「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第25章】基本問題433～439

基本問題

433 ソレノイドがつくる磁場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ソレノイドコイルが作る磁場の計算」です。電流によって作られる磁場の大きさを公式を用いて計算し、外部の磁場と重ね合わせる基本的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の目標は、ソレノイドコイルを使って地磁気を「打ち消す」ために必要な電流の値を求めることです。「打ち消す」という現象を物理的に解釈することが第一歩となります。これは、ソレノイドが作る磁場と地磁気が「同じ大きさ」で「逆向き」になる状態を指します。したがって、ソレノイドが作るべき磁場の強さ \(H_{\text{コイル}}\) は、地磁気の強さ \(H_{\text{地磁気}}\) と等しい \(30 \, \text{A/m}\) となります。
次に、ソレノイドがこの強さの磁場を作るために必要な電流 \(I\) を、公式 \(H=nI\) を用いて逆算します。この公式を使うには「単位長さあたりの巻数 \(n\)」が必要ですが、問題文にはコイルの全長 \(L\) と総巻数 \(N\) が与えられているため、まず \(n = N/L\) の関係から \(n\) を計算する必要があります。このとき、単位をメートルに揃えることを忘れないように注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• ソレノイド内部の磁場の強さの公式は \(H=nI\)。
• 単位長さあたりの巻数 \(n\) は、総巻数 \(N\) をコイルの長さ \(L\) で割ることで求められる (\(n = \displaystyle\frac{N}{L}\))。
• 計算に使用する物理量は、SI基本単位系に統一する。特に長さはセンチメートル [cm] からメートル [m] へ変換する。
• 磁場を打ち消す条件は、大きさが等しく、向きが逆であること。

具体的な解説と立式
ソレノイドコイルが内部に作る磁場の強さを \(H_{\text{コイル}}\)、地磁気の強さを \(H_{\text{地磁気}}\) とします。
コイル内部で地磁気を打ち消すためには、コイルが作る磁場の向きが地磁気の向きと逆で、かつその大きさが等しくなければなりません。
したがって、大きさに関する条件として次式が成り立ちます。
$$ H_{\text{コイル}} = H_{\text{地磁気}} \quad \cdots ① $$
ソレノイドが作る磁場の強さ \(H_{\text{コイル}}\) は、単位長さあたりの巻数 \(n\) と電流 \(I\) を用いて、次のように表されます。
$$ H_{\text{コイル}} = nI \quad \cdots ② $$
①、②より、流すべき電流 \(I\) に関して以下の関係式を立てることができます。
$$ nI = H_{\text{地磁気}} $$

まず、単位長さあたりの巻数 \(n\) を求めます。
問題文より、コイルの長さは \(L = 40 \, \text{cm} = 0.40 \, \text{m}\)、総巻数は \(N = 1600\) 回です。
したがって、単位長さあたりの巻数 \(n\) は、
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{N}{L} \\[2.0ex] &= \frac{1600}{0.40} \\[2.0ex] &= 4000 \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^3 \, \text{[/m]}
\end{aligned}
$$
次に、立式した \(nI = H_{\text{地磁気}}\) を電流 \(I\) について解き、数値を代入します。地磁気の強さは \(H_{\text{地磁気}} = 30 \, \text{A/m}\) です。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{H_{\text{地磁気}}}{n} \\[2.0ex] &= \frac{30}{4.0 \times 10^3} \\[2.0ex] &= \frac{3}{4.0} \times 10 \times 10^{-3} \\[2.0ex] &= 0.75 \times 10^{-2} \\[2.0ex] &= 7.5 \times 10^{-3} \, \text{[A]}
\end{aligned}
$$

コイルに電流を流すと、電磁石になって磁場を作ります。この問題は、その自作の磁場を使って、もともとそこにある地球の磁場（地磁気）をちょうどゼロにしたい、という状況です。
何かを「打ち消す」には、それと「同じ強さ」で「正反対の向き」のものをぶつければうまくいきます。つまり、地磁気と全く同じ強さ（\(30 \, \text{A/m}\)）の磁場を、逆向きに作ってやればよいわけです。
ソレノイドコイルが作る磁場の強さは、簡単な掛け算の公式 \(H=nI\) で決まります。ここで \(n\) は「コイルが \(1 \, \text{m}\) の長さにどれだけ密に巻かれているか」を示す値で、\(I\) が流す電流です。
問題文には「長さ \(40 \, \text{cm}\) で \(1600\) 回巻き」とあるので、まずこれを「\(1 \, \text{m}\) あたりだと何回巻きに相当するか」に換算して \(n\) を求めます。
あとは、作りたい磁場の強さ \(H=30 \, \text{A/m}\) と計算した \(n\) を公式にあてはめれば、必要な電流 \(I\) が逆算できます。

計算の結果、流すべき電流は \(I = 7.5 \times 10^{-3} \, \text{A}\) であることがわかりました。この電流を、コイルの軸を地磁気の方向に向けた状態で、地磁気とは逆向きの磁場が発生する向きに流すことで、コイル内部の磁場を打ち消すことができます。電流の向きは、右ねじの法則で判断できます。
\(7.5 \times 10^{-3} \, \text{A}\) は \(7.5 \, \text{mA}\) であり、実験室で扱うことのできる現実的な電流値です。地磁気はそれほど強い磁場ではないため、比較的小さな電流で打ち消せるという結果は物理的に妥当であると考えられます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ソレノイド内部の磁場:
  • 核心: この問題の根幹は、ソレノイドコイルに電流を流したときに、その内部に一様な磁場が作られるという現象と、その強さを計算する公式を理解しているかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • 公式: ソレノイド内部の磁場の強さ \(H\) は、単位長さあたりの巻数 \(n\) と電流 \(I\) の積で与えられます (\(H=nI\))。この公式は、電流という原因から磁場という結果を直接的に結びつける、非常に強力な関係式です。
    • 一様性: 「細長いソレノイド」の内部では、磁場は場所によらずほぼ一様であるという性質が重要です。これにより、コイル内部のどの点でも同じ強さの磁場を考えることができます。
• 磁場の重ね合わせの原理:
  • 核心: 複数の原因によって磁場が生じている場合、ある点での合成磁場は、それぞれの原因が単独で作る磁場をベクトル的に足し合わせたものになる、という「重ね合わせの原理」を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 「打ち消す」の意味: 問題文の「地球磁場を打ち消す」という表現は、重ね合わせの原理の応用です。これは、コイルが作る磁場 \(\vec{H}_{\text{コイル}}\) と地磁気 \(\vec{H}_{\text{地磁気}}\) のベクトル和がゼロになる状態、すなわち \(\vec{H}_{\text{コイル}} + \vec{H}_{\text{地磁気}} = \vec{0}\) を意味します。
    • 立式への応用: このベクトル式から、大きさが等しく (\(H_{\text{コイル}} = H_{\text{地磁気}}\))、向きが逆であるという条件を導き出し、計算を進めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 磁気シールドの問題: 精密機器を地磁気などの外部磁場から守るために、強磁性体で覆う「磁気シールド」の問題に応用できます。この場合、外部磁場を打ち消すように強磁性体内部に誘導される磁化の大きさを考えることになります。
  • トロイダルコイルの問題: ソレノイドを円環状に曲げたトロイダルコイル内部の磁場を求める問題も、本質的には同じ考え方です。コイルの全長を円周の長さとして計算し、\(H=nI\) を適用します。
  • 磁束密度 \(B\) を用いる問題: 問題で問われるのが磁場の強さ \(H\) ではなく磁束密度 \(B\) であっても、\(B = \mu H\) （\(\mu\) は透磁率）という関係式を追加で用いるだけで、全く同じ手順で解くことができます。真空や空気中では \(\mu\) は真空の透磁率 \(\mu_0\) となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 磁場の源は何か？: まず、磁場を作っている原因が何かを特定します。この問題では「ソレノイドを流れる電流」と「地球」の2つです。
  2. 求めたい状態は何か？: 次に、問題が要求している最終的な状態を物理的に解釈します。「打ち消す」なら合成磁場がゼロ、「強める」なら同じ向きに足し合わせる、などです。
  3. 単位系の確認: 問題文で与えられている物理量の単位を確認し、計算前にSI基本単位（メートル、アンペアなど）に変換します。特に長さの単位（cm → m）は間違いやすいポイントです。
  4. 公式の選択: 磁場の源（ソレノイド、直線電流、円形電流など）に応じた正しい公式を選択します。ソレノイドであれば \(H=nI\) を即座に思い出せるようにしておくことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位長さあたりの巻数 \(n\) の誤解:
  • 誤解: 総巻数 \(N\) をそのまま公式 \(H=NI\) に代入してしまう。
  • 対策: 公式は \(H=nI\) であり、\(n\) は「1メートルあたりの巻数」であると正確に覚えることが重要です。問題文で与えられた全長 \(L\) と総巻数 \(N\) から、まず \(n = \displaystyle\frac{N}{L}\) を計算する、という一手間を常に意識しましょう。
• 長さの単位換算忘れ:
  • 誤解: コイルの長さ \(40 \, \text{cm}\) を、\(0.40 \, \text{m}\) に直さずに計算してしまう。
  • 対策: 物理計算の基本として、計算を始める前に全ての物理量をSI基本単位に揃えることを習慣づけましょう。問題文の数値をチェックし、横に [m] や [kg] などの単位を書き込むとミスを防げます。
• 磁場の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) の混同:
  • 誤解: \(H=nI\) で計算した値を磁束密度 \(B\) の値だと思い込んでしまう、あるいはその逆。
  • 対策: \(H\)（磁場の強さ、単位: A/m）と \(B\)（磁束密度、単位: T (テスラ)）は異なる物理量であることを明確に区別します。両者の関係は \(B = \mu H\) です。問題でどちらが問われているか、単位にも着目して正確に把握することが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ソレノイドの公式 \(H=nI\) の選定:
  • 選定理由: この問題は「細長いコイル（ソレノイド）」が作る磁場を扱うため、ソレノイド内部の磁場を記述する最も直接的で適切な公式として \(H=nI\) を選択します。この公式は、ソレノイドの形状（単位長さあたりの巻数 \(n\)）と電気的性質（電流 \(I\)）から、内部に生じる磁場の強さ \(H\) を直接計算できるため、問題の要求に最も合致しています。
  • 適用根拠: この公式は、アンペールの法則をソレノイドに適用することで導出されます。ソレノイド内部に一様な磁場が形成されるという理想的な状況を仮定しており、「細長いコイル」という問題文の条件が、この公式を高い精度で適用できる根拠となっています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の儀式化: 問題文を読んだら、まず与えられた数値をSI単位に直してメモする習慣をつけましょう。「\(L = 40 \, \text{cm} \rightarrow 0.40 \, \text{m}\)」のように、計算用紙の最初に書き出してしまうのが有効です。
• 文字式での整理: いきなり数値を代入するのではなく、まずは文字式のまま解法を進めるのが鉄則です。
  1. \(H_{\text{コイル}} = H_{\text{地磁気}}\)
  2. \(nI = H_{\text{地磁気}}\)
  3. \(I = \displaystyle\frac{H_{\text{地磁気}}}{n}\)
  4. \(I = \displaystyle\frac{H_{\text{地磁気}}}{N/L} = \displaystyle\frac{L H_{\text{地磁気}}}{N}\)

  このように、求めたい量（この場合は \(I\)）を、与えられた量（\(L, N, H_{\text{地磁気}}\)）で表す式を導いてから、最後にまとめて数値を代入すると、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。

• 指数計算の徹底: \(4000\) や \(0.0075\) のような数値は、\(4.0 \times 10^3\) や \(7.5 \times 10^{-3}\) のように、有効数字と \(10\) のべき乗の形（科学的表記）で扱う癖をつけましょう。これにより、桁数の間違いを劇的に減らすことができます。特に割り算では、指数の部分は指数法則（\(10^a / 10^b = 10^{a-b}\)）で簡単に処理できるため、計算が楽になります。

434 電流が磁場から受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中で電流が受ける力（電磁力）の計算」です。電流が流れる導体が磁場から受ける力の向きと大きさを、法則と公式に基づいて正しく求めることができるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
電流が磁場から受ける力（電磁力）を求める、基本的な問題です。力はベクトル量なので、「向き」と「大きさ」をそれぞれ分けて考えるのが定石です。
「向き」の決定には、フレミングの左手の法則を用います。左手の中指（電流）、人差し指（磁場）、親指（力）の三者の向きを、問題の図に合わせて正確に適用することが重要です。
「大きさ」の計算には、公式 \(F=IBl\sin\theta\) を用います。この公式の \(\theta\) は、電流の向きと磁場の向きがなす角です。問題文から各物理量を正しく読み取り、式に代入します。
この設問における重要なポイント

• フレミングの左手の法則を正しく適用し、力の向きを判断できること。
• 公式 \(F=IBl\sin\theta\) の \(\theta\) が、電流と磁場のなす角であることを正確に理解していること。
• 与えられた物理量（\(I, B, l\)）がすべてSI基本単位（A, T, m）で与えられているため、単位換算は不要であることに気づくこと。

具体的な解説と立式
この問題では、導体棒が受ける力の「向き」と「大きさ」の両方を求める必要があります。

1. 力の向き
フレミングの左手の法則を適用します。

• 中指を電流の向き（PからQの向き）に合わせます。
• 人差し指を磁場の向き（図の右向き）に合わせます。

このとき、親指は紙面に垂直で、裏から表に向かう方向を指します。これが導体棒が受ける力の向きです。

2. 力の大きさ
電流が磁場から受ける力の大きさ \(F\) は、電流の大きさ \(I\)、磁束密度の大きさ \(B\)、磁場中にある導体の長さ \(l\)、そして電流の向きと磁場の向きのなす角 \(\theta\) を用いて、以下の式で与えられます。
$$ F = IBl\sin\theta $$

問題文で与えられた値を、力の大きさを求める公式に代入します。
与えられた値は、\(I = 2.0 \, \text{A}\)、\(B = 1.5 \, \text{T}\)、\(l = 0.20 \, \text{m}\)、\(\theta = 30^\circ\) です。
$$
\begin{aligned}
F &= IBl\sin\theta \\[2.0ex] &= 2.0 \times 1.5 \times 0.20 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex] &= 2.0 \times 1.5 \times 0.20 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= 1.0 \times 1.5 \times 0.20 \\[2.0ex] &= 0.30 \, \text{[N]}
\end{aligned}
$$

磁石の中に電流を流した導線を置くと、導線が力を受けて動きます。これはモーターの基本原理です。この問題では、その力の「向き」と「強さ」を求めます。
「向き」は「フレミングの左手の法則」というルールで決まります。左手の中指を「電流」、人差し指を「磁場」の向きに合わせると、親指が向いた方向が「力」の向きになります。図に合わせてやってみると、力の向きは紙面の手前向きになることがわかります。
「強さ」は、電流 \(I\)、磁場の強さ \(B\)、導線の長さ \(l\) を使った掛け算で計算できます。ただし、この問題のように電流と磁場が斜めになっている場合は、その角度 \(\theta\) を考慮して \(F=IBl\sin\theta\) という公式を使います。問題文の値をすべてこの式に入れて計算すれば、力の大きさが求まります。

力の向きは紙面に垂直で裏から表の向き、大きさは \(0.30 \, \text{N}\) となります。フレミングの左手の法則と電磁力の公式を正しく適用することで、基本的ながらも重要な物理現象を定量的に評価することができました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁力（ローレンツ力）の基本法則:
  • 核心: この問題の根幹は、「磁場中を流れる電流（＝運動する荷電粒子）は、磁場から力を受ける」という電磁気学の基本原理を理解し、その力の向きと大きさを定量的に計算できることにあります。
  • 理解のポイント:
    • 力の発生源: 力は、電流 \(I\) と磁場 \(B\) の両方が存在し、かつ両者が平行でない場合にのみ発生します。
    • 力の向き（フレミングの左手の法則）: 力の向きは、電流の向きと磁場の向きの両方に対して垂直になります。この三次元的な関係を把握するための便利な道具が「フレミングの左手の法則」です。
    • 力の大きさ（\(F=IBl\sin\theta\)）: 力の大きさは、電流 \(I\)、磁束密度 \(B\)、導体の長さ \(l\) に比例します。また、電流と磁場のなす角 \(\theta\) の正弦 \(\sin\theta\) にも比例し、両者が垂直なとき (\(\theta=90^\circ\)) に力が最大となり、平行なとき (\(\theta=0^\circ\)) には力はゼロになります。
• 力のベクトル的性質と成分分解:
  • 核心: 電磁力は、電流ベクトルと磁場ベクトルの両方に垂直な方向に働くという、ベクトル的な性質を持っています。この性質を理解することが、公式の丸暗記からの脱却につながります。
  • 理解のポイント:
    • 垂直成分の重要性: 力を生み出すのは、電流と磁場の互いに垂直な成分の組み合わせだけです。電流を磁場に平行な成分と垂直な成分に分解した場合、力を受けるのは後者のみです。
    • \(\sin\theta\) の物理的意味: 公式 \(F=IBl\sin\theta\) に含まれる \(l\sin\theta\) という項は、まさに「磁場に垂直な導体の有効長さ」を表しています。この理解があれば、公式を忘れても、より基本的な原理から力の大きさを導出できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ローレンツ力を問う問題: 電流ではなく、荷電粒子1個（電子や陽イオンなど）が磁場中で受ける力を問う問題。基本は同じですが、公式は \(f=qvB\sin\theta\) となります。電流 \(I\) が、多数の荷電粒子の運動の集まりであることを理解していれば、両者は本質的に同じ現象として捉えられます。
  • ホール効果: 導体内の荷電粒子がローレンツ力を受けて偏ることにより、導体の側面に電位差が生じる現象です。この電位差を測定することで、導体内のキャリア（電荷の運び手）の種類や密度を知ることができます。
  • モーターのトルク計算: コイルが磁場から受ける力を計算し、回転軸周りの力のモーメント（トルク）を求める問題。本問はその最も基本的な要素計算にあたります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の「向き」と「大きさ」を分離: 電磁力の問題は、必ず「向き」と「大きさ」の2つの要素に分けて考えます。
  2. 向きの決定: フレミングの左手の法則を適用します。図に、電流（I）、磁場（B）、力（F）の向きをベクトル矢印で書き込むと、間違いが減ります。
  3. 大きさの計算: 公式 \(F=IBl\sin\theta\) を使います。特に、角度 \(\theta\) が「電流と磁場のなす角」であることを図から正確に読み取ることが重要です。
  4. 成分分解の視点: 公式を忘れたり、複雑な設定で迷ったりした場合は、「力を生むのは垂直成分だけ」という基本原理に立ち返ります。電流か磁場のどちらかを、もう一方に対して垂直な成分と平行な成分に分解して考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の法則の誤適用:
  • 誤解: 右手を使ってしまう、指の割り当て（電・磁・力）を間違える、電流の向きを逆にするなど。
  • 対策: 「左手」で「電（中指）・磁（人差し指）・力（親指）」という対応を、語呂合わせ（「でん・じ・りょく」など）で確実に覚えること。試験本番では、実際に左手を使って、図の向きに指を合わせて確認する作業を怠らないようにしましょう。
• 角度 \(\theta\) の取り違え:
  • 誤解: 問題の図に描かれている角度を、何も考えずに \(\theta\) として代入してしまう。例えば、導体と「磁場に垂直な線」とのなす角が与えられている場合に、それをそのまま使ってしまう。
  • 対策: 常に「\(\theta\) は電流の向きと磁場の向きが直接なす角」と定義を再確認する癖をつけます。図に電流と磁場のベクトルを矢印で描き、その間の角度を明確にすることが有効です。
• \(\sin\) と \(\cos\) の混同:
  • 誤解: 成分分解する際に、\(\sin\theta\) を使うべきところで \(\cos\theta\) を使ってしまう。
  • 対策: 求める成分が、角度 \(\theta\) を「挟む辺」なのか「対辺」なのかを図で確認する習慣をつけましょう。\(l\sin\theta\) は角度 \(\theta\) の対辺（向かい合う辺）の長さ、\(l\cos\theta\) は隣辺（接する辺）の長さに対応します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(F=IBl\sin\theta\) の選定:
  • 選定理由: この問題は「一様な磁場中に置かれた直線状の導体」が受ける力を求める、最も典型的な状況です。この状況を記述するために実験的に見出され、理論的に導出されたのが \(F=IBl\sin\theta\) という公式であり、これを用いるのが最も直接的かつ効率的です。
  • 適用根拠: この公式は、個々の荷電粒子が受けるローレンツ力 \(f=qvB\sin\theta\) を、導体全体で足し合わせることで導出されます。電流 \(I\) は単位時間あたりに導体の断面を通過する電荷の量、長さ \(l\) は力の働く範囲を規定しており、これらのマクロな量（\(I, l\)）とミクロな現象（ローレンツ力）を結びつけています。問題の状況は、この公式が成り立つ理想的な条件をすべて満たしています。
• 成分分解アプローチの選定（別解）:
  • 選定理由: 公式の物理的意味を深く理解し、応用力を高めるためにこのアプローチを選びました。「なぜ \(\sin\theta\) がつくのか？」という疑問に答えるものであり、公式を単なる暗記項目ではなく、物理法則の必然的な帰結として捉えることができます。
  • 適用根拠: 「力はベクトルであり、重ね合わせの原理が成り立つ」という物理学の基本原則に基づいています。電流ベクトルを互いに直交する2つの成分に分解し、それぞれの成分が受ける力を個別に考えて足し合わせる（この場合は平行成分が受ける力はゼロ）という操作は、物理的に完全に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: この問題ではSI基本単位で与えられていますが、常に単位を確認する癖をつけましょう。もし電流が [mA]、長さが [cm] で与えられていたら、計算前に [A] と [m] に変換する作業を忘れないようにします。
• 三角関数の値の暗記: \(\sin 30^\circ = 1/2\), \(\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2\), \(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\) などの基本的な三角関数の値は、即座に出てくるようにしておくことが時間短縮と計算ミス防止につながります。
• 計算の順序の工夫: 掛け算の順序を工夫すると、計算が楽になることがあります。
  \(F = 2.0 \times 1.5 \times 0.20 \times \sin 30^\circ\)
  この計算では、先に \(2.0 \times \sin 30^\circ = 2.0 \times (1/2) = 1.0\) を計算すると、
  \(F = 1.0 \times 1.5 \times 0.20 = 0.30\)
  となり、暗算でもできるほど簡単になります。計算しやすい組み合わせを見つける癖をつけましょう。

435 モーター

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流が磁場から受ける力とモーターの回転原理」です。電流が流れる導線が磁場の中に置かれると力を受ける、という基本法則（フレミングの左手の法則）を正しく理解し、それがモーターのように連続的な回転運動を生み出す仕組み（整流子の役割）に結びつけて考えられるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図1の状態における、辺ABと辺CDにはたらく力の向きを求める問題です。力を求めるには、フレミングの左手の法則を用います。そのために、まず「磁場の向き」と「辺AB、辺CDを流れる電流の向き」をそれぞれ正確に特定することが第一歩となります。
この設問における重要なポイント

• 磁場の向き：磁石のN極（右側）からS極（左側）へ向かう向き、すなわち図の「左向き」です。
• 電流の向き：電源の正極から出て、ブラシ、整流子を経由し、コイルをA→B→C→Dの順に流れます。したがって、辺ABでは「AからBへ（手前から奥へ）」、辺CDでは「CからDへ（奥から手前へ）」電流が流れます。
• フレミングの左手の法則の適用：特定した「磁場」と「電流」の向きを、左手の指（人差し指：磁場、中指：電流）に正しく対応させ、親指が指す力の向きを読み取ります。

具体的な解説と立式
フレミングの左手の法則を、辺ABと辺CDにそれぞれ適用します。

1. 辺ABにはたらく力：

• 磁場の向き：左向き
• 電流の向き：手前から奥へ
• 法則の適用：左手の人差し指を左に、中指を奥に向けます。このとき、親指は「上向き」を指します。

2. 辺CDにはたらく力：

• 磁場の向き：左向き
• 電流の向き：奥から手前へ
• 法則の適用：左手の人差し指を左に、中指を手前に向けます。このとき、親指は「下向き」を指します。

この設問では、法則を適用して向きを決定するのみで、数値計算はありません。

モーターの中のコイルに力がはたらく向きは、「フレミングの左手の法則」でわかります。左手の人差し指を「磁場の向き（N極からS極へ）」、中指を「電流の向き」に合わせると、親指が「力の向き」を示します。
まず辺ABについて。磁場はN極（右）からS極（左）へ向かうので、人差し指を左に向けます。電流はAからBへ、つまり手前から奥へ流れるので、中指を奥に向けます。すると、親指は自然と上を向きます。これが辺ABにはたらく力の向きです。
次に辺CD。磁場は同じく左向きなので人差し指は左のまま。電流はCからDへ、つまり奥から手前に流れるので、中指を手前に向けます。すると、今度は親指が下を向きます。これが辺CDにはたらく力の向きです。

図1の状態では、辺ABには上向きの力、辺CDには下向きの力がはたらきます。この一対の力によって、コイルは回転を始めます。この結果は、モーターの基本的な動作原理と一致しており、妥当であると言えます。

問(2)

思考の道筋とポイント
図2（図1から半回転した状態）における、辺ABと辺CDにはたらく力の向きを求める問題です。問(1)と全く同じように、フレミングの左手の法則を適用します。ただし、コイルが半回転したことで、「コイルの各辺の位置」と「コイルを流れる電流の向き」が図1の時とどう変化したかを正確に把握することが重要です。
この設問における重要なポイント

• コイルの位置の変化：図1の状態から半回転した結果、辺ABは右側（N極側）に、辺CDは左側（S極側）に移動しています。
• 電流の向きの変化：半回転の過程で、整流子とブラシの接触が切り替わります。これにより、コイルに流れる電流の向きが逆転します。電流は電源の正極からD→C→B→Aの順に流れるようになります。したがって、辺ABでは「BからAへ（奥から手前へ）」、辺CDでは「CからDへ」ではなく「DからCへ（手前から奥へ）」電流が流れます。
• 磁場の向き：磁石の位置は変わらないので、磁場の向きは変わらず「左向き」です。

具体的な解説と立式
フレミングの左手の法則を、図2の状態の辺ABと辺CDにそれぞれ適用します。

1. 辺ABにはたらく力：

• 位置：右側（N極側）
• 磁場の向き：左向き
• 電流の向き：奥から手前へ
• 法則の適用：左手の人差し指を左に、中指を手前に向けます。このとき、親指は「下向き」を指します。

2. 辺CDにはたらく力：

• 位置：左側（S極側）
• 磁場の向き：左向き
• 電流の向き：手前から奥へ
• 法則の適用：左手の人差し指を左に、中指を奥に向けます。このとき、親指は「上向き」を指します。

この設問でも、法則を適用して向きを決定するのみで、数値計算はありません。

コイルが半回転して図2の状態になりました。ここでもフレミングの左手の法則を使います。
まず辺ABについて。今度は辺ABが右側にあります。磁場は相変わらず左向きなので人差し指は左へ。電流はBからAへ、つまり奥から手前に流れます。人差し指を左に、中指を手前に向けると、親指は下を向きます。
次に辺CD。今度は辺CDが左側にあります。磁場は左向き（人差し指は左）。電流はDからCへ、つまり手前から奥へ流れます。人差し指を左に、中指を奥に向けると、親指は上を向きます。
図1の時と力の向きが逆になっていることに注目してください。

図2の状態では、辺ABには下向きの力、辺CDには上向きの力がはたらきます。問(1)の結果と比較すると、コイルの辺の位置は入れ替わりましたが、空間的に見て「左側にある辺には上向きの力」「右側にある辺には下向きの力」がはたらいていることがわかります。これにより、コイルは同じ方向への回転を続けることができます。

問(3)

思考の道筋とポイント
整流子の役割を問う問題です。問(1)と問(2)の結果から、コイルが回転し続けるために整流子が何をしているのかを考察します。もし整流子がなければ、コイル内の電流の向きは常に一定です。その場合、半回転した後にどうなるかを想像すると、整流子の重要性が見えてきます。
この設問における重要なポイント

• 連続回転の条件：モーターが回り続けるためには、常に同じ方向の回転力（力のモーメント）を受け続ける必要があります。
• 電流の向きの反転：問(1)と問(2)の比較から、コイルが半回転すると、コイル自身を流れる電流の向きが逆転していることがわかります（図1ではA→B、図2ではB→A）。
• 反転のメカニズム：この電流の向きの反転を引き起こしているのが、回転する整流子と固定されたブラシの組み合わせです。半回転ごとに接触する部分が入れ替わることで、外部回路からコイルへの電流の供給方向を切り替えています。

具体的な解説と立式
(文章による説明が中心となります)
問(1)では、左側の辺ABに上向きの力、右側の辺CDに下向きの力がはたらきました。
問(2)では、半回転して左側にきた辺CDに上向きの力、右側にきた辺ABに下向きの力がはたらきました。

もし整流子が無く、コイル内の電流の向きが常にA→B→C→Dのままだと仮定します。すると、図2の状況（辺ABが右、辺CDが左）では、辺ABには上向きの力、辺CDには下向きの力がはたらくことになり、コイルを逆回転（反時計回り）させようとする力になってしまいます。これでは連続的な回転は起こりません。

整流子は、コイルが半回転するタイミングでブラシとの接続を切り替え、コイルに流れる電流の向きを反転させます。この働きにより、コイルがどの角度にあっても、常に同じ方向（この問題では時計回り）に回転させる力がはたらき続けるのです。

(なし)

モーターがグルグルと一方向に回り続けるための「秘訣」が整流子です。もし整流子がないと、コイルは半回転したところで「逆向きの力」を受けてしまい、行ったり来たりの振動で止まってしまいます。
整流子は、コイルが半回転する絶妙なタイミングで、流れる電流の向きをプラスマイナス逆にする「自動切り替えスイッチ」の役割をしています。このおかげで、コイルは常に「こっちに回れ！」という指令（力）を受け続けることができ、一方向にスムーズに回転できるのです。

整流子の役割は、コイルの回転と同期してコイルに流れる電流の向きを半回転ごとに反転させることです。これにより、コイルには常に一定方向の回転力がはたらき、モーターは連続的に回転することができます。これはモーターの基本原理そのものであり、的確な説明です。

問(4)

思考の道筋とポイント
コイルの回転方向を決定する問題です。問(1)で求めた力の向きが、コイル全体をどちら向きに回転させるかを考えます。「ブラシ・整流子の側からコイルを見たとき」という視点の指定があるので、その視点から力のモーメントの向きを判断します。
この設問における重要なポイント

• 力のモーメントの向き：図1において、コイルの左側にある辺ABには上向きの力が、右側にある辺CDには下向きの力がはたらきます。
• 視点：ブラシ・整流子の側（図でいうと手前側）から見る。
• 回転のイメージ：左側が持ち上がり、右側が沈み込むような運動は、時計の針が進む向きの回転と同じです。

具体的な解説と立式
(文章による説明が中心となります)
図1の状態を考えます。

• 辺AB（左側）にはたらく力：上向き
• 辺CD（右側）にはたらく力：下向き

この一対の力（偶力）は、コイルの回転軸周りに力のモーメントを生じさせます。ブラシ・整流子の側から見ると、コイルの左半分は上（奥）へ、右半分は下（手前）へ動こうとします。この回転は「時計回り」です。

問(2)で見たように、半回転した後も、整流子の働きによって、やはり時計回りに回転させる力がはたらき続けます。したがって、コイルは時計回りに連続して回転します。

(なし)

コイルがどっちに回るかは、(1)で調べた力の向きを見ればわかります。
図1のコイルを、手前の整流子側から見てみましょう。左側の辺ABは「上向き」に、右側の辺CDは「下向き」に力を受けます。これは、自動車のハンドルを想像したとき、左手を上に、右手を下に動かすのと同じ動きです。ハンドルは時計回りに回りますよね。
したがって、このコイルも時計回りに回転します。

辺ABと辺CDにはたらく力の向きから、コイルは時計回りに回転すると判断できます。この回転方向は、(2)と(3)で確認した連続回転の仕組みとも整合性がとれており、妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• フレミングの左手の法則と力のモーメントの組み合わせ:
  • 核心: この問題の根幹は、単にフレミングの左手の法則で力の向きを求めるだけでなく、その力がコイル全体に「回転運動」をどのように引き起こすか、すなわち「力のモーメント」の概念まで理解しているかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • 力の発生（原因）: フレミングの左手の法則は、磁場中の電流が受ける力の「向き」と「大きさ」を決定する基本法則です。これは回転の「素」となる力を求めるステップです。
    • 回転運動（結果）: コイルの対辺（ABとCD）にはたらく、向きが逆で平行な一対の力（偶力）が、コイルに「力のモーメント」を生み出します。この力のモーメントこそが、コイルを回転させる直接の原因です。
    • 橋渡し: 「フレミングの法則で各辺の力を求める」→「それらの力が作る力のモーメントの向きを考える」→「コイルの回転方向がわかる」という一連の流れで物理現象を捉えることが核心です。
• モーターの連続回転と整流子の役割:
  • 核心: 「なぜモーターは一方向に回り続けられるのか？」という問いに対する物理的な答えが「整流子による電流の向きの反転」であることを理解することが、この問題のもう一つの重要な核心です。
  • 理解のポイント:
    • もし整流子がなかったら: コイルが半回転すると、力のモーメントの向きが逆転してしまい、コイルは元の位置に戻ろうとします。これでは連続回転は実現できません。
    • 整流子の機能: 整流子は、力のモーメントが逆転する絶妙なタイミングで、コイルに流れる電流の向き自体を反転させます。結果として、力のモー明との向きは常に一定に保たれ、連続的な回転が可能になります。
    • 本質: 整流子は、コイルの機械的な回転と電気的なスイッチングを同期させる、非常に巧妙な仕組みであると理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 発電機（ダイナモ）の問題: モーターは「電気エネルギー→運動エネルギー」の変換装置ですが、発電機はその逆で「運動エネルギー→電気エネルギー」の変換装置です。コイルを外部から強制的に回転させたときに、どの向きに誘導電流が流れるかを問う問題は、この問題と表裏一体です。使う法則が「フレミングの右手の法則」に変わるだけで、磁場、運動、電流の三者の関係を考える点は共通しています。
  • コイルの回転角と力のモーメントの関係: コイルの回転角度によって、電流が磁場から受ける力のモーメントの大きさが変化します。コイル面が磁場に平行なとき（図の姿勢）は力のモーメントが最大になり、垂直なとき（図の姿勢から90度回転したとき）は力の作用線が回転軸を通る（回転軸からの距離が0になる）のでモーメントは0になる、といった関係を問う問題に応用できます。
  • 電流計・電圧計の原理: メーターの針が振れる原理も、コイルが磁場から受ける力を利用しています。流れる電流の大きさに比例した力のモーメントが発生し、それがばねの力とつりあう位置まで針が回転する、という仕組みの問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 三要素の特定: まず、問題の図や文から「磁場の向き（N→S）」「電流の向き（＋→－）」「運動（力）の向き」の三要素のうち、どれが分かっていて、どれを求めるべきかを確認します。
  2. 法則の選択: 力を求めるなら「左手の法則」、誘導電流を求めるなら「右手の法則」と、目的に応じて適切な法則を選択します。混同しないように注意が必要です。
  3. 回転の有無の確認: 問題が単に「直線導線にはたらく力」を問うているのか、それとも「コイルの回転」まで含んでいるのかを見極めます。回転を含む場合は、必ず「力のモーメント」を意識し、回転軸と力の向きの関係を考えます。
  4. 整流子の存在確認: 図に整流子（半円状の金属環）とブラシがあれば、それは「連続回転」がテーマであることの強いサインです。半回転ごとに電流の向きが反転することを前提に思考を進めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの右手の法則との混同:
  • 誤解: モーター（力を求める）の問題なのに、発電機（誘導電流を求める）で使う「右手の法則」を誤って適用してしまう。
  • 対策: 「（電気を）もらうから左手、出すから右手」や「モーターの『モ』は左手の中指の形に似ている」など、自分なりの覚え方で区別を徹底します。問題を解き始める前に「これは力を求める問題だから左手」と指差し確認する習慣をつけるのが有効です。
• 電流の向きの誤認:
  • 誤解: 図2のようにコイルが半回転しても、電流の向きは図1と同じA→B→C→Dのままだと考えてしまう。
  • 対策: 電流は常に「電源の正極」から出発し、「負極」に戻るという大原則を忘れないことです。図2では、正極につながっているブラシは整流子のD側の部分に接触しています。したがって、電流はD→C→B→Aと流れることを、回路図を指でなぞって確認する癖をつけましょう。
• 力の向きと回転方向の混同:
  • 誤解: 辺ABにはたらく力が「上向き」だから、コイルは「上」に動くと考えてしまう。
  • 対策: 力はあくまで「並進運動」の向きであり、回転運動は「力のモーメント」によって決まる、と明確に区別します。コイルの回転軸を意識し、「左側が上に、右側が下に」動くなら「時計回り」というように、回転運動に正しく翻訳するステップを必ず踏むようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フレミングの左手の法則:
  • 選定理由: (1)と(2)では、磁場の中に置かれた導線（コイルの辺）に流れる電流が、どちらの向きに力を受けるかを明らかにすることが目的です。この「磁場・電流・力」の三者の向きの関係を規定する唯一の法則がフレミングの左手の法則であるため、これを選択します。
  • 適用根拠: この法則は、ローレンツ力（磁場中を運動する荷電粒子が受ける力）を、導線中の多数の電子の流れ（＝電流）に対してマクロな視点で表現し直したものです。実験的に確立された電磁気学の基本法則であり、この状況に適用することは物理的に正当です。
• 力のモーメント（概念）:
  • 選定理由: (4)では、コイルが「回転」する向きを問われています。物体を回転させる能力は「力」そのものではなく、「力のモーメント」によって決まります。したがって、(1)で求めた個々の「力」を統合し、回転運動として解釈するために、力のモーメントの考え方が必要になります。
  • 適用根拠: コイルの辺ABと辺CDにはたらく力は、大きさが等しく向きが反対で、作用線がずれている「偶力」を形成します。偶力は物体に並進運動を起こさず、回転運動のみを引き起こします。この偶力が作る力のモーメントの向きを考えることで、回転方向を論理的に決定できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指の向きの徹底確認: フレミングの法則を使う際は、焦って指を動かすのではなく、一つずつ確認する「儀式」を取り入れましょう。
  1. まず人差し指を「磁場の向き（N→S）」に固定する。
  2. 次に、人差し指の向きは変えずに、手首をひねって中指を「電流の向き」に合わせる。
  3. 最後に、親指が自然に向く方向を読み取る。この3ステップを、声に出しながら行うとさらに効果的です。
• 図への書き込み: 問題用紙の図に、直接矢印を書き込むことを習慣にしましょう。
  1. 磁場の向き（NからSへ）を太い矢印で書き込む。
  2. 電流の向き（＋から－へ）を、コイルの各辺に沿って矢印で書き込む。
  3. フレミングの法則で求めた力の向きを、各辺から立体的に（上向きなら⦿、下向きなら⊗のように）書き込む。

  このように情報を可視化することで、頭の中だけで考えるよりもミスが劇的に減ります。

• 視点の固定: (4)のように回転方向を問われたら、「自分はどこから見ているのか」という視点を最初に確定させます。この問題では「ブラシ・整流子の側から見る」と指定されているので、その視点から見たときの各辺の動き（左が上がる、右が下がるなど）をイメージします。視点がぶれると、時計回りと反時計回りを間違える原因になります。

436 斜面レールで静止するパイプ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中での導体棒に働く力のつり合い」です。電流が磁場から受ける力を正しく求め、重力など他の力とのつり合いを考えることができるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
パイプは、何もしなければ重力によって斜面を手前側へ滑り落ちてしまいます。問題ではパイプが「静止した」とあるので、重力によって滑り落ちようとする力に「逆らう」力が働いているはずです。この力が、電流が磁場から受ける力です。この「逆らう力」を生み出すためには磁場がどちらの向きでなければならないか、フレミングの左手の法則を使って考えます。
この設問における重要なポイント

• パイプには、重力の斜面に沿って手前向きの成分が常に働いている。
• パイプが静止するためには、磁場から受ける力に、斜面に沿って奥向きの成分がなければならない。
• フレミングの左手の法則を用いて、電流と力の向きから磁場の向きを決定する。

具体的な解説と立式
パイプに働く重力 \(mg\) は鉛直下向きです。この力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解すると、パイプには常に斜面に沿って手前向きに \(mg\sin\theta\) の力が働きます。
摩擦がない状態でパイプが静止するためには、この力とつりあう、斜面に沿って奥向きの力が必要です。この力は、電流が磁場から受ける力（ローレンツ力）によって供給されなければなりません。

ここで、フレミングの左手の法則を考えます。

• 電流(\(I\))の向き：問題の図の矢印より、パイプ上を右から左へ向かう向き。
• 力(\(F\))の向き：この力が斜面に沿って奥向きの成分を持つためには、力 \(F\) は水平奥向きである必要があります。
• 磁場(\(B\))の向き：a(鉛直上向き)かb(鉛直下向き)のどちらか。

仮に磁場の向きがb(鉛直下向き)だとします。フレミングの左手の法則を適用すると、力は水平手前向きに働きます。この力の斜面方向の成分は「斜面に沿って手前向き」となり、重力の成分と合わさってパイプを滑り落とす方向に働くため、静止することはできません。

次に、磁場の向きがa(鉛直上向き)だとします。フレミングの左手の法則を適用すると、力は水平奥向きに働きます。この水平奥向きの力は、斜面に沿って奥向きの成分を持ちます。この成分が重力の斜面に沿った手前向きの成分 \(mg\sin\theta\) とつりあうことで、パイプは静止できます。

したがって、磁場の向きはa(鉛直上向き)であると結論できます。

この設問は定性的な判断を問うものであり、具体的な計算はありません。

パイプは坂道に置かれたボールのようなもので、放っておくと手前側に滑り落ちてしまいます。これを止めるためには、奥側に押し返す力が必要です。この問題では、その力を「電気と磁石の力」で作り出しています。電流は「右から左」に流れているので、「フレミングの左手の法則」というルールを使って、磁石のN極（磁場）をどちら向き（上向きaか下向きb）に置けば、都合よく奥向きの力が生まれるかを考えます。試してみると、磁場を真上(a)に向けたときに、パイプを奥へ押し返してくれる力が働くことがわかります。

磁場の向きはa(鉛直上向き)である。このとき生じる力は水平奥向きとなり、その力は斜面を上る向き（奥向き）の成分を持つため、重力に対抗してパイプを静止させることが可能である。これは物理的に妥当な結論です。

問(2)

思考の道筋とポイント
パイプが静止しているという事実から、「パイプに働くすべての力の合力はゼロ」という力のつり合いの条件を使います。力を図示し、計算が最も簡単になるように座標軸を設定して力を分解し、つり合いの式を立てます。この問題では、斜面に平行な方向と垂直な方向に力を分解すると、垂直抗力を考慮せずに済むため、計算が非常に簡潔になります。
この設問における重要なポイント

• パイプに働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、磁場からの力 \(F=IBl\) の3つである。
• 磁場からの力 \(F\) の向きは、(1)より水平奥向きである。
• 力を「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解して、つり合いの式を立てる。

具体的な解説と立式
まず、パイプに働く3つの力を整理します。

1. 重力: 鉛直下向きに大きさ \(mg\)。
2. 磁場からの力: (1)より、水平奥向きに大きさ \(F=IBl\)。
3. 垂直抗力: 斜面から垂直に受ける力で、大きさ \(N\)。

次に、これらの力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。今回は、斜面に平行な方向の力のつり合いだけで答えが求まります。

• 重力の斜面平行成分: 斜面に沿って手前向きに \(mg\sin\theta\)。
• 磁場からの力 \(F\) の斜面平行成分: 水平奥向きの力 \(F\) と斜面のなす角は \(\theta\) なので、斜面に沿って奥向きに \(F\cos\theta\)。

パイプは静止しているので、これらの斜面平行成分の力はつり合っています。
$$ mg\sin\theta = F\cos\theta $$
ここに、\(F=IBl\) を代入します。
$$ mg\sin\theta = (IBl)\cos\theta \quad \cdots ① $$

上記で立式した①を、求めたい磁束密度 \(B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
IBl\cos\theta &= mg\sin\theta \\[2.0ex] B &= \frac{mg\sin\theta}{Il\cos\theta} \\[2.0ex] &= \frac{mg}{Il} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[2.0ex] &= \frac{mg}{Il}\tan\theta
\end{aligned}
$$

パイプが坂の途中でピタッと止まっているのは、「坂を手前側に滑り落ちようとする力」と「磁石の力で坂を奥側に押し返そうとする力」が、綱引きのようにちょうど引き分けになっている状態だからです。「滑り落ちようとする力」は重力の一部で、その大きさは \(mg\sin\theta\) と計算できます。一方、「押し返そうとする力」は磁石の力 \(F=IBl\) の一部で、その大きさは \(IBl\cos\theta\) と計算できます。この二つの力が等しい、という等式（\(mg\sin\theta = IBl\cos\theta\)）を立て、求めたい磁場の強さ \(B\) について解けば答えが出ます。

磁束密度の大きさ \(B\) は \(\displaystyle\frac{mg}{Il}\tan\theta\) と求められました。この式は、パイプの質量 \(m\) が大きいほど、また斜面の傾き \(\theta\) が大きいほど、パイプを支えるためにより強い磁場 \(B\) が必要になることを示しており、物理的な直感と一致する妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「電源の電圧を大きくする」という操作が、物理的にどの量に変化をもたらすかを考えます。電圧が大きくなると、回路の抵抗が一定であれば電流が大きくなります。電流が大きくなると、磁場から受ける力が大きくなります。その結果、(2)で考えた力のつり合いがどう崩れるかを予測します。
この設問における重要なポイント

• オームの法則により、電圧を大きくすると電流 \(I\) は大きくなる。
• 磁場からの力 \(F=IBl\) は、電流 \(I\) に比例して大きくなる。
• 力のつり合いが崩れ、合力の向きにパイプが動き出す。

具体的な解説と立式
(2)の力のつり合いの状態では、斜面に沿って手前向きの力 \(mg\sin\theta\) と、斜面に沿って奥向きの力 \(IBl\cos\theta\) が等しくなっていました。
$$ mg\sin\theta = IBl\cos\theta $$
ここで、電源の電圧を大きくすると、回路全体の抵抗は変わらないとすれば、オームの法則 \(I = V/R\) から、回路に流れる電流 \(I\) は大きくなります。

電流 \(I\) が大きくなると、磁場から受ける力 \(F=IBl\) も大きくなります。その結果、この力の斜面に沿った奥向きの成分である \(IBl\cos\theta\) も大きくなります。
すると、力のつり合いが崩れ、
$$ IBl\cos\theta > mg\sin\theta $$
という状態になります。
これは、パイプに働く力の合力が「斜面に沿って奥向き」になることを意味します。したがって、パイプは静止状態を保てなくなり、斜面を上る向き（奥向き）に動き始めます。

この設問は定性的な考察を問うものであり、具体的な計算はありません。

電池をより強力なもの（電圧が大きいもの）に交換する、と考えてみましょう。すると、回路にはもっとたくさんの電流が流れるようになります。磁石から受ける力は電流の大きさに比例するので、電流が強くなれば、パイプを坂の奥へ押し返す力も強くなります。今までは「滑り落ちる力」と「押し返す力」がつり合っていましたが、今度は「押し返す力」が勝つことになります。その結果、パイプは坂を上り始めます。

電圧を上げると電流が増え、磁場からの力が増加し、斜面に沿って奥向きの力が重力の斜面に沿った手前向きの成分を上回る、という一連の因果関係は論理的で妥当です。したがって、パイプは導線を上り始めるという結論は正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流が磁場から受ける力（ローレンツ力）:
  • 核心: この問題の原動力は、電流が磁場から受ける力です。この力の「向き」と「大きさ」を正しく理解することが全ての出発点となります。
  • 理解のポイント:
    • 力の向き: フレミングの左手の法則（「電・磁・力」）を使って決定します。問題の図が3次元的なので、自分の手を動かして空間的に向きを確認することが重要です。
    • 力の大きさ: \(F=IBl\) という公式で計算されます。この力は電流 \(I\) と磁束密度 \(B\) に比例します。
    • 役割: この問題では、ローレンツ力が重力に抗してパイプを斜面上で支える、という重要な役割を担っています。
• 力のつり合いと力の分解:
  • 核心: 物体が「静止」しているというキーワードから、物体に働くすべての力のベクトル和がゼロになる、という「力のつり合い」の法則を適用することが問題解決の鍵です。
  • 理解のポイント:
    • 立式: 「斜面を滑り落ちようとする力」＝「斜面を上る向きに支える力」のように、力の成分同士が等しいという式を立てます。
    • 力の分解: 重力（鉛直下向き）やローレンツ力（この問題では水平向き）など、向きが揃っていない力は、そのままでは比較できません。そのため、「斜面に平行・垂直」や「水平・鉛直」といった都合の良い座標軸を設定し、各力を成分に分解してからつり合いを考えます。適切な座標軸を選ぶことで、計算を大幅に簡略化できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦がある場合: パイプに働く力に「静止摩擦力」が加わります。力のつり合いの式に摩擦力の項を追加して考えます。特に、電流が小さい場合（摩擦力が上向きに働く）と大きい場合（摩擦力が下向きに働く）で状況が変わる問題に応用できます。
  • 導体棒が運動する場合:
    • 等速運動: 加速度がゼロなので、力がつり合っている状態と見なせます。静止している場合と同様に力のつり合いの式を立てます。
    • 等加速度運動: 力のつり合いは成り立ちません。斜面方向の合力を求め、運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) を立てて加速度を計算する問題に応用できます。
  • 電磁誘導が絡む問題: 導体棒が磁場中を動くことで誘導起電力が発生し、回路に誘導電流が流れるタイプの問題です。この誘導電流がさらに磁場から力を受ける、という複合的な状況を分析するのに、本問の力の考え方が基礎となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 状況の把握: まず、問題文からパイプ（導体棒）が「静止」しているのか、「等速運動」しているのか、「加速」しているのかを正確に読み取ります。「静止」または「等速運動」なら力のつり合い、「加速」なら運動方程式が基本方針です。
  2. 力の完全なリストアップ: 物体に働く力をすべて（重力、垂直抗力、ローレンツ力、摩擦力など）漏れなく図示します。これをフリーボディダイアグラムと呼び、思考の土台となります。
  3. ローレンツ力の向きと大きさを特定: 電流と磁場の向きを慎重に確認し、フレミングの左手の法則で力の向きを決定します。この力がどの方向を向くか（この問題では水平方向）を正確に把握することが最重要です。
  4. 最適な座標軸の選択: 力を分解する座標軸をどこに取るか戦略を立てます。多くの場合、運動する方向（斜面に平行）とそれに垂直な方向を選ぶと、未知数である垂直抗力を計算せずに済むため、最も計算が楽になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の法則の適用の混乱:
  • 誤解: 3次元的な図を見て、頭の中だけで考えようとして電流・磁場・力の向きを混乱してしまう。特に、力の向きを「斜面に平行」だと早合点してしまう。
  • 対策: 必ず自分の左手を使い、問題の図に合わせて指の向きを立体的に動かして確認する癖をつけましょう。ローレンツ力はあくまで電流と磁場に垂直な向き（この問題では水平方向）に働き、その力が「斜面方向の成分を持つ」という2段階で考えることが重要です。
• 力の分解における \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の混同:
  • 誤解: 重力やローレンツ力を斜面方向の成分に分解する際に、角度の関係を間違えて \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 力を分解する際は、必ず図を描き、分解したいベクトルを対角線とする長方形を描きます。その上で、角度 \(\theta\) を挟む辺が \(\cos\theta\) 成分、挟まない辺が \(\sin\theta\) 成分、と視覚的に確認する習慣をつけましょう。
• 力のつり合いの対象の勘違い:
  • 誤解: 重力 \(mg\) とローレンツ力 \(F=IBl\) が直接つり合っているかのような式を立ててしまう。
  • 対策: 力はベクトル量であり、向きが異なる力は直接比較できません。必ず「同じ方向を向いた成分同士」でつり合いの式を立てる、という原則を徹底してください。そのためには、力の分解という手順が不可欠です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い（斜面方向の成分）:
  • 選定理由: (2)では、未知の物理量である磁束密度 \(B\) を求めることが目的です。一方で、垂直抗力 \(N\) も未知数です。もし、力のつり合いを考える方向として「斜面に平行な方向」を選べば、垂直抗力 \(N\) はこの方向に成分を持たないため、式に現れません。これにより、未知数が \(B\) のみの方程式を1本立てるだけで済み、最も効率的に解を導くことができます。
  • 適用根拠: 物体が静止している以上、どのような座標軸を選んで力を分解しても、各成分の和はゼロになるはずです。物理的に同等な複数のアプローチの中から、計算の手間が最も少なくなる合理的なものを選択するのは、問題解決における重要な戦略です。
• フレミングの左手の法則:
  • 選定理由: (1)では、パイプを静止させるために必要な「力の向き」が物理的状況から推測でき、回路に流れる「電流の向き」も与えられています。この2つの情報から、未知である「磁場の向き」を特定する必要があります。この3つの物理量の向きの関係性を結びつける唯一の法則が、フレミングの左手の法則です。
  • 適用根拠: この法則は、電流が流れる導体が磁場から力を受けるという、電磁気学における根源的な現象を記述するものです。この現象を扱う問題において、この法則の適用は不可欠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 丁寧な作図を習慣にする: 力学や電磁気学の問題では、まずフリーボディダイアグラム（物体に働くすべての力を矢印で示した図）を描くことを徹底しましょう。力の分解も、その図の上に補助線を引いて行うことで、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の選択ミスを視覚的に防ぐことができます。
• 文字式のまま計算を進める: (2)のように複数の物理量が登場する計算では、すぐに具体的な数値を代入せず、まずは文字式のまま求めたい量（この場合は \(B\)）について式を解くのが鉄則です。\(B = \dots\) の形に変形してから、最後に \(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) の関係を使って式を整理すると、計算過程がすっきりし、ミスが減ります。
• 別解による検算意識: (2)で示したように、この問題は「斜面方向」でも「水平・鉛直方向」でも解くことができます。もし試験中に時間に余裕があれば、別のアプローチで解いてみて、同じ答えになるかを確認（検算）する癖をつけると、解答の確実性が格段に上がります。

437 平行電流が及ぼしあう力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の直線電流が作る磁場と、それらの電流間に働く力」です。磁場がベクトル量であり、重ね合わせの原理に従うこと、そして電流が磁場から受ける力を正しく計算できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
2本の平行な直線電流が互いに力を及ぼしあう状況です。まず、力の向きを電流の向きの関係（同方向なら引力、逆方向なら斥力）から判断します。次に、力の大きさを平行電流間に働く力の公式を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 電流 \(I_1 = 4 \, \text{A}\) は鉛直上向き、電流 \(I_2 = 2 \, \text{A}\) は鉛直下向きであり、互いに逆向きである。
• 逆向きの平行電流間には、互いに反発しあう「斥力」が働く。
• 求めるのは「原点を通る直線電流(\(I_1\))が受ける力」なので、点Pの電流(\(I_2\))から遠ざかる向きの力を考えればよい。

具体的な解説と立式
平行な直線電流 \(I_1\), \(I_2\) が距離 \(r\) だけ離れているとき、それらの電流の長さ \(l\) の部分に働く力の大きさ \(F\) は、以下の公式で与えられます。
$$ F = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi r} l \quad \cdots ① $$
問題では、原点Oの電流 \(I_1\) と点Pの電流 \(I_2\) の向きが反対なので、2つの電流には斥力が働きます。したがって、電流 \(I_1\) は電流 \(I_2\) から遠ざかる向き、すなわちx軸の負の向きに力を受けます。

公式①に、\(\mu = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2\), \(I_1 = 4 \, \text{A}\), \(I_2 = 2 \, \text{A}\), \(r = 2 \, \text{m}\), \(l = 1 \, \text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 4 \times 2}{2\pi \times 2} \times 1 \\[2.0ex] &= \frac{32\pi \times 10^{-7}}{4\pi} \\[2.0ex] &= 8 \times 10^{-7} \, \text{N}
\end{aligned}
$$
力の向きは、斥力なのでx軸の負の向きです。

2本の電線に電流を流すと、それらは磁石のように引き合ったり反発したりします。ルールは簡単で、「同じ向きに流れていれば引き合い（引力）」、「逆向きに流れていれば反発しあう（斥力）」です。今回は、原点の電流が上向き、点Pの電流が下向きなので「逆向き」です。したがって、互いに反発します。原点の電流が点Pの電流から受ける力は、Pから遠ざかる向き、つまり左向き（x軸の負の向き）になります。力の大きさは、公式に問題の数値を当てはめて計算します。

力の大きさは \(8 \times 10^{-7} \, \text{N}\) で、向きはx軸の負の向きとなります。電流の向きと力の関係も正しく、計算結果も妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Qにおける磁場は、電流 \(I_1\) が作る磁場 \(\vec{B_1}\) と、電流 \(I_2\) が作る磁場 \(\vec{B_2}\) のベクトル和で与えられます（重ね合わせの原理）。それぞれの磁場の大きさと向きを正確に計算し、ベクトルとして合成することが求められます。
この設問における重要なポイント

• 磁場はベクトル量なので、大きさと向きを両方考慮して合成する必要がある。
• 各電流から点Qまでの距離を正しく計算する。
• 各磁場の向きを、右ねじの法則で慎重に決定する。
• ベクトル合成は、x成分とy成分に分解して計算すると確実である。

具体的な解説と立式
1. 電流 \(I_1\) (原点O) が点Q\((2, 2)\)に作る磁場 \(\vec{B_1}\)

• 距離 \(r_1\) は、原点O\((0, 0)\)と点Q\((2, 2)\)の距離なので、三平方の定理より \(r_1 = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \, \text{m}\) です。
• 大きさ \(B_1\) は、
  $$ B_1 = \frac{\mu I_1}{2\pi r_1} $$
• 向きは、右ねじの法則より、ベクトルOQに垂直な向きです。OQはx軸と\(45^\circ\)の角をなすので、\(\vec{B_1}\) はx軸の負の向きから\(45^\circ\)上方を向きます。

2. 電流 \(I_2\) (点P) が点Q\((2, 2)\)に作る磁場 \(\vec{B_2}\)

• 距離 \(r_2\) は、点P\((2, 0)\)と点Q\((2, 2)\)の距離なので、\(r_2 = 2 \, \text{m}\) です。
• 大きさ \(B_2\) は、
  $$ B_2 = \frac{\mu I_2}{2\pi r_2} $$
• 向きは、右ねじの法則より、x軸の正の向きです（\(I_2\)が鉛直下向きであることに注意）。

3. 合成磁場 \(\vec{B}\)

• \(\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}\) を、各ベクトルのx, y成分を計算して求めます。

まず、\(B_1\) と \(B_2\) の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
B_1 &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 4}{2\pi \times 2\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= \frac{16\pi \times 10^{-7}}{4\pi\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= \frac{4}{\sqrt{2}} \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 2\sqrt{2} \times 10^{-7} \, \text{T}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
B_2 &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2}{2\pi \times 2} \\[2.0ex] &= \frac{8\pi \times 10^{-7}}{4\pi} \\[2.0ex] &= 2 \times 10^{-7} \, \text{T}
\end{aligned}
$$
次に、これらのベクトルを成分に分解して合成します。

• \(\vec{B_1}\) の成分:
  $$
  \begin{aligned}
  B_{1x} &= -B_1 \cos 45^\circ \\[2.0ex] &= -(2\sqrt{2} \times 10^{-7}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= -2 \times 10^{-7} \, \text{T}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  B_{1y} &= +B_1 \sin 45^\circ \\[2.0ex] &= +(2\sqrt{2} \times 10^{-7}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= +2 \times 10^{-7} \, \text{T}
  \end{aligned}
  $$
• \(\vec{B_2}\) の成分:
  • \(B_{2x} = +2 \times 10^{-7} \, \text{T}\)
  • \(B_{2y} = 0\)

合成磁場 \(\vec{B}\) の成分は、
$$
\begin{aligned}
B_x &= B_{1x} + B_{2x} \\[2.0ex] &= (-2 \times 10^{-7}) + (2 \times 10^{-7}) \\[2.0ex] &= 0
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
B_y &= B_{1y} + B_{2y} \\[2.0ex] &= (2 \times 10^{-7}) + 0 \\[2.0ex] &= 2 \times 10^{-7} \, \text{T}
\end{aligned}
$$
したがって、合成磁場の大きさは \(B = 2 \times 10^{-7} \, \text{T}\) で、向きはy軸の正の向きとなります。

点Qの場所には、原点の電流と点Pの電流の両方が磁場を作っています。磁場は向きと強さを持つ「ベクトル」なので、単純な足し算はできません。それぞれの電流が作る磁場の「向き」と「強さ」を別々に計算し、それらをベクトルの足し算（綱引きの合力のようなもの）で合成します。この問題では、うまくx方向の成分が打ち消しあい、y方向の成分だけが残る、という結果になります。

合成磁場の大きさは \(2 \times 10^{-7} \, \text{T}\)、向きはy軸の正の向きです。各磁場の向きを正しく把握し、ベクトル合成を丁寧に行うことができれば、妥当な結果が得られます。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた合成磁場 \(B\) の中に、新たに電流 \(I_3\) を置いた状況です。この電流が磁場から受ける力を、ローレンツ力の公式 \(F=IBl\) を使って計算します。力の向きはフレミングの左手の法則で決定します。
この設問における重要なポイント

• 力を計算する際に使う磁場は、(2)で求めた「合成磁場」である。
• 電流 \(I_3\) は鉛直上向き（紙面の裏から表へ向かう向き）である。
• フレミングの左手の法則（電・磁・力）を、空間的に正しく適用する。

具体的な解説と立式
点Qを流れる電流 \(I_3\) が、(2)で求めた合成磁場 \(B\) から受ける力 \(F\) は、以下の公式で与えられます。
$$ F = I_3 B l $$
点Qにおける磁場はy軸の正の向き、電流 \(I_3\) は鉛直上向き（xy平面に垂直）なので、電流と磁場は直交しています。
力の向きは、フレミングの左手の法則を用いて決定します。

• 電流（中指）: 紙面の裏から表へ向ける。
• 磁場（人差し指）: y軸の正の向き（上向き）へ向ける。
• 力（親指）: x軸の負の向き（左向き）を向く。

与えられた値を公式に代入します。

• \(I_3 = 10 \, \text{A}\)
• \(B = 2 \times 10^{-7} \, \text{T}\) （(2)の結果より）
• \(l = 1 \, \text{m}\)

$$
\begin{aligned}
F &= 10 \times (2 \times 10^{-7}) \times 1 \\[2.0ex] &= 2 \times 10^{-6} \, \text{N}
\end{aligned}
$$
力の向きは、上記の通りx軸の負の向きです。

(2)の計算で、点Qの場所には「y軸の正の向きに、強さ \(2 \times 10^{-7} \, \text{T}\) の磁場」がかかっていることがわかりました。その磁場の中に、今度は「上向きに10Aの電流」を流します。すると、「電流・磁場・力」の関係を決めるフレミングの左手の法則に従って、この電流は力を受けます。法則に自分の左手を当てはめてみると、力はx軸の負の向き（左向き）に働くことがわかります。力の大きさは、公式に数値を代入して計算できます。

力の大きさは \(2 \times 10^{-6} \, \text{N}\)、向きはx軸の負の向きとなります。(2)の結果を正しく利用し、法則を適用すれば導ける妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直線電流が作る磁場（右ねじの法則）:
  • 核心: 電流が流れると、そのまわりに同心円状の磁場が発生します。この磁場の「向き」と「大きさ」を正しく求めることが、この問題の全ての基礎となります。
  • 理解のポイント:
    • 大きさ: 磁場の強さ \(H\)（または磁束密度 \(B\)）は、電流の大きさに比例し、電流からの距離に反比例します (\(B = \displaystyle\frac{\mu I}{2\pi r}\))。
    • 向き: 右ねじの法則で決定します。親指を電流の向きに合わせると、残りの4本の指が巻く向きが磁場の向きです。xy平面上のどの点でも、この法則を適用して磁場のベクトルの向きを正確に作図できることが重要です。
• 磁場の重ね合わせの原理:
  • 核心: 複数の電流源がある場合、ある点での磁場は、それぞれの電流が単独でその点に作る磁場を、ベクトルとして足し合わせることで求められます。
  • 理解のポイント:
    • ベクトル和: 磁場は向きを持つベクトル量なので、単純に大きさを足し算してはいけません。必ず、各磁場ベクトルをx成分とy成分に分解し、成分ごとに足し算（または引き算）して合成ベクトルを求める必要があります。
• 電流が磁場から受ける力（フレミングの左手の法則）:
  • 核心: 磁場の中に置かれた電流は、力を受けます。この力の「向き」と「大きさ」を計算することが、(1)や(3)のゴールです。
  • 理解のポイント:
    • 大きさ: 力の大きさは \(F=IBl\) で計算されます。ここで使う \(B\) は、その場所に存在する「合成磁場」であることに注意が必要です。
    • 向き: フレミングの左手の法則で決定します。電流、磁場、力の3つのベクトルの空間的な向きを、自分の左手を使って正確に把握する能力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正三角形や正方形の頂点に電流を置く問題: 各頂点に置かれた電流が、図形の中心や他の頂点に作る磁場を求める問題です。対称性を利用すると計算が楽になる場合がありますが、基本は本問(2)と同様に、各電流が作る磁場をベクトルとして合成します。
  • 磁場がゼロになる点を求める問題: 2本の平行電流の間に、磁場が打ち消しあってゼロになる点がどこかを求める問題です。それぞれの電流が作る磁場の大きさが等しく、向きが逆になる点を探します。\(B_1 = B_2\) という式を立て、距離について解くことで求められます。
  • コイル（ソレノイド）が作る磁場との組み合わせ: 直線電流とソレノイドが同時に存在し、ある点での合成磁場を問う問題です。ソレノイド内部の磁場（一様で軸方向）と直線電流の磁場（同心円状）という、性質の異なる磁場をベクトル合成する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標と電流の配置を正確に把握: まず、問題で与えられたxy座標と、各電流の位置、大きさ、向き（上向きか下向きか）を丁寧に図に書き込みます。
  2. 磁場を問われているのか、力を問われているのかを明確にする: (2)のように磁場を問う問題では、その点に電流を置かずに、周りの電流が作る磁場だけを考えます。(1)や(3)のように力を問う問題では、まずその点に存在する磁場を特定し、次にその磁場とそこにある電流とで力を計算する、という2段階の思考が必要です。
  3. ベクトルの作図を徹底する: 磁場や力を計算する前に、必ず図の上に矢印でベクトルを作図します。右ねじの法則やフレミングの左手の法則を使い、向きを視覚化することで、計算ミスや符号ミスを劇的に減らせます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 右ねじの法則とフレミングの左手の法則の混同:
  • 誤解: 磁場の向きを求めたいのにフレミングの左手の法則を使ったり、力の向きを求めたいのに右ねじの法則を使ったりする。
  • 対策: 「磁場の向きは右ねじ」「力の向きは左手」と明確に区別して覚えましょう。「電流→磁場」の関係が右ねじ、「電流＋磁場→力」の関係が左手、という因果関係で覚えるのも有効です。
• ベクトルの合成をスカラーの足し算で行う:
  • 誤解: (2)で \(B_1\) と \(B_2\) の大きさを計算した後、単純に \(B_1+B_2\) としてしまう。
  • 対策: 「磁場はベクトル量である」ということを常に意識してください。計算を始める前に、必ず各磁場ベクトルの向きを図示し、「これはベクトルの足し算だから、成分に分解しないといけない」と自分に言い聞かせる習慣をつけましょう。
• 距離 \(r\) の取り違え:
  • 誤解: (2)で電流 \(I_1\) が作る磁場を計算する際に、距離をx座標の \(2\) やy座標の \(2\) だけで計算してしまう。
  • 対策: 距離 \(r\) は、電流が流れる直線と、磁場を求めたい点との「最短距離」です。三平方の定理を使って、斜めの距離を正確に計算する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平行電流間の力の公式 \(F = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi r} l\) vs 基本法則の組み合わせ:
  • 選定理由: (1)では、状況が「2本の平行電流」という典型的なパターンに合致するため、専用の公式 \(F = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi r} l\) を使うのが最も手早く確実です。この公式は、より基本的な法則を予めまとめてくれた便利な道具と考えることができます。
  • 適用根拠: 一方、別解で示したように、この公式は「\(I_2\) が作る磁場 \(B_2 = \frac{\mu I_2}{2\pi r}\)」と「その磁場から \(I_1\) が受ける力 \(F = I_1 B_2 l\)」という2つの基本法則を組み合わせたものに他なりません。したがって、公式を忘れても、基本法則から導出することが可能です。どちらのアプローチも物理的に等価です。
• 磁場の重ね合わせ:
  • 選定理由: (2)では、磁場の源が2つ（\(I_1\)と\(I_2\)）存在します。このような複数の波源や力源が影響を及ぼす場合、物理学では「重ね合わせの原理」が基本となります。つまり、それぞれの源が作る効果を独立に計算し、それらを後で（ベクトルとして）足し合わせる、という考え方です。
  • 適用根拠: 電磁気学において、磁場（や電場）は重ね合わせの原理が成り立つことが実験的に確認されています。したがって、複数の電流が作る磁場を考える際には、この原理を適用することが物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と定数の確認: 計算を始める前に、真空の透磁率 \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2\) の値を正確に覚えておき、計算の際に \(2\pi\) や \(4\pi\) がうまく約分できることを見越しておくと、計算がスムーズに進みます。
• ベクトル成分の計算を丁寧に行う: (2)のようにベクトルを成分分解する際は、符号（プラスかマイナスか）に細心の注意を払います。作図した矢印の向きが、座標軸の正の向きか負の向きかを一つ一つ確認しながら、\(B_x\), \(B_y\) の値を決定しましょう。
• \(45^\circ\)の角度の活用: この問題のように\(45^\circ\)の角度が登場する場合、\(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) であることを利用すると、計算が簡潔になります。また、直角二等辺三角形の辺の比が \(1:1:\sqrt{2}\) であることを図形的に利用するのも有効です。

438 磁場内の荷電粒子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な磁場中での荷電粒子の等速円運動」です。荷電粒子が磁場から受ける力（ローレンツ力）が、円運動の向心力として働くという、電磁気学と力学の融合問題を正しく扱えるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
フレミングの左手の法則を正しく適用することが全てです。この問題の最大のポイントは、荷電粒子が負の電荷を持つ電子であるため、「電流の向き」をどのように考えるか、という点にあります。力の向きは円運動の中心方向であることから、磁場の向きを特定します。
この設問における重要なポイント

• フレミングの左手の法則: 中指（電流の向き）、人差し指（磁場の向き）、親指（力の向き）の関係。
• 電子の運動と電流の向き: 電流の向きは、正電荷の移動する向きと定義されるため、負電荷である電子の運動の向きとは逆向きになる。
• 向心力の向き: 等速円運動している物体には、常に円の中心に向かう向きの力が働いている。

具体的な解説と立式
図から、電子は円軌道の最上点において、速度\(v\)が水平右向きであることが示されています。この後、電子は円軌道に沿って運動するため、これは時計回りの円運動を意味します。
この瞬間、電子の速度\(v\)の向きは水平右向きです。
電子は負の電荷\(-e\)を持つため、電流\(I\)の向きは電子の運動の向きとは逆、すなわち水平左向きとなります。
また、電子は円運動をしているので、常に円の中心に向かって力を受けています。軌道の最上点では、この力（ローレンツ力）の向きは鉛直下向きです。

ここでフレミングの左手の法則を適用します。

• 中指（電流の向き）を「左向き」
• 親指（力の向き）を「下向き」

に合わせると、人差し指（磁場の向き）は、紙面の表から裏を向くことになります。

法則の適用であり、数式を用いた計算はありません。

「フレミングの左手の法則」という、電流・磁場・力の向きの関係を教えてくれる便利な道具を使います。まず、電子が円の中心に向かって常に引っ張られている（これが力の向き）ことがわかります。次に、電子が動く向きがわかっていますが、ここで注意が必要です。物理でいう「電流の向き」は、プラスの電気が動く向きと決められているので、マイナスの電気を持つ電子が動く向きとは「逆」になります。図では電子は時計回りに動いているので、電流は逆の「反時計回り」と考えます。軌道のてっぺんにいる瞬間を考えると、電流は「左向き」です。この「左向きの電流」と「中心向き（下向き）の力」を、あなたの左手の「中指」と「親指」にそれぞれ当てはめてみてください。すると、残った「人差し指」が指す方向が、求める「磁場の向き」になります。

磁場の向きは、紙面の表から裏向きとなります。これは、もし正電荷の粒子が同じ磁場中で円運動するならば、反時計回りの軌道を描くことに対応し、物理的に整合性がとれています。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子がなぜ円運動を続けられるのか、その原因となる「向心力」の正体を考えます。磁場中にいる荷電粒子が受ける力はローレンツ力です。したがって、このローレンツ力が向心力の役割を果たしているとみなし、円運動の運動方程式を立てて半径\(R\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 向心力の正体: この場合の向心力は、電子が磁場から受けるローレンツ力である。
• ローレンツ力の大きさ: 電気量の大きさを\(e\)とすると、ローレンツ力の大きさ\(f\)は\(f = evB\)で与えられる。
• 等速円運動の運動方程式: 質量\(m\)、速さ\(v\)、半径\(R\)の円運動では、\(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = (\text{向心力})\)という関係が成り立つ。

具体的な解説と立式
電子が磁場から受けるローレンツ力の大きさ\(f\)は、電気量の大きさ\(e\)、速さ\(v\)、磁束密度\(B\)を用いて次のように表されます。
$$ f = evB \quad \cdots ① $$
このローレンツ力が向心力となって、電子は半径\(R\)の等速円運動を行います。したがって、円運動の運動方程式は以下のように立てられます。
$$ m\frac{v^2}{R} = f \quad \cdots ② $$

式②に式①を代入して、ローレンツ力と向心力の関係を具体的に記述します。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{R} &= evB
\end{aligned}
$$
この式を半径\(R\)について解きます。両辺に\(R\)を掛け、\(evB\)で割るか、まず両辺を\(v\)（\(v \neq 0\)）で割ってから整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{mv}{R} &= eB \\[2.0ex] mv &= eBR \\[2.0ex] R &= \frac{mv}{eB}
\end{aligned}
$$

電子がきれいな円を描いて回り続けるためには、誰かが常に円の中心に向かって引っ張り続ける必要があります。この「引っ張る力」の正体が、磁場が電子に及ぼす「ローレンツ力」です。物理学には、「物体の運動の様子（質量×加速度）」と「物体に働く力」を等号で結ぶ「運動方程式」という万能ルールがあります。円運動の場合、その方程式は「質量\(m \times\) 速さ\(v\)の2乗 \(\div\) 半径\(R\) \(=\) 中心に引っ張る力」という形になります。この式の「中心に引っ張る力」の部分に、ローレンツ力の大きさ\(evB\)を代入します。あとは、求めたい半径\(R\)について式を整理すれば、答えが導き出せます。

円運動の半径\(R\)は\(\displaystyle\frac{mv}{eB}\)と表せます。この式は、電子の運動量\(mv\)が大きいほど（速い、または重いほど）描く円が大きくなり、磁場\(B\)や電気量\(e\)が大きいほど（中心に引く力が強いほど）円が小さくなることを示しています。これは直感的なイメージと一致する、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
周期\(T\)とは、円軌道を1周するのに要する時間のことです。最も基本的な「時間 = 距離 ÷ 速さ」という関係を円運動に適用します。1周の距離は円周の長さ\(2\pi R\)、速さは一定で\(v\)です。この関係式に、(2)で求めた半径\(R\)の表現を代入することで、周期\(T\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• 周期の定義: \(T = \displaystyle\frac{(\text{1周の距離})}{(\text{速さ})} = \frac{2\pi R}{v}\)。
• (2)で求めた半径\(R\)の式を利用する。

具体的な解説と立式
等速円運動の周期\(T\)は、円周の長さ\(2\pi R\)を、電子の速さ\(v\)で割ることで求められます。
$$ T = \frac{2\pi R}{v} \quad \cdots ③ $$

式③に、(2)で求めた\(R = \displaystyle\frac{mv}{eB}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{v} \left( \frac{mv}{eB} \right) \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m v}{v e B} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi m}{eB}
\end{aligned}
$$
計算の過程で、速さ\(v\)が分子と分母で打ち消し合うのがポイントです。

周期とは「1周するのにかかる時間」のことです。これは小学校で習った「時間＝道のり÷速さ」の考え方で計算できます。円運動の場合、「道のり」は円周の長さ（\(2 \pi \times \text{半径} R\)）、「速さ」は\(v\)です。したがって、周期\(T\)は\(2\pi R\)を\(v\)で割ることで計算できます。この式の半径\(R\)の部分に、(2)で求めた式をそのまま代入して整理すると、答えが出てきます。

周期\(T\)は\(\displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\)と表せます。この結果からわかる最も重要なことは、周期\(T\)が電子の速さ\(v\)や円運動の半径\(R\)に依存しないという事実です。これは、速い電子ほど大きな半径の円を描いて長い距離を移動するため、結果的に1周にかかる時間は遅い電子と同じになる、ということを意味します。この性質は、粒子加速器であるサイクロトロンの基本原理として応用されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力の向心力としての役割:
  • 核心: この問題の根幹は、磁場中を運動する荷電粒子が受ける「ローレンツ力」が、等速円運動を維持するための「向心力」として働いている、という一点に尽きます。
  • 理解のポイント:
    • 運動方程式: この物理現象を数式で表現したものが、円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = evB\) です。左辺が運動の様子（結果）、右辺がその原因となる力（ローレンツ力）を表しており、この等式を立てることが問題解決の出発点となります。
    • 力の向き: ローレンツ力は常に速度の向きと垂直に働くため、荷電粒子に対して仕事をしません。その結果、粒子の速さは変わらず「等速」円運動となります。
• フレミングの左手の法則と負電荷の扱い:
  • 核心: ローレンツ力の「向き」を正しく決定できることが、もう一つの核心です。特に、動いているのが負電荷の「電子」であるため、電流の向きをどう解釈するかが重要になります。
  • 理解のポイント:
    • 電流の定義: 電流の向きは「正電荷の流れる向き」と定義されています。したがって、負電荷である電子の運動の向きと、フレミングの左手の法則で使う電流の向きは「逆」になります。このルールを機械的に適用できるかが問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 速度選択器: 電場と磁場が直交するようにかけられた空間を考える問題。ローレンツ力と電場からの静電気力がつりあう（\(evB = eE\)）特定の速さ（\(v = E/B\)）の粒子だけが直進できる、という原理を利用します。
  • 質量分析器: 速度選択器を通過した粒子を、今度は磁場だけの領域に入射させる問題。円運動の半径 \(R = \displaystyle\frac{mv}{eB}\) が質量\(m\)に比例することを利用し、同位体（質量が異なる原子）を分離します。
  • サイクロトロン: 周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) が速さ\(v\)や半径\(R\)によらない性質を利用した粒子加速器。半円状の電極間で粒子を加速し、磁場で軌道を曲げる操作を繰り返します。
  • らせん運動: 磁場に対して荷電粒子が「斜めに」入射する問題。速度を磁場に平行な成分と垂直な成分に分解して考えます。平行成分は力を受けず等速直線運動、垂直成分は等速円運動となり、これらが合成されて粒子はらせん軌道を描きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 荷電粒子の符号を確認: まず、粒子が正電荷か負電荷かを確認します。これがフレミングの法則を適用する際の「電流の向き」を決定する最初のステップです。
  2. 力の向きと運動の様子を把握: 粒子が受ける力（ローレンツ力、静電気力など）の向きを特定し、その結果としてどのような運動（直進、円運動、放物運動など）をするのかを大まかに予測します。
  3. 座標系を意識する: 問題を静止した観測者の視点（慣性系）で解くか、粒子と共に動く観測者の視点（非慣性系）で解くかを選択します。円運動では、非慣性系で「遠心力とのつり合い」を考えると、見通しが良くなる場合があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の向きの決定ミス:
  • 誤解: 電子の運動方向を、そのままフレミングの左手の法則の中指（電流の向き）に当てはめてしまう。
  • 対策: 「電流の向き \(\neq\) 電子の運動方向」と強く意識し、「電子と来たら、電流は逆！」と機械的に変換する癖をつけましょう。問題用紙の図に、電子の運動方向とは逆向きの矢印で「電流\(I\)」と書き込んでしまうのが最も確実な対策です。
• フレミングの右手の法則との混同:
  • 誤解: ローレンツ力を求めたいのに、無意識に右手の法則を使ってしまう。
  • 対策: 「左手は力（ローレンツ力、モーターの原理）、右手は電気（誘導起電力、発電機の原理）」というように、具体的な応用例とセットで記憶します。「電・磁・力（でん・じ・りょく）」と3文字なので左手、と覚えるのも有効な手段です。
• 周期の依存性に関する直感的な誤り:
  • 誤解: 「速い粒子はすぐに1周しそうだから、周期は速さに反比例する」と直感で考えてしまう。
  • 対策: 周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{eB}\) を正確に記憶し、この式に速さ\(v\)や半径\(R\)が含まれていないことを確認します。そして、「速い粒子は、その分だけ大きな円を描いて長い距離を走るため、結果的に1周にかかる時間は変わらない」という物理的な理由付けもセットで理解しておくと、記憶が定着しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = F\):
  • 選定理由: (2)で「円運動の半径\(R\)」という、運動の幾何学的な性質を求める必要があるためです。この式は、運動の様子（左辺）と、その原因となる力（右辺）を結びつける、円運動の力学における最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: 粒子は常に進行方向を変え続けており、これは加速度が生じていることを意味します（等速円運動は加速度運動です）。ニュートンの運動の法則によれば、加速度が生じるからには必ず力が働いています。その力を向心力\(F\)として運動との関係を記述するのがこの方程式であり、物理的に正当なアプローチです。
• 非慣性系での力のつり合い:
  • 選定理由: (2)の別解として、運動を静的な問題として捉え直すために選択しました。運動方程式が「なぜ運動が変化するのか」を記述するのに対し、力のつり合いは「なぜその状態を保つのか」を記述します。回転系から見て「静止」している状態を説明するために、この考え方を用います。
  • 適用根拠: 物理法則は観測者の立場によらず成り立つべきですが、非慣性系では「見かけの力（慣性力、この場合は遠心力）」を導入することで、形式的にニュートンの法則（力のつり合い）を適用できます。これは物理的に広く認められた有効な手法です。
• 周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi R}{v}\):
  • 選定理由: (3)で「周期\(T\)」を求めるため、周期・半径・速さという円運動の基本的な物理量を関係づける、最も直接的な定義式を選択しました。
  • 適用根拠: 「速さ」とは単位時間あたりの移動距離です。この運動は「等速」であるため、「時間 = 距離 ÷ 速さ」という単純な関係が厳密に成り立ちます。1周という運動において、距離は円周\(2\pi R\)、速さは\(v\)、時間は周期\(T\)にそれぞれ対応します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 法則の「指差し確認」の徹底: フレミングの左手の法則は、頭の中だけで考えずに、必ず自分の左手を使って確認する習慣をつけましょう。「電流はこっち（中指）、力の向きはこっち（親指）、だから磁場はこっち（人差し指）」と、一つ一つ指を動かしながら確認することで、ケアレスミスを劇的に減らせます。
• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、最終的な答えを文字式で表す場合、途中で具体的な数値を代入する必要はありません。最後まで文字のまま計算を進めることで、計算がシンプルになるだけでなく、(3)の計算過程で速さ\(v\)が約分されるように、物理的に意味のある関係性が見えやすくなります。
• 最終的な答えの吟味（単位の確認）: 計算結果が出たら、その式が物理的に妥当か簡単な吟味をします。例えば、(2)で求めた半径\(R\)の式 \(R = \displaystyle\frac{mv}{eB}\) について、もし速さ\(v\)が分母に来ていたら「速いほど円が小さくなるのはおかしい」と気づくことができます。また、各物理量の単位（次元）を代入して、最終的に長さの単位になるかを確認するのも有効な検算方法です。

439 磁場内のイオンの運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「質量分析器の原理」です。電場による加速と、磁場による円運動という2つの段階を経て、粒子の質量に応じて到達位置が変わる現象を扱います。電磁気学と力学の知識を総動員して解く、典型的な応用問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
イオンが電位差\(V\)の電場で加速される過程に注目します。初速度\(0\)のイオンが、電場から静電気力を受けて仕事をされ、運動エネルギーを得ます。この過程では、エネルギー保存則が成り立ちます。具体的には、「電場がした仕事」が「イオンの運動エネルギーの増加分」に等しい、という関係式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 仕事と運動エネルギーの関係: \((\text{物体がされた仕事}) = (\text{運動エネルギーの変化量})\)。
• 電場がする仕事: 電気量\(q\)の電荷が電位差\(V\)の区間を移動するとき、電場がする仕事は \(W=qV\)。
• 運動エネルギー: 質量\(M_1\)、速さ\(v_1\)の物体の運動エネルギーは \(K = \displaystyle\frac{1}{2}M_1 v_1^2\)。

具体的な解説と立式
質量\(M_1\)、電気量\(q\)のイオンは、初速度\(0\)の状態から電位差\(V\)で加速されます。
このとき、電場がイオンにする仕事\(W\)は、
$$ W = qV \quad \cdots ① $$
この仕事によって、イオンは運動エネルギー\(K_1\)を得ます。初速度が\(0\)なので、運動エネルギーの増加量はそのまま\(K_1\)となります。
$$ K_1 = \frac{1}{2}M_1 v_1^2 \quad \cdots ② $$
仕事と運動エネルギーの関係より、\(W=K_1\)が成り立ちます。
$$ qV = \frac{1}{2}M_1 v_1^2 $$

立式した \(qV = \displaystyle\frac{1}{2}M_1 v_1^2\) を、速さ\(v_1\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}M_1 v_1^2 &= qV \\[2.0ex] v_1^2 &= \frac{2qV}{M_1} \\[2.0ex] v_1 &= \sqrt{\frac{2qV}{M_1}}
\end{aligned}
$$
速さ\(v_1\)は正なので、平方根は正の値をとります。

イオンは、イオン源とスリットSの間にある「電気の坂道（電位差\(V\)）」を転がり落ちることでスピードアップします。このとき、電気の坂道がイオンを押し出すことで与えたエネルギー（仕事\(qV\)）が、すべてイオンのスピードアップのためのエネルギー（運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}M_1 v_1^2\)）に変わります。つまり、「電気からもらったエネルギー \(=\) スピードのエネルギー」という等式を立て、これを速さ\(v_1\)について解けばよいのです。

イオンの速さ\(v_1\)は\(\sqrt{\displaystyle\frac{2qV}{M_1}}\)と表せます。この式は、加速電圧\(V\)が大きいほど、また質量\(M_1\)が小さいほど速くなることを示しており、直感と一致する妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
磁場に入射した後のイオンの運動に着目します。イオンはローレンツ力を向心力として等速円運動をします。この円運動の半径を\(r_1\)とすると、図からイオンが半周して到達する距離\(L_1\)は、この円運動の直径\(2r_1\)に等しいことがわかります。まず運動方程式から半径\(r_1\)を求め、それを2倍して\(L_1\)を導出します。
この設問における重要なポイント

• 向心力はローレンツ力: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\)。
• 到達距離と半径の関係: 図より、\(L_1\)は円運動の直径である。\(L_1 = 2r_1\)。

具体的な解説と立式
磁場中で速さ\(v_1\)で運動する質量\(M_1\)、電気量\(q\)のイオンは、ローレンツ力\(f_1 = qv_1 B\)を向心力として、半径\(r_1\)の等速円運動をします。
円運動の運動方程式は、
$$ M_1 \frac{v_1^2}{r_1} = qv_1 B $$
この式から、円運動の半径\(r_1\)を求めます。
図より、イオンは半円軌道を描いて、スリットSから\(L_1\)の距離にある点に到達します。この距離\(L_1\)は、円軌道の直径に相当します。
$$ L_1 = 2r_1 $$

まず、運動方程式を\(r_1\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
M_1 \frac{v_1^2}{r_1} &= qv_1 B \\[2.0ex] \frac{M_1 v_1}{r_1} &= qB \\[2.0ex] r_1 &= \frac{M_1 v_1}{qB}
\end{aligned}
$$
次に、\(L_1 = 2r_1\) の関係に代入します。
$$
\begin{aligned}
L_1 &= 2 \times \frac{M_1 v_1}{qB} \\[2.0ex] &= \frac{2M_1 v_1}{qB}
\end{aligned}
$$

磁石のエリアに入ったイオンは、ローレンツ力という力でぐいっと曲げられ、円を描き始めます。このとき、「イオンが円運動する様子」と「ローレンツ力」を運動方程式で結びつけると、イオンが描く円の半径を計算できます。図をよく見ると、イオンが半周して着地した場所までの距離\(L_1\)は、ちょうどこの円の「直径」になっています。したがって、先ほど計算した半径を2倍すれば、\(L_1\)が求まります。

到達距離\(L_1\)は\(\displaystyle\frac{2M_1 v_1}{qB}\)と表せます。この式は、イオンの運動量\(M_1 v_1\)に比例し、磁場\(B\)や電気量\(q\)に反比例することを示しています。運動量の大きいイオンほど曲がりにくく、大きな円を描くという直感と一致する結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた\(L_1\)の式には、まだ(1)で求めた速さ\(v_1\)が含まれています。問題の要求は\(L_1/L_2\)を\(M_1, M_2\)で表すことなので、まずは\(L_1\)を、問題で最初に与えられた変数（\(M_1, q, V, B\)）だけで表現する必要があります。そのために、(2)の\(L_1\)の式に(1)の\(v_1\)の式を代入します。同様の議論で\(L_2\)の式も導出し、最後にその比を計算します。
この設問における重要なポイント

• 式の代入と整理: 複数の設問で得られた結果を正しく組み合わせて、不要な変数を消去する。
• 類推による式の導出: 質量\(M_1\)のイオンで得られた結果から、添え字の1を2に変えるだけで、質量\(M_2\)のイオンの結果を類推できる。
• 比の計算: 最終的に多くの変数が約分され、単純な関係式が残る。

具体的な解説と立式
(2)で求めた\(L_1\)の式は、
$$ L_1 = \frac{2M_1 v_1}{qB} \quad \cdots ⑥ $$
(1)で求めた\(v_1\)の式は、
$$ v_1 = \sqrt{\frac{2qV}{M_1}} \quad \cdots ⑦ $$
⑥に⑦を代入して、\(L_1\)を\(M_1, q, V, B\)で表します。
同様に、質量\(M_2\)のイオンについても、到達距離\(L_2\)は、⑥の式の\(M_1\)を\(M_2\)に、\(v_1\)を\(v_2\)に置き換えたものになります。
$$ L_2 = \frac{2M_2 v_2}{qB} $$
そして、速さ\(v_2\)も同様に、
$$ v_2 = \sqrt{\frac{2qV}{M_2}} $$
となります。したがって、\(L_2\)も\(M_2, q, V, B\)で表すことができます。
最終的に、これらの\(L_1\)と\(L_2\)の比を求めます。

まず、\(L_1\)の式を整理します。
$$
\begin{aligned}
L_1 &= \frac{2M_1}{qB} v_1 \\[2.0ex] &= \frac{2M_1}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{M_1}} \\[2.0ex] &= \frac{2}{qB} \sqrt{M_1^2 \cdot \frac{2qV}{M_1}} \\[2.0ex] &= \frac{2}{qB} \sqrt{M_1 \cdot 2qV} \\[2.0ex] &= \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2M_1 V}{q}}
\end{aligned}
$$
同様に、質量\(M_2\)のイオンについても、
$$ L_2 = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2M_2 V}{q}} $$
となります。
最後に、これらの比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{L_1}{L_2} &= \frac{\displaystyle\frac{2}{B} \sqrt{\frac{2M_1 V}{q}}}{\displaystyle\frac{2}{B} \sqrt{\frac{2M_2 V}{q}}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{M_1}}{\sqrt{M_2}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}
\end{aligned}
$$
共通の係数部分がすべて約分で消えるのがポイントです。

この設問は、これまでの計算の総仕上げです。(2)で求めた\(L_1\)の式は、まだ「速さ\(v_1\)」という文字を含んでいます。そこで、(1)で計算した\(v_1\)の式をここに代入して、「速さ」の文字を消去します。これで、\(L_1\)が最初の設定だけで表せたことになります。同じことを質量\(M_2\)のイオンについても行い、\(L_2\)の式も作ります。最後に、できあがった\(L_1\)の式と\(L_2\)の式を分数にして割り算（比を計算）します。すると、たくさんの文字が約分で消えていき、最終的には質量の比だけが残ります。

到達距離の比 \(\displaystyle\frac{L_1}{L_2}\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{M_1}{M_2}}\) となります。この結果は、同じ電圧で加速され、同じ磁場に入れられたイオンは、その質量の平方根に比例した直径の円軌道を描くことを意味します。これにより、到達位置を測定することで、イオンの質量を精密に分析できる、これが質量分析器の原理です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギー保存則と運動方程式の連携:
  • 核心: この問題は、2つの異なる物理現象（電場による加速、磁場による円運動）を、それぞれに対応する物理法則を用いて分析し、それらを連携させて解く点に核心があります。
  • 理解のポイント:
    • 第1段階（加速）: イオン源からスリットSまでの区間では、電場がイオンにする仕事が運動エネルギーに変換されます。ここでは「仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則）」 \(qV = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) が主役です。
    • 第2段階（円運動）: スリットS以降の磁場領域では、ローレンツ力が向心力となってイオンは等速円運動をします。ここでは「円運動の運動方程式」 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) が主役です。
    • 連携: (1)で求めた速さ\(v\)を、(2)で立てた運動方程式から導かれる半径の式に代入することで、2つの現象が結びつきます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • J.J.トムソンの実験（電子の比電荷の測定）: 電場と磁場を重ねた領域で、電子に働く静電気力とローレンツ力をつり合わせ（直進させ）、その後電場または磁場のみをかけて軌道を曲げます。本問と考え方の構造が非常に似ています。
  • サイクロトロン: 本問は半周の運動ですが、サイクロトロンはこれを何度も繰り返し、粒子を加速させます。電場による加速と磁場による円運動という要素は共通しています。
  • ホール効果: 導体中の荷電粒子（電子やホール）が磁場からローレンツ力を受け、導体の側面に偏って電位差（ホール電圧）が生じる現象。ローレンツ力と、偏りによって生じた電場からの静電気力がつり合う点で考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象の分割: 問題文を読み、どこでどのような物理現象が起きているかを分割して考えます。「ここまでは加速」「ここからは円運動」のように、区間ごとに主役となる物理法則を見抜きます。
  2. 変数の特定: 各設問で「何を」「何を用いて」表すよう求められているかを正確に把握します。(3)のように、前の設問の答えを代入して特定の変数を消去する操作は頻出パターンです。
  3. 図と式の対応付け: 図に描かれている幾何学的な情報（今回は\(L_1\)が直径であること）を、数式（\(L_1 = 2r_1\)）に正しく変換することが重要です。図を注意深く観察し、物理量との関係を見抜く癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(L_1\)を半径と勘違いするミス:
  • 誤解: 運動方程式から求めた半径\(r_1\)を、そのまま到達距離\(L_1\)としてしまう。
  • 対策: 必ず図に立ち返り、求めたい量（\(L_1\)）と計算で出てきた量（\(r_1\)）の関係を確認する習慣をつけましょう。「\(L_1\)は直径、\(r_1\)は半径」と問題用紙の図に書き込んでおくと、ミスを防げます。
• 文字式の代入・整理での計算ミス:
  • 誤解: (3)で\(v_1\)を代入する際に、ルートの計算や指数の計算を間違える。
  • 対策: \(L_1 = \displaystyle\frac{2M_1}{qB} \sqrt{\displaystyle\frac{2qV}{M_1}}\) のような式を整理するとき、焦らずにルートの外にある\(M_1\)をルートの中に入れる操作（\(M_1 = \sqrt{M_1^2}\)）を丁寧に行いましょう。\(L_1 = \displaystyle\frac{2}{qB} \sqrt{M_1^2 \cdot \displaystyle\frac{2qV}{M_1}} = \displaystyle\frac{2}{qB} \sqrt{2M_1qV}\) のように、段階を踏んで計算することがミス防止につながります。
• (3)で\(v_1\)を代入し忘れるミス:
  • 誤解: (2)で求めた \(L_1 = \displaystyle\frac{2M_1 v_1}{qB}\) と \(L_2 = \displaystyle\frac{2M_2 v_2}{qB}\) の比をそのまま計算しようとして、\(v_1\)と\(v_2\)が消せずに困ってしまう。
  • 対策: 設問が要求している「\(M_1, M_2\)を用いて表せ」というゴールを常に意識することが重要です。自分の計算結果に、ゴールで許されていない文字（この場合は\(v_1, v_2\)）が残っていたら、それを消去するために他の設問の結果が使えないか、必ず確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事と運動エネルギーの関係 \(W=\Delta K\):
  • 選定理由: (1)では、加速区間の「始点と終点」の状態（初速と終速）だけが問題になっており、途中の時間や加速度は問われていません。このように、過程の詳細ではなく状態の変化を結びつけたい場合、スカラー量であるエネルギーで考えるのが最も効率的です。
  • 適用根拠: 電場による静電気力は保存力であり、他に非保存力が働かない場合、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。仕事と運動エネルギーの関係は、このエネルギー保存則を言い換えたものであり、この状況に適用するのは物理的に正当です。
• 円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}=F\):
  • 選定理由: (2)では、磁場中での「円運動の半径」という軌道の形状に関する量を求める必要があります。運動方程式は、力と運動（加速度）の関係を記述するものであり、円運動の加速度が半径\(r\)と速さ\(v\)で決まる（\(a=v^2/r\)）ため、半径を求めるにはこの式が不可欠です。
  • 適用根拠: 磁場中でイオンはローレンツ力という力を常に受け、進行方向を変え続けています。これは加速度運動であり、その運動を支配しているのはニュートンの運動法則です。したがって、運動方程式を立てることが、この現象を記述するための最も基本的なアプローチとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 段階的な式変形を心がける: (3)の計算のように、ルートや分数が絡む複雑な文字式の計算では、一気に暗算しようとせず、一行一行、変形の根拠を明確にしながら書き下していくことが重要です。
  例: \(M_1\)をルートの中に入れる \(\rightarrow\) ルートの中で約分する \(\rightarrow\) 定数をルートの外に出す、といった手順を省略せずに記述します。
• 類推を有効活用する: (3)で\(L_1\)の式を\(M_1, q, V, B\)で表すことができれば、\(L_2\)の式は\(M_1\)を\(M_2\)に置き換えるだけで得られます。同じ計算を二度繰り返す必要はなく、「同様に」という言葉で済ませることで、計算時間を短縮し、計算ミスをする機会そのものを減らすことができます。
• 比の計算では、先に式を立てる: \(\displaystyle\frac{L_1}{L_2}\)を求める際、まず\(L_1\)と\(L_2\)の式をそのまま分数の形で書き下します。\(\displaystyle\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{2}{B} \sqrt{\frac{2M_1 V}{q}}}{\frac{2}{B} \sqrt{\frac{2M_2 V}{q}}}\) のように式を立ててから、共通部分を慎重に探し、約分していくと、間違いが起こりにくくなります。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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