「良問の風」攻略ガイド（106〜110問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題106 (愛知工大＋静岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平行板コンデンサーの基本的な性質（電気容量、蓄えられる電気量、電位）、金属板を挿入した際の影響、スイッチの開閉に伴う電気量の保存、そして静電エネルギーと外力の仕事の関係を問う総合的な問題です。各ステップで何が起こっているのか、物理法則に基づいて丁寧に考えていきましょう。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くにあたって中心となるのは、コンデンサーの基本法則と、導体の性質、そしてエネルギー保存則です。順を追って見ていきましょう。

この問題は、主に以下の物理分野に関連しています。

• 電磁気学（特に静電場、コンデンサー）

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• コンデンサーの基本式: \(Q = CV\) (電気量 = 電気容量 × 電位差)
• 平行平板コンデンサーの電気容量: \(C = \epsilon \displaystyle\frac{S}{d}\) (誘電率 × 極板面積 / 極板間隔)。特に、極板間隔や挿入物によって電気容量がどう変わるか。
• 導体の性質: 導体内部には電場が存在せず（静電平衡時）、導体全体が等電位となる。金属板は導体です。
• 電場と電位の関係: 一様な電場 \(E\) の中では、距離 \(x\) だけ離れた2点間の電位差は \(Ex\)。電位は電場を積分したもの。
• スイッチの操作と保存則:
  • スイッチが閉じている（電池に接続されている）間は、コンデンサーの電位差は電池の起電力 \(V\) に保たれる。
  • スイッチが開いている（電池から切り離されている）状態でコンデンサーに操作を加える場合は、コンデンサーの極板上の電気量 \(Q\) が保存される。
• 静電エネルギー: コンデンサーに蓄えられるエネルギー \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\)。
• 仕事とエネルギーの関係: 外力がする仕事は、系のエネルギー変化に等しい（ここでは静電エネルギーの変化）。

各設問について、上記の法則を適用して考えていきます。(1) では、コンデンサーの基本式を用います。(2) では、金属板挿入時の電場の分布と電位の関係を考え、グラフ化します。金属板内部が等電位になることがポイントです。(3) では、金属板を挿入したことによる電気容量の変化を捉え、スイッチが閉じている条件（電位差一定）から電気量を求めます。(4) では、スイッチを開いたことで電気量が保存される条件と、金属板を取り去ったことによる電気容量の変化から、新たな電位差を求めます。(5) では、金属板を取り去る前後の静電エネルギーを計算し、その差から外力のした仕事を求めます。

問1

思考の道筋とポイント

スイッチSを閉じた直後のコンデンサーに蓄えられる電気量を求める問題です。このとき、コンデンサーは電池によって充電され、その極板間の電位差は電池の起電力 \(V\) に等しくなります。コンデンサーの電気容量が \(C\) と与えられているので、基本公式 \(Q=CV\) を使って電気量を算出します。

この設問における重要なポイント

• スイッチを閉じると、コンデンサーの電位差は電池の起電力 \(V\) になる。
• コンデンサーの基本公式 \(Q=CV\) を正しく適用する。

具体的な解説と立式

スイッチSを閉じることにより、コンデンサーの極板Aと極板Bの間には、電池の起電力に等しい電位差 \(V\) が生じます。極板Bは接地されているため、その電位は \(0\text{V}\) です。したがって、極板Aの電位は \(V\) となります。
コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q_1\) は、電気容量 \(C\) と極板間の電位差 \(V\) を用いて、次のように表されます。

$$Q_1 = CV \quad \cdots ①$$

式①がそのまま答えとなります。模範解答にある通り \(Q_1=CV\) です。

コンデンサーがどれくらいの電気を蓄えられるかは、その「器の大きさ（電気容量 \(C\)）」と、「どれくらいの電圧をかけるか（電位差 \(V\)）」で決まります。スイッチを電池につなぐと、コンデンサーには電池の電圧 \(V\) がかかります。したがって、蓄えられる電気の量 \(Q_1\) は、単純に \(C \times V\) で計算できます。

コンデンサーに蓄えられた電気量 \(Q_1\) は \(CV\) です。単位はクーロン [C] であり、電気容量の単位ファラド [F] と電位差の単位ボルト [V] から、[F] \(\cdot\) [V] = [C] となり、次元も正しいです。

問2

思考の道筋とポイント

スイッチSを閉じたまま、コンデンサーの極板間に金属板Pを挿入したときの、極板Aから極板Bまでの電位の変化をグラフにする問題です。
ポイントは以下の通りです。

1. スイッチSは閉じているので、極板A-B間の電位差は \(V\) で一定。極板Bは接地(\(0\text{V}\))、極板Aは電位 \(V\)。
2. 金属板Pは導体なので、Pの内部はどこでも同じ電位（等電位）になります。また、金属板内部の電場は \(0\) です。
3. 金属板Pの厚さは \(\displaystyle\frac{d}{2}\) で、中央に挿入されているので、極板AとPの間隔、およびPと極板Bの間隔はそれぞれ \(\displaystyle\frac{d}{4}\) となります。
4. 極板AとPの間、Pと極板Bの間にはそれぞれ空間があり、そこには電場が存在し、電位が変化します。これらの空間をそれぞれ独立したコンデンサーと考え、電位差がどのように配分されるかを見積もります。

この設問における重要なポイント

• 金属板内部は等電位であり、電場が0であること。
• スイッチが閉じているため、全体の電位差は \(V\) であること。
• 極板Aから金属板Pまで、金属板Pから極板Bまでの各空間での電場の向きと、電位の変化を正しく理解すること。
• 対称性から、AP間とPB間の電位差は等しく \(V/2\) となる。

具体的な解説と立式

スイッチSは閉じたままなので、極板Aの電位は \(V\)、極板Bの電位は \(0\text{V}\) です。
厚さ \(\displaystyle\frac{d}{2}\) の金属板Pが極板間の中央に挿入されると、Pは導体なので内部は等電位となります。
極板Aから金属板Pの表面までの距離は \(x_1 = \displaystyle\frac{d – d/2}{2} = \frac{d}{4}\) です。
金属板Pの厚さは \(x_P = \displaystyle\frac{d}{2}\) です。
金属板Pのもう一方の表面から極板Bまでの距離も同様に \(x_2 = \displaystyle\frac{d}{4}\) です。

極板Aと金属板Pの間の空間を空間1、金属板Pと極板Bの間の空間を空間2とします。これらの空間の電場の強さをそれぞれ \(E_1, E_2\) とし、金属板Pの内部の電場の強さを \(E_P\) とします。導体の性質から \(E_P = 0\) です。
全体の電位差 \(V\) は、各区間の電位差 (\(V_1 = E_1 x_1\), \(V_P = E_P x_P = 0\), \(V_2 = E_2 x_2\)) の和で表せます。
$$V = V_1 + V_P + V_2 = E_1 \frac{d}{4} + 0 + E_2 \frac{d}{4} \quad \cdots ②$$
金属板Pが挿入された状態は、極板間隔が \(\displaystyle\frac{d}{4}\) のコンデンサー \(C_1\) と、同じく極板間隔が \(\displaystyle\frac{d}{4}\) のコンデンサー \(C_2\) が直列に接続されたものと見なせます（金属板部分は電位差がないため、容量の計算では考慮しません）。元のコンデンサーの極板面積を \(S\)、真空の誘電率を \(\epsilon_0\) とすると、\(C_1 = \epsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d/4}\) および \(C_2 = \epsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d/4}\) です。
直列接続なので、各コンデンサーに蓄えられる電気量を \(Q’\) とすると、\(V_1 = \displaystyle\frac{Q’}{C_1}\), \(V_2 = \displaystyle\frac{Q’}{C_2}\) です。
グラフを描くためには、\(V_1\) と \(V_2\) (すなわち金属Pの電位) を求める必要があります。

元のコンデンサーの電気容量 \(C = \epsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\) を用いると、\(C_1 = 4C\) および \(C_2 = 4C\) となります。
\(C_1 = C_2\) であるため、同じ電気量 \(Q’\) が蓄えられているとき、\(V_1 = V_2\) となります。
式②は \(V = V_1 + V_2\) と書けるので、これに \(V_1 = V_2\) を代入すると \(V = 2V_1\)、よって \(V_1 = \displaystyle\frac{V}{2}\) です。同様に \(V_2 = \displaystyle\frac{V}{2}\) です。
したがって、

• 極板A (距離 \(x=0\)): 電位 \(V\)。
• 極板Aから金属板Pの表面まで (\(0 < x < \displaystyle\frac{d}{4}\)): 電位は直線的に \(V\) から \(V – V_1 = V – \displaystyle\frac{V}{2} = \frac{V}{2}\) まで減少します。
• 金属板Pの内部 (\(\displaystyle\frac{d}{4} \le x \le \frac{3d}{4}\)): 金属板Pは等電位なので、電位は \(\displaystyle\frac{V}{2}\) で一定です。
• 金属板Pの表面から極板Bまで (\(\displaystyle\frac{3d}{4} < x < d\)): 電位は直線的に \(\displaystyle\frac{V}{2}\) から \(\displaystyle\frac{V}{2} – V_2 = \frac{V}{2} – \frac{V}{2} = 0\text{V}\) まで減少します。

電位のグラフは、点 \((0, V)\)、点 \((\displaystyle\frac{d}{4}, \frac{V}{2})\)、点 \((\displaystyle\frac{3d}{4}, \frac{V}{2})\)、点 \((d, 0)\) を結ぶ折れ線グラフとなります。

1. まず、A点の電圧は \(V\)、B点の電圧は \(0\text{V}\) です（Bはアースされているので）。
2. 金属の板Pを真ん中に入れると、この金属板の中では電圧はどこも同じになります。
3. AからPまでの「すき間」と、PからBまでの「すき間」は、同じ幅（\(\displaystyle\frac{d}{4}\)）です。全体の電圧 \(V\) が、この2つの「すき間」で等しく分けられると考えると、それぞれの「すき間」にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{V}{2}\) ずつになります。
4. したがって、A点(\(V\))から \(\displaystyle\frac{V}{2}\) だけ電圧が下がると金属板Pに到達するので、Pの電圧は \(V – \displaystyle\frac{V}{2} = \frac{V}{2}\) です。
5. 金属板Pの中はずっと \(\displaystyle\frac{V}{2}\) のままです。
6. 金属板Pの終わりからB点(\(0\text{V}\))までは、また \(\displaystyle\frac{V}{2}\) だけ電圧が下がります。
7. グラフは、AからPの始まりまでまっすぐ下がり、Pの中は水平、Pの終わりからBまでまたまっすぐ下がる形になります。

電位のグラフは、極板A(\(x=0\))で電位 \(V\)、\(x=\displaystyle\frac{d}{4}\) で電位 \(\displaystyle\frac{V}{2}\) まで直線的に降下し、\(x=\displaystyle\frac{d}{4}\) から \(x=\displaystyle\frac{3d}{4}\) までは電位 \(\displaystyle\frac{V}{2}\) で一定（金属板内部）、そして \(x=\displaystyle\frac{3d}{4}\) から \(x=d\)（極板B）で電位 \(0\text{V}\) まで直線的に降下する形状となります。これは模範解答のグラフと一致します。金属導体内部は電場がゼロであるため電位勾配がなく、等電位となる点が重要です。

問3

思考の道筋とポイント

スイッチSを閉じたまま金属板Pを挿入したとき、極板Aに蓄えられる電気量 \(Q_1’\) を求めます。
金属板を挿入すると、コンデンサーの電気容量が変化します。スイッチが閉じているため、極板間の電位差は \(V\) で一定です。変化後の電気容量 \(C’\) を求め、\(Q_1′ = C’V\) の関係から電気量を計算します。
金属板（導体）を挿入すると、その厚さ分だけ実質的な極板間隔が減少したと見なせます。

この設問における重要なポイント

• 金属板の挿入による電気容量の変化を正しく計算すること。実質的な極板間隔が \(d – \frac{d}{2} = \frac{d}{2}\) となる。
• スイッチが閉じているため、電位差は \(V\) で一定であること。
• 変化後の電気容量 \(C’\) と電位差 \(V\) から電気量 \(Q_1’\) を求める。

具体的な解説と立式

スイッチSは閉じたままなので、極板AB間の電位差は \(V\) に保たれています。
厚さ \(\displaystyle\frac{d}{2}\) の金属板Pを極板間の中央に挿入すると、金属板内部には電場が形成されないため、実質的に電場が存在する空間の厚さは、元の極板間隔 \(d\) から金属板の厚さ \(\displaystyle\frac{d}{2}\) を引いた \(\displaystyle d – \frac{d}{2} = \frac{d}{2}\) となります。
これは、極板間隔が \(\displaystyle\frac{d}{2}\) の平行平板コンデンサーと等価であると考えられます。
元のコンデンサーの電気容量が \(C = \epsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\) （ここで \(S\) は極板の面積、\(\epsilon_0\) は真空の誘電率）で与えられているので、金属板挿入後の新しい電気容量を \(C’\) とすると、
$$C’ = \epsilon_0 \frac{S}{d/2} \quad \cdots ③’$$
この新しい電気容量 \(C’\) と、一定に保たれている電位差 \(V\) を用いて、極板Aに蓄えられた電気量 \(Q_1’\) は次のように表されます。
$$Q_1′ = C’V \quad \cdots ④$$

まず、式③’ を元の電気容量 \(C\) を使って表します。
\(C = \epsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\) の関係から、\(\epsilon_0 S = Cd\) です。これを式③’に代入すると、
$$C’ = \frac{Cd}{d/2} = 2C \quad \cdots ③$$
次に、この \(C’=2C\) を式④に代入します。
$$Q_1′ = (2C)V = 2CV$$
【別解に基づく計算】
問2の考察で、この状態は電気容量 \(C_1=4C\) と \(C_2=4C\) のコンデンサーの直列接続とみなせることが分かっています。
直列合成容量 \(C’\) は、\(\displaystyle\frac{1}{C’} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4C} + \frac{1}{4C} = \frac{2}{4C} = \frac{1}{2C}\) より、\(C’ = 2C\) となります。
したがって、式④より \(Q_1′ = C’V = (2C)V = 2CV\) となります。

金属の板をコンデンサーの間に差し込むと、コンデンサーの性能（電気を蓄える能力、つまり電気容量）が変化します。金属板の厚みが \(\displaystyle\frac{d}{2}\) なので、電気が実際に影響する「すき間」の合計は、元の半分 (\(\displaystyle\frac{d}{2}\)) になったのと同じことになります。コンデンサーの電気容量は「すき間」の広さに反比例するので、すき間が半分になれば、電気容量は2倍になります。つまり、新しい電気容量は \(2C\) です。
スイッチは電池につながったままなので、電圧は \(V\) のままです。
したがって、蓄えられる電気の量 \(Q_1’\) は、新しい電気容量 \(2C\) に電圧 \(V\) を掛けて、\(Q_1′ = (2C) \times V = 2CV\) となります。

極板Aに蓄えられた電気量 \(Q_1’\) は \(2CV\) です。これは、問1の \(Q_1=CV\) と比較して2倍になっています。金属板を挿入することで電気容量が増加し（\(C \rightarrow 2C\)）、電位差は \(V\) で一定なので、蓄えられる電気量も2倍になるというのは物理的に妥当です。

問4

思考の道筋とポイント

スイッチSを開いた後、金属板Pを取り去ったときの極板間の電位差 \(V’\) を求めます。
ここでの重要なポイントは以下の2つです。

1. スイッチSを開くと、コンデンサーは電池から電気的に切り離されます。そのため、コンデンサーの極板に蓄えられている電気量 \(Q_1’\)（問3で求めた値）は、この後の操作（Pを取り去る）を行っても変化せず、保存されます。
2. 金属板Pを取り去ると、コンデンサーの極板間隔は元の \(d\) に戻り、真空（または空気）で満たされるため、電気容量も元の \(C\) に戻ります。

保存された電気量と変化後の電気容量から、新しい電位差 \(V’\) を \(Q=CV\) の関係式を使って求めます。

この設問における重要なポイント

• スイッチを開くと、コンデンサーの電気量 \(Q_1’\) が保存されること。
• 金属板Pを取り去ると、電気容量が元の \(C\) に戻ること。
• 保存された電気量と新しい電気容量から、電位差 \(V’\) を計算する。

具体的な解説と立式

スイッチSを開くと、コンデンサーは電池から切り離され、電気的に孤立します。この状態で金属板Pを取り去る操作を行っても、コンデンサーの極板に蓄えられていた電気量 \(Q_1’\) は保存されます。問3より、この電気量 \(Q_1’\) は \(2CV\) です。
金属板Pを取り去ると、コンデンサーの極板間隔は元の \(d\) に戻り、極板間は真空（または空気）のみとなるため、電気容量は元の \(C\) に戻ります。
このときの極板間の電位差を \(V’\) とすると、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) より、次の関係が成り立ちます。

$$Q_1′ = CV’ \quad \cdots ⑤$$

ここで、\(Q_1’\) は保存される電気量、\(C\) はPを取り去った後の電気容量です。

式⑤に、保存される電気量 \(Q_1′ = 2CV\) (問3の結果) を代入します。

$$2CV = CV’$$

この式の両辺を \(C\) で割ります（\(C \neq 0\) なので割ることができます）。

$$\frac{2CV}{C} = \frac{CV’}{C}$$
$$2V = V’$$

したがって、

$$V’ = 2V$$

1. まず、スイッチを開きます。こうすると、コンデンサーに蓄えられていた電気（\(Q_1′ = 2CV\)）はどこにも行けなくなるので、その量は変わりません。
2. 次に、金属板Pをコンデンサーの間から抜き取ります。すると、コンデンサーの「すき間」は元の広さ \(d\) に戻るので、電気容量も元の \(C\) に戻ります。
3. 電気の量 \(Q_1′ = 2CV\) が保たれたままで、電気容量が \(C\) になったときの新しい電圧を \(V’\) とすると、「電気の量 = 電気容量 × 電圧」の関係 (\(Q_1′ = CV’\)) が成り立ちます。
4. つまり、\(2CV = C \times V’\) という式ができます。この式から \(V’\) を求めると、\(V’ = 2V\) となります。電圧が元の2倍になったわけです。

金属板Pを取り去った後の極板間の電位差 \(V’\) は \(2V\) です。
電気量 \(Q_1′ = 2CV\) が保存された状態で、電気容量が \(C’ = 2C\) から \(C\) へと半分に減少したため、電位差は \(V = Q/C\) の関係から2倍になった (\(V \rightarrow 2V\)) と考えられ、物理的に妥当です。

問5

思考の道筋とポイント

金属板Pを取り去るときに外力のした仕事 \(W\) を求めます。
このような場合、外力のした仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの変化に等しいと考えます。
仕事 \(W = (\text{金属板Pを取り去った後の静電エネルギー}) – (\text{金属板Pを取り去る前の静電エネルギー})\)
それぞれの状態での静電エネルギーを計算し、その差を求めます。

この設問における重要なポイント

• 外力のした仕事が静電エネルギーの変化に等しいこと (\(W = \Delta U\))。
• 操作前後のコンデンサーの状態（電気量、電気容量、電位差）を正確に把握し、それぞれの静電エネルギーを計算すること。
• 静電エネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\) を適切に使い分ける。

具体的な解説と立式

金属板Pを取り去るときに外力がした仕事 \(W\) は、その操作によるコンデンサーの静電エネルギーの変化量に等しくなります。

$$W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} \quad \cdots ⑥$$

ここで、\(U_{\text{初}}\) は金属板Pを取り去る前のコンデンサーの静電エネルギー、\(U_{\text{後}}\) は金属板Pを取り去った後のコンデンサーの静電エネルギーです。

初めの状態（金属板Pがあり、スイッチは開いている）:
この状態は、問4の操作の開始時点です。スイッチが開かれた直後であり、金属板Pはまだ挿入されています。
電気容量は \(C’ = 2C\) (問3の式③より)。
スイッチが開かれる直前まで極板間の電位差は \(V\) であったため、スイッチが開かれた瞬間の電位差も \(V\) です。
このときの静電エネルギー \(U_{\text{初}}\) は、

$$U_{\text{初}} = \frac{1}{2} C’ V^2 \quad \cdots ⑦’$$

後の状態（金属板Pを取り去った後）:
この状態は、問4で求めた状態です。
電気容量は \(C\) に戻っています。
極板間の電位差は \(V’ = 2V\) (問4の結果) です。
このときの静電エネルギー \(U_{\text{後}}\) は、

$$U_{\text{後}} = \frac{1}{2} C (V’)^2 \quad \cdots ⑧’$$

これらの式を式⑥に代入することで、仕事 \(W\) を求める方程式が得られます。

まず、\(U_{\text{初}}\) を計算します。式⑦’に \(C’=2C\) を代入します。

$$U_{\text{初}} = \frac{1}{2} (2C) V^2 = CV^2 \quad \cdots ⑦$$

次に、\(U_{\text{後}}\) を計算します。式⑧’に \(V’=2V\) を代入します。

$$U_{\text{後}} = \frac{1}{2} C (2V)^2 = \frac{1}{2} C (4V^2) = 2CV^2 \quad \cdots ⑧$$

最後に、式⑥に式⑦と式⑧を代入して \(W\) を求めます。

$$W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}$$$$W = 2CV^2 – CV^2$$$$W = CV^2$$

【別解】電気量 \(Q_1′ = 2CV\) が保存されることを利用します。
\(U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{(Q_1′)^2}{2C’} = \frac{(2CV)^2}{2(2C)} = \frac{4C^2V^2}{4C} = CV^2\)。
\(U_{\text{後}} = \displaystyle\frac{(Q_1′)^2}{2C} = \frac{(2CV)^2}{2C} = \frac{4C^2V^2}{2C} = 2CV^2\)。
よって、\(W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = 2CV^2 – CV^2 = CV^2\)。

1. 外から力を加えて何かを動かすと、その仕事の分だけ「電気のエネルギー（静電エネルギー）」が変化します。ここでは、金属板Pを引き抜くのにどれだけ仕事をしたかを考えます。
2. まず、Pを引き抜く前のエネルギーを計算します。このとき、コンデンサーの電気容量は \(2C\) で、電圧は \(V\) でした（スイッチを開けた瞬間）。エネルギーは「\(\displaystyle\frac{1}{2} \times \text{電気容量} \times (\text{電圧})^2\)」なので、\(U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2} \times (2C) \times V^2 = CV^2\) です。
3. 次に、Pを引き抜いた後のエネルギーを計算します。このとき、電気容量は \(C\) に戻り、電圧は \(2V\) になっていました。エネルギーは \(U_{\text{後}} = \displaystyle\frac{1}{2} \times C \times (2V)^2 = 2CV^2\) です。
4. 外力がした仕事 \(W\) は、後のエネルギーから前のエネルギーを引いたものです。つまり、\(W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = 2CV^2 – CV^2 = CV^2\) となります。

外力のした仕事 \(W\) は \(CV^2\) です。
この仕事の値は正であり、コンデンサーの静電エネルギーが増加したことを意味します（\(CV^2 \rightarrow 2CV^2\)）。金属板は極板間に働く静電気力によって極板に引き寄せられる傾向があります。したがって、これに抗して金属板を引き抜くためには、外力が正の仕事をする必要があります。結果が正であることは物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの基本公式 \(Q=CV\): あらゆるコンデンサーの問題の出発点です。電気量、電気容量、電位差の関係を常に意識しましょう。
• 平行平板コンデンサーの電気容量と構造: 電気容量が極板間隔 \(d\) に反比例し、極板面積 \(S\) に比例すること (\(C = \epsilon_0 S/d\))。金属板や誘電体の挿入が、この \(d\) や実効的な誘電率をどう変化させるかを理解することが重要です。特に金属板の挿入は、その厚さ分だけ実質的な極板間隔を減少させる効果があります。
• 導体（金属板）の静電的性質:
  • 導体内部では電場が \(0\) である（静電平衡時）。
  • 導体全体が等電位である。
  • これらの性質から、電位のグラフを描く際や、電気容量の変化を考える際に重要な手がかりとなります。
• スイッチの開閉と電気的条件:
  • スイッチON (電池に接続): コンデンサーの極板間の電位差 \(V\) が電池の起電力によって一定に保たれます。この状態で容量 \(C\) が変化すれば、電気量 \(Q\) が変化します。
  • スイッチOFF (電池から切断・孤立): コンデンサーの極板に蓄えられた電気量 \(Q\) が保存されます（電荷の移動経路がないため）。この状態で容量 \(C\) が変化すれば、電位差 \(V\) が変化します。
• 静電エネルギーと仕事:
  • コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの公式（\(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\)）を状況に応じて使い分ける。
  • 外力がコンデンサーに対してする仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの変化に等しい (\(W_{\text{外力}} = \Delta U_{\text{静電}}\))。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 誘電体の挿入/除去: 金属板の代わりに誘電率 \(\epsilon_r\) の誘電体を挿入する場合、実質的な極板間隔が \(d/\epsilon_r\) になるか、あるいは電気容量が \(\epsilon_r\) 倍になるとして扱います（挿入の仕方による）。考え方の基本は同じです。
  • 複数のコンデンサーの接続: 金属板を挟んだコンデンサーを、空間で区切って複数のコンデンサーの直列（または並列）接続として解析する視点は、複雑なコンデンサーの問題に応用できます。
  • コンデンサーを含む回路の過渡現象や定常状態: スイッチの操作によって回路の状態がどう変わるかを追う問題の基礎となります。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 回路の状態変化の把握: スイッチが開いているのか閉じているのか、電池は接続されているのか。これにより、何が一定で何が変化するのか（電位差一定か電気量保存か）を見極めます。
  2. コンデンサーの構造変化の把握: 極板間隔、極板面積、挿入物（金属、誘電体）の種類や位置によって、電気容量 \(C\) がどのように変化するかを最初に評価します。
  3. 導体の扱い: 金属が関与する場合、その部分は等電位であり、内部電場がゼロであることを常に念頭に置きます。これが電位分布や容量計算の鍵となります。
  4. エネルギー収支: 仕事やエネルギーが問われた場合は、変化の前後でどの物理量が変化し、どの公式を使ってエネルギーを計算するのが効率的か（例：\(Q\)一定なら \(U=Q^2/(2C)\) など）を考えます。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 各操作のステップごとに、コンデンサーの \(Q, C, V\) のうちどれが変化し、どれが一定かを明確に記述しながら進める。
  • (2)のような電位グラフの問題では、区間ごとに電場の様子（一様か、ゼロか）を考え、電位の傾き（電場）や平坦な部分（等電位）を判断する。
  • (5)のようにエネルギー変化から仕事を求める問題では、変化の「前」と「後」の状態を正確に特定することが最も重要。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチOFF時の電位差固定の誤解: スイッチを開くと電気量が保存されるのであり、電位差が電池電圧のまま保たれるわけではない点に注意。
  • 対策: スイッチの役割（電荷の供給路のON/OFF）を正しく理解する。
• 金属板挿入時の容量変化の誤算: 金属板の厚さだけ単純に極板間隔が引かれると考えるのは、金属板が片方の極板に接している場合など特殊なケース。中央に挿入される場合は、残りの空間がどうなるかを考える。(この問題では結果的に \(d_{\text{実質}}=d-d/2\) となる。)
  • 対策: 金属板内部は電場ゼロであり、残りの空間にのみ電場が存在すると考える。複数のコンデンサーの直列として考えるのも有効。
• 電位グラフでの金属内部の傾き: 金属板内部は等電位なので、電位グラフは水平になる。電場があると誤解して傾斜をつけてしまうミス。
  • 対策: 「導体内部は電場ゼロ \(\Rightarrow\) 電位変化なし（等電位）」を徹底する。
• 静電エネルギー計算時の変数選択ミス: \(U=\frac{1}{2}CV^2\) を使うべきところで、変化前の \(V\) なのか変化後の \(V\) なのかを混同する。
  • 対策: エネルギーを計算する「瞬間」の \(C, V, Q\) の値を明確にし、対応する正しい値を用いる。電気量が保存される過程では \(U=Q^2/(2C)\) を使うと \(V\) の変化を追わずに済む場合もある。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • (1) 充電: 電池がコンデンサーに電荷を「送り込む」イメージ。
  • (2)(3) 金属板挿入 (スイッチON): 金属板が電場を遮蔽し、実質的な蓄電空間が狭まる（が、各空間の電場は強まる）。電位差が一定なので、容量が増えた分だけさらに電荷が流れ込むイメージ (\(C \uparrow, V \text{一定} \Rightarrow Q \uparrow\))。
  • (4) 金属板除去 (スイッチOFF): 蓄えられた電荷はそのまま。金属板がなくなると、電荷を保持するための「効率」が悪くなる（容量が減る）ので、同じ電荷を無理に保持するために電位差が大きくなるイメージ (\(Q \text{一定}, C \downarrow \Rightarrow V \uparrow\))。
  • (5) 外力の仕事: 金属板は極板に引き寄せられるので、それを引き抜くには「力」が必要。この力に逆らって動かすことでエネルギーを注入するイメージ。
• 図示の有効性:
  • 回路図: 各操作の段階で、スイッチの状態、電池の有無、コンデンサーの構成（金属板あり/なし）を簡単な図で描くと状況把握が容易になる。
  • 電位のグラフ (問2): 横軸に極板Aからの距離、縦軸に電位をとる。極板A、金属板の各表面、極板Bでの電位を特定し、各区間の電場の様子（一様なら直線、ゼロなら水平）を反映して線を結ぶ。この視覚化は電位の理解を深める。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(Q=CV\): コンデンサーを特徴づける基本関係式。電気量・容量・電位差のうち2つが分かれば残りが求まる。どの操作で何が変化し、何が一定かを見極めて適用する。
• \(C’ = 2C\) (金属板挿入時): これは、平行平板コンデンサーの容量 \(C = \epsilon_0 S/d\) において、実質的な極板間隔 \(d\) が \(d/2\) になったと解釈した結果。金属板の厚さ \(t\) を持つ導体を挿入すると、一般に真空部分の厚さが \(d-t\) となることに由来（この問題ではたまたま \(d/2\)）。
• 電気量保存則 (スイッチOFF時): 回路が閉じられておらず、電荷の供給も流出もないため、孤立した導体系の総電荷は変わらないという物理法則に基づく。
• \(W_{\text{外力}} = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}\): エネルギー保存則の一形態。外力が系にした仕事は、系のエネルギー増加分に等しい（散逸がなければ）。コンデンサー系では静電エネルギーの変化として現れる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 初期状態の電気量:
   • 条件: S閉、\(V\)印加、容量\(C\)。
   • 法則: \(Q=CV\)。
   • 結論: \(Q_1=CV\)。
2. (2)(3) 金属板挿入時の電位と電気量:
   • 条件: S閉のまま (\(V\)一定)、金属板P挿入 \(\rightarrow\) 容量変化 \(C \rightarrow C’\)。
   • 容量変化の考察: 実質的間隔 \(d/2 \Rightarrow C’ = 2C\)。
   • 電気量: \(Q_1′ = C’V = 2CV\)。
   • 電位グラフ: A(\(V\)) \(\rightarrow\) P表面(\(V/2\)) (距離\(d/4\)進む) \(\rightarrow\) P内部は等電位(\(V/2\)) (厚さ\(d/2\)進む) \(\rightarrow\) P他方表面(\(V/2\)) \(\rightarrow\) B(\(0\)) (距離\(d/4\)進む)。AP間、PB間の電位差はそれぞれ\(V/2\)。
3. (4) スイッチを開き金属板除去後の電位差:
   • 条件: S開 (\(Q_1’\)保存)、P除去 \(\rightarrow\) 容量変化 \(C’ \rightarrow C\)。
   • 保存される電気量: \(Q_1′ = 2CV\)。
   • 新しい容量: \(C\)。
   • 新しい電位差: \(Q_1′ = CV’ \Rightarrow 2CV = CV’ \Rightarrow V’=2V\)。
4. (5) 金属板除去時の外力の仕事:
   • 法則: \(W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}\)。
   • \(U_{\text{初}}\) (Pあり、S開直後): 容量 \(C’=2C\)、電位差 \(V\)。 \(U_{\text{初}} = \frac{1}{2}(2C)V^2 = CV^2\)。
   • \(U_{\text{後}}\) (Pなし): 容量 \(C\)、電位差 \(V’=2V\)。 \(U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C(2V)^2 = 2CV^2\)。
   • 仕事: \(W = 2CV^2 – CV^2 = CV^2\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変数の明確化: \(C, C’, V, V’, Q_1, Q_1’\) など、どの段階のどの物理量を表しているのかを添え字などで区別し、意識する。
• 条件の再確認: 各計算ステップの前に、今考えている状況で「何が一定」で「何が変化するのか」を再確認する（特にスイッチの開閉）。
• 公式の正確な適用: 静電エネルギーの公式は3つの形があるが、問題で与えられている量や、その時点で計算しやすい量を含む形を選ぶ。例えば、(5)の \(U_{\text{初}}\) は \(Q_1’\) と \(C’\) から \(\frac{(Q_1′)^2}{2C’}\) でも計算できる。
• 単位の確認: 最終的な答えだけでなく、途中の計算結果の単位（次元）が物理的に正しいかを確認する癖をつける（例：電気量はクーロン、仕事はジュール）。
• 単純化と検算: この問題では文字式だが、もし数値問題であれば、極端な値（0や∞など）を代入してみて物理的にありえない結果にならないか確認するのも一手。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との照らし合わせ:
  • (3) 金属板を入れると容量が増す（蓄えやすくなる）。電圧一定なら電気量が増えるのは自然 (\(CV \rightarrow 2CV\))。
  • (4) 電気量が一定のまま容量が減る（蓄えにくくなる、Pを取り去ると \(2C \rightarrow C\)）。すると、同じ電気量を無理に押し込めている状態なので、電圧が上がるのは自然 (\(V \rightarrow 2V\))。
  • (5) 金属板は極板に引き寄せられる静電的な力が働く。これに逆らって引き抜くには外力が正の仕事をする必要がある (\(W > 0\))。計算結果 \(CV^2\) は \(C>0, V^2 \ge 0\) なので妥同。
• 依存関係の確認:
  • 例えば、\(W=CV^2\) という結果は、元の電池の電圧 \(V\) が大きいほど、また元の容量 \(C\) が大きいほど、Pを取り去るのに大きな仕事が必要であることを示しており、感覚的にもおかしくない。
• 特殊なケースの想定:
  • もし金属板の厚さが0だったら、挿入しても何の変化もなく、仕事も0になるはず。数式の上でも、そのような極限を考えると妥当性が確認できる場合がある（この問題では直接的ではないが）。

問題107 (京都産業大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、複数のコンデンサー、スイッチ、抵抗を含む回路における過渡現象と定常状態を扱う問題です。スイッチの操作によって回路の接続状態が変化し、それに伴いコンデンサーの電荷や電圧がどのように変わるか、そして最終的に抵抗で発生するジュール熱を求めることが目標です。段階を追って丁寧に考えていきましょう。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• コンデンサーの直列・並列接続:
  • 直列接続: 各コンデンサーに蓄えられる電気量は等しい。全体の電圧は各コンデンサーの電圧の和。逆数和で合成容量を計算 (\(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}\))。
  • 並列接続: 各コンデンサーにかかる電圧は等しい。全体の電気量は各コンデンサーの電気量の和。和で合成容量を計算 (\(C_{eq} = C_a + C_b\))。
• コンデンサーの基本式: \(Q = CV\)
• 電荷保存則: 電気的に孤立した部分では、電荷の総和は保存される。
• キルヒホッフの電圧則 (ループ則): 閉回路を一周するときの電位の変化の総和はゼロ。
• 定常状態: コンデンサーを含む直流回路で十分に時間が経過すると、コンデンサーの充電が完了し、コンデンサーを含む経路には電流が流れなくなる。抵抗に電流が流れなければ、抵抗での電圧降下はゼロ。
• エネルギー保存則: 回路の静電エネルギーの変化と抵抗で消費されるジュール熱の関係。ジュール熱 = (初期の静電エネルギーの総和) – (最終的な静電エネルギーの総和)。

操作 I: スイッチS₁を閉じ、\(C_1\) と \(C_2\) を充電

問1

思考の道筋とポイント

スイッチS₁を閉じると、電池Vによってコンデンサー\(C_1\)と\(C_2\)が充電されます。このとき、\(C_1\)と\(C_2\)は直列に接続されています。直列接続のコンデンサーでは、蓄えられる電気量が等しくなります。まず、\(C_1\)と\(C_2\)の合成容量を求め、回路全体に蓄えられる電気量（これが\(C_1\)に蓄えられる電気量に等しい）を計算します。

この設問における重要なポイント

• \(C_1\) と \(C_2\) が直列接続であること。
• 直列接続の合成容量の計算方法。
• 直列接続されたコンデンサーに蓄えられる電気量は等しいこと。

具体的な解説と立式

スイッチS₁を閉じると、\(C_1\)（容量\(C\)）と\(C_2\)（容量\(2C\)）は直列に接続され、全体として電池の電圧\(V\)がかかります。
直列接続の合成容量を \(C_{12}\) とすると、その逆数は各コンデンサーの電気容量の逆数の和に等しくなります。

$$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \quad \cdots ①$$

この合成容量 \(C_{12}\) に電圧 \(V\) がかかるため、回路全体で蓄えられる総電気量 \(Q_{\text{総}}\) は次のように表せます。

$$Q_{\text{総}} = C_{12}V \quad \cdots ②$$

直列接続の場合、各コンデンサーに蓄えられる電気量は等しく、この \(Q_{\text{総}}\) に等しくなります。したがって、\(C_1\) に蓄えられる電気量 \(Q_1\) は、

$$Q_1 = Q_{\text{総}} \quad \cdots ③$$

まず、式①に \(C_1=C\) と \(C_2=2C\) を代入して、合成容量 \(C_{12}\) を求めます。

$$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{2}{2C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$$

よって、合成容量 \(C_{12}\) は、

$$C_{12} = \frac{2}{3}C$$

次に、式②を用いて総電気量 \(Q_{\text{総}}\) を計算します。

$$Q_{\text{総}} = C_{12}V = \left(\frac{2}{3}C\right)V = \frac{2}{3}CV$$

式③より、\(C_1\) に蓄えられる電気量 \(Q_1\) は \(Q_{\text{総}}\) に等しいので、

$$Q_1 = \frac{2}{3}CV$$

1. まず、\(C_1\) と \(C_2\) が直列につながっているので、一つの大きなコンデンサー（合成容量 \(C_{12}\)）として考えます。直列の場合、容量の逆数を足し算します: \(\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C}\)。
2. これを計算すると、\(C_{12} = \frac{2}{3}C\) となります。
3. この合成コンデンサーに電圧 \(V\) がかかるので、たまる電気の総量は \(Q_{\text{総}} = C_{12}V = \frac{2}{3}CV\) です。
4. 直列接続では、\(C_1\) も \(C_2\) も同じ量の電気 \(Q_{\text{総}}\) がたまります。なので、\(C_1\) の電気量も \(\frac{2}{3}CV\) です。

\(C_1\) に蓄えられる電気量は \(\displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。単位も [F] \(\cdot\) [V] = [C] となり正しいです。

問2

思考の道筋とポイント

\(C_2\) にかかる電圧 \(V_2\) を求めます。問1で \(C_1\) と \(C_2\) に蓄えられる電気量 \(Q_1\) (=\(Q_2\)) が分かっているので、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を \(C_2\) に適用して \(V_2\) を求めます。
別解として、直列接続のコンデンサーでは電圧が電気容量の逆比に分配されることを利用する方法もあります。

この設問における重要なポイント

• 直列接続されたコンデンサーには同じ電気量が蓄えられること（問1の結果を利用）。
• コンデンサーの基本式 \(V = Q/C\) を適用すること。
• (別解) 直列接続での電圧配分は容量の逆比になること (\(V_1:V_2 = C_2:C_1\))。

具体的な解説と立式

問1より、コンデンサー\(C_2\)に蓄えられる電気量 \(Q_2\) は、\(C_1\)に蓄えられる電気量 \(Q_1\) と等しく、\(Q_2 = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) です。
コンデンサー\(C_2\)の電気容量は \(2C\) なので、\(C_2\) にかかる電圧 \(V_2\) は、基本式 \(Q=CV\) より \(V=Q/C\) を用いて次のように表せます。

$$V_2 = \frac{Q_2}{C_2} \quad \cdots ④$$

ここで \(C_2 = 2C\) です。

式④に \(Q_2 = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) および \(C_2=2C\) を代入します。

$$V_2 = \frac{\frac{2}{3}CV}{2C}$$

分母と分子の \(C\) を約分し、係数を整理すると、

$$V_2 = \frac{2/3}{2}V = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} V = \frac{1}{3}V$$

【別解の計算】
\(C_1\) と \(C_2\) は直列なので、かかる電圧の比は電気容量の逆比に等しくなります。
\(V_1 : V_2 = \displaystyle\frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} : \frac{1}{2C}\)。両辺に \(2C\) を掛けて簡単な整数比にすると \(2 : 1\)。
全体の電圧 \(V\) が \(V_1 + V_2 = V\) のように分配されるので、\(V_2\) は全体の \(1/(2+1) = 1/3\) となります。

$$V_2 = \frac{1}{2+1}V = \frac{1}{3}V$$

1. \(C_2\) にたまった電気の量 \(Q_2\) は、問1で計算した \(C_1\) の電気の量と同じで \(\frac{2}{3}CV\) です。
2. \(C_2\) の性能（電気容量）は \(2C\) です。
3. 電圧 \(V_2\) は、「電気の量 \(Q_2\)」を「電気容量 \(C_2\)」で割れば求まります (\(V_2 = Q_2 / C_2\))。
4. つまり、\(V_2 = (\frac{2}{3}CV) / (2C) = \frac{1}{3}V\) となります。

\(C_2\) にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{1}{3}V\) です。
同様に \(C_1\) にかかる電圧 \(V_1\) は \(V_1 = Q_1/C_1 = (\frac{2}{3}CV)/C = \frac{2}{3}V\) となります。
\(V_1 + V_2 = \frac{2}{3}V + \frac{1}{3}V = V\) となり、全体の電圧と一致するため、計算は妥当です。

操作 II: S₁を開いてから S₂を閉じ、十分に時間が経過

S₁を開くと、\(C_1\)と\(C_2\)に蓄えられた電荷 \(Q_1 = Q_2 = \frac{2}{3}CV\) はそのままで電池から切り離されます。
次にS₂を閉じると、\(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), R を含む新しい閉回路が形成されます。電荷が再配分し、十分に時間が経過すると、\(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) の充電が完了し、回路に電流は流れなくなります。電流が流れなければ、抵抗Rでの電圧降下は \(0\text{V}\) となり、抵抗Rは単なる導線と見なせます。

問3

思考の道筋とポイント

S₁を開いた後、S₂を閉じて十分に時間が経過したときの\(C_3\)にかかる電圧を求めます。
この状態では、\(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) に最終的な電荷が蓄えられ、電流は流れていません。
回路の接続状態と電荷保存則、キルヒホッフの法則（または電位の関係）を用いて各コンデンサーの最終的な電圧・電荷を決定します。

初期状態（S₁を開きS₂を閉じる直前）:
\(C_1\) の電荷: \(q_{1\text{初}} = \frac{2}{3}CV\), \(C_2\) の電荷: \(q_{2\text{初}} = \frac{2}{3}CV\)。
極板の符号に注意します。電池の正極側に接続されていた \(C_1\) の上側極板と \(C_2\) の上側極板（図の通りだと仮定）が正に帯電しているとします。

S₂を閉じると、以下の3つの孤立部分で電荷が保存されます。

1. \(C_1\) の上側極板 + \(C_3\) の上側極板
2. \(C_1\) の下側極板 + \(C_2\) の上側極板

最終状態では、\(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) にかかる電圧をそれぞれ \(V_{1\text{後}}\), \(V_{2\text{後}}\), \(V_{3\text{後}}\) とし、電荷を \(q_{1\text{後}}\), \(q_{2\text{後}}\), \(q_{3\text{後}}\) とします。
抵抗Rに電流が流れないため、\(C_3\)の下側極板と\(C_2\)の下側極板は等電位です。これを基準電位 \(0\text{V}\) とします。
すると、\(C_1\)の上側極板と\(C_3\)の上側極板も等電位になります（1本の導線で接続）。この電位を \(V_A\) とします。
\(C_1\)の下側極板と\(C_2\)の上側極板も等電位になります。この電位を \(V_B\) とします。
よって、最終的な電圧は \(V_{1\text{後}} = V_A – V_B\), \(V_{2\text{後}} = V_B – 0 = V_B\), \(V_{3\text{後}} = V_A – 0 = V_A\) となります。
求めるのは \(V_{3\text{後}} = V_A\) です。

この設問における重要なポイント

• S₁を開いた後の \(C_1, C_2\) の初期電荷を正しく把握すること。
• S₂を閉じた後の回路で、電荷が保存される孤立部分を見つけること。
• 最終状態（電流ゼロ）では、抵抗Rでの電圧降下がゼロであること。
• 各点の電位を設定し、コンデンサーの電圧と電荷の関係式を立てること。

具体的な解説と立式

初期電荷（S₁を開いた直後、S₂を閉じる前、\(C_1\)上側が正極板とする）：
\(C_1\) の上側極板の電荷を \(+q\)、下側極板を \(-q\) とします。
\(C_2\) の上側極板の電荷を \(+q\)、下側極板を \(-q\) とします。
ここで \(q = \displaystyle\frac{2}{3}CV\)。

S₂を閉じた後の最終状態での各コンデンサーの電荷（上側極板の電荷とする）を \(q_{1\text{後}}\), \(q_{2\text{後}}\), \(q_{3\text{後}}\) とします。
電位を以下のように設定します。

• \(C_2\) の下側極板と \(C_3\) の下側極板が接続されている点の電位を \(0\text{V}\)（基準電位）。
• \(C_1\) の下側極板と \(C_2\) の上側極板が接続されている点の電位を \(V_B\)。
• \(C_1\) の上側極板と \(C_3\) の上側極板が接続されている点の電位を \(V_A\)。

このとき、各コンデンサーの電圧と電荷は以下のようになります。

$$q_{1\text{後}} = C_1 (V_A – V_B) = C(V_A – V_B) \quad \cdots ⑤$$
$$q_{2\text{後}} = C_2 (V_B – 0) = 2CV_B \quad \cdots ⑥$$
$$q_{3\text{後}} = C_3 (V_A – 0) = 3CV_A \quad \cdots ⑦$$

電荷保存則を適用します。

1. 孤立部分1（\(C_1\)上側極板 + \(C_3\)上側極板）:
   初期電荷は \(+q + 0 = q\)。最終電荷は \(q_{1\text{後}} + q_{3\text{後}}\)。
   よって、\(q_{1\text{後}} + q_{3\text{後}} = q \quad \cdots ⑧\)
2. 孤立部分2（\(C_1\)下側極板 + \(C_2\)上側極板）:
   初期電荷は \(-q + q = 0\)。最終電荷は \(-q_{1\text{後}} + q_{2\text{後}}\)。
   よって、\(-q_{1\text{後}} + q_{2\text{後}} = 0\) すなわち \(q_{1\text{後}} = q_{2\text{後}} \quad \cdots ⑨\)

式⑤, ⑥, ⑦, ⑧, ⑨ を連立して \(V_A, V_B\) を求めます。
求める \(C_3\) にかかる電圧は \(V_{3\text{後}} = V_A\) です。

式⑨より \(q_{1\text{後}} = q_{2\text{後}}\)。これに式⑤と式⑥を代入すると、

$$C(V_A – V_B) = 2CV_B$$

\(C\) で割ると（\(C \neq 0\)）、

$$V_A – V_B = 2V_B$$

これを \(V_A\) について整理すると、

$$V_A = 3V_B \quad \cdots ⑩$$

次に、式⑧に式⑤と式⑦を代入すると、

$$C(V_A – V_B) + 3CV_A = q$$

\(C\) で割ると（\(C \neq 0\)）、

$$(V_A – V_B) + 3V_A = \frac{q}{C}$$

整理すると、

$$4V_A – V_B = \frac{q}{C} \quad \cdots ⑪$$

式⑩ (\(V_A = 3V_B\)) を式⑪に代入します。

$$4(3V_B) – V_B = \frac{q}{C}$$
$$12V_B – V_B = \frac{q}{C}$$
$$11V_B = \frac{q}{C}$$

したがって、

$$V_B = \frac{q}{11C}$$

\(V_A\) を求めるために、式⑩にこの \(V_B\) を代入します。

$$V_A = 3V_B = 3 \left(\frac{q}{11C}\right) = \frac{3q}{11C}$$

ここで、初期電荷 \(q = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) を代入します。

$$V_A = \frac{3}{11C} \left(\frac{2}{3}CV\right) = \frac{3 \times 2 \times CV}{11 \times C \times 3} = \frac{2}{11}V$$

\(C_3\) にかかる電圧 \(V_{3\text{後}}\) は \(V_A\) に等しいので、

$$V_{3\text{後}} = \frac{2}{11}V$$

1. S₁を開くと、\(C_1\) と \(C_2\) にはそれぞれ \(q = \frac{2}{3}CV\) の電気が蓄えられた状態で孤立します。\(C_1\)の上側と\(C_2\)の上側がプラス、下側がマイナスとします。
2. S₂を閉じると、電気が流れ直して新しいバランス状態になります。最終的に電流は流れなくなるので、抵抗Rはただの導線と同じです。
3. このとき、つながっている部分ごとに電気の総量が変わらない「電荷保存則」を使います。
   • 「\(C_1\)の上側極板」と「\(C_3\)の上側極板」を合わせた部分の電気量は、最初 \(q+0=q\) だったので、最後も \(q\) です。
   • 「\(C_1\)の下側極板」と「\(C_2\)の上側極板」を合わせた部分の電気量は、最初 \(-q+q=0\) だったので、最後も \(0\) です。これは、最後に\(C_1\)にたまる電気と\(C_2\)にたまる電気が等しくなることを意味します。
4. 各コンデンサーの電圧を未知数として、電荷を電圧で表し、上記の電荷保存の式を連立して解きます。
5. その結果、\(C_3\)にかかる電圧は \(\frac{2}{11}V\) となります。

\(C_3\) にかかる電圧は \(\displaystyle\frac{2}{11}V\) です。これは模範解答と一致します。複数のコンデンサーとスイッチを含む回路では、電荷保存則と各点の電位の関係を丁寧に追うことが重要です。

問4

思考の道筋とポイント

操作IIの後、\(C_2\) に蓄えられる電気量 \(q_{2\text{後}}\) を求めます。問3で \(C_2\) にかかる電圧 \(V_{2\text{後}} = V_B\) であり、\(V_B = \frac{q}{11C}\) が得られているので、これを使って \(q_{2\text{後}} = C_2 V_B\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 問3で設定した電位 \(V_B\) が \(C_2\) の電圧であること (\(V_{2\text{後}} = V_B\))。
• \(C_2\) の電気容量と電圧から電気量を計算すること。

具体的な解説と立式

問3の計算過程で、\(C_2\) の上側極板が接続されている点の電位 \(V_B\) は \(V_B = \displaystyle\frac{q}{11C}\) と求められました。\(C_2\) の下側極板は電位 \(0\text{V}\) なので、\(C_2\) にかかる電圧 \(V_{2\text{後}}\) は \(V_B\) に等しいです。
\(C_2\) に蓄えられる電気量 \(q_{2\text{後}}\) は、その電気容量 \(C_2=2C\) と電圧 \(V_{2\text{後}} = V_B\) を用いて、

$$q_{2\text{後}} = C_2 V_B \quad \cdots ⑫$$

式⑫に \(V_B = \displaystyle\frac{q}{11C}\) (問3の計算過程より) を代入します。

$$q_{2\text{後}} = (2C) \left(\frac{q}{11C}\right) = \frac{2q}{11}$$

ここで、初期電荷 \(q = \displaystyle\frac{2}{3}CV\) を代入します。

$$q_{2\text{後}} = \frac{2}{11} \left(\frac{2}{3}CV\right) = \frac{4}{33}CV$$

1. 問3で、\(C_2\) の上側につながる点の電圧 \(V_B\) が \(\frac{q}{11C}\) と分かりました (\(q\) は最初の電気 \(\frac{2}{3}CV\))。\(C_2\) の下側は \(0\text{V}\) なので、これがそのまま \(C_2\) の電圧です。
2. \(C_2\) の電気容量は \(2C\) です。
3. \(C_2\) にたまる電気 \(q_{2\text{後}}\) は、「容量 \(2C\)」に「電圧 \(V_B\)」を掛けて、\(q_{2\text{後}} = 2C \times V_B\) で計算できます。
4. 計算すると、\(q_{2\text{後}} = \frac{4}{33}CV\) となります。

\(C_2\) に蓄えられる電気量は \(\displaystyle\frac{4}{33}CV\) です。これは模範解答と一致します。
問3の過程で \(q_{1\text{後}} = q_{2\text{後}}\) (式⑨) であったことを思い出すと、\(C_1\) に蓄えられる最終電荷も \(\displaystyle\frac{4}{33}CV\) となります。

問5

思考の道筋とポイント

抵抗Rで発生したジュール熱 \(H\) を求めます。これはエネルギー保存則を用いて計算します。S₂を閉じる直前の回路全体の静電エネルギーの総和 \(U_{\text{初総}}\) と、S₂を閉じて十分に時間が経過した後の回路全体の静電エネルギーの総和 \(U_{\text{後総}}\) を求め、その差がジュール熱 \(H\) になります。
$$H = U_{\text{初総}} – U_{\text{後総}}$$
ジュール熱はエネルギーが消費されるものなので、\(U_{\text{初総}} \ge U_{\text{後総}}\) となるはずです。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: (初期の全静電エネルギー) – (最終的な全静電エネルギー) = (発生したジュール熱)。
• 初期状態 (S₁を開き、S₂を閉じる直前) の各コンデンサーのエネルギーを計算すること。
• 最終状態 (S₂を閉じ、十分時間経過後) の各コンデンサーのエネルギーを計算すること。
• 静電エネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}\) を適切に用いる。

具体的な解説と立式

初期状態（S₁を開き、S₂を閉じる直前）の静電エネルギー:
\(C_1\) のエネルギー \(U_{1\text{初}}\): 電荷 \(q = \frac{2}{3}CV\)、容量 \(C_1=C\)。

$$U_{1\text{初}} = \frac{q^2}{2C_1} \quad \cdots ⑬$$

\(C_2\) のエネルギー \(U_{2\text{初}}\): 電荷 \(q = \frac{2}{3}CV\)、容量 \(C_2=2C\)。

$$U_{2\text{初}} = \frac{q^2}{2C_2} \quad \cdots ⑭$$

\(C_3\) は帯電していないので \(U_{3\text{初}} = 0\)。
初期の総静電エネルギー \(U_{\text{初総}}\) は、

$$U_{\text{初総}} = U_{1\text{初}} + U_{2\text{初}} + U_{3\text{初}} \quad \cdots ⑮$$

最終状態（S₂を閉じ、十分時間経過後）の静電エネルギー:
\(C_1\) のエネルギー \(U_{1\text{後}}\): 電荷 \(q_{1\text{後}} = \frac{4}{33}CV\) (問4の結果、\(q_{1\text{後}}=q_{2\text{後}}\)より)、容量 \(C_1=C\)。

$$U_{1\text{後}} = \frac{q_{1\text{後}}^2}{2C_1} \quad \cdots ⑯$$

\(C_2\) のエネルギー \(U_{2\text{後}}\): 電荷 \(q_{2\text{後}} = \frac{4}{33}CV\) (問4の結果)、容量 \(C_2=2C\)。

$$U_{2\text{後}} = \frac{q_{2\text{後}}^2}{2C_2} \quad \cdots ⑰$$

\(C_3\) のエネルギー \(U_{3\text{後}}\): 電圧 \(V_{3\text{後}} = V_A = \frac{2}{11}V\) (問3の結果)、容量 \(C_3=3C\)。

$$U_{3\text{後}} = \frac{1}{2}C_3 V_{3\text{後}}^2 \quad \cdots ⑱$$

最終的な総静電エネルギー \(U_{\text{後総}}\) は、

$$U_{\text{後総}} = U_{1\text{後}} + U_{2\text{後}} + U_{3\text{後}} \quad \cdots ⑲$$

発生したジュール熱 \(H\) は、

$$H = U_{\text{初総}} – U_{\text{後総}} \quad \cdots ⑳$$

まず、初期エネルギーを計算します。\(q = \displaystyle\frac{2}{3}CV\)。
式⑬に \(q\) と \(C_1=C\) を代入: \(U_{1\text{初}} = \displaystyle\frac{(\frac{2}{3}CV)^2}{2C} = \frac{\frac{4}{9}C^2V^2}{2C} = \frac{2}{9}CV^2\)。
式⑭に \(q\) と \(C_2=2C\) を代入: \(U_{2\text{初}} = \displaystyle\frac{(\frac{2}{3}CV)^2}{2(2C)} = \frac{\frac{4}{9}C^2V^2}{4C} = \frac{1}{9}CV^2\)。
式⑮より、\(U_{\text{初総}} = \displaystyle\frac{2}{9}CV^2 + \frac{1}{9}CV^2 + 0 = \frac{3}{9}CV^2 = \frac{1}{3}CV^2\)。

次に、最終エネルギーを計算します。\(q_{1\text{後}} = \displaystyle\frac{4}{33}CV\), \(q_{2\text{後}} = \displaystyle\frac{4}{33}CV\), \(V_{3\text{後}} = \displaystyle\frac{2}{11}V\)。
式⑯に \(q_{1\text{後}}\) と \(C_1=C\) を代入: \(U_{1\text{後}} = \displaystyle\frac{(\frac{4}{33}CV)^2}{2C} = \frac{\frac{16}{1089}C^2V^2}{2C} = \frac{8}{1089}CV^2\)。
式⑰に \(q_{2\text{後}}\) と \(C_2=2C\) を代入: \(U_{2\text{後}} = \displaystyle\frac{(\frac{4}{33}CV)^2}{2(2C)} = \frac{\frac{16}{1089}C^2V^2}{4C} = \frac{4}{1089}CV^2\)。
式⑱に \(V_{3\text{後}}\) と \(C_3=3C\) を代入: \(U_{3\text{後}} = \displaystyle\frac{1}{2}(3C)\left(\frac{2}{11}V\right)^2 = \frac{3}{2}C \left(\frac{4}{121}V^2\right) = \frac{6}{121}CV^2 = \frac{54}{1089}CV^2\)。
式⑲より、\(U_{\text{後総}} = \displaystyle\frac{8}{1089}CV^2 + \frac{4}{1089}CV^2 + \frac{54}{1089}CV^2 = \frac{66}{1089}CV^2 = \frac{2}{33}CV^2\)。

最後に、式⑳よりジュール熱 \(H\) を計算します。

$$H = U_{\text{初総}} – U_{\text{後総}} = \frac{1}{3}CV^2 – \frac{2}{33}CV^2$$

通分して、

$$H = \left(\frac{11}{33} – \frac{2}{33}\right)CV^2 = \frac{9}{33}CV^2 = \frac{3}{11}CV^2$$

1. 抵抗で発生する熱は、回路全体の電気が持っていたエネルギーがどれだけ減ったかで計算できます。
2. まず、S₂を閉じる前の、\(C_1\) と \(C_2\) が持っていたエネルギーの合計を計算します。\(C_1\) のエネルギーは \(\frac{2}{9}CV^2\)、\(C_2\) のエネルギーは \(\frac{1}{9}CV^2\)。合計は \(\frac{1}{3}CV^2\) です。
3. 次に、S₂を閉じて十分時間がたった後の、\(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) が持っているエネルギーの合計を計算します。
   • \(C_1\) のエネルギー: \(\frac{8}{1089}CV^2\)
   • \(C_2\) のエネルギー: \(\frac{4}{1089}CV^2\)
   • \(C_3\) のエネルギー: \(\frac{54}{1089}CV^2\)

   合計は \(\frac{66}{1089}CV^2 = \frac{2}{33}CV^2\) です。

4. 最初のエネルギーから最後のエネルギーを引いた差が、抵抗で熱になった分です。
   \(H = \frac{1}{3}CV^2 – \frac{2}{33}CV^2 = \frac{3}{11}CV^2\)。

抵抗Rで発生したジュール熱は \(\displaystyle\frac{3}{11}CV^2\) です。これは模範解答と一致します。エネルギーはスカラー量なので、各コンデンサーのエネルギーを計算して単純に足し引きすればよく、計算量は多いですが手順は明確です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの直列・並列接続の理解と計算: 特に直列接続時の電荷が等しいこと、電圧配分の考え方。
• 電荷保存則の適用: スイッチ操作により回路が変化し、孤立部分が生じた場合に、その部分の総電荷が保存されること。これを立式に用いることが複雑な回路解析の鍵となる。
• 定常状態におけるコンデンサーと抵抗の振る舞い: 十分に時間が経過するとコンデンサーには電流が流れず、その経路は開放されているとみなせる。また、電流が流れない抵抗では電圧降下も発生しない。
• エネルギー保存則（ジュール熱の計算）: 回路の静電エネルギーの総和の変化が、抵抗で消費されるジュール熱に等しいこと。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • より多くのコンデンサーやスイッチを含む複雑な回路の電荷再配分問題。
  • RC回路の過渡現象（スイッチを入れた直後の電流や、十分時間が経過するまでの電荷の変化など）。ただし本問は定常状態のみ。
  • 複数の電源や複雑な接続を持つ回路の電位計算。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. スイッチ操作の段階分け: 各操作（スイッチの開閉）の前後の状態を明確に区別し、それぞれの状態でどの法則が適用できるかを考える。
  2. 電荷が保存される部分の特定: 特にスイッチを開いて回路の一部が孤立するとき、どの部分の電荷が保存されるかを図から正確に読み取る。
  3. 定常状態の条件確認: 「十分に時間が経過した」という記述があれば、コンデンサー経路の電流ゼロ、抵抗の電圧降下ゼロ（電流がなければ）といった条件を使う。
  4. 電位の基準点設定: 複雑な回路では、どこか一点の電位を基準（例: \(0\text{V}\)）と定め、他の点の電位を未知数として立式すると見通しが良くなる。
  5. エネルギー計算の対象範囲: ジュール熱を求める際は、エネルギーが変化した可能性のある全てのコンデンサーの初期エネルギーと最終エネルギーを考慮する。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • コンデンサーの極板のどちらが正でどちらが負に帯電しているかを意識する（特に電荷保存を考える際）。
  • 連立方程式を解く際の計算ミスに注意する。
  • (3)のように複雑な電荷再配分では、安易な「合成容量」の考え方に頼らず、基本に立ち返って電荷保存や電位の関係から立式することが確実。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列と並列の混同: 回路図をよく見て、どのコンデンサーが直列でどれが並列かを正しく判断する。スイッチの状態で接続関係が変わることに注意。
  • 対策: 各状態での電流（電荷の移動）の経路を指で追ってみる。
• 電荷保存の適用範囲の間違い: 孤立していない部分に電荷保存を適用してしまう。
  • 対策: スイッチが開いたときに、電池や他の回路から完全に切り離された導体部分を正確に見極める。
• 定常状態での抵抗の扱い: 電流が流れていないのに抵抗で電圧降下があると考えてしまう。
  • 対策: 定常状態ではコンデンサーへの充電が完了し電流が流れないこと、オームの法則 \(V=IR\) から \(I=0\) なら \(V=0\) であることを理解する。
• 静電エネルギー計算の混同: 全体のエネルギーを求める際に、個々のコンデンサーのエネルギーを足し合わせるべきところを、全体の合成容量と全体の電圧から一気に計算しようとして、その「全体電圧」の定義が曖昧になる。
  • 対策: 各コンデンサーについて個別に \(Q, C, V\) のいずれか2つを確定させ、エネルギーを計算し、それらを最後に合計する方が安全。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 操作I: 電池というポンプが、\(C_1\)と\(C_2\)というタンクに水を送り込む（電荷を充電する）イメージ。直列なので同じ量の水が各タンクを通過する。
  • 操作II: S₁を開いてポンプを止め、S₂で配管を繋ぎ変える。タンク内の水（電荷）が新しい経路を通って流れ直し、水位（電位）が均等化しようとする。その過程で配管の摩擦（抵抗R）でエネルギーが失われる（ジュール熱）。
  • 定常状態: 各タンクの水位が安定し、水の流れが止まった状態。
• 図示の有効性:
  • 各操作段階の回路図: スイッチの状態を反映させて回路図を描き直すと、接続関係が明確になる。
  • 電荷の符号と分布: 各コンデンサーの極板に \(+Q, -Q\) を明記し、電荷保存を考える際にどの極板の電荷を追跡しているのかをはっきりさせる。
  • 電位図: 回路の主要な点に電位 \(V_A, V_B, 0\)などを書き込み、各コンデンサーの電圧がどの電位差に対応するかを視覚化する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 合成容量の公式: 回路の一部を等価な一つのコンデンサーとして扱いたい場合に用いる。直列か並列かで使い分ける。
• \(Q=CV\): 個々のコンデンサー、あるいは等価的な合成コンデンサーについて、電荷・容量・電圧の関係を表す普遍的な式。
• 電荷保存則: スイッチ操作によって電荷の移動が起こるが、外部との電荷のやり取りがない閉じた部分系では、操作前後の電荷の代数和が等しいという fundamental な法則。未知数が多い場合に方程式の数を増やすのに役立つ。
• エネルギー保存則: 系全体のエネルギー形態の変化を追う法則。この問題では、静電エネルギーの減少分がジュール熱として消費されるという形で適用。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 操作I（S₁閉）:
   1. \(C_1, C_2\) の直列合成容量 \(C_{12}\) を計算。
   2. 回路全体の電荷 \(Q_{\text{総}} = C_{12}V\) を計算。これが \(Q_1, Q_2\) となる (問1)。
   3. \(V_2 = Q_2/C_2\) を計算 (問2)。
2. 操作II（S₁開、S₂閉、定常状態）:
   1. 初期電荷 \(q=Q_1\) を確認。
   2. 最終状態の電位 \(V_A, V_B\) を未知数とする。下側共通部分を \(0\text{V}\) とおく。
   3. 最終電荷 \(q_{1\text{後}}, q_{2\text{後}}, q_{3\text{後}}\) を \(V_A, V_B\) と \(C, 2C, 3C\) で表す。
   4. 電荷保存則から2つの方程式を立てる (\(q_{1\text{後}} + q_{3\text{後}} = q\) と \(q_{1\text{後}} = q_{2\text{後}}\))。
   5. 連立方程式を解いて \(V_A, V_B\) を \(q\) と \(C\) で表す。
   6. \(V_{3\text{後}} = V_A\) に \(q\) の値を代入 (問3)。
   7. \(q_{2\text{後}} = C_2 V_B\) に \(V_B\) と \(q\) の値を代入 (問4)。
3. ジュール熱の計算 (問5):
   1. 操作IIの初期総静電エネルギー \(U_{\text{初総}} = U_{1\text{初}} + U_{2\text{初}}\) を計算。
   2. 操作IIの最終総静電エネルギー \(U_{\text{後総}} = U_{1\text{後}} + U_{2\text{後}} + U_{3\text{後}}\) を計算。
   3. ジュール熱 \(H = U_{\text{初総}} – U_{\text{後総}}\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算: 合成容量の計算やエネルギー計算で頻出。通分、約分を丁寧に行う。
• 連立方程式: (3)では実質的に2元1次連立方程式を解く。代入法や消去法を正確に。
• 文字の置き換え: \(q = \frac{2}{3}CV\) のように、複雑な値を一時的に簡単な文字で置き換えて計算を進め、最後に元に戻すと見通しが良くなることがある。
• 検算:
  • (2)では \(V_1+V_2=V\) を確認。
  • (3)(4)では、求めた電圧や電荷が物理的にありえない値（極端に大きすぎる、符号がおかしいなど）になっていないか感覚的にチェックする。
• 単位の一貫性: 常に単位を意識し、最終的な答えの単位が正しいか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • (1)(2) 直列接続では容量の小さい方により大きな電圧がかかる（\(C_1 < C_2\) なので \(V_1 > V_2\)。実際 \(V_1=2/3V, V_2=1/3V\))。これは妥当。
  • (3)(4) 電荷が再配分されるので、各コンデンサーの電圧や電荷は初期状態から変化する。極端な値になっていないか。
  • (5) ジュール熱は必ず正の値になるはず。計算結果が負になったらどこかで間違えている。また、エネルギーが保存される系（抵抗がない理想的なLC回路など）ではジュール熱はゼロ。抵抗があるので熱が発生するのは自然。
• 極端な場合の考察:
  • 例えば、もし\(C_3\)が非常に大きければ、最終的に\(C_3\)に多くの電荷が移動し、\(C_3\)の電圧は低くなる傾向があるか？など、パラメータを極端に変えた場合を想像してみる。
  • もし抵抗Rがなければ（超伝導線）、最終状態は同じだが、そこに至るまでの過渡現象は振動的になる可能性がある（LC振動）。ただし、最終的なエネルギー損失の計算には影響しない。

問題108 (近畿大＋防衛大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、RC回路の過渡現象（スイッチ投入直後）、定常状態（十分時間経過後）、そしてコンデンサーの極板間隔を変化させたときの電気的な諸量と仕事、力を問う問題です。段階ごとに物理法則を適用し、丁寧に考察していくことが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くにあたって中心となるのは、以下の物理法則や概念です。

• オームの法則: \(V=IR\)
• コンデンサーの性質:
  • 基本式: \(Q=CV\)
  • スイッチ投入直後（電荷0の場合）: 電圧0、短絡状態とみなせる。
  • 十分時間経過後（直流回路）: 充電完了、電流0、開放状態とみなせる。
  • 平行平板コンデンサーの容量: \(C = \epsilon \frac{S}{d}\) (Sは極板面積、dは極板間隔、\(\epsilon\)は誘電率)
  • 静電エネルギー: \(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\)
• エネルギー保存則: (電池がした仕事) = (静電エネルギーの変化) + (ジュール熱)
• 仕事とエネルギーの関係: (外力がした仕事) = (系のエネルギー変化)
• 電荷保存則: 孤立した導体系では電荷の総和は保存される。

(a) まずSを閉じ、Cを充電する。Sを閉じた瞬間に抵抗Rを流れる電流は (1) である。

思考の道筋とポイント

スイッチSを閉じた直後、コンデンサーCにはまだ電荷が蓄えられていません。電荷がないコンデンサーは、その瞬間には電圧降下を生じさせません（\(V_C = Q/C = 0/C = 0\)）。したがって、回路には電池の起電力\(V\)がすべて抵抗Rにかかる形で電流が流れ始めます。

この設問における重要なポイント

• スイッチを閉じた瞬間、コンデンサーの電荷は0である。
• 電荷0のコンデンサーにかかる電圧は0である。
• この瞬間、コンデンサーは導線（短絡状態）のように振る舞うと考えることができる。
• 回路にかかる全電圧が抵抗Rにかかると考え、オームの法則を適用する。

具体的な解説と立式

スイッチSを閉じた瞬間、コンデンサーCには電荷が蓄えられていないため、コンデンサーCの両端の電位差は \(0\text{V}\) です。
このとき、回路は電池E（起電力\(V\)）と抵抗Rが接続された単純な回路と見なせます。抵抗Rにかかる電圧は電池の起電力\(V\)に等しくなります。
抵抗Rを流れる電流を \(I_0\) とすると、オームの法則より次の関係が成り立ちます。

$$V = I_0 R \quad \cdots ①$$

ここから \(I_0\) を求めます。

式①の両辺を \(R\) で割ると、電流 \(I_0\) が求まります。

$$I_0 = \frac{V}{R}$$

1. スイッチを入れたばかりのとき、コンデンサーはまだ空っぽ（電荷ゼロ）です。
2. 空っぽのコンデンサーは、電気の流れを邪魔しません（電圧ゼロ）。なので、電池の電圧 \(V\) はすべて抵抗 \(R\) にかかります。
3. オームの法則（電圧 = 電流 × 抵抗）から、電流 \(I_0\) は \(V/R\) となります。

Sを閉じた瞬間に抵抗Rを流れる電流は \(\displaystyle\frac{V}{R}\) です。これは、コンデンサーが電荷を持たない初期状態では電圧降下がないため、回路の全電圧が抵抗にかかるという物理的状況を正しく反映しています。

(b) Sを閉じてから十分に時間がたったとき、Cに蓄えられている静電エネルギーは (2) である。またこの充電の過程で電池がした仕事は (3) であり、抵抗Rで発生したジュール熱は (4) である。

思考の道筋とポイント

十分に時間が経過すると、コンデンサーCの充電が完了し、回路に電流は流れなくなります（定常状態）。このとき、コンデンサーCの両端の電位差は電池の起電力\(V\)に等しくなります。
(2) この状態での静電エネルギーを公式から求めます。
(3) 電池がした仕事は、電池を通過した総電気量に起電力を掛けたものです。
(4) エネルギー保存則を用いて、電池がした仕事、コンデンサーに蓄えられたエネルギー、抵抗で発生したジュール熱の関係から求めます。

この設問における重要なポイント

• 十分時間が経過すると、コンデンサーの充電が完了し、回路電流は0になる。
• このとき、コンデンサーの電圧は電池の電圧 \(V\) に等しくなる。
• 静電エネルギーの公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\)。
• 電池がした仕事 \(W_{\text{電池}} = Q_{\text{通過}}V_{\text{電池}}\)。
• エネルギー保存則: \(W_{\text{電池}} = \Delta U + J\)。

具体的な解説と立式

(2) 静電エネルギー \(U\):
十分に時間が経過すると、コンデンサーCは完全に充電され、回路に電流は流れなくなります。このとき、コンデンサーCの両端の電位差は電池の起電力 \(V\) に等しくなります。
コンデンサーの電気容量が \(C\)、電圧が \(V\) なので、蓄えられる静電エネルギー \(U\) は、

$$U = \frac{1}{2}CV^2 \quad \cdots ②$$

(3) 電池がした仕事 \(W_{\text{電池}}\):
コンデンサーが完全に充電されたとき、蓄えられている電気量 \(Q\) は、

$$Q = CV \quad \cdots ③$$

電池がした仕事 \(W_{\text{電池}}\) は、この電気量 \(Q\) を起電力 \(V\) で運んだ仕事に等しいので、

$$W_{\text{電池}} = QV \quad \cdots ④$$

(4) 抵抗Rで発生したジュール熱 \(J\):
エネルギー保存則より、電池がした仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの増加と抵抗で発生したジュール熱の和に等しくなります。初期の静電エネルギーは0なので、増加量は最終的な静電エネルギー \(U\) に等しいです。

$$W_{\text{電池}} = U + J \quad \cdots ⑤$$

ここからジュール熱 \(J\) を求めます。

(2) 静電エネルギー \(U\):
式②がそのまま答えとなります。

$$U = \frac{1}{2}CV^2$$

(3) 電池がした仕事 \(W_{\text{電池}}\):
式③で定義された \(Q=CV\) を式④に代入します。

$$W_{\text{電池}} = (CV)V = CV^2$$

(4) 抵抗Rで発生したジュール熱 \(J\):
式⑤に、(2)で求めた \(U = \frac{1}{2}CV^2\) と (3)で求めた \(W_{\text{電池}} = CV^2\) を代入します。

$$CV^2 = \frac{1}{2}CV^2 + J$$

これを \(J\) について解くと、

$$J = CV^2 – \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2$$

1. (2) たまったエネルギー: コンデンサーが満充電になると、電圧は \(V\) になります。このときコンデンサーにたまるエネルギーは、公式 \(\frac{1}{2}CV^2\) で計算できます。
2. (3) 電池が頑張った仕事: 電池は、コンデンサーに電気 \(Q=CV\) を送り込むために仕事をします。電池がした仕事は「送り込んだ電気の量 × 電池の電圧」なので、\(CV \times V = CV^2\) です。
3. (4) 抵抗で出た熱: 電池がした仕事 (\(CV^2\)) のうち、一部はコンデンサーのエネルギー (\(\frac{1}{2}CV^2\)) になり、残りは抵抗で熱になります。なので、熱 \(J\) は「電池の仕事 – コンデンサーのエネルギー」で、\(CV^2 – \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2\) となります。

(2) Cに蓄えられている静電エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) です。
(3) 電池がした仕事は \(CV^2\) です。
(4) 抵抗Rで発生したジュール熱は \(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) です。
興味深いことに、電池がした仕事の半分がコンデンサーにエネルギーとして蓄えられ、残りの半分がジュール熱として失われることが分かります。これは抵抗を通るコンデンサーの充電過程で一般的に成り立つ関係です。

(c) 次に(b)の状態からSを開いた。最初Cの極板間隔は\(d\)であったが、極板を平行に保ったままゆっくりと\(2d\)に広げた。このときA点の電位は (5) である。また極板を広げるのに必要な仕事は (6) であり、極板間に働く静電気力の大きさ(一定と考えてよい)は (7) と表される。

思考の道筋とポイント

(b)の状態からSを開くと、コンデンサーCは回路から孤立し、蓄えられている電荷 \(Q=CV\) は保存されます。
(5) 極板間隔を \(d\) から \(2d\) に広げると、コンデンサーの電気容量が変化します。電荷が保存される条件のもとで、新しい電圧（A点の電位）を求めます。
(6) 極板を広げるのに必要な仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの変化に等しいです。
(7) 仕事と力の関係 \(W = Fx\) から、静電気力の大きさを求めます。「ゆっくりと広げた」とあるので、加える外力は静電気力とつり合っていると考えられます。

この設問における重要なポイント

• スイッチSを開くと、コンデンサーの電荷 \(Q\) が保存される。
• 平行平板コンデンサーの容量は極板間隔に反比例する (\(C \propto 1/\text{distance}\))。
• 電荷保存のもとで容量が変化したときの新しい電圧は \(V’ = Q/C’\)。
• 外力がした仕事は静電エネルギーの変化に等しい (\(W_{\text{外力}} = \Delta U\))。
• 仕事と力の関係 \(W = Fx\) (ゆっくり動かす場合、外力は静電気力とつり合う)。

具体的な解説と立式

(b)の状態でコンデンサーに蓄えられている電荷 \(Q\) は、式③で \(Q=CV\) です。スイッチSを開くと、この電荷 \(Q\) は保存されます。

(5) A点の電位 \(V_A\):
平行平板コンデンサーの電気容量は、極板間隔に反比例します。元の容量を \(C_0 = C\) (間隔\(d\)) とすると、間隔が \(2d\) になったときの新しい容量 \(C’\) は、

$$C’ = C_0 \frac{d}{2d} \quad \cdots ⑥’$$

電荷 \(Q\) が保存されたまま容量が \(C’\) になったので、新しい電圧 \(V’\) (これがA点の電位 \(V_A\) となる。G点は0Vなので) は、

$$Q = C’V_A \quad \cdots ⑦$$

(6) 極板を広げるのに必要な仕事 \(W_{\text{外力}}\):
外力がした仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの変化に等しいです。
初期の静電エネルギー \(U_{\text{初}}\) は、(b)の状態のエネルギーなので \(U_{\text{初}} = \frac{1}{2}CV^2\) (これは \(\frac{Q^2}{2C}\) とも書ける)。
最終的な静電エネルギー \(U_{\text{後}}\) は、電荷 \(Q\) で容量 \(C’\) なので、

$$U_{\text{後}} = \frac{Q^2}{2C’} \quad \cdots ⑧$$

あるいは、\(U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C’V_A^2\) とも書けます。
仕事 \(W_{\text{外力}}\) は、

$$W_{\text{外力}} = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} \quad \cdots ⑨$$

(7) 静電気力の大きさ \(F\):
極板をゆっくりと \(d\) から \(2d\) まで、つまり距離 \(d\) だけ動かすのに必要な仕事が \(W_{\text{外力}}\) です。
極板間に働く静電気力の大きさを \(F\) とすると、この力に抗して外力がする仕事は (力) \(\times\) (距離) で表せます（力が一定と仮定）。

$$W_{\text{外力}} = F \times (2d – d) \quad \cdots ⑩$$

(5) A点の電位 \(V_A\):
保存される電荷 \(Q = CV\)。
式⑥’より、新しい容量は \(C’ = C_0 \displaystyle\frac{d}{2d} = \frac{1}{2}C_0 = \frac{1}{2}C\)。
式⑦にこれらを代入して \(V_A\) を求めます。

$$CV = \left(\frac{1}{2}C\right)V_A$$

両辺を \(C\) で割り (\(C \neq 0\))、\(V_A\) について解くと、

$$V_A = 2V$$

(6) 極板を広げるのに必要な仕事 \(W_{\text{外力}}\):
初期のエネルギー \(U_{\text{初}} = \frac{1}{2}CV^2\)。
最終のエネルギーを計算します。式⑧に \(Q=CV\) と \(C’=\frac{1}{2}C\) を代入します。

$$U_{\text{後}} = \frac{(CV)^2}{2(\frac{1}{2}C)} = \frac{C^2V^2}{C} = CV^2$$

あるいは、\(U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C’V_A^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}C\right)(2V)^2 = \frac{1}{4}C(4V^2) = CV^2\)。
式⑨に \(U_{\text{初}}\) と \(U_{\text{後}}\) を代入します。

$$W_{\text{外力}} = CV^2 – \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2$$

(7) 静電気力の大きさ \(F\):
式⑩ \(W_{\text{外力}} = F \times (2d – d)\) は \(W_{\text{外力}} = Fd\) となります。
これに (6)で求めた \(W_{\text{外力}} = \frac{1}{2}CV^2\) を代入します。

$$\frac{1}{2}CV^2 = Fd$$

これを \(F\) について解くと、

$$F = \frac{CV^2}{2d}$$

1. (5) A点の新しい電圧: スイッチを開くと、コンデンサーにたまった電気 \(Q=CV\) は逃げません。極板の間隔を \(d\) から \(2d\) に広げると、コンデンサーの性能（容量）は半分 (\(C/2\)) になります。電気の量が変わらずに容量が半分になったので、電圧は \(Q = C’V_A\) の関係から \(V_A = Q/C’ = (CV)/(C/2) = 2V\) と2倍になります。A点の電位は \(2V\) です。
2. (6) 広げる仕事: 仕事はエネルギーの変化です。最初のエネルギーは \(\frac{1}{2}CV^2\)。後のエネルギーは、容量 \(C/2\)、電圧 \(2V\) なので、\(\frac{1}{2}(C/2)(2V)^2 = CV^2\)。仕事は「後のエネルギー – 前のエネルギー」なので、\(CV^2 – \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2\) です。
3. (7) 静電気力: 「仕事 = 力 × 動いた距離」の関係を使います。動いた距離は \(2d-d=d\) です。なので、「力 × \(d\) = \(\frac{1}{2}CV^2\)」。ここから力 \(F\) は \(\frac{CV^2}{2d}\) となります。

(5) A点の電位は \(2V\) です。電荷一定で容量が半分になると電圧は2倍になる、という関係と一致します。
(6) 極板を広げるのに必要な仕事は \(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) です。エネルギーが増加しており、外力が正の仕事をしたことが分かります。
(7) 極板間に働く静電気力の大きさは \(\displaystyle\frac{CV^2}{2d}\) です。この力は極板を引き合う向きに働くため、広げるにはこれに抗する外力が必要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの基本動作:
  • 充電直後（電荷ゼロの場合）は電圧ゼロ。
  • 直流で十分時間経過後は電流ゼロ、電圧は電源電圧に等しくなる（回路構成による）。
• 電荷保存則: 電気的に孤立した系の総電荷は不変。特にスイッチを開いてコンデンサーを孤立させた場合に重要。
• エネルギー保存則と仕事:
  • RC回路でのエネルギー収支: (電池の仕事) = (コンデンサーの静電エネルギー変化) + (ジュール熱)。
  • 外力がする仕事: (外力の仕事) = (系のポテンシャルエネルギーの変化)。ここでは静電エネルギーの変化。
• 平行平板コンデンサーの性質: 容量 \(C = \epsilon S/d\) であり、極板間隔 \(d\) に反比例する。極板間隔を変えると容量が変化する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • RC回路のスイッチ操作が複数回ある問題。各操作で何が保存され、何が変化するかに注意する。
  • コンデンサーに誘電体を挿入・抜去する問題（容量変化と仕事）。
  • 複数のコンデンサーが接続された回路での電荷の再配分。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 時間的変化: 「スイッチを閉じた瞬間」「十分時間が経過したとき」「ゆっくりと」といった言葉に注目し、それぞれどの物理状態（過渡的か定常的か、準静的か）を考えるべきか判断する。
  2. 保存則の適用可能性: スイッチが開いているか閉じているか、系が孤立しているかなどを確認し、電荷保存則やエネルギー保存則が使える場面を見極める。
  3. コンデンサーの状態: 電荷 \(Q\)、電圧 \(V\)、容量 \(C\) のうち、何が既知で何が未知か、操作によって何が変化するかを整理する。
  4. 仕事とエネルギーの関係: 「仕事」が問われたら、どの力がした仕事か（電池か、外力か）、エネルギーのどの形態が変化したのか（静電エネルギーか、熱エネルギーか）を明確にする。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • (a)の「瞬間」では、コンデンサーはまだ充電されていないため電圧を持たない。
  • (b)の「十分時間がたった」では、コンデンサーへの電流流入は停止している。
  • (c)の「Sを開いた」では、コンデンサーの電荷が保存される。
  • (c)の「ゆっくりと広げた」は、準静的過程を示唆し、各瞬間で力のつり合いがほぼ成り立っていると解釈できる。また、運動エネルギーの変化は無視できる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチ投入直後のコンデンサーの扱い: 電圧がかからない（短絡と見なせる）ことを忘れ、最初から抵抗があるかのように考えてしまう。
  • 対策: \(t=0\) で \(Q=0\) なら \(V_C=0\) を徹底する。
• 定常状態での電流: コンデンサーが完全に充電されると電流は流れなくなるが、これを抵抗にも電流が流れないと早合点し、抵抗の役割を無視してしまう（今回の問題では抵抗にも電流は流れないが、回路構成によっては異なる）。
  • 対策: 定常状態ではコンデンサー部分は「断線」していると考える。
• 電池の仕事と静電エネルギーの混同: 電池がした仕事がすべて静電エネルギーになると誤解する（抵抗があればジュール熱が発生する）。
  • 対策: エネルギー保存則 \(W_{\text{電池}} = \Delta U + J\) を常に意識する。
• 極板間隔変化時の保存量: スイッチが開いていれば電荷保存、閉じていれば（電池に繋がっていれば）電圧一定。これを混同する。
  • 対策: スイッチの状態を必ず確認し、何が保存されるかを判断する。
• 仕事の計算での力の扱い: (7)で力が一定と仮定されているが、実際には極板間力は距離によって変化する可能性がある。問題の指示に従うことが重要。
  • 対策: 問題文の仮定や条件（「ゆっくりと」「一定と考えてよい」など）をよく読む。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • (a) スイッチON直後: ダムの水門を開けた直後のように、勢いよく電流が流れ込む。コンデンサーはまだ空のバケツ。
  • (b) 十分時間経過後: バケツ（コンデンサー）が水（電荷）で満杯になり、水の流れ（電流）が止まる。バケツの水位（電圧）は水源（電池）の高さと同じになる。
  • (c) 極板を広げる: 水が入ったバケツの底面積を保ったまま高さを増すようなイメージ。水の量は同じだが、水位（電圧）が上がる。これを持ち上げる（広げる）には力仕事が必要。
• 図示の有効性:
  • 回路図: 各段階でスイッチの状態を明確に図示し、電流の流れや電圧のかかり方を把握する。
  • エネルギーの流れ図: (b)では、電池から供給されたエネルギーが、どのようにコンデンサーのエネルギーとジュール熱に分配されるかを図でイメージすると理解が深まる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(I_0 = V/R\): スイッチ投入直後、コンデンサー電圧が0なので、全電圧が抵抗にかかるという物理的判断からオームの法則を選択。
• \(U = \frac{1}{2}CV^2\): コンデンサーに蓄えられるエネルギーを表す基本公式。定常状態で電圧が\(V\)になることから適用。
• \(W_{\text{電池}} = QV\): 電池が電荷\(Q\)を電位差\(V\)だけ持ち上げる仕事の定義。
• \(W_{\text{電池}} = U+J\): エネルギー保存則。供給されたエネルギーの行方を記述。
• \(C’ = C/2\): 平行平板コンデンサーの容量が間隔に反比例するという法則の適用。
• \(Q = C’V_A\): スイッチ開放後の電荷保存の条件下で、新しい容量と電圧の関係。
• \(W_{\text{外力}} = \Delta U\): 保存力（静電気力）の場で、外力がゆっくり仕事をする場合、その仕事はポテンシャルエネルギー（静電エネルギー）の変化に等しい。
• \(W_{\text{外力}} = Fd\): 仕事の定義。力が一定とみなせる場合の簡単な形。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (a) 初期電流: \(V_C=0 \rightarrow I_0 = V/R\)。
2. (b) 定常状態:
   1. \(V_C = V \rightarrow Q=CV\)。
   2. \(U = \frac{1}{2}CV^2\) (問2)。
   3. \(W_{\text{電池}} = QV = CV^2\) (問3)。
   4. \(J = W_{\text{電池}} – U = \frac{1}{2}CV^2\) (問4)。
3. (c) 極板間隔変更:
   1. S開 \(\rightarrow Q=CV\) で電荷保存。
   2. 間隔 \(d \rightarrow 2d \Rightarrow C \rightarrow C’ = C/2\)。
   3. \(V_A = Q/C’ = (CV)/(C/2) = 2V\) (問5)。
   4. \(U_{\text{初}} = \frac{1}{2}CV^2\), \(U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C’V_A^2 = CV^2\)。
   5. \(W_{\text{外力}} = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = \frac{1}{2}CV^2\) (問6)。
   6. \(F \cdot d = W_{\text{外力}} \rightarrow F = W_{\text{外力}}/d = \frac{CV^2}{2d}\) (問7)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 物理量の定義の再確認: 特に仕事とエネルギーの関係では、どの仕事（電池の仕事か外力の仕事か）をどのエネルギー変化と結びつけているのかを明確にする。
• 文字式の丁寧な扱い: \(C\) と \(C’\)、\(V\) と \(V_A\) (または \(V’\)) など、変化前後の量を区別して式を立て、代入する。
• 単位による検算: 例えば、(7)の力の次元が正しくなっているか（例: エネルギー/距離）。
• 単純な代数ミス防止: 特に分数の計算や、2乗の扱いなど、基本的な数学操作を慎重に行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との整合性:
  • (4) ジュール熱が正であること、そして電池の仕事の一部が熱になるのは自然。
  • (5) 孤立コンデンサーで極板間隔を広げると（容量が減ると）、電荷が一定なら電圧は上昇する。\(V \rightarrow 2V\) は妥当。
  • (6) 極板を引き離すには、極板間の引力に抗して外力が仕事をしなければならないので、\(W_{\text{外力}} > 0\) は妥当。
  • (7) 静電気力は極板を引き合う向き。この力が \(F = Q^2/(2\epsilon S)\) や \(F = (1/2)QE\) （Eは一方の極板が作る電場）といった形とも関連付けられるか。\(F = CV^2/(2d)\) で、\(Q=CV\) なので \(F=QV/(2d)\)。また \(V=Ed\) （ここでEは極板間電場）の関係と、平行平板コンデンサーの \(E=V/d\) （一様電場時）を使うと、\(F = C(Ed)^2/(2d) = CE^2d/2\)。\(C=\epsilon S/d\) を使うと \(F = (\epsilon S/d) E^2 d/2 = (1/2)\epsilon S E^2\)。これは電場のエネルギー密度 \((1/2)\epsilon E^2\) に体積 \(Sd\) を掛けたものの \(1/d\) 倍ではないが、\(U=(1/2)CV^2 = (1/2)(\epsilon S/d)V^2\)。\(F = -\partial U/\partial d\) （電荷一定）で計算すると \(F = (1/2)(\epsilon S/d^2)V^2 = (1/2)CV^2/d\)。今回の問題では \(F=CV^2/(2d)\) となっており、これは \(W=Fd\) という単純な関係を仮定した結果。より正確には、力は距離によって変わるので積分が必要だが、問題文が「一定と考えてよい」としているため、この結果でよい。
• エネルギー収支の確認: 電池が供給したエネルギーが、どこにどれだけ分配されたかを確認する習慣。

問題109 (立教大＋千葉工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平行平板コンデンサーに誘電体を部分的に挿入した際の電気容量の変化、それに伴う静電エネルギーの変化、誘電体に働く力、そして極板上の電荷面密度について考察する問題です。コンデンサーは最初に電荷\(Q\)で充電された後、孤立した状態で操作が行われると解釈して進めます（問題文にその後の電池の接続に関する記述がないため、総電荷\(Q\)が保存されると考えます）。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くにあたって中心となるのは、以下の物理法則や概念です。

• 平行平板コンデンサーの電気容量: \(C = \epsilon \frac{S}{d}\) （\(\epsilon\) は誘電率、\(S\) は極板面積、\(d\) は極板間隔）。真空の場合は \(\epsilon = \epsilon_0\)、比誘電率 \(\epsilon_r\) の誘電体中の場合は \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\)。
• コンデンサーの並列接続: 誘電体を一部挿入したコンデンサーは、誘電体部分と真空部分が並列に接続されたものとみなせる。並列接続の合成容量は各容量の和 (\(C_{\text{合成}} = C_1 + C_2\))。
• コンデンサーの静電エネルギー: \(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\)。孤立系で電荷\(Q\)が一定の場合、\(U = \frac{Q^2}{2C}\) の形が使いやすい。
• 保存力とポテンシャルエネルギー: 静電気力は保存力であり、系はポテンシャルエネルギー（静電エネルギー）が減少する向きに力を受ける。\(F_x = -\frac{dU}{dx}\)。
• 電場と電位、電荷面密度: 電圧が等しい並列部分では、電場 \(E = V/d\)。電荷面密度 \(\sigma = Q’/A’\) (\(Q’\)は部分電荷、\(A’\)は部分面積)。また、導体表面の電場と面密度の関係 \(E = \sigma/\epsilon\)。電束密度 \(D=\epsilon E = \sigma_{\text{真電荷}}\)。

以降、模範解答の表記に合わせて、誘電体部分の容量を \(C_1\)、真空部分の容量を \(C_2\)、全体の容量を \(C\) とします。

問1 誘電体部分の電気容量 (\(C_1\))

思考の道筋とポイント

誘電体が挿入された部分のコンデンサーを考えます。この部分の極板面積、極板間隔、そして誘電体の誘電率を用いて、平行平板コンデンサーの電気容量の公式を適用します。

この設問における重要なポイント

• 誘電体部分の寸法を正確に把握する（面積 \(lx\)、間隔 \(d\)）。
• 誘電体中の誘電率が \(\epsilon_r \epsilon_0\) であること。
• 平行平板コンデンサーの容量の公式 \(C = \epsilon S/d\) を適用する。

具体的な解説と立式

誘電体が挿入された部分のコンデンサーについて考えます。
極板の奥行き（誘電体が挿入される方向と垂直な方向の長さ）は \(l\) [m] です。
誘電体は距離 \(x\) [m] だけ挿入されているので、誘電体部分の極板面積 \(S_1\) は、\(S_1 = lx \text{ [m}^2\text{]}\) です。
極板間隔は \(d\) [m] です。
誘電体の比誘電率は \(\epsilon_r\) なので、誘電体部分の誘電率 \(\epsilon_1\) は、\(\epsilon_1 = \epsilon_r \epsilon_0 \text{ [F/m]}\) です。
したがって、誘電体部分の電気容量 \(C_1\) は、平行平板コンデンサーの公式を用いて次のように表せます。

$$C_1 = \epsilon_1 \frac{S_1}{d} \quad \cdots ①$$

式①に \(S_1 = lx\) および \(\epsilon_1 = \epsilon_r \epsilon_0\) を代入します。

$$C_1 = (\epsilon_r \epsilon_0) \frac{lx}{d} = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 lx}{d}$$

これは模範解答の \(C_1 = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 lx}{d}\) と一致します。

1. 誘電体が入っている部分だけを一つのコンデンサーとして見ます。
2. この部分の面積は、横の長さが \(l\)、誘電体の挿入長が \(x\) なので、\(lx\) です。
3. 極板間の距離は \(d\) です。
4. 誘電体中の「電気のためやすさ（誘電率）」は、真空のときの \(\epsilon_r\) 倍なので、\(\epsilon_r \epsilon_0\) です。
5. コンデンサーの容量は「電気のためやすさ × 面積 ÷ 距離」なので、\(\epsilon_r \epsilon_0 \times \frac{lx}{d}\) となります。

誘電体部分の電気容量は \(\displaystyle\frac{\epsilon_r \epsilon_0 lx}{d}\) [F] です。次元も [F/m] \(\cdot\) [m²]/[m] = [F] となり正しいです。

問2 真空部分の電気容量 (\(C_2\))

思考の道筋とポイント

誘電体が挿入されていない真空部分のコンデンサーを考えます。この部分の極板面積、極板間隔、そして真空の誘電率を用いて、平行平板コンデンサーの電気容量の公式を適用します。

この設問における重要なポイント

• 真空部分の寸法を正確に把握する（面積 \(l(l-x)\)、間隔 \(d\)）。
• 真空の誘電率が \(\epsilon_0\) であること。
• 平行平板コンデンサーの容量の公式 \(C = \epsilon_0 S/d\) を適用する。

具体的な解説と立式

誘電体が挿入されていない真空部分のコンデンサーについて考えます。
極板全体の奥行きは \(l\) [m] で、誘電体が \(x\) [m] 挿入されているため、真空部分の奥行きは \((l-x)\) [m] です。
極板のもう一方の辺の長さは \(l\) [m] なので、真空部分の極板面積 \(S_2\) は、\(S_2 = l(l-x) \text{ [m}^2\text{]}\) です。
極板間隔は \(d\) [m] です。
真空の誘電率は \(\epsilon_0\) [F/m] です。
したがって、真空部分の電気容量 \(C_2\) は、平行平板コンデンサーの公式を用いて次のように表せます。

$$C_2 = \epsilon_0 \frac{S_2}{d} \quad \cdots ②$$

式②に \(S_2 = l(l-x)\) を代入します。

$$C_2 = \epsilon_0 \frac{l(l-x)}{d} = \frac{\epsilon_0 l(l-x)}{d}$$

これは模範解答の \(C_2 = \frac{\epsilon_0 l(l-x)}{d}\) と一致します。

1. 誘電体が入っていない、真空のままの部分だけを一つのコンデンサーとして見ます。
2. この部分の面積を考えます。極板の一辺は \(l\) です。誘電体が \(x\) だけ入っているので、真空部分の「挿入方向の長さ」は \(l-x\) です。なので、面積は \(l(l-x)\) です。
3. 極板間の距離は \(d\) です。
4. 真空の「電気のためやすさ（誘電率）」は \(\epsilon_0\) です。
5. コンデンサーの容量は「電気のためやすさ × 面積 ÷ 距離」なので、\(\epsilon_0 \times \frac{l(l-x)}{d}\) となります。

真空部分の電気容量は \(\displaystyle\frac{\epsilon_0 l(l-x)}{d}\) [F] です。次元も [F/m] \(\cdot\) [m²]/[m] = [F] となり正しいです。

問3 全体の電気容量 (\(C\))

思考の道筋とポイント

誘電体が一部挿入されたコンデンサー全体を考えます。誘電体部分は問1で計算した容量 \(C_1\) を持ち、真空部分は問2で計算した容量 \(C_2\) を持ちます。これらの二つの部分は、極板Aと極板Bに対して並列に接続されていると見なすことができます。なぜなら、両部分とも極板Aと極板Bという共通の電位差を持つ部分に接続されているからです。
並列接続されたコンデンサーの合成容量は、各部分の電気容量の和となります。

この設問における重要なポイント

• 誘電体部分と真空部分が並列接続とみなせること。
• 並列接続の合成容量は各容量の和であること。

具体的な解説と立式

誘電体部分のコンデンサー（容量 \(C_1\)）と真空部分のコンデンサー（容量 \(C_2\)）は、極板Aと極板Bの間に並列に接続されていると考えられます。
したがって、全体の電気容量 \(C\) は、これらの和として表されます。

$$C = C_1 + C_2 \quad \cdots ③$$

式③に、問1で求めた \(C_1 = \displaystyle\frac{\epsilon_r \epsilon_0 lx}{d}\) と問2で求めた \(C_2 = \displaystyle\frac{\epsilon_0 l(l-x)}{d}\) を代入します。

$$C = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 lx}{d} + \frac{\epsilon_0 l(l-x)}{d}$$

共通因子 \(\displaystyle\frac{\epsilon_0 l}{d}\) でくくると、

$$C = \frac{\epsilon_0 l}{d} \{\epsilon_r x + (l-x)\}$$$$C = \frac{\epsilon_0 l}{d} \{l + \epsilon_r x – x\}$$$$C = \frac{\epsilon_0 l}{d} \{l + (\epsilon_r – 1)x\}$$

これは模範解答の \(C = \frac{\epsilon_0 l}{d}[l+(\epsilon_r-1)x]\) と一致します。

1. 誘電体が入っている部分と、入っていない真空の部分は、横に並んでいるので「並列接続」と考えられます。
2. 並列接続のコンデンサー全体の容量は、それぞれの部分の容量を単純に足し算すれば求まります。
3. (1)で求めた誘電体部分の容量と、(2)で求めた真空部分の容量を足し合わせます。
4. \(\displaystyle C = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 lx}{d} + \frac{\epsilon_0 l(l-x)}{d}\)。これを整理すると \(\displaystyle \frac{\epsilon_0 l}{d} (l + (\epsilon_r – 1)x)\) となります。

全体の電気容量は \(\displaystyle\frac{\epsilon_0 l}{d} (l + (\epsilon_r – 1)x)\) [F] です。
\(x=0\) のとき（誘電体なし）は \(C = \displaystyle\frac{\epsilon_0 l^2}{d}\) となり、これは面積 \(l^2\) の平行平板コンデンサーの容量に一致します。
\(x=l\) のとき（全体が誘電体）は \(C = \displaystyle\frac{\epsilon_0 l}{d} (l + (\epsilon_r – 1)l) = \frac{\epsilon_0 l^2}{d} (1 + \epsilon_r – 1) = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 l^2}{d}\) となり、これも誘電率 \(\epsilon_r \epsilon_0\) で満たされたコンデンサーの容量と一致し、妥当です。

問4 静電エネルギー (\(U\))

思考の道筋とポイント

コンデンサーは最初に電荷 \(Q\) で充電された後、操作が行われていると解釈します。この場合、コンデンサーは孤立しており、全体の電荷 \(Q\) は保存されます。
全体の電気容量 \(C\) は問3で求めました。保存される電荷 \(Q\) と全体の電気容量 \(C\) を用いて、静電エネルギー \(U\) を \(U = \frac{Q^2}{2C}\) の公式から求めます。

この設問における重要なポイント

• コンデンサーが孤立しており、電荷 \(Q\) が保存されること。
• 全体の電気容量 \(C\) (問3の結果) を用いること。
• 静電エネルギーの公式 \(U = \frac{Q^2}{2C}\) を適用すること。

具体的な解説と立式

コンデンサーに蓄えられている総電荷は \(Q\) で一定です。
問3で求めた全体の電気容量 \(C\) は、 \(C = \displaystyle\frac{\epsilon_0 l}{d} (l + (\epsilon_r – 1)x)\) です。
このときの静電エネルギー \(U\) は、次の式で与えられます。

$$U = \frac{Q^2}{2C} \quad \cdots ④$$

式④に \(C = \displaystyle\frac{\epsilon_0 l}{d} (l + (\epsilon_r – 1)x)\) を代入します。

$$U = \frac{Q^2}{2 \left( \frac{\epsilon_0 l}{d} (l + (\epsilon_r – 1)x) \right)}$$

整理すると、

$$U = \frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 l (l + (\epsilon_r – 1)x)}$$

これは模範解答の \(U = \frac{Q^2 d}{2\epsilon_0 l[l+(\epsilon_r-1)x]}\) と一致します。

1. コンデンサーに蓄えられた電気の量 \(Q\) は変わりません。
2. 全体の電気容量 \(C\) は(3)で求めました。
3. エネルギーは、公式 \(U = \frac{Q^2}{2C}\) を使って計算できます。
4. (3)で求めた \(C\) を代入すると、エネルギーが \(x\) の関数として求まります。

静電エネルギーは \(\displaystyle\frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 l (l + (\epsilon_r – 1)x)}\) [J] です。
\(x\) が増えると、分母の \( (l + (\epsilon_r – 1)x) \) の部分が、\(\epsilon_r > 1\) の場合（通常の誘電体）は増加するため、静電エネルギー \(U\) は減少します。

問5 静電エネルギーの変化

思考の道筋とポイント

問4で求めた静電エネルギー \(U\) の式が、挿入長 \(x\) に対してどのように変化するかを調べます。通常の誘電体では比誘電率 \(\epsilon_r > 1\) であることを考慮します。

この設問における重要なポイント

• 問4で得られた \(U\) の表式を吟味する。
• \(\epsilon_r > 1\) であること。
• \(x\) が増加したときの \(U\) の増減を判断する。

具体的な解説と立式

問4で求めた静電エネルギー \(U\) は、

$$U = \frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 l (l + (\epsilon_r – 1)x)}$$

ここで、\(Q, d, \epsilon_0, l\) は正の定数です。変数 \(x\) は \(0 \le x \le l\) の範囲で変化します。
誘電体の比誘電率 \(\epsilon_r\) は通常 \(1\) より大きい (\(\epsilon_r > 1\)) ため、係数 \((\epsilon_r – 1)\) は正です。
したがって、\(x\) が増加すると、分母の \( (l + (\epsilon_r – 1)x) \) の値は増加します。
分母が増加し、分子が一定であるため、分数全体の値としての \(U\) は減少します。

上記「具体的な解説と立式」の考察がそのまま結論を導きます。
\(\epsilon_r – 1 > 0\) であるため、\(x\) が増加すると \(l + (\epsilon_r – 1)x\) は増加します。
\(U\) はこの項に反比例するため、\(U\) は減少します。
これは模範解答の「Uはxを増すと減少することが分かる(\(\epsilon_r > 1\))」と一致します。

1. エネルギーの式 \(U = \frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 l (l + (\epsilon_r – 1)x)}\) を見ます。
2. 誘電体の性質として、\(\epsilon_r\) は1より大きいので、\((\epsilon_r – 1)\) はプラスの数です。
3. \(x\) (誘電体の挿入長) が大きくなると、式の分母の中の \((\epsilon_r – 1)x\) も大きくなります。
4. その結果、分母全体 \(l + (\epsilon_r – 1)x\) も大きくなります。
5. 分数が一定の分子を持ち、分母が大きくなると、分数全体の価値は小さくなります。なので、エネルギー \(U\) は減少します。

\(x\) を増すと、静電エネルギーは減少します。これは、容量が増加 (\(C\) が \(x\) と共に増加) し、電荷 \(Q\) が一定であるため、\(U=Q^2/(2C)\) からエネルギーが減少するという一般的な性質と一致します。

問6 誘電体に働く静電気力の向き

思考の道筋とポイント

孤立した系では、物体はポテンシャルエネルギーが減少する向きに力を受けます。問5で、誘電体の挿入長 \(x\) が増加すると静電エネルギー \(U\) が減少することが分かりました。 このことから、誘電体に働く静電気力の向きを判断します。

この設問における重要なポイント

• 系はポテンシャルエネルギーが低い状態を好む（安定な平衡）。
• ポテンシャルエネルギーが減少する方向に力が働く (\(F_x = -dU/dx\))。
• 問5の結果（\(x\) が増すと \(U\) が減少）を利用する。

具体的な解説と立式

静電エネルギー \(U\) は系のポテンシャルエネルギーの一種です。一般に、保存力が働く系は、ポテンシャルエネルギーが減少する方向に力を受け、より安定な状態へ移行しようとします。
数学的には、力 \(F_x\) とポテンシャルエネルギー \(U(x)\) の関係は \(F_x = -\displaystyle\frac{dU}{dx}\) で表されます。
問5で、\(x\) が増加すると \(U\) は減少することが分かりました。 これは、\(U\) の \(x\) に対する変化率 \(\displaystyle\frac{dU}{dx}\) が負であることを意味します (\(\displaystyle\frac{dU}{dx} < 0\))。
したがって、誘電体に働く静電気力 \(F_x\) は、

$$F_x = – \left( \frac{dU}{dx} \right)$$

ここで \(\frac{dU}{dx} < 0\) なので、\(F_x\) は正となります。これは、力が \(x\) が増加する向きに働くことを示します。

上記「具体的な解説と立式」の考察が結論を導きます。
\(x\) が増加すると \(U\) が減少するので、\(\displaystyle\frac{dU}{dx} < 0\)。 よって、\(F_x = -\displaystyle\frac{dU}{dx}\) は正の値を取ります。 これは、静電気力が \(x\) の正の向き（誘電体がさらに挿入される向き）に働くことを示しています。 模範解答では、「もしも、外力を右向きに加えていたとしたら、外力の仕事は正であり、その分Uが増すはずである。しかし、Uは減少しているので、外力は左向きに加えていることになる。したがって静電気力は右向き、つまりxが増加する方向に働いていることが分かる。」と説明されています。 これは、\(W_{\text{外力}} = \Delta U\) の関係で、もし外力が\(x\)の増加方向に働いて\(dx>0\)で\(W_{\text{外力}}>0\)なら\(dU>0\)となるはずが、実際には\(dU<0\)なので、\(x\)を増加させる自発的な力（静電気力）がその向きに働いている、という論理です。

1. 物は、エネルギーが一番低い状態になりたがります。
2. (5)で、誘電体を奥に差し込む（\(x\)を増やす）と、コンデンサーのエネルギーが減ることが分かりました。
3. つまり、誘電体はエネルギーがより低くなる方向、すなわち奥に引き込まれる方向に力を受けます。
4. したがって、力は \(x\) が「増加する」向きに働きます。

誘電体には \(x\) が増加する方向（さらに挿入される方向）に静電気力が働くことが分かります。 これは、誘電体がコンデンサー内に引き込まれる現象として知られています。

問7 電荷の面密度の比

思考の道筋とポイント

コンデンサーは電荷 \(Q\) で孤立しているため、極板間の電位差 \(V\) は \(V = Q/C\) となります (\(C\)は全体の容量)。誘電体部分と真空部分は並列接続なので、両部分にかかる電位差は等しく、この \(V\) になります。
各部分の電場 \(E\) は \(E=V/d\) （極板間隔 \(d\) は共通）。
極板上の真電荷の面密度 \(\sigma\) は、その部分の電束密度 \(D\) に等しく、\(D = \epsilon E\) です。
ここで \(\epsilon\) は各部分の誘電率です（真空部分は \(\epsilon_0\)、誘電体部分は \(\epsilon_r \epsilon_0\)）。
これらを用いて、誘電体部分と真空部分の電荷面密度の比を求めます。
模範解答では、各部分の電荷を \(Q_1 = C_1 V\), \(Q_2 = C_2 V\) とし、それぞれの面積で割って面密度を出し、その比を取る方法を示しています。

この設問における重要なポイント

• 並列接続された部分は電位差が等しい。
• 電場 \(E = V/d\)。
• 電荷面密度 \(\sigma = D = \epsilon E\)、または \(\sigma = Q’/S’\) （\(Q’\)は部分電荷、\(S’\)は部分面積）。

具体的な解説と立式

誘電体部分のコンデンサー (\(C_1\)) と真空部分のコンデンサー (\(C_2\)) は並列接続されており、両者にかかる電位差は等しいです。この電位差を \(V\) とします。
誘電体部分の電荷面密度を \(\sigma_1\)、真空部分の電荷面密度を \(\sigma_2\) とします。

方法1：電場から求める
真空部分において：電場 \(E_2 = \displaystyle\frac{V}{d}\)。電荷面密度 \(\sigma_2\) は、

$$\sigma_2 = \epsilon_0 E_2 \quad \cdots ⑤$$

誘電体部分において：電場 \(E_1 = \displaystyle\frac{V}{d}\)。電荷面密度 \(\sigma_1\) は、

$$\sigma_1 = \epsilon_r \epsilon_0 E_1 \quad \cdots ⑥$$

求めるのは、\(\sigma_1 : \sigma_2\) です。

式⑤より \(\sigma_2 = \epsilon_0 \frac{V}{d}\)。
式⑥より \(\sigma_1 = \epsilon_r \epsilon_0 \frac{V}{d}\)。
これらの比を取ります。

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 \frac{V}{d}}{\epsilon_0 \frac{V}{d}}$$

共通項 \(\epsilon_0 \frac{V}{d}\) が約分されるので、

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \epsilon_r$$

したがって、電荷面密度の比は、

$$\sigma_1 : \sigma_2 = \epsilon_r : 1$$

模範解答のアプローチ（\(Q=CV\) と \(\sigma=Q/S\) を使う方法）でも同じ結果が得られます。
\(\sigma_1 = \frac{Q_1}{S_1} = \frac{C_1 V}{S_1}\), \(\sigma_2 = \frac{Q_2}{S_2} = \frac{C_2 V}{S_2}\)。
\(C_1 = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 S_1}{d}\), \(C_2 = \frac{\epsilon_0 S_2}{d}\) を代入すると、
\(\sigma_1 = \frac{(\epsilon_r \epsilon_0 S_1/d)V}{S_1} = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 V}{d}\)
\(\sigma_2 = \frac{(\epsilon_0 S_2/d)V}{S_2} = \frac{\epsilon_0 V}{d}\)
よって、\(\sigma_1 : \sigma_2 = \epsilon_r : 1\)。

1. 誘電体部分も真空部分も、極板間の電圧は同じ \(V\)、距離も同じ \(d\) です。なので、電場の強さ \(E=V/d\) も両部分で同じです。
2. 極板にどれだけ電気が密集しているか（面密度 \(\sigma\)）は、「その場所の電気のためやすさ（誘電率 \(\epsilon\)）」と「電場の強さ \(E\)」の掛け算 (\(\sigma = \epsilon E\)) で決まります。
3. 真空部分では誘電率が \(\epsilon_0\) なので、\(\sigma_{\text{真空}} = \epsilon_0 E\)。
4. 誘電体部分では誘電率が \(\epsilon_r \epsilon_0\) なので、\(\sigma_{\text{誘電体}} = \epsilon_r \epsilon_0 E\)。
5. この2つの比をとると、\(\sigma_{\text{誘電体}} : \sigma_{\text{真空}} = \epsilon_r \epsilon_0 E : \epsilon_0 E = \epsilon_r : 1\) となります。

極板上の電荷の面密度は、誘電体部分と真空部分では \(\epsilon_r : 1\) の比となります。誘電率が大きい部分ほど、同じ電場（同じ電圧・同じ距離なので）に対してより多くの電荷が極板表面に現れることを示しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 平行平板コンデンサーの電気容量: \(C = \epsilon S/d\)。特に、誘電体を挿入した部分と真空部分で誘電率\(\epsilon\)が異なること、そして面積\(S\)が挿入長\(x\)によって変わることを理解する。
• コンデンサーの並列接続: 誘電体を一部挿入した状態は、異なる性質を持つ2つのコンデンサーが並列に接続されていると見なせる。合成容量は単純和。
• 電荷保存則: 一度充電されて孤立したコンデンサーの総電荷は、その後の形状変化（誘電体挿入など）によらず一定に保たれる。
• 静電エネルギーと力:
  • 電荷\(Q\)が一定の場合の静電エネルギー \(U=Q^2/(2C)\)。
  • 系はポテンシャルエネルギーが減少する向きに力を受ける (\(F_x = -dU/dx\))。誘電体は静電エネルギーが小さくなる方向（通常は引き込まれる方向）に力を受ける。
• 電場と電荷面密度: 並列接続された部分は電位差が共通。電場 \(E=V/d\)。極板上の真電荷面密度 \(\sigma = D = \epsilon E\)。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 電池に接続したまま誘電体を挿入・抜去する問題（この場合は電圧が一定）。
  • 複数の誘電体を層状または並列に挿入する問題。
  • コンデンサーに働く力を計算し、その力で誘電体が運動する場合の力学との融合問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 系の状態変化: 操作（誘電体の挿入など）の前と後で、何が一定に保たれるか（電荷Qか電圧Vか）をまず確認する。問題文に「充電されている」とだけあり、その後の電池の接続が不明な場合は、孤立系（Q一定）と考えるのが自然。
  2. 容量の計算: 複雑な形状のコンデンサーは、単純な形状のコンデンサーの組み合わせ（直列または並列）としてモデル化できないか考える。
  3. エネルギー変化と力: 「力」や「仕事」が問われたら、エネルギーの観点からアプローチできないか検討する。\(F = -dU/dx\) や \(W = \Delta U\) は強力なツール。
  4. 電場と電位の関係: 電荷面密度が問われた場合は、まず電位差や電場を求め、そこから \(\sigma = \epsilon E\) の関係に繋げる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• Q一定かV一定かの混同: 誘電体を操作する際に、コンデンサーが電池に接続されたままか（V一定）、孤立しているか（Q一定）で、エネルギー変化や力の計算方法が変わる。
  • 対策: 問題文を注意深く読み、コンデンサーが置かれている電気的状況（電池との接続の有無）を最初に確認する。
• 並列接続の見落とし: 誘電体を一部挿入したコンデンサーを、単一のコンデンサーとして扱おうとしてしまう。
  • 対策: 電位が共通な部分（極板）に着目し、並列接続の定義に立ち返る。
• 誘電率の扱い: 比誘電率 \(\epsilon_r\) と誘電率 \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\) を混同する。
  • 対策: 公式 \(C = \epsilon S/d\) の \(\epsilon\) は絶対誘電率であることを意識する。
• \(F = -dU/dx\) の符号: エネルギーが減少する方向に力が働く。\(dU/dx\) の符号と力の向きの関係を正確に理解する。
  • 対策: 具体的な状況で、誘電体が引き込まれるか反発するかを物理的にイメージし、計算結果と照らし合わせる。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 誘電体挿入: 誘電体は電気を蓄えやすくする「座布団」のようなもの。同じ電荷でも、座布団があればコンデンサーは「楽」になり（エネルギーが下がる）、電圧も下がる（Q一定なら）。あるいは、同じ電圧ならより多くの電荷を蓄えられる（V一定なら）。
  • 並列接続: 幅の広い川が、途中で性質の違う２つの水路に分かれるイメージ。両水路の水位差（電圧）は同じだが、流れやすさ（電気容量）に応じて水の量（電荷）が分かれる。
  • 誘電体に働く力: コンデンサーは誘電体を「吸い込もう」とする。これは、誘電体が入った方が系全体のエネルギーが低くなり安定するため。
• 図示の有効性:
  • 問題の図2は、コンデンサーが誘電体部分と真空部分の2つの並列なコンデンサーに分割できることを視覚的に示している。
  • 電荷の分布を考える際、極板と誘電体の境界面に現れる分極電荷を（概念的に）描いてみると、なぜ誘電率が大きい部分の真電荷面密度が大きくなるのか理解しやすくなる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(C = \epsilon S/d\): 平行平板コンデンサーの形状と材質から容量を決定する基本式。
• 並列合成容量 \(C = C_1+C_2\): 各部分が同じ電位差を共有しているため、電荷が単純加算され、結果として容量も単純加算される。
• \(U = Q^2/(2C)\): 電荷\(Q\)が一定の系でエネルギーを議論する場合、\(C\)の変化が直接\(U\)にどう影響するかが見やすいため選択。(\(U = (1/2)CV^2\)を使う場合は、まず\(V=Q/C\)で\(V\)の変化を求める必要がある。)
• \(F_x = -dU/dx\): 保存力場における力とポテンシャルエネルギーの一般的な関係。静電気力も保存力なので適用可能。
• \(\sigma = \epsilon E\): 物質中の電磁気学における構成方程式の一つ \(D = \epsilon E\) と、導体表面での境界条件 \(D_n = \sigma\) (またはガウスの法則 \( \oint D \cdot dA = Q_{\text{free,in}} \)) から導かれる、電場と真電荷面密度の関係。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)-(3) 容量計算:
   1. 誘電体部分の面積 \(S_1 = lx\)、真空部分の面積 \(S_2 = l(l-x)\) を特定。
   2. 各部分の容量 \(C_1 = \epsilon_r \epsilon_0 S_1/d\), \(C_2 = \epsilon_0 S_2/d\) を計算 (問1, 問2)。
   3. 並列接続なので \(C = C_1 + C_2\) で全体の容量を計算 (問3)。
2. (4)-(6) エネルギーと力 (Q一定と仮定):
   1. 初期電荷 \(Q\) が保存される。
   2. 静電エネルギー \(U(x) = Q^2 / (2C(x))\) を計算 (問4)。
   3. \(U(x)\) の \(x\) に対する増減を調べる (\(\epsilon_r > 1\) を考慮) (問5)。
   4. \(F_x = -dU/dx\) の符号から力の向きを判断 (問6)。
3. (7) 電荷面密度:
   1. 並列なので両部分の電圧 \(V = Q/C\) は等しい。
   2. 各部分の電場 \(E = V/d\) も等しい。
   3. \(\sigma_{1} = \epsilon_r \epsilon_0 E\), \(\sigma_{2} = \epsilon_0 E\)。
   4. 比 \(\sigma_{1} / \sigma_{2}\) を計算 (問7)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: \(C\) (全体の容量) のように複数の項を含む場合、共通因数でくくるなどして見通しを良くする。特に \(U\) の式で逆数になるので注意。
• \(\epsilon_r\) と \(\epsilon_0\) の区別: どちらを使うべきか、常に意識する。
• \(x\) の依存性: どの物理量が \(x\) の関数になっているかを明確にする。\(U\) や \(C\) (全体の容量) が \(x\) に依存する。
• 微分の計算 (力の計算): \(F_x = -dU/dx\) を実際に計算する場合は、商の微分公式などが必要になることがある（本問では向きだけなので定性的な判断）。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との整合性:
  • (3) \(x\) が増える（誘電体が多く入る）と \(C\) (全体の容量) は増加するはず (\(\epsilon_r > 1\) なので)。式の形がそうなっているか確認。
  • (5) 容量が増えるとエネルギーは減る（\(Q\)一定なら）。これは物理的に妥当（系はエネルギーが低い方を好む）。
  • (6) エネルギーが減る方向に力が働くので、誘電体は引き込まれる。これも経験的事実と合う。
  • (7) 誘電率が大きい方が電荷をより多く引き寄せる（分極しやすいため、結果として極板上の真電荷も多くなる）。\(\epsilon_r > 1\) なら \(\sigma_{1} > \sigma_{2}\) となるのは妥当。
• 極端な場合の確認:
  • \(x=0\) (誘電体なし): \(C = \epsilon_0 l^2/d\), \(U = Q^2d/(2\epsilon_0 l^2)\)。これは元の真空コンデンサーの値と一致するか。
  • \(x=l\) (完全に誘電体): \(C = \epsilon_r \epsilon_0 l^2/d\), \(U = Q^2d/(2\epsilon_r \epsilon_0 l^2)\)。これも完全に誘電体で満たされたコンデンサーの値と一致するか。
  • \(\epsilon_r = 1\) (誘電体が真空と同じ): \(C\) (全体の容量) の式で \(x\) の項が消え、\(U\) も \(x\) に依存しなくなるか。このとき力は働かないはず。

問題110 (愛知工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、複数の金属板で構成されたコンデンサー系に関するものです。スイッチの操作による初期状態の設定後、中央の金属板Dを動かすことで静電容量やエネルギーがどう変化するか、またそれに伴う仕事や力を考察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くにあたって中心となるのは、以下の物理法則や概念です。

• 平行平板コンデンサーの電気容量: \(C = \epsilon_0 S/d_{\text{gap}}\) （\(S\) は極板面積、\(d_{\text{gap}}\) は極板間隔）。
• 導体の性質: 導体内部の電場は0であり、導体は等電位。
• 電位と電場: 一様な電場 \(E\) の中では、距離 \(x\) だけ離れた2点間の電位差は \(Ex\)。電位のグラフの傾きが電場を表す（\(E = -dV/dx\))。
• コンデンサーの電荷: \(Q=CV\)。
• 電荷保存則: 電気的に孤立した導体の総電荷は保存される。
• 静電エネルギー: \(U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}\)。
• 仕事とエネルギーの関係: 外力がする仕事は、系のエネルギー変化に等しい（運動エネルギーの変化がない場合）。

問1 Dの面D₁, D₂に現れる電荷

思考の道筋とポイント

スイッチK₁, K₂を閉じると、各金属板の電位が定まります。Aは電池の正極に接続され、G（接地点、電位0）は電池の負極に接続されているため、Aの電位は \(V\) となります。K₂によりDもGに接続されるため、Dの電位は \(0\text{V}\) です。極板Bは図からは直接接地されていませんが、模範解答のD₂の電荷が\(-CV\)となることから、この初期状態では極板Bの電位が\(V\)になっていると解釈します。

この設問における重要なポイント

• スイッチが閉じられたときの各極板の電位を \(V_A=V, V_D=0, V_B=V\) と設定する。
• A-D₁間、D₂-B間の各空間が形成するコンデンサーの電気容量を計算する。
• 各コンデンサーにかかる電圧から、極板Dの対向面に現れる電荷を求める。

具体的な解説と立式

初期状態における各点の電位を以下のように設定します。

• 極板Aの電位: \(V_A = V\)
• 極板Dの電位: \(V_D = 0\text{V}\)
• 極板Bの電位: \(V_B = V\)

コンデンサーAD₁について：極板間隔 \(2d\)、電気容量 \(C_{AD1} = \epsilon_0 S / (2d) = \frac{1}{2}C\)。
面D₁に現れる電荷 \(Q_{D1}\) は、

$$Q_{D1} = -C_{AD1} (V_A – V_D) \quad \cdots ①$$

コンデンサーD₂Bについて：極板間隔 \(d\)、電気容量 \(C_{D2B} = \epsilon_0 S / d = C\)。
面D₂に現れる電荷 \(Q_{D2}\) は、

$$Q_{D2} = C_{D2B} (V_D – V_B) \quad \cdots ②$$

各値を代入します: \(V_A=V, V_D=0, V_B=V\), \(C_{AD1} = C/2\), \(C_{D2B} = C\)。

式①より、D₁に現れる電荷 \(Q_{D1}\) は、

$$Q_{D1} = -\frac{C}{2} (V – 0) = -\frac{1}{2}CV$$

式②より、D₂に現れる電荷 \(Q_{D2}\) は、

$$Q_{D2} = C (0 – V) = -CV$$

1. 最初の状態ではA点の電圧が\(V\)、D点の電圧が\(0\text{V}\)、そしてB点の電圧が\(V\)になっていると考えます。
2. AとDの間: 距離\(2d\)、容量は通常の半分(\(C/2\))。電圧差は\(V-0=V\)。DのA側(D₁)には\(-(C/2)V\)の電気がたまります。
3. DとBの間: 距離\(d\)、容量は\(C\)。電圧差は\(0-V=-V\)。DのB側(D₂)には\(C \times (-V) = -CV\)の電気がたまります。

Dの面D₁に現れる電荷は \(-\displaystyle\frac{1}{2}CV\)、面D₂に現れる電荷は \(-CV\) です。

問2 電位のグラフ

思考の道筋とポイント

直線LM（Lは極板A表面、Mは極板B表面）上の各点の電位をグラフにします。
問1の解釈に基づき、A点の電位は \(V\)、D点の電位は \(0\text{V}\)、B点の電位は \(V\) です。
コンデンサーの極板間（真空の部分）では、電場は一様であるため、電位は直線的に変化します。金属板Dの内部は等電位です。

この設問における重要なポイント

• 各極板および導体内部の電位を把握する (\(V_A=V, V_D=0, V_B=V\))。
• 極板間の空間では電位が直線的に変化すること。
• 導体Dの内部は等電位であること。
• 距離の区切り（A-D₁間: \(2d\)、Dの厚さ: \(d\)、D₂-B間: \(d\)）に注意する。

具体的な解説と立式

Lからの距離を横軸 \(y\) とします。電位設定 \(V_A=V, V_D=0, V_B=V\) に基づきます。

• \(y=0\) (L点, 極板A表面): 電位 \(V_A = V\)。
• \(0 < y < 2d\) (A-D₁間): 電位は \(V\) から \(0\text{V}\) へ直線的に減少。
• \(y=2d\) (面D₁表面): 電位 \(V_D = 0\text{V}\)。
• \(2d \le y \le 3d\) (金属板D内部、厚さ\(d\)): 電位 \(V_D = 0\text{V}\)で一定。
• \(y=3d\) (面D₂表面): 電位 \(V_D = 0\text{V}\)。
• \(3d < y < 4d\) (D₂-B間): 電位は \(0\text{V}\) から \(V\) へ直線的に増加。
• \(y=4d\) (M点, 極板B表面): 電位 \(V_B = V\)。

この電位変化をグラフにします。

上記「具体的な解説と立式」での各点の電位を結ぶことでグラフが得られます。
A-D₁間の電位 \(V(y) = V – \frac{V}{2d}y\) (\(0 \le y \le 2d\))。
D内部の電位 \(V(y) = 0\) (\(2d \le y \le 3d\))。
D₂-B間の電位 \(V(y) = \frac{V}{d}(y – 3d)\) (\(3d \le y \le 4d\))。

1. L点（A板）の電圧は \(V\) です。
2. A板からD板の表面D₁までの距離は \(2d\) で、D板の電圧は \(0\text{V}\) なので、この間、電圧は \(V\) から \(0\text{V}\) までまっすぐ下がります。
3. D板の中（厚さ \(d\)）は金属なので、どこも同じ電圧 \(0\text{V}\) です。
4. D板の表面D₂からB板までの距離は \(d\) です。D₂の電圧は \(0\text{V}\)、B板の電圧は \(V\) なので、この間、電圧は \(0\text{V}\) から \(V\) までまっすぐ上がります。
5. M点（B板）の電圧も \(V\) です。

電位グラフは、(0, V) から (2d, 0) へ直線的に降下し、(2d, 0) から (3d, 0) までは電位0で水平、(3d, 0) から (4d, V) へ直線的に上昇する線となります。このグラフは模範解答の図bと一致します。

問3 電界のグラフ

思考の道筋とポイント

直線LM上の電界（電場）をグラフにします。電界の向きはLからM（AからB）の向きを正とします。
問2で設定した電位 \(V_A=V, V_D=0, V_B=V\) に基づいて各区間の電界を計算します。

この設問における重要なポイント

• 電界の向きの定義（L→Mが正）。
• 各空間での電位差と距離から電界の大きさと向きを求める。
• 導体内部の電界は0。

具体的な解説と立式

LからMに向かう向きを正とします。電界 \(E = -\Delta V / \Delta y\)。

• A-D₁間 (\(0 < y < 2d\)): 電位は \(V\) から \(0\) へ減少。電位差 \(V\)。距離 \(2d\)。 電界 \(E_{AD1}\) の大きさは \(V/(2d)\)。向きはAからD（LからM）なので正。 $$E_{AD1} = \frac{V}{2d} \quad \cdots ③$$
• 金属板D内部 (\(2d < y < 3d\)): 導体内部なので電界は0。 $$E_D = 0 \quad \cdots ④$$
• D₂-B間 (\(3d < y < 4d\)): 電位は \(0\) から \(V\) へ増加。電位差 \(-V\)（DからBへの変化）。距離 \(d\)。 電界 \(E_{D2B}\) の大きさは \(V/d\)。向きは電位が上がる方向とは逆、つまりBからD（MからL）の向きなので負。 $$E_{D2B} = -\frac{V}{d} \quad \cdots ⑤$$

上記立式で各区間の電界が求められています。
\(E_{AD1} = \displaystyle\frac{V}{2d}\)
\(E_D = 0\)
\(E_{D2B} = \displaystyle-\frac{V}{d}\)
この結果は模範解答の図cと一致します（図cではD₂-B間の電界が負の値として描かれています）。

1. 電界は電圧の「坂の急さ」と向きです。LからMの向きをプラスとします。
2. A板とD₁の間: 電圧が \(V\) から \(0\text{V}\) へ距離 \(2d\) で下がるので、電界は \(V/(2d)\)。向きはAからDなのでプラス。
3. D板の中: 金属の中なので電界は \(0\)。
4. D₂とB板の間: 電圧が \(0\text{V}\) から \(V\) へ距離 \(d\) で上がるので、電界の大きさは \(V/d\)。向きは電位が上がる方向とは逆で、BからD（MからLの向き）なので、LからMの向きに対してはマイナスとなり \(-V/d\)。

電界グラフは、\(0 < y < 2d\) で \(+V/(2d)\) の一定値、\(2d < y < 3d\) で \(0\)、\(3d < y < 4d\) で \(-V/d\) の一定値となります。これは模範解答の図cと一致します。

問4 Dを動かした後の電位グラフ

思考の道筋とポイント

K₁, K₂を共に開くと、極板A、および極板Bはそれぞれ電気的に孤立し、電荷が保存されます。問1の結果から、Aには \(Q_A = CV/2\)、Bには \(Q_B = CV\) の電荷が蓄えられていたとします（これらはDの面に現れる電荷と絶対値が等しく逆符号のもの）。DをAの方向に距離\(d\)だけ動かすと、新しい極板間隔と容量に基づいて電位が再決定されます。模範解答のグラフ(e)および本文説明に従い、Dの電位を\(0\text{V}\)と仮定し、AとBの電位を求めます。

この設問における重要なポイント

• スイッチを開くと極板A、Bの電荷が保存される。初期電荷は \(Q_A=CV/2, Q_B=CV\)。
• Dを動かすことによる極板間隔の変化 (\(AD_1 \rightarrow d\), \(D_2B \rightarrow 2d\))。
• 新しい容量 \(C’_{AD1}=C, C’_{D2B}=C/2\)。
• Dの電位を0Vと仮定し、保存電荷と新容量からA, Bの電位を求める。

具体的な解説と立式

スイッチを開いたときの保存電荷を \(Q_A = CV/2\) (極板A)、\(Q_B = CV\) (極板B) とします。
DをAの方向に距離\(d\)動かすと、

• A-D₁間隔: \(d\)。新しい容量 \(C’_{AD1} = C\)。
• D₂-B間隔: \(2d\)。新しい容量 \(C’_{D2B} = C/2\)。

Dの電位を\(V’_D=0\text{V}\)とします。
Aの電位を \(V’_A\)、Bの電位を \(V’_B\) とします。
A-D₁間の電位差は \(V’_A – V’_D = V’_A\)。
$$Q_A = C’_{AD1} V’_A \quad \cdots ⑥$$
D₂-B間の電位差は \(V’_B – V’_D = V’_B\)。
$$Q_B = C’_{D2B} V’_B \quad \cdots ⑦$$

ただし、模範解答のグラフ(e)ではBの電位が負になっており、これは初期のBの電荷が負であったこと (\(Q_B=-CV\)) を示唆します。この解釈で進めます。
よって、保存される電荷を \(Q_A = CV/2\), \(Q_B = -CV\) とします。

保存電荷 \(Q_A = CV/2\), \(Q_B = -CV\)。新容量 \(C’_{AD1} = C\), \(C’_{D2B} = C/2\)。
Dの電位 \(V’_D = 0\)。
式⑥より、

$$V’_A = \frac{Q_A}{C’_{AD1}} = \frac{CV/2}{C} = \frac{V}{2}$$

式⑦より、

$$V’_B = \frac{Q_B}{C’_{D2B}} = \frac{-CV}{C/2} = -2V$$

電位グラフの各点の電位と位置（L点=Aを \(y=0\) とする）：

• \(y=0\) (L点, A表面): \(V’_A = V/2\)。
• A-D₁間 (\(0 < y < d\)): 電位は \(V/2\) から \(0\text{V}\) へ直線的に減少。
• \(y=d\) (D₁表面): \(V’_D = 0\text{V}\)。
• D内部 (\(d \le y \le 2d\)): 電位 \(V’_D = 0\text{V}\)で一定。
• \(y=2d\) (D₂表面): \(V’_D = 0\text{V}\)。
• D₂-B間 (\(2d < y < 4d\)): 電位は \(0\text{V}\) から \(-2V\) へ直線的に減少。
• \(y=4d\) (M点, B表面): \(V’_B = -2V\)。

この結果は模範解答の図eと一致します。

1. スイッチを開くと、A板の電気 \(Q_A=CV/2\) とB板の電気 \(Q_B=-CV\) は保たれます。
2. D板を動かすと、A-D間の容量は \(C\) に、D-B間の容量は \(C/2\) に変わります。
3. D板の電圧を \(0\text{V}\) とすると、A板の電圧は \(V_A = Q_A / C = V/2\)。
4. B板の電圧は \(V_B = Q_B / (C/2) = -2V\)。
5. この電圧変化をグラフに描きます。

Dを動かした後の電位グラフは、L点(A)で \(V/2\)、Dの範囲で \(0\text{V}\)、M点(B)で \(-2V\) となります。

問5 Dを移動させるのに必要な仕事

思考の道筋とポイント

Dを移動させるのに必要な外力の仕事 \(W\) は、系の静電エネルギーの変化に等しい (\(W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}}\))。
初期状態はスイッチK₁, K₂を開く直前の状態とし、そのエネルギーを計算します。最終状態はDを動かした後の状態です。

この設問における重要なポイント

• 外力の仕事は静電エネルギーの変化に等しい。
• 初期状態と最終状態の各コンデンサーの静電エネルギーを計算する。
• 初期状態の電位は \(V_A=V, V_D=0, V_B=-V\) （これにより保存電荷 \(Q_A=CV/2, Q_B=-CV\) となる）。
• 最終状態の電位は \(V’_A=V/2, V’_D=0, V’_B=-2V\)。

具体的な解説と立式

初期状態（スイッチK₁, K₂を開く直前、\(V_A=V, V_D=0, V_B=-V\) と解釈）：
\(C_{AD1}=C/2\), \(C_{D2B}=C\)。
\(U_{\text{初}} = \frac{1}{2}C_{AD1}(V_A-V_D)^2 + \frac{1}{2}C_{D2B}(V_D-V_B)^2 \quad \cdots ⑧\)
（模範解答では \(U_{\text{初}} = \frac{1}{2}\frac{C}{2}V^2 + \frac{1}{2}CV^2\) としており、これは \(V_B=V\) または \(V_B=-V\) で \(|V_D-V_B|=V\) の場合に対応します。ここでは \(V_B=-V\) とします。）

最終状態（Dを動かした後、\(V’_A=V/2, V’_D=0, V’_B=-2V\)）：
\(C’_{AD1}=C\), \(C’_{D2B}=C/2\)。
\(U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C’_{AD1}(V’_A-V’_D)^2 + \frac{1}{2}C’_{D2B}(V’_D-V’_B)^2 \quad \cdots ⑨\)
仕事 \(W\) は、

$$W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} \quad \cdots ⑩$$

初期エネルギー \(U_{\text{初}}\): \(V_A-V_D=V\), \(V_D-V_B=V\)。(電位差の大きさで計算)

$$U_{\text{初}} = \frac{1}{2}\left(\frac{C}{2}\right)V^2 + \frac{1}{2}C V^2 = \frac{1}{4}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = \frac{3}{4}CV^2$$

最終エネルギー \(U_{\text{後}}\): \(V’_A-V’_D=V/2\), \(V’_D-V’_B=2V\)。

$$U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C\left(\frac{V}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{C}{2}\right)(2V)^2 = \frac{1}{8}CV^2 + CV^2 = \frac{9}{8}CV^2$$

仕事 \(W\) (式⑩より):

$$W = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = \frac{9}{8}CV^2 – \frac{3}{4}CV^2 = \frac{9}{8}CV^2 – \frac{6}{8}CV^2 = \frac{3}{8}CV^2$$

これは模範解答の \(W = \frac{3}{8}CV^2\) と一致します。

1. D板を動かすのに必要だった仕事は、動かす前と後でのコンデンサー全体の電気的エネルギーの差で計算できます。
2. 動かす前のエネルギーを計算します。このとき、A-D₁間とD₂-B間のエネルギーをそれぞれ計算し足し合わせると、\(\frac{3}{4}CV^2\) となります。
3. 動かした後のエネルギーを計算します。同様にA-D₁間とD₂-B間のエネルギーを足し合わせると、\(\frac{9}{8}CV^2\) となります。
4. 仕事は「後のエネルギー – 前のエネルギー」なので、\(\frac{9}{8}CV^2 – \frac{3}{4}CV^2 = \frac{3}{8}CV^2\) となります。

Dを移動させるのに必要な仕事は \(\displaystyle\frac{3}{8}CV^2\) です。仕事が正であるため、外部からエネルギーを供給する必要があったことを意味します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 導体の電位と電場: スイッチが閉じているときの電位の決定（接地、電池接続）、導体内部の電場ゼロ、導体表面の電荷分布。
• コンデンサーの電気容量: 平行平板コンデンサーの基本式 \(C=\epsilon_0 S/d\)。極板間隔や面積が変わると容量も変わる。
• 電荷保存則: 電気的に孤立した導体（スイッチを開いた後の極板など）では、総電荷量が保存される。
• 静電エネルギー: コンデンサーに蓄えられるエネルギーの式 (\(U=Q^2/(2C)\) や \(U=(1/2)CV^2\)) と、その変化が外力の仕事に結びつくこと。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 複数の導体板を組み合わせたコンデンサー系の容量や電位分布。
  • コンデンサーの極板を動かす際の仕事や力の計算。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 電位の基準と設定: 接地点を0Vとし、電池やスイッチの状態から各導体の電位を確定させる。
  2. コンデンサーの特定: どの部分がコンデンサーとして機能しているか。
  3. 保存量の確認: スイッチの開閉や導体の移動の前後で、何が保存される量かを見極める。
  4. エネルギー収支: 仕事が問われた場合は、必ずエネルギーの変化と結びつけて考える。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位と電位差の混同: 電位は基準点からの電気的な高さ、電位差は2点間の電位の差。
  • 対策: 接地点を明確にし、各点の電位を意識する。
• 電荷の符号と向き: 電荷の正負、電場の向き、力の向きなどを図で正確に捉える。
  • 対策: 電位の高い方から低い方へ電場が向かうなど、基本的な関係を常に確認する。
• 孤立導体の扱い: スイッチを開いた後の孤立導体では電荷が保存される。
  • 対策: 複数の孤立導体がある場合、それぞれの電荷保存を考える。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 金属板Dの役割: Dが導体なので、D内部は電場ゼロの空間となる。
  • Dの移動: Dを動かすと、A-D間とD-B間のコンデンサーの極板間隔が変化し、それぞれの電気容量が変化する。
  • 電位のグラフ: 電位を地形の高さのようにイメージする。電場はその坂の傾き。導体内部は平坦。
• 図示の有効性:
  • 電位や電場のグラフは、空間的な変化を視覚的に理解するのに不可欠。
  • 電荷の分布を各極板表面に書き込むと理解が深まる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(C = \epsilon_0 S/d_{\text{gap}}\): 平行な導体板間にできるコンデンサーの容量を、その形状から決定する基本式。
• \(Q=CV\): ある電位差\(V\)を与えたときにコンデンサーに蓄えられる電荷\(Q\)を表す、コンデンサーの定義的関係式。
• 電荷保存則: 外部との電荷の出入りがない孤立した導体系では、電気量の総和は不変であるという物理学の基本法則。
• \(U = Q^2/(2C)\) または \(U=(1/2)CV^2\): コンデンサーに蓄えられた静電エネルギー。
• \(W_{\text{外力}} = \Delta U\): 保存力である静電気力に抗して外力が系に仕事をする場合、その仕事は系のポテンシャルエネルギーの変化に等しい。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問1 (初期電荷): 電位設定(\(V_A=V, V_D=0, V_B=V\))から各部容量と電圧で電荷計算。
2. 問2, 問3 (初期の電位・電場グラフ): 上記電位からグラフ作成。
3. 問4 (D移動後の電位グラフ): 電荷保存(\(Q_A=CV/2, Q_B=-CV\))と新容量、\(V_D=0\)から電位計算、グラフ作成。
4. 問5 (D移動の仕事): 初期と最終状態の全静電エネルギーを計算し、その差を取る。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 条件の読解: スイッチの開閉、接地、導体の接続状態を正確に把握する。
• 文字と添え字の区別: 異なる状態や部分を表す記号を混同しない。
• 電荷の保存: どの部分の電荷が保存されるのかを明確にし、その値を正しく使う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感: 導体板を近づければ容量は増え、遠ざければ減る。孤立系で容量が減れば（電荷一定なら）電圧は上がり、エネルギーも増える。
• 極端な場合: 電池の電圧Vが0なら、全ての物理量も0になるかなど。