「重要問題集」徹底解説（146〜150問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題146 (京都工繊大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、複数のコンデンサーとコイル、スイッチを含む複雑な回路における「過渡現象」と「電気振動」を扱う問題です。前半ではRC回路の充電過程、後半ではLC回路の電気振動と、それらが組み合わさった現象を解析します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「過渡現象と電気振動の複合解析」です。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチ\(S_1\)を閉じた「直後」を考えます。この瞬間、どのコンデンサーにも電荷は蓄えられていません。したがって、コンデンサー\(C_1\)と\(C_2\)の両端の電圧はともに\(0\)です。電圧が\(0\)のコンデンサーは、電気的には単なる導線（ショート状態）と見なせます。
この設問における重要なポイント

• スイッチ操作直後のコンデンサーは、電荷が\(0\)なので電圧も\(0\)。電気的には「導線」として扱える。
• キルヒホッフの法則IIを適用する。

具体的な解説と立式
\(S_1\)を閉じた直後、\(C_1\)と\(C_2\)の電気量はともに\(0\)なので、それぞれの電圧\(V_1, V_2\)も\(0\)です。
$$ V_1 = 0, \quad V_2 = 0 $$
このとき、回路は電池\(V_0\)、抵抗\(R\)、そして導線とみなせる\(C_1, C_2\)から構成されます。キルヒホッフの法則IIを閉回路に適用すると、
$$ V_0 – RI – V_1 – V_2 = 0 $$
ここに \(V_1=0, V_2=0\) を代入します。
$$ V_0 – RI – 0 – 0 = 0 $$

上記の関係式を電流\(I\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
RI &= V_0 \\[2.0ex]
I &= \frac{V_0}{R}
\end{aligned}
$$

スイッチを入れた瞬間、空っぽのコンデンサーたちは電気を欲しがって、まるで抵抗がないかのように振る舞います。そのため、この瞬間だけはコンデンサーをただの電線と考えて回路を計算できます。回路には電池\(V_0\)と抵抗\(R\)しかないので、オームの法則から電流は \(V_0/R\) となります。

\(S_1\)を閉じた直後の電流は \(\displaystyle\frac{V_0}{R}\) です。RC回路の充電開始時の特性を問う基本的な問題です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問は難易度が高いです。キルヒホッフの法則IIの式を時間で微分するという考え方を用います。
1. \(\displaystyle\frac{\Delta V_1}{\Delta t}\) の計算: \(S_1\)を閉じた直後の電流 \(I = V_0/R\) が、コンデンサー\(C_1\)を充電する電流となります。電流と電気量の関係 \(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\)、およびコンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を用いて、電圧の変化率を求めます。
2. \(\displaystyle\frac{\Delta V_R}{\Delta t}\) の計算: キルヒホッフの法則IIの式 \(V_0 – V_R – V_1 – V_2 = 0\) を考えます。\(V_0\)は一定なので、この式の時間変化を考えると、各電圧の変化率の間に成り立つ関係式が得られます。
この設問における重要なポイント

• 電流は電荷の時間変化率: \(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\)
• コンデンサーの電圧変化率: \(\displaystyle\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{1}{C}\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{I}{C}\)
• キルヒホッフの法則の時間微分: \(\displaystyle\frac{\Delta V_R}{\Delta t} + \frac{\Delta V_1}{\Delta t} + \frac{\Delta V_2}{\Delta t} = 0\)

具体的な解説と立式
\(\displaystyle\frac{\Delta V_1}{\Delta t}\) の計算:
\(S_1\)を閉じた直後、抵抗を流れる電流 \(I = V_0/R\) がそのままコンデンサー\(C_1\)と\(C_2\)に流れ込みます。\(C_1\)に流れ込む電流を\(I\)とすると、微小時間\(\Delta t\)の間に\(C_1\)に蓄えられる電気量\(\Delta Q_1\)は \(\Delta Q_1 = I \Delta t\)。
また、\(\Delta Q_1 = C \Delta V_1\) の関係があるので、
$$ C \Delta V_1 = I \Delta t $$
この式を \(\displaystyle\frac{\Delta V_1}{\Delta t}\) について解き、\(I=V_0/R\)を代入します。
$$ \frac{\Delta V_1}{\Delta t} = \frac{I}{C} = \frac{V_0}{RC} $$

\(\displaystyle\frac{\Delta V_R}{\Delta t}\) の計算:
キルヒホッフの法則IIより、\(V_0 – V_R – V_1 – V_2 = 0\)。
この式の時間変化を考えると、\(V_0\)は定数なので変化率は\(0\)です。
$$ 0 – \frac{\Delta V_R}{\Delta t} – \frac{\Delta V_1}{\Delta t} – \frac{\Delta V_2}{\Delta t} = 0 $$
直列に接続されたコンデンサー\(C_1, C_2\)には同じ電流が流れるため、同じ時間で蓄えられる電気量も等しくなります。\(C_1, C_2\)の容量は等しいので、電圧の変化率も等しくなります。
$$ \frac{\Delta V_1}{\Delta t} = \frac{\Delta V_2}{\Delta t} $$
したがって、
$$ \frac{\Delta V_R}{\Delta t} = – \left( \frac{\Delta V_1}{\Delta t} + \frac{\Delta V_2}{\Delta t} \right) = -2 \frac{\Delta V_1}{\Delta t} $$
先に求めた \(\displaystyle\frac{\Delta V_1}{\Delta t} = \frac{V_0}{RC}\) を代入します。
$$ \frac{\Delta V_R}{\Delta t} = – \frac{2V_0}{RC} $$

立式の通りです。

電圧の変化の速さ（変化率）を考えます。コンデンサーの電圧が上がる速さは、流れ込む電流の大きさに比例します。閉じた直後は最大の電流\(V_0/R\)が流れ込むので、電圧の上昇スピードも最大になります。
一方、抵抗にかかる電圧は、回路全体の電圧のバランスをとる役割があります。コンデンサーの電圧が上昇していく分、抵抗の電圧は減少していかなければなりません（合計値が\(V_0\)で一定のため）。コンデンサーが2つあるので、抵抗の電圧は2倍の速さで減少していきます。

\(\displaystyle\frac{\Delta V_1}{\Delta t} = \frac{V_0}{RC}\), \(\displaystyle\frac{\Delta V_R}{\Delta t} = – \frac{2V_0}{RC}\) です。スイッチを入れた直後から電流が減少し始める（抵抗の電圧が下がり始める）という過渡現象の性質を数式で表した、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
スイッチ\(S_1\)を閉じて「十分に時間が経過した」後を考えます。この状態では、コンデンサーの充電が完了し、回路に電流は流れなくなります。したがって、抵抗\(R\)での電圧降下は\(0\)になります。電池の起電力\(V_0\)が、直列に接続された2つのコンデンサー\(C_1, C_2\)に分配されます。
この設問における重要なポイント

• 十分時間が経過した後は、電流が\(0\)。
• 直列コンデンサーの電圧分配：電圧は電気容量の逆比に分配される。この問題では容量が同じなので、電圧は等しく分配される。

具体的な解説と立式
十分時間が経過すると、電流は\(0\)になります。キルヒホッフの法則IIより、
$$ V_0 – R \times 0 – V_1 – V_2 = 0 $$
$$ V_0 = V_1 + V_2 $$
ここで、\(V_1, V_2\)はそれぞれ\(C_1, C_2\)の電圧です。
直列接続されたコンデンサーに蓄えられる電気量は等しくなります。\(Q_1 = Q_2\)。
\(Q=CV\)より、\(C V_1 = C V_2\)。したがって、\(V_1 = V_2\)となります。
よって、
$$ V_0 = V_1 + V_1 = 2V_1 $$
$$ V_1 = V_2 = \frac{V_0}{2} $$
コンデンサー\(C_2\)に蓄えられた電気量\(Q_2\)は、
$$ Q_2 = C V_2 $$

$$
\begin{aligned}
Q_2 = C \times \frac{V_0}{2} = \frac{1}{2}CV_0
\end{aligned}
$$

十分に時間が経つと、回路に電流は流れなくなります。電池の電圧\(V_0\)が、2つの同じコンデンサー\(C_1, C_2\)で分け合われる形になります。同じ性能のコンデンサーなので、電圧はきれいに半分ずつ、\(V_0/2\)ずつ分け合います。\(C_2\)の電気量は、この電圧に容量\(C\)を掛ければ求まります。

\(C_2\)に蓄えられた電気量は \(\displaystyle\frac{1}{2}CV_0\) です。直列コンデンサーの電圧分配の基本問題であり、妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
\(S_1\)を開いた後、\(S_2\)を閉じた「直後」を考えます。この操作の直前、(3)の状態から\(C_2\)には電圧\(V_0/2\)がかかっています。一方、コイルには電流が流れていなかったので、電流は\(0\)です。コイルは電流の変化を妨げる性質があるため、スイッチを閉じた直後も電流は\(0\)のままです。
この設問における重要なポイント

• スイッチ操作直後のコイルは、電流の変化を妨げるため、直前の電流値を維持しようとする（この場合は\(0\)）。
• キルヒホッフの法則IIを適用して、コイルにかかる電圧を求める。

具体的な解説と立式
\(S_2\)を閉じる直前の状態は(3)の結果から、

• \(C_2\)の電圧: \(V_2 = V_0/2\) （上側が正極）
• \(C_3\)の電荷: \(0\) なので電圧 \(V_3=0\)
• コイルの電流: \(I_L=0\)

\(S_2\)を閉じた直後：
コイルは電流を\(0\)に保とうとするため、コイルに流れる電流は \(0\) です。
この瞬間の回路は、電圧\(V_0/2\)の\(C_2\)、電圧\(0\)の\(C_3\)、そしてコイル\(L\)からなります。コイルにかかる電圧を\(V_L\)とします。キルヒホッフの法則IIをこの閉回路に適用します。時計回りにループをたどると、
$$ V_2 + V_L – V_3 = 0 $$
\(t=0\)直後の値を代入すると、
$$ \frac{V_0}{2} + V_L – 0 = 0 $$

$$
\begin{aligned}
V_L = -\frac{V_0}{2}
\end{aligned}
$$
問題では電圧の「大きさ」を問われることが多いため、その場合は絶対値をとります。コイルにかかる電圧の大きさは \(\displaystyle\frac{V_0}{2}\) です。

スイッチを切り替えた瞬間を考えます。コイルは天邪鬼な性質があり、急に電流を流そうとしても「いやだ」と抵抗します。そのため、スイッチを入れた瞬間は電流が流れません（電流\(0\)）。このとき、回路には電圧\(V_0/2\)を持つコンデンサー\(C_2\)とコイルがつながっているので、キルヒホッフの法則から、コイルには\(C_2\)の電圧がそのままかかることになります。

コイルにかかる電圧の大きさは \(\displaystyle\frac{V_0}{2}\)、流れる電流は \(0\) です。LC回路の電気振動開始時の状態を正しく捉えた結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
コイルに生じる自己誘導起電力の公式 \(V_L = -L \displaystyle\frac{\Delta I_L}{\Delta t}\) を用います。(4)で求めた、\(S_2\)を閉じた直後のコイルにかかる電圧 \(V_L\) の値を利用して、電流の変化率 \(\displaystyle\frac{\Delta I_L}{\Delta t}\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 自己誘導起電力の公式: \(V_L = -L \displaystyle\frac{\Delta I_L}{\Delta t}\)
• (4)で求めた電圧の値を代入する。

具体的な解説と立式
(4)で求めたように、\(S_2\)を閉じた直後のコイルにかかる電圧は \(V_L = -V_0/2\) です。
自己誘導起電力の公式は、
$$ V_L = -L \frac{\Delta I_L}{\Delta t} $$
この式を \(\displaystyle\frac{\Delta I_L}{\Delta t}\) について解きます。
$$ \frac{\Delta I_L}{\Delta t} = -\frac{V_L}{L} $$

$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta I_L}{\Delta t} = -\frac{(-V_0/2)}{L} = \frac{V_0}{2L}
\end{aligned}
$$

コイルにかかる電圧は、コイルを流れる電流の「変化の速さ」に比例します。その関係式が \(V_L = -L (\Delta I_L / \Delta t)\) です。(4)で電圧は分かっているので、この式を逆算すれば、電流がどれくらいの勢いで変化し始めるのかが計算できます。

電流の変化率は \(\displaystyle\frac{V_0}{2L}\) です。正の値は、電流が\(0\)から正の向き（図の矢印の向き）に増加し始めることを意味しており、\(C_2\)からの放電の様子と一致し、物理的に妥当です。

問(6)

思考の道筋とポイント
\(C_3\)に流れ込む電流が最大になるとき、電気振動のエネルギーはすべてコイルの磁気エネルギーになっているわけではありません。この問題では、電荷保存則とエネルギー保存則の2つを連立させて解く必要があります。
この設問における重要なポイント

• 電荷保存則: スイッチ\(S_2\)を閉じた後、\(C_2, C_3\)からなる部分は外部から孤立しているため、2つのコンデンサーの電荷の和は一定に保たれる。
• エネルギー保存則: LC回路なので、静電エネルギーと磁気エネルギーの和は一定。
• 電流最大時の条件: 電流が最大になるとき、その時間変化率は\(0\) (\(\displaystyle\frac{\Delta I_L}{\Delta t} = 0\))。したがって、コイルの電圧は\(0\)になる。

具体的な解説と立式
初期状態 (\(t=0\)):

• \(C_2\)の電荷: \(Q_{2, \text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2}CV_0\)
• \(C_3\)の電荷: \(Q_{3, \text{初}} = 0\)
• 孤立系の総電荷: \(Q_{\text{総}} = Q_{2, \text{初}} + Q_{3, \text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2}CV_0\)
• コイルの電流: \(I_L=0\)
• 総エネルギー: \(U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{Q_{2, \text{初}}^2}{2C} + 0 + 0 = \frac{(CV_0/2)^2}{2C} = \frac{1}{8}CV_0^2\)

電流最大時:
電流が最大値 \(I_{\text{最大}}\) をとるとき、コイルの電圧は\(0\)です。キルヒホッフの法則IIより、\(C_2\)と\(C_3\)の電圧は等しくなります。\(V_2 = V_3 = V’\) とおきます。
このときの各コンデンサーの電荷は、

• \(C_2\)の電荷: \(Q_2′ = CV’\)
• \(C_3\)の電荷: \(Q_3′ = CV’\)

電荷保存則の適用:
$$ Q_2′ + Q_3′ = Q_{\text{総}} $$
$$ CV’ + CV’ = \frac{1}{2}CV_0 $$
$$ 2CV’ = \frac{1}{2}CV_0 $$
$$ V’ = \frac{V_0}{4} $$
よって、電流最大時の\(C_3\)の電気量は、
$$ Q_3′ = CV’ = \frac{1}{4}CV_0 $$

エネルギー保存則の適用:
$$ U_{\text{初}} = U_{\text{電流最大時}} $$
$$ \frac{1}{8}CV_0^2 = \frac{1}{2}C(V_2′)^2 + \frac{1}{2}C(V_3′)^2 + \frac{1}{2}LI_{\text{最大}}^2 $$
$$ \frac{1}{8}CV_0^2 = \frac{1}{2}C\left(\frac{V_0}{4}\right)^2 + \frac{1}{2}C\left(\frac{V_0}{4}\right)^2 + \frac{1}{2}LI_{\text{最大}}^2 $$

エネルギー保存の式を \(I_{\text{最大}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{8}CV_0^2 &= 2 \times \frac{1}{2}C\frac{V_0^2}{16} + \frac{1}{2}LI_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{8}CV_0^2 &= \frac{1}{16}CV_0^2 + \frac{1}{2}LI_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}LI_{\text{最大}}^2 &= \left(\frac{1}{8} – \frac{1}{16}\right)CV_0^2 = \frac{1}{16}CV_0^2 \\[2.0ex]
LI_{\text{最大}}^2 &= \frac{1}{8}CV_0^2 \\[2.0ex]
I_{\text{最大}}^2 &= \frac{C}{8L}V_0^2 \\[2.0ex]
I_{\text{最大}} &= V_0 \sqrt{\frac{C}{8L}}
\end{aligned}
$$

この問題は少し複雑です。まず「電荷保存」を考えます。スイッチを切り替えた後、2つのコンデンサーは閉じた世界にいるので、電荷の合計量は変わりません。次に「エネルギー保存」を考えます。最初のエネルギーはすべてコンデンサー\(C_2\)が持っています。電流が最大になるとき、そのエネルギーの一部がコイルに移り、残りが2つのコンデンサーに分けられます。このとき、コイルの電圧は\(0\)なので、2つのコンデンサーの電圧は等しくなります。この2つの保存則を連立方程式のように解くことで、電流の最大値と、そのときの\(C_3\)の電気量が求まります。

電流の最大値は \(V_0 \sqrt{\displaystyle\frac{C}{8L}}\)、そのときのコンデンサー\(C_3\)の電気量は \(\displaystyle\frac{1}{4}CV_0\) です。2つの保存則を正しく適用して得られた結果であり、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 過渡現象の基本:
  • 核心: スイッチを操作した「直後」と「十分な時間が経過した後」で、コンデンサーやコイルの振る舞いが劇的に変わる点です。
    • コンデンサー: 直後は電荷ゼロで「導線」扱い、十分時間後は充電完了で「断線」扱い。
    • コイル: 直後は電流ゼロを維持しようとして「断線」扱い、十分時間後は定常電流で「導線」扱い。
  • 理解のポイント: (1)や(4)は、この基本原則を適用できるかが問われています。
• キルヒホッフの法則（電圧則）:
  • 核心: 任意の閉回路において、電位の変化の代数和はゼロであるという法則です。複雑な回路を解析する際の最も基本的なツールです。
  • 理解のポイント: (2)のように、この法則の式を時間で微分することで、電圧や電流の「変化率」に関する関係式を導くという応用的な使い方もあります。
• 保存則の適用:
  • 核心: 回路の特定の部分が外部から電気的に孤立している場合、その部分の総電荷は保存されます（電荷保存則）。また、抵抗がない閉回路では、静電エネルギーと磁気エネルギーの和は保存されます（エネルギー保存則）。
  • 理解のポイント: (6)のような複雑な状態変化を伴う問題では、運動方程式を解く代わりに、これらの保存則を連立させることで解が得られる場合があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC直列回路の過渡現象: 抵抗、コイル、コンデンサーがすべて直列になった回路でのスイッチ操作。振動しながら減衰する「減衰振動」という現象が起こります。
  • コンデンサーの並列接続: 充電されたコンデンサーを、別のコンデンサーに接続する問題。電荷保存則と、最終的に両者の電圧が等しくなるという条件から、電荷の再配分を計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の状態変化を追う: スイッチ操作の「前」「直後」「途中」「十分時間後」といった時間経過に沿って、回路の状態がどう変化するかを段階的に考えます。
  2. 等価回路を描く: 「直後」や「十分時間後」の極端な状態では、コンデンサーやコイルを導線や断線に置き換えた「等価回路」を描くと、問題が単純化され、見通しが良くなります。
  3. 保存則が使えないか検討する: 回路が複雑で運動方程式やキルヒホッフの法則だけでは解きにくい場合、電荷保存則やエネルギー保存則が成り立っている部分がないかを探します。特に、孤立部分や抵抗のない閉回路は要チェックです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「直後」のコイルとコンデンサーの扱い:
  • 誤解: コイルとコンデンサーの「直後」の振る舞いを混同する。
  • 対策: コンデンサーは「電圧が連続（急に変われない）」、コイルは「電流が連続（急に変われない）」と覚えましょう。したがって、直前の状態が分かっていれば、直後の電圧（C）や電流（L）が分かります。初期状態で電荷や電流が\(0\)なら、Cの電圧は\(0\)、Lの電流は\(0\)のままです。
• キルヒホッフの法則の符号:
  • 誤解: ループを一周する際の、電位の上昇と下降の符号を間違える。
  • 対策: ①ループを回る向き（時計回りなど）を決め、②各素子を通過するときの電位の変化を一つずつ丁寧に考えます。電池は負極→正極で上昇、抵抗は電流の向きと同じなら下降、コンデンサーは正極→負極で下降、とルールを徹底します。コイルの起電力の向きはレンツの法則で判断します。
• 電荷保存則の適用範囲:
  • 誤解: 回路全体で電荷が保存されると勘違いする。
  • 対策: 電荷保存則が成り立つのは、外部との間で電荷のやり取りがない「孤立した部分」だけです。(6)では、\(S_2\)を閉じた後の\(C_2\)と\(C_3\)の接続部分がこれにあたります。電池やアースに繋がっている部分は孤立系ではありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの法則の時間微分 (問2):
  • 選定理由: 電圧や電流の「値」ではなく「変化率」の関係を求めるため。
  • 適用根拠: キルヒホッフの法則はどの瞬間でも成り立っています。したがって、その等式を時間で微分しても、関係は維持されます。\(V_0\)のような定数項は微分すると\(0\)になるため、変化する量だけの関係式を抽出できます。
• 電荷保存則 (問6):
  • 選定理由: 電流最大時の状態を特定するため。エネルギー保存則だけでは未知数が2つ（\(I_{\text{最大}}\)と\(V’\)）残ってしまうため、もう一つ別の法則が必要になります。
  • 適用根拠: \(C_2\)と\(C_3\)で構成される部分は、\(S_2\)を閉じた後は外部から切り離された孤立系となるため、この部分の総電荷は変化しません。
• エネルギー保存則 (問6):
  • 選定理由: 電流最大時の\(I_{\text{最大}}\)を計算するため。
  • 適用根拠: \(C_2, C_3, L\)からなる閉回路には抵抗が含まれていないため、電気的エネルギーの総和は保存されます。初期状態のエネルギーと電流最大時のエネルギーを等しいとおくことで、関係式を立てることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 初期条件の整理:
  • 特に注意すべき点: (4)以降を解く前に、(3)で確定した「\(S_2\)を閉じる直前」の状態（各コンデンサーの電荷・電圧、コイルの電流）を明確に書き出しておくことが、ミスを防ぐ上で非常に重要です。
  • 日頃の練習: スイッチ操作を伴う問題では、操作前後の状態を必ず図や箇条書きで整理する癖をつける。
• 保存則の立式:
  • 特に注意すべき点: (6)では、エネルギー保存と電荷保存の2つの式を立てます。それぞれの式で、どの瞬間のどの物理量を足し合わせているのかを明確に意識しましょう。特に電荷保存では、極板の正負を考慮して和をとる必要があります。
  • 日頃の練習: 保存則を立てる際は、「初期状態 = 後の状態」という見出しをつけ、それぞれの状態でどのエネルギー（または電荷）が存在するのかをリストアップしてから式を立てる。
• 連立方程式の処理:
  • 特に注意すべき点: (6)のように未知数が複数ある場合は、どの式からどの変数を求め、次にどう代入していくか、計算の見通しを立ててから取り掛かるとスムーズです。
  • 日頃の練習: 複雑な連立方程式を解く前に、簡単な言葉で「まず電荷保存から電圧を求めて、それをエネルギー保存に代入しよう」といった計画を立てる練習をする。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 変化率の符号: \(\displaystyle\frac{\Delta V_R}{\Delta t}\)が負になったのは、スイッチオン直後から電流が減少し始める（抵抗での電圧降下が減り始める）ことを意味します。これはRC回路の充電電流が指数関数的に減少するグラフの形と一致しており、妥当です。
  • (6) 電流最大時の電荷: 電流が最大のときでも、コンデンサー\(C_3\)に電荷が残っている（\(Q_3 \neq 0\)）という結果になりました。これは、振動の中心が電荷\(0\)の状態からずれていることを示唆します。初期状態で電荷が\(C_2\)に偏っていたため、振動中も電荷の総和を保つために、このような振る舞いになるのは物理的に理にかなっています。

問題147 (神戸大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、質量分析装置の原理を扱っています。イオンを電場で加速し、磁場で円運動させることで、その軌道半径や必要な磁場の大きさからイオンの質量を特定する仕組みを理解することが目的です。エネルギー保存則と円運動の運動方程式という、力学の基本法則を電磁気学の状況に応用する問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「質量分析装置の原理」です。

問(1)

思考の道筋とポイント
陽イオンはSから出て加速された後、右向きに磁場領域に入射し、円軌道を描いてDに向かいます。この円運動の中心は、軌道の下側にあります。円運動をするためには、常に円の中心方向、すなわち図の下向きに力が働く必要があります。この力の正体はローレンツ力です。陽イオンの運動方向（電流の向きとみなせる）と、力の向き（下向き）から、フレミングの左手の法則を用いて磁場の向きを決定します。
この設問における重要なポイント

• 円運動には中心向きの力（向心力）が必要。
• 陽イオンが受ける向心力はローレンツ力。
• フレミングの左手の法則の適用。

具体的な解説と立式

1. 陽イオンは磁場に右向きに運動して入射します。これは右向きの電流とみなせます。
2. 円軌道を描くためには、常に軌道の中心（図の下側）に向かって力が働く必要があります。
3. フレミングの左手の法則において、電流の向きを中指（右向き）、力の向きを親指（下向き）に合わせると、磁場の向きを示す人差し指は、紙面の裏から表に向かう向きになります。

向きの判断なので、計算はありません。

イオンがカーブするためには、カーブの内側に向かって力を受け続ける必要があります。この力はローレンツ力です。フレミングの左手の法則は「電・磁・力」の向きの関係を示します。イオンの進行方向が「電」、力の向きがカーブの内側なので、残りの「磁」の向きが決まります。

磁場の向きは、紙面に垂直で裏から表に向かう向きです。

問(2)

思考の道筋とポイント
イオンは、イオン源Sを出た直後は静止していると考え、電位差 \(V\) によって加速されます。この過程で、静電気力がする仕事がすべてイオンの運動エネルギーに変わると考えます。仕事と運動エネルギーの関係式（またはエネルギー保存則）を立てて、速さ \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 静電気力がする仕事: \(W = qV\)
• 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}Mv^2\)
• 仕事と運動エネルギーの関係: \(W = \Delta K\)

具体的な解説と立式
電荷 \(q\) のイオンが電位差 \(V\) で加速されるとき、静電気力からされる仕事 \(W\) は、
$$ W = qV $$
この仕事によって、イオンの運動エネルギーは\(0\)から \(\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2\) に増加します。仕事と運動エネルギーの変化の関係より、
$$ \frac{1}{2}Mv^2 – 0 = qV $$

上記の関係式を \(v\) について解きます。\(v>0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2qV}{M} \\[2.0ex]
v &= \sqrt{\frac{2qV}{M}}
\end{aligned}
$$

イオンは電場によって坂道を転がり落ちるように加速されます。このとき、位置エネルギー（\(qV\)）が運動エネルギー（\(\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2\)）に変換されると考えることができます。このエネルギー保存の式を立てて、速さ \(v\) を求めます。

速さ \(v\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2qV}{M}}\) です。加速電圧 \(V\) が大きいほど、また質量 \(M\) が小さいほど速くなるという、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
磁場中に入射したイオンは、ローレンツ力を向心力として等速円運動をします。円運動の運動方程式を立て、軌道半径 \(r\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• ローレンツ力の大きさ: \(F = qvB\)
• 向心力の大きさ: \(F_c = M\displaystyle\frac{v^2}{r}\)
• 円運動の運動方程式: \(M\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\)

具体的な解説と立式
イオンが受けるローレンツ力の大きさ \(F_L\) は、
$$ F_L = qvB $$
この力が向心力として働き、半径 \(r\) の円運動をさせるので、運動方程式は以下のようになります。
$$ M\frac{v^2}{r} = qvB $$

上記の関係式を \(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
M\frac{v}{r} &= qB \\[2.0ex]
r &= \frac{Mv}{qB}
\end{aligned}
$$

イオンが磁場の中で安定して円を描き続けるためには、常に円の中心に向かって引っ張る力（向心力）が必要です。この役割をローレンツ力が担っています。「向心力として必要な力 = ローレンツ力」という等式を立て、これを半径 \(r\) について解きます。

円軌道の半径は \(r = \displaystyle\frac{Mv}{qB}\) です。質量 \(M\) や速さ \(v\) が大きいほど曲がりにくく（半径が大きく）、磁場 \(B\) や電荷 \(q\) が大きいほど曲がりやすい（半径が小さく）という、直感と一致する結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
この質量分析装置では、イオンの入射点Sと検出点Dが固定されているため、円運動の半径 \(r\) は常に一定です。質量 \(M\)、磁束密度 \(B\) の場合と、質量 \(M’\)、磁束密度 \(B’\) の場合で、それぞれ半径 \(r\) を表す式を立てます。このとき、(2)で求めた速さ \(v\) の式を代入し、\(v\) を含まない形で \(r\) を表現します。半径が等しいという条件から、2つの式を等しいとおき、\(M’/M\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 装置の構造から、軌道半径 \(r\) は一定である。
• (2)と(3)で求めた関係式を連立させ、\(v\) を消去する。

具体的な解説と立式
(3)で求めた半径の式 \(r = \displaystyle\frac{Mv}{qB}\) に、(2)で求めた速さの式 \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{2qV}{M}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
r &= \frac{M}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{M}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{B} \sqrt{\frac{M^2}{q^2} \frac{2qV}{M}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2MV}{q}} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
この式は、質量 \(M\)、磁束密度 \(B\) のイオンが描く円軌道の半径を表します。
同様に、質量 \(M’\)、磁束密度 \(B’\) のイオンが同じ半径 \(r\) の軌道を描くためには、次の関係が成り立ちます。
$$ r = \frac{1}{B’} \sqrt{\frac{2M’V}{q}} \quad \cdots ② $$
半径 \(r\) は一定なので、①式と②式は等しくなります。
$$ \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2MV}{q}} = \frac{1}{B’} \sqrt{\frac{2M’V}{q}} $$

上記の関係式の両辺を2乗し、共通項を消去して \(M’/M\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{B^2} \frac{2MV}{q} &= \frac{1}{(B’)^2} \frac{2M’V}{q} \\[2.0ex]
\frac{M}{B^2} &= \frac{M’}{(B’)^2} \\[2.0ex]
\frac{M’}{M} &= \frac{(B’)^2}{B^2} = \left(\frac{B’}{B}\right)^2
\end{aligned}
$$

この装置は、特定の半径のカーブを曲がりきれたイオンだけを検出する仕組みです。イオンの曲がりやすさは、その質量と、磁場の強さで決まります。重いイオンは曲がりにくいですが、磁場を強くすれば同じカーブを曲がれるようになります。この関係を数式で整理すると、質量が磁場の強さの2乗に比例するというシンプルな関係が出てきます。

求める比は \(\displaystyle\frac{M’}{M} = \left(\frac{B’}{B}\right)^2\) です。この式から、検出されるイオンの質量は、磁束密度の2乗に比例することがわかります。これがこの質量分析装置の測定原理です。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で導いた関係式 \(\displaystyle\frac{M’}{M} = (\frac{B’}{B})^2\) を利用します。質量 \(M\) と質量数 \(A\) は比例すると考えられるので、\(\displaystyle\frac{M’}{M} = \frac{A’}{A}\) と置き換えることができます。
1. 下限と上限の計算: 基準となる状態（\(B=1.00 \times 10^{-1}\) T のときに質量数 \(A=50\)）と、磁束密度の下限値・上限値を用いて、測定可能な質量数の下限と上限を計算します。
2. 質量数の差の計算: 2つの異なる磁束密度の値 \(B’\) と \(B”\) に対応する質量数 \(A’\) と \(A”\) をそれぞれ計算し、その差を求めます。
この設問における重要なポイント

• 質量と質量数は比例する: \(M \propto A\)。
• (4)の関係式を質量数で書き換える: \(\displaystyle\frac{A’}{A} = (\frac{B’}{B})^2\)。

具体的な解説と立式
(4)の結果より、\(M \propto B^2\) です。質量数 \(A\) は質量 \(M\) に比例するので、\(A \propto B^2\) となります。
基準の状態を \(A_0=50\), \(B_0=1.00 \times 10^{-1}\) T とします。
ある磁束密度 \(B\) のときに検出される質量数 \(A\) は、
$$ \frac{A}{A_0} = \left(\frac{B}{B_0}\right)^2 \quad \text{より} \quad A = A_0 \left(\frac{B}{B_0}\right)^2 $$

下限と上限:
磁束密度の範囲は \(1.00 \times 10^{-1} \, \text{T} \le B \le 2.00 \times 10^{-1} \, \text{T}\) です。

• 下限（\(B = 1.00 \times 10^{-1}\) T のとき）:
  $$
  \begin{aligned}
  A_{\text{下限}} &= 50 \left(\frac{1.00 \times 10^{-1}}{1.00 \times 10^{-1}}\right)^2 \\[2.0ex]
  &= 50
  \end{aligned}
  $$
• 上限（\(B = 2.00 \times 10^{-1}\) T のとき）:
  $$
  \begin{aligned}
  A_{\text{上限}} &= 50 \left(\frac{2.00 \times 10^{-1}}{1.00 \times 10^{-1}}\right)^2 \\[2.0ex]
  &= 50 \times 2^2 \\[2.0ex]
  &= 200
  \end{aligned}
  $$

質量数の差:

• \(B’ = 2.00 \times 10^{-1}\) T のときの質量数 \(A’\) は、上限と同じで \(A’=200\)。
• \(B” = 1.99 \times 10^{-1}\) T のときの質量数 \(A”\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  A” &= 50 \left(\frac{1.99 \times 10^{-1}}{1.00 \times 10^{-1}}\right)^2 \\[2.0ex]
  &= 50 \times (1.99)^2
  \end{aligned}
  $$

求める差は \(A’ – A”\) です。

質量数の差の計算:
$$
\begin{aligned}
A’ – A” &= 200 – 50 \times (1.99)^2 \\[2.0ex]
&= 50 \times 4 – 50 \times (1.99)^2 \\[2.0ex]
&= 50 \times (2^2 – 1.99^2) \\[2.0ex]
&= 50 \times (2 – 1.99)(2 + 1.99) \\[2.0ex]
&= 50 \times (0.01) \times (3.99) \\[2.0ex]
&= 0.5 \times 3.99 \\[2.0ex]
&= 1.995
\end{aligned}
$$
問題の有効数字を考慮すると、答えは約\(2\)となります。

(4)で質量は磁場の強さの2乗に比例することがわかったので、あとは具体的な数値を代入して計算するだけです。基準となる磁場と質量数が分かっているので、比例計算で他の場合の質量数を求めることができます。質量数の差を計算するときは、\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) の因数分解公式を使うと計算が楽になります。

測定可能な質量数の下限は\(50\)、上限は\(200\)です。
磁束密度 \(2.00 \times 10^{-1}\) T と \(1.99 \times 10^{-1}\) T で検出される陽イオンの質量数の差は、約\(2\)です。計算はすべて(4)の結論に基づいており、論理的に一貫しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 仕事と運動エネルギーの関係（エネルギー保存則）:
  • 核心: イオンが電位差 \(V\) の電場で加速される過程で、静電気力がする仕事 \(qV\) がすべて運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2\) に変換される、というエネルギー保存の関係です。これが、イオンの速さを決定する第一の原理となります。
  • 理解のポイント: (2)の立式 \(\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2 = qV\) は、この法則を直接表現したものです。電磁気学の問題でありながら、根底にあるのは力学のエネルギー保存則です。
• ローレンツ力と円運動の運動方程式:
  • 核心: 磁場中に入ったイオンが、磁場から受けるローレンツ力 \(qvB\) を向心力として等速円運動をする、という現象です。運動方程式 \(M\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) が、イオンの軌道を決定する第二の原理となります。
  • 理解のポイント: (3)はこの運動方程式を立てる問題です。ローレンツ力は常に速度と垂直なため仕事をせず、イオンの速さを変えない（=等速円運動）という点も重要です。
• 装置の構造による束縛条件:
  • 核心: この質量分析装置は、イオンの入射点Sと検出点Dが固定されているため、イオンが描く半円の半径 \(r\) が、装置の構造によって決まる一定値である、という点です。
  • 理解のポイント: (4)では、この「\(r\)が一定」という条件が、異なる質量のイオンを分析するための鍵となります。この条件があるからこそ、質量 \(M\) と磁束密度 \(B\) の関係式を導くことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 速度選択器（ベインチューブ）: 電場と磁場を垂直にかけ、ローレンツ力と静電気力がつりあう（\(qvB = qE\)）特定の速さ \(v=E/B\) の粒子だけを直進させる装置。質量分析装置の前段として用いられることが多いです。
  • サイクロトロン: 磁場中で粒子を円運動させながら、電場で繰り返し加速させる装置。円運動の周期が速さや半径によらない（\(T = 2\pi M / qB\)）ことを利用します。
  • ホール効果: 導体中の荷電粒子がローレンツ力を受けることで電位差が生じる現象。これもローレンツ力と電場（ホール電場）のつり合いを考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動のフェーズを分割する: イオンの運動を「加速フェーズ（電場中）」と「円運動フェーズ（磁場中）」の2段階に分けて考えます。それぞれのフェーズで働く力と適用すべき物理法則が異なります。
  2. 保存則をまず考える: 力学の問題と同様に、まずエネルギー保存則や運動量保存則が使えないかを検討します。この問題では、加速フェーズでエネルギー保存則が有効です。
  3. 力のつり合い・運動方程式を考える: 次に、粒子に働く力をすべて図示し、運動方程式（または力のつり合いの式）を立てます。円運動フェーズでは、ローレンツ力が向心力となる運動方程式が中心となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速さの式の代入ミス:
  • 誤解: (4)で \(r\) の式を導出する際に、\(v\) の式を代入し忘れたり、計算を間違えたりする。
  • 対策: 複数の公式を組み合わせる問題では、まず各段階で必要な式（この問題では\(v\)と\(r\)の式）を個別に正確に導出します。その後、どの変数を消去してどの変数で表すのか、問題の要求を再確認してから代入・計算を行うと、混乱を防げます。
• 半径 \(r\) が一定であることの見落とし:
  • 誤解: (4)で、質量 \(M\) が \(M’\) に変わると、半径 \(r\) も変わってしまうと考えてしまう。
  • 対策: 問題文や図をよく読み、「検出器Dで検出される」という言葉の意味を考えます。検出器の位置が固定されている以上、そこを通過するためには、イオンは必ず同じ形の軌道（＝同じ半径）を通らなければならない、という装置の構造的な制約を読み取ることが重要です。
• 質量と質量数の混同:
  • 誤解: 質量 \(M\) と質量数 \(A\) を同一視してしまい、単位などを考慮せずに計算する。
  • 対策: 質量 \(M\) の単位は[kg]、質量数 \(A\) は陽子と中性子の個数を表す無次元の数です。ただし、物理的には \(M \propto A\) という比例関係が成り立つため、(4)で導いた質量の「比」の関係式 \(\displaystyle\frac{M’}{M}\) は、そのまま質量数の「比」\(\displaystyle\frac{A’}{A}\) に置き換えることができます。この「比の関係だから置き換えられる」という点を理解しておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2 = qV\) (エネルギー保存):
  • 選定理由: (2)で、電場による加速後の速さを求めるため。これは、電場がした仕事と運動エネルギーの変化を結びつける最も直接的な方法です。
  • 適用根拠: 保存力である静電気力のみが仕事をするため、力学的エネルギー（位置エネルギー＋運動エネルギー）が保存されるという法則に基づきます。
• \(M\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) (円運動の運動方程式):
  • 選定理由: (3)で、磁場中での円運動の軌道半径を求めるため。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則 \(ma=F\) を、円運動（\(a=v^2/r\)）とローレンツ力（\(F=qvB\)）の状況に適用したものです。
• \(\displaystyle\frac{M’}{M} = (\frac{B’}{B})^2\) (測定原理の式):
  • 選定理由: (4)で、装置の測定原理を数式で表現するため。また、(5)の具体的な計算の基礎となります。
  • 適用根拠: 上記の2つの基本法則と、「半径\(r\)が一定」という装置の構造的制約条件を組み合わせて導出された関係式です。これは公式として覚えるのではなく、その場で導出するものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の扱い:
  • 特に注意すべき点: (4)の導出過程で、\(\sqrt{M}\) や \(\sqrt{q}\) といった平方根が出てきます。両辺を2乗して根号を外してから整理すると、計算ミスが減ります。
  • 日頃の練習: 根号を含む式の変形では、焦らずに段階を踏む。特に、根号の外の係数を中に入れる（またはその逆）操作は慎重に行う。
• 比例計算:
  • 特に注意すべき点: (5)では、\(A = k B^2\) のような比例関係を用いて計算します。基準となる値（\(A_0=50, B_0=1.00 \times 10^{-1}\)）を使って比例定数 \(k = A_0/B_0^2\) を求めてから計算すると、間違いが少ないです。
  • 日頃の練習: 比例関係を見つけたら、\(A_1/A_2 = (B_1/B_2)^2\) のような比の式を立てる練習をすると、比例定数を具体的に計算しなくても解ける問題に対応できる。
• 因数分解の活用:
  • 特に注意すべき点: (5)の差の計算で、\(A’ – A” \propto (B’)^2 – (B”)^2\) という形が出てきます。ここで \( (B’)^2 – (B”)^2 = (B’ – B”)(B’ + B”) \) という因数分解公式を利用すると、2乗の計算を避けることができ、計算が大幅に簡略化されます。
  • 日頃の練習: 数値計算を行う前に、式を代数的に整理・変形できないか考える癖をつける。特に、似たような数値の2乗の差が出てきたら、因数分解を試みる。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (4) \(M \propto B^2\): この関係は、「イオンが重い（曲がりにくい）ほど、同じカーブを曲がらせるためには、より強い磁場（より強い力）が必要になる」ことを示しています。しかも、その関係が単純な比例ではなく2乗である、という定量的な結果が得られています。これは物理的に理にかなっています。
  • (5) 測定範囲: 磁場を強くするほど、より重いイオンを検出できるようになる（上限が上がる）という結果は、(4)の比例関係と一致しており、妥当です。
• 次元解析:
  • 導出した式の次元（単位）が、求めている物理量の次元と一致しているかを確認するのも良い検算方法です。例えば、(3)で求めた半径 \(r = Mv/qB\) の次元が長さの次元[L]になっているかを確認してみましょう。
  • \( [r] = \displaystyle\frac{[\text{M}][\text{L}/\text{T}]}{[\text{C}][\text{M}/\text{C}\cdot\text{T}]} = \frac{[\text{M}][\text{L}/\text{T}]}{[\text{M}/\text{T}]} = [\text{L}] \) となり、一致が確認できます。（[B]の単位テスラTは \(N/(A \cdot m)\) などから次元解析すると \([\text{M}/\text{C}\cdot\text{T}]\) となります）

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