無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「連結容器内の理想気体」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は、細い管で繋がれた2つの容器内の理想気体について、部分的に温度を変化させたときの圧力や物質量（モル数）の変化を考察する問題です。理想気体の状態方程式を正しく使うことに加え、「連結された容器」という設定特有の条件を理解することが重要です。

この問題を解く上で鍵となる物理法則は理想気体の状態方程式 (\(PV = nRT\)) ですが、この問題特有の重要なポイントが2つあります。

1. 圧力の均一性: 容器AとBは管で繋がっているので、気体は自由に行き来できます。そのため、平衡状態では容器内の圧力はどこでも等しくなります。つまり、初期状態では全体が \(p_1\)、最終状態では全体が \(p_2\) という均一な圧力になります。
2. 物質量保存の法則: 装置全体は密閉されているため、気体の総物質量（総モル数）は変化しません。つまり、最終状態でのA内の物質量 \(n_A\) とB内の物質量 \(n_B\) の和は、初期の総物質量 \(2n\) に等しくなります (\(n_A + n_B = 2n\))。

これらの法則と条件を組み合わせて、各設問に答えていきます。

• (1) 初期状態の状態方程式: 初期状態ではA,Bの条件が全く同じなので、総物質量 \(2n\) はAとBに均等に \(n\) ずつ分配されると考え、Aについて状態方程式を立てます。
• (2) 最終状態の状態方程式: 問題文の指示通りに、最終状態のA室の物理量を使って状態方程式を記述します。
• (3) 最終状態の物質量: (2)に加えてB室の状態方程式も立てます。「圧力が等しい」ことからA室とB室の物質量の比を求め、「物質量の和が一定」という条件と連立させて \(n_A\) を求めます。
• (4) 圧力の関係式: (1)で立てた初期状態の式と、(2),(3)で明らかになった最終状態の式を比較し、\(p_2\) と \(p_1\) の関係を導きます。

各設問の具体的な解説と解答

(1) はじめの状態における A内の気体の状態方程式を示せ。

問われている内容の明確化
初期状態における、容器A内の気体の状態方程式を立てます。

具体的な解説と立式
初期状態では、容器AとBは同じ容積 \(V\)、同じ温度 \(T\)、同じ圧力 \(p_1\) です。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、同じP, V, Tの下では、物質量 \(n\) も同じになります。
装置全体の総物質量は \(2n\) なので、AとBにはそれぞれ \(n\) [mol] ずつの気体が存在します。
したがって、容器Aについて状態方程式を立てると、圧力 \(p_1\)、容積 \(V\)、物質量 \(n\)、温度 \(T\) の関係は以下のようになります。
$$p_1 V = nRT \quad \cdots ①$$

計算過程
この設問では式を示すことのみが求められているため、式①がそのまま解答となります。

(2) 変化後の状態における A内の気体の状態方程式を示せ。

問われている内容の明確化
Aの温度を \(3T\) にした後の最終状態における、容器A内の気体の状態方程式を立てます。

具体的な解説と立式
最終状態では、容器A内の圧力は \(p_2\)、容積は \(V\)、物質量は \(n_A\)、温度は \(3T\) となっています。
これらの物理量を理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) に当てはめます。
$$p_2 V = n_A R (3T) \quad \cdots ②$$

計算過程
この設問では式を示すことのみが求められているため、式②がそのまま解答となります。これを整理すると \(p_2 V = 3n_A RT\) となります。

(3) \(n_{A}\) をnで表せ。

問われている内容の明確化
最終状態における、容器A内の気体の物質量 \(n_A\) を、初期状態の物質量に関わる \(n\) を用いて表します。

具体的な解説と立式
\(n_A\) を求めるためには、容器Bの状態や、物質量保存の法則を考慮する必要があります。
最終状態における容器Bの状態方程式を立てます。圧力はAと同じ \(p_2\)、容積は \(V\)、温度は \(T\)、物質量を \(n_B\) とすると、
$$p_2 V = n_B RT \quad \cdots ③$$
また、装置全体の物質量は保存されるので、
$$n_A + n_B = 2n \quad \cdots ④$$
が成り立ちます。

式② (\(p_2 V = 3n_A RT\)) と式③ (\(p_2 V = n_B RT\)) は、左辺が同じ \(p_2 V\) です。したがって、右辺も等しくなります。
$$3n_A RT = n_B RT$$
この式と、物質量保存の式④を連立させて \(n_A\) を求めます。

計算過程
まず、\(3n_A RT = n_B RT\) の両辺から共通項 \(RT\) を消去し、\(n_A\) と \(n_B\) の関係を求めます。
$$3n_A = n_B \quad \cdots ⑤$$
次に、この関係式⑤を物質量保存の式④ \(n_A + n_B = 2n\) に代入します。
$$n_A + (3n_A) = 2n$$
$$4n_A = 2n$$
両辺を4で割って \(n_A\) を求めます。
$$n_A = \frac{2n}{4} = \frac{1}{2}n$$

(4) 気体の圧力 \(p_{2}\) を \(p_{1}\) で表せ。

問われている内容の明確化
最終状態での圧力 \(p_2\) を、初期状態の圧力 \(p_1\) を用いて表します。

具体的な解説と立式
\(p_1\) と \(p_2\) を関係づけるために、(1)と(2)で立てた状態方程式を利用します。

• 初期状態 (式①): \(p_1 V = nRT\)
• 最終状態 (式②): \(p_2 V = 3n_A RT\)

(3)で \(n_A = \frac{1}{2}n\) であることがわかったので、これを式②に代入することで、\(p_2\) を \(n, R, T, V\) で表すことができます。
その後、式①を使って \(nRT\) の部分を \(p_1 V\) に置き換えることで、\(p_2\) を \(p_1\) で表すことができます。

計算過程
(3)の結果 \(n_A = \displaystyle\frac{1}{2}n\) を、式② \(p_2 V = 3n_A RT\) に代入します。
$$p_2 V = 3 \left(\frac{1}{2}n\right) RT = \frac{3}{2} nRT \quad \cdots ⑥$$
ここで、(1)で得られた初期状態の式① \(p_1 V = nRT\) に着目します。
式⑥の右辺にある \(nRT\) は、式①の左辺 \(p_1 V\) に等しいです。
したがって、式⑥の \(nRT\) を \(p_1 V\) に置き換えます。
$$p_2 V = \frac{3}{2} (p_1 V)$$
両辺に共通する容積 \(V\) を消去すると、
$$p_2 = \frac{3}{2} p_1$$
となり、\(p_2\) を \(p_1\) で表すことができました。

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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体の状態を記述する基本法則。この法則を各部分、各状態で適用することが全ての出発点となります。
• 圧力の均一性: 管で連結された容器内の気体は、平衡状態では均一な圧力を持つ。これは見落としがちですが、非常に重要な束縛条件です。
• 物質量保存の法則: 密閉された系では、内部で気体が移動しても、全体の物質量（モル数）は変化しない。これも、複数の未知数を減らすための重要な条件式となります。

類似の問題を解く上でのヒントや注意点

• 状態の整理: 「初期状態」と「最終状態」で、各部屋（A, B）の P, V, n, T がそれぞれどうなっているかを、表などに整理すると間違いが減ります。
• 未知数を明確にする: 問題を解く上で、何が未知数で、それらを求めるためにいくつの独立した式が必要かを意識すると、解法の見通しが立ちやすくなります。
• 代入と消去: 複数の状態方程式を立てた後は、連立方程式を解く作業になります。どの変数を消去し、どの変数を代入すれば目的の答えにたどり着くか、手順を考えてから計算を始めましょう。

よくある誤解や間違いやすいポイント

• 物質量が変化しないと誤解する: AとBのそれぞれの部屋の物質量は、温度変化によって気体が移動するため変化します。AとBそれぞれで \(n\) が一定だと考えてボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T}=\text{一定}\) を適用すると、誤った結果になります。
• 圧力も均等に分配されると誤解する: 全圧が \(p_1+p_2\) のようになる、などの誤解。圧力は均一になるだけで、足し算されるわけではありません。
• 連立方程式の計算ミス: 複数の式を扱うため、代入や式変形の過程で計算ミスが起こりやすくなります。一つ一つのステップを丁寧に進めることが大切です。

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