プロセス
1 交流の角周波数と周期
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「交流信号の基本特性（周波数、角周波数、周期）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 周波数 \(f\) と周期 \(T\) の関係: 互いに逆数の関係にあります（\(fT = 1\)）。
- 角周波数 \(\omega\) の定義: 単位時間あたりの位相の変化量であり、周波数 \(f\) とは \(\omega = 2\pi f\) の関係があります。
- 有効数字の取り扱い: 問題文の数値に合わせて、適切な桁数で答える必要があります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 与えられた周波数 \(f\) から、公式を用いて角周波数 \(\omega\) を計算します。
- 周波数 \(f\) の逆数をとり、周期 \(T\) を計算します。
- 計算結果を適切な有効数字（ここでは2桁）で表記します。
思考の道筋とポイント
この問題は、交流回路における最も基本的な物理量である「周波数」「角周波数」「周期」の相互関係を問うものです。それぞれの定義をしっかりと確認しましょう。
- 周波数 \(f\) \([\text{Hz}]\): \(1\) 秒間に繰り返される波（サイクル）の数です。
- 角周波数 \(\omega\) \([\text{rad/s}]\): 交流の変化を等速円運動に例えたとき、\(1\) 秒間に進む角度（位相）です。\(1\) サイクル（\(1\) 回転）は \(2\pi \, \text{rad}\) に相当します。
- 周期 \(T\) \([\text{s}]\): 波が \(1\) サイクルするのにかかる時間です。
この設問における重要なポイント
- 角周波数と周波数の関係: \(1\) 回転は \(2\pi \, \text{rad}\) なので、\(1\) 秒間に \(f\) 回転する場合、角周波数は \(\omega = 2\pi f\) となります。
- 周期と周波数の関係: \(1\) 秒間に \(f\) 回振動するということは、\(1\) 回の振動にかかる時間は \(1\) 秒を \(f\) 等分したものになります。つまり、\(T = \displaystyle\frac{1}{f}\) です。
- 有効数字: 問題文の数値「\(50 \, \text{Hz}\)」は有効数字2桁とみなします。したがって、円周率 \(\pi\) は \(3.14\) を使用し、最終的な答えも有効数字2桁で答えるのが適切です。
具体的な解説と立式
まず、角周波数 \(\omega\) を求めます。
角周波数 \(\omega\) は、周波数 \(f\) を用いて次のように表されます。
$$ \omega = 2\pi f $$
ここで、問題文より \(f = 50 \, \text{Hz}\) です。
次に、周期 \(T\) を求めます。
周期 \(T\) は周波数 \(f\) の逆数として定義されるため、以下の式で表されます。
$$ T = \frac{1}{f} $$
使用した物理公式
- 角周波数: \(\omega = 2\pi f\)
- 周期: \(T = \displaystyle\frac{1}{f}\)
まず、角周波数 \(\omega\) を計算します。円周率 \(\pi \approx 3.14\) として代入します。
$$
\begin{aligned}
\omega &= 2 \times 3.14 \times 50 \\[2.0ex]
&= 3.14 \times 100 \\[2.0ex]
&= 314 \, \text{rad/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(314\) を科学的表記法（\(a \times 10^n\) の形）に直して四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
\omega &= 3.14 \times 10^2 \\[2.0ex]
&\approx 3.1 \times 10^2 \, \text{rad/s}
\end{aligned}
$$
次に、周期 \(T\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{50} \\[2.0ex]
&= \frac{1 \times 2}{50 \times 2} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{100} \\[2.0ex]
&= 0.02 \, \text{s}
\end{aligned}
$$
これも有効数字2桁で表記します。
$$
\begin{aligned}
T &= 2.0 \times 10^{-2} \, \text{s}
\end{aligned}
$$
この問題は、家庭用コンセントに来ている電気（交流）の性質を表す数字を計算するものです。
- 状況の要約: 「\(50 \, \text{Hz}\)」という数字は、電気が \(1\) 秒間に \(50\) 回、プラスとマイナスを行ったり来たりしていることを表しています（東日本の家庭用電源と同じです）。
- 解法のロジック:
- 角周波数: この電気の揺れを「ぐるぐる回る円運動」に例えてみます。\(1\) 回まわると \(360^\circ\)（\(2\pi\) ラジアン）です。\(1\) 秒に \(50\) 回まわるなら、角度は合計でどれくらい進むか？を計算したのが角周波数です。\(50 \times 2\pi\) で計算できます。
- 周期: \(1\) 秒に \(50\) 回揺れるなら、「\(1\) 回の揺れ」にかかる時間はどれくらいか？と考えます。これは \(1\) 秒を \(50\) 人で分けるのと同じ計算（割り算）になります。
- 結果の解釈: 計算の結果、この電気は \(1\) 秒間に約 \(310\) ラジアン分の角度が進む速さで変化しており、\(1\) 回の変化にかかる時間は \(0.02\) 秒という非常に短い一瞬であることがわかります。
2 交流電圧の実効値と最大値
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「交流電圧の実効値と最大値の関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 実効値 \(V_{\text{実効}}\) の定義: 交流電圧と同じ電力を消費する直流電圧の値。
- 正弦波交流における関係式: 最大値 \(V_0\) と実効値 \(V_{\text{実効}}\) の間には \(V_0 = \sqrt{2} V_{\text{実効}}\) の関係が成り立ちます。
- 平方根の近似値: \(\sqrt{2} \approx 1.414\) を用いて計算します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 実効値と最大値を結びつける公式を確認します。
- 与えられた実効値 \(100 \, \text{V}\) を公式に代入します。
- 有効数字（ここでは3桁）に注意して計算結果をまとめます。
思考の道筋とポイント
私たちが普段使っている家庭用コンセントの電圧は「\(100 \, \text{V}\)」と呼ばれていますが、これは常に \(100 \, \text{V}\) で一定という意味ではありません。交流電圧は時間とともに変動しており、「\(100 \, \text{V}\)」というのは、電気的な仕事をする能力（電力）の平均的な値を直流に換算した「実効値」を指しています。
実際の電圧は、\(0 \, \text{V}\) から最大値（ピーク電圧）まで変動しています。正弦波交流の場合、この最大値は実効値よりも大きくなり、その倍率は \(\sqrt{2}\) 倍であることが知られています。
この設問における重要なポイント
- 実効値 \(V_{\text{実効}}\) と最大値 \(V_0\) の関係式:
$$ V_{\text{実効}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \quad \text{または} \quad V_0 = \sqrt{2} V_{\text{実効}} $$
この関係は、正弦波交流において常に成り立ちます。 - 数値感覚: 実効値 \(100 \, \text{V}\) に対して、最大値は約 \(141 \, \text{V}\) になるという事実は、物理常識として知っておくと検算に役立ちます。
具体的な解説と立式
求める交流電圧の最大値を \(V_0\)、与えられた実効値を \(V_{\text{実効}}\) とします。
問題文より、以下の値が与えられています。
$$ V_{\text{実効}} = 100 \, \text{V} $$
正弦波交流における最大値と実効値の関係式より、以下の式を立てます。
$$ V_0 = \sqrt{2} V_{\text{実効}} $$
使用した物理公式
- 交流の最大値と実効値の関係: \(V_0 = \sqrt{2} V_{\text{実効}}\)
立式した式に数値を代入して計算します。\(\sqrt{2} \approx 1.414\) とします。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= 1.414 \times 100 \\[2.0ex]
&= 141.4 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
問題の数値 \(100 \, \text{V}\) は、解答が \(141 \, \text{V}\) となっていることから有効数字3桁として扱います。したがって、小数第1位を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
V_0 &\approx 141 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
1. 状況の要約: コンセントに来ている電気は、常に電圧が変化する「交流」です。「\(100 \, \text{V}\)」というのは、いわば「平均的なパワー」を表す数字（実効値）です。
2. 解法のロジック: 実際の電圧の波の頂点（最大値）は、平均的なパワーの値よりも高くなります。数学的な計算（積分の平均）から、正弦波の場合、頂点の高さは実効値の \(\sqrt{2}\) 倍（約 \(1.41\) 倍）になることがわかっています。
3. 結果の解釈: つまり、家のコンセントの電圧は、一瞬一瞬を見ると \(+141 \, \text{V}\) から \(-141 \, \text{V}\) の間を激しく行ったり来たりしているということです。その結果として得られる仕事の能力が、\(100 \, \text{V}\) の直流と同じなのです。
思考の道筋とポイント
公式 \(V_0 = \sqrt{2} V_{\text{実効}}\) を忘れてしまった場合でも、実効値の本来の定義である「電力（エネルギー）」に立ち返ることで導き出すことができます。
実効値とは、「ある抵抗に交流電圧をかけたときの平均消費電力が、直流電圧をかけたときと同じになるような電圧の値」のことです。
この設問における重要なポイント
- 瞬時電力: 電圧 \(v\) の瞬間の電力は \(p = \frac{v^2}{R}\) です。
- 平均電力: 正弦波交流 \(v = V_0 \sin{\omega t}\) の場合、\(\sin^2{\omega t}\) の1周期分の平均値は \(\frac{1}{2}\) になります。これが \(\sqrt{2}\) が出てくる理由です。
具体的な解説と立式
抵抗 \(R\) に電圧をかけたときの消費電力を考えます。
実効値 \(V_{\text{実効}}\) の定義より、交流による平均電力 \(P_{\text{平均}}\) は、直流電圧 \(V_{\text{実効}}\) による電力と等しくなります。
$$ P_{\text{平均}} = \frac{V_{\text{実効}}^2}{R} \quad \cdots ① $$
一方、最大値 \(V_0\) の正弦波交流電圧 \(v = V_0 \sin{\omega t}\) による瞬時電力 \(p\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{v^2}{R} \\[2.0ex]
&= \frac{(V_0 \sin{\omega t})^2}{R} \\[2.0ex]
&= \frac{V_0^2}{R} \sin^2{\omega t}
\end{aligned}
$$
\(\sin^2{\omega t}\) の時間平均は \(\frac{1}{2}\) であるため、交流の平均電力 \(P_{\text{平均}}\) は最大値 \(V_0\) を用いて次のように表せます。
$$ P_{\text{平均}} = \frac{1}{2} \frac{V_0^2}{R} \quad \cdots ② $$
①式と②式は等しいので、以下の等式が成り立ちます。
$$ \frac{V_{\text{実効}}^2}{R} = \frac{1}{2} \frac{V_0^2}{R} $$
使用した物理公式
- 電力の定義: \(P = \frac{V^2}{R}\)
- 三角関数の平均: \(\sin^2{\theta}\) の平均は \(\frac{1}{2}\)
上の等式から \(V_0\) を求めます。両辺に \(R\) を掛けて整理します。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{実効}}^2 &= \frac{V_0^2}{2}
\end{aligned}
$$
両辺を2倍して \(V_0^2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
V_0^2 &= 2 V_{\text{実効}}^2
\end{aligned}
$$
両辺の平方根をとります（\(V_0 > 0, V_{\text{実効}} > 0\)）。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= \sqrt{2} V_{\text{実効}}
\end{aligned}
$$
ここに \(V_{\text{実効}} = 100 \, \text{V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= 1.414 \times 100 \\[2.0ex]
&= 141.4 \\[2.0ex]
&\approx 141 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
1. 状況の要約: 「実効値」という言葉の意味を、「電熱線（抵抗）をどれくらい温められるか」というパワーの観点で考え直します。
2. 解法のロジック: 交流電圧は波打っているため、パワーが最大になる瞬間（電圧が最大値のとき）と、パワーがゼロになる瞬間があります。計算すると、平均のパワーは最大パワーのちょうど半分になることがわかります。
3. 結果の解釈: パワー（電力）は電圧の2乗に比例します。「平均パワーが最大パワーの半分」ということは、電圧の関係に戻すと「実効値は最大値の \(\sqrt{1/2}\) 倍」、つまり「最大値は実効値の \(\sqrt{2}\) 倍」ということになります。
3 抵抗に流れる交流電流と消費電力
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「抵抗のみを含む交流回路における電流と電力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- オームの法則: 交流回路においても、抵抗 \(R\) では瞬時値、最大値、実効値のすべてにおいて \(V = RI\) が成り立ちます。
- 電流の実効値 \(I_{\text{実効}}\) と最大値 \(I_0\) の関係: 電圧と同様に \(I_0 = \sqrt{2} I_{\text{実効}}\) の関係があります。
- 平均消費電力 \(P\): 実効値を用いて \(P = V_{\text{実効}} I_{\text{実効}}\) で計算できます。これは直流回路の電力計算と同じ形になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- オームの法則を用いて、電圧の実効値から電流の実効値を求めます。
- 求めた電流の実効値を \(\sqrt{2}\) 倍して、電流の最大値を求めます。
- 電圧と電流の実効値の積から、平均消費電力を計算します。
思考の道筋とポイント
交流回路の計算では、「どの値（瞬時値、最大値、実効値）を使っているか」を常に意識することが重要です。
- 抵抗においては、電圧と電流の位相が揃っているため、直流と同じようにオームの法則が適用できます。
- 「実効値」は、電力（エネルギー）の観点で直流と等価な値として定義されているため、平均消費電力の計算式が直流のときと同じ \(P = IV\) の形になります。これが実効値を使う最大のメリットです。
この設問における重要なポイント
- オームの法則の適用: \(V_{\text{実効}} = R I_{\text{実効}}\) および \(V_0 = R I_0\) が成り立ちます。
- 電力の計算: 平均消費電力は、必ず「実効値」同士の積で計算します。最大値同士の積 \(V_0 I_0\) を使うと、実際の電力の2倍になってしまうので注意が必要です（\(P = \frac{1}{2} V_0 I_0\) ならOK）。
具体的な解説と立式
まず、電流の実効値 \(I_{\text{実効}}\) を求めます。
抵抗値を \(R\)、電圧の実効値を \(V_{\text{実効}}\) とすると、オームの法則より以下の式が成り立ちます。
$$ I_{\text{実効}} = \frac{V_{\text{実効}}}{R} $$
次に、電流の最大値 \(I_0\) を求めます。
正弦波交流における実効値と最大値の関係式より、以下の式を立てます。
$$ I_0 = \sqrt{2} I_{\text{実効}} $$
最後に、抵抗の平均消費電力 \(\bar{P}\) を求めます。
実効値を用いた電力の公式より、以下の式を立てます。
$$ \bar{P} = V_{\text{実効}} I_{\text{実効}} $$
使用した物理公式
- オームの法則（実効値）: \(I_{\text{実効}} = \frac{V_{\text{実効}}}{R}\)
- 最大値と実効値の関係: \(I_0 = \sqrt{2} I_{\text{実効}}\)
- 平均消費電力: \(\bar{P} = V_{\text{実効}} I_{\text{実効}}\)
まず、電流の実効値 \(I_{\text{実効}}\) を計算します。
問題文より \(V_{\text{実効}} = 100 \, \text{V}, R = 20 \, \Omega\) です。
$$
\begin{aligned}
I_{\text{実効}} &= \frac{100}{20} \\[2.0ex]
&= 5.0 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
次に、電流の最大値 \(I_0\) を計算します。
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) として計算します（問題文の有効数字が2桁であるため）。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= 1.41 \times 5.0 \\[2.0ex]
&= 7.05 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、小数第2位を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
I_0 &\approx 7.1 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
最後に、平均消費電力 \(\bar{P}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{P} &= 100 \times 5.0 \\[2.0ex]
&= 500 \, \text{W}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁の科学的表記法で表します。
$$
\begin{aligned}
\bar{P} &= 5.0 \times 10^2 \, \text{W}
\end{aligned}
$$
1. 状況の要約: \(100 \, \text{V}\) のコンセントに、\(20 \, \Omega\) の電熱線（抵抗）をつないだときに、どれくらいの電流が流れ、どれくらいの熱（電力）が発生するかを計算します。
2. 解法のロジック:
- 電流の実効値: 「平均的な電圧パワー」が \(100 \, \text{V}\) なので、流れる「平均的な電流パワー」もオームの法則で単純に割り算して求められます。
- 電流の最大値: 交流なので、電流も波打っています。平均が \(5.0 \, \text{A}\) なら、波の頂点（最大値）はそれより少し高く、\(\sqrt{2}\) 倍になります。
- 消費電力: 「実効値」はもともと「直流と同じように電力計算ができる値」として作られた便利な数字です。だから、電力は \((\text{電圧の実効値}) \times (\text{電流の実効値})\) で簡単に計算できます。
3. 結果の解釈: この電熱線には、平均的なパワーとして \(5.0 \, \text{A}\) の電流が流れており、瞬間的には最大 \(7.1 \, \text{A}\) まで流れます。そして、\(500 \, \text{W}\) のヒーターとして機能することになります。
思考の道筋とポイント
平均消費電力は、最大値 \(V_0, I_0\) を用いても計算できます。
実効値の定義 \(V_{\text{実効}} = V_0 / \sqrt{2}, I_{\text{実効}} = I_0 / \sqrt{2}\) を電力の式に代入することで、最大値を用いた公式が導かれます。
この設問における重要なポイント
- 最大値を用いた電力公式: \(\bar{P} = \frac{1}{2} V_0 I_0\)
- 係数 \(1/2\) の意味: 電圧と電流の積（瞬時電力）は \(\sin^2{\omega t}\) の形で変化し、その平均値が最大値の半分になることを意味しています。
具体的な解説と立式
平均消費電力 \(\bar{P}\) を、電圧の最大値 \(V_0\) と電流の最大値 \(I_0\) を用いて表します。
$$ \bar{P} = \frac{1}{2} V_0 I_0 $$
ここで、\(V_0\) は前の設問（あるいは実効値からの計算）より \(V_0 = \sqrt{2} V_{\text{実効}}\) です。
まず \(V_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= \sqrt{2} \times 100 \\[2.0ex]
&\approx 141.4 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
これと、先ほど求めた \(I_0 \approx 7.05 \, \text{A}\) （四捨五入前の値を使うのが精度良く計算するコツです）を公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\bar{P} &= \frac{1}{2} \times 141.4 \times 7.05 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times 996.87 \\[2.0ex]
&\approx 498.4 \, \text{W}
\end{aligned}
$$
有効数字や \(\sqrt{2}\) の近似の影響でわずかにズレますが、約 \(5.0 \times 10^2 \, \text{W}\) となり、実効値を使った計算結果と一致します。
（※実効値同士の積の方が計算がシンプルで誤差も出にくいことがわかります。）
1. 状況の要約: 電力の計算を、平均値（実効値）ではなく、波の頂点（最大値）同士の掛け算から求めてみます。
2. 解法のロジック: 電圧の最大値と電流の最大値を掛けると、「瞬間的な最大電力」が出ます。しかし、交流は常に最大パワーを出しているわけではなく、\(0\) になる瞬間もあります。平均すると、最大パワーのちょうど半分になることがわかります。
3. 結果の解釈: 最大電圧 \(141 \, \text{V}\) と最大電流 \(7.1 \, \text{A}\) を掛けると約 \(1000 \, \text{W}\) になりますが、平均電力はその半分の \(500 \, \text{W}\) です。これは実効値を使って計算した結果と同じです。
4 周波数とリアクタンスの関係
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「コイルとコンデンサーのリアクタンス（交流に対する抵抗成分）の周波数特性」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- コイルのリアクタンス \(X_L\): 自己誘導により電流の変化を妨げる働き。周波数 \(f\) に比例します。
- コンデンサーのリアクタンス \(X_C\): 電荷の蓄積により電圧の変化を妨げる働き。周波数 \(f\) に反比例します。
- 角周波数 \(\omega\) と周波数 \(f\) の関係: \(\omega = 2\pi f\) です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- コイルとコンデンサーそれぞれのリアクタンスの公式を書き出します。
- 公式内の周波数 \(f\) が分子にあるか分母にあるかを確認します。
- \(f\) が大きくなったとき、リアクタンスの値がどう変化するかを判断します。
思考の道筋とポイント
「リアクタンス」とは、交流回路における「電流の流れにくさ」を表す量で、単位はオーム \([\Omega]\) です。抵抗 \(R\) と似ていますが、周波数によって値が変化する点が大きく異なります。
- コイルは「変化を嫌う」性質があります。周波数が高い（変化が激しい）ほど、強く反発して電流を通しにくくします。
- コンデンサーは「変化がないと通さない」性質があります（直流は通さない）。周波数が高い（変化が激しい）ほど、充放電がスムーズに行われ、電流を通しやすくなります。
この設問における重要なポイント
- コイルのリアクタンス: \(X_L = \omega L = 2\pi f L\)
- コンデンサーのリアクタンス: \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}\)
- 数式的な判断: \(f\) が大きくなるとき、\(f\) に比例する \(X_L\) は大きくなり、\(f\) に反比例する \(X_C\) は小さくなります。
具体的な解説と立式
まず、コイルのリアクタンス \(X_L\) について考えます。
自己インダクタンスを \(L\)、周波数を \(f\) とすると、以下の式で表されます。
$$ X_L = 2\pi f L $$
この式より、\(X_L\) は \(f\) に比例することがわかります。
次に、コンデンサーのリアクタンス \(X_C\) について考えます。
電気容量を \(C\)、周波数を \(f\) とすると、以下の式で表されます。
$$ X_C = \frac{1}{2\pi f C} $$
この式より、\(X_C\) は \(f\) に反比例することがわかります。
使用した物理公式
- コイルのリアクタンス: \(X_L = 2\pi f L\)
- コンデンサーのリアクタンス: \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\)
この問題は定性的な変化を問うものなので、具体的な数値計算はありません。式の性質から判断します。
1. コイルの場合:
式 \(X_L = 2\pi f L\) において、\(f\) が大きくなると、右辺全体の値も大きくなります。
したがって、リアクタンスは「大きくなる」と判断できます。
2. コンデンサーの場合:
式 \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) において、分母にある \(f\) が大きくなると、分数全体の値は小さくなります。
したがって、リアクタンスは「小さくなる」と判断できます。
1. 状況の要約: 交流の電気の「揺れの速さ（周波数）」を速くしていったとき、コイルとコンデンサーがそれぞれ「電気を通しにくくなるか、通しやすくなるか」を考えます。
2. 解法のロジック:
- コイル: コイルは、電流の変化を嫌う性質（慣性のようなもの）を持っています。揺れが速くなればなるほど、その変化に対する反発が強くなるため、電気を通しにくくなります（抵抗＝リアクタンスが大きくなる）。
- コンデンサー: コンデンサーは、電気が溜まったり出たりすることで電流が流れます。揺れが速いということは、満タンになる前に次々と出し入れが行われるため、スムーズに電気が流れるようになります（抵抗＝リアクタンスが小さくなる）。
3. 結果の解釈: 周波数を上げると、コイルはより強い「壁」になり、コンデンサーはより通りやすい「道」になります。この性質を利用して、スピーカーの低音用（コイルを通す）と高音用（コンデンサーを通す）の信号を分けることができます。
思考の道筋とポイント
数式を使わずに、周波数が極端な場合（\(f=0\) と \(f \to \infty\)）を想像することで、物理的な振る舞いを直感的に理解できます。
この設問における重要なポイント
- 直流（\(f=0\)）: 変化しない電流。
- 超高周波（\(f \to \infty\)）: 激しく振動する電流。
具体的な解説と立式
1. コイルの場合:
- \(f \to 0\)（直流）のとき: コイルは単なる導線と同じになり、抵抗（リアクタンス）は \(0\) になります。
- \(f \to \infty\)（超高周波）のとき: 激しい磁場の変化により逆起電力が無限大になり、電流を一切通さなくなります（リアクタンス \(\to \infty\)）。
- 結論: \(0\) から \(\infty\) へ変化するということは、周波数とともに「大きくなる」ということです。
2. コンデンサーの場合:
- \(f \to 0\)（直流）のとき: コンデンサーは絶縁体（切れ目）なので、電流は全く流れません（リアクタンス \(\to \infty\)）。
- \(f \to \infty\)（超高周波）のとき: 電荷が溜まる暇もなく極性が反転し続けるため、導線がつながっているのとほぼ同じ状態になり、電流は素通りします（リアクタンス \(\to 0\)）。
- 結論: \(\infty\) から \(0\) へ変化するということは、周波数とともに「小さくなる」ということです。
（計算なし）
1. 状況の要約: 「もし周波数がゼロ（直流）だったら？」「もし周波数がものすごく高かったら？」という極端なケースを想像してみます。
2. 解法のロジック:
- コイル: 直流ならただの銅線なのでスルスル通りますが、超高速振動だと強烈なブレーキがかかります。つまり、周波数が上がると通りにくくなります。
- コンデンサー: 直流だと回路が切れているので通りませんが、超高速振動だと切れていることに気づかないくらいスムーズに行き来できます。つまり、周波数が上がると通りやすくなります。
3. 結果の解釈: 数式を忘れても、この「極端な場合の振る舞い」を覚えておけば、答えを導き出すことができます。
5 コイルのリアクタンス
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「交流回路におけるコイルの働き（誘導リアクタンス）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 角周波数と周波数の関係: \(\omega = 2\pi f\)
- コイルのリアクタンス（誘導リアクタンス）: コイルが交流電流に対して示す抵抗のような働き。
- リアクタンスの公式: \(X_L = \omega L = 2\pi f L\)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた物理量（周波数 \(f\)、リアクタンス \(X_L\)）を整理する。
- コイルのリアクタンスを表す公式を用いて、自己インダクタンス \(L\) についての方程式を立てる。
- 数値を代入し、計算して \(L\) を求める。
思考の道筋とポイント
交流回路において、コイルは電流の変化を妨げるように起電力を生じるため、電流の流れを妨げる「抵抗」のような役割を果たします。この働きを「誘導リアクタンス」と呼びます。
誘導リアクタンスの大きさは、交流の周波数 \(f\) とコイルの自己インダクタンス \(L\) に比例します。つまり、周波数が高い（電流の変化が激しい）ほど、またコイルの性能（\(L\)）が大きいほど、電流は流れにくくなります。
この設問における重要なポイント
- 周波数 \(f \, [\text{Hz}]\) から角周波数 \(\omega \, [\text{rad/s}]\) への変換：\(\omega = 2\pi f\)
- 誘導リアクタンス \(X_L \, [\Omega]\) の公式：\(X_L = \omega L\)
- 円周率 \(\pi\) は、問題文の指定がない限り通常 \(3.14\) として計算します。
- 有効数字に注意します。与えられた数値（\(50\), \(100\)）と解答の形式から、有効数字2桁で答えます。
具体的な解説と立式
問題文より、与えられた値は以下の通りです。
周波数 \(f = 50 \, \text{Hz}\)
誘導リアクタンス \(X_L = 100 \, \Omega\)
求める値は、自己インダクタンス \(L \, [\text{H}]\) です。
コイルの誘導リアクタンス \(X_L\) は、角周波数を \(\omega\) とすると \(X_L = \omega L\) で表されます。
また、角周波数 \(\omega\) と周波数 \(f\) の関係は \(\omega = 2\pi f\) です。
これらを組み合わせると、以下の関係式が成り立ちます。
$$ X_L = 2\pi f L $$
この式に与えられた数値を代入して、\(L\) を求める方程式を立てます。
$$ 100 = 2\pi \times 50 \times L $$
使用した物理公式
- 角周波数: \(\omega = 2\pi f\)
- 誘導リアクタンス: \(X_L = \omega L\)
立てた式から \(L\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
100 &= 2\pi \times 50 \times L \\[2.0ex]
100 &= 100\pi L
\end{aligned}
$$
両辺を \(100\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
1 &= \pi L \\[2.0ex]
L &= \frac{1}{\pi}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\pi \approx 3.14\) として数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
L &\approx \frac{1}{3.14}
\end{aligned}
$$
割り算を筆算で行います。
$$
\begin{aligned}
1 \div 3.14 &= 100 \div 314 \\[2.0ex]
&= 0.3184\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
\(0.318\dots \rightarrow 0.32\)
したがって、
$$ L \approx 0.32 \, \text{H} $$
この問題は、「このコイルは交流に対してどれくらい電流を流しにくいか（＝リアクタンス）」という情報から、コイルそのものの性能（＝自己インダクタンス）を逆算するものです。
- 状況の要約: \(50 \, \text{Hz}\) という家庭用電源のような交流をつないだとき、\(100 \, \Omega\) の抵抗と同じくらいの「電流の流れにくさ」を示すコイルがあります。
- 解法のロジック: コイルの「流れにくさ（リアクタンス）」は、「周波数」と「自己インダクタンス」の掛け算（に \(2\pi\) をかけたもの）で決まります。今回は「流れにくさ」と「周波数」が分かっているので、割り算をして「自己インダクタンス」を求めました。
- 結果の解釈: 計算の結果、このコイルの自己インダクタンスは約 \(0.32 \, \text{H}\) であることが分かりました。計算途中で \(100\) がうまく約分されて消えることに気づくと、計算がとても楽になります。
6 コンデンサーのリアクタンスと電気容量
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「交流回路におけるコンデンサーの働き（容量リアクタンス）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- オームの法則の拡張（交流版）: \(V = X_C I\)
- 容量リアクタンスの公式: \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}\)
- 単位の変換: \(1 \, \text{mA} = 10^{-3} \, \text{A}\)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 与えられた電圧の実効値 \(V\) と電流の実効値 \(I\) から、オームの法則を用いてリアクタンス \(X_C\) を求めます。
- 求めたリアクタンスの式と周波数 \(f\) を用いて、電気容量 \(C\) を逆算します。
思考の道筋とポイント
コンデンサーは直流を通しませんが、交流回路においては電気の出し入れを行うことで電流が流れます。このとき、電流の流れにくさを表す量が「リアクタンス（容量リアクタンス）」です。
まず、回路全体を一つの「抵抗」とみなして、電圧と電流の比からリアクタンスを算出します。
次に、そのリアクタンスが周波数と電気容量によってどのように決まるかという公式（定義式）を用いて、電気容量を特定します。
計算においては、電流値 \(314\) と円周率 \(\pi \approx 3.14\) の数値的な関係に注目することで、計算を大幅に簡略化できます。
この設問における重要なポイント
- 単位変換: 電流 \(314 \, \text{mA}\) は \(314 \times 10^{-3} \, \text{A} = 0.314 \, \text{A}\) として計算します。
- 有効数字: 問題文の数値（\(100\), \(50\), \(314\)）から、解答は有効数字2桁でまとめます。
- 計算の工夫: 電気容量を求める際、先に求めたリアクタンスの近似値を代入するのではなく、文字式のまま整理してから数値を代入することで、誤差を減らし計算を楽にします。
具体的な解説と立式
問題文より、以下の値が与えられています。
電圧の実効値 \(V = 100 \, \text{V}\)
周波数 \(f = 50 \, \text{Hz}\)
電流の実効値 \(I = 314 \, \text{mA} = 0.314 \, \text{A}\)
まず、コンデンサーのリアクタンス \(X_C \, [\Omega]\) を求めます。
オームの法則に対応する関係式 \(V = X_C I\) より、
$$ X_C = \frac{V}{I} $$
次に、電気容量 \(C \, [\text{F}]\) を求めます。
容量リアクタンスの公式 \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) を \(C\) について解きます。
$$ C = \frac{1}{2\pi f X_C} $$
使用した物理公式
- オームの法則（交流）: \(V = X_C I\)
- 容量リアクタンス: \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\)
まず、リアクタンス \(X_C\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
X_C &= \frac{100}{0.314} \\[2.0ex]
&= \frac{100000}{314}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
100000 \div 314 &= 318.47\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
\(318.47\dots \rightarrow 3.2 \times 10^2\)
よって、
$$ X_C \approx 3.2 \times 10^2 \, \Omega $$
次に、電気容量 \(C\) を計算します。
ここで、先ほど求めた \(X_C\) の近似値ではなく、\(X_C = \frac{V}{I}\) の関係式を代入してから計算すると、約分ができて計算が簡単になります。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{1}{2\pi f X_C} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2\pi f \left( \frac{V}{I} \right)} \\[2.0ex]
&= \frac{I}{2\pi f V}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。ここで \(\pi \approx 3.14\) とします。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{0.314}{2 \times 3.14 \times 50 \times 100}
\end{aligned}
$$
分子の \(0.314\) を \(3.14 \times 10^{-1}\) と表すと、分母の \(3.14\) と約分できます。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{3.14 \times 10^{-1}}{2 \times 3.14 \times 50 \times 100} \\[2.0ex]
&= \frac{10^{-1}}{2 \times 50 \times 100} \\[2.0ex]
&= \frac{10^{-1}}{100 \times 100} \\[2.0ex]
&= \frac{10^{-1}}{10^4} \\[2.0ex]
&= 10^{-5}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で表します。
$$ C = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{F} $$
この問題は、コンデンサーに交流電圧をかけたときの「電流の流れにくさ」と「コンデンサーの性能」を計算するものです。
- 状況の要約: コンデンサーに \(100 \, \text{V}\) の交流電圧をかけたら、\(314 \, \text{mA}\) の電流が流れました。
- 解法のロジック: まず、電圧と電流の比から、コンデンサーがどれくらい電流を妨げているか（リアクタンス）を計算しました。次に、その妨げる力が「周波数」と「電気容量」で決まるというルールを使って、電気容量を逆算しました。
- 結果の解釈: 計算の結果、リアクタンスは約 \(320 \, \Omega\)、電気容量は \(1.0 \times 10^{-5} \, \text{F}\) と求まりました。計算の途中で、電流値の \(314\) と円周率の \(3.14\) がきれいに打ち消し合うことに気づくと、複雑な計算をせずに答えにたどり着けます。
7 周波数変化とコンデンサーの電流・電力
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「交流回路における周波数特性と消費電力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- コンデンサーを流れる交流電流の式: \(I = \omega C V = 2\pi f C V\)
- コンデンサーの消費電力: 理想的なコンデンサーは電力を消費しない（\(P = 0\)）。
- 比例関係の利用: 電圧と容量が一定のとき、電流は周波数に比例する。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 電流の実効値: 周波数が \(50 \, \text{Hz}\) から \(60 \, \text{Hz}\) に変化したことを踏まえ、公式 \(I = 2\pi f C V\) に値を代入して計算します。また、前問の結果を利用した比例計算による別解も検討します。
- 平均消費電力: コンデンサーの性質（位相差とエネルギー保存）に基づいて判断します。
思考の道筋とポイント
電流の実効値について
コンデンサーは、直流は通しませんが、交流は周波数が高いほど通しやすい性質があります。
電流 \(I\) は、電圧 \(V\) をリアクタンス \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) で割ったものです。
式で表すと \(I = \frac{V}{X_C} = V \cdot 2\pi f C\) となり、電流は周波数 \(f\) に比例することが分かります。
平均消費電力について
抵抗は電流を流すとジュール熱が発生し、電力を消費します。
一方、理想的なコンデンサーは電荷を蓄えたり放出したりするだけで、エネルギーを熱として消費しません。交流回路では、電圧と電流の位相が \(90^\circ\)（\(\frac{\pi}{2}\)）ずれており、電力因子 \(\cos \phi\) が \(0\) になるため、平均消費電力は \(0\) になります。
この設問における重要なポイント
- 前問（問題6）の結果である電気容量 \(C = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{F}\) を利用します。
- 周波数が \(60 \, \text{Hz}\) に変わったことに注意します。
- 円周率 \(\pi \approx 3.14\) として計算します。
具体的な解説と立式
1. 流れる電流の実効値
問題文および前問より、以下の値を用います。
電圧の実効値 \(V = 100 \, \text{V}\)
周波数 \(f = 60 \, \text{Hz}\)
電気容量 \(C = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{F}\)
オームの法則 \(I = \frac{V}{X_C}\) と容量リアクタンスの公式 \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) より、電流 \(I\) を求める式を立てます。
$$ I = 2\pi f C V $$
数値を代入します。
$$ I = 2 \times 3.14 \times 60 \times (1.0 \times 10^{-5}) \times 100 $$
2. 平均消費電力
コンデンサーの平均消費電力 \(P\) は、電圧 \(V\)、電流 \(I\)、位相差 \(\phi\) を用いて \(P = VI \cos \phi\) で表されます。
コンデンサーの場合、電流は電圧より位相が \(\frac{\pi}{2}\) 進むため、\(\phi = \frac{\pi}{2}\) です。
したがって、以下の式が成り立ちます。
$$ P = VI \cos \frac{\pi}{2} $$
使用した物理公式
- 電流と電圧の関係: \(I = 2\pi f C V\)
- 交流電力: \(P = VI \cos \phi\)
電流の実効値の計算
立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= 2 \times 3.14 \times 60 \times 1.0 \times 10^{-5} \times 100 \\[2.0ex]
&= 2 \times 3.14 \times 60 \times 10^{-3} \\[2.0ex]
&= 6.28 \times 0.06 \\[2.0ex]
&= 0.3768
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
\(0.3768 \rightarrow 0.38\)
よって、
$$ I \approx 0.38 \, \text{A} $$
平均消費電力の計算
$$
\begin{aligned}
P &= VI \times 0 \\[2.0ex]
&= 0
\end{aligned}
$$
よって、
$$ P = 0 \, \text{W} $$
思考の道筋とポイント
物理公式 \(I = 2\pi f C V\) を見ると、電圧 \(V\) と電気容量 \(C\) が一定であれば、電流 \(I\) は周波数 \(f\) に正比例することが分かります。
これを利用すれば、面倒な掛け算をせずに、前問（問題6）のデータから素早く答えを導けます。
具体的な解説と立式
問題6では、周波数 \(f_1 = 50 \, \text{Hz}\) のとき、電流 \(I_1 = 314 \, \text{mA} = 0.314 \, \text{A}\) でした。
今回の周波数は \(f_2 = 60 \, \text{Hz}\) です。
求める電流を \(I_2\) とすると、比例関係より以下の式が成り立ちます。
$$ I_2 = I_1 \times \frac{f_2}{f_1} $$
数値を代入します。
$$ I_2 = 0.314 \times \frac{60}{50} $$
$$
\begin{aligned}
I_2 &= 0.314 \times 1.2 \\[2.0ex]
&= 0.3768
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めます。
$$ I_2 \approx 0.38 \, \text{A} $$
このように、定義通り計算した場合と全く同じ結果が、より少ない計算量で得られます。
この問題は、周波数が変わるとコンデンサーの振る舞いがどう変わるかを確認するものです。
- 状況の要約: コンデンサーにかける交流の周波数を \(50 \, \text{Hz}\) から \(60 \, \text{Hz}\) に上げました。電圧の強さはそのままです。
- 解法のロジック: コンデンサーは、周波数が高い（電気の出し入れが激しい）ほど、電流をよく通す性質があります。周波数が \(1.2\) 倍になったので、流れる電流も \(1.2\) 倍になります。
- 結果の解釈: 電流は増えて \(0.38 \, \text{A}\) になりました。一方で、コンデンサーは電気を「貯める・戻す」を繰り返すだけで、抵抗のように熱を出してエネルギーを消費することはありません。そのため、どれだけ電流が流れても消費電力は \(0 \, \text{W}\) です。
8 振動回路の固有周波数
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「LC振動回路の固有周波数」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- LC振動回路: コイルとコンデンサーを接続すると、電気エネルギーと磁気エネルギーが交互に入れ替わり、特定の周波数で電気振動が起こります。
- 固有周波数の公式: \(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)
- 指数計算の処理: ルートの中の \(10^{-9}\) などの指数を適切に処理して計算ミスを防ぎます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 与えられた自己インダクタンス \(L\) と電気容量 \(C\) の値を確認します。
- 固有周波数の公式 \(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) に値を代入します。
- ルートの中身を整理し、平方根を外してから数値を計算します。
思考の道筋とポイント
LC振動回路では、コンデンサーの放電によってコイルに電流が流れ、コイルの自己誘導によってコンデンサーが逆向きに充電される、というプロセスが繰り返されます。この振動の速さ（周波数）は、コイルのインダクタンス \(L\) とコンデンサーの容量 \(C\) だけで決まり、これを「固有周波数」と呼びます。
計算のポイントは、ルートの中の数値を「整数部分」と「10の偶数乗」に分けることです。これにより、ルートを簡単に外すことができます。
この設問における重要なポイント
- 公式の適用: \(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) を正確に覚えているかが問われます。
- 指数の処理: \(10^{-9}\) は奇数乗なので、そのままではルートの外に出せません。\(10 \times 10^{-10}\) や \(0.1 \times 10^{-8}\) のように変形して、偶数乗を作る工夫が必要です。
- 有効数字: 与えられた数値（\(0.20\), \(8.0\)）から、有効数字2桁で答えます。
具体的な解説と立式
問題文より、以下の値が与えられています。
自己インダクタンス \(L = 0.20 \, \text{H}\)
電気容量 \(C = 8.0 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
固有周波数 \(f_0\) を求める公式は以下の通りです。
$$ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} $$
この式に数値を代入します。
$$ f_0 = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{0.20 \times (8.0 \times 10^{-9})}} $$
使用した物理公式
- 固有周波数: \(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)
まず、ルートの中身を計算しやすい形に整理します。
$$
\begin{aligned}
LC &= 0.20 \times 8.0 \times 10^{-9} \\[2.0ex]
&= 1.6 \times 10^{-9} \\[2.0ex]
&= 16 \times 10^{-10}
\end{aligned}
$$
ここで、\(1.6\) を \(16\) にすることで、\(10^{-9}\) を \(10^{-10}\) （偶数乗）に変換しました。これにより、ルートが外しやすくなります。
次に、ルートを外します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{LC} &= \sqrt{16 \times 10^{-10}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{4^2 \times (10^{-5})^2} \\[2.0ex]
&= 4 \times 10^{-5}
\end{aligned}
$$
これを元の式に戻して計算を進めます。
$$
\begin{aligned}
f_0 &= \frac{1}{2 \times 3.14 \times (4 \times 10^{-5})} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{8 \times 3.14 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{25.12 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= \frac{10^5}{25.12} \\[2.0ex]
&= \frac{100000}{25.12}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
100000 \div 25.12 &\approx 3980.89\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、科学的表記（\(a \times 10^n\)）に直してから四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
3980.89\dots &= 3.980\dots \times 10^3
\end{aligned}
$$
3桁目を四捨五入します。
\(3.98 \rightarrow 4.0\)
よって、
$$ f_0 \approx 4.0 \times 10^3 \, \text{Hz} $$
この問題は、コイルとコンデンサーをつないだときに自然に発生する電気の振動（共振）の速さを求めるものです。
- 状況の要約: コイルとコンデンサーをつないで回路を作ると、ブランコのように電気が行ったり来たりする現象（電気振動）が起きます。その揺れの速さ（周波数）を計算します。
- 解法のロジック: 揺れの速さは、コイルの大きさ（\(L\)）とコンデンサーの大きさ（\(C\)）だけで決まります。公式 \(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) に数値を当てはめるだけで求まります。
- 結果の解釈: 計算の結果、1秒間に約4000回振動することが分かりました。計算のコツは、ルートの中の \(10^{-9}\) をうまく \(10^{-10}\) に変えて、ルートの外に出すことです。
9 変圧器の電圧変換
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「変圧器による交流電圧の変圧」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 変圧器の原理: 相互誘導を利用して、交流電圧の大きさを変える装置。
- 変圧器の公式: 一次コイルと二次コイルの電圧の比は、巻数の比に等しい。
\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}\)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、一次電圧 \(V_1\) と巻数比 \(N_1 : N_2\) を読み取る。
- 変圧器の公式を用いて、二次電圧 \(V_2\) を求める方程式を立てる。
- 数値を代入して計算する。
思考の道筋とポイント
変圧器は、共通の鉄心に巻かれた2つのコイル（一次コイルと二次コイル）で構成されています。
交流電流によって鉄心内の磁束が変化すると、ファラデーの電磁誘導の法則により、それぞれのコイルには巻数に比例した誘導起電力が生じます。
鉄心を通る磁束の変化は共通であるため、電圧（起電力）の比は、そのまま巻数の比と等しくなります。つまり、巻数を多くすれば電圧は上がり（昇圧）、少なくすれば電圧は下がります（降圧）。
この設問における重要なポイント
- 添字の対応: \(1\) が一次側（入力）、\(2\) が二次側（出力）を表します。
- 比例関係: \(V_1 : V_2 = N_1 : N_2\) という比例式として理解しておくと、式の変形がスムーズです。
- 実効値: 交流電圧の実効値についても、この巻数比の関係はそのまま成り立ちます。
具体的な解説と立式
問題文より、以下の値が与えられています。
一次コイルと二次コイルの巻数比 \(N_1 : N_2 = 10 : 3\)
一次側の電圧（実効値） \(V_1 = 50 \, \text{V}\)
求める値は、二次側の電圧（実効値） \(V_2\) です。
変圧器の電圧と巻数の関係式は以下の通りです。
$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2} $$
この式を \(V_2\) について解く形に変形してから数値を代入するか、比例式として立式します。ここでは物理的な意味（電圧は巻数比倍になる）を重視して、以下のように立式します。
$$ V_2 = \frac{N_2}{N_1} V_1 $$
これに与えられた数値を代入します。
$$ V_2 = \frac{3}{10} \times 50 $$
使用した物理公式
- 変圧器の電圧比: \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}\) （または \(V_2 = \frac{N_2}{N_1} V_1\)）
立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= \frac{3}{10} \times 50 \\[2.0ex]
&= 3 \times 5 \\[2.0ex]
&= 15
\end{aligned}
$$
よって、
$$ V_2 = 15 \, \text{V} $$
この問題は、変圧器を使って電圧をどれくらい変えられるかを計算するものです。
- 状況の要約: コイルの巻き数が「10」の側から電気を入れて、「3」の側から取り出します。入力する電圧は \(50 \, \text{V}\) です。
- 解法のロジック: 変圧器には「電圧は巻き数に比例する」というシンプルなルールがあります。巻き数が \(10\) から \(3\) に減る（つまり \(\frac{3}{10}\) 倍になる）ので、電圧も同じように \(\frac{3}{10}\) 倍になります。
- 結果の解釈: \(50 \, \text{V}\) の \(\frac{3}{10}\) なので、出力される電圧は \(15 \, \text{V}\) になります。このように巻き数を減らして電圧を下げることを「降圧」といいます。
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