「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第25章】基本例題～基本問題432

基本例題

基本例題83 直線電流がつくる磁場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流と磁場の合成」です。もともと存在する地磁気に、直線電流が作る磁場が加わったとき、その空間の磁場がどうなるか、そしてその結果として磁針がどちらを向くかを理解することが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

電流Iの大きさを求める

思考の道筋とポイント
この問題は、2つの磁場、すなわち「地球がもともと持っている磁場（地磁気）」と「人間が電流を流して作った磁場」が共存する状況を扱います。磁針は、これら2つの磁場が合成された「最終的な磁場」の方向を向きます。
地磁気 \(\vec{H_0}\) は北を向いています。問題文の「水平に南北方向に導線を張っ」て電流を流した結果、磁針が \(30^\circ\) 回転した、という状況を考えます。電流の向きは指定されていませんが、どちら向きに流しても、導線の下にある磁針の位置には東西方向の磁場が生じます。ここでは、磁針が西に \(30^\circ\) 回転したと仮定して考えを進めます。（東に回転したとしても、電流の向きが逆になるだけで、電流の大きさは同じになります。）
地磁気 \(\vec{H_0}\) (北向き)と、電流による磁場 \(\vec{H}\) (西向き)のベクトル合成を考え、三角比を使って2つの磁場の大きさの関係を導き出すことが最初のステップです。
この設問における重要なポイント

• 磁針は、その点における合成磁場の方向を向く。
• 地磁気 \(\vec{H_0}\) は北向き。
• 南北に張った導線の下の点には、東西方向の磁場が生じる（右ねじの法則）。
• 2つの垂直なベクトル \(\vec{H_0}\) (北向き) と \(\vec{H}\) (西向き) の合成を考える。

具体的な解説と立式
はじめに、電流が流れていないとき、磁針は地磁気の水平成分 \(\vec{H_0}\) の向き、すなわち真北を向いています。
次に、南北に張った導線に電流 \(I\) を流します。導線は磁針の上 \(1.0 \, \text{cm}\) の位置にあります。
ここで、電流が南から北へ流れていると仮定します。右ねじの法則により、導線の真下にある磁針の位置には、西向きの磁場 \(\vec{H}\) が生じます。

このとき、磁針の位置には北向きの地磁気 \(\vec{H_0}\) と、西向きの電流による磁場 \(\vec{H}\) が存在します。磁針は、この2つの磁場を合成した \(\vec{H}_{\text{合成}}\) の方向を向きます。
問題文より、磁針はもとの北向きから \(30^\circ\) 回転したので、\(\vec{H_0}\) と \(\vec{H}_{\text{合成}}\) のなす角が \(30^\circ\) となります。
\(\vec{H_0}\) と \(\vec{H}\) は垂直なので、これらのベクトルで構成される直角三角形を考えることができます。北向きの \(\vec{H_0}\) と西向きの \(\vec{H}\) を2辺とする長方形を描くと、その対角線が \(\vec{H}_{\text{合成}}\) となります。このとき、幾何学的な関係から、
$$ \tan 30^\circ = \frac{|\vec{H}|}{|\vec{H_0}|} = \frac{H}{H_0} $$
が成り立ちます。これを \(H\) について解くと、
$$ H = H_0 \tan 30^\circ \quad \cdots ① $$
一方で、直線電流がつくる磁場の強さの公式は、電流を \(I\)、導線からの距離を \(r\) として、
$$ H = \frac{I}{2\pi r} \quad \cdots ② $$
と表されます。

式①と式②から、\(H\) を消去して \(I\) についての方程式を立てます。
$$ \frac{I}{2\pi r} = H_0 \tan 30^\circ $$
この式を \(I\) について解き、与えられた値を代入します。\(H_0 = 25 \, \text{A/m}\)、\(r = 1.0 \, \text{cm} = 1.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\)、\(\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)、\(\pi \approx 3.14\)、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) です。
$$
\begin{aligned}
I &= H_0 \tan 30^\circ \times (2\pi r) \\[2.0ex] &= 25 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \{ 2 \times 3.14 \times (1.0 \times 10^{-2}) \} \\[2.0ex] &\approx \frac{25}{1.73} \times (6.28 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &\approx 14.45 \times 0.0628 \\[2.0ex] &\approx 0.90666 \\[2.0ex] &\approx 0.91 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$

地球は大きな磁石なので、方位磁針は普通、北を指します。これが「地磁気」の力です。ここに、南北に電線を張って電気を流すと、電線の周りにも新しい磁場ができます。今回は電線が磁針の上にあるので、右ねじの法則から、この新しい磁場は東西方向を向きます。（電流が南→北なら西向き、北→南なら東向きです。）
すると、方位磁針は「北向きの地磁気」と「横向きの電流の磁場」の両方から力を受けることになります。結果として、磁針は2つの力が合わさった方向を向いて止まります。
今回は、その角度が \(30^\circ\) だった、ということです。この角度と地磁気の強さが分かっていれば、直角三角形の三角比（タンジェント）を使って、電流が作った磁場の強さを計算できます。そして、その磁場の強さから、原因となった電流の大きさを逆算できる、という仕組みです。

流した電流の大きさは \(I \approx 0.91 \, \text{A}\) と求められました。地磁気という非常に弱い磁場を \(30^\circ\) も曲げるのに、約 \(1 \, \text{A}\) という、乾電池数個で流せる程度の電流で十分であることがわかります。これは物理的に妥当な大きさです。また、計算過程で単位をメートルに直すこと（\(1.0 \, \text{cm} \rightarrow 1.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\)）を忘れないように注意が必要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 場の重ね合わせの原理:
  • 核心: この問題の根幹は、複数の原因（地磁気と電流）によって作られる磁場が、単純なベクトルの足し算で求められるという「重ね合わせの原理」を理解し、応用することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 磁針の位置には、もともと北向きの地磁気 \(\vec{H_0}\) が存在します。
    • そこに、電流 \(I\) が新たに東西方向の磁場 \(\vec{H}\) を作ります。
    • 磁針が実際に感じる磁場は、この2つを独立に計算し、ベクトルとして合成した \(\vec{H}_{\text{合成}} = \vec{H_0} + \vec{H}\) となります。
• 磁針と磁場の関係:
  • 核心: 「磁針は、その場所の合成磁場の方向を向いて静止する」という基本性質を理解していることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 磁針が北から \(30^\circ\) 傾いたという事実は、合成磁場 \(\vec{H}_{\text{合成}}\) が北の方向から \(30^\circ\) 傾いていることを直接意味します。
    • この関係を幾何学的に図示することで、未知の磁場 \(H\) と既知の地磁気 \(H_0\) の間に \(\tan 30^\circ = H/H_0\) という関係式を立てることができます。これが問題を解くための突破口となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 2本の平行電流が作る磁場: 2本の平行な直線電流が、ある点に作る磁場を求める問題。それぞれの電流が作る磁場を右ねじの法則で求め、ベクトルとして合成します。電流の向きによって磁場が強め合ったり弱め合ったりします。
  • 円形コイルの中心磁場と地磁気: 水平に置いた円形コイルの中心に磁針を置き、地磁気とコイルが作る磁場（上下方向）の合成を考える問題。磁針が傾く角度（伏角の変化）から電流を求めるなど、三次元的なベクトル合成が問われます。
  • 電場との類似問題: 2つの点電荷が作る電場を求める問題も、本質的には同じ考え方です。各々の点電荷が作る電場をクーロンの法則で計算し、ベクトルとして足し合わせることで合成電場を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 場の源を特定する: まず、その空間に場（磁場や電場）を作っている原因がいくつあるか（この問題では地磁気と電流の2つ）をリストアップします。
  2. 各々の場の向きと大きさを求める: それぞれの原因が作る場の向きを法則（右ねじの法則など）で決定し、大きさを公式（\(H=I/2\pi r\)など）で表します。
  3. ベクトル図を描く: 特定した全ての場を、一つの点を始点とするベクトルとして図示します。特に、ベクトルの向きと、それらのなす角度を正確に描くことが重要です。
  4. 幾何学的な関係を利用する: 描いたベクトル図の中から、直角三角形や余弦定理が使える図形を見つけ出し、辺の長さ（場の強さ）や角度の関係を立式します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 右ねじの法則の適用ミス:
  • 誤解: 電流の向きと磁場の向きの関係を混同したり、導線の上側と下側で磁場の向きが逆になることを見落としたりする。
  • 対策: 問題を解く前に、親指を電流の向きに合わせた右手をイメージし、他の4本の指が巻く方向が磁場の向きであることを、頭の中で明確にシミュレーションする癖をつけましょう。「導線の上か下か」「右か左か」を問題文で正確に把握し、指をその位置に合わせて考えることが重要です。
• 単位の換算忘れ:
  • 誤解: 距離 \(r\) を cm のまま計算してしまう。
  • 対策: 物理量の計算は、原則としてSI基本単位（メートル、アンペアなど）で行います。問題文に \( \text{cm} \) が出てきたら、計算を始める前に機械的に \( \times 10^{-2} \) を付けて \( \text{m} \) に変換する、という一手間を習慣にしましょう。
• \(\tan\theta\) の逆数での誤り:
  • 誤解: ベクトル図を描いた際に、底辺と高さを取り違え、\(H = H_0 / \tan 30^\circ\) のように誤って立式してしまう。
  • 対策: 必ず「求めたい辺」と「既知の辺」の関係を明確にしてから三角比を選びます。この問題では、未知の \(H\) が角度 \(30^\circ\) の対辺、既知の \(H_0\) が底辺にあたるため、\(\tan 30^\circ = H/H_0\) となります。自信がなければ、\(\sin, \cos, \tan\) の定義（どれが分母でどれが分子か）を再確認してから立式しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 磁場のベクトル合成と三角比:
  • 選定理由: この問題では、最終的に磁針が「\(30^\circ\) 回転して静止した」という、向きに関する情報が与えられています。この「向き」や「角度」の情報を数式に落とし込むには、ベクトルの幾何学的な関係を利用するのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 地磁気（北向き）と電流の磁場（西向き）は互いに直交しています。直交する2つのベクトルを合成する場合、そのベクトル図は必ず直角三角形を含みます。直角三角形の辺と角度の関係は三角比によって簡潔に記述できるため、\(\tan\) を用いるのが最も効率的な解法となります。
• 力のモーメントのつり合い（別解）:
  • 選定理由: 「静止した」というキーワードは、力学において「力がつり合っている」または「力のモーメントがつり合っている」ことを意味します。磁針は回転体なので、その静止を「力のモーメントのつり合い」として捉えるのは自然な発想です。
  • 適用根拠: 磁針は、地磁気から北向きに戻そうとする回転力（モーメント）と、電流の磁場から西向きにひねろうとする回転力を同時に受けます。この2つの回転力が等しくなったときに初めて、磁針は回転を止めて静止することができます。したがって、力のモーメントのつり合いの式を立てることは物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま進める:
  いきなり \(H_0=25\), \(r=0.01\) などを代入するのではなく、まずは \(I = H_0 \tan\theta \times (2\pi r)\) のように、求めたい量（\(I\)）を文字式で表現しましょう。これにより、物理的な関係性が見通しやすくなり、代入ミスも防げます。
• 複雑な数値計算の工夫:
  今回の計算 \(I = 25 \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \times 2 \times 3.14 \times 0.01\) は、掛ける順番を工夫すると少し楽になります。
  • \(I = (25 \times 2 \times 0.01) \times \displaystyle\frac{3.14}{\sqrt{3}} = 0.5 \times \displaystyle\frac{3.14}{1.73}\) のように、先に計算しやすい部分をまとめてしまうと、桁数の多い掛け算や割り算を後回しにでき、計算ミスを減らせます。
• 有効数字を意識する:
  問題文で与えられている物理量は「\(1.0 \, \text{cm}\)」「\(25 \, \text{A/m}\)」であり、有効数字は2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁（または3桁）でまとめるのが適切です。計算途中の \(\pi\) や \(\sqrt{3}\) は、それより1桁多い3桁（\(3.14\), \(1.73\)）で計算すると、丸め誤差の影響を小さくできます。最終的に \(0.906…\) となったら、有効数字2桁に合わせて \(0.91\) と四捨五入します。

基本例題84 磁場の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の直線電流がつくる磁場の合成」です。空間のある一点に、複数の原因によって磁場が作られるとき、その点での最終的な磁場は、個々の磁場をベクトルとして足し合わせることで求められる、という「重ね合わせの原理」を正しく使えるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

点Cにおける合成磁場

思考の道筋とポイント
この問題のポイントは、点Cという場所に、導線Aと導線Bという2つの異なる原因から磁場が作られていると考えることです。物理学の基本的な考え方である「重ね合わせの原理」に従い、それぞれの電流が作る磁場を独立に考え、最後にそれらをベクトルとして足し合わせることで、点Cでの最終的な磁場を求めます。
特に重要なのは、右ねじの法則を正しく適用して、それぞれの磁場の「向き」を正確に決定することです。向きを間違えると、足し算すべきところを引き算してしまったり、その逆になったりするからです。
この設問における重要なポイント

• 重ね合わせの原理: 点Cにおける合成磁場 \(\vec{H}\) は、Aが作る磁場 \(\vec{H_1}\) とBが作る磁場 \(\vec{H_2}\) のベクトル和、すなわち \(\vec{H} = \vec{H_1} + \vec{H_2}\) で与えられる。
• 右ねじの法則の適用:
  • 電流 \(I_1\)（紙面の裏から表）は、点Cに紙面にそって上向きの磁場 \(\vec{H_1}\) を作る。
  • 電流 \(I_2\)（紙面の表から裏）は、点Cに紙面にそって下向きの磁場 \(\vec{H_2}\) を作る。
• 距離の計算:
  • 導線Aから点Cまでの距離 \(r_1\) は、\(2.0 \times 10^{-2} \, \text{m} + 2.0 \times 10^{-2} \, \text{m} = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\)。
  • 導線Bから点Cまでの距離 \(r_2\) は、\(2.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\)。

具体的な解説と立式
まず、導線Aを流れる電流 \(I_1\) が点Cの位置につくる磁場を \(\vec{H_1}\) とします。
電流 \(I_1\) は紙面の裏から表へ向かう向きです。右ねじの法則を適用すると、導線Aの右側にある点Cでは、磁場は紙面にそって上向きとなります。
その大きさ \(H_1\) は、AからCまでの距離 \(r_1 = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) を用いて、
$$ H_1 = \frac{I_1}{2\pi r_1} \quad \cdots ① $$
と表せます。

次に、導線Bを流れる電流 \(I_2\) が点Cの位置につくる磁場を \(\vec{H_2}\) とします。
電流 \(I_2\) は紙面の表から裏へ向かう向きです。右ねじの法則を適用すると、導線Bの右側にある点Cでは、磁場は紙面にそって下向きとなります。
その大きさ \(H_2\) は、BからCまでの距離 \(r_2 = 2.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) を用いて、
$$ H_2 = \frac{I_2}{2\pi r_2} \quad \cdots ② $$
と表せます。

点Cにおける合成磁場 \(\vec{H}\) は、\(\vec{H_1}\)（上向き）と \(\vec{H_2}\)（下向き）のベクトル和です。2つのベクトルは一直線上で逆向きなので、合成磁場の大きさ \(H\) は、それぞれの大きさの差で求められます。

まず、\(H_1\) と \(H_2\) のどちらが大きいかを比較し、合成磁場の向きを決定します。
問題文より \(I_1 = I_2 = 6.28 \, \text{A}\) です。
$$ H_1 = \frac{6.28}{2\pi (4.0 \times 10^{-2})} $$
$$ H_2 = \frac{6.28}{2\pi (2.0 \times 10^{-2})} $$
分母が小さいほど値は大きくなるので、\(r_1 > r_2\) であることから \(H_1 < H_2\) とわかります。
したがって、合成磁場の向きは、大きい方の磁場 \(\vec{H_2}\) の向き、すなわち「紙面にそって下向き」となります。

次に、合成磁場の大きさ \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= H_2 – H_1 \\[2.0ex] &= \frac{I_2}{2\pi r_2} – \frac{I_1}{2\pi r_1}
\end{aligned}
$$
\(I_1 = I_2 = 6.28 \, \text{A}\) なので、これを \(I\) とおいて式を整理します。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{I}{2\pi} \left( \frac{1}{r_2} – \frac{1}{r_1} \right) \\[2.0ex] &= \frac{6.28}{2\pi} \left( \frac{1}{2.0 \times 10^{-2}} – \frac{1}{4.0 \times 10^{-2}} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、\(6.28\) は \(2\pi\) (\(\approx 2 \times 3.14 = 6.28\)) の近似値なので、\(\displaystyle\frac{6.28}{2\pi} \approx 1\) となります。
$$
\begin{aligned}
H &\approx 1 \times \left( \frac{1}{0.02} – \frac{1}{0.04} \right) \\[2.0ex] &= 50 – 25 \\[2.0ex] &= 25 \, [\text{A/m}] \end{aligned}
$$

点Cという場所から見ると、2本の電線AとBから、それぞれ磁場が送られてきています。
右ねじの法則を使うと、Aの電流からは「上向きの磁場」が、Bの電流からは「下向きの磁場」が届いていることがわかります。
これは、点Cで上向きの力と下向きの力が綱引きをしているようなものです。どちらが勝つかは、どちらの磁場が強いかで決まります。磁場の強さは「電流が大きく、距離が近い」ほど強くなります。今回は電流の大きさが同じなので、距離が近いBからの磁場の方が勝ちます。
したがって、最終的な磁場の向きは、Bが作る磁場の向きである「下向き」になります。
その強さは、単純に強い方の磁場（Bから）の強さから、弱い方の磁場（Aから）の強さを引き算すれば求まります。

合成磁場の強さは \(25 \, \text{A/m}\)、向きは紙面にそって下向きであると求められました。
この問題では、電流の値が \(I = 6.28 \, \text{A}\) と、\(2\pi\) の近似値に設定されています。これにより、計算途中で \(\displaystyle\frac{I}{2\pi}\) の部分が \(1\) となり、計算が大幅に簡略化されます。これは、計算の煩雑さではなく、物理法則の理解度を問うための問題作成者の配慮と考えられます。結果は物理的に妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 磁場の重ね合わせの原理:
  • 核心: この問題の根幹は、複数の電流が作る磁場は、それぞれの電流が単独でその場所に作る磁場を「ベクトルとして」足し合わせることで求められる、という「重ね合わせの原理」の理解にあります。
  • 理解のポイント:
    • この問題では、点Cに磁場を作る原因は導線Aと導線Bの2つです。
    • まずはAだけ、Bだけがそれぞれ点Cに作る磁場を、向きと大きさに分けて考えます。
    • Aが作る磁場 \(\vec{H_1}\) とBが作る磁場 \(\vec{H_2}\) は、一直線上で逆向きになります。
    • したがって、合成磁場 \(\vec{H}\) の大きさは、単純な大きさの引き算 \(H = |H_2 – H_1|\) で計算でき、向きは大きい方の磁場の向きになります。この「ベクトルとしての和（今回は引き算）」がポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 磁場が0になる点を求める問題: 2本の平行電流の間に、合成磁場が0になる点を探す問題。それぞれの電流が作る磁場の大きさが等しく、向きが逆になる点を見つけることで解けます。\(H_1 = H_2\) より \(\displaystyle\frac{I_1}{r_1} = \frac{I_2}{r_2}\) という関係式を立てて距離の比を求めます。
  • 垂直な配置の導線が作る磁場: 2本の導線が紙面に垂直ではなく、紙面上で直交している場合など。この場合、それぞれの導線が作る磁場も直交することになるため、合成磁場の大きさは三平方の定理 \(H = \sqrt{H_1^2 + H_2^2}\) を使って求めることになります。
  • クーロン力や万有引力との関連: 複数の電荷から受けるクーロン力や、複数の天体から受ける万有引力を求める問題も、本質は全く同じです。それぞれの源から受ける力をベクトルとして個別に計算し、最後にベクトル合成します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 場の源を全てリストアップする: 問題の空間に場（磁場、電場、重力場など）を作っている原因（電流、電荷、質量など）を全て洗い出します。
  2. 観測点を中心に考える: 「点Cで」の磁場を問われているので、常に点Cを基準に物事を考えます。それぞれの源から点Cまでの「距離」と「方向」を正確に把握します。
  3. 向きを最優先で決定する: 計算を始める前に、まず右ねじの法則などを用いて、各々の源が作る場の「向き」を決定し、図に矢印で書き込みます。向きが同じか、逆か、直交しているかなどを把握することが、立式の第一歩です。
  4. 大きさを計算し、ベクトル合成する: 向きの関係がわかったら、それぞれの場の大きさを公式で計算し、向きに応じて足し算、引き算、三平方の定理などを使い分けて合成します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 距離の取り違え:
  • 誤解: 導線Aから点Cまでの距離を、図に書かれている \(2.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず「どの導線から」「どの点まで」の距離なのかを一つ一つ確認する癖をつけましょう。この問題では、AからCまでは、A-B間とB-C間の距離を足し合わせる必要があります。\(r_1 = (2.0 \times 10^{-2}) + (2.0 \times 10^{-2}) = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) となります。
• 右ねじの法則の適用ミス:
  • 誤解: 電流が作る磁場は常に円を描くため、点Cでの向きを接線方向ではなく、円の中心を向くなどと勘違いしてしまう。
  • 対策: 右ねじの法則は「親指が電流、他の4本の指の『接線方向』が磁場の向き」と正確に覚えましょう。導線を中心とする同心円を描き、点Cにおけるその円の接線の向きが磁場の向きである、とイメージすることが重要です。
• 計算の順序ミス:
  • 誤解: \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi} (\frac{1}{r_2} – \frac{1}{r_1})\) のような式を立てた後、分数の計算で通分を間違えたり、\(10^{-2}\) の扱いを誤ったりする。
  • 対策: \( \displaystyle\frac{1}{2.0 \times 10^{-2}} = \frac{1}{0.02} = 50 \) のように、先にそれぞれの項を計算してから引き算する方が、計算ミスが減ることが多いです。焦らず、一つ一つの計算を丁寧に行いましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 直線電流の磁場の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\):
  • 選定理由: 問題で与えられているのが「長い直線の導線」を流れる電流だからです。物理では、状況設定（直線電流、円形電流、ソレノイドコイルなど）に応じて、用いるべき公式が決まっています。問題文のキーワードから、適切な公式を即座に選択できることが求められます。
  • 適用根拠: この公式は、ビオ・サバールの法則という、より根源的な法則から導出されたものです。高校物理では、この結果を公式として用いることが許されています。無限に長い直線電流という理想的な状況で成り立つ関係式です。
• 重ね合わせの原理:
  • 選定理由: 磁場を作る原因が複数（今回は2つ）存在するからです。複数の要因が絡む問題を一度に解くのは困難なため、物理学では「一つずつ独立に考えて、後で足し合わせる」という強力な手法（重ね合わせの原理）を用います。
  • 適用根拠: 磁場（や電場）を記述する基本方程式（マクスウェル方程式）が線形性を持つため、重ね合わせの原理が成り立ちます。これは、一方の電流が作る磁場が、もう一方の電流が作る磁場の存在によって影響を受けない（磁場同士が互いに干渉しない）ことを意味しており、それぞれの効果を単純に足し合わせることが物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 特殊な数値に気づく:
  問題文の電流値 \(I = 6.28 \, \text{A}\) を見た瞬間に、「これは \(2\pi\) の近似値ではないか？」と気づくことができれば、計算の見通しが格段に良くなります。物理の問題では、計算を簡略化するために、\(\pi\) や \(g\)（重力加速度）に関連した数値が意図的に使われることがよくあります。
• 共通因数でくくる:
  \(H = \displaystyle\frac{I_2}{2\pi r_2} – \frac{I_1}{2\pi r_1}\) の計算では、\(I_1=I_2=I\) であることから、共通因数 \(\displaystyle\frac{I}{2\pi}\) でくくると、\(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi} (\frac{1}{r_2} – \frac{1}{r_1})\) となり、計算の手間を減らすことができます。特に、文字式の段階で整理する癖をつけておくと、複雑な問題でも見通しが立ちやすくなります。
• 単位を含めて検算する:
  最終的に得られた答えが \(25\) という数値だけでなく、単位が \([\text{A/m}]\) になっているかを確認しましょう。例えば、距離 \(r\) を \(m\) に直し忘れると、単位がおかしくなるはずです。計算の各ステップで単位が正しく扱われているか意識することで、間違いに気づきやすくなります。

基本例題85 平行電流が及ぼしあう力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平行電流間にはたらく力」です。一本の電流がまず周囲に磁場を作り、その磁場の中にもう一本の電流が存在することによって、その電流が力を受ける、という二段階のプロセスを理解することが核心となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、2本ある導線のうち、まず導線ABを流れる電流 \(I\) だけに着目します。この電流 \(I\) が、もう一方の導線A’B’が存在する空間に、どのような磁場（正確には磁束密度）を作るかを問うています。
手順としては、まず「直線電流がつくる磁場の強さ \(H\)」の公式を使い、次にそれを「磁束密度 \(B\)」に変換します。向きの決定には「右ねじの法則」を用います。
この設問における重要なポイント

• 原因となるのは電流 \(I\) のみ。電流 \(I’\) はまだ考えない。
• 求める物理量は「磁束密度 \(B\)」。磁場の強さ \(H\) ではないことに注意。
• 使う法則は「右ねじの法則」。

具体的な解説と立式
導線ABを流れる電流 \(I\) が、距離 \(r\) だけ離れた導線A’B’の位置につくる磁場の強さを \(H\) とします。無限に長い直線電流がつくる磁場の公式より、
$$ H = \frac{I}{2\pi r} $$
となります。
次に、この磁場の強さ \(H\) を磁束密度 \(B\) に変換します。真空の透磁率を \(\mu_0\) とすると、\(B = \mu_0 H\) の関係が成り立ちます。
$$ B = \mu_0 H \quad \cdots ① $$
向きについては、電流 \(I\) が図の右向きに流れているので、右ねじの法則を適用します。親指を右に向けると、導線ABの下側（A’B’の位置）では、他の4本の指は紙面の表から裏へ向かう方向を指します。したがって、磁場の向きは「紙面の表から裏の向き」となります。

式①に \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) を代入して、\(B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
B &= \mu_0 \times \frac{I}{2\pi r} \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r}
\end{aligned}
$$
これ以上の計算は不要です。

まず、上の電線（AB）に電気が流れていることだけを考えます。電気が流れると、その周りには磁場ができます。この問題では、下の電線（A’B’）がある場所の磁場の強さ（専門用語で「磁束密度」）と向きを知りたい、ということです。
向きは「右ねじの法則」で決まります。右手の親指を電気の流れ（右向き）に合わせると、下の電線がある場所では、他の4本の指は紙面の奥を指します。これが磁場の向きです。
強さは公式で計算できます。まず「磁場の強さ \(H\)」を求め、それを物質（今回は真空）の種類で決まる定数「透磁率 \(\mu_0\)」を掛けて「磁束密度 \(B\)」に変換します。

電流 \(I\) が導線A’B’の位置につくる磁束密度の大きさは \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)、向きは紙面の表から裏の向きであると求められました。この結果は、(2)で力を計算するための準備となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
設問(1)で、導線A’B’の場所には「紙面の表から裏向きの磁場」ができていることがわかりました。この設問では、その磁場の中に置かれた導線A’B’が、電流 \(I’\) を流していることによって、どのような力を受けるかを考えます。
磁場の中で電流が受ける力を求めるので、使う法則は「フレミングの左手の法則」です。力の大きさは公式 \(F=I’Bl\) で計算します。
この設問における重要なポイント

• 導線A’B’は、導線ABが作った磁場 \(B\) の中に置かれていると考える。
• 力を受けるのは電流 \(I’\) が流れる導線A’B’。
• 使う法則は「フレミングの左手の法則」。

具体的な解説と立式
(1)で求めたように、導線A’B’の位置には、導線ABによって作られた磁束密度 \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\) の磁場が、紙面の表から裏向きに存在します。
この磁場の中で、導線A’B’に電流 \(I’\) が流れています。磁場中の電流は力を受けるので、その力の大きさ \(F\) は、公式 \(F=I’Bl\) を用いて計算できます。ここで \(l\) は力を受ける導線の長さです。
$$ F = I’Bl \quad \cdots ② $$
力の向きは、フレミングの左手の法則で決定します。

• 中指（電流）: 図の右向き (\(I’\))
• 人差し指（磁場）: 紙面の表から裏向き (\(B\))

このとき、親指（力）は図の下から上の向きを指します。したがって、導線A’B’が受ける力は、導線ABに引き寄せられる向き、すなわち「図の下から上の向き」の引力となります。

式②に、(1)で求めた \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= I’ \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) l \\[2.0ex] &= \frac{\mu_0 I I’ l}{2\pi r}
\end{aligned}
$$
これ以上の計算は不要です。

(1)で、下の電線（A’B’）の場所には、上の電線によって「紙面の奥向きの磁場」ができていることがわかりました。
(2)では、この磁場の中で、下の電線に電気が流れたらどうなるか、を考えます。「磁場」と「電気の流れ」がそろうと、「力」が発生します。これがモーターの原理です。
力の向きは「フレミングの左手の法則」でわかります。左手の中指を電気の流れ（右向き）、人差し指を磁場の向き（奥向き）に合わせると、親指は上を向きます。つまり、下の電線は上の電線に引っ張られる「引力」を受けることになります。
力の大きさは、公式 \(F = (\text{電流}) \times (\text{磁束密度}) \times (\text{長さ})\) で計算できます。

導線A’B’が受ける力の大きさは \(F = \displaystyle\frac{\mu_0 I I’ l}{2\pi r}\)、向きは図の下から上の向き（引力）であると求められました。
電流の向きが同じ平行電流の間には引力がはたらく、という重要な結論が得られました。もし電流の向きが逆であれば、力の向きも逆になり、斥力（反発しあう力）がはたらくことになります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流が磁場を作り、磁場が電流に力を及ぼすという相互作用:
  • 核心: この問題の根幹は、電磁気的な力が「(1) 一方の電流が周囲に磁場を作る → (2) その磁場の中にあるもう一方の電流が力を受ける」という2段階のプロセスで伝わることを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 設問(1)は、まさにプロセス(1)そのものです。電流\(I\)が原因となって、導線A’B’の位置に磁場\(B\)が作られます。
    • 設問(2)は、プロセス(2)にあたります。(1)で作られた磁場\(B\)が、そこにある電流\(I’\)に力\(F\)を及ぼします。
    • このように、力が直接作用するのではなく「場」を介して作用するという考え方は、電磁気学だけでなく、重力など他の物理現象にも共通する非常に重要な概念です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆向きの平行電流: 本問とは逆に、2本の電流が逆向きに流れている場合。右ねじの法則とフレミングの左手の法則を適用すると、導線間には斥力（反発しあう力）がはたらくことがわかります。
  • 3本以上の平行電流: 3本の導線が並んでいる場合、例えば真ん中の導線が受ける力は、左の導線から受ける力と右の導線から受ける力をそれぞれ計算し、ベクトルとして合成することで求められます。
  • ローレンツ力との関連: 導線を流れる電流の正体は、荷電粒子（電子など）の運動です。磁場中を運動する荷電粒子1個が受ける力（ローレンツ力 \(f=qvB\)）を、導線中の全粒子について合計したものが、導線全体が受ける力 \(F=IBl\) となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 原因と結果を分離する: 「どの電流が磁場を作り（原因）」「どの電流が力を受けるのか（結果）」を明確に区別します。
  2. 2つの法則を使い分ける:
     • 磁場の「向き」を考えるときは「右ねじの法則」を使います。
     • 電流が受ける力の「向き」を考えるときは「フレミングの左手の法則」を使います。この2つを混同しないことが絶対条件です。
  3. 段階的に考える: 焦って一度に力を求めようとせず、(1)まず磁場を求める、(2)次にその磁場から受ける力を求める、というように、問題を小さなステップに分解して考えることが確実な解法につながります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 右ねじの法則とフレミングの左手の法則の混同:
  • 誤解: 磁場の向きを求めたいのにフレミングの左手の法則を使ったり、力の向きを求めたいのに右ねじの法則を使ったりする。
  • 対策: 「ねじは回すと進む → 磁場は回る」「フレミングは力」のように、法則の名前と目的をセットで覚えましょう。「磁場(B)の向きは？」と聞かれたら右ねじ、「力(F)の向きは？」と聞かれたらフレミング、と機械的に判断できるように訓練することが重要です。
• 磁場(H)と磁束密度(B)の混同:
  • 誤解: 力の公式 \(F=IBl\) に、磁場の強さ \(H\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: \(H\) は「磁場」、\(B\) は「磁束密度」と、名前と記号を正確に区別して覚えることが基本です。力の公式で使うのは、磁力線の「密度」を表す \(B\) の方である、と覚えましょう。\(B\) と \(H\) の間には \(B=\mu H\) という関係があり、透磁率 \(\mu\) を掛ける一手間が必要なことを常に意識します。
• 電流の取り違え:
  • 誤解: 力の公式 \(F=I’Bl\) に、磁場を作った側の電流 \(I\) を代入してしまう。
  • 対策: \(F=I’Bl\) の \(I’\) は「力を受ける側の電流」、\(B\) は「磁場を作る側の電流 \(I\) から生じた磁束密度」と、それぞれの文字がどちらの導線に対応するのかを明確に意識しましょう。「力を受ける電流」と「磁場を作る電流」を区別することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) と \(B=\mu_0 H\) の組み合わせ:
  • 選定理由: (1)では「磁束密度 \(B\)」を求めることが目的です。しかし、直線電流から直接 \(B\) を求める高校物理の公式はありません。そこで、まず扱いやすい「磁場の強さ \(H\)」を公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) で求め、それを \(B=\mu_0 H\) という普遍的な関係式を使って \(B\) に変換する、という2段階の戦略をとります。
  • 適用根拠: \(H\) は電流の分布のみで決まる量ですが、\(B\) はその空間の材質（透磁率 \(\mu\)）にも依存します。この問題では真空（透磁率 \(\mu_0\)）なので、この関係式が適用できます。
• \(F=I’Bl\):
  • 選定理由: (2)では「磁場中の電流が受ける力」を求めることが目的だからです。この状況に完璧に対応するのが \(F=I’Bl\) という公式です。
  • 適用根拠: この公式は、磁場中を動く個々の荷電粒子が受けるローレンツ力を、導線全体について合計したマクロな表現です。電流と磁場が垂直であるという本問の状況では、この最もシンプルな形の公式が適用できます。
• 平行電流間の力の公式（別解）:
  • 選定理由: (2)の状況が、まさに「平行な電流」そのものであるため、この状況に特化した公式を直接適用するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: この公式は、本解説の主たる解法（\(H\)を求め、\(B\)に変換し、\(F\)を求める）の計算結果を一般化したものです。したがって、物理的な背景は全く同じであり、ショートカットとして安心して使用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  (2)の計算で、(1)で求めた \(B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\) をそのまま \(F=I’Bl\) に代入することで、最終的な力の式 \(F = \displaystyle\frac{\mu_0 I I’ l}{2\pi r}\) が得られます。もし(1)の段階で数値を代入してしまうと、この美しい関係性が見えにくくなり、計算もかえって煩雑になる可能性があります。
• 向きの決定を先に行う:
  計算を始める前に、右ねじの法則やフレミングの左手の法則を使って、向きだけを先に確定させてしまいましょう。「向きは○○向き」とメモしておけば、後は大きさの計算に集中できます。これにより、思考が整理され、ミスが減ります。
• 法則の指の役割を覚える歌や語呂合わせ:
  フレミングの左手の法則は「電・磁・力（でん・じ・りょく）」と中指・人差し指・親指の順で覚えるのが有名です。このような覚えやすいフレーズを活用して、法則を体に染み込ませることが、ケアレスミスを防ぐ上で非常に有効です。

基本例題86 ローレンツ力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ローレンツ力を向心力とする等速円運動」です。磁場中に垂直に入射した荷電粒子が、常に運動方向と垂直なローレンツ力を受け続ける結果、等速円運動をすることを理解し、その運動を力学的に分析できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問の最大の鍵は、問題文の記述から陽子の軌道を特定することです。「adに垂直に入射し、abに垂直に飛び出した」という条件は、速度ベクトルが \(90^\circ\) 回転したことを意味します。常に速度と垂直な力が働き続ける運動は等速円運動であり、この軌道は円の一部（円弧）となります。
この円弧の中心と半径を特定できれば、向心力がローレンツ力であるとして運動方程式を立てることができます。
この設問における重要なポイント

• 陽子はローレンツ力を向心力として、等速円運動を行う。
• 入射方向（右向き）と射出方向（上向き）が垂直であることから、軌道は中心角 \(90^\circ\) の円弧（四分円）を描く。
• 図の幾何学的関係から、円運動の中心は点a、半径は \(r\) であることがわかる。
• 向心力（ローレンツ力）は、常に円運動の中心である点aを向く。

具体的な解説と立式
陽子は、辺ad上の点（aから距離\(r\)）からadに垂直、すなわち図の右向きに速さ \(v\) で入射し、辺ab上の点からabに垂直、すなわち図の上向きに飛び出します。速度の向きが \(90^\circ\) 変化していることから、陽子は等速円運動の軌道の一部を描いたことがわかります。
軌道の接線（速度の向き）が、入射点では右向き、射出点では上向きになるような円弧を考えると、その中心は点a、半径は入射点と中心aとの距離である \(r\) となります。

陽子は正の電荷 \(e\) を持つので、電流の向きは陽子の運動方向と同じとみなせます。
円運動のどの瞬間においても、向心力であるローレンツ力は常に中心aの方向を向いています。例えば、入射直後（陽子が右向きに運動している瞬間）のローレンツ力は上向き（点aの方向）にはたらきます。
ここでフレミングの左手の法則を適用します。

• 中指（電流の向き）: 右向き
• 親指（力の向き）: 上向き

とすると、人差し指（磁場の向き）は紙面の表から裏を向きます。

次に、磁束密度の大きさを \(B\) とします。等速円運動の運動方程式において、向心力がローレンツ力 \(evB\) なので、
$$ m\frac{v^2}{r} = evB \quad \cdots ① $$
が成り立ちます。

式①を \(B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
evB &= m\frac{v^2}{r} \\[2.0ex] B &= \frac{mv^2}{evr} \\[2.0ex] B &= \frac{mv}{er}
\end{aligned}
$$

磁場に飛び込んだ陽子は、進む向きに対して常に横向きの力（ローレンツ力）を受けます。まっすぐ進もうとしても常に横に押されるので、結果として陽子はぐるっと回る運動、つまり円運動をします。
問題文から、陽子は右向きに入ってきて、上向きに出ていった、つまり進む向きが \(90^\circ\) 変わったことがわかります。これは、ちょうど円を4分の1周だけ回ったことに相当します。図をよく見ると、その円の中心は点aで、半径は \(r\) であることがわかります。
この円運動をさせるための力（向心力）の正体がローレンツ力なので、「円運動に必要な力 = ローレンツ力」という運動方程式を立てることで、磁場の強さを計算できます。向きは、フレミングの左手の法則で「電流が右、力が上」となるように指を合わせれば、「磁場は奥向き」と決まります。

磁場の向きは紙面の表から裏の向き、磁束密度の大きさは \(B = \displaystyle\frac{mv}{er}\) と求められました。この式は、粒子の運動量 \(mv\) が大きいほど、また電気量 \(e\) や半径 \(r\) が小さいほど、強い磁場が必要であることを示しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
陽子が磁場内を運動する時間は、陽子が移動した道のり（円弧の長さ）を、その速さ \(v\) で割ることで求められます。(1)で、陽子の軌道が半径 \(r\) の円の4分の1であることがわかっているので、道のりは簡単に計算できます。
この設問における重要なポイント

• 陽子は速さ \(v\) の等速運動をしている。
• 移動する道のりは、半径 \(r\) の円周の4分の1。
• 時間 = 道のり ÷ 速さ

具体的な解説と立式
(1)より、陽子が磁場内を運動する軌道は、半径 \(r\) の円周の4分の1です。
この円弧の長さ \(L\) は、
$$ L = \frac{1}{4} \times (円周) = \frac{1}{4} \times 2\pi r = \frac{\pi r}{2} $$
となります。
陽子はこの距離 \(L\) を一定の速さ \(v\) で運動するので、かかる時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{L}{v} \quad \cdots ② $$
と表せます。

式②に \(L = \displaystyle\frac{\pi r}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{\left( \displaystyle\frac{\pi r}{2} \right)}{v} \\[2.0ex] &= \frac{\pi r}{2v}
\end{aligned}
$$

陽子が磁場の中を走った時間を求める問題です。速さは \(v\) でずっと変わらないので、走った「道のり」がわかれば時間は計算できます。
(1)で、陽子は半径 \(r\) の円を4分の1周したことがわかっています。円1周の道のりは \(2\pi r\) なので、その4分の1は \(\displaystyle\frac{\pi r}{2}\) です。
あとは小学校で習った「時間＝道のり÷速さ」の計算をするだけで、答えが求まります。

陽子が磁場内を運動する時間は \(t = \displaystyle\frac{\pi r}{2v}\) と求められました。速さ \(v\) が大きいほど短時間で通過し、軌道の半径 \(r\) が大きいほど長い時間がかかるという、直感と一致する妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と円運動の運動方程式の融合:
  • 核心: この問題の根幹は、磁場から受ける「ローレンツ力」が、円運動を引き起こす「向心力」の役割を果たす、という点にあります。この2つの異なる物理概念を結びつけ、一つの運動方程式として立式できるかが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 荷電粒子が磁場から受ける力はローレンツ力 \(F=qvB\)。
    • 一方、円運動をする物体には、その中心に向かって \(F=m\displaystyle\frac{v^2}{r}\) という大きさの向心力が必要です。
    • 磁場による円運動では、この2つの力が等しい、すなわち「ローレンツ力＝向心力」という関係が成り立ちます。この \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) という式が、この種の問題を解くための万能の出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: 速度選択器を通過したイオンを磁場に入射させ、その円運動の半径からイオンの質量を特定する装置。本問の運動方程式を \(m\) について解くことで、その原理を理解できます。
  • サイクロトロン: 磁場中で荷電粒子を円形に加速させる装置。円運動の周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) が速度や半径によらないことを利用しています。本問(2)の時間を周期の観点から考えると、理解が深まります。
  • 磁場に斜めに入射する運動: 粒子が磁場に斜めに入射した場合、運動は磁場に平行な「等速直線運動」と、磁場に垂直な「等速円運動」に分解され、全体として「らせん運動」になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軌道を幾何学的に描く: まず、問題文の「入射条件」と「射出条件」から、粒子がどのような軌道を描くかを大まかに作図します。特に、速度ベクトルがどう変化したかに着目します。
  2. 円運動の中心と半径を特定する: 作図した軌道が円の一部であることを見抜き、その円の中心と半径を特定します。これが運動方程式を立てるための重要な情報になります。
  3. 力の向きを特定する: 円運動の中心がわかれば、向心力（＝ローレンツ力）の向きが常に中心方向であることがわかります。
  4. 運動方程式を立てる: 最後に、万能の式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) を立て、問題で求められている物理量（\(B\), \(r\), \(v\) など）について解きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 円運動の半径の誤認:
  • 誤解: 問題文に出てくる長さの記号を、深く考えずに円運動の半径 \(r\) として使ってしまう。問題によっては、入射位置から中心までの距離が半径になるとは限りません。
  • 対策: 必ず軌道を図示し、「円運動の中心はどこか」「半径はどの長さに相当するか」を幾何学的に慎重に判断する癖をつけましょう。本問では、入射・射出の条件から、たまたま中心がa、半径が\(r\)と特定できました。
• フレミングの左手の法則の適用ミス（正負電荷）:
  • 誤解: 電子の運動など、負電荷の粒子に対しても、その運動方向をそのまま電流の向きとしてフレミングの左手の法則を適用してしまう。
  • 対策: フレミングの左手の法則における「電流の向き」は、あくまで「正電荷の運動方向」です。負電荷（電子など）が運動する場合は、「電流の向きはその運動方向と逆向き」と読み替えて適用する必要があります。この一手間を忘れないようにしましょう。
• 向心力と遠心力の混同:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、向心力と遠心力がつり合っている、といった誤った考え方をしてしまう。
  • 対策: 運動方程式は、運動している物体と同じ立場（慣性系）から見て、「物体に実際に働いている力（合力）が、その物体の運動（加速度）を生み出している」という因果関係を表す式です。円運動の場合、実際に働いている力は中心を向く向心力（本問ではローレンツ力）のみです。遠心力は、回転する物体と一緒に運動する観測者から見た「見かけの力」であり、運動方程式を立てる際には原則として登場しません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\):
  • 選定理由: この問題は、荷電粒子が磁場から力を受けて運動するという「力学」の問題です。力学の問題を解く基本は、運動方程式を立てることです。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(ma = F\) は、物理学の根幹をなす法則です。円運動の場合、加速度 \(a\) は \(\displaystyle\frac{v^2}{r}\) であり、粒子に働く力 \(F\) はローレンツ力 \(qvB\) です。これらを \(ma=F\) に代入することで、この状況を記述する最も根源的な式が完成します。他の全ての量（半径、周期、磁束密度など）は、この式から導出される派生的な結果にすぎません。
• 時間の計算 \(t = \displaystyle\frac{L}{v}\):
  • 選定理由: (2)では「時間」を求めることが目的です。粒子は「等速」円運動をしているため、速さは一定です。速さが一定の運動では、「時間＝距離÷速さ」という最も基本的な関係式が使えます。
  • 適用根拠: 軌道が半径 \(r\) の四分円であることは(1)でわかっているので、その距離 \(L\) は \(\displaystyle\frac{2\pi r}{4}\) と確実に計算できます。既知の量（\(r, v\)）だけで時間を表現できるため、このアプローチが最も直接的で合理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の消去を丁寧に行う:
  運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = evB\) を \(B\) について解く際、両辺に \(v\) があるので、一つずつ消去できます。\(B = \displaystyle\frac{mv^2}{evr}\) とした後、分子と分母の \(v\) を約分して \(B = \displaystyle\frac{mv}{er}\) となります。このような基本的な計算を焦らず確実に行うことが重要です。
• 角度の単位（rad）を意識する:
  別解のように角速度 \(\omega\) を使う場合、角度は必ず弧度法（ラジアン）で計算する必要があります。\(90^\circ\) をそのまま使わず、\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) [rad] に変換する一手間を忘れないようにしましょう。物理学の回転に関する公式は、基本的にラジアンを単位として作られています。
• 周期の公式を覚えておく:
  ローレンツ力を受ける粒子の円運動の周期は \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) となります。これは、運動方程式から導出できます。この公式を覚えておけば、(2)のような問題は「周期の4分の1」として \(t = \displaystyle\frac{T}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{2\pi m}{eB}\) と計算することも可能です。さらに(1)で求めた \(B\) を代入すれば、同じ答えにたどり着きます。複数の解法を知っておくと、検算にも役立ちます。

基本問題

430 直線電流がつくる磁場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線電流がつくる磁場の向きの決定」です。電流がその周囲の空間に磁場を作り出すという基本的な現象を理解し、その磁場の向きを「右ねじの法則」を用いて正しく特定できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問では、南北を指している磁針の「真上」を、南から北へ電流が流れます。ポイントは、この三次元的な配置を頭の中で正確にイメージすることです。観測点である磁針は、電流の「真下」に位置します。この位置で、北向きの電流がどのような向きの磁場を作るかを、右ねじの法則を使って考えます。
この設問における重要なポイント

• 電流の向き: 南から北へ（水平方向）
• 観測点の位置: 電流の真下
• 適用する法則: 右ねじの法則

具体的な解説と立式
まず、空間をイメージします。床に置かれた磁針が南北を指しており、その真上を天井に沿って南から北へ電線が張られている状況です。
ここで、右ねじの法則を適用します。右手の親指を電流の向き、すなわち「北」に向けます。
電流が流れている導線の周りには、親指の周りを回転する他の4本の指の向きに、円形の磁場ができます。
知りたいのは、導線の真下にある磁針の位置での磁場の向きです。親指を北に向けたまま、導線の下側に指を回していくと、指先は「西」を向きます。
磁針のN極は、その場所の磁場の向きに力を受けて動くので、西の向きへ動きます。

この問題は定性的な問いであり、計算過程はありません。

電線に電気が流れると、その周りには、電線を取り巻くように渦を巻いた磁場ができます。この渦の向きは「右ねじの法則」でわかります。
今回は、方位磁針の真上を、南から北に向かって電気が流れます。これを自分の体でイメージしてみましょう。自分が北を向いて立ち、頭の上を足元から頭の方向へ電気が流れると考えます。右手の親指を電気の流れ（北向き）に合わせると、体の周りには左手側（西）から右手側（東）へ向かう渦ができます。
方位磁針は自分の足元、つまり電線の真下にあります。この場所での渦の向きは「西向き」です。方位磁針のN極は磁場の向きを素直に指すので、N極は西の向きに動きます。

右ねじの法則を正しく適用することで、磁針のN極は西の向きへ動くと結論付けられました。この種の問題では、頭の中だけで考えずに、実際にペンを導線に、自分の手を法則に見立てて動かしてみることが、間違いを防ぐ上で非常に有効です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では、状況が変わり、電流は「鉛直上方から下方へ」流れます。これは、地面に向かって垂直に電流が流れるイメージです。そして、その電流が流れる場所は、南北を指している磁針の「N極の北側」です。
この配置において、観測点である磁針のN極の位置で、下向きの電流がどのような向きの磁場を作るかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 電流の向き: 鉛直上方から下方へ（地面に向かう向き）
• 観測点の位置: 電流が流れる場所から見て「南側」
• 適用する法則: 右ねじの法則

具体的な解説と立式
まず、空間をイメージします。磁針が南北を指しており、そのN極（北側）の少し先で、天井から床に向かって垂直に電線が張られている状況です。
ここで、右ねじの法則を適用します。右手の親指を電流の向き、すなわち「鉛直下向き」に向けます。
すると、導線の周りには、上から見て時計回りの円形磁場ができます。
知りたいのは、導線から見て南側に位置する磁針のN極の位置での磁場の向きです。親指を下向きにしたまま、円軌道上で南の位置を考えると、指先は「西」を向きます。
したがって、磁針のN極の位置には西向きの磁場が生じ、N極は西の向きへ動きます。

この問題は定性的な問いであり、計算過程はありません。

今度は、方位磁針のN極の少し北側で、空から地面に向かって垂直に電気が流れる状況を考えます。
右手の親指を電気の流れ（下向き）に合わせてみましょう。すると、その周りには、上から見ると時計回りの渦ができます。
方位磁針は、電気が流れている場所から見て南側にあります。時計回りの渦の上で、「南」の位置での渦の向きは「西向き」になります。（時計の文字盤を思い浮かべると、中心から見て6時の方向（南）での円の接線は、9時の方向（西）を向いています。）
したがって、方位磁針のN極は西の向きに動きます。

(1)とは電流と磁針の配置が全く異なりますが、同じ右ねじの法則を正しく適用することで、同じく「西の向きへ動く」という結論が得られました。三次元的な位置関係をいかに正確に把握し、法則を適用できるかが試される問題です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 右ねじの法則の完全な理解と適用:
  • 核心: この問題の根幹は、ただ一つ「右ねじの法則」です。電流という「直進運動」と、それが作る磁場という「回転運動」の向きの関係性を、三次元空間で正確に結びつける能力が問われています。
  • 理解のポイント:
    • 法則の基本形: 右手の親指を電流の向きに合わせると、残りの4本の指が巻く向きが磁場の向きになる。
    • 磁場の形状: 直線電流が作る磁場は、電流の導線を中心軸とする同心円状に形成されることをイメージすることが重要です。磁場の向きは、その円の各点における「接線方向」になります。
    • 磁針の応答: 磁針のN極は、その場所における磁場の向き（円の接線方向）に力を受けて動きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円形電流の中心磁場: 円形コイルに電流を流したとき、その中心にできる磁場の向きを問う問題。この場合は逆に、4本の指を電流の向きに合わせると、親指が中心磁場の向きを示します。直線電流とは法則の使い方が逆になるので注意が必要です。
  • ソレノイドコイルの磁場: コイルを巻いたソレノイドに電流を流したとき、内部にできる磁場の向きを問う問題。これも円形電流と同様に、4本の指をコイルの巻きに沿って電流の向きに合わせると、親指が内部磁場の向き（N極の向き）を示します。
  • ローレンツ力の向きの判断: 磁場中で荷電粒子が受ける力の向きを考える際、まずその場所の磁場の向きを右ねじの法則で特定する必要があります。本問はその第一ステップにあたります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸を設定する: 問題文の「南北」「鉛直」といった言葉を、頭の中でx, y, z軸のような三次元座標に置き換えると、位置関係が明確になります。（例：南北をy軸、東西をx軸、鉛直をz軸とする）
  2. 電流ベクトルを描く: 設定した座標軸に沿って、電流の向きを示す矢印を描きます。
  3. 観測点をプロットする: 磁針の位置（観測点）を、電流の導線との相対的な位置関係がわかるようにプロットします。
  4. 法則を適用する: 描いた図の上で、親指を電流ベクトルに合わせ、観測点を通る円を描き、その点での接線方向を求める、という手順を忠実に実行します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 左右の手の混同:
  • 誤解: 右ねじの法則なのに、うっかり左手を使ってしまう。特に、フレミングの左手の法則と連続して出題されると混乱しやすい。
  • 対策: 「磁場は右手、力は左手」と明確に区別して覚えましょう。問題を解く前に、一呼吸おいて「今から求めるのは磁場か？力か？」と自問自答する習慣をつけることが有効です。
• 観測点の位置の誤認:
  • 誤解: (1)で「磁針の真上」に電流が流れるのを、磁針が電流の「上」にあると勘違いするなど、相対的な位置関係を逆にしてしまう。
  • 対策: 「AのB側」という表現は、「Aを基準としてBの方向」という意味です。問題文を丁寧に読み、「何がどこにあるのか」を図に描きながら整理することが最も確実な対策です。
• 二次元で考えてしまう:
  • 誤解: (2)のような鉛直方向の電流を、紙面上の上下方向の電流と勘違いし、左右に磁場ができると考えてしまう。
  • 対策: 「鉛直」という言葉が出てきたら、必ず紙面に垂直な方向（手前⇔奥）を意識しましょう。三次元的な状況を無理に二次元の紙の上で考えようとせず、ペンや消しゴムなどを使って立体的に状況を再現したりすることが有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 右ねじの法則:
  • 選定理由: この問題は、電流が作る「磁場の向き」という定性的な性質のみを問うています。この「電流の向き」と「磁場の向き」という2つのベクトル量の関係性を結びつける、唯一無二で最も基本的な法則が右ねじの法則だからです。
  • 適用根拠: この法則は、アンペールの法則やビオ・サバールの法則といった、より根本的な電磁気学の法則から導かれる経験則です。電流と磁場の関係が、数学的にベクトルの外積で記述されることの物理的な現れであり、自然界の基本的な性質を反映しています。高校物理では、この法則を無条件に正しいものとして適用することが認められています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 身体を使って覚える（身体知）:
  右ねじの法則やフレミングの左手の法則は、頭で覚えるだけでなく、実際に自分の手を使って何度も練習することが最も効果的です。問題を読むたびに、条件に合わせて手を動かすことを習慣にしましょう。これにより、思考を通さずとも直感的に正しい向きがわかるようになります。
• 具体物でシミュレーションする:
  複雑な三次元配置で混乱しそうなときは、ペンを導線、消しゴムを磁針に見立てて、机の上で実際に配置してみましょう。物理的な状況を視覚化・立体化することで、位置関係の誤認を劇的に減らすことができます。
• 図を描く際の工夫:
  鉛直方向の電流を表現する場合、紙面の奥から手前に向かう電流は「⊙」（矢の先端が見えるイメージ）、手前から奥に向かう電流は「⊗」（矢の羽根が見えるイメージ）という記号を使うと、三次元的な状況を二次元の紙の上で分かりやすく表現できます。この記法に慣れておくと、思考がスムーズになります。

431 直線電流がつくる磁場の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の直線電流がつくる磁場のベクトル合成」です。特に、対称的な配置におけるベクトル合成を、計算によって、あるいは図形の性質を利用して、正確に行えるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

点Pにおける合成磁場

思考の道筋とポイント
この問題は、2つの電流が作る磁場のベクトル合成です。まず、それぞれの電流が点Pに作る磁場 \(\vec{H_A}\) と \(\vec{H_B}\) を個別に考えます。問題の図から、点Pは導線A, Bと正三角形をなすため、A, Bからの距離は等しく、流れる電流の大きさも同じです。したがって、\(H_A\) と \(H_B\) の大きさは等しくなります。
次に、この2つのベクトルを合成します。主たる解法では、ベクトルを座標軸（線分ABに平行な方向と垂直な方向）に分解し、成分ごとに足し合わせるという、確実で汎用的な方法をとります。対称性から、平行な成分は打ち消し合い、垂直な成分のみが残ることを見抜くのがポイントです。
この設問における重要なポイント

• \(\triangle ABP\) は正三角形なので、\(AP = BP = AB = 2d\)。
• 導線A, Bが点Pにつくる磁場の強さ \(H_A\), \(H_B\) は等しい。
• 右ねじの法則より、\(\vec{H_A}\) はAPに垂直、\(\vec{H_B}\) はBPに垂直な向きとなる。
• 2つのベクトル \(\vec{H_A}\), \(\vec{H_B}\) を、線分ABに平行な成分と垂直な成分に分解して考える。

具体的な解説と立式
導線Aを流れる電流 \(I\) が点Pにつくる磁場の強さを \(H_A\)、導線Bを流れる電流 \(I\) が点Pにつくる磁場の強さを \(H_B\) とします。
点Pは導線A, Bから等しい距離 \(r=2d\) にあり、両導線の電流の大きさも \(I\) で等しいので、
$$ H_A = H_B = \frac{I}{2\pi r} = \frac{I}{2\pi (2d)} = \frac{I}{4\pi d} \quad \cdots ① $$
となります。

次に、それぞれの磁場の向きを右ねじの法則で決定します。

• \(\vec{H_A}\): 電流A（紙面裏→表）がつくる磁場は反時計回り。点Pでは、線分APに対し垂直で左上の向き。
• \(\vec{H_B}\): 電流B（紙面表→裏）がつくる磁場は時計回り。点Pでは、線分BPに対し垂直で右上の向き。

これらのベクトル \(\vec{H_A}\) と \(\vec{H_B}\) を合成します。対称性から、線分ABに平行な方向（水平方向）の成分は互いに逆向きで同じ大きさのため打ち消し合います。したがって、合成磁場 \(\vec{H}\) は線分ABに垂直な方向（鉛直上向き）を向きます。
合成磁場 \(\vec{H}\) の大きさは、\(\vec{H_A}\) と \(\vec{H_B}\) の鉛直上向き成分の和となります。

ここで、\(\vec{H_A}\) が鉛直上向き方向となす角度を考えます。\(\triangle ABP\) は正三角形なので \(\angle PAB = 60^\circ\)。線分APと鉛直上向きの線がなす角は \(30^\circ\) です。\(\vec{H_A}\) はAPに垂直なので、\(\vec{H_A}\) が鉛直上向き方向となす角は \(90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\) となります。
よって、\(\vec{H_A}\) の鉛直上向き成分は \(H_A \cos 60^\circ\) です。\(\vec{H_B}\) についても同様に \(H_B \cos 60^\circ\) となります。
したがって、合成磁場の大きさ \(H\) は、
$$ H = H_A \cos 60^\circ + H_B \cos 60^\circ \quad \cdots ② $$
と表せます。

\(H_A = H_B\) であるから、式②は以下のように整理できます。
$$
\begin{aligned}
H &= 2 H_A \cos 60^\circ
\end{aligned}
$$
ここに、式①で求めた \(H_A = \displaystyle\frac{I}{4\pi d}\) と \(\cos 60^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= 2 \times \left( \frac{I}{4\pi d} \right) \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= \frac{I}{4\pi d}
\end{aligned}
$$

点Pには、Aの電流とBの電流から、それぞれ磁場が届いています。AからもBからも距離は同じで、電流の大きさも同じなので、届く磁場の「強さ」は同じです。しかし、「向き」が異なります。
Aからの磁場は左上向き、Bからの磁場は右上向きになります。この2つの力を合成することを考えます。綱引きで、2人が同じ力でそれぞれ斜め上に引っ張るようなものです。このとき、左右に引っ張る力は互いに打ち消し合って、真上に引っ張る力だけが残ります。
最終的な磁場の強さは、Aの磁場の上向き成分と、Bの磁場の上向き成分を足し合わせたものになります。

点Pにおける合成磁場の強さは \(H = \displaystyle\frac{I}{4\pi d}\) と求められました。これは、個々の導線が作る磁場の強さ \(H_A\) や \(H_B\) と同じ大きさになっています。これは、この問題の配置が持つ特殊な対称性（正三角形）による興味深い結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 磁場のベクトル性と重ね合わせの原理:
  • 核心: この問題の根幹は、磁場が大きさと向きを持つ「ベクトル量」であり、複数の原因によって生じる磁場は、それぞれの磁場ベクトルを単純に足し合わせる（ベクトル和）ことで求められる、という「重ね合わせの原理」を体現しています。
  • 理解のポイント:
    • まず、導線AとBがそれぞれ単独で点Pに作る磁場 \(\vec{H_A}\) と \(\vec{H_B}\) を考えます。
    • 次に、これらを単なる数値としてではなく、向きを持った矢印（ベクトル）として捉え、合成します。
    • この「ベクトルとして合成する」という操作が、代数的には「成分分解して足し算」、幾何学的には「平行四辺形の法則」として現れます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正方形の頂点に置かれた電流: 正方形の4つの頂点に電流を置き、その中心での合成磁場を求める問題。対称性から、合成磁場が0になる場合や、特定の方向を向く場合などを素早く見抜く力が試されます。
  • 電場の合成: 点電荷を複数配置し、ある点での電場の強さを求める問題。クーロンの法則で各々の電場を計算し、ベクトル合成するという、本問と全く同じ思考プロセスで解くことができます。
  • 力のつり合い: 3つの荷電粒子や、糸でつるされた物体にはたらく力のつり合い問題など。複数の力がベクトルとして働いている状況を分析する点で共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性を見抜く: まず、図形的な配置や、電流・電荷の大きさに対称性がないかを探します。対称性があれば、ベクトル合成の結果、特定の成分が打ち消し合ったり、合成後の向きが容易に推測できたりします。
  2. ベクトルの始点を揃える: 複数のベクトルを合成する際は、必ず全てのベクトルの始点を、考えている点（本問ではP）に揃えて作図します。これにより、ベクトル間の角度関係が明確になります。
  3. 解法を選択する:
     • 対称性が低い、または角度が複雑な場合は、座標軸を設定して成分分解する代数的な解法が確実です。
     • 対称性が高く、図形的な性質（正三角形、正方形など）が使えそうな場合は、幾何学的な解法の方が計算が少なく、速く解ける可能性があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 距離の誤認:
  • 誤解: 導線間の距離 \(2d\) を、電流から点Pまでの距離 \(r\) として公式に代入してしまう。
  • 対策: 問題の図をよく見て、どの長さが公式のどの文字に対応するのかを正確に把握しましょう。本問では、\(\triangle ABP\) が正三角形であることから、\(r=AP=BP=2d\) となります。
• ベクトル間の角度の誤認:
  • 誤解: \(\vec{H_A}\) と \(\vec{H_B}\) のなす角を、線分APとBPのなす角と同じ \(60^\circ\) だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず作図をしましょう。\(\vec{H_A} \perp AP\), \(\vec{H_B} \perp BP\) という垂直関係を正確に図に描けば、2つの磁場ベクトルのなす角が \(120^\circ\) であることが視覚的にわかります。
• 成分分解のミス:
  • 誤解: ベクトルを成分分解する際に、\(\sin\) と \(\cos\) を取り違える。
  • 対策: 分解したい成分が、設定した角度に対して「隣り合う辺」なのか「向かい合う辺」なのかを常に確認しましょう。「角度を挟む辺が \(\cos\)」と覚えておくとミスが減ります。自信がなければ、分解してできた直角三角形を抜き出して、三角比の定義に立ち返って確認するのが確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ベクトルの成分分解:
  • 選定理由: 複数のベクトルを合成する上で、最も汎用的で機械的に適用できる方法だからです。どんなに複雑な配置や角度であっても、座標軸さえ設定すれば、各ベクトルの成分を計算し、x成分同士、y成分同士を足し合わせるという手順で必ず答えにたどり着けます。
  • 適用根拠: ベクトルは、互いに直交する成分の和として一意に表現できるという数学的な性質に基づいています。直交する成分は互いに独立しているため、成分ごとに分けて計算することが許されます。
• 幾何学的な合成（ひし形法・三角形法）:
  • 選定理由: 問題の図形的な対称性が高い場合、この方法が劇的に計算を簡略化してくれることがあるからです。「対称性があるなら、幾何学的な解法が使えないか？」と考えるのは、問題解決のショートカットを探す上で有効な思考法です。
  • 適用根拠: ベクトルの和の定義そのものが、平行四辺形の対角線（または三角形の残り1辺）として与えられます。この定義に立ち返り、図形の辺の長さや角度の関係（正弦定理や余弦定理、あるいは図形の特殊な性質）を利用して、合成ベクトルの大きさと向きを直接求めるアプローチです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図を惜しまない: 電磁気の問題、特にベクトルが絡む問題では、フリーハンドでよいので必ず図を描く習慣をつけましょう。力の向き、磁場の向き、角度、距離などの情報を図に書き込むことで、頭の中が整理され、ケアレスミスが大幅に減少します。
• 文字式のまま整理する: \(H_A = \displaystyle\frac{I}{4\pi d}\) のように、まずは文字式のまま大きさを表現しましょう。\(H = 2 H_A \cos 60^\circ\) のように、合成磁場の大きさもまずは \(H_A\) を使って表現し、最後に代入することで、計算の見通しが良くなり、途中の計算ミスも減ります。
• 角度の根拠を明確にする: 成分分解やベクトル間の角度を求める際に、「なんとなくこの角度は \(60^\circ\) だろう」と安易に決めつけず、「\(\triangle ABP\) が正三角形だから \(\angle PAB = 60^\circ\)」「\(\vec{H_A} \perp AP\) だから、なす角は…」というように、一つ一つの角度の根拠を論理的に追う癖をつけましょう。

432 直線電流と円形電流の合成磁場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、円形電流と直線電流がそれぞれ作る磁場をベクトルとして合成する問題です。2つの磁場が直交することを見抜き、三平方の定理を適用することが鍵となります。標準的な解法が最も効率的であり、物理的に有益な別解は存在しないと判断しました。

この問題のテーマは「直線電流と円形電流がつくる磁場の合成」です。形状の異なる2つの電流が、空間のある一点にそれぞれ磁場を作るとき、その点での最終的な磁場は、個々の磁場をベクトルとして正しく合成することで求められることを理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Oには、円形電流 \(I_1\) と直線電流 \(I_2\) という2つの異なる源からの磁場が重ね合わさっています。それぞれの磁場を個別に計算し、最後にベクトルとして合成するという手順で考えます。
この問題の最大のポイントは、2つの電流が作る磁場が互いに直交することを見抜くことです。これにより、合成磁場の大きさの計算に三平方の定理が使えるようになります。
この設問における重要なポイント

• 円形電流 \(I_1\) がつくる磁場 \(\vec{H_1}\) は、円の平面に垂直な向き。
• 直線電流 \(I_2\) がつくる磁場 \(\vec{H_2}\) は、円の平面内にあり、かつ導線に垂直な向き。
• 結果として、\(\vec{H_1}\) と \(\vec{H_2}\) は互いに直交する。
• 合成磁場の大きさは \(H = \sqrt{H_1^2 + H_2^2}\) で計算できる。

具体的な解説と立式
まず、円形電流 \(I_1\) が中心Oにつくる磁場 \(\vec{H_1}\) を考えます。
その大きさ \(H_1\) は、公式より、
$$ H_1 = \frac{I_1}{2a} \quad \cdots ① $$
となります。向きは、右ねじの法則（4本の指を電流の向きに合わせると親指が磁場の向きを示す）より、円の平面に垂直で上向きです。

次に、直線電流 \(I_2\) が中心Oにつくる磁場 \(\vec{H_2}\) を考えます。
中心Oは、直線電流 \(I_2\) から距離 \(a\) の位置にあります。その大きさ \(H_2\) は、公式より、
$$ H_2 = \frac{I_2}{2\pi a} \quad \cdots ② $$
となります。向きは、右ねじの法則（親指を電流の向きに合わせると4本の指が磁場の向きを示す）より、導線 \(I_2\) を中心とする円の接線方向です。点Oにおいては、円の平面内で右斜め向きとなります。

\(\vec{H_1}\) は円の平面に垂直（上向き）、\(\vec{H_2}\) は円の平面内にあるため、この2つのベクトルは互いに直交します。
したがって、合成磁場 \(\vec{H}\) の大きさ \(H\) は、三平方の定理を用いて次のように表せます。
$$ H = \sqrt{H_1^2 + H_2^2} \quad \cdots ③ $$

式③に、式①と式②を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= \sqrt{ \left( \frac{I_1}{2a} \right)^2 + \left( \frac{I_2}{2\pi a} \right)^2 } \\[2.0ex] &= \sqrt{ \frac{I_1^2}{4a^2} + \frac{I_2^2}{4\pi^2 a^2} } \\[2.0ex] &= \sqrt{ \frac{1}{4a^2} \left( I_1^2 + \frac{I_2^2}{\pi^2} \right) } \\[2.0ex] &= \frac{1}{2a} \sqrt{ I_1^2 + \frac{I_2^2}{\pi^2} }
\end{aligned}
$$

点Oには、2種類の磁場が届いています。円形の電気 \(I_1\) からは「上向き」の磁場が、直線の電気 \(I_2\) からは「右斜め向き」の磁場が届きます。
この「上向き」と「円の平面内の向き」は、互いに直角の関係にあります。2つの力が直角に働いているとき、その合力（合成磁場）の強さは、三平方の定理を使って計算することができます。それぞれの磁場の強さを2辺とする直角三角形の、斜辺の長さを求めるのと同じです。

合成磁場の強さは \(H = \displaystyle\frac{1}{2a} \sqrt{ I_1^2 + \frac{I_2^2}{\pi^2} }\) と求められました。この式は、それぞれの電流が作る磁場の効果が、互いに直角な成分として合成されていることを示しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では、(1)で考えたベクトル図を用いて、合成磁場 \(\vec{H}\) の方向を求めます。問われているのは、\(\vec{H}\) と「円形電流の平面」とのなす角 \(\theta\) です。
\(\vec{H_1}\), \(\vec{H_2}\), \(\vec{H}\) の3つのベクトルが作る直角三角形に着目し、三角比の定義（特にタンジェント）を適用して \(\tan\theta\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• \(\vec{H_1}\) は円形電流の平面に垂直な成分、\(\vec{H_2}\) は平面内の成分である。
• 求める角度 \(\theta\) は、合成ベクトル \(\vec{H}\) と平面内の成分 \(\vec{H_2}\) とのなす角に等しい。
• $$
  \begin{aligned}
  \tan\theta &= \frac{\text{平面に垂直な成分}}{\text{平面内の成分}} \\[2.0ex] &= \frac{H_1}{H_2}
  \end{aligned}
  $$
  の関係が成り立つ。

具体的な解説と立式
(1)で考えたように、合成磁場 \(\vec{H}\) は、円の平面に垂直な磁場 \(\vec{H_1}\) と、円の平面内にある磁場 \(\vec{H_2}\) のベクトル和です。
求める角度 \(\theta\) は、合成磁場 \(\vec{H}\) と円形電流の平面（\(\vec{H_2}\) が含まれる平面）とのなす角です。
\(\vec{H_1}\), \(\vec{H_2}\), \(\vec{H}\) のベクトルを辺とする直角三角形を考えると、\(\theta\) は底辺が \(H_2\)、高さが \(H_1\) の角に相当します。
したがって、三角比の定義より、\(\tan\theta\) は平面に垂直な成分を平面内の成分で割ったものになり、次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{H_1}{H_2} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

式④に、(1)で求めた \(H_1 = \displaystyle\frac{I_1}{2a}\) と \(H_2 = \displaystyle\frac{I_2}{2\pi a}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{\left( \displaystyle\frac{I_1}{2a} \right)}{\left( \displaystyle\frac{I_2}{2\pi a} \right)} \\[2.0ex] &= \frac{I_1}{2a} \times \frac{2\pi a}{I_2} \\[2.0ex] &= \frac{\pi I_1}{I_2}
\end{aligned}
$$

(1)で考えた磁場の合成は、底辺が \(H_2\)、高さが \(H_1\) の直角三角形で表せます。合成磁場 \(\vec{H}\) は、この直角三角形の斜辺にあたります。
求めたい角度 \(\theta\) は、この斜辺が底辺（円の平面）となす角のことです。
三角比のタンジェントは「高さ ÷ 底辺」で計算できるので、\(\tan\theta\) の値は、\(H_1\) の値を \(H_2\) の値で割るだけで簡単に求めることができます。

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\pi I_1}{I_2}\) と求められました。この値は、円形電流 \(I_1\) が大きいほど、また直線電流 \(I_2\) が小さいほど大きくなります。これは、合成磁場の傾きが、より円形電流の磁場（垂直成分）の寄与が大きくなることで直感的にも理解できる、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 異なる形状の電流が作る磁場のベクトル合成:
  • 核心: この問題の根幹は、形状が異なる（円形と直線）電流源が作る磁場を、それぞれに対応する公式を用いて正しく計算し、それらを「ベクトルとして」合成できるか、という点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 公式の選択: まず、円形電流には中心磁場の公式 \(H_1 = \displaystyle\frac{I_1}{2a}\) を、直線電流には \(H_2 = \displaystyle\frac{I_2}{2\pi a}\) を、と状況に応じて適切な公式を選択します。
    • 向きの特定: 次に、それぞれの磁場の向きを右ねじの法則で決定します。このとき、2つの磁場ベクトルが互いに直交することを見抜くことが、この問題を解く上での最大の鍵となります。
    • 合成方法: 2つのベクトルが直交しているため、合成ベクトルの大きさは三平方の定理 \(H = \sqrt{H_1^2 + H_2^2}\) で、向きに関する量は三角比 \(\tan\theta = H_1/H_2\) で簡単に求めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ソレノイドコイルと直線電流の合成磁場: ソレノイドコイル内部の一様な磁場と、その近くを通る直線電流が作る磁場の合成。ソレノイドの軸と直線電流の作る磁場が直交する場合が多く、本問と考え方は同じです。
  • 地磁気と電流の合成磁場: 地磁気の水平成分（南北方向）と、地面に置かれた円形コイルが中心に作る磁場（鉛直方向）の合成。これも直交する2つのベクトルの合成問題です。
  • 電場と磁場の重ね合わせ: ある空間に電場と磁場の両方が存在する場合（例：速度選択器）。荷電粒子が受ける力は、電場からの力と磁場からの力（ローレンツ力）のベクトル和になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 場の源を特定する: 磁場を作っている原因は何かをリストアップします（本問では円形電流\(I_1\)と直線電流\(I_2\)）。
  2. 各々の場の向きを図示する: 観測点（点O）において、それぞれの源が作る磁場の向きを、右ねじの法則を使って矢印で図示します。この段階で、ベクトル同士が直交しているか、平行か、あるいは他の角度かを把握します。
  3. 各々の場の大きさを計算する: それぞれの形状に対応した公式を使って、磁場の大きさ（\(H_1, H_2\)）を文字式で表します。
  4. ベクトル合成を実行する: 向きの関係に応じて、適切な方法（三平方の定理、成分分解、力のつり合いなど）で合成します。直交している場合は、三平方の定理と三角比が最も強力な道具となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の混同:
  • 誤解: 円形電流に直線電流の公式を適用したり、その逆をしてしまう。特に、分母の \(\pi\) の有無を間違いやすい。
  • 対策: 「直線電流は \(2\pi r\), 円形電流は \(2a\)」と、分母の形をセットで正確に覚えましょう。「直線は無限に広がるから\(\pi\)がつく」のような、自分なりのイメージで関連付けるのも有効です。
• 距離の取り違え:
  • 誤解: 直線電流からの距離を、問題で与えられた半径 \(a\) 以外の値だと勘違いする。
  • 対策: 図をよく見て、観測点Oから直線電流までの最短距離が、円の半径 \(a\) と等しいことを確認します。公式の \(r\) にどの長さを代入すべきかを常に意識することが重要です。
• ベクトル合成の誤り:
  • 誤解: 2つの磁場の大きさを、ベクトルであることを無視して単純に足し算や引き算してしまう。
  • 対策: 磁場はベクトル量であることを常に念頭に置き、必ず向きを考慮した合成を行う癖をつけましょう。作図によって向きの関係（直交など）を視覚的に確認するプロセスは、この種のミスを防ぐのに非常に有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円形電流の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2a}\) と直線電流の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\):
  • 選定理由: 問題で与えられている電流の形状が「円形」と「直線」だからです。物理では、原因となるものの形状や状況設定に応じて、適用すべき公式が明確に決まっています。問題文のキーワード（円形、直線）から、対応する公式を正確に引き出す能力が求められます。
  • 適用根拠: これらの公式は、電磁気学の基本法則であるビオ・サバールの法則を、それぞれの形状について積分することで導出されます。高校物理では、この導出過程は問われず、結果を公式として利用します。
• 三平方の定理 \(H = \sqrt{H_1^2 + H_2^2}\):
  • 選定理由: 2つのベクトル \(\vec{H_1}\) と \(\vec{H_2}\) が「直交」しているからです。直交する2つのベクトルを合成する場合、その合成ベクトルの大きさは、元のベクトルを2辺とする直角三角形の斜辺の長さに等しくなります。
  • 適用根拠: これはベクトルのノルム（大きさ）に関する基本的な数学的性質です。直交座標系において、ベクトル \(\vec{H} = (H_2, H_1)\) の大きさ \(|\vec{H}|\) が \(\sqrt{H_2^2 + H_1^2}\) で与えられることに対応しています。物理法則というよりは、ベクトルを扱うための数学的な道具です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数での整理:
  \(H = \sqrt{ (\frac{I_1}{2a})^2 + (\frac{I_2}{2\pi a})^2 }\) の計算では、ルートの中の共通部分 \(\left(\frac{1}{2a}\right)^2\) を先にルートの外に出してしまうと、計算が非常にすっきりします。\(H = \frac{1}{2a} \sqrt{ I_1^2 + (\frac{I_2}{\pi})^2 }\) となり、その後の見通しが良くなります。
• 分数計算の確実な実行:
  (2)の \(\tan\theta = \displaystyle\frac{H_1}{H_2}\) の計算では、分母と分子に分数が来る「繁分数」になります。 \(\displaystyle\frac{I_1/2a}{I_2/2\pi a}\) のような形になったら、慌てずに「分母の逆数を掛ける」という操作 \(\displaystyle\frac{I_1}{2a} \times \frac{2\pi a}{I_2}\) に置き換えてから、約分を丁寧に行いましょう。
• 文字と添え字の丁寧な記述:
  \(I_1, I_2, H_1, H_2\) のように添え字が多い問題では、どの文字がどちらの電流に対応するのかを混同しないよう、普段から丁寧に書くことを心がけましょう。計算用紙に、\(H_1 \text{ (円)}\), \(H_2 \text{ (直線)}\) のようにメモを残すのも有効な対策です。

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共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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