「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 14】発展例題～発展問題364

発展例題

発展例題29 媒質の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波のグラフの変換（\(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの相互関係）」です。ある一点の時間の経過に伴う動き（動画）と、ある瞬間の波全体の形（写真）を行き来する、波動分野の最重要項目の一つです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、波の基本量である波長 \(\lambda\) を求めます。次に、\(y-x\) グラフを描くために、\(t=0\) の瞬間に波がどのような形をしているかを考えます。
ポイントは、「波源（\(x=0\)）がこれから行おうとする運動（未来）」と、「波源がすでに行った運動（過去）」が、空間（\(x\) 軸）上のどこに存在するかを結びつけることです。波は \(x\) 軸正の向きに進むため、波源が「過去」に行った振動は \(x\) 軸の「正の側（右側）」に伝わっています。

この設問における重要なポイント

• グラフから周期 \(T\) を正確に読み取る。
• 公式 \(\lambda = vT\) を用いて波長を計算する。
• \(y-t\) グラフの \(t=0\) 付近の傾きから、波源の初動の向きを読み取る。
• 「\(y-t\) グラフの過去（\(t<0\)）の形」が「\(y-x\) グラフの正の領域（\(x>0\)）の形」に対応することを理解する。

具体的な解説と立式
まず、周期 \(T\) と波長 \(\lambda\) を求めます。
問題の図（\(y-t\) グラフ）より、波が1回振動するのにかかる時間（周期）は、
$$ T = 2.0\,\text{s} $$
波の速さは \(v = 10\,\text{m/s}\) と与えられているので、波の基本公式より波長 \(\lambda\) は以下のようになります。
$$ \lambda = vT $$

次に、グラフの概形を決定します。
図の \(y-t\) グラフを見ると、\(t=0\) のとき変位は \(y=0\) です。
そして、\(t\) がわずかに増えると（\(t>0\)）、変位 \(y\) は負の値になっています。つまり、波源は \(t=0\) の直後に下向きに動きます。

ここで、\(x\) 軸上の波形（\(y-x\) グラフ）を考えます。
波は \(x\) 軸の正の向きに進むので、\(x>0\) の地点にある波は、波源が「少し前（過去）」に送り出した振動です。
\(y-t\) グラフにおいて、\(t=0\) より少し前（\(t<0\)）の様子を見ると、グラフは \(t=0\) で下がりながら原点を通過しているので、その直前は正の値であったことがわかります。
したがって、\(x=0\) より少し右側（\(x>0\)）の媒質の変位は正になっているはずです。

つまり、求める \(y-x\) グラフは、原点 \(x=0\) を通り、\(x\) が増えるにつれて山（正の変位）に向かう正弦波となります。

波長 \(\lambda\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 10 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 20\,\text{m}
\end{aligned}
$$
振幅は \(y-t\) グラフから読み取れる通り \(0.50\,\text{m}\) です。
これより、波長 \(20\,\text{m}\)、振幅 \(0.50\,\text{m}\) で、原点から正の向きに立ち上がる正弦波（サインカーブ）を描きます。
具体的には、

• \(x=0\) で \(y=0\)
• \(x=5.0\) (\(1/4\)波長) で \(y=0.50\) (山)
• \(x=10\) (\(1/2\)波長) で \(y=0\)
• \(x=15\) (\(3/4\)波長) で \(y=-0.50\) (谷)
• \(x=20\) (\(1\)波長) で \(y=0\)

となるグラフです。

まず、波の「歩幅」である波長を計算します。速さが \(10\,\text{m/s}\) で、1歩（1回の振動）に \(2.0\) 秒かかるので、歩幅は \(20\,\text{m}\) です。
次にグラフの形です。波源（\(x=0\)）の動きを見ると、スタート（\(t=0\)）の直後に「下」に動いています。波は右へ進むので、右側にある波は「波源がさっきした動き」のコピーです。波源は「下」に行く直前、つまりさっきまでは「上（プラス）」にいました。だから、波源のすぐ右側には「上（プラス）」の波があるはずです。原点から「山」が始まるグラフを描けば正解です。

波長 \(20\,\text{m}\)、振幅 \(0.50\,\text{m}\) の正弦波が得られました。波源のすぐ右側が正の変位となっていることは、波源がこれから負の方向に動く（負の波を送り出す）ことと整合しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(x=5.0\,\text{m}\) という特定の位置での媒質の動き（\(y-t\) グラフ）を求めます。
(1)で描いた \(t=0\) の瞬間の波形（\(y-x\) グラフ）において、\(x=5.0\,\text{m}\) の地点がどのような状態（変位）にあるかを確認し、そこから時間が経過すると波形がどう移動するかを考えます。

この設問における重要なポイント

• \(x=5.0\,\text{m}\) が波長 \(20\,\text{m}\) の何分の一に当たるかを確認する。
• (1)のグラフから、\(t=0\) における \(x=5.0\,\text{m}\) の変位を読み取る。
• 波形全体が \(x\) 軸正の向き（右）に移動するとき、\(x=5.0\,\text{m}\) の地点の変位がどう変化するかを予測する。

具体的な解説と立式
まず、\(x=5.0\,\text{m}\) の位置関係を確認します。
波長は \(\lambda = 20\,\text{m}\) なので、
$$ \frac{x}{\lambda} = \frac{5.0}{20} $$
$$ \frac{x}{\lambda} = \frac{1}{4} $$
つまり、\(x=5.0\,\text{m}\) は原点から \(1/4\) 波長だけ離れた位置です。

(1)で描いた \(y-x\) グラフ（正弦波 \(y = A \sin kx\) の形）において、\(1/4\) 波長の位置はちょうど「山」の頂点になります。
したがって、時刻 \(t=0\) において、\(x=5.0\,\text{m}\) の媒質の変位は最大値（振幅）となります。
$$ y = 0.50\,\text{m} \quad (\text{時刻 } t=0) $$

次に、\(t>0\) での変化を考えます。
波は右（\(x\) 軸正の向き）に進みます。
現在（\(t=0\)）、\(x=5.0\,\text{m}\) には波の「山」があります。
時間が経過して波が右にずれると、\(x=5.0\,\text{m}\) の地点には、今まで「山の左側（後ろ側）」にあった部分が通過することになります。
(1)のグラフで、山の頂点（\(x=5.0\)）の左側（\(x < 5.0\)）は、変位が正で、右上がりの形状をしています。
波全体が右に動くと、この「右上がりの斜面」が \(x=5.0\) を通過していくため、\(x=5.0\) での変位 \(y\) は \(0.50\) から減少していきます。

よって、求めるグラフは、\(t=0\) で \(y=0.50\)（最大値）から始まり、時間とともに減少して \(0\) に向かうコサインカーブ（余弦波）のような形になります。周期は変わらず \(2.0\,\text{s}\) です。

グラフの特徴点は以下の通りです。

• \(t=0\): \(y = 0.50\,\text{m}\) (最大値)
• \(t=0.5\) (\(1/4\)周期): \(y = 0\,\text{m}\) (山から下りて平衡点へ)
• \(t=1.0\) (\(1/2\)周期): \(y = -0.50\,\text{m}\) (谷)
• \(t=1.5\) (\(3/4\)周期): \(y = 0\,\text{m}\)
• \(t=2.0\) (\(1\)周期): \(y = 0.50\,\text{m}\) (再び山)

(1)のグラフを見ると、スタートの瞬間（\(t=0\)）、\(5.0\,\text{m}\) の地点はちょうど波の「てっぺん（山）」にいることがわかります。
波は動いているので、てっぺんはすぐに通り過ぎてしまいます。てっぺんの後は必ず下がるしかありません。
ですから、\(0.50\)（てっぺん）から始まって、だんだん下がっていくグラフを描けば正解です。

\(t=0\) で最大値 \(0.50\) をとり、その後減少するグラフが得られました。これは、波の山が通過した直後の媒質の動きとして妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本公式と周期・波長の関係
  • 核心: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\) を結びつける基本公式 \(v = f\lambda = \frac{\lambda}{T}\) は、波動分野のあらゆる問題の基礎です。
  • 理解のポイント:
    • 周期 \(T\): 媒質が1回振動するのにかかる時間（秒）。\(y-t\) グラフから読み取れます。
    • 波長 \(\lambda\): 波の1つ分の長さ（メートル）。\(y-x\) グラフから読み取れます。
    • この2つを繋ぐのが「波の速さ \(v\)」であり、時間的な繰り返し（\(T\)）と空間的な繰り返し（\(\lambda\)）の変換係数のような役割を果たします。
• \(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの相互変換
  • 核心: 「ある点の時間変化（動画）」と「ある瞬間の全体像（写真）」という2つの視点を自由に行き来できることが、この問題の最大のテーマです。
  • 理解のポイント:
    • 波の進行方向との関係: 波が \(x\) 軸正の向きに進む場合、波源（\(x=0\)）が「過去（\(t<0\)）」に行った振動は、空間的には「正の領域（\(x>0\)）」に存在します。つまり、\(y-t\) グラフの \(t<0\) の形が、\(y-x\) グラフの \(x>0\) の形に対応します。
    • 位相の遅れ: 波源から距離 \(x\) だけ離れた地点には、波源の振動が時間 \(t = x/v\) だけ遅れて到達します。これがグラフの平行移動の根拠となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆向きに進む波: 波が \(x\) 軸負の向きに進む場合、波源の「過去」の振動は \(x\) 軸の「負の領域」に存在します。逆に、\(x>0\) にある波は、波源が「未来」に行う振動に対応します。
  • 固定端・自由端反射: 反射波を作図する際も、この「過去の波形を描く」という考え方が応用できます。壁の向こう側に仮想的な波を描き、それを折り返す手法です。
  • 定常波の節と腹: 2つの進行波が重なって定常波ができる問題でも、それぞれの波を \(y-x\) グラフとして描き、合成することで節や腹の位置を特定できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: 縦軸は変位 \(y\) で共通ですが、横軸が時間 \(t\) なのか位置 \(x\) なのかを真っ先に確認します。これを間違えると全てが逆になります。
  2. \(t=0\) 付近の傾きを見る: \(y-t\) グラフの原点付近で、グラフが上がっているか下がっているかを見ます。これが「波源の初動」であり、\(y-x\) グラフを描く際の決定的な手がかりになります。
  3. 波の進行方向をチェックする: 「\(x\) 軸の正の向き」か「負の向き」かで、グラフの平行移動の方向や、\(y-t\) と \(y-x\) の対応関係が逆転します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの混同:
  • 誤解: \(y-t\) グラフの形をそのまま \(y-x\) グラフとして描いてしまう。
  • 対策: 波が正の向きに進む場合、\(y-x\) グラフは \(y-t\) グラフを左右反転させた形になることが多いです（原点スタートの場合）。「過去の動きが右側にある」という理屈を常に意識しましょう。
• 平行移動の方向ミス:
  • 誤解: (2)で、波が右に進むからといって、\(y-t\) グラフを左（時間の負の向き）にずらしてしまう。
  • 対策: 「下流（\(x>0\)）の媒質は、上流（\(x=0\)）のマネを遅れてする」と考えます。遅れるということは、グラフ全体が時間軸の正の向き（右）にずれるということです。
• 波の式の符号ミス:
  • 誤解: \(y = A \sin (\omega t – kx)\) なのか \(y = A \sin (kx – \omega t)\) なのかわからなくなる。
  • 対策: \(t=0\) や \(x=0\) を代入してチェックします。例えば \(t=0\) で \(y = -A \sin kx\) なら、原点から下がって始まる波形です。自分の描いたグラフと式が合っているか、必ず具体的な値を代入して検算しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\lambda = vT\) の選択:
  • 選定理由: \(y-t\) グラフから直接読み取れるのは周期 \(T\) ですが、求めたい \(y-x\) グラフを描くには波長 \(\lambda\) が必要です。この2つを繋ぐ唯一の架け橋がこの公式です。
  • 適用根拠: 波の速さ \(v\) が一定である（等速で伝わる）という前提があるため、距離（波長）＝速さ×時間（周期）の関係が成り立ちます。
• 波の一般式 \(y(x, t) = A \sin \frac{2\pi}{T}(t – \frac{x}{v})\) の選択（別解）:
  • 選定理由: グラフの形状を感覚的に捉えるのが難しい場合や、複雑な初期位相を持つ場合に、数式によるアプローチは絶対的な正解を保証します。
  • 適用根拠: 「波形が変わらずに伝わる」という波動の性質そのものを数式化したものであり、あらゆる正弦波の問題に適用可能な万能なツールです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認:
  • グラフの軸の単位（\(\text{s}\), \(\text{m}\), \(\text{ms}\), \(\text{cm}\) など）を必ず確認します。特にミリ秒（\(\text{ms}\)）やセンチメートル（\(\text{cm}\)）が含まれている場合、\(\text{s}\) や \(\text{m}\) への換算が必要です。
• 特徴点でのチェック:
  • グラフを描いた後、必ず代表的な点（山、谷、ゼロ点）の座標を確認します。
  • (1)なら、\(x=0\) で \(y=0\)、\(x=5.0\) で \(y=0.50\) となっているか。
  • (2)なら、\(t=0\) で \(y=0.50\)、\(t=1.0\) で \(y=-0.50\) となっているか。
  • この「点検」を行うだけで、作図ミスの9割は防げます。
• 「1/4波長」の感覚:
  • 波の問題では、\(1/4\) 波長（\(90^\circ\)）、\(1/2\) 波長（\(180^\circ\)）ごとの変化が重要です。\(x=5.0\,\text{m}\) が \(\lambda=20\,\text{m}\) のちょうど \(1/4\) であることに気づけば、計算なしで「山の頂点だ」と判断でき、ミスも減ります。

発展例題30 正弦波の式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「進行波のグラフから媒質の振動の式を導出すること」です。波のグラフ（空間的な波形）と媒質の振動（時間的な動き）の関係を正しく理解し、数式で表現する力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問

思考の道筋とポイント
まず、グラフから読み取れる情報を整理し、波の周期 \(T\) を求めます。次に、求めたいのは「原点 \(x=0\) の媒質の変位」なので、原点が時刻 \(t=0\) からどのように振動を開始するか（初期位相）を見極めます。

この設問における重要なポイント

• 実線（\(t=0\)）と破線（\(t=0.10\,\text{s}\)）のズレから、波の速さを求める。
• 波長 \(\lambda\) をグラフから読み取り、周期 \(T\) を計算する。
• 波が右（\(x\) 軸正の向き）に進むとき、原点の媒質が最初にどちら（上か下か）に動くかを正しく判断する。

具体的な解説と立式
まず、波の速さ \(v\) を求めます。
グラフより、時刻 \(t=0\)（実線）から \(t=0.10\,\text{s}\)（破線）の間に、波形（例えば \(x=0\) のゼロ点や \(x=4.0\) の山）は \(x\) 軸正の向きに \(2.0\,\text{m}\) だけ進んでいます。
したがって、速さ \(v\) は以下の式で求められます。
$$ v = \frac{\text{移動距離}}{\text{経過時間}} $$

次に、周期 \(T\) を求めます。
グラフの実線を見ると、波1つ分の長さ（波長）は \(\lambda = 16\,\text{m}\) です。
波の基本公式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) より、周期 \(T\) は次のように表せます。
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$

続いて、原点 \(x=0\) における振動の式を決定します。
グラフより、振幅は \(A = 2.0\,\text{m}\) です。
角振動数 \(\omega\) は、周期 \(T\) を用いて次のように表されます。
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$

最後に、振動の型（サインかマイナスサインか）を決めます。
時刻 \(t=0\)（実線）において、原点の変位は \(y=0\) です。
波は \(x\) 軸の正の向きに進むため、わずかに時間が経過すると、実線の波形は右にずれます。
実線の波形を右に少しずらすと、原点 \(x=0\) の位置には「山」ではなく「谷（負の変位）」側の波形がやってきます。
つまり、原点の媒質は \(t=0\) から 負の向き（下向き） に動き出します。
\(y=0\) から負の向きにスタートする単振動は、\(-\sin\) のグラフになります。
したがって、求める変位 \(y\) の式は以下の形になります。
$$ y = -A \sin(\omega t) $$

まず、速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2.0}{0.10} \\[2.0ex] &= 20\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
次に、周期 \(T\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{16}{20} \\[2.0ex] &= 0.80\,\text{s}
\end{aligned}
$$
角振動数 \(\omega\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{0.80} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi}{4/5} \\[2.0ex] &= \frac{10\pi}{4} \\[2.0ex] &= 2.5\pi\,\text{rad/s}
\end{aligned}
$$
これらを \(y = -A \sin(\omega t)\) に代入します。振幅 \(A=2.0\) なので、
$$ y = -2.0 \sin(2.5\pi t) $$

まず、波がどれくらいの速さで進んでいるかを計算します。\(0.10\) 秒で \(2.0\,\text{m}\) 進んでいるので、速さは \(20\,\text{m/s}\) です。
次に、波の「歩幅（波長）」が \(16\,\text{m}\) なので、1歩進むのにかかる時間（周期）は \(0.80\) 秒だとわかります。
最後に、原点にあるボール（媒質）の動きを想像します。今（\(t=0\)）は真ん中（\(y=0\)）にありますが、波が右へ動くと、すぐに波の「谷」の部分がやってくるので、ボールは下に動かされます。
「真ん中から下に動き出す」振動は、マイナスのサイン（\(-\sin\)）の式で表せるので、数字を当てはめて答えを作ります。

答えは \(y = -2.0 \sin 2.5\pi t\,[\text{m}]\) です。
\(t=0\) を代入すると \(y=0\)、\(t=0.1\)（\(1/8\) 周期）を代入すると \(y = -2.0 \sin(0.25\pi) \approx -1.4\) となり、負の値になります。これは「最初に負の向きに動く」という考察と一致しており、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の伝播速度と周期・波長の関係
  • 核心: 波の速さ \(v\) は「波形が単位時間に進む距離」であり、\(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) で定義されます。また、波の周期性から \(v = \frac{\lambda}{T}\) という関係が成り立ちます。
  • 理解のポイント:
    • 2つの視点: 速さを求めるには、「ある瞬間の移動距離と時間から求める方法（定義）」と、「波長と周期から求める方法（公式）」の2通りがあります。この問題では、まず定義から速さを求め、それを公式に代入して周期を逆算するという手順を踏んでいます。
• 媒質の単振動と初期位相
  • 核心: 波を伝える媒質の各点は、それぞれ独立して単振動を行っています。その振動の様子（変位 \(y\) と時間 \(t\) の関係）は、正弦波 \(y = A \sin(\omega t + \phi_0)\) で表されます。
  • 理解のポイント:
    • 初期位相 \(\phi_0\) の決定: 最も重要なのは、\(t=0\) で媒質が「どこにいて（位置）」「どちらに動くか（速度の向き）」を見極めることです。
    • 原点スタートで正の向き \(\rightarrow\) \(+\sin\)
    • 原点スタートで負の向き \(\rightarrow\) \(-\sin\)
    • 正の端（山）スタート \(\rightarrow\) \(+\cos\)
    • 負の端（谷）スタート \(\rightarrow\) \(-\cos\)

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(x\) 軸負の向きに進む波: 波が左に進む場合、\(t=0\) の波形を左にずらして媒質の初動を判断します。別解の一般式では、\(x \rightarrow x + vt\) と置き換える点が異なります。
  • 原点以外の媒質の振動: 例えば \(x=x_1\) での振動を求めよ、という問題。別解のアプローチなら、\(y(x, t)\) の式に \(x=x_1\) を代入するだけで機械的に解けます。
  • 縦波の表示: 横波表示された縦波の問題でも、まずは横波として同様に式を立て、最後に変位 \(y\) を \(x\) 方向の変位として解釈し直すことで対応できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波の進行方向: 「\(x\) 軸の正の向き」か「負の向き」か。これが全ての符号（\(\pm\)）を決定します。
  2. 2つの時刻の波形: 実線と破線など、異なる時刻の波形が与えられている場合、その「ズレ」から速さ \(v\) を求めるのが第一歩です。
  3. \(t=0\) での原点の傾き: \(t=0\) のグラフ（実線）の原点付近の傾きが「右上がり」なら、波が右に進むと原点は「下がる」ことになります。逆に「右下がり」なら原点は「上がる」ことになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 媒質の動く向きの判定ミス:
  • 誤解: 「波形が右上がりだから、媒質も上に動く」と直感的に思ってしまう。
  • 対策: 「波は右に動く」\(\rightarrow\) 「今の波形の左側にある形がやってくる」と考えます。あるいは、実際にグラフ用紙に鉛筆で少し右にずらした波形を描いてみるのが最も確実です。
• 周期 \(T\) と時間 \(t\) の混同:
  • 誤解: 問題文にある \(0.10\,\text{s}\) を周期 \(T\) だと思い込んでしまう。
  • 対策: \(0.10\,\text{s}\) はあくまで「波形が破線の位置まで動くのにかかった時間」です。周期 \(T\) は「波1つ分（\(\lambda\)）進むのにかかる時間」であり、計算して求める必要があります。
• 単位の確認漏れ:
  • 誤解: グラフの軸が \(\text{cm}\) なのに \(\text{m}\) として計算してしまう。
  • 対策: グラフの縦軸・横軸の単位（\([\text{m}]\), \([\text{s}]\), \([\text{cm}]\) など）を必ず指差し確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(y = -A \sin(\omega t)\) の選択:
  • 選定理由: 原点の媒質が \(t=0\) で \(y=0\) にあり、その後負の方向に変位していく挙動を示すため。
  • 適用根拠: 単振動の一般解 \(y = A \sin(\omega t + \phi_0)\) において、初期条件（\(t=0, y=0, v<0\)）を満たすのは \(\phi_0 = \pi\) のとき、つまり \(y = A \sin(\omega t + \pi) = -A \sin(\omega t)\) です。
• \(y(x, t) = A \sin \frac{2\pi}{\lambda}(x – vt)\) の選択（別解）:
  • 選定理由: グラフの平行移動を目視で判断するリスクを避け、数式操作のみで確実に符号を決定したい場合に有効です。
  • 適用根拠: 波動関数 \(f(x – vt)\) は、波形 \(f(x)\) が速さ \(v\) で正の向きに進むことを表す普遍的な数式表現です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(\pi\) の扱い:
  • 角振動数 \(\omega = 2.5\pi\) のように、\(\pi\) を含む形で計算を進め、最後に近似値が必要な場合だけ \(3.14\) を代入します。途中で数値にすると計算が煩雑になり、誤差も増えます。
• 次元解析（単位チェック）:
  • \(\omega t\) の単位は \([\text{rad/s}] \times [\text{s}] = [\text{rad}]\)（無次元）になっているか確認します。もし \(\omega\) の代わりに \(T\) を掛けていたりすると単位が合いません。
• 特殊点での検算:
  • 求めた式 \(y = -2.0 \sin 2.5\pi t\) に、\(t=0.10\,\text{s}\) を代入してみます。
  • \(2.5\pi \times 0.10 = 0.25\pi = \pi/4\)
  • \(\sin(\pi/4) \approx 0.7\)
  • \(y \approx -1.4\,\text{m}\)
  • グラフの破線（\(t=0.10\)）を見ると、原点 \(x=0\) での変位は確かに \(-1.4\) くらいになっています。これで計算ミスがないと確信できます。

発展問題

356 波のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の周期性と不確定性」です。波のグラフがある時刻から別の時刻へ変化したとき、その間の動きは一通りには定まりません。波の形は繰り返し（周期性）を持つため、元の波形と重なる可能性が無数にあるからです。この「可能性の広がり」を整数 \(n\) を用いて表現する方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられたグラフから、波の形状に関する基本的な物理量を読み取ります。
振幅は振動の中心から最大変位までの高さ、波長は波一つ分の長さ（例えば山から次の山までの距離）です。

この設問における重要なポイント

• 縦軸が変位 \(y\,[\text{cm}]\)、横軸が位置 \(x\,[\text{cm}]\) であることを確認する。
• 振幅 \(A\) は「山の高さ」であり、「山から谷までの高さ」の半分である。
• 波長 \(\lambda\) は「山から隣の山までの距離」あるいは「位相が \(2\pi\) 変化する距離」である。

具体的な解説と立式
グラフ（実線または破線）を見ます。
振幅 \(A\) は、振動の中心（\(y=0\)）から山の頂点（\(y=10\)）までの高さなので、
$$ A = 10\,\text{cm} $$
波長 \(\lambda\) は、一つの波の繰り返し単位の長さです。例えば実線のグラフで、\(x=0\) の山から、次の \(x=20\) の山までの距離を読み取ると、
$$ \lambda = 20\,\text{cm} $$

読み取りのみのため、計算は不要です。

グラフを見て、波の大きさを測る問題です。
「振幅」は波の高さのことですが、真ん中からてっぺんまでの高さなので \(10\,\text{cm}\) です。
「波長」は波の横幅のことです。山から次の山までが \(20\,\text{cm}\) 離れているので、これが波長です。

振幅 \(10\,\text{cm}\)、波長 \(20\,\text{cm}\)。グラフの目盛りから直接読み取れる値であり、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「\(0.20\) 秒後に破線の波形になった」という情報から、波の速さと振動数を求めます。
重要ポイントは、波が「どれだけ進んだか」が見た目通りとは限らないことです。波は同じ形が繰り返されているので、すぐ隣の山に動いたのかもしれないし、もっと遠くの山が動いてきたのかもしれません。これを整数 \(n\) を使って表現します。

この設問における重要なポイント

• 波は \(x\) 軸の正の向き（右）に進んでいる。
• 実線の山（例えば \(x=0\)）が、破線の山（例えば \(x=5\)）まで移動したと考えるのが最も単純（\(n=0\)）。
• しかし、実際には \(1\) 波長分、\(2\) 波長分…と余計に進んでいる可能性（\(n=1, 2, \dots\)）がある。
• 移動距離を \(n\) を用いて一般化し、\(v = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}\) の式に持ち込む。

具体的な解説と立式
まず、波の移動距離 \(\Delta x\) を考えます。
実線の波（\(t=0\)）の山は \(x=0\) にあります。
破線の波（\(t=0.20\)）の山は \(x=5, 25, 45, \dots\) にあります。
波は正の向きに進むので、\(x=0\) にあった山は、最短で \(x=5\) の位置まで移動したと考えられます。このときの移動距離は \(5\,\text{cm}\) です。
しかし、波長 \(\lambda = 20\,\text{cm}\) ごとに同じ波形が現れるため、さらに \(20\,\text{cm}\) 先、\(40\,\text{cm}\) 先…へ移動した可能性もあります。
したがって、考えられる移動距離 \(\Delta x\) は、整数 \(n\) （\(n=0, 1, 2, \dots\)）を用いて次のように表せます。
$$ \Delta x = 5 + 20n \,[\text{cm}] $$
経過時間は \(\Delta t = 0.20\,\text{s}\) です。
波の速さ \(v\) は、
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
振動数 \(f\) は、波の基本公式 \(v = f\lambda\) より、
$$ f = \frac{v}{\lambda} $$

まず、速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{5 + 20n}{0.20} \\[2.0ex] &= \frac{5(1 + 4n)}{0.20} \\[2.0ex] &= 25(1 + 4n) \,\text{cm/s}
\end{aligned}
$$
次に、振動数 \(f\) を計算します。\(\lambda = 20\,\text{cm}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{25(1 + 4n)}{20} \\[2.0ex] &= \frac{5(1 + 4n)}{4} \\[2.0ex] &= \frac{5}{4}(1 + 4n) \,\text{Hz}
\end{aligned}
$$

波の山が \(0.20\) 秒でどこまで進んだかを考えます。
図を見ると、\(0\,\text{cm}\) にあった山が \(5\,\text{cm}\) のところまで動いたように見えます。でも、波は同じ形が続いているので、実は「\(1\) つ向こうの山（\(25\,\text{cm}\)）」や「\(2\) つ向こうの山（\(45\,\text{cm}\)）」まで一気に進んだのかもしれません。
そこで、進んだ距離を「\(5\,\text{cm}\) ＋ (\(20\,\text{cm}\) × \(n\)回)」と書くことにします。
あとは、「速さ＝距離÷時間」と「振動数＝速さ÷波長」の公式に当てはめて計算するだけです。

速さは \(25(1+4n)\,\text{cm/s}\)、振動数は \(\frac{5}{4}(1+4n)\,\text{Hz}\) と求まりました。
\(n=0\) のとき、\(v=25\,\text{cm/s}\)、\(f=1.25\,\text{Hz}\) となり、物理的にあり得る値です。
単位も \(\text{cm/s}\) と \(\text{Hz}\) で問題ありません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の周期性と不確定性
  • 核心: 正弦波は同じ形が無限に繰り返されるため、ある瞬間の波形と、時間が経過した後の波形だけを見ても、波が「どれだけ進んだか」を一意に特定することはできません。
  • 理解のポイント:
    • 最短距離 + \(n\lambda\): 波の移動距離は、見た目でわかる最短の移動距離 \(\Delta x_0\) に、波長 \(\lambda\) の整数倍を加えたものになります（\(\Delta x = \Delta x_0 + n\lambda\)）。
    • 最短時間 + \(nT\): 時間的な視点では、経過時間 \(\Delta t\) は、最短の時間 \(\Delta t_0\) に周期 \(T\) の整数倍を加えたものと解釈できます（\(\Delta t = \Delta t_0 + nT\) ではなく、\(\Delta t = (n + \alpha)T\) のように、経過時間自体が周期の何倍に当たるかを考えるのが一般的です）。
• 波の基本公式の相互関係
  • 核心: \(v = f\lambda = \frac{\lambda}{T}\) は、速さ、振動数（周期）、波長という3つの要素を繋ぐ強力なツールです。
  • 理解のポイント:
    • どれか2つが分かれば残りの1つは自動的に決まります。この問題では、(1)で \(\lambda\) が決まり、(2)で \(v\) と \(f\) の関係をこの公式で結びつけています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 波の進行方向が不明な場合: 「\(x\) 軸の正の向きに進む」という条件がない場合、波は左（負の向き）に進んだ可能性も考慮する必要があります。その場合、移動距離は \(n\) を整数（負も含む）として一般化するか、正の向きの距離と負の向きの距離を別々に考える必要があります。
  • ストロボ写真の問題: 一定時間間隔で撮影された波の写真から速さを求める問題も、本質は全く同じです。「コマ間で何波長分進んだか不明」という点が \(n\) を使う理由になります。
  • 定常波の発生条件: 壁での反射波と合成して定常波ができる条件などを考える際も、波の位相のズレ（距離のズレ）を \(n\lambda\) で考える思考法が役立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軸の単位: 縦軸・横軸が \(\text{m}\) なのか \(\text{cm}\) なのか、\(\text{s}\) なのか \(\text{ms}\) なのかを真っ先に確認します。
  2. 波の進行方向: これによって、最短移動距離の測り方（右隣の山を見るか、左隣の山を見るか）が変わります。
  3. 「\(n=0, 1, 2, \dots\)」の指定: この文言があれば、「波の不確定性」を問う問題であることは確定です。すぐに一般式 \(\Delta x + n\lambda\) を思い浮かべましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 最短移動距離の取り違え:
  • 誤解: 波が右に進むのに、左側の山までの距離を測ってしまう。あるいは、山から谷までの距離を測ってしまう。
  • 対策: 「\(t=0\) の山」を指で押さえ、そこから「進行方向（右）」にある「一番近い破線の山」を探す、という手順を徹底します。
• 単位換算の忘れ:
  • 誤解: \(\text{cm}\) のまま計算して、解答欄が \(\text{m/s}\) 指定であることに気づかない。
  • 対策: 計算を始める前に、求められている単位を確認します。この問題のように \(\text{cm/s}\) 指定ならそのままでOKですが、物理の基本は \(\text{m}\), \(\text{kg}\), \(\text{s}\) (MKS単位系) です。
• \(n\) の範囲:
  • 誤解: \(n\) が \(0\) から始まるのか、\(1\) から始まるのか曖昧になる。
  • 対策: \(n=0\) のときが「見た目通りの最短移動」に対応するように式を立てるのが最も自然でミスが少ないです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) の選択:
  • 選定理由: 「距離」と「時間」の情報から「速さ」を求める最も定義に近い式だからです。
  • 適用根拠: 波の速さは一定（等速）であるため、移動距離を時間で割れば平均の速さ（＝瞬間の速さ）が求まります。
• \(0.20 = (n + \frac{1}{4})T\) の選択（別解）:
  • 選定理由: 「波形のズレ」を「時間のズレ（位相差）」として捉える視点です。
  • 適用根拠: 波形が空間的に \(\lambda/4\) ずれているということは、時間的には \(T/4\) ずれていることと等価です。この等価性（\(x : \lambda = t : T\)）を利用しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 具体的な数値で検算:
  • 式を作ったら、\(n=0\) を代入して具体的な値を出し、それがグラフの見た目と矛盾しないか確認します。
  • \(v = 25(1+0) = 25\,\text{cm/s}\)。\(0.20\) 秒で \(5\,\text{cm}\) 進むので、\(5 \div 0.20 = 25\)。合っています。
• 分数の処理:
  • \(0.20\) で割るよりも、\(\times 5\) をする方が計算ミスは減ります（\(1/0.20 = 5\)）。小数はなるべく分数に直して計算しましょう。
• 文字式の展開:
  • \(25(1+4n)\) を \(25 + 100n\) と展開しても正解ですが、因数分解された形の方が物理的な意味（基本値 \(\times\) 倍率など）が見えやすい場合が多いです。指定がない限り、どちらでも構いません。

357 負の向きに進む波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「負の向きに進む波のグラフ解析」です。通常よく扱われる「正の向きに進む波」とは逆の動きをするため、媒質の動きやグラフの読み取りにおいて、直感と逆の判断が必要になる場面があります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\) を求めるには、波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) が必要です。
図1（\(y-x\) グラフ）は空間的な波の形を表しているので、ここから波長 \(\lambda\) を読み取ります。
図2（\(y-t\) グラフ）は時間的な振動の様子を表しているので、ここから周期 \(T\) を読み取ります。

この設問における重要なポイント

• 図1の横軸が位置 \(x\) であることから、波長 \(\lambda\) を読み取る。
• 図2の横軸が時刻 \(t\) であることから、周期 \(T\) を読み取る。
• 公式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) を用いて計算する。

具体的な解説と立式
図1（\(y-x\) グラフ）を見ます。
原点 \(O\) から始まり、\(1\) 回振動して再び \(y=0\) に戻り、同じ形を繰り返そうとする点までの距離が波長です。
図より、\(x=0\) から \(x=12\) までで \(1\) 波長なので、
$$ \lambda = 12\,\text{m} $$
図2（\(y-t\) グラフ）を見ます。
\(t=0\) から始まり、\(1\) 回振動して元の状態に戻るまでの時間が周期です。
図より、\(t=0\) から \(t=0.04\) までで \(1\) 周期なので、
$$ T = 0.040\,\text{s} $$
波の速さ \(v\) は、
$$ v = \frac{\lambda}{T} $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{12}{0.040} \\[2.0ex] &= \frac{1200}{4} \\[2.0ex] &= 300 \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^2 \,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。

波の速さを知りたいときは、「歩幅（波長）」と「1歩にかかる時間（周期）」を調べます。
図1は波の写真なので、ここから歩幅が \(12\,\text{m}\) だとわかります。
図2はある場所でのビデオ記録なので、ここから1回の揺れに \(0.04\) 秒かかるとわかります。
\(12\,\text{m}\) 進むのに \(0.04\) 秒かかるので、割り算をして速さを求めます。

\(3.0 \times 10^2\,\text{m/s}\)（\(300\,\text{m/s}\)）という値は、音速に近い値であり、物理的に妥当な範囲です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図2のグラフがどの地点の振動を表しているかを特定します。
まず、図2から \(t=0\) の瞬間の媒質の状態（変位と速度の向き）を読み取ります。
次に、図1（\(t=0\) の波形）において、その状態と一致する点を探します。
ここで重要なのは、波が「負の向き（左）」に進んでいることです。

この設問における重要なポイント

• 図2より、\(t=0\) で変位 \(y=0\) である。
• 図2より、\(t=0\) 直後に変位が正になっていることから、\(t=0\) での速度は「上向き（正）」である。
• 波が左に進むとき、図1の各点が次にどちらに動くかを正しく判断する。

具体的な解説と立式
図2（\(y-t\) グラフ）を解析します。
\(t=0\) のとき、グラフは原点を通っており、変位 \(y=0\) です。
また、\(t>0\) でグラフは上に上がっているので、\(t=0\) の瞬間の速度は正（上向き）です。
つまり、求める点は「\(t=0\) で変位が \(0\)」かつ「これから上に動こうとしている点」です。

図1（\(y-x\) グラフ）を見ます。
変位が \(0\) の点は、\(O, D, H\) の3点です（\(A \sim H\) の記号がある範囲では \(D\) と \(H\)）。
波は \(x\) 軸の負の向き（左）に進んでいます。
少し時間が経つと、波形全体が左にずれます。
実際に波形を少し左にずらして描いてみると（あるいは頭の中でイメージすると）：

• 点 \(D\) の位置には、右側にあった「山」の部分がやってきます。つまり、点 \(D\) は上に持ち上げられます。
• 点 \(H\) の位置には、右側にあった「谷」の部分（図には描かれていませんが、周期性から推測）がやってきます。つまり、点 \(H\) は下に押し下げられます。
• 原点 \(O\) の位置には、右側にあった「谷」の部分がやってきます。つまり、点 \(O\) は下に動きます。

したがって、「これから上に動こうとしている」条件を満たすのは、点 \(D\) です。

計算は不要です。論理的な判断のみです。

図2を見ると、スタート（\(0\) 秒）のとき、この場所の地面は高さゼロですが、次の瞬間に「上」に盛り上がっています。
図1の中で、これから「上」に動く点を探します。
波は「左」に進んでいます。つまり、それぞれの場所には「右隣にある波の形」がやってきます。
点 \(D\) の右隣は「山（高い部分）」です。だから点 \(D\) には山が来て、上に動きます。
点 \(H\) の右隣は「谷（低い部分）」です。だから点 \(H\) には谷が来て、下に動きます。
条件に合うのは点 \(D\) です。

点 \(D\) は変位 \(0\) であり、波が左に進むと山が到達するため速度は正となります。図2の初期状態と完全に一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
まず、点Fにある山が点Aに到達するまでの時間を求めます。これは単純な「距離÷速さ」の問題です。
次に、その後も波は流れ続けるので、後続の山が次々と点Aにやってくることを考えます。山と山の間隔は周期 \(T\)（時間）または波長 \(\lambda\)（距離）です。

この設問における重要なポイント

• 点Fと点Aの距離を正確に読み取る。
• 最初の到達時刻 \(t_1\) を \(t_1 = \frac{\text{距離}}{v}\) で求める。
• 2回目以降は、周期 \(T\) ごとに山が来ることを利用して、\(t = t_1 + nT\) の形にまとめる。

具体的な解説と立式
まず、点Fにある山が最初に点Aに到達するまでの時間を考えます。
図1より、点Aの座標は \(x=1.5\,\text{m}\)（\(0\) と \(3\) の中点）、点Fの座標は \(x=9.0\,\text{m}\) です。
点Fから点Aまでの距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = 9.0 – 1.5 = 7.5\,\text{m} $$
波の速さは \(v = 3.0 \times 10^2\,\text{m/s}\) なので、最初の到達時刻 \(t_0\) は、
$$ t_0 = \frac{\Delta x}{v} $$
その後、波の山は周期 \(T = 0.040\,\text{s}\) ごとに点Aにやってきます。
したがって、\(n\) 回目（\(n=0\) を最初とする）の到達時刻 \(t\) は、
$$ t = t_0 + nT $$

まず \(t_0\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
t_0 &= \frac{7.5}{3.0 \times 10^2} \\[2.0ex] &= 2.5 \times 10^{-2} \,\text{s}
\end{aligned}
$$
次に、一般式を作ります。\(T = 0.040 = 4.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\) です。
$$
\begin{aligned}
t &= 2.5 \times 10^{-2} + n(4.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= (2.5 + 4.0n) \times 10^{-2} \,\text{s}
\end{aligned}
$$

まず、F地点にある山がA地点まで移動する距離を測ると \(7.5\,\text{m}\) です。
波の速さは \(300\,\text{m/s}\) なので、割り算をして、最初の山が着くまでの時間は \(0.025\) 秒です。
その後は、波のリズム（周期 \(0.040\) 秒）に合わせて、次々と新しい山がやってきます。
だから、最初の \(0.025\) 秒に、\(0.040\) 秒を \(n\) 回足した時間が答えになります。

\(n=0\) のとき \(0.025\,\text{s}\) であり、距離 \(7.5\,\text{m}\) を速さ \(300\,\text{m/s}\) で進む時間として正しいです。
式の形も、初期値＋周期の整数倍となっており妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 負の向きに進む波の特性
  • 核心: 波が \(x\) 軸の負の向き（左）に進むとき、ある地点の媒質の「未来」の状態は、その地点より「正の向き（右）」にある波形によって決まります。
  • 理解のポイント:
    • 時間の流れと空間の対応: \(y-t\) グラフにおいて時間が進む（\(t\) が増える）ことは、\(y-x\) グラフにおいて視点が右（\(x\) が増える方向）に移動することと等価です。
    • 直感とのギャップ: 「波が左に行く」\(\rightarrow\) 「左の波が来る」のではなく、「右の波が左に来る」という正しいイメージを持つことが重要です。
• \(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの相互変換
  • 核心: 2つのグラフは同じ波動現象を異なる断面（時間固定か位置固定か）で切り取ったものです。両者を繋ぐ鍵は「波の速さ \(v\)」と「進行方向」です。
  • 理解のポイント:
    • 波長 \(\lambda\) と周期 \(T\): \(y-x\) グラフから \(\lambda\)、\(y-t\) グラフから \(T\) を読み取り、\(v = \lambda/T\) で結びつけます。
    • 位相の対応: \(y-t\) グラフの特定の位相（例：変位0で速度正）が、\(y-x\) グラフのどの位置に対応するかを特定する能力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正の向きに進む波: 最も一般的なパターンです。この場合、\(y-t\) グラフの未来（\(t>0\)）は、\(y-x\) グラフの左側（\(x<0\)）に対応します。「左にある波がやってくる」からです。
  • 媒質の速度の向き: \(y-x\) グラフ上で媒質の速度の向きを問われたら、波を少し進行方向にずらして描く「微小時間後の波形」の手法が鉄板です。
  • 特定の位相の到達時刻: 「山が来る時刻」「谷が来る時刻」などは、距離を波長で割って位相差（サイクルのズレ）を求め、それを周期倍して時間に換算する「別解(3)」の手法が非常に有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 進行方向の確認: 問題文の最初にある「負の向きに進む」などの記述を見逃さないこと。これが全ての判断の基準になります。
  2. グラフの軸: 横軸が \(x\)（位置）なのか \(t\)（時間）なのかを指差し確認します。
  3. \(t=0\) の状態: \(y-t\) グラフの原点付近の傾き（速度の符号）を見て、媒質が最初にどちらに動くかを把握します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 進行方向の勘違い:
  • 誤解: 無意識に「波は右に進むもの」と思い込んで解いてしまう。
  • 対策: 問題文の「負の向き」にアンダーラインを引き、図に大きな矢印 \(\leftarrow\) を書き込んで視覚的に意識付けします。
• グラフの読み取りミス:
  • 誤解: \(y-t\) グラフの周期 \(T\) を波長 \(\lambda\) と間違える、あるいはその逆。
  • 対策: 単位を確認します。\([\text{s}]\) なら周期、\([\text{m}]\) なら波長です。
• 媒質の動きの予測ミス:
  • 誤解: 「波が左に行くから、媒質も左に動く」と考えてしまう。
  • 対策: 横波の媒質は \(y\) 軸方向（上下）にしか動きません。波の進行方向（\(x\) 軸）には移動しないことを再確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v = \frac{\lambda}{T}\) の選択:
  • 選定理由: グラフから直接読み取れるのが \(\lambda\) と \(T\) であり、求めたいのが \(v\) だからです。
  • 適用根拠: 波動の基本性質として常に成り立つ関係式です。
• \(t = \frac{x}{v}\) vs \(t = \frac{x}{\lambda} T\)（別解）:
  • 比較: 前者は「速さ」を経由する物理の王道的な解法。後者は「割合（比）」を使う数学的な解法です。
  • 使い分け: 速さ \(v\) が既知なら前者、速さを計算するのが面倒で \(\lambda\) と \(T\) がわかっているなら後者が速いです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の扱い:
  • \(3.0 \times 10^2\) や \(10^{-2}\) などの指数表記が出てきたら、計算の最後まできちんと書き写す癖をつけます。特に \(10^{-2}\) を \(0.01\) に直したり戻したりするとミスが増えます。
  • 単位の統一:
    • この問題では全て \(\text{m}\) と \(\text{s}\) で統一されていますが、\(\text{cm}\) や \(\text{ms}\) が混ざっている場合は、計算前に必ず MKS単位系（\(\text{m}, \text{kg}, \text{s}\)）に変換します。
  • 常識的な値の確認:
    • 波の速さが \(300\,\text{m/s}\)（新幹線の速さや音速程度）なら妥当ですが、\(30000\,\text{m/s}\) や \(0.03\,\text{m/s}\) になったら計算ミスを疑いましょう。

358 パルス波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「パルス波の伝播と媒質の運動」です。連続的な正弦波とは異なり、限られた範囲にのみ存在する「パルス波」が移動するとき、媒質がどのように変位し、どのような速度を持つかを詳細に追跡します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Pが振動を始めるのは「波の先端」が到達したとき、振動を終えるのは「波の後尾」が通り過ぎたときです。
それぞれの点（先端、後尾）と点Pとの距離を読み取り、速さ \(1.0\,\text{m/s}\) で割って時間を求めます。

この設問における重要なポイント

• 波の先端の位置（\(x=0\)）と後尾の位置（\(x=-4.0\)）を正確に読み取る。
• 点Pの位置（\(x=1.0\)）を確認する。
• 等速直線運動の公式 \(t = x/v\) を適用する。

具体的な解説と立式
波の速さは \(v = 1.0\,\text{m/s}\) です。
点Pの位置は \(x_P = 1.0\,\text{m}\) です。

振動を始める時刻 \(t_1\) を求めます。
波の先端は \(x=0\,\text{m}\) にあります。点Pまでの距離は \(1.0\,\text{m}\) です。
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \frac{1.0}{1.0}
\end{aligned}
$$

振動を終える時刻 \(t_2\) を求めます。
波の後尾は \(x=-4.0\,\text{m}\) にあります。点Pまでの距離は \(1.0 – (-4.0) = 5.0\,\text{m}\) です。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \frac{5.0}{1.0}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
t_1 &= 1.0\,\text{s}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
t_2 &= 5.0\,\text{s}
\end{aligned}
$$

波の先頭がP地点に着いたら揺れ始め、波の最後尾が通り過ぎたら揺れ終わります。
先頭はP地点まで \(1\,\text{m}\) 離れていて、速さ \(1\,\text{m/s}\) なので \(1\) 秒後に着きます。
最後尾はP地点まで \(5\,\text{m}\) 離れている（\(0\) から \(-4\) までと、\(0\) から \(1\) まで）ので、\(5\) 秒後に着きます。

開始が \(1.0\,\text{s}\)、終了が \(5.0\,\text{s}\)。距離と速さの関係から妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
波の形状が変わらずに進むので、波の各特徴点（変位が変わる折れ目の点）がいつ点Pを通過するかを計算し、それらを直線で結びます。
特徴点は以下の4つです：先端（\(x=0\)）、山（\(x=-0.5\)）、谷への変わり目（\(x=-3.5\)）、後尾（\(x=-4.0\)）。
図の目盛りを正確に読みます。

• 先端: \(x=0, y=0\)
• 頂点A（山）: \(x=-0.5, y=3.0\)
• 交点B（ゼロ）: \(x=-2.0, y=0\)
• 頂点C（谷）: \(x=-3.5, y=-3.0\)
• 後尾: \(x=-4.0, y=0\)

これらの点が点P（\(x=1.0\)）に到達する時刻を計算します。

この設問における重要なポイント

• 各特徴点の座標 \((x, y)\) を正確に読み取る。
• 各点が点Pまで進む距離を計算し、到達時刻を求める。
• \(y-t\) グラフ上に点をプロットし、直線で結ぶ。

具体的な解説と立式
各点が点P（\(x=1.0\)）に到達する時刻 \(t\) は、\(t = \frac{1.0 – x_{\text{初期}}}{v}\) で求められます。\(v=1.0\) なので、単に距離がそのまま時間（秒）になります。

1. 先端 (\(x=0, y=0\)): 距離 \(1.0\,\text{m}\)
$$
\begin{aligned}
t &= 1.0\,\text{s}, \quad y=0
\end{aligned}
$$
2. 山 (\(x=-0.5, y=3.0\)): 距離 \(1.5\,\text{m}\)
$$
\begin{aligned}
t &= 1.5\,\text{s}, \quad y=3.0
\end{aligned}
$$
3. 谷 (\(x=-3.5, y=-3.0\)): 距離 \(4.5\,\text{m}\)
$$
\begin{aligned}
t &= 4.5\,\text{s}, \quad y=-3.0
\end{aligned}
$$
4. 後尾 (\(x=-4.0, y=0\)): 距離 \(5.0\,\text{m}\)
$$
\begin{aligned}
t &= 5.0\,\text{s}, \quad y=0
\end{aligned}
$$

これらの点 \((1.0, 0), (1.5, 3.0), (4.5, -3.0), (5.0, 0)\) を \(t-y\) 平面（横軸 \(t\)、縦軸 \(y\)）にプロットし、順に直線で結びます。

上述の通り。

波の「山」や「谷」がいつP地点に来るかを計算して、グラフにします。
「山」はP地点から \(1.5\,\text{m}\) 離れているので、\(1.5\) 秒後に来ます。そのときP地点は \(3.0\,\text{m}\) 持ち上がります。
「谷」はP地点から \(4.5\,\text{m}\) 離れているので、\(4.5\) 秒後に来ます。そのときP地点は \(3.0\,\text{m}\) 下がります。
これらを地図のように点に打って、線でつなげば完成です。

\(1.0\,\text{s}\) で始まり、\(1.5\,\text{s}\) で最大、\(4.5\,\text{s}\) で最小、\(5.0\,\text{s}\) で終わるグラフ。波形の形状（急に上がってゆっくり下がって急に戻る）が反映されています。

問(3)

思考の道筋とポイント
「運動の向きが変化する」とは、速度の符号が変わる、つまり速度がゼロになる瞬間のことです。
単振動や波動において、これは変位が最大（山）または最小（谷）になる折り返し地点を指します。
(2)で描いた \(y-t\) グラフの頂点の時刻を答えます。

この設問における重要なポイント

• 運動の向きの変化点 ＝ \(y-t\) グラフの極値（山・谷）。
• 「最初に」変化するのは、最初の山が来たとき。

具体的な解説と立式
(2)のグラフより、点Pは \(t=1.0\) から \(y\) が増加し始め（上向きに運動）、\(t=1.5\) で最大変位 \(y=3.0\) に達します。
この直後、\(y\) は減少し始める（下向きに運動）ので、\(t=1.5\,\text{s}\) で運動の向きが上から下に変化します。

グラフより読み取ります。
$$
\begin{aligned}
t &= 1.5\,\text{s}
\end{aligned}
$$

「運動の向きが変わる」というのは、ボールを投げ上げたときに一番高いところで一瞬止まって落ちてくる、あの瞬間のことです。
グラフで言うと、一番高い「山」のてっぺんの時刻です。

グラフの形状から明らかです。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Pと点Qの変位が等しくなる時刻を求めます。
点Qは点Pより \(1.0\,\text{m}\) 右にあるので、点Pと同じ振動を \(1.0\,\text{s}\) 遅れて行います。
点Pのグラフと、それを \(1.0\,\text{s}\) 右にずらした点Qのグラフの交点を求めます。

この設問における重要なポイント

• 点Qのグラフは点Pのグラフを \(+1.0\,\text{s}\) 平行移動したもの。
• 交点が存在する区間を見極め、直線の式を立てて解く。

具体的な解説と立式
点Pのグラフ（\(y_P\)）の \(t=1.5 \sim 4.5\) の区間は、点 \((1.5, 3.0)\) と \((4.5, -3.0)\) を結ぶ直線です。
傾きは以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\text{傾き} &= \frac{-3.0 – 3.0}{4.5 – 1.5} \\[2.0ex] &= \frac{-6.0}{3.0} \\[2.0ex] &= -2.0
\end{aligned}
$$
直線の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
y_P – 3.0 &= -2.0(t – 1.5) \\[2.0ex] y_P &= -2.0t + 6.0
\end{aligned}
$$

点Qのグラフ（\(y_Q\)）は、点Pより \(1.0\,\text{s}\) 遅れて始まります。
点Qの「最初の山」は \(t = 1.5 + 1.0 = 2.5\,\text{s}\) に来ます。
点Qの立ち上がり区間（\(t=2.0 \sim 2.5\)）は、点 \((2.0, 0)\) と \((2.5, 3.0)\) を結ぶ直線です。
傾きは以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\text{傾き} &= \frac{3.0 – 0}{2.5 – 2.0} \\[2.0ex] &= \frac{3.0}{0.5} \\[2.0ex] &= 6.0
\end{aligned}
$$
直線の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
y_Q &= 6.0(t – 2.0) \\[2.0ex] &= 6.0t – 12.0
\end{aligned}
$$

交点の時刻を求めるため、\(y_P = y_Q\) とします。
$$
\begin{aligned}
-2.0t + 6.0 &= 6.0t – 12.0
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
8.0t &= 18.0 \\[2.0ex] t &= \frac{18.0}{8.0} \\[2.0ex] &= \frac{9.0}{4.0} \\[2.0ex] &= 2.25
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で \(2.3\,\text{s}\) です。

Pさんが山から谷へ降りていく途中と、Qさんがこれから山へ登っていく途中ですれ違います。
Pさんの降りるペースと、Qさんの登るペースを式にして、「高さが一緒になるのはいつ？」という方程式を解きます。

\(2.25\,\text{s}\) は、Pが下降中（\(1.5 \sim 4.5\)）、Qが上昇中（\(2.0 \sim 2.5\)）の共通範囲に含まれており、解として適切です。

問(5)

思考の道筋とポイント
媒質の速度 \(v_{\text{媒質}}\) は、\(y-t\) グラフの接線の傾きです。
(2)のグラフは折れ線（直線の組み合わせ）なので、各区間で傾きは一定です。
それぞれの区間の傾きを計算し、階段状のグラフを描きます。

この設問における重要なポイント

• \(v_{\text{媒質}} = \frac{\Delta y}{\Delta t}\) （グラフの傾き）。
• 区間ごとに傾きを計算する。

具体的な解説と立式
各区間の速度を計算します。
1. \(0 \le t < 1.0\): 変位なし。
$$
\begin{aligned}
v &= 0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
2. \(1.0 \le t < 1.5\): \(0.5\) 秒で \(3.0\,\text{m}\) 上昇。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{3.0 – 0}{1.5 – 1.0} \\[2.0ex] &= \frac{3.0}{0.5} \\[2.0ex] &= 6.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
3. \(1.5 \le t < 4.5\): \(3.0\) 秒で \(6.0\,\text{m}\) 下降（\(3.0 \to -3.0\)）。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{-3.0 – 3.0}{4.5 – 1.5} \\[2.0ex] &= \frac{-6.0}{3.0} \\[2.0ex] &= -2.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
4. \(4.5 \le t \le 5.0\): \(0.5\) 秒で \(3.0\,\text{m}\) 上昇（\(-3.0 \to 0\)）。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{0 – (-3.0)}{5.0 – 4.5} \\[2.0ex] &= \frac{3.0}{0.5} \\[2.0ex] &= 6.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

これらをグラフにします。

上述の通り。

(2)で描いたグラフの「坂の急さ」を計算します。
最初の急な上り坂は、\(0.5\) 秒で \(3\,\text{m}\) 上がるので、速さは \(6\)。
次の長い下り坂は、\(3\) 秒で \(6\,\text{m}\) 下がるので、速さは \(-2\)。
最後の急な上り坂は、最初と同じで速さは \(6\)。
これをグラフにします。

傾きの計算結果をそのままプロットすれば正解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• パルス波の伝播と媒質の変位
  • 核心: パルス波（孤立波）であっても、連続波と同様に「波形が速さ \(v\) で平行移動する」という基本原理は変わりません。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの変換: 波が正の向きに進むとき、ある点 \(x\) を通過する波形（\(y-t\) グラフ）は、元の波形（\(y-x\) グラフ）を左右反転させた形になります。これは「波の先端（右側）が先に到達し、後尾（左側）が後に到達する」という因果関係によるものです。
• 媒質の速度とグラフの傾き
  • 核心: 媒質の振動速度 \(v_y\) は、変位 \(y\) の時間変化率、すなわち \(y-t\) グラフの接線の傾きで定義されます（\(v_y = \frac{dy}{dt}\)）。
  • 理解のポイント:
    • 波の速さ \(v\) との区別: 波の速さ \(v\)（波形が横に動く速さ）と、媒質の速度 \(v_y\)（媒質が縦に動く速さ）は全く別物です。混同しないようにしましょう。
    • 折れ線グラフの微分: 変位が折れ線グラフの場合、速度は階段状（ステップ関数）のグラフになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 三角波の通過: 三角形のパルス波が通過する問題は頻出です。頂点や端点が通過する時刻を計算し、それらを結ぶ手法（問2のメイン解法）が最も確実です。
  • 波の反射: 固定端や自由端での反射波を作図する問題でも、「波の進行による平行移動」と「反転（左右・上下）」の考え方が基礎になります。
  • ドップラー効果の作図: 音源が動く場合の波面の作図などでも、波の先端・後端の位置関係を時間で追跡する思考法が役立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波の進行方向: 正の向きか負の向きか。これによって \(y-t\) グラフの反転の有無が決まります（負の向きなら反転せずそのままの形）。
  2. 特徴点の座標: 波の折れ曲がり点（頂点、ゼロ点など）の座標 \((x, y)\) を正確に読み取ります。
  3. 観測点の位置: 観測点Pが原点 \(x=0\) なのか、別の場所なのかを確認します。距離の計算に直結します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-t\) グラフの作図ミス:
  • 誤解: \(y-x\) グラフの形をそのまま描いてしまう。
  • 対策: 「右にあるものが先に来る」と唱えながら、波の右端から順にプロットしていくか、別解の「左右反転」テクニックを使います。
• 媒質の速度の符号ミス:
  • 誤解: グラフが下がっている（右下がり）ときに、速度を正にしてしまう。
  • 対策: 「傾き＝速度」です。右下がりの直線なら傾きは負、つまり速度も負（下向き）です。
• 相対速度の計算ミス:
  • 誤解: 2つの波がすれ違う問題などで、相対速度の考え方を適用する際に符号を間違える。
  • 対策: 常に「距離÷速さ＝時間」の基本に立ち返るか、問4の別解のように「波形上の位置関係」に置き換えて幾何学的に解くのが安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(t = \frac{x}{v}\) の選択:
  • 選定理由: 波形が崩れずに等速で進むため、単純な等速直線運動の公式が適用できます。
  • 適用根拠: 波の先端や頂点といった「点」の移動に着目することで、波動の問題を力学（運動学）の問題に帰着させています。
• \(v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}\) の選択:
  • 選定理由: 媒質の速度を求める定義式そのものです。
  • 適用根拠: \(y-t\) グラフが直線（一次関数）の区間では、平均の速度がそのまま瞬間の速度になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの目盛りの読み取り:
  • \(x=-3.5\) や \(y=3.0\) など、目盛りの途中にある値や負の値を読み取る際は、指でなぞって慎重に確認します。特に負の符号は見落としがちです。
• 傾きの計算:
  • \(\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\) の順序を守ります。特に分母や分子に負の数が含まれる場合（例：\(0 – (-3.0)\)）、括弧をつけて符号ミスを防ぎます。
• 次元（単位）の確認:
  • 速度の計算結果が \(\text{m/s}\) になっているか、時間の計算結果が \(\text{s}\) になっているかを確認します。傾きの計算で \(y\)（\(\text{m}\)）を \(t\)（\(\text{s}\)）で割れば、自然と \(\text{m/s}\) になります。

359 波の式とグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の数式表現とグラフの対応」です。波の式 \(y = A \sin(\dots)\) が与えられたとき、それがどのような波形（\(y-x\) グラフ）を表すのか、また時間が経過するとどのように変化するのかを、数式とグラフの両面から理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられた式 \(y = A \sin(2\pi \times \frac{x}{8.0})\) から、波の振幅と波長を読み取ります。
正弦波の一般式 \(y = A \sin(\frac{2\pi}{\lambda}x)\) と比較することで、波長 \(\lambda\) が特定できます。
また、\(x=0\) で \(y=0\) となり、\(x\) が増えると \(\sin\) の中身が正になるため、原点から上に立ち上がるグラフになります。

この設問における重要なポイント

• 式から振幅が \(A\)、波長が \(8.0\,\text{m}\) であることを読み取る。
• \(x=0\) で \(y=0\) であることを確認する。
• \(x\) が少し増えると \(y\) が正になる（山から始まる）ことを確認する。

具体的な解説と立式
与えられた式は以下の通りです。
$$ y = A \sin\left( 2\pi \times \frac{x}{8.0} \right) $$
これを正弦波の基本式 \(y = A \sin\left( \frac{2\pi}{\lambda}x \right) \) と比較します。
振幅は \(A\) です。
波長は \(\lambda = 8.0\,\text{m}\) です。
グラフの概形を描くために、いくつかの点の値を考えます。

• \(x=0\) のとき、\(y = A \sin 0 = 0\)
• \(x=2.0\) (\(1/4\) 波長) のとき、\(y = A \sin(\pi/2) = A\) (山)
• \(x=4.0\) (\(1/2\) 波長) のとき、\(y = A \sin \pi = 0\)
• \(x=6.0\) (\(3/4\) 波長) のとき、\(y = A \sin(3\pi/2) = -A\) (谷)
• \(x=8.0\) (\(1\) 波長) のとき、\(y = A \sin 2\pi = 0\)

これらを滑らかな曲線で結びます。

計算は不要です。式の係数比較のみです。

式の形を見ると、波の高さ（振幅）は \(A\) で、波の長さ（波長）は \(8.0\,\text{m}\) だとわかります。
\(x=0\) を入れると \(y=0\) になるので、原点からスタートします。
普通のサインカーブ（\(\sin\)）なので、原点から右に行くとまず「山」になります。
横軸に \(0, 2, 4, 6, 8\) を取り、縦軸に \(A, -A\) を取って、山・谷・元の高さと変化する波を描けばOKです。

原点 \(O\) を通り、\(x=2\) で最大値 \(A\)、\(x=6\) で最小値 \(-A\) をとる正弦波のグラフになります。

問(2)

思考の道筋とポイント
「\(1\,\text{s}\) 後に波長の \(1/4\) だけ移動した」という文章から、具体的な移動距離と経過時間を抜き出します。
波長は(1)より \(8.0\,\text{m}\) です。その \(1/4\) が移動距離です。
速さは「距離÷時間」で求められます。

この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda = 8.0\,\text{m}\) を使う。
• 移動距離 \(\Delta x = \frac{1}{4}\lambda\) を計算する。
• 経過時間 \(\Delta t = 1\,\text{s}\) を使う。
• \(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) で計算する。

具体的な解説と立式
波長は \(\lambda = 8.0\,\text{m}\) です。
\(1\,\text{s}\) 間に進んだ距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = 8.0 \times \frac{1}{4} $$
$$ \Delta x = 2.0\,\text{m} $$
経過時間は \(\Delta t = 1\,\text{s}\) です。
波の速さ \(v\) は、
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2.0}{1} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

波の長さは \(8\,\text{m}\) です。その \(1/4\) だけ進んだということは、\(2\,\text{m}\) 進んだということです。
\(1\) 秒で \(2\,\text{m}\) 進んだので、速さは \(2\,\text{m/s}\) です。

\(2.0\,\text{m/s}\)。妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(t=2.0\,\text{s}\) における波形を描きます。
波は速さ \(2.0\,\text{m/s}\) で進んでいるので、\(2.0\,\text{s}\) 間にどれだけ進むかを計算します。
(1)で描いたグラフを、その距離だけ右（\(x\) 軸正の向き）にずらします。

この設問における重要なポイント

• 移動距離 \(\Delta x’ = v \times t\) を計算する。
• 元のグラフを \(\Delta x’\) だけ平行移動させる。

具体的な解説と立式
速さ \(v = 2.0\,\text{m/s}\) です。
時間 \(t = 2.0\,\text{s}\) の間に波が進む距離 \(\Delta x’\) は、
$$ \Delta x’ = v \times t $$
$$ \Delta x’ = 2.0 \times 2.0 $$
$$ \Delta x’ = 4.0\,\text{m} $$
これは波長 \(8.0\,\text{m}\) のちょうど半分（\(1/2\) 波長）です。
したがって、(1)のグラフを右に \(4.0\,\text{m}\) ずらしたグラフを描きます。
元のグラフで \(x=0\) にあった点（\(y=0\), 上り坂）は、\(x=4.0\) に移動します。
元のグラフで \(x=4.0\) にあった点（\(y=0\), 下り坂）は、\(x=8.0\) に移動します。
元のグラフで \(x=-4.0\) にあった点（\(y=0\), 下り坂）は、\(x=0\) に移動します。
つまり、\(x=0\) では \(y=0\) で、そこから下がっていく（谷になる）グラフになります。
これは元のグラフを上下反転させた形（または \(\pi\) だけ位相がずれた形）になります。

移動距離は \(4.0\,\text{m}\)。
グラフの特徴点は以下のようになります。

• \(x=0\): \(y=0\) (下り坂)
• \(x=2.0\): \(y=-A\) (谷)
• \(x=4.0\): \(y=0\) (上り坂)
• \(x=6.0\): \(y=A\) (山)
• \(x=8.0\): \(y=0\) (下り坂)

波は \(1\) 秒に \(2\,\text{m}\) 進むので、\(2\) 秒では \(4\,\text{m}\) 進みます。
(1)のグラフ全体を右に \(4\,\text{m}\) ずらします。
元のグラフの山（\(x=2\)）は \(x=6\) に移動します。
元のグラフの谷（\(x=6\)）は \(x=10\) に移動します。
空いた左側には、波の続き（前の部分）を描き足します。
結果として、元のグラフをひっくり返したような形になります。

\(1/2\) 波長の移動なので、山と谷が入れ替わった逆位相の波形になります。

問(4)

思考の道筋とポイント
任意の時刻 \(t\) における波の式 \(y(x, t)\) を求めます。
波が速さ \(v\) で \(x\) 軸の正の向きに進むとき、時刻 \(t\) における波形は、時刻 \(0\) の波形 \(y(x, 0)\) を \(vt\) だけ平行移動したものです。
数学的には、関数 \(f(x)\) の \(x\) を \(x – vt\) に置き換えることで、平行移動した関数 \(f(x – vt)\) が得られます。

この設問における重要なポイント

• 時刻 \(0\) の波の式 \(y = A \sin(2\pi \frac{x}{8.0})\) を利用する。
• 波の速さ \(v = 2.0\,\text{m/s}\) を使う。
• \(x\) を \(x – vt = x – 2.0t\) に置き換える。

具体的な解説と立式
時刻 \(t=0\) での波の式は、
$$ y(x, 0) = A \sin\left( 2\pi \frac{x}{8.0} \right) $$
時刻 \(t\) では、波形全体が \(x\) 軸の正の向きに距離 \(vt = 2.0t\) だけ移動しています。
したがって、時刻 \(t\) での位置 \(x\) における変位 \(y(x, t)\) は、時刻 \(0\) における位置 \(x – 2.0t\) での変位に等しくなります。
よって、上の式の \(x\) に \(x – 2.0t\) を代入します。
$$ y(x, t) = A \sin\left( 2\pi \frac{x – 2.0t}{8.0} \right) $$

式を整理します。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin\left\{ \frac{2\pi}{8.0}(x – 2.0t) \right\} \\[2.0ex] &= A \sin\left( 2\pi \frac{x}{8.0} – 2\pi \frac{2.0t}{8.0} \right) \\[2.0ex] &= A \sin\left( 2\pi \frac{x}{8.0} – 2\pi \frac{t}{4.0} \right) \\[2.0ex] &= A \sin 2\pi \left( \frac{x}{8.0} – \frac{t}{4.0} \right)
\end{aligned}
$$
また、\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) を使って、\(t\) の項を前に出す形に変形することも一般的です（模範解答の形）。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \left\{ -2\pi \left( \frac{t}{4.0} – \frac{x}{8.0} \right) \right\} \\[2.0ex] &= -A \sin 2\pi \left( \frac{t}{4.0} – \frac{x}{8.0} \right)
\end{aligned}
$$
どちらも正解ですが、模範解答に合わせて変形しておきます。

「動く波の式」を作るためのルールを使います。
「右に速さ \(v\) で進む」ときは、式の \(x\) の部分を \((x – vt)\) に書き換えるだけでOKです。
今回は \(v=2.0\) なので、\(x\) を \((x – 2.0t)\) に書き換えます。
あとは分数を整理して、きれいな形にします。

得られた式 \(y = -A \sin 2\pi (\frac{t}{4.0} – \frac{x}{8.0})\) に \(t=0\) を代入すると \(y = -A \sin(-2\pi x/8.0) = A \sin(2\pi x/8.0)\) となり、元の式に戻ります。
また、\(t=2.0\) を代入すると \(y = -A \sin 2\pi (0.5 – x/8.0) = -A \sin(\pi – \pi x/4.0) = -A \sin(\pi x/4.0)\) となり、(3)のグラフ（逆位相）と一致します（\(x=2\) で \(y=-A\)）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の式の構造と意味
  • 核心: 波の式 \(y = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) は、単なる数式の羅列ではなく、物理的な意味の塊です。
  • 理解のポイント:
    • \(A\): 振幅（波の高さ）。
    • \(2\pi\): 位相をラジアン（角度）に変換する係数。
    • \(\frac{t}{T}\): 時間的な進行度合い（何サイクル経過したか）。
    • \(\frac{x}{\lambda}\): 空間的な進行度合い（何波長分進んだか）。
    • マイナス符号: 波が \(x\) 軸の正の向きに進むことを表します（\(x\) が増えると位相が遅れるため）。
• 波のグラフの平行移動
  • 核心: 進行波において、時間の経過は波形全体の空間的な平行移動と等価です。
  • 理解のポイント:
    • \(x = vt\): 時間 \(t\) が経過すると、波形全体が距離 \(vt\) だけ進行方向にズレます。
    • 数式上の操作: 関数 \(y=f(x)\) を \(+x\) 方向に \(vt\) ずらす操作は、\(x\) を \(x-vt\) に置き換えることに対応します。これが波の一般式を導く数学的根拠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\) グラフから波の式を作る: 原点の振動グラフが与えられた場合、まず \(y(0,t)\) の式を作り、そこから \(t \rightarrow t – x/v\) の置き換えで一般式を作ります（別解のアプローチ）。
  • 逆向きに進む波: 波が負の向きに進む場合、平行移動の方向が逆になるため、\(x\) を \(x + vt\) に置き換えます。結果として、\(\sin\) の中身の符号が \((\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})\) のようにプラスになります。
  • 初期位相がある場合: \(t=0\) で原点が \(y=0\) でない場合、\(\sin(\dots + \phi_0)\) のように初期位相 \(\phi_0\) が加わります。これは \(t=0\) のグラフのズレから読み取れます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられた式の形: \(\sin\) の中身がどうなっているか。\(\frac{x}{\lambda}\) 型か、\(\omega t\) 型か。
  2. 進行方向: 正の向きか負の向きか。これが式の符号（\(x-vt\) か \(x+vt\) か）を決定します。
  3. \(t=0\) での原点の挙動: 原点がこれから上がるのか下がるのか。これが全体の符号（\(+A\) か \(-A\) か）を決定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の式の符号ミス:
  • 誤解: \(y = A \sin 2\pi (\frac{x}{\lambda} – \frac{t}{T})\) なのか \(y = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) なのか、どっちがどっちか分からなくなる。
  • 対策: \(t=0\) を代入して確認します。前者は \(A \sin(kx)\) で原点から上がる波形、後者は \(-A \sin(kx)\) で原点から下がる波形になります。問題の初期条件（\(t=0\) のグラフ）と一致するか必ず検算しましょう。
• 平行移動の方向ミス:
  • 誤解: 時間が経つと波形が左に動くと勘違いする。
  • 対策: 問題文の「\(x\) 軸の正の向きに進む」を丸で囲み、グラフ用紙に矢印 \(\rightarrow\) を書き込みます。
• 変数の置き換えミス:
  • 誤解: \(x\) を \(x-vt\) に置き換える際、係数を掛け忘れる。
  • 対策: 必ず括弧をつけて \(k(x – vt)\) のように置き換えます。\(kx – vt\) と書いてしまうと、\(v\) が角振動数 \(\omega\) にならず、次元がおかしくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(y(x,t) = f(x-vt)\) の選択:
  • 選定理由: 波動現象の最も本質的な性質「波形が変わらずに移動する」を数学的に表現したものがこれだからです。
  • 適用根拠: 任意の関数 \(f(x)\) に対して、変数を \(x-a\) にすればグラフは \(+a\) ずれる、という数学の平行移動の原理を物理に応用しています。
• \(y(x,t) = y(0, t-x/v)\) の選択（別解）:
  • 選定理由: 「因果律（原因が伝わるには時間がかかる）」に基づいた、より物理的な直感に近いアプローチだからです。
  • 適用根拠: 原点での振動（原因）が、速さ \(v\) で距離 \(x\) だけ離れた地点に伝わる（結果）までには、\(x/v\) の時間がかかるという事実に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 次元解析（単位チェック）:
  • \(\sin\) の中身は必ず無次元（単位なし）になります。\(\frac{x}{8.0}\) は \([\text{m}]/[\text{m}]\) でOK、\(\frac{t}{4.0}\) は \([\text{s}]/[\text{s}]\) でOK。もし \(\frac{x}{4.0}\)（距離÷時間）のような項が出てきたら、単位が合わないので間違いだとすぐに気づけます。
• 特殊点での検算:
  • 求めた式に \(t=0\) や \(x=0\) を代入して、元の条件（問題文の式やグラフ）に戻るか確認します。この「戻るかチェック」は、符号ミスや係数ミスをほぼ100%発見できる最強の検算術です。

360 正弦波の反射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波の反射と定常波」です。進行波の基本的な性質（周期、波長、速さ）の理解に加え、波が媒質の端で反射した際にどのような現象（定常波）が生じるか、特に自由端反射と固定端反射の違いを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の基本量である周期 \(T\)、波長 \(\lambda\)、速さ \(v\) を求めます。
振動数 \(f=5.0\,\text{Hz}\) は問題文で与えられています。
波長 \(\lambda\) はグラフ（\(y-x\) 図）から読み取ります。

この設問における重要なポイント

• 振動数 \(f = 5.0\,\text{Hz}\) を確認する。
• グラフから波長 \(\lambda\)（波1つ分の長さ）を読み取る。
• 公式 \(T = 1/f\) と \(v = f\lambda\) を用いて計算する。

具体的な解説と立式
まず、周期 \(T\) を求めます。周期と振動数は逆数の関係にあるので、
$$ T = \frac{1}{f} $$
次に、波長 \(\lambda\) をグラフから読み取ります。
図の波形は \(x=0\) から始まり、山と谷を1回ずつ経て \(x=0.40\) で元の高さに戻っています。したがって、波長は
$$ \lambda = 0.40\,\text{m} $$
最後に、波の速さ \(v\) を求めます。波の基本公式より、
$$ v = f\lambda $$

周期 \(T\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{5.0} \\[2.0ex] &= 0.20\,\text{s}
\end{aligned}
$$
波長 \(\lambda\) は読み取りより、
$$ \lambda = 0.40\,\text{m} $$
速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 5.0 \times 0.40 \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

「周期」は1回揺れるのにかかる時間です。1秒間に5回揺れる（\(5\,\text{Hz}\)）ので、1回にかかる時間は \(1 \div 5 = 0.2\) 秒です。
「波長」は波の長さです。図を見ると、\(0\) から \(0.40\) までで波が1セット終わっているので、長さは \(0.40\,\text{m}\) です。
「速さ」は、1秒間に波がどれだけ進むかです。長さ \(0.40\,\text{m}\) の波が1秒間に5個送り出されるので、\(5 \times 0.40 = 2.0\,\text{m}\) 進みます。

周期 \(0.20\,\text{s}\)、波長 \(0.40\,\text{m}\)、速さ \(2.0\,\text{m/s}\)。単位も含めて妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
特定の位置 \(x=0.40\,\text{m}\) における媒質の振動の様子（\(y-t\) グラフ）を描きます。
まず、スタート時点（\(t=0\)）でその場所がどうなっているかを確認します。
次に、時間が少し経つとどう動くかを、波の進行方向から予測します。

この設問における重要なポイント

• \(t=0\) における \(x=0.40\,\text{m}\) の変位をグラフから読み取る。
• 波が \(x\) 軸の正の向き（右）に進むとき、\(x=0.40\,\text{m}\) の媒質が次にどちらに動くかを判断する。
• 周期 \(T=0.20\,\text{s}\) で振動するグラフを描く。

具体的な解説と立式
図（\(t=0\) の波形）より、\(x=0.40\,\text{m}\) の地点での変位は \(y = 0.12\,\text{m}\)（山）です。
これが \(y-t\) グラフの出発点（\(t=0\)）となります。
波は右に進んでいるので、\(x=0.40\,\text{m}\) の地点には、その左側にある波形がやってきます。
\(x=0.40\) の左側（\(x < 0.40\)）は山から下っていく斜面なので、時間が経過すると変位 \(y\) は \(0.12\) から減少していきます。
つまり、\(t=0\) で最大値 \(0.12\) をとり、その後減少するコサインカーブ（余弦波）のような形になります。
周期は(1)で求めた \(T=0.20\,\text{s}\) です。
グラフを描く範囲は \(0 \sim 0.60\,\text{s}\) なので、\(3\) 周期分を描きます。

グラフの特徴点は以下の通りです。

• \(t=0\): \(y=0.12\) (最大値)
• \(t=0.05\) (\(1/4\)周期): \(y=0\)
• \(t=0.10\) (\(1/2\)周期): \(y=-0.12\) (最小値)
• \(t=0.15\) (\(3/4\)周期): \(y=0\)
• \(t=0.20\) (\(1\)周期): \(y=0.12\) (最大値)

これを3回繰り返します。

図を見ると、\(0.40\,\text{m}\) の場所は今、一番高いところ（山）にいます。
波が動くと、山は通り過ぎてしまうので、この場所はこれから下がっていきます。
一番高いところからスタートして、下がって、一番低いところまで行って、また戻ってくる。この1セットに \(0.20\) 秒かかります。これを3回繰り返すグラフを描けば正解です。

\(t=0\) で \(y=0.12\) から始まり、周期 \(0.20\,\text{s}\) で振動する余弦波形のグラフが得られます。

問(3)

思考の道筋とポイント
波の反射によって定常波ができます。
自由端は定常波の「腹」、固定端は定常波の「節」になります。
反射点（\(x=0.80\)）から観測点（\(x=0.20\)）までの距離を調べ、それが「腹と腹」や「腹と節」の間隔（\(\lambda/2\) や \(\lambda/4\)）の何倍になっているかを考えます。

この設問における重要なポイント

• 定常波の隣り合う腹と腹（または節と節）の間隔は \(\lambda/2 = 0.20\,\text{m}\) である。
• 自由端反射の場合、反射点 \(x=0.80\) は「腹」である。
• 固定端反射の場合、反射点 \(x=0.80\) は「節」である。
• 観測点 \(x=0.20\) と反射点 \(x=0.80\) の距離は \(0.60\,\text{m}\) である。

具体的な解説と立式
まず、定常波の性質を確認します。
波長 \(\lambda = 0.40\,\text{m}\) なので、定常波の腹と腹（または節と節）の間隔 \(d\) は、
$$ d = \frac{\lambda}{2} $$
$$ d = 0.20\,\text{m} $$
観測点 \(x=0.20\) と反射点 \(x=0.80\) の距離 \(L\) は、
$$ L = 0.80 – 0.20 $$
$$ L = 0.60\,\text{m} $$
これは間隔 \(d\) のちょうど3倍です（\(L = 3d\)）。

【自由端反射の場合】
自由端（\(x=0.80\)）は定常波の「腹」になります。
そこから \(d=0.20\,\text{m}\) ごとに腹が並びます。
\(x = 0.80\) (腹) \(\rightarrow\) \(0.60\) (腹) \(\rightarrow\) \(0.40\) (腹) \(\rightarrow\) \(0.20\) (腹)
よって、\(x=0.20\) の位置は「腹」になります。
定常波の腹の振幅は、元の波の振幅の2倍です。元の振幅は \(0.12\,\text{m}\) なので、
$$ \text{振幅} = 2 \times 0.12 $$

【固定端反射の場合】
固定端（\(x=0.80\)）は定常波の「節」になります。
そこから \(d=0.20\,\text{m}\) ごとに節が並びます。
\(x = 0.80\) (節) \(\rightarrow\) \(0.60\) (節) \(\rightarrow\) \(0.40\) (節) \(\rightarrow\) \(0.20\) (節)
よって、\(x=0.20\) の位置は「節」になります。
定常波の節の振幅は \(0\) です。
$$ \text{振幅} = 0\,\text{m} $$

自由端の場合：
$$ 2 \times 0.12 = 0.24\,\text{m} $$
固定端の場合：
$$ 0\,\text{m} $$

壁に当たって跳ね返った波と、元の波が重なって「定常波」というその場で足踏みする波ができます。
この波は、大きく揺れる場所（腹）と全く揺れない場所（節）が交互に並びます。その間隔は波長の半分、つまり \(0.20\,\text{m}\) です。
壁（\(0.80\,\text{m}\)）から知りたい場所（\(0.20\,\text{m}\)）までは \(0.60\,\text{m}\) 離れています。これは \(0.20\,\text{m}\) のちょうど3倍です。
自由端なら壁は「腹」なので、3つ隣のその場所も「腹（大揺れ）」です。
固定端なら壁は「節」なので、3つ隣のその場所も「節（揺れない）」です。

自由端反射では振幅が2倍の \(0.24\,\text{m}\)、固定端反射では振幅 \(0\,\text{m}\)。定常波の性質に基づいた妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の反射と位相の変化
  • 核心: 波が媒質の境界で反射するとき、その境界条件によって位相の変化（波形の反転）が起こるかどうかが決まります。
  • 理解のポイント:
    • 自由端反射: 端点が自由に動けるため、入射波の変位を妨げません。位相は変化せず（山は山で反射）、端点は定常波の腹（振幅最大）になります。
    • 固定端反射: 端点が固定されているため、変位は常に0でなければなりません。入射波を打ち消すために逆位相（山は谷で反射）となり、端点は定常波の節（振幅0）になります。
• 定常波の幾何学的構造
  • 核心: 定常波は、同じ振幅・波長・速さで逆向きに進む2つの波（入射波と反射波）が重なってできます。
  • 理解のポイント:
    • 腹と節の配置: 腹と節は等間隔に交互に並びます。
    • 間隔の公式: 隣り合う腹と腹、または節と節の間隔は半波長 \(\lambda/2\) です。腹と節の間隔は \(\lambda/4\) です。この距離感を掴むことが、定常波の問題を解く鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 気柱の共鳴: 開口端は自由端（腹）、閉口端は固定端（節）として扱います。この問題の考え方がそのまま応用できます。
  • 弦の振動: 弦の両端は通常固定端（節）ですが、リングなどで自由に動ける場合は自由端（腹）になります。
  • 合成波の作図: 入射波と反射波を実際に描いて足し合わせる問題でも、「自由端なら折り返し、固定端なら反転して折り返し」という作図ルールが基本になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 端点の条件: 「自由端」か「固定端」か。これが定常波の基準点（腹か節か）を決定します。
  2. 距離と波長の関係: 観測点までの距離が、波長 \(\lambda\) や半波長 \(\lambda/2\) の何倍になっているかを計算します。整数倍なら同位相、半整数倍なら逆位相などの判断ができます。
  3. グラフの軸: 横軸が \(x\)（波形）なのか \(t\)（振動）なのかを必ず確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腹と節の間隔の勘違い:
  • 誤解: 腹と腹の間隔を \(1\) 波長 \(\lambda\) だと思ってしまう。
  • 対策: 定常波の図（ラグビーボール状の形）を書いて確認します。1つのループの長さは \(\lambda/2\) です。
• 反射波の位相の取り違え:
  • 誤解: 自由端で位相が反転する、あるいは固定端で位相が変わらないと逆にしてしまう。
  • 対策: 「固定端＝動かない＝節＝打ち消し合う＝逆位相」と連想ゲームのように覚えておくと間違えにくいです。
• 経路差の計算ミス:
  • 誤解: 反射波の遅れを計算する際、往復距離ではなく片道の距離を使ってしまう。
  • 対策: 反射波は「壁の向こう側にある鏡像の波源」から来るとイメージします。壁までの距離 \(L\) なら、鏡像波源までの距離は \(2L\) です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v = f\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 波動分野で最も基本的かつ強力な式です。振動数 \(f\)（時間的性質）と波長 \(\lambda\)（空間的性質）を速さ \(v\) で結びつけます。
  • 適用根拠: 波源の振動数と媒質を伝わる速さが決まれば、波長は自動的に決まるという物理的因果関係を表しています。
• \(y(t) = A \cos \frac{2\pi}{T}t\) の選択（問2）:
  • 選定理由: \(t=0\) で変位が最大（山）であることから、\(\sin\) ではなく \(\cos\) が適切です。
  • 適用根拠: 単振動の一般解 \(y = A \sin(\omega t + \phi_0)\) において、初期位相 \(\phi_0 = \pi/2\) とすると \(\cos\) になります。グラフの形状から自然に選択できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認:
  • 波長や変位は \([\text{m}]\) なのか \([\text{cm}]\) なのか。特に振幅の計算で \(0.12\,\text{m}\) を \(12\,\text{cm}\) と読み間違えないように注意します。
• 割り算の検算:
  • \(T = 1/5.0 = 0.20\) のような逆数計算は、逆に \(0.20 \times 5.0 = 1\) と掛け算で戻して確認する癖をつけます。
• 図を描いて確認:
  • (3)のような問題では、頭の中だけで考えず、簡単な数直線を描いて「壁（0.8）…（0.6）…（0.4）…（0.2）」と腹や節の位置をプロットしてみると、計算ミスに気づきやすくなります。

361 水面波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水面波の干渉」です。2つの波源から広がる円形波が重なり合い、強め合う場所（腹）と弱め合う場所（節）が生じる現象を扱います。特に、ある瞬間の波面図から媒質の運動状態（速度の向きなど）を読み取る力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、各点（h〜n）がどのような状態にあるか（山、谷、変位0）を図から読み取ります。
次に、媒質の速度が「鉛直下向き」になる条件を考えます。
単振動において、速度が下向き（負）になるのは、変位が正（山）から負（谷）へ向かう途中、つまり「山が通り過ぎて谷が来ようとしているとき」です。
変位が最大（山）や最小（谷）の瞬間は、折り返し点なので速度は0です。
したがって、求める点は「変位が0」かつ「これから谷になる（山から谷へ移行する途中）」場所です。

この設問における重要なポイント

• 実線は「山」、破線は「谷」を表す。
• 実線と実線の交点（山＋山）は、大きく盛り上がった点（変位最大）。速度は0。
• 破線と破線の交点（谷＋谷）は、大きく凹んだ点（変位最小）。速度は0。
• 実線と破線の交点（山＋谷）は、打ち消し合って変位0の点（節）。常に振動しないので速度は0。
• 実線でも破線でもない場所（波面の間）に注目する。
• 波は波源から遠ざかる向き（外側）に進む。

具体的な解説と立式
各点の状態を分析します。

• h, j, m: 実線（山）と破線（谷）の交点です。これらは「節」であり、常に変位は0、速度も0です。対象外。
• i: 実線（山）と実線（山）の交点です。変位は最大（\(+2A\)）です。単振動の端なので、一瞬停止しており、速度は0です。対象外。
• l: 破線（谷）と破線（谷）の交点です。変位は最小（\(-2A\)）です。同様に速度は0です。対象外。

残るは k と n です。これらは腹線（強め合う点をつないだ線）上にありますが、山（実線）や谷（破線）の上にはありません。

• k: 点i（山＋山）よりも波源に近い側（内側）にあります。
  波は内側から外側へ進みます。
  点kには、さらに内側にある「谷（破線）」がこれから到達します。
  現在は山（点i）と谷の中間（変位0）ですが、これから谷になるので、水面は下がっていきます。
  つまり、速度は鉛直下向きです。
• n: 点l（谷＋谷）よりも波源に近い側（内側）にあります。
  点nには、さらに内側にある「山（実線）」がこれから到達します。
  現在は谷（点l）と山の中間（変位0）ですが、これから山になるので、水面は上がっていきます。
  つまり、速度は鉛直上向きです。

したがって、条件に合うのは k です。

計算は不要です。論理的な判断のみです。

水面が「下向き」に動いている場所を探します。
まず、h, j, m は「山と谷」がぶつかる場所で、ここは「節」といって全く動きません。だから違います。
i は「山と山」で一番高いところ、l は「谷と谷」で一番低いところです。ブランコで言うと一番端っこに来た瞬間なので、一瞬止まっています。だから違います。
残るは k と n です。
波は内側から外側へ広がっていきます。
k の場所を見ると、内側に「谷（破線）」があります。波は内側から来るので、次は「谷」が来ます。これから谷になるということは、水面は下がっていきます。これが正解です。
n の場所を見ると、内側に「山（実線）」があります。次は「山」が来ます。これから山になるということは、水面は上がっていきます。

点kは腹線上にあり、変位が0（山と谷の中間）の地点です。波の進行方向（内側から外側）を考慮すると、内側の谷が到達する直前であるため、速度は負（下向き）となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
点iにおける変位の時間変化（\(y-t\) グラフ）を描きます。
点iは「山と山」が重なる点なので、腹線上にあり、振幅は単独の波の2倍になります。
また、\(t=0\) において「山」の状態（変位最大）です。
周期 \(T=0.50\,\text{s}\) で単振動します。

この設問における重要なポイント

• 単独の波の振幅 \(A = 1.0\,\text{cm}\)。
• 点iは強め合う点（腹）なので、合成波の振幅は \(2A = 2.0\,\text{cm}\)。
• \(t=0\) で点iは「山」なので、変位は \(+2.0\,\text{cm}\)。
• 周期 \(T = 0.50\,\text{s}\)。
• グラフの範囲は \(0.25 \sim 1.25\,\text{s}\)。

具体的な解説と立式
点iでの振動を考えます。
振幅は \(2 \times 1.0 = 2.0\,\text{cm}\) です。
周期は \(0.50\,\text{s}\) です。
時刻 \(t=0\) で変位は最大値 \(+2.0\,\text{cm}\) です。
したがって、変位 \(y\) はコサインカーブを描きます。
$$ y = 2.0 \cos \left( \frac{2\pi}{0.50}t \right) $$
$$ y = 2.0 \cos (4\pi t) $$
グラフを描く範囲は \(t = 0.25 \sim 1.25\,\text{s}\) です。
特徴的な時刻での値を計算します。

• \(t=0.25\) (\(T/2\)): \(y = 2.0 \cos(4\pi \times 0.25) = 2.0 \cos \pi = -2.0\) (谷)
• \(t=0.50\) (\(1T\)): \(y = 2.0 \cos(2\pi) = 2.0\) (山)
• \(t=0.75\) (\(1.5T\)): \(y = -2.0\) (谷)
• \(t=1.00\) (\(2T\)): \(y = 2.0\) (山)
• \(t=1.25\) (\(2.5T\)): \(y = -2.0\) (谷)

これらの点を通る余弦波を描きます。

上述の通り。

点iは、2つの波が協力して大きく揺れる場所です。
それぞれの波の高さが \(1\,\text{cm}\) なので、合わせると \(2\,\text{cm}\) の高さまで上がります。
スタート（\(0\) 秒）のとき、一番高いところ（\(2\,\text{cm}\)）にいます。
\(0.5\) 秒で1回揺れるので、
\(0.25\) 秒後（半分の時間）には一番低いところ（\(-2\,\text{cm}\)）、
\(0.50\) 秒後にはまた一番高いところに戻ってきます。
これを繰り返すグラフを描きます。

\(t=0.25\) で谷、\(0.50\) で山となる余弦波形のグラフが得られます。振幅と周期が正しく反映されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉と重ね合わせの原理
  • 核心: 2つの波が重なるとき、媒質の変位はそれぞれの波の変位の単純な和になります（\(y = y_1 + y_2\)）。
  • 理解のポイント:
    • 強め合い（腹）: 山と山、谷と谷が重なる点。振幅は最大（\(2A\)）になります。
    • 弱め合い（節）: 山と谷が重なる点。振幅は最小（\(0\)）になり、振動しません。
    • 腹線と節線: 強め合う点をつないだ線（双曲線）を腹線、弱め合う点をつないだ線を節線と呼びます。
• 波面図からの媒質の運動解析
  • 核心: ある瞬間の波面図（写真）から、媒質が次にどう動くか（動画）を予測する力です。
  • 理解のポイント:
    • 波の進行方向: 波は波源から外側へ広がります。
    • 未来の予測: ある地点には、その地点より「内側（波源側）」にある波形が次にやってきます。「内側に谷がある \(\rightarrow\) 次は谷になる \(\rightarrow\) 下がる」という論理です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相の波源: 2つの波源が逆位相（片方が山を出したとき、もう片方が谷を出す）の場合、腹線と節線の位置が入れ替わります。垂直二等分線上が「節」になります。
  • 平面波の干渉: 円形波ではなく、平行に進む平面波同士の干渉でも、山と山の交点、山と谷の交点を見つける基本動作は同じです。
  • ドップラー効果との融合: 波源が動く場合、波面の間隔（波長）が変わりますが、「山と山が重なる」という干渉の基本原理は変わりません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の位相: 同位相か逆位相か。これが腹線・節線の配置を決定します。
  2. 波の種類: 実線が山、破線が谷というルールを確認します。
  3. 問われている物理量: 変位なのか、速度なのか。速度を問われたら「次の瞬間の変位」を考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の進行方向の勘違い:
  • 誤解: 波が外側から内側へ進むと勘違いしたり、隣の波（外側）が来ると考えてしまう。
  • 対策: 波源に矢印を書き込み、「波はここから外へ出る」と視覚的に意識します。観測点の内側に「次に来る波」があることを確認します。
• 腹と節の混同:
  • 誤解: 山と谷の交点を「腹」と答えてしまう。
  • 対策: 「山＋山＝大山（腹）」「谷＋谷＝大谷（腹）」「山＋谷＝平地（節）」と呪文のように覚えます。
• 速度と変位の混同:
  • 誤解: 「変位が下にある（谷）」ことと「速度が下向きである」ことを混同する。
  • 対策: 谷（底）にいるときは、次は上がるしかないので速度は上向きです。速度が下向きなのは「山から谷へ下る途中（変位は0付近）」です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(y = 2A \cos \omega t\) の選択:
  • 選定理由: 腹線上の点（振幅 \(2A\)）であり、\(t=0\) で山（最大変位）であることから、\(\cos\) 型の単振動の式が最適です。
  • 適用根拠: 単振動の一般式 \(y = A \sin(\omega t + \phi)\) において、初期条件 \(t=0, y=y_{\text{max}}\) を満たすのは \(\cos\) です。
• \(v = \frac{dy}{dt}\) の利用（別解）:
  • 選定理由: 速度の向きを数学的に厳密に判定したい場合に有効です。
  • 適用根拠: 速度は位置の時間変化率（微分）であるという定義に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの目盛りの確認:
  • 横軸が時間 \(t\) なのか位置 \(x\) なのか。縦軸の単位は \(\text{cm}\) か \(\text{m}\) か。特に振幅 \(2.0\,\text{cm}\) を \(1.0\,\text{cm}\)（単独の波）と間違えないように注意します。
• 周期と振動数の変換:
  • \(T = 0.50\,\text{s}\) から \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 4\pi\) を計算する際、分母分子を間違えないようにします。
• 定性的なチェック:
  • 計算で求めたグラフが、\(t=0\) で山、\(t=T/2\) で谷になっているか、図と照らし合わせて確認します。これで符号ミスや位相ミスを防げます。

362 平面波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平面波の回折と干渉」です。ヤングの実験に似ていますが、スクリーン上の干渉ではなく、スリット直後の平面内での干渉を扱います。特に、入射角 \(\theta\) がある場合の位相差（経路差）の扱いや、特定の直線上での干渉条件の立式がポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(\theta=0\) なので、波面は壁に平行に入射します。したがって、2つのスリット \(S_1, S_2\) から出る波は同位相です。
求める点は直線 \(x=d/2\) 上にあります。図を見ると、\(S_2\) の位置が \(x=d/2\) なので、求める点は「スリット \(S_2\) を通り、壁に垂直な直線上」にあります。
点 \(P(d/2, y)\) と2つのスリット \(S_1(-d/2, 0), S_2(d/2, 0)\) との距離を求め、その差が波長 \(\lambda\) の整数倍になる条件式を立てます。

この設問における重要なポイント

• スリット \(S_1, S_2\) は同位相の波源である。
• 点 \(P\) の座標は \((d/2, y)\) である。
• \(S_2\) は原点から \(d/2\) の位置にあるので、\(P\) は \(S_2\) の真上にある。つまり \(S_2P = y\) である。
• \(S_1P\) は三平方の定理で求める。
• 強め合う条件：\(S_1P – S_2P = m\lambda\) （\(m\) は整数）。

具体的な解説と立式
スリット \(S_1, S_2\) の座標は、間隔 \(d\) で原点対称なので、\(S_1(-d/2, 0)\)、\(S_2(d/2, 0)\) です。
観測点 \(P\) は直線 \(x=d/2\) 上にあるので、座標は \((d/2, y)\) です（\(y \ge 0\)）。
2つの波源からの距離は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
S_2P &= y \\[2.0ex] S_1P &= \sqrt{ \left\{ \frac{d}{2} – \left(-\frac{d}{2}\right) \right\}^2 + (y – 0)^2 } \\[2.0ex] S_1P &= \sqrt{d^2 + y^2}
\end{aligned}
$$
強め合う条件（経路差が波長の整数倍）は、
$$ S_1P – S_2P = m\lambda \quad (m=1, 2, \dots) $$
（\(S_1P > S_2P\) なので \(m\) は正の整数。\(y=0\) なら差は \(d\) ですが、\(y>0\) で考えるので \(m\) を探します）
代入して、
$$ \sqrt{d^2 + y^2} – y = m\lambda $$
この方程式を \(y\) について解きます。

式を変形して \(y\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{d^2 + y^2} &= y + m\lambda \\[2.0ex] d^2 + y^2 &= (y + m\lambda)^2 \\[2.0ex] d^2 + y^2 &= y^2 + 2m\lambda y + m^2\lambda^2 \\[2.0ex] d^2 – m^2\lambda^2 &= 2m\lambda y \\[2.0ex] y &= \frac{d^2 – m^2\lambda^2}{2m\lambda}
\end{aligned}
$$
ここで、\(d = \frac{5}{2}\lambda\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{(\frac{5}{2}\lambda)^2 – m^2\lambda^2}{2m\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{\frac{25}{4}\lambda^2 – m^2\lambda^2}{2m\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{(\frac{25}{4} – m^2)\lambda}{2m} \\[2.0ex] &= \frac{25 – 4m^2}{8m}\lambda
\end{aligned}
$$
\(y \ge 0\) でなければならないので、分子が正である必要があります。
$$
\begin{aligned}
25 – 4m^2 &\ge 0 \\[2.0ex] 4m^2 &\le 25 \\[2.0ex] m^2 &\le \frac{25}{4} = 6.25
\end{aligned}
$$
\(m\) は正の整数なので、\(m = 1, 2\) の2つです。
よって、強め合う点は 2つ あります。
それぞれの \(y\) 座標を求めます。
\(m=1\) のとき：
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{25 – 4(1)^2}{8(1)}\lambda \\[2.0ex] y_1 &= \frac{21}{8}\lambda
\end{aligned}
$$
\(m=2\) のとき：
$$
\begin{aligned}
y_2 &= \frac{25 – 4(2)^2}{8(2)}\lambda \\[2.0ex] y_2 &= \frac{25 – 16}{16}\lambda \\[2.0ex] y_2 &= \frac{9}{16}\lambda
\end{aligned}
$$

\(S_1\) からの距離と \(S_2\) からの距離の差が、波長の「1倍」「2倍」…になるとき、波は強め合います。
\(P\) 点は \(S_2\) の真上にあるので、\(S_2\) からの距離はそのまま高さ \(y\) です。\(S_1\) からの距離は直角三角形の斜辺として計算します。
「斜辺 – 高さ = 波長の整数倍」という式を作って、\(y\) を計算します。
ただし、\(y\) がマイナスになってはいけないので、整数（倍率）\(m\) には限界があります。計算すると \(m\) は1と2しかありえないことがわかります。

点は2つ存在し、座標は \(y = \frac{21}{8}\lambda, \frac{9}{16}\lambda\) です。
\(m=0\) の場合は \(y \to \infty\) となり不適（あるいは式変形で \(25/0\) となる）、\(m=3\) 以上では \(y < 0\) となり不適です。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(y\) 軸上の点は、2つのスリット \(S_1, S_2\) から等距離にあります（垂直二等分線）。
通常、等距離にある点は、同位相の波源なら強め合います（腹）。
しかし、ここでは「弱め合った」とあります。
距離が等しいのに弱め合うということは、波源（スリット）を出た時点で、2つの波が逆位相（位相差 \(\pi\)）になっていたということです。
スリットでの位相差は、入射波が斜めに入ってくることによって生じる経路差 \(d \sin \theta\) に起因します。

この設問における重要なポイント

• \(y\) 軸上の点 \(Q\) に対して、\(S_1Q = S_2Q\) である。
• スリット \(S_1, S_2\) に達するまでの入射波の経路差は \(d \sin \theta\) である。
• この経路差が半波長 \(\lambda/2\) になれば、スリットでの位相は逆転する。
• 「はじめて」弱め合うので、最小の経路差（\(\lambda/2\)）を考える。

具体的な解説と立式
図2のように、入射波の波面は傾いています。
スリット \(S_1\) に波面が到達したとき、スリット \(S_2\) に到達するにはまだ距離 \(L\) だけ進む必要があります。
図の直角三角形より、この距離 \(L\) は
$$ L = d \sin \theta $$
これがスリット間での入射波の経路差です。
\(y\) 軸上の点では、スリットからの距離は等しいため、スリットでの位相差がそのまま観測点での位相差になります。
弱め合う条件は、位相差が \(\pi\)（経路差が \(\lambda/2\)）の奇数倍になることです。
「はじめて」弱め合うので、経路差が \(\lambda/2\) になる瞬間を求めます。
$$ d \sin \theta = \frac{\lambda}{2} $$
この式から \(\sin \theta\) を求めます。

式を変形します。
$$ \sin \theta = \frac{\lambda}{2d} $$
\(d = \frac{5}{2}\lambda\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta &= \frac{\lambda}{2 \times \frac{5}{2}\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{\lambda}{5\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{1}{5}
\end{aligned}
$$
（または \(0.2\)）

真ん中の線（\(y\) 軸）の上では、左の穴からも右の穴からも距離は同じです。
普通なら、距離が同じなら波はピッタリ重なって強め合うはずです。
でも、ここでは「弱め合った」と言っています。
ということは、穴を出る時点で、片方の波がもう片方より「半歩（半波長）」ずれていたということです。
波が斜めから入ってくると、片方の穴に波が着くのが遅れます。
この遅れ（距離の差）がちょうど半波長分になれば、穴を出る波は逆位相（山と谷が逆）になり、真ん中で出会ったときに打ち消し合います。
図の直角三角形を使って、その距離の差が \(d \sin \theta\) であることを見抜き、それが \(\lambda/2\) になる条件を計算します。

\(\sin \theta = 1/5\)。\(0 < \sin \theta < 1\) なので角度として存在し得ます。妥当な解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉条件と経路差
  • 核心: 2つの波源からの波が強め合うか弱め合うかは、観測点までの「経路差（距離の差）」が波長の何倍かによって決まります。
  • 理解のポイント:
    • 同位相の波源: 経路差 \(|l_1 – l_2| = m\lambda\) で強め合い（腹）、\((m + 1/2)\lambda\) で弱め合い（節）。
    • 逆位相の波源: 条件が逆転します。この問題の(2)では、スリット通過時の位相差によって実質的に逆位相の波源として振る舞う状況を扱っています。
• 平面波の斜め入射と位相差
  • 核心: 平面波がスリットに対して斜めに入射すると、スリットの位置によって波の到達時刻がずれ、初期位相差が生じます。
  • 理解のポイント:
    • 幾何学的経路差: スリット間隔 \(d\) と入射角 \(\theta\) を用いて、経路差は \(d \sin \theta\) と表されます。これが干渉縞のシフトや条件変化の原因となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヤングの実験: スクリーン上の干渉縞を考える問題ですが、スリット直後の干渉条件は本問と同じです。\(L \gg d\) の近似を使うかどうかが違いです。
  • 回折格子: 多数のスリットがある場合も、隣り合うスリット間の経路差 \(d \sin \theta\) が干渉の基本になります。
  • 音波の干渉: 2つのスピーカーからの音の干渉も全く同じ原理です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の位相: 同位相か逆位相か。問題文に明記されていなくても、(2)のように状況から判断する必要がある場合があります。
  2. 観測点の位置: スクリーン上なのか、特定の直線上なのか。本問のように \(x=d/2\) 上など、特殊な直線上での干渉を問われることがあります。
  3. 近似の可否: 観測点がスリットから十分に遠い（\(L \gg d\)）場合は近似式 \(|l_1 – l_2| \approx d \frac{y}{L}\) が使えますが、本問のように近い場合は三平方の定理で厳密に計算する必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(m\) の範囲の見落とし:
  • 誤解: 計算で出た \(m\) をすべて答えにしてしまう。
  • 対策: \(y \ge 0\) や \(\sin \theta \le 1\) などの物理的な制約条件から、\(m\) の取りうる範囲を必ず確認します。
• 経路差の計算ミス:
  • 誤解: 斜め入射の場合の経路差を \(d \cos \theta\) としたり、図の幾何学的関係を見誤る。
  • 対策: 波面に垂直な線（射線）を引き、直角三角形を正しく見つけます。波面とスリット面がなす角が \(\theta\) であることを確認します。
• 「弱め合う」条件の取り違え:
  • 誤解: 常に \(m\lambda\) が強め合いだと思い込む。
  • 対策: 「同位相なら整数倍、逆位相なら半整数倍」とセットで覚えます。位相差が生じている場合は、その分を経路差に換算して考えます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(|l_1 – l_2| = m\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 干渉の基本原理そのものです。
  • 適用根拠: 2つの波源からの距離が明確に定義でき、波源が同位相であるため。
• \(d \sin \theta = \lambda/2\) の選択（問2）:
  • 選定理由: スリット間での「初期位相差」が問題の核心だからです。
  • 適用根拠: 観測点が等距離（垂直二等分線上）にあるため、伝播による位相差はキャンセルされ、初期位相差のみが干渉の結果を左右します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算:
  • \(d = 5\lambda/2\) を最初から代入せず、最後に代入することで、式の形が整理され、ミスが減ります。また、次元（単位）の確認もしやすくなります。
• 極限の確認:
  • \(\theta \to 0\) のときどうなるか、\(y \to 0\) のときどうなるかなど、極端な場合を想定して答えの妥当性をチェックします。例えば(1)で \(m=0\) なら \(y \to \infty\) となり、無限遠方で経路差がなくなることと整合します。

363 平面波の反射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平面波の反射と干渉」です。水面波が壁で反射すると、入射波と反射波が重なり合って干渉縞（定常波のようなパターン）を作ります。この干渉縞の幾何学的な性質や動きを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の反射における基本的な法則を確認します。
入射角とは、入射波の進行方向（波面に垂直な線）と法線（境界に垂直な線）とのなす角です。
反射角とは、反射波の進行方向と法線とのなす角です。

この設問における重要なポイント

• 反射の法則: 入射角 \(i\) = 反射角 \(r\)。

具体的な解説と立式
反射の法則より、入射角と反射角は等しいです。
入射角が \(\theta\) なので、反射角も \(\theta\) です。

計算は不要です。

鏡に光が当たって跳ね返るのと同じで、波も壁に当たると同じ角度で跳ね返ります。
入ってくる角度が \(\theta\) なら、出ていく角度も \(\theta\) です。

反射角は \(\theta\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「変位が鉛直上向きに最大の場所」とは、入射波の「山」と反射波の「山」が重なる場所（腹）のことです。
図1において、実線は山、破線は谷を表しています。
実線と実線の交点、または破線と破線の交点は、どちらも強め合う点（腹）です。
ただし、破線同士の交点は「谷」なので変位は下向きに最大です。
求める場所は「山」同士の交点です。

この設問における重要なポイント

• 点a（境界上）は破線同士の交点（谷）である。
• 点b（反射波の波面上）も破線同士の交点（谷）である。
• 点aと点bの中間にある交点（黒丸）は、実線同士の交点（山）である。これが求める場所である。
• 直角三角形abcに着目し、辺の長さを計算する。

具体的な解説と立式
図1の点aと点bに注目します。
点aは境界AB上の点で、入射波の谷（破線）と反射波の谷（破線）が交わっています。
点bは点aの鉛直上方にあり、同様に入射波の谷と反射波の谷が交わっています。
点aと点bの間には、入射波の山（実線）と反射波の山（実線）が交わる点（中間の黒丸）があります。
この点が、変位が鉛直上向きに最大となる場所（山）です。
図の対称性より、この点は線分abの中点に位置します。
したがって、求める距離（この点から境界ABまでの距離）は、線分abの長さの半分です。

直角三角形abcに注目します。
点cは、点aから「点bを通る入射波の波面（破線）」に下ろした垂線の足です。
点aを通る波面（破線）と、点bを通る波面（破線）の間には、実線の波面（山）が1本あります。
したがって、辺acの長さは波長 \(\lambda\) に等しいです。
$$ \text{ac} = \lambda = vT $$
また、波面と境界のなす角は入射角 \(\theta\) に等しいので、直角三角形abcにおいて \(\angle \text{abc} = \theta\) となります（錯角の関係）。
したがって、斜辺abの長さは、
$$ \text{ab} = \frac{\text{ac}}{\cos \theta} = \frac{vT}{\cos \theta} $$
求める距離 \(h\) は線分abの半分なので、
$$ h = \frac{\text{ab}}{2} = \frac{vT}{2 \cos \theta} $$

$$
\begin{aligned}
\text{ac} &= vT \\[2.0ex] \text{ab} &= \frac{vT}{\cos \theta} \\[2.0ex] h &= \frac{\text{ab}}{2} = \frac{vT}{2 \cos \theta}
\end{aligned}
$$

図の点aと点bは、どちらも「谷」と「谷」が重なっている場所です。
この2つの場所のちょうど真ん中で、「山」と「山」が重なっています。ここが一番高く盛り上がる場所です。
三角形abcを使って点aから点bまでの距離を計算し、それを半分にすれば、壁からその場所までの距離がわかります。

\(\frac{vT}{2 \cos \theta}\)。\(\theta=0\)（垂直入射）のときは \(\frac{vT}{2} = \frac{\lambda}{2}\) となり、定常波の腹の間隔と一致します。妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は、境界ABに平行な方向（\(x\) 軸方向）に並んでいる腹の間隔を求めます。
図1において、境界上の点aと点dは、隣り合う腹（谷と谷が重なる点）です。
この間隔adを求めます。

この設問における重要なポイント

• 直角三角形acdに着目する。
• 辺acは波長 \(\lambda = vT\) である。
• \(\angle \text{adc} = \theta\) である（波面と境界のなす角）。

具体的な解説と立式
図1の直角三角形acdに注目します。
点aと点dは、境界AB上で隣り合う「谷と谷が重なる点」です。
辺acは、点aを通る波面（破線）と点dを通る波面（破線）の距離、すなわち波長 \(\lambda = vT\) です。
また、波面と境界のなす角は入射角 \(\theta\) に等しいので、\(\angle \text{adc} = \theta\) です。
直角三角形acdにおいて、
$$ \text{ad} \sin \theta = \text{ac} $$
$$ \text{ad} = \frac{\text{ac}}{\sin \theta} = \frac{vT}{\sin \theta} $$
これが求める間隔です。

$$ \text{ad} = \frac{vT}{\sin \theta} $$

壁に沿って波を見ると、波長が引き伸ばされて見えます。
元の波長 \(\lambda\) に対して、斜めに見ることで \(\frac{1}{\sin \theta}\) 倍に伸びて見えます。
これが壁に沿って並ぶ山（または谷）の間隔です。

\(\frac{vT}{\sin \theta}\)。\(\theta \to 90^\circ\) で \(\lambda\)（壁に垂直に入射し、壁沿いの波長は元の波長と同じ）となり、物理的直感と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
「変位が鉛直上向きに最大の場所」つまり「山」が移動する速さを求めます。
微小時間 \(\Delta t\) の間に、波面がどれだけ進み、その結果として交点（腹）がどれだけ移動するかを図形的に考えます。

この設問における重要なポイント

• 時間 \(\Delta t\) の間に、波面は \(v \Delta t\) だけ進む。
• 図2のように、波面の移動に伴って交点が移動する距離 \(\Delta x\) を考える。
• 直角三角形の辺の比から \(\Delta x\) を求める。

具体的な解説と立式
図2（解説図）を見ます。
ある時刻の波面（実線）と、時間 \(\Delta t\) 後の波面（破線）を描きます。
波面は波の進行方向に速さ \(v\) で進むので、波面間の距離は \(v \Delta t\) です。
このとき、波面と境界（または境界に平行な線）との交点は、右方向に \(\Delta x\) だけ移動します。
図2の直角三角形において、斜辺が \(\Delta x\)、高さが \(v \Delta t\) です。
この三角形の角は \(\theta\) です（波面と境界のなす角）。
したがって、
$$ \sin \theta = \frac{v \Delta t}{\Delta x} $$
これより、交点の移動距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = \frac{v \Delta t}{\sin \theta} $$
移動する速さ \(V\) は、
$$ V = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{v}{\sin \theta} $$
向きは、図より右向きです。

$$ V = \frac{v}{\sin \theta} $$

波の山と山が重なった「大きな山」は、壁に沿って右に動いていきます。
その速さは、元の波の速さ \(v\) よりも速くなります（斜めに切るハサミの交点が速く動くのと同じ原理です）。
計算すると、\(\frac{v}{\sin \theta}\) になります。

右向きに \(\frac{v}{\sin \theta}\)。\(\sin \theta < 1\) なので、元の速さ \(v\) より速くなります。これは斜めに交差する波面の交点の移動速度として妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の反射と干渉による定常波の形成
  • 核心: 入射波と反射波が重なり合うと、進行しない波（定常波）が形成されます。特に、斜めに入射する場合は、境界に平行な縞模様のような干渉パターンが生じます。
  • 理解のポイント:
    • 腹と節の配置: 入射波の山と反射波の山が重なる点が「腹（強め合い）」、山と谷が重なる点が「節（弱め合い）」です。
    • 幾何学的関係: 波面図において、入射波の波面と反射波の波面が作る「ひし形」の対角線上に腹や節が並びます。
• 波面図の幾何学的解析
  • 核心: 波面（同位相の線）の間隔が波長 \(\lambda\) であることを利用し、直角三角形を見つけて辺の長さを計算する幾何学的な能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 波面と進行方向: 波面は進行方向に垂直です。
    • 角度の関係: 波面と境界のなす角は、入射角 \(\theta\) に等しいです（幾何学的な証明：進行方向と法線のなす角が \(\theta\) \(\rightarrow\) それぞれに垂直な線同士のなす角も \(\theta\)）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 自由端反射と固定端反射: 本問は水面波の壁反射なので自由端反射（位相変化なし）として扱いましたが、固定端反射の場合は反射波の位相が \(\pi\) ずれるため、腹と節の位置が入れ替わります（壁が節になる）。
  • 光の干渉（薄膜干渉など）: 光も波なので、反射による干渉の原理は同じです。ただし、光の場合は波長が非常に短いため、干渉縞として観測されます。
  • ドップラー効果（斜め方向）: 波源が動く場合や観測者が動く場合の波面の幾何学的な解析にも、本問のような直角三角形を用いた計算が応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 反射の種類: 自由端か固定端か。壁での位相変化の有無を確認します。
  2. 波面図の作図: 反射波の波面を正確に描けるかが勝負です。入射波の波面を境界線で折り返すイメージで描きます。
  3. 交点の意味: 実線×実線（山×山）は腹、破線×破線（谷×谷）も腹、実線×破線（山×谷）は節です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腹と節の混同:
  • 誤解: 谷と谷が重なる点（破線交点）を「節」だと思ってしまう。
  • 対策: 「谷＋谷＝もっと深い谷」なので、振幅は大きくなります。つまり「腹」です。節は「山＋谷＝平ら」になる点です。
• 距離の計算ミス:
  • 誤解: 波面間隔 \(\lambda\) を斜辺にしてしまう、あるいは \(\sin\) と \(\cos\) を取り違える。
  • 対策: 直角三角形を抜き出して描く際、どの角が \(\theta\) なのか、どの辺が \(\lambda\) なのかを丁寧に確認します。「波面と境界のなす角が \(\theta\)」は鉄則として覚えます。
• 移動速度の勘違い:
  • 誤解: 干渉縞（腹の列）の移動速度を、波の速さ \(v\) と同じだと思ってしまう。
  • 対策: ハサミの刃の交点が刃を閉じる速さより速く動くのと同じで、斜めに交差する波面の交点は元の波より速く動きます（\(v/\sin\theta > v\)）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\lambda = vT\) の選択:
  • 選定理由: 問題文で速さ \(v\) と周期 \(T\) が与えられており、波面図の解析には波長 \(\lambda\) が不可欠だからです。
  • 適用根拠: 波動の基本式です。
• 三角比（\(\sin, \cos\)）の利用:
  • 選定理由: 波面図から距離や間隔を求める幾何学的な問題だからです。
  • 適用根拠: 波面、進行方向、境界線などが作る図形の中に直角三角形を見出し、辺の比を利用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への書き込み:
  • 問題用紙の図に、反射波の波面、交点（黒丸）、直角三角形、角度 \(\theta\) などを直接書き込みます。頭の中だけで処理しようとするとミスが増えます。
• 極限の確認:
  • \(\theta \to 0\)（垂直入射）のとき、腹の間隔はどうなるか？ \(\cos 0 = 1\) なので \(\lambda/2\) となり、定常波の基本知識と一致します。
  • \(\theta \to 90^\circ\)（平行入射）のとき、腹の間隔は？ \(\cos 90^\circ = 0\) なので無限大（干渉縞ができない）となり、これも直感と一致します。このようなチェックで式の妥当性を確認できます。

364 船がつくる波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「移動する波源が作る波面（衝撃波）」です。波源の速さが波の速さを超えるとき、波面が重なり合って円錐状（水面ではV字状）の波面が形成される現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
船が波よりも速く進むため、船が過去にいた場所から出た波は、船の後方に置いていかれます。
これらの波の共通接線が、V字型の波面（航跡波）となります。
船の移動距離と波の移動距離の関係を、直角三角形を用いて考えます。

この設問における重要なポイント

• 時間 \(t\) の間に、船は距離 \(vt\) 進む。
• 同じ時間 \(t\) の間に、ある地点から出た波は距離 \(Vt\) 進む。
• 波面（接線）と船の進行方向のなす角は、図より \(\theta/2 = 30^\circ\) である。
• 波面は波の進行方向（半径方向）に垂直であるため、直角三角形ができる。

具体的な解説と立式
図のように、ある時刻に船が点Aにいたとし、時間 \(t\) 後に点Bまで進んだとします。
この間の船の移動距離は \(\text{AB} = vt\) です。
点Aで発生した波は、時間 \(t\) の間に半径 \(R = Vt\) の円形に広がります。
この円に点Bから引いた接線の接点をHとすると、線分BHがV字型の波面の一部となります。
半径AHは接線BHに垂直なので、\(\angle \text{AHB} = 90^\circ\) の直角三角形ABHができます。
船の進行方向と波面のなす角は、問題図より \(\theta/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ\) です。
したがって、直角三角形ABHにおいて、\(\angle \text{ABH} = 30^\circ\) です。
三角比の定義より、
$$ \sin 30^\circ = \frac{\text{AH}}{\text{AB}} $$
$$ \sin 30^\circ = \frac{Vt}{vt} $$
$$ \sin 30^\circ = \frac{V}{v} $$
この式から \(v\) と \(V\) の関係を求めます。

$$
\begin{aligned}
\frac{V}{v} &= \sin 30^\circ \\[2.0ex] \frac{V}{v} &= \frac{1}{2} \\[2.0ex] v &= 2V
\end{aligned}
$$
よって、船の速さ \(v\) は波の速さ \(V\) の 2倍 です。

船が1秒間に進む距離と、波が1秒間に広がる距離を比べます。
船が進んだ先から、後ろにある波の端っこ（接線）に向かって線を引くと、直角三角形ができます。
この三角形の角度が \(30^\circ\)（\(60^\circ\) の半分）なので、一番長い辺（船の距離）は、短い辺（波の距離）のちょうど2倍になります。
だから、船の速さは波の速さの2倍です。

\(v = 2V\)。船の方が速いという条件 \(v > V\) を満たしており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホイヘンスの原理と波面の形成
  • 核心: 波面上のすべての点は、新しい球面波（素元波）の波源となり、それらの共通接面が次の瞬間の波面になります。
  • 理解のポイント:
    • 移動する波源: 波源が移動する場合も原理は同じです。過去の各時刻に波源があった位置から広がった素元波の共通接線が、V字型の波面（衝撃波面）を形成します。
• 波源速度と波面角度の幾何学的関係
  • 核心: 波源の速さ \(v\) と波の速さ \(V\) の比が、波面の開き具合（角度）を決定します。
  • 理解のポイント:
    • 直角三角形の出現: 「波源の移動距離 \(vt\)」を斜辺、「波の伝播距離 \(Vt\)」を対辺とする直角三角形が必ず現れます。
    • \(\sin\) の関係: 波面と進行方向のなす角（半頂角）を \(\alpha\) とすると、常に \(\sin \alpha = \frac{Vt}{vt} = \frac{V}{v}\) が成り立ちます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ソニックブーム（衝撃波）: 超音速機が通過したときに聞こえる爆音の問題。計算原理は本問と全く同じです。
  • チェレンコフ光: 荷電粒子が物質中の光速を超えて進むときに発する光。これも同じ幾何学的関係で円錐状に光が放射されます。
  • ドップラー効果の限界: 波源の速さが波の速さに近づくにつれて波長が短くなり、超えると衝撃波になるという文脈で出題されることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 角度の定義: 問題文で与えられた角度 \(\theta\) が「全角（V字の開き）」なのか「半角（進行方向とのなす角）」なのかを必ず図で確認します。本問は全角なので、計算には \(\theta/2\) を使います。
  2. 速さの大小関係: \(v > V\) であることが前提です。もし \(v < V\) なら、波源は常に波の内側にあり、V字型の波面はできません（通常のドップラー効果）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の取り違え:
  • 誤解: \(\sin \theta = V/v\) として計算してしまう。
  • 対策: 直角三角形を自分で描き、直角（接点）と角度 \(\theta/2\) の位置を指差し確認します。「斜辺が一番長い（\(v\)）」ことを意識すれば、分母分子の間違いも防げます。
• 接線と半径の垂直関係:
  • 誤解: 波面（接線）と波の進行方向（半径）が垂直であることを忘れて、適当な三角形を作ってしまう。
  • 対策: 「円の接線は半径に垂直」という幾何学の鉄則を思い出します。必ず直角マークを図に書き込みましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\sin \alpha = \frac{V}{v}\) の選択:
  • 選定理由: 波源の移動と波の広がりによってできる幾何学的図形（直角三角形）の性質を直接表しているからです。
  • 適用根拠: 時間 \(t\) が経過したとき、波源は \(vt\)、波は \(Vt\) 進み、それらが直角三角形の斜辺と対辺を構成するという物理的状況に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図形の描画:
  • 頭の中だけで考えず、必ず「波源の軌跡」「ある時刻の波面（円）」「共通接線」を描きます。特に「接点」を明確にプロットすることで、直角三角形が見えてきます。
• 比の確認:
  • 答えが出た後、「船の方が速いから、倍率は1より大きくなるはずだ」と確認します。もし \(0.5\) 倍などの答えが出たら、分母分子が逆だったことに気づけます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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