「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅶ 章 25】基本例題～基本問題599

基本例題

基本例題85 原子核の放射性崩壊

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「原子核の放射性崩壊と保存則」です。不安定な原子核が放射線を出して別の原子核に変わる現象を、数合わせのパズルのように解いていく問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ウラン \({}_{92}^{238}\text{U}\) が \(\alpha\)崩壊を起こすと、\(\alpha\)粒子（ヘリウム原子核 \({}_{2}^{4}\text{He}\)）が飛び出します。
反応前後の「質量数の総和」と「原子番号の総和」が等しくなることを利用して、生成されるトリウム \(\text{Th}\) の質量数と原子番号を求めます。

この設問における重要なポイント

• \(\alpha\)粒子は \({}_{2}^{4}\text{He}\) であること。
• 反応式の矢印 \(\rightarrow\) の左側（反応前）と右側（反応後）で、左上の数字の和と左下の数字の和がそれぞれ一致すること。

具体的な解説と立式
求めるトリウム \(\text{Th}\) の質量数を \(A\)、原子番号を \(Z\) とします。
\(\alpha\)崩壊の反応式は以下のように表せます。
$$ {}_{92}^{238}\text{U} \rightarrow {}_{Z}^{A}\text{Th} + {}_{2}^{4}\text{He} $$

ここで、保存則に基づき等式を立てます。
質量数の保存（左上の数字）:
$$ 238 = A + 4 $$
原子番号の保存（左下の数字）:
$$ 92 = Z + 2 $$

それぞれの式を計算します。

質量数 \(A\) について:
$$
\begin{aligned}
A &= 238 – 4 \\[2.0ex] &= 234
\end{aligned}
$$

原子番号 \(Z\) について:
$$
\begin{aligned}
Z &= 92 – 2 \\[2.0ex] &= 90
\end{aligned}
$$

「\(\alpha\)崩壊」というのは、原子核から「陽子2個と中性子2個の塊（ヘリウム原子核）」がごっそり抜け落ちる現象です。元のウランは、陽子と中性子を合わせて238個持っていましたが、4個の塊（\(\alpha\)粒子）を外に出したので、残りは234個になります。また、陽子（原子番号）は92個持っていましたが、2個外に出したので、残りは90個になります。これが新しい原子核（トリウム）の正体です。

原子番号は \(90\)、質量数は \(234\) です。
\(\alpha\)崩壊によって原子番号が2減り、質量数が4減るという定性的な性質とも一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
ビスマス \({}_{83}^{210}\text{Bi}\) が \(\beta\)崩壊を起こすと、\(\beta\)粒子（電子 \({}_{-1}^{0}\text{e}\)）が飛び出します。
(1)と同様に、反応前後の保存則を利用して、生成されるポロニウム \(\text{Po}\) の数値を求めます。

この設問における重要なポイント

• \(\beta\)粒子は電子 \({}_{-1}^{0}\text{e}\) であること。
• 電子の質量数は \(0\)、電荷数は \(-1\) として扱うこと。
• 原子核の中で「中性子が陽子に変身して電子を出す」現象であるため、原子番号が1つ増えることに注意。

具体的な解説と立式
求めるポロニウム \(\text{Po}\) の質量数を \(A\)、原子番号を \(Z\) とします。
\(\beta\)崩壊の反応式は以下のように表せます。
$$ {}_{83}^{210}\text{Bi} \rightarrow {}_{Z}^{A}\text{Po} + {}_{-1}^{0}\text{e} $$

保存則に基づき等式を立てます。
質量数の保存（左上の数字）:
$$ 210 = A + 0 $$
原子番号の保存（左下の数字）:
$$ 83 = Z + (-1) $$

それぞれの式を計算します。

質量数 \(A\) について:
$$
\begin{aligned}
A &= 210 – 0 \\[2.0ex] &= 210
\end{aligned}
$$

原子番号 \(Z\) について:
$$
\begin{aligned}
Z &= 83 – (-1) \\[2.0ex] &= 83 + 1 \\[2.0ex] &= 84
\end{aligned}
$$

「\(\beta\)崩壊」は、原子核の中にある「中性子」という粒が、突然「陽子」に変身し、その余波で「電子」を外に吐き出す現象です。中性子が陽子に変わっても、粒の合計数（質量数）は変わりません。だから質量数は210のままです。しかし、陽子が1個増えるので、原子番号（陽子の数）は83から84に増えます。吐き出された電子はマイナスの電気を持っているので、全体の電気の量（電荷）の辻褄も合っています（\(83 = 84 + (-1)\)）。

原子番号は \(84\)、質量数は \(210\) です。
\(\beta\)崩壊によって原子番号が1増え、質量数は変化しないという定性的な性質と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
ウラン \({}_{92}^{238}\text{U}\) が鉛 \({}_{82}^{206}\text{Pb}\) になるまでの間に、\(\alpha\)崩壊と\(\beta\)崩壊が何回起こったかを求めます。
ポイントは、「質量数を変えるのは\(\alpha\)崩壊だけ」という点です。これを利用して、まず\(\alpha\)崩壊の回数を確定させます。

この設問における重要なポイント

• \(\alpha\)崩壊1回につき、質量数は \(-4\)、原子番号は \(-2\) 変化する。
• \(\beta\)崩壊1回につき、質量数は変化せず、原子番号は \(+1\) 変化する。
• 質量数の変化量から先に\(\alpha\)崩壊の回数を求める手順が効率的。

具体的な解説と立式
\(\alpha\)崩壊の回数を \(x\)、\(\beta\)崩壊の回数を \(y\) とします。
全体の反応における変化を考えます。

まず、質量数の変化に着目します。
質量数は \(238\) から \(206\) に変化しました。
質量数を変化させるのは\(\alpha\)崩壊（1回で \(-4\)）だけなので、以下の式が成り立ちます。
$$ 238 – 4x = 206 $$

次に、原子番号の変化に着目します。
原子番号は \(92\) から \(82\) に変化しました。
\(\alpha\)崩壊で \(-2\)、\(\beta\)崩壊で \(+1\) 変化するので、以下の式が成り立ちます。
$$ 92 – 2x + 1y = 82 $$

まず、質量数の式から \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
4x &= 238 – 206 \\[2.0ex] 4x &= 32 \\[2.0ex] x &= 8
\end{aligned}
$$
よって、\(\alpha\)崩壊は \(8\) 回です。

次に、求めた \(x=8\) を原子番号の式に代入して \(y\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
92 – 2 \times 8 + y &= 82 \\[2.0ex] 92 – 16 + y &= 82 \\[2.0ex] 76 + y &= 82 \\[2.0ex] y &= 82 – 76 \\[2.0ex] y &= 6
\end{aligned}
$$
よって、\(\beta\)崩壊は \(6\) 回です。

まず、体重（質量数）の変化を見ます。ウランは238kg、鉛は206kgだとしましょう。32kg減りました。ダイエット方法（崩壊）には2種類あります。「\(\alpha\)コース」は4kg痩せます。「\(\beta\)コース」は体重が変わりません。32kg痩せるには、「\(\alpha\)コース」を何回やればいいでしょうか？ \(32 \div 4 = 8\) 回ですね。これで\(\alpha\)崩壊の回数が決まります。

次に、身分証明書の番号（原子番号）を見ます。最初は92番でした。「\(\alpha\)コース」を8回やると、番号は \(2 \times 8 = 16\) 番下がるので、本来なら \(92 – 16 = 76\) 番になるはずです。でも、最終的な鉛の番号は82番です。76番より6番増えていますね。番号を1つ増やすのが「\(\beta\)コース」の効果でした。つまり、「\(\beta\)コース」を6回やったことになります。

\(\alpha\)崩壊が \(8\) 回、\(\beta\)崩壊が \(6\) 回です。
質量数の減少分 \(32\) は全て\(\alpha\)崩壊によるもの（\(4 \times 8 = 32\)）であり、原子番号の減少分 \(10\) は、\(\alpha\)崩壊による減少 \(16\) と\(\beta\)崩壊による増加 \(6\) の差し引き（\(-16 + 6 = -10\)）で説明がつきます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 保存則の絶対性
  • 核心: 核反応のようなドラスティックな変化であっても、「質量数の総和」と「電荷数（原子番号）の総和」は絶対に変わらないという鉄則です。
  • 理解のポイント: 元素の種類が変わっても、原子核を構成する部品（陽子と中性子）の総数や、電気の総量は消えたり増えたりしないということです。
• \(\alpha\)崩壊と\(\beta\)崩壊の定義
  • 核心:
    • \(\alpha\)崩壊 \(\rightarrow\) \({}_{2}^{4}\text{He}\) 放出（質量数 \(-4\)、原子番号 \(-2\)）
    • \(\beta\)崩壊 \(\rightarrow\) \({}_{-1}^{0}\text{e}\) 放出（質量数 \(\pm 0\)、原子番号 \(+1\)）
  • 理解のポイント: \(\beta\)崩壊で原子番号が「増える」のは、中性子が陽子に変わるからです。電子（負電荷）を捨てることで、原子核自体はプラスに帯電するとイメージしましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊系列の追跡: 「Aが崩壊してBになり、Bが崩壊してCになり…」といった連鎖的な反応でも、一つ一つのステップで保存則を確認すれば解けます。
  • 未知の粒子の同定: 反応式の数字を合わせて、未知の粒子 \({}_{Z}^{A}\text{X}\) の \(A\) と \(Z\) を求め、それが中性子 \({}_{0}^{1}\text{n}\) なのか陽子 \({}_{1}^{1}\text{p}\) なのかを特定する問題。
  • 半減期との融合: 「何年後に原子核の個数がどうなるか」という問題とセットで出題されることが多いです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは反応式を書く: 問題文の情報を \({}_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow \dots\) の形に書き下します。
  2. 質量数から攻める: \(\beta\)崩壊や\(\gamma\)崩壊は質量数を変えません。質量数が変化していれば、それは\(\alpha\)崩壊（または核分裂など）の証拠です。ここが突破口になります。
  3. \(\gamma\)崩壊に注意: 問題には出てきませんでしたが、\(\gamma\)崩壊はエネルギー（電磁波）が出るだけで、質量数も原子番号も変わりません。ひっかけ問題に注意しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\beta\)崩壊で原子番号が減ると勘違いする:
  • 誤解: 「電子が出る」\(\rightarrow\) 「何かが減る」\(\rightarrow\) 「原子番号もマイナス？」と考えてしまう。
  • 対策: 反応式 \({}_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow {}_{Z+1}^{A}\text{Y} + {}_{-1}^{0}\text{e}\) を書いて、右辺の足し算 \( (Z+1) + (-1) = Z \) が成り立つことを確認しましょう。「マイナスを捨てるからプラスが増える」と覚えるのも有効です。
• 中性子と陽子の記号の混同:
  • 誤解: 中性子を \({}_{1}^{0}\text{n}\) と書いたり、陽子を \({}_{0}^{1}\text{p}\) と書いたりしてしまう。
  • 対策:
    • 中性子（neutron）: 電荷ゼロ、質量あり \(\rightarrow\) \({}_{0}^{1}\text{n}\)
    • 陽子（proton）: 水素原子核と同じ \(\rightarrow\) \({}_{1}^{1}\text{H}\) または \({}_{1}^{1}\text{p}\)
    • これらを基本パーツとして暗記しておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 保存則の選択理由:
  • 選定理由: 原子核反応において、反応の前後で等号で結べる物理量は「質量数」と「電荷数」だからです（エネルギーと質量の等価性 \(E=mc^2\) を考慮しない範囲では）。
  • 適用根拠: 化学反応では原子の組み合わせが変わるだけですが、核反応では原子そのものが変わります。しかし、もっと根源的な「核子の総数」と「電荷の総和」は保存されるため、これを式にすることで未知数を特定できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 反応式の左右確認:
  • 式を立てたら、必ず「左上の数字の和」と「左下の数字の和」が、左辺と右辺で一致しているか指差し確認しましょう。
  • 例: \(238 = 206 + 4 \times 8 + 0 \times 6\) \(\rightarrow\) \(238 = 206 + 32 = 238\)
• 負の数の扱いに注意:
  • \(\beta\)崩壊の計算では \(Z – (-1)\) や \(Z + (-1)\) が出てきます。符号のミスは命取りです。丁寧に括弧をつけて書きましょう。

基本例題86 半減期

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊と半減期」です。放射性物質の原子核の数が時間とともにどのように減少していくか、その規則性を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
半減期の定義は「原子核の数が最初の半分になるまでの時間」です。
グラフの縦軸は \(N/N_0\)、つまり「最初の数に対する残っている数の割合」を表しています。
この値が \(0.5\)（\(1/2\)）になるときの横軸の時間 \(t\) を読み取れば、それが半減期です。

この設問における重要なポイント

• 縦軸 \(N/N_0 = 1\) がスタート地点（\(t=0\)）。
• 縦軸 \(N/N_0 = 0.5\) となる点が、数が半分になった時点。
• グラフの目盛りを正確に読むこと。

具体的な解説と立式
グラフより、縦軸の値 \(N/N_0\) が \(0.5\) になっている点を探します。
その点の横軸（時間）を読み取ると、\(6\) の目盛りの位置にあることがわかります。
したがって、半減期 \(T\) は \(6\) 日です。

グラフの読み取りのみのため、計算過程はありません。

「半減期」とは、文字通り「半分に減る期間」のことです。グラフの縦軸は「残り具合」を表していて、一番上が \(1\)（\(100\%\)）、真ん中が \(0.5\)（\(50\%\)）です。線が \(0.5\) の高さまで下がったとき、横軸（日数）がいくつになっているかを見れば答えがわかります。グラフを見ると、ちょうど \(6\) 日のところで \(0.5\) になっていますね。

半減期は \(6\) 日です。
グラフの曲線は \(t=6\) で \(0.5\)、\(t=12\) で \(0.25\)（\(0.2\) と \(0.3\) の間）を通っており、指数関数的な減少の特徴と一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた半減期 \(T=6\) 日を使って、\(18\) 日後の原子核の数を求めます。
\(18\) 日という時間が、半減期の何回分にあたるかを考えます。
\(18 \div 6 = 3\) なので、半減期が3回繰り返されたことになります。

この設問における重要なポイント

• 半減期 \(T = 6\) 日。
• 経過時間 \(t = 18\) 日。
• 半減期が来るたびに、数は直前の \(1/2\) になる。

具体的な解説と立式
求める原子核の数を \(N\) とします。半減期の公式を用います。
$$ N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} $$
ここに \(T=6\)、\(t=18\) を代入します。
$$ N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{18}{6}} $$

$$
\begin{aligned}
N &= N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \\[2.0ex] &= N_0 \times \frac{1}{8} \\[2.0ex] &= \frac{1}{8} N_0
\end{aligned}
$$
したがって、最初の \(1/8\)（8分の1）になります。

半減期は6日なので、6日経つごとに数は半分になります。

• スタート: \(1\)
• 6日後: \(1/2\)
• 12日後: \(1/4\)（\(1/2\) のさらに半分）
• 18日後: \(1/8\)（\(1/4\) のさらに半分）

このように順を追って考えれば、公式を忘れていても解くことができます。

答えは \(1/8\)（8分の1）です。
グラフを見ても、\(t=14\) の時点で \(0.2\)（\(1/5\)）付近まで下がっており、\(t=18\) でさらに減って \(0.125\)（\(1/8\)）になるのは妥当な推移です。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は \(t=3\) 日後の原子核の数を求めます。
\(3\) 日は半減期 \(6\) 日の半分です。つまり、半減期の \(0.5\) 倍の時間だけ経過した状態です。
公式の指数部分が分数になることに注意して計算します。

この設問における重要なポイント

• 経過時間 \(t = 3\) 日。
• \(t/T = 3/6 = 1/2\)。
• 指数の \(1/2\) 乗は、平方根（ルート）を意味する。

具体的な解説と立式
求める原子核の数を \(N’\) とします。半減期の公式を用います。
$$ N’ = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} $$
ここに \(T=6\)、\(t=3\) を代入します。
$$ N’ = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{6}} $$

$$
\begin{aligned}
N’ &= N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \\[2.0ex] &= N_0 \sqrt{\frac{1}{2}} \\[2.0ex] &= N_0 \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= \frac{N_0}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
$$
（必要であれば有理化して \(\frac{\sqrt{2}}{2}N_0\) としても正解ですが、物理では \(\frac{N_0}{\sqrt{2}}\) の形もよく使われます。模範解答に合わせます。）

3日は半減期（6日）のちょうど半分です。「時間が半分だから、減る量も半分で \(3/4\)（\(0.75\)）くらいかな？」と思うかもしれませんが、そうではありません。放射性崩壊は「掛け算」で減っていく変化なので、半分の時間経過では「\(1/2\) のルート倍」、つまり \(\sqrt{1/2} \approx 0.707\) 倍になります。グラフを見てみましょう。\(t=3\) のところを見ると、\(0.6\) と \(0.8\) の真ん中（\(0.7\)）あたりを通っていますね。計算結果の \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\) とよく合っています。

答えは \(\frac{N_0}{\sqrt{2}}\) です。
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) なので、\(1/1.41 \approx 0.71\) です。グラフ上の \(t=3\) における値が \(0.7\) 付近であることと整合しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 半減期の法則
  • 核心: 放射性崩壊において、原子核の数が半分になる時間は常に一定（半減期 \(T\)）であり、原子核の数は時間とともに指数関数的に減少するという法則です。
  • 理解のポイント: 「100個が50個になる時間」も、「50個が25個になる時間」も、「10個が5個になる時間」も、すべて同じ \(T\) です。残っている数に関係なく、一定の確率で崩壊が起こるためです。
• 指数関数的変化
  • 核心: 変化の割合が、その時の量に比例する場合（\(dN/dt = -\lambda N\)）、その量は指数関数的に変化します。
  • 理解のポイント: 直線的な減少（一定量ずつ減る）との違いを明確にしましょう。直線なら \(t=T\) で \(0.5\) なら \(t=2T\) で \(0\) になってしまいますが、指数関数なら \(t=2T\) で \(0.25\) となり、決して \(0\) にはなりません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 炭素年代測定法: 生物遺体中の \({}^{14}\text{C}\) の割合から、死後何年経過したかを推定する問題。これも半減期の公式を逆算して \(t\) を求める問題です。
  • コンデンサーの放電: 回路のスイッチを切った後のコンデンサーの電荷や電流の減少も、同じ形の指数関数（\(e^{-t/CR}\)）で表されます。物理現象は違っても数学的構造は同じです。
  • 光の吸収: 物質中を進む光の強度が距離とともに減衰する現象（ランベルト・ベールの法則）も、距離に対する「半減深度」のような概念で扱えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 半減期 \(T\) を特定する: 問題文やグラフから、まずは \(T\) の値を確定させます。これが全ての計算の基準になります。
  2. 半減期の何倍の時間か？: 経過時間 \(t\) が \(T\) の整数倍（\(2T, 3T \dots\)）なら、\(1/2, 1/4, 1/8 \dots\) と簡単に計算できます。
  3. 整数倍でない場合: \(t = T/2\) なら \(\sqrt{1/2}\)、\(t = 3T/2\) なら \((1/2)\sqrt{1/2}\) のように、指数の法則を使って処理します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直線的に減ると勘違いする:
  • 誤解: 「6日で半分（\(50\%\)減る）なら、3日では \(25\%\) 減って残り \(75\%\) だろう」と考えてしまう。
  • 対策: 放射性崩壊は「掛け算」の世界です。足し算・引き算で考えず、常に「\( (1/2)^{t/T} \) 倍」という倍率で考えましょう。
• 指数の計算ミス:
  • 誤解: \((1/2)^3\) を \(1/6\) と計算してしまう（\(2 \times 3\) にしてしまう）。
  • 対策: 累乗の意味（\(1/2 \times 1/2 \times 1/2\)）を再確認し、丁寧に計算しましょう。
• \(N_0\) の付け忘れ:
  • 誤解: 「数はいくつか」と聞かれているのに、割合（\(1/8\) など）だけ答えてしまう。
  • 対策: 問題文が「何倍か」を聞いているのか、「数（\(N_0\) を用いて）」を聞いているのかをよく読みましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 半減期の公式の選択理由:
  • 選定理由: 「時間 \(t\)」と「残存数 \(N\)」の関係を記述する唯一の公式だからです。
  • 適用根拠: 問題文に「放射性核種の原子核の数」「時間 \(t\) の経過とともに変化」とあり、グラフが指数関数的な減少を示していることから、この現象が放射性崩壊の法則に従うことは明らかです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 具体的な数値で検算:
  • \(t=3\) の答え \(\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7\) が出たら、\(t=0\) の \(1\) と \(t=6\) の \(0.5\) の間にあるか確認しましょう。もし \(0.4\) などの値が出ていたら、明らかにおかしいと気づけます。
• 単位の確認:
  • 半減期 \(T\) と経過時間 \(t\) の単位（秒、分、日、年など）が揃っているか確認しましょう。この問題では両方「日」なのでそのまま計算できます。

基本例題87 核反応

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「核反応と質量とエネルギーの等価性」です。アインシュタインの特殊相対性理論から導かれる \(E=mc^2\) という関係式を用いて、原子核反応に伴うエネルギーの出入りを計算します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、問題文の記述を核反応式に翻訳します。
「アルミニウム \({}_{13}^{27}\text{Al}\) に中性子 \({}_{0}^{1}\text{n}\) をあてたところ、ナトリウム \({}_{11}^{24}\text{Na}\) とヘリウム \({}_{2}^{4}\text{He}\) に変化した」
この反応式が正しいか、質量数と原子番号の保存則で確認します。
次に、反応前の質量の総和と反応後の質量の総和を計算し、その差（減少した質量）を求めます。

この設問における重要なポイント

• 反応式: \({}_{13}^{27}\text{Al} + {}_{0}^{1}\text{n} \rightarrow {}_{11}^{24}\text{Na} + {}_{2}^{4}\text{He}\)
• 質量数保存: \(27 + 1 = 28\), \(24 + 4 = 28\)
• 原子番号保存: \(13 + 0 = 13\), \(11 + 2 = 13\)
• 減少した質量 \(\Delta M = (\text{反応前の質量}) – (\text{反応後の質量})\)

具体的な解説と立式
核反応式は以下の通りです。
$$ {}_{13}^{27}\text{Al} + {}_{0}^{1}\text{n} \rightarrow {}_{11}^{24}\text{Na} + {}_{2}^{4}\text{He} $$

次に、質量の変化を計算します。
反応前の質量の和 \(M_{\text{前}}\) は、
$$ M_{\text{前}} = 26.9744 + 1.0087 = 27.9831\,\text{u} $$
反応後の質量の和 \(M_{\text{後}}\) は、
$$ M_{\text{後}} = 23.9849 + 4.0015 = 27.9864\,\text{u} $$

減少した質量 \(\Delta M\) は、
$$ \Delta M = M_{\text{前}} – M_{\text{後}} $$

$$
\begin{aligned}
\Delta M &= 27.9831 – 27.9864 \\[2.0ex] &= -0.0033\,\text{u}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で表すと、
$$ \Delta M = -3.3 \times 10^{-3}\,\text{u} $$

まず、登場人物を整理して反応式を書きます。左辺の数字の合計と右辺の数字の合計が合っているか確認しましょう。次に、体重測定です。反応する前の原子核たちの体重の合計と、反応した後の原子核たちの体重の合計を比べます。計算してみると、反応後の方が少しだけ重くなっていることがわかります。「減少した質量は？」と聞かれているので、増えている場合はマイナスの値で答えます。

核反応式は \({}_{13}^{27}\text{Al} + {}_{0}^{1}\text{n} \rightarrow {}_{11}^{24}\text{Na} + {}_{2}^{4}\text{He}\)。
減少した質量は \(-3.3 \times 10^{-3}\,\text{u}\) です。
負の値になったということは、質量が増加したことを意味します。これは、エネルギーを吸収しないと起こらない反応（吸熱反応）であることを示唆しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた質量の変化分（増加分）に相当するエネルギーを計算します。
質量が増加したということは、その分だけ外部からエネルギーをもらった（吸収した）ということです。
計算の手順は以下の通りです。

1. 質量の増加分 \(\Delta M’\)（正の値）を \(\text{u}\) から \(\text{kg}\) に換算する。
2. アインシュタインの関係式 \(E = \Delta M’ c^2\) を使って、エネルギーをジュール \(\text{J}\) で求める。
3. ジュール \(\text{J}\) を電子ボルト \(\text{eV}\)、さらにメガ電子ボルト \(\text{MeV}\) に換算する。

この設問における重要なポイント

• 質量が増加 \(\rightarrow\) エネルギー吸収。
• \(1\,\text{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)。
• \(c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}\)。
• \(1\,\text{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\text{J}\)。
• \(1\,\text{MeV} = 10^6\,\text{eV}\)。

具体的な解説と立式
(1)より、質量は \(3.3 \times 10^{-3}\,\text{u}\) だけ増加しました。この増加分を \(\Delta M’\) とします。
$$ \Delta M’ = 3.3 \times 10^{-3}\,\text{u} $$
これを \(\text{kg}\) に換算します。
$$ \Delta M’_{\text{kg}} = (3.3 \times 10^{-3}) \times (1.66 \times 10^{-27})\,\text{kg} $$

吸収されたエネルギー \(E\)（単位 \(\text{J}\)）は、
$$ E = \Delta M’_{\text{kg}} c^2 $$

これを \(\text{eV}\) に換算するには、電気素量 \(e\) で割ります。
$$ E_{\text{eV}} = \frac{E}{1.60 \times 10^{-19}} $$

最後に \(\text{MeV}\) にするために \(10^{-6}\) を掛けます。

まず、エネルギー \(E\)（\(\text{J}\)）を計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= (3.3 \times 10^{-3}) \times (1.66 \times 10^{-27}) \times (3.00 \times 10^8)^2 \\[2.0ex] &= 3.3 \times 1.66 \times 9.00 \times 10^{-3-27+16} \\[2.0ex] &= 49.296 \times 10^{-14} \\[2.0ex] &\approx 4.93 \times 10^{-13}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
（途中計算では桁落ちを防ぐため少し多めに桁を取ります）

次に、\(\text{eV}\) に換算します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{eV}} &= \frac{49.296 \times 10^{-14}}{1.60 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &= \frac{49.296}{1.60} \times 10^{5} \\[2.0ex] &= 30.81 \times 10^{5}\,\text{eV} \\[2.0ex] &= 3.081 \times 10^{6}\,\text{eV}
\end{aligned}
$$

これを \(\text{MeV}\)（\(10^6\,\text{eV}\)）単位にします。
$$ E_{\text{MeV}} \approx 3.1\,\text{MeV} $$

質量が増加しているので、エネルギーは「吸収」されました。

反応後の原子核たちが太った（質量が増えた）ということは、その「お肉（質量）」の元となるエネルギーをどこかから食べた（吸収した）ということです。どれくらい食べたかを計算するには、増えた質量を \(E=mc^2\) という魔法の式でエネルギーに直します。単位の変換（\(\text{u} \rightarrow \text{kg} \rightarrow \text{J} \rightarrow \text{eV} \rightarrow \text{MeV}\)）が大変ですが、一つずつ丁寧に計算すれば大丈夫です。

\(3.1\,\text{MeV}\) のエネルギーが吸収されました。
核反応におけるエネルギーの出入りは通常 \(\text{MeV}\) のオーダーになるため、この数値は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 質量とエネルギーの等価性（\(E=mc^2\)）
  • 核心: 質量はエネルギーの一形態であり、質量が消滅すればエネルギーとして放出され、逆にエネルギーを投入すれば質量を生み出せるという、現代物理学の根幹をなす原理です。
  • 理解のポイント: 化学反応では「質量保存の法則」が成り立ちますが、核反応では成り立ちません。その代わり、「質量とエネルギーの総和」が保存されます。
• 質量欠損とエネルギーの出入り
  • 核心:
    • 質量が減る（\(\Delta M < 0\)） \(\rightarrow\) 軽くなった分がエネルギーとして外に出る（放出、発熱）。
    • 質量が増える（\(\Delta M > 0\)） \(\rightarrow\) 重くなるために外からエネルギーをもらう必要がある（吸収、吸熱）。
  • 理解のポイント: 「お財布」で例えるとわかりやすいです。お金（エネルギー）を使って買い物（質量）をすれば、手持ちのお金は減りますが、物は増えます。逆にお金をもらえば、物を売る（質量を減らす）必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 核分裂・核融合: ウランの核分裂や、太陽内部での水素核融合など。これらも全て「反応後の質量が軽くなっている」からこそ、莫大なエネルギー（原子力、太陽光）を生み出しています。
  • 結合エネルギー: 原子核をバラバラの陽子と中性子に分解するのに必要なエネルギー。これも「バラバラの状態の方が質量が重い」という質量欠損の問題として扱えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 反応式を完成させる: 未知の粒子がある場合は、質量数と原子番号の保存則を使って特定します。
  2. 質量の差を計算する: 必ず「（反応前）\(\,-\)（反応後）」または「（反応後）\(\,-\)（反応前）」のどちらかに統一して計算し、符号の意味（増えたか減ったか）を間違えないようにします。
  3. 単位換算に注意: \(\text{u}, \text{kg}, \text{J}, \text{eV}, \text{MeV}\) の変換ルートを常に意識します。特に \(c^2\) を掛けるのを忘れないように。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 吸収と放出の判定ミス:
  • 誤解: 「質量欠損」という言葉から、常に質量が減る（エネルギー放出）と思い込んでしまう。
  • 対策: この問題のように、質量が増える（エネルギー吸収）ケースもあります。必ず計算結果の符号を見て判断しましょう。「質量増 \(\rightarrow\) エネルギー吸収」とセットで覚えます。
• 桁数のミス:
  • 誤解: \(10^{-27}\) や \(10^{16}\) といった巨大な指数の計算で、指数法則を適用し間違える。
  • 対策: 指数部分（\(10^n\)）と仮数部分（数値）を分けて計算し、最後に合体させる手順を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(E=mc^2\) の選択理由:
  • 選定理由: 質量の変化をエネルギーの変化に結びつけることができる唯一の物理法則だからです。
  • 適用根拠: 核反応においては、原子核の結合状態が変化することで質量そのものが変化します。この質量の変化は、ニュートン力学の範囲では説明できず、相対性理論の \(E=mc^2\) を適用する必要があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の扱い:
  • 引き算（\(26.9744 + 1.0087 – \dots\)）を行う際、桁落ちによって有効数字が減ることがあります。この問題では小数点以下4桁まで与えられていますが、差をとると \(0.0033\) となり、有効数字は2桁になります。計算途中で勝手に丸めず、最後まで精度を保つことが重要です。
• 換算係数の利用:
  • 別解で示したように、\(1\,\text{u} \approx 931.5\,\text{MeV}\) を知っていれば、検算が非常に楽になります。メインの計算とは別に、この簡易計算を行って答えのオーダーが合っているか確認する習慣をつけましょう。

基本例題88 ウランの核分裂

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ウランの核分裂と質量欠損によるエネルギー放出」です。原子力発電の原理でもある、核分裂反応に伴う莫大なエネルギーの発生を、質量とエネルギーの等価性 \(E=mc^2\) を用いて定量的に計算します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
核反応式 \({}_{92}^{235}\text{U} + {}_{0}^{1}\text{n} \rightarrow {}_{54}^{140}\text{Xe} + {}_{38}^{93}\text{Sr} + 3{}_{0}^{1}\text{n}\) に基づいて、左辺（反応前）の質量の総和と、右辺（反応後）の質量の総和をそれぞれ計算し、その差を求めます。
ポイントは、中性子 \({}_{0}^{1}\text{n}\) が左辺に1個、右辺に3個あることです。計算を楽にするために、両辺から中性子1個分を相殺して、「ウラン1個 \(\rightarrow\) キセノン1個 \(+\) ストロンチウム1個 \(+\) 中性子2個」として計算しても結果は同じですが、ここでは基本通りに全ての粒子の質量を足し合わせます。

この設問における重要なポイント

• 反応前の粒子: \({}^{235}\text{U}\) 1個, \({}^{1}\text{n}\) 1個
• 反応後の粒子: \({}^{140}\text{Xe}\) 1個, \({}^{93}\text{Sr}\) 1個, \({}^{1}\text{n}\) 3個
• 表の値を正確に代入すること。

具体的な解説と立式
反応前の質量の和 \(M_{\text{前}}\) は、
$$ M_{\text{前}} = m_{\text{ウラン}} + m_{\text{中性子}} $$
反応後の質量の和 \(M_{\text{後}}\) は、
$$ M_{\text{後}} = m_{\text{キセノン}} + m_{\text{ストロンチウム}} + 3m_{\text{中性子}} $$
質量の減少（質量欠損）\(\Delta M\) は、
$$ \Delta M = M_{\text{前}} – M_{\text{後}} $$

表の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
M_{\text{前}} &= 234.9935 + 1.0087 \\[2.0ex] &= 236.0022\,\text{u}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
M_{\text{後}} &= 139.8918 + 92.8930 + 3 \times 1.0087 \\[2.0ex] &= 232.7848 + 3.0261 \\[2.0ex] &= 235.8109\,\text{u}
\end{aligned}
$$

したがって、質量の減少 \(\Delta M\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta M &= 236.0022 – 235.8109 \\[2.0ex] &= 0.1913\,\text{u}
\end{aligned}
$$

ウランという重い原子核に中性子がぶつかって、真っ二つに割れる反応です。割れる前（ウラン＋中性子）の体重合計と、割れた後（キセノン＋ストロンチウム＋中性子3個）の体重合計を比べます。計算してみると、割れた後の方が少しだけ軽くなっています。この「消えた質量」がどこへ行ったのかというと、ものすごいエネルギーに変わって放出されるのです。まずはその「消えた質量」を正確に計算しました。

質量の減少は \(0.1913\,\text{u}\) です。
正の値が得られたので、確かに質量が減少し、エネルギーが放出される反応であることが確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた質量欠損 \(\Delta M = 0.1913\,\text{u}\) をエネルギーに換算します。
手順は以下の通りです。

1. 単位を \(\text{u}\) から \(\text{kg}\) に変換する。
2. アインシュタインの式 \(E = \Delta M c^2\) に代入して、エネルギー（\(\text{J}\)）を求める。

この設問における重要なポイント

• \(1\,\text{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\text{kg}\)
• \(c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}\)
• 有効数字は3桁（問題文の数値の精度から判断）。

具体的な解説と立式
まず、質量欠損を \(\text{kg}\) 単位で表します。
$$ \Delta M_{\text{kg}} = 0.1913 \times (1.66 \times 10^{-27})\,\text{kg} $$
放出されるエネルギー \(E\) は、
$$ E = \Delta M_{\text{kg}} c^2 $$

$$
\begin{aligned}
E &= \{ 0.1913 \times (1.66 \times 10^{-27}) \} \times (3.00 \times 10^8)^2 \\[2.0ex] &= 0.1913 \times 1.66 \times 9.00 \times 10^{-27+16} \\[2.0ex] &= 0.1913 \times 1.66 \times 9.00 \times 10^{-11} \\[2.0ex] &= 0.317558 \times 9.00 \times 10^{-11} \\[2.0ex] &= 2.858022 \times 10^{-11}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で丸めると、
$$ E \approx 2.86 \times 10^{-11}\,\text{J} $$

先ほど計算した「消えた質量」を、アインシュタインの有名な式 \(E=mc^2\) を使ってエネルギーに直します。質量はとても小さい（\(10^{-28}\,\text{kg}\) のオーダー）ですが、光の速さ \(c\) の2乗（\(9 \times 10^{16}\)）という巨大な数を掛けるので、原子核1個あたりとしては無視できない大きさのエネルギーになります。

答えは \(2.86 \times 10^{-11}\,\text{J}\) です。
化学反応で発生するエネルギー（数 \(\text{eV} \approx 10^{-19}\,\text{J}\)）に比べて、核反応のエネルギーは桁違いに大きい（約1億倍）ことがわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めたのは「ウラン原子核1個」が核分裂したときのエネルギーです。
ここでは「\(1.00\,\text{g}\) のウラン」がすべて核分裂したときの総エネルギーを求めます。
手順は以下の通りです。

1. \(1.00\,\text{g}\) のウランに含まれる原子核の数 \(N\) を求める。
2. 総エネルギー \(E_{\text{総}} = N \times E\) を計算する。

この設問における重要なポイント

• ウラン235の原子量は \(235\)（質量数に等しいとする）。
• \(1\,\text{mol}\) の質量は \(235\,\text{g}\)。
• \(1\,\text{mol}\) 中の原子数はアボガドロ定数 \(N_A = 6.02 \times 10^{23}\)。

具体的な解説と立式
まず、\(1.00\,\text{g}\) のウラン235の物質量（モル数）\(n\) は、
$$ n = \frac{1.00}{235}\,\text{mol} $$
原子核の数 \(N\) は、これにアボガドロ定数を掛けて、
$$ N = n \times N_A $$
$$ N = \frac{1.00}{235} \times (6.02 \times 10^{23}) $$
総エネルギー \(E_{\text{総}}\) は、
$$ E_{\text{総}} = N \times E $$
ここで \(E\) は(2)で求めた値（計算途中では精度の高い値 \(2.858 \times 10^{-11}\) を使用）です。

$$
\begin{aligned}
E_{\text{総}} &= \frac{1.00}{235} \times (6.02 \times 10^{23}) \times (2.858 \times 10^{-11}) \\[2.0ex] &= \frac{6.02 \times 2.858}{235} \times 10^{23-11} \\[2.0ex] &= \frac{17.205}{235} \times 10^{12} \\[2.0ex] &\approx 0.07321 \times 10^{12} \\[2.0ex] &= 7.321 \times 10^{10}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で丸めると、
$$ E_{\text{総}} \approx 7.32 \times 10^{10}\,\text{J} $$

たった \(1\,\text{g}\) のウランですが、その中にはとてつもない数（約 \(2.5 \times 10^{21}\) 個）の原子核が入っています。1個1個が出すエネルギーは小さくても、それが「ちりも積もれば山となる」で、全部合わせると莫大なエネルギーになります。まず「何個あるか」を計算し、それに「1個分のエネルギー」を掛けて合計を出します。

答えは \(7.32 \times 10^{10}\,\text{J}\) です。
これは、石油数トン分を燃やしたエネルギーに匹敵します。わずか \(1\,\text{g}\) の物質からこれだけのエネルギーが出るという事実が、原子力の威力を物語っています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 質量欠損とエネルギー放出
  • 核心: 核分裂反応において、分裂後の原子核の質量の総和は、分裂前よりもわずかに軽くなります。この「消えた質量」が \(E=mc^2\) に従って莫大な熱エネルギーに変換されます。
  • 理解のポイント: 質量保存の法則は成り立ちません。質量はエネルギーの一形態であり、相互に変換可能であるという相対論的な視点が不可欠です。
• ミクロとマクロの架け橋（アボガドロ定数）
  • 核心: 原子核1個という極微の世界の出来事（\(\text{MeV}\) や \(10^{-11}\,\text{J}\)）を、私たちが扱うグラム単位の物質の世界（\(\text{J}\) や \(\text{kWh}\)）に翻訳するツールがアボガドロ定数です。
  • 理解のポイント: 「1個あたりのエネルギー」\(\times\) 「個数」という単純な掛け算が、桁違いのエネルギーを生み出すメカニズムを理解しましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 核融合反応: 重水素と三重水素が融合してヘリウムになる反応など。計算手順は全く同じ（質量欠損 \(\rightarrow\) エネルギー換算）です。
  • 対消滅: 電子と陽電子が衝突して光子になる反応。質量が完全に消滅してエネルギーになる究極の質量欠損です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 反応式をチェック: 中性子などの粒子が両辺で数が合っているか確認します。計算を楽にするために相殺できるものは相殺しても構いません。
  2. 質量の差を計算: 必ず「（反応前）\(\,-\)（反応後）」で計算し、正の値（減少）になることを確認します。
  3. 単位換算: \(\text{u} \rightarrow \text{kg} \rightarrow \text{J}\) の流れをスムーズに行えるようにしておきましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 中性子の数を間違える:
  • 誤解: 反応式の係数「3」を見落として、中性子1個分しか質量を引かない。
  • 対策: 反応式の係数は「個数」を表しています。必ず \(3 \times m_{\text{中性子}}\) として計算に組み込みましょう。
• 有効数字の処理:
  • 誤解: 途中の計算結果を早めに丸めてしまい、最終的な答えに誤差が出る。
  • 対策: 途中計算では、最終的に必要な桁数よりも1桁多く残して計算し、最後に丸めるのが鉄則です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(E=mc^2\) の選択理由:
  • 選定理由: 質量の変化をエネルギーの変化に結びつけることができる唯一の物理法則だからです。
  • 適用根拠: 核反応においては、原子核の結合状態が変化することで質量そのものが変化します。この質量の変化は、ニュートン力学の範囲では説明できず、相対性理論の \(E=mc^2\) を適用する必要があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算:
  • \(10^{-27}\) や \(10^{16}\) といった巨大な指数の計算は、指数部分だけを別枠で計算（\(-27 + 16 = -11\) など）し、数値部分と混ぜないようにしましょう。
• 単位の確認:
  • 質量は必ず \(\text{kg}\) に直してから \(c^2\) を掛けないと、エネルギーの単位が \(\text{J}\) になりません。\(\text{g}\) や \(\text{u}\) のまま計算しないよう注意が必要です。

基本問題

594 統一原子質量単位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「統一原子質量単位（\(\text{u}\)）の定義と換算」です。原子や原子核のような極微の世界で使われる質量単位 \(\text{u}\) が、私たちが日常使う \(\text{kg}\) とどのような関係にあるのかを、アボガドロ定数を用いて導き出します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
求めるのは \(1\,\text{u}\) が何 \(\text{kg}\) か、という値です。
定義より、\(1\,\text{u} = (\text{炭素原子1個の質量}) \times \frac{1}{12}\) です。
炭素原子1個の質量は、\(1\,\text{mol}\) の質量（\(12\,\text{g}\)）をアボガドロ定数（\(6.02 \times 10^{23}\)）で割ることで求められます。
単位が \(\text{g}\) ではなく \(\text{kg}\) であることに注意して計算します。

この設問における重要なポイント

• \(1\,\text{mol}\) の \({}^{12}\text{C}\) の質量 = \(12\,\text{g} = 12 \times 10^{-3}\,\text{kg}\)。
• \(1\,\text{mol}\) の個数 = \(6.02 \times 10^{23}\) 個。
• \(1\,\text{u}\) = \({}^{12}\text{C}\) 1個の質量の \(1/12\)。

具体的な解説と立式
まず、炭素原子 \({}^{12}\text{C}\) 1個の質量 \(m_{\text{C}}\) を \(\text{kg}\) 単位で求めます。
\(1\,\text{mol}\)（\(6.02 \times 10^{23}\) 個）の質量が \(12\,\text{g} = 12 \times 10^{-3}\,\text{kg}\) なので、
$$ m_{\text{C}} = \frac{12 \times 10^{-3}}{6.02 \times 10^{23}}\,\text{kg} $$

\(1\,\text{u}\) はこの質量の \(1/12\) なので、
$$ 1\,\text{u} = m_{\text{C}} \times \frac{1}{12} $$
$$ 1\,\text{u} = \frac{12 \times 10^{-3}}{6.02 \times 10^{23}} \times \frac{1}{12} $$

式を整理して計算します。
$$
\begin{aligned}
1\,\text{u} &= \frac{12 \times 10^{-3}}{6.02 \times 10^{23}} \times \frac{1}{12} \\[2.0ex] &= \frac{12}{12} \times \frac{10^{-3}}{6.02 \times 10^{23}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{6.02} \times 10^{-3-23} \\[2.0ex] &= \frac{1}{6.02} \times 10^{-26}
\end{aligned}
$$

ここで、\(1 \div 6.02\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{6.02} &\approx 0.16611\dots
\end{aligned}
$$

したがって、
$$
\begin{aligned}
1\,\text{u} &\approx 0.16611 \times 10^{-26} \\[2.0ex] &= 1.6611 \times 10^{-27}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$

有効数字3桁で丸めると、
$$ 1\,\text{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\text{kg} $$

原子の世界の体重計の目盛り「\(1\,\text{u}\)」が、私たちの世界の「\(\text{kg}\)」で言うとどれくらいかを計算する問題です。基準となる炭素原子は、\(6000\)垓（がい）個（\(6.02 \times 10^{23}\) 個）集まってやっと \(12\,\text{g}\) になります。まず炭素原子1個の重さを計算し、それをさらに12等分したのが \(1\,\text{u}\) です。計算すると、とてつもなく軽い（\(0.000\dots\) とゼロが26個も続く）質量であることがわかります。

答えは \(1.66 \times 10^{-27}\,\text{kg}\) です。
陽子や中性子の質量が約 \(1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}\) であることを知っていれば、これとほぼ同じ値（少しだけ軽い）になっていることから、計算結果が妥当であると判断できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 統一原子質量単位（\(\text{u}\)）の定義
  • 核心: 原子や原子核の質量を扱う際、\(\text{kg}\) では値が小さすぎて不便なため、炭素原子 \({}^{12}\text{C}\) 1個の質量の \(1/12\) を基準（\(1\,\text{u}\)）とする単位系が採用されています。
  • 理解のポイント: 「なぜ炭素なのか？」は歴史的経緯や測定精度によりますが、重要なのは「\(1\,\text{mol}\) がちょうど \(12\,\text{g}\) になる原子」を基準にしているため、アボガドロ定数との関係が非常にシンプルになるという点です。
• アボガドロ定数と質量の関係
  • 核心: アボガドロ定数 \(N_A\) は、ミクロな質量（\(\text{u}\)）とマクロな質量（\(\text{g}\)）をつなぐ変換係数としての役割を果たします。
  • 理解のポイント: \(N_A \times 1\,\text{u} = 1\,\text{g}\) という関係式は、物理と化学の架け橋となる最重要公式の一つです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 原子量の計算: 「ある原子の質量が \(M\,\text{u}\) であるとき、その原子量（モル質量）はいくらか？」という問題。答えは数値そのまま \(M\,\text{g/mol}\) ですが、その理由を説明できるかが問われます。
  • 核反応のエネルギー計算: 質量欠損が \(\text{u}\) 単位で与えられたとき、それを \(\text{kg}\) に直して \(E=mc^2\) を計算する際、今回の換算係数（\(1.66 \times 10^{-27}\)）が必要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 定義に戻る: 単位の定義（何が基準か）を確認します。
  2. 単位換算のルート: \(\text{g} \rightarrow \text{kg}\) の変換（\(\times 10^{-3}\)）を忘れないようにします。
  3. アボガドロ定数の利用: 「個数」と「質量」を行き来する場合は、必ずアボガドロ定数が関わってきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位の取り違え（\(\text{g}\) と \(\text{kg}\)）:
  • 誤解: モル質量 \(12\,\text{g/mol}\) をそのまま \(12\) として計算し、答えの単位を \(\text{kg}\) にしてしまう（\(1000\)倍ズレる）。
  • 対策: 物理の基本単位は \(\text{kg}\) です。化学で習うモル質量は \(\text{g}\) ベースなので、必ず \(\times 10^{-3}\) をして \(\text{kg}\) に直す癖をつけましょう。
• 割り算の順序ミス:
  • 誤解: \(1\,\text{u}\) を求めるのに、アボガドロ定数を質量で割ってしまう（個数 \(\div\) 質量 \(= 1\,\text{kg}\) あたりの個数になってしまう）。
  • 対策: 「1個あたりの質量」を求めたいなら、「全体の質量 \(\div\) 全体の個数」です。単位（\(\text{kg}/\text{個}\)）を意識して式を立てましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定義式の選択理由:
  • 選定理由: \(1\,\text{u}\) の値は自然定数ではなく、人間が決めた定義値です。したがって、定義（\({}^{12}\text{C}\) の \(1/12\)）から出発する以外の方法はありません。
  • 適用根拠: 問題文に定義が明記されているため、それに従って立式するのが最も論理的で確実なアプローチです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の処理:
  • \(10^{-3} \div 10^{23} = 10^{-26}\) のように、指数の引き算を慎重に行いましょう。符号のミスは致命的です。
• 逆数の概算:
  • \(1 \div 6 \approx 0.166\) という数値感覚を持っておくと、\(1 \div 6.02\) の計算結果が妥当かどうか瞬時に判断できます。

595 塩素の原子量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「同位体と原子量の計算」です。自然界に存在する元素は、質量数の異なる同位体が一定の割合で混ざり合っています。その平均的な質量が「原子量」として定義されていることを理解し、計算できるかが問われています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
塩素には質量 \(34.97\,\text{u}\) の \({}^{35}\text{Cl}\) と、質量 \(36.97\,\text{u}\) の \({}^{37}\text{Cl}\) の2種類しかありません。
これらの平均値が \(35.45\) になるような混合比率を求めます。
未知数は \({}^{35}\text{Cl}\) の存在比 \(x\) だけなので、1次方程式を立てれば解けます。

この設問における重要なポイント

• \({}^{35}\text{Cl}\) の質量: \(34.97\,\text{u}\)
• \({}^{37}\text{Cl}\) の質量: \(36.97\,\text{u}\)
• 原子量（平均値）: \(35.45\)
• 存在比の合計は \(100\%\)。

具体的な解説と立式
\({}^{35}\text{Cl}\) の存在比を \(x\,[\%]\) とします。
すると、\({}^{37}\text{Cl}\) の存在比は \((100 – x)\,[\%]\) と表せます。

原子量は、それぞれの質量に存在比（割合）を掛けて足し合わせたものなので、以下の等式が成り立ちます。
$$ 35.45 = 34.97 \times \frac{x}{100} + 36.97 \times \frac{100 – x}{100} $$

両辺を \(100\) 倍して分母を払います。
$$ 3545 = 34.97x + 36.97(100 – x) $$

右辺を展開します。
$$ 3545 = 34.97x + 3697 – 36.97x $$

\(x\) を含む項をまとめ、定数項を移項します。
$$
\begin{aligned}
3545 – 3697 &= (34.97 – 36.97)x \\[2.0ex] -152 &= -2.00x
\end{aligned}
$$

両辺を \(-1\) で割り、\(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2.00x &= 152 \\[2.0ex] x &= \frac{152}{2.00} \\[2.0ex] x &= 76
\end{aligned}
$$

有効数字2桁で答えるため、\(76\%\) となります。

軽い塩素（約35g）と重い塩素（約37g）が混ざっていて、平均すると約35.5gになっています。平均値が軽い方に近いということは、軽い塩素の方がたくさん含まれているはずです。具体的にどれくらいの割合で混ざっているかを、平均の計算式を逆算して求めました。計算の結果、軽い方が76%、重い方が24%という割合であることがわかりました。

答えは \(76\%\) です。
平均値 \(35.45\) は、\(34.97\) と \(36.97\) の間でも、かなり \(34.97\) 寄りの値です。したがって、\({}^{35}\text{Cl}\) の割合が \(50\%\) よりも大きくなるはずであり、\(76\%\) という結果は直感的にも妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 原子量の定義（加重平均）
  • 核心: 原子量は、同位体の質量を単純に足して割った「算術平均」ではなく、それぞれの存在比率を考慮した「加重平均」であるという点です。
  • 理解のポイント: 自然界にある元素は、単一の質量を持つ粒子の集まりではなく、重さの違う兄弟（同位体）が混ざり合った混合物です。その混合物全体としての「平均的な重さ」が原子量です。
• 存在比の保存則
  • 核心: 2種類の同位体しかない場合、一方の存在比を \(x\) とすれば、もう一方は必ず \(1-x\)（または \(100-x\)）になります。
  • 理解のポイント: 未知数が1つで済むため、方程式が立てやすくなります。3種類以上の場合は \(x, y, z \dots\) となり、条件式（\(x+y+z=100\)）が必要になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 3種類以上の同位体: 例えばマグネシウムやネオンなど。この場合、原子量だけでは存在比は決まらず、「最も軽いものと最も重いものの比率は \(1:1\) である」などの追加条件が与えられます。
  • 分子量の計算: 塩素分子 \(\text{Cl}_2\) のように、同位体を持つ原子が結合した場合、分子の質量にもバリエーション（\(70, 72, 74\)）が生まれます。その存在比率は確率の積（\(x^2, 2x(1-x), (1-x)^2\)）で計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 同位体の種類を確認: 何種類の同位体が混ざっているかを見ます。
  2. 平均値の位置を確認: 原子量がどの同位体の質量に近いかを見れば、どの同位体がメインなのか（存在比が大きいのか）を瞬時に判断できます。
  3. 質量の差: 同位体間の質量の差（この問題では \(2.00\)）が計算のベースになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単純平均との混同:
  • 誤解: \((34.97 + 36.97) \div 2 = 35.97\) を原子量だと思ってしまう。
  • 対策: 存在比が \(50:50\) でない限り、単純平均にはなりません。「割合を掛けて足す」という手順を徹底しましょう。
• 計算ミス（桁数）:
  • 誤解: 小数点の位置を間違えたり、有効数字を途中で丸めてしまう。
  • 対策: この問題のように、同位体の質量差が整数（\(2.00\)）に近い場合が多いので、別解の「天秤法」を使って検算するとミスに気づきやすくなります。
• \(x\) の定義:
  • 誤解: \(x\) をパーセント（\(76\)）ではなく小数（\(0.76\)）で計算したのに、最後に \(\times 100\) を忘れて答えを \(0.76\%\) と書いてしまう。
  • 対策: 最初に \(x\) の単位を明確に（\([\%]\) なのか無次元なのか）定義し、式の中で \(/100\) をつけるかどうかを統一しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 加重平均の式の選択理由:
  • 選定理由: 「平均的な質量」を求める問題であり、それぞれの要素（同位体）が均等ではなく偏って存在しているため、加重平均を用いるのが数学的に正しいアプローチだからです。
  • 適用根拠: 問題文に「これらをもとに計算された原子量は」とあり、原子量の定義そのものが加重平均であることを示唆しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分母を払う:
  • \(35.45 = \dots\) の式のまま小数計算をするより、両辺を \(100\) 倍して \(3545 = \dots\) と整数にしてから計算する方が、小数点のミスが減ります。
• 差分に注目する:
  • \(34.97x + 36.97(100-x)\) を展開する際、\(34.97x – 36.97x = -2x\) と、係数の差（質量差）に注目すると計算が速くなります。これは別解の天秤法の考え方そのものです。

596 磁場中での放射線の進路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中における荷電粒子の運動（ローレンツ力）」です。放射線（\(\alpha\)線、\(\beta\)線、\(\gamma\)線）の正体とその電気的性質を理解し、磁場から受ける力の向きを判断できるかが問われています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(\alpha\)線はヘリウムの原子核であり、正の電荷を持っています。
正電荷が上向きに運動しているので、電流の向きも「上向き」と考えます。
磁場の向きはN極からS極、つまり「左から右」です。
これらをフレミングの左手の法則に当てはめて、力の向きを決定します。

この設問における重要なポイント

• \(\alpha\)線は正電荷（\(+2e\)）。
• 電流の向き \(= \alpha\)線の運動方向（上向き）。
• 磁場の向き \(= \text{N} \rightarrow \text{S}\)（右向き）。

具体的な解説と立式

1. 磁場の向き: N極（左）からS極（右）へ向かうので、右向きです。
2. 電流の向き: \(\alpha\)線は正電荷を持ち、鉛直上向きに運動しているので、電流の向きも上向きです。
3. 力の向き: フレミングの左手の法則を適用します。
   • 人差し指（磁場）を右に向けます。
   • 中指（電流）を上に向けます。
   • すると、親指（力）は「奥向き（紙面の裏側へ向かう向き）」を指します。

図の中で、奥側へ曲がっていく軌道は (c) です。

（計算不要。法則の適用のみ）

\(\alpha\)線はプラスの電気を持った粒です。プラスの粒が動く向きは、そのまま電流の向きと同じです。左手を出して、人差し指を磁石のNからS（右）へ、中指を粒が飛ぶ方向（上）へ向けてみてください。親指は向こう側（奥）を指しますね。だから、\(\alpha\)線は奥の方へ曲がっていきます。

力の向きは奥向きとなり、図の (c) の軌道と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(\beta\)線は電子であり、負の電荷を持っています。
負電荷が上向きに運動する場合、電流の向きはその逆の「下向き」と定義されます。
磁場の向きは変わらず「右向き」です。
これらをフレミングの左手の法則に当てはめます。

この設問における重要なポイント

• \(\beta\)線は負電荷（\(-e\)）。
• 電流の向き \(= \beta\)線の運動方向の逆（下向き）。
• 磁場の向き \(= \text{N} \rightarrow \text{S}\)（右向き）。

具体的な解説と立式

1. 磁場の向き: 右向きです。
2. 電流の向き: \(\beta\)線は負電荷を持ち、鉛直上向きに運動しています。負電荷の移動方向と電流の向きは逆なので、電流の向きは下向きになります。
3. 力の向き: フレミングの左手の法則を適用します。
   • 人差し指（磁場）を右に向けます。
   • 中指（電流）を下に向けます。
   • すると、親指（力）は「手前向き（紙面の表側へ向かう向き）」を指します。

図の中で、手前側へ曲がっていく軌道は (a) です。

（計算不要。法則の適用のみ）

\(\beta\)線はマイナスの電気を持った粒（電子）です。マイナスの粒が動くときは、電流はその逆向きに流れていると考えます。つまり、粒は上に飛んでいますが、電流は下に流れているとみなすのです。左手の人差し指を右へ、中指を下へ向けると、親指は手前を指します。だから、\(\beta\)線は手前の方へ曲がってきます。

力の向きは手前向きとなり、図の (a) の軌道と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(\gamma\)線は電磁波（光の仲間）であり、電荷を持っていません。
電荷を持たない粒子（または波）は、磁場から力を受けません。
したがって、進路は曲げられず、直進します。

この設問における重要なポイント

• \(\gamma\)線は電荷を持たない（電気的に中性）。
• ローレンツ力 \(f = qvB\) において \(q=0\) なので、力は \(0\)。

具体的な解説と立式
\(\gamma\)線は電荷を持たないため、磁場中を運動してもローレンツ力を受けません。
力学の法則（慣性の法則）により、力を受けない物体は等速直線運動を続けます。
したがって、直進する軌道 (b) となります。

（計算不要）

\(\gamma\)線は電気を持っていない、ただの「光（電磁波）」です。磁石の力は電気を持っているものにしか働かないので、\(\gamma\)線は何の影響も受けずにまっすぐ進みます。

力を受けないので直進し、図の (b) の軌道と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 放射線の電気的性質
  • 核心: 放射線には「正電荷を持つもの（\(\alpha\)線）」「負電荷を持つもの（\(\beta\)線）」「電荷を持たないもの（\(\gamma\)線）」の3種類があり、それぞれが電場や磁場に対して異なる反応を示すという点です。
  • 理解のポイント:
    • \(\alpha\)線 \(\rightarrow\) ヘリウム原子核 \({}_{2}^{4}\text{He}^{2+}\) \(\rightarrow\) 正電荷
    • \(\beta\)線 \(\rightarrow\) 電子 \(\text{e}^{-}\) \(\rightarrow\) 負電荷
    • \(\gamma\)線 \(\rightarrow\) 電磁波（光子） \(\rightarrow\) 電荷なし
• ローレンツ力とフレミングの左手の法則
  • 核心: 磁場中を運動する荷電粒子は、その運動方向と磁場の両方に垂直な力（ローレンツ力）を受けるという電磁気学の基本法則です。
  • 理解のポイント: 力の向きを決定する際、正電荷なら「運動方向＝電流の向き」、負電荷なら「運動方向の逆＝電流の向き」としてフレミングの法則を適用することが最大の鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電場中の運動: 磁場ではなく、プラスとマイナスの極板間（電場）を通す問題も頻出です。この場合、\(\alpha\)線はマイナス極板の方へ、\(\beta\)線はプラス極板の方へ曲がります（放物線軌道）。
  • 曲がりやすさ（比電荷）: \(\alpha\)線と\(\beta\)線で「どちらが大きく曲がるか」を問われることがあります。ローレンツ力による円運動の半径 \(r = \frac{mv}{qB}\) を考えると、質量 \(m\) が非常に小さい\(\beta\)線（電子）の方が、\(\alpha\)線よりも急激に曲がりやすい（半径が小さい）傾向があります（ただし速度 \(v\) にもよります）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 粒子の正体を見抜く: 問題文に「陽子」「電子」「中性子」などと書かれていれば、それぞれの電荷（\(+e, -e, 0\)）を即座に想起します。
  2. 3次元的な位置関係の把握: 磁場、運動方向、力の向きは互いに直交します。図を見て「手前」「奥」「右」「左」などの空間的な向きを正確に把握しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 負電荷の電流の向き:
  • 誤解: 電子が動く向きをそのまま中指（電流）の向きに合わせてしまう。
  • 対策: 「電子（マイナス）はへそ曲がり」と覚えましょう。動く方向と逆向きに電流が流れるとみなすステップを絶対に飛ばさないようにします。
• 図の奥行きの誤認:
  • 誤解: 斜めに描かれた矢印が「手前」なのか「奥」なのかわからなくなる。
  • 対策: 問題図の立体的な描き方（パース）に慣れましょう。通常、実線で描かれて手前に飛び出しているように見えるのが「手前」、点線で描かれたり物体の裏に隠れるように描かれるのが「奥」です。この問題では (a) が手前、(c) が奥です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フレミングの左手の法則の選択理由:
  • 選定理由: 「磁場」の中で「電流（荷電粒子の運動）」が受ける「力」の向きを決定するツールはこれしかありません。
  • 適用根拠: 放射線が荷電粒子の流れであること、そして磁場が存在することから、ローレンツ力が働く条件を満たしているためです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 左手の使い方の確認:
  • 試験中に左手を変な方向にひねって痛めないよう、紙（問題用紙）の方を回して、手が自然な向きになるように調整するテクニックが有効です。
  • 中指・人差し指・親指が互いに直角になっているか、常に確認しましょう。指が閉じていると正しい向きが出ません。

597 放射性崩壊の特徴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊のメカニズムと保存則」です。不安定な原子核が放射線を出して別の原子核に変わる現象を、構成粒子の変化として正しく理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(\alpha\)崩壊とは何か、その定義から出発します。\(\alpha\)線の正体がヘリウムの原子核であることを思い出し、それが原子核から飛び出すことで、残された原子核の陽子数（原子番号）と質量数がどう変わるかを計算します。
この設問における重要なポイント

• \(\alpha\)線の正体は、ヘリウムの原子核（\({}_2^4\text{He}\)）である。
• \({}_2^4\text{He}\)は、陽子 \(2\) 個、中性子 \(2\) 個からなる。
• 質量数は「陽子数 \(+\) 中性子数」である。

具体的な解説と立式
\(\alpha\)崩壊において放出される放射線（\(\alpha\)線）は、ヘリウムの原子核（\({}_2^4\text{He}\)）そのものです。
この\({}_2^4\text{He}\)という粒子は、以下の構成を持っています。

• 質量数（陽子数 \(+\) 中性子数）: \(4\)
• 原子番号（陽子数）: \(2\)

ある原子核からこの粒子が \(1\) 個放出されるということは、元の原子核から「質量数が \(4\) 分」、「原子番号が \(2\) 分」だけ持ち去られることを意味します。
したがって、崩壊後の原子核は、元の原子核に比べて以下のように変化します。

• 原子番号: \(2\) 減少する。
• 質量数: \(4\) 減少する。

本問は論述問題であり、上記の解説プロセスそのものが解答の根拠となります。数式による計算過程は別解にて詳しく扱います。

大きな原子核が、自分の一部をちぎって外に投げ捨てるイメージです。その投げ捨てられる塊が「ヘリウムの原子核（陽子2個＋中性子2個のセット）」です。中身がごっそり抜けるので、元の原子核は少し軽くなり（質量数が4減る）、種類も変わります（原子番号が2減る）。

放出されるのは\({}_2^4\text{He}\)の原子核であり、その分だけ親核の質量数と原子番号が減少するという結論は、質量数保存則および電荷数保存則と整合します。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(\beta\)崩壊では電子が飛び出してきますが、原子核の中に元々電子が入っているわけではありません。「中性子が変身する」というプロセスが重要です。
この設問における重要なポイント

• \(\beta\)線の正体は、高速の電子（\({}_{-1}^0\text{e}\)）である。
• 原子核内の中性子（\({}_0^1\text{n}\)）が、陽子（\({}_1^1\text{p}\)）と電子（\({}_{-1}^0\text{e}\)）に変化する。
• 電子の質量数は \(0\) とみなせる。

具体的な解説と立式
\(\beta\)崩壊の根本的なメカニズムは、原子核内にある \(1\) 個の中性子が、陽子と電子に変化することです。
このとき生成された電子が、放射線（\(\beta\)線）として原子核の外へ放出されます。一方、生成された陽子は原子核の中に留まります。

この変化による原子核全体への影響を考えます。

• 質量数（陽子数 \(+\) 中性子数）: 中性子が \(1\) 個減りますが、代わりに陽子が \(1\) 個増えるため、合計の数は変わりません。したがって、質量数は変化しません。
• 原子番号（陽子数）: 中性子が陽子に変わることで、陽子の数が \(1\) 個増えます。したがって、原子番号は \(1\) 増加します。

本問は論述問題であり、上記の解説プロセスそのものが解答の根拠となります。数式による計算過程は別解にて詳しく扱います。

原子核の中で「中性子」という粒が、「陽子」と「電子」に分裂する変身を起こします。電子は軽いので外に飛び出していき（これが\(\beta\)線）、重い陽子はその場に残ります。結果として、原子核の中の粒の総数（質量数）は変わりませんが、陽子の数（原子番号）が一つ増えるので、元素の種類が変わります。

中性子が陽子と電子に変わるという微視的なメカニズムから、原子核全体のマクロな変化（質量数不変、原子番号+1）が論理的に導かれます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 放射性崩壊の定義と粒子の正体
  • 核心: \(\alpha\)崩壊と\(\beta\)崩壊という現象を、単なる言葉の暗記ではなく、「どのような粒子が放出されるか」という物理的実体として理解することです。
  • 理解のポイント:
    • \(\alpha\)線 \(= {}_2^4\text{He}\)（ヘリウム原子核）
    • \(\beta\)線 \(= {}_{-1}^0\text{e}\)（電子）
    • \(\gamma\)線 \(= \text{電磁波}\)（光子、質量数・原子番号ともに変化なし）
• 核反応における保存則
  • 核心: 化学反応で原子の数が変わらないように、核反応（崩壊）の前後でも変わらない量があるという法則です。
  • 理解のポイント:
    • 質量数保存則: 反応式の左辺と右辺で、左上の数字（質量数）の合計は常に等しい。
    • 電荷数（原子番号）保存則: 反応式の左辺と右辺で、左下の数字（原子番号）の合計は常に等しい。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊系列の計算問題: 「ウラン238（\({}_{92}^{238}\text{U}\)）が\(\alpha\)崩壊を \(x\) 回、\(\beta\)崩壊を \(y\) 回繰り返して鉛206（\({}_{82}^{206}\text{Pb}\)）になった。\(x, y\) を求めよ」といった問題。
    • 解法: 質量数の変化は\(\alpha\)崩壊のみに依存することに着目してまず \(x\) を求め、次に原子番号の変化から \(y\) を求めるのが鉄則です。
  • 未知の粒子の同定: 核反応式の穴埋め問題で、未知の粒子 \(\text{X}\) を特定する問題。
    • 解法: 保存則を使って \(\text{X}\) の質量数と原子番号を特定し、それが中性子（\({}_0^1\text{n}\)）、陽子（\({}_1^1\text{p}\)）、重陽子（\({}_1^2\text{H}\)）などのどれに該当するかを判断します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは反応式を書く: 文章だけで考えず、必ず \({}_Z^A\text{X} \rightarrow \dots\) の形の反応式を書き出します。
  2. 数字の収支を合わせる: 左上（質量数）と左下（原子番号）の数字の足し算・引き算を行います。
  3. 隠れた粒子に注意: \(\beta\)崩壊では、原子核内の変化（\({}_0^1\text{n} \rightarrow {}_1^1\text{p} + {}_{-1}^0\text{e}\)）を意識することが不可欠です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\beta\)崩壊で質量数が減ると勘違いする:
  • 誤解: 「電子が飛び出すのだから、少しは軽くなる（質量数が減る）のではないか？」と考えてしまう。
  • 対策: 質量数 \(A\) は「陽子数 \(+\) 中性子数」の整数値であり、電子の質量は陽子や中性子の約1/1840と極めて小さいため、質量数にはカウントされません（質量数は \(0\) として扱います）。
• 原子核の中に電子が入っているという誤解:
  • 誤解: \(\beta\)崩壊で電子が出てくるので、原子核の中に元々電子が存在していたと思ってしまう。
  • 対策: 「中性子がその場で変身して電子を生み出し、即座に放出する」というメカニズムを正しく理解しましょう。原子核の住人は陽子と中性子だけです。
• 原子番号の変化の符号ミス:
  • 誤解: \(\beta\)崩壊で電子（マイナスの電荷）が出ていくので、原子番号も減ると思ってしまう。
  • 対策: 「マイナスのものを捨てる \(= \text{プラスが増える}\)」という感覚を持つか、反応式 \({}_Z^A\text{X} \rightarrow {}_{Z+1}^A\text{Y} + {}_{-1}^0\text{e}\) を書いて、右辺の足し算 \( (Z+1) + (-1) = Z \) で確認するのが確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 保存則の適用:
  • 選定理由: 原子核の変化を定量的に扱うための唯一にして絶対的なルールだからです。
  • 適用根拠: どのような核反応であっても、外部からのエネルギー供給などがなければ、電荷の総量と核子の総数（質量数）は保存されます。この原理原則に基づけば、複雑な崩壊過程も単純な足し算・引き算に帰着できます。
• 反応式の利用（別解のアプローチ）:
  • 選定理由: 言葉による説明は曖昧になりがちですが、数式（反応式）は厳密で誤解の余地がないからです。
  • 適用根拠: \(\alpha\)粒子を \({}_2^4\text{He}\)、\(\beta\)粒子を \({}_{-1}^0\text{e}\) と定義することで、化学反応式と同様の代数的な処理が可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 上下の数字を別々に計算する:
  • 反応式を書いたら、まず「上の数字（質量数）」だけの等式を作り、次に「下の数字（原子番号）」だけの等式を作ります。これらを混ぜずに独立して解くことでミスを防げます。
• 検算の習慣:
  • 答えが出たら、逆算して元の原子核に戻るか確認しましょう。例えば、\(\beta\)崩壊なら「原子番号が増えた原子核」と「電子（\(-1\)）」を足して、元の原子番号に戻るかをチェックします。
• 粒子の記号を正確に覚える:
  • \({}_2^4\text{He}\), \({}_{-1}^0\text{e}\), \({}_0^1\text{n}\), \({}_1^1\text{p}\) などの記号は、九九のように反射的に書けるようにしておきましょう。ここが曖昧だと、立式自体ができません。

598 放射性崩壊と質量数の変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊系列と核子の保存則」です。原子核が崩壊を繰り返して安定な原子核に変化する過程を、陽子・中性子の数や質量数の変化として追跡します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
原子核を表す記号 \({}_{Z}^{A}\text{X}\) の定義を確認します。

• 左下の数字 \(Z\): 原子番号 \(=\) 陽子の数 \(=\) 電荷数
• 左上の数字 \(A\): 質量数 \(=\) 陽子の数 \(+\) 中性子の数

この設問における重要なポイント

• 陽子の数は、原子番号そのものである。
• 中性子の数は、質量数から陽子の数を引くことで求められる。

具体的な解説と立式
トリウム原子核 \({}_{90}^{232}\text{Th}\) について考えます。

まず、陽子の数についてです。
元素記号の左下の数字は原子番号を表しており、これは陽子の数と等しいです。
$$ \text{陽子の数} = 90 $$

次に、中性子の数についてです。
元素記号の左上の数字は質量数を表しており、これは「陽子の数 \(+\) 中性子の数」です。
したがって、中性子の数は質量数から陽子の数を引くことで求められます。
$$ \text{中性子の数} = (\text{質量数}) – (\text{陽子の数}) $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\text{中性子の数} &= 232 – 90 \\[2.0ex] &= 142
\end{aligned}
$$

原子核の記号の読み方を確認する問題です。「下の数字」が陽子の数そのものです。「上の数字」は陽子と中性子の合計なので、そこから陽子の数（下の数字）を引けば、残りの数である中性子の数がわかります。

陽子の数は \(90\) 個、中性子の数は \(142\) 個です。これらは原子核として妥当な整数値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
トリウムが鉛になるまでには、複数回の\(\alpha\)崩壊と\(\beta\)崩壊が起こります。しかし、質量数（重さの目安）に注目すると、\(\beta\)崩壊は影響を与えません。質量数を減らすのは\(\alpha\)崩壊だけです。この性質を利用して、質量数の変化量に制限（整数倍のルール）があることを見抜きます。
この設問における重要なポイント

• \(\alpha\)崩壊 \(1\) 回につき、質量数は \(4\) 減少する。
• \(\beta\)崩壊では、質量数は変化しない（\(0\) 減少）。
• したがって、全体の質量数の減少量は、必ず「\(4\) の倍数」になるはずである。

具体的な解説と立式
崩壊前のトリウム \({}_{90}^{232}\text{Th}\) の質量数は \(232\) です。
崩壊後の鉛 \(\text{Pb}\) の質量数を \(A’\) とします。

この崩壊系列において、\(\alpha\)崩壊が \(x\) 回、\(\beta\)崩壊が \(y\) 回起こったと仮定します。
質量数の変化のみに着目すると、以下の関係が成り立ちます。
$$ (\text{始めの質量数}) – 4 \times (\alpha\text{崩壊の回数}) = (\text{終わりの質量数}) $$
すなわち、
$$ 232 – 4x = A’ $$
これを変形すると、質量数の減少量は以下のようになります。
$$ 232 – A’ = 4x $$
ここで \(x\) は回数なので自然数（または \(0\)）です。つまり、質量数の差 \(232 – A’\) は必ず \(4\) の倍数でなければなりません。

各選択肢について、質量数の減少量を計算し、\(4\) の倍数になっているかを確認します。

• \(205\) の場合:
  $$ 232 – 205 = 27 $$
  （\(4\) の倍数ではないため不適）
• \(206\) の場合:
  $$ 232 – 206 = 26 $$
  （\(4\) の倍数ではないため不適）
• \(207\) の場合:
  $$ 232 – 207 = 25 $$
  （\(4\) の倍数ではないため不適）
• \(208\) の場合:
  $$ 232 – 208 = 24 $$
  （\(24 = 4 \times 6\) なので、\(4\) の倍数であり適する）

したがって、条件を満たすのは \(208\) のみです。

\(\alpha\)崩壊は「質量数4の塊（ヘリウム原子核）」を捨てる現象で、\(\beta\)崩壊は「質量数ほぼ0の粒（電子）」を捨てる現象です。
つまり、元の重さ（232）から減っていく量は、必ず「4の倍数」になります。
「232から引いて4の倍数になる数」を選択肢から探すと、208しかありません（差が24）。

質量数が \(208\) の場合、質量数の減少量は \(24\) となり、これは \(\alpha\)崩壊が \(6\) 回起きたことに相当します。これは物理的に矛盾しません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 放射性崩壊系列と核子の保存則
  • 核心: 不安定な原子核が安定な原子核になるまで崩壊を繰り返す過程（崩壊系列）において、各ステップで「質量数」と「原子番号（電荷数）」が厳密に保存されるという法則です。
  • 理解のポイント:
    • \(\alpha\)崩壊: 質量数が \(4\) 減り、原子番号が \(2\) 減る。（ヘリウム核 \({}_2^4\text{He}\) の放出）
    • \(\beta\)崩壊: 質量数は変わらず、原子番号が \(1\) 増える。（電子 \({}_{-1}^0\text{e}\) の放出）
    • \(\gamma\)崩壊: 質量数も原子番号も変わらない。（電磁波の放出）
• 質量数変化の量子性（離散性）
  • 核心: 自然界に存在する主な崩壊モードにおいて、質量数を変化させるのは\(\alpha\)崩壊のみであるため、質量数の変化量は常に「\(4\) の整数倍」になるという性質です。
  • 理解のポイント: これにより、ある原子核から出発する崩壊系列は、質量数を \(4\) で割った余りによって \(4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3\) の4つの系列（トリウム系列、ネプツニウム系列、ウラン系列、アクチニウム系列）に分類されます。本問はトリウム系列（\(4n\) 系列）の典型例です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊回数の特定: 「ウラン238が鉛206になるまでに、\(\alpha\)崩壊と\(\beta\)崩壊はそれぞれ何回起こるか？」
    • 解法: まず質量数の差を \(4\) で割って\(\alpha\)崩壊の回数 \(x\) を確定させます。次に、原子番号の差と \(x\) を使って方程式を立て、\(\beta\)崩壊の回数 \(y\) を求めます。
  • 崩壊系列の分類: 「次の原子核のうち、同じ崩壊系列に属するものはどれか？」
    • 解法: 各原子核の質量数 \(A\) を \(4\) で割り、余りが同じものをグループ化します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 質量数の変化に注目: まず質量数を見ます。変化量が \(4\) の倍数でなければ、計算ミスか、あるいは中性子放出など特殊な反応が含まれている可能性があります（高校物理では稀）。
  2. 原子番号の変化に注目: 質量数から\(\alpha\)崩壊の回数が決まったら、それによる原子番号の減少分（\(-2 \times \text{回数}\)）を計算します。実際の原子番号とのズレがあれば、それは全て\(\beta\)崩壊（\(+1 \times \text{回数}\)）によるものです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 中性子数を質量数と混同する:
  • 誤解: 記号の左上の数字（質量数）をそのまま中性子の数だと思ってしまう。
  • 対策: 「質量数 \(=\) 陽子 \(+\) 中性子」という定義を常に意識し、中性子数を求めるには引き算（上 \(-\) 下）が必要であることを徹底します。
• \(\beta\)崩壊で原子番号が減ると勘違いする:
  • 誤解: 電子（マイナス）が出るから原子番号も減る、あるいは質量数が変わらないから原子番号も変わらないと思ってしまう。
  • 対策: 「中性子 \(\to\) 陽子 \(+\) 電子」という反応を思い出し、陽子が増える（原子番号が \(+1\) される）ことを確認します。
• 崩壊回数の計算順序ミス:
  • 誤解: 原子番号の変化から先に崩壊回数を求めようとして、変数が2つ（\(\alpha\)と\(\beta\)）あるため行き詰まる。
  • 対策: 必ず「質量数変化 \(\to\) \(\alpha\)崩壊回数確定 \(\to\) 原子番号変化 \(\to\) \(\beta\)崩壊回数確定」という順序を守ります。\(\beta\)崩壊は質量数を変えないため、質量数情報は\(\alpha\)崩壊のみに依存するからです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 保存則に基づく連立方程式（別解のアプローチ）:
  • 選定理由: 崩壊の回数や最終的な生成物を特定するための最も厳密で汎用的な手法だからです。
  • 適用根拠: 核反応の前後で「質量数の総和」と「電荷数の総和」が保存されるという物理法則は絶対的です。これを数式化することで、定性的な推論ではなく定量的な解が得られます。
• 「差が4の倍数」という性質の利用（メイン解法）:
  • 選定理由: 選択肢形式の問題において、最も迅速に正解を絞り込める効率的な手法だからです。
  • 適用根拠: \(\beta\)崩壊による質量数変化が \(0\) であるため、質量数変化の全責任は\(\alpha\)崩壊（変化量 \(-4\)）にあります。したがって、総変化量は必然的に \(4\) の整数倍になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 引き算の検算:
  • (1)の中性子数の計算（\(232 – 90\)）などは単純ですが、ケアレスミスが起きやすい箇所です。「\(142 + 90 = 232\)」のように、足し算で元に戻るか一瞬で確認する癖をつけましょう。
• 倍数の確認:
  • (2)で質量数の差を計算した後、それが本当に \(4\) で割り切れるか（下2桁が4の倍数か）を確認します。例えば \(27\) や \(26\) が出たら、その時点で選択肢から除外できます。
• 具体的な回数のイメージ:
  • 「差が24だから\(\alpha\)崩壊は6回だな」と具体的にイメージすることで、単なる数字遊びではなく物理現象としての実感が湧き、ミスの発見につながります。

599 放射性崩壊

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊系列の追跡」です。ラジウムから鉛に至る一連の崩壊過程において、\(\alpha\)崩壊と\(\beta\)崩壊がそれぞれ何回起こったか、また各ステップで原子核がどのように変化するかを解明します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ラジウム \({}_{88}^{226}\text{Ra}\) が鉛 \({}_{82}^{206}\text{Pb}\) になるまでの全体像を捉えます。
質量数の変化は\(\alpha\)崩壊のみに依存するため、まず質量数の減少量から\(\alpha\)崩壊の回数を決定します。
次に、\(\alpha\)崩壊による原子番号の減少量を計算し、実際の原子番号との差分が\(\beta\)崩壊による増加分であると考えます。
この設問における重要なポイント

• 質量数の減少量 \(=\) \(4 \times\) (\(\alpha\)崩壊の回数)
• 原子番号の変化量 \(=\) \(-2 \times\) (\(\alpha\)崩壊の回数) \(+\) \(1 \times\) (\(\beta\)崩壊の回数)

具体的な解説と立式
まず、質量数の変化に着目します。
始めの質量数は \(226\)、終わりの質量数は \(206\) です。
質量数の減少量は \(226 – 206 = 20\) です。
\(\alpha\)崩壊 \(1\) 回につき質量数は \(4\) 減少するので、\(\alpha\)崩壊の回数を \(x\) とすると、
$$ 4x = 20 $$
これより、
$$ x = 5 $$
つまり、\(\alpha\)崩壊は \(5\) 回起こりました。

次に、原子番号の変化に着目します。
始めの原子番号は \(88\) です。
もし\(\alpha\)崩壊だけが \(5\) 回起こったとすると、原子番号は \(2 \times 5 = 10\) だけ減少して、
$$ 88 – 10 = 78 $$
となるはずです。
しかし、実際の終わりの原子番号は \(82\) です。
この差 \(82 – 78 = 4\) は、\(\beta\)崩壊によって原子番号が増加した分です。
\(\beta\)崩壊 \(1\) 回につき原子番号は \(1\) 増加するので、\(\beta\)崩壊の回数は \(4\) 回となります。

• \(\alpha\)崩壊の回数:
  $$ \frac{226 – 206}{4} = \frac{20}{4} = 5\,\text{回} $$
• \(\beta\)崩壊の回数:
  $$ 82 – (88 – 2 \times 5) = 82 – 78 = 4\,\text{回} $$

まず「重さ（質量数）」を見ます。20軽くなっていますが、重さを変えられるのは\(\alpha\)崩壊（1回で4軽くなる）だけです。だから\(\alpha\)崩壊は5回起きたとわかります。
次に「種類（原子番号）」を見ます。\(\alpha\)崩壊が5回起きると、原子番号は10減って78になるはずです。でも実際は82になっています。足りない4つ分は、原子番号を1つ増やす\(\beta\)崩壊が4回起きて補ったということです。

\(\alpha\)崩壊が \(5\) 回、\(\beta\)崩壊が \(4\) 回です。回数が整数となり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
崩壊系列図の左から右へ、矢印ごとに計算を進めます。
矢印の上に「\(\alpha\)線」とあれば質量数 \(-4\)、原子番号 \(-2\) します。
矢印の上に「\(\beta\)線」とあれば質量数 \(\pm 0\)、原子番号 \(+1\) します。
逆に、前後の数値の変化から放射線の種類（\(\alpha\)か\(\beta\)か）を特定する場合もあります。
この設問における重要なポイント

• \(\text{Rn}\)（ラドン）、\(\text{Po}\)（ポロニウム）、\(\text{Bi}\)（ビスマス）などの元素記号自体は覚えなくてよいが、原子番号の変化には注目する。
• 空欄の前後の関係を正しく読み取る。

具体的な解説と立式
左から順に追跡します。

1. \({}^{226}\text{Ra} \xrightarrow{\alpha} \text{Rn}\)
   \(\alpha\)崩壊なので、質量数は \(4\) 減り、原子番号は \(2\) 減ります。
   (ア) 質量数: \(226 – 4 = 222\)
   (イ) 原子番号: \(88 – 2 = 86\)
2. \({}^{222}\text{Rn} \xrightarrow{(ウ)} {}_{84}\text{Po}\)
   原子番号が \(86\)（(イ)の結果）から \(84\) に変化しています。
   \(2\) 減っているので、これは\(\alpha\)崩壊です。
   (ウ) 放出された線: \(\alpha\)
3. \({}^{222}\text{Rn} \xrightarrow{\alpha} {}_{84}\text{Po}\)
   (ウ)が\(\alpha\)線とわかったので、質量数も計算します。
   (エ) 質量数: \(222 – 4 = 218\)
4. \({}^{218}\text{Po} \xrightarrow{\alpha} \text{Pb}\)
   \(\alpha\)崩壊なので、質量数は \(4\) 減り、原子番号は \(2\) 減ります。
   (オ) 質量数: \(218 – 4 = 214\)
   (カ) 原子番号: \(84 – 2 = 82\)
5. \({}^{214}\text{Pb} \xrightarrow{(キ)} {}_{83}\text{Bi}\)
   原子番号が \(82\)（(カ)の結果）から \(83\) に変化しています。
   \(1\) 増えているので、これは\(\beta\)崩壊です。
   (キ) 放出された線: \(\beta\)
6. \({}^{214}\text{Pb} \xrightarrow{\beta} {}_{83}\text{Bi}\)
   \(\beta\)崩壊なので、質量数は変化しません。
   (ク) 質量数: \(214\) （(オ)と同じ）

上記解説内の計算を参照。

すごろくのように、矢印に従って数字を進めていきます。
「\(\alpha\)」が出たら「上をマイナス4、下をマイナス2」。
「\(\beta\)」が出たら「上はそのまま、下をプラス1」。
逆に、数字の変化を見て「下が2減ってるから\(\alpha\)だな」「下が1増えてるから\(\beta\)だな」と推理する箇所もあります。

全ての空欄が矛盾なく埋まりました。
(ア) 222, (イ) 86, (ウ) \(\alpha\), (エ) 218, (オ) 214, (カ) 82, (キ) \(\beta\), (ク) 214

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 放射性崩壊系列の追跡と保存則
  • 核心: 複雑に見える崩壊系列も、一つ一つのステップは単純な\(\alpha\)崩壊または\(\beta\)崩壊の積み重ねであり、全過程を通じて「質量数」と「原子番号（電荷数）」が厳密に保存されるという法則です。
  • 理解のポイント:
    • \(\alpha\)崩壊: 質量数 \(-4\)、原子番号 \(-2\)（ヘリウム核放出）。
    • \(\beta\)崩壊: 質量数 \(\pm 0\)、原子番号 \(+1\)（電子放出）。
    • 全体と部分の関係: (1)のように始状態と終状態だけを見て全体の回数を求めるマクロな視点と、(2)のように個別の崩壊ステップを追うミクロな視点の両方を行き来できることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊系列図の穴埋め: 本問(2)のように、矢印や元素記号が並んだ図の空欄を埋める問題。
    • 解法: 矢印の向きに従って、前の原子核の数値から次の原子核の数値を計算します。逆に、前後の数値から崩壊の種類（\(\alpha\)か\(\beta\)か）を特定する逆算も頻出です。
  • 半減期を含む計算: 「ある時間が経過した後、ラジウムと鉛の比率はどうなるか？」といった問題。
    • 解法: まず本問のように崩壊系列を理解した上で、放射性崩壊の法則 \(N = N_0 (1/2)^{t/T}\) を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 質量数の変化を最優先: 質量数を変えるのは\(\alpha\)崩壊だけです。どんなに複雑な経路でも、質量数の差を見れば\(\alpha\)崩壊の総回数は一発で決まります。
  2. 原子番号のズレは\(\beta\)崩壊: \(\alpha\)崩壊による原子番号の減少分と、実際の原子番号の差分は、全て\(\beta\)崩壊による増加分です。
  3. 同位体の識別: 質量数が違っても原子番号が同じなら、それは同位体（同じ元素）です。例えば \({}^{214}\text{Pb}\) と \({}^{206}\text{Pb}\) はどちらも鉛です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\beta\)崩壊の回数計算ミス:
  • 誤解: 「原子番号の差」をそのまま\(\beta\)崩壊の回数だと思ってしまう。
  • 対策: 原子番号の変化は「\(\alpha\)崩壊による減少」と「\(\beta\)崩壊による増加」の合算です。必ず \(\Delta Z = -2x + y\) の式を立てて考えましょう。単なる引き算では求まりません。
• 崩壊系列図の読み間違い:
  • 誤解: 矢印の上の文字（\(\alpha, \beta\)）を見落として、勝手に崩壊の種類を決めつけてしまう。
  • 対策: 図中の情報は全てヒントです。特に、原子番号が \(+1\) されているのに質量数が減っている（あり得ない）ような計算をしていないか、常に前後の整合性をチェックします。
• 元素記号の暗記不要:
  • 誤解: ラドン(\(\text{Rn}\))やポロニウム(\(\text{Po}\))の原子番号を暗記していないと解けないと焦る。
  • 対策: 物理の問題では、必要な原子番号は問題文や図から導けるようになっています。暗記ではなく、計算で導出することに集中しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 連立方程式による解法（別解のアプローチ）:
  • 選定理由: 崩壊の順序や途中経過に依存せず、始状態と終状態の情報だけで確実に解を導ける最も堅牢な手法だからです。
  • 適用根拠: 核反応の保存則（質量数保存、電荷数保存）は、個別の反応だけでなく、一連の反応全体を通しても成立します。したがって、全過程を一つの反応式として記述し、係数比較を行うことが物理的に正当化されます。
• 逐次的な計算（メイン解法）:
  • 選定理由: 「質量数は\(\alpha\)崩壊のみに依存する」という物理的特性を直感的に利用でき、計算量が少なく済むからです。
  • 適用根拠: 変数が2つ（\(x, y\)）あっても、一方の式（質量数）が片方の変数（\(x\)）のみに依存する構造になっているため、連立方程式を意識せずとも順次解くことが可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • \(\alpha\)崩壊は「引く」、\(\beta\)崩壊は「足す（原子番号）」という基本動作を徹底します。特に\(\beta\)崩壊で原子番号を引いてしまうミスが多いので注意が必要です。
• 指差し確認:
  • (2)のような穴埋め問題では、計算した数値を空欄に書き込んだ後、もう一度「\(222 – 4 = 218\) よし、\(86 – 2 = 84\) よし」と指差し確認を行います。一つズレるとその後ろが全て不正解になるドミノ倒しを防ぎます。
• 常識的な値の範囲:
  • 原子番号が極端に小さい（例: 10以下）とか、質量数がマイナスになるといった結果が出たら、確実に計算ミスです。原子核物理の問題では、原子番号は80〜90付近、質量数は200〜240付近で推移することが多いです。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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