「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 11】発展例題～発展問題285

発展例題

発展例題23 氷の比熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「物質の状態変化と熱量」です。ヒーターによって加熱された氷が、温度上昇、融解、そして水になってからの温度上昇という3つの過程を経る様子をグラフから読み取り、比熱や融解熱といった物理量を計算する典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ヒーターは一定の割合で熱を供給しています。この「毎秒あたりの供給熱量」[J/s]を求めることが目的です。そのためには、加えられた熱量と、それによって引き起こされた温度変化の関係が正確にわかっている区間を見つける必要があります。
グラフの \(254\,\text{s}\) から \(314\,\text{s}\) の区間に注目します。このとき、氷はすべて溶けて水になっており、その水の温度が上昇しています。水の質量 \(m\)、水の比熱 \(c_{\text{水}}\)、容器の熱容量 \(C\)、そしてグラフから読み取れる温度変化 \(\Delta T\) と時間 \(\Delta t\) を使えば、吸収された総熱量を計算し、それを時間で割ることで毎秒あたりの供給熱量を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• グラフの \(254\,\text{s} \sim 314\,\text{s}\) の区間では、\(400\,\text{g}\) の「水」と熱容量 \(120\,\text{J/K}\) の容器が一緒に温められている。
• 温度は \(0\)℃ から \(20\)℃ へ、\(20\)℃ (\(=20\,\text{K}\)) 上昇している。
• この温度上昇にかかった時間は \(314 – 254 = 60\,\text{s}\) である。

具体的な解説と立式
まず、水 \(400\,\text{g}\) と容器をあわせた全体の熱容量 \(C_{\text{全体}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_{\text{全体}} &= (\text{水の熱容量}) + (\text{容器の熱容量}) \\[2.0ex] &= m_{\text{水}}c_{\text{水}} + C_{\text{容器}}
\end{aligned}
$$
次に、\(254\,\text{s}\) から \(314\,\text{s}\) の間に、水と容器が吸収した熱量 \(Q_{\text{吸収}}\) を計算します。温度変化は \(\Delta T = 20 – 0 = 20\,\text{K}\) です。
$$
Q_{\text{吸収}} = C_{\text{全体}} \Delta T
$$
ヒーターが毎秒供給する熱量を \(P\) [J/s] とします。加熱時間は \(\Delta t = 314 – 254 = 60\,\text{s}\) なので、この間に供給された熱量 \(Q_{\text{供給}}\) は、
$$
Q_{\text{供給}} = P \times \Delta t
$$
供給された熱はすべて吸収されるので、\(Q_{\text{供給}} = Q_{\text{吸収}}\) が成り立ちます。したがって、以下の関係式が立てられます。
$$
P \times (314 – 254) = (m_{\text{水}}c_{\text{水}} + C_{\text{容器}}) \times (20 – 0)
$$

水と容器をあわせた熱容量 \(C_{\text{全体}}\) は、\(m_{\text{水}}=400\,\text{g}\), \(c_{\text{水}}=4.2\,\text{J/(g·K)}\), \(C_{\text{容器}}=120\,\text{J/K}\) より、
$$
\begin{aligned}
C_{\text{全体}} &= 400 \times 4.2 + 120 \\[2.0ex] &= 1680 + 120 \\[2.0ex] &= 1800\,\text{J/K}
\end{aligned}
$$
\(254\,\text{s}\) から \(314\,\text{s}\) の間に吸収された熱量 \(Q_{\text{吸収}}\) は、温度変化が \(20\,\text{K}\) なので、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{吸収}} &= 1800 \times 20 \\[2.0ex] &= 36000\,\text{J}
\end{aligned}
$$
この熱量は \(60\,\text{s}\) の間に供給されたものです。ヒーターが毎秒供給する熱量を \(P\) とすると、
$$
\begin{aligned}
P \times 60 &= 36000 \\[2.0ex] P &= \frac{36000}{60} \\[2.0ex] P &= 600\,\text{J/s}
\end{aligned}
$$
設問は「毎秒何Jか」と問うているので、答えは \(600\,\text{J}\) となります。有効数字2桁で答えるため、\(6.0 \times 10^2\,\text{J}\) となります。

やかんでお湯を沸かすのをイメージしてください。この問題では、まず(1)で「コンロの火はどれくらいの強さですか？（1秒あたりにどれくらいの熱を出しますか？）」と聞かれています。グラフを見ると、後半に「水」を温めている区間があります。水の温まりやすさ（比熱）は分かっているので、この区間で「どれだけの時間で」「どれだけ温度が上がったか」を調べれば、コンロの火の強さを逆算できる、というわけです。

ヒーターが毎秒供給する熱量は \(6.0 \times 10^2\,\text{J}\) と求まりました。この値は、この後の設問(2), (3)を解くための基礎となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では、氷 \(1\,\text{g}\) を \(0\)℃ の水 \(1\,\text{g}\) に変えるのに必要な熱量、すなわち「融解熱」[J/g] を求めます。
グラフで温度が \(0\)℃ のまま一定になっている区間、すなわち \(32\,\text{s}\) から \(254\,\text{s}\) の間は、供給された熱がすべて氷の融解（状態変化）に使われています。
(1)で求めた毎秒の供給熱量 \(P\) と、融解にかかった時間 \(\Delta t\) を掛けることで、氷 \(400\,\text{g}\) を融解させるのに必要な総熱量 \(Q_{\text{融解}}\) を計算できます。この総熱量を氷の質量で割れば、\(1\,\text{g}\) あたりの融解熱が求まります。
この設問における重要なポイント

• グラフの \(32\,\text{s} \sim 254\,\text{s}\) の平らな部分が、氷 \(400\,\text{g}\) が融解している区間である。
• 融解にかかった時間は \(254 – 32 = 222\,\text{s}\) である。
• この間、ヒーターは(1)で求めた毎秒 \(600\,\text{J}\) の熱を供給し続けている。

具体的な解説と立式
融解にかかった時間 \(\Delta t = 254 – 32 = 222\,\text{s}\) の間に供給された総熱量 \(Q_{\text{融解}}\) は、(1)で求めた毎秒の供給熱量 \(P=600\,\text{J/s}\) を用いて、
$$
Q_{\text{融解}} = P \times \Delta t
$$
この熱量によって、質量 \(m_{\text{氷}} = 400\,\text{g}\) の氷がすべて融解しました。氷 \(1\,\text{g}\) あたりの融解熱を \(L_f\) [J/g] とすると、融解に必要な熱量は \(Q_{\text{融解}} = m_{\text{氷}} L_f\) と表せます。
したがって、以下の関係式が立てられます。
$$
m_{\text{氷}} L_f = P \times (254 – 32)
$$

\(32\,\text{s}\) から \(254\,\text{s}\) の間に供給された総熱量 \(Q_{\text{融解}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{融解}} &= 600 \times (254 – 32) \\[2.0ex] &= 600 \times 222 \\[2.0ex] &= 133200\,\text{J}
\end{aligned}
$$
これが氷 \(400\,\text{g}\) を融解させるのに必要な熱量です。したがって、\(1\,\text{g}\) あたりの融解熱 \(L_f\) は、
$$
\begin{aligned}
L_f &= \frac{133200}{400} \\[2.0ex] &= 333\,\text{J/g}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(3.3 \times 10^2\,\text{J}\) となります。

氷が溶けている間は、いくら熱を加えても温度は \(0\)℃ のままです。このとき、加えられた熱はすべて氷を水に変えるために使われます。(1)でわかったコンロの火の強さ（毎秒 \(600\,\text{J}\)）で、氷が全部溶けるのに \(222\) 秒かかったことがグラフからわかります。つまり、氷 \(400\,\text{g}\) を溶かすのに必要な熱は \(600 \times 222\) [J] です。これを \(400\) で割れば、氷 \(1\,\text{g}\) を溶かすのに必要な熱量が計算できます。

氷の融解熱は \(3.3 \times 10^2\,\text{J/g}\) と求まりました。これは物理の教科書などに載っている一般的な値（約 \(334\,\text{J/g}\)）とほぼ一致しており、妥当な結果と言えます。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問では、氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) [J/(g·K)]、つまり氷 \(1\,\text{g}\) の温度を \(1\,\text{K}\) (\(=1\)℃) 上げるのに必要な熱量を求めます。
グラフの最初の区間、\(0\,\text{s}\) から \(32\,\text{s}\) の間では、氷と容器の温度が \(-20\)℃ から \(0\)℃ へと上昇しています。
この温度上昇に使われた総熱量 \(Q_{\text{氷昇温}}\) は、(1)で求めた毎秒の供給熱量 \(P\) と、かかった時間 \(\Delta t\) から計算できます。一方、この熱量は、氷の温度上昇と容器の温度上昇に使われた熱量の和に等しいはずです。この関係から、\(Q_{\text{氷昇温}} = (m_{\text{氷}}c_{\text{氷}} + C_{\text{容器}}) \Delta T\) という式を立て、未知数である氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• グラフの \(0\,\text{s} \sim 32\,\text{s}\) の区間では、\(400\,\text{g}\) の「氷」と熱容量 \(120\,\text{J/K}\) の容器が一緒に温められている。
• 温度は \(-20\)℃ から \(0\)℃ へ、\(20\)℃ (\(=20\,\text{K}\)) 上昇している。
• この温度上昇にかかった時間は \(32 – 0 = 32\,\text{s}\) である。

具体的な解説と立式
氷の昇温にかかった時間 \(\Delta t = 32 – 0 = 32\,\text{s}\) の間に供給された総熱量 \(Q_{\text{供給}}\) は、
$$
Q_{\text{供給}} = P \times \Delta t
$$
この熱量によって、質量 \(m_{\text{氷}} = 400\,\text{g}\) の氷と熱容量 \(C_{\text{容器}} = 120\,\text{J/K}\) の容器の温度が、\(\Delta T = 0 – (-20) = 20\,\text{K}\) だけ上昇しました。
この温度上昇に必要な熱量 \(Q_{\text{吸収}}\) は、氷の比熱を \(c_{\text{氷}}\) とすると、
$$
Q_{\text{吸収}} = (m_{\text{氷}}c_{\text{氷}} + C_{\text{容器}}) \Delta T
$$
供給された熱はすべて吸収されるので \(Q_{\text{供給}} = Q_{\text{吸収}}\) より、
$$
P \times 32 = (400 \times c_{\text{氷}} + 120) \times (0 – (-20))
$$

\(0\,\text{s}\) から \(32\,\text{s}\) の間に供給された総熱量 \(Q_{\text{供給}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{供給}} &= 600 \times 32 \\[2.0ex] &= 19200\,\text{J}
\end{aligned}
$$
この熱量が氷と容器の温度上昇に使われたので、
$$
\begin{aligned}
19200 &= (400 \times c_{\text{氷}} + 120) \times (0 – (-20)) \\[2.0ex] 19200 &= (400 c_{\text{氷}} + 120) \times 20
\end{aligned}
$$
両辺を \(20\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
960 &= 400 c_{\text{氷}} + 120
\end{aligned}
$$
\(120\) を移項すると、
$$
\begin{aligned}
960 – 120 &= 400 c_{\text{氷}} \\[2.0ex] 840 &= 400 c_{\text{氷}}
\end{aligned}
$$
したがって、氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) は、
$$
\begin{aligned}
c_{\text{氷}} &= \frac{840}{400} \\[2.0ex] &= 2.1\,\text{J/(g·K)}
\end{aligned}
$$

最後に、氷の温まりやすさ（比熱）を求めます。グラフの最初の部分で、氷が \(-20\)℃ から \(0\)℃ に温まっています。このとき、氷だけでなく、それが入っている容器も一緒に温まっていることに注意が必要です。(1)でわかったコンロの火の強さで \(32\) 秒間熱したときの熱量が、氷と容器を \(20\)℃ 温めた、という式を立てれば、そこから逆算して氷の比熱がわかります。

氷の比熱は \(2.1\,\text{J/(g·K)}\) と求まりました。これは水の比熱 \(4.2\,\text{J/(g·K)}\) のちょうど半分であり、物理的に妥当な値です。一般に、氷は水よりも比熱が小さく、温まりやすいことが知られています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱量保存則とグラフの読解
  • 核心: この問題の根幹は、ヒーターから供給された熱量 \(Q_{\text{供給}}\) が、すべて物質の温度上昇（\(mc\Delta T\) や \(C\Delta T\)）や状態変化（\(mL\)）に使われるという熱量の保存関係を理解し、数式に落とし込む能力です。
  • 理解のポイント:
    • グラフの各区間がどの物理現象に対応しているかを正確に把握することが不可欠です。傾きが正の区間は温度上昇（顕熱の吸収）、傾きが \(0\) の水平な区間は状態変化（潜熱の吸収）を表します。
    • ヒーターの加熱率（毎秒の供給熱量）が一定であるという条件が鍵となります。これにより、加熱時間と供給された総熱量が比例関係にあることを利用して、各過程での熱量を計算できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 冷却曲線: 物質を一定の割合で冷却していくときの温度変化のグラフを扱う問題。考え方は加熱曲線と全く同じで、凝固熱や比熱を求めることができます。
  • 熱量計を用いた混合問題: 異なる温度の物質を断熱容器内で混ぜたときの最終的な温度を求める問題。「高温物体が失った熱量 = 低温物体が得た熱量」という熱量保存則の式を立てて解きます。
  • 電気と熱の融合問題: ヒーターの代わりに抵抗に電流を流して発生するジュール熱（\(P=IV=RI^2\)）で物質を加熱する問題。電気の知識と熱の知識を結びつける必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはグラフの区切りを見つける: 温度変化の様子が変わる点（グラフが折れ曲がる点や水平になる点）に注目し、それぞれの区間で何が起きているか（昇温、融解、沸騰など）を判断します。
  2. 熱の出入りを明確にする: 誰が熱を与え（この問題ではヒーター）、誰が熱を受け取っているか（氷、水、容器）の役割分担をはっきりさせます。
  3. 既知の物理量と未知の物理量を整理する: 問題文で与えられている値（質量、比熱、熱容量など）と、設問で求めたい値は何かをリストアップします。
  4. どの区間の情報が最も有用か判断する: 未知数が最も少なく、計算の突破口となる区間から手をつけるのが定石です。この問題では、水の比熱が既知である「水の昇温区間」がそれに該当します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 容器の熱容量を無視してしまう:
  • 誤解: 氷や水だけが熱を吸収すると考えてしまい、容器の存在を忘れてしまう。
  • 対策: 問題文に「容器」の記述と「熱容量」の値があれば、必ずそれも熱を受け取る（あるいは放出する）物体として計算に含める必要があります。\(Q = (mc + C)\Delta T\) のように、物質と容器を一体として、全体の熱容量を考えて式を立てる癖をつけましょう。
• 温度変化 \(\Delta T\) の計算ミス:
  • 誤解: 温度変化を考える際に、セルシウス温度(℃)と絶対温度(K)の扱いで混乱してしまう。特に負の温度が含まれると計算ミスをしやすい。
  • 対策: 温度「差」を考える場合、\(\Delta T\) [K] = \(\Delta t\) [℃] なので、セルシウス温度の差をそのまま使って問題ありません。例えば、\(-20\)℃ から \(0\)℃ への変化は、変化後の温度から変化前の温度を引いて \(0 – (-20) = 20\)℃ となり、温度差は \(20\,\text{K}\) です。符号の扱いに注意しましょう。
• 比熱と熱容量の混同:
  • 誤解: 比熱は物質 \(1\,\text{g}\) あたりの温まりにくさ [J/(g·K)]、熱容量は物体「全体」の温まりにくさ [J/K] であるという違いを意識せずに使ってしまう。
  • 対策: 単位に注目するのが最も確実です。質量 \(m\) が式に含まれるか（\(mc\Delta T\)）含まれないか（\(C\Delta T\)）で区別しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(Q=mc\Delta T, Q=C\Delta T\)）:
  • 選定理由: 求めたいのはヒーターの加熱率 \(P\) [J/s] です。これは、\(P = (\text{加えた熱量}) / (\text{かかった時間})\) で求まります。したがって、まず熱量を計算する必要があります。グラフの \(254 \sim 314\,\text{s}\) 区間では「温度上昇」という現象が起きています。温度上昇と熱量の関係を表す基本法則は \(Q=mc\Delta T\) と \(Q=C\Delta T\) であるため、これらの公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: この区間では、水（質量 \(m\), 比熱 \(c\)）と容器（熱容量 \(C\)）が同時に温度上昇しています。したがって、両者が吸収した熱量の合計 \(mc\Delta T + C\Delta T = (mc+C)\Delta T\) を計算する必要があります。
• (2)での公式選択（\(Q=mL_f\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「融解熱 \(L_f\)」です。これは、氷が水に「状態変化」するときの熱量に関わる物理量です。状態変化と熱量の関係を表す基本法則は \(Q=mL\) です。今回は融解なので \(Q=mL_f\) を選択します。
  • 適用根拠: グラフの \(32 \sim 254\,\text{s}\) 区間では、温度が一定のまま融解が進んでいます。この間に加えられた熱量 \(Q\) が、質量 \(m\) の氷をすべて融解させるのに使われたと解釈できるため、\(Q=mL_f\) の関係が成り立ちます。
• (3)での公式選択（\(Q=mc\Delta T, Q=C\Delta T\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\)」です。これは、氷の「温度上昇」と熱量の関係から求まる物理量です。したがって、(1)と同様に \(Q=mc\Delta T\) と \(Q=C\Delta T\) を選択します。
  • 適用根拠: グラフの \(0 \sim 32\,\text{s}\) 区間では、氷（質量 \(m\), 比熱 \(c_{\text{氷}}\)）と容器（熱容量 \(C\)）が同時に温度上昇しています。この間に加えられた熱量 \(Q\) と温度変化 \(\Delta T\) がグラフから読み取れるため、\(Q = (mc_{\text{氷}}+C)\Delta T\) の式を立て、未知数 \(c_{\text{氷}}\) について解くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位時間あたりの量と総量を区別する:
  • ヒーターが供給する熱量 \(P\) は「毎秒」あたりの量 [J/s] です。一方、実際に物質が吸収する熱量 \(Q\) は、それに時間を掛けた「総量」[J] です。\(Q=P \times \Delta t\) の関係を常に意識し、混同しないようにしましょう。
• グラフの数値を正確に読み取る:
  • グラフの軸の単位（[s], [℃]）をまず確認します。そして、変化が起こる始点と終点の時刻や温度を正確に読み取り、引き算を間違えないように注意します。特に \(0 – (-20)\) のような負の数が絡む計算は慎重に行いましょう。
• 大きな桁の計算は指数表記を活用する:
  • 例えば、\(36000\,\text{J}\) は \(3.6 \times 10^4\,\text{J}\)、\(133200\,\text{J}\) は \(1.332 \times 10^5\,\text{J}\) と書くことで、桁数のミスを減らせます。模範解答のように、計算の途中から \(1.8 \times 10^3\) や \(6.0 \times 10^2\) のように指数表記を使うと、計算の見通しが良くなります。
• 物理的に妥当な値か吟味する:
  • (3)で求めた氷の比熱 \(2.1\,\text{J/(g·K)}\) が、水の比熱 \(4.2\,\text{J/(g·K)}\) と比べて極端に大きかったり小さかったりしないかを確認します。（一般に、氷は水より温まりやすい（比熱が小さい）ので、\(4.2\) より小さい値になるはず、という予測が立ちます。）
  • (2)で求めた融解熱 \(333\,\text{J/g}\) も、水の比熱 \(4.2\,\text{J/(g·K)}\) と比べてかなり大きい値であることが知られています。\(1\,\text{g}\) の水の温度を \(1\)℃ 上げるのに \(4.2\,\text{J}\) しか要らないのに対し、\(1\,\text{g}\) の氷を溶かすにはその約80倍の熱が必要、という感覚を持っておくと検算に役立ちます。

発展問題

280 金属球の比熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱量保存則を用いた比熱の決定」です。複数の物質が混在する系において、外部から加えられた熱量がどのように分配されるかを考え、未知の物理量（比熱）を求める問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、熱の移動に関する収支を正確に数式で表現することです。熱の供給源はヒーターのみであり、その熱を受け取るのは銅製容器、水、金属球の3者です。「断熱容器」という記述から、熱が外部に逃げることはないため、「供給された熱量 = 3者が吸収した熱量の合計」という単純な等式を立てることができます。それぞれの熱量を \(Q=mc\Delta T\) の公式に従って文字式で表現し、最後に求めたい比熱 \(c\) について式を整理します。

この設問における重要なポイント

• 供給された熱量: ヒーターは毎秒 \(q\) [J] の熱を供給するので、\(t\) [s] 間での総供給熱量は \(qt\) [J] となる。
• 熱を吸収した物体: 銅製容器（質量 \(M_0\), 比熱 \(0.39\)）、水（質量 \(M_1\), 比熱 \(4.2\)）、金属球（質量 \(M_2\), 比熱 \(c\)）の3つである。
• 共通の温度変化: 3つの物体は熱的に平衡な状態にあり、すべて一緒に温度が \(T_1\) [℃] から \(T_2\) [℃] へ上昇する。したがって、温度変化の大きさ \(\Delta T\) は、3者共通で \((T_2 – T_1)\) [K] となる。（温度差なので、℃ と K は同じ値になる）

具体的な解説と立式
ヒーターが \(t\) 秒間に供給した総熱量を \(Q_{\text{供給}}\) とすると、
$$
Q_{\text{供給}} = qt
$$
一方、銅製容器、水、金属球が吸収した熱量をそれぞれ \(Q_1, Q_2, Q_3\) とします。金属球の比熱を \(c\) とすると、公式 \(Q=mc\Delta T\) より、

• 銅製容器が吸収した熱量 \(Q_1\):
  $$
  Q_1 = M_0 \times 0.39 \times (T_2 – T_1)
  $$
• 水が吸収した熱量 \(Q_2\):
  $$
  Q_2 = M_1 \times 4.2 \times (T_2 – T_1)
  $$
• 金属球が吸収した熱量 \(Q_3\):
  $$
  Q_3 = M_2 \times c \times (T_2 – T_1)
  $$

熱量保存則より、供給された熱量は吸収された熱量の和に等しいので、
$$
Q_{\text{供給}} = Q_1 + Q_2 + Q_3
$$
したがって、以下の関係式が立てられます。
$$
qt = M_0 \times 0.39 \times (T_2 – T_1) + M_1 \times 4.2 \times (T_2 – T_1) + M_2 \times c \times (T_2 – T_1)
$$

上記で立てた方程式を、未知数 \(c\) について解きます。
まず、右辺を共通因数 \((T_2 – T_1)\) でまとめます。
$$
\begin{aligned}
qt &= (M_0 \times 0.39 + M_1 \times 4.2 + M_2 \times c)(T_2 – T_1)
\end{aligned}
$$
両辺を \((T_2 – T_1)\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{qt}{T_2 – T_1} &= M_0 \times 0.39 + M_1 \times 4.2 + M_2 c
\end{aligned}
$$
\(M_2 c\) 以外の項を左辺に移項します。
$$
\begin{aligned}
M_2 c &= \frac{qt}{T_2 – T_1} – M_0 \times 0.39 – M_1 \times 4.2
\end{aligned}
$$
最後に、両辺を \(M_2\) で割って \(c\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
c &= \frac{1}{M_2} \left( \frac{qt}{T_2 – T_1} – 0.39M_0 – 4.2M_1 \right)
\end{aligned}
$$
単位は \(\text{J/(g·K)}\) となります。

ヒーターを使って、容器と水と金属球が入ったお鍋を温める状況を想像してください。この問題は、「ヒーターが投入した全エネルギー」が、「容器を温めるエネルギー」「水を温めるエネルギー」「金属球を温めるエネルギー」の3つに分けられた、というエネルギーの収支計算です。それぞれのエネルギーを文字式で表し、「投入 = 消費」の等式を立てて、未知数である金属球の温まりやすさ（比熱）について解くだけです。

金属球の比熱 \(c\) が、与えられた物理量 \(q, t, M_0, M_1, M_2, T_1, T_2\) と既知の比熱を用いて表されました。式変形も物理法則の適用も基本的ですが、文字式であるため計算ミスがないか慎重に確認することが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱量保存則
  • 核心: この問題の根幹は、エネルギー保存則を熱の現象に適用した「熱量保存則」です。「断熱容器」という条件から、外部へ熱が逃げないと判断し、「ヒーターが供給した熱量」と「内部の物質（容器・水・金属球）が吸収した熱量の総和」が等しいという関係を立式する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 熱の移動に関わる全ての「登場人物」をリストアップすることが出発点です。熱を与える側（ヒーター）と、受け取る側（銅製容器、水、金属球）を明確に区別します。
    • 「しばらく放置する」「一定となった」という記述は、系全体が熱平衡状態に達し、すべての物質の温度が均一になったことを意味します。これにより、各物質の温度変化 \(\Delta T\) が共通の値 \((T_2 – T_1)\) として扱えることが保証されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 熱量計を用いた混合問題: 高温の物体と低温の物体を混ぜて熱平衡状態にする問題。この場合は「高温物体が失った熱量 = 低温物体が得た熱量」という形で熱量保存則を適用します。熱の供給源がヒーターではなく、高温物体になるだけで、考え方の本質は同じです。
  • 状態変化を含む熱量計算: 例えば、高温の金属球を \(0\)℃の氷が入った断熱容器に入れる問題。この場合、金属球が失った熱量は「氷を溶かすための熱（融解熱）」と「溶けた水（もと氷だったもの）の温度を上げるための熱」の合計に等しくなります。\(Q=mc\Delta T\) だけでなく、状態変化の熱量 \(Q=mL\) も考慮に入れる必要があります。
  • 電気エネルギーとの融合問題: ヒーターの加熱率 \(q\) [J/s] が、抵抗 \(R\) に流れる電流 \(I\) によって \(q = RI^2\) [W] のように、電気の知識を使って与えられる問題。電気エネルギーが熱エネルギーに変換される関係を理解しておく必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 熱の移動経路を把握する: 誰が熱を「与え」、誰が「受け取る」のかを明確にします。熱の流れを簡単な図に矢印で書き込むと、関係性が整理しやすくなります。
  2. 「断熱」のキーワードを確認する: 問題文に「断熱容器」「熱の出入りは無視できる」といった記述があるかを探します。これが、単純な「供給熱量 = 吸収熱量」の式を立てて良いかどうかの判断基準になります。
  3. 関わる全ての物体をリストアップする: 熱を受け取る（または放出する）物体を漏れなく数え上げます。特に「容器」は問題文に小さく書かれていることが多く、見落としがちなので細心の注意を払います。
  4. 初期状態と最終状態の温度を確認する: 各物体が最初どの温度で、最終的にどの温度で熱平衡に達するのかを整理します。これにより、各物体の温度変化 \(\Delta T\) を正しく計算できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 容器の熱容量を無視してしまう:
  • 誤解: 水と金属球の熱のやりとりに集中してしまい、それらを入れている容器も温度が変化し、熱を吸収（または放出）することを忘れてしまう。
  • 対策: 問題文に容器の質量 \(M_0\) と比熱 \(0.39\) が具体的に与えられているのは、「容器の熱量も計算に含めなさい」という明確な指示です。熱が関わる問題では、常に容器の存在を意識する癖をつけましょう。
• 文字式の計算ミス:
  • 誤解: 複数の項を含む方程式を、求めたい変数（今回は \(c\)）について解く際に、移項の符号を間違えたり、分配法則を誤ったりする。
  • 対策: 焦らず、一行ずつ丁寧に式を変形させることが最も確実です。主たる解法の計算過程のように、①共通因数でくくる、②両辺を割る、③移項する、④最後の係数で割る、という手順を明確に踏むことで、ミスを大幅に減らせます。
• 比熱と熱容量の混同:
  • 誤解: 比熱 [J/(g·K)] は物質 \(1\,\text{g}\) あたりの性質、熱容量 [J/K] は物体「全体」の性質であるという違いを曖昧に捉えてしまう。
  • 対策: 常に単位を確認しましょう。比熱を使う場合は、必ずその物体の質量を掛けて熱容量に変換（\(C=mc\)）してから熱量計算（\(Q=C\Delta T\)）に進む、と考えると混乱が少なくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（熱量保存則と \(Q=mc\Delta T\)）:
  • 選定理由: 問題の目的は「比熱 \(c\) の決定」であり、背景となる物理現象は「加熱による温度上昇」です。
    1. まず、熱の出入りを記述する系全体の大原則として「熱量保存則」を選択します。これは「断熱容器」という、エネルギーが外部に漏れない理想的な状況設定から導かれる最も重要な法則です。
    2. 次に、熱量保存則の等式を構成する各項（供給された熱量、吸収された熱量）を具体的に数式で表現する必要があります。
    3. 今回の現象は、状態変化を伴わない純粋な「温度上昇」です。この「温度上昇」という現象と「熱量」とを結びつける唯一の基本法則が \(Q=mc\Delta T\) です。したがって、各物体が吸収した熱量を計算するためにこの公式を選択するのは必然的な流れとなります。
  • 適用根拠:
    • 熱量保存則: 外部に熱が逃げない閉じた系であるため、エネルギー保存則が熱量の収支という形でシンプルに成り立ちます。
    • \(Q=mc\Delta T\): 問題の現象が、融解や蒸発といった状態変化を伴わず、温度だけが変化する「顕熱」の移動であるため、この公式が直接適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数でまとめる意識を持つ:
  • 計算過程で示したように、吸収熱量の各項は温度変化 \((T_2 – T_1)\) を共通因数として持ちます。最初にこれでくくり出すことで、式全体が非常に見通し良くなり、その後の移項や割り算が格段に楽になります。これは熱平衡を扱う問題で頻出する極めて有効なテクニックです。
• 単位による検算を行う:
  • 最終的に得られた式の単位が、本当に比熱の単位 [J/(g·K)] になっているかを確認する癖をつけましょう。
    • 右辺の \(\displaystyle\frac{qt}{T_2 – T_1}\) は [J]/[K] の次元（熱容量の次元）です。\(0.39M_0\) や \(4.2M_1\) も [J/(g·K)] \(\times\) [g] = [J/K] となり、同じく熱容量の次元です。
    • したがって、括弧の中身全体が [J/K] の次元を持ちます。
    • それに \(\displaystyle\frac{1}{M_2}\) ([1/g]) を掛けるので、式全体の単位は [J/(g·K)] となり、比熱の単位と一致することが確認できます。
• 式の意味を物理的に解釈する:
  • 導出した答えの式の構造を見てみましょう。
    $$ c = \frac{1}{M_2} \left( \frac{qt}{T_2 – T_1} – (0.39M_0 + 4.2M_1) \right) $$
  • これは、\(\displaystyle\frac{qt}{T_2 – T_1}\) が「系全体の熱容量」を表し、そこから「銅容器の熱容量」と「水の熱容量」を引き算した残りが、「金属球の熱容量」であることを意味しています。そして、その熱容量を質量 \(M_2\) で割ることで、比熱 \(c\) を求めている、という物理的に非常に明快な構造をしています。このように式の意味を解釈することで、検算にもつながります。

281 氷の融解熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「状態変化を伴う熱量保存則」です。異なる温度の水と氷を混ぜたときに、熱のやり取りを経て最終的にどのような状態（温度、質量）で平衡に達するかを計算する典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、高温の水が放出した熱が、低温の氷にどのように使われるかを追跡する問題です。氷は熱を受け取ると、まず自身の温度上昇（\(-10\)℃ → \(0\)℃）に使います。それでもまだ熱が余っていれば、次にその熱を状態変化（\(0\)℃の氷 → \(0\)℃の水）のために使います。
問題文に「氷の一部が溶けて熱平衡」とあるため、最終状態は氷と水が共存する \(0\)℃の状態であることが確定します。したがって、「\(10\)℃の水が \(0\)℃になるまでに放出した熱量」が、「\(-10\)℃の氷が \(0\)℃の氷になるために吸収した熱量」と「氷の一部が溶けるために吸収した熱量」の合計に等しい、という熱量保存則の式を立てて解きます。

この設問における重要なポイント

• 熱平衡温度は \(0\)℃である。
• 高温物体（水）が失う熱量は、\(10\)℃から \(0\)℃への温度降下によって生じる。
• 低温物体（氷）が得る熱量は、\(-10\)℃から \(0\)℃への温度上昇と、\(0\)℃での一部融解という2つの過程の合計である。
• 容器の熱容量は無視できるため、熱のやり取りは水と氷の間だけで完結する。

具体的な解説と立式
熱平衡に達したときの温度は \(0\)℃です。
高温物体である \(10\)℃の水 \(100\,\text{g}\) が失った熱量を \(Q_{\text{失}}\) とすると、
$$
Q_{\text{失}} = 100 \times 4.2 \times (10 – 0)
$$
低温物体である \(-10\)℃の氷 \(100\,\text{g}\) が得た熱量を \(Q_{\text{得}}\) とします。この熱量は、氷の温度が \(0\)℃に上昇するまでの熱量 \(Q_{\text{氷昇温}}\) と、氷が一部溶けるための熱量 \(Q_{\text{融解}}\) の和になります。
熱平衡に達したときに溶けた氷の質量を \(m\) [g] とすると、
$$
Q_{\text{氷昇温}} = 100 \times 2.1 \times \{0 – (-10)\}
$$
$$
Q_{\text{融解}} = m \times 330
$$
したがって、氷が得た総熱量は、
$$
Q_{\text{得}} = Q_{\text{氷昇温}} + Q_{\text{融解}}
$$
熱量保存則 \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\) より、以下の関係式が立てられます。
$$
100 \times 4.2 \times (10 – 0) = 100 \times 2.1 \times \{0 – (-10)\} + m \times 330
$$

まず、水が失った熱量 \(Q_{\text{失}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{失}} &= 100 \times 4.2 \times 10 \\[2.0ex] &= 4200\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に、氷が \(0\)℃になるまでに得た熱量 \(Q_{\text{氷昇温}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{氷昇温}} &= 100 \times 2.1 \times 10 \\[2.0ex] &= 2100\,\text{J}
\end{aligned}
$$
熱量保存則の式にこれらの値を代入して、溶けた氷の質量 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
4200 &= 2100 + m \times 330 \\[2.0ex] 330m &= 4200 – 2100 \\[2.0ex] 330m &= 2100 \\[2.0ex] m &= \frac{2100}{330} \\[2.0ex] m &= \frac{70}{11} \\[2.0ex] m &\approx 6.3636\dots\,\text{g}
\end{aligned}
$$
したがって、約 \(6.36\,\text{g}\) の氷が溶けたことになります。

最終的な氷と水の質量を計算します。

• 容器内の水の質量:
  もともとあった水 \(100\,\text{g}\) と、溶けた氷 \(m\) の和なので、
  $$
  \begin{aligned}
  100 + 6.36 &= 106.36 \\[2.0ex] &\approx 106\,\text{g}
  \end{aligned}
  $$
• 容器内の氷の質量:
  もともとあった氷 \(100\,\text{g}\) から、溶けた氷 \(m\) を引いたものなので、
  $$
  \begin{aligned}
  100 – 6.36 &= 93.64 \\[2.0ex] &\approx 94\,\text{g}
  \end{aligned}
  $$

\(10\)℃の温かい水と、\(-10\)℃の冷たい氷を混ぜる状況です。温かい水は冷えて \(0\)℃になろうとし、その過程で熱を放出します。一方、氷はその熱をもらって、まず \(0\)℃まで温まり、さらに余った熱で溶け始めます。最終的に、氷が少し溶けたところでちょうど水の熱がなくなり、全体が \(0\)℃の「氷水」の状態で落ち着きます。「水が放出した熱の総量」と「氷が温まり、溶けるために使った熱の総量」が等しいという式を立てることで、どれだけの氷が溶けたのかを計算できます。

最終的な氷の質量は約 \(94\,\text{g}\)、水の質量は約 \(106\,\text{g}\) と求まりました。溶けた氷の質量 \(m \approx 6.36\,\text{g}\) は、もとの氷の質量 \(100\,\text{g}\) よりも小さいので、「氷の一部が溶けた」という問題の状況と一致しています。また、計算した質量の合計は \(106.36 + 93.64 = 200\,\text{g}\) となり、初めの総質量 \(100\,\text{g} + 100\,\text{g}\) と一致しており、計算は妥当であると考えられます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 状態変化を伴う熱量保存則
  • 核心: この問題の根幹は、単なる温度変化だけでなく、融解という「状態変化」が関わる状況で熱量保存則を正しく適用できるか、という点にあります。低温物体（氷）が得る熱量が、①温度上昇のための熱（顕熱）と②状態変化のための熱（潜熱）の2段階で消費されることを正確にモデル化する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 熱の移動は常に高温物体から低温物体へ起こります。この問題では、\(10\)℃の水が「失う側」、\(-10\)℃の氷が「得る側」です。
    • 氷が得た熱は、まず温度上昇（\(-10\)℃→\(0\)℃）に使われ、温度が \(0\)℃に達して初めて融解（\(0\)℃の氷→\(0\)℃の水）のために使われ始めます。この優先順位を理解することが極めて重要です。
    • 「氷の一部が溶けて熱平衡」という記述は、最終状態が「氷と水が共存する状態」、すなわち温度が \(0\)℃であることを決定づける重要な手がかりです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 氷がすべて溶けてさらに温度が上昇する問題: 例えば、高温の水の質量が非常に大きい場合など、水が放出する熱量が、氷を \(0\)℃にし、かつすべて溶かしてもまだ余る場合があります。その場合、余った熱は「もと氷だった水」と「もとからあった水」全体の温度を \(0\)℃からさらに上昇させるために使われます。最終温度を \(T\) (\(>0\))℃と置いて方程式を立てます。
  • 水の一部が凍る問題: 例えば、\(-20\)℃の氷の塊に少量の \(0\)℃の水を注ぐ場合など。この場合は、水が失う熱（凝固熱）によって氷の温度が上昇します。
  • 水蒸気と氷を混ぜる問題: \(100\)℃を超える水蒸気と氷を混ぜるなど、複数の状態変化（凝縮、融解）が関わる複雑な問題。基本的な考え方は同じで、各過程で出入りする熱量を段階的に計算し、熱量保存則を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは最終温度を予測（吟味）する: 別解で示したように、各過程で必要な熱量を概算し、最終的にどのような状態で平衡に達するか（すべて氷か、氷水か、すべて水か）を見極めるのが最も確実なアプローチです。
     • (A) 高温物体が \(0\)℃になるまでに失う熱量
     • (B) 低温物体が \(0\)℃になるまでに得る熱量
     • (C) 低温物体が \(0\)℃ですべて状態変化するのに必要な熱量

     これらの大小関係を比較することで、最終状態が \(0\)℃になるか、それより高いか、低いかを判断できます。

  2. 熱の移動図を作成する: 各物質がどのように温度変化し、状態変化するかを数直線のような図に書き込むと、計算すべき熱量の各項が視覚的に整理され、立式ミスを防げます。
  3. 未知数を明確にする: 何を求めたいのか（この問題では溶けた氷の質量）を明確にし、それを文字（例: \(m\)）で置いて方程式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 氷が得る熱量を \(mc\Delta T\) だけで計算してしまう:
  • 誤解: 氷の温度が \(-10\)℃から最終温度（\(0\)℃）に変化したとして、\(Q = 100 \times 2.1 \times \{0 – (-10)\}\) だけで計算を終えてしまう。
  • 対策: 氷が得る熱は「温度上昇」と「融解」の二部構成であることを常に意識してください。熱量計算では、状態変化が関わるかどうかを最初に確認する癖をつけましょう。
• 溶けた氷の質量を最終的な水の質量と勘違いする:
  • 誤解: 計算で求めた \(m \approx 6.4\,\text{g}\) を、そのまま答えの水の質量としてしまう。
  • 対策: 最終的に求められているのは「容器内の氷と水の質量」です。計算で求めた \(m\) はあくまで「溶けた氷の質量」です。最終的な水の質量は「もともとあった水の質量＋溶けた氷の質量」、氷の質量は「もともとあった氷の質量－溶けた氷の質量」であることを忘れないようにしましょう。
• 比熱の値を使い間違える:
  • 誤解: 氷の温度上昇を計算する際に、水の比熱 \(4.2\,\text{J/(g·K)}\) を使ってしまう（あるいはその逆）。
  • 対策: 水と氷は同じ物質ですが、状態が異なると比熱の値も異なります。計算の各段階で、今扱っているのが「水」なのか「氷」なのかを明確に意識し、対応する正しい比熱の値を選択することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（熱量保存則, \(Q=mc\Delta T\), \(Q=mL_f\)）:
  • 選定理由: この問題は、異なる状態の物質間での熱のやり取りを扱っています。
    1. まず、系全体を支配する法則として「熱量保存則」を選択します。これは、外部との熱の出入りがないという問題設定から必然的に導かれます。
    2. 次に、熱量保存則の等式（失った熱量 = 得た熱量）を構成する各項を数式化する必要があります。この問題で起こる物理現象は「温度変化」と「状態変化（融解）」の2種類です。
    3. 「温度変化」に伴う熱量を記述する法則は \(Q=mc\Delta T\) です。したがって、\(10\)℃の水が \(0\)℃になる過程と、\(-10\)℃の氷が \(0\)℃になる過程の熱量計算にこの公式を適用します。
    4. 「状態変化」に伴う熱量を記述する法則は \(Q=mL\) です。今回は氷の融解なので、融解熱 \(L_f\) を用いて \(Q=mL_f\) を適用します。
  • 適用根拠: これらの公式は、熱現象の異なる側面を記述する基本的な法則です。問題で起きている物理現象を正しく分解し、それぞれの現象に対応する適切な公式を選択・適用することで、全体の熱収支を正確にモデル化できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 熱収支の表を作成する:
  • 計算が複雑になる場合は、以下のような簡単な表を作ると整理しやすくなります。
    

    物体	過程	熱量計算式	値 [J]
    水	\(10\)℃→\(0\)℃	\(100 \times 4.2 \times 10\)	\(4200\) (失う)
    氷	\(-10\)℃→\(0\)℃	\(100 \times 2.1 \times 10\)	\(2100\) (得る)
    氷	\(0\)℃氷→\(0\)℃水	\(m \times 330\)	\(330m\) (得る)

    この表から、「失う = 得る」の合計、すなわち \(4200 = 2100 + 330m\) という式を立てれば、ミスなく立式できます。

• 有効数字の扱いに注意する:
  • 問題文で与えられている数値は2桁または3桁です。途中の計算（例: \(m \approx 6.3636\dots\)）では多めの桁数（3〜4桁）を保持しておき、最終的な答えを出す段階で、問題の有効数字に合わせて四捨五入（この場合は2桁）するのが一般的です。模範解答では、途中の質量も有効数字3桁で求め、最終的な答えを2桁に丸めています。指示に従い、適切な桁数で答えましょう。
• 質量の保存を確認する:
  • 最終的に求めた氷の質量と水の質量の和が、初期の総質量（\(100\,\text{g} + 100\,\text{g} = 200\,\text{g}\)）と一致するかを検算します。\(94\,\text{g} + 106\,\text{g} = 200\,\text{g}\) となり、質量が保存されていることが確認でき、計算の信頼性が高まります。

282 ものさしと線膨張

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「線膨張の応用」です。単に物体の膨張を計算するだけでなく、測定器である「ものさし」自体も温度によって膨張するという、より現実的で応用的な状況を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の最大のポイントは、温度 \(t\)℃では、測定に用いている「ものさし」の目盛りの間隔も伸びている、という点です。ものさしは \(0\)℃のときに正しい長さを示すように作られています。したがって、温度 \(t\)℃で \(L\) [m] という測定値が得られた場合、それは「\(0\)℃のときに \(L\) [m] であったものさしの部分」が、温度 \(t\)℃まで膨張した長さと等しい長さの棒を測定した、と解釈できます。
つまり、求めるべき「\(t\)℃のときの棒の正しい長さ」は、「\(0\)℃で長さ \(L\) のものさしが、\(t\)℃になったときの長さ」そのものなのです。
この設問における重要なポイント

• ものさしは \(0\)℃で正しい長さを示す。
• 測定値 \(L\) は、\(t\)℃に膨張した目盛りで読み取った値である。
• 求める棒の長さは、\(0\)℃で長さ \(L\) のものさし部分が、線膨張率 \(\alpha_1\) で \(t\)℃まで膨張した長さに等しい。

具体的な解説と立式
求める「温度 \(t\)℃のときの棒の正しい長さ」を \(x\) [m] とします。
これは、\(0\)℃のときに長さ \(L\) [m] であったものさしが、温度 \(t\)℃に膨張したときの長さに等しくなります。
線膨張の公式 \(L_t = L_0(1+\alpha t)\) において、

• \(0\)℃のときの長さ \(L_0\) には、測定値 \(L\) を代入します。
• 線膨張率 \(\alpha\) には、ものさしの線膨張率 \(\alpha_1\) を代入します。
• 温度変化には \(t\) を代入します。

したがって、\(t\)℃での長さ \(x\) は、
$$
x = L(1 + \alpha_1 t)
$$
と表せます。

この設問は文字式で答えるため、これ以上の計算は不要です。

ゴムでできたものさしを想像してください。暖かい部屋ではゴムが伸びて、1cmの目盛りが本当は1.1cmくらいに広がってしまいます。この伸びたものさしで物の長さを測って「10cm」と読めたとします。このとき、物の本当の長さは、伸びた1cm目盛りが10個分なので、\(1.1 \times 10 = 11\)cm となります。この問題も同じで、測定値 \(L\) に、ものさしの目盛りが伸びた割合 \((1+\alpha_1 t)\) を掛けてあげれば、棒の本当の長さがわかります。

\(t>0\) のとき、\((1+\alpha_1 t) > 1\) となるため、棒の正しい長さ \(x\) は測定値 \(L\) よりも長くなります。これは、伸びた目盛りで測ると実際より短く測定されるという直感的な理解と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で、温度 \(t\)℃における棒の正しい長さが \(x = L(1+\alpha_1 t)\) であることがわかりました。この設問では、この棒を \(0\)℃に冷却したときの長さを求めます。
今度は、棒自身の線膨張（収縮）を考えます。棒の線膨張率は \(\alpha_2\) です。\(0\)℃のときの長さを \(x_0\) とすると、それが \(t\)℃に膨張したときの長さが \(x\) になる、という関係から \(x_0\) を逆算します。
この設問における重要なポイント

• 考える対象は「棒」であり、その線膨張率は \(\alpha_2\) である。
• \(t\)℃での棒の正しい長さは、(1)で求めた \(x = L(1+\alpha_1 t)\) である。
• 求めたいのは、この棒の \(0\)℃における長さ \(x_0\) である。

具体的な解説と立式
棒の \(0\)℃のときの長さを \(x_0\) [m] とします。
この棒が温度 \(t\)℃になったときの長さは、線膨張の公式より、
$$
x_0(1 + \alpha_2 t)
$$
と表せます。
これが、(1)で求めた「温度 \(t\)℃のときの棒の正しい長さ」\(x = L(1+\alpha_1 t)\) と等しくなるはずです。
したがって、以下の等式が成り立ちます。
$$
x_0(1 + \alpha_2 t) = L(1 + \alpha_1 t)
$$

上記で立てた方程式を、\(x_0\) について解きます。
両辺を \((1 + \alpha_2 t)\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
x_0 &= \frac{L(1 + \alpha_1 t)}{1 + \alpha_2 t} \\[2.0ex] &= \frac{1 + \alpha_1 t}{1 + \alpha_2 t} L
\end{aligned}
$$

(1)で、暖かい部屋での棒の本当の長さがわかりました。今度は、その棒を基準となる寒い \(0\)℃の部屋に持っていったときに、どれくらい縮むかを計算する問題です。棒自身の縮みやすさ（線膨張率 \(\alpha_2\)）を使って、\(0\)℃のときの元の長さを計算します。

もし、ものさしと棒が同じ物質でできていた場合、つまり \(\alpha_1 = \alpha_2\) であれば、\(x_0 = L\) となります。これは、ものさしと棒が全く同じように伸び縮みするため、どの温度で測っても、測定値 \(L\) は常に \(0\)℃のときの正しい長さに一致することを意味しており、物理的に非常に理にかなった結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 線膨張の相対的な理解
  • 核心: この問題の根幹は、線膨張の公式 \(L_t = L_0(1+\alpha t)\) を単に暗記して使うだけでなく、測定器（ものさし）と測定対象（棒）の両方が同時に膨張する状況で、その「相対的な効果」を正しく理解し、立式できるかにあります。
  • 理解のポイント:
    • ものさしは \(0\)℃で校正（正しい長さが刻まれている）されています。これが全ての計算の「基準」となります。
    • 温度 \(t\)℃で得られた測定値 \(L\) は、それ自体が正しい長さではありません。それは、\(t\)℃に膨張した「ものさし」で測った結果です。
    • したがって、棒の \(t\)℃での真の長さは、\(0\)℃のときに \(L\) であったものさしが \(t\)℃に膨張した長さに等しい、と解釈することが最も重要な思考ステップです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 金属の輪と棒のはめあい問題: ある温度では輪を通らない棒が、温度を変化させることで通るようになるか、という問題。輪の内径の膨張と、棒の外径の膨張をそれぞれ計算し、大小関係を比較します。
  • 振り子の周期の変化: 温度が上昇すると振り子の「長さ」が伸び、その結果として周期 \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) が変化する問題。線膨張の式と周期の式を組み合わせる必要があります。
  • バイメタル: 線膨張率の異なる2枚の金属板を貼り合わせたものが、温度変化によってどちら側に曲がるかを問う問題。線膨張率が大きい方がより大きく伸びるため、そちら側が外側になるように曲がります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準温度を明確にする: 問題文から、どの温度が長さの基準となっているか（この問題では \(0\)℃）を最初に確認します。
  2. 関わる全ての物体の線膨張率をリストアップする: 登場する物体（ものさし、棒など）と、それぞれの線膨張率（\(\alpha_1, \alpha_2\)）を対応付けて整理します。
  3. 「測定値」の意味を物理的に翻訳する: 問題文中の「測定値 \(L\)」という言葉を、「\(t\)℃に膨張したものさしで測った値」と物理的に解釈し直すことが、正しい立式への第一歩です。
  4. どの時点の長さを求めるのかを明確にする: 設問が求めているのが「\(t\)℃での真の長さ」なのか、「\(0\)℃での真の長さ」なのかを正確に把握し、適切な未知数を設定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ものさしの膨張を無視してしまう:
  • 誤解: 棒だけが膨張すると考え、\(t\)℃での測定値 \(L\) がそのまま \(t\)℃での棒の長さだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 問題文に「ものさし」の線膨張率 \(\alpha_1\) が与えられている時点で、「ものさしも膨張するのだな」と意識することが重要です。測定器自体も物理法則の影響を受けるという視点を持ちましょう。
• ものさしと棒の線膨張率を取り違える:
  • 誤解: 立式の際に、\(\alpha_1\) と \(\alpha_2\) を逆にして使ってしまう。
  • 対策: 「ものさしは \(\alpha_1\)」「棒は \(\alpha_2\)」という対応関係を、計算を始める前に問題用紙の余白などにメモしておくと、混乱を防げます。
• \(L_t = L_0(1+\alpha t)\) の \(L_0\) と \(L_t\) の意味を混同する:
  • 誤解: (2)で \(0\)℃の長さを求める際に、\(t\)℃での長さ \(x\) を \(L_0\) の位置に代入してしまうなど、公式の各項の意味を曖昧なまま使ってしまう。
  • 対策: \(L_0\) は常に「基準温度（\(0\)℃）での長さ」、\(L_t\) は「温度 \(t\)℃での長さ」であるという定義を常に意識しましょう。どちらが既知でどちらが未知かを明確にしてから代入することが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(L_t = L_0(1+\alpha t)\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「\(t\)℃での棒の正しい長さ」です。これは、物理的に「\(0\)℃で長さ \(L\) だったものさし部分が、\(t\)℃に膨張したときの長さ」と等価です。この「温度変化による長さの変化」を記述する基本法則が、線膨張の公式 \(L_t = L_0(1+\alpha t)\) です。
  • 適用根拠: \(0\)℃での長さ（\(L_0=L\)）と線膨張率（\(\alpha=\alpha_1\)）、温度変化（\(t\)）が分かっている状況で、\(t\)℃での長さ（\(L_t\)）を求めるという、公式の定義に完全に合致した状況であるため、この公式を直接適用します。
• (2)での公式選択（\(L_t = L_0(1+\alpha t)\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「\(0\)℃での棒の長さ」です。これは、(1)で求めた「\(t\)℃での棒の長さ」の、基準温度における長さに相当します。これも「温度変化による長さの変化」に関わる問題なので、同じく線膨張の公式を選択します。
  • 適用根拠: 今度は、\(t\)℃での長さ（\(L_t = L(1+\alpha_1 t)\)）と線膨張率（\(\alpha=\alpha_2\)）、温度変化（\(t\)）が分かっており、基準温度（\(0\)℃）での長さ（\(L_0=x_0\)）を求めたい、という状況です。これは公式を変形して \(L_0 = L_t / (1+\alpha t)\) として利用する場面であり、適用は妥当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似式を使わない判断:
  • \(\alpha\) が非常に小さい場合、\(\displaystyle\frac{1}{1+\alpha t} \approx 1-\alpha t\) という近似式が使えることがありますが、この問題では特に指示がないため、近似せずに分数の形のまま正確に計算するのが正解です。勝手な近似は減点の対象となる可能性があるため、問題文の指示がない限りは厳密な計算を心がけましょう。
• 文字式の整理は慎重に:
  • この問題はすべて文字式で表現されるため、計算ミスが起こりやすいです。特に(2)の答えのように分数の形になる場合、分子と分母を取り違えないように注意が必要です。
• 極端な場合を代入して検算する:
  • もし \(t=0\)℃ ならどうなるかを考えてみましょう。
    • (1)の答え: \(L(1+\alpha_1 \cdot 0) = L\)。\(0\)℃ではものさしは正しいので、測定値 \(L\) がそのまま棒の長さになるはずで、結果は正しいです。
    • (2)の答え: \(\displaystyle\frac{1+\alpha_1 \cdot 0}{1+\alpha_2 \cdot 0}L = L\)。(1)の結果が \(L\) なので、当然(2)も \(L\) となり、正しいです。
  • もし \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha\) ならどうなるか。
    • (2)の答え: \(\displaystyle\frac{1+\alpha t}{1+\alpha t}L = L\)。前述の通り、ものさしと棒が同じ物質なら、温度に関係なく測定値が \(0\)℃の長さに一致するはずで、結果は正しいです。

  このように、簡単な値や状況を代入してみることで、式の妥当性をチェックできます。

283 水銀の密度変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「体膨張とそれに伴う密度の変化」です。物質を加熱した際の体積の変化（体膨張）と、それに伴って密度がどのように変化するかを計算する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(0\)℃のときの体積 \(V_0\) と体膨張率 \(\beta\) が与えられており、\(60\)℃のときの体積 \(V\) を求める問題です。これは温度変化による体積の変化そのものなので、体膨張の公式 \(V = V_0(1+\beta t)\) を直接利用して計算します。
この設問における重要なポイント

• \(0\)℃のときの体積 \(V_0 = 200.0\,\text{cm}^3\)。
• 水銀の体膨張率 \(\beta = 1.82 \times 10^{-4}\,\text{/K}\)。
• 温度変化は \(t = 60\)℃ です。温度「差」を考える場合、セルシウス温度(℃)と絶対温度(K)の大きさは等しいので、\(t=60\,\text{K}\) として計算できます。

具体的な解説と立式
\(60\)℃における水銀の体積を \(V\) [\(\text{cm}^3\)] とします。
体膨張の公式は、
$$
V = V_0(1+\beta t)
$$
です。この式に、\(V_0 = 200.0\), \(\beta = 1.82 \times 10^{-4}\), \(t = 60\) を代入します。
$$
V = 200.0 \times (1 + 1.82 \times 10^{-4} \times 60)
$$
また、\(0\)℃のときの体積に対する倍率は、\(\displaystyle\frac{V}{V_0}\) で計算できます。

まず、体積 \(V\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V &= 200.0 \times (1 + 1.82 \times 10^{-4} \times 60) \\[2.0ex] &= 200.0 \times (1 + 109.2 \times 10^{-4}) \\[2.0ex] &= 200.0 \times (1 + 0.01092) \\[2.0ex] &= 200.0 \times 1.01092 \\[2.0ex] &= 202.184\,\text{cm}^3
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(202.2\,\text{cm}^3\) となります。

次に、\(0\)℃のときの体積に対する倍率を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{V}{V_0} &= \frac{202.184}{200.0} \\[2.0ex] &= 1.01092
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(1.011\) 倍となります。

物質は温めると膨らみます。どれくらい膨らむかは、その物質の「膨らみやすさ（体膨張率）」によって決まっています。この問題では、\(0\)℃のときの水銀の体積と、その膨らみやすさが分かっているので、公式に数字を当てはめるだけで、\(60\)℃に温めたときの体積がどれくらいになるかを計算できます。

体積は \(202.2\,\text{cm}^3\) となり、もとの \(200.0\,\text{cm}^3\) よりも大きくなりました。温度を上げたので体積が増えるのは物理的に当然であり、妥当な結果です。倍率は約 \(1.011\) 倍で、体積が約 \(1.1\%\) 増加したことがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
密度は「質量 ÷ 体積」で計算できます。物質を加熱しても、その質量は変化しません。そこで、まず \(0\)℃のときの密度と体積を使って水銀の質量を計算します。そして、その不変の質量を、(1)で求めた \(60\)℃のときの体積で割ることで、\(60\)℃における密度を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 質量は温度によって変化しない。
• \(0\)℃のときの密度 \(\rho_0 = 13.60\,\text{g/cm}^3\)。
• \(0\)℃のときの体積 \(V_0 = 200.0\,\text{cm}^3\)。
• \(60\)℃のときの体積 \(V \approx 202.184\,\text{cm}^3\)。

具体的な解説と立式
水銀の質量を \(m\) [g] とします。質量は温度によらないので、\(0\)℃のときの密度 \(\rho_0\) と体積 \(V_0\) から計算できます。
$$
m = \rho_0 V_0
$$
次に、\(60\)℃のときの密度を \(\rho\) [\(\text{g/cm}^3\)] とします。この密度は、質量 \(m\) を \(60\)℃のときの体積 \(V\) で割ることで求まります。
$$
\rho = \frac{m}{V}
$$
これらの式を組み合わせると、
$$
\rho = \frac{\rho_0 V_0}{V}
$$
となります。

まず、水銀の質量 \(m\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= 13.60 \times 200.0 \\[2.0ex] &= 2720\,\text{g}
\end{aligned}
$$
次に、この質量を(1)で求めた \(60\)℃のときの体積 \(V=202.184\,\text{cm}^3\) で割って、密度 \(\rho\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\rho &= \frac{2720}{202.184} \\[2.0ex] &\approx 13.4531\dots\,\text{g/cm}^3
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(13.45\,\text{g/cm}^3\) となります。

同じ重さの粘土でも、平べったく引き伸ばすと体積が大きくなり、その分スカスカになります（密度が小さくなります）。水銀も同じで、温めて膨張させると体積が大きくなるので、その分だけ密度は小さくなります。まず、もともとの水銀の重さ（質量）を計算し、その変わらない重さを、膨らんだ後の体積で割ってあげれば、新しい密度がわかります。

密度は \(13.45\,\text{g/cm}^3\) となり、もとの \(13.60\,\text{g/cm}^3\) よりも小さくなりました。体積が膨張したので密度が減少するのは物理的に当然であり、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 体膨張と質量保存則
  • 核心: この問題の根幹は、温度上昇によって体積は変化する（体膨張）が、質量は変化しない（質量保存則）という2つの異なる法則を正しく理解し、組み合わせる能力です。特に、密度 \(\rho = m/V\) という関係式において、\(V\) が変化する一方で \(m\) が一定であることが、密度の変化を導く鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 体膨張の公式 \(V = V_0(1+\beta t)\) は、温度変化による体積の変化率を記述します。
    • 質量保存則は、物理変化や化学変化の前後で物質の総質量は変わらないという大原則です。加熱は物理変化の一種なので、質量は不変です。
    • この2つの法則から、体積が増加すれば、密度は反比例して減少するという関係が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 線膨張と断面積変化: 針金などを加熱したときの断面積の変化を問う問題。線膨張率を \(\alpha\) とすると、半径は \((1+\alpha t)\) 倍、面積は \((1+\alpha t)^2 \approx (1+2\alpha t)\) 倍になります。面積膨張率が線膨張率の約2倍になるという関係を使います。
  • 浮力と体膨張: 温かい液体に物体を浮かべたときの浮力の変化を問う問題。液体の温度が上がると体積が膨張し、密度が減少します。浮力は \(F = \rho V g\) （\(\rho\) は液体の密度, \(V\) は物体が押しのけた液体の体積）で決まるため、液体の密度変化が浮力の変化に直接影響します。
  • 気体の状態方程式との関連: 気体の場合は、体膨張率という考え方ではなく、ボイル・シャルルの法則や理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を用いて温度・体積・圧力の関係を考えます。固体・液体と気体では扱い方が異なることを理解しておくことが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 膨張の種類を特定する: 問題が扱っているのが、長さの変化（線膨張）、面積の変化（面膨張）、体積の変化（体膨張）のどれなのかを最初に確認します。
  2. 不変量を見つける: 温度変化の前後で「何が変わらないのか」を探すことが重要です。この問題では「質量」が不変量でした。これにより、変化前と変化後の状態を結びつける等式を立てることができます。
  3. 密度が関わる場合は質量保存を意識する: 密度の変化を問われたら、それはほぼ確実に「質量は一定だが体積が変化した」というシナリオです。すぐに質量保存則に結びつけて考えましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 線膨張率と体膨張率の混同:
  • 誤解: 問題で与えられているのがどちらの膨張率かを確認せず、誤った公式を使ってしまう。
  • 対策: 単位に注目しましょう。線膨張率 \(\alpha\) も体膨張率 \(\beta\) も単位は同じ [/K] ですが、問題文で「体積」が議論されていれば体膨張率 \(\beta\)、「長さ」が議論されていれば線膨張率 \(\alpha\) を使います。一般に、等方的な物質では \(\beta \approx 3\alpha\) の関係があります。
• 有効数字の扱いミス:
  • 誤解: 計算の途中で数値を丸めてしまい、最終的な答えに誤差が生じる。
  • 対策: (1)で求めた体積 \(202.184\,\text{cm}^3\) を、(2)の計算で使う際には、丸める前の値（あるいはより多くの桁数）を用いるのが鉄則です。途中の計算では有効数字より1〜2桁多く保持し、最後の答えを出す段階で指定された有効数字に丸めるようにしましょう。
• 質量と密度の混同:
  • 誤解: 温度が上がって膨張すると、質量も変化するのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 質量は物質そのものの量を表す固有の物理量であり、温度や圧力などの状態変化では変わりません。一方、密度は単位体積あたりの質量であり、体積が変化すれば密度も変化します。この2つの概念を明確に区別することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(V = V_0(1+\beta t)\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「温度変化後の体積」です。与えられているのは「基準温度での体積」「体膨張率」「温度変化」です。これらの物理量間の関係を直接記述する法則が、体膨張の公式 \(V = V_0(1+\beta t)\) です。したがって、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 問題の状況が、公式の各変数が表す物理的状況（\(V_0\)が\(0\)℃での体積、\(V\)が\(t\)℃での体積）と完全に一致しているため、直接適用できます。
• (2)での公式選択（\(\rho = m/V\) と質量保存則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「温度変化後の密度」です。密度の定義式は \(\rho = m/V\) です。この式を使って \(\rho\) を求めるには、質量 \(m\) と体積 \(V\) の値が必要です。
    1. 体積 \(V\) は(1)で求めました。
    2. 質量 \(m\) は未知ですが、温度変化によって質量は変化しない（質量保存則）という物理法則を利用すれば、温度変化前の状態（\(0\)℃）から計算できるはずです。
    3. \(0\)℃の状態では密度 \(\rho_0\) と体積 \(V_0\) が既知なので、\(m = \rho_0 V_0\) によって質量を求めることができます。
  • 適用根拠: このように、求めたい物理量（\(\rho\)）の定義式から出発し、その構成要素（\(m, V\)）を他の物理法則（質量保存則、体膨張）や既知の条件を使って一つずつ明らかにしていく、という論理的な思考プロセスに基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算を正確に行う:
  • \(1.82 \times 10^{-4} \times 60\) のような指数を含む計算では、まず \(1.82 \times 60 = 109.2\) のように数値部分を計算し、それに指数 \(10^{-4}\) を組み合わせます。\(109.2 \times 10^{-4} = 0.01092\) のように、小数点の移動を慎重に行いましょう。
• 割り算は最後に行う:
  • (2)の計算 \(\displaystyle\frac{2720}{202.184}\) のように、割り算は計算の最終段階まで取っておくと、途中で丸めによる誤差が生じるのを防げます。
• 逆数をとる感覚を持つ（別解）:
  • 別解で示したように、体積が \((1+\beta t)\) 倍になるなら、密度は \(\displaystyle\frac{1}{1+\beta t}\) 倍になる、という逆数の関係を理解しておくと、検算や見通しを立てるのに役立ちます。\(1+\beta t \approx 1.011\) なので、密度は約 \(\displaystyle\frac{1}{1.011}\) 倍、つまり \(1\) より少し小さい数を掛けることになり、密度が減少するという予測と一致します。

284 失われた力学的エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の物体の運動とエネルギー保存則」です。摩擦のある斜面を滑り降りる物体の運動を、力のつりあい、仕事、エネルギーといった複数の物理法則を駆使して多角的に分析します。最終的には、摩擦によって失われた力学的エネルギーが熱エネルギーに変換されるという、熱力学第一法則につながる重要な概念を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、物体にはたらく力をすべて図示します。物体にはたらく力は、鉛直下向きの「重力」、斜面から垂直に受ける「垂直抗力」、斜面を滑り降りるのを妨げる向きの「動摩擦力」の3つです。
設問では重力と垂直抗力の大きさが問われています。重力の大きさは定義からすぐにわかります。垂直抗力は、物体が斜面にめり込んだり、斜面から浮き上がったりしないことから、斜面に垂直な方向の力がつりあっていると考えて求めます。
この設問における重要なポイント

• 重力を、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解する。
• 斜面に垂直な方向では、力のつりあいが成り立っている。
• 垂直抗力の大きさは、重力の斜面に垂直な成分の大きさに等しい。

具体的な解説と立式
物体にはたらく重力の大きさは、質量が \(m\)、重力加速度が \(g\) なので、
$$
mg
$$
です。
次に、この重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解します。斜面とのなす角が \(45^\circ\) なので、

• 斜面に平行な成分: \(mg\sin 45^\circ\)
• 斜面に垂直な成分: \(mg\cos 45^\circ\)

となります。
物体は斜面に沿って運動し、斜面に垂直な方向には動かないので、この方向の力はつりあっています。垂直抗力の大きさを \(N\) とすると、
$$
N = mg\cos 45^\circ
$$

\(\cos 45^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) なので、垂直抗力 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= mg \times \frac{\sqrt{2}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}}{2}mg
\end{aligned}
$$

物体が斜面にめり込んだり、逆に宙に浮いたりしないのは、斜面が物体を押し返す力（垂直抗力）と、重力が斜面を垂直に押す力がちょうど同じ大きさで釣り合っているからです。重力を斜面に対して垂直な方向と平行な方向に分解して、垂直な方向の成分を計算すれば、それがそのまま垂直抗力の大きさになります。

重力は \(mg\) [N]、垂直抗力は \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}mg\) [N] と求まりました。\(\sqrt{2} \approx 1.414\) なので、垂直抗力は重力より小さい値となり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
仕事は「力 × 力の向きに動いた距離」で計算されます。それぞれの力が、物体の移動方向（斜面下向き、距離 \(s\)）に対して、どのような向きにはたらいているかを考え、仕事の正負に注意しながら計算します。
この設問における重要なポイント

• 仕事の正負: 力が移動方向と同じ向きなら仕事は正、逆向きなら負、垂直ならゼロ。
• 重力の仕事: 重力の斜面平行成分 \(mg\sin 45^\circ\) が、距離 \(s\) だけ仕事をする。
• 動摩擦力の仕事: 動摩擦力 \(F’ = \mu’N\) が、移動方向と逆向きに距離 \(s\) だけ仕事をする。
• 垂直抗力の仕事: 垂直抗力 \(N\) は、移動方向と常に垂直なので仕事をしない。

具体的な解説と立式

• 重力がした仕事 \(W_g\)重力の斜面平行成分 \(mg\sin 45^\circ\) は、物体の移動方向と同じ向きです。
  $$
  W_g = (mg\sin 45^\circ) \times s
  $$
• 動摩擦力がした仕事 \(W_f\)動摩擦力の大きさ \(F’\) は \(F’ = \mu’N\) です。(1)の結果を用いると \(F’ = \mu’ \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}mg\) となります。この力は移動方向と逆向きなので、仕事は負になります。
  $$
  \begin{aligned}
  W_f &= -F’ \times s \\[2.0ex] &= – \left( \mu’ \frac{\sqrt{2}}{2}mg \right) \times s
  \end{aligned}
  $$
• 垂直抗力がした仕事 \(W_N\)垂直抗力は移動方向と常に垂直なので、仕事をしません。
  $$
  W_N = 0
  $$

\(\sin 45^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) を用いて、各仕事を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_g &= \left(mg \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \times s \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}}{2}mgs
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
W_f &= – \mu’ \frac{\sqrt{2}}{2}mgs
\end{aligned}
$$

仕事とは、物体を動かすのにどれだけ「貢献」したか、あるいは「邪魔」したかを表す量です。重力は坂を下るのを手伝うので正の仕事、動摩擦力は滑るのを邪魔するので負の仕事をします。垂直抗力は、滑る方向とは垂直に働いているので、滑ること自体には貢献も邪魔もしておらず、仕事はゼロになります。

重力の仕事は正、動摩擦力の仕事は負、垂直抗力の仕事はゼロとなり、それぞれの力の役割と一致した妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体の速さを求めるには、「仕事とエネルギーの関係」を利用するのが便利です。これは、「物体の運動エネルギーの変化は、その間に物体がされた仕事の総和に等しい」という法則です。
この設問における重要なポイント

• 物体は「静かに置く」ので、初速度は \(0\)、つまり運動エネルギーは \(0\) から始まる。
• 物体に仕事をした力は、(2)で求めた重力と動摩擦力である。
• （後の運動エネルギー）－（前の運動エネルギー）＝（された仕事の合計）

具体的な解説と立式
距離 \(s\) を滑った後の物体の速さを \(v\) [m/s] とします。
運動エネルギーの変化 \(\Delta K\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta K &= \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}m(0)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
物体がされた仕事の総和 \(W_{\text{全}}\) は、(2)の結果より、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{全}} &= W_g + W_f + W_N \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}}{2}mgs – \frac{\sqrt{2}}{2}\mu’mgs + 0
\end{aligned}
$$
仕事とエネルギーの関係 \(\Delta K = W_{\text{全}}\) より、
$$
\frac{1}{2}mv^2 = \frac{\sqrt{2}}{2}mgs – \frac{\sqrt{2}}{2}\mu’mgs
$$

上記で立てた方程式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{\sqrt{2}}{2}mgs(1-\mu’)
\end{aligned}
$$
両辺の \(m\) を消去し、\(2\) を掛けると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \sqrt{2}gs(1-\mu’)
\end{aligned}
$$
したがって、速さ \(v\) は、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\sqrt{2}gs(1-\mu’)}
\end{aligned}
$$

物体がスピードアップして運動エネルギーを得たのは、外部から「仕事」をされたからです。この「仕事」には、スピードアップを助ける重力の「正の仕事」と、邪魔をする摩擦の「負の仕事」があります。このプラスとマイナスを合計した正味の仕事量が、物体の得た運動エネルギーと等しくなります。この関係から速さを逆算します。

もし摩擦がなければ（\(\mu’=0\)）、\(v = \sqrt{\sqrt{2}gs}\) となります。摩擦がある場合（\(\mu’>0\)）、\((1-\mu’)\) の項によって速さは小さくなり、物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
摩擦によって発生する熱量は、動摩擦力が物体にした仕事の大きさ（絶対値）に等しくなります。この熱がすべて物体の温度上昇に使われたと考えるので、熱量の公式 \(Q=mc\Delta T\) を使って温度上昇 \(\Delta T\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 発生した熱量 \(Q\) は、動摩擦力がした仕事の大きさ \(|W_f|\) に等しい。
• 物体の比熱 \(c\) の単位が [J/(g·K)] であるため、物体の質量 \(m\) [kg] をグラム [g] に変換する必要がある。\(m\,\text{[kg]} = m \times 10^3\,\text{[g]}\)。
• 熱量の公式 \(Q = (\text{質量[g]}) \times (\text{比熱[J/(g·K)]}) \times (\text{温度上昇[K]})\) を適用する。

具体的な解説と立式
摩擦によって発生した熱量 \(Q\) は、(2)で求めた動摩擦力の仕事 \(W_f\) の絶対値に等しいので、
$$
\begin{aligned}
Q &= |W_f| \\[2.0ex] &= \left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\mu’mgs\right| \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}}{2}\mu’mgs
\end{aligned}
$$
この熱量がすべて、質量 \(m \times 10^3\) [g]、比熱 \(c\) [J/(g·K)] の物体の温度を \(\Delta T\) [K] だけ上昇させるのに使われたので、
$$
Q = (m \times 10^3) \times c \times \Delta T
$$
したがって、以下の等式が成り立ちます。
$$
\frac{\sqrt{2}}{2}\mu’mgs = (m \times 10^3) c \Delta T
$$

上記で立てた方程式を \(\Delta T\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\mu’mgs}{(m \times 10^3) c}
\end{aligned}
$$
両辺の \(m\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\mu’gs}{10^3 c} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}\mu’gs}{2 \times 10^3 c}
\end{aligned}
$$

坂道を滑ると、摩擦で熱が発生します。この熱は、もともと物体が持っていた位置エネルギーが、摩擦の邪魔によって運動エネルギーに変わりきれなかった「余り物」のようなものです。この発生した熱が、滑っている物体自身を温めるのに使われたとすると、温度はどれくらい上がりますか？という問題です。熱量の大きさを計算し、それを物体の温まりやすさ（比熱）と質量で割れば、温度上昇がわかります。

温度上昇 \(\Delta T\) は、動摩擦係数 \(\mu’\) と滑った距離 \(s\) に比例しています。これは、摩擦が強いほど、また長く滑るほど、より熱くなるという日常的な感覚と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー原理）
  • 核心: この問題の根幹は、力学における異なる概念、すなわち「力」とその時間的・空間的な効果である「仕事」、そして物体の運動状態を表す「エネルギー」とを結びつける「仕事とエネルギーの関係」を使いこなす能力です。特に、摩擦力がはたらく状況で、力学的エネルギーが保存しない代わりに、その変化量が非保存力の仕事に等しい、というより一般的なエネルギーの収支関係を理解することが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 運動方程式: 運動の「瞬間瞬間」の原因（力と加速度）を記述します。
    • 仕事とエネルギーの関係: 運動の「始点と終点」でのエネルギーの変化と、その間にされた仕事を結びつけます。途中の詳細な運動の様子を知らなくても、最終的な速さなどを求めることができます。
    • エネルギーから熱へ: (4)では、摩擦力がした負の仕事（力学的エネルギーの損失）が、そのまま熱エネルギー（内部エネルギーの増加）に変換されるという、エネルギー形態の変換という視点が加わります。これはエネルギー保存則のより広い適用例です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばねが関わる運動: 摩擦のある水平面や斜面上で、ばねに繋がれた物体の運動を扱う問題。この場合、物体に仕事をする力として、重力、摩擦力に加えて「弾性力」が加わります。弾性力がした仕事は、弾性エネルギーの変化として力学的エネルギーに含めて考えることができます。
  • 円運動や非等速円運動: 例えば、ジェットコースターが摩擦のあるループを回る問題など。各点での速さを求める際に、位置エネルギーの変化と摩擦力がした仕事を考慮したエネルギー保存則が非常に有効です。
  • 空気抵抗を受ける落下運動: 空気抵抗（速さに依存する非保存力）を受けながら物体が落下する場合、終端速度に達するまでの運動や、その間に失われた力学的エネルギーを計算する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは力をすべて図示し、分類する: 物体にはたらく力をすべて書き出し、それぞれが「保存力（重力、弾性力など）」か「非保存力（摩擦力、空気抵抗、人が加える力など）」かを分類します。
  2. エネルギー保存則が使えるか判断する: もし、はたらく力が保存力のみであれば、力学的エネルギー保存則がそのまま使えます。非保存力が仕事をする場合は、「力学的エネルギーの変化 = 非保存力がした仕事」という一般化された関係式を使います。
  3. 仕事とエネルギーの関係を使うか、運動方程式を使うか選択する:
     • 加速度や、運動の途中の時間などを問われたら → 運動方程式を立てるのが基本。
     • 始点と終点の速さや移動距離の関係だけを問われたら → 仕事とエネルギーの関係を使う方が、加速度を計算する手間が省けて効率的な場合が多い。
  4. 単位の統一を確認する: (4)のように、力学（kg, m, s）と熱力学（g, J, K）が融合した問題では、単位系の違いに特に注意が必要です。比熱の単位に合わせて質量を kg から g に変換するなど、計算前に単位を揃えることが不可欠です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の正負の判断ミス:
  • 誤解: 動摩擦力がした仕事を、大きさ \(|W_f|\) だけで正の値として計算に含めてしまう。
  • 対策: 仕事の定義は \(W=Fx\cos\theta\) です。力の向きと移動の向きを常に意識し、移動を助ける力（\(\theta < 90^\circ\)）は正の仕事、妨げる力（\(\theta > 90^\circ\)）は負の仕事をすると機械的に判断する癖をつけましょう。特に動摩擦力は、常に運動方向と逆向き（\(\theta = 180^\circ\)）なので、その仕事は必ず負になります。
• 力学的エネルギー保存則の誤用:
  • 誤解: 摩擦力がはたらいているにもかかわらず、力学的エネルギーが保存するとして \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) の式を立ててしまう。
  • 対策: 力学的エネルギーが保存するのは、「保存力以外の力が仕事をしない」という厳しい条件下のみです。問題文に「なめらかな」という記述がない限り、摩擦の可能性を疑い、安易にエネルギー保存則を使わないようにしましょう。
• 質量の単位換算忘れ:
  • 誤解: (4)で、比熱の単位が [J/(g·K)] であることを見落とし、質量に \(m\) [kg] をそのまま代入して計算してしまう。
  • 対策: 物理量を式に代入する際は、必ずその単位を確認する習慣をつけましょう。特に、異なる分野（力学と熱学など）が融合した問題では、単位系が混在していることが多いため、細心の注意が必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1), (2)での公式選択（力のつりあい、仕事の定義）:
  • 選定理由: (1)は静的な力の大きさを、(2)は力が移動中に与える影響（仕事）を問うています。これらは力学の最も基本的な定義に関する設問であり、力のつりあいの式と仕事の定義式 \(W=Fx\) を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 斜面に垂直な方向には加速度がないため、力のつりあいが成立します。仕事の計算では、各力が定義に従ってどのような貢献をするかを個別に評価します。
• (3)での公式選択（仕事とエネルギーの関係）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さ」であり、これは「運動エネルギー」に直結する物理量です。運動の始点（速さ \(0\)）と終点（速さ \(v\)）の状態が与えられ、その間にされた「仕事」は(2)で計算済みです。このように、「仕事」と「運動エネルギーの変化」を結びつける法則として、仕事とエネルギーの関係（エネルギー原理）は最も直接的で効率的な選択肢となります。
  • 適用根拠: この法則は、ニュートンの運動方程式を積分して得られるものであり、摩擦の有無にかかわらず常に成り立ちます。したがって、非保存力が仕事をする本問のような状況で速さを求める際に、非常に強力なツールとなります。
• (4)での公式選択（\(Q=|W_f|\), \(Q=mc\Delta T\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「温度上昇」であり、これは「熱量」に関わる物理量です。
    1. まず、この熱量がどこから来たのかを考える必要があります。物理学の大原則であるエネルギー保存則によれば、摩擦によって「失われた力学的エネルギー」が熱エネルギーに変換されたと考えられます。失われた力学的エネルギーの量は、摩擦力がした仕事の大きさ \(|W_f|\) に等しくなります。
    2. 次に、得られた熱量 \(Q\) と温度上昇 \(\Delta T\) の関係を記述する法則が必要です。それが熱量の基本公式 \(Q=mc\Delta T\) です。
  • 適用根拠: この2つの法則を結びつけることで、力学的な現象（摩擦による仕事）と熱的な現象（温度上昇）を関連付けることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角比の値を正確に覚える:
  • \(45^\circ\) の三角比は \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) (\( \approx 0.707\)) です。\(30^\circ, 60^\circ\) の三角比と合わせて、これらの値は瞬時に出てくるようにしておきましょう。
• 文字式の整理を丁寧に行う:
  • (3)の計算のように、複数の項を含む式から特定の変数を求める場合、共通因数（この場合は \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}mgs\)）でくくり出すと、式がシンプルになり計算ミスを減らせます。
• 単位換算は式の代入前に行う:
  • (4)で \(m\) [kg] を \(m \times 10^3\) [g] に変換する際、\(Q=mc\Delta T\) の式に数値を代入する前に、質量の値をあらかじめグラム単位に直しておくと、計算中の混乱を防げます。
• 物理的にありえない答えでないか吟味する:
  • (3)で、もし \(1-\mu’ < 0\) となるような大きな摩擦係数（\(\mu’>1\)）が与えられた場合、速さ \(v\) の根号の中が負になってしまいます。これは、そもそも物体が滑り出さない（あるいは途中で止まる）ことを意味し、計算結果が物理現象と矛盾しないことを示唆しています。

285 熱機関と熱効率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱機関のエネルギー収支と熱効率」です。熱機関が高温の熱源から熱を吸収し、その一部を仕事に変換し、残りを低温の熱源に放出するという一連のエネルギーの流れを、具体的な数値を用いて定量的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「仕事に変わることなく、蒸気機関から外部へ放出される熱量」とは、熱機関のサイクルにおいて低温の熱源（この問題では冷却器）へ捨てられる熱量 \(Q_{\text{放出}}\) のことです。問題文の記述から、これは「毎秒 \(2.0\,\text{kg}\) の \(100\)℃の水蒸気が \(100\)℃の水へもどされる」際に放出される熱量に相当します。
気体が液体に戻る現象を「凝縮」といい、このとき放出される熱（凝縮熱）の大きさは、同じ質量の液体が気体になるときに吸収する熱（蒸発熱）の大きさと等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 放出される熱量は、水蒸気が水に凝縮する際の凝縮熱である。
• 凝縮熱の大きさは蒸発熱の大きさに等しい。
• 毎秒 \(2.0\,\text{kg}\) の水蒸気が凝縮する。
• 水の蒸発熱は \(2.3 \times 10^3\,\text{J/g}\) で与えられているため、質量の単位を kg から g に換算する必要がある。

具体的な解説と立式
毎秒放出される熱量を \(Q_{\text{放出}}\) [J]、毎秒凝縮する水蒸気の質量を \(m\)、水の蒸発熱を \(L_v\) [J/g] とすると、
$$
Q_{\text{放出}} = m L_v
$$
ここで、質量 \(m\) はグラム単位に変換する必要があります。
$$
m = 2.0\,\text{kg} = 2.0 \times 10^3\,\text{g}
$$
したがって、立式は以下のようになります。
$$
Q_{\text{放出}} = (2.0 \times 10^3) \times (2.3 \times 10^3)
$$

$$
\begin{aligned}
Q_{\text{放出}} &= (2.0 \times 10^3) \times (2.3 \times 10^3) \\[2.0ex] &= 4.6 \times 10^6\,\text{J}
\end{aligned}
$$

やかんのお湯が沸騰するとき、水は熱を吸収して水蒸気になります（蒸発）。逆に、お風呂の鏡が湯気で曇るときのように、水蒸気が冷えて水滴に戻るときは、蓄えていた熱を放出します（凝縮）。この問題では、毎秒 \(2.0\,\text{kg}\) の水蒸気が水に戻るので、そのときに放出される熱の総量を計算します。

毎秒 \(4.6 \times 10^6\,\text{J}\) の熱が放出されると求まりました。これはこの後の設問を解くための基礎となる値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
熱機関が吸収した熱 \(Q_{\text{吸収}}\)、した仕事 \(W\)、放出した熱 \(Q_{\text{放出}}\) の間には \(Q_{\text{吸収}} = W + Q_{\text{放出}}\) の関係があります。また、熱効率 \(e\) は \(e = \frac{W}{Q_{\text{吸収}}}\) と定義されます。
これらの式を組み合わせると、仕事 \(W\) を消去した関係式 \(e = \frac{Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}}{Q_{\text{吸収}}}\) が得られます。
この設問では、熱効率 \(e\) と(1)で求めた \(Q_{\text{放出}}\) がわかっているので、この式を用いて未知数である \(Q_{\text{吸収}}\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 熱効率 \(e = 15\% = 0.15\)。
• (1)で求めた、毎秒放出する熱量 \(Q_{\text{放出}} = 4.6 \times 10^6\,\text{J}\) を用いる。
• 求めるのは、毎秒取り入れる熱量 \(Q_{\text{吸収}}\) である。

具体的な解説と立式
熱効率 \(e\)、高温の熱源から毎秒取り入れる熱量 \(Q_{\text{吸収}}\)、低温の熱源へ毎秒放出する熱量 \(Q_{\text{放出}}\) の関係は、
$$
e = \frac{Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}}{Q_{\text{吸収}}}
$$
で与えられます。この式に \(e=0.15\) と \(Q_{\text{放出}} = 4.6 \times 10^6\) を代入して、\(Q_{\text{吸収}}\) についての方程式を立てます。
$$
0.15 = \frac{Q_{\text{吸収}} – 4.6 \times 10^6}{Q_{\text{吸収}}}
$$

上記の方程式を \(Q_{\text{吸収}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0.15 \times Q_{\text{吸収}} &= Q_{\text{吸収}} – 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex] Q_{\text{吸収}} – 0.15 \times Q_{\text{吸収}} &= 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex] 0.85 \times Q_{\text{吸収}} &= 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex] Q_{\text{吸収}} &= \frac{4.6 \times 10^6}{0.85} \\[2.0ex] &\approx 5.4117\dots \times 10^6\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(5.4 \times 10^6\,\text{J}\) となります。

この蒸気機関の「燃費」は15%です。これは、もらった熱エネルギーのうち、15%だけを仕事に変換でき、残りの85%は捨ててしまう、という意味です。(1)で「毎秒捨てている熱量」が \(4.6 \times 10^6\,\text{J}\) だとわかりました。これが全体の85%に相当するので、もともと「毎秒もらっていた熱量」（100%分）はいくらだったのかを逆算します。

吸収した熱量 \(Q_{\text{吸収}} \approx 5.4 \times 10^6\,\text{J}\) は、放出した熱量 \(Q_{\text{放出}} = 4.6 \times 10^6\,\text{J}\) よりも大きく、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問では、10分間にする「総仕事量」を求めます。そのためには、まず「毎秒あたりにする仕事」\(W\) を計算する必要があります。
毎秒の仕事 \(W\) は、(2)で求めた毎秒吸収する熱量 \(Q_{\text{吸収}}\) と熱効率 \(e\) を用いて \(W = e Q_{\text{吸収}}\) から計算できます。あるいは、エネルギー保存則から \(W = Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}\) としても計算できます。
毎秒の仕事が求まれば、あとは時間（10分）を秒に換算して掛けるだけです。
この設問における重要なポイント

• 10分間は \(10 \times 60 = 600\) 秒である。
• 計算の精度を上げるため、(2)で求めた \(Q_{\text{吸収}}\) の値は、丸める前の値を用いるのが望ましい。

具体的な解説と立式
毎秒あたりにする仕事を \(W\) [J] とします。熱効率の定義より、
$$
W = e Q_{\text{吸収}}
$$
10分間にする総仕事量を \(W_{\text{10分}}\) とすると、
$$
W_{\text{10分}} = W \times (10 \times 60)
$$
したがって、
$$
W_{\text{10分}} = (e Q_{\text{吸収}}) \times 600
$$

まず、毎秒あたりの仕事 \(W\) を計算します。(2)の計算結果 \(Q_{\text{吸収}} \approx 5.4117 \times 10^6\,\text{J}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
W &= 0.15 \times (5.4117 \times 10^6) \\[2.0ex] &\approx 0.8117 \times 10^6\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に、10分間の総仕事量 \(W_{\text{10分}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{10分}} &= (0.8117 \times 10^6) \times 600 \\[2.0ex] &= 487.02 \times 10^6 \\[2.0ex] &\approx 4.87 \times 10^8\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(4.9 \times 10^8\,\text{J}\) となります。

（別のアプローチ）
\(W = Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
W &= (5.4117 \times 10^6) – (4.6 \times 10^6) \\[2.0ex] &= 0.8117 \times 10^6\,\text{J}
\end{aligned}
$$
となり、同じ結果が得られます。

(2)で、この蒸気機関が「毎秒もらう熱量」がわかりました。そのうち15%が仕事になるので、「毎秒する仕事」の量を計算できます。あとは、それを10分間（600秒）続けたらいくつになりますか？という単純な掛け算の問題です。

10分間にする仕事は \(4.9 \times 10^8\,\text{J}\) と求まりました。計算の桁数が大きいですが、手順は単純です。計算ミスに注意しましょう。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則（エネルギー保存則）と熱効率
  • 核心: この問題の根幹は、熱機関におけるエネルギーの流れを、熱力学第一法則（エネルギー保存則）に基づいて理解することです。すなわち、「高温源から吸収した熱エネルギー \(Q_{\text{吸収}}\)」が、「外部への仕事 \(W\)」と「低温源への排熱 \(Q_{\text{放出}}\)」という2つの経路に分配されるというエネルギー収支（\(Q_{\text{吸収}} = W + Q_{\text{放出}}\)）を把握することが全てです。熱効率 \(e\) は、この収支の「効率」を表す指標にすぎません。
  • 理解のポイント:
    • 熱機関は、熱エネルギーを仕事に変換する装置ですが、吸収した熱のすべてを仕事に変換することはできず、必ず一部を低温源に捨てなければなりません（熱力学第二法則）。
    • \(Q_{\text{吸収}}\)（収入）、\(W\)（有効活用）、\(Q_{\text{放出}}\)（廃棄）というお金の流れに例えると、関係性が非常に分かりやすくなります。熱効率 \(e = W/Q_{\text{吸収}}\) は「収入のうち有効活用できた割合」です。
    • (1)で求めた「放出される熱量」は \(Q_{\text{放出}}\)、(2)で求めた「取り入れる熱量」は \(Q_{\text{吸収}}\) にそれぞれ対応します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 冷凍機・ヒートポンプ: 熱機関とは逆のサイクルで、外部から仕事をすることで低温部から熱を奪い、高温部へ熱を移動させる装置です。成績係数（COP）という効率の指標が用いられますが、考え方の基本はエネルギー収支であり、本質は同じです。
  • カルノーサイクル: 理想的な熱機関であるカルノーサイクルの熱効率は、高温熱源の絶対温度 \(T_H\) と低温熱源の絶対温度 \(T_L\) だけで決まります（\(e_c = 1 – T_L/T_H\)）。この公式と、実際の熱機関の熱効率を比較する問題などがあります。
  • P-Vグラフで表されたサイクル: 気体をピストン内で膨張・圧縮させて1サイクルさせたときの仕事や熱効率を求める問題。グラフが囲む面積が1サイクルあたりの仕事 \(W\) に相当し、各過程（定積、定圧、等温、断熱）での熱の吸収・放出を計算して \(Q_{\text{吸収}}\) を求め、熱効率を計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの流れを図示する: 高温熱源から熱機関へ \(Q_{\text{吸収}}\) が入り、そこから仕事 \(W\) と排熱 \(Q_{\text{放出}}\) が出ていく、という簡単なブロック図を描くと、問題の構造が視覚的に把握できます。
  2. 各設問が \(Q_{\text{吸収}}, W, Q_{\text{放出}}\) のどれを指しているか特定する:
     • 「取り入れる熱」「吸収する熱」→ \(Q_{\text{吸収}}\)
     • 「放出する熱」「捨てる熱」「冷却器に渡す熱」→ \(Q_{\text{放出}}\)
     • 「する仕事」「外部にした仕事」→ \(W\)
  3. 単位時間あたりの量か、総量かを区別する: 問題文が「毎秒」あたりの量を問うているのか、特定の時間（例: 10分間）における総量を問うているのかを明確に区別します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 蒸発熱と凝縮熱の扱いの混同:
  • 誤解: 蒸発は吸熱、凝縮は発熱という関係が曖昧で、(1)で放出される熱量を計算する際に符号を間違えたり、別の物理量と考えてしまう。
  • 対策: 状態変化における熱の出入りは可逆的です。氷が水になるときに吸収する熱（融解熱）と、水が氷になるときに放出する熱（凝固熱）の大きさは等しいです。同様に、水が水蒸気になるときに吸収する熱（蒸発熱）と、水蒸気が水になるときに放出する熱（凝縮熱）の大きさも等しいです。この対称性を理解しておきましょう。
• 熱効率の式の変形ミス:
  • 誤解: \(e = \frac{Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}}{Q_{\text{吸収}}}\) の式を \(Q_{\text{吸収}}\) について解く際に、代数的な計算を誤ってしまう。
  • 対策: (2)の計算過程のように、まず分母を払って \(e Q_{\text{吸収}} = Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}\) の形にし、そこから \(Q_{\text{吸収}}\) の項を一方に集める（\(Q_{\text{吸収}}(1-e) = Q_{\text{放出}}\)）、という手順を焦らず丁寧に行いましょう。
• 単位換算のミス:
  • 誤解: (1)で、蒸発熱の単位が [J/g] であることを見落とし、質量 \(2.0\) [kg] をそのまま掛けてしまう。
  • 対策: 物理量を式に代入する前には、必ず単位が整合しているかを確認する癖をつけましょう。\(m=2.0\,\text{kg} = 2.0 \times 10^3\,\text{g}\) のように、計算の冒頭で単位を揃えておくのが安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(Q=mL\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「水蒸気が水にもどる」という状態変化に伴って放出される熱量です。状態変化と熱量を結びつける基本法則は \(Q=mL\)（潜熱の公式）以外にありません。
  • 適用根拠: 問題で与えられているのは、状態変化する物質の質量 \(m\) と、その物質の蒸発熱 \(L_v\) です。凝縮熱の大きさは蒸発熱の大きさと等しいという物理的な事実に基づき、この公式を適用します。
• (2)での公式選択（\(e = (Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}})/Q_{\text{吸収}}\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「吸収した熱量 \(Q_{\text{吸収}}\)」です。既知の量は「熱効率 \(e\)」と「放出した熱量 \(Q_{\text{放出}}\)」です。これら3つの物理量を直接結びつける関係式が、熱効率の定義式を変形したこの式です。
  • 適用根拠: 熱効率の定義 \(e = W/Q_{\text{吸収}}\) と、エネルギー保存則 \(W = Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}\) は、あらゆる熱機関に共通して成り立つ普遍的な法則です。したがって、これらの法則から導かれる関係式は、この問題に直接適用できます。
• (3)での公式選択（\(W = e Q_{\text{吸収}}\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「仕事 \(W\)」です。既知の量として「熱効率 \(e\)」と「吸収した熱量 \(Q_{\text{吸収}}\)」が(2)で求まっています。これら3つの物理量を最もシンプルに結びつけるのが、熱効率の基本定義式 \(e = W/Q_{\text{吸収}}\) を変形した \(W = e Q_{\text{吸収}}\) です。
  • 適用根拠: 熱効率の定義そのものを利用しているため、論理的に最も直接的な選択です。もちろん、\(W = Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}\) を使っても同じ結果が得られ、エネルギー保存則の観点からの計算となり、これもまた正しいアプローチです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算のルールを徹底する:
  • \( (2.0 \times 10^3) \times (2.3 \times 10^3) \) のような計算では、数値部分（\(2.0 \times 2.3 = 4.6\)）と指数部分（\(10^3 \times 10^3 = 10^{3+3} = 10^6\)）を別々に計算して最後に組み合わせると、桁数のミスを防げます。
• パーセンテージは小数に直す:
  • 熱効率 \(15\%\) は、計算に使う際には必ず \(0.15\) という小数に直してから代入します。パーセントのまま計算しないように注意しましょう。
• 時間の単位を秒に統一する:
  • (3)で「10分間」と与えられた場合、物理計算の基本単位である「秒」に直す（\(10 \times 60 = 600\) 秒）ことを忘れないようにしましょう。「毎秒」あたりの仕事量に、時間の「秒」を掛けることで、単位が [J/s] \(\times\) [s] = [J] となり、仕事の単位と一致します。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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