「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅵ 章 20】基本問題512～519

基本問題

512 ソレノイドを流れる電流がつくる磁場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ソレノイド（長いコイル）がつくる磁場」です。ソレノイド内部には一様な磁場が形成され、その強さは電流と「単位長さあたりの巻き数」で決まることを理解し、計算する力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

ソレノイド内部の磁場の強さと磁束密度の大きさ

思考の道筋とポイント
まず、「単位長さあたりの巻き数 \(n\)」を求めることが最大のポイントです。
問題文には「長さ \(0.20\,\text{m}\) に \(1.0 \times 10^4\) 回巻いた」とあります。
公式 \(H = nI\) の \(n\) は「\(1\,\text{m}\) あたり何回巻いているか」という意味なので、割り算をして \(n\) を求める必要があります。
その後、求めた \(n\) と電流 \(I\) を掛けて磁場の強さ \(H\) を出し、さらに透磁率 \(\mu_0\) を掛けて磁束密度 \(B\) を出します。

この設問における重要なポイント

• 公式 \(H = nI\) の \(n\) の意味（単位長さあたりの巻き数）を正しく理解する。
• \(n = \frac{\text{総巻き数}}{\text{長さ}}\) の計算を最初に行う。
• 指数計算（\(10^4\) や \(10^{-6}\)）を正確に行う。

具体的な解説と立式
まず、単位長さ（\(1\,\text{m}\)）あたりの巻き数 \(n\) を求めます。
ソレノイドの長さ \(L = 0.20\,\text{m}\)、総巻き数 \(N = 1.0 \times 10^4\) 回なので、
$$ n = \frac{N}{L} = \frac{1.0 \times 10^4}{0.20} $$
となります。

次に、磁場の強さ \(H\) を求めます。電流 \(I = 0.40\,\text{A}\) なので、公式より、
$$ H = nI $$
と立式できます。

最後に、磁束密度の大きさ \(B\) を求めます。空気の透磁率 \(\mu_0 = 1.3 \times 10^{-6}\,\text{N/A}^2\) なので、
$$ B = \mu_0 H $$
と立式できます。

1. 単位長さあたりの巻き数 \(n\) の計算
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{1.0 \times 10^4}{0.20} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{0.20} \times 10^4 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^4\,\text{回/m}
\end{aligned}
$$

2. 磁場の強さ \(H\) の計算
$$
\begin{aligned}
H &= (5.0 \times 10^4) \times 0.40 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 0.40 \times 10^4 \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^4\,\text{A/m}
\end{aligned}
$$

3. 磁束密度の大きさ \(B\) の計算
$$
\begin{aligned}
B &= (1.3 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^4) \\[2.0ex] &= 1.3 \times 2.0 \times 10^{-6} \times 10^4 \\[2.0ex] &= 2.6 \times 10^{-2}\,\text{T}
\end{aligned}
$$

長いコイル（ソレノイド）の中にできる磁石の力は、コイルをどれだけ「密」に巻いているかと、どれだけ強い電気を流すかで決まります。
まず、「\(1\,\text{m}\) あたり何回巻いてあるか」という「密度の濃さ」を計算します。\(20\,\text{cm}\) で \(1\) 万回も巻いてあるので、\(1\,\text{m}\) ならその5倍の \(5\) 万回になります。
この「\(5\) 万」に電流の「\(0.4\)」を掛け算すれば、磁場の強さが出ます。
最後に、空気の影響（透磁率）を掛け算して、実際に受ける力の目安となる磁束密度を求めます。

磁場の強さは \(2.0 \times 10^4\,\text{A/m}\)、磁束密度の大きさは \(2.6 \times 10^{-2}\,\text{T}\) です。
計算過程で指数部分の処理を丁寧に行うことで、桁の間違いを防げます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ソレノイドがつくる一様な磁場
  • 核心: 十分に長いソレノイドの内部には、場所によらず強さと向きが一定の「一様な磁場」が形成されます。その強さは、電流 \(I\) と「単位長さあたりの巻き数 \(n\)」の積だけで決まり、ソレノイドの半径や断面積には依存しません。
  • 理解のポイント:
    • \(n\) の定義: \(n\) は「総巻き数 \(N\)」ではなく、「\(1\,\text{m}\) あたりの巻き数」です。これが最大の落とし穴です。必ず \(n = \frac{N}{L}\) の計算を経てから公式に代入する習慣をつけましょう。
    • 一様性: 内部の磁力線は平行で等間隔になります。これはコンデンサー極板間の電場が一様であることと似ています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円形電流との比較: 円形電流（1回巻きコイル）の中心磁場は \(H = \frac{I}{2r}\) です。ソレノイドの公式 \(H = nI\) とは形が全く異なるので、問題文を見て「長いコイル（ソレノイド）」なのか「薄いコイル（円形電流）」なのかを瞬時に判断しましょう。
  • ソレノイド内部の荷電粒子の運動: 一様な磁場ができるため、荷電粒子を入射させると、きれいな等速円運動やらせん運動をします。本問で求めた \(B\) を使って \(r = \frac{mv}{qB}\) などを計算させる複合問題が頻出です。
  • 電磁誘導: ソレノイドの電流を変化させると、内部の磁束密度 \(B\) が変化し、誘導起電力が発生します。\(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) の \(\Phi = BS\) に本問の \(B = \mu n I\) を代入する流れは鉄板です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「単位長さあたり」か「総数」か: 問題文の数値が \(n\) なのか \(N\) なのかを単位（\([\text{回/m}]\) か \([\text{回}]\) か）で確認します。
  2. 透磁率の有無: 磁場 \(H\) を問われているのか、磁束密度 \(B\) を問われているのか。\(B\) なら \(\mu\) を掛け忘れないように。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(n\) と \(N\) の混同:
  • 誤解: 公式 \(H = nI\) に、総巻き数 \(N = 1.0 \times 10^4\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 公式を覚えるときに「\(H = \frac{N}{L} I\)」という形でも覚えておくと、割り算が必要であることを忘れにくくなります。
• 単位の確認:
  • 誤解: 長さが \(\text{cm}\) で与えられているのに、そのまま計算してしまう。
  • 対策: \(n\) の単位は \([\text{回/m}]\) です。長さは必ずメートル \([\text{m}]\) に直してから割り算しましょう。本問は \(0.20\,\text{m}\) なのでそのままでOKです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ソレノイドの公式 \(H = nI\) の選択:
  • 選定理由: 問題文に「中空の円筒に一様に巻いたソレノイド」とあり、その内部の磁場を求める問題だからです。
  • 適用根拠: アンペールの法則を適用して導出される結果であり、ソレノイド内部の磁場を記述する唯一の公式です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の処理:
  • \(1.0 \times 10^4\) を \(0.20\) で割る際、\(10000 \div 0.2\) と書き下すよりも、指数部分（\(10^4\)）と仮数部分（\(1.0 \div 0.20 = 5.0\)）を分けて計算する方がミスが減ります。
• オーダー（桁数）の確認:
  • 磁場の強さ \(H\) は \(10^3 \sim 10^5\,\text{A/m}\) 程度、磁束密度 \(B\) は \(10^{-4} \sim 10^{-1}\,\text{T}\) 程度になることが多いです。計算結果が \(10^{10}\) のような巨大な数になったら、どこかで計算ミス（特に指数の扱い）をしている可能性が高いです。

513 モーターのしくみ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直流モーターの回転原理」です。磁場の中に置かれたコイルに電流を流すと力が働き、その力が回転を生み出す仕組みを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 辺AB、辺CDが受ける力の向き

思考の道筋とポイント
この問題の最大の難所は、実は「フレミングの法則」そのものではなく、その前段階である「電流の向きの特定」にあります。電池の極性とブラシ・整流子の接続関係を慎重に追うことがスタートラインです。その後、磁場の向き（NからS）と合わせて法則を適用します。
この設問における重要なポイント

• 磁場の向きは、N極からS極へ向かう向き（図では左から右）である。
• 電池の記号は、長い線が正極（プラス）、短い線が負極（マイナス）を表す。
• 電流は正極から出て、負極へ戻る。

具体的な解説と立式
まず、電流の流れる向きを確定させます。
図の電源（電池）を見ると、右側の線が長く、左側の線が短く描かれています（あるいは、配線の立体交差を追うと、右側の導線が正極につながっていると判断されます）。
電流は電池の正極（右側）から流れ出し、矢印の通りに回路を進みます。

1. 電流は右側の導線を通り、下側のブラシへ入ります。
2. 下側のブラシは、下側の整流子片（半円筒）に接触しています。
3. 下側の整流子片は、図の配線をたどると辺Dにつながっています。
4. したがって、コイル内部の電流は D \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) A の順に流れます。

これにより、各辺の電流の向きは以下のようになります。

• 辺AB: BからAへ向かう向き（図の手前向き）
• 辺CD: DからCへ向かう向き（図の奥向き）

次に、フレミングの左手の法則を適用します。
左手の指を以下のようにセットします。

• 人差し指（磁場 \(\vec{B}\)）: N極からS極へ、つまり右向き。
• 中指（電流 \(\vec{I}\)）: 各辺の電流の向きに合わせる。

【辺ABについて】

• 磁場（人差し指）: 右向き
• 電流（中指）: 手前向き（B \(\rightarrow\) A）
• このとき、親指（力 \(\vec{F}\)）は上向きを指します。
• 図の記号で「上向き」に対応するのは イ です。

【辺CDについて】

• 磁場（人差し指）: 右向き
• 電流（中指）: 奥向き（D \(\rightarrow\) C）
• このとき、親指（力 \(\vec{F}\)）は下向きを指します。
• 図の記号で「下向き」に対応するのは エ です。

（数値計算を含まないため、定性的な判断のみとなります）

まず、電気の流れるルートを迷路のように指でたどってみましょう。電池のプラス側から出た電気は、D側からコイルに入り、A側から出てくることがわかります。つまり、辺ABでは「向こうから手前」に、辺CDでは「手前から向こう」に流れています。
次に左手の出番です。「N極からS極への磁場ビーム（人差し指）」を右に向けたまま、「電流の流れ（中指）」をそれぞれの向きに合わせてみてください。辺ABでは親指が天井を指し、辺CDでは親指が床を指すはずです。これが、電線が磁石から受ける力の向きです。

辺ABは上向き（イ）、辺CDは下向き（エ）の力を受けます。
電流の向きが逆の2つの辺が、同じ磁場中にあるため、受ける力も逆向きになるという結果は物理的に妥当です。

問(2) コイルの回転方向

思考の道筋とポイント
(1)で求めた力の向きに基づいて、コイル全体がどのように動くかを考えます。回転軸を中心とした回転運動（剛体の回転）として捉えます。
この設問における重要なポイント

• コイルは回転軸を中心に自由に回転できる。
• 左側の辺ABには上向きの力、右側の辺CDには下向きの力が働いている。

具体的な解説と立式
(1)の結果より、コイルには以下の力が働いています。

• 左側の辺AB：上向きの力
• 右側の辺CD：下向きの力

この2つの力は、大きさがおよそ等しく、向きが反対で、作用線がずれています。このような力の組を「偶力」と呼びます。
手前側からコイルを見ると：

• 左側（AB）を持ち上げる。
• 右側（CD）を押し下げる。

この動きは、時計の針が進む方向と同じ回転を生み出します。

（計算不要）

車のハンドルをイメージしてください。左手を上げて（ABへの力）、右手を下げる（CDへの力）と、ハンドルはどちらに回るでしょうか？ 時計の針と同じ回り方、つまり「時計まわり」に回転しますね。これと同じことがコイルで起きています。

左が上がり右が下がるので、回転方向は時計まわりです。これは模範解答と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流が磁場から受ける力（電磁力）の理解
  • 核心: 磁場中を運動する荷電粒子がローレンツ力を受けるのと同様に、導線内を流れる電流（多数の荷電粒子の流れ）も磁場から力を受けます。この力がモーターの回転駆動力の源です。
  • 理解のポイント:
    • 3つのベクトルの直交関係: 電流ベクトル \(\vec{I}\)、磁場ベクトル \(\vec{B}\)、力ベクトル \(\vec{F}\) の3つは、互いに直交する（空間的に \(x, y, z\) 軸のような）関係にあります。この3次元的な関係を正しく把握することが全てです。
    • フレミングの左手の法則: この3者の向きの関係を定めたルールです。「中指＝電流（Electric current）」、「人差し指＝磁場（Magnetic field）」、「親指＝力（Force）」の対応関係を身体感覚として定着させることが不可欠です。
• 直流モーターの回転原理（整流子の役割）
  • 核心: コイルが回転し続けるためには、半回転ごとにコイルに流れる電流の向きを逆転させ、常に同じ方向の回転力（トルク）を生み出す必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 偶力による回転: 回転軸を挟んで反対向きの力が働くことで、物体を回転させる作用（偶力）が生まれます。
    • 整流子の機能: 図にある半円筒状の部品（整流子）とブラシが、コイルの回転に合わせて自動的に接続を切り替え、電流の向きを制御している点を見抜くことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電流計（可動コイル型計器）の原理: モーターと構造は似ていますが、回転し続けるのではなく、ばねの力と釣り合う角度まで回転して止まります。この場合、磁場が常にコイルの辺と直交するように「放射状磁場」が用いられることが多いです。
  • 交流発電機: 構造は似ていますが、整流子の代わりに「スリップリング（円環）」が使われます。この場合、外部から力を加えてコイルを回し、電磁誘導によって電流を取り出します。
  • リニアモーターカー: 回転運動ではなく直線運動ですが、原理は同じ「磁場中の電流が受ける力」です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電源の種類と接続部を見る: 直流電源か交流電源か、そしてコイルとの接続部分が「整流子（半円筒）」か「スリップリング（円環）」かを確認します。これが、電流の向きが切り替わるかどうかの決定打になります。
  2. 磁場の向きを矢印で書き込む: N極からS極へ向かう磁力線を、問題の図に直接書き込みます。頭の中だけで処理しようとするとミスが増えます。
  3. 電流の経路を指でなぞる: 電池の正極から出発し、ブラシ、整流子を通ってコイルのどの辺に最初に入るかを、指やペン先で物理的になぞって確認します。
  4. 回転後の状態を想像する: コイルが90度回ったとき、180度回ったとき、ブラシと整流子の接触がどう切り替わるかをシミュレーションします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「左手」と「右手」の選択ミス:
  • 誤解: モーターの問題なのに「フレミングの右手の法則」を使ってしまう、あるいは発電機（電磁誘導）の問題なのに「左手」を使ってしまう。
  • 対策:
    • 電磁力（モーター）は左手: 「電・磁・力（りょく）」→「り」が入っているから左手（Left）、という覚え方や、「FBIは左手で銃を持つ」などの語呂合わせで区別します。
    • 電磁誘導（発電機）は右手: 起電力を求める場合は右手です。
    • 本問は「電流を流して力を得る」ので、迷わず左手です。
• 電池の極性の見間違い:
  • 誤解: 電池の記号の長い線と短い線の意味を逆にしてしまい、電流の向きを根本から間違える。
  • 対策: 「長い方がプラス（＋）、短い方がマイナス（－）」を再確認します。長い線は漢字の「十」を分解したもの、短い線は「一」と覚えるのも有効です。
• 立体視の失敗:
  • 誤解: 斜めに描かれた図を見て、手前と奥の関係や、力の上下関係を誤認する。
  • 対策: 自分なりの3次元座標軸（右、上、手前）を図の余白に書き、指の向きをその軸に合わせて調整します。また、無理に手首をひねらず、問題用紙の方を回して手の向きに合わせるのが試験場での鉄則です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フレミングの左手の法則の選択:
  • 選定理由: 求められているのが「力の向き」であり、与えられている条件が「磁場の向き」と「電流の向き」だからです。これら3つのベクトルの関係を定性的に決定するツールは、高校物理ではフレミングの左手の法則が唯一無二です。
  • 適用根拠: 電流 \(I\) と磁場 \(B\) が直交（あるいは斜めに交差）している状況なので、ローレンツ力のマクロな表現であるこの法則が適用可能です。
• 別解（磁力線の密度）の有効性:
  • 選定理由: フレミングの法則は便利ですが、手の形を作るのが大変だったり、ケアレスミスが起きやすい欠点があります。一方、磁力線の密度で考える方法は、物理的な実体（場の歪み）に基づいているため、直感的に間違いに気づきやすいという利点があります。
  • 適用根拠: マクスウェル応力の考え方に基づき、磁力線は互いに反発し（横圧力）、自身の短縮しようとする（張力）性質を持つため、磁力線が密な部分から疎な部分へ力が働くという原理は常に成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 「電・磁・力」の指差し呼称:
  • 左手をセットする際、心の中で（あるいは小声で）「中指が電流、人差し指が磁場、親指が力」と唱えながら指を確認します。指の役割を固定することで、混乱を防ぎます。
• 問題用紙を回転させる:
  • 無理な体勢で左手を合わせようとすると、指の向きがずれたり、上下感覚がおかしくなったりします。手の形を作りやすい向きに、問題用紙自体を回転させましょう。相対的な向き関係さえ合っていれば答えは同じです。
• 図への書き込みを徹底する:
  • 頭の中だけで3次元のベクトル操作を行うのは、ミスの温床です。必ず図に \(\vec{I}\)（電流）と \(\vec{B}\)（磁場）の矢印を太く書き込み、視覚的に情報を固定してから左手を合わせるようにしましょう。
• 別解での検算習慣:
  • 時間に余裕があれば、別解で紹介した「磁力線の合成」の図をラフに描いてみましょう。左手の法則で導いた向きと、磁力線が密な側から疎な側へ押される向きが一致すれば、その解答は盤石です。

514 電流天秤

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流天秤（磁場中の電流が受ける力）」です。ソレノイドがつくる一様な磁場の中で、導線に電流を流したときに働く力（電磁力）を計算し、その向きと大きさを正確に求めることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) ソレノイド内部の磁束密度の向きと大きさ

思考の道筋とポイント
まずは磁場の「向き」と「大きさ」をそれぞれ求めます。向きは「右ねじの法則」、大きさは「ソレノイドの磁場の公式」を使います。特に、公式 \(H=nI\) の \(n\) は「1mあたりの巻数」であることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• ソレノイドの手前側の導線では、電流は下から上に向かって流れている（問題の図とヒントより）。
• 単位長さあたりの巻数 \(n\) は、総巻数 \(N\) を長さ \(L\) で割って求める（\(n = \frac{N}{L}\)）。
• 磁束密度 \(B\) と磁場の強さ \(H\) の関係は \(B = \mu_0 H\)。

具体的な解説と立式
【向きの決定】
右ねじの法則を使います。
ソレノイドの手前側の導線を流れる電流は、図の右端の立ち上がり（上向き矢印）や左端の下り（下向き矢印）から判断すると、手前側では「下から上」に向かって流れています。
右手の4本の指を、この電流の向き（下から上）に合わせて巻き込むように握ると、親指は左を指します。
したがって、ソレノイド内部の磁束密度の向きは左向きです。

【大きさの計算】
まず、単位長さ（\(1\,\text{m}\)）あたりの巻数 \(n\) を求めます。
ソレノイドの長さ \(L_s = 0.20\,\text{m}\)、総巻数 \(N = 2.0 \times 10^2\,\text{回}\) なので、
$$ n = \frac{N}{L_s} = \frac{2.0 \times 10^2}{0.20} $$
ソレノイド内部の磁場の強さ \(H\) は、流れる電流を \(I_s = 2.0\,\text{A}\) として、
$$ H = nI_s $$
求める磁束密度の大きさ \(B\) は、透磁率 \(\mu_0\) を用いて、
$$ B = \mu_0 H = \mu_0 n I_s $$
これに数値を代入して計算します。

まず \(n\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{2.0 \times 10^2}{0.20} \\[2.0ex] &= \frac{200}{0.20} \\[2.0ex] &= 1000 \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^3\,\text{回/m}
\end{aligned}
$$
次に \(B\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
B &= (1.3 \times 10^{-6}) \times (1.0 \times 10^3) \times 2.0 \\[2.0ex] &= 1.3 \times 2.0 \times 10^{-6} \times 10^3 \\[2.0ex] &= 2.6 \times 10^{-3}\,\text{T}
\end{aligned}
$$

コイルの中にできる磁石の力（磁場）は、コイルをどれだけ密に巻いたか（\(n\)）と、どれだけ強い電気を流したか（\(I\)）で決まります。
まず、\(20\,\text{cm}\) の間に \(200\) 回巻いてあるので、もし \(1\,\text{m}\) なら何回巻いてあることになるか？を計算します（これが \(n\) です）。
その \(n\) と電流 \(I\) を掛け算して磁場の強さを出し、最後に空気の性質（透磁率 \(\mu_0\)）を掛けて、磁束密度という物理量に変換します。向きは、電流の流れに合わせて右手を握ったときの親指の方向です。

向きは左向き、大きさは \(2.6 \times 10^{-3}\,\text{T}\)。
単位や指数の計算に誤りがないか確認します。\(10^{-3}\,\text{T}\) というオーダーは、実験室レベルの磁場として妥当な値です。

問(2) 導線BCが受ける力の向きと大きさ

思考の道筋とポイント
導線BCに流れる電流の向きを正確に把握し、(1)で求めた磁場との関係から力を導きます。力の向きは「フレミングの左手の法則」、大きさは「\(F=IBL\)」です。
この設問における重要なポイント

• 導線ABCDの電流経路は A \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) D である。
• 図の配置から、Aは手前側、Dは奥側にある（ADが中心軸）。したがって、BからCへの電流は「手前から奥」へ向かう向きである。
• 磁場は左向き、電流は奥向きである。

具体的な解説と立式
【向きの決定】
まず、導線BCを流れる電流の向きを確認します。
図の矢印（\(3.0\,\text{A}\)）に従うと、電流は手前の導線から入ってきてAに向かい、A \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C \(\rightarrow\) D と流れます。
AとBは手前側、CとDは奥側に配置されているため、辺BCを流れる電流は B（手前） \(\rightarrow\) C（奥） の向き、つまり紙面奥向き（記号 \(\otimes\)）です。

フレミングの左手の法則を適用します。

• 人差し指（磁場 \(\vec{B}\)）: 左向き
• 中指（電流 \(\vec{I}\)）: 奥向き（画面に向かって突き刺す方向）

このとき、親指（力 \(\vec{F}\)）は上向きを指します。
したがって、導線BCが受ける力は鉛直上向きです。

【大きさの計算】
導線BCの長さを \(l = 5.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)、流れる電流を \(I = 3.0\,\text{A}\)、磁束密度を \(B = 2.6 \times 10^{-3}\,\text{T}\) とします。
電流と磁場は直交しているため、力の大きさ \(F\) は以下の式で求められます。
$$ F = IBl $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= 3.0 \times (2.6 \times 10^{-3}) \times (5.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 3.0 \times 2.6 \times 5.0 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \\[2.0ex] &= (3.0 \times 2.6) \times 5.0 \times 10^{-5} \\[2.0ex] &= 7.8 \times 5.0 \times 10^{-5} \\[2.0ex] &= 39.0 \times 10^{-5} \\[2.0ex] &= 3.9 \times 10^{-4}\,\text{N}
\end{aligned}
$$

まず、電気がどっちに流れているかを見極めます。図を立体的に見ると、電気は手前のBから奥のCへ流れています。
次に左手の出番です。「磁場ビーム（人差し指）」を左に向け、「電気の流れ（中指）」を奥（画面の向こう）に向けます。すると、「力（親指）」は自然と上を向くはずです。これが導線が持ち上げられる方向です。
力の強さは、電気の量、磁場の強さ、導線の長さを全部掛け算するだけで求められます。

向きは鉛直上向き、大きさは \(3.9 \times 10^{-4}\,\text{N}\)。
力の向きが上向きであることは、重力に逆らって板を支える（あるいは傾きを変える）という電流天秤の機能とも整合します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ソレノイドがつくる一様磁場の性質
  • 核心: 無限に長いソレノイドの内部には、場所によらず強さと向きが一定の「一様磁場」が形成されます。この磁場の強さ \(H\) は、ソレノイドの形状（単位長さあたりの巻数 \(n\)）と流れる電流 \(I\) だけで決まり、半径などには依存しません。
  • 理解のポイント:
    • 単位長さあたりの巻数 \(n\): 公式 \(H=nI\) における \(n\) は「総巻数 \(N\)」ではなく「\(1\,\text{m}\) あたりの巻数 \(N/L\)」であることを絶対に忘れてはいけません。これが最大の落とし穴です。
    • 右ねじの法則の適用: ソレノイドの導線を流れる電流の向きに合わせて右手の指を巻くことで、内部の磁力線の向き（親指の向き）を一意に決定できます。
• 電流が磁場から受ける力（電磁力）の計算
  • 核心: 磁場中に置かれた導線に電流を流すと、ローレンツ力の総和として導線全体に力 \(F=IBL\) が働きます。
  • 理解のポイント:
    • 直交条件の確認: 公式 \(F=IBL\) は、電流 \(I\) と磁場 \(B\) が直交している場合にそのまま使えます。平行なら力は \(0\)、斜めなら成分分解が必要です。本問では直交しているため、単純な掛け算で求まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 平行電流間に働く力: 2本の平行な導線に電流を流すと、片方が作る磁場によってもう片方が力を受けます。この問題も「磁場を作る \(\rightarrow\) その磁場で力を受ける」という2段階のプロセスは同じです。
  • レールガン（リニアモーター）: 2本のレール上に置いた導体棒に電流を流し、磁場からの力で加速させる問題。力の向きと運動方程式を組み合わせる応用問題として頻出です。
  • 矩形コイルに働く力のモーメント: 本問のように導線の一部だけでなく、コイル全体が磁場中にある場合、左右の辺が受ける逆向きの力によって回転力（トルク）が発生します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「場」を作る側と受ける側を区別する: どの電流が磁場を作っているのか（今回はソレノイドの \(2.0\,\text{A}\)）、どの電流が力を受けているのか（今回は導線BCの \(3.0\,\text{A}\)）を明確に区別します。これらを混同すると \(F=IBL\) の \(I\) に間違った値を代入してしまいます。
  2. 立体的な配置を図に書き込む: 問題の図は斜めから見た図であることが多いです。真上から見た図や断面図を自分で描き、電流（\(\odot, \otimes\)）と磁場（\(\rightarrow\)）の関係を2次元平面に落とし込むとミスが激減します。
  3. 単位の確認: 長さが \(\text{cm}\) で与えられている場合、必ず \(\text{m}\) に直してから計算します。特に \(n\) を求めるときに分母の単位を間違えやすいので注意が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 巻数 \(n\) の定義ミス:
  • 誤解: 公式 \(H=nI\) の \(n\) に、問題文にある「総巻数 \(2.0 \times 10^2\)」をそのまま代入してしまう。
  • 対策: \(n\) の単位が \([\text{回/m}]\) であることを意識します。「\(0.20\,\text{m}\) で \(200\) 回なら、\(1\,\text{m}\) なら何回？」という比の計算を必ず挟む癖をつけましょう。
• 電流の取り違え:
  • 誤解: \(F=IBL\) の計算で、磁場を作っているソレノイドの電流（\(2.0\,\text{A}\)）を使ってしまう。
  • 対策: 公式の \(I\) は「力を受ける主人公の電流」です。\(B\)（磁場）という舞台の上で、\(I\)（主人公）が力を受ける、というイメージを持ちましょう。\(B\) を計算するときはソレノイドの電流、\(F\) を計算するときは導線の電流を使います。
• フレミングの法則の手首のねじれ:
  • 誤解: 無理な体勢で左手を合わせようとして、指の向きがずれたり、つりそうになったりして思考停止する。
  • 対策: 問題用紙の方を回しましょう。常に自分が楽な姿勢で「奥から手前」や「左から右」を指させるように、紙を回転させるのが鉄則です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(H=nI\) と \(B=\mu H\) の選択:
  • 選定理由: ソレノイド内部の磁場を求める問題であり、透磁率 \(\mu\) が与えられているためです。高校物理では \(B = \mu n I\) とまとめて覚えることも多いですが、磁場の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) の概念的な違い（\(H\) は電流由来、\(B\) は物質の影響込み）を理解しておくと応用が利きます。
  • 適用根拠: ソレノイドが十分に長い（あるいは端の影響を無視できる）と仮定できる場合、内部磁場は一様となり、この公式が厳密に成立します。
• \(F=IBL\) の選択:
  • 選定理由: 一様な磁場中にある直線電流が受ける力を求めるための基本公式だからです。
  • 適用根拠: 導線BCは磁場に対して垂直に配置されています。もし斜めであれば \(F = IBL \sin\theta\) となりますが、本問では \(\theta=90^\circ\) なので \(\sin\theta=1\) となり、単純な積で求まります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算の分離:
  • \(2.0 \times 10^2\) や \(1.3 \times 10^{-6}\) のような数値計算では、有効数字部分（\(2.0, 1.3\) など）と \(10\) のべき乗部分（\(10^2, 10^{-6}\) など）を分けて計算します。最後にまとめて掛け合わせることで、桁の間違いを防げます。
• 単位換算の先手必勝:
  • 計算式に代入する前に、すべての物理量をSI単位系（\(\text{m}, \text{A}, \text{T}, \text{N}\)）に変換してメモしておきます。特に \(\text{cm} \rightarrow \times 10^{-2}\,\text{m}\) は反射的に行えるようにしましょう。
• 別解による向きの検算:
  • フレミングの法則で求めた力の向きが不安なときは、別解の「磁力線の密度」の考え方で検算します。電流の周りの磁場（右ねじ）を書き込み、外部磁場と同じ向きなら「密」、逆向きなら「疎」。「密から疎へ」力が働くことを確認すれば、確信を持って解答できます。

515 電流が磁場から受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の電流が受ける力（電磁力）と力のつりあい」です。力学（力のつりあい）と電磁気学（フレミングの左手の法則）が融合した典型的な問題であり、両方の知識を正しく組み合わせて解く力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 電流の向きとその理由

思考の道筋とポイント
まず、金属棒がどのような状態で静止しているかを観察します。問題の図（または模範解答の図1）を見ると、金属棒は鉛直方向から角度 \(\theta\) だけ右側に振れて止まっています。この状態を維持するために必要な力の向きを特定し、そこから電流の向きを導きます。
この設問における重要なポイント

• 金属棒には、重力（鉛直下向き）、糸の張力（斜め左上向き）、電磁力の3つの力が働いている。
• これら3つの力がつりあうためには、電磁力は水平右向きでなければならない。
• 磁場は鉛直下向きである。

具体的な解説と立式
まず、金属棒に働く力を考えます。模範解答の図1のように、金属棒を真横から見た断面図で考えると分かりやすいです。

1. 重力 \(mg\): 常に鉛直下向きに働きます。
2. 張力 \(T\): 糸に沿って斜め左上向きに働きます。

この2つの力だけでは、金属棒は左側（元の位置）に戻ろうとしてしまい、図の位置で静止することはできません。
金属棒が右側に振れた状態で静止するためには、水平右向きの力が働き、重力や張力の水平成分とつりあう必要があります。この力が、電流が磁場から受ける力（電磁力）です。

次に、フレミングの左手の法則を用いて電流の向きを決定します。

• 親指（力 \(\vec{F}\)）: 水平右向き
• 人差し指（磁場 \(\vec{B}\)）: 鉛直下向き

このとき、中指（電流 \(\vec{I}\)）は奥から手前を指します（模範解答の図1の ⊙ の向き）。
問題の図において、奥から手前への向き（棒の左端へ向かう向き）に対応するのは ア です。

（数値計算なし）

ブランコに乗っている人を想像してください。誰も押さなければ、ブランコは真下で止まります。でも、図のように斜めになった状態で止まっているということは、誰かが横から引っ張っているはずです。
この「横から引っ張る力」が、磁石と電気の力（電磁力）です。右向きに引っ張られないとこの形にはなりません。
では、右向きの力を出すには電気をどっちに流せばいいか？ 左手を使って調べると、「奥から手前（ア）」に流せばよいことがわかります。

向きはア。
重力と張力の合力が左下を向くため、それとつりあう力は右上方向の成分を持つ必要がありますが、電磁力は磁場（鉛直方向）と垂直な水平方向の力となるため、水平右向きが唯一の解です。

問(2) 電流の大きさ

思考の道筋とポイント
(1)で特定した力の向きに基づいて、水平方向と鉛直方向の力のつりあいの式を立てます。未知数は張力 \(T\) と電流 \(I\) ですが、\(T\) を消去することで \(I\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 電磁力の大きさは \(F = IBL\) である（電流と磁場は垂直）。
• 水平方向のつりあい: 電磁力 = 張力の水平成分
• 鉛直方向のつりあい: 重力 = 張力の鉛直成分

具体的な解説と立式
金属棒の質量を \(m\)、長さを \(L\)、流れる電流を \(I\)、磁束密度を \(B\)、重力加速度を \(g\)、糸の張力を \(T\) とします。
金属棒に働く力は以下の通りです。

• 電磁力: 水平右向き、大きさ \(IBL\)
• 重力: 鉛直下向き、大きさ \(mg\)
• 張力: 糸の方向（鉛直から角度 \(\theta\)）、大きさ \(T\)

力を水平方向（右向き正）と鉛直方向（上向き正）に分解して、つりあいの式を立てます。
水平方向のつりあい:
$$ (\text{右向きの力}) = (\text{左向きの力}) $$
$$ IBL = T \sin\theta \quad \cdots ① $$

鉛直方向のつりあい:
$$ (\text{上向きの力}) = (\text{下向きの力}) $$
$$ T \cos\theta = mg \quad \cdots ② $$

式①と式②から \(T\) を消去して \(I\) を求めます。
式①を式②で辺々割ります（または \(T = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) を①に代入します）。
$$
\begin{aligned}
\frac{IBL}{mg} &= \frac{T \sin\theta}{T \cos\theta} \\[2.0ex] \frac{IBL}{mg} &= \tan\theta
\end{aligned}
$$
この式を \(I\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
IBL &= mg \tan\theta \\[2.0ex] I &= \frac{mg \tan\theta}{BL}
\end{aligned}
$$

金属棒を横に引っ張る「電気の力（\(IBL\)）」と、上に支える「糸の力の一部」と「重力」が絶妙なバランスを保っています。
式を立てて計算すると、「電気の力」は「重力」の \(\tan\theta\) 倍であることがわかります。そこから逆算して、必要な電流の大きさを求めました。

答えは \(I = \displaystyle\frac{mg \tan\theta}{BL}\)。

• \(m\) が大きい（重い）ほど、同じ角度を保つのに大きな電流が必要（妥当）。
• \(\theta\) が大きい（大きく振れる）ほど、\(\tan\theta\) が大きくなり、大きな電流が必要（妥当）。
• \(B\) や \(L\) が大きいほど、少ない電流で大きな力を出せるので \(I\) は小さくて済む（妥当）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁力と力学の融合（力のつりあい）
  • 核心: この問題は、電磁気学の知識（\(F=IBL\)）と力学の知識（力のつりあい）をシームレスに結合させる能力を問うています。電磁力は特別な力ではなく、重力や張力と同じ「力の一つ」としてベクトル的に扱う必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 力の種類の特定: 物体に働く力は「場から受ける力（重力、電磁力）」と「接触して受ける力（張力、垂直抗力）」に大別されます。これらを漏れなくリストアップすることが第一歩です。
    • 静止条件の適用: 「静止している」という言葉を見たら、即座に「力のベクトル和がゼロ（\(\Sigma \vec{F} = 0\)）」という条件式を連想しなければなりません。
• フレミングの左手の法則の逆適用
  • 核心: 通常は「電流と磁場から力の向きを知る」ために使いますが、本問のように「必要な力の向きと磁場から電流の向きを知る」という逆方向の推論も頻出です。
  • 理解のポイント:
    • 因果関係の逆転: 「電流が流れたから力が働いた」という順方向だけでなく、「力が働いて静止しているから、電流はこの向きでなければならない」という論理展開に慣れることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • レール上の導体棒の運動: 斜面上のレールに置かれた導体棒が、重力と電磁力のバランスで静止したり、等速運動したりする問題。本問と全く同じ力の図式（重力、垂直抗力、電磁力）になります。
  • 単振り子の円運動: 本問の金属棒が円運動する場合、力のつりあいではなく運動方程式（向心力＝張力と重力・電磁力の合力）を立てることになりますが、力の分解の考え方は同じです。
  • 電磁力による浮上: リニアモーターカーのように、電磁力が重力と完全につりあって物体が浮くケース。この場合、張力 \(T=0\) となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 断面図を描く: 問題の図は斜めから見た立体図であることが多いですが、力を考える際は、電流の流れる方向に垂直な断面図（真横から見た図）を描き直すのが鉄則です。これにより、角度 \(\theta\) や力の成分分解が見やすくなります。
  2. 力の向きを仮定する: 電流の向きが未知の場合でも、とりあえずどちらかに仮定して電磁力の向きを描いてみます。もしその向きだとつりあわない（例えば重力と同じ向きに力が働くなど）なら、逆向きが正解だと判断できます。
  3. 変数の依存関係を見る: 答えの式（\(I \propto \tan\theta\)）から、角度が大きくなると電流はどうなるか、磁場が強くなるとどうなるかといった定性的な振る舞いを予測しておくと、計算ミスの発見に役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電磁力の向きの誤認:
  • 誤解: 導線に沿った向きや、糸に沿った向きに電磁力が働くと勘違いしてしまう。
  • 対策: フレミングの左手の法則を信じましょう。電磁力は常に「電流とも磁場とも垂直」な方向です。本問では電流（奥から手前）と磁場（下）に垂直なので、必ず水平方向になります。
• 力の分解方向の選択ミス:
  • 誤解: 常に「糸に垂直な方向」と「糸に平行な方向」に分解しようとして、計算が複雑になる。
  • 対策: 静止している問題では、「水平・鉛直」に分解するのが最も一般的で計算ミスが少ないです。ただし、円運動などの場合は「接線・法線」方向が有利なこともあります。状況に応じて使い分けましょう。
• 三角関数の取り違え:
  • 誤解: \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 図に直角三角形を描き込み、角度 \(\theta\) の位置を確認しながら、「近い辺が \(\cos\)、遠い辺が \(\sin\)」と指差し確認します。また、\(\theta \rightarrow 0\) の極限を考え、成分が \(0\) になるべきか最大になるべきかで検算します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(F=IBL\) の選択:
  • 選定理由: 一様な磁場中の直線電流に働く力を求める唯一の公式だからです。
  • 適用根拠: 電流と磁場が直交していることを確認します。もし斜めなら \(F=IBL\sin\phi\) となりますが、本問では直交（\(\phi=90^\circ\)）なので単純な積でOKです。
• \(\tan\theta\) を用いた別解の選択:
  • 選定理由: 未知数である張力 \(T\) を求めずに、直接 \(I\) と \(\theta\) の関係を知りたい場合、\(\tan\theta\) を使うと \(T\) を消去する手間が省けるからです。
  • 適用根拠: 力のベクトル図が直角三角形になる場合、底辺と高さの比はタンジェントで表されます。これは物理というより幾何学的な必然です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元解析:
  • 答えが出たら、単位を確認します。例えば \(I = \displaystyle\frac{mg \tan\theta}{BL}\) なら、右辺の単位は \(\displaystyle\frac{[\text{N}]}{[\text{T}][\text{m}]} = \frac{[\text{N}]}{([\text{N}]/[\text{A}\cdot\text{m}])[\text{m}]} = [\text{A}]\) となり、電流の単位と一致することを確認できます。
• 極限でのチェック:
  • \(\theta = 0\) のとき、\(\tan\theta = 0\) なので \(I = 0\)。これは「電流がなければ棒は垂れ下がる」という直感と一致します。
  • \(\theta \rightarrow 90^\circ\) のとき、\(\tan\theta \rightarrow \infty\) なので \(I \rightarrow \infty\)。これは「真横まで持ち上げるには無限の電流が必要」ということを意味し、物理的に妥当です。
• 図形の活用:
  • 別解で示した「力の三角形」を描く習慣をつけると、\(\sin\) や \(\cos\) の計算ミスが激減します。式だけで処理しようとせず、視覚的な情報を活用しましょう。

516 電流にはたらく力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の電流が受ける力（電磁力）の一般式」です。電流と磁場が直交していない場合（角度 \(\theta\) をなす場合）に、どのように力を計算するかをマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) \(\theta=90^\circ\) の場合

思考の道筋とポイント
電流と磁場が直交している最も基本的なケースです。公式にそのまま値を代入し、フレミングの左手の法則を適用します。
この設問における重要なポイント

• \(\theta = 90^\circ\) なので、\(\sin 90^\circ = 1\) となり、力は最大値 \(IBL\) をとる。
• 力の向きは、電流と磁場の両方に垂直である。

具体的な解説と立式
【大きさの計算】
電流 \(I = 2.4\,\text{A}\)、磁束密度 \(B = 2.5\,\text{T}\)、導線の長さ \(L = 0.10\,\text{m}\)、角度 \(\theta = 90^\circ\) です。
力の大きさ \(F\) は以下の式で求められます。
$$ F = IBL \sin 90^\circ $$

【向きの決定】
フレミングの左手の法則を適用します。

• 人差し指（磁場 \(\vec{B}\)）: 右向き
• 中指（電流 \(\vec{I}\)）: 下向き（図の矢印の向き）

このとき、親指（力 \(\vec{F}\)）は紙面の裏から表へ向かう向き（手前向き、記号 \(\odot\)）を指します。

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= 2.4 \times 2.5 \times 0.10 \times 1 \\[2.0ex] &= 6.0 \times 0.10 \\[2.0ex] &= 0.60\,\text{N}
\end{aligned}
$$

電流と磁石の力が直角に交わるとき、電線は一番強い力を受けます。計算は単純な掛け算です。
向きは左手を使います。磁場ビーム（人差し指）を右に向け、電流（中指）を下に向けると、親指はあなたの顔の方（画面の手前）を向くはずです。これが力の向きです。

大きさは \(0.60\,\text{N}\)、向きは紙面に垂直に裏から表の向き。
値も向きも物理的に妥当です。

問(2) \(\theta=30^\circ\) の場合

思考の道筋とポイント
電流と磁場が斜めに交わっているケースです。この場合、電流のうち「磁場に垂直な成分」だけが力を受けると考えます（あるいは、磁場のうち「電流に垂直な成分」だけが力を及ぼすと考えます）。
この設問における重要なポイント

• \(\theta = 30^\circ\) なので、\(\sin 30^\circ = 0.5\) となり、力は最大値の半分になる。
• 力の向きは、電流と磁場を含む平面（紙面）に対して垂直になる。

具体的な解説と立式
【大きさの計算】
角度 \(\theta = 30^\circ\) を公式に代入します。
$$ F = IBL \sin 30^\circ $$

【向きの決定】
フレミングの左手の法則を適用する際、中指（電流）は磁場（人差し指）に対して斜めになっていますが、親指（力）の向きは変わりません。

• 人差し指（磁場 \(\vec{B}\)）: 右向き
• 中指（電流 \(\vec{I}\)）: 右下向き（磁場と \(30^\circ\)）

このとき、中指の「磁場に垂直な成分（下向き成分）」に着目すると、(1)と同様に親指（力 \(\vec{F}\)）は紙面の裏から表へ向かう向きを指します。

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= 2.4 \times 2.5 \times 0.10 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex] &= 6.0 \times 0.10 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= 0.60 \times 0.5 \\[2.0ex] &= 0.30\,\text{N}
\end{aligned}
$$

電流が磁場に対して斜めになると、力を受ける効率が下がります。今回は \(30^\circ\) なので、効率（\(\sin 30^\circ\)）は \(0.5\) 倍、つまり半分の力になります。
向きは(1)と同じです。斜めになっても、電流が「右に進む成分」と「下に進む成分」に分かれていると考えれば、「下に進む成分」が(1)と同じ向きの力を生み出すからです。「右に進む成分」は磁場と同じ向きなので力を受けません。

大きさは \(0.30\,\text{N}\)、向きは紙面に垂直に裏から表の向き。
(1)の半分の大きさになっており、妥当です。

問(3) \(\theta=0^\circ\) の場合

思考の道筋とポイント
電流と磁場が平行なケースです。この場合、相互作用は起きず、力は働きません。
この設問における重要なポイント

• \(\theta = 0^\circ\) なので、\(\sin 0^\circ = 0\) となる。
• 電流と磁場が平行なときは、力は \(0\) である。

具体的な解説と立式
【大きさの計算】
角度 \(\theta = 0^\circ\) を公式に代入します。
$$ F = IBL \sin 0^\circ $$

【向きの決定】
力が \(0\) なので、向きはありません。

$$
\begin{aligned}
F &= 2.4 \times 2.5 \times 0.10 \times 0 \\[2.0ex] &= 0\,\text{N}
\end{aligned}
$$

電流と磁場が同じ向き（平行）に走っているときは、お互いに干渉しません。したがって、力は全く働きません。

大きさは \(0\,\text{N}\)。物理法則通りです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁力の一般公式 \(F = IBL \sin\theta\) の理解
  • 核心: 電流が磁場から受ける力（ローレンツ力のマクロな総和）は、電流ベクトル \(\vec{I}\) と磁場ベクトル \(\vec{B}\) の外積（クロス積）に由来します。大きさは、両者が直交するとき最大（\(IBL\)）になり、平行なときゼロになります。その中間の角度では、直交成分（\(\sin\theta\)）に比例します。
  • 理解のポイント:
    • 直交成分の抽出: 公式の \(\sin\theta\) は、単なる係数ではなく、「電流のうち磁場に垂直な成分（\(I \sin\theta\)）」または「磁場のうち電流に垂直な成分（\(B \sin\theta\)）」を抽出する物理的な操作を意味しています。
    • 力の向きの普遍性: 角度 \(\theta\) が変わっても（\(0^\circ < \theta < 180^\circ\) の範囲なら）、力の向きは常に「電流と磁場が作る平面」に対して垂直になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ローレンツ力 \(f = qvB \sin\theta\): 荷電粒子が磁場中を斜めに運動する場合、速度 \(v\) の垂直成分 \(v \sin\theta\) が円運動の向心力となり、平行成分 \(v \cos\theta\) が等速直線運動を維持するため、粒子は「らせん運動」をします。本問の電流の力の考え方は、この微視的な粒子の運動と完全にリンクしています。
  • 電磁誘導 \(V = vBL \sin\theta\): 導体棒が磁場中を斜めに横切る場合も、誘導起電力は速度の垂直成分に比例します。
  • トルク（力のモーメント）の計算: コイルが磁場中で回転する場合、辺と磁場のなす角が刻々と変化します。このとき働く力も \(\sin\theta\) に比例して変化するため、トルクの計算に本問の知識が直結します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 角度 \(\theta\) の定義を確認する: 問題によっては、磁場と導線のなす角ではなく、磁場と「導線の法線（垂直な線）」とのなす角が与えられる場合があります。その場合は \(\sin\) ではなく \(\cos\) になるので、図を描いて「直交成分」がどちらになるかを必ず確認してください。
  2. 3次元的な位置関係を把握する: 電流、磁場、力の3つは3次元空間に配置されます。紙面に描かれた図だけでなく、手を使って空間的な向きを確認する癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の取り違え:
  • 誤解: 公式を丸暗記していて、図の角度がどこを指しているか確認せずに \(\sin\) を使ってしまう。あるいは、分解の際に幾何学的な関係を見誤る。
  • 対策: 「平行なら力はゼロ、垂直なら最大」という物理的直感を検算に使います。例えば \(\theta=0\) を代入して \(0\) になるか（\(\sin\) ならOK、\(\cos\) ならNG）、\(\theta=90^\circ\) で最大になるかを確認すれば防げます。
• 力の向きの誤認（斜めの場合）:
  • 誤解: 電流が斜めだと、力も斜めになるのではないかと勘違いする。
  • 対策: フレミングの左手の法則（または外積の定義）により、力は常に電流と磁場の両方に垂直です。電流が何度傾いても、磁場と同じ平面内にある限り、力はその平面から飛び出す（または突き刺さる）方向になります。
• 単位の換算忘れ:
  • 誤解: 導線の長さが \(\text{cm}\) で与えられているのに、そのまま計算してしまう。
  • 対策: 公式 \(F=IBL\) の単位系はすべてSI単位（\(\text{A}, \text{T}, \text{m}\)）で統一されています。計算前に必ず \(\text{m}\) に直す習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(F = IBL \sin\theta\) の選択:
  • 選定理由: 一様な磁場中の直線電流に働く力を求める問題であり、電流と磁場が直交していない（角度 \(\theta\) を持つ）ため、一般化されたこの公式が必要です。
  • 適用根拠: 導線全体が一様な磁場中にあり、電流も一定であるため、単純な積として計算できます。
• 別解（磁場の分解）の有効性:
  • 選定理由: 電流を分解するイメージが湧きにくい場合や、磁場の方を分解した方が図形的にスッキリする場合に有効です。
  • 適用根拠: ベクトルの外積 \(\vec{I} \times \vec{B}\) の大きさは \(|\vec{I}| |\vec{B}| \sin\theta\) であり、これは \(|\vec{I}| (|\vec{B}| \sin\theta)\) と解釈しても数学的に等価だからです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値の確認:
  • \(\sin 30^\circ = 0.5\), \(\sin 45^\circ \approx 0.707\), \(\sin 60^\circ \approx 0.866\) などの基本的な値は即座に出るようにしておきます。特に \(0.5\) や \(1\) などのきれいな数字になる場合は計算が楽になります。
• 指数の処理:
  • \(2.4 \times 2.5\) のような計算は、\(2.4 \times (10/4) = 6.0\) のように分数を活用すると暗算しやすくなり、ミスも減ります。
• 定性的な検算:
  • (2)の答えが(1)の答えより小さくなっているか（\(\sin 30^\circ < 1\) なので当然小さくなるはず）を確認します。もし大きくなっていたら、計算か式の選択が間違っています。

517 平行電流間の力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平行電流がつくる磁場と、電流間に働く力」です。複数の電流が存在する空間での磁場の重ね合わせ（合成）と、その磁場中で電流が受ける力を正確に計算する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 合成磁場の向きと強さ

思考の道筋とポイント
まず、AとBそれぞれがCの位置に作る磁場を個別に考えます。「右ねじの法則」で向きを、「直線電流の磁場の公式」で強さを求めます。その後、それらをベクトルとして合成します。
この設問における重要なポイント

• 直線電流がつくる磁場の強さは \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\)。
• 右ねじの法則により、電流の進行方向に対して右回りに磁場ができる。
• 紙面の「表から裏（\(\otimes\)）」と「裏から表（\(\odot\)）」の向きを正しく区別する。

具体的な解説と立式
【Aがつくる磁場 \(\vec{H}_A\)】

• 電流 \(I_1 = 5.0\,\text{A}\)（上向き）
• 距離 \(r_A = 2.0\,\text{m}\)
• 向き: 右ねじの法則より、Aの右側にあるC点では、磁場は紙面の表から裏へ向かう向き（\(\otimes\)）です。
• 強さ:
  $$
  \begin{aligned}
  H_A &= \frac{I_1}{2\pi r_A} \\[2.0ex] &= \frac{5.0}{2\pi \times 2.0} \\[2.0ex] &= \frac{5.0}{4\pi}\,\text{A/m}
  \end{aligned}
  $$

【Bがつくる磁場 \(\vec{H}_B\)】

• 電流 \(I_2 = 5.0\,\text{A}\)（上向き）
• 距離 \(r_B = 1.0\,\text{m}\)
• 向き: 右ねじの法則より、Bの左側にあるC点では、磁場は紙面の裏から表へ向かう向き（\(\odot\)）です。
• 強さ:
  $$
  \begin{aligned}
  H_B &= \frac{I_2}{2\pi r_B} \\[2.0ex] &= \frac{5.0}{2\pi \times 1.0} \\[2.0ex] &= \frac{5.0}{2\pi}\,\text{A/m}
  \end{aligned}
  $$

【合成磁場 \(\vec{H}\)】
\(H_A\)（裏向き）と \(H_B\)（表向き）は逆向きです。
大きさ比べをすると、分母が小さい \(H_B\) の方が大きいため、合成磁場の向きは \(H_B\) と同じ紙面の裏から表へ向かう向き（\(\odot\)）になります。
合成磁場の強さ \(H\) は、大きい方から小さい方を引いて求めます。
$$ H = H_B – H_A $$

$$
\begin{aligned}
H &= \frac{5.0}{2\pi} – \frac{5.0}{4\pi} \\[2.0ex] &= \frac{10.0}{4\pi} – \frac{5.0}{4\pi} \\[2.0ex] &= \frac{5.0}{4\pi}
\end{aligned}
$$
ここで \(\pi \approx 3.14\) として数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{5.0}{4 \times 3.14} \\[2.0ex] &= \frac{5.0}{12.56} \\[2.0ex] &\approx 0.398…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(0.40\,\text{A/m}\) となります。

AさんもBさんも、Cさんの場所に「磁場の風」を吹かせています。
Aさんは遠く（\(2.0\,\text{m}\)）にいるので、Cさんの場所には弱い風（\(H_A\)）を奥向き（\(\otimes\)）に送っています。
Bさんは近く（\(1.0\,\text{m}\)）にいるので、Cさんの場所には強い風（\(H_B\)）を手前向き（\(\odot\)）に送っています。
結果として、強いBさんの風が勝ち、差し引きで手前向きの風が残ります。

向きは紙面に垂直に裏から表の向き、強さは \(0.40\,\text{A/m}\)。
距離が近いBの影響が支配的であることは直感的に妥当です。

問(2) Cが受ける力の向きと大きさ

思考の道筋とポイント
(1)で求めた合成磁場の中に、電流Cが存在すると考えます。磁場の向きと電流の向きからフレミングの左手の法則で力の向きを、公式 \(F = \mu_0 IHL\) で大きさを求めます。
この設問における重要なポイント

• Cの位置には、(1)で求めた「手前向き」の磁場がある。
• Cの電流は「上向き」である。
• 力の大きさは \(F = IBL = I(\mu_0 H)L\) で計算する。

具体的な解説と立式
【向きの決定】
フレミングの左手の法則を適用します。

• 人差し指（磁場 \(\vec{H}\)）: 手前向き（\(\odot\)）
• 中指（電流 \(\vec{I}_3\)）: 上向き

このとき、親指（力 \(\vec{F}\)）は右向きを指します。

【大きさの計算】
導線Cの電流 \(I_3 = 3.0\,\text{A}\)、長さ \(L = 1.0\,\text{m}\)、透磁率 \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{N/A}^2\)、合成磁場の強さ \(H = \displaystyle\frac{5.0}{4\pi}\,\text{A/m}\)（計算途中の分数を使うと計算が楽です）を用います。
力の大きさ \(F\) は、
$$ F = \mu_0 I_3 H L $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= (4\pi \times 10^{-7}) \times 3.0 \times \frac{5.0}{4\pi} \times 1.0 \\[2.0ex] &= 4\pi \times 3.0 \times \frac{5.0}{4\pi} \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 5.0 \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 15 \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^{-6}\,\text{N}
\end{aligned}
$$

(1)で、Cさんの場所には「手前向きの磁場の風」が吹いていることがわかりました。その風の中でCさんが上向きに電気を流すと、左手の法則に従って右向きに力を受けます。
計算では、円周率 \(\pi\) がきれいに約分されて消えることに注目してください。

向きは右向き、大きさは \(1.5 \times 10^{-6}\,\text{N}\)。
\(10^{-6}\) オーダーの微小な力ですが、平行電流間の力としては妥当な大きさです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直線電流がつくる磁場と重ね合わせの原理
  • 核心: 電流は周囲に磁場を作ります。その強さは距離に反比例し（\(H \propto 1/r\)）、向きは右ねじの法則に従います。複数の電流がある場合、それぞれの電流が作る磁場ベクトルを一点一点で足し合わせる（合成する）ことで、空間全体の磁場が決まります。
  • 理解のポイント:
    • 個別に計算して合成: いきなり全体を考えるのではなく、「Aだけがあるとき」「Bだけがあるとき」と分解して考え、最後にベクトルとして足し引きするのが鉄則です。
    • 向きの符号化: 「紙面の表から裏」を正、「裏から表」を負（あるいはその逆）と定義して計算すると、混乱を防げます。
• 平行電流間に働く相互作用
  • 核心: 「電流が磁場を作り、その磁場が別の電流に力を及ぼす」という2段階のプロセスを経て、電流同士が力を及ぼし合います。結果として、「同じ向きなら引力、逆向きなら斥力」というシンプルな法則が現れます。
  • 理解のポイント:
    • 作用・反作用: AがBを引く力と、BがAを引く力は、大きさが等しく向きが逆です。これはニュートンの第三法則が電磁気力でも成立することを示しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正方形や正三角形の頂点に配置された電流: 本問は一直線上の配置でしたが、平面上に配置された場合、磁場ベクトルや力のベクトルが斜めになり、成分分解や三平方の定理が必要になります。
  • 電流が作る磁場中の荷電粒子の運動: 電流のそばを電子が飛ぶ場合、電流が作る磁場（距離によって強さが変わる）からローレンツ力を受けて複雑な軌道を描きます。
  • アンペールの法則の適用: 対称性の高い配置（円筒状の電流など）では、ビオ・サバールの法則（高校範囲外）の代わりにアンペールの法則を使って磁場を求める問題もあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 位置関係の把握: どの導線がどこにあり、観測点（磁場を求めたい点）との距離はいくらかを図に書き込みます。
  2. 右ねじの法則の徹底: 各電流について、観測点での磁場の向き（\(\odot\) か \(\otimes\) か、あるいは矢印の向き）を必ず図示します。頭の中だけでやると符号ミスが多発します。
  3. \(\pi\) の処理: 計算の途中で \(\pi\) に \(3.14\) を代入するのはやめましょう。本問のように、最後に透磁率 \(\mu_0\)（\(4\pi\) を含む）と掛け算するときに約分されて消えることが多いからです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁場の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) の混同:
  • 誤解: \(F = IHL\) と計算してしまう。
  • 対策: 力の公式は \(F = IBL\) です。\(H\) を求めたら、必ず透磁率 \(\mu_0\) を掛けて \(B\) に変換してから力の式に代入します。単位（\(\text{A/m}\) と \(\text{T}\)）の違いにも注意しましょう。
• 引力・斥力の向きの勘違い:
  • 誤解: 「プラスとプラスは反発する（静電気）」のイメージに引きずられて、「同じ向きの電流は反発する」と間違えてしまう。
  • 対策: 電流間の力は静電気とは逆で、「同方向は仲良し（引力）、逆方向は仲悪い（斥力）」と覚えます。あるいは、毎回フレミングの法則で導出するのも確実です。
• 距離 \(r\) の取り違え:
  • 誤解: AとBの距離（\(3.0\,\text{m}\)）を使ってしまう。
  • 対策: 求めたいのは「Cの位置」での磁場や力です。必ず「電流源から観測点までの距離」を使います。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) の選択:
  • 選定理由: 無限に長い直線電流が作る磁場を求めるための公式だからです。
  • 適用根拠: 問題文に「十分長い導線」とあるため、端の効果を無視してこの公式が適用できます。円形電流（\(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\)）やソレノイド（\(H = nI\)）の公式と混同しないように注意が必要です（\(\pi\) があるかないかが違います）。
• 別解（平行電流間の力）の有効性:
  • 選定理由: 磁場 \(H\) を経由せずに直接力を求められるため、計算ステップが減り、ミスが少なくなります。
  • 適用根拠: 2本の平行な直線電流の相互作用として問題を分解できる場合に有効です。3本以上ある場合も、ペアごとの力の和として計算できます（重ね合わせの原理）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • 最初から数値を代入せず、\(H = \displaystyle\frac{I_1}{2\pi r_A} – \frac{I_2}{2\pi r_B}\) のように文字式で整理してから、最後に数値を代入します。共通因数（\(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\) など）をくくり出せるため、計算量が減り、約分も見つけやすくなります。
• \(\pi\) の約分を見逃さない:
  • 電磁気の問題では、\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) や \(k = 9.0 \times 10^9\)（クーロンの法則の比例定数）など、定数の中に \(\pi\) が含まれていることがよくあります。分母の \(\pi\) と約分できるチャンスを常に探しましょう。
• オーダー（桁数）の確認:
  • 電流間の力は通常 \(10^{-5} \sim 10^{-7}\,\text{N}\) 程度の非常に小さな値になります。もし \(10^3\,\text{N}\) などの巨大な値が出たら、どこかで単位換算（\(\text{cm} \rightarrow \text{m}\) など）や指数の計算を間違えている可能性が高いです。

518 イオンが受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電解質溶液中のイオンが磁場から受ける力（ローレンツ力）」です。正電荷と負電荷が逆向きに移動するとき、それぞれが受ける力の向きがどうなるかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問 イオンの回転方向

思考の道筋とポイント
陽イオンと陰イオンは電場によって逆向きに動きますが、ローレンツ力の向きを考える際は「電流の向き」に統一して考えるのがコツです。陽イオンの移動方向はそのまま電流の向き、陰イオンの移動方向は逆向きが電流の向きとなります。
この設問における重要なポイント

• 磁場は上（N極）から下（S極）へ向かっている。
• 電池の接続より、中心電極Aが正極（プラス）、外側の金属環Bが負極（マイナス）である。
• 陽イオン（\(\text{Cu}^{2+}\)）は正極Aから負極Bへ（外向きに）移動する。
• 陰イオン（\(\text{SO}_4^{2-}\)）は負極Bから正極Aへ（内向きに）移動する。

具体的な解説と立式
【磁場の向き】
磁石のN極が上、S極が下にあるので、磁場 \(\vec{B}\) は鉛直下向きです。

【\(\text{Cu}^{2+}\)（陽イオン）について】

• 移動方向: 正極Aから負極Bへ向かうので、中心から外側へ移動します。
• 電流の向き: 正電荷の移動方向と同じなので、外向きです。
• 力の向き: フレミングの左手の法則を適用します。
  • 人差し指（磁場）：下向き
  • 中指（電流）：外向き（手前や右など、図の位置による）
  • 親指（力）：反時計回りの接線方向（図のイの向き）を指します。

【\(\text{SO}_4^{2-}\)（陰イオン）について】

• 移動方向: 負極Bから正極Aへ向かうので、外側から中心へ移動します。
• 電流の向き: 負電荷の移動方向と逆なので、外向き（中心から外側へ）となります。
• 力の向き: 電流の向きが \(\text{Cu}^{2+}\) と同じ（外向き）で、磁場の向きも同じなので、受ける力の向きも同じく反時計回り（イの向き）となります。

（数値計算なし）

まず、磁石の力（磁場）は上から下に降り注いでいます。
次に、電気の流れを見ます。プラスの粒（銅イオン）は中心から外へ逃げようとします。これは「外向きの電流」と同じです。
マイナスの粒（硫酸イオン）は外から中心へ集まろうとします。マイナスが内へ行くということは、電気的には「外向きの電流」と同じ意味になります。
結局、どちらのイオンも「外向きの電流」として振る舞うので、磁石から受ける力は同じ方向（反時計回り）になり、溶液全体がグルグル回り出します。

\(\text{Cu}^{2+}\) も \(\text{SO}_4^{2-}\) も、共に（イ）の向きに回転します。
正反対に動くイオンが同じ向きに回転力を受けるというのは直感に反するかもしれませんが、電荷の符号も逆であるため、ローレンツ力の向き（\(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\)）は一致するという物理的に正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と電流の関係性
  • 核心: 「電流」とは電荷の流れであり、電流が磁場から受ける力（電磁力 \(F=IBL\)）は、個々の荷電粒子が受ける力（ローレンツ力 \(f=qvB\)）の総和に他なりません。この微視的（ミクロ）な視点と巨視的（マクロ）な視点を行き来できることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 正電荷と負電荷の対称性: 正電荷が速度 \(\vec{v}\) で動くのと、負電荷が速度 \(-\vec{v}\) で動くのは、電流としては同じ向き（\(\vec{I} \propto q\vec{v}\)）になります。したがって、磁場から受ける力の向きも同じになります。これが、逆向きに動く陽イオンと陰イオンが同じ方向に回転する理由です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール効果: 半導体中を流れるキャリア（正孔または電子）が磁場からローレンツ力を受けて偏り、電位差が生じる現象。本問と同様に、キャリアの符号と移動方向から力の向きを判定するプロセスが鍵となります。
  • サイクロトロン（加速器）: 磁場中で荷電粒子を旋回させる装置。粒子の符号と回転方向の関係を問われる点で共通しています。
  • MHD発電（電磁流体発電）: 導電性流体（プラズマなど）を磁場中で高速移動させ、ローレンツ力によって電荷を分離して起電力を得る技術。本問の逆（回転させて電気を取り出す）の原理です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電極の極性を確認する: どちらがプラスでどちらがマイナスかを見て、電場（電流）の向きを確定させます。
  2. 磁場の向きを矢印で描く: N極からS極への磁力線を立体的にイメージし、図に書き込みます。
  3. 「電流の向き」に変換する: 負電荷の運動が出てきたら、即座に「逆向きの電流」と脳内で変換します。これにより、フレミングの左手の法則を混乱なく適用できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 負電荷の移動方向をそのまま電流の向きとしてしまう:
  • 誤解: 陰イオンが内側に動くから、電流も内向きだと考えてしまう。
  • 対策: 「電流の向き＝正電荷の動く向き」という定義を徹底します。負電荷が動く場合は、その逆が電流の向きです。
• フレミングの法則の手の向き:
  • 誤解: 放射状に広がる電流に対して、どの位置で手を適用すればいいか迷う。
  • 対策: 任意の一点（例えば自分の手前側）を選んで適用します。対称性があるため、どこで考えても回転方向（時計回りか反時計回りか）は同じ結論になります。
• 遠心力との混同:
  • 誤解: 回転運動だから遠心力が働いて外側に広がるのではないかと考える。
  • 対策: 設問で問われているのは「回転の向き（接線方向の力）」です。遠心力は半径方向の力なので、回転の駆動力にはなりません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フレミングの左手の法則の選択:
  • 選定理由: 荷電粒子の運動方向（電流）、磁場、力の3つの向きの関係を決定する問題だからです。
  • 適用根拠: イオンの運動方向と磁場の向きが直交しているため、この法則がそのまま適用できます。
• 別解（マクロな電流）の有効性:
  • 選定理由: 溶液中のイオンの動きは複雑ですが、外部回路から見れば単なる「抵抗体」であり、電流 \(I\) が流れているだけです。系全体としての挙動を知りたい場合、マクロな視点の方がシンプルで間違いが少なくなります。
  • 適用根拠: 電解質溶液も導体の一種であり、金属導線と同じように電磁気学の法則が成り立つからです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への書き込み:
  • 頭の中だけで「右、左、上、下」と操作するのは危険です。必ず図に \(\vec{B}\)（下向き矢印）、\(\vec{v}_+\)（外向き矢印）、\(\vec{v}_-\)（内向き矢印）を書き込み、さらに \(\vec{I}\)（外向き矢印）を太く書き加えてから左手を合わせましょう。
• 結果の妥当性チェック:
  • 「陽イオンと陰イオンが逆回転して衝突しまくる」という状況は、溶液としての粘性抵抗を考えると不自然です。流体として全体が同じ方向に回るという結論は、直感的にも自然な現象です。

519 磁場中の荷電粒子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中での荷電粒子の等速円運動（サイクロトロン運動）」です。ローレンツ力を向心力として円運動する粒子の振る舞いを、運動方程式に基づいて解析する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 磁場の向き

思考の道筋とポイント
粒子が点Pから右側に曲がって円運動を始めたということは、運動開始直後に「右向きの力」を受けたことを意味します。粒子の運動方向（上向き）と力の向き（右向き）から、磁場の向きを決定します。
この設問における重要なポイント

• 正電荷の運動方向は、電流の向きと同じである。
• 円運動の中心に向かう力が向心力（ローレンツ力）である。
• 点Pでの運動方向は上向き、向心力は右向きである。

具体的な解説と立式
点Pにおける粒子の状態を整理します。

• 電流の向き（中指）: 粒子は上向きに入射したので、電流も上向きです。
• 力の向き（親指）: 粒子は時計回りに曲がっていくので、円の中心方向である右向きに力を受けています。

フレミングの左手の法則を適用します。
左手の中指を上、親指を右に向けると、人差し指（磁場）は手前（紙面の裏から表）を指します。
図の記号で「裏から表」を表すのは、点（\(\odot\)）のマークである イ です。

（数値計算なし）

プラスの電気を持った粒が上に飛んでいって、右に曲がりました。これは「右向きの風（力）」を受けたからです。
左手を使って、「電気は上（中指）」、「力は右（親指）」とセットすると、人差し指はあなたの顔の方（画面の手前）を向くはずです。これが磁石の力（磁場）の向きです。

向きはイ（裏から表）。
ローレンツ力の向きが円の中心を向くことで円運動が成立するという物理的状況と整合します。

問(2) ローレンツ力の大きさ

思考の道筋とポイント
ローレンツ力の公式を適用するだけです。速度と磁場が垂直であることを確認します。
この設問における重要なポイント

• 粒子は磁場と垂直に入射している。
• ローレンツ力の大きさは \(f = qvB\)（垂直な場合）。

具体的な解説と立式
電気量 \(q\)、速さ \(v\)、磁束密度 \(B\) が与えられており、これらは互いに直交しています。
したがって、ローレンツ力の大きさ \(f\) は以下の式で表されます。
$$ f = qvB $$

（代入のみ）

磁石の世界（磁場）を飛ぶ電気の粒が受ける力の大きさは、「電気の量」「スピード」「磁石の強さ」の3つを掛け算するだけで求まります。

答えは \(qvB\)。単位を確認すると \([\text{C}] \cdot [\text{m/s}] \cdot [\text{T}] = [\text{A}\cdot\text{s}] \cdot [\text{m/s}] \cdot [\text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})] = [\text{N}]\) となり、力の単位と一致します。

問(3) PQ間の距離

思考の道筋とポイント
粒子はローレンツ力を向心力として等速円運動を行います。運動方程式を立てて軌道半径 \(r\) を求め、PQ間の距離が直径 \(2r\) であることを利用します。
この設問における重要なポイント

• 等速円運動の運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = f\)
• 向心力 \(f\) はローレンツ力 \(qvB\) である。
• PQ間の距離は、円軌道の直径に相当する。

具体的な解説と立式
円運動の半径を \(r\) とします。
半径方向の運動方程式（質量 \(\times\) 加速度 \(=\) 力）を立てます。
$$ m \frac{v^2}{r} = qvB $$
この式を \(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{mv}{r} &= qB \\[2.0ex] r &= \frac{mv}{qB}
\end{aligned}
$$
求めるPQ間の距離は、半円の直径にあたるので \(2r\) です。
$$ \text{PQ} = 2r $$

$$
\begin{aligned}
\text{PQ} &= 2 \times \frac{mv}{qB} \\[2.0ex] &= \frac{2mv}{qB}
\end{aligned}
$$

粒は円を描いて回ります。このとき、「中心に引っ張る力（ローレンツ力）」が向心力となって、粒の進む向きを曲げ続けるので、特定の半径 \(r\) で回ることになります。
この円運動の運動方程式（質量 \(\times\) 向心加速度 \(=\) ローレンツ力）を作って半径 \(r\) を計算し、PからQまでは直径なので \(2\) 倍すれば答えが出ます。

答えは \(\displaystyle\frac{2mv}{qB}\)。

• 質量 \(m\) や速さ \(v\) が大きいほど、曲がりにくくなって大回りする（距離が伸びる）→ 妥当。
• 磁場 \(B\) や電荷 \(q\) が大きいほど、強く曲げられて小回りする（距離が縮む）→ 妥当。

問(4) PからQに達するまでの時間

思考の道筋とポイント
円運動の周期 \(T\)（1周にかかる時間）を求め、PからQまでは半周なので、その半分 \(T/2\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 等速円運動の周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v}\)。
• PからQまでは半円なので、かかる時間は \(\displaystyle\frac{1}{2}T\)。

具体的な解説と立式
円運動の周期 \(T\) は、円周 \(2\pi r\) を速さ \(v\) で割ることで求まります。
(3)で求めた \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r}{v} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m}{qB}
\end{aligned}
$$
求める時間は半周分なので、
$$ t = \frac{1}{2}T $$

$$
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{2} \times \frac{2\pi m}{qB} \\[2.0ex] &= \frac{\pi m}{qB}
\end{aligned}
$$

1周するのにかかる時間（周期）を計算して、半分にします。
面白いことに、計算結果には「速さ \(v\)」が含まれていません。速く動けば大回りになり、遅く動けば小回りになるので、結局ゴール（Q）に着くまでの時間は速さに関係なく一定になるのです。

答えは \(\displaystyle\frac{\pi m}{qB}\)。
速さ \(v\) に依存しないという結果は、サイクロトロンの原理（等時性）として知られる重要な性質です。

問(5) 速さを2倍にしたときの影響

思考の道筋とポイント
(3)と(4)で求めた式に \(v\) がどのように含まれているかを確認し、\(v\) が2倍になったときの結果を判断します。
この設問における重要なポイント

• PQ間の距離: \(\text{PQ} = \displaystyle\frac{2mv}{qB} \propto v\)（\(v\) に比例する）
• 所要時間: \(t = \displaystyle\frac{\pi m}{qB}\)（\(v\) を含まない）

具体的な解説と立式
【PQ間の距離について】
(3)より、\(\text{PQ} = \displaystyle\frac{2m}{qB} \times v\) です。
他の文字（\(m, q, B\)）は変わらないので、距離は速さ \(v\) に比例します。
したがって、\(v\) が2倍になれば、距離も 2倍 になります。

【所要時間について】
(4)より、\(t = \displaystyle\frac{\pi m}{qB}\) です。
この式には速さ \(v\) が含まれていません。
したがって、\(v\) が2倍になっても、時間は変わりません（1倍）。

（式の依存性を見るのみ）

式を見てみましょう。
距離の式には \(v\) が掛け算されているので、スピードが倍になれば距離も倍になります（大回りになります）。
時間の式には \(v\) が入っていません。これは、スピードを出して大回りしても、ゆっくり小回りしても、半周するのにかかる時間は変わらないという不思議な性質（等時性）を示しています。

距離は2倍、時間は1倍。
サイクロトロンの加速原理において、粒子が加速されても（\(v\) が増えても）電圧を切り替えるタイミング（周期）を変えなくて済むのは、この「時間が変わらない」という性質のおかげです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力を向心力とする等速円運動
  • 核心: 磁場中を運動する荷電粒子は、常に進行方向と垂直な力（ローレンツ力）を受けます。力が常に速度と垂直であるため、仕事はゼロであり、粒子の速さ（運動エネルギー）は変化しません。その結果、粒子は等速円運動を行います。
  • 理解のポイント:
    • 運動方程式の立式: 力学の基本通り、円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) を立てることが全ての出発点です。ここで \(F\) にローレンツ力 \(qvB\) を代入することで、半径 \(r\) や周期 \(T\) を導出できます。
    • サイクロトロン運動の等時性: 周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) が速さ \(v\) や半径 \(r\) に依存しないという性質は、物理的に非常に重要であり、入試でも頻出のテーマです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • らせん運動: 粒子が磁場に対して斜めに入射する場合、垂直成分は円運動、平行成分は等速直線運動となり、全体としてらせん軌道を描きます。この場合も、垂直成分だけで円運動の式を立てるのが鍵です。
  • 質量分析器: 速度選択器（電場と磁場を直交させて特定の速度の粒子だけを通す装置）と組み合わせて、同位体の質量差を軌道半径の差として検出する装置。本問の(3)の式 \(r \propto m\) が原理そのものです。
  • サイクロトロン（加速器）: 磁場中での円運動の周期が一定であることを利用して、交流電圧で粒子を繰り返し加速する装置。本問の(4)(5)の理解が直結します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 粒子の符号を確認する: 正電荷か負電荷（電子など）かによって、ローレンツ力の向きが逆転します。負電荷の場合は、フレミングの左手の法則で求めた向きと逆向きに力が働く（あるいは中指を逆に向ける）ことに注意が必要です。
  2. 幾何学的条件を図示する: 半円を描いて壁に衝突するのか、磁場領域を通り抜けて出ていくのかなど、軌道の幾何学的な条件（弦の長さや偏向角）を図に描いて整理します。
  3. 比の計算に備える: (5)のように「〜を2倍にするとどうなるか」という問いは、具体的な数値を計算するよりも、文字式の依存関係（比例・反比例）を見る方が早く確実です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 周期 \(T\) の公式の丸暗記と適用ミス:
  • 誤解: 公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) を覚えていれば安心だと思い込み、導出過程を忘れてしまう。
  • 対策: 公式は忘れる可能性がありますが、運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) は忘れません。常にここからスタートして \(r\) を求め、\(T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v}\) で導出する手順を身につけましょう。これなら1分もかかりません。
• 時間の計算ミス（半周か1周か）:
  • 誤解: 周期 \(T\) を求めて、そのまま答えにしてしまう。
  • 対策: 問題文の状況（半円を描いてQに達する）をよく読み、求められているのが「半周の時間」なのか「1周の時間」なのか、あるいは「磁場領域を抜けるまでの時間（中心角に比例）」なのかを確認します。
• 速さと周期の関係の誤解:
  • 誤解: 「速くなれば早く着くはずだ」という日常感覚で、時間が短くなると答えてしまう。
  • 対策: 円運動の半径が大きくなる（道のりが増える）効果と、速くなる効果がちょうど相殺することを数式で確認し、直感を修正します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) の選択:
  • 選定理由: 粒子の軌道（半径）や運動の性質（周期）を知るための最も基本的かつ強力なツールだからです。
  • 適用根拠: ローレンツ力は常に中心を向くため向心力として働き、かつ速さを変えないため等速円運動の条件を完全に満たしています。
• 別解（道のり \(\div\) 速さ）の有効性:
  • 選定理由: 周期の公式を経由するよりも計算ステップが少なく、直感的にも理解しやすいからです。
  • 適用根拠: 速さ \(v\) が一定である（等速運動である）ことが保証されているため、単純な割り算で時間を求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認:
  • 半径 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) の次元が長さ \([\text{m}]\) になっているか、周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) の次元が時間 \([\text{s}]\) になっているかを確認する癖をつけます。例えば \(qB\) が分母か分子かで迷ったとき、単位を確認すればミスに気づけます。
  • 比例関係のメモ:
    • 式を導出した直後に、\(r \propto v\)、\(T \propto v^0\)（無関係）、\(r \propto 1/B\) などの特性を脇にメモしておくと、後の設問（変化させたときの影響）で即答できます。
  • 図形的なチェック:
    • 求めた半径 \(r\) が、図の幾何学的条件（例えば磁場領域の幅 \(d\) より小さいか大きいか）と矛盾しないかを確認します。本問では関係ありませんが、領域外に出るかどうかの判定問題などで重要になります。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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