「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第23章】応用問題

405 電流

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、導体内を流れる電流の正体が自由電子の集団的な運動であるという微視的なモデルに基づいて、電流の大きさを表現する式を導出するものです。
この問題の核心は、マクロな物理量である「電流 \(I\)」を、ミクロな物理量である「電子の電気量 \(e\)」「電子の数密度 \(n\)」「電子の速さ \(v\)」「導体の断面積 \(S\)」と結びつけることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流の微視的表現」です。電流という目に見えない現象を、自由電子という粒子の運動モデルで理解することが目標です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 電流の大きさ \(I\) を、\(Q\) と \(t\) を用いて表す。

思考の道筋とポイント
これは電流の定義そのものを問う問題です。電流とは「単位時間あたりに、ある断面を通過する電気量」と定義されます。この定義を数式で表現することが求められています。

この設問における重要なポイント

• 電流 \(I\) [A]、電気量 \(Q\) [C]、時間 \(t\) [s] の3つの物理量の関係を正しく理解しているかが問われます。
• 「単位時間あたり」という言葉が「時間で割る」という操作に対応することを理解することが重要です。

具体的な解説と立式
電流 \(I\) の定義は、導体の任意の断面を時間 \(t\) の間に電気量 \(Q\) が通過するとき、その比で与えられます。
$$ I = \frac{Q}{t} \quad \cdots ① $$

この設問は定義を式で表すだけなので、計算過程はありません。

電流の強さ \(I\) は、電気の流れの「勢い」のようなものです。例えば、水道の蛇口から \(t\) 秒間に出てきた水の総量が \(Q\) リットルだったとします。このとき、1秒あたりの水の量、つまり水の勢いは「総量 \(Q\) ÷ 時間 \(t\)」で計算できます。電気の流れもこれと全く同じで、電流の勢い \(I\) は「電気の総量 \(Q\) ÷ 時間 \(t\)」で表されます。

電流の大きさは \(I = \displaystyle\frac{Q}{t}\) [A] と表されます。これは電流の定義そのものであり、物理学における基本的な関係式です。

問(2) 電流の大きさ \(I\) を、\(e, n, v, S\) を用いて表す。

思考の道筋とポイント
問題文の図と誘導に従って、電流の正体である自由電子の動きから電流の大きさを導出します。ポイントは、時間 \(t\) の間に断面Aを通過する電子が、もともとどの領域にいたかを考えることです。これらの電子が持つ電気量の総量 \(Q\) を計算し、(1)で確認した \(I=Q/t\) の関係式に代入します。

この設問における重要なポイント

• 通過する電子の特定: 時刻 \(0\) から \(t\) の間に断面Aを通過する電子は、時刻 \(0\) の時点で断面Aの右側（上流側）で、距離 \(vt\) 以内の領域にいた電子たちです。
• 体積の計算: これらの電子が占める領域は、底面積が \(S\)、高さ（長さ）が \(vt\) の円柱と見なせます。その体積は \(V = S \times vt\) です。
• 総数の計算: 単位体積あたりの電子の数が \(n\) なので、体積 \(V\) の中にいる電子の総数 \(N\) は \(N = nV\) で計算できます。
• 総電気量の計算: 電子1個の電気量の大きさが \(e\) なので、電子 \(N\) 個が持つ電気量の総量 \(Q\) は \(Q = eN\) です。

具体的な解説と立式
時刻 \(0\) から \(t\) [s] の間に、速さ \(v\) [m/s] で移動する電子は \(vt\) [m] の距離を進みます。
したがって、この時間内に断面Aを通過する電子は、時刻 \(0\) の時点で図(a)の斜線部、すなわち断面積 \(S\)、長さ \(vt\) の円柱内に存在していた電子です。
この円柱の体積 \(V\) は、
$$ V = S \times vt = Svt \quad \cdots ① $$
この体積 \(V\) の中に含まれる自由電子の総数 \(N\) は、単位体積あたりの数 \(n\) を用いて、
$$ N = nV = n(Svt) = nSvt \quad \cdots ② $$
これらの電子が持つ電気量の総量 \(Q\) は、電子1個の電気量の大きさ \(e\) を用いて、
$$ Q = eN = e(nSvt) = enSvt \quad \cdots ③ $$
(1)で確認した電流の定義式 \(I = \displaystyle\frac{Q}{t}\) に、この \(Q\) を代入します。
$$ I = \frac{Q}{t} \quad \cdots ④ $$

④式に③式を代入して \(I\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{enSvt}{t} \\[2.0ex] &= envS
\end{aligned}
$$

たくさんの人が一列になって、秒速 \(v\) メートルで歩いているパレードを想像してください。あるゲートを \(t\) 秒間に何人が通過するかを考えます。\(t\) 秒間で列は \(vt\) メートル進むので、ゲートから \(vt\) メートル手前までにいた人たちが全員通過することになります。人の列の断面積を \(S\)、人の密度を \(n\) とすると、通過した人の総数は「密度 \(n\) × 断面積 \(S\) × 長さ \(vt\)」で計算できます。電流もこれと同じで、「人」を「電子」に、「人の密度」を「電子の密度 \(n\)」に置き換え、さらに電子1個が \(e\) という大きさの電気を持っているので、通過した電気の総量 \(Q\) は \(e \times n \times S \times vt\) となります。電流 \(I\) は1秒あたりの量なので、これを時間 \(t\) で割ると \(envS\) となります。

電流の大きさは \(I = envS\) [A] と表されます。この式は、電流が、その担い手である電子の数密度 \(n\)、電気素量 \(e\)、速さ \(v\)、そして導線の断面積 \(S\) にそれぞれ比例することを示しており、物理的に非常に直感的な結果です。これは電流を微視的な視点で理解するための基本となる重要な公式です。

問(3) 与えられた条件下での自由電子の速さ \(v\) の値。

思考の道筋とポイント
(2)で導出した関係式 \(I = envS\) を利用します。この式には、求めたい自由電子の速さ \(v\) と、問題文で与えられている物理量（\(I, e, n, S\)）が含まれています。式を \(v\) について解き、数値を代入して計算します。最大の注意点は、断面積 \(S\) の単位を mm² から m² へ正しく換算することです。

この設問における重要なポイント

• 式の変形: \(I = envS\) を \(v\) について解くと \(v = \displaystyle\frac{I}{enS}\) となります。
• 単位換算: 断面積 \(S\) が \(1.0 \text{ mm}^2\) で与えられています。SI基本単位であるメートル（m）に合わせる必要があります。
  \(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\) であるから、
  \(1 \text{ mm}^2 = (1 \text{ mm}) \times (1 \text{ mm}) = (10^{-3} \text{ m}) \times (10^{-3} \text{ m}) = 10^{-6} \text{ m}^2\)
  となります。
• 有効数字: 与えられている数値（\(1.0\) A, \(1.0\) mm², \(8.5 \times 10^{28}\), \(1.6 \times 10^{-19}\)）の有効数字はすべて2桁なので、計算結果も2桁で答えるのが適切です。

具体的な解説と立式
(2)で導出した関係式 \(I = envS\) を、求めたい速さ \(v\) について解きます。
$$ v = \frac{I}{enS} \quad \cdots ① $$
ここに、与えられた数値を代入します。

• \(I = 1.0 \text{ A}\)
• \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\)
• \(n = 8.5 \times 10^{28} \text{ 個/m}^3\)
• \(S = 1.0 \text{ mm}^2 = 1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)

①式に数値を代入して \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{1.0}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.5 \times 10^{28}) \times (1.0 \times 10^{-6})} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{(1.6 \times 8.5) \times (10^{-19} \times 10^{28} \times 10^{-6})} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{13.6 \times 10^{-19+28-6}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{13.6 \times 10^{3}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{13600} \\[2.0ex] &\approx 0.00007352… \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
結果を有効数字2桁で表すために、科学技術表記に直します。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 7.352… \times 10^{-5} \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁目を四捨五入すると、
$$ v \approx 7.4 \times 10^{-5} \text{ [m/s]} $$

(2)で作った公式 \(I=envS\) を使って、今度は電子の平均的な速さ \(v\) を逆算する問題です。電流の強さ \(I\)、電子の密度 \(n\)、電子1個の電気量 \(e\)、導線の断面積 \(S\) はすべて分かっているので、公式を「\(v = …\)」の形に変形して、それぞれの値を当てはめて計算します。計算で一番気をつけないといけないのは、断面積の単位を「平方ミリメートル」から「平方メートル」に直すことです。これを忘れると、答えが大きくずれてしまいます。

自由電子の速さは \(v \approx 7.4 \times 10^{-5}\) m/s となります。
これは、\(0.074\) mm/s という非常に遅い速さです。私たちがスイッチを入れると瞬時に電気がつくように感じるのは、導線の中にいる無数の自由電子が、電場によって「一斉に」動き始めるからです。個々の電子がコンセントから電球まで移動するわけではなく、将棋倒しのように電気的な影響が光速に近い速さで伝わるのです。計算結果が非常に小さい値になったことは、この物理的な事実と一致しており、妥当な結果と言えます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流の定義と微視的モデルの結合:
  • 核心: この問題の核心は、マクロな現象である「電流 \(I = Q/t\)」と、その原因であるミクロな「自由電子の集団運動」を結びつけることにあります。電流の正体が、電気素量 \(e\) を持つ多数の荷電粒子（自由電子）が、数密度 \(n\)、平均速度 \(v\) で、断面積 \(S\) の導体中を移動する現象であることを理解することが全てです。
  • 理解のポイント: \(I=envS\) という公式は、これらミクロな量を掛け合わせることで、マクロな電流の大きさが決まることを示しています。\(e\) は定数なので、電流を大きくするには「電子の密度 \(n\) を増やす（＝材質を変える）」「電子の速度 \(v\) を上げる（＝電圧を上げる）」「導線の断面積 \(S\) を大きくする（＝太い線を使う）」という方法があることが、この式から直感的に理解できます。
• 通過する粒子の体積計算:
  • 核心: 時間 \(t\) の間に特定の断面を通過する粒子の総量を計算する際、「速さ \(v \times\) 時間 \(t = vt\)」で得られる「長さ」が鍵となります。この長さと断面積 \(S\) を掛け合わせた体積 \(Svt\) こそが、通過する粒子がもともといた空間領域を表します。
  • 理解のポイント: この考え方は、電流だけでなく、流体力学における流量の計算や、風が窓に及ぼす力を考える際など、様々な物理現象に応用できる非常に汎用性の高い思考ツールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • イオンの移動による電流: 電解液中での陽イオンと陰イオンの移動による電流を考える問題。両方のイオンが電流に寄与しますが、移動方向が逆であることなどを考慮する必要があります。
  • 半導体中の電流: 半導体では、負電荷を持つ「電子」と、正電荷を持つと見なせる「正孔（ホール）」の両方が電流の担い手（キャリア）となります。それぞれの密度や移動度（速度）が異なる場合、全体の電流は両者の和として計算されます。
  • 気体放電: 真空管や放電管内で、電離した気体イオンと電子が移動することによる電流。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の担い手（キャリア）は何か？: まず、電流を運んでいる粒子が何かを特定します（電子か、イオンか、正孔か）。
  2. キャリアの情報を整理する: その粒子の電気量 \(q\)、数密度 \(n\)、速さ \(v\) は何かを問題文から読み取ります。複数のキャリアがある場合は、それぞれについて整理します。
  3. 「単位時間あたり」を考える: 電流を求めたい場合、常に「1秒間に何が起きるか」を考えるのが最も直接的です。1秒間にキャリアが進む距離は \(v\)、そのキャリアが通過する体積は \(Sv\)、その体積内のキャリアの数は \(nSv\)、そしてそれらが運ぶ総電気量は \(qnSv\) となります。これがそのまま電流 \(I\) です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス:
  • 誤解: 断面積 \(S\) の単位 \(1.0 \text{ mm}^2\) を \(1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^2\) と間違えてしまう。
  • 対策: 単位の換算は、元の単位がどう構成されているかを考えるのが確実です。「mm」が \(10^{-3}\) m なので、「mm²」は \((10^{-3} \text{ m})^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\) となります。面積なら指数が2倍、体積なら3倍になると覚えておきましょう。
• 電子の速度に関する誤解:
  • 誤解: スイッチを入れると瞬時に明かりがつくので、電子も光速に近い速さで移動していると考えてしまう。
  • 対策: 計算結果が非常に遅い速度（\(10^{-5}\) m/s のオーダー）になることを知っておくことが重要です。瞬時に明かりがつくのは、導線内の電子が一斉に動き始める「合図」（電場）が光速で伝わるためであり、個々の電子の移動速度（ドリフト速度）は非常に遅い、という物理イメージを確立しておきましょう。
• 電流の向きと電子の移動方向の混同:
  • 誤解: 電流の向きと電子の移動方向を同じだと考えてしまう。
  • 対策: 「電流の向きは、正電荷が移動する向き」と定義されています。電子は負電荷を持つため、電子が移動する向きと「逆向き」が電流の向きとなります。この問題では大きさのみを扱っていますが、向きが問われる問題では注意が必要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 「動く歩道」のイメージ: 導体を「動く歩道」、自由電子をその上に乗っている「人」とイメージします。電流の大きさは、ゲートを1秒間に通過する「人数」に相当します。人の密度が高く（\(n\) が大きい）、歩道が速く（\(v\) が大きい）、歩道の幅が広い（\(S\) が大きい）ほど、通過人数は増えます。このイメージが \(I=envS\) の式と直結します。
  • 問題の図の活用: 問題で与えられた図(a)と(b)は、この問題を解くための思考プロセスそのものを表しています。時刻 \(0\) で断面Aの右側にあった円柱状の電子集団が、時刻 \(t\) にはそっくりそのまま断面Aの左側に移動する。この「電子の塊が移動する」というイメージが、通過した電気量 \(Q\) を計算する上で非常に重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 流れの方向を明確にする: 電子の移動方向（例えば左向き）と、電流の向き（右向き）を矢印で明確に区別して描くと、混乱を防げます。
  • 体積を意識した図示: 断面を通過する電子の量を考えるときは、単なる線ではなく、問題の図のように「長さ \(vt\)」と「断面積 \(S\)」を持つ「円柱」として立体的に描くことで、体積 \(Svt\) という発想に至りやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電流の定義式 \(I = Q/t\):
  • 選定理由: これは物理学における「電流」という量の定義そのものです。他の法則から導かれるものではなく、全ての電流に関する議論の出発点となる大前提の式です。設問(1)で問われ、(2)で \(Q\) を具体的に計算した後に適用するのは、論理的な必然です。
  • 適用根拠: アンペア(A)という単位が、クーロン(C)毎秒(s)と定義されていることからも、この式の正当性がわかります。
• 電流の微視的表現 \(I = envS\):
  • 選定理由: この式は、電流というマクロな量を、その担い手である電子の性質（\(e, n, v\)）というミクロな量と結びつけるための関係式です。設問(2)では、まさにこの関係を導出することが求められており、(3)ではこの導出した式を具体的な計算に利用します。
  • 適用根拠: この式は、電流の定義 \(I=Q/t\) と、時間 \(t\) で断面を通過する電子が体積 \(Svt\) 内にいたという幾何学的な考察から、論理的に導出されたものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電流の定義の確認:
   • 戦略: 電流の定義を思い出し、式で表現する。
   • フロー: ①「電流は単位時間あたりの電気量」→ ② \(I = Q/t\)。
2. (2) 電流の微視的表現の導出:
   • 戦略: 問題の誘導に従い、時間 \(t\) で断面を通過する電子の総電気量 \(Q\) を求める。
   • フロー: ①時間 \(t\) で電子が進む距離は \(vt\) → ②この間に断面を通過する電子がいた体積は \(Svt\) → ③その体積内の電子の総数は \(n \times (Svt)\) → ④それらの総電気量 \(Q\) は \(e \times nSvt\) → ⑤ \(I=Q/t\) に代入し、\(t\) を消去して \(I=envS\) を得る。
3. (3) 具体的な数値計算:
   • 戦略: (2)で導いた式を、求めたい \(v\) について解き、数値を代入する。
   • フロー: ① \(I=envS\) を変形して \(v = I/(enS)\) を得る → ②断面積 \(S\) の単位を mm² から m² に換算する (\(10^{-6}\) 倍) → ③全ての数値を代入し、指数計算と数値計算を慎重に行う → ④有効数字を考慮して最終的な答えを出す。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算をまとめる: (3)の計算では、分母に \(10^{-19}\), \(10^{28}\), \(10^{-6}\) が現れます。これらを先にまとめて \(10^{-19+28-6} = 10^3\) と計算してから、係数部分（\(1.6 \times 8.5\)）の計算に移ると、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 単位の確認: 計算の最後に、求めた値の単位が本当に m/s になっているかを確認する習慣をつけましょう。\(I[\text{A}=\text{C/s}], e[\text{C}], n[\text{m}^{-3}], S[\text{m}^2]\) なので、\(I/(enS)\) の単位は \((\text{C/s}) / (\text{C} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{m}^2) = (\text{C/s}) / (\text{C} \cdot \text{m}^{-1}) = \text{m/s}\) となり、確かに速さの単位になっていることが確認できます。
• 概算で桁をチェック: \(1.6 \times 8.5\) は、だいたい \(1.5 \times 9 = 13.5\) くらいだと暗算できます。分母は \(13.5 \times 10^3\) 程度なので、\(1 / (13500)\) となり、答えは \(10^{-4}\) から \(10^{-5}\) のオーダーになるだろうと予測できます。計算結果の桁が大きくずれていないかを確認するのに有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) \(I=envS\): この式は、電流 \(I\) が各パラメータ \(e, n, v, S\) に比例することを示しています。これは「電子の電気量が大きいほど」「密度が高いほど」「速く動くほど」「通り道が太いほど」電流が大きくなるという直感と一致しており、物理的に妥当です。
  • (3) \(v \approx 7.4 \times 10^{-5}\) m/s: 前述の通り、この「非常に遅い」という結果は、電流の物理モデルとして正しい描像です。もし計算結果が光速に近いような大きな値になったら、単位換算などの計算ミスを疑うべきです。
• 別解との比較:
  • (2)の解法では、「時間 \(t\) の間に通過する量 \(Q\) を求めて \(t\) で割る」方法と、「単位時間（1秒）に通過する量を直接求める」方法がありました。どちらも同じ \(I=envS\) という結論に至ることを確認することで、この公式の正しさと、物理現象に対する多角的なアプローチの有効性を再認識できます。思考プロセスが違っても同じ結論に達することは、その結論が強固なものであることを示唆しています。

405 電流

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、導体内を流れる電流の正体が自由電子の集団的な運動であるという微視的なモデルに基づいて、電流の大きさを表現する式を導出するものです。
この問題の核心は、マクロな物理量である「電流 \(I\)」を、ミクロな物理量である「電子の電気量 \(e\)」「電子の数密度 \(n\)」「電子の速さ \(v\)」「導体の断面積 \(S\)」と結びつけることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電流の微視的表現」です。電流という目に見えない現象を、自由電子という粒子の運動モデルで理解することが目標です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
これは電流の定義そのものを問う問題です。電流とは「単位時間あたりに、ある断面を通過する電気量」と定義されます。この定義を数式で表現することが求められています。

この設問における重要なポイント

• 電流 \(I\) [A]、電気量 \(Q\) [C]、時間 \(t\) [s] の3つの物理量の関係を正しく理解しているかが問われます。
• 「単位時間あたり」という言葉が「時間で割る」という操作に対応することを理解することが重要です。

具体的な解説と立式
電流 \(I\) の定義は、導体の任意の断面を時間 \(t\) の間に電気量 \(Q\) が通過するとき、その比で与えられます。
$$ I = \frac{Q}{t} \quad \cdots ① $$

この設問は定義を式で表すだけなので、計算過程はありません。

電流の強さ \(I\) は、電気の流れの「勢い」のようなものです。例えば、水道の蛇口から \(t\) 秒間に出てきた水の総量が \(Q\) リットルだったとします。このとき、1秒あたりの水の量、つまり水の勢いは「総量 \(Q\) ÷ 時間 \(t\)」で計算できます。電気の流れもこれと全く同じで、電流の勢い \(I\) は「電気の総量 \(Q\) ÷ 時間 \(t\)」で表されます。

電流の大きさは \(I = \displaystyle\frac{Q}{t}\) [A] と表されます。これは電流の定義そのものであり、物理学における基本的な関係式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
問題文の図と誘導に従って、電流の正体である自由電子の動きから電流の大きさを導出します。ポイントは、時間 \(t\) の間に断面Aを通過する電子が、もともとどの領域にいたかを考えることです。これらの電子が持つ電気量の総量 \(Q\) を計算し、(1)で確認した \(I=Q/t\) の関係式に代入します。

この設問における重要なポイント

• 通過する電子の特定: 時刻 \(0\) から \(t\) の間に断面Aを通過する電子は、時刻 \(0\) の時点で断面Aの右側（上流側）で、距離 \(vt\) 以内の領域にいた電子たちです。
• 体積の計算: これらの電子が占める領域は、底面積が \(S\)、高さ（長さ）が \(vt\) の円柱と見なせます。その体積は \(V = Svt\) です。
• 総数の計算: 単位体積あたりの電子の数が \(n\) なので、体積 \(V\) の中にいる電子の総数 \(N\) は \(N = nV\) で計算できます。
• 総電気量の計算: 電子1個の電気量の大きさが \(e\) なので、電子 \(N\) 個が持つ電気量の総量 \(Q\) は \(Q = eN\) です。

具体的な解説と立式
時刻 \(0\) から \(t\) [s] の間に、速さ \(v\) [m/s] で移動する電子は \(vt\) [m] の距離を進みます。
したがって、この時間内に断面Aを通過する電子は、時刻 \(0\) の時点で図(a)の斜線部、すなわち断面積 \(S\)、長さ \(vt\) の円柱内に存在していた電子です。
この円柱の体積 \(V\) は、
$$ V = Svt \quad \cdots ① $$
この体積 \(V\) の中に含まれる自由電子の総数 \(N\) は、単位体積あたりの数 \(n\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
N &= nV \\[2.0ex] &= nSvt \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
これらの電子が持つ電気量の総量 \(Q\) は、電子1個の電気量の大きさ \(e\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
Q &= eN \\[2.0ex] &= enSvt \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
(1)で確認した電流の定義式 \(I = \displaystyle\frac{Q}{t}\) に、この \(Q\) を代入します。
$$ I = \frac{Q}{t} \quad \cdots ④ $$

④式に③式を代入して \(I\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{enSvt}{t} \\[2.0ex] &= envS
\end{aligned}
$$

たくさんの人が一列になって、秒速 \(v\) メートルで歩いているパレードを想像してください。あるゲートを \(t\) 秒間に何人が通過するかを考えます。\(t\) 秒間で列は \(vt\) メートル進むので、ゲートから \(vt\) メートル手前までにいた人たちが全員通過することになります。人の列の断面積を \(S\)、人の密度を \(n\) とすると、通過した人の総数は「密度 \(n\) × 断面積 \(S\) × 長さ \(vt\)」で計算できます。電流もこれと同じで、「人」を「電子」に、「人の密度」を「電子の密度 \(n\)」に置き換え、さらに電子1個が \(e\) という大きさの電気を持っているので、通過した電気の総量 \(Q\) は \(e \times n \times S \times vt\) となります。電流 \(I\) は1秒あたりの量なので、これを時間 \(t\) で割ると \(envS\) となります。

電流の大きさは \(I = envS\) [A] と表されます。この式は、電流が、その担い手である電子の数密度 \(n\)、電気素量 \(e\)、速さ \(v\)、そして導線の断面積 \(S\) にそれぞれ比例することを示しており、物理的に非常に直感的な結果です。これは電流を微視的な視点で理解するための基本となる重要な公式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で導出した関係式 \(I = envS\) を利用します。この式には、求めたい自由電子の速さ \(v\) と、問題文で与えられている物理量（\(I, e, n, S\)）が含まれています。式を \(v\) について解き、数値を代入して計算します。最大の注意点は、断面積 \(S\) の単位を mm² から m² へ正しく換算することです。

この設問における重要なポイント

• 式の変形: \(I = envS\) を \(v\) について解くと \(v = \displaystyle\frac{I}{enS}\) となります。
• 単位換算: 断面積 \(S\) が \(1.0 \text{ mm}^2\) で与えられています。SI基本単位であるメートル（m）に合わせる必要があります。
  \(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\) であるから、
  \(1 \text{ mm}^2 = (1 \text{ mm}) \times (1 \text{ mm}) = (10^{-3} \text{ m}) \times (10^{-3} \text{ m}) = 10^{-6} \text{ m}^2\)
  となります。
• 有効数字: 与えられている数値（\(1.0\) A, \(1.0\) mm², \(8.5 \times 10^{28}\), \(1.6 \times 10^{-19}\)）の有効数字はすべて2桁なので、計算結果も2桁で答えるのが適切です。

具体的な解説と立式
(2)で導出した関係式 \(I = envS\) を、求めたい速さ \(v\) について解きます。
$$ v = \frac{I}{enS} \quad \cdots ① $$
ここに、与えられた数値を代入します。

• \(I = 1.0 \text{ A}\)
• \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\)
• \(n = 8.5 \times 10^{28} \text{ 個/m}^3\)
• \(S = 1.0 \text{ mm}^2 = 1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)

①式に数値を代入して \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{1.0}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.5 \times 10^{28}) \times (1.0 \times 10^{-6})} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{(1.6 \times 8.5) \times (10^{-19} \times 10^{28} \times 10^{-6})} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{13.6 \times 10^{-19+28-6}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{13.6 \times 10^{3}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{13600} \\[2.0ex] &\approx 0.00007352… \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
結果を有効数字2桁で表すために、科学技術表記に直します。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 7.352… \times 10^{-5} \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁目を四捨五入すると、
$$ v \approx 7.4 \times 10^{-5} \text{ [m/s]} $$

(2)で作った公式 \(I=envS\) を使って、今度は電子の平均的な速さ \(v\) を逆算する問題です。電流の強さ \(I\)、電子の密度 \(n\)、電子1個の電気量 \(e\)、導線の断面積 \(S\) はすべて分かっているので、公式を「\(v = …\)」の形に変形して、それぞれの値を当てはめて計算します。計算で一番気をつけないといけないのは、断面積の単位を「平方ミリメートル」から「平方メートル」に直すことです。これを忘れると、答えが大きくずれてしまいます。

自由電子の速さは \(v \approx 7.4 \times 10^{-5}\) m/s となります。
これは、\(0.074\) mm/s という非常に遅い速さです。私たちがスイッチを入れると瞬時に電気がつくように感じるのは、導線の中にいる無数の自由電子が、電場によって「一斉に」動き始めるからです。個々の電子がコンセントから電球まで移動するわけではなく、将棋倒しのように電気的な影響が光速に近い速さで伝わるのです。計算結果が非常に小さい値になったことは、この物理的な事実と一致しており、妥当な結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流の定義と微視的モデルの結合:
  • 核心: この問題の核心は、マクロな現象である「電流 \(I = Q/t\)」と、その原因であるミクロな「自由電子の集団運動」を結びつけることにあります。電流の正体が、電気素量 \(e\) を持つ多数の荷電粒子（自由電子）が、数密度 \(n\)、平均速度 \(v\) で、断面積 \(S\) の導体中を移動する現象であることを理解することが全てです。
  • 理解のポイント: \(I=envS\) という公式は、これらミクロな量を掛け合わせることで、マクロな電流の大きさが決まることを示しています。\(e\) は定数なので、電流を大きくするには「電子の密度 \(n\) を増やす（＝材質を変える）」「電子の速度 \(v\) を上げる（＝電圧を上げる）」「導線の断面積 \(S\) を大きくする（＝太い線を使う）」という方法があることが、この式から直感的に理解できます。
• 通過する粒子の体積計算:
  • 核心: 時間 \(t\) の間に特定の断面を通過する粒子の総量を計算する際、「速さ \(v \times\) 時間 \(t = vt\)」で得られる「長さ」が鍵となります。この長さと断面積 \(S\) を掛け合わせた体積 \(Svt\) こそが、通過する粒子がもともといた空間領域を表します。
  • 理解のポイント: この考え方は、電流だけでなく、流体力学における流量の計算や、風が窓に及ぼす力を考える際など、様々な物理現象に応用できる非常に汎用性の高い思考ツールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • イオンの移動による電流: 電解液中での陽イオンと陰イオンの移動による電流を考える問題。両方のイオンが電流に寄与しますが、移動方向が逆であることなどを考慮する必要があります。
  • 半導体中の電流: 半導体では、負電荷を持つ「電子」と、正電荷を持つと見なせる「正孔（ホール）」の両方が電流の担い手（キャリア）となります。それぞれの密度や移動度（速度）が異なる場合、全体の電流は両者の和として計算されます。
  • 気体放電: 真空管や放電管内で、電離した気体イオンと電子が移動することによる電流。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の担い手（キャリア）は何か？: まず、電流を運んでいる粒子が何かを特定します（電子か、イオンか、正孔か）。
  2. キャリアの情報を整理する: その粒子の電気量 \(q\)、数密度 \(n\)、速さ \(v\) は何かを問題文から読み取ります。複数のキャリアがある場合は、それぞれについて整理します。
  3. 「単位時間あたり」を考える: 電流を求めたい場合、常に「1秒間に何が起きるか」を考えるのが最も直接的です。1秒間にキャリアが進む距離は \(v\)、そのキャリアが通過する体積は \(Sv\)、その体積内のキャリアの数は \(nSv\)、そしてそれらが運ぶ総電気量は \(qnSv\) となります。これがそのまま電流 \(I\) です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス:
  • 誤解: 断面積 \(S\) の単位 \(1.0 \text{ mm}^2\) を \(1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^2\) と間違えてしまう。
  • 対策: 単位の換算は、元の単位がどう構成されているかを考えるのが確実です。「mm」が \(10^{-3}\) m なので、「mm²」は \((10^{-3} \text{ m})^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\) となります。面積なら指数が2倍、体積なら3倍になると覚えておきましょう。
• 電子の速度に関する誤解:
  • 誤解: スイッチを入れると瞬時に明かりがつくので、電子も光速に近い速さで移動していると考えてしまう。
  • 対策: 計算結果が非常に遅い速度（\(10^{-5}\) m/s のオーダー）になることを知っておくことが重要です。瞬時に明かりがつくのは、導線内の電子が一斉に動き始める「合図」（電場）が光速で伝わるためであり、個々の電子の移動速度（ドリフト速度）は非常に遅い、という物理イメージを確立しておきましょう。
• 電流の向きと電子の移動方向の混同:
  • 誤解: 電流の向きと電子の移動方向を同じだと考えてしまう。
  • 対策: 「電流の向きは、正電荷が移動する向き」と定義されています。電子は負電荷を持つため、電子が移動する向きと「逆向き」が電流の向きとなります。この問題では大きさのみを扱っていますが、向きが問われる問題では注意が必要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 「動く歩道」のイメージ: 導体を「動く歩道」、自由電子をその上に乗っている「人」とイメージします。電流の大きさは、ゲートを1秒間に通過する「人数」に相当します。人の密度が高く（\(n\) が大きい）、歩道が速く（\(v\) が大きい）、歩道の幅が広い（\(S\) が大きい）ほど、通過人数は増えます。このイメージが \(I=envS\) の式と直結します。
  • 問題の図の活用: 問題で与えられた図(a)と(b)は、この問題を解くための思考プロセスそのものを表しています。時刻 \(0\) で断面Aの右側にあった円柱状の電子集団が、時刻 \(t\) にはそっくりそのまま断面Aの左側に移動する。この「電子の塊が移動する」というイメージが、通過した電気量 \(Q\) を計算する上で非常に重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 流れの方向を明確にする: 電子の移動方向（例えば左向き）と、電流の向き（右向き）を矢印で明確に区別して描くと、混乱を防げます。
  • 体積を意識した図示: 断面を通過する電子の量を考えるときは、単なる線ではなく、問題の図のように「長さ \(vt\)」と「断面積 \(S\)」を持つ「円柱」として立体的に描くことで、体積 \(Svt\) という発想に至りやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電流の定義式 \(I = Q/t\):
  • 選定理由: これは物理学における「電流」という量の定義そのものです。他の法則から導かれるものではなく、全ての電流に関する議論の出発点となる大前提の式です。設問(1)で問われ、(2)で \(Q\) を具体的に計算した後に適用するのは、論理的な必然です。
  • 適用根拠: アンペア(A)という単位が、クーロン(C)毎秒(s)と定義されていることからも、この式の正当性がわかります。
• 電流の微視的表現 \(I = envS\):
  • 選定理由: この式は、電流というマクロな量を、その担い手である電子の性質（\(e, n, v\)）というミクロな量と結びつけるための関係式です。設問(2)では、まさにこの関係を導出することが求められており、(3)ではこの導出した式を具体的な計算に利用します。
  • 適用根拠: この式は、電流の定義 \(I=Q/t\) と、時間 \(t\) で断面を通過する電子が体積 \(Svt\) 内にいたという幾何学的な考察から、論理的に導出されたものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電流の定義の確認:
   • 戦略: 電流の定義を思い出し、式で表現する。
   • フロー: ①「電流は単位時間あたりの電気量」→ ② \(I = Q/t\)。
2. (2) 電流の微視的表現の導出:
   • 戦略: 問題の誘導に従い、時間 \(t\) で断面を通過する電子の総電気量 \(Q\) を求める。
   • フロー: ①時間 \(t\) で電子が進む距離は \(vt\) → ②この間に断面を通過する電子がいた体積は \(Svt\) → ③その体積内の電子の総数は \(n \times (Svt)\) → ④それらの総電気量 \(Q\) は \(e \times nSvt\) → ⑤ \(I=Q/t\) に代入し、\(t\) を消去して \(I=envS\) を得る。
3. (3) 具体的な数値計算:
   • 戦略: (2)で導いた式を、求めたい \(v\) について解き、数値を代入する。
   • フロー: ① \(I=envS\) を変形して \(v = I/(enS)\) を得る → ②断面積 \(S\) の単位を mm² から m² に換算する (\(10^{-6}\) 倍) → ③全ての数値を代入し、指数計算と数値計算を慎重に行う → ④有効数字を考慮して最終的な答えを出す。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算をまとめる: (3)の計算では、分母に \(10^{-19}\), \(10^{28}\), \(10^{-6}\) が現れます。これらを先にまとめて \(10^{-19+28-6} = 10^3\) と計算してから、係数部分（\(1.6 \times 8.5\)）の計算に移ると、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 単位の確認: 計算の最後に、求めた値の単位が本当に m/s になっているかを確認する習慣をつけましょう。\(I[\text{A}=\text{C/s}], e[\text{C}], n[\text{m}^{-3}], S[\text{m}^2]\) なので、\(I/(enS)\) の単位は \((\text{C/s}) / (\text{C} \cdot \text{m}^{-3} \cdot \text{m}^2) = (\text{C/s}) / (\text{C} \cdot \text{m}^{-1}) = \text{m/s}\) となり、確かに速さの単位になっていることが確認できます。
• 概算で桁をチェック: \(1.6 \times 8.5\) は、だいたい \(1.5 \times 9 = 13.5\) くらいだと暗算できます。分母は \(13.5 \times 10^3\) 程度なので、\(1 / (13500)\) となり、答えは \(10^{-4}\) から \(10^{-5}\) のオーダーになるだろうと予測できます。計算結果の桁が大きくずれていないかを確認するのに有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) \(I=envS\): この式は、電流 \(I\) が各パラメータ \(e, n, v, S\) に比例することを示しています。これは「電子の電気量が大きいほど」「密度が高いほど」「速く動くほど」「通り道が太いほど」電流が大きくなるという直感と一致しており、物理的に妥当です。
  • (3) \(v \approx 7.4 \times 10^{-5}\) m/s: 前述の通り、この「非常に遅い」という結果は、電流の物理モデルとして正しい描像です。もし計算結果が光速に近いような大きな値になったら、単位換算などの計算ミスを疑うべきです。
• 別解との比較:
  • (2)の解法では、「時間 \(t\) の間に通過する量 \(Q\) を求めて \(t\) で割る」方法と、「単位時間（1秒）に通過する量を直接求める」方法がありました。どちらも同じ \(I=envS\) という結論に至ることを確認することで、この公式の正しさと、物理現象に対する多角的なアプローチの有効性を再認識できます。思考プロセスが違っても同じ結論に達することは、その結論が強固なものであることを示唆しています。

406 抵抗率

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、導線の抵抗値がその形状（長さ、断面積）と材質（抵抗率）によってどのように決まるかを、I-Vグラフの読み取りと関連付けて理解する力を問うものです。
この問題の核心は、オームの法則 \(V=RI\) と抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) という2つの基本法則を自在に使いこなし、グラフから得られる情報と結びつけることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「オームの法則と抵抗率」です。グラフから電気抵抗を求め、その抵抗値が導線の長さや断面積とどう関係しているかを考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導線AとBの抵抗値の大小を比較する問題です。抵抗とは「電流の流れにくさ」を表す量です。したがって、同じ電圧をかけたとき、より電流が流れにくい（＝電流値が小さい）方が、抵抗値が大きいと言えます。グラフ上で同じ電圧値のときの電流値を比較します。

この設問における重要なポイント

• 抵抗の概念理解: 抵抗が大きいほど、電流は流れにくい。
• グラフの読み取り: グラフの横軸（電圧）を固定し、縦軸（電流）の値を比較する。

具体的な解説と立式
オームの法則 \(V=RI\) を変形すると \(I = \displaystyle\frac{V}{R}\) となります。
この式から、同じ電圧 \(V\) を加えた場合、抵抗値 \(R\) が大きいほど、流れる電流 \(I\) は小さくなることがわかります。
グラフから、読み取りやすい点として電圧 \(V=4.0 \text{ V}\) のときを考えます。
このとき、導線Aに流れる電流 \(I_{\text{A}}\) と導線Bに流れる電流 \(I_{\text{B}}\) は、グラフから以下のように読み取れます。
$$ I_{\text{A}} = 0.10 \text{ A} $$
$$ I_{\text{B}} = 0.40 \text{ A} $$
同じ電圧 \(V=4.0 \text{ V}\) を加えたときに \(I_{\text{A}} < I_{\text{B}}\) であるため、電流の流れにくさ、すなわち抵抗値はAの方が大きいと判断できます。

この設問は大小比較なので、具体的な計算は不要です。

抵抗は「電気の通りにくさ」です。AとBという2つのトンネルがあり、どちらが通りにくいかを比べるようなものです。同じ「圧力（電圧）」をかけたときに、通り抜ける「車の台数（電流）」が少ない方が、通りにくい（抵抗が大きい）トンネルだと言えます。グラフを見ると、例えば4.0Vの電圧をかけたとき、Aには0.10Aしか流れないのに、Bには0.40Aも流れています。したがって、Aの方が電気が通りにくく、抵抗値が大きいとわかります。

抵抗値が大きいのはAです。同じ電圧で電流が小さい方が抵抗が大きいという物理的な直感と、グラフの読み取り結果が一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
AとBの太さが同じという条件の下で、長さの比を求める問題です。まず、(1)と同様にグラフからAとBの具体的な抵抗値を計算します。次に、抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を用いて、抵抗値と長さの関係を考えます。

この設問における重要なポイント

• 抵抗値の計算: グラフの読み取りやすい点（例えば \(V=4.0 \text{ V}\)）の電圧と電流の値を使って、オームの法則 \(R=V/I\) から \(R_{\text{A}}\) と \(R_{\text{B}}\) を計算する。
• 抵抗率の式の利用: AとBは同じ物質（\(\rho\)が同じ）で、太さも同じ（\(S\)が同じ）なので、抵抗率の式から抵抗値 \(R\) は長さ \(l\) に比例する（\(R \propto l\)）ことがわかります。
• 比の計算: 抵抗値の比 \(\displaystyle\frac{R_{\text{B}}}{R_{\text{A}}}\) が、そのまま長さの比 \(\displaystyle\frac{l_{\text{B}}}{l_{\text{A}}}\) に等しくなります。

具体的な解説と立式
まず、導線A, Bの抵抗値 \(R_{\text{A}}\), \(R_{\text{B}}\) をグラフから求めます。
電圧 \(V=4.0 \text{ V}\) のとき、電流は \(I_{\text{A}} = 0.10 \text{ A}\), \(I_{\text{B}} = 0.40 \text{ A}\) なので、オームの法則 \(R=V/I\) より、
$$ R_{\text{A}} = \frac{4.0}{0.10} = 40 \text{ } \Omega \quad \cdots ① $$
$$ R_{\text{B}} = \frac{4.0}{0.40} = 10 \text{ } \Omega \quad \cdots ② $$
次に、抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) をA, Bそれぞれに適用します。
$$ R_{\text{A}} = \rho \frac{l_{\text{A}}}{S_{\text{A}}} \quad \cdots ③ $$
$$ R_{\text{B}} = \rho \frac{l_{\text{B}}}{S_{\text{B}}} \quad \cdots ④ $$
問題の条件より、AとBは同じ物質（\(\rho\)が共通）で、太さが同じ（\(S_{\text{A}} = S_{\text{B}}\)）です。
④式を③式で割ると、
$$ \frac{R_{\text{B}}}{R_{\text{A}}} = \frac{\rho \frac{l_{\text{B}}}{S_{\text{B}}}}{\rho \frac{l_{\text{A}}}{S_{\text{A}}}} $$
\( \rho \) と \( S \) が共通なので、
$$ \frac{R_{\text{B}}}{R_{\text{A}}} = \frac{l_{\text{B}}}{l_{\text{A}}} \quad \cdots ⑤ $$

⑤式に①, ②で求めた抵抗値の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{l_{\text{B}}}{l_{\text{A}}} &= \frac{R_{\text{B}}}{R_{\text{A}}} \\[2.0ex] &= \frac{10}{40} \\[2.0ex] &= \frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
したがって、Bの長さはAの長さの \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 倍です。

電気の通りにくさ（抵抗）は、道のりが長いほど大きく、道幅が広いほど小さくなります。この問題では「太さが同じ」なので、道幅は同じです。ということは、抵抗の大きさは純粋に「道のりの長さ」だけで決まります。まずグラフから、Aの抵抗は40Ω、Bの抵抗は10Ωだと計算できます。Bの抵抗はAの抵抗の \(10/40 = 1/4\) です。抵抗が \(1/4\) ということは、道のりの長さも \(1/4\) であるはずです。

Bの長さはAの長さの \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 倍です。Bの方が抵抗値が小さいので、長さが短いというのは物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
AとBの長さが同じという条件の下で、直径の比を求める問題です。基本的な流れは(2)と同じですが、今度は抵抗値と断面積の関係に着目します。

この設問における重要なポイント

• 抵抗値の計算: (2)で計算した \(R_{\text{A}}=40 \text{ } \Omega\), \(R_{\text{B}}=10 \text{ } \Omega\) を利用する。
• 抵抗率の式の利用: AとBは同じ物質（\(\rho\)が同じ）で、長さも同じ（\(l\)が同じ）なので、抵抗率の式から抵抗値 \(R\) は断面積 \(S\) に反比例する（\(R \propto 1/S\)）ことがわかります。これは \(RS = \text{一定}\) を意味します。
• 断面積と直径の関係: 断面は円形なので、直径を \(d\) とすると断面積 \(S\) は \(S = \pi \left(\displaystyle\frac{d}{2}\right)^2\) と表されます。

具体的な解説と立式
(2)と同様に、\(R_{\text{A}} = 40 \text{ } \Omega\), \(R_{\text{B}} = 10 \text{ } \Omega\) です。
抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) において、AとBは同じ物質（\(\rho\)が共通）で、長さが同じ（\(l_{\text{A}} = l_{\text{B}}\)）です。
したがって、抵抗値 \(R\) は断面積 \(S\) に反比例します。この関係は次のように書けます。
$$ R_{\text{A}}S_{\text{A}} = R_{\text{B}}S_{\text{B}} \quad (=\rho l) \quad \cdots ① $$
導線の直径をそれぞれ \(d_{\text{A}}\), \(d_{\text{B}}\) とすると、断面積 \(S_{\text{A}}\), \(S_{\text{B}}\) は、
$$ S_{\text{A}} = \pi \left(\frac{d_{\text{A}}}{2}\right)^2 \quad \cdots ② $$
$$ S_{\text{B}} = \pi \left(\frac{d_{\text{B}}}{2}\right)^2 \quad \cdots ③ $$
①式に②, ③式を代入します。
$$ R_{\text{A}} \pi \left(\frac{d_{\text{A}}}{2}\right)^2 = R_{\text{B}} \pi \left(\frac{d_{\text{B}}}{2}\right)^2 \quad \cdots ④ $$

④式の両辺を整理し、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
R_{\text{A}} \frac{\pi d_{\text{A}}^2}{4} &= R_{\text{B}} \frac{\pi d_{\text{B}}^2}{4} \\[2.0ex] R_{\text{A}} d_{\text{A}}^2 &= R_{\text{B}} d_{\text{B}}^2 \\[2.0ex] 40 \times d_{\text{A}}^2 &= 10 \times d_{\text{B}}^2 \\[2.0ex] 4 d_{\text{A}}^2 &= d_{\text{B}}^2
\end{aligned}
$$
両辺の正の平方根をとると、
$$ 2 d_{\text{A}} = d_{\text{B}} $$
したがって、Bの直径はAの直径の2倍です。

今度は「長さが同じ」なので、道のりは同じです。抵抗の大きさは「道幅（断面積）」だけで決まります。道幅が広いほど、電気は通りやすい（抵抗は小さい）です。Bの抵抗(10Ω)はAの抵抗(40Ω)の \(1/4\) なので、Bの方がずっと通りやすいです。抵抗が \(1/4\) になるためには、道幅である断面積を4倍にする必要があります。面積を4倍にするには、円の直径を何倍にすればよいでしょうか？面積は直径の2乗に比例するので、直径を2倍にすれば、面積は \(2^2=4\) 倍になります。よって、Bの直径はAの2倍です。

Bの直径はAの直径の2倍です。Bの方が抵抗値が小さいので、断面積が大きく（太く）なっているはずであり、直径が大きいという結果は物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
物質の抵抗率 \(\rho\) を求める問題です。抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を \(\rho\) について解き、導線Bに関する具体的な数値（抵抗値、長さ、断面積）を代入して計算します。

この設問における重要なポイント

• 式の変形: \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) を \(\rho\) について解くと \(\rho = \displaystyle\frac{RS}{l}\) となります。
• 数値の代入: 導線Bについて、抵抗値 \(R_{\text{B}}=10 \text{ } \Omega\)、長さ \(l_{\text{B}}=1.0 \text{ m}\)、断面積 \(S_{\text{B}}=0.11 \text{ mm}^2\) を代入します。
• 単位換算: 断面積 \(S_{\text{B}}\) の単位を mm² から m² へ正しく換算することが不可欠です。\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)。

具体的な解説と立式
抵抗率の式を \(\rho\) について解きます。
$$ \rho = \frac{RS}{l} \quad \cdots ① $$
この式に、導線Bの値を代入して抵抗率を求めます。

• \(R_{\text{B}} = 10 \text{ } \Omega\)
• \(l_{\text{B}} = 1.0 \text{ m}\)
• \(S_{\text{B}} = 0.11 \text{ mm}^2 = 0.11 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)

①式に導線Bの値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\rho &= \frac{R_{\text{B}}S_{\text{B}}}{l_{\text{B}}} \\[2.0ex] &= \frac{10 \times (0.11 \times 10^{-6})}{1.0} \\[2.0ex] &= 1.1 \times 10^{-6} \text{ [}\Omega \cdot \text{m]}
\end{aligned}
$$

抵抗率 \(\rho\) は、その物質が持つ「電気の通りにくさの固有値」のようなものです。これを計算するために、公式 \(R = \rho \times l/S\) を \(\rho = R \times S/l\) の形に変形します。あとは、導線Bについて分かっている情報、つまり抵抗値 \(R_{\text{B}}\) (10Ω)、断面積 \(S_{\text{B}}\) (0.11 mm²)、長さ \(l_{\text{B}}\) (1.0 m) をこの式に当てはめて計算するだけです。ここでも、断面積の単位を m² に直すのを忘れないように注意が必要です。

この物質の抵抗率は \(1.1 \times 10^{-6} \text{ } \Omega \cdot \text{m}\) です。この値は、ニクロム線などの合金の抵抗率に近い値であり、物理的に妥当な範囲の大きさです。計算過程での単位換算が正しく行われているかどうかが、この問題の鍵となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• オームの法則 \(V=RI\):
  • 核心: 電圧、電流、抵抗という電気回路における最も基本的な3つの量を結びつける法則です。この問題では、グラフから読み取った電圧と電流の値を用いて、未知の抵抗値を算出するための計算ツールとして機能します。
  • 理解のポイント: I-Vグラフが直線になる（電圧と電流が比例する）こと自体が、その導体がオームの法則に従う「オーム性抵抗」であることを示しています。
• 抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\):
  • 核心: 抵抗値という電気的な性質が、導線の長さ \(l\) や断面積 \(S\) といった幾何学的な形状、そして物質固有の値である抵抗率 \(\rho\) によってどのように決まるかを示す、ミクロとマクロを結ぶ重要な関係式です。
  • 理解のポイント: この式は、抵抗が長さに比例し（\(R \propto l\)）、断面積に反比例する（\(R \propto 1/S\)）という2つの重要な比例関係を内包しています。問題の(2)と(3)は、まさにこの比例・反比例関係を正しく理解しているかを問うています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 抵抗の温度変化: 多くの物質では、温度が上がると抵抗率 \(\rho\) が大きくなり、結果として抵抗値 \(R\) も増加します。その際の抵抗値の変化を計算する問題。
  • 合成抵抗: 形状や材質の異なる複数の抵抗を直列または並列に接続したときの、全体の抵抗値を求める問題。
  • コンデンサーのアナロジー: コンデンサーの電気容量 \(C = \varepsilon \displaystyle\frac{S}{d}\) の式は、抵抗の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) と非常によく似た構造をしています。\(C\) は面積 \(S\) に比例し、極板間距離 \(d\) に反比例します。この構造の類似性を理解しておくと、両方の概念を覚えやすくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まずグラフの縦軸と横軸がそれぞれ何（IかVか）を表しているかを確認します。I-Vグラフなら傾きの逆数が抵抗、V-Iグラフなら傾きそのものが抵抗になります。
  2. 「何が同じで、何が違うか」を整理する: 問題文中の「同じ物質」「太さが同じ」「長さが同じ」といった条件をマークし、抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) の中で、どの変数が定数で、どの変数が変化するのかを明確にします。
  3. 比の形に持ち込む: 複数の物体の比較問題では、直接値を求めるのではなく、「比」を考えるのが定石です。\(R_{\text{A}}\) と \(R_{\text{B}}\) の比を計算し、それが長さの比や断面積の比とどう関係するかを式で表現します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 抵抗と抵抗率の混同:
  • 誤解: 抵抗 \(R\) と抵抗率 \(\rho\) を同じものだと考えてしまう。
  • 対策: 「抵抗率 \(\rho\)」は物質固有の値（例：銅、鉄など材質で決まる）、「抵抗 \(R\)」はその物質を使って作られた部品の電気の流れにくさ（長さや太さで変わる）と区別します。抵抗率は「1mあたりの断面積1m²の導線の抵抗値」という基本単位の抵抗と考えると分かりやすいです。
• 断面積と直径（半径）の関係の誤解:
  • 誤解: 抵抗が断面積 \(S\) に反比例するからといって、直径 \(d\) にも反比例すると勘違いしてしまう。
  • 対策: 断面積 \(S\) は直径 \(d\) の2乗に比例します（\(S \propto d^2\)）。したがって、抵抗 \(R\) は直径 \(d\) の2乗に反比例します（\(R \propto 1/d^2\)）。この「2乗」の関係を見落とさないように、必ず \(S = \pi (d/2)^2\) の式を一度書き出してから考える習慣をつけましょう。
• 単位換算のミス:
  • 誤解: (4)で断面積 \(0.11 \text{ mm}^2\) を \(0.11 \times 10^{-3} \text{ m}^2\) のように、mmとmの関係（\(10^{-3}\)）をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 面積の単位換算では、指数の部分が2倍になることを常に意識します。\(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\) なので、\(1 \text{ mm}^2 = (10^{-3})^2 \text{ m}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\) です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 「水道管」のアナロジー: 電気の流れを水の流れに例えるのは非常に有効です。
    • 電圧 \(V\) → 水圧
    • 電流 \(I\) → 流量（単位時間に流れる水の量）
    • 抵抗 \(R\) → 水道管の水の流れにくさ
    • 長さ \(l\) → 水道管の長さ（長いほど抵抗大）
    • 断面積 \(S\) → 水道管の太さ（太いほど抵抗小）
    • 抵抗率 \(\rho\) → 水道管内部のザラザラ具合（材質による流れにくさ）
  • このイメージを使えば、(2)は「太さが同じなら、管が短いBの方が流れやすい（抵抗が小さい）」、(3)は「長さが同じでBの方が流れやすいなら、Bの方が太い管だ」と直感的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • (2)や(3)を考える際、AとBの導線を簡単な円柱で描いてみると良いでしょう。
  • (2)では、\(S\)を同じ幅で描き、\(l_{\text{B}}\) を \(l_{\text{A}}\) より明らかに短く描く。
  • (3)では、\(l\)を同じ長さで描き、\(S_{\text{B}}\) を \(S_{\text{A}}\) より明らかに太く描く。
  • このように条件を視覚化することで、計算結果が妥当かどうかを直感的に判断しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• オームの法則 \(V=RI\):
  • 選定理由: 問題で電圧と電流の関係を示すグラフが与えられています。このグラフは、電圧と電流という測定可能なマクロな量から、直接測定が難しい抵抗値という内部パラメータを抽出するための架け橋です。その架け橋となる法則がオームの法則です。
  • 適用根拠: グラフが原点を通る直線であることから、この導体がオームの法則に従うと判断できるため、この法則を適用することが正当化されます。
• 抵抗率の式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\):
  • 選定理由: (2)以降の設問では、抵抗値と導線の「長さ」「太さ（断面積、直径）」といった幾何学的形状との関係が問われています。この関係性を記述する唯一の公式が抵抗率の式です。
  • 適用根拠: 導線が「同じ物質で均一にできている」という条件から、抵抗率 \(\rho\) が定数として扱え、この式が適用できることが保証されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 抵抗の大小比較:
   • 戦略: 抵抗の定義（電流の流れにくさ）に立ち返るか、グラフの傾きの意味を考える。
   • フロー（定義）: ①同じ電圧 \(V\) を設定 → ②グラフから電流 \(I_{\text{A}}\), \(I_{\text{B}}\) を読み取る → ③電流が小さい方が抵抗が大きいと判断。
   • フロー（傾き）: ①グラフの傾きは \(I/V\) を意味する → ②抵抗 \(R\) は \(V/I\) なので傾きの逆数 → ③傾きが緩やかな方が抵抗が大きいと判断。
2. (2),(3) 形状の比較:
   • 戦略: まずグラフから具体的な抵抗値を計算し、その比を取る。次に、抵抗率の式から抵抗比と形状（長さ、断面積）の比の関係式を立て、連立させて解く。
   • フロー: ①グラフから \(R_{\text{A}}\), \(R_{\text{B}}\) を計算 → ②抵抗比 \(\frac{R_{\text{B}}}{R_{\text{A}}}\) を求める → ③抵抗率の式 \(R=\rho l/S\) で、問題の条件（\(l\)が同じ、\(S\)が同じなど）を考慮して、抵抗比と形状の比の関係式を導出 → ④両者を等しいとおいて、未知の比を計算。
3. (4) 抵抗率の計算:
   • 戦略: 抵抗率の式を \(\rho\) について解き、必要な値をすべて代入する。
   • フロー: ①\(R=\rho l/S\) を \(\rho = RS/l\) に変形 → ②導線Bの \(R_{\text{B}}\), \(l_{\text{B}}\), \(S_{\text{B}}\) の値を代入 → ③断面積の単位を m² に換算 → ④計算を実行。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 読み取りやすい点を選ぶ: グラフから値を読み取る際は、(4.0 V, 0.10 A) や (4.0 V, 0.40 A) のように、グリッドの線が交差している点を正確に選びましょう。中途半端な点を選ぶと、読み取り誤差が生じます。
• 比の計算を有効活用: (2)や(3)のように比を問う問題では、\(R_{\text{A}}=40, R_{\text{B}}=10\) と具体的な値を出すのも良いですが、\(R_{\text{A}} : R_{\text{B}} = 4:1\) のように比の関係だけを使うと、計算がよりシンプルになる場合があります。
• 2乗の計算を慎重に: (3)で \(4 d_{\text{A}}^2 = d_{\text{B}}^2\) から \(2 d_{\text{A}} = d_{\text{B}}\) を導く計算は、平方根を取る操作です。焦って2乗や平方根の関係を間違えないようにしましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) Aの抵抗が大きい: グラフでAの方が傾きが緩やかなので、同じ電圧でも電流が流れにくいことを示しており、妥当です。
  • (2) BはAの1/4の長さ: Bの方が抵抗が小さいので、太さが同じなら短いはず。妥当です。
  • (3) BはAの2倍の直径: Bの方が抵抗が小さいので、長さが同じなら太いはず。妥当です。また、抵抗が1/4になるには面積が4倍、つまり直径が2倍になる必要があり、計算結果と一致します。
  • (4) \(\rho = 1.1 \times 10^{-6} \Omega \cdot \text{m}\): この値は、一般的な金属（例：銅 \(\sim 10^{-8}\)）よりは大きく、半導体よりは小さい、ニクロム線などの合金で使われる値のオーダーです。極端に大きすぎたり小さすぎたりしないため、妥当な値と考えられます。
• 別解との比較:
  • (1)では「特定の値で比較する方法」と「傾きで比較する方法」がありました。両方のアプローチで同じ結論（Aの方が抵抗が大きい）に至ることを確認することで、グラフの解釈が正しかったと自信を持つことができます。

407 抵抗の接続

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、直列接続と並列接続が混在した複雑な回路の合成抵抗を計算し、回路全体を流れる電流を求める能力を試すものです。特に、一部の抵抗が可変である場合に、回路を流れる電流がどのように変化するかを、数式とグラフを用いて考察する点が重要です。
この問題の核心は、「回路の一部を合成抵抗で置き換えて単純化していく」という、複雑な回路問題を解くための基本的なアプローチを正しく実行できるかどうかにあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「抵抗の合成」です。直列・並列が組み合わさった回路を、段階的に単純化していくことが目標です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路全体の合成抵抗を求める問題です。複雑な回路は、部分ごとに単純化していくのが定石です。まず、\(R_2\) と \(R_3\) の並列接続部分の合成抵抗を計算し、その結果を一つの抵抗とみなして、次に \(R_1\) との直列接続を考えます。

この設問における重要なポイント

• 回路の構造分析: 回路図を見て、どの抵抗が並列で、どの抵抗が直列になっているかを正確に把握する。この回路では、\(R_2\) と \(R_3\) が並列で、その合成抵抗と \(R_1\) が直列になっている。
• 合成抵抗の公式: 並列接続の「和分の積」の公式と、直列接続の「和」の公式を正しく適用する。

具体的な解説と立式
まず、抵抗 \(R_2\) と \(R_3\) の並列部分の合成抵抗を \(r\) とします。
並列接続の合成抵抗の公式より、
$$ \frac{1}{r} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} $$
この式を通分して整理すると、
$$ \frac{1}{r} = \frac{R_3 + R_2}{R_2 R_3} $$
逆数をとって \(r\) を求めると（和分の積）、
$$ r = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} \quad \cdots ① $$
次に、回路全体の合成抵抗 \(R\) を求めます。これは、抵抗 \(R_1\) と、先ほど求めた合成抵抗 \(r\) が直列に接続されたものと見なせます。
直列接続の合成抵抗の公式より、
$$ R = R_1 + r \quad \cdots ② $$

②式に①式を代入して、回路全体の合成抵抗 \(R\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
R &= R_1 + \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} \\[2.0ex] &= \frac{R_1(R_2 + R_3) + R_2 R_3}{R_2 + R_3} \\[2.0ex] &= \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_2 + R_3}
\end{aligned}
$$
模範解答の表現に合わせると、
$$ R = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2 + R_3} $$

この回路は、まず \(R_2\) と \(R_3\) という2つの「脇道」があり、その合流地点の前に \(R_1\) という「本線」がある構成です。複雑な回路の抵抗を計算するときは、まず脇道の部分をまとめて一つの抵抗と見なします。\(R_2\) と \(R_3\) の並列部分を合成すると、その抵抗は「和分の積」で \(\frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\) となります。これで回路は、\(R_1\) とこの合成抵抗が一本道でつながっている（直列）と見なせるので、あとは単純に2つの抵抗を足し合わせれば、全体の合成抵抗が求まります。

3つの抵抗の合成抵抗は \(R = \displaystyle\frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2 + R_3}\) [Ω] です。計算過程で並列接続と直列接続の公式を正しく適用できていれば、この結果が得られます。

問(2)

思考の道筋とポイント
抵抗 \(R_1\) を流れる電流 \(I_1\) を求める問題です。\(R_1\) は電源に直接つながる本線部分にあるため、\(R_1\) を流れる電流 \(I_1\) は、回路全体を流れる電流に等しくなります。したがって、(1)で求めた回路全体の合成抵抗 \(R\) と、電源の起電力 \(E\) を使って、オームの法則から \(I_1\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 回路の単純化: 回路全体を、起電力 \(E\) の電源と、合成抵抗 \(R\) のみが接続された単純な回路と見なす。
• 電流の経路: \(I_1\) が回路全体を流れる電流と等しいことを理解する。
• オームの法則の適用: \(E = R I_1\) の関係式を立てる。

具体的な解説と立式
回路全体を一つの合成抵抗 \(R\) で置き換えると、この回路は起電力 \(E\) の電源に抵抗 \(R\) が接続されただけの単純な回路と見なせます。
このとき、回路を流れる電流は \(I_1\) です。オームの法則を適用すると、
$$ E = R I_1 $$
これを \(I_1\) について解くと、
$$ I_1 = \frac{E}{R} \quad \cdots ① $$
(1)で求めた合成抵抗 \(R = \displaystyle\frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2 + R_3}\) を①式に代入します。

$$
\begin{aligned}
I_1 &= E \div \left( \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2 + R_3} \right) \\[2.0ex] &= E \times \frac{R_2 + R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \\[2.0ex] &= \frac{R_2 + R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} E
\end{aligned}
$$

(1)で、このごちゃごちゃした回路全体の「通りにくさ（合成抵抗 \(R\)）」を計算しました。回路全体を流れる電流 \(I_1\) は、オームの法則に従い、電源のパワー \(E\) を全体の通りにくさ \(R\) で割ったものになります。つまり \(I_1 = E/R\) です。あとは、(1)で求めた \(R\) の複雑な式を代入すれば答えが出ます。

抵抗 \(R_1\) を流れる電流は \(I_1 = \displaystyle\frac{R_2 + R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} E\) [A] です。合成抵抗の式が正しく求まっていれば、オームの法則を適用するだけで導出できます。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(R_1=R_3\) という条件の下で、可変抵抗 \(R_2\) の値を0から増やしていったときに、電流 \(I_1\) がどのように変化するかを調べる問題です。(2)で求めた \(I_1\) の式に \(R_3=R_1\) を代入し、\(R_2\) の関数として \(I_1\) の振る舞いを分析します。

この設問における重要なポイント

• 条件の代入: (2)の \(I_1\) の式に \(R_3=R_1\) を代入して、式を簡潔にする。
• 関数の分析: \(I_1\) を \(R_2\) の関数とみて、\(R_2\) が増加すると \(I_1\) が増加するのか、減少するのか、あるいはもっと複雑な変化をするのかを調べる。
• 極限値の確認: \(R_2=0\) のときの \(I_1\) の値と、\(R_2\) を非常に大きくしたとき（\(R_2 \rightarrow \infty\)）の \(I_1\) の値を調べることで、グラフの始点と終点の挙動がわかり、形を特定しやすくなる。

具体的な解説と立式
(2)で求めた \(I_1\) の式に、条件 \(R_3=R_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2 + R_2 R_1 + R_1 R_1} E \\[2.0ex] &= \frac{R_1 + R_2}{R_1^2 + 2R_1 R_2} E \\[2.0ex] &= \frac{R_1 + R_2}{R_1(R_1 + 2R_2)} E \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
この式で、\(R_2\) を0から増加させたときの \(I_1\) の変化を調べます。
まず、始点である \(R_2=0\) のときを考えます。①式に \(R_2=0\) を代入すると、
$$ I_1(R_2=0) = \frac{R_1 + 0}{R_1(R_1 + 0)} E = \frac{R_1}{R_1^2} E = \frac{E}{R_1} $$
次に、終点である \(R_2 \rightarrow \infty\) のときの極限を考えます。①式の分母・分子を \(R_2\) で割ると、
$$ I_1 = \frac{\frac{R_1}{R_2} + 1}{R_1(\frac{R_1}{R_2} + 2)} E $$
ここで \(R_2 \rightarrow \infty\) とすると \(\frac{R_1}{R_2} \rightarrow 0\) なので、
$$ I_1(R_2 \rightarrow \infty) = \frac{0 + 1}{R_1(0 + 2)} E = \frac{E}{2R_1} $$
\(R_2\) が0から無限大に増加するにつれて、\(I_1\) は \(\displaystyle\frac{E}{R_1}\) から \(\displaystyle\frac{E}{2R_1}\) へと単調に減少します。
この変化に合致するグラフは①です。

上記の立式の過程で、\(R_2=0\) のとき \(I_1 = \displaystyle\frac{E}{R_1}\)、\(R_2 \rightarrow \infty\) のとき \(I_1 = \displaystyle\frac{E}{2R_1}\) となることが示されました。
\(R_2\) の増加に対して \(I_1\) が単調に減少することを確認します。
①式 \(I_1 = \displaystyle\frac{R_1 + R_2}{R_1(R_1 + 2R_2)} E\) の分母と分子に注目すると、\(R_2\) が増加するとき、分子の増加率（1次）よりも分母の増加率（1次だが係数が大きい）の方が大きいため、全体として値は減少します。より厳密には、この関数を \(R_2\) で微分すると負になることから単調減少が示せます。
したがって、\(I_1\) は \(R_2=0\) のときの最大値 \(\displaystyle\frac{E}{R_1}\) から、徐々に減少し、最終的に \(\displaystyle\frac{E}{2R_1}\) に近づいていきます。この振る舞いを表すグラフは①です。

可変抵抗 \(R_2\) のつまみを0からどんどん大きく回していくと、メインの電流 \(I_1\) はどう変化するか、という問題です。まず、\(R_2\) が0のときを考えます。これは \(R_2\) の部分がただの導線になったのと同じで、\(R_3\) はショート（短絡）されて電流が流れません。回路は実質的に \(R_1\) だけになり、電流は \(I_1 = E/R_1\) です。次に、\(R_2\) の抵抗を無限に大きくしたときを考えます。これは \(R_2\) の部分が断線したのと同じで、電流は \(R_2\) には流れず、すべて \(R_3\) を通ります。回路は \(R_1\) と \(R_3\) の直列接続になり、\(R_1=R_3\) なので合成抵抗は \(2R_1\)、電流は \(I_1 = E/(2R_1)\) です。つまり、\(R_2\) を0から大きくしていくと、電流 \(I_1\) は \(E/R_1\) から \(E/(2R_1)\) へとだんだん減っていくことがわかります。この形のグラフは①です。

適切なグラフは①です。\(R_2\) が0から増加するにつれて、並列部分の合成抵抗 \(r\) は0から \(R_1\) へと増加し、回路全体の合成抵抗 \(R\) も増加します。全体の抵抗が大きくなるので、全体を流れる電流 \(I_1\) は減少します。この定性的な考察とも一致しており、結果は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 抵抗の合成（直列・並列）:
  • 核心: 複雑な回路を解くための最も基本的なスキルは、回路を部分ごとに単純化していくことです。この問題では、まず \(R_2\) と \(R_3\) の並列部分を一つの合成抵抗 \(r\) に置き換え、次にその \(r\) と \(R_1\) の直列接続として回路全体を捉える、という2段階の単純化が核心となります。
  • 理解のポイント: 並列接続の公式 \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b}\) と直列接続の公式 \(R = R_a + R_b\) を、回路のどの部分に適用すべきか正確に見抜くことが重要です。
• 回路全体のオームの法則:
  • 核心: 回路全体の合成抵抗 \(R\) が求まれば、回路は「起電力 \(E\) の電源に、ただ一つの抵抗 \(R\) が接続されたもの」と等価と見なせます。この単純化された回路に対してオームの法則 \(E=RI\) を適用することで、電源から流れ出す電流（主電流）を求めることができます。
  • 理解のポイント: この問題の \(I_1\) は、まさにこの主電流に相当します。複雑な回路でも、全体の合成抵抗さえ分かれば、主電流は単純なオームの法則で計算できる、という点をしっかり押さえましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路: 抵抗がひし形に配置された回路。特に、ホイートストンブリッジのように、中間の検流計に電流が流れない平衡条件を問う問題は頻出です。
  • コンデンサーの合成: 抵抗の合成と考え方は全く同じです。ただし、公式が逆になる点に注意が必要です（直列が逆数和、並列が単純和）。
  • キルヒホッフの法則を使う問題: より複雑で、合成抵抗の考え方だけでは解けない回路（例えば、複数の電源を含む回路）では、キルヒホッフの第1法則（電流則）と第2法則（電圧則）を用いて連立方程式を立てて解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の構造を分解する: まず、回路図をよく見て「並列になっている部分」と「直列になっている部分」を色分けするなどして明確に区別します。
  2. 内側から外側へ単純化: 最も内側の単純な並列・直列部分から合成抵抗を計算し、それを一つの抵抗に置き換えた新しい回路図を考えます。この操作を、回路全体が一個の抵抗になるまで繰り返します。
  3. 極限状態を考える（定性的分析）: (3)のように可変抵抗を含む問題では、まずその抵抗値が0の場合と∞の場合を考え、回路がどのように単純化されるかを見てみましょう。それだけで答えの当たりがつくことがよくあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列と並列の混同:
  • 誤解: 回路図の見た目だけで、隣り合っているから直列、枝分かれしているから並列、と安易に判断してしまう。
  • 対策: 「電流の道筋」で考えます。電流が一本道で分かれずに通過するのが「直列」。途中で複数の経路に分岐し、後で合流するのが「並列」です。必ず電流の気持ちになって回路を辿りましょう。
• 並列抵抗の計算ミス:
  • 誤解: \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\) を計算した後、逆数を取るのを忘れて、\(\frac{1}{R}\) の値をそのまま合成抵抗だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 2つの抵抗の並列接続の場合は、常に「和分の積」 \(R = \displaystyle\frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\) の公式を使う習慣をつけると、逆数を忘れるミスを防げます。3つ以上の場合は逆数和の計算が必要ですが、その際も最後に逆数を取ることを強く意識しましょう。
• ショート（短絡）と断線の理解不足:
  • 誤解: (3)の極限状態を考える際に、\(R_2=0\)（ショート）や \(R_2=\infty\)（断線）のときに回路がどうなるかイメージできない。
  • 対策: 「ショート＝抵抗ゼロの導線に置き換える」「断線＝その経路を切り取る」と機械的に考えましょう。ショートの場合、並列につながれた他の抵抗には電流が流れなくなる（そちらの経路は無視できる）と理解することが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 回路の単純化を図示する: (1)の思考プロセスを、実際に図で描いてみることが非常に有効です。
    1. 元の回路図を描く。
    2. \(R_2\) と \(R_3\) の並列部分を、合成抵抗 \(r\) という一つの抵抗箱に置き換えた、よりシンプルな回路図を描き直す。
    3. さらに、\(R_1\) と \(r\) の直列部分を、回路全体の合成抵抗 \(R\) という一つの抵抗箱に置き換えた、最終的な単純回路図を描く。
  • このように段階的に図を描き変えることで、自分の思考プロセスが整理され、計算ミスも減ります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 電流の矢印を書き込む: \(I_1\) がどこを流れ、\(R_2\) と \(R_3\) にどう分岐するのかを矢印で書き込むと、回路の構造理解が深まります。
  • 電位を色分けする: 電池の正極から抵抗を通るまでを赤、負極から抵抗を通るまでを青、抵抗間の電位を緑、のように導線を色分けすると、どこが同じ電位で、どこに電位差があるかが一目瞭然となり、並列・直列の判断が容易になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 並列・直列の合成抵抗公式:
  • 選定理由: 回路をより単純な等価回路に置き換えるための唯一の手段だからです。複雑な回路をそのまま扱うのは困難なため、部分ごとにまとめていくという戦略上、これらの公式の選択は必須となります。
  • 適用根拠: 回路図から、\(R_2\) と \(R_3\) が並列、その合成抵抗と \(R_1\) が直列という構造が読み取れるため、それぞれの公式を適切な部分に適用します。
• オームの法則 \(E=RI\):
  • 選定理由: (2)で電流 \(I_1\) を求める際に、回路の物理的性質（合成抵抗 \(R\)）と電源の性質（起電力 \(E\)）を結びつけ、最終的な電流値を導出するための基本法則だからです。
  • 適用根拠: 回路全体を一個の合成抵抗 \(R\) とみなした等価回路において、この法則が成り立つことは自明です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 合成抵抗の計算:
   • 戦略: 内側の並列部分から計算し、外側の直列部分へと段階的に進める。
   • フロー: ①\(R_2, R_3\) の並列合成抵抗 \(r\) を「和分の積」で計算 → ②\(R_1\) と \(r\) の直列合成抵抗 \(R\) を「和」で計算 → ③式を整理して最終的な形にする。
2. (2) 電流の計算:
   • 戦略: 回路全体を一つの抵抗とみなし、オームの法則を適用する。
   • フロー: ①回路全体のオームの法則 \(E = R I_1\) を立てる → ②\(I_1 = E/R\) の形に変形 → ③(1)で求めた \(R\) の式を代入し、式を整理する。
3. (3) 電流変化の分析:
   • 戦略（定量的）: \(I_1\) の式に \(R_3=R_1\) を代入し、\(R_2\) の関数として分析する。
   • フロー（定量的）: ①\(I_1\) の式に \(R_3=R_1\) を代入し簡略化 → ②\(R_2=0\) と \(R_2 \rightarrow \infty\) のときの \(I_1\) の値を計算 → ③始点と終点の値、およびその間の変化（単調減少）からグラフを選択。
   • 戦略（定性的）: \(R_2\) の極限状態を考え、回路がどう単純化されるかをイメージする。
   • フロー（定性的）: ①\(R_2=0\)（ショート）時の等価回路を考え \(I_1\) を求める → ②\(R_2=\infty\)（断線）時の等価回路を考え \(I_1\) を求める → ③2つの状態間の変化を推測し、グラフを選択。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算を丁寧に: 合成抵抗の計算は、分数の足し算や割り算が多く登場します。通分や逆数を取る操作は、焦らず一行一行丁寧に書き下しましょう。特に、\(R = R_1 + r\) の計算で通分する際に、分子の \(R_1\) に \((R_2+R_3)\) を正しく掛けるなど、基本的な計算をミスしないことが重要です。
• 文字式の整理: 計算結果の分子や分母が \(R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3\) のように複数の項を持つ場合、解答の形式に合わせるために \(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1\) のように輪環の順に並べ替えると見やすくなります。
• 代入は最後に行う: (3)のように特定の条件（\(R_1=R_3\)）が与えられた場合でも、まずは一般式（(2)の答え）を導き、最後に条件を代入する方が、思考のプロセスが明確になり、間違いが起こりにくいです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 合成抵抗: \(R_2\) と \(R_3\) の並列部分の合成抵抗 \(r\) は、必ず \(R_2\) と \(R_3\) のどちらよりも小さくなります。そして回路全体の合成抵抗 \(R=R_1+r\) は、\(R_1\) よりは必ず大きくなります。こうした大小関係が成り立っているかを確認しましょう。
  • (3) 電流の変化: \(R_2\) を増加させると、\(R_2\) と \(R_3\) の並列部分の合成抵抗は増加します。すると回路全体の抵抗も増加するので、主電流 \(I_1\) は減少するはずです。計算結果が「単調減少」のグラフ①と一致したのは、この物理的直感とも合致しており、妥当です。
• 別解との比較:
  • (3)では、数式を詳細に分析する「定量的解法」と、極限状態から推測する「定性的解法」がありました。全く異なるアプローチで同じ結論（グラフ①）にたどり着いたことは、その結論の正しさを強力に裏付けます。普段から両方の視点で問題を検討する癖をつけると、物理への理解が格段に深まります。

408 抵抗の接続とジュール熱

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、直列・並列が組み合わさった回路において、各抵抗を流れる電流や、かかる電圧を正しく求め、それをもとにジュール熱を計算する能力を問うています。
この問題の核心は、回路の構造を正確に理解し、電流の「分流」や電圧の「分圧」のルールを適用して、各抵抗の状態を明らかにすることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「合成抵抗とジュール熱」です。各抵抗に流れる電流の比、またはかかる電圧の比を求め、適切なジュール熱の公式を用いて熱量の比を計算します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
A, B, Cの抵抗値がすべて同じ場合の問題です。抵抗Aを流れる主電流が、抵抗BとCの並列部分でどのように分かれるかを考えます。BとCの抵抗値が等しいため、電流は均等に2分割されます。この電流の比を使って、ジュール熱の公式 \(Q=I^2Rt\) で熱量の比を計算します。

この設問における重要なポイント

• 電流の分流: 抵抗Aを流れる電流を \(I\) とすると、抵抗値が等しいBとCには、それぞれ \(\displaystyle\frac{I}{2}\) の電流が流れます。
• ジュール熱と電流の関係: ジュール熱は電流の2乗に比例します。電流が \(\displaystyle\frac{1}{2}\) になると、ジュール熱は \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{1}{4}\) になります。

具体的な解説と立式
抵抗A, B, Cの抵抗値をすべて \(R\) とします。
抵抗Aを流れる電流（主電流）を \(I\) とします。
電流 \(I\) は、抵抗BとCの並列部分で分岐します。BとCの抵抗値は等しいので、電流は均等に分配されます。
したがって、抵抗Bを流れる電流 \(I_{\text{B}}\) は、
$$ I_{\text{B}} = \frac{1}{2}I $$
ジュール熱の公式 \(Q=I^2Rt\) を用いて、抵抗Aで発生するジュール熱 \(Q_{\text{A}}\) と、抵抗Bで発生するジュール熱 \(Q_{\text{B}}\) を式で表します。
$$ Q_{\text{A}} = I^2 R t \quad \cdots ① $$
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{B}} &= (I_{\text{B}})^2 R t \\[2.0ex] &= \left(\frac{1}{2}I\right)^2 R t \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

求めたいのは \(\displaystyle\frac{Q_{\text{A}}}{Q_{\text{B}}}\) の値です。①式と②式を使って比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{Q_{\text{A}}}{Q_{\text{B}}} &= \frac{I^2 R t}{\left(\frac{1}{2}I\right)^2 R t} \\[2.0ex] &= \frac{I^2 R t}{\frac{1}{4}I^2 R t} \\[2.0ex] &= 4
\end{aligned}
$$
よって、\(Q_{\text{A}}\) は \(Q_{\text{B}}\) の4倍です。

Aの抵抗には、回路全体の電流がまるごと流れます。その後、電流はBとCの2つの同じ道に半分ずつ分かれます。つまり、Bを流れる電流はAの半分です。ジュール熱は「電流の2乗 × 抵抗」に比例するので、Bのジュール熱は、Aに比べて電流が \(1/2\) になることで \((1/2)^2 = 1/4\) 倍になります。したがって、逆にAのジュール熱はBの4倍となります。

Aで発生するジュール熱はBで発生するジュール熱の4倍です。主電流が流れるAの方が、分岐した電流が流れるBよりも発熱量が大きいというのは、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
AとBの抵抗値が同じで、Cの抵抗値がBの2倍である場合の問題です。主電流 \(I\) が、抵抗値の異なるBとCの並列部分でどのように分かれるかを考えます。並列回路では、電流は抵抗の逆比に分配されます。この分流比を正しく計算することが鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 抵抗値の設定: 抵抗AとBの値を \(R\)、抵抗Cの値を \(2R\) と設定します。
• 電流の分流: BとCの抵抗比は \(R_{\text{B}} : R_{\text{C}} = R : 2R = 1:2\) です。したがって、流れる電流の比は逆比の \(I_{\text{B}} : I_{\text{C}} = 2:1\) となります。
• 電流値の計算: 主電流 \(I\) を \(2:1\) に分けるので、Cを流れる電流 \(I_{\text{C}}\) は全体の \(1/3\)、つまり \(I_{\text{C}} = \displaystyle\frac{1}{3}I\) となります。

具体的な解説と立式
抵抗AとBの抵抗値を \(R\)、抵抗Cの抵抗値を \(2R\) とします。
抵抗Aを流れる電流（主電流）を \(I\) とします。
電流 \(I\) は、抵抗BとCの並列部分で分岐します。抵抗比は \(R_{\text{B}} : R_{\text{C}} = R : 2R = 1:2\) です。
並列部分では電圧が等しいため、電流は抵抗の逆比に分配されます。
$$ I_{\text{B}} : I_{\text{C}} = R_{\text{C}} : R_{\text{B}} = 2R : R = 2:1 $$
したがって、主電流 \(I\) は \(2:1\) の比で \(I_{\text{B}}\) と \(I_{\text{C}}\) に分かれます。Cを流れる電流 \(I_{\text{C}}\) は、
$$ I_{\text{C}} = \frac{1}{2+1}I = \frac{1}{3}I $$
ジュール熱の公式 \(Q=I^2Rt\) を用いて、\(Q_{\text{A}}\) と \(Q_{\text{C}}\) を式で表します。
$$ Q_{\text{A}} = I^2 R_{\text{A}} t = I^2 R t \quad \cdots ① $$
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{C}} &= (I_{\text{C}})^2 R_{\text{C}} t \\[2.0ex] &= \left(\frac{1}{3}I\right)^2 (2R) t \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

求めたいのは \(\displaystyle\frac{Q_{\text{A}}}{Q_{\text{C}}}\) の値です。①式と②式を使って比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{Q_{\text{A}}}{Q_{\text{C}}} &= \frac{I^2 R t}{\left(\frac{1}{3}I\right)^2 (2R) t} \\[2.0ex] &= \frac{I^2 R t}{\frac{1}{9}I^2 \cdot 2R \cdot t} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\frac{2}{9}} \\[2.0ex] &= \frac{9}{2}
\end{aligned}
$$
よって、\(Q_{\text{A}}\) は \(Q_{\text{C}}\) の \(\displaystyle\frac{9}{2}\) 倍です。

今度は、Bの道よりCの道の方が2倍通りにくい（抵抗が2倍）状況です。電流は賢いので、通りやすいBの道の方を多く流れます。抵抗が1:2なので、電流は逆の2:1の割合で分かれます。つまり、Cには全体の電流の \(1/3\) しか流れません。Cのジュール熱を計算すると、電流が \(1/3\) になるので \((1/3)^2 = 1/9\) 倍、しかし抵抗自体がAの2倍なので2倍、合わせて \(1/9 \times 2 = 2/9\) 倍になります。したがって、逆にAのジュール熱はCの \(9/2\) 倍となります。

Aで発生するジュール熱はCで発生するジュール熱の \(\displaystyle\frac{9}{2}\) 倍（4.5倍）です。主電流が流れ、抵抗値もCの半分であるAの方が発熱量が大きいというのは、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ジュール熱の公式の戦略的選択:
  • 核心: ジュール熱には \(Q=I^2Rt\), \(Q=VIt\), \(Q=\frac{V^2}{R}t\) の3つの公式がありますが、これらをやみくもに使うのではなく、回路の状況に応じて最も計算が楽になるものを「戦略的に選択する」ことがこの問題の核心です。
  • 理解のポイント:
    • 直列部分の比較: 電流 \(I\) が共通になる直列部分では、\(Q=I^2Rt\) を使うと \(I\) が消去しやすく、熱量が抵抗 \(R\) に比例する（\(Q \propto R\)）という関係がすぐにわかります。
    • 並列部分の比較: 電圧 \(V\) が共通になる並列部分では、\(Q=\frac{V^2}{R}t\) を使うと \(V\) が消去しやすく、熱量が抵抗 \(R\) に反比例する（\(Q \propto 1/R\)）という関係がすぐにわかります。
    • この問題のように直列と並列が混在している場合は、主たる解法のように「電流」で統一するか、別解のように「電圧」で統一して計算を進めることになります。
• 電流の分流と電圧の分圧:
  • 核心: 回路の各部分の状態（電流、電圧）を明らかにするための基本法則です。ジュール熱の計算以前に、まずこれらの法則を使って各抵抗に流れる電流や、かかる電圧を正しく求める必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 分流: 並列部分では、電流は抵抗の「逆比」に分配される。
    • 分圧: 直列部分では、電圧は抵抗の「大きさの比」に分配される。
    • この2つのルールを混同せずに使いこなすことが、回路問題全般を解く上での鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電力の計算: ジュール熱は単位時間あたりのエネルギーなので、電力 \(P\)（単位時間あたりのジュール熱）を問う問題も本質的に同じです。\(P=I^2R = VI = \frac{V^2}{R}\) の公式を使い、電力の比を計算します。
  • 豆電球の明るさの比較: 豆電球の明るさは、その消費電力に比例すると考えられます。したがって、「どの電球が最も明るいか」という問題は、「どの抵抗の消費電力が最も大きいか」という問題に帰着します。
  • ヒューズが切れる条件: 回路に流れる電流が一定値を超えると切れるヒューズの問題。各部分の電流を計算し、ヒューズが設置された箇所の電流が許容値を超えるかどうかを判断します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 比較対象の接続関係を見る: ジュール熱を比較したい2つの抵抗が「直列」なのか「並列」なのか、あるいはどちらでもないのかをまず確認します。
  2. 最適な公式を選ぶ:
     • もし直列なら、電流が等しいので \(Q=I^2Rt\) を使うのが有利。
     • もし並列なら、電圧が等しいので \(Q=\frac{V^2}{R}t\) を使うのが有利。
     • どちらでもない場合（この問題のAとB/Cのように）、主電流や全体の電圧を基準として、各部分の電流・電圧を計算し、どちらかの公式に統一して計算します。
  3. 比の計算に徹する: 具体的な \(I\) や \(V\) の値を求める必要はなく、あくまで「比」を計算することに集中します。\(I\) や \(R\) などの文字は、最終的に比を計算する段階で約分されて消えるはずです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 分流比の計算ミス:
  • 誤解: 並列部分の電流を、抵抗の大きさの比で分配してしまう（例：(2)で \(I_{\text{B}}:I_{\text{C}} = 1:2\) と間違える）。
  • 対策: 「電流は通りやすい方（抵抗が小さい方）を多く流れる」という物理イメージを常に持つこと。そして「電流の比は、抵抗の逆比」としっかり覚えましょう。\(I_{\text{B}}:I_{\text{C}} = R_{\text{C}}:R_{\text{B}}\) のように、添字がクロスする形で書くと間違いにくいです。
• ジュール熱の公式の誤用:
  • 誤解: ジュール熱は抵抗 \(R\) に比例する（\(Q \propto R\)）と常に思い込んでしまう。
  • 対策: これは \(Q=I^2Rt\) で電流 \(I\) が一定の場合にのみ成り立ちます。\(Q=\frac{V^2}{R}t\) のように電圧 \(V\) が一定の場合は、逆に抵抗 \(R\) に反比例します。状況によって比例関係が変わることを理解し、どの公式を基に考えているかを常に意識することが重要です。
• 2乗の計算忘れ:
  • 誤解: \(Q=I^2Rt\) を使う際に、電流の2乗をし忘れて \(Q=IRt\) として計算してしまう。
  • 対策: 公式を声に出して「アイ2乗アールティー」と覚えるなど、意識的に「2乗」をインプットしましょう。計算の際には、\(\left(\frac{1}{2}I\right)^2\) のように、必ず括弧をつけて2乗の計算を行う癖をつけるとミスが減ります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電流の量を矢印の太さで表現する: 回路図に電流の経路を矢印で書き込む際、主電流 \(I\) を太い矢印で描き、分岐した電流をその比率に応じて細い矢印で描くと、電流の分配の様子が視覚的に理解しやすくなります。
  • 「水の流れと水車」で考える:
    • 電流を「水の流量」、抵抗を「水車」とイメージします。ジュール熱は「水車が回る勢い（仕事量）」に相当します。
    • (1)では、本流（A）に置かれた水車と、流れが半分になった支流（B）に置かれた同じ大きさの水車を比較するイメージです。本流の水車の方が勢いよく回るのは明らかです。
    • (2)では、支流に置かれた2つの水車を比較します。Bは「普通の水車（抵抗R）」、Cは「重い水車（抵抗2R）」です。水の流れ（電流）は、軽いBの方に多く流れ、重いCにはあまり流れません。この流れの分配と水車の重さを考慮して、どちらがより多くの仕事をするかを考えることになります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 模範解答の図a, 図bのように、各抵抗の値（\(R, 2R\)など）と、そこを流れる電流（\(I, I/2, I/3\)など）を、回路図の対応する場所に直接書き込むと、情報が整理されて非常に分かりやすくなります。計算用紙で問題を解く際には、ぜひこの方法を実践してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ジュール熱の公式 \(Q=I^2Rt\)（主たる解法）:
  • 選定理由: この回路では、主電流 \(I\) を基準として、分流の法則で各部分の電流を \(I\) の分数で表現するのが最も簡単だからです。各部分の電流が \(I\) で表せれば、あとは抵抗値 \(R\) を掛けるだけでジュール熱を比較できます。
  • 適用根拠: 電流の分流則は、並列部分にかかる電圧が等しいこと（\(V=I_{\text{B}}R_{\text{B}}=I_{\text{C}}R_{\text{C}}\)）から導かれる基本的な法則であり、その適用は常に正当です。
• ジュール熱の公式 \(Q=\frac{V^2}{R}t\)（別解）:
  • 選定理由: 電圧の視点から回路を解くアプローチを試みるためです。電源の電圧 \(E\) を基準として、分圧の法則で各部分の電圧を \(E\) の分数で表現します。
  • 適用根拠: 直列部分にかかる電圧の和が全体の電圧に等しいこと、並列部分の電圧が等しいことは、キルヒホッフの第2法則に基づく基本原理であり、その適用は常に正当です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題の条件整理:
   • 戦略: 設問ごとに、各抵抗の値の関係（例：\(R_{\text{A}}=R_{\text{B}}=R_{\text{C}}=R\)）を明確にする。
   • フロー: (1) \(R_{\text{A}}=R, R_{\text{B}}=R, R_{\text{C}}=R\)。 (2) \(R_{\text{A}}=R, R_{\text{B}}=R, R_{\text{C}}=2R\)。
2. 電流比（または電圧比）の計算:
   • 戦略（電流視点）: 主電流を \(I\) とおき、並列部分での分流比（抵抗の逆比）を計算する。
   • フロー（電流視点）: ①並列部分の抵抗比を求める → ②その逆比から電流比を求める → ③主電流 \(I\) をその比で分配し、各抵抗を流れる電流を \(I\) で表す。
   • 戦略（電圧視点）: 全体の電圧を \(E\) とおき、直列部分での分圧比（抵抗の大きさの比）を計算する。
   • フロー（電圧視点）: ①並列部分の合成抵抗を計算 → ②直列部分の抵抗比を求める → ③全体の電圧 \(E\) をその比で分配し、各抵抗にかかる電圧を \(E\) で表す。
3. ジュール熱の比の計算:
   • 戦略: 選択したアプローチ（電流or電圧）に合わせて、最適なジュール熱の公式を選択し、比を計算する。
   • フロー: ①\(Q_{\text{A}}\) と \(Q_{\text{B}}\)（または \(Q_{\text{C}}\)）を、基準となる文字（\(I\) or \(E\)）と抵抗 \(R\) を用いて立式 → ②両者の比を取り、文字を約分して数値を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 基準を文字で置く: 主電流を \(I\)、抵抗の基本単位を \(R\) のように、基準となる量を文字で置くことで、計算の見通しが立ちやすくなります。具体的な数値を代入する必要はありません。
• 分数の計算を丁寧に: \(\left(\frac{1}{3}I\right)^2 (2R)\) のような計算では、\(\frac{1}{9}I^2 \cdot 2R = \frac{2}{9}I^2R\) と、係数部分の計算を焦らず正確に行いましょう。
• 比の計算は割り算で: \(\frac{Q_{\text{A}}}{Q_{\text{C}}}\) を求める際は、分数の中に分数が現れる形になります。内項の積と外項の積を間違えないよう、\(\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}\) のように、割り算を逆数の掛け算に直して計算すると確実です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(Q_{\text{A}} = 4 Q_{\text{B}}\): AにはBの2倍の電流が流れる。熱量は電流の2乗に比例するので、\(2^2=4\)倍になるのは妥当。
  • (2) \(Q_{\text{A}} = \frac{9}{2} Q_{\text{C}}\): AにはCの3倍の電流が流れるが、CはAの2倍の抵抗を持つ。熱量を \(I^2R\) で考えると、Aは \(I^2R\)、Cは \((I/3)^2(2R) = (2/9)I^2R\)。比は \(1 : 2/9 = 9:2\)。計算結果と一致しており、妥当です。
• 別解との比較:
  • この問題では、「電流視点」と「電圧視点」という2つの全く異なるアプローチで解くことができました。両方で同じ答えが出たことは、それぞれの計算の正しさと、物理法則の整合性を強く裏付けるものです。どちらか一方の解法で詰まったときに、もう一方のアプローチに切り替えるという引き出しを持っておくことは、応用力を高める上で非常に重要です。

409 抵抗の接続とジュール熱

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、内部抵抗を持つ電源に外部抵抗を接続した際の、外部抵抗での消費電力を扱う問題です。特に、外部抵抗の値を変化させたときに、その消費電力が最大となる条件を求めることが主題となります。
この問題の核心は、消費電力 \(P\) を外部抵抗 \(R_1\) の関数として正しく表現し、その数式が最大値をとる条件を、数学的な手法（平方完成や相加・相乗平均など）を用いて導出することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「内部抵抗を持つ電源と消費電力の最大値」です。これは物理的に「インピーダンスマッチング」として知られる重要な概念の基礎となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路に流れる電流を求める問題です。この回路は、内部抵抗 \(r\) と外部抵抗 \(R_1\) が直列に接続された単純な回路です。まず回路全体の合成抵抗を求め、オームの法則を適用します。

この設問における重要なポイント

• 合成抵抗: 直列接続なので、回路全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) は \(R_1 + r\) となります。
• オームの法則: 回路全体に流れる電流 \(I\) は、電源の電圧 \(V\) を合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) で割ることで求められます。

具体的な解説と立式
この回路は、内部抵抗 \(r\) と外部抵抗 \(R_1\) の直列接続と見なせます。
したがって、回路全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) は、
$$ R_{\text{全体}} = R_1 + r $$
測定される電流を \(I\) とすると、回路全体に対するオームの法則 \(V = R_{\text{全体}}I\) より、
$$ V = (R_1 + r)I $$
これを \(I\) について解きます。

$$ I = \frac{V}{R_1 + r} $$

この回路は、電源が持つ「内部の通りにくさ（内部抵抗 \(r\)）」と、接続された部品の「外の通りにくさ（外部抵抗 \(R_1\)）」が一本道でつながっている（直列）だけのシンプルな回路です。全体の通りにくさは、単純に2つを足した \(R_1+r\) になります。オームの法則によれば、流れる電流は「電圧 ÷ 全体の通りにくさ」なので、\(I = V / (R_1+r)\) となります。

電流計で測定される電流は \(I = \displaystyle\frac{V}{R_1 + r}\) です。直列回路の基本的な計算であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_{\text{ab}}\) と、そこで消費される電力 \(P\) を求める問題です。\(V_{\text{ab}}\) は、抵抗 \(R_1\) にオームの法則を適用することで求まります。電力 \(P\) は、求めた \(V_{\text{ab}}\) と電流 \(I\) を使って \(P=IV_{\text{ab}}\) から計算するのが効率的です。

この設問における重要なポイント

• 部分的なオームの法則: 抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_{\text{ab}}\) は、そこを流れる電流 \(I\) と抵抗値 \(R_1\) の積、\(V_{\text{ab}} = R_1 I\) で計算できます。
• 消費電力の公式: 単位時間あたりに消費されるエネルギーは電力 \(P\) のことです。\(P=IV\) の公式が最も直接的に使えます。

具体的な解説と立式
まず、ab間、すなわち抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_{\text{ab}}\) を求めます。
抵抗 \(R_1\) を流れる電流は(1)で求めた \(I\) なので、オームの法則より、
$$ V_{\text{ab}} = R_1 I \quad \cdots ① $$
次に、ab間で単位時間あたりに消費されるエネルギー、すなわち消費電力 \(P\) を求めます。
電力の公式 \(P=IV\) を用いると、
$$ P = I V_{\text{ab}} \quad \cdots ② $$

①式に、(1)で求めた \(I = \displaystyle\frac{V}{R_1 + r}\) を代入して \(V_{\text{ab}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{ab}} &= R_1 \times \frac{V}{R_1 + r} \\[2.0ex] &= \frac{R_1}{R_1 + r}V
\end{aligned}
$$
次に、②式に \(I\) と求めた \(V_{\text{ab}}\) を代入して \(P\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
P &= \left( \frac{V}{R_1 + r} \right) \times \left( \frac{R_1}{R_1 + r}V \right) \\[2.0ex] &= \frac{R_1}{(R_1 + r)^2}V^2
\end{aligned}
$$

まず、抵抗 \(R_1\) にかかる電圧を求めます。これはオームの法則から「\(R_1\) にかかる電圧 = \(R_1\) の抵抗値 × 流れる電流 \(I\)」で計算できます。(1)で求めた \(I\) を代入すればOKです。
次に、\(R_1\) が消費する電力（単位時間あたりのエネルギー）を求めます。電力は「流れる電流 × かかる電圧」で計算できるので、今求めた \(I\) と \(V_{\text{ab}}\) を掛け合わせれば、答えが出ます。

ab間にかかる電圧は \(V_{\text{ab}} = \displaystyle\frac{R_1}{R_1 + r}V\)、消費される電力は \(P = \displaystyle\frac{R_1}{(R_1 + r)^2}V^2\) です。これは、電源の電圧 \(V\) が内部抵抗 \(r\) と外部抵抗 \(R_1\) に分圧され、その外部抵抗にかかる電圧によって電力が消費されることを示しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた消費電力 \(P\) が最大になる条件を求める問題です。\(P\) の式を見ると、分子の \(V^2\) は定数なので、\(P\) が最大になるのは、分母の \(\displaystyle\frac{(R_1+r)^2}{R_1}\) が最小になるときです。この分母の式を \(R_1\) の関数とみて、最小値を求めます。模範解答では、ヒントにある通り、平方完成に似た式変形を用いています。

この設問における重要なポイント

• 最大・最小問題への変換: \(P\) が最大 \(\iff\) 分母 \(\displaystyle\frac{(R_1+r)^2}{R_1}\) が最小、という関係に気づくこと。
• 分母の式変形: 分母の式を展開し、\(R_1\) で割ることで、\(\left(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2\) のような「差の2乗」の形を作り出す。
• 最小値の条件: 「(実数)²」は常に0以上なので、この2乗の項が0になるときに全体が最小値をとる。

具体的な解説と立式
(2)で求めた消費電力 \(P\) の式は、
$$ P = \frac{R_1}{(R_1 + r)^2}V^2 $$
\(V^2\) は定数なので、\(P\) が最大になるのは、分母の \(f(R_1) = \displaystyle\frac{(R_1+r)^2}{R_1}\) が最小になるときです。
この分母の式を変形していきます。
$$
\begin{aligned}
f(R_1) &= \frac{R_1^2 + 2R_1 r + r^2}{R_1} \\[2.0ex] &= R_1 + 2r + \frac{r^2}{R_1} \\[2.0ex] &= \left( R_1 + \frac{r^2}{R_1} \right) + 2r
\end{aligned}
$$
ここで、\(R_1 + \displaystyle\frac{r^2}{R_1}\) の部分を、ヒントの形を参考にして変形します。
$$
\begin{aligned}
R_1 + \frac{r^2}{R_1} &= \left(\sqrt{R_1}\right)^2 + \left(\frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2 \\[2.0ex] &= \left(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2 + 2\sqrt{R_1}\frac{r}{\sqrt{R_1}} \\[2.0ex] &= \left(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2 + 2r
\end{aligned}
$$
よって、分母 \(f(R_1)\) は、
$$
\begin{aligned}
f(R_1) &= \left\{ \left(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2 + 2r \right\} + 2r \\[2.0ex] &= \left(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2 + 4r
\end{aligned}
$$
この式で、\(r\) は定数なので、\(f(R_1)\) が最小になるのは、\(\left(\sqrt{R_1} – \displaystyle\frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2\) の項が最小になるときです。
2乗の項は常に0以上なので、最小値は0です。
したがって、最小となる条件は、
$$ \sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}} = 0 $$

上記の条件式を \(R_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{R_1} &= \frac{r}{\sqrt{R_1}} \\[2.0ex] (\sqrt{R_1})^2 &= r \\[2.0ex] R_1 &= r
\end{aligned}
$$
よって、\(P\) が最大になるのは \(R_1=r\) のときであることが示されました。

(2)で求めた電力 \(P\) の式を、最大にする条件を探す問題です。\(P\) の式は分数の形をしていて、分子の \(V^2\) は定数なので、\(P\) を最大にするには、分母を最小にすればよいことになります。分母の式 \(\displaystyle\frac{(R_1+r)^2}{R_1}\) を数学のテクニックを使って変形すると、\(\left(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}}\right)^2 + 4r\) という形になります。\(4r\) は定数なので、この式全体を最小にするには、前の「2乗」の部分をできるだけ小さく、つまり0にすればよいわけです。したがって、「\(\sqrt{R_1} – \frac{r}{\sqrt{R_1}} = 0\)」となる条件、すなわち \(R_1=r\) のときに分母が最小となり、結果として電力 \(P\) が最大になります。

外部抵抗 \(R_1\) での消費電力が最大になるのは、外部抵抗の値が内部抵抗の値に等しい \(R_1=r\) のときです。これは「インピーダンスマッチング（整合）」と呼ばれる非常に重要な物理的性質で、電源から外部の負荷へ最も効率よくエネルギーを供給するための条件を示しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 内部抵抗を含む回路のオームの法則:
  • 核心: 現実の電源（電池など）は、理想的な電圧源ではなく、内部に抵抗成分を持っています。この問題の抵抗 \(r\) は、その「内部抵抗」をモデル化したものです。回路全体を流れる電流を考える際は、外部の抵抗 \(R_1\) だけでなく、この内部抵抗 \(r\) も含めた \(R_{\text{全体}} = R_1 + r\) で考えなければならない、という点が核心です。
  • 理解のポイント: 電源の電圧 \(V\) は、内部抵抗 \(r\) と外部抵抗 \(R_1\) に「分圧」されます。つまり、外部抵抗 \(R_1\) にかかる電圧 \(V_{\text{ab}}\) は、電源の電圧 \(V\) よりも必ず小さくなります（\(V_{\text{ab}} = V – Ir\)）。この電圧降下を正しく理解することが、回路を正確に分析する鍵です。
• 外部抵抗での消費電力とその最大条件:
  • 核心: 外部抵抗 \(R_1\) での消費電力 \(P\) は、\(R_1\) が0や無限大のときには0となり、その間のどこかで最大値をとる山なりのグラフを描きます。その最大値をとる条件が、外部抵抗と内部抵抗の値が等しくなる \(R_1=r\) のときである、という物理法則そのものがこの問題の最大のテーマです。
  • 理解のポイント: この「\(R_1=r\) のときに電力が最大になる」という関係は、「インピーダンスマッチング（整合）」として知られ、オーディオ機器やアンテナなど、信号を効率よく伝達したい様々な工学分野で利用される非常に重要な原理です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電源から取り出せる最大電力: この問題は「外部抵抗での消費電力」を問うていますが、「電源が供給する電力全体」を問う問題もあります。その場合、電力は \(P_{\text{供給}} = IV = \frac{V^2}{R_1+r}\) となり、\(R_1\) が小さいほど大きくなります。問われているのが「どこで消費される電力か」を正確に読み取ることが重要です。
  • 直流モーターの仕事率: モーターも内部抵抗を持つ電源と見なせます。モーターが外部にする仕事率が最大になる条件も、本質的にこの問題と同じ考え方で導出できます。
  • 交流回路のインピーダンスマッチング: 交流回路では、抵抗だけでなくコイルやコンデンサーもインピーダンス（交流的な抵抗）を持ちます。交流電源から最大の電力を取り出すには、負荷のインピーダンスと電源の内部インピーダンスを特定の関係（複素共役）にする必要があり、この問題はその最も基本的な原型です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 変数は何かを特定する: この問題では外部抵抗 \(R_1\) が変数です。何を変数として、どの物理量の最大・最小を求めたいのかを最初に明確にします。
  2. 求めたい量を、変数の関数で表す: 目的の物理量（この場合は電力 \(P\)）を、変数（\(R_1\)）を含む式で表現します。これが立式のゴールです。
  3. 数学的な処理に持ち込む: 得られた関数を最大・最小にするための数学的な手法（平方完成、相加・相乗平均、微分など）を選択し、適用します。物理の問題であっても、最後の詰めは数学の力が必要になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧 \(V\) を \(R_1\) にかかる電圧と勘違いする:
  • 誤解: 抵抗 \(R_1\) での消費電力を計算する際に、\(P = \frac{V^2}{R_1}\) のように、電源の電圧 \(V\) がそのまま \(R_1\) にかかると考えてしまう。
  • 対策: 内部抵抗 \(r\) が存在するため、電圧 \(V\) は \(r\) と \(R_1\) に分圧されます。\(R_1\) にかかる電圧は \(V_{\text{ab}}\) であり、\(V\) ではありません。必ず回路図全体を見て、電圧がどのように分配されるかを考える癖をつけましょう。
• 最大・最小問題の数学的処理でのミス:
  • 誤解: \(P = \frac{R_1}{(R_1+r)^2}V^2\) の式を見て、分母に \(R_1\) があるから \(R_1\) が大きいほど \(P\) は小さくなる、分子に \(R_1\) があるから \(R_1\) が大きいほど \(P\) は大きくなる、と単純に考えてしまい、結論が出せなくなる。
  • 対策: このように分子と分母の両方に変数がある場合、単純な比例・反比例関係にはなりません。必ず(3)の解説のように、式全体を変形して、変数が一箇所に集まるような形（平方完成など）にするか、微分法を用いる必要があります。
• 相加・相乗平均の適用条件の無視:
  • 誤解: 相加・相乗平均の関係を、変数が負の値を取りうる場合にも適用してしまう。
  • 対策: 相加・相乗平均の関係 \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) が使えるのは、\(a>0, b>0\) の場合に限られます。抵抗値は常に正なのでこの問題では使えますが、他の問題で利用する際は、この条件を満たしているかを必ず確認しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 「ホースとノズル」で考える:
    • 電源の電圧 \(V\) → 水道の元の圧力
    • 内部抵抗 \(r\) → 水道管自体の摩擦による圧力損失
    • 外部抵抗 \(R_1\) → 取り付けたノズルの抵抗
    • 消費電力 \(P\) → ノズルから出る水の勢い（運動エネルギー）
  • このたとえで考えると、(3)は「水の勢いを最大にするには、どんな太さのノズルを付ければよいか？」という問いに対応します。
    • ノズルが細すぎる（\(R_1\) が大きい）と、全体の抵抗が大きくなりすぎて流量（電流）が減り、勢いが弱まる。
    • ノズルが太すぎる（\(R_1\) が小さい）と、抵抗がなさすぎて圧力（電圧）がかからず、やはり勢いが弱まる。
    • ちょうどよい太さ（\(R_1=r\)）のときに、流量と圧力のバランスが取れて、水の勢いが最大になる、というイメージを持つことができます。
• グラフを描いてみる:
  • 横軸に \(R_1\)、縦軸に \(P\) をとって、\(P = \frac{R_1}{(R_1+r)^2}V^2\) のグラフをフリーハンドで描いてみるのも有効です。\(R_1=0\) で \(P=0\)、\(R_1 \rightarrow \infty\) で \(P \rightarrow 0\) となり、その間に最大値を持つ山形のグラフになることが想像できます。このグラフの頂点がどこかを求めるのが(3)の問題である、と視覚的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• オームの法則 \(I = V/(R_1+r)\):
  • 選定理由: 回路の最も基本的な振る舞いである「電流」を、与えられたパラメータ（\(V, r, R_1\)）で表現するための出発点となる公式だからです。
  • 適用根拠: 電源、内部抵抗、外部抵抗が単純な直列回路を構成しているため、合成抵抗を \(R_1+r\) としてオームの法則を適用するのは、最も直接的で論理的な選択です。
• 消費電力の公式 \(P = IV_{\text{ab}}\) または \(P=I^2R_1\):
  • 選定理由: (2)で求めたいのは「\(R_1\) での」消費電力です。したがって、\(R_1\) を流れる電流 \(I\) と \(R_1\) にかかる電圧 \(V_{\text{ab}}\)、そして抵抗値 \(R_1\) 自身が関わる公式を選ぶ必要があります。\(I\) と \(V_{\text{ab}}\) は既に計算の過程で求めているため、\(P=IV_{\text{ab}}\) を使うのが自然な流れです。あるいは、\(I\) だけを使って \(P=I^2R_1\) としても同じ結果が得られます。
  • 適用根拠: これらの公式は電力の定義そのものであり、特定の抵抗における消費電力を計算する際に常に適用できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電流の計算:
   • 戦略: 回路全体の合成抵抗を求め、オームの法則を適用する。
   • フロー: ①合成抵抗は \(R_{\text{全体}} = R_1 + r\) → ②オームの法則 \(V = R_{\text{全体}} I\) → ③\(I = V/(R_1+r)\) を導出。
2. (2) 電圧と電力の計算:
   • 戦略: (1)で求めた電流を使い、まず \(R_1\) にかかる電圧を求め、次に電力の公式に代入する。
   • フロー: ①\(R_1\) にかかる電圧は \(V_{\text{ab}} = R_1 I\) → ②\(I\) を代入して \(V_{\text{ab}}\) を \(V, r, R_1\) で表す → ③電力は \(P = I V_{\text{ab}}\) → ④\(I\) と \(V_{\text{ab}}\) を代入して \(P\) を \(V, r, R_1\) で表す。
3. (3) 最大電力条件の導出:
   • 戦略: \(P\) の式を \(R_1\) の関数とみなし、分母が最小になる条件を数学的に求める。
   • フロー: ①\(P\) が最大 ⇔ 分母 \(\frac{(R_1+r)^2}{R_1}\) が最小、と読み替える → ②分母を展開・整理して \(R_1 + 2r + \frac{r^2}{R_1}\) の形にする → ③平方完成または相加・相乗平均を用いて、この式が最小になる条件を求める → ④条件式を解き、\(R_1=r\) を導出。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字のまま計算を進める: この問題のように、最終的に文字で答えたり、条件を求めたりする問題では、途中で具体的な数値を代入する場面はありません。最後まで文字式の計算に集中しましょう。分数の計算や展開・整理を丁寧に行うことが重要です。
• 分母の変形をマスターする: (3)の分母 \(\frac{(R_1+r)^2}{R_1}\) を最小化する計算は、この種の問題の典型的なパターンです。「展開して変数で割り、相加・相乗平均か平方完成に持ち込む」という流れを、解法のパターンとして覚えておくと非常に強力です。
• 平方完成の応用形: \(a+b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{ab}\) という変形は、相加・相乗平均の証明にも使われるテクニックです。これを覚えておくと、(3)のような式の変形がスムーズにできるようになります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(I = V/(R_1+r)\): 外部抵抗 \(R_1\) が大きいほど電流が小さくなる、内部抵抗 \(r\) が大きいほど電流が小さくなる、という直感と一致しており、妥当です。
  • (2) \(P = \frac{R_1}{(R_1+r)^2}V^2\): \(R_1=0\) のとき \(P=0\)。また、\(R_1 \rightarrow \infty\) のとき、分母が \(R_1^2\) のオーダー、分子が \(R_1\) のオーダーで変化するので \(P \rightarrow 0\) となります。つまり、外部抵抗が小さすぎても大きすぎても電力が取り出せないことを示しており、物理的に妥当な振る舞いです。
  • (3) \(R_1=r\): 上記の通り、\(P\) は \(R_1=0\) と \(R_1=\infty\) で0になるため、その間に最大値が存在するはずです。その条件が、回路の2つの抵抗成分が等しくなるという対称性の良い形になっていることは、非常にそれらしい結果と言えます。
• 別解との比較:
  • (3)の最大値問題は、「平方完成」と「相加・相乗平均」という2つの異なる数学的手法で解くことができました。どちらも同じ \(R_1=r\) という結論を導き出しており、計算の正しさと結論の普遍性を確認できます。自分が得意な方、あるいはその場で思いついた方を使えれば問題ありません。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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