「物理重要問題集2026」徹底解説（82〜84問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題82 水面波と反射と屈折 (16 東京大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水面波の伝播・反射・屈折とドップラー効果」です。
前半は静止した波源からの波の干渉や屈折を幾何学的に考察し、後半は波源が移動する場合のドップラー効果や位相差を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問[A](1)

思考の道筋とポイント
波の基本公式 \(v = f\lambda\) を用いて、振動数と波長を求めます。
領域Aと領域Bで波の速さが異なりますが、振動数は波源によって決まるため、媒質が変わっても変化しないという点が最重要です。

この設問における重要なポイント

• 振動数の不変性: 波が屈折して他の領域に入っても、振動数 \(f\) は変わりません。
• 速さと波長の関係: \(v \propto \lambda\) （\(f\) 一定のとき）となります。

具体的な解説と立式
領域Aでの波の速さは \(V\)、波長は \(\lambda_{\text{A}} = \frac{d}{2}\) です。
波の基本公式 \(V = f \lambda_{\text{A}}\) より、振動数 \(f\) についての方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{\lambda_{\text{A}}} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、領域Bでの波長 \(\lambda_{\text{B}}\) を求めます。
領域Bでの速さは \(v_{\text{B}} = \frac{V}{2}\) であり、振動数は \(f\) のままです。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{B}} &= \frac{v_{\text{B}}}{f} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

計算過程
式①に \(\lambda_{\text{A}} = \frac{d}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{d/2} \\[2.0ex]
&= \frac{2V}{d}
\end{aligned}
$$
式②に \(v_{\text{B}} = \frac{V}{2}\) と求めた \(f\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{B}} &= \frac{V/2}{2V/d} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{2} \cdot \frac{d}{2V} \\[2.0ex]
&= \frac{d}{4}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
領域Aでは、速さ \(V\) で波長が \(d/2\) なので、1秒間に波が何個出るか（振動数）は「速さ÷波長」で計算できます。
領域Bに入ると、速さが半分（\(V/2\)）になります。振動数（リズム）は変わらないので、波の歩幅（波長）も半分になります。

結論と吟味
領域Bで速さが半分になったので、波長も半分（\(d/2 \rightarrow d/4\)）になっています。これは物理的に妥当です。

問[A](2)

思考の道筋とポイント
次元解析（単位の比較）を行う問題です。
物理量の単位を基本単位（長さ \(\text{L}\)、時間 \(\text{T}\)）で表し、両辺の次元が一致するように指数 \(a, b\) を決定します。

この設問における重要なポイント

• 次元の確認:
  • 速さ \(v\): \([\text{L} \cdot \text{T}^{-1}]\) （単位: \(\text{m}/\text{s}\)）
  • 重力加速度 \(g\): \([\text{L} \cdot \text{T}^{-2}]\) （単位: \(\text{m}/\text{s}^2\)）
  • 水深 \(h\): \([\text{L}]\) （単位: \(\text{m}\)）

具体的な解説と立式
与えられた式 \(v = g^a h^b\) の両辺の次元を比較します。
左辺の次元は \([\text{L}^1 \text{T}^{-1}]\) です。
右辺の次元は \(([\text{L} \text{T}^{-2}])^a ([\text{L}])^b = [\text{L}^a \text{T}^{-2a}] [\text{L}^b] = [\text{L}^{a+b} \text{T}^{-2a}]\) です。
両辺の \(\text{L}\) と \(\text{T}\) の指数を比較して連立方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\text{Lの指数}: \quad 1 &= a + b \quad \cdots ③ \\[2.0ex]
\text{Tの指数}: \quad -1 &= -2a \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
次に、水深の比を求めます。
\(v = \sqrt{gh}\) より、\(h = \frac{v^2}{g}\) です。
領域Aの水深 \(h_{\text{A}}\) と領域Bの水深 \(h_{\text{B}}\) の比を、速さ \(V\) と \(V/2\) を用いて表します。
$$
\begin{aligned}
\frac{h_{\text{A}}}{h_{\text{B}}} &= \frac{V^2/g}{(V/2)^2/g} \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

計算過程
式④より、
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
これを式③に代入して、
$$
\begin{aligned}
b &= 1 – \frac{1}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
よって \(v = g^{1/2} h^{1/2} = \sqrt{gh}\) となります。
式⑤を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{h_{\text{A}}}{h_{\text{B}}} &= \frac{V^2}{(V/2)^2} \\[2.0ex]
&= \frac{V^2}{V^2/4} \\[2.0ex]
&= 4
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
単位をパズルのように組み合わせて、公式の形を特定しました。結果、速さは水深のルート（\(\sqrt{h}\)）に比例することがわかりました。
速さが2倍違う（\(V\) と \(V/2\)）ということは、ルートの中身である水深は \(2^2=4\) 倍違う必要があります。

結論と吟味
\(a=1/2, b=1/2\) は妥当な結果です。水深が深いほど波が速いという浅水波の性質を表しています。

問[A](3)

思考の道筋とポイント
波の反射の問題では、鏡像（仮想波源）を考えるのが定石です。
境界（\(x\)軸）に対して波源 \(\text{P}(0, d)\) と対称な点 \(\text{P}'(0, -d)\) を考えると、反射波は \(\text{P}’\) から直線的に進んできたかのように扱えます。

この設問における重要なポイント

• 鏡像の利用: 反射波の経路長 \(\text{PQ} + \text{QR}\) は、鏡像 \(\text{P}’\) からの直線距離 \(\text{P}’\text{R}\) と等しくなります。
• 幾何学的距離: 2点間の距離の公式を用います。

具体的な解説と立式
波源 \(\text{P}(0, d)\) の \(x\)軸に関する対称点（鏡像）を \(\text{P}'(0, -d)\) とします。
反射の法則により、経路長について以下の等式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\text{PQ} + \text{QR} &= \text{P}’\text{Q} + \text{QR} \\[2.0ex]
&= \text{P}’\text{R}
\end{aligned}
$$
点 \(\text{P}'(0, -d)\) と点 \(\text{R}(x, y)\) の距離を三平方の定理で表します。
$$
\begin{aligned}
\text{P}’\text{R} &= \sqrt{(x – 0)^2 + (y – (-d))^2} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$

計算過程
式⑥を整理します。
$$
\begin{aligned}
\text{PQ} + \text{QR} &= \sqrt{x^2 + (y+d)^2}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
鏡に映った自分を見るのと同じように、反射する波は「壁の向こう側にある波源」から真っ直ぐ飛んできたと考えられます。
波源Pの反対側にある点P’から、ゴール地点Rまでの直線の長さを計算すれば、それが波の通った道のりの長さになります。

結論と吟味
座標 \((x, y)\) と定数 \(d\) を用いた無理関数の形になります。距離なので正の値であり、妥当です。

問[A](4)

思考の道筋とポイント
波の干渉条件を問われています。
「直接波」と「反射波」の経路差を計算し、それが波長の「整数倍」か「半整数倍」かで強め合い・弱め合いを判定します。
今回は「弱めあう条件」なので、経路差が半波長の奇数倍（\((n + 1/2)\lambda\)）になる条件を探します。
また、反射による位相変化がない（問題文より）ことも重要です。

この設問における重要なポイント

• 経路差: 直接波の距離 \(r_1\) と反射波の距離 \(r_2\) の差 \(\Delta L = |r_2 – r_1|\)。
• 干渉条件（同位相波源）:
  • 強め合い: \(\Delta L = n\lambda\)
  • 弱め合い: \(\Delta L = (n + \frac{1}{2})\lambda\)
• 個数の数え上げ: \(x\) の範囲（\(-\infty < x < \infty\)）における経路差の値域を調べて、条件を満たす整数 \(n\) の個数を数えます。

具体的な解説と立式
直線 \(y=d\) 上の点 \((x, d)\) を考えます。
波源 \(\text{P}(0, d)\) からの直接波の経路長 \(L_{\text{直接}}\) は、\(y\)座標が等しいので \(x\)座標の差の絶対値です。
$$
\begin{aligned}
L_{\text{直接}} &= |x|
\end{aligned}
$$
反射波の経路長 \(L_{\text{反射}}\) は、問(3)の結果において \(y=d\) とすることで求まります。
$$
\begin{aligned}
L_{\text{反射}} &= \sqrt{x^2 + (d+d)^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{x^2 + 4d^2}
\end{aligned}
$$
経路差 \(\Delta L\) は \(L_{\text{反射}} – L_{\text{直接}}\) です（三角形の成立条件より常に \(L_{\text{反射}} > L_{\text{直接}}\)）。
弱めあう条件は、経路差が波長 \(\lambda_{\text{A}} = d/2\) の \((n + 1/2)\) 倍になることです（\(n\) は非負整数）。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{x^2 + 4d^2} – |x| &= \left( n + \frac{1}{2} \right) \lambda_{\text{A}} \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$

計算過程
式⑦に \(\lambda_{\text{A}} = \frac{d}{2}\) を代入して整理します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{x^2 + 4d^2} – |x| &= \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{d}{2}
\end{aligned}
$$
これが条件式です。

次に個数を求めます。
左辺を経路差関数 \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4d^2} – |x|\) と置きます。
\(x=0\) のとき：
$$
\begin{aligned}
f(0) &= \sqrt{4d^2} – 0 \\[2.0ex]
&= 2d
\end{aligned}
$$
\(|x| \rightarrow \infty\) のとき：
$$
\begin{aligned}
\lim_{|x| \rightarrow \infty} (\sqrt{x^2 + 4d^2} – |x|) &= \lim_{|x| \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 4d^2} – |x|)(\sqrt{x^2 + 4d^2} + |x|)}{\sqrt{x^2 + 4d^2} + |x|} \\[2.0ex]
&= \lim_{|x| \rightarrow \infty} \frac{x^2 + 4d^2 – x^2}{\sqrt{x^2 + 4d^2} + |x|} \\[2.0ex]
&= \lim_{|x| \rightarrow \infty} \frac{4d^2}{\sqrt{x^2 + 4d^2} + |x|} \\[2.0ex]
&= 0
\end{aligned}
$$
\(f(x)\) は \(|x|\) に関して単調減少する関数で、値域は \(0 < f(x) \le 2d\) です。
条件式の右辺の値 \(C_n = (n + 0.5) \frac{d}{2}\) がこの範囲にあれば解が存在します。
$$
\begin{aligned}
0 < \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{d}{2} \le 2d
\end{aligned}
$$
全体を \(2/d\) 倍して整理します。
$$
\begin{aligned}
0 < n + 0.5 \le 4 \\[2.0ex]
-0.5 < n \le 3.5
\end{aligned}
$$
\(n\) は非負整数なので、\(n = 0, 1, 2, 3\) の4通りが可能です。
各 \(n\) に対して、\(x\) は正と負の2つの解を持ちます（\(x=0\) は \(f(0)=2d\) であり、\(n=3.5\) となるため整数 \(n\) では解になりません。よって \(x \neq 0\)）。
したがって、解の個数は \(4 \times 2 = 8\) 個です。

この設問の平易な説明
波源から直接来る波と、壁で反射して来る波が合流します。反射波の方が遠回りをするので、到着が遅れます。この遅れ（距離の差）が、波長の「半分＋整数倍」になると、波の山と谷が重なって打ち消し合います。
計算すると、距離の差は最大で \(2d\)（真下）、遠くに行くと \(0\) に近づくことがわかります。この範囲に「波長の半分＋整数倍」がいくつ入るかを数えると、左右合わせて8箇所あることがわかります。

結論と吟味
\(n=0, 1, 2, 3\) の各々に対して \(x>0\) と \(x<0\) の対称な位置に解が存在するため、合計8個となります。

問[A](5)

思考の道筋とポイント
「同位相」の意味を幾何学的に解釈します。
波源Pから出た波面は同心円状に広がります。ある点での位相は、波源からの距離（を波長で割ったもの）で決まります。
領域Aと領域Bで波長が異なるため、「波源からの距離が波長の何倍か（波の数）」を基準に考えます。これを「位相距離」や「光学距離」と呼ぶこともあります。

この設問における重要なポイント

• 同位相の条件: 波源からの距離 \(L\) が波長 \(\lambda\) の整数倍である点同士は同位相です。
  • 原点O: \(\text{PO} = d = 2 \lambda_{\text{A}}\) （波長 \(d/2\) の4倍ではなく2倍）。いや、\(\lambda_{\text{A}} = d/2\) なので \(d = 2 \lambda_{\text{A}}\)。つまりO点は波源と同位相です。
• 最も内側の波面: 原点O（位相差 \(2\lambda\) 分）の「次」の同位相波面を探します。つまり、位相差が \(3\lambda\) 分になる点です。
• 領域Bでの波面: 領域Bでは波長が \(\lambda_{\text{B}} = d/4\) になります。

具体的な解説と立式
まず、原点Oでの位相を確認します。
\(\text{PO} = d = 2 \times \frac{d}{2} = 2\lambda_{\text{A}}\) なので、O点は波源Pと同位相です。
「原点Oから見て最も内側の同位相波面」とは、O点からさらに1波長分だけ位相が進んだ（遅れた）波面を指します。
つまり、波源Pからの位相差が \(3\times 2\pi\) （距離換算で3波長分）になる点の集合です。

点S（\(y\)軸上の点）の座標:
点Sは領域B（\(y<0\)）にあります。
O点までは \(2\lambda_{\text{A}}\) 分の位相差があります。
O点からS点までの距離 \(|\text{OS}|\) が、領域Bの波長 \(\lambda_{\text{B}}\) の1個分であればよいです。
$$
\begin{aligned}
|\text{OS}| &= \lambda_{\text{B}} \\[2.0ex]
&= \frac{d}{4}
\end{aligned}
$$
Sは \(y\)軸負方向にあるので、座標は \((0, -d/4)\) です。

点T（\(x\)軸上の点）の座標:
問題文に「その波面と \(x\)軸 (\(x>0\)) との交点をT」とあります。
これは、領域Bに広がる屈折波面が境界（\(x\)軸）と交わる点、つまり境界上で位相が一致する点を意味します。
点Tは領域Aとの境界上にあるため、波源PからTまでの距離 \(\text{PT}\) が、領域Aの波長 \(\lambda_{\text{A}}\) で換算して「3波長分」になればよいです。
（O点が2波長分なので、その次の同位相点は3波長分です）
$$
\begin{aligned}
\text{PT} &= 3\lambda_{\text{A}} \\[2.0ex]
&= 3 \times \frac{d}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}d
\end{aligned}
$$
直角三角形POTに三平方の定理を適用して \(x\)座標を求めます。
$$
\begin{aligned}
\text{OT}^2 + \text{PO}^2 &= \text{PT}^2 \\[2.0ex]
x_{\text{T}}^2 + d^2 &= \left( \frac{3}{2}d \right)^2
\end{aligned}
$$

屈折角 \(\theta\):
スネルの法則を用います。入射角を \(\phi\) とすると、
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin \phi}{\sin \theta} &= \frac{V}{V/2} \\[2.0ex]
&= 2 \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
入射角 \(\phi\) は \(\angle \text{OPT}\) に等しいので、三角形POTの辺の比から求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \phi &= \frac{\text{OT}}{\text{PT}} \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$

計算過程
点Tの座標を計算します。
$$
\begin{aligned}
x_{\text{T}}^2 &= \frac{9}{4}d^2 – d^2 \\[2.0ex]
&= \frac{5}{4}d^2 \\[2.0ex]
x_{\text{T}} &= \frac{\sqrt{5}}{2}d \quad (x>0)
\end{aligned}
$$
よって \(\text{T}\left( \frac{\sqrt{5}}{2}d, 0 \right)\) です。

次に \(\sin \theta\) を求めます。
式⑨より、
$$
\begin{aligned}
\sin \phi &= \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}d}{\frac{3}{2}d} \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{aligned}
$$
式⑧より、
$$
\begin{aligned}
\sin \theta &= \frac{1}{2} \sin \phi \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{5}}{6}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
波源Pから出た波は、原点Oに着いた時点でちょうど2回振動した状態（2波長分）です。
そこからさらに1回振動した状態（合計3波長分）になる場所を探します。
領域B（下側）では波長が短いので、Oから少し進んだ \(d/4\) の場所（点S）で3波長分になります。
境界上（横方向）では、Pからの直線距離が \(3\lambda_{\text{A}}\) になる場所（点T）が該当します。
最後に、点Tでの波の進み方をスネルの法則で計算して角度を求めます。

結論と吟味
\(\sin \theta = \sqrt{5}/6 \approx 2.23/6 \approx 0.37\)。入射角のサイン \(\sqrt{5}/3 \approx 0.74\) の半分になっており、速さが半分の領域への屈折として正しい関係です。

問[B](1)

思考の道筋とポイント
ドップラー効果の問題です。
波源が動く場合と観測者が動く場合の公式を適用します。
反射波の振動数を求める際は、「波源 \(\rightarrow\) 壁（反射点）」と「壁（反射点） \(\rightarrow\) 観測者」の2段階で考えます。
壁は静止しているので、観測者として波を受け取り、そのまま波源として波を送り出すと考えればよいです。

この設問における重要なポイント

• ドップラー効果の公式: \(f’ = f \frac{V – v_{\text{観測者}}}{V – v_{\text{音源}}}\)。速度の向きに注意（波の進行方向を正とするのが一般的）。
• 反射波の扱い: 壁（原点付近）に入射する波の振動数を求め、それを反射波の振動数とします。

具体的な解説と立式
反射波の振動数 \(f_{\text{A}}\):
1. 波源P \(\rightarrow\) 壁（原点O）:
波源Pは \(y\)軸正の向き（壁から遠ざかる向き）に速さ \(u\) で動きます。波は \(y\)軸負の向き（P \(\rightarrow\) O）に進みます。
波の進行方向を正とすると、波源の速度は \(-u\) です。
壁が受け取る振動数 \(f_0\) は、
$$
\begin{aligned}
f_0 &= f \frac{V}{V – (-u)} \\[2.0ex]
&= f \frac{V}{V+u}
\end{aligned}
$$
2. 壁（原点O） \(\rightarrow\) 波源P（観測者）:
壁で反射した波は \(y\)軸正の向き（O \(\rightarrow\) P）に進みます。振動数は \(f_0\) のままです。
観測者（波源P）は \(y\)軸正の向きに速さ \(u\) で動きます。波と同じ向きに逃げています。
波の進行方向を正とすると、観測者の速度は \(u\) です。
観測される振動数 \(f_{\text{A}}\) は、
$$
\begin{aligned}
f_{\text{A}} &= f_0 \frac{V – u}{V} \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$

領域Bでの観測振動数 \(f_{\text{B}}\):
透過波の振動数は、壁での振動数 \(f_0\) と同じです。
領域Bでの波の速さは \(V/2\) です。
波は \(y\)軸負の向きに進みます。
観測者は \(y\)軸負の向きに速さ \(w\) で動きます。波と同じ向きに逃げています。
波の進行方向を正とすると、観測者の速度は \(w\) です。
観測される振動数 \(f_{\text{B}}\) は、
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= f_0 \frac{(V/2) – w}{V/2} \quad \cdots ⑪
\end{aligned}
$$

計算過程
式⑩に \(f_0\) と \(f = 2V/d\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{A}} &= \left( f \frac{V}{V+u} \right) \frac{V-u}{V} \\[2.0ex]
&= f \frac{V-u}{V+u} \\[2.0ex]
&= \frac{2V}{d} \frac{V-u}{V+u}
\end{aligned}
$$
式⑪を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= f_0 \frac{V – 2w}{V} \\[2.0ex]
&= \left( f \frac{V}{V+u} \right) \frac{V – 2w}{V} \\[2.0ex]
&= f \frac{V – 2w}{V+u} \\[2.0ex]
&= \frac{2V}{d} \frac{V – 2w}{V+u}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
波源が遠ざかりながら波を出すので、壁に届く波は間延びして振動数が下がります（\(f_0\)）。
その波が跳ね返ってきて、さらに逃げている波源（観測者）がそれを見るので、さらに振動数が下がります（\(f_{\text{A}}\)）。
領域Bでは、壁に届いた低い振動数（\(f_0\)）の波が伝わります。観測者も波から逃げているので、さらに低く観測されます（\(f_{\text{B}}\)）。

結論と吟味
\(u, w\) が大きくなるほど振動数が下がる式になっており、物理的直感（遠ざかるドップラー効果）と一致します。

問[B](2)

思考の道筋とポイント
波源が横（\(x\)軸方向）に動く場合の問題です。
「波源を出た波が反射して波源に戻る」という現象を、時間と距離の関係式として立式します。
ここでも鏡像法が有効です。動いている波源を追いかける波の軌跡を考えます。

この設問における重要なポイント

• 波源の移動: 時刻 \(0\) に \(\text{P}_1(0, d)\) を出た波が、時刻 \(t’\) に \(\text{P}_2(ut’, d)\) に到達します。
• 波の経路: 波は \(\text{P}_1\) の鏡像 \(\text{P}’_1(0, -d)\) から出て、\(\text{P}_2(ut’, d)\) に直線的に進んだとみなせます。

具体的な解説と立式
波源から出た波が反射して戻るまでの時間を \(t’\) とします。
この間に波源は \(x\)軸正方向に距離 \(ut’\) だけ進みます。到達点は \((ut’, d)\) です。
波の総移動距離 \(L\) は、鏡像 \(\text{P}'(0, -d)\) から到達点 \((ut’, d)\) までの直線距離に等しいので、
$$
\begin{aligned}
L &= \sqrt{(ut’ – 0)^2 + (d – (-d))^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{u^2 t’^2 + 4d^2}
\end{aligned}
$$
一方、波は速さ \(V\) で時間 \(t’\) だけ進むので、\(L = Vt’\) です。
よって、以下の等式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
Vt’ &= \sqrt{u^2 t’^2 + 4d^2} \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$

計算過程
式⑫の両辺を2乗して \(t’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
V^2 t’^2 &= u^2 t’^2 + 4d^2 \\[2.0ex]
(V^2 – u^2) t’^2 &= 4d^2 \\[2.0ex]
t’^2 &= \frac{4d^2}{V^2 – u^2}
\end{aligned}
$$
\(t’ > 0\) より、
$$
\begin{aligned}
t’ &= \frac{2d}{\sqrt{V^2 – u^2}}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
波源が右に動いているので、波は斜め前に向かって進み、壁で反射して、先回りした波源に追いつく必要があります。
波の進んだ距離（\(Vt’\)）と、波源の進んだ距離（\(ut’\)）と、壁までの往復距離（\(2d\)）の間には、直角三角形の関係（三平方の定理）が成り立ちます。これを解けば時間が求まります。

結論と吟味
\(u=0\) のときは \(t’ = 2d/V\) となり、単なる往復時間と一致します。\(u\) が大きくなると分母が小さくなり、時間は長くなります（追いつくのに時間がかかる）。妥当です。

問[B](3)

思考の道筋とポイント
「波源における波」と「戻ってきた反射波」の位相差を考えます。
ここでのポイントは、「今、波源が出している波の位相」と「昔、波源を出て戻ってきた波の位相」を比較することです。
反射による位相変化はないので、位相差は単に時間差（過去の自分とのズレ）によって生じます。

この設問における重要なポイント

• 位相差の正体: 時刻 \(t\) における波源の位相を \(\Phi(t)\) とすると、戻ってきた波の位相は、それが発射された時刻 \(t – t’\) における波源の位相 \(\Phi(t – t’)\) と同じです。
• 逆位相の条件: 位相差が \(\pi\) の奇数倍、つまり時間差 \(t’\) が周期 \(T\) の「整数倍＋半分」であることです。
  $$
  \begin{aligned}
  t’ &= \left( m + \frac{1}{2} \right) T
  \end{aligned}
  $$

具体的な解説と立式
波源の振動数を \(f = 2V/d\) とすると、周期は \(T = 1/f = d/2V\) です。
逆位相になる条件は、往復時間 \(t’\) が周期 \(T\) の \((m + 1/2)\) 倍になることです（\(m\) は非負整数）。
$$
\begin{aligned}
t’ &= \left( m + \frac{1}{2} \right) T \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$
これに問(2)の結果と \(T\) を代入して、\(u\) についての方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\frac{2d}{\sqrt{V^2 – u^2}} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{d}{2V} \quad \cdots ⑭
\end{aligned}
$$
さらに、\(u\) の存在範囲（\(0 < u < V/2\)）から \(m\) の値を絞り込みます。

計算過程
式⑭を整理して \(u\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{4V}{\sqrt{V^2 – u^2}} &= m + \frac{1}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{2m+1}{2} \\[2.0ex]
\sqrt{V^2 – u^2} &= \frac{8V}{2m+1}
\end{aligned}
$$
両辺を2乗します。
$$
\begin{aligned}
V^2 – u^2 &= \frac{64V^2}{(2m+1)^2} \\[2.0ex]
u^2 &= V^2 \left( 1 – \frac{64}{(2m+1)^2} \right)
\end{aligned}
$$
\(u > 0\) より、
$$
\begin{aligned}
u &= V \sqrt{1 – \frac{64}{(2m+1)^2}} \quad \cdots ⑮
\end{aligned}
$$
これが \(u\) の式です。

次に \(m\) を決定します。
\(u\) が実数である条件（ルートの中が正）より、
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{64}{(2m+1)^2} > 0 &\rightarrow (2m+1)^2 > 64 \\[2.0ex]
&\rightarrow 2m+1 > 8 \\[2.0ex]
&\rightarrow 2m > 7 \\[2.0ex]
&\rightarrow m \ge 4
\end{aligned}
$$
また、問題文の条件 \(u < V/2\) より、
$$
\begin{aligned}
u^2 &< \frac{V^2}{4} \\[2.0ex]
V^2 \left( 1 – \frac{64}{(2m+1)^2} \right) &< \frac{V^2}{4} \\[2.0ex]
1 – \frac{64}{(2m+1)^2} &< \frac{1}{4} \\[2.0ex]
\frac{3}{4} &< \frac{64}{(2m+1)^2} \\[2.0ex]
(2m+1)^2 &< \frac{256}{3} \\[2.0ex]
&= 85.33\cdots
\end{aligned}
$$
\(2m+1\) は正の奇数であり、2乗して \(64\) より大きく \(85.33\) より小さいものを探します。
\(8^2 = 64\)、\(9^2 = 81\)、\(10^2 = 100\) なので、条件を満たすのは \((2m+1)^2 = 81\) のみです。
$$
\begin{aligned}
2m+1 &= 9 \\[2.0ex]
m &= 4
\end{aligned}
$$
\(m=4\) を式⑮に代入して \(u\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
u &= V \sqrt{1 – \frac{64}{81}} \\[2.0ex]
&= V \sqrt{\frac{17}{81}} \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{17}}{9}V
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明
戻ってきた波が、今の波源の動きと逆（山と谷の関係）になる条件を探します。
それは、行って帰ってくる時間が、波のリズム（周期）の「整数倍＋半分」になるときです。
計算式を作ると、波源の速さ \(u\) と整数 \(m\) の関係式ができます。
\(u\) には「速すぎない（\(V/2\)未満）」という制限があるので、それを満たす整数 \(m\) は実は「4」しかありません。そこから \(u\) の値が一つに決まります。

結論と吟味
\(\sqrt{17} \approx 4.12\) なので、\(u \approx \frac{4.12}{9}V \approx 0.46V\)。これは \(0.5V\) より小さく、条件を満たします。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の不変量と変化量
  • 核心: 媒質が変わっても（屈折しても）、波源が変わらなければ振動数 \(f\) は不変です。一方、速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) は媒質の性質によって変化します。
  • 理解のポイント:
    • \(v = f\lambda\) の式において、\(f\) を定数として扱うことで、\(v\) と \(\lambda\) の比例関係が見えてきます。
• 鏡像法による反射波の解析
  • 核心: 直線境界での反射波は、境界に対して対称な位置にある仮想波源（鏡像）から出た波として扱うことで、直進する波の問題に帰着できます。
  • 理解のポイント:
    • 経路長の計算や、移動する波源の反射時間の計算において、折り返し地点を無くして直線化することで、三平方の定理などが使いやすくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光の干渉（ヤングの実験、薄膜干渉）: 経路差を計算して \((n+1/2)\lambda\) などの条件を適用する流れは完全に同じです。
  • 移動する音源の干渉: ドップラー効果で波長が変化した波同士の干渉問題では、本問[B]のように位相差（時間差）に着目するのが有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性を見つける: 反射があればすぐに「鏡像」を作図します。
  2. 「同位相」の定義に戻る: 複雑な干渉や波面の問題では、「波源からの距離が波長の何倍か」という基本に立ち返ります。
  3. 極限を考える: 解の個数を求める際、\(x=0\) や \(x \rightarrow \infty\) で経路差がどうなるかをチェックすることで、数え間違いを防げます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ドップラー効果の符号ミス:
  • 誤解: 公式の分母・分子のプラスマイナスを丸暗記して適用しようとして、波源と観測者の向きを取り違える。
  • 対策: 必ず「波の進行方向」を正の向きとして軸を設定し、速度の符号を確認します。あるいは「近づくときは振動数アップ、遠ざかるときはダウン」という定性的なチェックを必ず行います。
• 干渉条件の \(m\) の数え落とし:
  • 誤解: \(x>0\) の個数だけ求めて、\(x<0\) 側を忘れる。あるいは \(n=0\) を忘れる。
  • 対策: 経路差のグラフや不等式を書いて、範囲内にある整数を可視化します。対称性がある場合は「片側 \(\times 2\)」を意識しますが、中央（\(x=0\)）が含まれるかどうかの確認も忘れずに。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• [B](3)での「時間差」による位相差計算:
  • 選定理由: 波長がドップラー効果で変化しているため、距離で位相差を考えると複雑になります（行きと帰りで波長が違う）。一方、時間は絶対的なので、往復時間 \(t’\) と周期 \(T\) を比較する方がシンプルで間違いがありません。
  • 適用根拠: 位相は \(\omega t\) で進むため、位相差 \(\Delta \phi\) は時間差 \(\Delta t\) に比例します（\(\Delta \phi = \omega \Delta t\)）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 次元解析（単位チェック）の習慣化:
  • 意識: [A](2)のような設問でなくても、自分で導いた式の次元が合っているか常に確認します。例えば時間の式なら \([L]/[L/T] = [T]\) になっているか。
  • 実践: [B](2)の \(t’ = \frac{2d}{\sqrt{V^2 – u^2}}\) において、分母は速さ、分子は距離なので、全体は時間の次元で正しいと瞬時に判断できます。
• 不等式の評価:
  • 意識: [B](3)のように解の候補が複数出る場合、与えられた条件（\(u < V/2\)）を使って厳密に絞り込みます。
  • 実践: 「だいたいこのくらい」ではなく、\(64 < (2m+1)^2 < 85.33\) のように数値を書き出して、確実に整数を特定します。

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問題83 音波の干渉 (25 東北学院大 改)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「クインケ管による音波の干渉」です。
音波が2つの経路に分かれて進み、再び合流する際の経路差によって、音が強め合ったり弱め合ったりする現象を扱います。

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基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)