学校H：高校1年生1学期中間試験解説

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

有効数字の桁数を「とにかく0以外の数を数える」「いや、書いてある数字を全部数える」と機械的に処理しようとすると、必ずどこかでつまずきます。0には2種類あり、その見分けが本問のすべてです。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

数を「ものさしの目盛り」に置き換えて想像します。0.00345 なら「目盛りの一番細かいところで、3・4・5 まで読めた」という記録です。前にある 0 は「ものさしの位置を合わせるための隙間」でしかありません。

Step 2: どの規則を選ぶか

有効数字の判定規則は次の 3 本です:
（規則 A）0 以外の数字は必ず有効。
（規則 B）数の前にある 0（先頭ゼロ）は位取り役なので有効ではない。
（規則 C）数の後ろにある 0（末尾ゼロ）は、小数点があれば有効、なければ曖昧で文脈判断。

Step 3: 規則の意味を読む

規則 B は「小さい数を表すために 0 を並べただけ」という意味です。\(0.00345 = 3.45 \times 10^{-3}\) と書き換えれば、前の 0 が消えて 3.45 だけが残り、3 ケタと一目で分かります。規則 C は「わざわざ 0 を書いた＝測った結果」と解釈する規則です。

Step 4: 実際に当てはめて確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

有効数字を確かめる最終手段は「\(a.bc \times 10^n\) の形（科学的記数法）に直すこと」です。この形にすると、前にある係数の数字をそのまま数えるだけで桁数が確定します。0.00345 → \(3.45 \times 10^{-3}\)、0.00090 → \(9.0 \times 10^{-4}\)。先頭 0 が自動的に消え、末尾 0 だけが係数として残るので、迷いが消えます。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

有効数字の桁数判定は、問2 の表記問題と問3・問4 の最終答の桁合わせに直結します。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

「2 桁にする」を「数字を 2 個書く」と短絡的に覚えると、必ず ② や ④ や ⑥ で間違えます。本当に必要なのは「元の数の大きさを変えずに、有効数字だけを 2 つに削る」という思考です。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

数直線をイメージし、元の数がどこにあるかを確かめます。499874 なら \(5 \times 10^5 = 500000\) のすぐ手前。0.6942 なら \(7 \times 10^{-1} = 0.7\) のすぐ手前。最終的な答えがこの「目印」のどちら側に来るかを先に予想します。

Step 2: どの形式を選ぶか

形式は「科学的記数法 \(a.b \times 10^n\)」で統一します（\(1 \le a < 10\)、つまり整数部は 1 桁）。例外として、② 5 のように「位が 0 のとき」だけは \(5.0 \times 10^0\) でも \(5.0\) でも構いません。学校の慣習では \(5.0\) と書くのが普通です。

Step 3: 形式の意味を読む

\(a.b \times 10^n\) の \(a.b\) が「有効数字」、\(\times 10^n\) が「位」を表します。位と有効数字を分離して書くから、桁を削っても大きさが保たれるのです。これが科学的記数法の最大の利点。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

書いた答えを元の数と比べ、桁が同じか確かめます。④で「\(5.0 \times 10^5 = 500000\)」、元は 499874。差は \(126\) で、元の数の \(0.025\%\)。十分近いので合っています。⑥で「\(9.6 \times 10^{-15} = 0.0000000000000096\)」、元は \(96048 \times 10^{-19} = 0.0000000000000096048\)。やはり近い。位が合っていれば、ほぼ問題なし。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

有効数字 2 桁の表記は、問3・問4 の計算結果を書くときに毎回使います。形式を間違えると、せっかく数値を出しても満点が取れません。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

相対速度を「公式は \(v_{\text{AB}} = v_{\text{B}} – v_{\text{A}}\)」と丸暗記すると、「A と B、どっちを引く側か」を毎回迷います。本当に必要なのは、なぜそういう引き算になるのかを「自分が動きながら見るとどう見えるか」で理解することです。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

東を正、西を負と決めます。問題の登場人物（電車・人・自動車）の地面に対する速度を、矢印で図にします。「電車内で歩く人」のように二段構えのときは、いったん人の電車内速度を地面換算するのがコツです。

Step 2: どの式を選ぶか

使う式は 1 本だけ:

$$\begin{aligned}
v_{\text{AB}} &= v_{\text{B}} – v_{\text{A}}
\end{aligned}$$

これは「A から見た B の速度」を表します。「\(v_{\text{AB}}\)」と読まれる文字列の右側にある \(v_{\text{B}}\) が前、左側にある \(v_{\text{A}}\) が後に引かれる、と覚えると順序を間違えません。

Step 3: 式の数式構造を読む

なぜ引き算かというと、「自分が動いていれば、止まっているものが自分の動きの逆向きに見える」からです。たとえば自分が東向き \(3.0\) m/s で進めば、地面の電柱は西向き \(3.0\) m/s で流れていくように見える。これを式にすると \(v_{\text{自分から見た電柱}} = 0 – 3.0 = -3.0\)（西向き 3.0 m/s）。引き算は「自分の動きの分を差し引く」操作なのです。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

答えが出たら「向き」を直感で確かめます。①は電車に乗って逆向きに歩いている人。地面から見ると、電車の速さよりは遅いはず。\(5.0\) より小さい \(3.5\) なので妥当。③は東向きの A から見ると、西向きに進んでいる B はもっと速く西へ離れていくはず。確かに \(6.0\) と \(3.0\) より速い、妥当。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

「向きを正負で扱う」という発想は、問4 の等加速度運動でも全く同じように出てきます。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

等加速度運動の公式は次の 3 本です:

$$\begin{aligned}
v &= v_0 + at \\
x &= v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2 \\
v^2 – v_0^2 &= 2 a x
\end{aligned}$$

多くの人は「とりあえず一番上の式から代入」「とにかく 3 本全部書いて連立」と進めます。本当に必要なのは「何が与えられて、何が問われているか」で公式を選ぶ判断力です。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

各問で「向きの正」を決めて、初速度・加速度・変位を矢印で書きます。①なら左を正、③なら西を正、⑥なら右を正、というように毎回明示します。

Step 2: どの公式を選ぶか

選び方の判断表:
（A）時間 \(t\) が与えられ、速度 \(v\) が問われる → 1 本目 \(v = v_0 + at\)。
（B）時間 \(t\) が与えられ、変位 \(x\) が問われる → 2 本目 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)。
（C）時間 \(t\) が出てこない（速度と変位の関係） → 3 本目 \(v^2 – v_0^2 = 2 a x\)。

「与えられた量・問われている量に \(t\) があるかどうか」で 1・2 本目と 3 本目を切り分けるのが最大のコツ。

Step 3: 公式の数式構造を読む

1 本目は「速度の変化＝加速度×時間」、つまり「加速度とは 1 秒あたり何 m/s 増える割合か」を表しています。2 本目は「変位＝初速度ぶん＋加速度ぶん」で、後ろの \(\displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) が「加速度のおかげで余分に進む距離」を意味します。3 本目は時間を消した形で、「速度の 2 乗の変化が、変位に比例する」ことを示します。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

各問で「向き」と「単位」を確認します。①は左向きに加速していくのだから、加速度も左向き。②は「打ち出した場所に戻る」前提と \(v_0 = 18\) m/s の組合せで、6 秒後の速度 \(v = 18 + (-6.0)\times 6.0 = -18\) m/s。打ち出した速度と同じ大きさで逆向きに戻る、対称的で妥当。⑥は \(v^2 = 25\) から \(\pm 5.0\) の 2 解が出ますが、物理状況（すでに折り返している）で 1 つに絞ります。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

等加速度運動は「向きの正負を決める」「公式を 3 本のうちから選ぶ」「二次方程式の解を物理的に吟味する」という 3 段構えで解きます。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

まず紙に川を横向きに描き、左を川上、右を川下とします。AはBの川上側なので、Aが左、Bが右。船は最初A→Bへ進むので、船は川下向きに動きます。「川下向きを正」と決めて、矢印に向きの記号を必ず付けます。流れは右向き（川下向き）に \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\)、船自体が水をかいて進む速さは右向きに \(6.0 \, \text{m}/\text{s}\) です。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

使う道具は「速度の合成」と「相対速度」の2つだけです。岸から見た船の速度 \(v_{\text{船・岸}}\) は、船が水に対して持つ速度 \(v_{\text{船・水}}\) と水（流れ）の速度 \(v_{\text{水・岸}}\) を足したものです。式で書くと \(v_{\text{船・岸}} = v_{\text{船・水}} + v_{\text{水・岸}}\) 。Aから見たBの速度（=AにとってのBの相対速度）は \(v_{B \text{・} A} = v_{B \text{・岸}} – v_{A \text{・岸}}\) です。この2つの式に毎回当てはめれば、5設問すべて同じ枠組みで解けます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

速度合成の式が「足し算」になるのは、船は水の上に乗っていて、水自体も岸に対して動いているからです。船が水をかく速さ（=もし川が止まっていたら岸から見える速さ）に、水ごと流される速度を足す。船が川下に向かうとき、流れは「追い風」になるので加算、川上に向かうときは「向かい風」になるので減算（=向きを考えて足す）になります。相対速度 \(v_{B \text{・} A}\) は「Aを止めて見たときのBの速度」という意味です。Aが動いている分だけ、Bは余計に・あるいは少なく動いて見えます。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

①の \(9.0 \, \text{m}/\text{s}\) は、船自身の \(6.0 \, \text{m}/\text{s}\) より速い。川が押してくれているのだから当然です。逆に③の折り返し後は \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\) と遅くなる。船が頑張って \(6 \, \text{m}/\text{s}\) で水をかいても、流れに半分連れ戻されるイメージで合っています。⑤の鴨は静水で \(4 \, \text{m}/\text{s}\) で泳ぐ生き物として現実的な値です。もしここで \(15 \, \text{m}/\text{s}\) などになっていたら、視点切り替えのどこかで符号を間違えています。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

まず速度がどう変化するかを言葉で書きます。「初め \(+9.0 \, \text{m}/\text{s}\) で進む。毎秒 \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\) ずつ遅くなる。3秒後に止まる。その後は逆向きに加速して、4秒の時点で \(-3.0 \, \text{m}/\text{s}\)」。これだけで\(v\)-\(t\) グラフは「右下がりの一直線」だと決まります。\(x\)-\(t\) グラフは「3秒で最大に達して山の頂上を作り、4秒に向かって少し戻る」形です。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

等加速度運動の3つの式 \(v = v_0 + at\)、\(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) のうち、グラフ問題では特に「\(v\)-\(t\) グラフの面積=変位」が強力です。なぜ面積が変位になるかというと、速度を時間で足し合わせる（積分する）と移動した距離になるからです。長方形の面積 \(v \times t\) は速度が一定のときの変位そのものですし、速度が直線的に変わるなら台形・三角形の面積として同じ意味を持ちます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

\(v\)-\(t\) グラフでは、傾き=加速度、面積=変位。\(x\)-\(t\) グラフでは、傾き=速度。だから「v-tの傾きが負」⇔「速度が減る」⇔「x-tの傾きがだんだん小さくなる=上に凸の放物線」と読み替えられます。等加速度のとき\(x\)-\(t\) グラフが放物線になるのは、変位の式に \(t^2\) が入っているからです。3秒で速度ゼロ=\(x\)-\(t\) グラフの傾きゼロ=山の頂上です。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

\(v\)-\(t\) グラフは t=0 で \(+9.0\)、t=3で0、t=4で \(-3.0\) を通る一直線。傾きは \(-3.0\)（=加速度）で問題文と一致します。\(x\)-\(t\) グラフは t=0 で原点、t=3で頂上 \(13.5 \, \text{m}\)、t=4で \(12.0 \, \text{m}\) と少し下がった放物線。「3秒で13.5m進んで、その後1秒で1.5m戻る」のは、減速して止まって逆向きに動き出すという日常イメージにも合います。もし⑤を \(27\) などと出していたら、三角形ではなく長方形で計算したサインです。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

連続写真は、たとえば毎秒1枚ずつ撮ったコマ送り。3つの像の間隔が等しい=同じ時間に同じ距離を進んでいる、ということです。1秒あたり同じ長さだけ動く、これがまさに等速運動の定義です。図に矢印を3本書き込み、すべて同じ長さであることを目で確認します。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

定義に戻ります。速度の定義は「単位時間あたりの位置の変化」、加速度の定義は「単位時間あたりの速度の変化」。間隔が等しい=速度が一定=速度の変化がゼロ=加速度がゼロ。公式は要らず、定義の連鎖でゴールにたどり着きます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

加速度 \(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\) で、\(\Delta v = 0\) なら \(a = 0\) です。これが\(a\)-\(t\) グラフでは「t軸そのもの（高さ0の水平線）」になります。アは「一定の正の加速度」=等加速度直線運動、ウは「加速度が時間とともに増える」=加加速度のある運動、エは「瞬間的に加速度が変わる」=物理的に不自然、と選択肢を1つずつ意味で読み解きます。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

「等間隔の連続写真=等速運動=加速度ゼロ」は、机の上を一定の速さで滑らせたボールや、エアトラック上の台車などで実験的にも確かめられる、最も基本的な現象です。慣性の法則の表れでもあります。もしアを選んでいたら、像と像の間隔が時間とともに広がっていく（加速していく）はずで、写真の見た目と合いません。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

\(v\)-\(t\) グラフを4つの時間帯に分けて、それぞれ「速度の符号」と「速度の変化（増減）」を読み取ります。

・\(t<t_1\)：\(v<0\)（負）かつ、\(v\) は時間とともに大きくなり \(0\) に近づく。
・\(t_1 < t < t_2\)：\(v>0\)（正）で、時間とともに増える。
・\(t_2 < t < t_3\)：\(v>0\) で、一定値（水平線）。
・\(t>t_3\)：\(v>0\) のまま減少していき、やがて \(v=0\) を通過する。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

ここでは公式ではなく、「\(v\)-\(t\) グラフの読み方の規約」を選びます。具体的には次の2つです。

・規約A：速度の符号（正／負）＝ 動く向き（正方向／負方向）。問題では「ある向きを正と定める」と必ず決まっている。
・規約B：速度の絶対値の増減 ＝ 速さの増減 ＝ 加速か減速か。

この2つを4象限の表にすると次のように整理できます。

・\(v>0\) かつ \(|v|\) 増 → 正方向へ加速（矢印は正方向、間隔は広がる）
・\(v>0\) かつ \(|v|\) 減 → 正方向へ減速（矢印は正方向、間隔は狭まる）
・\(v<0\) かつ \(|v|\) 増 → 負方向へ加速（矢印は負方向、間隔は広がる）
・\(v<0\) かつ \(|v|\) 減 → 負方向へ減速（矢印は負方向、間隔は狭まる）

Step 3: 公式の数式構造を読む

等加速度直線運動の式 \(v = v_0 + a t\) を考えます。これは「速度 \(v\) は、初速 \(v_0\) に、加速度×時間 \(at\) を足したもの」を意味します。グラフの傾きは \(a\)、切片は \(v_0\) です。重要なのは、\(v\) の符号と \(a\) の符号は独立だということ。両方の符号の組み合わせで4通りの現象が生まれます。

Step 4: 実際に区間ごとに運動図を当てはめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

「折り返し運動」になっているかを確認します。\(t<t_1\) は左向き、\(t>t_1\) は右向き。だから \(t=t_1\) で物体は一旦止まって（瞬間的に \(v=0\)）、その後逆向きに動き出している。これは坂を登るボールが頂点で一瞬止まって落ちてくる、という典型現象と同じです。グラフの「\(v\) 軸を横切る点」は「折り返し点」というイメージが頭に入っていれば、E と A の境界（向きが変わる瞬間）を見落としません。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

斜面上の点 P、その下方に点 Q。P と Q の高さの差を \(h\) としておきます（PQ間の鉛直距離）。3 通りの初期条件は次の通りです。

(a) P で斜面上向きに速さ \(v\) を与える。物体は上昇し、最高点で一瞬止まり、戻ってきて P を通り、Q へ。
(b) P で斜面下向きに速さ \(v\) を与える。そのまま Q へ。
(c) P で静かに（速さ \(0\) で）放す。滑り降りて Q へ。

Step 2: どの公式を選ぶか

「初期（P 通過時）と終わり（Q 通過時）の速さだけ」を比較するので、力学的エネルギー保存則が最適です。なめらかな斜面なので摩擦による熱への損失はゼロ。

運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{1}{2} m v^2\)、重力ポテンシャルエネルギー \(U = m g h\)。P と Q では \(K + U\) が等しい。

Step 3: 公式の数式構造を読む

P で持っているエネルギー \(=\) Q で持っているエネルギー、と書きます。

P の高さを基準（\(h=0\)）と取ると、Q の高さは \(-h\)（下方なので負）。あるいは Q を基準にとって P が \(+h\) でも構いません。ここでは Q を基準にして、P の高さを \(h\) と置きます。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

(a) と (b) は P での運動エネルギーが等しいので、Q に着くまでに同じだけポテンシャルを運動エネルギーに変換すれば、当然同じ速さになります。(c) は P で運動エネルギーゼロからスタートするので、ポテンシャル \(m g h\) 分しか運動エネルギーをもらえず、最も遅い。極端ケースとして \(h \to 0\)（P と Q がほぼ同じ高さ）を考えると、\(v_a = v_b \to v\)、\(v_c \to 0\) となり、矛盾なく成り立っています。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

斜面の傾斜角を \(\theta\)、斜面上向きを速度の正の向きとします。物体 A は初速 \(0\) で静かに置かれ、物体 B は初速 \(v_0\)（正の値、上向き）で打ち出される。両者にかかる力は重力の斜面成分だけ（垂直抗力は運動方向に成分がない）。重力の斜面成分は常に斜面下向き、つまり負の方向。

Step 2: どの公式を選ぶか

等加速度直線運動の式 \(v = v_0 + a t\) を A、B それぞれに当てはめます。グラフを描くだけなので、運動方程式を解いて加速度を出すところまでで十分。

Step 3: 公式の数式構造を読む

運動方程式は質量を \(m\) として、A、B どちらも \(m a = -m g \sin\theta\)、よって \(a = -g \sin\theta\)。マイナスがついているのは「斜面上向きを正と定めた」から。重力の斜面成分は下向き＝負。

A について：\(v_A = 0 + \left(-g \sin\theta\right) t = -g t \sin\theta\)。原点を通り、傾き \(-g \sin\theta\) の直線。

B について：\(v_B = v_0 + \left(-g \sin\theta\right) t = v_0 – g t \sin\theta\)。切片 \(v_0\)、傾き \(-g \sin\theta\) の直線。

2 つの直線の傾きは等しい \(\left(-g \sin\theta\right)\)。切片だけが違う（A は \(0\)、B は \(v_0\)）。よって \(v\)-\(t\) グラフ上では A と B は平行な直線。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

B が \(v=0\) になる瞬間（直線が時間軸を横切る点）が「B が最高点に達した瞬間」を表しています。その後 \(v<0\) になるのは「斜面を下り始めた」ことを意味する。さらにこの瞬間以降、B のグラフは A のグラフと「同じ傾きの平行な直線」のまま下りていく。これは「B は最高点を過ぎてからは、A と同じく初速ゼロで斜面を下る運動と物理的に同等」だということを表しています。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

地面に固定した地点 A を考え、その上を等加速度 \(a\) で走る列車が右に通過していくとします。

・時刻 \(t=0\)：列車の前端が A の真上にきた。このとき列車の速度は \(u\)。
・時刻 \(t=T\)：列車の後端が A の真上にきた。このとき列車の速度は \(v\)。

地面から見ると、この \(T\) 秒間に列車全体が距離 \(L\)（列車の長さ）だけ進んでいる。なぜなら、最初 A にあった「前端の位置」が、\(T\) 秒後には「列車の長さ \(L\) だけ右に移動した位置」になり、ちょうどその時に後端が A の真上に来ているから。

Step 2: どの公式を選ぶか

等加速度直線運動の 3 つの式から、必要なものを 2 本選びます。

・\(v = v_0 + a t\)（速度と時間の関係）
・\(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)（位置と時間の関係）
・\(v^2 – v_0^2 = 2 a x\)（速度と距離の関係：時間が出てこない）

(1) では「速度の変化から時間を求める」ので 1 番目の式。(2) では「速度の変化から距離を求める」ので 3 番目の式が一発で効きます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

(1) で使う \(v = v_0 + a t\) は、「終わりの速度 \(=\) 始めの速度 \(+\) 加速度 \(\times\) 時間」。今回は「始めの速度 \(= u\)、終わりの速度 \(= v\)、加速度 \(= a\)、時間 \(= T\)」と対応させる。

(2) で使う \(v^2 – v_0^2 = 2 a x\) は、「速度の 2 乗の差 \(= 2 \times\) 加速度 \(\times\) 移動距離」。これは時間 \(t\) を含まない式で、「始めと終わりの速度がわかっていて、移動距離だけ知りたいとき」に最も速い道具。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

・単位の確認：(1) では \(\displaystyle\frac{v – u}{a}\) の単位が \(\displaystyle\frac{\text{m}/\text{s}}{\text{m}/\text{s}^2} = \text{s}\)（秒）になっており、時間として正しい。(2) では \(\displaystyle\frac{v^2 – u^2}{2 a}\) の単位が \(\displaystyle\frac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}/\text{s}^2} = \text{m}\)（メートル）で、長さとして正しい。
・極端ケース：もし \(a \to 0\)（加速していない＝等速）なら、前端通過時の速度 \(u\) と後端通過時の速度 \(v\) は同じになるはずなので、\(v = u\) であってほしい。式 (1) で \(v = u\) を入れると \(T = 0/0\) で不定形になり、\(a\) を 0 にすると公式自体が破綻するのは正しい挙動。等速の場合は別の式（\(L = u T\)）で扱う必要がある。
・直感チェック：列車が加速していて、後端通過時の方が速い（\(v > u\)）と仮定すると、\(T > 0\)、\(L > 0\) が両方成り立つ。逆に減速していて \(v < u\) なら、\(a < 0\) を入れることになり、やはり \(T, L\) は正になる。式は両方向の加速度に対応している。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

有効数字の桁数を「とにかく0以外の数を数える」「いや、書いてある数字を全部数える」と機械的に処理しようとすると、必ずどこかでつまずきます。0には2種類あり、その見分けが本問のすべてです。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

数を「ものさしの目盛り」に置き換えて想像します。0.00345 なら「目盛りの一番細かいところで、3・4・5 まで読めた」という記録です。前にある 0 は「ものさしの位置を合わせるための隙間」でしかありません。

Step 2: どの規則を選ぶか

有効数字の判定規則は次の 3 本です:
（規則 A）0 以外の数字は必ず有効。
（規則 B）数の前にある 0（先頭ゼロ）は位取り役なので有効ではない。
（規則 C）数の後ろにある 0（末尾ゼロ）は、小数点があれば有効、なければ曖昧で文脈判断。

Step 3: 規則の意味を読む

規則 B は「小さい数を表すために 0 を並べただけ」という意味です。\(0.00345 = 3.45 \times 10^{-3}\) と書き換えれば、前の 0 が消えて 3.45 だけが残り、3 ケタと一目で分かります。規則 C は「わざわざ 0 を書いた＝測った結果」と解釈する規則です。

Step 4: 実際に当てはめて確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

有効数字を確かめる最終手段は「\(a.bc \times 10^n\) の形（科学的記数法）に直すこと」です。この形にすると、前にある係数の数字をそのまま数えるだけで桁数が確定します。0.00345 → \(3.45 \times 10^{-3}\)、0.00090 → \(9.0 \times 10^{-4}\)。先頭 0 が自動的に消え、末尾 0 だけが係数として残るので、迷いが消えます。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

有効数字の桁数判定は、問2 の表記問題と問3・問4 の最終答の桁合わせに直結します。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

「2 桁にする」を「数字を 2 個書く」と短絡的に覚えると、必ず ② や ④ や ⑥ で間違えます。本当に必要なのは「元の数の大きさを変えずに、有効数字だけを 2 つに削る」という思考です。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

数直線をイメージし、元の数がどこにあるかを確かめます。499874 なら \(5 \times 10^5 = 500000\) のすぐ手前。0.6942 なら \(7 \times 10^{-1} = 0.7\) のすぐ手前。最終的な答えがこの「目印」のどちら側に来るかを先に予想します。

Step 2: どの形式を選ぶか

形式は「科学的記数法 \(a.b \times 10^n\)」で統一します（\(1 \le a < 10\)、つまり整数部は 1 桁）。例外として、② 5 のように「位が 0 のとき」だけは \(5.0 \times 10^0\) でも \(5.0\) でも構いません。学校の慣習では \(5.0\) と書くのが普通です。

Step 3: 形式の意味を読む

\(a.b \times 10^n\) の \(a.b\) が「有効数字」、\(\times 10^n\) が「位」を表します。位と有効数字を分離して書くから、桁を削っても大きさが保たれるのです。これが科学的記数法の最大の利点。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

書いた答えを元の数と比べ、桁が同じか確かめます。④で「\(5.0 \times 10^5 = 500000\)」、元は 499874。差は \(126\) で、元の数の \(0.025\%\)。十分近いので合っています。⑥で「\(9.6 \times 10^{-15} = 0.0000000000000096\)」、元は \(96048 \times 10^{-19} = 0.0000000000000096048\)。やはり近い。位が合っていれば、ほぼ問題なし。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

有効数字 2 桁の表記は、問3・問4 の計算結果を書くときに毎回使います。形式を間違えると、せっかく数値を出しても満点が取れません。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

相対速度を「公式は \(v_{\text{AB}} = v_{\text{B}} – v_{\text{A}}\)」と丸暗記すると、「A と B、どっちを引く側か」を毎回迷います。本当に必要なのは、なぜそういう引き算になるのかを「自分が動きながら見るとどう見えるか」で理解することです。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

東を正、西を負と決めます。問題の登場人物（電車・人・自動車）の地面に対する速度を、矢印で図にします。「電車内で歩く人」のように二段構えのときは、いったん人の電車内速度を地面換算するのがコツです。

Step 2: どの式を選ぶか

使う式は 1 本だけ:

$$\begin{aligned}
v_{\text{AB}} &= v_{\text{B}} – v_{\text{A}}
\end{aligned}$$

これは「A から見た B の速度」を表します。「\(v_{\text{AB}}\)」と読まれる文字列の右側にある \(v_{\text{B}}\) が前、左側にある \(v_{\text{A}}\) が後に引かれる、と覚えると順序を間違えません。

Step 3: 式の数式構造を読む

なぜ引き算かというと、「自分が動いていれば、止まっているものが自分の動きの逆向きに見える」からです。たとえば自分が東向き \(3.0\) m/s で進めば、地面の電柱は西向き \(3.0\) m/s で流れていくように見える。これを式にすると \(v_{\text{自分から見た電柱}} = 0 – 3.0 = -3.0\)（西向き 3.0 m/s）。引き算は「自分の動きの分を差し引く」操作なのです。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

答えが出たら「向き」を直感で確かめます。①は電車に乗って逆向きに歩いている人。地面から見ると、電車の速さよりは遅いはず。\(5.0\) より小さい \(3.5\) なので妥当。③は東向きの A から見ると、西向きに進んでいる B はもっと速く西へ離れていくはず。確かに \(6.0\) と \(3.0\) より速い、妥当。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

「向きを正負で扱う」という発想は、問4 の等加速度運動でも全く同じように出てきます。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

等加速度運動の公式は次の 3 本です:

$$\begin{aligned}
v &= v_0 + at \\
x &= v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2 \\
v^2 – v_0^2 &= 2 a x
\end{aligned}$$

多くの人は「とりあえず一番上の式から代入」「とにかく 3 本全部書いて連立」と進めます。本当に必要なのは「何が与えられて、何が問われているか」で公式を選ぶ判断力です。

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

各問で「向きの正」を決めて、初速度・加速度・変位を矢印で書きます。①なら左を正、③なら西を正、⑥なら右を正、というように毎回明示します。

Step 2: どの公式を選ぶか

選び方の判断表:
（A）時間 \(t\) が与えられ、速度 \(v\) が問われる → 1 本目 \(v = v_0 + at\)。
（B）時間 \(t\) が与えられ、変位 \(x\) が問われる → 2 本目 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)。
（C）時間 \(t\) が出てこない（速度と変位の関係） → 3 本目 \(v^2 – v_0^2 = 2 a x\)。

「与えられた量・問われている量に \(t\) があるかどうか」で 1・2 本目と 3 本目を切り分けるのが最大のコツ。

Step 3: 公式の数式構造を読む

1 本目は「速度の変化＝加速度×時間」、つまり「加速度とは 1 秒あたり何 m/s 増える割合か」を表しています。2 本目は「変位＝初速度ぶん＋加速度ぶん」で、後ろの \(\displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) が「加速度のおかげで余分に進む距離」を意味します。3 本目は時間を消した形で、「速度の 2 乗の変化が、変位に比例する」ことを示します。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

各問で「向き」と「単位」を確認します。①は左向きに加速していくのだから、加速度も左向き。②は「打ち出した場所に戻る」前提と \(v_0 = 18\) m/s の組合せで、6 秒後の速度 \(v = 18 + (-6.0)\times 6.0 = -18\) m/s。打ち出した速度と同じ大きさで逆向きに戻る、対称的で妥当。⑥は \(v^2 = 25\) から \(\pm 5.0\) の 2 解が出ますが、物理状況（すでに折り返している）で 1 つに絞ります。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

等加速度運動は「向きの正負を決める」「公式を 3 本のうちから選ぶ」「二次方程式の解を物理的に吟味する」という 3 段構えで解きます。

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

まず紙に川を横向きに描き、左を川上、右を川下とします。AはBの川上側なので、Aが左、Bが右。船は最初A→Bへ進むので、船は川下向きに動きます。「川下向きを正」と決めて、矢印に向きの記号を必ず付けます。流れは右向き（川下向き）に \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\)、船自体が水をかいて進む速さは右向きに \(6.0 \, \text{m}/\text{s}\) です。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

使う道具は「速度の合成」と「相対速度」の2つだけです。岸から見た船の速度 \(v_{\text{船・岸}}\) は、船が水に対して持つ速度 \(v_{\text{船・水}}\) と水（流れ）の速度 \(v_{\text{水・岸}}\) を足したものです。式で書くと \(v_{\text{船・岸}} = v_{\text{船・水}} + v_{\text{水・岸}}\) 。Aから見たBの速度（=AにとってのBの相対速度）は \(v_{B \text{・} A} = v_{B \text{・岸}} – v_{A \text{・岸}}\) です。この2つの式に毎回当てはめれば、5設問すべて同じ枠組みで解けます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

速度合成の式が「足し算」になるのは、船は水の上に乗っていて、水自体も岸に対して動いているからです。船が水をかく速さ（=もし川が止まっていたら岸から見える速さ）に、水ごと流される速度を足す。船が川下に向かうとき、流れは「追い風」になるので加算、川上に向かうときは「向かい風」になるので減算（=向きを考えて足す）になります。相対速度 \(v_{B \text{・} A}\) は「Aを止めて見たときのBの速度」という意味です。Aが動いている分だけ、Bは余計に・あるいは少なく動いて見えます。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

①の \(9.0 \, \text{m}/\text{s}\) は、船自身の \(6.0 \, \text{m}/\text{s}\) より速い。川が押してくれているのだから当然です。逆に③の折り返し後は \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\) と遅くなる。船が頑張って \(6 \, \text{m}/\text{s}\) で水をかいても、流れに半分連れ戻されるイメージで合っています。⑤の鴨は静水で \(4 \, \text{m}/\text{s}\) で泳ぐ生き物として現実的な値です。もしここで \(15 \, \text{m}/\text{s}\) などになっていたら、視点切り替えのどこかで符号を間違えています。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

まず速度がどう変化するかを言葉で書きます。「初め \(+9.0 \, \text{m}/\text{s}\) で進む。毎秒 \(3.0 \, \text{m}/\text{s}\) ずつ遅くなる。3秒後に止まる。その後は逆向きに加速して、4秒の時点で \(-3.0 \, \text{m}/\text{s}\)」。これだけで\(v\)-\(t\) グラフは「右下がりの一直線」だと決まります。\(x\)-\(t\) グラフは「3秒で最大に達して山の頂上を作り、4秒に向かって少し戻る」形です。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

等加速度運動の3つの式 \(v = v_0 + at\)、\(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) のうち、グラフ問題では特に「\(v\)-\(t\) グラフの面積=変位」が強力です。なぜ面積が変位になるかというと、速度を時間で足し合わせる（積分する）と移動した距離になるからです。長方形の面積 \(v \times t\) は速度が一定のときの変位そのものですし、速度が直線的に変わるなら台形・三角形の面積として同じ意味を持ちます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

\(v\)-\(t\) グラフでは、傾き=加速度、面積=変位。\(x\)-\(t\) グラフでは、傾き=速度。だから「v-tの傾きが負」⇔「速度が減る」⇔「x-tの傾きがだんだん小さくなる=上に凸の放物線」と読み替えられます。等加速度のとき\(x\)-\(t\) グラフが放物線になるのは、変位の式に \(t^2\) が入っているからです。3秒で速度ゼロ=\(x\)-\(t\) グラフの傾きゼロ=山の頂上です。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

\(v\)-\(t\) グラフは t=0 で \(+9.0\)、t=3で0、t=4で \(-3.0\) を通る一直線。傾きは \(-3.0\)（=加速度）で問題文と一致します。\(x\)-\(t\) グラフは t=0 で原点、t=3で頂上 \(13.5 \, \text{m}\)、t=4で \(12.0 \, \text{m}\) と少し下がった放物線。「3秒で13.5m進んで、その後1秒で1.5m戻る」のは、減速して止まって逆向きに動き出すという日常イメージにも合います。もし⑤を \(27\) などと出していたら、三角形ではなく長方形で計算したサインです。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

連続写真は、たとえば毎秒1枚ずつ撮ったコマ送り。3つの像の間隔が等しい=同じ時間に同じ距離を進んでいる、ということです。1秒あたり同じ長さだけ動く、これがまさに等速運動の定義です。図に矢印を3本書き込み、すべて同じ長さであることを目で確認します。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

定義に戻ります。速度の定義は「単位時間あたりの位置の変化」、加速度の定義は「単位時間あたりの速度の変化」。間隔が等しい=速度が一定=速度の変化がゼロ=加速度がゼロ。公式は要らず、定義の連鎖でゴールにたどり着きます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

加速度 \(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\) で、\(\Delta v = 0\) なら \(a = 0\) です。これが\(a\)-\(t\) グラフでは「t軸そのもの（高さ0の水平線）」になります。アは「一定の正の加速度」=等加速度直線運動、ウは「加速度が時間とともに増える」=加加速度のある運動、エは「瞬間的に加速度が変わる」=物理的に不自然、と選択肢を1つずつ意味で読み解きます。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

「等間隔の連続写真=等速運動=加速度ゼロ」は、机の上を一定の速さで滑らせたボールや、エアトラック上の台車などで実験的にも確かめられる、最も基本的な現象です。慣性の法則の表れでもあります。もしアを選んでいたら、像と像の間隔が時間とともに広がっていく（加速していく）はずで、写真の見た目と合いません。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

\(v\)-\(t\) グラフを4つの時間帯に分けて、それぞれ「速度の符号」と「速度の変化（増減）」を読み取ります。

・\(t<t_1\)：\(v<0\)（負）かつ、\(v\) は時間とともに大きくなり \(0\) に近づく。
・\(t_1 < t < t_2\)：\(v>0\)（正）で、時間とともに増える。
・\(t_2 < t < t_3\)：\(v>0\) で、一定値（水平線）。
・\(t>t_3\)：\(v>0\) のまま減少していき、やがて \(v=0\) を通過する。

Step 2: どの公式（or 概念）を選ぶか

ここでは公式ではなく、「\(v\)-\(t\) グラフの読み方の規約」を選びます。具体的には次の2つです。

・規約A：速度の符号（正／負）＝ 動く向き（正方向／負方向）。問題では「ある向きを正と定める」と必ず決まっている。
・規約B：速度の絶対値の増減 ＝ 速さの増減 ＝ 加速か減速か。

この2つを4象限の表にすると次のように整理できます。

・\(v>0\) かつ \(|v|\) 増 → 正方向へ加速（矢印は正方向、間隔は広がる）
・\(v>0\) かつ \(|v|\) 減 → 正方向へ減速（矢印は正方向、間隔は狭まる）
・\(v<0\) かつ \(|v|\) 増 → 負方向へ加速（矢印は負方向、間隔は広がる）
・\(v<0\) かつ \(|v|\) 減 → 負方向へ減速（矢印は負方向、間隔は狭まる）

Step 3: 公式の数式構造を読む

等加速度直線運動の式 \(v = v_0 + a t\) を考えます。これは「速度 \(v\) は、初速 \(v_0\) に、加速度×時間 \(at\) を足したもの」を意味します。グラフの傾きは \(a\)、切片は \(v_0\) です。重要なのは、\(v\) の符号と \(a\) の符号は独立だということ。両方の符号の組み合わせで4通りの現象が生まれます。

Step 4: 実際に区間ごとに運動図を当てはめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

「折り返し運動」になっているかを確認します。\(t<t_1\) は左向き、\(t>t_1\) は右向き。だから \(t=t_1\) で物体は一旦止まって（瞬間的に \(v=0\)）、その後逆向きに動き出している。これは坂を登るボールが頂点で一瞬止まって落ちてくる、という典型現象と同じです。グラフの「\(v\) 軸を横切る点」は「折り返し点」というイメージが頭に入っていれば、E と A の境界（向きが変わる瞬間）を見落としません。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

斜面上の点 P、その下方に点 Q。P と Q の高さの差を \(h\) としておきます（PQ間の鉛直距離）。3 通りの初期条件は次の通りです。

(a) P で斜面上向きに速さ \(v\) を与える。物体は上昇し、最高点で一瞬止まり、戻ってきて P を通り、Q へ。
(b) P で斜面下向きに速さ \(v\) を与える。そのまま Q へ。
(c) P で静かに（速さ \(0\) で）放す。滑り降りて Q へ。

Step 2: どの公式を選ぶか

「初期（P 通過時）と終わり（Q 通過時）の速さだけ」を比較するので、力学的エネルギー保存則が最適です。なめらかな斜面なので摩擦による熱への損失はゼロ。

運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{1}{2} m v^2\)、重力ポテンシャルエネルギー \(U = m g h\)。P と Q では \(K + U\) が等しい。

Step 3: 公式の数式構造を読む

P で持っているエネルギー \(=\) Q で持っているエネルギー、と書きます。

P の高さを基準（\(h=0\)）と取ると、Q の高さは \(-h\)（下方なので負）。あるいは Q を基準にとって P が \(+h\) でも構いません。ここでは Q を基準にして、P の高さを \(h\) と置きます。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

(a) と (b) は P での運動エネルギーが等しいので、Q に着くまでに同じだけポテンシャルを運動エネルギーに変換すれば、当然同じ速さになります。(c) は P で運動エネルギーゼロからスタートするので、ポテンシャル \(m g h\) 分しか運動エネルギーをもらえず、最も遅い。極端ケースとして \(h \to 0\)（P と Q がほぼ同じ高さ）を考えると、\(v_a = v_b \to v\)、\(v_c \to 0\) となり、矛盾なく成り立っています。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

斜面の傾斜角を \(\theta\)、斜面上向きを速度の正の向きとします。物体 A は初速 \(0\) で静かに置かれ、物体 B は初速 \(v_0\)（正の値、上向き）で打ち出される。両者にかかる力は重力の斜面成分だけ（垂直抗力は運動方向に成分がない）。重力の斜面成分は常に斜面下向き、つまり負の方向。

Step 2: どの公式を選ぶか

等加速度直線運動の式 \(v = v_0 + a t\) を A、B それぞれに当てはめます。グラフを描くだけなので、運動方程式を解いて加速度を出すところまでで十分。

Step 3: 公式の数式構造を読む

運動方程式は質量を \(m\) として、A、B どちらも \(m a = -m g \sin\theta\)、よって \(a = -g \sin\theta\)。マイナスがついているのは「斜面上向きを正と定めた」から。重力の斜面成分は下向き＝負。

A について：\(v_A = 0 + \left(-g \sin\theta\right) t = -g t \sin\theta\)。原点を通り、傾き \(-g \sin\theta\) の直線。

B について：\(v_B = v_0 + \left(-g \sin\theta\right) t = v_0 – g t \sin\theta\)。切片 \(v_0\)、傾き \(-g \sin\theta\) の直線。

2 つの直線の傾きは等しい \(\left(-g \sin\theta\right)\)。切片だけが違う（A は \(0\)、B は \(v_0\)）。よって \(v\)-\(t\) グラフ上では A と B は平行な直線。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

B が \(v=0\) になる瞬間（直線が時間軸を横切る点）が「B が最高点に達した瞬間」を表しています。その後 \(v<0\) になるのは「斜面を下り始めた」ことを意味する。さらにこの瞬間以降、B のグラフは A のグラフと「同じ傾きの平行な直線」のまま下りていく。これは「B は最高点を過ぎてからは、A と同じく初速ゼロで斜面を下る運動と物理的に同等」だということを表しています。

この問題が教えてくれること ─ 一般化

一見の罠 ─ ほとんどの人がこう考える

正しい思考プロセス（5ステップ）

Step 1: 現象を絵にする

地面に固定した地点 A を考え、その上を等加速度 \(a\) で走る列車が右に通過していくとします。

・時刻 \(t=0\)：列車の前端が A の真上にきた。このとき列車の速度は \(u\)。
・時刻 \(t=T\)：列車の後端が A の真上にきた。このとき列車の速度は \(v\)。

地面から見ると、この \(T\) 秒間に列車全体が距離 \(L\)（列車の長さ）だけ進んでいる。なぜなら、最初 A にあった「前端の位置」が、\(T\) 秒後には「列車の長さ \(L\) だけ右に移動した位置」になり、ちょうどその時に後端が A の真上に来ているから。

Step 2: どの公式を選ぶか

等加速度直線運動の 3 つの式から、必要なものを 2 本選びます。

・\(v = v_0 + a t\)（速度と時間の関係）
・\(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)（位置と時間の関係）
・\(v^2 – v_0^2 = 2 a x\)（速度と距離の関係：時間が出てこない）

(1) では「速度の変化から時間を求める」ので 1 番目の式。(2) では「速度の変化から距離を求める」ので 3 番目の式が一発で効きます。

Step 3: 公式の数式構造を読む

(1) で使う \(v = v_0 + a t\) は、「終わりの速度 \(=\) 始めの速度 \(+\) 加速度 \(\times\) 時間」。今回は「始めの速度 \(= u\)、終わりの速度 \(= v\)、加速度 \(= a\)、時間 \(= T\)」と対応させる。

(2) で使う \(v^2 – v_0^2 = 2 a x\) は、「速度の 2 乗の差 \(= 2 \times\) 加速度 \(\times\) 移動距離」。これは時間 \(t\) を含まない式で、「始めと終わりの速度がわかっていて、移動距離だけ知りたいとき」に最も速い道具。

Step 4: 実際に代入して確かめる

Step 5: 物理的妥当性チェック

・単位の確認：(1) では \(\displaystyle\frac{v – u}{a}\) の単位が \(\displaystyle\frac{\text{m}/\text{s}}{\text{m}/\text{s}^2} = \text{s}\)（秒）になっており、時間として正しい。(2) では \(\displaystyle\frac{v^2 – u^2}{2 a}\) の単位が \(\displaystyle\frac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}/\text{s}^2} = \text{m}\)（メートル）で、長さとして正しい。
・極端ケース：もし \(a \to 0\)（加速していない＝等速）なら、前端通過時の速度 \(u\) と後端通過時の速度 \(v\) は同じになるはずなので、\(v = u\) であってほしい。式 (1) で \(v = u\) を入れると \(T = 0/0\) で不定形になり、\(a\) を 0 にすると公式自体が破綻するのは正しい挙動。等速の場合は別の式（\(L = u T\)）で扱う必要がある。
・直感チェック：列車が加速していて、後端通過時の方が速い（\(v > u\)）と仮定すると、\(T > 0\)、\(L > 0\) が両方成り立つ。逆に減速していて \(v < u\) なら、\(a < 0\) を入れることになり、やはり \(T, L\) は正になる。式は両方向の加速度に対応している。

この問題が教えてくれること ─ 一般化