学校H：高校1年生2学期中間考査解説

① ゆっくり持ち上げたときの重力の仕事（答え=\(-98\,\text{J}\)・得点率43.4%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 物体を1つ描き、移動を「上向きの矢印 \(5.0\,\text{m}\)」で描く。物体にはたらく力は2本。手が上向きに支える力と、重力 \(mg\)（下向き）。注目するのは重力の矢印だけ。重力の矢印（下）と移動の矢印（上）は正反対、つまり180°の向きの違いがある。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 一定の力がした仕事の定義 \(W=Fx\cos\theta\) を使う。\(\theta\) は「力の向き」と「移動の向き」のなす角。重力は一定の大きさ \(mg\) で下を向き続けるので、この定義をそのまま当てはめられる。

Step 3 式の意味を読む: \(\cos\theta\) は「力のうち、移動方向にそろっている割合」。\(\theta=180^\circ\) なら \(\cos180^\circ=-1\)、つまり力が移動をまるごと邪魔している。負の仕事とは「その力が物体からエネルギーを奪った」という意味だ。重力は上がっていく物体にブレーキをかけ続けている。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
W_{\text{重力}} &= mg \times h \times \cos180^\circ \\
&= 2.0 \times 9.8 \times 5.0 \times (-1) \\
&= -98
\end{aligned}$$

単位は \(\text{N}\times\text{m}=\text{J}\)。答えは \(-98\,\text{J}\)。

Step 5 妥当性チェック: 人がした仕事は \(+98\,\text{J}\)（手の力 \(19.6\,\text{N}\) が上向き、移動も上向き）。重力の仕事 \(-98\,\text{J}\) と足すとちょうど0。これは「ゆっくり＝速さが変わらない＝運動エネルギーは増えも減りもしない」と一致する。また、物体は \(5.0\,\text{m}\) 高い所へ移ったので重力による位置エネルギーは \(98\,\text{J}\) 増えている。重力の仕事 \(-98\,\text{J}\) は、ちょうどその増えた分の符号を反対にしたもの。どこから見ても数字がかみ合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

② 斜め上向きの力が水平移動でする仕事（答え=\(25\,\text{J}\)・得点率79.8%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 床の上の物体に、水平から60°上向きの力の矢印 \(20\,\text{N}\) を描く。移動は水平右向きの矢印 \(2.5\,\text{m}\)。2本の矢印のなす角が60°。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 一定の力の仕事 \(W=Fx\cos\theta\)。力の大きさも向きも変わらず加え続けているので、定義どおりに使える。

Step 3 式の意味を読む: 力を「水平成分 \(F\cos60^\circ=10\,\text{N}\)」と「鉛直成分 \(F\sin60^\circ\)」に分けて考える。鉛直成分は物体を少し持ち上げようとするだけで、移動（水平）と直角なので仕事をしない。仕事をするのは水平成分の \(10\,\text{N}\) だけ。\(Fx\cos\theta\) は「移動方向の成分×距離」をひとまとめに書いた式だ。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
W &= Fx\cos60^\circ \\
&= 20 \times 2.5 \times 0.5 \\
&= 25
\end{aligned}$$

単位は \(\text{J}\)。答えは \(25\,\text{J}\)。

Step 5 妥当性チェック: 極端な場合で確かめる。もし力が真横（0°）なら \(\cos0^\circ=1\) で全部が仕事になり \(50\,\text{J}\)。真上（90°）なら移動と直角で \(0\,\text{J}\)。60°はその間で、しかも真上寄り。\(50\,\text{J}\) の半分の \(25\,\text{J}\) は、この感覚と合う。符号は、水平成分が移動と同じ向きなので正で正しい。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

③ 動摩擦力の仕事（答え=\(-7.0\,\text{J}\)・得点率84.1%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 物体が右へ \(2.0\,\text{m}\) 進んで止まる。動摩擦力 \(3.5\,\text{N}\) は左向き（進む向きと逆）の矢印。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: \(W=Fx\cos\theta\)。動いている間の動摩擦力は大きさ一定で、向きは常に進行方向と逆。だから \(\theta=180^\circ\) で定義をそのまま使える。

Step 3 式の意味を読む: 負の仕事は「物体からエネルギーを奪った」という意味。摩擦は物体の運動エネルギーを少しずつ奪い（熱に変え）、奪い切ったところで物体は止まる。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
W &= 3.5 \times 2.0 \times \cos180^\circ \\
&= 3.5 \times 2.0 \times (-1) \\
&= -7.0
\end{aligned}$$

与えられた数値がどちらも2桁なので、答えも2桁の \(-7.0\,\text{J}\)。\(-7\,\text{J}\) と書くと1桁に見えるので「\(.0\)」まで書く。

Step 5 妥当性チェック: 摩擦はいつも運動を妨げるので負は正しい。さらに、水平方向にほかの力がはたらいていなければ、物体ははじめ \(7.0\,\text{J}\) の運動エネルギーを持っていて、摩擦にそれを全部奪われて止まった、と読める。「止まった」と「負の仕事」がつながった。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

④ 垂直抗力の仕事（答え=\(0\,\text{J}\)・得点率82.1%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 水平な床の上の物体。移動は右向き \(10\,\text{m}\)。垂直抗力は床から物体へ真上向き。2本の矢印は直角。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: \(W=Fx\cos\theta\) で \(\theta=90^\circ\)。式を選んだ時点で、垂直抗力の大きさを計算する必要がないと分かる。

Step 3 式の意味を読む: \(\cos90^\circ=0\) は「力のうち移動方向にそろっている部分がゼロ」という意味。垂直抗力は物体を床から落ちないように支えているだけで、横への動きを速くも遅くもしない。だからエネルギーを出し入れしない。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
W &= N \times 10 \times \cos90^\circ \\
&= N \times 10 \times 0 \\
&= 0
\end{aligned}$$

\(N\) がいくつであっても0をかければ0。だから \(2.6\,\text{kg}\) を使う必要はない。

Step 5 妥当性チェック: もし垂直抗力が仕事をするなら、床の上を引くだけで物体が床にエネルギーを出し入れしてしまい、床の上をすべる物体の速さが勝手に変わることになる。実際にはそうならない。\(0\,\text{J}\) は直感とも合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

① 1分間にする仕事から仕事率を出す（答え=\(50\,\text{W}\)・得点率65.7%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: モーターが1分間（60秒）かけて合計 \(3000\,\text{J}\) の仕事をする。これを「60個の1秒の箱に、仕事を同じ量ずつ配る」と思い描く。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 仕事率の定義 \(P=\displaystyle\frac{W}{t}\)。仕事と時間が直接与えられているので、これが最短。ただし \(t\) は秒で入れる。

Step 3 式の意味を読む: \(P\) は「1秒の箱1個に入る仕事の量」。仕事率が大きいとは、同じ仕事を短い時間で済ませられる＝力強い、ということ。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
t &= 1.0 \times 60 \\
&= 60 \\
P &= \displaystyle\frac{W}{t} \\
&= \displaystyle\frac{3.0\times10^3}{60} \\
&= 50
\end{aligned}$$

単位は \(\text{J}/\text{s}=\text{W}\)。答えは \(50\,\text{W}\)。

Step 5 妥当性チェック: 逆にたどって、\(50\,\text{W}\) で60秒はたらけば \(50\times60=3000\,\text{J}\)。元の仕事に戻る。また、1分間という「長めの時間」をかけているので、1秒あたりは \(3000\) よりずっと小さくなるはず。\(50\) はその感覚と合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

② 力・距離・時間から仕事率を出す（答え=\(6.4\,\text{W}\)・得点率80.4%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 物体を \(8.0\,\text{N}\) の力で、その力の向きに \(4.0\,\text{m}\) 動かす。それに \(5.0\,\text{s}\) かかる。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: まず仕事 \(W=Fx\)（力と移動が同じ向きなので \(\cos0^\circ=1\)）。次に仕事率 \(P=\displaystyle\frac{W}{t}\)。仕事率は仕事が分からないと出せないので、この順番になる。

Step 3 式の意味を読む: 2つをまとめると \(P=\displaystyle\frac{Fx}{t}\)。「全部で何 \(\text{J}\) の仕事か」を出してから「1秒あたりに直す」という2段の作業。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
W &= 8.0 \times 4.0 \\
&= 32 \\
P &= \displaystyle\frac{32}{5.0} \\
&= 6.4
\end{aligned}$$

単位は \(\text{W}\)。有効数字2桁で \(6.4\,\text{W}\)。

Step 5 妥当性チェック: 別の道でも確かめる。物体は \(5.0\,\text{s}\) で \(4.0\,\text{m}\) 進むので、平均の速さは \(\displaystyle\frac{4.0}{5.0}=0.80\,\text{m}/\text{s}\)。力×速さ \(8.0\times0.80=6.4\) で一致する。この「力×速さ」が③の主役になる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

③ 等速で動かす力の仕事率（答え=\(20\,\text{W}\)・得点率27.0%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 物体を \(10\,\text{N}\) の力で引き、物体は \(2.0\,\text{m}/\text{s}\) の一定の速さで進む。逆向きに \(10\,\text{N}\) の抵抗の力（摩擦など）を描き足すと、「なぜ速くならないのか」が絵で分かる。注目するのは引く力 \(10\,\text{N}\) の矢印だけ。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 時間も距離も与えられず、力と速さが与えられている。だから仕事率を「力×速さ」の形 \(P=Fv\) で使う。この形は暗記ではなく、定義から次のように作れる。

$$\begin{aligned}
P &= \displaystyle\frac{W}{t} \\
&= \displaystyle\frac{Fx}{t} \\
&= F \times \displaystyle\frac{x}{t} \\
&= Fv
\end{aligned}$$

Step 3 式の意味を読む: 「1秒ごと」に区切って見る。物体は1秒で \(2.0\,\text{m}\) 進む。その \(2.0\,\text{m}\) の間、引く力 \(10\,\text{N}\) は移動と同じ向きにはたらいているので、1秒ごとに \(10\times2.0=20\,\text{J}\) の仕事をする。1秒あたりの仕事が仕事率なので、それが答え。どこにも質量は出てこない。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
P &= Fv \\
&= 10 \times 2.0 \\
&= 20
\end{aligned}$$

単位は \(\text{N}\times\text{m}/\text{s}=\text{J}/\text{s}=\text{W}\)。有効数字2桁で \(20\,\text{W}\)。

Step 5 妥当性チェック: 等速なので運動エネルギーは増えていない。では引く力が1秒ごとに入れている \(20\,\text{J}\) はどこへ行ったのか。逆向きの抵抗の力が同じ1秒で \(-20\,\text{J}\) の仕事をして、熱などとして持ち去っている。合計0で「速さが変わらない」と一致する。また、質量が \(6.0\,\text{kg}\) でも \(60\,\text{kg}\) でも、「\(10\,\text{N}\) の力で \(2.0\,\text{m}/\text{s}\)」という条件が同じなら、引く力が1秒あたりにする仕事は変わらない。質量が答えに入らないのは自然だ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

④ 仕事率と時間から持ち上げた高さを出す（答え=\(3.0\,\text{m}\)・得点率25.3%）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: モーターが糸で物体（\(5\,\text{kg}\)）を真上へ一定の速さで引き上げる。物体には上向きの持ち上げる力 \(F\) と、下向きの重力 \(mg\)。上がった高さを \(h\) とする。かかった時間は \(7\,\text{s}\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 3つの道具を順番につなぐ。(a) 一定の速さ＝力のつり合いで \(F=mg\)。(b) 仕事率の定義を逆に使い、仕事 \(W=Pt\)。(c) 力と移動が同じ向き（上向き）なので \(W=Fh\)、これを \(h\) について解く。仕事率から高さへは直接行けないので、「仕事」という共通の量を橋にする。

Step 3 式の意味を読む: モーターは7秒間、1秒ごとに \(21\,\text{J}\) ずつ仕事をする。その仕事はすべて「\(49\,\text{N}\) の力で物体を持ち上げる」ことに使われる。\(49\,\text{N}\) で \(1\,\text{m}\) 持ち上げるには \(49\,\text{J}\) 必要なので、全部の仕事が \(49\,\text{J}\) の何個分かを数えれば、何 \(\text{m}\) 上がったかが分かる。

Step 4 代入して確かめる:

Step 5 妥当性チェック: ③で作った \(P=Fv\) を使って、別の道で確かめる。上がる速さは \(v=\displaystyle\frac{P}{F}=\displaystyle\frac{21}{49}=\displaystyle\frac{3}{7}\,\text{m}/\text{s}\)。これで7秒進むと \(\displaystyle\frac{3}{7}\times7=3\,\text{m}\)。一致する。量としても、\(21\,\text{W}\) は小さめのモーターなので、\(5\,\text{kg}\)（米袋1つ分ほど）を7秒で \(3\,\text{m}\)（建物の1階分ほど）持ち上げるのは無理のない大きさ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

① 飛んでいるボールの運動エネルギー（答え=\(45 \, \text{J}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: ボールが速さ \(v\) で飛んでいる絵を描く。運動エネルギーを決める材料は「質量」と「速さ」の2つだけ。高さも、飛んでいる向きも関係ない。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 運動エネルギーの定義 \(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を使う。この式の正体は「静止している物体をその速さまで加速するのに必要な仕事」だ。一定の力 \(F\) で距離 \(x\) だけ押して、静止から速さ \(v\) にしたとすると、仕事 \(Fx\) は次のように変形できる。

$$\begin{aligned}
Fx &= ma \times x \\
&= m \times \displaystyle\frac{v^2}{2} \\
&= \displaystyle\frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}$$

2行目は、等加速度運動の式 \(v^2=2ax\) から \(ax=\displaystyle\frac{v^2}{2}\) を使った。\(\displaystyle\frac{1}{2}\) は「速さが0から一様に増えていく間に進む距離」から自然に出てくる数で、付け忘れてよいおまけではない。

Step 3 式の意味を読む: \(K\) は質量に比例し、速さの2乗に比例する。速さ2倍で4倍、3倍で9倍。また \(v^2\) なので、右向きでも左向きでも同じ値になる（向きを持たない量）。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
K &= \displaystyle\frac{1}{2} \times 0.10 \times 30^2 \\
&= 0.050 \times 900 \\
&= 45 \, \text{J}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{kg} \times (\text{m}/\text{s})^2 = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2\) で、これは \(\text{N}\cdot\text{m}\)＝\(\text{J}\) と一致する。直感でも確かめておく。このエネルギーを全部高さに変えると \(h=\displaystyle\frac{v^2}{2g}\) で約 \(46 \, \text{m}\)。速さ \(30 \, \text{m}/\text{s}\)（時速約 \(108 \, \text{km}\)）で真上に投げたボールなら、ビル十数階分くらいまで上がる、というのは感覚とも合う。符号は正。有効数字2桁で \(45 \, \text{J}\)。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

② 運動エネルギーから速さを逆算する（答え=\(20 \, \text{m}/\text{s}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 自動車が速さ \(v\)（未知）で走っている絵。今度は \(K\) と \(m\) がわかっていて \(v\) を求める。①と同じ式を逆向きに使う問題だと見抜く。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 新しい公式は要らない。\(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を \(v\) について解けばよい。式は「前から」だけでなく「後ろから」も使える道具だ。

$$\begin{aligned}
K &= \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \\
2K &= mv^2 \\
v^2 &= \displaystyle\frac{2K}{m} \\
v &= \sqrt{\displaystyle\frac{2K}{m}}
\end{aligned}$$

Step 3 式の意味を読む: \(v\) は \(K\) の平方根に比例する。エネルギーを4倍にしても速さは2倍にしかならない。①の「速さ2倍でエネルギー4倍」をひっくり返した関係だ。また質量が大きいほど、同じエネルギーでも速さは小さくなる。

Step 4 代入して確かめる: 指数の計算が入るので、1手ずつ開いておく。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{J}/\text{kg}=\text{m}^2/\text{s}^2\) で、平方根をとると \(\text{m}/\text{s}\)＝速さの単位になる。大きさは \(20 \, \text{m}/\text{s}\)＝時速 \(72 \, \text{km}\) で、一般道を走る自動車として自然。逆に \(400\) や \(10\) が出たら「何かを落とした」と気づける。①の式に戻して \(\displaystyle\frac{1}{2} \times 1.0 \times 10^3 \times 20^2\) を計算すると \(2.0 \times 10^5 \, \text{J}\) に戻る（検算完了）。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

③ テーブル上の物体の重力による位置エネルギー（答え=\(0 \, \text{J}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 床、高さ \(1.0 \, \text{m}\) のテーブル、その上の物体を描く。次に、問題が指定した基準の線（高さ0の線）をテーブル面に赤で引く。床に線を引くのではない。この1本の線を引く作業が、この問題のすべてだ。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: \(U=mgh\) を使う。ただし \(h\) は「床からの高さ」ではなく「基準面からの高さ（上を正）」。重力による位置エネルギーは「物体が今の位置から基準の位置まで移る間に、重力がする仕事」として決められている。だから基準を決めないと値が決まらず、基準を決めたら \(h\) はそこから測る。

Step 3 式の意味を読む: 基準面より上なら \(h \gt 0\) で正、基準面上なら \(h=0\) で0、基準面より下なら \(h \lt 0\) で負。物体がテーブル面にあり、基準もテーブル面なので、物体が基準まで移る距離は0、重力がする仕事も0だ。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
U &= mgh \\
&= 5.0 \times 9.8 \times 0 \\
&= 0 \, \text{J}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック: 基準を変えても、物理として意味のある「差」は変わらないことを確かめる。この物体がテーブルから床へ落ちる場合を考えると、テーブル面基準なら \(0 \, \text{J}\) から \(-49 \, \text{J}\) へ、床基準なら \(49 \, \text{J}\) から \(0 \, \text{J}\) へ変わる。どちらで数えても減った量は \(49 \, \text{J}\) で同じ。つまり \(U\) の値そのものは基準しだいで変わってよく、それで物理が矛盾することはない。「0 J はおかしい」という違和感は、この確認で消える。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

④ 縮めたばねの弾性力による位置エネルギー（答え=\(0.25 \, \text{J}\)）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 横軸に縮み \(x\)、縦軸にばねの力 \(F\) をとったグラフを描く。\(F=kx\) なので原点から右上がりの直線になる。自然長（\(x=0\)）では力は0、縮み \(x\) のとき力は \(kx\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 弾性力による位置エネルギーは「自然長から \(x\) だけ変形させるのに必要な仕事」で、それは \(F\)-\(x\) グラフの下の面積＝三角形の面積になる。底辺 \(x\)、高さ \(kx\) の三角形なので、

$$\begin{aligned}
U &= \displaystyle\frac{1}{2} \times x \times kx \\
&= \displaystyle\frac{1}{2}kx^2
\end{aligned}$$

\(\displaystyle\frac{1}{2}\) は「力が0から \(kx\) まで一様に増えるので、平均の力は \(\displaystyle\frac{kx}{2}\)」という意味でもある。誤答パターン①の「\(kx \times x\)」は、この三角形を長方形と見てしまった計算だ。

Step 3 式の意味を読む: \(U\) は変形の2乗に比例する。2倍変形させると4倍のエネルギー。2乗なので、伸ばしても縮めても値は正。基準（\(U=0\) の位置）は自然長で、人が勝手に動かせるものではない。

Step 4 代入して確かめる: 小数の2乗が入るので、1手ずつ開いておく。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{N}/\text{m} \times \text{m}^2=\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}\) で正しい。符号は正（縮めたばねは、手をはなせば物体を押し出して仕事ができる＝エネルギーを持っている）。大きさも、手で \(10 \, \text{cm}\) ほど縮める程度のばねなら \(1 \, \text{J}\) に満たない小さな値で自然。有効数字2桁で \(0.25 \, \text{J}\)。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 動滑車で力は半分、では仕事は？（答え=○）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 天井にひもの一端を結び、ひもを動滑車にかけて、もう一端を手で上に引く絵を描く。動滑車の下に重さ \(mg\) の物体がつり下がっている。物体側を見ると、上向きのひもが2本ある。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 力はつり合いの式、仕事は「力×力の向きに動いた距離」で考える。ゆっくり持ち上げるので物体にはたらく力はつり合っている。2本のひもの張力 \(T\) はどちらも同じ大きさ（1本のひもだから）なので、

$$\begin{aligned}
2T &= mg \\
T &= \displaystyle\frac{mg}{2}
\end{aligned}$$

Step 3 式の意味を読む: 手が引く力は \(\displaystyle\frac{mg}{2}\) で、確かに半分。ところが、物体を \(h\) 持ち上げるには、物体を支える2本のひもがどちらも \(h\) ずつ短くならなければならない。その分のひもはすべて手の側から出ていくので、手はひもを \(2h\) 引くことになる。

Step 4 代入して確かめる: 手がした仕事 \(W_{\text{手}}\) を計算する。

$$\begin{aligned}
W_{\text{手}} &= T \times 2h \\
&= \displaystyle\frac{mg}{2} \times 2h \\
&= mgh
\end{aligned}$$

これは物体を手で直接 \(h\) 持ち上げたときの仕事 \(mgh\) と同じ。力は半分、距離は2倍、掛け算した仕事は変わらない。だから文は○。

Step 5 妥当性チェック: もし仕事まで半分になるとしたら、動滑車を何段も組み合わせれば、仕事をどんどん減らして同じ高さまで物体を上げられることになる。少ない仕事で大きな位置エネルギーが手に入る＝エネルギーがどこからか湧いてくることになり、エネルギーの大原則と矛盾する。仕事が変わらないという結論は、この直感とも一致する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 運動エネルギーは負になることはない（答え=○）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: どちら向きでもよいので、速さ \(v\) で動く物体を描く。運動エネルギーを決める材料に印をつけると、「質量 \(m\)」と「速さ \(v\)」の2つだけ。基準面のように「人が決めるもの」はどこにも出てこない。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 運動エネルギーの定義 \(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に戻る。「負になるか」という問いは、式を作っている部品の符号を1つずつ調べれば答えが出るからだ。

Step 3 式の意味を読む: 部品ごとに符号を見る。\(\displaystyle\frac{1}{2}\) は正。質量 \(m\) は正（質量が負の物体はない）。\(v^2\) は、\(v\) が正でも負でも0以上。正×正×（0以上）なので、

$$\begin{aligned}
K &= \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \\
&\geq 0
\end{aligned}$$

0になるのは止まっているときだけ。

Step 4 判定する: どんな向き・どんな速さでも \(K \geq 0\)。「負になることはない」という文は○。

Step 5 妥当性チェック: 誤答パターン③の状況を最後まで追ってみる。あらい床をすべる物体は、摩擦の負の仕事で運動エネルギーが減っていき、止まった瞬間に \(K=0\) になる。止まると動摩擦力ははたらかなくなるので、それ以上仕事はされない。つまり、負の仕事で減らせるのは「今持っている運動エネルギーの分まで」で、0より下へは行けない。直感とも式とも矛盾しない。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 重力による位置エネルギーは負になることがある（答え=○）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 基準面の線を1本引き、その線より下に物体を描く。たとえば §3 ③と同じく、テーブル面を基準にしたときの、床の上の物体。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: \(U=mgh\)。ここで \(h\) は「基準面からの高さ（上向きを正）」。重力による位置エネルギーは、物体が基準の位置へ移るまでに重力がする仕事として決められているので、基準を自由に選べる量だ。

Step 3 式の意味を読む: 物体が基準より下にあれば \(h \lt 0\)。\(m \gt 0\)、\(g \gt 0\) なので \(U \lt 0\)。意味としては、「物体を基準の位置まで上げるには、外から仕事をしてやらなければならない」＝基準の位置と比べてエネルギーが足りない状態、ということになる。

Step 4 判定する: 基準面より下にある物体の位置エネルギーは負。「負になることがある」は○。

Step 5 妥当性チェック: 基準をどこに置いても、2つの位置の位置エネルギーの差は変わらない（§3 ③の Step 5 で確かめた）。値が負になっても、物理的な結果（速さや仕事）はまったく変わらないので、負の値が出ても困ることは何もない。極端ケースとして、基準を物体よりずっと上に置けば、どの物体の位置エネルギーも負になる。それでもエネルギー保存の計算結果は同じだ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) 弾性力による位置エネルギーは負になることがある（答え=×）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 自然長のばね、\(x\) だけ伸ばしたばね、\(x\) だけ縮めたばねの3つを並べて描く。伸ばしたばねも縮めたばねも、手をはなせばつないだ物体を動かす（仕事ができる）。自然長のばねは何もしない。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 弾性力による位置エネルギー \(U=\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)（\(x\) は自然長からの伸びまたは縮み）。これは \(F\)-\(x\) グラフの三角形の面積、つまり「自然長から \(x\) まで変形させるのに必要な仕事」だった（§3 ④）。

Step 3 式の意味を読む: ばね定数 \(k\) は正、\(x^2\) は0以上。したがって

$$\begin{aligned}
U &= \displaystyle\frac{1}{2}kx^2 \\
&\geq 0
\end{aligned}$$

自然長（\(x=0\)）で最小の0、そこから伸ばしても縮めても増える。グラフにすると、自然長を底とする下に凸の放物線で、0より下に出る部分はない。

Step 4 判定する: どんな変形でも \(U \geq 0\)。「負になることがある」は×。

Step 5 妥当性チェック: 「負の弾性エネルギー」があるとしたら、それは「自然長のばねよりもさらにエネルギーが少ない＝元に戻ろうとする力が自然長のときより弱い状態」ということになる。だが自然長でばねの力はすでに0で、それより弱い状態は存在しない。直感からも、0未満はありえないと確かめられる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(5) 保存力以外の力がはたらくと、力学的エネルギーは保存されない？（答え=×）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 振り子の絵を描く。おもりにはたらく力は、下向きの重力と、糸に沿って支点へ向かう張力の2つ。次に、おもりが進む向き（円の接線の向き）の矢印を描き足す。張力の矢印と進む向きの矢印は、いつも直角になっている。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 「力学的エネルギーの変化は、保存力以外の力がした仕事に等しい」という関係を使う。保存するかどうかは、この右辺が0かどうかで決まるからだ。

$$\begin{aligned}
E_{\text{後}} – E_{\text{前}} &= W_{\text{保存力以外}}
\end{aligned}$$

Step 3 式の意味を読む: 左辺を0にするのに必要なのは「保存力以外の力が存在しないこと」ではなく、「保存力以外の力がした仕事が0であること」。力が移動の向きと直角なら、その力の仕事は0になる（§1 ④で垂直抗力の仕事が \(0 \, \text{J}\) だったのと同じ理屈）。

$$\begin{aligned}
W &= Fx\cos 90^\circ \\
&= 0
\end{aligned}$$

Step 4 判定する: 振り子の糸の張力も、なめらかな面の垂直抗力も、保存力ではないが、移動の向きと常に直角なので仕事は0。だからこれらがはたらいていても力学的エネルギーは保存する。「保存されることはない」という文には反例があるので×。

Step 5 妥当性チェック: もしこの文が正しかったら、振り子の最下点の速さも、なめらかな斜面をすべり降りた後の速さも、エネルギー保存では求められなくなる。教科書の基本の使い方がすべて崩れるので、文が誤りだと確認できる。逆に、摩擦力や空気の抵抗は進む向きと逆向きにはたらいて負の仕事をするので、これらがあるときは力学的エネルギーが本当に減る。「保存しない」のは、こちらの場面だ。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(6) 力学的エネルギーが保存されるなら、経路によらない（答え=○）

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 同じ高さの出発点から、ゆるい坂・急な坂・くねくねした坂の3本の道で、同じ高さの終点まで物体がすべり降りる絵を描く。面はすべてなめらかとする。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 力学的エネルギー保存則。前提が「保存される場合」なので、始点と終点で運動エネルギーと位置エネルギーの和が等しい。

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{始}}^2 + mgh_{\text{始}} &= \displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{終}}^2 + mgh_{\text{終}}
\end{aligned}$$

Step 3 式の意味を読む: この式に出てくるのは、始点と終点の「高さ」と「速さ」だけ。経路を表す文字は1つもない。だから始点の状態と終点の高さが決まれば、終点の速さは式だけで決まり、途中の道の形は答えに入りこむ余地がない。その理由は、重力のした仕事が経路によらず「高さの差」だけで決まるからだ。

Step 4 判定する: 力学的エネルギーが保存されるなら、どの経路を通っても、同じ位置に来たときの速さは同じ。文は○。

Step 5 妥当性チェック: 極端ケースで確かめる。真下へ自由落下する経路と、なめらかな斜面をすべる経路で、同じ高さだけ下った場合、どちらも速さは \(v=\sqrt{2gh}\)（静止から出発したとき）で同じになる。違うのはかかる時間だけ。ただし、途中に出発点より高い山がある経路では、物体はそこを越えられない（終点にそもそも到達しない）。「到達できる限り、速さは同じ」と理解しておけば矛盾はない。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) \(x=0\) から \(x=3.0 \, \text{m}\) までに力がした仕事

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 横軸は「進んだ距離 \(x\)」、縦軸は「その場所で加えている力 \(F\)」。グラフは \(x=0\) で \(3.0 \, \text{N}\)、\(x=3.0 \, \text{m}\) で \(5.0 \, \text{N}\) を通る右上がりの直線。進めば進むほど強く押している。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 力が一定なら、仕事は「力×距離」＝グラフでは長方形の面積。力が変わるときは、距離をごく短く区切ると、その短い区間では力をほぼ一定とみなせる。その細い長方形の面積（＝短い区間の仕事）を全部足し合わせると、グラフの下の面積になる。だから「力が変わるときの仕事＝\(F\)-\(x\) グラフの下の面積」。

Step 3 式の意味を読む。 グラフの下は、上底 \(3.0\)、下底 \(5.0\)、高さ（横幅）\(3.0\) の台形。

$$\begin{aligned}
W &= \displaystyle\frac{1}{2}\times(3.0+5.0)\times3.0
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。

$$\begin{aligned}
W &= 12 \, \text{J}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：縦軸 \(\text{N}\) × 横軸 \(\text{m}\) ＝ \(\text{N}\cdot\text{m}\) ＝ \(\text{J}\)。面積の単位がちゃんと仕事の単位になる。②はさみうち：ずっと \(3.0 \, \text{N}\) なら \(9.0 \, \text{J}\)、ずっと \(5.0 \, \text{N}\) なら \(15 \, \text{J}\)。実際はその間を増えていくので、答えはその間にあるはず。\(12 \, \text{J}\) は確かに間にある。③グラフが直線なので、平均の力 \(4.0 \, \text{N}\)（\(3.0\) と \(5.0\) のまん中）×\(3.0 \, \text{m}\) とも一致する（直線のときだけ使える近道。曲線では使えない）。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) \(x=3.0 \, \text{m}\) での速さ

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 止まっていた物体が、\(3.0 \, \text{m}\) 進む間に押され続けて速くなる。床はなめらか（摩擦なし）。重力と垂直抗力は上下向きで、横に進む向きと直角なので仕事をしない。仕事をするのは \(F\) だけ。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 「物体がされた仕事＝運動エネルギーの変化」。力が変わるので途中の加速度を追うのは大変。でもエネルギーなら、途中の様子を見ずに始めと終わりだけで済む。途中のことは (1) の面積がまとめて持っている。

Step 3 式の意味を読む。 始めは静止なので運動エネルギー \(0\)。そこに \(12 \, \text{J}\) の仕事が入り、全部が運動エネルギーになる。

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 – 0 &= W
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。 \(m=6.0 \, \text{kg}\)、\(W=12 \, \text{J}\)。

$$\begin{aligned}
v &= 2.0 \, \text{m}/\text{s}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(\text{J}=\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2\) を \(\text{kg}\) で割ると \(\text{m}^2/\text{s}^2\)、ルートで \(\text{m}/\text{s}\)。合う。②はさみうち：ずっと \(3.0 \, \text{N}\) なら仕事 \(9.0 \, \text{J}\) で \(v^2=3.0\)（約 \(1.7 \, \text{m}/\text{s}\)）、ずっと \(5.0 \, \text{N}\) なら \(15 \, \text{J}\) で \(v^2=5.0\)（約 \(2.2 \, \text{m}/\text{s}\)）。\(2.0 \, \text{m}/\text{s}\) はその間。③重い物体ほど同じ仕事で遅くなるはず。式の分母側に \(m\) があり、直感と合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 速さが \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\) になる位置

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 目標は速さ \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\)。そのとき必要な運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}\times6.0\times3.0^2=27 \, \text{J}\)。(1) から \(3.0 \, \text{m}\) 地点ではまだ \(12 \, \text{J}\) しかないので、目標の位置は \(3.0 \, \text{m}\) より先。そこでの力を知るために、グラフを式にする。グラフは \(x=0\) で \(3.0 \, \text{N}\)、\(3.0 \, \text{m}\) 進むごとに \(2.0 \, \text{N}\) 増える。つまり 1 m あたり \(\displaystyle\frac{2.0}{3.0}=\displaystyle\frac{2}{3} \, \text{N}\) ずつ増える。

$$\begin{aligned}
F &= 3.0+\displaystyle\frac{2}{3}x
\end{aligned}$$

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 (1)(2) と同じ2本の道具を、終わりの位置を文字 \(x\) のまま使う。①\(0\) から \(x\) までの仕事＝グラフの下の台形の面積（上底 \(3.0\)、下底 \(3.0+\displaystyle\frac{2}{3}x\)、横幅 \(x\)）。②その仕事＝運動エネルギーの変化＝\(27 \, \text{J}\)。「どこで〜になるか」を聞かれたら、場所を文字にして逆算する。

Step 3 式の意味を読む。 台形の面積を \(x\) の式にすると、次のように整理できる。

$$\begin{aligned}
W &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(3.0+3.0+\displaystyle\frac{2}{3}x\right)x \\
&= 3.0x+\displaystyle\frac{1}{3}x^2
\end{aligned}$$

\(3.0x\) は下の長方形（縦 \(3.0\)・横 \(x\)）、\(\displaystyle\frac{1}{3}x^2\) は上の三角形（底辺 \(x\)・高さ \(\displaystyle\frac{2}{3}x\) の半分）。「長方形＋三角形」がそのまま式の2つの項になっている。これを \(27\) とおく。

$$\begin{aligned}
3.0x+\displaystyle\frac{1}{3}x^2 &= 27
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。 両辺を3倍して分数を消し、2次方程式を解の公式で解く。

$$\begin{aligned}
x &= \displaystyle\frac{9(\sqrt{5}-1)}{2} \, \text{m}
\end{aligned}$$

（約 \(5.6 \, \text{m}\)）

Step 5 妥当性チェック。 ①位置の範囲：\(3.0 \, \text{m}\) より先（\(12 \, \text{J}\) では足りないから）、かつ誤答②の \(6.75 \, \text{m}\) より手前（力が増えるから）。約 \(5.6 \, \text{m}\) はちゃんとその間。②代入して検算：\(x\) が約 \(5.56\) のとき力は約 \(3.0+3.71=6.7 \, \text{N}\)。台形の面積は約 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times(3.0+6.7)\times5.56\)、約 \(27 \, \text{J}\)。合う。③別ルートで一致：\(3.0 \, \text{m}\) 地点（すでに \(12 \, \text{J}\)、力 \(5.0 \, \text{N}\)）から、残り \(15 \, \text{J}\) を稼ぐのに必要な距離を \(s\) とおくと、面積は \(5.0s+\displaystyle\frac{1}{3}s^2\)。これを \(15\) とおくと次の通り。

$$\begin{aligned}
5.0s+\displaystyle\frac{1}{3}s^2 &= 15 \\
s^2+15s-45 &= 0 \\
s &= \displaystyle\frac{-15+\sqrt{405}}{2} \\
s &= \displaystyle\frac{-15+9\sqrt{5}}{2} \\
3.0+s &= \displaystyle\frac{9\sqrt{5}-9}{2}
\end{aligned}$$

出発点からの距離 \(3.0+s\) は \(\displaystyle\frac{9(\sqrt{5}-1)}{2}\) とまったく同じ。どこから区切っても同じ答え＝正しさの裏付け。④単位：面積の式の両辺はどちらも \(\text{J}\)、\(x\) は \(\text{m}\)。合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

高さの地図（基準＝おもりの最下点）

「はなした位置」と「釘」がどちらも最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上、つまり同じ高さにあることが、(4) の答えに直結する。

(1) 最下点での速さ

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 支点 O から棒が真下に垂れた位置が最下点（O の \(0.40 \, \text{m}\) 下）。棒を鉛直から \(60^\circ\) 傾けると、おもりは O の下 \(0.40\cos60^\circ=0.20 \, \text{m}\) の高さまで持ち上がる。最下点との差、つまり最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上が、はなした位置。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 棒の力は運動の向きと直角で仕事0、はたらく力のうち仕事をするのは重力だけ。力学的エネルギー保存。最下点を高さの基準にする。

Step 3 式の意味を読む。 はなした位置（速さ0、高さ \(h\)）の位置エネルギーが、最下点（高さ0）で全部運動エネルギーになる。両辺の \(m\) は消える。

$$\begin{aligned}
mgh &= \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \\
v &= \sqrt{2gh}
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。

$$\begin{aligned}
v &= 2.0 \, \text{m}/\text{s}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック。 ①単位：\(\sqrt{\text{m}/\text{s}^2\times\text{m}}\) は \(\text{m}/\text{s}\)。合う。②極端なケース：傾き \(0^\circ\) なら落差0で速さ0（動かない）。傾き \(90^\circ\)（真横）なら落差 \(0.40 \, \text{m}\)、速さは約 \(2.8 \, \text{m}/\text{s}\)。\(60^\circ\) の \(2.0\) はその間。③おもりの質量が答えに出てこない。重い玉も軽い玉も同じ高さから落ちれば同じ速さ、という自由落下の感覚と一致。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 最下点の速さを2倍にする角度

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 (1) では最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上からはなして \(2.0 \, \text{m}/\text{s}\)。これを \(4.0 \, \text{m}/\text{s}\) にしたい。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 (1) と同じエネルギー保存。\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mgh\) から、\(v^2\) と \(h\) が比例する。速さを2倍にするには、\(v^2\) を4倍、つまり落差を4倍にする。

$$\begin{aligned}
h_{\text{新}} &= 4\times0.20 \\
&= 0.80
\end{aligned}$$

Step 3 式の意味を読む。 鉛直から \(\theta\) 傾けたときの落差を、(1) と同じ引き算で作る。「O から最下点まで \(0.40\)」から「O から見たおもりの下がり具合 \(0.40\cos\theta\)」を引く。\(\theta\) が \(90^\circ\) を超えると \(\cos\theta\) は負になり、「O より上にある」ことを自動で表してくれる。

$$\begin{aligned}
0.40(1-\cos\theta) &= 0.80
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。

$$\begin{aligned}
\theta &= 180^\circ
\end{aligned}$$

答えはエ。

Step 5 妥当性チェック。 ①ほかの選択肢を落差で比べる。\(90^\circ\) なら落差 \(0.40 \, \text{m}\)（(1) の2倍）で速さは \(\sqrt{2}\) 倍。\(120^\circ\) なら \(\cos120^\circ=-0.50\) で落差 \(0.60 \, \text{m}\)（3倍）、速さは \(\sqrt{3}\) 倍。\(150^\circ\) なら \(\cos150^\circ\) は約 \(-0.865\) で落差は約 \(0.75 \, \text{m}\)（約3.7倍）、速さは約1.9倍で、まだ2倍に届かない。ちょうど2倍になるのは \(180^\circ\) だけ。②\(180^\circ\) は円のいちばん上で、これより高い位置はない。「速さ2倍がこの振り子の限界ぎりぎり」という意味でも筋が通る。③棒だから成り立つ：真上は、棒がおもりを下から支えてつり合える位置。そこから静かにはなす（ほんのわずか傾いて落ち始める）と、速さほぼ0から円に沿って下りてくる。糸ではこうはいかない。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 糸が釘にかかった後、釘側で糸が鉛直と \(60^\circ\) のときの速さ

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 釘は O の真下 \(0.20 \, \text{m}\)、つまり最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上。おもりが最下点を過ぎると、糸の上の部分は釘で止まり、おもりは釘を中心に半径 \(0.40-0.20=0.20 \, \text{m}\) の円を描く。糸が鉛直と \(60^\circ\) をなすとき、おもりは釘の下 \(0.20\cos60^\circ=0.10 \, \text{m}\)。釘の高さ \(0.20\) から \(0.10\) を引いて、最下点から \(0.10 \, \text{m}\) 上。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 糸の力は（釘にかかる前も後も）運動の向きと直角で仕事0。釘は動かないので釘も仕事をしない。力学的エネルギー保存がそのまま使える。始めは「はなした位置」（最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上・速さ0）、終わりは「この位置」（最下点から \(0.10 \, \text{m}\) 上）。

Step 3 式の意味を読む。 高さが \(0.20-0.10=0.10 \, \text{m}\) 下がった分の位置エネルギーが、運動エネルギーになっている。

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 &= mg(0.20-0.10)
\end{aligned}$$

Step 4 代入して確かめる。

$$\begin{aligned}
v &= 1.4 \, \text{m}/\text{s}
\end{aligned}$$

Step 5 妥当性チェック。 ①最下点の \(2.0 \, \text{m}/\text{s}\) より遅い。上った後なので当然。②落差は (1) の半分（\(0.20\) が \(0.10\) に）なので、\(v^2\) も半分、速さは \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) 倍。\(2.0\div1.41\) は約 \(1.4\)。合う。③単位：(1) と同じく \(\text{m}/\text{s}\)。④質量は出てこない。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(4) おもりが最も高く上がったときの、糸と鉛直のなす角

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする。 釘にかかった後、おもりは釘を中心に半径 \(0.20 \, \text{m}\) で振れ上がる。いちばん高い所で一瞬止まり、引き返す。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）。 力学的エネルギー保存。いちばん高い所では速さ0なので、運動エネルギーは0、全部が位置エネルギーに戻っている。はじめ（はなした位置）も速さ0だったので、はなした高さと同じ高さ＝最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上まで上がる。

Step 3 式の意味を読む。 高さの地図を見ると、最下点から \(0.20 \, \text{m}\) 上にあるのは釘そのものの高さ。おもりは釘から \(0.20 \, \text{m}\) の円の上にいて、しかも釘と同じ高さにいる。そんな場所は、釘の真横しかない。つまり糸は水平で、鉛直とのなす角は \(90^\circ\)。

糸がそこまでたるまずに張っていられる理由も確かめておこう。おもりが釘より下にいる間は、重力がおもりを釘から遠ざける向き（下向き）に引いている。だから糸はいつもピンと引っぱられていて、たるまない。おもりは円からはずれずに釘の高さまで上り、ちょうど水平になったところで速さが0になって引き返す。

Step 4 代入して確かめる。 糸と鉛直のなす角を \(\phi\) とし、(3) と同じ作り方で最下点からの高さを書いて \(0.20\) とおく。

$$\begin{aligned}
\phi &= 90^\circ
\end{aligned}$$

答えはウ。

Step 5 妥当性チェック。 ①ほかの選択肢と高さで比べる。釘側で \(30^\circ\) なら最下点から約 \(0.03 \, \text{m}\) 上、\(45^\circ\) なら約 \(0.06 \, \text{m}\) 上。どちらも \(0.20 \, \text{m}\) よりずっと低く、まだ速さが残っているので止まらない。\(150^\circ\) は上で見た通りエネルギーが足りない。ちょうど \(0.20 \, \text{m}\) になるのは \(90^\circ\) だけ。②(3) で釘側 \(60^\circ\)（\(0.10 \, \text{m}\) 上）でまだ \(1.4 \, \text{m}/\text{s}\) 残っていた。そこからさらに上がれるのは当然で、\(60^\circ\) より大きい角になるのは筋が通る。③この問題は得点率55.8%で第2問の中では高い。「はなした高さまで戻る」は多くの人がつかめている。あとはそれを「釘と同じ高さ＝糸が水平」と言葉で翻訳できるかどうか。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) つり合いでのばねの伸び \(x_0\) ─ 「静止」は力の式で読む

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 天井からばねがぶら下がり、先に物体。物体は止まっている。物体にはたらく力は「下向きの重力 \(mg\)」と「上向きのばねの力 \(kx_0\)」の2つだけ。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 「静止」＝加速度0＝力のつり合い。エネルギーではなく力の式を使う。理由は誤答②のとおり、ゆっくりおろす途中で手が仕事をしているので、エネルギー保存は使えないから。

Step 3 式の意味を読む: \(kx_0=mg\) は「ばねが重さを支えきれるところまで伸びたら止まる」という意味。ばねは伸びるほど強く引き返すので、ちょうど重さと同じ力になる伸びが1つだけ決まる。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
k x_0 &= mg \\
x_0 &= \displaystyle\frac{mg}{k} \\
x_0 &= \displaystyle\frac{5.0\times 9.8}{70} \\
x_0 &= \displaystyle\frac{49}{70} \\
x_0 &= 0.70
\end{aligned}$$

したがって \(x_0=0.70 \, \text{m}\)。

Step 5 妥当性チェック: 単位は \(\text{N}\div(\text{N}/\text{m})=\text{m}\) で長さになっている。極端ケース: ばねが非常にかたい（\(k\) が大きい）ならほとんど伸びない＝\(x_0\) は小さくなる。物体が重いほどよく伸びる＝\(x_0\) は大きくなる。式の形と体感が一致している。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 自然長を通るときの速さ \(v\) ─ 3種類のエネルギーを全部帳簿に載せる

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 最下点（自然長の \(2.8 \, \text{m}\) 下）で静かにはなす＝速さ0。ばねに引かれて上向きに動き出し、自然長の位置を上向きに通過する。この2つの瞬間を「始め」と「終わり」にする。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: はなしたあと物体にはたらくのは重力とばねの力だけで、どちらも位置エネルギーを持つ力。手はもう触れていないので、力学的エネルギー保存が使える。力学的エネルギーは「運動エネルギー＋重力の位置エネルギー＋弾性力の位置エネルギー」の3つの和。

Step 3 式の意味を読む: 自然長の位置を重力の位置エネルギーの基準（高さ0）にすると、自然長では重力の位置エネルギーも弾性力の位置エネルギーも0になり、帳簿が一番すっきりする。最下点は基準より \(2.8 \, \text{m}\) 下なので高さは \(-2.8 \, \text{m}\)、重力の位置エネルギーは負になる。帳簿は次のとおり。

「最下点の3つの和」＝「自然長の3つの和」が、解くべき式そのもの。

Step 4 代入して確かめる:

したがって \(v=7.4 \, \text{m}/\text{s}\)（向きは上向き）。

Step 5 妥当性チェック: ① 基準を変えても同じ式になるか: 最下点を高さ0にすると、自然長は高さ \(+2.8 \, \text{m}\) で、式は \(\displaystyle\frac{1}{2}\times 70\times 2.8^2=\displaystyle\frac{1}{2}\times 5.0\times v^2+5.0\times 9.8\times 2.8\)。移項すれば上と全く同じ \(2.5\,v^2=137.2\) になる。基準はどこに置いても答えは変わらない（一度決めたら途中で動かさないことだけが約束）。② 大きさの感覚: ばねが放した \(274.4 \, \text{J}\) のうち、ちょうど半分の \(137.2 \, \text{J}\) が持ち上げに使われ、残り半分が運動エネルギー。重力を入れ忘れた誤答②より小さくなるのは当然。③ 単位: \(\text{J}\div\text{kg}\) の平方根で \(\text{m}/\text{s}\)。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 最高点でのばねの縮み ─ 振動の中心は自然長ではなくつり合いの位置

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 最下点ではなされた物体は、上向きに加速しながらつり合いの位置を通り（ここで速さ最大）、自然長を通り、ばねを縮めながら減速して最高点で一瞬止まる。最下点と最高点が振動の両端。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 2つの見方がある。見方A（対称性）: 鉛直ばね振り子は、つり合いの位置を中心に上下対称に振動する（物理で「単振動」として詳しく習う性質）。見方B（エネルギー保存）: 最下点と最高点はどちらも速さ0なので、(2) と同じ帳簿で「最高点の3つの和＝\(137.2 \, \text{J}\)」とおく。物理基礎の道具だけで確実に解けるのは見方B。両方で同じ答えになることを確かめる。

Step 3 式の意味を読む: 見方Aでは、中心（自然長の \(0.70 \, \text{m}\) 下）から下の端まで \(2.1 \, \text{m}\) なので、上の端は中心から上へ \(2.1 \, \text{m}\)＝自然長から上へ \(2.1-0.70=1.4 \, \text{m}\)。見方Bでは、最高点の縮みを \(y\)（自然長より \(y\) 上）とおくと、重力の位置エネルギー \(mgy\)（正）＋弾性力の位置エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}ky^2\)＋運動エネルギー0 ＝ \(137.2\)。

Step 4 代入して確かめる:

2つの解のうち \(y=-2.8\) は「自然長より \(2.8 \, \text{m}\) 下」＝出発した最下点そのもの。もう1つの \(y=1.4\) が最高点。したがって最高点でのばねの縮みは \(1.4 \, \text{m}\)。

Step 5 妥当性チェック: ① 最高点の帳簿を埋め直す: 重力の位置エネルギー \(5.0\times 9.8\times 1.4=68.6 \, \text{J}\)、弾性力の位置エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}\times 70\times 1.4^2=68.6 \, \text{J}\)、合計 \(137.2 \, \text{J}\) で最下点と一致する。② 対称性の確認: 2つの解 \(1.4\) と \(-2.8\) のちょうど真ん中は \(\displaystyle\frac{1.4+(-2.8)}{2}=-0.70\)＝自然長の \(0.70 \, \text{m}\) 下＝(1) のつり合いの位置。エネルギーの式そのものが「振動の中心はつり合いの位置」と教えてくれている。③ 誤答①の \(2.8 \, \text{m}\) で帳簿を埋めると、重力の位置エネルギーだけで \(137.2 \, \text{J}\) になり、ばねの分が上乗せされて保存が破れる。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

情報が「両端とも」そろっているのは区間②だけ。だから終わりの区間②から逆にたどるのが正しい順番になる。

(1) 斜面に入る瞬間の速さ ─ 終わりから逆にたどる

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 左から右へ: あらい水平面 → 斜面の入口（速さ \(v\)）→ 斜面を上って高さ \(2.5 \, \text{m}\) で一瞬止まる。求める \(v\) は区間①と区間②のつなぎ目の速さ。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 区間②（なめらかな斜面）では、仕事をするのは重力だけ。垂直抗力は斜面に垂直で、動く向きと直角なので仕事0。だから力学的エネルギー保存が使える。入口（高さ0）と最高点（速さ0）を結ぶ。

Step 3 式の意味を読む: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mgh\) は「入口で持っていた運動エネルギーが、最高点ではすべて重力の位置エネルギーに置きかわった」という意味。両辺の \(m\) が消えるので、速さは質量によらない。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + 0 &= 0 + mgh \\
v^2 &= 2gh \\
v^2 &= 2\times 9.8\times 2.5 \\
v^2 &= 49 \\
v &= 7.0
\end{aligned}$$

したがって \(v=7.0 \, \text{m}/\text{s}\)。

Step 5 妥当性チェック: \(7.0\) は最初の \(14\) より小さい＝あらい部分で減速した、という物理と一致する（もし \(14\) より大きく出たら、摩擦で加速したことになりおかしい）。単位は \(\sqrt{\text{m}/\text{s}^2\times\text{m}}=\text{m}/\text{s}\)。\(9.8\times 2.5\times 2=49\) がちょうど平方数になるのは、数値がこの手順で解かれることを想定して選ばれているサインでもある。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) 動摩擦力のした仕事 ─ 「速さの変化」を「エネルギーの変化」に直す

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 区間①（あらい部分）の入口で速さ \(14 \, \text{m}/\text{s}\)、出口で (1) の \(7.0 \, \text{m}/\text{s}\)。この区間で仕事をするのは動摩擦力だけ（重力と垂直抗力は動く向きと直角で仕事0）。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 「物体がされた仕事＝運動エネルギーの変化」。区間①で仕事をするのは動摩擦力だけなので、運動エネルギーの変化がそのまま動摩擦力の仕事になる。力も距離も分からなくても、入口と出口の速さだけで決まる。

Step 3 式の意味を読む: \(W=\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{後}}^2-\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{前}}^2\) は「後−前」の順。後のほうが小さければ \(W\) は負＝エネルギーを奪われた、と自動的に符号が出る。

Step 4 代入して確かめる:

したがって動摩擦力のした仕事は \(-147 \, \text{J}\)（有効数字2桁で \(-1.5\times 10^{2} \, \text{J}\)）。

Step 5 妥当性チェック: ① 符号: 負＝摩擦がエネルギーを奪った、で物理と一致。② 別ルートで検算: スタート地点（運動エネルギー \(196 \, \text{J}\)・高さ0）と最高点（運動エネルギー0・重力の位置エネルギー \(2.0\times 9.8\times 2.5=49 \, \text{J}\)）の力学的エネルギーを比べると、減った分は \(49-196=-147 \, \text{J}\)。斜面はなめらかで何も奪わないので、減った分は全部あらい部分で奪われたもの。2つのルートが一致する。③ 大きさ: 最初の \(196 \, \text{J}\) の4分の3が摩擦で熱に変わった計算。速さが半分になると運動エネルギーは4分の1になるので、残り4分の1の \(49 \, \text{J}\) と整合する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) あらい部分の長さ \(L\) ─ 仕事を「力×距離」に戻す

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: あらい水平面を長さ \(L\) だけ進む間、ずっと同じ大きさの動摩擦力が進行と逆向きにはたらく。垂直抗力は重さと同じ \(mg\)。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 動摩擦力の大きさは \(\mu N=\mu mg\)（一定）。一定の力のした仕事は「力×距離×\(\cos\)（力と移動の角度）」で、逆向き（\(180^\circ\)）なので \(-\mu mg\,L\)。これが (2) の \(-147 \, \text{J}\) に等しい。

Step 3 式の意味を読む: \(-\mu mg\,L=-147\) は「\(1 \, \text{m}\) 進むごとに \(\mu mg\) ずつエネルギーを奪われ、合計 \(147 \, \text{J}\) 奪われた」という意味。長さ \(L\) は「奪われた総量 ÷ \(1 \, \text{m}\) あたりの奪われ方」。

Step 4 代入して確かめる:

したがってあらい部分の長さは \(30 \, \text{m}\)。

Step 5 妥当性チェック: ① 逆算: \(4.9 \, \text{N}\times 30 \, \text{m}=147 \, \text{J}\) で (2) と一致。② 上限との比較: 最初の \(196 \, \text{J}\) を全部奪うには \(\displaystyle\frac{196}{4.9}=40 \, \text{m}\) 必要。実際は \(30 \, \text{m}\) で抜けたので、\(40 \, \text{m}\) より短い＝止まらずに抜けた、という状況と合う。③ 単位: \(\text{J}\div\text{N}=\text{m}\)。④ 質量は \(\mu mg\) の中にしか出てこないので、もし動摩擦係数が大きければ \(L\) は短くなる、という体感とも一致する。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(1) 自然長での速さ \(v\) ─ 文字でもやることは数値と同じ

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 縮めて手をはなした瞬間（縮み \(d\)・速さ0）と、自然長を通る瞬間（縮み0・速さ \(v\)）の2枚を描く。床はなめらかで水平なので、高さは変わらない。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 仕事をするのはばねの力だけ（重力・垂直抗力は動く向きと直角）。だから力学的エネルギー保存。水平なので重力の位置エネルギーは変化せず、帳簿に載せるのは「弾性力の位置エネルギー」と「運動エネルギー」の2つだけ。

Step 3 式の意味を読む: \(\displaystyle\frac{1}{2}kd^2=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) は「ばねにためたエネルギーが、自然長でまるごと物体の運動エネルギーに移った」という意味。自然長では弾性力の位置エネルギーが0なので、受け渡しが完了している。

Step 4 代入して確かめる:

したがって \(v=d\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}\)。

Step 5 妥当性チェック: ① 単位: \(k\) の単位 \(\text{N}/\text{m}\) は \(\text{kg}/\text{s}^2\) と同じなので、\(\displaystyle\frac{k}{m}\) は \(1/\text{s}^2\)、その平方根は \(1/\text{s}\)、それに \(d\)（\(\text{m}\)）を掛けて \(\text{m}/\text{s}\)。速さの単位になっている。② 体感: 強く縮める（\(d\) が大きい）ほど速い、かたいばね（\(k\) が大きい）ほど速い、重い物体（\(m\) が大きい）ほど遅い。すべて式の形と一致する。③ 極端ケース: \(d=0\)（縮めない）なら \(v=0\)。動かないので正しい。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(2) ばねの伸びの最大値 ─ 「縮み」から「伸び」への言葉の切り替え

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 縮み \(d\)（速さ0）→ 自然長（速さ最大）→ 伸びていく（減速）→ 伸びが最大の位置で一瞬止まる。この最後の位置の伸びを \(x\) とする。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: (1) と同じく力学的エネルギー保存。はなした瞬間と、伸びが最大の瞬間を結ぶ。どちらも速さ0なので、エネルギーは全部ばねにある。

Step 3 式の意味を読む: \(\displaystyle\frac{1}{2}kd^2=\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) は「縮めてためたエネルギーが、運動エネルギーを経由して、今度は伸びとしてばねに戻ってきた」という意味。摩擦がないので1円も目減りしない。

Step 4 代入して確かめる:

$$\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}kd^2 + 0 &= \displaystyle\frac{1}{2}kx^2 + 0 \\
x^2 &= d^2 \\
x &= d
\end{aligned}$$

\(x\) は伸びの長さ（正）なので \(x=d\)。したがって伸びの最大値は \(d\)。

Step 5 妥当性チェック: ① 単位は長さで、縮めた量と同じ。② 対称性: 水平ばね振り子は自然長（力がつり合う位置）を中心に左右対称に振動するので、左の端が縮み \(d\) なら右の端は伸び \(d\)。§7 の鉛直ばねでは中心がつり合いの位置にずれたが、水平では重力がばねの向きに関係しないので、中心は自然長のまま。③ もし床があらければ、エネルギーが目減りして \(d\) より小さくなるはず。なめらかだから等しい。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

(3) 伸びとエネルギーのグラフ ─ 2本の和が一定になる形を選ぶ

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 横軸は伸び \(x\)（0 から \(d\)）。\(x=0\) は自然長（速さ最大）、\(x=d\) は伸びが最大の位置（速さ0）。この2点でそれぞれのエネルギーがいくらかを先に決める。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: 力学的エネルギー保存より、どの伸びでも「運動エネルギー＋弾性力の位置エネルギー＝\(\displaystyle\frac{1}{2}kd^2\)（一定）」。だから2本のグラフは、片方が決まればもう片方は「一定の値から引いた残り」として決まる。

Step 3 式の意味を読む: 点線 \(U=\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) は原点を通る下に凸の放物線。実線 \(K=\displaystyle\frac{1}{2}kd^2-\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) は、点線を上下にひっくり返して \(\displaystyle\frac{1}{2}kd^2\) だけ持ち上げた形＝上に凸の放物線。2本を縦に足すと、どの \(x\) でも高さ \(\displaystyle\frac{1}{2}kd^2\) の水平な線になる。

Step 4 代入して確かめる: 3つの伸びで表を作ると、形がはっきりする。

真ん中の行が決め手。半分伸びた所で、点線はまだ最大の4分の1しかない（直線なら半分のはず）＝点線は下にふくらむ。実線はまだ4分の3も残っている（直線なら半分のはず）＝実線は上にふくらむ。この組み合わせはアだけ。したがって答えはア。

Step 5 妥当性チェック: ① 両端: 自然長で実線が最大・点線が0、伸び最大で実線が0・点線が最大。(1)(2) の答えと一致する。② 和: どの行も \(\displaystyle\frac{1}{2}kd^2\)。2本のグラフが「交換しているだけ」で総量は変わらない。③ 2本が交わる位置: \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2=\displaystyle\frac{1}{4}kd^2\) となる伸びで、\(x=\displaystyle\frac{d}{\sqrt{2}}\approx 0.71d\)。真ん中 \(0.5d\) より右で交わる点も、アの形と合う。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

あらい斜面のエネルギーグラフ ─ 実線と点線を言葉で再現する

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス

Step 1 現象を絵にする: 横軸は水平面からの高さで、左端が点Aの高さ、右端が点Bの高さ。縦軸はエネルギー。すでにある力学的エネルギーの線を、点Aでの値 \(E_{\text{A}}\) から点Bでの値 \(E_{\text{B}}\) へ下がる右下がりの直線として読む。\(E_{\text{B}}\) は \(E_{\text{A}}\) より小さい（摩擦で減った）。

Step 2 どの原理・式を選ぶか（＋なぜ）: どの高さでも、定義から「力学的エネルギー＝運動エネルギー＋重力による位置エネルギー」。摩擦があっても、この足し算の関係は崩れない（崩れるのは「力学的エネルギーが一定」という部分だけ）。だから、点線（位置エネルギー）が決まれば、実線（運動エネルギー）は「力学的エネルギーの線−点線」で自動的に決まる。

Step 3 式の意味を読む: 3本の線がなぜ全部直線になるのかを確かめる。

・点線（位置エネルギー）: 点Aの高さを \(h_{\text{A}}\) とすると、高さ \(h\) での位置エネルギーは \(U=mg(h-h_{\text{A}})\)。高さの1次式＝直線で、傾きは \(mg\)（右上がり）。\(h=h_{\text{A}}\) で \(U=0\)。

・力学的エネルギーの線: 摩擦が奪うエネルギーは「動摩擦力×斜面を進んだ距離」。動摩擦力の大きさは斜面の上で一定で、斜面を進んだ距離は上がった高さに比例する（同じ角度の斜面なら、2倍上がるには2倍の距離を進む）。だから力学的エネルギーは高さに比例して減る＝右下がりの直線。

・実線（運動エネルギー）: \(K=E-U\)。直線から直線を引いたものは直線。傾きは「力学的エネルギーの線の傾き − \(mg\)」なので、力学的エネルギーの線よりもさらに急な右下がり。

Step 4 代入して確かめる: 直線は2点で決まる。両端（点Aと点B）の値を表で埋め、真ん中の1点で確かめる。

この表を見ながら、次の順で描けば迷わない。

Step 5 妥当性チェック: ① 両端の重なり: Aでは実線が力学的エネルギーの線と同じ点から出発し、Bでは点線が力学的エネルギーの線と同じ点に到着する。片方の端で「重なる相手」が入れ替わっていれば正しい。② 傾きの比べ方: 実線（運動エネルギー）は力学的エネルギーの線より急に下がる。理由は、運動エネルギーは「摩擦に奪われる分」と「位置エネルギーに変わる分」の両方で減るから。③ 摩擦がない場合との比較: もし斜面がなめらかなら、力学的エネルギーの線は水平になり、点線はBで \(E_{\text{A}}\) まで届く。あらい斜面では点線の終点がそれより低い \(E_{\text{B}}\) で止まり、その差 \(E_{\text{A}}-E_{\text{B}}\) が摩擦で熱に変わった分。④ 符号: 運動エネルギーはA〜Bのどこでも0以上で、負の領域に入らない。

この問題が教えてくれること ─ 一般化