問題86 (京都府大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、音源、観測者、反射板（壁）が運動する様々な状況における「ドップラー効果」を扱っています。直接音と反射音の振動数や波長、うなり、さらには斜め方向のドップラー効果まで、多角的に問われています。
この問題の核心は、ドップラー効果の公式を正しく適用すること、そして特に「反射」という現象を「壁による受信」と「壁からの送信」という2段階のプロセスとして捉えることです。
- 音の速さ: \(V\)
- 音源の基本振動数: \(f_0\)
- 共通条件: 無風状態、各運動体の速さは音速\(V\)より小さい。
- 状況1 (問1～4):
- 観測者(台車A): 静止
- 音源(台車B): 速さ\(u_0\)で観測者に近づく
- 壁(台車C): 静止
- 状況2 (問5):
- 観測者(台車A): 静止
- 音源(台車B): 静止
- 壁(台車C): 速さ\(u_1\)で音源から遠ざかる
- 状況3 (問6):
- 観測者(台車A): 静止
- 音源(台車B): 速さ\(u_2\)で壁と平行に移動
- 壁: 静止
- (1) 状況1における直接音の波長\(\lambda_1\)。
- (2) 状況1における直接音の振動数\(f_1\)。
- (3) 状況1における反射音の振動数\(f_2\)。
- (4) 状況1におけるうなりの回数\(f_3\)。
- (5) 状況2における反射音の振動数\(f_4\)。
- (6) 状況3における音源の速さ\(u_2\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「反射板がある場合のドップラー効果」です。音源や観測者、さらには反射板（壁）が運動することにより、観測される音の振動数がどのように変化するかを考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ドップラー効果の公式: 音源と観測者の相対的な運動によって、音の振動数が変化する現象です。公式を正しく適用することが基本となります。
- 反射の扱い: 壁による音の反射は、「(1) 壁が観測者として音を受け取る」「(2) 壁がその振動数で音を発する新たな音源となる」という2段階のプロセスとして考えます。
- 波の基本式 (\(v=f\lambda\)): 音速、振動数、波長の関係を結びつける基本的な式です。
- 斜め方向のドップラー効果: 音源の速度を、観測者と音源を結ぶ直線方向（視線方向）の成分に分解して考えることが重要です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、各設問の物理的状況（誰がどのように運動しているか）を正確に図から読み取ります。
- 直接音と反射音について、それぞれドップラー効果の公式を適用し、振動数や波長を求めます。
- 反射音を考える際は、壁が聞く音（ステップ1）と壁が発する音（ステップ2）の2段階に分けて、順に公式を適用します。
- うなりの問題では、2つの音の振動数の差を計算します。
- 与えられた複数の関係式から、未知数を消去して目的の物理量を導出します。
問(1)
思考の道筋とポイント
音源が観測者に近づきながら音を出す場合、波が進行方向へ圧縮されるため、波長は短くなります。波長の定義（1秒間に進む距離を1秒間に出す波の数で割る）に基づいて立式します。
この設問における重要なポイント
- 音の波長は、音源の運動によって決まり、観測者の運動には依存しません。
- 音源が近づく場合、1秒間に \(f_0\) 個の波が占める空間の長さが \(V-u_0\) になることを理解します。
具体的な解説と立式
音の速さは \(V\)、音源の速さは \(u_0\) です。
1秒間に、音は \(V\) [m] 進みますが、その間に音源も同じ方向に \(u_0\) [m] 進みます。
その結果、1秒間（\(t=1\) s）に音源から発せられた \(f_0\) 個の波は、長さ \(V – u_0\) の区間に詰まっています。
したがって、観測者が観測する波長 \(\lambda_1\) は、この区間の長さを波の数で割ることで求められます。
$$ \lambda_1 = \frac{V – u_0}{f_0} $$
使用した物理公式
- 波長の定義
立式そのものが結論となります。
音源が音を追いかけるように動くため、音の波と波の間隔（波長）がぎゅっと縮まります。1秒間で音と音源が進む距離の差が、1秒間に出されたすべての波（\(f_0\)個）が詰まっている長さになります。この長さを波の数で割ると、1つあたりの波の長さ、つまり波長がわかります。
観測者が音源から直接観測する音の波長は \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u_0}{f_0}\) です。音源が近づくため、元の波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) よりも短くなっており、物理的に妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
波の基本式 \(v=f\lambda\) を用いて、振動数 \(f_1\) を求めます。観測者が聞く音の速さは、観測者自身が静止しているため、音速 \(V\) のままです。
この設問における重要なポイント
- 波の基本式 \(V = f_1 \lambda_1\) を適用する。
- 問(1)で求めた波長 \(\lambda_1\) を用いる。
具体的な解説と立式
波の基本式 \(v=f\lambda\) において、観測者が聞く音の速さは \(V\)、振動数は \(f_1\)、波長は問(1)で求めた \(\lambda_1\) です。
$$ V = f_1 \lambda_1 \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
式①を \(f_1\) について解き、\(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u_0}{f_0}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V}{\lambda_1} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{\displaystyle\frac{V-u_0}{f_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{V f_0}{V-u_0}
\end{aligned}
$$
音の速さは変わらないまま、波長が短くなったので、1秒間に観測者の耳を通り過ぎる波の数（振動数）は多くなります。この関係を波の基本式から計算します。
観測者が聞く直接音の振動数は \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-u_0}f_0\) です。分母が \(V\) より小さいため、\(f_1 > f_0\) となり、音源が近づくことで音が高く聞こえるというドップラー効果の現象と一致します。
問(3)
思考の道筋とポイント
壁で反射した音の振動数 \(f_2\) を求めます。これは「音源B \(\rightarrow\) 壁C」と「壁C \(\rightarrow\) 観測者A」の2段階のドップラー効果として考えます。問題文の状況設定から、音源Bは観測者Aと壁Cの間にあり、Aに近づき、Cからは遠ざかっていると解釈します。
この設問における重要なポイント
- 反射板は、まず「観測者」として音を受け取り、次にその振動数で音を発する「音源」となる。
- ステップ1 (B \(\rightarrow\) C): 音源Bは壁Cから速さ \(u_0\) で遠ざかる。
- ステップ2 (C \(\rightarrow\) A): 壁Cは静止した音源として、観測者Aに音を伝える。
具体的な解説と立式
Step 1: 壁Cが受け取る音の振動数 \(f_c\) を求める
音源Bは、静止している壁C(観測者)から速さ \(u_0\) で遠ざかります。ドップラー効果の公式より、壁Cが観測する振動数 \(f_c\) は、
$$ f_c = \frac{V}{V+u_0}f_0 \quad \cdots ① $$
Step 2: 観測者Aが聞く反射音の振動数 \(f_2\) を求める
壁Cは、受け取った振動数 \(f_c\) の音を発する、静止した新たな音源とみなせます。観測者Aも静止しているので、壁Cと観測者Aの間には相対運動がなく、ドップラー効果は生じません。したがって、観測者Aが聞く反射音の振動数 \(f_2\) は \(f_c\) に等しくなります。
$$ f_2 = f_c \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式: \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_{\text{観測者}}}{V-v_{\text{音源}}}f\)
式①、②より、\(f_2\) は以下のように求められます。
$$ f_2 = \frac{V}{V+u_0}f_0 $$
まず、音源が壁から遠ざかるので、壁に届く音は元の音より低くなります。壁は鏡のように、その低くなった音をそのままの高さで反射します。静止している観測者には、その低い音がそのまま聞こえます。
壁からの反射音の振動数は \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V+u_0}f_0\) です。分母が \(V\) より大きいため、\(f_2 < f_0\) となり、物理的に妥当な結果です。
問(4)
思考の道筋とポイント
うなりの回数 \(f_3\) は、観測者が同時に聞く2つの音（直接音 \(f_1\) と反射音 \(f_2\)）の振動数の差の絶対値で与えられます。
この設問における重要なポイント
- うなりの公式: \(N = |f_a – f_b|\)。
- 問(2)で求めた \(f_1\) と問(3)で求めた \(f_2\) を用いる。
具体的な解説と立式
単位時間あたりのうなりの回数 \(f_3\) は、振動数 \(f_1\) と \(f_2\) の差の絶対値です。
$$ f_3 = |f_1 – f_2| $$
ここで、\(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-u_0}f_0\) と \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V+u_0}f_0\) を比較すると、分母が小さい \(f_1\) の方が大きい（\(f_1 > f_2\)）ことがわかります。したがって、
$$ f_3 = f_1 – f_2 $$
使用した物理公式
- うなりの振動数: \(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\)
\(f_1\) と \(f_2\) の式を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
f_3 &= \frac{V}{V-u_0}f_0 – \frac{V}{V+u_0}f_0 \\[2.0ex]
&= \left( \frac{V}{V-u_0} – \frac{V}{V+u_0} \right) f_0 \\[2.0ex]
&= V \left( \frac{(V+u_0) – (V-u_0)}{(V-u_0)(V+u_0)} \right) f_0 \\[2.0ex]
&= V \left( \frac{2u_0}{V^2 – u_0^2} \right) f_0 \\[2.0ex]
&= \frac{2Vu_0}{V^2 – u_0^2} f_0
\end{aligned}
$$
観測者には、音源が近づいてくることによる高い音（\(f_1\)）と、音源が壁から遠ざかることによる低い音（\(f_2\)）が同時に届きます。この2つの音の振動数の差を計算することで、1秒間に「ワーン」と聞こえるうなりの回数が求められます。
うなりの回数は \(f_3 = \displaystyle\frac{2Vu_0}{V^2-u_0^2}f_0\) [回/s] です。直接音と反射音の振動数に差があるため、うなりが生じるのは妥当です。
問(5)
思考の道筋とポイント
この場合も「音源B \(\rightarrow\) 壁C」「壁C \(\rightarrow\) 観測者A」の2段階で考えます。今回は音源が静止し、壁が運動します。
この設問における重要なポイント
- ステップ1 (B \(\rightarrow\) C): 静止音源に対し、壁(観測者)が速さ \(u_1\) で遠ざかる。
- ステップ2 (C \(\rightarrow\) A): 壁(音源)が速さ \(u_1\) で静止観測者から遠ざかりながら、ステップ1で受け取った振動数の音を発する。
具体的な解説と立式
Step 1: 壁Cが受け取る音の振動数 \(f_c’\) を求める
音源Bは静止しており、壁C(観測者)が速さ \(u_1\) で遠ざかります。このとき壁が観測する振動数 \(f_c’\) は、
$$ f_c’ = \frac{V-u_1}{V-0}f_0 = \frac{V-u_1}{V}f_0 \quad \cdots ① $$
Step 2: 観測者Aが聞く反射音の振動数 \(f_4\) を求める
次に、壁Cは振動数 \(f_c’\) を発する音源とみなせます。この音源(壁C)は、静止している観測者Aから速さ \(u_1\) で遠ざかります。したがって、観測者Aが聞く振動数 \(f_4\) は、
$$ f_4 = \frac{V}{V+u_1}f_c’ \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式: \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_{\text{観測者}}}{V-v_{\text{音源}}}f\)
式②に式①を代入して、\(f_c’\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
f_4 &= \frac{V}{V+u_1} \left( \frac{V-u_1}{V}f_0 \right) \\[2.0ex]
&= \frac{V-u_1}{V+u_1}f_0
\end{aligned}
$$
壁が音源から遠ざかりながら音を聞くため、まず音が低くなります（第1段階のドップラー効果）。次に、その低くなった音を、壁が観測者から遠ざかりながら発するため、音はさらに低くなります（第2段階のドップラー効果）。この二重の効果を計算します。
観測者が聞く反射音の振動数は \(f_4 = \displaystyle\frac{V-u_1}{V+u_1}f_0\) です。\(V-u_1 < V+u_1\) なので \(f_4 < f_0\) となり、音が低く聞こえるという直感と一致します。
問(6)
思考の道筋とポイント
観測者が聞く直接音の振動数 \(f_5\) と反射音の振動数 \(f_6\) の関係式をそれぞれ立て、2式から音源の元の振動数 \(f_0\) を消去して、音源の速さ \(u_2\) を求めます。斜め方向のドップラー効果では、音源の速度の視線成分（音の進行方向成分）のみを考えます。
この設問における重要なポイント
- 直接音: 音源は観測者にまっすぐ速さ \(u_2\) で近づく。
- 反射音: 音源の速度 \(u_2\) を、音の進行方向（音源から観測者への向き）の成分に分解する。問題の定義より、この成分は \(u_2 \cos\theta\) となる。
- 2つの関係式から \(f_0\) を消去し、\(u_2\) について解く。
具体的な解説と立式
直接音の振動数 \(f_5\):
音源Bは、静止している観測者Aに速さ \(u_2\) でまっすぐ近づきます。このときの振動数 \(f_5\) は、
$$ f_5 = \frac{V}{V-u_2}f_0 \quad \cdots ① $$
反射音の振動数 \(f_6\):
壁で反射し、観測者Aに角度 \(\theta\) の方向から届く音を考えます。この音に対して、音源Bの速度 \(u_2\) のうち、音の進行方向（視線方向）の成分は \(u_2 \cos\theta\) となります。したがって、この反射音の振動数 \(f_6\) は、
$$ f_6 = \frac{V}{V-u_2 \cos\theta}f_0 \quad \cdots ② $$
（注：これは、音源から直接、進行方向と角度\(\theta\)をなす向きにいる観測者が聞く振動数を求めるモデルに基づいています。）
使用した物理公式
- 斜め方向のドップラー効果の公式
式①と式②から \(f_0\) を消去して \(u_2\) を求めます。
まず、式①から \(f_0\) を求めます。
$$ f_0 = \frac{V-u_2}{V}f_5 $$
これを式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
f_6 &= \frac{V}{V-u_2 \cos\theta} \left( \frac{V-u_2}{V}f_5 \right) \\[2.0ex]
&= \frac{V-u_2}{V-u_2 \cos\theta}f_5
\end{aligned}
$$
この式を \(u_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
f_6 (V – u_2 \cos\theta) &= f_5 (V – u_2) \\[2.0ex]
Vf_6 – u_2 f_6 \cos\theta &= Vf_5 – u_2 f_5 \\[2.0ex]
u_2 f_5 – u_2 f_6 \cos\theta &= Vf_5 – Vf_6 \\[2.0ex]
u_2 (f_5 – f_6 \cos\theta) &= V(f_5 – f_6) \\[2.0ex]
u_2 &= \frac{V(f_5 – f_6)}{f_5 – f_6 \cos\theta}
\end{aligned}
$$
観測者には、正面から来る高い音（\(f_5\)）と、斜めから来る少しだけ高い音（\(f_6\)）が聞こえます。この2つの振動数を表す式には、どちらも未知の速さ \(u_2\) と元の振動数 \(f_0\) が含まれています。2つの式を連立方程式とみなし、\(f_0\) を消去することで、\(u_2\) を測定可能な量（\(V, f_5, f_6, \theta\)）だけで表すことができます。
台車Bの速さは \(u_2 = \displaystyle\frac{V(f_5 – f_6)}{f_5 – f_6 \cos\theta}\) です。観測される振動数から、直接測定が難しい音源の速さを求めることができる、というドップラー効果の応用例（スピードガンなど）の原理を示す関係式となっています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果の公式:
- 核心: 音源と観測者の相対的な運動によって、観測される音の振動数が変化する現象です。公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_{\text{観測者}}}{V-v_{\text{音源}}}f_0\) を正しく使いこなすことが全ての基本です。
- 理解のポイント: 速度の符号の取り方が重要です。音源から観測者に向かう向きを正と定め、音源の速度 \(v_{\text{音源}}\) と観測者の速度 \(v_{\text{観測者}}\) をこの向きに合わせて代入します。近づく場合は正、遠ざかる場合は負（あるいは公式の符号を調整）と覚えるのが一般的です。
- 反射板の2段階モデル:
- 核心: 壁や反射板による音の反射は、単一の現象ではなく、2つの連続したドップラー効果としてモデル化します。
- ステップ1（受信）: 反射板を「観測者」とみなし、元の音源から発せられた音をどのくらいの振動数で受け取るかを計算します。
- ステップ2（送信）: 反射板を「新たな音源」とみなし、ステップ1で受け取った振動数の音を、本来の観測者に向けて発すると考えます。
- 理解のポイント: この2段階の考え方を適用することで、一見複雑に見える反射の問題を、基本的なドップラー効果の公式の組み合わせで解くことができます。
- 核心: 壁や反射板による音の反射は、単一の現象ではなく、2つの連続したドップラー効果としてモデル化します。
- 斜め方向のドップラー効果:
- 核心: 音源や観測者が、音の進行方向に対して斜めに運動する場合、ドップラー効果に寄与するのは、音源と観測者を結ぶ直線方向（視線方向）の速度成分のみです。
- 理解のポイント: (6)のように、音源の速度ベクトル \(\vec{u_2}\) を、視線方向とその垂直方向に分解し、視線方向の成分 \(u_2 \cos\theta\) のみをドップラー効果の公式に用います。垂直方向の速度成分は、振動数の変化には影響しません。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 動く観測者と動く音源: この問題の基本パターン。誰が動き、誰が止まっているかを正確に把握することが第一歩です。
- 風が吹いている場合: 音速 \(V\) が変化します。風上に向かう音の速さは \(V-W\)、風下に向かう音の速さは \(V+W\)（\(W\)は風速）となります。ドップラー効果の公式の \(V\) を、この見かけの音速に置き換えて計算する必要があります。
- 救急車やすれ違う電車: 日常的な現象を題材にした問題。救急車が近づくときと遠ざかるときの音の変化や、すれ違う瞬間に音がどう変わるかなどを問われます。
- スピードガン: (6)のように、反射波の振動数変化を利用して物体の速さを測定する装置の原理を問う問題。
- 初見の問題での着眼点:
- 登場人物の整理: まず、音源、観測者、反射板（もしあれば）は誰で、それぞれがどの向きに、どのくらいの速さで動いているのかを図に書き込み、状況を完全に把握します。
- 音の経路の特定: 観測者が聞く音は、音源からの「直接音」なのか、何かに反射した「反射音」なのかを区別します。複数の音が聞こえる場合は、それぞれ別々に計算します。
- 反射音は2段階で: 反射音を計算する必要がある場合、必ず「受信」と「送信」の2ステップに分けて考えます。各ステップで誰が音源で誰が観測者なのかを明確にします。
- 速度の向きと符号: ドップラー効果の公式を適用する際、音源から観測者への向きを正として、各速度の符号を慎重に決定します。
- 求めるものは何か: 最終的に求めたい量が振動数なのか、波長なのか、うなりの回数なのか、あるいは音源の速さなのかを意識し、適切な公式や計算手順を選択します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 反射を1回のドップラー効果で計算してしまう:
- 誤解: (5)のような問題で、音源と観測者の相対速度を考えて一度に計算しようとする。
- 対策: 反射は必ず「壁が聞く」「壁が話す」の2段階で考える、という原則を徹底しましょう。壁は音を中継するだけであり、音源と観測者の直接のやりとりとは物理的に異なります。
- 速度の符号ミス:
- 誤解: 近づく場合と遠ざかる場合の公式の符号を混同する。
- 対策: 「近づくと音は高くなる（振動数が増える）」「遠ざかると音は低くなる（振動数が減る）」という物理現象の基本に立ち返りましょう。計算結果がこの直感に合っているか常に確認する習慣をつけることが有効です。分母が小さくなれば振動数は増え、分母が大きくなれば振動数は減ります。
- 斜め方向の速度をそのまま使ってしまう:
- 誤解: (6)で、音源の速さ \(u_2\) をそのままドップラー効果の公式に入れてしまう。
- 対策: ドップラー効果は「波面の進行方向への追いかけっこ」で生じる現象であるとイメージしましょう。そのため、重要なのは視線方向の速度成分だけです。必ず速度を分解するステップを踏むことを忘れないでください。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 波面の圧縮・伸長イメージ: 音源が近づく場合は、音源の前方で波面がぎゅっと圧縮される様子を、遠ざかる場合は後方で波面が引き伸ばされる様子を図に描くと、波長が変化する理由が直感的に理解できます。
- 役割の書き込み: 図1や図2の台車や壁の上に、「音源(\(f_0\))」「観測者」「反射板(受信)」「反射板(送信)」のように、各ステップでの役割を書き込むと、誰が主体なのかが明確になり、公式の適用ミスを防げます。
- 速度ベクトルの図示: (6)では、音源の速度ベクトル \(\vec{u_2}\) と、音の進行方向（視線方向）を明確に図示し、速度を成分分解した図を描くことが必須です。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 基準の明確化: 速度の正の向きを矢印で図に明記しておくと、符号の判断が容易になります。
- 音の経路を矢印で示す: 直接音は「音源 \(\rightarrow\) 観測者」、反射音は「音源 \(\rightarrow\) 壁 \(\rightarrow\) 観測者」のように、音の伝わる経路を矢印で描くと、思考が整理されます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ドップラー効果の公式:
- 選定理由: 問題が「観測される振動数」の変化を問うており、その原因が音源や観測者の運動であるため。これはドップラー効果そのものの定義です。
- 適用根拠: 音波の伝播という物理現象に基づいています。音源や観測者の運動により、単位時間あたりに観測者の耳を通過する波の数が変化するという原理を数式化したものです。
- 波の基本式 \(v=f\lambda\):
- 選定理由: (1)で波長、(2)で振動数を問うているように、波長と振動数という異なる物理量を結びつける必要があるため。
- 適用根拠: 波の速さは、1つの波の長さ(\(\lambda\))に、1秒間に進む波の数(\(f\))を掛け合わせたものである、という波の最も基本的な定義に基づいています。
- うなりの公式 \(N = |f_1 – f_2|\):
- 選定理由: (4)で「うなりの回数」を問われているため。
- 適用根拠: わずかに振動数の異なる2つの波が重なり合うと、波の振幅が周期的に強弱を繰り返す「うなり」という現象が生じます。その周期（1秒あたりの回数）は、2つの波の振動数の差に等しいという物理法則に基づいています。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 波長 \(\lambda_1\):
- 戦略: 1秒間に音源が出す波(\(f_0\)個)が詰まる区間の長さを求める。
- フロー: 区間の長さ \(V-u_0\) \(\rightarrow\) \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-u_0}{f_0}\)。
- (2) 振動数 \(f_1\):
- 戦略: 波の基本式 \(V=f_1\lambda_1\) を使う。
- フロー: \(f_1 = V/\lambda_1\) \(\rightarrow\) (1)の結果を代入し \(f_1\) を求める。
- (3) 反射音の振動数 \(f_2\):
- 戦略: 反射を2段階で考える。「音源B \(\rightarrow\) 壁C」と「壁C \(\rightarrow\) 観測者A」。
- フロー: ①壁が聞く音 \(f_c\) を計算（音源が遠ざかる） \(\rightarrow\) ②壁が発する音を観測者が聞く（音源も観測者も静止） \(\rightarrow\) \(f_2 = f_c\)。
- (4) うなりの回数 \(f_3\):
- 戦略: 直接音と反射音の振動数の差を取る。
- フロー: \(f_3 = |f_1 – f_2|\) \(\rightarrow\) (2)と(3)の結果を代入して計算。
- (5) 壁が動く場合の反射音 \(f_4\):
- 戦略: 反射を2段階で考える。「音源B \(\rightarrow\) 壁C」と「壁C \(\rightarrow\) 観測者A」。
- フロー: ①壁が聞く音 \(f_c’\) を計算（観測者である壁が遠ざかる） \(\rightarrow\) ②壁が発する音を観測者が聞く（音源である壁が遠ざかる） \(\rightarrow\) 2つの式を組み合わせて \(f_4\) を求める。
- (6) 音源の速さ \(u_2\):
- 戦略: ①直接音 \(f_5\) の式を立てる。②反射音 \(f_6\) の式を立てる（斜め方向のドップラー効果）。③2式から \(f_0\) を消去する。
- フロー: \(f_5 = \dots f_0\) の式、\(f_6 = \dots f_0\) の式を立てる \(\rightarrow\) 連立方程式として解き、\(u_2\) を求める。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 分数の計算を丁寧に: ドップラー効果の計算は、分数の四則演算が中心です。特に(4)のような通分や、(5)のような分数のかけ算では、計算過程を省略せず、一つ一つ着実に進めましょう。
- 文字の区別: \(u_0, u_1, u_2\) や \(f_0, f_1, \dots, f_6\) など、多くの記号が登場します。どの記号がどの状況に対応するのかを、計算の都度確認しましょう。
- 式の整理: (6)のように、複数の式を連立して解く場合、まず一方の式を \(f_0 = \dots\) の形に整理してから代入するなど、見通しの良い手順を踏むことが重要です。
- 最終チェック: 計算結果が出たら、それが物理的に妥当か（近づくなら \(f>f_0\)、遠ざかるなら \(f<f_0\) になっているか）を最後に確認する癖をつけましょう。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (2) \(f_1 = \frac{V}{V-u_0}f_0\): 分母が \(V\) より小さいので \(f_1 > f_0\)。音源が近づくので音が高くなる。妥当。
- (3) \(f_2 = \frac{V}{V+u_0}f_0\): 分母が \(V\) より大きいので \(f_2 < f_0\)。音源が壁から遠ざかるので音が低くなる。妥当。
- (5) \(f_4 = \frac{V-u_1}{V+u_1}f_0\): 分子が分母より小さいので \(f_4 < f_0\)。壁が遠ざかることで二重にドップラー効果がかかり、音が低くなる。妥当。
- (6) \(u_2 = \dots\): もし \(\theta=0\) なら、\(f_6\) は \(f_5\) と同じ意味になるはず。式に \(\cos\theta=1\) を代入すると分母が \(f_5-f_6\) となり、分子と一致して \(u_2=V\) となってしまう。これはモデルの適用限界を示唆するが、\(f_5 \ne f_6\) である限り、式は意味を持ちます。
- 極端な場合や既知の状況との比較:
- もし音源の速さ \(u_0\) がゼロなら、(2)の式は \(f_1 = f_0\)、(3)の式は \(f_2 = f_0\) となり、ドップラー効果が起きないという既知の状況と一致します。
- (4)で \(u_0=0\) なら \(f_3=0\) となり、うなりが聞こえないことも確認できます。
- このように、変数をゼロにするなどの極端な条件を代入して、自明な結果と一致するかを確認することは、計算ミスを発見する強力な手段です。
問題87 (関西大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、音源が観測者に対してまっすぐではなく、斜めに運動する場合の「斜め方向のドップラー効果」を扱っています。ドップラー効果の公式を暗記して適用するのではなく、波の個数の保存や音の伝播時間といった基本原理から、観測される振動数を導出するプロセスが問われています。
この問題の核心は、物理現象を時間の関係として捉え、幾何学的な考察と組み合わせることで、複雑に見える現象を解き明かす点にあります。
- 音源S: 振動数\(f_0\)、速さ\(v\)で直線上を運動
- 観測者O: 静止
- 音速: \(V\) (ただし \(V>v\))
- 環境: 無風、反射なし
- 時刻と位置:
- \(t=0\): 音源Sが点Pを通過 (\(\angle OPQ = \theta\))。この音は時刻\(t_1\)にOに届く。
- \(t=\Delta t_0\): 音源Sが点P’を通過。この音は時刻\(t_1+\Delta t_1\)にOに届く。
- (ア)～(オ): 観測される振動数\(f_1\)を導出するための空欄補充。
- (a), (カ), (キ), (b): 特定の状況における振動数とその大小関係。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「斜め方向のドップラー効果」です。音源が観測者に対してまっすぐではなく、斜めに運動する場合に、観測される振動数がどのように変化するかを、波の伝播時間という基本的な考え方から導出する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の個数の保存: 音源が発した波の数と、観測者が受け取る波の数は等しい。この当たり前の事実が、振動数を求める上での出発点となります。
- 音の伝播時間: 音が距離 \(L\) を進むのにかかる時間は \(L/V\) であるという、速さ・時間・距離の基本的な関係。
- 幾何学的な近似: 観測点から音源までの距離が非常に遠い場合や、音源の移動距離が非常に短い場合、2つの異なる点から観測点へ引いた直線はほぼ平行とみなせる、という近似を用います。
- 斜め方向のドップラー効果: 音源の速度のうち、観測者と音源を結ぶ直線方向（視線方向）の成分のみが振動数の変化に寄与するという考え方。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、音源が発した波の数と観測者が受け取った波の数を等しいとおき、観測される振動数 \(f_1\) を、音を出す時間 \(\Delta t_0\) と聞く時間 \(\Delta t_1\) で表します（問ア）。
- 次に、音源の2つの位置（P, P’）から観測者Oまでの距離を、音の伝播時間を用いて表します（問イ、ウ）。
- 2つの位置間の距離の差（光路差）を、幾何学的な近似を用いて音源の運動で表します（問エ）。
- これらの関係式を組み合わせることで、\(\Delta t_0\) と \(\Delta t_1\) の関係を導き、最終的に振動数 \(f_1\) の式を求めます（問オ）。
- 最後に、音源の位置によって角度 \(\theta\) が変化することから、観測される振動数がどのように変わるかを考察します。
問(ア)
思考の道筋とポイント
音源が発した波の総数と、観測者が受け取った波の総数は等しくなければなりません。この「波の数保存則」を数式で表現します。
この設問における重要なポイント
- 音源が時間 \(\Delta t_0\) の間に発する波の数は \(f_0 \Delta t_0\) 個。
- 観測者が時間 \(\Delta t_1\) の間に聞く波の数は \(f_1 \Delta t_1\) 個。
- これら2つの波の数は等しい。
具体的な解説と立式
振動数 \(f_0\) の音源が、時間 \(\Delta t_0\) の間に発する波の総数は、(1秒あたりの波の数) \(\times\) (時間) で計算できます。
$$ \text{音源が発した波の数} = f_0 \Delta t_0 $$
同様に、振動数 \(f_1\) の音を観測者が時間 \(\Delta t_1\) の間に受け取る波の総数は、
$$ \text{観測者が受け取った波の数} = f_1 \Delta t_1 $$
音源が発した波はすべて観測者に届くので、これらの数は等しくなります。
$$ f_0 \Delta t_0 = f_1 \Delta t_1 $$
この式を \(f_1\) について解くと、
$$ f_1 = \frac{\Delta t_0}{\Delta t_1} f_0 $$
使用した物理公式
- 波の個数の保存
立式そのものが結論となります。
音源が「1, 2, 3, …, 100」と100個の波を出したなら、観測者も必ず100個の波を受け取ります。音源が波を出すのにかかった時間と、観測者がそれを受け取るのにかかった時間はドップラー効果で変わりますが、波の個数自体は変わりません。この関係から、観測される振動数を式で表します。
観測される振動数は \(f_1 = \displaystyle\frac{\Delta t_0}{\Delta t_1} f_0\) と表されます。これはドップラー効果の一般的な表現であり、音を聞く時間 \(\Delta t_1\) が音を出した時間 \(\Delta t_0\) より短ければ音は高く（\(f_1 > f_0\)）、長ければ低く（\(f_1 < f_0\)）聞こえることを示しています。
問(イ), (ウ)
思考の道筋とポイント
音の伝播距離を「音速 \(\times\) 伝播時間」で表します。それぞれの音がいつ発せられ、いつ届いたかを正確に把握することが重要です。
この設問における重要なポイント
- 距離 = 速さ \(\times\) 時間 の関係を適用する。
- 点Pの音: 時刻 \(t=0\) に発射、時刻 \(t=t_1\) に到着。
- 点P’の音: 時刻 \(t=\Delta t_0\) に発射、時刻 \(t=t_1+\Delta t_1\) に到着。
具体的な解説と立式
問(イ) 距離 \(l\):
点Pで時刻 \(t=0\) に出された音が、距離 \(l\) を速さ \(V\) で進み、時刻 \(t=t_1\) に観測者Oに届きます。したがって、伝播にかかった時間は \(t_1 – 0 = t_1\) です。
$$ l = Vt_1 $$
問(ウ) 距離 \(l’\):
点P’で時刻 \(t=\Delta t_0\) に出された音が、距離 \(l’\) を速さ \(V\) で進み、時刻 \(t=t_1+\Delta t_1\) に観測者Oに届きます。したがって、伝播にかかった時間は \((t_1+\Delta t_1) – \Delta t_0\) です。
$$ l’ = V(t_1 + \Delta t_1 – \Delta t_0) $$
使用した物理公式
- 距離 = 速さ \(\times\) 時間
立式そのものが結論となります。
音の進んだ距離は、単純に「音の速さ」と「音が飛んでいた時間」の掛け算で求まります。それぞれの音について、いつ出発していつ到着したかを確認し、飛んでいた時間を計算します。
距離 \(l\) と \(l’\) がそれぞれ \(l=Vt_1\), \(l’=V(t_1+\Delta t_1-\Delta t_0)\) と表されました。これらの式から、2つの音の経路の長さの差 \(l-l’\) は、
$$
\begin{aligned}
l-l’ &= Vt_1 – V(t_1+\Delta t_1-\Delta t_0) \\[2.0ex]
&= V(\Delta t_0 – \Delta t_1)
\end{aligned}
$$
となり、経路差が音を聞く時間と出す時間の差に関係していることがわかります。
問(エ)
思考の道筋とポイント
時間 \(\Delta t_0\) が非常に短い場合、音源の移動距離 PP’ は、観測者までの距離 \(l\) や \(l’\) に比べて非常に小さくなります。このとき、線分 PO と P’O はほぼ平行とみなせます。この幾何学的な近似を用いて、経路差 \(l-l’\) を音源の運動で表します。
この設問における重要なポイント
- 近似: \(\Delta t_0\) が微小なため、PO // P’O とみなせる。
- 経路差 \(l-l’\) は、音源の移動距離 PP’ の、視線方向（PO方向）への射影に等しい。
具体的な解説と立式
音源Sは速さ \(v\) で時間 \(\Delta t_0\) の間にPからP’まで移動するので、その距離は \(PP’ = v \Delta t_0\) です。
PO と P’O がほぼ平行であるとみなすと、2つの経路の差 \(l-l’\) は、図のようにP’からPOに垂線を下ろしたときの、Pとその垂線の足との間の距離に相当します。
この距離は、直角三角形の辺の関係から \(PP’ \cos\theta\) となります。したがって、
$$
\begin{aligned}
l-l’ &= PP’ \cos\theta \\[2.0ex]
&= v \Delta t_0 \cos\theta
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 幾何学的な近似（平行光線近似）
- 三角関数
立式そのものが結論となります。
音源が少しだけ動いたとき、観測者までの距離がどれだけ変化したかを考えます。音源が観測者から見て斜め方向に動いているので、距離の変化は移動距離そのものではなく、観測者に向かう方向の成分だけになります。この成分は、移動距離に \(\cos\theta\) を掛けることで求められます。
経路差が \(l-l’ = v \Delta t_0 \cos\theta\) と表されました。これは、音源の速度の視線方向成分 \(v \cos\theta\) が、観測者との距離を変化させる要因であることを示しており、ドップラー効果の本質につながる重要な関係式です。
問(オ)
思考の道筋とポイント
これまでに導出した3つの関係式を組み合わせ、最終的に振動数 \(f_1\) を求めます。具体的には、2つの方法で表した経路差 \(l-l’\) を等しいとおき、\(\Delta t_0 / \Delta t_1\) の比を求めて、問(ア)の式に代入します。
この設問における重要なポイント
- 問(イ)(ウ)から導かれる \(l-l’ = V(\Delta t_0 – \Delta t_1)\)
- 問(エ)で導いた \(l-l’ = v \Delta t_0 \cos\theta\)
- これらを等しいとおき、問(ア)の \(f_1 = \frac{\Delta t_0}{\Delta t_1} f_0\) につなげる。
具体的な解説と立式
問(イ)、(ウ)の結果から、
$$
\begin{aligned}
l-l’ &= Vt_1 – V(t_1+\Delta t_1-\Delta t_0) \\[2.0ex]
&= V(\Delta t_0 – \Delta t_1) \quad \cdots ②’
\end{aligned}
$$
問(エ)の結果から、
$$ l-l’ = v \Delta t_0 \cos\theta \quad \cdots ③ $$
②’と③はどちらも同じ経路差を表しているので、
$$ V(\Delta t_0 – \Delta t_1) = v \Delta t_0 \cos\theta $$
この式を、問(ア)で使う比 \(\Delta t_0 / \Delta t_1\) を求めるために変形します。
$$
\begin{aligned}
V \Delta t_0 – V \Delta t_1 &= v \Delta t_0 \cos\theta \\[2.0ex]
V \Delta t_1 &= V \Delta t_0 – v \Delta t_0 \cos\theta \\[2.0ex]
&= (V – v \cos\theta) \Delta t_0
\end{aligned}
$$
よって、
$$ \frac{\Delta t_0}{\Delta t_1} = \frac{V}{V – v \cos\theta} $$
この結果を、問(ア)の式 \(f_1 = \displaystyle\frac{\Delta t_0}{\Delta t_1} f_0\) に代入すると、
$$ f_1 = \frac{V}{V – v \cos\theta} f_0 $$
使用した物理公式
- これまでに導出した関係式の連立
上記の立式過程がそのまま計算過程となります。
音の伝わる時間の差から求めた「距離の差」と、音源の動きから幾何学的に求めた「距離の差」は、もちろん同じはずです。この2つをイコールで結ぶことで、音を出した時間と聞いた時間の比率がわかります。この比率を使えば、問(ア)で立てた式から、観測される振動数を具体的に計算できます。
観測される振動数は \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta} f_0\) となります。これは斜め方向のドップラー効果の公式として知られています。音源の速度 \(v\) のうち、視線方向成分 \(v \cos\theta\) のみが振動数変化に寄与していることが明確に示されています。
問(a), (カ), (キ), (b)
思考の道筋とポイント
問(オ)で導出した一般式 \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta} f_0\) を使って、音源が特定の位置にあるときの振動数を考えます。角度 \(\theta\) がどのように変化するかが鍵となります。
この設問における重要なポイント
- 音源がQに向かうとき: \(\theta\) は \(90^\circ\) から \(0^\circ\) へと減少する。\(v \cos\theta > 0\)。
- 音源がQを通過する瞬間: 観測者が聞く音は、Qより手前の点P”から発せられた音。このとき \(\cos\theta’ = v/V\)。
- 音源がQを通過した瞬間に発した音: この音を聞くとき、音源の速度は視線方向と垂直。 \(\theta=90^\circ\)。
- 音源がQから遠ざかるとき: \(\theta\) は \(90^\circ\) から \(180^\circ\) へと増加する。\(v \cos\theta < 0\)。
具体的な解説と立式
問(a):
音源Sが点Qに向かって進んでいるとき、\(0 < \theta < 90^\circ\) なので \(\cos\theta > 0\) です。
このとき、分母は \(V – v \cos\theta < V\) となります。 したがって、\(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta} f_0 > f_0\) となります。
よって、振動数は \(f_0\) より大きいので高い音に聞こえます。
問(カ):
観測者Oが「音源がQを通過した」と認識する瞬間に聞いている音は、それより以前に、ある点P”から発せられた音です。
音源がP”からQまで進むのにかかった時間を \(t_2\) とすると、\(P”Q = vt_2\)。
このP”から出た音が観測者Oに届くのにかかった時間も \(t_2\) なので、\(P”O = Vt_2\)。
直角三角形OP”Qにおいて、その時の角度を \(\theta’\) とすると、
$$
\begin{aligned}
\cos\theta’ &= \frac{P”Q}{P”O} \\[2.0ex]
&= \frac{vt_2}{Vt_2} \\[2.0ex]
&= \frac{v}{V}
\end{aligned}
$$
この \(\cos\theta’ = v/V\) を一般式に代入すると、その瞬間に聞こえる振動数 \(f_2\) は、
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{V – v \cos\theta’} f_0 \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V – v(v/V)} f_0 \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V – v^2/V} f_0 \\[2.0ex]
&= \frac{V^2}{V^2 – v^2} f_0
\end{aligned}
$$
問(キ):
音源Sが点Qを通過した瞬間に発した音を、観測者Oが聞くときの振動数を考えます。
このとき、音源の速度の向き（直線PQの向き）と、視線方向（QOの向き）は垂直です。つまり、\(\theta = 90^\circ\)。
この \(\cos 90^\circ = 0\) を一般式に代入すると、その音の振動数 \(f_3\) は、
$$
\begin{aligned}
f_3 &= \frac{V}{V – v \cos 90^\circ} f_0 \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V – 0} f_0 \\[2.0ex]
&= f_0
\end{aligned}
$$
よって、振動数は \(f_0\) の音として聞こえます。
問(b):
音源Sが点Qから遠ざかっているとき、\(90^\circ < \theta < 180^\circ\) なので \(\cos\theta < 0\) です。 このとき、分母は \(V – v \cos\theta > V\) となります。
したがって、\(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta} f_0 < f_0\) となります。
よって、振動数は \(f_0\) より小さいので低い音に聞こえます。
- (a) 大きいので高い音に
- (カ) \(\displaystyle\frac{V^2}{V^2-v^2}f_0\)
- (キ) \(f_0\)
- (b) 小さいので低い音に
救急車が通り過ぎる時、最も近く（Q点）に来た瞬間に音が急に低くなるように感じますが、物理的には、Q点を通過した瞬間に発した音は元の高さ(\(f_0\))で聞こえ、それ以降に音が低くなっていくことがわかります。これは日常の感覚と少し異なりますが、音の伝播時間を考慮した正しい結果です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 波の個数の保存:
- 核心: どんなに複雑な運動をしても、音源が発した波の数と観測者が受け取る波の数は必ず等しくなります。この自明とも思える法則 `(音源が出した数) = (観測者が受け取った数)` すなわち \(f_0 \Delta t_0 = f_1 \Delta t_1\) が、ドップラー効果を基本原理から導出する際の出発点となります。
- 理解のポイント: この法則は、振動数 \(f\) と時間 \(\Delta t\) の関係を直接結びつけます。観測される振動数 \(f_1\) を求めることは、音を出す時間 \(\Delta t_0\) と聞く時間 \(\Delta t_1\) の比を求めることに帰着します。
- 音の伝播時間と経路長の関係:
- 核心: 音が距離 \(l\) を進むのにかかる時間は \(t = l/V\) です。この関係を用いて、音源の異なる2点から観測者までの経路長 \(l, l’\) を、音の発射時刻と到着時刻で表現することができます。
- 理解のポイント: この問題では、経路長の差 \(l-l’\) を2つの異なる方法で表現し、それらを等しいとおくことで、時間比 \(\Delta t_0 / \Delta t_1\) を求めます。これは、問題を解く上での中心的な計算戦略です。
- 斜め方向のドップラー効果（視線速度の原理）:
- 核心: 音源の速度ベクトルのうち、振動数の変化に寄与するのは、音源と観測者を結ぶ直線方向（視線方向）の成分だけです。この成分を「視線速度」と呼びます。
- 理解のポイント: 最終的に導かれる公式 \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta} f_0\) は、この原理を数式で表したものです。分母の \(v \cos\theta\) がまさに視線速度であり、音源が観測者に近づく成分（\(v \cos\theta > 0\)）があれば音は高くなり、遠ざかる成分（\(v \cos\theta < 0\)）があれば低くなることを示しています。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 円運動する音源: 音源が観測者の周りを円運動する問題。この場合、角度 \(\theta\) が時間と共に周期的に変化するため、観測される振動数も周期的に変化します。
- 光のドップラー効果: 基本的な考え方は同じですが、光速が非常に大きいため、近似式や相対論的な効果を考慮する場合があります。恒星のスペクトルが赤方偏移（遠ざかっている）や青方偏移（近づいている）する現象の解析に応用されます。
- 通過する救急車の音の変化: この問題の(a)(カ)(キ)(b)は、まさに救急車が目の前を通り過ぎるときの音の変化を詳細に分析したものです。どの瞬間にどの音が聞こえるかを問う問題は頻出です。
- 初見の問題での着眼点:
- 時間の対応関係を整理: 「いつ、どこで発した音」が「いつ、どこで観測されるか」という対応関係を、時刻と位置のペアで整理することが第一歩です。
- 経路差を2通りで表現: 多くの誘導問題では、この問題のように「音の伝播時間から見た経路差」と「音源の運動から見た幾何学的な経路差」を求めさせ、それらを等しいとおくことで解法が進みます。この流れを意識しましょう。
- 視線速度を意識する: 最終的にドップラー効果の公式を使う場面では、常に「音源と観測者を結ぶ直線」を考え、その方向の速度成分 \(v \cos\theta\) がいくつか、を計算することが鍵となります。
- 「発した時刻」と「聞こえる時刻」のズレ: (カ)や(キ)のように、音源がある位置を通過した「瞬間」と、その瞬間に発した音が観測者に「聞こえる」瞬間は異なります。この時間のズレを考慮することが、正確な分析には不可欠です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 幾何学的な近似の誤解:
- 誤解: なぜ PO と P’O が平行とみなせるのかが分からず、近似を使えない。
- 対策: これは、天文学で遠方の恒星からの光を平行光線とみなすのと同じ近似です。観測者までの距離 \(l\) が、音源の移動距離 \(v \Delta t_0\) に比べて圧倒的に大きいという状況をイメージしましょう。この近似により、複雑な幾何学が単純な三角比の問題に帰着します。
- 最接近点での音の変化の誤解:
- 誤解: 音源が観測者に最も近づいた点Qで、最も高い音が聞こえる、または急に音が低くなる、と考えてしまう。
- 対策: 「聞こえる音」は「過去に発せられた音」であることを常に意識しましょう。点Qを通過する瞬間に聞こえる音は、それより手前の点P”で発せられた音です。物理的な現象と、人間がそれを観測するタイミングには時間差があることを理解することが重要です。
- 角度 \(\theta\) の定義の混同:
- 誤解: 角度 \(\theta\) が常に一定だと考えてしまう。または、どの角度を \(\theta\) とすべきか混乱する。
- 対策: \(\theta\) は、音源の位置ベクトルと速度ベクトルがなす角ではなく、「音源から観測者へ向かう方向」と「音源の速度の向き」がなす角です。音源が移動するにつれて、この角度は刻一刻と変化することを理解しましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 同心円の波面: 静止した音源からは同心円状に波が広がります。音源が動くと、この円の中心が進行方向にずれていくため、進行方向では波面が密になり、後方では疎になる様子を図示すると、ドップラー効果が視覚的に理解できます。
- 時間のタイムライン: 音源側と観測者側で、それぞれ時間の流れを示すタイムラインを描き、「\(t=0\)にPで発射」「\(t=\Delta t_0\)にP’で発射」といったイベントと、「\(t=t_1\)にPの音が到着」「\(t=t_1+\Delta t_1\)にP’の音が到着」といったイベントを書き込むと、時間の対応関係が明確になります。
- 経路差の拡大図: (エ)の近似を理解するために、P, P’, Oを含む三角形を大きく描き、P’からPOへ垂線を下ろす図を丁寧に描くことが有効です。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 角度\(\theta\)の明記: 図の中に、どの角度が\(\theta\)なのかを明確に書き込みましょう。特に、音源の位置が変わると\(\theta\)も変わることを意識することが大切です。
- ベクトルの分解: 視線速度を考える際には、速度ベクトル\(\vec{v}\)を図示し、それを視線方向とそれに垂直な方向に分解する図を描くと、\(v \cos\theta\)の意味が分かりやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(f_0 \Delta t_0 = f_1 \Delta t_1\) (波の数保存):
- 選定理由: この問題は、ドップラー効果の公式を暗記して使うのではなく、その公式を基本原理から導出するプロセスを問うています。その最も根源的な原理が「波の数は保存される」という考え方だからです。
- 適用根拠: 波が途中で生成されたり消滅したりしない限り、この法則は常に成り立ちます。
- \(l = Vt\) (距離・速さ・時間):
- 選定理由: 音が空間を伝播する様子を記述するための最も基本的な法則だからです。音の経路長と伝播時間を結びつけるために使用します。
- 適用根拠: 音速\(V\)が一定であるという問題の条件下で、この関係は常に成り立ちます。
- \(l-l’ \approx v \Delta t_0 \cos\theta\) (幾何学的近似):
- 選定理由: 「音の伝播」という物理的な側面から導いた経路差と、「音源の運動」という幾何学的な側面から導いた経路差を結びつけるためです。この式が、物理現象と幾何学をつなぐ架け橋となります。
- 適用根拠: \(\Delta t_0\)が微小時間であり、音源の移動距離が観測者までの距離に比べて無視できるほど小さい、という近似に基づいています。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (ア) 振動数の定義:
- 戦略: 波の数保存則から、観測される振動数\(f_1\)を時間比で表す。
- フロー: \(f_0 \Delta t_0 = f_1 \Delta t_1 \rightarrow f_1 = \frac{\Delta t_0}{\Delta t_1} f_0\)。
- (イ, ウ) 経路長の物理的表現:
- 戦略: 音の伝播時間を使って、経路長\(l, l’\)を数式で表す。
- フロー: \(l = V \times (\text{伝播時間1})\), \(l’ = V \times (\text{伝播時間2})\)。
- (エ) 経路長の幾何学的表現:
- 戦略: 微小時間における音源の移動を考え、幾何学的近似で経路差\(l-l’\)を表す。
- フロー: \(l-l’ \approx (\text{移動距離}) \times \cos\theta = v \Delta t_0 \cos\theta\)。
- (オ) 振動数の導出:
- 戦略: 2つの方法で表した経路差を等しいとおき、時間比\(\Delta t_0 / \Delta t_1\)を求め、(ア)の式に代入する。
- フロー: \(V(\Delta t_0 – \Delta t_1) = v \Delta t_0 \cos\theta \rightarrow \frac{\Delta t_0}{\Delta t_1}\)を計算 \(\rightarrow f_1\)を求める。
- (a, カ, キ, b) 具体的な状況への適用:
- 戦略: (オ)で求めた一般式に、各状況における\(\theta\)の値を代入して振動数を計算する。
- フロー: 各状況で\(\cos\theta\)の値を特定 \(\rightarrow\) 一般式に代入 \(\rightarrow\) \(f_0\)との大小関係を比較。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字の定義を明確に: \(t_1, \Delta t_0, \Delta t_1\)など、似たような時間の記号が出てきます。それぞれが「どの時刻」または「どの時間間隔」を指すのか、常に定義に立ち返って確認しましょう。
- 近似の適用条件を確認: (エ)のような近似計算は、\(\Delta t_0\)が微小であるという条件の下で成り立ちます。なぜその近似が使えるのかを理解しておくことが、誤用を防ぐ上で重要です。
- 符号の確認: (b)のように音源が遠ざかる場合、\(\cos\theta\)が負になるため、\(V – v \cos\theta\)の計算で符号ミスが起きやすくなります。\(V + v|\cos\theta|\)の形になることを意識しましょう。
- 結果の吟味: (オ)で求めた式が、近づくとき(\(\cos\theta > 0\))に\(f_1 > f_0\)、遠ざかるとき(\(\cos\theta < 0\))に\(f_1 < f_0\)となるかを確認する習慣は、式の妥当性を検証する上で非常に有効です。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (オ)の一般式: この式は、音源がまっすぐ近づく場合(\(\theta=0\))には\(f_1 = \frac{V}{V-v}f_0\)、まっすぐ遠ざかる場合(\(\theta=180^\circ\))には\(f_1 = \frac{V}{V+v}f_0\)となり、よく知られたドップラー効果の公式と一致します。このことから、式の形が妥当であることがわかります。
- (キ) \(f_3 = f_0\): 音源が観測者に対して横切るように動く瞬間(\(\theta=90^\circ\))、視線速度はゼロなので、ドップラー効果は生じません。したがって、元の振動数\(f_0\)が観測されるという結果は物理的に正しいです。
- (カ) \(f_2 > f_0\): Q点を通過する瞬間に聞こえる音は、それより手前（観測者に近づいている途中）で発せられた音なので、元の音より高く聞こえるはずです。計算結果も\(f_2 = \frac{V^2}{V^2-v^2}f_0 > f_0\)となっており、妥当です。
- 極端な場合や既知の状況との比較:
- もし音源の速さ\(v\)がゼロなら、(オ)の式は\(f_1 = \frac{V}{V}f_0 = f_0\)となり、ドップラー効果が起きないという自明な結果と一致します。
- このように、導出した一般式に簡単な条件を代入して、既知の結果と一致するかを確認することは、式の正しさを検証する強力な手段です。
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