「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅱ 章 10】発展例題～発展問題254

発展例題

発展例題21 連星の質量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連星の運動解析と万有引力」です。2つの天体が互いの引力によって共通の重心の周りを円運動するという、天体力学の基本的なモデルを扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、2つの天体が互いに及ぼし合う万有引力を「向心力」として、それぞれが共通重心の周りを等速円運動していると捉えることです。1つの天体に着目し、その円運動の運動方程式を立てることで、未知の質量 \(M\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 2つの天体の質量は等しく \(M\) である。
• 天体間の距離は常に \(R\) である。
• 各天体は、2天体の共通重心（この場合は中点）を中心とする、半径 \(r = \frac{R}{2}\) の円軌道を運動する。
• 向心力は、もう一方の天体から受ける万有引力 \(F = G\frac{M \cdot M}{R^2}\) である。
• 周期が \(T\) なので、角速度は \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) と表せる。

具体的な解説と立式
1つの天体（質量 \(M\)）に着目します。
この天体は、共通重心を中心として半径 \(r = \frac{R}{2}\) の等速円運動をしています。
この円運動に必要な向心力は、もう一方の天体（質量 \(M\)、距離 \(R\) の位置にある）から受ける万有引力によって供給されます。

万有引力の大きさ \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= G\frac{M^2}{R^2}
\end{aligned}
$$
一方、この天体の角速度を \(\omega\) とすると、周期 \(T\) との関係から、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{T}
\end{aligned}
$$
この天体の等速円運動の運動方程式は \(m r \omega^2 = F\) と表せます。ここに、\(m=M\), \(r=\frac{R}{2}\), \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), および万有引力の式を代入すると、
$$
\begin{aligned}
M \left(\frac{R}{2}\right) \omega^2 &= G\frac{M^2}{R^2}
\end{aligned}
$$
さらに \(\omega\) を代入して、
$$
\begin{aligned}
M \left(\frac{R}{2}\right) \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 &= G\frac{M^2}{R^2} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
これで、質量 \(M\) を求めるための方程式が立てられました。

式①を \(M\) について解きます。
まず、式①の両辺を \(M\) で割ります（\(M \neq 0\)）。
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{R}{2}\right) \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 &= G\frac{M}{R^2} \\[2.0ex] \frac{R}{2} \cdot \frac{4\pi^2}{T^2} &= G\frac{M}{R^2} \\[2.0ex] \frac{2\pi^2 R}{T^2} &= G\frac{M}{R^2}
\end{aligned}
$$
次に、両辺に \(\frac{R^2}{G}\) を掛けて \(M\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
M &= \frac{2\pi^2 R}{T^2} \cdot \frac{R^2}{G} \\[2.0ex] M &= \frac{2\pi^2 R^3}{GT^2}
\end{aligned}
$$

お互いに引き合いながら、手をつないでぐるぐる回っている2人の人を想像してみてください。この2人が離れずに回り続けるためには、お互いを引っ張る力（万有引力）が、ちょうど円運動をするのに必要な力（向心力）と等しくなっている必要があります。この「力のつりあい」の考え方（運動方程式）を使って、2人の重さ（天体の質量）を計算する問題です。周期（1周する時間）がわかっているので、どれくらいの速さで回っているかがわかり、そこから必要な向心力が計算でき、最終的に質量が求まります。

天体1つの質量は \(M = \frac{2\pi^2 R^3}{GT^2}\) と求まりました。
この結果は、周期 \(T\) が短いほど（速く回転しているほど）、また天体間距離 \(R\) が大きいほど、質量 \(M\) が大きいことを示しており、物理的に妥当な関係です。例えば、同じ距離でより速く回るためには、より強い引力、すなわちより大きな質量が必要となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力を向心力とする等速円運動の運動方程式
  • 核心: この問題の物理的状況は、「2つの天体が、互いに及ぼし合う万有引力を向心力として、共通重心の周りを等速円運動している」という一文に集約されます。この物理モデルを、運動方程式 \(ma=F\) という数学的な言葉に翻訳することが全ての出発点です。
  • 理解のポイント:
    • 力の特定: 1つの天体に着目したとき、それに働く力はもう一方の天体からの万有引力 \(F = G\frac{M^2}{R^2}\) のみです。この力が円運動を引き起こす「向心力」の正体です。
    • 運動の特定: 天体は等速円運動をしています。その軌道半径は、天体間距離 \(R\) そのものではなく、共通重心までの距離 \(r=R/2\) です。また、周期 \(T\) が与えられていることから、向心加速度は \(a = r\omega^2 = (\frac{R}{2})(\frac{2\pi}{T})^2\) と具体的に計算できます。
    • 立式: 上記の力と運動を、運動方程式 \(ma=F\) に代入することで、\(M \cdot \left(\frac{R}{2}\right)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = G\frac{M^2}{R^2}\) という、未知数 \(M\) を含む関係式を導き出すことができます。この一連の思考プロセスが、この問題の根幹をなします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量が異なる連星 (\(m_1 \neq m_2\)): この場合、共通重心の位置が2天体を結ぶ線分の中点からずれます。重心の性質から \(m_1 r_1 = m_2 r_2\) が成り立ち、これと \(r_1 + r_2 = R\) を連立させることで、各天体の軌道半径 \(r_1, r_2\) を求める必要があります。運動方程式を立てる手順は同じですが、この最初の幾何学的な考察が加わります。
  • 惑星と衛星（太陽と地球など）: 片方の天体の質量が他方に比べて圧倒的に大きい場合、共通重心は重い天体のほぼ中心に位置します。そのため、重い天体は「静止している」と近似でき、軽い天体が重い天体を中心として、軌道半径 \(R\)（天体間距離そのもの）で円運動すると考えられます。これは、ケプラーの第3法則の基本形につながるモデルです。
  • ボーアの原子模型: 原子核の周りを電子が回るモデルも、構造は全く同じです。万有引力が、原子核と電子の間に働く静電気力（クーロン力）に置き換わるだけで、静電気力を向心力として円運動の運動方程式を立てるという解法は完全に共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは図を描き、回転の中心と半径を特定する: 誰が、何を、どこを中心に回っているのかを明確にします。特に「軌道半径」が「天体間距離」と一致するのか、それともその一部（\(R/2\) など）なのかを見極めることが最初の重要なステップです。
  2. 向心力の源は何かを考える: 円運動しているからには、必ず中心に向かう力があるはずです。それが万有引力なのか、静電気力なのか、はたまた糸の張力なのか、問題の状況から力の正体を突き止めます。
  3. 運動の記述方法を選択する: 問題で与えられている量に応じて、最も計算が楽になる変数を選びます。周期 \(T\) が与えられていれば角速度 \(\omega\) (\(=2\pi/T\)) が、速さ \(v\) が与えられていれば \(v\) を使うのが定石です。
  4. より上位の法則が使えないか検討する: 運動方程式から解くのが基本ですが、「天体の周期運動」というキーワードから、ケプラーの法則（特に2体問題の一般形）が適用できないか考えてみましょう。適用できれば、計算を大幅にショートカットできる可能性があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 軌道半径 \(r\) と天体間距離 \(R\) の混同:
  • 誤解: 運動方程式 \(mr\omega^2 = F\) の軌道半径 \(r\) に、天体間距離 \(R\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 「半径」とは「回転中心からの距離」です。この問題では、各天体は「共通重心」を中心に回転しています。質量が等しいので重心は中点にあり、回転半径は \(r=R/2\) となります。\(R\) はあくまで2つの天体の間の距離であり、回転半径ではないことを図を描いて常に意識しましょう。
• 万有引力の公式に代入する距離の誤り:
  • 誤解: 万有引力の公式 \(F = G\frac{M^2}{(\text{距離})^2}\) の「距離」に、回転半径 \(r=R/2\) を代入してしまう。
  • 対策: 万有引力は、2つの質点の「中心間距離」で決まる力です。したがって、ここでの距離は常に天体間の距離 \(R\) となります。運動方程式を立てる際には、左辺の向心力の式に含まれる \(r\) (\(=R/2\)) と、右辺の万有引力の式に含まれる \(R\) が、物理的に異なる意味を持つことを明確に区別してください。
• ケプラーの第3法則の安易な適用:
  • 誤解: 惑星の運動で習ったケプラーの第3法則 \(\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) を、連星の問題にそのまま使ってしまう。
  • 対策: この基本形の公式は、中心天体 \(M\) が静止しているとみなせる場合にのみ成り立ちます。連星のように、両方の天体が運動している「2体問題」では、中心力の源が \(M\) だけでなく、両方の質量の合計 \((M_1+M_2)\) に依存すると理解してください。したがって、適用するなら \(\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_1+M_2)}\) という一般形を使わなければなりません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (主たる解法での)公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「質量 \(M\)」です。質量は、物体に働く「力」と、その結果生じる「運動（加速度）」とを関係づける根源的な物理量です。この力と運動の因果関係を記述する物理学の基本法則が、運動方程式 \(ma=F\) です。したがって、この問題の根幹に迫るには、運動方程式の立式が最も直接的かつ論理的な選択となります。
  • 適用根拠: 問題の状況は「等速円運動」であると特定できます。したがって、一般形 \(ma=F\) の \(a\) には向心加速度 \(a=r\omega^2\) を、\(F\) には向心力として働く万有引力 \(F=G\frac{M^2}{R^2}\) を具体的に代入することができます。これにより、物理現象を数学的な方程式に落とし込むことが可能になります。
• (別解2での)アプローチ選択（ケプラーの第3法則）:
  • 選定理由: 求めたい量と与えられている量が、周期 \(T\)、距離 \(R\)、質量 \(M\) であり、これはまさにケプラーの第3法則が関係づける物理量そのものです。運動方程式を立てて式変形を行うプロセスは、実はケプラーの法則を導出する過程と同じです。したがって、この法則を既知の「公式」として利用すれば、途中の導出過程を省略して結論に直接至ることができます。
  • 適用根拠: この問題は、2つの天体が万有引力のみを及ぼし合って周期運動している系であり、ケプラーの法則が適用できる典型的な状況です。ただし、太陽と惑星のような主従関係ではなく、対等な2物体が運動しているため、単なる \(M\) ではなく質量の和 \((M+M)\) を用いる「2体問題の一般形」を適用することが、物理的に正しい根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま最後まで計算する:
  • \(M, R, G, T\) などの文字を使って式の変形を行い、最後に求める \(M\) についての式 \(M = \dots\) を導出しましょう。最初から数値を代入する癖があると、式変形の途中で物理的な意味を見失いやすく、間違いに気づきにくくなります。
• 式の両辺を一つずつ丁寧に整理する:
  • \(M \left(\frac{R}{2}\right) \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = G\frac{M^2}{R^2}\) のような複雑な式では、まず両辺の共通因子（この場合は \(M\)）を約分する、左辺のカッコを展開して \(\frac{2\pi^2MR}{T^2}\) のように簡単化するなど、一歩一歩進めましょう。焦って一度に移項しようとすると、分母と分子を逆にするなどのミスが起こりがちです。
• 次元解析で検算する:
  • 最終的に得られた答え \(M = \frac{2\pi^2 R^3}{GT^2}\) の単位（次元）が、質量の単位になっているかを確認する癖をつけましょう。
  • 万有引力の法則 \(F=G\frac{M^2}{R^2}\) から、\(G\) の単位は \(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\) です。
  • 右辺の単位は \(\frac{(\text{m})^3}{(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2) \cdot (\text{s})^2} = \frac{\text{m}^3 \cdot \text{kg}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^2}\) となります。
  • ここで運動方程式 \(F=ma\) から \(\text{N} = \text{kg}\cdot\text{m/s}^2\) なので、これを代入すると、\(\frac{\text{m}^3 \cdot \text{kg}^2}{(\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^2} = \frac{\text{m}^3 \cdot \text{kg}^2}{\text{kg}\cdot\text{m}^3} = \text{kg}\)。
  • きちんと質量の単位になったので、式の形は正しい可能性が高いと判断できます。
• 極端な状況を代入して妥当性を確認する:
  • もし周期 \(T\) が無限大（ほとんど動かない）なら、互いを引き留める力は不要なので質量 \(M\) はゼロに近いはず。導いた式の分母に \(T^2\) があるので、この関係と一致します。
  • もし天体間距離 \(R\) が非常に大きい状態で同じ周期 \(T\) で回るには、とてつもない速さが必要で、それを引き留めるには巨大な引力（＝巨大な質量）が必要です。導いた式の分子に \(R^3\) があるので、この関係とも一致します。
  • このような思考実験は、答えの物理的な妥当性を直感的にチェックするのに役立ちます。

発展例題22 人工衛星の打ち上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「人工衛星の軌道移行と力学的エネルギー」です。楕円軌道と円軌道という、天体力学における2つの基本的な運動を扱い、それらの間を移る際の条件を考えます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
楕円軌道上を運動する物体の速さを求める問題です。未知数が \(v_P\) と \(v_Q\) の2つであるため、独立した関係式が2本必要になります。
天体が中心天体から万有引力（中心力）のみを受ける場合、常に成り立つ2つの重要な保存則があります。それが「面積速度一定の法則（角運動量保存則）」と「力学的エネルギー保存則」です。この2つの法則を、軌道上で特徴的な2点（近地点Pと遠地点Q）について適用し、連立方程式を立てて解くのが定石です。

この設問における重要なポイント

• 人工衛星に働く力は、保存力である地球の万有引力のみである。
• したがって、人工衛星の力学的エネルギーは保存される。
• また、万有引力は中心力なので、角運動量も保存される（面積速度一定の法則が成り立つ）。
• 近地点Pでは地球中心からの距離が \(R\)、遠地点Qでは距離が \(3R\) である。
• P点とQ点では、速度ベクトルと地球中心からの動径ベクトルが垂直である。

具体的な解説と立式
人工衛星の質量を \(m\) とします。

1. 面積速度一定の法則

近地点Pと遠地点Qでは、速度の向きが軌道の接線方向、すなわち地球中心からの距離ベクトルと垂直になります。したがって、面積速度一定の法則は簡潔な形で表せます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} R v_P &= \frac{1}{2} (3R) v_Q
\end{aligned}
$$
これを整理すると、
$$
\begin{aligned}
v_P &= 3v_Q \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

2. 力学的エネルギー保存則

万有引力による位置エネルギーの基準点を無限遠にとると、位置エネルギー \(U\) は \(U = -G\frac{Mm}{r}\) と表せます。
点Pと点Qで力学的エネルギーが等しいことから、
(P点での運動エネルギー) + (P点での位置エネルギー) = (Q点での運動エネルギー) + (Q点での位置エネルギー)
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_P^2 – G\frac{Mm}{R} &= \frac{1}{2}mv_Q^2 – G\frac{Mm}{3R} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
これで、未知数 \(v_P, v_Q\) を含む2本の式が立てられました。

式①を式②に代入して \(v_Q\) を求めます。
式②の両辺を \(m\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}v_P^2 – \frac{GM}{R} &= \frac{1}{2}v_Q^2 – \frac{GM}{3R}
\end{aligned}
$$
ここに \(v_P = 3v_Q\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(3v_Q)^2 – \frac{GM}{R} &= \frac{1}{2}v_Q^2 – \frac{GM}{3R} \\[2.0ex] \frac{9}{2}v_Q^2 – \frac{1}{2}v_Q^2 &= \frac{GM}{R} – \frac{GM}{3R} \\[2.0ex] \frac{8}{2}v_Q^2 &= \frac{3GM – GM}{3R} \\[2.0ex] 4v_Q^2 &= \frac{2GM}{3R} \\[2.0ex] v_Q^2 &= \frac{2GM}{12R} \\[2.0ex] v_Q^2 &= \frac{GM}{6R}
\end{aligned}
$$
\(v_Q > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_Q &= \sqrt{\frac{GM}{6R}}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式①に代入して \(v_P\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_P &= 3v_Q \\[2.0ex] &= 3\sqrt{\frac{GM}{6R}} \\[2.0ex] &= \sqrt{9 \times \frac{GM}{6R}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{3GM}{2R}}
\end{aligned}
$$

人工衛星が地球の周りを楕円を描いて回るとき、2つの大事なルールを守っています。一つは「地球に近いときは速く、遠いときは遅く動くことで、扇形を描くペースを一定に保つ」というルール（面積速度一定）。もう一つは「速さのエネルギーと高さのエネルギーの合計は常に同じ」というルール（エネルギー保存）です。この2つのルールを連立方程式として解くことで、地球に一番近い点Pでの速さと、一番遠い点Qでの速さを計算することができます。

点Pでの速さは \(v_P = \sqrt{\frac{3GM}{2R}}\)、点Qでの速さは \(v_Q = \sqrt{\frac{GM}{6R}}\) と求まりました。
地球に最も近いP点の方が、最も遠いQ点よりも速い (\(v_P = 3v_Q\)) という結果は、物理的に妥当です。これは、位置エネルギーが最も低いP点で運動エネルギーが最大になり、位置エネルギーが最も高いQ点で運動エネルギーが最小になることに対応しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
半径が一定 (\(3R\)) の円軌道を動く人工衛星の速さを求めます。これは等速円運動であり、その運動を支えているのは地球からの万有引力です。したがって、万有引力を向心力とする等速円運動の運動方程式を立てることで、速さ \(v_3\) を求めることができます。
その後、(1)で求めた \(v_P, v_Q\) と合わせて3つの速さの大小を比較します。ルートを含む値の比較なので、ルートの中の数値をそろえて比較すると分かりやすいです。

この設問における重要なポイント

• 運動の種類は「等速円運動」である。
• 円運動の半径は \(r = 3R\)。
• 向心力は、地球と人工衛星の間に働く万有引力 \(F = G\frac{Mm}{(3R)^2}\) である。

具体的な解説と立式
人工衛星（質量 \(m\)）が、地球（質量 \(M\)）の中心から距離 \(3R\) の位置で、速さ \(v_3\) の等速円運動をしていると考えます。
この円運動の運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = F\) に、具体的な値を代入します。

• 質量: \(m\)
• 速さ: \(v = v_3\)
• 半径: \(r = 3R\)
• 向心力: \(F = G\frac{Mm}{(3R)^2}\)

したがって、運動方程式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v_3^2}{3R} &= G\frac{Mm}{(3R)^2} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
この式を解くことで \(v_3\) が求まります。

まず、式③を \(v_3\) について解きます。
両辺の \(m\) を消去し、式を整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_3^2}{3R} &= \frac{GM}{9R^2} \\[2.0ex] v_3^2 &= \frac{GM}{9R^2} \times 3R \\[2.0ex] v_3^2 &= \frac{GM}{3R}
\end{aligned}
$$
\(v_3 > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_3 &= \sqrt{\frac{GM}{3R}}
\end{aligned}
$$
次に、\(v_P, v_Q, v_3\) の大小関係を比較します。
(1)の結果と合わせて、各速度の2乗の値を、分母を \(6R\) にそろえて比較します。

• \(v_P^2 = \frac{3GM}{2R} = \frac{9GM}{6R}\)
• \(v_3^2 = \frac{GM}{3R} = \frac{2GM}{6R}\)
• \(v_Q^2 = \frac{GM}{6R}\)

ルートの中の係数を比較すると \(1 < 2 < 9\) なので、\(v_Q^2 < v_3^2 < v_P^2\) となります。
各速度は正なので、
$$ v_Q < v_3 < v_P $$

人工衛星にはたらく力は地球が中心に引っ張る力（万有引力）だけで、これが円運動に必要な向心力とちょうど等しいとき、きれいな円を描いて回り続けます。この関係（運動方程式）を解くことで、その円軌道にちょうど良い速さ \(v_3\) を計算できます。
3つの速さを比べるには、計算結果のルートの中の数字が比べやすいように、分数をうまく通分してあげれば、大小関係がはっきりとわかります。

円軌道上の速さは \(v_3 = \sqrt{\frac{GM}{3R}}\)、速さの大小関係は \(v_Q < v_3 < v_P\) と求まりました。
この大小関係は物理的に重要な意味を持ちます。楕円軌道の遠地点Qでの速さ \(v_Q\) は、同じ距離にある円軌道の速さ \(v_3\) よりも遅いことがわかります。これは、点Qで楕円軌道から円軌道に移行するためには、ロケットを噴射して \(v_Q\) から \(v_3\) へと「加速」し、エネルギーを与える必要があることを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 楕円軌道と円軌道の解析方法の使い分け
  • 核心: この問題は、2種類の天体運動を扱っており、それぞれに適した物理法則を選択する能力が問われます。楕円軌道のように速さが変化する運動と、円軌道のように速さが一定の運動では、用いるべき法則の組み合わせが異なります。この違いを明確に理解することが、問題を解く上での最大の鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 楕円軌道（問(1)）: 速さが場所によって変わるため、未知数が近地点の速さ \(v_P\) と遠地点の速さ \(v_Q\) の2つになります。したがって、独立した方程式が2本必要です。万有引力（中心力かつ保存力）のみが働く運動では、常に「力学的エネルギー保存則」と「面積速度一定の法則（角運動量保存則）」が成り立ちます。この2つの法則を連立させるのが、楕円軌道を解くための王道です。
    • 円軌道（問(2)）: 速さが \(v_3\) で一定の等速円運動です。未知数は速さ \(v_3\) の1つだけなので、方程式は1本で足ります。円運動では、万有引力が向心力として働くという力学的な条件だけで速さが一意に決まるため、「等速円運動の運動方程式」を立てるのが最も直接的で強力な解法となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる軌道への移行問題: 例えば、地表近くの円軌道から、この問題の楕円軌道へ移行するケース。この場合、点Pでロケットを噴射して「加速」し、力学的エネルギーを増やすことで、より遠くまで到達する楕円軌道に乗せることができます。軌道移行は、エネルギーの増減操作と結びついています。
  • 地球からの脱出速度: 人工衛星が地球の重力圏を脱出して無限の彼方へ飛び去るための最小初速度を求める問題。これは、地表での力学的エネルギーが、無限遠での力学的エネルギー（運動エネルギー\(0\)、位置エネルギー\(0\)）と等しくなる条件として、エネルギー保存則一発で解くことができます。
  • 彗星の運動解析: 太陽を一つの焦点として、非常に細長い楕円軌道を描く彗星の近日点での速さと遠日点での速さを比較する問題なども、全く同じ考え方（エネルギー保存則と面積速度一定の法則の連立）で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず軌道の形を特定する: 問題文や図から、対象となる運動が「円軌道」なのか「楕円軌道」なのか、あるいは地球から脱出する「放物線・双曲線軌道」なのかを最初に判断します。
  2. 必要な法則の数を判断する:
     • 円軌道なら、未知数は速さ1つ → 運動方程式のみで解決。
     • 楕円軌道なら、未知数は特徴的な2点（近地点・遠地点）での速さ2つ → エネルギー保存則と面積速度一定の法則の2本を連立。
  3. エネルギーの基準点を確認する: 万有引力を扱う問題では、特に断りがなければ無限遠点を位置エネルギーの基準(\(U=0\))とします。これにより、位置エネルギーは常に \(U = -G\frac{Mm}{r}\) という負の値をとります。
  4. 軌道移行の物理的意味を考える: 異なる軌道は、異なる力学的エネルギーを持っています。ある軌道から別の軌道へ移るということは、ロケット噴射などの「非保存力」が仕事をして、系の力学的エネルギーを変化させる操作を意味します。今回の大小関係 \(v_Q < v_3\) は、点Qで加速してエネルギーを「追加」しないと、よりエネルギーの高い円軌道には移れない、という物理的な事実を反映しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 楕円軌道で円運動の運動方程式を誤用する:
  • 誤解: 円軌道と同じ感覚で、楕円軌道上の点Pや点Qで \(m\frac{v^2}{r}=F\) という形の運動方程式を立てようとしてしまう。
  • 対策: この運動方程式は、軌道中心からの距離 \(r\) が一定の「円運動」である場合にのみ成立する特別な式です。楕円軌道では、万有引力は向心力として完全には機能せず、速度を変化させる接線成分も持つため、この式は使えません。「楕円の解析はエネルギー保存と面積速度一定」と明確に区別して覚えましょう。
• 面積速度一定の法則の適用条件の誤解:
  • 誤解: 面積速度一定の法則を \(\frac{1}{2}rv = \text{一定}\) という単純な形で、軌道上のどの点でも使えると考えてしまう。
  • 対策: この \(\frac{1}{2}rv\) という簡単な式が成り立つのは、中心天体からの距離ベクトルと衛星の速度ベクトルが「垂直」になる特別な点だけです。楕円軌道では、地球に最も近い「近地点」と最も遠い「遠地点」がそれに該当します。高校物理でこの法則を使うのは、ほぼこの2点に限られると心得ておきましょう。
• 万有引力による位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 位置エネルギー \(U = -G\frac{Mm}{r}\) の負号（マイナス）を忘れたり、地表付近の重力位置エネルギー \(mgh\) と混同して正の値だと考えてしまう。
  • 対策: 万有引力は常に引き合う力（引力）です。エネルギーの基準である無限遠（\(U=0\)）から物体を地球に近づけるとき、引力に引かれて自然に落ちてくるので、外部が仕事を加える必要はなく、むしろエネルギーが放出されます。したがって、基準点よりもエネルギーは低い状態、つまり「負」の値になると理解してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（エネルギー保存則と面積速度一定の法則）:
  • 選定理由: 求めたい物理量は、楕円軌道上の2つの異なる点（PとQ）での速さ \(v_P, v_Q\) です。未知数が2つなので、それらを関係づける独立した方程式が2本必要になります。
  • 適用根拠:
    • 法則1（エネルギー保存則）: 人工衛星に働く力は万有引力のみです。万有引力は「保存力」であるため、軌道上のどこであっても力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は一定に保たれます。これが、P点とQ点を結びつける1本目の式を立てる物理的な根拠です。
    • 法則2（面積速度一定の法則）: 万有引力は常に地球の中心を向く「中心力」です。中心力のみが働く運動では、回転の勢いを示す「角運動量」が保存されます。面積速度一定の法則は、この角運動量保存則を高校物理の範囲で表現したものです。これが、P点とQ点を結びつける2本目の式を立てる根拠となります。
• (2)での公式選択（等速円運動の運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは、半径が一定の円軌道上での速さ \(v_3\) です。未知数はこの1つだけなので、方程式は1本で十分です。
  • 適用根拠: 運動が「等速円運動」であると問題文で指定されています。等速円運動では、その運動を維持するために必要な向心力 \(F\) の大きさが、質量 \(m\)、速さ \(v\)、半径 \(r\) を用いて \(F=m\frac{v^2}{r}\) と一意に決まります。そして、その向心力の供給源が万有引力であるという物理的な事実から、運動方程式 \(m\frac{v_3^2}{3R} = G\frac{Mm}{(3R)^2}\) を立てることができます。この力と運動の因果関係だけで、速さが決定されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算開始前に共通因子を消去する:
  • (1)の力学的エネルギー保存則の式では、全ての項に人工衛星の質量 \(m\) が含まれています。計算を始める前に両辺を \(m\) で割ることで、式が \(\frac{1}{2}v_P^2 – \frac{GM}{R} = \dots\) のように格段にシンプルになり、その後の計算ミスを大幅に減らせます。
• 文字式のまま関係式を代入する:
  • (1)の連立方程式を解く際、まず面積速度一定の法則から \(v_P = 3v_Q\) という簡単な関係式を導き、これをエネルギー保存則の式に「文字のまま」代入しましょう。これにより、1つの未知数 (\(v_Q\)) だけの式になり、見通しよく計算を進められます。
• 分数の計算は通分を丁寧に行う:
  • (1)の計算過程で出てくる \(\frac{GM}{R} – \frac{GM}{3R}\) のような計算では、焦らずに分母を \(3R\) に通分します。\(\frac{3GM – GM}{3R} = \frac{2GM}{3R}\) となり、符号や係数のミスを防げます。
• ルートを含む値の比較は、2乗して分母をそろえる:
  • (2)で \(v_P, v_Q, v_3\) の大小を比較する際、ルートがついたままだと間違いやすいです。まず、それぞれを2乗した \(v_P^2, v_Q^2, v_3^2\) の値を求めます。次に、それらの分母を最小公倍数（この場合は \(6R\)）にそろえます。
  • \(v_P^2 = \frac{9GM}{6R}\), \(v_3^2 = \frac{2GM}{6R}\), \(v_Q^2 = \frac{1GM}{6R}\)
  • こうすれば、分子の係数 \(9, 2, 1\) を比較するだけで大小関係が明確になり、確実です。
• 物理的な妥当性を最後に吟味する:
  • (1)で得られた結果 \(v_P > v_Q\) は、「地球に近い（位置エネルギーが低い）ほど速い（運動エネルギーが大きい）」という物理的直感と一致するかを確認します。
  • (2)で得られた大小関係 \(v_Q < v_3\) は、「楕円軌道の遠地点では、同じ距離の円軌道より速度が遅い」ことを意味します。これは、円軌道の方が楕円軌道よりも高い力学的エネルギーを持つという事実と整合しており、結果が妥当であることを裏付けています。

発展問題

251 惑星の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「万有引力による円運動とケプラーの法則」です。惑星の運動を等速円運動と近似し、運動方程式からケプラーの第3法則やエネルギーに関する重要な関係を導出する、天体力学の基本を網羅した問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア), (イ)

思考の道筋とポイント
惑星は太陽からの万有引力を受けながら、円軌道上を運動しています。この運動がなぜ維持されるかというと、万有引力がちょうど円運動に必要な「向心力」の役割を果たしているからです。この力学的な条件を運動方程式として立式することが、(ア)の目標です。(イ)は、その方程式を速さ\(v\)について解くだけの計算問題です。

この設問における重要なポイント

• 惑星（質量\(m\)）は、太陽（質量\(M\)）を中心に半径\(r\)の等速円運動をしている。
• 惑星に働く力は、太陽からの万有引力のみである。
• この万有引力が、円運動の向心力となっている。

具体的な解説と立式
惑星の速さを\(v\)、質量を\(m\)とします。
惑星は半径\(r\)の円運動をしているので、向心加速度の大きさは \(\frac{v^2}{r}\) です。したがって、運動方程式 \(ma=F\) は、
$$
\begin{aligned}
m \cdot \frac{v^2}{r} &= (\text{向心力})
\end{aligned}
$$
となります。
この向心力は、太陽（質量\(M\)）と惑星（質量\(m\)）の間に働く万有引力です。その大きさは、
$$
\begin{aligned}
F &= G\frac{Mm}{r^2}
\end{aligned}
$$
と表せます。
したがって、求める半径方向の運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{r} &= G\frac{Mm}{r^2} \quad \cdots (\text{ア})
\end{aligned}
$$
となります。

(イ)では、(ア)で立てた運動方程式を\(v\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{r} &= G\frac{Mm}{r^2}
\end{aligned}
$$
両辺を\(m\)で割り、\(r\)を掛けると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= G\frac{M}{r}
\end{aligned}
$$
\(v>0\)なので、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{GM}{r}} \quad \cdots (\text{イ})
\end{aligned}
$$

惑星が太陽の周りを回り続けられるのは、太陽が惑星を引っぱる力（万有引力）が円運動に必要な向心力としてはたらき、惑星の進む向きを中心側へ曲げ続けているからです。(ア)の式は、この向心力と向心加速度を結ぶ式（運動方程式）です。(イ)は、その円運動が成り立つために必要な惑星の「ちょうど良い速さ」を計算したものです。

運動方程式は \(m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\)、速さは \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) と求まりました。この速さは、惑星自身の質量\(m\)にはよらず、中心にある太陽の質量\(M\)と軌道半径\(r\)だけで決まるという重要な性質を持っています。また、太陽から遠い惑星ほど、ゆっくり公転していることもこの式からわかります。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
公転周期\(T\)と軌道半径\(r\)の関係、すなわちケプラーの第3法則を導出する問題です。周期\(T\)とは、惑星が軌道を1周するのにかかる時間のことです。等速円運動では、速さは一定なので、周期は「（道のり）÷（速さ）」で計算できます。道のりは円周の長さ\(2\pi r\)、速さは(イ)で求めた\(v\)です。

この設問における重要なポイント

• 周期\(T\)の定義は \(T = \frac{\text{円周の長さ}}{\text{速さ}}\)。
• 円周の長さは \(2\pi r\)。
• 速さ\(v\)は(イ)で求めた値を用いる。

具体的な解説と立式
公転周期を\(T\)とすると、定義より、
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r}{v}
\end{aligned}
$$
となります。この式の\(v\)に、(イ)で求めた \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}}
\end{aligned}
$$
問題では\(T^2\)の形を問われているので、この式の両辺を2乗します。

$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} \\[2.0ex] &= 2\pi r \cdot \sqrt{\frac{r}{GM}}
\end{aligned}
$$
両辺を2乗すると、
$$
\begin{aligned}
T^2 &= (2\pi r)^2 \cdot \left(\sqrt{\frac{r}{GM}}\right)^2 \\[2.0ex] &= 4\pi^2 r^2 \cdot \frac{r}{GM} \\[2.0ex] &= \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \quad \cdots (\text{ウ})
\end{aligned}
$$

1周するのにかかる時間（周期）は、コースの長さ（円周）を走る速さで割れば計算できます。この当たり前の関係式に、(イ)で計算した惑星の速さを代入して、式を整理すると、ケプラーが見つけた有名な法則の式が出てくる、という流れです。

\(T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}\) という関係が導かれました。これはケプラーの第3法則として知られています。この式の重要な点は、\(\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) という値が、惑星の質量\(m\)によらず、中心天体である太陽の質量\(M\)だけで決まる定数になるということです。つまり、太陽系の惑星であれば、どの惑星でもこの \(\frac{T^2}{r^3}\) の値は同じになります。

問(エ)

思考の道筋とポイント
(ウ)で導いたケプラーの第3法則 \(\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) は、太陽系の惑星ならどれでも成り立つ普遍的な法則です。つまり、地球についても海王星についても、\(\frac{T^2}{r^3}\) の値は等しくなります。この関係式を使って、地球のデータ（周期1年）から海王星の周期を計算します。

この設問における重要なポイント

• ケプラーの第3法則より、\(\frac{T^2}{r^3} = (\text{定数})\) が成り立つ。
• 地球の周期を\(T_{\text{地球}}\)、半径を\(r_{\text{地球}}\)。海王星の周期を\(T_{\text{海王星}}\)、半径を\(r_{\text{海王星}}\)とする。
• \(\frac{T_{\text{地球}}^2}{r_{\text{地球}}^3} = \frac{T_{\text{海王星}}^2}{r_{\text{海王星}}^3}\) が成立する。
• 与えられた条件は \(T_{\text{地球}} = 1\,\text{年}\), \(r_{\text{海王星}} = 30r_{\text{地球}}\)。

具体的な解説と立式
地球と海王星について、ケプラーの第3法則を適用すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{T_{\text{地球}}^2}{r_{\text{地球}}^3} &= \frac{T_{\text{海王星}}^2}{r_{\text{海王星}}^3}
\end{aligned}
$$
が成り立ちます。求めたいのは海王星の周期\(T_{\text{海王星}}\)なので、この式を\(T_{\text{海王星}}\)について変形します。
$$
\begin{aligned}
T_{\text{海王星}}^2 &= T_{\text{地球}}^2 \cdot \frac{r_{\text{海王星}}^3}{r_{\text{地球}}^3}
\end{aligned}
$$
ここに、\(T_{\text{地球}} = 1\,\text{年}\) と \(r_{\text{海王星}} = 30r_{\text{地球}}\) を代入して計算します。

$$
\begin{aligned}
T_{\text{海王星}}^2 &= (1\,\text{年})^2 \cdot \frac{(30r_{\text{地球}})^3}{r_{\text{地球}}^3} \\[2.0ex] &= 1 \cdot \frac{30^3 r_{\text{地球}}^3}{r_{\text{地球}}^3} \\[2.0ex] &= 30^3
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
T_{\text{海王星}} &= \sqrt{30^3} \\[2.0ex] &= 30\sqrt{30} \,\text{年}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{30}\) の値を計算します。\(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{36}=6\) なので、5と6の間の値です。問題の解答から逆算すると \(\sqrt{30} \approx 5.477\) が使われています。
$$
\begin{aligned}
T_{\text{海王星}} &\approx 30 \times 5.477 \\[2.0ex] &\approx 164.31 \,\text{年}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるので、\(1.6 \times 10^2\,\text{年}\) となります。

ケプラーの法則は、惑星の「周期の2乗」と「太陽からの距離の3乗」が比例するというものです。海王星は地球の30倍も遠いので、この法則を使って計算すると、周期はものすごく長くなることがわかります。地球のデータと海王星の距離を使って、比例計算をする問題です。

海王星の公転周期は約164年と計算できました。太陽から遠く離れているため、公転速度が遅く、かつ軌道も長いため、周期が非常に長くなるのは直感的にも妥当です。

問(オ)

思考の道筋とポイント
円運動している惑星の運動エネルギー\(K\)と位置エネルギー\(U\)の比を求める問題です。まずはそれぞれのエネルギーを数式で表現します。

• 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
• 位置エネルギー: \(U = -G\frac{Mm}{r}\)

このままでは比を計算できませんが、(ア)で立てた運動方程式を使うと、\(K\)を\(G, M, m, r\)を使って表すことができます。これにより、\(U\)と\(K\)を比較できるようになります。

この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーと位置エネルギーの定義式を正しく書けること。
• 運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\) を変形して、\(mv^2\) の項を \(G, M, m, r\) で表すこと。

具体的な解説と立式
運動エネルギー\(K\)は、
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
無限遠を基準にした位置エネルギー\(U\)は、
$$
\begin{aligned}
U &= -G\frac{Mm}{r}
\end{aligned}
$$
ここで、(ア)の運動方程式の両辺に\(r\)を掛けると、
$$
\begin{aligned}
mv^2 &= G\frac{Mm}{r}
\end{aligned}
$$
という関係が得られます。この関係式を運動エネルギー\(K\)の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2} \left( G\frac{Mm}{r} \right) \\[2.0ex] &= \frac{GMm}{2r}
\end{aligned}
$$
これで、\(K\)と\(U\)を同じ文字で表すことができたので、比を計算します。

求める比は \(\left|\frac{U}{K}\right|\) です。
$$
\begin{aligned}
\left|\frac{U}{K}\right| &= \left| \frac{-G\frac{Mm}{r}}{\frac{GMm}{2r}} \right| \\[2.0ex] &= \left| -G\frac{Mm}{r} \cdot \frac{2r}{GMm} \right| \\[2.0ex] &= |-2| \\[2.0ex] &= 2 \quad \cdots (\text{オ})
\end{aligned}
$$

惑星が持つエネルギーには、速さによる「運動エネルギー」と、太陽からの距離による「位置エネルギー」の2種類があります。この問題では、円運動の運動方程式をうまく使うと、実は「位置エネルギーの大きさは、運動エネルギーのちょうど2倍である」という面白い関係が隠されていることがわかります。その比を計算する問題です。

\(\left|\frac{U}{K}\right| = 2\)、すなわち \(|U|=2K\) という結果が得られました。位置エネルギーは \(U = -G\frac{Mm}{r}\) で負の値なので、この関係は \(U = -2K\) とも書けます。
これは、万有引力のような距離の2乗に反比例する中心力を受けて円運動（あるいは楕円運動の時間平均）する物体で常に成り立つ「ビリアル定理」の特別な場合であり、非常に重要な関係です。
この関係を使うと、力学的エネルギー\(E\)は、
$$ E = K + U = K + (-2K) = -K $$
$$ E = K + U = (-\frac{1}{2}U) + U = \frac{1}{2}U $$
と表せます。惑星のように重力に束縛されている系の力学的エネルギーは必ず負になり、その大きさは運動エネルギーに等しい、ということがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力を向心力とする等速円運動の運動方程式
  • 核心: この問題で考察する惑星の運動は、「太陽からの万有引力」を「向心力」として実現される「等速円運動」です。この物理的な描像を、運動方程式 \(ma=F\) という数式に正しく落とし込むことが、全ての設問を解く上での出発点となります。
  • 理解のポイント:
    • 運動方程式の立式: (ア)で立てる \(m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\) という一本の式が、この問題の根幹です。
    • 諸法則の導出: この基本式を変形することで、(イ)惑星の速さ、(ウ)ケプラーの第3法則、(オ)エネルギー間の関係式といった、天体運動に関する重要な法則や関係がすべて導出されます。つまり、これらの法則は独立して存在するのではなく、すべて運動方程式という一つの根本原理から派生していることを理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 地球の質量の計算: 地表での重力加速度 \(g\) を使って、「地表の物体にはたらく重力 \(mg\) = 万有引力 \(G\frac{Mm}{R^2}\)」という式を立てたり、月の公転周期と軌道半径を使ってケプラーの第3法則から地球の質量 \(M\) を求めたりする問題。中心天体が変わるだけで、考え方は同じです。
  • 人工衛星の軌道変更: ある円軌道から別の円軌道へ移る際に必要なエネルギーを計算する問題。各円軌道での力学的エネルギーを(オ)の考え方を使って \(E = -\frac{GMm}{2r}\) と計算し、その差を求めることで解決できます。
  • 銀河中心のブラックホールの質量推定: 銀河の中心付近を高速で公転する星の軌道半径と周期を観測することで、ケプラーの第3法則を応用して、直接は見えない超巨大ブラックホールの質量を推定する、といった現代宇宙物理学のテーマにも直結します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動形態を特定する: まず「等速円運動」であることを確認します。これにより、運動方程式 \(m\frac{v^2}{r}=F\) や \(mr\omega^2=F\) が使えることが確定します。
  2. 中心天体と公転天体を明確にする: 誰が中心で（質量\(M\)）、誰がその周りを回っているのか（質量\(m\)）を把握します。万有引力の式や運動方程式を立てる際の基本です。
  3. 周期が問われたらケプラーの法則を連想する: 周期 \(T\) と軌道半径 \(r\) が関わる問題では、ほぼ確実にケプラーの第3法則 \(\frac{T^2}{r^3} = \text{定数}\) を使います。特に、(エ)のように2つの天体を比較する問題では、この比例関係が非常に強力な武器になります。
  4. エネルギーが問われたら運動方程式と結びつける: (オ)のように運動エネルギーと位置エネルギーの関係が問われたら、まずそれぞれの定義式を書き、次に運動方程式を変形して得られる関係式 \(mv^2 = G\frac{Mm}{r}\) を使って両者を結びつけられないか、と考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ケプラーの第3法則の定数部分の誤解:
  • 誤解: \(\frac{T^2}{r^3}\) の値は、宇宙のどこでも同じ定数だと考えてしまう。
  • 対策: (ウ)の導出結果 \(\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) を見ればわかるように、この定数の値は中心天体の質量 \(M\) に依存します。したがって、太陽系の惑星同士（中心天体が太陽）や、地球の周りを回る月と人工衛星（中心天体が地球）のように、同じ中心天体の周りを回る天体同士を比較する場合にのみ、この値が等しくなります。
• (エ)での3乗計算のミス:
  • 誤解: 海王星の軌道半径が地球の30倍であることから、周期も30倍、あるいは \(30^2\) 倍などと安易に考えてしまう。
  • 対策: 法則は \(T^2 \propto r^3\) です。したがって、\(T_{\text{海王星}}^2 = T_{\text{地球}}^2 \cdot (\frac{r_{\text{海王星}}}{r_{\text{地球}}})^3\) となり、半径の比を「3乗」してから周期の比を考える必要があります。\(T_{\text{海王星}} = T_{\text{地球}} \cdot \sqrt{(\frac{r_{\text{海王星}}}{r_{\text{地球}}})^3} = 1 \cdot \sqrt{30^3} = 30\sqrt{30}\) という計算を正確に行うことが重要です。
• 位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 万有引力による位置エネルギー \(U\) を、\(mgh\) と同じ感覚で正の値 \(G\frac{Mm}{r}\) としてしまう。
  • 対策: 無限遠を基準（ポテンシャル0）とすると、そこから引力に引かれて近づいてきた物体は、エネルギーを放出してより安定な状態になります。基準よりエネルギーが低いので、位置エネルギーは必ず負の値 \(U = -G\frac{Mm}{r}\) となります。このマイナス符号は、力学的エネルギーの計算において極めて重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ア), (イ)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 惑星の「速さ」という運動の状態を求めたい。その運動を引き起こしている原因は「万有引力」という力です。力と運動の関係を記述する物理学の最も基本的な法則が運動方程式 \(ma=F\) であるため、これを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 運動が「等速円運動」であることから、加速度 \(a\) は向心加速度 \(\frac{v^2}{r}\) であり、力 \(F\) は向心力として働く「万有引力」\(G\frac{Mm}{r^2}\) であると具体的に特定できます。これにより、物理現象を解くべき方程式に変換できます。
• (ウ)での公式選択（周期の定義式 \(T=2\pi r/v\)）:
  • 選定理由: 「周期」と「速さ」という、運動の基本的な性質を結びつける最も単純な関係式だからです。
  • 適用根拠: (イ)で運動方程式から速さ\(v\)を軌道半径\(r\)の関数として求めています。この結果を周期の定義式に代入することで、速さ\(v\)を消去し、周期\(T\)と軌道半径\(r\)の直接的な関係式（ケプラーの第3法則）を導出できます。
• (エ)でのアプローチ選択（ケプラーの第3法則の比例関係）:
  • 選定理由: 地球と海王星という2つの天体の運動を比較し、一方のデータから他方を類推したい。このような比較問題では、両者に共通して成り立つ法則の「比例関係」に着目するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: (ウ)で導いたように、\(\frac{T^2}{r^3}\) の値は中心天体（太陽）が同じであれば、どの惑星でも同じ値になります。この物理的な事実が、\(\frac{T_{\text{地球}}^2}{r_{\text{地球}}^3} = \frac{T_{\text{海王星}}^2}{r_{\text{海王星}}^3}\) という比例式を立てる論理的な根拠となります。
• (オ)でのアプローチ選択（エネルギー定義式と運動方程式の組み合わせ）:
  • 選定理由: 求めたいのは「運動エネルギー\(K\)」と「位置エネルギー\(U\)」の比です。まずは、それぞれの物理量を定義式（\(K=\frac{1}{2}mv^2\), \(U=-G\frac{Mm}{r}\)）で表現する必要があります。
  • 適用根拠: 2つのエネルギーを定義式で表しただけでは、異なる変数（\(v\)と\(r\)）が含まれており比較できません。そこで、これらの変数を結びつける関係式が必要になります。その関係式こそが、この系の運動を支配している法則、すなわち(ア)で立てた運動方程式です。運動方程式を変形して得られる \(mv^2 = G\frac{Mm}{r}\) を\(K\)の定義式に代入することで、\(K\)と\(U\)を同じ変数（\(G,M,m,r\)）で表現でき、比較可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (エ)の計算では、\(T_{\text{海王星}}^2 = T_{\text{地球}}^2 \cdot (\frac{r_{\text{海王星}}}{r_{\text{地球}}})^3\) のように、具体的な数値を代入する前に文字式で関係を整理しましょう。これにより、\((\frac{r_{\text{海王星}}}{r_{\text{地球}}}) = 30\) を代入するだけでよいことが明確になり、計算の見通しが良くなります。
• 概算による検算:
  • (エ)で \(T_{\text{海王星}} = 30\sqrt{30}\) という結果が出たとき、\(\sqrt{30}\) は \(\sqrt{25}=5\) と \(\sqrt{36}=6\) の間なので、だいたい5.5くらいだと見積もります。すると、\(T_{\text{海王星}} \approx 30 \times 5.5 = 165\) となり、解答の \(1.6 \times 10^2\) と近い値になることが確認でき、大きな計算ミスがないことをチェックできます。
• 比の計算は分数で丁寧に行う:
  • (オ)で \(\left|\frac{U}{K}\right|\) を計算するとき、慌てて暗算せず、\(\left| \frac{-GMm/r}{GMm/2r} \right|\) のように分数の形で書き出します。そして、分母分子の共通項を一つずつ消していくことで、単純な数値の比 \(\left| \frac{-1}{1/2} \right| = |-2| = 2\) に確実にたどり着けます。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (オ)で求めた比がもし負の値になったら、絶対値の計算を間違えている可能性があります。また、(イ)で求めた速さの式で、ルートの中が負になるようなことがあれば、立式段階での符号ミスを疑うべきです。常に物理的な意味を考えながら計算を進めることが重要です。

252 連星の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「共通重心のまわりを運動する連星の解析」です。質量が異なる2つの天体が、互いの万有引力によって共通の重心の周りを同じ周期で円運動する、より一般的な連星モデルを扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア), (イ), (ウ), (エ)

思考の道筋とポイント
このパートは、連星の運動を解析するための部品を一つずつ揃えていく段階です。問題文の誘導に従い、連星の運動を記述するための基本的な物理量（角速度、万有引力）と、各天体の運動法則（運動方程式）を、それぞれ数式に翻訳していきます。

この設問における重要なポイント

• 周期\(T\)と角速度\(\omega\)は、定義から \(\omega = 2\pi/T\) の関係にある。
• 万有引力の法則における「距離」は、2つの天体の中心間距離 \(r_1+r_2\) である。
• 各天体の等速円運動の「軌道半径」は、共通重心Oからの距離 \(r_1\) および \(r_2\) である。
• 2つの天体は一体となって回転するため、角速度\(\omega\)は共通である。

具体的な解説と立式
(ア) 周期\(T\)は1周(\(2\pi\)ラジアン)するのにかかる時間、角速度\(\omega\)は単位時間あたりに回転する角度なので、その定義から以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{T} \quad \cdots (\text{ア})
\end{aligned}
$$
(イ) 天体A(質量\(m_1\))と天体B(質量\(m_2\))の間の距離は \(r_1+r_2\) です。万有引力の法則の公式にこれを適用すると、引力の大きさ\(F\)は、
$$
\begin{aligned}
F &= G\frac{m_1 m_2}{(r_1+r_2)^2} \quad \cdots (\text{イ})
\end{aligned}
$$
(ウ) 天体Aは、質量が\(m_1\)、軌道半径が\(r_1\)、角速度が\(\omega\)の等速円運動をしています。向心加速度は \(a_1 = r_1 \omega^2\) です。したがって、運動方程式 \(F = ma\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= m_1 \times (r_1 \omega^2) \quad \cdots (\text{ウ})
\end{aligned}
$$
(エ) 同様に、天体Bは、質量が\(m_2\)、軌道半径が\(r_2\)、角速度が\(\omega\)の等速円運動をしています。向心加速度は \(a_2 = r_2 \omega^2\) です。運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
F &= m_2 \times (r_2 \omega^2) \quad \cdots (\text{エ})
\end{aligned}
$$

このパートは立式が主であり、複雑な計算はありません。

連星という一見複雑そうな運動も、まずは基本的な部品に分解して考えます。(ア)は「回転のペース」、(イ)は「お互いを引っ張る力」、(ウ)と(エ)は「それぞれの天体の運動のルール」を、物理の言葉（数式）で書き表している段階です。

連星の運動を解析するための4つの基本的な関係式が正しく立てられました。特に、万有引力の距離と円運動の半径が異なる点、角速度が共通である点が重要です。これらの式が、後の設問を解くための土台となります。

問(オ)

思考の道筋とポイント
(ウ)と(エ)で立てた2つの運動方程式を連立させ、個別の軌道半径\(r_1, r_2\)を消去し、系全体の物理量（質量の和 \(m_1+m_2\)、天体間距離 \(r=r_1+r_2\)）の関係式を導出します。これにより、個々の天体の詳細な軌道が分からなくても、系全体の性質を知ることができます。

この設問における重要なポイント

• 2つの運動方程式の向心力\(F\)は、(イ)で求めた万有引力で共通である。
• 2つの式を足し合わせることで、\((r_1+r_2)\)という項を作り出し、個別の半径を消去するのが鍵となる。

具体的な解説と立式
(ウ)の式 \(F = m_1 r_1 \omega^2\) と(エ)の式 \(F = m_2 r_2 \omega^2\) に、(イ)で求めた万有引力の式 \(F = G\frac{m_1 m_2}{(r_1+r_2)^2}\) をそれぞれ代入します。

天体Aについて:
$$
\begin{aligned}
G\frac{m_1 m_2}{(r_1+r_2)^2} &= m_1 r_1 \omega^2 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
天体Bについて:
$$
\begin{aligned}
G\frac{m_1 m_2}{(r_1+r_2)^2} &= m_2 r_2 \omega^2 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
この2つの式を連立させて \(m_1+m_2\) を求めます。

まず、式①の両辺を \(m_1\) で、式②の両辺を \(m_2\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
G\frac{m_2}{(r_1+r_2)^2} &= r_1 \omega^2 \quad \cdots ①’
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
G\frac{m_1}{(r_1+r_2)^2} &= r_2 \omega^2 \quad \cdots ②’
\end{aligned}
$$
この2つの式①’と②’の両辺をそれぞれ足し合わせると、
$$
\begin{aligned}
G\frac{m_2}{(r_1+r_2)^2} + G\frac{m_1}{(r_1+r_2)^2} &= r_1 \omega^2 + r_2 \omega^2 \\[2.0ex] G\frac{m_1+m_2}{(r_1+r_2)^2} &= (r_1+r_2)\omega^2
\end{aligned}
$$
ここで、天体間の距離を \(r = r_1+r_2\) とおくと、
$$
\begin{aligned}
G\frac{m_1+m_2}{r^2} &= r\omega^2
\end{aligned}
$$
この式を \(m_1+m_2\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
m_1+m_2 &= \frac{r^3 \omega^2}{G} \quad \cdots (\text{オ})
\end{aligned}
$$

2人のスケーターが手をつないで回っている状況を考えます。それぞれの動きのルール（運動方程式）が2つありますが、この2つの式をうまく合体させる（足し算する）と、個別の情報が消えて、代わりに「2人の体重の合計」と「2人の間の距離」、「回転のペース」の関係だけがわかる、という計算をしています。

質量の和 \(m_1+m_2 = \frac{r^3 \omega^2}{G}\) が得られました。この式は、連星の全体の質量が、観測可能な量である天体間の距離\(r\)と角速度\(\omega\)から計算できることを示しており、天文学的に非常に重要な関係式です。

問(カ)

思考の道筋とポイント
(オ)で得られた角速度\(\omega\)を含む式を、より観測しやすい周期\(T\)を含む式に書き換えることが目的です。(ア)で確認した関係式 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) を(オ)の式に代入するだけで、目的の式が得られます。

この設問における重要なポイント

• (ア)の関係式 \(\omega = 2\pi/T\) を使う。
• (オ)で導出した式に代入する。

具体的な解説と立式
(オ)で求めた質量の和の式は、
$$
\begin{aligned}
m_1+m_2 &= \frac{r^3 \omega^2}{G}
\end{aligned}
$$
です。ここに、(ア)の関係式 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
m_1+m_2 &= \frac{r^3}{G} (\omega^2) \\[2.0ex] &= \frac{r^3}{G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{r^3}{G} \frac{4\pi^2}{T^2} \\[2.0ex] &= \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} \quad \cdots (\text{カ})
\end{aligned}
$$

(オ)で求めた「回転ペース」を使った関係式は、物理学者には便利ですが、天文学者にとっては「1周にかかる時間（周期）」の方が観測しやすく便利です。そこで、(オ)の式を周期を使った表現に翻訳（式変形）する作業を行っています。

\(m_1+m_2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\) が得られました。この式を周期\(T\)について整理すると \(\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}\) となります。これは「ケプラーの第3法則」が、中心天体の質量を連星の総質量に置き換えた形で一般的に成り立つことを示しており、2体問題におけるケプラーの法則として知られています。

問(キ)

思考の道筋とポイント
天体Aの円運動の速さ\(v_1\)を求めます。速さ\(v_1\)、軌道半径\(r_1\)、角速度\(\omega\)の間には \(v_1 = r_1 \omega\) という基本的な関係があります。(オ)で導いた関係式から角速度\(\omega\)を計算し、この関係式に代入することで\(v_1\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 速さと角速度の基本的な関係式 \(v = r\omega\) を用いる。
• (オ)で導出した、質量の和と角速度の関係式を利用する。

具体的な解説と立式
まず、(オ)の式 \(m_1+m_2 = \frac{r^3 \omega^2}{G}\) を\(\omega\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \frac{G(m_1+m_2)}{r^3}
\end{aligned}
$$
\(\omega > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}
\end{aligned}
$$
次に、この\(\omega\)を速さの定義式 \(v_1 = r_1 \omega\) に代入します。

$$
\begin{aligned}
v_1 &= r_1 \omega \\[2.0ex] &= r_1 \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}} \quad \cdots (\text{キ})
\end{aligned}
$$

連星全体の回転ペース(\(\omega\))が(オ)の式から計算できました。天体A自身の速さを知るには、この全体の回転ペースに、天体Aの回転半径(\(r_1\))を掛けてあげればよい、という計算です。

天体Aの速さ \(v_1 = r_1 \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}\) が求まりました。この式から、連星の総質量 \(m_1+m_2\) が大きいほど、また天体間距離 \(r\) が小さいほど、速く運動することがわかります。これは、強い引力を支えるためには速い速度が必要であるという物理的な直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 共通重心の周りの円運動のモデル化
  • 核心: この問題の根幹は、「2つの天体が、互いの万有引力のみを及ぼし合いながら、共通の重心の周りを、共通の角速度で円運動している」という物理モデルを正確に数式に落とし込む能力です。特に、個別の天体についての2本の運動方程式と、重心の条件式を連立させ、系全体の性質（ケプラーの第3法則の一般形）を導出する一連のプロセスが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 3種類の距離の区別: 万有引力の式で使う天体間距離 \(r=r_1+r_2\)、天体Aの運動方程式で使う軌道半径 \(r_1\)、天体Bの運動方程式で使う軌道半径 \(r_2\) の3つを明確に区別することが、全ての立式の前提となります。
    • 3本の連立方程式: この系を完全に記述するには、未知数（例: \(r_1, r_2, \omega\)）と方程式の数を合わせる必要があります。基本となるのは、(1)天体Aの運動方程式、(2)天体Bの運動方程式、そして(3)重心の条件式 \(m_1 r_1 = m_2 r_2\) の3本です。これらを組み合わせることで、系の運動を完全に解き明かすことができます。
    • 個別の運動から全体の法則へ: (オ)の計算のように、個別の天体の運動方程式を足し合わせることで、個別の軌道半径\(r_1, r_2\)が消去され、系全体の総質量\(m_1+m_2\)と天体間距離\(r\)の関係式が導かれます。これは、個々の要素の法則から、系全体の普遍的な法則（この場合はケプラーの法則）が生まれるという、物理学の重要な考え方を示しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量が等しい連星（発展例題21）: この問題で \(m_1=m_2\) とした特別な場合に相当します。その場合、重心は中点に来るため \(r_1=r_2=r/2\) となり、計算がより単純化されます。
  • 惑星と衛星（太陽と地球、地球と月）: 片方の質量が他方に比べて圧倒的に大きい場合（\(M \gg m\)）、共通重心は重い天体のほぼ中心に位置します。そのため、\(r_1 \approx 0, r_2 \approx r\) と近似でき、重い天体は静止しているとみなせます。これは、単一の中心天体の周りを回る惑星の運動モデルそのものです。
  • 二原子分子の回転運動: 量子力学の世界ですが、2つの原子が化学結合によって結びつき、共通重心の周りを回転するモデルも、古典力学的にはこの連星の問題と全く同じ構造をしています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず図を描き、重心と3種類の距離を明記する: 問題文を読んだら、必ず図を描きましょう。共通重心O、天体A, Bの位置をプロットし、\(r_1, r_2, r=r_1+r_2\) を明確に書き分けて混乱を防ぎます。
  2. 共通の物理量と個別の物理量を整理する: この問題では、角速度\(\omega\)と周期\(T\)、万有引力\(F\)は2天体で「共通」です。一方、質量\(m\)、軌道半径\(r\)、速さ\(v\)は「個別」の量です。この整理が、正しい立式の助けになります。
  3. 未知数と式の数を確認する: 自分が解くべき未知数がいくつあるかを確認し、それに見合う数の方程式が立てられているか（運動方程式、重心の条件式など）を常にチェックする癖をつけましょう。
  4. 観測量から質量を求める視点を持つ: (カ)の式 \(m_1+m_2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\) は、天文学で非常に重要です。なぜなら、遠くの連星の周期\(T\)と見かけの距離\(r\)は観測で求めることができるため、この式を使えば、直接重さを測れない天体の質量の合計を計算できるからです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 万有引力の式と運動方程式で使う距離の混同:
  • 誤解: 天体Aの運動方程式 \(m_1 a_1 = F\) を立てる際に、右辺の万有引力の式の分母に、軌道半径である \(r_1^2\) を入れてしまう。
  • 対策: 常に基本に立ち返りましょう。「万有引力」は2つの天体の「中心間距離」で決まる力なので、分母は常に \((r_1+r_2)^2 = r^2\) です。一方、「向心加速度」は各天体の「軌道半径」で決まるので、\(a_1=r_1\omega^2\) となります。この2つの「距離」が異なることが、この問題の最大のポイントです。
• 重心の条件式を使い忘れる:
  • 誤解: 運動方程式を2本立てたものの、未知数 \(r_1, r_2\) が残ってしまい、どう処理していいか分からなくなる。
  • 対策: 「共通重心の周りを回る」という設定は、単なる状況説明ではありません。これは \(m_1 r_1 = m_2 r_2\) という、独立した重要な方程式を与えてくれている、ということを常に意識してください。この式がなければ、この問題は解けません。
• ケプラーの第3法則の単純な公式の誤用:
  • 誤解: 惑星運動で習った \(\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) という公式を、連星の問題にそのまま適用してしまう。
  • 対策: あの公式は、中心天体\(M\)が動かないと近似できる場合にのみ成立します。連星のように両方が動く「2体問題」では、(カ)で導出したように、質量\(M\)の部分が質量の和 \((m_1+m_2)\) に置き換わった一般形 \(\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}\) を使わなければならない、と理解してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ア)～(エ)での公式選択（定義式と基本法則）:
  • 選定理由: このパートは、複雑な現象を分析するための「部品」を揃える段階です。現象を記述するのに必要な物理量（角速度\(\omega\)、力\(F\)）を定義し、それらが従う基本法則（万有引力の法則、運動の法則）を数式で表現しています。これらは、物理的な思考の出発点として必然的に選択されるものです。
  • 適用根拠: 周期運動であることから角速度が定義でき、質量を持つ物体間には万有引力が働き、力が働けば物体は加速度運動をする（運動方程式）。これらは、この物理現象に適用できる最も基本的な法則群です。
• (オ)でのアプローチ選択（連立方程式の和）:
  • 選定理由: 求めたいのは、個別の天体の情報（\(m_1, r_1\)など）ではなく、系全体の性質である「質量の和 \(m_1+m_2\)」です。個別の情報を消去し、全体の情報を抽出する数学的な操作として、連立方程式を解くことが考えられます。
  • 適用根拠: 2本の運動方程式（式①’, ②’）をよく見ると、左辺は \(m_1, m_2\) を含み、右辺は \(r_1, r_2\) を含んでいます。この2式を「足し合わせる」と、左辺はきれいに \(G\frac{m_1+m_2}{r^2}\) となり、右辺は \((r_1+r_2)\omega^2 = r\omega^2\) となります。この操作によって、個別の量がうまく消去され、全体の量だけの関係式が自然に導かれます。
• (カ), (キ)でのアプローチ選択（定義式による変数変換）:
  • 選定理由: (オ)で得られた関係式を、異なる物理量（周期\(T\)や速さ\(v_1\)）を使って表現し直したい、という明確な目的があります。
  • 適用根拠: 物理量同士を結びつける基本的な定義式（\(\omega = 2\pi/T\) や \(v_1 = r_1\omega\)）は、変数同士を変換するための「翻訳機」の役割を果たします。これらの定義式を代入することで、角速度\(\omega\)という変数で書かれた関係式を、周期\(T\)や速さ\(v_1\)で書かれた関係式へと論理的に変換することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 記号の区別を徹底する:
  • 計算用紙の隅にでも「\(r = r_1+r_2\)（万有引力用）」、「\(r_1\)（Aの運動方程式用）」、「\(r_2\)（Bの運動方程式用）」のようにメモ書きし、立式の際に毎回確認する癖をつけましょう。特に添え字（1, 2）の付け間違いは致命的になります。
• 連立方程式は辺々足す前に整理する:
  • (オ)の計算では、いきなり元の運動方程式を足すのではなく、まず両辺を \(m_1\) や \(m_2\) で割って式①’と②’のように整理してから足し合わせると、計算の見通しが格段に良くなります。
• 目的の文字について解く意識を持つ:
  • (キ)の別解のように、複数の式を扱う場合は、「どの文字を消去して、どの文字で答えを表したいのか」というゴールを常に意識しましょう。この場合、「\(m_2\)を消去して、\(m_1+m_2\)で表したい」という目的意識が、重心の条件式をどのように変形すればよいかの指針になります。
• 特殊な場合を代入して検算する:
  • 導出した式が正しいか不安なときは、簡単な状況を代入してみましょう。例えば、(キ)で求めた \(v_1\) の式に、\(m_1=m_2=m\) の場合を考えます。このとき重心の条件から \(r_1=r_2=r/2\) となります。
  • \(v_1 = \frac{r}{2} \sqrt{\frac{G(2m)}{r^3}} = \sqrt{\frac{G(2m)r^2}{4r^3}} = \sqrt{\frac{Gm}{2r}}\)。
  • 一方、発展例題21のモデルで速さを計算すると、運動方程式は \(m\frac{v^2}{r/2} = G\frac{m^2}{r^2}\) となり、\(v^2 = G\frac{m}{2r}\) から \(v = \sqrt{\frac{Gm}{2r}}\) となって、確かに一致します。このような検算は、式の正しさに対する自信につながります。

253 人工衛星と空気抵抗

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「空気抵抗を受ける人工衛星の運動とエネルギー」です。まず、抵抗がない理想的な状態での円運動における力学的エネルギーを求め、次に、わずかな空気抵抗によってエネルギーが失われた後の軌道半径と速さの変化を、近似式を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
人工衛星の力学的エネルギー\(E\)は、運動エネルギー\(K = \frac{1}{2}mv^2\) と、万有引力による位置エネルギー\(U = -G\frac{Mm}{r}\) の和で表されます。このままでは、エネルギーの式に速さ\(v\)と半径\(r\)という2つの変数が含まれてしまいます。そこで、この運動が「等速円運動」であるという条件を使い、運動方程式を立てることで、速さ\(v\)を半径\(r\)で表し、エネルギーの式に含まれる変数を\(r\)のみに統一します。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギーは \(E = K + U\)。
• 運動エネルギーは \(K = \frac{1}{2}mv^2\)。
• 万有引力による位置エネルギーは \(U = -G\frac{Mm}{r}\)（無限遠基準）。
• 向心力は、地球からの万有引力である。

具体的な解説と立式
人工衛星の力学的エネルギー\(E\)は、定義より、
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{r} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
となります。

また、人工衛星は等速円運動をしているので、地球からの万有引力が向心力として働いています。したがって、運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{r} &= G\frac{Mm}{r^2} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
となります。この式②を使って、式①の \(v^2\) を消去します。

まず、式②の両辺に\(r\)を掛けて、\(mv^2\) の項を求めます。
$$
\begin{aligned}
mv^2 &= G\frac{Mm}{r}
\end{aligned}
$$
この関係を、運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\) に適用すると、
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2} \left( G\frac{Mm}{r} \right) \\[2.0ex] &= \frac{GMm}{2r}
\end{aligned}
$$
となります。これを力学的エネルギーの式①に代入すると、
$$
\begin{aligned}
E &= K + U \\[2.0ex] &= \frac{GMm}{2r} + \left( -G\frac{Mm}{r} \right) \\[2.0ex] &= \frac{GMm – 2GMm}{2r} \\[2.0ex] &= -\frac{GMm}{2r}
\end{aligned}
$$

人工衛星が持っている全エネルギー（力学的エネルギー）は、「速さによるエネルギー」と「高さによるエネルギー」の合計です。この衛星は円運動をしているので、地球に引かれる力（万有引力）が向心力になっています。この円運動の運動方程式をうまく使うと、「速さによるエネルギー」の大きさが「高さによるエネルギー」の大きさのちょうど半分であることがわかります。この関係を使って合計のエネルギーを計算すると、答えが求まります。

力学的エネルギーは \(E = -\frac{GMm}{2r}\) と求まりました。
地球の重力に束縛されている人工衛星の力学的エネルギーは、負の値になります。これは、無限遠（エネルギーがゼロ）まで行くのにエネルギーが足りない状態を表しており、物理的に妥当です。また、この結果から、運動エネルギー\(K=\frac{GMm}{2r}\)と力学的エネルギー\(E\)の間には \(E = -K\) という関係があることもわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
空気抵抗によってエネルギーが変化した後の状態を考えます。まず、(1)で求めたエネルギーの公式 \(E = -\frac{GMm}{2r}\) を使って、変化後のエネルギー\(E_F\)を新しい半径\(r_F\)で表します。次に、問題で与えられたエネルギーの変化に関する関係式 \(E_F – E = -0.04|E|\) に、これらの具体的な式を代入します。これにより、半径の比 \(\frac{r_F}{r}\) を求めることができます。
速さの比 \(\frac{v_F}{v}\) は、運動方程式から導かれる速さと半径の関係（\(v^2 = GM/r\)）を利用して、半径の比から計算します。計算の最終段階では、指示された近似式を使います。

この設問における重要なポイント

• (1)で求めたエネルギーの公式は、変化後の状態にも適用できる。
• 力学的エネルギー\(E\)は負の値なので、その絶対値は \(|E| = -E = \frac{GMm}{2r}\) となる。
• 変化量が小さい（\(4\%\)）ため、近似式 \((1+x)^n \approx 1+nx\) が有効である。

具体的な解説と立式
(1)の結果から、初期状態と最終状態の力学的エネルギーはそれぞれ、
$$
\begin{aligned}
E &= -\frac{GMm}{2r}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
E_F &= -\frac{GMm}{2r_F}
\end{aligned}
$$
と表せます。問題で与えられた関係式は、
$$
\begin{aligned}
E_F – E &= -0.04|E|
\end{aligned}
$$
です。ここに、上の2式と \(|E| = -E = \frac{GMm}{2r}\) を代入して、半径の比を求めます。

速さの比については、運動方程式から得られる関係 \(v^2 = \frac{GM}{r}\) を用います。この式から、\(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) となり、速さ\(v\)は半径\(r\)の平方根に反比例することがわかります。よって、
$$
\begin{aligned}
\frac{v_F}{v} &= \frac{\sqrt{GM/r_F}}{\sqrt{GM/r}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{r}{r_F}}
\end{aligned}
$$
この関係を使って、求めた半径の比から速さの比を計算します。

1. 半径の比 \(\frac{r_F}{r}\) の計算

エネルギーの関係式に具体的な式を代入します。
$$
\begin{aligned}
\left(-\frac{GMm}{2r_F}\right) – \left(-\frac{GMm}{2r}\right) &= -0.04 \left|-\frac{GMm}{2r}\right| \\[2.0ex] \frac{GMm}{2} \left(\frac{1}{r} – \frac{1}{r_F}\right) &= -0.04 \left(\frac{GMm}{2r}\right)
\end{aligned}
$$
両辺の共通項 \(\frac{GMm}{2}\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{r} – \frac{1}{r_F} &= -\frac{0.04}{r}
\end{aligned}
$$
この式の両辺に\(r\)を掛けると、
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{r}{r_F} &= -0.04 \\[2.0ex] \frac{r}{r_F} &= 1 + 0.04 \\[2.0ex] \frac{r}{r_F} &= 1.04
\end{aligned}
$$
したがって、求める比は、
$$
\begin{aligned}
\frac{r_F}{r} &= \frac{1}{1.04} \\[2.0ex] &= \frac{1}{1+0.04} \\[2.0ex] &= (1+0.04)^{-1}
\end{aligned}
$$
ここで、\(x=0.04, n=-1\) として近似式 \((1+x)^n \approx 1+nx\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
\frac{r_F}{r} &\approx 1 + (-1) \times 0.04 \\[2.0ex] &= 1 – 0.04 \\[2.0ex] &= 0.96
\end{aligned}
$$

2. 速さの比 \(\frac{v_F}{v}\) の計算

速さと半径の関係式 \(\frac{v_F}{v} = \sqrt{\frac{r}{r_F}}\) に、上で求めた \(\frac{r}{r_F} = 1.04\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_F}{v} &= \sqrt{1.04} \\[2.0ex] &= (1+0.04)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(x=0.04, n=\frac{1}{2}\) として近似式を用いると、
$$
\begin{aligned}
\frac{v_F}{v} &\approx 1 + \frac{1}{2} \times 0.04 \\[2.0ex] &= 1 + 0.02 \\[2.0ex] &= 1.02
\end{aligned}
$$

人工衛星が空気抵抗でブレーキをかけられると、エネルギーを失います。この問題は、エネルギーが\(4\%\)減ったときに、軌道の高さ（半径）と速さがそれぞれ何パーセント変化するかを計算するものです。まず、エネルギーと半径の関係式から、半径が\(4\%\)小さくなる（\(0.96\)倍になる）ことがわかります。次に、速さと半径の関係式から、半径が小さくなった分、速さは逆に\(2\%\)増える（\(1.02\)倍になる）ことが計算できます。変化がわずかなので、「近似式」という便利な計算道具を使って答えを求めています。

半径の比は \(\frac{r_F}{r} = 0.96\)、速さの比は \(\frac{v_F}{v} = 1.02\) と求まりました。
この結果は、空気抵抗によって力学的エネルギーを失った人工衛星は、軌道半径が小さくなって地球に落下し始め、その過程で位置エネルギーが運動エネルギーに変換されるため、むしろ加速するという、一見直感に反するが物理的に正しい現象（大気圏再突入のパラドックス）を示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動における力学的エネルギーの性質と、微小変化の解析
  • 核心: この問題は2つの段階から構成されています。第一の核心は、(1)で「万有引力による等速円運動」という特殊な状況下では、力学的エネルギー\(E\)、運動エネルギー\(K\)、位置エネルギー\(U\)の間に \(E = -K = \frac{1}{2}U\) という非常にシンプルな関係が成り立つことを、運動方程式を用いて導出することです。第二の核心は、(2)で空気抵抗という非保存力によってエネルギーがわずかに変化した際に、このエネルギー間の関係式と近似式を駆使して、軌道半径と速さがどのように変化するかを定量的に解析することです。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー関係式の導出: 力学的エネルギーの定義式 \(E = \frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{r}\) と、円運動の運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\) という、全く異なる出発点の2式を組み合わせることで、\(E = -\frac{GMm}{2r}\) という重要な関係式が導かれます。この導出プロセス自体が、力学の理解を深める上で非常に重要です。
    • エネルギー損失と運動の変化: 空気抵抗によって力学的エネルギー\(E\)が失われる（負の値がさらに小さくなる、つまり絶対値は大きくなる）と、公式 \(E = -\frac{GMm}{2r}\) から軌道半径\(r\)は減少しなければなりません。さらに、公式 \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) から、半径\(r\)が減少すると速さ\(v\)は増加します。この「エネルギーを失うのに加速する」という一見矛盾した現象を、数式を通して理解することが、この問題の最大のテーマです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 人工衛星の軌道変更: ある円軌道（半径\(r_1\)）から、より高い別の円軌道（半径\(r_2\)）へ移行するために、ロケット噴射によって加えるべきエネルギー量を求める問題。各軌道での力学的エネルギーを \(E = -\frac{GMm}{2r}\) で計算し、その差 \(\Delta E = E_2 – E_1\) を求めれば解決します。
  • 地球からの脱出速度: 地表（半径\(R\)）にいる物体が、地球の重力圏を脱出するための最小速度（第二宇宙速度）を求める問題。これは、物体の力学的エネルギーがちょうど0になる条件として、\(\frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{R} = 0\) というエネルギー保存則の式から求めることができます。
  • ボーアの原子模型: 原子核の周りを回る電子が、光を放出してエネルギーを失い、より内側の軌道へ遷移する現象も、構造的にはこの問題と非常によく似ています。ポテンシャルが万有引力からクーロン力に変わるだけで、エネルギーを失うと軌道半径が小さくなり、運動エネルギー（速さ）は増加するという関係は共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず、運動が「円運動」か「楕円運動」かを確認する: 「円運動」であれば、運動方程式 \(m\frac{v^2}{r}=F\) が強力な武器となり、エネルギー間のシンプルな関係式 \(E=-K\) などが使えます。
  2. 「力学的エネルギーを求めよ」という問いを見たら、2ステップで考える: (1) まずは定義式 \(E=K+U\) を書く。(2) 次に、運動方程式を立てて、\(K\)（または\(v^2\)）を位置エネルギー\(U\)や半径\(r\)で表せないか検討する。この2ステップが定石です。
  3. 「わずかに」「微小な」「ゆっくりと」という言葉に注目する: これらの言葉は、変化量が小さく、近似計算が有効であることを示唆しています。問題の後半で \((1+x)^n \approx 1+nx\) のような近似式を使う可能性が高いと予測できます。
  4. エネルギーと他の物理量の比例関係を意識する: (1)の結果から、\(E \propto -1/r\) および \(E \propto -v^2\) という関係がわかります。物理量の「比」を問う問題では、このような比例関係を先に把握しておくと、見通しが非常に良くなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力学的エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: (1)で求めた力学的エネルギー \(E = -\frac{GMm}{2r}\) の負号（マイナス）をうっかり忘れてしまう。
  • 対策: 地球のような重力源に「束縛されている」物体の力学的エネルギーは、必ず負の値になります。これは、無限遠（エネルギーが0の基準点）まで自力で脱出するエネルギーを持っていない状態を意味します。「束縛状態＝エネルギーは負」と覚えておきましょう。
• エネルギー変化の式の解釈ミス:
  • 誤解: 問題文の \(E_F – E = -0.04|E|\) という式を見て、エネルギーが\(4\%\)減少したのだから \(E_F = 0.96E\) だ、と早合点してしまう。
  • 対策: \(E\)は負の値であるため、その絶対値は \(|E| = -E\) となります。したがって、与式は \(E_F – E = -0.04(-E) = +0.04E\) となり、正しくは \(E_F = 1.04E\) となります。負の数が\(1.04\)倍されるので、絶対値としては大きくなり、値としては小さくなる（より負になる）という、エネルギー損失の状況と一致します。
• 直感による誤解（抵抗パラドックス）:
  • 誤解: 「空気抵抗を受けるのだから、ブレーキがかかって衛星は遅くなるはずだ」と直感的に考えてしまう。
  • 対策: この問題は、その日常的な直感が通用しない典型例です。抵抗によって失われるエネルギーよりも、軌道が下がることで位置エネルギーから変換される運動エネルギーの方がはるかに大きく、結果として加速します。数式が示す結果を信じ、なぜ直感と異なるのか（位置エネルギーの存在を忘れている）を理解することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（エネルギー定義式と運動方程式の組み合わせ）:
  • 選定理由: 求めたいのは「力学的エネルギー」です。したがって、思考の出発点はその定義式 \(E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{r}\) となります。しかし、この式には速さ\(v\)と半径\(r\)という2つの変数が含まれており、このままでは答えになりません。
  • 適用根拠: 問題には「等速円運動をしている」という極めて重要な条件が与えられています。この条件は、速さ\(v\)と半径\(r\)が独立ではなく、運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\) という関係で結びついていることを意味します。この物理的な制約条件（運動方程式）を使って、エネルギーの定義式から変数\(v\)を消去し、半径\(r\)だけの関数として表す、という論理的な手順を踏むのが最適解となります。
• (2)でのアプローチ選択（(1)の結果の適用と近似計算）:
  • 選定理由: 求めたいのは、エネルギーがわずかに変化した後の半径と速さの「比」です。(1)でエネルギーと半径の一般的な関係式を導いているため、これを初期状態と最終状態の両方に適用するのが最も自然な流れです。
  • 適用根拠: 問題文で与えられたエネルギー変化の式 \(E_F – E = -0.04|E|\) が、初期状態と最終状態を結びつける唯一の「架け橋」です。この方程式に、(1)で導いた具体的なエネルギーの式を代入することで、未知数である半径の比 \(\frac{r_F}{r}\) を求めることができます。さらに、「変化はきわめてゆっくり」という記述と、近似式の利用が指示されていることから、計算の最終段階で \((1+x)^n \approx 1+nx\) を適用することが論理的に導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• エネルギーの比の関係を先に導く:
  • (2)の計算では、別解で示したように、まず与えられた関係式 \(E_F – E = -0.04|E|\) を変形して、\(E_F = 1.04E\) というシンプルな「比」の形にしてしまうのが得策です。この単純な関係式から出発することで、その後の半径や速さの比の計算が非常に見通しよく、かつ間違いにくくなります。
• 比例関係を明確に書き出す:
  • 計算を始める前に、(1)の結果からわかる比例関係をメモしておくと有効です。
  • \(E \propto -1/r\)
  • \(v \propto 1/\sqrt{r}\)
  • これにより、例えば \(\frac{E_F}{E} = \frac{-1/r_F}{-1/r} = \frac{r}{r_F}\) や \(\frac{v_F}{v} = \frac{1/\sqrt{r_F}}{1/\sqrt{r}} = \sqrt{\frac{r}{r_F}}\) といった比の計算を、直感的かつ正確に行うことができます。
• 近似計算の指数を間違えない:
  • \(\frac{r_F}{r} = \frac{1}{1.04} = (1+0.04)^{-1}\) のように、逆数は「-1乗」であることを明確に意識します。
  • \(\frac{v_F}{v} = \sqrt{1.04} = (1+0.04)^{\frac{1}{2}}\) のように、平方根は「1/2乗」であることを明確に意識します。
  • この指数\(n\)を正しく認識することが、近似式を正しく適用するための第一歩です。
• 物理的な意味で検算する:
  • 計算結果が「半径は減少し(\(0.96 < 1\))、速さは増加する(\(1.02 > 1\))」という、物理的に正しい描像（抵抗パラドックス）と一致しているかを最後に確認しましょう。もし、どちらかが直感通りの結果（例：速さが減少）になってしまったら、\(|E|\)の処理や近似計算の符号でミスをしている可能性が極めて高いと判断できます。

254 楕円軌道の周期

【設-問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円軌道から楕円軌道への移行と、天体運動の法則」です。人工衛星の運動について、円運動、楕円運動、そして地球の重力圏からの脱出という3つの状況を、運動方程式や天体運動の基本的な3つの法則（ケプラーの法則）を駆使して解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
半径\(r\)の円軌道を運動する人工衛星の速さと周期を求めます。速さ\(V_0\)は、地球からの万有引力が向心力として働くという、等速円運動の運動方程式から求めることができます。周期\(T_0\)は、速さが分かれば「1周の距離（円周）を速さで割る」ことで計算できます。

この設問における重要なポイント

• 運動は、半径\(r\)の等速円運動である。
• 向心力は、地球と人工衛星の間に働く万有引力 \(F = G\frac{Mm}{r^2}\) である。
• 周期は \(T_0 = \frac{2\pi r}{V_0}\) で計算できる。

具体的な解説と立式
人工衛星の質量を\(m\)とします。

半径\(r\)の円軌道を速さ\(V_0\)で運動しているので、運動方程式 \(m\frac{v^2}{r}=F\) は、
$$
\begin{aligned}
m\frac{V_0^2}{r} &= G\frac{Mm}{r^2}
\end{aligned}
$$
となります。この式を解くことで\(V_0\)が求まります。

周期\(T_0\)は、円周の長さ \(2\pi r\) を速さ\(V_0\)で割ることで求められます。
$$
\begin{aligned}
T_0 &= \frac{2\pi r}{V_0}
\end{aligned}
$$

まず、運動方程式を\(V_0\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{V_0^2}{r} &= G\frac{Mm}{r^2}
\end{aligned}
$$
両辺の\(m\)を消去し、\(r\)を掛けると、
$$
\begin{aligned}
V_0^2 &= \frac{GM}{r}
\end{aligned}
$$
\(V_0 > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_0 &= \sqrt{\frac{GM}{r}}
\end{aligned}
$$
次に、この\(V_0\)を周期の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
T_0 &= \frac{2\pi r}{V_0} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} \\[2.0ex] &= 2\pi r \sqrt{\frac{r}{GM}} \\[2.0ex] &= 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}
\end{aligned}
$$

人工衛星が地球から離れも近づきもせず、きれいな円を描いて回り続けるためには、「ちょうど良い速さ」が必要です。速すぎると円軌道から外側へ離れていき、遅すぎると内側へ落ちていってしまいます。この「ちょうど良い速さ」を、万有引力を向心力とする運動方程式から計算します。周期は、その速さで軌道1周分の距離を走るのにかかる時間を計算するだけです。

速さ\(V_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)、周期\(T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\) が求まりました。速さは軌道半径が小さいほど速く、周期は軌道半径が大きいほど長くなるという関係は、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ケプラーの第2法則は「面積速度一定の法則」とも呼ばれます。面積速度とは、人工衛星と中心天体（地球）を結ぶ線分が、単位時間に掃く面積のことです。この法則を、楕円軌道上で特徴的な2点、すなわち地球に最も近い近地点Aと、最も遠い遠地点Bに適用して立式します。

この設問における重要なポイント

• 近地点Aと遠地点Bでは、速度ベクトルと、地球中心から衛星へ向かう動径ベクトルが垂直（90°）である。
• このような点での面積速度は、\(\frac{1}{2} \times (\text{距離}) \times (\text{速さ})\) という簡単な形で表せる。

具体的な解説と立式
点Aにおける地球からの距離は\(r\)、速さは\(V_A\)です。点Aは近地点なので、速度ベクトルと動径ベクトルは垂直です。したがって、点Aでの面積速度は、
$$
\begin{aligned}
(\text{Aでの面積速度}) &= \frac{1}{2}rV_A
\end{aligned}
$$
となります。

同様に、点Bにおける地球からの距離は\(R\)、速さは\(V_B\)です。点Bは遠地点なので、ここでも速度ベクトルと動径ベクトルは垂直です。したがって、点Bでの面積速度は、
$$
\begin{aligned}
(\text{Bでの面積速度}) &= \frac{1}{2}RV_B
\end{aligned}
$$
となります。

ケプラーの第2法則により、これら2つの面積速度は等しいので、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}rV_A &= \frac{1}{2}RV_B
\end{aligned}
$$
という関係式が成り立ちます。

この設問は立式のみが問われており、これ以上の計算はありません。

人工衛星が地球の周りを回る様子を、衛星と地球を結ぶ線が床をほうきで掃く様子に例えます。ケプラーの第2法則は、「このほうきが1秒間に掃く面積は、軌道上のどこにいても同じ」というルールです。地球に近いA点ではほうきの柄(\(r\))が短いので、速く(\(V_A\))動かないと同じ面積を掃けません。逆に、地球から遠いB点では柄(\(R\))が長いので、ゆっくり(\(V_B\))動いても同じ面積を掃けます。この関係を数式で表したものが答えです。

ケプラーの第2法則を正しく数式で表現できました。この式は、楕円軌道上の2点の速さの関係を示す重要な式であり、次の設問(3)で力学的エネルギー保存則と連立させて使われます。

問(3)

思考の道筋とポイント
楕円軌道上の速さ\(V_A\)を求めます。未知数は\(V_A\)と\(V_B\)の2つなので、方程式が2本必要です。1本は(2)で立てた面積速度一定の式です。もう1本は、人工衛星に働く力が保存力である万有引力のみであることから成り立つ「力学的エネルギー保存則」の式です。この2つの式を連立させて解きます。

この設問における重要なポイント

• 楕円軌道上では、力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）が保存される。
• 万有引力による位置エネルギーは \(U = -G\frac{Mm}{r}\)（無限遠基準）。
• (2)で立てた式 \(rV_A = RV_B\) を利用する。

具体的な解説と立式
点Aと点Bで力学的エネルギーが保存されることから、
$$
\begin{aligned}
(\text{Aでのエネルギー}) &= (\text{Bでのエネルギー})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mV_A^2 – G\frac{Mm}{r} &= \frac{1}{2}mV_B^2 – G\frac{Mm}{R} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、(2)の結果から、
$$
\begin{aligned}
V_B &= \frac{r}{R}V_A \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
この式②を式①に代入して、\(V_A\)について解きます。

まず、式①の両辺を\(m\)で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}V_A^2 – \frac{GM}{r} &= \frac{1}{2}V_B^2 – \frac{GM}{R}
\end{aligned}
$$
この式に、式② \(V_B = \frac{r}{R}V_A\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}V_A^2 – \frac{GM}{r} &= \frac{1}{2}\left(\frac{r}{R}V_A\right)^2 – \frac{GM}{R} \\[2.0ex] \frac{1}{2}V_A^2 – \frac{1}{2}\frac{r^2}{R^2}V_A^2 &= \frac{GM}{r} – \frac{GM}{R} \\[2.0ex] \frac{1}{2}V_A^2 \left(1 – \frac{r^2}{R^2}\right) &= GM\left(\frac{1}{r} – \frac{1}{R}\right) \\[2.0ex] \frac{1}{2}V_A^2 \left(\frac{R^2-r^2}{R^2}\right) &= GM\left(\frac{R-r}{rR}\right) \\[2.0ex] \frac{1}{2}V_A^2 \frac{(R-r)(R+r)}{R^2} &= GM\frac{R-r}{rR}
\end{aligned}
$$
両辺の \((R-r)\) を消去し、\(V_A^2\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
V_A^2 &= \frac{2GM}{rR} \cdot \frac{R^2}{R+r} \\[2.0ex] &= \frac{2GMR}{r(R+r)}
\end{aligned}
$$
\(V_A > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_A &= \sqrt{\frac{2GMR}{r(R+r)}}
\end{aligned}
$$

楕円軌道を回る人工衛星の速さを求める問題です。速さが2つ（A点とB点）わからないので、式が2本必要です。(2)で使った「面積を掃くペースは一定」というルールと、「エネルギーの合計は一定」というルールの2つを連立方程式として解くことで、A点での速さを計算します。

近地点Aでの速さ \(V_A\) が求まりました。この速さは、(1)で求めた円運動の速さ\(V_0\)よりも大きいことがわかります。これは、より遠くまで到達する楕円軌道に乗るためには、元の円軌道よりも大きな力学的エネルギーが必要であり、そのために点Aで加速する必要があることを示しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
ケプラーの第3法則は「周期の2乗は、軌道の半長軸の3乗に比例する」というものです。数式で書くと \(\frac{T^2}{a^3} = k\) （\(k\)は中心天体が同じなら一定）となります。この法則を、(1)で考えた半径\(r\)の円軌道と、今回考える楕円軌道の2つに適用し、その比をとることで楕円軌道の周期\(T\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 円軌道の場合、半長軸は半径\(r\)そのものである。
• 楕円軌道の場合、長軸の長さが \(r+R\) なので、半長軸は \(a = \frac{r+R}{2}\) である。
• \(\frac{T^2}{a^3}\) の値が、円軌道と楕円軌道で等しい。

具体的な解説と立式
ケプラーの第3法則より、
$$
\begin{aligned}
\frac{(\text{周期})^2}{(\text{半長軸})^3} &= (\text{定数})
\end{aligned}
$$
が成り立ちます。

• 円軌道: 周期\(T_0\)、半長軸\(r\)
• 楕円軌道: 周期\(T\)、半長軸 \(a = \frac{r+R}{2}\)

この2つの軌道について、この法則を適用すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{T_0^2}{r^3} &= \frac{T^2}{\left(\frac{r+R}{2}\right)^3}
\end{aligned}
$$
という関係式が立てられます。この式を\(T\)について解きます。

$$
\begin{aligned}
T^2 &= T_0^2 \cdot \frac{\left(\frac{r+R}{2}\right)^3}{r^3} \\[2.0ex] &= T_0^2 \cdot \left(\frac{r+R}{2r}\right)^3
\end{aligned}
$$
両辺の平方根をとると、
$$
\begin{aligned}
T &= \sqrt{T_0^2 \cdot \left(\frac{r+R}{2r}\right)^3} \\[2.0ex] &= T_0 \sqrt{\left(\frac{r+R}{2r}\right)^3}
\end{aligned}
$$

ケプラーの法則によると、惑星や衛星が1周するのにかかる時間（周期）は、その軌道の「平均的な大きさ（半長軸）」だけで決まります。元の円軌道と、新しい楕円軌道の「平均的な大きさ」を比べて、周期が何倍になるかを比例計算する問題です。

楕円軌道の周期\(T\)を、円軌道の周期\(T_0\)を用いて表すことができました。楕円軌道の半長軸 \(\frac{r+R}{2}\) は、元の円軌道の半径\(r\)より大きいので、周期\(T\)は\(T_0\)より長くなることがわかります。これは物理的に妥当です。

問(5)

思考の道筋とポイント
人工衛星が地球の重力を振り切って無限遠まで飛んでいくための条件は、その力学的エネルギーが0以上であることです。無限遠では万有引力による位置エネルギーが0になるので、力学的エネルギーが0以上であれば、無限遠に到達したときにも運動エネルギーが0以上となり、飛び去ることができます。ここでは、無限遠にギリギリ到達する場合、すなわち力学的エネルギーがちょうど0になる場合の速さ\(V_A’\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 無限遠に脱出する条件は、力学的エネルギー \(E \ge 0\)。
• 無限遠での位置エネルギーは0。
• 加速した直後の点Aでの力学的エネルギーが0になるとして立式する。

具体的な解説と立式
点Aで速さ\(V_A’\)に加速された直後の力学的エネルギーを考えます。

• 運動エネルギー: \(\frac{1}{2}m(V_A’)^2\)
• 位置エネルギー: \(-G\frac{Mm}{r}\)

この和が0になるので、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m(V_A’)^2 – G\frac{Mm}{r} &= 0
\end{aligned}
$$
この式から\(V_A’\)を求め、(1)で求めた\(V_0\)との比を計算します。

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m(V_A’)^2 &= G\frac{Mm}{r} \\[2.0ex] (V_A’)^2 &= \frac{2GM}{r} \\[2.0ex] V_A’ &= \sqrt{\frac{2GM}{r}}
\end{aligned}
$$
(1)で求めた \(V_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) との比を求めると、
$$
\begin{aligned}
\frac{V_A’}{V_0} &= \frac{\sqrt{\frac{2GM}{r}}}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{2}
\end{aligned}
$$

地球の重力という「井戸」から脱出するには、十分な勢い（運動エネルギー）が必要です。この問題では、地球からの「位置エネルギー」というマイナスのエネルギーをちょうど打ち消すだけの運動エネルギーを与えたときの速さを計算しています。計算すると、その場所で円運動するのに必要な速さの、ちょうど\(\sqrt{2}\)倍の速さが必要だということがわかります。

脱出速度\(V_A’\)は、同じ半径の円運動の速さ\(V_0\)の\(\sqrt{2}\)倍であることがわかりました。この\(\sqrt{2}\)という比は、中心天体の質量や軌道半径によらない普遍的な値であり、天体力学において非常に重要な結果です。この脱出速度は第二宇宙速度とも呼ばれます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 天体運動の3つの状況に応じた法則の選択と適用
  • 核心: この一問は、天体力学における代表的な3つの状況（円運動、楕円運動、重力圏からの脱出）を網羅しており、それぞれの状況に応じて適切な物理法則を的確に選択し、適用する能力を試しています。どの状況でどの法則が有効かを理解し、使い分けることが問題解決の根幹をなします。
  • 理解のポイント:
    • 円運動（問(1)）: 速さが一定で軌道半径も一定という最も単純な状況です。運動の状態（速さ）と原因（万有引力）を直接結びつける「等速円運動の運動方程式」が最も強力な道具となります。
    • 楕円運動（問(2), (3)）: 速さと半径が常に変化する、より複雑な状況です。しかし、働く力は万有引力（中心力かつ保存力）のみであるため、軌道上のどこでも成り立つ2つの普遍的な保存則、「力学的エネルギー保存則」と「ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）」が主役となります。未知数が2つ（近地点と遠地点の速さ）に対し、この2つの法則を連立させるのが定石です。
    • 周期の比較（問(4)）: 異なる軌道（円軌道と楕円軌道）の周期を比較する際には、軌道の「大きさ」と周期の関係を専門に扱う「ケプラーの第3法則」が最も効率的です。
    • 重力圏からの脱出（問(5)）: 「無限遠に飛び去る」という条件は、エネルギーの観点から捉えるのが本質的です。地球の重力による束縛（力学的エネルギーが負の状態）から解放されるギリギリの条件、すなわち「力学的エネルギーが0になる」という条件式を立てて解きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる軌道への移行全般: 例えば、高い円軌道から低い円軌道へ移る場合（ホーマン遷移軌道など）。この場合は、途中で楕円軌道を挟み、減速噴射によってエネルギーを段階的に失わせる操作が必要になります。どの軌道でどの法則が使えるかを考える点は共通です。
  • 彗星の運動: 太陽を焦点とする非常に細長い楕円軌道を描く彗星の近日点での速さと遠日点での速さを求める問題は、この問題の(2), (3)と全く同じアプローチ（エネルギー保存則と面積速度一定の法則の連立）で解くことができます。
  • 第二宇宙速度の導出: この問題の(5)は、まさに地表（\(r=R_{\text{地球}}\)）から物体を打ち上げる際の脱出速度（第二宇宙速度）の導出そのものです。(1)で求めた地表すれすれの円運動の速さ（第一宇宙速度）との関係（\(\sqrt{2}\)倍）も重要な知識です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軌道の形状を最優先で特定する: 問題文や図から、運動が「円」なのか「楕円」なのか、あるいは「脱出」する軌道なのかを最初に判断します。これが解法の羅針盤になります。
  2. 軌道移行時のエネルギー変化に注意する: 「加速した」「噴射した」という記述は、外部から仕事がなされ、力学的エネルギーが不連続に変化したことを意味します。したがって、加速の前後でエネルギー保存則を使うことはできません。エネルギー保存則が使えるのは、あくまで万有引力のみを受けて飛行している「同一軌道上」の異なる2点間です。
  3. ケプラーの第3法則における「半長軸」を正確に把握する: 第3法則で使うのは、軌道の長半径（半長軸）\(a\)です。円軌道の場合は半径\(r\)そのものですが、楕円軌道の場合は長軸 \((r+R)\) の半分、すなわち \(a = \frac{r+R}{2}\) となります。この定義を間違えると、周期の計算が全く合わなくなります。
  4. 未知数の数と方程式の数を常に意識する: (3)のように未知数が\(V_A, V_B\)の2つある場合、方程式も2本必要だと判断し、面積速度一定の法則とエネルギー保存則という2つのカードを切る、という戦略的な思考が重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力学的エネルギー保存則の誤用:
  • 誤解: (1)の円軌道上のエネルギーと、(3)の楕円軌道上のエネルギーが等しいとして、エネルギー保存則の式を立ててしまう。
  • 対策: 問題文に「点Aで人工衛星の速さを、\(V_0\)から瞬時に加速して\(V_A\)にした」とあります。この「加速」はロケット噴射など外部から非保存力が仕事をしたことを意味し、その前後で力学的エネルギーは増加しています。エネルギー保存則は、あくまで万有引力という保存力のみが働く区間（例えば、楕円軌道上のA点とB点の間）でのみ成立します。
• ケプラーの第3法則の指数の混同:
  • 誤解: 「周期の3乗と半長軸の2乗が比例する」など、指数（べき乗の数）を逆に覚えてしまう。
  • 対策: 「周期(\(T\))の2乗(\(T^2\))」と「半長軸(\(a\))の3乗(\(a^3\))」の比例関係であると、言葉とセットで正確に覚えましょう。次元を考えると、\(T^2\)は時間の2乗、\(a^3\)は長さの3乗であり、全く異なる次元を持つことも意識すると、混同しにくくなります。
• 脱出の条件の曖昧な理解:
  • 誤解: なぜ脱出するときのエネルギーが0なのかを理解せず、単に公式として暗記している。
  • 対策: 力学的エネルギーが負(\(E<0\))の状態は、重力に「束縛されている」状態（円軌道や楕円軌道）です。エネルギーが正(\(E>0\))の状態は、無限遠に到達してもなお運動エネルギーが残る状態（双曲線軌道）です。その境界線である \(E=0\) が、無限遠でちょうど止まる（ギリギリ脱出できる）条件（放物線軌道）に対応します。このエネルギーと軌道の形の対応関係を理解することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さ」と「周期」です。速さは、運動の状態を規定する力（万有引力）との関係から決まります。この力と運動の関係を記述するのが運動方程式です。
  • 適用根拠: 運動が「等速円運動」であるため、向心加速度が \(a=V_0^2/r\) と単純な形で書け、向心力が万有引力であると特定できます。これにより、運動方程式が未知数\(V_0\)を求めるための方程式として機能します。周期は、求めた速さから定義に従って計算するのが最も直接的です。
• (3)での公式選択（エネルギー保存則と面積速度一定の法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは楕円軌道上の速さ\(V_A\)ですが、遠地点の速さ\(V_B\)も未知数です。未知数が2つあるため、独立した2つの物理法則に基づく方程式が必要です。
  • 適用根拠: 人工衛星に働く力は万有引力のみです。万有引力は「保存力」であるため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。また、万有引力は常に地球の中心を向く「中心力」であるため、角運動量保存則（ケプラーの第2法則）も成り立ちます。この2つの保存則は、中心力場における運動で常に成り立つ普遍的な法則であり、この問題の状況に適用するのに最も適した法則です。
• (4)での公式選択（ケプラーの第3法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは楕円軌道の「周期」であり、比較対象として円軌道の周期\(T_0\)が与えられています。このように、異なる軌道の周期を比較する問題に特化した法則がケプラーの第3法則です。
  • 適用根拠: ケプラーの第3法則は、中心天体が同じであれば、その周りを回るすべての天体（円運動でも楕円運動でも）に対して \(\frac{T^2}{a^3}\) が一定になることを保証します。この普遍性が、円軌道と楕円軌道という異なる運動形態を結びつけて比例計算を行うことを可能にしています。
• (5)での公式選択（力学的エネルギー=0）:
  • 選定理由: 「無限遠まで飛び去ってしまう」という条件を、運動方程式で追跡するのは困難です。このような運動の始点と終点の状態変化を扱う問題では、エネルギーの観点から考えるのが最も強力です。
  • 適用根拠: 「脱出」とは、重力による束縛（\(E<0\)）から解放されることを意味します。そのために必要な最小限のエネルギー状態が \(E=0\) です。したがって、加速直後の点Aでの力学的エネルギーが0になる、という条件を立てることが、この問いに答えるための最も論理的なアプローチとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算し、最後に代入する:
  • 特に(3)の連立方程式は、もし具体的な数値が与えられていても、まずは文字のまま\(V_A\)を求める式を導出しましょう。途中で数値を代入すると、式が複雑になり、物理的な意味を見失いがちです。
• 共通因子で先に割る:
  • (3)の力学的エネルギー保存則の式は、全ての項に衛星の質量\(m\)が含まれています。計算を始める前に両辺を\(m\)で割ることで、式が格段にシンプルになり、計算ミスを減らせます。
• 因数分解を有効活用する:
  • (3)の計算過程で \(1 – \frac{r^2}{R^2}\) という項が出てきます。これを \(\frac{R^2-r^2}{R^2} = \frac{(R-r)(R+r)}{R^2}\) と因数分解することで、右辺の \((R-r)\) ときれいに約分できます。このテクニックを知っていると、計算が大幅に楽になります。
• 有名な関係式を検算に使う:
  • (5)で求めた脱出速度 \(V_A’ = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\) と、(1)で求めた円運動の速さ \(V_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) の間には、\(V_A’ = \sqrt{2} V_0\) という関係があります。これは「脱出速度は、同じ半径の円運動速度の\(\sqrt{2}\)倍である」という非常に有名な結果です。計算結果がこれと一致することを確認することで、計算の正しさを検証できます。
• 物理的な大小関係を吟味する:
  • 計算後、結果が物理的に妥当かを確認しましょう。例えば、\(V_A > V_0\)（楕円軌道に移るには加速が必要）、\(V_A > V_B\)（地球に近い方が速い）、\(T > T_0\)（軌道が大きくなったので周期は長くなる）といった大小関係が成り立っているかを確認するだけでも、多くのミスを発見できます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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