「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第27章】応用問題

473 R, L, C直列の交流回路

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、抵抗、コイル、コンデンサーを直列に接続した基本的な交流回路（RLC直列回路）における、電流と電圧の関係を問う問題です。各素子の電圧の位相が電流に対してどのように変化するかを理解し、それらを正しく合成する能力が試されます。また、特定の周波数で電流が最大になる「共振」という重要な現象についても扱います。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「RLC直列回路における交流電圧と電流の関係」です。

問(1)

思考の道筋とポイント
交流電流の実効値を求める問題です。実効値の定義は、その交流が直流と同じ仕事率（消費電力）を生じさせるときの直流電流の値です。正弦波交流の場合、実効値と最大値の間には決まった関係があります。
この設問における重要なポイント

• 実効値と最大値の関係: 正弦波交流において、実効値は最大値の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) 倍です。
• 電流の最大値の特定: 問題文で与えられた電流の瞬時値の式 \(I = I_0 \sin(\omega t)\) から、電流の最大値（振幅）が \(I_0\) であることを読み取ります。

具体的な解説と立式
問題文より、回路を流れる電流の瞬時値は \(I = I_0 \sin(\omega t)\) と与えられています。
この式の形から、電流の最大値は \(I_0\) であることがわかります。
正弦波交流における実効値 \(I_e\) と最大値 \(I_0\) の関係は、
$$ I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \quad \cdots ① $$
で与えられます。

立式した①式がそのまま答えとなります。特に計算は必要ありません。

交流の電流や電圧は常に変動しているので、「平均的な強さ」を表すために「実効値」というものを使います。家庭用のコンセントが「100V」というのは、この実効値のことです。サインカーブを描くようなきれいな交流の場合、この実効値は一番大きい値（最大値）を \(\sqrt{2}\) (およそ1.414) で割った値になる、というルールがあります。この問題では電流の最大値が \(I_0\) なので、実効値はそれを \(\sqrt{2}\) で割ったものになります。

電流の実効値は \(I_e = \displaystyle\frac{I_0}{\sqrt{2}}\) です。
これは実効値の定義そのものであり、問題なく妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
抵抗、コイル、コンデンサーそれぞれにかかる電圧の瞬時値を求める問題です。各素子における電圧と電流の位相関係を正しく理解し、オームの法則を拡張した関係式を適用することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 抵抗の電圧 \(V_R\): 電流 \(I\) と同位相です。最大値は \(R I_0\) です。
• コイルの電圧 \(V_L\): 電流 \(I\) より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進みます。最大値はリアクタンス \(\omega L\) を用いて \(\omega L I_0\) です。
• コンデンサーの電圧 \(V_C\): 電流 \(I\) より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れます。最大値はリアクタンス \(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\) を用いて \(\displaystyle\frac{1}{\omega C} I_0\) です。

具体的な解説と立式
電流の瞬時値は \(I = I_0 \sin(\omega t)\) です。
各素子の電圧の最大値をそれぞれ \(V_{R0}, V_{L0}, V_{C0}\) とします。

1. 抵抗の電圧 \(V_R\)
電圧と電流は同位相なので、\(V_R\) の位相は \(\omega t\) となります。電圧の最大値は \(V_{R0} = R I_0\) です。よって、瞬時値 \(V_R\) は、
$$ V_R = R I_0 \sin(\omega t) \quad \cdots ① $$
2. コイルの電圧 \(V_L\)
電圧は電流より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進むので、\(V_L\) の位相は \(\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2}\) となります。電圧の最大値は \(V_{L0} = (\omega L) I_0\) です。よって、瞬時値 \(V_L\) は、
$$ V_L = \omega L I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \quad \cdots ② $$
三角関数の性質 \(\sin(x + \displaystyle\frac{\pi}{2}) = \cos x\) を用いると、次のように表すこともできます。
$$ V_L = \omega L I_0 \cos(\omega t) $$
3. コンデンサーの電圧 \(V_C\)
電圧は電流より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れるので、\(V_C\) の位相は \(\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2}\) となります。電圧の最大値は \(V_{C0} = \left(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right) I_0\) です。よって、瞬時値 \(V_C\) は、
$$ V_C = \frac{1}{\omega C} I_0 \sin\left(\omega t – \frac{\pi}{2}\right) \quad \cdots ③ $$
三角関数の性質 \(\sin(x – \displaystyle\frac{\pi}{2}) = -\cos x\) を用いると、次のように表すこともできます。
$$ V_C = -\frac{1}{\omega C} I_0 \cos(\omega t) $$

立式した①、②、③式がそのまま答えとなります。特に計算は必要ありません。

交流回路では、抵抗・コイル・コンデンサーはそれぞれ個性的な振る舞いをします。

• 抵抗は「真面目」で、電流の波と電圧の波がピッタリ同じタイミングで動きます。
• コイルは「せっかち」で、電圧の波が電流の波より少し（4分の1周期）早くやってきます。
• コンデンサーは「のんびり屋」で、電圧の波が電流の波より少し（4分の1周期）遅れてやってきます。

この問題では、それぞれの「個性」と、電圧の大きさ（最大値）を計算して、数式で表現します。

各電圧の瞬時値は以下の通りです。
\(V_R = R I_0 \sin(\omega t)\)
\(V_L = \omega L I_0 \sin\left(\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) (または \(\omega L I_0 \cos(\omega t)\))
\(V_C = \displaystyle\frac{1}{\omega C} I_0 \sin\left(\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) (または \(-\displaystyle\frac{1}{\omega C} I_0 \cos(\omega t)\))
各素子の電圧と電流の位相関係の定義に忠実に従っており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電源電圧 \(V\) の最大値 \(V_0\) と実効値 \(V_e\) を求める問題です。直列回路なので、電源電圧 \(V\) は各素子の電圧 \(V_R, V_L, V_C\) の和になります。ただし、これらは位相が異なるため、単純な足し算ではなく、三角関数の合成として計算する必要があります。
この設問における重要なポイント

• キルヒホッフの第2法則: \(V = V_R + V_L + V_C\)。これは瞬時値の関係式です。
• 三角関数の合成: (2)で求めた \(V_R, V_L, V_C\) を代入すると、\(\sin(\omega t)\) と \(\cos(\omega t)\) の項が現れます。問題文で与えられた合成公式を用いて、一つの \(\sin\) の形にまとめます。
• 最大値と実効値の関係: (1)と同様に、\(V_e = \displaystyle\frac{V_0}{\sqrt{2}}\) の関係を使います。

具体的な解説と立式
キルヒホッフの第2法則より、電源電圧の瞬時値 \(V\) は、各素子の電圧の和で表されます。
$$ V = V_R + V_L + V_C $$
(2)の結果を代入し、計算しやすいように \(\cos\) で表した形を用います。
$$
\begin{aligned}
V &= R I_0 \sin(\omega t) + \omega L I_0 \cos(\omega t) – \frac{1}{\omega C} I_0 \cos(\omega t) \\[2.0ex] &= R I_0 \sin(\omega t) + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right) I_0 \cos(\omega t) \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
ここで、問題文で与えられた合成公式 \(A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(x+\alpha)\) を用います。
この式で \(A = R I_0\), \(B = \left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right) I_0\), \(x = \omega t\) と対応させると、
$$ V = \sqrt{(R I_0)^2 + \left\{\left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right) I_0\right\}^2} \sin(\omega t + \alpha) $$
\(I_0\) をルートの外に出すと、
$$ V = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2} I_0 \sin(\omega t + \alpha) \quad \cdots ② $$
この式の形から、電源電圧の最大値 \(V_0\) は \(\sin\) の係数部分であることがわかります。
$$ V_0 = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2} I_0 \quad \cdots ③ $$
次に、実効値 \(V_e\) を求めます。実効値は最大値の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) 倍なので、
$$ V_e = \frac{V_0}{\sqrt{2}} $$
これに③式を代入すると、
$$ V_e = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2} I_0 \quad \cdots ④ $$

上記「具体的な解説と立式」で計算は完了しています。
最大値 \(V_0\) は③式、実効値 \(V_e\) は④式となります。

電源が生み出す全体の電圧は、抵抗・コイル・コンデンサーにかかる３つの電圧を足し合わせたものです。しかし、(2)で見たように、これら３つの電圧は波のタイミングがずれています。タイミングのずれた波の足し算は、三角関数の「合成公式」という数学の道具を使って行います。この計算の結果、全体の電圧も一つのきれいなサインカーブの波になることがわかり、その波の高さ（最大値）が計算できます。実効値は、その最大値を \(\sqrt{2}\) で割れば求まります。

電源電圧の最大値は \(V_0 = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2} I_0\)、実効値は \(V_e = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2} I_0\) です。
この結果は、回路全体の交流に対する「抵抗のようなもの」（インピーダンス）が \(Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2}\) であることを示しており、\(V_0 = Z I_0\) というオームの法則に似た関係が成り立っていることを意味します。物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
電流が最大になる条件を考える問題です。電流の最大値 \(I_0\) は、(3)で求めた \(V_0\) の式を \(I_0\) について解くことで得られます。その式から、\(I_0\) が最大になるのは、分母に来るインピーダンスが最小になるときであることがわかります。
この設問における重要なポイント

• 電流の最大値 \(I_0\): (3)の③式 \(V_0 = Z I_0\) の関係から、\(I_0 = \displaystyle\frac{V_0}{Z}\) となります。
• 電流が最大になる条件: 電源電圧の最大値 \(V_0\) が一定のとき、\(I_0\) が最大になるのは、分母のインピーダンス \(Z\) が最小になるときです。
• インピーダンスの最小値: \(R\) は定数なので、インピーダンス \(Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2}\) が最小になるのは \(\left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2\) の項が \(0\) になるとき、すなわち \(\omega L = \displaystyle\frac{1}{\omega C}\) のときです。
• 角周波数と周波数の関係: \(\omega = 2\pi f\) の関係を用いて、角周波数 \(\omega_0\) から周波数 \(f_0\) を求めます。

具体的な解説と立式
(3)で求めた電源電圧の最大値 \(V_0\) と電流の最大値 \(I_0\) の関係式③から、\(I_0\) は次のように表せます。
$$ I_0 = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L – \frac{1}{\omega C}\right)^2}} \quad \cdots ① $$
電源の \(V_0\) が一定の条件で周波数（すなわち角周波数 \(\omega\)）を変化させるとき、\(I_0\) が最大になるのは、分母が最小になるときです。
分母の根号の中の \(R^2\) は正の定数なので、分母が最小になるのは \(\left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2\) が最小値である \(0\) をとるときです。
したがって、電流が最大になる条件は、
$$ \omega L – \frac{1}{\omega C} = 0 $$
これを変形すると、
$$ \omega L = \frac{1}{\omega C} \quad \cdots ② $$
このときの角周波数を \(\omega_0\) とすると、
$$ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} $$
$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \cdots ③ $$
この現象を電気共振または単に共振といいます。

求めたいのは周波数 \(f_0\) なので、\(\omega_0 = 2\pi f_0\) の関係を使って変換します。
$$ 2\pi f_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \quad \cdots ④ $$

上記「具体的な解説と立式」で計算は完了しています。
現象名は「共振」、周波数は④式となります。

この回路には、コイルとコンデンサーという、互いに反対の性質を持つ素子が入っています。コイルは周波数が高いほど電流を妨げ、コンデンサーは周波数が低いほど電流を妨げます。ちょうど良い特定の周波数になると、コイルの妨害効果とコンデンサーの妨害効果が打ち消し合い、回路全体の妨害（インピーダンス）が最小になります。このとき、回路には抵抗だけの妨害しかなくなり、非常に大きな電流が流れることができます。この現象が「共振」で、ラジオのチューニングなどに使われている原理です。

現象名は共振（または電気共振）、そのときの周波数は \(f_0 = \displaystyle\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) です。
共振時、コイルのリアクタンスとコンデンサーのリアクタンスが等しくなり、互いの電圧が打ち消し合うため、回路は純粋な抵抗回路のように振る舞います。このとき電流は最大値 \(I_{0, \text{最大}} = \displaystyle\frac{V_0}{R}\) となり、物理的に妥当です。この周波数は共振周波数として知られており、正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 交流回路における各素子の電圧と電流の位相関係:
  • 核心: RLC直列回路の挙動を理解する上で最も重要なのは、電流を基準としたときの各素子の電圧の位相です。抵抗は同位相（ズレなし）、コイルは \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進み、コンデンサーは \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる。この三者の位相関係が、回路全体の電圧と電流の位相差、そしてインピーダンスの大きさを決定します。
  • 理解のポイント: なぜ位相がズレるのかをイメージで掴むことが重要です。コイルは電流の変化を妨げる（自己誘導）ため、電流を流そうとする電圧が先にピークを迎えます。コンデンサーは電荷を溜めてから電圧が発生するため、電流が流れて電荷が溜まった後に電圧がピークを迎えます。
• キルヒホッフの法則とベクトルの合成:
  • 核心: 直列回路では、各瞬間の電圧の和が電源電圧に等しい（\(V = V_R + V_L + V_C\)）というキルヒホッフの法則が成り立ちます。しかし、各電圧は位相が異なるため、単純なスカラー量として足し算はできません。最大値や実効値を扱う際は、位相を考慮したベクトルの和として計算する必要があります。
  • 理解のポイント: \(V_L\) と \(V_C\) は常に逆向きのベクトルとなるため、互いに打ち消し合います。回路全体の性質は、この打ち消し合いの結果、コイルとコンデンサーのどちらの性質が強く残るかによって決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC並列回路: 各素子にかかる電圧が共通になるため、今度は電圧を基準ベクトルとして、各素子を流れる電流のベクトルを合成します。コイルの電流は電圧より遅れ、コンデンサーの電流は進むという逆の関係になる点に注意が必要です。
  • フィルタ回路: RLC回路は、特定の周波数の信号を選択的に通したり（バンドパスフィルタ）、遮断したり（バンドストップフィルタ）するのに使われます。共振周波数 \(f_0\) 付近の信号だけを強く通す性質は、ラジオの同調回路そのものです。
  • 電力の計算: 回路の消費電力を問う問題。交流回路では、実際に電力を消費するのは抵抗のみです。消費電力 \(P\) は \(P = V_e I_e \cos\theta = R I_e^2\) で計算されます。ここで \(\cos\theta\) は力率と呼ばれ、電圧と電流の位相差 \(\theta\) で決まります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の接続方法を確認する: 直列か並列かで、共通な物理量（直列なら電流、並列なら電圧）が異なります。これが解析の基準点になります。
  2. 基準となる量を設定する: 直列回路なら電流 \(I = I_0 \sin(\omega t)\) を、並列回路なら電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) を基準に置くと、他の量の位相関係を考えやすくなります。
  3. リアクタンスを計算する: まず角周波数 \(\omega\) を用いて、コイルのリアクタンス \(\omega L\) とコンデンサーのリアクタンス \(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\) の値を把握します。この大小関係で回路の性質（誘導性か容量性か）が決まります。
  4. ベクトル図を描く: 複雑な計算に入る前に、電圧や電流の関係をベクトル図で視覚化することで、立式の見通しが格段に良くなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧の単純な足し算:
  • 誤解: 電源電圧の最大値 \(V_0\) を、各電圧の最大値の和 \(V_{R0} + V_{L0} + V_{C0}\) としてしまう。
  • 対策: 交流回路の和は「位相を考慮した和」であることを徹底する。必ずベクトル図を描くか、三角関数の合成を行う習慣をつけましょう。「\(V_L\) と \(V_C\) は逆向きだから引き算になる」とイメージすることが重要です。
• コイルとコンデンサーの位相の混同:
  • 誤解: コイルで電圧が遅れる、コンデンサーで進む、と逆に覚えてしまう。
  • 対策: 「コイル(L)はCIVILのVILの部分、コンデンサー(C)はCIVILのCIVの部分」と覚える方法があります。C（コンデンサー）ではI（電流）がV（電圧）より進み、L（コイル）ではV（電圧）がI（電流）より進む、という意味です。
• 実効値と最大値の混同:
  • 誤解: 問題で問われているのが実効値なのに最大値で答えたり、その逆をしてしまう。
  • 対策: 問題文を注意深く読み、「瞬時値」「最大値」「実効値」のどの値を問われているのかを明確に区別しましょう。特に指定がなければ、交流電圧・電流の値は実効値を指すことが多いです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ベクトル図の活用: この問題の物理現象を最も直感的に理解する方法がベクトル図です。
    1. 水平右向きに基準となる電流 \(I_0\) を描く。
    2. 同じ向きに抵抗の電圧 \(V_{R0}\) を描く。
    3. 真上向きにコイルの電圧 \(V_{L0}\) を描く。
    4. 真下向きにコンデンサーの電圧 \(V_{C0}\) を描く。

    この図を描くことで、\(V_{L0}\) と \(V_{C0}\) の綱引きと、それに垂直な \(V_{R0}\) との合成によって全体の電圧 \(V_0\) が決まる様子が一目瞭然となります。

  • 共振のイメージ: ブランコをタイミングよく押すイメージと重ね合わせることができます。ブランコの固有振動数（最も揺れやすい周期）と、押す力の周期が一致すると、小さな力でも揺れが非常に大きくなります。これと同様に、回路が持つ固有の周波数（共振周波数）と、電源の周波数が一致すると、回路に非常に大きな電流（エネルギーの振動）が励起されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 各素子の電圧・電流関係式（\(V_R=RI\), etc.）:
  • 選定理由: これらは抵抗、コイル、コンデンサーという各素子の電気的性質を定義する基本法則だからです。交流回路におけるオームの法則の拡張版と位置づけられます。
  • 適用根拠: それぞれ直流におけるオームの法則、ファラデーの電磁誘導の法則、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) から導出される、実験的に確立された関係式です。
• 三角関数の合成公式 / ベクトル合成（三平方の定理）:
  • 選定理由: 位相の異なる複数の正弦波を合成し、一つの正弦波として表現するために必要だからです。電源電圧 \(V\) は \(V_R, V_L, V_C\) の和であり、これらはすべて位相の異なる正弦波（または余弦波）です。
  • 適用根拠: 数学的に同値な変形であり、物理現象の重ね合わせを正しく数式で表現する方法です。ベクトル合成は、この三角関数の合成を幾何学的に表現したもので、物理的には等価なアプローチです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 実効値の計算:
   • 戦略: 定義に従う。
   • フロー: ①電流の瞬時値の式から最大値 \(I_0\) を読み取る → ②公式 \(I_e = I_0 / \sqrt{2}\) に代入。
2. (2) 各電圧の瞬時値の計算:
   • 戦略: 電流を基準に、各素子の位相の進み・遅れを考慮して立式。
   • フロー: ①抵抗は同位相、コイルは \(\pi/2\) 進み、コンデンサーは \(\pi/2\) 遅れ、というルールを確認 → ②各素子の電圧の最大値（\(RI_0, \omega L I_0, I_0/\omega C\)）を計算 → ③最大値と位相を組み合わせて \(\sin\) の形で表現。
3. (3) 電源電圧の計算:
   • 戦略: キルヒホッフの法則に基づき、(2)で求めた3つの電圧を合成する。
   • フロー: ① \(V = V_R + V_L + V_C\) として式を立てる → ② \(\sin\) と \(\cos\) の項に整理する → ③三角関数の合成公式を適用し、\(V = V_0 \sin(\omega t + \alpha)\) の形に変形 → ④係数部分を \(V_0\) と特定 → ⑤ \(V_e = V_0 / \sqrt{2}\) で実効値を計算。
4. (4) 共振条件の計算:
   • 戦略: 電流の最大値 \(I_0\) の式を立て、それが最大になる条件（分母のインピーダンスが最小になる条件）を見つける。
   • フロー: ① \(I_0 = V_0 / Z\) の式を立てる → ②インピーダンス \(Z = \sqrt{R^2 + (\omega L – 1/\omega C)^2}\) が最小になる条件を考える → ③ \(\omega L – 1/\omega C = 0\) がその条件であると特定 → ④この式を \(\omega\) について解き、共振角周波数 \(\omega_0\) を求める → ⑤ \(\omega_0 = 2\pi f_0\) の関係から共振周波数 \(f_0\) を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• リアクタンスの逆数: コンデンサーのリアクタンスは \(\omega C\) ではなく \(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\) です。この逆数を忘れるミスが非常に多いので注意しましょう。
• 単位の確認: 角周波数 \(\omega\) [rad/s] と周波数 \(f\) [Hz] は \(2\pi\) の関係で結ばれています。問題でどちらが問われているかを正確に把握し、最後の変換を忘れないようにしましょう。
• 二乗の展開を丁寧に: \(\left(\omega L – \displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)^2\) のような項は、そのままの形で扱うのが基本です。無理に展開すると計算が複雑になり、ミスを誘発します。
• ベクトル図の活用: 計算に行き詰まったら、一度ベクトル図を描いてみましょう。図から立式することで、複雑な式の意味が明確になり、符号ミスなどを防ぐことができます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 電源電圧: \(V_0\) の式を見ると、\(\omega L > 1/\omega C\) のとき（高周波）、回路はコイルの性質が強くなり（誘導性）、電圧は電流より進みます。逆に \(\omega L < 1/\omega C\) のとき（低周波）、コンデンサーの性質が強くなり（容量性）、電圧は電流より遅れます。これは物理的な振る舞いと一致します。
  • (4) 共振周波数: 共振周波数 \(f_0 = \displaystyle\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) は、\(L\) や \(C\) が大きいほど低くなることを示しています。これは、コイルやコンデンサーの「慣性」が大きいほど、ゆっくりとした振動にしか追随できなくなるという直感に合致します。また、この式に抵抗 \(R\) が含まれていないことも重要です。共振の「タイミング」は \(L\) と \(C\) だけが決まり、\(R\) は共振の「鋭さ」（電流の最大値）にのみ影響します。
• 別解との比較:
  • (3)の電圧合成を「三角関数の合成」と「ベクトル図」の2通りで解き、同じ結果になることを確認することで、計算の正しさと物理的理解の両方を検証できます。一方が代数的なアプローチ、もう一方が幾何学的なアプローチであり、両者が一致することは、その物理法則が多角的に見ても正しいことを裏付けています。

474 R, L, C並列の交流回路

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、抵抗、コイル、コンデンサーを並列に接続した交流回路における、電圧と電流の関係を問う問題です。並列回路では各素子に共通の電圧がかかることを理解し、電圧を基準として各素子を流れる電流の位相関係を正しく計算し、それらを合成する能力が試されます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「RLC並列回路における交流電圧と電流の関係」です。

問(1)

思考の道筋とポイント
抵抗、コイル、コンデンサーそれぞれを流れる電流の瞬時値を求める問題です。並列回路であるため、すべての素子に電源電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) がそのままかかります。この共通の電圧を基準として、各素子の電流の位相がどうなるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 共通の電圧: 並列回路なので、\(V_R = V_L = V_C = V = V_0 \sin(\omega t)\) です。
• 抵抗の電流 \(I_R\): 電圧 \(V\) と同位相です。最大値は \(\displaystyle\frac{V_0}{R}\) です。
• コイルの電流 \(I_L\): 電圧 \(V\) より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れます。最大値はリアクタンス \(\omega L\) を用いて \(\displaystyle\frac{V_0}{\omega L}\) です。
• コンデンサーの電流 \(I_C\): 電圧 \(V\) より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進みます。最大値はリアクタンス \(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\) を用いて \(\displaystyle\frac{V_0}{1/\omega C} = \omega C V_0\) です。

具体的な解説と立式
電源電圧の瞬時値は \(V = V_0 \sin(\omega t)\) です。並列回路なので、この電圧が各素子に共通してかかります。
各素子を流れる電流の最大値をそれぞれ \(I_{R0}, I_{L0}, I_{C0}\) とします。

1. 抵抗の電流 \(I_R\)
電流と電圧は同位相なので、\(I_R\) の位相は \(\omega t\) となります。電流の最大値は \(I_{R0} = \displaystyle\frac{V_0}{R}\) です。よって、瞬時値 \(I_R\) は、
$$ I_R = \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) \quad \cdots ① $$
2. コイルの電流 \(I_L\)
電流は電圧より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れるので、\(I_L\) の位相は \(\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2}\) となります。電流の最大値は \(I_{L0} = \displaystyle\frac{V_0}{\omega L}\) です。よって、瞬時値 \(I_L\) は、
$$ I_L = \frac{V_0}{\omega L} \sin\left(\omega t – \frac{\pi}{2}\right) \quad \cdots ② $$
三角関数の性質 \(\sin(x – \displaystyle\frac{\pi}{2}) = -\cos x\) を用いると、次のように表すこともできます。
$$ I_L = -\frac{V_0}{\omega L} \cos(\omega t) $$
3. コンデンサーの電流 \(I_C\)
電流は電圧より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進むので、\(I_C\) の位相は \(\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2}\) となります。電流の最大値は \(I_{C0} = \displaystyle\frac{V_0}{1/\omega C} = \omega C V_0\) です。よって、瞬時値 \(I_C\) は、
$$ I_C = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \quad \cdots ③ $$
三角関数の性質 \(\sin(x + \displaystyle\frac{\pi}{2}) = \cos x\) を用いると、次のように表すこともできます。
$$ I_C = \omega C V_0 \cos(\omega t) $$

立式した①、②、③式がそのまま答えとなります。特に計算は必要ありません。

この回路は並列つなぎなので、抵抗・コイル・コンデンサーの三兄弟みんなに、電源から同じ大きさ・同じタイミングの電圧がかかります。この電圧を基準にして、三兄弟がそれぞれどんな電流を流すかを見ていきます。

• 抵抗は「真面目」なので、電圧の波と電流の波は同じタイミングです。
• コイルは電流の変化を嫌うので、電圧がかかってもすぐには電流が流れず、タイミングが少し（4分の1周期）遅れます。
• コンデンサーは電圧がかかるとすぐに充電電流が流れるので、タイミングが少し（4分の1周期）早くなります。

それぞれの電流の大きさ（最大値）と、このタイミングのズレを数式で表現します。

各電流の瞬時値は以下の通りです。
\(I_R = \displaystyle\frac{V_0}{R} \sin(\omega t)\)
\(I_L = \displaystyle\frac{V_0}{\omega L} \sin\left(\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)
\(I_C = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)
並列回路における各素子の電圧と電流の位相関係の定義に忠実に従っており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電源を流れる全電流 \(I\) の最大値 \(I_0\) と位相に関する \(\tan\beta\) を求める問題です。キルヒホッフの第1法則により、全電流 \(I\) は各素子を流れる電流 \(I_R, I_L, I_C\) の和になります。これらは位相が異なるため、(1)で求めた瞬時値を足し合わせ、三角関数の合成公式を使って一つの \(\sin\) の形にまとめます。
この設問における重要なポイント

• キルヒホッフの第1法則: \(I = I_R + I_L + I_C\)。これは瞬時値の関係式です。
• 三角関数の合成: (1)で求めた \(I_R, I_L, I_C\) を代入すると、\(\sin(\omega t)\) と \(\cos(\omega t)\) の項が現れます。問題文で与えられた合成公式を用いて、\(I = I_0 \sin(\omega t + \beta)\) の形にまとめます。
• 係数の比較: 合成後の式と \(I = I_0 \sin(\omega t + \beta)\) を比較して、\(I_0\) と \(\tan\beta\) を特定します。

具体的な解説と立式
キルヒホッフの第1法則より、電源から流れる電流の瞬時値 \(I\) は、
$$ I = I_R + I_L + I_C $$
(1)の結果を代入します。計算しやすいように \(\cos\) で表した形を用います。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) – \frac{V_0}{\omega L} \cos(\omega t) + \omega C V_0 \cos(\omega t) \\[2.0ex] &= \frac{V_0}{R} \sin(\omega t) + \left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right) V_0 \cos(\omega t)
\end{aligned}
$$
ここで、問題文で与えられた合成公式 \(A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(x+\alpha)\) を用います。
この式で \(A = \displaystyle\frac{V_0}{R}\), \(B = \left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right) V_0\), \(x = \omega t\) と対応させると、
$$ I = \sqrt{\left(\frac{V_0}{R}\right)^2 + \left\{\left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right) V_0\right\}^2} \sin(\omega t + \beta) $$
\(V_0\) をルートの外に出すと、
$$ I = V_0 \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right)^2} \sin(\omega t + \beta) \quad \cdots ① $$
この式を、問題で与えられている \(I = I_0 \sin(\omega t + \beta)\) と比較します。
まず、電流の最大値 \(I_0\) は \(\sin\) の係数部分なので、
$$ I_0 = V_0 \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right)^2} \quad \cdots ② $$
次に、位相 \(\beta\) について考えます。合成公式の定義 \(\tan\alpha = \displaystyle\frac{B}{A}\) に対応させると、\(\tan\beta\) は、
$$
\begin{aligned}
\tan\beta &= \frac{\left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right) V_0}{\frac{V_0}{R}} \\[2.0ex] &= R \left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right) \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

上記「具体的な解説と立式」で計算は完了しています。
\(I_0\) は②式、\(\tan\beta\) は③式となります。

電源から見た全体の電流は、抵抗・コイル・コンデンサーの三兄弟を流れる電流を全部足し合わせたものです。しかし、(1)で見たように、これらの電流はタイミングがずれています。タイミングのずれた波の足し算は、数学の「三角関数の合成公式」を使って行います。この計算の結果、全体の電流も一つのきれいなサインカーブの波になることがわかり、その波の高さ（最大値 \(I_0\)）と、基準となる電圧の波からのタイミングのズレ（位相 \(\beta\)）を計算することができます。

全電流の最大値は \(I_0 = V_0 \sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^2}\)、位相に関する量は \(\tan\beta = R \left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)\) です。
この結果は、並列回路全体の交流に対する「流れやすさ」（アドミタンス）が \(Y = \sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^2}\) であることを示しており、\(I_0 = Y V_0\) という関係が成り立っています。これは直列回路のインピーダンスの逆数に対応する概念で、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
全電流の最大値 \(I_0\) が最小になる条件を考える問題です。(2)で求めた \(I_0\) の式から、\(I_0\) が最小になるのは、どのようなときかを考察します。
この設問における重要なポイント

• 電流の最大値 \(I_0\): (2)の②式 \(I_0 = V_0 \sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^2}\) を使います。
• 電流が最小になる条件: 電源電圧の最大値 \(V_0\) が一定のとき、\(I_0\) が最小になるのは、根号の中の \(\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^2\) が最小になるときです。
• アドミタンスの最小値: \(\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2\) は正の定数なので、この式全体が最小になるのは \(\left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^2\) の項が \(0\) になるとき、すなわち \(\omega C = \displaystyle\frac{1}{\omega L}\) のときです。

具体的な解説と立式
(2)で求めた全電流の最大値 \(I_0\) の式は、
$$ I_0 = V_0 \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C – \frac{1}{\omega L}\right)^2} \quad \cdots ① $$
電源の \(V_0\) が一定の条件で角周波数 \(\omega\) を変化させるとき、\(I_0\) が最小になるのは、根号の中の式が最小になるときです。
根号の中の \(\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^2\) は正の定数なので、式全体が最小になるのは、\(\left(\omega C – \displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^2\) が最小値である \(0\) をとるときです。
したがって、電流が最小になる条件は、
$$ \omega C – \frac{1}{\omega L} = 0 $$
これを変形すると、
$$ \omega C = \frac{1}{\omega L} $$
この式を \(\omega\) について解くと、
$$ \omega^2 = \frac{1}{LC} $$
\(\omega > 0\) なので、
$$ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \cdots ② $$
このときの現象も、直列回路の場合と同様に共振（特に並列共振）と呼ばれます。

上記「具体的な解説と立式」で計算は完了しています。
求める角周波数は②式となります。

並列回路では、コイルとコンデンサーに流れる電流が互いに逆向きのタイミング（位相が180度違い）になります。ちょうど良い特定の周波数になると、コイルに流れる電流の大きさとコンデンサーに流れる電流の大きさがピッタリ同じになり、互いに打ち消し合います。その結果、電源から見ると、まるでコイルとコンデンサーが存在しないかのように見え、抵抗だけに電流を流せばよくなります。このとき、電源が供給する全体の電流は最小になります。この現象が「並列共振」です。

電流の最大値 \(I_0\) が最小になるときの角周波数は \(\omega = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\) です。
この角周波数は、直列回路で電流が最大になる「共振周波数」と全く同じ式です。しかし、現象としては逆で、直列共振ではインピーダンスが最小になって電流が最大になるのに対し、並列共振ではアドミタンスが最小（インピーダンスが最大）になって電流が最小になります。物理的に正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 並列回路における共通電圧と電流の位相関係:
  • 核心: RLC並列回路の解析では、すべての素子に共通の電圧がかかることが出発点となります。この共通電圧を基準（位相0）としたとき、各素子を流れる電流の位相がどうなるかを正しく把握することが最も重要です。抵抗の電流は同位相、コイルの電流は \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れ、コンデンサーの電流は \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進みます。
  • 理解のポイント: 直列回路では「電流が共通」で「電圧を合成」したのに対し、並列回路では「電圧が共通」で「電流を合成」します。この対照的な構造を理解することが、交流回路全体の理解につながります。
• キルヒホッフの法則と電流のベクトル合成:
  • 核心: 回路の分岐点に流れ込む電流の和は、流れ出す電流の和に等しい（\(I = I_R + I_L + I_C\)）というキルヒホッフの第1法則が成り立ちます。各電流は位相が異なるため、その合成はベクトル（または複素数）の和として計算する必要があります。
  • 理解のポイント: ベクトル図を描くと、コイルの電流 \(I_L\) とコンデンサーの電流 \(I_C\) は常に真逆を向いており、互いに打ち消し合う関係にあることが視覚的にわかります。回路全体を流れる電流は、この打ち消し合いの結果と、抵抗を流れる電流との合成によって決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC直列回路: この問題と対になる最も基本的な回路。直列と並列で、電圧と電流の役割がどのように入れ替わるか（双対性）を比較検討する問題は頻出です。
  • 力率改善: 並列回路にコンデンサーを接続して、回路全体の力率（\(\cos\beta\)）を1に近づける（無効電力を減らす）問題。これは、コイル（モーターなど）による電流の遅れを、コンデンサーによる電流の進みで打ち消す応用例であり、本問の共振の考え方と直結しています。
  • アドミタンスとサセプタンス: インピーダンスの逆数であるアドミタンス \(Y\)、リアクタンスの逆数であるサセプタンス \(B\) といった概念を導入して、より形式的に並列回路を解く問題。本問の \(I_0 = V_0 \sqrt{(\dots)}\) の \(\sqrt{(\dots)}\) 部分がアドミタンスに相当します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の接続方法を最優先で確認: 直列か並列かで、基準にすべき物理量（電流か電圧か）と、適用すべきキルヒホッフの法則（第2か第1か）が根本的に変わります。
  2. 基準ベクトルを明確に設定する: 並列回路では、まず「電圧 \(V\)”) を水平右向きの基準ベクトルとして描くことから始めます。
  3. 各電流のベクトルを配置する: 基準の電圧ベクトルに対して、\(I_R\) は同方向、\(I_C\) は90度進む方向（上向き）、\(I_L\) は90度遅れる方向（下向き）に配置します。
  4. 電流のベクトル合成を行う: ベクトル図上で、幾何学的に電流ベクトルを合成します。これにより、全体の電流の大きさと位相を直感的に把握できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列回路との混同:
  • 誤解: 並列回路なのに、直列回路のインピーダンスの公式 \(Z = \sqrt{R^2 + (\omega L – 1/\omega C)^2}\) を使おうとしてしまう。
  • 対策: 「並列回路では電流を合成する」と強く意識すること。各素子の電流を \(I_R = V/R\), \(I_L = V/(\omega L)\), \(I_C = V/(1/\omega C)\) のように個別に計算し、それらをベクトル的に足し合わせる、という手順を徹底しましょう。
• 電流の位相の進み・遅れの混同:
  • 誤解: 電圧を基準にしたとき、コイルの電流が進み、コンデンサーの電流が遅れる、と直列回路の場合と逆にしてしまう。
  • 対策: 「CIVIL」の法則を正しく適用しましょう。CではIがVより進み、LではVがIより進む（=IがVより遅れる）。この法則は不変です。基準がVに変わっただけだと理解することが重要です。
• 共振条件の誤解:
  • 誤解: 並列共振で「電流が最大になる」と、直列共振のイメージに引きずられてしまう。
  • 対策: 並列共振では、コイルとコンデンサーの電流が互いに打ち消し合うため、電源から供給すべき全体の電流は「最小」になります。ベクトル図で \(I_L\) と \(I_C\) が逆向きに打ち消し合うイメージを持つと、間違いにくくなります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電流のベクトル図: 並列回路の理解には、電流のベクトル図が不可欠です。
    1. 水平右向きに、全素子に共通の電圧 \(V_0\) を基準として描く（これは描かなくても良いが、頭の中で意識する）。
    2. 同じ向きに抵抗の電流 \(I_{R0}\) を描く。
    3. 真上向きにコンデンサーの電流 \(I_{C0}\) を描く（電圧より \(\pi/2\) 進む）。
    4. 真下向きにコイルの電流 \(I_{L0}\) を描く（電圧より \(\pi/2\) 遅れる）。

    この図を描くことで、\(I_{C0}\) と \(I_{L0}\) の綱引き（打ち消し合い）と、それに垂直な \(I_{R0}\) との合成によって、全体の電流 \(I_0\) が決まる様子が明確に理解できます。

  • 共振のイメージ: 水路の分岐のイメージが有効です。電源という水源から流れてきた水（電流）が、抵抗・コイル・コンデンサーという3つの水路に分かれます。共振のとき、コイルとコンデンサーの水路は、互いに水をやり取りするだけで完結するループ（循環電流）のようになり、水源からはこのループに水を補給する必要がなくなります。結果、水源は抵抗という水路にだけ水を流せばよくなり、全体の流量（電流）は最小になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第1法則 (\(I = I_R + I_L + I_C\)):
  • 選定理由: これは並列回路における電流の流れ方を記述する基本法則だからです。電源から出た電荷は、各分岐路に分かれて流れ、再び合流するため、その瞬間の総量は保存されます。
  • 適用根拠: 電荷量保存則に基づく、電気回路における最も基本的な法則の一つです。
• 三角関数の合成公式 / 電流のベクトル合成:
  • 選定理由: 位相が異なる複数の電流 \(I_R, I_L, I_C\) を合成し、一つの電流として表現するために必要だからです。
  • 適用根拠: 直列回路の電圧合成と同様に、数学的に同値な変形であり、物理的な重ね合わせの原理を正しく数式で表現する方法です。ベクトル図を用いた合成は、この計算を幾何学的に可視化したものであり、等価なアプローチです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 各分岐電流の計算:
   • 戦略: 共通の電圧 \(V\) を基準に、各素子の性質に従って電流の瞬時値を求める。
   • フロー: ①並列なので \(V\) は共通と認識 → ②抵抗は \(I_R = V/R\)、コイルは \(I_L = V/(\omega L)\)、コンデンサーは \(I_C = V/ (1/\omega C)\) の関係を使う → ③電圧を基準に、コイルは \(\pi/2\) 遅れ、コンデンサーは \(\pi/2\) 進む位相を考慮して \(\sin\) の形で表現。
2. (2) 全電流の計算:
   • 戦略: キルヒホッフの第1法則に基づき、(1)で求めた3つの電流を合成する。
   • フロー: ① \(I = I_R + I_L + I_C\) として式を立てる → ② \(\sin\) と \(\cos\) の項に整理する → ③三角関数の合成公式を適用し、\(I = I_0 \sin(\omega t + \beta)\) の形に変形 → ④係数部分を \(I_0\) と、位相項を \(\tan\beta\) と特定する。
3. (3) 並列共振条件の計算:
   • 戦略: (2)で求めた全電流の最大値 \(I_0\) の式が、最小になる条件を見つける。
   • フロー: ① \(I_0\) の式を立てる → ② \(I_0\) が最小になるのは、根号の中の \((\omega C – 1/\omega L)^2\) の項がゼロになるときだと判断する → ③ \(\omega C – 1/\omega L = 0\) を \(\omega\) について解き、共振角周波数を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 逆数の扱いに注意: 並列回路では、抵抗 \(R\) やリアクタンス \(\omega L\) が分母に来ることが多くなります。分数の計算、特に \(\displaystyle\frac{1}{1/\omega C} = \omega C\) のような逆数の逆数の計算を間違えないようにしましょう。
• サセプタンスの正負: 電流のベクトル図で、コンデンサーの電流（容量性サセプタンス）を上向き（正）、コイルの電流（誘導性サセプタンス）を下向き（負）と定義することが多いです。このため、合成の際には \(B_C – B_L = \omega C – 1/\omega L\) という形になります。この符号の順番を間違えないようにしましょう。
• ベクトル図を必ず描く: 並列回路は直列回路より直感的に分かりにくい場合があります。計算を始める前に、必ず電圧を基準とした電流のベクトル図を描く習慣をつけましょう。図が正しく描けていれば、立式のミスを大幅に減らせます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 全電流: \(\tan\beta\) の式を見ると、\(\omega C > 1/\omega L\) のとき（高周波）、回路はコンデンサーの性質が強くなり、電流は電圧より進みます。逆に \(\omega C < 1/\omega L\) のとき（低周波）、コイルの性質が強くなり、電流は電圧より遅れます。これは物理的な振る舞いと一致します。
  • (3) 共振周波数: 共振周波数 \(\omega = 1/\sqrt{LC}\) は、直列回路の場合と全く同じ式になりました。これは、どちらの共振も「コイルの誘導性とコンデンサーの容量性が互いに打ち消し合う」という同じ物理的条件から生じるため、当然の結果です。ただし、その結果として起こる現象（電流が最大になるか最小になるか）は正反対である、という点をしっかり区別して理解することが重要です。
• 別解との比較:
  • (2)の電流合成を「三角関数の合成」と「ベクトル図」の2通りで解き、同じ結果になることを確認することで、計算の正しさと物理的理解の両方を検証できます。特に並列回路では、ベクトル図による幾何学的なアプローチの方が、現象を直感的に捉えやすく、計算ミスも減らせるというメリットがあります。

475 電気振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、コンデンサーの充電・放電とLC電気振動を組み合わせた、スイッチの切り替え問題です。スイッチ操作の「直後」と「十分な時間が経過した後」で、コンデンサーが回路の中でどのように振る舞うかを正しく理解しているかが問われます。また、LC回路におけるエネルギー保存則も重要なテーマです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの充電・放電とLC電気振動」です。スイッチの切り替えによって回路の状態が段階的に変化するため、各瞬間の回路の性質を正しく見抜くことが重要です。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチをAに閉じた「直後」の電流を求める問題です。この瞬間のコンデンサーが回路の中でどのような振る舞いをするかが最大のポイントです。
この設問における重要なポイント

• 充電開始直後のコンデンサー: スイッチを閉じた直後、コンデンサーにはまだ電荷が蓄えられていないため、極板間の電位差は \(0 \, \text{V}\) です。
• 回路の等価的見方: コンデンサーの両端の電位差が0ということは、その部分は抵抗ゼロの導線で短絡（ショート）されているのと同じ状態とみなせます。これにより、抵抗2には電流が流れなくなります。

具体的な解説と立式
スイッチをAに閉じた直後、コンデンサー \(C\) には電荷が蓄えられていないため、コンデンサーの極板間の電位差は \(0\) です。
これは、コンデンサー部分が導線で短絡されているのと同じ状態を意味します。
したがって、並列に接続されている抵抗2の両端の電位差も \(0\) となり、抵抗2には電流が流れません。
電流はすべて抵抗1とコンデンサーの経路を流れます。求める電流を \(I_0\) とすると、図aのような単純な回路とみなせます。
この閉回路についてキルヒホッフの第2法則を立てると、
$$ V = R I_0 $$
となります。

上記の関係式を \(I_0\) について解きます。
$$ I_0 = \frac{V}{R} $$

スイッチを入れた瞬間、空っぽのコンデンサーは「どうぞ電流さん、来てください」と、抵抗ゼロのただの導線のように振る舞います。電流は抵抗がある道を嫌うので、抵抗2の道は無視して、抵抗1を通ってコンデンサーへと流れていきます。したがって、この瞬間は「電源と抵抗1だけがつながった回路」と同じになります。

スイッチを閉じた直後に抵抗1を流れる電流の大きさは \(\displaystyle\frac{V}{R}\) です。
コンデンサーの初期状態の振る舞いを正しくモデル化できており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチをAに閉じてから「十分な時間が経過」した後の電流を求める問題です。今度は充電が完了したコンデンサーがどう振る舞うかがポイントになります。
この設問における重要なポイント

• 充電完了後のコンデンサー: 十分に時間が経つと、コンデンサーの充電が完了し、それ以上電流が流れ込まなくなります。
• 回路の等価的見方: コンデンサーに電流が流れないということは、その部分の回路は断線しているのと同じ状態とみなせます。

具体的な解説と立式
スイッチをAに閉じて十分な時間が経過すると、コンデンサー \(C\) の充電が完了し、コンデンサーを含む経路には電流が流れなくなります。
これは、コンデンサー部分が断線しているのと同じ状態とみなせます。
したがって、電流は抵抗1と抵抗2を通る経路のみを流れます。このとき、抵抗1と抵抗2は直列に接続されていることになります。
抵抗1を流れる電流を \(I_1\) とすると、抵抗2にも同じ大きさの電流 \(I_1\) が流れます。
この閉回路（図b）についてキルヒホッフの第2法則を立てると、
$$ V = R I_1 + R I_1 $$

上記の関係式を \(I_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
V &= 2R I_1 \\[2.0ex] I_1 &= \frac{V}{2R}
\end{aligned}
$$

スイッチを入れてしばらくすると、コンデンサーはお腹がいっぱい（充電完了）になり、「もう電流は要りません」と、電流を通さない壁（断線）のようになります。すると、電流はコンデンサーの道を諦めて、抵抗1と抵抗2を通る道だけを流れるようになります。これは「電源に抵抗1と抵抗2がまっすぐつながった直列回路」と同じです。

十分な時間が経過した後に抵抗1を流れる電流の大きさは \(\displaystyle\frac{V}{2R}\) です。
定常状態におけるコンデンサーの振る舞いを正しくモデル化できており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)の状態でコンデンサーに蓄えられた電気量 \(Q_1\) と静電エネルギー \(U_1\) を求める問題です。コンデンサーの電圧が、並列接続された抵抗2の電圧に等しいことを利用します。
この設問における重要なポイント

• 並列部分の電圧: コンデンサー \(C\) と抵抗2は並列に接続されているため、両者にかかる電圧は等しくなります。
• コンデンサーの基本式: 電気量 \(Q\)、電気容量 \(C\)、電圧 \(V\) の間には \(Q=CV\) の関係が、静電エネルギー \(U\) については \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) の関係が成り立ちます。

具体的な解説と立式
(2)の定常状態において、コンデンサー \(C\) にかかる電圧を \(V_1\) とします。
コンデンサーは抵抗2と並列に接続されているため、\(V_1\) は抵抗2にかかる電圧に等しくなります。
オームの法則より、抵抗2にかかる電圧は、
$$ V_1 = R I_1 $$
これに(2)で求めた \(I_1 = \displaystyle\frac{V}{2R}\) を代入すると、
$$ V_1 = R \left(\frac{V}{2R}\right) = \frac{V}{2} $$
よって、コンデンサーに蓄えられている電気量 \(Q_1\) は、
$$ Q_1 = C V_1 = C \left(\frac{V}{2}\right) = \frac{1}{2}CV $$
また、蓄えられている静電エネルギー \(U_1\) は、
$$ U_1 = \frac{1}{2}C V_1^2 = \frac{1}{2}C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}CV^2 $$

上記「具体的な解説と立式」で計算は完了しています。

コンデンサーの電気量やエネルギーを計算するには、まずコンデンサーにかかっている電圧を知る必要があります。この回路では、コンデンサーは抵抗2の隣に並んでつながっているので、抵抗2にかかっている電圧と同じ電圧がかかっています。(2)で計算した電流を使えば抵抗2の電圧がわかるので、あとは公式に当てはめて電気量とエネルギーを計算します。

電気量は \(\displaystyle\frac{1}{2}CV\)、静電エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{8}CV^2\) です。
回路の定常状態を正しく分析し、公式を適用した妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
スイッチをB側に閉じた後のLC回路における、振動電流の最大値 \(I_m\) と周期 \(T\) を求める問題です。抵抗がないLC回路では、エネルギーが保存されることを利用するのが最も簡単です。
この設問における重要なポイント

• LC回路のエネルギー保存則: 回路からエネルギーの散逸（抵抗によるジュール熱）がない場合、コンデンサーの静電エネルギーとコイルの磁気エネルギーの和は一定に保たれます。
• エネルギーの移り変わり:
  • スイッチを閉じた直後（電流が0）: エネルギーはすべてコンデンサーの静電エネルギーとして蓄えられている。(\(E = U_{\text{最大}}\))
  • 電流が最大になるとき: エネルギーはすべてコイルの磁気エネルギーとして蓄えられている。(\(E = K_{\text{最大}}\))
• 周期の公式: LC回路の電気振動の周期は \(T=2\pi\sqrt{LC}\) で与えられます。

具体的な解説と立式
スイッチをB側に閉じた瞬間、(3)で求めた静電エネルギー \(U_1 = \displaystyle\frac{1}{8}CV^2\) がコンデンサーに蓄えられています。このとき、まだ電流は流れていないのでコイルの磁気エネルギーは \(0\) です。これがLC回路の全エネルギーとなります。
$$ E_{\text{全}} = \frac{1}{8}CV^2 + 0 = \frac{1}{8}CV^2 $$
その後、電気振動が起こり、電流が最大値 \(I_m\) に達したとき、コンデンサーの電荷は \(0\) になり、静電エネルギーは \(0\) になります。このとき、エネルギーはすべてコイルの磁気エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}LI_m^2\) になっています。
エネルギー保存則より、初期の全エネルギーと電流最大時の全エネルギーは等しいので、
$$ \frac{1}{8}CV^2 = \frac{1}{2}LI_m^2 $$
周期 \(T\) は、LC回路の周期の公式から直接求められます。
$$ T = 2\pi\sqrt{LC} $$

エネルギー保存の式を \(I_m\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}LI_m^2 &= \frac{1}{8}CV^2 \\[2.0ex] LI_m^2 &= \frac{1}{4}CV^2 \\[2.0ex] I_m^2 &= \frac{CV^2}{4L}
\end{aligned}
$$
\(I_m > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
I_m &= \sqrt{\frac{CV^2}{4L}} \\[2.0ex] &= \frac{V}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}
\end{aligned}
$$

スイッチをBに切り替えると、コンデンサーとコイルだけのブランコのような回路ができます。最初にコンデンサーが持っていた電気のエネルギーが、コイルの磁気のエネルギーに、そしてまた電気のエネルギーに…と行ったり来たりします。このエネルギーの総量は変わりません。「コンデンサーのエネルギーが最大（=初期状態）のとき」と「コイルのエネルギーが最大（=電流が最大のとき）」のエネルギーが等しい、という式を立てて最大電流を求めます。周期は、LとCの値だけで決まる公式があります。

振動電流の最大値は \(I_m = \displaystyle\frac{V}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\)、周期は \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) です。
LC回路のエネルギー保存則と周期の公式を用いた、標準的で妥当な結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
振動が半周期経過した瞬間の状態を正確に把握し、その状態で再びスイッチをAに閉じた直後の電流を求める問題です。半周期後のコンデンサーの電荷と電圧がどうなっているかが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 半周期後の状態: 電気振動が半周期（\(T/2\)）経過すると、コンデンサーの電荷は大きさが同じで極性が逆転します。コイルの電流は再び \(0\) になります。
• コンデンサーを電源とみなす: 極性が逆転したコンデンサーは、元の向きとは逆向きの電源とみなすことができます。
• キルヒホッフの法則の適用: この逆向きになったコンデンサーと元の電源を含む回路について、キルヒホッフの第2法則を適用します。

具体的な解説と立式
振動が半周期経過したとき、コンデンサーの電荷は \(Q_1\) から \(-Q_1\) になります。つまり、極性が完全に反転します。このときコンデンサーにかかる電圧は、大きさは \(V_1 = \displaystyle\frac{V}{2}\) のままで、向きが逆になります。
この瞬間にスイッチをA側に閉じると、図cのような回路ができます。
この回路では、電源 \(V\) と、コンデンサー（電圧 \(\displaystyle\frac{V}{2}\) の電源とみなせる）が、同じ向き（電流を同じ向きに流そうとする向き）に直列に接続されていると考えることができます。
この瞬間のコンデンサーは、(1)と同様にまだ放電を開始していないため、抵抗2を短絡しているとみなせます。
したがって、抵抗1を流れる電流を \(I_1’\) として、閉回路にキルヒホッフの第2法則を適用すると、
$$ V + V_1 = R I_1′ $$
となります。

上記の関係式に \(V_1 = \displaystyle\frac{V}{2}\) を代入して \(I_1’\) を解きます。
$$
\begin{aligned}
V + \frac{V}{2} &= R I_1′ \\[2.0ex] \frac{3V}{2} &= R I_1′ \\[2.0ex] I_1′ &= \frac{3V}{2R}
\end{aligned}
$$

半周期後、コンデンサーは充電された状態ですが、プラスとマイナスがひっくり返っています。これは、元の電源とは逆向きの、電圧 \(\frac{V}{2}\) の電池と考えることができます。この状態でスイッチをAに戻すと、元の電源と、この「逆向き電池」が力を合わせて電流を流そうとします。その結果、(1)のときよりも大きな電流が流れることになります。

求める電流の大きさは \(\displaystyle\frac{3V}{2R}\) です。
(1)の電流 \(I_0 = \displaystyle\frac{V}{R}\) と比較すると、\(1.5\) 倍の電流が流れることになります。これは、コンデンサーが電源をアシストする形で働くためであり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの過渡特性（スイッチ操作直後と十分後）:
  • 核心: この問題のようにスイッチ操作を伴う直流回路では、コンデンサーの振る舞いを時間領域で理解することが不可欠です。
    1. スイッチON直後: 未充電のコンデンサーは、電荷を溜め込もうとして大電流を流すため、抵抗ゼロの導線（短絡）とみなせます。
    2. 十分時間経過後: 充電が完了したコンデンサーは、それ以上直流電流を流さないため、回路が切れた状態（断線）とみなせます。
  • 理解のポイント: この2つの極端な状態を正しくモデル化できるかが、(1)と(2)の成否を分けます。
• LC回路におけるエネルギー保存則:
  • 核心: 抵抗がない理想的なLC回路では、エネルギーの損失がないため、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\right)\) とコイルに蓄えられる磁気エネルギー \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}LI^2\right)\) の合計は常に一定に保たれます。
  • 理解のポイント: この法則は、力学における「力学的エネルギー保存則」と全く同じ考え方です。静電エネルギーが位置エネルギー、磁気エネルギーが運動エネルギーに相当し、両者が互いに形を変えながら振動が続く現象を記述します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RC回路、RL回路の過渡現象: スイッチのON/OFFにより、電流や電圧が時間と共に指数関数的に変化する様子を問う問題。本問は「直後」と「十分後」の2点だけですが、途中の変化を微分方程式で解く問題は発展形として考えられます。
  • 減衰振動 (RLC回路): LC回路に抵抗Rが加わった回路。抵抗でエネルギーがジュール熱として失われるため、振動が時間と共に減衰していきます。
  • 強制振動: LC回路に交流電源を接続した問題。電源の周波数が回路の固有周波数に近づくと共振が起こります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 時間軸を意識する: 問題文の「直後に」「しばらく時間がたつと」「B側に閉じた」「半周期が経過し」といった時間を示す言葉に印をつけ、各段階で回路がどのような状態にあるかを明確に区別します。
  2. コンデンサーの状態を判断する: 各段階で、コンデンサーが「未充電（短絡とみなす）」「充電完了（断線とみなす）」「特定の電荷・電圧を持つ（電池とみなす）」のどれに当たるかを見極めます。
  3. エネルギーの流れを追う: スイッチの切り替えによって、どのエネルギーがどこに移動したかを考えます。特にLC回路では、エネルギー保存則が強力な解法ツールになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチ直後のコンデンサーの扱い:
  • 誤解: スイッチを入れた直後からコンデンサーに電圧がかかっていると考えてしまう。
  • 対策: 「電荷がなければ電圧はない（\(Q=CV\)）」という基本に立ち返りましょう。スイッチONの瞬間は \(Q=0\) なので \(V_C=0\) です。したがって、コンデンサーの両端は同じ電位、つまり「短絡」とみなせます。
• 並列部分の電圧の誤認:
  • 誤解: (3)でコンデンサーの電圧を求めるときに、電源電圧 \(V\) をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 回路図をよく見て、コンデンサーがどの素子と並列になっているかを正確に把握しましょう。この問題では抵抗2と並列なので、コンデンサーの電圧は抵抗2の電圧に等しくなります。
• エネルギー保存則の適用範囲:
  • 誤解: 抵抗が含まれている回路（スイッチA側の状態）でエネルギー保存則を使おうとしてしまう。
  • 対策: エネルギー保存則が成り立つのは、エネルギーの散逸がない理想的な場合に限られます。抵抗 \(R\) があるとジュール熱が発生してエネルギーが失われるため、単純なエネルギー保存則は使えません。本問では、スイッチをBに切り替えた後の「LC回路」でのみ適用可能です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 水の流れのモデル:
    • コンデンサー: ダムや水槽に例えられます。スイッチON直後は空っぽなので勢いよく水が流れ込みますが（短絡）、満水になると水の流れは止まります（断線）。
    • コイル: 水車に例えられます。急に水を流してもすぐには回らず（電流がすぐには流れない）、流れが止まっても慣性で回り続けます（電流を維持しようとする）。
    • LC振動: ダム（コンデンサー）と水車（コイル）だけを繋いだ水路。ダムから放水して水車を回し、その勢いで水が逆流してダムに水が戻る…という水の行ったり来たりが延々と続くイメージです。
  • 各段階の等価回路図を描く:
    • (1)の直後: コンデンサーを導線に描き換えた回路図。
    • (2)の十分後: コンデンサー部分を断線させて描き換えた回路図。
    • (5)の直後: コンデンサーを逆向きの電池に描き換えた回路図。

    このように、各段階で状況を単純化した「等価回路図」を自分で描くことで、思考が整理され、立式ミスが劇的に減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第2法則:
  • 選定理由: 抵抗や電源、コンデンサー（電池とみなした場合）を含む直流回路の電位関係を記述するための、最も基本的で普遍的な法則だからです。
  • 適用根拠: エネルギー保存則を電気回路に適用したものであり、どのような複雑な直流回路にも成り立ちます。
• LC回路のエネルギー保存則:
  • 選定理由: 抵抗を含まないLC回路において、振動の初期状態と、電流や電圧が最大になるなど特定の状態との関係を、途中の時間変化を追わずに直接結びつけることができる、非常に強力な法則だからです。
  • 適用根拠: 外部とのエネルギーのやり取りや内部でのエネルギー損失がない系では、エネルギーの総和は保存されるという、物理学全体を貫く大原則に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) A側ON直後:
   • 戦略: コンデンサーを「短絡」とみなし、単純化された回路でキルヒホッフの法則を適用。
   • フロー: ①コンデンサーの電圧は0と判断 → ②抵抗2は短絡され電流0と判断 → ③電源、抵抗1だけの回路とみなし、\(V=RI_0\) を立式 → ④ \(I_0\) を解く。
2. (2) A側ON十分後:
   • 戦略: コンデンサーを「断線」とみなし、定常電流が流れる回路でキルヒホッフの法則を適用。
   • フロー: ①コンデンサーの経路は電流0と判断 → ②抵抗1と抵抗2の直列回路とみなす → ③ \(V=RI_1+RI_1\) を立式 → ④ \(I_1\) を解く。
3. (3) 充電完了状態:
   • 戦略: (2)の状態でのコンデンサーの電圧を求め、基本公式に代入。
   • フロー: ①コンデンサー電圧 \(V_1\) は抵抗2の電圧に等しいと判断 → ② \(V_1=RI_1\) を計算 → ③ \(Q_1=CV_1\), \(U_1=\frac{1}{2}CV_1^2\) に代入。
4. (4) B側ON (LC振動):
   • 戦略: エネルギー保存則を適用。
   • フロー: ①初期エネルギー（(3)の静電エネルギー）を計算 → ②電流最大時は静電エネルギー0、磁気エネルギー最大と判断 → ③ \(U_{1} = \frac{1}{2}LI_m^2\) を立式 → ④ \(I_m\) を解く。周期は公式 \(T=2\pi\sqrt{LC}\) を適用。
5. (5) 半周期後、A側ON直後:
   • 戦略: 半周期後のコンデンサーを「逆向きの電池」とみなし、キルヒホッフの法則を適用。
   • フロー: ①半周期後、コンデンサーの電圧は \(V_1\) で極性反転と判断 → ②このコンデンサーを電圧 \(V_1\) の電源とみなす → ③元の電源 \(V\) と直列に接続された回路とみなし、\(V+V_1=RI_1’\) を立式 → ④ \(I_1’\) を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算を慎重に: \(I_1 = V/(2R)\), \(V_1 = V/2\) など、係数に \(1/2\) が頻繁に登場します。エネルギー計算での二乗（\((V/2)^2 = V^2/4\)）や、最後の(5)での足し算（\(V+V/2 = 3V/2\)）など、基本的な分数計算を焦らず確実に行いましょう。
• 平方根の計算: (4)で \(I_m\) を求める際に \(I_m^2 = CV^2/(4L)\) から平方根をとります。係数、文字のすべてを正しくルートの外に出せているか確認しましょう。\( \sqrt{4}=2 \) を忘れないように注意が必要です。
• 各段階の値を明確に区別する: \(I_0, I_1, I_m, I_1’\) のように、異なる状況での電流を添え字などで明確に区別して記述することで、計算途中で混乱するのを防ぎます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1)と(2)の比較: スイッチON直後の電流 \(I_0=V/R\) は、十分後の電流 \(I_1=V/(2R)\) より大きい。これは、最初は抵抗1つ分の妨害しかないのに対し、後からは抵抗2つ分の妨げになるため、当然の結果です。
  • (5)と(1)の比較: 半周期後にスイッチを戻したときの電流 \(I_1′ = 3V/(2R)\) は、最初のON直後の電流 \(I_0=V/R\) よりも大きくなっています。これは、電源 \(V\) に加えて、コンデンサーが逆向きの電源（電圧 \(V/2\)）として電流を流すのを「後押し」しているため、より大きな電流が流れるという物理的状況と一致しており、妥当です。
• 別解との比較:
  • (4)のLC振動は、「エネルギー保存則」で解く方法と、「単振動の運動方程式との比較」で解く方法がありました。前者は現象の途中を飛ばして結果だけを知りたいときに強力で、後者は現象の時間変化を含めて詳しく知りたいときに有効です。異なる物理的視点から同じ答えが導かれることを確認することで、電気振動という現象の多面的な理解が深まります。

476 振動回路とばねの振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、LC回路で起こる「電気振動」と、力学における「ばねによる単振動」という、一見すると全く異なる二つの物理現象の間に存在する、美しい対応関係について理解を深めることを目的としています。それぞれの現象の基本公式を正しく理解し、物理的な役割や数式の形を比較することで、対応する物理量を見つけ出す思考力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「LC電気振動と力学的な単振動の対応関係」です。一見全く異なる二つの現象が、数式の上で驚くほどよく似た性質を持つことを理解する、非常に重要で教育的な問題です。

空欄 ア, イ

思考の道筋とポイント
単振動の振動数 \(f_1\) と、LC回路の固有周波数 \(f_2\) の公式をそれぞれ記述する問題です。これは物理公式の基本的な知識を問うものです。
この設問における重要なポイント

• 単振動の振動数: 質量 \(m\) が大きく、ばね定数 \(k\) が小さい（ばねが柔らかい）ほど、ゆっくり振動する（振動数が小さい）ことをイメージすると、公式の形を思い出しやすくなります。
• LC回路の固有周波数: 自己インダクタンス \(L\) が大きく、電気容量 \(C\) が大きいほど、ゆっくり振動する（周波数が小さい）ことをイメージします。
• 角振動数との関係: 角振動数 \(\omega\) と振動数 \(f\) の間には \(\omega = 2\pi f\) の関係があります。

具体的な解説と立式

• 空欄 ア: 質量 \(m\)、ばね定数 \(k\) の単振動の角振動数 \(\omega_1\) は \(\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) で与えられます。振動数 \(f_1\) は \(f_1 = \displaystyle\frac{\omega_1}{2\pi}\) なので、
  $$ f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $$
• 空欄 イ: 自己インダクタンス \(L\)、電気容量 \(C\) のLC回路の角振動数 \(\omega_2\) は \(\omega_2 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\) で与えられます。固有周波数 \(f_2\) は \(f_2 = \displaystyle\frac{\omega_2}{2\pi}\) なので、
  $$ f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

公式を記述するだけなので、計算過程はありません。

「ア」は、おもりとばねが1秒間に何回振動するかを表す公式を答える問題です。「イ」は、コイルとコンデンサーの間で電気が1秒間に何回行ったり来たりするかを表す公式を答える問題です。どちらも物理の基本公式です。

アには \(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\)、イには \(\displaystyle\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) が入ります。

空欄 ウ, エ, オ

思考の道筋とポイント
二つの振動現象の物理的な性質や、周波数の公式の形を比較することで、質量 \(m\) とばね定数 \(k\) に対応する電気的な量を見つけ出します。
この設問における重要なポイント

• 「慣性」の役割: 単振動では、質量 \(m\) が大きいほど「動きにくさ」が大きく、ゆっくり振動します。電気振動では、自己インダクタンス \(L\) が大きいほど自己誘導による逆起電力が大きく、電流が「変化しにくく」なり、ゆっくり振動します。この役割の類似性から \(m \leftrightarrow L\) の対応が推測できます。
• 「復元力」の役割: 単振動では、ばね定数 \(k\) が小さい（ばねが柔らかい）ほど「元に戻す力」が弱く、ゆっくり振動します。電気振動では、電気容量 \(C\) が大きいほど、たくさんの電荷を溜めないと電圧が上がらず、「電荷を押し戻す力」が弱くなり、ゆっくり振動します。このことから、\(k\) は \(C\) ではなく、\(1/C\) に対応することが推測できます。
• 数式の比較: (ア)と(イ)で求めた \(f_1\) と \(f_2\) の式を比較するのが最も直接的です。

具体的な解説と立式

• 空欄 ウ:
  \(f_1 = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) と \(f_2 = \displaystyle\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) の式を比較します。
  質量 \(m\) は \(f_1\) の式の分母のルートの中にあります。\(f_2\) の式で同じ位置にあるのは \(L\) です。
  したがって、\(m\) は \(L\) (ウ) に対応します。
• 空欄 エ, オ:
  問題文に「ばねでは \(k\) が小さいほどゆっくり振動する」とあります。これは \(f_1\) が小さくなることを意味します。
  一方、「回路では エ が大きいほど充電に時間がかかり、電気振動はゆっくりとなる」とあります。これは \(f_2\) が小さくなることを意味します。
  \(f_2 = \displaystyle\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) の式を見ると、\(f_2\) が小さくなるのは \(C\) が大きいときです。
  したがって、エ には \(C\) (エ) が入ります。
  このことから、ばね定数 \(k\) は電気容量 \(C\) の逆数である \(\displaystyle\frac{1}{C}\) (オ) に対応することがわかります。

二つの振動の公式を見比べると、そっくりな部分が見つかります。

• おもりの「重さ」\(m\) が入っている場所に、コイルの \(L\) が入っています。なので、\(m\) と \(L\) は同じ役割（動きにくさ）をしていると考えられます（ウ）。
• ばねの「硬さ」\(k\) が入っている場所に、コンデンサーの \(C\) の逆数である \(1/C\) が入っています。なので、\(k\) と \(1/C\) は同じ役割（元に戻す力）をしていると考えられます（エ、オ）。

ウは \(L\)、エは \(C\)、オは \(\displaystyle\frac{1}{C}\) となります。物理的な役割の比較と、数式の比較の両方から同じ結論が導かれ、妥当です。

空欄 カ, キ, ク

思考の道筋とポイント
ばねに蓄えられる弾性エネルギーと、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの公式を書き出し、その形を比較して変位 \(x\) に対応する量を見つけます。
この設問における重要なポイント

• 弾性エネルギー: ばね定数 \(k\)、伸び \(x\) のとき、\(U = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) です。
• 静電エネルギー: 電気容量 \(C\)、電荷 \(Q\) のとき、\(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}\) です。問題のヒントから \(C, Q\) で表す形を使います。
• 対応関係の利用: すでに \(k \leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{C}\) の対応がわかっているので、これを利用して残りの部分を比較します。

具体的な解説と立式

• 空欄 カ: ばねが自然長から \(x\) だけ伸びたときに蓄えられる弾性エネルギーの公式は、
  $$ \frac{1}{2}kx^2 \quad (\text{カ}) $$
• 空欄 キ: コンデンサーに電荷 \(Q\) が蓄えられているときの静電エネルギーの公式は、
  $$ \frac{Q^2}{2C} \quad (\text{キ}) $$
• 空欄 ク:
  二つのエネルギーの式を比較します。
  弾性エネルギー: \(U_k = \displaystyle\frac{1}{2} k x^2\)
  静電エネルギー: \(U_C = \displaystyle\frac{1}{2} \left(\frac{1}{C}\right) Q^2\)
  すでに \(k \leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{C}\) であることがわかっています。この対応を考えると、式の残りの部分である \(x^2\) と \(Q^2\) が対応することになります。
  したがって、変位 \(x\) は電荷 \(Q\) (ク) に対応します。

ばねが蓄えるエネルギーとコンデンサーが蓄えるエネルギーの公式は、形がとてもよく似ています。
ばねのエネルギー = \(\frac{1}{2} \times (\text{硬さ}) \times (\text{伸び})^2\)
コンデンサーのエネルギー = \(\frac{1}{2} \times (\text{硬さのようなもの}) \times (\text{電気量})^2\)
この二つを見比べると、「ばねの伸び \(x\)」と「コンデンサーの電気量 \(Q\)」が同じ役割をしていることがわかります（ク）。

カは \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)、キは \(\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\)、クは \(Q\) となります。エネルギーの式の比較から導かれる妥当な結果です。

空欄 ケ, コ

思考の道筋とポイント
小球の速度 \(v\) と回路の電流 \(I\) の定義式を書き、すでに見つけた対応関係を使って、\(v\) に対応する電気量を見つけます。
この設問における重要なポイント

• 速度の定義: 速度は、位置（変位）の時間的な変化率です。微小時間 \(\Delta t\) の間の変位が \(\Delta x\) のとき、\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) です。
• 電流の定義: 電流は、電荷の時間的な変化率（単位時間あたりに通過する電荷）です。微小時間 \(\Delta t\) の間に通過する電荷が \(\Delta Q\) のとき、\(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\) です。
• 対応関係の利用: すでに \(x \leftrightarrow Q\) の対応がわかっています。

具体的な解説と立式

• 空欄 ケ: 小球の速度 \(v\) の定義式は、
  $$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \quad (\text{ケ}) $$
• 空欄 コ:
  回路を流れる電流 \(I\) の定義式は、
  $$ I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} $$
  問題文では、この \(I\) が空欄 コ に入ります。
  速度の定義式 \(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) と電流の定義式 \(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\) を比較します。
  すでに \(x \leftrightarrow Q\) であることがわかっているので、変位の時間変化率である \(v\) は、電荷の時間変化率である \(I\) に対応します。
  したがって、\(v\) は \(I\) (コ) に対応します。

速度とは「位置が時間とともにどれだけ変わるか」を表す量です。一方、電流とは「電荷が時間とともにどれだけ流れるか」を表す量です。
「位置 \(x\)」が「電荷 \(Q\)」に対応していたので、「位置の変化率である速度 \(v\)」は「電荷の変化率である電流 \(I\)」に対応します（ケ、コ）。

ケは \(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)、コは \(I\) となります。定義式の比較から導かれる妥当な結果です。

空欄 サ

思考の道筋とポイント
小球の運動エネルギーに対応する、コイルに蓄えられるエネルギーの式を導きます。これまでに見つけた物理量の対応関係を、運動エネルギーの公式に適用します。
この設問における重要なポイント

• 運動エネルギー: 質量 \(m\)、速度 \(v\) の物体の運動エネルギーは \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) です。
• 対応関係の利用: これまでにわかった対応関係 \(m \leftrightarrow L\) と \(v \leftrightarrow I\) を使います。

具体的な解説と立式

• 空欄 サ:
  小球の運動エネルギーの公式は、
  $$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$
  この式に、対応関係 \(m \leftrightarrow L\) と \(v \leftrightarrow I\) を代入（置き換え）します。
  すると、運動エネルギーに対応する電気的なエネルギーの式が得られます。
  $$ \frac{1}{2}LI^2 \quad (\text{サ}) $$
  これがコイルに蓄えられるエネルギー（磁気エネルギー）の式です。

物体の運動エネルギーの公式は \(\frac{1}{2}mv^2\) です。これに対応する電気の世界のエネルギーを考えます。
これまでの対応関係から、「質量 \(m\)」を「コイルの \(L\)」に、「速度 \(v\)」を「電流 \(I\)」に置き換えてみます。
すると、\(\frac{1}{2}LI^2\) という式が出来上がります。これがコイルが蓄えるエネルギーの公式です（サ）。

サは \(\displaystyle\frac{1}{2}LI^2\) となります。物理量の対応関係から正しく導かれており、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物理現象の間の対応関係:
  • 核心: この問題の最も重要なテーマは、力学における「単振動」と、電磁気学における「LC電気振動」という、一見すると全く異なる二つの現象が、その振る舞いを記述する数理モデルにおいて驚くほどよく似ている（同じ形の方程式で記述される）という点です。
  • 理解のポイント: この対応関係を理解することで、一方の現象で得た直感や知識（例：重いおもりはゆっくり動く）を、もう一方の現象の理解（例：インダクタンスの大きいコイルは電流がゆっくり変化する）に応用することができます。物理学の美しさや普遍性を感じられる好例です。
• 現象を支配する根本法則の比較:
  • 核心: この対応関係は、それぞれの現象の根本法則である「運動方程式（\(ma=-kx\)）」と「LC回路の回路方程式（\(L(dI/dt) = -Q/C\)）」を比較することで、最も明確に理解できます。
  • 理解のポイント: どちらの式も「(慣性項)×(変化の加速度) = -(復元項)×(変位)」という構造をしています。この構造的な同一性が、二つの現象が同じように振動する根本的な理由です。各項に対応する物理量を整理することが、この問題を解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 減衰振動とRLC回路: ばねの単振動に空気抵抗や摩擦（速度に比例する抵抗力 \(-bv\)）が加わると「減衰振動」になります。これに対応するのが、LC回路に抵抗 \(R\) を加えた「RLC回路」です。抵抗力 \(-bv\) と抵抗による電圧降下 \(-RI = -R(dQ/dt)\) が対応し、どちらもエネルギーを消費して振動を減衰させる役割を担います。
  • 強制振動と交流RLC回路: ばねの単振動に周期的な外力 \(F\cos(\omega t)\) を加えると「強制振動」になります。これに対応するのが、LC回路に交流電源 \(V\cos(\omega t)\) を接続した回路です。どちらの系も、駆動周波数が固有振動数に近づくと「共振」という現象が起こります。
  • 単振り子やU字管の液面振動: これらも近似的に単振動とみなせるため、LC電気振動との対応関係を考える問題が出題される可能性があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 二つの現象の「主役」は何かを特定する: 単振動では物体の「位置 \(x\)」、電気振動ではコンデンサーの「電荷 \(Q\)」が、振動の状態を表す最も基本的な量（変位）となります。
  2. 「慣性」と「復元力」に相当する要素を探す:
     • 慣性（動きにくさ、変化しにくさ）: 質量 \(m\)、自己インダクタンス \(L\)
     • 復元力（元に戻そうとする性質）: ばね定数 \(k\)、電気容量の逆数 \(1/C\)
  3. エネルギーの形を比較する:
     • 位置エネルギーに相当するもの: ばねの弾性エネルギー \(\frac{1}{2}kx^2\)、コンデンサーの静電エネルギー \(\frac{Q^2}{2C}\)
     • 運動エネルギーに相当するもの: 小球の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\)、コイルの磁気エネルギー \(\frac{1}{2}LI^2\)

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(k\) と \(C\) の対応の誤り:
  • 誤解: ばね定数 \(k\) を、電気容量 \(C\) にそのまま対応させてしまう。
  • 対策: 物理的な役割を考えましょう。ばね定数 \(k\) が大きい（ばねが硬い）ほど、振動は速くなります。一方、電気容量 \(C\) が大きいほど、電荷をたくさん溜められる（電圧が上がりにくい）ため、振動はゆっくりになります。したがって、\(k\) と \(C\) は逆の性質を持ち、正しくは \(k \leftrightarrow 1/C\) と対応します。周波数の公式 \(f \propto \sqrt{k}\) と \(f \propto 1/\sqrt{C}\) を比較しても確認できます。
• エネルギーの式の混同:
  • 誤解: コンデンサーのエネルギーを \(\frac{1}{2}CQ^2\) としたり、コイルのエネルギーを \(\frac{1}{2}L^2I\) としたりする。
  • 対策: エネルギーの公式は正確に覚えましょう。特にコンデンサーのエネルギーは \(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\) と3通りの形がありますが、今回の比較では \(Q\) を主役（\(x\)に対応）と考えるため、\(\frac{Q^2}{2C}\) の形を使うのが最も分かりやすいです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 対応表を作成する: 問題を解きながら、以下のような対応表を自分で作成すると、思考が整理され、ミスを防ぐことができます。
    

    力学（単振動）	物理的な意味	電気（LC振動）
    変位 \(x\)	基準からのズレ	電荷 \(Q\)
    速度 \(v\)	ズレの変化率	電流 \(I\)
    質量 \(m\)	慣性（動きにくさ）	自己インダクタンス \(L\)
    ばね定数 \(k\)	復元力の強さ	電気容量の逆数 \(1/C\)
    位置エネルギー \(\frac{1}{2}kx^2\)	蓄えられるエネルギー	静電エネルギー \(\frac{Q^2}{2C}\)
    運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\)	運動に伴うエネルギー	磁気エネルギー \(\frac{1}{2}LI^2\)

  • 振動の様子の段階的な図示: ばねが最も伸びた状態（運動エネルギー0）から、自然長を通過する状態（位置エネルギー0）、最も縮んだ状態までを段階的に図示し、それに対応するLC回路の状態（コンデンサーの充電が最大、電流が最大、逆向きに充電が最大）を図示して並べることで、エネルギーの移り変わりの様子を視覚的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 単振動の運動方程式 \(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\) / LC回路の回路方程式 \(L\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{1}{C}Q = 0\) (別解):
  • 選定理由: これらは、それぞれの現象のダイナミクス（時間変化）を支配する最も根本的な法則だからです。この方程式を立てて比較することが、対応関係を最も論理的かつ体系的に理解する方法です。
  • 適用根拠: 運動方程式はニュートンの第2法則、回路方程式はキルヒホッフの第2法則（電磁誘導の法則を含む）という、それぞれの分野の基本法則から導出されます。
• 周波数やエネルギーの公式 (主たる解法):
  • 選定理由: 上記の微分方程式を解くことによって得られる、現象の巨視的な性質（全体としてどのくらいの速さで振動するか、エネルギーはどのような形で表されるか）をまとめた公式です。微分方程式を直接扱わなくても、これらの公式を比較することで、間接的に対応関係を見つけることができます。
  • 適用根拠: それぞれの公式は、微分方程式の解として数学的に導出されるか、あるいは実験的に確立されたものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

• 主たる解法（公式比較アプローチ）のフロー:
  1. 周波数の比較: \(f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) と \(f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) を並べて書く。
  2. 数式の同じ位置にある物理量を対応させる → \(m \leftrightarrow L\), \(k \leftrightarrow 1/C\) を見つける。
  3. 位置エネルギーの比較: \(U_k = \frac{1}{2}kx^2\) と \(U_C = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}(\frac{1}{C})Q^2\) を並べて書く。
  4. \(k \leftrightarrow 1/C\) の対応を使えば、残りの \(x \leftrightarrow Q\) が見つかる。
  5. 運動エネルギーの比較: \(K = \frac{1}{2}mv^2\) に、すでに見つけた対応 \(m \leftrightarrow L\) と \(v \leftrightarrow I\) (定義式から明らか) を適用し、コイルのエネルギーが \(\frac{1}{2}LI^2\) であることを導く。
• 別解（支配方程式アプローチ）のフロー:
  1. 方程式の立式: 単振動の運動方程式 \(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\) と、LC回路の回路方程式 \(L\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{1}{C}Q = 0\) をそれぞれ導出する。
  2. 係数と変数の比較: 2つの方程式の形が同じであることを確認し、対応する位置にある物理量をすべてリストアップする。(\(x \leftrightarrow Q\), \(m \leftrightarrow L\), \(k \leftrightarrow 1/C\))
  3. 他の物理量への展開: 見つけた対応関係を、エネルギーや周波数などの他の物理量の公式に適用し、すべての空欄を埋める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の扱いに注意: 振動数の公式には平方根が含まれます。分母にあるのか分子にあるのか、ルートの中か外か、を正確に記憶・記述しましょう。
• 逆数の関係を明確に: \(k\) と \(1/C\) の対応は特に間違いやすいポイントです。なぜ逆数になるのかを物理的な意味（硬い⇔速い、容量大⇔遅い）で一度理解しておくと、公式を丸暗記するよりもミスが減ります。
• 対応関係の一貫性を確認する: 一つの対応（例：\(m \leftrightarrow L\)）を見つけたら、それが他のすべての対応（エネルギー、周波数など）と矛盾なく成り立っているかを確認する癖をつけると、検算になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との照らし合わせ:
  • 慣性: 「質量\(m\)が大きいと動きにくい」という直感は、「自己インダクタンス\(L\)が大きいと電流が変化しにくい」という現象とよく合っています。コイルは「電流の慣性」を持つ、と表現されることもあります。
  • 復元力/反発力: 「ばね定数\(k\)が大きいと強く元に戻ろうとする」という直感は、「電気容量\(C\)が小さいと、少しの電荷で大きな電圧（反発力）が生じる」という現象とよく合っています。\(k \leftrightarrow 1/C\) という対応は、この直感とも一致します。
• 別解との比較:
  • この問題では、「公式を個別に比較する方法」と「根本の支配方程式を比較する方法」がありました。後者のアプローチは、なぜ前者でうまくいくのか、という理由を説明してくれます。このように、異なる階層の解法を比較検討することで、現象の理解が表層的なものから、より本質的なものへと深まっていきます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

1.1万+YouTube登録者

6プレミアムパック

14年指導歴

🎯高校物理の全6分野、プレミアムパックが完成しました。制作の記録を見る →

指導哲学を読む個別指導についてYouTubeチャンネル