「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第25章】応用問題

440 平行電流が及ぼしあう力

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、複数の直線電流が互いに及ぼしあう力と、それらがつくる磁場を扱う問題です。特に、複数のベクトル量を正しく合成する能力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流がつくる磁場と電流間にはたらく力」です。複数の電流源からの影響をベクトルとして正しく合成することが最大のポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Mにおける磁場は、4つの直線電流がそれぞれつくる磁場のベクトル和で求められます。正方形の対称性を利用すると計算が簡単になります。各電流から点Mまでの距離はすべて等しいため、各電流がつくる磁場の「強さ」は同じになります。したがって、向きを右ねじの法則で正確に把握し、ベクトルとして正しく合成することが鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 対称性の利用: 正方形の中心である点Mでは、対角線上にある電流ペアがつくる磁場をセットで考えると見通しが良くなります。
• 右ねじの法則: 各電流がつくる磁場の向きを決定するための基本法則です。電流の向き（表→裏 or 裏→表）に合わせて、磁場の回転方向を正確にイメージします。
• ベクトル和: 最終的な磁場は、4つの磁場ベクトルの和です。互いに打ち消しあう成分と、強めあう成分を正しく見極めます。

具体的な解説と立式
点A(左上), B(右上), C(右下), D(左下)を流れる電流が、正方形の中心点Mにつくる磁場をそれぞれ \(\vec{H}_A, \vec{H}_B, \vec{H}_C, \vec{H}_D\) とします。

各頂点から中心Mまでの距離 \(r\) は、一辺が \(a\) の正方形の対角線の長さ \(\sqrt{2}a\) の半分なので、
$$ r = \frac{\sqrt{2}}{2}a $$
したがって、各電流が点Mにつくる磁場の強さ \(H_0\) はすべて等しくなります。
$$ H_0 = \frac{I}{2\pi r} = \frac{I}{2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a} = \frac{I}{\sqrt{2}\pi a} \quad \cdots ① $$
次に、それぞれの磁場の向きを右ねじの法則で正しく考えます。

• 点Aの電流(表→裏, \(\otimes\))がつくる磁場 \(\vec{H}_A\) は、点MにおいてB→Dの向きです。
• 点Bの電流(裏→表, \(\odot\))がつくる磁場 \(\vec{H}_B\) は、点MにおいてA→Cの向きです。
• 点Cの電流(裏→表, \(\odot\))がつくる磁場 \(\vec{H}_C\) は、点MにおいてB→Dの向きです。
• 点Dの電流(裏→表, \(\odot\))がつくる磁場 \(\vec{H}_D\) は、点MにおいてC→Aの向きです。

\(\vec{H}_B\) (A→C向き) と \(\vec{H}_D\) (C→A向き) は大きさが等しく向きが正反対なので、互いに打ち消し合います。
$$ \vec{H}_B + \vec{H}_D = \vec{0} $$
一方、\(\vec{H}_A\) (B→D向き) と \(\vec{H}_C\) (B→D向き) は大きさが等しく、向きも同じです。したがって、この2つの磁場は強めあいます。

点Mにおける合成磁場 \(\vec{H}\) は、この2つの磁場の和となります。
$$ \vec{H} = \vec{H}_A + \vec{H}_C $$

合成磁場の強さ \(H\) は、\(H_A\) と \(H_C\) の大きさの和（どちらも \(H_0\)）です。
$$
\begin{aligned}
H &= H_A + H_C \\[2.0ex] &= 2H_0 \\[2.0ex] &= 2 \times \frac{I}{\sqrt{2}\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}I}{\pi a}
\end{aligned}
$$
向きは、\(\vec{H}_A\) と \(\vec{H}_C\) の向きであるB→Dの向きとなります。

4つの電線が、中心M点にそれぞれ磁場をつくります。このうち、右上(B)と左下(D)の電線が作る磁場は、ちょうど綱引きのように反対向きに作用して消えてしまいます。一方、左上(A)と右下(C)の電線が作る磁場は、偶然にも同じ方向（BからDへ向かう方向）を向くため、足し合わされて強くなります。この足し合わせた磁場の強さと向きを求めるのがこの問題です。

点Mにおける磁場の強さは \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}I}{\pi a}\) で、向きはB→Dの向きです。
正しい位置関係と右ねじの法則の適用により、模範解答と一致する結果が得られました。対称性から打ち消しあうペアと強めあうペアを正しく見抜くことが重要です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Aにある導線が受ける力は、他の3つの導線（B, C, D）を流れる電流から受ける力のベクトル和として求められます。まず、AとB、AとC、AとDの各ペアの間にはたらく力の大きさと向きを、平行電流間の力の公式を使って一つずつ求めます。その後、それら3つの力ベクトルを合成して、最終的な力の大きさと向きを決定します。

この設問における重要なポイント

• 力の向き（引力か斥力か）: 電流の向きが同じなら引力、逆向きなら斥力です。この問題では、Aの電流（表→裏）と、B, C, Dの電流（裏→表）はすべて逆向きなので、AはB, C, Dのすべてから斥力を受けます。
• 力のベクトル合成: Bから受ける力とDから受ける力は互いに垂直です。これらの合成力は、Cから受ける力と同じ向きになるため、最終的な計算は見通しよく行えます。

具体的な解説と立式
点A(左上)の導線が、点B(右上), C(右下), D(左下)の導線を流れる電流から受ける単位長さ当たりの力を、それぞれ \(\vec{f}_B, \vec{f}_C, \vec{f}_D\) とします。

Aの電流とB, C, Dの電流はすべて逆向きなので、これらの力はすべて斥力です。

• AとBの間にはたらく力 \(\vec{f}_B\):
  距離は \(a\)。斥力なので、向きはBからAを遠ざける向き（B→Aの向き）。
  $$ f_B = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2\pi a} = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a} \quad \cdots ① $$
• AとDの間にはたらく力 \(\vec{f}_D\):
  距離は \(a\)。斥力なので、向きはDからAを遠ざける向き（D→Aの向き）。
  $$ f_D = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2\pi a} = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a} \quad \cdots ② $$
• AとCの間にはたらく力 \(\vec{f}_C\):
  距離は対角線の長さ \(\sqrt{2}a\)。斥力なので、向きはCからAを遠ざける向き（C→Aの向き）。
  $$ f_C = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2\pi (\sqrt{2}a)} = \frac{\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} \quad \cdots ③ $$

求める合成力 \(\vec{f}\) は、これら3つの力のベクトル和です。
$$ \vec{f} = \vec{f}_B + \vec{f}_C + \vec{f}_D $$

まず、\(\vec{f}_B\) (B→A向き) と \(\vec{f}_D\) (D→A向き) を合成します。この2つの力は大きさが等しく（\(f_B = f_D\))、互いに直交しています。その合成力を \(\vec{f}_{BD}\) とすると、その向きは対角線C→Aの向きとなり、\(\vec{f}_C\) と同じ向きになります。

\(\vec{f}_{BD}\) の大きさ \(f_{BD}\) は、三平方の定理より、
$$
\begin{aligned}
f_{BD} &= \sqrt{f_B^2 + f_D^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{f_B^2 + f_B^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{2}f_B \\[2.0ex] &= \sqrt{2} \times \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}\mu_0 I^2}{2\pi a}
\end{aligned}
$$
求める合成力 \(\vec{f}\) は、\(\vec{f}_{BD}\) と \(\vec{f}_C\) の和で、どちらもC→Aの向きなので、大きさの和を計算すればよいです。
$$
\begin{aligned}
f &= f_{BD} + f_C \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}\mu_0 I^2}{2\pi a} + \frac{\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{2\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} + \frac{\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{3\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} \\[2.0ex] &= \frac{3\sqrt{2}\mu_0 I^2}{4\pi a}
\end{aligned}
$$
力の向きは、C→Aの向きです。

Aの電線は、B, C, Dの3つの電線から「あっちいけ！」と押される力（斥力）を受けます。Bから真横に押される力と、Dから真上に押される力は、合わせると斜め左上（C→A方向）の力になります。そして、Cからもともと斜め左上（C→A方向）に押される力がはたらいています。最終的に、Aが受ける力は、これら2つの「斜め左上方向の力」を足し合わせたものになります。

点Aを通る導線が受ける単位長さ当たりの力の大きさは \(\displaystyle\frac{3\sqrt{2}\mu_0 I^2}{4\pi a}\) で、向きはC→Aの向きです。
この設問に関しては、力の向き（斥力）とベクトル合成の手順が明確であり、模範解答と一致する妥当な結果が得られます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流がつくる磁場（アンペールの法則と右ねじの法則）:
  • 核心: 電流はその周りに磁場をつくります。長い直線電流の場合、磁場の強さは \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) で与えられ、電流からの距離に反比例します。磁場の向きは「右ねじの法則」で決まります。この問題では、複数の電流がつくる磁場を「ベクトルとして」合成する能力が問われます。
  • 理解のポイント: (1)では4つの磁場ベクトルを、(2)の別解では3つの磁場ベクトルを合成します。対称性を見抜いて、打ち消しあうペアと強めあうペアを正確に判断することが、計算を簡潔にする鍵です。
• 電流が磁場から受ける力（平行電流間の力とフレミングの左手の法則）:
  • 核心: 磁場の中に置かれた電流は力を受けます。この力は、2本の平行電流間では「同じ向きなら引力、逆向きなら斥力」として現れ、力の大きさは単位長さあたり \(f = \displaystyle\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\) で計算できます。(2)の主たる解法はこの考え方に基づきます。
  • 理解のポイント: (2)の別解では、より一般的に「フレミングの左手の法則」を用います。まずB,C,DがAの位置につくる合成磁場 \(\vec{H}’\) を求め、その磁場から電流 \(I\) が受ける力 \(\vec{f}\) を \(f = \mu_0 I H’\) として計算します。これは「場が力を媒介する」という物理の根幹的な考え方を体現しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 三角形の頂点に電流を置く問題: 正三角形や直角二等辺三角形の頂点に電流を置き、中心や他の頂点での磁場・力を問う問題。基本的な考え方は同じですが、角度が \(90^\circ\) 以外になるため、ベクトルの成分分解が必要になる場合があります。
  • 円形電流の中心軸上の磁場: 円形コイルが複数ある場合や、ソレノイドコイルの内部磁場を考える問題。積分を用いて磁場を求める必要がありますが、「個々の部分が作る磁場を足し合わせる」というベクトル合成の思想は共通しています。
  • クーロンの法則との対比: 複数の点電荷が作る電場や、ある点電荷が受ける静電気力を求める問題は、本問と全く同じ思考プロセスをたどります。\(H = \frac{I}{2\pi r}\) が \(E = k\frac{q}{r^2}\) に、\(f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\) が \(F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\) に対応します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系を設定する: 特に複雑な配置の場合、図形の頂点の一つを原点とし、x軸、y軸を設定すると、ベクトルの向きを成分で表現でき、計算ミスを防げます。
  2. 対称性を見つける: 図形に対称性があれば、必ず物理量にも対称性（または反対称性）が現れます。本問の(1)のように、打ち消しあうベクトルがないか最初に探すことで、計算量を大幅に削減できます。
  3. 2つのアプローチを念頭に置く: 力を求めるとき、「個々の力（\(f \propto I_1 I_2 / r\)）を直接足し合わせる」方法と、「まず場（\(H \propto I/r\)）を合成し、その場から力を求める（\(f \propto I’H\)）」方法の2通りがあることを常に意識しておくと、解法の選択肢が広がります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 右ねじの法則とフレミングの左手の法則の混同:
  • 誤解: 磁場の向きを求めたいのにフレミングの法則を使ったり、力の向きを求めたいのに右ねじの法則を使ったりする。
  • 対策: 「右ねじ → 電流が『原因』で磁場が『結果』」、「左手 → 電流と磁場が『原因』で力が『結果』」と、因果関係で覚えましょう。右ねじは磁場(H)のHump(こぶ)を作るイメージ、左手は力(F)のForceのイメージと結びつけるのも有効です。
• 力の向き（引力・斥力）の勘違い:
  • 誤解: 電流が逆向きなのに引力としてしまう、など。
  • 対策: 「同じ向きは仲良しで引力、逆向きは反発して斥力」と人間関係に例えて覚えるのが簡単です。これは静電気力（同種電荷は斥力、異種電荷は引力）とは逆のパターンなので、混同しないように注意が必要です。
• ベクトル合成のミス:
  • 誤解: ベクトルなのに、向きを考えずに大きさを単純に足し引きしてしまう。
  • 対策: 磁場や力は必ず矢印で図示する習慣をつけましょう。直交するベクトルは三平方の定理、斜めのベクトルは成分分解して足し算する、という基本を徹底します。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 磁力線のイメージ: 各電流の周りに、右ねじの法則に従う同心円状の磁力線が渦巻いている様子をイメージします。点Mや点Aは、それらの磁力線が重なり合った場所であり、その点での磁力線の接線方向が磁場の向きになります。
  • 力の矢印を正確に描く: (2)では、BがAに及ぼす斥力 \(\vec{f}_B\) の矢印は、Aを基点としてBから遠ざかる向きに、DがAに及ぼす斥力 \(\vec{f}_D\) はDから遠ざかる向きに描きます。すべての力のベクトルを、作用点であるAから生えるように描くことで、ベクトル合成のイメージが明確になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 作用点を明確にする: 磁場を考える点（点M）や、力を受ける点（点A）を明確にマークします。
  • ベクトルを色分け・記号分けする: 例えば、Bからの影響は青、Cからは緑、Dからは赤、のように色分けしたり、ベクトルの種類（磁場か力か）を \(H\) や \(f\) の記号で明記したりすると、混乱を防げます。
  • 対称性を意識して描く: 正方形の対角線を引いておくと、ベクトルの向きが「対角線に平行」や「対角線に垂直」であることが視覚的に分かりやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 直線電流の磁場の式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\):
  • 選定理由: この問題は「長い直線電流」がつくる磁場を扱うため、アンペールの法則をこの場合に適用した基本公式であるこの式を選びます。
  • 適用根拠: 電流 \(I\) が原因で、距離 \(r\) の点に磁場 \(H\) という「場」が発生するという、電磁気学の根幹をなす法則です。(1)と(2)の別解で、場の計算に用います。
• 平行電流間の力の式 \(f = \displaystyle\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\):
  • 選定理由: (2)の主たる解法のように、2本の平行な電流が直接及ぼしあう力を計算する場合に、最も直接的で便利な公式だからです。
  • 適用根拠: この公式は、電流 \(I_2\) がつくる磁場 \(H_2 = \frac{I_2}{2\pi r}\) の中に電流 \(I_1\) が置かれ、力 \(f = \mu_0 I_1 H_2\) を受ける、という2段階のプロセスを1つの式にまとめたものです。したがって、(2)の別解のアプローチと本質的に同じ現象を記述しています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 中心点の磁場:
   • 戦略: 4つの電流がつくる磁場ベクトルをそれぞれ求め、ベクトルとして合成する。
   • フロー: ①各電流からMまでの距離 \(r\) を計算 → ②磁場の強さの基本値 \(H_0\) を計算 (\(H_0 = I/(2\pi r)\)) → ③右ねじの法則で4つの磁場 \(\vec{H}_A, \vec{H}_B, \vec{H}_C, \vec{H}_D\) の向きを決定 → ④ベクトル図を描き、打ち消しあうペア (\(\vec{H}_B, \vec{H}_D\)) と強めあうペア (\(\vec{H}_A, \vec{H}_C\)) を見つける → ⑤強めあうベクトルの和を計算 (\(H = 2H_0\))。
2. (2) 頂点の導線が受ける力（主たる解法）:
   • 戦略: AがB, C, Dから受ける3つの力ベクトルをそれぞれ求め、ベクトルとして合成する。
   • フロー: ①AとB, AとD, AとCの間の距離を特定 → ②3つの力の大きさ \(f_B, f_D, f_C\) を平行電流間の力の公式で計算 → ③電流の向きから、力がすべて斥力であることを確認し、力の向きを決定 → ④直交する \(\vec{f}_B\) と \(\vec{f}_D\) を先に合成して \(\vec{f}_{BD}\) を求める → ⑤\(\vec{f}_{BD}\) と \(\vec{f}_C\) が同一直線上にあることを確認し、大きさを足し合わせる。
3. (2) 頂点の導線が受ける力（別解）:
   • 戦略: まずB, C, DがAの位置につくる合成磁場を求め、その磁場からAが受ける力を計算する。
   • フロー: ①B, C, DがAの位置につくる3つの磁場 \(\vec{H}’_B, \vec{H}’_C, \vec{H}’_D\) の大きさと向きを計算 → ②3つの磁場ベクトルを合成して、全体の合成磁場 \(\vec{H}’\) を求める → ③フレミングの左手の法則の公式 \(f = \mu_0 I H’\) に値を代入して力の大きさを計算 → ④フレミングの左手の法則で力の向きを決定する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の整理を丁寧に行う: (2)の計算で \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}\mu_0 I^2}{2\pi a} + \displaystyle\frac{\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a}\) のような項が出てきます。焦って計算せず、分母を \(2\sqrt{2}\pi a\) に通分することから始めましょう。 \(\displaystyle\frac{2\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} + \displaystyle\frac{\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a} = \displaystyle\frac{3\mu_0 I^2}{2\sqrt{2}\pi a}\) となります。
• 有理化は最後でも良い: 途中で \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) が出てきても、すぐに有理化せず、計算の最後までそのままにしておく方が見通しが良くなる場合があります。最終的な答えを出す段階で有理化すれば十分です。
• 文字式で進める: 最初から数値を代入するのではなく、できるだけ計算の最後まで \(I\) や \(a\) などの文字式のまま進めましょう。これにより、途中の計算が簡潔になり、物理的な意味も見失いにくくなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 中心の磁場: AとCの電流は、Mに対して同じ向き(B→D)の磁場を作ります。一方、BとDの電流は互いに逆向きの磁場を作り打ち消しあいます。結果として、AとCによる磁場だけが残り、B→Dの向きになるのは妥当です。
  • (2) Aが受ける力: AはB, C, Dのすべてから斥力を受けます。Bからは左向き、Dからは上向き、Cからは左上向きの力を受けます。これらを合成すれば、最終的な力の向きが左上方向（C→Aの向き）になるのは直感的にも明らかであり、妥当です。
• 別解との比較:
  • (2)では、「力を直接合成する」方法と、「場を介して力を計算する」方法という、2つの全く異なるアプローチを取りました。両者で計算過程は大きく異なりますが、最終的に大きさと向きが完全に一致しました。これは、両方の解法の正しさと、自身の計算の正確さを裏付ける強力な証拠となります。

441 直線電流がコイルに及ぼす力

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、直線電流が作る磁場から、近くに置かれた正方形コイルが受ける力を計算する問題です。直線電流からの距離によって磁場の強さが変わるため、コイルの各辺が受ける力も異なります。これらの力をベクトルとして正しく合成する能力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線電流が作る不均一な磁場中で、コイルが受ける力の計算」です。コイルの各辺が受ける力を個別に求め、それらをベクトル的に足し合わせることが基本方針です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
各辺に働く力の向きを調べるには、2つのステップが必要です。
ステップ1: 直線電流 \(I\) がコイルのある平面上に作る磁場の向きを「右ねじの法則」で求めます。
ステップ2: その磁場の中で、コイルの各辺を流れる電流 \(i\) が「フレミングの左手の法則」によってどちら向きの力を受けるかを判断します。

この設問における重要なポイント

• 磁場の向き: y軸を流れる電流 \(I\) が、\(x>0\) の領域（コイルがある領域）に作る磁場は、右ねじの法則により、紙面の表から裏へ向かう向き（\(-z\)方向）となります。この磁場の向きは、コイルのどの場所でも同じです。
• 力の向き: 磁場の向きを\(-z\)方向に固定し、各辺の電流の向き（辺AB: \(-y\)方向, 辺BC: \(+x\)方向, 辺CD: \(+y\)方向, 辺DA: \(-x\)方向）に対してフレミングの左手の法則を適用します。

具体的な解説と立式
まず、直線電流 \(I\) がコイルの位置に作る磁場の向きを、右ねじの法則を用いて決定します。電流 \(I\) は \(+y\) 方向に流れているので、コイルが存在する \(x>0\) の領域では、磁場は紙面の表から裏へ向かう向きになります。

この磁場（向き：紙面裏向き）の中で、各辺の電流が受ける力の向きをフレミングの左手の法則で求めます。

• 辺AB: 電流 \(i\) は \(-y\) 方向（下向き）。磁場は紙面裏向き。よって、力は \(x\) 軸の正の向き。
• 辺BC: 電流 \(i\) は \(+x\) 方向（右向き）。磁場は紙面裏向き。よって、力は \(y\) 軸の正の向き。
• 辺CD: 電流 \(i\) は \(+y\) 方向（上向き）。磁場は紙面裏向き。よって、力は \(x\) 軸の負の向き。
• 辺DA: 電流 \(i\) は \(-x\) 方向（左向き）。磁場は紙面裏向き。よって、力は \(y\) 軸の負の向き。

この設問は向きを求めるだけなので、計算はありません。

まず、まっすぐな電線（直線電流）が、その周りに磁石の力（磁場）を作ります。右手の親指を電流の向きに合わせると、他の4本の指が巻く向きが磁場の向きです。この問題では、コイルがある場所では、磁場は紙の裏側へ向かう向きになります。
次に、その磁場の中でコイルの各辺がどちらに力を受けるかを「フレミングの左手の法則」で調べます。左手の中指を電流、人差し指を磁場（紙の裏側）に向けると、親指が力の向きを示します。これを4つの辺すべてについて行うと、それぞれの力の向きが分かります。

各辺に働く力の向きは以下のようになります。

• 辺AB: \(x\) 軸の正の向き
• 辺BC: \(y\) 軸の正の向き
• 辺CD: \(x\) 軸の負の向き
• 辺DA: \(y\) 軸の負の向き

これは模範解答と一致しており、物理法則に則った妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
辺ABが受ける力の大きさを計算します。そのためには、まず辺ABの位置における磁束密度の大きさ \(B_1\) を求める必要があります。直線電流からの距離が \(d\) であることを使い、磁場の公式 \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\) を適用します。その後、力の公式 \(F=iBl\) を使って \(F_1\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 磁束密度の計算: 辺ABは、直線電流から距離 \(d\) の位置にあります。したがって、磁束密度の公式の \(r\) に \(d\) を代入します。
• 力の計算: 辺ABの長さは \(a\) です。力の公式の \(l\) に \(a\) を代入します。電流 \(i\) と磁場 \(B_1\) は垂直なので、\(F_1 = iB_1 a\) となります。

具体的な解説と立式
直線電流 \(I\) から距離 \(d\) の位置にある辺ABが作る磁束密度の大きさ \(B_1\) は、
$$ B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi d} \quad \cdots ① $$
辺ABを流れる電流 \(i\) が、この磁場 \(B_1\) から受ける力の大きさ \(F_1\) は、辺の長さが \(a\) であることから、
$$ F_1 = i B_1 a \quad \cdots ② $$

②式に①式を代入して \(F_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F_1 &= i \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi d} \right) a \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 i I a}{2\pi d} \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

辺ABがどれくらいの強さの力を受けるかを計算します。力は「磁場の強さ」と「コイルを流れる電流の強さ」と「辺の長さ」で決まります。まず、辺ABがある場所の磁場の強さを計算します。これは直線電流に近いほど強くなります。その計算した磁場の強さを使って、力の大きさを求めます。

辺ABに働く力の大きさは \(F_1 = \displaystyle\frac{\mu_0 i I a}{2\pi d} \text{ [N]}\) です。
この結果は、直線電流 \(I\) とコイルの電流 \(i\) が大きいほど、また辺の長さ \(a\) が長いほど力が強くなり、距離 \(d\) が離れるほど弱くなることを示しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
コイル全体に働く力は、4つの辺が受ける力のベクトル和（合力）です。
(1)で求めた力の向きから、辺BCに働く力 \(F_2\) と辺DAに働く力 \(F_4\) は、大きさが等しく逆向き（\(y\)軸の正負）であるため、互いに打ち消しあいます。
一方、辺ABに働く力 \(F_1\)（\(x\)軸正向き）と辺CDに働く力 \(F_3\)（\(x\)軸負向き）は、大きさが異なります。なぜなら、直線電流からの距離が違うため、磁場の強さが異なるからです。
したがって、コイル全体に働く力 \(F\) は、\(F_1\) と \(F_3\) の差として求められます。

この設問における重要なポイント

• 辺CDに働く力の計算: 辺CDは直線電流から距離 \(d+a\) の位置にあります。この距離を使って、辺CDの位置での磁束密度 \(B_3\) と力 \(F_3\) を計算します。
• 力の合成: \(F_1\) と \(F_3\) は一直線上で逆向きなので、合力の大きさは単純な引き算 \(|F_1 – F_3|\) で求まります。\(F_1\) の方が直線電流に近いため \(F_1 > F_3\) であり、合力の向きは \(F_1\) の向き（\(x\)軸正の向き）になります。
• 対称性による打ち消し: 辺BCと辺DAに働く力は、対称性から打ち消しあうことを見抜くことが計算を簡略化する鍵です。

具体的な解説と立式
(1)より、辺BCに働く力 \(F_2\) と辺DAに働く力 \(F_4\) は、y軸上で逆向きです。また、これらの辺上の各点と直線電流との距離の分布は対称的なので、力の大きさは等しくなります。したがって、\(F_2\) と \(F_4\) は互いに打ち消しあいます。
$$ \vec{F_2} + \vec{F_4} = \vec{0} $$
次に、辺CDに働く力を考えます。辺CDは直線電流から距離 \(d+a\) の位置にあるので、その場所の磁束密度の大きさ \(B_3\) は、
$$ B_3 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d+a)} \quad \cdots ③ $$
よって、辺CDが受ける力の大きさ \(F_3\) は、
$$ F_3 = i B_3 a \quad \cdots ④ $$
この力の向きは(1)で求めたように \(x\) 軸の負の向きです。

コイル全体に働く力 \(F\) は、\(F_1\) と \(F_3\) の合力です。\(d > 0, a > 0\) より \(d < d+a\) なので、\(F_1 > F_3\) となります。したがって、合力の大きさ \(F\) は、
$$ F = F_1 – F_3 \quad \cdots ⑤ $$
向きは \(F_1\) と同じく \(x\) 軸の正の向きです。

④式に③式を代入して \(F_3\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
F_3 &= i \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (d+a)} \right) a \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 i I a}{2\pi (d+a)}
\end{aligned}
$$
次に、⑤式に(2)で求めた \(F_1\) と上記の \(F_3\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \frac{\mu_0 i I a}{2\pi d} – \frac{\mu_0 i I a}{2\pi (d+a)} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 i I a}{2\pi} \left( \frac{1}{d} – \frac{1}{d+a} \right) \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 i I a}{2\pi} \left( \frac{(d+a) – d}{d(d+a)} \right) \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 i I a}{2\pi} \frac{a}{d(d+a)} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 i I a^2}{2\pi d(d+a)} \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
向きは \(x\) 軸の正の向きです。

コイル全体が受ける力は、4つの辺が受ける力の合計です。上下の辺（BCとDA）が受ける力は、ちょうど綱引きのように反対向きで同じ強さなので、打ち消しあってゼロになります。
一方、左右の辺（ABとCD）が受ける力は、向きが反対ですが、強さが違います。直線電流に近い辺ABが受ける「押し出す力」の方が、遠い辺CDが受ける「引き寄せる力」よりも強いです。そのため、差し引きすると「押し出す力」が残り、コイル全体としては直線電流から離れる向き（x軸正の向き）に力を受けます。

コイル全体に働く力の大きさは \(F = \displaystyle\frac{\mu_0 i I a^2}{2\pi d(d+a)} \text{ [N]}\) で、向きは \(x\) 軸の正の向きです。
直線電流に近い辺ABが受ける斥力 \(F_1\) が、遠い辺CDが受ける引力 \(F_3\) よりも大きいため、全体として斥力（離れる向きの力）が働くという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直線電流が作る磁場と、電流が磁場から受ける力の組み合わせ:
  • 核心: この問題は、2つの基本法則の組み合わせで解かれています。まず「直線電流 \(I\) が、その周りに距離 \(r\) に反比例する磁場 \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\) を作る」こと。次に「その磁場の中にある別の電流 \(i\) が、\(F=iBl\) で表される力を受ける」こと。この2段階の思考プロセスが問題解決の根幹です。
  • 理解のポイント: 特に重要なのは、直線電流からの距離 \(r\) が変わると磁場の強さ \(B\) も変わる（不均一な磁場である）という点です。これにより、コイルの辺ABが受ける力と辺CDが受ける力の大きさに差が生まれ、結果としてコイル全体に力が働く原因となります。
• 力のベクトル合成:
  • 核心: コイルの各辺が受ける力はベクトル量であり、向きを持っています。コイル全体に働く力は、これらのベクトルをすべて足し合わせた「合力」として求められます。
  • 理解のポイント: この問題では、辺BCと辺DAに働く力が対称性から打ち消しあうことを見抜くことが重要です。これにより、計算が大幅に簡略化され、x軸方向の力の差のみを考えればよくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 平行な2本の直線電流間に働く力: この問題の辺ABとCDの部分は、まさにこの基本問題の応用です。
  • 円形コイルの中心軸上の磁場: 直線電流の代わりに円形コイルが磁場を作る問題でも、その磁場中に置かれた別の導線が受ける力を計算する、という同様の構造になります。
  • ソレノイドコイルが作る磁場と力の問題: ソレノイドが作る一様な磁場中に置かれた導線やコイルが受ける力を計算する問題も、同じ法則の組み合わせで解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 磁場源は何か？: まず、磁場を作っているのは何か（この問題では直線電流 \(I\)）を特定します。
  2. 磁場の形は？: その磁場源が作る磁場の向き（右ねじの法則）と、強さの分布（距離に反比例など）を把握します。磁場が一様か不均一かを見極めるのが特に重要です。
  3. 力を受けるのは何か？: 次に、その磁場から力を受けるのは何か（この問題ではコイルの各辺を流れる電流 \(i\)）を特定します。
  4. 力の向きと大きさを個別に計算: 各部分が受ける力の向き（フレミングの左手の法則）と大きさ（\(F=iBl\)）を、磁場の向きと強さを考慮して個別に計算します。
  5. ベクトルとして合成: 最後に、計算したすべての力をベクトルとして足し合わせ、全体の合力を求めます。対称性による打ち消しがないか常に確認しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁場の強さを一定と間違う:
  • 誤解: コイルのどの場所でも磁場の強さが同じだと考え、辺ABと辺CDに働く力が同じ大きさだと誤解してしまう。
  • 対策: 「磁場は磁場源からの距離で変わる」という原則を常に意識すること。特に直線電流や点電荷が作る場は、距離に依存して不均一になります。
• フレミングの左手の法則の向きの間違い:
  • 誤解: 電流・磁場・力の指の割り当てを間違えたり、座標軸の向きを勘違いしたりする。
  • 対策: 「電（中指）・磁（人差し指）・力（親指）」の語呂合わせを確実に覚えること。図にx, y, z軸を書き込み、磁場の向き（紙面裏向き：\(-z\)）と電流の向き（例：辺ABは\(-y\)）を明確にしてから、法則を適用する習慣をつけましょう。
• 引力と斥力の混同（別解の場合）:
  • 誤解: 平行電流が同じ向きのときに引力、逆向きのときに斥力という関係を逆に覚えてしまう。
  • 対策: 「同じ向きは仲良しで引き合う、逆向きは反発する」とイメージで覚えるのが有効です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 磁力線の密度のイメージ: 直線電流の周りにできる磁力線を同心円状に描いてみましょう。電流に近いほど磁力線は「密」になり、遠いほど「疎」になります。磁力線の密度が磁場の強さを表すので、辺ABの位置では密、辺CDの位置では疎になっていることが視覚的に理解できます。力が「密」なところで強く、「疎」なところで弱いことが、合力が生じる原因だと直感できます。
  • 力の矢印を書き込む: 問題の図に、(1)で求めた4つの力のベクトル（\(F_1, F_2, F_3, F_4\)）を矢印で書き込みましょう。このとき、\(F_1\) の矢印を \(F_3\) よりも長く描くことで、\(F_1 > F_3\) であることを視覚化します。また、\(F_2\) と \(F_4\) の矢印は同じ長さで逆向きに描くことで、打ち消しあう関係が一目瞭然になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸の明記: x, y, z軸（z軸は紙面に垂直）を明確に描くことで、向きの判断ミスを防ぎます。
  • 大小関係の誇張: 実際の力の差はわずかでも、図では明らかに長さが違うように誇張して描くと、思考の助けになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 直線電流が作る磁場の公式 \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\):
  • 選定理由: この問題の磁場源は「無限に長い直線電流」だからです。この特定の状況における磁場の大きさを与える基本公式としてこれを選びます。アンペールの法則から導出される、電磁気学の根幹をなす式の一つです。
  • 適用根拠: 辺ABや辺CDは直線電流から一定の距離にあるとみなせるため、各辺の位置での磁場の強さを計算するためにこの公式を適用できます。
• 電流が磁場から受ける力の公式 \(F = iBl\):
  • 選定理由: 「磁場の中に置かれた電流が受ける力」を計算するための最も基本的な公式（ローレンツ力の一形態）だからです。
  • 適用根拠: コイルの各辺は、直線電流が作った磁場の中に置かれています。また、各辺の電流の向きは磁場の向き（紙面裏向き）と常に垂直であるため、\(\sin\theta\)の項が\(1\)となり、この簡単な形で適用できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 力の向きの決定:
   • 戦略: 右ねじの法則とフレミングの左手の法則を順に適用する。
   • フロー: ①直線電流 \(I\) による磁場の向きを決定（右ねじ） → ②各辺の電流 \(i\) の向きを確認 → ③各辺について、磁場と電流の向きから力の向きを決定（フレミング左手）。
2. (2) 辺ABの力の大きさ \(F_1\) の計算:
   • 戦略: 辺ABの位置での磁場の強さを求め、力の公式に代入する。
   • フロー: ①辺ABの位置での磁束密度 \(B_1\) を計算 (\(B_1 = \mu_0 I / (2\pi d)\)) → ②力の公式 \(F_1 = iB_1a\) に代入して計算。
3. (3) 合力の計算:
   • 戦略: 4辺の力のベクトル和を求める。対称性を利用して計算を簡略化する。
   • フロー: ①辺BCとDAの力が打ち消しあうことを確認 → ②辺CDの位置での磁束密度 \(B_3\) を計算 (\(B_3 = \mu_0 I / (2\pi(d+a))\)) → ③辺CDの力の大きさ \(F_3\) を計算 (\(F_3 = iB_3a\)) → ④合力 \(F = F_1 – F_3\) を計算し、式を整理する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数でくくる: \(F = F_1 – F_3\) の計算で、いきなり数値を代入するのではなく、\(\displaystyle\frac{\mu_0 i I a}{2\pi}\) という共通因数でくくってから計算を進めましょう。これにより、分数の通分 (\(\displaystyle\frac{1}{d} – \displaystyle\frac{1}{d+a}\)) が見やすくなり、計算が非常に楽になります。
• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、最終的な答えが文字式で求められる場合、途中で数値を代入する必要はありません。最後まで文字式のまま丁寧に計算し、最後に整理された形にすることが重要です。
• 単位の確認: 透磁率 \(\mu_0\) の単位は \(\text{[N/A}^2\text{]}\)、電流は \(\text{[A]}\)、長さは \(\text{[m]}\) です。これらの単位を力の公式に代入すると、最終的に力の単位 \(\text{[N]}\) が得られることを確認する（次元解析）と、式の妥当性を検証できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 力の向き: 直線電流に近い辺ABが受ける斥力の方が、遠い辺CDが受ける引力よりも強いはずです。したがって、全体として斥力（\(x\)軸正の向き）が働くという結果は直感と一致し、妥当です。
  • 極端な場合を考える（極限チェック）:
    • もしコイルが無限に遠くへ行ったら (\(d \rightarrow \infty\))、力はゼロになるはずです。計算結果の式で \(d \rightarrow \infty\) とすると、分母が無限大になるので \(F \rightarrow 0\) となり、妥当です。
    • もしコイルの幅がゼロになったら (\(a \rightarrow 0\))、辺ABと辺CDが同じ位置になり、力が打ち消しあうので力はゼロになるはずです。計算結果の式で \(a \rightarrow 0\) とすると、分子が \(a^2\) なので \(F \rightarrow 0\) となり、これも妥当です。
• 別解との比較:
  • この問題では、「磁場とフレミングの法則」で解く方法と、「平行電流間の力」で解く別解がありました。全く異なる公式から出発したにもかかわらず、最終的に同じ答えにたどり着いたことは、両方の解法の正しさと、自身の計算の正確さを裏付ける強力な証拠となります。

442 加速器

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、荷電粒子を磁場と電場を組み合わせて加速する装置「サイクロトロン」の原理を扱います。ディーと呼ばれる半円形の電極内でローレンツ力による円運動を行い、電極間の隙間（間隙）で電場によって加速される、という一連のプロセスを物理法則に基づいて分析する力が求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の荷電粒子の運動（ローレンツ力と円運動）」と「電場による仕事とエネルギー」の融合です。それぞれの領域でどの物理法則が適用されるかを明確に区別することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
荷電粒子が描く軌道と、磁場から受ける力の関係に着目します。粒子は円運動をしているため、常に軌道の中心に向かって力が働いているはずです。この中心向きの力（向心力）がローレンツ力です。
図から、粒子の運動方向（速度の向き）と力の向きを読み取り、フレミングの左手の法則を適用して電荷の正負を判断します。

この設問における重要なポイント

• フレミングの左手の法則と電流の向き: フレミングの左手の法則の中指が示すのは「電流の向き」です。正電荷の運動方向は電流の向きと一致しますが、負電荷の運動方向は電流の向きと逆になります。
• 力の向きの特定: 図の軌道は、常に円の中心（左側）に向かって曲がっています。したがって、粒子が受けるローレンツ力は常に中心を向いています。

具体的な解説と立式
図において、粒子が上向きに運動している瞬間を考えます。このとき、速度の向きは上向きです。軌道が左に曲がっていることから、粒子は左向きの力（ローレンツ力）を受けていることがわかります。

ここで、フレミングの左手の法則を適用します。

• 力の向き（親指）: 左向き
• 磁場の向き（人差し指）: 紙面の表から裏へ向かう向き

このとき、電流の向き（中指）は上向きになります。

粒子の運動方向（上向き）と電流の向き（上向き）が一致したので、この荷電粒子の電荷は正であると判断できます。

この設問は向きを判断するだけなので、計算はありません。

荷電粒子が磁場の中で曲がる向きから、プラスの電気を持っているかマイナスの電気を持っているかを当てる問題です。フレミングの左手の法則を使います。人差し指を磁場の向き（紙の裏側）、親指を粒子が曲がる力の向き（円の中心）に合わせます。このとき、中指が向いた方向が「電流の向き」です。もし粒子の動く向きと中指の向きが同じなら、その粒子はプラスの電気を持っています。もし逆ならマイナスです。今回は同じ向きだったので、答えは「正」です。

荷電粒子の電荷は正です。これはフレミングの左手の法則から一意に決まり、妥当な結論です。

問(2)

思考の道筋とポイント
磁場中で運動する荷電粒子が受ける力、すなわちローレンツ力の大きさを求める問題です。ローレンツ力の公式 \(f=qvB\sin\theta\) を使います。問題文より、粒子は磁場に垂直に入射するので、速度と磁場のなす角 \(\theta\) は \(90^\circ\) です。

この設問における重要なポイント

• ローレンツ力の公式: 大きさは \(f=qvB\sin\theta\) で与えられます。
• 垂直条件: 速度 \(v\) と磁束密度 \(B\) が垂直なので、\(\sin\theta = \sin 90^\circ = 1\) となり、公式は \(F=qvB\) と簡略化されます。

具体的な解説と立式
荷電粒子が受けるローレンツ力の大きさ \(F\) は、電荷 \(q\)、速さ \(v_0\)、磁束密度 \(B\) を用いて次のように表されます。
$$ F = q v_0 B \sin\theta $$
粒子は磁場に垂直に入射するため、\(\theta = 90^\circ\) であり、\(\sin 90^\circ = 1\) です。したがって、
$$ F = q v_0 B $$

公式に値を当てはめるだけなので、これ以上の計算はありません。

磁石の力（磁場）の中で電気を帯びた粒が動くと、力を受けます。この力の大きさは「粒の電気の量 \(q\)」「粒の速さ \(v_0\)」「磁場の強さ \(B\)」の3つを掛け合わせたものになります。今回は、これらを掛け合わせるだけで答えが求まります。

力の大きさは \(F = qv_0 B\) です。これはローレンツ力の定義そのものであり、物理的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
粒子はディーの内部でローレンツ力を向心力として等速円運動をします。この物理現象を運動方程式で表現することで、半径 \(r_0\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 向心力: 円運動を維持するためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この問題では、ローレンツ力がその役割を担っています。
• 運動方程式: 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = (\text{向心力})\) を立てます。

具体的な解説と立式
粒子は、(2)で求めたローレンツ力 \(F = qv_0 B\) を向心力として、速さ \(v_0\)、半径 \(r_0\) の等速円運動をします。

円運動の運動方程式は、
$$ m \frac{v_0^2}{r_0} = (\text{向心力}) $$
向心力はローレンツ力なので、
$$ m \frac{v_0^2}{r_0} = q v_0 B \quad \cdots ① $$

①式を \(r_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{v_0^2}{r_0} &= q v_0 B \\[2.0ex] m \frac{v_0}{r_0} &= q B \\[2.0ex] r_0 &= \frac{m v_0}{q B}
\end{aligned}
$$

粒子がクルクル回る円の大きさ（半径）を求める問題です。粒子が円運動できるのは、ローレンツ力という力が常に円の中心に向かって引っ張っているからです。この「引っ張る力」が、円運動を続けるために必要な向心力の役割を果たしている、という関係（運動方程式）を数式にします。その数式を解くと、円の半径が計算できます。

円軌道の半径は \(r_0 = \displaystyle\frac{mv_0}{qB}\) です。
この式は、粒子の質量 \(m\) や速さ \(v_0\) が大きいほど（勢いが強いほど）半径が大きくなり、電荷 \(q\) や磁場 \(B\) が大きいほど（引っ張る力が強いほど）半径が小さくなることを示しており、物理的に直感と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
ディーの内部では、粒子は等速円運動をします。半周するのにかかる時間は、円運動の周期 \(T\) の半分です。周期 \(T\) は、円周の長さ \(2\pi r_0\) を速さ \(v_0\) で割ることで求められます。

この設問における重要なポイント

• 周期の計算: \(T = \displaystyle\frac{\text{円周}}{\text{速さ}} = \displaystyle\frac{2\pi r_0}{v_0}\)
• 半周の時間: 求めたい時間は周期の半分、すなわち \(\displaystyle\frac{T}{2}\) です。
• 周期の性質: (3)で求めた \(r_0\) を代入すると、周期が速さ \(v_0\) や半径 \(r_0\) に依存しない、一定の値になることがわかります。これはサイクロトロンの重要な原理です。

具体的な解説と立式
粒子が1周するのにかかる時間（周期）を \(T_0\) とすると、
$$ T_0 = \frac{2\pi r_0}{v_0} \quad \cdots ① $$
求めたいのは半周にかかる時間なので、これを \(t_{1/2}\) とすると、
$$ t_{1/2} = \frac{T_0}{2} = \frac{\pi r_0}{v_0} \quad \cdots ② $$

②式に(3)で求めた \(r_0 = \displaystyle\frac{mv_0}{qB}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t_{1/2} &= \frac{\pi}{v_0} \left( \frac{m v_0}{q B} \right) \\[2.0ex] &= \frac{\pi m}{q B}
\end{aligned}
$$

粒子が半円を描いてディーを通り抜ける時間を計算します。時間は「距離÷速さ」で計算できます。半円の距離は「円周の半分」です。円周は(3)で求めた半径を使って計算できます。これを粒子の速さで割ると、半周する時間が求まります。面白いことに、計算すると、この時間は粒子の速さや円の大きさに関係なく、一定の値になります。

半周にかかる時間は \(\displaystyle\frac{\pi m}{qB}\) です。
この時間は、粒子の速さ \(v_0\) や半径 \(r_0\) に依存しません。これは、速い粒子ほど大きな円を描くため、半周する距離も長くなり、結果としてかかる時間が同じになるためです。この性質があるからこそ、一定周期の高周波電圧で効率よく加速できるのです。

問(5)

思考の道筋とポイント
この設問は3つのパートに分かれています。

1. 得るエネルギー: 粒子は電位差 \(V\) の間隙を通過することで、電場から仕事をされます。この仕事の分だけ運動エネルギーが増加します。
2. 加速後の速さ: エネルギー保存則（または仕事とエネルギーの関係式）を立て、加速後の速さ \(v\) を求めます。
3. 新しい半径: 加速後の速さ \(v\) を使って、(3)と同様に円運動の運動方程式から新しい半径 \(r\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 仕事とエネルギー: 電荷 \(q\) の粒子が電位差 \(V\) を通過するときに得るエネルギーは \(\Delta E = qV\) です。
• エネルギー保存則: （加速前の運動エネルギー）＋（電場からされた仕事）＝（加速後の運動エネルギー）という関係式を立てます。
• 半径の計算: (3)で導出した半径の公式 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) に、新しく求めた速さ \(v\) を代入します。

具体的な解説と立式
1. 得るエネルギー \(\Delta E\)

電荷 \(q\) の粒子が電位差 \(V\) の間隙を通過するとき、電場からされる仕事は \(qV\) です。これがそのまま粒子の得るエネルギーになります。
$$ \Delta E = qV \quad \cdots ① $$
2. 加速後の速さ \(v\)

仕事と運動エネルギーの関係より、
$$ (\text{後の運動エネルギー}) – (\text{前の運動エネルギー}) = (\text{された仕事}) $$
$$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = qV \quad \cdots ② $$
3. 新しい半径 \(r\)

加速後の速さ \(v\) での円運動の運動方程式は、
$$ m\frac{v^2}{r} = qvB \quad \cdots ③ $$
これを \(r\) について解くと、
$$ r = \frac{mv}{qB} \quad \cdots ④ $$

まず、②式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2}mv_0^2 + qV \\[2.0ex] v^2 &= v_0^2 + \frac{2qV}{m} \\[2.0ex] v &= \sqrt{v_0^2 + \frac{2qV}{m}}
\end{aligned}
$$
次に、この \(v\) を④式に代入して \(r\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
r &= \frac{m}{qB} v \\[2.0ex] &= \frac{m}{qB} \sqrt{v_0^2 + \frac{2qV}{m}}
\end{aligned}
$$

粒子がディーの隙間を通り抜けるときに、電気の力で一気に加速されます。

1. 得るエネルギー: このとき粒子が得るエネルギーは、電気の量 \(q\) と電圧 \(V\) を掛け合わせた \(qV\) です。
2. 加速後の速さ: 元々持っていた運動エネルギーに、この \(qV\) が加算されます。この新しいエネルギーから、加速後の速さを計算します。
3. 新しい半径: 速くなった粒子は、次にもっと大きな円を描いて回ります。この新しい速さを使って、(3)と同じように計算すると、新しい円の半径が求まります。

• 得るエネルギー: \(qV\)
• 加速後の速さ: \(v = \sqrt{v_0^2 + \displaystyle\frac{2qV}{m}}\)
• 新しい半径: \(r = \displaystyle\frac{m}{qB}\sqrt{v_0^2 + \displaystyle\frac{2qV}{m}}\)

速さ \(v\) は元の速さ \(v_0\) より大きくなり、半径 \(r\) も元の半径 \(r_0\) より大きくなっています。これは加速されてエネルギーが増えた結果として当然であり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と円運動の運動方程式:
  • 核心: 磁場中で運動する荷電粒子は、進行方向と磁場に垂直な向きにローレンツ力 \(F=qvB\) を受けます。この力が常に向心力として働くことで、粒子は等速円運動を行います。この関係を運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) として立式できることが、この問題群を解く上での最大の鍵です。
  • 理解のポイント: ローレンツ力は速度に比例し、向心加速度は速度の2乗に比例します。この関係から、半径 \(r\) や周期 \(T\) がどのように決まるかを導出する一連の流れをマスターすることが重要です。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則）:
  • 核心: 荷電粒子がディーの間隙を通過する際、電位差 \(V\) の電場から \(W=qV\) の仕事をされます。この仕事は、そのまま粒子の運動エネルギーの増加分 \(\Delta K\) となります。つまり、\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{後}}^2 – \displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{前}}^2 = qV\) が成り立ちます。
  • 理解のポイント: サイクロトロンは、磁場（円運動させる）と電場（加速する）という2つの場の役割分担によって成り立っています。磁場は荷電粒子に対して仕事をしない（ローレンツ力は常に速度と垂直なため）のに対し、電場は加速（仕事をする）の役割を担っている、という明確な役割分担を理解することが核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: 磁場中で荷電粒子を円運動させ、その半径の違いから質量や電荷を特定する装置。円運動の半径の式 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) が直接的に応用されます。
  • 速度選択器: 直交する電場と磁場を使い、特定の速さの粒子だけを直進させる装置。ローレンツ力 \(qvB\) と静電気力 \(qE\) のつり合い \(v=E/B\) を利用します。
  • ホール効果: 導体内の荷電キャリア（電子など）が磁場からローレンツ力を受け、導体の側面に偏ることで電位差（ホール電圧）が生じる現象。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 場の種類を特定する: 粒子が存在する空間に、磁場だけがあるのか、電場だけがあるのか、あるいは両方があるのかをまず確認します。
  2. 場ごとの役割を考える:
     • 磁場のみの領域 → ローレンツ力による等速円運動（または、らせん運動）を考え、運動方程式を立てる。
     • 電場のみの領域 → 静電気力による加速・減速を考え、仕事とエネルギーの関係（または、等加速度運動の式）を立てる。
     • 電場と磁場が両方ある領域 → ローレンツ力と静電気力の合力を考え、運動方程式やつり合いの式を立てる。
  3. 初期条件と変化を確認する: 粒子の初速はいくつか？どのタイミングで加速されるか？など、時系列に沿って粒子の状態（速さ、エネルギー、半径）がどう変化するかを追跡します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ローレンツ力と静電気力の混同:
  • 誤解: 磁場中でも電場中でも同じように加速されると考えてしまう。
  • 対策: 「磁場は荷電粒子を曲げるだけで、速さを変えない（仕事をしない）」「電場は荷電粒子を加速・減速させる（仕事をする）」という役割分担を明確に区別して覚えましょう。
• 周期の依存性の誤解:
  • 誤解: 速い粒子ほど周期は短くなる（速く1周する）と考えてしまう。
  • 対策: 問(4)の計算結果 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) をしっかり確認すること。「速い粒子は、その分だけ大きな円を描くので、結局1周にかかる時間は同じになる」という物理的イメージを持つことが重要です。これがサイクロトロンの動作原理の根幹です。
• フレミングの左手の法則の誤用:
  • 誤解: 負電荷の粒子の場合に、電流の向きを運動の向きと同じにしてしまう。
  • 対策: 法則の中指はあくまで「電流の向き」であり、「正電荷の運動方向」と定義されていることを再確認しましょう。負電荷（電子など）の場合は、運動の向きと逆向きに中指を合わせる必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • らせん階段を上るイメージ: サイクロトロンの軌道は、平面的には渦巻きですが、加速によってエネルギーという「高さ」が増していくと考えると、らせん階段を駆け上っていくイメージと結びつきます。ディー内では同じ階（エネルギー）をぐるっと回り、間隙で一気に次の階へ上がる、というイメージです。
  • 力のベクトル図: 任意の点（例えば軌道の頂点や底）で、粒子の速度ベクトル \(\vec{v}\) と、それに対して常に中心を向き、直角をなすローレンツ力ベクトル \(\vec{F}\) を描く練習をしましょう。これにより、なぜ磁場が仕事をしないのか（力と変位が常に垂直）を視覚的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 半径の増加を明確に描く: 間隙を通過するたびに、円軌道の半径が明らかに大きくなるように描くと、加速の様子がよくわかります。
  • 力の向き: どの点においても、力のベクトル（ローレンツ力）の矢印の根元が粒子にあり、矢印の先端が円軌道の中心を指すように正確に描くことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\):
  • 選定理由: 問題文に「円運動」や「円軌道」というキーワードがあるため、円運動を記述するための基本法則であるこの式を選択します。
  • 適用根拠: 粒子がローレンツ力という常に中心を向く力を受けて運動しているため、この法則が適用できます。右辺の \(F\) に、向心力として働く具体的な力（今回はローレンツ力）を代入します。
• 仕事とエネルギーの関係 \(\Delta K = qV\):
  • 選定理由: 問題文に「加速」「電位差V」というキーワードがあるため、電場による仕事とエネルギー変化を結びつけるこの公式を選択します。
  • 適用根拠: 粒子がディーの間隙で電場から静電気力を受けて仕事をされ、その結果として速さ（運動エネルギー）が変化するという状況に、この法則が直接適用できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)-(3) 初期の円運動の解析:
   • 戦略: 磁場中での円運動なので、運動方程式を立てる。
   • フロー: ①力の向きをフレミングの法則で判断（問1）→ ②力の大きさをローレンツ力の公式で表現（問2）→ ③運動方程式 \(m\frac{v_0^2}{r_0} = qv_0B\) を立式 → ④式を \(r_0\) について解く（問3）。
2. (4) 半周時間の計算:
   • 戦略: 等速円運動の性質から、周期を求めて半分にする。
   • フロー: ①周期の定義式 \(T_0 = \frac{2\pi r_0}{v_0}\) を立てる → ②(3)で求めた \(r_0\) を代入し、\(T_0\) を \(m, q, B\) で表す → ③半周の時間 \(t_{1/2} = T_0/2\) を計算する。
3. (5) 加速プロセスの解析:
   • 戦略: 間隙では電場で加速、ディー内では磁場で円運動、という2段階で考える。
   • フロー: ①間隙で得るエネルギーを \(\Delta E = qV\) で計算 → ②エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + qV\) を立て、加速後の速さ \(v\) を求める → ③新しい速さ \(v\) を使って、円運動の半径の公式 \(r = \frac{mv}{qB}\) に代入し、新しい半径 \(r\) を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の消去を丁寧に行う: 問(3)の \(m\displaystyle\frac{v_0^2}{r_0} = qv_0B\) の式変形では、両辺の \(v_0\) を一つずつ消去します。焦って \(v_0^2\) ごと消してしまうようなミスに注意しましょう。
• 平方根の扱い: 問(5)で速さ \(v\) を求めるとき、\(v^2 = v_0^2 + \displaystyle\frac{2qV}{m}\) となります。ここで2乗を外し忘れないこと。また、ルートの中身が和の形になっているので、\(\sqrt{v_0^2} + \sqrt{\frac{2qV}{m}}\) のように安易に分離しないように注意が必要です。
• 一貫した記号の使用: 加速前の速さを \(v_0\)、半径を \(r_0\)、加速後の速さを \(v\)、半径を \(r\) のように、状態に応じて記号を明確に使い分けることで、混乱を防ぎます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 半径 \(r_0\): \(r_0 = \displaystyle\frac{mv_0}{qB}\)。粒子の運動量 \(mv_0\) が大きいほど曲がりにくく（半径大）、磁場からの力（\(qB\) に比例）が強いほど曲がりやすい（半径小）。直感と一致しており妥当です。
  • 時間 \(t_{1/2}\): \(t_{1/2} = \displaystyle\frac{\pi m}{qB}\)。速さ \(v_0\) や半径 \(r_0\) に依存しない。これはサイクロトロンの原理そのものであり、非常に重要な結果です。妥当性を超えて、この問題の核心と言えます。
  • 加速後の速さと半径: 問(5)で求めた \(v\) は \(v_0\) より大きく、\(r\) は \(r_0\) より大きくなっています。加速されたのだから当然の結果であり、妥当です。
• 別解との比較:
  • 問(3)では、静止系での運動方程式と、回転座標系での力のつり合いという、全く異なる2つの視点からアプローチしました。両者で全く同じ結果が得られたことは、それぞれの解法の正しさと、慣性力の概念の有効性を裏付けています。

443 磁場内での荷電粒子の運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、磁場が存在する領域と存在しない領域にまたがって運動する荷電粒子の軌跡を分析する問題です。磁場中ではローレンツ力による円運動、磁場のない領域では等速直線運動をすることを理解し、幾何学的な考察を加えて軌道のパラメータを決定する能力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な磁場中での荷電粒子の運動と幾何学」です。粒子は磁場中では円運動、磁場外では等速直線運動という、2つの異なる運動を組み合わせた軌道を描きます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
角度 \(\theta=0\) ということは、粒子はx軸に平行に、y軸に垂直に磁場領域へ入射します。磁場中では速度に垂直なローレンツ力を受けるため、軌道は円を描きます。y軸に垂直に入射した粒子は、ちょうど半円を描いて再びy軸（磁場の境界）に戻ってきます。この「半円運動」という点が解析の鍵です。

この設問における重要なポイント

• 運動の特定: 入射角 \(\theta=0\) の場合、粒子は磁場領域で半円を描く。
• 滞在時間: 半円運動にかかる時間は、周期 \(T\) の半分、\(\displaystyle\frac{T}{2}\) です。
• y座標の変化: 粒子はy軸上の点 \((0, d)\) から入射し、直径 \(2r\) の半円を描いて、点 \((0, d-2r)\) から出ていきます。

具体的な解説と立式
まず、磁場中での円運動の基本式を導出します。ローレンツ力 \(qvB\) が向心力となる運動方程式は、
$$ m\frac{v^2}{r} = qvB $$
これを解くと、円運動の半径 \(r\) は、
$$ r = \frac{mv}{qB} \quad \cdots ① $$
周期 \(T\) は、
$$ T = \frac{2\pi r}{v} \quad \cdots ② $$
となります。

粒子は角度 \(\theta=0\) で入射し、磁場領域で半円を描きます。したがって、磁場領域に滞在する時間は周期 \(T\) の半分です。
$$ t_{\text{滞在}} = \frac{T}{2} \quad \cdots ③ $$
粒子は点 \((0, d)\) で磁場に入り、半径 \(r\) の半円を描いて磁場から出ていきます。出ていく点のy座標は、入射点から円の直径分だけ下がった位置になります。
$$ y_{\text{出}} = d – 2r \quad \cdots ④ $$

まず周期 \(T\) を計算します。②式に①式を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{v} \left( \frac{mv}{qB} \right) \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m}{qB}
\end{aligned}
$$
次に滞在時間を計算します。③式にこの \(T\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t_{\text{滞在}} &= \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi m}{qB} \right) \\[2.0ex] &= \frac{\pi m}{qB}
\end{aligned}
$$
最後に出ていく点のy座標を計算します。④式に①式を代入します。
$$
\begin{aligned}
y_{\text{出}} &= d – 2 \left( \frac{mv}{qB} \right) \\[2.0ex] &= d – \frac{2mv}{qB}
\end{aligned}
$$

(1)では、粒子は磁場に対して真横（x軸方向）に飛び込みます。すると、磁場の力でぐいっと曲げられ、きれいな半円を描いて磁場から出てきます。

• 滞在時間: 粒子が磁場の中にいる時間は、この半円を描くのにかかる時間です。これは、もし1周した場合の時間（周期）のちょうど半分になります。
• y座標: 粒子は高さ \(d\) の位置から磁場に入り、半径 \(r\) の半円を描きます。出ていくときは、円の直径（\(2r\)）分だけ下の位置になるので、高さは \(d-2r\) となります。

• 滞在時間: \(\displaystyle\frac{\pi m}{qB}\)
• y座標: \(d – \displaystyle\frac{2mv}{qB}\)

滞在時間が速さ \(v\) によらないという結果は、サイクロトロンと同様の重要な性質です。y座標は、速い粒子ほど半径が大きくなるため、より低い位置から出てくることを示しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
粒子が点P\((-L, d)\)から打ち出され、磁場領域で円弧を描き、再び点Pに戻ってくる軌道を考えます。この軌道は、点Pと磁場領域の出入り口（点Q, R）を結ぶ直線部分と、磁場領域内の円弧QRから構成されます。
軌道全体が \(y=d\) の直線に対して対称であることから、幾何学的な関係を導き出します。特に、△QCS（Cは円運動の中心）のような直角三角形に着目し、三角関数を用いて円運動の半径 \(r\) を \(L\) で表すことが目標です。

この設問における重要なポイント

• 軌道の対称性: 粒子が同じ点Pから出てPに戻るため、軌道は \(y=d\) の直線に関して対称になります。
• 幾何学的考察: 模範解答の図bの△QCSに着目します。入射角 \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) と、速度ベクトルが円の接線であることから、角度の関係を導き出します。
• 半径の導出: 三角関数を用いて、辺の長さの関係（QSとQC=r）を式にし、半径 \(r\) を求めます。
• 磁束密度の計算: 求めた半径 \(r\) を、円運動の半径の公式 \(r=\displaystyle\frac{mv}{qB}\) に代入し、\(B\) について解きます。

具体的な解説と立式
模範解答の図bに従って解析します。粒子は点Qで磁場に入り、円弧を描いて点Rで磁場から出て、点Pに戻ります。
点Pからy軸に下ろした垂線の足をSとすると、PSの長さは \(L\) です。
△PQSにおいて、\(\angle SPQ = \theta = \displaystyle\frac{\pi}{3}\) なので、
$$ QS = PS \tan\frac{\pi}{3} \quad \cdots ① $$
次に、円運動の中心をCとします。速度ベクトルは常に円軌道の接線なので、点Qでの速度ベクトル（PQ方向）と、動径CQは垂直です。
図bの幾何学的関係から、\(\angle QCS = \displaystyle\frac{\pi}{6}\) となります。
直角三角形△QCSにおいて、QCは円の半径 \(r\) です。
したがって、
$$ QS = QC \sin\frac{\pi}{6} \quad \cdots ② $$
①式と②式から半径 \(r\) を求めます。まず、
$$ L\sqrt{3} = r \cdot \frac{1}{2} $$
これを \(r\) について解くと、
$$ r = 2\sqrt{3}L \quad \cdots ③ $$
この半径 \(r\) は、円運動の公式 \(r=\displaystyle\frac{mv}{qB}\) と等しいので、
$$ 2\sqrt{3}L = \frac{mv}{qB} \quad \cdots ④ $$

④式を \(B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{mv}{q(2\sqrt{3}L)} \\[2.0ex] &= \frac{mv}{2\sqrt{3}qL}
\end{aligned}
$$

粒子がP点から出て、うまく磁場で曲げられて、またP点に戻ってくるという特別な状況です。このとき、粒子が描くコースはきれいな形をしているはずです。このコースの形を、分度器と定規（三角関数）を使って詳しく調べます。特に、磁場の中で描く円カーブの半径が、出発点までの距離 \(L\) を使ってどう表せるかを計算します。半径がわかれば、円運動の公式から、このカーブを実現するために必要な磁場の強さ \(B\) を逆算できます。

磁束密度の大きさは \(B = \displaystyle\frac{mv}{2\sqrt{3}qL}\) です。
特定の軌道を実現するためには、磁場の強さが粒子の運動量 \(mv\) や幾何学的配置 \(L\) によって一意に決まることを示しています。物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
全時間は、磁場のない領域を往復する時間 \(t’\) と、磁場領域内を運動する時間 \(t\) の和で求められます。

1. 磁場外の時間 \(t’\): 粒子はPQ間とRP間を速さ \(v\) で等速直線運動します。PQとRPの距離を幾何学的に求め、時間＝距離÷速さで計算します。
2. 磁場内の時間 \(t\): 粒子は円弧QRを速さ \(v\) で等速円運動します。この運動の中心角を求め、周期 \(T\) との比例関係から時間を計算します。

この設問における重要なポイント

• 時間の分割: 全時間を \(t_{\text{磁場外}} + t_{\text{磁場内}}\) に分割して考える。
• 磁場外の距離計算: 模範解答の図bの直角三角形の辺の比（\(1:2:\sqrt{3}\)）から、斜辺PQの長さを求める。\(PQ=RP\) である。
• 磁場内の中心角計算: 模範解答の計算過程から、円弧QRの中心角は \(\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) であることがわかる。
• 時間の比例関係: （運動時間）:（周期）＝（中心角）:（\(2\pi\)）

具体的な解説と立式
1. 磁場外の時間 \(t’\)

模範解答の図bの直角三角形の辺の比（\(1:2:\sqrt{3}\)）から、\(PQ=2L\)。
軌道は対称なので \(RP=PQ=2L\)。
磁場外を運動する距離は \(PQ+RP = 4L\)。
よって、かかる時間 \(t’\) は、
$$ t’ = \frac{4L}{v} \quad \cdots ① $$
2. 磁場内の時間 \(t\)

模範解答の計算過程より、磁場領域を運動する中心角は \(\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) である。
この円弧を運動する時間 \(t\) は、周期 \(T\) との比例関係から、
$$ t : T = \frac{5\pi}{3} : 2\pi $$
$$ t = \frac{5}{6}T \quad \cdots ② $$
周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) なので、
$$ t = \frac{5\pi m}{3qB} \quad \cdots ③ $$
全時間 \(t_{\text{全}}\) は、
$$ t_{\text{全}} = t + t’ \quad \cdots ④ $$

③式に(2)で求めた \(B = \displaystyle\frac{mv}{2\sqrt{3}qL}\) を代入して \(t\) を \(L, v\) で表す。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{5\pi m}{3q} \left( \frac{1}{B} \right) \\[2.0ex] &= \frac{5\pi m}{3q} \left( \frac{2\sqrt{3}qL}{mv} \right) \\[2.0ex] &= \frac{10\sqrt{3}\pi L}{3v}
\end{aligned}
$$
④式にこの \(t\) と①の \(t’\) を代入する。
$$
\begin{aligned}
t_{\text{全}} &= \frac{10\sqrt{3}\pi L}{3v} + \frac{4L}{v} \\[2.0ex] &= \left( \frac{10\sqrt{3}}{3}\pi + 4 \right) \frac{L}{v}
\end{aligned}
$$

P点を出てP点に戻るまでの合計時間を計算します。これは2つのパートに分けられます。

1. 磁場のないまっすぐなコース（P→QとR→P）を進む時間。これは単純に「距離÷速さ」で計算できます。
2. 磁場の中でカーブ（Q→R）している時間。これは、カーブの角度が円全体の何度分にあたるかを計算し、1周する時間（周期）との割合で求めます。

最後に、この2つの時間を足し合わせれば、合計時間がわかります。

全時間は \((\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{3}\pi+4)\frac{L}{v}\) です。
時間は距離 \(L\) に比例し、速さ \(v\) に反比例するという、直感に合う形になっています。係数部分は軌道の幾何学的な形状によって決まる複雑な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力による円運動:
  • 核心: 磁場に垂直に入射した荷電粒子は、常に速度と垂直なローレンツ力 \(F=qvB\) を受けます。この力が向心力として働くことで、粒子は等速円運動を行います。この関係を運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) として立式できることが、この問題の根幹です。
  • 理解のポイント: この運動方程式から導かれる半径 \(r=\displaystyle\frac{mv}{qB}\) と周期 \(T=\displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) の2つの式は、磁場中の荷電粒子の問題を解く上で必須のツールとなります。特に周期が速さ \(v\) や半径 \(r\) によらないという性質は非常に重要です。
• 運動の接続と幾何学:
  • 核心: 粒子は磁場のない領域では等速直線運動、磁場のある領域では等速円運動をします。この2つの運動が滑らかにつながる（速度ベクトルが連続である）ことが、軌道を決定する重要な条件です。
  • 理解のポイント: 粒子が磁場の境界を出入りする点では、直線軌道と円弧軌道が滑らかに接します。これは、円弧の接線が直線軌道の方向と一致することを意味し、円の半径と速度ベクトルが垂直になるという性質につながります。この幾何学的な関係を三角関数などを用いて正しく数式に落とし込む能力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: 異なる質量の同位体を分離する装置。同じ加速電圧\(V\)で加速されたイオンを磁場に入れ、円運動の半径の違い（\(r = \displaystyle\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}\) より、電荷が同じなら \(r \propto \sqrt{m}\)）を利用して分離します。
  • 速度選択器との組み合わせ: まず速度選択器で特定の速さの粒子だけを選び出し、その後で一様な磁場に入れて円運動させる問題。複数の物理現象を段階的に適用する能力が問われます。
  • 斜め入射: 磁場に対して斜めに入射した場合、粒子は磁力線に沿って等速直線運動、磁力線に垂直な面内で等速円運動を合成した「らせん運動」をします。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の分解: 粒子の運動を「磁場外（等速直線運動）」と「磁場内（等速円運動）」の区間に明確に分けます。
  2. 軌道の図示: 問題の条件に合わせて、粒子の軌道の概形をフリーハンドで描いてみましょう。特に、磁場の境界での出入りの様子（接線と半径の関係）を意識して描くことが重要です。
  3. 幾何学的情報の抽出: 描いた図から、直角三角形や円弧の中心角など、計算に利用できる幾何学的な関係性を見つけ出します。三角関数の利用が鍵となります。
  4. 物理法則の適用: 幾何学的に求めた半径や角度と、物理法則（円運動の半径の公式など）を結びつけて、未知の量（\(B\)や\(t\)など）を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 幾何学的な関係の誤認:
  • 誤解: 図の角度を正しく読み取れず、\(\sin\) と \(\cos\) を取り違えたり、中心角の計算を間違えたりする。
  • 対策: 速度ベクトルは円の「接線」であり、動径（中心と粒子を結ぶ線）と常に「垂直」であるという基本原則を徹底すること。補助線を引いて直角三角形を丁寧に見つけ、角度の関係を一つずつ確認する習慣をつけましょう。
• 時間の計算方法の混同:
  • 誤解: 磁場外の等速直線運動区間でも、周期を使った計算をしようとしてしまう。
  • 対策: 運動の種類を常に意識すること。磁場外は「時間＝距離/速さ」、磁場内は「周期との比例計算」または「円弧の長さ/速さ」と、区間ごとに適切な計算方法を選択します。
• ローレンツ力の向きの間違い:
  • 誤解: 磁場の向き（表向きか裏向きか）や電荷の正負を見落とし、フレミングの左手の法則を適用した結果、円運動の回転方向を逆にしてしまう。
  • 対策: 問題文の条件（電荷、磁場の向き）を最初にしっかり確認し、図に書き込むこと。フレミングの左手の法則を適用する際は、一つ一つの指の向きを慎重に確認しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • コンパスで円を描くイメージ: 荷電粒子が磁場に入ると、ローレンツ力が向心力となって円運動が始まります。これは、まるで円運動の中心にコンパスの針を置き、粒子を鉛筆の先として円を描き始めるようなイメージです。速度ベクトルが常に円の接線方向を向くことが自然に理解できます。
  • 補助線の活用: 問(2)のような複雑な軌道では、円運動の中心C、磁場への入射点Q、y軸上の点Sを結んでできる直角三角形△QCSが解析の鍵となります。このような補助線を自分で描けるかどうかが、問題を解けるかどうかの分かれ目になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 垂直関係の明記: 速度ベクトル（接線）と動径（半径）がなす角に、直角マーク（∟）を必ず書き込みましょう。これが幾何学的考察の出発点になります。
  • 角度の分解: 複雑な角度は、既知の角度（入射角 \(\theta\) など）を使って分解し、図に書き込んでいくと、三角形の内角の和などから未知の角度を特定しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の半径の公式 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\):
  • 選定理由: 磁場中の荷電粒子の運動に関する問題で、軌道の「大きさ」が問われているため、運動方程式から導かれるこの半径の公式を選択します。
  • 適用根拠: 幾何学的な考察から軌道の半径が \(L\) を用いて表された場合（例: \(r=2\sqrt{3}L\)）、その幾何学的条件と物理的条件を結びつけるためにこの式を用います。
• 時間の比例式 \(t/T = \theta/(2\pi)\):
  • 選定理由: 等速円運動において、運動した「時間」と、その間に回転した「中心角」が比例するという性質を利用するため、この式を選択します。
  • 適用根拠: 磁場領域での運動が等速円運動であり、その中心角が幾何学的に求められる状況で、時間を計算するために適用します。これは「時間＝円弧の長さ/速さ」と本質的に同じ計算です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 半円運動の解析:
   • 戦略: 入射角0 → 半円運動と特定。半径と周期の公式を適用。
   • フロー: ①周期 \(T\) を公式で求め、滞在時間 \(t=T/2\) を計算 → ②半径 \(r\) を公式で求め、y座標 \(y=d-2r\) を計算。
2. (2) 磁束密度の決定:
   • 戦略: 幾何学から半径を求め、物理公式と結びつける。
   • フロー: ①軌跡の図から△PQSと△QCSに着目 → ②三角関数を用いて辺QSの長さを2通りで表現 (\(QS=L\sqrt{3}\) と \(QS=r/2\)) → ③両式を等しいとおき、半径 \(r\) を \(L\) で表す (\(r=2\sqrt{3}L\)) → ④物理公式 \(r=\frac{mv}{qB}\) に代入し、\(B\) について解く。
3. (3) 全時間の計算:
   • 戦略: 全時間を「磁場外（直線）」と「磁場内（円弧）」に分割して計算し、合計する。
   • フロー: ①磁場外の距離 \(PQ+RP\) を幾何学的に求め、時間 \(t’=(PQ+RP)/v\) を計算 → ②磁場内の中心角 \(\theta\) を幾何学的に求め、時間 \(t=T \times (\theta/2\pi)\) を計算 → ③ \(t_{全}=t+t’\) を計算し、式を整理する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値の確認: \(\sin(\pi/3), \cos(\pi/6)\) などの基本的な三角関数の値を間違えないようにしましょう。不安な場合は、単位円や \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形を描いて確認する癖をつけると安全です。
• 文字の代入を丁寧に行う: 問(3)では、\(t\) を計算するために \(T\) の式を代入し、さらにその中の \(B\) に(2)で求めた式を代入するなど、複雑な代入計算が必要です。一つ一つのステップを省略せず、丁寧に書き下すことでミスを防ぎます。
• 分数の整理: 最終的な答えは、しばしば複雑な分数の形になります。共通因数でくくったり、分母を有理化したりするなど、最もシンプルで分かりやすい形に整理することを心がけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 次元（単位）のチェック: 例えば、問(2)で求めた \(B\) の式 \(\frac{mv}{qL}\) の単位を考えます。\(mv\) は [kg・m/s]、\(q\) は [C]、\(L\) は [m]。ローレンツ力 \(F=qvB\) [N] から \(B\) の単位は [N/(C・m/s)]。運動方程式 \(F=ma\) [N=kg・m/s²] を使うと、単位が一致することが確認でき、式の形がもっともらしいと判断できます。
  • 依存性の確認: 問(3)で求めた時間は、\(L\) に比例し \(v\) に反比例します。これは、移動距離が \(L\) に比例し、速さが \(v\) だから当然の関係です。このような直感的なチェックは有効です。
• 別解との比較:
  • この問題では、半径の計算（運動方程式 vs 力のつり合い）や時間の計算（周期との比例 vs 道のり/速さ）で別解がありました。異なるアプローチで同じ答えにたどり着くことを確認できれば、自分の解法と計算の両方に自信を持つことができます。

444 磁場内でのらせん運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な磁場中に入射した荷電粒子の運動を扱います。入射角度によって運動の様子が「等速直線運動」「等速円運動」「らせん運動」と変化することを理解し、それぞれの運動を正しく記述する能力が問われます。
この問題の核心は、速度ベクトルを「磁場に平行な成分」と「磁場に垂直な成分」に分解し、それぞれの成分がどのような運動に対応するかを考える点にあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の荷電粒子の運動」です。ローレンツ力の性質を正しく理解することが全ての鍵となります。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(\theta=0^\circ\) ということは、電子の初速度の向きが磁場の向きと完全に一致している状況です。ローレンツ力は速度と磁場の両方に垂直な方向に働くため、速度と磁場が平行な場合には力が働きません。

この設問における重要なポイント

• ローレンツ力が働く条件: ローレンツ力の大きさは \(F = evB\sin\phi\) で与えられます。ここで \(\phi\) は速度 \(\vec{v}\) と磁場 \(\vec{B}\) のなす角です。
• 力が働かない場合: \(\theta=0^\circ\) のとき、\(\phi=0^\circ\) なので \(\sin\phi=0\) となり、ローレンツ力は \(F=0\) です。
• 慣性の法則: 外力が働かない物体は、静止しているか等速直線運動を続けます。

具体的な解説と立式
電子の初速度 \(\vec{v}\) の向きはx軸の正の向き、磁場 \(\vec{B}\) の向きもx軸の正の向きです。したがって、\(\vec{v}\) と \(\vec{B}\) のなす角 \(\phi\) は \(0^\circ\) です。
電子が受けるローレンツ力の大きさ \(F\) は、
$$ F = evB\sin\phi $$
で与えられます。
この場合、\(\phi=0^\circ\) なので、
$$ F = evB\sin0^\circ = 0 $$
となり、電子には力が働きません。
力が働かないので、電子は慣性の法則に従い、初速度のまま運動を続けます。

上記の立式で示した通り、計算するまでもなく力はゼロです。
したがって、電子は初速度 \(\vec{v}\)（速さ \(v\)、向きはx軸正方向）を維持します。

磁石の力（ローレンツ力）は、荷電粒子が磁場を「横切る」ときにだけ働きます。この問題では、電子が磁場の向きと「平行に」進んでいるため、磁場を全く横切りません。そのため、磁石からの力はゼロとなり、電子は何もされずに、まっすぐ進み続けます。

電子は、x軸の正の向きに速さ \(v\) の等速直線運動をします。これは物理法則と矛盾しない妥当な結論です。

問(2)

(a) 等速円運動の半径 \(r\) と周期 \(T\) を求めよ。

思考の道筋とポイント
\(\theta=90^\circ\) のとき、電子の初速度はy軸の正の向きとなり、磁場（x軸の正の向き）と常に垂直です。このため、電子は常に速度と垂直な向きに一定の大きさのローレンツ力を受け続けます。この力が向心力となり、電子は等速円運動をします。運動の舞台は、磁場に垂直なyz平面となります。

この設問における重要なポイント

• 力の向き: フレミングの左手の法則を用います。電子の運動方向（y軸正）と逆向き（y軸負）を電流の向きとします。磁場はx軸正の向きなので、ローレンツ力はz軸の正の向きに働きます。
• 向心力: このローレンツ力が向心力となり、電子を円運動させます。
• 運動方程式: 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) を立てて半径 \(r\) を求めます。
• 周期: 周期 \(T\) は、円周の長さ \(2\pi r\) を速さ \(v\) で割ることで求められます。

具体的な解説と立式
電子の速度 \(\vec{v}\) は磁場 \(\vec{B}\) と常に垂直なので、ローレンツ力の大きさ \(F\) は常に一定です。
$$ F = evB\sin90^\circ = evB \quad \cdots ① $$
この力が向心力となり、電子はyz平面内で等速円運動をします。この円運動の半径を \(r\)、速さを \(v\) とすると、運動方程式は次のように立てられます。
$$ m\frac{v^2}{r} = F \quad \cdots ② $$
②に①を代入すると、
$$ m\frac{v^2}{r} = evB \quad \cdots ③ $$
この式から半径 \(r\) を求めます。
また、周期 \(T\) は、円周 \(2\pi r\) を速さ \(v\) で進む時間なので、
$$ T = \frac{2\pi r}{v} \quad \cdots ④ $$
で与えられます。

まず、③式を \(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{r} &= evB \\[2.0ex] r &= \frac{mv^2}{evB} \\[2.0ex] &= \frac{mv}{eB}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を④式に代入して周期 \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{v} \times r \\[2.0ex] &= \frac{2\pi}{v} \times \frac{mv}{eB} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m}{eB}
\end{aligned}
$$

電子が磁場を真横に横切ると、常に進行方向に対して横向きの力（ローレンツ力）を受け続けます。曲がり角で常にハンドルを切り続けると車が円を描くように、電子も常に横向きの力を受けることで、くるくると同じ場所を回る円運動をします。この円の大きさ（半径）と、1周にかかる時間（周期）を計算で求めています。

半径は \(r = \displaystyle\frac{mv}{eB}\)、周期は \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) です。
半径は速さ \(v\) や質量 \(m\) が大きいほど大きく、周期は速さ \(v\) によらないという特徴があります。これは、速い粒子ほど大きな円を描くが、その分速く進むので1周にかかる時間は変わらない、という物理的イメージと一致しており、妥当な結果です。

(b) 電子を直進させるための電場 \(\vec{E}\) の向きと、\(v, B, E\) の関係式を示せ。

思考の道筋とポイント
電子を直進（等速直線運動）させるためには、電子に働く合力をゼロにする必要があります。磁場からはローレンツ力が働いているので、これを打ち消すような静電気力を加えればよい、と考えます。

この設問における重要なポイント

• 合力ゼロ: 等速直線運動の条件は、物体に働く合力がゼロであることです。
• 力のつり合い: ローレンツ力と、加えた電場による静電気力がつりあう（大きさが等しく、向きが逆）条件を考えます。
• 静電気力: 電荷 \(q\) の粒子が電場 \(\vec{E}\) から受ける力は \(\vec{F} = q\vec{E}\) です。電子の電荷は負 (\(q=-e\)) なので、静電気力は電場と逆向きに働きます。

具体的な解説と立式
(a)で確認したように、電子がy軸正方向に速さ \(v\) で運動するとき、磁場からz軸正方向のローレンツ力 \(\vec{F}_{\text{ローレンツ}}\) を受けます。その大きさは \(F_{\text{ローレンツ}} = evB\) です。
この力とつりあうためには、z軸負方向の静電気力 \(\vec{F}_{\text{静電気}}\) を加える必要があります。
電子の電荷は \(-e\) なので、静電気力 \(\vec{F}_{\text{静電気}}\) と電場 \(\vec{E}\) の関係は \(\vec{F}_{\text{静電気}} = -e\vec{E}\) となります。
\(\vec{F}_{\text{静電気}}\) がz軸負方向を向くためには、電場 \(\vec{E}\) はz軸正方向を向く必要があります。
力のつり合いの条件は、力の大きさが等しいことなので、
$$ F_{\text{静電気}} = F_{\text{ローレンツ}} \quad \cdots ① $$
静電気力の大きさは \(F_{\text{静電気}} = eE\) なので、
$$ eE = evB \quad \cdots ② $$
この式から \(E\) と \(v, B\) の関係が求まります。

②式を整理して、関係式を求めます。
$$
\begin{aligned}
eE &= evB \\[2.0ex] E &= vB
\end{aligned}
$$
したがって、加えるべき電場の向きはz軸の正の向き、大きさは \(E=vB\) を満たすものです。

磁場によって電子はz軸のプラス方向（上向き）に曲げられようとします。これをまっすぐ進ませるためには、逆のz軸のマイナス方向（下向き）に引っ張る力を加えてあげればよいわけです。この役割を電場に担わせます。電子はマイナスの電気を持っているので、電場とは逆向きに力を受けます。したがって、下向きの力を加えるためには、上向き（z軸プラス方向）の電場をかければよいことになります。

加える電場の向きはz軸の正の向きで、その大きさと速さ、磁束密度の間には \(E=vB\) という関係が成り立ちます。
この原理は、特定の速さの粒子だけをまっすぐ通過させる「速度選択器」として応用されます。結果は物理的に妥当です。

問(3)

(a) 電子はどのような運動をするか。

思考の道筋とポイント
初速度 \(\vec{v}\) が磁場 \(\vec{B}\) に対して斜めに入射する場合、速度ベクトルを磁場に平行な成分と垂直な成分に分解して考えるのが定石です。それぞれの成分がどのような運動をするかを考え、それらを合成します。

この設問における重要なポイント

• 速度の分解: 初速度 \(\vec{v}\) を、磁場に平行な成分（x軸方向） \(\vec{v}_{\parallel}\) と、磁場に垂直な成分（y軸方向） \(\vec{v}_{\perp}\) に分解します。
  • 平行成分の大きさ: \(v_{\parallel} = v\cos\theta\)
  • 垂直成分の大きさ: \(v_{\perp} = v\sin\theta\)
• 平行成分の運動: \(\vec{v}_{\parallel}\) は磁場と平行なのでローレンツ力を受けません。したがって、この方向には等速直線運動をします。
• 垂直成分の運動: \(\vec{v}_{\perp}\) は磁場と垂直なので、ローレンツ力を向心力として等速円運動をします。この運動はyz平面内で起こります。
• 運動の合成: 等速直線運動と等速円運動が同時に起こるため、全体の軌跡は「らせん」を描きます。

具体的な解説と立式
電子の初速度 \(\vec{v}\) を、磁場 \(\vec{B}\)（x軸方向）に平行な成分 \(\vec{v}_x\) と垂直な成分 \(\vec{v}_y\) に分解します。

• x軸方向の速度成分: \(v_x = v\cos\theta\)
• y軸方向の速度成分: \(v_y = v\sin\theta\)

x軸方向の運動:
速度成分 \(\vec{v}_x\) は磁場 \(\vec{B}\) と平行なので、この速度成分に起因するローレンツ力はゼロです。よって、電子はx軸方向に速さ \(v_x = v\cos\theta\) の等速直線運動を続けます。

yz平面内の運動:
速度成分 \(\vec{v}_y\) は磁場 \(\vec{B}\) と垂直なので、この速度成分により電子はローレンツ力を受けます。この力は常にyz平面内にあり、速度ベクトルに垂直に働くため、向心力として機能します。その結果、電子はyz平面に投影すると、速さ \(v_y = v\sin\theta\) の等速円運動をします。

これら2つの運動を合成すると、電子はx軸方向に一定速度で進みながら、その周りをくるくる回る運動、すなわち「らせん運動」をします。

この設問は運動の様相を問うものであり、具体的な計算はありません。

ボールをまっすぐ投げながら、そのボール自身がフラフープのようにくるくる回っている状態を想像してください。まっすぐ進む運動（等速直線運動）と、その場で回る運動（等速円運動）が合わさると、全体としてはバネのような「らせん」の軌跡を描きます。電子の運動もこれと同じです。

電子は、x軸を軸として、yz平面内で等速円運動をしながらx軸正方向に等速直線運動をする、合成運動である「らせん運動」をします。これは磁場中を斜めに進む荷電粒子の典型的な運動であり、妥当な結論です。

(b) 点Oから再びx軸上の点Pを通るまでの時間 \(t\) とOP間の距離 \(l\) を求めよ。

思考の道筋とポイント
電子が再びx軸上を通るということは、yz平面内での円運動がちょうど1周して、元の位置（yz座標が(0,0)）に戻ってくることを意味します。したがって、求める時間 \(t\) は、この円運動の周期に等しくなります。距離 \(l\) は、この時間 \(t\) の間にx軸方向に進んだ距離（らせんのピッチ）です。

この設問における重要なポイント

• 円運動の周期: yz平面内での円運動の周期を求めます。この円運動の速さは \(v_\perp = v\sin\theta\) です。周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) は速さによらないことを利用するのが賢明です。
• ピッチの計算: 距離 \(l\) は、x軸方向の速さ \(v_\parallel = v\cos\theta\) と周期 \(t\) の積で求められます。

具体的な解説と立式
求める時間 \(t\) は、yz平面内での等速円運動の周期 \(T’\) に等しいです。
この円運動の速さは \(v’ = v\sin\theta\)、半径を \(r’\) とすると、運動方程式は、
$$ m\frac{(v’)^2}{r’} = ev’B $$
よって、半径 \(r’\) は、
$$
\begin{aligned}
r’ &= \frac{mv’}{eB} \\[2.0ex] &= \frac{mv\sin\theta}{eB}
\end{aligned}
$$
周期 \(t = T’\) は、
$$ t = T’ = \frac{2\pi r’}{v’} \quad \cdots ① $$
となります。

また、OP間の距離 \(l\) は、この時間 \(t\) の間にx軸方向に速さ \(v_x = v\cos\theta\) で進んだ距離なので、
$$ l = v_x \times t = (v\cos\theta)t \quad \cdots ② $$
で与えられます。

まず、時間 \(t\) を計算します。①式に \(r’\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{2\pi}{v’} \times r’ \\[2.0ex] &= \frac{2\pi}{v\sin\theta} \times \frac{mv\sin\theta}{eB} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m}{eB}
\end{aligned}
$$
この結果は、(2a)で求めた周期 \(T\) と同じであり、円運動の周期は速さによらないことがわかります。

次に、この \(t\) を②式に代入して距離 \(l\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
l &= (v\cos\theta) \times t \\[2.0ex] &= (v\cos\theta) \times \frac{2\pi m}{eB} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi mv\cos\theta}{eB}
\end{aligned}
$$

電子が再びx軸に戻ってくるのは、yz平面での円運動をちょうど1周したときです。この1周にかかる時間 \(t\) をまず計算します。面白いことに、この時間は電子が回る速さに関係なく、電子の質量 \(m\) と磁場の強さ \(B\) だけで決まります。次に、この時間 \(t\) の間に、電子がx軸方向にどれだけ進んだかを計算します。これが距離 \(l\) になります。

時間は \(t = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\)、距離は \(l = \displaystyle\frac{2\pi mv\cos\theta}{eB}\) です。
時間 \(t\) はらせん運動の周期（ピッチタイム）、距離 \(l\) はらせんのピッチと呼ばれます。物理的に妥当な結果です。

(c) この測定からどのような物理量が求められるか。

思考の道筋とポイント
(b)で求めた時間 \(t\) や距離 \(l\) の式に、どのような物理定数や粒子固有の量が含まれているかに着目します。電子と1価の原子イオンで同じ実験をしたときに、測定値の違いが何に起因するかを考えます。

この設問における重要なポイント

• 測定可能な量: 時間 \(t\) や距離 \(l\) は実験で測定できると仮定します。
• 既知の量: 磁場 \(B\)、入射速度 \(v\)、入射角 \(\theta\) は実験者が設定する既知の値とします。
• 未知の量: 粒子の質量 \(m\) と電荷 \(e\) は、粒子固有の未知の量です。
• 比電荷: \(t\) と \(l\) の式には、質量 \(m\) と電荷 \(e\) が常に \(\displaystyle\frac{m}{e}\) という比の形で現れます。この \(\displaystyle\frac{e}{m}\) を比電荷と呼びます。
• イオンとの比較: 1価の原子イオンは、電荷の大きさが電子と同じ \(e\) ですが、質量 \(M\) が異なります。

具体的な解説と立式
(b)で求めた時間 \(t\) の式を見てみましょう。
$$ t = \frac{2\pi m}{eB} $$
この式を粒子固有の量である \(\displaystyle\frac{m}{e}\) について解くと、
$$ \frac{m}{e} = \frac{Bt}{2\pi} $$
この式から、時間 \(t\) と磁場 \(B\) を測定すれば、粒子の \(\displaystyle\frac{m}{e}\)（質量の電荷に対する比）がわかります。
同様に、距離 \(l\) の式
$$ l = \frac{2\pi mv\cos\theta}{eB} $$
からは、
$$ \frac{m}{e} = \frac{Bl}{2\pi v\cos\theta} $$
となり、こちらも \(\displaystyle\frac{m}{e}\) が求められます。

ここで、電子と1価の原子イオンで比較します。

• 電子: 質量 \(m\), 電荷の大きさ \(e\)
• 1価イオン: 質量 \(M\), 電荷の大きさ \(e\)

電子で測定した時間を \(t_{\text{電子}}\)、イオンで測定した時間を \(t_{\text{イオン}}\) とすると、
$$ t_{\text{電子}} = \frac{2\pi m}{eB} $$
$$ t_{\text{イオン}} = \frac{2\pi M}{eB} $$
これらの測定値の比をとると、
$$
\begin{aligned}
\frac{t_{\text{イオン}}}{t_{\text{電子}}} &= \frac{\displaystyle\frac{2\pi M}{eB}}{\displaystyle\frac{2\pi m}{eB}} \\[2.0ex] &= \frac{M}{m}
\end{aligned}
$$
となり、電子とイオンの質量比が求められます。

上記の通り、測定値の比を計算することで、質量比が導出されます。

らせん運動の1周にかかる時間 \(t\) は、粒子の「質量を電荷で割った値」に比例します。電子と、1価の原子イオン（例えば水素イオンなど）は、電気の量（電荷）は同じですが、重さ（質量）が全く違います。したがって、同じ磁場の中で測定した時間 \(t\) を比べることで、2つの粒子の「質量の比」を知ることができます。これは、目に見えない小さな粒子の重さを測るための強力な方法（質量分析法）の原理の一つです。

測定値の比較から、電子と1価原子イオンの比電荷 \(\displaystyle\frac{e}{m}\) の比、あるいは電荷の大きさが等しいことから、両者の「質量比」を求めることができます。これは質量分析器の原理そのものであり、物理的に非常に重要な応用例です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力の性質の完全理解:
  • 核心: 荷電粒子が磁場から受ける力 \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\) は、常に速度 \(\vec{v}\) と磁場 \(\vec{B}\) の両方に垂直である、という性質が全ての現象の根源です。このため、ローレンツ力は荷電粒子の運動エネルギーを変化させず、運動の向きだけを変える（仕事をしない）という点が極めて重要です。
  • 理解のポイント: 速度と磁場が平行なら力はゼロ（等速直線運動）。垂直なら常に速度と直角に力が働き向心力となる（等速円運動）。斜めなら、速度を平行成分と垂直成分に分解し、それぞれの運動の合成（らせん運動）として考える。この3パターンの使い分けが核心です。
• 運動の分解と合成:
  • 核心: 複雑に見える「らせん運動」も、単純な「等速直線運動」と「等速円運動」の重ね合わせに過ぎない、と見抜くことが重要です。
  • 理解のポイント: 磁場に平行な運動と垂直な運動は、互いに影響を与えずに独立して起こると考えます。x軸方向にはただまっすぐ進み、yz平面ではただくるくる回る。この2つを同時に行うと、らせんになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: まさに設問(3)がその原理です。異なる質量の同位体を分離したり、未知の分子の質量を決定したりする装置で、周期や軌道の半径の違いを利用します。
  • サイクロトロン: 荷電粒子をらせん状に運動させながら、特定の場所で電場により加速を繰り返す装置。粒子の周期が速さによらない性質 (\(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{|q|B}\)) を巧みに利用しています。
  • ホール効果: 導体内の電流（電子の流れ）が磁場から力を受け、導体の側面に電荷が偏る現象。ローレンツ力と、偏りによって生じる電場からの静電気力がつりあう点で考えます。設問(2)(b)の考え方と非常によく似ています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、磁場の向きを一つの軸（この問題ではx軸）に設定し、座標系を明確にします。
  2. 速度ベクトルの分解: 入射する粒子の速度ベクトルを、磁場に平行な成分と垂直な成分に分解します。これが全ての出発点です。
  3. 力の向きの確認: フレミングの左手の法則を使い、力の向きを慎重に判断します。特に、負電荷（電子など）の場合は電流の向きが運動と逆になる点に細心の注意を払います。
  4. 運動の種類を特定: 分解した各成分が「等速直線運動」か「等速円運動」のどちらに対応するかを判断し、全体の運動をイメージします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電子の電荷の符号ミス:
  • 誤解: フレミングの左手の法則を、電子の運動方向にそのまま適用してしまい、力の向きを逆にしてしまう。
  • 対策: 「電流の向きは、正電荷の運動の向き、負電荷の運動と逆の向き」という定義を徹底します。または、ローレンツ力のベクトル式 \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\) で、\(q=-e\) を代入して機械的に計算する習慣をつけると、符号ミスが防げます。
• らせん運動の周期計算ミス:
  • 誤解: らせん運動の周期を計算する際、円運動成分の速さが \(v\sin\theta\) なので、周期の公式にこの速さを代入しようとして混乱する。
  • 対策: 円運動の周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{|q|B}\) は、速さや半径によらない普遍的な式であることを覚えておきましょう。速い粒子は大きな円を描き、遅い粒子は小さな円を描くため、結果的に1周にかかる時間は同じになる、とイメージで理解しておくのが有効です。
• 速度の分解方向の間違い:
  • 誤解: 速度を、重力があるときのように水平・鉛直方向に分解してしまう。
  • 対策: 分解の基準は常に「磁場の向き」です。「磁場に平行」か「磁場に垂直」かの2方向に分解することを徹底してください。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • らせん運動の2面図: 運動を真横（例: xy平面）から見た図と、進行方向（例: yz平面）から見た図の2つを描くと非常に分かりやすくなります。真横から見ればサインカーブのような波形に見え、進行方向から見ればただの円に見えます。この2つの視点を組み合わせることで、立体的ならせん運動が正確にイメージできます。
  • 速度ベクトルの分解図: 入射点Oで、初速度ベクトル \(\vec{v}\) を、磁場に平行な \(\vec{v}_{\parallel}\) と垂直な \(\vec{v}_{\perp}\) に分解する図を必ず描きましょう。どの成分がどの運動を引き起こすのかが一目瞭然になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 3次元座標を意識する: x, y, z軸を右手系（x→yの回転で右ねじが進むのがz）で正しく描き、磁場、速度、力のベクトルの向きを空間的に把握することが重要です。
  • 力のベクトルを書き込む: 円運動やらせん運動の軌跡上の数点において、速度ベクトルとローレンツ力ベクトルを書き込みましょう。力が常に軌道の中心を向き、速度と垂直になっていることを視覚的に確認できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\):
  • 選定理由: 粒子が一定の軌道から外れずに円運動を続けるためには、常に中心に向かう力（向心力）が必要である、という物理的要請を表す基本公式だからです。
  • 適用根拠: この問題では、ローレンツ力が常に速度と垂直に働き、その大きさが一定であるため、向心力の役割を果たすことができます。したがって、この公式を適用して軌道の半径を力学的に決定できます。
• 周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{|q|B}\):
  • 選定理由: 円運動の半径 \(r\) と速さ \(v\) が分かれば、周期は \(T=2\pi r/v\) で計算できますが、この公式はそれを整理した結果です。特に、周期が速さ \(v\) によらないという重要な性質を示しており、らせん運動のピッチタイムなどを考える際に直接使えて便利だからです。
  • 適用根拠: 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = |q|vB\) から \(r = \displaystyle\frac{mv}{|q|B}\) が導かれ、これを \(T=2\pi r/v\) に代入することで、この公式が導出されます。論理的に導かれた結果なので、安心して適用できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) \(\theta=0^\circ\):
   • 戦略: 速度と磁場が平行であることを確認し、ローレンツ力がゼロになることを示す。
   • フロー: ① \(\vec{v} \parallel \vec{B}\) を確認 → ② ローレンツ力の式 \(F=|q|vB\sin\phi\) で \(\phi=0\) を代入 → ③ \(F=0\) を結論 → ④ 慣性の法則より等速直線運動と判断。
2. (2a) \(\theta=90^\circ\):
   • 戦略: ローレンツ力が向心力となる円運動の運動方程式を立てる。
   • フロー: ① ローレンツ力の大きさ \(F=evB\) を計算 → ② 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=F\) を立式 → ③ \(r\) について解く → ④ \(T=2\pi r/v\) に代入して \(T\) を計算。
3. (3b) らせん運動のピッチ:
   • 戦略: 運動を「x軸方向の等速直線運動」と「yz平面内の等速円運動」に分解する。
   • フロー: ① 速度を \(v_x = v\cos\theta\) と \(v_y = v\sin\theta\) に分解 → ② yz平面の円運動の周期 \(t\) を計算（速さによらない公式 \(T=\displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) を使うのが速い） → ③ x軸方向に進む距離 \(l\) を \(l = v_x \times t\) で計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: \(m, e, v, B, \theta\) などの文字は、最後の最後まで代入せずに文字式のまま計算を進めましょう。途中で物理的な意味が確認しやすくなる上、約分によって計算が簡単になることが多いです。
• 単位の確認（次元解析）: 例えば半径 \(r\) を求めたとき、その式の単位が本当に長さの単位になっているかを確認する癖をつけましょう。\(r = \displaystyle\frac{mv}{eB}\) の単位は $$ \begin{aligned} \frac{[\text{kg}][\text{m/s}]}{[\text{C}][\text{T}]} &= \frac{[\text{kg}][\text{m/s}]}{[\text{C}][\text{N/(A}\cdot\text{m)}]} \\[2.0ex] &= \frac{[\text{kg}][\text{m/s}]}{[\text{C}][\text{N/((C/s)}\cdot\text{m)}]} \\[2.0ex] &= \frac{[\text{kg}][\text{m/s}]}{[\text{N}\cdot\text{s/m}]} \\[2.0ex] &= \frac{[\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}]}{[\text{kg}\cdot\text{m/s}^2 \cdot \text{s}]} \\[2.0ex] &= [\text{m}] \end{aligned} $$ となり、正しそうです。
• 周期の公式の活用: らせん運動の周期を求める際に、毎回半径を計算してから \(T=2\pi r’/v’\) に代入すると計算が煩雑になりがちです。周期が速さによらない \(T=\displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) という結果を覚えておき、直接利用することで、計算量を減らしミスを防げます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 半径 \(r = \displaystyle\frac{mv}{eB}\): 質量 \(m\) が大きい（慣性が大きい）ほど、また速さ \(v\) が大きい（勢いが強い）ほど曲がりにくく、半径は大きくなる。電荷 \(e\) が大きいほど、また磁場 \(B\) が強いほど、強く曲げられるので半径は小さくなる。全て物理的直感と一致します。
  • 周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\): 周期が速さ \(v\) によらない。これは、速い粒子ほど大きな円を描くので、周回距離が長くなる分、速さでちょうど相殺されるためです。この非自明な結果は、サイクロトロンなどの応用で非常に重要であり、妥当性を吟味する価値があります。
  • ピッチ \(l = \displaystyle\frac{2\pi mv\cos\theta}{eB}\): 入射角 \(\theta\) が \(90^\circ\) に近づくと \(\cos\theta \to 0\) となり、ピッチはゼロに近づきます（その場での円運動になる）。\(\theta\) が \(0^\circ\) に近づくと \(\cos\theta \to 1\) となり、ピッチは最大になります。これも直感と一致します。
• 極端な場合を考える:
  • 設問(3)の結果で、\(\theta=90^\circ\) とすると、\(t = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\), \(l=0\) となり、設問(2)の周期と一致し、x方向には進まない（その場での円運動）という結果と整合します。
  • \(\theta=0^\circ\) とすると、\(t\) は定義できますが、円運動の半径がゼロになるため「らせん運動」とは言えなくなり、\(l\) の式も意味をなさなくなります。これは、そもそも運動の種類が異なる(1)の等速直線運動に対応しており、場合分けの正しさを裏付けています。

445 半導体中の電子の運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、電流が流れる半導体に磁場を加えたときに電位差が生じる「ホール効果」を扱います。電流の担い手が電子であることを踏まえ、ローレンツ力と静電気力のつり合いから現象を解き明かす能力が問われます。
この問題の核心は、「電流の巨視的な量(\(I\))」と「電子の微視的な運動(\(v\))」を結びつけ、ホール効果によって生じる物理量を数式で表現することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホール効果」です。電流の正体が電子の運動であること、そしてその電子が磁場から受けるローレンツ力を考えることが出発点となります。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子が受けるローレンツ力の向きと大きさを求める問題です。重要なのは「電流の向き」と「電子の運動の向き」の関係です。電流はy軸の正の向きに流れますが、その担い手である電子（負電荷）は逆のy軸の負の向きに運動します。この電子の運動に対して力を考えます。

この設問における重要なポイント

• 電子の運動方向: 電流がy軸正方向なので、電子はy軸負方向に速さ \(v\) で運動します。
• フレミングの左手の法則の適用: まず正電荷が受ける力を考えます。電流の向き(y軸正)を中指、磁場の向き(z軸正)を人差し指に当てると、力(親指)はx軸正方向を向きます。電子は負電荷ですが運動の向きも電流と逆(y軸負)なので、2つの「逆」が打ち消し合い、電子も同じx軸正方向に力を受けます。
• ローレンツ力の大きさ: 電子の速度と磁場は垂直なので、力の大きさは \(F=evB\) となります。

具体的な解説と立式
電流の向きはy軸の正の向きですが、電流の担い手は負電荷の電子なので、電子の平均的な速度 \(\vec{v}\) はy軸の負の向きとなります。
磁場 \(\vec{B}\) はz軸の正の向きです。
電子の速度の向きと磁場の向きは垂直なので、電子が受けるローレンツ力 \(F\) の大きさは、
$$ F = evB\sin90^\circ = evB $$
力の向きは、フレミングの左手の法則を用いて決定します。まず、正電荷が受ける力の向きを考えると、電流の向き（y軸正）と磁場の向き（z軸正）から、力の向きはx軸の正の向きとなります。電子は負電荷ですが、運動の向きも電流と逆向きなので、実際に受ける力もこれと同じ向き、すなわちx軸の正の向きとなります。

大きさは上記の通り \(evB\) [N] であり、これ以上の計算はありません。

半導体の中を流れる無数の電子の粒が、磁石の力（ローレンツ力）を受けます。電子はマイナスの電気を持っているので、電流の向きとは逆向きに動いています。この電子の動きに対して力を考えると、電子はx軸のプラス方向、つまり面Qの方向に力を受けることがわかります。

力 \(F\) の向きはx軸の正の向き、大きさは \(evB\) です。物理法則に則っており、妥当な結論です。

問(2)

① 電場 \(E_x\) が生じる理由を述べよ。

思考の道筋とポイント
(1)で求めたローレンツ力によって、電子の運動がどう変化するかを考えます。電子は電荷を持っているので、電子が特定の場所に偏ると、そこに電荷の分布が生まれ、電場が生じます。

具体的な解説と立式
(1)で見たように、半導体内の電子はローレンツ力によりx軸の正の向き、すなわち面Q(\(x=a\))の方向に力を受けます。その結果、電子は面Q側に引き寄せられて偏ります。これにより、面Qは電子が過剰になって負に帯電し、逆に電子が不足した面P(\(x=0\))は正に帯電します。
正の電荷と負の電荷が分離して分布すると、その間には電場が生じます。電場は電位の高い方から低い方へ向かうので、正に帯電した面Pから負に帯電した面Qの向き、すなわちx軸の正の向きに電場 \(E_x\) が生じます。

② 電場 \(E_x\) の大きさを求めよ。

思考の道筋とポイント
電子の偏りは無限に続くわけではありません。電子が偏って電場 \(E_x\) が生じると、後続の電子はこの電場からローレンツ力とは逆向きの静電気力を受けるようになります。やがてこの2つの力がつりあうと、電子はx方向に力を受けなくなり、まっすぐy軸負方向に進むようになります。この「定常状態」での力のつり合いを考えます。

具体的な解説と立式
定常状態では、電子に働くx方向の力がつりあいます。

• ローレンツ力: (1)より、x軸正向き、大きさ \(F_{\text{ローレンツ}} = evB\)。
• 静電気力: 面Pから面Qの向き（x軸正方向）に生じた電場 \(E_x\) から受ける力。電子の電荷は \(-e\) なので、電場とは逆のx軸負向きに力を受けます。大きさは \(F_{\text{静電気}} = eE_x\)。

力のつり合いの式は、
$$ eE_x = evB $$
となります。この式を \(E_x\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
eE_x &= evB \\[2.0ex] E_x &= vB
\end{aligned}
$$

③ 電位差 \(V_x\) を求めよ。

思考の道筋とポイント
面Pと面Qの間には、大きさ \(E_x\) の一様な電場が生じていると考えられます。一様な電場中の2点間の電位差は、公式 \(V=Ed\) を用いて計算できます。

具体的な解説と立式
面P(\(x=0\))と面Q(\(x=a\))の間の距離は \(a\) です。この区間に大きさ \(E_x\) の一様な電場が生じているので、電位差 \(V_x\) は、
$$ V_x = E_x \cdot a $$
これに②で求めた \(E_x = vB\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
V_x &= E_x \cdot a \\[2.0ex] &= (vB)a \\[2.0ex] &= vBa
\end{aligned}
$$

④ 電位が高いのは面 P, 面Qのどちらか。
思考の道筋とポイント
①で考えた電荷の偏りを思い出します。電位は、正の電荷に近いほど高くなります。

具体的な解説と立式
①で解説したように、ローレンツ力によって電子が面Q側に偏るため、面Pが正に、面Qが負に帯電します。電位は正電荷側で高く、負電荷側で低くなるため、電位が高いのは面Pです。

問(3)

思考の道筋とポイント
電流 \(I\) というマクロな量と、電子の速さ \(v\) というミクロな量を結びつける問題です。電流の定義式 \(I = Snev\) を用います。ここで \(S\) は電流が通過する断面の面積です。

この設問における重要なポイント

• 電流の微視的表現: \(I = Snev\)
• 断面積S: 電流はy軸方向に流れており、それに垂直な断面はxz平面です。この半導体では、その面積は \(a \times c\) となります。

具体的な解説と立式
電流 \(I\) は、単位時間に断面を通過する電気量の大きさです。
電流の向きに垂直な断面積を \(S\) とすると、\(S = ac\) です。
この断面を、1秒間に速さ \(v\) で通過する電子が占める体積は \(S \times v = acv\) です。
この体積に含まれる電子の数は、電子数密度 \(n\) を用いて \(n \times (acv)\) 個となります。
各電子の電気量の大きさは \(e\) なので、1秒間に断面を通過する総電気量、すなわち電流 \(I\) は、
$$ I = e \times n \times (acv) = enacv $$
この式を、電子の速さ \(v\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
I &= enacv \\[2.0ex] v &= \frac{I}{enac}
\end{aligned}
$$

電流の大きさは、電子の「数」「速さ」「断面積」で決まります。たくさんの電子が、速く、広い断面積を通過するほど、電流は大きくなります。この関係を数式で表し、電子の速さ \(v\) を求める式に変形しています。

電子の速さ \(v\) は \(v = \displaystyle\frac{I}{enac}\) と表せます。電流 \(I\) に比例し、電子の数密度 \(n\) や断面積 \(ac\) に反比例するという、物理的に妥当な関係になっています。

問(4)

思考の道筋とポイント
これまでに導出した関係式を組み合わせて、磁束密度 \(B\) を求めます。具体的には、(2)③で求めた電位差 \(V_x\) の式と、(3)で求めた速さ \(v\) の式を連立させます。

この設問における重要なポイント

• 連立方程式:
  • \(V_x = vBa \quad \cdots \text{(A)}\)
  • \(v = \displaystyle\frac{I}{enac} \quad \cdots \text{(B)}\)
• Bの導出: (B)式を(A)式に代入し、\(B\) について整理します。

具体的な解説と立式
(2)③より、電位差は \(V_x = vBa\) です。
この式に(3)で求めた \(v = \displaystyle\frac{I}{enac}\) を代入します。
$$ V_x = \left( \frac{I}{enac} \right) B a $$
この式を \(B\) について解きます。

まず、\(B\) について式を整理します。
$$
\begin{aligned}
V_x &= \frac{IBa}{enac} \\[2.0ex] V_x &= \frac{IB}{enc} \\[2.0ex] B &= \frac{encV_x}{I}
\end{aligned}
$$
この式に与えられた数値を代入します。
\(e = 1.6 \times 10^{-19}\), \(n = 2.5 \times 10^{19}\), \(c = 5.0 \times 10^{-4}\), \(V_x = 5.0 \times 10^{-3}\), \(I = 2.0 \times 10^{-2}\)
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{(2.5 \times 10^{19}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (5.0 \times 10^{-4}) \times (5.0 \times 10^{-3})}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{(2.5 \times 1.6) \times (5.0 \times 5.0) \times 10^{19-19-4-3}}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{4.0 \times 25.0 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{100 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0 \times 10^{-5}}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= 0.5 \times 10^{-3} \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^{-4} \text{ [T]}
\end{aligned}
$$

ホール効果で発生する電圧（電位差）\(V_x\) は、磁場の強さ \(B\) に比例することがわかっています。この問題では、電圧 \(V_x\) と電流 \(I\) などの値を測定したので、これらの測定値を使って、逆算で磁場の強さ \(B\) を求めています。ホール素子が磁気センサーとして使われるのは、この原理に基づいています。

磁束密度の大きさは \(5.0 \times 10^{-4} \text{ T}\) と求められました。これは地磁気の約10倍程度の磁場であり、実験室で実現可能な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホール効果の原理（力のつり合い）:
  • 核心: 定常状態において、磁場から受ける「ローレンツ力」と、電荷の偏りによって生じた電場（ホール電場）から受ける「静電気力」が完全につりあう、という点がこの問題の物理的な核心です。
  • 理解のポイント: 最初はローレンツ力で電子が片側に寄せられますが、寄せられた電子が作る電場が、後から来る電子を押し返すようになります。この「押し返す力」が「引き寄せる力」と等しくなった時点で、電子はまっすぐ進めるようになり、安定した状態（定常状態）になります。
• 電流の微視的描像:
  • 核心: 日常的に使う電流 \(I\) という量が、実は半導体内部の無数の電子の運動（数密度 \(n\)、速さ \(v\)）によって決まっている、というミクロとマクロの繋がりを理解することが重要です。
  • 理解のポイント: 公式 \(I=Snev\) は、電流の正体を理解するための基本式です。1秒間に断面積 \(S\) を通過する電子の数を考え、その総電荷を計算することで導出できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール素子による磁場測定: まさにこの問題そのものです。ホール電圧 \(V_x\) が磁束密度 \(B\) に比例する（\(V_x = \frac{B}{enc}I\)）ことを利用して、未知の磁場の強さを測定します。
  • n型・p型半導体の判別: この問題では電子（負電荷）が担い手でしたが、もし正孔（正電荷）が担い手（p型半導体）の場合、ローレンツ力の向きは同じでも、偏る電荷の符号が逆になります。その結果、ホール電圧 \(V_x\) の符号が逆転します。この符号を調べることで、半導体のタイプを判別できます。
  • 液体金属中のイオン: 電解質溶液や液体金属に電流を流しながら磁場をかけると、同様にイオンが偏り、電位差が生じます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の担い手を確認する: まず、電流を運んでいるのが電子（負電荷）なのか、正孔（正電荷）なのかを問題文から正確に読み取ります。これによりローレンツ力で偏る先の電荷の符号が決まります。
  2. 座標系と力の向きを正確に把握する: 電流、磁場、力の向きを、図を描いて正確に把握します。特にフレミングの左手の法則を適用する際は、負電荷の運動方向と電流の向きを混同しないように注意します。
  3. 力のつり合いの関係を見抜く: 「定常状態」「安定した」といったキーワードがあれば、それは何らかの力がつりあっているサインです。この問題ではローレンツ力と静電気力のつり合いが鍵となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流と電子の速度の向きの混同:
  • 誤解: 電流の向きを、そのまま電子の運動の向きだと考えてしまう。
  • 対策: 「電流の向き＝正電荷の動く向き＝負電荷の動く向きと逆」という定義を常に意識しましょう。問題用紙の図に、電子の速度ベクトル \(\vec{v}\) を、電流 \(\vec{I}\) とは逆向きに描き込む習慣をつけるとミスが減ります。
• 断面積Sの取り違え:
  • 誤解: 電流の式 \(I=Snev\) の断面積 \(S\) を、適当な面の面積（例えば \(ab\) や \(bc\)）で計算してしまう。
  • 対策: 断面積 \(S\) は、「電流の流れる向きに垂直な断面」の面積です。この問題では電流がy軸方向に流れるので、それに垂直なxz平面の面積、すなわち \(ac\) が正しい断面積となります。
• 電位の高さの判断ミス:
  • 誤解: 電子が集まった側を「高電位」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 電子は負の電荷です。電子が過剰な側は負に帯電し「低電位」に、電子が不足した側は相対的に正に帯電し「高電位」になります。「正＝高電位、負＝低電位」と覚えましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電子の流れと偏りのストーリー化: ①半導体内を電子の川が流れている → ②横から磁石で力をかける（ローレンツ力） → ③電子が川の片岸（面Q）に押し付けられる → ④岸に電子が溜まり、負に帯電する → ⑤溜まった電子が作る電場が、後から来る電子を静電気力で押し返す → ⑥磁石の力と押し返す力がつりあったら、電子はまっすぐ進めるようになる。この一連のストーリーを頭の中で再生することが重要です。
  • 電荷分布と電場の図示: 半導体の断面図を描き、どちらの面が `+` でどちらが `-` に帯電するかを明確に描き込みます。さらに、`+` から `-` へ向かう電場の矢印を描き加えることで、電位の高低や静電気力の向きを視覚的に判断できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 \(eE_x = evB\):
  • 選定理由: 問題文に「定常状態」という記述があり、これは電子がもはやx方向には移動せず、y方向に直進している状態を意味します。運動の法則（ニュートンの第一法則）から、物体が等速直線運動をするのは、働く合力がゼロのときです。したがって、x方向の合力がゼロになるという条件式を立てる必要があります。
  • 適用根拠: x方向にはローレンツ力と静電気力のみが働くため、これらの力が大きさが等しく逆向きになるという条件が適用できます。
• 電流の微視的表現 \(I = enacv\):
  • 選定理由: この問題は、測定可能なマクロな量（\(I, V_x\)）と、直接測定が難しいミクロな量（\(v, B\)）を結びつける必要があります。この公式は、その橋渡しをするための唯一の手段だからです。
  • 適用根拠: 電流の定義（単位時間あたりの通過電気量）に基づき、半導体内の電子の数と速さから論理的に導出された関係式であり、普遍的に適用できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) ローレンツ力:
   • 戦略: 電子の運動方向を特定し、フレミングの左手の法則を適用。
   • フロー: ① 電流I(y軸正) → 電子v(y軸負) → ② フレミングの法則 → 力F(x軸正) → ③ 大きさは \(evB\)。
2. (2) ホール電場と電位差:
   • 戦略: 力のつり合いから電場を求め、電位差に換算する。
   • フロー: ① ローレンツ力で電子が偏り、電場発生 → ② 定常状態で力のつり合い \(eE_x = evB\) を立式 → ③ \(E_x=vB\) を計算 → ④ \(V_x = E_x a = vBa\) を計算。
3. (3) 電流と速さの関係:
   • 戦略: 電流の微視的表現の公式を立てる。
   • フロー: ① 断面積 \(S=ac\) を確認 → ② \(I=Snev = enacv\) を立式 → ③ \(v\) について解く。
4. (4) 磁束密度の計算:
   • 戦略: (2)と(3)で得られた式を連立し、Bを求める。
   • フロー: ① \(V_x = vBa\) に \(v = I/(enac)\) を代入 → ② \(B\) についての式 \(B = encV_x/I\) を導出 → ③ 数値を代入して計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算の徹底: この問題の計算は、ほぼ全てが指数計算です。\(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) や \(10^a / 10^b = 10^{a-b}\) のルールを丁寧に行いましょう。特に、\(10^{19}\) と \(10^{-19}\) のように、打ち消しあって \(10^0=1\) になる部分は先に計算すると楽になります。
• 有効数字の前にまずは計算: \(1.6 \times 2.5 = 4.0\) のように、計算しやすい組み合わせから先に処理しましょう。全ての数値を一度に電卓に入力するようなことは避け、筆算で整理しながら進めるのが確実です。
• 単位を意識する: 最終的に求めた \(B\) の式 \(B = encV_x/I\) の単位がテスラ[T]になるか検算する（次元解析）と、式の妥当性を確認できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • ホール電圧 \(V_x = (\frac{B}{enc})I\): この式から、ホール電圧 \(V_x\) は磁場 \(B\) と電流 \(I\) に比例することがわかります。これは実験事実と一致しており、ホール素子が磁気センサーや電流センサーとして利用される根拠となっています。
  • キャリア密度との関係: ホール電圧は、キャリア（この場合は電子）の数密度 \(n\) に反比例します。つまり、キャリアの数が少ない（スカスカな）半導体ほど、同じ電流・磁場でも大きな電圧が発生し、測定しやすいことを意味します。そのため、ホール素子には金属（nが大きい）よりも半導体（nが小さい）が使われます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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