無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「点電荷から出る電気力線の総数」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は設問が1つのため、問題を解くための全体的な戦略と手順を以下に示します。

1. 電気力線の総数 \(N\) を求める公式を確認します。
2. 公式に必要な物理定数であるクーロンの法則の比例定数 \(k\) の値を確認します。
3. 与えられた電荷 \(Q\) の値、円周率 \(\pi\) の値、およびクーロンの法則の比例定数 \(k\) を公式に代入して、電気力線の総数 \(N\) を計算します。
4. 計算結果の有効数字を考慮して、最終的な答えを決定します。

各設問の具体的な解説と解答

電荷から出る電気力線の総数

問われている内容の明確化:

\(2.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) の電荷から出る電気力線の総数は何本かを求めます。円周率 \(\pi\) は \(3.14\)として計算します。

具体的な解説と計算手順:

点電荷 \(Q\) [C] から出る電気力線の総数 \(N\) は、クーロンの法則の比例定数を \(k \, [\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2]\) とすると、次の式で与えられます。

この公式は、電荷 \(Q\) を囲む仮想的な閉曲面を貫く電気力線の総数が \(4 \pi k Q\) 本であることを示しており、ガウスの法則の考え方に基づいています。

クーロンの法則の比例定数 \(k\) の値は、約 \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) です。

与えられた値を代入して計算します。

• \(Q = 2.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\)
• \(\pi = 3.14\)
• \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

したがって、
$$N = 4 \times 3.14 \times (9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \times (2.0 \times 10^{-8} \, \text{C})$$
まずは数値部分と指数部分を分けて計算します。
$$N = (4 \times 3.14 \times 9.0 \times 2.0) \times (10^9 \times 10^{-8})$$
$$N = (12.56 \times 18.0) \times 10^{(9-8)}$$
$$N = 226.08 \times 10^1$$
$$N = 2260.8$$
問題で与えられている電荷 \(Q\) の値が有効数字2桁 (\(2.0 \times 10^{-8}\)) であるため、計算結果も有効数字2桁で表すのが適切です。
$$N \approx 2.3 \times 10^3 \, \text{本}$$

計算方法の平易な説明:

電気力線の本数を数えるには、特別な「ものさし」となる公式があります。それが \(N = 4 \pi k Q\) です。

1. この式の \(\pi\) (パイ) には、問題に書いてある \(3.14\) を使います。
2. \(k\) というのは「クーロンの法則の比例定数」といって、電気の世界でよく出てくる決まった数で、\(9.0 \times 10^9\) です。
3. \(Q\) は電気の量（電荷）で、問題では \(2.0 \times 10^{-8}\) クーロンと与えられています。
4. これらの数を全部掛け算します:
   \(N = 4 \times 3.14 \times (9.0 \times 10^9) \times (2.0 \times 10^{-8})\)
5. 計算すると、\(N = 2260.8\) となります。
6. 問題に出てくる数字が「\(2.0 \times 10^{-8}\)」のように2桁の数字で表されているので、答えも2桁くらいで表すのが普通です。なので、\(2260.8\) をおよそ \(2300\) 本、つまり \(2.3 \times 10^3\) 本とします。

▼別の問題もチャレンジ▼

問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則

• 電気力線: 電場の様子を視覚的に表現するために用いられる仮想的な線です。以下の性質を持ちます。
  • 正電荷から湧き出し、負電荷に吸い込まれます（あるいは無限遠方へ向かう、無限遠方から来る）。
  • 電気力線の接線の向きは、その点における電場の向きを表します。
  • 電気力線の密度（単位面積あたりの本数）は、その場所の電場の強さを表します。密なところほど電場が強いです。
  • 電気力線同士は交差したり、途中で途切れたり、枝分かれしたりしません。
  • 電気力線は電荷がない空間では湧き出しも吸い込みもありません。
• ガウスの法則（の基本的な考え方）: 任意の閉じた曲面を貫いて出ていく電気力線の正味の本数は、その閉曲面内部に含まれる全電荷を真空の誘電率 \(\epsilon_0\) で割ったものに等しい、という法則です。数式では \(\displaystyle \Phi_E = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0}\) と表されます。ここで、電気力線の本数 \(N\) を \(\displaystyle N = \frac{Q}{\epsilon_0}\) と定義する場合があり、クーロンの法則の比例定数 \(\displaystyle k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\) との関係から、\(N = 4\pi k Q\) とも表現されます。日本の高校物理では後者の \(N = 4\pi k Q\) を用いることが一般的です。
• クーロンの法則の比例定数 (\(k\)): クーロンの法則 \(\displaystyle F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) における比例定数で、真空中で \(k \approx 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) です。これは \(\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\) と等価です。

類似の問題を解く上でのヒントや注意点

• 公式の選択: 電気力線の本数を問われた場合、\(N = 4\pi k Q\) を使うか、\(\displaystyle N = \frac{Q}{\epsilon_0}\) を使うかは、教科書や問題の指示によります。日本の高校物理では \(N = 4\pi k Q\) が主流です。両者の関係 (\(\displaystyle k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\)) を理解しておくと混乱が少ないでしょう。
• 定数の値: クーロンの法則の比例定数 \(k\) や真空の誘電率 \(\epsilon_0\) の値は覚えておくか、すぐに参照できるようにしておきましょう。(\(\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\))
• 単位の扱い: 計算過程で単位も一緒に記述すると、次元のチェックができ、間違いを発見しやすくなります。電気力線の「本数」なので、最終的な答えに単位はつきません。
• 有効数字: 物理の計算では、与えられた数値の有効数字を考慮して結果を示すことが重要です。通常、計算結果の有効数字は、計算に用いた数値の中で最も有効数字の桁数が少ないものに合わせます。

よくある誤解や間違いやすいポイント

• 電気力線と電場の強さの混同: 電気力線は電場を視覚化する手段であり、電気力線の「本数」と特定の点での「電場の強さ \(E\)」は異なります。電場の強さは \(\displaystyle E = k \frac{|Q|}{r^2}\) (点電荷の場合) などで計算されます。
• \(k\) と \(\epsilon_0\) の混同: クーロンの法則の比例定数 \(k\) と真空の誘電率 \(\epsilon_0\) は関連していますが（\(\displaystyle k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\)）、異なる物理量です。どちらの定数を使う公式なのかを正確に把握する必要があります。
• \(\pi\) の計算忘れや誤り: 公式に \(\pi\) が含まれている場合、計算に含めるのを忘れたり、近似値を誤ったりしないように注意が必要です。問題文で \(\pi\) の値が指定されていれば、その値を用います。
• 指数の計算ミス: \(10\) のべき乗の計算は間違いやすいポイントです。特に掛け算（指数の足し算）や割り算（指数の引き算）のルールを正確に適用しましょう。

▼別の問題もチャレンジ▼