「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第15章】基本問題284～286

基本問題

284 正弦波の式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(y-x\)グラフからの正弦波の立式と分析」です。波のある瞬間の形（\(y-x\)グラフ）と、速さや進行方向といった情報を組み合わせて、波の運動全体を表す式を構築し、それを用いて具体的な問いに答える総合力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題で与えられているのは、時刻 \(t=0\) における波の形、すなわち \(y-x\) グラフです。このグラフから、波の空間的な特徴である振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) を直接読み取ることができます。周期 \(T\) は時間的な特徴なのでグラフからは直接読み取れませんが、問題文で与えられている速さ \(v\) と、読み取った波長 \(\lambda\) を使って、波の基本関係式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) から計算することができます。
この設問における重要なポイント

• \(y-x\)グラフから読み取れるのは、振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) であることを理解する。
• 周期 \(T\) は、速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) から計算で求める。
• 波の基本関係式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を正しく用いる。

具体的な解説と立式
問題の図（\(y-x\)グラフ）から、波の振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) を読み取ります。
グラフの最大変位から、振幅 \(A\) は、
$$ A = 0.20 \, \text{[m]} $$
グラフで波が1サイクルする長さから、波長 \(\lambda\) は、
$$ \lambda = 4.0 \, \text{[m]} $$
周期 \(T\) は、波の速さ \(v=5.0\) m/s と波長 \(\lambda\) の関係式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) を変形して求めます。
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$

$$
\begin{aligned}
T &= \frac{4.0}{5.0} \\[2.0ex]
&= 0.80 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$

(1)は、波の基本的なスペックを調べる問題です。
まず、グラフの見た目からスペックを読み取ります。波の高さ（振幅 \(A\)）は \(0.20\) m、波の1サイクルの長さ（波長 \(\lambda\)）は \(4.0\) mです。
次に、周期 \(T\) を計算します。周期は、波が1波長分進むのにかかる時間のことです。速さが \(5.0\) m/s、波長が \(4.0\) mなので、「時間 = 距離 ÷ 速さ」の関係から、周期 \(T\) は \(4.0 \div 5.0 = 0.80\) 秒と計算できます。

この波の振幅は \(A=0.20\) m, 波長は \(\lambda=4.0\) m, 周期は \(T=0.80\) s であることがわかりました。与えられたグラフと情報から、基本的な公式を用いて導出された妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
原点（\(x=0\)）の媒質の時間変化（\(y_0-t\)グラフ）を考えます。まず、\(t=0\) の瞬間の原点の状態を確認します。\(y-x\)グラフから、\(t=0, x=0\) で変位 \(y_0=0\) です。次に、\(t=0\) の直後の動きを調べます。波は \(x\) 軸の正の向きに進むので、\(t=0\) の波形を少しだけ右にずらした図を想像します。すると、原点 \(x=0\) の位置の変位は負になることがわかります。
つまり、原点の媒質は「\(t=0\) で \(y=0\) の位置から、負の向き（下向き）に動き出す」単振動をします。この動きは、三角関数で \(-A\sin(\omega t)\) の形で表されます。この情報をもとにグラフを描き、式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 波の進行方向から、特定の点の媒質の初期の運動方向を判断する方法。
• 「\(t=0\) で \(y=0\)、初速が負」の単振動が、\(y = -A\sin(\frac{2\pi}{T}t)\) で表されることを理解している。

具体的な解説と立式
まず、原点(\(x=0\))の媒質の動きを考えます。
\(t=0\) の \(y-x\) グラフを見ると、\(x=0\) で \(y_0=0\) です。
波は \(x\) 軸の正の向きに進むので、\(t=0\) の波形が少しだけ時間が経つと右にずれます。そのとき、原点 \(x=0\) の位置にあった媒質は、波の谷の部分に向かって動くため、変位は負になります。
したがって、原点の媒質は \(t=0\) で \(y_0=0\) から負の向きに動き始めます。この運動は、振幅 \(A\)、周期 \(T\) の \(-A\sin\) 型の単振動となります。
これをグラフに描くと、模範解答の図aのようになります。
この単振動を表す式は、
$$ y_0 = -A\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right) $$
です。ここに(1)で求めた \(A=0.20\) m, \(T=0.80\) s を代入します。

$$
\begin{aligned}
y_0 &= -0.20\sin\left(\frac{2\pi}{0.80}t\right) \\[2.0ex]
&= -0.20\sin(2.5\pi t)
\end{aligned}
$$

(2)では、原点 \(x=0\) にいる人に注目して、その人の上下運動をグラフと式で表します。
まず、\(t=0\) の瞬間、その人は \(y=0\) の高さにいます。波は右に進むので、その人のすぐ右隣にある「谷」が次にやってきます。つまり、その人は下に動き始めます。
この「\(y=0\) からスタートして、まず下がる」という動きは、数学のグラフでは「\(-\sin\)」の形に対応します。
したがって、グラフは \(-\sin\) カーブを描き、式も \(y_0 = -A\sin(\dots)\) という形になります。あとは(1)で求めた \(A\) と \(T\) を代入すれば式が完成します。

原点の変位は \(y_0 = -0.20\sin(2.5\pi t)\) と表され、そのグラフは \(t=0\) で \(0\)、\(t=0.2\) s (\(=T/4\)) で \(-0.20\) m となり、物理的な考察と一致する妥当なものです。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた原点の振動の式を、波全体の式に拡張します。波が速さ \(v=5.0\) m/s で \(x\) 軸の正の向きに進むため、位置 \(x\) での振動は、原点での振動よりも時間 \(\displaystyle\frac{x}{v}\) だけ遅れて起こります。この「時間の遅れ」を数式に反映させるため、(2)で求めた式の時刻 \(t\) を \((t – \displaystyle\frac{x}{v})\) に置き換えます。
この設問における重要なポイント

• 波の伝播を「時間の遅れ」として捉え、それを「\(t\) の置き換え」という数学的操作で表現する。
• (2)で立てた式を正しく利用する。

具体的な解説と立式
(2)で求めた原点(\(x=0\))における変位の式は、
$$ y_0(t) = -0.20\sin(2.5\pi t) $$
です。
波は速さ \(v=5.0\) m/s で \(x\) 軸の正の向きに進むため、任意の位置 \(x\) での振動は、原点での振動よりも \(\displaystyle\frac{x}{v} = \frac{x}{5.0}\) [s] だけ遅れます。
したがって、任意の位置 \(x\) と時刻 \(t\) における変位 \(y(x, t)\) を表す式は、原点の式の \(t\) を \((t – \displaystyle\frac{x}{5.0})\) に置き換えることで得られます。

$$
\begin{aligned}
y &= -0.20\sin\left\{2.5\pi \left(t – \frac{x}{5.0}\right)\right\}
\end{aligned}
$$
これが求める波の式です。

(2)で作った原点の動きのルール（数式）を、波全体に適用します。
波は速さ \(5.0\) m/s で進むので、原点から \(x\) m離れた場所には、\(\displaystyle\frac{x}{5.0}\) 秒遅れて揺れが届きます。
つまり、位置 \(x\) での「今（\(t\) 秒後）」の揺れの高さは、原点での「少し前（\(t – \frac{x}{5.0}\) 秒後）」の揺れの高さと同じです。
したがって、(2)の式の \(t\) が入っている部分を、まるごと \((t – \frac{x}{5.0})\) に書き換えるだけで、波全体の式が完成します。

得られた式 \(y = -0.20\sin(2.5\pi(t – \frac{x}{5.0}))\) は、\(x\) と \(t\) の両方を含む波の式です。\(x=0\) を代入すると(2)の式に一致し、\(t\) と \(x\) の項の符号が異なることから \(x\) 軸正の向きに進む波を表しており、問題の条件をすべて満たす妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で導出した波の式に、指定された時刻 \(t=2.0\) s と位置 \(x=31\) m を代入して、その瞬間の変位 \(y\) を具体的に計算します。計算の過程で、\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) や \(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\) といった三角関数の性質を利用して、角度を簡単な範囲に整理することがポイントです。
この設問における重要なポイント

• 完成した波の式に、具体的な \(t, x\) の値を代入する。
• 三角関数の周期性（\(2\pi\) ごとに同じ値）や対称性（\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)）を正しく使って計算を簡単にする。

具体的な解説と立式
(3)で求めた波の式
$$ y = -0.20\sin\left\{2.5\pi \left(t – \frac{x}{5.0}\right)\right\} $$
に、\(t=2.0\) s, \(x=31\) m を代入します。

$$
\begin{aligned}
y &= -0.20\sin\left\{2.5\pi \left(2.0 – \frac{31}{5.0}\right)\right\} \\[2.0ex]
&= -0.20\sin\left\{2.5\pi \left(2.0 – 6.2\right)\right\} \\[2.0ex]
&= -0.20\sin\left\{2.5\pi \left(-4.2\right)\right\} \\[2.0ex]
&= -0.20\sin(-10.5\pi)
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
y &= -0.20 \times \{-\sin(10.5\pi)\} \\[2.0ex]
&= 0.20\sin(10.5\pi)
\end{aligned}
$$
次に、\(10.5\pi = 0.5\pi + 10\pi = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 5 \times 2\pi\) と考え、\(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
y &= 0.20\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\[2.0ex]
&= 0.20 \times 1 \\[2.0ex]
&= 0.20 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

(3)で作った「波の万能計算機」に、\(t=2.0\), \(x=31\) という数字を入れて計算します。
計算すると \(\sin(-10.5\pi)\) という項が出てきます。まず、マイナスを外に出して \(+\sin(10.5\pi)\) にします。
次に、\(10.5\pi\) は角度が大きすぎるので、円を何周も回っている分を無視します。\(10\pi\) はちょうど5周分なので、これは無視できます。残るのは \(0.5\pi\)、つまり \(90^\circ\) です。
\(\sin(90^\circ)\) は \(1\) なので、最終的な答えは \(0.20 \times 1 = 0.20\) m となります。

時刻 \(t=2.0\) s, 位置 \(x=31\) m の点では、媒質は正の向きに最大の変位、すなわち振幅 \(0.20\) m の位置にあることがわかりました。計算過程も物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの相互変換:
  • 核心: この問題の根幹は、波のある瞬間の空間的な情報（\(y-x\)グラフ）と、ある一点の時間的な情報（\(y-t\)グラフ）が、波の速さ \(v\) を介して互いに変換可能であるという、波の運動の二面性を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\)グラフは「写真」: 与えられた図は、\(t=0\) という瞬間に波全体を「パシャリ」と撮った写真です。この写真からは、波の空間的なスケール（振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)）がわかります。
    • \(y-t\)グラフは「定点カメラの映像」: 設問(2)で求めたのは、原点 \(x=0\) に設置した定点カメラが記録した映像（のグラフ）です。この映像からは、波の時間的なスケール（周期 \(T\)）がわかります。
    • 変換の鍵は「波の進行」: 写真（\(y-x\)グラフ）から映像（\(y-t\)グラフ）を作るには、「波がどう動くか」という情報が必要です。波が正の向きに進むことから、原点の媒質が \(t=0\) の直後にどちらに動くかを予測し、それに基づいて単振動のグラフを描くことができます。この一連の思考プロセスが、本問の核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)グラフから\(y-x\)グラフを描く問題: 本問とは逆に、原点の\(y-t\)グラフが与えられ、「\(t=t_1\) の瞬間の波形（\(y-x\)グラフ）を描け」という問題。まず\(y-t\)グラフから \(A, T\) を読み、与えられた \(v\) から \(\lambda\) を計算します。次に、原点の式を立て、\(t \rightarrow (t-x/v)\) で波全体の式を構築し、その式に \(t=t_1\) を代入して \(y\) と \(x\) の関係式を求め、グラフを描きます。
  • 位相の概念を使う問題: 「\(x=6.0\) m の点の振動は、原点の振動に対して位相がどれだけずれているか」といった問題。波の式 \(y(x,t)\) の位相部分 \(\theta(x,t) = 2\pi(t/T – x/\lambda)\) に着目し、位相差 \(\Delta \theta = \theta(0,t) – \theta(x,t) = 2\pi x/\lambda\) を計算します。
  • 媒質の最大速度・最大加速度を求める問題: (2)で求めた原点の式 \(y_0(t)\) を \(t\) で微分すれば、原点の速度 \(v_y(t)\) が求まります。その最大値（振幅部分）を \(A\omega = A(2\pi/T)\) として計算する問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの種類を最優先で確認: 横軸が \(x\) なのか \(t\) なのかで、読み取れる情報が全く異なります。これを間違えると全てが崩れます。
  2. 原点の初期運動を特定する: \(y-x\)グラフと進行方向が与えられたら、まず「原点（\(x=0\)）は \(t=0\) の直後に上に動くか、下に動くか」を判断します。波形を進行方向に微小にずらす方法が最も確実です。
     • 上に動く（初速が正）→ \(\sin\) 型
     • 下に動く（初速が負）→ \(-\sin\) 型
  3. 三角関数の計算に備える: (4)のように具体的な変位を求める問題では、最終的に \(\sin\) や \(\cos\) の計算が待っています。\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta\) などの公式は、いつでも使えるように準備しておきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 原点の初期運動の判断ミス:
  • 誤解: 波が右（正の向き）に進むから、原点の媒質も右に動くと勘違いする（横波では媒質は上下にしか振動しない）。あるいは、波形をずらす方向を間違えて、初速の正負を逆にしてしまう。
  • 対策: 「波形を進行方向に少しずらし、元の波形とずらした波形を比べて、特定の \(x\) の位置での \(y\) の変化を見る」という手順を機械的に実行します。この方法なら、直感に頼らずに確実に媒質の運動方向を判断できます。
• \(-\sin\) 型の立式ミス:
  • 誤解: 原点が下に動くことはわかっても、それをどう数式で表現すればよいか混乱する。\(\sin(\omega t + \pi)\) なのか \(\sin(\omega t – \pi)\) なのか、あるいは \(-\sin(\omega t)\) なのか。
  • 対策: 最もシンプルな \(y = -A\sin(\omega t)\) の形をまず覚えるのが得策です。これは「\(\sin\) のグラフを上下反転させたもの」であり、「\(t=0\) で \(y=0\)、その後 \(y\) は減少」という動きと直接対応するため、直感的で間違いにくいです。
• (4)の計算での角度の単位（rad）の意識不足:
  • 誤解: \(2.5\pi(2.0 – 31/5.0)\) のような計算で出てきた \(-10.5\pi\) という数値を、度数法（degree）の感覚で捉えてしまい、値の見当がつかなくなる。
  • 対策: 物理の波の式で扱う角度は、常に弧度法（radian）であることを徹底して意識します。「\(2\pi\) で1周」という感覚を身につけ、\(10.5\pi\) のような大きな角度は、\(10\pi\)（5周分）と \(0.5\pi\)（\(\pi/2\), つまり90°）に分解して考える癖をつけます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(y = -A\sin(\frac{2\pi}{T}t)\) の選択（設問(2)）:
  • 選定理由: 物理的な考察から「原点の媒質は \(t=0\) で \(y=0\) から負の向きに動き出す」ことがわかりました。この特徴的な運動を最もシンプルに表現する数学関数が \(-\sin\) 型だからです。もちろん、\(y=A\sin(\frac{2\pi}{T}t+\pi)\) や \(y=A\cos(\frac{2\pi}{T}t+\frac{\pi}{2})\) など、等価な表現は多数ありますが、最も項が少なく直感的な \(-\sin\) 型を選ぶのが最も合理的です。
  • 適用根拠: 正弦波の各点の運動は単振動です。単振動の変位は、初期条件（\(t=0\) での変位と速度）によって、その後の運動が一意に決まります。今回はその初期条件が \(y(0)=0, v_y(0)<0\) であり、これを満たす単振動の式としてこの公式が選ばれます。
• 時間の置き換え \(t \rightarrow t – x/v\) の適用（設問(3)）:
  • 選定理由: (2)で原点という「部品」の式を求めた後、(3)で波全体という「完成品」の式を組み立てるために、この操作が選ばれました。これは、物理現象（波の伝播）と数学的操作（変数の置き換え）が最も直接的に結びつく、エレガントで強力な方法だからです。
  • 適用根拠: 波の定義そのものである「ある場所の振動が形を保ったまま一定速度で伝播する」という物理的要請に基づいています。この要請を満たすためには、波の変位を表す関数 \(y(x,t)\) が \((t-x/v)\) という組み合わせの関数（あるいは \((x-vt)\) の関数）である必要があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報を図に書き込む: 与えられた \(y-x\) グラフに、読み取った \(\lambda=4.0\) m や、波の進行方向を示す矢印を書き込みます。さらに、(2)で \(y_0-t\) グラフを描く際には、横軸に \(T=0.80\) s, \(T/2=0.40\) s などの数値を書き込むことで、視覚的に情報を整理し、ミスを防ぎます。
• 段階的な計算: (4)の \(y = -0.20\sin(-10.5\pi)\) の計算では、焦らずに一段階ずつ変形します。
  1. \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) を使って、\(y = +0.20\sin(10.5\pi)\) とする。
  2. 角度を \(2\pi\) の整数倍と、\(0 \le \theta < 2\pi\) の部分に分ける。\(10.5\pi = 10\pi + 0.5\pi\)。
  3. \(\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta\) を使って、\(y = 0.20\sin(0.5\pi)\) とする。
  4. 最後に値を計算する。\(y = 0.20 \times 1 = 0.20\)。

  この手順を習慣化することで、複雑な三角関数の計算ミスが劇的に減ります。

• 単位の確認: (1)で \(T = \lambda/v\) を計算する際、\(\lambda\) [m] / \(v\) [m/s] = [s] となり、確かに時間の単位になることを確認します。このような単位のチェックは、公式の覚え間違いを発見するのにも役立ちます。

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285 正弦波の式

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問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)