「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第22章】基本問題382～389

基本問題

382 合成容量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの合成と回路計算」です。複数のコンデンサーが組み合わさった回路において、部分的な合成を繰り返して全体の性質を把握し、各コンデンサーにかかる電圧や蓄えられる電気量を正しく計算できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
複雑なコンデンサー回路の合成容量を求める際は、計算しやすい部分から段階的に単純化していくのが基本です。この回路では、まず\(C_2\)と\(C_3\)が並列に接続されている部分を一つの合成コンデンサー\(C_{23}\)と見なします。次に、この\(C_{23}\)と\(C_1\)が直列に接続されていると考えて、回路全体の合成容量\(C\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• 並列接続の合成容量は単純な足し算: \(C_{\text{並列}} = C_2 + C_3\)
• 直列接続の合成容量は逆数の和: \(\displaystyle\frac{1}{C_{\text{直列}}} = \displaystyle\frac{1}{C_1} + \displaystyle\frac{1}{C_{23}}\)
• 単位をμFのまま計算し、最後に必要であればFに変換すると計算が楽になる。

具体的な解説と立式
まず、コンデンサー\(C_2\)と\(C_3\)の並列接続部分の合成容量を\(C_{23}\)とします。並列接続の公式より、
$$ C_{23} = C_2 + C_3 $$
次に、この合成コンデンサー\(C_{23}\)とコンデンサー\(C_1\)は直列に接続されています。したがって、回路全体の合成容量を\(C\)とすると、直列接続の公式より、
$$ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} $$

与えられた値を代入して計算します。単位は[μF]で統一して計算を進めます。
まず、\(C_{23}\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_{23} &= C_2 + C_3 \\[2.0ex]
&= 2.0 + 4.0 \\[2.0ex]
&= 6.0 \, [\text{μF}]
\end{aligned}
$$
次に、この結果を使って全体の合成容量\(C\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{6.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2.0}
\end{aligned}
$$
したがって、両辺の逆数をとって、
$$ C = 2.0 \, [\text{μF}] $$

ごちゃごちゃした回路は、まず「合体」できる部分を探して、少しずつシンプルな形にしていくのがコツです。この問題では、横に並んでいる\(C_2\)と\(C_3\)をまず合体させて一つの大きなコンデンサ\(C_{23}\)にします（並列の合体は単純な足し算）。すると、回路は\(C_1\)と合体後の\(C_{23}\)が一直線に並んだだけのシンプルな形になります。最後にこの2つを直列として合体させれば（直列の合体は逆数の足し算）、回路全体の合成容量が求まります。

ad間の合成容量は\(C = 2.0 \, \text{μF}\)と求められました。この値は、直列接続した\(C_1=3.0 \, \text{μF}\)や\(C_{23}=6.0 \, \text{μF}\)のどちらよりも小さい値です。直列接続では合成容量が元のどのコンデンサーよりも小さくなるという性質と一致しており、妥当な結果です。

問(2), (3)

思考の道筋とポイント
ab間の電位差\(V_1\)とbc間の電位差\(V_2\)という2つの未知数を求めるため、これらを含む独立した方程式を2本立てる必要があります。
1本目は、電圧に関する式です。電源電圧\(V\)は、\(C_1\)にかかる電圧\(V_1\)と、\(C_2\), \(C_3\)の並列部分にかかる電圧\(V_2\)の和に等しくなります（キルヒホッフの第2法則）。
2本目は、電気量に関する式です。点bに注目すると、\(C_1\)から流れ込んだ電気量\(Q_1\)が、\(C_2\)と\(C_3\)にそれぞれ\(Q_2\), \(Q_3\)として分かれていきます（電気量保存則）。
これらの式を\(Q=CV\)の関係を使って\(V_1\)と\(V_2\)の式に直し、連立させて解きます。
この設問における重要なポイント

• 直列部分の電圧の和は全体の電圧: \(V_1 + V_2 = V\)
• 分岐点での電気量の保存: \(Q_1 = Q_2 + Q_3\)
• 各コンデンサーにおける関係式: \(Q_1=C_1V_1\), \(Q_2=C_2V_2\), \(Q_3=C_3V_2\)
• \(C_2\)と\(C_3\)は並列接続なので、かかる電圧は共通で\(V_2\)である。

具体的な解説と立式
まず、回路全体の電圧の関係から、
$$ V_1 + V_2 = V \quad \cdots ① $$
次に、コンデンサーに蓄えられる電気量について考えます。各コンデンサーの電気量を\(Q_1, Q_2, Q_3\)とすると、\(Q=CV\)の関係から、
$$ Q_1 = C_1 V_1 $$
$$ Q_2 = C_2 V_2 $$
$$ Q_3 = C_3 V_2 $$
点bと点cで囲まれた導線部分に注目すると、充電完了後、この部分は電気的に孤立しています。点bに流入する電気量\(Q_1\)は、点bから\(C_2\)と\(C_3\)へ流出する電気量の和に等しくなります。
$$ Q_1 = Q_2 + Q_3 \quad \cdots ② $$
②式に\(Q=CV\)の関係を代入すると、
$$ C_1 V_1 = C_2 V_2 + C_3 V_2 $$
右辺を\(V_2\)でまとめると、
$$ C_1 V_1 = (C_2 + C_3) V_2 \quad \cdots ③ $$
これで、未知数\(V_1, V_2\)に関する2つの式①と③が立ちました。

式③に\(C_1=3.0 \, \text{μF}\), \(C_2=2.0 \, \text{μF}\), \(C_3=4.0 \, \text{μF}\)を代入します。電気容量の単位(μF)は両辺で打ち消し合うので、数値のみで計算できます。
$$
\begin{aligned}
3.0 V_1 &= (2.0 + 4.0) V_2 \\[2.0ex]
3.0 V_1 &= 6.0 V_2 \\[2.0ex]
V_1 &= 2.0 V_2 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
次に、この関係式④を、電圧の式① (\(V_1 + V_2 = 3.0 \times 10^2\)) に代入します。
$$
\begin{aligned}
(2.0 V_2) + V_2 &= 3.0 \times 10^2 \\[2.0ex]
3.0 V_2 &= 3.0 \times 10^2 \\[2.0ex]
V_2 &= 1.0 \times 10^2 \, [\text{V}]
\end{aligned}
$$
最後に、求まった\(V_2\)を④に代入して\(V_1\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= 2.0 V_2 \\[2.0ex]
&= 2.0 \times (1.0 \times 10^2) \\[2.0ex]
&= 2.0 \times 10^2 \, [\text{V}]
\end{aligned}
$$

知りたいものが\(V_1\)と\(V_2\)の2つなので、中学校で習った連立方程式のように、式を2本作って解くことを目指します。
1本目の式は簡単で、電圧の合計の式です。「\(V_1\)と\(V_2\)を足すと、全体の電圧\(V\)になる」という式 (\(V_1+V_2=V\))。
2本目の式は電気の流れに関する式です。\(C_1\)を通過した電気\(Q_1\)が、その後\(C_2\)と\(C_3\)の2つに分かれて流れるので、「\(Q_1 = Q_2 + Q_3\)」という式が作れます。このままだと文字が違うので、\(Q=CV\)を使ってすべて電圧の式に書き換えてあげると、2本目の式が完成します。あとはこの2本を連立させて解けばOKです。

ab間の電位差は\(V_1 = 2.0 \times 10^2 \, \text{V}\)、bc間の電位差は\(V_2 = 1.0 \times 10^2 \, \text{V}\)と求まりました。
和は\(V_1+V_2 = 200 + 100 = 300 \, \text{V}\)となり、電源電圧\(V=3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)と一致します。
また、\(C_1\)と合成容量\(C_{23}\)は直列接続されており、その容量は\(C_1=3.0 \, \text{μF}\), \(C_{23}=6.0 \, \text{μF}\)で、比は\(1:2\)です。直列接続では電気量が等しいため、\(Q=CV\)より電圧は容量の逆比になります。したがって、電圧の比\(V_1:V_2\)は\(2:1\)となるはずで、計算結果(\(V_1=200V, V_2=100V\))と一致しており、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
各コンデンサーに蓄えられる電気量\(Q_1, Q_2, Q_3\)を求める問題です。(2), (3)で各部分にかかる電圧\(V_1, V_2\)がすでに求まっているので、あとはそれぞれのコンデンサーについて\(Q=CV\)の公式を適用するだけです。
この設問における重要なポイント

• \(C_1\)にかかる電圧は\(V_1\)である。
• \(C_2\)と\(C_3\)は並列接続なので、両方にかかる電圧は共通で\(V_2\)である。
• 計算の際は、電気容量をF（ファラド）の単位に直す (\(1 \text{μF} = 10^{-6} \text{F}\))。

具体的な解説と立式
各コンデンサーについて、\(Q=CV\)の公式を立てます。
コンデンサー\(C_1\)について:
$$ Q_1 = C_1 V_1 $$
コンデンサー\(C_2\)について:
$$ Q_2 = C_2 V_2 $$
コンデンサー\(C_3\)について:
$$ Q_3 = C_3 V_2 $$

(2), (3)で求めた\(V_1 = 2.0 \times 10^2 \, \text{V}\), \(V_2 = 1.0 \times 10^2 \, \text{V}\)と、与えられた電気容量の値を代入します。
\(C_1 = 3.0 \, \text{μF} = 3.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(C_2 = 2.0 \, \text{μF} = 2.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(C_3 = 4.0 \, \text{μF} = 4.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V_1 \\[2.0ex]
&= (3.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (2.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= C_2 V_2 \\[2.0ex]
&= (2.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (1.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 2.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_3 &= C_3 V_2 \\[2.0ex]
&= (4.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (1.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 4.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$

それぞれのコンデンサーがどれくらいの電気を蓄えているかを知る問題です。電気の量は「容量 × 電圧」で決まります。前の問題で各コンデンサーにかかる電圧（\(V_1\)と\(V_2\)）はもう分かっているので、それぞれの容量と電圧を掛け算してあげるだけで答えが出ます。\(C_2\)と\(C_3\)には同じ電圧\(V_2\)がかかっていることに注意しましょう。

各コンデンサーの電気量は、\(Q_1 = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\), \(Q_2 = 2.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\), \(Q_3 = 4.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\)と求められました。
ここで検算として、電気量保存則\(Q_1 = Q_2 + Q_3\)が成り立っているか確認します。
\(Q_2 + Q_3 = (2.0 \times 10^{-4}) + (4.0 \times 10^{-4}) = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\)
これは\(Q_1\)の値と一致しており、計算が正しいことが裏付けられます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの接続ルールと基本公式の組み合わせ:
  • 核心: この問題の根幹は、コンデンサーの「直列接続」と「並列接続」のルールを正しく理解し、それらを基本公式 \(Q=CV\) やキルヒホッフの法則と組み合わせて、回路の未知量を体系的に解き明かす能力にあります。
  • 理解のポイント:
    • 合成容量（回路の単純化）: 複雑な回路も、部分的な合成を繰り返すことで、最終的に一つのコンデンサーと見なせます。並列は \(C = C_1+C_2\)、直列は \(\displaystyle\frac{1}{C} = \displaystyle\frac{1}{C_1}+\displaystyle\frac{1}{C_2}\) というルールは、回路を分析するための第一歩です。
    • 電圧則（キルヒホッフ第2法則）: 直列部分では、各部分にかかる電圧の和が全体の電圧に等しくなります (\(V = V_1+V_2\))。これはエネルギー保存則の一つの現れです。
    • 電気量保存則（キルヒホッフ第1法則）: 回路の分岐点では、流れ込む電気量と流れ出す電気量の和が等しくなります (\(Q_1 = Q_2+Q_3\))。これは電荷が勝手に消えたり生まれたりしないという大原則に基づいています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチの切り替え問題: 充電後にスイッチを切り替えて別の回路に接続する問題。この場合、「切り替えによって電気的に孤立した部分の電気量の和は保存される」という法則が鍵になります。
  • コンデンサーへの誘電体の挿入: 充電後にコンデンサーの極板間に誘電体を挿入する問題。誘電体を入れると電気容量\(C\)が変化するため、\(Q=CV\)の関係から電圧\(V\)や電気量\(Q\)がどう変化するかを追跡します。電池に繋がったままか、切り離されているかで条件が変わる点に注意が必要です。
  • 抵抗を含むRC回路: コンデンサーと抵抗が混在する回路の過渡現象（充電・放電の途中過程）を扱う問題。微分方程式を解くか、時定数 \(\tau=CR\) の概念を用いて電流や電圧の時間変化を考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路図の接続関係を把握: まず、どのコンデンサーが直列で、どれが並列かを正確に色分けするなどして把握します。
  2. 解法のルート選択:
     • ルートA（模範解答）: 未知の電圧や電気量を文字で置き、電圧則と電気量保存則で連立方程式を立てる。最も正攻法で、どんな問題にも適用しやすい。
     • ルートB（別解）: まず全体の合成容量を求め、総電気量を計算し、そこから部分の電圧・電気量を逆算していく。計算がシンプルになる場合が多く、特に合成容量を問う設問がある場合に有効。
  3. 電気的に孤立した部分を探す: スイッチ操作や複雑な回路では、「どの部分の電荷の合計が保存されるか」を見抜くことが突破口になることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列と並列の公式の混同:
  • 誤解: 直列接続と並列接続の合成容量の公式を逆に覚えてしまう。抵抗の合成公式と混同しやすい。
  • 対策: 「並列にすると板の面積が増えるイメージ \(\rightarrow\) 容量は増える（単純な和）」、「直列にすると極板間隔が広がるイメージ \(\rightarrow\) 容量は減る（逆数の和）」のように、物理的なイメージと結びつけて覚えましょう。
• 電圧と電気量の分配の勘違い:
  • 誤解: 直列接続で「電圧」が等しく、並列接続で「電気量」が等しいと勘違いする。
  • 対策: 正しくは「直列 \(\rightarrow\) 電気量が等しい」「並列 \(\rightarrow\) 電圧が等しい」です。直列は一本道なので流れる電気は同じ、並列は同じ高さ（電位）の場所に繋がっているので電圧が同じ、と覚えましょう。
• 単位のミス:
  • 誤解: 電気容量の単位をμF（マイクロファラド）のまま、電圧V（ボルト）と掛けて電気量C（クーロン）を計算してしまう。
  • 対策: 計算の際は、必ずSI基本単位に変換する癖をつけます。\(C=3.0 \, \text{μF}\) を見たら、即座に \(C=3.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\) と書き直すことを徹底しましょう。ただし、容量の比を計算する場合など、単位が約分される場合はその限りではありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 連立方程式アプローチ（主たる解法）:
  • 選定理由: (2), (3)で未知数が\(V_1, V_2\)の2つあったため、数学の基本に立ち返り「未知数が2つなら、独立した式が2本必要」と考えます。物理法則の中で、この回路に適用できる独立した法則は「電圧則」と「電気量保存則」の2つです。これらを用いることで、確実に解けるという論理的な必然性からこのアプローチが選ばれます。
  • 適用根拠: キルヒホッフの法則は、どのような定常状態の電気回路にも普遍的に成り立つ基本法則です。したがって、これに基づいて立式すれば、必ず物理的に正しい関係を記述できます。
• 合成容量アプローチ（別解）:
  • 選定理由: (1)でわざわざ「回路全体の合成容量」を計算させた、という問題の流れに着目します。この結果を使わない手はない、と考えるのが自然です。回路全体を一つのコンデンサーと見なすことで、問題をよりマクロな視点から捉え直し、連立方程式というミクロな計算を回避できます。
  • 適用根拠: 「合成容量」という概念自体が、複数のコンデンサーの集まりを、同じ電圧をかけたときに同じ総電気量を蓄える「等価な一つのコンデンサー」に置き換える、という考え方に基づいています。したがって、\(Q_{\text{全体}} = C_{\text{合成}}V\) という関係は定義そのものであり、物理的に完全に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位付きの計算: (1)のように、単位が相殺されない場合は、式の途中に[μF]などの単位を書き込むと、最終的な答えの単位を間違えにくくなります。
• 連立方程式の整理:
  1. まずは物理法則から\(V_1, V_2, Q_1, Q_2, Q_3\)など多くの文字を使って素直に立式する。
  2. \(Q=CV\)の関係を使って、求めるべき変数（この場合は\(V_1, V_2\)）だけで式を整理し直す。
  3. 代入する前に、一方の変数をもう一方の変数で表す（例: \(V_1 = 2.0 V_2\)）など、できるだけ式を簡単な形にしてから代入すると、計算ミスが減ります。
• 検算の習慣化:
  • (4)で求めた\(Q_2, Q_3\)を足して\(Q_1\)と一致するか確認する、といった検算は非常に有効です。
  • (2),(3)の別解のように、直列接続では電気量が等しいことから、電圧は容量の逆比 (\(V_1:V_2 = C_{23}:C_1\)) になるはずだ、という物理的な性質を使って答えの妥当性をチェックする癖をつけましょう。今回の場合は \(V_1:V_2 = 6.0:3.0 = 2:1\) となり、計算結果 \(200\text{V}:100\text{V}\) と一致することを確認できます。

383 耐電圧

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの耐電圧」です。コンデンサーには安全に使用できる電圧の上限（耐電圧）があり、それを超えると壊れてしまいます。複数のコンデンサーを接続した際に、回路全体としてどこまで電圧をかけられるのかを、接続方法（並列・直列）に応じて正しく判断できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
AとBを並列に接続した場合、両者には全く同じ電圧\(V\)がかかります。コンデンサーAは\(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)まで、Bは\(6.0 \times 10^2 \, \text{V}\)まで耐えられます。もし、かけた電圧\(V\)が\(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)を超えると、Bは耐えられますがAは壊れてしまいます。したがって、回路全体として安全にかけられる電圧は、2つの耐電圧のうち、より小さい方によって決まります。
この設問における重要なポイント

• 並列接続では、各要素にかかる電圧は等しい。
• 回路全体の耐電圧は、構成要素のうち最も耐電圧が低いものによって制限される。

具体的な解説と立式
コンデンサーAの耐電圧を\(V_{\text{A,最大}}\)、コンデンサーBの耐電圧を\(V_{\text{B,最大}}\)とします。
\(V_{\text{A,最大}} = 3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)
\(V_{\text{B,最大}} = 6.0 \times 10^2 \, \text{V}\)
並列接続したとき、全体にかかる電圧を\(V_1\)とすると、Aにかかる電圧もBにかかる電圧も\(V_1\)です。
回路が壊れないためには、AとBの両方がそれぞれの耐電圧を超えないことが条件となります。
$$ V_1 \le V_{\text{A,最大}} $$
$$ V_1 \le V_{\text{B,最大}} $$
この2つの条件を同時に満たす\(V_1\)の最大値が、全体としての耐電圧です。したがって、
$$ V_{1, \text{最大}} = \min(V_{\text{A,最大}}, V_{\text{B,最大}}) $$
ここで、\(\min(a, b)\)はaとbのうち小さい方の値を表します。

与えられた値を比較します。
$$ V_{\text{A,最大}} = 3.0 \times 10^2 \, \text{V} $$
$$ V_{\text{B,最大}} = 6.0 \times 10^2 \, \text{V} $$
このうち小さい方の値を選ぶので、
$$ V_{1, \text{最大}} = 3.0 \times 10^2 \, \text{V} $$

AさんとBさんがいて、Aさんは30kgまで、Bさんは60kgまで荷物を持てるとします。この2人が並んで、同じ一つの荷物を持つ場合、何kgまでなら安全に運べるでしょうか？ もし30kgを超える荷物を持たせたら、Bさんは平気でもAさんは潰れてしまいます。なので、安全なのはAさんの限界である30kgまでです。コンデンサーの並列接続もこれと同じで、2つの耐電圧のうち、低い方の電圧までしかかけることができません。

並列接続したときの全体の耐電圧は\(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)となります。これはコンデンサーAの耐電圧と同じ値です。この電圧をかけたとき、Aはちょうど限界ですが、Bは耐電圧\(6.0 \times 10^2 \, \text{V}\)の半分しか電圧がかかっていないので安全です。理にかなった結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
AとBを直列に接続した場合、両者に蓄えられる電気量\(Q\)が等しくなります。しかし、かかる電圧\(V_A, V_B\)は電気容量が異なるため、等しくありません。\(Q=C_A V_A = C_B V_B\)の関係から、電圧は電気容量の逆比に分配されます。
全体の電圧を上げていくと、AかBのどちらかが先に自身の耐電圧に達します。どちらが先に限界に達するかを判断し、その瞬間の全体の電圧（\(V_2 = V_A + V_B\)）を計算することが、この問題のゴールです。
この設問における重要なポイント

• 直列接続では、各コンデンサーに蓄えられる電気量\(Q\)が等しい。
• 各コンデンサーにかかる電圧は、\(Q=CV\)より\(V=Q/C\)となり、電気容量に反比例する。(\(V_A : V_B = \displaystyle\frac{1}{C_A} : \displaystyle\frac{1}{C_B}\))
• どちらかのコンデンサーが耐電圧に達したときが回路全体の限界となる。

具体的な解説と立式
直列接続なので、各コンデンサーに蓄えられる電気量を\(Q\)とすると、これは共通です。
Aにかかる電圧を\(V_A\)、Bにかかる電圧を\(V_B\)とすると、
$$ Q = C_A V_A $$
$$ Q = C_B V_B $$
したがって、\(C_A V_A = C_B V_B\)が成り立ちます。この式から、電圧の比を求めます。
$$ \frac{V_A}{V_B} = \frac{C_B}{C_A} $$
ここで、どちらが先に耐電圧に達するかを調べるために、2つのケースを考えます。
ケース1: Aが先に耐電圧に達する場合
\(V_A = 3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)と仮定します。このときの\(V_B\)を計算し、Bの耐電圧(\(6.0 \times 10^2 \, \text{V}\))を超えていないか確認します。
ケース2: Bが先に耐電圧に達する場合
\(V_B = 6.0 \times 10^2 \, \text{V}\)と仮定します。このときの\(V_A\)を計算し、Aの耐電圧(\(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\))を超えていないか確認します。
両方の耐電圧を超えない、より厳しい条件の方が、実際に起こる限界の状況です。そのときの電圧の和 \(V_2 = V_A + V_B\) が求める耐電圧となります。

まず、電圧の比を計算します。
\(C_A = 4.0 \, \text{μF}\), \(C_B = 1.0 \, \text{μF}\) なので、
$$ \frac{V_A}{V_B} = \frac{C_B}{C_A} = \frac{1.0}{4.0} = \frac{1}{4} $$
よって、\(V_B = 4V_A\) という関係があります。

ケース1: Aが耐電圧 \(V_A = 3.0 \times 10^2 \, \text{V}\) に達したと仮定する。
このとき、Bにかかる電圧は、
$$
\begin{aligned}
V_B &= 4 V_A \\[2.0ex]
&= 4 \times (3.0 \times 10^2) \\[2.0ex]
&= 12 \times 10^2 \, \text{V} = 1.2 \times 10^3 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
この値はBの耐電圧 \(6.0 \times 10^2 \, \text{V}\) を超えてしまっています。したがって、この状況は実現する前にBが壊れてしまうため不適です。

ケース2: Bが耐電圧 \(V_B = 6.0 \times 10^2 \, \text{V}\) に達したと仮定する。
このとき、Aにかかる電圧は、
$$
\begin{aligned}
V_A &= \frac{1}{4} V_B \\[2.0ex]
&= \frac{1}{4} \times (6.0 \times 10^2) \\[2.0ex]
&= 1.5 \times 10^2 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
この値はAの耐電圧 \(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\) を超えていません。したがって、この状況は安全に実現可能です。

よって、回路の限界はBが耐電圧に達したときであり、そのときの各電圧は \(V_A = 1.5 \times 10^2 \, \text{V}\), \(V_B = 6.0 \times 10^2 \, \text{V}\) です。
全体の耐電圧\(V_2\)はこれらの和なので、
$$
\begin{aligned}
V_2 &= V_A + V_B \\[2.0ex]
&= (1.5 \times 10^2) + (6.0 \times 10^2) \\[2.0ex]
&= 7.5 \times 10^2 \, \text{V}
\end{aligned}
$$

直列につなぐと、電気の通り道は一本なので、AとBを流れる電気の量（電気量）は同じになります。しかし、コンデンサーの性能（電気容量）が違うため、かかる電圧は異なります。性能が低い（容量が小さい）Bの方に、より多くの電圧がかかります（具体的には4倍）。
全体の電圧を上げていくと、どちらが先に限界の電圧に達するか？というチキンレースです。計算してみると、電圧が多くかかるBの方が、Aよりも先に自分の耐電圧に達してしまうことがわかります。したがって、回路全体の限界は「Bが耐電圧に達した瞬間」で決まります。その瞬間のAの電圧とBの電圧を足したものが、全体の耐電圧になります。

直列接続したときの全体の耐電圧は \(7.5 \times 10^2 \, \text{V}\) となりました。このとき、コンデンサーBには限界の\(6.0 \times 10^2 \, \text{V}\)がかかり、Aには\(1.5 \times 10^2 \, \text{V}\)がかかっています。Aはまだ余裕がありますが、これ以上全体の電圧を上げるとBが壊れてしまう、という限界状態を正しく表しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 接続方法による制約条件の変化
  • 核心: この問題の根幹は、コンデンサーの接続方法（並列か直列か）によって、回路の限界を決定する「制約条件」が根本的に異なることを理解する点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続の制約: 「電圧が共通」であるため、回路の限界は各コンデンサーの「耐電圧」のうち、最も小さいものによって決まります。一番先に電圧の限界に達するコンデンサーが、全体の限界を決定します。
    • 直列接続の制約: 「電気量が共通」であるため、回路の限界は各コンデンサーが蓄えられる「最大の電気量（耐電気量）」のうち、最も小さいものによって決まります。一番先に電気量の限界（お腹がいっぱいになる状態）に達するコンデンサーが、全体の限界を決定します。
• マクロな限界とミクロな状態の連携
  • 核心: 回路全体としての限界（マクロな耐電圧）を考えるには、その瞬間に個々のコンデンサー（ミクロな要素）がどのような状態（電圧、電気量）にあるかを正確に把握し、それらを足し合わせる必要があります。
  • 理解のポイント:
    • (2)では、まず「Bが限界に達する」というミクロな限界点を特定しました。
    • 次に、そのときの相方であるAの状態（\(V_A = 1.5 \times 10^2 \, \text{V}\)）を計算しました。
    • 最後に、これらのミクロな電圧を合計することで、マクロな全体の耐電圧 \(V_2 = V_A + V_B\) を導き出しました。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる種類の素子との接続: コンデンサーとダイオード（順方向・逆方向で性質が異なる）や、豆電球（一定の電圧・電流で切れる）などを接続した場合の回路全体の限界を求める問題。各素子の限界条件（電圧、電流、電力など）を正しく理解し、接続方法に応じてどの制約が支配的になるかを考える点で本問と共通します。
  • 3つ以上のコンデンサーの耐電圧: 3つ以上のコンデンサーが複雑に接続された回路の耐電圧を求める問題。部分的な合成（並列・直列）を行いながら、どの部分が最初に限界に達するかを段階的に絞り込んでいく必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「耐電圧」という言葉に反応: 問題文に「耐電圧」とあったら、それは「最大値・限界を考える問題」であると即座に認識します。
  2. 接続方法を確認: まず、並列か直列かを確認します。
     • 並列なら思考はシンプル: 「一番弱い奴に合わせる」→ 耐電圧の最小値が答え。
     • 直列なら一手間かかる: 「電圧は等しくない」と認識し、限界を決めるのが電圧なのか電気量なのかを考えます。
  3. 直列接続での思考ルート選択:
     • ルートA（電圧比で考える）: \(V_A:V_B\)の比を求め、どちらが先に耐電圧に達するか場合分けで検証する。
     • ルートB（耐電気量で考える）: 各々の\(Q_{\text{最大}}\)を計算し、小さい方を回路の限界\(Q_{\text{回路,最大}}\)として採用する。こちらの方が見通しが良い場合が多い。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列接続の耐電圧の誤解:
  • 誤解: 直列接続の耐電圧を、単純に個々の耐電圧の和 (\(V_{\text{A,最大}} + V_{\text{B,最大}}\)) だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 直列接続では電圧は均等に分配されない（分圧される）ことを常に意識します。\(V_A + V_B\) が全体の電圧になるのは正しいですが、その限界値は、AとBが「同時に」それぞれの耐電圧に達するときだけではありません。本問のように、片方が限界に達したとき、もう片方はまだ余裕がある、という状況が普通です。
• 容量と電圧の関係の混同:
  • 誤解: 電気容量が大きいコンデンサーほど、多くの電圧がかかると勘違いする。
  • 対策: 直列接続では電気量\(Q\)が一定なので、\(V=Q/C\) の関係から「電気容量\(C\)が小さいほど、かかる電圧\(V\)は大きくなる」という逆比の関係を正確に理解することが重要です。容量が小さいコンデンサーは「電圧がかかりやすい」と覚えましょう。
• 場合分けの論理ミス:
  • 誤解: (2)の主たる解法で、ケース1（Aが先に限界）を計算し、そのときの\(V_B\)がBの耐電圧を超えたから「これが答えだ」と勘違いし、\(V_A+V_B\)を計算してしまう。
  • 対策: 「不適」と判断したケースは、「その状況は物理的に起こり得ない」という意味です。必ず、もう一方の「適した」ケースが答えの根拠になることを理解しましょう。両方のケースを検討し、矛盾なく成立する方を選ぶ、という手順を徹底します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 並列接続での最小値選択:
  • 選定理由: (1)では、並列接続の物理的定義「各要素にかかる電圧は等しい」という一点から論理的に導かれます。回路にかけた電圧\(V_1\)が、そのまま\(V_A\)であり\(V_B\)でもあるため、\(V_1\)が\(V_{\text{A,最大}}\)と\(V_{\text{B,最大}}\)の両方を超えないための条件は、数学的に「\(V_1 \le \min(V_{\text{A,最大}}, V_{\text{B,最大}})\)」となります。
  • 適用根拠: これは「鎖の強度は、最も弱い輪で決まる」という原則と同じです。並列回路というシステム全体の強度は、最も電圧に弱い部品によって決まります。
• 直列接続での耐電気量アプローチ:
  • 選定理由: (2)の別解では、直列接続の物理的定義「各要素を流れる（蓄えられる）電気量は等しい」という本質に直接アプローチしています。回路の限界を電圧ではなく、より根源的な「電気量」という共通の指標で評価することで、場合分けという複雑な思考を回避できます。
  • 適用根拠: 回路に流せる電気量の上限は、ボトルネックとなるコンデンサー、すなわち最も少ない電気量しか蓄えられないコンデンサーによって決まります。この限界電気量\(Q_{\text{回路,最大}}\)が定まれば、\(V=Q/C\)という基本法則に従って、そのときの各部の電圧、ひいては全体の電圧が一意に決まる、という論理に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報の整理: 問題を解き始める前に、与えられた情報をコンデンサーごとに整理して書き出すと有効です。
  • A: \(C_A = 4.0 \, \text{μF}\), \(V_{\text{A,最大}} = 3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)
  • B: \(C_B = 1.0 \, \text{μF}\), \(V_{\text{B,最大}} = 6.0 \times 10^2 \, \text{V}\)
  • (別解のように) ここからさらに \(Q_{\text{A,最大}}\), \(Q_{\text{B,最大}}\) を計算して書き加えておくと、思考が整理されます。
• 指数の計算を丁寧に: \(10^n\) の計算はミスの温床です。特に、\( (4.0 \times 10^{-6}) \times (3.0 \times 10^2) = (4.0 \times 3.0) \times 10^{-6+2} = 12 \times 10^{-4} \) のように、係数部分と指数部分を分けて計算する癖をつけましょう。
• 比の計算を有効活用: (2)の主たる解法のように、\(V_A:V_B = C_B:C_A = 1:4\) という比の関係を最初に確定させることで、その後の計算の見通しが非常に良くなります。「どちらか一方の電圧が決まれば、もう一方も自動的に決まる」という関係性を利用することで、思考をシンプルに保てます。

384 金属板の挿入

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーへの金属板の挿入とスイッチの操作」です。コンデンサーの極板間に金属板を挿入したときの電気容量の変化や、スイッチを開閉することで「電圧一定」なのか「電気量一定」なのかという条件がどう変わるのかを正しく理解し、電気量、電位、エネルギーなどを計算できるかが問われます。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じた直後の、図1の状態におけるコンデンサーの静電エネルギーを求める問題です。問題文で電気容量が\(C\)、電池の起電力が\(V\)と与えられています。これらの文字を使って静電エネルギーを表す公式を選択して適用します。
この設問における重要なポイント

• 静電エネルギーの公式は \(U=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\), \(U=\displaystyle\frac{1}{2}QV\), \(U=\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\) の3つがある。
• 問題で与えられている文字（\(C\)と\(V\)）を直接使える公式を選ぶのが最も効率的。

具体的な解説と立式
コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーを表す公式は3種類あります。
$$ U = \frac{1}{2}CV^2 $$
$$ U = \frac{1}{2}QV $$
$$ U = \frac{Q^2}{2C} $$
この問題では、電気容量\(C\)と極板間の電位差（電池の電圧）\(V\)が与えられているため、最初の式 \(U=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) を使うのが最も直接的です。

公式に与えられた文字をそのまま適用するだけなので、これ以上の計算は不要です。
$$ U = \frac{1}{2}CV^2 $$

コンデンサーに蓄えられるエネルギーを求める問題です。物理には便利な公式がいくつか用意されていて、今回は「容量\(C\)」と「電圧\(V\)」が分かっているので、\(U = \displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) という公式をそのまま使えば答えが出ます。

コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは \(U=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) と表せます。これは基本的な公式そのものであり、問題ありません。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチを閉じたまま、厚さ\(\displaystyle\frac{d}{2}\)の金属板Pを極板A, Bの中央に挿入したときの、Aからの距離と電位の関係をグラフにする問題です。
重要なポイントは以下の通りです。
1. スイッチは閉じているので、A-B間の電位差は\(V\)に保たれる。
2. 金属板Pは導体なので、その内部は電場が0であり、全体が等電位になる。
3. 電場が存在するのは、極板Aと金属板Pの間、および金属板Pと極板Bの間のみである。
4. A-P間とP-B間の距離は等しいので、それぞれの空間の電場の強さも等しくなる。
これらの性質を元に、電位がどのように変化していくかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 導体（金属板）の内部は電場が0で、等電位。
• 電位のグラフの傾きは、電場の強さ（のマイナス）を表す。電場が0なら傾きも0（水平）、電場が一定なら傾きも一定（直線）。
• A-B間の電位差は\(V\)に保たれる。

具体的な解説と立式
極板Aの電位を\(V\)、極板Bの電位を0とします（Bが接地されているため）。
金属板Pは厚さ\(\displaystyle\frac{d}{2}\)で、中央に置かれているので、極板Aから金属板Pの表面までの距離は\(\displaystyle\frac{d}{4}\)、金属板Pのもう一方の表面から極板Bまでの距離も\(\displaystyle\frac{d}{4}\)です。
A-P間とP-B間の距離はともに\(\displaystyle\frac{d}{4}\)で等しく、対称性からそれぞれの電場の強さ\(E\)も等しくなります。
全体の電位差\(V\)は、電場がある区間の電位降下の合計に等しくなります。
$$ V = E \cdot \frac{d}{4} + E \cdot \frac{d}{4} $$
この式を整理すると、
$$ V = E \cdot \frac{d}{2} $$
これより、電場の強さは \(E = \displaystyle\frac{2V}{d}\) となります。
金属板Pの電位\(V_P\)は、Aの電位からA-P間の電位降下分を引いたものなので、
$$ V_P = V – E \cdot \frac{d}{4} $$
この式に\(E = \displaystyle\frac{2V}{d}\)を代入してグラフの要点を計算します。

$$
\begin{aligned}
V_P &= V – \left(\frac{2V}{d}\right) \cdot \frac{d}{4} \\[2.0ex]
&= V – \frac{V}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{2}
\end{aligned}
$$
この結果から、グラフは以下のようになります。

• \(x=0\)で電位\(V\)。
• \(x=0\)から\(x=\displaystyle\frac{d}{4}\)まで、電位は直線的に\(\displaystyle\frac{V}{2}\)まで減少。
• \(x=\displaystyle\frac{d}{4}\)から\(x=\displaystyle\frac{3}{4}d\)まで、電位は\(\displaystyle\frac{V}{2}\)で一定。
• \(x=\displaystyle\frac{3}{4}d\)から\(x=d\)まで、電位は直線的に0まで減少。

電位のグラフは、電気的な世界の「坂道」の様子を描くようなものです。

• A地点は高さ\(V\)、B地点は高さ0です。
• 金属板Pは導体なので、電気的な「踊り場」のようなもので、板の上はどこでも同じ高さ（等電位）になります。
• AからPまでの隙間と、PからBまでの隙間は、同じ長さの「坂」になります。
• 全体の高さの差が\(V\)で、坂道は2区間あるので、それぞれの坂で高さが\(\displaystyle\frac{V}{2}\)ずつ下がることになります。
• したがって、A(高さ\(V\)) \(\rightarrow\) [坂を下る] \(\rightarrow\) Pの上面(高さ\(\displaystyle\frac{V}{2}\)) \(\rightarrow\) [平坦な踊り場] \(\rightarrow\) Pの下面(高さ\(\displaystyle\frac{V}{2}\)) \(\rightarrow\) [坂を下る] \(\rightarrow\) B(高さ0) というグラフになります。

描かれたグラフは、A(\(x=0\))で電位\(V\)、B(\(x=d\))で電位0となり、全体の電位差が\(V\)という条件を満たしています。また、金属板内部(\(\displaystyle\frac{d}{4} < x < \displaystyle\frac{3}{4}d\))で電位が一定(\(\displaystyle\frac{V}{2}\))になっており、導体の性質を正しく反映しています。グラフの傾き（電場）が隙間部分で一定かつ金属内部で0となっており、物理的に妥当なグラフです。

問(3)

思考の道筋とポイント
金属板を挿入した状態での極板Aの電気量\(Q\)を求めます。スイッチは閉じているので、極板間の電圧は\(V\)のままです。金属板を挿入したことで、コンデンサーの電気容量が変化しています。この新しい電気容量を\(C’\)とすると、求める電気量は\(Q=C’V\)で計算できます。
金属板の挿入は、極板間隔が狭くなる効果をもたらします。厚さ\(\displaystyle\frac{d}{2}\)の金属板を挿入すると、電場が存在する空間の合計の長さは \(d – \displaystyle\frac{d}{2} = \displaystyle\frac{d}{2}\) となります。これは、極板間隔が\(\displaystyle\frac{d}{2}\)になったコンデンサーと等価です。
電気容量は極板間隔に反比例する(\(C \propto \displaystyle\frac{1}{d}\))ので、間隔が半分になれば、容量は2倍になります。
この設問における重要なポイント

• スイッチが閉じているので電圧は\(V\)で一定。
• 厚さ\(x\)の金属板を挿入すると、実効的な極板間隔は\(d-x\)になる。
• 電気容量は極板間隔に反比例する。

具体的な解説と立式
元の電気容量を\(C = \epsilon \displaystyle\frac{S}{d}\)とします。
厚さ\(\displaystyle\frac{d}{2}\)の金属板を挿入した後の新しい電気容量を\(C’\)とします。これは、極板間隔が実質的に \(d’ = d – \displaystyle\frac{d}{2} = \displaystyle\frac{d}{2}\) になったと見なせます。
$$ C’ = \epsilon \frac{S}{d’} = \epsilon \frac{S}{d/2} $$
したがって、新しい容量\(C’\)は元の容量\(C\)の2倍になります。
$$ C’ = 2 \left( \epsilon \frac{S}{d} \right) = 2C $$
この状態で蓄えられる電気量\(Q\)は、電圧が\(V\)であることから、
$$ Q = C’V $$

$$
\begin{aligned}
Q &= C’V \\[2.0ex]
&= (2C)V \\[2.0ex]
&= 2CV
\end{aligned}
$$

金属板をコンデンサーの間に挟むと、コンデンサーの性能（電気容量）がアップします。隙間が実質的に半分になったのと同じ効果があり、容量は2倍になります。
スイッチはつながったままなので、電圧は\(V\)で変わりません。求める電気量は「性能 × 電圧」なので、性能が2倍になった分、蓄えられる電気の量も2倍になります。元の電気量は\(CV\)だったので、答えは\(2CV\)です。

金属板を挿入した後の電気量は\(Q=2CV\)と求められました。金属板を挿入すると容量が増加し、電圧が一定なら電気量も増加するという結果は物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)の状態でスイッチSを開き、その後に金属板Pを取り去ったときの極板間の電位差\(V’\)を求めます。
ここでの最大のポイントは、スイッチを開いたことにより、コンデンサーが回路から電気的に孤立することです。これにより、極板に蓄えられている電気量\(Q\)が一定に保たれます。
(3)で求めた電気量\(Q=2CV\)が保存されたまま、金属板を取り去ることで、コンデンサーの電気容量は元の\(C\)に戻ります。
この新しい状態（電気量\(Q=2CV\)、容量\(C\)）での電位差\(V’\)を、\(Q=CV\)の公式を書き換えた\(V’=Q/C\)で求めます。
この設問における重要なポイント

• スイッチを開くと、電気量\(Q\)が保存される。
• 金属板を取り去ると、電気容量は元の\(C\)に戻る。
• 保存された電気量と、元に戻った容量から、新しい電圧を計算する。

具体的な解説と立式
スイッチを開いた瞬間の電気量は、(3)で求めた\(Q=2CV\)です。スイッチを開いた後は、この電気量が保存されます。
$$ Q_{\text{保存}} = 2CV $$
次に、金属板Pを取り去ると、コンデンサーの極板間隔は\(d\)に戻り、電気容量も元の\(C\)に戻ります。
この状態での電位差を\(V’\)とすると、コンデンサーの基本式\(Q=CV\)より、
$$ Q_{\text{保存}} = C V’ $$
この2つの式から\(Q_{\text{保存}}\)を消去して\(V’\)を求めます。
$$ C V’ = 2CV $$

立式した \(C V’ = 2CV\) の両辺を\(C\)で割ります。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{2CV}{C} \\[2.0ex]
&= 2V
\end{aligned}
$$

スイッチを切ると、コンデンサーは電気を蓄えたまま孤立します。このときの電気の量は(3)で求めた\(2CV\)です。
次に、間に挟まっていた金属板を抜き取ると、コンデンサーの性能（容量）が元の\(C\)にダウンします。
「電気の量 = 性能 × 電圧」の関係は常に成り立ちます。今、電気の量は\(2CV\)のままで、性能が\(C\)に下がったので、その分だけ電圧\(V’\)が上がらないと帳尻が合いません。計算すると、電圧は元の2倍の\(2V\)になります。

最終的な電位差は\(V’=2V\)となりました。孤立したコンデンサーの間隔を広げる（容量を小さくする）と、静電エネルギーが増加し、その分だけ電位差が大きくなるという物理的な性質と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 「電圧一定」と「電気量一定」の条件変化
  • 核心: この問題の根幹は、スイッチの開閉によってコンデンサーが置かれる状況が劇的に変化し、それに伴って「保存される物理量」が変わることを理解する点にあります。
  • 理解のポイント:
    • スイッチON（電池接続時）: コンデンサーは常に電池という「電圧の供給源」に繋がれているため、極板間の電位差は常に電池の電圧\(V\)に保たれます。このとき、電気容量\(C\)が変化すれば、\(Q=CV\)に従って電気量\(Q\)が変化します（電荷が電池との間で移動する）。
    • スイッチOFF（電池切断後）: コンデンサーは電気的に孤立した「島」になります。電荷の逃げ場も供給源もないため、極板に蓄えられた電気量\(Q\)が一定に保たれます。このとき、電気容量\(C\)が変化すれば、\(V=Q/C\)に従って電圧\(V\)が変化します。
• 金属板挿入による電気容量の変化
  • 核心: 導体である金属板を挿入すると、コンデンサーの電気容量が増加します。この現象を2つの異なるモデルで理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • モデルA（実効距離モデル）: 厚さ\(x\)の金属板は、電場が存在する空間を\(x\)だけ短くする効果があります。電気容量は間隔に反比例するため、実効的な間隔が\(d-x\)になることで容量が増加すると考えます。
    • モデルB（直列合成モデル）: 金属板を挟んだ状態を、2つの小さなコンデンサーの直列接続と見なします。この合成容量を計算することでも、全体の容量を求めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 誘電体の挿入・抜去: 金属板の代わりに誘電体を挿入・抜去する問題。誘電率\(\epsilon_r\)の誘電体を挿入すると、容量は\(\epsilon_r\)倍になります。金属板は\(\epsilon_r \rightarrow \infty\)の極限と考えることもでき、本質は同じです。
  • 極板間隔の変化: スイッチを開いた後に、極板間隔を広げたり狭めたりする問題。電気量\(Q\)が一定のまま、容量\(C\)が変化するため、電圧\(V\)や静電エネルギー\(U\)が変化します。
  • 複数のコンデンサーとスイッチ: 複数のコンデンサーとスイッチが組み合わさった複雑な回路で、スイッチ操作によって電荷が再分配される問題。「スイッチ操作の前後で、電気的に孤立した部分の電気量の総和は保存される」という「電気量保存則」が鍵となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. スイッチの状態を最優先で確認: 問題文の各ステップで「スイッチは閉じているか、開いているか？」を最初に確認します。「閉じている \(\rightarrow\) 電圧\(V\)一定」「開いている \(\rightarrow\) 電気量\(Q\)一定」と機械的に判断します。
  2. コンデンサーの形状変化を把握: 金属板の挿入、誘電体の挿入、極板間隔の変化など、何が起きて電気容量\(C\)がどう変化したのかを把握します。
  3. エネルギーを問われたら:
     • 電圧\(V\)が一定の状況なら \(U=\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\) が便利。
     • 電気量\(Q\)が一定の状況なら \(U=\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\) が便利。
     • 変化が見やすく、計算ミスを減らせます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチを開いた後の電圧:
  • 誤解: スイッチを開いた後も、電圧は\(V\)のままだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「スイッチを開く＝電池との縁が切れる」とイメージします。電圧を一定に保ってくれる存在がいなくなるので、電圧は変化しうると考えます。代わりに「電荷が閉じ込められる」ので、電気量\(Q\)が保存される、というように思考を切り替える訓練が必要です。
• 金属板挿入の効果の混同:
  • 誤解: 金属板を挿入すると、極板間隔が\(\displaystyle\frac{d}{2}\)になると勘違いする（厚さ\(\displaystyle\frac{d}{2}\)の金属板が、間隔\(\displaystyle\frac{d}{2}\)の空気層に置き換わるわけではない）。
  • 対策: 金属板は「電場のある空間を食いつぶす」効果だと理解します。元の空間\(d\)から、金属板の厚み\(\displaystyle\frac{d}{2}\)を単純に引き算した \(d-\displaystyle\frac{d}{2} = \displaystyle\frac{d}{2}\) が、電場が存在する実質的な距離になると考えます。
• エネルギーと仕事の関係:
  • 誤解: (4)で静電エネルギーが増加（\(CV^2 \rightarrow 2CV^2\)）したことについて、エネルギーがどこから来たのか分からず混乱する。
  • 対策: このエネルギー増加分は「金属板を抜き去るために外部がした仕事」に等しいです。極板と、静電誘導で現れた金属板表面の電荷との間には引力が働いており、これに逆らって抜き去るために仕事が必要なのです。エネルギー保存則は必ず成り立っていることを意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (3)での\(Q=C’V\)の選択:
  • 選定理由: この時点ではスイッチが閉じているため、「電圧\(V\)が一定」という条件が与えられています。また、金属板挿入によって「容量が\(C’\)に変化した」ことが分かっています。求めるのは電気量\(Q\)なので、これら3つの物理量\(Q, C’, V\)を直接結びつける\(Q=C’V\)を選択するのが最も論理的かつ効率的です。
  • 適用根拠: コンデンサーの基本式\(Q=CV\)は、どのようなコンデンサーにも成り立つ定義式です。金属板を挿入して全体の電気容量が\(C’\)になった系も、一つのコンデンサーと見なせるため、この式を適用できます。
• (4)での\(V’=Q/C\)の選択:
  • 選定理由: スイッチを開いたことで、「電気量\(Q\)が一定」という条件に切り替わりました。この\(Q\)は(3)で求めた\(2CV\)です。そして、金属板を抜くことで「容量が\(C\)に戻った」という変化が起きています。求めるのは電圧\(V’\)なので、これら3つの物理量\(V’, Q, C\)を結びつける\(V’=Q/C\)を選択するのが最適です。
  • 適用根拠: (3)と同様、\(Q=CV\)は普遍的な関係式です。状況が変わっても、その瞬間の\(Q, C, V\)を正しく代入すれば必ず成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 状態の明記: (3)や(4)のように状況が変化する問題では、計算の前に「状態3：スイッチOFF直後、Q=2CV, C’=2C」「状態4：金属板抜去後、Q=2CV(保存), C”=C」のように、各状態での\(Q, C, V\)の情報を整理して書き出すと、使うべき値や式を間違えにくくなります。
• 分数の扱いに注意: (3)の別解のように合成容量を計算する際、\(\displaystyle\frac{1}{C’} = \displaystyle\frac{1}{2C}\) と計算した後、最後に逆数を取るのを忘れて \(C’=\displaystyle\frac{1}{2C}\) としてしまうミスが頻発します。逆数の和を計算した後は、必ず「ひっくり返す」ことを意識しましょう。
• 文字式のまま計算: この問題のように、最終的な答えが文字式で表される場合、途中で数値を代入する必要がないため、計算ミスは起こりにくいです。しかし、\(C’=2C\) のような関係を代入する際に、丁寧に括弧をつけるなど、基本的な式変形のルールを守ることが重要です。例えば、\(Q=C’V\) に \(C’=2C\) を代入するなら \(Q=(2C)V\) と書く癖をつけると、より複雑な式でも間違いが減ります。

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385 誘電体の挿入

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「誘電体を挿入したコンデンサーの電気容量と電気量」です。誘電体の挿入の仕方によって、コンデンサーのどの部分の特性が変化するのかを正しく見抜き、並列接続または直列接続としてモデル化できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)