • 適用根拠: 糸につながれたおもりも静止しており、加速度はゼロです。おもりに働く力は重力 \(mg\) と張力 \(T\) のみなので、力のつりあいの式 \(T=mg\) が成り立ちます。これにより、棒に働く張力の大きさを、求めたい未知数 \(m\) を使って表現することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 複雑な角度は図に書き込んで確認する:
  • 糸と棒のなす角が \(2\theta\) になる、といった少し複雑な角度の関係は、頭の中だけで考えずに、図に補助線を引いたり、角度を書き込んだりして視覚的に確認しましょう。例えば、棒を延長した線と鉛直線のなす角が \(\theta\)（同位角）であることなどを使えば、間違いなく導けます。
• 文字式のまま計算を進める:
  • モーメントの式を立てた後、すぐに三角関数の値を代入するのではなく、まずは両辺に共通する文字（\(g, L\)）を消去しましょう。式がシンプルになり、見通しが良くなります。
• 倍角の公式などを覚えておく:
  • この問題では使いませんが、\(\cos2\theta = 2\cos^2\theta – 1\) などの倍角の公式を知っていると、検算や、問題によっては式の変形に役立つことがあります。
• 極端な場合を考えて検算する:
  • (2)で求めた \(m = \displaystyle\frac{M\cos\theta}{2\cos2\theta}\) という結果を吟味してみましょう。
    • もし \(\theta=0\) なら、\(m = \displaystyle\frac{M\cos0}{2\cos0} = \frac{M}{2}\)。これは、水平な棒の中点にかかる重力 \(Mg\) を、端で支えるには半分の力 \(Mg/2\) が必要だという状況に対応し、妥当です。
    • もし \(\theta=45^\circ\) なら、\(\cos2\theta = \cos90^\circ = 0\) となり、分母がゼロになって \(m\) が発散します。これは、\(\theta=45^\circ\) のとき、張力が棒に平行になってしまい、棒を回転させる（引き起こす）力がゼロになるため、重力による回転モーメントにつりあうことができなくなる、という物理的な状況を正しく反映しています。

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共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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