2限目：電界と電位の関係性｜電磁気・最短攻略パック

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講義ノート

【今回のポイント】

• 電界は「傾き」、電位は「高さ」のイメージを持つ。
• 電位は \(+1\,\text{C}\) の電荷が持つ「位置エネルギー」であり、スカラー量（数値）である。
• 電界は \(+1\,\text{C}\) の電荷が受ける「力」であり、ベクトル量（向きと大きさ）である。
• 複数の電荷が作る合成電界はベクトルとして足し合わせ、合成電位はスカラーとして足し合わせる。

【講義解説】

電界と電位のイメージ

結論から言えば、電界は「傾き」、電位は「高さ」である。

例えば、トランポリンの上にボールを置いた状況を想像してほしい。中心が膨らんでいればボールは外へ転がり、へこんでいれば中心へ転がっていく。このトランポリンの「高さ」が電位であり、ボールが転がる斜面の「傾き」が電界に相当する。この2つのイメージを常に頭の片隅に置いておくことが重要である。

電位の厳密な定義と公式

電位とは、\(+1\,\text{C}\) の電荷が持つ「位置エネルギー」のことである。

電位を考える際の絶対的なルールとして、常に「\(+1\,\text{C}\) の電荷の立場に立って考える」というものがある。
\(+\) の電荷は高い位置にあり、自分の周りに「山の形（正の電位）」を作る。逆に、\(-\) の電荷は低い位置にあり、自分の周りに「谷の形（負の電位）」を作る。

点電荷 \(q\) が距離 \(r\) 離れた点に作る電位 \(V\) は、以下の公式で求められる。

$$
V = k \displaystyle\frac{q}{r}
$$

電界の厳密な定義と公式

電界（電場とも呼ばれる）とは、電位の「傾き」であり、正確には「\(+1\,\text{C}\) の点電荷に働く力」のことである。

電位がスカラー（単なる数値）であるのに対し、電界はベクトル（向きと大きさを持つ）である点が大きな違いである。山の頂上付近のように傾きが急な場所では受ける力が大きく（強い電界）、麓のように傾きが緩やかな場所では受ける力が小さくなる（弱い電界）。

点電荷 \(q\) が距離 \(r\) 離れた点に作る電界の大きさ \(E\) は、以下の公式で求められる。電位の公式の分母が \(r^2\) になった形である。

$$
E = k \displaystyle\frac{q}{r^2}
$$

また、電界 \(E\) の中に電気量 \(Q\) の別の電荷を置いたとき、その電荷が電界から受ける静電気力 \(F\) は、自身の電気量と電界の掛け算で表される。

$$
F = QE
$$

練習問題の解説

① 合成電界と合成電位（問1・問2）

【問題】
図のように、座標 \((a, 0)\) と \((-a, 0)\) の点にそれぞれ電気量 \(q\) (\(q > 0\)) の点電荷A、Bを固定する。
(1) 原点Oにおける合成電界の大きさと向きを求めよ。
(2) 原点Oにおける合成電位はいくらか。

【解説】
(1) 合成電界の計算
電界はベクトルであるため、向きを考慮して足し合わせる必要がある。
点電荷A（\(+q\)）が原点Oに作る電界は、Aから遠ざかる向き（左向き）である。
点電荷B（\(+q\)）が原点Oに作る電界は、Bから遠ざかる向き（右向き）である。
右向きを正（プラス）、左向きを負（マイナス）として、それぞれの電界を足し合わせる。

$$
\begin{aligned}
E_{\text{合成}} &= k \displaystyle\frac{q}{a^2} + \left( – k \displaystyle\frac{q}{a^2} \right) \\[2.0ex] &= 0
\end{aligned}
$$

したがって、合成電界は \(0\) となる。

(2) 合成電位の計算
電位はスカラーであるため、向きは関係なく、単純な数値の足し算となる。
点電荷A、Bがそれぞれ原点Oに作る電位（高さ）を足し合わせる。

$$
\begin{aligned}
V_{\text{合成}} &= k \displaystyle\frac{q}{a} + k \displaystyle\frac{q}{a} \\[2.0ex] &= \displaystyle\frac{2kq}{a}
\end{aligned}
$$

したがって、合成電位は \(\displaystyle\frac{2kq}{a}\) となる。

【重要公式まとめ】