「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅵ 章 20】発展例題～発展問題525

発展例題

発展例題43 平行電流がおよぼしあう力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流がつくる磁場と、電流が磁場から受ける力」です。空間的なベクトルの合成が必要となるため、図を丁寧に描いて向きを把握することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、導線AとBがそれぞれ点Cにつくる磁場ベクトル \(\vec{H}_A, \vec{H}_B\) を描きます。電流の向きが「紙面の裏向き」であることに注意して、右ねじの法則を適用します。2つのベクトルの大きさが等しいことと、なす角を幾何学的に読み取ることで、合成磁場 \(\vec{H}\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 直線電流がつくる磁場の磁力線は、電流を中心とする同心円状になる。
• 点Cにおける磁場の向きは、Cと電流を結ぶ線（半径）に対して接線方向（垂直）である。
• A、Bの電流はともに裏向きで大きさも等しく、距離も等しいため、磁場の強さは等しい。

具体的な解説と立式
まず、個々の磁場の強さを求めます。
導線A、Bを流れる電流の大きさは \(I = 2.0\,\text{A}\)、点Cまでの距離は \(r = 0.10\,\text{m}\) です。
直線電流がつくる磁場の強さの公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) より、Aがつくる磁場の強さ \(H_A\) とBがつくる磁場の強さ \(H_B\) は等しくなります。
$$
\begin{aligned}
H_A &= \frac{2.0}{2\pi \times 0.10} \\[2.0ex] H_B &= \frac{2.0}{2\pi \times 0.10}
\end{aligned}
$$

次に、向きを考えます。
Aの電流（裏向き）に対して右ねじの法則を適用すると、磁力線は時計回りです。したがって、点Cにおける磁場 \(\vec{H}_A\) は、線分ACに垂直で、右下を向きます。
Bの電流（裏向き）に対しても同様に磁力線は時計回りです。点Cにおける磁場 \(\vec{H}_B\) は、線分BCに垂直で、右上を向きます。

図形の性質より、\(\triangle\text{ABC}\) は正三角形なので、内角はすべて \(60^\circ\) です。
線分ACと水平線のなす角は \(60^\circ\) なので、それに垂直な \(\vec{H}_A\) は水平線より \(30^\circ\) 下を向きます。
同様に、線分BCと水平線のなす角は \(60^\circ\) なので、それに垂直な \(\vec{H}_B\) は水平線より \(30^\circ\) 上を向きます。

合成磁場 \(\vec{H}\) の向きは、対称性より水平右向き（\(x\) 軸正の向き）となります。
大きさ \(H\) は、\(H_A\) と \(H_B\) の水平成分の和となります。
$$ H = H_A \cos 30^\circ + H_B \cos 30^\circ $$
\(H_A = H_B\) なので、
$$ H = 2 H_A \cos 30^\circ $$

まず、\(H_A\) の値を計算します。
$$
\begin{aligned}
H_A &= \frac{2.0}{2\pi \times 0.10} \\[2.0ex] &= \frac{20}{2\pi} \\[2.0ex] &= \frac{10}{\pi}\,\text{A/m}
\end{aligned}
$$
次に、合成磁場の強さ \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= 2 \times \frac{10}{\pi} \times \cos 30^\circ \\[2.0ex] &= \frac{20}{\pi} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{10\sqrt{3}}{\pi}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.73\)、\(\pi \approx 3.14\) として数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &\approx \frac{10 \times 1.73}{3.14} \\[2.0ex] &= \frac{17.3}{3.14} \\[2.0ex] &\approx 5.509\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$ H \approx 5.5\,\text{A/m} $$
向きは、図より「図の右向き」です。

AとBの電流がそれぞれCの場所に「磁場の矢印」を作ります。Aの電流はCを右下方向に押すような磁場を作り、Bの電流はCを右上方向に押すような磁場を作ります。この2つの矢印は長さが同じで、ちょうど上下方向の成分が打ち消し合う角度になっています。その結果、残るのは右向きの成分だけで、2つの矢印が協力して真横（右）を向いた大きな磁場ができます。

向きは図の右向き、強さは \(5.5\,\text{A/m}\) です。
単位が \(\text{A/m}\) であること、向きが対称性から水平になることなど、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた合成磁場 \(\vec{H}\) の中に、電流Cが置かれていると考えます。電流Cの向きは「紙面の表向き」です。磁場の向き（右）と電流の向き（手前）がわかっているので、フレミングの左手の法則を使って力の向きを判断します。大きさは公式に代入して計算します。

この設問における重要なポイント

• 電流Cは紙面の表向き（手前向き）に流れている。
• 合成磁場 \(\vec{H}\) は紙面の右向きである。
• 透磁率 \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{N/A}^2\) が与えられているので、磁束密度 \(B = \mu_0 H\) の関係を用いる。

具体的な解説と立式
力の向きを決定します。
左手の人差し指（磁場 \(\vec{H}\)）を右に向けます。
中指（電流 \(\vec{I}\)）を手前に向けます。
すると、親指（力 \(\vec{F}\)）は上を向きます。
したがって、力の向きは「図の上向き」です。

力の大きさ \(F\) を求める式を立てます。
電流が磁場から受ける力の公式 \(F = I B L\) において、\(B = \mu_0 H\) なので、
$$ F = \mu_0 I_C H L $$
ここで、\(I_C = 2.0\,\text{A}\)、\(L = 0.50\,\text{m}\) です。

値を代入して計算します。(1)で求めた \(H = \displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\pi}\) を用いると計算が楽になります。
$$
\begin{aligned}
F &= (4\pi \times 10^{-7}) \times 2.0 \times \frac{10\sqrt{3}}{\pi} \times 0.50 \\[2.0ex] &= 4\pi \times 10^{-7} \times 2.0 \times 0.50 \times \frac{10\sqrt{3}}{\pi} \\[2.0ex] &= 4\pi \times 10^{-7} \times 1.0 \times \frac{10\sqrt{3}}{\pi}
\end{aligned}
$$
\(\pi\) が約分されて消えます。
$$
\begin{aligned}
F &= 4 \times 10^{-7} \times 10\sqrt{3} \\[2.0ex] &= 40\sqrt{3} \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 4.0 \times 1.73 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 6.92 \times 10^{-6}\,\text{N}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$ F \approx 6.9 \times 10^{-6}\,\text{N} $$

(1)で、Cの場所には右向きの磁場の風が吹いていることがわかりました。そこに、手前向きに電流Cが流れています。フレミングの左手の法則（指鉄砲の形を作って中指を電流、人差し指を磁場に向ける）を使うと、親指が上を向くので、力は上向きにかかることがわかります。計算では、円周率 \(\pi\) がきれいに消えてくれるので、スッキリと答えが出ます。

向きは図の上向き、大きさは \(6.9 \times 10^{-6}\,\text{N}\) です。
非常に小さな力ですが、電流間の力としては妥当なオーダーです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 磁場のベクトル合成と空間認識
  • 核心: この問題の最大のポイントは、複数の電流源がつくる磁場を、それぞれ独立したベクトルとして捉え、それらを幾何学的に合成する能力です。単に公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) に数値を代入するだけでなく、右ねじの法則を用いて空間的な向き（接線方向）を正確に特定し、図形的な対称性を利用して成分ごとに足し合わせるプロセスが不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 独立性の原理: Aがつくる磁場はAの電流だけで決まり、Bの存在には影響されません。まずは個別に考え、最後に足し合わせる（重ね合わせる）のが鉄則です。
    • 接線方向の作図: 電流を中心とする円を描き、その接線方向に磁場が向くことをイメージします。特に正三角形のような対称性の高い配置では、幾何学的な角度（\(30^\circ, 60^\circ\) など）が計算の鍵となります。
• 電流と磁場の相互作用（ローレンツ力）
  • 核心: 「電流が磁場をつくる」現象（問1）と、「磁場中の電流が力を受ける」現象（問2）は、電磁気学における車の両輪です。この2つを混同せず、順序立てて適用することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 因果関係の整理: まずAとBが「原因」となって磁場という「場」を作り、その「場」の中に置かれたCが「結果」として力を受ける、という因果関係を明確に意識しましょう。
    • フレミングの左手の法則: 指の向き（電・磁・力）を正確に合わせる身体的な感覚と、それを数式 \(F = \mu_0 IHL\) で定量化する数学的な操作の両方が必要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正方形配置の電流: 4本の導線が正方形の頂点にある場合。対角線上の電流同士のペアを作って合成すると、対称性から計算が楽になることが多いです。
  • 直線電流と円形電流の組み合わせ: 直線電流がつくる磁場と、円形電流の中心磁場を合成する問題。それぞれの公式（\(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) と \(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\)）を使い分ける必要があります。
  • 磁場がゼロになる点を探す問題: 複数の電流がつくる磁場が打ち消し合ってゼロになる座標を求める問題。ベクトルの大きさが等しく、向きが逆になる条件を立式します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の向きをマークする: 図中の \(\otimes\)（裏向き）と \(\odot\)（表向き）を最初にはっきりと確認し、間違えないように強調しておきます。これが全ての出発点です。
  2. 観測点での「接線」を引く: 磁場を求めたい点と電流源を結ぶ線（半径）を引き、それに垂直な線（接線）を引いて磁場の向きの候補とします。
  3. 対称性を探す: 電流の大きさや配置に対称性があれば、必ず成分のキャンセル（打ち消し合い）が起こります。計算する前に「\(y\) 成分は消えるはずだ」と予測できれば、計算量を大幅に減らせます。
  4. 単位に注意する: 透磁率 \(\mu_0\) が与えられている場合、磁場の強さ \(H\) \([\text{A/m}]\) なのか、磁束密度 \(B\) \([\text{T}]\) なのかを意識します。力 \(F\) を求める際に \(\mu_0\) を掛ける必要があるかどうかは、ここにかかっています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁場の向きの作図ミス:
  • 誤解: 電流から遠ざかる向き（放射状）や、電流に吸い寄せられる向きに磁場を描いてしまう。
  • 対策: 「磁力線は同心円」と唱えながら、必ず電流と観測点を結ぶ線に対して「直角」マークを作図する癖をつけましょう。右ねじを回す動作を実際の手で行うのも有効です。
• 公式の混同:
  • 誤解: 直線電流の磁場 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) と、円形電流の中心磁場 \(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\) の分母（\(\pi\) の有無）を逆にしてしまう。
  • 対策: 直線電流の磁場は、円周の長さ \(2\pi r\) が関係している（アンペールの法則）と関連付けて覚えましょう。「直線には \(\pi\)（パイ）が入る」という語呂合わせも有効です。
• 合成時の成分分解忘れ:
  • 誤解: ベクトルの向きを無視して、単に磁場の強さ \(H_A\) と \(H_B\) を足し算（スカラー和）してしまう。
  • 対策: 矢印の向きが違うものを単純に足してはいけません。必ず \(x\) 成分、\(y\) 成分に分解してから足し合わせるか、余弦定理や図形的性質を使う必要があります。「ベクトルは成分で足す」を徹底してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ビオ・サバールの法則の積分形としての直線電流の式）:
  • 選定理由: 問題設定が「十分に長い直線状の導線」であるため、無限長直線電流がつくる磁場の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) が適用されます。
  • 適用根拠: 電流 \(I\) と距離 \(r\) が与えられており、透磁率 \(\mu_0\) を使わずに「磁場の強さ \(H\)」を求める段階なので、\(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\) ではなく \(H\) の式を使います。
• (2)での公式選択（電流が磁場から受ける力）:
  • 選定理由: 「磁場 \(H\) の中にある電流 \(I\) が受ける力」を求める問題なので、\(F = IBL\) または \(F = \mu_0 IHL\) を選択します。
  • 適用根拠: ここでは(1)で求めた \(H\) を使うのが自然な流れです。ただし、力の公式の基本形は磁束密度 \(B\) を使う \(F = IBL\) なので、\(B = \mu_0 H\) の関係式を用いて \(H\) を \(B\) に変換する必要があります。別解の「平行電流間の力」の公式 \(F = \displaystyle\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}L\) は、実は \(H = \displaystyle\frac{I_1}{2\pi r}\) を \(F = \mu_0 I_2 H L\) に代入して作られたショートカット公式であり、本質的には同じ物理現象を見ています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(\pi\) の約分を見越す:
  • 計算の途中で \(\pi \approx 3.14\) を代入してはいけません。特に電磁気の問題では、透磁率 \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) や円周率を含む公式が多く、最終的に \(\pi\) が約分されて消えるケースが非常に多いです。最後まで \(\pi\) を記号のまま残し、最後にまとめて処理しましょう。
• 指数計算（\(10^n\)）の管理:
  • \(10^{-7}\) や \(10^{-6}\) といった小さな数が頻出します。これらを小数（\(0.0000001\)）に直して計算するのはミスの元です。指数法則 \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) を活用し、係数部分（\(2.0 \times 2.0\) など）と指数部分（\(10^{-7}\) など）を分けて計算整理しましょう。
• ルートの近似は最後に:
  • \(\sqrt{3}\) などの無理数も、計算途中では記号のまま扱い、最終的な数値解を求める直前で \(1.73\) などの近似値を代入します。これにより、途中計算の誤差の蓄積を防げます。
• 図形的な検算:
  • (1)で求めた磁場の向きが「右向き」であることは、AとBの対称性から直感的に正しいと判断できます。もし計算結果に上下成分が残っていたら、どこかで計算ミスをしている証拠です。このように、対称性に基づいた定性的な予測と計算結果を照らし合わせる習慣が、ミス発見の感度を高めます。

発展例題44 電子のらせん運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中を斜めに進む荷電粒子の運動（らせん運動）」です。速度を成分分解し、それぞれの方向でどのような運動になるかを独立して考えることがポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

電子が再びx軸上の点を通るまでの時間

思考の道筋とポイント
電子が再び \(x\) 軸上の点を通るということは、磁場に垂直な面内で見ると、電子がぐるっと1周して元の位置に戻ってくることを意味します。つまり、求める時間は等速円運動の周期 \(T\) です。
まず速度を分解し、垂直成分 \(v_{\perp}\) を使って円運動の運動方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 電子の電荷は \(-e\) ですが、ローレンツ力の大きさは \(f = |-e|v_{\perp}B = ev_{\perp}B\) となります。
• 磁場に垂直な方向の速さは \(v_{\perp} = v \sin \theta\) です。
• ローレンツ力は常に速度と垂直に働くため、仕事をしませず、速さは一定に保たれます。

具体的な解説と立式
初速度 \(v\) を分解します。
磁場（\(x\)軸）に平行な成分: \(v_{\parallel} = v \cos \theta\)
磁場に垂直な成分: \(v_{\perp} = v \sin \theta\)

磁場に垂直な面内での運動を考えます。
電子（質量 \(m\)）は、速さ \(v_{\perp}\) で半径 \(r\) の等速円運動をします。
向心力となるのはローレンツ力 \(f = e v_{\perp} B\) です。
円運動の運動方程式 \(m \displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) より、以下の式が成り立ちます。
$$ m \frac{(v \sin \theta)^2}{r} = e (v \sin \theta) B \quad \cdots ① $$

式①より、円運動の半径 \(r\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{(v \sin \theta)^2}{r} &= e v B \sin \theta \\[2.0ex] \frac{m v \sin \theta}{r} &= eB \\[2.0ex] r &= \frac{m v \sin \theta}{eB}
\end{aligned}
$$
求める時間 \(T\) は、この円運動の周期です。円周の長さ \(2\pi r\) を速さ \(v_{\perp} = v \sin \theta\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r}{v \sin \theta} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi}{v \sin \theta} \times \frac{m v \sin \theta}{eB} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m}{eB}
\end{aligned}
$$

電子は磁場から力を受けてクルクル回りますが、その回る速さは「磁場に対して垂直なスピード成分」だけで決まります。運動方程式という「力のバランスの式」を作って計算すると、1周するのにかかる時間（周期）は、なんとスピード \(v\) や角度 \(\theta\) に関係なく、質量 \(m\) と磁場 \(B\) だけで決まる定数になることがわかります。これをサイクロトロン周期と呼びます。

時間は \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) です。
この式に \(v\) や \(\theta\) が含まれていないことは重要です。速さが速くても、その分半径が大きくなるため、1周にかかる時間は変わらないという物理的性質を表しています。次元を確認すると、\([\text{kg}] / ([\text{C}] \cdot [\text{T}]) = [\text{s}]\) となり正しいです。

その点は点Oからどれだけはなれているか

思考の道筋とポイント
電子はクルクル回りながら、同時に \(x\) 軸方向にも進んでいます。この「進む動き」には力が働かないので、一定のスピード（等速直線運動）です。前半で求めた「1周する時間」の間に、横方向にどれだけ進んだかを計算します。

この設問における重要なポイント

• 磁場に平行な方向（\(x\)軸方向）にはローレンツ力は働かない。
• したがって、\(x\)軸方向の加速度は \(0\) であり、等速直線運動をする。
• \(x\)軸方向の速さは \(v_{\parallel} = v \cos \theta\) である。

具体的な解説と立式
求める距離を \(L\) とします。
電子は \(x\) 軸方向に速さ \(v_{\parallel} = v \cos \theta\) で等速直線運動をします。
再び \(x\) 軸上の点を通るまでの時間は、前半で求めた周期 \(T\) です。
距離 \(=\) 速さ \(\times\) 時間 より、
$$ L = v_{\parallel} \times T $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
L &= (v \cos \theta) \times \frac{2\pi m}{eB} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m v \cos \theta}{eB}
\end{aligned}
$$

電子の動きを横（\(x\)軸方向）から見ると、ただ一定のスピードでスーッと進んでいるだけです。1回転して戻ってくるまでの時間 \(T\) の間、このスピードで進み続けた距離が答えになります。

距離は \(L = \displaystyle\frac{2\pi m v \cos \theta}{eB}\) です。
速さ \(v\) が大きいほど、また角度 \(\theta\) が小さい（\(\cos \theta\) が大きい＝より水平に近い）ほど、遠くまで進むという結果は直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性と成分分解
  • 核心: この問題の最大のポイントは、複雑に見える3次元的ならせん運動を、互いに影響し合わない2つの単純な運動（等速円運動と等速直線運動）に分解して考えることです。
  • 理解のポイント:
    • 磁場に垂直な成分 (\(v_{\perp}\)): ローレンツ力が働き、等速円運動を引き起こします。この運動が「周期」や「半径」を決定します。
    • 磁場に平行な成分 (\(v_{\parallel}\)): 力が働かず、等速直線運動をします。この運動が「進む距離（ピッチ）」を決定します。
    • 共通項は「時間」: 2つの運動は独立していますが、同じ時間軸を共有しています。円運動で1周する時間 \(T\) の間に、直線運動で距離 \(L\) だけ進む、という関係性が解法の鍵です。
• ローレンツ力の性質
  • 核心: ローレンツ力 \(f = qvB \sin \theta\) は常に速度ベクトルと垂直な方向に働くため、仕事をしません。
  • 理解のポイント:
    • 速さ一定の法則: 仕事をしないということは、運動エネルギーを変化させない、つまり速さ \(v\) は常に一定に保たれることを意味します。
    • 向心力としての役割: 速度の向きだけを変える力として働くため、円運動の向心力として機能します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電場と磁場が共存する場での運動: 電場からは加速を受け、磁場からは回転を受ける運動。この場合も成分分解が有効ですが、電場方向には等加速度運動になる点に注意が必要です。
  • サイクロトロン（加速器）: らせん運動の周期 \(T\) が速さや半径によらない（等時性）という性質を利用して、荷電粒子を加速する装置の原理です。
  • オーロラの原理: 地球の磁力線に巻き付くようにらせん運動しながら極地に降り注ぐ荷電粒子の運動も、この問題と同じ原理で説明されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 速度と磁場のなす角 \(\theta\) を確認する: \(\theta = 90^\circ\) なら単純な円運動、\(\theta = 0^\circ\) なら直線運動、それ以外なららせん運動です。
  2. 座標軸を設定する: 磁場の方向を \(x\) 軸（または \(z\) 軸）とし、それに垂直な面を \(yz\) 平面（または \(xy\) 平面）と設定すると、成分分解がスムーズに行えます。
  3. 「1回転して戻る」の意味を翻訳する: 「再び \(x\) 軸を通る」「\(y\) 座標が再び \(0\) になる」といった表現は、すべて「時間が周期 \(T\) の整数倍である」ことを意味しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 周期の計算ミス:
  • 誤解: 周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v}\) の分母に、全速力 \(v\) を代入してしまう。
  • 対策: 円運動しているのはあくまで「垂直成分 \(v_{\perp} = v \sin \theta\)」です。円周 \(2\pi r\) を回る速さは \(v_{\perp}\) なので、\(T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v \sin \theta}\) とするのが正解です。ただし、半径 \(r\) の式にも \(v \sin \theta\) が含まれているため、結果的に \(v\) が消えることに注目しましょう。
• 半径の式における速度成分の取り違え:
  • 誤解: ローレンツ力の式 \(f = evB\) や運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}\) に、そのまま \(v\) を使ってしまう。
  • 対策: 常に「磁場に垂直な成分だけが力を受ける」「円運動の速さは垂直成分である」と意識し、\(v\) の代わりに \(v \sin \theta\) を代入する癖をつけましょう。
• 距離の計算での成分取り違え:
  • 誤解: 距離 \(L\) を求める際に、円運動の速さ \(v \sin \theta\) を掛けてしまう。
  • 対策: 「進む」のは平行成分 \(v \cos \theta\) の仕事です。役割分担を明確にし、図に矢印を描いて確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の運動方程式の選択:
  • 選定理由: 荷電粒子が磁場中で曲線を描く場合、その駆動力はローレンツ力です。軌道が円（またはその射影）であることから、向心力をローレンツ力とする運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_{\perp}^2}{r} = ev_{\perp}B\) が第一選択となります。
  • 適用根拠: この式から半径 \(r\) が求まり、そこから周期 \(T\) へと繋げることができます。
• 周期の公式の選択:
  • 選定理由: 「再び軸上の点を通る」という条件は、時間的な周期性を問うものです。
  • 適用根拠: 円運動の基本公式 \(T = \displaystyle\frac{\text{円周}}{\text{速さ}}\) を適用します。ここで速さに \(v_{\perp}\) を使うことが最大のポイントです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • \(v_{\perp}\) や \(v_{\parallel}\) といった文字を定義して計算を進め、最後に \(v \sin \theta\) などを代入すると、式がスッキリしてミスが減ります。
• 三角関数の確認:
  • \(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) のどちらを使うか迷ったら、極端な場合を想定しましょう。\(\theta = 0\)（磁場と平行）のとき、回転しない（\(r=0\)）はずなので、半径の式には \(\sin 0 = 0\) となる \(\sin \theta\) が入るはずです。逆に進む速度は最大（\(v\)）になるはずなので、\(\cos 0 = 1\) となる \(\cos \theta\) が入るはずです。
• 次元の確認:
  • 周期 \(T\) の単位は秒 \([\text{s}]\) です。結果の式 \(\displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) が時間を表しているか、単位を追って確認する習慣をつけましょう（\(B\) は \([\text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})]\) などを利用）。

発展問題

520 電流が磁場から受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「3次元空間内で電流が磁場から受ける力」です。空間座標におけるベクトルの向きを正確に把握し、フレミングの左手の法則を適用する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

辺PQが受ける力

思考の道筋とポイント
辺PQは \(xy\) 平面上にあります。磁場は \(z\) 軸方向（鉛直上向き）なので、電流（水平）と磁場（鉛直）は直交しています。これは最も基本的なケースです。

この設問における重要なポイント

• 点P \((1, 0, 0)\) から点Q \((0, 1, 0)\) へ電流が流れる。
• 辺PQの長さは、直角二等辺三角形の斜辺として計算できる。
• 電流ベクトルは \(xy\) 平面内にあり、磁場ベクトル（\(z\)軸）と垂直である（\(\theta = 90^\circ\)）。

具体的な解説と立式
まず、辺PQの長さ \(L\) を求めます。
P \((1, 0, 0)\), Q \((0, 1, 0)\) より、三平方の定理を用いて、
$$
\begin{aligned}
L &= \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{1+1} \\[2.0ex] &= \sqrt{2}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
電流 \(I\) と磁場 \(B\) のなす角 \(\theta\) は \(90^\circ\) です。
力の大きさ \(F_{\text{PQ}}\) を求める式は、
$$ F_{\text{PQ}} = I B L \sin 90^\circ $$
力の向きは、フレミングの左手の法則より決定します。

• 電流（中指）: PからQの向き（図1のピンク色の矢印）
• 磁場（人差し指）: \(z\)軸正の向き（紙面手前向き）
• 力（親指）: 電流と磁場の両方に垂直な向き。図1において、辺PQに対して直角に右下方向へ向かう矢印 \(F_{\text{PQ}}\) の向きとなります。

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{PQ}} &= 2.0 \times 2.5 \times \sqrt{2} \times 1 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 1.41\dots \\[2.0ex] &\approx 7.05 \\[2.0ex] &\approx 7.1\,\text{N}
\end{aligned}
$$
向きについて詳細に検討します。
図1を参照すると、電流は \(x\) 軸正方向から \(y\) 軸正方向へ向かう向きです。
力 \(F_{\text{PQ}}\) はこれと垂直で \(xy\) 平面内にあるため、図1の矢印のように、\(x\) 軸正方向から \(y\) 軸正方向に向かって \(45^\circ\) の角をなす向きとなります。

PQ間では、電流は床の上を斜めに走っています。磁場は天井に向かって垂直に伸びています。このとき、電流と磁場は完全に直角に交わっているので、力は最大になります。フレミングの左手を使うと、力は床と平行な面内で、電流を横から押すような向きに働きます。

大きさは \(7.1\,\text{N}\)。向きは \(xy\) 平面内で \(x\) 軸の正の向きから \(y\) 軸の正の向きに向かって \(45^\circ\) の角をなす向き（図1の \(F_{\text{PQ}}\) の向き）。
力の大きさは \(5\sqrt{2}\) であり、有効数字2桁で \(7.1\) となります。

辺QRが受ける力

思考の道筋とポイント
辺QRは点Q \((0, 1, 0)\) から点R \((0, 0, 1)\) へ向かいます。これは \(yz\) 平面内の線分です。磁場も \(z\) 軸方向なので、電流と磁場は直角ではありません。なす角 \(\theta\) を正しく見つける必要があります。

この設問における重要なポイント

• 電流は \(y\) 軸上の点から \(z\) 軸上の点へ流れる。
• 磁場は \(z\) 軸正方向（上向き）。
• 電流ベクトルと磁場ベクトルのなす角は \(45^\circ\) である。

具体的な解説と立式
辺QRの長さ \(L\) は、同様に \(\sqrt{2}\,\text{m}\) です。
電流の向き（Q \(\to\) R）と磁場の向き（\(z\)軸正方向）のなす角 \(\theta\) を考えます。
図2（\(yz\) 平面図）を見ると、Q \((0, 1)\) から R \((0, 1)\) へのベクトルは、\(z\) 軸（縦軸）に対して \(45^\circ\) の角度を持っています。よって \(\theta = 45^\circ\) です。
力の大きさ \(F_{\text{QR}}\) を求める式は、
$$ F_{\text{QR}} = I B L \sin 45^\circ $$
力の向きは、フレミングの左手の法則より決定します。

• 電流（中指）: QからRの向き（図2の斜め左上の矢印）
• 磁場（人差し指）: 上向き（図2の \(B\) の矢印）
• 力（親指）: \(yz\) 平面に垂直な方向になります。左手を作ると、親指は紙面の裏側（\(x\)軸の負の方向）を指します。図2では \(\otimes\) マーク（紙面裏向き）で示されています。

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{QR}} &= 2.0 \times 2.5 \times \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= 5.0 \times 1 \\[2.0ex] &= 5.0\,\text{N}
\end{aligned}
$$

QR間では、電流は壁（\(yz\)平面）に沿って斜め上に登っています。磁場は真上を向いています。電流も少し上を向いているので、磁場との角度は \(45^\circ\) です。この「斜め具合」の分だけ、受ける力は弱くなります。力の向きは、壁から飛び出す方向ではなく、壁の裏側（\(x\)軸のマイナス方向）へ向かう方向になります。

大きさは \(5.0\,\text{N}\)。向きは \(x\) 軸の負の向き（図2の \(\otimes\) の向き）。
\(\sin 45^\circ\) の効果で \(\sqrt{2}\) が約分され、整数値になります。

辺RPが受ける力

思考の道筋とポイント
辺RPは点R \((0, 0, 1)\) から点P \((1, 0, 0)\) へ向かいます。これは \(zx\) 平面内の線分です。電流は上から下へ降りてくる向きなので、上向きの磁場とのなす角は鈍角になります。

この設問における重要なポイント

• 電流は \(z\) 軸上の点から \(x\) 軸上の点へ流れる。
• 磁場は \(z\) 軸正方向（上向き）。
• 電流ベクトルと磁場ベクトルのなす角は \(135^\circ\) である。

具体的な解説と立式
辺RPの長さ \(L\) は、同様に \(\sqrt{2}\,\text{m}\) です。
電流の向き（R \(\to\) P）と磁場の向き（\(z\)軸正方向）のなす角 \(\theta\) を考えます。
図3（\(zx\) 平面図）を見ると、R \((0, 1)\) から P \((1, 0)\) へのベクトルは、\(z\) 軸（縦軸）に対して \(135^\circ\) の角度を持っています。よって \(\theta = 135^\circ\) です。
力の大きさ \(F_{\text{RP}}\) を求める式は、
$$ F_{\text{RP}} = I B L \sin 135^\circ $$
力の向きは、フレミングの左手の法則より決定します。

• 電流（中指）: RからPの向き（図3の斜め左下の矢印）
• 磁場（人差し指）: 上向き（図3の \(B\) の矢印）
• 力（親指）: \(zx\) 平面に垂直な方向になります。左手を作ると、親指は紙面の裏側（\(y\)軸の負の方向）を指します。図3では \(\otimes\) マーク（紙面裏向き）で示されています。

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{RP}} &= 2.0 \times 2.5 \times \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= 5.0 \times 1 \\[2.0ex] &= 5.0\,\text{N}
\end{aligned}
$$

RP間では、電流は別の壁（\(zx\)平面）に沿って斜め下に滑り降りています。磁場は真上なので、電流とは逆方向気味（鈍角）に交わります。力の大きさはQRのときと同じです。向きは、壁の裏側（\(y\)軸のマイナス方向）へ向かう方向になります。

大きさは \(5.0\,\text{N}\)。向きは \(y\) 軸の負の向き（図3の \(\otimes\) の向き）。
QRの場合と同様にきれいな整数値になります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力のベクトル積としての性質
  • 核心: 電流が磁場から受ける力は、本質的にはベクトル積 \(\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}\) で表されます。この数式が意味するのは、「力は電流と磁場の両方に垂直である」ことと、「力の大きさは両者のなす角の正弦（\(\sin \theta\)）に比例する」ことです。
  • 理解のポイント:
    • 直交成分のみが効く: 磁場に平行な電流成分は力を受けません。常に「磁場に垂直な成分（射影成分）」だけが力に関与するという視点を持つことが重要です。
    • 空間的な直交関係: フレミングの左手の法則は、このベクトル積の向きを指で再現するツールです。3本の指が互いに直交する空間座標系を形成していることを意識しましょう。
• 空間図形の認識と平面への投影
  • 核心: 3次元空間内の現象を、適切な2次元平面（\(xy, yz, zx\) 平面）に投影して解析する能力です。
  • 理解のポイント:
    • 視点の切り替え: 斜めから見た立体図だけでなく、真上（\(z\)軸方向）や真横（\(x\)軸方向）から見た図を描くことで、角度や長さの関係が明確になります。
    • 射影の利用: 別解で示したように、磁場方向への射影（影）を考えることで、複雑な角度計算を回避できるという幾何学的な洞察が強力な武器になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円形コイルが受ける力: 磁場中で傾いた円形コイルが受けるトルク（回転力）を求める問題。これも「有効面積（磁場に垂直な面への射影）」を考えることで、\(NBS \sin \theta\) のような公式が導かれます。
  • 螺旋状の導線: 螺旋階段のように巻かれた導線が磁場から受ける力。微小部分ごとの力を積分する代わりに、始点と終点を結ぶ直線の「有効長さ」だけで計算できる場合があります。
  • 運動する導体に生じる誘導起電力: \(V = vBL \sin \theta\) の計算でも、同様に「磁場を横切る有効な長さ」という概念が使えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸と磁場の向きを確認する: 磁場がどの軸に平行か（あるいはどの平面内にあるか）を最初に確認します。これが基準となります。
  2. 平面図を描く: 3次元の図だけで考えず、必ず電流と磁場を含む平面、あるいは磁場に垂直な平面の図を描き起こします。
  3. 「直角」を探す: 電流と磁場が直角になっている部分がないか探します。そこは計算が一番簡単（\(\sin 90^\circ = 1\)）なので、まずはそこから解き始めるとリズムが掴めます。
  4. 対称性を利用する: 正三角形や正方形のコイルなら、各辺が受ける力にも対称性があるはずです（例：大きさが同じ、向きが90度回転しているなど）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度 \(\theta\) の取り違え:
  • 誤解: 図形の幾何学的な角度（例えば正三角形の内角 \(60^\circ\)）をそのまま公式の \(\theta\) に代入してしまう。
  • 対策: 公式の \(\theta\) はあくまで「電流ベクトルと磁場ベクトルのなす角」です。必ず始点を揃えてベクトルを描き、その間の角度を確認しましょう。
• フレミングの左手の向きの混乱:
  • 誤解: 手首を捻りすぎて、どの指がどの軸を指しているかわからなくなる。
  • 対策: 紙を回して、自分がやりやすい向き（例えば磁場を常に上向きにするなど）に合わせてから法則を適用しましょう。また、答えが出たら「力は電流とも磁場とも垂直か？」を必ずチェックします。
  • 座標軸の正負のミス:
    • 誤解: 力の向きを「\(x\)軸方向」と答えてしまうが、実際は「\(x\)軸の負の方向」だった。
    • 対策: 軸の矢印（正の向き）を常に意識し、フレミングの親指が矢印と同じ向きか、逆向きかを慎重に確認します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(F = IBL \sin \theta\) の選択:
  • 選定理由: 直線電流が磁場から受ける力を求めるための基本公式です。
  • 適用根拠: 電流 \(I\)、磁束密度 \(B\)、導線の長さ \(L\) が与えられており、一様な磁場中での直線電流という条件が満たされています。
• 別解（有効長さ）の選択:
  • 選定理由: 角度 \(\theta\) の計算が煩雑（\(135^\circ\) など）でミスを誘発しそうな場合や、直感的に解きたい場合に有効です。
  • 適用根拠: 力の大きさはベクトル積の大きさ \(|\vec{L} \times \vec{B}| = |\vec{L}| |\vec{B}| \sin \theta\) であり、これは \(|\vec{B}|\) と「\(\vec{L}\) の \(\vec{B}\) に垂直な成分」の積と等価であるという数学的性質に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ルートの扱いに慣れる:
  • \(\sqrt{2} \approx 1.41\) などの近似値は、計算の最後で代入します。途中式では \(\sqrt{2} \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = 1\) のようにきれいに約分できることが多いので、早まって小数にしないことが鉄則です。
• 次元（単位）の確認:
  • 力の単位は \([\text{N}]\) です。計算結果が単なる数値になっていないか、最後に単位を付けて確認します。
• 作図による検算:
  • 計算で求めた力の向きを、図の中に矢印で書き込んでみます。例えば、コイル全体がどのように変形しようとするか（広がるのか、縮むのか、回転するのか）をイメージし、物理的に不自然でないかを確認します。この問題の場合、コイルを広げようとする力が働いていることがわかります。

521 電気ブランコ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の電流が受ける力（電磁力）と剛体の静止条件」です。電気回路の知識と力学の知識を融合させて解く総合問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
前半は単純な直流回路の問題です。電池と抵抗がつながった回路全体の電流を求めます。
後半は抵抗の定義式に関する問題です。円柱の直径 \(d\) から断面積 \(S\) を正しく計算できるかがポイントです。

この設問における重要なポイント

• 回路には、導体Aの抵抗 \(R\) と電池の内部抵抗 \(r\) が直列に接続されている。
• 円柱の断面積は、半径 \(\displaystyle\frac{d}{2}\) を用いて \(\pi \left(\displaystyle\frac{d}{2}\right)^2\) となる。

具体的な解説と立式
まず、電流 \(I\) を求めます。
回路全体の起電力は \(E\)、全抵抗は導体Aの抵抗 \(R\) と内部抵抗 \(r\) の和なので \(R+r\) です。
オームの法則 \(I = \displaystyle\frac{V}{R_{\text{all}}}\) より、
$$ I = \frac{E}{R + r} $$

次に、抵抗率 \(\rho\) を求めます。
導体Aの長さは \(L\)、直径は \(d\) なので、断面積 \(S\) は、
$$ S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{\pi d^2}{4} $$
抵抗の公式 \(R = \rho \displaystyle\frac{L}{S}\) より、
$$ R = \rho \frac{L}{\frac{\pi d^2}{4}} $$
この式を \(\rho\) について解きます。

抵抗の式を変形します。
$$
\begin{aligned}
R &= \rho \frac{4L}{\pi d^2} \\[2.0ex] \rho \frac{4L}{\pi d^2} &= R \\[2.0ex] \rho &= R \times \frac{\pi d^2}{4L} \\[2.0ex] &= \frac{\pi d^2 R}{4L}
\end{aligned}
$$

まずは回路に流れる電気の量（電流）を計算します。電池のパワー（\(E\)）を、回路全体の邪魔する要素（\(R\)と\(r\)の合計）で割ればOKです。
次に、導体Aの素材の性質（抵抗率）を計算します。抵抗値 \(R\) は「素材の抵抗率 \(\times\) 長さ \(\div\) 太さ（面積）」で決まります。この式を逆算して、抵抗率 \(\rho\) を求めます。面積の計算で直径を半分にして半径にするのを忘れないようにしましょう。

電流は \(\displaystyle\frac{E}{R+r}\)、抵抗率は \(\displaystyle\frac{\pi d^2 R}{4L}\) です。
単位を確認すると、抵抗率は \([\Omega \cdot \text{m}]\) となり、次元的に正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
ブランコが傾いて止まっている状況を、真横（導体に沿った方向）から見た図で考えます。
物体（導体A）には、以下の3つの力が働いています。
1. 重力 \(mg\)（鉛直下向き）
2. 導線の張力 \(T\)（斜め上向き）
3. 電磁力 \(F = IBL\)（水平方向）

まず、ブランコが傾く向きから電磁力の向きを特定し、フレミングの左手の法則で磁場の向きを決めます。
次に、力のつりあいの式を立てて磁束密度 \(B\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 電流の向きは、図の電池の極性から判断する（手前から奥へ）。
• ブランコは鉛直方向から \(30^\circ\) 傾いているので、電磁力は水平右向きに働いている。
• 鉛直方向の磁場なので、フレミングの左手の法則の人差し指は上か下を向く。

具体的な解説と立式
磁場の向きの決定:
図の電池の記号（長い方がプラス）と配線を見ると、電流は手前の導線から導体Aに入り、奥の導線へ抜けていきます。つまり、導体Aを流れる電流の向きは「手前から奥（紙面表から裏）」です。
ブランコが図のように右側に振れていることから、電磁力は「右向き」に働いています。
フレミングの左手の法則を適用します。

• 中指（電流）：紙面裏向き
• 親指（力）：右向き
• 人差し指（磁場）：このとき、人差し指は「上」を向きます。

よって、磁場の向きは「鉛直上向き」です。

磁束密度 \(B\) の計算:
導体Aにはたらく力のつりあいの式を立てます。
水平方向（右向きを正）:
$$ IBL – T \sin 30^\circ = 0 \quad \cdots ① $$
鉛直方向（上向きを正）:
$$ T \cos 30^\circ – mg = 0 \quad \cdots ② $$
この連立方程式から \(T\) を消去し、\(B\) を求めます。

式①より \(T \sin 30^\circ = IBL\)、式②より \(T \cos 30^\circ = mg\) です。
辺々を割り算して \(\tan 30^\circ\) を作ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{T \sin 30^\circ}{T \cos 30^\circ} &= \frac{IBL}{mg} \\[2.0ex] \tan 30^\circ &= \frac{IBL}{mg}
\end{aligned}
$$
ここで \(\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{IBL}{mg} \\[2.0ex] B &= \frac{mg}{\sqrt{3} IL}
\end{aligned}
$$
(1)で求めた \(I = \displaystyle\frac{E}{R+r}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{mg}{\sqrt{3} L} \times \frac{1}{I} \\[2.0ex] &= \frac{mg}{\sqrt{3} L} \times \frac{R+r}{E} \\[2.0ex] &= \frac{mg(R+r)}{\sqrt{3} EL}
\end{aligned}
$$

ブランコが斜めになって止まっているのは、「重力で下に落ちようとする力」と「磁石の力で横に押される力」と「紐で引っ張られる力」の3つがバランスを取っているからです。
まず、電流の向きと押される向きから、磁石の力の向き（磁場の向き）を推理します。左手を使うと「上向き」だとわかります。
次に、力のバランスを計算します。横方向の力と縦方向の力の比率が、ちょうどブランコの傾き（\(30^\circ\)）のタンジェント（\(\tan\)）になります。これを使って磁場の強さを計算します。

磁場の向きは鉛直上向き、大きさは \(\displaystyle\frac{mg(R+r)}{\sqrt{3} EL}\) です。
質量 \(m\) が大きいほど（重いほど）、傾けるのにより強い磁場が必要になるため、分子に \(m\) があるのは妥当です。電流 \(I\)（つまり \(E/(R+r)\)）が大きいほど、弱い磁場でも傾くため、分母に \(E\) があるのも妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁気と力学の融合（力のつりあい）
  • 核心: この問題の最大のポイントは、電気回路の計算で求めた電流 \(I\) が、磁場中で力 \(F=IBL\) を生み出し、その力が重力や張力とつりあって静止するという、分野横断的なロジックのつながりです。
  • 理解のポイント:
    • 役割分担: オームの法則は「力の大きさ」を決めるための準備段階であり、本番は力学的な「つりあいの式」です。
    • ベクトルの合成: 重力（鉛直）と電磁力（水平）の合力が、張力（斜め）と一直線上に並び、大きさが等しくなるという幾何学的なイメージを持つことが重要です。
• 抵抗率と形状の関係
  • 核心: 抵抗値 \(R\) は物質固有の定数ではなく、形状（長さ \(L\)、断面積 \(S\)）によって変化する量であることを、公式 \(R = \rho \displaystyle\frac{L}{S}\) を通じて理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 断面積の計算: 直径 \(d\) が与えられたとき、安易に \(d^2\) とせず、必ず半径 \(\displaystyle\frac{d}{2}\) に直して \(\pi \left(\displaystyle\frac{d}{2}\right)^2\) と計算する慎重さが求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • レール上の導体棒: 傾いたレール上を導体棒が滑り落ちずに静止する問題。摩擦力が加わる場合もありますが、基本は「重力成分、電磁力成分、摩擦力」のつりあいです。
  • コイルの回転: 磁場中のコイルが受けるトルクの問題。これも本質的には、電流が受ける力によるモーメントのつりあいです。
  • 運動する導体棒: ブランコが揺れる（振動する）場合。静止条件ではなく、運動方程式 \(ma = F\) やエネルギー保存則を適用することになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の経路をなぞる: 電池のプラス極から出発し、導体の中をどちら向きに電流が流れるかを指でなぞって確認します。これが全ての力の源です。
  2. 断面図を描く: 立体的な図のまま考えるのはミスの元です。必ず導体に沿った方向から見た「断面図（側面図）」を描き、力を矢印で書き込みます。
  3. 未知数を消去する戦略を立てる: 張力 \(T\) は求めなくてよい量なので、\(T\) を含まない式（モーメントのつりあいや、\(\tan \theta\) の式）を狙って立てると効率的です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の向きの誤認:
  • 誤解: 電流の向きを手前から奥ではなく、奥から手前と逆にとってしまう。あるいは、磁場の向きを勝手に決めてしまう。
  • 対策: 電池の記号（長い線がプラス）を必ず確認しましょう。また、力の向き（ブランコが振れている方向）がわかっている場合は、親指（力）と中指（電流）を先に固定し、残った人差し指（磁場）の向きを確認するという「逆引き」の手順が有効です。
• 断面積計算での係数ミス:
  • 誤解: \(S = \pi d^2\) や \(S = \displaystyle\frac{\pi d^2}{2}\) と計算してしまう。
  • 対策: 「半径は直径の半分」と唱えながら、\(\left(\displaystyle\frac{d}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{d^2}{4}\) と丁寧に展開するステップを踏みましょう。
• 三角関数の選択ミス:
  • 誤解: 水平成分に \(\cos\)、鉛直成分に \(\sin\) を使ってしまう（角度の定義位置による）。
  • 対策: 図に直角三角形を描き、角度 \(\theta\)（今回は鉛直とのなす角）がどこにあるかを確認します。「\(\theta\) を挟む辺が \(\cos\)」「\(\theta\) の対辺が \(\sin\)」というルールを徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(F = IBL\) の選択:
  • 選定理由: 直線電流が磁場から受ける力を求める基本公式です。
  • 適用根拠: 導体Aは直線状であり、磁場と電流は直交しています（電流は水平、磁場は鉛直）。したがって \(\sin \theta = \sin 90^\circ = 1\) となり、最もシンプルな形が使えます。
• 力のつりあい vs モーメントのつりあい:
  • 選定理由: どちらでも解けますが、張力 \(T\) を求めなくて良い場合はモーメントの方が計算が速いです。
  • 適用根拠: 物体が静止しているため、並進運動も回転運動もしていません。したがって、どちらの平衡条件も成立しています。試験時間や計算の自信に応じて使い分けましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま最後まで:
  • \(I\) や \(R\) などの文字式のまま計算を進め、最後に代入します。途中で数値を代入したり、\(I\) の中身（\(E/(R+r)\)）を展開しすぎると、式が煩雑になりミスが増えます。
• \(\tan \theta\) の活用:
  • 水平成分と鉛直成分の比をとると、張力 \(T\) が消えて \(\tan \theta\) が現れます。物理の問題では非常によくあるパターン（\(mg \tan \theta = F\)）なので、この形を見たら「しめた！」と思えるようになりましょう。
• 次元の確認:
  • 抵抗率の単位は \([\Omega \cdot \text{m}]\) です。求めた式 \(\displaystyle\frac{\pi d^2 R}{4L}\) の単位を確認すると、\(\displaystyle\frac{[\text{m}^2] \cdot [\Omega]}{[\text{m}]} = [\Omega \cdot \text{m}]\) となり、正しいことがわかります。このような検算を常に行う癖をつけましょう。

522 コイルが電流から受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線電流がつくる磁場と、その磁場中のコイルが受ける力およびモーメント」です。空間的な配置を正確に把握し、磁場の向き、力の向き、そして回転の作用を順序立てて解析する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、直線電流 \(I_1\) から辺ADまでの最短距離を幾何学的に求めます。次に、アンペールの法則（直線電流の磁場の公式）を用いて磁場の強さを計算し、透磁率 \(\mu_0\) を掛けて磁束密度を求めます。向きは右ねじの法則で判断します。

この設問における重要なポイント

• 直線電流 \(I_1\) から辺ADまでの距離は、図2の断面図で見ると直角三角形の斜辺にあたる。
• 磁場の向きは、電流 \(I_1\) を中心とする円の接線方向である。

具体的な解説と立式
まず、直線電流 \(I_1\) から辺ADまでの距離 \(R\) を求めます。
図2（断面図）において、\(I_1\) の位置を原点、\(x\) 軸上の距離を \(r\)、\(y\) 軸方向（辺ADの高さ）を \(\displaystyle\frac{a}{2}\) とすると、三平方の定理より、
$$ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} $$
直線電流がつくる磁場の強さ \(H\) の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi R}\) より、辺ADの位置での磁場の強さ \(H\) は以下のようになります。
$$ H = \frac{I_1}{2\pi \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}} $$
求める磁束密度の大きさ \(B\) は、\(B = \mu_0 H\) より、
$$ B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}} $$

分母のルートの中身を通分して整理します。
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{\mu_0 I_1}{2\pi \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I_1}{2\pi \sqrt{\frac{4r^2 + a^2}{4}}} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I_1}{2\pi \frac{\sqrt{4r^2 + a^2}}{2}} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I_1}{\pi \sqrt{a^2 + 4r^2}}
\end{aligned}
$$

まず、電流 \(I_1\) から辺ADまでの「直線距離」を計算します。横に \(r\)、縦に \(a/2\) 離れているので、三平方の定理を使います。
次に、公式を使ってその場所での磁場の強さを計算します。磁場は距離に反比例して弱くなります。最後に透磁率 \(\mu_0\) を掛ければ磁束密度の完成です。

磁束密度の大きさは \(\displaystyle\frac{\mu_0 I_1}{\pi \sqrt{a^2 + 4r^2}}\) です。
距離 \(R\) が大きくなると分母が大きくなり、磁場が弱くなるという物理的直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
辺ADと辺BCは、電流 \(I_1\) から等距離にあるため、受ける力の大きさは等しくなります。
それぞれの力の向きをフレミングの左手の法則で決定し、図示します。
2つの力は対称的な向きを向いているため、ベクトル合成を行うと、特定の成分（\(x\)成分）が打ち消し合い、残った成分（\(y\)成分）が合力となります。

この設問における重要なポイント

• 辺ADと辺BCにおける磁束密度 \(B\) の大きさは等しい。
• 辺ADの電流 \(I_2\) は紙面表向き（\(I_1\)と同方向）、辺BCの電流 \(I_2\) は紙面裏向き（\(I_1\)と逆方向）である。
• 平行電流の性質より、同方向電流（AD）には引力、逆方向電流（BC）には斥力が働く。

具体的な解説と立式
まず、辺ADが受ける力 \(F_1\) の大きさを求めます。
電流 \(I_2\) と磁場 \(B\) は直交しているため、\(F = IBL\) の公式がそのまま使えます。辺の長さは \(a\) です。
$$ F_1 = I_2 B a $$
(1)の結果を代入して、
$$ F_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 a}{\pi \sqrt{a^2 + 4r^2}} $$
辺BCが受ける力 \(F_2\) も、距離が同じなので大きさは \(F_1\) と同じです。
$$ F_2 = F_1 $$

次に、向きを考えます。
図2において、辺ADの電流 \(I_2\) は \(I_1\) と同じ向き（手前）なので、\(I_1\) に引き寄せられる方向（引力）、すなわち「左上」向きの力 \(F_1\) を受けます。
辺BCの電流 \(I_2\) は \(I_1\) と逆向き（奥）なので、\(I_1\) から反発する方向（斥力）、すなわち「右上」向きの力 \(F_2\) を受けます。

図2の幾何学的関係から、力 \(F_1\) が \(y\) 軸（鉛直上向き）となす角を \(\phi\) とすると、\(F_1\) の \(y\) 成分は \(F_1 \cos \phi\) です。
ここで、図形の相似性より、この角 \(\phi\) は、位置ベクトルが \(x\) 軸となす角と等しくなります。
したがって、
$$ \cos \phi = \frac{a/2}{\sqrt{r^2 + (a/2)^2}} $$
対称性より、\(F_1\)（左上）と \(F_2\)（右上）の \(x\) 成分（水平成分）は打ち消し合い、\(y\) 成分（鉛直成分）のみが残ります。
合力 \(F_{\text{合}}\) は \(y\) 軸正の向きとなり、その大きさは \(F_1\) の \(y\) 成分の2倍です。
$$ F_{\text{合}} = 2 F_1 \cos \phi $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{合}} &= 2 \times \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2 a}{\pi \sqrt{a^2 + 4r^2}} \right) \times \frac{a/2}{\sqrt{r^2 + a^2/4}} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I_1 I_2 a}{\pi \sqrt{a^2 + 4r^2}} \times \frac{a}{\sqrt{r^2 + a^2/4}} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I_1 I_2 a^2}{\pi (a^2 + 4r^2)^{1/2} (r^2 + a^2/4)^{1/2}}
\end{aligned}
$$
分母のルートの中身を揃えます。\(\sqrt{r^2 + a^2/4} = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4r^2 + a^2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{合}} &= \frac{\mu_0 I_1 I_2 a^2}{\pi \sqrt{a^2 + 4r^2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + 4r^2}} \\[2.0ex] &= \frac{2 \mu_0 I_1 I_2 a^2}{\pi (a^2 + 4r^2)}
\end{aligned}
$$

ADとBCは、\(I_1\) から見てちょうど上下対称な位置にあります。ADは \(I_1\) に引き寄せられるので「左斜め上」に引かれ、BCは \(I_1\) から反発するので「右斜め上」に押されます。この2つの力を合わせると、「左」と「右」へ押す成分は打ち消し合って消えてしまい、「上」へ押す成分だけが残って2倍になります。

向きは \(y\) 軸の正の向き、大きさは \(\displaystyle\frac{2 \mu_0 I_1 I_2 a^2}{\pi (a^2 + 4r^2)}\) です。
\(I_1, I_2\) の積に比例し、距離の2乗のオーダーに反比例する形となっており、電磁力の性質として妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた合力 \(F_{\text{合}}\) が、軸KLのまわりにどのような回転作用（モーメント）を及ぼすかを考えます。
合力の作用線と回転軸との距離（腕の長さ）を見極めることが重要です。
あるいは、個々の力 \(F_1, F_2\) のモーメントを足し合わせても求められます（別解）。

この設問における重要なポイント

• 力 \(F_1\) と \(F_2\) の作用線は、いずれも原点（\(I_1\) の位置）を通ります。したがって、合力の作用線も原点を通ります。
• 回転軸KLは \(x=r\) の位置にあります。
• 原点を通る \(y\) 向きの力 \(F_{\text{合}}\) に対する、\(x=r\) の軸まわりのモーメントを計算します。

具体的な解説と立式
力 \(F_1\)（引力）と \(F_2\)（斥力）は、ともに \(I_1\) と作用点を結ぶ線上にあります。したがって、それらの作用線を延長すると、原点（\(I_1\) の位置）で交わります。
力の合成の原理より、合力 \(F_{\text{合}}\) の作用線もまた、この交点（原点）を通ります。
合力 \(F_{\text{合}}\) の向きは \(y\) 軸正方向（上向き）でした。
つまり、合力は「原点を通り、上向きの力」とみなせます。
回転軸KLは \(x=r\) の位置にあります。
原点にある力 \(F_{\text{合}}\) から回転軸までの距離（腕の長さ）は \(r\) です。
モーメント \(M\) の大きさは、
$$ M = F_{\text{合}} \times r $$
回転の向きは、\(x=r\) にある軸から見て、\(x=0\) にある力が上向きに働くので、K側（\(z\)軸正側）から見ると、左側が持ち上がる方向、すなわち「時計回り」です。

(2)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
M &= \frac{2 \mu_0 I_1 I_2 a^2}{\pi (a^2 + 4r^2)} \times r \\[2.0ex] &= \frac{2 \mu_0 I_1 I_2 a^2 r}{\pi (a^2 + 4r^2)}
\end{aligned}
$$

ADを引く力もBCを押す力も、元をたどれば電流 \(I_1\) の場所から放射状に伸びています。だから、これらをまとめた「合力」も、\(I_1\) の場所から生えていると考えられます。
回転軸はそこから距離 \(r\) だけ離れたところにあります。
「離れた場所（\(I_1\)）から上向きに押す力」が、軸（コイル）をどう回転させるかをイメージすると、時計回りに回そうとすることがわかります。

向きは軸KLをK側から見て時計回り、大きさは \(\displaystyle\frac{2 \mu_0 I_1 I_2 a^2 r}{\pi (a^2 + 4r^2)}\) です。
距離 \(r\) がモーメントの腕として効いてくることが式に表れています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 平行電流間の相互作用と力の合成
  • 核心: この問題の根底にあるのは、「同じ向きの電流は引き合い、逆向きの電流は反発し合う」という平行電流間の力の法則です。ただし、電流が平行ではなく「ねじれの位置」にある場合や、斜めの位置関係にある場合でも、この引力・斥力の原則は変わりません。
  • 理解のポイント:
    • 引力と斥力の識別: \(I_1\) と \(I_2\)（AD）は同方向成分を持つため引力、\(I_1\) と \(I_2\)（BC）は逆方向成分を持つため斥力となります。この直感的な理解が、力の向きのミスを防ぐ防波堤になります。
    • 対称性の利用: ADとBCが対称な位置にあるため、力の \(x\) 成分が打ち消し合い、\(y\) 成分だけが残るという構造を見抜くことが、計算を劇的に簡略化します。
• 力のモーメントと回転軸
  • 核心: 力のモーメントは「回転軸から力の作用線までの距離（腕の長さ）」で決まります。合力の作用線がどこを通るかを見抜く幾何学的なセンス、あるいは成分分解して個別に計算する着実な計算力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 作用線の交点定理: 複数の力が一点（この場合は原点 \(I_1\)）から放射状に出ている場合、その合力の作用線も必ずその点を通ります。これを知っていると、モーメントの計算が一瞬で終わります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 矩形コイルの回転: 一様な磁場中でコイルが受けるトルク \(N = IBS \sin \theta\) の導出問題。本問はその磁場が一様でない（距離によって変わる）バージョンと言えます。
  • 2本の平行電流が作る磁場: 2本の電流が作る合成磁場の分布や、その中に置かれた第3の電流が受ける力を求める問題。ベクトルの合成が必要になる点で共通しています。
  • 双極子モーメント: 微小なコイル（磁気双極子）が不均一な磁場から受ける力（吸引力や反発力）を考える問題への発展形としても捉えられます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 断面図を描く: 3次元的な配置図だけでなく、電流に垂直な断面図（本問の図2）を必ず自分で描き、距離や角度を書き込みます。
  2. 電流の向きを矢印で書き込む: \(\odot\) や \(\otimes\) だけでなく、引力・斥力の矢印をその場で書き込み、力の向きのイメージを掴みます。
  3. 対称性をチェックする: 上下左右に対称な配置があれば、必ず何らかの成分がキャンセルされます。計算する前に「\(x\) 成分は消えるはずだ」と予測を立てましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の適用の誤り:
  • 誤解: 磁場の向きを「電流 \(I_1\) からの放射状」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 直線電流の磁場は「同心円状（接線方向）」です。必ず \(I_1\) を中心とする円を描き、その接線方向に磁場ベクトルを描く習慣をつけましょう。
• モーメントの腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 腕の長さを、単に「コイルの中心から辺までの距離 \(a/2\)」としてしまう。
  • 対策: モーメントは「力の作用線」までの距離です。合力で考えるなら \(r\)、個別の力で考えるなら \(x\) 成分に対して \(a/2\) です。どの力に対してどの距離を使うかを明確に区別しましょう。
• ベクトル合成の際の成分の取り違え:
  • 誤解: \(\sin\) と \(\cos\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 図に直角三角形を描き、角度 \(\theta\) がどこに対応するかを確認します。特に、力のベクトル図と位置の幾何学図が相似になることを利用する場合、対応する辺を慎重に選びましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi R}\) の選択:
  • 選定理由: 無限に長い直線電流が作る磁場を求める唯一の公式です。
  • 適用根拠: 問題文に「無限に長い導線」とあるため、端効果を無視できるこの公式が適用されます。
• \(F = IBL\) の選択:
  • 選定理由: 電流と磁場が直交している場合の電磁力の公式です。
  • 適用根拠: 図2の断面図において、磁場（接線方向）と電流（紙面垂直方向）は常に直交しています。したがって \(\sin 90^\circ = 1\) となり、このシンプルな形が使えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ルートの中身を安易に展開しない:
  • \(\sqrt{r^2 + a^2/4}\) のような項は、最後までルートのまま、あるいは \(R\) という文字のまま扱います。最後に2乗されたり約分されたりして消えることが多いからです。
• 次元の確認（単位チェック）:
  • 磁束密度 \(B\) は \([\mu_0 I / L]\)、力 \(F\) は \([\mu_0 I^2]\)、モーメント \(M\) は \([\mu_0 I^2 L]\) の次元を持ちます。解答の式の次元がこれと合致しているかを確認することで、\(a\) や \(r\) の掛け忘れ（次数ミス）を防げます。
• 極限での振る舞いを確認:
  • \(r \to \infty\)（コイルが非常に遠い）としたとき、力やモーメントが 0 になるか確認します。本問の答えは分母に \(r^2\) があるため、\(r \to \infty\) で 0 になり、物理的に妥当です。

523 平行電流間にはたらく力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の平行電流による磁場と力の合成」です。無限に長い直線電流が周囲に作る磁場を正しく把握し、それらをベクトルとして合成した上で、電流が受ける力を計算する総合的な力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、3つの電流が作る磁場を正確に図示し、それらをベクトルとして足し合わせることです。導線P（左上）に対し、Q（左下）、S（右上）、R（右下）が作る磁場の向きを「右ねじの法則」で一つずつ丁寧に特定していきます。

この設問における重要なポイント

• 導線Pの位置における各磁場の向きを正しく判断する（Qは左向き、Sは下向き、Rは右上向き）。
• 導線Pから各導線までの距離を確認する（Q, Sまでは \(a\)、Rまでは \(\sqrt{2}a\)）。
• 磁場を合成する際、対称性を利用して計算を簡略化する。
• 最後に「フレミングの左手の法則」を用いて力の向きを決定する。

具体的な解説と立式
導線Pの位置における、各電流による磁場の強さを \(H_{\text{Q}}\), \(H_{\text{R}}\), \(H_{\text{S}}\) とします。

1. 導線Q（左下、\(\odot\)）による磁場 \(H_{\text{Q}}\):
距離は \(a\)、電流は \(2I\) です。右ねじの法則より、Pの位置での向きは「左向き」となります。
2. 導線S（右上、\(\odot\)）による磁場 \(H_{\text{S}}\):
距離は \(a\)、電流は \(2I\) です。右ねじの法則より、Pの位置での向きは「下向き」となります。
3. 導線R（右下、\(\otimes\)）による磁場 \(H_{\text{R}}\):
距離は \(\sqrt{2}a\)、電流は \(I\) です。電流が「裏向き」なので、右ねじの法則より、Pの位置での向きは「右上向き（対角線RPの方向）」となります。

まず、\(H_{\text{Q}}\)（左向き）と \(H_{\text{S}}\)（下向き）を合成した磁場を \(H’\) とすると、向きは「左下向き」となります。
次に、この \(H’\)（左下向き）と \(H_{\text{R}}\)（右上向き）を合成します。これらは同一直線上で逆向きであるため、その差が合成磁場 \(H\) となります。

まず、各磁場の強さを求めます。
$$
\begin{aligned}
H_{\text{Q}} &= \frac{2I}{2\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{I}{\pi a}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
H_{\text{S}} &= \frac{2I}{2\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{I}{\pi a}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
H_{\text{R}} &= \frac{I}{2\pi \sqrt{2}a} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}I}{4\pi a}
\end{aligned}
$$
\(H_{\text{Q}}\)（左向き）と \(H_{\text{S}}\)（下向き）の合成磁場 \(H’\)（左下向き）の大きさは、
$$
\begin{aligned}
H’ &= \sqrt{H_{\text{Q}}^2 + H_{\text{S}}^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{2} H_{\text{Q}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}I}{\pi a}
\end{aligned}
$$
合成磁場 \(H\) は、\(H’\)（左下向き）と \(H_{\text{R}}\)（右上向き）の差として求められます。
$$
\begin{aligned}
H &= H’ – H_{\text{R}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}I}{\pi a} – \frac{\sqrt{2}I}{4\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{3\sqrt{2}I}{4\pi a}
\end{aligned}
$$
この合成磁場 \(H\) の向きは、大きい方のベクトル \(H’\) の向きである「左下向き」です。
最後に、導線P（電流 \(I\)、紙面の裏から表向き）がこの磁場 \(H\) から受ける力 \(F\)（長さ \(1\,\text{m}\) あたり）を求めます。
フレミングの左手の法則より、電流が「表向き」、磁場が「左下向き」のとき、力の向きはこれらに垂直な「右下向き」、すなわち「PからRの向き」となります。
$$
\begin{aligned}
F &= \mu \times I \times H \times 1 \\[2.0ex] &= \mu \times I \times \frac{3\sqrt{2}I}{4\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{3\sqrt{2}\mu I^2}{4\pi a}
\end{aligned}
$$

導線Pの周りにある3本の導線が作る磁場を、一つずつ整理しましょう。左下のQはPを左へ、右上のSはPを下へ押し流そうとする磁場を作ります。この2つを合わせると、斜め左下を向く強い磁場ができます。一方、右下のRは逆向きの電流なので、斜め右上を向く磁場を作ります。これらを戦わせると、左下向きのパワーが勝り、差し引きで「斜め左下向き」の磁場が残ります。この磁場の中に導線Pの電流が流れているので、フレミングの法則によって力が働きます。指を合わせて確認すると、導線Pは対角線の相手であるRの方へ引き寄せられるような力を受けることがわかります。

力の大きさは \(F = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}\mu I^2}{4\pi a}\)、向きは「PからRの向き」となりました。
QとSはPと同じ向きの電流なのでPを引きつけ、Rは逆向きなのでPを退けます。QとSによる引力の合力の方が、遠いRによる斥力よりも勝るため、結果としてPは正方形の中心方向（Rの方向）へ動かされるという結論は、物理的な直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
導線Pが受ける合力を \(0\) にするためには、導線Pの位置における合成磁場が \(0\) になればよいと考えます。問(1)の結果を利用して、QとSが作る磁場を、Rが作る磁場がちょうど打ち消すような電流の大きさを求めます。

この設問における重要なポイント

• 合力が \(0\) \(\iff\) 合成磁場が \(0\)。
• QとSが作る磁場の合計 \(H’\) は、問(1)で求めた通り \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}I}{\pi a}\)（左下向き）。
• これを打ち消すためには、Rが作る磁場 \(H_{\text{R}}\) が同じ大きさで「右上向き」になればよい。

具体的な解説と立式
導線Rに流す新しい電流を \(I_{\text{R}}\) とします。
QとSによる合成磁場 \(H’\) は、
$$ H’ = \frac{\sqrt{2}I}{\pi a} \quad (\text{左下向き}) $$
導線Rの電流 \(I_{\text{R}}\) が作る磁場 \(H_{\text{R}}\) は、
$$ H_{\text{R}} = \frac{I_{\text{R}}}{2\pi (\sqrt{2}a)} \quad (\text{右上向き}) $$
これらが等しくなればよいので、
$$ \frac{\sqrt{2}I}{\pi a} = \frac{I_{\text{R}}}{2\sqrt{2}\pi a} $$

立てた方程式を \(I_{\text{R}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{2}I}{\pi a} &= \frac{I_{\text{R}}}{2\sqrt{2}\pi a} \\[2.0ex] I_{\text{R}} &= \frac{\sqrt{2}I}{\pi a} \times 2\sqrt{2}\pi a \\[2.0ex] &= 2 \times 2 \times I \\[2.0ex] &= 4I
\end{aligned}
$$

Pを引っ張るQとSのコンビに対抗して、R一人でPを押し戻して静止させたい、という状況です。QとSは距離が近く、しかも2人合わせて大きなパワーがあります。Rは遠い対角線の位置にいるため、QとSのコンビに対抗するには、自分自身の電流をかなり強くしなければなりません。計算すると、元の \(4\) 倍の電流を流せば、ちょうど力が釣り合ってPが動かなくなることがわかります。

電流の大きさは \(4I\) となりました。
RはQやSに比べて距離が \(\sqrt{2}\) 倍遠いため、同じ磁場を作るにはより大きな電流が必要です。また、QとSの2つ分の磁場を1つで打ち消す必要があるため、\(4I\) という大きな値になるのは妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直線電流がつくる磁場と右ねじの法則
  • 核心: 無限に長い直線電流が周囲に作る磁場は、電流を中心とした同心円状に発生します。その強さは電流 \(I\) に比例し、距離 \(r\) に反比例する \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) で表されます。
  • 理解のポイント:
    • 向きの決定: 親指を電流の向きに合わせたとき、残りの4本の指が回る向きが磁場の向きです。本問のように紙面に対して垂直な電流の場合、磁場は紙面内の円の接線方向となります。
    • 観測点での向き: 磁場は円を描くため、特定の点（本問では点P）における磁場の向きは、電流の位置とその点を結ぶ線分に対して「垂直」になることを常に意識しましょう。
• 磁場から電流が受ける力（アンペール力）
  • 核心: 磁場中を流れる電流は、磁場から力を受けます。その大きさは \(F = \mu IHL\) であり、向きはフレミングの左手の法則で決定されます。
  • 理解のポイント:
    • 相互作用の理解: 導線Pが受ける力は、自分自身が作る磁場によるものではなく、周囲の導線Q, R, Sが作った磁場の「合計（合成磁場）」によって決まります。
    • 向きの連鎖: 「電流の向き」と「磁場の向き」の2つが確定して初めて「力の向き」が決まります。一つでも判断を誤ると結論が逆転するため、指の形を正確に作ることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正三角形や正六角形の頂点に配置された電流: 本問は正方形ですが、他の多角形でも基本は同じです。幾何学的な対称性を利用して、ベクトルの成分分解や合成を効率的に行います。
  • 3次元空間での電流配置: 導線が \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸に平行に配置される場合です。この場合も、各電流が作る磁場をベクトル成分 \((H_x, H_y, H_z)\) で表して足し合わせるアプローチが有効です。
  • 磁場が \(0\) になる場所を探す問題: 問(2)の逆パターンで、電流の配置が与えられたときに「合成磁場が \(0\) になる地点の座標」を求める問題も頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の向きを記号（\(\odot\) や \(\otimes\)）で明確に区別する: これが全ての向きの判断の出発点です。
  2. 磁場のベクトルを「作用点」に正しく描く: 磁場は電流の場所に発生するのではなく、力を受ける導線（本問ではP）の場所に発生します。
  3. 対称性を見つける: 距離が等しい、あるいは電流の大きさが等しいペアを探します。本問のQとSのように、対称な位置にあるベクトルを先に合成すると計算が劇的に楽になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 右ねじの法則とフレミングの左手の法則の混同
  • 誤解: 磁場の向きを求めるときに、誤って左手を使ってしまう。
  • 対策: 「磁場を作る（原因）」ときは右手（右ねじ）、「磁場から力を受ける（結果）」ときは左手（フレミング）と、役割を明確に分けましょう。本問では、Q, R, Sに対しては右手、Pに対しては左手を使います。
• 距離の計算ミス（幾何学的な見落とし）
  • 誤解: 全ての導線からの距離を等しく \(a\) と置いてしまう。
  • 対策: 導線の配置図を真上から見た図として正確に捉えましょう。正方形の隣り合う頂点間は \(a\) ですが、対角線の頂点間は \(\sqrt{2}a\) です。この \(\sqrt{2}\) の付け忘れは、最終的な数値に大きな影響を与えます。
• ベクトル合成を単純なスカラー和で行ってしまう
  • 誤解: 磁場の強さを \(H = H_{\text{Q}} + H_{\text{R}} + H_{\text{S}}\) のように、向きを無視して足してしまう。
  • 対策: 磁場はベクトル量です。必ず図を描き、向きが同じなら足す、逆なら引く、垂直なら三平方の定理を使う、という手順を徹底してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) と \(F = \mu IHL\)）:
  • 選定理由: 問題文に「無限に長い直線導線」とあるため、直線電流の磁場の公式を採用します。また、求めるものが「\(1\,\text{m}\) あたりに受ける力」であるため、アンペール力の公式において \(L=1\) と置く判断をします。
  • 適用根拠: 磁場 \(H\) は電流の周囲の空間の性質を表し、力 \(F\) はその空間に置かれた別の電流が受ける影響を表します。この「場」を介した2段階のプロセスを記述するために、これら2つの公式を組み合わせて使用します。
• (2)でのアプローチ選択（合成磁場を \(0\) と置く）:
  • 選定理由: 力 \(F = \mu IHL\) において、透磁率 \(\mu\)、電流 \(I\)、長さ \(L\) はいずれも \(0\) ではありません。したがって、力 \(F\) が \(0\) になるためには、磁場 \(H\) が \(0\) であることが数学的な必要十分条件となります。
  • 適用根拠: 複数の電流がある場合、それぞれの磁場をベクトルとして足した結果が \(0\)（零ベクトル）になれば、その点に置かれた電流は一切力を受けません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • \(a\) や \(I\) に具体的な数値を代入する前に、文字式のままで \(H\) や \(F\) を導出しましょう。文字式であれば、途中で次元（単位）のチェックができ、計算のミスにも気づきやすくなります。
• 共通因数でくくる:
  • 磁場の合成において、\(\displaystyle\frac{I}{\pi a}\) などの共通する部分は外に出し、括弧の中を \(\sqrt{2} – \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\) のような単純な係数の計算に持ち込むことで、分数の計算ミスを減らせます。
• 図の中に数値を書き込む:
  • 自分で描いたベクトルの図の横に、\(H_{\text{Q}} = \displaystyle\frac{I}{\pi a}\) のように大きさをメモしておきましょう。頭の中だけで処理しようとせず、視覚的な情報と数値をリンクさせることで、代入ミスを防げます。

524 荷電粒子のらせん運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中における荷電粒子のらせん運動」です。一様な磁場に対して斜めに入射した荷電粒子が、磁場に垂直な面内での円運動と、磁場に平行な方向への等速直線運動を組み合わせた「らせん運動」を行う様子を解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ソレノイド内部の磁場に関する基本公式を適用します。向きについては、電流の流れる向きに右手の指を合わせる「右ねじの法則」を用います。

この設問における重要なポイント

• 無限長ソレノイド内部の磁場は一様である。
• 磁場の強さ \(H\) は単位長さあたりの巻数 \(n\) と電流 \(I\) の積で決まる。
• 磁束密度 \(B\) と磁場の強さ \(H\) の関係は \(B = \mu_0 H\)。
• 電流の向きを正確に読み取り、右ねじの法則を適用する。

具体的な解説と立式
ソレノイド内部の磁場の強さ \(H\) は、単位長さあたりの巻数 \(n\) と電流 \(I\) を用いて \(H = nI\) と表されます。
したがって、磁束密度の大きさ \(B\) は、真空の透磁率 \(\mu_0\) を用いて次のように表されます。
$$ B = \mu_0 H = \mu_0 nI $$

次に磁場の向きを考えます。図のソレノイドの巻き方と電流 \(I\) の矢印を確認すると、電流はソレノイドの上側（\(y>0\)）において、奥から手前（\(z\) 軸正の向き）へ流れています。
この電流の向きに合わせて右手の4本の指を巻く（上側で手前向きにする）と、親指は \(x\) 軸の正の向きを指します。
よって、磁場の向きは \(x\) 軸の正の向きです。

（立式部分で計算完了済み）

コイル（ソレノイド）の中にできる磁石の力（磁場）の強さは、コイルをどれだけ密に巻いているか（\(n\)）と、どれだけ強い電気を流しているか（\(I\)）で決まります。公式 \(B = \mu_0 nI\) に当てはめるだけで大きさは求まります。向きは、電流の流れ（上側で手前向き）に沿って右手を回したときの親指の向き（右ねじの法則）で判断します。

大きさは \(\mu_0 nI\)、向きは \(x\) 軸の正の向き。これはソレノイドの基本的な性質と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
粒子がソレノイドの壁に当たらないためには、らせん運動の「太さ」がソレノイドの半径 \(R\) よりも小さければよいと考えます。まずは初速度を分解し、磁場と垂直な面内（\(y-z\) 面内）での円運動の半径 \(r\) を求めます。その後、円軌道がソレノイドの断面（半径 \(R\) の円）からはみ出さない条件を幾何学的に考えます。

この設問における重要なポイント

• 初速度 \(\vec{v_0}\) を \(x\) 成分（磁場に平行）と \(y\) 成分（磁場に垂直）に分解する。
• ローレンツ力を向心力とする円運動の運動方程式を立て、半径 \(r\) を求める。
• 粒子は原点（円周上の点）から発射されるため、円軌道が壁に接触しない条件は「直径 \(2r\) がソレノイドの半径 \(R\) より小さい」ことである点を見抜く。

具体的な解説と立式
まず、初速度 \(v_0\) を \(x\) 成分と \(y\) 成分に分解します。
$$
\begin{aligned}
v_x &= v_0 \cos 60^\circ \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}v_0
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
v_y &= v_0 \sin 60^\circ \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}}{2}v_0
\end{aligned}
$$
粒子は \(x\) 方向には等速直線運動を行い、\(y-z\) 面内では速さ \(v_y\) の等速円運動を行います。
この円運動の半径を \(r\) とします。粒子（電荷 \(q\)、質量 \(m\)）にはたらくローレンツ力の大きさは \(f = q v_y B\) であり、これが向心力となります。
円運動の運動方程式 \(m \displaystyle\frac{v^2}{r} = f\) より、
$$ m \frac{v_y^2}{r} = q v_y B \quad \cdots ① $$

次に、粒子がソレノイドに当たらない条件を考えます。
粒子は原点O（ソレノイドの中心軸上）から打ち出されます。原点は円運動の軌道上の点となります。
円運動の中心は \(z\) 軸上にずれますが、軌道の中で原点から最も遠い点は、円の直径の反対側になります。その距離は \(2r\) です。
この最大到達距離 \(2r\) が、ソレノイドの半径 \(R\) よりも小さければ、粒子は壁に当たりません。
したがって、求める条件は以下のようになります。
$$ 2r < R \quad \cdots ② $$

式①より、円運動の半径 \(r\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
r &= \frac{m v_y}{qB} \\[2.0ex] &= \frac{m}{qB} \times \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3} m v_0}{2qB}
\end{aligned}
$$
これを式②に代入して、\(v_0\) の条件を求めます。
$$
\begin{aligned}
2 \times \frac{\sqrt{3} m v_0}{2qB} &< R \\[2.0ex] \frac{\sqrt{3} m v_0}{qB} &< R \\[2.0ex] v_0 &< \frac{qBR}{\sqrt{3} m}
\end{aligned}
$$

粒子は磁場の力でくるくると円を描きながら進みます。この円運動の半径 \(r\) は、スピードが速いほど大きくなります。粒子は真ん中（原点）からスタートするので、描く円の直径（\(2r\)）がトンネルの半径（\(R\)）より大きくなってしまうと、天井や床にぶつかってしまいます。ぶつからないためには、円の直径がトンネルの半径より小さければよい（\(2r < R\)）ので、そこからスピード \(v_0\) の限界を計算します。

\(v_0 < \displaystyle\frac{qBR}{\sqrt{3} m}\) という結果が得られました。
磁場 \(B\) や電荷 \(q\) が大きいほどローレンツ力が強くなり半径が小さくなるため、より速い \(v_0\) でも通過できるようになります（右辺が大きくなる）。逆に質量 \(m\) が大きいと曲がりにくくなり半径が大きくなるため、許容される \(v_0\) は小さくなります。これらの傾向は物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「\(x=a\) の点Pではじめて \(x\) 軸を横切った」という条件は、円運動がちょうど1周して元の位置（\(y=0, z=0\)）に戻ってきたときに、\(x\) 方向に距離 \(a\) だけ進んでいたことを意味します。ここから円運動の半径 \(r\) と距離 \(a\) の関係式を導き、軌跡を描きます。

この設問における重要なポイント

• 粒子が \(x\) 軸を横切る周期 \(T\) は、円運動の周期と一致する。
• \(x\) 方向の移動距離 \(a\) は、\(x\) 成分の速さ \(v_x\) と周期 \(T\) の積である（\(a = v_x T\)）。
• \(y-z\) 面の軌跡は、原点を通り、\(z\) 軸負の方向に中心を持つ円である。
• \(x-y\) 面の軌跡は、単振動（正弦波）のグラフとなる。

具体的な解説と立式
まず、円運動の周期 \(T\) を求めます。円周の長さ \(2\pi r\) を速さ \(v_y\) で回るので、
$$ T = \frac{2\pi r}{v_y} $$
粒子が1周して再び \(x\) 軸に戻ってくるまでの時間 \(T\) の間に、\(x\) 方向に進む距離が \(a\) です。
$$ a = v_x T = v_x \times \frac{2\pi r}{v_y} $$
ここに \(v_x = \displaystyle\frac{1}{2}v_0\)、\(v_y = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\) を代入して、\(r\) を \(a\) で表します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{1}{2}v_0 \times \frac{2\pi r}{\frac{\sqrt{3}}{2}v_0} \\[2.0ex] a &= \frac{2\pi r}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
$$
よって、円運動の半径 \(r\) は次のように表されます。
$$ r = \frac{\sqrt{3}}{2\pi} a \quad \cdots ③ $$

次に、軌跡の概形を考えます。
【\(y-z\) 面】
原点Oで \(y\) 軸正の向き（上向き）に打ち出された粒子は、\(x\) 軸正の向きの磁場からローレンツ力を受けます。フレミングの左手の法則（磁場：右、電流：上）より、力の向きは \(z\) 軸負の向き（図の左側）です。
したがって、軌跡は原点を通り、\(z\) 軸負の領域にはみ出す円となります。
中心の座標は \((0, -r)\) で、\(z\) 座標の範囲は \(-2r \le z \le 0\) です。

【\(x-y\) 面】
\(x\) 方向には等速直線運動、\(y\) 方向には単振動（円運動の射影）を行います。
\(t=0\) で \(y=0\) から始まり、\(y\) 軸正の向きに動き出し、\(x=a\) （\(t=T\)）で再び \(y=0\) に戻ります。
よって、軌跡は原点から \(x=a\) まで続く正弦波（サインカーブ）の1周期分となります。
振幅は円運動の半径 \(r\) です。

式③を用いて、図に示すべき値を \(a\) で表します。
円運動の半径（振幅）: \(r = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2\pi} a\)
円運動の直径（\(z\) 方向の最大変位の大きさ）: \(2r = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\pi} a\)

「点Pで初めて \(x\) 軸に戻ってきた」ということは、粒子がぐるっと1回転してくる間に、横（\(x\) 方向）に \(a\) だけ進んだということです。この関係を使うと、回転半径 \(r\) が \(a\) を使って計算できます。
\(y-z\) 面の図は、粒子を正面から見た図です。上に飛び出して左（\(z\) 軸負）に曲がるので、左側に膨らんだ円になります。
\(x-y\) 面の図は、粒子を真上から見た図です。横に進みながら上下（\(y\) 方向）に揺れるので、波のような形（サインカーブ）になります。

軌跡の概形と範囲は以下の通りです。

• \(y-z\) 面: 原点で \(y\) 軸に接し、\(z < 0\) の領域にある半径 \(r = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2\pi} a\) の円。\(z\) の範囲は \(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\pi} a \le z \le 0\)。
• \(x-y\) 面: 振幅 \(r = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2\pi} a\)、波長 \(a\) の正弦波（\(0 \le x \le a\)）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ソレノイドがつくる磁場と右ねじの法則
  • 核心: 無限に長いソレノイド内部には、軸に平行な一様な磁場が形成されます。その強さは単位長さあたりの巻数 \(n\) と電流 \(I\) の積 \(H = nI\) で決まり、磁束密度は \(B = \mu_0 nI\) となります。
  • 理解のポイント:
    • 向きの決定: 電流の流れる向きに右手の4本の指を合わせる「右ねじの法則」を適用します。本問のようにコイルの巻き方や電流の向きが立体的に描かれている場合は、手前側や奥側での電流の向きを慎重に読み取ることが不可欠です。
    • 一様性: ソレノイド内部では、場所によらず磁場の強さと向きが一定であるため、荷電粒子はどこでも同じ大きさのローレンツ力を受け、きれいな円運動（らせん運動）を描きます。
• ローレンツ力によるらせん運動のメカニズム
  • 核心: 磁場に対して斜めに入射した荷電粒子の運動は、「磁場に平行な方向の等速直線運動」と「磁場に垂直な面内での等速円運動」の合成として理解されます。
  • 理解のポイント:
    • 速度の分解: 初速度 \(\vec{v_0}\) を磁場に平行な成分 \(v_{\parallel}\) と垂直な成分 \(v_{\perp}\) に分解することが解析の第一歩です。
    • 力の作用: ローレンツ力 \(f = qv_{\perp}B\) は常に速度の垂直成分 \(v_{\perp}\) と直交するため、仕事を行わず、粒子の速さ（運動エネルギー）を変えません。ただ進行方向を変える向心力として働きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • サイクロトロン運動: 磁場中での荷電粒子の円運動を利用した加速器の問題。周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) が速さや半径によらず一定であること（等時性）が鍵となります。
  • オーロラの原理: 地磁気の磁力線に沿って荷電粒子がらせん運動しながら極地に降り注ぐ現象。本問と同じく、磁力線に巻き付くような運動としてモデル化されます。
  • 電場と磁場が直交する場（速度選択器）: ローレンツ力と静電気力が釣り合う条件 \(qvB = qE\) を利用して、特定の速度の粒子だけを取り出す装置の問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 磁場の向きと粒子の電荷の符号を確認する: 正電荷か負電荷かによって、ローレンツ力の向きが逆転します。フレミングの左手の法則を使う際は、負電荷なら中指を速度と逆向きにするか、求めた力の向きを逆にする必要があります。
  2. 幾何学的な拘束条件を見抜く: 「壁に当たらない」「検出器に届く」といった条件は、円運動の半径 \(r\) や周期 \(T\) と、装置のサイズ \(R\) や距離 \(L\) との間の幾何学的な関係式（不等式）に翻訳されます。
  3. 周期性を利用する: 「元の軸に戻ってくる」「ちょうど \(n\) 回転する」といった記述があれば、周期 \(T\) と移動時間の関係に注目します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の向きと磁場の向きの誤認
  • 誤解: 図の矢印を漫然と見て、コイルの手前と奥での電流の向きを取り違えてしまう。
  • 対策: 立体的な図では、「線が手前にあるか奥にあるか」を線の切れ目や重なり方から慎重に判断します。特にソレノイドの場合、電流が「手前で上から下」なのか「手前で下から上」なのかを言葉にして確認してから、右ねじの法則を適用しましょう。
• 速度成分の取り違え
  • 誤解: 円運動の半径を求める式 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) の \(v\) に、初速度 \(v_0\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: ローレンツ力に関与するのは「磁場に垂直な速度成分 \(v_{\perp}\)」だけです。必ず \(v_0\) を分解し、\(v_{\perp}\)（本問では \(v_y\)）を使って半径を計算する癖をつけましょう。
• 軌跡の描画ミス
  • 誤解: \(y-z\) 面の軌跡を描く際、ローレンツ力の向きを間違えて、円が膨らむ方向（\(z\) 軸の正負）を逆にしてしまう。
  • 対策: \(t=0\) の瞬間の速度（\(y\) 軸正）と磁場（\(x\) 軸正）から、フレミングの左手の法則で力の向き（\(z\) 軸負）を確実に特定し、その方向に曲がっていくことを確認してから描画します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（運動方程式 \(m \displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「壁に当たらない条件」であり、これは「円運動の半径 \(r\)」に依存します。円運動の半径を決定するのは、向心力としてのローレンツ力です。したがって、運動方程式を立てて \(r\) を導出するのが論理的な手順です。
  • 適用根拠: 磁場中での荷電粒子の運動は等速円運動となるため、向心力の公式 \(F = m \displaystyle\frac{v^2}{r}\) とローレンツ力の公式 \(F = qvB\) を結びつけることができます。
• (3)でのアプローチ選択（\(a = v_x T\) と \(T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v_y}\) の連立）:
  • 選定理由: 「\(x=a\) で初めて軸を横切る」という現象は、時間（周期）を介して \(x\) 方向の運動と円運動がリンクしていることを示しています。
  • 適用根拠: \(x\) 方向と \(y-z\) 面内の運動は独立していますが、経過時間は共通です。円運動の周期 \(T\) を媒介変数として、距離 \(a\) と半径 \(r\) を結びつけることで、軌跡の幾何学的な特徴を決定できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値を確認する:
  • \(\sin 60^\circ\) と \(\cos 60^\circ\) を逆にしてしまうミスは頻発します。図を描いて「\(x\) 成分と \(y\) 成分のどちらが大きいか」を視覚的に確認するか、単位円を思い浮かべて値をチェックしましょう。
• 文字式での次元確認:
  • 半径 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) の式変形において、分母分子が逆になっていないか不安になったら、単位を確認します（例: \(m\) [kg], \(v\) [m/s], \(q\) [C], \(B\) [T]）。あるいは、質量 \(m\) が大きいほど（曲がりにくいので）半径 \(r\) は大きくなるはず、といった物理的な直感と整合するかを確認します。
• 条件式の不等号の向き:
  • 「当たらない」条件が \(2r < R\) なのか \(2r \le R\) なのか、あるいは \(>\) なのか。問題文の「内部を運動し」という表現から、壁（半径 \(R\)）の内側に収まる必要があるため \(<\) が適切であると判断します。

525 ホール効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホール効果」です。磁場中を流れる電流（移動する荷電粒子）がローレンツ力を受けて偏ることで、導体内に電位差が生じる現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子（電荷 \(-e\)）が磁束密度 \(B\) の磁場中を速さ \(v\) で運動するときに受けるローレンツ力の大きさを求めます。公式を適用するだけの基本的な設問です。

この設問における重要なポイント

• ローレンツ力の大きさの公式 \(f = |q|vB\) を正確に記憶していること。
• 電子の電荷の大きさは \(e\) であること。
• 電子の運動方向（水平）と磁場の向き（鉛直上向き）が垂直であることを確認すること。

具体的な解説と立式
電子の電荷の大きさは \(e\)、速さは \(v\)、磁束密度の大きさは \(B\) です。
電子の運動方向（水平）と磁場の向き（鉛直）は垂直なので、ローレンツ力の大きさ \(f\) は以下の式で表されます。
$$ f = evB $$

（立式そのものが答えとなります）

磁石の力（磁場）の中を電気が流れる（電子が動く）と、電子は進路を曲げようとする力を受けます。この力をローレンツ力といい、その大きさは「電気の量 \(\times\) 速さ \(\times\) 磁場の強さ」で決まります。

答えは \(evB\) です。次元を確認すると、\([C] \cdot [m/s] \cdot [T] = [A \cdot s] \cdot [m/s] \cdot [N/(A \cdot m)] = [N]\) となり、力の単位になっていることがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
まず、電子がどちらの面に集まるかを判断して、高電位側の面を特定します。次に、力がつりあった状態（平衡状態）での電場の強さを求め、そこから電位差を計算します。

この設問における重要なポイント

• 電流の向きは左から右、電子の移動方向は右から左であること。
• フレミングの左手の法則を適用する際、電流の向き（左から右）を用いること。
• 電子が集まる面は負に帯電し、反対側の面は正に帯電するため、電子が集まらない側が高電位になること。
• 平衡状態では、ローレンツ力 \(evB\) と静電気力 \(eE\) がつりあうこと。
• 一様な電場 \(E\) における電位差は \(V = Ed\) で求められること。

具体的な解説と立式
【高電位側の判定】
電流 \(I\) は図の左から右へ流れています。磁場 \(B\) は鉛直上向きです。
フレミングの左手の法則を適用します。

• 中指（電流）：左 \(\to\) 右
• 人差し指（磁場）：下 \(\to\) 上
• 親指（力）：奥（面S） \(\to\) 手前（面T）

この親指の向きは、正電荷（電流）が受ける力の向きです。
電子は負電荷ですが、運動方向が電流と逆（右 \(\to\) 左）であるため、ローレンツ力の向きは正電荷と同じく「手前（面T）」向きとなります。
したがって、電子は面T側に力を受けて蓄積され、面Tが負に帯電します。
相対的に、電子が不足する面Sは正に帯電します。
電位は正電荷がある方が高いので、面Sが高電位となります。

【電位差 \(V_0\) の計算】
面Sと面Tの間に生じた電場の強さを \(E\) とします。
平衡状態では、電子にかかるローレンツ力 \(evB\) と、電場からの静電気力 \(eE\) がつりあっています。
$$ eE = evB $$
面Sと面Tの距離は \(3h\) なので、電位差 \(V_0\) は、
$$ V_0 = E \times 3h $$

力のつりあいの式より、電場 \(E\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
eE &= evB \\[2.0ex] E &= vB
\end{aligned}
$$
これを電位差の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= vB \times 3h \\[2.0ex] &= 3vBh
\end{aligned}
$$

磁場の力で電子が手前の面（面T）に押しやられます。すると、面Tにはマイナスの電気（電子）がたまり、奥の面（面S）にはプラスの電気が残ります。プラスがある方が「電気的な高さ（電位）」が高いので、面Sの方が高電位になります。
電子がたまってくると、今度はたまった電子が後続の電子を反発する力（静電気力）が生まれます。この反発力と、磁場から受ける押しやる力（ローレンツ力）がちょうど釣り合うところで、電子の移動が止まり、一定の電圧（ホール電圧）が発生します。

電位差は \(3vBh\)、高電位側は面S。
距離 \(3h\) に比例し、速さ \(v\) と磁場 \(B\) に比例するという結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
問(2)で求めた \(V_0 = 3vBh\) には、電子の速さ \(v\) が含まれていますが、これは直接測定できない量です。そこで、電流の定義式 \(I = envS\) を使って \(v\) を測定可能な量 \(I\) に書き換えます。

この設問における重要なポイント

• 電流の微視的な式 \(I = envS\) を正しく立式できること。
• 断面積 \(S\) が、電流に垂直な面の面積（\(h \times 3h\)）であることを図から読み取ること。
• 求めた \(v\) を \(V_0\) の式に代入して整理すること。

具体的な解説と立式
電流 \(I\) は、単位体積あたりの電子数 \(n\)、電気素量 \(e\)、電子の速さ \(v\)、および電流が通過する断面積 \(S\) を用いて次のように表されます。
$$ I = envS $$
ここで、図より電流が通過する断面の面積 \(S\) は、高さ \(h\) と幅 \(3h\) の積なので、
$$ S = h \times 3h $$
これらを連立して \(v\) を求め、問(2)の結果に代入します。

まず、断面積 \(S\) を計算します。
$$ S = 3h^2 $$
これを電流の式に代入して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I &= env(3h^2) \\[2.0ex] v &= \frac{I}{3enh^2}
\end{aligned}
$$
これを問(2)で求めた \(V_0 = 3vBh\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
V_0 &= 3 \times \left( \frac{I}{3enh^2} \right) \times Bh \\[2.0ex] &= \frac{3IBh}{3enh^2} \\[2.0ex] &= \frac{IB}{enh}
\end{aligned}
$$
求めるのは \(V_0/I\) なので、両辺を \(I\) で割ります。
$$ \frac{V_0}{I} = \frac{B}{enh} $$

「電子の速さ」なんて目に見えないものは使いにくいので、「流れている電流の大きさ」という測りやすい量を使って式を書き直します。電流の式 \(I = envS\) を変形して速さ \(v\) を電流 \(I\) で表し、それを電圧の式に代入するだけです。すると、ホール電圧と電流の比（ホール抵抗のようなもの）が、磁場の強さや電子の密度だけで決まるきれいな式になります。

答えは \(\displaystyle\frac{B}{enh}\) です。
この式は、ホール電圧が磁束密度 \(B\) に比例し、キャリア密度 \(n\) や厚み \(h\) に反比例することを示しています。これはホール効果の実験的特徴と一致します。また、この式からキャリア密度 \(n\) を測定できることが、ホール効果の重要な応用です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力とフレミングの左手の法則
  • 核心: 磁場中を運動する荷電粒子は、速度と磁場の両方に垂直な方向にローレンツ力 \(f = qvB\) を受けます。この力の向きが、ホール効果における電荷の偏り（電位差の発生）の根本原因です。
  • 理解のポイント:
    • 向きの決定: フレミングの左手の法則は「電流（正電荷の移動）」に対して定義されています。電子（負電荷）の場合、移動方向と電流の向きが逆になるため、力の向きを考える際は「電流の向き」に変換してから適用するか、求めた力の向きを逆にする必要があります。本問では「電流の向き」で適用するのが最も確実です。
• ホール効果における力のつりあい
  • 核心: ホール効果で生じる電位差（ホール電圧）は、電荷の移動によって生じた静電気力と、磁場によるローレンツ力がつりあった状態で安定します。
  • 理解のポイント:
    • 平衡状態: 電子が直進するということは、合力がゼロであることを意味します。すなわち、\(eE = evB\) が成立します。この式がホール電圧導出の出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 半導体のキャリア判定: 本問は金属（自由電子）でしたが、半導体の場合、キャリアが正孔（ホール、正電荷）か電子（負電荷）かによって、ホール電圧の極性（どちらが高電位か）が逆転します。高電位側の面を特定することで、半導体の型（p型かn型か）を判別する問題に応用されます。
  • 電磁流量計: 導電性の流体（血液や海水など）が磁場中を流れる際に生じる起電力を測定して流速を求める装置。原理はホール効果と全く同じで、\(V = vBd\) の関係式を用います。
  • MHD発電（磁気流体発電）: 高温のプラズマ（電離気体）を磁場中に高速で通し、ローレンツ力によって正イオンと電子を分離して電力を取り出す発電方式。これもホール効果の大規模な応用と言えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. キャリアの符号を確認する: 正電荷か負電荷かによって、ローレンツ力の向きや高電位側の面が変わります。
  2. 電流の向きとキャリアの移動方向の関係を整理する: 正電荷なら同じ向き、負電荷なら逆向きです。
  3. 幾何学的な形状を把握する: 電流が流れる断面積 \(S\)（\(I=envS\) で使用）と、電位差が生じる距離 \(d\)（\(V=Ed\) で使用）を、図から正確に読み取ります。本問では \(S=3h^2\)、\(d=3h\) でした。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 高電位側の判定ミス
  • 誤解: 「電子が力を受ける方向が高電位になる」と直感的に考えてしまう。あるいは、フレミングの法則を適用する際に、電子の移動方向をそのまま電流の向きとして使ってしまう。
  • 対策:
    1. フレミングの法則は必ず「電流の向き（正電荷の移動方向）」で適用する。
    2. 電子が集まる側は「負」に帯電し、電位が「低く」なることを図を描いて確認する。
    3. 「力がかかる方＝電荷がたまる方」までは正しいが、その電荷が正か負かで電位の高低が決まることを忘れない。
• 断面積と距離の取り違え
  • 誤解: \(I=envS\) の \(S\) や \(V=Ed\) の \(d\) に、問題文に出てくる \(h, 3h, 6h\) のどれを使えばいいか混乱する。
  • 対策:
    • \(S\): 電流が突き抜ける壁の面積。電流の矢印に対して垂直な面の縦横を掛けます。
    • \(d\): 電位差を測りたい2点間の距離。ホール効果では、電流とも磁場とも垂直な方向の幅になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（\(eE = evB\) と \(V = Ed\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「電位差 \(V\)」です。電位差は電場 \(E\) と距離 \(d\) の積で求まります（一様な電場の場合）。その電場 \(E\) を決めているのが、ローレンツ力とのつりあいです。
  • 適用根拠: 電子が直進している（加速も減速も曲がりもしない）という記述や物理的状況から、力がつりあっていると判断し、等式を立てます。
• (3)での公式選択（\(I = envS\)）:
  • 選定理由: 問題文に「単位体積あたりの電子の数 \(n\)」という微視的な量が与えられており、巨視的な量である電流 \(I\) との関係を問われているため、この公式一択となります。
  • 適用根拠: 電流とは電荷の流れであり、その大きさは「単位時間に断面を通過する電荷の総量」です。\(envS\) はまさにこの定義を数式化したものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式での次元確認（単位チェック）:
  • 最終的な答え \(\displaystyle\frac{B}{enh}\) の単位を確認してみましょう。
  • \(V_0/I = B/(enh)\)。右辺の単位は \([T] / ([C] \cdot [m^{-3}] \cdot [m]) = [T \cdot m^2 / C]\)。磁束 \(\Phi = BS\) の単位 \([Wb] = [T \cdot m^2]\) を使うと \([Wb/C]\)。\([V] = [J/C]\)、\([Wb] = [V \cdot s]\) なので、\([V \cdot s / C] = [V \cdot s / (A \cdot s)] = [V/A] = [\Omega]\)。
  • 合っています！このように、複雑な式でも単位を追うことでミスの有無を確認できます。
• 図に情報を書き込む:
  • 問題文の \(h, 3h, 6h\) をただ眺めるだけでなく、図の辺に直接書き込み、どれが電流方向の長さで、どれが断面の縦横なのかを視覚的に明確にしましょう。

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共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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