「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第28章】基本問題483～494

基本問題

483 電気素量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ミリカンの実験のデータ解析」です。ミリカンの実験によって得られた複数の油滴の電気量のデータから、物理学における基本定数の一つである「電気素量 \(e\)」を推定する、という思考過程を追体験する問題です。この問題の核心は、「全ての電荷は電気素量 \(e\) の整数倍である」という「電荷の量子性」の概念を理解し、実験データに含まれる誤差を考慮しながら、最も確からしい \(e\) の値を統計的に導き出すことにあります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

実験データからの電気素量の推定

思考の道筋とポイント
この問題は、純粋な物理法則の適用というよりは、実験データの解釈と統計的な処理能力が問われる問題です。中心となる考え方は「電荷の量子性」、すなわち「どんな電気量も、”電気の粒”である電気素量 \(e\) が何個か集まったものである」というものです。
したがって、与えられた5つのデータは、すべて \(e\) の整数倍 (\(n_1 e, n_2 e, n_3 e, \dots\)) になっているはずです。もしデータに誤差がなければ、これらの数値の最大公約数が \(e\) になるはずです。
しかし、実際のデータには誤差が含まれているため、きれいな整数倍にはなっていません。そこで、まずはデータ間の差をとることで、\(e\) のおおよその見当をつけます。例えば、\(n_2 e\) と \(n_1 e\) の差は \((n_2 – n_1)e\) となり、これも \(e\) の整数倍になるはずだからです。
この近似値を使って、各データが \(e\) の何倍（整数 \(n\)）に最も近いかを推定し、最後に全データの情報を使って平均値を計算することで、誤差の影響を減らした、より信頼性の高い \(e\) の値を求めます。
この設問における重要なポイント

• 全てのデータ \(q_i\) は、ある整数 \(n_i\) を用いて \(q_i \approx n_i e\) と表せる。
• 隣り合うデータの差 \(q_{i+1} – q_i\) は、\(e\) の（小さな）整数倍の近似値を与える。
• 誤差の影響を最小化するため、最終的には全てのデータを用いた平均計算を行う。

具体的な解説と立式
与えられた5つの油滴の電気量のデータを \(q_1, q_2, q_3, q_4, q_5\) とします。
\(q_1 = 4.74 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(q_2 = 6.41 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(q_3 = 7.95 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(q_4 = 11.27 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(q_5 = 14.31 \times 10^{-19} \, \text{C}\)

ステップ1: 隣り合うデータの差を計算し、\(e\) の近似値を得る

これらのデータは \(e\) の整数倍のはずなので、その差も \(e\) の整数倍になるはずです。
$$
\begin{aligned}
q_2 – q_1 &= (6.41 – 4.74) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 1.67 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
q_3 – q_2 &= (7.95 – 6.41) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 1.54 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
q_4 – q_3 &= (11.27 – 7.95) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 3.32 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
q_5 – q_4 &= (14.31 – 11.27) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 3.04 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
これらの差を見ると、\(1.67 \times 10^{-19}\) と \(1.54 \times 10^{-19}\) は非常に近い値です。また、\(3.32 \times 10^{-19}\) は \(1.66 \times 10^{-19}\) の2倍、\(3.04 \times 10^{-19}\) は \(1.52 \times 10^{-19}\) の2倍に近いです。
これらのことから、電気素量 \(e\) の値はだいたい \(1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\) 付近であると見当がつきます。これを \(e\) の近似値 \(e_{\text{近似}}\) とします。
$$ e_{\text{近似}} \approx 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} $$

ステップ2: 各データが \(e\) の何倍かを推定する

この近似値 \(e_{\text{近似}}\) を使って、各データ \(q_i\) が \(e\) の何倍 (\(n_i\)) に相当するかを計算します。
まず \(q_1\) について、
$$
\begin{aligned}
n_1 &\approx \frac{q_1}{e_{\text{近似}}} \\[2.0ex] &= \frac{4.74 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &\approx 2.96
\end{aligned}
$$
よって、最も近い整数は \(n_1=3\) と推測されます。

同様に、\(q_2\) について、
$$
\begin{aligned}
n_2 &\approx \frac{q_2}{e_{\text{近似}}} \\[2.0ex] &= \frac{6.41 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &\approx 4.01
\end{aligned}
$$
よって、最も近い整数は \(n_2=4\) と推測されます。

\(q_3\) について、
$$
\begin{aligned}
n_3 &\approx \frac{q_3}{e_{\text{近似}}} \\[2.0ex] &= \frac{7.95 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &\approx 4.97
\end{aligned}
$$
よって、最も近い整数は \(n_3=5\) と推測されます。

\(q_4\) について、
$$
\begin{aligned}
n_4 &\approx \frac{q_4}{e_{\text{近似}}} \\[2.0ex] &= \frac{11.27 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &\approx 7.04
\end{aligned}
$$
よって、最も近い整数は \(n_4=7\) と推測されます。

\(q_5\) について、
$$
\begin{aligned}
n_5 &\approx \frac{q_5}{e_{\text{近似}}} \\[2.0ex] &= \frac{14.31 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &\approx 8.94
\end{aligned}
$$
よって、最も近い整数は \(n_5=9\) と推測されます。

このように、各データはそれぞれ \(e\) の3, 4, 5, 7, 9倍に相当すると強く推測されます。

ステップ3: 全データを用いて平均値を計算する

各データ \(q_i\) は \(n_i e\) に等しいはずなので、\(e = \displaystyle\frac{q_i}{n_i}\) です。誤差をならしてより正確な値を求めるため、全てのデータの総和を、対応する整数 \(n_i\) の総和で割るという平均計算を行います。
$$ e = \frac{q_1+q_2+q_3+q_4+q_5}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} $$

ステップ3で立てた式に、数値と推定した整数を代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{(4.74 + 6.41 + 7.95 + 11.27 + 14.31) \times 10^{-19}}{3 + 4 + 5 + 7 + 9} \\[2.0ex] &= \frac{44.68 \times 10^{-19}}{28} \\[2.0ex] &= 1.5957… \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
問題の指示に従い、有効数字3桁で答えます。小数第4位を四捨五入すると、
$$ e \approx 1.60 \times 10^{-19} \, \text{C} $$

この問題は、宝探しの暗号解読に似ています。5つの宝のありか（電気量のデータ）が示されていますが、どれも少しずつずれています（誤差）。しかし、これらの宝はすべて「同じ歩幅（電気素量 \(e\)）」で測った場所にある、というルール（電荷の量子性）があります。
まず、隣り合う宝の間の距離（データの差）を測ってみると、だいたい「1.6歩」かその2倍くらいになっていることがわかります。ここから、基本となる「1歩」はだいたい1.6くらいだろう、と見当をつけます。
次に、この「1歩＝1.6」という情報を使って、それぞれの宝がスタート地点から何歩目にあるのか（\(e\)の何倍か）を推定します（3歩、4歩、5歩、7歩、9歩）。
最後に、5つの宝の場所の合計距離を、歩数の合計で割ることで、より正確な「1歩の長さ（電気素量 \(e\)）」を計算します。たくさんのデータで平均をとることで、一つ一つのズレ（誤差）の影響を小さくできる、というわけです。

実験データから、電気素量 \(e\) は \(1.60 \times 10^{-19} \, \text{C}\) と求められました。これは現在知られている電気素量の値と非常によく一致しており、与えられたデータと解析手法が妥当であったことを示しています。この問題は、物理法則が実験データの中からどのように見出されていくのか、その一端を体験できる良問です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電荷の量子性（電気量の不連続性）:
  • 核心: この問題の根底にある唯一の、そして最も重要な物理法則は「電荷の量子性」です。これは、どんな物体が持つ電気量も、電気素量 \(e\) という最小単位（電気の”粒”）が整数個集まったもの（\(q=ne\), \(n\)は整数）であり、\(1.5e\) のような中途半端な電気量は存在しない、という物理学の根幹をなす原理です。
  • 理解のポイント:
    • この原理があるからこそ、与えられたバラバラに見えるデータ群に「\(e\) の整数倍」という共通の規則性を見出すことができます。
    • データ間の差を取ったり、各データをある値で割ったりする操作は、すべてこの「電荷の量子性」という法則を信じているからこそ行える、意味のある解析手法となります。問題の全てのステップは、この法則を証明・確認するための手順そのものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 原子スペクトルの解析: 原子が放出する光の波長（またはエネルギー）は、とびとびの値（輝線スペクトル）をとります。これらのエネルギーの値から、原子のエネルギー準位という基本構造を推定する問題は、本問と考え方が似ています。
  • 結晶構造の解析: X線回折などで得られたデータから、結晶格子における原子の繰り返し単位（格子定数）を求める問題も、測定データから基本単位を推定するという点で共通しています。
  • より誤差の大きいデータ: 与えられるデータの誤差がもっと大きい場合、隣り合う差を取るだけでは \(e\) の近似値が分かりにくくなります。その場合は、全てのデータをお互いに割り算してみて、その比が簡単な整数比（例: 3:4, 4:5）に近くなるような基本単位を探す、といったより高度な解析が必要になることもあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. データの性質を考える: まず、与えられたデータが「連続的な値」をとるものか、「とびとびの値（量子化された量）」をとるものかを見極めます。「電気量」「エネルギー準位」などは後者の典型例です。
  2. 基本単位のあたりをつける: データがとびとびの値なら、その基本単位（最小単位）がいくらくらいか、あたりをつけます。その最も簡単な方法が「隣り合うデータの差をとる」ことです。差は、基本単位の1倍、2倍、…といった小さな整数倍になる可能性が高いためです。
  3. 各データが基本単位の何倍かを推定する: あたりをつけた基本単位で、元のデータを一つずつ割ってみて、最も近い整数を求めます。この整数が、そのデータが基本単位何個分に相当するかを示します。
  4. 統計処理で精度を上げる: 最後に、全てのデータを使って平均値を計算します。これは、個々のデータに含まれる測定誤差の影響を、平均化によって打ち消し合い、より信頼性の高い値を求めるための常套手段です。油滴の電気量の合計を、対応する整数の合計で割るという計算はその典型です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単純な平均値の計算:
  • 誤解: 与えられた5つの数値を単純に足して5で割る、という算術平均を計算してしまう。
  • 対策: もし単純な算術平均をとると、\(e\) の3倍のデータも9倍のデータも同じ重みで扱ってしまい、物理的に意味のない値が出てしまいます。この問題のデータは「同じものを5回測定した」のではなく、「\(e\) の異なる整数倍を測定した」ものであることを理解することが重要です。したがって、それぞれのデータが \(e\) の何倍であるかを考慮した「重み付き」の平均（今回の場合は、電気量の合計を整数の合計で割る）を計算しなければなりません。
• 整数倍の推定ミス:
  • 誤解: \(e\) の近似値を求める際に、隣り合う差だけを見て判断を誤る。例えば、\(q_4 – q_3 = 3.32 \times 10^{-19}\) を \(e\) の1倍だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 複数の差（\(1.67, 1.54, 3.32, 3.04\)）を総合的に見ることが重要です。明らかに他の値の2倍程度になっているものがあれば、それは基本単位の2倍であると考えるのが自然です。最も小さい差（この場合は \(1.54\)）が基本単位の候補になります。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 計算の途中で数値を丸めすぎてしまい、最終的な答えに誤差が生じる。または、最終的な答えの有効数字を間違える。
  • 対策: 計算途中では、求められている有効数字（3桁）よりも1桁多く（4桁程度）保持して計算を進めるのが鉄則です。最終的な答えを出す段階で、初めて指定された有効数字に四捨五入します。今回の場合、\(1.5957…\) を計算してから、最後に \(1.60\) とします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平均値の計算方法の選定:
  • 選定理由: この問題の目的は、誤差を含む複数の測定値 \(q_i\) と、それに対応すると推測される整数 \(n_i\) の組（\((q_1, n_1), (q_2, n_2), \dots\)）から、最も確からしい基本単位 \(e\) を一つ決定することです。もし \(q_i = n_i e\) という関係が誤差なく成り立つなら、どの組から計算した \(e = q_i / n_i\) も同じ値になるはずです。しかし、実際には誤差があるため、\(q_1/n_1, q_2/n_2, \dots\) は微妙に異なる値になります。これらの情報すべてを公平に利用して \(e\) の最良の推定値を得るための最も標準的な統計的手法が、本問で用いた平均計算です。
  • 適用根拠: この計算は、\(q_1+q_2+q_3+q_4+q_5 = (n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)e\) という関係式を立て、それを \(e\) について解いているのと同じです。これは、測定された総電気量は、関与した総電子数に比例するという考えに基づいています。個々の測定の誤差がランダム（あるものは少し大きく、あるものは少し小さく測定される）であると仮定すれば、多数の測定値を合計して平均をとることで、これらの誤差が互いに打ち消し合い、真の値に近づくことが期待されます。これは最小二乗法の考え方にも通じる、科学的なデータ処理の基本です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算前の見通しを立てる:
  1. 差をとって、\(e\) のオーダー（だいたい \(1.6 \times 10^{-19}\) くらい）を把握する。
  2. 各データがその何倍かを推定する。
  3. 最後に合計して割り算する、という計算の流れを頭の中で組み立ててから、実際の計算に取り掛かると、手順を間違えにくくなります。
• 和の計算は筆算で確実に: 小数点を含む足し算（\(4.74 + 6.41 + \dots\)）は、焦ると位を間違えやすいです。試験の際には、問題用紙の隅などで筆算を丁寧に行い、検算をすることが重要です。
• 割り算の工夫: \(44.68 \div 28\) のような割り算は、暗算しようとせず筆算を実行しましょう。あるいは、\(44.68 \div 28 \approx 45 \div 30 = 1.5\) のように、おおよその値を予測してから計算すると、桁を間違えるなどの大きなミスに気づきやすくなります。

484 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果」です。これは、光が粒子（光子）としての性質を持つことを示す重要な現象であり、量子力学の扉を開いた歴史的なテーマの一つです。光電効果に関する基本的な用語と、そのエネルギー関係を記述するアインシュタインの光電方程式を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)

思考の道筋とポイント
光が粒子としての性質を持つと考える「光量子仮説」における、光子1個のエネルギーの定義式を答える問題です。光子のエネルギー \(E\) は、その光の振動数 \(\nu\) と、物理学の基本定数であるプランク定数 \(h\) に比例することが知られています。
この設問における重要なポイント

• 光量子仮説：光はエネルギーの塊である「光子」の集まりである。
• 光子1個のエネルギーは、振動数 \(\nu\) に比例し、その比例定数がプランク定数 \(h\) である。

具体的な解説と立式
光量子仮説によれば、振動数 \(\nu\) の光を構成する光子1個が持つエネルギー \(E\) は、プランク定数 \(h\) を用いて次のように表されます。
$$ E = h\nu $$

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

光を波ではなく、「エネルギーを持った小さな粒（光子）」の集まりだと考えてみましょう。この光子1個が持っているエネルギーの大きさは、その光の振動数（1秒間に何回振動するか）に比例します。その比例関係を表すための「つなぎ役」の定数が、プランク定数 \(h\) です。したがって、エネルギーは「\(h \times \nu\)」と計算されます。

光子1個のエネルギーは \(h\nu\) と表されます。これは現代物理学の根幹をなす公式の一つです。

問(イ)

思考の道筋とポイント
金属の内部にある電子を、金属の外側まで引っ張り出すのに必要な最小エネルギーの名称を答える問題です。これは、電子が金属原子核から受ける引力に逆らって仕事をする必要があるためで、このエネルギーの障壁のことを「仕事関数」と呼びます。
この設問における重要なポイント

• 金属内の電子は、原子核のプラスの電荷によって束縛されている。
• 電子を金属外に解放するには、この束縛を断ち切るためのエネルギーが必要。
• この必要最低限のエネルギーを「仕事関数」と定義する。

具体的な解説と立式
金属内の電子を外部に放出させるために必要な仕事の最小値を、仕事関数といいます。記号では通常 \(W\) で表されます。

この設問は用語を答える問題であり、計算は不要です。

金属の中にある電子は、金属に「縛り付けられている」ような状態です。この電子を金属の外に連れ出すには、入場料のような「最低限必要なエネルギー」を支払わなければなりません。この入場料にあたるエネルギーのことを「仕事関数」と呼びます。

電子を金属外に飛び出させるために必要な仕事の最小値は「仕事関数」です。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
金属に光を当てたときに、電子が金属の表面から飛び出してくる現象の名称を答える問題です。この現象は「光電効果」として知られています。
この設問における重要なポイント

• 光が原因で、電子が放出される現象である。
• この現象は、光が粒子（光子）として電子に衝突すると考えるとうまく説明できる。

具体的な解説と立式
金属に特定の振動数以上の光を照射すると、金属表面から電子が放出される現象、これを光電効果と呼びます。

この設問は用語を答える問題であり、計算は不要です。

金属に光を当てると、中から電子が飛び出してくる現象があります。これは、光の粒（光子）が金属の中の電子にぶつかり、エネルギーを与えて外に弾き飛ばす、というイメージです。この現象そのものを「光電効果」と呼びます。

光によって電子が飛び出す現象は「光電効果」です。

問(エ)

思考の道筋とポイント
光電効果におけるエネルギー保存則を数式で表現する問題です。金属中の電子が、エネルギー \(h\nu\) を持つ光子1個を吸収します。このエネルギーのうち、まず仕事関数 \(W\) が電子を金属外に引き出すために使われます。そして、残ったエネルギーが、飛び出した電子の運動エネルギーになります。この関係を式に表します。飛び出す電子の運動エネルギーが最大になるのは、仕事関数が最小値 \(W\) で済んだ場合です。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則：(光子が与えたエネルギー) = (外に出るための仕事) + (飛び出した電子の運動エネルギー)
• 運動エネルギーが最大値 \(K_0\) となるのは、仕事が最小値 \(W\) で済んだとき。
• したがって、\(h\nu = W + K_0\) という関係が成り立つ。

具体的な解説と立式
アインシュタインの光電方程式によれば、光子1個のエネルギー \(h\nu\) は、電子を飛び出させるための仕事関数 \(W\) と、飛び出した電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) の和に等しくなります。
$$ h\nu = W + K_0 $$
この式を、問題で問われている \(K_0\) について解きます。
$$ K_0 = h\nu – W $$

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

光の粒（光子）が持っているエネルギー（\(h\nu\)）を、電子が丸ごともらいます。電子はこのエネルギーを使って、まず金属から抜け出すための入場料（仕事関数 \(W\)）を支払います。そして、お財布に残ったお金が、電子が外の世界で走り回るための運動エネルギー（\(K_0\)）になります。この関係は「もらったお金 ＝ 入場料 ＋ 残りのお金」という式で表せます。

飛び出す電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) は \(h\nu – W\) と表されます。これは光電効果の最も重要な関係式です。

問(オ)

思考の道筋とポイント
光電効果が起こる、すなわち電子が金属から飛び出してくるためのギリギリの条件を考えます。電子が飛び出すためには、その運動エネルギーが正でなければなりません（\(K_0 > 0\)）。もし運動エネルギーがゼロ（\(K_0 = 0\)）なら、電子は金属表面までたどり着いただけで、飛び出すことはできません。したがって、\(K_0 > 0\) が光電効果の条件となります。この条件を(エ)で求めた式に適用し、振動数 \(\nu\) が満たすべき条件を導きます。その条件を満たす最低の振動数が限界振動数 \(\nu_0\) です。
この設問における重要なポイント

• 光電効果が起こる条件は、飛び出す電子の運動エネルギーが正であること、すなわち \(K_0 > 0\)。
• ギリギリ飛び出す限界の条件は \(K_0 = 0\) と考えられる。
• このときの振動数 \(\nu_0\) を限界振動数という。

具体的な解説と立式
(エ)で求めた光電方程式は \(K_0 = h\nu – W\) です。
電子が飛び出すためには、その運動エネルギー \(K_0\) が正である必要があります。
$$ K_0 > 0 $$
したがって、
$$ h\nu – W > 0 $$
が成り立たなければなりません。これを \(\nu\) について解くと、
$$ h\nu > W $$
$$ \nu > \frac{W}{h} $$
となります。
つまり、光の振動数 \(\nu\) が \(\displaystyle\frac{W}{h}\) という値より大きいときに光電効果が起こります。この、光電効果が起こるか起こらないかの境目となる振動数が限界振動数 \(\nu_0\) なので、
$$ \nu_0 = \frac{W}{h} $$
と定義されます。

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

電子が金属から飛び出すためには、もらったエネルギー（\(h\nu\)）が、出ていくための入場料（\(W\)）よりも大きくないといけません。つまり「もらったお金 ＞ 入場料」が条件です。この条件を満たすギリギリのライン、つまり「もらったお金 ＝ 入場料」となる瞬間の振動数が「限界振動数 \(\nu_0\)」です。この関係を式にすると \(h\nu_0 = W\) となり、これを \(\nu_0\) について解けば答えが求まります。

限界振動数 \(\nu_0\) は \(\displaystyle\frac{W}{h}\) と表されます。これは、仕事関数 \(W\) が大きい金属ほど、電子を飛び出させるためにより高い振動数（＝よりエネルギーの大きい光子）の光が必要になる、という物理的な直感と一致する妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の粒子性とエネルギー保存則:
  • 核心: この問題の根幹は、アインシュタインが提唱した「光量子仮説」と、それに基づく「エネルギー保存則」を理解することです。すなわち、「光はエネルギー \(E=h\nu\) を持つ粒（光子）であり、そのエネルギーが電子に吸収され、仕事関数と運動エネルギーに分配される」という一連の物理モデルを把握することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 光子のエネルギー (\(h\nu\)): 入力されるエネルギー。光の振動数 \(\nu\) が大きいほど、光子1個のエネルギーは大きい。
    • 仕事関数 (\(W\)): 電子を金属から引き剥がすために消費される、一種の「コスト」や「束縛エネルギー」。金属の種類で決まる定数。
    • 運動エネルギー (\(K_0\)): 残ったエネルギー。これが電子の飛び出す勢いになる。
    • エネルギー保存式（光電方程式）: \(h\nu = W + K_0\)。この式は、光電効果という現象におけるエネルギーの収支を完璧に説明する、この分野で最も重要な式です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • グラフの読み取り問題: 横軸に振動数 \(\nu\)、縦軸に運動エネルギーの最大値 \(K_0\) をとったグラフが登場する問題。光電方程式 \(K_0 = h\nu – W\) は、\(\nu\) を変数とみると傾きが \(h\)、\(y\)切片（縦軸切片）が \(-W\) の一次関数のグラフになります。グラフからプランク定数 \(h\) や仕事関数 \(W\) を読み取る問題は頻出です。
  • 波長 \(\lambda\) を用いた問題: 光の基本式 \(c = \nu\lambda\)（\(c\)は光速）を使うと、光子のエネルギーは \(E = h\nu = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) とも表せます。振動数 \(\nu\) の代わりに波長 \(\lambda\) で条件が与えられる問題も多く、その場合はこの関係式を使って変換する必要があります。限界振動数 \(\nu_0\) に対応する「限界波長 \(\lambda_0\)」を求める問題も同様です。
  • 阻止電圧（遮断電圧）を求める問題: 飛び出してくる光電子を、逆向きの電場で止めるために必要な電圧 \(V_s\) を阻止電圧といいます。電子を止めるということは、電場がする仕事 \(eV_s\) が電子の運動エネルギー \(K_0\) に等しくなるということなので、\(K_0 = eV_s\) という関係があります。これと光電方程式を組み合わせることで、\(eV_s = h\nu – W\) という関係式が得られ、阻止電圧を計算する問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの流れをイメージする: 「光子（エネルギー \(h\nu\)）が電子に衝突 → 仕事関数 \(W\) が支払われる → 残りが運動エネルギー \(K_0\) になる」という一連のストーリーを頭に描きます。
  2. 光電方程式を書き出す: 光電効果に関する問題だと分かったら、まず \(K_0 = h\nu – W\) という基本式を書き出します。これが全ての思考の出発点になります。
  3. 条件を式に反映させる: 問題文の条件が何を意味するかを考え、式に代入します。
     • 「電子が飛び出すかどうか」→ \(K_0 > 0\) かどうか。
     • 「限界振動数（ギリギリ飛び出す）」→ \(K_0 = 0\) のときの振動数。
     • 「波長 \(\lambda\) が与えられた」→ \(\nu = c/\lambda\) を代入する。
     • 「阻止電圧 \(V_s\) が与えられた」→ \(K_0 = eV_s\) を代入する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事関数と運動エネルギーの混同:
  • 誤解: 光子のエネルギーが全て運動エネルギーになると考えてしまう（\(K_0 = h\nu\)）。あるいは、仕事関数を足してしまう（\(K_0 = h\nu + W\)）。
  • 対策: 仕事関数 \(W\) は、電子が金属から「脱出するための通行料」として必ず支払わなければならないコストである、というイメージを強く持つことが重要です。もらったエネルギー \(h\nu\) から、まずコスト \(W\) が引かれ、その「残り」が運動エネルギー \(K_0\) になる、というエネルギーの流れを常に意識しましょう。
• 振動数と波長の関係の混同:
  • 誤解: エネルギーは波長に比例する、と勘違いしてしまう。
  • 対策: エネルギー \(E=h\nu\) は振動数 \(\nu\) に比例します。光の速さ \(c\) は一定なので、\(c=\nu\lambda\) より、\(\nu\) と \(\lambda\) は反比例の関係にあります。したがって、エネルギーは波長 \(\lambda\) には「反比例」します（\(E = hc/\lambda\)）。「振動数が大きい（波長が短い）光ほどエネルギーが高い」と覚えておきましょう。紫外線が日焼けの原因になるのは、可視光線より振動数が高く、エネルギーが大きいからです。
• 限界振動数の条件の立て間違い:
  • 誤解: 限界振動数を求めるときに、\(h\nu_0 = W\) という関係を忘れ、どう立てていいか分からなくなる。
  • 対策: 「限界」とは「ギリギリ飛び出す」状況、つまり「飛び出すための運動エネルギーがちょうどゼロになる」状況だと考えます。光電方程式 \(K_0 = h\nu – W\) に \(K_0=0\) を代入すれば、自ずと \(0 = h\nu_0 – W\)、すなわち \(h\nu_0 = W\) という条件式が導かれます。意味から式を導出する癖をつけると、公式を丸暗記する必要がなくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• アインシュタインの光電方程式 \(K_0 = h\nu – W\):
  • 選定理由: この問題は「光電効果」という特定の物理現象を扱っており、この現象におけるエネルギーの収支を記述するために作られた専用の公式が、アインシュタインの光電方程式です。現象と公式が1対1で対応しているため、これを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: この式は、より普遍的な「エネルギー保存則」を、光電効果という現象に特化させたものです。物理学の根幹をなすエネルギー保存則は、いかなる現象においても成り立ちます。光電効果では、(1)光子のエネルギー、(2)仕事関数（束縛からの解放エネルギー）、(3)電子の運動エネルギー、という3者がエネルギーの収支に関わっています。これらを「\((\text{初期エネルギー}) = (\text{消費エネルギー}) + (\text{最終エネルギー})\)」という保存則の枠組みに当てはめた結果が、この光電方程式なのです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま解く: この問題はすべて文字式で答えるため、具体的な数値計算はありません。しかし、文字式の変形においてもミスは起こりえます。
• 移項の符号ミスに注意: \(h\nu = W + K_0\) から \(K_0\) を求める際に、\(W\) を左辺に移項するので \(K_0 = h\nu – W\) となります。単純な操作ですが、焦っていると符号を間違えがちです。一つ一つの操作を丁寧に行いましょう。
• 求める変数について解く: (オ)で \(\nu_0\) を求める際、\(h\nu_0 = W\) という関係式から、両辺を \(h\) で割って \(\nu_0 = \displaystyle\frac{W}{h}\) とします。最終的に何について解くのかを明確に意識し、その文字だけが左辺に残るように、落ち着いて式を変形させることが重要です。

485 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、前問に引き続き「光電効果」です。今回は、光電効果の基本的な関係式を用いて、具体的な数値を計算する問題と、光の条件（波長、強さ）を変化させたときに光電子のエネルギーがどうなるかを定性的に考察する問題が含まれています。光電効果の物理モデルを正しく理解し、数式と物理現象を結びつけて考える力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子1個がもつエネルギー \(E\) を求める問題です。問題文では光の「波長 \(\lambda\)」が与えられています。光子のエネルギー公式 \(E=h\nu\) と、波の基本式 \(c=\nu\lambda\) を組み合わせることで、エネルギーを波長 \(\lambda\) で表す式 \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) を導き、これに与えられた数値を代入して計算します。
この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーは \(E=h\nu\)。
• 振動数 \(\nu\) と波長 \(\lambda\) の関係は \(\nu = \displaystyle\frac{c}{\lambda}\)。
• 上記2式より、エネルギーを波長で表す式は \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\)。

具体的な解説と立式
光の波長を \(\lambda\)、プランク定数を \(h\)、真空中の光の速さを \(c\) とすると、光子1個がもつエネルギー \(E\) は、
$$ E = h\frac{c}{\lambda} $$
と表されます。

上記で立てた式に、与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
\(c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
\(\lambda = 3.3 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{3.3 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= \frac{6.6 \times 3.0}{3.3} \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-7}} \\[2.0ex] &= (2.0 \times 3.0) \times 10^{-34+8-(-7)} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
したがって、光子1個のエネルギーは \(6.0 \times 10^{-19} \, \text{J}\) となります。

光の粒「光子」1個が持っているエネルギーを計算します。エネルギーの大きさは、光の波長が短いほど大きくなるという性質があります。その関係を表す公式 \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) に、問題文で与えられたプランク定数 \(h\)、光の速さ \(c\)、波長 \(\lambda\) の値をそのまま代入して計算します。

光子1個のエネルギーは \(6.0 \times 10^{-19} \, \text{J}\) と計算できました。これは非常に小さなエネルギーですが、原子や電子の世界では典型的な大きさの値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
金属から飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) を求める問題です。これはアインシュタインの光電方程式 \(K_0 = (\text{光子のエネルギー}) – (\text{仕事関数})\) を用いて計算します。(1)で光子のエネルギー \(E\) は計算済みであり、仕事関数 \(W\) は問題文で与えられています。これらの値を代入するだけで答えが求まります。
この設問における重要なポイント

• 光電効果のエネルギー保存則（光電方程式）: \(K_0 = E – W\)。
• (1)で求めた光子のエネルギー \(E\) を利用する。

具体的な解説と立式
アインシュタインの光電方程式より、飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) は、光子1個のエネルギーを \(E\)、金属の仕事関数を \(W\) として、
$$ K_0 = E – W $$
と表されます。

上記で立てた式に、(1)で求めた \(E = 6.0 \times 10^{-19} \, \text{J}\) と、問題文で与えられた \(W = 3.7 \times 10^{-19} \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
K_0 &= (6.0 \times 10^{-19}) – (3.7 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= (6.0 – 3.7) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 2.3 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
したがって、光電子の運動エネルギーの最大値は \(2.3 \times 10^{-19} \, \text{J}\) となります。

光の粒が電子に与えたエネルギー（(1)で計算）から、電子が金属を抜け出すための通行料（仕事関数）を差し引いた残りが、電子が飛び出すときの運動エネルギーになります。単純な引き算で計算できます。

運動エネルギーの最大値は \(2.3 \times 10^{-19} \, \text{J}\) となりました。光子のエネルギー \(E\) が仕事関数 \(W\) よりも大きい（\(6.0 > 3.7\)）ため、電子は無事に飛び出すことができ、正の運動エネルギーを持つという、つじつまの合う結果になっています。

問(3)

思考の道筋とポイント
光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) が、光の条件によってどう変わるかを考える問題です。全ての思考の出発点は、光電方程式 \(K_0 = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) です。この式の中で、何が変化し、何が変化しないのかを分析します。

(a) 波長だけを短くしたとき

波長 \(\lambda\) が小さくなります。\(h, c, W\) は定数です。式の形から、分母である \(\lambda\) が小さくなると、分数 \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\)（光子のエネルギー）の値は大きくなります。その結果、\(K_0\) も大きくなります。

(b) 光の強さだけを増したとき

光の「強さ」を増すとは、光子1個あたりのエネルギーを変えずに、照射する光子の「数」を増やすことを意味します。光電効果は1個の光子と1個の電子の1対1のやりとりで決まる現象なので、光子1個のエネルギー \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) は変わりません。したがって、飛び出す電子1個あたりの運動エネルギーの最大値 \(K_0\) も変わりません。（ただし、飛び出す電子の数は増えます。）
この設問における重要なポイント

• 全ての判断は光電方程式 \(K_0 = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) に基づいて行う。
• 仕事関数 \(W\) は金属の種類で決まる定数であり、光の条件にはよらない。
• (a) 波長 \(\lambda\) が短くなると、光子のエネルギー \(E\) は大きくなる。
• (b) 光の強さは「光子の数」に対応し、「光子1個のエネルギー」には影響しない。

具体的な解説と立式
(a) 光電方程式 \(K_0 = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) において、\(h, c, W\) は定数です。波長 \(\lambda\) を短くすると、分母が小さくなるため、項 \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) は大きくなります。したがって、\(K_0\) は大きくなります。

(b) 光の強さを増しても、波長 \(\lambda\) は一定なので、光子1個のエネルギー \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) は変化しません。仕事関数 \(W\) も金属で決まっているので不変です。したがって、光電方程式 \(K_0 = E – W\) から計算される \(K_0\) の値も変化しません。

この設問は定性的な変化を問うものであり、計算は不要です。

(a) 光の波長を短くすることは、電子にぶつかる光の粒を「より強力な（エネルギーの大きい）粒」に変えることに相当します。より多くのエネルギーをもらえれば、通行料を払った後の残りのお金（運動エネルギー）も増えるので、運動エネルギーは「大きく」なります。

(b) 光の強さを増すことは、「同じ強さの粒を、たくさんぶつける」ことに相当します。電子にぶつかるのは一度に1個の粒だけなので、粒の数が増えても、電子1個がもらえるエネルギーは変わりません。したがって、運動エネルギーは「変わらない」となります。（ただし、たくさんの電子が次々と飛び出してくるようにはなります。）

(a) 大きくなる、(b) 変わらない、という結果は、光電効果の最も重要な性質を示しています。特に(b)は、光を波と考えると説明がつかない（強い波ほど大きなエネルギーを与えるはず）ため、光が粒子であることを示す強力な証拠となりました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光電方程式の定量的・定性的理解:
  • 核心: この問題は、アインシュタインの光電方程式 \(K_0 = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) を、単なる公式として覚えるだけでなく、その意味を深く理解し、具体的な数値計算（定量的側面）と、条件変化に対する結果の予測（定性的側面）の両方に活用できるかを試しています。
  • 理解のポイント:
    • 定量的側面 (問1, 2): 式に具体的な数値を代入して、物理量を計算する能力。ここでは、光子のエネルギー \(E=hc/\lambda\) と、光電子の運動エネルギー \(K_0 = E – W\) の計算が求められます。
    • 定性的側面 (問3): 式を構成する変数が変化したときに、結果がどうなるかを予測する能力。\(K_0\) が \(\lambda\) にはどう依存し、光の強さにはどう依存する（あるいは、しない）のかを、式の構造から読み解くことが重要です。この定性的な理解こそが、物理現象の本質を捉える上で不可欠です。
• 光の二重性（粒子性の側面）:
  • 核心: 光電効果は、光が「波」としての性質だけでは説明できず、「粒子（光子）」としての性質を持つことを示す決定的な証拠です。特に、問(3)(b)の「光の強さを増しても、電子1個の運動エネルギーは変わらない」という事実は、この粒子性の考え方でしか説明できません。
  • 理解のポイント:
    • 粒子モデル（正解）: 光の強さは光子の「数」である。光子と電子は1対1で衝突するため、光子の数が増えても、電子1個が受け取るエネルギーは変わらない。
    • 波動モデル（間違い）: もし光が波ならば、光の強さは波の「振幅」に対応する。強い波（振幅の大きい波）ほど大きなエネルギーを運ぶため、電子はより大きな運動エネルギーを得るはずである。しかし、実験事実はこれと異なるため、波動モデルは破綻します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 仕事関数 \(W\) を求める問題: 光の波長 \(\lambda\) と、飛び出す電子の運動エネルギー \(K_0\) が与えられ、そこから仕事関数 \(W\) を逆算する問題（\(W = hc/\lambda – K_0\)）。
  • 限界波長 \(\lambda_0\) を求める問題: 仕事関数 \(W\) が与えられ、光電効果が起こる最長の波長（限界波長 \(\lambda_0\)）を求める問題。限界振動数の場合と同様に \(K_0=0\) の条件から、\(hc/\lambda_0 = W\) という関係式を立てて解きます。
  • グラフ問題: 横軸を \(1/\lambda\)、縦軸を \(K_0\) としたグラフも考えられます。光電方程式 \(K_0 = (hc)\displaystyle\frac{1}{\lambda} – W\) より、これは傾きが \(hc\)、縦軸切片が \(-W\) の一次関数となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられている量を確認: 問題文で与えられているのが、振動数 \(\nu\) なのか、波長 \(\lambda\) なのか、光子のエネルギー \(E\) なのか、仕事関数 \(W\) なのか、運動エネルギー \(K_0\) なのかを最初に整理します。
  2. 光電方程式を立てる: どんな問題であれ、光電効果がテーマならまず \(K_0 = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) を書き出します。
  3. 未知数を特定し、式を変形: 問題で求められている未知数は何かを確認し、その未知数について式を解く形に変形します。
  4. 定性的な問いには、式の構造を見る: 「大きくなるか、小さくなるか、変わらないか」を問われたら、式の変数と定数を区別します。\(K_0 = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) において、\(h, c, W\) は定数です。変数は \(\lambda\) のみであり、\(K_0\) は \(\lambda\) の逆数に比例する関係にあることが分かります。光の強さはこの式に現れないため、無関係であると判断できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 指数の計算ミス:
  • 誤解: (1)の計算で、\(10^{-34} \times 10^8 \div 10^{-7}\) のような指数の計算を間違える。
  • 対策: 指数法則 \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\), \(10^a \div 10^b = 10^{a-b}\) を正確に適用することが重要です。特に割り算は引き算になるので、\(10^{-34+8-(-7)} = 10^{-34+8+7} = 10^{-19}\) と、符号の変化に細心の注意を払いましょう。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 問題文で与えられた数値の有効数字が2桁（\(3.7, 3.3, 6.6, 3.0\)）であることを見落とし、答えを不適切な桁数で書いてしまう。
  • 対策: 計算を始める前に、与えられた定数や測定値の有効数字を確認する癖をつけましょう。この問題ではすべて2桁なので、最終的な答えも2桁に揃えるのが基本です。\(6.0 \times 10^{-19}\) のように、`.0` をつけて有効数字が2桁であることを明示する必要があります。
• 光の強さの誤解:
  • 誤解: 「光が強い」＝「光子1個のエネルギーが大きい」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「光の強さ（明るさ）」と「光の色（振動数・波長）」を明確に区別することが重要です。光の強さは光子の「数」、光の色は光子1個の「エネルギー」に対応します。赤い光をどんなに強くしても、光子1個のエネルギーは赤色のままですが、光子の数だけが増えます。このアナロジーを覚えておくと、混同を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光子のエネルギー式 \(E = hc/\lambda\):
  • 選定理由: (1)では光子1個のエネルギーが問われ、条件として波長 \(\lambda\) が与えられています。光子のエネルギーと波長を直接結びつける公式が \(E = hc/\lambda\) であるため、これを選択するのは最も合理的です。
  • 適用根拠: この式は、光量子仮説 \(E=h\nu\) と、あらゆる波に共通の基本式 \(c=\nu\lambda\) という、2つの普遍的な物理法則を組み合わせたものです。したがって、その適用は完全に正当化されます。
• 光電方程式 \(K_0 = E – W\):
  • 選定理由: (2)では、光電効果によって飛び出す電子の運動エネルギーが問われています。この現象におけるエネルギー収支を記述するために確立されたのが光電方程式であり、これ以外の公式で \(K_0\) を直接求めることはできません。
  • 適用根拠: この式は、ミクロな世界でのエネルギー保存則の現れです。入射した光子の全エネルギー \(E\) が、電子を束縛から解放するためのコスト \(W\) と、解放後の運動エネルギー \(K_0\) に過不足なく分配される、という物理的描像を数式化したものです。エネルギー保存則という物理学の金字塔に裏付けられているため、その適用は揺るぎないものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算しやすい形に整理する: (1)の計算では、いきなり電卓のように計算するのではなく、
  $$ E = \left( \frac{6.6 \times 3.0}{3.3} \right) \times \left( \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-7}} \right) $$
  のように、数値の部分と10のべき乗の部分を分けて考えると、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 約分を最大限に活用する: \(\displaystyle\frac{6.6}{3.3} = 2\) のように、先に約分できる部分は約分してしまうのが計算を楽にするコツです。
• 引き算での桁揃え: (2)の計算 \(6.0 \times 10^{-19} – 3.7 \times 10^{-19}\) では、\(10^{-19}\) の部分が共通であることを確認してから、係数部分の引き算 \((6.0 – 3.7)\) を行います。もし指数の部分が異なっていたら、どちらかに揃える操作が必要になるため、注意が必要です。

486 光電効果のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果の実験とグラフの解釈」です。光電管を用いた実験装置の回路図と、得られた電流-電圧特性のグラフから、物理量を読み解く問題です。特に、電子の運動エネルギーと電位差の関係（仕事）、電流と電子の数の関係を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
陰極Kから飛び出した電子の速さの最大値 \(v\) を求める問題です。図2のグラフを見ると、陰極Kに対する陽極Pの電位 \(V\) が負のとき、電流は減少しています。これは、陽極Pが負の電位になることで、陰極Kから飛び出した電子（負電荷）が電気的な力で押し戻される（減速させられる）ためです。
特に、電位が \(-V_0\) になったときに電流がゼロになっています。これは、最も勢いよく（速さの最大値 \(v\) で）飛び出した電子でさえも、陽極Pに到達する直前で止められてしまう、ということを意味します。
この「電子が持っていた最大の運動エネルギーが、電場による仕事によってすべて失われた」というエネルギーの関係式を立てることで、\(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• グラフから、阻止電圧が \(-V_0\) であることを読み取る。
• 阻止電圧とは、運動エネルギー最大の光電子を止めるのに必要な逆電圧である。
• エネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）：「失われた運動エネルギー」＝「電場がした仕事」。
• 電子（電荷 \(-e\)）が電位差 \(\Delta V\) を移動するときにされる仕事は \(-e\Delta V\)。この場合、陽極の電位が陰極より \(V_0\) 低いので、電子が失うエネルギーは \(eV_0\) となる。

具体的な解説と立式
速さの最大値 \(v\) で飛び出した電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) は、
$$ K_0 = \frac{1}{2}mv^2 $$
です。
この電子が、陰極K（電位0と考える）から陽極P（電位 \(-V_0\)）へ向かうとき、電場から仕事をされて減速します。電流がゼロになるのは、この電子が陽極Pに到達したときにちょうど速さが0になるときです。
仕事とエネルギーの関係より、運動エネルギーの変化は電場がした仕事に等しくなります。電子が失った運動エネルギーは \(K_0\) です。
一方、電荷 \(-e\) の電子が、電位 \(-V_0\) の陽極Pまで移動するときに電場に逆らってする仕事の大きさ（=失うエネルギー）は \(e V_0\) となります。
したがって、失われた運動エネルギーと電場に逆らってした仕事が等しいとおくと、
$$ \frac{1}{2}mv^2 = eV_0 $$
が成り立ちます。

上記で立式した \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = eV_0\) を、速さ \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2eV_0}{m} \\[2.0ex] v &= \sqrt{\frac{2eV_0}{m}}
\end{aligned}
$$
これ以上の計算は不要です。

グラフを見ると、電圧をマイナスにしていくと電流が減り、\(-V_0\) という電圧でついにゼロになります。これは、電子が陽極に向かって進むのを邪魔する「逆向きの坂」を作っているようなものです。電圧 \(-V_0\) は、一番元気な（＝速さが最大の）電子ですら、この坂を上りきれずに止められてしまう、という「坂の高さ」に相当します。
物理では、「運動エネルギー」と「坂を上るのに必要なエネルギー」が等しい、というエネルギー保存の考え方を使います。電子の運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)、坂を上るのに必要なエネルギーは \(eV_0\) なので、この2つをイコールで結んで、速さ \(v\) を求めます。

電子の速さの最大値 \(v\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2eV_0}{m}}\) と表せます。この式は、阻止電圧 \(V_0\) が大きいほど、電子が元々持っていた運動エネルギーが大きく、したがって初速も大きかったことを示しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
単位時間あたりに陰極Kから飛び出す光電子の数 \(n\) を求める問題です。図2のグラフで、陽極の電位 \(V\) が十分に大きいとき、電流は一定値 \(I_0\) になっています。これを飽和電流といい、このとき陰極Kから飛び出した光電子が「すべて」陽極Pに到達していることを意味します。
電流とは「単位時間あたりに導線を流れる電気量」のことです。今、単位時間あたりに \(n\) 個の電子（それぞれ電気量 \(e\)）が陽極に到達して電流となっているので、単位時間あたりの総電気量は \(ne\) となります。これが電流 \(I_0\) に等しい、という関係から \(n\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• グラフから、飽和電流が \(I_0\) であることを読み取る。
• 飽和電流は、単位時間あたりに発生した光電子がすべて陽極に到達したときの電流値である。
• 電流の定義: \(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\)。単位時間あたりに流れる電気量。
• 単位時間あたりに \(n\) 個の電子が運ぶ電気量は \(ne\)。

具体的な解説と立式
図2のグラフより、陽極Pの電位 \(V\) を十分に大きくすると、電流は飽和電流 \(I_0\) に達します。これは、単位時間あたりに陰極Kから飛び出す \(n\) 個の光電子が、すべて陽極Pに到達している状態を表します。
電流の定義は、単位時間あたりに通過する電気量です。単位時間あたりに \(n\) 個の電子が陽極に到達するとき、回路を流れる総電気量は \(ne\) となります。
したがって、飽和電流 \(I_0\) との関係は、
$$ I_0 = ne $$
となります。

上記で立式した \(I_0 = ne\) を、光電子の数 \(n\) について解きます。
$$ n = \frac{I_0}{e} $$
これ以上の計算は不要です。

グラフの右側で電流が \(I_0\) で一定になっています。これは、陰極から飛び出した電子が、全員もれなく陽極にたどり着いている状態です。電流というのは「1秒間にどれだけの電気量が流れたか」を表す量です。今、1秒間に \(n\) 個の電子が流れているとすると、運ばれた電気量の合計は「\(n \times (\text{電子1個の電気量 } e)\)」となります。これが電流 \(I_0\) の正体なので、この関係式から \(n\) を求めることができます。

単位時間あたりに飛び出す光電子の数 \(n\) は \(\displaystyle\frac{I_0}{e}\) と表せます。飽和電流 \(I_0\) が大きいほど、また電気素量 \(e\) が小さいほど、たくさんの電子が流れていることを示す、直感とも一致する妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「光の振動数を変えずに、光子の数を半分にした」場合、グラフがどう変化するかを考察する問題です。この条件が、グラフの2つの重要な特徴である「阻止電圧 \(-V_0\)」と「飽和電流 \(I_0\)」にどう影響するかを個別に考えます。

1. 阻止電圧 \(-V_0\) への影響:

阻止電圧は、光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) で決まります（\(K_0 = eV_0\)）。その \(K_0\) は、光電方程式 \(K_0 = h\nu – W\) によると、光の振動数 \(\nu\) と仕事関数 \(W\) だけで決まります。今回は「振動数を変えない」ので、\(K_0\) は変化しません。したがって、阻止電圧 \(-V_0\) も変化しません。グラフがx軸を横切る点は同じです。

2. 飽和電流 \(I_0\) への影響:

飽和電流は、単位時間あたりに飛び出す光電子の数 \(n\) で決まります（\(I_0 = ne\)）。光電効果では、光子1個が電子1個を飛び出させると考えられます。したがって、「陰極Kに当てる光子の数を半分にする」と、単位時間あたりに飛び出す光電子の数 \(n\) も半分になります。その結果、飽和電流も元の \(\displaystyle\frac{I_0}{2}\) になります。

これらの考察をまとめ、元のグラフ上に新しいグラフを破線で描き加えます。
この設問における重要なポイント

• 振動数が不変 \(\rightarrow\) 光子1個のエネルギーが不変 \(\rightarrow\) 光電子の最大運動エネルギー \(K_0\) が不変 \(\rightarrow\) 阻止電圧 \(-V_0\) が不変。
• 光子の数が半分 \(\rightarrow\) 飛び出す光電子の数が半分 \(\rightarrow\) 飽和電流が \(\displaystyle\frac{I_0}{2}\) になる。

具体的な解説と立式
光の振動数 \(\nu\) が変わらないため、光子1個のエネルギー \(h\nu\) は変化しません。したがって、光電方程式 \(K_0 = h\nu – W\) より、光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_0\) も変化しません。
(1)で導いた関係式 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = K_0 = eV_0\) より、\(K_0\) が不変であるため、電流をゼロにするために必要な阻止電圧 \(-V_0\) も変化しません。

一方、陰極Kに当てる光子の数を半分にすると、単位時間あたりに飛び出す光電子の数 \(n\) も半分になります。
(2)で導いた関係式 \(I_0 = ne\) より、\(n\) が半分になるため、飽和電流は \(\displaystyle\frac{I_0}{2}\) となります。

以上のことから、新しいグラフは、x軸との切片（阻止電圧）は \(-V_0\) のままで、電流の最大値（飽和電流）が \(\displaystyle\frac{I_0}{2}\) となるような曲線になります。

この設問は作図問題であり、計算は不要です。

光の条件を変えたら、グラフはどう変わるか、という問題です。
まず、「振動数を変えない」ということは、電子にぶつかる光の粒1個のエネルギーは変わらない、ということです。したがって、電子が飛び出す最大の勢い（運動エネルギー）も変わりません。電子を止めるのに必要な「坂の高さ」（阻止電圧 \(-V_0\)）も変わらないので、グラフの左端の位置は同じです。
次に、「光子の数を半分にする」ということは、陰極にやってくる光の粒の数が半分になるということです。その結果、飛び出してくる電子の数も半分になります。流れる電子の数が半分になれば、電流の最大値（飽和電流）も半分（\(\displaystyle\frac{I_0}{2}\)）になります。
よって、グラフの高さが全体的に半分になったような、新しいグラフを描くことになります。

阻止電圧は変わらず、飽和電流が半分になるという結果は、光電効果の粒子モデルから導かれる重要な帰結です。この性質を正しく理解し、グラフに反映させることが求められます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光電効果の2大法則のグラフ的表現:
  • 核心: この問題は、光電効果の根幹をなす2つの法則が、電流-電圧特性グラフのどこに、どのように現れるかを理解しているかを問うています。
  • 理解のポイント:
    1. 法則1: 光電子の最大運動エネルギーは、光の振動数でのみ決まり、強さにはよらない。
       • グラフ上の対応: この法則は「阻止電圧 \(-V_0\)」に現れます。\(K_0 = eV_0\) という関係を通じて、\(V_0\) は光電子の最大運動エネルギー \(K_0\) を直接反映します。したがって、\(V_0\) は光の振動数 \(\nu\) が変われば変化しますが、光の強さ（光子数）が変わっても変化しません。
    2. 法則2: 単位時間に飛び出す光電子の数は、光の強さに比例する。
       • グラフ上の対応: この法則は「飽和電流 \(I_0\)」に現れます。\(I_0 = ne\) という関係を通じて、\(I_0\) は単位時間に飛び出す光電子の数 \(n\) を直接反映します。光の強さ（光子数）を半分にすれば \(n\) も半分になり、\(I_0\) も半分になります。
• 仕事とエネルギーの関係の応用:
  • 核心: 設問(1)を解く上で不可欠なのが、電場中での荷電粒子の運動に対する「仕事とエネルギーの関係」です。飛び出した電子が持つ運動エネルギーが、逆電場に抗する仕事によって失われる、という物理描像を数式 \(K_0 = eV_0\) で表現できることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 運動エネルギー \(K_0 = \frac{1}{2}mv^2\): 電子が飛び出した直後に持っているエネルギー。
    • 電場がする仕事 \(eV_0\): 電子が逆電場に逆らって陽極にたどり着くまでに失うエネルギー。
    • エネルギー保存: 電流がゼロになる瞬間は、これら2つのエネルギーがちょうど等しくなったときです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 振動数を変えた場合のグラフ: もし「光の強さを一定に保ち、振動数を大きくした」場合、グラフはどうなるかを問う問題。振動数が大きくなると光子1個のエネルギー \(h\nu\) が増えるため、\(K_0\) が増加し、阻止電圧の絶対値 \(| -V_0 |\) は大きくなります（グラフはより左に伸びる）。一方、光の強さが一定なので、単位時間あたりのエネルギーは同じですが、光子1個のエネルギーが増えた分、光子の数は減少します。そのため、飽和電流 \(I_0\) は小さくなります。
  • 異なる金属での比較: 同じ光を、仕事関数 \(W\) が異なる金属K’に当てた場合のグラフを問う問題。仕事関数 \(W\) が大きい金属では、\(K_0 = h\nu – W\) が小さくなるため、阻止電圧の絶対値 \(| -V_0 |\) は小さくなります（グラフのx切片が右にずれる）。飽和電流は、光子の数が同じであれば、量子効率（光子1個あたり電子が飛び出す確率）が同じなら変わりません。
  • グラフからの物理定数の読み取り: 複数の振動数 \(\nu\) で実験を行い、それぞれの阻止電圧 \(V_0\) を測定したデータから、プランク定数 \(h\) や仕事関数 \(W\) を求める問題。\(eV_0 = h\nu – W\) の関係式から、横軸に \(\nu\)、縦軸に \(V_0\) をとると、傾きが \(h/e\)、切片が \(-W/e\) の直線グラフが得られます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフのキーポイントを特定: 光電効果の \(I-V\) グラフを見たら、まず2つの点に注目します。「x軸との交点（阻止電圧 \(-V_0\)）」と「電流が飽和する値（飽和電流 \(I_0\)）」。
  2. キーポイントと物理法則の対応付け:
     • 阻止電圧 \(-V_0\) → 最大運動エネルギー \(K_0\) → 光の振動数 \(\nu\)
     • 飽和電流 \(I_0\) → 光電子の数 \(n\) → 光の強さ（光子数）

     この対応関係を頭に入れておけば、ほとんどの問題に対応できます。

  3. 条件変化の分析: 問題で「〜を変えたら」と問われたら、その変化が上記の対応関係のどちらに影響するのかを考えます。「振動数を変えた」なら \(V_0\) が変化、「強さを変えた」なら \(I_0\) が変化する、と判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 阻止電圧の符号:
  • 誤解: 阻止電圧を \(V_0\) と正の値で考えてしまい、エネルギーの式を \(K_0 = e(-V_0)\) のように立てて混乱する。
  • 対策: 阻止電圧は、電子の運動を「妨げる」逆向きの電圧です。エネルギーの大きさで考えるのが最も安全です。「運動エネルギーの大きさ \(K_0\) が、電位差の大きさ \(V_0\) によって失われるエネルギーの大きさ \(eV_0\) に等しい」と考えて、常に正の値で \(K_0 = eV_0\) と立式する癖をつけましょう。
• 電流と電子の数の関係:
  • 誤解: 電流 \(I_0\) が電子の数 \(n\) そのものであると勘違いする。
  • 対策: 電流は「電気量」の流れであり、電子の「個数」の流れではありません。両者を結びつけるのが、電子1個あたりの電気量である電気素量 \(e\) です。\(I_0 = ne\) という関係式を正確に記憶し、単位（[A] = [C/s]）からも「単位時間あたりの電気量」であることを再確認しましょう。
• 光の強さと振動数の役割の混同:
  • 誤解: (3)で、光の強さを変えたら電子のエネルギーも変わる、あるいは振動数を変えても電流は変わらない、などと混同してしまう。
  • 対策: 「強さ → 数 → 電流値 \(I_0\)\(（量）\)」、「振動数 → エネルギー → 阻止電圧 \(V_0\)\(（質）\)」というキーワードの連想で覚えるのが効果的です。光の「量」的な側面が電流の「量」に、光の「質」的な側面が電子の「質（エネルギー）」に影響すると整理しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事とエネルギーの関係 \(K_0 = eV_0\):
  • 選定理由: (1)では、グラフから読み取れる \(V_0\) という電気的な量と、求めたい \(v\) という力学的な量を結びつける必要があります。この二つの領域をつなぐのが「仕事とエネルギーの関係」です。電場が電子にする仕事が、電子の運動エネルギーを変化させる、というこの関係を用いるのが唯一の論理的な道筋です。
  • 適用根拠: この関係は、より普遍的なエネルギー保存則の一つの現れです。電子と電場からなる系全体で、位置エネルギーと運動エネルギーの和は保存されます。陰極（位置エネルギー0, 運動エネルギー \(K_0\)）から陽極（位置エネルギー \(eV_0\), 運動エネルギー0）への変化と考えると、\(K_0 + 0 = 0 + eV_0\) というエネルギー保存式が成り立ちます。
• 電流の定義式 \(I_0 = ne\):
  • 選定理由: (2)では、グラフから読み取れる \(I_0\) という電気的な量と、求めたい \(n\) という粒子数（ミクロな量）を結びつける必要があります。このマクロな量とミクロな量をつなぐのが「電流の定義」です。
  • 適用根拠: 電流とは、定義上「単位時間あたりに通過する電気量」です。ミクロな視点では、この電気量は、通過する荷電粒子（この場合は電子）の数 \(n\) と、粒子1個あたりの電気量 \(e\) の積 \(ne\) に等しくなります。したがって、マクロな定義 \(I_0\) とミクロな表現 \(ne\) を等しいとおくことは、電流という物理量の定義そのものから正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算: (1)の答えは平方根を含みます。もし具体的な数値を計算する必要がある場合は、ルートの中の計算を先に行い、最後に平方根をとるという手順を確実に守りましょう。
• 文字式の整理: (2)の \(I_0 = ne\) から \(n\) を求めるような簡単な式変形でも、焦ると \(n = I_0 e\) のように間違えることがあります。「\(n\) を求めるには、両辺を \(e\) で割る」という基本操作を、頭の中で明確に意識することが大切です。
• グラフの作図: (3)で作図する際は、変化する点（飽和電流）と変化しない点（阻止電圧）を明確に区別し、まずそれらの点をプロットしてから、それらを滑らかにつなぐように描くと、正確なグラフが描けます。特に、\(V=0\) の点の電流値も元の半分になることを意識すると、より正確な形になります。

487 光電効果の阻止電圧

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果と阻止電圧の関係」です。異なる波長の光を当てたときの阻止電圧の違いから、プランク定数 \(h\) や仕事関数 \(W\) を実験データ（\(\lambda_1, \lambda_2, V_1, V_2\) など）を用いて表現する、という応用的な内容です。アインシュタインの光電方程式を2つの異なる条件で立式し、それらを連立方程式として解く数学的な処理能力も問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
陰極から飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_1\) を求める問題です。問題文に「波長 \(\lambda_1\) の光では阻止電圧は \(V_1\) であった」とあります。阻止電圧とは、運動エネルギーが最大の光電子ですら陽極に到達できなくなるようにかける逆電圧のことです。
このとき、光電子が飛び出す際に持っていた最大の運動エネルギー \(K_1\) が、電場に逆らって進む間にする仕事によって、ちょうどすべて失われると考えます。このエネルギーの変換関係から \(K_1\) を表します。
この設問における重要なポイント

• 阻止電圧 \(V_1\) は、最大の運動エネルギー \(K_1\) を持つ電子を止めるための電圧。
• 仕事とエネルギーの関係より、電子が失う運動エネルギー \(K_1\) は、電場に逆らってした仕事 \(eV_1\) に等しい。

具体的な解説と立式
陰極から最大の運動エネルギー \(K_1\) で飛び出した光電子が、陽極との間の電位差 \(V_1\)（阻止電圧）によって減速させられ、陽極に到達する直前でちょうど速さがゼロになるとき、電流が流れなくなります。
このとき、電子が失った運動エネルギーの大きさは \(K_1\) です。一方、電荷 \(e\) の電子が電位差 \(V_1\) に逆らって移動するときにする仕事の大きさは \(eV_1\) です。
仕事とエネルギーの関係から、これらは等しくなります。
$$ K_1 = eV_1 $$

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

電子が飛び出すときの運動エネルギーを、逆向きの電圧（電気の坂道）で止めます。「阻止電圧 \(V_1\)」というのは、一番元気な電子ですら止められてしまう、ギリギリの坂の高さのことです。このとき、「電子が持っていた運動エネルギー \(K_1\)」と「坂を上るのに使ったエネルギー \(eV_1\)」がちょうど等しくなった、と考えることができます。

光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_1\) は \(eV_1\) と表せます。これは阻止電圧の定義から直接導かれる基本的な関係式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
波長を \(\lambda_1\) よりも短い \(\lambda_2\) に変えたときの、新しい阻止電圧 \(V_2\) と元の \(V_1\) の大小関係を問う問題です。
思考のステップは以下の通りです。

1. 波長と光子エネルギーの関係を考える：波長が短いほど、光子1個のエネルギーは大きくなる。
2. 光子エネルギーと運動エネルギーの関係を考える：光子のエネルギーが大きいほど、飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値も大きくなる（仕事関数は一定なので）。
3. 運動エネルギーと阻止電圧の関係を考える：運動エネルギーが大きい電子を止めるには、より大きな阻止電圧が必要になる。

この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーは \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) であり、波長 \(\lambda\) に反比例する。
• 光電子の最大運動エネルギーは \(K_0 = E – W\)。
• 阻止電圧と最大運動エネルギーの関係は \(K_0 = eV_0\)。

具体的な解説と立式
光子1個のエネルギーは \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) で表され、波長 \(\lambda\) に反比例します。
問題の条件より \(\lambda_2 < \lambda_1\) なので、それぞれの光子のエネルギー \(E_1, E_2\) の間には、 $$ E_2 > E_1 $$
という関係が成り立ちます。

光電子の運動エネルギーの最大値は \(K = E – W\) です。仕事関数 \(W\) は金属で決まる定数なので、\(E\) が大きいほど \(K\) も大きくなります。したがって、それぞれの波長に対応する最大運動エネルギー \(K_1, K_2\) の間には、
$$ K_2 > K_1 $$
という関係が成り立ちます。

(1)の結果から、\(K_1 = eV_1\) および \(K_2 = eV_2\) という関係があります。\(K_2 > K_1\) なので、
$$ eV_2 > eV_1 $$
両辺を \(e\) で割ると、
$$ V_2 > V_1 $$
となります。

この設問は大小関係を答えるものであり、これ以上の計算は不要です。

光の波長を短くするということは、電子にぶつける光の粒を、よりエネルギーの大きい強力なものに変えるということです。より強力な粒にぶつけられた電子は、より大きな勢い（運動エネルギー）で飛び出してきます。勢いが大きい電子を止めるためには、より高い「坂道」（阻止電圧）が必要になります。したがって、新しい阻止電圧 \(V_2\) は、元の \(V_1\) よりも大きくなります。

\(V_2 > V_1\) という結果が得られました。波長が短くエネルギーの大きい光を当てると、より大きな逆電圧をかけないと電子を止められない、という物理的に妥当な結論です。

問(3)

思考の道筋とポイント
プランク定数 \(h\) と仕事関数 \(W\) を、実験で測定可能な量（\(e, c, \lambda_1, \lambda_2, V_1, V_2\)）を用いて表す問題です。
まず、2つの異なる実験条件（波長 \(\lambda_1\), 阻止電圧 \(V_1\) の場合と、波長 \(\lambda_2\), 阻止電圧 \(V_2\) の場合）について、それぞれアインシュタインの光電方程式を立てます。
これにより、\(h\) と \(W\) を未知数とする2元連立1次方程式が得られます。あとは、この連立方程式を数学的に解くことで、\(h\) と \(W\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 2つの実験条件それぞれについて、光電方程式を立てる。
• 光電方程式の \(K_0\) の部分に、(1)で導いた \(eV\) の関係を代入する。
• 得られた2本の式を、\(h\) と \(W\) についての連立方程式とみなして解く。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda_1\)、阻止電圧 \(V_1\) の場合と、波長 \(\lambda_2\)、阻止電圧 \(V_2\) の場合について、それぞれアインシュタインの光電方程式を立てます。
運動エネルギーの最大値はそれぞれ \(K_1=eV_1\), \(K_2=eV_2\) なので、
$$ eV_1 = h\frac{c}{\lambda_1} – W \quad \cdots ① $$
$$ eV_2 = h\frac{c}{\lambda_2} – W \quad \cdots ② $$
これが、\(h\) と \(W\) が満たすべき2つの式です。

次に、この連立方程式を解いて \(h\) と \(W\) を求めます。
まず \(h\) を求めるために、②式から①式を辺々引いて \(W\) を消去します。
$$ eV_2 – eV_1 = \left( h\frac{c}{\lambda_2} – W \right) – \left( h\frac{c}{\lambda_1} – W \right) $$
次に \(W\) を求めるために、①式の両辺に \(\lambda_1\)、②式の両辺に \(\lambda_2\) を掛けてから引き算し、\(h\) を含む項を消去します。
$$ eV_1 \lambda_1 = hc – W\lambda_1 \quad \cdots ③ $$
$$ eV_2 \lambda_2 = hc – W\lambda_2 \quad \cdots ④ $$
④式から③式を辺々引きます。
$$ eV_2 \lambda_2 – eV_1 \lambda_1 = (hc – W\lambda_2) – (hc – W\lambda_1) $$

\(h\) の計算:

②式から①式を引いた式を整理します。
$$
\begin{aligned}
e(V_2 – V_1) &= h\frac{c}{\lambda_2} – h\frac{c}{\lambda_1} \\[2.0ex] e(V_2 – V_1) &= hc \left( \frac{1}{\lambda_2} – \frac{1}{\lambda_1} \right) \\[2.0ex] e(V_2 – V_1) &= hc \left( \frac{\lambda_1 – \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2} \right)
\end{aligned}
$$
この式を \(h\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{e(V_2 – V_1) \lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}
\end{aligned}
$$

\(W\) の計算:

④式から③式を引いた式を整理します。
$$
\begin{aligned}
e(V_2 \lambda_2 – V_1 \lambda_1) &= -W\lambda_2 + W\lambda_1 \\[2.0ex] e(V_2 \lambda_2 – V_1 \lambda_1) &= W(\lambda_1 – \lambda_2)
\end{aligned}
$$
この式を \(W\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{e(V_2 \lambda_2 – V_1 \lambda_1)}{\lambda_1 – \lambda_2}
\end{aligned}
$$

2つの異なる実験（波長\(\lambda_1\), \(\lambda_2\)）の結果から、物理学の超重要定数であるプランク定数 \(h\) と、金属固有の値である仕事関数 \(W\) を特定する問題です。
それぞれの実験について、エネルギーの関係式（光電方程式）を立てると、未知数が \(h\) と \(W\) の2つ、式が2本の「連立方程式」ができあがります。あとは、中学校で習った連立方程式の解き方と同じです。一方の式からもう一方の式を引き算するなどして、まず \(W\) を消去して \(h\) を求め、次にうまく式を変形して \(h\) を消去し \(W\) を求めます。

プランク定数 \(h\) と仕事関数 \(W\) は、それぞれ
\(h = \displaystyle\frac{e(V_2 – V_1) \lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}\), \(W = \displaystyle\frac{e(V_2 \lambda_2 – V_1 \lambda_1)}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
と表せます。
これらの式は、実験で測定できる量（波長、阻止電圧）と、すでに知られている定数（電気素量、光速）だけで、未知の物理定数 \(h\) や物質の性質 \(W\) を決定できることを示しています。これは、実験物理学における非常に重要な考え方です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光電方程式の応用と連立による物理定数の決定:
  • 核心: この問題の根幹は、単一の条件下で光電方程式を適用するだけでなく、複数の条件下（異なる波長）で得られた実験結果に対してそれぞれ光電方程式を立式し、それらを連立方程式として解くことで、プランク定数 \(h\) や仕事関数 \(W\) といった、より根源的な物理量を決定するプロセスにあります。
  • 理解のポイント:
    • 光電方程式の普遍性: \(eV = h\displaystyle\frac{c}{\lambda} – W\) という式は、どんな波長 \(\lambda\) の光を当てても、どんな金属（仕事関数 \(W\)）に対しても成り立つ普遍的な関係式です。
    • 未知数と方程式の数: この式には、実験条件で変わる変数（\(\lambda, V\)）と、物理法則や物質で決まる定数（\(h, c, e, W\)）が含まれています。今、\(h\) と \(W\) を未知数と考えると、未知数が2つなので、それらを特定するには独立した方程式が2本必要になります。
    • 2回の実験による解決: 波長 \(\lambda_1\) と \(\lambda_2\) という2つの異なる条件で実験を行うことで、2本の方程式を立てることができ、これにより未知数 \(h\) と \(W\) を解くことが可能になります。これは、実験によって物理法則の根幹をなす定数を決定するという、科学の非常に基本的な手法をなぞるものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • グラフを用いる問題: 横軸に \(1/\lambda\)、縦軸に阻止電圧 \(V\) をとったグラフが与えられる問題。光電方程式 \(eV = hc/\lambda – W\) を変形した \(V = \displaystyle\frac{hc}{e}\frac{1}{\lambda} – \frac{W}{e}\) は、\(1/\lambda\) を変数とする一次関数です。グラフの傾き \(\displaystyle\frac{hc}{e}\) と切片 \(-\displaystyle\frac{W}{e}\) から、\(h\) や \(W\) を求めることができます。本問の計算は、このグラフの傾きと切片を2点の座標から求めているのと同じ操作です。
  • 振動数 \(\nu\) を用いる問題: 波長 \(\lambda\) の代わりに振動数 \(\nu\) で条件が与えられる場合。光電方程式は \(eV = h\nu – W\) となります。2つの条件 (\(\nu_1, V_1\)) と (\(\nu_2, V_2\)) から、\(h = \displaystyle\frac{e(V_2-V_1)}{\nu_2-\nu_1}\), \(W = \displaystyle\frac{e(V_2\nu_1 – V_1\nu_2)}{\nu_2-\nu_1}\) のように、\(h\) と \(W\) を求めることができます。
  • 片方の未知数を求める問題: 例えば、プランク定数 \(h\) が既知の値として与えられ、2回の実験結果から仕事関数 \(W\) のみを求める問題。この場合は、どちらか一方の光電方程式に \(h\) の値を代入すれば \(W\) が求まりますが、2つの実験結果それぞれから \(W\) を計算し、その平均値をとることで、より精度の高い値を求める、といった手順が考えられます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 実験条件の数を数える: 問題文に「波長 \(\lambda_1\) の光では…」「次に波長 \(\lambda_2\) の光に変えたとき…」のように、複数の実験条件が設定されているかを確認します。条件が2つあれば、連立方程式を解く可能性が非常に高いです。
  2. 不変量と変数を区別する: 2つの実験を通じて、何が変化せず（\(h, W, e, c\)）、何が変化したか（\(\lambda, V\)）を明確に区別します。不変量である \(h\) と \(W\) が、連立方程式を解く際の主役（未知数）になります。
  3. 消去する文字を決める: \(h\) を求めたいなら \(W\) を消去、\(W\) を求めたいなら \(h\) を消去、というようにゴールを定めます。
     • \(W\) の消去: 式同士を単純に引き算すれば、\(-W – (-W) = 0\) となり簡単に消去できます。
     • \(h\) の消去: \(h\) の係数（\(c/\lambda_1\) と \(c/\lambda_2\)）が異なるため、単純な引き算では消去できません。係数を揃えるために、それぞれの式に \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) を掛けてから引き算する、という工夫が必要になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: (3)の計算過程、特に分数が絡む引き算や、式全体に特定の文字を掛ける操作で計算を間違える。
  • 対策:
    • 辺々引く操作: \( (eV_2) – (eV_1) = (h\displaystyle\frac{c}{\lambda_2} – W) – (h\displaystyle\frac{c}{\lambda_1} – W) \) のように、左辺と右辺をそれぞれ丸ごと括弧に入れて引き算の形を書き下してから、括弧を外して整理する（\(e(V_2-V_1) = h\displaystyle\frac{c}{\lambda_2} – h\displaystyle\frac{c}{\lambda_1}\)）と、符号ミスを防げます。
    • 分数の通分: \(\displaystyle\frac{1}{\lambda_2} – \frac{1}{\lambda_1}\) の計算では、通分して \(\displaystyle\frac{\lambda_1 – \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}\) となります。分母と分子の順番を間違えないように注意が必要です。
    • 最終的な式変形: \(e(V_2 – V_1) = hc \displaystyle\frac{\lambda_1 – \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}\) から \(h\) を求めるには、\(h\) 以外の項をすべて反対側に移項します。分数は逆数を掛ける、と考えると整理しやすくなります。
• 大小関係の判断ミス:
  • 誤解: (2)で、\(\lambda_2 < \lambda_1\) という条件から、直感的に \(V_2 < V_1\) と間違えてしまう。
  • 対策: 必ず物理法則の連鎖で考えます。「\(\lambda\) が小さい → \(E=hc/\lambda\) は大きい → \(K_0=E-W\) は大きい → \(V=K_0/e\) は大きい」というように、ステップを一つずつ踏んで論理的に結論を導く癖をつけましょう。直感だけに頼るのは危険です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 2つの光電方程式の立式:
  • 選定理由: (3)では、2つの未知数 \(h, W\) を、2組の実験データ (\(\lambda_1, V_1\)) と (\(\lambda_2, V_2\)) から決定することが目的です。数学の基本原則として、\(n\) 個の未知数を決定するには \(n\) 本の独立した方程式が必要です。光電効果という現象を記述する基本法則は光電方程式であるため、2つの異なる実験条件に対してそれぞれ光電方程式を立て、2本の式を用意するというのが唯一の論理的なアプローチです。
  • 適用根拠: プランク定数 \(h\) は宇宙のどこでも変わらない基本定数であり、仕事関数 \(W\) は同じ金属を使っている限り変わらない物質固有の定数です。したがって、波長 \(\lambda\) を変えても \(h\) と \(W\) は同じ値のままであるという物理的な事実が、2つの式を連立させて共通の未知数 \(h, W\) について解く操作を正当化します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理を丁寧に行う: (3)の計算は、純粋な文字式の計算能力が問われます。焦らず、一行一行、等号が成り立つことを確認しながら変形を進めましょう。
• 共通因数でくくる: 計算の途中、\(e(V_2 – V_1)\) や \(hc(\displaystyle\frac{1}{\lambda_2} – \frac{1}{\lambda_1})\)、\(W(\lambda_1 – \lambda_2)\) のように、共通因数でくくる操作が頻繁に登場します。これにより式が簡潔になり、次の操作への見通しが立ちやすくなります。常に共通因数がないか探す癖をつけましょう。
• 分母分子の符号を揃える: \(h\) と \(W\) の最終的な答えの分母が、模範解答ではそれぞれ \(c(\lambda_1 – \lambda_2)\) と \((\lambda_1 – \lambda_2)\) になっています。これは \(\lambda_1 > \lambda_2\) という条件から、分母を正の値にするための配慮です。計算途中で分母が \((\lambda_2 – \lambda_1)\) になった場合は、分子の符号も反転させて \(V_2-V_1\) を \(V_1-V_2\) にするなど、見やすい形に整える意識を持つと良いでしょう。

488 電場による加速

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場による荷電粒子の加速」です。静止した荷電粒子が電場から仕事をされることで運動エネルギーを得る、という最も基本的な状況を扱います。仕事とエネルギーの関係を正しく理解し、原子・電子の世界でよく用いられるエネルギーの単位「電子ボルト(eV)」の扱いに慣れることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
加速後の電子の運動エネルギーを、まず「電子ボルト(eV)」で、次に「ジュール(J)」で表す問題です。
電子ボルト(eV)は、原子物理学の分野でエネルギーを表すためによく使われる単位で、その定義は「電気素量 \(e\) を持つ粒子が電位差 \(V\) で加速されたときのエネルギーを \(V \, \text{eV}\) とする」というものです。この定義をそのまま適用します。
次に、ジュール(J)に換算するには、\(1 \, \text{eV}\) が何ジュールに相当するか（\(1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\)）という関係を用います。
この設問における重要なポイント

• 電気素量 \(e\) を持つ粒子を電圧 \(V\) で加速したときのエネルギーは、定義により \(V \, \text{eV}\) である。
• 電子ボルトからジュールへの換算式は \(1 \, \text{eV} = e \times (1 \, \text{V}) = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\)。

具体的な解説と立式
電子（電気素量 \(e\)）を \(182 \, \text{V}\) の電圧で加速したので、電子が得る運動エネルギー \(K\) は、電子ボルトの定義により、
$$ K = 182 \, \text{eV} $$
となります。

次に、これをジュール(J)に換算します。\(1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\) の関係を用いると、
$$ K = 182 \times (1.6 \times 10^{-19}) \, \text{J} $$
となります。

ジュール単位の運動エネルギーを計算します。
$$
\begin{aligned}
K &= 182 \times (1.6 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= 291.2 \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 2.912 \times 10^{-17}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(2.9 \times 10^{-17} \, \text{J}\) となります。

「電子ボルト（eV）」という単位は、電子を扱う物理の世界での「お小遣い」のような便利な単位です。電子に「182ボルトのお小遣いをあげた」場合、電子がもらうエネルギーは、そのまま「182電子ボルト」になります。
これを、世界共通のエネルギー単位である「ジュール」に換算するには、換金レート（\(1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\)）を掛けてあげればOKです。

加速後の電子の運動エネルギーは \(182 \, \text{eV}\)、これをジュールに換算すると \(2.9 \times 10^{-17} \, \text{J}\) となります。2つの異なる単位で同じ物理量を正しく表現できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
加速後の電子の速さ \(v\) を求める問題です。(1)で求めた運動エネルギー \(K\) と、運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を結びつけることで、速さ \(v\) を計算します。このとき、計算には必ず国際単位系(SI)であるジュール(J)単位のエネルギー値を用いる必要があります。
この設問における重要なポイント

• 電場からされた仕事 \(eV\) が、すべて電子の運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に変換される。
• エネルギーの計算には、ジュール(J)単位の値を用いる。

具体的な解説と立式
静止していた電子が電位差 \(V\) で加速されて得た運動エネルギー \(K\) は、電場がした仕事 \(eV\) に等しくなります。この運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) とも表せるので、
$$ \frac{1}{2}mv^2 = eV $$
という関係式が成り立ちます。

上記で立式した \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = eV\) を、速さ \(v\) について解きます。
$$ v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} $$
この式に、与えられた数値を代入します。
\(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(V = 182 \, \text{V}\)
\(m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{2 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 182}{9.1 \times 10^{-31}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 182}{9.1} \times \frac{10^{-19}}{10^{-31}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{64 \times 10^{12}} \\[2.0ex] &= \sqrt{64} \times \sqrt{10^{12}} \\[2.0ex] &= 8.0 \times 10^6
\end{aligned}
$$
したがって、加速後の電子の速さは \(8.0 \times 10^6 \, \text{m/s}\) となります。

(1)で、電子が得たエネルギーの量をジュール単位で計算しました。このエネルギーが、電子のスピードの源になっています。運動エネルギーの公式は「\(\displaystyle\frac{1}{2} \times (\text{質量}) \times (\text{速さ})^2\)」なので、この式と(1)で求めたエネルギーの値が等しい、という方程式を立てます。あとは、この方程式を「速さ＝」の形になるように解けば、答えが求まります。

電子の速さは \(8.0 \times 10^6 \, \text{m/s}\) となりました。これは光の速さ（約 \(3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\)）の約2.7%に相当し、非常に高速ですが、相対性理論の効果を考慮する必要がない範囲の速度であり、妥当な結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 仕事とエネルギーの関係（電場バージョン）:
  • 核心: この問題の根幹は、電場が荷電粒子にする仕事が、その粒子の運動エネルギーに変換される、という「仕事とエネルギーの関係」を理解し、適用することです。静止していた粒子の場合、\((\text{電場がした仕事}) = (\text{加速後の運動エネルギー})\) という単純な等式が成り立ちます。
  • 理解のポイント:
    • 仕事 \(W_{\text{仕事}}\): 電荷 \(q\) が電位差 \(V\) を移動するとき、電場がする仕事は \(W_{\text{仕事}} = qV\)。電子の場合、\(q=e\) なので \(W_{\text{仕事}} = eV\)。
    • 運動エネルギー \(K\): 質量 \(m\)、速さ \(v\) の粒子の運動エネルギーは \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
    • 関係式: この2つを結びつけた \(eV = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) が、この問題全体を貫く最も重要な関係式です。
• エネルギーの単位「電子ボルト(eV)」:
  • 核心: 原子や素粒子の世界では、エネルギーが非常に小さいため、ジュール(J)では扱いにくい数字になります。そこで、このミクロな世界に特化した便利なエネルギー単位として「電子ボルト(eV)」が定義されています。この単位の意味とジュールへの換算を正確に理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 定義: \(1 \, \text{eV}\) は、「電子1個（電気量 \(e\)）が \(1 \, \text{V}\) の電位差で加速されたときに得るエネルギー」。
    • 利便性: この定義により、電子を \(V\) ボルトで加速したときのエネルギーは、計算するまでもなく \(V \, \text{eV}\) と直感的に分かります。
    • ジュールへの換算: 定義から、\(1 \, \text{eV} = e \times (1 \, \text{V}) = (1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1 \, \text{V}) = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\)。この換算係数は必須知識です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • X線管: 電子を数万ボルトの高電圧で加速し、金属ターゲットに衝突させてX線を発生させる装置。電子がターゲットに衝突する直前の速さや運動エネルギーを求める問題は、本問と全く同じ考え方で解けます。
  • 質量分析器: イオンを電場で加速させた後、磁場に入射させて軌道を曲げ、その半径からイオンの質量を特定する装置。最初の「加速」の部分は、本問と全く同じ原理です。
  • 初速度がある場合: 静止状態からではなく、すでに初速度 \(v_0\) を持つ電子をさらに加速させる問題。この場合、仕事とエネルギーの関係は「\((\text{電場がした仕事}) = (\text{運動エネルギーの増加量})\)」となるため、\(eV = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2\) という式を立てて解くことになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「加速」というキーワードに注目: 問題文に「電圧Vで加速した」とあれば、即座に「仕事とエネルギーの関係」を使うことを連想します。
  2. エネルギーの単位を確認: 問題が求めているエネルギーの単位が「eV」なのか「J」なのかを最初に確認します。単位によって答え方が全く異なります。
  3. SI単位系への統一: 速さ \(v\) などを計算する際は、エネルギーの単位を必ずジュール(J)に、質量の単位をキログラム(kg)に統一するなど、SI基本単位で計算することを徹底します。電子ボルト(eV)のまま運動エネルギーの公式に代入することはできません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• eVとJの混同:
  • 誤解: (2)で速さを計算する際に、運動エネルギーとして \(182 \, \text{eV}\) の「182」という数値を、\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) の式に直接代入してしまう。
  • 対策: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) という公式は、全ての量がSI基本単位（\(K\)[J], \(m\)[kg], \(v\)[m/s]）で測定されていることを前提としています。したがって、計算を実行する前には、必ずエネルギーをジュール(J)に換算する一手間を忘れないようにしましょう。「速さの計算はジュールで！」と覚えておくのが安全です。
• 数値計算での指数・平方根のミス:
  • 誤解: \(10^{-19} \div 10^{-31}\) のような指数の計算や、\(\sqrt{10^{12}}\) のような平方根の計算を間違える。
  • 対策:
    • 指数: \(10^a \div 10^b = 10^{a-b}\) なので、\(10^{-19 – (-31)} = 10^{12}\) となります。符号の変化に注意が必要です。
    • 平方根: \(\sqrt{x^N} = x^{N/2}\) という法則を思い出しましょう。したがって、\(\sqrt{10^{12}} = 10^{12/2} = 10^6\) となります。ルートの中の指数を半分にすると覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事とエネルギーの関係 \(eV = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\):
  • 選定理由: この問題は、電子の「速さ」という力学的な量と、「電圧」という電気的な量を結びつける必要があります。この異なる分野の物理量をつなぐ強力な架け橋となるのが、分野を横断して成り立つ普遍的な法則である「エネルギー保存則」または「仕事とエネルギーの関係」です。
  • 適用根拠: 電場（保存力）のみが仕事をする場合、系全体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は保存されます。静止した電子が電位 \(V\) の点から電位 \(0\) の点へ加速されると考えると、エネルギー保存則は \((\text{初めのエネルギー}) = (\text{終わりのエネルギー})\) より、\(0 + eV = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + 0\) となります。これは、電場がした仕事 \(eV\) が運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に変換された、という仕事とエネルギーの関係と全く同じ式です。どちらの視点からでも、この公式の選択は正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算しやすい数値を見つける: (2)の計算で、\(\sqrt{\displaystyle\frac{2 \times 1.6 \times 182}{9.1}}\) という部分が出てきます。ここで、\(182 \div 9.1 = 20\) であることに気づくと、計算が楽になります。\(2 \times 1.6 \times 20 = 64\) となり、ルートの中がきれいな数になります。このように、計算しやすい組み合わせを探すことで、複雑な計算を簡略化できます。
• ルートの中を平方数にする: \(\sqrt{64 \times 10^{12}}\) のように、ルートの中身がきれいな平方数（\(64=8^2\)）と偶数乗（\(10^{12}\)）の積になるように計算を進めることを意識すると、最後の平方根をとる計算が非常に楽になります。
• 単位換算の儀式化: 問題を解き始める前に、ページの隅にでも「\(1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}\)」と書き出しておくことを習慣にしましょう。この一手間が、単位の混同による致命的なミスを防ぎます。

489 X線の発生

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生とスペクトル」です。X線管の仕組みを理解し、加速された電子のエネルギーがX線光子のエネルギーに変換されるという物理過程を、エネルギー保存則に基づいて考察する問題です。特に、発生するX線の「最短波長」の意味と、X線スペクトルの特徴（連続X線と固有X線）を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図2中の波長 \(\lambda_0\) を求める問題です。グラフから、\(\lambda_0\) は発生しているX線の波長の下限、すなわち「最短波長」であることがわかります。
最短波長のX線は、加速された電子1個が持つ運動エネルギーのすべてが、1個のX線光子のエネルギーに変換されるという、最もエネルギー変換効率が良い場合に発生します。
したがって、「電子が加速されて得た運動エネルギー」＝「最短波長のX線光子1個のエネルギー」というエネルギー保存の式を立てることで、\(\lambda_0\) を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 電子が電圧 \(V\) で加速されて得る運動エネルギーは \(eV\)。
• 波長 \(\lambda_0\) のX線光子1個のエネルギーは \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda_0}\)。
• 最短波長の条件は、\(eV = h\displaystyle\frac{c}{\lambda_0}\)。

具体的な解説と立式
初速度0で出た電子が、加速電圧 \(V\) を受けて陽極に衝突する直前に持つ運動エネルギー \(K\) は、電場からされた仕事に等しく、
$$ K = eV $$
となります。
最短波長 \(\lambda_0\) のX線は、この電子の運動エネルギー \(K\) が100%の効率で1個のX線光子のエネルギーに変換されたときに発生します。波長 \(\lambda_0\) のX線光子1個のエネルギー \(E_0\) は、
$$ E_0 = h\frac{c}{\lambda_0} $$
です。
エネルギー保存則より \(K = E_0\) なので、
$$ eV = h\frac{c}{\lambda_0} $$
という関係式が成り立ちます。

上記で立式した \(eV = h\displaystyle\frac{c}{\lambda_0}\) を、最短波長 \(\lambda_0\) について解きます。
$$ \lambda_0 = \frac{hc}{eV} $$
この式に、与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
\(c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
\(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(V = 8.0 \times 10^3 \, \text{V}\)
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.0 \times 10^3)} \\[2.0ex] &= \frac{6.6 \times 3.0}{1.6 \times 8.0} \times \frac{10^{-26}}{10^{-16}} \\[2.0ex] &= \frac{19.8}{12.8} \times 10^{-10} \\[2.0ex] &= 1.546… \times 10^{-10}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(1.5 \times 10^{-10} \, \text{m}\) となります。

電子を電圧で加速すると、電子はエネルギーをもらってスピードアップします。この電子が陽極に激突するとき、その持っていたエネルギーがX線という光に変わります。一番効率よくエネルギーが変換されると、最もエネルギーの高い（＝最も波長の短い）X線が出てきます。これがグラフの左端の \(\lambda_0\) です。
このときのエネルギーの関係は、「電子がもらったエネルギー \(eV\)」＝「発生したX線のエネルギー \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda_0}\)」となります。この方程式を \(\lambda_0\) について解けば、答えが求まります。

最短波長 \(\lambda_0\) は \(1.5 \times 10^{-10} \, \text{m}\) と求められました。これはオングストローム（\(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, \text{m}\)）の単位で \(1.5 \, \text{Å}\) となり、X線の波長として典型的な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「加速電圧を2倍にしたら、グラフはどうなるか」を考察する問題です。X線スペクトルのグラフは、主に3つの要素「最短波長 \(\lambda_0\)」「全体の強度」「固有X線の波長 \(\lambda_1, \lambda_2\)」で構成されています。加速電圧 \(V\) の変化が、これら3つの要素にそれぞれどのような影響を与えるかを分析します。

1. 最短波長 \(\lambda_0\) への影響:
   (1)で導いた関係式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) から、\(\lambda_0\) は加速電圧 \(V\) に反比例することがわかります。したがって、\(V\) を2倍にすると、\(\lambda_0\) は \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍になります。グラフの左端は、より波長の短い（左の）方向に移動します。
2. 全体の強度への影響:
   X線の全体の強度は、単位時間あたりに発生するX線光子の総数に比例します。加速電圧 \(V\) を大きくすると、陽極に衝突する電子1個あたりのエネルギーが大きくなり、X線を発生させる効率が上がります。また、一般的にX線管では加速電圧を上げると陰極から陽極へ流れる電子の数（管電流）も増えるため、衝突する電子の数も増えます。これらの効果により、発生するX線の全体の強度は増加します。グラフの山は全体的に高くなります。
3. 固有X線 \(\lambda_1, \lambda_2\) への影響:
   固有X線（特性X線）は、陽極に使われている金属原子の電子軌道のエネルギー準位の差によって発生します。その波長は陽極の「材質」に固有のものであり、電子をぶつけるエネルギー（加速電圧）には依存しません。したがって、加速電圧を2倍にしても、固有X線のピークが現れる波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) の位置は変化しません。

これらの考察を総合して、新しいグラフの形を決定します。
この設問における重要なポイント

• 最短波長 \(\lambda_0\) は \(V\) に反比例する。
• X線の強度は \(V\) が大きいほど増加する。
• 固有X線の波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) は \(V\) に依存せず、不変である。

具体的な解説と立式
(1)で導出した関係式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) より、加速電圧 \(V\) が2倍になると、新しい最短波長 \(\lambda’_0\) は、
$$ \lambda’_0 = \frac{hc}{e(2V)} = \frac{1}{2} \left( \frac{hc}{eV} \right) = \frac{1}{2}\lambda_0 $$
となり、元の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) になります。

加速電圧を上げると、陽極に衝突する電子のエネルギーが大きくなり、X線の発生効率が向上するため、X線強度は全体的に増加します。

固有X線の波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) は、陽極の材質のみに依存するため、加速電圧を変えても変化しません。

したがって、変化後のグラフは、

• 最短波長が \(\displaystyle\frac{\lambda_0}{2}\) の位置から始まる。
• 全体の山の高さが元のグラフより高くなる。
• 固有X線のピークの位置（\(\lambda_1, \lambda_2\)）は変わらない。

という特徴を持つ曲線になります。

この設問は作図問題であり、計算は不要です。

加速電圧を2倍に、つまり電子に与えるエネルギーを2倍にすると、X線のグラフはどう変わるか、という問題です。

1. グラフの始まりの位置: 電子のエネルギーが2倍になるので、変換されて出てくるX線の最大エネルギーも2倍になります。エネルギーが2倍ということは、波長は半分になるので、グラフの左端（最短波長）は、元の半分の波長の位置にずれます。
2. グラフの高さ: 電子が高エネルギーでぶつかるほど、たくさんのX線が効率よく出てくるようになります。そのため、グラフ全体の山の高さは、元のグラフよりも高くなります。
3. グラフの鋭いトゲの位置: グラフの途中にある鋭いトゲ（固有X線）は、陽極の金属の種類で決まる「指紋」のようなものです。ぶつかる電子のエネルギーを変えても、金属の指紋は変わらないので、このトゲの位置は変わりません。

加速電圧を上げると、よりエネルギーの高い（波長の短い）X線が発生し、全体の強度も増すが、固有X線の波長は変わらない、という結果は、X線発生の物理モデルとよく一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電子のエネルギーとX線光子エネルギーの変換:
  • 核心: この問題の根幹は、X線管内で起こるエネルギー変換のプロセスを理解することです。具体的には、「加速電圧 \(V\) によって電子が得た運動エネルギー \(eV\) が、陽極との衝突によってX線光子のエネルギー \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) に変換される」というエネルギー保存則が中心的な役割を果たします。
  • 理解のポイント:
    • 入力: 電子の運動エネルギー \(eV\)。これは加速電圧 \(V\) で自由に制御できる。
    • 出力: X線光子のエネルギー \(h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\)。
    • 最短波長の条件: 最も重要な関係は、入力エネルギーが100%出力エネルギーに変換される理想的なケースです。このとき、発生するX線のエネルギーは最大（波長は最短）となり、\(eV = h\displaystyle\frac{c}{\lambda_0}\) という等式が成り立ちます。この式が、(1)の計算と(2)の考察のすべての基礎となります。
• X線スペクトルの二重構造:
  • 核心: X線のスペクトルは、性質の異なる2種類のX線が重ね合わさってできています。この二重構造を理解することが、グラフの形状変化を正しく予測する鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 連続X線: なめらかな山形のスペクトル部分。電子が陽極の原子核の近くで急減速（制動）される際に放出されるため、「制動放射」とも呼ばれます。電子が失うエネルギーは様々なので、波長も連続的な分布になります。その最短波長 \(\lambda_0\) は、電子の全エネルギーが失われた場合に相当し、加速電圧 \(V\) に依存します。
    • 固有X線（特性X線）: 鋭いピーク状のスペクトル部分。高エネルギーの電子が陽極原子の内殻電子を弾き飛ばし、その空席に外側の電子が遷移する際に放出されます。このエネルギーは原子のエネルギー準位の差で決まるため、波長は陽極の「材質」に固有であり、加速電圧 \(V\) には依存しません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 最短波長から加速電圧を求める問題: X線の最短波長 \(\lambda_0\) が測定されたとき、電子の加速電圧 \(V\) はいくらかを逆算する問題。\(eV = hc/\lambda_0\) を \(V\) について解き、\(V = hc/(e\lambda_0)\) で計算します。
  • 陽極の材質を変えた場合: 加速電圧を一定に保ち、陽極の金属を仕事関数の異なる別の金属に変えた場合、スペクトルがどうなるかを問う問題。連続X線の最短波長 \(\lambda_0\) は加速電圧のみで決まるため変化しませんが、固有X線のピーク \(\lambda_1, \lambda_2\) は材質が変わると全く異なる位置に現れます。
  • 電子の数を変えた場合（管電流の変更）: 加速電圧を一定に保ち、陰極のフィラメントの温度を上げて、単位時間に飛び出す電子の数を2倍にした場合。この場合、電子1個のエネルギーは変わらないので最短波長 \(\lambda_0\) と固有X線の波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) は不変です。しかし、X線を発生させる電子の数が2倍になるため、スペクトル全体の強度が2倍になります（グラフが縦に2倍伸びる）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. スペクトルの種類を区別する: グラフを見たら、まず「なめらかな連続X線部分」と「鋭い固有X線部分」を区別します。
  2. 最短波長 \(\lambda_0\) に注目: 連続X線の左端である最短波長 \(\lambda_0\) は、加速電圧 \(V\) だけで決まる最も基本的な量です。まずはここに注目し、\(eV = hc/\lambda_0\) の関係式を書き出します。
  3. 固有X線 \(\lambda_1, \lambda_2\) に注目: 鋭いピークは、陽極の「材質」の”指紋”であり、加速電圧には依存しない、と覚えます。
  4. 条件変化の影響を分離して考える: 「加速電圧を変えた」「陽極の材質を変えた」「電子の数を変えた」などの条件変化が、上記の「連続X線」と「固有X線」にそれぞれどう影響するかを、分離して考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギーと波長の関係の混同:
  • 誤解: エネルギーが大きいほど波長も大きい、と勘違いしてしまう。
  • 対策: \(E = hc/\lambda\) の式を常に意識し、エネルギー \(E\) と波長 \(\lambda\) は「反比例」の関係にあることを徹底します。「エネルギー大 ⇔ 波長短」、「エネルギー小 ⇔ 波長長」という対応関係を確実に覚えましょう。
• 固有X線と加速電圧の関係の誤解:
  • 誤解: 加速電圧を2倍にしたら、固有X線のエネルギーも2倍になり、波長が半分になる、と考えてしまう。
  • 対策: 固有X線は、原子内の電子の「席替え」によって発生する、とイメージするのが有効です。原子の構造（席の配置）は決まっているので、席替えで放出されるエネルギーも決まった値になります。外からぶつかる電子のエネルギーがいくら大きくても、この席替えのエネルギーは変わりません。したがって、固有X線の波長は加速電圧に依存しない、と覚えましょう。（ただし、電子のエネルギーが内殻電子を弾き飛ばすのに必要な最低エネルギーに達していないと、固有X線自体が発生しません。）
• 数値計算の桁数のミス:
  • 誤解: (1)の計算で、\(10^3, 10^8, 10^{-19}, 10^{-34}\) といった多くの指数計算で桁を間違える。
  • 対策: 計算を始める前に、分子と分母の指数をそれぞれまとめてしまうのが安全です。分子は \(-34+8 = -26\)、分母は \(-19+3 = -16\)。最後に全体の指数は \(-26 – (-16) = -10\) となります。このように、段階的に計算を進めることでミスを減らせます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 最短波長の公式 \(eV = hc/\lambda_0\):
  • 選定理由: (1)では、実験データである加速電圧 \(V\) から、X線スペクトルの特徴的な値である最短波長 \(\lambda_0\) を求める必要があります。この2つの量を直接結びつける関係式が \(eV = hc/\lambda_0\) です。
  • 適用根拠: この式は、2つの基本的な物理法則の組み合わせに基づいています。
    1. 仕事とエネルギーの関係: 電子が電位差 \(V\) で得るエネルギーは \(eV\)。
    2. 光子のエネルギー: 波長 \(\lambda_0\) の光子のエネルギーは \(hc/\lambda_0\)。

    そして、「最短波長」とは、電子のエネルギーが100%光子のエネルギーに変換されるという「エネルギー保存則」が成り立つ特別な場合を指します。したがって、この2つのエネルギー表現を等しいとおくことは、物理的に完全に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 物理定数の積の近似値: プランク定数 \(h\) と光速 \(c\) の積 \(hc\) は、原子物理の計算で頻繁に登場します。\(hc \approx (6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8) \approx 19.8 \times 10^{-26} \approx 2.0 \times 10^{-25} \, \text{J}\cdot\text{m}\) のように、おおよその値を覚えておくと、計算結果の桁数が妥当かどうかを検算するのに役立ちます。
• 単位を意識した計算: (1)の計算では、すべての物理量をSI基本単位（J, s, m, C, V）で計算していることを確認します。これにより、最終的に得られる波長の単位もメートル(m)となり、単位換算の必要がなくなります。
• グラフの変化のポイントを押さえる: (2)のような作図問題では、変化の要点を箇条書きで整理するのが有効です。「\(\lambda_0\) は左へ」「強度は上へ」「\(\lambda_1, \lambda_2\) は不変」のようにポイントをまとめ、それらをすべて満たすようにグラフを描くことで、描き忘れや間違いを防げます。

490 X線回折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の回折とブラッグの条件」です。X線が結晶格子によって回折（反射）される際に、特定の角度で干渉によって強め合う現象を扱います。この現象を記述するブラッグの条件を正しく理解し、適用できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

原子配列面の間隔を求める

思考の道筋とポイント
X線のような波長の短い波を結晶に当てると、規則正しく並んだ原子の層（格子面）によって反射されます。このとき、1層目で反射した波と、その下の2層目で反射した波とでは、2層目の波の方が少しだけ長い距離を進むことになります。この「進んだ距離の差（経路差）」が、波長のちょうど整数倍になるとき、2つの波は強め合って観測されます。
この強め合いが起こる条件を数式で表したものが「ブラッグの条件」です。
問題文の「反射X線の強さが2回目に極大を示した」という記述が、この強め合いの条件における整数 \(n\) が \(n=2\) であることを示しています。この点を正確に読み取ることが、この問題を解く上での最大の鍵となります。
この設問における重要なポイント

• X線が結晶で強め合う条件は、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) で与えられる。
• \(d\) は原子配列面（格子面）の間隔、\(\lambda\) はX線の波長。
• \(\theta\) は、入射X線と「格子面」がなす角度である。
• \(n\) は干渉の次数と呼ばれる整数（\(n=1, 2, 3, \dots\)）で、「\(n\) 回目に極大」という表現は、次数が \(n\) であることを意味する。

具体的な解説と立式
結晶によるX線の回折が強め合う条件（ブラッグの条件）は、格子面の間隔を \(d\)、入射X線と格子面のなす角を \(\theta\)、X線の波長を \(\lambda\)、整数を \(n\) として、
$$ 2d\sin\theta = n\lambda $$
と表されます。
問題文より、与えられている値は以下の通りです。

• 波長: \(\lambda = 1.2 \times 10^{-10} \, \text{m}\)
• 角度: \(\theta = 30^\circ\)
• 次数: 「2回目に極大」なので \(n=2\)

これらの値をブラッグの条件の式に代入します。
$$ 2d\sin30^\circ = 2 \times (1.2 \times 10^{-10}) $$

上記で立式した \(2d\sin30^\circ = 2 \times (1.2 \times 10^{-10})\) を、格子面の間隔 \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{2 \times (1.2 \times 10^{-10})}{2\sin30^\circ} \\[2.0ex] \end{aligned}
$$
ここで、\(\sin30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{2 \times (1.2 \times 10^{-10})}{2 \times \displaystyle\frac{1}{2}} \\[2.0ex] &= \frac{2 \times (1.2 \times 10^{-10})}{1} \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-10}
\end{aligned}
$$
したがって、原子配列面の間隔は \(2.4 \times 10^{-10} \, \text{m}\) となります。

結晶は、原子が規則正しく並んだ「原子の棚」のようなものです。この棚にX線を当てると、各段でX線が反射します。このとき、1段目で反射した光と、2段目で反射した光とでは、2段目の方が少しだけ回り道をして出てきます。この「回り道の長さ（経路差）」が、X線の波長のちょうど1倍、2倍、3倍、…になるとき、光は強め合って明るく見えます。
この問題では、「2回目に明るく見えた」と言っているので、回り道の長さが波長のちょうど2倍になった、ということがわかります。この関係を数式（ブラッグの条件）に当てはめて、棚の間隔 \(d\) を計算します。

原子配列面の間隔は \(2.4 \times 10^{-10} \, \text{m}\) と求められました。これは \(2.4\) オングストロームに相当し、原子数個分の大きさに対応する非常に小さな値です。結晶格子のようなミクロな構造の間隔として、物理的に妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉としてのX線回折:
  • 核心: この問題の根幹は、X線回折という現象を、波の「干渉」の一種として捉えることです。結晶の規則正しい原子の面（格子面）が、薄膜や回折格子のように働き、異なる層で反射されたX線が干渉し合うと考えます。
  • 理解のポイント:
    • 波源: 結晶内の各原子層が、それぞれX線を反射する「波源」とみなせます。
    • 経路差: 隣り合う層で反射された波の間には、深さの分だけ余分な経路が生じます。この経路差が干渉の結果を決定します。
    • 強め合いの条件: 経路差が波長の整数倍 (\(n\lambda\)) になるとき、波の山と山、谷と谷が重なり合い、反射X線の強度が極大になります。この普遍的な干渉の原理が、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) の物理的な本質です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子線の回折: X線だけでなく、ド・ブロイ波長 \(\lambda = h/p\) を持つ電子線も、結晶に当てることで同様の回折現象（ブラッグ反射）を起こします。電子の運動量や加速電圧から波長を計算させ、ブラッグの条件と組み合わせて格子面間隔を求める問題は頻出です。
  • 未知の波長を求める問題: 格子面間隔 \(d\) が既知の結晶を用いて、未知のX線の波長 \(\lambda\) を決定する問題。ブラッグの条件を \(\lambda = \displaystyle\frac{2d\sin\theta}{n}\) と変形して解きます。これはX線分光分析の原理です。
  • 観測可能な干渉の次数を問う問題: ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) において、\(\sin\theta\) は最大でも1です。したがって、\(2d \ge n\lambda\)、つまり \(n \le \displaystyle\frac{2d}{\lambda}\) という関係が成り立ちます。与えられた \(d\) と \(\lambda\) から、観測可能な干渉の最大の次数 \(n_{\text{max}}\) を求める問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「結晶」と「X線（または電子線）」の組み合わせに注目: このキーワードの組み合わせが出てきたら、ほぼ確実にブラッグの条件を使う問題です。
  2. 角度 \(\theta\) の定義を確認: ブラッグの条件における角度 \(\theta\) は、「入射（反射）光線と格子面のなす角」です。問題によっては、光線と格子面の法線とのなす角が与えられる場合もあり、その場合は \(90^\circ\) から引くなどの変換が必要です。図をよく見て、どの角度が \(\theta\) に相当するかを正確に把握することが最も重要です。
  3. 次数 \(n\) を特定する: 問題文の「\(n\) 回目に極大」や「\(n\) 次の反射」といった表現から、整数 \(n\) の値を決定します。「1回目」なら \(n=1\), 「2回目」なら \(n=2\) です。この特定を間違えると、答えがずれてしまいます。
  4. ブラッグの条件を書き出す: \(2d\sin\theta = n\lambda\) の式を書き出し、問題文から読み取った \(\lambda, \theta, n\) の値を代入して、残りの未知数（多くは \(d\)）を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度 \(\theta\) の取り間違い:
  • 誤解: 入射角や反射角のように、格子面の法線（面に垂直な線）との角度を \(\theta\) として計算してしまう。
  • 対策: ブラッグの条件の \(\theta\) は、物理学の他の場面で使う角度（入射角など）の定義とは異なる、特殊な定義であると強く意識することが重要です。必ず「光線と面そのものがなす角」であることを、図を描いて確認する癖をつけましょう。
• 経路差の計算ミス:
  • 誤解: 経路差を \(d\sin\theta\) や \(2d\cos\theta\) などと間違えてしまう。
  • 対策: もし公式を忘れた場合は、別解で示したように、その場で図を描いて経路差を導出するのが最も確実です。入射光線と反射光線の両方で \(d\sin\theta\) ずつ、合計で \(2d\sin\theta\) の差が生じることを、図形的に理解しておくと、記憶が定着しやすくなります。
• 次数 \(n\) の解釈ミス:
  • 誤解: 「2回目に極大」を、\(\theta\) が2倍になった、あるいは \(\lambda\) が2倍になった、などと誤って解釈してしまう。
  • 対策: 干渉の次数 \(n\) は、経路差が波長の「何倍」であるかを示す整数です。\(n=1\) が1次の干渉、\(n=2\) が2次の干渉…というように、\(n\) が直接「回数」に対応すると理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\):
  • 選定理由: この問題は、結晶格子によるX線の回折という特定の物理現象を扱っています。この現象は、異なる格子面で反射された波の「干渉」としてモデル化され、その結果として強め合いが起こる条件を簡潔にまとめたのがブラッグの条件です。したがって、この現象を解くために専用に用意されたこの公式を選択するのは、最も直接的で論理的なアプローチです。
  • 適用根拠: この公式の根底にあるのは、あらゆる波に共通する「干渉の原理」です。すなわち、「波源からの距離の差（経路差）が、波長の整数倍になるとき、波は強め合う」という大原則です。ブラッグの条件は、この普遍的な原理を、結晶格子という特定の幾何学的配置に適用し、三角関数を用いて経路差を具体的に表現したものです。したがって、その適用は物理的に完全に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値の記憶: \(\sin30^\circ = 1/2\) のような基本的な三角関数の値は、瞬時に出てくるようにしておく必要があります。忘れてしまった場合は、直角三角形を描いて確認しましょう。
• 単位の確認: 問題で与えられている波長 \(\lambda\) の単位がメートル(m)であることを確認し、計算結果の \(d\) も同じくメートル(m)で得られることを意識します。もし \(\lambda\) がナノメートル(nm)やオングストローム(Å)で与えられた場合は、計算前にメートルに換算するか、計算後に換算する必要があります。
• 式の変形: \(2d\sin\theta = n\lambda\) から \(d\) を求めるには、両辺を \(2\sin\theta\) で割ります。\(d = \displaystyle\frac{n\lambda}{2\sin\theta}\) という形に正確に変形できることが基本です。単純な操作ですが、焦らず確実に行いましょう。

491 光の粒子性

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の粒子性（光子）」です。光を「光子」というエネルギーと運動量を持つ粒子の集まりとして捉え、その基本的な物理量（エネルギー、運動量）を計算する問題です。また、光の強さ（仕事率）と光子の個数の関係についても問われており、ミクロな光子の性質とマクロな光の性質を結びつける思考が求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子1個がもつエネルギー \(E\) を求める問題です。問題文で与えられているのは光の「波長 \(\lambda\)」なので、エネルギーを波長で表す公式 \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) を用います。この式は、光子のエネルギーの基本式 \(E=h\nu\) と、波の基本式 \(c=\nu\lambda\) を組み合わせたものです。
この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーは \(E=h\nu\)。
• 振動数 \(\nu\) と波長 \(\lambda\) の関係は \(\nu = \displaystyle\frac{c}{\lambda}\)。
• 上記2式より、エネルギーを波長で表す式は \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\)。

具体的な解説と立式
光の波長を \(\lambda\)、プランク定数を \(h\)、真空中の光の速さを \(c\) とすると、光子1個がもつエネルギー \(E\) は、
$$ E = h\frac{c}{\lambda} $$
と表されます。

上記で立てた式に、与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
\(c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
\(\lambda = 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{6.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= \frac{6.6 \times 3.0}{6.0} \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-7}} \\[2.0ex] &= 3.3 \times 10^{-34+8-(-7)} \\[2.0ex] &= 3.3 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
したがって、光子1個のエネルギーは \(3.3 \times 10^{-19} \, \text{J}\) となります。

光を「エネルギーを持った小さな粒（光子）」として考え、その粒1個が持つエネルギーを計算します。エネルギーの大きさは、光の波長が短いほど大きくなります。この関係を表す公式 \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\) に、問題文で与えられたプランク定数 \(h\)、光の速さ \(c\)、波長 \(\lambda\) の値をそのまま代入して計算します。

光子1個のエネルギーは \(3.3 \times 10^{-19} \, \text{J}\) と計算できました。これは非常に小さなエネルギーですが、原子や電子の世界では典型的な大きさの値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
光子1個がもつ運動量の大きさ \(p\) を求める問題です。光子のような粒子の運動量は、その波長 \(\lambda\) とプランク定数 \(h\) を用いて \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\) と表されます。これはド・ブロイ波の関係式としても知られています。この公式に与えられた数値を代入して計算します。
この設問における重要なポイント

• 光子の運動量は、その波長に反比例する。
• 関係式は \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\)。

具体的な解説と立式
光子の運動量の大きさ \(p\) は、プランク定数 \(h\) と波長 \(\lambda\) を用いて、
$$ p = \frac{h}{\lambda} $$
と表されます。

上記で立てた式に、与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
\(\lambda = 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= 1.1 \times 10^{-34 – (-7)} \\[2.0ex] &= 1.1 \times 10^{-27}
\end{aligned}
$$
したがって、光子の運動量の大きさは \(1.1 \times 10^{-27} \, \text{kg}\cdot\text{m/s}\) となります。

光の粒（光子）は、エネルギーだけでなく、物質と同じように「運動量」も持っています。光子の運動量は、その波長が短いほど大きくなります。この関係を表す公式 \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\) に、プランク定数 \(h\) と波長 \(\lambda\) の値を代入して計算します。

光子の運動量は \(1.1 \times 10^{-27} \, \text{kg}\cdot\text{m/s}\) と計算できました。非常に小さな値ですが、光が物体に当たったときに力を及ぼす（光圧）原因となる、重要な物理量です。

問(3)

思考の道筋とポイント
毎秒放出される光子の数を求める問題です。まず、光の強さを表す仕事率 \(100 \, \text{W}\) の意味を正しく理解する必要があります。\(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\) なので、これは「毎秒 \(100 \, \text{J}\) のエネルギーが放出されている」ことを意味します。
この毎秒放出される総エネルギーを、(1)で求めた光子1個あたりのエネルギーで割ることで、毎秒あたりに何個の光子が放出されているかを計算できます。
この設問における重要なポイント

• 仕事率の単位: \(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\)。
• （毎秒の光子数）＝（毎秒の総エネルギー）÷（光子1個のエネルギー）。

具体的な解説と立式
この光が \(100 \, \text{W}\) の割合で出されているとは、毎秒 \(100 \, \text{J}\) のエネルギーが放出されていることを意味します。
毎秒放出される光子の数を \(N\) 個とすると、毎秒放出される総エネルギーは、光子1個のエネルギー \(E\) を用いて \(N \times E\) と表せます。
したがって、
$$ 100 \, \text{[J/s]} = N \times E $$
という関係が成り立ちます。

上記で立式した関係式を \(N\) について解きます。
$$ N = \frac{100}{E} $$
この式に、(1)で求めた \(E = 3.3 \times 10^{-19} \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{100}{3.3 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &\approx 30.3 \times 10^{19} \\[2.0ex] &\approx 3.03 \times 10^{20}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(3.0 \times 10^{20}\) 個となります。

電球が「100ワット」であるというのは、「1秒間に100ジュールのエネルギーを光として放出している」という意味です。この問題は、その1秒間に出てくる光のエネルギーの合計が、光の粒（光子）何個分に相当するかを計算する問題です。
(1)で光子1個あたりのエネルギーは計算済みなので、「1秒間の総エネルギー（100 J）」を「光子1個のエネルギー」で割り算すれば、1秒間に出てくる光子の個数がわかります。

毎秒放出される光子の数は \(3.0 \times 10^{20}\) 個と求められました。非常に大きな数ですが、これはマクロな世界のエネルギー（100 J）が、いかに多数のミクロな光子によって構成されているかを示す、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の粒子性（光子モデル）:
  • 核心: この問題全体を貫く最も重要な概念は、光を「波」としてではなく、「エネルギーと運動量を持つ粒子（光子）の集まり」として捉える「光子モデル」です。この視点に立つことで、光のエネルギーや運動量を計算し、光の強さを光子の個数と結びつけることが可能になります。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの量子化: 光のエネルギーは連続的な量ではなく、\(E=h\nu\) という単位（量子）の整数倍として存在します。
    • 運動量の存在: 質量がゼロである光子にも、\(p=h/\lambda\) で表される運動量が存在します。これは、光が物体に力を及ぼす（光圧）現象の根拠となります。
    • マクロとミクロの橋渡し: 光源の仕事率（ワット）というマクロな量は、毎秒放出される光子の数というミクロな量と、光子1個のエネルギーを介して結びつきます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光圧を求める問題: 光子が壁に当たって吸収または反射されるとき、運動量が変化するため、壁に力積を与えます。単位時間あたりに多数の光子が衝突することで、壁は継続的な力（光圧）を受けます。毎秒衝突する光子の数（本問(3)の考え方）と、1個の光子の運動量変化から、光圧を計算する問題に応用できます。
  • コンプトン効果: X線光子が電子に衝突して散乱される際に、光子の波長が長くなる（エネルギーが減少する）現象。これは、光子と電子の衝突を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて粒子同士の弾性衝突として扱うことで説明されます。本問で学んだ光子のエネルギーと運動量の公式が、これらの保存則を立式する上で基礎となります。
  • レーザーポインター: 特定の仕事率（例: 1mW）のレーザーポインターから放出される光子の数を計算する問題。本問(3)と全く同じ考え方で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 問われている対象を確認: 問題が「光子1個」について尋ねているのか、「光全体（光線）」について尋ねているのかをまず区別します。(1), (2)は前者、(3)は後者です。
  2. 与えられている光の情報を確認: 光の性質として「波長 \(\lambda\)」が与えられているか、「振動数 \(\nu\)」が与えられているかを確認します。それに応じて、エネルギーや運動量の公式を使い分けます。
     • \(\lambda\) が与えられた場合: \(E = hc/\lambda\), \(p = h/\lambda\)
     • \(\nu\) が与えられた場合: \(E = h\nu\), \(p = h\nu/c\)
  3. 仕事率(W)の解釈: 「\(P\) [W]」という表記を見たら、即座に「毎秒 \(P\) [J] のエネルギー」と読み替える癖をつけます。これにより、(3)のような問題が、単なるエネルギーの割り算の問題であることが見えてきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギーと運動量の公式の混同:
  • 誤解: エネルギーを \(h/\lambda\)、運動量を \(hc/\lambda\) のように、\(c\) の有無を間違えて覚えてしまう。
  • 対策: 単位（次元）で確認するのが最も確実です。
    • エネルギー[J]の次元は \([\text{ML}^2\text{T}^{-2}]\)。\(hc/\lambda\) の次元は \([\text{ML}^2\text{T}^{-1}] \times [\text{LT}^{-1}] \div [\text{L}] = [\text{ML}^2\text{T}^{-2}]\) となり一致します。
    • 運動量[kg・m/s]の次元は \([\text{MLT}^{-1}]\)。\(h/\lambda\) の次元は \([\text{ML}^2\text{T}^{-1}] \div [\text{L}] = [\text{MLT}^{-1}]\) となり一致します。

    このように、次元を考えることで、公式の形が正しいかを確認できます。

• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 問題文で与えられた数値の有効数字が2桁（\(6.0, 6.6, 3.0, 100\)）であることを見落とす。
  • 対策: 計算を始める前に、与えられた数値の有効数字を確認し、最終的な答えもそれに合わせることを徹底しましょう。例えば、(1)の計算結果 \(3.3 \times 10^{-19}\) は、\(6.6 \times 3.0 / 6.0 = 3.3\) という計算から、有効数字2桁として正しく求められています。
• マクロとミクロの混同:
  • 誤解: (3)で、\(100 \, \text{W}\) という光全体のエネルギーを、光子1個のエネルギーと勘違いしてしまう。
  • 対策: 単位に注目することが重要です。光子1個のエネルギーの単位は[J]ですが、仕事率の単位は[W]または[J/s]です。「毎秒」という時間あたりの概念が含まれているかどうかで、光全体のマクロな量か、光子1個のミクロな量かを区別できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光子のエネルギー・運動量の公式:
  • 選定理由: (1), (2)では、光子というミクロな粒子の物理量が問われています。これらの量は、量子力学の基本法則によって、光の波動性を示す量（波長 \(\lambda\) や振動数 \(\nu\)）と結びつけられています。その関係を記述するのが、\(E=hc/\lambda\) や \(p=h/\lambda\) といった公式であり、これらを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: これらの公式は、プランクの量子仮説やアインシュタインの光量子仮説、ド・ブロイの物質波の考え方といった、20世紀初頭の物理学の革命的な発見に基づいています。数多くの実験によってその正しさが検証されており、現代物理学の根幹をなすものです。
• 仕事率とエネルギーの関係:
  • 選定理由: (3)では、マクロな量である仕事率 \(P\) [W] と、ミクロな量である光子の数 \(N\) を結びつける必要があります。その架け橋となるのが「エネルギー」です。仕事率は単位時間あたりの「総エネルギー」であり、それは「光子1個のエネルギー」×「光子の数」に等しい、という関係式を立てるのが最も論理的なアプローチです。
  • 適用根拠: この考え方は、エネルギー保存則に基づいています。光源から放出された全エネルギーは、個々の光子のエネルギーの総和に等しい、というごく自然な考え方を数式化したものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 約分を有効活用する: (1)の計算 \(\displaystyle\frac{6.6 \times 3.0}{6.0}\) では、\(3.0/6.0 = 1/2\) と先に約分することで、\(6.6 \times 1/2 = 3.3\) と簡単に計算できます。いきなり掛け算をするのではなく、約分できる箇所がないか探す癖をつけましょう。
• 指数の計算をまとめる: (1)の指数計算では、\(-34+8-(-7)\) のように、足し算と引き算をまとめて行うと符号ミスをしやすくなります。分子の指数 \(-34+8=-26\)、分母の指数 \(-7\) を計算してから、最後に全体の指数 \(-26 – (-7) = -19\) を計算する、というように段階的に行うと安全です。
• 割り算の近似計算: (3)の \(\displaystyle\frac{100}{3.3 \times 10^{-19}}\) の計算では、まず \(\displaystyle\frac{1}{3.3} \approx 0.3\) と近似して、\(100 \times 0.3 \times 10^{19} = 30 \times 10^{19} = 3.0 \times 10^{20}\) と、おおよその桁数を予測します。これにより、計算結果が大きくずれていないかを確認できます。

492 コンプトン効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンプトン効果」です。これは、X線のようなエネルギーの高い光（光子）が電子に衝突するとき、まるで粒子同士の衝突のように振る舞い、エネルギーと運動量を交換する現象です。光が粒子としての性質を持つことを示す、光電効果と並ぶ重要な証拠とされています。この衝突現象を、古典力学の基本である「エネルギー保存則」と「運動量保存則」を用いて記述する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
衝突前後のエネルギー保存則の式を立てる問題です。衝突前の系全体のエネルギーは「入射X線光子1個のエネルギー」と「静止している電子の運動エネルギー」の和です。衝突後の系全体のエネルギーは「散乱X線光子1個のエネルギー」と「弾き飛ばされた電子の運動エネルギー」の和です。エネルギーは向きを持たないスカラー量なので、これらの総和が等しいという式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 衝突前のエネルギー：光子 \(E = h\displaystyle\frac{c}{\lambda}\)、電子 \(K=0\)。
• 衝突後のエネルギー：光子 \(E’ = h\displaystyle\frac{c}{\lambda’}\)、電子 \(K’ = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
• エネルギー保存則：\(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\)。

具体的な解説と立式
衝突前の系全体のエネルギー \(E_{\text{前}}\) は、入射X線光子のエネルギーと静止電子の運動エネルギーの和なので、
$$ E_{\text{前}} = \frac{hc}{\lambda} + 0 $$
衝突後の系全体のエネルギー \(E_{\text{後}}\) は、散乱X線光子のエネルギーと運動を始めた電子の運動エネルギーの和なので、
$$ E_{\text{後}} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 $$
エネルギー保存則より \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\) なので、
$$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 $$
となります。

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

ビリヤードの玉の衝突をイメージしてください。手玉（入射X線）が的玉（電子）に当たると、手玉は勢いを失い（エネルギーが減り）、的玉は勢いよく飛び出します（運動エネルギーを得る）。このとき、「衝突前に手玉が持っていたエネルギー」が、「衝突後に弱くなった手玉のエネルギー」と「弾き飛ばされた的玉のエネルギー」の合計に等しくなる、というエネルギーの収支計算の式を立てます。

衝突前後のエネルギー保存則は \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2\) と表せます。これはコンプトン効果を解析する上での基本式の一つです。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突前後の運動量保存則の式を立てる問題です。運動量は向きを持つベクトル量であるため、座標軸を設定し、向きを符号で表す必要があります。ここでは、入射X線の進行方向であるx軸の正の向きを正とします。散乱X線はx軸の負の向きに進むため、その運動量は負の値になることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 運動量はベクトル量であり、向き（符号）を考慮する必要がある。
• 衝突前の運動量：光子 \(p = +\displaystyle\frac{h}{\lambda}\)、電子 \(p_e=0\)。
• 衝突後の運動量：光子 \(p’ = -\displaystyle\frac{h}{\lambda’}\)、電子 \(p’_e=+mv\)。
• 運動量保存則：\(p_{\text{前}} = p_{\text{後}}\)。

具体的な解説と立式
x軸の正の向きを正として、衝突前後の運動量を考えます。
衝突前の系全体の運動量 \(p_{\text{前}}\) は、入射X線光子の運動量と静止電子の運動量の和なので、
$$ p_{\text{前}} = \frac{h}{\lambda} + 0 $$
衝突後の系全体の運動量 \(p_{\text{後}}\) は、散乱X線光子の運動量と運動を始めた電子の運動量の和です。散乱X線はx軸負の向きに進むので、その運動量は負となります。
$$ p_{\text{後}} = -\frac{h}{\lambda’} + mv $$
運動量保存則より \(p_{\text{前}} = p_{\text{後}}\) なので、
$$ \frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv $$
となります。

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

再びビリヤードの衝突を考えますが、今度は「勢い（運動量）」の保存を考えます。運動量には向きがあるので、右向きをプラス、左向きをマイナスとします。衝突前の「右向きの光子の勢い」が、衝突後の「左向きに跳ね返った光子の勢い（マイナス）」と「右向きに弾き飛ばされた電子の勢い（プラス）」の合計と等しくなる、という式を立てます。

衝突前後の運動量保存則は \(\displaystyle\frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv\) と表せます。エネルギー保存則と同様に、コンプトン効果を解析する上でのもう一つの基本式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)と(2)で立てたエネルギー保存則と運動量保存則の2式から、電子の速さ \(v\) を消去して、波長の変化量 \(\lambda’ – \lambda\) を求める問題です。これは、2つの式を組み合わせる連立方程式の計算問題です。
両方の式に \(v\) が含まれているため、\(v^2\) の形を作り出して等しいとおくことで \(v\) を消去するのが定石です。
この設問における重要なポイント

• (1)の式から \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を求める。
• (2)の式から \(mv\) を求め、2乗して \(m^2v^2\) を作る。
• 2つの式を組み合わせて \(v\) を消去する。
• 与えられた近似式 \(\displaystyle\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} \approx 2\) を適切なタイミングで適用する。

具体的な解説と立式
(1)のエネルギー保存則の式を変形して、\(v^2\) を含む項を左辺に残します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{hc}{\lambda} – \frac{hc}{\lambda’} \\[2.0ex] &= hc\left(\frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda’}\right) \\[2.0ex] &= hc\frac{\lambda’-\lambda}{\lambda\lambda’} \quad \cdots ①’
\end{aligned}
$$
(2)の運動量保存則の式を変形して、\(v\) を含む項を左辺に残します。
$$
\begin{aligned}
mv &= \frac{h}{\lambda} + \frac{h}{\lambda’} \\[2.0ex] &= h\left(\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda’}\right) \\[2.0ex] &= h\frac{\lambda’+\lambda}{\lambda\lambda’} \quad \cdots ②’
\end{aligned}
$$
①’の両辺を \(2m\) 倍し、②’の両辺を2乗することで、両方とも \(m^2v^2\) の形にします。
(A)式として、
$$
\begin{aligned}
m^2v^2 &= 2m \cdot \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \\[2.0ex] &= 2mhc\frac{\lambda’-\lambda}{\lambda\lambda’} \quad \cdots (A)
\end{aligned}
$$
(B)式として、
$$
\begin{aligned}
m^2v^2 &= (mv)^2 \\[2.0ex] &= h^2 \left( \frac{\lambda’+\lambda}{\lambda\lambda’} \right)^2 \quad \cdots (B)
\end{aligned}
$$
(A)と(B)の右辺は等しいので、
$$ 2mhc\frac{\lambda’-\lambda}{\lambda\lambda’} = h^2 \frac{(\lambda’+\lambda)^2}{(\lambda\lambda’)^2} $$

上記で立てた等式を、\(\lambda’ – \lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2mhc\frac{\lambda’-\lambda}{\lambda\lambda’} &= h^2 \frac{(\lambda’+\lambda)^2}{(\lambda\lambda’)^2}
\end{aligned}
$$
両辺を \(h\) で割り、\(\lambda\lambda’\) を掛けると、
$$
\begin{aligned}
2mc(\lambda’-\lambda) &= h \frac{(\lambda’+\lambda)^2}{\lambda\lambda’}
\end{aligned}
$$
\(\lambda’-\lambda\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
\lambda’-\lambda &= \frac{h}{2mc} \frac{(\lambda’+\lambda)^2}{\lambda\lambda’}
\end{aligned}
$$
ここで、右辺の分数部分を変形します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(\lambda’+\lambda)^2}{\lambda\lambda’} &= \frac{\lambda’^2 + 2\lambda\lambda’ + \lambda^2}{\lambda\lambda’} \\[2.0ex] &= \frac{\lambda’}{\lambda} + 2 + \frac{\lambda}{\lambda’}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ \lambda’-\lambda = \frac{h}{2mc} \left( \frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} + 2 \right) $$
ここで、問題文で与えられた近似 \(\displaystyle\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} \approx 2\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
\lambda’-\lambda &\approx \frac{h}{2mc} (2 + 2) \\[2.0ex] &= \frac{h}{2mc} \times 4 \\[2.0ex] &= \frac{2h}{mc}
\end{aligned}
$$

(1)と(2)で作った2つの数式（エネルギー保存と運動量保存）を、数学のテクニック（連立方程式）を使って合体させ、邪魔な電子の速さ \(v\) を消去する作業です。計算は少し複雑ですが、手順に沿って式を整理していくと、波長の変化量 \(\lambda’-\lambda\) が求められます。最後に、問題文で与えられた「ヒント（近似式）」を使うと、式がとてもシンプルな形になります。

波長の変化量 \(\lambda’-\lambda\) は、近似的に \(\displaystyle\frac{2h}{mc}\) と表せました。この量はコンプトン波長と呼ばれ、プランク定数 \(h\)、電子の質量 \(m\)、光速 \(c\) という普遍的な定数だけで決まる、非常に興味深い結果です。これは、光子と電子の衝突が、個々のエネルギーや波長によらず、普遍的な法則に従うことを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 粒子としての光子の衝突:
  • 核心: この問題の根幹は、コンプトン効果を「光子」と「電子」という2つの粒子による”ビリヤードのような”衝突として捉え、その衝突現象に物理学の最も基本的な保存則である「エネルギー保存則」と「運動量保存則」を適用することです。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー保存 (スカラー): 衝突の前後で、系全体のエネルギーの総和は不変です。エネルギーには向きがないため、単純な足し算で式を立てます。
    • 運動量保存 (ベクトル): 衝突の前後で、系全体の運動量の総和も不変です。運動量には向きがあるため、座標軸を設定し、符号（正負）を考慮して式を立てる必要があります。特に、散乱X線が逆向きに進むため、その運動量を負で扱う点が重要です。
    • 2つの法則の同時成立: 衝突現象を完全に記述するためには、これら2つの保存則が同時に成り立っている必要があり、両方を連立させて解くことで、現象の詳細（波長の変化など）を明らかにできます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜め衝突（一般角のコンプトン効果）: 本問はX線が真後ろ（180°）に散乱される特殊なケースですが、一般的には任意の角度 \(\phi\) に散乱されます。この場合、運動量保存則をx成分とy成分に分けて立式する必要があります。結果として得られる波長の変化の式 \(\lambda’ – \lambda = \displaystyle\frac{h}{mc}(1-\cos\phi)\) は非常に有名で、本問の結果（\(\phi=180^\circ\) で \(\cos\phi=-1\) を代入すると \(\displaystyle\frac{2h}{mc}\) となる）がその特殊な場合であることが分かります。
  • 電子の反跳角を求める問題: 散乱された電子が、元のX線の進行方向からどの角度に飛び出すか（反跳角）を問う問題。これも運動量のy成分の保存則から導かれます。
  • エネルギーの高い光子との衝突: ガンマ線のような、さらにエネルギーの高い光子と電子の衝突でも、全く同じ考え方が適用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「光子と電子の衝突」というキーワード: このフレーズを見たら、コンプトン効果の問題であると判断し、エネルギー保存則と運動量保存則の2本を立式する準備をします。
  2. 衝突前後の状態を図示する: 衝突前と衝突後の、光子と電子のエネルギーと運動量を、簡単な図や表にまとめると、立式ミスを防げます。特に運動量の向き（ベクトル）を矢印で明確に描くことが重要です。
  3. ベクトル量とスカラー量の区別: エネルギーはスカラー（向きなし）、運動量はベクトル（向きあり）であることを常に意識します。運動量保存則の立式では、必ず座標軸を設定し、成分ごとに考えるか、符号で向きを表現します。
  4. 未知数の消去: (3)のように、2つの保存則から特定の変数（多くは測定しにくい電子の速さ \(v\)）を消去する問題では、数学的な計算力が求められます。どちらかの式を \(v=\dots\) や \(v^2=\dots\) の形に変形して、もう一方の式に代入するのが定石です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量の向き（符号）の間違い:
  • 誤解: (2)の運動量保存則で、散乱X線の運動量を正の値 \(+h/\lambda’\) としてしまい、\(h/\lambda = h/\lambda’ + mv\) という間違った式を立てる。
  • 対策: 運動量はベクトル量であることを徹底的に意識し、立式する前に必ず座標軸の正の向きを定義する癖をつけましょう。そして、各物体の運動方向がその正の向きと同じか逆かを判断し、符号を決定します。「散乱X線は逆向きに進むからマイナス」という確認を怠らないことが重要です。
• エネルギーと運動量の混同:
  • 誤解: エネルギー保存則を立てるべきところで、運動量のように符号をつけてしまう（例: \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = -\frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2\)）。
  • 対策: 「エネルギーはスカラー量で、向きに関係なく常に正の値をとる」という基本を思い出しましょう。衝突によってエネルギーの一部が電子に移った結果、光子のエネルギーは \(hc/\lambda\) から \(hc/\lambda’\) に「減少」しますが、エネルギーそのものが負になるわけではありません。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: (3)の計算で、\(v\) を消去する過程で式変形を間違える。特に、2乗の展開や分数の整理でミスしやすい。
  • 対策: 計算過程が複雑になる場合は、一つ一つの式に番号を振り、どの式をどう変形したのかをメモしながら進めると、間違いが減り、見直しもしやすくなります。模範解答のように、(1)式から \(m^2v^2\) を導き、(2)式からも \(m^2v^2\) を導いて、それらを等しいとおく、という手順は計算ミスを減らすための良い戦略です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• エネルギー保存則と運動量保存則の選定:
  • 選定理由: この問題は、光子と電子という2つの粒子が相互作用する「衝突」現象を扱っています。物理学において、外力が働かない系での衝突現象を解析するための最も基本的かつ強力なツールが、エネルギー保存則と運動量保存則です。これらの法則は、古典力学から量子力学まで、あらゆるスケールの衝突に適用できる普遍的な原理です。
  • 適用根拠: コンプトン効果は、まさにこれらの保存則がミクロな粒子の衝突においても厳密に成り立つことを示した歴史的な現象です。光子と電子の系に外部から力が加わっていないため、この系全体でエネルギーと運動量は保存されるはずです。したがって、これらの保存則を立式することは、現象を記述する上で最も正当なアプローチとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似式の扱い: (3)では、最後に \(\displaystyle\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} \approx 2\) という近似を用いています。この近似は、\(\lambda’ \approx \lambda\) のときに成り立ちます。つまり、光子が電子に与えるエネルギーが、光子自身のエネルギーに比べて十分に小さい場合に有効な近似です。問題文でこのような近似式が与えられた場合は、計算の最終段階で、指示された形を作り出して適用することを念頭に置いて式変形を進めましょう。
• 文字式の整理: (3)の計算では、\(h, m, c, \lambda, \lambda’\) と多くの文字が登場します。やみくもに展開するのではなく、\(\lambda’-\lambda\) や \(\lambda’+\lambda\)、\(\lambda\lambda’\) のような塊を意識しながら整理すると、見通しが良くなります。
• 両辺の2乗: 運動量保存則の式に \(mv\) が、エネルギー保存則の式に \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) が含まれている場合、運動量保存則の式を \(mv = \dots\) の形にしてから両辺を2乗し、\(m^2v^2 = (\dots)^2\) の形を作るのは、\(v\) を消去するための常套手段です。このテクニックを覚えておくと、同様の構造を持つ他の問題にも応用できます。

493 電子波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「物質波（ド・ブロイ波）」です。光だけでなく、電子のような粒子も波としての性質をあわせ持つという、量子力学の根幹をなす「物質の波動性」について、その波長を計算する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

電子波の波長を求める

思考の道筋とポイント
この問題は、ド・ブロイによって提唱された「物質波」の考え方を理解しているかを問う、基本的な計算問題です。「粒子だと思われていた電子にも、実は波としての性質があり、その波長は計算で求められる」という量子力学の不思議な世界への入り口となります。
核心となるのは、粒子の「粒子としての性質」の代表である運動量 \(p\) と、「波としての性質」の代表である波長 \(\lambda\) を結びつける、ド・ブロイの公式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) です。この公式に、運動量の定義式 \(p=mv\) を組み合わせることで、電子の速さから直接、波長を計算することができます。
この設問における重要なポイント

• ド・ブロイ波の公式は \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\)。
• 運動量 \(p\) は質量 \(m\) と速さ \(v\) の積、\(p=mv\)。
• したがって、電子波の波長は \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\) で計算できる。
• 計算はすべてSI基本単位（kg, m, s, J）で行う。

具体的な解説と立式
ド・ブロイの物質波の考え方によれば、運動量 \(p\) を持つ粒子の波動としての波長 \(\lambda\) は、プランク定数 \(h\) を用いて、
$$ \lambda = \frac{h}{p} $$
と表されます。
電子の質量を \(m\)、速さを \(v\) とすると、その運動量 \(p\) は、
$$ p = mv $$
です。
したがって、電子波の波長 \(\lambda\) は、これら2式を組み合わせて、
$$ \lambda = \frac{h}{mv} $$
と表すことができます。

上記で立てた式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\) に、与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
\(m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
\(v = 3.3 \times 10^6 \, \text{m/s}\)
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (3.3 \times 10^6)} \\[2.0ex] &= \frac{6.6}{9.1 \times 3.3} \times \frac{10^{-34}}{10^{-31} \times 10^6} \\[2.0ex] &= \frac{2.0}{9.1} \times 10^{-34 – (-25)} \\[2.0ex] &= 0.2197… \times 10^{-9} \\[2.0ex] &= 2.197… \times 10^{-10}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(2.2 \times 10^{-10} \, \text{m}\) となります。

電子のような非常に小さな粒は、ボールのような「粒」としての性質と、音や光のような「波」としての性質を、両方あわせ持っている、というのが現代物理学の考え方です。この問題は、その電子が持つ「波」としての側面である「波長」を計算するものです。
波長は、電子の勢い（運動量）が大きいほど短くなる、という反比例の関係があります。その関係を表す公式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\) に、問題文で与えられたプランク定数 \(h\)、電子の質量 \(m\)、電子の速さ \(v\) を代入するだけで、答えを計算することができます。

電子波の波長は \(2.2 \times 10^{-10} \, \text{m}\) と求められました。これは \(2.2\) オングストロームに相当し、X線の波長領域に近く、原子の大きさと同じくらいのスケールです。このため、電子線は結晶に照射するとX線と同様に回折現象を起こすことが知られており、電子顕微鏡などに応用されています。計算結果は物理的に妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物質の波動性（ド・ブロイ波）:
  • 核心: この問題の根幹にある物理法則は、ド・ブロイが提唱した「物質の波動性」です。これは、「すべての物質粒子は、粒子としての性質と同時に波としての性質も持つ」という量子力学の基本的な考え方です。
  • 理解のポイント:
    • 二重性: 電子は、質量や電荷を持つ「粒子」でありながら、波長を持ち干渉や回折といった現象を起こす「波」でもあります。
    • 粒子性と波動性の橋渡し: この2つの異なる側面を結びつけるのが、ド・ブロイの関係式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) です。式の右辺にある運動量 \(p\) は粒子の性質を代表し、左辺にある波長 \(\lambda\) は波の性質を代表しています。プランク定数 \(h\) が、この全く異なる二つの世界観をつなぐ架け橋の役割を果たしています。この式一つが、物質の二重性という量子力学の根幹を見事に表現しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電圧で加速された電子の波長: 静止していた電子を電圧 \(V\) で加速した場合のド・ブロイ波長を求める問題。まず、仕事とエネルギーの関係から運動エネルギー \(K=eV\) を求めます。次に、運動量 \(p=\sqrt{2mK} = \sqrt{2meV}\) を計算し、最後に \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}\) として波長を求めます。この一連の流れは非常に頻出です。
  • 熱運動する中性子の波長: 温度 \(T\) の気体中を熱運動している中性子（質量 \(m\)）のド・ブロイ波長を求める問題。気体分子運動論から、粒子の平均運動エネルギーは \(K = \displaystyle\frac{3}{2}k_B T\)（\(k_B\)はボルツマン定数）で与えられるため、運動量は \(p=\sqrt{2mK} = \sqrt{3mk_B T}\) となり、波長は \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}\) と計算できます。
  • 電子顕微鏡の分解能: 電子顕微鏡の性能（どれだけ小さいものを見分けられるか）は、用いる電子線の波長が短いほど高くなります。より高い電圧で電子を加速すると、波長が短くなり分解能が向上する理由を、ド・ブロイ波の考え方から説明させる問題などがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「〜の波長を求めよ」という問いを確認: 電子、陽子、中性子など、質量を持つ粒子の「波長」を問われたら、即座にド・ブロイ波の問題であると判断します。
  2. 運動量 \(p\) を求める方法を考える: ド・ブロイ波の公式 \(\lambda = h/p\) を使うためには、まずその粒子の運動量 \(p\) を計算する必要があります。問題文の条件から、\(p\) をどう求めるか考えます。
     • 質量 \(m\) と速さ \(v\) が与えられている場合 → \(p=mv\) で直接計算（本問のパターン）。
     • 運動エネルギー \(K\) が与えられている場合 → \(p=\sqrt{2mK}\) で計算。
     • 加速電圧 \(V\) が与えられている場合 → まず \(K=qV\) を計算し、次に \(p=\sqrt{2mK}\) で計算。
  3. 公式に代入して計算: 運動量 \(p\) が求まれば、あとは \(\lambda = h/p\) に代入して計算するだけです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光子の公式との混同:
  • 誤解: 電子の波長を求める際に、光子の運動量の公式 \(p=E/c\) を使おうとしてしまう。
  • 対策: \(E=pc\) という関係式は、光子のように質量がゼロで速さが常に光速 \(c\) である粒子にのみ成り立つ特殊な式です。電子のように質量があり、光速よりずっと遅い粒子には適用できません。質量を持つ粒子の運動量は、常に基本に立ち返り \(p=mv\) または \(p=\sqrt{2mK}\) から計算する、と覚えておきましょう。
• 数値計算での指数計算ミス:
  • 誤解: 分母での指数計算 \((-31) + 6 = -25\) や、全体の指数計算 \(-34 – (-25) = -9\) で符号を間違える。
  • 対策: 指数計算は、焦らずに一つ一つのステップを丁寧に行うことが最も重要です。特に、負の数の足し算や引き算は間違いやすいポイントなので、注意深く計算しましょう。計算後に、答えの桁数が物理的に妥当か（原子スケールの波長になっているかなど）を大まかに確認するのも有効です。
• 有効数字の処理:
  • 誤解: 計算途中で数値を丸めてしまい、最終的な答えに誤差が生じる。
  • 対策: 問題で与えられている数値（\(3.3, 9.1, 6.6\)）はすべて有効数字2桁です。計算の途中では、\(6.6/(9.1 \times 3.3) \approx 0.2197…\) のように、求めたい桁数より多めに桁を残しておき、最後の最後で四捨五入して有効数字2桁の \(2.2\) に合わせるのが正しい手順です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ド・ブロイの関係式 \(\lambda = h/p\):
  • 選定理由: この問題は、電子という「粒子」の運動状態（速さ \(v\)）から、その「波」としての性質（波長 \(\lambda\)）を求めることが目的です。粒子の性質（運動量 \(p\)）と波の性質（波長 \(\lambda\)）を直接結びつける唯一の物理法則が、ド・ブロイの関係式です。したがって、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: この関係式は、ド・ブロイが光子の持つ性質（\(E=h\nu, p=h/\lambda\)）の対称性から、「光子だけでなく、全ての物質粒子も同じように波の性質を持つのではないか」という大胆な仮説（博士論文）として提唱したものです。その後、デビッソンとガーマーによる電子線の回折実験などによって、その正しさが実験的に証明されました。量子力学の根幹をなす重要な柱の一つであり、その適用は完全に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算の順序を工夫する: \(\lambda = \displaystyle\frac{6.6 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (3.3 \times 10^6)}\) の計算では、先に分母の \(9.1 \times 3.3\) を計算すると \(30.03\) となり、その後の割り算が面倒になります。模範解答のように、先に \(\displaystyle\frac{6.6}{3.3} = 2\) と約分することで、計算式が \(\displaystyle\frac{2 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-25}}\) となり、計算が少し楽になります。常に計算しやすい順序がないかを探す癖をつけましょう。
• 概算で検算する: 計算を始める前に、おおよその値を予測するのも有効です。
  \(h \approx 6.6 \times 10^{-34}\)
  \(m \approx 9 \times 10^{-31}\)
  \(v \approx 3 \times 10^6\)
  $$
  \begin{aligned}
  \lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex] &\approx \frac{6.6 \times 10^{-34}}{(9 \times 10^{-31}) \times (3 \times 10^6)} \\[2.0ex] &= \frac{6.6}{27} \times 10^{-9} \\[2.0ex] &\approx 0.24 \times 10^{-9} \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-10} \, \text{m}
  \end{aligned}
  $$
  このように、計算結果が \(10^{-10}\) のオーダーになることが事前に予測でき、大きな桁間違いを防ぐことができます。

494 電子波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電子の波動性と回折」です。電圧で加速された電子が波（物質波）として振る舞い、結晶格子によって回折される現象を扱います。これは、電子が粒子であると同時に波でもあるという「物質の二重性」を示す有名な実験（デビッソン・ガーマーの実験）に基づいています。複数の設問を通じて、電子の波長の計算から、波の干渉条件の立式、そして実験結果の解析まで、一連の思考プロセスを問う総合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電圧 \(V\) で加速された電子のド・ブロイ波長 \(\lambda\) を求める問題です。波長を求めるには、まず電子の運動量 \(p\) を知る必要があります。そして、運動量 \(p\) を知るには、電子の運動エネルギー \(K\) を知る必要があります。
ステップとしては、①電圧 \(V\) から運動エネルギー \(K\) を求め、②運動エネルギー \(K\) から運動量 \(p\) を求め、③運動量 \(p\) から波長 \(\lambda\) を求める、という3段階のプロセスを踏みます。
この設問における重要なポイント

• 静止した電子が電圧 \(V\) で加速されて得る運動エネルギーは \(K=eV\)。
• 運動量 \(p\) と運動エネルギー \(K\) の関係は \(p = \sqrt{2mK}\)。
• ド・ブロイ波の波長は \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\)。

具体的な解説と立式
静止している電子（電荷 \(-e\)、質量 \(m\)）が電圧 \(V\) で加速されると、運動エネルギー \(K\) を得ます。仕事とエネルギーの関係より、
$$ K = eV $$
この電子の運動量を \(p\) とすると、運動エネルギー \(K\) との間には \(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) という関係があるので、
$$ p = \sqrt{2mK} $$
となります。ここに \(K=eV\) を代入すると、
$$ p = \sqrt{2meV} $$
と表せます。
最後に、ド・ブロイ波の波長の公式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) に、この運動量 \(p\) を代入します。
$$ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} $$

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

電子の「波長」を知るためには、まずその電子の「勢い（運動量）」を知る必要があります。電子は電圧 \(V\) によって加速されることで勢いを得るので、まずは電圧 \(V\) から「運動エネルギー」を計算し、そのエネルギーから「運動量」を計算します。最後に、その運動量をド・ブロイの公式に当てはめることで、「波長」を求めることができます。

加速電圧 \(V\) で加速された電子の波長は \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}}\) と表せます。この式は、加速電圧 \(V\) が大きいほど、電子の運動エネルギーと運動量が大きくなり、結果として波長 \(\lambda\) が短くなることを示しています。これは電子顕微鏡の分解能を上げる原理にもなっており、物理的に妥当な関係です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で導出した波長の式に、具体的な数値を代入して計算する問題です。プランク定数 \(h\)、電気素量 \(e\)、電子の質量 \(m\)、加速電圧 \(V\) の値を代入し、平方根の計算と指数の計算を正確に行うことが求められます。
この設問における重要なポイント

• (1)で求めた公式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}}\) を用いる。
• 数値計算、特に平方根と指数の計算を正確に行う。

具体的な解説と立式
(1)で求めた式に、与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
\(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
\(m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)
\(V = 55 \, \text{V}\)
$$ \lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 55}} $$

まず、平方根の中を計算します。
$$
\begin{aligned}
& \quad 2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 55 \\[2.0ex] &= (2 \times 9.1 \times 1.6 \times 55) \times 10^{-31-19} \\[2.0ex] &= 1601.6 \times 10^{-50} \\[2.0ex] &= 16.016 \times 10^{-48}
\end{aligned}
$$
この平方根をとります。\( \sqrt{16.016} \approx 4.0 \), \( \sqrt{10^{-48}} = 10^{-24} \) なので、
$$ \sqrt{16.016 \times 10^{-48}} \approx 4.0 \times 10^{-24} $$
これを \(\lambda\) の式に戻します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.0 \times 10^{-24}} \\[2.0ex] &= 1.65 \times 10^{-34 – (-24)} \\[2.0ex] &= 1.65 \times 10^{-10}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(1.7 \times 10^{-10} \, \text{m}\) となります。

(1)で作った設計図（公式）に、具体的な部品の数値（物理定数や電圧）をはめ込んで、実際の長さ（波長）を計算する作業です。電卓が使えない場合は少し大変ですが、指数の計算と平方根の計算を丁寧に行えば、答えにたどり着けます。

電子波の波長は \(1.7 \times 10^{-10} \, \text{m}\) と求められました。これはX線の波長と同程度の長さであり、問題文の記述とも一致します。このため、電子線もX線と同様に結晶による回折実験に用いることができます。

問(3)

思考の道筋とポイント
原子面AとBで反射（散乱）された電子波の経路差を求める問題です。これは、X線回折におけるブラッグの条件を導出する際と全く同じ幾何学的な考察です。図を元に、原子面Bで反射した波が、原子面Aで反射した波よりもどれだけ長い距離を進むかを、三角関数を用いて表現します。
この設問における重要なポイント

• 図から経路差を幾何学的に読み取る。
• 入射時と反射時の両方で経路差が生じるため、合計で2倍になる。

具体的な解説と立式
図において、原子面A上の点Pで反射する波と、原子面B上の点Rで反射する波を考えます。同じ波面が点Pに到達したとき、もう一方の波はまだ点Qまでしか進んでいません。この時点で、QRの距離だけ経路差が生じています。直角三角形PQRにおいて、斜辺PRの長さは原子面の間隔 \(d\) であり、\(\angle RPQ = \theta\) なので、
$$ QR = d\sin\theta $$
となります。
同様に、点Rで反射した後、波が進む経路にも対称性から同じだけの経路差が生じます。
したがって、2つの波の全経路差 \(\Delta L\) は、
$$ \Delta L = 2 \times QR = 2d\sin\theta $$
となります。

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

上の棚（原子面A）で反射する波と、下の棚（原子面B）で反射する波の「回り道の長さ（経路差）」を計算します。図に補助線を引いて直角三角形を作ると、三角関数を使って、回り道の長さが「\(2 \times d \times \sin\theta\)」で計算できることがわかります。

経路差は \(2d\sin\theta\) と表せます。これはブラッグの条件の左辺そのものであり、波の干渉を考える上での基本となる量です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた波長の電子線を用いた回折実験で、原子面の間隔 \(d\) を求める問題です。
波が強め合う条件は、(3)で求めた経路差が波長の整数倍になることです。これを数式で表すと、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) となります。
問題文の「強度に最初の極大が観測された」という記述から、これは \(n=1\) の場合の干渉であると判断できます。
この条件式に、(2)で計算した \(\lambda\) の値と、問題文で与えられた \(\theta=30^\circ\)、\(n=1\) を代入して \(d\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 波が強め合う条件は「経路差 = \(n\lambda\)」。
• (3)の結果と組み合わせると、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) が得られる。
• 「最初の極大」は、干渉の次数が \(n=1\) であることを意味する。

具体的な解説と立式
電子波が強め合って反射される条件は、(3)で求めた経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍 (\(n=1, 2, 3, \dots\)) に等しくなるときです。
$$ 2d\sin\theta = n\lambda $$
問題文より、「最初の極大が観測された」とあるので、これは \(n=1\) の場合に相当します。
したがって、
$$ 2d\sin\theta = 1 \times \lambda $$
となります。
与えられた条件は \(\theta = 30^\circ\) であり、(2)で求めた波長は \(\lambda \approx 1.65 \times 10^{-10} \, \text{m}\)（有効数字を考慮する前の値）です。これらの値を代入します。
$$ 2d\sin30^\circ = 1.65 \times 10^{-10} $$

上記で立式した方程式を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1.65 \times 10^{-10}}{2\sin30^\circ}
\end{aligned}
$$
\(\sin30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1.65 \times 10^{-10}}{2 \times \displaystyle\frac{1}{2}} \\[2.0ex] &= 1.65 \times 10^{-10}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(1.7 \times 10^{-10} \, \text{m}\) となります。

(3)で計算した「回り道の長さ（\(2d\sin\theta\)）」が、波長のちょうど整数倍になるときに波が強め合います。問題では「最初に強くなった」と言っているので、これは回り道の長さが波長のちょうど「1倍」になった瞬間のことです。
この関係を「\(2d\sin\theta = 1 \times \lambda\)」という式で表し、(2)で計算した波長 \(\lambda\) の値と、角度 \(\theta=30^\circ\) を代入すれば、原子の棚の間隔 \(d\) を計算することができます。

結晶の原子面の間隔は \(1.7 \times 10^{-10} \, \text{m}\) と求められました。これは(2)で求めた電子波の波長とほぼ同じ値です（\(n=1, \theta=30^\circ\) の場合、\(d=\lambda\) となるため）。原子レベルの大きさとして妥当な値です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物質波の概念と波の干渉の融合:
  • 核心: この問題は、2つの重要な物理概念を融合させて解く必要があります。一つは、電圧で加速された電子が「波」として振る舞うという「物質波（ド・ブロイ波）」の考え方（問1, 2）。もう一つは、その波が結晶格子という規則的な構造によって回折・干渉を起こすという「波の干渉」の考え方（問3, 4）です。
  • 理解のポイント:
    • ステップ1（粒子→波）: まず、電子を「粒子」として捉え、加速電圧 \(V\) からその運動エネルギーと運動量を計算し、ド・ブロイの公式 \(\lambda = h/p\) を使って「波」としての性質である波長 \(\lambda\) を求めます。
    • ステップ2（波→干渉）: 次に、この電子を波長 \(\lambda\) の「波」として捉え、それが結晶格子でどのように干渉するかを考えます。ここでは、波の干渉の一般原理（経路差が波長の整数倍で強め合う）を適用し、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) に結びつけます。
    • 全体の流れ: このように、電子の「粒子性」から出発して「波動性」を導き、その波動性を利用して結晶構造という別の物理量を解析する、という一連の流れがこの問題の核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子顕微鏡: 高い電圧で電子を加速し、その波長の短さを利用して微小な物体を観察する装置。加速電圧と電子波の波長の関係（本問(1)）は、電子顕微鏡の分解能を理解する上で基礎となります。
  • 中性子回折: 原子炉などで作られる低速の中性子も物質波として振る舞い、結晶構造の解析に利用されます。中性子の運動エネルギーや温度からド・ブロイ波長を計算し、ブラッグの条件を適用する問題は、本問と考え方が共通しています。
  • 特定の次数の干渉が起こる電圧を求める: 格子面間隔 \(d\) が既知の結晶で、特定の角度 \(\theta\) で \(n=2\) の干渉を観測したい場合、必要な加速電圧 \(V\) はいくらか、といった逆算問題。まずブラッグの条件から必要な波長 \(\lambda\) を求め、次に \(\lambda = h/\sqrt{2meV}\) の関係から \(V\) を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 問題の構造を把握する: この問題のように、複数の小問に分かれている場合、前の設問の結果を次の設問で使うことが多いです。特に、(1)で文字式を、(2)で数値計算をさせ、(4)でその数値を使う、という流れは典型的なパターンです。
  2. 「加速された粒子」と「結晶」: この2つのキーワードが揃っていたら、「ド・ブロイ波長を計算」→「ブラッグの条件を適用」という流れを強く意識します。
  3. ブラッグの条件の各要素を特定:
     • \(\lambda\): 加速電圧から計算する。
     • \(n\): 「最初の極大」「\(n\)回目の極大」といった言葉から読み取る。
     • \(\theta\): 問題文や図から読み取る。
     • \(d\): 求めるべき未知数か、既知の値かを確認する。
  4. 幾何学的な考察: (3)のように経路差を問われた場合は、落ち着いて図を描き、補助線を引いて直角三角形を見つけ、三角比の定義（\(\sin, \cos, \tan\)）に当てはめて考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量とエネルギーの関係式の混同:
  • 誤解: 運動量 \(p\) を計算する際に、\(p=\sqrt{2mK}\) の公式を忘れ、\(K=\frac{1}{2}mv^2\) から \(v\) を求めて \(p=mv\) に代入するなど、遠回りな計算をしてしまう。
  • 対策: \(K=eV\) と \(p=\sqrt{2mK}\) はセットで覚えておくと非常に便利です。これにより、電圧 \(V\) から運動量 \(p\) を \(p=\sqrt{2meV}\) と一気に計算でき、速さ \(v\) を経由する必要がなくなります。この関係式は頻出なので、導出過程と合わせてマスターしておきましょう。
• ブラッグの条件の次数 \(n\) の扱い:
  • 誤解: (4)で「最初の極大」を \(n=0\) と勘違いしたり、どの \(n\) を使えばよいか分からなくなったりする。
  • 対策: 干渉の次数 \(n\) は、経路差が波長の「何倍」かを表す自然数（\(n=1, 2, 3, \dots\)）です。\(n=0\) は経路差がゼロ、つまりすべての波が同位相の場合を意味し、これは回折では通常考えません。「最初」は \(n=1\), 「2番目」は \(n=2\) と対応します。
• 計算途中での丸め:
  • 誤解: (2)で波長 \(\lambda\) を計算した際に \(1.7 \times 10^{-10}\) と丸めてしまい、(4)の計算でその丸めた値を使ってしまう。
  • 対策: 後の設問で使う可能性のある計算結果は、有効数字より1桁多く（この場合は \(1.65 \times 10^{-10}\)）保持しておくのが鉄則です。最後に答えを出すときだけ、指定された有効数字に丸めるようにしましょう。これにより、計算の精度が保たれ、誤差の蓄積を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\lambda = h/\sqrt{2meV}\) の導出:
  • 選定理由: (1)では、電子の波動性（\(\lambda\)）と、電場による加速という粒子的な側面（\(V\)）を結びつける必要があります。これを一度に行う公式はありません。したがって、両者をつなぐ中間的な物理量である「運動量 \(p\)」または「運動エネルギー \(K\)」を経由する必要がある、と論理的に判断します。
  • 適用根拠:
    1. \(K=eV\): 電場がする仕事が運動エネルギーになるという、エネルギー保存則の応用。
    2. \(p=\sqrt{2mK}\): 運動量の定義 \(p=mv\) と運動エネルギーの定義 \(K=\frac{1}{2}mv^2\) から導かれる、純粋に力学的な関係式。
    3. \(\lambda=h/p\): 粒子の運動量と波長を結びつける、量子力学の基本原理（ド・ブロイの関係）。

    これら3つの確固たる物理法則を段階的に適用することで、最終的な関係式が導かれます。

• ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\):
  • 選定理由: (4)では、結晶による電子線の回折という現象で、「強度が極大」になる条件が問われています。これは波の「干渉」による強め合いを意味し、この特定の状況を記述するために確立された法則がブラッグの条件です。
  • 適用根拠: (3)で示したように、この公式は波の干渉の一般原理「経路差 = \(n\lambda\)」を結晶という特定の幾何学的配置に適用したものです。電子が波として振る舞う以上、この干渉の原理に従うはずであり、公式の適用は完全に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の中の計算: (2)の \(\sqrt{2 \times 9.1 \times 1.6 \times 55}\) のような計算では、掛け算の順序を工夫すると楽になる場合があります。例えば、\(2 \times 55 = 110\)、\(9.1 \times 1.6 \approx 9 \times 1.6 = 14.4\)。\(110 \times 14.4 = 1584\)。\(\sqrt{1600}=40\) なので、これに近い値になる、といった概算が可能です。
• 単位から物理量を連想する:
  • \([\text{V}]\) (ボルト) → 電圧・電位差 → エネルギー \(eV\)
  • \([\text{J}]\) (ジュール) → エネルギー → 運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\)
  • \([\text{kg}\cdot\text{m/s}]\) → 運動量 → 波長 \(\lambda = h/p\)

  このように、単位から関連する物理公式を連想する訓練をしておくと、立式の際に迷いにくくなります。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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