問題148 電子の比電荷の測定 (24 京都産業大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(オ)の別解1: 幾何学的性質（見かけの偏向点）を用いた解法
- 模範解答が電場内での変位 \(y_1\) と電場通過後の変位 \(y_2\) を個別に計算して足し合わせるのに対し、別解1では電場内での放物運動の接線の性質を利用し、電極中央から直接蛍光面に向かって等速直線運動したとみなして一気に全体の変位 \(y\) を求めます。
- 設問(ア)〜(オ)の別解2: 微積分を用いた体系的解法
- 等加速度直線運動の公式を前提とせず、運動方程式から出発して速度と位置を時間積分によって導出する原理的なアプローチをとります。
- 設問(オ)の別解1: 幾何学的性質（見かけの偏向点）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 幾何学的解法: 計算量が大幅に削減され、計算ミスを防ぐとともに、ブラウン管（CRT）などの電子線の偏向問題における強力な実戦テクニックとなります。
- 微積分の解法: 公式の丸暗記から脱却し、力が時間的に変化するようなより複雑な設定にも対応できる普遍的な物理的思考力を養います。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「電場および磁場中における荷電粒子の運動と比電荷の測定」です。J.J. トムソンが行った歴史的な実験を題材に、電子の軌道を追跡します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 運動の独立性: \(x\) 軸方向（力がはたらかない）と \(y\) 軸方向（一定の力がはたらく）の運動を独立して扱います。
- 静電気力とローレンツ力: 電場からは \(F = qE\)、磁場からは \(F = qvB\) の力を受けます。電子は負電荷であるため、力の向きに注意が必要です。
- 力のつりあい: 粒子が直進する条件は、進行方向と垂直な方向にはたらく合力が \(0\) になることです。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 前半（ア〜オ）では、電場のみが存在する空間での放物運動と、その後の等速直線運動を解析し、蛍光面でのずれ \(y\) を計算します。
- 後半（カ〜キ）では、電場と磁場が直交する空間で粒子が直進する条件から、粒子の速さ \(v\) を求めます。
問(ア)
思考の道筋とポイント
極板間に電圧 \(V\) をかけると、一様な電場が生じます。この電場から電子が受ける静電気力を求め、運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 一様電場の強さ: 極板間隔 \(d\)、電圧 \(V\) のとき、電場の強さは \(E = \frac{V}{d}\) です。
- 静電気力: 電荷 \(q\) が電場 \(E\) から受ける力は \(F = qE\) です。電子は負電荷なので、電場と逆向きに力を受けます。
具体的な解説と立式
図1および模範解答の図aより、電場は \(y\) 軸の負の向き（下向き）です。
電子の電気量は \(-e\) なので、電子が受ける静電気力 \(F_{\text{静電気}}\) は \(y\) 軸の正の向き（上向き）にはたらきます。
\(y\) 軸方向の運動方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
ma &= F_{\text{静電気}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 一様電場: \(E = \frac{V}{d}\)
- 静電気力: \(F = qE\)
- 運動方程式: \(ma = F\)
静電気力の大きさは以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{静電気}} &= eE \\[2.0ex]
&= e \frac{V}{d}
\end{aligned}
$$
これを運動方程式に代入します。
$$
\begin{aligned}
ma &= e \frac{V}{d} \\[2.0ex]
a &= \frac{eV}{md}
\end{aligned}
$$
極板の間には、電圧によって「電気の坂道（電場）」ができています。電子はこの坂道から力を受けて、上に向かってどんどん加速していきます。その加速の度合い（加速度）を、ニュートンの運動方程式を使って求めました。
加速度 \(a\) は電圧 \(V\) に比例し、質量 \(m\) や極板間隔 \(d\) に反比例します。電圧が高いほど、また極板が狭いほど電場が強くなり、加速度が大きくなるため物理的に妥当です。
問(イ)
思考の道筋とポイント
電子は \(x\) 軸方向には力を受けないため等速直線運動をし、\(y\) 軸方向には問(ア)で求めた一定の加速度で運動します。電極を通過するまでの時間 \(t_1\) を用いて、\(y\) 軸方向の変位を求めます。
この設問における重要なポイント
- 運動の独立性: \(x\) 軸方向の等速運動と \(y\) 軸方向の等加速度運動は独立して扱えます。
- 等加速度直線運動の変位: 初速度 \(0\) の場合、変位は \(y = \frac{1}{2}at^2\) となります。
具体的な解説と立式
\(y\) 軸方向の初速度は \(0\) です。
時間 \(t_1\) の間の \(y\) 軸方向の変位 \(y_1\) は、等加速度直線運動の公式より次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{1}{2} a t_1^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等加速度直線運動の変位: \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
問題文より \(t_1 = \frac{l}{v}\) です。これを代入します。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{1}{2} a \left( \frac{l}{v} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{al^2}{2v^2}
\end{aligned}
$$
電子は横方向には一定のスピードで進みながら、縦方向にはどんどん加速して上にずれていきます。横方向に極板の長さ分だけ進むのにかかる時間を計算し、その時間の間に縦方向にどれだけ移動したかを公式に当てはめて求めました。
変位 \(y_1\) は極板の長さ \(l\) の2乗に比例し、初速 \(v\) の2乗に反比例します。ゆっくり飛ぶ（\(v\) が小さい）ほど、または極板が長い（\(l\) が大きい）ほど、電場の中にいる時間が長くなり、大きく曲げられることを示しており妥当です。
問(ウ)
思考の道筋とポイント
電極を抜ける瞬間の、\(y\) 軸方向の速度成分を求めます。これも等加速度直線運動の公式を用います。
この設問における重要なポイント
- 等加速度直線運動の速度: 初速度 \(0\) の場合、速度は \(v = at\) となります。
具体的な解説と立式
時間 \(t_1\) 後の \(y\) 軸方向の速度 \(v_y\) は、等加速度直線運動の公式より次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
v_y &= a t_1
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等加速度直線運動の速度: \(v = v_0 + at\)
問(ア)で求めた \(a = \frac{eV}{md}\) と、\(t_1 = \frac{l}{v}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= \frac{eV}{md} \cdot \frac{l}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{eVl}{mdv}
\end{aligned}
$$
電場の中にいる間、電子は上向きにずっと加速され続けます。電場を抜ける瞬間に、上向きのスピードがどれくらいに達しているかを計算しました。
速度 \(v_y\) は電場内にいる時間 \(l/v\) に比例して大きくなります。物理的な直感と一致します。
問(エ)
思考の道筋とポイント
電極を抜けた後、電子には力がはたらかないため、\(x\) 軸方向にも \(y\) 軸方向にも等速直線運動をします。この間の \(y\) 軸方向の移動距離を求めます。
この設問における重要なポイント
- 慣性の法則: 力がはたらかない空間では、物体は等速直線運動を続けます。
具体的な解説と立式
電極を抜けてから蛍光面に達するまでの時間は \(t_2 = \frac{L – l/2}{v}\) です。
この間、\(y\) 軸方向の速度は \(v_y\) で一定なので、移動距離 \(y_2\) は「速さ \(\times\) 時間」で立式できます。
$$
\begin{aligned}
y_2 &= v_y t_2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等速直線運動の距離: \(x = vt\)
\(t_2\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
y_2 &= v_y \left( \frac{L – l/2}{v} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{2L – l}{2v} v_y
\end{aligned}
$$
電場を抜けた電子は、もう力を受けないので、その時点でのスピードと向きを保ったまま真っ直ぐ飛んでいきます。蛍光面にぶつかるまでの時間を計算し、その間に上方向にどれだけ進むかを求めました。
距離 \(L\) が大きいほど、等速で飛ぶ時間が長くなるため \(y_2\) も大きくなります。妥当な結果です。
問(オ)
思考の道筋とポイント
蛍光面での全体のずれ \(y\) は、電場内でのずれ \(y_1\) と、電場を出てからのずれ \(y_2\) の和です。これを計算し、比電荷 \(\frac{e}{m}\) について解きます。
この設問における重要なポイント
- 全変位の合成: \(y = y_1 + y_2\)
具体的な解説と立式
全体の変位 \(y\) は次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
y &= y_1 + y_2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし
問(イ)の \(y_1\) と問(エ)の \(y_2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{al^2}{2v^2} + \frac{2L – l}{2v} v_y
\end{aligned}
$$
ここで、\(a = \frac{eV}{md}\)、\(v_y = \frac{eVl}{mdv}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} \left( \frac{eV}{md} \right) \frac{l^2}{v^2} + \frac{2L – l}{2v} \left( \frac{eVl}{mdv} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{eVl^2}{2mdv^2} + \frac{eVl(2L – l)}{2mdv^2} \\[2.0ex]
&= \frac{eVl^2 + 2eVlL – eVl^2}{2mdv^2} \\[2.0ex]
&= \frac{2eVlL}{2mdv^2} \\[2.0ex]
&= \frac{eVlL}{mdv^2}
\end{aligned}
$$
この式を比電荷 \(\frac{e}{m}\) について解きます。両辺に \(\frac{dv^2}{VlL}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
\frac{e}{m} &= \frac{ydv^2}{VlL}
\end{aligned}
$$
電場の中で曲がった距離と、電場を出てから真っ直ぐ飛んでずれた距離を足し合わせることで、最終的に蛍光面でどれだけ中心からずれたかを計算しました。その結果の式を「電子の電荷と質量の比（比電荷）」について整理し直しました。
比電荷 \(\frac{e}{m}\) は、測定可能な幾何学的寸法（\(d, l, L, y\)）と設定電圧 \(V\)、および粒子の速さ \(v\) で表されました。これがトムソンが比電荷を測定した基本原理です。
思考の道筋とポイント
電場内での放物運動の軌跡に引いた接線に関する幾何学的な性質を利用します。
電場を抜けた点での速度ベクトルの延長線（つまり、電極通過後の直線の軌道を逆向きに延長した線）は、必ず「電場領域の中央（\(x = l/2\)）」で \(x\) 軸と交わります。
この設問における重要なポイント
- 見かけの偏向点: 一様電場による放物運動では、最終的な進行方向の直線は、電場領域の中央から出発したように見えます。
具体的な解説と立式
電極の中心（\(x = l/2\)）から蛍光面までの水平距離は \(L\) です。
電子は、あたかもこの中心点から、\(x\) 軸方向の速度 \(v\)、\(y\) 軸方向の速度 \(v_y\) で等速直線運動をして蛍光面に達したかのように振る舞います。
したがって、中心点から蛍光面までの到達時間 \(t_{\text{全}}\) は次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
t_{\text{全}} &= \frac{L}{v}
\end{aligned}
$$
この時間で \(y\) 軸方向に速度 \(v_y\) で進むため、全体の変位 \(y\) は次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
y &= v_y t_{\text{全}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等速直線運動の距離: \(x = vt\)
\(t_{\text{全}}\) と、問(ウ)で求めた \(v_y = \frac{eVl}{mdv}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \left( \frac{eVl}{mdv} \right) \left( \frac{L}{v} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{eVlL}{mdv^2}
\end{aligned}
$$
これを \(\frac{e}{m}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{e}{m} &= \frac{ydv^2}{VlL}
\end{aligned}
$$
電子が電場を抜けた後の真っ直ぐな軌道を後ろに延長すると、ちょうど電極の真ん中から出発したように見えます。これを利用すると、「電極の真ん中から蛍光面まで、ずっと一定のスピードで飛んだ」とみなして計算できるため、面倒な足し算をせずに一発で全体のずれを求めることができます。
メインの解法と全く同じ結果が得られました。計算量が劇的に減るため、試験本番で非常に有効なテクニックです。
思考の道筋とポイント
公式に頼らず、ニュートンの運動方程式から出発し、時間積分によって速度と位置を導出します。
この設問における重要なポイント
- 速度の定義: \(v_y = \frac{dy}{dt}\)
- 加速度の定義: \(a_y = \frac{dv_y}{dt}\)
具体的な解説と立式
\(y\) 軸方向の運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_y}{dt} &= e \frac{V}{d}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(m \frac{dv}{dt} = F\)
- 積分計算
運動方程式の両辺を \(m\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{dv_y}{dt} &= \frac{eV}{md}
\end{aligned}
$$
両辺を時間 \(t\) で積分して速度 \(v_y(t)\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_y(t) &= \int \frac{eV}{md} dt \\[2.0ex]
&= \frac{eV}{md} t + C_1 \quad (C_1 \text{は積分定数})
\end{aligned}
$$
初期条件は \(t=0\) で \(v_y(0) = 0\) なので、\(C_1 = 0\) となり、
$$
\begin{aligned}
v_y(t) &= \frac{eV}{md} t
\end{aligned}
$$
さらにこれを時間 \(t\) で積分して位置 \(y(t)\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
y(t) &= \int v_y(t) dt \\[2.0ex]
&= \int \frac{eV}{md} t dt \\[2.0ex]
&= \frac{eV}{2md} t^2 + C_2 \quad (C_2 \text{は積分定数})
\end{aligned}
$$
初期条件は \(t=0\) で \(y(0) = 0\) なので、\(C_2 = 0\) となり、
$$
\begin{aligned}
y(t) &= \frac{eV}{2md} t^2
\end{aligned}
$$
電極を抜ける時刻 \(t_1 = \frac{l}{v}\) における速度 \(v_y(t_1)\) と位置 \(y_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
v_y(t_1) &= \frac{eV}{md} \left( \frac{l}{v} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{eVl}{mdv} \quad \text{（問ウの答え）}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{eV}{2md} \left( \frac{l}{v} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{eVl^2}{2mdv^2} \quad \text{（問イの答え）}
\end{aligned}
$$
時刻 \(t_1\) 以降は力がはたらかないため、速度 \(v_y(t_1)\) での等速直線運動となります。
蛍光面に達する時刻を \(t_{\text{終}}\) とすると、\(x\) 軸方向の移動距離から、
$$
\begin{aligned}
t_{\text{終}} &= \frac{l/2 + L}{v}
\end{aligned}
$$
電極を抜けてから蛍光面に達するまでの時間 \(t_2\) は、
$$
\begin{aligned}
t_2 &= t_{\text{終}} – t_1 \\[2.0ex]
&= \frac{l/2 + L}{v} – \frac{l}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{L – l/2}{v}
\end{aligned}
$$
この間の \(y\) 軸方向の移動距離 \(y_2\) は、
$$
\begin{aligned}
y_2 &= v_y(t_1) \cdot t_2 \\[2.0ex]
&= \frac{eVl}{mdv} \left( \frac{L – l/2}{v} \right) \quad \text{（問エの答え）}
\end{aligned}
$$
全体の変位 \(y\) は \(y_1 + y_2\) であり、これを計算するとメイン解法と同様に \(y = \frac{eVlL}{mdv^2}\) となり、比電荷が求まります。
「加速度が一定ならこの公式」と暗記に頼るのではなく、「力から加速度が決まり、加速度を足し合わせる（積分する）と速度になり、速度を足し合わせると距離になる」という物理の基本ルールに沿って、最初から最後まで計算で導き出しました。
微積分を用いることで、公式の適用条件を気にすることなく、原理から確実に各物理量を導出できることが確認できました。
問(カ)
思考の道筋とポイント
磁場中を運動する荷電粒子にはたらくローレンツ力の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント
- ローレンツ力の大きさ: 磁束密度 \(B\) の磁場中を、電気量 \(q\) の粒子が速さ \(v\) で磁場と垂直に運動するとき、受ける力の大きさは \(F = qvB\) です。
具体的な解説と立式
電子の電気量の大きさは \(e\)、速さは \(v\)、磁束密度の大きさは \(B\) です。
速度ベクトルと磁場ベクトルは直交しているため、ローレンツ力の大きさ \(F_{\text{ローレンツ}}\) は次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{ローレンツ}} &= evB
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- ローレンツ力: \(F = qvB\)
代入するだけなので、計算過程は特にありません。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{ローレンツ}} &= evB
\end{aligned}
$$
磁石が作る磁場の中を電子が飛ぶと、進行方向を曲げようとする力（ローレンツ力）を受けます。その力の大きさは、電子の持つ電気の量、飛ぶスピード、そして磁場の強さをすべて掛け合わせたものになります。
速さ \(v\) や磁場 \(B\) が大きいほど強い力を受けるという、ローレンツ力の性質を正しく表しています。
問(キ)
思考の道筋とポイント
粒子が直進するためには、\(y\) 軸方向にはたらく力がつりあっている必要があります。電場による静電気力と磁場によるローレンツ力の向きと大きさを比較し、力のつりあいの式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 力の向きの判定:
- 静電気力: 電場は下向き、電子は負電荷なので、静電気力は上向きです。
- ローレンツ力: 速度は右向き、磁場は紙面表から裏向き（\(\otimes\)）です。電子（負電荷）の運動は左向きの電流と等価です。フレミングの左手の法則（中指：左、人差し指：奥）より、親指は下を向きます。したがって、ローレンツ力は下向きです。
- 力のつりあい: 直進するということは、\(y\) 軸方向の合力が \(0\) であることを意味します。
具体的な解説と立式
模範解答の図cより、電子には上向きに静電気力 \(F_{\text{静電気}}\)、下向きにローレンツ力 \(F_{\text{ローレンツ}}\) がはたらいています。
粒子が直進するためには、これら2つの力がつりあう必要があります。
（上向きの力の和）＝（下向きの力の和）として立式します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{静電気}} &= F_{\text{ローレンツ}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい
\(F_{\text{静電気}} = e \frac{V}{d}\)、\(F_{\text{ローレンツ}} = evB\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
e \frac{V}{d} &= evB
\end{aligned}
$$
両辺の \(e\) を消去し、\(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{V}{d} &= vB \\[2.0ex]
v &= \frac{V}{Bd}
\end{aligned}
$$
電場は電子を上に曲げようとし、磁場は電子を下に曲げようとします。電子が真っ直ぐ飛ぶということは、この「上へ引っ張る力」と「下へ引っ張る力」が綱引きで完全に引き分けになっている状態です。この引き分けの条件から、電子のスピードを逆算しました。
速さ \(v\) は電場の強さ \(E = V/d\) に比例し、磁束密度 \(B\) に反比例します。これは「速度選択器」と呼ばれる装置の基本原理であり、特定の速さを持つ粒子だけを直進させて取り出すことができることを示しています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 運動の独立性と放物運動
- 核心: 電場内での電子の運動は、力がはたらかない \(x\) 軸方向の等速直線運動と、一定の静電気力がはたらく \(y\) 軸方向の等加速度直線運動に完全に分離して考えることができます。
- 理解のポイント:
- 重力による放物運動（水平投射）と全く同じ数学的構造を持っています。質量 \(m\) が電気量 \(e\) に、重力加速度 \(g\) が電場による加速度 \(a = eV/md\) に置き換わっただけです。
- 「横に進む時間」が「縦に加速する時間」を決めるという、2つの運動を繋ぐ架け橋が「時間 \(t\)」であることを意識しましょう。
- ローレンツ力と力のつりあい（速度選択器の原理）
- 核心: 電場と磁場を直交させてかけると、荷電粒子には互いに逆向きの静電気力とローレンツ力がはたらきます。これらがつりあう条件 \(qE = qvB\) を満たす特定の速さ \(v = E/B\) の粒子だけが直進できます。
- 理解のポイント:
- 静電気力 \(qE\) は粒子の速さに依存しませんが、ローレンツ力 \(qvB\) は速さに比例します。
- この性質を利用することで、未知の速さ \(v\) を、測定可能な電場 \(E\) と磁場 \(B\) の強さから逆算することができます。これがJ.J. トムソンの比電荷測定実験の最大のブレイクスルーでした。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ブラウン管（CRT）やオシロスコープの原理: 電子線を電極で偏向させ、蛍光面に図形を描く問題です。本問と全く同じ設定であり、「見かけの偏向点（極板の中央）」のテクニックが絶大な威力を発揮します。
- 質量分析器: 速度選択器で特定の速さの粒子を取り出した後、一様磁場のみの空間に入れて円運動させ、その半径から質量（または同位体）を特定する問題です。本問の後半（直進条件）が、質量分析器の前半部分としてそのまま出題されます。
- 初見の問題での着眼点:
- 力の種類と向きをリストアップする: 空間に電場があるか、磁場があるか、あるいは両方あるかを確認し、粒子が受ける力（静電気力、ローレンツ力、重力など）をすべて図に矢印で書き込みます。特に負電荷（電子など）の場合は、電場と逆向き、フレミングの法則の電流の向きが逆になることに細心の注意を払います。
- 運動を成分に分解する: 力がはたらく方向（加速度運動）と、力がはたらかない方向（等速運動）を見極め、それぞれの方向について独立した式（運動方程式や等速直線運動の式）を立てます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 負電荷の力の向きの判定ミス:
- 誤解: 電場の向き（矢印の向き）にそのまま静電気力がはたらくと思い込んだり、フレミングの左手の法則を適用する際に、電子の飛ぶ向きをそのまま電流の向きとして中指を合わせてしまう。
- 対策: 「電子はひねくれ者」と覚えましょう。電場からは矢印と逆向きに力を受け、磁場中では進行方向と逆向きに電流が流れているとみなして左手を合わせる習慣を徹底してください。
- 電場内と電場外の運動の混同:
- 誤解: 電極を抜けた後も、ずっと放物線を描いて曲がり続ける（加速度運動が続く）と勘違いし、蛍光面までの全距離 \(L\) を使って \(y = \frac{1}{2}a(L/v)^2\) のように計算してしまう。
- 対策: 「力がはたらくのは極板の間だけ」という境界線を明確に意識しましょう。極板を抜けた瞬間に力はゼロになり、そこから先は「その瞬間のスピードと向きを保ったままの等速直線運動（慣性の法則）」に切り替わることを図に書き込んで区別してください。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 等加速度直線運動の公式群:
- 選定理由: 電場が一様（どこでも同じ強さ）であり、電子が受ける静電気力が一定であるため、加速度が一定の運動になるからです。
- 適用根拠: 運動方程式 \(ma = F\) において、右辺の力 \(F\) が時間や位置によって変化しない定数である場合のみ、これらの公式が適用できます。
- 見かけの偏向点を用いた幾何学的解法（別解）:
- 選定理由: 電場内での変位 \(y_1\) と電場外での変位 \(y_2\) を別々に計算して足し合わせる手間を省き、計算ミスを減らすためです。
- 適用根拠: 一様な力による放物運動において、初速度の方向（\(x\) 軸）と最終的な速度ベクトルの延長線が交わる点は、常に力がはたらいていた区間の中点になるという数学的性質に基づいています。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の次元（単位）チェック:
- 意識: 複雑な文字式を導出した後は、必ず両辺の単位が一致しているかを確認します。
- 実践: 例えば問(ア)の加速度 \(a = eV/md\) であれば、\(e\) \([\text{C}]\), \(V\) \([\text{J}/\text{C}]\), \(m\) \([\text{kg}]\), \(d\) \([\text{m}]\) より、\([\text{C}] \cdot [\text{J}/\text{C}] / ([\text{kg}] \cdot [\text{m}]) = [\text{J}] / ([\text{kg}] \cdot [\text{m}]) = [\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2] / ([\text{kg}] \cdot [\text{m}]) = [\text{m}/\text{s}^2]\) となり、正しく加速度の次元になっていることが確認できます。
- 極限状態での定性的な検算:
- 意識: 求めた式が、物理的な直感と矛盾しないかをチェックします。
- 実践: 問(オ)の変位 \(y = eVlL / mdv^2\) において、「もし電子がものすごく速かったら（\(v \to \infty\)）？」と考えます。速ければ一瞬で通り過ぎるので曲がらないはずです。式を見ると分母に \(v^2\) があるため、\(v\) が大きくなると \(y\) は \(0\) に近づき、直感と一致します。
問題149 ミリカンの実験 (19 同志社大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(エ)〜(カ)の別解: 微積分を用いた体系的解法
- 模範解答が「終端速度に達すると加速度が \(0\) になる（力がつりあう）」という物理的直感を前提としているのに対し、別解では運動方程式を時間積分して速度の時間変化を表す一般解を求め、時間が十分に経過した極限（\(t \to \infty\)）として終端速度を数学的に導出します。
- 設問(エ)〜(カ)の別解: 微積分を用いた体系的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「なぜ終端速度に近づくのか」という過渡的な状態変化を数式で追跡できるため、空気抵抗を受ける運動の深い理解に繋がり、大学物理へのスムーズな橋渡しとなります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「ミリカンの油滴実験による電気素量の測定と光電効果」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子のエネルギー：波長 \(\lambda\) の光子は \(E = hc/\lambda\) のエネルギーを持ちます。
- 力のつりあいと運動方程式：電場中の帯電微粒子にはたらく重力、静電気力、空気抵抗力の関係を立式します。
- 終端速度：空気抵抗力が速度に比例する場合、十分に時間が経過すると力がつりあい、一定の速度（終端速度）に達します。
- 電荷の量子化：帯電体が持つ電気量は、電気素量 \(e\) の整数倍になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (ア)では、光電効果の条件式から波長の最大値を求めます。
- (イ)〜(ウ)では、静電気力の基本公式と力のつりあいから電場の強さを求めます。
- (エ)〜(カ)では、上昇時と落下時の運動方程式および力のつりあいから、未知の質量 \(m\) を消去して電気量 \(q\) を導出します。
- (キ)では、複数の測定値とその差から最大公約数的な値を推定し、電気素量を計算します。
問(ア)
思考の道筋とポイント
光電効果（光電離）が起こる条件を考えます。照射する光子 \(1\) 個が持つエネルギーが、原子をイオン化するために必要な電離エネルギー \(U\) 以上であれば、電子が放出されます。
この設問における重要なポイント
- 光子のエネルギー：プランク定数 \(h\)、光の速さ \(c\)、波長 \(\lambda\) を用いて、光子 \(1\) 個のエネルギーは \(E_{\text{光子}} = hc/\lambda\) と表されます。
具体的な解説と立式
光子 \(1\) 個のエネルギー \(E_{\text{光子}}\) が電離エネルギー \(U\) 以上であるとき、イオン化が起こります。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{光子}} &\ge U
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー：\(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
光子のエネルギーの式を不等式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda} &\ge U
\end{aligned}
$$
両辺に \(\lambda\) を掛け、\(U\) で割って \(\lambda\) について解きます（\(\lambda > 0\), \(U > 0\)）。
$$
\begin{aligned}
\lambda &\le \frac{hc}{U}
\end{aligned}
$$
光は「光子」というエネルギーの粒の集まりです。波長が短いほど、\(1\) 粒あたりのエネルギーは大きくなります。原子から電子を叩き出すためには、\(1\) 粒のエネルギーが「束縛を断ち切るためのエネルギー（電離エネルギー）」を上回っている必要があります。この条件から、波長がどれくらい短くなければならないかを計算しました。
波長 \(\lambda\) が \(hc/U\) 以下であること、つまり波長が短い（振動数が大きい、エネルギーが高い）光を当てたときにのみ電離が起こるという光電効果の基本的な性質と一致しており妥当です。
問(イ)
思考の道筋とポイント
電場中に置かれた電荷が受ける静電気力の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント
- 静電気力の定義：電場 \(E\) の中で電荷 \(q\) が受ける力は \(F = qE\) です。
具体的な解説と立式
強さ \(E\) の電場中で、電気量 \(q\) の微粒子が受ける静電気力の大きさ \(F_{\text{静電気}}\) は、定義より直ちに立式できます。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{静電気}} &= qE
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 静電気力：\(F = qE\)
代入する数値等はないため、立式したものがそのまま答えとなります。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{静電気}} &= qE
\end{aligned}
$$
電場とは「電気的な力がはたらく空間」のことです。電場の強さ \(E\) は「\(1\,\text{C}\) の電気が受ける力」を表すので、\(q\,\text{C}\) の電気が受ける力は単純に \(q\) 倍になります。
公式そのものであり、次元も \([\text{C}] \cdot [\text{V}/\text{m}] = [\text{C}] \cdot [\text{J}/(\text{C}\cdot\text{m})] = [\text{J}/\text{m}] = [\text{N}]\) となり力の単位と一致します。
問(ウ)
思考の道筋とポイント
微粒子を空中で静止させるための条件を考えます。微粒子には下向きの重力と上向きの静電気力がはたらいており、これらがつりあう必要があります。
この設問における重要なポイント
- 力のつりあい：静止している物体にはたらく合力は \(0\) です。
具体的な解説と立式
微粒子にはたらく力は、下向きの重力 \(F_{\text{重力}}\) と、上向きの静電気力 \(F_{\text{静電気}}\) です。
静止させるためには、これらがつりあう必要があります。
（上向きの力の和）＝（下向きの力の和）として立式します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{静電気}} &= F_{\text{重力}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 重力：\(W = mg\)
- 静電気力：\(F = qE\)
それぞれの力の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
qE &= mg
\end{aligned}
$$
電場の強さ \(E\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{mg}{q}
\end{aligned}
$$
微粒子は地球の重力で下に落ちようとします。これを空中でピタッと止めるためには、電場を使って上向きに同じ大きさの力で引っ張り上げてあげる必要があります。「上へ引っ張る電気の力」と「下へ引っ張る重力」が引き分けになるような電場の強さを計算しました。
質量 \(m\) が大きいほど強い電場が必要であり、電気量 \(q\) が大きいほど弱い電場で済むという結果は、物理的な直感と一致します。
問(エ)
思考の道筋とポイント
鉛直上向きに運動している微粒子の運動方程式を立て、加速度を求めます。はたらく力は重力、静電気力、そして空気抵抗力です。
この設問における重要なポイント
- 空気抵抗力の向き：空気抵抗力は常に「物体の運動方向と逆向き」にはたらきます。上昇中の場合、空気抵抗力は下向きになります。
- 運動方程式の立式：加速度の向き（上向き）を正として、はたらく力を足し合わせます。
具体的な解説と立式
模範解答の図aを参照します。
微粒子にはたらく力は以下の \(3\) つです。
- 上向きの力：静電気力 \(qE_1\)
- 下向きの力：重力 \(mg\)、空気抵抗力 \(kv\)
鉛直上向きを正として、運動方程式を立式します。
$$
\begin{aligned}
ma &= (\text{上向きの力の和}) – (\text{下向きの力の和}) \\[2.0ex]
ma &= qE_1 – (mg + kv)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式：\(ma = F\)
- 空気抵抗力：\(F = kv\)
加速度 \(a\) について解きます。両辺を \(m\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{qE_1 – mg – kv}{m} \\[2.0ex]
&= \frac{qE_1 – kv}{m} – g
\end{aligned}
$$
上に登っていく微粒子には、上へ引っ張る「電気の力」と、下へ引きずり降ろそうとする「重力」と「空気の抵抗」がはたらいています。これらの力の合計（合力）がどれくらいかを計算し、ニュートンの運動方程式を使って、微粒子がどれくらい加速（または減速）するかを求めました。
速度 \(v\) が大きくなるにつれて、空気抵抗力 \(kv\) が大きくなり、加速度 \(a\) は小さくなっていきます。これは空気抵抗を受ける運動の一般的な特徴と一致しています。
問(オ)
思考の道筋とポイント
微粒子が十分な距離を上昇し、終端速度 \(v_1\) に達したときの状態を考えます。終端速度とは、速度が一定になり加速度が \(0\) になった状態です。
この設問における重要なポイント
- 終端速度の条件：速度が一定になるということは、加速度 \(a = 0\) であり、微粒子にはたらく力がつりあっている状態を意味します。
具体的な解説と立式
終端速度 \(v_1\) で上昇しているとき、加速度は \(a = 0\) です。
このとき、上向きの静電気力と、下向きの重力および空気抵抗力がつりあっています。
（上向きの力の和）＝（下向きの力の和）として立式します。
$$
\begin{aligned}
qE_1 &= mg + kv_1
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい
終端速度 \(v_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
kv_1 &= qE_1 – mg \\[2.0ex]
v_1 &= \frac{qE_1 – mg}{k}
\end{aligned}
$$
微粒子が上へ加速していくと、スピードが上がるにつれて空気の抵抗もどんどん強くなります。やがて「上へ引っ張る力」と「下へ引っ張る力（重力＋空気抵抗）」が完全に同じ大きさになり、それ以上加速できなくなります。この「スピードが頭打ちになった状態」での速度を計算しました。
静電気力 \(qE_1\) が重力 \(mg\) より大きい場合にのみ \(v_1 > 0\) となり上昇します。また、空気抵抗の係数 \(k\) が大きいほど終端速度は小さくなります。これらは物理的に妥当な結果です。
問(カ)
思考の道筋とポイント
電場を \(0\) にして自由落下させたときの終端速度 \(v_2\) を用いて、未知の質量 \(m\) を消去し、電気量 \(q\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 落下時の力のつりあい：電場がないため静電気力は \(0\) です。下向きの重力と、上向きの空気抵抗力がつりあいます。
- 連立方程式による未知数の消去：上昇時の式と落下時の式を組み合わせることで、測定が困難な微粒子の質量 \(m\) を計算から消し去ることができます。
具体的な解説と立式
模範解答の図bを参照します。
電場が \(0\) のとき、微粒子は落下します。終端速度 \(v_2\) で落下しているとき、加速度は \(0\) です。
このとき、下向きの重力と、上向きの空気抵抗力（落下方向と逆向き）がつりあっています。
（下向きの力の和）＝（上向きの力の和）として立式します。
$$
\begin{aligned}
mg &= kv_2
\end{aligned}
$$
また、問(オ)で求めた上昇時の力のつりあいの式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
qE_1 &= mg + kv_1
\end{aligned}
$$
これら \(2\) つの式を連立させます。
使用した物理公式
- 力のつりあい
落下時の式 \(mg = kv_2\) を、上昇時の式に代入して質量 \(m\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
qE_1 &= (kv_2) + kv_1 \\[2.0ex]
&= k(v_1 + v_2)
\end{aligned}
$$
電気量 \(q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{k(v_1 + v_2)}{E_1}
\end{aligned}
$$
微粒子の質量は小さすぎて直接測ることができません。そこで、ミリカンは賢い方法を考えました。「電場をかけて上に引っ張り上げたときのスピード」と「電場を切って自然に落としたときのスピード」の \(2\) つを測るのです。落としたときのスピードから「重力」の大きさが分かり、それを上に引っ張り上げたときの式に代入することで、質量を知らなくても電気の量を計算できるようにしたのです。
電気量 \(q\) が、測定可能な速度 \(v_1\), \(v_2\)、電場 \(E_1\)、および既知の比例定数 \(k\) のみで表されました。これがミリカンの油滴実験の核心となる計算式です。
思考の道筋とポイント
「終端速度では加速度が \(0\) になる」という結果を前提とせず、運動方程式を微分方程式として解き、速度の時間変化 \(v(t)\) を厳密に導出します。その上で、時間が十分に経過した極限（\(t \to \infty\)）をとることで終端速度を求めます。
この設問における重要なポイント
- 加速度の定義：\(a = \frac{dv}{dt}\)
- 変数分離形の微分方程式の解法
具体的な解説と立式
【上昇時の運動】
鉛直上向きを正とし、速度を \(v_{\text{上}}\) とします。運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_{\text{上}}}{dt} &= qE_1 – mg – kv_{\text{上}}
\end{aligned}
$$
【落下時の運動】
電場を \(0\) にします。鉛直下向きを正とし、速度を \(v_{\text{下}}\) とします。運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_{\text{下}}}{dt} &= mg – kv_{\text{下}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式：\(m \frac{dv}{dt} = F\)
- 積分計算
【上昇時の終端速度 \(v_1\) の導出】
上昇時の運動方程式を変形します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_{\text{上}}}{dt} &= -k \left( v_{\text{上}} – \frac{qE_1 – mg}{k} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、定数部分を \(V_1 = \frac{qE_1 – mg}{k}\) と置きます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_{\text{上}}}{dt} &= -k (v_{\text{上}} – V_1)
\end{aligned}
$$
変数分離して積分します。初期条件を \(t=0\) で \(v_{\text{上}} = 0\) とします。
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{v_{\text{上}}} \frac{1}{v_{\text{上}} – V_1} dv_{\text{上}} &= \int_{0}^{t} -\frac{k}{m} dt \\[2.0ex]
\left[ \log |v_{\text{上}} – V_1| \right]_{0}^{v_{\text{上}}} &= -\frac{k}{m} t \\[2.0ex]
\log \left| \frac{v_{\text{上}} – V_1}{-V_1} \right| &= -\frac{k}{m} t
\end{aligned}
$$
微粒子が上昇を始める（\(qE_1 > mg\)）と仮定すると \(V_1 > 0\) であり、\(v_{\text{上}}\) は \(0\) から \(V_1\) に向かって増加するため \(v_{\text{上}} – V_1 < 0\) です。絶対値を外して整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{V_1 – v_{\text{上}}}{V_1} &= e^{-\frac{k}{m}t} \\[2.0ex]
v_{\text{上}}(t) &= V_1 \left( 1 – e^{-\frac{k}{m}t} \right)
\end{aligned}
$$
十分な時間が経過したとき（\(t \to \infty\)）、\(e^{-\frac{k}{m}t} \to 0\) となるため、終端速度 \(v_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \lim_{t \to \infty} v_{\text{上}}(t) \\[2.0ex]
&= V_1 \\[2.0ex]
&= \frac{qE_1 – mg}{k} \quad \text{（問オの答え）}
\end{aligned}
$$
【落下時の終端速度 \(v_2\) の導出】
落下時の運動方程式も同様に変形します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv_{\text{下}}}{dt} &= -k \left( v_{\text{下}} – \frac{mg}{k} \right)
\end{aligned}
$$
定数部分を \(V_2 = \frac{mg}{k}\) と置き、同様に積分して解を求めると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{下}}(t) &= V_2 \left( 1 – e^{-\frac{k}{m}t} \right)
\end{aligned}
$$
十分な時間が経過したとき（\(t \to \infty\)）、終端速度 \(v_2\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \lim_{t \to \infty} v_{\text{下}}(t) \\[2.0ex]
&= V_2 \\[2.0ex]
&= \frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$
この式を変形すると \(mg = kv_2\) となり、これを上昇時の終端速度の式 \(kv_1 = qE_1 – mg\) に代入することで、メイン解法と同様に \(q = \frac{k}{E_1}(v_1 + v_2)\) が得られます。
「時間が経つと力がつりあう」という結果だけを使うのではなく、運動方程式という「変化のルール」から出発して、速度が時間とともにどのように変化していくかを数学的に完全に追いかけました。計算の結果、時間が経つにつれて速度の変化が小さくなり、最終的に一定の値（終端速度）に落ち着くことが数式の上でも証明されました。
微積分を用いることで、過渡的な速度変化の様子（指数関数的に漸近する）が明らかになり、極限をとることで力のつりあいから求めた終端速度と完全に一致することが確認できました。
問(キ)
思考の道筋とポイント
得られた複数の電気量の測定値から、電気素量 \(e\) を推定します。すべての電荷は電気素量の整数倍（\(q = ne\)）であるという「電荷の量子化」の概念を用います。
この設問における重要なポイント
- 測定値の差の利用：各測定値が \(e\) の整数倍であれば、それらの差もまた \(e\) の整数倍になります。差をとることで、より小さな整数倍の値を作り出し、\(e\) の値を見つけやすくします。
- 平均値による精度向上：\(1\) つのデータから計算するのではなく、すべてのデータを使って平均的な \(e\) の値を求めることで、測定誤差を減らします。
具体的な解説と立式
与えられた測定値を小さい順に \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\), \(q_4\) とします。
$$
\begin{aligned}
q_1 &= 3.1 \times 10^{-19}\,\text{C} \\[2.0ex]
q_2 &= 4.7 \times 10^{-19}\,\text{C} \\[2.0ex]
q_3 &= 8.0 \times 10^{-19}\,\text{C} \\[2.0ex]
q_4 &= 11.1 \times 10^{-18}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
（※問題文の \(1.11 \times 10^{-18}\,\text{C}\) は \(11.1 \times 10^{-19}\,\text{C}\) と同じです）
隣り合う測定値の差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta q_{12} &= q_2 – q_1 \\[2.0ex]
\Delta q_{23} &= q_3 – q_2 \\[2.0ex]
\Delta q_{34} &= q_4 – q_3
\end{aligned}
$$
これらの差も電気素量 \(e\) の整数倍になります。
使用した物理公式
- 電荷の量子化：\(q = ne\) (\(n\) は整数)
差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta q_{12} &= (4.7 – 3.1) \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&= 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\Delta q_{23} &= (8.0 – 4.7) \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&= 3.3 \times 10^{-19}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\Delta q_{34} &= (11.1 – 8.0) \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&= 3.1 \times 10^{-19}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
問題文より \(e \ge 1.0 \times 10^{-19}\,\text{C}\) です。
\(\Delta q_{12} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) は、この条件を満たす最小の単位に近いと考えられます。
これを基準にすると、他の差は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta q_{23} &= 3.3 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&\approx 2 \times (1.6 \times 10^{-19})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\Delta q_{34} &= 3.1 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&\approx 2 \times (1.6 \times 10^{-19})
\end{aligned}
$$
したがって、\(e \approx 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) と推測できます。
この推測に基づき、各測定値が \(e\) の何倍に相当するかを判定します。
$$
\begin{aligned}
q_1 &= 3.1 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&\approx 2e
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
q_2 &= 4.7 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&\approx 3e
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
q_3 &= 8.0 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&\approx 5e
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
q_4 &= 11.1 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&\approx 7e
\end{aligned}
$$
すべての測定値の合計を用いて、\(e\) の平均値を求めます。
$$
\begin{aligned}
q_1 + q_2 + q_3 + q_4 &= 2e + 3e + 5e + 7e \\[2.0ex]
(3.1 + 4.7 + 8.0 + 11.1) \times 10^{-19} &= 17e \\[2.0ex]
26.9 \times 10^{-19} &= 17e
\end{aligned}
$$
\(e\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{26.9 \times 10^{-19}}{17} \\[2.0ex]
&= 1.582\dots \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
有効数字 \(2\) 桁に丸めると、\(1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) となります。
スーパーで売っているリンゴの「\(1\) 個あたりの重さ」を知りたいとします。袋に入ったリンゴの重さをいくつか量ってみると、\(310\,\text{g}\)、\(470\,\text{g}\)、\(800\,\text{g}\)、\(1110\,\text{g}\) でした。袋の中のリンゴの数は分かりません。
そこで、重さの「差」に注目します。\(470\,\text{g}\) と \(310\,\text{g}\) の差は \(160\,\text{g}\) です。\(800\,\text{g}\) と \(470\,\text{g}\) の差は \(330\,\text{g}\)（\(160\,\text{g}\) の約 \(2\) 倍）です。ここから、「リンゴ \(1\) 個はだいたい \(160\,\text{g}\) くらいだろう」と推測できます。
この推測をもとに、「\(310\,\text{g}\) は \(2\) 個分」「\(470\,\text{g}\) は \(3\) 個分」…と考えて、全部の重さの合計を全部の個数で割ることで、より正確な \(1\) 個あたりの重さを計算しました。これがミリカンの行ったデータ処理の考え方です。
得られた値 \(1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) は、現在知られている電気素量の値と一致しており、推測と計算プロセスが妥当であることを示しています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力のつりあいと終端速度
- 核心: 空気抵抗力が速度に比例して大きくなる場合、物体は無限に加速し続けることはできず、やがて推進力（重力や静電気力）と抵抗力が完全に釣り合う一定の速度（終端速度）に達します。
- 理解のポイント:
- 「速度が一定」＝「加速度が \(0\)」＝「はたらく力の合力が \(0\)」という論理の連鎖を瞬時に引き出せるようにしましょう。
- 上昇時と落下時で、空気抵抗力の向きが逆転することに注意が必要です。常に「運動を妨げる向き」にはたらきます。
- 電荷の量子化（ミリカンの油滴実験の原理）
- 核心: 自然界に存在する電気量は連続的な値をとるのではなく、電気素量 \(e\) という最小単位の整数倍（\(q = ne\)）としてのみ存在します。
- 理解のポイント:
- 未知の電気量 \(q\) を複数測定し、それらの「差」をとることで、より小さな整数倍の値（\(e\) や \(2e\) など）をあぶり出すことができます。
- この手法は、未知の質量の硬貨が何枚か入った複数の袋の重さから、硬貨 \(1\) 枚の重さを推定するパズルと同じ論理構造を持っています。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 雨粒の落下: 重力と空気抵抗力のみがはたらく最も基本的な終端速度の問題です。本問の「落下時（電場 \(0\)）」の状況と全く同じであり、\(mg = kv\) の関係式がそのまま使えます。
- 磁場中を落下する金属棒: 磁場を横切ることで誘導起電力が生じ、流れる電流が受けるアンペール力が上向きの抵抗力として働きます。この力も速度に比例するため、やがて終端速度に達します。力の種類が変わるだけで、立式の構造は本問と完全に一致します。
- 初見の問題での着眼点:
- 「十分な時間が経過した」「一定の速度になった」というキーワードを探す: これらの言葉を見つけたら、即座に「加速度 \(a = 0\)」とし、運動方程式を「力のつりあいの式」に書き換えます。
- 未知数を消去する連立方程式の構造を見抜く: ミリカンの実験では、微粒子の質量 \(m\) が直接測定できない未知数です。上昇時と落下時の \(2\) つの独立した状態の式を立てることで、この厄介な未知数 \(m\) を数学的に消去できるという実験デザインの妙を理解しましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 空気抵抗力の向きの誤認:
- 誤解: 上昇時も落下時も、空気抵抗力を常に下向き（または上向き）にして式を立ててしまう。
- 対策: 空気抵抗力は「あまのじゃく」な力です。物体が上に行こうとすれば下へ、下に行こうとすれば上へ引っ張ります。図を描く際に、まず速度ベクトル \(v\) の矢印を描き、必ずそれと逆向きに抵抗力 \(kv\) の矢印を描き込む習慣をつけてください。
- 電気素量の推定における「最小値＝電気素量」という思い込み:
- 誤解: 測定された電気量の中で一番小さい値（本問では \(3.1 \times 10^{-19}\,\text{C}\)）を、そのまま電気素量 \(e\) だと勘違いしてしまう。
- 対策: 測定された微粒子が、たまたま電子 \(1\) 個分（\(1e\)）の電気量しか持っていないとは限りません。\(2\) 個分（\(2e\)）や \(3\) 個分（\(3e\)）の可能性もあります。必ず「測定値同士の差」を計算し、その差の最大公約数的な値を \(e\) の候補として推定するプロセスを踏んでください。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 運動方程式（\(ma = F\)）から力のつりあいへの移行:
- 選定理由: 終端速度を求める問題では、過渡的な速度変化を追う必要がないため、微分方程式を解く手間を省き、最終状態（\(a=0\)）の代数方程式として処理するのが最も効率的だからです。
- 適用根拠: 空気抵抗力が速度の一次に比例する（\(F = -kv\)）という条件のもとでは、速度が増加するにつれて加速度が単調に減少し、数学的に必ず \(a \to 0\) の極限（終端速度）が存在することが保証されているためです。
- 微積分を用いた体系的解法（別解）:
- 選定理由: 「なぜ終端速度に達するのか」という物理的メカニズムを、時間変化のプロセスを含めて厳密に証明するためです。
- 適用根拠: 運動方程式は本来、物体の位置や速度の時間変化を記述する微分方程式です。力が速度 \(v\) の関数として与えられている場合、変数分離法を用いて積分することで、速度 \(v(t)\) の一般解を導出できるという数学的原理に基づいています。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の代入前の整理:
- 意識: 複雑な連立方程式を解く際、いきなり式を代入すると項が膨れ上がり、計算ミスを誘発します。
- 実践: 問(カ)のように \(m\) を消去したい場合、落下時の式を \(mg = kv_2\) の形にしておき、上昇時の式 \(qE_1 = mg + kv_1\) の \(mg\) の部分に「塊ごと」代入します。\(m = \dots\) と分数にしてから代入するよりも、式がスッキリしてミスが減ります。
- 有効数字と指数計算の取り扱い:
- 意識: 問(キ)のようなデータ処理では、指数の桁を揃えてから足し算・引き算を行うことが鉄則です。
- 実践: \(1.11 \times 10^{-18}\) を \(11.1 \times 10^{-19}\) に変換し、すべてのデータの指数部分を \(10^{-19}\) に統一してから、仮数部分（\(3.1\), \(4.7\), \(8.0\), \(11.1\)）だけで計算を行います。これにより、小数点の位置間違いを防ぐことができます。
原子物理の「なぜその式？」を根本から解決
問題150 光電効果 (17 香川大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式からのエネルギー保存則の導出）
- 模範解答が「仕事と運動エネルギーの関係（エネルギー保存則）」を公式として適用するのに対し、別解では電場中の電子の運動方程式から出発し、仕事と運動エネルギーの定理を積分によって数学的に導出します。
- 設問(3)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式からのエネルギー保存則の導出）
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「なぜ電圧と電荷をかけるとエネルギーになるのか」という根本的な疑問に答え、力学（運動方程式）と電磁気学（電位と電場）の繋がりを深く理解できるため、応用力が飛躍的に向上します。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「光電効果とアインシュタインの光量子仮説」です。光を波ではなく「光子」という粒子の集まりと考え、エネルギーのやり取りを追跡します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子のエネルギー：振動数 \(\nu\)、波長 \(\lambda\) の光子 \(1\) 個が持つエネルギーは \(E = h\nu = hc/\lambda\) です。
- 光電効果の式（エネルギー保存則）：光子のエネルギー \(E\) は、電子を金属から引き剥がすための仕事関数 \(W\) と、飛び出した光電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) の和になります。
- 阻止電圧：飛び出した光電子を電気的な力で押し返し、最も勢いのある電子すら対向電極に届かなくなる（電流が \(0\) になる）ときの逆電圧の大きさを阻止電圧 \(V_0\) と呼びます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)〜(3)では、光電効果の基本用語と、グラフから阻止電圧を読み取って最大運動エネルギーを求める方法を確認します。
- (4)〜(6)では、波長の異なる \(2\) つの光に対する光電効果の式を連立させ、未知のプランク定数 \(h\) と仕事関数 \(W\) を導出します。
- (7)〜(9)では、具体的な数値を代入して値を求め、光の「波長（エネルギー）」と「光量（光子の数）」の違いがグラフにどう表れるかを考察します。
問(1)
思考の道筋とポイント
金属に光を当てると電子が飛び出す現象の名称を答える知識問題です。
この設問における重要なポイント
- 現象の名称：光によって電子が放出される現象を「光電効果」と呼びます。
具体的な解説と立式
問題文の記述「金属極板Kに光を照射すると、金属の表面から電子が飛び出す」現象は、光電効果の定義そのものです。
立式する方程式は特にありません。
使用した物理公式
- 特になし
計算過程は特にありません。
光を当てると金属から電気が飛び出すマジックのような現象です。光（Photo）によって電気（Electric）が起きる効果（Effect）なので、光電効果と呼ばれます。
基本的な物理用語の確認であり、妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
光子 \(1\) 個が持つエネルギーを、与えられた文字（波長 \(\lambda_1\)、プランク定数 \(h\)、光速 \(c\)）を用いて表します。
この設問における重要なポイント
- 波と振動数の関係：光の速さ \(c\)、振動数 \(\nu\)、波長 \(\lambda\) の間には \(c = \nu\lambda\) の関係があります。
具体的な解説と立式
光子 \(1\) 個のエネルギー \(E_1\) は、プランク定数 \(h\) と振動数 \(\nu_1\) を用いて次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
E_1 &= h\nu_1
\end{aligned}
$$
また、波の基本公式より以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
c &= \nu_1 \lambda_1
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー：\(E = h\nu\)
- 波の基本式：\(v = f\lambda\) （光の場合は \(c = \nu\lambda\)）
波の基本式から振動数 \(\nu_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\nu_1 &= \frac{c}{\lambda_1}
\end{aligned}
$$
これをエネルギーの式に代入します。
$$
\begin{aligned}
E_1 &= h \left( \frac{c}{\lambda_1} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{hc}{\lambda_1}
\end{aligned}
$$
光の粒（光子）が持つエネルギーは、光の「振動数（\(1\) 秒間に波が揺れる回数）」に比例します。しかし問題では「波長（波の長さ）」しか与えられていません。そこで、「光の速さ＝波長 \(\times\) 振動数」という波の基本ルールを使って振動数を波長に変換し、エネルギーの式を作りました。
エネルギー \(E_1\) は波長 \(\lambda_1\) に反比例します。波長が短い（青や紫外線の）光ほど、光子 \(1\) 個あたりのエネルギーが大きいことを正しく表しており、物理的に妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
図2のグラフから、波長 \(\lambda_1\) のときの阻止電圧を読み取ります。電流がちょうど \(0\) になる電圧が阻止電圧です。この電圧による静電気力の位置エネルギーが、飛び出した電子の最大運動エネルギーと等しくなるというエネルギー保存則を立てます。
この設問における重要なポイント
- 阻止電圧の読み取り：図2の実線（\(\lambda_1\)）が横軸と交わる点（電流 \(I=0\)）の電位は \(-V_1\) です。
- エネルギー保存則：極板K（電位 \(0\)）から飛び出した電子が、極板P（電位 \(-V_1\)）に向かって進むにつれて減速し、Pに到達する直前で速さが \(0\) になるときの条件を考えます。
具体的な解説と立式
極板Kの電位を \(0\) とすると、極板Pの電位は \(-V_1\) です。
電子の電気量は \(-e\) です。
極板Kを飛び出すときの最大運動エネルギーを \(K_{\text{最大}}\) とします。
極板Kでの力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）と、極板Pにギリギリ到達して速さが \(0\) になったときの力学的エネルギーが等しいとして立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{Kでの運動エネルギー}) &+ (\text{Kでの位置エネルギー}) \\[2.0ex]
= (\text{Pでの運動エネルギー}) &+ (\text{Pでの位置エネルギー})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
K_{\text{最大}} + (-e) \cdot 0 &= 0 + (-e) \cdot (-V_1)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 静電気力による位置エネルギー：\(U = qV\)
- 力学的エネルギー保存則
式を整理して \(K_{\text{最大}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{最大}} + 0 &= 0 + eV_1 \\[2.0ex]
K_{\text{最大}} &= eV_1
\end{aligned}
$$
飛び出した電子は、向かいの極板Pに向かって飛んでいきます。しかし、極板Pにマイナスの電圧（\(-V_1\)）をかけると、マイナスの電気を持つ電子は反発されてブレーキをかけられます。電圧をどんどんマイナスにしていくと、一番勢いよく飛び出した電子でさえ、極板Pに届く直前でストップして引き返してしまいます。このときの「ブレーキをかけるのに使った電気的なエネルギー（\(eV_1\)）」が、まさに「一番勢いのある電子が最初に持っていた運動エネルギー」と同じになります。
最大運動エネルギーが \(eV_1\) と求まりました。これは阻止電圧の大きさ \(V_1\) に電気素量 \(e\) を掛けたものであり、光電効果の標準的な結果と一致します。
思考の道筋とポイント
エネルギー保存則を天下り的に使うのではなく、電場中の電子の運動方程式から出発し、仕事と運動エネルギーの定理を積分によって導出します。
この設問における重要なポイント
- 電場と電位の関係：電場 \(E\) は電位 \(V\) の空間微分（傾き）のマイナスとして定義されます。
- 仕事と運動エネルギーの定理：運動方程式の両辺を位置 \(x\) で積分することで導かれます。
具体的な解説と立式
極板KからPに向かう方向を \(x\) 軸の正の向きとします。Kの位置を \(x=0\)、Pの位置を \(x=d\) とします。
空間の電位を \(V(x)\) とすると、電場 \(E(x)\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
E(x) &= -\frac{dV}{dx}
\end{aligned}
$$
電子（質量 \(m\)、電気量 \(-e\)）が受ける静電気力は \(-eE(x)\) です。
電子の運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv}{dt} &= -eE(x)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 電場と電位の関係：\(E = -\frac{dV}{dx}\)
- 運動方程式：\(ma = F\)
- 数学公式：合成関数の微分則、置換積分法（\(\frac{dx}{dt} = v\)）
運動方程式の右辺に電場の定義式を代入します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv}{dt} &= -e \left( -\frac{dV}{dx} \right) \\[2.0ex]
&= e \frac{dV}{dx}
\end{aligned}
$$
両辺を位置 \(x\) で積分します。左辺は \(\frac{dx}{dt} = v\) を用いて置換積分します。
電子は \(x=0\)（極板K）を最大初速度 \(v_{\text{最大}}\) で飛び出し、\(x=d\)（極板P）で速さが \(0\) になるとします。
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{d} m \frac{dv}{dt} dx &= \int_{0}^{d} e \frac{dV}{dx} dx \\[2.0ex]
\int_{v_{\text{最大}}}^{0} m v dv &= e \int_{V(0)}^{V(d)} dV
\end{aligned}
$$
左辺と右辺をそれぞれ積分します。極板Kの電位は \(V(0) = 0\)、極板Pの電位は \(V(d) = -V_1\) です。
$$
\begin{aligned}
\left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{v_{\text{最大}}}^{0} &= e \left[ V \right]_{0}^{-V_1} \\[2.0ex]
0 – \frac{1}{2} m v_{\text{最大}}^2 &= e (-V_1 – 0) \\[2.0ex]
-\frac{1}{2} m v_{\text{最大}}^2 &= -eV_1
\end{aligned}
$$
両辺に \(-1\) を掛けます。左辺は最大運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) そのものです。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{最大}} &= eV_1
\end{aligned}
$$
「エネルギー保存則」という結果だけを使うのではなく、ニュートンの運動方程式から出発して、「力がはたらく空間を移動すると、その分だけ運動エネルギーが変化する」という物理の基本ルールを数学的に証明しながら計算しました。結果として、公式を使った場合と全く同じ式が自然に現れます。
原理的なアプローチからも、全く同じ結果が得られました。これにより、\(eV\) という式が「力 \(\times\) 距離」という仕事の定義から導かれていることが再確認できます。
問(4)
思考の道筋とポイント
アインシュタインの光電効果の式（エネルギー保存則）を立て、仕事関数 \(W\) について解きます。
この設問における重要なポイント
- 光電効果の式：光子のエネルギー \(E\) は、仕事関数 \(W\) と最大運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) の和になります。
具体的な解説と立式
波長 \(\lambda_1\) の光を当てたときの光電効果の式を立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{光子のエネルギー}) &= (\text{仕事関数}) + (\text{最大運動エネルギー})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
E_1 &= W + K_{\text{最大}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光電効果の式：\(h\nu = W + K_{\text{最大}}\)
仕事関数 \(W\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
W &= E_1 – K_{\text{最大}}
\end{aligned}
$$
問(2)で求めた \(E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}\) と、問(3)で求めた \(K_{\text{最大}} = eV_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{hc}{\lambda_1} – eV_1
\end{aligned}
$$
光子から受け取ったエネルギーは、まず「金属の束縛から逃げ出すための参加費（仕事関数）」として使われます。そして、余ったエネルギーが「飛び出すときの勢い（運動エネルギー）」になります。つまり、「参加費 ＝ もらったエネルギー － 余った勢い」という引き算で仕事関数を求めることができます。
仕事関数が、照射した光の波長と測定された阻止電圧から計算できることが示されました。これは金属固有の定数となります。
問(5)
思考の道筋とポイント
波長を \(\lambda_2\) に変えた場合についても、問(4)と全く同じ手順で光電効果の式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 仕事関数の不変性：金属の種類を変えない限り、仕事関数 \(W\) は一定です。
- グラフの読み取り：図2の破線（\(\lambda_2\)）から、阻止電圧が \(-V_2\) であることを読み取ります。
具体的な解説と立式
波長 \(\lambda_2\) の光子 \(1\) 個のエネルギーを \(E_2\) とします。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= \frac{hc}{\lambda_2}
\end{aligned}
$$
図2より、このときの阻止電圧の大きさは \(V_2\) なので、最大運動エネルギー \(K_{\text{最大2}}\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{最大2}} &= eV_2
\end{aligned}
$$
光電効果の式を立式します。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= W + K_{\text{最大2}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光電効果の式：\(h\nu = W + K_{\text{最大}}\)
仕事関数 \(W\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
W &= E_2 – K_{\text{最大2}}
\end{aligned}
$$
それぞれの式を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{hc}{\lambda_2} – eV_2
\end{aligned}
$$
光の波長を変えても、同じ金属を使っている限り「逃げ出すための参加費（仕事関数）」は変わりません。波長 \(\lambda_2\) の光を当てたときのデータを使って、問(4)と全く同じ引き算の式を作りました。
問(4)と同様の構造の式が得られました。この \(2\) つの式を連立させることで、未知数を求める準備が整いました。
問(6)
思考の道筋とポイント
問(4)と問(5)で得られた \(2\) つの式から、未知の仕事関数 \(W\) を消去し、プランク定数 \(h\) について解きます。
この設問における重要なポイント
- 連立方程式による未知数の消去：\(W\) は両方の式で共通なので、右辺同士を等置して消去します。
具体的な解説と立式
問(4)と問(5)の結果は、どちらも同じ仕事関数 \(W\) を表しています。
したがって、両者の右辺は等しいとして立式します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda_1} – eV_1 &= \frac{hc}{\lambda_2} – eV_2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし（連立方程式）
\(h\) を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda_1} – \frac{hc}{\lambda_2} &= eV_1 – eV_2
\end{aligned}
$$
左辺を \(hc\) で、右辺を \(e\) でくくります。
$$
\begin{aligned}
hc \left( \frac{1}{\lambda_1} – \frac{1}{\lambda_2} \right) &= e(V_1 – V_2)
\end{aligned}
$$
左辺の括弧内を通分します。
$$
\begin{aligned}
hc \left( \frac{\lambda_2 – \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} \right) &= e(V_1 – V_2)
\end{aligned}
$$
\(h\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{e(V_1 – V_2) \lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_2 – \lambda_1)}
\end{aligned}
$$
分母と分子に \(-1\) を掛けて、添え字の順序を揃えます（模範解答の形に合わせます）。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{e(V_2 – V_1) \lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}
\end{aligned}
$$
波長を変えて \(2\) 回実験を行ったことで、「参加費（仕事関数）」が分からないままでも、\(2\) つの式を組み合わせることで参加費を計算から消し去ることができました。残った式を整理することで、ミクロの世界の重要な定数である「プランク定数」を、実験で測れるデータ（波長と電圧）だけで表すことができました。
プランク定数 \(h\) が測定可能な物理量のみで表されました。これが、ミリカンが光電効果の実験を通じてプランク定数を精密に測定した原理です。
問(7)
思考の道筋とポイント
問(6)と問(4)で導出した式に具体的な数値を代入し、プランク定数 \(h\) と仕事関数 \(W\) を計算します。仕事関数は単位を \([\text{J}]\) から \([\text{eV}]\) に変換する必要があります。
この設問における重要なポイント
- 指数計算の正確な処理：\(10\) の何乗という計算が多数出てくるため、仮数部と指数部を分けて丁寧に計算します。
- 単位の変換：\(1\,\text{eV}\) は、電子 \(1\) 個（電気量 \(e\)）が \(1\,\text{V}\) の電位差で得るエネルギーなので、\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。\([\text{J}]\) を \([\text{eV}]\) に直すには、\(1.6 \times 10^{-19}\) で割ります。
具体的な解説と立式
問(6)の式に数値を代入して \(h\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{e(V_2 – V_1) \lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}
\end{aligned}
$$
次に、求めた \(h\) を用いて問(4)の式から \(W\) を \([\text{J}]\) 単位（\(W_{\text{ジュール}}\)）で求めます。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{ジュール}} &= \frac{hc}{\lambda_1} – eV_1
\end{aligned}
$$
最後に、これを \([\text{eV}]\) 単位（\(W_{\text{電子ボルト}}\)）に変換します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{電子ボルト}} &= \frac{W_{\text{ジュール}}}{e}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- エネルギーの単位変換：\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\)
まず \(h\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1.6 \times 10^{-19} \times (0.70 – 0.10) \times 5.0 \times 10^{-7} \times 4.0 \times 10^{-7}}{3.0 \times 10^8 \times (5.0 \times 10^{-7} – 4.0 \times 10^{-7})} \\[2.0ex]
&= \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.60 \times 20 \times 10^{-14}}{3.0 \times 10^8 \times 1.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.2 \times 10^{-33}}{3.0 \times 10^1} \\[2.0ex]
&= 6.4 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}
\end{aligned}
$$
次に \(W_{\text{ジュール}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{ジュール}} &= \frac{6.4 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{5.0 \times 10^{-7}} – 1.6 \times 10^{-19} \times 0.10 \\[2.0ex]
&= \frac{19.2 \times 10^{-26}}{5.0 \times 10^{-7}} – 0.16 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&= 3.84 \times 10^{-19} – 0.16 \times 10^{-19} \\[2.0ex]
&= 3.68 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
これを \([\text{eV}]\) 単位に変換します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{電子ボルト}} &= \frac{3.68 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex]
&= 2.3\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
作った公式に実際の実験データを当てはめて、プランク定数と仕事関数を計算しました。仕事関数の答えは、ジュール（\(\text{J}\)）という単位だと \(10\) のマイナス \(19\) 乗という非常に小さな数字になって扱いにくいため、電子の世界でよく使われる「電子ボルト（\(\text{eV}\)）」という単位に直して分かりやすくしました。
得られたプランク定数 \(6.4 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\) は、実際の値（約 \(6.63 \times 10^{-34}\)）に近い妥当なオーダーです。仕事関数 \(2.3\,\text{eV}\) も、一般的な金属（ナトリウムなど）の仕事関数として妥当な値です。
問(8)
思考の道筋とポイント
照射された光の「全体のエネルギー」が、光子 \(1\) 個のエネルギーの何個分に相当するかを計算します。
この設問における重要なポイント
- エネルギーの総和：全体のエネルギーは、「光子 \(1\) 個のエネルギー \(\times\) 光子の個数」で表されます。
具体的な解説と立式
毎秒の照射エネルギー（全エネルギー）を \(E_{\text{全}}\)、毎秒の光子の個数を \(n\) とします。
波長 \(\lambda_2\) の光子 \(1\) 個のエネルギーは \(E_2\) です。
全体のエネルギーは次のように立式できます。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} &= n \cdot E_2
\end{aligned}
$$
また、\(E_2\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= \frac{hc}{\lambda_2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし（エネルギーの総和の考え方）
\(E_2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{全}} &= n \frac{hc}{\lambda_2}
\end{aligned}
$$
光子の個数 \(n\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{E_{\text{全}} \lambda_2}{hc}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。\(h\) は問(7)で求めた値を使用します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{2.4 \times 10^{-3} \times 4.0 \times 10^{-7}}{6.4 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8} \\[2.0ex]
&= \frac{9.6 \times 10^{-10}}{19.2 \times 10^{-26}} \\[2.0ex]
&= 0.5 \times 10^{16} \\[2.0ex]
&= 5.0 \times 10^{15}\,\text{個}/\text{s}
\end{aligned}
$$
光のエネルギーの合計が分かっています。光は「光子」という粒の集まりなので、「全体のエネルギー」を「粒 \(1\) 個分のエネルギー」で割り算すれば、そこに何個の粒が含まれているかが分かります。
毎秒 \(10^{15}\) 個という膨大な数の光子が照射されていることが分かります。マクロなエネルギー（\(\text{mJ}\) オーダー）が、ミクロな光子の莫大な集団によって構成されていることを実感できる結果であり、物理的に妥当です。
問(9)
思考の道筋とポイント
「光量を増加させる」という操作が、グラフのどの部分（阻止電圧か、飽和電流か）に影響を与えるかを考察します。
この設問における重要なポイント
- 光量（明るさ）の意味：光量子仮説において、光を明るくすることは「光子の数を増やす」ことを意味します。波長（色）が変わらなければ、光子 \(1\) 個のエネルギーは変わりません。
- グラフへの影響：
- 光子 \(1\) 個のエネルギーが変わらない \(\rightarrow\) 飛び出す電子の最大運動エネルギーは変わらない \(\rightarrow\) 阻止電圧 \(-V_1\) は変化しない。
- 光子の数が増える \(\rightarrow\) 叩き出される電子の総数が増える \(\rightarrow\) 回路を流れる最大電流（飽和電流）は大きくなる。
具体的な解説と立式
波長 \(\lambda_1\) が一定であるため、光電効果の式 \(hc/\lambda_1 = W + eV_1\) より、阻止電圧 \(V_1\) は変化しません。したがって、グラフが横軸と交わる点は \(-V_1\) のままです。
一方、光量が増加すると単位時間あたりに極板Kに当たる光子の数が増加します。光子 \(1\) 個が電子 \(1\) 個を叩き出すとすると、飛び出す光電子の数も増加します。
十分な正の電圧をかけたときに流れる電流（飽和電流）は、飛び出したすべての電子が極板Pに到達することで決まるため、光電子の数に比例して飽和電流は大きくなります。
したがって、グラフは \(-V_1\) を起点とし、元の実線よりも上側（電流が大きい側）を通る曲線になります。
立式する方程式は特にありません。
使用した物理公式
- 特になし（光量子仮説の定性的な理解）
計算過程は特にありません。
光を明るくするということは、光の「粒の数」を増やすということです。粒 \(1\) 個のパワー（エネルギー）は変わらないので、飛び出す電子の「勢い」は変わらず、ブレーキをかけるのに必要な電圧（阻止電圧）は同じままです。しかし、粒の数が増えた分だけ、飛び出してくる電子の「人数」は増えるので、全員がゴールにたどり着いたときに流れる電流の最大値（飽和電流）は大きくなります。
古典的な波動説では「光を明るくすればエネルギーが増えて阻止電圧も大きくなるはずだ」と予想されましたが、実際の実験結果（阻止電圧は不変）はそれを裏切り、光量子仮説の正しさを決定づけました。このグラフの変化はその歴史的な事実を正しく表しており妥当です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- アインシュタインの光量子仮説と光電効果の式
- 核心: 光は波長に反比例するエネルギー \(E = hc/\lambda\) を持つ「粒（光子）」であり、電子はこの光子を \(1\) 個丸ごと吸収して飛び出します。このエネルギーの収支決算を表したのが \(hc/\lambda = W + K_{\text{最大}}\) です。
- 理解のポイント:
- 「光の波長（色）」は「光子 \(1\) 個のエネルギー（電子の勢い）」を決めます。
- 「光の強さ（明るさ）」は「光子の数（飛び出す電子の数＝電流）」を決めます。この \(2\) つの役割を絶対に混同しないことが最大の鍵です。
- 阻止電圧と最大運動エネルギーの関係
- 核心: 飛び出した電子の中で最も勢いのあるもの（最大運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\)）が、逆電圧による電気的な坂道（位置エネルギー \(eV_0\)）をギリギリ登りきれなくなるときの電圧が阻止電圧 \(V_0\) です。
- 理解のポイント:
- \(K_{\text{最大}} = eV_0\) は、力学の「運動エネルギーが位置エネルギーに変わる」というエネルギー保存則そのものです。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 限界波長（限界振動数）を求める問題: 光電効果が起こるギリギリの条件（飛び出す電子の運動エネルギーが \(0\)）を考える問題です。光電効果の式で \(K_{\text{最大}} = 0\) と置くだけで、\(hc/\lambda_{\text{限界}} = W\) として簡単に求まります。
- グラフの傾きと切片から定数を求める問題: 縦軸を最大運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\)（または阻止電圧 \(V_0\)）、横軸を振動数 \(\nu\) としたグラフの問題が頻出します。\(K_{\text{最大}} = h\nu – W\) より、グラフは直線になり、その「傾き」がプランク定数 \(h\)、「縦軸の切片の絶対値」が仕事関数 \(W\) を表すことを見抜くのが定石です。
- 初見の問題での着眼点:
- グラフの交点をチェックする: 電流－電圧グラフ（図2）が出たら、まず横軸との交点（阻止電圧）を読み取り、即座に \(K_{\text{最大}} = eV_0\) の式を立てます。
- 変化した条件と変化しない条件を仕分ける: 「波長を変えた」「金属を変えた」「光量を増やした」などの操作に対し、「何が変わって（例：光子のエネルギー）、何が変わらないか（例：仕事関数）」をリストアップしてから立式に入ります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 光の「強さ」と「エネルギー」の混同:
- 誤解: 問(9)で「光を強くしたから、電子のエネルギーも大きくなって阻止電圧が左にズレるはずだ」と勘違いしてしまう。
- 対策: 日常語の「光が強い」は、物理では「光子の数が多い」ことを意味します。光子 \(1\) 個のエネルギーを変えるには「波長（色）」を変えるしかありません。「明るさ＝人数」「波長＝個人のパワー」というイメージを強く持ってください。
- 単位 \([\text{J}]\) と \([\text{eV}]\) の変換ミス:
- 誤解: 問(7)で、\(1.6 \times 10^{-19}\) を掛けるべきか割るべきか分からなくなり、逆の計算をしてしまう。
- 対策: \(1\,\text{eV}\) は電子 \(1\) 個分の極小のエネルギーなので、ジュールで表すと \(10^{-19}\) という非常に小さな値になります。つまり「\(\text{J}\) の数値は \(\text{eV}\) の数値より圧倒的に小さい（\(10^{-19}\) 倍）」と覚えておけば、割るべきか掛けるべきかを直感的に判断できます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 光電効果の式（\(E = W + K_{\text{最大}}\)）:
- 選定理由: 光と電子のエネルギーのやり取りを記述する唯一にして絶対の基本方程式だからです。
- 適用根拠: アインシュタインの光量子仮説に基づき、エネルギー保存則をミクロな粒子（光子と電子）の \(1\) 対 \(1\) の衝突現象に適用したものです。
- 微積分を用いた体系的解法（別解）:
- 選定理由: \(K_{\text{最大}} = eV_0\) という式を単なる暗記ではなく、力学の基本原理から導き出せることを示すためです。
- 適用根拠: 電場中の電子の運動は、ニュートンの運動方程式 \(ma = F\) に完全に支配されています。これを空間積分することで、仕事と運動エネルギーの定理が厳密に成立することが数学的に保証されています。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま最後まで計算する:
- 意識: 問(6)のように、途中で数値を代入せず、求める物理量（\(h\)）を文字式のままで完全に解ききってから、最後に一度だけ数値を代入します。
- 実践: 途中で数値を計算すると、有効数字の丸め誤差が蓄積したり、約分できるはずの項を見落としたりして計算が煩雑になります。文字式で整理することで、問(6)の \(\lambda_1 \lambda_2\) のような美しい対称性を持つ式が現れ、計算ミスを防ぐことができます。
- 指数のくくり出しと通分:
- 意識: 問(6)の導出過程で、\(\frac{hc}{\lambda_1} – \frac{hc}{\lambda_2}\) を計算する際、共通因数 \(hc\) でくくってから括弧の中を通分します。
- 実践: これを怠って別々に計算しようとすると式が複雑化します。「共通因数でくくる」「分数は通分して一つにまとめる」という中学数学の基本動作が、高校物理の複雑な文字式計算を正確に乗り切る最大の武器になります。
PREMIUM
この問題の「なぜそう解くのか」も
全て言語化されています。
問題集の解答が省略する思考プロセスを、現役講師が1人で書き続けています。650問超の「なぜ」を、1週間無料で読めます。
原子を最短で攻略するなら
