「良問の風」攻略ガイド（106〜110問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題106 (愛知工大＋静岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平行板コンデンサーの基本的な性質（電気容量、蓄えられる電気量、電位）、金属板を挿入した際の影響、スイッチの開閉に伴う電気量の保存、そして静電エネルギーと外力の仕事の関係を問う総合的な問題です。各ステップで何が起こっているのか、物理法則に基づいて丁寧に考えていきましょう。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの性質とエネルギー」です。スイッチの開閉によって「電位差一定」と「電気量保存」のどちらの条件が適用されるかを見極めることが、問題を解く上での最初の重要なステップとなります。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じた直後のコンデンサーに蓄えられる電気量を求める問題です。このとき、コンデンサーは電池によって充電され、その極板間の電位差は電池の起電力 \(V\) に等しくなります。コンデンサーの電気容量が \(C\) と与えられているので、基本公式 \(Q=CV\) を使って電気量を算出します。
この設問における重要なポイント

• スイッチを閉じると、コンデンサーの電位差は電池の起電力 \(V\) になる。
• コンデンサーの基本公式 \(Q=CV\) を正しく適用する。

具体的な解説と立式
スイッチSを閉じることにより、コンデンサーの極板Aと極板Bの間には、電池の起電力に等しい電位差 \(V\) が生じます。
コンデンサーに蓄えられる電気量を \(Q_1\) とすると、電気容量 \(C\) と極板間の電位差 \(V\) を用いて、次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= CV
\end{aligned}
$$

上記の立式がそのまま答えとなります。

コンデンサーがどれくらいの電気を蓄えられるかは、その「器の大きさ（電気容量 \(C\)）」と、「どれくらいの電圧をかけるか（電位差 \(V\)）」で決まります。スイッチを電池につなぐと、コンデンサーには電池の電圧 \(V\) がかかります。したがって、蓄えられる電気の量 \(Q_1\) は、単純に \(C \times V\) で計算できます。

コンデンサーに蓄えられた電気量 \(Q_1\) は \(CV\) です。これはコンデンサーの最も基本的な関係式であり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じたまま、コンデンサーの極板間に金属板Pを挿入したときの、極板Aから極板Bまでの電位の変化をグラフにする問題です。
ポイントは以下の通りです。

1. スイッチSは閉じているので、極板A-B間の電位差は \(V\) で一定。極板Bは接地(\(0\text{V}\))、極板Aは電位 \(V\)。
2. 金属板Pは導体なので、Pの内部はどこでも同じ電位（等電位）になります。また、金属板内部の電場は \(0\) です。
3. 金属板Pの厚さは \(\displaystyle\frac{d}{2}\) で、中央に挿入されているので、極板AとPの間隔、およびPと極板Bの間隔はそれぞれ \(\displaystyle\frac{d}{4}\) となります。
4. 極板AとPの間、Pと極板Bの間は、同じ条件のコンデンサーとみなせるため、全体の電位差 \(V\) が均等に配分されます。

この設問における重要なポイント

• 金属板内部は等電位であり、電場が0であること。
• スイッチが閉じているため、全体の電位差は \(V\) であること。
• 対称性から、AP間とPB間の電位差は等しく \(\displaystyle\frac{V}{2}\) となる。

具体的な解説と立式
スイッチSは閉じたままなので、極板Aの電位は \(V\)、極板Bの電位は \(0\text{V}\) です。
厚さ \(\displaystyle\frac{d}{2}\) の金属板Pが極板間の中央に挿入されると、極板Aと金属板Pの間の空間（AP間）と、金属板Pと極板Bの間の空間（PB間）は、ともに間隔が \(\displaystyle\frac{d}{4}\) のコンデンサーとみなせます。
これらのコンデンサーの電気容量は等しいため、直列に接続されたと考えると、全体の電位差 \(V\) はAP間とPB間で等しく分配されます。
したがって、AP間の電位差 \(V_{AP}\) とPB間の電位差 \(V_{PB}\) は、
$$
\begin{aligned}
V_{AP} &= V_{PB} \\
&= \frac{V}{2}
\end{aligned}
$$
となります。
金属板Pは導体なので、内部は等電位です。その電位 \(V_P\) は、極板Aの電位 \(V\) からAP間の電位差 \(V_{AP}\) だけ下がった値になります。
$$
\begin{aligned}
V_P &= V – V_{AP}
\end{aligned}
$$

立式した \(V_P = V – V_{AP}\) に、\(V_{AP} = \displaystyle\frac{V}{2}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
V_P &= V – \frac{V}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{2}
\end{aligned}
$$
したがって、電位は以下のように変化します。

• 極板A (距離 \(x=0\)): 電位 \(V\)。
• AP間 (\(0 < x < \displaystyle\frac{d}{4}\)): 電位は \(V\) から \(\displaystyle\frac{V}{2}\) まで直線的に減少。
• 金属板P内部 (\(\displaystyle\frac{d}{4} \le x \le \frac{3d}{4}\)): 電位は \(\displaystyle\frac{V}{2}\) で一定。
• PB間 (\(\displaystyle\frac{3d}{4} < x < d\)): 電位は \(\displaystyle\frac{V}{2}\) から \(0\text{V}\) まで直線的に減少。

この結果をグラフに描きます。

1. まず、A点の電圧は \(V\)、B点の電圧は \(0\text{V}\) です（Bはアースされているので）。
2. 金属の板Pを真ん中に入れると、この金属板の中では電圧はどこも同じになります。
3. AからPまでの「すき間」と、PからBまでの「すき間」は、同じ幅です。全体の電圧 \(V\) が、この2つの「すき間」で等しく分けられると考えると、それぞれの「すき間」にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{V}{2}\) ずつになります。
4. したがって、A点(\(V\))から \(\displaystyle\frac{V}{2}\) だけ電圧が下がると金属板Pに到達するので、Pの電圧は \(V – \displaystyle\frac{V}{2} = \frac{V}{2}\) です。
5. 金属板Pの中はずっと \(\displaystyle\frac{V}{2}\) のままで、Pの終わりからB点(\(0\text{V}\))までは、また \(\displaystyle\frac{V}{2}\) だけ電圧が下がります。
6. グラフは、AからPの始まりまでまっすぐ下がり、Pの中は水平、Pの終わりからBまでまたまっすぐ下がる形になります。

電位のグラフは、点 \((0, V)\)、点 \((\displaystyle\frac{d}{4}, \frac{V}{2})\)、点 \((\displaystyle\frac{3d}{4}, \frac{V}{2})\)、点 \((d, 0)\) を結ぶ折れ線グラフとなります。これは模範解答のグラフと一致します。金属導体内部は電場がゼロであるため電位勾配がなく、等電位となる点が重要です。

問(3)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じたまま金属板Pを挿入したとき、極板Aに蓄えられる電気量 \(Q_1’\) を求めます。
金属板を挿入すると、コンデンサーの電気容量が変化します。スイッチが閉じているため、極板間の電位差は \(V\) で一定です。変化後の電気容量 \(C’\) を求め、\(Q_1′ = C’V\) の関係から電気量を計算します。
金属板（導体）を挿入すると、その厚さ分だけ実質的な極板間隔が減少したと見なせます。
この設問における重要なポイント

• 金属板の挿入による電気容量の変化を正しく計算すること。実質的な極板間隔が \(d – \displaystyle\frac{d}{2} = \frac{d}{2}\) となる。
• スイッチが閉じているため、電位差は \(V\) で一定であること。
• 変化後の電気容量 \(C’\) と電位差 \(V\) から電気量 \(Q_1’\) を求める。

具体的な解説と立式
スイッチSは閉じたままなので、極板AB間の電位差は \(V\) に保たれています。
厚さ \(\displaystyle\frac{d}{2}\) の金属板Pを挿入すると、金属板内部には電場が形成されないため、実質的に電場が存在する空間の厚さは、元の極板間隔 \(d\) から金属板の厚さ \(\displaystyle\frac{d}{2}\) を引いた \(d – \displaystyle\frac{d}{2} = \frac{d}{2}\) となります。
元のコンデンサーの電気容量が \(C = \epsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\) で与えられているので、金属板挿入後の新しい電気容量を \(C’\) とすると、
$$
\begin{aligned}
C’ &= \epsilon_0 \frac{S}{d/2}
\end{aligned}
$$
この新しい電気容量 \(C’\) と、一定に保たれている電位差 \(V\) を用いて、極板Aに蓄えられた電気量 \(Q_1’\) は次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
Q_1′ &= C’V
\end{aligned}
$$

まず、\(C’\) を元の電気容量 \(C\) を使って表します。
$$
\begin{aligned}
C’ &= \epsilon_0 \frac{S}{d/2} \\[2.0ex]
&= 2 \left( \epsilon_0 \frac{S}{d} \right) \\[2.0ex]
&= 2C
\end{aligned}
$$
次に、この \(C’=2C\) を電気量の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_1′ &= (2C)V \\[2.0ex]
&= 2CV
\end{aligned}
$$

金属の板をコンデンサーの間に差し込むと、コンデンサーの性能（電気を蓄える能力、つまり電気容量）が変化します。金属板の厚みが \(\displaystyle\frac{d}{2}\) なので、電気が実際に影響する「すき間」の合計は、元の半分 (\(\displaystyle\frac{d}{2}\)) になったのと同じことになります。コンデンサーの電気容量は「すき間」の広さに反比例するので、すき間が半分になれば、電気容量は2倍になります。つまり、新しい電気容量は \(2C\) です。
スイッチは電池につながったままなので、電圧は \(V\) のままです。
したがって、蓄えられる電気の量 \(Q_1’\) は、新しい電気容量 \(2C\) に電圧 \(V\) を掛けて、\(Q_1′ = (2C) \times V = 2CV\) となります。

極板Aに蓄えられた電気量 \(Q_1’\) は \(2CV\) です。これは、問(1)の \(Q_1=CV\) と比較して2倍になっています。金属板を挿入することで電気容量が増加し（\(C \rightarrow 2C\)）、電位差は \(V\) で一定なので、蓄えられる電気量も2倍になるというのは物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
スイッチSを開いた後、金属板Pを取り去ったときの極板間の電位差 \(V’\) を求めます。
ここでの重要なポイントは以下の2つです。

1. スイッチSを開くと、コンデンサーは電池から電気的に切り離されます。そのため、コンデンサーの極板に蓄えられている電気量 \(Q_1’\)（問(3)で求めた値）は、この後の操作を行っても変化せず、保存されます。
2. 金属板Pを取り去ると、コンデンサーの極板間隔は元の \(d\) に戻り、電気容量も元の \(C\) に戻ります。

保存された電気量と変化後の電気容量から、新しい電位差 \(V’\) を \(Q=CV\) の関係式を使って求めます。
この設問における重要なポイント

• スイッチを開くと、コンデンサーの電気量 \(Q_1’\) が保存されること。
• 金属板Pを取り去ると、電気容量が元の \(C\) に戻ること。
• 保存された電気量と新しい電気容量から、電位差 \(V’\) を計算する。

具体的な解説と立式
スイッチSを開くと、コンデンサーは電気的に孤立し、極板に蓄えられていた電気量 \(Q_1’\) は保存されます。問(3)より、この電気量は \(Q_1′ = 2CV\) です。
金属板Pを取り去ると、コンデンサーの電気容量は元の \(C\) に戻ります。
このときの極板間の電位差を \(V’\) とすると、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) より、次の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
Q_1′ &= CV’
\end{aligned}
$$

上記の式に、保存される電気量 \(Q_1′ = 2CV\) (問(3)の結果) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2CV &= CV’
\end{aligned}
$$
この式の両辺を \(C\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
V’ &= 2V
\end{aligned}
$$

1. まず、スイッチを開きます。こうすると、コンデンサーに蓄えられていた電気（\(Q_1′ = 2CV\)）はどこにも行けなくなるので、その量は変わりません。
2. 次に、金属板Pをコンデンサーの間から抜き取ります。すると、コンデンサーの「すき間」は元の広さ \(d\) に戻るので、電気容量も元の \(C\) に戻ります。
3. 電気の量 \(Q_1′ = 2CV\) が保たれたままで、電気容量が \(C\) になったときの新しい電圧を \(V’\) とすると、「電気の量 = 電気容量 × 電圧」の関係 (\(Q_1′ = CV’\)) が成り立ちます。
4. つまり、\(2CV = C \times V’\) という式ができます。この式から \(V’\) を求めると、\(V’ = 2V\) となります。電圧が元の2倍になったわけです。

金属板Pを取り去った後の極板間の電位差 \(V’\) は \(2V\) です。
電気量 \(Q_1′ = 2CV\) が保存された状態で、電気容量が \(C’ = 2C\) から \(C\) へと半分に減少したため、電位差は \(V = Q/C\) の関係から2倍になった (\(V \rightarrow 2V\)) と考えられ、物理的に妥当です。

問(5)

思考の道筋とポイント
金属板Pを取り去るときに外力のした仕事 \(W\) を求めます。
このような場合、外力のした仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの変化に等しいと考えます。
仕事 \(W = (\text{金属板Pを取り去った後の静電エネルギー}) – (\text{金属板Pを取り去る前の静電エネルギー})\)
それぞれの状態での静電エネルギーを計算し、その差を求めます。
この設問における重要なポイント

• 外力のした仕事が静電エネルギーの変化に等しいこと (\(W = \Delta U\))。
• 操作前後のコンデンサーの状態（電気量、電気容量、電位差）を正確に把握し、それぞれの静電エネルギーを計算すること。
• 静電エネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) を用いる。

具体的な解説と立式
外力がした仕事 \(W\) は、コンデンサーの静電エネルギーの変化量に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
W &= U_{\text{後}} – U_{\text{初}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(U_{\text{初}}\) は金属板Pを取り去る前の静電エネルギー、\(U_{\text{後}}\) は取り去った後の静電エネルギーです。

初めの状態（Pを取り去る前）:
この状態は、スイッチが開かれた直後です。金属板Pはまだ挿入されています。

• 電気容量: \(C_{\text{初}} = 2C\)
• 電位差: \(V_{\text{初}} = V\)

このときの静電エネルギー \(U_{\text{初}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{初}} &= \frac{1}{2} C_{\text{初}} V_{\text{初}}^2
\end{aligned}
$$
後の状態（Pを取り去った後）:
この状態は、問(4)で求めた状態です。

• 電気容量: \(C_{\text{後}} = C\)
• 電位差: \(V_{\text{後}} = V’ = 2V\)

このときの静電エネルギー \(U_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{1}{2} C_{\text{後}} V_{\text{後}}^2
\end{aligned}
$$

まず、\(U_{\text{初}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{初}} &= \frac{1}{2} (2C) V^2 \\[2.0ex]
&= CV^2
\end{aligned}
$$
次に、\(U_{\text{後}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{1}{2} C (2V)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} C (4V^2) \\[2.0ex]
&= 2CV^2
\end{aligned}
$$
最後に、仕事 \(W\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
W &= U_{\text{後}} – U_{\text{初}} \\[2.0ex]
&= 2CV^2 – CV^2 \\[2.0ex]
&= CV^2
\end{aligned}
$$

1. 外から力を加えて何かを動かすと、その仕事の分だけ「電気のエネルギー（静電エネルギー）」が変化します。ここでは、金属板Pを引き抜くのにどれだけ仕事をしたかを考えます。
2. まず、Pを引き抜く前のエネルギーを計算します。このとき、コンデンサーの電気容量は \(2C\) で、電圧は \(V\) でした。エネルギーは「\(\displaystyle\frac{1}{2} \times \text{電気容量} \times (\text{電圧})^2\)」なので、\(U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2} \times (2C) \times V^2 = CV^2\) です。
3. 次に、Pを引き抜いた後のエネルギーを計算します。このとき、電気容量は \(C\) に戻り、電圧は \(2V\) になっていました。エネルギーは \(U_{\text{後}} = \displaystyle\frac{1}{2} \times C \times (2V)^2 = 2CV^2\) です。
4. 外力がした仕事 \(W\) は、後のエネルギーから前のエネルギーを引いたものです。つまり、\(W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = 2CV^2 – CV^2 = CV^2\) となります。

外力のした仕事 \(W\) は \(CV^2\) です。この仕事の値は正であり、コンデンサーの静電エネルギーが増加したことを意味します（\(CV^2 \rightarrow 2CV^2\)）。金属板は極板間に働く静電気力によって極板に引き寄せられる傾向があります。したがって、これに抗して金属板を引き抜くためには、外力が正の仕事をする必要があります。結果が正であることは物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの基本法則と電気的条件の切り替え:
  • 核心: この問題は、コンデンサーの基本公式 \(Q=CV\) を軸に、スイッチの開閉や金属板の挿入といった操作によって、「何が一定に保たれ、何が変化するのか」を正確に見極める能力を試す問題です。
  • 理解のポイント:
    1. スイッチON (電池に接続): コンデンサーの極板間の電位差 \(V\) が電池の起電力によって一定に保たれます。この状態で容量 \(C\) が変化すれば、電気量 \(Q\) が変化します。
    2. スイッチOFF (電池から切断・孤立): コンデンサーの極板に蓄えられた電気量 \(Q\) が保存されます（電荷の移動経路がないため）。この状態で容量 \(C\) が変化すれば、電位差 \(V\) が変化します。
    3. 導体（金属板）の静電的性質: 導体内部では電場が \(0\) であり、導体全体が等電位であるという性質は、電位のグラフを描く際や、電気容量の変化を考える際の重要な手がかりとなります。
    4. 仕事とエネルギーの関係: 外力がコンデンサーに対してする仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの変化に等しい (\(W_{\text{外力}} = \Delta U_{\text{静電}}\)) というエネルギー保存則を適用します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 誘電体の挿入/除去: 金属板の代わりに比誘電率 \(\epsilon_r\) の誘電体を挿入する場合、電気容量が \(\epsilon_r\) 倍になるとして扱います。スイッチの開閉に伴う考え方の基本は全く同じです。
  • 複数のコンデンサーの接続: 金属板を挟んだコンデンサーを、空間で区切って複数のコンデンサーの直列接続として解析する視点は、より複雑なコンデンサー回路の問題に応用できます。
  • コンデンサー極板に働く力: 本問の(5)は間接的に力を扱っていますが、極板間に働く静電気力 \(F\) を直接問う問題もあります。\(F = \displaystyle\frac{1}{2}QE\) や、エネルギーを距離で微分する \(F = -\displaystyle\frac{dU}{dx}\) といった関係式に発展します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の状態変化の把握: まず、スイッチが開いているのか閉じているのか、電池は接続されているのかを確認します。これにより、何が一定で何が変化するのか（電位差一定か電気量保存か）という、その後の思考の土台を固めます。
  2. コンデンサーの構造変化の把握: 極板間隔、極板面積、挿入物（金属、誘電体）の種類や位置によって、電気容量 \(C\) がどのように変化するかを最初に評価します。金属板の挿入は、その厚さ分だけ実質的な極板間隔を減少させる効果があります。
  3. エネルギー収支の確認: 仕事やエネルギーが問われた場合は、変化の「前」と「後」の状態で、\(Q, C, V\) の値をそれぞれ正確に特定します。その上で、どのエネルギー公式（例：\(Q\)一定なら \(U=Q^2/(2C)\) など）を使うのが最も効率的かを見極めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチOFF時の電位差固定の誤解:
  • 誤解: スイッチを開いた後も、電位差が電池の電圧のまま保たれると勘違いしてしまう。
  • 対策: スイッチの役割は「電荷の供給路のON/OFF」と理解する。スイッチOFFは「孤立させる」ことであり、「電気量保存」が成り立つ、と強く意識する。
• 電位グラフでの金属内部の傾き:
  • 誤解: 金属板の内部でも電位が変化すると誤解し、グラフに傾斜をつけてしまう。
  • 対策: 「導体内部は電場ゼロ \(\Rightarrow\) 電位変化なし（等電位）」という基本原則を徹底する。電位グラフでは水平な線になります。
• 静電エネルギー計算時の変数選択ミス:
  • 誤解: \(U=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) を使う際に、変化前の \(V\) なのか変化後の \(V\) なのかを混同してしまう。
  • 対策: エネルギーを計算する「瞬間」の \(C, V, Q\) の値を明確にし、対応する正しい値を用いる。特に、電気量が保存される過程では \(U=Q^2/(2C)\) を使うと、\(V\) の変化を追わずに済むため、ミスを減らせる場合があります。
• 仕事の計算における「前」と「後」の取り違え:
  • 誤解: 問(5)で、\(U_{\text{初}}\) を計算する際に、スイッチが閉じているときのエネルギー（\( \displaystyle\frac{1}{2}(2C)V^2 \)）ではなく、問(1)の初期状態のエネルギー（\( \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 \)）を使ってしまう。
  • 対策: 仕事を計算する操作は「スイッチを開いた後」に行われていることを問題文から正確に読み取る。「仕事 = 変化後のエネルギー – 変化前のエネルギー」の「前」「後」が、どの操作の前後なのかを明確に定義する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(Q=CV\):
  • 選定理由: コンデンサーを特徴づける最も基本的な関係式であり、電気量・容量・電位差を扱う全ての問題の出発点です。
  • 適用根拠: 問題の各段階で、\(Q, C, V\) のうち2つが分かれば残りの1つが求まるという関係性を利用するため。
• 電気量保存則 (スイッチOFF時):
  • 選定理由: スイッチを開いてコンデンサーを回路から孤立させた状況を記述するため。
  • 適用根拠: 回路が閉じられておらず、電荷の供給も流出もないため、孤立した導体系の総電荷は変わらないという物理法則に基づきます。問(4)の思考の根幹です。
• \(W_{\text{外力}} = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}\):
  • 選定理由: 外力がした「仕事」を問われているため、エネルギーの変化と結びつける必要があります。
  • 適用根拠: エネルギー保存則の一形態です。外力が系にした仕事は、系のエネルギー増加分に等しい（熱の発生などがなければ）。コンデンサー系では、このエネルギー変化が静電エネルギーの変化として現れます。
• \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) vs \(U = \displaystyle\frac{Q^2}{2C}\):
  • 選定理由: どちらも同じ静電エネルギーを表しますが、計算のしやすさが状況によって異なります。
  • 適用根拠:
    • 問(5)の主たる解法のように、各時点での \(C\) と \(V\) が分かっている場合は \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) が直感的です。
    • 問(5)の別解のように、過程を通じて \(Q\) が一定であると分かっている場合は \(U = \displaystyle\frac{Q^2}{2C}\) を使うと、途中で \(V\) の変化を計算する必要がなくなり、計算が簡潔になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変数の明確化:
  • 特に注意すべき点: \(C, C’, V, V’, Q_1, Q_1’\) など、類似した記号が多く登場します。どの段階のどの物理量を表しているのかを、添え字などで明確に区別し、混同しないように意識することが重要です。
  • 日頃の練習: 問題を解く際に、各ステップの状況を図示し、その時点での \(Q, C, V\) の値を書き込む習慣をつける。
• 条件の再確認:
  • 特に注意すべき点: 各計算ステップの前に、今考えている状況で「何が一定」で「何が変化するのか」を再確認する癖をつける。特にスイッチの開閉は、問題のルールを根本的に変える重要な操作です。
  • 日頃の練習: 問題文の「スイッチSを閉じたまま」「スイッチSを開いた後」といったキーワードに印をつけ、条件が変わるポイントを視覚的に把握する。
• 公式の適切な選択:
  • 特に注意すべき点: 静電エネルギーの公式は3つの形（\(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\)）があります。問題の条件（\(V\)一定か\(Q\)一定か）に応じて、最も計算が楽になる公式を選ぶことで、計算ミスを減らし、時間も短縮できます。
  • 日頃の練習: 類題を解く際に、あえて複数の公式で計算してみて、どの公式がその状況に適しているかを体感する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 電気量\(Q_1’\): \(Q_1′ = 2CV\)。金属板を入れると容量が増す（電荷を蓄えやすくなる）。電圧が一定なら、より多くの電荷が蓄えられるのは自然な結果です。
  • (4) 電位差\(V’\): \(V’ = 2V\)。電気量が一定のまま容量が減る（電荷を蓄えにくくなる）と、同じ電荷を無理に保持するために、より高い電位差が必要になるのは物理的に妥当です。
  • (5) 仕事\(W\): \(W = CV^2\)。結果は正の値です。コンデンサーの極板間には互いに引き合う力が働いており、金属板も分極によって極板に引き寄せられます。これに逆らって引き抜くには外力が正の仕事をする必要があるので、結果が正であることは妥当です。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし金属板の厚さが0だったらどうなるか？ この場合、挿入しても何も変化しないはずです。容量は \(C\) のままで \(Q_1’=CV\)、\(V’=V\)、そして仕事 \(W=0\) となるはずで、物理的な直感と一致します。
  • もし金属板の厚さが\(d\)に限りなく近ければどうなるか？ この場合、極板間がほぼ短絡状態になり、容量は無限大に近づきます。スイッチONの状態では、無限大の電荷が流れ込むことになります。これも物理的な極限として考えることができます。

問題107 (京都産業大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、複数のコンデンサー、スイッチ、抵抗を含む回路における過渡現象と定常状態を扱う問題です。スイッチの操作によって回路の接続状態が変化し、それに伴いコンデンサーの電荷や電圧がどのように変わるか、そして最終的に抵抗で発生するジュール熱を求めることが目標です。段階を追って丁寧に考えていきましょう。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、コンデンサーの接続切り替えに伴う電荷の再配分と、その過程で発生するエネルギー損失を扱う典型的な問題です。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチS₁を閉じると、電池\(V\)によってコンデンサー\(C_1\)と\(C_2\)が充電されます。このとき、\(C_1\)と\(C_2\)は直列に接続されています。まず、\(C_1\)と\(C_2\)の合成容量を求め、回路全体に蓄えられる電気量を計算します。直列接続では、各コンデンサーに蓄えられる電気量は等しく、この回路全体の電気量に等しくなります。
この設問における重要なポイント

• \(C_1\) と \(C_2\) が直列接続であること。
• 直列接続の合成容量の計算方法を正しく適用すること。
• 直列接続されたコンデンサーに蓄えられる電気量はすべて等しいこと。

具体的な解説と立式
スイッチS₁を閉じると、\(C_1\)（容量\(C\)）と\(C_2\)（容量\(2C\)）は直列に接続され、全体として電池の電圧\(V\)がかかります。
直列接続の合成容量を \(C_{12}\) とすると、その逆数は各コンデンサーの電気容量の逆数の和に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_{12}} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}
\end{aligned}
$$
この合成容量 \(C_{12}\) に電圧 \(V\) がかかるため、回路全体で蓄えられる総電気量 \(Q\) は次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
Q &= C_{12}V
\end{aligned}
$$
直列接続の場合、\(C_1\) に蓄えられる電気量 \(Q_1\) は、この総電気量 \(Q\) に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= Q
\end{aligned}
$$

まず、合成容量 \(C_{12}\) を求めます。与えられた値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_{12}} &= \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{2C} + \frac{1}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2C}
\end{aligned}
$$
よって、合成容量 \(C_{12}\) は、
$$
\begin{aligned}
C_{12} &= \frac{2}{3}C
\end{aligned}
$$
次に、総電気量 \(Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= C_{12}V \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}CV
\end{aligned}
$$
したがって、\(C_1\) に蓄えられる電気量 \(Q_1\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= \frac{2}{3}CV
\end{aligned}
$$

1. まず、\(C_1\) と \(C_2\) が直列につながっているので、一つの大きなコンデンサー（合成容量 \(C_{12}\)）として考えます。直列の場合、容量の逆数を足し算します。
2. これを計算すると、合成容量は \(C_{12} = \displaystyle\frac{2}{3}C\) となります。
3. この合成コンデンサーに電圧 \(V\) がかかるので、たまる電気の総量は \(Q = C_{12}V = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。
4. 直列接続では、\(C_1\) も \(C_2\) も同じ量の電気 \(Q\) がたまります。なので、\(C_1\) の電気量も \(\displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。

\(C_1\) に蓄えられる電気量は \(\displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。この値は、回路の総電荷であり、問(2)以降の計算の基礎となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(C_2\) にかかる電圧 \(V_2\) を求めます。問(1)で \(C_1\) と \(C_2\) に蓄えられる電気量 \(Q\) が分かっているので、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を \(C_2\) に適用して \(V_2\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 直列接続されたコンデンサーには同じ電気量が蓄えられること（問(1)の結果を利用）。
• コンデンサーの基本式 \(V = Q/C\) を適用すること。

具体的な解説と立式
問(1)より、コンデンサー\(C_2\)に蓄えられる電気量 \(Q_2\) は、\(C_1\)に蓄えられる電気量 \(Q_1\) と等しく、\(Q_2 = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。
コンデンサー\(C_2\)の電気容量は \(2C\) なので、\(C_2\) にかかる電圧 \(V_2\) は、基本式 \(V=Q/C\) を用いて次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= \frac{Q_2}{C_2}
\end{aligned}
$$

上式に \(Q_2 = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) および \(C_2=2C\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= \frac{\frac{2}{3}CV}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3}V
\end{aligned}
$$

1. \(C_2\) にたまった電気の量 \(Q_2\) は、問(1)で計算した \(C_1\) の電気の量と同じで \(\displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。
2. \(C_2\) の性能（電気容量）は \(2C\) です。
3. 電圧 \(V_2\) は、「電気の量 \(Q_2\)」を「電気容量 \(C_2\)」で割れば求まります (\(V_2 = Q_2 / C_2\))。
4. 計算すると、\(V_2 = (\displaystyle\frac{2}{3}CV) / (2C) = \frac{1}{3}V\) となります。

\(C_2\) にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{1}{3}V\) です。同様に \(C_1\) にかかる電圧 \(V_1\) は \(V_1 = Q_1/C_1 = (\displaystyle\frac{2}{3}CV)/C = \frac{2}{3}V\) となります。\(V_1 + V_2 = \displaystyle\frac{2}{3}V + \frac{1}{3}V = V\) となり、全体の電圧と一致するため、計算は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
S₁を開いた後、S₂を閉じて十分に時間が経過したときの\(C_3\)にかかる電圧を求めます。
十分に時間が経過すると、コンデンサーの充電が完了し、回路に電流は流れなくなります（定常状態）。電流が流れなければ、抵抗Rでの電圧降下は \(0\text{V}\) となり、抵抗Rは単なる導線と見なせます。
このとき、回路は \(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロックと、\(C_3\)が並列に接続された形と見なせます。
S₁を開いてからS₂を閉じたので、\(C_1, C_2, C_3\)からなる部分は電気的に孤立しており、その部分の総電荷が保存されます。この保存される総電荷を、最終的な合成容量で割ると、最終的な電圧が求まります。これが並列接続された\(C_3\)の電圧となります。
この設問における重要なポイント

• 定常状態では抵抗Rに電流が流れず、導線とみなせること。
• 最終的な回路が「\(C_{12}\)と\(C_3\)の並列接続」と等価であること。
• スイッチの切り替え前後で、孤立部分の総電荷が保存されること。

具体的な解説と立式
操作IIの初期状態（S₁を開き、S₂を閉じる直前）では、\(C_1\)と\(C_2\)にそれぞれ \(Q = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) の電荷が蓄えられています。\(C_3\)の電荷はゼロです。
S₂を閉じると、\(C_1, C_2, C_3\)を含む部分は電気的に孤立します。したがって、この部分の総電荷 \(Q_{\text{総}}\) は保存されます。電池の正極側につながっていた\(C_1\)の左側極板と、初期状態で電荷のなかった\(C_3\)の左側極板からなる部分の電荷の和が、最終的に再配分される電荷の総量と考えることができます。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{総}} &= Q_1 + 0 \\
&= \frac{2}{3}CV
\end{aligned}
$$
最終状態では、\(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロック（合成容量\(C_{12}=\displaystyle\frac{2}{3}C\)）と、\(C_3\)（容量\(3C\)）が並列に接続されています。
このときの全体の合成容量を \(C_{\text{後}}\) とすると、
$$
\begin{aligned}
C_{\text{後}} &= C_{12} + C_3
\end{aligned}
$$
最終的にこの合成容量 \(C_{\text{後}}\) に、保存された総電荷 \(Q_{\text{総}}\) が蓄えられるので、最終的な電圧 \(V_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
V_{\text{後}} &= \frac{Q_{\text{総}}}{C_{\text{後}}}
\end{aligned}
$$
\(C_3\)は並列接続されているため、その電圧は \(V_{\text{後}}\) に等しくなります。

まず、最終的な合成容量 \(C_{\text{後}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_{\text{後}} &= C_{12} + C_3 \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}C + 3C \\[2.0ex]
&= \frac{2+9}{3}C \\[2.0ex]
&= \frac{11}{3}C
\end{aligned}
$$
次に、最終的な電圧 \(V_{\text{後}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{後}} &= \frac{Q_{\text{総}}}{C_{\text{後}}} \\[2.0ex]
&= \frac{\frac{2}{3}CV}{\frac{11}{3}C} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{11}V
\end{aligned}
$$
したがって、\(C_3\)にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{2}{11}V\) です。

1. S₂を閉じると、最初に\(C_1\)と\(C_2\)に蓄えられていた電気 \(\displaystyle\frac{2}{3}CV\) が、\(C_1, C_2, C_3\) の3つで分け合うことになります。
2. 最終的に電流が止まると、抵抗はただの線になるので、回路は「\(C_1\)と\(C_2\)を直列にしたもの」と「\(C_3\)」が並列につながった形になります。
3. このときの全体の「器の大きさ（合成容量）」を計算すると \(\displaystyle\frac{11}{3}C\) となります。
4. この大きな器に、もともとあった電気 \(\displaystyle\frac{2}{3}CV\) が入るので、最終的な電圧は「電気の量 ÷ 容量」で、\(V_{\text{後}} = (\displaystyle\frac{2}{3}CV) / (\frac{11}{3}C) = \frac{2}{11}V\) となります。
5. \(C_3\)は並列なので、この電圧がそのままかかります。

\(C_3\) にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{2}{11}V\) です。電荷の再配分により、電圧は初期状態から変化しています。この解法は回路全体を俯瞰的に捉えるもので、非常にスマートです。

問(4)

思考の道筋とポイント
操作IIの後、\(C_2\) に蓄えられる電気量 \(q_{2\text{後}}\) を求めます。問(3)の主たる解法で求めた最終的な電圧 \(V_{\text{後}}\) を使って、まず\(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロックにかかる電圧から、そこに蓄えられる総電荷を計算します。それが\(C_2\)の電荷と等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 最終状態では、\(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロックには、\(C_3\)と同じ電圧 \(V_{\text{後}}\) がかかること。
• \(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロックに蓄えられる総電荷が、\(C_2\)単体に蓄えられる電荷と等しいこと。

具体的な解説と立式
最終状態では、\(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロックには、並列接続された\(C_3\)と同じ電圧 \(V_{\text{後}} = \displaystyle\frac{2}{11}V\) がかかります。
この直列ブロックの合成容量は \(C_{12} = \displaystyle\frac{2}{3}C\) です。
したがって、このブロックに蓄えられる総電荷 \(Q_{12\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{12\text{後}} &= C_{12} V_{\text{後}}
\end{aligned}
$$
直列接続なので、\(C_2\)に蓄えられる電気量 \(q_{2\text{後}}\) は、この \(Q_{12\text{後}}\) に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
q_{2\text{後}} &= Q_{12\text{後}}
\end{aligned}
$$

各値を代入して \(q_{2\text{後}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
q_{2\text{後}} &= C_{12} V_{\text{後}} \\[2.0ex]
&= \left(\frac{2}{3}C\right) \left(\frac{2}{11}V\right) \\[2.0ex]
&= \frac{4}{33}CV
\end{aligned}
$$

1. 問(3)で、最終的に\(C_1\)と\(C_2\)を合わせた部分にかかる電圧が \(\displaystyle\frac{2}{11}V\) だと分かりました。
2. \(C_1\)と\(C_2\)を合わせたものの容量は \(\displaystyle\frac{2}{3}C\) でした。
3. したがって、この部分にたまる電気の総量は、「容量 × 電圧」で \((\displaystyle\frac{2}{3}C) \times (\frac{2}{11}V) = \frac{4}{33}CV\) となります。
4. 直列接続なので、\(C_2\)にたまる電気の量もこれと同じです。

\(C_2\) に蓄えられる電気量は \(\displaystyle\frac{4}{33}CV\) です。この値は、問(3)の別解で求めた電位 \(V_B\) を使っても確認できます。

問(5)

思考の道筋とポイント
抵抗Rで発生したジュール熱 \(H\) を求めます。これはエネルギー保存則を用いて計算します。S₂を閉じる直前の回路全体の静電エネルギーの総和 \(U_{\text{初}}\) と、S₂を閉じて十分に時間が経過した後の回路全体の静電エネルギーの総和 \(U_{\text{後}}\) を求め、その差がジュール熱 \(H\) になります。
$$
\begin{aligned}
H = U_{\text{初}} – U_{\text{後}}
\end{aligned}
$$
ジュール熱はエネルギーが消費されるものなので、\(U_{\text{初}} \ge U_{\text{後}}\) となるはずです。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: (初期の全静電エネルギー) – (最終的な全静電エネルギー) = (発生したジュール熱)。
• 初期状態 (S₁を開き、S₂を閉じる直前) の回路全体のエネルギーを計算すること。
• 最終状態 (S₂を閉じ、十分時間経過後) の回路全体のエネルギーを計算すること。
• 静電エネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) を合成容量に適用すると計算が簡潔になる。

具体的な解説と立式
初期状態（S₁を開き、S₂を閉じる直前）の総静電エネルギー \(U_{\text{初}}\):
このとき、\(C_1\)と\(C_2\)の直列回路に電圧\(V\)がかかっています。合成容量は \(C_{12} = \displaystyle\frac{2}{3}C\) です。
したがって、初期の総静電エネルギーは、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{初}} &= \frac{1}{2} C_{12} V^2
\end{aligned}
$$
最終状態（S₂を閉じ、十分時間経過後）の総静電エネルギー \(U_{\text{後}}\):
このとき、\(C_{12}\)と\(C_3\)の並列回路に電圧 \(V_{\text{後}} = \displaystyle\frac{2}{11}V\) がかかっています。合成容量は \(C_{\text{後}} = \displaystyle\frac{11}{3}C\) です。
したがって、最終的な総静電エネルギーは、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{1}{2} C_{\text{後}} V_{\text{後}}^2
\end{aligned}
$$
発生したジュール熱 \(H\) は、これらのエネルギーの差として求められます。
$$
\begin{aligned}
H &= U_{\text{初}} – U_{\text{後}}
\end{aligned}
$$

まず、初期エネルギー \(U_{\text{初}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{初}} &= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}C\right) V^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3}CV^2
\end{aligned}
$$
次に、最終エネルギー \(U_{\text{後}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{1}{2} \left(\frac{11}{3}C\right) \left(\frac{2}{11}V\right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \frac{11}{3}C \frac{4}{121}V^2 \\[2.0ex]
&= \frac{2}{33}CV^2
\end{aligned}
$$
最後に、ジュール熱 \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= U_{\text{初}} – U_{\text{後}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3}CV^2 – \frac{2}{33}CV^2 \\[2.0ex]
&= \left(\frac{11}{33} – \frac{2}{33}\right)CV^2 \\[2.0ex]
&= \frac{9}{33}CV^2 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{11}CV^2
\end{aligned}
$$

1. 抵抗で発生する熱は、回路全体の電気が持っていたエネルギーがどれだけ減ったかで計算できます。
2. まず、S₂を閉じる前の、回路全体のエネルギーを計算します。このときの合成容量は \(\displaystyle\frac{2}{3}C\) なので、エネルギーは \(U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2} (\frac{2}{3}C) V^2 = \frac{1}{3}CV^2\) です。
3. 次に、S₂を閉じて十分時間がたった後の、回路全体のエネルギーを計算します。このときの合成容量は \(\displaystyle\frac{11}{3}C\)、電圧は \(\displaystyle\frac{2}{11}V\) なので、エネルギーは \(U_{\text{後}} = \displaystyle\frac{1}{2} (\frac{11}{3}C) (\frac{2}{11}V)^2 = \frac{2}{33}CV^2\) です。
4. 最初のエネルギーから最後のエネルギーを引いた差が、抵抗で熱になった分です。
   \(H = \displaystyle\frac{1}{3}CV^2 – \frac{2}{33}CV^2 = \frac{3}{11}CV^2\)。

抵抗Rで発生したジュール熱は \(\displaystyle\frac{3}{11}CV^2\) です。エネルギーは必ず正の値であり、計算結果も正であることから妥当性が確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサー回路における法則の段階的適用:
  • 核心: この問題は、スイッチ操作によって回路の状態が変化する一連のプロセスを扱います。各段階で「どの法則が支配的か」を見極め、適切に適用することが核心です。具体的には、「コンデンサーの接続（直列・並列）」「電荷保存則」「定常状態の理解」「エネルギー保存則」という4つの柱を論理的に組み合わせる能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    1. 操作I (充電段階): \(C_1\)と\(C_2\)が直列接続されている状態。ここでは「合成容量」の考え方が有効です。直列接続では蓄えられる電気量\(Q\)が共通であることを利用します。
    2. 操作II (電荷再配分段階): S₁を開きS₂を閉じることで、\(C_1, C_2, C_3\)からなる系が電気的に孤立します。この「孤立系」では「電荷保存則」が最重要の法則となります。
    3. 定常状態: 「十分に時間がたった」という記述は、コンデンサーへの電荷の移動が完了し、回路に電流が流れなくなった状態を指します。このとき、抵抗での電圧降下はゼロ (\(V=IR, I=0 \Rightarrow V=0\)) となり、抵抗は単なる導線と見なせます。
    4. エネルギー収支: 抵抗を電流が流れる過程では、エネルギーがジュール熱として失われます。このジュール熱は、電荷の再配分前後での回路全体の「静電エネルギーの減少分」に等しいという「エネルギー保存則」から求めます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • より複雑なスイッチング回路: 複数のスイッチやコンデンサーが絡み合い、操作によって複数の孤立部分が生まれる問題。各孤立部分で電荷保存則を立て、連立方程式を解く必要があります。
  • RC回路の過渡現象: スイッチを入れた「直後」の電流を問う問題。コンデンサーはまだ充電されておらず、電圧がゼロなので「導線」とみなせます。
  • ダイオードを含むコンデンサー回路: 電流の流れる向きが制限されるため、電荷の移動経路が非対称になる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. スイッチ操作による段階分け: 問題文を読み、「操作I」「操作II」のように、状態が変化するポイントで明確に思考を区切ります。各段階の初期状態と最終状態を定義することが第一歩です。
  2. 孤立部分の特定: スイッチを開く操作があった場合、回路のどの部分が電池などから切り離された「孤立系」になるかを回路図から正確に見つけ出します。ここが電荷保存則の舞台となります。
  3. 定常状態の回路の単純化: 「十分に時間が経過」というキーワードを見たら、最終状態の回路図を描き直します。コンデンサー部分は断線（電流が流れない）、抵抗部分は（電流が流れていなければ）導線として単純化します。
  4. 電位の基準点設定: 複雑な回路では、アースや電池の負極など、どこか一点の電位を基準（例: \(0\text{V}\)）と定め、他の点の電位を未知数として立式すると、キルヒホッフの法則が見通し良く適用できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 操作IIにおける接続の混同:
  • 誤解: S₂を閉じた最終状態で、\(C_1, C_2, C_3\)がすべて並列接続されていると勘違いしてしまう。
  • 対策: 定常状態の単純化された回路図を丁寧に描く。「\(C_1\)と\(C_2\)の直列ブロック」と「\(C_3\)」が並列になっている構造を正確に把握する。
• 電荷保存の適用範囲の間違い:
  • 誤解: 孤立していない部分（例えば、電池につながったままの部分）に電荷保存則を適用してしまう。
  • 対策: 電荷保存則は、外部との電荷のやり取りが完全に遮断された「閉じた島」のような部分にのみ適用できる、と理解する。
• エネルギー計算の対象範囲のミス:
  • 誤解: 問(5)で、初期エネルギーを計算する際に、操作Iの完了時点ではなく、全くの初期状態（電荷ゼロ）と考えてしまう。または、最終エネルギーを計算する際に、一部のコンデンサーのエネルギーを計算し忘れる。
  • 対策: ジュール熱は「電荷の再配分」という現象によって生じる。したがって、その現象の「直前」と「直後」のエネルギーを比較する必要がある。エネルギー計算は、必ず系全体の総和を取ることを徹底する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 合成容量の公式:
  • 選定理由: 回路の一部を等価な一つのコンデンサーと見なすことで、問題を単純化するため。
  • 適用根拠: 問(1)のように、単純な直列・並列接続部分の全体の振る舞い（総電荷など）を知りたい場合に有効。
• 電荷保存則:
  • 選定理由: 回路の接続が切り替わり、電荷が再配分される状況を記述するための最も基本的な法則。
  • 適用根拠: 外部から電荷が供給されたり、外部へ逃げたりできない「孤立した導体部分」が存在するため。未知数が多い複雑な回路で、方程式の数を増やすために不可欠。
• エネルギー保存則 (\(H = U_{\text{初}} – U_{\text{後}}\)):
  • 選定理由: 抵抗で発生する「ジュール熱」という、系のエネルギー変化を問われているため。
  • 適用根拠: 回路全体でエネルギーの形態が変化する（静電エネルギー \(\rightarrow\) 熱エネルギー）現象を記述する。電池が接続されていない孤立系では、エネルギーの総和は減少（または保存）するしかなく、その減少分がジュール熱となる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算:
  • 特に注意すべき点: この問題のように、合成容量の計算（逆数和）やエネルギー計算（二乗）では分数が多発します。通分、約分、分数の割り算（逆数を掛ける）といった基本的な計算を焦らず丁寧に行うことが重要です。
  • 日頃の練習: 複雑な分数計算を含む問題を意識的に解き、計算スピードと正確性の両方を高める。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: \(q = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) のように、計算の途中で出てきた値を、最後まで元の形のまま代入しようとすると式が煩雑になりがちです。
  • 日頃の練習: 問(3)の別解のように、一度 \(q\) のような簡単な文字で置き換えて計算を進め、最終段階で具体的な値を代入する癖をつけると、見通しが良くなりミスが減ります。
• 検算の習慣:
  • 特に注意すべき点: 計算結果が出たら、それで終わりとしない。
  • 日頃の練習: 問(2)で \(V_1+V_2=V\) を確認するように、簡単な検算ができる箇所では必ず実行する。問(5)でジュール熱が負になったら、エネルギーの初期状態と最終状態の取り違えなどを疑う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(2) 電圧\(V_2\): \(V_2 = \displaystyle\frac{1}{3}V\)。直列接続では、電気容量が小さい方(\(C_1=C\))がより大きな電圧を受け持つ。\(C_1:C_2=1:2\) なので、電圧の分配比は \(V_1:V_2=2:1\) となるはず。結果はこれと一致しており妥当。
  • 問(3) 電圧\(V_3\): \(V_3 = \displaystyle\frac{2}{11}V\)。電荷が、より容量の大きい\(C_3\)にも再配分されるため、全体の電圧は初期の\(C_{12}\)にかかっていた電圧\(V\)よりも小さくなるはず。実際、\(\displaystyle\frac{2}{11}V < V\) であり、直感と一致する。
  • 問(5) ジュール熱\(H\): \(H = \displaystyle\frac{3}{11}CV^2\)。電荷が抵抗を通って移動（つまり電流が流れる）したのだから、エネルギーが熱として消費されるのは必然。結果が正の値であることは物理的に妥当。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし\(C_3=0\)だったら（\(C_3\)が存在しない場合）、S₂を閉じても何も電荷の移動は起こらないはず。このとき、\(C_{\text{後}}=C_{12}\), \(Q_{\text{総}}=C_{12}V\) となり、\(V_{\text{後}}=V\)。また、\(U_{\text{後}}=U_{\text{初}}\) となるため、ジュール熱 \(H=0\)。数式の上でも物理的な状況と一致し、式の正しさを裏付けている。
  • もし抵抗Rがなければ（超伝導線）、最終的な電荷分布は同じになるが、そこに至るまでの過渡現象は振動的になる（LC振動）。ただし、高校物理の範囲では、電荷の再配分に伴うエネルギー損失は、すべて抵抗で消費されると考えてよい。

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問題108 (近畿大＋防衛大)

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【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

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